Wprowadzenie do klasycznej i kwantowej - relatywistycznej teorii pola [PDF]

Zitiervorschau

******************************************************** Wprowadzenie do klasycznej i kwantowej - relatywistycznej teorii pola CZĘŚĆ I - POLA KLASYCZNE. ABELOWE I NIEABELOWE POLA CECHOWANIA ****************************************************************************************** Autor : R. Waligóra data powstania dokumentu : 2018-10-01 ostatnie poprawki z dnia : 2018-11-10 ******************************************************************************************

WPROWADZENIE Przedstawiony tekst ma na celu omówienie podstawowych pojęć i metod stosowanych w klasycznej (w części I ) i kwantowej (w części II ) - relatywistycznej teorii pola. Takie teorie stanowią podstawę konstrukcji wszystkich współczesnych teorii oddziaływań fizycznych. Sztandarowym tego przykładem jest Model Standardowy fizyki cząstek elementarnych ( w sktrócie MS ). „Teorio-polowa” jest również grawitacja. W poniżej przedstawionym tekście omawiane są teorie pól : skalarnych rzeczywistych i zespolonych, wektorowych, tensorowych i spinorowych. Pola te są od samego początku przyjmowane jako relatywistycznie niezmiennicze tj. muszą być inwariantne względem grupy przekształceń Poincarego (GP), lub grupy Lorentza (GL), przy czym oczywiście GP ⊂ GL – tj. grupa Lorentza jest podgrupą grupy Poincarego. Innymi słowy żądamy, aby pola przekształcały się zgodnie z odpowiednią reprezentacja podstawową GP. Jak już powiedziano, we współczesnej fizyce, relatywistyczna teoria pól stanowi fundament na jakim rozwijane są wszystkie znane teorie fizyczne, począwszy od elektrodynamiki maxwellowskiej, einsteinowskiej teorii grawitacji, a kończąc na modelu standardowym cząstek elementarnych tj. w szczególności jest to, teoria oddziaływań elektrosłabych i silnych (chromodynamika – dynamika koloru ). Sformułowane w ten sposób teorie podlegają oczywiście dalszym modyfikacjom np. w ramach teorii supersymetrii, lub teorii (super)strun, jednakże pozostają one przy tym nadal relatywistycznie inwariantne. Dla zrozumienia przedstawionego tekstu konieczna jest znajomość podstaw : - mechaniki analitycznej (aparatu kanonicznego – ujęcia Lagrange’a i Hamiltona - mechaniki klasycznej ) - STW – szczególnej teorii względności, w szczególności zapisu czterowektorowego - MQ - mechaniki kwantowej (postulaty MQ, zapis w notacji Diraca – „bra” „ket” ) - elektrodynamiki klasycznej (maxwellowskiej ) – zapis równań Maxwella w postaci relatywistycznej - rachunku wariacyjnego, równania Eulera- Lagrange’a (w skrócie E-L) - analizy wektorowej i tensorowej (notacje indeksowe, algebra i analiza wektorów i tensorów ) Innymi słowy, czytelnikowi powinny być znane takie pojęcia jak np. : współrzędne uogólnione, prędkości i pędy uogólnione, lagranżjan i hamiltonian - układu mechanicznego, reprezentacja grupy Lorentza (Poincarego ), pochodna kowariantna, komutator pól wektorowych, itp. W pierwszej kolejności wprowadzę odpowiednie wielkości mechaniki analitycznej dla przypadku nierelatywistycznego, następnie pojęcia te zostaną rozszerzone na układy o nieskończonej (w granicy ) liczbie stopni swobody tj. ośrodki ciągłe, dalej uzyskają one zapis relatywistycznie niezmienniczy. Dla takich układów, współrzędne uogólnione zostają zastąpione (ciągłymi) funkcjami pola, lagranżjan i hamiltonian zastępujemy odpowiednio gęstością lagranżjanu i gęstością hamiltonianu. Przejście to uwzględnia polowy charakter zmiennych działania. Oczywiście formalizmowi temu nadajemy relatywistyczną niezmienniczość wprowadzając tym samym pojecie „pola relatywistycznie niezmienniczego”. W tekście podkreślono kluczową dla teorii pola (zarówno klasycznego jak i kwantowego ) rolę zasad zachowania wynikających z istnienia odpowiednich grup symetrii równań wariacyjnych – ciągłych lub dyskretnych. W pierwszej kolejności rozpatrujemy tzw. symetrie czasoprzestrzenne – geometryczne. W tym temacie zasadniczą rolę odgrywa twierdzenie podane przez Emme Noether. W dalszym planie występują symetrie „wewnętrzne” np. związane z prawem zachowania ładunku w elektrodynamice klasycznej. Tym sposobem przechodzimy do najważniejszej kwestii dla współczensej teorii pola – symetrii cechowania.

1

W „procesie” kwantowania pól klasycznych otrzymujemy „obraz” korpuskularnych innymi słowy z kazdym polem wiążemy (lub próbujemy wiązać ) odpowiadjaąca mu cząstkę o własnościach kwantowo-mechanicznych. Pojęcie pola i cząstek (cząstki) odpowiadających takiemu polu jest we współczesnej fizyce podstawą zrozumienia zasad funkcjonowania wszechświata – zarówno w skali makro jak i mikro (tego w szczególności). Jeszcze raz należy podkreślić, że szczególnie istotne są dla nas, pola obdarzone specyficznym rodzajem symetrii symetrie cechowania. Współczesnie dużą uwagę przyciągają pola, dla których pojecie symetrii (związanej z pewnym rodzajem niezmienniczością ) zostało w sposób nietrywialny rozszerzone - mowa tutaj o tzw. supersymetrii. Przyjęty schemat postępowania będzie następujący : Wychodzimy od mechaniki analitycznej i związanego z nią aparatu kanonicznego ( formalizm Lagrange’a i Hamiltona, przekształcenia kanoniczne , nawiasy Poissona , twierdzenie Noether , współrzędne cykliczne ) Następnie przechodzimy do rozpatrzenia formalizmu kanonicznego dla ośrodków ciągłych wprowadzając pojęcie pola jako zmiennej funkcjonału działania. W wyniku tego przejścia otrzymujemy charakterystyczną zamianę wielkości dynamicznych na odpowiadające im gęstości. Rozpatrując niezmienniczość równań polowych ze względu na grupę ich symetrii ( twierdzenie Noether dla teorii pola ) otrzymujemy odpowiednie wielkości zachowane tj. zachowane prądy i ładunki Noether. Ostatnie uogólnienie polega na takim sformułowaniu równań pola aby stały się niezmiennicze względem pewnej reprezentacji grupy Lorentza. Otrzymujemy w ten sposób relatywistyczna teorię pola (klasycznego ). W następnym kroku realizujemy procedurę zwaną kwantowaniem pola – tzw. procedura drugiej kwantyzacji. Zobacz również teks pt. „Szkic o fizyce i jej historii, matematyce i filozofii” Teoria pola (teorie polowe) – szczególnie pola skwantowanego, jak wspomniałem jest podstawą na której opiera się cała fizyka teoretyczna. W jej metodach, a zwłaszcza używanych narzędziach matematycznych odbite jest całe bogactwo i różnorodność fizyki. Należy od razu powiedzieć , że jest to jednak okupione wieloma trudnościami zarówno natury fizycznej jak i matematycznej. Teoria pola ukazuje w pełni swoje możliwości kiedy zastosujemy odpowiedni formalizm matematyczny, do arsenału którego nalezą m.in. takie pojęcia jak : tensor, forma różniczkowa , pochodna kowariantna, pochodna Liego, rozmaitość Riemannowska.

Zalecana literatura wstępna. Początkującemu czytelnikowi, w pierwszej kolejności proponuje zapoznać się z artykułem pt. : „Teoria pola” M. Kupczyńskiego napisanym dla „Encyklopedii fizyki współczesnej” PWN 1984. Wzorcowym przykładem nierelatywistycznej teorii pola, jest teoria newtonowskiego pola grawitacyjnego, dlatego warto zapoznać się z tekstem pt. „Prawo powszechnego ciążenia” Drugim „wzorcowym” przykładem relatywistycznej teorii pola jest maxwellowska teoria elektromagnetyzmu, dlatego warto również przeczytać tekst pt. : Podstawy elektrodynamiki klasycznej W dalszej kolejności polecam : 1) „Elementy klasycznej i kwantowej teorii pola” 2) „Teoria pola” 3) „Klasyczna teoria pola” 4) „Elementy mechaniki kwantowej” 5) “Kwantowa teoria pola w zadaniach” 6)„Fizyka matematyczna” tom 2 klasyczna teoria pola.

– Jerzy Karaśkiewicz UMCS 2003 - L. D. Landau, E. M. Lifszyc PWN 1977 – Krzysztof A. Meissner WN-PWN 2002 – Stanisław Szpikowski UMCS 1999 – Voja Radovanovic WN-PWN 2008 – W. Thirring; PWN 1985

******************************************************************************************

Uwagi o zastosowanych skrótach i oznaczeniach. W prezentowanym tekście zastosowano następujące skrótowe oznaczenia : MQ – mechanika kwantowa MK – mechanika klasyczna CP – czasoprzestrzeń EM – elektromagnetyczna, elektromagnetycznej itp. Np. fala EM STW, OTW – odpowiednio - szczególna i ogólna teoria względności KTP – kwantowa teoria pola (ang. QFT ) KLTP – klasyczna teoria pola Y-M – ( teoria )Yanga-Millsa QCD – chromodynamika kwantowa GUT – teoria wielkiej unifikacji FD – funkcjonał działania FCT – feynmanowska całka po trajektoriach 2

IUO, NIUO – odpowiednio – inercjalny i nieinercjalny układ odniesienia rr – równanie różniczkowe GP – grupa Poincarego GL, PL – odpowiednio grupa i przekształcenie Lorentza Wielkości wektorowe (trój- lub więcej – wymiarowe ) oznaczono pogrubiona czcionką np. r –wektor wodzący r = (x, y, z ) – w trójwymiarowej przestrzeni Euklidesa lub r = (x1,x2,x3 ), rot H - rotacja pola wektorowego H Cytaty z rozlicznych książek mają za zadanie pokazać w jaki różnorodny sposób można przedstawić dane zagadnienie fizyczne lub jego rozwiązanie. Cytaty zawarto w symbolach

....................................................... zachowując przy tym (o ile to możliwe ), pierwotną numeracje wyrażeń, rysunków i równań matematycznych.

******************************************************************************************

Uwagi o jednostkach stosowanych w KTP Zazwyczaj, chociaż nie jest to żadnym standardem stosuje się tzw. naturalny układ jednostek, w którym : stała Plancka/2π ≡ ħ = c = 1 Jedynym nietrywialnym wymiarem przy takim wyborze jest wymiar masy [m]. Zatem : Masa [m] = m Energia [E] = m Pęd [p] = m Współrzędna [x] = 1/m ( Fizycznie 1/m jest comptonowską długością fali cząstki o masie m ) Pochodna po współrzędnej [∂µ ] = m Działanie [S] = 1 Ładunek [q] = 1 Stała grawitacyjna [G] = 1/m–2 Natężenie pola EM [Fµν ] = m2 Potencjał pola [Aµ ] = m I tak przykładowo jeden z popularnych autorów pisze :

....................................................... Z tego samego powodu dla którego nie posługujemy się już dla pomiarów odległości stopą królewską, wykorzystamy jednostki naturalne, w których prędkość światłą c i stała Diraca ħ (* w tekście tłumaczonym będzie to dla wygody po prostu h *) przyjmowana jest równą 1. Planck zauważył iż w jednostkach naturalnych wszystkie wielkości fizyczne można wyrazić poprzez masę Plancka : MPlanck ≡ 1 / √GNewton ≅ 10 [GeV] Wielkości c i h nie są zbyt fundamentalne jako czynniki przeliczeniowe. W tym świetle dziwię się specjalistom w obszarze fizyki materii skondensowanej, którzy operują stałą Boltzmanna k, właściwie niczym nie różniącej się od współczynnika przeliczenia stopy na metry. Współrzędne CP xµ mają indeksy greckie ( µ = 0, 1, 2, 3 ) o współrzędnej czasowej x0 czasami oznaczaną jako t. Współrzędne przestrzenne xi mają indeksy łacińskie ( i = 1, 2, 3 ) oraz ∂µ ≡ ∂/∂xµ. Wykorzystuje metrykę Minkowskiego ηµν o sygnaturze ( +, −, − ,− ), tak, że η00 = +1. Wykorzystuje zapis następujący zapis : ηµν ∂µϕ ∂µϕ = ∂µϕ ∂µϕ = (∂ϕ )2 = (∂ϕ/∂t )2 − Σ (∂ϕ/∂xi )2 i Metryka w zakrzywionej CP zawsze jest oznaczana jako gµν jednakże będę często oznaczał symbolem gµν metrykę Minkowskiego, jeśli z kontekstu będzie jasne, że znajdujemy się w płaskiej CP. Ponieważ w niniejszej książce głownie będziemy mówili o relatywistycznej KTP, będę bez szczególnych wyjaśnień wykorzystywał język fizyki relatywistycznej. Zatem, jeśli będę mówił o pędzie ( za wyjątkiem szczególnych przypadków ), to będę miał na myśli energię i pęd. Również dlatego, że h = 1, nie będę dokonywał rozróżnienia pomiędzy wektorem falowym k i pędem, oraz pomiędzy częstością ω i energią.

3

W teorii pola lokalnego mamy do czynienia głownie z gęstością lagranżjanu £, a nie z samym lagranżjanem : L = ∫ d3x £ Tak jak to przyjęto w literaturze i swobodnych dyskusjach, często będę wielkość £ nazywał lagranżjanem. Stosuje również i inne potoczne oznaczenia np. macierz jednostkową oznaczam jako 1 a nie jako I. Wykorzystuje również ten sam symbol ϕ dla przekształcenia Fouriera ϕ(k) funkcji ϕ(x), za każdym razem, kiedy ryzyko zamieszania jest niewielkie tj. praktycznie zawsze. Według mnie lepiej jest nieco swobodnie wykorzystywać terminologie, niż obciążać tekst za każdym razem innymi oznaczeniami i przejawiać zbytni pedantyzm. Symbol * oznacza sprzężenie zespolone, a† - sprzężenie hermitowskie - pierwsze stosujemy do liczby, drugie do operatora. Wykorzystuje również skróty dla takich operacji : s.z i s.h

....................................................... Kwantowa teoria pola w pigułce - Anthony Zee ; Princeton University Press 2003

******************************************************************************************

I. PODSTAWOWE POJĘCIA MECHANIKI ANALITYCZNEJ. ( Zobacz tekst pt. „Wprowadzenie do mechaniki analitycznej” )

1.1 Funkcjonał działania. Przypomnijmy pewne standardowe oznaczenia stosowane w mechanice analitycznej : qi(t) - współrzędne uogólnione punktu materialnego lub układu mechanicznego składającego się z wielu punktów materialnych . i = 1 ... N ; N – liczba stopni swobody układu mechanicznego. Gdy na układ składający się z n – punktów materialnych , nałożono m – więzów, to : N = 3n - m W szczególności jako współrzędne uogólnione mogą być wykorzystywane standardowe współrzędne kartezjańskie x(t), y(t), z(t) – przyjmowane jako zmienne czasu. Liczba współrzędnych uogólnionych równa jest liczbie stopni swobody. Współrzędne uogólnione będziemy, kierując się tradycją oznaczać jako : q1 , ... ,qn ; n = 1, ... ,S lub w zapisie wektorowym : q = ( q1 , ... ,qn ), n = 1, ... ,S Współrzędne uogólnione nie koniecznie muszą mieć wspólne miano, mogą to być np. współrzędne postaci : długość-kąt ; długość – pole. Zazwyczaj konkretny wybór współrzędnych uogólnionych podyktowany jest względami prostoty rachunkowej. Prędkościami uogólnionymi nazywamy pierwsze pochodne względem czasu współrzędnych uogólnionych. Jeżeli : q1= q1(t) , ... , qn= qn(t) ,to otrzymujemy następujące prędkości uogólnione : v1= dq1(t) /dt ≡ q1• , ... , vn= dqn(t) /dt ≡ qn•

(kropka w charakterze indeksu górnego • oznacza różniczkowanie po czasie ) W charakterze prędkości uogólnionych możemy przyjąć ich pochodne po czasie : vx = dx/dt , vy = dy/dt , vz = dz/dt ,

Wielkość określona zależnością : n n 2 T = ½ Σ mi vi = ½ Σ mi vi • vi (kropka • oznacza iloczyn skalarny ) i=1 i=1 nazywa się „energią kinetyczną“ układu n-punktów materialnych. Mamy również zapis o postaci : T = ½ Σ mi || q•i ||2 , || q•i || = q•i • q•i ( energię kinetyczną będziemy oznaczali również jako K ) W ogólności energia kinetyczna jest dodatnio określoną forma kwadratową zmiennych q•i : n T = ½ Σ aik(q) q•i q•k i,k =1

4

Wielkości : pi = ∂T/∂qi• ( dalej pi = ∂L/∂qi• ) nazywamy „pędami uogólnionymi”. W przypadku ogólnym należy posługiwać się taką definicją pędów, które w przypadku szczególnym będą równe iloczynowi : masa × prędkość. Generalnie jednakże należy mieć na uwadze iż pędy i prędkości są zadane na różnych przestrzeniach – pęd – na przestrzeni kostycznej, prędkość – na przestrzeni stycznej. Warto również mieć na uwadze fakt, iż forma energii kinetycznej zadaje w istocie metrykę na odpowiedniej przestrzeni, stad czasami energię kinetyczną nazywa się metryką. Ruch w polu o potencjale newtonowskim. Wprowadźmy zatem współrzędne uogólnione : q(t ) = ( q1(t ), ... qn(t) ) ,n = 1, ... prędkości i pędy uogólnione : vi ≡ q•i = dqi /dt pi = mi q•i ; i = 1, … , n

Niech taki układ znajduje się w polu o potencjale : U(q1, ... , qn ) Równanie dynamiki n- cząstek materialnych, we współrzędnych uogólnionych ma postać : mi q••i = − ∂U/∂ qi , i = 1, ... , n Przykładem potencjału w/w potencjału, jest niezależny od czasu potencjał newtonowski : U(q•i ) = Σ { − G ( mi mj / || qi − qj || ) } i, j Mechanikę klasyczna możemy rozwinąć (czasami równoważnie ) korzystając z różnych przestrzeni ( w sensie matematycznym ): przestrzeń konfiguracyjna qi przestrzeń zdarzeń (qi, t ) przestrzeń pędu i energii przestrzeń fazowa ( qi, pi ) przestrzeń fazowa rozszerzona ( qi, pi , t ) Przestrzeń konfiguracyjną możemy traktować jako pewną rozmaitość różniczkową, oznaczmy ja jako Mn. ( rozmaitość konfiguracyjna, dla układu mechanicznego o n stopniach swobody będzie to rozmaitość n wymiarowa ) W każdej chwili t, położenie układu mechanicznego reprezentowane jest przez pewien punkt q(t) ∈ Mn. Dla lokalnego układu współrzędnych określonego na rozmaitości konfiguracyjnej położenie układu możemy opisywać przez współrzędne uogólnione : q1(t), ... , qn(t) ∈ Mn. Ruch układu jest znany, gdy znane jest odwzorowanie : t → q(t) ∈ Mn t ∈ < a, b > Doświadczenie poucza, że jednoczesna znajomość wszystkich współrzędnych i prędkości uogólnionych całkowicie określa stan układu i ( z punktu widzenia MK ) pozwala jednoznacznie przewidzieć dalsze jego zachowanie – jest to oczywiście stwierdzenie o charakterze empirycznym pierwotnie ujęte w II prawie Newtona. Zbiór wszystkich wektorów stycznych do rozmaitości Mn, tzn. sumę przestrzeni stycznych do tej rozmaitości we wszystkich jej punktach : T(M) =

∪

Tn ( M) q ∈ Mn

nazywamy „wiązką styczną” do rozmaitości Mn. Zbiór T(M) w sposób naturalny wyposażony w strukturę rozmaitości różniczkowej. Bardzo ważne jest spostrzeżenie, że forma kwadratowa związana z energią kinetyczną T wprowadza na przestrzeni M strukturę przestrzeni Riemanna. 5

Formalizm Lagrange’a. Lagranżjan Przestrzeń konfiguracyjna układu mechanicznego wyznaczona jest przez współrzędne uogólnione tego układu. Każdy układ mechaniczny może być scharakteryzowany poprzez pewną funkcję współrzędnych uogólnionych , prędkości uogólnionych i czasu. L = L(qi(t), q.i(t) ,t ) ; i = 1, ... , n (1.1.1) Funkcje tą nazywamy „lagranżjanem” ( w niektórych publikacjach spotyka się pisownie „lagrangian” ) układu mechanicznego (ogólnie układu fizycznego). Mechanika Lagrange’a opisuje ruch układu mechanicznego za pomocą przestrzeni konfiguracyjnej. Przestrzeń konfiguracyjna układu mechanicznego ma strukturę rozmaitości różniczkowej. Na takiej rozmaitości działa grupa dyfeomorfizmów. Podstawowe pojęcia i twierdzenia mechaniki Lagrange’a są niezmiennicze względem tej grupy. Układ mechaniczny Lagrange’a określają : rozmaitość (przestrzeń konfiguracyjna ) oraz funkcja na wiązce stycznej do tej rozmaitości ( funkcja Lagrange’a ) Każdej jednoparametrowej grupie dyfeomorfizmów przestrzeni konfiguracyjnej zachowującej funkcje Lagrange’a, odpowiada zasada zachowania – całka pierwsza równań ruchu. Mechanika Lagrange’a pozwala wyczerpująco zbadać szereg ważnych zagadnień mechaniki np. zagadnienia w teorii małych drgań i w dynamice bryły sztywnej Funkcjonał działania. Rozpatrzmy funkcjonał postaci : t1 S [γ] = ∫ L(qi(t), q.i(t) ,t ) dt (1.1.2) t0 S [γ] – oznacza zależność funkcjonalną S od γ - jest więc funkcjonał – funkcjonał działania w skrócie FD; γ - jest pewną krzywą w przestrzeni konfiguracyjnej. Funkcjonał o takiej postaci nazywamy „działaniem”. Wielkość ta reprezentuje sobą pewną całkę krzywoliniową, wzięta wzdłuż linii w przestrzeni konfiguracyjnej danego układu i zadawanej przez zbiór funkcji qi(t), na pewnym jej skończonym odcinku – od punktu o współrzędnych qi(t0), do punktu qi(t1). Jak się okazuje, wszystkie podstawowe prawa fizyki klasycznej można wyprowadzić z jednej, jedynej konstrukcji matematycznej - FD. Z niej właśnie wynikają klasyczne równania ruchu, a analiza warunków, inwariantności działania pozwala znaleźć wielkości zachowane przy ruchu klasycznym. Na dodatek, jak pokazali Dirac i Feynmann, rola pojęcia działania w sposób pełny ujawnia się w fizyce kwantowej. Dzięki temu zapewniony zostaje jasny i elegancki język użyteczny w opisie przejścia od fizyki klasycznej do kwantowej, językiem tym jest feynmanowska całka po trajektoriach (FCT ) ( ang. Feynman path integral ).

1.2 Zasada stacjonarnego działania Do podstawowych zasad mechaniki należy zasada stacjonarnego działania, zwana niesłusznie z matematycznego punktu widzenia zasadą najmniejszego działania. Głosi ona iż : Rzeczywisty ruch układu mechanicznego w przestrzeni konfiguracyjnej opisywany jest przez taką krzywą γ , dla której działanie (1.1) osiąga ekstremum (w szczególności może to być minimum ). Tak postawione zagadnienie prowadzi do równań różniczkowych (ogólnie o pochodnych cząstkowych ), które powinny spełniać funkcje qi(t) i które opisują ruch danego układu. Zgodnie z podstawowym twierdzeniem rachunku wariacyjnego możemy powiedzieć : warunkiem koniecznym, aby działanie S osiągało ekstremum jest spełnienie równania Eulera-Lagrange’a : d/dt (∂L/∂q.i ) − ∂L/qi = 0 lub

p. − fi = 0 lub p. = fi

(1.2.1)

gdzie : fi = ∂L/qi – jest siłą uogólnioną. Równanie to wynika z równania wariacyjnego o postaci : δS = 0

(1.2.2)

Rozwiązania równania : p. = fi – nazywamy „ekstremalnymi” funkcjonału S.

6

Wprowadzając pojęcie pochodnej wariacyjnej (pochodnej Hamiltona ) : hL /hqi = d/dt (∂L/∂q.i ) – (∂L/qi ) (1.2.3) ( literka h symbolizuje różniczkowanie w sensie Hamiltona ) otrzymamy warunek : hL / hqi = 0 Należy zauważyć, że lagranżjan jest określony niejednoznacznie. Wynika to z tego, że lagranżjan postaci : L’ = L + d/dt f (qi, t ) również spełnia równania (1.2.3). Innymi słowy, można pokazać, że lagranżjan o postaci : L’ = L + d/dt f(qi(t), t ) również określa te same równania ruchu. Wynika to z faktu, że zasada ekstremalnego działania zadana jest w postaci całkowej, a równania ruchu w postaci różniczkowej. W ogólności będziemy mieli następującą niejednoznaczność : ₤ → ₤’ = ₤ + ∂µFµ która nie będzie naruszała działania tj. S = S’ ( zatem i odpowiednich równań ruchu ) Własność ta jest słuszna dla określonych zależności topologicznych. Działanie jest jedynie pewną konstrukcją matematyczną, a liczba konstrukcji takiego rodzaju jest w zasadzie nieograniczona. Jednakże działanie powinno opisywać świat fizyczny, który jak zakładamy zbudowany jest w całkowicie określony sposób. Zatem, pośród wielu możliwych powinien istnieć, ten jeden szczególny FD, który prawidłowo opisuje to, co przebiega w rzeczywistości. Pojawia się wobec tego pytanie – jak odróżnić taki szczególny FD od innych ? Odpowiedź podpowiada nam twierdzenie Noether, wskazujący na związek między symetriami danego układu, a symetriami FD, którym go opisujemy. Dobrze są nam znane symetrie w rodzaju tych, które wynikają z STW i ze wszystkich możliwych działań powinniśmy wybrać tylko te, które odzwierciedlają te symetrie. Inne symetrie, w rodzaju np. zachowania ładunku elektrycznego, jeszcze bardziej ograniczają postać szukanego FD. Mamy podstawę zakładać, że natura preferuje określone typy działań, mianowicie te, które posiadają wszelkie inwariantności zmieniającymi się od punktu do punktu. Inwariantności tego rodzaju prowadzą do teorii z cechowaniem. Fundamentalną własnością układów fizycznych jest inwariantność FD względem przekształceń należących do niejednorodnej grupy Lorentza, lub ogólniejszej grupy Poincarego. Asymptotyczna addytywność lagranżjanu. Jeżeli będziemy rozpatrywali dwa układy mechaniczne znajdujące się w znacznej odległości jeden od drugiego to jest oczywiste , że procesy zachodzące w jednym układzie nie powinny wpływać na procesy zachodzące w drugim układzie. Z drugiej strony jednak, nie można zabronić aby rozpatrywać te dwa układy jako jeden układ złożony z dwóch odległych przestrzennie części I i II. Jeżeli pewien układ ( I + II ) rozdzielimy na dwa pod układy I i II w taki sposób , że minimalna odległość między punktami materialnymi układu I i II rI II → ∝ , to funkcje Lagrange’a układu I + II możemy rozłożyć na dwie (osobne ) funkcje Lagrange’a : LI + II → LI + LII r I II → ∞ Jest to warunek asymptotycznej addytywności funkcji Lagrange’a. Przykład 1.2.1 Rozważmy układ zachowawczy fizyczny (mechaniczny) składający się z jednego punktu materialnego o jednym stopniu swobody. Dla takiego układu jak wiadomo lagranżjan ma postać : L=T–U; gdzie : T – to energia kinetyczna , U – to energia potencjalna. I odpowiednio, dla energii tych mamy zależności postaci : T = ½ mv2 ; U = U(x) Równanie Eulera–Lagrange’a przyjmuje postać : p. = fi (jest to uogólniona II zasada dynamiki Newtona ) Dla naszego przypadku mamy jednak : p = ∂L/∂v = mv ; f = ∂L/∂x = ∂U/∂x zatem :

7

dp/dt = f ⇒ ma = F ⇒ ma = − ∂U/∂x Co oczywiście pokrywa się z „klasycznie” rozumianym II prawem Newtona. Przykład 1.2.2 Rozpatrzmy przykład 1 bardziej formalnie. Zbadamy FD dla elementarnego układu – cząstki punktowej, której wektor położenia w chwili t jest dany przez funkcje xi(t ) ( i = 1, 2, 3 ) i która porusza się w potencjale niezależnym od czasu V(xi ). Odpowiedni FD dany jest przez wyrażenie : t1 S( [xi ] ; t1 , t2 ) ≡ ∫ dt [ ½ m (dxi /dt ) (dxi /dt ) – V(xi )] (1.1*) t2 Jest on funkcją chwili początkowej i końcowej t1, t2 i funkcjonałem od trajektorii xi(t ) przy t1< t < t2 ( względem powtarzających się indeksów łacińskich prowadzimy sumowanie ) Wszystko to oznacza, że zadanej trajektorii xi(t ) przyporządkowujemy pewną liczbę, nazywaną funkcjonałem ( w danym przypadku S ). Argument funkcjonału będziemy obejmować nawiasem kwadratowym [ ... ]. Przykładowo, długość trajektorii jest funkcjonałem trajektorii. Zobaczmy teraz jak zmienia się S przy małej deformacji trajektorii : xi(t ) → xi(t ) + δxi(t ) Mamy : t2 S[xi + δxi ] = ∫ dt [ ½ m d(xi δxi )/dt d(xi + δxi )/dt – V(xi + δxi )] t1 Zaniedbując człony O(δx)2 możemy zapisać : d(xi δxi )/dt d(xi + δxi )/dt = (dxi /dt ) (dxi /dt ) – 2(d2xi /dt2 ) δxi + 2d/dt (δxi dxi /dt ) V(xi + δxi ) ≈ V(xi ) + δxi ∂iV gdzie : ∂i ≡ ∂/∂xi Zatem : t2 S[xi + δxi ] ≈ S[xi] + ∫ dt δxi [ −∂iV −m(d2xi /dt2 )] + m ∫ dt d/dt [ δxi (dxi/dt )] t1 Ostatnia składowa jest członem “powierzchniowym”. Możemy się jej pozbyć, jeśli ograniczymy się do wariacji trajektorii zerujących się w punktach końcowych : δxi (t1) = δxi( t2 ) = 0 Jeśli przyjmiemy ten warunek, to z wymogu stałości działania S przy dowolnych δxi wynikają klasyczne równania ruchu danego układu. Symbolicznie zapiszemy to jako równość zeru pochodnej funkcjonalnej, określonej przez zależność : S[xi + δxi ] = S[xi] + ∫ dt δxi δS/δxi + … Zatem, : δS/δxi = – [m(d2xi/dt2 ) + ∂iV] = 0 Zatem ustanowiliśmy odpowiedniość wzajemną między równaniami ruchu i warunkiem ekstremalności działania S. Zauważmy jednakże, że warunek ekstremalności działania S prowadzi do całej klasy możliwych trajektorii. Po jakiej z nich w istocie następuje ruch, zależy od warunków brzegowych zadawanych jako wartości początkowe wielkości xi i dxi /dt .

8

1.3 Formalizm Hamiltona. Równania Hamiltona. Przestrzeń symplektyczna. Nawiasy Poissona Mechanika Hamiltona jest w istocie geometrią w przestrzeni fazowej. Przestrzeń fazowa ma strukturę rozmaitości symplektycznej. Na takiej rozmaitości działa grupa dyfeomorfizmów symplektycznych – tj. przekształceń zachowujących strukturę symplektyczną. Hamiltonowski układ mechaniczny określają : rozmaitość parzystego wymiaru (przestrzeń fazowa), struktura symplektyczna określona na przestrzeni fazowej oraz funkcja zadana na tej rozmaitości – hamiltonian. Każda jednoparametrowa grupa symplektycznych dyfeomorfizmów przestrzeni fazowej zachowująca funkcje Hamiltona związana jest z całka pierwsza równań ruchu. Mechanika Lagrange’a zawiera się w mechanice Hamiltona jako przypadek szczególny ( przestrzenią fazową jest tutaj wiązka kostyczna rozmaitości konfiguracyjnej, a funkcją Hamiltona – przekształcenie Legendre’a funkcji Lagrange’a ) Formalizm Hamiltona ma duże znaczenie w teorii zaburzeń (mechanika nieba ) oraz w ogólnym rozumieniu ruchu w złożonych układach mechanicznych (teoria ergodyczna, mechanika statystyczna), ma również walor pozwalający dokonywać jej uogólnień na układy kwantowe. Jak wiemy w mechanice hamiltonowskiej, układ mechaniczny opisywany jest przez współrzędne uogólnione qi i pędy uogólnione p•i. I chociaż formalizm Hamiltona nie rożni się od formalizmu Lagrange’a jeśli chodzi o treść fizyczną, jest on bardziej predysponowany do wyłożenia mechaniki kwantowej, mechaniki statystycznej. W szczególności wykorzystanie przestrzeni fazowej daje podstawę dla omówienia pojęcia całkowalności i niecałkowalności oraz dla opisania zjawisk chaotycznych, które mogą mieć miejsce w układach niecałkowalnych. Powiedziałem iż formalizmy te nie różnią się od siebie – należy jednakże dodać, iż nie równią się w przypadku szczególnym, kiedy możliwe jest zastosowanie formalizmu przekształceń kanonicznych. Gdy takie przekształcenie nie jest możliwe, to jednolite formalizmy : Hamiltona i Lagrange’a mogą już nie opisywać jednego i tego samego układu fizycznego Przejścia od formalizmu Lagrange’a, opartego na zmiennych qi i q•i , do formalizmu Hamiltona, możemy

dokonać za pomocą standardowego przekształcenia Legendre’a. Z jego pomocą lagranżjan L = L(q, q•, t) przekształcamy względem q• do nowej funkcji dla której q• wyrażamy w terminach p : n H(p, q, t) = Σ pi q•i − L(q, q•, t) i=1

(1.3.1)

Teraz p, q, i q• przedstawiają sobą n-wymiarowe wektory : p = (p1, ... , pn ) , q = (q1, ... , qn ) , q• = (q•1, ... , q•n ) a nowa funkcja H nazywa się hamiltonianem układu.

Podstawowa zależność, za pośrednictwem której pi wyrażamy przez qi i q•i : pi(q, q•, t) = ∂L/∂q•i (q, q•, t) może być, przy warunku : det | ∂2L/ ∂q•i ∂q•j | ≠ 0

(1.3.2) (1.3.3)

q•

odwracalną, co pozwala wyrazić i przez pi , rozpatrując qi oraz t , jako parametry. W charakterze prostego przykładu omawianego przekształcenia rozpatrzmy lagranżjan postaci : n L = Σ ½ mi q•2i – V(q1, ... , qn ) i=1

9

(1.3.4)

Dla takiego lagranżjanu znajdujemy : pi = (∂L/∂q•i ) = mq•i (1.3.5) a ponieważ warunek (2.2.3) jest spełniony, zależność odwrotna ( trywialna w tym przypadku ) ma postać : (1.3.6) q•i = pi /mi Hamiltonian zapiszemy zatem w następującej postaci : n n n 2 H(p, q )= Σ pi ( pi/mi ) – [ Σ ½ mi ( pi/mi ) - V(q1, ... , qn ) ] = Σ ( pi2 / 2mi ) + V(q1, ... , qn ) i=1 i=1 i=1

(1.3.7)

Lagranżjan (1.3.4) opisuje ważną klasę układów mechanicznych, jego zależność pi i qi jest jednak niezwykle prosta, zatem pewne subtelności nie są ujawnione. Standardowym przykładem mniej trywialnego przekształcenia jest przykład ruchu cząstki pod działaniem siły ciężkości, ograniczonej gładką krzywą o zadanej formie ( Jest to przykład więzu holonomicznego ). Równania ruchu Lagrange’a określane są zgodnie z zadanym lagranżjanem układu za pomocą zasady Hamiltona. Naturalnym jest, że chcielibyśmy teraz otrzymać równania ruchu w ramach formalizmu hamiltonowskiego. Można to zrobić opierając się na zasadzie wariacyjnej, jednak bardziej poprawna jest następująca droga. Różniczka funkcji H, zadanej zależnością (2.2.1) ma postać :

dH = Σ pi dq•i + q•i dpi – (∂L/∂q•i ) dq•i - (∂L/∂qi ) dqi – (∂L/∂t) dt (1.3.8) i Pierwsza i trzecia składowa po prawej stronie znoszą się wzajemnie, zgodnie z definicją pi = ∂L/∂ q•i , a po uwzględnieniu zależności p•i = ∂L/∂qi znajdujemy :

dH = Σ q•i dpi – p•i dqi – (∂L/∂t) dt (1.3.9) i Otrzymujemy zatem równania „kanoniczne“ ruchu lub „równania Hamiltona” : q•i = ∂H/∂pi ; p•i = – ∂H/∂qi (1.3.10) a oprócz tego, można również udowodnić, że dH/dt = ∂H/∂t. Przyrównanie tego wyniku do równań kanonicznych (1.3.10) prowadzi do wniosku, że H i t, formalnie mogą być rozpatrywane jako para zmiennych kanonicznych. Takie podejście jest dogodne w przypadku hamiltonianów zależnych od czasu dla których rozpatruje się często (2n + 1)-wymiarową „rozszerzoną” przestrzeń fazową zmiennych q1, ... , qn ; p1, ... , pn ; t. ∂H/∂t = – ∂L/∂t

(1.3.11)

Układ równań (1.3.10) zawiera w sobie 2n równań pierwszego rzędu, w odróżnieniu od układu n równań drugiego rzędu, otrzymanego w formalizmie Lagrange’a. Można pokazać, że równanie drugiego rzędu, przykładowo o postaci : x•• = f(x) można zapisać w postaci pary równań pierwszego rzędu, wprowadzając nową zmienną : y = x•, jednak należy podkreślić, że równania te nie koniecznie musza mieć formę hamiltonowską. Równania Hamiltona (1.3.10) posiadają szereg ważnych własności, na razie ograniczymy ich omówienie dla przypadku hamiltonianów nie zależnych od czasu. Po pierwsze zbiór 2n zmiennych q1, ... , qn ; p1, ... , pn , który często nazywamy „zmiennymi kanonicznymi” lub „kanonicznie sprzężonymi” ( „ pi –pęd jest sprzężony z qi ) obrazuje 2n-wymiarową przestrzeń fazową. Łatwo jest zauważyć, że równania (2.2.15) spełniają warunek „nieściśliwości” : n

Σ [ (∂q•i /∂qi ) = (∂p•i /∂pi ) ] = 0

(1.3.12)

i=1 Wyobraźmy sobie kroplę „cieczy” przestrzeni fazowej – równanie (1.3.12) stwierdza, że objętość tej kropli pozostaje stała. Zatem, element objętości przestrzeni fazowej w strumieniu fazowym jest zachowany – to właśnie jest treścią elementarnego twierdzenia Liouville’a, opisuje ono jedną z najważniejszych własności układów hamiltonowskich

10

Równania Hamiltona są symetryczne względem p i q co prowadzi do naturalnego rozpatrywania zmiennych pi i qi jako całkowicie równouprawnionych. W wielu przypadkach wygodnie jest jeden „zbiór” z 2n zmiennych zi , gdzie : z = ( q1, ... , qn ; p1, ... , pn , ). To pozwala zapisać równanie Hamiltona dla danego hamiltonianu : H = H( p, q ) = H( z), w krótkiej postaci : z• = J • ∇ H( z) (1.3.13)

gdzie : ∇= (∂z , ... , ∂z ) a macierz J o wymiarze 2 × 2 nazywamy „macierzą symplektyczną” : 1 2n J=( 0 ,1) ( -1 , 0 ) 1 – macierz jednostkowa.

(1.3.14)

Można pokazać, że w dowolnej chwili czasu trajektorie, określana przez równania Hamiltona nie przecinają się w przestrzeni fazowej. Własność ta wynika z odpowiednich twierdzeń matematycznych - o istnieniu i jednoznaczności rrz. Funkcjonał działania (1.3.1) możemy zapisać również wykorzystując funkcje Hamiltona : t1 t1 S [γ] = ∫ L dt = ∫ [ Σ pj q.j (p, q, t ) – L( q , q. (p, q, t ) , t ) ] t0 t0 Wariacja takiego funkcjonału prowadzi do równań kanonicznych Hamiltona.

(1.3.2)

Pojęcie strumienia fazowego Stan układu mechanicznego zadany jest poprzez punkt w przestrzeni fazowej (q, p ), charakteryzowany przez Nwymiarowe wektory q = ( q1, ... qn ) , p = ( p1, ... pn ) ( Mówimy, że układ mechaniczny ma N stopni swobody, a jego przestrzeń fazowa jest 2N wymiarowa ) Zmiana stanu w czasie t prowadzi do przemieszczenia się punktu (q, p) w przestrzeni fazowej. W mechanice newtonowskiej mieliśmy zmianę punktu (układu punktów ) w przestrzeni Euklidesa, zmiana taka nie charakteryzowała oczywiście całkowicie danego układu mechanicznego. Zmianę położenia punktu w przestrzeni fazowej możemy scharakteryzować wprowadzając operator ewolucji T^ , przeprowadzający układ z jednego stanu w chwili t = 0 w drugi stan w chwili t : ( q(t), p(t)) = T^ ( q(0) , p(0) ) operator ten nazywamy potokiem fazowym. Zazwyczaj potok fazowy zadajemy za pomocą układu równań różniczkowych q• = Q(q, p, t ) , p• = Q(q, p, t ) ich rozwiązaniem jest trajektoria – krzywa fazowa. Przy określonych warunkach operator T^ realizuje odwzorowanie wzajemnie jednoznaczne przestrzeni fazowej w siebie. Definicja. Niech M – będzie przestrzenią fazową, x ∈M – pewnym stanem początkowym. Zdefiniujmy odwzorowanie : T^ ≡ gt : M → M przestrzeni fazowej w siebie. Odwzorowanie gt nazywamy odwzorowaniem w chwili t i przeprowadza ono każdy stan x ∈ M w nowy stan gtx. Definicja. Jednoparametrową grupą odwzorowań przestrzeni (lub zbioru ) M , nazywamy rodzinę { gt } odwzorowań przestrzeni M w siebie, parametryzowanych przez zbiór liczb rzeczywistych t ∈ R, jeśli dla dowolnych s, t ∈ R gt+s = gt gs i g0 jest odwzorowaniem tożsamościowym. Definicja. Strumieniem fazowym ( M, { gt } ) nazywamy parę uporządkowaną składającą się z przestrzeni ( lub zbioru ) M i jednoparametrowej grupy jej odwzorowań { gt }. W przypadku mechaniki hamiltonowskiej zbiór M – jest to przestrzeń fazowa. Ponieważ przestrzeń fazowa jest skończenie wymiarową rozmaitością różniczkową – to strumień fazowy możemy traktować jako jednoparametrową grupę dyfeomorfizmów działającą na takiej rozmaitości. Dyfeomorfizmem f : U → V nazywamy takie odwzorowanie wzajemnie jednoznaczne, że zarówno f jak i f–1 : V → U są odwzorowaniami różniczkowalnymi.

11

Jak wiadomo strumień fazowy ( M, { gt } ) generuje pole wektorowe prędkości fazowych v(x ) : d/dt |t=0 gtx = v(x ) Podstawowym problemem teorii równań różniczkowych zwyczajnych jest badanie związków jednoparametrowych grup { gt } dyfeomorfizmów rozmaitości M i pól wektorowych na M zadanych przez takie dyfeomorfizmy. Przekształcenia kanoniczne. Przy opisie Lagrange’a układu dynamicznego ( tj. z użyciem pojęć współrzędnych uogólnionych i prędkości (qi ,q•i ) ) w pewnych przypadkach wygodnie jest przejść do pewnego nowego zbioru współrzędnych uogólnionych : Qi = Qi ( q1, .. , qn ) (2.3.1) To wielokrotnie pozwala uprościć całkowanie równań ruchu ( jako przykład takiego przekształcenia może służyć przejście od współrzędnych kartezjańskich do współrzędnych sferycznych ) W formalizmie Hamiltona mamy dwa zbiory zmiennych niezależnych pi ,qi ; i = 1, ... n , które są równouprawnione. Wynika zatem konieczność rozpatrzenia możliwości przejścia od jednego zbioru zmiennych fazowych ( pi ,qi ) do drugiego ( Pi ,Qi ) tj. : Pi = Pi ( q1, … ,qn , p1, … , pn ) (2.3.2) Qi = Qi ( q1, … ,qn , p1, … , pn ) (2.3.2) Podkreślmy, że każda z nowych współrzędnych Pi i Qi może, w ogólnym przypadku zależeć od wszystkich pi i qi. Przekształcenia, które pozwalają wyrazić nowe Pi tylko przez stare pi, a nowe Qi – tylko przez stare qi ( tak jak w równaniu (2.3.1) ), nazywają się „przekształceniami punktowymi”. Przekształcenia postaci (2.3.2) nie naruszające struktury symplektycznej układu nazywamy „przekształceniami kanonicznymi”. Mówiąc niezbyt ściśle oznacza to, że kanoniczna forma równań Hamiltona pozostaje niezmieniona tj. : Q•i = ∂/∂Pi H’( P, Q) ; P•i = - ∂/∂Qi H’( P, Q) (2.3.3) Gdzie : H’ = H( P (q, p ), Q (q, p ) ) – przekształcenia Hamiltona. ( Przejście od H (p, q ) do H’ (P, Q ) nie zawsze przedstawia sobą proste podstawienie zmiennych ). Przekształcenia kanoniczne ( jako szczególny przypadek przekształceń stycznościowych ) Rozważmy teraz ogólną teorię przekształceń zmiennych qi , pi → Qi , Pi Qi = ( t, q1, ... , qk ; p1, ... , pk ) ; Pi = ( t, q1, ... , qk ; p1, ... , pk ) (21.7) Po pierwsze zakładamy, że jakobian tego przekształcenia jest różny od zera istnieje wtedy przekształcenie odwrotne. tj. jeśli J = ∂ (Q1, ... , Qk ; P1, ... , Pk )/ ∂ (q1, ... , qk ; p1, ... , pk ) ≠ 0 to istnieją funkcje : qi = ( t, Q1, ... , Qk ; P1, ... , Pk ) ; pi = ( t, Q1, ... , Qk ; P1, ... , Pk ) ; Jak wspomniano będą nas interesowały tylko takie przekształcenia zmiennych które są kanoniczne. Oznacza to żądanie aby równania ruchu w nowych zmiennych miały postać : dQi /dt = ∂K/∂Pi , dPi/∂t = – ∂K/∂Qi gdzie K = K( t, Q1, ... , Qk ; P1, ... , Pk ) - jest pewną funkcją nowych zmiennych spełniająca rolę funkcji Hamiltona. Warunkiem ( warunek Liego ) dostatecznym na to aby odwracalne przekształcenie (21.7) było kanoniczne jest aby forma różniczkowa : (21.8) Σ pi dqi = Σ Pi dQi + H0 dt + dF gdzie : H0 , F – dowolne funkcje 4k+1 zmiennych ( t, q1, pi , Pi , Qi ) była spełniona tożsamościowo. Forma (21.8) może by zapisana inaczej : (21.9) Σ pi dqi – Hdt = Σ Pi dQi – Kdt + dF K = H – H0 Formę tę nazywamy „formą Liego”.

12

Przekształcenia kanoniczne mają duże znaczenie zarówno z punktu widzenia pojęciowego jak i praktycznego. Okazuje się ,że każdy ruch można uważać za pewne przekształcenie kanoniczne, co pozwala na nadanie sensu fizycznego i to bardzo bezpośredniego takim wielkościom jak funkcja tworząca przekształcenia. Co więcej, tego rodzaju interpretacja zbliża nas do kręgu pojęciowego mechaniki kwantowej. Warto również podkreślić iż równania H-J mogą by wyprowadzone jako konsekwencja pewnego przekształcenia kanonicznego. Przekształcenia kanoniczne tworzą grupę ( Liego ) przekształceń w przestrzeni fazowej, przy czym ustalonemu elementowi tej grupy odpowiada ustalona funkcja tworząca, przy ustalonej wartości parametru . Wynika z tego, że : a) istnieje jednoznacznie ustalone przekształcenie tożsamościowe b) superpozycja dwu transformacji kanonicznych jest przekształceniem kanoniczny. c) transformacja odwrotna do dowolnej transformacji kanonicznej jest przekształceniem kanonicznym. Ponadto możemy dowieść, że nawiasy Poissona są niezmiennikami przekształceń kanonicznych. ( co wynika m.in. z tego, że równania Hamiltona można zapisać przy użyciu tych nawiasów ) Zachowanie objętości fazowej. Fundamentalną własnością przekształceń kanonicznych jest zachowanie objętości fazowej ( W rzeczywistości objętość fazowa wchodzi do całej hierarchii wielkości zachowujących się pod działaniem przekształcenia kanonicznego, a które ogólnie nazywamy inwariantami Poincarego. Pierwszy z takich inwariantów : n n

∫ ∫ Σ dpi dqi = ∫ ∫ Σ dPi dQi i=1 i=1 przedstawia sobą sumę powierzchni rzutów ( obszaru przestrzeni fazowej ) na zbiór (pi , qi ) płaszczyzn. W języku geometrycznym wyrażamy to zazwyczaj używając pojęcia „2-formy różniczkowej” : n n

Σ dpi ∧ dqi = Σ dPi ∧ dQi i=1 i=1 gdzie ∧ oznacza tzw. Iloczyn zewnętrzny. Takie podejście pozwala ściśle geometrycznie określić przekształcenia kanoniczne. Wszystkie pozostałe inwarianty, włączając (2.3.4) mogą być otrzymane właśnie w taki sposób Niech iloczyn Π dpi dqi przedstawia sobą element objętości w „starej” przestrzeni fazowej, a iloczyn w „nowej”, przy tym wymagamy równości objętości wyrażonej zależnością : n n

∫ Π dpi dqi = ∫ Π dPi dQi

Π dPi dQi (2.3.4)

i=1 i=1 gdzie całkowanie wykonujemy względem zadanej 2n-wymiarowej objętości w przestrzeni fazowej. Całki te związane są między sobą za pośrednictwem jakobianu : n

n

∫ Π dPi dQi = ∫ [ ∂ (P1, ... , Pn , Q1, ... ,Qn ) / ∂ ( p1, ... , pn , q1, ... ,qn ) ] Π dpi dqi

(2.3.5)

i=1 i=1 Z czego wynika, że jakobian przekształcenia zachowującego objętość powinien być równy jeden : ∂ (P1, ... , Pn , Q1, ... ,Qn )/∂( p1, ... , pn , q1, ... ,qn ) = ∂(p1, ... , pn , q1, ... ,qn )/∂( P1, ... , Pn , Q1, ... ,Qn ) = 1 (2.3.6) Rozpatrzmy teraz prosty przykład : Q=-p,P=q W tym przypadku : ∂(P, Q) / ∂(p, q) = | ∂P/∂p , ∂Q/∂p | = | 0 -1 | = 1 | ∂P/∂q , ∂Q/∂q | | 1 0 |

(2.3.7) (2.3.8)

Skąd wynika, że przekształcenie (2.3.7) zachowuje objętość ( jest kanoniczne ). Przekształcenie to ilustruje stopień równoważności zmiennych p i q – można je zamienić miejscami jednak przy tej zamianie należy zmienić znak. Podkreślmy, że bez zmiany znaku ( tj. jeśli Q = p i P =q ) jakobian będzie równy –1. W rzeczy samej konieczność zmiany znaku nie powinna dziwić, ponieważ jest ona konieczna dla zachowania formy równań Hamiltona (2.3.3), kiedy P i Q zmieniają się miejscami. Przykładem przekształcenia nie kanonicznego jest przejście od współrzędnych biegunowych do kartezjańskich : q = P cos (Q) ; p = P sin(Q) (2.3.9) 13

Ponieważ : ∂(q, p)/ ∂(Q, P) = | – Psin(Q) , P cos(Q) | = –P | cos(Q) , sin(Q) | to objętość fazowa nie jest zachowana.

(2.3.10)

Twierdzenie Liouville’a mówi, że objętość fazowa w potoku hamiltonowskim jest zachowana, jako oczywisty praktyczny warunek nieściśliwości, który wynika z formy równań Hamiltona. W języku przekształceń kanonicznych możemy sformułować to twierdzenie w następujący sposób. Rozpatrzmy w przestrzeni fazowej pewną trajektorie, wzdłuż której wartości początkowe p0, q0 – odpowiadające chwili początkowej t0, zmieniają się w ( krótkim) odcinku czasu δt do wartości p1, q1 : q1 = q( t0 + δt ) = q0 + δt (∂q/dt) | t = t + O (δt2 ) = q0 + δt (∂/dp0) H (q0, p0, t0 ) + O (δt2 ) 0 p1 = p( t0 + δt ) = p0 + δt (∂p/dt) | t = t + O (δt2 ) = p0 + δt (∂/dq0) H (q0, p0, t0 ) + O (δt2 ) 0 Jeśli przejście od q0, p0 do q1, p1 przedstawia sobą w rzeczywistości przekształcenie kanoniczne jednego zbioru zmiennych w drugi, to jakobian ∂( q1, p1) / ∂(q0, p0) powinien być równy jeden. Obliczmy go zatem : ∂(q1, p1)/∂(q0, p0) = | ∂q1/∂q0 , ∂p1/∂q0 | = | 1+ δt( ∂2H/∂ q0∂p0 ) , –δt (∂2H/∂ q02 ) | = 1 + O (δt2 ) = 1 | δt → 0 | ∂q1/∂p0 , ∂p1/∂p0 | | δt ( ∂2H/∂ p02 ) , 1 – δt ( ∂2H/∂ q0∂p0 ) | Zauważmy, że zeruje się człon O (δt2 ), a nie O(δt ). Z tego, że rozpatrywana zmiana jest proporcjonalna do O (δt2 ), wynika, że ogólna zmian powierzchni za dowolny skończony odcinek czasu ( krotność δt ) zachowuje się jak O (δt ), tj. zeruje się w granicy δt → 0. Zatem „infinitezymalne przekształcenie” wynikłe z samego hamiltonianu, jest kanoniczne. Fazowa objętość w zmiennych p0, q0 jest zachowana przy przejściu ( w potoku hamiltonowskim ) do „nowych” zmiennych p1, q1 – co właśnie jest istotą twierdzenia Liouville’a.

Rys. 2.1 Poglądowe przedstawienie zachowania objętości fazowej przy ewolucji układu hamiltonowskiego. Nawias Poissona (NP ) Definicja (aksjomaty NP ). Niech będą dane dwie funkcje różniczkowalne ( o pochodnych cząstkowych odpowiedniego rzędu ) zmiennych kanonicznych : Φ = Φ( t, qi , pi ) ; Ψ = Ψ( t, qi , pi ). Nawiasem Poissona tych funkcji nazywamy wyrażenie : k [ Φ, Ψ ] = Σ [ (∂Φ/∂qi ) (dΨ/∂pi ) – (∂Φ/∂pi ) (dΨ/∂qi ) ] i=1 Można dowieść następujących własności nawiasu Poissona : [ Φ, Ψ ] = – [ Ψ, Φ ] - relacja antykomutacji. [ Ψ, Ψ ] = [ Φ, Φ ] = 0 [ Ψ 1 + Ψ 2 , Φ ] = [ Ψ 1, Φ ] + [ Ψ 2 , Φ ]

(18.2a) (18.2b) (18.2c)

[ αΨ , Φ ] = α [ Ψ , Φ ] ; α – dowolna liczba rzeczywista. [ Ψ1 Ψ 2 , Φ ] = Ψ1 [ Ψ2 , Φ ] + Ψ2 [ Ψ1 , Φ ]

(18.2d) (18.2e)

∂/∂t[Φ, Ψ ] = [ ∂Φ/∂t , Ψ ] + [ Φ, ∂Ψ/∂t ] [ Φ, qi ] = - ∂Φ/∂pi ; [ Φ, pi ] = - ∂Φ/∂qi [ qi , qj ] = [ pi , pj ] = 0 ; [ qi , pj ] = δi j - analogia komutatorów Heisenberga. [ Φ2 , Ψ ] = 2Φ [ Φ, Ψ ] Dla trzech funkcji zmiennych kanonicznych możemy utworzyć podwójny nawias Poissona : [ Φ, [ Ψ, Θ ] ] przy czym ma miejsce następująca tożsamość Poissona-Jakobiego : [ Φ, [ Ψ, Θ ] ] + [ Ψ, [ Θ, Φ ]] + [ Θ, [ Φ, Ψ, ] ] = 0

(18.2f) (18.2g)

14

(18.2h)

Definicja równoważna. Niech M będzie czterowymiarową rozmaitością. Przez C∞(M) oznaczymy zbiór wszystkich nieskończenie różniczkowalnych funkcji na M f : M → R Strukturą symplektyczną Σ na M nazywamy odwzorowanie biliniowe { , } : C∞(M) × C∞(M) → C∞(M), spełniające następujące warunki : 1) { f, g } = − { g, f } ( skośna symetria ) 2) {f g , h } = f{g, h} + g{ f, h } ( zasada Leibniza ) 3) {{ f, g }, h } + {{ g, h }, f } + {{ h, f }, g } = 0 ( tożsamość Jakobiego ) 4) jeśli punkt m ∈ M jest punktem krytycznym dla funkcji f, to istnieje taka gładka funkcja g, że { f, g }(m) ≠ 0 Parę ( M , Σ ) nazywamy rozmaitością symplektyczną.. Funkcje { f, g } nazywamy nawiasem Poissona funkcji f i g. Nawias Poissona przekształca przestrzeń liniową C∞(M) w nieskończenie wymiarową algebrę Liego nad ciałem R. Można dowieść, że w małym otoczeniu dowolnego punktu na M zawsze istnieją takie współrzędne lokalne ( x1 , ... , xn ; y1 , ... , yn ), że : { f, g } = Σ [ (∂f /∂xi )( ∂g/∂yi ) − (∂f /∂yi )( ∂g/∂xi )] Jeśli zmienna dynamiczna nie zależy od czasu w sposób jawny ( tj. f = f(p, q )) a jej nawias Poissona z H (hamiltonianem ) jest równy zeru, to jest ona stałą ruchu. Jest oczywiste, że energia układów nie zależnych od czasu ( H = E ) przedstawia sobą stałą ruchu, ponieważ nawias Poissona dla funkcji H z samą sobą jest równy zeru tj. [ H, H ] = 0 Rozważmy teraz związek nawiasów Poissona z równaniami ruchu układu materialnego. W tym celu obliczmy pochodną zupełną względem czasu funkcji zmiennych kanonicznych Φ : dΦ/dt = Σ [ (∂Φ/∂qi )qi• + (dΦ/∂pi )pi• ] + (∂Φ/∂t) (18.4) • • Jeżeli podstawimy : pi = – ∂H/∂qi ; qi = ∂H/∂pi , to otrzymamy :

dΦ/dt = Σ [ (∂Φ/∂qi )(∂H/∂pi ) – (dΦ/∂pi )(∂H/∂qi ) ] + (∂Φ/∂t) (18.5) Zatem : dΦ/dt = [ Φ, H ] + (∂Φ/∂t) (18.6) tzn. pochodna zupełna dowolnej funkcji zmiennych kanonicznych względem czasu jest równa nawiasowi Poissona tej funkcji i funkcji Hamiltona plus pochodna cząstkowa tej funkcji po czasie. Jeżeli funkcja Φ nie zależy jawnie od czasu, to : dΦ/dt = [ Φ, H ] (18.7) W mechanice kwantowej odpowiednik równania (18.6) nazywa się równaniem Heisenberga. Z równania (18.7) wynika, że funkcja Φ jest stałą ruchu wtedy i tylko wtedy jeśli : [ Φ, H ] = 0 tj. Φ = const ⇔ [ Φ, H ] = 0 (18.8) Z tego faktu możemy skorzystać w celu wyznaczenia całek pierwszych równań ruchu. Za pomocą wzoru (18.6) możemy zapisać kanoniczne równania ruchu Hamiltona. Przyjmując kolejno za współrzędne uogólnione qi i pędy uogólnione pi , funkcję Φ otrzymujemy : dqi/dt = [ qi, H ] ; dpi/dt = [ pi, H ] ; i = 1, ... , k Jest to forma zapisu równań ruchu za pomocą nawiasów Poissona

(18.9)

Twierdzenie Poissona. Jeżeli dwie funkcje Φ = Φ( t, qi , pi ) ; Ψ = Ψ( t, qi , pi ), są całkami układu kanonicznego Hamiltona , to ich nawias Poissona jest również całką tego układu Mając zatem dwie całki pierwsze możemy utworzyć trzecią całkę pierwszą itd. Ta nowa całka może jednak w pewnych okolicznościach by równa tożsamościowo zeru lub by zależna od dwóch poprzednich Możemy zatem sformalizować powyższe podejście. Niech H : M → R będzie funkcją gładką. Układem hamiltonowskim na ( M , Σ ) o funkcji Hamiltona H, nazywamy rrc : F• = { F, H } , F ∈ C∞(M) We współrzędnych ( x1 , ... , xn ; y1 , ... , yn ) równanie to jest równoważne 2n równaniom kanonicznym Hamiltona : x•i = { xi , H } = ∂H/∂yi , y•i = { yi , H } = − ∂H/∂xi

15

Równania te można zapisać w bardziej zwartej postaci. Wprowadźmy macierz skośnie symetryczną : J=[ 0 E ] [ −E 0 ] gdzie E – jednostkowa macierz n × n. Jeśli ( x, y ) = z, to : z• = J ∂H/∂z Dowolny dyffeomorfizm ϕ: M → M nazywamy kanonicznym, jeśli zachowuje on nawias Poissona. Takie kanoniczne dyffeomorfizmy przestrzeni symplektycznej tworzą grupę. Powyżej określiliśmy strukturę symplektyczną za pomocą nawiasu Poissona. Strukturę tą możemy określić wprowadzając na M2n pewną 2-formę zamkniętą Ω. Forma Ω pozwala określić izomorfizm przestrzeni stycznej T(M) i przestrzeni kostycznej T*(M). ( przestrzeń kostyczna to przestrzeń 1-form na przestrzeni stycznej ) Zgodnie z twierdzeniem Darboux w małym obszarze punktu p ∈ M2n we współrzędnych symplektycznych forma Ω przyjmuje postać: Ω = Σ dyi ∧ dxi

Forma Ω ( tensor antysymetryczny ) określa strukturę geometryczna rozmaitości M , podobnie jak symetryczny tensor metryczny Riemanna określa strukturę geometryczna przestrzeni Riemanna. Między tymi przypadkami istnieją oczywiście zasadnicze różnice spowodowane odmiennymi typami symetrii tensorowej. Istnieje jednak wspólna idea zasadnicza – geometrię rozmaitości opisują związki w których występuje wyróżniony tensor o walencji dwa. ( jest to charakterystyczny wyróżnik dla określenia geometrii metrycznej ). Odpowiednikiem izometrii w przestrzeni fazowej są przekształcenia kanoniczne. Nie na każdej rozmaitości można wprowadzić strukturę przestrzeni fazowej. Wnioskiem z określenia PF przez formę Ω jest parzystość wymiaru PF. Uogólnieniem PF jest dopuszczenie osobliwości formy Ω. Hamiltonowskie pola wektorowe i ich algebra. Niech zadana będzie rozmaitość gładka M, niech będzie dany zbiór funkcji gładkich F1 , ... , Fn zadanych na M, oznaczmy go jako Ŧ(M). Dalej wprowadźmy na M standardowo określony nawias Poissona NP : { Fi , Fj } = Cijk Fk Trójkę obiektów { M, NP, H(x) } : przestrzeń fazową M, strukturę Poissona NP i hamiltonian H(x) definiuje układ hamiltonowski. Dalej określić możemy pole wektorowe szczególnego rodzaju, mianowicie : Pole wektorowe { H, x } = XH nazywa się hamiltonowskim polem wektorowym, odpowiadającym hamiltonianowi H. Oczywiście każde pole hamiltonowskie wektorowe generuje jednoparametrową grupę dyfeomorfizmów – potoków fazowych. Niech M – będzie rozmaitością, Ŧ(M) – przestrzenią gładkich funkcji na M. Będziemy mówili, że na M zadana jest struktura poissonowska, jeśli zadana jest operacja przyporządkowująca parze funkcji F(x), G(x)∈ Ŧ(M) nową funkcje : { F(x), G(x) }∈ Ŧ(M), która jest liniowa po F i G i spełnia następujące warunki : a) skośna symetria { F(x), G(x) } = – { G(x), F(x) } (*) b) tożsamość Jakobiego { F(x), { G(x), H(x)}} + { G(x), { H(x), F(x)}} + { H(x), {F(x), G(x)}} = 0 (**) c) zasada Leibniza { F(x), G(x)H(x) } = { F(x), G(x) }H(x) + {F(x), H(x) }G(x) (***) Jednakże równości z gwiazdkami – to nic innego jak warunki które powinny spełniać elementy algebry Liego. W ten sposób, przestrzeń Ŧ(M) wyposażona w NP { . }, przekształca się w algebrę Liego ( nieskończenie wymiarową ) Zatem przestrzeń liniowa C napięta na funkcjach F1 , ... , Fn jest skończenie wymiarową algebrą Liego, liczby Cijk są jej tensorem strukturalnym w bazie F1 , ... , Fn. Hamiltonowskie pola wektorowe tworzą podalgebrę Liego algebry Ŧ(M).

16

Twierdzenie. Załóżmy, że : a) na zbiorze Ma = { (p, q) : F1= a1 , ... , Fn = an } funkcje F1 , ... , Fn są funkcjonalnie niezależne b) Σ Cijk ak = 0 dla wszystkich i, j = 1, .. , n c) algebra Liego G jest rozwiązywalna , przy czym { F1 , Fi } = C1i1 F1 Wtedy rozwiązania układu q• j = ∂H/∂pj , p•j = – ∂H/∂qj leżące na Ma można znaleźć w kwadraturach. Komutator dwóch hamiltonowskich pól wektorowych XF , XH zadany jest wzorem : [ XF , XH ] = X{F, H} Podsumowanie. W ramach pewnego podsumowania możemy sporządzić następujący schemat strukturalny mechaniki hamiltonowskiej : Mechanikę klasyczną możemy ufundować na określonej zasadzie wariacyjnej np. zasadzie d’AlembertaLagrange’a : Σ ( mi ri•• – Fi , δri ) = 0 Z takiej zasady możemy wyprowadzić równania Lagrange’a II rodzaju : d/dt ∂T/∂qi• – ∂T/∂qi = Qi , Qi – siły uogólnione, w przypadku sił potencjalnych Qi = ∂/U/∂qi Równania Lagrange’a można przedstawić w postaci kanonicznej : qi• = ∂H/∂pi , pi• = – ∂H/∂qi

Co w szczególności wynika z możliwości przechodzenia od zmiennych Lagrange’a (t, qi , qi• ) do zmiennych Hamiltona (t, qi , pi ) , pi = –∂L/∂qi• Oczywiście jest to możliwe tylko wtedy kiedy hesjan tj. wyznacznik macierzy Hessego (macierzy drugich pochodnych ) jest różny od zera : det ( ∂L/∂qi• ∂qj• ) ≠ 0

tzn. możemy formalnie wyrazić prędkości qi• przez pędy pi (i odwrotnie ). W przeciwnym wypadku, to w układzie występują nietrywialne więzy i należy wprowadzić zmodyfikowany formalizm. Związek pomiędzy takimi dwoma sformułowaniami MK może być ustanowiony z wykorzystaniem przekształceń Legendre’a, których szczególnym przypadkiem są przekształcenia kanoniczne : Równania Lagrange’a ← przekształcenia kanoniczne → równania Hamiltona. Przekształcenia kanoniczne dają nam również możliwość sformułowania równania Hamiltona-Jakobiego : H( q , ∂S(q, J)/∂q ) = H(J ) Mając do dyspozycji sformułowanie kanoniczne MK możemy sformułować zagadnienia całkowalności równań Hamiltona, w ramach tego kierunku pojawiają się odpowiednie twierdzenia i metody np. twierdzenie Liouville’a mówiące o całkowalności , metoda mnożników Lagrange’a, metoda rozdzielania zmiennych, inwarianty całkowe itp. Istotnym również jest sformułowanie MK z użyciem przestrzeni fazowej i wprowadzenie twierdzenia Liouville’a mówiącego o zachowaniu objętości przestrzeni fazowej. Wprowadzamy również pojęcie potoku fazowego i pól wektorowych generowanych na rozmaitości fazowej przez potoki fazowe. W dalszej kolejności możemy wprowadzić pojecie nawiasu Poissona (NP ) { , } i zapisać równania kanoniczne z ich użyciem qi• = { qi , H } , pi• = { pi , H } W tym kontekście ważnym jest użycie twierdzenia Poissona. Wprowadzenie NP pozwala zdefiniować pojęcie przestrzeni symplektycznej i zadać strukturę poissonowską na rozmaitości. Tutaj ważnym jest twierdzenie Darboux, mówiące o możliwości wprowadzenia struktury symplektycznej jak również badanie geometrii takiej przestrzeni.

17

Kolejnym krokiem jest wprowadzenie pojęcia algebry Liego pól wektorowych. Oczywiście struktura algebry Liego jest strukturą niezależną, która może być określona np. dla funkcji gładkich na rozmaitości symplektycznej. Na przestrzeni symplektycznej działa oczywiście naturalnie grupa jej izomorfizmów – grupa Sp(2n, R ) W ramach tego kierunku pojawiają się odpowiednie twierdzenia i metody np. twierdzenie Liego mówiącego o całkowalności, metody reprezentacji grup i ich orbit. Wszystkie te metody pozwalają „przerzuceniu mostu” pomiędzy MK i MQ – np. w postaci kwantowania geometrycznego, czy też pomiędzy MK i układami chaotycznymi. Pozwalają one również dokonać szeregu ważnych uogólnień i wprowadzić nowe narzędzia matematyczne dla analizy starych problemów MK. W tym miejscu należy dokonać dalszego wyboru drogi jaką będziemy podążali dalej : Mechanika Hamiltonowska → sformułowanie w przestrzeni symplektycznej → całkowalność układu hamiltonowskiego w aspekcie geometrycznym → algebra Liego zadana na przestrzeni fazowej → kwantowanie geometryczne → całkowalność układu hamiltonowskiego w aspekcie algebraicznym → całkowalność i niecałkowalność układu hamiltonowskiego → układy chaotyczne

1.4 Zasady wariacyjne. Klasyczny sposób przedstawiania jedności każdej gałęzi fizyki polega na sformułowaniu jej jako pewnego zagadnienia minimum. Metodę tę odkrył ok. II wieku n.e. Heron z Aleksandrii. Postawił on następujące pytanie : obierzmy dwa punkty A i B, gdziekolwiek w przestrzeni przed płaskim lustrem CD, niech promień światła APB przebiega od A do B poprzez odbicie od zwierciadła , jakie powinno być położenie punktu P, w którym promień pada na zwierciadło ? Jak wykazał Heron, odpowiedź jest następująca : droga APB jest najkrótszą ze wszystkich dróg AQB zaczynających się w punkcie A, dochodzących do zwierciadła w punkcie Q i stąd do B. W XVII Fermat uogólnił odkrycie Herona wypowiadając zasadę najkrótszego czasu : „przyroda działa zawsze po najkrótszej drodze”... Sto lat później Maupertius, Euler i Lagrange w ogólnej zasadzie najmniejszego działania ujęli całą dynamikę, a w r. 1834 Hamilton doprowadził zasadę najmniejszego działania do postaci dzięki której wszystkie prawa nauki newtonowskiej można było wyrazić jako zagadnienie minimum. „Od Euklidesa do Einsteina”

E. T. Whittaker ; PWN 1965 str. 89

Z chwilą kiedy sformułowano pierwsze równania matematyczne określające ruch ciał materialnych ( równanie Newtona ) lub promieni świetlnych ( zasada Fermata ), stało się nad wyraz jasnym, że przyroda działa w pewien ściśle określony sposób tj. ze wszelkich możliwych realizowane są tylko takie ruchy w których minimalizuje się pewna wielkość fizyczna. ( była to tzw. ekonomika praw przyrody ). Jednakże o takiej własności ruchu ( ich natury ) dyskutowano znacznie wcześniej, były to jednakże rozważania czysto słowne ( spekulacyjne, jakościowe ). Arystoteles przykładowo twierdził, że ze wszystkich możliwych ruchów realizują się tylko najszybsze, następujące po najkrótszej linii, najprostszym sposobem. W takiej zasadzie Arystoteles i jego następcy widzieli główną przyczynę według której działa ( i dąży ) przyroda. Pod wpływem tych idei Heron z Aleksandrii sformułował ( dla przypadku szczególnego odbicia światła ) zasadę najkrótszej drogi. Już wtedy pojawiła się koncepcja zasady ekstremum, jako podsumowanie faktu pewnej „logiki” działania praw natury. Przyroda działa najprostszymi dostępnymi drogami”. W wiekach średnich filozoficzne spekulacje na temat zasad ekstremalnych podejmują m.in. Mikołaj z Kuzy i Giordano Bruno. Jednakże największym impulsem ku nowemu spojrzeniu na zasady ekstremalne było ich wyrażenie w sposób matematyczny. Pierwszym ścisłym (matematycznym ) sformułowaniem zasady ekstremum była zasada najkrótszego czasu dla propagacji promienia świetlnego, przedstawiona przez P. Fermata (1662 ) Zgodnie z tą zasadą światło rozprzestrzenia się między dwoma punktami x, y po takiej drodze, na której potrzeba na to najmniejszego czasu. W przypadku próżni lub ośrodka jednorodnego jest to linia prosta, w przypadku ośrodka niejednorodnego będzie to łamana lub krzywa gładka.

18

Matematyczne wyrażenie zasady Fermata ma postać : y δ ∫ ds/v = 0 x gdzie: δ – znak wariacji, v – prędkość fazowa światła, ds – element trajektorii. Fermat dochodzi do wniosku ( artykuł „Synthesis and Refractiones” ), że konsekwencją „ekstremalnego sposobu” działania przyrody nie jest koniecznie linia prosta tj. stwierdzenie, że „przyroda zawsze działa po linii najkrótszej” nie zawsze jest prawdziwe. Zasada Fermata stała się w dalszych latach najogólniejszym matematycznym sformułowaniem praw optyki geometrycznej. Uznając powodzenie tej zasady w optyce spróbowano przenieść jej treść do mechaniki. Z prób tych wyrasta nowa gałąź matematyki – rachunek wariacyjny. Rachunek wariacyjny ( calculus of variations) zajmuje się zagadnieniem wyznaczania jednej lub więcej funkcji z pewnej danej klasy funkcji , dla której dana całka ( pojedyncza lub wielokrotna – zależnie od typu funkcji ) osiąga ekstremum tzn. wartość najmniejszą lub największą. Do tego typu zagadnień prowadzi wiele problemów rozważanych w fizyce teoretycznej, inżynierii i geometrii. Należy tu podkreślić bardzo wyraźnie, że rachunek wariacyjny nie zajmuje się znajdowaniem punktu (punktów ) w których jakaś konkretna funkcja przyjmuje wartości ekstremalne lecz określeniem postaci funkcji dla której odpowiednia całka posiada minimum. Rachunek wariacyjny jest gałęzią matematyki zapoczątkowaną przez Jana Bernoulli’ego, który to rzucił współczesnym sobie matematykom wyzwanie do rozwiązania postawionego jeszcze przez Galileusza zadania o brachistochronie tj. o krzywej najszybszego spadku. Poważny wkład do rachunku wariacyjnego wnieśli m.in. : Jakub Bernoulli, Euler, Lagrange, Legendre, Jacobi, Hamilton, Dirichlet, Riemann, Hilbert. Obecnie rachunek wariacyjny stanowi samodzielną i bardzo rozległą dziedzinę a jej powiązania z innymi działami matematyki ( analizą funkcjonalną, geometrią, teorią równań różniczkowych, analizą globalną ) są bardzo mocne. W fizyce metody rachunku wariacyjnego są jednymi z najważniejszych. O ile np. rachunek wektorowy możemy uważać za narzędzie w rękach fizyka teoretyka to rachunek wariacyjny jest czymś więcej – pozwala on w sposób ścisły ( matematyczny ) sformułować tzw. „zasady” fizyki ( przyrody). Jak wiadomo zasada w nauce przyrodniczej to coś więcej niż prawo. Można powiedzieć, że zasada to prawo z którego wynikają inne prawa obejmujące czasami wiele różnych dziedzin nauki. Sztandarową zasadą jest (mówiąc ogólnie ) zasada najmniejszego działania – „przyroda działa tak aby minimalizować pewną „wielkość”. Urzeczywistnienie takiej zasady znajdujemy w podstawowym dziale fizyki teoretycznej – mechanice analitycznej. Sukcesy osiągnięte poprzez wykorzystanie zasad ekstremalnych, skłaniały wielu filozofów do nadawania im pewnych teleologicznych interpretacji, tj. wprowadzano celowości działania przyrody, ocierającą się z jednej strony o antropomorfizacje praw przyrody, a z drugiej o świadectwo przejawów działalności Boga (osobowego ). Swój niepomierny udział w takich koncepcjach miał Leibniz formułując tezę, iż nasz świat jest „najlepszy z możliwych”, czyli ze wszystkich światów, które mogłyby być stworzone, nasz świata jest tym, który oprócz nieuniknionego zła zawiera najwięcej dobra. Stwierdzenie to możemy uznać za pewną zasadę wariacyjną opartą na metafizycznej przesłance : oto mając zadane warunki jakimi są tu pewne ilości dobra i zła, świat rozwija się w taki sposób, aby spełniona była zasada minimum zła. Matematycznym spekulacją nadającym jakoby sens takim przekonaniom poświęcił cześć ze swej działalności Moreau de Maupertuis (1744 ), który jako pierwszy próbował sformułować zasadę najmniejszego działania. Jednak zrobił to w sposób nie przekonujący i mglisty. Ciekawe może wydawać się jego przekonanie o wewnętrznym powiązaniu sił przyrody z panowaniem najwyższej Inteligencji. Wierzył, że przyroda ma z góry określony cel, do którego bóstwo dąży wybierając najprostsze drogi i przy pomocy najprostszych środków. Chociaż do poszukiwania zasady minimum doprowadziły go pewne metafizyczne przekonania, to nie potrafił sam nadać jej eleganckiej, formalnej postaci. Postać taką nadali jej m.in. Euler i Lagrange. Maupertuis sformułował następującą zasadę „Ilość działania, konieczna aby nastąpiła pewna zmiana w Przyrodzie, jest najmniejszą z możliwych”. „Ilość działania” według niego mierzy wielkość mvs, ( masa × prędkość × droga ) zatem : mvs = min. W odróżnieniu od Maupertuis’a Euler sprecyzował ściślej matematycznie pojęcie wyrażenia, którego wariacja przyrównana do zera prowadziłaby do ścisłych równań mechaniki. Takim wyrażeniem według Eulera jest całka : ∫ v ds Euler od samego początku wychodzi z ogólnej metodologicznej zasady : “wszystkie zjawiska przyrody wynikają z jakiegoś prawa maksimum lub minimum”.

19

Kolejny decydujący krok w rozwoju zasad ekstremalnych postawili Euler, Lagrange i Hamilton. Rozwinęli oni od strony formalnej podstawy rachunku wariacyjnego, a następnie zastosowali go w mechanice. Z prac w/w uczonych narodziło się nowoczesne sformułowanie mechaniki – mechanika analityczna. Wielkością jaka podlega wariacji jest pewna funkcja L(qi, ∂qi/∂t, ∂nqi/∂tn, t ) zwana lagranżjanem w sformułowaniu Lagrange lub analogiczna funkcja zwana hamiltonianem – w sformułowaniu Hamiltona. Dla każdego zagadnienia fizycznego konkretną postać funkcji Lagrange dobiera się oddzielnie. Obecnie nie ma spójnej teorii pozwalającej przewidywać postać lagranżjanu dla zadanej teorii. Możemy jedynie kierując się pewnymi ogólnymi zasadami postulować konkretną postać lagranżjanu. Obliczając jego wariacje i porównując z oczekiwanymi równaniami danej teorii ( pewnym modelem ) możemy przekonać się czy nasz wybór był trafny. Jeśli nie, to wprowadzamy pewne poprawki. Po czym powtarzamy procedurę aż do otrzymania żądanego wyniku ( czasami przybliżonego lub asymptotycznego ). Obecnie prawie zgodnie i powszechnie przyjmuje się, że każdą teorie fizyczną możemy sformułować w oparciu o pewną zasadę wariacyjną ( może być to np. wariacja izochoryczna , wariacja izoperymetryczna lub inna ) Do najważniejszych zasad jakimi powinniśmy się kierować przy wyborze lagranżjanu należy zaliczyć : a) Relatywistyczna niezmienniczość. Działanie powinno być inwariantem grupy Poincarego. b) Lokalność. Funkcje pola od których zależy jest funkcjonał działania , powinny zależeć od jednego i tego samego punktu x ( dla przestrzeni Minkowskiego x ≡ xµ , µ = 0, 1, 2, 3 ). c) Rzeczywistość. W działanie powinny wchodzić tylko rzeczywiste kombinacje funkcji pola i ich pochodne. d). Do lagranżjanu powinny wchodzić pochodne funkcji pola nie wyższe niż pierwsze. ( patrz np. w paragraf 5 książki „Teoria pola. Współczesne wprowadzenie” Pierre Ramond ) Zasady wariacyjne w KLTP – klasycznej teorii pola. Podstawowe zagadnienie, jakie postawiono w ramach rachunku wariacyjnego ma postać : Niech F(x, y, y’ ) będzie pewną funkcją mającą ciągłe pochodne cząstkowe do drugiego rzędu włącznie, ze względu na wszystkie zmienne. Spośród wszystkich funkcji y(x) mających ciągłe pochodne i spełniających warunek : y(a) = A , y(b) = B ( w pewnym obszarze ) należy znaleźć taką funkcję dla której funkcjonał : b J [y] = ∫ F( x, y(x), y’(x) ) dx a osiąga ekstremum. Jest to zagadnienie wariacyjne z nieruchomymi końcami. Oczywiście przypadek funkcji F(x, y, y’ ) można łatwo uogólnić na przypadek funkcji wielu zmiennych odpowiedniej klasy ( zazwyczaj analitycznej ). Funkcjonał może również zależeć od wyższych pochodnych takich zmiennych. Innym zagadnieniem wariacyjnym jest zagadnienie izoperymetryczne – zagadnienie z więzami. Wielokrotnie spotykamy zagadnienia w których pewna całka ma przyjąć wartość ekstremalną podczas gdy równocześnie inna lub inne całki zawierające te same zmienne ma mieć wartość stałą. Zagadnienia tego typu nazywamy zagadnieniami „izoperymetrycznymi”. Formalnie zagadnienie to możemy sformułować w następujący sposób : Spośród wszystkich krzywych, spełniających warunki y(a) = A, y(b) = B dla których funkcjonał : b K [y] = ∫ G ( x, y, y’ ) dx a osiąga daną wartość m ( warunek ten nazywamy „więzem” ), znaleźć tę dla której drugi funkcjonał : b J [y] = ∫ F ( x, y, y’ ) dx a osiąga ekstremum. Ogólnie możemy powiedzieć, że szukamy ekstremum pewnego funkcjonału J[y] pod warunkiem spełnienia warunku na ekstremum funkcjonału K[y]. W rozwiązywaniu tego zagadnienia zakładamy, że funkcje F i G mają ciągłe pochodne pierwszego i drugiego rzędu. W mechanice kluczowym okazało się po pierwsze wybranie odpowiedniej zasady wariacyjnej i wybranie odpowiedniej wielkości jaką mamy wariować, po to aby otrzymać prawidłowe równania dynamiczne. Najbardziej reprezentatywną zasadą ekstremalną dla mechaniki jest zasada Hamiltona ( jest to zasada całkowa ), jest ona reprezentantem całego zbioru takich zasad, nazwanych ogólnie „zasadami najmniejszego ( poprawniej stacjonarnego ) działania”.

20

Zdefiniujmy działanie w postaci : t2 S = ∫ L dt t1 x(t1) = A ; x(t2) = B L – jest lagranżjanem. Zasada wariacyjna formułowana jest następująco : δS = 0 Jak już powiedziano w fizyce panuje powszechne przekonanie, że wszystkie pola fizyczne opisywane równaniami pola można wyprowadzić z pewnego ( skonstruowanego zgodnie z pewnymi zasadami lub zapostulowanego ) lagranżjanu w szczególności niech będzie miał on postać : L = L(φs(qi ),φ.s, qi ), qi - współrzędne czasoprzestrzenne, lub lagranżjanu L = L( φs(t ), φ.s , t ) – za pomocą równań Eulera-Lagrange’a : d/dt (∂L/∂φ.s ) + Σ d/dqi [ ∂L/ ∂ (∂φs /∂qi )] – ∂L/∂φs = 0 ( Można powiedzieć, że matematyczną podstawą teorii pola jest pewna zasada wariacyjna ) Twierdzenia E. Noether i prawa zachowania. Drugim filarem teorii pola jest twierdzenie Noether, mówiące o związku praw zachowania wielkości fizycznych z grupą symetrii równań wariacyjnych. Twierdzenie Noether ↓ Grupy symetrii przestrzeni ( Czasoprzestrzeni ) i /lub zmiennych (funkcji ) dynamicznych Hamiltona (Lagrange’a )

←

zasada

↓ prawa zachowania dla układów zamkniętych. Jak wiadomo jedną z najważniejszych grup symetrii jest grupa Poincarego ( niezmienniczość lagranżjanu względem przekształceń czasoprzestrzennych ). Należy podkreślić, że np. wybierając określoną grupę np. grupę Lorentza tym samym ustanawiamy iż współrzędne czasoprzestrzenne i funkcje dynamiczne opisujące cząstki i pola przekształcają się według określonej reprezentacji tej grupy – w przypadku grupy Lorentza może to być reprezentacja tensorowa lub spinorowa. Poprzez zawężanie indeksów wielkości fizycznych występujących w danej teorii otrzymujemy pewne skalary których ( kierując się intuicją lub ogólnymi przepisami ) możemy konstruować lagranżjany danej teorii.

******************************************************************************************

II. UKŁADY CIĄGŁE – OŚRODKI CIĄGŁE. Do tej pory rozpatrywaliśmy układy mechaniczne składające się z dyskretnie rozłożonych punktów materialnych. Takich punktów mogło być kilka lub w skrajnych przypadkach nieskończenie wiele. Jednak zawsze zakładaliśmy, że jest ich przeliczalna ilość. Rozszerzając formalizm kanoniczny możemy rozpatrywać po pierwsze układy złożone z pewnych podukładów które to mogą znowu składać się z pewnych układów. Funkcja Lagrange’a całego układu będzie oczywiście w myśl zasady addytywności lagranżjanu , sumą wszystkich składowych (naturalnie, jeśli odległości między poszczególnymi podukładami będą dostatecznie małe ) k

Lcałkowity. = Σ Li ; k = liczba pod układów. i=k Po drugie, formalizm możemy uogólniać rozpatrując układ składający się z nieprzeliczalnej liczby punktów tj. możemy rozpatrywać ruch mechaniczny pewnego ośrodka ciągłego. Rolę współrzędnych uogólnionych dla tego przypadku odgrywają już nie poszczególne współrzędne , ale funkcje ciągłe współrzędnych przestrzennych ( uogólnionych w „klasycznym” rozumieniu ) i czasu : η = η(qi , t ) lub dla współrzędnych kartezjańskich η = η( x, y ,z , t ) 21

Klasycznym przykładem wprowadzenia takiego formalizmu jest układ liniowy oscylatorów harmonicznych – przy przejściu granicznym układ ten modeluje ruch drgający struny. Funkcja Lagrange’a dla ośrodka ciągłego przyjmuje postać : L = ∫ ∫ ∫ ₤ dV V Wielkość : ₤ - nazywamy „gęstością funkcji Lagrange’a” dV = dxdydz - dla przypadku trój wymiarowej przestrzeni Euklidesa. Dla ogólnego przypadku mamy : ₤ = ₤ (η, η., ∂η /∂qi ) ; η. = dη / dt

(2.1)

(2.2)

W szczególnym przypadku ; ∂η /∂qi ⇒ ∂η /∂x , ∂η /∂y , ∂η /∂z

Równania ruchu ośrodka ciągłego możemy otrzymać podobnie jak dla układów dyskretnych wariując pewne działanie : t1 S = ∫ ∫ ∫ ∫ ₤ dVdt (2.3) t0 V Warunek stacjonarnego działania przyjmuje postać : δS = 0 prowadzi on do równań analogicznych (1.1.1), dla układu dyskretnego : d/dt (∂L/∂η. ) – ∂L/∂η = 0 W przypadku jeszcze ogólniejszym lagranżjan może zależeć nie od jednej funkcji ciągłej η, a od s – funkcji ηs = ηs (qi, t ), a wtedy : ₤ = ₤ (η(qi, t ), ∂ηs/∂t , ∂ηs/∂qi, qi, t ) Dla tego przypadku równania Eulera- Lagrange’a przyjmują postać : d/dt (∂L/∂η.s ) + Σ d/dqi [ ∂L/ ∂(∂ηs /∂qi )] − ∂L/∂ηs = 0 i Jak łatwo można się domyśleć, również metoda Hamiltona może być rozszerzona na ośrodki ciągłe. Na początku jednak musimy zamienić pęd (uogólniony) na odpowiadającą mu gęstość pędu: (należy zauważyć że przejście : pewna wielkość → gęstość tej wielkości , jest charakterystyczne dla metod teorii pola ) π = ∂L/∂η. Dla przypadku ηs = ηs ( qi , t ) mamy : πs = ∂L/∂η.s . Wielkość tak określona w teorii pola nazywamy „pędem sprzężonym z polem” Gęstość funkcji Hamiltona określona jest następująco : Ħ = Σ πs η.s − ₤ s Funkcja Hamiltona będzie miała postać : H = ∫ ∫ ∫ Ħ dV V Z wariacji funkcjonału t1 S = ∫ ∫ ∫ ∫ Ħ dVdt t0 V otrzymujemy równania kanoniczne dla ośrodków ciągłych postaci : η.s = ∂H /∂πs ; π. s = − { (∂H / ∂ηs ) − Σ d/dqi [ ∂H/ ∂ (∂ηs /∂qi )] } Wprowadzając uogólnienie pochodnej wariacyjnej o postaci : δH/δηs = (∂H /∂ηs ) − Σ d/dqi [ ∂H/ ∂(∂ηs /∂qi )] otrzymamy :

(2.4)

(2.5)

(2.6)

(2.7)

(2.8) η.s = δH / δπs ; π.s = −δH/δηs Równania te przypominają zapis równań Hamiltona. I w istocie są to równania kanoniczne klasycznej teorii pola. 22

Funkcje ηs = ηs(qi, t ) ( w szczególnym przypadku : ηs = ηs ( t, x, y, z ) ) pod względem matematycznym są funkcjami określającymi pewne pole (pola ). Mogą to być pola : wektorowe, skalarne, tensorowe lub spinorowe.

Mamy zatem następującą odpowiedniość : Mechanika punktu materialnego lub ich układu xµi , i = 1, 2, ... , N N L(t) = Σ ₤( xi ) i=1 t2 S = ∫ ₤(t ) dt t1

pole ϕ(xµ ) L(t) = ∫ d3x ₤(x ) przestrzeń S = ∫ ₤(t )dt = ∫ d4x ₤(x ) czas czaso-przestrzeń

Często przy przejściu od analizy układu cząstek materianych do analizy pól przywołuje się analogie z siecią oscylatorów harmonicznych – pole jako nieskończony układ takich oscylatorów. Taka analogia przejawia się szczególnie wyraźnie przy transformatach Fouriera pól.

....................................................... Wyobraźmy sobie macierz, która w sposób wyidealizowany będzie reprezentowała dwuwymiarową siatkę mas punktowych, połączonych wzajemnie sprężynami ( rys. I.1.1 )

Rys. I.1.1 Dla uproszczenia skupimy uwagę na przemieszczeniu wertykalnym mas punktowych i oznaczymy go jako qa(t), ignorując nieznaczny ruch horyzontalny. Indeks a wskazuje po prostu o jaką masę nam chodzi w danym momencie czasu. Lagranżjan takiego układu ma postać:

23

.

Jeśli pozostawimy tylko człony drugiego rzędu po q ( „przybliżenie harmoniczne” ), to dojdziemy do równania ruchu o postaci : m qa•• = − Σ kab qb b Przyjmując q jako współrzędne oscylujące o częstości ω otrzymamy : Σ kab qb = mω2qa b Zatem, częstości własne i mody własne określone są odpowiednio wartościami własnymi i wektorami własnymi k. Tak jak zwykle, możemy sformować pakiety falowe na drodze superpozycji modów własnych. Przy przejściu do teorii kwantowej takie pakiety falowe zachowują się jak cząstki, podobnie jak elektromagnetyczne pakiety falowe przy kwantowaniu zachowują się jak cząstki – nazywane fotonami. Ponieważ rozpatrywana teoria jest liniowa, to dwa pakiety falowe mogą swobodnie przechodzić przez siebie. Jednakże jak tylko włączymy do lagranżjanu (1) człony nieliniowe np. kubiczne, stopnie czwartego itp. względem q, to teoria stanie się anharmoniczna. Mody własne teraz oddziaływują ze sobą. Pakiet falowy może rozpadać się na dwa pakiety, a dwa pakiety falowe, przechodząc blisko siebie mogą się wzajemnie rozpraszać i być może mogą utworzyć nowe pakiety falowe. Dlatego też naturalnie jest założyć, że fizykę cząstek można opisać z pomocą takiego właśnie podejścia. KTP pojawiła się właśnie z podobnych fizycznych idei. I co jest zadziwiające, nawet po 75 latach od powstania KTP wciąż jeszcze bazuje na takim harmonicznym paradygmacie – jeśli mogą użyć takiego kontrowersyjnego wyrażenia. Nie mogliśmy odejść od takich kluczowych pojęć, jak oscylatory i pakiety falowe. W istocie, teoria strun – następczyni KTP – wciąż sztywno przywiązana jest do paradygmatu harmonicznego. Nie wykluczam jednakże możliwości, że jakiś utalentowany fizyk młodego pokolenia, a nawet ktoś z czytelników tej książki, może wyprowadzić nas poza takie ramy. ... Oczywiście nikt nie zakłada, że obserwowalne w przyrodzie pola, powiedzmy pole mezonowe lub pole fotonu, w rzeczywistości składa się z mas punktowych połączonych sprężynami. Współczesny punkt widzenia, który nazwiemy imieniem Ginzburga i Landaua, polega na tym, iż należy rozpoczynać od wymaganej symetrii, np. lorentzowskiej inwariantności, jeśli interesuje nas fizyka cząstek elementarnych, następnie wybrać potrzebne nam pola, określając przy tym jak one przekształcają się pod działaniem symetrii ( w rozpatrywanym przypadku wybraliśmy pole skalarne ϕ ), a następnie zapisujemy działanie, zawierające nie więcej niż dwie pochodne po czasie ( dlatego, ze nie wiemy jak skwantować działanie, zawierające więcej niż dwie pochodne po czasie )

....................................................... Kwantowa teoria pola w pigułce - Anthony Zee ; Princeton University Press 2003

awias Poissona w teorii pola. Analogicznie do mechaniki punktów materialnych, w teorii pola możemy zdefiniowac nawias Poissona : Nawias Poissona {F, G } dwóch funkcjonałow F, G, które zależą od zmiennych kanonicznych, definiujemy nastepująco : { F, G } = Σ ∫ dqi [ (δF/δηs(qi, t )) (δG/δπs(qi, t )) – (δF/δπs(qi, t )) (δG/δηs(qi, t )) ] s Zatem możemy wprowadzić również analogiczne równanie ruchu : dF/dt = { F, H } W szczególności : {ηs(qi, t ) ,πp(qj, t ) } = δsp δ(3)(qi – qj ) {ηs(qi, t ) ,ηs(qi, t ) } = 0 , {πs(qi, t ) ,πs(qi, t ) } = 0

Równanie Eulera –Lagrange’a dla pól. Bardzo często w teoriach pól z cechowaniem zakłada się, że lagranżjan (gęstość ) zależy jedynie od pól oraz ich pierwszych pochodnych : £ = £ (φ(x), ∂µφ(x), x ) Dla teorii liniowych zazwyczaj przyjmuje się (co najwyżej ) kwadratową zależność lagranżjanu od pól : £ = £ (φ(x), φ(x)2, ∂µφ(x), x )

24

Funkcjonał działania ma oczywiście postać : S = ∫ d4x £ W teorii pola zazwyczaj przyjmuje się układ jednostek w których ħ = c = 1, w tych jednostkach jednostki masy, energii i długości mają następującą współzależność : [ masa] = [energia] = [długość] -1. Działanie ma wymiar ħ ( tj. jest bezwymiarowe ), lagranżjan ma wymiar [długość] –4, a pole skalarne [długość] –1. 1) W pierwszej kolejności rozważmy lagranżjan o postaci : £ = £ (φ(t), dφ(t)/dt ≡ φ•, t ) oraz odpowiadające mu działanie t2 S = ∫ £ dt t1 Standardowo rozważamy równanie wariacyjne o postaci : δS = 0 Oczywiście zgodnie z wymogami formalnymi rachunku wariacyjnego przyjmujemy, że : δφ (t1 ) = δφ (t2 ) = 0 t2 t2 t2 δS = δ ∫ £ dt = 0 ⇒ ∫ £ ( φ + δφ, φ• + δφ• , t ) – ∫ £ ( φ, φ•, t ) t1 t1 t1 Rozkładając tę różnicę w szereg względem nieskończenie małych wielkości δφ i δφ• i ograniczając się do wyrazów pierwszego rzędu, otrzymamy : t2 δS = δ ∫ [ (∂£ /∂q) δq + (∂£ /∂φ• )δφ• ] dt t1 Uwzględniając, że : t2 t2 t2 ∫ (∂£ /∂φ• )δφ• dt = ∫ (∂£ /∂φ• ) d/dt (δq) dt = − ∫ d/dt (∂£ /∂φ• ) δq dt t1 t1 t1 Ponieważ zgodnie z definicją : t2 • (∂£ /∂φ )δφ | = 0 t1 Otrzymujemy : t2 δS = ∫ [ (∂£ /∂q) – d/dt (∂£ /∂φ• )] δφ dt t1 t2 δS = 0 ⇔ ∫ [ (∂£ /∂q) – d/dt (∂£ /∂φ• )] δφ dt = 0 t1 Ponieważ równanie to powinno być spełnione dla dowolnych δq, to : (∂£ /∂q) – d/dt (∂£ /∂φ• ) = 0 Jest to oczywiście znane z rachunku wariacyjnego równanie Eulera-Lagrange’a. Wychodząc z zasady stacjonarnego działania równoważnej warunkowi δS = 0, otrzymaliśmy równanie różniczkowe, które powinny spełniać funkcje q(t), tak więc rzeczywista dynamika pola opisywana jest właśnie równaniami o takiej postaci. Jako drugi przypadek rozważmy lagranżjan o postaci £(qi (t), qi•(t) ) Można pokazać, analogicznym sposobem jak w przypadku pierwszym, że równanie(a) Eulera-Lagrange’a będą miały postać : (∂£ /∂φi ) – d/dt (∂£ /∂φi• ) = 0 , i = 1,2 ... , n – układ o n stopniach swobody

Mianowicie, traktując qi (t), qi• (t) jako zmienne niezależne wariacja działania jest następująca : ( stosujemy umowę sumacyjną ) 25

t2 t2 δS = ∫ [ (∂£ /∂qi )δqi + (∂£ /∂qi• )δqi• ] dt = ∫ { (∂£ /∂qi )δqi – d/dt (∂£ /∂qi• )δqi + d/dt [ (∂£ /∂qi• )δqi ] } dt t1 t1 t2 =

∫ [ (∂£ /∂qi ) – d/dt (∂£ /∂qi• )] δqi dt

t1 Skorzystaliśmy tu z równości : δqi• = d/dt δqi oraz z warunków brzegowych : δqi (t1) = δqi (t2 ) = 0 W wyniku których mamy : t2 • • (∂£ /∂δqi )δqi | = 0 t1 Oczywiście dla lagranżjanów o postaci £ (qi•, t ), równanie Eulera-Lagrange’a ma postać :

d/dt (∂£ /∂φi• ) = 0 A dla lagranżjanów o postaci £ (qi (t), t )równanie Eulera-Lagrange’a ma postać : ∂£ /∂φi = 0

W dalszej kolejności przejdziemy do układów o nieskończonej liczbie stopni swobody tj. do układów ciągłych : dla których jak wiadomo lagranżjan £ zastępujemy gęstością ₤ i w ogólnym przypadku ₤ = ₤ (η(qi , t ) , ∂ηs /∂t , ∂ηs /∂qi ,qi , t ) Wiemy już , że : £ = ∫ ∫ ∫ ₤ dV V t1 S = ∫ ∫ ∫ ∫ ₤ dVdt ≡ ∫ ₤ d4x t0 V Ω ( zazwyczaj, jeśli nie powoduje to nieporozumienia nie rozróżnia się terminologicznie lagranżjanu od gęstości, mówiąc o gęstości mówimy po prostu „lagranżjan” ) Rozważmy przypadek jednego z najczęściej rozpatrywanych lagranżjanów : ₤ = ₤ (φi , ∂µφi ) Warunkiem osiągania minimum ( ekstremum) przez działanie S jest zerowanie się wariacji : δS = ∫ ₤ d4x = 0 Ω δS = ∫ {(∂£ /∂φi )δφi + [ ∂£ /∂ (∂µφi )] δ(∂µφi ) }d4x = ∫ {(∂£ /∂φi ) - ∂µ [ ∂£ /∂ (∂µφi )] } δφi d4x + Ω + ∫ ∂µ[ ∂£ /∂ (∂µφi )δφi ]d4x = 0

Ω

Ω Oczywiście skorzystaliśmy z zależności : δ(∂µφi ) = ∂µδφi Człon ∂µ[ ∂£ /∂ (∂µφi )δφi ] jako dywergencja zupełna może być zgodnie z twierdzeniem Gaussa zamieniony na całkę względem brzegu obszaru całkowania ∂Ω tj. ∫ ∂µ[ ∂£ /∂ (∂µφi )δφi ] d4x = ∫ ∂£ /∂ (∂µφi )δφi dσ Ω ∂Ω Ponieważ δφi = 0 na brzegu ∂Ω zatem człon ten równa się zeru. Otrzymujemy zatem : δS = ∫ {(∂£ /∂φi ) - ∂µ [ ∂£ /∂ (∂µφi )] }δφi d4x = 0 Ω Przy złożeniu dowolności δφi otrzymujemy równanie Eulera-Lagrange’a ( równanie pola, równanie ruchu – dynamiki pola ) : (∂£ /∂φi ) – ∂µ [ ∂£ /∂ (∂µφi )] = 0

26

Podejście drugie Z racji ważności tego równania można zaprezentować inne równoważne podejście. Niech pole φ wypełnia pewien obszar w czasoprzestrzeni Minkowskiego. W charakterze początkowej i końcowej hiperpowierzchni możemy wziąć czasowe przekroje: t = t1 i t = t2. Rozpatrzmy dowolnie małe wariacje współrzędnych i pól : xµ → x’µ = xµ + δx’µ (d2.1) φ(x) → φ’(x) = φ(x) + δφ(x) (d2.2) Standardowo zakładamy, że wariacje δxµ i δφ(x) zerują się na brzegu rozpatrywanego obszaru czasoprzestrzennego ℜ : δφ(x) = 0 , δxµ = 0 x ∈ ℜ (d2.3) Rozpatrzmy wystarczająco ogólny przypadek w którym lagranżjan £ w sposób jawny zależy od współrzędnych xµ Wariacja pola może być zapisana następująco : φ’(x’ ) = φ(x) + ∆φ(x) gdzie : ∆φ(x) = φ’(x’ ) – φ(x’ ) + φ(x’ ) – φ(x) = δφ(x) + δxµ (∂µφ) Wtedy wariacja działania jest dana następująco : δS = ∫ d4x’ £ (φ’, ∂µφ’ , x’µ ) − ∫ d4x £ (φ, ∂µφ , xµ )

(d2.4) (d3.5) (d2.6)

ℜ ℜ 4 4 d x’ = J(x/x’ )d x gdzie J(x/x’ ) – jest jakobianem przejścia od x do x’ Z (d2.1) widać, że : ∂xµ/∂xλ = δµλ + ∂λδxµ (d2.7) Dla jakobianu możemy napisać następujące proste wyrażenie z dokładnością do członów pierwszego rzędu względem δxµ : J(x/ x’) = det ( ∂x’µ /∂xλ ) = 1 + ∂µ (δxµ ) (d2.8) Wtedy : (d2.9) δS = ∫ d4x ( δ£ + £ ∂µδxµ ) gdzie : δ£ = (∂£/∂φ)δφ + (∂£ /∂(∂µφ )) δ(∂µφ ) + (∂£/∂xµ )δxµ (d2.10) Z (d2.1) jest jasne, że δ(∂µφ ) = ∂µδφ , zatem z (d3.9) i (d3.10) bezpośrednio wynika : δS = ∫ d4x [ (∂£/∂φ)δφ + (∂£ /∂(∂µφ )) δ(∂µφ ) + ∂µ(£δxµ ) ] (d2.11) ℜ Trzecia składowa w nawiasie kwadratowym przedstawia sobą dywergencje, zatem jej wkład do omawianej całki może być przekształcony ( zgodnie z twierdzeniem Gaussa ) w całkę powierzchniową po brzegu całkowania ℜ. Drugą składową również możemy przepisać w taki sposób aby wydzielić z niej dywergencje : (∂£ /∂(∂µφ )) δ(∂µφ ) = ∂µ[ (∂£ /∂(∂µφ )) δφ ] – ∂µ [ (∂£ /∂(∂µφ )) ] δφ (d2.12) W wyniku czego możemy przepisać (d3.11) następująco : δS = ∫ d4x { (∂£/∂φ) – ∂µ[ ∂£ /∂(∂µφ )] δφ + ∫ dσµ {[ ∂£ /∂(∂µφ )] δφ + £δxµ } (d2.13) ℜ ℜ µ Na mocy warunku (d2.3) wariacje φ i x na brzegu obszaru całkowania ℜ są równe zeru, zatem całka powierzchniowa w wyrażeniu (d2.13) zeruje się. Zatem warunek stacjonarności działania δS = 0 przy dowolnych wariacjach pola i współrzędnych daje nam : (∂£/∂φ) - ∂/∂xµ [ ∂£ /∂(∂µφ )] = 0 (d2.14) Jest ot ogólna postać równania Eulera-Lagrange’a ( równań ruchu dla przyjętej postaci wejściowego lagranżjanu ) dla pola φ.

27

Przykład. Rozważmy następujący lagranżjan : £ = ½ gµν (∂µφ )(∂νφ ) – ½ (mφ)2 ( lagranżjan ten zawiera człon kwadratowy względem pola φ, włączenie członów o wyższych potęgach prowadzi do nieliniowych równań ruchu ). Dla tego lagranżjanu : ∂£ /∂φ = – m2φ ∂£ /∂(∂µφ ) = gµν (∂νφ ) = ∂µφ Równanie (d2.14) sprowadza się do równania Kleina-Gordona. (omówienie w dalszych rozdziałach )

******************************************************************************************

III. PRAWA ZACHOWANIA W KLASYCZNEJ TEORII POLA. Twierdzenie Noether Podejście ogólne Jak wspomniano podstawową rolę w teorii pola odgrywa twierdzenie Emmy Noether. Dla układu równań różniczkowych, które mogą być otrzymane z zasady wariacyjnej Eulera-Lagrange’a, każdemu jednoparametrowemu przekształceniu ciągłemu pozostawiającemu funkcjonał wariacyjny inwariantnym odpowiada jedno różniczkowe prawo zachowania. Jeżeli ciągła grupa przekształceń (grupa Liego) zawiera m parametrów, to z inwariantności tego funkcjonału względem tej grupy wynika m- różniczkowych praw zachowania. Zatem, jeżeli funkcjonał postaci (1.1.1) jest niezmienniczy względem ciągłej m-parametrycznej grupy przekształceń to równaniom (1.1.2) odpowiada m – różniczkowych praw zachowania Przypominam, że różniczkowym prawem zachowania (w ogólności ) nazywamy wielkość : ∇µ Tµν = 0 ; gdzie : ∇µ - jest pochodną kowariantną ; Tµν - pewnym tensorem. Dla naszych celów wystarczy jednak szczególny przypadek tego prawa , mianowicie : d/dt [ f ((qi(t), q.i(t) ) ] = 0 Z różniczkowego prawa zachowania wynika, że pewna wielkość jest zachowana w czasie tj. : f ( (qi(t) , q.i(t) ) = const. Można pokazać, że różniczkowe prawo zachowania dla przypadku funkcjonału postaci (1.1.1) ma postać : d/dt { [ L − Σ (∂L/∂q.i )q.i ] Λ + Σ (∂L/∂q.i ) Λi } Transformacje współrzędnych mają postać : t ⇒ t’ = t + Λ(q, t )ε ; qi (t) ⇒ q’i (t’) = qi (t) + Λi (q, t)ε ; ε - pewien parametr ciągły Zgodnie z tym : Q = [ L − Σ (∂L/∂q.i )q.i ] Λ + Σ (∂L/∂q.i ) Λi = const. Zatem wielkość : Q = Q ((qi(t) , q.i(t) ) = const. Zasada zachowania energii. Aby otrzymać zasadę zachowania całkowitej energii układu mechanicznego zachowawczego przyjmijmy , transformacje dla których : Λ(q, t ) = 1 , Λi (q, t) = 0 Mamy zatem : t ⇒ t’ = t + ε ; qi (t) ⇒ q’i (t’) = qi (t) Jest to jak widać transformacja polegająca jedynie na przesunięciu (translacji) czasu. Mamy dalej : d/dt [ L − Σ (∂L/∂q.i )q.i ] = 0 czyli : [ L − Σ (∂L/∂q.i )q.i ] = const. = − E ; E – energia całkowita układu zachowawczego Jak wiemy wielkość : L − Σ (∂L/∂q.i )q.i = H ; gdzie : H – jest funkcją Hamiltona. Zatem : dH /dt = 0 ⇒ H = const.

28

Dla układu zachowawczego mamy : L=T−U − E = T – U − Σ (∂T/∂q.i )q.i W układzie kartezjańskim mamy q.i = vi , T = ½ mv2 , ∂T/∂q. = ∂T/∂v = mv ; U = U(x, y, z) - E = T − U − 2T = − ( U + T ) => E = T + U Zatem dla układu zachowawczego z jednorodności czasu wynika zasada zachowania energii całkowitej układu. Zasada zachowania pędu. Aby otrzymać zasadę zachowania pędu przyjmijmy : Λ(q, t ) = 0 , Λi (q, t) = 1 Mamy odpowiednio wielkość zachowaną postaci : d/dt [ Σ (∂L/∂q.i ) ] = 0

Σ (∂L/∂q.i ) = const. Przyjmijmy L = T − U

Σ (∂L/∂q.i ) = Σ ∂T/∂q.i = const. ⇒ p = ∂T/∂v = mv = const. Zatem dla układu zachowawczego z przesunięcia w przestrzeni (jednorodności przestrzeni) wynika prawo zachowania pędu. Można pokazać ponadto , że z obrotu w przestrzeni ( izotropowość przestrzeni) wynika prawo zachowania momentu pędu. Przykład 2.1 Niech V(xi) – będzie funkcją długości wektora xi tj. wielkości r = √(xixi ). Wtedy działanie S, będzie inwariantne względem obrotów trójwymiarowego wektora xi , ponieważ zależy ono tylko od długości samego wektora, która przy obrotach nie zmienia się. Przy nieskończenie małym, dowolnym obrocie mamy : δxi = εij xj , εij = - εji ,, przy czym εij nie zależy od czasu Ponieważ działanie S jest inwariantne, to spełniona jest równość δS = 0, jednakże wcześniej widzieliśmy, że δS składa się z dwóch składowych : pochodnej funkcjonalnej, równej zeru dla klasycznej trajektorii i członu powierzchniowego. Jednakże dla danej konkretnej wariacji nie możemy nałożyć na δxi(t ) warunków granicznych i dlatego inwariantność działania S jest równoważna z równaniami ruchu i prowadzi do następującej równości : t2 δS = ∫ dt d/dt [ m (dxi /dt ) δxi ] = εij mxj(dxi /dt ) |t2 t 1 t1 Ponieważ jest to słuszne dla dowolnych εij , wielkości : Lij(t ) ≡ ½ m [ xi (dxj /dt ) – xj(dxi /dt )] spełniają równość : Lij(t1) = Lij(t2 ) i dlatego zachowują się one w procesie ruchu. Jak wiadomo, są to oczywiście składowe momentu pędu. Infinitezymalną formę prawa zachowania można otrzymać, podstawiając t2 → t1.

Twierdzenie Noether. Zapiszmy (d3.13) w następującej postaci : δS = ∫ d4x { (∂£/∂φ) - ∂µ[ ∂£ /∂(∂µφ )] δφ + ∫ dσµ { [ ∂£ /∂(∂µφ ) ] [ δφ + (∂νφ )δxν ] – ℜ ℜ − { [ ∂£ /∂(∂µφ ) ] (∂νφ ) – δµν £ ] } δxν } (d3.15) Wyrażenie [ δφ + (∂νφ )δxν ] przedstawia wariacje zupełną pola φ określoną wyrażeniem (d2.5). Wyrażenie [ ∂£ /∂(∂µφ ) ] (∂νφ ) – δµν £ ] określa tensor energii-pędu pola φ : θµν = [ ∂£ /∂(∂µφ )] (∂νφ ) – δµν £ (d3.16)

29

Wyrażenie (d3.15) możemy zatem przepisać następująco : δS = ∫ d4x { (∂£/∂φ) - ∂/∂xµ [ ∂£ /∂(∂µφ )] δφ + ∫ dσµ { [ ∂£ /∂(∂µφ ) ] ∆φ - θµν δxν }

(d3.17)

ℜ ℜ Pierwsza całka na mocy spełnienia równań ruchu (d2.14) ( przy dowolnych wariacjach δφ ) jest równa zeru. Rozważmy czemu równy jest drugi człon. Niech działanie S będzie inwariantny względem pewnej ciągłej grupy przekształceń xµ i φ (grupy Liego ). Wtedy możemy zapisać infinitezymalne przekształcenia : δxµ = Xµν δων , ∆φ = Φµδωµ (d3.18) gdzie : δων – nieskończenie małe parametry przekształcenia grupowego ( kąty obrotu ), Xµν – pewna macierz Φµ - pewne liczby. W ogólnym przypadku indeksy przy tych wielkościach mogą być podwójne, potrójne itp., w szczególności możemy rozpatrzyć przypadek kiedy mamy pewne multipole φi : ∆φi = Φij δωj (d3.19) Wymagamy teraz aby działanie δS = 0 było inwariantne względem przekształceń (d3.18), po uwzględnieniu (d2.14) otrzymujemy : ∫ dσµ { [ ∂£ /∂(∂µφ ) ] Φν – θµκ Xκν } δων = 0 (d3.20) ℜ co mając na uwadze dowolność δων prowadzi do : ∫ dσµ Jκν = 0 (d3.21) ℜ gdzie : Jκν = [ ∂£ /∂(∂µφ ) ] Φν - θµκ Xκν (d3.22) Zgodnie z twierdzeniem Gaussa z wzoru (d3.21) otrzymujemy równanie ciągłości : ∂µ Jκν = 0 (d3.23) Wielkość Jκν przedstawia prąd zachowany. Ściślej wielkością zachowaną jest ładunek noetherowski : Qν = ∫ dσµ J0ν (d3.24) σ gdzie całkujemy względem dowolnej przestrzennopodobnej hiperpowierzchni σ. Jeśli w charakterze σ wziąć hiperpłaszczyznę t = const. , to otrzymamy całkę względem trójwymiarowej objętości : Qν = ∫ d 3 r J 0 ν (d3.24) V Całkując (d3.23) względem objętości V dostaniemy : ∫ d3r ∂0 J0ν + ∫ d3r ∂i Jiν = 0 (d3.25) V V Drugą całkę przekształcić możemy zgodnie z twierdzeniem Gaussa w całkę powierzchniową, która określa strumień ładunku przez tą powierzchnie. Dla układu zamkniętego ( Wszechświata ) strumień ten jest równy zeru, otrzymamy zatem : d/dt ∫ d3r J0ν = dQν /dt = 0 (d3.26) V Możemy teraz wypowiedzieć treść twierdzenia Noether : inwariantność działania względem pewnej ciągłej grupy symetrii prowadzi do odpowiedniego prawa zachowania. Podsumowanie Dowodząc twierdzenia Noether rozpatrujemy przekształcenia postaci : xµ → x’µ = xµ + ΛµA (x) εA ϕa (x) → ϕ’a (x) = ϕa (x) + ΛabAϕb (x) εA gdzie : εA – jest pewnym parametrem ciągłym. ΛµA – dowolne funkcje współrzędnych Zatem, w odróżnieniu od przypadku wyprowadzania równań Eulera-Lagrange’a, teraz mamy wariacje współrzędnych i pól.

30

(d3.27) (d3.27)

Można pokazać, że z niezmienniczości równań Eulera-Lagrange’a względem przekształceń (d3.27) wynika różniczkowe prawo zachowania : ∂Jµa /∂xµ = 0 ( lub ∂µJµa = 0 ) (d3.28) Wielkość : Jµa = Tµν ΛνA + [ ∂L/ ∂(∂µϕa )] ϕb ΛabA (d3.29) nazywamy „prądem Noether“. Równanie (d3.28) stwierdza zatem, że prąd Noether jest zachowany. Wielkość Tµν = [ ∂L /∂(∂µϕa )] (∂νφa ) – δµν £ (d3.30) δµν - delta Kroneckera, w przypadku ogólniejszym będzie to tensor metryczny gµν nazywamy „kanonicznym tensorem energii-pędu” Oznaczanym jako Tµν(can). W przypadku kiedy lagranżjan nie zależy jawnie od xµ , zachowanym prądem jest kanoniczny tensor energii-pędu : ∂µ Tµν = 0 (d3.31) Uwaga. Równość (d3.31) w istocie stwierdza, że 4-dywergencja tensora energii-pędu jest równa zeru. W ogólności tensor ten nie musi być symetryczny, jednak w wielu teoriach pola np. w teorii grawitacji żądamy aby był on symetryczny. Oczywiście, równość (d3.31) jest szczególnym przypadkiem równości (d3.29) - zatem kanoniczny tensor energii-pędu jest szczególną postacią prądu Noether. Niesymetryczny tensor energii -pędu możemy zamienić na tensor symetryczny, dodają do niego składowe postaci ∂νfµνρ ; gdzie fµνρ – jest pewną funkcją : Tµν(sym) = Tµν(can) + ∂νfµνρ ; fµνρ = – fρµν

Symetryczny tensor energii- pędu oznacza się również jako Θµν (lub z indeksami dolnymi ) Całkując (d3.29) względem dowolnej 4-objętości (pamiętajmy, że rozważamy pole w przestrzeni Minkowskiego ), oraz stosując twierdzenie Gaussa otrzymujemy, że 4-strumień wektora Jµa przez ograniczającą tą 4-objetość hiperpowierzchnię jest równy zeru. W szczególności dochodzimy do równania : Qa (t) = ∫ J0a (x) dx3 = 0 (d3.32) t=const. Wielkość : Qa – nazywamy „ładunkami Noether“. Równanie (d3.32) stwierdza zatem, że ładunek Noether jest stały w czasie. Jest to również tzw. całkowe wyrażenie twierdzenia Noether. (całkowe prawo zachowania ). Można pokazać, że w szczególności, ładunki zachowane są to składowe 4-pędu : Pµ = ∫ T0µ dx3 = 0 (d3.33)

......................................................................... Wyprowadzenie równań E-L i twierdzenie Noether „ Rozpatrzmy działanie : τ2 S( τ1, τ2 [ Φ] ) ≡ ∫ d4x £( Φ, ∂mΦ ) τ1

(5.4*)

gdzie: Φ(x) – dowolne lokalne pole lub dowolny zbiór takich pól (mogą to być pola skalarne, wektorowe lub spinorowe ; wszystkie indeksy dla takich pól opuściliśmy ) τ1 i τ2 – są granicami obszaru całkowania. Zmiana działania S przy dowolnej zmianie Φ o wielkość δΦ jest następująca : τ2 δS = ∫ d4x δ£ = τ1

31

(5.5*)

τ2 = ∫ d4x [ (∂£/∂Φ) δΦ + ∂£/∂ (∂µΦ ) δ(∂µΦ )]

(5.6*)

τ1 Ponieważ przy tej wariacji x się nie zmienia, mamy : δ(∂µΦ ) = ∂µ(δΦ )

(5.7*)

Wyrażenie (5.6) można przekształcić do postaci : τ2 τ2 4 δS = ∫ d x [ (∂£/∂Φ ) – ∂µ (∂£/∂ (∂µΦ )] δΦ + ∫ d4x ∂µ (∂£/∂ (∂µΦ ) δΦ (5.8*) τ1 τ1 Ostania składowa jest członem powierzchniowym, który można przepisać w postaci całki powierzchniowej :

∮ dσµ [ ∂£/∂ (∂µΦ) ] δΦ

(5.9*)

gdzie : σ – powierzchnia graniczna, dσµ – element tej powierzchni. Wymagamy teraz, aby wariacja δΦ była równa zeru na powierzchni σ. Z wymogu stacjonarności działania S przy dowolnej zmianie δΦ, równej zero na granicach wariacji, otrzymujemy równania Eulera : ∂µ (∂£/∂ (∂µΦ ) – ∂£/∂Φ = 0 (5.10*) które przedstawia sobą klasyczne równania pola dla układu opisywanego przez działanie S. Wyrażenie (5.10*) można rozpatrywać jako pochodna funkcjonalną działania S po Φ. Jeszcze raz podkreślimy, że jest ona dobrze określona tylko dla takich wariacji, które zerują się na granicy obszaru całkowania. Jako jedną z ważniejszych własności odrzucania członu powierzchniowego zauważmy, że można otrzymać te same równania ruchu, zadając lagranżjan w postaci : £’ = £ + ∂µΛµ (5.11*) o dowolnym Λµ . Podobna zmiana lagranżjanu £ prowadzi do zmiany S, całkowicie zależnej od wyboru warunków brzegowych dla pól wchodzących do £’ ( taka swoboda nie występuje w przypadku rozważania pola grawitacyjnego ) Przekształcenie wiążące £’ i £ w MK nazywa się przekształceniem kanonicznym. Zauważmy również, że dodanie do lagranżjanu £ wielkości stałej nie zmienia charakteru układu klasycznego, ale ma wpływ na związek danego układu z polem grawitacyjnym, ponieważ taki dodatek generuje nieskończoną energię. Zobaczmy teraz, jak zmienia się działanie w wyniku póki, co nie skonkretyzowanej jeszcze ( ale i nie dowolnej ) zmiany współrzędnych δxµ i pól δΦ. Zmianie współrzędnych odpowiada zmiana miary całkowania, zadana wzorem Jakobiego : δ(d4x ) = d4x ∂µδxµ (5.12) Stąd wynika, że : τ2 δS = ∫ d4x ( ∂µδxµ£ + δ£ ) (5.13) τ1 Z uwzględnieniem wzoru δ = δ0 + δxµ∂µ otrzymamy : δ£ = δxµ∂µ£ + δ0£ = (5.13) = δxµ∂µ£ + ( ∂£/∂Φ ) δ0Φ + (∂£/∂ (∂µΦ )δ0∂µΦ (5.15) Ponieważ δ0 – jest zmianą tylko samej funkcji, to mamy : δ0∂µΦ = [ δ0, ∂µ ]Φ + ∂µδ0Φ = (5.16) = ∂µδ0Φ Proste obliczenia prowadzą do wyrażenia : δ£ = δxρ∂ρ£ + [ (∂£/∂Φ) – ∂µ(∂£/∂ (∂µΦ ) ] δ0Φ + ∂µ[ (∂£/∂ (∂µΦ )δ0Φ ] Wprowadzając klasyczne równania ruchu, możemy zmianę działania zapisać w postaci : τ2 δS = ∫ d4x {£∂µδxµ + δxµ ∂µ£ + ∂µ[ ∂£/∂ (∂µΦ )] δ0Φ } = τ1 32

(5.17) (5.18)

(5.19)

τ2 = ∫ d4x ∂µ{£µδxµ + [ ∂£/∂ (∂µΦ )] δ0Φ }

(5.20)

τ1 Wariacje δ0 możemy wyrazić również przez δ, pisząc : τ2 δS = ∫ d4x ∂µ{[ £gµρ – [ ∂£/∂ (∂µΦ )] ∂ρΦ] δxρ + [ ∂£/∂ (∂µΦ )] δΦ }

(5.21)

τ1 Wyrazimy teraz wariacje współrzędnych i pól poprzez parametry globalne ( tj. nie zależne od x ) : δxρ = ( δxρ/δωa ) δωa (5.22) a a δΦ = ( δΦ/δω ) δω (5.23) Indeks a numeruje tutaj parametry przekształcenia. Zatem : τ2 δS = ∫ d4x ∂µ{ [ £gµρ – [ ∂£/∂ (∂µΦ )] ∂ρΦ] (δxρ/δωa ) + [ ∂£/∂ (∂µΦ )] ( δΦ/ δωa ) } δωa (5.24) τ1 Jeśli działanie jest inwariantne względem przekształceń (5.22) i (5.23), to wynika z tego, że gęstość prądu : jµa ≡ − { £gµρ – [ ∂£/∂ (∂µΦ )] ∂ρΦ ] (δxρ/δωa ) – [ ∂£/∂ (∂µΦ )] (δΦ/ δωa )} (5.25) jest zachowana , tj. : ∂µ j µ a = 0 (5.26) To równanie zachowania jest następstwem tego, że wyrażenie (5.24) jest słuszne dla wszystkich δωa . Zatem, dowiedliśmy dla KLTP twierdzenia Noether, wiążącego pewne równanie zachowania z inwariantnością działania. Jeśli jednak działanie nie jest zachowane, to powyższe równanie zachowania przestaje być słuszne. Przykładowo przy δωa = 0 ma ono prostą postać : ∂µ jµa = – £/δωa (5.27) Załóżmy teraz, że znaleźliśmy zbiór przekształceń (5.22) i (5.23), pozostawiających działanie inwariantne. Scałkujmy obie strony równości (5.26) w granicach nieskończonych względem kierunków przestrzennych i granicy skończonej w kierunku czasowym. Wtedy : T2 ∞ T2 ∞ T2 0 3 µ 0 0 3 0 (5.28) 0 = ∫ dx ∫ d x ∂µj a = ∫ dx ∂/∂x ∫ d x j a = ∫ dx0 ∫ d3x ∂i j0a T1 −∞ T1 –∞ T1 Jeśli granice przestrzenne wybrano w odpowiedni sposób, to ostatni człon zeruje się. W wyniku tego mamy : ∞ ∞ 0 = ∫ dx3 j0a ( T1, x ) – ∫ dx3 j0a ( T2, x ) (5.29) −∞ -∞ Odpowiednio do tego, ładunki określone poprzez wzór : ∞ Qa(T ) ≡ ∫ dx3 j0a (T, x )

(5.30)

−∞ nie są zależne od czasu, ponieważ powyższe rozważania są słuszne niezależnie od wybranych granic całkowania w czasie. Zatem : dQa/dt = 0 (5.31) Z warunku δS = 0 udało się nam wyprowadzić istnienie ładunków zachowanych. Zauważmy dalej, że prąd zachowany jest określony niejednoznacznie – można do niego zawsze dodać czterowymiarową dywergencje antysymetrycznego tensora ∂ρtρµa. Widać to szczególnie wyraźnie, jeśli uwzględnimy wzór (5.11). Oprócz tego, ponieważ jµa jest zachowany tylko po wykorzystaniu równań ruchu, mamy swobodę dodania do niego dowolnej wielkości, zerującej się na mocy równań ruchu.

33

Jest to istotne w szczególności wtedy, gdy a – jest indeksem lorentzowskim, jak również w przypadku translacji, dla których : δxµ = εµ ; δxρ/δωa → gµρ ( a = ρ ) (5.32) Na zakończenie zauważmy, że przekształcenie, pozostawiające inwariantnym działanie S, może zmieniać lagranżjan £ na dywergencje zupełną, a to oznacza, że operacji symetrii towarzyszy przekształcenie kanoniczne. W teorii kwantowej, gdzie nie możemy już polegać na równaniach ruchu, stwierdzenie o zachowaniu prądu traci swoje znaczenie, ale zamienia się ono na odpowiednie zależności między funkcjami Greena, zwanymi tożsamościami Warda.

....................................................................... Teoria pola. Współczesne wprowadzenie -- Pierre Ramond Physics Department. University of Florida Westview 1981

Następne podejście do równań E-L i twierdzenie Noether

....................................................................... 4. Zasady wariacyjne Równania ruchu układu dynamicznego bądź to cząstek materialnych lub pól mogą być otrzymane jako warunek ekstremum pewnego funkcjonału , nazywanego – działaniem. Rozpatrzymy na początku ogólne sformułowanie tej zasady wariacyjnej. Niech omawiany funkcjonał będzie równy : S = S[η(ξ)] = ∫ dn ξ ₤ (ξ, η, ∂η/∂ξ ) (1.4.1) α 1 2 3 α α dla cząstki , o współrzędnych : η = ( η , η , η ) które są funkcjami czasu η = η (t) , a ₤ (ξ, η, ∂η/∂ξ ) = ₤(t, η, dη/dt ) – jest funkcją Lagrange’a tej cząstki. Jeśli chodzi o pole, zadane w przestrzeni Minkowskiego, to w przypadku n = 4 : ξµ = (ct, r) = xµ - jest wektorem w przestrzeni Minkowskiego, wielkość : ηA(A= 1... N) , gdzie N – jest składową funkcji pola : ηA = ηA(x) jest przynależna określonej reprezentacji grupy Lorentza. Rozpatrzmy dla uproszczenia oba te przypadki w sposób jednolity, zakładając ogólną postać równań : η =η (ξ ) , ξ = (ξ0, ... , ξn-1) , ∂η/∂ξν = η, ν Dokonajmy wariacji działania S, zakładając że δS = 0, przy niezmiennych wartościach funkcji η na granicy obszaru całkowania Γ, tj. δη| ξ∈Γ ,a w pozostałej części tego obszaru wybieramy funkcje η (ξ ) w sposób dowolny. Wtedy δS = ∫ dn ξ ₤ = ∫ dn ξ [ (∂₤/∂ ηA)δηA + (∂₤/∂ ηA, ν )δηA,ν ] (1.4.2)

Zauważmy, że : δηA, ν = ∂/∂ξν (δηA) ponieważ δξν = 0. Wykorzystując wskazaną przemienność operacji wariacji i różniczkowania, scałkujemy w (1.4.2), przez części drugą składową : ∫ (∂₤/∂ ηA,ν ) ∂/∂ξν δηA dn ξ = ∫ ∂/∂ξν ( (∂₤/∂ ηA, ν )δηA,ν ) dn ξ − ∫ δηA ∂/∂ξν (∂₤/∂ ηA,ν ) dn ξ Ostatnia składowa przedstawia całkę od dywergencji i przekształca się w całkę powierzchniową po granicy obszaru całkowania : ∫ δηA (∂₤/∂ ηA,ν ) dσν = 0 Γ równą zeru na mocy warunku braku wariacji na granicy. Dlatego : δS = ∫ dn ξ [ (∂₤/∂ ηA)δηA − ∂/∂∂ξν (∂₤/∂ ηA,ν ) δηA ] = 0 Stąd na mocy dowolności wariacji δηA znajdujemy : δS/ δηA = (∂₤/∂ ηA) − ∂/∂ξν (∂₤/∂ ηA,ν ) = 0 (1.4.3) Są to równania wariacyjne Eulera-Lagrange’a. Zauważmy, że równania (1.4.3) nie zmieniają się przy następującej zamianie funkcji ₤ : ₤ → ₤’ = ₤ + ∂/∂ξν Λν (η) W rzeczywistości , w tym przypadku do działania dodajemy całkę od dywergencji, przekształcając go w całkę powierzchniową a wtedy jego wariacja jest równa zeru.

34

Rozpatrzmy ruch swobodnej cząstki o masie m. Wtedy dla przypadku nie relatywistycznego : v 0 to minimum „energii potencjalnej” osiągane jest przy ϕ = ϕ1,2 = ± √ (µ2 /λ ) (6.2.5) W tym przypadku otrzymujemy dwa minima tj. dwa możliwe rozwiązania przy których energia pola jest minimalna E =0. Takie rozwiązania (6.2.5) nazywamy, wykorzystując terminologie kwantową, rozwiązaniami próżniowymi. Rozkładając (6.2.4) w pobliżu jednego z rozwiązań (6.2.5), przykładowo : ϕ(x) = √ (µ2 /λ) + η(x) (6.2.6) i uważając człon η(x) za mały, znajdujemy w przybliżeniu kwadratowym : V ≈ ½ mη2 η2 gdzie : mη =√2µ to masa cząstki odpowiadającej rozwiązaniu (6.2.6) (cząstka Higgsa). Zauważmy, że wejściowy lagranżjan (6.2.3) jest symetryczny względem odbić tj. zmiany znaku ϕ → −ϕ. W przypadku µ2 < 0 rozwiązanie zachowuje tą symetrię, a przy µ2 > 0 konieczne jest wybranie rozwiązania próżniowego (6.2.5) i odpowiadającego mu „perturbowanego”. Przy tym wspomniana symetria lagranżjanu jest naruszona, ponieważ jego rozwiązanie nie podlega już tej symetrii (spontaniczne naruszenie symetrii) 6.2.2 Równanie Kleina –Gorodna ( –Foka ). ( w rzeczywistości równanie Kleina-Gordona odkrył Schrödinger, po tym jak wyprowadził on równanie noszące obecnie jego imię. Później w 1926 roku, wyprowadził go niezależnie od Schrödingera Klein, Gordon, Władimir Fok, de Donder i Van Dungen ) Wariacja δS FD postaci : S = ∫ ₤(x) d4x (6.2.7) Prowadzi do równania Kleina-Gordona Z równania Lagrange’a : ∂₤/∂ϕ – ∂µ ( ∂₤/∂(∂µϕ)) = 0 otrzymujemy : ∂₤/∂ϕ = –m2ϕ ; ∂₤/∂(∂µϕ) = – ∂µϕ) ; ∂µ( ∂₤/∂(∂µϕ)) = – ∂µ∂µϕ Zatem równanie pola ma postać : ∂µ∂µϕ – m2ϕ = 0 (6.2.8) Jest to równanie ruchu pola skalarnego które nazywa się równaniem Kleina –Gordona. (lub też : Kleina –Gordona –Foka ) Równanie Kleina –Gordona zazwyczaj zapisujemy z użyciem operatora falowego (przyjmujemy układ jednostek w którym c=1 ): ( + m2 )ϕ(x) = 0 (6.2.9) µ –2 2 2 gdzie : ≡ ∂µ ∂ = c ∂t − ∇ – jest operatorem d’Alamberta Równanie (6.2) jest dobrze znane z relatywistycznej mechaniki kwantowej. Było ono pierwszym relatywistycznym równaniem falowym, uzyskanym w mechanice kwantowej i zostało ono otrzymane w wyniku relatywistycznego uogólnienia równania Schrödingera.

64

Tensor gęstości energii-pędu dla pola skalarnego ma postać : Tµν = (∂ϕ /∂xµ )(∂ϕ /∂xν) − δµν₤ (6.2.10) gdzie : δµν - jest tensorem metrycznym w przestrzeni Minkowskiego. Zatem : Tµν = (∂ϕ /∂xµ )(∂ϕ /∂xν) + ½ δµν{[∂ϕ(x)/∂xµ ]2 − m2ϕ2(x)} (6.2.10a) Z równania tego otrzymujemy, że gęstość energii pola skalarnego jest równa : T00 = ½ [ (∂ϕ /∂t )2 + (∇ϕ )2 + m2ϕ2 ] (6.2.11) Gęstosć pędu : T0i = (∂ϕ /∂x0)(∂ϕ /∂xi ) = – (∂ϕ /∂x0)(∂ϕ /∂xi ) , i = 1, 2,3 (6.2.12) Pole skalarne charakteryzuje się zerowym spinowym momentem pędu – wynika to z faktu, że kanoniczny tensor energii-pędu (6.2.10) jest tensorem symetrycznym i zatem jest równy metrycznemu tensorowi energii pędu : Tµν(kan) = Tνµ(kan) = Tµν(sym) Zachowany moment gęstości pędu ma postać : Mρµν = (∂ϕ /∂x0)[ (∂ϕ /∂xν )xµ – (∂ϕ /∂xµ )xν ] + ₤(δρµxν – δρνxµ ) (6.2.13) Składowe orbitalnego momentu pędu : M0ij = (∂ϕ /∂x0)[ (∂ϕ /∂xj )xi – (∂ϕ /∂xi )xj ] ; i, j = 1, 2, 3 (6.2.14) Jeżeli chodzi o wektor prądu , to na mocy tego faktu, ze pole jest rzeczywiste będzie on równy zero (tak jak ładunek pola Q). To oznacza, że rozpatrywane pole może być wykorzystywane tylko do opisu cząstek neutralnych np. neutralnych mezonów π.

....................................................... Użytecznym będzie abyśmy podkreślili analogię klasycznej teorii pola z mechaniką klasyczną o wielu stopniach swobody. Współrzędne dynamiczne qA(t) mechaniki klasycznej są analogiczne polu φ(x ,t) , jedynie indeks A przyjmuje wartości ciągłe – jako współrzędna punktu w czasoprzestrzeni ( dla pola EM Aµ(x, t ) „indeks” A numerujący współrzędne dynamiczne jest to para (µ, x) ). Sumowanie względem indeksu A ( przykładowo w funkcji Lagrange’a L = Σ ½ q•A q•A + … ) - zamieniamy całkowaniem względem d3x. A Tą analogię wykorzystamy w celu zbudowania energii pola skalarnego. W mechanice klasycznej energia jest równa : E = Σ (∂L/∂q•A ) q•A – L A Analogiem funkcji Lagrange’a L w teorii pola skalarnego jest całka lagranżjanu : L = ∫ d3x £ = ∫ [ ½ ( ∂µ φ)2 – ½ m2φ2 ] = ∫ d3x [ ½ φ•2 – ½ ∂iφ ∂iφ – ½ (mφ)2 ] Wykorzystując zależność ( opuszczamy zależność od czasu ) : ∂L/∂φ•(x) = φ•(x) otrzymujemy dla energii : E = ∫ d3x [ ∂L/∂φ•(x) ] q•(x) – L (2.7) Wyrażenie o postaci : E = ∫ d3x [ ½ φ•2 – ½ ∂iφ ∂iφ – ½ (mφ)2 ] (2.8) Z tego wyrażenia jasnym jest wybór znaków wyrażeniu dla działania : S = ∫ d4x [ ½ ( ∂µ φ)2 – ½ m2φ2 ] (2.9) a) znak ujemny przed ( ∂µφ )2 w (2.9) prowadziłby do ujemnego znaku w pierwszych dwóch składowych w (2.8) i energia pól szybko oscylujących była by ujemna oraz zanikałaby nieograniczenie wraz ze wzrostem częstotliwości oscylacji. b) dodatni znak przy składowej o m2 w (2.9) prowadziłby do ujemnego znaku przy trzeciej składowej w (2.8), a energia pola jednorodnego byłaby ujemna i nieograniczona z dołu dla dużych pól φ.

........................................................ Klasyczne pola cechowania – Teorie bozonowe - W. A. Rubakow; КомКнига МОСКВА 2005

65

Teraz wrócimy do przekształceń grupy Poincarego. W przypadku translacji xµ → xµ + aµ we wzorze dla prądu Noether (1.5.11) mamy : λa → aµ ; δxν/δaµ = δνµ ; δu/δuµ = 0 (1.6.15) Ostatnia równość w (1.6.15) warunkuje inwariantność pól względem translacji (jednorodność przestrzeni ) u’(x’) = u(x) Zatem zachowany prąd Noether będzie miał postać : Tµν = − ₤ δµν + (∂₤ /∂uA, µ )uA, ν (1.6.16) Ta definicja jest również nadzwyczaj ogólna tj. można ją stosować dla dowolnego pola. Daje ona tensor energii-pędu , którego całka od składowej zerowej określa 4-pęd pola : pν = ∫ Tν0 d3x = ∫ d3x [(∂₤ /∂u, t )u , u − ₤ δν0 ] (1.6.17) W istocie – zerowa składowa tego wektora : p0 = ∫ d3x [(∂₤ /∂u, t )u , t − ₤ ] = ∫ d3x Ĥ (1.6.18) pokrywa się z energią pola, określoną w (1.4.10). Składowe przestrzenne stanowią wektor pędu pola : p = ∫ d3x (∂₤ /∂u, t ) ( −∇u ) (1.6.18a) Dla rzeczywistego skalarnego pola mamy : u = ϕ : Tµν = − δµν ₤ + ϕ , µ ϕ , ν lub, podnosząc indeks : Tνµ = ϕ , ν ϕ , µ − ηµν ₤ przez co otrzymujemy symetryczny tensor energii-pędu. Gęstość energii określa wzór : Ĥ = T00 = (∂ϕ/∂t)2 − ₤ = ½ (∂ϕ/∂t)2 + ½ (∇ϕ)2 + V(x) Jeśli V(ϕ) ≥ 0, to gęstość energii jest wielkością o określonym znaku i Ĥ ≥ 0.

(1.6.19)

(1.6.20)

Zwrócimy teraz uwagę na właściwe przekształcenia Lorentza. Rozpatrzymy na początku składowe proporcjonalne do δxν/δϕαβ w wyrażeniu dla prądu Noether (1.5.11) : Lµαβ = − [ ₤ δµν + (∂₤ /∂u, µ )u, ν ] (δxν/δϕαβ ) = Tµν (δxν/δϕαβ ) (1.6.21) Przypomnijmy ,że zgodnie z (1.3.18) : δxν = (Xαβ)µνxµ δϕαβ = [ −ηµνδνβ + ηβµδνα ]xµ δϕαβ = ( −xαδνβ + xβδνα ) δϕαβ Dlatego : (δxν/δϕαβ ) = − xαδνβ + xβδνα Podstawiając ostatnią równość do (1.6.21), otrzymujemy : Lµαβ = Tµν (xβδνα + xαδνβ ) = Tµαxβ − Tµβ xα (1.6.22) jest to tzw. tensor „orbitalnego momentu pola”. Jest to tensor antysymetryczny : Lµαβ = −Lµβα. Całka od zerowej składowej (1.6.22) określa całkowity tensor orbitalnego momentu pola. Lαβ = ∫ d3x L0βα (1.6.23) Zwróćmy uwagę na odwrotną kolejność dolnych indeksów w wyrażeniu podcałkowym. Trzy składowe tensora (1.6.23) związane są ze składowymi pseudowektora orbitalnego momentu pola poprzez związki : L12 =L3 ; L23 = L1 ; L31 = L2 Dla pola skalarnego mamy (α,β =1,2,3) : (1.6.24) Lαβ = ∫ d3x ( T0β xα - T0α xβ ) = ∫ d3x ( ϕ, β xα − ϕ, α xβ ) ϕ, t tj. otrzymujemy tensor orbitalnego momentu pola skalarnego. W ogólnym przypadku należy rozpatrzyć w prądzie Noether składowe proporcjonalne do δu /δϕαβ : Sναβ= (∂₤ /∂u, ν )(δu /δϕαβ ) (1.6.25) Określa ona tensor „momentu własnego” lub spinu pola : Sαβ= ∫ S0βα d3x (1.6.26) Sumarycznie orbitalny i spinowy moment składają się na całkowity moment pola : Jαβ= Lαβ+ Sαβ ,który zgodnie z twierdzeniem Noether, jest zachowany : ∂/∂xν Jναβ = 0 , J = L + S = const. (1.6.27) 66

Ji = ½ εijk Jjk W przypadku pola skalarnego δϕ /δϕαβ = 0 i Jαβ = Lαβ tj. spin jest równy zeru , S = 0, a moment jest zachowany : ∂Lναβ / ∂xν = 0 ; L = const. S = 0 (1.6.28) Z pierwszej równości wynika z uwzględnieniem zachowania energii – pędu : ∂ / ∂xν ( Tνα xβ - Tνβ xα ) = Tβα - Tαβ = 0 tj. Tαβ = Tβα - tensor energii-pędu pola skalarnego jest tensorem symetrycznym. W ogólnym przypadku pól charakteryzujących się nie trywialnymi własnościami transformacyjnymi względem przekształceń Lorentza, Sναβ ≠ 0i tensor energii-pędu jest nie symetryczny jednak możemy sprawić aby był on symetryczny. Zgodnie z (1.5.15) możemy to osiągnąć poprzez dodanie dywergencji odpowiedniego tensora antysymetrycznego.

................................................... Pola klasyczne -- D. W. Galcow, Ju. W. Grac, W. Cz. Żukowskij Wydawnictwo Uniwersytetu Moskiewskiego ; Moskwa 1991 6.2.3 Równanie Schrödingera i Kleina –Gordona Funkcja falowa bezspinowej cząstki ψ posiada jedną składową i jest skalarem tj. pole takiej cząstki jest polem skalarnym (stąd inna nazwa takich cząstek – cząstki skalarne ) – przekształca się względem grupy Lorentza jak skalar. Równanie dla takiej funkcji falowej możemy otrzymać, jeśli w klasycznym równaniu wiążącym energię E i pęd p : E = p2/2m zgodnie z ogólnymi zasadami MQ, dokonamy zamiany na odpowiednie operatory : p → (ħ/i )∇ ( oczywiście : ∇ ≡ ( ∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z ) – nabla ; ∇∇ ≡ ∆ - operator Laplace’a ) E → iħ ∂/∂t Po podstawieniu otrzymamy równanie Schrödingera, które oczywiście nie jest równaniem relatywistycznie niezmienniczym : iħ ∂ψ/∂t = H^ψ ; H^ = – ∇2 /2m = –∆/2m (hamiltonian ) Zatem : iħ ∂/∂t ψ(r, t) = – (ħ2∆/2m ) ψ(r, t) (równanie Schrödingera ) Zależnością relatywistyczną, wiążąca energię i pęd jest równanie : E2 = c2p2 + m2c4 (*) Notacja z użyciem czterowektorów ma dla pędu ( czteropędu ) postać : pµ = ( p0, p1 , p2 , p3 ) = ( E/c, px , py , pz ) Operator czteropędu ma postać : p^µ = iħ ∂/∂xµ = iħ { ∂/∂(ct) , –∇ } xµ = (ct, x , y , z ) ; xµ = ( ct, -x , -y , -z ) ; Kwadrat długości tego czterowektora jest równy : pµ pµ = m2c2 ( zastosowano konwencje sumowania , µ = 0, 1, 2, 3 ) p^µ p^µ = −ħ2 Zastosowanie powyższych wzorów do relacji (*) prowadzi do równania o postaci : ( iħ ∂/∂t )2 ψ(r, t) = ( –ħ2c2∆ + m2c4 )ψ(r, t) lub iħ ∂/∂t ψ(r, t) = sqrt ( –ħ2c2 ∆ + m2c4 )ψ(r, t) Równanie to możemy przekształcić do postaci : [ (1/c2) ∂2/∂t2 − ∆ ] ψ(r, t) = (m2c2 / ħ2 ) ψ(r, t) Jeżeli zastosujemy zapis z użyciem dalambercjanu : ≡ (1/c2) ∂2/∂t2 − ∆ to otrzymamy : ψ (r, t) = ( m2c2 / ħ2 ) ψ(r, t) [ + (mc/ħ )2 ] ψ(r, t) = 0 (**) lub p^µ p^µ ψ(r, t) = m2c2 ψ(r, t) 67

Równanie (**) nazywa się równaniem Kleina-Gordona ( zależnym od czasu ). Opisuje ono cząstkę swobodną o masie m i spinie 0. 6.2.4 Reprezentacja pędowa. Wyrażenia dla zmiennych dynamicznych pola skalarnego typu tensor energii-pędu, wektor prądu stają się bardziej poglądowe i dogodniejsze dla interpretacji fizycznej, jeśli przejdziemy do tzw. reprezentacji pędowej. Innymi słowy dogodniejsze parametry do opisu cząstek to pęd i energia, niż współrzędne czaso –przestrzenne. Każdą funkcje falową pola skalarnego jako funkcje współrzędnych i czasu ϕ = ϕ(r, t) możemy przedstawić w postaci całki (szeregu ) Fouriera : ϕ(r) = L ∫ ϕ~(k) exp(ikr ) dk (6.2.29) gdzie L – pewna stała – odpowiednia dla danego zagadnienia w odpowiednich jednostkach dk = dk0dk1dk2dk3 transformacja ma postać : ϕ(r) → ϕ~(k) W szczególnej postaci takiej transformacji możemy zapisać : ϕ(r, t) = [ 1/(2π)3/2 ] ∫ ϕ(k, t) exp(ikr ) d3k (6.2.29a) gdzie k – wektor falowy : k = (2π/λ ) n ; λ – długość fali, n – wersor w kierunku propagacji fali ; k = | k | - liczba falowa Jak wiemy z STW wektor falowy spełnia równanie : (k0 )2 – k2 = m2 k0 – częstość, k – trójwymiarowy wektor falowy, m – parametr (masa cząstki ) k0 = ±√( k2 – m2 ) W związku z tym faktem całkowanie w wyrażeniu (6.2.29) nie jest prowadzone po całej 4- wymiarowej przestrzeni k, a tylko po dwóch obszarach wyznaczanych przez trójwymiarowe hiperbolidy k0 = ±√( k2 – m2 ) leżące wewnątrz stożka świetlnego – górnego i dolnego. Oczywiście funkcja ϕ(k, t) tak samo w pełni opisuje dany układ jak funkcja ϕ(r, t). W tym sensie amplitudy rozkładu Fouriera ϕ(k, t) można rozpatrywać jako funkcje pola w reprezentacji pędowej. (6.2.30) ϕ(r, t) = [ 1/(2π)3/2 ] ∫ [a(k)e–ipx + a*(k)eipx ] dk 6.2.5 Rozwiązanie równania Kleina-Gordona. Rozwiązaniem szczególnym równania (6.2.2) jest fala płaska : ϕ(x) = A exp[ –i( p0t – px )] (6.2.31) 2 0 2 2 2 0 2 2 z warunkiem : p ≡ ( p ) − p = m ⇒ p = ± E(p) , E(p) = sqrt( p + m ) , p – dowolny wektor Właściwie wektor p w danym rozwiązaniu z punktu widzenie teorii klasycznej jest wektorem falowym mającym wymiar (długość)-1. Korpuskularna interpretacja fali exp[ i (pr − εp t)] oparta jest na pojęciu fali de Broglie’a odzwierciedlającej falową naturę cząstek kwantowych. Taką falę zapisujemy w postaci : exp[(i/ħ) (pr −εpt )] (6.2.32) gdzie : ħ = h/2π = 6,5820 • 10-22 [MeV s] jest zredukowaną stałą Plancka, przedstawiającą sobą kwant działania. Wektor p określamy jak pęd, a εp – jest energią cząstki. Przy tym długość odpowiadającej fali de Broglie’a związana jest z pędem zależnością : χ =λ / 2π = ħ / | p| Nie wnikając szczegółowo (jak na razie ) w zależności teorii klasycznej i kwantowej, należy zauważyć jedynie, że równanie dla pola klasycznego po przeprowadzeniu procedury kwantowania tego pola interpretuje się jako jednocząsteczkowe równanie dla cząstek – kwantu tego pola. Dowolny stan pola kwantowego przedstawiany jest jako zbiór N, liczby cząstek – kwantów, znajdujących się w różnych możliwych jednocząsteczkowych stanach o energii εi(pi ) i pędach pi (i = 1...N ). Równanie E(p) = sqrt( p2 + m2 ) zadaje związek energii relatywistycznej E, cząstki o masie m z jej pędem p. Istnieją zatem dwa niezależne typy rozwiązań szczególnych : µ ξ+(x) =e-i (Et – px ) ≡ e–ip xµ ≡ e–ipx (6.2.33) µ ξ -(x) =e i (Et – px ) ≡ e ip xµ ≡ eipx (6.2.34) 68

Równanie Kleina-Gordona jest liniowe, zatem jego ogólne rozwiązanie będzie superpozycją wszystkich rozwiązań szczególnych, dla różnych wartości p. Rozwiązanie ogólne możemy przedstawić jako przedstawienie Fouriera funkcji φ(x) : φ(x) = [1/√(8π3 ) ] ∫ [ d3p / √(2E(p)) ] [a(p)eipx + a†(p)eipx ] (6.2.35) † gdzie : a(p) , a (p) – dwie dowolne funkcje sprzężone hermitowsko Czynnik 1/√(8π3 ) został tak dobrany, aby po skwantowaniu późniejsze operatory a^(p) , a^†(p) spełniały reguły komutacji. Warunek p2 ≡ ( p0 )2 − p2 nie przypadkowo przypomina relatywistyczne określenie długości 4-wektora pędu. W STW mamy bowiem : p2 = pµ pµ = (E2/c2 ) − p • p = m2 c2 Energia pola w reprezentacji pędowej ma postać : H = ½ ∫ d3p E(p) [a†(p)a(p) + a(p)a†(p)] (6.2.36) Pęd pola ma postać : P = ½ ∫ d3p p[a†(p)a(p) + a(p)a†(p)] (6.2.37)

................................................... Teraz znajdziemy ogólne rozwiązanie równania Kleina-Gordona. W tym celu przejdźmy do k-reprezentacji : φ(x) = ∫ d4k [ eikx φ~(k ) + s.z ] k0 ≥0 Otrzymujemy z tego równanie : ( k2 – m2 ) φ~(k ) = 0 zatem φ~ jest różne od zera i dowolne, tylko przy : k2 ≡ (k0 )2 – ( k )2 = m2 tj. przy związku między częstością k0 a wektorem falowym k o postaci : k0 = sqrt( k2 + m2 ) (2.6) Równość ta przedstawia sobą prawo dyspersji dla fal swobodnych. Prawo dyspersji (2.6) przypomina relatywistyczną zależność między energią i pędem : E = sqrt( p2 + m2 ) Nie jest to przypadek – jeśli wyobrazimy sobie pole φ(x) jako funkcje falową pewnej cząstki ( nie zwykłej nierelatywistycznej cząstki o funkcji falowej spełniającej równanie Schrödinger’a ,a pewnej cząstki relatywistycznej), to będą dla niej słuszne następujące zależności : E = k0 , p = k m – będzie masą tej cząstki. To co teraz powiedzieliśmy stanie się ścisłym faktem w teorii kwantowej. Parametr m będziemy nazywali masą spoczynkową, a pola o m ≠ 0 – polami masywnymi. Dla fotonu m = 0, pole EM jest polem bezmasowym. Zatem ogólne rozwiązanie równania Kleina-Gordona przedstawia sobą sumę fal płaskich o prawie dyspersji (2.6) : φ(x) = ∫ d3k [ eikx φ~(k ) + s.z ] 0 k = sqrt( k2 + m2 ) amplitudy zespolone φ~(k ) są dowolne.

................................................... Klasyczne pola cechowania – Teorie bozonowe - W. A. Rubakow; КомКнига МОСКВА 2005 6.2.6 Teoria z wieloma polami skalarnymi Teoria pola z wieloma polami skalarnymi w wielu aspektach jest analogiczna do teorii przedstawionej powyżej, pojawiają się jednak pewne nowe interesujące symetrie. Dla przykładu rozpatrzmy N rzeczywistych pól skalarnych φa , gdzie a = 1, ... , N, oraz lagranżjan : N £ = ½ Σ ∂µ φ a ∂µ φ a (6.2.38) a =1 Oprócz standardowych inwariantności, taki lagranżjan jest inwariantny względem globalnych ( tj. nie zależnych od x ) obrotów N rzeczywistych pól skalarnych, przeprowadzających jedno pole w drugie : δφa = εab φb , εab = -εba

69

W wyniku czego pojawia się ½ N(N – 1 ) noetherowskich prądów zachowanych : jµab = φa ∂µφb – φb∂µφa Jest to przykład symetrii wewnętrznych, pojawiających się w wyniku obecności pól jednego typu. Jeśli daną teorię uzupełnimy potencjałem, zależnym tylko od inwariantnej ze względu na obroty „długości” φa φa , to wewnętrzna inwariantność względem obrotów zostaje zachowana.

6.3 Zespolone masywne pole skalarne. Zespolone pole skalarne posiada dwie niezależne składowe : φ(x) oraz sprzężoną do niej składową φ*(x). Może być ono jednak rozpatrywane jako pole o dwóch niezależnych składowych rzeczywistych φ1(x), φ2(x) związanych z polem zespolonym następująco : φ(x) = φ1(x) + iφ2(x) lub φ(x) = (1/√2) ( φ1(x) + iφ2(x) ) (6.2.39) φ*(x) = φ1(x) – iφ2(x) φ*(x) = (1/√2) ( φ1(x) – iφ2(x) ) Lagranżjan takiego pola ma postać : £ = ∂µ φ* ∂µφ – m2φ*φ ( gdzie symbol * oznacza sprzężenie w sensie zespolonym ) Obie składowe pola spełniają równanie Kleina-Gordona : ( + m2 )φ(x) = 0 ( + m2 )φ*(x) = 0 lub w innym zapisie : ( + m2 )φ(r, t ) = 0 ( + m2 )φ*(r, t ) = 0

(6.2.40) (6.2.40a)

Co wynika z równań Eulera -Lagrange’a : ∂£/∂ϕ* – ∂µ[ ∂£/∂(∂µϕ*)] = 0 ; ∂£/∂ϕ – ∂µ[ ∂£/∂(∂µϕ )] = 0 Tensor energii-pędu pola zespolonego jest dany następująco : Tµν =[ (∂φ*/∂xµ ) (∂φ/∂xν ) + (∂φ*/∂xν ) (∂φ/∂xµ ) ] – gµν £ Ze wzoru tego otrzymujemy następującą zależność na gęstość energii zespolonego pola skalarnego : T00 = Σ [ (∂φ*/∂xk ) (∂φ/∂xk ) ] + m2 φ*φ

(6.2.41)

(6.2.42) oraz dla gęstości pędu : T0i = − [ (∂φ*/∂x0 ) (∂φ/∂xi ) − (∂φ*/∂xi ) (∂φ/∂x0 ) ] (6.2.43) Wprowadzony lagranżjan charakteryzuje się również prądem zachowanym o postaci : jµ = − i (φ*∂µφ − φ∂µ φ* ) ; ∂µjµ ≡ ( ∂j0/∂t ) + div j = 0 (6.2.44) Obecność takiego prądu zgodnie z twierdzeniem Noether związane jest z globalną transformacją cechowania. Równanie ∂µjµ = 0 pociąga za sobą istnienie ładunku zachowanego : Q = ∫ ρ d4x (6.2.45) Gdzie j0 ≡ ρ = i[ (∂tφ*) ϕ – ϕ*(∂tφ)] – składowa zerowa → gęstość ładunku elektrycznego. Składowe przestrzenne prądu jµ przedstawiają sobą gęstość prądu prawdopodobieństwa : j = − i [φ* ∇φ − (∇φ* )ϕ ] nie jest to wielkość określona dodatnio.

(6.2.46)

Geneza równania Diraca Jak wiemy gęstość prawdopodobieństwa dla przypadku równania Schrödingera ma postać [ np. 4c, str. 35] : ρ = ψψ* a prąd prawdopodobieństwa jest określony zależnością : j = - ( iħ/2m ) ( ψ*∇ψ − ψ∇ψ* ) (8.14) Za pomocą tych wielkości możemy sformułować równanie ciągłości : ∂ρ/∂t + div j = ∂/∂t ( ψψ* ) − ( iħ/2m ) ( ψ*∆ψ − ψ∆ψ* ) = ψ* [ (∂ρ/∂t) − ( iħ/2m )∆ψ ] + ψ [ (∂ρ*/∂t) + ( iħ/2m )∆ψ* ] = 0 (8.15) Pytanie, jak analogiczne równanie ciągłości wygląda w przypadku równania Kleina-Gordona ? Można się przekonać, że [ 1d, str. 19 ] wyrażenie to ma postać : ∂/∂t [ (iħ /2mc2 ) ( ψ* ∂ψ/∂t – ψ ∂ψ*/∂t )] + div (ħ /2im )[ ψ*∇ψ − ψ∇ψ* ] = 0 (8.16) ---- ρ ------- j ---Czynnik [ (iħ /2mc2 ) ( ψ* ∂ψ/∂t – ψ ∂ψ*/∂t )] chcielibyśmy zinterpretować jako gęstość prawdopodobieństwa jest to jednak niemożliwe, gdyż wyrażenie to nie jest dodatnio określone. Dirac w tym kontekście wspomina

70

....................................................... „Pamiętam jak pewnego razu podczas mojego pobytu w Kopenhadze Bohr zapytał mnie nad czym pracuje. Odpowiedziałem, że próbuje stworzyć zadowalającą teorię relatywistyczną elektronu. Na to Bohr rzekł: „Przecież Klein i Gordon już to zrobili !!” Odpowiedź ta początkowo nieco mnie zaniepokoiła. Bohr wydawał się całkiem zadowolony z rozwiązania Kleina, a ja nie, prowadziło ono bowiem do ujemnych wartości prawdopodobieństw. Nie ustawałem w wysiłkach stworzenia takiej teorii, która miałaby tylko dodatnie prawdopodobieństwa.” Według G. Gamowa Dirac rozwikłał ten problem pewnego wieczora 1928 roku wpatrując się w ogień kominka w St. John’s College w Cambridge. Zdał on sobie sprawę, że powodem dla którego równanie Kleina-Gordona może dawać ujemne prawdopodobieństwo, jest fakt że ρ w równaniu ciągłości (8.16) zawiera pochodną czasową funkcji falowej. A to z kolei wynika z tego, że funkcja falowa spełnia równanie różniczkowe drugiego rzędu względem czasu (8.12). A zatem problem polegał na zastąpieniu tego równania równaniem z pierwszą pochodną względem czasu.

....................................................... S. Weinberg „Teoria pól kwantowych” tom 1 ; WN-PWN 2005 , str. 33

6.3.1 Pola skalarne masowe i bezmasowe Należy zauważyć, że w ramach teorii pól skalarnych – rzeczywistych i zespolonych, możemy również rozpatrywać pola bezmasowe tj. pola których lagranżjan ma postać : a (∂µ∂µϕ ) ; a – pewna stała. Równanie pola bezmasowego ma postać : ϕ(x) = 0 którego najprostszym rozwiązaniem jest fala płaska. Zatem – pole skalarne może opisywać następujące rodzaje cząstek : Pole skalarne rzeczywiste, bezmasowe → cząstki o masie spoczynkowej równej zero, nienaładowane, o spinie równym 0 Pole skalarne rzeczywiste, masowe → cząstki o masie spoczynkowej różnej od zera, nienaładowane, o spinie równym 0 Pole skalarne zespolone, bezmasowe → cząstki o masie spoczynkowej równej zero, naładowane, o spinie równym 0 Pole skalarne zespolone, masowe → cząstki o masie spoczynkowej różnej od zera, naładowane, o spinie równym 0 Należy również podkreślić, że równanie Kleina –Gordona, mimo swojego ograniczonego zastosowania, stanowi podstawowe równanie KLTP, jak przekonamy się dalej wszystkie „składowe” pól będą spełniały to równanie. Przykładowo tak będzie ze „składowymi” pola Diraca. 6.3.2 Reprezentacja pędowa zespolonego pola skalarnego. Analogicznie do przypadku rzeczywistego pola skalarnego, pole zespolone możemy przedstawić w postaci całki Fouriera : φ(x) = [1/ √(8π3 ) ] ∫ [ d3p / √(2E(p)) ] [a(p)e–ipx + b*(p)eipx ] (6.2.47) φ*(x) = [1/ √(8π3 ) ] ∫ [ d3p / √(2E(p)) ] [a*(p)eipx + b(p)e–ipx ] gdzie a(p), b(p) – są dowolnymi funkcjami. Czteropęd pola w reprezentacji pędowej ma postać: Pµ = ½ ∫ d3p pµ [a*(p)a(p) + a(p)a*(p) + b*(p)b(p) + b(p)b*(p)] (6.2.48) 0 Gdzie p = E(p) Całkowity ładunek : Q = ½ ∫ d3p p[a*(p)a(p) + a(p)a*(p) – b*(p)b(p) – b(p)b*(p)] (6.2.49) µ Struktura wyrażenia (6.2.48) wskazuje, że na wartość czteropędu P składają się dwa rodzaje drgań elementarnych a(p) i b(p), przy czym energia pola jest określona dodatnio. Z wyrażenia (6.2.49) wynika, że wkład modow a(p) i b(p) do całkowitego ładunku pola Q jest przeciwny. Wynika stąd, że pole zespolone składa się z dwóch pól o ładunkach dodatnim oraz ujemnym, które dają równy wkład do energii całkowitej i pędu pola.

71

6.3.3 Funkcje Greena dla równania Kleina –Gordona. Funkcje Greena. Definicja ogólna. Metoda funkcji Greena pozwala rozwiązywać niejednorodne liniowe równania różniczkowe z dowolnymi prawymi częściami. Funkcja Greena pierwszego rodzaju G(x, x’ ) ; x, x’∈ D ⊂ Rn zagadnienia brzegowego : Lu = f , Bu | x∈S = 0 (D6.1.1) Gdzie : L, B – pewne liniowe operatory różniczkowe spełnia równanie : LG(x, x’ ) = δ(x – x‘ ) (D6.1.2) i warunek brzegowy BG(x, x’ )| x∈S = 0. Schematycznie obszar D i jego brzeg pokazuje rysunek 6.2.1

Rys.6.2.1 Zazwyczaj rozwiązanie zagadnienia (D6.1.1) wyrażamy poprzez całkę : u(x) = ∫ G(x, x’ ) f(x’) dx’ Metoda funkcji Greena stanowi bardzo ważne narzędzie w rozwiązywaniu równań różniczkowych. Ponadto okazuje się, że istnieje bliski związek między operatorami różniczkowymi i operatorami całkowymi. Kluczowym ogniwem łączącym te dwa pojęcia są warunki brzegowe. Związek między operatorami różniczkowymi i całkowymi stanowi teoria funkcji Greena. Teoria ta znalazła swoje bardzo ważne zastosowanie w fizyce, a zwłaszcza w KTP. Przykład. Rozważmy następujące, proste równanie różniczkowe : dy/dx = f(x) Dla warunku początkowego y(a) = y0 możemy zapisać rozwiązanie równania (D6.1.3) : φ(x ) = y0 + ∫ f(x’) dx’ Jest to oczywiście rozwiązanie rr poprzez jednokrotne scałkowanie. Pójdźmy teraz dalej, niech x ∈ [a, b ], równanie (D6.1.4) możemy teraz zapisać następująco : b φ(x ) = y0 + ∫ θ(x – x‘ ) f(x’) dx’ a gdzie θ(t ) jest funkcją schodkową : θ(t) = { 1 dla t > 0 { 0 dla t ≤ 0 mającą za zadanie urwanie całkowania po x’ przy x’ = x.

(D6.1.3) (D6.1.4)

(D6.1.5)

Równanie (D6.1.5) jest równoważne równaniu całkowemu : y(x) = y0 + K f(x) gdzie K jest operatorem całkowym : b K = ∫ θ(x – x‘ ) f(x’ )dx’ a w którym jądrem jest funkcja θ( x – x’ ). W przypadku, kiedy jądro pochodzi z rozwiązania równania zawierającego operator różniczkowy, nazywa się ono funkcją Greena tego operatora różniczkowego dla odpowiednich warunków granicznych. Zatem : G(x, x’ ) = θ(x –x’ ) Jest funkcją Greena dla operatora d/dx, dla układu poddanego warunkom brzegowym y(a) = y0. Jak widać zamieniliśmy równanie różniczkowe w równanie całkowe, co być może akurat dla powyższego, prostego przykładu nie jest atrakcyjnym rozwiązaniem, jednakże dla przypadków bardziej skomplikowanych jest już opłacalne. W fizyce funkcje Greena związane są z pojęciem propagatora ( propagator jest funkcją Greena dla odpowiedniego równania pola )

72

Przykład. Mając do rozwiązania niejednorodne rr ( niejednorodne równanie Kleina-Gordona ) : ( + m2 )φ(x) = J(x) z dowolną funkcją źródłem J(x), szukamy najpierw funkcji Greena G(x – y ) spełniającej równanie : ( + m2 )G( x – y ) = –δ4(x – y ) (D6.1.6) a następnie ogólne rozwiązanie danego równania możemy przedstawić w postaci : φ(x) = φ0(x) – ∫ d4y G(x – y ) J(y ) gdzie φ0(x) – jest rozwiązaniem jednorodnego równania Kleina-Gordona. Funkcja Diraca δ4(x – y ) opisuje źródło punktowe. Funkcja Greena ( stosowana dla pól swobodnych, zwana propagatorem ) G(x – y ) dla równania Kleina-Gordona jest określona jako rozwiązanie równania (D6.1.6). Oczywiście równanie to jest niejednoznaczne i zależy od nałożonych warunków początkowych. Z tego względu możemy zdefiniować różne funkcje Greena dla tego samego operatora różniczkowego. Przykładem są opóźnione i przedwczesne funkcje Greena, w zależności od tego, czy opisują propagacje w „przód” czy w „tył” w czasie, lub funkcje Greena Feynmana ( propagatory Feynmana ) opisujące jednocześnie te dwie ewolucje. W KTP najbardziej odpowiednim opisem jednocześnie cząstek i antycząstek jest właśnie propagator Feynmana. Na podstawie : „Matematyka w fizyce klasycznej i kwantowej” tom 2 -- Frederick W. Byron, Robert W. Fuller ; PWN 1975

Funkcje Greena dla równania Kleina –Gordona. Do tej pory rozpatrywaliśmy równanie Kleina –Gordona dla cząstek swobodnych. W dalszej kolejności będziemy rozpatrywali równania o ogólniejszej postaci z prawą częścią równania różną od zera : ( + m2 )φ(x) = –J(x) (6.2.50) gdzie J(x) – jest pewną funkcją skalarną W tym celu dogodnie będzie na początku poszukać rozwiązania równania z δ-podobną prawą stroną : ( + m2 )G(x – x’ ) = –δ(4)(x – x’ ) (6.2.51) Funkcje G(x – x’ ), będącą rozwiązaniem równania (6.2.51), nazywamy funkcją Greena dla równania Kleina – Gordona. Ogólne rozwiązanie równania (6.2.50) może być zapisane w postaci całki zawierającej funkcje Greena : ϕ(x) = ϕ0(x) + ∫ d4x’ G(x – x’ ) J(x’) gdzie ϕ0(x) – jest rozwiązaniem równania jednorodnego : ( + m2 )φ0(x) = 0 (6.2.52) i jest tak dobrane, aby ϕ(x) spełniało warunki graniczne. Równanie (6.2.51) dla funkcji Greena dogodnie jest rozwiązywać z pomocą przekształcenia Fouriera. Zapiszmy : G(x – x’ ) = [1/(2π)2 ] ∫ d4p G(p) exp[ –ip(x – x’ )] (6.2.53) (4) 4 4 δ (x – x’ ) = [1/(2π) ] ∫ d p exp[ –ip(x – x’ )] (6.2.54) Podstawiając takie rozkłady do (6.2.51) i uwzględniając, że : exp[ –ip(x – x’ )] = p2 exp[ –ip(x – x’ )] (6.2.55) otrzymamy równanie algebraiczne : ( p2 – m2 ) G(p) = –1 (6.2.56) Stąd wynika, że : G(p) = 1/ m2 – p2 (6.2.57) Zatem : G(x – x’ ) = [1/(2π)4 ] ∫ d4p (1/ m2 – p2 ) exp[ –ip(x – x’ )] (6.2.58) 4 3 Gdzie d p = dp0d p ,całkowanie po p0 i trzech składowych wektora p prowadzimy od –∞ do +∞. Na początku przeprowadzimy całkowanie po p0. Przy tym uwzględniamy, że wyrażenie podcałkowe posiada bieguny w punktach : m2 – p2 ≡ m2 – p02 + p2 = 0 (6.2.59) tj. w dwóch punktach : p0 = ±ωp , ωp = sqrt(p2 + m2 ) (6.2.60) Aby nadać sens całce (6.2.58), należy wskazać zasady obejścia takich biegunów- sposób deformacji konturu całkowania po p0 na płaszczyźnie zespolonej.

73

Różnym zasadom obejścia odpowiadają różne funkcji Greena, które odpowiadają różnym warunkom granicznym w nieskończoności. Takie funkcje Greena różnią się pomiędzy sobą o wielkość będącą rozwiązaniem jednorodnego równania Kleina –Gordona. Rozpatrując przykłady funkcji Greena, na początku wprowadzimy opóźnioną (retarded ) funkcje Greena GR(x – x’ ), definiując ją następująco : GR(x – x’ ) = [1/(2π)4 ] ∫ d4p (1/ m2 – p2 ) exp[ –ip(x – x’ )] (6.2.61) CR Gdzie kontur całkowania CR na płaszczyźnie zespolonej zmiennej p0 pokazano na rysunku 6.2.2.

Rys. 6.2.2 Na początku rozpatrzmy przypadek t – t’ < 0. wtedy kontur CR można zamknąć na górnej półpłaszczyźnie, nie zmieniając wartości całki. Wyrażenie podcałkowe (6.2.61) zawiera bowiem w charakterze czynnika exp[ –ip0(t – t’ )] = exp[ –ip’0(t – t’ )] exp[ p’’0(t – t’ )] gdzie p0 = p’0 + ip’’0. Jeśli t – t’ < 0, to wyrażenie to dąży do zera przy p’’0 → ∞. Zatem, całka po drodze górnego nieskończonego dużego półokręgu jest równa zero (lemat Jordana ) i jej dodanie nie zmienia wartości funkcji Greena. Jednakże przy takim zamknięciu konturu całkowania wszystkie bieguny wyrażenia podcałkowego okażą się pozostawać poza nim. Dlatego, zgodnie z twierdzeniem Cauchy’ego, funkcja Greena w takim przypadku jest równa zero : GR(x – x’ ) = 0 przy t – t’ < 0 (6.2.62) Jeżeli t – t’ > 0, to kontur całkowania CR nie zmieniając wartości całki może być zamknięty na dolnej półpłaszcyźnie. Przy tym bieguny znajdą się wewnątrz konturu całkowania, dlatego funkcja Greena będzie różna od zera. W tym przypadku możemy zapisać : GR(x – x’ ) = – G0(x – x’ ) przy t – t’ > 0 (6.2.63) Gdzie funkcja G0(x – x’ ) dana jest przez całkę : (6.2.64) G0(x – x’ ) = [1/(2π)4 ] ∫ d4p (1/ m2 – p2 ) exp[ –ip(x – x’ )] C W której kontur całkowania C pokazano na rysunku 6.2.3.

Rys. 6.2.3

74

Wzory (6.2.62) i (6.2.63) można połączyć, zapisując : GR(x – x’ ) = – θ(t – t’ ) G0(x – x’ ) (6.2.65) Gdzie θ(t – t’ ) = { 0, jeśli t – t’ < 0 (6.2.66) { 1, jesli t – t’ > 0 Aby wyjaśnić sens fizyczny opóźnionej funkcji Greena, rozpatrzymy rozwiązanie niejednorodnego równania Kleina –Gordona, podstawiając do niego GR(x – x’ ). Przy całkowaniu po t’ w wzorze : ϕ(x) = ϕ0(x) + ∫ d4x’ G(x – x’ ) J(x’) (6.2.67) pozostaje tylko obszar t’ < t. Innymi słowy, pole ϕ(x) będzie określone przez wartości funkcji J(x’ ), która stanowi źródło tego pola, tylko dla czasu (t’ < t ) i nie będzie zależało od wartości J(x’ ) w chwili przyszłej (t’ > t ). W ten właśnie sposób określa się potencjały opóźnione w elektrodynamice. Wraz z opóźnioną funkcją Greena wprowadza się wyprzedzającą (advanced ) funkcje Greena GA(x – x’ ) : GA(x – x’ ) = [1/(2π)4 ] ∫ d4p (1/ m2 – p2 ) exp[ –ip(x – x’ )] (6.2.68) CA Gdzie kontur całkowania CA na płaszczyźnie zespolonej zmiennej p0 pokazano na rysunku 6.2.4.

Rys. 6.2.4 Wyprzedzająca funkcja Greena może być przedstawiona w postaci : GA(x – x’ ) = θ(t’ – t ) G0(x – x’ ) Gdzie funkcja G0(x – x’ ) dana jest przez wzór (6.2.64). Wyprzedzająca funkcja Greena jest równa zero przy t – t’ > 0.

(6.2.69)

Z wzorów (6.2.65) i (6.2.69) wynika, że : GA(x – x’ ) – GR(x – x’ ) = G0(x – x’ ) (6.2.70) Funkcja G0(x – x’ ) jest oczywiście rozwiązaniem jednorodnego równania Kleina –Gordona ( + m2 )G0(x – x’ ) = 0 (6.2.71) Najprostsza postać funkcja G0 przyjmuje w przypadku cząstek bezmasowych, kiedy m = 0. W tym przypadku : G0(x – x’ ) = (1/4πr ) { δ(t + r ) – δ(t – r ) } = –(1/2π) ε(t) δ(x2) (6.2.72) Gdzie xµ = ( t, r ), x2 = t2 – r2 , r = | r | , ε(t) – funkcja schodkowa : ε(t) = { 1, jesli t > 0 { –1, jesli t < 0 W przypadku ogólnym, kiedy m ≠ 0, funkcja G0(x) może być wyrażona z pomocą (6.2.64) poprzez funkcje cylindryczne. Oprócz opóźnione i wyprzedzającej funkcji Greena w KTP ważną rolę odgrywa przyczynowa (feynmannowska ) funkcja Greena GF(x – x’ ), mająca postać całki : (6.2.73) GF(x – x’ ) = [1/(2π)4 ] ∫ d4p (1/ m2 – p2 ) exp[ –ip(x – x’ )] CF Gdzie kontur całkowania CF na płaszczyźnie zespolonej zmiennej p0 pokazano na rysunku 6.2.5.

75

Rys. 6.2.5 Aby wyjaśnić sens fizyczny przyczynowej funkcji Greena, rozpatrzymy obszar t > t’. W tym przypadku kontur całkowania CF można zamknąć na dolnej półpłaszczyźnie w wziąć residuum w punkcie p0 = +ωp. Przy tym : GF(x – x’ ) = i ∫ [ d3p / (2π)2 2ωp ] exp[ –iωp(t – t’ )] exp[ –ip(r – r’ )] przy t > t’ (6.2.74) Jeśli wprowadzimy oznaczenia dla funkcji falowych cząstek swobodnych o dodatniej energii : ϕp+(x) = exp( –ipx ) (6.2.75) gdzie E = + ωp = sqrt( p2 + m2 ), to przy t > t’ : GF(x – x’ ) = i ∫ [ d3p / (2π)2 2ωp ] ϕp+(x) ϕ*p+(x) (6.2.76) Zatem, przy t > t’ przyczynowa funkcja Greena opisuje propagacje stanów o energii dodatniej w przód czasu. Jeśli weźmiemy t < t’, to kontur całkowania CF można zamknąć w górnej półpłaszczyźnie w wziąć residuum w punkcie p0 = –ωp. Przy tym GF(x – x’ ) opisuje propagacje stanów o energii ujemnej w tył czasu. We wszystkich otrzymanych powyżej wzorach dla funkcji Greena, deformowaliśmy kontur całkowania na płaszczyźnie zespolonej p0 pozostawiając bieguny wyrażenia podcałkowego na osi rzeczywistej. Jednakże te same wyniki można otrzymać, jeśli przeprowadzimy całkowanie po rzeczywistej osi p0, ale bieguny przesuniemy na płaszczyźnie zespolonej o nieskończenie małą wartość ± iε (ε > 0). Innymi słowy, wyrażenia dla rozpatrzonych funkcji Greena można zapisać w następującej postaci : (6.2.77) GR(x – x’ ) = [1/(2π)4 ] ∫ d4p (1/ m2 – (p0 + iε )2 + p2 ] exp[ –ip(x – x’ )] GA(x – x’ ) = [1/(2π)4 ] ∫ d4p (1/ m2 – (p0 – iε )2 + p2 ] exp[ –ip(x – x’ )] (6.2.78) 4 4 2 2 2 GF(x – x’ ) = [1/(2π) ] ∫ d p (1/ m – p – iε ] exp[ –ip(x – x’ )] (6.2.79) Na podstawie Relatywistyczna teoria pola – A. N. Moskaljew ; RAN 2006 (po rosyjsku )

6.4 Unitarne symetrie dynamiczne Symetrie w fizyce Generalnie symetrie występujące w fizyce (mowa oczywiście o symetriach lagranżjanu ) możemy podzielić na : - symetrie ciągłe - zewnętrzne - symetrie dyskretne - wewnętrzne Symetrie ciągłe, to w pierwszej kolejności symetrie czasoprzestrzenne – symetrie lagranżjanu względem grupy Poincarego. Symetrie te nazywa się symetriami geometrycznymi. Pośród nich oczywiście istnieje podgrupa symetrii dyskretnych np. symetrie względem odwrócenia czasu. Symetrie ciągłe jednakże mogą dotyczyć symetrii tzw. przestrzeni wewnętrznych np. przestrzeni izospinowej cząstek elementarnych, wtedy mówimy o symetriach ciągłych wewnętrznych. Zazwyczaj takie rodzaje symetrii związane są z grupami unitarnymi : U(n), SU(n) – stąd nazywa się je symetriami unitarnymi. Pośród symetrii wewnętrznych mogą występować symetrie dyskretne np. symetria sprzężenia ładunkowego. Drugim ważnym rodzajem symetrii jest symetria cechowania – jest to pewne rodzaj symetrii ciągłej, znany już np. w przypadku cechowania lagranżjanu czy też tensora energii-pędu. (symetrie cechowania oczywiście są symetriami unitarnymi ) Symetrie cechowania dzielimy na globalne i lokalne; abelowe i nieabelowe. (szczegóły opisu podam dalej ) 76

W dalszej kolejności należy wymienić supersymetrie tj. symetrie w superprzestrzeni. W fizyce cząstek elementarnych – modelu standardowym cząstek i oddziaływań elementarnych, bardzo ważnym jest zjawisko łamania – naruszenia (spontanicznego ) symetrii. Mówimy, że symetria została naruszona, jeśli pewna wielkość fizyczna, nie obserwowalna w skutek związanej z nią symetrii, staje się wielkością obserwowalną. Takiego rodzaju naruszenie ma miejsce dla pewnego rodzaju symetrii unitarnych. Symetrie geometryczne są nienaruszone, co potwierdzają liczne doświadczenia prowadzone od skali wymiarów atomu do skal wymiaru kosmicznego. Przykładowo - prawo zachowania ładunku elektrycznego wynika z symetrii elektrodynamiki U(1). Prawo zachowania energii wynika z jednorodności (translacyjnej ) czasu. 6.4.1 Teorie z cechowaniem. Wprowadzenie. Teorie z cechowaniem ( ang. gauge theories ), w szczególności teorie z cechowaniem nieabelowym o symetrii lokalnej stanowią podstawę współczesnego opisu oddziaływań fundamentalnych ( grawitacyjnego, elektrosłabego i silnego ) – ogólnie model standardowy cząstek elementarnych jest oparty właśnie na teoriach z cechowaniem. Teorie z cechowaniem dzielimy na : teorie z symetrią globalną i teorie z symetrią lokalną.

Pierwszą teorią z cechowaniem o symetrii lokalnej była maxwellowska teoria pola elektromagnetycznego ( elektrodynamika klasyczna ). W pierwszej kolejności jej inwariantny, względem cechowania charakter przejawia się w możliwości arbitralnego ustalenia poziomu odniesienia dla potencjału elektrycznego. Drugą klasyczną teorią o cechowaniu lokalnym jest einsteinowska teoria grawitacji. Jej inwariantny względem cechowania charakter przejawia się w możliwości dowolnego wyboru układu współrzędnych. Zarówno teoria elektromagnetyzmu Maxwella, jak i teoria grawitacji Einsteina swoje piękno w znacznym stopniu zawdzięcza właśnie lokalnej symetrii cechowania. Uogólnieniem abelowych teorii cechowania jest teoria Yanga-Millsa, która jest teorią nieabelową. Uwaga ! W fizyce mówimy o teoriach z cechowaniem oraz o polach cechowania ( gauge fields ). Pola cechowania są oczywiście integralnymi składowymi teorii z cechowaniem. ( pola cechowania wprowadzamy po to, aby właśnie zapewnić dla danej teorii jej inwariantność względem cechowania ( gauge inwariance ). Takim polem cechowania jest np. pole EM oraz pole grawitacyjne. Innym przykładem jest przypadek przejścia od globalnej symetrii izospinowej ( symetria izospinowa ustala związek między cząstkami o tym samym spinie np. proton i neutron. ) do lokalnej ( 1954 Yang, Mills ). W pierwotnym podejściu do tej teorii, przejściu takie wymaga wprowadzenia trzech pól cechowania, każdemu takiemu polu odpowiada bezmasowa cząstka o spinie 1. Później okazało się, że w wyniku mechanizmu spontanicznego łamania symetrii cząstki te mogą uzyskiwać masę. ( twierdzenie Goldstone’a → mechanizm Higgsa ). Jak się miało okazać dalej ( model Weinberga-Salama ) wymóg lokalnej niezmienniczości izospinowej doprowadził do połączenia sił EM i słabych. Wszystkie kwantowe teorie pola, które poprawnie opisują świat rzeczywisty są teoriami z cechowaniem nieabelowym tzn. są teoriami opartymi na zasadach niezmienniczości względem cechowań ogólniejszych niż prosta niezmienniczość U(1) względem cechowania w elektrodynamice kwantowej. 77

Ogólnie mówiąc, transformacja cechowania polega na przemnożeniu funkcji pola przez czynnik fazowy : ( w mechanice kwantowej mówimy, że faza początkowa funkcji falowej może być dowolna ) Φ(x) → e−iφ Φ(x) Rozróżniamy transformacje cechowania globalne w których czynnik fazowy nie zależy od punktu w przestrzeni ( czasoprzestrzeni, przestrzeni konfiguracyjnej itp. ), oraz transformacje cechowania lokalne – w których czynnik fazowy jest zależny od punktu ( od współrzędnych punktu ) : Φ(x) → e−iφ(x) Φ(x) lub Φ(x) → e−igφ(x) Φ(x) gdzie wprowadzono stałą sprzężenia g. Globalne transformacje cechowania tworzą zazwyczaj przemienną grupę U(1), będąca zbiorem liczb zespolonych o postaci : U(λ) = exp( −iλ ) Transformacje cechowania możemy w sposób naturalny uogólnić na przypadek grup nieprzemiennych (nieabelowych). Najprostszą taką grupą wykorzystywaną w fizyce jest grupa SU(2), a dalej SU(3). Dowolny element grupy SU(2) możemy zapisać w postaci : U = exp(iω ) gdzie ω jest dwuwymiarową macierzą. Przekształcenia pola będzie miało postać : Φ(x) → e−igφ(x)T Φ(x) gdzie wprowadzono stałą sprzężenia g i zbiór generatorów danej grupy przekształceń T np. grupy SU(2). Przykładowo w elektrodynamice, pola ψn(x) o ładunku en poddawane są przekształceniu cechowania o postaci : ψn(x) → exp[ ien Λ(x)] ψn(x) z dowolną funkcją Λ(x). W związku z zależnością parametrów od punktu w czasoprzestrzeni pojawia się trudność w skonstruowaniu lagranżjanu niezmienniczego względem lokalnych transformacji cechowania. Źródłem problemu jest prawo transformacji pochodnej pola. Jeśli pole ϕ ( skalarne, wektorowe, tensorowe lub spinorowe ) transformuje się jednorodnie : ϕ’(x) = U(x)ϕ(x) to po zróżniczkowaniu obu stron otrzymujemy : ∂µϕ’ = U∂µϕ (∂µU )ϕ = U(∂µ + U−1∂µU )ϕ Ponieważ pochodne ∂µψ(x) nie przekształcają się tak samo jak pole ϕ(x) musimy znaleźć odpowiednie rozwiązanie tego problemu. Przykładowo iloczyn φ†φ ( †- sprzężenie hermitowskie ) zachowuje się przy lokalnej transformacji cechowania, ale nie jest zachowany iloczyn pochodnych (∂µφ)† ∂µφ. Najprostszym rozwiązaniem jest modyfikacja operatora pochodnej ∂µ : ∂µ → D µ Operator Dµ zwany jest „pochodną kowariantną“ Iloczyn : ( Dµφ)† Dµφ przy odpowiednim wyborze konkretnej postaci pochodnej kowariantnej będzie niezmienniczy względem lokalnej transformacji cechowania. Wybór konkretnej postaci pochodnej kowariantnej jest uzależniony od konkretnego przypadku rozważanego pola. Dla przypadku pola EM i oddziaływania fermionowego przyjmujemy : Dµ = ∂µ – ieAµ Komutator pochodnych kowariantnych : [ Dµ , Dν ] = [ ∂µ – ieAµ , ∂ν – ieAν ] = ie( ∂µAµ − ∂νAν ) = ieFµν jak widać daje tensor natężenia pola EM.

78

Pochodna kowariantna pozwala budować lagranżjany niezmiennicze względem lokalnej transformacji cechowania. Wystarczy, bowiem w lagranżjanach swobodnych zastąpić zwykłą pochodną na pochodną kowariantną : ∂µ → ∂µ + igAµ Poprzez taką operacje prowadzamy tzw. pole kompensujące Aµ, które również podlega transformacji cechowania, tak aby skompensować dodatkowy człon U−1∂µU. Pole kompensujące Aµ , nazywa się dalej polem cechowania. Pole to transformuje się następująco : A’µ = UA’µ U−1 − (1/ig ) ( ∂µU )U−1 Przepis aby w lagranżjanach pól swobodnych zastąpić pochodną zwykłą przez pochodną kowariantną, określoną powyżej nazywa się zasadą minimalnego sprzężenia. ( taka sama zasada obowiązuje w OTW, gdzie również pochodną zwykłą zastępujemy pochodną kowariantną ) W związku z tym warto zacytować następujący fragment :

.......................................................

....................................................... Teoria pól kwantowych supersymetria” tom 3 - S. Weinberg , 2001 PWN; str. 28

79

6.4.2 Przekształcenie cechowania zespolonego pola skalarnego. Wprowadzony lagranżjan zespolonego pola skalarnego posiada bardzo ważną symetrie (oprócz oczywiście symetrii względem grupy Poincarego ), związaną z globalną transformacją cechowania – jest on mianowicie niezmienniczy względem następującego przekształcenia składowych pola : φ’(x) = e+iα φ(x) φ*’(x) = e–iα φ(x) gdzie : α – stała (rzeczywista), niezależna od współrzędnych czasoprzestrzennych. Dla małych α możemy zapisać infinitezymalne przekształcenia cechowania : δφ = iαφ δφ* = − iαφ Ponieważ α nie zależy od współrzędnych czasoprzestrzennych infinitezymalne przekształcenia pochodnych pola maja następującą postać : δ( ∂µφ ) = iα ∂µφ δ (∂µφ* ) = − iα∂µφ* Rozpatrując dwa równoważne podejście, z zastosowaniem dwóch pól rzeczywistych transformację tą możemy zapisać następująco ( zapis macierzowy ) : ( φ1’ ) = ( cosα −sinα ) ( φ1 ) ( φ2’ ) = ( sinα cosα ) ( φ2 ) ( jest to oczywiście transformacja polegająca na obrocie o kąt α ) Jest to przekształcenie zadawane przez elementy grupy Liego, konkretnie grupy U(1) Rozważmy teraz lokalne przekształcenie cechowania φ’(x) → e–iα(x) φ(x) Zauważmy dalej, że ∂µφ pod działaniem globalnego przekształcenia cechowania przekształca się jak samo pole tj. φ(x). Jednak pod działaniem lokalnego przekształcenia cechowania pojawia się dodatkowy człon ∂µφ’(x) → e−iα(x) ∂µφ(x) + φ(x) ∂µe−iα(x) Widać więc, że gęstość £ (φ, ∂µφ ) nie jest inwariantna względem lokalnych przekształceń cechowania. Aby uczynić ją inwariantną należy zamienić ∂µφ(x) na wyrażenie przekształcające się jak samo pole tj. φ(x). W tym celu wprowadzimy pole wektorowe Aµ(x) (pole cechowania ), które przekształca się pod działaniem lokalnego przekształcenia cechowania w następujący sposób : Aµ(x) → Aµ(x) + (1/e) ∂µα(x) ; e – pewna stała rzeczywista ( skalująca ) Wtedy „pochodna kowariantna” : Dµφ(x) ≡ [ ∂µ + ieAµ(x) ] φ(x) będzie przekształcała się już jak samo pole tj. : Dµφ(x) → e–iα(x) Dµφ(x) Gęstość £ (φ, Dµφ ) będzie zatem inwariantna względem lokalnego przekształcenia cechowania, zawiera ona jednak pole wektorowe Aµ(x ) jako pole zewnętrzne, nie wynikające z teorii.

Aby sprawić aby teoria była pełna należy dodać do lagranżjanu człon kwadratowy względem ∂µAµ(x) : £ = − ¼ Fµν Fµν + £0(φ, Dµφ ) gdzie : Fµν = ∂µAν − ∂ν Aµ – jest to tensor pola EM Sytuacja jest zatem następująca : wprowadzony lagranżjan £ = ∂µφ* ∂µφ – m2φ*φ posiada globalną symetrię cechowania U(1) ( odpowiadającą pewnemu przesunięciu fazy ). Ponieważ z fizycznego punktu widzenia bardziej interesuje nas lokalna symetria cechowania (co wynika m.in. z wymogu relatywistycznej postaci teorii fizycznych, który globalna symetria cechowania łamie ) chcielibyśmy aby lagranżjan ten był niezmienniczy względem właśnie takiej symetrii. Ponieważ występują dodatkowe człony ( nie inwariantne względem lokalnej symetrii cechowania ) musimy zamienić zwykłą pochodną na pochodną innego typu – pochodną kowariantną. Poprzez tą modyfikacje wprowadzamy jednak dodatkowe pole wektorowe – pole cechowania Aµ,o własnościach transformacyjnych : Aµ (x) → A’µ = Aµ (x) + q ∂µα (x) ; q- pewna stała Pole cechowania należy teraz wpasować do wejściowego lagranżjanu tak aby stało się ono pewną immanentną składową naszej teorii – musimy dodać do lagranżjanu człon z jego pochodnymi członem takim jest człon β Fµν Fµν , β –stała Zatem nasz całkowity lagranżjan ma teraz postać : £ = ( ∂µφ + ieAµφ ) ( ∂µ φ* − ieAµφ* ) – m2φ*φ – ¼ Fµν Fµν ; e - ma oczywiście sens ładunku elektrycznego

80

Widać więc, że pole EM pojawia się naturalnie w naszym lagranżjanie ( teorii zespolonego pola skalarnego ) jako wymóg inwariantności działania względem lokalnego przekształcenia cechowania. Pole EM jest zatem polem cechowania, które należy wprowadzić aby zagwarantować inwariantność działania względem lokalnych U(1)-przekształceń cechowania. Warto zauważyć, że równania Maxwella wynikają z wariowania powyższego lagranżjanu ( wariując względem potencjałów Aµ ). Mamy również nową interpretacje bezmasowości pola EM – pole EM jest polem bezmasowym ponieważ wymaga tego inwariantność względem U(1)-cechowania. Widać więc, że elektrodynamika jest teorią z U(1)-cechowaniem. Widać również, że teoria zespolonego pola skalarnego będzie niejako wbudowana w teorie pola wektorowego o spinie 1 tj. w elektrodynamikę.

6.5 Pola wektorowe. 6.5.1 Rzeczywiste pole wektorowe – masywne i bezmasowe. Pole wektorowe przekształca się zgodnie z reprezentacją ( ½, ½ ). Pole, przekształcające się jak ∂µφ(x ) nazywa się polem wektorowym : A’µ(x) = Λµν Aν (x) , Λµν - macierz Lorentza. Oczywiście pole wektorowe w najprostszym przypadku jest opisywane przez funkcje o czterech składowych : A(x) = {Aµ(x)} Możemy dodać jeszcze, że istnieje druga reprezentacja pola wektorowego w postaci macierzy hermitowskiej 2×2: Aµ → A = ( A0 + A3 A1 + iA2 ) ( A1 − iA2 A0 − A3 ) Przekształcenia Lorentza określone są jako takie przekształcenia przy których zachowany jest warunek A = A† i wielkość det A pozostaje inwariantna. Rzeczywiste pole wektorowe Wybierając lagranżjan takiego pola można rozważyć szereg inwariantów, takich jak np. Aµ(x )Aµ(x), ∂µAν(x )∂νAµ(x) , ∂µAν(x )∂µAν(x) , ∂µAµ(x) itp. Ponieważ dla zadanej reprezentacji określona jest parzystość, to możemy zdefiniować zarówno pola wektorowej jak i pseudowektorowe. Lagranżjan pola wektorowego możemy zadać jako sumę czterech lagranżjanów swobodnych pól skalarnych A0 , A1, A2 , A3 , po jego wariowaniu dostaniemy cztery niezależne równania Kleina-Gordona, przypadek ten nie wnosi niczego interesującego z fizycznego punktu widzenia. Pole o nowych własnościach otrzymamy nakładając na pole Aµ dodatkowy warunek, zmniejszający liczbę niezależnych składowych ( do trzech ) : ∂µ Aµ = 0 Te trzy niezależne składowe będą odpowiadać trzem wewnętrznym stopniom swobody cząstki o spinie równym 1 i masie różnej od zera. ( pole skalarne reprezentuje cząstkę o spinie zero, pole wektorowe reprezentuje cząstkę o spinie jeden ) Ogólnie możemy zapisać : £ = a (∂µAσ )2 + b (∂µAµ )2 + c (∂µAσ ) (∂σAµ ) + αAµ2 gdzie a, b, c, α – stałe Przyjmując np. a jako ogólny czynnik i przyjmując : a = – ½ , b/a = β , c/a = γ , α/a = κ2 możemy przepisać lagranżjan do postaci : £ = – ½ { [ (∂µAσ )2 + β (∂µAµ )2 + γ (∂µAσ ) (∂σAµ )] + κAµ2 } lub £ = – ½ {δ’µν, σρ (∂µAσ )(∂νAρ )2 + κAµ2 } gdzie δ’µν, σρ = δµν δσρ + βδµσ δνρ + γ δµρ δνρ

81

(6.5.1) (6.5.2) (6.5.3)

Równania Lagrange’a mają postać : ∂£ /∂Aλ − ∂η [ ∂£/ ∂(∂ηAλ )] = 0 Odpowiednio otrzymujemy : ∂£ /∂Aλ = – κAλ ∂£/ ∂(∂ηAλ ) = – ½ ∂η{δ’µν,σρ [ δµη,σρ [ δµη δσλ (∂νAρ) + δνη δρλ (∂µAσ )] } = – δ’ηµ, λσ ∂η(∂µAσ ) Stąd dla pola wektorowego mamy następujące równanie pola : δ’µη, λσ ∂η ∂λ Aσ – κAµ2 = 0 (6.5.4) lub ∂µ2Aλ + ( γ + β) ∂λ (∂σAσ ) – κAµ2 = 0 (6.5.5) Rozwiązania takich równań ruchu można przedstawić w następującej postaci : Aµ(x) = A’µ(x) + ∂µϕ(x) (6.5.6) gdzie ϕ(x) – pewna funkcja skalarna, a na funkcje A’µ(x) nałożono warunek : ∂µA’µ(x) = 0 (6.5.7) Podstawiając do (4.5.5) wyrażenie (4.5.6) i uwzględniając (4.5.7), otrzymamy : { [ ( – κ2 ) Aµ(x)] + [ (1 + γ + β ) – κ2 ] ∂µϕ(x) } = 0 (6.5.8) Różniczkując po xµ : { [ ( – κ2 ) ∂µAµ(x)] + [ (1 + γ + β ) – κ2 ] ϕ (x) } = 0 (6.5.9) i uwzględniając (4.5.7), otrzymamy : [ ( 1 + γ + β ) – κ2 ] χ(x) = 0 (6.5.10) gdzie przyjęto oznaczenie : χ(x) = ϕ (x) (6.5.11) oczywiście równanie (6.5.10) (przy χ ≠ 0 ) można rozpatrywać jako równanie typu Kleina –Gordona, opisujące pewne pole skalarne. Takie pole powinniśmy wykluczyć z dalszej analizy, korzystając z swobody wyboru współczynników γ, β. Chcemy bowiem uzyskać „czystą” teorię pola wektorowego. Zatem nałóżmy następujący warunek : 1+γ+β=0 (6.5.12) Wtedy z (6.5.10) otrzymujemy : χ(x) = ϕ (x) = 0 (6.5.13) Jednocześnie różniczkując po xµ (6.5.6) i uwzględniając (6.5.7), znajdujemy : ∂µAµ(x) = ϕ (x) (6.5.14) Wtedy zgodnie z (6.5.13) wynika, że warunek (6.5.12) automatycznie pociąga za sobą określone ograniczenie nakładane na wejściowe funkcje pola : ∂µAµ(x) = 0 (6.5.15) (jednocześnie trzeba pamiętać, ze warunek (6.5.7) nie nakładał żadnych ograniczeń na wejściowe pole wektorowe Aµ(x)) Ogólne rozwiązanie równania (6.5.8) przy uwzględnieniu warunku (6.5.12) ma postać : ( – κ2 ) Aµ(x) – κ2 ∂µϕ(x) = 0 (6.5.16) Równanie to możemy przepisać następująco : ( – κ2 ) [A’µ(x) – ∂µϕ(x)] = 0 (6.5.17) Co z uwzględnieniem (6.5.6) daje : ( – κ2 ) Aµ(x) = 0 (6.5.18) gdzie funkcje pola Aµ(x) spełniają dodatkowy warunek (6.5.15). Jest to bardzo istotna uwaga, ponieważ jak się okazuje, swobodne pole wektorowe to takie pole, które jest opisywane przez cztery funkcje Aµ(x), podlegające równaniu pola (6.5.18), tylko wtedy kiedy jest nałożony na nie warunek (6.5.15) tj. z czterech funkcji Aµ(x), tylko trzy są niezależne. Zatem, można powiedzieć, że w przypadku ogólnym cztery funkcje Aµ(x), opisują jednocześnie dwa pola – wektorowe i skalarne. Pole skalarne można wykluczyć poprzez odpowiedni wybór współczynników β, γ, wchodzących do wejściowego lagranżjanu. Osiągamy to poprzez nałożenie na współczynniki β, γ warunku (6.5.12), który okazuje się być równoważny nałożeniu warunku (6.5.15) na funkcje pola Aµ(x). Oczekujemy, że wychodząc z takich warunków równania pola nie będą opisywały dodatkowego pola skalarnego.

82

Zatem : £ = – ½ { [(∂µAσ )2 + (∂µAσ ) (∂σAµ )] + β (∂µAµ )2 – (∂µAσ ) (∂σAµ )] + κ2Aµ2 } (6.5.19) oraz Aλ(x) – ∂λ(∂σAσ(x)) – κ2Aλ(x) = 0 (6.5.20) Ważne jest zauważyć, że wyrażenie, stojące w lagranżjanie (6.5.19), przy współczynniku β nie wnosi wkładu do równania pola (6.5.20), zatem w danym przypadku jest nieistotne, jednakże w przypadku zespolonego pola wektorowego, oddziałującego z polem elektromagnetycznym stała β nie znika i wchodzi ona do lagranżjanu oddziaływania i może być interpretowana jako wielkość charakteryzująca moment magnetyczny cząstki wektorowej. Zatem lagranżjan masywnego pola wektorowego ma postać : £ = – ½ { [(∂µAσ )2 + (∂µAσ )(∂σAµ )] + κ2Aµ2 } (6.5.21) Skąd otrzymujemy równania pola : Aλ(x) – ∂λ(∂σAσ(x)) – κ2Aλ(x) = 0 (6.5.20) Lagranżjan pola (4.5.21) można przedstawić w bardziej zwartej postaci, jeśli wprowadzimy relacje : (∂µAσ )2 + (∂µAσ ) (∂σAµ ) = ½ (∂µAσ – ∂σAµ )2 (6.5.21) I analogicznie do klasycznej elektrodynamiki, wprowadzimy tensor antysymetryczny : Fµσ = ∂µAσ – ∂σAµ ( Fµσ = – Fσµ ) (6.5.22) Oczywiście tensor Fµσ możemy zapisać z użyciem znanych z elektrodynamiki wielkości - trójwektorów E, B : ( 0 −E1 –E2 −E3 ) ( E1 0 –B3 −B2 ) Fµν = ( E2 B3 0 −B1 ) ( E3 –B2 B1 0 ) Tensor Fµν nazywa się tensorem pola EM. Przy przekształceniach Lorentza zachowuje się on jak antysymetryczny tensor drugiego rzędu : Fµν → Λµα Λνβ Fαβ Z użyciem tensora Fµν lagranżjan przyjmie postać: £ = – ¼ (∂µAσ – ∂σAµ )2 – κAµ2 = – ¼ Fµσ2 – ½ κ2Aµ2 (6.5.23) Równania pola można przepisać w następującej postaci : ∂σ(∂µAλ – ∂λAσ ) – κ2Aλ = ∂σFσλ – κ2Aλ = 0 (6.5.24) Oczywiście zapis lagranżjanu i równań pola postaci (6.5.23) i (6.5.24) jakościowo nie wnosi niczego nowego w porównaniu z zapisem (6.5.21( i (6.5.20). Można jeszcze zapisać lagranżjan w postaci jawnie zawierającej tensor Fµσ : £ = – ¼ Fµσ2 – ½ Fµσ (∂µAσ – ∂σAµ ) – ½ κ2Aµ2 (6.5.25) Istotną różnicą tego zapisu jest to, że teraz wielkości Aµ i Fµσ przy wariowaniu działania rozpatrujemy jako zmienne niezależne – funkcje pola. To oznacza, że lagranżjan pola należy przyjąć jako funkcje o postaci : £ = £(Aµ (x), ∂σAµ(x) , Fλν , ∂ηFλν ) Wariacja takiego działania prowadzi do równania pola postaci (6.5.24). Reasumując mamy następujące równoważne układy równań wektorowego masowego pola rzeczywistego : 1) ( – κ2 ) Aµ(x) = 0 (6.5.18) z warunkiem : ∂µAµ(x) = 0 (6.5.15) 2) ( – κ2 )Aλ(x) – ∂λ(∂σAσ(x)) = 0 (6.5.20) 3) ∂µFµν – κ2Aν = 0 (6.5.24) z warunkiem : Fµν = ∂µAν – ∂νAµ W przypadku 1), 2) mamy równania drugiego rzędu, w przypadku 3) układ 10 równań pierwszego rzędu.

83

Należy również zauważyć, że we wszystkich w/w przypadkach jawnie – przypadek 1) i niejawnie – przypadek 2) i 3) występuje warunek więzu : ∂µAµ(x) = 0 (6.5.15) Jest to warunek konieczny aby wyeliminować pole skalarne, które to jest imannentym składnikiem ogólnego opisu pola wektorowego z użyciem pola Aµ(x). Tylko po wprowadzeniu (lorentzowskiego ) więzu postaci (6.5.15), który eliminuje jedną składową pola wektorowego (mamy zatem trzy niezależne składowe ) możemy mówić o polu któremu w procesie kwantyzacji przypiszemy cząstkę o spinie 1 – cząstkę wektorową. Jak bowiem przekonamy się dalej masywne cząstki wektorowe posiadają trzy (spinowe ) stopnie swobody – cząstki wektorowe bezmasowe posiadają dwa stopnie swobody np. foton posiada dwa stopnie swobody – polaryzacje lewo – prawo, stronną. Zmienne dynamiczne pola wektorowego. Tensor energii pędu pola wektorowego : Tµν = ∂L/∂(∂µAρ ) (∂νAρ ) – £δµν (6.5.26) Przy wykorzystaniu lagranżjanu : £ = – ¼ (∂µAσ – ∂σAµ )2 – κAµ2 = – ¼ Fµσ2 – ½ κ2Aµ2 (6.5.23) i uwzględnieniu : ∂L/∂(∂µAρ ) = Fµρ ma postać: Tµν = Fρµ(∂νAρ ) – £δµν (6.5.27) Tensor ten nie jest symetryczny, zatem zgodnie z ogólną teorią pole wektorowe posiada wewnętrzny moment pędu – spin. Spinowy momentu pędu ma postać : S[ρσ] = – (i/c) ∫ ( F4ρAσ – F4σAρ )d3x (6.5.28) Zazwyczaj dla opisu spinowych własności pól (cząstek) wykorzystujemy tylko trzy składowe : S[23] , S[31], S[12] kowariantnego wyrażenia dla tensora spinowego momentu pędu S[ρσ]. Tworzą one trójwymiarowy wektor : S = ½ δabcS[bc] (indeksy łacińskie przebiegają wartości 1,2 ,3 ) Symetryczny (metryczny ) tensor energii –pędu ma postać : T(metr )µν = Tµν + ∂λFµλ Aν T(metr )µν = Fρµ Fνρ – κ2 AµAν ) – £δµν Jest to oczywiście tensor symetryczny.

(6.5.29) (6.5.30)

Gęstość energii pola jest dana przez zależność : T44 = ½ (E2 + B2 + κA2 + κ2A02 ) (6.5.31) Gdzie wprowadzono (kierując się już w stronę oznaczeń znanych z relatywistycznego sformułowania elektrodynamiki klasycznej ) wektory B i E (indukcji pola magnetycznego i natężenia pola elektrycznego ). E ≡ –∇A0 – ∂A/∂t ; B ≡ rot A Energia pola : E = ∫ T44 d3x = ½ ∫ (E2 + B2 + κA2 + κ2A02 ) d3x (6.5.32) 2 2 2 2 3 E = ½ ∫ (E + B ) + κ (A + A0 ) d x (6.5.32a) jest wielkością dodatnio określoną T44 ≥ 0. Pęd pola wektorowego : Pa = (i/c) ∫ T4a d3x = (1/c) ∫ { [EH]a + κ2A0Aa } d3x (6.5.33) lub P = (i/c) ∫ (E × H ) + κ2A0Aa d3x (6.5.34)

84

Reprezentacja pędowa. Ponieważ każda składowa pola wektorowego Aµ(x) spełnia równanie Kleina –Gordona to analogicznie do pola skalarnego możemy zapisać : 3 3 3 Aµ(x) = [1/ √(8π ) ] ∫ [ d p / √(2E(p))] Σ [ ε(λ)µ(p) aλ(p)e–ipx + ε(λ)*µ(p) aλ(p)eipx ] (6.5.35) λ=1 gdzie ε(λ)µ(p) – są trzema niezależnymi wektorami polaryzacji. W przestrzeni pędów warunek ∂µAµ = 0, ma postać ε(λ)µ(p) pµ = 0 (6.5.36) Powyższe równanie spełniają następujące 4- wektory zadane w układzie spoczynkowym cząstki : pµ = ( m, 0, 0, 0 ) (6.5.37) (1) ε = ( 0, 1, 0, 0 ) ε(2) = ( 0, 0, 1, 0 ) ε(3) = ( 0, 0, 0, 1 ) Elektrodynamika jako szczególny przypadek teorii pola wektorowego Jak wiemy pole EM opisujemy z użyciem funkcji czteroskładnikowej : A(x) = {Aµ(x) } = {A(x), A0(x)} Utworzonej z trójwymiarowego potencjału wektorowego A(x) i potencjału skalarnego ϕ(x). Zbiór tych funkcji tworzy czterowektor. Zatem pole EM można rozpatrywać jako przypadek szczególny rzeczywistego pola wektorowego. Jak wiemy z MQ kwant pola EM – foton posiada zerową masę spoczynkową. Zatem teorię swobodnego pola EM otrzymamy, kiedy przyjmiemy κ = 0 Pole wektorowe κ ≠ 0 £ = – ¼ Fµν2 – ½ κ2Aµ2 lub równoważnie £ = – ¼ Fµν Fµν – ½ κ2AµAµ

Pole EM (κ = 0) £ = – ¼ Fµν2

Fµν = ∂µAν – ∂νAµ Fµν = ∂µAν – ∂νAµ 2 ∂µFµν – κ Aν = 0 ∂µFµν = 0 T(metr )µν = Fρµ Fνρ – κ2 AµAν ) – £δµν T(metr )µν = Fρµ Fνρ – £δµν E = ½ ∫ { E2 + B2 + κ(A2 + A02 )} d3x E = ½ ∫ { E2 + B2 }d3x P = (i/c) ∫ (E × H ) + κ2A0Aa d3x P = (i/c) ∫ (E × H ) d3x Jak widać z równań Fµν = ε(λ)µ(p) aλ(p)e–ipx ∂νAµ przy warunku ∂µFµν = 0 otrzymujemy równania Maxwella swobodnego pola EM. Jaki widać w teorii bezmasowego pola wektorowego w której to operujemy jedynie wielkością Fµν ,a nie wielkościami Fµν i Aµ tj. operujemy jedynie pochodnymi potencjałów Aµ mamy do czynienia z teorią z cechowaniem : Aµ (x) → A’µ = Aµ (x) + q ∂µα (x) ; q- pewna stała Innymi słowy potencjał jest określony niejednoznacznie i może zostać wycechowany. Jest to wynik przyjęcia κ = 0 tj. zerowej masy spoczynkowej fotonu. Należy również zauważyć, że teoria wektorowego pola bezmasowego nie narzuca warunku ∂µAµ = 0, tak jak miało to miejsce w teorii pola masywnego. Ogólnie w teorii pola bezmasowego ∂µAµ ≠ 0. Jednakże mając wybór w cechowaniu możemy go tak dobrać, aby był spełniony warunek ∂µAµ = 0. Dlatego też przyjmując równania pola EM postaci ∂µFµν = 0, należy podać rodzaj cechowania np. zapisać wprost ∂µAµ = 0 – cechowanie Lorentza, lub przyjąć znane z elektrodynamiki cechowanie coulombowskie. Cechowanie coulombowskie : ∇ A(x) = 0 ( div A = 0 ) nakłada jeszcze jeden dodatkowy, w porównaniu z cechowaniem Lorentza, więz na pole wektorowe, zatem w takim cechowaniu pole EM posiada nie trzy, ale dwie niezależne składowe – polaryzacje kołowe fali EM. Zatem, reasumując warunek cechowania ∂µAµ = 0, wraz z warunkiem ∇ A(x) = 0 – które to są możliwe jedynie w teorii bezmasowego pola wektorowego prowadzą do dwóch stopni swobody fotonu – spinowych stopni swobody ±1. 85

....................................................... Masywne pole wektorowe powinno być opisywane przez czterowektor Bµ(x). Jednak jeśli Bµ(x) przedstawia sobą gradient pola skalarnego : Bµ(x) = ∂µ χ(x), to o wektorowym charakterze Bµ(x) nie ma sensu mówić – układ opisywany jest bowiem polem skalarnym χ(x). Innymi słowy, dowolne pole wektorowe Bµ(x) możemy rozdzielić na składową poprzeczną ( w czterowymiarowym sensie ) Bµ⊥ oraz gradient pola skalarnego : B µ = B µ ⊥ + ∂µ χ , ∂µ B µ ⊥ = 0 (2.9) Pole poprzeczne Bµ⊥ nie jest sprowadzalne do pola skalarnego i właśnie ono będzie nas interesowało. Jeśli masa pola jest różna od zera, to prawo dyspersji powinno mieć postać : k0 = sqrt( k2 + m2 ), będzie to wypełnione, jeśli każda składowa pola Bµ⊥ (x) będzie spełniała równanie Kleina-Gordona : ( ∂µ ∂µ + m2 ) Bν⊥ = 0 (2.10) Chcemy zatem opisać pole Bν⊥ spełniające równania (2.10)oraz (2.9). Działanie prowadzące do równań (2.10), (2.9) ma postać : S = ∫ ( − ¼ Bµν Bµν + ½ m2 Bµ Bµ ) d4x (2.11) Gdzie : Bµν = ∂µBν - ∂νBµ co jest całkowicie analogiczne do określania tensora natężenia pola EM. Z działania (2.11) wynikają równania pola : ∂µBν + m2 Bν = 0 (2.12) Przy m2 ≠ 0równanie (2.9) jest następstwem równań (2.12) : różniczkując (2.12) względem xν oraz wykorzystując antysymetrię tensora Bµν , otrzymamy : ∂ν ∂µBµν + m2 ∂νBν = m2 ∂νBν = 0 Wykorzystując teraz definicję tensora Bµν oraz uwzględniając poprzeczność Bν z (2.12) otrzymamy : ∂ν ∂µBν − ∂µ ∂ν Bµ + m2 Bν = ∂µ ∂µBν + m2 Bν = 0 Zatem równania (2.12) są równoważne układowi : ∂ν ∂µBν + m2 Bν = 0 , ∂ν Bν = 0 (2.13) co właśnie chcieliśmy uzyskać. Zadanie 9. Znaleźć ogólne rozwiązanie układu (2.13) Zadanie 10. Znaleźć energię dla masywnego pola wektorowego o działaniu (2.11). wyjaśnić wybór znaków w (2.11) Działanie (2.11) oraz równania (2.13) nie są inwariantne względem przekształceń cechowania Bµ → Bµ + ∂µα. Innymi słowy, teoria masywnego pola wektorowego o działaniu (2.11) nie jest teorią z cechowaniem.

....................................................... Klasyczne pola cechowania – Teorie bozonowe - W. A. Rubakow; КомКнига МОСКВА 2005

6.5.2 Funkcje Greena dla cząstek wektorowych Podobnie jak było to w przypadku pól skalarnych rozpatrujemy niejednorodne równanie Kleina- Gordona : ( + m2 )ψµ(x) = –Jµ(x) (6.5.38) gdzie teraz Jµ(x) – jest pewną funkcją wektorową. Na rozwiązanie takiego równania można nałożyć warunek Lorentza ∂µJµ(x) = 0, jeśli w prawej części takiego równania stoi prąd zachowany W celu rozwiązania równania (6.5.38) wprowadzamy funkcje Greena cząstek wektorowych Gµν(x – x ‘) ( + m2 )Gµν (x – x’ ) = –δµν δ(4)(x – x’ ) (6.5.39) δµν – relatywistyczny δ –symbol.

86

Rozwiązanie równania (6.5.39) można otrzymać analogicznie do przypadku cząstek skalarnych : Gµν(x – x’ ) = δµν [1/(2π)2 ] ∫ d4p ( 1/ m2 – p2 ) exp[ –ip(x – x’ )] (6.5.40) C I tak jak wcześniej, różnemu wyborowi konturu całkowania C po zmiennej p0 odpowiadają różne funkcje Greena. Można wprowadzić przedwczesną funkcje Greena GAµν i opóźnioną funkcje Greena GRµν i feynmannowska funkcje Greena GFµν, odpowiednio dla konturów CA, CR i C GF. Niekiedy w miejsce równania (6.5.40) wprowadza się nieco zmodyfikowana funkcje Greena : G’µν(x – x’ ) = [1/(2π)2 ] ∫ d4p ( 1/ m2 – p2 ) exp[ –ip(x – x’ )] ( δµν – pµpν /p2 ) (6.5.41) Równanie jakie spełnia zmodyfikowana funkcja Greena ma postać : ( + m2 )G’µν (x – x’ ) = – ( δµν – ∂µ∂ν / ) δ(4)(x – x’ ) (6.5.42) Dogodnością tak zmodyfikowanej funkcji Greena jest to, że automatycznie spełnia ona warunki Lorentza : ∂µG’µν(x – x’ ) = 0 , ∂νG’µν(x – x’ ) = 0 Dlatego również pola wektorowe, obliczane z pomocą takiej funkcji Greena zgodnie z wzorem : ψµ(x) = ψ(0)µ(x) + ∫ d4x’ G’µν(x – x’ ) Jν(x’ ) (6.5.43) gdzie ψ(0)µ(x) – rozwiązanie jednorodnego równania Kleina -Gordona będą automatycznie spełniały warunek Lorentza ∂µψµ(x) = 0. Jednakże jeśli w wzorze (6.5.43) stoi prąd zachowany Jν(x’ ), to funkcje G i G’ prowadzą do tego samego wyniku. Jeszcze większa dowolność istnieje przy wyborze funkcji Greena dla bezmasowych cząstek wektorowych, co związane jest z inwariantnością cechowania. Jeśli oznaczymy funkcje Greena bezmasowych cząstek wektorowych jako Dµν, to możemy zapisać : (6.5.44) Dµν(x – x’ ) = [1/(2π)2 ] ∫ d4k Dµν(k) exp[ –ik(x – x’ )] gdzie dla Dµν(k) mogą być wykorzystane różne wyrażenia, przykładowo : Dµν(k) = –(1/k2 )δµν (cechowanie Feynmanna) Dµν(k) = –(1/k2 ) (δµν – kµkν /k2 ) (cechowanie Landaua ) { Dik(k) = (1/k2 ) (δik – kikk /k2 ) (cechowanie coulombowskie ) { D0ν(k) = 0 , Dµ0(k) = 0 Na mocy inwariantności względem cechowania wszystkie te wyrażenia dla funkcji Greena prowadzą do jednakowych wyników przy obliczaniu wielkości fizycznych. Ogólna struktura Dµν(k) może być zapisana w postaci : Dµν(k) = (1/k2 ) Σ e(λ)*µ(k) e(λ)ν(k) (6.5.45) λ (λ) gdzie e µ(k) – 4- wektor polaryzacji „wirtualnego” fotonu o 4- pędzie k. Funkcja D(x) znana jest jako propagator i odgrywa ważną rolę w KTP. Na podstawie Relatywistyczna teoria pola – A. N. Moskaljew ; RAN 2006 (po rosyjsku )

....................................................... 6.5.3 Podsumowanie - Podstawowe równania pól - skalarnego i wektorowego. Równanie falowe : ψ(x) = 0 opisuje cząstki o spinie 0 bezmasowe, nienaładowane. Równanie Kleina-Gordona : [ + (mc /ħ )2 ] ψ(x) = 0 ψ(x) - funkcja skalarna , - operator d’Alemberta opisuje cząstki masywne o spinie 0 – naładowane i nie naładowane

87

Równanie Proca : [ + (mc/ħ )2 ] Aµ(x) = 0 ∂µ Fµν + m2Aν = 0

£ = − ¼ Fµν Fµν + ½ m2 Aµ Aµ opisuje cząstki masywne o spinie 1, naładowane. Swobodne równanie Maxwella : Aµ(x) = 0 ∂µ Fµν = 0 opisuje cząstki bezmasowe o spinie 1,nienaładowane - foton.. ******************************************************************************************

VII. Pola spinorowe. Równanie Diraca. Celem niniejszego paragrafu jest opis polowy cząstek o spinie połówkowym – fermionów. Jak wiemy z MQ równaniem które opisuje takie cząstki jest relatywistyczne równanie falowe Diraca. ( Zobacz tekst pt. „Wprowadzenie do mechaniki kwantowej” ) 7.1.1 Uogólnione relatywistyczne równania falowe. W wcześniej przedstawionej teorii pól skalarnych i wektorowych, lagranżjan pola został określony w taki sposób, że otrzymywane z niego równania różniczkowe (w skrócie rr ) były równaniami drugiego rzędu – oczywiście mówimy teraz o rr pochodnych cząstkowych. Z ogólnej teorii równań różniczkowych wyższych rzędów, wynika że równania takie mogą być sprowadzone do układów równań różniczkowych pierwszego rzędu poprzez wprowadzenie dodatkowych zmiennych, wyrażonych poprzez pochodne od składowych funkcji wejściowych. W przypadku ogólnym układ rr pierwszego rzędu o stałych współczynnikach, do którego sprowadzają się równania dowolnego pola spinorowego i które odpowiadają cząstkom o spinie ½ (masywnym i bezmasowym ), może być przedstawiony w postaci jednego równania macierzowego : (αµ ∂µ + κα0 )ψ(x) = 0 , µ = 1, 2, 3, 4 (7.1.1) gdzie : ψ(x) – funkcja wieloskładnikowa np. spinor Diraca, zadana w pewnej przestrzeni liniowej reprezentacji grupy Lorentza, αµ, α0 – macierze kwadratowe, których elementami są liczby, wymiar takich macierzy jest wymiarem przestrzeni funkcji ψ(x) ; κ – pewna stała. Takie równanie nazywamy uogólnionym relatywistycznym równaniem polowym. W przypadku cząstek masowych, stała κ jest związana z masą takiej cząstki κ = m0c/h, a macierz α0 = 1, 1 – oznacza jednostkową macierz kwadratową o wymiarze równym wymiarowi funkcji ψ(x). W tym przypadku mamy następujące równanie : (αµ ∂µ + κ1 )ψ(x) = 0

(7.1.2)

W przypadku cząstek bezmasowych m0 ≠ 0, to stała κ nie jest już związana z masą cząstki, a będzie stanowiła pewną stałą o wymiarze odwrotności długości. Szczególnym przypadkiem takiego równania jest oczywiście równanie Diraca (jak również równanie Kleina – Gordona i równania Maxwella ) 7.1.2 Równanie Diraca. Równanie Diraca można wyprowadzić wychodząc od różnych założeń. Podejście I – równanie Diraca jako relatywistyczne uogólnienie równania Schrödingera. Jak wiemy podstawowym równaniem MQ jest równanie Schrödingera : ih ∂ψ/∂t = Hψ gdzie H – jest liniowym operatorem hermitowskim Równanie Schrödingera nie jest równaniem relatywistycznie niezmienniczym, ponadto nie uwzględnia spinu. (spinowego stopnia swobody ). Jak już wiemy operatorem energii cząstki swobodnej jest operator energii kinetycznej : Ek = p2/2m

88

Wiemy również, że w MQ należy zastosować przejście : p → (ħ/i )∇ Zatem : E^k = − ħ2∆ /2m W przypadku cząstki swobodnej hamiltonian ma postać : H = Ek H → iħ ∂/∂t Zatem : H^ = iħ ∂/∂t Równanie Schrödingera ma wiec postać : H^ψ(r, t) = E^k ψ(r, t) ⇒ iħ ∂/∂t ψ(r, t) = −( ħ2∆ /2m ) ψ(r, t) Jednakże zależność Ek = p2/2m nie jest zależnością relatywistyczną, taka zależnością jest : E2 = c2p2 + m2c4 Notacja z użyciem czterowektorów ma dla pędu ( czteropędu ) postać : pµ = ( p0, p1 , p2 , p3 ) = ( E/c , px , py , pz ) Operator czteropędu ma postać : p^µ = iħ ∂/∂xµ = iħ { ∂/∂(ct) , − ∇ } xµ = ( ct, x , y , z ) ; xµ = ( ct, -x , -y , -z ) ; Kwadrat długości tego czterowektora jest równy : pµ pµ = m2c2 ( zastosowano konwencje sumowania , µ = 0, 1, 2, 3 ) p^µ p^µ = −ħ2

(7.1.3)

Zastosowanie wzorów p → (ħ/i )∇ i H → iħ ∂/∂t, do zależności (5.1.3) prowadzi do równania o postaci : ( iħ ∂/∂t )2 ψ(r, t) = ( − ħ2c2 ∆ + m2c4 )ψ(r, t) (7.1.4) lub iħ ∂/∂t ψ(r, t) = √( −ħ2c2 ∆ + m2c4 )ψ(r, t) (7.1.4a) Równanie (7.1.4) możemy przekształcić do postaci : [ (1/c2) ∂2/∂t2 − ∆ ] ψ(r, t) = ( m2c2 / ħ2 ) ψ(r, t) Jeżeli zastosujemy zapis z użyciem dalambercjanu : ≡ (1/c2) ∂2/∂t2 − ∆ to otrzymamy : ψ (r, t) = (m2c2/ħ2 ) ψ(r, t) [ + (mc/ħ )2 ] ψ(r, t) = 0 lub p^µ p^µ ψ(r, t) = m2c2 ψ(r, t)

(7.1.5)

(7.1.6) (7.1.7) (7.1.8)

Jak wiemy gęstość prawdopodobieństwa dla przypadku równania Schrödingera ma postać : ρ = ψψ* a prąd prawdopodobieństwa jest określony zależnością : j = - ( iħ/2m ) ( ψ*∇ψ − ψ∇ψ* ) Za pomocą tych wielkości możemy sformułować równanie ciągłości : ∂ρ/∂t + div j = ∂/∂t ( ψψ* ) − ( iħ/2m ) ( ψ*∆ψ − ψ∆ψ* ) = ψ* [ (∂ρ/∂t) − ( iħ/2m )∆ψ ] + ψ [ (∂ρ*/∂t) + ( iħ/2m )∆ψ* ] = 0 Pytanie, jak analogiczne równanie ciągłości wygląda w przypadku równania Kleina-Gordona ? Można się przekonać, że wyrażenie to ma postać : ∂/∂t [ (iħ /2mc2 ) ( ψ* ∂ψ/∂t – ψ ∂ψ*/∂t )] + div (ħ /2im )[ ψ*∇ψ − ψ∇ψ* ] = 0 ---- ρ ------- j ---2 Czynnik [ (iħ /2mc ) ( ψ* ∂ψ/∂t – ψ ∂ψ*/∂t )] chcielibyśmy zinterpretować jako gęstość prawdopodobieństwa jest to jednak niemożliwe, gdyż wyrażenie to nie jest dodatnio określone. Zatem wedle Diraca problem polegał na tym, że równania miały postać : H^2 ψ = E2ψ

89

Zamiast postaci standardowej : H^ψ = E^ψ Relatywistyczny hamiltonian ma postać: H^ = √ ( c2p2 + m2c4 ) = sqrt[ c2 (iħ∇ )2 + m2c4 ] Dirac dokonuje (doskonale dobranej ) linearyzacji hamiltonianu (7.1.9) : H^ = √[ c2(iħ∇ )2 + m2c4 ] ≡ c α^ p^ + mc2β^ Gdzie : α^ = (α1, α2 , α3 ) – operator hermitowski ( wektor macierzy o stałych współczynnikach ), β^ - operator hermitowski skalarny ( macierz o stałych współczynnikach ) Odpowiednie równanie ma zatem postać : iħ ∂ψ/∂t = ( ħc/i ) [ α1( ∂ψ/∂x1 ) + α2( ∂ψ/∂x2 ) + α3( ∂ψ/∂x3 ) ] + βmc2 ψ ≡ H^

(7.1.9) (7.1.10)

(7.1.11)

W tym równaniu funkcja falowa nie jest zwykłym skalarem, a samo to równanie nie jest równaniem skalarnym ale macierzowym. W ogólnej postaci funkcja ψ ma postać wektora kolumnowego : ψ = [ ψ1 ] [ ... ] [ ψN ] Zatem : iħ ∂ψ/∂t = [ (ħc/i )α∇ + βmc2 ] ψ (7.1.12) Każda składowa ψN spełnia równanie Kleina-Gordona : [ + (mc /ħ)2 ] ψN(r, t) = 0 W relatywistycznej MQ : ψ = [ ψ1(r, t) ] [ ........... ] [ ψ4 (r, t) ]

(7.1.13)

ψ = (ψi (r, t) ) - cztery zespolone funkcje współrzędnych i czasu tworzące tzw. bispinor lub tez spinor Diraca i = 1, 2, 3, 4 Zatem równanie (7.1.11) należy zastąpić przez układ czterech równań pierwszego rzędu : 4 4 1 2 3 iħ ∂ψσ /∂t = ( ħc/i ) Σ [ α1( ∂ψ/∂x ) + α2( ∂ψ/∂x ) + α3( ∂ψ/∂x )]στ ψτ + Σ βστ mc2 ψτ (7.1.14)

τ =1 τ =1 W dalszej kolejności w celu ujednolicenia zapisu przyjmiemy β = α4 Macierze αi powinny spełniać następujące warunki : αi αk + αk αi = 2δik (7.1.15) αi α4 + α4 αi = 0 (7.1.16) 2 α4 = 1 (7.1.17) Macierze αi powinny być hermitowskie, zatem z warunku (7.1.16) wynika, że ich wartości własne są równe ±1. Ponadto są to macierze bezśladowe o parzystym wymiarze. Okazuje się że najmniejszym wymiarem w którym mogą istnieć macierze o podanych własnościach jest 4. Zazwyczaj macierze o podanych własnościach oznacza się jako γµ. W praktyce stosuje się następujące reprezentacje macierzy γ : a) reprezentacja Diraca : αi = [ 0 σi ] , β = α4 = [ 1 0 ] [ σi 0 ] [ 0 -1 ] σi – macierze Pauliego : σ1 = [ 0 1 ] , σ2 = [ 0 i ] , σ3 = [ 1 0 ] [10] [ –i 0 ] [ 0 –1 ] Zatem :

90

b) reprezentacja Majorany (zwana również reprezentacją chiralną ) : γ0 = [ 0 1 ] , γi = [ 0 σi ] , γ5 = [ –1 0 ] [1 0 ] [ –σi 0 ] [ 0 1] c) reprezentacja spinorowa : γi = [ 0 -σi ] , γ4 = [ 0 0 ] [ σi 0 ] [ 1 0] Oczywiście konkretny wybór reprezentacji macierzy γ stanowi kwestię wygody. Każdą reprezentacje macierzy γ możemy otrzymać przy użyciu przekształcenia podobieństwa : γ’µ = Sγµ S–1 Macierz przekształcenia S musi być macierzą unitarną, aby przekształcone macierze spełniały warunek hermitowskości (spotyka się również oznaczenie macierzy przekształcenia podobieństwa jako U ) : ( γ’µ )† = γ’0 γ’µ γ’0 Z użyciem macierzy γ ( nazywanych macierzami Diraca ) równanie Diraca (7.1.14) możemy zapisać następująco : (7.1.18) ( iħ ∂µ γµ – mc2 ) ψ = 0 Przyjmijmy również standardowe oznaczenia : γ0 = β , γi = βαi ( i = 1, 2, 3 ) Macierze Diraca spełniają zależność : γµ γν + γν γµ = 2gµν lub { γµ , γν } = 2gµν Symbolem { . , . } – oznaczamy tutaj antykomutator, jednakże można też spotkać takie oznaczenia : [ . , . ]– - komutator [ . , . ]+ - antykomutator Zauważmy, że możemy wprowadzić macierz : γ5 = iγ0 γ1 γ2 γ3 oraz γ5 = −iγ0 γ1 γ2 γ3 γ5 = [ 0 1 ] - dla reprezentacji Diraca [ 1 0] Diracowskie sprzężenie funkcji falowej jest zdefiniowane jest jako : ψ– = ψ† γ 0 Wielokrotnie w rachunkach MQ stosuje się również symbol Feynmana : ∂ ≡ ∂µ γ µ Zatem równanie Diraca możemy zapisać następująco : ( iħ ∂ – mc2 ) ψ = 0 lub dla naturalnego układu jednostek h = c= 1 : ( i∂ – m ) ψ = 0

91

(7.1.19)

(7.1.20)

(7.1.21) (7.1.21a)

Podsumowanie wprowadzenia I – swobodne równanie Diraca. Podsumujmy i uporządkujmy przedstawione zależności. Swobodne cząstki o spinie ½ - fermiony (np. elektrony ) – w czterowymiarowej czasoprzestrzeni opisywane są przez czteroskładnikowe funkcje falowe : ψα(x0, x ), α = 1, 2, 3, 4 zwane spinorami Diraca lub bispinorami Spinory Diraca wygodnie jest przedstawiać w postaci czteroskładnikowych kolumn np. :

W przypadku nie występowania pól zewnętrznych – swobodne równanie Diraca, funkcje falowe fermionów o masie m spełniają równanie Diraca : i γµ∂µψ − mψ = 0 lub ( i∂µ γµ – m ) ψ = 0 (7.1.22) jednakże właściwie powinniśmy zapisać : ( i ∂µ γµ – m1 ) ψ = 0 (7.1.23)

gdzie 1 – jest macierzą kwadratową o wymiarze 4 × 4 , γµ – macierz Diraca Wykorzystuje się również zapis z użyciem operatora P : Pµ = i ∂/∂xµ Pµ = i ∂/∂xµ ∂µ γ µ = P = P µ P µ γµ Wtedy równanie Diraca będzie miało prostą postać równania algebraicznego : (P–m)ψ=0

Relatywistyczna zależność p2 = m2 będzie spełniona, jeśli macierze Diraca spełniają zależność : γµ γν + γν γµ = 2δµν 1 { γµ , γµ } = 2ηµν

(7.1.23a)

(7.1.24) (7.1.24a)

gdzie nawiasy klamrowe oznaczają antykomutator, ηµν - tensor metryczny Minkowskiego. Jak dowiemy się dalej, warunek (7.1.24) określa algebrę Clifforda. Równanie Diraca jest równaniem liniowym pierwszego rzędu, ale obiekty które w nim występują - spinory, są obiektami o bardziej skomplikowanej naturze niż tensory – są związane z reprezentacją unitarną GP. W równaniu Diraca możemy rozpoznać pewną analogię algebraiczną do rozkładu wyrażenia postaci : a2 + b2 = (a + b)(a – b ) mianowicie, równanie Kleina –Gorodna rozkłada się teraz na czynniki : – m2 = ( i∂ν γν + m) ( i∂µ γµ – m) Jest tak dzięki warunkowi (7.1.24). Innymi słowy - działając na równanie (7.1.22) operatorem ( −i γµ∂µ − m ), przy uwzględnieniu (7.1.24) otrzymamy, że każda składowa funkcji falowej spełnia równanie Kleina-Gordona : ( ∂µ ∂µ + m ) = 0 lub w reprezentacji pędowej : ( p2 − m2 ) ψ~(p) = 0 Równość (7.1.24) oznacza w szczególności, że (γ0 )2 = 1. Mnożąc równanie (7.1.22) przez γ0 i wprowadzając oznaczenia β = γ0 ; αi = γ0γi , otrzymamy równanie Diraca w postaci, analogicznej do równania Schrödingera : i ∂ψ/∂x0 = [ αi (–i ∂/∂xi ) + mβ ]ψ Właśnie ta forma równania Diraca jest wykorzystywana standardowo w relatywistycznej mechanice kwantowej.

92

Zależność (7.1.24) jest definiująca dla macierzy Diraca. W szczególności, rozmiar kolumny diracowskiej (4) określony jest poprzez ten fakt, że minimalny rozmiar macierzy spełniających tą zależność jest równy 4 × 4. Konkretny wybór macierzy Diraca jest kwestią wygody i jest podyktowany przez wygodę rozpatrywania danego zagadnienia fizycznego. Zazwyczaj wykorzystuje się reprezentacje standardową : γµ = ( 0 σi ) ; i = 1, 2, 3 ( σi 0 ) σi – macierze Pauliego : σ1 = ( 0 1 ) , σ2 = ( 0 i ) , σ3 = ( 1 0 ) , 1 = ( 1 0 ) (10) ( –i 0 ) ( 0 –1 ) (0 1) Zatem : γ0 = ( 1 0 ) , γ1 = ( 0 σ1 ) ( 0 –1 ) ( –σ1 0 ) γ2 = ( 0 σ2 ) , γ3 = ( 0 σ3 ) ( –σ2 0 ) ( –σ3 0 )

(7.1.25)

Dowolna inna reprezentacja macierzy Diraca otrzymywana jest z powyższej za pomocą przekształcenia unitarnego ( przekształcenia podobieństwa S ) : γµ → Uγµ U−1 , gdzie U – macierz unitarna o wymiarze 4 × 4 (7.1.26) W takiej reprezentacji γ-macierzy, wyrażenia dla macierzy αi i β mają postać : β ≡ γ0 = ( 0 1 ) , αi ≡ γ0γi ( –σi 0 ) (1 0) ( 0 σi )

(7.1.27)

Dogodnie jest również wprowadzić macierz γ5 : γ5 = −iγ0γ1γ2γ3 (7.1.28) antykomutującą ze wszystkimi macierzami γµ : γ5γµ + γµ γ5 = 0 W reprezentacji (7.1.25) jest ona równa : γ5 = ( 1 0 ) (7.1.29) ( 0 –1 ) gdzie teraz macierz jednostkowa 1 przedstawiają jest macierzą 2 × 2. Właśnie taka prosta forma macierzy γ5 określiła nasz wybór (7.1.25). Macierz antykomutujacą ze wszystkimi macierzami Diraca można zbudować tylko w przestrzeniach o parzystych wymiarach. Oczywiście macierz Diraca może być zapisana z użyciem notacji indeksu dolnego. γµ = ( 0 σi ) ( –σi 0 ) γ0 = ( 1 0 ) , γ1 = ( 0 σ1 ) ( 0 –1 ) ( –σ1 0 ) γ2 = ( 0 σ2 ) , γ3 = ( 0 σ3 ) ( –σ2 0 ) ( –σ3 0 )

93

(7.1.30)

W postaci rozpisanej :

σ1 = ( 0 1 ) (10)

, σ2 = ( 0 –i ) (i 0 )

, σ3 = ( 1 0 ) ( 0 –1 )

,1=(1 0) (0 1)

Macierz γ5 ma postać : γ5 = i γ1 γ2 γ3 γ0 = – ( 0 1 ) (10) γµν ≡ σµν = ½i [ γµ , γν ] = ½ (γµ γν – γν γµ )

(7.1.31) (7.1.32)

Będzie nam również potrzebny spinor ψ–(x) sprzężony w sensie Diraca do spinora ψ(x) ψ–(x) = ψ†(x)γ0 gdzie symbol † oznacza sprzężenie hermitowskie. Spinor ψ– spełnia oczywiście równanie Diraca : ψ– ( i ∂µ γµ – m1 ) = 0

(7.1.33)

Spinory Weyla. Równanie Weyla. Spinory Diraca stanowią reprezentacje ( ½, 0 ) ⊕ (0, ½ ) grupy Poincarego, będącej izomorficzną z iloczynem SU(2) ⊗ SU(2). Spinor Diraca w reprezentacji Majorany można zapisać jako złożenie dwóch spinorów Weyla (stąd inna nazwa spinora Diraca – bispinor ) : - prawego : ψR - reprezentacja ( ½, 0 ) - lewego : ψL - reprezentacja ( 0, ½ ) Oczywiście nazwa i symbole są konwencjonalne, można spotkać również oznaczenia kropkowane lub ξ, η. ψ = [ ψR ] ≡ [ ξ ] [ ψL ] [ η ] W przypadku femionów bezmasowych, równanie Diraca rozpada się na dwa niezależne równania – równania Weyla. Wtedy równanie (7.1.12) iħ ∂ψ/∂t = [ (ħc/i )α∇ + βmc2 ] ψ sprowadza się do równania postaci : ∂ψ/∂t = α∇ ψ a macierze α musza spełnić jedynie warunek : αiαj – αjαi = 2δij który jest spełniony przez trzy dwuwymiarowe macierze Pauliego σ, bowiem : σiσj – σjσi = 2δij Zależności te są również słuszne dla macierzy –σ, zatem otrzymujemy dwa równania : ( p0 + σp ) φL(p) = 0 ( p0 − σp ) φR(p) = 0 W przeciwieństwie do równania Diraca, równania Weyla nie są niezmiennicze względem inwersji przestrzennych x → –x i w związku z tym faktem zostały zaakceptowane jako równania fizyczne po odkryciu łamania parzystości P przez oddziaływania słabe, opisując przy tym neutrina o określonej skrętności.

94

Spin. Stany o określonej skrętności. W dalszej kolejności dogodnie jest wprowadzić następujące macierze : Macierz : si = ¼ εijk σjk (7.1.34) reprezentuje sobą operator spinu. εijk – tensor całkowicie antysymetryczny W reprezentacji standardowej otrzymujemy : si = ½ ( σi 0 ) ( 0 σi ) W teorii relatywistycznej operator spinu (7.1.33) ogólnie mówiąc nie komutuje z hamiltonianem diracowskim : HD ≡ –iαi ∂/∂xi + βm ≡ αp + βm αi = [ 0 σi ] , β = α4 = [ 1 0 ] [ σi 0 ] [ 0 -1 ] σi – macierze Pauliego ; p = –i∇ - operator pędu Dokładniej : [s, HD ] = –i[ α × p ] ≠ 0 Wielkością komutującą jest tylko operator całkowitego momentu cząstki J : J = L + s ≡ –i εijkxj∂k + ¼ εijk σjk gdzie L = α × p – orbitalny moment pędu cząstki Mamy bowiem : [ J, HD ] = 0 Innymi słowy w teorii relatywistycznej tylko całkowity moment J jest wielkością zachowaną – całką ruchu, a spin s i orbitalny moment pędu L mogą nie być zachowane. Własność ta nie jest charakterystyczna tylko dla cząstek o spinie ½ - fermionów, a przysługuje wszystkim cząstkom relatywistycznym. Z tego powodu stany o określonej energii i pędzie (fale płaskie ) nie mogą mieć określonego rzutu spinu na dowolnie wybraną oś – po prostu nie mogą posiadać określonego spinu. Wyjątkiem jest tylko przypadek, kiedy rozpatrujemy rzut spinu na kierunek pędu cząstki – skrętność cząstki. Operator skrętności : Λ = ½ ( σi 0 ) p ( 0 σi ) komutuje z hamiltonianem : [ Λ, HD ] = 0 dlatego jest wielkością zachowaną. Jak wiemy, dla cząstek bazmasowych nie istnieje układ spoczynkowy i odpowiednikiem spinu jest skrętność. W tym przypadku operator skrętności Λ i jego wartość własna, czyli skrętność „numeruje” reprezentacje. W D = 4 (czasoprzestrzeń Minkowskiego ) pola bezmasowe, które odpowiadają polom masywnym o spinie s > 0, mają zawsze dwa stany skrętnościowe ±s np. dwa stany skrętnosciowe fotonu – prawa i lewa polaryzacja. Skrętność można zdefiniować dla pól o wszystkich spinach i we wszystkich wymiarach czasoprzestrzennych. Jest to operator, który zazwyczaj definiuje się dla pól bezmasowych, jednakże w przypadku jasno określonego układu odniesienia np. układ laboratorium, może być wykorzystywany również w teorii pól masywnych. Dalej omówimy jeszcze pojęcie chralności, która jest ogólną własnością pól spinorowych. Chiralność Chiralność jest wyłącznie własnością pól spinorowych – masowych jak i bezmasowych. Pole spinorowe jest chiralne (prawe lub lewe ) w zależności od tego, czy jest wektorem własnym macierzy γ5 o wartości własnej ±1 (konwencja znaku zależy od wyboru orientacji rozmaitości ). Równanie ruchu dla spinorów tj. równanie Diraca miesza ze sobą chiralności w przypadku pól masywnych, natomiast nie miesza w przypadku bezmasowym i wtedy istnieje związek pomiędzy chiralnością i skrętnością pola - dla cząstek : Chiralność = skrętność - dla antycząstek Chiralność = – skrętność

95

7.1.3 Lagranżjan dla równania Diraca. II podejście do wyprowadzenia równania Diraca – wariacja odpowiednio dobranego lagranżjanu Budując lagranżjan dla cząstek o spinie połówkowym kierujemy się tymi samymi prawami jakie obowiązywały przy budowie lagranżjanów pól skalarnych i wektorowych. Zatem taki lagranżjan musi być (pomijając oczywiście względy prostoty – powinien być tak prosty w swej konstrukcji, jak jest to tylko możliwe – ale nie prostszy ) lorentzowsko inwariantny, liniowy, rzeczywisty, Oprócz tego lagranżjan taki nie powinien zawierać pochodnych pól spinorowych ψ(x) i ψ–(x) wyższych niż pierwsza. Jak również nie powinien zawierać pierwszych pochodnych takich pól, jednocześnie. Zatem mogą to być wyrażenia postaci : ψ–(x) (∂µ ψ(x)), (∂µ ψ–(x))ψ(x), ale nie jednocześnie oba razem. Dalsze rachunki pokazują, że najlepiej lagranżjan budować z inwariantów postaci : ψ–(x)ψ(x) , ψ–(x) γµ (∂µ ψ(x)) , (∂µψ–(x)) γµ ψ(x) Ogólna postać lagranżjanu : £ = a ψ–(x)γµ (∂µψ(x)) + b (∂µψ–(x)) γµ ψ(x) + c ψ–(x)ψ(x) lub £ = ½ (a – b )[ ψ–(x)γµ (∂µψ(x)) – (∂µψ–(x)) γµ ] + c ψ–(x)ψ(x) Jak się okazuje taki lagranżjan prowadzi do prawidłowych wyrażeń dla równań i zmiennych dynamicznych, jeżeli przyjmiemy : a – b = –1 , c = –κ Zatem ogólna postać lagranżjanu jest taka : £ = – ½ ψ–(x)( γµ ∂µ + κ )ψ(x) – ½ [ – (∂µψ–(x) γµ ) + κ ψ–(x)] ψ(x) Zwarta postać takiego lagranżjanu : £ = ψ–(x)( iγµ ∂↔µ – m )ψ(x) gdzie wprowadzono symbol : ∂↔ µ ≡ – ½ ( ∂→ µ – ∂← µ ) Najczęściej jednakże spotykamy lagranżjan o postaci : £ = ψ–(x) (iγµ ∂µ – m )ψ(x) (7.1.35) lub £ = ½ i [ ψ–(x) γµ (∂µψ(x)) – (∂µψ–(x))γµ ψ(x)] – mψ–(x)ψ(x) (7.1.35a) lub £ = ½ i [ ψ–(x) ( γµ ∂↔µ – m )ψ(x)] (7.1.35b) Człon postaci mψ–(x)ψ(x) w lagranżjanie (7.1.35) nazywa się diracowskim członem masowym. Jak przekonamy się dalej istnieje jeszcze jedna postać członu masowego – majoranowski człon masowy Wzory (7.1.35) i (7.135a,b) różnią się wzajemnie o 4- dywergencje postaci : ½ i [ ∂µ(ψ–γµ ψ )] której obecność nie wpływa na postać otrzymywanych równań ruchu. Zmienne ψ–(x) , ψ–(x), przy wariowaniu lagranżjanu (7.1.35) traktujemy jako zmienne niezależne, zatem równania Eulera- Lagrange’a mają postać : ∂£/∂ψ – ∂µ[ ∂£/∂(∂µψ)] = 0 ∂£/∂ψ– – ∂µ[ ∂£/∂(∂µψ– )] = 0 Pochodne funkcji Lagrange’a (7.1.35) względem pól mają postać: ∂£/∂ψ = –mψ , ∂£/∂ψ– = (iγµ ∂µ – m )ψ ∂£/∂(∂µψ) = iψ–γµ , ∂£/∂(∂µψ– ) = 0 Pochodne funkcji Lagrange’a (7.1.35a,b) względem pól mają postać: ∂£/∂ψ = – ½ γµ (∂µψ– ) – mψ– , ∂£/∂ψ– = ½ γµ (∂µψ) – mψ ∂£/∂(∂µψ) = ½i ψ–γµ , ∂£/∂(∂µψ– ) = – ½i γµψ

96

Zatem, wariowanie lagranżjanu (7.1.35) i (7.1.35a, b) po ψ(x) prowadzi do równania ruchu - równania Diraca : ( i∂ – m )ψ(x) = 0 Wariowanie lagranżjanu (7.1.35) i (7.1.35a, b) po ψ–(x) prowadzi do sprzężonego równania Diraca : ( i∂ – m )ψ–(x) = 0 Tensor energii –pędu ma postać : Tµν = ∂£/∂(∂µψ– ) ∂νψ + ∂νψ– ∂£/∂(∂µψ– ) – gµν £ = iψ– γµ∂νψ – gµνψ– ( iγη ∂η – m ) Zachowany 4- wektor energii –pędu ma postać : Pν = ∫ d3x T0ν Składowa zerowa tego wektora jest energią pola : P0 = ∫ d3x ψ–( iγ 0 ∂0 – iγ0∂0 – iγ∇ + m ) ψ = = ∫ d3x ψ–( – iγ∇ + m )ψ = ∫ d3x ψ†( –iα •∇ + βm )ψ gdzie α ≡ γ0γ , β ≡ γ0

(7.1.36) (7.1.37)

(7.1.38)

Lagranżjan (7.1.35) jest inwariantny względem globalnych (ale nie lokalnych ) przekształceń cechowania : ψ(x) → exp(iα) ψ(x) , ψ−(x) → exp(–iα)ψ–(x) gdzie α – liczba Wektor gęstości prądu zachowanego wynikający z takiej symetrii, ma postać : jµ = ψ– ( ∂£/∂(∂µψ– )i – ( ∂£/∂(∂µψ )iψ = ψ–γµψ (7.1.39) ( tak określony prąd jest zachowany ∂µjµ = 0 ) Składowa zerowa takiego prądu : ρ = j 0 = ψ– γ 0 ψ = ψ† ψ (7.1.40) (wielkość dodatnio określona ! ) daje gęstość prawdopodobieństwa, a trzy składowe przestrzenne : j = ψ–γ ψ = ψ†αψ (7.1.41) dają gęstość prądu prawdopodobieństwa. Spinorowa reprezentacja grupy Lorentza Spinorowe generatory transformacji Lorentza mają postać : Jµν = ½ σµν (7.1.42) Korzystając z zależności : γµν ≡ σµν = ½i [ γµ , γν ] = ½ (γµ γν – γν γµ ) (7.1.43) możemy zapisać : Jµν = ½ σµν = ¼ i [ γµ , γν ] = ¼ (γµ γν – γν γµ ) (7.1.44) Obroty euklidesowe wokół osi 1^, 2^, 3^ (np. x, y, z ) są generowane przez operatory : Si = ¼ εijk σjk (7.1.45) (czyli przez operatory spinu – jest to operator unitarny ). Pchnięcia lorentzowskie wzdłuż tych samych osi są generowane przez operatory postaci : Ki = ¼ J0i = ½ σ0i = ½ i γ0γi (7.1.46) 0i Nie są to operatory hermitowskie, ze względu na własność antyhermitowskości macierzy σ Zatem spinorowe operatory pchnięć nie są operatorami unitarnymi. Generatory Si oraz Ki spełniają algebrę Liego grupy Lorentza : [ Si, Sj ] = iεijk Sk [ Si, Kj ] = iεijk Kk [ Ki, Kj ] = –iεijk Sk (7.1.47) Macierze Si, jak powiedziano spełniają algebrę grupy trójwymiarowych obrotów, zatem możemy je identyfikować jako operatory wewnętrznego krętu cząstki Diraca – spinu. Wartość własna takiego operatora jest następująca : S2 = s(1 + s ) = ¼ {(σ23 )2 + (σ31 )2 + (σ12 )2 } = ¾ (7.1.48) Zatem spin s = ½ dla cząstki Diraca.

97

....................................................................... Podejście III. Wyprowadzenie równania Diraca z spinorowej reprezentacji grupy Poincarego

5.1.4 Spinory – równanie Diraca jako konsekwencja prawa relatywistycznego przekształcenia dla spinorów Grupa Lorentza w istocie jest nieodróżnialna od grupy SU(2) ⊗ SU(2) i stany przekształcające się w określony sposób, powinny być numerowane poprzez wartości dwóch operatorów Casimira ( j, j’ ) pierwszy z których odpowiada generatorowi A, a drugi generatorowi B. W przypadku szczególnym jeden z tych momentów może być równy zeru : ( j, 0 ) → J (j ) = iK(j ) ( B = 0 ) (2.72) ( 0, j ) → J (j ) = − iK(j ) ( A = 0 ) (2.72) Możemy teraz określić dwa typy spinorów : Typ I : ( ½ , 0 ) : J ( ½) = ½ σ , K = − i ½ σ Taki spinor oznaczymy przez ξ. Jeśli ( θ , φ ) – są parametrami obrotu, to ξ przekształca się następująco : ξ → exp ( i ½ σ θ + ½ σ φ )ξ = exp[ i ½ σ ( θ – iφ ) ]ξ ≡ Mξ (2.73) Typ II : ( 0 , ½ ) : J ( ½) = ½ σ , K( ½) = ½ σ Taki spinor oznaczymy przez η. Jeśli ( θ , φ ) – są parametrami obrotu, to η przekształca się następująco : η → exp[ i ½ σ ( θ + iφ )] η ≡ Nξ (2.74) Ważna jest ta okoliczność, że są to reprezentacje nierównoważne grupy Lorentza, tj. nie istnieje macierz S, taka, że : N = SMS–1 W rzeczywistości związane są one zależnością : N = ζM*ζ-1 gdzie : ζ = −iσ2 , Zauważmy, że det M = det N = 1, tak więc M i N są zespolonymi macierzami 2 × 2 o wyznaczniku jednostkowym. Takie macierze tworzą grupę SL(2, C ). Grupa ta jest grupą sześcioparametrową, ponieważ macierze ją tworzące, mają postać: M = ( a b ) ; ab – bc = 1 (cd) tj. zawiera cztery liczby zespolone, na które nałożono dwa warunki. Te sześć parametrów związanych jest z trzema kątami i trzema prędkościami, od których zależne jest dowolne przekształcenia Lorentza. Zatem, oprócz 3-wektorów istnieją 2- składnikowe spinory Pauliego, które przekształcają się w określony sposób przy przekształceniach Lorentza. Względem dowolnych przekształceń Lorentza 2- składnikowe spinory dzielą się na dwa różne typy, przekształcające się zgodnie ze wzorami (2.73) i (2.74). W literaturze nazywa się je również spinorami z kropką i bez kropki. Odpowiadają one reprezentacją ( ½, 0 ) i ( 0, ½ ) grupy Lorentza. Równanie Diraca w istocie przedstawia sobą zależność między tymi spinorami. Wprowadźmy teraz operacje odbicia przestrzennego, przy którym prędkość wchodząca do pchnięcia lorentzowskiego, zmienia znak : v → − v. Przy tym generatory K również zmieniają znak K → − K, podobnie do składowych wektora, a generator J nie zmienia znaku : J → + J, zatem zachowuje się on jak pseudowektor tj. tak jak powinien zachowywać się wektor momentu pędu przy przekształceniach odbicia przestrzennego. Stąd wynika, że reprezentacje ( j, 0 ) i ( 0, j ) zamieniają się miejscami : ( j, 0 ) ↔ ( 0, j ) (2.76) przy przekształceniach odbicia przestrzennego, a zatem : ξ↔η Jak już wprowadziliśmy operacje odbicia przestrzennego, to okazuje się, że nie są już wystarczające 2 –spinory ξ, η rozpatrywane oddzielnie – należy rozpatrywać 4- spinor : ψ=(ξ) (2.77) (η)

98

Przy przekształceniach Lorentza 4-spinor ψ przekształca się w następujący sposób :

Gdzie : D−(Λ ) = ζD*(Λ) ζ-1

(2.79)

A przez Λ oznaczyliśmy przekształcenie Lorentza (2.64), które możemy zapisać w postaci : x’µ = Λµν xν

(2.80)

Przy odbiciu przestrzennym wielkość ψ przekształca się w następujący sposób : ( ξ ) → ( 0 1 ) (ξ ) (2.81) ( η) ( 1 0 ) (η ) Czterospinor ψ realizuje nieprzywiedlną reprezentacje grupy Lorentza, rozszerzoną o odbicia przestrzenne. Zauważmy jednakże, że reprezentacja (2.78) jest nie unitarna. Związane jest to z tym, że nie unitarną jest macierz exp(σφ ). Ogólnie mówiąc w MQ interesują nas tylko unitarne reprezentacje grupy symetrii, ponieważ tylko dla nich prawdopodobieństwo przejścia między dwoma stanami nie jest zależna od tego, w jakim układzie odniesienia dokonujemy pomiarów. Zatem, doszliśmy do wyniku, niezadowalającego z podstawowego punktu widzenia. To, co zauważyliśmy powyżej jest kontrprzykładem ilustrującym właśnie to twierdzenie : skończenie wymiarowa i nieunitarna reprezentacja grupy Lorentza. W rzeczywistości Wigner już wiele lat wcześniej zauważył, że podstawową grupą dla fizyki cząstek jest nie ( jednorodna ) grupa Lorentza, rozpatrzona powyżej, a niejednorodna grupa Lorentza, która nazywa się grupą Poincarego. Grupa ta składa się z pchnięć lorentzowskich, obrotów jak również translacji czaso – przestrzennych. Analiza tej grupy prowadzi do prawidłowego rozumienia natury spinu, jak również w nieoczekiwany sposób pogłębia jego rozumienie. Dalej rozpatrzymy grupę Poincarego dokładniej. Rozpatrzmy w pierwszej kolejności przekształcenia (2.78) dla przypadku pchnięcia ( θ = 0 ) jednocześnie wprowadzając nowe oznaczenia dla 2-spinorów ξ, η : ξ → φR , η → φL (2.82) gdzie indeksy R, L oznaczają odpowiednio prawy i lewy. φR = → eiσφ /2 φR = [cosh( ½ φ) + σn sinh( ½ φ) ] φR (2.83) gdzie : n – jednostkowy wektor o kierunku pchnięcia. Załóżmy, że wejściowy spinor odnosi się do cząstki w stanie spoczynkowym, tj. jest to φR(0 ), a spinor przekształcony , do cząstki o pędzie p tj. jest to φR(p ). Z (2.63) mamy : cosh( ½φ ) = [ ½ ( γ + 1)]1/2 , sinh ( ½φ ) = [ ½ ( γ − 1)]1/2, tak więc (2.83) przyjmuje postać : φR(p ) = { [ ½ ( γ + 1)]1/2 + σp [ ½ ( γ − 1)]1/2 } φR(0 ) (2.84) Ponieważ dla cząstki o energii ( całkowitej ) E, masie m i pędzie p mamy γ = E/m ( c = 1 ), to wyrażenie (2.84) możemy zapisać następująco : φR(p ) = { ( E + m + σp ) / [ 2m( E + m )]1/2 } φR(0 ) (2.85) W analogiczny sposób znajdujemy : φL(p ) = { ( E + m − σp ) / [ 2m( E + m )]1/2 } φR(0 ) (2.86) W przypadku, kiedy cząstka znajduje się w spoczynku, to nie można określić czy jej spin jest lewy czy prawy, zatem φR(0 ) = φL(0 ). Z (2.85) i (2.86) wynika, że : φR(p ) = [ (E + σp ) /m ] φL(p ) (2.87) a to oznacza, że : φL(p ) = [ (E − σp ) /m ] φR(p ) (2.88) Możemy teraz przepisać te równania do postaci : −m φR(p ) + ( p0 + σp ) φL(p ) = 0 (2.89) ( p0 − σp ) φR(p ) − m φL(p ) = 0 lub w postaci macierzowej : ( −m p0 + σp ) ( φR(p ) ) = 0 ( p0 − σp

−m

(2.89) (2.90)

) ( φL(p ) ) 99

Wprowadzając 4-spinor : ψ(p ) = ( φR(p ) ) ( φL(p ) )

(2.91)

oraz 4 × 4 macierze : γ0 = ( 0 1 ) , γi = ( 0 −σi ) (1 0) ( σi 0 ) możemy przepisać równanie (2.90) w postaci : ( γ0p0 + γipi – m ) ψ(p ) = 0

(2.92)

(2.93)

[ zauważmy, że pµ = ( E, −p ) na mocy wzoru (2.11) i dlatego : γ0p0 + γipi = γ0p0 − γp ] lub : ( γµpµ – m ) ψ(p ) = 0 Jest to właśnie równanie Diraca dla cząstek masywnych o spinie ½.

(2.94)

W przypadku cząstek bezmasowych jest oczywiste np. z (2.89), że równanie (2.94) rozpada się na dwa równania, każde dla jednego 2-spinora : ( p0 + σp ) φL(p ) = 0 (2.95) ( p0 − σp ) φR(p ) = 0 (2.95) Równanie te nazywają się równaniami Weyla, a obiekty φLi φR – spinorami Weyla. Ponieważ dla cząstki bezmasowej p0 = | p | dla niej takie równania zapisujemy w następującej postaci : σ( pφL )^ = − φL ; σ( pφR )^ = φR Operator σp^ odpowiada rzutowi spinu na kierunek pędu. Wielkość taką nazywamy skrętnością. Zatem, spinory Weyla są stanami własnymi operatora skrętności, przy czym lewe spinory mają ujemną , a prawe – dodatnią skrętność.

.............................................................. Kwantowa teoria pola -- Lewis H. Ryder, University of Kent at Canterbury Cambridge University Press 1985, 1995 Jak widać zaprezentowane powyżej wyprowadzenie jest zupełnie innej natury. Wychodzimy bezpośrednio od pojęcia spinora a następnie badamy sposoby jego przekształcenia względem grupy Poincarego. Ogólnie równanie Diraca otrzymujemy jako równanie jakie powinien spełniać czterospinor przy przekształceniu Poincarego. 7.1.4 Sprzężenie ładunkowe. Macierz sprzężenia ładunkowego. Spinory Majorany Jak dowiemy się dalej, równanie Diraca opisuje na równych prawach cząstki jak i antycząstki tj. cząstki o przeciwnym ładunku np. elektron o ujemnym ładunku elektrycznym i pozyton o dodatnim ładunku elektrycznym. Tak na marginesie cząstki istotnie neutralne tj. cząstki elementarne które są jednocześnie swoimi antycząstkami opisywane są zmodyfikowanym równaniem Diraca – zobacz dalej . Dalej omówimy jeszcze jedną własność równania Diraca, a dokładnie jego inwariantność względem C-sprzężenia – sprzężenia ładunkowego. Operacja sprzężenia ładunkowego wiąże funkcje falową ψ(x) cząstki, z funkcja falową ψc(x) – antycząstki. Jeżeli spinor ψ(x) spełnia równanie Diraca : ( i∂µ γµ – m ) ψ(x) = 0 to spinor ψc(x), również spełnia równanie Diraca : ( i∂µ γµ – m ) ψc(x) = 0

(7.1.49) (7.1.49)

Wprowadźmy macierz unitarną C taką, aby : CγµC−1 = −(γµ )T

(5.1.49)

C−1 = C† = –C* C2 = 1 CT = C* = –C

100

Z użyciem tak zdefiniowanej macierzy ładunkowej C dokonujemy operacji sprzężenia ładunkowego spinorów Diraca : ψc(x) = Cψ*(x) W reprezentacji standardowej macierz C ma postać : C = – ( 0 σ2 ) (σ2 0 ) Operatory rzutowania. Spinory Weyla. Przekształcenie chiralne. Zdefiniujmy następujące operatory : P± = ½ (1 ± γ5 ) Można pokazać, że : (P± )† = (P± )2 = P± P± γµ = γµP–/+ Takie operatory rozkładają przestrzeń spinorów Diraca na sumę prostą dwóch podprzestrzeni o określonej chiralności. Spinorami Weyla ψ± lub inaczej spinorami chiralnymi nazywamy wektory własne macierzy γ5, która jednocześnie pełni rolę operatora chiralności. Równanie na wartości własne ma postać : γ5ψ± = λψ± mnożąc go przez γ5 i uwzględniając, że γ52 = 1, otrzymujemy że λ2 = 1, zatem λ = ±1. Spinory Weyla ψ± oznacza się często jako spinor prawy ψR i spinor lewy ψL. Spinory Weyla możemy otrzymać z spinora Diraca : ψR = P + ψ ψL = P – ψ ψ– R = P – ψ– ψ– L = P + ψ– Dalej można pokazać, że : ψ– ψ = ψ– L ψR + ψ– R ψL ψ– γ µ ψ = ψ– L γ µ ψL + ψ– R γ µ ψR Dowolny spinor Diraca ψ w bazie chiralnej może być zapisany jako złożeni dwóch spinorów Weyla : ψ = P +ψ + P – ψ Spinory Majorany Spinor Majorany z definicji pokrywa się ze spiorem sprzężonym ładunkowo : ψ = λψc , | λ |2 = 1 Taki warunek redukuje liczbę stopni swobody spinora Diraca ψ o połowę. Zapisując warunek Majorany dla spinorów Weyla otrzymamy : (ψR )c = ψL (ψL )c = ψR Spinory Majorany, które oznaczymy jako χ i ζ, możemy zapisać używając spinorów Weyla : χ = ψL + (ψL )c ζ = ψR + (ψR )c

ψL = P + χ

ψR = P – ζ Spinor Majorany ma tylko 4 składowe rzeczywiste (spinor Diraca miał ich 8 – 4 składowe zespolone ) Dlatego można przyjąć, że spinor Diraca jest analogiem zespolonego pola skalarnego, a spinor Majorany – analogiem rzeczywistego pola skalarnego. Spinor Diraca ψ można zapisać z użyciem jednego spinora Majorany ( ζ lub χ ): ψ=( ζ ) ( iσ2 ζ )

101

7.1.5 Algebra macierzy γ Baza przestrzeni Diraca. W przestrzeni Diraca istnieje 16 niezależnych macierzy 4 × 4 tworzących bazę zupełną, są to : macierz jednostkowa 1 4 macierze γµ 6 macierzy σµν 4 macierze γ5γµ 1 macierz γ5 Zbiór wszystkie takich macierzy oznaczymy jako : Γa = { 1, γµ, σµν, γ5γµ , γ5 } Iloczyn dwóch takich macierzy również jest macierzą Γa, z dokładnością do czynnika ±1, ±i. W przestrzeni Diraca iloczyn skalarny dwóch macierzy A, B definiowany jest następująco : (A, B ) = ¼ tr(AB) Zatem, dowolna macierz O należąca do przestrzeni Diraca, może być przedstawiona jako kombinacja liniowa macierzy ze zbioru Γ a : O = Σ ca Γa a gdzie ca = ¼ tr(OΓa ) Macierz prądów Można pokazać, że poniższe formy biliniowe, zwane prądami mają następujące prawa transformacji : (S) ψ−ψ ≡j skalar (P) ψ−γ5ψ (V) ψ−γµψ

≡ j5 ≡ jµ

pseudoskalar wektor

(A) ψ−γµγ5ψ ≡ jµA

pseudowektor

(T) ψ− ( γµγν − γνγµ )ψ ≡ jµν

antysymetryczny tensor

W szczególności najogólniejsza postać biliniowej kombinacji bispinorów może być rozłożona w bazie prądów ψ−Oψ = cj + cµ jµ + cµν jµν + cAµ jµA + c5 j5 Jak pokazuje doświadczenie, prądy naładowane oddziaływań słabych mają strukturę V–A, czyli : jµ – jµA = ψ– γµ( 1 – γ5 )ψ Można pokazać, że prąd wektorowy jest zachowany : ∂µjµ = ∂µ (ψ−γµψ ) = 0 Można pokazać również, że gdy masa w równaniu Diraca jest równa zero, to zachowany jest również prąd aksjalny : ∂µjµ A = ∂µ (ψ−γµ γ5ψ ) = 2im ψ−γ5ψ = 0 Ślady i zawężenia macierzy γ Niech aµ będzie dowolnym czterowektorem, dla zawężenia tego wektora z macierzami γµ wprowadza się następujące oznaczenie : a = aµ γµ ( a przekreślone – patrz również symbol Feynmana ) Można dowieść następujące zależności : γ5† = γ5 = γ5 = γ5–1 (γ5 )2 = 1 (γ5γµ )† = γ0γ5γµ γ0 { γ5 , γµ } = 0 { γ5, σµν } = 0 γ5 = γ5 = γ5–1 γµ γµ = 4 102

γµ γν γµ = –2γν σµν σµν = 12 tr(1 ) = 4 tr(γµ ) = 0 tr(γµ γµ ) = 4 tr(γµ γν ) = 4ηµν tr(γµ γν ) = 4ηµν tr(γµν γαβ ) = 4(ηµβ ηνα – ηµα ηνβ ) tr(γ5 γµ ) = 0 Twierdzenie. ślad iloczynu nieparzystej liczby macierzy γ jest równy zero. Aby dowieść takiego twierdzenia wykorzystamy następujące własność macierzy γ5 : ( γ5 )2 = 1 ; { γ5 , γµ } = 0 Dalej wprowadźmy następujące oznaczenie : aµ γµ = aγ ≡ a^ Mamy zatem : Tr a^1 ... a^n = Tr a^1 ... a^n γ5 γ5 = Tr γ5 a^1… a^n γ5 ( wykorzystano tutaj warunek cykliczności ). Przepiszemy teraz macierz γ5 stojącą po lewej stronie, kolejno wykorzystując macierze a^, zmieniając za każdym razem znak. W wyniku tego otrzymamy : Tr a^1 ... a^n = ( -1 )n Tr a1 ... an γ5 γ5 Zatem : Tr a^1 ... a^n = 0 jeśli n jest liczbą nieparzystą. Na koniec podstawiając wyrażenie : γµ γν = – γν γµ + 2gµν do pierwszych dwóch czynników do wyrażeń Tr ( γ • a ) ( γ • b ) ( γ • c ) ( γ • d ), otrzymamy : Tr ( γ • a ) ( γ • b ) ( γ • c ) ( γ • d ) = – Tr ( γ • b ) ( γ • a ) ( γ • c ) ( γ • d ) + 2 a • b Tr ( γ • c ) ( γ • d )

7.1.6 Algebra Clifforda, algebra Clifforda nad przestrzenią Minkowskiego. Jak wiemy jawnie kowariantna reprezentacja odpowiadająca spinowi ½ realizuje się na spinorach Diraca. Niech ℵ = CD – D-wymiarowa zespolona przestrzeń wektorowa z niezdegenerowana biliniową formą symetryczną ( , ) ( „iloczynem skalarnym” ) Algebra Clifforda Cliff ℵ nad przestrzenią ℵ nazywamy algebrę zespolonych 2[D/2] × 2[D/2] – macierzy ( gdzie [D/2] – całkowita cześć D/2 ) wraz z odwzorowaniem liniowym ( injekcją ) : γ : ℵ → Cliff ℵ spełniającym warunek : [ γξ, γξ’ ]+ ≡ ( γξ)(γξ’ ) + (γξ’)(γξ) = 2( ξ, ξ’ ) 1 Jeśli {ea } – jest bazą w ℵ taką , że : (ea , ea ) = gab to odpowiednie jednostki γa = γea algebry Clifforda będą spełniały zależności antykomutacyjne : { γa , γb }+ = 2gab

Przykładem takiej algebry jest algebra Clifforda nad 3 wymiarową przestrzenią Euklidesa – jest to algebra 2 × 2 macierzy, której jednostkami (generatorami ) mogą być macierze Pauliego σi. Innym ważnym przykładem jest algebra Clifforda generowana przez macierze Diraca γµ , które spełniają zależności komutacyjne o postaci : { γµ , γν }+ = 2gµν ( µ, ν = 0, 1, 2, 3 ) Twierdzenie. Algebra Clifforda przestrzeni Minkowskiego ( generowana przez macierze γµ ) posiada jednoznaczną ( z dokładnością do równoważności ) nieprzywiedlną zespoloną reprezentacje, jej wymiar jest równy 4. 103

Czterowymiarową przestrzeń zespolonych wektorów : ψ = { ψα }α= 1, ... , 4 w której realizuje się nieprzywiedlna reprezentacje algebry Clifforda, nazywa się przestrzenią spinorów Diraca. Diracowska reprezentacja grupy SL(2, C) może być rozłożona na sumę prostą D( ½ ,0) ⊕ D(0, ½ ) - dwóch reprezentacji nieprzywiedlnych. W ogólności algebrę Clifforda definiuje się następująco : Algebrę Clifforda Cl(V*, g ) metrycznej przestrzeni wektorowej ( V*, g) definiujemy jako algebrę ilorazową : Cl(V*, g ) = T(V*)/ Jg Gdzie Jg ⊂ T(V*) jest ideałem dwustronnym T(V*) generowanym przez elementy postaci : u ⊗ v + v ⊗ u – g(u, v) , u, v ∈ V* ⊂ T(V* ). Elementy Cl(V*, g ) nazywa się liczbami Clifforda. Algebra Clifforda generowana przez symetryczną formę biliniową nazywana jest ortogonalną, w przeciwieństwie np. do symplektycznej algebry Clifforda generowana przez formę skośnie symetryczną. Uogólnienie równania Diraca na bazie uogólnienia reprezentacji grupy SL(2, C) Równanie Diraca jak wiemy ma postać : ( ∂µ γ µ – m ) ψ = 0 ( γµ pµ – m ) ψ (p) = 0 - reprezentacja w przestrzeni pędów Nasuwa się myśl, aby uogólnić to równanie np. do postaci : ( ∂µ β µ – m ) K = 0 gdzie βµ – są macierzami o odpowiednim wymiarze np. 7 × 7 lub 10 × 10 spełniającym zależności komutacyjne analogiczne do zależności komutacyjnych Diraca ( algebry Duffina-Kemmera ) ; K – jest wektorem kolumnowym siedmio- lub dziesięciowymiarowym. [ 1, str. 197] Generalnie poprzez wprowadzenie odpowiedniej reprezentacji dla spinorów ( wyższych rzędów ) otrzymujemy równania np. Rarity-Schwingera, Bargmanna-Wignera, Gelfanda-Jagloma [2, str. 260]. Równania takie mają ogólną postać : ( Γµ pµ – κ ) ψ(p) = 0 gdzie Γµ – operator wektorowy działający w odpowiedniej przestrzeni , κ - skalar Gelfand i Jagłom sformułowali następujące twierdzenie : Niech nieprzywiedlna reprezentacja grupy SL(2, C) będzie charakteryzowana parą liczb [j0 , j1 ] gdzie j1 – najmniejszy spin w danej reprezentacji, przyjmujący całkowite lub połówkowe wartości, j1 – jest dowolna liczbą zespoloną. W sumie prostej : [ j (s) , j1(s) ] H=⊕H 0 s nieprzywiedlnych przestrzeni istnieje 4-wektorowy operator Γµ jeśli dla każdej nieprzywiedlnej składowej [j ,j ] [j ’,j ’] H 0 1 obecnej w H istnieje nieprzywiedlna składowa H 0 1 w H, której inwariantne liczby związane są wzajemnie przez następujące zależności : [j0’, j1’ ] = [ j0 + 1, j1 ] = [j0 – 1, j1 ] = [j0 , j1 + 1 ] = [j0 , j1 – 1] Twierdzenie Gelfanda-Jagłoma pokazuje, że w przypadku ogólnym wymagane są dwie nieprzywiedlne reprezentacje, tak aby możliwe było określenie operatora Γµ w przestrzeni reprezentacji H. Przykładowo równanie falowe : ( Γµ pµ – κ ) ψ(p) = 0 stowarzyszone z reprezentacjami ( 0, ½ ) lub ( ½ , 0 ) nazywa się równaniem Majorany. Dalsze uogólnienia otrzymamy, jeśli w miejsce κ wprowadzimy inwariantny operator grupy Lorentza np. postaci αpµ pµ – κ

104

7.1.7 Rozwiązanie równania Diraca. Cząstka spoczywająca. Dla cząstki spoczywającej spinor Diraca ψ(x) nie zależy od czasu t. Równanie Diraca ma wtedy postać : ( ih γ0 ∂/∂t – mc2 )ψ(x) = 0 (uwzględniono stałe h, c ) Rozwiązania takiego równania Diraca w formie fal płaskich dla cząstki w stanie spoczynkowym, mają oczywiście postać : ψ(x) = u(α)(0)e–imt ( energie dodatnie ) ψ(x) = v(α)(0)eimt ( energie ujemne ) gdzie wchodzą dwa spinory odpowiadające dodatnim i dwa spinory odpowiadające ujemnym energiom : u(1)(0) = ( 1 ) ; u(2)(0) = ( 0 ) ; v(1)(0) = ( 0 ) ; v(2)(0) = ( 0 ) (0) (1) (0) (0) (0) (0) (1) (0) (0) (0) (0) (1) Wykorzystaliśmy tutaj macierz γ0 zapisaną w reprezentacji standardowej : γ0 = ( 1 0 0 0 ) (0 1 0 0 ) ( 0 0 -1 0 ) ( 0 0 0 -1 ) lub w często wykorzystywanym, zapisie zwartym : γ0 = ( 1 0 ) ( 0 −1 ) Macierz ta otrzymywana jest z reprezentacji chiralnej za pomocą przekształcenia : γ0SR = Sγ0CRS-1 S = (1/√2 ) ( 1 1 ) ( 1 -1 ) Zatem, w reprezentacji standardowej : ψ = S ( φR ) = (1/√2 ) ( φR + φL ) ( φL ) ( φR – φL ) Aby znaleźć rozwiązanie dla cząstki poruszającej się z dowolną prędkością należy dokonać przekształcenia Lorentza do poruszającego się układowi współrzędnych z wyrażenia : (φ’R ) → ( exp[ ½iσ( θ – iϕ)] 0 ) (φR ) = ( D(Λ) 0 ) (φR ) – (φ’L ) ( 0 exp[ ½iσ( θ – iϕ)] ) (φL ) (0 D (Λ) ) (φL ) gdzie Λ - przekształcenie Lorentza : ( x’0 ) = ( cosh(ϕ) sinh(ϕ) 0 0 ) ( x0 ) ( x’1 ) ( sinh(ϕ) cosh(ϕ) 0 0 ) ( x1 ) ( x’2 ) ( 0 0 1 0 ) ( x2 ) ( x’3 ) ( 0 0 0 1 ) ( x3 ) tgh(ϕ) = v/c dla θ = 0 otrzymamy : (φ’R ) → ( exp( ½iσϕ) 0 ) (φR ) = M (φR ) (φ’L )

(

0

exp( –½iσ(σϕ) ) (φL )

(φL )

Macierz pchnięcia w standardowej reprezentacji ma postać: MSR = SMCRS-1 = ( cosh( ½φ ) σn sinh( ½φ) ) ( σn sinh( ½φ ) cosh( ½φ ) ) I dalej, ponieważ : cosh( ½φ ) = [ ( E + m ) / 2m ]1/2 ; sinh( ½φ ) = [ ( E − m ) / 2m ]1/2 ; tgh( ½φ ) = p / E + m gdzie : p = ( E2 – m2 )1/2 otrzymujemy :

105

MSR = √ ( E + m /2m) ( 1 ( 0 ( pz /E + m ( px + ipy /E + m

0 1 px – ipy /E + m –ipz /E + m

pz /E + m px /E + m 1 0

px – ipy /E + m ) –pz /E + m ) 0 ) 1 )

Odpowiednie spinory w rozwiązaniach w postaci fal płaskich mają postać : ψ(α)(x) = u(α)(p) e-ipx ( energie dodatnie ) ψ(α)(x) = v(α)(p) eipx ( energie ujemne ) gdzie : α = 1, 2 ; wielkości u(α)(p) i v(α)(p) – otrzymujemy działając macierzą MSR na odpowiednie spinory w układzie spoczynkowym, co daje nam : u(1)= √ ( E + m /2m) ( 1 ) ; u(2)= √ ( E + m /2m) ( 0 ) ( 0 ) ( 1 ) ( pz /E + m ) ( p– /E + m ) ( p+ /E + m ) ( –pz /E + m ) v(1)= √ ( E + m /2m) ( pz /E + m ) ; v(2)= √ ( E + m /2m) ( p– /E + m ( p+ /E + m ) ( –pz /E + m ( 1 ) ( 0 ( 0 ) ( 1 gdzie : p± = px ± ipy. Spinory u unormowane są w następujący sposób : u–(1) u(1) = 1 , u–(2) u(2) = 1

) ) ) )

Spinory u i v spełniają równania : ( γp – m ) u(p) = 0 ( γp + m ) v(p) = 0 a zatem, spinory sprzężone spełniają równania : u−(p) ( γp – m ) = 0

v−(p) ( γp + m ) = 0

W wielu zastosowaniach ważną rolę odgrywa operator : P+ = Σ u(α)(p) u−(α)(p) α Jest to operator rzutowania, ponieważ : P+2 = Σ u(α)(p) u−(α)(p) u(β)(p) u−(β)(p) = Σ u(α)(p) u−(α)(p) = P+ α, β α Oczywiście powyższy operator rzutuje na stany o energii dodatniej. P+ = Σ u(α)(p) u−(α)(p) = ( γp + m )/2m α Analogicznie możemy wprowadzić operator rzutowania na stany o energii ujemnej, ma on postać : P– = Σ v(α)(p) v−(α)(p) = ( − γp + m )/2m α Oczywiście : P+ + P– = 1. Na podstawie : Kwantowa teoria pola - Lewis H. Ryder, University of Kent at Canterbury Cambridge University Press 1985, 1995 Elementy klasycznej i kwantowej teorii pola - J. Karaśkiwewicz. UMCS Lublin 2003

106

.............................................................. 1.1 Swobodne równanie Diraca. Swobodne cząstki o spinie ½ - fermiony – w czterowymiarowej czasoprzestrzeni opisywane są czteroskładnikowym funkcje falowe ψα(x0, x ), α = 1, 2, 3, 4 Wygodnie jest przedstawić je w postaci czteroskładnikowych kolumn :

W przypadku nie występowania pól zewnętrznych funkcje falowe fermionów o masie m spełniają równanie Diraca : i γµ∂µψ − mψ = 0 (1.1) gdzie macierze Diraca γµ mają rozmiar 4 × 4. Relatywistyczna zależność p2 = m2 będzie spełniona, jeśli macierze Diraca spełniają zależność : { γµ , γµ } = 2ηµν

(1.2) µν gdzie nawiasy klamrowe oznaczają antykomutator, η - tensor metryczny Minkowskiego. Działając na równanie (1.1) operatorem ( −i γµ∂µ − m ), przy uwzględnieniu (1.2) otrzymamy, że każda składowa funkcji falowej spełnia równanie Kleina-Gordona : ( ∂µ ∂µ + m ) = 0 lub w reprezentacji pędowej : ( p2 − m2 ) ψ~(p) = 0 Równość (1.2) oznacza w szczególności, że ( γ0 )2 = 1. Mnożąc równanie (1.1) przez γ0 i wprowadzając oznaczenia β = γ0 ; αi = γ0γi , otrzymamy równanie Diraca w postaci, analogicznej do równania Schrödingera :

Właśnie ta forma równania Diraca jest wykorzystywana standardowo w mechanice kwantowej. Zależność (1.2) jest definiująca dla macierzy Diraca. W szczególności, rozmiar kolumny diracowskiej (4) określony jest poprzez ten fakt, ze minimalny rozmiar macierzy spełniających tą zależność jest równa 4 × 4. Fakt ten jest dowodzony w podręcznikach mechaniki kwantowej i kwantowej teorii pola, zatem nie będziemy się dalej nad nim zastanawiali. Konkretny wybór macierzy Diraca jest kwestią wygody. My będziemy wykorzystywali standardową reprezentacje :

gdzie 0 – macierz zerowa rzędu 2 × 2 , σµ - macierze 2 × 2, przy czym : σ0 = σ~0 = 1 σi – macierze Pauliego, oraz : σ~i = −σi Dowolna inna reprezentacja macierzy Diraca otrzymywana jest z powyższej za pomocą przekształcenia unitarnego : γµ → Uγµ U−1 , gdzie U – macierz unitarna o wymiarze 4 × 4 W takiej reprezentacji γ-macierzy, wyrażenia dla macierzy αi i β mają postać :

107

Dogodnie będzie wprowadzić również macierz γ5 antykomutującą ze wszystkimi γµ : γ5 = −iγ0γ1γ2γ3 W reprezentacji (1.4) jest ona równa :

gdzie bloki przedstawiają sobą macierze 2 × 2. Właśnie taka prosta forma macierzy γ5 określiła nasz wybór (1.4). Na koniec, użytecznie będzie zdefiniować macierze : σµν = ½ i [ γµ , γν ] W reprezentacji (1.4) mają one postać :

przy czym :

Macierz : si = ¼ εijk σjk reprezentuje sobą operator spinu. Operator całkowitego trójwymiarowego momentu pędu :

komutuje z hamiltonianem Diraca :

figurującym w (1.3). W reprezentacji (1.4) otrzymujemy :

Hamiltonian Diraca, figurujący w równaniu (1.3), jest inwariantny względem odbicia przestrzennego, uzupełnionym przekształceniem unitarnym funkcji falowej ψ. W istocie, jeśli ψ(x, x0 ) spełnia równanie (1.3) ( lub, co równoważne równanie Diraca (1.1)), to funkcja : ψP(x, x0 ) = P ψ( −x, x0 ) (1.10) będzie spełniała to samo równanie, jeśli : P−1βP = β , P−1αi P = − αi Gdzie P jest macierzą unitarną. Z definicji macierzy β i αi oraz z zależności antykomutacji (1.2) jest jasne, że w charakterze P można wybrać macierz : P = γ0 (1.11) ( zauważmy, że γ0 jest macierzą unitarną ) Zatem, jeśli znamy jedno rozwiązanie równania Diraca, to z jego pomocą możemy zbudować drugie rozwiązanie zgodnie ze wzorem (1.10). Dalej omówimy jeszcze jedną własność równania Diraca, a dokładnie jego inwariantność względem C-sprzężenia. Jeśli ψ spełnia równanie Diraca (1.1), to kolumna sprzężona spełnia równanie : ( −i γµ*∂µ − m)ψ* = 0 Wprowadźmy macierz unitarną C tak, aby : Cγµ*C−1 = −γµ (1.12)

108

Wtedy kolumna : γC = Cψ* (1.13) będzie ponownie spełniała równanie Diraca (1.1). W reprezentacji γ-macierzy (1.4) macierz C możemy wybrać w postaci : C = ( 0 −ε ) (1.14) ( ε 0 ) gdzie ε - jest macierzą 2 × 2 o elementach εαβ ( α, β = 1, 2 ), zestawiającymi antysymetryczny tensor drugiego rzędu. Innymi słowy ε = iσ2 Niekiedy użytecznie jest rozpatrywać również układy w CP o wymiarze d = 2 lub d = 3. Przy d = 2 mamy dwie macierze γµ ( µ = 0, 1 ), przy czym ich minimalny rozmiar jest równy 2 × 2. Zatem dla

tego przypadku funkcja falowa ψ jest to dwuskładnikowa kolumna. γ-macierze można wybrać w postaci : γ0 = τ1 , γ1 = iτ2 (1.15) gdzie τi - macierze Pauliego. W tym przypadku macierz γ5 ( pozostawiamy dla tej macierzy, antykomutującej ze wszystkimi γµ oznaczenie γ5, chociaż jest ona trzecią ( a nie piątą ) w zbiorze dwuwymiarowych macierzy Diraca ) dogodnie jest zdefiniować następującym wzorem : γ5 = − γ0 γ1 W reprezentacji (1.15) mamy γ5 = τ3 Macierz P-przekształcenia zadana jest wzorem (1.11). Macierz C-sprzężenia w takiej reprezentacji jest równa : C = τ3 (1.16) Analogu momentu pędu w (1 + 1)- wymiarach nie ma, ponieważ nie ma obrotów w jednowymiarowej przestrzeni. W CP o trzech wymiarach minimalny rozmiar γ-macierzy jest również równy 2 × 2, a funkcja falowa ψ również reprezentuje sobą dwuskładnikową kolumnę. γ-macierze możemy wybrać również w postaci : γ0 = τ3 , γ1 = −iτ1 , γ2 = −iτ2 (1.17) Należy podkreślić, że nie ma analogu γ5 w 3 wymiarowej CP. Macierz C-sprzeżenia tak jak poprzednio może być również określona; w reprezentacji (1.17) jest ona równa : C = τ1 (1.18) Teraz omówimy specjalny przypadek bezmasowych fermionów. Rozpatrzmy sytuacje w 4 wymiarowej CP. Przy m = 0 hamiltonian Diraca (1.8) komutuje z macierzą γ5 ( inaczej mówiąc, operator iγµ ∂µ antykomutuje z γ5 ) Dlatego rozwiązania równania Diraca rozbijają się na lewe, dla których : γ5ψL = ψL tj. : ½ ( 1 + γ5 )ψL = ψL , ½ ( 1 − γ5 )ψL = 0 (1.19) i prawe, spełniające zależności : γ5ψR = −ψR , frac1 + γ52ψR = 0 , frac1 − γ52ψR = ψR (1.20) W wybranej przez nas reprezentacji γ-macierzy otrzymujemy : ψL = ( χ ) , ψR = ( 0 ) (1.21) ( 0 ) (η) gdzie χ, η - dwuskładnikowe kolumny. Zauważmy, że często i dla dowolnej funkcji falowej ψ wprowadza się jej lewe i prawe składowe, posiadające strukturę (1.21), inaczej mówiąc, definiuje się : ψL = ½ ( 1 + γ5 )ψ , ψR = ½ ( 1 − γ5 )ψ operatory ½ ( 1 + γ5 ) i ½ ( 1 − γ5 ) przedstawiają sobą projektory na lewe i prawe składowe funkcji falowej ogólnej postaci. Prawe i lewe komponenty funkcji falowej przekształcają się niezależnie przy przekształceniach Lorentza.

109

Przy m = 0 nie pojawia się sprzeczność również w tym przypadku, kiedy przyjmuje się, że fizycznie realizują się tylko rozwiązania lewe, a prawe rozwiązania są ignorowane ( lub na odwrót ). Innymi słowy, można rozpatrywać tylko dwuskładnikowe spinory χ i zapisywać dla nich równanie : iσ~µ ∂µχ = 0 (1.22) Dwuskładnikowe spinory χ nazywają się spinorami Weyla, a równanie (1.22) – równaniem Weyla. Równanie Weyla, w miejsce równania Diraca, opisuje poprawnie cząstki bezmasowe o lewej skrętności. Równanie Weyla nie jest inwariantne względem C-sprzężenia. W języku czteroskładnikowych fermionów Csprzężenie przeprowadza lewą funkcje falową w prawą : jeśli ψ = ψL spełnia zależność (1.19), to Cψ* spełnia zależność (1.20). W wykorzystywanej reprezentacji γ-macierzy jest to oczywiste z wzoru (1.14) dla macierzy C. Równanie Weyla jest inwariantne, ale względem CP-przekształcenia. Istnieje analog równania Weyla również w teorii bezmasowych fermionów w dwu wymiarowej CP. W miejsce lewych bezmasowych fermionów można byłoby rozpatrywać prawe, spełniające prawe równanie Weyla : iσµ ∂µη = 0 Jakim w istocie jest taki lub inny bezmasowy fermion – lewym lub prawym – jest to zagadnienie eksperymentalne. Znane neutrina ( przy zaniedbaniu ich masy ) – są to lewe fermiony. Na zakończenie niniejszego podrozdziału zauważymy, iż zarówno równanie Diraca, jak i równanie Weyla posiadają własność zachowania prawdopodobieństwa. Przykładowo, dla fermionu Diraca całka : ∫ d3x ψ†(x0, x) ψ(x0, x ) (1.23) jest zachowana. Jest to oczywiste z hermitowskości hamiltonianu Diraca (1.8). Własność tą możemy sformułować jeszcze następująco. Wprowadzimy diracowsko sprzężony spinor ( wiersz złożony z czterech elementów ) : ψ− = ψ†γ0 (1.24) Uwzględniając to, że γ0 jest hermitowska ( γ0 )2 , a γi - antyhermitowska, z równania Diraca otrzymujemy, że ψ− spełnia równanie : ψ− ( iγµ ∂←µ + m ) ψ = 0 gdzie strzałka nad ∂µ oznacza, to że pochodna działa na ψ−. Z tego równania oraz z równania Diraca wynika, że prąd : jµ = ψ−γµψ jest zachowany : ∂µjµ = 0 (1.25) Uwzględniając to, że : ∫ d3x ψ† ψ = ∫ d3x ψ−γ0ψ = ∫ d3x j0 otrzymujemy fakt, że zachowanie prawdopodobieństwa (1.23) związane jest bezpośrednio z zależnością (1.25). Fakt ten jest słuszny dla lewych ( lub prawych ) fermionów, spełniających równanie Weyla.

1.2 Rozwiązania swobodnego równania Diraca. Morze Diraca. Omówimy teraz rozwiązania równania Diraca (1.1), na początku przy m ≠ 0. Inaczej mówiąc, interesuje nas spektrum hamiltonianu diracowskiego (1.8) oraz jego funkcje własne. Funkcji własnych będziemy poszukiwali w postaci : ψp(x) = exp( −iωx0 + ipx ) up (1.26) przy czym ω i p interpretowane są tak jak w MQ – jako energia i pęd cząstki. Dla up mamy równanie : ( αi pi + βm ) up = ωup (1.27) i W wykorzystywanej reprezentacji γ-macierzy, gdzie macierze β i α mają postać (1.5), równanie (1.27) dogodnie jest przedstawić wprowadzając lewą i prawą składową spinora up : up = ( up, L ) (1.28) ( up, R ) up, L i up, R – przedstawiają sobą dwuskładnikowe spinory.

110

Z (1.27) wynika, że spełniają one układ równań ( opuszczamy indeks p dla funkcji falowych ) : ( −σp − ω )uL + muR = 0

(1.29)

( σp − ω )uR + muL = 0 Warunek zgodności tego układu, tj. wymaganie : det ( −σp + βm − ω ) = 0 ma postać : p2 ≡ ω2 − p2 = m2 (1.30) Przy spełnieniu tej zależności otrzymujemy, że uL jest dowolny, a uR wyraża się poprzez uL : (1.31) uR = (1/m) ( σp + ω ) uL Ponieważ mamy dwa liniowo niezależne dwuskładnikowe kolumny uL, to istnieją dwa niezależne rozwiązania równania Diraca o ustalonym pędzie p i energii ω, spełniającymi zależność (1.30). Faktycznie sens tego faktu jest najbardziej oczywisty przy wyborze w charakterze dwóch liniowo niezależnych kolumn uL wektorów własnych operatora σp/ | p | Operator taki posiada dwie wartości własne +1 i −1 ( ponieważ jego kwadrat jest równy 1 ), zatem dwie liniowo niezależne kolumny uL, ± można wybrać tak, że : ( σp/ | p | ) uL, ± = ± uL, ± Z uwzględnieniem (1.31) otrzymamy dla czteroskładnikowej kolumny (1.28) : ( sp/ | p | ) u± = ± ½ u± gdzie s – macierz spinowa (1.9). Zatem, dwa liniowo niezależne rozwiązania równania Diraca z ustalonym pędem odpowiadają ( przy ω > 0 ) stanom, z dodatnim i ujemnym rzutem spinu na kierunek ruchu cząstek – chiralność. Wartości energii ω mogą być zarówno dodatnie : ω = + sqrt( p2 + m2 ) jak i ujemne : ω = − sqrt( p2 + m2 ) Innymi słowy, spektrum hamiltonianu diracowskiego nie jest ograniczony od dołu. Dirac przyjął bardzo pomysłowy sposób wyjścia z tego problemu, który sprawiłby iż cała ta teoria jest niesprzeczna, dochodząc do pojęcia antyfermionu. W pierwszej kolejności, rozpatrzymy układ w pojemniku o dużym, ale skończonym rozmiarze L. Na granicy tego pojemnika nałożymy periodyczne warunki brzegowe, tj. wymagamy, aby :

i analogicznie dla pozostałych współrzędnych przestrzennych. Wtedy spektrum diracowskiego hamiltonianu będzie dyskretne - funkcje falowe (1.26) spełniają warunek (1.32) tylko przy : p = pn = (2π/L)n , n = ( n1 , n2 , n3 ) , n1,2,3 = 0, ±1, ±2, ... Odpowiednio, energia przyjmuje dyskretny zbiór wartości : ωn = ± sqrt( pn2 + m2 ) Pomiędzy poziomami z dodatnią i ujemną energią istnieją przerwy o wielkości 2m. Spektrum diracowskiego hamiltonianu pokazano na rysunku 1.1.

111

Rys. 1.1 Schematyczne przedstawienie spektrum hamiltonianu Diraca. Nie pokazano zdegenerowania poziomów. Zajmiemy się teraz zagadnieniem o najniższym stanie układu ( stan próżniowy ), a przy tym nie będziemy nakładali żadnych ograniczeń na możliwą liczbę cząstek w układzie. Jest jasne, że wygodnie jest mieć jak najwięcej cząstek umiejscowionych na poziomach ujemnych. Jednocześnie rozpatrywane przez nas cząstki są fermionami, dlatego w każdym ustalonym stanie może znajdować się nie więcej niż jedna cząstka ( zasada Pauliego ). Zatem, stanem o najniższej energii będzie taki stan w którym wszystkie poziomy ujemne są zapełnione ( tj. w każdym stanie o ujemnej energii znajduje się dokładnie jeden fermion ), a wszystkie poziomy dodatnie są wolne. Taki stan podstawowy schematycznie przedstawiono na rysunku 1.2. Układ zapełnionych ujemnych poziomów obrazowo nazywa się morzem Diraca. Dalej należy przyjąć, ze diracowska próżnia posiada zerową energię i zerowy pęd ( jak również zerowy ładunek elektryczny i zerowe pozostałe ładunki ) tj. odmierzać wszystkie wartości od poziomu wartości próżniowych. Omówimy teraz elementarne wzbudzenia ponad próżnią Diraca. Przy dodaniu jednego fermionu do układu może on zająć tylko poziom o energii dodatniej ( fermion nie może zająć żadnego poziomu o ujemnej energii ). Funkcja falowa takiego fermionu będzie opisywana poprzez rozwiązanie równania Diraca o dodatnim ω. Takie wzbudzenie przedstawiono na rysunku 1.3. Drugi typ wzbudzeń pojawia się, jeśli z morza Diraca zabierzemy cząstkę. Przy tym uwalniamy jeden poziom o ujemnej energii, tak że całkowita energia zwiększa się – jeśli zwolniony poziom, charakteryzuje się pędem p i energią −ωp = − sqrt( p2 + m2 )

to energia stanu, odmierzana od energii próżni, będzie równa +ωp, a pęd będzie równy −p. Takie wzbudzenie w teorii ciała stałego nazywa się dziurą, a w fizyce cząstek odpowiada ono antyfermionowi. Jeśli fermion niesie ładunek elektryczny q, to antyfermion niesie ładunek −q, ponieważ jego stan otrzymujemy, jeśli z morza Diraca zabierzemy fermion. Fermiony i antyfermiony posiadają jednakową masę prawo dyspersji : ωp = sqrt( p2 + m2 ) Stan z antyfermionem pokazano na rysunku 1.4.

112

Rys. 1.2 Schematyczne przedstawienie stanu podstawowego się Nie uwzględniono zdegenerowania poziomów.

Rys. 1.3 Stan z jednym fermionem znajdującym Ponad poziomem morza Diraca.

Jeśli w układzie mamy fermion i dziurkę, tak jak to pokazano na rysunku 1.5, to fermion może przemieścić się z poziomu dodatniego na ujemny, emitując energię ( np. emitując foton ). Odpowiada to anihilacji fermionu i antyfermionu. Proces odwrotny jest możliwy przy wprowadzeniu energii i odpowiada kreacji pary fermionantyfermion. W obu tych procesach zachowana jest liczba fermionowa, która określona jest jako różnica liczby fermionów i liczby antyfermionów ( danego typu ). Oczywiście każdemu typowi fermionów odpowiada odpowiednia antycząstka : dla elektronu jest to pozyton, a dla protonu – antyproton itp. Wyobrażenie o cząstkach i dziurkach jest adekwatne w fizyce ciała stałego. W fizyce cząstek musimy zastosować pewien schemat formalny. Bardziej symetryczny opis fermionów i antyfermionów osiągamy w KTP, gdzie cząstkom i antycząstkom odpowiada jeden operator pola Ψ(x). Pole fermionowe nie posiada granicy klasycznej ( w wyniku działania zasady Pauliego ). Należy podkreślić, ze opis swobodnych fermionów i antyfermionów ( jak również fermionów i antyfermionów w polach zewnętrznych ) z użyciem pojęcia morza Diraca jest równoważne ich opisowi w KTP.

Rys. 1.4 Stan z antyfermionem nad próżnią Diraca. Puste kółeczko oznacza niezapełniony poziom w morzu Diraca.

Rys. 1.5 Anihilacja fermionu z antyfermionem.

113

Jeszcze jedną uwagę podamy odnośnie bozonów. Jeśli równanie Kleina-Gordona przyjąć jako równanie dla funkcji falowych cząstek ( bozonu), to pojawia się również w nim trudność z ujemnymi poziomami i nieograniczeniem od dołu spektrum energii. Ponieważ bozony nie spełniają zasady Pauliego, trudności tej nie udaje się rozwiązać za pomocą konstrukcji typu morza Diraca. Trudność z ujemnymi energiami bozonów rozwiązuje tylko KTP. Rozpatrzmy dalej rozwiązania równania Weyla (1.22). W przedstawieniu pędowym ma ono postać ( porównaj z (1.29)) : ( ω + σp ) uL = 0 Taki układ równań na dwie składowe spinora uL jest zgodny przy : ω= ± |p| i wtedy posiada jednoznaczne rozwiązanie. Przy ω > 0 rozwiązanie to spełnia zależność : ( sp / | p | ) uL = − ½ uL gdzie s = ½ σ - operator spinu Zatem, równanie Weyla opisuje bezmasowe fermiony z ujemną chiralnością ( rzutem spinu na kierunek ruchu ) Tym też tłumaczymy termin „lewe fermiony” ( analogicznie z fotonami lub falami EM o lewej polaryzacji kołowej ) Wykorzystuje się jeszcze pojęcie „fermiony o lewej chiralności”. Rozwiązanie swobodnego równanie Diraca łatwo jest znaleźć w CP o wymiarze 2 lub 3. W wszystkich tych przypadkach mamy rozwiązania zarówno z dodatnimi jak i ujemnymi energiami, przy czym spektra o ujemnych i dodatnich energiach pokrywają się z dokładnością do znaku. Stwierdzenie to jest oczywiste z własności C-symetrii : jeśli ψ(x0, x ) spełniają równanie Diraca o dodatniej częstości ω, to : ψC(x0, x ) = Cψ*(x0, x ) przedstawia sobą rozwiązanie o częstości −ω.

.............................................................. Klasyczne pola cechowania. Teorie z fermionami - W. A. Rubakow; КомКнига МОСКВА 2005

******************************************************************************************

VIII Odziaływanie pól – lokalna symetria cechowania równania Diraca. Pola Yanga-Millsa Jak już powiedziano na wstępie pojęcie pola swobodnego tj. pola nie oddziałującego z innymi polami lub samooddziałującego jest dużą idealizacją – w przyrodzie pola, to pola oddziałujące. Jeżeli pole można rozpatrywać jako pole swobodne, to jedynie asymptotycznie np. w nieskończonej odległości od źródeł tego pola, lub w skończonej odległości np. dla pól szybko zanikających (np. pól o potencjale 1/r2 ). Pojęcie oddziaływania pól pojawiło się w sposób naturalny jako uogólnienie pojęcia oddziaływania pomiędzy ciałami materialnymi, rozpatrywanego w ramach mechaniki newtonowskiej. Jednakże bezpośrednie przeniesienie pojęcia oddziaływania na grunt teorii pól nie jest możliwe. W mechanice newtonowskiej oddziaływanie ciał materialnych realizowało się z użyciem pojęcia siły. Poprzez to pojęcie wyrażono również dynamiczne prawa ruchu ciał materialnych, jak również takie wielkości jak energia i pęd, będące czymś wtórnym – pochodnym - do pojęcia siły. Szeroko wykorzystywane pojęcie działania bliskiego np. przy analizie zderzeń, lub nawet oddziaływania dalekiego np. w newtonowskiej teorii grawitacji, tracą swoją fizyczną wartość na gruncie relatywistycznej teorii pola. Siła oddziaływania w teorii pola musi zostać zastąpiona pojęciem znacznie ogólniejszym i matematycznie treściwszym. To wszystko zapewni przejście do formalizmu kanonicznego w szczególności do mechaniki w ujęciu Lagrange’a, w której główną rolę odgrywa pojęcie lagranżjanu, a dalej TEP (i oczywiście tensor spinowego momentu pędu ). To właśnie z TEP możemy uzyskać jako wtórne pojęcie siły np. znane z mechaniki klasycznej wyrażenie siły jako gradientu potencjału. Należy również pamiętać, że głównym wymogiem współczesnej tj. relatywistycznej teorii pola jest zapewnienie spełniania przez wszystkie definiowane w jej obrębie wielkości fizyczne ich relatywistycznego charakteru. Oczywiście wymóg taki będzie spełniony już na początku, jeśli taką cechę posiada FD.

114

Najważniejszym przypadkiem szczególnym oddziaływania pól jest oddziaływanie cząstek naładowanych o spinie ½ (np. elektronów ) z polem EM. W pierwszym przybliżeniu można rozpatrywać takie cząstki przyjmując iż są one bezspinowe tj. rozpatrywać oddziaływanie naładowanych, masywnych cząstek skalarnych ze swobodnym polem EM. 8.1 Oddziaływanie cząstek skalarnych z polem EM. Teoria oddziaływania cząstek skalarnych z polem EM, to nic innego jak klasyczna elektrodynamika maxwellowska z uwzględnieniem źródeł pól EM. Przypomnijmy zatem pewne fakty z elektrodynamiki klasycznej. Jeśli zadano prąd j i gęstość ładunku elektrycznego ρ, to natężenie pola elektrycznego i magnetycznego mogą być znalezione z równań Maxwella : div H = ρ rot E = –(1/c) ∂H/∂t (8.1.1) div E = 4πρ rot H = (4π/c)j + (1/c) ∂E/∂t (układ jednostek CGS ) Przy tym prąd powinien spełniać równanie ciągłości : ∂ρ/∂t + div j = 0 (8.1.2) Pierwsza para równań Maxwella nie zawiera źródeł i może być rozwiązana poprzez wprowadzenie potencjałów ϕ i A, określonych przy pomocy następujących zależności : H = rot A ; E = –(1/c) ∂A/∂t – ∂ϕ (8.1.3) gdzie ∂ = ex ∂/∂x + ey ∂/∂y + ez ∂/∂z Łatwo sprawdzić, że tym przypadku pierwsze dwa równania (8.1.1) są spełnione tożsamościowo. Zauważmy również że z równań (8.1.3) potencjały pola EM są określone nie jednoznacznie. Jeśli bowiem pewne funkcje ϕ i A spełniają (8.1.3), to rozwiązaniami są również : A’ = A + ∂α ; ϕ’ = ϕ – (1/c) ∂α/∂t (8.1.4) gdzie α = α(x, t ) – dowolna funkcja współrzędnych i czasu. Dlatego mówimy, że rozwiązanie równań (8.1.3) jest określone z dokładnością do przekształcenia cechowania A → A + ∂α ; ϕ → ϕ – (1/c) ∂α/∂t (8.1.5) Wprowadzając czterowektor potencjału Aµ = (ϕ, – A ), można przepisać równania (8.1.3) w postaci : Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ = ( 0 Ex Ey Ez ) (8.1.6) ( –Ex 0 –Hz Hy ) ( –Ey Hz 0 –Hx ) ( –Ez –Hy Hx 0 ) tak, że : Ei = –F0i ; Hi = – ½ εijk Fjk (8.1.7) Zbudowany w ten sposób tensor pola EM Fµν jest inwariantny względem przekształceń cechowania Aµ → Aµ – ∂µα (8.1.8) µ Z użyciem tensora Fµν, jak również czterowektora prądu j = (cρ, j ), druga para równań Maxwella może być zapisana następująco : ∂µFµν = (4π/c) jν (8.1.9) Zawężając (8.1.9) z ∂ν dochodzimy do równania ciągłości w formie : ∂µ j µ = 0 (8.1.10) co oczywiście pokrywa się z (8.1.2). Pierwsza para równań Maxwella przedstawia sobą tożsamość Bianchiego : ∂µF~µν = 0 gdzie F~µν – dualny tensor pola, określony następująco : F~µν = ½ εµναβ Fαβ = ( 0 Hx Hy Hz ) ( –Hx 0 Ez –Ey ) ( –Hy –Ez 0 Ex ) ( –Hz Ey –Ex 0 ) εµναβ – absolutnie antysymetryczny tensor Leviego- Civity. W naszych oznaczeniach :

115

(8.1.11) (8.1.12)

ε0123 = –1 , ε0123 = 1. Równania (8.1.11), wynikają oczywiście z (8.1.12), ponieważ : ∂µF~µν = ½ εµναβ ∂µ ( ∂αAβ – ∂βAα ) = 0 Działanie pola EM ma postać : Spole el. = − (1/16π ) ∫ FµνFµν d4x ( w szczególności Fµν2 = Fµν Fµν ) lub Spole el. = ∫ – ¼ FµνFµν d4x

(8.1.13)

(8.1.14)

(8.1.14a)

Działanie dla oddziaływanie pomiędzy polem EM, a cząstkami naładowanymi ma postać : Soddziaływanie = (1/c2 ) ∫ jµ Aµ d4x lub Soddziaływanie = ∫ jµ Aµ d4x Zatem, sumarycznie możemy zapisać : Selektrodynamika = ∫ d4x [ Fµν2 – e jµAµ ] Gdzie wprowadziliśmy stała sprzężenia e.

(8.1.15) (8.1.15a) (8.1.16)

Jeśli w charakterze źródła występuje naładowana cząstka punktowa, poruszająca się po zadanej trajektorii w czasoprzestrzeni x(t), to : j0 = cqδ3( x – x(t)) ; j = q v(t)δ3( x – x(t)) (8.1.17) i druga składowa w (8.1.16) przechodzi w standardowe wyrażenie, opisujące oddziaływanie cząstki naładowanej z polem EM : Sodd. = ∫ dt [ (q/c) (vA) – qϕ ] (8.1.18) Kombinacja skalarna czterowektorów postaci jµAµ wchodząca do wyrażenia (8.1.16) stanowi podstawową wielkość charakteryzującą oddziaływanie pola EM z polami niosącymi ładunek elektryczny. 8.2 Oddziaływanie cząstek diracowskich (fermionów ) z polem elektromagnetycznym. Zapiszmy raz jeszcze lagranżjan oddziaływania pola EM z cząstkami naładowanymi : ( £oddziaływanie ≡ £int ) £int = –ejµ Aµ (8.1.19) Dalej zapiszmy wyrażenie dla prądu cząstek Diraca postaci : (V) ψ−γµψ ≡ jµ wektor Zatem : £int = – eψ−γµψ Aµ (8.1.20) Taka postać lagranżjanu jest słuszna dla wszystkich naładowanych fermionów np. mionów, τ -leptonów, jednakże dla wygody będziemy rozpatrywali jako przypadek szczególny, oddziaływanie elektronu i pola EM. Wyrażenia dla różnego rodzaju oddziaływań dogodnie jest przedstawiać za pomocą tzw. wykresów Feynmanna. I tak przyjmując, że rozpatrywane oddziaływanie zachodzi w punkcie x, możemy wyrysować następujący wykres :

funkcje ψ(x) reprezentuje linia ciągła ze strzałką skierowana do punktu x – jest to stan początkowy elektronu. Funkcje ψ−(x) przedstawiamy linią ciągłą wychodzącą z punktu x – jest to stan końcowy elektronu.

Pole Aµ(x) przestawia linia falista. Wierzchołkowi oddziaływania przyporządkujemy wielkość –eψ−γµψ

116

Rozpatrzmy teraz układ równań, opisujący elektrony i pole EM. Całkowity lagranżjan takiego układu ma postać : £ = £ψ + £em + £int gdzie £ψ - lagranżjan opisujący elektrony swobodne – lagranżjan Diraca. £ψ = ψ– ( iγµ∂µ – m )ψ £em = – ¼ Fµν Fµν £int = – eψ−γµψ Aµ Rozpatrzmy teraz układ równań E-L : ∂µ( ∂£/ ∂(∂µAν ) – ∂£/∂Aν = 0 ∂µ( ∂£/ ∂(∂µψ– ) – ∂£/∂ψ– = 0 ∂µ( ∂£/ ∂(∂µψ ) – ∂£/∂ψ = 0 Otrzymujemy odpowiednio : ∂£/ ∂(∂µAν ) = –Fµν , ∂µFµν = – Aν , ∂£/ ∂Aν = –eψ−γνψ ∂µ( ∂£/ ∂(∂µψ– ) = 0 , ∂£/∂ψ– = iγµ∂µψ – mψ – eγµψAµ ∂£/ ∂(∂µψ) = iψ–γµ , ∂£/ ∂ψ = –mψ– – eψ–γµAµ Otrzymujemy następujący układ równań, opisujący elektrony w polu EM : Aµ = –eψ−γµψ γµ (i ∂µ – eAµ )ψ – mψ = 0 ( i ∂µ + eAµ )ψ–γµ + mψ– = 0

(8.1.21) (8.1.21a) (8.1.21b)

Równanie (8.1.21) pokazuje, że prąd elektronów w przypadku obecności pola EM ma postać : Jµ = – ∂£/ ∂Aµ = eψ–γµψ

(8.1.22) Wyrażenie to jest podobne do wyrażenia dla prądu swobodnych elektronów, jednakże teraz funkcje ψ, ψ– spełniają nie równania Diraca, a równania (8.1.21a) i (8.1.21b). Mamy zatem do czynienia z bardzo złożonym układem sprzężonych równań różniczkowych, który bardzo trudno rozwiązać. Rozwiązanie przybliżone możemy otrzymać, przyjmując, że ładunek elektronu e jat małym parametrem. To pozwala zbudować teorię zaburzeń względem parametru e i rozwiązać układ (8.1.21) metodą kolejnych przybliżeń. Można również przyjąć pole EM Aµ jako zadane i zaniedbać zwrotny wpływ na nie elektronów. Otrzymamy wtedy równanie Diraca, opisujące ruch cząstek w zadanym polu zewnętrznym : γµ (i ∂µ – eAµ )ψ – mψ = 0 (8.1.21a) – – ( i ∂µ + eAµ )ψ γµ + mψ = 0 (8.1.21b) Równania o takiej postaci wykorzystuje się np. w relatywistycznej teorii atomu wodoru, przy analizie rozpraszania elektronu na jądrach atomowych. Porównując powyższe wyrażenia do równania Diraca, widzimy że w przypadku oddziaływania cząstek naładowanych z polem EM należy dokonać zamiany pochodnej na pochodną kowariantną : ∂µ → Dµ = ∂µ – ieAµ co jest równoważne następującej zamianie operatora pędu cząstki pµ = i ∂µ : pµ → pµ – ieAµ Komutator pochodnych kowariantnych : [ Dµ , Dν ] = [ ∂µ – ieAµ , ∂ν – ieAν ] = ie( ∂µAµ − ∂νAν ) = ieFµν jak widać daje tensor natężenia pola EM. Oprócz tego do lagranżjanu należy dodać lagranżjan swobodnego pola EM. Zamiana na pochodna kowariantną zapewni nam również – co jest właściwie kwestią zasadniczą – inwarintność równania Diraca względem lokalnej symetrii cechowania.

117

8.3 Naładowane bozony w polu elektromagnetycznym. Jako przykład powyżej sformułowanych zasad, rozpatrzymy naładowane (zespolone ) pole skalarne i jego oddziaływanie z polem EM. Przypomnijmy, że lagranżjan swobodnych bezspinowych cząstek ma postać : £ = ∂µϕ* ∂µϕ – m2 ϕ*ϕ (8.1.22) Wychodząc z zasady minimalnego sprzężenia, otrzymujemy : ∂µϕ → (∂µ + ieAµ )ϕ ∂µϕ* → (∂µ – ieAµ )ϕ* A do lagranżjanu (8.1.22) dodajemy lagranżjan swobodnego pola EM : £ = – ¼ Fµν Fµν + (∂µ – ieAµ )ϕ* (∂µ + ieAµ )ϕ – m2 ϕ*ϕ Taki lagranżjan można rozbić na trzy składowe : £ = £ϕ + £em + £int gdzie £ϕ - lagranżjan swobodnego pola skalarnego (8.1.22), £em – lagranżjan swobodnego pola EM, £int – lagranżjan oddziaływania : £int = – ieAµ [ ϕ*(∂µϕ) – (∂µϕ*)ϕ ] + e2Aµ2 ϕ*ϕ

(8.1.23)

(8.1.24)

Rozpatrzmy teraz układ równań E-L, dla zadanego układu pól : ∂µ( ∂£/ ∂(∂µAν ) – ∂£/∂Aν = 0 ∂µ( ∂£/ ∂(∂µϕ ) – ∂£/∂ϕ = 0 ∂µ( ∂£/ ∂(∂µϕ* ) – ∂£/∂ϕ* = 0 Otrzymujemy następujący układ równań, opisujący naładowane cząstki skalarne w polu EM : Aµ = –ejµ [ (∂µ + ieAµ )2 + m2 ]ϕ = 0 [ (∂µ – ieAµ )2 + m2 ]ϕ* = 0

(8.1.25) (8.1.25a) (8.1.25b)

Prąd naładowanych cząstek skalarnych w polu EM, dany jest przez zależność : Jµ ≡ ejµ = ∂£/∂Aµ = ie[ ϕ*(∂µϕ) – (∂µϕ*)ϕ ] – 2e2Aµϕ*ϕ = = ie[ ϕ*(∂µ + ieAµ )ϕ – ( ∂µ – ieAµ )ϕ*ϕ ]

(8.1.26)

Lagranżjan oddziaływania (8.1.24) możemy przedstawić z pomocą wykresy Feynamnna następująco :

a) b) Cząstki skalarne przedstawiono linią przerywaną, pole EM – linią falistą. Jak widać, mamy wierzchołki dwóch typów, w których schodzą się trzy (a) i cztery linie (b). W wierzchołku (a) stoi operator ie∂↔µ, gdzie symbol ∂↔µ jest określony przez zależność : ϕ*∂↔µϕ = (∂µϕ*)ϕ – ϕ*(∂µϕ) (8.1.27) W wierzchołku (b) stoi stała e2. Jaki widać taka postać diagramów odpowiada dwóm częściom lagranżjanu (8.1.24). Człon postaci e2Aµ2 ϕ*ϕ nazywa się po angielsku sea-gull – mewa, bowiem odpowiadający mu diagram Feynmanna (b) przypomina mewę lecącą nad powierzchnią morza. Na koniec należy zauważyć, że dla pola skalarnego operacja sprzężenia ładunkowego sprowadza się do sprzężenia w sensie zespolonym : ϕC(x) = ϕ*(x) Jak widać z równań (8.1.25), przy takiej operacji ładunek elektryczny cząstki zmienia się na przeciwny.

118

.............................................................. Rozpatrzmy teraz przypadek oddziaływania pola EM z innymi polami. Przypadek ten jest interesujący z punktu widzenia dalszego wykładu. Równanie pola EM powinno mieć postać : ∂µ Fµν = ejν (2.26) gdzie prąd jµ jest utworzony z pól i jest zachowany : ∂µ j µ = 0 Dla zespolonego pola skalarnego mamy kandydata na prąd jµ – wyrażenie (2.18) : jµ(0) = −i (φ*∂µφ − ∂µφ*φ ) Zatem, można byłoby założyć, że (2.26) z jµ = jµ(0) – jest jednym z równań teorii oddziaływania pól zespolonego skalarnego i EM. Przekonamy się jednak, że droga taka nie prowadzi do zadowalających rezultatów. Równanie (2.26) otrzymujemy wariując względem Aµ działanie : (2.27) S = ∫ d4x [ ∂µφ* ∂µφ − m2φ*φ – ¼ Fµν Fµν − jµ(0)Aµ ] Obecność ostatniej składowej ( oddziaływania ) prowadzi do modyfikacji nie tylko równania pola EM, ale również i równania pola skalarnego ( ponieważ jµ(0) zależy od φ i φ* ). Wariując działanie (2.27) względem φ*, otrzymamy równanie : − ∂µ∂µφ − m2φ + 2ie∂µφAµ + ieφ∂µAµ = 0 (2.28) Sprzężone równanie otrzymujemy wariując względem φ : − ∂µ∂µφ* − m2φ* − 2ie∂µφ*Aµ + ieφ* ∂µAµ = 0 (2.29) (0) Możemy przekonać się, że prąd jµ nie jest zachowany, jeśli spełnione są (2.28) , (2.29). Dla czterodywergencji prądu jµ(0) otrzymamy : ∂µ jµ(0) = − i (φ* ∂µ∂µφ – φ∂µ∂µφ* ) Mnożąc (2.28) przez –iφ*, a (2.29) przez iφ, a następnie odejmując otrzymane równania otrzymamy : ∂µ jµ(0) = 2e∂µ(φ*φ Aµ ) Prawa cześć tego równania jest równa zeru dla dowolnych pól, tylko jeśli e = 0 tj. jeśli nie występuje oddziaływanie ( zauważmy, że pole φ oraz jego pierwsza pochodna ∂µφ są dowolne tj. nie sprowadzają się do czegoś prostszego za pomocą równań ruchu (2.28) , (2.29) ). Zatem, prąd jµ(0) nie jest zachowany, co jest oczywiście sprzeczne z równaniem (2.29). W zasadzie można byłoby nałożyć warunek ∂µ(φ*φAµ ) = 0 i zapewnić tym samym

zachowanie prądu ( byłoby to analogiczne do nałożenia warunku ∂µAµ = 0 w teorii masywnego pola wektorowego ). Jednakże warunek ten jest istotnie nieliniowy względem pól i przedstawienie swobodnego pola EM i swobodnego masywnego pola skalarnego w granicy słabych pól nie byłoby możliwe.

Wyjścia z tej sytuacji można byłoby szukać na drodze dodania do prądu jµ(0) składowych wyższego rzędu względem pól. W elektrodynamice z polem skalarnym podejście to jest w miarę prosto zrealizować dodając do jµ(0) składowe postaci Aµφφ* ( tj. podstawiając do równania (2.26) jµ = jµ(0) + const. Aµφφ* ). Wykorzystamy jednak inne podejście , które w sposób prosty uwzględnia własność inwariantności względem cechowania. Jest ono interesujące ponieważ odgrywa ono kluczową rolę przy budowie teorii nieabelowych pól z cechowaniem. Wymagamy inwariantności lagranżjanu względem przekształceń cechowania pola Aµ i jednocześnie pola φ : φ(x) → φ’(x) = eiα(x) φ(x) , φ*(x) → φ’*(x) = e–iα(x) φ*(x) (2.30) Aµ(x) → A’µ(x) = Aµ(x) + (1/e) ∂µα(x) (2.30) ( stała e wprowadzona jest dla wygody dalszych rachunków ) Swobodne działanie pola EM jest inwariantne względem tych przekształceń. Swobodne działanie zespolonego skalarnego pola nie jest inwariantne ( inwariantność zachodzi tylko jeśli α nie zależy od punktu czasoprzestrzeni ). Istotnie, rozpatrzmy bowiem pochodną pola φ’(x) : ∂µφ’(x) = eiα(x) [ ∂µφ(x) + i ∂µα(x)φ(x) ] (2.31)

119

Jeśli nie występowałaby druga składowa mielibyśmy inwariantne wyrażenie ∂µφ* ∂µφ i swobodny lagranżjan byłby inwariantny. Idea polega na tym aby w miejsce zwykłej pochodnej ∂µ φ wykorzystać inny obiekt Dµφ,

który sprowadzałby się do ∂µ φ w granicy słabego pola i przekształcał się jednorodnie przy przekształceniach (2.30) : ( Dµ φ )’ = e–iα(x) Dµ φ

Z (2.31) jest jasne, że składowe z ∂µα możemy skompensować, dodając do ∂µα składowe typu φA. Dochodzimy zatem do wyrażenia : Dµφ = ∂µφ – ieAµφ = (∂µ – ieAµ ) φ Wielkość tą nazywamy „pochodną kowariantną” pola φ. Sprawdźmy wyrażenie (2.32), otrzymamy : ( Dµφ )’ = ∂µφ’ – ieA’µφ’ = eiα ∂µφ + eiα φi ∂µα − ieAµeiα φ – ie(1/e) ∂µα eiα φ = eiα Dµφ Zatem, zależność (2.32) jest spełniona i (Dµφ)* Dµφ jest inwariantne względem cechowania. Działanie inwariantne względem przekształceń cechowania (2.30), wybierzemy o postaci : S = ∫ d4x [ – ¼ Fµν Fµν + ( Dµφ)* Dµφ − m2 φ*φ ] ( można byłoby jeszcze dodać oddziaływanie własne pola skalarnego VI (φ*φ) ).

(2.32)

(2.33)

(2.34)

Składowe nieliniowe ( potęgi wyższe od dwóch względem pól ) w tym działaniu pojawiają się za sprawą obecności członu Aµφ w Dµφ i mają strukturę Aµφ* ∂µφ oraz AµAµφ* φ. Wariując działanie (2.34) względem pola Aµ, otrzymamy równanie (2.26) o prądzie : jµ = −i(φ*∂µφ − ∂µφ*φ ) – 2eAµφ*φ który może być zapisany w jawnie inwariantnej względem cechowania postaci : jµ = −i[ φ*Dµφ – (Dµφ)*φ ]

(2.35)

Zauważmy jeszcze, że jeśli pole φ* przyjąć jako niezależne, to dla niego pochodna kowariantna będzie miała postać : Dµφ* = (∂µ + ieAµ )φ* ( znak przed wyrażeniem ieAµ podyktowany jest wymogiem (Dµφ*)’ = e-iα Dµφ*, oraz znakiem przekształcenia (2.30) ), co pokrywa się z (Dµ φ* ). W dalszej kolejności nie będziemy rozróżniali (Dµφ)* i (Dµ φ* ) ( ponieważ są to wyrażenia tożsame ) Znajdziemy teraz równanie pola skalarnego. Wariując, jak zwykle względem φ*, mamy : DµDµ φ + m2φ = 0 (2.36) gdzie : DµDµ określone jest całkowicie analogicznie do (2.33) : DµDµφ = (∂µ − ieAµ ) (∂µ − ieAµ ) φ Sprawdźmy, czy przy uwzględnieniu równania (2.36) prąd (2.35) jest zachowany. Mamy co następuje : ∂µ jµ = – i [ ∂µφ* Dµφ + φ* ∂µDµφ – ( Dµφ)* ∂µφ − ∂µDµ φ* φ ] I dalej : ∂µ φ* Dµ φ + φ* ∂µDµφ = ∂µφ* Dµ φ + ieAµφ* Dµφ + φ* ∂µDµφ – ie φ* AµDµ φ = Dµφ* Dµφ + φ* DµDµ φ To oraz analogiczne do niego równania dają : ∂µ jµ = i ( φ* DµDµ φ − DµDµ φ* φ ) Wyrażenie po prawej stronie jest równe zeru na mocy równania pola (2.36) oraz równania do niego sprzężonego. Prąd jµ jest zatem zachowany i układ równań : ∂µ Fµν = jν (2.37) DµDµφ + m2φ = 0 (2.38) jest zgodny wzajemnie. Zatem, wymaganie inwariantności lagranżjanu względem przekształceń cechowania pól (2.30) prowadzi do zamiany w działaniu, zwykłych pochodnych cząstkowych ∂µφ na pochodne kowariantne Dµφ. Prąd jµ obecny w równaniach pola (2.37) okazuje się przy takiej zamianie automatycznie inwariantny względem przekształceń cechowania i jest zachowany przy uwzględnieniu równań pola (2.38). Zauważmy, że czasami bywa dogodnie zapisać przekształcenia (2.30) w następującej postaci : φ(x) → φ’(x) = g(x) φ(x) (2.39) -1 Aµ (x) → A’µ (x) = Aµ(x) + g(x) ∂µg (x) (2.40) iα(x) Gdzie : g(x) =e , Aµ = –ieAµ 120

Dogodność takiego zapisu polega na tym, że g(x) w każdym punkcie x można interpretować jako element grupy U(1) – grupy liczb zespolonych, co do modułu równych jeden. Przekształcenie (2.39) wygląda jak przekształcenie pod działaniem reprezentacji podstawowej grupy, a g(x) ∂µg–1(x) przedstawia sobą w każdym punkcie x element algebry Liego tej grupy. Uogólnienie przekształceń (2.39) (2.40) na przypadek innych ( nieabelowych) grup Liego prowadzi do nieabelowym polom cechowania, które będziemy rozpatrywali w rozdziale 4 ( i po nim kolejnych ). Na zakończenie podkreślmy, że w teorii pól oddziałujących wzajemnie lagranżjany jako składowe zawierają zarówno składowe kwadratowe względem pól, jak i człony wyższych rzędów. Składowe kwadratowe prowadzą do członów liniowych w równaniach polowych, składowe wyższych rzędów do nieliniowych. Ogólne rozwiązania nieliniowych równań polowych zazwyczaj nie jest łatwo znaleźć ( wyjątek stanowią modele całkowalne ), pewne fizycznie interesujące rozwiązania istnienie których całkowicie związane jest z nieliniowością równań, będą rozpatrzone w części drugiej. Sytuacja znacznie się upraszcza, jeśli rozpatrujemy fale o małej amplitudzie w każdym punkcie czasoprzestrzeni. W tym przypadku człony nieliniowe w równaniach pola są małe w porównaniu z członami liniowymi i możemy je zaniedbać. Rozwiązanie linearyzowanych równań, jak już zauważyliśmy w poprzednich podrozdziałach nie jest trudne. W tej chwili będziemy budowali lagranżjany i skupimy się na małych zaburzeniach. Ich właściwości ( tj. właściwości małych zaburzeń ) mogą być znalezione ze struktury członów liniowych w równaniach polowych lub, co jest równoważne z kwadratowej części całkowitego lagranżjanu. W teorii kwantowej małym zaburzeniom pól odpowiadają cząstki ( elementarne). Zatem, badanie fal klasycznych o małej amplitudzie w konkretnym modelu jest jednocześnie badaniem spektrum cząstek elementarnych tego modelu.

.............................................................. Klasyczne pola cechowania. Teorie bozonowe - W. A. Rubakow; КомКнига МОСКВА 2005 8.3.1 Uwagi ogólne o konstrukcji lagranżjanów pól oddziałujących. Uwaga 1. Rozpatrując oddziaływanie pól mamy na myśli oddziaływania lokalne tzn. wszystkie pola biorące udział w oddziaływaniu (tj. pola i ich pochodne wchodzące do lagranżajnu – lagranżjany lokalne ) brane są w jednym i tym samym punkcie czasoprzestrzeni. Wszystkie rozpatrywane we współczesnej fizyce lagranżjany są lokalne, wprowadzenie nielokalności prowadzi do znacznych trudności natury teoretycznej, związanych z naruszeniem zasady przyczynowości, istnieniem prędkości nadświetlnych, oraz innych nieprzyjemnych z teoretycznego punktu widzenia konsekwencji. Uwaga 2. W pierwszym podejściu do klasycznej teorii pola, rozpatrywaliśmy lagranżjany, kwadratowe względem pól tj. rozpatrywaliśmy jedynie człony postaci (φi )2 lub (∂µ φ)2 ϕ. Wariacja takich lagranżjanów prowadzi do liniowych równań dla pól. Takie pola nazywamy polami swobodnymi lub liniowymi. Rozpatrując oddziaływania pól, pod pojęciem oddziaływania pól rozumiemy składowe w lagranżjanie stopnia wyższego niż dwa względem pól i odpowiednio, nieliniowe składowe w równaniach pola. Teoria pól oddziałujących wzajemnie będzie inwariantna względem translacji ( przesunięć ) w przestrzeni i w czasie oraz względem przekształceń Lorentza, jeśli lagranżjan oddziaływania będzie skalarem lorentzowskim, niezależnym w sposób jawny od współrzędnych czasoprzestrzennych. Najprostszy przykład pojawia się w teorii rzeczywistego pola skalarnego, jeśli w charakterze lagranżjanu oddziaływania wybrać pewną funkcję pola VI(φ), odpowiednio działanie w tym przypadku modyfikowane jest następująco : S = ∫ d4x [ ½ (∂µφ)2 – V(φ) ] gdzie : V(φ) = ½ (mφ)2 + VI(φ) Musimy mieć na uwadze, że VI zawiera składowe typu φ3, φ4 itd. W kwantowej teorii pola pojawiają się istotne fakty (renormalizowalność ), które świadczą, że VI(φ) jest wielomianem i zawiera potęgi nie wyższe od czterech w czterowymiarowej czasoprzestrzeni, oraz nie wyższe od sześciu w trójwymiarowej czasoprzestrzeni ( w dwu wymiarowej czasoprzestrzeni nie istnieją ograniczenia dotyczące postaci VI(φ) ). Uwaga 3.Fakt pojawienia się członów nieliniowych świadczy o tym, że rozwiązania równań pola nie spełniają zasady superpozycji, innymi słowy - suma rozwiązań, danych nieliniowych równań dynamicznych, nie musi już być ich rozwiązaniem.

121

Uwaga 4.Dla pól oddziałujących wprowadzi się współczynniki – zwane stałymi oddziaływania. Oczywiście dla pól swobodnych tez występowały pewne współczynniki liczbowe np. m – masa, ale dla pól oddziałujących mają one teraz inna interpretacje fizyczną – ogólnie mówiąc, wskazują one jak „silnie” (samo)oddziaływują dwa (lub jedno ) dane pola. Uwaga 5. Lagranżjany oddziaływania, oznaczane najczęściej jako £int , mogą zawierać zarówno pola bez pochodnych np. ψ–γµψAµ lub ϕ*ϕA2 jak i pochodne od pól np. ϕ*∂µϕAµ. W pierwszym przypadku mówimy o sprzężeniu bezpośrednim, w drugim o sprzężeniu z pochodnymi. Przykładowo dla pola skalarnego ϕ(x) możemy zapisać lagranżjan oddziaływania w postaci : £int = –V(ϕ) gdzie V – jest pewną funkcją pola. Taki lagranżjan opisuje samodziałanie pola ϕ na siebie. Zazwyczaj rozpatruje się najprostsze przypadki takiego samodziałania np. lagranżjany samooddziaływania o postaci : £int = λϕn(x) gdzie n = 1, 2, 3, 4 Najprostszy wariant oddziaływania pola skalarnego ϕ(x) i pola spinorowego ψ(x) opisuje lagranżjan : £int = gψ–(x)ψ(x)ϕ(x), g –stała sprzężenia odpowiada on sprzężeniu pola ϕ z prądem skalarnym ψ–ψ.

Z teoretycznego punktu widzenia, interesującym jest również oddziaływanie pola pseudoskalarnego ϕ (x) z polem P spinorowym : £int = gψ–(x)γ5 ψ(x)ϕ (x) P Lagranżjan o takiej postaci opisuje np. oddziaływanie mezonów π z nukleonami.

Oddziaływanie pola spinorowego ψ(x) z polem wektorowym ϕµ(x) można opisać np. przy użyciu lagranżjanu : £int = gψ–(x) γµψ(x)ϕµ(x) Taka lagranżjan wykorzystaliśmy już w przypadku oddziaływania cząstek Diraca z polem EM. Oprócz tego taką postać lagranżjanu oddziaływania wykorzystamy w teorii oddziaływań słabych, gdzie będzie on opisywał oddziaływanie kwarków i leptonów z bozonami wektorowymi W i Z. Jeśli w miejsce powyższego lagranżjanu zapiszemy lagranżjan oddziaływania ϕµ(x) z prądem aksjalnym : £int = gψ–(x) γ5γµψ(x)ϕµ(x) to wielkość ta będzie wielkością pseudoskalarną – będzie zmieniała znak przy odbiciu przestrzennym. Lagranżjany oddziaływania pseudoskalarne prowadza do niezachowania parzystości przestrzennej, a taka sytuacja ma miejsce w rzeczywistości dla oddziaływań słabych. Innym przykładem oddziaływania o sprzężeniu bezpośrednim jest tzw. oddziaływanie czteroferinonowe, opisywane przez lagranżjan : £int = G[ ψ–(x) Γi ψ(x)] [ ψ–(x) Γ’i ψ(x)] gdzie jako macierze Γi , Γ’i można wziąć macierze Diraca np. Γi = 1, Γi = γ5 , Γi = γµ , Γi = γ5γµ , Γi = σµν tak, aby całe wyrażenie było relatywistycznie inwariantne. Jeśli np. wybierzemy Γi = γµ , Γ’i = γ5γµ ,to otrzymany lagranżjan będzie naruszał parzystość. Przykładem lagranżjanów o sprzężeniu z pochodnymi jest lagranżjan oddziaływania pola spinorowego ψ(x) z polami – skalarnym ϕ(x) lub pseudoskalarnym ϕ (x) : P £int = F(1/m) ψ–(x) γµψ(x)∂µϕ(x) £int = F(1/m)ψ–(x) γ5γµψ(x) ∂µϕ (x) P W powyższych lagranżjanach zazwyczaj wydziela się czynnik 1/m gdzie m – masa cząstek spinorowych, po to, aby stała F była bezwymiarowa. Takie postaci lagranżjanów można wykorzystać w szczególności, jako jeden z wariantów opisu oddziaływania mezonów π z nukleonami. Lagranżjan odziaływania o sprzężeniu z pochodnymi pola wektorowego o tensorze natężenia Fµν można zapisać następująco : £int = F(1/m) ψ–(x) σµνψ(x)Fµν(x) 122

Taką postać lagranżjanu stosuje się np. w teorii oddziaływania anomalnego momentu magnetycznego nukleonów z polem EM. W takim przypadku jako stała oddziaływania wybierana jest wielkość : F = µa/2 gdzie µa – anomalny moment magnetyczny protonu lub neutronu wyrażony w jednostkach magnetonu Bohra. Powstaje naturalne pytanie, czy istnieje jakaś ogólna procedura wyboru lagranżjanów oddziaływania, które odpowiadałyby oddziaływaniom mogącym występować w naturze ? Na dzień obecny takiej procedury nie ma. Mamy jednakże ogólną zasadę, która ogranicza zbiór możliwych lagranżjanów oddziaływań. Taką zasada jest własność renormalizowalności danego oddziaływania. Przy obliczaniu amplitud rozpraszania różnych procesów fizycznych w wysokich rzędach teorii zaburzeń pojawiają się całki rozbieżne. Dla pewnych typów oddziaływań udaje się wskazać proste recepty eliminacji takich całek rozbieżnych od razu we wszystkich rzędach teorii zaburzeń, co pozwala uzyskiwać skończone wartości obserwowalnych wielkości fizycznych np. ładunku elektronu. Takie teorie nazywa się renormalizowalnymi. Oddziaływania, dla których można podać takie recepty nazywa się renormalizowalnymi. Renormalizowalność jako kryterium wyboru postaci lagranżjanu oddziaływania stanowi obecnie jedno z kluczowych dla wyboru postaci takiego lub innego lagranżjanu. Jednakże pewne typy lagranżjanów nierenormalizowalnych, mogą być użytecznymi lagranżjanmi „efektywnymi” tj. mogą prowadzić do poprawnych wyników w niższym rzędzie rachunku zaburzeń. Kolejnym ważnym kryterium wyboru jest własność symetrii odpowiedniego rodzaju dla zadanego lagranżjanu. Przykładowo taką symetria jest symetria izotopiczna. Takie symetrie mogą ustanawiać związki pomiędzy stałymi oddziaływań różnych cząstek, biorących udział w danym oddziaływaniu, tym samym zmniejszając liczbę parametrów wymaganych do opisania takich oddziaływań. 8.4 Lokalne abelowe symetrie cechowania i równanie Diraca. Jak już wiemy, zgodnie z zasadą lokalnej inwariantności cechowania, wymagamy inwariantności lagranżjanu względem przekształceń cechowania pola Aµ i jednocześnie samego pola (lub pól ) φ : φ(x) → φ’(x) = eiα(x) φ(x) , φ*(x) → φ’*(x) = e–iα(x) φ*(x) (8.1.28) Aµ(x) → A’µ(x) = Aµ(x) + (1/e) ∂µα(x) (8.1.29) ( stała e wprowadzona jest dla wygody , α(x) – dowolna funkcja współrzędnych czasoprzestrzennych ) lub w innym zapisie : φ(x) → φ’(x) = g(x) φ(x) Aµ (x) → A’µ(x) = Aµ(x) + g(x) ∂µg –1(x) gdzie : g(x) =eiα(x) , Aµ = – ieAµ Jak się okazuje, przy lokalnych przekształceniach cechowania funkcji falowej : ψ(x) → ψ’(x) exp[–ieα(x)] ψ(x) (8.1.30) lub dla spinora sprzężonego : ψ– (x) → ψ–’(x) exp[–ieα(x)] ψ–(x) (8.1.30a) równanie Diraca nie pozostaje inwariantne : ( iγµ∂µ – m)ψ(x ) = exp[ieα(x)] [(iγµ ∂µ – m ) ψ’(x ) + e(∂µα(x ))γµ ψ’(x )] = = e(∂µα(x)) γµ ψ’(x ) ≠ 0 Zatem, pole ψ’(x ) nie jest rozwiązaniem swobodnego równania Diraca. Pierwotna symetria może być przywrócona, jeśli skompensujemy dodatkową składową. Osiągamy to poprzez wprowadzenie pola cechowania Aµ, które przekształca się w taki sposób, tak aby skracać dodatkowe składowe. Jak już wiemy, inwariantność może być przywrócona jeśli pochodne cząstkowe ∂µ zamienimy na pochodną kowariantną Dµ :

Dµ = ∂µ – ieAµ Wtedy równanie Diraca możemy zapisać następująco : (iγµDµ – m ) ψ(x ) = [ iγµ (∂µ – ieAµ ) – m ]ψ(x ) = 0 Wykorzystując przekształcone pole ψ’(x ), łatwo zauważyć, że inwariantność równania Diraca jest przywrócona, jeśli pole cechowania przekształca się następująco : Aµ → Aµ + ∂µα(x ) (8.1.31) Cała elektrodynamika opisywana jest w podobny sposób tj. jako inwariantność lagranżjanu £ lub, co równoważne – jako inwariantność równań ruchu względem przekształceń U(1). Ładunek elektryczny e pojawia się tutaj w charakterze wielkości zachowanej.

123

Kolejną teorią w której kluczowym jest lokalna inwariantość cechowania jest elektrodynamika kwantowa (QED), dzięki swojemu postępowi stała się ona jaskrawym przykładem teorii z cechowaniem. W fizyce klasycznej Aµ przedstawia sobą klasyczny potencjał wektorowy. Pole cechowania wiążemy z fotonem, odgrywającym rolę cząstki pośredniczącej. Oprócz tego ujawniono, że we wszystkich teoriach z cechowaniem pola cechowania powinny być bezmasowe. Dowolna masa pojawia się w wyniku mechanizmu zwanego jako spontaniczne naruszenie symetrii. Omawiany tutaj przykład odpowiada elektrodynamice jako teorii z cechowaniem. Z punktu widzenia teorii grup pomnożenie przez czynnik fazowy opisuje przekształcenie unitarne, w omawianym przypadku jest to przekształcenie należące do grupy U(1). Grupa ta posiada jeden generator. Zasadę cechowania możemy łatwo uogólnić na przypadek abelowych grup cechowania, których generatory komutują ze sobą. Przypadek grup nieabelowych oraz opartych na nich nieabelowych teorii cechowania ( teorii Yanga-Millsa ) jest bardziej złożony. Lagranżjan Diraca inwariantny względem lokalnych przekształceń cechowania. Rozważmy lagranżjan swobodnych cząstek Diraca : £ = ψ–(x)( iγµ∂µ – m)ψ(x) człon masowy –mψ–ψ, który nie zawiera pochodnych funkcji falowej ψ(x), nie zmienia się przy przekształceniach

(8.1.30), jednakże człon zawierający pochodną ∂µψ, nabiera pewnej poprawki : ∂µ[ ψeieα ] = eieα ∂µψ + ie(∂µα ) eieα ψ dlatego, dla swobodnych cząstek lokalna symetria U(1) zostaje naruszona. Jeśli wprowadzimy do lagranżjanu pole EM (oczywiście nie musi to być koniecznie pole EM, ale taki wybór wydaje się być najbardziej naturalnym ) Aµ(x), to można skompensować pojawiający się dodatkowy człon, jednocześnie pole Aµ(x) podlega przekształceniu (8.1.31).

W ten sposób zmodyfikowany lagranżjan : £ = ψ–(x)( iγµDµ – m)ψ(x) → £ = ψ–(x)( iγµ∂µ – eγµAµ – m)ψ(x) nie zmienia się przy przekształceniach (8.1.30). I teraz najważniejsze – ponieważ do swobodnego lagranżjanu Diraca wprowadziliśmy pole EM (poprzez jego potencjał Aµ(x)), to naturalnym wydaje się być uzupełnienie go o lagranżjan swobodnego pola EM : £em = – ¼ Fµν2 W wyniku takiego zabiegu otrzymujemy pełny lagranżjan cząstek Diraca oddziałujących z polem EM : £ = £ψ + £em + £int (8.1.32) gdzie : £ψ = ψ–(x)( iγµDµ – m)ψ(x) £em = – ¼ Fµν2 lagranżjan oddziaływania ma postać : £int = –eψ–(x) γµψ(x)Aµ(x) Standardowo wykorzystuje się lagranżjan bez członu oddziaływania – wtedy oddziaływanie jest minimalne tj. jest zawarte w członie pochodnej kowariantnej : £ = ψ–(x)( iγµ∂µ – eγµAµ – m)ψ(x) – ¼ Fµν2 (8.1.33) lub £ = ψ–(x)iγµ (∂µ + ieAµ )ψ(x) – mψ–(x)ψ(x) – ¼ FµνFµν (8.1.33a) Lagranżjany o takiej postaci wykorzystuje się przy budowie elektrodynamiki kwantowej – QED. 8.5 Przekształcenia cechowania SU(2), SU(3). Pola Yanga – Millsa. 8.5.1 Singlety, dublety, triplety i multiplety pól. We współczesnej teorii cząstek elementarnych – modelu standardowym oddziaływań cząstek elementarnych, wprowadza się pola o złożonej naturze – pola zestawione z innych pól. I tak możemy wyróżnić : Pole singletowe – jest to, po prostu jedno pole – jeden rodzaj pola np. pole skalarne, zespolone pole skalarne czy też pole spinorowe. Oczywiście przy takiej terminologii nie zapominamy, ze np. zespolone pole skalarne ma w istocie dwie składowe, a np. pole spinorowe Diraca posiada cztery składowe. Pole dubletu pól, to pole złożone z dwóch jednakowych rodzajów pól np. dwóch pół skalarnych, dwóch pól spinorowych. Pole trypletu pól – pole złożone z trzech rodzajów pól. 124

I ogólnie pole multipletu pól – pole złożone z n jednakowych pól. Przykładowo – oktet, dekuplet – pól. Najważniejsze przy tym jest to, że dane złożenie pól stanowi „pewną jedność” ze względu na własności transformacji (globalnej ) lokalnej symetrii cechowania. I tak mówimy np. o tryplecie pól spinorowych ze względu na transformacje grupy SU(3). Zazwyczaj multiplety oznaczamy w postaci kolumny : ( ϕ1 ) ( ... ) ϕ(n) = ( ... ) ( ϕn ) gdzie ϕn – dowolne pole np. pole skalarne zespolone, pole spinorowe. Przykładem dubletu pól jest dublet : ( ψe(x ) ) ( ψν(x ) ) pól spinorowych – pola spinorowego Diraca elektronu ψe(x ) i pola spinorowego Diraca neutrina ψν(x ) jest to dublet ze względu na odpowiednią grupę SU(2). W modelu standardowym definiuje się następujące generacje – multiplety : dla leptonów : ( νe ) ( νµ ) ( ντ ) ( e )L eR dla kwarków :

( u ) ( d )L uR, dR L, R – skrętność : lewa, prawa.

( µ )L µR

( τ )L τR -singlety

( c ) ( s )L cR, sR

( t ) ( b )L tR,τR

W modelu standardowym : Grupa SU(2) to grupa słabego izospinu np. pole dublet ( νe ) ( e )L ze względu na grupę słabego izospinu SU(2) i singlet : eR ze względu na tę samą grupę słabego izospinu SU(2). Grupa SU(3) z oddziaływaniami silnymi – grupa kolorowa Grupa U(1), to grupa słabego hiperładunku (omówienie szczegółów bodowy modelu standardowego – patrz tekst pt. „Wprowadzenie do modelu standardowego cząstek elementarnych’ ) 8.5.2 Nieabelowe lokalna symetria cechowania SU(2). Rozpatrzona wcześniej lokalna symetria cechowania związana z wprowadzeniem pola EM jako pola cechowania jak wiemy jest związana z grupą U(1). Oczywiście w ramach uogólnienia nie stanowi większej trudności wprowadzenie pól cechowania podlegających symetrii SU(n) np. SU(2), SU(3). Ogólnie zakłada się iż grupa cechowania jest zwarta, a więc dopuszcza skończenie wymiarowe reprezentacje unitarne. Tak jest w przypadku grup SU(2) i SU(3). Właściwie taka teoria nie wnosiłaby jakościowo niczego nowego, gdyby nie pewien bardzo istotny fakt - grupy SU(2) i SU(3) nie są grupami abelowymi tj. nie są grupami przemiennymi – są grupami nieabelowymi. Fakt ten pociąga za sobą nietrywialne następstwa. Nieabelowość danej grupy oznacza, że jej generatory nie komutują ze sobą, ale spełniają określone zależności komutacyjne. Przykładem mogą być zależności komutacyjne spinowych macierzy Pauliego σi : [ σi , σj ] = ½ iεijk σk ; i,j,k = 1, 2, 3 gdzie : σi – macierze Pauliego : σ1 = ( 0 1 ) , σ2 = ( 0 i ) , σ3 = ( 1 0 ) , 1 = ( 1 0 ) (10) ( –i 0 ) ( 0 –1 ) (0 1) 125

W przypadku ogólnym grupa SU(n) posiada n2 – 1 generatorów. Reprezentacją grupy SU(2) są wszystkie macierze unitarne 2 × 2 o wyznaczniku równym 1 np. macierze Pauliego. Generatory grupy SU(2) maja postać : T i = ½ σi Przy tym stałe strukturalne są liczbami urojonymi, zależność komutacyjna dla generatorów ma postać : [ Ti , Tj ] = iεijk Tk Zacznijmy od analizy lokalnej symetrii cechowania, która jest związana z generatorami nieprzemiennej grupy SU(2). Reprezentacja fundamentalna SU(2) jest dwuwymiarowa, zatem wprowadzimy dwuskładnikowe zespolone pole skalarne (mówimy w tym przypadku o dublecie pól zespolonych ) : ϕa = (ϕ1 ) ( ϕ2 ) gdzie ϕ1 i ϕ2 – są funkcjami zespolonymi. Lokalna symetria cechowania związana z grupą SU(2) ma postać : ϕ → U(x)ϕ = exp[ –ig θi(x)σi ] (8.1.34) i i U(x) – macierz transformacji, której elementy zadane są przez relacje exp[ –ig θ (x)σ ] g – stała sprzężenia ,θi(x) – dowolne funkcje współrzędnych czasoprzestrzennych, σi – generatory grupy S(2) – macierze Pauliego Lagranżjan wprowadzonego dubletu ma postać : £ = –∂µφ† ∂µφ Okazuje się, że taki lagranżjan nie jest inwariantny względem lokalnej symetrii cechowania (8.1.34). Podobnie jak było to w przypadku lagranżjanu Diraca, zachowanie takiej symetrii wymaga wprowadzenia pól wektorowych A(i)µ ; i = 1, 2, 3 – liczba generatorów grupy SU(2). Pola A(i)µ – ( bezmasowe ! ) nazywane są polami Yanga- Millsa. I podobnie jak wcześniej należy wprowadzić pochodną kowariantną : Dµ = ∂µ + igA(i)µσi Zazwyczaj człon igA(i)µσi oznacza się prosto jako Aµ jednakże w odróżnieniu od natężenia Aµ pola EM, teraz jest to wielkość macierzowe, a nie funkcyjna !!. Prawo przekształcenia Aµ ma postać : A’µ = UAµU–1 – (∂µU)U–1 Innymi słowy, należy wprowadzić pole wektorowe Aµ(x) = Aiµ(x) Ti o wartościach w algebrze Liego ℘, grupy SU(2) które przy przekształceniach przekształca się następująco : Aµ(x) → g(x)Aµ(x) g(x)1 + g(x) ∂µg(x)–1 Fakt, że w prawie transformacyjnym A’µ występuje wyraz niejednorodny (∂µU)U–1odgrywa w teoriach z cechowaniem kluczowa rolę. Zatem, niezmienniczy ze względu na nieabelowe transformacje cechowania lagranżjan dubletu zespolonych pól skalarnych ma postać : £ = – (Dµφ)† Dµφ Analogicznie do elektrodynamiki, definiuje się tensor natężenia pola odpowiadającego potencjałowi Aµ : Fµν = ∂µAν – ∂νAµ + [ Aµ, Aν ] który przekształca się następująco : Fµν (x) → g(x) Fµν(x) g(x)–1 W charakterze kolejnego przykładu rozpatrzymy elektron i neutrino. Za wyjątkiem ładunków elektrycznych i mas te dwie cząstki zachowują się jednakowo względem oddziaływania słabego i możemy zapisać następujące przekształcenia dubletu pól ψe(x ) i ψν(x ): Ψ(x) = ( ψe(x ) )’ = U(x) ( ψe(x ) ) ( ψν(x ) )’ ( ψν(x ) ) gdzie macierz U ma postać : 126

U( a1, a2 , a3 ) = exp[ ½i (a1σ1 + a2σ2 + a3σ3 )] = exp( ½i aσ ) Rozpatrzmy swobodny lagranżjan Diraca : £ψ = Ψ–(x) ( iγµ∂µ – m )Ψ(x) Aby lagranżjan był inwariantny względem lokalnych przekształceń SU(2) – zwanej teraz grupą obrotów izotopicznych : Ψ’(x) = exp[ ½ ig θi(x)σi ] Ψ(x) należy wprowadzić trzy bezmasowe pola Yanga- Millsa, które teraz oznaczymy jako Wµ jest to wektor w przestrzeni izotopicznej, ma on składowe : Wµ+ , Wµ– , Wµ0. Niekomutowanie generatorów grupy prowadzi do tego, że cząstki pośredniczące (jakie otrzymujemy w procesie drugiej kwantyzacji ), odpowiadające składowym Wµ+ , Wµ– , Wµ0 posiadają własny „ładunek” – odpowiednio +1, –1, 0 ( w przeciwieństwie do elektrycznie neutralnego fotonu dla pola abelowego Aµ ). Dalej, należy wprowadzić pochodną kowariantną o postaci : Dµ = ∂µ + ½ ig Wµσi która zapewni inwariantność swobodnego lagranżjanu Diraca : £ψ = Ψ–(x) ( iγµDµ – m )Ψ(x) Inwariantność osiągana jest tylko w wyniku następujących przekształceń pól cechowania : W’µ = Wµ + ∂µω(x ) – Wµ × ω(x) Tensor natężenia pola odpowiadającego potencjałowi Wµ ma postać : Fµν = ∂µWν – ∂νWµ + g [ Wµ, Wν ] który przekształca się następująco : Fµν (x) → g(x) Fµν(x) g(x)–1

(1.68)

Naturalnym rozsądnym uogólnieniem lagranżjanu pola EM na przypadek nieabelowych pól cechowania jest lagranżjan : £ = (1/8g2 ) tr ( Fµν Fµν ) , tr – ślad który jest inwariantny względem lokalnych przekształceń cechowania. Wchodząca do niego wielkość g nazywa się „stałą strukturalną cechowania”. W lagranżjanie pole cechowania wzięte jest w normalizacji geometrycznej. W modelach fizycznych zwykle wykorzystujemy inną normalizacje. Aby przejść ku tej normalizacji z pola Aµ(x) należy wydzielić stałą g tj. w lagranżjanie należy dokonać zamiany : Aµ(x) → gAµ(x). Przy takiej zamianie g2 w mianowniku „swobodnego” lagranżjanu pola cechowania znika, jednak stała strukturalna pojawia się w tensorze natężenia : Fµν (x) = ∂µAν – ∂νAµ + g [ Aµ ,Aν ] oraz w pochodnej kowariantnej : Dµ = ∂µ + gAµ. Zatem, całkowity lagranżjan, opisujący cząstki Diraca i pola Yanga-Millsa (Y-M), który jest inwariantny względem lokalnych SU(2) – przekształceń ma postać : £ψ = Ψ–(x) ( iγµDµ – m )Ψ(x) – ¼ tr ( Fµν Fµν ) W takim lagranżjanie możemy wydzielić trzy części : £ = £ψ + £W + £int gdzie : £ψ = Ψ–(x) ( iγµDµ – m )Ψ(x) – lagranżjan swobodnych cząstek Diraca £W = – ¼ tr ( Fµν Fµν ) – lagranżjan pól Y-M £int = ½ gΨ–(x) γµσµ Wµ(x)Ψ(x) – lagranżjan oddziaływania.

........................................................

127

4.2 Nieabelowa inwariantność cechowania i pola cechowania : grupa SU(2). Naszym celem będzie uogólnienie konstrukcji, którą przedstawiliśmy w podrozdziale 2.7 dla elektrodynamiki skalarnej o grupie cechowania U(1) na przypadek nieabelowej grupy cechowania ( Yang, Mills 1954 ). Rozpatrzmy ponownie teorię dwóch zespolonych skalarnych pól, tworzących kolumnę : φ = ( φ1 ) ( φ2 ) lagranżjan dla takich pól ma postać : £ = ∂µφ† ∂µφ − m2φ† φ – λ (φ†φ )2 (4.17) Lagranżjan ten jest inwariantny względem globalnych przekształceń należących do grupy SU(2) : φ(x) → φ’(x) = ωφ(x) , ω∈ SU(2) przy czym ω nie zależy od punktu czasoprzestrzeni. Postaramy się tak zmodyfikować lagranżjan (4.17), aby był on inwariantny względem przekształceń SU(2) w dowolny sposób zależnych od punktu czasoprzestrzeni : φ(x) → φ’(x) = ω(x) φ(x) (4.18) ω(x )∈ SU(2) (4.19) ( Przypomnijmy, że analogiczny wymóg w elektrodynamice skalarnej prowadził do zamiany w lagranżjanie zwykłej pochodnej na kowariantną : ∂µφ → ( ∂µφ – iAµ )φ ). Składowe potencjalne ( ostatnie dwa człony w (4.17) ) są inwariantne względem przekształceń (4.18), jednak człon kinetyczny ( zawierający pochodne ) nie jest inwariantny. W istocie – przy przekształceniu (4.18) pochodna pola przechodzi w : ∂µφ’(x) = ω(x) ∂µφ(x) + ∂µω(x) φ(x) (4.20) i w lagranżjanie £ (φ’) pojawiają się człony z ∂µω. Aby się ich pozbyć zamienimy w lagranżjanie (4.17) zwykłą pochodną na pochodną kowariantną ∂µφ → Dµφ i będziemy wymagali, aby przy przekształceniach (4.18) przechodziła ona w : ( Dµφ )’ = ω Dµφ (4.21) Z (4.20) widać, że można to osiągnąć, wprowadzając pole wektorowe Aµ(x) i zapisać : Dµφ = ∂µφ + Aµφ Struktura pola Aµ( obszar jego wartości ) na razie nie jest nam znana, jej znalezienie będzie naszym kolejnym celem. W pierwszej kolejności wyjaśnimy jak przekształca się pole Aµ przy przekształceniach cechowania. W tym celu wypiszemy jawnie lewą część równania (4.21) : Dµφ’ = ∂µφ’ + A’µφ’ = ω ∂µφ + ∂µωφ + A’µωφ i wymagajmy, aby była ona równa prawej stronie : ω Dµφ = ω ∂µφ + ω Aµφ Mając na uwadze, że φ jest dowolną kolumną, otrzymamy : ∂µω + A’µω = ωAµ tj. prawo przekształcenia Aµ ma postać : Aµ → A’µ = ωAµω-1+ ω∂µω-1 (4.22) ( wykorzystaliśmy to, że z ωω-1= 1 wynika ω∂µω-1+ ∂µωω-1 = 0 ) Wyjaśnijmy teraz, jakie wartości przyjmuje pole Aµ. W tym celu rozpatrzymy infinitezymalne przekształcenie cechowania tj. przekształcenie (4.22) o : ω = 1 + ε(x) gdzie : ε(x) – przyjmuje wartości w algebrze Liego grupy SU(2) ( inaczej mówiąc ε(x) – jest macierzą antyhermitowską 2 × 2 o zerowym śladzie w każdym punkcie x ) Druga składowa w (4.22) w niższym rzędzie względem ε jest równa : ω∂µω-1 = − ∂µε(x) (4.23) tj. przyjmuje ona wartości w algebrze Liego. Konieczne jest zatem, aby algebra Liego zawierała się w zbiorze wartości pola Aµ. Warunek ten jest wystarczający – jeśli pole Aµ przyjmuje wartości w algebrze Liego grupy SU(2), to przy dowolnym ω(x) zarówno ωAµω-1 jak i ω∂µω-1 należą do algebry Liego. Fakt , że ωAµω-1∈ ASU(2) jest oczywisty, ponieważ ωAµω-1 jest wynikiem działania reprezentacji dołączonej na element Aµ ∈ ASU(2).

128

Zadanie 3. Pokazać, że jeśli ω(x) należy do grupy SU(2) w każdym punkcie x, to ω∂µω-1 należy do algebry Liego grupy SU(2) w każdym punkcie x. Zatem pole cechowania Aµ(x) ( nazywamy go polem Yanga-Millsa ) jest to pole o wartościach w algebrze Liego ( w danym przypadku – grupy SU(2) ), prawo przekształcenia pól, skalarnego i cechowania przy przekształceniach cechowania ma postać ( tak jak poprzednio przyjmujemy, że pole skalarne przekształca się według reprezentacji podstawowej grupy SU(2) ) : Aµ(x) → A’µ(x) = ω(x)Aµ(x) ω-1(x) + ω(x) ∂µω-1(x) (4.24) φ(x) → φ’(x) = ω(x)φ(x) (4.25) a lagranżjan pola skalarnego inwariantny względem przekształceń cechowania jest równy : £ = ( Dµφ)† Dµφ – m2φ†φ – λ (φ†φ )2 gdzie Dµφ = ∂µφ + Aµφ ≡ ( ∂µ – Aµ )φ (4.26) Jest pochodną kowariantną pola skalarnego, przekształcająca się zgodnie z (4.21). Zauważmy, jedną z różnic nieabelowego pola cechowania i potencjału wektorowego elektrodynamiki. Przy przekształceniach globalnych ( nie zależnych od x ) elektrodynamiczne potencjały wektorowe nie zmieniają się a potencjały nieabelowe przekształcają się nietrywialnie : Aµ(x) → A’µ(x) = ω Aµ(ω)ω-1 (4.27) tj. Względem reprezentacji dołączonej grupy. Zbudujemy teraz lagranżjan dla samego pola Aµ, który jest analogiczny do –1/4 Fµν2 w elektrodynamice. W tym celu znajdziemy na początku tensor natężenia dla pola nieabelowego. Analogicznie do elektrodynamiki oczekujemy, ze w tensorze natężenia będą obecne składowe : ∂µAν − ∂νAµ (4.28) Skąd oraz z (4.27) widać, że tensor natężenia powinien przekształcać się nietrywialnie przy przekształceniach cechowania : wyrażenie (4.28) przekształca się zgodnie z dołączoną reprezentacją grupy przy przekształceniach globalnych. Wymagamy aby tensor natężenia przekształca się zgodnie z dołączoną reprezentacja przy wszystkich przekształceniach cechowania : Fµν(x) → F’µν(x) = ω(x) Fµν ω-1(x) (4.29) Wtedy lagranżjan inwariantny względem cechowania będzie zbudowany z inwariantu Tr ( FµνFµν ). Samo w sobie, wyrażenie (4.28) nie posiada własności (4.29). W istocie- różniczkując (4.24) otrzymamy : ∂µA’ν − ∂νA’µ = ω (∂µAν − ∂νAµ )ω-1 + ∂µωAν ω-1 + ωAν ∂µ ω-1 − ∂νωAµω-1− ωAµ∂ν ω-1 + ∂µω∂ν ω-1 – − ∂νω∂µω-1 (4.30) Składowe z drugimi pochodnymi funkcji ω skracają się, jednak pozostają składowe z pierwszymi pochodnymi. Aby je wyeliminować należy dodać do (4.28) człony nie zawierające pochodnych pola Aµ. Analogicznie do (4.28), człony te powinny być elementami algebry Liego i powinny nosić indeksy µ, ν oraz być antysymetryczne względem tych indeksów. Jedynym kandydatem jest komutator : [ Aµ , Aν ] = AµAν − AνAµ Z (4.24) wynika, że : [ A’µ , A’ν ] = ω [ Aµ , Aν ] ω-1 + ω ∂µ ω-1 ωAν ω-1 + ωAµ ω-1 ω∂νω-1 − ω∂ν ω-1ωAµ ω-1 − – ωAν ω-1ω∂µω-1 + ω∂µω-1ω ∂ν ω-1 − ω∂ν ω-1ω ∂µ ω-1 (4.31) Porównując (4.30) i (4.31) upewniamy się, że wielkością kowariantną ( w sensie (4.29) ) jest tensor : Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ + [ Aµ , Aν ] (4.32) Istotnie – niepożądane składowe ( wszystkie składowe oprócz pierwszych ) w (4.30) i (4.31) skracają się przy uwzględnieniu tożsamości : ω∂µω-1ω = -∂µωω-1ω = - ∂µω ω∂µω-1ω∂νω-1 = -ωω-1∂µω ∂νω-1 = -∂µω ∂νω-1 które wynikają z ωω-1 = 1 , ω-1ω = 1 oraz z pochodnych względem xµ od ostatnich równości. Zatem tensor natężenia ma postać (4.32) i przekształca się według prawa (4.29). Zadanie 4. Pokazać, że w elektrodynamice [ Dµ , Dν ] = –ie Fµν , gdzie Dµ = ∂µ – ieAµ rozumiane jest w sensie operatora, działającego na pole skalarne, DµDν – będzie działanie złożone, najpierw Dν potem Dµ , Oczywiście [ Dµ , Dν ] = DµDν – DνDµ 129

Zadanie 5. Pokazać, że dla teorii z cechowaniem o grupie cechowania SU(2) słuszne jest [ Dµ , Dν ] = Fµν , gdzie pochodna kowariantna określona jest wzorem (4.26). Wykorzystując tą równość przekonać się jeszcze raz w tym ,że tensor natężenia przekształca się zgodnie z (4.29). Lagranżjan inwariantny względem cechowania, pola cechowania wybierzemy w postaci : £A = (1/2g2 ) tr (Fµν Fµν ) (4.33) 2 gdzie : g – pewna dodatnia stała. Wybór znaku w (4.33) omówimy nieco później. Zauważmy, że ważną różnicą nieabelowej teorii cechowania od elektrodynamiki jest obecność w lagranżjanie £A

składowych trzeciego i czwartego rzędu względem Aµ. ( mają one strukturę typu Tr ( ∂µAν Aµ Aν ) oraz Tr ( AµAν Aµ Aν ) ). To oznacza, że równania pola cechowania są nieliniowe nawet w przypadku braku innych pól. Mówimy w związku z tym, że pole Aµ jest samooddziałujące. Pole cechowania Aµ(x) przyjmujące wartości w algebrze SU(2), można wyrazić przez trzy pola rzeczywiste ( liczba generatorów algebry SU(2) ) : Aµ(x) = – ½ ig τa Aaµ(x) (4.34) a a Gdzie : a = 1, 2, 3 ; A µ(x) – pola rzeczywiste , ½ τ – hermitowskie generatory algebry SU(2), czynnik g jest ten sam co w (4.33) i jest wprowadzony dla wygody dalszych rachunków. W analogiczny sposób można zapisać tensor natężenia : Fµν (x) = – ½ ig τa Faµν(x) (4.35) Z definicji (4.32) otrzymujemy : Fµν (x) = – ½ ig τa ( ∂µAaν – ∂νAaµ ) + (ig )2 Aaµ Aaν [ ½ τa ,½ τb ] = – ½ ig τa ( ∂µAaν – ∂νAaµ ) – – g2 Aaµ Aaν iεabc ½ τc = – ½ ig τa ( ∂µAaν – ∂νAaµ + g εabc Aaµ Aaν ) Odpowiednio, rzeczywiste składowe tensora natężenia Faµν możemy wyrazić przez pola rzeczywiste Aaµ za pomocą zależności : Faµν = ∂µAaν - ∂ν Aaµ + g εabc Aaµ Aaν (4.36) Zauważmy, że czynnik εabc pojawia się tutaj w wyniku komutacji generatorów ½ τa tj. pojawiają się one jako stałe strukturalne grupy SU(2). Zadanie 6. Niech : ω(x) = 1 + ½i τa εa (x) będzie infinitezymalnym przekształceniem cechowania o parametrach rzeczywistych εa (x). Znaleźć przekształcenia składowych Aaµ (x) i wyrazić je przez εa (x). Wykonać to zadanie również dla Faµν (x). Lagranżjan pola cechowania (4.33) można wyrazić przez składowe rzeczywiste Faµν : £A = (1/2g2 ) Faµν Fbµν (-ig )2 Tr( ½ τa ½ τb ) = − ¼ Faµν Faµν W dalszej części będziemy wykorzystywali zarówno pola macierzowe Aµ jak i składowe rzeczywiste Aaµ używając dla jednych i drugich pojęcie „pola cechowania”. To samo odnosi się do macierzowego tensora Fµν i jego składowych rzeczywistych Faµν . Zauważmy, że pochodna kowariantna dla dubletu pola skalarnego ( reprezentacja podstawowa SU(2) ) ma postać : Dµ φ = ( ∂µ − ½ ig τaAaµ ) φ (4.37) Omówimy teraz wybór znaku w lagranżjanie (4.33) oraz pojawienie się czynnika g w (4.34) i (4.35). W tym celu rozpatrzymy małe (liniowe) zaburzenia pola nad stanem Aaµ = 0. W lagranżjanie pola cechowania : £A = − ¼ Faµν Faµν (4.38) opuścimy człony trzeciego i czwartego rzędu względem Aaµ , które są małe w porównaniu ze składowymi kwadratowymi, jeśli pole Aaµ jest małe we wszystkich punktach czasoprzestrzeni. Wtedy lagranżjan dla małych zaburzeń ma postać : £A = − ¼ (∂µAaν − ∂ν Aaµ ) ( ∂µAaν − ∂ν Aaµ ) (4.39) Widać, że rozbija się on na sumę lagranżjanów pól A1µ, A2µ , A3µ przy czym każdy z tych lagranżjanów pokrywa się z lagranżjanem elektrodynamiki. Jest to możliwe dzięki czynnikowi g w (4.34) i (4.35). Stąd jasny 130

jest również wybór znaku w (4.33) ( lub co równoważne w (4.38) ) właśnie przy takim znaku energia pól z małą amplitudą będzie dodatnia. Z wyrażenia (4.39) od razu wynika, że małe fizyczne zaburzenia pola Aaν (x) – to trzy typy ( a = 1, 2, 3 ) poprzecznych, bezmasowych ( tj. poruszających się z prędkością światła ) fal, każda z których jest całkowicie analogiczna do fal EM w próżni. Stała g wchodzi do lagranżjanu pola skalarnego : £A = ( Dµφ )† ( Dµφ) – V(φ†φ ) oraz do lagranżjanu pola cechowania (4.38) ale tylko do jego składowych trzeciego i czwartego rzędu ( wykorzystując równanie (4.37) ) tj. tylko do członów samoodziaływania. Dlatego g nazywamy „stałą strukturalną cechowania”. Zadanie 7. Znaleźć wymiar pola Aaµ oraz stałej g w układzie jednostek ħ = c = 1 Zadanie 8. Zarówno w teorii pola EM jak i w nieabelowej teorii cechowania występuje jeszcze jedna wielkość inwariantna względem cechowania oraz lorentz-inwariantna εµνλρ Tr ( Fµν Fλρ ) ( dla pola EM εµνλρ Fµν Fλρ ) kwadratowa względem Fµν. Można byłoby ją spróbować wykorzystać w charakterze dodatkowej składowej w lagranżjanie pola cechowania. Pokazać, że zarówno w przypadku abelowym jak i nieabelowym wielkość ta przedstawia sobą całkowitą czterodywergencje ∂µ Kµ. Znaleźć wyrażenie dla Kµ. Pokazać, że dodanie do lagranżjanu całkowitej dywergencji od dowolnego wektora, zależnego od pól nie zmienia równań pól. Zatem (4.33) jest jedynym nietrywialnym klasycznym lagranżjanem, kwadratowym względem Fµν . ( w teorii kwantowej dodanie do lagranżjanu składowej const. εµνλρ Tr ( Fµν Fλρ ) prowadzi do nietrywialnych następstw ).

........................................................ Klasyczne pola cechowania – Teorie bozonowe - W. A. Rubakow; КомКнига МОСКВА 2005 8.5.3 Nieablowe symetrie cechowania SU(n) Dokonajmy pewnego podsumowania. Jak już powiedziano lokalną symetrię cechowania możemy uogólnić na przypadek dowolnej grupy ciągłej np. SU(n) : Φ(x) → e−igφ(x)T Φ(x) Gdzie T – są generatorami odpowiedniej grupy. W pierwszej kolejności Yang i Mills w swojej pionierskiej pracy pt. “Conservation of Isotopic Spin and Isotopic Gauge Invariance” , Phys. Rev. Vol 96, No 1, 1954 ( Praca dostępna w zbiorze “Gauge theories in the twentieth century” – ed. J. C Taylor , Imperial Collega Press 2001 ) rozpatrywali grupę SU(2). Grupa SU(2) ma trzy generatory Ti , które spełniają związek komutacyjny : [ Tj , Tk ] = iεjkm Tm W ogólności związek taki przyjmuje postać : [ Tj , Tk ] = icjkm Tm gdzie liczby cjkm nazywane są stałymi strukturalnymi danej grupy i są antysymetryczne ze względu na zmianę dowolnej pary wskaźników. Jeżeli pola transformują się według pewnej reprezentacji G, generatory Tj będą reprezentowane przez macierze Lj spełniające powyższą zależność komutacyjną. Zazwyczaj zakładamy, że grupa cechowania jest zwarta, a wiec dopuszcza skończenie wymiarowe reprezantacje unitarne. Niech dany będzie zbiór pól - multiplet : ( ϕ1 ) ϕ = ( ... ) ( ϕn ) który transformuje się według następującej zależności : ϕ(x) → ϕ’(x) e−ig Tj ωj(x)

gdzie g – stała sprzężenia, Tj – macierze n × n reprezentujące generatory grupy ( dla grupy SU(2) są to macierze Pauliego, a dla grupy SU(3) – macierze Gell-Manna ), ωj(x) – dowolne funkcje na czasoprzestrzeni. ( j = 1, ... , n ) W szczególności możemy rozważać dublet pól ( fermionowych lub skalarnych ) : 131

ϕ = ( ϕ1(x) ) ( ϕ2(x) ) Celem całej takiej analizy jest wprowadzenie tylu pól Wµj(x) cechowania, analogicznych do pola fotonowego Aµ, ile będzie wymaganych do skonstruowania lagranżjanu niezmienniczego względem lokalnych transformacji cechowania, zadanych przez Tj . Dla transformacji SU(1) jak już wiemy było to jedno pole – pole fotonu. Okazuje się, że dla SU(2) potrzebne są trzy pola Wµj(x), a dla grupy SU(n) wymagane są n2 − 1 ( tyle ile jest generatorów dla danej grupy ) pola. Pola takie nazywamy polami cechowania Yanga-Millsa lub polami kolorowymi. Pochodna kowariantna ma teraz postać : Dµ = ∂µ − ig Wµj(x) Tj Można pokazać, że jeżeli lagranżjan zbudowany jest z iloczynów pól z ich sprzężeniami hermitowskimi i jeżeli wszystkie pochodne występują w powyższej postaci, to lagranżjan ten będzie niezmienniczy względem cechowania. Pola Wµj mają taką własność, że pochodna kowariantna transformuje się względem transformacji lokalnych tak jak pochodna cząstkowa względem transformacji globalnych : [ Dµϕ ]’ = U(x)[ Dµϕ ] Zazwyczaj przyjmuje się skrócone oznaczenie : Wµ = ig Wµj(x)Tj ( oczywiście sam symbol pole cechowania W nie jest istotny, zazwyczaj przyjmuje się go jako taką literkę, aby nie mieszać oznaczeń z elektrodynamiką maxwellowską gdzie potencjał wektorowy oznaczany jest jako A ; z drugie strony skoro potencjał ten jest składnikiem pola cechowania – pola EM, to nie powinno to prowadzić do większych problemów ) Prawo transformacji pola Wµ ma postać : W‘µ = UWµU−1 − (∂µU ) U−1 Fakt, że w prawie transformacyjnym istnieje wyraz niejednorodny, odgrywa kluczową rolę w teoriach z cechowaniem. Jak widać prawo to nie jest prawem transformacyjnym charakterystycznym dla tensorów, a dla koneksji. Fakt ten będzie stanowił punkt wyjściowy dla geometrycznego sformułowania teorii pól Y-M. Drugim krokiem jest zbudowanie tensora natężenia pól cechowania. Komutator dwóch pochodnych kowariantnych ma postać : [ Dµ , Dν ] = ig (∂µAν − ∂νAµ + ig [ Aµ , Aν ] ) Dlatego też możemy zdefiniować nieabelowe uogólnienie tensora natężenia o postaci : Fµν = 1/ig [ Dµ , Dν ] = ∂µAν − ∂νAµ + ig [ Aµ , Aν ] lub z użyciem pól Yanga-Millsa Wµj(x) Gµνj = ∂µWνj − ∂νWµj + g cjkm Wµk Wνm lub w innym zapisie : Gµν = ∂[µ Wν]j − g cjkmA[µk Aν]m Człony nieliniowe postaci Wµk Wνm występujące w powyższej zależności są odpowiedzialne z samooddziaływanie pól Yanga-Millsa (Y-M). Istotnym problemem, na wczesnym etapie rozwoju teorii pól Y-M był fakt, ze pola te są polami bezmasowymi. Aby teoria ta mogła stanowić rzeczywisty model oddziaływań fizycznych pola powinny posiadać masę – wszystkie pola cechowania oprócz pola EM są polami masowymi. Wydawało się, że teoria ta nie nadaje się do takiego opisu. Rozwiązanie problemu pojawiło się wraz z skonstruowaniem mechanizmu spontanicznego łamania symetrii i nadawania polom masy poprzez mechanizm Higgsa. Warto podkreślić, że równania Yanga- Millsa nawet przy braku źródeł nie są równaniami pól swobodnych, co wynika z ich nieliniowości. Pola cechowania, podobnie jak pole grawitacyjne są polami samoodziałującymi. Należy zauważyć również, że pola cechowania same w sobie, nie mogą posiadać masy ( włączenie członu masywnego do lagranżjanu LA naruszałoby jego inwariantność względem cechowania ). W początkowej fazie rozwoju teorii z cechowaniem taka ich cecha stanowiła poważny problem, jak bowiem wiadomo oddziaływania 132

cząstek elementarnych ( bez pola EM i grawitacyjnego ) przenoszone jest za pomocą cząstek masywnych np. bozonów W. Jednakże zaproponowany w 1964 przez Petera Higgsa mechanizm spontanicznego naruszenia symetrii pozwolił na nadanie nośnikom pól cechowania masy. Obecnie mechanizm taki stanowi podstawę tzw. modelu standardowego cząstek elementarnych. Kolejnym problemem jest to, że sam tensor Fµν (Gµν ) podlega transformacji cechowania. W elektrodynamice tensor Fµν nie zależy od cechowania, a pola E i B s a niezmienniczym sposobem opisu pola EM. W teorii Y-M nie można przypisać polom Ea i Ba ( pola składowe pól cechowania ) jakiegoś konkretnego znaczenia, gdyż poszczególne ich składowe transformują się pod działaniem symetrii cechowania. Niejednoznaczność Gribowa. W teorii Y-M istnieje pewna niejednoznaczność przejawiająca się w tym, że warunek cechowania coulombowskiego w przeciwieństwie do np. elektrodynamiki nie ustala cechowania w sposób jednoznaczny.

Tabela. Podstawowe relacje dla lokalnych transformacji cechowania.

........................................................ 4.1 Nieabelowe symetrie globalne. W teorii zespolonego pola skalarnego ( rozdział 2.4) spotkaliśmy się z symetrią globalną U(1) : lagranżjan był inwariantny względem przekształceń : φ(x) → gφ(x) gdzie : g = eiα – dowolny element grupy U(1), nie zależny od współrzędnych czasoprzestrzeni. W tym rozdziale rozpatrzymy uogólnienie U(1)-symetrii ( która jest abelowa, ponieważ U(1) jest grupą abelową ) na przypadki nieabelowe. Jednym z prostszych modeli posiadających globalną symetrię nieabelową jest model N zespolonych pól skalarnych φi o lagranżjanie : £ = ∂µφ*i ∂µ φi – m2φ*i φi – λ (φ*i φi )2 (4.1) ( teraz i dalej przyjmujemy umowę o sumowaniu względem indeksu i = 1, ..., N ) Model ten, oczywiście posiada abelową symetrię U(1) : φ(x) → eiα φ(x) (4.2) Ale oprócz tego lagranżjan (4.1) jest inwariantny względem globalnych ( nie zależnych od punktu czasoprzestrzeni ) przekształceń : φi (x) → φ’i (x) = ωij φj (x) (4.3) gdzie : ω – dowolna macierz należąca do SU(N). Własność inwariantności lagranżjanu (4.1) względem przekształceń (4.3) jest oczywista z tożsamości : 133

φ'*i φ’i = φ*k ω*ij ωij φj = φ*k ( ω†ω )kj φj = φ*k φk Zauważmy, że SU(N)-inwariantność lagranżjanu (4.1) zapewniona jest przez to, że masa każdego z pól φ1 , ... ,φN jest jednakowa ( i równa m ), a człon oddziaływania dobrany jest w sposób specjalny i występuje tylko jedna stała sprzężenia. Aby dojść do dalszych uogólnień symetrii (4.3) zapiszemy lagranżjan (4.1) w dogodniejszej postaci. Wprowadzimy kolumnę pól : ( φ1 ) (4.4) φ = ( ... ) ( φN ) tak, że φ† = ( φ*1 , ... ,φ*N ) Lagranżjan (4.1) można teraz zapisać następująco : £ = ∂µ φ† ∂µ φ – m2 φ† φ – λ ( φ† φ )2 (4.5) gdzie różniczkowanie kolumny rozumiemy, jako różniczkowanie każdej z jego składowych ( tak samo będzie dla zapisu wierszowego i macierzowego ) Kolumnę pól φ(x) można rozumieć jako jedno pole o wartościach w N-wymiarowej, zespolonej przestrzeni kolumn. Przekształcenie (4.3) jest to przekształcenie pod działaniem reprezentacji fundamentalnej grupy SU(n) : φ(x) → φ’(x) = ωφ(x) (4.6) Zauważmy, że inwariantność lagranżjanu (4.5) względem przekształceń (4.6) jest oczywista z unitarności macierzy ω. Taka sytuacja może być bezpośrednio uogólniona na bardziej złożone przypadki. Interesować nas będą sytuacje, kiedy grupa symetrii jest zwartą grupą Liego G. Niech T(G) będzie reprezentacja unitarną grupy G ( ogólnie mówiąc przywiedlną ), a pole φ(x) przyjmuje wartości w przestrzeni tej reprezentacji. Rozpatrzmy lagranżjan o postaci : £ = ∂µ φ† ∂µ φ – V(φ†, φ ) (4.7) i wymagajmy, aby potencjał V był inwariantny względem działania reprezentacji T : V(φ† T† (ω), T(ω)φ ) = V(φ†, φ ) dla wszystkich ω ∈ G. Wtedy lagranżjan (4.7) będzie inwariantny względem przekształceń : φ(ω) → T(ω) φ(x) przy których : φ† (x) → φ†(x) T†(ω) Człon potencjalny jest inwariantny, a inwariantność składowej kinetycznej wynika z unitarności reprezentacji T : T† (ω)T(ω) = 1 ( wszędzie przyjmujemy, że ω nie zależy od współrzędnych czasoprzestrzeni tj. rozpatrujemy przekształcenia globalne ) Podamy teraz kilka przykładów : 1) Niech φi(x), χi (x) – będą dwoma zbiorami ze zbioru N pól skalarnych, zespolonych , i = 1, ..., N, Jeśli φ i χ są macierzami kolumnowymi, to lagranżjan : £ = ∂µ φ† ∂µ φ + ∂µ χ† ∂µ χ − mφ2 φ† φ − mχ2 χ† χ − λ1 (φ† φ )2 – λ2 [ (φ†χ )2 + (χ†φ )2 ] – λ3 ( (χ†χ )2 (4.8) jest inwariantny względem przekształceń grupy SU(N) : φ → ωφ , χ → ωχ ; ω ∈ SU(N). Zauważmy, że parę pól φ, χ można rozumieć jako jedno pole, przyjmujące wartości w przestrzeni reprezentacji przywiedlnych grupy SU(N), będącej suma prostą dwóch reprezentacji podstawowych. 2) Niech pole φ(x) przekształca się zgodnie z reprezentacją podstawową grupy SU(2) ( tj. φ(x) – jest zespoloną kolumną o postaci ( φ1 (x) ) ( φ2 (x) ) a przekształcenie ω ∈ SU(2) działa jak φ → ωφ , gdzie ω nie zależy od x. Niech pole ξ(x) będzie rzeczywistym trypletem ξa (x) , a = 1, 2, 3, przekształcającym się zgodnie z dołączoną reprezentacją grupy SU(2). Lagranżjan inwariantny względem grupy SU(2), możemy zbudować w następujący sposób : £ = ∂µ φ†∂µ φ + ∂µξa ∂µ ξa − λ1 (φ†φ )2 – λ2 (ξa ξa )2 – λ3 φ†(τa ξa )φ (4.9) 134

gdzie : τa – macierze Pauliego ( generatory SU(2) ) W celu sprawdzenia inwariantności wystarczy upewnić się, że (ξa ξa )2 i φ†( τa ξa )φ są inwariantne. Zbudujmy pole macierzowe : ξ = τa ξa przyjmujące wartości w algebrze Liego grupy SU(2) ( z dokładnością do jednostki urojonej ). Zgodnie z definicją reprezentacji podstawowej i dołączonej, pola φ i ξ przekształcają się pod działaniem grupy SU(2) w następujący sposób : φ → φ’ = ωφ (4.10) ξ → ξ’ = ωξω-1 (4.11) Zauważmy jeszcze, że : ξa ξa = ½ Tr ξ2 (4.12) Inwariantność wyrażenia (4.12) względem (4.11) jest oczywista, a inwariantność wielkości : φ† ( τa ξa ) = φ†ξ φ wynika z łańcucha równości : φ’†ξ’φ’ = (φ†ω†) ( ωξω-1(ωφ )= φ†( ω†ω)ξ (ω-1ω)φ = φ†ξφ Zauważmy, że para pól (φ, ξ) przedstawia sobą pole w przestrzeni sumy prostej reprezentacji podstawowej i dołączonej, grupy SU(2). 3) Niech φiα (x) – będzie zbiorem z m • n pól zespolonych , i = 1, ..., n, α = 1, ..., m Zbiór ten realizuje reprezentacje grupy SU(n) × SU(m) i przedstawia sobą iloczyn prosty podstawowej reprezentacji grupy SU(n) oraz podstawowej reprezentacji grupy SU(m). To oznacza, że para ( ω ,Ω ), ω, Ω ∈ SU(m) działa na φiα w następujący sposób : φiα → φ’iα = ωij Ωαβ φjβ (4.13) Innymi słowy, grupa SU(n) działa na pierwszy indeks w φiα , a grupa SU(m) na drugi. Inwariantny lagranżjan ma postać : £ = ∂µ φ*iα ∂µφiα - m2 φ*iα φiα – λ ( φ*iα φiα )2 (4.14) Dalej możemy się umówić, aby nie pisać indeksów dla pól tj. przekształcenie (4.13) zapisać następująco : φ → φ’ = ω Ω φ a lagranżjan (4.14) tak : £ = ∂µ φ† ∂µ φ -m2 φ† φ – λ (φ† φ )2 Jeśli pole φ jest znane i wiadomo, że ω ∈ SU(n) ,Ω∈ SU(m), to taki zapis nie powinien prowadzić do nieporozumień. Zauważmy, że z sytuacją, podobną do tej, z którą mieliśmy do czynienia w ostatnim przykładzie już się zetknęliśmy : pole (4.4) o lagranżjanie (4.5) realizuje w rzeczywistości reprezentacje grupy SU(N) × U(1), gdzie grupa SU(N) działa zgodnie z (4.6) ( reprezentacja podstawowa ), a grupa U(1) zgodnie z (4.2). 4) Zbudujmy nietrywialny model inwariantny względem grupy SU(2) × U(1). Niech φ, χ - będą dubletami względem grupy SU(2) ( reprezentacja podstawowa ) , ξ - singlet względem SU(2) ( reprezentacja trywialna ). Inaczej mówiąc, pola φ, χ, ξ przekształcają się pod działaniem SU(2) w następujący sposób : φ → ωφ , χ → ωχ , ξ → ξ Pola φ, χ - są dwuskładnikowymi zespolonymi kolumnami , ξ - jednoskładnikowe zespolone pole skalarne. Niech pola φ, χ, ξ przekształcają się pod działaniem U(1) w następujący sposób : iq α iq α iq α φ→e φ φ,χ→e χ χ,ξ→e ξ ξ (4.15) Gdzie : α – parametr przekształcenia , qφ , qχ, qξ - ustalone liczby rzeczywiste. Człon kinetyczny w lagranżjanie ma standardową postać, a oddziaływanie można wybrać w postaci : λ [ (φ† ξ )χ + s.z ] (4.16) Jest ono inwariantne względem SU(2) × U(1), jeśli : qχ + qξ = qφ ( liczby qφ , qχ, qξ można wybrać jako całkowite, wtedy (4.15) będzie rzeczywistą (jednoznaczną ) reprezentacją grupy U(1) )

135

Zadanie 1. Rozpatrzmy teorię trzech pól, tak jak w przykładzie 4). Przyjmijmy jednakże : qφ + qχ + qξ = 0 Zbudować inwariantne względem SU(2) × U(1), kubiczne działanie pól φ, χ, ξ ( podpowiedź – wykorzystać to, że dla grupy SU(2) reprezentacja podstawowa jest równoważna reprezentacji sprzężonej ) Przykłady globalnych symetrii można byłoby przedłużać, rozpatrując różne grupy G1 × G2 × ... × GN , gdzie Gi – grupy proste lub U(1)-czynniki, różne pola, przekształcają się zgodnie z iloczynem prostym nieprzywiedlnych reprezentacji grup G1, ... , GN , jak również względem kombinacji takich pól. Do tej pory omawialiśmy pola skalarne, jednakże globalne wewnętrzne symetrię można wprowadzać również dla pól o dowolnych własnościach względem przekształceń Lorentza – struktura lorentzowska i „wewnętrzna” struktura pól nie odczuwają się wzajemnie ( np. dla rozpatrzenia wewnętrznych symetrii pola wektorowego należy dokonać zamiany φ → φµ we wszystkich wzorach w tym podrozdziale ) Zadanie 2 Znaleźć zachowane prądy odpowiadające rozpatrywanym globalnym symetrią, w modelach o lagranżjanach (4.1) ( i równoważnym mu (4.5)), (4.8), (4.9), (4.14), jak również w modelu przykładu 4). Symetrię bliskie do tych rozpatrzonych powyżej występują rzeczywiście w fizyce cząstek. Pola protonu i neutronu łączymy w kolumnę N = ( p ) , która przedstawia sobą podstawową reprezentacje grupy SU(2) (n) ( tzw. symetria izotopiczna ) Z rzeczywistego pola π0 –mezonu oraz pola zespolonego π, naładowanych π-mezonów można zbudować trzy pola rzeczywiste : π1 = (1/√2 ) ( π + π* ), π2 = (1/i√2 ) ( π − π* ), π3 = π0 które tworzą tryplet ( reprezentacja dołączona ) względem grupie izotopicznej SU(2), lagranżjan pion-nukleon posiada strukturę (4.9) ( z zamianą φ → N, ξa → πa i zmianami związanymi z tym, że nukleony maja spin ½ i są fermionami, jak również z tym ,że w pełnym lagranżjanie występują małe składowe nie inwariantne względem symetrii izotopicznej ) Lagranżjan oddziaływania typu (4.16) pojawia się przy opisie oddziaływania dubletu leptonowego ( lewy elektron, neutrino ), prawej składowej elektronu i dubletu pól Higgsa. Grupa SU(2) × U(1) jest grupą oddziaływań elektrosłabych. Przekształcenia typu (4.13) występują w teorii lekkich kwarków, gdzie symetria ma postać SU(3) × SU(3). Pierwsza SU(3) jest to grupa koloru ( w rzeczywistości grupa cechowania ), druga SU(3) – grupa zapachów (aromatu), względem której lekkie kwarki tworzą tryplet : (u) (d) (s) Pierwsza grupę SU(3) oznaczamy SU(3)c ,drugą SU(3)f . Grupa SU(3)f nie jest ściśle zachowana – człony masywne, jak również oddziaływania elektrosłabe nie są inwariantne względem niej.

.................................................... 4.3 Uogólnienia na inne grupy. Uogólnienie pola cechowania Aµ na inne proste grupy Liego G, jest oczywiste. Pole Aµ przyjmuje wartości w algebrze Liego grupy G tj. : Aµ(x) = gta Aaµ (x) gdzie : ta – generatory grupy ( generatory antyhermitowskie dla grupy SU(n), antysymetryczne, rzeczywiste dla SO(n) itd. ) Tensor Fµν również przyjmuje wartości w algebrze Liego i zadany jest wzorem (4.32). Przekształcenia cechowania pola Aµ oraz natężenia Fµν mają tak jak i poprzednio postać : Aµ → A’µ = ωAµω-1 + ω∂µω-1 ; Fµν → F’µν = ωFµ ω-1 Pole φiα(x) tak jak poprzednio przekształca się zgodnie z reprezentacją podstawową grupy SU(n) ( i = 1, ..., n ) oraz zgodnie z reprezentacja podstawową grupy SU(m) ( α = 1, ... , m ). Wprowadzimy pole cechowania grupy SU(n) : Aµ(x) = − ig ta Aaµ (x) gdzie : ( ta )ij – hermitowskie generatory grupy SU(n), działające na pierwszy indeks pola φiα(x) , 136

a = 1, 2, ..., n2 – 1 g – stała cechowania dla grupy SU(n). Analogicznie wprowadzamy pola cechowania dla grupy SU(m) : Bµ(x) = -ig~ t~a Bpµ (x) gdzie : ( t~a )αβ – hermitowskie generatory grupy SU(m), działające na drugi indeks pola φiα(x) , p = 1, 2, ..., m2 – 1 g~ – stała cechowania dla grupy SU(m). Pochodną pola φiα : ∂µ φiα ≡ δij δαβ ∂µ φjβ uogólniamy do pochodnej kowariantnej : ( Dµ φ)iα = (δijδαβ ∂µ – ig δαβ taij Aaµ - ig~ δij t~pαβ Bpµ ) φjβ Inaczej mówiąc : ( Dµ φ)iα = ∂µφiα + (Aµ )ij φjα + (Bµ )αβ φiβ lub symbolicznie : Dµ φ = ( ∂µ+ Aµ + Bµ ) φ gdzie : macierz Aµ działa na lewy indeks pola φ I “nie działa” na drugi (Bµ – odwrotnie ). Lagranżjan modelu ma postać : £ = ( Dµ φ)*iα ( Dµ φ)iα – m2 φ*iα φiα – λ ( φ*iα φiα )2 – ¼ Faµν Faµν – ¼ F~pµν F~pµν . gdzie : Faµν budujemy z pól Aaµ : Faµν = ∂µ Aaν - ∂ν Aaµ + gCabc Abµ Acν Cabc – stałe strukturalne grupy SU(n) Analogicznie : F~pµν = ∂µ Bpν - ∂ν Bpµ + g~C~pqr Bqµ Brν C~pqr - stałe strukturalne grupy SU(m) Zatem, w modelach gdzie grupa cechowania nie jest prosta, występuje tyle stałych cechowania ile jest U(1)składowych i składowych prostych w grupie cechowania. Należy jednak podkreślić, że koniecznie powinniśmy uogólnić wszystkie te globalne symetrie do symetrii cechowania, w zależności od fizycznej sytuacji w danym modelu może wystąpić jednocześnie zarówno inwariantność względem cechowania o grupie cechowania G, jak i globalna inwariantność względem innej grupy G’. Przykładowo, jeśli w poprzednio rozpatrywanym modelu nie wprowadzilibyśmy potencjału wektorowego Bµ, to mielibyśmy w nim symetrie cechowania SU(n) oraz symetrię globalną SU(m). Taka sytuacja realizuje się w oddziaływaniach silnych lekkich kwarków, gdzie występuje grupa cechowania SU(3)c oraz grupa globalna SU(3)f. Innym przykładem globalnej inwariantności w fizyce jest symetria prowadząca do zachowania liczby barionowej. Zadanie 9. Zbudować uogólnienie cechowania modelu przykładu 4) z podrozdziału 4.1 Dalsze uogólnienie związane jest z wykorzystaniem dowolnych reprezentacji grup, względem których przekształcają się pola skalarne ( oraz ogólnie „pola materii” w odróżnieniu od pól cechowania ) My zawsze będziemy przyjmowali, że reprezentacje grupy Liego są unitarne, a algebry Liego są odpowiednio antyhermitowskie. Niech T(ω) będzie reprezentacją grupy cechowania, T(A) – odpowiadająca jej reprezentacja algebry Liego tej grupy. Bez ograniczenia ogólności, będziemy przyjmowali, φ jako kolumnę, zatem T(ω) i T(A) są odpowiednio, macierzami unitarnymi i antyhermitowskimi. Przy przekształceniach cechowania φ przechodzi w : φ'(x) = T( ω(x) ) φ(x) (4.40) oraz jak poprzednio : Aµ → A’µ = ωAµω-1 + ω∂µω-1 (4.41) Pochodną kowariantną pola φ określimy następująco ( przyjmujemy grupę cechowania jako prostą, a reprezentacje jako nieprzywiedlną ) : Dµφ = [ ∂µ + T( Aµ ) ] φ (4.42) Lub : Dµφ = ( ∂µ – ig Ta Aaµ ) φ 137

gdzie : Ta – generatory w reprezentacji T : Ta = T( ta ) ( mając na uwadze grupę SU(n), przyjmujemy generatory ta jako hermitowskie, zatem Ta – są macierzami hermitowskimi ) Określona w ten sposób pochodna kowariantna w istocie przekształca się przy przekształceniach cechowania (4.40), (4.41) w sposób kowariantny : Dµ φ → ( Dµ φ)’ = T(ω) Dµφ (4.43) Aby sprawdzić tą równość wystarczy przekonać się, że : T( ωAω-1 )= T(ω) T(A) T(ω-1 ) (4.44) oraz T( ω∂µω-1 ) = T(ω) ∂µ T(ω-1 ) (4.45) gdzie : T(A) i T( ω∂µω-1 ) – reprezentacje elementów algebry , T(ω) i T( ω-1) – reprezentacje elementów grupy. Dalej wywody są całkowicie analogiczne do tych które przedstawiono w podrozdziale 4.2 Zadanie 10. Pokazać, że równości (4.44), (4.45) są istotnie spełnione. Lagranżjan inwariantny względem cechowania, pola skalarnego budowany jest analogicznie do tego, który przedstawiono w podrozdziale 4.2 : £φ = ( Dµφ)† ( Dµφ) – m2φ† φ – λ(φ†φ )2 ( ogólnie mówiąc, można zbudować nie jeden inwariant czwartego rzędu dla pola φ w nieprzywiedlnej reprezentacji grupy G, często można również zbudować inwarianty kubiczne, człon samoodziaływania o postaci (φ†φ )2 jest zatem tylko przykładem ) W charakterze przykładu rozpatrzmy pole φ w dołączonej reprezentacji, przyjmując grupę cechowania jako grupę SU(n). Wtedy φ(x) – są macierzami w algebrze Liego ( które przyjmujemy jako hermitowskie ), zatem : φ(x) = ta φa (x) gdzie : ta – hermitowskie generatory SU(n) ( dla n = 2 generatory równe są ta = ½ τa , τa – macierze Pauliego ) φa (x) – pola rzeczywiste , a = 1, 2 ... n2 – 1. Pochodna kowariantna (4.42) w tym przypadku jest równa : Dµ φ = ∂µ φ + ad ( Aµ ) φ = ∂µ φ + [ Aµ , φ ] (4.46) Można ją zapisać w postaci ( Dµ φ – jest ponownie elementem algebry SU(n) ) : Dµ φ = ta (Dµφ )a gdzie : (Dµφ )a – współczynniki rzeczywiste. Wyrazimy powyższe współczynniki przez pola rzeczywiste Aaµ i φa . Z (4.46) mamy : ta (Dµφ )a = ta ∂µ φa + ( - ig Abµ φc ) [ tb, tc ] Dla generatorów hermitowskich [ tb, tc ] = i Cbca ta , zatem : (Dµφ )a = ∂µ φa + g Cabc Abµ φc (4.47) Wielkościami inwariantnymi są : Tr ( Dµφ ) (Dµφ ) = ½ (Dµφ )a (Dµφ )a oraz Tr φ2 = ½ φa φa Dlatego lagranżjan inwariantny względem cechowania pola skalarnego można wybrać w postaci : £φ = Tr ( Dµφ )2 – m2 Tr φ2 – λ ( Tr φ2 )2 lub z użyciem zapisu w składowych : £φ = ½ (Dµφ )a (Dµφ )a – ½ m2 φa φa – ¼ λ ( φa φa )2 (4.48) a a Zauważmy, że w ostatnim wyrażeniu figurują tylko pola rzeczywiste φ i A µ . Zadanie 11. Zbudować wszystkie inwarianty do czwartego rzędu włącznie, dla pola skalarnego w dołączonej reprezentacji grupy SU(2). Zadnie 12. Wykonać to co w zadaniu 11 dla grupy SU(3) Pola przekształcające się zgodnie z przywiedlną reprezentacja grupy cechowania, dogodnie jest rozpatrywać jak zbiór pól niezależnych , każde z których przekształca się według reprezentacji nieprzywiedlnej. Podkreślmy jedną różnicę między teoriami nieabelowymi a elektrodynamiką. W elektrodynamice ładunek pola może przyjmować dowolne wartości, a stosunek ładunków dwóch różnych pól może być dowolny ( całkowity, 138

rzeczywisty, niewymierny ). Innymi słowy, nic nie stoi na przeszkodzie aby wybrać pola φ i χ przekształcające się przy przekształceniach cechowania elektrodynamiki, tak : φ → eiα φ ; χ → eiqα χ Dowolna stała q będzie wtedy wchodziła do pochodnej kowariantnej : Dµ χ = ( ∂µ – ieq Aµ )χ I w rezultacie zachodzić będzie oddziaływanie pola χ z polem EM. W teoriach nieabelowych mamy tylko jedną swobodną stałą g, która określa oddziaływanie pól materii z polem cechowania dla każdej prostej składowej grupy cechowania. Jeśli g jest ustalona, oddziaływania pól materii z polem cechowania są jednoznacznie określone przez reprezentacje, według której przekształcają się pola materii. W związku z tym, mówimy, że ładunek nieabelowy nie koniecznie musi być skwantowany tj. całkowity ( inna sprawa, to że ładunki znanych cząstek są krotnością ładunku elektronu, jest to fakt eksperymentalny potwierdzony z dużą dokładnością , jednak jego rozumienie w ramach elektrodynamiki jest niemożliwe ) Rozpatrzone w tym rozdziale konstrukcje właściwie wyczerpują uogólnienia rozpatrzonej w podrozdziale 4.2 modelu cechowania o grupie SU(n) i dubletem pól skalarnych, z ich pomocą można zbudować teorię cechowania o dowolnej zwartej grupie Liego i dowolną reprezentacją pól skalarnych.

4.4 Równania pola. Otrzymamy teraz równania pola dla pól cechowania oraz pól materii w nieabelowych teoriach cechowania. Rozpatrzymy przypadek prostej grupy cechowania i pola skalarnego, przekształcającego się według reprezentacji nieprzywiedlnej. Działanie dla takiego układu ma postać : S = SA + Sφ (4.49) Gdzie : SA = ∫ dx4 ( − ¼ Faµν Faµν ) ; Faµν = ∂µ Aaν − ∂ν Aaµ + gCabc Abµ Acν (4.50) 4 † 2 † † 2 SA = ∫ dx [ (Dµφ) ( Dµφ) – m φ φ – λ (φ φ ) ] (4.51) Dµ φ = ∂µφ – ig TaAaµ φ (4.52) Samoodziaływanie pola skalarnego wybraliśmy w najprostszej postaci (φ†φ )2 . Przyjmiemy, że Ta – to hermitowskie generatory w reprezentacji T. Na początku rozpatrzymy wariacje działania SA względem pól rzeczywistych Aaµ , przyprowadzi nas ona do równań dla pola cechowania w przypadku braku pól materii. Otrzymujemy : δSA = ∫ dx4 ( − ½ Faµν δFaµν ) (4.53) gdzie : δFaµν = ∂µ δAaν − ∂ν δAaµ + gCabc Abµ δAcν + gCabc δAbµ Acν Zauważmy, że druga i czwarta składowa w powyższym wyrażeniu różnią się od pierwszej i trzeciej zamianą µ ↔ ν i zamianą znaku. Wykorzystując ten fakt, oraz antysymetrię tensora Faµν względem indeksów µ, ν dla (4.53) możemy zapisać : SA = ∫ dx4 [ − Faµν ( ∂µ δAaν + gCabc Abµ δAcν ) ] Pierwszą składową możemy scałkować przez części, w drugiej przemianujemy indeksy a, b, c i wykorzystamy antysymetrię Cabc. W wyniku tego otrzymamy : SA = ∫ dx4 [ ∂µFaµν + gCabc Abµ Fcµν ] δAaν (4.54) Skąd otrzymujemy równania dla pól cechowania bez materii : ∂µ Faµν + gCabc Abµ Fcµν = 0 (4.55) Przypominam, że tensor Fµν przekształca się według reprezentacji dołączonej grupy cechowania. Dlatego pochodna kowariantna dla niego jest równa ( zobacz (4.47), indeksy lorentzowskie dla Fµν nie są istotne ) : ( Dµ Fλρ )a = ∂µ Faλρ + gCabc Abµ Fcλρ (4.56) Odpowiednio zatem równanie pola (4.55) możemy przepisać następująco : ( Dµ Fλρ )a = 0 (4.57) Zauważmy, że lewa część tego równania przekształca się kowariantnie ( według reprezentacji dołączonej ) przy przekształceniach cechowania.

139

Zadanie 13. Pokazać, ze tensor Fµν spełnia tożsamości Bianchi : εµνλρ ( Dν Fλρ )a = 0

(4.58)

Równanie (4.57) i tożsamość (4.58) są to nieabelowe analogi równań Maxwella w elektrodynamice. Jednakże w odróżnieniu od równań Maxwella, równania nieabelowe (4.57) i (4.58) oprócz tensora natężenia zawierają również potencjał wektorowy Aaµ , jest to oczywiste z (4.56). Zauważmy również, że pochodna kowariantna (4.58) może być zapisana w postaci macierzowej : DµFλρ = ∂µFλρ + [ Aµ , Fλρ ] gdzie : Fλρ = ig ta Faλρ Rozpatrzmy teraz wariacje działania Sφ względem pól Aaµ. Uwzględnimy przy tym to, że z (4.52) wynika, że : (Dµ φ)† = ∂µφ† + ig Aaµ φ† Ta (4.59) tak więc : δ ( Dµ φ)† = ig φ† Ta δAaµ (4.60) ( przyjmujemy, że φ – jest kolumną, a odpowiednio φ† - wierszem ; na φ† macierze hermitowskie Ta działają prawostronnie, ta więc (4.60) jest równaniem wierszowym ) δ ( Dµ φ) = – ig Ta φδAaµ dlatego : δSφ = ∫ dx4 [ ( Dµ φ)† ( –igTa φ) + igφ† Ta Dν φ ] δAaν Wprowadzimy następujący prąd : jaν = –i [ φ† Ta Dν φ – ( Dν φ)† Ta φ ] (4.61) Wtedy : δSφ = ∫ dx4 ( –g jaν ) δAaν Po uwzględnieniu (4.54) otrzymamy to, że wymaganie równości zeru wariacji całkowitego działania ( SA + Sφ ) prowadzi do równania pola cechowania w obecności pól materii : ( Dµ Fµν )a = g jaν (4.62) które jest analogiczne do równania Maxwella dla elektrodynamiki z polami materii. Znajdziemy teraz równania wynikające z wariacji działania względem pól skalarnych. Pola skalarne zawarte są tylko w Sφ , dlatego wystarczy wariować tylko tą część działania. Podobnie jak i w elektrodynamice będziemy przyjmowali φ† i φ jako niezależne i poszukiwali wariacji Sφ względem φ† ( innymi słowy , jeśli : ( φ1 ) φ = ( ... ) ( φN ) to : φ† = ( φ*1 , ... , φ*N ) i wariujemy względem wszystkich φ*i , i= 1, ..., N przyjmując je jako niezależne od φi ) Z uwzględnieniem (4.59) otrzymujemy : δSφ = ∫ dx4 [ ( ∂µδφ† − ig Aaµ δφ† Ta ) Dµφ – m2 δφ† φ – 2λ ( φ†φ) δφ†φ ] Całkując pierwszą składową przez części i nakładając wymóg δSφ = 0 znajdujemy równanie : ( ∂µ δφ† − ig Aaµ Ta ) Dµφ – m2φ + 2λ ( φ†φ) φ = 0 (4.63) Zauważmy jeszcze, że wielkość Dµφ przekształca się przy przekształceniach cechowania według tej samej reprezentacji T(ω), co samo pole φ ( zobacz (4.43)), indeks lorentzowski jak zwykle nie jest tutaj istotny ) Dlatego pochodna kowariantna od Dµφ może być zapisana w postaci : Dν Dµφ ≡ Dν ( Dµφ ) = ( ∂ν − ig Aaν Ta )Dµφ Odpowiednio równanie (4.63) przyjmie postać : DµDµφ + m2φ + 2λ (φ†φ) φ = 0 (4.64) Wariowanie działania względem φ prowadzi do hermitowsko sprzężonego równania. Układ równań (4.62) i (4.63) jest właśnie układem równań polowych modelu o działaniu (4.49). Jego uogólnienie na bardziej złożone przypadki ( pólprosta grupa cechowania, wiele pól materii ) jest stosunkowo proste i może być wykonane dla każdego konkretnego modelu. 140

Zadanie 14. Pokazać, że prąd jaµ określony zgodnie z (4.61) przy przekształceniach cechowania przekształca się według dołączonej reprezentacji grupy cechowania. Zatem, równanie (4.62) zawiera wielkości kowariantne po lewej i prawej stronie ( inaczej mówiąc, lewa i prawa strona tego równania przekształcają się jednakowo przy przekształceniach cechowania ) Zadanie 15. Dowieść równania : ( Dµ Dν Fµν )a = 0 Pokazać, że jeśli spełnione są równania (4.64), to dla prądu jaµ spełniona jest zależność : ( Dµ j µ ) a = 0 W której pochodną kowariantną rozumiemy w sensie dołączonej reprezentacji grupy cechowania. W ten sposób równania (4.62) i (4.64) są zgodne między sobą. Zadanie 16. Otrzymać równanie (4.64) dla przypadku grupy cechowania SU(n) i pola skalarnego dla dołączonej reprezentacji, bezpośrednio z lagranżjana (4.48). Zapisać to równanie oraz prąd jaν , figurujący w (4.62) przez pola rzeczywiste φa i Aaµ. Zadanie 17. Teoria cechowania o działaniu (4.49) jest inwariantna w szczególności względem przekształceń globalnych Aµ → A’µ = ωAµω-1 , φ → φ’ = T(ω)φ gdzie : ω nie zależy od x. Znaleźć prąd noetherowski odpowiadający tym przekształceniom. Czy pokrywa się on a prądem jaµ figurującym w równaniach pola (4.62) ? Czy jest on kowariantny względem przekształceń cechowania ? Czy jest ona równy zeru w przypadku braku pól materii ? Zapisać równanie pola (4.62) przez prąd noetherowski oraz tensor Faµν. Znajdziemy teraz tensor energii-pędu modelu o działaniu (4.49). W tym celu wykorzystamy przykład który został wprowadzony pod koniec podrozdziału 2.8. Wprowadzimy zatem do działania tensor metryczny gµν , przykładowo w miejsce (4.50) zapiszemy : SA = ∫ dx4 √−g ( − ¼ gµν gλρ Faµλ Faνρ ) (4.65) µν Symetryczny tensor energii-pędu związany jest z wariacja działania względem g : δS = ½ ∫ dx4 T~µν δgµν (4.66) µν µν przy czym rozpatrujemy małe odchylenia g od tensora Minkowskiego η : gµν = ηµν + δgµν Mając na uwadze, że gµν jest macierzą odwrotną do gµν , dlatego : g = det ( gµν ) = 1/det ( gµν ) (4.67) zapiszemy : δg = − ηλρ δgλρ ( wzór ten jest analogiczny do znanej zależności det ( 1 + ε ) = 1 + Tr ε , jeśli ε jest małą macierzą ) Wykorzystując (4.66) i (4.67) otrzymamy tensor energii-pędu dla pola cechowania, działanie którego ma postać (4.65) : T~(A)µν = − Faµλ Faλν + ¼ ηµν ( Faλρ Faλρ ) (4.68) W szczególności gęstość energii pola cechowania jest równa : T~(A)00 = Fa0i Fa0i + ¼ ( - Fa0i Fa0i – Fai0 Fai0 + Faij Faij ) Gdzie sumowania względem indeksów przestrzennych dokonujemy z metryką euklidesową δij. Ostatecznie energia pola cechowania ma postać : (4.69) E(A) = ∫ dx3 T~00 = ∫ dx3 ( ½ Fa0i Fa0i + ¼ Faij Faij ) Niekiedy będziemy wykorzystywali następujące oznaczenia : Fa0i = Eai ; Faij = - εijk Hak Gdzie : Ea i Ha - nieabelowe analogi pól elektrycznego i magnetycznego. Z użyciem takich oznaczeń energia pola cechowania jest równa : E(A) = ∫ dx3 ( ½ Ea Ea + ½ Ha Ha ) 141

W analogiczny sposób możemy otrzymać wyrażenie dla symetrycznego tensora energii-pędu pola skalarnego, oddziałującego z polem cechowania, dla którego działanie ma postać (4.51) : T~(φ)µν = 2 (Dµφ)† ( Dµφ ) – ηµν £φ (4.70) gdzie : £φ = ( Dλφ)† ( Dλφ ) – m2φ† φ – λ (φ†φ )2 jest lagranżjanem pola skalarnego. Z (4.70) otrzymujemy wyrażenie dla energii pola skalarnego : E(φ) = ∫ dx3 [ ( D0φ)† ( D0φ ) + ( Diφ†) ( Diφ ) + m2φ† φ + λ (φ†φ )2 ] Całkowity tensor energii-pędu dla modelu (4.49) jest równy sumie wkładów (4.68) i (4.70) : T~µν = T~(A)µν + T~(φ)µν Odpowiednio, energia pól skalarnego i pola cechowania jest równa : E = E(A) + E(φ) gdzie : E(A) , E(φ) zadane są wzorami, odpowiednio (4.69) i (4.71).

(4.71) (4.72)

Zauważmy oczywisty fakt, że symetryczny tensor energii-pędu jest inwariantny względem cechowania, a energia jest dodatnio określona ( przyjmujemy, że dla pola skalarnego m2 ≥ 0 ). Dodatniość energii pola cechowania zapewniona jest w szczególności przez zwartość algebry Liego ( istnienie dodatnio określonego inwariantu typu Ea Ea ) Zadanie 18. Znaleźć noetherowski tensor energii-pędu Tµν dla modeli pola skalarnego i cechowania o działaniu (4.49). Dobrać tensor Ωµλν antysymetryczny względem indeksów µ, λ , taki, że : T~µν = Tµν + ∂λ Ωµλν gdzie : T~µν zadany jest wzorem (4.72).

........................................................ Klasyczne pola cechowania – Teorie bozonowe - W. A. Rubakow; КомКнига МОСКВА 2005

.............................................................. 1.3 Fermiony w zewnętrznych polach bozonowych. Rozpatrzymy teraz jak wygląda równanie Diraca w zewnętrznych polach bozonowych. Na początku przypomnimy sobie, że fermiony w zewnętrznym polu EM opisywane są równaniem Diraca, analogicznym do (1.1) ( lub (1.3)), ale z zamianą standardowej pochodnej na pochodną kowariantną : ( Ogólnie mówiąc, w równaniu takim mogą występować również składowe, związane z anomalnym momentem magnetycznym fermionu, jego elektrycznym momentem dipolowym itd. ) iγµDµψ − mψ = 0 (1.33) gdzie : Dµ = ∂µ − ieAµ e – ładunek elektryczny. Zauważmy, że lewa część tego równania przekształca się kowariantnie przy lokalnych przekształceniach cechowania z grupy EM U(1), tj. przy przekształceniach postaci : ψ(x) → ψ’(x) = exp[iα(x)]ψ(x) (1.34) Aµ(x) – A’µ(x) = Aµ(x) + (1/e)∂µα(x) (1.35) Przy przekształceniach tego typu otrzymujemy : ( iγµDµψ − mψ ) → exp(iα)(iγµDµψ − mψ ) Jeśli ψ spełnia równanie Diraca w polu zewnętrznym Aµ, to ψ’ spełnia równanie Diraca w polu zewnętrznym A’µ Innymi słowy, przy przekształceniu cechowania pola zewnętrznego zbiór rozwiązań równań Diraca pozostaje taki sam z dokładnością do przekształcenia fazowego (1.34). Mówimy, że równanie Diraca (1.33) jest inwariantne względem lokalnych przekształceń cechowania (1.34) i (1.35).

142

Globalne lub nieabelowe symetrie cechowania pojawiają się w równaniu Diraca wtedy, kiedy fermionom można przypisać wewnętrzne liczby kwantowe. Niech np. w układzie ( póki co bez pól zewnętrznych ) mogą występować dwa typy fermionów. Wtedy stan układu, w którym istnieje dokładnie jeden fermion dowolnego typu, można opisać przez funkcje falową w postaci kolumny : ψ = ( ψ1(x) ) (1.36) ( ψ2(x) ) każda ze składowych której ψ1 lub ψ2 przedstawia sobą spinor Diraca ( dla bezmasowych fermionów może to być spinor Weyla ) Zatem, fermion pierwszego typu opisywany jest przez kolumnę : ( ψ1(x) ) (1.37) ( 0 ) a fermion drugiego rodzaju – przez kolumnę : ( 0 ) ( ψ2(x) ) W przypadku ogólnym (1.36) wielkość ( ψ1†ψ1 )(x) reprezentuje sobą prawdopodobieństwo tego, że w układzie istnieje fermion pierwszego typu w punkcie x i analogicznie dla wielkości ( ψ2†ψ2 )(x) Jeśli masy fermionów są jednakowe, to w przypadku niewystępowania pól zewnętrznych każda ze składowych (1.36) spełnia równanie Diraca (1.1). Równania te można połączyć, zapisując dla kolumny (1.36) równanie : ( iγµ∂µψ − m ) • 1 • ψ = 0 (1.38) gdzie 1 – macierz jednostkowa 2 × 2, działająca w przestrzeni dwuskładnikowych kolumn (1.36) ( nie będziemy jej wypisywali w postaci jawnej, jeśli nie będzie to prowadziło do nieporozumienia ) Równanie (1.38) jest inwariantne względem globalnych ( nie zależnych od współrzędnych ) przekształceń z grupy SU(2) : ψ(x ) → ω ψ(x) , ω ∈ SU(2) (1.39) iα ( Jest ono inwariantne również względem grupy U(1) globalnych obrotów fazowych ψ → e ψ ) Należy podkreślić, że przekształcenie (1.39) działa nie na indeks lorentzowski, a na indeksy „wewnętrzne”, numerujące typ fermionu. Zgodnie z (formalną ) analogią do zwykłego spinu, przekształcenia (1.39) nazywają się przekształceniami „spinu wewnętrznego” ( lub izospinu ). Przy tym można powiedzieć, że kolumna (1.36) opisuje fermion, który, może znajdować się w różnych stanach izospinowych – i tak fermion pierwszego typu, opisywany przez (1.37), można nazwać fermionem w stanie o trzeciej projekcji izospinu ( +1/2 ), a fermion drugiego typu – stanem o trzeciej projekcji izospinu (− ½ ). Historycznie pierwszym przykładem symetrii wewnętrznej była symetria izotopowa oddziaływań silnych. Jeśli zaniedbamy małą różnicę mas protonu i neutronu, jak również oddziaływaniem EM i słabym, to proton i neutron będą posiadały jednakowe własności. Funkcje falową nukleonu możemy wtedy zapisać w postaci (1.36), gdzie ψ1(x) i ψ2(x) – są funkcjami falowymi składowej protonowej i neutronowej nukleonu. Swobodne równanie Diraca dla nukleonu ma dokładnie postać (1.38). Nazwa „izospin” – spin izotopowy – ma właśnie takie pochodzenie. W dalszej kolejności wykorzystujemy go dla innych symetrii, opisywanych przez grupę SU(2) ( np. mówiąc o słabym izospinie, który ma związek z oddziaływaniami słabymi ) Przedstawioną konstrukcje możemy uogólnić na przypadek, kiedy fermiony mogą znajdować się w trzech lub więcej stanach ( inaczej mówiąc mamy trzy lub więcej fermionów o jednakowej masie ). I tak, kwarki mogą znajdować się w trzech stanach ( nazywamy je kolorami ), zatem kwark opisywany jest przez funkcje falową : ( ψ1(x) ) (1.40) ( ψ2(x) ) ( ψ3(x) ) a równanie Diraca dla funkcji falowej kwarku jest inwariantne względem działania wewnętrznej (kolorowej) grupy SU(3)c. Dalsze uogólnienie wynika z obserwacji, iż kolumny (1.36) lub (1.40) można rozumieć jako wektory z przestrzeni fundamentalnej reprezentacji grupy, odpowiednio SU(2) lub SU(3)c. Można nie ograniczać się tylko do grup SU(N) i reprezentacji fundamentalnych. Właściwie można wybrać dowolną zwartą grupę G symetrii wewnętrznej i dowolną jej reprezentacje T(G) i żądać, aby fermionowa funkcja falowa należała do przestrzeni reprezentacji T(G), a równanie Diraca było inwariantne względem przekształceń : ψ → T(g )ψ dla wszystkich g ∈ G. Należy ponownie podkreślić, ze macierz T(g) działa na wewnętrzne, a nie na lorentzowskie indeksy funkcji falowej fermionu. 143

Kolejny krok polega na zbudowaniu oddziaływania fermionów z nieabelowymi polami cechowania. Takie oddziaływanie powinno zapewnić inwariantność równania Diraca względem przekształceń cechowania o nieabelowej grupie (wewnętrznej ) symetrii cechowania. W przykładzie z grupą wewnętrzną SU(2) i dubletem fermionowym (1.36) należy wymagać, aby równanie Diraca było inwariantne ze względu na standardowe przekształcenia cechowania pola cechowania grupy SU(2) : Aµ → A’µ = ωAµω−1 + ω∂µω−1 ,ω(x) ∈SU(2) Gdzie A( = (ig ½ (a A(a Spełnionych jednocześnie z przekształceniami : ψ(x) → ψ’(x) = ω(x)ψ(x) Recepta zbudowania wielkości kowariantnych jest dobrze znana – należy zamienić zwykłą pochodną na pochodną kowariantną : Dµ = ∂µ − Aµ Zatem, dochodzimy do równania Diraca, inwariantnego ze względu na przekształcenia cechowania z grupy SU(2) ( iγµDµ − m )ψ = 0 (1.41) które jest w pełni analogiczne do równania Diraca (1.33) w przypadku obecności pola EM. Zauważmy, ze w równaniu (1.41) wykorzystujemy bardzo skrócone oznaczenia; jeśli zapiszemy to równanie zachowując wszystkie indeksy, to otrzymamy : { i γαβµ [ δij∂µ − ½ ig (τa)ijAµa ] – mδαβδij }ψβj = 0 (1.42) gdzie α, β = 1, ... , 4 – indeksy lorentzowskie spinora; i, j = 1, 2 – indeksy izotopiczne ; a = 1, 2, 3 Sumujemy po powtarzających się indeksach. W przypadku ogólnym dowolnej grupy cechowania G i reprezentacji T(G), według której przekształcają się fermiony, równanie Diraca w zewnętrznym polu cechowania, ma poprzednią postać (1.41), a pochodna kowariantna jest równa : Dµ = ∂µ + T(Aµ ) (1.43) Przy m = 0 w charakterze wejściowego równania można byłoby wziąć nie równania Diraca, a równanie Weyla. Powtarzając poprzednie rozważania, doszlibyśmy wtedy do równania Weyla w zewnętrznym polu cechowania. Dla lewego fermionu ma ono postać : iσ~µ Dµχ = 0 tj. Równania różniącego się od swobodnego równania Weyla (1.22) gdzie zamieniono standardową pochodną na pochodną kowariantną (1.43). Indeks lorentzowski spinora χ tak jak poprzednio przebiega wartości 1, 2. Teraz przejdziemy do omówienia oddziaływania fermionów z polami skalarnymi. Rozpoczniemy od najprostszego przypadku jednego rzeczywistego pola skalarnego ϕ(x) i jednego fermionu. Podstawowym wymogiem nakładanym na równanie Diraca dla funkcji falowej fermionu w zewnętrznym polu klasycznym ϕ jest lorentzowska inwariantność i hermitowskość hamiltonianu Diraca. Przy przekształceniach lorentzowskich pole skalarne w ustalonym punkcie CP nie przekształca się, dlatego możemy go dołączyć do równania Diraca analogicznie do członu masowego fermionu. Zatem, dochodzimy do równania : iγµ ∂µψ − mψ − hϕψ = 0 (1.44) gdzie h – rzeczywista stała sprzężenia. Taki najprostszy związek fermionu z polem skalarnym nazywamy sprzężeniem Yukawy. Należy podkreślić, że literalnie w postaci (1.44) sprzężenie Yukawy można wyprowadzić dla fermionów Diraca, ale nie można dla spinorów Weyla. Dalsze uogólnienie można zbudować, wykorzystując pojęcie działanie dla fermionów. Aby go wyprowadzić, na początku omówimy równanie Diraca (1.44). Można go rozpatrywać jako warunek stacjonarności funkcjonału :

ze względu na dowolne wariacje wielkości ψ−(x), która reprezentuje sobą czteroskładnikowy wiersz. Taki funkcjonał nazywamy działaniem dla fermionów. Funkcjonał SF jest rzeczywisty, jeśli pod ψ− rozumiemy wiersz

144

ψ† γ0 ( porównaj (1.24)). ( fakt, że przy wariowaniu SF należy przyjmować ψ− ( lub ψ† ) jako zmienną niezależną, jest analogiczny do recepty wariowania działania dla zespolonego pola skalarnego, przy której ϕ i ϕ* przyjmowane są jako zmienne niezależne ). W istocie dla S*F otrzymujemy :

Równość S*F = SF otrzymujemy po scałkowaniu przez części w pierwszej składowej i wykorzystaniu tożsamości ψ†µ γ0 = γ0γµ Dalej, można pokazać, że SF – jest skalarem lorentzowskim. Wymaganie rzeczywistości oraz lorentzowskiej inwariantności działania jest równoważne wymaganiu hermitowskości hamiltonianu Diraca HD i lorentzowskiej kowariantności równania Diraca. Działanie dla fermionów jest naturalnym i koniecznym obiektem w KTP, gdzie ψ− i ψ traktowane są jako operatory pola fermionowego. Przy tym SF występuje na równych prawach z działaniem dla pól bozonowych. Zauważyliśmy już, ze w odróżnieniu od operatorów pól bozonowych operatory ψ i ψ− nie posiadają granicy klasycznej. Równanie Diraca (1.41) w przypadku obecności pól cechowania może być otrzymane poprzez wariacje działania :

po ψ−, przy tym, jeśli ψ przekształca się zgodnie z reprezentacją unitarną T(G), grupy cechowania G, to ψ− = ψ† γ0 przekształca się zgodnie z reprezentacja sprzężoną : przy przekształceniach cechowania ω(x) ∈ G otrzymujemy :

lub, w zapisie składnikowym :

gdzie i, j – indeksy odpowiadające symetrii wewnętrznej. Funkcjonał SF w oczywisty sposób jest inwariantny względem przekształceń cechowania. Jedno z uogólnień wyrażeń (1.45), (1.46) dla działania fermionowego rozciągnięte na przypadek, kiedy pole w nietrywialny sposób przekształca się przy przekształceniach cechowania ( lub globalnych ), jest oczywiste. Niech ψi przekształca się zgodnie z reprezentacją T(G) grupy cechowania G, tj. prawo przekształcenia ψi i ψ−i ma postać (1.47). Niech pole skalarne przekształca się zgodnie z rzeczywista reprezentacją TS(G) tj. pola ϕ są rzeczywiste i dla nich mamy : ϕa → ϕ’a = [ TS(ω)]ba ϕb Niech dalej z ψ−, ψ i ϕ można utworzyć rzeczywisty gauge- inwariant o postaci : ψ−i (Λa )ij ψj ϕa = ψ−Λa ψϕa gdzie (Λa )ij – są pewnymi współczynnikami. Wtedy działanie fermionowe o postaci :

(1.48)

będzie lorentzowsko inwariantne, gauge-inwariantne i rzeczywiste przy rzeczywistej stałej sprzężenia h ( w przypadku symetrii globalnej w (1.49) w miejsce pochodnej kowariantnej Dµ figuruje standardowa pochodna ∂µ )

Wymaganie inwariantności (1.48) jest równoważne wymaganiu, aby dla wszystkich ω∈ G było słuszne : 145

Λa [ TS(ω )]ba T(ω) = T(ω) Λb

(1.50) a Opuściliśmy tutaj indeksy i, j odnoszące się do reprezentacji fermionów T(G) i przyjmujemy Λ i T(ω) jako macierze względem takich indeksów. Zależność (1.50) określa możliwą postać macierzy Λa inaczej mówiąc ϕa ψj należy do reprezentacji TS × T grupy

Liego G. Wymagamy, aby TS × T → T. Z użyciem pojęcia reprezentacji algebry Liego grupy G zależność (1.50) ma postać : Λ a ( T q S )b a = [ T q , Λ b ] gdzie Tq i TqS – są generatorami algebry Liego w reprezentacjach T i TS , q = 1, ... , dim G. Wariując działanie (1.49) po ψ− otrzymamy równanie Diraca :

(1.51)

iγµ Dµ ψ − mψ − hΛaϕaψ = 0 (1.52) Jego lewa cześć kowariantnie ( względem reprezentacji T(G) ) przekształca się przy przekształceniach cechowania. W charakterze ważnego przykładu rozpatrzymy grupę SU(N) – jako grupę symetrii i wybierzemy fermiony w reprezentacji fundamentalnej tej grupy, a skalary – w reprezentacji dołączonej ( to oznacza w szczególności, że ϕa - są polami rzeczywistymi , a = 1, ... , N2 − 1 ) Wtedy Tq = itq , gdzie tq – hermitowskie macierze generatorów grupy SU(N) ( TqS )ba = fqab – stałe strukturalne W charakterze macierzy Λa można wybrać ta. W istocie, lewa część zależności (1.51) w tym przypadku ma postać tq fqab , a prawa część jest równa : [ itq , tb ] = − fqbc tc tak, że zależność (1.51) jest spełniona przy uwzględnieniu antysymetrii stałych strukturalnych. Zatem, kowariantne równanie Diraca w danym przypadku ma postać : ( iγµ Dµ − m − htaϕa )ψ = 0 (1.54)

.............................................................. Klasyczne pola cechowania. Teorie z fermionami - W. A. Rubakow; КомКнига МОСКВА 2005

8.5.4 Rozwiązanie równań Y-M Jaki widać z powyższego tekstu równania pól Y-M mają postać (dalej cytując ) :

........................................................ ( Dµ Fλρ )a = 0

(4.57)

εµνλρ ( Dν Fλρ )a = 0 (4.58) Równanie (4.57) i tożsamość (4.58) są to nieabelowe analogi równań Maxwella w elektrodynamice. Jednakże w odróżnieniu od równań Maxwella, równania nieabelowe (4.57) i (4.58) oprócz tensora natężenia zawierają również potencjał wektorowy Aaµ , jest to oczywiste z ( Dµ Fλρ )a = ∂µ Faλρ + gCabc Abµ Fcλρ (4.56) Zauważmy również, że pochodna kowariantna (4.58) może być zapisana w postaci macierzowej : DµFλρ = ∂µFλρ + [ Aµ , Fλρ ] gdzie : Fλρ = ig ta Faλρ ( Dµ Fµν )a = g jaν które jest analogiczne do równania Maxwella dla elektrodynamiki z polami materii.

(4.62)

........................................................ Reasumujac - uogólniając elektrodynamikę maxwellowską mając na uwadze iż FµνFµν = inv. zapisać lagranżjan pól Yanga- Millsa następująco : ₤Y-M = − ¼ FaµνFaµν (3.2.18)

146

Wariacja takiego lagranżjanu da nam równania pola Yanga –Millsa : δ₤Y-M / δAµ = ∂₤Y-M / ∂Aµ – ∂ν ( δ₤Y-M / δAµ ,ν ) = 0 W rezultacie mamy : ∂ν Faµν + g fabc Aνb Fcµν = 0 lub w krótszym zapisie : Dν Faµν = 0 Wprowadzimy do układu również pole skalarne masy m , przynależne reprezentacji dołączonej grupy : ϕa (a = 1... n ) tj. tej samej reprezentacji co i pole Faµν. Wtedy z uwzględnieniem konieczności wprowadzenia pochodnej Dµ znajdujemy lagranżjany :

(3.2.19) (3.2.20)

₤ = – ¼ Faµν Faµν + | Dµ ϕa |2 − m2 | ϕa |2 (3.2.21) gdzie : Dµ ϕa = ∂µ ϕa + g fabc Aaµ ϕc Lagranżjan ten jest oczywistym uogólnieniem lagranżjanu elektrodynamiki skalarnej na przypadek nieabelowy. Zauważmy, że w charakterze grupy cechowania wykorzystujemy zwykłą unitarną grupę SU(N), podstawowa reprezentacja tej grupy działa na przestrzeni zespolonej o wymiarze N. Samodualne pola Yanga - Millsa Na początku znajdziemy, zgodnie z twierdzeniem Noether kanoniczny tensor energii-pędu : Tνα = (∂Aaσ / ∂xα ) (∂₤/ ∂Aaσ, ν ) − δνα ₤ Dal pól Yanga – Millsa wariując wyrażenie : ₤Y-M = − ¼ FaµνFaµν otrzymamy : Tνα = − Faνσ (∂Aaσ / ∂xα ) − δνα ₤ Tensor ten jest nie symetrycznym, co jest następstwem wektorowego charakteru pola Aµa. Z symetryzujemy go dodając do niego dywergencje : ∂/∂xσ (Faνσ Aaα ) = Faνσ ( ∂Aaα / ∂xσ ) + g εabc Fbνσ Acσ Aaα gdzie wykorzystaliśmy równania pola : (∂Faνσ / xσ ) = g εabc Fbνσ Acσ Wtedy : ∂/∂xσ (Faνσ Aaα ) = Faνσ ( Aaα, σ − g εabc Acσ Aaα ) i tensor energii-pędu po dodaniu do niego danej dywergencji przybiera symetryczną postać : Tνα = – Faνσ Faασ − δνα ₤ lub : Tαν = – Faνσ Faασ + ¼ ηαν Faνρ Faσρ Analogicznie do elektrodynamiki antysymetryczny tensor pola można rozbić na składową elektryczną Ena i magnetyczną Bna :

(3.3.1) (3.2.18)

Ena = Fα0n ; Ban = - ½ εnij Faij Wtedy składowe (3.3.4) mogą być wypisane w jawnej postaci : T00 = ½ (E2a + B2a ) = Σ Tii i T0j = - εjmn Eam Ean Tij = - Eai Eaj - Bai Baj + ½ δij ( EaEa + Ba Ba ) Dalej wprowadzimy tensor dualny : F~aµν = ½ εµνλρ Fλρa Łatwo sprawdzić, że przejście od tensora Fµν do dualnego tensora F~µν odpowiada następującej zmianie składowych tensora Fµν : Faµν → F~aµν : Ea → Ba ; Ba → − Ea

147

(3.3.2)

(3.3.3) (3.3.4)

(3.3.5) (3.3.6) (3.3.6) (3.3.6) (3.3.7)

(3.3.8)

Ze składowych takich dwóch tensorów, tak jak w elektrodynamice można zbudować inwarianty : Ĥ = ¼ Faαβ Faαβ = ½ (B2a − E2a ) (3.3.9) Ĝ = – ¼ Faαβ F~aαβ = Ea Ba (3.3.9) Oprócz tego jak łatwo jest się przekonać, przez bezpośredni rachunek, mają miejsce następujące tożsamości : Faµν F~aνλ = δλµ Ĝ (3.3.10) Faµν Faνλ − F~aµν F~aνλ = -2δλµ Ĥ (3.3.10) Z pomocą tych tożsamości przekształcimy wyrażenie dla tensora energii-pędu (3.3.4) : Tαν = - Faνσ Faασ + ¼ ηαν Faνρ Faσρ = - ½ ( Faασ + i F~aασ ) ( Fνaσ − iF~νaσ ) (3.3.11) Jak widać, tensor energii-pędu zeruje się na polach spełniających równości : a). F~aασ = i Faασ b). F~aασ = - i Faασ (3.2.12) nazywanych odpowiednio : a) samodualnym ,b) antysamodualnym. W terminach „natężeniowych” warunki (3.3.12) możemy zapisać w postaci : a) Ban = iEan b) Ban = - iEan Zauważmy, że jednostka urojona w tych warunkach pojawia się na skutek pseudo euklidesowości metryki przestrzeni Minkowskiego, dzięki czemu powtórne zastosowanie operacji dualizacji daje : Faµν = - Faµν Ważną własnością (anty) samodualnych pól jest to, że zapewniają one ekstremum funkcjonału działania i tym samym spełniają równania pola. Sam w sobie warunek (anty) samodualności jest równoważny temu, że odpowiadające pola przedstawiają sobą rozwiązania równań pola Yanga – Millsa, pokażemy, że tak jest w istocie. Na początku należy upewnić się, że tensor dualny spełnia równania pola w sposób automatyczny na mocy swej definicji. Weźmy pochodną ( kowariantną ) : DµF~aµν = ½ εµνλρ (∂µ Faλρ + g εabc Abµ Fcλρ ) = g εµνλρ ∂µ ( Aλb Aρa ) + g εµνλρ εabc Abµ ( ∂λAρc − ∂ ρAλc ) + g2εabc εcdl εµνλρ Abµ Aλd Aρl Pierwsze dwie składowe w powyższym równaniu wzajemnie się znoszą, a ostatnie z udziałem tożsamości : εabc εcdl = δad δbl − δal δbd staje się zerem. Zatem jako dopełnienie do równań Lagrange’a pól Yanga-Millsa (3.2.20) otrzymujemy jeszcze równania : DµF~aµν =0 (3.3.13) które tak samo jak w przypadku maxwellowskim spełnione jest tożsamościowo na mocy definicji tensora energiipędu przez potencjały. Jeśli pola są samodualnymi F~ = iF lub antysamodalnymi F~ = - iF to z równania (3.3.13) wynikają równania pola : Dν Faµν = 0 tj. takie pola w istocie są rozwiązaniami równań polowych i zapewniają ekstremum działania. Względem potencjałów warunki samodualności przedstawiają sobą równania różniczkowe pierwszego rzędu podczas gdy równania Lagrange’a – drugiego rzędu.

8.6 Geometryczne podejście do teorii Y-M. U podstaw prac Yanga, Millsa, Utiyamy i Sakurai’a , którzy po raz pierwszy zajmowali się zagadnieniem pól cechowania, leży stwierdzenie o istotnie lokalnym charakterze wszystkich własności wewnętrznych symetrii cząstek elementarnych. Z tego faktu wynika konieczność zamiany skończonych grup symetrii na odpowiednie grupy lokalne, parametry przekształceń których zmieniają się od punktu do punktu. To daje nam możliwość wprowadzenia nowego obiektu fizycznego – pola cechowania, oddziaływanie z którym zapewnia inwariantność teorii względem lokalnej grupy symetrii. Tym samym zasada lokalnej gauge-inwariantności okazuje się głęboką zasadą fizyczną, pozwalającym wprowadzać oddziaływanie czysto aksjomatycznie i określając jego formę zgodnie z własnościami symetrii danej teorii. Należy zauważyć, że pojęcie inwariantności względem odpowiedniej grupy dla fundamentalnych teorii fizycznych właściwie jest obecna od samego ich początku, jednakże dopiero współcześnie potrafiono „odkodować” jego znaczenie i przejawy fizyczne.

148

Ogólny schemat „autorskiego” rozwoju teorii z cechowaniem

Lokalna inwariantność po raz pierwszy pojawia się w charakterze fundamentalnej zasady w OTW Einsteina. Idee tą podejmuje dalej Weyl , który wprowadza pole EM z wymogu inwariantności tej teorii względem lokalnych tj. zależnych od punktu dylatacji ( rozciągnięć ) : ds’2 = λ(x) ds2 Jednakże swoją ostateczną i dojrzałą postać zasada lokalnej gauge-inwariantności jako fundamentalnej zasady w całej fizyce przyjmuje w pracach Yanga, Millsa, Utiyamy i Sakurai’a. U podstaw każdej współczesnej teorii fizycznej leży określona zasada względności, którą formułujemy w postaci wymogu jej inwariantności względem pewnej i określonej grupy symetrii. Takimi grupami są oczywiście grupa Galileusza, grupa Lorentza i grupa Poincarego – jako grupy symetrii CP ) Zasada lokalnej gauge-inwariantności odzwierciedla głęboki związek pomiędzy uniwersalnością różnorodnych oddziaływań, zachowaniem prądów wektorowych i istnieniem samych tych oddziaływań. Zasada ta określa formę wszystkich oddziaływań - niezależnie od ich fizycznej natury - które można opisać za pomocą pól cechowania i tym samym odkrywa nową drogę do zbudowania jednej i uniwersalnej teorii oddziaływań np. cząstek elementarnych. Współcześnie zasada ta przybrała taką postać, która dopuszcza interpretacje czysto geometryczną. Dzięki temu staje się możliwe rozwiniecie i uogólnienie idei Einsteina o tym, że geometria CP nie jest zadana ad hoc, a jest określona przez oddziaływania ciał i pól fizycznych. Innymi słowy geometria nabiera charakteru dynamicznego i efektywnie odzwierciedla wpływ na wydzieloną cząstkę próbną ( lub pole ) całej pozostałej materii w świecie. Geometryzacja pól cechowania pokazała, że 4-wymairowa CP Riemanna, jest tylko przypadkiem szczególnym możliwej dynamicznej geometrii. Dowolnemu polu cechowania odpowiada geometria przestrzeni rozwłóknionej, otrzymywanej ze standardowej CP poprzez zamianę jej punktów na „wewnętrzne” przestrzenie, w których działa grupa cechowania. Zatem klasyczna teoria pól cechowania staje się teorią czysto geometryczną, podobną do OTW. Tym samym pojawia się możliwość zjednoczenia w ogólnej teorii geometrycznej różnorodnych oddziaływań ( silnych, słabych i EM ). W przestrzeni rozwłóknionej ruch cząstek próbnych oddziałujących z pewnym polem cechowania, staje się ruchem swobodnym. Tym samym tak, jak w OTW wyeliminowany zostaje podział ruchów na inercjalne i nieinercjalne.

149

To pozwala opisać pole cechowania za pomocą prostych pojęć geometrycznych ( współczynników koneksji i tensorów krzywizny ) Potencjały wektorowe Aµa odgrywają rolę współczynników koneksji, przestrzeni rozwłóknionej, a tensor natężenia Fµνa – role tensora krzywizny tej przestrzeni. CP odgrywa rolę bazy przestrzeni rozwłóknionej, włóknem jest przestrzeń grupowa grupy cechowania. Opis geometryczny oddziaływań pozwala po pierwsze w naturalny sposób zunifikować symetrie wewnętrzne i CP, po drugie znaleźć naturalne kryteria dla wyboru formy lagranżjanów oddziałujących pól, ponadto umożliwia klasyfikacje rozwiązań klasycznych pól cechowania.

........................................................ 1.1 Wprowadzenie. W ostatnich latach obserwuje się odrodzenie wzajemnego wpływu geometrii i fizyki. Po długiej przerwie, w czasie której i matematycy i fizycy jawnie szli swoimi niezależnymi drogami, obecnie wyraźnie widzimy zbliżenie ich wzajemnych interesów. Okazało się, ze w przeszłości w matematyce i fizyce badano bliskie zagadnienia, jednakże nie istniały dla nich, ani ogólne podejścia, ani wspólny język. Teraz naprawiono ten problem z pomocą teorii z cechowaniem ( teoria cechowania jest synonimem teorii koneksji ), która dała odpowiedni fundament matematyczny dla wielu pojęć fizycznych i wypełniła sensem fizycznym wiele pojęć czysto matematycznych. Wcześniej geometria i fizyka oddziaływały na poziomie fizyki klasycznej jak np. w OTW Einsteina, gdzie siły grawitacyjne interpretowane były z użyciem pojęcia krzywizny koneksji riemannowskiej. Nową i charakterystyczną cechą obecnego oddziaływania jest włączenie do niego teorii kwantowej, przy czym okazuje się, ze teoria kwantowa jest silnie związana z topologią. Zatem, w tym kontekście, geometria wykorzystywana jest globalnie, a nie czysto lokalnie. Nieoczekiwaną okolicznością takiego nowego rozwoju oddziaływania geometrii i fizyki jest ujawnienie tego iż teoria kwantowa, jak się wydaje jest związana z głębokimi własnościami geometrii w małych wymiarach tj. w wymiarach 2, 3, 4. I tak zdumiewające wyniki jakie osiągnął Donaldson w związku z badaniami czterowymiarowych rozmaitości i bliska ku nim teoria Floera związana z trójwymiarowymi rozmaitościami są ściśle związane z teorią Yanga-Millsa. W jawnej postaci związek ten ustanowił Witten w pracy „Topological quantum field theory” (1988) w której teoria Donaldsona-Floera interpretowana jest jako topologiczna kwantowa teoria pola (TQFT ) na czterowymiarowej przestrzeni Minkowskiego. Nieco inna sytuacja pojawiła się w związku z niedawnym odkryciem przez W. Jonesa wielomianowych inwariantów węzłów. Inwarianty te można związać z fizyką na różnych drogach, jednakże najbardziej fundamentalna z nich została pokazana przez Wittena, który pokazał, że inwarianty Jonesa posiadają naturalną interpretacje z użyciem pojęć TQFT na trójwymiarowej przestrzeni Minkowskiego. ....

1.2 Teorie z cechowaniem Prototypem wszystkich teorii z cechowaniem jest teoria pola EM. Z geometrycznego punktu widzenia potencjał EM aµ ( µ = 1, ... , 4 ) określa koneksje w rozwłóknieniu o włóknie U(1) nad przestrzenią Minkowskiego M. Pole sił EM jest krzywizną takiej koneksji i zadane jest wzorami : fµν = ∂µ aν − ∂ν aµ ( ∂µ = ∂/∂xµ ) Równania Maxwella w próżni przyjmują postać : df = 0 , d*f = 0 gdzie f = { fµν } rozpatrywana jest tutaj jako 2-forma różniczkowa , d- jest operatorem różniczkowania zewnętrznego, d* - operator sprzężony do operatora d ( względem metryki Minkowskiego ) Nieabelowe teorie z cechowaniem otrzymujemy zamieniając grupę U(1) na zwartą nieabelowa grupę Liego, np. SU(n). Potencjał − jest to koneksja A w głównym G- rozwłóknieniu nad przestrzenią Minkowskiego M o składowych Aµ należących do algebry Liego grupy Liego G, a odpowiadającym polem jest krzywizna FA tej koneksji o składowych : Fµν = ∂µ Aν − ∂νAµ + [ Aµ , Aν ]

150

Bezpośrednim uogólnieniem równań Maxwella są następujące równania Yanga-Millsa : dFA = 0 , d*FA = 0 Teorie z cechowaniem posiadają nieskończenie wymiarową grupę symetrii, która składa się z funkcji g:M→G i wszystkie fizyczne lub geometryczne własności są gauge-inwariantami wskazanej grupy symetrii. Standardowo dla sformułowanie teorii fizycznej zadaje się określony lagranżjan lub działanie. Taki funkcjonał od różnych pól określa z pomocą całkowania po przestrzeni Minkowskiego określoną gęstość lagranżjanu. Przykładowo, dla skalarnej teorii pola, w której polami są funkcje skalarnej ϕ, najprostszy lagranżjan zadany jest przez całkę : L(ϕ) = ∫ | grad ϕ |2 dx µ gdzie norma gradientu i objętość określone są za pomocą metryki Minkowskiego. Dla teorii Y-M lagranżjan ma postać : L(A) = ∫ | FA |2 dx µ dla określenia normy krzywizny wykorzystujemy tutaj inwariantną metrykę na grupie Liego G. .... Lagranżjan Yanga-Millsa. 1. Wprowadzenie fizyczne. W ogólnym podejściu celem KTP jest umieszczenie wszystkich cząstek elementarnych w takich samych ramach jakich ujęte są fotony. Ponieważ fotony pojawiają się jako kwanty klasycznej teorii EM, pozostałe cząstki elementarne również powinny się pojawiać przy skwantowaniu odpowiednich klasycznych teorii pola. W ostatnich latach okazało się, że najbardziej obiecującymi kandydatami są teorie z cechowaniem, a jako uogólnione równanie Maxwella ( w próżni ) służą równania Y-M. Uogólnieniem grupy okręgu, odpowiadającej czynnikowi fazowemu w teorii Maxwella jest pewna nieabelowa zwarta grupa Liego G, taka jak SU(2) lub SU(3) – wybór konkretnej grupy dyktowany jest przez eksperymentalnie obserwowane symetrie cząstek elementarnych. Nieabelowość grupy G prowadzi do nieliniowości równań Y-M. Oczywiście taka nieliniowość jest źródłem poważnych trudności matematycznych przez co kwantowanie nieabelowych teorii z cechowaniem znajduje się wciąż na etapie początkowym. Jednym z uznanych podejść do teorii kantowej jest wykorzystanie feynmannowskiej całki po trajektoriach, które zakłada całkowanie wyrażenia typu exp(iS ), gdzie S – działanie. Przy przedłużeniu analitycznym na czas urojony, przestrzeń Minkowskiego zamienia się na czterowymiarową przestrzeń Euklidesa. Działanie euklidesowe jest dodatnie i jest krotnością i, dlatego wyrażenie podcałkowe exp(iS )zanika ekspotencjalnie, przy czym jego maksimum przypada na minimum działania. Dlatego uzasadnionym zagadnieniem jest znajdowanie takich konfiguracji pól klasycznych w przestrzeni Euklidesa, które minimalizują działanie i spełniają odpowiednie warunki asymptotyczne. Takie klasyczne rozwiązania w teorii Y-M znane są jako instantony, podstawowym celem niniejszych wykładów jest pokazanie jak znaleźć wszystkie instantony. ... Z ogólnego punktu widzenia możemy również powiedzieć, że pełne zrozumienie równań klasycznych posłuży nam być może, jako podstawa dla rozwinięcia teorii kwantowej i przy tym można mieć nadzieje, ze ważne własności strukturalne będą przejawiały się już na poziomie klasycznym. Jeśli ab initio poszukiwać uogólnionych równań Maxwella w celu opisu cząstek elementarnych, to należałoby wymagać, aby spełnione były różne warunki symetrii takie jak : i) symetrie zewnętrzne – symetrie względem grupy Lorentza i Poincarego lub jeśli masa spoczynkowa jest równa zero – to względem grupy konforemnej. ii) symetrie wewnętrzne – symetrie względem grupy typu SU(2) lub SU(3), zgodnie ze znanymi własnościami cząstek elementarnych. iii) kowariantność lub możliwość uwzględnienia grawitacji w przypadku zakrzywionej CP. Teorie z cechowaniem spełniają takie podstawowe wymagania, ponieważ są one geometryczne w swoim charakterze. W istocie z matematycznego punktu widzenia teoria z cechowaniem, jest bardzo rozbudowanym działem geometrii różniczkowej, znanej jako teoria rozwłóknień z koneksją. Ma ona dużo cech wspólnych z geometrią riemannowską, którą Einstein umiejscowił u podstaw swojej OTW. Jak wiadomo, Einstein spędził wiele lat na bezpłodnych poszukiwaniach jednolitej teorii pola, którą większość fizyków uważał za chimerę. Jeśli pokładane obecnie w teorii Y-M nadziej okażą się ostatecznie uzasadnione, to w pewnej mierze potwierdzi to punkt widzenia Einsteina, zgodnie z którym wszystkie prawa fizyki powinny być zunifikowane w formie geometrycznej.

151

Teoria cechowania po raz pierwszy pojawiła się w fizyce przy okazji prób podejmowanych przez H. Weyla zunifikowania OTW i elektromagnetyzmu. Weyl ujawnił konforemną inwariantność równań Maxwella i dążył do wykorzystania tego faktu, interpretując pole maxwellowskie jako zaburzenie relatywistycznej długości, powodowane przez ruch po zamkniętej trajektorii. Interpretacja Weyla została skrytykowana przez Einsteina i właściwie nigdy nie była powszechnie uznana. Jednakże wraz z zbudowaniem MQ wraz z wiodąca w niej rolą zespolonych funkcji falowych, stało się jasne, że adekwatnym pojęciem dla równań Maxwella jest faza a nie skala. Lub mówiąc, współczesnym językiem, grupa cechowania – jest to okrąg, a nie multiplikatywna grupa liczb. Niestety, podczas gdy zmianę skali można było umieścić w ramach teorii Einsteina, zamieniając metrykę na strukturę konforemną, włączenie do niej fazy wydaje się niemożliwe. Prędzej rolę takiej dodatkowej struktury na CP powinna spełniać teoria z cechowaniem, ale wtedy unifikacja do której dążył Weyl zostaje zaburzona. Nieabelowe teorie z cechowaniem zostały wprowadzone w 1954 roku przez Yanga i Millsa i do tej pory są aktywnie badane przez fizyków. Związek pomiędzy nimi, a matematyczną teorią przestrzeni rozwłóknionych, albo był ignorowany, albo przyjmowana, ze nie odnosi się do istoty tej teorii, było tak aż do niedawna, kiedy to na pierwszy plan wysunięto zagadnienia wychodzące poza ramy teorii zaburzeń, związane z instantonami. Matematycznie odnoszą się one do globalnych zagadnień teorii rozwłóknień, zawierającym i topologię i analizę w odróżnieniu od czysto lokalnej teorii klasycznej geometrii różniczkowej. Dla badania takich globalnych zagadnień wprowadza się wiele zaawansowanych rozdziałów współczesnej geometrii, jednakże rozwijana przez matematyków technika nie jest szerzej znana fizykom. ...

2. Potencjały cechowania i pola. Na początku podamy pewne wiadomości z klasycznej teorii pola – tak jak rozumieją je fizycy, a następnie podamy ich geometryczną interpretacje. Rozpoczniemy od tego, że ustalimy pewną zwartą grupę Liego G. Zazwyczaj jest to SU(2) lub SU(3), nie wykluczamy również grupy U(1). Rozpatrzmy algebrę Liego L(G) grupy G. Dla SU(2) składa się ona z skośnie hermitowskich n ×n macierzy o zerowym śladzie. Potencjał cechowania – jest to zbiór funkcji Aµ(x) o wartościach w L(G), gdzie x = ( x1 , ... , x4 ) – jest punktem w przestrzeni Euklidesa lub Minkowskiego, µ = 1, ... , 4 – indeks przestrzenny. Wraz z tym potencjałem rozpatrzmy operator : ∇µ = ∂µ + Aµ gdzie ∂µ = ∂/∂xµ Operator ten działa na funkcje wektorową ( f1(x) , ... fm(x)), jeśli zadano pewną m-wymiarową reprezentacje grupy G. Przykładowo, dla G = SU(2) można wziąć m = n i wykorzystać reprezentacje standardową Obliczając komutator operatorów ∇µ i ∇ν otrzymujemy pole cechowania Fµν zadane przez zależność :

Fµν = [ ∇µ ,∇ν ] = ∂µ Aν − ∂ν Aµ + [ Aµ , Aν ] Gdzie [ ∇µ ,∇ν ] – jest komutatorem w algebrze Liego grupy G. Ważne jest zauważyć, że dla nieabelowej grupy G taki komutator nie jest równy zero i dlatego funkcja F jest nieliniowa po A. W przypadku G = U(1), składowa taka nie występuje i otrzymujemy standardowy liniowy związek między polem i potencjałem wektorowym, charakterystyczny dla teorii Maxwella. Standardowa niejednoznaczność potencjału znajduje swój wyraz w przypadku ogólnym w postaci przekształceń cechowania. Zgodnie z definicją przekształcenie cechowania jest to funkcja g(x), przyjmująca wartości w grupie G i przekształcająca potencjał Aµ zgodnie ze wzorem : Aµ → g−1 Aµ g + g−1 ∂µ g Co odpowiada przejściu od ∇µ do g−1∇νg ( rozpatrujemy tutaj G jako grupę macierzy, tak, że ∂µg – jest macierzą złożona z pochodnych ). Pole cechowania Fµν przekształca się wtedy następująco : Fµν → g−1 Fµν g Ważna obserwacja polega na tym, że wielkości Aµ przekształcają się niejednorodnie, podczas gdy wielkości Fµν przekształcają się jednorodnie. Innymi słowy Fµν - jest obiektem typu tensorowego, a Aµ - obiektem typu afinicznego ( nie wyróżniającym zera )

152

Geometrycznie lub mechanicznie możemy to interpretować następująco. Wyobraźmy sobie cząstkę o pewnej strukturze tj. cząstkę znajdującą się w punkcie x przestrzeni R4 posiadającą strukturę wewnętrzną lub pewien zbiór stanów numerowany przez elementy g grupy G. Rozpatrzmy teraz pełną przestrzeń P wszystkich stanów takiej cząstki. Mówiąc ogólnie, wyobrażamy sobie przestrzenie wewnętrzne Gx i Gy dla x ≠ y, jako nie tożsame i dlatego przestrzeń P przybiera obraz „włókien.

Jednakże w przypadku niewystępowania jakiegoś pola zewnętrznego przyjmujemy, że wszystkie przestrzenie Gx można utożsamić między sobą, tak że w dopełnieniu do linii pionowych lub włókien, możemy narysować jeszcze linie horyzontalne ( nazywane przekrojami ), otrzymując standardowa siatkę kartezjańską

Teraz wyobraźmy sobie, że nałożono pewne pole zewnętrzne, którego działanie narusza wzajemne ułożenie włókien, tak że staje się nie możliwe poprzednie utożsamienie przestrzeni Gx w różnych punktach. Jednakże zakładamy, przy tym ,że przestrzenie Gx i Gy cały czas możemy utożsamić, jeśli wybierzemy pewną określona drogę w R z punktu x do punktu y. W języku bardziej fizycznym, wyobrażamy sobie, że cząstka porusza się z punktu x do punktu y i przemieszczamy jej przestrzeń wewnętrzną razem z nią. W przestrzeni Minkowskiego taki ruch następowałby wzdłuż linii świata cząstki. Takie utożsamienie włókien wzdłuż dróg nazywa się „przeniesieniem równoległym”. Jeśli teraz mamy dwie różne drogi, łączące punkty x i y, to nie ma żadnych podstaw przyjmować, że odpowiadające im przeniesienia równoległe pokrywają się. Zakładamy, że różnią się one o pewien czynnik należący do grupy – czynnik ten należy rozpatrywać jako uogólnione „przesunięcie fazy”. Takie przesuniecie interpretowane jest jako wynik działania pola zewnętrznego. W języku geometrycznym rozpatrujemy go jako „krzywiznę” lub zakrzywienie rozwłóknienia nad obszarem, ograniczonym takimi dwiema drogami. Przechodząc do nieskończenie małych w stylu newtonowskim, otrzymamy infinitezymalne przeniesienie równoległe w punkcie x w danym kierunku. Takie infinitezymalne przesunięcie A włókna Gx w włókno sąsiednie nazywa się koneksją. Infinitezymalna krzywizna F zależy od pary kierunków w punkcie x i przyjmuje wartości w algebrze Liego grupy Gx tj. jest infinitezymalnym „przesunięciem fazy”. Tak jak zwykle infinitezymalny obraz tj. koneksje, można scałkować, otrzymując obraz globalny przeniesienia równoległego wzdłuż krzywych – takie dwa punkty widzenia są matematycznie równoważne. Jeśli porównany teraz taki obraz z sytuacją, kiedy pola nie występowało i wszystkie włókna Gx zgodnie można było utożsamić, to przeniesienie równoległe można rozpatrywać jako zmiana fazy w ustalonym egzemplarzu grupy Gx, a koneksje – jako element Aµ(x) algebry Liego, zależny od punktu x i µ-tego kierunku. Zatem, w języku fizycznym, powracamy do potencjału cechowania. Analogicznie krzywizna F przekształca się w pole cechowania Fµν(x), przyjmujące wartości w ustalonej algebrze Liego grupy G. Zatem krzywiznę F można rozumieć jako zakrzywienie, generowane przez pole zewnętrzne lub też można ją utożsamić z samym tym polem, jeśli przyjmować takie pole siły jako obiekt, mierzalny poprzez jej lokalne oddziaływanie. Takie utożsamienie pól z geometrycznym zakrzywieniem, oczywiście stanowi istotę einsteinowskiej teorii grawitacji. Teraz różnica polega na tym, ze zakrzywienie ma miejsce nie w geometrii CP, a w geometrii pewnej wyobrażonej przestrzeni 153

stanów struktury wewnętrznej, nakładanej na CP. Takie odróżnienie sprawia, ze geometria takiej przestrzeni jest mniej oczywista i poglądowa i historycznie i fizycznie jak również matematycznie geometria przestrzeni rozwłóknionych pojawia się znacznie później niż geometria CP. Jednakże ciekawe jest to, że zarówno matematycy jak i fizycy ( ci i c, oczywiście osiągnęli to własnymi drogami ) doszli niezależnie do budowy i badania takich obiektów, naturalnie pojawiających się w różnorodnych kontekstach. Mimo, że historycznie pojawiła się późno, geometria rozwłóknień opisanego powyżej typu jest technicznie dużo prostsza niż geometria Reimanna-Einsteina. Przyczyna takiego faktu polega na tym, ze w naszej teorii występuje skończona grupa G, podczas gdy w geometrii Riemanna mamy do czynienia z grupą wszystkich przekształceń współrzędnych. Aby wyjaśnić taką okoliczność, powrócimy do naszego rozwłóknienia i zbadamy jego związek z teorią pól z cechowaniem. Aby opisać naszą geometryczną koneksje w języku algebraicznym, porównamy nasze przeniesienie równoległe z sytuacją, kiedy pole nie występuje. Wcześniej wykorzystywaliśmy zgodnym utożsamieniem wszystkich włókien Gx, obecnie należy podkreślić, że taka zgodność oznacza właśnie niewystępowanie pola, ale konkretny wybór uzgodnionego utożsamienia wciąż pozostaje w naszej dyspozycji. Konkretny taki wybór nazywa się wyborem cechowania, a zamiana jednego takiego wyboru na inny – jest to przekształcenia cechowania. Dla poglądowości nasze rozwłóknienie przedstawimy jako dwa różne zbiory horyzontalnych, a ich zamianą opiszemy przez funkcje gx , przyjmująca wartości w grupie G. Żaden konkretny wybór nie jest wyróżniony ( niezależnie od postaci obrazka ! ). Po tym jak wybrano cechowanie, koneksja i krzywizna może być zapisana w postaci współrzędnościowej. Grupa przekształceń cechowania odgrywa rolę analogu grupy przekształceń współrzędnych w geometrii riemannowskiej. Ponieważ obecna teraz grupa jest istotnie prostsza, to geometria rozwłóknienia jest teorią znacznie prostszą, w pewnym sensie jest ona „mniej nieliniowa”.

Należy również podkreślić, że koneksja jest określonym obiektem geometrycznym, istotniejszym niż krzywizna. Jako tego następstwo potencjał cechowania należy rozpatrywać jako obiekt bardziej istotny niż samo pole cechowania. Znajduje to swoje fizyczne potwierdzenie również w elektromagnetyzmie. Eksperyment pokazuje, że pole może być tożsamościowo równe zero, ale cały czas istnieją określone fizyczne następstwa tego faktu, ze przeniesienie równoległe może być operacją nietrywialną jeśli obszar przestrzeni jest niejednospójna. Zerowanie się krzywizny daje informacje tylko o przeniesieniu równoległym po bardzo małych konturach. W terminologii fizycznej przeniesienie równoległe, mówiąc ogólnie, opisywane jest z użyciem niecałkowalnych czynników fazowych. Lokalnie taka niecałkowalność związana jest z tym, ze pole nie jest równe zero, podczas gdy niecałkowalność w dużej skali ma charakter własności topologicznych ( np. obejście wokół solenoidu ) i może pojawiać się nawet dla pól zerowych ( na zewnątrz solenoidu ). Klasycznie, potencjały zostały wprowadzone jako pewne matematyczne uproszczenie równań pola, a niejednoznaczności (swoboda cechowania ) w wyborze potencjału rozpatrywana była jako wskazanie na to, że potencjał nie jest istotny fizycznie. Geometryczny punkt widzenia pokazuje, ze jest to bardzo ograniczona interpretacja. Koneksja jest obiektem geometrycznym, a to oznacza, ze potencjał należy rozpatrywać jako obiekt fizyczny. Niefizyczny jest wybór cechowania, w którym zamierzamy opisywać potencjał, jest to zgodnie z faktem iż geometryczne rozwłóknienie w którym działa koneksja, nie posiada naturalnych cieć horyzontalnych. Uwagi o dominującej roli potencjału nabiorą większej treści, kiedy tylko omówimy równania pola w ogólnym nieabelowym przypadku. Do tej pory mówiliśmy tylko o rozwłóknieniach, w których włókno jest grupą G. W geometrii różniczkowej takie rozwłóknienia nazywa się rozwłóknieniami głównymi. W zastosowaniach zazwyczaj interesujemy się jednak rozwłóknieniami stowarzyszonymi, w których włókno jest to przestrzeń wektorowa Cn, odpowiadająca reprezentacji grupy G. Znowu typowym w tym przypadku jest przypadek G = U(n). Obraz geometryczny jest tutaj w zasadzie analogiczny : rozpatrujemy przestrzeń ( rozwłóknienie wektorowe ) E, rozwłóknienie nad R4 tak, ze włókno Ex wyobrażamy jako przestrzeń wektorową, gładko zależną od x. Przeniesienie równoległe z punktu x do punktu y rozpatrujemy jako unitarne przekształcenie przestrzeni Ex w przestrzeń Ey. 154

Zatem, przeniesienie równoległe w rozwłóknieniu głównym podnosimy do przeniesienia równoległego w rozpatrywanym rozwłóknieniu wektorowym. To samo odnosi się do krzywizny i koneksji. W szczególności cięcie tego rozwłóknienia wektorowego tj. funkcja f(x) określona jest na R4 i przyjmuje wartości w przestrzeni wektorowej Ex, myśląc w kategorii jej wykresu. Koneksja pozwala przesuwać ten wykres infinitezymalnie w danym kierunku w R4. Przesunięcie takie jest w istocie pochodną kowariantną ∇µf. Takie pojęcie geometryczne nie zależne jest od wyboru cechowania. Wybierając konkretne cechowanie, możemy zapisać algebraicznie funkcje wektorowa f = ( f1(x), ... , fn(x)), a pochodna kowariantna zadana jest wtedy jawnie wzorem (2.1). Krzywizna Fµν, określona jest jako komutator [ ∇µ ,∇ν ] i ponownie okazuje się wielkością geometryczną w swoim charakterze, ale występuje teraz jako ( algebraiczny ) operator na cieciach rozwłóknienia wektorowego.

3. Równania pola. Obecnie wprowadzimy równania pola dla teorii z cechowaniem. Równania te będą uogólniać równania Maxwella. W układzie jednostek, w których prędkość światła jest równa 1, z użyciem pochodnej kowariantnej ∇µ równania te można zapisać z pomocą komutatorów : [ ∇µ , [ ∇ν ,∇σ ]] + [ ∇ν , [∇σ , ∇µ ]] + [ ∇σ , [ ∇µ ,∇ν ]] = 0 (3.1)

[ ∇µ , [ ∇µ ,∇ν ]] = 0

(3.2)

W (3.2) sumujemy po µ i w przestrzeni Minkowskiego składowa odpowiadająca składowej czasowej ma znak minus ( podczas gdy dla analogu euklidesowego wszystkie znaki są dodatnie ). Takie dwa równania, zawierające potencjał, są zupełnie różne co do swojego charakteru, ponieważ pierwsze z nich – jest tożsamością ( tożsamość Bianchi w geometrii różniczkowej ) i tylko drugie równania – równanie YangaMillsa- nakłada określony warunek na potencjał. Dla G = U(1) równania te zapisane z użyciem pola Fµν , przedstawiają sobą równania Maxwella w próżni. W tym przypadku pierwsze równanie jest w istocie warunkiem całkowalności pola Fµν. Mówi ono, że ( w skrajnym przypadku lokalnie ) możemy wprowadzić potencjał Aµ tak, że : Fµν = ∂µAν − ∂νAµ Dla grupy nieabelowej G nie można zapisać takich równań z użyciem tylko jednego pola Fµν ,ponieważ pochodne

kowariantne ∇µ zawierają jawnie potencjał Aµ. To jeszcze raz świadczy wagę roli potencjału względem roli samego pola. Równanie Y-M (3.2) otrzymujemy z lagranżjanu L, zadanego poprzez wycałkowaną po R4 gęstość Lagrange'a, która jest inwariantnie określonym wyrażeniem kwadratowym od krzywizny. W przypadku G = U(1) lub SU(n) przyjmujemy ( z dokładnością do stałego czynnika ) : L = − ½ ∫ Tr ( Fµν Fµν ) dx1 dx2 dx3 dx4 (3.3) Gdzie Fµν otrzymujemy z Fµν w standardowy sposób – indeksy podnosimy za pośrednictwem standardowego tensora metrycznego CP Minkowskiego lub przestrzeni Euklidesa, a sumowanie prowadzimy po wszystkich µ, ν. Równania (3.2) są to odpowiednie równania Eulera-Lagrange’a. WE wzorze (3.3) stoi znak minus, dlatego w przypadku euklidesowym otrzymujemy dodatni lagranżjan – istota tego tkwi w tym fakcie, że forma Tr (AB ) jest określona dodatnio na algebrze Liego grupy U(n). Dla innych grup Liego można albo wykorzystać włożeniem w U(1) albo ( sposób bardziej wewnętrzny ) zamienić Tr (AB) 155

Na formę Killinga, będąca standardową inwariantną formą biliniową na L(G) : oba te sposoby dają jedną i tę samą odpowiedź, z dokładnością do dodatniego czynnika liczbowego. W przypadku euklidesowym lagranżjan można rozpatrywać jako naturalną L2 –normę krzywizny tj. całkę po R4 od sumy kwadratów wartości absolutnych wszystkich jej składowych a standardowej ortounormowanej bazie. Bardziej inwariantnie możemy to zapisać w następujący sposób. Na początku przypomnijmy, że antysymetryczny tensor σµν odpowiada 2-formie : α = ½ Σ αµν dxν ∧ dxµ = Σ αµν dxν ∧ dxµ

ν,µ µ = ∫ α ∧ *β R4 Gdzie ∧ oznacza iloczyn zewnętrzny I daje tutaj 4-formę tj. formę objętości, którą można dalej przecałkować. Przechodząc teraz do krzywizny F, reprezentowanej prze 2-formę o wartościach w algebrze Liego L(Gx ), w ten sam sposób określamy *F, przestawiając indeksy przestrzenne i nie zaburzając zmiennych z algebry Liego. Następnie podstawiamy : || F || = < F, F > = − ∫ Tr ( F ∧ *F ) (3.4) jest to właśnie inwariantny sposób zapisu lagranżjanu. Równanie (3.1) mówi, że pochodna kowariantna 2-formy F, będącej antysymetryczną, jest równa zero lub symbolicznie : ∇∧F=0 (3.5) Wykorzystując operator dualności *, widzimy, że (3.2) możemy wtedy zapisać w postaci : ∇ ∧ *F = 0 (3.6) Taki sposób zapisu lagranżjanu i równania Y-M jawnie demonstruje ich własności inwariantności i kowariantności. Po pierwsze, równania te mają sens w zakrzywionej ( riemannowskiej ) czterowymiarowej przestrzeni, ponieważ operator * wykorzystuje tylko infinitezymalną dualność. Po drugie, operator * na 2-formach w czterowymiarowej przestrzeni jest konforemnie inwariantny w tym sensie, że dwie metryki ds2 i ρ(x)ds2 dają jeden i ten sam operator *. Zatem, równanie Y-M ( i lagranżjan Yanga-Millsa ) zależy tylko od konforemnej struktury czterowymiarowej przestrzeni. Co oznacza, że taka ważna własność teorii Maxwella jest zachowań również w przypadku nieabelowym. Jak już wyjaśniliśmy, pozorna symetria lub dualność między (3.5) i (3.6) jest zdradliwa, chociaż w teorii Maxwella odzwierciedla ona dualność pomiędzy elektrycznością i magnetyzmem i podejmowane były próby zrozumienia jej nieabelowego analogu. Jest to głębokie zagadnienie i odpowiednie zrozumienie takiej dualności będzie być może osiągnięte tylko na poziomie kwantowym. Na poziomie klasycznym, możemy zauważyć jedynie elementarne następstwo równań (3.5) i (3.6), a dokładnie to, ze (3.6) wynika z tożsamości (3.5), jeśli pole F, spełnia jedno z poniższych równań : *F = F ( autodualność ) (3.7) *F = −F ( antyautodualność ) (3.8) Zatem, otrzymujemy tutaj nieliniowe równania pierwszego rzędu dla potencjału, z których wynikają równania YM drugiego rzędu. Jak się dalej przekonamy równania te mają bardzo prosta postać w przypadku euklidesowym. Zauważmy, że definicja operatora * zawiera wybór orientacji w R4 ( uporządkowania współrzędnych x2 , ... , x4 ) i (3.7), (3.8) zamieniają się przy zmianie orientacji. Dlatego między takimi dwoma przypadkami nie ma istotnej matematycznej różnicy.

........................................................ The geometry and physics of knots – M. Atiyah ; Cambridge 1990

******************************************************************************************

156

IX Spontaniczne naruszenie symetrii i mechanizm Higgsa. Zjawisko spontanicznego naruszenia symetrii cechowania – globalnej i lokalnej, jest kluczowe dla konstrucji Modelu Standardowego cząstek elementarnych. Standardowo zjawisko takie omawia się dla pól skawantowanych tj. w kwantowej teorii pola, gdzie zjawisko to opisuje się ogólnie jako sytuacje w której „symetria próżni tj. stanu o najmniejszej energii pola skwantowanego, jest mniejsza od symetrii wejściowej teorii – wejściowego lagranżjanu”. W klasycznej teorii pola stanowi próżni odpowiada rozwiązanie klasycznych równań ruchu, które posiada najniższą energię. W KTP teoria pola, która posiada symetrie, posiada jakgdyby dwa jej „oblicza”, pirerwsze, to fakt, że symetrię posiada odpowiadający jej lagranżjan, a drugie, to fakt, że symetrię (tego samego rodzaju ) posiada stan próżniowy. Spontaniczne złamanie symetrii może dotyczyć zarówno symetrii globalnej i w tym przypadku mamy do czynienia z sytuacją w której takiemu złamaniu symetrii odpowiadają pewne pola bezmasowe – pola Goldstone’a, (na poziomie kwantowym są to bozony Goldstone’a ), jak i symetrii lokalnej, której złamaniu odpowiada sytuacja, w której pewne pola bezmasowe stają się masowymi – mówimy o tzw. mechanizmie Higgsa – pola cechowania nabywają masy przez „zjedzenie” pól Goldstone’a i przy tym pojawia się bozon Higgsa. Mechanizmy tego rodzaju tj. pojawienie się pól bezmasowych i masowych jako konsekwencje zjawiska spontanicznego naruszenia symetrii odegrały fundamentalną rolę w skonstrułowaniu modeli teorii oddziaływań słabych, a potem silnych (model WSG – Weinberg –Salam –Glashow ). Ogólnie ujmując fakty, we wczesnych latach 70-tych XX wieku przy próbach konstrukcji teorii oddziaływań słabych okazało się, że bozony wektorowe, które są nośnikami oddziaływań słabych są cząstkami masywnymi, co stało w jawnej sprzeczności z faktem ich bezmasywności wynikającym z teorii Y-M. A jak wiemy tooria pól Y-M była filarem na jakim budowano polowe teorie cząstek elementarnych. Dodanie członu masowego do lagranżjanu takiego oddziaływania o postaci ½ m 2 Wµ2 naruszało inwariantność W cechowania lagranżjanu w ramch teorii pól nieabelowych (to jeszcze nie byłoby takie problematyczne, problemem jest nierenormalizowalność takich teorii ). Wyjściem z patowej sytuacji okazało się wprowadzenie zjawiska spontanicznego naruszenia symetrii. Symetria może być naruszona spontanicznie jak i nie spontanicznie. Przykładem naruszenia symetrii jest nieinwariantność lagranżjanu, a zatem i równań pola, względem przekształceń parzystości P, w oddziaływaniach słabych. Złamanie takiej symetrii jest związane z faktem, że lagranżjan oddziaływania słabego zawiera cząstki zarówno skalarne jak i pseudoskalarne, dlatego też jest on nie inwariantny względem odbić przestrzennych. O spontanicznym naruszeniu symetrii w ramach KLTP, mówimy wtedy, kiedy lagranżjan jest symetryczny względem pewnej grupy przekształceń G, a rozwiązania równań pola wynikające z takiego lagranżajnu, są symetryczne względem pewnej podgrupy H grupy G. W ramch KTP – mówimy o nieinwariantności stanu próżni. W charakterze przykładu rozpatrzymy ferromagnetyk. Oddziaływanie atomów w ferromagnetyku jest oddziaływaniem spin-spinowym : H = − Σ Jij Si Sj i,j które jest skalarem, zatem jest inwariantem względem obrotów. Jednakże stan podstawowy – jest to stan, w którym wszystkie spiny ( w granicy jednej domeny ) mają jeden kierunek, tak jak to pokazuje rysunek 9.1

Rys. 9.1 Powiązanie spinów w ferromagnetyku. Taki stan, jest oczywiście nie inwariantny względem obrotów. Skierowanie spontanicznego namagnesowania jest przypadkowe i wszystkie zdegenerowane stany podstawowe mogą być otrzymane z danego stanu za pomocą obrotu. Spontaniczne namagnesowanie znika przy wysokich temperaturach T, kiedy stan podstawowy jest symetryczny ( tj. orientacja atomów staje się przypadkowa )

157

Aby zilutrować zjawisko spontanicznego naruszenia symetrii zazwyczaj rozpatruje się jakieś jego szczególne przypadki. I tak możemy rozpatrywać np. : złamanie dyskretnej symetrii globalnej złamanie ciągłej symetrii globalnej → zwiazanej z grupą np. U(1), SU(2) złamanie dyskretnej symetrii lokalnej złamanie ciągłej symetrii lokalnej → zwiazanej z grupą np. U(1), SU(2)

Przypadek 1. Globalna symetria dyskretna. Rozpatrzmy klasyczny przykład - lagranżjan rzeczywistego pola skalarnego ϕ(x) : £ = ½ (∂µϕ )2 – ¼ λ2 (ϕ2 – η2 )2 gdzie λ, η – pewne stałe rzeczywiste. Hamiltonian ma postać : H = ½ (∂ϕ/∂t )2 + ½ (∂ϕ/∂x )2 + ½ λ2ϕ2 + ¼ η2ϕ4 Lagranżjan (9.1) posiada człon potencjalny o postaci : V(ϕ) = ¼ λ2 (ϕ2 – η2 )2

(9.1)

(9.1a) (9.2)

Zależność V od pola ϕ pokazano na rysunku 9.2

Rys. 9.2 Potencjał ten jest oczywiście symetryczny przy zamianie ϕ → −ϕ. Jednakże rozwiązanie ϕ = 0, które jest również symetryczne względem takiej zamiany, jest niestabilne, ponieważ nie odpowiada mu minimum energii potencjalnej. Jak widać z rysunku 9.2 układowi „wygodniej” jest zająć stany ϕ = +η lub ϕ = –η, w których energia oddziaływania jest minimalna (dla pól stacjonarnych hamiltonian jest wtedy równy zero ). Jednakże żaden z tych stanów podstawowych nie posiada wejściowej symetrii, dlatego też następuje tutaj zjawisko spontanicznego naruszenia symetrii dyskretnej ϕ → –ϕ. Przy tym stanowi o najniższej energii, który można nazwać „stanem próżniowym”, odpowiada stałe w całej przestrzeni pole np. ϕ = +η (dalej powiemy, że jest to pole Higgsa ). Naturalnym jest zatem, aby odnosić wartości pola nie od poziomu ϕ = 0, a od jego wartości próżniowej ϕ0 = | η |, tj. zapisywać (innymi słowy należy zredefiniować pole ϕ i jak powiemy póxniej nie można rozwijać lagranzjanu w pobliżu stanu ϕ = 0, ponieważ stanowi temu nie odpowiadają żadne czastki fizyczne – mówimy wówczas o próżnia fałszywej ) : ϕ(x) = | η | + κ(x) i wyrazić lagranżjan (9.1) z użyciem pola κ(x) : (9.3) £ = ½ (∂µκ )2 – ¼ λ2 [ (η + κ )2 – η2 )]2 = ½ (∂µκ )2 – λ2η2κ2 – λ2ηκ3 – ¼ λ2κ4 3 Pole κ(x) odpowiada, jak widać skalarnym neutralnym cząstkom o masie mκ = √2 λη i samodziałaniem typu κ i κ4. Takie cząstki zostały nazwane bozonami Higgsa. Jak wiemy człony masowe to człony kwadratowe względem pól (np. te które podkreślono ). Masa jest wtedy równa √2 sqrt( człony stojace przy polu w kwadracie ) – są to wnioski z KTP.

158

Przypadek 2. Globalna symetria ciągła U(1)

.............................................................. ... Z tego względu będziemy poszukiwali analogicznej sytuacji w teorii pola, w której symetria lagranżjanu nie rozciąga się na rozwiązanie, odpowiadające stanowi podstawowemu. W teorii pola stan podstawowy rozpatruje się jako próżnie. Zatem, będziemy poszukiwali teorii z próżnią nowego typu. Ponieważ lagranżjan £ powinien posiadać symetrię, zastanowimy się nad zespoloną teorią φ4 : £ = (∂µφ)(∂µφ* ) – m2 φ*φ – λ (φ*φ)2 = (∂µφ)(∂µφ* ) – V(φ, φ*) (8.1) Człon zawierający czynnik λ, odpowiada samooddziaływaniu. W standardowej skalarnej teorii pola, kwantowanie prowadzi do cząstek o masie m. Jednakże tutaj m2 rozpatrywane jest tylko jako parametr, a nie człon masowy. Związane jest to z tym, że wkrótce będziemy przyjmowali ją jako wielkość ujemną. Lagranżjan £ jest inwariantny względem globalnych przekształceń cechowania : φ → eiΛφ ( Λ - stała wielkość ) (8.2) Stan podstawowy otrzymujemy na drodze minimalizacji potencjału V. Mamy więc : ∂V/∂φ = m2φ* + 2λφ*(φ*φ) (8.3) 2 2 Zatem, jeśli m > 0, minimum osiągane jest przy φ* = φ = 0. Jeśli m < 0, to istnieje lokalne maksimum przy φ = 0 i minimum przy : | φ |2 = – m2 /2λ = a2 (8.4) tj. przy | φ | = a. W teorii kwantowej, kiedy φ jest operatorem, warunek ten zapisywany jest dla średniego operatora próżniowego : | < 0 | φ | 0 > |2 = a2 (8.5) Zależność funkcji V od φ1 i φ2 , gdzie φ = φ1 + iφ2 , przedstawiono na rysunku 8.3 ( Przy tym należy pamiętać, że φ jest polem, a nie parą współrzędnych ). Punkty minimum potencjału V leżą na okręgu | φ | = a, który tworzy zbiór zdegenerowanych próżni, związanych między sobą poprzez obrót. Zatem, pola fizyczne, które są zaburzeniami nad stanem próżni, realizują się przy włączeniu zaburzeń wokół wartości | φ | = a, a nie wokół φ = 0.

Rys. 8.3 Potencjał V posiada minimum przy | φ | = a i lokalne maksimum przy φ = 0. Dalej będziemy pracowali we współrzędnych biegunowych : φ(x) = ρ(x) eiθ(x) (8.6) tak, że pole zespolone φ wyraża się poprzez dwa rzeczywiste pola skalarne ρ i θ. Stan próżniowy wybierzemy, tak aby spełniony był warunek : =a (8.7) gdzie a – jest liczbą rzeczywistą. =a , =0 (8.8) W tym teorio-polowym przykładzie widać te same cechy charakterystyczne co w przykładzie ferromagnetyka. Istnieją zdegenerowane próżnie, związane między sobą przekształceniami symetrii, przysługujące danej teorii. Wybór określonej próżni wymaga ustalenia określonych wartości pola ( w teorii pola jest to zależność (8.8), a w przypadku ferromagnetyka – kierunek namagnesowania ). W wyniku tego próżnia jest bezwarunkowo nieinwariantna względem danej symetrii.

159

Podstawmy teraz : φ(x) = [ ρ’(x) + a ] eiθ(x) tak, aby ρ’ i θ miały zerowe próżniowe wartości średnie.

(8.9)

Będziemy je rozpatrywali jako „pola fizyczne” i wyrazimy lagranżjan £ poprzez nie. Z równości (8.1) otrzymujemy : V = m2 ρ’2 + 2m2aρ’ + m2a2 + λ( ρ’4 + 4aρ’3 + 6a2ρ’2 + 4a3ρ’ + a4 ) = λρ’4 + 4aλρ’3 + 4λa2ρ’2 – λa4 = = λ[(ρ’ + a)2 – a2 ]2 – λa4 = λ(φφ* – a2 )2 – λa4 gdzie wykorzystano zależność (8.4). Oprócz tego : (∂µφ )(∂µφ* ) = (∂µρ’ )(∂µρ’ ) + ( ρ’ + a2 ) (∂µθ )(∂µθ ) gdzie £ = (∂µφ)(∂µφ* ) – V Widzimy, że w lagranżjanie występuje człon z ρ’2, tj. pole ρ’ posiada masę, określoną przez zależność : mρ’2 = 4λa2 Człon proporcjonalny do θ2 nie występuje, tj. pole θ jest bezmasowe. W wyniku spontanicznego naruszenie symetrii dwa masywne pola ( rzeczywista i urojona część pola φ ) przekształca się w jedno pole masywne i jedno pole bezmasowe. Zjawisko to możemy zinterpretować z pomocą rysunku 8.3 Oczywiście, że przesunięcie ρ’ powiązane jest z utratą energii, ponieważ istnieją siły zaburzające związane z potencjałem. Jednakże przy przesunięciu po okrągłej „dolinie” | φ | = a siły zaburzające nie występują na skutek zdegenerowania próżni. Zatem, dla zaburzeń kątowych θ o długości fali λ mamy ω → 0 przy λ → 0, tj. ω ~ λ, E ~ p i odpowiednie relatywistyczne cząstki są bezmasowe. Cząstkę θ nazywa się bozonem Goldstone’a Należy podkreślić, że dane zjawisko ma charakter ogólny – spontaniczne naruszenie ( ciągłej ) symetrii pociąga za sobą pojawienie się cząstki bezmasowej, tj. cząstki Goldstone’a ( w danym przykładzie posiada ona zerowy spin, jednakże tak nie musi być zawsze ). Przykładowo w teoriach ze spontanicznym naruszeniem supersymetrii istnieją cząstki Goldstone’a o spinie ½ Stwierdzenie to nazywa się twierdzeniem Goldstone’a, dowiedziemy go w następnym paragrafie. Dla dalszego wykładu użytecznym będzie otrzymanie w/w wniosku, wychodząc od rozkładu pola φ we współrzędnych kartezjańskich, a nie w biegunowych. Jeśli w miejsce (8.9) zapiszemy : φ(x) = a + (1/√2) [ φ1(x) + iφ2(x) ] (8.10) przy czym < φ1 >0 = < φ2 >0 = 0 to, jak łatwo zauważyć ( opuszczono stałe ) : £ = ½ (∂µφ1)2 + ½ (∂µφ2 )2 – 2λa2φ12 – √2 λφ1( φ12 + φ22 ) – ¼ λ ( φ12 + φ22 )2 (8.11) Zatem pole φ1 jest polem bezmasowym, a pole φ1 posiada masę, przy czym kwadrat jego masy jest równy 4λa2 co pokrywa się z wynikiem otrzymanym wcześniej.

.............................................................. Kwantowa teoria pola -- Lewis H. Ryder, University of Kent at Canterbury Cambridge University Press 1985, 1995

Jeszcze jedna ilustracja zjawiska spontanicznego naruszenia globalnej symetrii U(1). Bozon Nambu-Goldstona. Rozpatrzmy prosty przypadek symetrii ciągłej – symetrii U(1). Niech : φ = (1/ √2) ( φ1 + iφ2 ) będzie polem zespolonym, którego lagranżjan ma postać : £ = ∂µφ* ∂µφ − m2φ*φ – λ ( φ*φ)2 – c (9.4) gdzie stałą c wprowadzono dla wygody dalszych obliczeń. Lagranżjan (9.4) może być zapisany również z użyciem pól rzeczywistych ( φ1, φ2 ) = (1/√2) ( Re φ , Im φ ) £ = ½ ∂µφi ∂µφi – ½ m2φi φi – ¼ λ (φi φi )2 – c gdzie prowadzimy sumowanie względem i = 1, 2 Lagranżjan (9.4) jest inwariantny względem globalnych U(1)-symetrii : φ(x)→ φ’(x) = eiα φ(x) (9.5) lub z użyciem pól φ1, 2 : φ1 → cosα φ1 – sinα φ2 φ2 → sinα φ1 + cosα φ2

(9.6) (9.7) 160

Rozpatrzmy energię pola : E = ∫ dx3 ( ∂0φ* ∂0φ + ∂iφ* ∂iφ + V( φ*, φ ) ) Gdzie : V( φ*, φ ) = m2 φ*φ + λ (φ*φ )2 + c (9.8) Stan podstawowy ponownie jest jednorodny w czasoprzestrzeni φ = const. i przedstawia sobą minimum potencjału (9.5). Przy m2 ≥ 0 stan podstawowy to φ = 0, zaburzenia przedstawiają sobą dwa pola rzeczywiste φ1 i φ2 o równej masie i ze specjalnym wyborem oddziaływania wzajemnego ( φ12 + φ22 )2. Symetria U(1) jest nienaruszona. Przy m2 = –µ2 < 0 potencjał V(φ) przedstawia sobą figurę obrotową pokazaną na rys. 9.3

Rys. 9.3 Zależy on tylko od jednej zmiennej : | φ | = sqrt [ ½ ( φ12 + φ22 ) ] i posiada ciągły zbiór minimów : φ = eiα (1/√2) φ0 gdzie φ0 określone jest z warunku : ( ∂V/ ∂ |φ| ) ( φ0 /√2 ) = 0 i jest równe : φ0 = µ / √λ Ponownie musimy wybrać jedno z tych minimów w charakterze stanu podstawowego i rozpatrzyć zaburzenia wokół takiego stanu. Chociaż przejścia między różnymi minimami można dokonać bez zwiększania energii potencjalnej, poruszając się wzdłuż okręgu wyznaczonego przez zbiór minimów, potrzebna jest nieskończona energia w granicy nieskończonej objętości przestrzeni Ω → ∞. Dla pola jednorodnego φ(t) człon kinetyczny w energii jest proporcjonalny do objętości : Ekin = Ω | φ |2 Dlatego zmiana pola w całej przestrzeni wymaga nieskończonej energii. Zatem, również teraz wystarczy rozpatrywać tylko jedno z minimów. Rozpatrzmy stan podstawowy : φ = φ0 / √2 tj. φ1 = φ0 , φ2 = 0 i zaburzenia wokół niego, opisywane polami : φ1(x) = φ0 + χ(x) , φ2(x) = θ(x) Ograniczając się do małych zaburzeń, w lagranżjanie wydzielimy składowe kwadratowe względem zaburzeń χ i θ.

161

Otrzymujemy : ∂µφ1 = ∂µχ , ∂µφ2 = ∂µθ oraz V = – ½ µ2 [ (φ0 + χ )2 + θ2 ] + ¼ λ [ (φ0 + χ )2 + θ2 ]2 + (µ2 /4λ ) Gdzie stałą c w (9.5) dobrano tak, że energia stanu podstawowego jest równa zeru. W drugim rzędzie wielkości względem pól χ i θ otrzymamy : V = µ2 χ2 Składowe typu θ2 lub χθ nie występują w tym potencjale. Widać to już z rysunku 9.3 człony kwadratowe względem χ i θ w potencjale reprezentują sobą krzywizny potencjałów w kierunkach φ1 i φ2, krzywizna potencjału w kierunku φ2 jest równa zeru w punkcie ( φ1= φ0 , φ2 = 0 ) na mocy U(1)-symetrii (9.6). Zatem, lagranżjan kwadratowy jest równy : £(2)χ, θ = ½ ( ∂µχ )2 + ½ ( ∂µθ )2 - µ2 χ2 Pole χ posiada masę mχ = √2 µ, a pole θ pozostaje bezmasowe. Pojawienie się modu bezmasowego jest związane wprost z obecnością U(1)-symetrii, w lagranżjanie oraz z niesymetrycznością stanu podstawowego ( Nambu 1960, Goldstone 1961 ). To bezmasowe pole nazwano polem Nambu-Goldstone’a, a odpowiadającą mu cząstkę nazwano bozonem nambu-goldstonowskim. Związek nambu-glodstonowskiego modu z symetrią lagranżjanu można zilustrować również następującym obrazem. Cząstki najbliższe nambu-goldstonowskich bozonom, to π± i π0-mezony. Odpowiadająca im symetria, jest to chiralna inwariantność oddziaływań silnych. Różna od zera masa mezonów π związana jest z małymi składowymi w lagranżjanie, jawnie naruszającymi symetrię chiralną. Rozpatrzmy niewielkie zaburzenia pola względem niesymetrycznego stanu podstawowego, takie, że φ nie jest zerem w żadnym punkcie czasoprzestrzeni ( jest to możliwe, tylko jeśli symetria zostaje spontanicznie naruszona ). Wtedy można wprowadzić zmienne ρ(x) i α(x) : φ(x) = eiα(x) ρ(x) (9.9) Ponieważ lagranżjan jest symetryczny względem przekształceń (9.5), potencjał nie zawiera pola α(x) ( jest to jasne również z (9.7) ) tj. pole α(x) wchodzi do lagranżjanu tylko przez pochodną ∂µα(x). Niewystępowanie składowej typu α2 (x) w lagranżjanie oznacza właśnie, że α(x) jest polem bezmasowym. Zatem, na przykładzie modelu o U(1)-symetrii przekonaliśmy się, że spontaniczne naruszenie globalnej symetrii ( lagranżjan jest symetryczny, stan podstawowy nie ) prowadzi do pojawienia się bezmasowych zaburzeń, które nazywamy nambu-goldstonowskimi modami. Stwierdzenie to ma ogólny charakter i jest słuszne dla dowolnej teorii z cechowaniem. Twierdzenie Goldstone’a. W charakterze przypadku ogólnego możemy rozpatrzyć teorię z polami skalarnymi, które będziemy przyjmowali jako rzeczywiste ( pole zespolone jest jak wiemy równoważne parze pól rzeczywistych ). Niech G – będzie globalną grupą symetrii lagranżjanu , ograniczymy się do fizycznie interesującego przypadku grupy zwartej G. Zbiór pól skalarnych oznaczymy φ(x), przy każdym x pole φ(x) przyjmuje wartość w przestrzeni reprezentacji unitarnej ( ogólnie mówiąc przywiedlnej ) T(ω) grupy G. Lagranżjan wybierzemy w postaci : £ = ½ ( ∂µφ • ∂µφ ) – V(φ) (9.10) gdzie ( φ1, φ2 ) – to iloczyn skalarny w przestrzeni pól. Unitarność reprezentacji T(ω) oznacza, że człon kinetyczny w lagranżjanie jest inwariantny względem działania grupy G, dla inwariantność członu potencjalnego wymagamy : V( T(ω)φ ) = V(φ) dla wszystkich ω ∈ G. Niech minimum potencjału V(φ) będzie nietrywialne. W charakterze stanu podstawowego wybierzemy pole jednorodne : φ(x) = φ0 Jednorodność konfiguracji pól stanu podstawowego pojawia się w taki sam sposób jak w rozpatrzonych dotąd przykładach, z wymogu minimalności ( równość zeru ) składowych gradientnych w energii, wartość φ0 realizuje minimum potencjału, co zapiszemy symbolicznie następująco : ( ∂V/∂φ ) ( φ = φ0 ) = 0 Dalej, niech H będzie podgrupą grupy G, będącą stacjonarną podgrupą próżni klasycznej φ0 tj. : T(h ) φ0 = φ0 (9.11) dla wszystkich h ∈ H.

162

Fakt, że zbiór wszystkich elementów h ∈ H, spełniających (9.11), istotnie obrazuje podgrupę w G, wynika z podstawowych własności reprezentacji grupy – w istocie bowiem dla wszystkich h, h1, h2 ∈ H słuszne jest T( h1h2 )φ0 = T( h1) T(h2 )φ0 = T( h1)φ0 = φ0 A, z : T( h-1 )T(h )φ0 = φ0 Wynika : T( h-1 )φ0 = φ0 tj. h1h2 i h-1 należą do H. H będziemy nazywali podgrupą nienaruszoną dla modelu (9.10). Niech th – będą generatorami podgrupy H. Ponieważ (1 + εh th ) – jest elementem z H, bliskim jedności, słuszne jest dla niego : T( 1 + εh th )φ0 = φ0 (9.12) Z drugiej strony zgodnie z definicją reprezentacji algebry : T( 1 + εh th ) = 1 + εh T(th ) i jeśli wprowadzić oznaczenia dla reprezentacji generatorów typu : Th = T(th ), to z (3.33) otrzymamy : T h φ0 = 0 Rozdzielimy teraz generatory grupy G na dwie rodziny {th } i {t’α }, gdzie th – generatory grupy H, a rodzina t’α dopełnia rodzinę {th } do pełnego zbioru ortogonalnego. Jeśli RG i RH – są wymiarami grupy G i H, to rodzina {th } składa się z RH generatorów , a rodzina {t’α } z ( RG - RH ) generatorów. Zauważmy, że dowolny element A algebry Liego anihilujący próżnie klasyczną tj. : T(A)φ0 = 0 Przedstawia sobą kombinacje liniową generatorów th : A = ah th ( element bliski jedności grupy G postaci (1 + εA )pozostawia próżnie inwariantną, dlatego należy on do H ). Dlatego generatory t’α i dowolne ich kombinacje liniowe nie anihilują próżni : T( cα t’α )φ0 ≠ 0 (9.13) Przy niezerowych cα. Generatory typu t’α będziemy nazywać generatorami naruszonymi. Rozpatrzmy teraz zaburzenia pola φ(x) stanu podstawowego φ0 tj. zapiszmy : φ(x) = φ0 + χ(x) gdzie : χ(x) – nowe zmienne dynamiczne. Lagranżjan dla pól χ(x) ma postać : £χ( χ ) = ½ ( ∂µχ , ∂µχ ) – V ( φ0 + χ ) Na początku pokażemy, że £χ jest inwariantny względem grupy globalnej H. Niech h będzie dowolnym elementem grupy H. Musimy przekonać się, że : £χ( T(h)χ ) = £χ( χ ) Ponieważ : £χ( χ ) = £( φ0 + χ ) to można zapisać : £χ( T(h)χ ) = £( φ0 + T(h)χ ) I dalej, na mocy T(h)φ0 = φ0 oraz liniowości operatora T(h) mamy :

(9.14) (9.15) (9.16)

£( φ0 + T(h)χ ) = £( T(h) (φ0 + χ ) ) (9.17) £(φ) jest inwariantny względem całej grupy G i w szczególności względem jej podgrupy H, zatem : £( T(h) (φ0 + χ ) ) £( φ0 + χ ) (9.18) Łańcuch równości (9.16), (9.17), (9.18) dowodzi właśnie wymaganej zależności (9.14). Pośród zaburzeń χ(x) możemy wydzielić takie, które mają następującą strukturę : χα (x) = θα(x)T’α φ0 (9.19) ( nie sumujemy względem α ), α = 1, … ,RG - RH , θα (x) przedstawiają sobą ( RG - RH ) – rzeczywistych pól skalarnych. T’α = T(t’α ) – naruszone generatory w reprezentacji T. Na mocy (9.13) zaburzenia te są liniowo niezależne tj. θα (x) – są polami niezależnymi.

163

Twierdzenie Goldstone’a mówi, że pola θα (x) są bezmasowe. Innymi słowy, twierdzenie Goldstone’a mówi, że przy spontanicznie naruszonej symetrii globalnej, pojawia się w skrajnym przypadku ( pól bezmasowych może być więcej niż liczba nienaruszonych generatorów. Taka sytuacja często pojawia się w teoriach supersymetrycznych ) tyle bezmasowych pól skalarnych ( lub pseudoskalarnych ) ile występuje nienaruszonych generatorów. Daje ono również konstruktywny sposób wydzielenia pól bezmasowych z całego zbioru zaburzeń względem nietrywialnej próżni φ0 ( wzór (9.19) ). Na podstawie : Klasyczne pola cechowania – Teorie bozonowe - W. A. Rubakow; КомКнига МОСКВА 2005

Mechanizm Higgsa (Englerta- Brouta –Higgsa ). Twierdzenie Goldstone’a mówi o istnieniu tylko bezmasowych cząstek skalarnych, jednakże w eksperymentach dokładnie takich cząstek nie ujawniono. W 1964 roku A. Salam i S. Weinberg pokazali, że w teorii pola ze spontanicznie naruszoną symetrią bozony nambu-goldstonowskie nie pojawiają się w sektorze fizycznym. (sektor fizyczny, to sektor cząstek jakie obserwuje się empirycznie, w odróżnieniu od sektora np. cząstek wirtualnych lub pól duchów jakie pojawiają się przy kwantyzacji nieabelowych pól cechowania ). Ponadto wiedziano, że bozony cechowania oddziaływania słabego są masywne. Wyjściem z sytuacji okazał się mechanizm Higgsa, tj. mechanizm „nabierania” masy przez bozony nambugoldstonowskie i pojawienie się w sektorze fizycznym bozonu Higgsa. Mechanizm Higgsa związany jest, jak już powiedziano wcześniej, ze zjawiskiem spontanicznego złamania lokalnej symetrii cechowania (w szczególności nieabelowej). W mechanizmie tym rozwiązanie o najniższej energii zawiera pola skalarne o niezerowej wartości. Rozwijanie w szereg lagranżjanu, wokół takiego rozwiązania daje masywne pola cechowania. Złamanie symetrii oznacza tutaj odmienną interpretacje pól – część z pól skalarnych, które przez złamaniem symetrii były traktowane jako pola niezależne, po złamaniu symetrii interpretowane jest jako składowe podłużne dotąd bezmasowych (czyli poprzecznych ) pól cechowania, co powoduje, że pola skalarne nie występują już jako pola niezależne w danej teorii, natomiast pola cechowania mogą być efektywnie traktowane jako pola masywne.

Przykład modelu abelowego.

.............................................................. W charakterze prostego przykładu rozpatrzymy model, posiadający U(1)-symetrię względem cechowania. Lagranżjan tego modelu wybieramy w postaci : £ = – ¼ FµνFµν + (Dµφ )* Dµφ – [ –µ2φ*φ + λ(φ*φ )2 ] (3.38) gdzie : φ – zespolone pole skalarne. Fµν = ∂µ Aν – ∂νAµ , Dµφ = (∂µ – ieAµ )φ Jak widać wybraliśmy od razu ujemny kwadrat masy w potencjale pola skalarnego : V(φ*, φ) = –µ2 φ*φ + λ ( φ*φ )2 ponieważ właśnie taka jego postać będzie nas interesowała w tym rozdziale. Przypomnijmy, że lagranżjan (3.38) jest inwariantny względem przekształceń cechowania : Aµ (x) → A’µ(x) = Aµ(x) + (1/e) ∂µ α(x) , φ(x) → φ’(x) = eiα(x) φ(x) gdzie : α(x) – dowolna funkcja rzeczywista. Aby znaleźć stan podstawowy wypiszemy funkcjonał energii dla pól Aµ, φ : (3.39) E( Aµ , φ) = ∫ d5x [ ½ (F0i )2 + ¼ (Fij )2 + (D0φ )* D0φ + (Diφ )* Diφ + V(φ*, φ ) ] Stan podstawowy – to konfiguracja pól Aµ , φ która minimalizuje energię. Od razu widać, że istnieje funkcjonalna dowolność w wyborze stanu podstawowego : energia E(Aµ, φ) jest inwariantna względem cechowania, dlatego jeśli ( Avacµ , φvac ) – jest stanem podstawowym, to ( Avacµ + (1/e) ∂µα , eiα φvac ) jest również stanem podstawowym przy dowolnej funkcji α(x). Podobnie jak w rozdziale 5 musimy wybrać jeden stan próżni, z tego zbioru próżni klasycznych i badać zaburzenia wokół niej.

164

Pierwsze dwie składowe pod całką (3.39) są minimalne (równe zeru ) wtedy, kiedy pola – elektryczne i magnetyczne równe są zeru tj. Aµ(x) przedstawia sobą cechowanie postaci : Aµ = (1/e) ∂µα(x) Składowa trzecia i czwarta, są minimalne (równe zeru ) przy : Dµφ = ( ∂µ – i∂µα ) φ = 0 tj. : φ(x) = eiα(x) (1/√2 ) φ0 gdzie : φ0 nie zależy od x ( czynnik 1/√2 wprowadzono dla wygody ). Stała φ0 określona jest z minimalizacji potencjału V(φ*, φ ) i jest równa :

(3.40)

(3.41)

φ0 = µ / √λ (3.42) Zatem, wszystkie możliwe stany podstawowe określone są wzorami (3.40), (3.41), (3.42), jak już wspominaliśmy należy teraz wybrać jeden z nich (dowolny ). My wybierzemy α = 0, tak że konfiguracja próżniowa ma postać : Avacµ = 0 , φvac = (1/√2 ) φ0 Rozpatrzmy teraz zaburzenia względem tego stanu podstawowego. Zaburzenia pola Aµ opisuje sam potencjał wektorowy, a zaburzenia pola skalarnego opisywane są przez dwa pola rzeczywiste χ(x) i θ(x), takie ,że : φ(x) = (1/√2) ( φ0 + χ(x) + iθ(x) ) (3.43) Przypomnijmy, że w analogicznym modelu o globalnej U(1)-symetrii, pole θ było nambu-goldstonowskim polem bezmasowym, a χ było polem masywnym. Znajdziemy teraz spektrum małych ( liniowych ) fal (* cząstek *) nad stanem podstawowym (3.42). Aby to zrobić obliczymy lagranżjan z użyciem pól Aµ , χ oraz θ, w przybliżeniu kwadratowym względem tych pól. Wykorzystamy to, że w przybliżeniu kwadratowym : V(φ) = µ2χ2 z dokładnością do nieistotnej stałej addytywnej. Jak również : Dµφ = (1/√2) ( ∂µχ + i∂µθ – ieφ0Aµ ) z dokładnością do składowych kwadratowych względem pól Aµ , χ , θ. Zatem, lagranżjan kwadratowy ma postać : £(2) = – ¼ Fµν2 + ½ | ∂µχ + i∂µθ – ieφ0Aµ |2 – µ2 χ2 ( Fµν2 – jest od początku kwadratowe względem Aµ ) Rozpisując kwadrat modułu, otrzymamy : £(2) = – ¼ Fµν2 + ½ (∂µχ )2 – µ2 χ2 + ½ e2 φ02 [Aµ – (1/eφ0) ∂µθ ]

(3.44) 2 Spotykamy się tutaj z pewną niezwykłą sytuacją – ostatnia składowa w (3.44) zawiera oprócz wyrażeń Aµ i (∂µθ )2 człon mieszany Aµ∂µθ. Aby sprowadzić ten kwadratowy lagranżjan do postaci kanonicznej ( sumy lagranżjanów oddzielnych pól ), dokonamy zamiany zmiennych polowych : w miejsce pola Aµ wprowadzimy pole : Bµ = Aµ − (1/eφ0 ) ∂µθ Wtedy lagranżjan kwadratowy będzie miał postać : £(2) = − ¼ Bµν2 + ½ e2 φ02 BµBµ + ½ (∂µθ )2 − µ2 χ2

(3.45)

gdzie : Bµν = ∂µBν − ∂νBµ Lagranżjan (6.9) przedstawia sobą sumę lagranżjanu masywnego pola wektorowego Bµ o masie : mV = eφ0 = eµ / √λ oraz lagranżjanu masywnego pola skalarnego χ o masie : mχ = √2 µ Pole θ(x) nie wchodzi w ogóle do lagranżjanu, nie powinno ono spełniać żadnych równań pól tj. dowolna funkcja współrzędnych θ jest ekstremum działania θ(x). Najbardziej interesującym w lagranżjanie (3.45) jest pojawienie się masy dla pola wektorowego oraz znikanie pola θ(x). Pole θ(x) byłoby polem nambu-goldstonowskim, jeśli symetria byłaby globalna, a nie cechowania (lokalna ). Obrazowo mówiąc, pole wektorowe „zjadło” pole nambu-goldstonowskie i nabrało masy. Na tym właśnie polega mechanizm Higgsa. Należy podkreślić, że masywne pole wektorowe pojawiło się w teorii o lagranżjanie inwariantnym względem cechowania. Oprócz pola wektorowego Bµ w spektrum zaburzenia, obecne jest pole skalarne χ.

165

Zobaczymy dalej, że pojawia się ono zawsze w modelach w których bozony wektorowe nabywają masy za pośrednictwem mechanizmu Higgsa ,takie pole skalarne nazywamy „polem Higgsa”, a odpowiadające mu cząstki „bozonem Higgsa” ( pojęcie „pole Higgsa” stosujemy również do całego pola skalarnego φ(x), którego próżniowa wartość jest nietrywialna )

.............................................................. 6.2 Przypadek nieabelowy : model z całkowicie naruszoną SU(2)-symetrią. W charakterze prostszego modelu o nieabelowej inwariantności cechowania wybierzemy model o grupie cechowania SU(2) i dubletem ( reprezentacja podstawowa ) pól skalarnych : φ = ( φ1 ) ( φ2 ) gdzie : φ1,2 – skalarne pola zespolone. Lagranżjan ma postać ( a = 1, 2, 3 ) : £ = – ¼ Faµν Faµν + (Dµφ )† Dµφ – [ –µ2 φ†φ + λ ( φ†φ )2 ] Stan podstawowy – jest to minimum funkcjonału energii : E( Aaµ , φ ) = ∫ d3x [ ½ Fa0i Fa0i + ¼ Faij Faij + ( D0φ )† D0φ + ( Diφ )† Diφ + V(φ†, φ) ] Gdzie : V(φ†, φ) = –µ2φ†φ + λ (φ†φ)2 – jest potencjałem pól skalarnych (6.19)

(6.17)

(6.18)

(6.19)

W stanie podstawowym Faµν = 0 dlatego Aaµ przedstawia sobą czyste cechowanie ( w postaci macierzowej ) : Aµ(x) = ω(x) ∂µω–1(x) (6.20) Pole φ(x) – jest kowariantnie stałe tj. Dµφ(x) = 0 a to oznacza, że : φ(x) = ω(x) φvac (6.21) gdzie : φvac – stała kolumna. Określane jest ono z warunku minimalizacji potencjału V(φ†,φ). Warunek : ∂V/ ∂φ† = ∂V/∂φ = 0 daje : φ†φ = µ2 /2λ (6.22) Ze zbioru równoważnych ze względu na cechowanie próżni wybierzemy jedną, a mając na uwadze prostotę wybierzemy ją w postaci : Aaµ = 0 , φvac = ( 0 ) (6.23) ( φ0 / √2 ) gdzie : φ0 = µ /√λ. Zadanie 3. Pokazać, że dowolna konfiguracja, spełniająca (6.20), (6.21), (6.22) może być otrzymana z próżni klasycznej (6.23) poprzez przekształcenie cechowania ( ogólnie mówiąc nie zmniejszające się w nieskończoności ) Aby znaleźć spektrum małych zaburzeń względem stanu podstawowego (6.23) wykorzystamy przykład wprowadzony na końcu podrozdziału 6.1, a konkretnie wybierzemy konkretne cechowanie unitarne. Dowolne pole bliskie do φvac, można przepisać do postaci : φ(x) = ω(x) ( 0 ) ( (1/√2 )( φ0 + χ(x) ) )

(6.24)

gdzie : χ(x) – rzeczywista funkcja współrzędnych, ω(x) bliska jedności funkcja o wartościach w SU(2). Aby przekonać się w słuszności reprezentacji (6.24), należy zauważyć, że lewa jej strona jest równa : φ(x) = ( ξ1(x) + i ξ2(x) ) ( (1/√2)φ0 + ξ3(x) + i ξ4(x) )

gdzie : ξ1,2,3,4 (x) – cztery małe funkcje rzeczywiste. Dla ω(x) bliskich jedności mamy : ω(x) = 1 + iτa ua (x) gdzie : ua (x) są dostatecznie małe.

166

(6.25)

Prawa część (6.24) w przybliżeniu liniowym względem ua i χ jest równa :

Porównując to wyrażenie z (6.25) przekonujemy się, że ua, χ można wybrać tak aby równość (6.24) była spełniona w porządku liniowym względem zaburzeń pola od jego wartości próżniowej. Reprezentacja (6.24) jest również słuszna w pewnym skończonym otoczeniu próżni klasycznej, jednak nie zachodzi ona w pobliżu φ = 0. Z reprezentacji (6.24) widać, że dowolna, bliska próżni klasycznej konfiguracja pola φ(x) jest równoważna ze względu na cechowanie konfiguracji : φ(x) = ( 0 ) (6.26) ( (1/√2)( φ0 + χ(x) ) ) gdzie : χ(x) – pole rzeczywiste. Zatem, można wybrać cechowanie przy którym pole ma postać (6.26) (cechowanie unitarne ) Wykorzystajmy teraz takie cechowanie w celu znalezienia spektrum zaburzeń liniowych dla naszego modelu. W tym celu wydzielimy część liniową względem zaburzeń : Faµν = ∂µAaν – ∂ν Aaµ + g εabc Abµ Acν oraz Dµφ = ∂µφ – ½ ig τa Aaµφ (6.27) Przyjmując, że pole Aaµ jest małe, a pole φ(x) ma postać (6.26) z małym χ(x). W porządku liniowym mamy : Faµν ≅ ℑaµν (6.28) Gdzie : ℑaµν = ∂µAaν – ∂ν Aaµ Podstawiając (6.26) do (6.27) w porządku liniowym otrzymamy : Dµ φ = ( 0 ) – ½ igτa Aaµ ( 0 ) = ( – (1/2√2 )ig φ0A1µ – (1/2√2 )g φ0A2µ ) (6.29) ( (1/ √2 )∂µχ ) ( (1/√2 )φ0 ) ( – (1/2√2 )∂µχ + (1/2√2 ) ig φ0A3µ ) W porządku kwadratowym względem χ potencjał (6.19) z dokładnością do nieistotnej stałej addytywnej jest równy : V = µ2 χ2 (6.30) Wykorzystując zależności (6.28), (6.29), (6.30) kwadratową część lagranżjanu (6.18) zapiszemy w cechowaniu unitarnym : £ = − ¼ Faµν Faµν + 1/8 g2 φ02 Aaµ Aaµ + ½ ( ∂µχ )2 − µ2 χ2 (6.31) Zatem, w wyniku działania mechanizmu Higgsa w naszym modelu pojawiły się trzy masywne pola wektorowe Aaµ a = 1, 2, 3 o jednakowych masach : mV = ½ gφ02 oraz jedno masywne pole skalarne χ ( pole bozonu Higgsa ) o masie : mχ = √2 µ = sqrt(2λ) φ0

167

Zauważmy, że jeśli symetria byłaby globalna, a nie lokalną symetrią cechowania w modelu pojawiłyby się trzy nambu-goldstonowskie bozony ( składowe ξ1,2,4 we wzorze (6.25) ), zgodnie z liczbą naruszonych generatorów ( grupa SU(2) jest całkowicie naruszona- zostają naruszone trzy generatory ). Te nambu-goldstonowskie bozony zostają „zjedzone” w teorii z lokalnym cechowaniem przez trzy bozony wektorowe, które nabierają w ten „sposób” masy. Zauważmy jeszcze, że przy dodatnim kwadracie masy ( µ2 < 0 w lagranżjanie (6.18) ) w naszym modelu występują trzy bezmasowe pola wektorowe ( 6 stopni swobody ) oraz cztery masywne, rzeczywiste pola skalarne ( rzeczywiste i zespolone składowe pól φ1 i φ2 figurujące w (6.17), wszystkiego 4 stopnie swobody ). W wyniku zadziałania mechanizmu Higgsa przy µ2 > 0 trzy bozony wektorowe posiadają 9 stopni swobody, a bozon Higgsa χ - jeden. Zatem, w modelu istnieje 10 stopni swobody zarówno w fazie naruszonej jak i nie naruszonej. Zadanie 4. Znaleźć spektrum liniowych fizycznych zaburzeń dla modelu rozpatrzonego w tym podrozdziale, nie wybierając konkretnego cechowania. Zadanie 5. Znaleźć całkowity lagranżjan pól Aaµ i χ w modelu rozpatrzonym w tym podrozdziale przy cechowaniu unitarnym. Zadanie 6. W modelu rozpatrzonym w tym podrozdziale pole φ możemy zapisać następująco : φ = ( η1 + iη2 ) ( u + iη3 ) gdzie : u, η1,2,3 – rzeczywiste pola skalarne. Pokazać, że potencjał skalarny jest inwariantny oprócz grupy wejściowej SU(2), jeszcze względem grupy globalnych symetrii SO(3), przy czym u - jest względem tej grupy singletem, a ηa – tripletem ( wektorem). Dobrać prawo przekształcenia pól wektorowych względem grupy SO(3), tak aby całkowity lagranżjan (6.18) był inwariantny względem tej grupy. Wartości próżniowe pola (6.23) nie naruszają symetrii globalnej SO(3). Przekonać się ,że równość mas trzech pól wektorowych, związanych ze wzorem (6.31) jest wynikiem nienaruszonej globalnej SO(3)-symetrii. Przekonać się ,że całkowity lagranżjan otrzymany w poprzednim zadaniu jest inwariantny względem tej właśnie grupy SO(3). Zadanie 7. Wprowadźmy do teorii o grupie cechowania SU(2) oprócz dubletu φ jeszcze trzy rzeczywiste pola skalarne fa (x) , a = 1,2 ,3 stanowiące tryplet względem grupy cechowania SU(2). Dobrać potencjał skalarny, inwariantny względem cechowania tak, aby jedną z próżni tego modelu była : φ=( 0 ) ( φ0 / √2 ) f1 = f2 = 0 , f3 = v gdzie : φ0 i v – pewne stałe. Znaleźć spektrum małych zaburzeń fizycznych względem tej próżni. Czy masy trzech bozonów wektorowych są równe ? Czy istnieje w modelu z trypletem nienaruszona globalna symetria ( nie koniecznie SO(3), analogiczna do tej rozpatrzonej w poprzednim zadaniu ? Zadanie 8. Zbudować model o całkowicie naruszonej SU(2)-symetrii cechowania , w którym masy wszystkich trzech bozonów wektorowych są różne.

.............................................................. Klasyczne pola cechowania – Teorie bozonowe - W. A. Rubakow; КомКнига МОСКВА 2005

168

I jeszcze jeden cytat :

.............................................................. 2.5 Spektrum cząstek w teoriach z symetrią cechowania. Pojęcie spontanicznego naruszenia symetrii. Teraz wyjaśnimy pytanie o to jakie spektrum cząstek posiadają zbudowane wcześniej gauge- inwariantne modele teorio - polowe. Jak przekonamy się dalej, odpowiedź istotnie zależy do formy potencjału, jak również od tego, czy symetria cechowania jest globalna czy też lokalna. 2.5.1 Globalną symetria abelowa. Rozpatrzmy najprostsza teorię, w której istnieje inwariantność względem globalnych przekształceń cechowania [3]. Zawiera ona zespolone pole skalarne i jest opisywana przez funkcje Lagrange’a : £ = ∂µϕ* ∂µϕ – V(ϕ*ϕ) (2.181) Okazuje się, że przy przejściu do KTP samozgodne mogą być tylko te teorie, w których potencjał V posiada nie większy niż 4 rząd po polach ϕ i ϕ*, tj. : V(ϕ*ϕ) = c1 + c2ϕ*ϕ + c3(ϕ*ϕ)2 (2.182) Dodatnia określoność energii potencjalnej może być osiągnięta przez nałożenie warunku c3 > 0 (lub c3 = 0, c2 > 0 ) Stałą c1 będziemy dalej dobierali w taki sposób, aby w punkcie minima V = 0. W najprostszym przypadku V = m2ϕ*ϕ. Wtedy teoria opisuje jedno swobodne zespolone pole skalarne o masie m. Przedstawiając w postaci : ϕ = P + iS (2.183) gdzie P i S – pewne rzeczywiste pola skalarne, otrzymujemy : £ = ∂µϕ* ∂µϕ – m2ϕ*ϕ = (∂µP )2 – m2P2 + (∂µS )2 – m2S2 (2.184) To oznacza, że wejściowy model jest równoważny układowi dwóch rzeczywistych pól skalarnych o jednakowej masie m. W przypadku, jeśli potencjał V posiada bardziej złożona postać, analiza spektrum teorii jest nieco mniej trywialna i przypomina analizę małych drgań w pobliżu położenia równowagi dla układu mechanicznego. W danym przypadku analogiem położenia równowagi w mechanice, jest stan próżniowy, który jest określany jako stan o minimalnej wartości funkcjonału energii. Dla modelu (2.181) : (2.185) E = ∫ d3x ( ∂0ϕ* ∂0ϕ + ∂iϕ*∂iϕ + V(ϕ*ϕ) ) i minimalna wartość energii E jest osiągana w tym przypadku, jeśli pole ϕ jest stałe we wszystkich punktach przestrzeni i odpowiada minimum potencjału V. Przy analizie spektrum cząstek przyjmujemy, że pola nieznacznie różnią się od swoich wartości próżniowych i rozkładamy działanie w szereg Taylora w pobliżu stanu próżniowego. Ponieważ w punkcie minimum pierwsze pochodne potencjału V zerują się, to szereg ten będzie rozpoczynał się od członów kwadratowych względem pól. Jeśli ograniczymy się tylko do składowych kwadratowych, rozpatrując wszystkie pozostałe człony jako małe zaburzenia, to z pomocą przekształcenia liniowego zmiennych polowych zawsze można osiągnąć to, aby kwadratowy lagranżjan przedstawiał sobą sumę lagranżjanów dla oddzielnych pól. Porównując otrzymane wyniki ze standardowym wyrażeniem dla lagranżjanów masywnych i bezmasowych – skalarnych, wektorowych itd. pól, znajdujemy skład i masy cząstek, występujących w danej teorii. W charakterze konkretnego przykładu rozpatrzymy model (2.181). W zależności od formy V, w takim modelu pojawiają się dwa przypadki, odpowiadające zasadniczo różnym stanom próżniowym i różnym spektrom cząstek. 1. Potencjał V posiada jedno minimum w punkcie ϕ = 0 i może być zapisany tak : V = m2ϕ*ϕ + λ(ϕ*ϕ)2 Schematycznie potencjał taki i jego przekrój przedstawiono na rysunku 2.1 Oczywiście, że w danym przypadku próżnią jest stan : ϕ0 = 0 Zwróćmy uwagę, ze jest on inwariantny względem przekształceń cechowania : ϕ0 → exp(–ieα) ϕ0 = ϕ0

169

(2.186)

(2.187) (2.188)

Ponieważ w pobliżu stanu próżniowego (2.187) wartość ϕ jest mała, to przy analizie spektrum cząstek zadanej teorii można ograniczyć się do składowych kwadratowych po ϕ. Przy tym powracamy do rozpatrzonego wcześniej przypadku V = m2ϕ*ϕ i spektrum teorii zestawiają dwa masywne rzeczywiste pola skalarne o masie m.

Rys. 2.1 Potencjał pola skalarnego nie prowadzący do spontanicznego naruszenia symetrii cechowania. 2. Druga możliwość odpowiada potencjałowi : V = λ(ϕ*ϕ – v2 )2 + λ( P2 + S2 – v2 )2 (2.189) Taki potencjał jako funkcja P i S, oraz jego przekrój, schematycznie ukazano na rysunku 2.2. Łatwo pokazać, że funkcja V(P, s) osiąga mini minimum na okręgu : P2 + S2 = v2 (2.190) Każdy punkt takiego okręgu może być wybrany w charakterze stanu próżniowego. Rozpatrzmy np. przypadek : P=v;S=0 (2.191) Cechą charakterystyczną takiego stanu próżniowego jest jego nie inwariantność pod działaniem przekształceń cechowania (2.188). Taka sytuacja została nazwana „spontanicznym naruszeniem symetrii”.

Rys. 2.2 Potencjał pola skalarnego, prowadzący do spontanicznego naruszenia symetrii. Przy tym pojęcie „naruszenie symetrii” wcale nie oznacza, że w rozpatrywanym modelu przestała w ogólności obowiązywać inwariantność ze względu na cechowanie. Symetria cechowania ma miejsce, jednakże próżnia teorii pod jej działaniem nie jest już inwariantna. (* innymi słowy stan próżniowy nie jest inwariantny względem przekształcenia cechowania *) W celu znalezienia spektrum cząstek modelu (2.181) w przypadku spontanicznego naruszenia symetrii, rozłożymy funkcje Lagrange’a w szereg Taylora względem odchyleń pól od ich wartości próżniowych, które zapiszemy tak : P1 ≡ P – P0 = P – v ; S1≡ S – S0 = S (2.192)

170

Z użyciem P1 i S1 wejściowy lagranżjan może być przedstawiony następująco : £ = (∂µP1)2 + (∂µS1)2 – λ[ (P1 + v)2 + S12 – v2 ]2 (2.193) Zwróćmy uwagę, że jest on inwariantny względem przekształceń : { P1 → (P1+ v ) cos(eα) + S1sin(eα) – v (2.194) { S1 → (P1+ v ) sin(eα) – S1cos(eα) które przedstawiają sobą globalne przekształcenie cechowania, przepisane z użyciem pól P1i S1. Ograniczając się do przybliżenia kwadratowego po odchyleniach pól od ich wartości próżniowej, otrzymujemy, że : £ ≈ (∂µP1)2 + (∂µS1)2 – 4λv2P12 (2.195) Dlatego w spektrum teorii występuje jedno masywne rzeczywiste pole skalarne P1 o masie 2√λ v i jedno bezmasowe pole S1. Istnienie bezmasowych pól skalarnych tj. bozonów Goldstone’a, jest własnością charakterystyczną wszystkich teorii ze spontanicznie naruszoną symetrią cechowania [3]. Przyczyna ich pojawiania się jest prozaiczna. Z rysunku 2.2 widać, że małe zmiany pola S1 (przy stałym polu P1) odpowiadają przesunięciom po stycznej do okręgu (2.190), na którym potencjał V jest stały i równy 0. Dlatego też w przybliżeniu kwadratowym małe zmiany pola S1 nie zmieniają energii potencjalnej. To faktycznie oznacza, że masa pola S1 jest równa 0. Z tego powodu pojawienie się bozonu goldstonowskiego S1 jest związane z istnieniem okręgu, na którym potencjał jest równy 0. A istnienie takiego okręgu, w swój sposób, jest następstwem nie inwariantności stanu próżniowego pod wpływem przekształceń cechowania. W istocie bowiem, dokonując pewnego przekształcenia cechowania nad stanem próżniowym, dochodzimy nieuchronnie do punktu płaszczyzny (P, S ), w którym V = 0, ponieważ wartość potencjału nie może się zmieniać pod wpływem takich przekształceń. A ponieważ próżnia nie jest gauge –inwariantna, to nowy punkt nie pokrywa się z wejściowym stanem próżniowym. Uwzględniając, że przekształcenia cechowania zalezą w sposób ciągły od parametru α, powinniśmy wyciągnąć wniosek o istnieniu pewnej krzywej ciągłej, na której V = 0. Dlatego tez istnienie bezmasowego bozonu Goldstone’a jest w istocie następstwem nie inwariantności próżni pod działaniem przekształceń cechowania. (* dokładniej mówi o tym twierdzenie Goldstone’a *) 2.5.2 Lokalna symetria abelowa. Wyjaśnimy teraz, jakim spektrum cząstek posiada teoria z lagranżjanem : £ = – ¼ Fµν2 + Dµϕ*Dµϕ – V(ϕ*ϕ) (2.196) inwariantnym względem lokalnych przekształceń cechowania : ϕ → exp[ –ieα(x)] ϕ , ϕ* → exp[ieα(x)] ϕ* , Aµ → Aµ – ∂µα(x) (2.197) Tak jak wcześniej, odpowiedź na to pytanie istotnie zależy od formy potencjału V, przy czym przy analizie zagadnienia, pojawiają się dokładnie takie same przypadki, co w przypadku globalnej inwariantności cechowania. 1. Potencjał V posiada jedno minimum w punkcie ϕ = 0 i może być zapisany w formie (2.186). Tak jak ustaliliśmy wcześniej badając spektrum cząstek, w tym przypadku pole ϕ można przyjąć jako małe. Ponieważ tensor Fµν jest kwadratowy po polu Aµ, to : £ = – ¼ Fµν2 + Dµϕ*Dµϕ – m2ϕ*ϕ – λ(ϕ*ϕ)2 ≈ – ¼Fµν2 + ∂µϕ*∂µϕ – m2ϕ*ϕ (2.198) Odpowiada to jednemu bezmasowemu wektorowemu polu Aµ i dwóm masywnym (o masie m ) rzeczywistym polom skalarnym P i S, które mogą być określone przez równanie ϕ = P + iS. 2. Jeśli w teorii istnieje spontaniczne naruszenie symetrii (potencjał V zadany jest wzorem (2.189)), to zawsze można dobrać funkcje α(x) w taki sposób, aby we wszystkich punktach przestrzeni ϕ(x) ∈ Re ( w przypadku symetrii globalnej parametr α był jednakowy we wszystkich punktach przestrzeni i dlatego taki wybór był wcześniej nie możliwy ) Innymi słowy, można przyjąć warunek cechowania w taki sposób, aby : ϕ(x) = P(x) (2.199) gdzie P – rzeczywiste pole skalarne. Cechowanie (2.199) nazywa się unitarnym. W takim cechowaniu funkcje Lagrange’a możemy zapisać tak : £ = – ¼ Fµν2 + ( ∂µp + ieAνP ) ( ∂µP – ieAµP) – λ( P2 – v2 )2 (2.200)

171

Rozkładając ja w pobliżu wartości próżniowej P0 = v ( lub, co równoważne P0 = – v ), otrzymujemy iż w przybliżeniu kwadratowym : £ ≈ – ¼Fµν2 + e2v2Aµ2 + (∂µP1)2 – 4λv2P12 (2.201) Zatem, w spektrum teorii występują : masywne pole skalarne P1 ( mP = 2√λ v ) (tzw. bozon Higgsa ) i masywne pole wektorowe (mA = √2 ev ). Zwróćmy uwagę, źe w porównaniu z przypadkiem spontanicznego naruszenia symetrii globalnej ze spektrum teorii znikł bozon Goldstone’a, jednocześnie składowe opisujące masywne pole skalarne, pozostają bez zmian. Spektrum teorii, w zasadzie może być otrzymane również bez wykorzystywania cechowania unitarnego. W tym celu dogodnie jest przejść do nowych zmiennych polowych ρ(x) i ϕ(x), określonych przez zależność : ϕ(x) = ρ(x) exp[iϕ(x)] (2.202) Wtedy łatwo można sprawdzić, że funkcja Lagrange’a (2.196) z potencjałem (2.189) może być przepisana następująco : £ = – ¼ Fµν2 + | ∂µρ + iρ∂µϕ – ieAµρ |2 – λ( ρ2 – v2 )2 (2.203) Definiując nowe pole Bµ ≡ Aµ – ∂µϕ/e, otrzymujemy, ze z użyciem pól Bµ, ρ i ϕ : £ = – ¼ ( ∂µBν – ∂νBµ )2 + (∂µρ)2 + e2ρ2Bµ2 – λ( ρ2 – v2 )2 (2.204) co z dokładnością do oznaczeń, pokrywa się z (2.200). Przy tym pole ϕ(x) okazuje się być nie fizyczne i znika całkowicie z funkcji Lagrange’a. Jeszcze raz podkreślam, że mimo obecności masywnego pola wektorowego, teoria pozostaje inwariantna względem cechowania( w odróżnieniu od najprostszego modelu, rozpatrzonego w części 2.2 ). Przykładowo, z użyciem pól Bµ, ρ i ϕ lokalne przekształcenia cechowania można zapisać tak :

Bµ(x) → Bµ(x) ; ρ(x) → ρ(x) , ϕ(x) → ϕ(x) – eα(x) (2.205) Dlatego też opisana tutaj metoda, pozwala otrzymać masywne pole wektorowe bez naruszania inwariantności względem cechowania. W literaturze metoda taka nazywa się mechanizmem Higgsa. Ponieważ istnienie inwariantności względem cechowania jest najważniejszym wymogiem stawianym modelom teorio -polowym, to w realnych modelach masa cząstek wektorowych zazwyczaj wprowadzana jest z użyciem mechanizmu Higgsa. Na zakończenie należy zauważyć, ze mimo iż w zależności od formy potencjału spektrum cząstek jest różne, sumaryczna liczba stopni swobody pozostaje niezmieniona. Jak bowiem wyjaśniliśmy w podrozdziale 2.2, bezmasowe pole wektorowe posiada 2 stopnie swobody, a masywne 3. Każde rzeczywiste pole skalarne daje jeszcze jeden stopień swobody. Dlatego w przypadku trywialnej próżni liczba stopnie swobody wynosi : 2(Aµ) + 1(P ) + 1(S ) = 4, a w przypadku spontanicznego naruszenia symetrii : 3(Aµ) + 1(P1 ) = 4. Dlatego też niekiedy mówi się, że pole wektorowe „zjada” bozon goldstonowski i w wyniku tego nabiera masy.

.............................................................. K. W. Степаньянц - Классическая теория пола; Moskwa FIZMATLIT 2009

Podsumowanie Dokonując podsumowania przedstawionych mechanizmów łamania symetrii cechowania – globalnej i lokalnej, należy podkreślić następujące fakty dotyczące konstrukcji takich mechanizmów. Wejściowy lagranżjan zadanej teorii polowej, posiada człon energii potencjalnej, zależny od pewnego parametru krytycznego np. κ. Całkowity lagranżjan jest symetryczny względem pewnej grupy przekształceń ciągłych bądź dyskretnych np. SU(n). Rozwiązanie próżniowe (w teorii pola klasycznego, jest to rozwiązanie o najniższej energii ), dla pewnej wartości krytycznej parametru κ, posiada grupę symetrii np. SU(n– k), która jest podgrupą grupy SU(n) tj. liczba generatorów grupy SU(n– k) jest mniejsza od liczby generatorów grupy SU(n). W przypadku szczególnym np. dla przypadku z rysunku 9.2 mamy dwa stany podstawowe. Dla przypadku ogólnego np. z rysunku 8.3 (cytowanej książki ), pojawia się cały zbiór równoprawnych, stanów podstawowych. Wybór (dowolny ) jednego z takich stanów podstawowych prowadzi do złamania symetrii.

172

Mówimy wtedy, że nastąpiło zjawisko spontanicznego złamania symetrii – globalnej (lub lokalnej ). Grupa symetrii lagranżjanu, wyrażonego poprzez takie dowolnie wybrane pole „podstawowe” jest podgrupą grupy symetrii lagranżjanu wejściowego. W przypadku złamania symetrii globalnej, zgodnie z twierdzeniem Goldstone’a, pojawiają się bezmasowe pola skalarne – bozony nambu- goldstonowskie, których liczba jest równa różnicy generatorów grupy SU(n) i SU(n–k). Oczywiście twierdzenie Goldstone’a jest na tyle ogólne, że nie jest ważny konkretna postać grupy, równie dobrze może to być np. grupa O(n). W przypadku złamania symetrii lokalnej (tj. zastępujemy pochodne ∂µ pochodną kowariantną Dµ ), działa mechanizm Higgsa – pojawiają się masywe pola wektorowe (należy przy tym przechowac unitarnie lagranzjan, aby wyeliminować niefizyczne stopnie swobody ). Innymi słowy, ogólnie mówiąc - pierwotnie bezmasowe pole cechowania Aµ, w wyniku spontanicznego złamania symetrii lokalnej, nabiera masy. Mówimy, że bozon cechowania (związany z polem Aµ ) – uzyskał masę dzięki „zjedzeniu” bezmasowego bozonu Nambu -Goldstone’a. Na każde wektorowe pole cechowania, które ma stać się polem masywnym, potrzebujemy jednego zespolonego pola skalarnego, którego jedna część staje się niefizyczna i znika (pojawiając się na nowo, jako podłużny stopień swobody pola wektorowego ), pozostawiając jedno rzeczywiste, fizyczne masywne pole skalarne – bozon Higgsa.

******************************************************************************************

Zakończenie części I W pierwszej części niniejszego wprowadzenia do klasycznej i kwantowej teorii pola, przedstawiono podstawowe wiadomości dotyczące konstrukcji teorii polowych – formalizm Lagrange’a, twierdzenia Noether, podstawowe równania dynamiki pól – skalarnych, wektorowych i spinorowych. Wszystkie te pola charakteryzują się określonymi własnościami transformacyjnymi względem przekształceń należących do grupy Poincarego. Na zakończenie podano podstawowe mechanizmy, które są kluczowe dla współczesnej teorii cząstek elementarnych – mechanizm spontanicznego łamania symetrii : globalnej i lokalnej. W zaprezentowanym tekscie nie omówiono teorii pola tensorowego o spinie 2 tj. klasycznej teorii pola grawitacyjnego. Zagadnienie to, omówione zostało w notatce pt. „Podstawy Ogólnej Teorii Względności” Jeśli chodzi o dalsze rozwinięcie klasycznej teorii pola, to należy zauważyć, że opiera się ono na rozszerzeniach grupy Poincarego. Pierwszym takim rozszerzeniem jest grupa konforemna i tutaj mamy konforemną teorie pola tj. teorię pól klasycznych, które są inwariantne względem grupy konforemnej. Drugim rozszerzeniem jest supersymetria tj. odpowiednie „połączenie” grupy Poincarego i grupy przekształceń unitarnych. Tematowi teorii pól supersymetrycznych poświęcony zostanie osobny tekst. Dalszym rozwinieciem jest analiza pól na przestzreniach zakrzywionych – np. na przestrzeni Riemanna, jak również analiza wielowymiarowych teorii pól. Takim zagadnieniom poświęcono III część pracy. Jak wiadomo, głębsze rozumienie roli teorii polowych w fizyce teoretycznej osiągane jest z punktu widzenia kwantowych własności takich pól. W części drugiej pracy podane zostaną podane podstawowe wiadomości dotyczące zasad kwantowania pól klasycznych. Dopiero z takiej perspektywy tj. przy przejściu od obrazu pole – cząstka, można lepiej zrozumieć mechanizmy funkcjonowania praw przyrody. ******************************************************************************************

CZĘŚĆ II – KWANTOWANIE PÓL KLASYCZNYCH

173

******************************************************************************************

LITERATURA. 1) „Droga do rzeczywistości” - R. Penrose. Prószyński i S-ka 2004 2) „Klasyczna teoria pola” - K. Meissner. WN-PWN 2002 3) „Teoria pola” - L. D. Landau, E. M. Lifszyc PWN 1977 4) „Elementy klasycznej i kwantowej teorii pola” - J. Karaśkiwewicz ; UMCS Lublin 2003 5) „Wprowadzenie w teorię pól klasycznych” - A.A. Bogusz, L. G. Moroz Mińsk 1968 (język rosyjski) 6) „Podstawy fizyki teoretycznej” - B. W. Medwedew. Moskwa Nauka 1977 (język rosyjski) 7) „Podstawowe zasady mechaniki klasycznej i - E. Schmutzer klasycznej teorii pola” Moskwa Mir 1976 (język rosyjski) 8) „Teoria pola - część I” - J. Rzewuski. PWN 1964 (język angielski) 9) „Współczesna geometria – - B.A. Dubrownin, S. P. Nowikow metody i zastosowania” A. T. Fomenko Moskwa Nauka 1986 (język rosyjski ) 10) „Mechanika klasyczna” - J. Leech Moskwa 1961 (język rosyjski ) 11) „Elektrodynamika i klasyczna teoria pola - A. O. Barut oraz cząstek” New York 1980 (język angielski ) 12) „Encyklopedia fizyki matematycznej” - red. L. D. Faddeew. ( hasło : „Twierdzenie Noether” ) Moskwa 1988 (język rosyjski) 13) „Rachunek wariacyjny” - I. M. Gelfand, S. W. Fomin PWN 1972 14) „Pola klasyczne” - D. W. Galcow, Ju. W. Grac , W, C. Żukowskij ( przekład własny ) 15) „Wprowadzenie do symetrii i supersymetrii w kwantowej teorii pola” 16) „Wstęp do teorii pól kwantowych” 17) „Kwantowa teoria pola” 18) „Teoria pola. Współczesne wprowadzenie”

-- Jan Łopuszański World Scientific (język angielski) -- Iwo Białynicki-Birula PWN 1971 -- Lewis H. Ryder ( przekład własny ) -- Pierre Ramond ( przekład własny )

19) „Wstęp do fizyki wysokich energii” – D. H Perkins ; PWN 1989 20) “Gauge theories in the twentieth century” – John C. Taylor University of Cambridge 2001 21) „Gauge theory : Historical origins and some modern developments” – L. O’Raifeartaigh, N. Straumann Reviews of Modern Physics Vol. 72, 2000 22) “Gauge field theories” – Stefan Pokorski; Cambridge 1999 23) “The mathematical foundations of gauge theories” – K. B Marathe, G. Martucci North-Holland 24) “Quark leptons and gauge fields” – Kerson Huang World Scientific 1982 ( tłumaczenie rosyjskie Moskwa Mir 1985 ) 25) „Gauge theory of elementary particle physics” – Ta-Pei Cheng, Ling-Fong Li ( tłumaczenie rosyjskie Moskwa Mir 1987 ) 26) „Pola cechowania” – N. P. Konopiewa, W. N. Popow Atomizdat 1972(język rosyjski ) 27) „Geometria i pola klasyczne. Współczesne metody teorii pola - tom I” – G. A. Sarwanaszwili ; Moskwa 1996 (język rosyjski ) 28) „Wprowadzenie do modelu standardowego cząstek elementarnych” -- Krzysztof Golec–Biernat Instytut Fizyki Jądrowej PAN w Krakowie 2007 29) „Teoria pól kwantowych” tom 1, 2 -- S. Weinberg WN-PWN 1999 30) „Quantum field theory” -- Claude Itzykson, Jean-Bernard Zuber McGraw Hill ( tłumaczenie rosyjskie Moskwa Mir 1984 ) 31) „An introduction to quantum field theory” – M. E. Peskin, D.V. Schroeder Addison-Wesley 1995 32) “Wprowadzenie do teorii pól kwantowych” – N.N Bogolubow, D. W. Szirkow Nauka 1984 (język rosyjski )

174

33) „Leptony i kwarki” 34) „Wstęp do teorii oddziaływań kwarków i leptonów” 35) „Wprowadzenie do polowej teorii cechowania oddziaływań elektrosłabych” 36) „Klasyczna teoria pola”

– L. B. Okun 2005 (język rosyjski ) – E. Leader, E. Predazzi PWN 1990 – A. A. Bogusz ; Moskwa 2003 (język rosyjski ) – K. W. Stepanjanic Moskwa FIZMATLIT 2009

******************************************************************************************

175