WF Rheologie [PDF]

Zitiervorschau

Rhéologie Georges Cailletaud Centre des Matériaux MINES ParisTech/CNRS

Plan

Plan

1

Essais mécaniques Structures Eléments de volume

2

Modèles rhéologiques Les briques de base Plasticité Viscoélasticité Elastoviscoplasticité

3

Bilan

Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 )

Rhéologie

8 mars 2010

2 / 52

Plan

1

Essais mécaniques Structures Eléments de volume

2

Modèles rhéologiques Les briques de base Plasticité Viscoélasticité Elastoviscoplasticité

3

Bilan

Essais mécaniques

Structures

Tests d’un avion civil

www.mts.com

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Essais mécaniques

Structures

Vibration d’une aile

www.mts.com

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Essais mécaniques

Structures

Structures biologiques

www.mts.com

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Essais mécaniques

Structures

Structures biologiques

www.mts.com

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Essais mécaniques

Structures

Alimentaire

www.mts.com

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Plan

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Essais mécaniques Structures Eléments de volume

2

Modèles rhéologiques Les briques de base Plasticité Viscoélasticité Elastoviscoplasticité

3

Bilan

Essais mécaniques

Eléments de volume

Machines d’essai

www.mts.com Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 )

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Essais mécaniques

Eléments de volume

Compression du gypse

Doc. Mines Paris-Géosciences

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Plus de détails sur site mms2.ensmp.fr

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Essais mécaniques

Eléments de volume

Résultat de compression du gypse

Doc. Mines Paris-Géosciences

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Essais mécaniques

Eléments de volume

Traction sur fibre

www.mts.com

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Essais mécaniques

Eléments de volume

Traction sur alliage métallique

www.mts.com

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Essais mécaniques

Eléments de volume

Essais mécaniques Les essais de base Matériaux dont le comportement est insensible à la vitesse de sollicitation Essai de traction, ou essai d’écrouissage Essai sous chargement cyclique, ou essai de fatigue

Matériaux dont le comportement est sensible à la vitesse de sollicitation Essai à contrainte constante, ou essai de fluage Essai à déformation constante, ou de relaxation

Autres essais Essais sous chargement multiaxial Traction–torsion Pression interne ou externe

Essais en flexion Essais de fissuration

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Essais mécaniques

Eléments de volume

Résultat de traction sur un alliage d’aluminium Domaine d’élasticité «vrai», limite d’élasticité conventionnelle, σ0.2 , qui donne 0.2% de déformation résiduelle à la décharge Contrainte ultime, σu 600 500 σ (MPa)

400 300 200 Tension curve Elastic slope 0.2% residual strain

100 0 0

0.01

0.02

0.03

0.04

ε(mm/mm)

E=78000 MPa, σ0.2 =430 MPa, σu =520 MPa Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 )

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Doc. Mines Paris-CDM, Evry 8 mars 2010

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Essais mécaniques

Eléments de volume

Résultat de traction sur un acier inoxydable Matériau présentant un écrouissage important : possibilité de durcissement dans le domaine plastique, augmentation de la limite d’élasticité courante 600 500 σ (MPa)

400 300 200 Tension curve Elastic slope 0.2% residual strain

100 0 0

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 ε(mm/mm)

E=210000 MPa, σ0.2 =180 MPa, σu =660 MPa

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Doc. ONERA-DMSE, Châtillon

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Essais mécaniques

Eléments de volume

Traction et compression sur un alliage d’aluminium Essai à déformation imposée symétrique ± 0.3% A contrainte nulle, il reste une déformation positive A déformation nulle, la contrainte est devenue négative 300 200 σ (MPa)

100 0 -100 -200 -300 -0.005

-0.003

-0.001

0.001

0.003

0.005

ε(mm/mm) Doc. Mines Paris-CDM, Evry Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 )

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Essais mécaniques

Eléments de volume

Modèles schématisant les résultats précédents σ

σ

ET

σy

σy

E

E

ε

0

0

a. Élastique–parfaitement plastique

ε

b. Élastique–plastique linéaire

Module élastoplastique, ET = d σ/d ε. ET = 0 : matériau élastique-parfaitement plastique ET constant : matériau élasto-plastique linéaire Et fonction de la déformation dans le cas général

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Essais mécaniques

Eléments de volume

Fonctionnement d’un modèle de plasticité instantanée σ

B

Régime élastique OA, O’B Ecoulement plastique AB Déformation résiduelle OO’

A

0

ε

0’

Décomposition de la déformation, ε = εe + εp ; Domaine d’élasticité, à définir par une fonction de charge f Ecrouissage, à définir par des variables d’écrouissage, AI .

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Essais mécaniques

Eléments de volume

Résultat de traction sur un acier à haute température Effet de la viscosité : Comportement sensible à la vitesse de déformation

725◦ C

σ(MPa)

80 60 40 ε˙ = 2.4 10−4 s−1 ε˙ = 8.0 10−5 s−1 ε˙ = 1.6 10−5 s−1

20 0 0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

ε Doc. Ecole des Mines, Nancy

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Essais mécaniques

Eléments de volume

Essai de fluage sur fil étain-plomb

Voir l’exercice Mines Paris-CDM, Evry

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Essais mécaniques

Eléments de volume

Résultat de fluage sur une fonte (1) 0.03 0.025

εp

0.02 0.015 σ=25MPa σ=20MPa σ=16MPa σ=12MPa

0.01 0.005 0 0

200

400

600

800

1000

t (s) Doc. Mines Paris-CDM, Evry Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 )

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Essais mécaniques

Eléments de volume

Représentation schématique d’une courbe de fluage Fluage primaire , période de durcissement du matériau (écrouissage) Fluage secondaire , ou stabilisé : ε˙ p est une fonction puissance de la contrainte appliquée Fluage tertiaire , ou perte de résistance conduisant à la rupture, décrite par des variables d’endommagement

ε

p

III II I

t Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 )

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Essais mécaniques

Eléments de volume

Résultat de fluage sur une fonte (2) T=500◦ C T=600◦ C T=700◦ C T=800◦ C

0.001

ε˙ p (s−1)

0.0001 1e-05 1e-06 1e-07 1e-08 1

10

100

σ (MPa) Doc. Mines Paris-CDM, Evry Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 )

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Essais mécaniques

Eléments de volume

Essai de relaxation

On impose une déformation constante en fonction du temps Pendant l’essai :

˙ E ε˙ = 0 = ε˙ p + σ/ d εp = −d σ/E Pour une déformation positive, la déformation viscoplastique augmente pendant que la contrainte diminue La valeur asymptotique de la contrainte est nulle (relaxation totale) ou non (relaxation partielle) Relaxation partielle s’il existe une contrainte interne ou contrainte seuil dans le matériau,

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Essais mécaniques

Eléments de volume

Représentation schématique d’une courbe de relaxation Le point représentatif est obtenu comme la somme de la contrainte seuil σs et de la contrainte visqueuse σv La contrainte seuil représente un comportement plastique qui peut être atteint asymptotiquement lorsque la vitesse tend vers zéro

σ

σ E

σv

σs

ε Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 )

t

p Rhéologie

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Essais mécaniques Structures Eléments de volume

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Modèles rhéologiques Les briques de base Plasticité Viscoélasticité Elastoviscoplasticité

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Bilan

Modèles rhéologiques

Les briques de base

Les briques de base pour les modèles de matériau

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Modèles rhéologiques

Les briques de base

Différents types de rhéologies

Plasticité indépendante du temps

ε = εe + εp

d εp = f (...)d σ

ε = εe + εp

d εp = f (...)dt

Elasto-viscoplasticité Viscoélasticité

˙ ε, ε˙ ) = 0 F (σ, σ,

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Plan

1

Essais mécaniques Structures Eléments de volume

2

Modèles rhéologiques Les briques de base Plasticité Viscoélasticité Elastoviscoplasticité

3

Bilan

Modèles rhéologiques

Plasticité

Plasticité indépendante du temps

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Modèles rhéologiques

Plasticité

Modèle élastique–parfaitement plastique Le régime de fonctionnement est défini par la fonction de charge f (de l’espace des contraintes dans R) f (σ) = |σ| − σy

Domaine d’élasticité si f < 0

˙ E ε˙ = ε˙ e = σ/

Décharge élastique si f = 0 et f˙ < 0

˙ E ε˙ = ε˙ e = σ/

Ecoulement plastique si f = 0 et f˙ = 0

ε˙ = ε˙ p

La condition f˙ = 0 est la condition de cohérence

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Modèles rhéologiques

Plasticité

Modèle de Prager Fonction de charge à deux variables, σ et X f (σ, X ) = |σ − X | − σy

avec X = H εp

Ecoulement plastique si on vérifie à la fois f = 0 et f˙ = 0.

∂f ∂f ˙ σ˙ + X =0 ∂σ ∂X signe(σ − X ) σ˙ − signe(σ − X ) X˙ = 0

soit : σ˙ = X˙

Vitesse de déformation plastique fonction de la vitesse de contrainte

˙ H ε˙ p = σ/ Vitesse de déformation plastique fonction de la vitesse de déformation

ε˙ p =

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E E +H

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ε˙

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Modèles rhéologiques

Plasticité

Ecriture des équations de l’élastoplasticité uniaxiale Domaine d’élasticité si f (σ, Ai ) < 0

˙ E ε˙ = σ/

Décharge élastique si f (σ, Ai ) = 0 et f˙ (σ, Ai ) < 0

˙ E ε˙ = σ/

Ecoulement plastique si f (σ, Ai ) = 0 et f˙ (σ, Ai ) = 0

˙ E + ε˙ p ε˙ = σ/

La condition de cohérence s’écrit : f˙ (σ, Ai ) = 0

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Modèles rhéologiques

Plasticité

Illustration des deux types d’écrouissage

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Modèles rhéologiques

Plasticité

Modèle d’écrouissage isotrope Fonction de charge à deux variables, σ et R f (σ, R ) = |σ| − R − σy R dépend de p, déformation plastique cumulée : p˙ = |ε˙ p | dR /dp = H

soit R˙ = H p˙

Ecoulement plastique ssi f = 0 et f˙ = 0

∂f ∂f ˙ σ˙ + R=0 ∂σ ∂R sign(σ) σ˙ − R˙ = 0

soit sign(σ) σ˙ − H p˙

Vitesse de déformation plastique fonction de la vitesse de contrainte

˙ H p˙ = sign(σ) σ/

˙ H soit ε˙ p = σ/

Modèles classiques Ramberg-Osgood : σ = σy + Kpm Loi exponentielle : σ = σu + (σy − σu ) exp(−bp) Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 )

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Essais mécaniques Structures Eléments de volume

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Modèles rhéologiques Les briques de base Plasticité Viscoélasticité Elastoviscoplasticité

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Bilan

Modèles rhéologiques

Viscoélasticité

Viscoélasticité

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Modèles rhéologiques

Viscoélasticité

Réponses élémentaires en viscoélasticité

˙ E0 + σ/η Eléments en série, modèle de Maxwell : ε˙ = σ/ Fluage sous une contrainte σ0 :

ε = σ0 /E0 + σ0 t / η

Relaxation à la déformation ε0 :

σ = E0 ε0 exp[−t /τ]

Eléments en parallèles, modèle de Voigt : σ = H ε + ηε˙ ou ε˙ = (σ − H ε)/η Fluage sous une contrainte σ0 : ε = (σ0 / H )(1 − exp[−t /τ0 ]) Les constantes τ = η/E0 et τ0 = η/H sont homogènes à un temps, τ désignant le temps de relaxation du modèle de Maxwell

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Modèles rhéologiques

Viscoélasticité

Modèles composés (E1 )

(H) (E0 ) (η)

(E2 )

a. Kelvin–Voigt

(η)

b. Zener

Réponses en fluage et en relaxation



 (1 − exp[−t /τf ]) σ0 E0 H   H E0 σ(t ) = E (t ) ε0 = + exp[−t /τr ] E0 ε0 H + E0 H + E0 ε(t ) = C (t ) σ0 =

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1

+

1

Rhéologie

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Essais mécaniques Structures Eléments de volume

2

Modèles rhéologiques Les briques de base Plasticité Viscoélasticité Elastoviscoplasticité

3

Bilan

Modèles rhéologiques

Elastoviscoplasticité

Elasto-viscoplasticité

Schéma du modèle X = H εvp

Réponse en traction

σv = ηε˙ vp

|σp | 6 σy

σ = X + σv + σp Domaine d’élasticité, dont la frontière est |σp | = σy Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 )

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Modèles rhéologiques

Elastoviscoplasticité

Equations du modèle Trois régimes de fonctionnement

(a) ε˙ vp = 0 (b) ε˙ vp > 0 (c ) ε˙ vp < 0

|σp | = |σ − H εvp |

6 σy

σp = σ − H εvp − η ε˙ vp = σy σp = σ − H εvp − η ε˙ vp = − σy

(a) intérieur ou frontière du domaine d’élasticité (|σp | < σy ) (b), (c ) écoulement (|σp | = σy et |σ˙ p | = 0 ) On peut résumer les trois équations (en posant < x >= max (x , 0)) par

η ε˙ vp = h|σ − X | − σy i signe(σ − X ) ou :

ε˙ vp =

signe(σ − X ) , η

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Rhéologie

avec f (σ, X ) = |σ − X | − σy

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Modèles rhéologiques

Elastoviscoplasticité

Fluage avec un modèle de Bingham

σ

εvp

σo

σo - σy

X

H

σy ε

t Déformation viscoplastique en fonction du temps

εvp =

σo − σy

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H



vp

Evolution dans le plan contrainte–déformation viscoplastique



1 − exp −

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t

τf

 avec : τf = η/H

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Modèles rhéologiques

Elastoviscoplasticité

Relaxation avec un modèle de Bingham σ Transitoire : OA = BC

A H

B

-E

Relaxation : AB

H vp

ε

O

σy

D

ε

C

vp

Effacement

Relaxation

σ = σy

E E +H





1 − exp −

t

τr

 +

avec : τr =

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Effacement incomplet : CD

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E εo E +H





H + E exp −

t



τr

η E +H

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Modèles rhéologiques

Elastoviscoplasticité

Ingrédients des modèles classiques de viscoplasticité

Modèle de Bingham

ε˙ vp =

signe(σ − X ) η

Plus généralement

ε˙ vp = φ(f ) φ(0) = 0

et φ monotone croissante

ε˙ vp est nulle si le point courant se trouve dans le domaine d’élasticité ou sur le bord de celui-ci

ε˙ vp est non nulle si le point courant se trouve à l’extérieur du domaine d’élasticité On distingue des modèles avec/sans seuil et avec/sans écrouissage

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Modèles rhéologiques

Elastoviscoplasticité

Modèles viscoplastiques sans écrouissage

Modèles sans seuil : le domaine d’élasticité peut se réduire à l’origine (σ = 0) Modèle de Norton

ε˙ vp =



|σ|

n signe(σ)

K

Modèle de Sellars-Tegart

ε˙ vp = A sh



|σ| K

 signe(σ)

Modèles à seuil Modèle de Perzyna

ε˙ vp =



|σ| − σy

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K

n signe(σ)

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,

ε˙ vp = ε˙ 0



|σ| −1 σy

n signe(σ)

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Modèles rhéologiques

Elastoviscoplasticité

Modèles viscoplastiques avec écrouissage Notion d’écrouissage additif : le durcissement provient des variables qui expriment le seuil (X et R)

ε˙ vp =



|σ − X | − R − σy

n

K

signe(σ − X )

X désigne la contrainte interne, internal stress (écrouissage cinématique) R + σy désigne la contrainte de friction, friction stress (écrouissage isotrope) σv est la contrainte visqueuse, drag stress

Notion d’écrouissage multiplicatif : on fait varier la contrainte visqueuse, par exemple :    

ε˙ vp =

|σ| K (εp )

n

signe(σ) =

|σ| K0 |εp |m

n

signe(σ)

(écrouissage par la déformation, ou strain hardening)

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Bilan

En plasticité et en viscoplasticité... Domaine d’élasticité défini par une fonction de charge f < 0 Variables d’écrouissage isotrope et cinématique En plasticité : Ecoulement défini par la condition de cohérence si f = 0, f˙ = 0 Ecoulement plastique instantané : d εp = g (σ, . . . )d σ En viscoplasticité : Ecoulement défini par la fonction de viscosité si f > 0 Possibilité d’écrouissage sur la contrainte visqueuse Ecoulement viscoplastique retardé d εvp = g (σ, . . . )dt

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Bilan

Identification des essais sur le fil de brasure 0.1 exp sim

14

0.08

12

stress (MPa)

creep strain

10 0.06

0.04

8

6

4 1534 g 1320 g 1150 g 997 g 720 g

0.02

2

0

0 0

1000

2000

3000

4000

5000

0

time (s)

5000

10000

15000

20000

25000

time (s)

Essais de fluage

Relaxation ε=20%

Courbes obtenues avec un modèle de Norton

ε˙ p =

 σ 2.3 800

J’essaie tout(e) seul(e) sur le site mms2.ensmp.fr O

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Bilan

Identification du fluage du sel gemme 0.008 0.007 0.006

strain

0.005 0.004 0.003 0.002 0.001 exp sim 0 0

Eprouvette

0.5

1

1.5

2 time (Ms)

2.5

3

3.5

4

Essai à 3 niveaux (3, 6, 9 MPa)

Courbes obtenues avec un modèle de Lemaitre (strain hardening)

ε˙ p =

 σ n K

(εp + v0 )m

J’essaie tout(e) seul(e) sur le site mms2.ensmp.fr O Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 )

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