Werkboek Kennisbasis Rekenen [PDF]

Zitiervorschau

1

Voorwoord Bedankt dat je hebt gekozen voor mijn E-book! Dit boek is ontstaan omdat studenten meer rekenoefeningen wilden dan ik op mijn website had staan. Er was veel vraag naar een rekenboek dat aansloot bij mijn webartikelen. In dit boek worden verschillende rekenmethodes uitgelegd. Daarnaast vind je er veel nieuwe oefeningen met uitwerkingen in. Om fouten in het E-book te voorkomen heb ik de oefeningen zelf allemaal gedaan. Het resultaat was foutloos! Alleen op deze manier kon ik een betrouwbare bron zijn voor al jullie vragen. Rekenen is een vak dat je kunt leren, simpelweg door veel te oefenen. Vaak verwaarlozen mensen hun rekenvaardigheid doordat ze niet voldoende oefenen. Dat is niet zo vreemd als je bedenkt dat mensen na hun basisschool en middelbare school niet veel meer rekenen. Daarnaast is rekenen bij veel mensen ook niet het favoriete vak. Maar dat hoeft je niet te hinderen je doelen te bereiken! Als je vaak en herhaaldelijk oefent, heb je al snel 100 procent kans van slagen. Ik zeg altijd “niet kunnen rekenen bestaat niet”, omdat ik ervan overtuigd ben dat wanneer je iets herhaaldelijk oefent je het uiteindelijk altijd onder de knie krijgt. Of dat proces van oefenen je moeilijk of makkelijk afgaat, hangt vooral af van jezelf. Bij het oefenen van rekenopgaven is het vooral verstandig er de tijd voor te nemen. Het tempo waarin je leert kun je zelf het beste bepalen als je weet hoe snel je iets onder de knie krijgt. Dat weet je zelf natuurlijk het beste. Ik heb wel een paar tips voor je: Tips      

Oefen 4 à 5 dagen per week, minimaal 1 uur en maximaal 2 uur per keer. Dit is goed voor je concentratie en je motivatie. Begin het oefenen met herhalen van wat je eerder die dag of de keer ervoor al hebt geoefend. Doe dit om te kijken of je het nog steeds begrijpt en om vast te stellen of je een bepaald onderdeel opnieuw moet oefenen. Controleer al je antwoorden na elke sessie of elk blok met opgaven. Gebruik eventueel video’s of andere hulpmiddelen die je vooruit kunnen helpen met het oefenen. Oefen volgens de manier waarop jij je rekentoets moet maken. Vermijd het gebruik van een rekenmachine bij het hoofdrekenen en gebruik in plaats daarvan bijvoorbeeld een kladblaadje. Houd bij het maken van een oefentoets de tijd in de gaten en blijf binnen de tijdsnorm.

2

Inhoud Voorwoord Domein basisbewerkingen  Voorkennis  Optellen en aftrekken  Vermenigvuldigen  Machten  Delen  Bewerkingsvolgorde

2 5 8 12 15 20 24

Domein hoofdrekenen  Aanvullen en compenseren  Commutatie en associëren  Vermenigvuldigen met 1  Distributie en splitsen

27 30 33 36

Domein breuken, procenten en verhoudingen  Vereenvoudigen  Breuken  Procenten  Verhoudingen

39 43 46 50

Domein meten en meetkunde  Meten (1)  Optellen en aftrekken van meetgetallen (2)  Oppervlakte rechthoek (3)  Inhoud balk (4)  Omtrek van rechthoeken en andere objecten (5)  Omtrek cirkel (6)  Inhoud prisma (7)  Wat is snelheid (8)  Schaal (9)  Kloktijden (10)  Meetkunde

54 58 61 64 67 70 73 76 79 82 85

Domein informatieverwerking  Grafieken en verbanden  Kansen

91 99

3

Domein redactiesommen  Algebra (1)  Algebra (2)  Algebra (3)  Redactiesommen (1)  Redactiesommen (2)  Redactiesommen (3)

105 109 113 116 119 122

4

Basisbewerkingen     

Voorkennis Optellen en Aftrekken Vermenigvuldigen Machten Delen

Theorie voorkennis Voordat je kunt beginnen aan de oefeningen moet je eerst voorkennis hebben. Zorg ervoor dat je de tafels van 1 tot en met 10 uit je hoofd kent en dat je de decimale notatie van breuken kent met de noemers 2, 3, 4, 5, 6, 8 en 10. Hieronder kun je de tafels 1 tot en met 10 leren als je daar nog moeite mee hebt. Tafels 1 tot en met 10:

De decimale notaties van breuken: 1 3 0,5 = 0,6 = 2 5 0,333 =

1 3

0,8 =

0,666 =

2 3

0,166 =

0,875 =

4 5

7 8

0,1 =

1 10

1 6

0,3 =

3 10

0,25 =

1 4

0,833 =

5 6

0,7 =

7 10

0,75 =

3 4

0,125 =

1 8

0,9 =

9 10

5

0,2 =

1 5

0,375 =

3 8

0,05 =

1 20

0,4 =

2 5

0,625 =

5 8

0,01 =

1 100

6

Oefeningen voorkennis 1 Als je alles uit je hoofd hebt geleerd, kun je nu de volgende oefening maken. Tafel 1 tot 12 gemengd: 10 x 4 =______ 10 x 8 =______ 6 x 11 =______ 6 x 12 =______ 7 x 6 =______

6 x 5 =______ 7 x 7 =______ 8 x 7 =______ 10 x 3 =______ 9 x 11 =______

8 x 12 =______ 5 x 6 =______ 9 x 9 =______ 7 x 3 =______ 5 x 7 =______

10 x 1 =______ 4 x 10 =______ 9 x 7 =______ 10 x 5 =______ 9 x 8 =______

2 x 4 =______ 7 x 5 =______ 7 x 8 =______ 6 x 4 =______ 10 x 6 =______

8 x 8 =______ 4 x 2 =______ 7 x 4 =______ 1 x 5 =______ 2 x 9 =______

3 x 7 =______ 8 x 3 =______ 2 x 1 =______ 8 x 1 =______ 1 x 8 =______

9 x 3 =______ 7 x 2 =______ 8 x 11 =______ 3 x 8 =______ 7 x 11 =______

3 x 9 =______ 1 x 11 =______ 6 x 7 =______ 5 x 8 =______ 2 x 7 =______

10 x 12 =______ 1 x 1 =______ 7 x 10 =______ 5 x 5 =______ 1 x 6 =______

3 x 3 =______ 8 x 9 =______ 4 x 8 =______ 10 x 9 =______ 6 x 1 =______

4 x 3 =______ 3 x 4 =______ 5 x 10 =______ 3 x 1 =______ 3 x 2 =______

Decimale notatie van breuken: 0,5 = ______ 0,6 = ______ 0,333 = ______ 0,8 = ______ 0,666 = ______ 0,166 = ______ 0,25 = ______ 0,833 = ______ 0,75 = ______ 0,125 = ______ 0,2 = ______ 0,375 = ______ 0,4 = ______ 0,625 = ______

0,875 = ______ 0,1 = ______ 0,3 = ______ 0,7 = ______ 0,9 = ______ 0,05 = ______ 0,01 = ______

7

Antwoordblad voorkennis Tafel 1 tot 12 gemengd: 40 35 80 49 66 56 72 30 42 99

96 30 81 21 35

10 40 63 50 72

8 35 56 24 60

64 8 28 5 18

21 24 2 8 8

27 14 88 24 77

27 11 42 40 14

120 1 70 25 6

9 72 32 90 6

12 12 50 3 6

Decimale notatie van breuken: 0,5 =

1 2

0,6 =

3 5

0,875 =

7 8

4 5

0,1 =

1 10

0,333 =

1 3

0,8 =

0,666 =

2 3

0,166 =

1 6

0,3 =

3 10

0,25 =

1 4

0,833 =

5 6

0,7 =

7 10

0,75 =

3 4

0,125 =

1 8

0,9 =

9 10

0,2 =

1 5

0,375 =

3 8

0,05 =

1 20

0,4 =

2 5

0,625 =

5 8

0,01 =

1 100

8

Theorie optellen en aftrekken Optellen en aftrekken zijn de basisonderdelen van rekenen. Het resultaat van optellen heet een som van meerdere getallen en het resultaat van aftrekken wordt ook wel het verschil genoemd. Hieronder zie je een voorbeeld.

Voorbeeld: 3 + 7 = 10 De som van 3 en 7 is 10. 6 – 5 = 1 Het verschil van 6 en 5 is 1. Om het optellen en aftrekken makkelijker te maken kun je gebruik maken van een getallenlijn. Voorbeeld: 11 + 9 = 20, en 13 + 7 = 20

Een opgave begint altijd met een startgetal. Bij een optelsom komt daarna een + (plus), en bij een aftreksom een - (min). Daarna komt een stapgrootte. De stapgrootte is het getal dat bij het startgetal moet worden opgeteld, of ervan af moet worden getrokken. Het teken en de stapgrootte geven samen het eindgetal aan.   Voorbeeld: -5 + 8 = 3 Het startgetal is –5, het teken is een +, de stapgrootte is een 8 en het eindgetal is een 3. Een getallenlijn kan oplopen van – naar +. Je kunt de 0 op een getallenlijn zien als een kleine pauze, zo kun je het rekenen makkelijker maken. Als je bijvoorbeeld 5 – 8 = … wilt uitrekenen, kun je die som verdelen in twee stukjes. Eerst reken je uit: 5 – 5 = 0. Je moet dan nog 3 aftrekken van je startgetal (je begon met 8 en hebt er al 5 afgetrokken). Daarna reken je dus uit: 0 – 3 = -3, dit is het antwoord (eindgetal) van je som.

9

Als je een paar grotere getallen moet optellen, schrijf de getallen dan onder elkaar. Zorg ervoor dat de getallen aan de rechterkant recht onder elkaar staan. Bij deze methode maak je kolommen van enkelen, tientallen, honderdtallen, duizendtallen enz. Voorbeeld: cijferend optellen 761 + 355 = ? 761 355 + 1116 STAP 1          HTE  761 355 6  

STAP 2          1 761 355   16

STAP 3          1 761 355   16

STAP 4          1 761 355 1116

STAP 1: Zet de getallen met de rechterkanten recht onder elkaar met een streep onder het laatste getal. Honderdtallen (H) recht onder elkaar, tientallen (T) recht onder elkaar, eenheden (E) recht onder elkaar. STAP 2: Tel de 'eenheden' op: 5 + 1 = 6. Schrijf de 6 onder de streep.   STAP 3: Tel de 'tientallen' op, 6 + 5 = 11. Schrijf de 1 onder de streep en de 1 helemaal bovenaan, om te onthouden.   STAP 4: Tel de 'honderdtallen' op, samen met die 1 die je moest onthouden: 1 + 7 + 3 = 11. Schrijf de 11 onder de streep. Nu staat het antwoord er: 1116 TIPS  

Optellen: Begin rechts en tel de getallen die onder elkaar staan bij elkaar op. Een getal gelijk of groter dan 10: schrijf alleen de eenheid op en het tiental neem je mee naar de volgende stap.

Je hebt nu gezien hoe je grote getallen op een gemakkelijke manier kunt optellen. Voor aftrekken is er een soortgelijke manier. Je zet net als bij cijferend optellen de getallen onder elkaar.

Voorbeeld: cijferend aftrekken met lenen bij de buurman. 934 326 608 Begin rechts: 4 - 6 kan niet dus 'leen' je 1 van het volgende getal, zodat je 14 - 6 kunt doen. Je schrijft dus onder de streep aan de rechterkant 8. Om het 'lenen van de 1' te compenseren trek je bij de volgende stap 1 extra ervan af. De tweede stap wordt dan 3 - 2 - 1 = 0. Als laatstje moet je nog 9 - 3 doen, wat uitkomt op 6. 10

Oefeningen optellen en aftrekken Optelsommen: Oefening 1 1. 493 + 204 =______ 2. 346 + 137 = ______ 3. 245 + 208 =______ 4. 248 + 201 =______ 5. 230 + 108 =______ 6. 332 + 228 =______ 7. 499 + 466 =______ 8. 454 + 208 =______ 9. 367 + 335 =______ 10. 222 + 106 =______

Oefening 2 1. 283 + 115 =______ 2. 459 + 305 =______ 3. 412 + 112 =______ 4. 450 + 100 =______ 5. 167 + 161 =______ 6. 487 + 172 =______ 7. 230 + 197 =______ 8. 476 + 389 =______ 9. 365 + 126 =______ 10. 486 + 115 =______

Oefening 3 1. 347 + 139 =______ 2. 269 + 255 =______ 3. 305 + 286 =______ 4. 352 + 209 =______ 5. 390 + 288 =______ 6. 284 + 221 =______ 7. 318 + 292 =______ 8. 393 + 104 =______ 9. 460 + 273 =______ 10. 417 + 298 =______

Oefening 4 1. 409 + 401 =______ 2. 391 + 106 =______ 3. 353 + 138 =______ 4. 148 + 110 =______ 5. 486 + 202 =______ 6. 218 + 127 =______ 7. 404 + 397 =______ 8. 500 + 478 =______ 9. 382 + 299 =______ 10. 486 + 360 =______

Aftreksommen: Oefening 1 1. 970 - 483 =______ 2. 968 - 527 =______ 3. 802 - 385 =______ 4. 817 - 689 =______ 5. 988 - 523 =______ 6. 878 - 286 =______ 7. 691 - 168 =______ 8. 464 - 232 =______ 9. 957 - 251 =______ 10. 946 - 413 =_____

Oefening 2 1. 609 - 166 =______ 2. 594 - 215 =______ 3. 859 - 515 =______ 4. 634 - 569 =______ 5. 887 - 211 =______ 6. 990 - 902 =______ 7. 821 - 147 =______ 8. 774 - 250 =______ 9. 607 - 97 =______ 10. 703 - 346 =______

Oefening 3 1. 439 - 137 =______ 2. 565 - 263 =______ 3. 329 - 101 =______ 4. 974 - 699 =______ 5. 483 - 378 =______ 6. 702 - 219 =______ 7. 818 - 511 =______ 8. 394 - 98 =______ 9. 946 - 506 =______ 10. 560 - 256 =______

Oefening 4 1. 428 - 82 =______ 2. 690 - 381 =______ 3. 447 - 366 =______ 4. 642 - 532 =______ 5. 422 - 316 =______ 6. 620 - 106 =______ 7. 818 - 511 =______ 8. 820 - 285 =______ 9. 409 - 99 =______ 10. 936 - 182 =______

11

Antwoordblad optellen en aftrekken Optelsommen: Oefening 1 1. 493 + 204 = 697 2. 346 + 137 = 483 3. 245 + 208 = 453 4. 248 + 201 = 449 5. 230 + 108 = 338 6. 332 + 228 = 560 7. 499 + 466 = 965 8. 454 + 208 = 662 9. 367 + 335 = 702 10. 222 + 106 = 328 Oefening 3 1. 347 + 139 = 486 2. 269 + 255 = 524 3. 305 + 286 = 591 4. 352 + 209 = 561 5. 390 + 288 = 678 6. 284 + 221 = 505 7. 318 + 292 = 610 8. 393 + 104 = 497 9. 460 + 273 = 733 10. 417 + 298 = 715

Oefening 2 1. 283 + 115 = 398 2. 459 + 305 = 764 3. 412 + 112 = 524 4. 450 + 100 = 550 5. 167 + 161 = 328 6. 487 + 172 = 659 7. 230 + 197 = 427 8. 476 + 389 = 865 9. 365 + 126 = 491 10. 486 + 115 = 601 Oefening 4 1. 409 + 401 = 810 2. 391 + 106 = 497 3. 353 + 138 = 491 4. 148 + 110 = 258 5. 486 + 202 = 688 6. 218 + 127 = 345 7. 404 + 397 = 801 8. 500 + 478 = 978 9. 382 + 299 = 681 10. 486 + 360 = 846

Aftreksommen: Oefening 1 1. 970 - 483 = 487 2. 968 - 527 = 441 3. 802 - 385 = 417 4. 817 - 689 = 128 5. 988 - 523 = 465 6. 878 - 286 = 592 7. 691 - 168 = 523 8. 464 - 232 = 232 9. 957 - 251 = 706 10. 946 - 413 = 533 Oefening 3 1. 439 - 137 = 302 2. 565 - 263 = 302 3. 329 - 101 = 228 4. 974 - 699 = 275 5. 483 - 378 = 105 6. 702 - 219 = 483 7. 818 - 511 = 307 8. 394 - 98 = 296 9. 946 - 506 = 440 10. 560 - 256 = 304

Oefening 2 1. 609 - 166 = 443 2. 594 - 215 = 379 3. 859 - 515 = 344 4. 634 - 569 = 65 5. 887 - 211 = 676 6. 990 - 902 = 88 7. 821 - 147 = 674 8. 774 - 250 = 524 9. 607 - 97 = 510 10. 703 - 346 = 357 Oefening 4 1. 428 - 82 = 346 2. 690 - 381 = 309 3. 447 - 366 = 81 4. 642 - 532 = 110 5. 422 - 316 = 106 6. 620 - 106 = 514 7. 818 - 511 = 307 8. 820 - 285 = 535 9. 409 - 99 = 310 10. 936 - 182 = 754

12

Theorie vermenigvuldigen Vermenigvuldigen is eigenlijk een herhaaldelijk achter elkaar gemaakte zelfde optelling. Dit is uitgevonden om een optelling op een eenvoudiger manier op te schrijven. Voorbeeld:

4+4+4+4

= 4×4

Je ziet dat je het optellen 4 keer herhaald hebt, dat wordt dan 4 maal 4 (4 × 4) zoals je kunt zien in het voorbeeld. Als je grotere getallen gaat vermenigvuldigen, kun je gebruik maken van traditioneel vermenigvuldigen. 426 x 39 = ?   Zet de twee getallen onder elkaar, met de rechterkant recht onder elkaar. H = Honderdtallen,  T = Tientallen, E = Eenheden.   STAP STAP STAP STAP 1          2          3          4            HTE          426       426       426       426        39 x    39 x    39 x    39 x      54    54    54   180   180   180  3600  3600  3600   180   180   600   600 12000 12000 +   16614   STAP 1 Zet de getallen recht onder elkaar. Honderdtallen (H) recht onder elkaar, tientallen (T) recht onder elkaar, eenheden (E) recht onder elkaar.   STAP 2 Reken uit: 9 x 6= 54,   9 x 20 = 180,   9 x 400 = 3600   STAP 3 Reken uit: 30 x 6 = 180,   30 x 20 = 600,   30 x 400 = 12000   STAP 4 Tel alle uitkomsten op: 54 + 180 + 3600 + 180 + 600 + 12000 = 16614

Als je een som hebt die op een nul of meer eindigt, is deze methode niet zo handig. Je kunt dan beter gebruik maken van de methode in het volgende voorbeeld: Voorbeeld: 280 × 4200 = 28 × 10 × 42 × 100 = 28 × 42 × 1000 = 1.176.000 Ook bij kommagetallen kun je deze methode gebruiken: 13

2,8 × 4,2 = 28 × 1/10 × 38 × 1/10 = 28 × 42 × 1/100 = 11,76

Oefeningen vermenigvuldigen Oefening 1:

Oefening 2:

1. 6 x 22 =______ 2. 8 x 34 =______ 3. 12 x 26 =______ 4. 9 x 65 =______ 5. 18 x 24 =______ 6. 26 x 21 =______ 7. 32 x 41 =______ 8. 22 x 61 =______ 9. 12 x 55 =______ 10. 45 x 16 =______

1. 22 x 55=______ 2. 42 x 34 =______ 3. 20 x 12 =______ 4. 66 x 21 =______ 5. 78 x 56 =______ 6. 28 x 52 =______ 7. 36 x 34 =______ 8. 29 x 35 =______ 9. 26 x 51 =______ 10. 44 x 34 =______

Oefening 3:

Oefening 4:

1. 260 x 10 =______ 2. 1.000 x 715 =______ 3. 222 x 100 =______ 4. 1.000 x 638 =______ 5. 625 x 10 =______ 6. 323 x 100 =______ 7. 579 x 10 =______ 8. 1.000 x 56 =______ 9. 745 x 100 =______ 10. 100 x 33 =______

1. 1.000 x 874 =______ 2. 1.000 x 203 =______ 3. 665 x 100 =______ 4. 1.000 x 473 =______ 5. 364 x 10 =______ 6. 418 x 100 =______ 7. 983 x 100 =______ 8. 1.000 x 940 =______ 9. 872 x 100 =______ 10. 986 x 10 =______

Oefening 5:

Oefening 6:

1. 1.000 x 71 =______ 2. 126 x 10 =______ 3. 911 x 100 =______ 4. 1.000 x 653 =______ 5. 106 x 10 =______ 6. 1.000 x 625 =______ 7. 446 x 100 =______ 8. 1.000 x 434 =______ 9. 282 x 100 =______ 10. 205 x 100 =______

1. 376 x 10 =______ 2. 603 x 100 =______ 3. 1.000 x 570 =______ 4. 1.000 x 323 =______ 5. 551 x 10 =______ 6. 1.000 x 787 =______ 7. 1.000 x 963 =______ 8. 841 x 100 =______ 9. 460 x 10 =______ 10. 1.000 x 986 =______

Oefening 7 vermenigvuldigen met kommagetallen: a) 7,5 x 5,2 =______ b) 1,7 x 2,4 =______ c) 3,2 x 6.7 =______

d) 4,4 x 9,1 =______ e) 2,2 x 8,9 =______ f) 1,8 x 7,3 =______

14

g) 6,7 x 3,6 =______ h) 7,5 x 8,8 =______ i) 3,9 x 1,4 =______

Antwoordblad vermenigvuldigen Oefening 1:

Oefening 2:

1. 6 x 22 = 132 2. 8 x 34 = 272 3. 12 x 26 = 312 4. 9 x 65 = 585 5. 18 x 24 = 432 6. 26 x 21 = 546 7. 32 x 41 = 1.312 8. 22 x 61 = 1.342 9. 12 x 55 = 660 10. 45 x 16 = 720 Oefening 3:

1. 22 x 55 = 1.210 2. 42 x 34 = 1.428 3. 20 x 12 = 240 4. 66 x 21 = 1.386 5. 78 x 56 = 4.386 6. 28 x 52 = 1.456 7. 36 x 34 = 1.224 8. 29 x 35 = 1.015 9. 26 x 51 = 1.326 10. 44 x 34 = 1.496 Oefening 4:

1. 260 x 10 = 2.600 2. 1.000 x 715 = 715.000 3. 222 x 100 = 22.200 4. 1.000 x 638 = 638.000 5. 625 x 10 = 6.250 6. 323 x 100 = 32.300 7. 579 x 10 = 5.790 8. 1.000 x 56 = 56.000 9. 745 x 100 = 74.500 10. 100 x 33 = 3.300

1. 1.000 x 874 = 874.000 2. 1.000 x 203 = 203.000 3. 665 x 100 = 66.500 4. 1.000 x 473 = 473.000 5. 364 x 10 = 3.640 6. 418 x 100 = 41.800 7. 983 x 100 = 98.300 8. 1.000 x 940 = 940.000 9. 872 x 100 = 87.200 10. 986 x 10 = 9.860

Oefening 5:

Oefening 6:

1. 1.000 x 71 = 71.000 2. 126 x 10 = 1.260 3. 911 x 100 = 91.100 4. 1.000 x 653 = 653.000 5. 106 x 10 = 1.060 6. 1.000 x 625 = 625.000 7. 446 x 100 = 44.600 8. 1.000 x 434 = 434.000 9. 282 x 100 = 28.200 10. 205 x 100 = 20.500

1. 376 x 10 = 3.760 2. 603 x 100 = 60.300 3. 1.000 x 570 = 570.000 4. 1.000 x 323 = 323.000 5. 551 x 10 = 5.510 6. 1.000 x 787 = 787.000 7. 1.000 x 963 = 963.000 8. 841 x 100 = 84.100 9. 460 x 10 = 4.600 10. 1.000 x 986 = 986.000

Oefening 7: Vermenigvuldigen met kommagetallen a) 7,5 x 5,2 = 39 d) 4,4 x 9,1 = 40,04 b) 1,7 x 2,4 = 4,08 e) 2,2 x 8,9 = 19,58 c) 3,2 x 6.7 = 21,44 f) 1,8 x 7,3 = 13,14

15

g) 6,7 x 3,6 = 24,12 h) 7,5 x 8,8 = 66 i) 3,9 x 1,4 = 5,46

Theorie machten Bij een macht herhaal je steeds de vermenigvuldiging, dit noem je ook wel machtsverheffen. Heb je bij voorbeeld macht als 6⁹, dan wordt het getal 6 negen keer met zichzelf (6 dus) vermenigvuldigd. De 6 noem je het grondgetal en de 9 is de macht of ook wel de exponent. Voorbeeld: macht (6⁹) Het grondgetal is 6 en de exponent is 9. 6⁹ = 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 10077696

Kwadraten en wortels: Een kwadraat is altijd machtsverheffen tot de 2 e macht, een getal vermenigvuldigen met zichzelf. Voorbeeld: kwadraat 8² = 8 x 8 = 64 Een wortel is precies het tegenovergestelde, de uitkomst van het kwadraat is de wortel (het getal). Voorbeeld: wortel 16 = 4 4 x 4 = 16

Wetenschappelijke notatie: Wetenschappelijke notatie wordt vaak gebruikt om een getal met veel nullen kleiner te schrijven. Bij wetenschappelijke notatie mag er maar 1 cijfer voor de komma staan, het cijfer voor de komma moet groter zijn dan 0. Omdat je uiteindelijk wel hetzelfde getal moet overhouden, vermenigvuldig je het getal met een macht van 10. Voorbeeld: 340 kun je ook opschrijven als 3,40 x 10² In het voorbeeld kun je zien dat de komma twee keer naar links is opgeschoven, omdat er één cijfer voor de komma moet komen staan. Het getal moet worden vermenigvuldigd met 10². Als je deze som uitrekent komt er als uitkomst weer 340 uit. De wetenschappelijke notatie is wat er rechts van het ‘=’-teken staat. Er bestaan een positieve macht ² en een negatieve macht ¯². Voor een herhaalde vermenigvuldiging gebruik je de positieve macht. Bij iets wat je herhaaldelijk moet delen gebruik je de negatieve macht. Voorbeeld: negatieve macht 0,00456 = 4,56 x 10¯³ Je ziet dat de komma naar rechts is opgeschoven om aan de voorwaarde te voldoen van een cijfer voor de komma. Om weer op hetzelfde getal uit te komen moet je vermenigvuldigen met 10¯³. De vermenigvuldiging met 10¯³ staat gelijk aan delen door 1000.

16

Er zijn nog een aantal regels die je kunt gebruiken als het grondgetal wordt vermenigvuldigd of gedeeld: Bij een vermenigvuldiging van machten met hetzelfde grondgetal mag je de exponenten

Bijvoorbeeld: 6³ x 6² = 6³⁺² = 6⁵

optellen. Bij het delen van machten met hetzelfde grondgetal mogen de exponenten van elkaar

Bijvoorbeeld:

worden afgetrokken. Bij een macht van een macht mogen de

29 = 2⁹¯⁵ = 3⁴ 25

Bijvoorbeeld: (6³)⁴ = 6³˟⁴ = 6¹²

exponenten worden vermenigvuldigd.

17

Oefeningen machten Oefening 1: Schrijf op als een macht. Bijvoorbeeld: 3 x 3 = 3² 5x5= 6x6x6x6= 3x3x7x7= 2x2x5x5x7= 6x6x7x7x9=

4x4x2x2x8x8= 3x7x5x5x5x3= 2x2x5x2x4x4= 6x6x5x6x4x4= 11 x 13 x 17 x 17 x 11 =

Oefening 2: Reken uit. 2⁴ = 3⁶ = 6³ = 9⁴ = 10⁵ =

2² x 3³ = 5² x 2⁶ = 3² x 3⁵ = 6² x 6³ = 4⁴ x 4⁵ =

Oefening 3: Reken uit. 2² + 3² = 4² + 4² = 4² + 6² = 3³ + 3³ = 5³ + 5³ =

2² - 2² = 3³ - 3² = 5³ - 4² = 6³ - 5³ = 12² - 5³ =

Oefening 4: Bereken de wortel (√ ).

√ 6=¿ √ 16=¿ √ 25=¿ √ 100=¿ √ 400=¿

√ 81=¿ √ 64=¿ √ 2500=¿ √ 3600=¿ √ 1600=¿

Oefening 5: Schrijf de wetenschappelijke notatie op. 34 = 55,5 = 1456,7 = 92888 = 9=

0,8 = 0,675 = 0,0543 = 0,0000432 = 100,00006 =

Oefening 6: Reken uit en schrijf op als een getal. 6.0 x 10² = 5,60 x 10³ = 4,21 x 10¹ = 9,564 x 10⁵ = 2,3689 x 10⁰ =

5,00 x 10¯² = 6,70 x 10¯² = 4,30 x 10¯⁴ = 2,002 x 10¯⁶ = 8,007 x 10¯² = 18

Oefening 7: Reken de macht uit. (2²)² = (2²)³ = (2³)² = (3²)³ = (3²)⁴ =

(3³)² = (4²)⁴ = (5²)⁵ = (10²)⁴ = (10⁴)³ =

19

Antwoordblad machten Oefening 1: 5 x 5 = 5² 6 x 6 x 6 x 6 = 6⁴ 3 x 3 x 7 x 7 = 3² x 7² 2 x 2 x 5 x 5 x 7 = 2² x 5² x 7 6 x 6 x 7 x 7 x 9 = 6² x 7² x 9

4 x 4 x 2 x 2 x 8 x 8 = 4² x 2² x 8² 3 x 7 x 5 x 5 x 5 x 3 = 7 x 5³ x 3² 2 x 2 x 5 x 2 x 4 x 4 = 5 x 4² x 2³ 6 x 6 x 5 x 6 x 4 x 4 = 6³ x 5 x 4² 11 x 13 x 17 x 17 x 11 = 17² x 13 x 11²

Oefening 2 2⁴ = 16 3⁶ = 729 6³ = 216 9⁴ = 6,561 10⁵ = 100,000

2² x 3³ = 108 5² x 2⁶ = 1.600 3² x 3⁵ = 2.187 6² x 6³ = 7.776 4⁴ x 4⁵ = 262.144

Oefening 3 2² + 3² = 4² + 4² = 4² + 6² = 3³ + 3³ = 5³ + 5³ =

2² - 2² = 0 3³ - 3² = 18 5³ - 4² = 109 6³ - 5³ = 91 12² - 5³ = 19

Oefening 4

√ 9=3 √ 16=4 √ 25=5 √ 100=10 √ 400=20

√ 81=9 √ 64=8 √ 2500=50 √ 3600=60 √ 1600=40

Oefening 5 34 = 3,4 x 10¹ 55,5 = 5,5 x 10¹ 1456,7 = 1,4567 x 10³ 92888 = 9,2888 x 10⁴ 9 = 9.0 x 10⁰

0,8 = 8,0 x 10¯¹ 0,675 = 6,75 x 10¯¹ 0,0543 = 5,43 x 10¯² 0,0000432 = 4,32 x 10¯⁵ 100,00006 = 1,00006 x 10²

Oefening 6 5,0 x 10² = 500 5,60 x 10³ = 5600 4,21 x 10¹ = 42,1 9,564 x 10⁵ = 956.400 2,3689 x 10⁰ = 2,3689

5,00 x 10¯² = 0,05 6,70 x 10¯² = 0,067 4,30 x 10¯⁴ = 0,00043 2,002 x 10¯⁶ = 0,00002002 8,007 x 10¯² = 0,08007

Oefening 7 (2²)² = 16 (2²)³ = 64 (2³)² = 64 (3²)² = 81 (3²)⁴ = 6.561

(3³)² = 729 (4²)⁴ = 65.536 (5²)⁵ = 9.765.625 (10²)⁴ = 100.000.000 (10⁴)³ = 100.000.000.000 20

Theorie delen Delen gebruik je als je iets moet verdelen, of moet weten hoeveel keer iets ergens in past. Delen is dus het tegenovergestelde van vermenigvuldigen. Bijvoorbeeld: Als je 30 snoepjes moet verdelen over 6 kinderen. 30 : 6 = 5 snoepjes per kind. Als je een deelsom wilt controleren kun je gebruik maken van vermenigvuldigen. Voorbeeld: 6:3=2 3x2=6

Staartdeling: Deelsommen hebben een verbinding met breuken. Het getal bovenaan is de teller en het getal onderaan is de noemer, en die getallen deel je door elkaar. Een deling kun je dus ook als een breuk opschrijven. Voorbeeld:

8 = 4

dit voorbeeld geeft een deling aan in een breukvorm.

De methode die je tot nu toe hebt gezien is niet geschikt voor delingen met grote getallen. Daarvoor moet je gebruik maken van staartdelingen. Voorbeeld staartdeling: 2.560 : 8 = ? (vorm van de teller) – (het aantal keer dat de teller in de vorm past) 2.560\5 60 500 -

7,5 62,5

2000 - 250 0

stap 1: De noemer zet je bovenaan, en het getal waarmee je gaat vermenigvuldigen zet je rechts van de noemer. stap 2: Nu ga je de noemer verdelen, eerst eentallen, dan honderdtallen en daarna duizendtallen, dus dan krijg je 60, 500, 2000 stap 3: Nu ga je kijken hoe vaak de 8 overal in past, dus in 60, 500 en 2000. stap 4: Tel nu alle getallen bij elkaar op. 7,5 + 62,5 + 250 = 320.

Om je uitkomst nog te controleren kun je vermenigvuldigen: 320 x 8 = 2.560 Als je iets overhoudt van de noemer is dat de rest. Voorbeeld: 2.567 : 8 = 320 rest 7

21

Delen door kommagetallen: Bij delen door kommagetallen is het de bedoeling van het kommagetal af te komen. Je gaat op zoek naar het laagste getal waarmee het kommagetal vermenigvuldigd kan worden, om een heel getal te krijgen. Daarna vermenigvuldig je ook de teller en de noemer met datzelfde getal. Nu heb je een iets makkelijkere deling gekregen. Voorbeeld 12 : 0,8 = ? 12 x 10 = 120 0,8 x 10 = 8

Rond het getal af naar een heel getal (10), en vermenigvuldig met 12 en 0,8.

120 : 8 = 15

De uitkomsten die hebt gekregen bij de vermenigvuldiging deel je daarna door elkaar en zo krijg je de uitkomst van 12 : 0,8.

12 : 0,8 = 15

Schattend delen: Schattend delen is een soort controle van je eigen berekening. Om zeker te weten dat de uitkomst van je berekening klopt kun je gebruik maken van een schatting. Als je berekende uitkomst in de buurt ligt van je geschatte uitkomst, weet je dat je de berekening goed hebt gemaakt.

Voorbeeld: 4,98 / 9985,87 \ ?

͌ 5 / 10.000 \ 2.000

4,98 : 9985,87 = 2.005 rest 1 ͌ = ongeveer

22

Oefeningen delen Los de staartdelingen op, en schrijf (als dat nodig is) ook de rest op. Staartdelingen 1 Staartdelingen 2 738 : 18 = 242 : 11 = 1281 : 21 = 675 : 15 = 465 : 15 = 616 : 14 = 336 : 14 = 798 : 19 = 384 : 12 = 342 : 18 = Staartdelingen 3 Staartdelingen 4 288 : 12 = 602 : 14 = 496 : 16 = 486 : 18 = 672 : 14 = 399 : 19 = 300 : 12 = 348 : 12 = 646 : 19 = 384 : 12 = Staartdelingen 5 Staartdelingen 6 810 : 15 = 1230 : 15 = 442 : 13 = 512 : 16 = 784 : 14 = 288 : 16 = 416 : 13 = 323 : 17 = 420 : 15 = 374 : 17 = Staartdelingen 7 Staartdelingen 8 594 : 18 = 510 : 15 = 442 : 17 = 493 : 17 = 357 : 17 = 880 : 16 = 442 : 13 = 551 : 19 = 738 : 18 = 648 : 18 = Staartdelingen 9 Staardelingen 10 610 : 19 = 328 : 19 = 350 : 15 = 479 : 17 = 380 : 13 = 652 : 18 = 1058 : 16 = 1059 : 12 = 666 : 12 = 1479 : 16 = Los op door de teller en de noemer te vermenigvuldigen. 5 : 0,5 = 10 90 : 1,125 = 80 8 : 0,1 = 80 140 : 3,5 = 40 2 : 0,25 = 8 210 : 3,5 = 60 10 : 0,5 = 20 150 : 7,5 = 20 4 : 0,125 = 32 375 : 12,5 = 30 16 : 0,4 = 40 900 : 3,75 = 240 45 : 1,5 = 30 66 : 0,75 = 88 30 : 3,75 = 8 15 : 0,15 = 100

23

Antwoordblad delen Staartdelingen 1 738 : 18 = 41 1281 : 21 = 61 465 : 15 = 31 336 : 14 = 24 384 : 12 = 32 Staartdelingen 3 288 : 12 = 24 496 : 16 = 31 672 : 14 = 48 300 : 12 = 25 646 : 19 = 34 Staartdelingen 5 810 : 15 = 54 442 : 13 = 34 784 : 14 = 56 416 : 13 = 32 420 : 15 = 28 Staartdelingen 7 594 : 18 = 33 442 : 17 = 26 357 : 17 = 21 442 : 13 = 34 738 : 18 = 41 Staartdelingen 9 610 : 19 = 32 rest 2 350 : 15 = 23 rest 5 380 : 13 = 29 rest 3 1058 : 16 = 66 rest 2 666 : 12 = 55 rest 6

Staartdelingen 2 242 : 11 = 22 675 : 15 = 45 616 : 14 = 44 798 : 19 = 42 342 : 18 = 19 Staartdelingen 4 602 : 14 = 43 486 : 18 = 27 399 : 19 = 21 348 : 12 = 29 384 : 12 = 32 Staartdelingen 6 1230 : 15 = 82 512 : 16 = 32 288 : 16 = 18 323 : 17 = 19 374 : 17 = 22 Staartdelingen 8 510 : 15 = 34 493 : 17 = 29 880 : 16 = 55 551 : 19 = 29 648 : 18 = 36 Staardelingen 10 328 : 19 = 17 rest 5 479 : 17 = 28 rest 3 652 : 18 = 36 rest 4 1059 : 12 = 88 rest 3 1479 : 16 = 92 rest 7

5 : 0,5 = 10 8 : 0,1 = 80 2 : 0,25 = 8 10 : 0,5 = 20 4 : 0,125 = 32 16 : 0,4 = 40 45 : 1,5 = 30 30 : 3,75 = 8

90 : 1,125 = 80 140 : 3,5 = 40 210 : 3,5 = 60 150 : 7,5 = 20 375 : 12,5 = 30 900 : 3,75 = 240 66 : 0,75 = 88 15 : 0,15 = 100

24

Theorie bewerkingsvolgorde Bij ingewikkelde sommen is de volgorde waarin je de verschillende bewerkingen uitvoert erg belangrijk. Sommigen bewerkingen hebben voorrang op andere. Voorbeeld: 4x4+4x4+4–4x4 =?

Als je van links naar rechts de bewerkingen uit zou voeren, zou de uitkomst 320 zijn. Dit is echter niet het goede antwoord! De bewerkingen moeten in een andere volgorde uitgevoerd worden. Om de juiste volgorde van de bewerkingen toe te passen kun je gebruik maken van een handig ezelsbruggetje: Hoe Moeten We Van De Onvoldoendes Afkomen De eerste letter van ieder woord verwijst naar een bepaalde bewerking. Hoe eerder de bewerking in de zin voorkomt, hoe belangrijker hij is. De hoogste prioriteit voer je dus als eerste uit. 1) 2) 3) 4)

Haakjes Machtsverheffen en Wortel trekken Vermenigvuldigen en Delen Optellen en Aftrekken

Voorbeeld: 4x4+4x4+4–4x4= 16 + 16 + 4 – 16 = 16 + 16 + 4 – 16 = 16 + 4 = 20

Na het vermenigvuldigen kun je tot het antwoord komen door de deelantwoorden op te tellen en af te trekken. Hier kon ook +16 tegen -16 worden weggestreept, dat is 0. Het eindantwoord is dus 20 en niet 320!

25

Oefeningen bewerkingsvolgorde Oefening 1: 2+3x2= 5–2x2= 5x2–2= 7 x7 – 7 =

3x8+4x8= 5x2–4x2= 5+2x2–5= 4+3x5x6=

Oefening 2: 2+4:2= 5–2:2= 5:2–3= 7:7–7=

3x8+4:8= 5+2:4-2= 5:2+2:5= 4:3+5:6=

Oefening 3: (2 + 4) : 2 = (5 – 2) : 2 = 5 : (2 – 3) = 7 : (8 – 7) =

(3 x (8 + 4)) : 9 = (5 + 2) : (4 – 2) = (5 : 2) : (2 : 5) = (4 : (2+1)) : 6 =

26

Antwoordblad bewerkingsvolgorde Oefening 1: 2+3x2=8 5–2x2=1 5x2–2=8 7 x 7 – 7 = 42

3 x 8 + 4 x 8 = 56 5x2–4x2=2 5+2x2–5=4 4 + 3 x 5 x 6 = 94

Oefening 2: 2+4:2=4

3 x 8 + 4 : 8 = 24

5–2:2=4

5+2:4-2=3

5:2–3=

−1 2

7 : 7 – 7 = -6

1 2

1 2

5 : 2 + 2 : 5 = 2.9 4:3+5:6=

13 6

Oefening 3: (2 + 4) : 2 = 3 (5 – 2) : 2 = 1.5 5 : (2 – 3) = -5

(3 x (8 + 4)) : 9 = 4 (5 + 2) : (4 – 2) = 3.5 (5 : 2) : (2 : 5) = 6.25

7 : (8 – 7) = 7

(4 : (2+1)) : 6 =

27

2 9

Theorie hoofdrekenen    

Aanvullen & compenseren Commutatie & associatie Vermenigvuldigen met 1 Distributie en splitsen

Aanvullen en compenseren Aanvullen en compenseren gebruik je bij erbij en eraf opgaven. Vaak kun je hierbij getallen een klein beetje verhogen of verlagen, zodat je er makkelijker mee kunt rekenen. Je compenseert daarna de uitkomst met dezelfde verhoging of verlaging. Voorbeeld: 3100 – 998 = 3100 – 1000 + 2 = 2102

In het voorbeeld ronden we 998 af naar 1000, zodat we makkelijker kunnen rekenen. Deze afronding hield in dit geval in, dat we 2 extra eraf moesten halen. Het antwoord zou daarom eigenlijk 2 groter zijn (je hebt er immers 2 teveel afgetrokken). Dit compenseer je door bij de uitkomst 2 op te tellen. Voor erbij opgaven geldt hetzelfde: Voorbeeld: 4,1 + 19, 91 = 4,1 + 20 – 0,09 = 24,1 – 0,09 = 24,01

Is één van de getallen in de som een lastig getal om mee te rekenen? Maak van dit getal dan een mooi, rond getal dat in de buurt ligt. Bij de som 202 - 90 = is het getal 202 geen rond getal. Het getal 200 ligt in de buurt en is wel een mooi, rond getal. Trek van 202 er 2 af (en onthoud dit!). Voorbeeld: 202- 90 = 200 -90 = 110 + 2 = 112

Als je met komma’s gaat werken is het ook handig om af te ronden naar hele getallen of ronde getallen achter de komma. Voorbeeld: 0,22 + 0,8 + 1 = 2,02 0,2 + 0,8 + = 2 Voor meer uitleg kun je ook nog deze video bekijken: https://www.youtube.com/watch? v=NubXlwzYilA

28

Oefeningen hoofdrekenen, compenseren 1. Reken uit. 14,0 – 9,91 = 28 – 12,98 = 151,2 – 3,99 = 48,7 – 0,99 = 82,9 – 4,98 =

9,98 + 17 = 5,1 + 19,91 = 109 + 200,9 = 4,54 + 4,97 = 9,98 + 9,97 =

2. Reken uit. 44,4 – 5,01 = 109 + 200,9 = 28 – 12,98 = 151,2 – 3,99 = 1,08 + 9,95 =

0,75 + 12,5 + 4,77 + 0,75 = 4,48 + 1,02 + 12,25 + 5,5 = 8,88 – 6,15 – 0,22 – 0,66 = 8,71 + 2,09 + 7,91 + 90 = 3,33 + 2,88 + 6,67 + 0,07 =

3. Reken uit. 24 x 0,75 = 15 : 2,5 = 196 x 2,5 = 78 : 1,5 = 0,375 x 64 =

111 : 0,125 = 140 : 0,7 = 40 x 0,15 = 222 x 5 = 49 x 147 =

4. Reken uit. 399 – 101 = 669 – 431 = 1781 – 498 + 517 = 16,3 + 3 + 0,75 = 33 + 57 =

98999 + 20 = 123 + 987 = 712 – 722 + 110 = 99 – 51 = 26 + 31 + 24 + 119 =

29

1,08 + 9,95 = 3,01 – 2,98 = 8,03 – 1,99 = 6,04 – 3,93 = 44,4 – 5,01 =

Antwoordblad hoofdrekenen, compenseren 1. Reken uit. 4,09 15,02 147,21 47,71 77,92

26,98 25,01 309,9 9,51 19,95

2. Reken uit. 39,39 309,9 15,02 147,21 11,03

18,77 23,25 1,85 108,71 12,95

11,03 0.03 6,04 2,11 39,39

3. Reken uit. 18 6 490 52 24

888 200 6 1110 7203 4.

298 238 1800 20,05 90

Reken uit. 99019 1110 100 48 200

30

Commutatie & associatie Commutatie is bij vermenigvuldigen 1 al behandeld als eigenschap van keersommen. Het omdraaien van de factoren van een vermenigvuldiging kan je helpen om sneller tot het antwoord te komen. Voorbeeld: In dit voorbeeld wil je liever eerst 25 x 4 = 100 doen. Daarna wordt de som 100 x 7 = 700. Dit is veel makkelijker en sneller dan gewoon van links naar rechts vermenigvuldigen. Commutatie geldt ook voor optellingen, kijk naar het volgende voorbeeld:

25 x 7 x 4 = 25 x 4 x 7 = (commutatie-stap) (25 x 4) x 7 = (associatie-stap) 100 x 7 = 700 Voorbeeld: 23 + 189 + 77 + 111 = 189 + 111 + 77 +23 = (commutatiestap) (189 x 111) x 7 = (associatie-stap) 300 + 100 = 400 100 x 7 = 700

Van links naar rechts rekenen kost veel tijd. Door de volgorde van de som te veranderen kun je sneller, makkelijker en uit je hoofd rekenen. Ga dus bij deze opgaves op zoek naar de paren die Voorbeeld: handig uit te rekenen zijn. 0,9 + 1.8 + 0,2 = 1,8 + 0,2 + 0,9 = 2,9 (commutatiestap) (1,9 x 0,2) x 0,9 = (associatie-stap) 2 + 0,9 = 2,9 100 x 7 = 700

31

Oefeningen hoofdrekenen, commuteren en associëren 1. Commuteer en associeer met kommagetallen. 129 + 398 – 129 = 0,9 + 1,8 + 0,2 = 476 – 55 + 24 – 45 = 2,8 + 1,7 + 8,3 = 7 + 88 + 7 + 86 = 7,76 + 17 + 0,24 = 25 x 15 x 7 = 4,12 – 0,5 + 5,5 = 2 x 11 x 5 x 9 = 0,13 + 5 + 7,87 =

2. Reken uit. 4,48 + 12,25 + 1,02 + 5,5 = 3,33 + 2,88 + 6,67 + 0,07 = 8,71 + 2,09 + 7,91 + 90 = 0,75 + 12,5 + 4,77 + 0,75 = 8,88 – 6,15 – 0,22 – 0,66 =

9 x 1,5 x 2 = 0,5 x 9 x 0,4 = 8 x 11 x 12,5 = 16 x 1,25 x 13 = 17 x 8 x 0,75 =

3. Reken uit. 8 x 0,42 x 2 x 1/8 = 7 x 2 x 5 x 8/7 = 1/8 x 6 x 16 x 1/3 = 5 x 1/25 x 6 x 5 =

1/8 x 32 x 1/7 x 1/4 = 25 x 7 x 4/5 x 1/14 = 13/39 x 1/4 x 39/13 x 8 = 13 x 70/11 x 1/7 x 11 =

4. Commuteer en associeer. 97 + 25 + 75 = 195 + 777 +5 = 987 + 378 + 22 = 7 + 88 + 7 + 86 = 5 + 99 + 90 + 5 =

187 + 34 - 87 = 12 + 98 – 12 + 2 = 129 + 2 x 398 – 129 = 476 - 55 + 24 – 45 = 999 – 782 + 1 – 18

25 x 7 x 4 = 9 x 25 x 8 = 50 x 32 x 4 = 15 x 9 x 8 = 8 x 7 x 75 =

3 x 125 x 8 = 25 x 11 x 80 = 2 x 11 x 5 x 9 = 5 x 13 x 4 x 5 = 12 x 6 x 5 x 5 =

32

0,125 x 6 x 7 x 8 = 12 x 0,375 x 5 x 8 = 2,5 x 0,2 x 5 x 4 = 8 x 0,1 x 0,25 x 10 = 0,4 x 12,5 x 5 x 8 =

Antwoordblad hoofdrekenen, commuteren en associëren 1. Commuteer en associeer met kommagetallen. 398 2,9 400 12,8 188 25 2625 9,12 990 13 2. Reken uit. 23,25 12,95 108,71 18,77 1,85

27 1,8 1100 260 102

3. Reken uit. 0,84 80 4 6

1/7 10 2 130

42 180 10 2 200

4. Commuteer en associeer. 197 977 1387 188 199

134 100 796 400 200

700 1800 6400 1080 4200

3000 22000 990 1300 1800

33

Theorie vermenigvuldigen met ‘1’ Deze methode wordt bijvoorbeeld gebruikt in de techniek ‘verdubbelen en halveren‘. Eigenlijk ben je dan namelijk met een 1 aan het vermenigvuldigen. Deze methode voorkomt tevens dat je in de war raakt met de ‘vergroot’ en ‘verklein’ regels bij delen en vermenigvuldigen. Vermenigvuldigen met een 1 betekent, dat je met een breuk waar 1 uitkomt gaat vermenigvuldigen om de opgave eenvoudiger te maken. Er zijn veel ‘enen’, namelijk alle breuken waarvan de teller gelijk is aan de noemer. Voorbeeld: 1 = 1/1 = 2/2 = 3/3 = 4/4= 10/10 = 100/100 = 243/243 = etc.

Welke 1-breuk je moet gebruiken hangt van de opgave af. Het doel van deze methode is te vermenigvuldigen met een getal waardoor je een kommagetal of breuk kunt wegwerken. In het volgende voorbeeld kun je zien hoe je dit moet doen. Voorbeeld: 25 : 1,25 =

25 25 4 25 x 4 100 = x = = = 20 1,25 1,25 4 1,25 x 4 5

Bij deelsommen kun je dezelfde techniek gebruiken. Je wilt weer vermenigvuldigen met een zo klein mogelijk getal, zodat je van de komma afkomt. In dit geval ben je van de komma af als je 1,25 met 4 vermenigvuldigt. We vermenigvuldigen dus met weer met 4/4.

Kruiselings wegstrepen Kruiselings wegstrepen betekent de teller en de noemer door de grootste gemeenschappelijke deler te delen.

Voorbeeld: 7/15 - 1/3 = ? 1/3 = 5/15 (we vermenigvuldigen de teller en de noemer met het getal 5, zodat de noemers aan elkaar gelijk zijn) 7/15 - 5/15 = 2/15 (nu de noemers aan elkaar gelijk zijn, kun je de tellers van elkaar aftrekken)

34

Oefeningen hoofdrekenen Oefening 1 9,96 × 100 = 9,35 × 100 = 5,47 × 100 = 7,91 × 100 = 4,55 × 10 = Oefening 2 6,89 × 100 = 7,56 × 1.000 = 8,98 × 1.000 = 6,50 × 1.000 = 9,69 × 100 Oefening 3 4,39 × 100 = 5,17 × 100 = 5,63 × 10 = 4,67 × 100 = 3,22 × 100 =

9,76 × 100 = 3,72 × 10 = 6,13 × 100 = 6,45 × 100 = 1,88 × 100 =

3,50 × 10 = 5,99 × 1.000 = 8,94 × 1.000 = 8,83 × 10 = 1,24 × 100 =

3,16 × 1.000 = 7,20 × 1.000 = 1,94 × 10 = 1,25 × 100 = 1,56 × 100 =

8,14 × 100 = 6,27 × 1.000 = 9,56 × 100 = 7,56 × 1.000 = 9,24 × 100

2,62 × 1.000 = 8,15 × 10 = 1,78 × 1.000 = 6,28 × 100 = 5,22 × 1.000 =

4,89 x 10 = 8,12 x 100 = 2,15 x 10 = 9,45 x 1000 = 5,78 x 100 =

Oefening 4 10 x 0.5 = 12 x 0,25 = 15 x 0,2 = 40 x 0,15 = 25 x 0,4 = 92 x 0,5 = 190 x 1,5 = 196 x 2,5 = 222 x 5 = 16 x 1,125 =

72 x 0,125 = 35 x 0,8 = 95 x 0,6 = 24 x 0,75 = 80 x 0,05 = 40 x 11,5 = 21/4 ,x 88 = 0,75 x 144 = 1/49 x 147 = 0,375 x 64 =

Oefening 5 14 : 0,5 = 15 : 2,5 = 1,5 : 1,5 = 12 : 0,25 = 1,5 : 0,125 = 0,9 : 0,03 = 7,5 : 33/4 = 33 : 0,3 = 90,50 : 0,2 = 52,5 : 7,5 =

175 : 1,75 = 140 : 0,7 = 2,75 : 0,25 = 3,6 : 0,9 = 22,5 : 2,5 = 111 : 0,125 = 78 : 1,5 = 70 : 3,5 = 81 : 2,7 = 370 : 3,7 =

35

Antwoordblad hoofdrekenen Oefening 1 996 935 547 791 45,5 Oefening 2 689 7.560 8.980 6.500 969 Oefening 3 439 517 56,3 467 322

976 37,2 613 645 188

35 5.990 8.940 88,3 124

3.160 7.200 19,4 125 156

814 6.270 956 7.560 924

2.620 81,5 1.780 628 5.220

48,9 812 21,5 9450 578

Oefening 4 5 3 3 6 10 46 285 490 1110 18

9 28 57 18 4 460 198 108 3 24

Oefening 5 28 6 1 48 12 30 2 110 452,5 7

100 200 11 4 9 888 52 20 30 100

36

Theorie distributie en splitsen Bij de splitsmethode worden beide getallen in een som ontleed. Hiervoor deed je hetzelfde met 1 getal, omdat de som toen korter was. Bij een langere som kun je het beste meerdere getallen ontleden. Deze techniek is ook heel geschikt om moeilijke opgaven makkelijk uit je hoofd op te lossen. Door makkelijke getallen te kiezen, die dicht bij de uit te rekenen getallen liggen, kun je sommen makkelijker berekenen en sneller tot het antwoord komen.

Voorbeeld: 99 x 77 = (100-1) x 77 = 100 x 77 – 1 x 77 = 7700 – 77 = 7623 Dezelfde methode werkt ook bij kommagetallen. Je kunt bijvoorbeeld 5,9 splitsen naar 6 – 0,1. Vervolgens worden beide getallen met 6 vermenigvuldigd waardoor er 36 – 0,6 = 35,4 overblijft. De laatste berekening doe je uit het hoofd. Ten slotte kan de splitsmethode ook worden gebruikt bij optellen en aftrekken. In voorbeeld hieronder splitsen we 21 zodat we de deelantwoorden bij de grote getallen op kunnen tellen die bijna honderdtallen vormen.

Commutatieve eigenschap Soms is het handig om de volgorde van getallen in een berekening te veranderen. In dat geval maken we gebruik van de commutatieve eigenschap van een berekening.

Als voorbeeld tellen we de volgende getallen op:

193 +586 +21 =800 193 +586 +7 +14 =800

(Voorbeeld)

193 +7 +586 =786 (193 +7) +(586 +14) =800 200 +600 =800

42 + 32 4 + 42 18 +te veranderen kan deze som makkelijker. Door de volgorde = 18 + 32 4 = 60 + 37 32

Oefeningen hoofdrekenen 1. Gebruik de splitsmethode en reken uit je hoofd. 9 x 77 = 95 x 70 = 8 x 99 = 198 x 300 = 19 x 44 = 402 x 21 = 40 x 39 = 999 x 999 = 52 x 80 = 67 x 101 =

2. Reken uit je hoofd. 9,9 x 7 = 13 x 9,8 = 10,5 x 17 = 7,8 x 20 = 2,25 x 32 =

1,5 x 1,5 = 2,8 x 1,9 = 12 x 0,98 = 100,01 x 55 = 99,2 x 15 =

3. Reken uit je hoofd. 105 : 5 = 195 : 5 = 975 : 25 = 285 : 15 = 675 : 75 =

588 : 6 = 896 : 8 = 2412 : 12 = 3952 : 13 = 1372 : 14 =

a) b) c) d)

4. Splits en reken uit je hoofd. Wat is 99% van 1250 Wat is 90% van 730 Wat is 49% van 640 Wat is 74% van 400

5. Reken uit je hoofd. 172 x 27 = 55 x 107 = 408 : 12 = 13 x 106 = 672 : 14 = 996 : 249 = 3 x 446 = 741 : 19 = 20 x 8 = 257 x 31 =

266 : 7 = 74 x 55 = 480 : 8 = 25 x 8 = 441 x 21 =

80 x 92 = 12 x 752 = 810 : 405 = 54 : 9 = 55 : 11 =

972 : 12 = 81 x 54 = 483 : 3 = 800 : 20 = 420 : 7 =

6022 : 4 = 10224 : 32 = 559 x 14 = 960 : 320 = 480 : 15 =

845 : 13 = 780 : 65 = 912 : 38 = 96 x 59 = 648 : 18 =

53 x 160 = 13 x 460 = 726 : 242 = 89 x 4 = 25 x 231 =

38

Antwoordblad hoofdrekenen 1. Gebruik de splitsmethode en reken uit je hoofd. 693 6650 792 59400 836 8442 1560 998001 4160 6767 2. Reken uit je hoofd. 69,3 127,4 178,5 156 72

2,25 5,32 11,76 5500,55 1488

3. Reken uit je hoofd. 21 39 39 19 9

a) b) c) d)

98 112 201 304 98 4. Splits en reken uit je hoofd. 1237,5 657 313,6 296

5. Reken uit je hoofd. 4644 5885 34 1378 48 4 1338 39 160 7967 81 8480 4374 5980 161 3 40 356 60 5775

38 4070 60 200 9261 1505,5 319,5 7826 3 32

39

7360 9024 2 6 5 65 12 24 5664 36

Theorie breuken, procenten en verhoudingen    

Vereenvoudigen Breuken Procenten Verhoudingen

Vereenvoudigen Om te kunnen beginnen met vereenvoudigen, moet je eerst eenvoudige deelbaarheden leren herkennen. Getallen die door een bepaald getal deelbaar zijn, zijn na die deling nog steeds hele getallen. Voorbeeld: 12 : 2 = 6 13 : 2 = 6 1/2

12 is dus deelbaar door 2 13 is dus niet deelbaar door 2

Alle even getallen zijn deelbaar door 2 en makkelijk te herkennen. Voorbeeld: 92 is even, dus deelbaar door 2 92 = 2 x 46 Als je een even getal deelt door 2, kan het voorkomen dat de uitkomst daarvan weer een even getal is. Dat even getal is dan ook weer deelbaar door 2. Als de uitkomst daarvan een oneven getal is, dan is dat niet langer deelbaar door 2. Voorbeeld: 48 = 2 x 24 = 2 x 2 x 12 =2x2x2x6 =2x2x2x2x3

24 is even, dus kun je nog een keer delen door 2. 12 is even, dus kun je nog een keer delen door 2. 6 is even, dus kun je nog een keer delen door 2. 3 is oneven, dus kun je niet meer delen door 2.

Getallen die eindigen op het getal 5 zijn allemaal deelbaar door het priemgetal 5. Bij deelbaarheden door 5 moet je delen door 5 om het restant te vinden. Voorbeeld: 145 145 : 5 = 29 145 = 5 x 29

eindigt op 5, dus heeft een priemgetal 5

Het is handig om te weten hoe andere deelbaarheden kunnen worden gevonden, want dit helpt je bij het maken van vereenvoudigingen en staartdelingen. Het vinden van deelbaarheid doe je door gebruik te maken van nabijgelegen getallen, waarvan je weet dat ze deelbaar zijn door een bepaald getal. Door dat getal te splitsen kun je je antwoord controleren. Allebei de getallen moeten na de splitsing deelbaar zijn door het getal waardoor je wilt delen. Als dat niet het geval is, is het gecombineerde getal hierdoor ook niet deelbaar.

40

Voorbeeld: Is 203 deelbaar door 3? 21 is deelbaar door 3, dus 210 ook. 203 = 210 – 7 203/3 = 210/3 - 7/3 7 is niet deelbaar door 3 en 203 ook niet.

41

Oefeningen breuken, procenten en verhoudingen 1. Welke getallen zijn deelbaar door 2 en hoe vaak? 36 = 122 = 12 = 128 = 4= 33 = 9= 16 = 45 = 256 =

2. Welke getallen zijn deelbaar door 2 en hoe vaak? 25 = 150 = 12 = 128 = 5= 85 = 9= 500 = 45 = 225 =

3. Deze getallen zijn allemaal deelbaar door 5 en een andere getal. Welk ander getal is dat en hoe herken je dat? 75 = 550 = 150 = 325 = 1000 = 1200 = 775 = 2500 = 2125 = 250 = 1075 = 850 = 600 = 9975 = 350 =

4. Welke getallen zijn deelbaar door 6? 106 330 391 397 462

756

882

1006

6006

10830

5. Welke getallen zijn deelbaar door 9? 117 162 231 234

693

888

889

1009

9981

9 19

10 20

81

6. Omcirkel de getallen die priem zijn, dus deelbaar zijn door zichzelf. 1 2 3 4 5 6 7 8 11 12 13 14 15 16 17 18

7. Vereenvoudig de volgende breuken met behulp van priemfactoren. 2/4 = 6/4 = 12/30 = 4/8 = 72/8 = 24/84 = 13/39 = 26/52 = 45/225 = 4/16 = 49/91 = 16/256 = 45/100 = 99/110 = 52/156 =

42

Antwoordblad breuken, procenten en verhoudingen Opdracht 1 2x want

36 18 =18 en =9 dus twee keer 2 2

122 61 =61en =30.5 dus een keer 2 2

2x want

12 6 =6 en =3 dus twee keer 2 2

128 64 32 16 8 4 2 =64 → =32→ =16 → =8 → =4 → =2 , = 2 2 2 2 2 2 2

2x want

4 2 =2 en =1 dus twee keer 2 2

Niet

Niet

16 8 4 2 =8 → =4 → =2 → =1 dus vier keer 2 2 2 2

Niet

256 128 64 32 18 =128 → =64 → =32 → =18→ =9 dus vijf 2 2 2 2 2 Opdracht 2 2x Niet 1x Niet 1x

2x Niet 1x 3x 2x

Opdracht 3 Ze zijn allemaal deelbaar door 25. De laatste 2 cijfers van een getal dat deelbaar is door 25 eindigen altijd op 00, 25, 50 of 75. Opdracht 4 330

462

Opdracht 5 81 Opdracht 6 2

756

117

3

Opdracht 7 1/2 1/2 1/3 1/4 9/20

882

162

5

234

7

6006

693

11

3/2 9 1/2 7/13 9/10

10830

9981

13

17

18189

19

2/5 2/7 1/5 1/16 1/3

Theorie breuken Breuken kun je alleen optellen of aftrekken als ze gelijknamige breuken zijn, dus als de noemers gelijk zijn. Je kunt de breuken dan optellen of aftrekken door de tellers bij elkaar op te tellen of van elkaar af te trekken. De noemer blijft gewoon hetzelfde.

43

Je moet een breuk zo opschrijven dat deze altijd kleiner is dan 1. Heb je een breuk waarvan de teller

10 10 of , dan moet je die vereenvoudigen: 8 9 10 1 2 1 10 1 = 1 (want staat gelijk aan ) of =1 . 8 4 8 4 9 9

groter is dan de noemer, zoals bijvoorbeeld

De vuistregel is teller / noemer = teller : noemer = Dus:

teller noemer

3 →Teller 7 → Noemer

Er is taart en die moet worden verdeeld over 4 personen. Dit schrijf je op als: 1 : 4 =

1 4

Voorbeeld:

12 2 =5 5 5

5 past 2 keer in 12, is dus 2. Je haalt nu de hele(n) uit de breuk en je maakt er een heel getal met een kleinere breuk van. Om makkelijk te kunnen rekenen kun je van een getal en een breuk, een grotere breuk maken. Voorbeeld:

1 10 1 + =¿ 5 5 1 6 1 = 5 5 6 10 6 1 7 + = + = 5 2 5 5 5 7 2 =1 5 5

Breuken vermenigvuldigen: Vuistregel: breuken vermenigvuldigen is teller keer teller, noemer keer noemer en vereenvoudig wanneer nodig.

1 2 2 1 x =¿ = 2 4 8 4 1 4 x =4 1 1 2 2

44

Breuken delen: Delen is het omgekeerde van vermenigvuldigen. Even een voorbeeld.

1 3 : =¿ 2 4 Deze som lossen we op door te vermenigvuldigen met het omgekeerde. We moeten

3 4 omdraaien. Dat wordt . 4 3

Nu wordt de som:

1 4 x =¿ 2 3 4 2 = 6 3

45

Oefeningen breuken 1. Reken uit.

3 1 x = 4 2

1 1 x =¿ 2 2

1 1 x =¿ 2 3

5 11 x = 8 21

1 1 x =¿ 3 4

2 10 x =¿ 11 3

3 1 x1 = 5 5

4 1 x =¿ 5 3

5 5 x =¿ 7 7

1 1 1 x 2 =¿ 2 4

2 5 x =¿ 3 9

1 3 x =¿ 2

1 3 x =¿ 2

1 2 x =¿ 7 1

3

1 1 1 + =¿ 2 2

5 7 + =¿ 3 3

2 1 – =¿ 3 3

1 4 + =¿ 3 3

2

4 4 – =¿ 5 5

1 2 + =¿ 4 4

2

7 4 − =¿ 10 10

5 6 2 + =¿ 7 7

1 1 + =¿ 2 2

12

24 =¿ 4

4 =¿ 2

104 =¿ 4

15 =¿ 2

426 =¿ 6

6 =¿ 3

89 =¿ 9

26 =¿ 4

50 =¿ 7

4

1 2 x 10 =¿ 3 3

2. Reken uit.

4

2 7 – =¿ 3 3

2 1 + =¿ 3 3

97 7 +7 =¿ 100 100

2 1 + =¿ 2 2 7 9 + =¿ 10 10

11 17 – 9 =¿ 20 20

3. Haal de hele uit de breuk.

46

4. Reken uit

3 5 + =¿ 14 21

1 5 + =¿ 6 8

1 1 + =¿ 4 6

7 11 + =¿ 12 30

5 7 + =¿ 12 24

3

11 5 + =¿ 12 18

3 3 1 +1 =¿ 4 8

2 3 + =¿ 5 10

2 2 + =¿ 3 5

5 3 2 +1 =¿ 9 6

1 1 + =¿ 2 4

3

7

1 4 + 3 =¿ 26 39

3 4 +5 =¿ 25 20

3 13 +9 =¿ 10 45

1 1 + =¿ 2 3

5. Maak de volgende sommen.

4 10 : =¿ 7 11 11 5 : =¿ 12 8 3 1 : =¿ 4 4 3 2 : =¿ 4 5 7 6 : =¿ 10 11

8 5 : =¿ 9 6 8 5 : =¿ 11 6 7 1 : =¿ 11 2 4 3 : =¿ 5 11 1 7 : =¿ 4 8

3 7 : =¿ 10 8 8 2 : =¿ 11 7 2 10 : =¿ 11 11 2 2 : =¿ 3 5 8 2 : =¿ 9 11

6. Maak de volgende sommen.

1 3 x =¿ 2 4

1 1 x =¿ 2 4

2 1 x =¿ 5 3

5 3 x =¿ 6 4

1 1 x =¿ 5 3

3 4 x =¿ 5 5

4 1 x =¿ 5 2

1 7 x =¿ 5 11

4 3 x =¿ 5 4

5 9 x =¿ 11 10

47

Antwoordblad breuken Opgave 1:

3 8

1 4

1 6

55 168

1 12

20 33

5

13 25

4 15

25 49

3

3 8

10 27

1

2 7

35

11 2

1 2 5 9

Opgave 2:

2 1

2 3

10

1 25

3 4

0 2

1 3

4

1 3

3 10

1

1

1 2

1

4 5

3

4 7

2

7 10

1

Opgave 3:

6 7 9

2 1 2

26

71 6

8 9

1 2

2

1 2

7

1 7

Opgave 4:

19 42

19 24

5 12

19 20

17 24

12

10

11 87

1

7 36

3

48

53 90

1 8

7 10

1

1 15

4

3 4

8

8 25

1 5

1 18

Opgave 5:

4

8 9

1

17 60

2 7

2

2 3

1

1 15

12 35

1

7 15

48 55

3 1

7 8

2

1

3 11

1 5

2

14 15

1

Opgave 6:

3 8

3 5

2 9

1 8

2 15

5 8

1 15

7 55

2 5

9 22

49

6 11

2 3

Theorie procenten Een procent is een honderdste deel. Procenten gebruik je om een verhouding aan te geven. Het woord procent komt uit het Latijn (pro centrum), dit betekent ‘per honderd’. Dus wanneer er 10 procent word gezegd, betekent dat 10 van de 100. Net als bij een breuk is een procent een deel van een geheel.  Breuken, decimale getallen en procenten hebben met elkaar te maken. Je kunt namelijk van een breuk een decimaal maken en van een decimaal kun je weer procenten maken. Voorbeeld:

8 40 = =40 % 20 100 Verhoudingstabellen Voor het berekenen van aantallen naar procenten en omgekeerd kunnen de volgende stappen worden gevolgd: 1.

Maak een verhoudingstabel met de procenten boven en de aantallen onder.

2. Schrijf alle nuttige getallen die je uit de vraag kan halen in de tabel. Onder het totale aantal komt altijd 100% te staan. 3.

Bereken het aantal procent of het onbekende aantal.

Voorbeeld: 8,4 % van 60 = 100% 60

1% 0,6

8,4% 5,04

In een verhoudingstabel mag je ook kruislings vermenigvuldigen. Dit houdt in dat je geheel x deel / geheel doet. Voorbeeld: 100% 60

8,4% 5,04

60 x 8,4 / 100=5,04 Eigenlijk doe je bij deze methode hetzelfde, je laat alleen de overbodige stappen weg. In plaats van dat je naar 1 gaat, dan naar 5 en dan naar 8,5, reken je nu de hele som met behulp van een formule in een keer uit. Deze formule lijkt heel veel op de formule voor procentuele toe- en afname. 100% is altijd het totaal. Om het eindresultaat te berekenen neem je een aantal tussenstappen. Het totaal, 100% dus, is in het voorbeeld hieronder 60. Wat je wilt berekenen is een deel van het totaal. Voor het gemak deel je daarom eerst door 100 om 1% te berekenen. Rekenen met 1% is namelijk makkelijker. Om uit te rekenen hoeveel 8,4% van 60 (100%) is, bereken je daarna 0,6 (1%) x 8,4. Deze

50

Voorbeeld 1: je ook berekenen door 60 (het totaal) te vermenigvuldigen met 8,4 (het deel dat je wilt uitkomst kun weten) naar het voorbeeld hieronder. 100% en de uitkomst daarvan te delen door 100. Kijk 8,4% 60

60 x

5,04

8,4 =5,04 100

Voorbeeld 2: Even een abstracter voorbeeld zonder percentages of getallen maar met letters zodat je een idee krijgt wat er gebeurt. Stel je je hebt

A C = →Wat is de waarde van A dan ? B D

Dit klinkt als een moeilijke som maar ook hier kan je kruislings vermenigvuldigen.

A=

BxC D

Oefeningen procenten Opdracht 1: Kies de goede breuk. In de speelgoedwinkel is 30% van alle spelletjes afgeprijsd. Dat is: A 3/4 deel B 1/6 deel C 1/8 deel D 30/100 deel E 3/8 deel F 1/7 deel 75% van de bezoekers van het zwembad heeft een kortingspas. Dat is: A 3/4 deel B 1/6 deel C 1/8 deel D 30/100 deel E 3/8 deel F 1/7 deel 37,5% van alle bloemen op de veiling zijn rozen. Dat is: A 3/4 deel B 1/6 deel C 1/8 deel D 30/100 deel E 3/8 deel F 1/7 deel Ruim 16% van de bewoners van Hoofddam is ouder dan 70 jaar. Dat is: A 3/4 deel 51

B 1/6 deel C 1/8 deel D 30/100 deel E 3/8 deel F 1/7 deel Opdracht 2: Bijna 15% van alle sportschoenen die sportzaak Hero verkoopt, zijn van het merk Dias. Dat is ongeveer 1 op de … verkochte sportschoenen. A 1 op de 10 B 1 op de 6 C 1 op de 7 D 1 op de 20 Opdracht 3: Reken van breuk naar procenten. 2/4 = 1/25 = 1/20 = 2/100 = 1/10 =

3/4 = 1/50 = 2/5 = 2/100 = 11/10 =

52

Opdracht 4: Reken uit. 10% van 200 = 20% van 60 = 99% van 50 = 25% van 1 = 48% van 700 =

37% van 100 = 12,5% van 100 = 63% van 120 = 58% van 58 = 1,5% 5 =

Opdracht 5: Schrijf naar decimalen. 1% = 75% = 33% = 10% = 100% =

68,45% = 33,3% = 55% = 25% = 0,04% =

Opdracht 6: Hoeveel procent is: 1) 1 op de 20 = 2) 5 op de 40 = 3) 3 op de 8 = 4) 12 op de 60 = 5) 1 op de 9 =

6) 25% van 48 = 7) 2,5% van 48 = 8) 75% van 48 = 9) 200% van 14 = 10) 350% van 6 =

11) 0,125 × 56 = 12) 1 op de 9 = 13) 5% van 500 = 14) 5% van 1000 = 15) 5% van 50 =

16) 30% van 70 = 17) 4800 : 36 = 18) 0,125 × 72 = 19) 1 op de 8 = 20) 1 op de 10 =

21) 49 = 22) 7 op de 9 = 23) 13% van 13 = 24) 24 van de 60 = 25) 12,5 × 6 =

26) 2% van 3,4 = 27) 14% van 8 = 28) 14 × 4,5 = 29) 3,7 miljoen : 3700 30) 81000 : 27 =

53

Antwoordblad procenten Opdracht 1: D A E B Opdracht 2: C; 15% = 15 op de 100 = 3 op de 20. 1 op de 7 zit daar het dichtste bij. Opdracht 3: 50% 4% 5% 2% 10%

75% 2% 40% 3% 110%

Opdracht 4: 20 12 49,5 0,04 343

37 12,5 75,6 33,64 0,075

Opdracht 5: 0,001 0,75 0,33 0,1 1

0,6845 0,333 0,55 0,25 0,0004

Opdracht 6: 1) 1 op de 20 = 5% 2) 5 op de 40 = 12,5% 3) 3 op de 8 = 37,5% 4) 12 op de 60 = 20% 5) 1 op de 9 = 11,11%

6) 25% van 48 = x 7) 2,5% van 48 =x 8) 75% van 48 = x 9) 200% van 14 = x 10) 350% van 6 = x

11) 0,125 × 56 = 12) 1 op de 9 = 11,11% 13) 5% van 500 = 5 14) 5% van 1000 = 5 15) 5% van 50 = 5

16) 30% van 70 = 30 17) 4800 : 36 = x 18) 0,125 × 72 = x 19) 1 op de 8 = 12,5% 20) 1 op de 10 = 10%

21) 49 = x 22) 7 op de 9 = 77,78% 23) 13% van 13 = 13 24) 24 van de 60 = 40% 25) 12,5 × 6 = x

26) 2% van 3,4 = x 27) 14% van 8 = x 28) 14 × 4,5 = x 29) 3,7 miljoen : 3700 = x 30) 81000 : 27 = x

54

Theorie verhoudingen

Een verhouding is een recht evenredig verband tussen twee of meer getalsmage of meetkundige beschrijvingen. In het dagelijks leven ga je bijvoorbeeld in de supermarkt na welk product in verhouding het goedkoopst is. Dit moet wel in een vergelijkbare eenheid gebeuren, bijvoorbeeld euro’s. 55

Als iets naar verhouding omhoog gaat, kan met ook wel zeggen dat het naar rato omhoog gaat. Veel verhoudingen hebben betrekking op grootheden, zoals lengte, gewicht en inhoud Een verhouding is te vergelijken met een breuk. Je kunt daarom ook bij een verhouding bijvoorbeeld boven en onder met hetzelfde getal delen en vermenigvuldigen. Een verhouding kun je ook omschrijven als ‘staat tot’. Neem bijvoorbeeld een cilinder van 5 meter en zijn schaduw van 3 meter. De verhouding tussen de cilinder en de schaduw wordt dan 5 : 3 oftewel 5 staat tot 3. Deze verhoudingen kun je gebruiken om de verhouding bij een ander object uit te rekenen. Voorbeeld: A

B

De verhouding tussen de hoogte van de cilinder en de breedte van de schaduw bij B is 30 : 15. De hoogte van A is 24. Wat is de verhouding bij A? 30 : 15 zoals 24 : ? 30 15

1 0,5

24 12

Zoals je in het voorbeeld ziet gebruik je een verhoudingstabel om de uitkomst te berekenen. Om te berekenen wat de verhouding is bij B, vereenvoudig je door 30 te delen door 30 en 15 ook door 30. Nu weet je dat bij B 1 staat tot 0,5. Om de verhouding bij A te berekenen vermenigvuldig je nu de hoogte (24) met 1. Om de breedte van de schaduw te berekenen vermenigvuldig je dan 24 met 0,5. De verhouding bij A is dus 24 : 12

56

Verhoudingen en verdelingen pas je toe als je een groep gaat verdelen in meerdere groepen. Neem bijvoorbeeld kledingstukken. Een ondernemer koopt 80 kledingstukken waarbij de verhouding 2 : 5 is, van elke 5 kledingstukken zijn er 2 jurken en 3 broeken. Voorbeeld: Jurk broek totaal 2 3 5 Van het totaal van 80 kledingstukken weten we dat er van elke 5 kledingstukken, 2 jurken en 3 broeken zijn. De formule die je dan krijgt voor een jurk is

2 x 80 = 5

2 3 x 80 = en voor de broeken x 80 = 5 5

80 : 5 = 16 16 x 2 = 32 jurken 3/5 x 80 = 80 : 5 = 16 16 x 3 = 48 broeken Ter controle tel je de uitkomst van het gevonden aantal jurken en broeken bij elkaar op, dat moet dan het totale aantal kledingstukken zijn: 32 + 48 = 80 kledingstukken.

57

Verhouding ratio’s Als je eenmaal een ratio kunt herkennen, kun je dit toepassen in heel veel situaties, bijvoorbeeld voor het berekenen van wisselkoersen of ingrediënten in recepten. Voorbeeld: De wisselkoers van de Dollar is = $ 1,12. Je wilt weten hoeveel € 48,95 in dollar is. $1,12 €1,00

$54,82 €48,95

Zoals je bij de kruislingse verhoudingstabel hebt gezien, kun je de uitkomst berekenen zonder tussenstappen te maken. Dan doe je $1,12 x €48,95 : €1,00 = $54,82 Voorbeeld: De wisselkoers euro-dollar = 1,12 $/€. Hoeveel dollar is 37,50 euro waard? euro dollar ? = 1,12 $ / € x €37,50 = $42,-

1 1,12

58

37,50 ?

Oefeningen verhoudingen 1. Een tiende van de studenten eet buiten op de schoolplein. Op de school zitten 280 leerlingen. Hoeveel leerlingen eten er buiten? 2. Twee zussen, Bianca en Anna hebben samen €60.000 verdiend met fietsen verkopen. Zij verdelen de winst in de verhouding 2:4. Hoeveel geld is daarvan voor Bianca? 3. In een vol glas wijn zit 2% alcohol. Hoeveel alcohol zit er in 1/4 glas wijn? 4. Albert Heijn verkoopt tomaten voor €2,- per kg. Hoeveel moet je betalen als je 800 gr tomaten wilt kopen? 5. In de bus zitten 30 mensen, 17 ervan komen uit Amsterdam. Hoeveel procent van de mensen in de bus komt niet uit Amsterdam? 6. Welke jam is in verhouding het goedkoopst? Pot kersenjam (250 g): €0,50 Pot aardbeienjam (500 g): €0,98 Pot abrikozenjam (750 g): €1,42 7. Welke auto is het zuinigst? Een auto rijdt 1 op 12 ‘betekent met 1 liter benzine kan de auto 12 km rijden. Auto A rijdt 1 op 14. Auto B rijdt 1 op 16. Auto C rijdt 1 op 18. Auto D rijdt 1 op 20. 8. Je koopt een stuk kaas van 0,875 kg. De prijs is €16 per kg. Hoeveel betaal je voor dat stuk kaas? 9. Een zesde van de studenten op school rookt buiten in de pauze. Op de school zitten 282 leerlingen. Hoeveel staan er buiten te roken in de pauze? 10. De supermarkt verkoopt druiven voor €1,90 per 500 gram. Hoeveel betaal je voor 750g – 250g – 2kg – 50g – 10kg? 11. Welke machine produceert in verhouding de meeste pakjes? Machine A produceert 2 pakjes per seconde. Machine B produceert 135 pakjes per minuut. Machine C produceert 500 pakjes per kwartier. Machine D produceert 2.200 pakjes per uur. 12. Twee boeren, Jan en Kees verdelen de opbrengst van hun aardappelen in de verhouding 2 : 3. In totaal hebben ze €55.000 verdiend. Hoeveel van dat geld is voor Jan ?

59

Antwoordblad verhoudingen 1. Een tiende van de studenten eet buiten op de schoolplein. Op de school zitten 280 leerlingen. Hoeveel leerlingen eten er buiten?

1 ∗280=28leerlingen eten buiten 10

2. Twee zussen, Bianca en Anna hebben samen €60.000 verdiend met fietsen verkopen. Zij verdelen de winst in de verhouding 2:4. Hoeveel geld is daarvan voor Bianca?

2 1 1 = → Als Bianca 1 krijgt , krijgt Anna er 2 want de verhouding is . 4 2 2 Bianca 1

Bianca krijgt

Anna 2

Totaal 3

1 1 dus dat betekent ∗60000=20000 euro 3 3

3. In een vol glas wijn zit 2% alcohol. Hoeveel alcohol procent zit er in

1 glas wijn? 4

2 1 = , dus 150 e deel van een vol glas wijn is alcohol . 100 50 1 Je hebt geen vol glas maar een kwart glas wijn.∈een kwart glas wijn zit dus een kwart 4 1 ∗1 4 1 van dietwee procent . = → 0,5 % 50 200

¿ een vol glas zit 2 % →

()

4. Albert Heijn verkoopt tomaten voor €2,- per kg. Hoeveel moet je betalen als je 800 gr tomaten wilt kopen? €2 € ?? 1 kg = 1000 gram 800 gram

Je wilt ? ? vinden dus je doet kruislinks vermenigvuldigen . Je krijgt als volgt : 800 gram∗€ 2 1600 = =€ 1,60 1000 gram 1000

5. In de bus zitten 30 mensen, 17 ervan komen uit Amsterdam. Hoeveel procent van de mensen in de bus komt niet uit Amsterdam?

17 17 komen niet uit Amsterdam . ∗100=56,67 % . Het percentage dat niet u 30 30 13 Altenatieve manier :30−17=13 mensen→ 13 mensen komenniet uit Amsterdam → ∗100=43,34 % 30

Totaal zitten er 30 mensen∈ de bus .

6. Welke jam is in verhouding het goedkoopst? Pot kersenjam (250 g): €0,50 Pot aardbeienjam (500 g): €0,98 60

Pot abrikozenjam (750 g): €1,42 Prijs 0,50 0,98 1,42

Gewicht 250 gram 500 gram 750 gram

Je wilt berekenen wat in verhouding het goedkoopst is. In andere woorden, wat is het goedkoopst per gram?

0,50 =0,002 euro betaal je per gram kersenjam 250 0,98 =0,00196 euro betaal je per gram aardbeienjam 500 1,42 =0,00189 eurobetaal je per gramabrikozenjam 750

Conclusie: abrikozenjam is het goedkoopst 7. Welke auto is het zuinigst? Een auto rijdt 1 op 12 ‘betekent met 1 liter benzine kan de auto 12 km rijden. Auto A rijdt 1 op 14. Auto B rijdt 1 op 16. Auto C rijdt 1 op 18. Auto D rijdt 1 op 20.

D → Je hebt 1 liter nodig om20 km terijden en dat is meer dan de andere auto ' s

8. Je koopt een stuk kaas van 0,875 kg. De prijs is €16 per kg. Hoeveel betaal je voor dat stuk kaas?

1 kg=16 euro →0,875∗16=14 euro

9. Een zesde van de studenten op school rookt buiten in de pauze. Op de school zitten 282 leerlingen. Hoeveel staan er buiten te roken in de pauze?

1 1 282 van de studenten rookt . ∗282= =47 mensen 6 6 6

10. De supermarkt verkoopt druiven voor €1,90 per 500 gram. Hoeveel betaal je voor 750g – 250g – 2kg – 50g – 10kg?

€ 2,85 – € 0,95 – € 7,60 – € 0,19 – € 38 ,−¿

11. Welke machine produceert in verhouding de meeste pakjes? Machine A produceert 2 pakjes per seconde. Machine B produceert 135 pakjes per minuut. Machine C produceert 500 pakjes per kwartier. Machine D produceert 2.200 pakjes per uur. A 2 Seconde

B 135 60 seconden

2 pakjes / seconde

135 / 60 = 2,25 pakjes per seconde

C 500 15 x 60 = 900 seconden 500 / 900 = 0,56 pakjes per seconde 61

D 2200 60 x 60 = 3600 seconden 2200 / 3600 = 0,61 pakjes per seconde

12. Twee boeren, Jan en Kees verdelen de opbrengst van hun aardappelen in de verhouding 2 : 3. In totaal hebben ze €55.000 verdiend. Hoeveel van dat geld is voor Jan ?

2 op 3 , totaal is dus 5.

55000 =11000 → 11000∗2=22000 euro 5

62

Theorie meten en meetkunde  

Meten Meetkunde

Meten (1) Bij meten maken we onderscheid tussen grootheden en eenheden. Iedere grootheid wordt uitgedrukt in een eenheid. Afstand is bijvoorbeeld een grootheid en deze grootheid wordt uitgedrukt in de eenheid ‘meter’ (m). Ook kan de grootheid afstand in mijlen worden uitgedrukt. Er kunnen dus meerdere eenheden per grootheid zijn. Zie onderstaande tabel: Grootheid Afstand Inhoud Tijd

Eenheden meter, mijl kubieke meter seconden, minuten, uren, dagen, jaren

Notatie m m3 s, m, h, d, j

Oppervlakte Gewicht Snelheid Temperatuur Bestandgrootte

vierkante meter gram, kilogram meter per seconde, kilometer per uur graden Celsius, graden Fahrenheit byte

m2 g, kg m/s, km/h C, F b

Bij hele kleine of grote grootheden is het erg gek om alles in eenzelfde eenheid op te schrijven. Het is bijvoorbeeld raar om te zeggen dat je 67 duizend gram weegt. In plaats van 67000 gram (g), gebruiken we daarom 67 kilogram (kg). Het woord ‘kilo’ vervangt hier het woord ‘duizend’ en betekent dan ook letterlijk ‘x1000’ (keer duizend). Door de hoofdeenheid te vervoegen met een voorvoegsel kunnen we een beter geschikte eenheid maken. Voorvoegsel Giga Mega Kilo Hecto Deca Deci Centi Milli Micro Nano

Notatie G M k h da

Wetenschappelijk 109 = miljard 106 = miljoen 103 = 1000 102 = 100 101 = 10 1 10-1 = tiende 10-2 = honderdste 10-3 = duizendste 10-6 = miljoenste 10-9 = miljardste

d c m µ n

Hoofdeenheid X 1.000.000.000 X 1.000.000 X 1.000 X 100 X 10 X 1 of : 1 : 10 : 100 : 1.000 : 1.000.000 : 1.000.000.000

Je kunt nu drie dingen onderscheiden. Het getal, de eenheid en het voorvoegsel. Het voorvoegsel ontbreekt natuurlijk als je de hoofdeenheid van een grootheid gebruikt. Voorbeeld:

getal voorvoegsel 16,0 k 16,0 km = 16.000 m

eenheid = m =

63

Om het verband tussen de verschillende eenheden duidelijker te maken wordt vaak dit schema gebruikt: Gewicht Lengte Oppervlakt e Inhoud Inhoud

Kg Km Km2

Hg Hm Hm2

Dag Dam Dam2

G M M2

Dg Dm Dm2

Cg Cm Cm2

Mg Mm Mm2

Hm3 KL

Hm3 HL

Dam3 Dal

M3 L

Dm3 DL

Cm3 CL

Mm3 ML

Voorbeeld: 0,045 kg = 0,45 hg = 4,5 dag = 4g = 450dg = 4500cg

64

Oefeningen meten en meetkunde 1. Vervoeg de meetgetallen naar de juiste getallen. De maten worden alleen maar kleiner, dus je hoeft alleen de komma naar rechts te verplaatsen. 6,00kg = hg = dag = g 3,20hg = dag = g= cg 0,7g = dg = cg = mg 0,05kg = hg = dag = mg 8,01g = dg = cg = mg

2. Nu krijg je steeds grotere maten, dus je hoeft de komma alleen naar links te verplaatsen. 8000m = dam = hm = km 5600cm = dm = m= dam 1320mm = dm = dam = km 4887dm = m= hm = km 0,125dm = m= dam = km 3. Nu door elkaar. 15,0l = 0,04dal = 2,317hl =

dal = hl = kl =

dl = ml = cl =

65

hl l dl

Antwoordblad meten en meetkunde Opdracht 1: 60hg = 32dag = 7dg = 0,5hg = 80,1dg =

600dag = 320g = 70cg = 5dag = 801cg =

6000g 32.000cg 700mg 50.000mg 8010mg

Opdracht 2: 800dam = 560dm = 13,2dm = 488,7m = 0,0125m =

80hm = 56m = 0,132dam = 4,887hm = 0,00125dam =

8km 5,6dam 0,00132km 0,4887km 0,0000125

Opdracht 3: 1,5dal = 0,0004hl = 0,2317kl =

150dl = 400ml = 23170cl =

0,15hl 0,4l 2317dl

66

Optellen en aftrekken van meetgetallen (2) Wanneer je wilt optellen of aftrekken bij meetgetallen, dan kan dat alleen als de eenheid gelijk is. Voorbeeld: 1,3 mm + 12,7 mm = 14 mm In dit voorbeeld zijn de eendeden (mm) gelijk dus je kunt ze optellen. Wanneer de meetgetallen ongelijke eenheden hebben, moet je de eenheden eerst gelijk maken. Het makkelijkste is dan om de grootste eenheid naar de kleinste om te zetten, omdat je dan de komma naar links kunt verplaatsen. Hierdoor voorkom je dat er kommagetallen ontstaan. Voorbeeld: 1,3 dm + 12,7 mm = 130 mm + 12,7 mm = 142,7 mm

Bij de eenheden die een macht hebben, moeten we per stap de komma verplaatsen gelijk aan de exponent van die eenheid. Bij bijvoorbeeld oppervlakte in vierkante meter (m 2) moet de komma in plaats van 1 plek 2 plekken verschuiven. Voorbeeld: 0,0024hm2 = 0,24dam2 = 24m2 = 2.400dm2 = 240.000cm2

Bij inhoud, waar je dus kubieke meter (m 3) gebruikt, moet je de komma 3 plekken per keer verplaatsen. Let op, dit geldt alleen voor m 3 en niet voor liters (l).

67

Oefeningen optellen en aftrekken van meetgetallen 1. Wat is de uitkomst? 120mm + 80mm = 8,2dm + 4,8dm = 0,12cm + 0,08cm = 12,1m + 0,99m = 400nm + 120nm =

4,81L– 3,99L = 0,14dl – 0,003dl = 4,5ml – 1,91ml = 12hl – 9,95hl = 4,3nl – 2,33nl =

2. Wat is de uitkomst? (Het gemakkelijkst is om de grootste maat om te schrijven naar de kleinste. De antwoorden zijn in het kleinste!) 113g + 7dag = 1,250gb – 250mb = 12,1kg + 900g = 3,15mb – 200kb = 341mg + 1g = 0,75mb – 749kb = 0,2kg + 80dag = 16,0gb – 1250mb = 0,3µg + 700ng = 0,025gb – 25.000kb = 3. Wat is de uitkomst van de oppervlaktes? 3,00m2 +5,75m2 = 3,00m2 + 575dm2 = 179cm2 + 12cm2 = 200cm2 + 12dm2 =

0,12km2 – 300dam2 = 12,50km2 – 0,001hm2 = 1,00km2 – 3000dam2 = 0,02cm2 – 0,0002dm2 =

4. Een banaan weegt 70g. Een aantal bananen wegen samen 2,8kg. Hoeveel bananen zijn dit? 5. a. Op een telefoon van 4Gb wil je video’s van 2,5MB plaatsen. Hoeveel video’s passen er op de telefoon? b. En hoeveel video’s passen er op een telefoon van 8000Mb?

68

Antwoordblad optellen en aftrekken van meetgetallen Opdracht 1: 120mm + 80mm = 200mm 8,2dm + 4,8dm = 13dm 0,12cm + 0,08cm = 0,2cm 12,1m + 0,99m = 13,09m 400nm + 120nm = 520nm

4,81L – 3,99L = 0,82L 0,14dl – 0,003dl = 0,137dl 4,5ml – 1,91ml = 2,59ml 12hl – 9,95hl = 2,05hl 4,3nl – 2,33nl = 1,97 nl

Opdracht 2: 113g + 7dag = 183g 12,1kg + 900g = 13.000g 341mg + 1g = 1341mg 0,2kg + 80dag = 100dag 0,3µg + 700ng = 1000ng

1,250gb – 250mb = 1000mb 3,15mb – 200kb = 2950kb 0,75mb – 749kb = 1kb 16,0gb – 1250mb = 14.750mb 0,025gb – 25.000kb = 0kb

Opdracht 3: 3,00m2 +5,75m2 = 8,75m2 3,00m2 + 575dm2 =875dm2 179cm2 + 12cm2 = 191cm2 200cm2 + 12dm2 =1400cm2

0,12km2 – 300dam2 = 900dam2 12,50km2 – 0,001hm2 = 2,5m2 1,00km2 – 3000dam2 = 7000dam2 0,02cm2 – 0,0002dm2 = 0cm2

Opdracht 4: 2800g : 70g/banaan = 40 bananen Opdracht 5: a. 4000mb : 2,5mb = 1600 video’s b. 8000 mb : 2,5mb = 1600 * 2 = 3200 video’s

69

Theorie oppervlakte rechthoek (3) Wanneer je de lengte en breedte van een rechthoek vermenigvuldigt met elkaar, krijg je de oppervlakte. (Regel)

Oppervlakte rechthoek = lengte x breedte

lengte

breedte

De eenheid van oppervlakte is vierkante meter (m 2). Soms worden ook de are (dam2) en hectare (hm2) gebruikt. Let altijd goed op bij het berekenen van de oppervlakte dat eerst de eenheden weer gelijk moeten zijn. Voorbeeld: 0,3m x 4dm = 3dm x 4dm = 12dm2

Om dit op een makkelijke manier te doen, schrijf je altijd de grootste maat om. De komma verschuift dan naar rechts, wat makkelijker is dan de komma naar links te schuiven. De formule om de oppervlakte uit te rekenen weet je nu. Maar wat als de oppervlakte al gegeven is en je moet de lengte of breedte uitrekenen? Hierbij kun je dezelfde formule gebruiken! Voorbeeld: Een rechthoekig landgoed heeft een oppervlakte van 1275m 2 en een breedte van 25m. Wat is de lengte? Oppervlakte 1275m2 Lengte

= lengte x breedte = lengte x 25m = 1275m2 : 25m = 51m

Waarom je nu de oppervlakte mag delen door de breedte om de oppervlakte te krijgen? Kijk naar het volgende voorbeeld:

Voorbeeld: 6 2

= = Antwoordblad\

2x3 6:3

oppervlakte rechthoek

1. Bereken de onderstaande oppervlaktes. Zet de oppervlakte in de kleinste eenheid. 70

7cm x 8cm = 12cm x 7cm = 8m x 17m = 2,5hm x 4hm = 0,125m x 8m =

3cm x 3dm = 0,3km x 200m = 70dam x 4cm = 0,2hm x 2dm = 0,375km x 8m =

2. Vul de … in 24cm2 = 3cm x …cm 48cm2 = 16cm x …cm 90dm2 = 15dm x …dm 72m2 = 6m x …m 275mm2 = 25mm x …mm

135dm2 256mm2 105cm2 121mm2 512hm2

3. Bereken de ontbrekende lengte of breedte 24cm2 = 3dm x …cm 48cm2 = 16mm x …cm 90dm2 = 15m x …dm 72m2 = 6hm x …m 275mm2 = 25cm x …mm

135dm2 = 15cm x …cm 256mm2 = 16mm x …cm 105cm2 = 15dm x …dm 121mm2 = 11cm x …mm 512hm2 = 128m x …km

4. Reken om. 12hm2 7,5km2 0,5dam2 140m2 8500dm2

14dam2 1,5hm2 0,75km2 15m2 750dam2

=…hectare =…hectare =…hectare =…hectare =…hectare

= 15dm x …dm = 16mm x …mm = 15cm x …cm = 11mm x …mm = 128hm x …hm

=…are =…are =…are =…are =…are

5. Een flat met een oppervlakte van 12.250m 2 heeft 8 verdiepingen met gelijke oppervlakte. Wat is de oppervlakte van één verdieping?

71

Oefeningen oppervlakte rechthoek 1. Bereken de onderstaande oppervlaktes. Zet de oppervlakte in de kleinste eenheid. 7cm x 8cm = 56cm2 3cm x 3dm = 90cm2 2 12cm x 7cm = 84cm 0,3km x 200m = 60.000m2 2 8m x 17m =136m 70dam x 4cm = 280.000cm2 2,5hm x 4hm = 10hm2 0,2hm x 2dm = 400dm2 2 0,125m x 8m = 1m 0,375km x 8m =3000m2 2. Vul de … in. 24cm2 = 3cm x 8cm 48cm2 = 16cm x 3cm 90dm2 = 15dm x 6dm 72m2 = 6m x 12m 275mm2 = 25mm x 11mm

135dm2 256mm2 105cm2 121mm2 512hm2

3. Bereken de ontbrekende lengte of breedte. 24cm2 = 3dm x 0,8cm 48cm2 = 16mm x 30cm 90dm2 = 15m x 0,6dm 72m2 = 6hm x 0,12m 275mm2 = 25cm x 1,1mm

135dm2 = 15cm x 90cm 256mm2 = 16mm x 1,6cm 105cm2 = 15dm x 0,07dm 121mm2 = 11cm x 1,1mm 512hm2 = 128m x 40km

4. Reken om. 12hm2 7,5km2 0,5dam2 140m2 8500dm2

14dam2 1,5hm2 0,75km2 15m2 750dam2

=12hectare =750hectare =0,005hectare =0,014hectare =0,0085hectare

= 15dm x 9dm = 16mm x 16mm = 15cm x 7cm = 11mm x 11mm = 128hm x 4hm

=14are =150are =7500are =0,15are =750are

5. Een flat met een oppervlakte van 12.250m 2 heeft 8 verdiepingen met gelijke oppervlakte. Wat is de oppervlakte van één verdieping? 12.250m2 : 8 = 1531,25m2

72

Theorie inhoud balk (4) Volume, ook wel inhoud genoemd, betekent hoeveel ruimte een object inneemt. Door lengte, breedte en hoogte te vermenigvuldigen, krijg je de inhoud. (Regel)

Inhoud balk = lengte x breedte x hoogte

De inhoud van deze ruimte is = L x B x H Volume kan worden uitgedrukt in kubieke meters (m 3). 1 dm3 is gelijk aan 1 liter (l). Dus de inhoud kan ook worden uitgedrukt in liters. 1 cm 3 is gelijk aan 1ml. Als je te maken hebt met andere maten die je wilt omschrijven, dan moet je eerst terug naar de bovengenoemde maten. Voorbeeld: 0,004 dam3

= 4000 dm3

= 4000 l

Bij inhoud, waar je dus kubieke meter (m 3) gebruikt, moet je de komma 3 plekken per keer verplaatsen. Let op, dit geldt alleen voor m 3 en niet voor liters (l). Kubussen zijn speciale gevallen. De inhoud van een kubus bereken je door de lengte tot de derde macht te nemen. (Regel)

Inhoud kubus = lengte x lengte x lengte = lengte 3

Voorbeeld Wat is de volume van de kubus? 3

Volume kubus=lengte x lengte x lengte=( lengte ) =¿ 1 m x 1 m x 1 m=( 1 )3=1 m3

73

Oefeningen inhoud balk (4) 1. Het zwembad in de sportschool is 20 bij 10 bij 1,2 m. Hoeveel liter water bevat het zwembad? 2. Er valt op een dag 7 mm regen per vierkante meter. Hoeveel liter is dat op een weiland van 60 bij 80 meter? 3. Je vult een badkuip van 4 dm bij 4 dm bij 15 dm met blikjes water van 0,33 l. Hoeveel blikjes water zijn dat? 4. Van een rechthoekig bakje zijn de maten van het grondvlak 5 cm en 10 cm. In deze bak gaat precies 1 liter. Bereken de hoogte van deze bak. 5. In de supermarkt staat een stapel van 8 bij 5 bij 10 pakjes appelsap. Elk pakje heeft een inhoud van 250 ml. Hoeveel liter appelsap is dit bij elkaar? 6. Vul de … in 65 cl = … l 0,45 m2 = … l 450 cm3 = … ml 0,25 dm3 = … cm3 30 hl = … m3

30 dl = … l 50 cm3 = … cl 700 m3 = … hl 75 ml = … dm3 30 m3 = … l

7. Een kraan drupt ongeveer 50 ml per minuut. Je vangt het water op in een emmer van 10 liter. Na hoeveel tijd is de emmer vol? 8. Hoeveel houten blokjes van 1,5 cm bij 1,5 cm bij 1,5 cm passen er in een doosje van 5 cm bij 6 cm bij 8 cm?

74

Antwoordblad inhoud balk (4) 1. 240.000 liter 2. 330.600 liter 3. 727 blikjes 4. 20 cm 5. 100 liter 6. 65 cl = 0,65 l 0,45 m2 = 450 l 450 cm3 = 250 ml 0,25 dm3 = 250 cm3 30 hl = 3 m3

30 dl = 3 l 50 cm3 = 5 cl 700 m3 = 7.000 hl 75 ml = 0,075 dm3 30 m3 = 30.000 l

7. 3 uur en 20 minuten 8. 60 blokjes

75

Theorie omtrek van rechthoeken en andere objecten (5) De omtrek is gelijk aan de kortste afstand die je om een figuur of object aflegt. De omtrek wordt gemeten in een eenheid van lengte, bijvoorbeeld in meters. (Regel)

Omtrek rechthoek = l + l + b +b = 2 x l + 2 x b = 2 x (l + b)

Voor het berekenen van de omtrek van objecten of figuren die geen rechthoeken zijn bestaat er geen formule. Hierbij moet je alle lengtes van het pad rondom het object bij elkaar optellen. Je gaat als het ware lopen over het hele pad en telt hoe veel je totaal gelopen hebt.

Voorbeeld: Omtrek = 2 cm + 2 cm + 3 cm + 3 cm + 5 cm + 5 cm = 20 cm

De oppervlakte van een driehoek bereken je met de volgende formule: (Regel)

Oppervlakte driehoek = basis x hoogte : 2

Voorbeeld: Oefeningen: Oppervlakte driehoek = 7 x 5 : 2 = 17,5 cm2

76

Oefeningen omtrek van rechthoeken en andere objecten (5) 1. Een rechthoek heeft zijden van 9 cm en 7 cm. Wat is de omtrek?

2. Een vierkant heeft een omtrek van 75 cm. Wat is de oppervlakte van dat vierkant?

3. Op een blik verf staat dat de inhoud voldoende is voor 8 m 2. Hoeveel blikken heb je nodig voor een vierkante schuur met de maten 6 m bij 6 m bij 2,7 m?

4. Een muur is 4,20 m lang en 2,70 m hoog. Een miljonair behangt de muur met briefjes van 50 euro. De maten van zo’n briefje zijn 14 cm bij 7,5 cm. Hoeveel is die muur waard?

5. Wat is de omtrek van het figuur?

6. Wat is de oppervlakte van het figuur bij opdracht 5?

7. Wat is de oppervlakte van een driehoek met basis 18 cm en hoogte 2 dm in cm 2?

8. Wat is de oppervlakte van een driehoek met hoogte 2,2 m en 0,3 dam basis in m 2?

77

Antwoordblad omtrek van rechthoeken en andere objecten (5) 1. 9+9+7+7 = 32 cm 2. 75 cm : 4 = 18,75 cm  Je deelt de totale omtrek door 4 omdat er 4 zijdes zijn, je weet dus nu dat elke zijde 18,75 cm is. 18,75 x 18,75 = 351,6 cm2 Je weet dat lengte x breedte = oppervlakte dus 18,75 x 18,75 = 351,6 cm2 3. Als je zuinig bent 8 blikken anders 9. 4. €54000 5. 16 cm + 16 cm + 5 cm + 5 cm = 42 cm 6. 16 x 5 = 80 m2 7. 180 cm2 18 x 20 : 2= 180 8. 2,2 m x 3 m x 0,5 = 3,3 m2

78

Theorie omtrek cirkel (6) De omtrek van een cirkel bereken je met de volgende formule: (Regel)

Omtrek cirkel = 2 x π x r = π x d

Pi (π ) heeft een vaste waarde. Deze waarde kun je zelf ook vinden door de omtrek van een cirkel te delen door de diameter (d). (Regel)

π ≈ 3,14

Het is goed om te weten dat de diameter gelijk is aan twee keer de straal (r = radius). (Regel)

d=2xr

Als je een rekenmachine mag gebruiken is het beter om het symbool π in te typen. Dan reken je namelijk met het niet afgeronde getal. Voor de oppervlakte van een cirkel wordt de volgende formule gebruikt: (Regel)

oppervlakte cirkel = π x r 2 = π x r x r

Als je alleen de diameter van een cirkel weet en je wilt de oppervlakte berekenen, dan moet je eerst de diameter delen door 2 om er achter te komen wat de straal is. De straal kun je dan vervolgens gebruiken om in de formule in te vullen. Voorbeeld: Wat is de oppervlakte van een cirkel met een diameter van 4 cm? d = 4 cm, dus r = 2 cm Oppervlakte cirkel = π x (2 cm)2 = π x 4 cm2 = 12,57cm2 Voor het berekenen van de inhoud van een bol kan de volgende formule worden gebruikt: (Regel)

Inhoud bol = 3/4 x π x r 3

79

Oefeningen omtrek cirkel (6) 1. Wat is de omtrek in meters van een cirkel met een straal van 2 m?

2. Wat is de omtrek in meters van een cirkel met een straal van 10 m?

3. Wat is de oppervlakte in m2 van een cirkel met een straal van 10 m?

4. Wat is de oppervlakte in m2 van een cirkel met een straal van 6,5 m?

5. Een cirkel heeft een omtrek van 25,12 cm. Wat is de diameter?

6. Een cirkel heeft een oppervlakte van 78,5 cm2. Wat is de diameter?

7. Een CD heeft een diameter van 12 cm. Het gat in het midden heeft diameter van 1 cm. Wat is de oppervlakte van de CD zonder het gat?

8. Marie heeft een fiets met wielen die een straal hebben van 3 dm. Ze fietst een stuk van 6 km. Hoe vaak is één wiel rondgedraaid?

9. Bereken de inhoud van bollen met een straal van 3 dm, 6 dm en 9 dm in liters.

80

Antwoordblad omtrek cirkel (6) 1. 4 m x π = 12,56 m

2. 20 m x π = 62,8 m

3. π x (10 m)2= 314 m2

4. π x (6,5 m)2= 132,665 m2

5. 25,12 cm2 : 3,14 = 8 cm

6. 75,5 cm2 : 3,14 = 25 cm = r2 r = 5 cm  d = 2 x 5 cm = 10 cm

7. π x (6 cm)2 - π x (0,5 cm)2 = 112,3 cm2

8. 60.000 dm : π x (6 dm) = 3185 x rondgedraaid

9. 113,04l – 904,32l – 3052,08l

81

Theorie inhoud prisma (7) Een prisma is een object waarbij het boven- en grondvlak een gelijke vorm hebben, parallel lopen en veelhoek zijn. Een kubus en een balk zijn daarom dus ook prisma’s. De oppervlakte is gegeven of makkelijk te berekenen (driehoek of rechthoek). (Regel)

Inhoud prisma = oppervlakte x hoogte

Voorbeeld: Het grondvlak van deze prisma is een driehoek. Oppervlakte van een driehoek is = b x h : 2 Oppervlakte grondvlak prisma = 10 x 16 : 2 = 80 cm 2 Inhoud prisma = 80 cm2 x 14 = 1120 cm3 Het berekenen van de inhoud van een cilinder gaat op bijna dezelfde manier als het berekenen van de inhoud van een balk. Het enige verschil zit hem in de vorm van het grondvlak en dus de formule die nodig is om de oppervlakte daarvan te berekenen. Het grondvlak van een cilinder is een cirkel in plaats van een vierkant. (Regel)

Inhoud cilinder = oppervlakte x hoogte = π x r2 x h

Voorbeeld: Het grondvlak van de cilinder is een cirkel. Oppervlakte van een cirkel is = π x r2 Oppervlakte grondvlak = π x (3cm)2 = 28,27 cm2 Inhoud cilinder = 28,27cm2 x 6 = 169,65 cm3

De inhoud van een kegel bereken je op dezelfde manier als die van de cilinder, maar de uitkomst vermenigvuldig je nog met 1/3. Je mag ook delen door 3 in plaats van vermenigvuldigen met 1/3. (Regel)

Inhoud kegel= oppervlakte x hoogte : 3

Voorbeeld: Het grondvlak van een kegel is altijd een cirkel. Oppervlakte van een cirkel is = π x r2 Oppervlakte grondvlak = π x (3 cm)2 = 28,27 cm2 Inhoud kegel = 28,27 cm2 x 4 : 3 = 37,70 cm3

82

Oefeningen inhoud prisma 1. Een prisma met als grondvlak een driehoek, waarvan de basis 4 cm en de hoogte 7 cm is, heeft zelf een hoogte van 2,5 cm. Wat is de inhoud in cm 3? 2. Wat is de inhoud van een cilinder van 10 cm hoog en een grondvlak van 10 cm 2? 3. Wat is de inhoud van een cilinder van 3 cm hoog en een straal van 4 cm in liters? 4. Wat is de inhoud van een cilinder van 2 dm hoog en een straal van 5 cm, waarvan 3 cm van de top is afgesneden in ml? 5. Hoeveel ml kan er in een kegel van 3 dm hoog en een straal van 3 cm? 6. Je vult cilinders van 12 dl. Je hebt 6 l water. Hoeveel cilinders kun je vullen? 7. Je vult cilinders met een straal van 4 cm en een hoogte van 1 dm met water. Je hebt 5 l water. Hoeveel cilinders kun je vullen?

83

Antwoordblad inhoud prisma 1. 35 cm3

2. 10 cm2 x 10 cm = 100 cm3

3. π x (4 cm)2 x 3 cm = 150,72 cm3 = 0,15 l

4. π x (5 cm)2 x 17 cm = 1335,5 ml

5. π x (3 cm)2 x 30 cm : 3 = 282,6 ml

6. 6l : 1,2 l = 5 cilinders

7. π x (4 cm)2 x 10 cm = 502,4 cm3 = 0,5024 l. Net niet 10 x, dus 9 cilinders.

84

Theorie snelheid (8) Snelheid is een afgelegde weg gedeeld door de hoeveelheid tijd die nodig was om die weg af te leggen.

(Regel)

Snelheid =

Afgelegde weg (meter) -----------------------------------Tijd (seconde)

Voorbeeld: Een auto heeft 50m afgelegd in 2 seconden: 50m ------------ = 25 m/s 2s De eenheid van m/s kan ook omgerekend worden naar km/h. Dit gaat zo: Voorbeeld: 25 m/s  1500 m/min  90000 m/h  90 km/h x 60 sec (minuut) x 60 min (uur) : 1000 m/km Omrekenen doe je zo: 60 x 60 3600 60 x 60 : 1000 = ---------- = ----------- = 3,6 1000 1000 Bij het omrekenen van m/s (meter per seconde) naar km/h (kilometer per uur of hour), kun je vermenigvuldigen met 3,6. Van km/h naar m/s deel je door 3,6.

Voorbeeld 1: Hoeveel km/h is 3 m/s?  3 x 3,6 = 10,8 km/h Voorbeeld 2: Hoeveel m/s is 110 km/h?  110 : 3,6 = 30,56 m/s

85

Oefeningen snelheid 1. Je stept naar school. De afstand is 8 km en je rijdt 20 km/h. Hoe lang duurt de tocht in minuten?

2. Je legt 48 km af in 3/4 uur. Wat was je snelheid in km/h en in m/s?

3. Je legt 1740 m af in 10 minuten. Wat was je snelheid in km/h en in m/s?

4. Je fietst 12 m/s en je school is 6 km van je vandaan. Hoe lang doe je er over? Geef je antwoord in minuten en seconden.

5. Je bent naar school gefietst. Je reed 20 km/h en deed er een half uur over. Hoeveel hectometers heb je afgelegd?

6. Twee mensen fietsen op een rechte weg naar elkaar toe met een snelheid van 7 m/s. Na 1 minuut en 20 seconden treffen ze elkaar. Hoe groot was de afstand tussen de twee fietsers?

7. Twee mensen fietsen van elkaar vandaan. De een fietst 6 m/s en de ander 8 m/s. Wat is de afstand tussen de twee fietsers na 12 minuten?

8. De straal van de aarde is 6400 km. Je wilt in 1 dag de aarde rond. Hoe snel moet je dan gaan in km/h gemiddeld? Rond af op 1 cijfer achter de komma.

9. Plant A groeit met een gemiddelde snelheid van 0,25 mm/h. Hoeveel dagen duurt het voordat de plant 3 cm is gegroeid?

10. Loes loopt met 6 km/h naar de bushalte. Na 10 minuten lopen is ze halverwege. De bus vertrekt over 5 minuten. Hoe hard moet zij rennen in km/h om nog op tijd te zijn?

86

Antwoorden 1. Je stept naar school. De afstand is 8 km en je rijdt 20 km/h. Hoe lang duurt de tocht in minuten? Bij een snelheid van 20 km/h doe je er 60 minuten over om 20 km af te leggen want 1 uur is gelijk aan 60 minuten. 8/20 = 0,4 uur. 0,4 uur x 60 = 24 minuten. 2. Je legt 48 km af in 3/4 uur. Wat was je snelheid in km/h en in m/s? Je legt 48 km af in 0,75 uur. Hoe veel km leg je dan af in 1 uur? Hiervoor kunnen we een tabel maken: 48 km X 0,75 uur 1 uur X is hier de afstand die je in een uur aflegt. Snelheid = 48 x 1 / 0,75 = 64 km/h = 17,8 m/s. 3. Je legt 1740 m af in 10 minuten. Wat was je snelheid in km/h en in m/s? 1740 meter 10 minuten = 600 seconde

x 1 seconde

Snelheid in m/s = 1740 x 1 / 600 = 2,9 m/s  10,44 km/h.

4. Je fietst 12 m/s en je school is 6 km van je vandaan. Hoe lang doe je er over? Geef je antwoord in minuten en seconden. Je snelheid is 12 m/s. De afstand die je af moet leggen is 6 km = 6000 meter. 6000 / 12 = 500 seconden. 500 / 60 = 8,33 minuten  8 minuten + 0,33 minuten. De 0,33 minuten willen we in seconde krijgen. 0,33 x 60 = 19,8 seconden. Dus je doet er 8 minuten en 19,8 seconden over.

5. Je bent naar school gefietst. Je reed 20 km/h en deed er een half uur over. Hoeveel hectometers heb je afgelegd? Snelheid = 20 km/h. Half uur = 0,5 uur. 20 x 0,5 = 10 km = 100 hm.

6. Twee mensen fietsen op een rechte weg naar elkaar toe met een snelheid van 7 m/s. Na 1 minuut en 20 seconden treffen ze elkaar. Hoe groot was de afstand tussen de twee fietsers? 1 minuut en 20 seconden = 60 + 20 seconden = 80 seconden. 7 x 80 = 560 meter. Dus 560 meter is de afstand tussen de persoon en de locatie waar ze elkaar treffen. Maar de vraag is hoe ver de afstand tussen de twee is als ze beginnen met fietsen. Dat is het dubbele dus 560 x 2 = 1120 meter = 1,12 km.

87

7. Twee mensen fietsen van elkaar vandaan. De een fietst 6 m/s en de ander 8 m/s. Wat is de afstand tussen de twee fietsers na 12 minuten? 12 minuten = 12 x 60 seconden = 720 seconden. Persoon A gaat 6 m/s  Na 720 seconden is hij 720 x 6 = 4320 meter weg. Persoon B gaat 8 m/s  720 x 8 = 5760 meter. Totaal zijn ze 5760 + 4320 = 10080 meter van elkaar verwijderd. 8. De straal van de aarde is 6400 km. Je wilt in 1 dag de aarde rond. Hoe snel moet je dan gaan in km/h gemiddeld? Rond af op 1 cijfer achter de komma. Straal = 6400 km. De omtrek is de afstand die je moet reizen. De omtrek van de aarde is 2 x pi x straal = 40212,4 km. In een dag zit 24 uur. 40202,4 / 24 = 1675,5 km/h. 9. Plant A groeit met een gemiddelde snelheid van 0,25 mm/h. Hoeveel dagen duurt het voordat de plant 3 cm is gegroeid? Snelheid = 0,25 mm/h 0,25 mm 1 uur

3 cm = 30 mm X

X = 1 x 30 / 0,25 = 120 uur. Om van uren naar dagen te gaan moet je delen door het aantal dagen in een dag (24) dus 120/24 = 5 dagen. 10. Loes loopt met 6 km/h naar de bushalte. Na 10 minuten lopen is ze halverwege. De bus vertrekt over 5 minuten. Hoe hard moet zij rennen in km/h om nog op tijd te zijn? Snelheid = 6 km/h = 1,67 m/s. 10 minuten is gelijk aan 600 seconden. Na 600 s heeft loes 1002 meter afgelegd. Dat is pas de helft van de weg. Ze moet dus nog 1002 meter afleggen om bij de bus te komen. Ze heeft nog maar 5 minuten over dus hoe snel moet ze rennen? 5 minuten = 300 seconden. 1002 / 300 = 3,34 m/s = 12,0 km/h.

88

Theorie schaal (9) Schaal wordt gebruikt om op een kaart iets groter of kleiner aan te geven dan het in werkelijkheid is. De schaal geeft dan aan wat de verhouding tussen de kaart en de werkelijkheid is. Bij deze kaart hoort de volgende schaal: Voorbeeld: 1 : Een staat tot Kaart :

5.000.000 5 miljoen werkelijkheid

Dit betekent dus dat de werkelijkheid 5 miljoen keer groter is dan op de kaart is aangegeven. Wat je meet op de kaart, moet je met 5.000.000 vermenigvuldigen om de echte afstand te krijgen. Stel, je meet tussen Zwolle en Groningen 2 cm. Dan is de werkelijke afstand: 2 cm x 5.000.000 = 10.000.000 cm = 100 km Een schaal geeft dus de vergrotings- of verkleiningsfactor aan waarmee de maten op de kaart, plattegrond of model vergoot of verkleind moeten worden. Voorbeeld: 50.000 :

1

De schaal van de foto rechts houdt in dat de weergave 50.000 x groter is dan in werkelijkheid. Je kijkt dus naar bacteriën die 50.000 x vergroot zijn.

89

Oefeningen schaal 1. De schaal van een kaart is 1 : 250. Op de kaart meet je een afstand van 6 cm. Hoe groot is deze afstand in werkelijkheid in meters? 2. Een plattegrond heeft een schaal van 1 : 50.000. Op de plattegrond meet je een afstand van 4,5 cm. Wat is de ware afstand in km? 3. De schaal van een plattegrond van een woonkamer is 1 : 50. In werkelijkheid is de woonkamer 25 cm lang. Hoe lang is die lengte op de kaart in dm? 4. Melodie heeft drie wandkaarten in haar klaslokaal hangen. De bijbehorende schalen zijn: 1 : 16.000.000 1 : 200.000 1000 : 1 Een kaart gaat over plantencellen, een over de wereld en de laatste is een kaart van Nederland. Welke schaal hoort bij welke kaart? 5. Een bacterie is getekend op schaal 10 : 1. Hij is 3 cm lang op de tekening. Hoe groot is de bacterie in het echt in millimeters? 6. Een hockeyveld is getekend op schaal 1 : 1000. In de tekening is het veld 12 cm lang en 7,5 cm breed. a) Hoeveel keer groter is de oppervlakte in het echt in vergelijking met de tekening? b) Hoe heeft dit getal verband met de schaal? 7. Op een plattegrond met een schaal van 1 : 200 heeft een bouwkavel een oppervlakte van 16 cm2. Hoeveel m2 is de oppervlakte van deze kavel in werkelijkheid? 8. In het echt heeft een container een inhoud van 125 m 3. Een speelgoedcontainer heeft een schaal van 1 : 50. Wat is de inhoud in liters?

90

Antwoordblad schaal 1. 15 m

2. 2,25 km

3. 5 dm

4. Plantencellen : 1000 : 1

Wereldkaart : 1 : 16.000.000

5. 3 mm

6. a) 1.000.000 b) het is de schaal in het kwadraat: 1000 2 = 1.000.000

7. 16 cm2 x 2002 = 640.000 cm2 = 64 m2

8. 125.000 dm3 : 503 = 1 l

91

Nederland : 1 : 200.000

Theorie kloktijden (10) Optellen en aftrekken met kloktijden werkt precies hetzelfde als bij cijferen. Bij eraf, lenen we van de uren. Bij erbij onthouden we een extra uur. Voorbeeld: 12:32 – 7:35

12:32  11:92 7:35 7:35 ------------------4:57

Dus 32 – 35 minuten kan niet, daarom lenen we van de uren zodat we 60 minuten erbij krijgen. Bij optellen wisselen we 60 minuten in voor een uur. Voorbeeld: 12:32 + 7:35

11:92 7:35 + -----------19:67

20:07

Een week heeft zoals je weet 7 dagen en een jaar 12 maanden. Maar het aantal dagen van een maand varieert. Ook het aantal dagen in een jaar verschilt, 365 of 366. (Regel)

een schrikkeljaar is een jaartal dat deelbaar is door 4.

2000 is deelbaar door 4, dus daar hoef je geen rekening mee te houden. Voor 2016 kijk je naar de 16. 16 is deelbaar door 4 dus 2016 is een schrikkeljaar.

92

Oefeningen kloktijden 1. Reken uit hoe laat het is: 00:18 + 00:01 = 00:29 + 00:17 = 01:18 + 00:54 = 02:34 + 02:26 = 05:18 + 07:45 =

21:18 – 22:00 = 15:54 - 06:57 = 09:18 – 03:48 = 02:18 – 12:18 = 03:33 – 12:44 =

2. Op Eindhoven airport wachten wij op familie uit Canada. Het vliegtuig moet landen om 11:55 uur. Maar er wordt om 11:50 uur omgeroepen dat het vliegtuig 45 minuten vertraging heeft. Hoe laat zal het vliegtuig nu landen?

3. De familie Kuipers gaat met vakantie naar Lunteren. De afstand die ze moeten rijden is 132 km. Ze rijden gemiddeld 88 km per uur. Onderweg rusten ze 25 minuten. Als ze om 12:30 uur in Lunteren aankomen, hoe laat zijn ze dan van huis gegaan?

4. Kees en Jan maken een fietstocht van 64 km. Ze fietsen 16 km in één uur. Na elk uur rusten ze 5 minuten. Hoe laat zijn ze terug als ze om 10 uur s ‘ochtends vertrokken zijn?

5. Op maandag gaan we bij opa op bezoek. We moeten 240 km rijden. We rijden met een gemiddelde snelheid van 94 km per uur. Onderweg rusten we een half uur. Als we om kwart voor 12 willen aankomen, hoe laat moeten we dan vertrekken?

6. Luna is over 40 dagen jarig, het is nu 25 mei. Welke datum is haar verjaardag?

7. Vandaag is het 22 december, de eerste vrije dag van de kerstvakantie. De vakantie duurt 2 weken. Op welke datum begint school weer?

8. Op 23 maart is er 2 weken vakantie. Op welke datum begint school weer?

93

Antwoordblad kloktijden 1. 00:18 + 00:01 = 00:19 00:29 + 00:17 = 00:46 01:18 + 00:54 =02:12 02:34 + 02:26 = 05:00 05:18 + 07:45 = 13:03

21:18 – 22:00 =23:18 15:54 - 06:57 =08:57 09:18 – 03:48 =05:30 02:18 – 12:18 =14:00 03:33 – 12:44 =14:49

2. 12:40 uur

3. 10:35 uur

4. 10:00 + 04:00 + 0:15 (3x) = 14:15 uur

5. 11:45 – 02:30 – 00:30 = 08:45 uur

6. 4 juli

7. 5 januari

8. 6 april

94

Theorie meetkunde Verschillende figuren en hun betekenis Door je te verdiepen in meetkunde vergroot je je ruimtelijke inzicht en leer je redeneren in ruimtelijke situaties. Je kunt een bepaalde vorm benoemen als een figuur als de vorm voldoet aan de regels van dat figuur. Hieronder gaan we voor verschillende figuren de regels definiëren. Soms kan het zo zijn dat sommige vormen onder meerdere figuren kunnen vallen. Zo is bijvoorbeeld de figuur vierkant ook een rechthoek, een ruit en een parallellogram.

(regel)

Parallellogram:

1. vierhoek 2. horizontaal overstaande zijden gelijk 3. verticaal overstaande zijden gelijk

(regel)

Ruit:

1. alle regels van een parallellogram 2. gelijke zijden

De ruit is een speciale parallellogram, omdat alle overstaande zijden gelijk aan elkaar zijn. De ruit is wel een parallellogram, omdat hij voldoet aan de regels.

(regel)

Rechthoek:

1. alle regels van een parallellogram 2. alle hoeken zijn 90 graden

(regel)

Vierkant:

1. alle regels van de ruit 2. alle hoeken zijn 90 graden

Ribbe Rechte hoek Gelijke zijden Parallel/evenwijdig Hoeken en graden Overstaande zijden

= zijde van een 3D object zoals bijvoorbeeld een kubus. = zen hoek waarvan de twee zijden een hoek van 90 graden maken. = zijden/ribben van gelijke lengte. = zijden/ribben die elkaar (ook na verlenging) nooit kruisen. = zijden/ribben die recht tegenover elkaar liggen.

95

Een hoek kan een grootte hebben van 0 tot 360 graden. Er zijn verschillende soorten hoeken. Scherpe hoek: Stompe hoek: Rechte hoek:

deze hoek heeft een grootte tussen 0 en 90 graden. deze hoek heeft een grootte tussen 90 en 180 graden. deze hoek is een haakse (loodrechte) hoek en is altijd 90 graden. deze hoek is de hoek die een lijnstuk met zichzelf maakt en is altijd 180 graden.

Gestrekte hoek:

Alle hoeken van een driehoek zijn samen 180°. Als je twee hoeken weet, dan kun je de derde uitrekenen:

Voorbeeld: ? = 180 - 105 - 30 = 55 105 ?

30

Als je maar 1 hoek weet kun je de andere twee toch berekenen, maar alleen als het gaat om een rechthoekige driehoek. Een van de hoeken van een rechthoekige driehoek is namelijk altijd een rechte hoek en dus 90. Je weet op die manier dus toch de grootte van twee van de drie hoeken.

Voorbeeld: ? = 180 - 105 - 30 = 55 ? F en Z-hoeken 24

Voorbeeld:

De Z-hoeken met een * zijn gelijk en met een ) zijn gelijk (F)

96

Formules voor oppervlakte en omtrek Rechthoek, driehoek en cirkel Om de oppervlakte van een rechthoek uit te rekenen vermenigvuldig je lengte en breedte. De formule is dan: Oppervlakte (rechthoek) = L x B Bij het uitrekenen van de omtrek neem je tweemaal de lengte plus tweemaal de breedte. De formule is dan: Omtrek (rechthoek) = 2 x L +2 x B = 2 x (L + B) De oppervlakte van een driehoek is halve hoogte x basis. De formule is dan: Oppervlakte (driehoek) =

1 hxb 2

97

Oefeningen meetkunde 1. Stelling 1: een ruit kan een rechthoek zijn. Stelling 2: alle ruiten zijn rechthoeken. a) b) c) d)

Alleen stelling 1 is waar. Alleen stelling 2 is waar. Beide stellingen zijn waar. Geen van beide stellingen is waar.

2. Stelling 1: niet alle zijden hoeven gelijk te zijn in een ruit. Stelling 2: niet alle zijden hoeven gelijk te zijn in een vierkant. a) b) c) d)

Alleen stelling 1 is waar. Alleen stelling 2 is waar. Beide stelling zijn waar. Geen van beide stellingen is waar.

3. Stelling 1: alle rechthoeken zijn vierkanten. Stelling 2: een rechthoek is 90 graden. e) f) g) h)

Alleen stelling 1 is waar. Alleen stelling 2 is waar. Beide stelling zijn waar. Geen van beide stellingen is waar.

4. Bereken de hoeken met een vraagteken a) ? 99

?

34

48

b)

? ? 40

72 

98

5. a) Van een rechthoek zijn de zijden a en b, de oppervlakte is 32. Wat kan de lengte van de zijden zijn als a en b hele getallen zijn? b) Van een rechthoek zijn de zijden a en b, de oppervlakte is 32, de omtrek is 36. Bereken a en b. c) Van een rechthoekige driehoek zijn de rechthoekszijden a en b. Maak een formule voor de oppervlakte van die driehoek.

6.

Straal cirkel = 2 cm  Oppervlakte = 3,14 ×              ×                =               cm² op 2 decimalen.   7.

 

  Basis = 9 cm en hoogte = 7 cm  Oppervlakte driehoek =              ×             :        =       cm² 

8.

Basis = 9 cm en hoogte = 7 cm   Oppervlakte =              ×              =             cm²    

99

Antwoordblad meetkunde 1. A

2. D

3. B

4. a) 42 en 47 graden b) 40 graden en 108 graden 5. a) a = 1, b = 32; a = 2, b 16; a= 4, b = 8 b) a = 2, b = 16 c) 0 =

1 axb 2

6. Oppervlakte = 3,14 × 2 × 2 = 12,56 cm²

7. Oppervlakte = 9 × 7 : 2 = 31,5 cm²

8. Oppervlakte = 9 × 7 = 63 cm²

100

Theorie informatieverwerking  

Grafieken & verbanden Kans & combinatoriek

Grafieken en verbanden Een grafiek geeft de functie weer van een verband tussen twee of meerdere variabelen. Een variabele is een waarde die verandert, zoals bijvoorbeeld uren en geld zijn. Dus hoeveel geld je verdient hangt af van het aantal uren dat je werkt. Dit kun je aflezen in de grafiek.

Bijvoorbeeld: De formule: bedrag = €5 × t uurloon × uren = eindbedrag. Deze formule heet een woordformule, dit laat zien hoe het eindbedrag wordt berekend. De t staat voor het aantal uren en is een variabel die kan veranderen. Als t verandert, verandert ook het eindbedrag.

Voorbeeld:

Sacha Sacha

40 35 30 25 20 15 10 5 1 Uur

2 Uur

3 Uur

4 Uur

5 Uur

6 Uur

7 Uur

8 Uur

Je kunt in deze grafiek zien hoeveel Sascha per uur verdient tot ze 8 uur heeft gewerkt. Per uur verdient Sacha 5 euro per uur, na 8 uur werken heeft ze 40 euro verdient want 5 x 8 = 40.

Diagrammen Een diagram is een visuele weergave van een proces met bijbehorende verbanden. Er zijn verschillende soorten diagrammen:

101

Staafdiagrammen: Elke staaf is onafhankelijk van elkaar, elke staaf heeft zijn eigen eenheid. Dat wordt weergegeven in een grafiek. Voorbeeld:

Het populairste huisdier Overig

Knaagdieren

Vogels

Katten

Honden 0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

40%

45%

De Populairste huisdier

In dit diagram kun je aflezen dat elke staaf een andere eenheid (dier) weergeeft en welke het populairste is. Dit is te zien aan de percentages. Steelbladdiagram: Een steel-blad diagram geeft data weer in een steel. De variërende waarden worden in de bladeren weergegeven. Elk cijfer staat voor een gemeten datapunt. Een steelbladdiagram is een manier om gegevens (geordend) in beeld te brengen.

Hierboven zie je proefwerkcijfers van een klas. In de steel staan de cijfers en in de bladeren de decimalen. In de figuur staan de cijfers dus op volgorde. Links staan de cijfers van de meisjes en rechts die van de jongens. Het hoogste cijfer bij de meisjes is dus een 8,1. Verder kun je zien welke cijfers er bij de jongens zijn gehaald: 3,7 - 3,8 - 4,8 - enz.

102

Histogram In een histogram wordt een gemeten continue waarde verdeeld en gerepresenteerd. De gemeten waarden worden opgedeeld in intervallen. Bij een staafdiagram zijn de staven onafhankelijk van elkaar, maar bij een histogram kunnen de staven verschillende waarden van dezelfde variabele hebben.

Dit histogram beschrijft de temperatuur, aan de linkerkant zie je de nummers van de voorvallen. Je ziet dat de staven ook uitschieters hebben. Maar dit diagram is geen staafdiagram, je ziet dat de temperatuur niet per meetwaarde wordt aangegeven en dat is bij een staafdiagram wel het geval. De staven hebben ook een breder bereik. Gemiddelde Het gemiddelde wordt vaak gebruikt binnen een groep. Het gemiddelde bereken je door alle waarden van de groep op te tellen en te delen door het aantal gebruikte waarden. Voorbeeld: Je wilt het gemiddelde cijfer uitrekenen van je rapport. Je telt al je cijfers bij elkaar op en deelt dit door het aantal cijfers dat je hebt. 7 + 4 + 6 + 7 + 6 + 8 + 6 = 44 44 : 7 = 6,3 6,3 is je gemiddelde cijfer.

103

Oefeningen grafieken en verbanden Opdracht 1 Bekijk de grafiek. Welke uitspraken zijn waar?

Geboorten in baarle-nassau Jongens

200

200

2014

a) b) c) d)

250

200

2015

Meisjes

250

250

2016

375

250

2017

In 2018 zijn meer meisjes geboren dan het totaal aantal geboortes in 2014. In alle jaren zijn minstens evenveel meisjes als jongens geboren. Het aantal jongens dat werd geboren is tussen 2016 en 2018 verdubbeld. In 2017 zijn 50% meer meisjes dan jongens geboren.

104

425

375

2018

Opdracht 2 Saar en Boy werken beiden aan een karweitje en ze hebben allebei een eigen kostenschema. Boy vraagt 5 euro voor fietskosten en werkt voor 8 euro per uur. Saar vraagt geen fietskosten, maar rekent wel 9 euro per uur.

€ Verdienen Per Uur 80 70

Bedrag in €

60 50 40 30 20 10 0 0 Uur

1 uur

2 uur

3 uur

4 uur

5 uur

Tijd in Uren Boy

a) b) c) d)

Saar

Wie is duurder na 3 uur werken? Na hoeveel uur gaat Saar meer verdienen? Wie werkt het langst voor 70 euro? Na hoeveel uur werken zijn Saar en Boy even duur?

105

6 uur

7 uur

8 uur

Opdracht 3 Twee klassen hebben een proefwerk wiskunde gemaakt. Met de cijfers is een dubbel steelbladdiagram gemaakt. Vul de antwoorden in.

a) In welke klas heeft een leerling een 2,9 gehaald? b) In welke klas is het aantal leerlingen met een cijfer tussen de 7 en de 8 het grootst? c) In welke klas hebben meer leerlingen een cijfer hoger dan 8 gehaald?

Opdracht 4 Klas 2A heeft een proefwerk wiskunde gemaakt. In het steel-bladdiagram zie je het resultaat. Vul de antwoorden in.

a) Hoeveel leerlingen zitten er in de klas? b) Hoeveel leerlingen hebben een 6,6 gehaald? c) Hoeveel leerlingen hebben lager dan een 6,0 gehaald?

106

Opdracht 5

n welke klasse bevinden zich de minste leerlingen? Hoeveel leerlingen zitten er in de klasse [88,93[? In welke klasse zitten er 7 leerlingen? In welke klassen zitten er evenveel leerlingen? Hoeveel bedraagt het aantal leerlingen? In welke klassen bevinden zich minder dan 7 leerlingen? Hoeveel bedraagt het aantal leerlingen in deze klassen? Een aantal mensen hebben zich gewogen, de gevonden gewichten zijn in een histogram gezet.

107

a) b) c) d) e)

Hoeveel mensen hebben zich gewogen? In welke gewichtsklasse zit de grootste groep? Wat is de frequentiehoogte van de hoogste staaf? Hoeveel keer groter is de gewichtsklasse 75 tot 80 kilo vergeleken met die van 85 tot 90 kilo? Hoeveel mensen heeft gewichtsklasse 70 tot 75 meer dan die van 60 tot 65 kilo? Reken ook uit wat het verschil is in gewicht.

Opdracht 6 Reken de gemiddelde temperatuur uit van de week. Maandag: Dinsdag: Woensdag: Donderdag: Vrijdag: Zaterdag: Zondag:

15,5°C 20,2°C 18,7°C 14,6°C 18,8°C 21,1°C 19,4° C

108

Antwoordblad grafieken en verbanden Opdracht 1 De uitspraken A, B en D zijn waar. a) Is waar, want het aandeel meisjes in 2018 is 425 en het totaal aantal geboortes in 2014 is 400. b) Is waar, want in alle jaren is het aantal meisjes gelijk aan of groter dan het aantal jongens. c) Is niet waar, want er zijn in 2016 250 jongens en in 2018 375 jongens geboren. Dat is geen verdubbeling. d) Is waar, want 250 + 50% van 250 = 375.

Opdracht 2 a) Saar is duurder na 3 uur werken. b) Saar verdient 1 euro meer na 6 uur werken. c) Boy moet meer dan 8 uur werken voordat hij 70 euro heeft. Saar heeft na 8 uur al 72 euro. d) Als ze allebei 5 uur hebben gewerkt, hebben ze allebei 45 euro verdiend.

Opdracht 3 a) Klas 2 B b) Klas 2A c) Klas 2 B

Opdracht 4 a) 28 leerlingen b) 3 leerlingen c) 8 leerlingen

Opdracht 5 a) 31 mensen b) 75 tot 80 kilo c) 10 d) 5 keer e) 5 mensen meer die 10 tot 15 kilo meer wegen.

Opdracht 6 Gemiddelde temperatuur was 18,3C.

109

Theorie kansen Een kans is een soort breuk. De noemer is het totaal aantal van de uitkomst en de teller de kans die je wilt berekenen. De kans wordt ook wel P genoemd. De P staat voor Probability. Regel: Kans = P = mogelijkheden : totaal aantal mogelijkheden. Voorbeeld: Je hebt 2 blauwe ballen en 1 paarse bal. Je gaat willekeurig een bal uit een zak halen, dus je wilt weten hoe groot de kans is dat je een blauwe of een paarse bal pakt. De kans op de blauwe bal is 2 op de 3 en op de paarse 1 op de 3. Dan is de kans 3/2 + 1/3 = 1 Met en zonder terugleggen Stel je doet de bal die je hebt gepakt weer terug in de zak. Dat word dan met terugleggen genoemd, maar er verandert niets aan de kansen. Als je de kansen met elkaar vermenigvuldigt, kun je de kans op een bepaalde gebeurtenis uitrekenen. Dit is handig als je bijvoorbeeld 2 of meerdere trekkingen doet. Voorbeeld: In de zak zitten 2 blauwe en 1 paarse bal. Je doet 2 trekkingen met terugleggen. P (blauwe bal naar blauwe bal) = 2/3 × 2/3 = 4/9 P (blauwe bal naar paarse bal) = 2/3 × 1/3 = 2/9 P (paarse bal naar blauwe bal) = 1/3 × 2/3 = 2/9 P (paarse bal naar paarse bal) = 1/3 × 1/3 = 1/9 Je ziet dat de kans nog steeds 1 blijft. 4/9 + 2/9 + 2/9 + 1/9 = 1 (9/9)

110

Combinatoriek Als je wilt weten hoeveel mogelijkheden er zijn in een bepaalde situatie, noem je dat ook wel combinatoriek. Als je een oefening moet maken met een combinatoriek moet je eerst kijken in welke vraagcategorie je zit. Je kunt een diagram gebruiken, zoals in het voorbeeld hieronder om te bekijken of je categorie vraag herhalingsvariatie, permutatie of combinatie is. Gaat het om het aantal mogelijkheden? Ja

nee

Terugleggen?

ja

Geen combinatoriek nee

Herhalingsvariatie

Volgorde belangrijk? Ja

Permutatie

nee Combinatie

Herhalingsvariatie Stel je wilt voor een account op je computer een wachtwoord maken met 4 letters. Er zijn genoeg letters die je kunt gebruiken, dus dit probleem is een herhalingsvariatie. Bij herhalingsvariatie vermenigvuldig je het aantal mogelijkheden per positie met het totaal aantal mogelijkheden. Het alfabet heeft 26 letters en je hebt 4 posities in het wachtwoord. Voorbeeld:

26 × 26 × 26 × 26 = 26⁴ = 456.976

Permutaties Een permutatie gaat over de manieren waarop iets gerangschikt kan worden. Je hebt bijvoorbeeld muntjes A, B, C en D en plaats I, II, III en IV. Als je alleen munt A wilt neerleggen, zijn daarvoor 4 mogelijke opties. Als je A én B neer wilt leggen, dan zijn er 4 × 3 = 12 opties. Een permutatie (P) is het aantal mogelijkheden als je alle muntjes gebruikt. Dit wordt als volgt berekend:

Voorbeeld: Je hebt 6 boeken en je vraagt je af op hoeveel manieren je die in de a kast kunt zetten. Er zijn 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720 verschillende manieren om de boeken neer te zetten.

111

Faculteit We gaan nu faculteit gebruiken om permutaties sneller uit te rekenen. Als je evenveel posities als objecten hebt, neem je de faculteit van het aantal objecten. Dus als je 6 verschillende kleuren ballen hebt die je moet ordenen, moet je dat als volgt uitrekenen: Voorbeeld: 6 faculteit = 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720 permutaties Bij faculteit vermenigvuldig je tot je bij 1 bent. Als het aantal posities kleiner is dan het aantal objecten, moeten we de permutatieformule gebruiken. Regel: Aantal permutaties Je ziet dat de n staat voor het aantal objecten en de k voor het aantal posities. Voorbeeld: 7 kinderen van een team hebben selectietraining en er gaan 4 kinderen door naar de selectie. Hoeveel volgordes zijn er? 7! . = (7-4)! = 7 × 6 × 5 × 4 = 840

112

Oefeningen kansen 1. In een bokaal zitten 10 knikkers: 2 witte en 8 zwarte. We trekken willekeurig twee knikkers na elkaar uit de bokaal zonder de eerste knikker terug te leggen. a. Wat is de kans dat de twee knikkers wit zijn? b. Wat is de kans dat de eerste knikker wit en de tweede knikker zwart is?

2. Volgens de sterftetabellen heeft een persoon van 43 jaar 70% kans en een persoon van 55 jaar 50% kans om nog 20 jaar te leven. a. Bereken de kans dat na 20 jaar beiden nog in leven zijn. b. Bereken de kans dat minstens één persoon na 20 jaar nog in leven is.

3. De kans dat een machine tenminste één storing vertoont per werkdag is 1%. In een fabriek werkt men met 50 identieke machines die onafhankelijk van elkaar werken. Bereken de kans op minstens één storing op een werkdag voor de 50 machines samen. 

4. In een zak zitten 10 ballen, waarvan 5 rode en 5 blauwe. a. Wat is de kans op een rode bal bij 1 keer trekken? b. Wat is de kans op een blauwe bal bij 1 keer trekken? c. Wat is de kans op een gele bal? d. Wat is de kans op een rode of een blauwe bal?

5. Je hebt een compleet deck met kaarten. De kaarten zijn geschud. a. Wat is de kans dat je na 1 keer trekken een rode kaart pakt? b. Wat is de kans dat je na 1 keer trekken een klaveren kaart pakt? c. Wat is de kans dat je na 1 keer trekken een boer pakt? d. Wat is de kans dat je na 1 keer trekken een harten 7 pakt?

6. Je gaat touwtje trekken op de kermis. Er zijn drie touwtjes waaraan je kunt trekken. Slechts bij 1 touwtje heb je prijs. a. Wat is de kans dat je prijs hebt bij 1 keer trekken? b. Wat is de kans als je aan twee van de drie touwtjes tegelijk mag trekken? c. Wat is de kans als je aan alle drie touwtjes tegelijk mag trekken?

7. Je bestelt een broodje in een restaurant. Je kunt kiezen uit 3 soorten brood en 4 soorten beleg. Hoeveel verschillende broodjes kunnen ze daar maken?

8. Je moet een nieuw wachtwoord aanmaken. Het wachtwoord moet 3 karakters lang zijn en je mag alleen letters gebruiken. a. Hoeveel wachtwoorden kun je zo maken? b. En hoeveel als je ook cijfers mag gebruiken?

113

9. Je bent je pincode thuis vergeten en je gaat boodschappen doen. Je weet dat de eerste 2 cijfers beide een 1 waren. Van de laatste 2 weet je zeker dat ze even waren. a. Hoeveel mogelijkheden zijn er dan nog voor je pincode?

10. Je hebt de cijfers 3, 4, 5 en 7. Hoeveel getallen onder de honderd kun je hiermee maken? Je mag elk cijfer maar één keer gebruiken in een getal.

11. In de finale van een hardloopwedstrijd doen 8 renners mee. Er zijn 3 medailles te verdelen. Hoeveel verschillende podium uitkomsten zijn er?

12. Er zijn 8 films, en er is middag- en een avondvoorstelling. a. Hoeveel verschillende voorstellingprogramma’s kun je maken? b. Iemand vindt een extra film. Hoeveel programma’s kun je nu maken?

13. Je maakt een nieuwe code voor een cijferslot van 3 cijfers. Je wilt geen herhalende cijfers in je code. a. Hoeveel codes kun je maken?

114

Antwoordblad kansen 1. a. 1/45 b. 8/45  2. a. 0,35 b. 0,85  3. 7/8 4. a. b. c. d.

1/2 1/2 0 1 

a. b. c. d.

1

5. 2  4  1 13  1 52  1

6. a. 1/3 b.  2/3 c.  1

7. a. 3 x 4 = 12 8. a. 263 = 17.576 b. 36 x 36 x 36 = 46.656 9. 52 = 25 10. 16 11. 336 12. a. 56 b. 72 13. a. 720

115

Theorie redactiesommen  

Algebra Redactiesommen

Algebra Algebra is rekenen met onbekenden die worden aangegeven door letters. Je kunt de onbekende uitrekenen door de vergelijkingen op de juiste manier om te bouwen, dat is het doel van algebra. We gaan beginnen met een voorbeeld. Vleksommen Je kunt eenvoudig een vergelijking maken door 2 getallen op te tellen en deze gelijk te stellen aan een onbekende. Een onbekende wordt ook wel een variabel genoemd. In het geval van het voorbeeld is de onbekende a.

Voorbeeld: 3 + 5 =

3+5=a

Dit was een makkelijke som, ons variabel stond de hele tijd apart en de andere kant van de bewerking gaf aan hoe je bij a moest komen. Nu gaan we een voorbeeld geven als de variabel niet apart staat.

Voorbeeld: 3 + a = 8

3+

=8

De vergelijking heeft nu de structuur van een vleksom. Het is nu niet direct duidelijk welke bewerking tot a leidt, de variabel staat niet geïsoleerd, de 8 staat aan de rechterkant. Hoewel je nu wel kunt berekenen wat het antwoord is, namelijk 8 – 3 = 5. Bij moeilijkere sommen moet je gestructureerd te werk gaan met behulp van de balansmethode. Balansmethode Met de balansmethode kun je je variabelen afzonderen. Dat houdt in dat je links en rechts van het = teken altijd hetzelfde moet doen. Bewerkingen kun je verwijderen door het omgekeerde van de bewerking te doen. In hetzelfde voorbeeld 3 + is gelijk aan 8. Het doel is om de vlek af te zonderen. Dit doe je door het omgekeerde van + 3 te doen aan de linkerkant, dit is – 3. Want + 3 – 3 = 0, zodat we alleen de vlek aan de linkerkant overhouden. Je mag nooit maar een kant van de vergelijking aanpassen, dus om het in balans te houden doe je rechts hetzelfde.

116

Voorbeeld: +3 +3 +0

=8 =8–3 = 8 -3 =5

(links en rechts – 3) (nu is de variabel geïsoleerd)

Links en rechts van het = teken heeft gelijke waarden. Een som zonder = teken heet een expressie. Een vergelijking is dus eigenlijk 2 expressies met een = teken ertussen.

117

Oefeningen algebra Oefening 1: Bereken de variabele met de balansmethode.

a+2=6 a + 5 = 11 a + 12 = 12 a + 28 = 41 a + 34 = 99

a–2=6 a–5=6 a – 12 = 0 a – 22 = 45 a – 99 = 100

a–2+3=7 a–7+7=7 a – 9 +6 = 7 a–9+6=0 a -1 + 6 = 0 Oefening 2:

Reken uit.

ax2=6 a x 5 = 10 a x 12 = 60 a x 1 = 41 a x 7 = 140

2xa=6 12 x a = 144 15 x a = 225 16 x a = 256 a x 64 = 256

ax2x3=6 ax3x2=6 a x 2 x 3 = 12 a x 4 x 4 = 256 a x 8 x 8 = 256 Oefening 3:

Reken uit.

a:2=4 a : 5 = 10 a : 5 = 12 a : 1 = 41 a : 7 = 20

2:a=2 12 : a = 4 36 : a = 3 72 : a = 9 a:4=4

1:a=1 a:1=0 1 : a = 0,5 2 : a = 0,5 2 : a = 0,25 Oefening 4:

Reken uit. a–1=1 a–1=0 a – 1 = -1 a – 1 = -2 a – 1 = -3

a – 0 = -1 a - 1 = -1 a – 2 = -1 a – 3 = -1 a – 4 = -1

a -2 -2 =7 a–7–2=7 a–9–2=0 a–9–2=0 a–9–2=7 Oefening 5:

Welke vergelijkingen zijn wiskundig correct?

8:2 =4 20 : 5 = 10 8 + 5 = 12 0:1=1 12 x 7 = 94

7 x 5 = 40 – 5 12 x 6 = 6 x 3 16 x 16 = 256 72 x 8 = 10 – 2 1 : 64 = 64 : 1

4² = √256 2⁴ = 2 x 4 √81 = 27 : 3 √4 = 1 + (5 : 5) √256 = √16 x √16 118

Antwoordblad algebra Oefening 1 4+2=6 6 + 5 = 11 0 + 12 = 12 13 + 28 = 41 65 + 34 = 99

8–2=6 11 – 5 = 6 12– 12 = 0 67 – 22 = 45 199 – 99 = 100

6–2+3=7 7–7+7=7 10– 9 + 6 = 7 3–9+6=0 2 -1 + 6 = 7

2x3=6 12 x 12 = 144 15 x 15 = 225 16 x 16 = 256 4 x 64 = 256

1x2x3=6 1x3x2=6 2 x 2 x 3 = 12 16 x 4 x 4 = 256 4 x 8 x 8 = 256

2:1=2 12 : 3 = 4 36 : 12 = 3 72 : 8 = 9 16 : 4 = 4

1:1=1 0:1=0 1 : 2 = 0,5 2 : 4 = 0,5 2 : 8 = 0,25

-1 – 0 = -1 0 - 1 = -1 1 – 2 = -1 2 – 3 = -1 3 – 4 = -1

11 -2 -2 =7 16 – 7 – 2 = 7 4–9–2=0 11 – 9 – 2 = 0 18 – 9 – 2 = 7

7 x 5 = 40 – 5 (ja) 12 x 6 = 6 x 3 (nee) 16 x 16 = 256 (ja) 72 x 8 = 10 – 2 (nee) 1 : 64 = 64 : 1 (nee)

4² = √256 (ja) 2⁴ = 2 x 4 (nee) √81 = 27 : 3 (nee) √4 = 1 + (5 : 5) (ja) √256 = √16 x √16 (ja)

Oefening 2 3x2=6 2 x 5 = 10 5 x 12 = 60 41 x 1 = 41 20 x 7 = 140

Oefening 3 8:2=4 50 : 5 = 10 60 : 5 = 12 41 : 1 = 41 140 : 7 = 20

Oefening 4 2–1=1 1–1=0 0 – 1 = -1 -1 – 1 = -2 -2 – 1 = -3

Oefening 5 8 : 2 = 4 (ja) 20 : 5 = 10 (nee) 8 + 5 = 12 (nee) 0 : 1 = 1 (nee) 12 x 7 = 94 (nee)

119

Theorie algebra 2 Elimineren met de inverse Met de balansmethode heb je de vorige oefeningen goed uit kunnen voeren. De opdrachten worden steeds lastiger, dus is het belangrijk dat je goed gebruik maakt van de inverse (de omgekeerde bewerking). Bewerking Inverse

+ -

+

x :







2

Het doel van algebra is het isoleren van de onbekende. Stap voor stap ga je bewerkingen rondom de variabele weghalen door de inverse te gebruiken. Hierdoor verdwijnt de bewerking aan de ene kant en komt de inverse erbij aan de andere kant van het =teken.

Voorbeeld: + 7 = 49 c+ 7 = 49 – 7 c+ 7 – 7 = 49 -7 = 42 c

(+7 willen we elimineren) ( door middel van de inverse – 7)

Voorbeeld: : 7 = 49 c: 7 x 7 = 49 x 7 c: 7 x 7 = 49 x 7 = 343

(: 7 willen we elimineren) (door middel van de inverse x 7)

Variabele in de noemer De variabele in de noemer moet je vermenigvuldigen met de variabele zelf om hem uit de breuk te halen. Regels bij negatieve getallen Er zijn een aantal belangrijke regels voor negatieve getallen, optellen, aftrekken en vermenigvuldigen/delen.

Regels:

++=+

+x+=+

+-=-

+x-=-

=+

-x-=+

120

Oefeningen algebra 2 Wortel en kwadraat Oefening 1: Haal de variabele uit de noemer. : a² = 4

a = 2

a² + 1 = 5

a² = 0

a = 0

a² - 4 = 0

a² = 1

a = 1

a² + 2 = 11

a² = 81

a = 9

a² - 2 = 23

a² = 225

a = 15

a² + 3 = 67

Oefening 2: Reken uit met de regels van de negatieve getallen. 200 : a = 25

400 : a = 25

12 : a = 1,2

225 : a = 15

800 : a = 25

12 : a = 1,5

375 : a = 15

800 : a = 50

24: a = 1,5

120 : a = 24

800 : a = 100

18: a = 4,5

140 : a = 35

800 : a = 400

20 : a = 0,5

Oefening 3: Bereken met a = 3,b = 4 en c =-2 2+-1= 2-+1= 2++1= 2--1= 2+-0=

5+-9= 9--9= 2+-7= 0-+8= 7+-0=

2x–1= -2 x – 1 = 6x–3= -7 x – 9 = -7 x – 9 =

12 + - 12 = 22 - + 29 = 42 + + 12 = 92 - - 19 = 52 + - 53 =

8:-4= -2 : - 1 = 2:-1= - 0 : -2 = -2 : 2 =

12 x -6 = -12 x – 1 = 16 x – 16 = -32 x 4 = -64 x -4 =

121

Oefening 4: axb= a:b= b+a= b+c= c+c=

b:c= a:a= b:b= c:c= c:b=

a+b+c= c–a–b= -c – a -b = axbxc= a x -b x c =

122

Antwoordblad algebra 2 Oefening 1: 4 = 2 0 = 0 1 = 1 81 = 9 225 = 15

2² + 1 =5 2² - 4 = 0 3² + 2 = 11 5² - 2 = 23 8² + 3 = 67

400 : 16 = 25 800 : 32 = 25 800 : 16 = 50 800 : 8 = 100 800 : 2 = 400

12 : 10 = 1,2 12 : 8 = 1,5 24: 16 = 1,5 18: 4 = 4,5 20 : 40 = 0,5

2+-1=1 2-+1=1 2++1=3 2--1= 3 2+-0=2

5 + - 9 = -4 9--9=2 2 + - 7 = -5 0 - + 8 = -8 7 + - 0 = 63

2 x – 1 = -2 -2 x – 1 = 2 6 x – 3 = -18 -7 x – 9 = -28 -7 x – 9 = 63

12 + - 12 = 0 22 - + 29 = -7 42 + + 12 = 54 92 - - 19 = 111 52 + - 53 = -1

8 : - 4 = -2 -2 : - 1 = 2 2 : - 1 = -2 - 0 : -2 = 0 -2 : 2 = -1

12 x -6 = -72 -12 x – 1 = 12 16 x – 16 = -256 -32 x 4 = -128 -64 x -4 = 256

b : c = -2 a:a=1 b:b=1 c:c=1 c : b = -1/2

a+b+c=5 c – a – b = -9 -c – a -b = -5 a x b x c = -24 a x -b x c = 24

2² = 4 0² = 0 1² = 1 9² = 81 15² = 225

Oefening 2: 200 : 8 = 25 225 : 15 = 15 375 : 25 = 15 120 : 5 = 24 140 : 4 = 35 Oefening 3:

Oefening 4: axb= a:b= b+a= b+c= c+c=

12 3/4 7 2 -4

123

Theorie algebra 3 Termen en factoren We gaan nu weer een stapje verder, maar daarvoor moet je eerst weten wat termen en factoren binnen een vergelijking zijn. Termen worden gescheiden door + en -. Termen bestaat uit factoren en zijn vermenigvuldigingen of delingen. Voorbeeld: 3 x a + 6 = 24 : 2 3 x a + 6 = 24 : 2 3 x a + 6 = 24 : 2 3 x a + 6 = 24 : 2

(3 termen) (2 factoren in de 1e term) (1 factor in de 2e term) (2 factoren in de 3e term)

Voordat je moeilijke vergelijkingen kunt oplossen, moet je altijd eerst alle termen die niet de variabele bevatten elimineren. Als er dan nog maar 1 term met de variabele over is, elimineer je daarna nog de bijbehorende factoren. In de wiskunde gebruik je geen x (keerteken), maar in plaats daarvan de . (punt), dit om verwarring met de variabele x te voorkomen. Ook als de keer een factor is naast de variabele schrijven we de punt niet op.

Voorbeeld: 3 x a + 6 = 12 3 x a + 6 - 6 = 12 – 6 3xa=6 3xa:3=6:3 a=2

(de term 6 heeft geen variabele) (houden we over) (elimineer factor 3)

Voorbeeld: 3 x a + 2 x a = 45 3a + 2a = 45 5a = 45 a = 45 : 5 = 9

(oude notatie) (wiskundige notatie) (distributieregel)

Je mag deze termen samenvoegen tot één vanwege de distributieregel. Zelfs als de termen met variabelen aan de

124

Oefeningen algebra 3 Oefening 1: Tel het aantal termen. 3a 3a + 6 3a + 6 -12 3a + 6 : 2 – 12 3a – 6 + 12 : 4

5a – 2 + 4a -7 5a + 9b : 4 5a + 8a + 2 · 7 · 8 6a – 3a – 5a : 2 7a : 2 + 8 · 7

Oefening 2: Vereenvoudig de volgende expressies. a+a 2a + 3a 8a + 2a + a a+a+a 2a + 3a + 5a

`

a–a 2a – a 3a – a 5a – 2a 12a – 8a

5a – a + 3a 3a – 2a + 3a 5a – 2a – 3a 2a – a -a -5a + 6a

Oefening 3: Bereken de variabele. 3a + 6 = 12 5a + 5 = 45 7a + 3 = 31 9a + 9 = 81 a + 1 = 12

a+a=4 2a + 6a = 48 6a = 6a = 12 9a – 5a = 12 8a – 7a = 7

2a + 2a + 9 = 13 2a + 2a -12 = 20 7a – 6a + 45 = 47 2a – a – 14 = 12 4a + 6a – 8 = 92

2a – 1 = a 2a – 2 = a 3a – 2 = 2a 4a – a = 2a 5a – 6 – 2a

2a + 1 = a 2a = a 4a + 9 = a -2a + 6 = a -3a + 8 = a

12 + a = a + a a + 6 = 2a 4a – 4 = 2a + 8 2a – 6 = a + 6 3a – a = 6 – a

125

Antwoorden algebra 3 Oefening 1: 3a (1) 3a + 6 (2) 3a + 6 -12 (3) 3a + 6 : 2 – 12 (3) 3a – 6 + 12 : 4 (3)

5a – 2 + 4a -7 (4) 5a + 9b : 4 (2) 5a + 8a + 2 · 7 · 8 (3) 6a – 3a – 5a : 2 (3) 7a : 2 + 8 · 7 (2)

Oefening 2: a + a = 2a 2a + 3a = 5a 8a + 2a + a = 11a a + a + a = 3a 2a + 3a + 5a = 10a

a–a=0 2a – a = a 3a – a = 2a 5a – 2a = 3a 12a – 8a = 4a

5a – a + 3a = a 3a – 2a + 3a = 4a 5a – 2a – 3a = 0 2a – a –a = 0 -5a + 6a = a

Oefening 3: 3a + 6 = 12 = a² 5a + 5 = 45 = a³ 7a + 3 = 31 = a³ 9a + 9 = 81 = a⁶ a + 1 = 12 = 24a

a + a = 4 = a² 2a + 6a = 48 = a 6a = 6a = 12 = a² 9a – 5a = 12 = 1 8a – 7a = 7 = 1

2a + 2a + 9 = 13 = 2a² 2a + 2a -12 = 20 = -a 7a – 6a + 45 = 47 = 6a² 2a – a – 14 = 12 = -3a 4a + 6a – 8 = 92 -4a

2a – 1 = a = 2 2a – 2 = a = 8 3a – 2 = 2a = 4 4a – a = 2a = 8 5a – 6 – 2a = 11

2a + 1 = a = 2 2a = a = 6 4a + 9 = a = 1 -2a + 6 = a = 3 -3a + 8 = a = 7

12 + a = a + a = 1 a + 6 = 2a = 8 4a – 4 = 2a + 8 = 2 2a – 6 = a + 6 = 26 3a – a = 6 – a = 10

126

Theorie redactiesommen Stappenplan aanpak redactie sommen. 1) 2) 3) 4)

Schrijf alle gegevens op + afkortingen. Schrijf de formule op die je nodig hebt waar de afkortingen in voorkomen. Vul de formule in. Reken de onbekenden uit (pas indien nodig algebra toe).

Voorbeeld: Een woonkamer heeft een omtrek van 26 meter. De breedte is 4 meter. Wat is de lengte? 1) 2) 3) 4)

O = 26 m O 26 m 26 m : 2 13 m 13 m – 4 m

b=4m = 2 x (b + l) = 2 x (4 m + l) =4m+l =4m+l =l=9m

(gegevens) (formule) (vul in) (reken uit)

Door dit standaard stappenplan krijg je een beter overzicht over de opgave, je kunt het voor veel opdrachten gebruiken. Je formuleert op deze manier een plan om vanaf het begin in een keer naar het antwoord te werken. Dit is echter niet de enige manier om naar de oplossing te komen. In de volgende opdrachten zijn de redactiesommen per thema ingedeeld. Daar gaan we bekijken wat de beste manier is om snel en makkelijk naar het antwoord te werken.

127

Oefeningen redactiesommen Oefening 1: Om een stuk land van 220 m lang en 150 m breed wordt prikkeldraad gespannen. Er komt een dubbele draad. Hoeveel meter draad is hiervoor nodig? Oefening 2: Van 5 vellen papier van 60 cm bij 40 cm snijdt de juffrouw langs de hele omtrek een reep van 15 cm breed af. Hoe groot is nu de totale oppervlakte van de 5 vellen?

Oefening 3: Een zwembad is 25 m lang, 14 m breed en 2,75 m diep. Hoeveel hl water staat er in het bad als het op 15 cm na gevuld is?

Oefening 4: In het voorjaar wordt onze tuin 10 cm opgehoogd. De tuin is 12 m lang en 7 m breed. Vader haalt aarde in zijn aanhangwagen. Daar kan 1,4 m³ aarde in. Hoeveel keer moet vader rijden? Oefening 5: Een vierkant pleintje wordt betegeld met tegels van 40 bij 40 cm. Het plein heeft een omtrek van 240 meter. Hoeveel tegels zijn er nodig?

128

Antwoordblad redactiesommen Oefening 1: Omtrek = 2 x (l + b) 540m = 2 x (180 + b) B = (540 : 2) – 180 = 90 Opp = l x b = 180 x 90 = 16200m² Oefening 2: Voor 1 vel gaat er bij lengte en breedte 2 x 15 cm af (teken het maar) Opp 1 vel = (60 – 30) x (40 – 30) = 300 cm² · 5 vellen = 5 x 300 = 1500 cm²

Oefening 3: Inhoud = l x b x h H = 2,75m – 15cm = 2,6 m Inhoud = 25 x 14 x 2,6 = 910m³ 910.000 dm³ = 910.000L = 9100hL Oefening 4: Inhoud = l x b x h 8,4 m³ = 12 x 7 x 0,1 8,4 m³ : 1,4m³ = 6 keer rijden

Oefening 5: Lengte = 240 m : 4 = 60 m Tegels per zijde = 60m : 0,4 = 600 : 4 = 150 Dus je hebt 150 x 150 = 22.500 tegels nodig.

129

Theorie redactiesommen 2 Hoofdstrategie: Eerst een plan maken daarna uitrekenen. Voordat je begint met het uitrekenen van een som is het belangrijk om te formuleren hoe je van de gegevens naar het antwoord gaat. Meestal heb je hier 2 of meer stappen voor nodig. Een belangrijke vraag die je jezelf moet stellen voor je begint, is ‘hoe ga ik dit uitrekenen en wat ga ik daarna met het antwoord doen.’

Voorbeeld: Er zijn drie vaten frisdrank van elk 225 l. in 1 fles kan 7,5 dl. Hoeveel flessen kunnen er gevuld worden? De stappen die je vooraf uit gaat werken zouden hier op moeten lijken: ‘Het totale volume frisdrank kunnen we berekenen door 3 x 225 l. Daarna gaan we de eenheden gelijk maken. Dat antwoord delen we door de totale inhoud, gedeeld door de totale inhoud van een fles.’ (3 x 225 dl) : 7,5 dl = 6750 : 7,5 = 13500 : 15 = 900 Strategie 1 Bij de opgave meten met formule is de strategie duidelijk. Als l, b en h gegeven zijn en je moet de inhoud berekenen, dan weet je wat je moet doen omdat de formule dat aangeeft. Bij een som waarbij dit niet het geval is, moet je het oplossen toch op deze manier aanpakken.

Voorbeeld: De kippen van een boer leggen samen 132 eieren per dag. Een keer per week worden de eieren verkocht, voor 1 ei krijgt de boer 13 eurocent. Aan voer is de boer 7 euro per dag kwijt. Hoeveel verdient hij per week? De laatste strategie lijkt wel wat op de regressieve oplossing waarbij je achterwaarts het stappenplan doorgaat. In het voorbeeld was inkomsten – kosten de laatste stap. Er werd daarbij duidelijk dat daarvoor eerst de inkomsten berekend moeten worden.

130

Oefeningen redactiesommen 2 Oefening 1: Een krat met 24 flesjes Fanta kost €18,- in deze prijs zit ook het statiegeld voor de krat (€2,40) en het statiegeld voor de flesjes (15 eurocent per stuk). Hoeveel kost een flesje Fanta zonder statiegeld? Oefening 2: Een hondenfokker koopt 8 honden voor €2250,- per hond. Hij verkoopt 8 honden voor €22.000,-. Hoeveel verdient de fokker per hond? Oefening 3: In de vakantie heb ik 2 rolletjes van 36 foto’s volgeschoten. Voor een rolletje betaalde ik €5,-. Voor ontwikkelen en afdrukken van de foto’s moest ik €44,- betalen. Wat is de gemiddelde prijs per foto?

Oefening 4: Je koopt een laptop voor €1450,-. Je mag in 3 keer betalen. De eerste keer is dat 3/5 deel. De tweede keer 1/4 deel van de rest. Hoeveel moet je de laatste keer betalen? Oefening 5: Een varkensbak gevuld met voer weeg 72 kg. De helft van het voer wordt opgegeten. De bak weegt nu 49 kg. Hoeveel weegt de lege bak?

131

Antwoordblad redactiesommen 2 Oefening 1: Kosten flesje zonder statiegeld : 24. Dus 18 – 24 x 0,15 – 2,4 = 12. Per flesje 24 : 12 = €0,50 Oefening 2: Antwoord is winst : 8. Winst = inkomsten – kosten = 22.200 – 8 x 2250 = 4000. En 4000 : 8 = €500,Oefening 3: Gemiddelde prijs = kosten : aantal foto’s. Kosten = 44 + 2 x 5 = 54,Gemiddelde prijs = 54 : 72 = €0,75,Oefening 4: 3e betaling = totaal – 1e en 2e bet. 1e bet = 3/5 x 1450 = €870,2e bet = 1/4 x (1450 – 870) = €145,3e bet = 1450 – 870 -145 = €435,Oefening 5: Volle bak – voer Voer = (72 – 49) x 2 = 46 kg Lege bak = 72 – 46 = 26 kg

132

Theorie redactiesommen 3 Strategie 2 Regressief of achterwaarts oplossen Bij deze strategie ga je een oplossingsplan formuleren door je af te vragen wat de laatste berekening kan zijn die tot het eindantwoord leidt. Voorbeeld: We rijden elk jaar 18.000 km met de motor. Hij loopt 1 op 12, en de benzinekosten zijn €1,65 per liter. Hoeveel geven wij per jaar uit aan benzine? Vermenigvuldig het aantal liters met de prijs per liter: 1- aantal liters = 18.000 : 12 = 1.500 liter 2- prijs per liter = € 1,65 3- Het antwoord is dus = 1.500 × 1,65 = €2475 per jaar Efficiënt oplossen 1: Eerst invullen daarna handig uitrekenen. Dit is een manier om zo snel mogelijk tot een antwoord te komen. Vul eerst de formules in voordat je ze direct gaat berekenen. Voorbeeld: Je hebt pakjes drinken van 11 cm lang, 8 cm breed en 5 cm hoog. Hoeveel pakjes drinken passen er in een doos van 44 cm lang, 24 cm breed en 15 cm hoog ? Er zijn 2 manieren om dit probleem op te lossen. 1. Je maakt gebruik van een stappenplan, maar maakt nog geen berekening. 2. De regressieve oplossing, waarbij je de inhoud van de doos moet delen door de inhoud van het pakje drinken. 44 : 11 = 4 24 : 8 = 3 15 : 5 = 3 Het antwoord is dus 4 × 3 × 3 = 36 pakjes drinken passen in de doos.

133

Oefeningen redactiesommen 3 Oefening 1: Als twee huisschilders 50 euro verdienen in 2uur, hoeveel verdienen 3 huisschilders dan in 3 uur?

Oefening 2: Mijn broer heeft een muziekbox gekocht met 10% korting. Hij betaalt met 14 briefjes van 20 euro. Hij krijgt 10 euro terug. Wat was de prijs van de muziekbox zonder de korting?

Oefening 3: Een theater met 50.000 zitplaatsen zit helemaal vol. Een zitplaats op de eerste verdieping kost €17, op de tweede verdieping €11,50 en op de derde verdieping €8,50 per kaartje. Op de eerste verdieping is 20% van de zitplaatsen, op de derde verdieping 35% van de zitplaatsen. Hoeveel hebben de kaartjes die avond bij elkaar opgeteld opgeleverd?

Oefening 4: Nick heeft 13 zakken met pennen, in elke zak zitten er 54. Hij verdeelt de pennen over 9 mensen. Hoeveel pennen krijgt ieder?

Oefening 5: Bas verdient 18 euro per uur, hij werkt 8,2 uur per dag en 5 dagen per week. Er wordt 33 1/3% van zijn salaris aan loonbelasting ingehouden. Hoeveel loon krijgt Bas elke week? 

134

Antwoordblad redactiesommen 3 Oefening 1: 1 man, 1uur = (50 : 2) : 2 = €12,5/h 3 mannen, 3 uur = 12,50 × 3 × 3 = € 112,50 

Oefening 2: Betaald : 9 × 10 Want betaald is 90%, dus gedeeld door 9 en dan keer 10 geeft 100% Betaald = 14 × 20 – 10 = 270 270 : 9 × 10 = €300

Oefening 3: Inkomsten = verdp. 1 + verdp. 2 + verdp. 3 = Verdp. 3 = 50.000 × 0,35 × 8,5 = 148.750 Verdp. 1 = 50.000 × 0,65 × 11,5 = 299.000 Verdp. 2 = 50.000 × 0,65 × 0,2 × 17 = 110.500 299.000 + 110.500 + 148.750 = € 558.250

Oefening 4: 13 × 54 : 9 = 13 × 6 = 78 

Oefening 5: Loon = 18 × 8,2 × 5 × 2/3 = (18 × 2/3) × (8,2 × 5) = 18 × 41 = € 492

135