Vorkurs Mathematik : ein Arbeitsheft zur Vorbereitung auf den Start eines Hochschulstudiums in Mathematik, Informatik einer Naturwissenschaft oder einer Ingenieurwissenschaft 3832223436, 9783832223434 [PDF]

Zitiervorschau

Fachhochschule - University of Applied Sciences

Oldenburg Ostfriesland Wilhelmshaven Fachbereich Technik Abt. Naturwissenschaftliche Technik

Mathematik - Vorkurs (Aufgaben & Lösungen)

Angewandte Informatik / Prozessautomatisierung -1-

Inhaltsverzeichnis

Fachliteratur zur Mathematik ............................................................................. 3 Lehrinhalte Mathematik ..................................................................................... 4 Aufgaben zu „Lineare und quadratische Gleichungen“ ..................................... 5 Aufgaben zu „Wurzeln, Logarithmen und Funktionen“ ...................................... 6 Aufgaben zu „Trigonometrische Funktionen“ ..................................................... 8 Aufgaben zu „Integral- und Differentialrechnung“ .............................................. 9 Aufgaben zur „Vektorrechnung“ ....................................................................... 10

Lösungen.................................................................................... 11 „Lineare und quadratische Gleichungen“ ........................................................ 12 „Wurzeln, Logarithmen und Funktionen“ ......................................................... 13 „Wurzeln, Logarithmen und Funktionen“ ......................................................... 14 „Trigonometrische Funktionen“ ........................................................................ 15 „Integral- und Differentialrechnung“ ................................................................. 16 „Vektorrechnung“ ............................................................................................. 18 Fachstudienberatung „Angewandte Informatik“ ............................................... 19 Übersicht über den Standort Emden ............................................................... 20

Stand: 02/2002

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Fachliteratur zur Mathematik

(1) Papula, Lothar Mathematik für Ingenieure, Band 1, 2 und 3. Vieweg-Verlag, 1994. (2) Papula, Lothar Übungen zur Mathematik für Ingenieure. Vieweg-Verlag, 1992. (3) Papula, Lothar Mathematische Formelsammlung für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Vieweg-Verlag, 1994 (4) Smirnow, W. S. Lehrgang der höheren Mathematik, Band 1 - 5. Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1960. (5) Bronstein, I. N. und Semendjajew, K. A. Taschenbuch der Mathematik. Teubner-Verlagsgesellschaft, 1960. (6) Mangoldt, Hans / Knopp, Konrad Eine Einführung für studierende und zum Selbststudium, Band 1- 4. S. Hirzel , 1990.

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Lehrinhalte Mathematik Dozenten:

Prof. Dr. Kleemann Prof. Dr. Bartning Prof. Dr. Boisch

Inhalt: Teil I: 1. Funktionen mit einer Variable - Eigenschaften von Funktionen - Darstellung von Funktionen in verschiedenen Koordinatensystemen 2. Differentialrechnung für Funktionen mit einer Variable - Regeln zum Differenzieren von Funktionen - Kurven Untersuchungen 3. Integralrechnung für Funktionen mit einer Variable - Integrationsmethoden - Anwendung der Integralrechnung 4. Vektoralgebra - Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar - Skalarprodukt von Vektoren - Vektorprodukt von Vektoren Teil II 1. Komplexe Zahlen und Funktionen 2. Lineare Algebra, Matrizen, Determinanten, Lösung linearer Gleichungssysteme - Matrizen - Determinanten - Lösung linearer Gleichungssysteme 3. Differentiation von Funktionen mit mehreren Variablen 4. Integration von Funktionen mit mehreren Variablen Teil III 1. 2. 3. 4.

Vektoranalysis Fourier-Transformation Laplace-Transformation Differentialgleichungen

Lehrmethoden:

Vorlesungen und Übungen

Prüfung:

Klausuren

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Aufgaben zu „Lineare und quadratische Gleichungen“ 1. Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke: a) 3 1 2 A B 5 4 9 b) 17m + [6n - (3m + 4n)] - {(8m - n) - [5m + (3n - 6m)]}

c) 14m 7mn 2 : 6K 9K d) 18s B 18t 2 2 : ¢12s B 12t £ Ü e)

1 2 1 A 2 2 A mn m n 3 3 A m n

2. Lösen Sie folgende lineare Gleichungen und überprüfen Sie die Ergebnisse. Geben Sie die Wertebereiche von a, b usw. an, für die die Gleichungen genau eine oder keine Lösung bzw. unendlich viele Lösungen haben! a) 2 ¦x ¢2x A a£ B a2 § = ¢2x B 1£ ¢2x B a£ b) bx a b B ¢a B bx£ B ¢bxBa£ = 1 a b a c) Von drei parallelgeschalteten elektrischen Leitern, an denen eine Spannung von 25 V anliegt, hat jeder einen elektrischen Widerstand, der doppelt so groß ist wie der vorhergehende. Der Gesamtwiderstand betrage 100 Ω. Wie groß sind bei unveränderten Bedingungen die 1.) Einzelwiderstände

2.) Zweigstromstärken ?

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2. Lösen Sie folgende quadratische Gleichungen: a)

10x B 1 6x B 1 1 A = A 2x B 1 9 5 x

b)

x A ¢a B x£ = ¢a B 2x£

2

2

2

2

2

Aufgaben zu „Wurzeln, Logarithmen und Funktionen“ 1. Vereinfachen Sie folgende Wurzelausdrücke: a)

9¢a2 B 2ab A b 2 £ 25 ¢a 2 A 2ab A b2 £

b)

a B

c)

d)

e)

f)

a2 B b 2 C

a A

a2 B b 2

a a a 3 2x B 1 B 5

8x A 17 =

2¢x B 3£ 2x B 1

¢nA5 £

a

5

a¢nB5 £

3

u C v

2

v C u

1 u

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2. Logarithmen: x

a)

64 = 64

b)

5 = 0,008

c)

1 1 2 2 lg ¢a B ab A b £ A lg ¢a A b£ 2 2

d)

2 lg x = 3 lg 4

x

3. Funktionen: a) Ermitteln Sie die Nullstellen der folgenden Funktionen: 1.)

y = G 3x A 1

mit 2.)

x S B

1 3

2

y = 2x B 3

b) Zeichnen Sie die Funktionen und ermitteln Sie grafisch die Schnittpunkte. c) Ermitteln Sie die Schnittpunkte rechnerisch.

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Aufgaben zu „Trigonometrische Funktionen“ 1. Darstellung im Bogenmaß bzw. Gradmaß: a) 435°

b)

3à rad 4

c)

33´

d)

0,02 rad

2. Berechnen Sie jeweils die drei anderen Winkelfunktionen, wenn sin α , cos α, tan α, und cot α gegeben sind. a) sin Ñ =

24 25

b) cot Ñ =

5 12

3. Für welche Werte gilt die Gleichnung: 2 sinx =

2 C tanx

4. Anwendungen: a) Um die Breite eines Flusses zu bestimmen, wird auf einem der beiden parallel verlaufenden Ufer eine Strecke von 38,35 m abgemessen und von deren Endpunkten aus, ein an dem gegenüberliegenden Ufer befindlichen Pfeiler unter einem Winkel von 22° 50´ bzw. 31° 10´ angepeilt. Berechnen Sie die Breite des Flusses. b) Ein auf eine Glasplatte fallender Lichtstrahl wird z.T. durch diese gebrochen und dadurch von seiner ursprünglichen Richtung um δ = 15° abgelenkt. Wie groß ist der Einfallswinkel α , wenn der Brechungsindex des Glases 1,52 ist?

α

n=1

β

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δ

n = 1,52

Aufgaben zu „Integral- und Differentialrechnung“ 1. Differenzieren Sie: 7

2

a) y = 3x A 4x A 7x n

m

b) y = ax A b¢x c) y = 4e

B1

A 8

2

A x£ A c

1 3 x

x

d) y = 7e 2x A ln x e) y = 5sin¢3x£ f) y = a sin¢bx£ A c cos¢dx£

2. Berechnen Sie von der Funktion y = sin (2x) die erste Ableitung und die zweite Ableitung

dy = y' dx

d dy dy' ¦ § = = y'' . Zeichnen Sie y, y’, y’’. dx dx dx

3. Berechnen Sie Extremwerte und Wendepunkte der Funktion: y = x3 - 3x2 - x + 3.

4. Berechnen Sie die Fläche unter der Kurve y = ax+ b in den Grenzen von a bis x: a) direkt aus der geometrischen Form der Fläche. b) unter der Benutzung der Integralrechnung

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Aufgaben zur „Vektorrechnung“ 1. Berechnnen Sie: a) —x = 2 x—1 A 3 x—2 B 4 x—3 b) —x = 5 x—1 B ¢ x—2 B 2 x—3 £ x—1 =

mit

¢£ 2 B1 3

x—2 =

¢£ 1 2 B1

x—3 =

¢£ B1 B2 B3

— c— mit sa—s = sbs — = s— — b, 2. Die drei Vektoren a, cs haben als Summe den Nullvektor. Geben Sie für die drei Seitenhalbierenden des erhaltenen Dreiecks Vektorgleichungen an (Angriffspunkt in A,B bzw. C)!

3. Berechnen Sie den Vektor a— der zu —x parallel ist und die Länge 1 hat. —x =

¢£ 12 B3 2

4. Gegeben sind die beiden Vektoren g— und —f , welche die Diagonalen eines Parallelogramms bilden. Bestimmen Sie die Seitenvektoren des Parallelogramms! 5. Gegeben seien die beiden Vektoren a— =

¢£ 13 7 5

sowie

a—1 =

¢£ 3 4 1

a—2 =

¢£ 0 2 1

a—3 =

¢£

1 1 . 1

Stellen Sie a— als Summe der drei Vektoren x—1 , x—2 , x—3 dar, für die gilt: x—1 t a—1 , x—2 t a—2 und x—3 t a—3 .

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Lösungen

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„Lineare und quadratische Gleichungen“ Übung 1: a)

113 180

b) 5m A 6n

d)

3 2 Ü¢s A t£

e)

1 1 A 3m 3n

Übung 2: a) x =

a 2

b) x =

a b

c) R1 = 175 Ð R2 = 350 Ð R3 = 700 Ð

1 A 7 1 I2 = A 14 1 I3 = A 28 I1 =

Übung 3: a) x1 = 1

x2 = B

b) x1 = 0

x2 = a

45 14

2

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c)

4 3k C n

„Wurzeln, Logarithmen und Funktionen“ Übung 1: a)

3 a B b C 5 a A b 2

e) a

b) b

c)

8

2

d)

c) lg

a A b

a

x = 13

e) 1

Übung 2: a) x = 1

b) x = - 3

d) x1 = 8

x2 = - 8 x2 = keine Lösung (Einsetzen)

Übung 3: 2

Nullstellen von y = 2x B 3 : x1 =

3 2

x2 = B

3 2

Nullstellen von y = G 3x A 1 : x = B

1 3

Schnittpunkte: x1 = 0,77

y1 = - 1,82

x2 = 1,65

y2 = 2,44

- 13 -

3

3

„Wurzeln, Logarithmen und Funktionen“ Übung 3 (grafisch):

4

3

(1,65; 2,45)

2

1

-2

-1

1

2

3

4

5

-1

-2

(0,75; -1,8) y=

-3

y = 2 x2 − 3 -4

- 14 -

+

3x + 1

„Trigonometrische Funktionen“ Übung 1: a) 7,592 rad

b) 135°

c) 0,0095 rad

d) 1,1459°

Übung 2: a) cos Ñ = G

7 25

tan Ñ = G

b) cos Ñ = G

5 13

tanÑ =

24 7

12 5

cot Ñ = G

sin Ñ = G

Übung 3: 2 sinx =

tanx =

2

a) sinx = 0

b) cos x =

}

} 2 2

x = 45°

=

2

sinx cosx

x = 0 2 2

2 2

x = 180°

=

1 2

x = 360°

Übung 4: a) Die Breite des Flusses beträgt 9,5 m. b) α = 45°

- 15 -

x = 360°

7 24

12 13

„Integral- und Differentialrechnung“ Übung 1: a) y’ = 26x6 + 8x + (-1) 7 x-2 b) y’ = a n xn-1 + b m xm-1 + 2bx - (3c / x4) c) y’ = 4 ex d) y’ = 14 e2x + (1 / x) e) y’ = 15 cos 3x f) y’ = a b cos bx - c d sin dx

Übung 2: y

= sin 2x

y’ =

2 cos 2x

y’’ = -4 sin 2x Übung 3: 4

π

2π

3,1415

6,283

3 2

2 cos (2x)

1

-1

-2

-4 sin (2x)

-3

-4

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sin (2x)

Übung 4: a) grafisch:

y y=a x+b

F2 F1

b

A

B x - a

b) rechnerisch: 1.)

F = F1 A F 2 F1 = ¢aA A b£ ¢x B A£ F2 = ¦¢aA A b£ B ¢aA A b£§ F =

a x2 a A2 A bx B B bA 2 2

x

2.)

€ ¢ax

¢x B A£ 2

x

A b£ dx =

A

€x A

x

dx A b € dx A

F = a

¦§

F = a

x A B a A bx B bA 2 2

2

x 2

2

A b ¦ x§ 2

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x

„Vektorrechnung“ Übung 1: a) —x =

¢£ 11 12 15

b)

—x =

¢ £ 7 B11 10

Übung 2: s—a = c— A

1 — a 2

s—b = a— A

1— b 2

1 s—c = b— A — c 2

Übung 3: a =

x 157

Übung 4: g— , — f

sgs

sf s

2 a 2 = g— A — f 1 — ¢g A — a2 = f£ 2

f

a2 g

2 a 1 = g— B f— a1 =

a1

1 — ¢g B —f £ 2

Übung 5: x1 = 2

x2 = B 4

x3 = 7

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Fachstudienberatung „Angewandte Informatik“ Prof. Dr.-Ing. Dr. h.c. Engelmann Fachhochschule Oldenburg/Ostfriesland/Wilhelmshaven Fachbereich Technik Constantiaplatz 4 26723 Emden Tel: 0180 567 807 - 1511 bzw. -1515 Fax: 0180 567 807 - 1593 Email:

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Büro:

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Übersicht über den Standort Emden

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