Övningar i lineära system [PDF]

Zitiervorschau

Sven Spanne

P2

= -l + 3i

•

X

'

.

P2=-l + 3i \;

P1 =-l-3i

A (w)

..

Ovningar i ••

LINEARA SYSTEM

..

Ovningar i Lineära system

Sven Spanne

Matematiska Institutionen Lunds Tekniska Högskola

Tn·ck och distribution: KFS i Lund AB Sölvegatan 22 F

223 62 LC~D Tel. 046-32 98 50 Fa.x. 046-14 07 47 [email protected] w,vw.kfsab.se

Mångfaldigandet av innehållet i denna bok, helt eller delvis, är enligt lagen om upphovsrätt av den 30 december 1960 förbjudet utan medgivande av copyrightinnehavaren.

© Sven Spanne

1995

Tredje tryckningen 1997

Förord Föreliggande övningssamling är avsedd att användas i kurserna Matematik, Lineär analys för D, E och F, tillsammans med min lärobok Lineära system. Den nya kursen går innevarande läsår på en läsperiod, alltså halva tiden mot den gamla kursen Lineära system. Årets kurs är därför ett försök, speciellt för D, och det är oklart hur mycket som hinns med på den kortare tiden. Jag har valt att förbereda kommande reformer genom att överföra den gamla övningssamlingen till JnEX utan väsentliga förändringar. Nyheten är att omfattande anvisningar till hjälp för enskilt arbete har inarbetats i samlingen, och att hänvisningar görs till den senaste upplagan av läroboken. Samlingen har säkert alltför stort omfång för den nya kursen, men delar av materialet kan lättas upp betydligt genom att man tar Matlab och Maple till hjälp vid räkningarna. Detta kommer att utnyttjas speciellt vid försöksverksamheten på D. Avsnittet om stabilitetsteori i kapitel 15 ingår inte i den nya kursen och därför finns ej övningarna på detta moment med i årets samling. De som så önskar kan senare få tillgång till dessa övningar efter hänvändelse till författaren. Erfarenheterna från årets kurs kommer att bestämma den framtida utformningen. Jag är därför tacksam för synpunkter både angående innehåll och utformning. Det är ofrånkomligt att ett antal tryckfel uppstår, då man byter medium, och årets studenter får som vanligt fungera som betatestare. Upphittade fel kan med fördel sändas in med e-post, adress koala95Gmaths .1 th. se. Rättelserna kommer att så snabbt som möjligt göras tillgängliga på Matematiska institutionens WWW-betjänt, URL http:/ /vvv. maths .1 th. se/koala95/koala95. html. Lund 3 oktober 1995 Sven Spanne I 1996 års tryckning har samtliga meddelade tryckfel rättats och några anvisningar gjorts tydligare. Ett varmt tack till alla som bidragit med förslag till förbättringar. En speciellt stor insats har gjorts av Georgi Tchilikov. Lund 31 juli 1996 Sven Spanne

11

Kapitel 1

Dynamiska system A 1.1

Linearitet Den elektriska kretsen i den svarta lådan är uppbyggd av enbart lineära resistorer. Vi ansluter två variabla spänningar och mäter strömmarna i tre grenar i kretsen.

Vi

?.

Vi Mätningar i fallen 1 och 2 ger resultaten

Vi Vi

fall

1 2 3

1 2

/1

2 1

8

15

/3

7 -3

7 -1 10 23

4

a) Ange i matrisfonn strömmarna i V= (Vi, Vi).

12

0

-9 5 -3

= (/1 , / 2 , / 3 ) som funktioner av spänningarna

b) Komplettera om möjligt tabellen i fallen 3 och 4. A 1.2

En balk belastas i punkterna A och B och motsvarande utböjningar mätes i punkterna C, D och E.

Två ffirsök ger tabellen A

1 3

B C D 1 5 13 2 13 33

E

5 11

a) Vi antar att utböjningarna beror lineärt på lasterna. Bestäm i matrisfonn utböjningarna (yc, YD, YE) som funktioner av lasterna (xA, xB)1

2

ÖVNINGAR I LINEÄRA SYSTEM

b) Vilka är utböjningarna för en enhetslast i A? i B?

c)

Är mätresultatet 1

40

30

1

1so

410

160

1

förenligt med resultaten ovan och antagandet om linearitet?

Statiska och dynamiska modeller 1.3

Strömstyrkan genom en tråd är proportionell mot pålagd spänning, omvänt pr~ portionell mot trådens längd och proportionell mot dess tvärsnittsarea. Uttryck strömstyrkan / som funktion av spänningen V, längden l och radien r.

A 1.4

Radioaktivt sönderfall kan kvantitativt beskrivas på följande sätt: En atom av ämnet A sönderfaller med sannolikhet k per tidsenhet och övergår i ämnet V. Symboliskt skriver man sönderfallet som

Om kvantiteten A (mätt t ex i mol) är x, så gäller alltså att den mängd A som sönderfaller under en kort tid 6.t är :::::: kx6.t. Ange en differentialekvation för x, om ingen nytillförsel eller nybildning sker. A 1.5

I en enkel kedja av radioaktiva sönderfall övergår A 1 i A 2 , A 2 i A 3 etc, och stabil. Symboliskt skriver man

An är

Antag att ingen nybildning av A 1 sker. Skriv upp ett system av differentialekvationer i tillståndsform för kvantiteterna (x 1 , x 2 , . .. , Xn)1.6

En planet attraheras av solen med en kraft som är riktad mot denna och är omvänt proportionell mot avståndet i kvadrat.

/'

Skriv upp tillståndsekvationer för planetens rörelse med ledning av foljande:

1: DYNAMISKA SYSTEM

3

1. Planeten rör sig i (x 1 ,x2 )-planet.

2. massa x acceleration

= kraft.

3. acceleration = hastighetens tidsderivata: a = . het 4. hastlg Använd

x 1 ,x2

!:.

. = läg.ets t1"dsdenvata: v = dx dt .

och

X3

= v1 , X4 = v2 som tillståndsvariabler.

Differentialekvationer 1. 7

Lös problemet

t>0

1.8

Bestäm lösningen till begynnelsevärdesproblemet

:

+ 2x

x(O)

= xo.

{

A 1.9

= f (t),

t>0

Bestäm den allmänna lösningen till dx

a)

dt dx

b)

dt

c)

+ 2x = 0 + 2x = 1

Finn den kontinuerliga funktion x(t) som uppfyller villkoren i) x(t) .. ) dx

11

-d t

= 0, t < 0

+ 2x= {l, 0 < t < 1, 0,

t < 0 och t > 1.

Använd »passningsmetoden», dvs skarva ihop lösningar enligt a) och b). d) Skissera funktionen i c).

A 1.10 Finn den allmänna lösningen till ekvationerna a) b)

dx

dt

+ 2x = eat, (a -I - 2)

dx dt

+ 2x = coswt.

4

ÖVNINGAR I LINEÄRA SYSTEM

A 1.11

Lös problemet dx { dt

+ 2x = cos wt, t > x(t)

= 0,

t

~

0

0.

under villkoret att x( t) är kontinuerlig. A 1.12

Bestäm (i komplex och reell form) den allmänna lösningen till differentialekvatier nema a)

A2 x = A(Ax) = A(.Xx) = .XAx = ÅÅx = .X2x b) x = (c 1,c1 +c2,c2),c1 i- 0,c2 i- 0.

3.8

Å

3.9

= n, z = c(l, 1, ... , 1), c i- 0 Å = 0, alla z i- 0 med z1 + z2 +

· · · + Zn = 0.

Å = a + b(n - 1), z = c(l, 1, ... , 1), c i- 0, Å = a - b, alla z i- 0 med z1 + z2 + · · · + Zn = 0.

26

SVAR

~

b)

har koordinaterna (3, 2) respektive (1, 0) (!) medan (1, 1) respektive (0, 1).

c)

5

=[~

~]

d) Å=S- 1 A5= [ _1; -~ 3.11

l

Exempel på möjliga 5 och motsvarande Å = A är

Å

5

[~ -~ l [~ -~ l [-~ ~ l [~ -~ l ol [-! !l [-~ -~ l [ ~ o.~ l

a) b)

[ -2 + i 0 -2 - i

c) d) e)

f)

3.12

~

finns ej

ej diagonaliserbar

finns ej

ej diagonaliserbar

Exempel på möjliga diagonaliseringar är: a)

S =

[ I 2 1 2 0 1

b)

5=

[ I I+

i i] I-

0 l+i 1 - i 0 1 1

c)

5

= [ -:

=[

-i

A=

,

u j]

A=

u j] 0 i 0

~]. r-1 0 0]

1 -1 0 -1

d)

5

n.

0 1 0

1 2 0

Å=

~

1 0 0 3

n. A=u j] 0 10 0

har koordinaterna

SVAR KAPITEL 3

27

3.13

a) Tillräckliga villkor för diagonaliserbarhet är (till exempel) att A är av typ n x n och har n olika egenvärden eller att A är reell och symmetrisk. b) Till exempel

3.14

Exempelvis är (-1,2, 1), (-1,4, 1) och (1,-2, 1) en bas av egenvektorer till den givna matrisen.

3.15

Matrisen har egenvärdena ,\ = 2 och ,\ = 1 med motsvarande egenvektorer x = c(l, 0, 0), c =I- 0 respektive x = c(0, 0, 1), c =:/- 0. Härav följer att matrisen inte är diagonaliserbar, eftersom det inte finns tre lineärt oberoende egenvektorer.

3.16

Egenvärdena är,\= i och,\= -i, med motsvarande egenvektorer z = c(l, i, 0, 0), c =I- 0 respekt ive z = c( 1, -i, 0, 0). Eftersom det inte finns fyra lineärt oberoende egenvektorer, så är matrisen inte diagonaliserbar.

3.18

Egenvärdenas summa är tr A = 1 + 2 + 3 + 4 = 10 och deras produkt är det A = 7.

3.19

Egenvärdenas summa är 8 och deras produkt är 5. (Ur övning 3.9 följer att egenvärdena i själva verket är 5 (enkelt) och 1 (tredubbelt).)

3.24

a)

l l

b)

[ - sin t - c'!8 t cost -smt

3.25

a)

[ ½Ce'-1)]

b)

[

2e2,

_3e-3t

}(1 - e- 3 ) 3.27

a) c)

3.28

[ 1 + t2 3t 3t t2 + 4 [ 2t 3 3 2t

l

l

b) d)

l

sin 1 cos 1 - 1 1 - cos 1 sin 1

l

[~ ~ l [~ !l

e)

[~ ;l

b) Inversen är

A_ 1

__ 1 [ 2 -t ] - 2 - t 2 -t 1

och derivatan är

dA- 1

dt

1 = (2 - t 2)2

4t

[

-t

2 -

-t 2 - 2 ] 2t 2

28

SVAR

c)

Formeln gäller ej ty A- 1 och

3.29

Se lösningen till problemet.

3.30

Lösningen är

!~

behöver ej kommutera.

Det är samma svar som i 3.29 b), fast på vektorform. 3.31

a) Egenvärden och egenvektorer är

= 2, Z = c( 1, -1), C =/= 0 ..\2 = 3,z = c(l, -2),c =I= 0 ,\ 1

{

b) Lösningen blir

3.32

Lösningen blir

x(t)

3 = -e•st _

y(t)

=

{

då t 3.33

~

10 9 -e•st 10

0.

Fundamentalmatrisen ~(t) blir av formen

+

3 -e-st 10 I -e-st 10

29

SVAR KAPITEL 3

,I\

3.34 a) Egenvärden och egenvektorer till systemmatrisen är

1

,\ 2

=-3+v'5 2RC ' 3-v'5 = - 2RC '

S1

= {2, 1 + V5)

St

= (2, 1 - V5)

Den sökta lösningen blir

där

Ct

= Vo/(2v'5},

c2

= -Vo/(2v'5). I komponentform blir lösningen

b) Det gäller att Åt < ,\2 < 0. Därför har både Vt{t) och v2(t) gränsvärdet 0 då t ➔ +oo. För stora t är e-\it « e-\ 2 t och alltså är

Förhållandet mellan komponenterna Vt och v 2 bestäms alltså av egenvektorn s,z, vilken hör till det största egenvärdet. Det gäller alltså att

v2(t) 1 - v'5 -(-) :::::: - - - för stora t. Vt t 2 3.35

Egenvärden och egenvektorer till systemmatrisen ges av

I

Å1

= -9D{2 -

..\ 2

= -18D/i2,

Å3 =

./2)/12 ,

S1

= {1, h, 1)

s,z = {1,0, 1) 53 = {1, -h, 1)

-9D(2 + ./2}/l2 ,

Lösningen är alltså av formen

= c1e-\ ts1 + c2e-\ t~ + C3e-\ st 53. » e-\ t » e-\it och alltså x(t) :::::: c1e-\ t5i. x(t)

1

2

1 2 För stora t är e-\st Härav följer att 2 X1 : X2 : x 3 :::::: 1 : v'2 : 1. Villkoret på tiden blir att e-\ t « e-\it, dvs att e.'z, där

= tf(t).

Antag att systemmatrisen A till systemet dx dt =Ax+ f(t)

är neutralt stabil. Visa att det finns begränsade insignaler som ger upphov till obegränsade tillståndsvariationer för stora tider.

A,L 4.8

a) Bestäm den stationära lösningen till systemet

{

dx 1 dt

= -3x 1 + x 2 + 2cos2t

dx2 dt

= x1 -

3x 2

+ cos2t.

b) Bestäm den allmänna lösningen till systemet.

Ange den lösning som har begynnelsevärdena x 1 (0) = x 2 (0) = 0. d) Är systemet stabilt? Ange i så fall tidskonstanten. e) Dela upp lösningen i c) i transient och stationär del. f) Hur lång tid behövs ungefär för att transienten skall blir försumbar, om man räknar med tre decimalers noggrannhet? c)

g)

Ersätt insignalerna i a) med f(t) stationär lösning?

= (e- 21 , 3e- 21 ).

Finns det en generaliserat

h) Bestäm den allmänna lösningen till det modifierade systemet i g). A 4.9

Låt

A=[4+k

Il

4 + 2k 2

där k är en reell parameter. a) Beräkna det A och tr A.

4:

37

STABILITET OCH STATIONÄRA LÖSNINGAR

b) För vilka värden påk har systemet

x = Ax rent exponentiella respektive oscillerande reella lösninger? c)

A 4.10

För vilka värden påk är systemet

x = Ax stabilt?

I en elektriskt uppvärmd ugn sker värmetransport från manteln till såväl ugnens yttre som dess inre. Temperaturerna betecknas med T0 (det yttre, konstant), T1 (manteln) och T2.

To

En lineariserad beskrivning av värmetransporten ger tillståndsekvationer ~1 { X2

= -(a + b)x 1 + bx2 + kw(t) = CX1 - CX2

där a, b och c är positiva konstanter, x 1 = T1 - T0 , x 2 = T2 effekt, och k beror av ugnens värmekapacitet. a)

-

T0 , w(t) är tillförd

Visa att systemet är stabilt.

b) Vilken är systemets tidskonstant? c) Bestäm den stationära lösningen, om w(t) = w 0 är konstant. d) Vad sker med stabiliteten om a = O? Hur skall man tolka detta fall fysikaliskt?

A 4.11

Wienfiltret i exempel 2.8 i läroboken (se även övning 3.36) återkopplas enligt figuren.

+ R

Uut

38

ÖVNINGAR I LINEÄRA SYSTEM

Detta innebär att vi sätter w stäms av k = I+ R 2 / R1. a)

= kx 2

i tillståndsekvationerna. Konstanten k be-

Skriv upp tillståndsekvationerna för det återkopplade systemet.

b) För vilka värden påk fås oscillerande respektive rent exponentiella lösningar? c)

För vilka värden på k fås självsvängningar, dvs när är systemet ej stabilt?

Undersök i b) och c) även fallet k

~

I, som kräver en annan koppling.

d) Kopplingen används i praktiken för att generera sinussvängningar. Vilket kvärde får då användas? Vilken blir svängningsfrekvensen? A 4.12

Ett reellt polynom kallas stabilt, om alla dess nollställen har negativ realdel (dvs Re s 2: 0 ~ p( s) I= 0). a) Visa att p(s)

= s 2 +as+ b

a, b reella

är stabilt då och endast då a > 0, b > 0. b) Visa att om p(s)

= s" + On-1Sn-l + · · · + 01S + Oo

är stabilt, så är oo > 0, c)

01

> 0, ... , On-1 > 0.

Ge exempel på ett tredjegradspolynom

p( s)

= s 3 + as 2 + bs + c

med a > 0, b > 0, c > 0, som ej är stabilt. d) Visa att

p( s)

= s3 + as 2 + bs + c

är stabilt då och endast då a > 0, b > 0, c > 0 och ab > c. 4.13

a) Låt A vara en reell (diagonaliserbar) n x n-matris med egenvärden Å1 , Ån. Låt x vara en godtycklig lösning till dx dt

Visa att om Re Åk < 0, k

= Ax.

= l, ... , n så gäller att lim x(t) = 0. ,~oc

... ,

4:

39

STABILITET OCH STATIONÄRA LÖSNINGAR

b) Undersök om det finns värden på den reella parametern a, för vilka alla lösningar till systemet

går mot noll då t 4.14

➔

dx1 dt

= x1 + X2 + 3x3

dx2 dt

= X1 + ax2 + X3

dx 3 dt

= 3x1 + x2 -

X3

+oo.

Matrisen A har det karakteristiska polynomet

Vilka av följande påståenden om A är säkert sanna (1), vilka är säkert falska {2) och vilka kan ej avgöra.5 med den givna informationen {x)? a) A är av typ 5 x 5. b) A är inverterbar. c) trA=-4. d) det A = 12. e) A är diagonaliserbar. f) Alla lösningar till ic = Ax är begränsade då t 2: 0. g) Alla lösningar till ic = Ax har gränsvärdet O då t ➔ +oo. h) Ekvationssystemet Ax - 2x = 0 har lösning x =I= 0. i) Ekvationssystemet Ax+ 2x = 0 har lösning x =I= 0. j) Om f är en konstant vektor, så har systemet

ic

= Ax + cos( 1rt )f

en entydig stationär lösning med vinkelfrekvens

1r.

40

ANVISNINGAR

4.1

Läs ex 4.1-4.3 i läroboken. Det är här inte nödvändigt att skriva upp den allmänna lösningen.

4.3

Använd adjunkt-formein för invers. (Den finns repeterad i läroboken, sid 74.)

4.4

Läs ex 4.9 i läroboken.

4.5

Läs ex 4.10 i läroboken.

4.6

Sätt in x = t f (t) = te>i.t z i båda leden av systemekvationerna och visa att resultaten blir lika.

4.1

Om A är neutralt stabil så finns ett egenvärde på imaginära axeln, ). = iw med w reellt. Använd resultatet i exempel 4.6 med ). = iu.:. Kontrollera att f(t) är begränsad men inte tf(t).

4.8

f)

Observera att transienten är en lösning till motsvarande fria (homogena) system, och har alltså gränsvärdet O då t ----+ +oo. Transientens storlek är ~ Ce-t!ra. Det är bara meningen att göra en grov uppskattning av den tid som behövs.

g) Undersök om resonans föreligger. 4.9

Läs avsnitt 4.10 i läroboken. a) Observera att egenvärdena ges av andragradsekvationen ). 2 -

tr A>. + det A

= 0.

b) Rent exponentiella lösningar fås om egenvärdena är skilda och reella, oscillerande om egenvärdena ej är reella c) 4.10

Använd stabilitetsvillkor uttryckta med spår och determinant.

a) Beräkna systemmatrisens spår och determinant d) Termen -ax 1 = -a(T1 - T0 ) i den första ekvationen beskriver värmetransporten från manteln till det yttre.

4.11

Jämför med övning 3.36 där speciellt k

= 1/5.

a) Sätt in w = k 2 v 2 i tillståndsekvationerna i exempel 2.8 (sid 22) i läroboken. Vilken blir den nya systemmatrisen? Beräkna dess spår och determinant (och jämför med problem 4.9). d) För att kunna ha svängningar med konstant amplitud så måste systemet vara neutralt stabilt. Vilket k inträffar detta för? 4.12

a) Dela upp i fall, reella respektive komplexa nollställen.

41

ANVISNINGAR KAPITEL 4

b) Faktorisera p i reella faktorer av första och andra graden. Vilket tecken har faktorernas koefficienter? c) Välj p med två komplexa nollställen i höger halvplan med stor imaginärdel. d) Faktorisera p(s) = (s + o)(s2 + {3s + --y). Uttryck a, b och c i o, {3 och ')'. 4.13 a) Se läroboken, sats 4.2. b) Beräkna karakteristiska polynomet för systemmatrisen. Använd sedan resultatet i 4.12 b). 4.14 Tänk efter (i) vilken ordning systemet har och (ii) vilka egenvärden det har. Finns det multipla egenvärden? Ligger alla egenvärden i vänster halvplan? Finns det multipla egenvärden på imaginära axeln? Talet Å är ett egenvärde det homogena systemet AX - -XX= 0 har icke triviala lösningar. Undersök resonans för Å = i1r.

42

SVAR

4.1

= 5, Å2 = -1) (Å 1 = Å2 = -1)

a) instabil (Å 1 b) stabil

c) stabil (Å 1 = -2

+ i, Å2 = -2 -

i)

d) stabil (Å 1 = -4, Å2 = -2) f)

= -9,Å2 = -4,Å3 = -1) instabil (Å 1 = -1, Å2 = 1, Å3 = 3) neutralt stabil (Å 1 = -5, Å2 = -1, Å3 = 0)

h)

4.3

-iv5)

neutralt stabil (Å 1 =

g)

4.2

iv5, Å2 =

e)

stabil (Å 1

Tidskonstanterna r 0 är b) 1

c)

a) detA

=4

f)

½

1.

b)

2 ad" A - [ -l ] J -4 - 2k 4 + k '

4.4

a) PA(Å)

A- 1

-

-

[

½

-1 -

] ! 1-¼ +t

= Å2 + 3Å + 2 = (Å + 2}(Å + 1). Matrisen A är stabil med u(A) = -I.

b) Resolventen ges av RA(s)

c)

= (si -

A)

_1

1

.

= PA(s) adJ(sl -

A)

1

= (s + l)(s + 2)

Amplituden x för en stationär lösning x(t) tionen (si - A)x = f,

[ s - 1 -6 ] 1 s+4 .

= e''x ges av lösningen till ekva-

(f = (3, 2))

vilken är (entydigt) x

= (s I -

och saknar lösning om s

At 1f

om s =/; -1, -2

= -1, -2. Den stationära lösningen blir

( ) R ( )f ,t x t = As e =

1

s2

+ 3s + 2

[ 3s - 15 ] ,t 2s + 11 e ·

43

SVAR KAPITEL 4

4.5 Den allmänna lösningen ges av

I

x,(t)

= -3c1 e- 21 -

x 2 (t)

= c1e- 2' + c2 e-t + 10 (-31cost + 17sint)

2c,e-• + 1~ (48 coo t - 6 sin t) 1

4.10 a) det A = ac > 0, tr A = -(a + b + c) < 0.

=

a+b+c+

J (a + b + c)2 -

b)

T0

c)

Den stationära lösningen är

4ac

2ac

Varför är det självklart att båda tillståndsvariablema måste vara lika i det stationära fallet? d) I fallet a = 0 får vi neutral stabilitet (ett enkelt egenvärde ~ = 0). Systemet är om a = 0 termiskt isolerat från omvärlden, och konstant energitillförsel leder till lineärt växande temperatur i ugnen.

4.11

a) Tillståndsekvationema blir

At

1 = A + B [ 01 ] = RC

k b) c)

!; =

Atx, där

[-1 k-1 _1 k _ 2

1 exponentiella stabilt

J,

det At

IaI

1 = (RC) 2,

trAt

=

k-3

RC .

5

exponentiella oscillerande I ns I instabilt, självsvängningar

d) För att få sinussvängningar måste vi ha det neutralt stabila fallet, dvs k = 3. Svängnings(vinkel)frekvensen w fås då från de komplexa egenvärdena, vilka . I d ar s = ±iw = ± RC, vs w

I...._=

21r

1

= 21rRC

(För att hålla k exakt = 3 och stabilisera amplituden måste man använda någon olineär komponent).

44

SVAR

4.13

4.14

b) Det karakteristiska polynomet är PA(Å) = Å3 - aÅ 2 - 12Å + 10a - 6. Förstagradskoefficienten -12 är alltid negativ, oberoende av a, och systemet är instabilt för alla värden på a. Den rätta raden är 2212x12211.

45 4.5

LÖSNINGAR KAPITEL 4

Eftersom A är reellt och sin t s = i, vilket ger

= lm eit,

så kan vi lösa som i övning 4.4 c), med

3i - 15 it e + 3i + 2 { 2i + 11 it X2 (t ) = - - - - e i 2 + 3i + 2 och sedan beräkna imaginärdelen av denna lösning: X1

Xp

(t )

1 = cos t 10

=

i2

[ _ 31 48

l .

1 [ -6 + sm t 10 17 J

Den allmänna lösningen till det inhomogena systemet fås av x

4. 7

= xp + Xff, där

Eftersom A är neutralt stabil, så finns det (åtminstone) ett rent imaginärt egenvärde, Å = iw. Låt z vara motsvarande egenvektor, alltså Az = iwz. Om vi nu tar f(t) = eiA.l'z så blir en lösning enligt föregående exempel lika med

xp

= teiw'z.

Denna lösning är obegränsad. Om man inte tycker om komplexa lösningar (men det bör man göra) så blir Re( eiwt z) = cos wt Re z - sin wt Im z en reell insignal, som ger upphov till en obegränsad reell utsignal Im( teiA.lt z) = t( cos wt Re z sinwtlmz). 4.8

a) Vi beräknar först den komplexa partikulärlösningen med drivfaktor e2it. Systemet är då

Den komplexa amplituden x för partikulärlösningen JCcp(t)

X=

_ RA(2z)f

1

.

_

= PA(2i) adJ(2t/ -

1

A)f = 4 + 12i

[ 3 + 2i 1 1 3 + 2i

= e2itx fås ur

lr =

1 [ 19 - 17i 40 11 - 13i

Den reella partikulärlösningen (med dri vfaktor cos 2t) fås nu genom att ta realdelen, ty cos 2t = Re e2it. Detta ger

xi(t)

= _!_(19cos2t + 17sin2t)

x 2 (t)

= ~ (11 cos 2t + 13 sin 2t).

{

40

Kontrollera genom insättning!

l

46

LÖSNINGAR

b) Egenvärden och egenvektorer är

Den allmänna lösningen fås ur

Detta ger

c)

Ur de givna begynnelsevärdena fås

Detta ger {

d) Ja, u(A) e)

xi( t)

3 -2t = - -e -

x 2 (t)

=

= -2.

1 -4t -e + 8 10 3 -2t 1 -4t --e +-e + 8 10

Tidskonstanten blir

Ta

19 - cos 2t + 40 11 -cos2t+ 40

17 . - sm 2t 40 13 . -sm2t. 40

= ~-

Den stationära lösningen blir 1 [ 19 cos 2t + 17 sin 2t x.iai(t) = xp(t) = 40 llcos2t+ 13sin2t

l

·

Den transienta delen av lösningen är

f)

Ungefär Ta •

begynnelseamplitud) In ( I r d :::::: s utamp itu

'Ta

ln(103 )

::::::

4 tidsenheter.

47

LÖSNINGAR KAPITEL

4

g) Nej. Systemet har egenfrekvensens= -2. Vi har resonans, och (si - A)x = f saknar lösning för f = ( 1, 3). h) Diagonaliseringsmetoden leder till -4t

1 -2t + {2t - 2 )e

x 1{t)

= c1e -2t -

x2(t)

= c1e- 2t + c2e- 4' + (2t + ~)e- 21

c2e

{

4.9 a) Determinant och spår blir det A = 4, tr A = 6 + k. Systemet är stabilt om determinanten är positiv och spåret är negativt. Komplexa rötter fås om uttrycket 1

4{tr A) 2

-

1 det A = 4(k 2

1

+ 12k + 20) = 4(k + 2)(k + 10)

är negativt. Detta ger -10

k

b) c)

exponentiella stabilt

I -6 I oscillerande I ns I

-2

exponentiella instabilt

4.12 a) Antag först att polynomet är stabilt. Om rötterna är reella, -p < 0, -q < 0 såär p( s) = (s + p )( s + q) = s 2 + (p + q )x + pq

och har alltså positiva koefficienter. Om rötterna är komplexa, så är de av formen -p ± ir med p > 0. Då är p(s) = (s

+ p + ir)(s + p - ir) = (s + p) 2 + r 2 = s 2 + 2ps + p2 + r 2 ,

och återigen är koefficienterna positiva. Antag omvänt att polynomet har positiva koefficienter, a > 0, b > 0. Då är rötterna av formen 1 s = - -( a ± J a2 - 4b) 2 2 Om 4b ::; a så är bägge rötterna reella och negativa, och i motsatt fall är de komplexa med med negativ realdel -a/2. Alltså är polynomet stabilt. b) Om polynomet är stabilt, så kan det faktoriseras som

där alla a, b och p är positiva. Multiplicerar vi ihop, så blir alla koefficienter

i polynomet också positiva.

48

LÖSNINGAR

c)

Ett exempel är

p(s) = (s

+ IO)(s 2 - 2s + 100)

= s3

+ 8s 2 + BOs + 1000

som har två komplexa rötter med positiv realdel. d) Varje reellt tredjegradspolynom har ett reellt nollställe, och kan alltså fakt 0 och ur ekvationerna ovan följer att a, b, c, ab - c > 0. Antag omvänt att a, b, c, ab-c > 0 är positiva. Då följer ur den sista ekvationen att f3 är positiv. Ur likheten för c följer att o och , har samma tecken, och ur likheten för b ser vi att de båda måste vara positiva. Alltså är både s + o och s 2 + {3s +, stabila, och därmed deras produkt p(s).

Kapitel 5

Matrisfunktioner Diagonaliseringsmetoden Gör inte om gamla räkningar utan lägg märke till att att samma matriser kommer igen i flera problem!

A 5.1

5.2

Beräkna genom diagonalisering exponentialmatrisen

Beräkna för matrisen

A=

[

då A är

! !l c)

5.3

etA

~(etA)_ dt

Lös begynnelsevärdesproblemet

med begynnelsevärdena xi(O) = a 1 , x 2 (0) = a 2 . Använd etA_metoden. Jämför resultatet med övning 3.29. 5.4

Lös begynnelsevärdesproblemet

{

-dx1 = X1 + 2x2 dt -dx2 = 4x1 + 3x2 dt

med begynnelsevärdena xi(O) tatet med övning 3.39.

2e

t

IOe

t

= 6, x 2 (0) = 0. Använd etA_metoden. Jämför resul-

49

50

ÖVNINGAR I LINEÄRA SYSTEM

A,L 5.5

Bevisa formeln det

(eA)

= etrA_

( A får eventuellt antas vara diagonaliserbar.) Potensseriemetoden A 5.6

Visa att a)

(Ak) T

= (A 7 t,

b)

( eA) T

= eA T

A 5. 7 Beräkna

A 5.8

eAt

(

k 2: 0

använd potensserien)

för

Visa att om och så är

5.9

eAte 8t , e 8t eAt

och

e. 1 0 0 >. 1 0 0 >.

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

>. 1 0 >.

kallas för en Jordanmatris. Beräkna

5.13

etJn(-\).

Betrakta den radioaktiva sönderfallskedjan

i övning 3.37. Bestäm etA, där A är systemmatrisen, då

Teori för exponeDtialroatrisen Övningarna 5.14-5.18 tillåter läsaren att enkelt fylla i luckorna i teorin för exponentialmatriser.

A,L 5.14

Maximumnormen för en matris A definieras genom

IAI = ~ax lai; I IJ och motsvarande för rad- och kolonnmatriser. a) Visa att om A är av typ m x n och 8 av typ n x p så är

IABI

~

nlAIIBI.

b) Visa att om A är av typ n x n så är

A 5.15 Visa att om potensserien 00

f(s)

= L 01cs" lc=O

har konvergensradie R

= +oo så konvergerar 00

f(A)

= L 01cA" lc=O

för varje matris A.

matrisserien

52

ÖVNINGAR I LINEÅRA SYSTEM

A 5.16 A,L 5.17

Visa att om A och 8 kommuterar så kommuterar även /(A) och 8. Bevisa entydighetssatsen: Om d~ dt

{

= A~

'

~(O) = 0 så är ~(t)

A,L 5.18

= etA_

Visa att om A och 8 kommuterar så är

Matrispolynom 5.19

A,L 5.20

A 5.21

Beräkna p(A), om A = [ Låt A =

[

! ~ ]-

!~]

och p(s) = s2

+ 3s + I.

Beräkna A1000 .

Låt p( s) vara ett polynom. Visa att om z är en egenvektor till A med egenvärde ,\, så är z en egenvektor även till p(A). Vilket är egenvärdet?

5.22

a) Bestäm

b) Visa genom direkt insättning att PA(A)

=0

för varje 2 x 2-matris A. A,L 5.23

a) Formulera Cayley-Hamiltons sats. b) Bevisa denna sats för diagonaliserbara matriser. c) Låt A vara en matris med karakteristiskt polynom

PA(s)=s 2 +2s+2. Då kan A3 skrivas på formen

Bestäm o 0 och

01.

53 5.24

5: a) Bestäm ett förstagradspolynom q(s)

e1• = q(s), b) Beräkna e'A, där A c) 5.25

5.26

=[

Bera.. kna etA , d..ar A = [

MATRISFUNKTIONER

= o 0 + o 1 s sådant att s

= 5, -1.

! ~l _23

-31 . 2

Beräkna med polynommetod e'A, där A =

-21 -2 -1

a)

[ -1

d)

u i]

b)

[-~ ~ l [j -n

c)

[ -1 -1

2 -3

l

2

0 0 0

e)

9

2

Matrisen A har det karakteristiska polynomet PA(s)

= s 3 + 3s2 + 2s.

Bestäm skalärer o 0 , o 1 och o 2 så att

för alla t.

Blandade exempel 5.27

Beräkna e'A om

5.28

Beräkna e'A för A =

[~

=~ l·

Lös därefter begynnelsevärdesproblemet

med begynnelsevärdena x 1 (0) = 2, x 2 (0) = 3.

54

ÖVNINGAR I LINEÄRA SYSTEM

L 5.29

Visa att om A är en skevsymmetrisk matris, dvs om A7

= -A

så är e'A ortogonal, dvs

A 5.30 Visa att om

för alla t, så kommuterar A och 8.

Allmänna matrisfunktioner A 5.31

Visa att om z är en egenvektor till A med egenvärde Å, så är z egenvektor även till 00

med egenvärde

f (,\).

A 5.32

Antag att z är en egenvektor till A med egenvärde Å. Visa att z är egenvektor även till RA(s) = (si - A)- 1 (under förutsättning att inversen existerar). Ange egenvärdet.

A 5.33

Låt A vara en 2 x 2-matris med egenvärdena ,\ 1 och ..\ 2 , funktion J så är

..\ 1

i- ..\ 2 • Visa att för varje

Ange motsvarande formel då A har det dubbla egenvärdet ..\ 1

A 5.34

= Å2.

Antag att A är diagonaliserbar. Avgör under vilka villkor på egenvärdena som gränsvärdet lim A" ft-t+OO

existerar. A 5.35

Låt A vara en diagonaliserbar matris. Visa att under lämpliga förutsättningar finns ett tal a > 0 sådant att A" lim - x n ➔ oo a" existerar för alla vektorer x och nästan alltid är skilt från 0. Anm. Detta resultat är startpunkten för nästan alla numeriska metoder att beräkna egenvärden.

55

5:

MATRISFUNKTIONER

5.38 Stegnit: En lineär fyrpol kan (vanligen) karakteriseras med sin överföringsmatris A.

+ A

(Här räknar vi i regel med komplexa spänningar, strömmar och impedanser.) a) Beräkna överföringsmatrisen A för fyrpolen i figuren. Z 1 och Z2 kan vara godtyckliga impedanser. Inför beteckningen Y2 = 1/ Z2 för att få enklare beteckningar.

+

b) Vad sker med överföringsmatrisen vid seriekoppling?

+

+ B

A

+

+ ?

c) Bestäm överföringsmatrisen för stegnätet

uttryckt i matrisen för ett steg. d) Bestäm egenvärden och egenvektorer till matrisen A i a). e)

Uttryck (io, vo) i c) med hjälp av (in, vn)-

f)

Bestäm impedansen för n-stegnätet i c), oavslutat till höger, alltså med in (Bli inte förskräckt, men uttrycket är komplicerat.)

= 0.

56

ÖVNINGAR I LINEÅRA SYSTEM

g)

Ur allmän teori (se t ex övning 5.35) följer att (io, v0 ) närmar sig en viss riktning då vi lägger på allt fler steg, alltså då n ➔ oo. Vilken är denna riktning? Ange gränsvärdet av impedansen (v0 /i 0 ) dån ➔ +oo.

h) Impedansen

z(n)

z(n+l)

för ett n-stegnät uppfyller rekursionsformeln

= z(l) + Z 2 / ;z(n) = z(l) +

z(n)z 2 z(n) Z2

+

(varför?)

Visa att gränsövergång i rekursionsformeln leder till samma resultat som g).

ANVISNINGAR KAPITEL 5

57

5.1

Jämior med b} övn 3.2 d) övn 3.2 e) övn 3.12.

5.5

Vilka är egenvärdena för egenvärden.

5.6

a) Använd formeln för transponat av en produkt och upprepa (induktion) b) Transponering får ske termvis i serien.

5. 7

Vad blir A2 och A3 ?

5.8

Beräkna eAt och e8 ' med serieutveckling. I övning 5.1 c) har du redan beräknat

eA?

Använd sambanden mellan spår, determinant och

e(A+B)t.

= P, k 2:'.: 2.

5.10

Använd att P"

5.11

Använd formeln e01 +A

5.12

Skriv Jn(.~)

= e°eA och övning 5.7.

= Ål+ Jn(O) och beräkna successiva potenser av

Jn(O).

5.14

b) Använd resultatet i a) med B

= A"- 1 samt induktion.

5.15

Använd anvisningen till övning 5.14b) samt jämförelsekriteriet för att visa att varje matriselement konvergerar.

5.16

Resonera som i övning 5.9.

5.17

Derivera U(t)

5.18

Visa att 4'(t) = e'AetB uppfyller ci> = (A + 8)4' med hjälp av bland annat övning 5.9. Använd sedan entydighetssatsen (övning 5.17).

5.20

Använd lemma 5.1.

5.21

Visa först genom successiv beräkning (induktion) att

= e-At4'(t).

Az

= Åz

===}

A" z

= >.." z.

Beräkna sedan

5.23

c)

Utför först en polynomdivision av s3 med PA(s) = x 2 + 2s + 2. Detta ger en polynomidentitet s3 = q(s)pA(s) + r(s). Ersätt sedan s med A i denna identitet.

58

ANVISNINGAR

5.30

Andraderivatan av vänster ledet kan skrivas (A av högerledet kan skrivas på formen

Sätt dessa uttryck lika, sätt t

+ 8)2 et(A+B) och

andraderivatan

= 0 och förenkla.

5.31

Använd resultatet i övning 5.21 på seriens termer.

5.32

Beräkna först (si - A)z.

5.33

Bestäm det polynom p(s) av grad 2 som har värdet /(>..i) i s J(>.. 2 ) i s = >.. 2 • Beräkna p(A).

5.34

Om A = SAS- 1 så är AA:

5.35

Beteckningarna i problemet kan vara förvirrande för den som inte förstått skillnaden mellan fria och bundna variabler. Undersök därför i stället gränsvärdet limA:--+ooAA:x/aA:. Om x = i: 1 .si .. . i:A:SA: och As1 = >..1s1 så blir

= >.. 1

och värdet

= SAA:s- 1 • Vidare är AA: = diag(>..t, ... , >..f.

Under villka villkor på a har alla termer i denna formel ett ändligt gränsvärde då k ➔ oo?

SVAR KAPITEL 5

59 5.1

l

b)

a)

[ e~'

c)

[

e)

[ 2e21 - 2e' + ,-• 2e 21 - 2e 1 -et + e-t

e~t

cost sin t - sint cost

l

![ 3

est + 2e-1 2e5t - 2e-t

[ e- 2t cos t e- 2t sin t

d)

est - e-t 2e5t + e-'

-e- 21 sin t e- 2t cos t

l

l

+ 2et - e-t -2e21 + 2e' ] -2e 21 + 2et -e 21 + 2e'

-e2t

et

e' - e-t

5.2 Svaret är i alla tre fallen

5.3

Lösningen är

5.4

x(t)

5. 7

= eAt

[ 6 0

l 1t +

eA.Mx, där

[ -15 -12

b) Bestäm en matris S sådan att

5 7 MS

= I, 5 7 KS är diagonal.

l

.

7: KVADRATISKA FORMER

89

c) Bestäm den allmänna lösningen till det homogena systemet {

A 7.30

7.31

~x1 - ~2 + 40x1 - 14x2 -xi + 2x2 - 14x1 + 13x2

=0 =0

Finn den allmänna lösningen för resonanskretsarna i exempel 7.11:

a) Bestäm egenfrekvenser och modvektorer till de kopplade pendlarna i exempel 7.10 i läroboken:

{

=0 kl8 1 + (mg + kl)82 = 0

ml~1 +(mg+ kl)8 1

ml82 -

-

kl82

b) Hur ser rörelsen ut i de båda normalsvängningsmoderna? c) Hur beror egenfrekvenserna av kopplingskonstanten k? Vad gäller speciellt för k =0. d) Bestäm pendlarnas allmänna rörelse. e) Bestäm den speciella rörelse, där de båda moderna har samma amplitud, och samma fas(= 0) då t = 0. f)

Skriv om lösningen i e) med hjälp av de trigonometriska formlerna sin o ± sin /3 =?? Inför skillnadsfrekvensen IJ.w = w1

-

w2 • Tolka resultatet fysikaliskt.

A 7.32 Bestäm de longitudinella normalsvängningsmoderna och motsvarande egenfrekvenser till en lineär symmetrisk treatomig molekyl, t ex koldioxid O = C = 0. (Longitudinell betyder att rörelse endast sker i molekylens längsriktning.)

k Modell:

k

~

90

ÖVNINGAR I LINEÅRA SYSTEM

En egenfrekvens blir w 7.33

= 0.

Tolka motsvarande rörelse fysikaliskt.

Ställ upp en dynamisk modell för ett (n+ !)våningshus under följande förutsättningar: • All massa betraktas som koncentrerad till våningsplanen. • Endast rörelser i horisontell led betraktas. • De vertikala strukturerna ger upphov till ett böjmotstånd som modelleras med lineära fjädrar mellan våningarna. • Bottenvåningen är fast inspänd i marken och översta våningen är fri.

1.34

Bestäm normalsvängningsfrekvenser och motsvarande moder för ett fyrvåningshus enligt figuren. Skissera motsvarande mod vektorer.

-~==~-====t=~x2

h -~==;::=-=~F====I X1

/i

"'

/

k k k

Andragradskurvor och ytor A 1.35

Ange den geometriska betydelsen av ekvationen

A 7 .36 Ange den geometriska betydelsen av ekvationen

A 1.31 Visa att andragradsytan

är en rotationsellipsoid och ange rotationsaxeln.

-

X3

-

X2

m m

2m

-

X1

ANVISNINGAR KAPITEL 7

91 7.1

Se exempel 7.2 i läroboken.

7.2

Se exempel 7.2 i läroboken.

7.3

Utveckla kvadraten under integraltecknet och integrera. Trasslar du in dig i index så lös problemet åtminstone för n = 3.

7 .4

Går det inte så tag fram läroboken i Flerdimensionell analys. Behåll den framme till nästa problem.

7.7

Beräkna (S 7 KS) 7 med produktregeln för transposition. Vad erhålls om motsva1 KS ? Visa genom exempel (välj K och S som enkla rande räkning görs för 2 x 2-matriser) att symmetrin ej alltid bevaras i detta fall.

7.8

Beräkna S 7 KS med S

7.9

Läs exempel 7.4 i läroboken. Lägg märke till att detta använder resultatet från exempel 6.2.

7.10

a) Denna del kan lösas utan att beräkna Q. Det räcker att bestämma egenvärdena till K.

7.11

Använd resultaten i övningarna 6.28, 6.29 och 6.30.

7.12

Använd kriterierna på sid 127

7 .13

Hur kan inverterbarhet och determinant för en matris uttryckas med hjälp av egenvärdena?

7.14

a)

s-

IAxl 2

= S'

och S

= S".

= (Ax) T Ax.

b) Vilka tecken kan / (x) anta? c)

Det icke triviala är att visa att A7 Ax = 0 ==> Ax = 0. För att visa detta multiplicerar man den första ekvationen från vänster med x 7

d) Uttryck Ax med hjälp av kolonnerna i A. Jämfört ex med formlerna på sid 40.

x vara lösningen

y=x

x.

7.15

Låt

7.17

PA(x) beror endast av riktningen och ej av normeringen av x.

7.18

Använd resultaten i övningarna 7.16 och 7.17. Jämför gärna med vad metoden med Lagrangemultiplikatorer ger.

till (L) och inför den nya variabeln

7.19 a) Använd övning 7.14 och Rayleighs princip. Sätt K

-

= A 7 A.

b) Tänk på övning 6.26. Hur hänger egenvärdena till A och A- 1 samman?

92

ANVISNINGAR

7.20

Jämför med övning 3.17.

7.21

a) Använd resultaten i övn 7.19 (och att det största egenvärdet är större än det minsta). b) Ur 7.20 följer att kond 2 (A) = 1 medför att A7 A bara har ett egenvärde och alltså är en skalär multipel av enhetsmatrisen, A 7 A = >..I, och Å är positivt (varför?). Då är Q = A/./5.. ortogonal.

7.22

Använd formlerna i övning 7.19.

7.23

Läs exempel 7.6 och 7.7 och imitera det senare.

Obseroem att Gausseliminationen måste genomföras uppifrån och nedåt på exakt det sätt som används i exemplet. Från den rad som behandlas skall subtraheras en multipel av den rad som innehåller pivåelementet. Om de vid lösning av ekvationssystem tyvärr så populära specialknepen används så blir det nästan alltid fel svar i kvadratkompletteringsproblemen. 7 .24

Använd Gausselimination. Jämför läroboken, sid 129.

7.25

c)

7.26

Hälften av räkningarna är gjorda i övning 7.5. Kvadratkomplettera resultatet därifrån genom Gausselimination.

7.27

Läs exempel 7.8 i läroboken.

7.29

Läs exempel 7.12. Observera att det i c) inte är nödvändigt att nonnem modvektorema. Normeringen av dem påverkar ju bara storleken av de godtyckliga konstanterna c; i lösningen till systemet av differentialekvationer.

7 .30

Läs anvisningarna till föregående exempel.

7.31

Inför förenklande beteckningar, t ex a börjar räkna på allvar.

7.32

För modelleringen kan man jämföra med exempel 7.9 och de tidigare exempel som behandlar samma system.

7.35

Använd räkningarna i övning 7.9.

7.36

Använd räkningarna i övning 7.11 b).

För att visa att Hn är positivt definit för alla n så används lämpligen definitionen av positivt definit kvadratisk form samt resultatet av övning 7.3.

= (mg+ kl/ml)

och b = kl/ml innan du

93 7.37

ANVISNINGAR KAPITEL 7

Ett egenvärde är dubbelt med ett motsvarande plan av egenvektorer. Detta svarar mot en ekvation av formen

Skärningen av motsvarande yta med ett plan x3 = C = konstant är en cirkel med medelpunkt på x 3 -axeln och radie 1 - >.. 3C 2 ) /).. 1 ( om detta tal är reellt) och ytan har alltså rotationssymmetri kring x 3-axeln.

J(

94

SVAR

7.1

Matriserna är a)

[: -! ]

b)

[-1

-1 1

2

n [i n 1

-1 3 2

c)

1

2

7.2 Matrisen är

K=k

2 -1 -1 2 0 -1

0

-1 2

0 0 0 0 0 0

0

-1 2

0

0

7.3 Hilbertmatrisen har formen 1

!

2

3

1

1

1

2

Hn

=

1

3

3 1

4

1

4 1 5

l

n

1 n+l 1 n+2

l

1

1

1

n

n+l

n+2

2n-l

7 .4 Taylorutvecklingen är

med

7 .5

Matrisen är

7 .6

Matrisen är

2 0

l [ mg + kl -kl -kl mg+ kl

l

.

SVAR KAPITEL 7

95 1.1

Nej.

S' T KS' 7.9

7.10

= [ 01

0 0

l

'

Till exempel

a)

Formemaärx~+i~+2i~,i~+i~+2i~, ... (sammanlagt{!)= 12varianter, en variabel saknas och en har koefficienten 2). I

72 0 b)

I

0 2I

2

!

_!

2

2

I

I

I

v'2 I

0 -v'2 I

0 2I

-v'2

etc.

2 -2 I

2

7.11

Se övningarna 6.28, 6.29 och 6.30.

7.12

a) psd

7.18

Största värdet är 2 och minsta värdet -3.

7.22

Matrisen för formen

b) id

c)

d) id

psd

IAxl 2 blir 0

1 + K.2 K.

Egenvärdena till denna matris är

Härav följer att

e)

pd

f)

pd

96

SVAR

7.23

7.24

b), c) och d) är positivt definita.

R=u i

-n 1

1

7.25 a) Pivåelementen blir 1, 12 och 180 och matrisen är alltså positivt definit.

b)

R

=[

~

2~

0

0

2~

6v'S

l·

7.26

Nej, f"(O) har två positiva och ett negativt egenvärde. Motsvarande kvadratiska form är indefinit.

7.27

Två positiva och ett negativt egenvärde. (Pivåelementen blir 2, ½och -3.)

7 .28

Två egenvärden är mindre än •• 5 an 2.

7 .29

a) Egenvärden och egenvektorer är

J, det finns inget i intervallet ( J, ; )och två är större

4, s1 = c(l, 2), c =I- 0 Å2 = 9, s,z = c(l, -1), c =I- 0 Å1 =

b) Normering,

c)

st Ms

Lösningen är x(t)

1

= 1, sl Ms,z = 1, ger

= a 1 cos(w1t+6i)5i +a2 cos(w2 t+~)s,z eller i koordinatform

7 .30 Egenfrekvenserna ges av

= Å1 = (C(L + M)t 1 , w~ = Å2 = (C(L - M)t1, w~

= c1{l, 1), s,z = c2{-l, 1), Si

c1 =I- 0 c2

=/- 0

SVAR KAPITEL 7

97

Här är det onödigt att normera. Lösningen blir

{

7.31

x 1 {t)

= c1 cos(w 1 t + 8i) -

c2 cos(w2t x2(t) = c1 cos(w 1t + 8i) + c2 cos{w2t

+ 82) + 82)

a) Egenfrekvenserna blir

b) mod 1: massorna svänger åt samma håll med samma fart. c)

mod 2: massorna svänger åt motsatt håll med samma fart.

d) k

=0

~

w1

= w2, pendlarna är ej

kopplade.

e) {

91 {t) 91 (t)

= c1 cos{w 1t + 8i) + c2 cos(w2t + 82) = c1 cos(w 1 t + 8i) - c2 cos(w2t + 82)

f) {

= ccos(w 1 t) + ccos(w2t) 91 (t) = ccos(w 1 t) - ccos(w2t)

91 (t)

g)

+ W2 t ) cos (Åwt) - 22

91 (t)

= 2ccos (

92(t)

= -2csin ( w 1 ;

Om k är litet så är Åw Åw /2

«

Wm

W1

= w1 ;

w2

t) sin ( Å;t)

w2 , och faktorerna med vinkelfrekvens

kommer att variera mycket långsamt i förhållande till dem med vinkelfrekvens Wm- Rörelsen »flyttas över» från pendel 1 till pendel 2 på tiden 1r / Åw (svävning) och sedan tillbaka igen.

7 .32

Rörelseekvationerna blir

98

SVAR

Egenfrekvenser och modvektorer blir W1

= 0,

W2= W3

ff,

= ✓k(~ +

Moden 1 med vinkelfrekvensen w 1

!),

51

= c{l, 1, 1)

Si

= c( 1, 0, -1)

SJ

= c(M, -2m, M)

= 0 ger lösningen x{ t) = (a + bt )Si, alltså

X1(t)=a+bt { X2(t) = a + bt X3(t) = a + bt. Detta innebär att hela molekylen translateras (stelt) med konstant hastighet b.

7.33

Rörelseekvationerna kan skrivas Mx + Kx

M=

0 m1 0 0 m2 0 0 0 m3 0

7 .34

0

0 0 0

0

= F där

K=

0 -k2 k1 + k2 -k2 -k3 k2 + k3 0 -k3 k3 + k4 0

mn

0

0

0 0 0

-kn kn

Rörelseekvationerna blir

2mi 1 + 2kx 1 - kx 2 = 0 { mi2 - kx 1 + 2kx2 - kx 3 = 0 mi3 - kx2 + kx3 = 0. Egenfrekvenser och modvektorer blir

ff) +/7 w,=/f)a-/1 w, =

3

51

= c(l,O, -1)

Si

= c( 1, -1 - V7, 2)

SJ

= c( 1, -1 + V7, 2)

0 0 0

Nedan visas utböjningsmoderna (med förhoppningsvis överdriven horisontalskala)

99

7.35

SVAR KAPITEL

7

Den geometriska betydelsen är en hyperbel med ,.halvaxlari. 1/./3 och 1/,/2. Axlarnas riktningar är ~(1, -2) respektive ~(2, 1).

7.36

Den geometriska betydelsen är en ellipsoid med halvaxlar ,/2, 1 och

7 .37

Efter ett ortogonalt koordinatbyte blir ekvationen

[2_ Vii

2x~ + 2x~ + Bx~ = 1, vilket är en rotationsellipsoid med halvaxlar 1/,/2 (dubbel) och 1/./8. Rotationsaxeln är x3-axeln, alltså egenriktningen till egenvärdet 8 för matrisen. Denna är i det ursprungliga koordinatsystemet s = c( 1, 1, 2).

100

LÖSNINGAR

1. 1 Matrisen S 7 KS är symmetrisk ty

eftersom (S 7 )7 = S och K är symmetrisk. Däremot är metrisk. Ett motexempel ges av

7.13

s- 1 KS i regel inte sym-

Om K är positivt definit, så är alla dess egenvärden ..X, positiva. Men då är

Speciellt är K inverterbar eftersom dess determinant ej är 0. 7.14 a)

1Axl 2

= (Ax) 7 Ax = x T A7 Ax. Alltså är /(x) en kvadratisk form, och dess matris är A 7 A.

= IAxl 2 ~ 0 för alla x. A 7 Ax = 0. Då är /(x) =

b) Det är klart att f(x) c)

Antag först att x 7 A 7 Ax = x 7 0 = 0. Alltså är Ax = 0 (ty den enda vektorn med längd noll är nollvektom). Om omvänt Ax = 0 så är även A T Ax = AO = 0.

d) Ur de föregående problemen följer att A7 A är positivt definit då och endast då Ax = 0 endast för x = 0. Men detta betyder att

vilket just är definitionen på att a 1 , ••• , c1n är lineärt oberoende. 7.15

Uttryckt i den nya variabeln

J(x)

y = x - x blir

½(y + x)7 A(y + x)

- b7 (y + x) + C ½r 7 Ay + ½r 7 Ax+ ½x 7 Ar+ ½x 7 Ax f(x)

b 7 r - bx + c

+ ½r 7 Ay + (Ax - b)7r

/(x) +

½r r Ay.

Här har vi använt att skalären y T Ax kan transponeras utan att värdet ändras, y 7 Ax = x T Ay (eftersom A är symmetrisk) och att y är lösning till ( L). Det är nu klart, eftersom A är positivt definit, att minimum fås då och endast då y = 0.

101

7.18

LÖSNINGAR KAPITEL 7

För varje vektor x # 0 och varje skalär c # 0 är PK(cx) = PK(x). Rayleighkvoten beror alltså inte på längden av x utan bara på dess riktning. Vi kan därför anta att x har längden 1, alltså att x T x = 1. Låt Q = [Q 1 ... Qn] vara en ortogonal matris som diagonaliserar K, och låt diagonalmatrisen vara A = QT KQ. Sätt y = QT x. Då är även yen enhetsvektor. Vidare är x = Qy och

Alltså kan Rayleighkvoten skrivas PK(x)

= Å1Y~ + Å2Y~ + · · · + AnY~ där y = QT x.

Det är nu klart att minimum under bivillkoret att

fås om vi väljer alla Yt = 0 utom det som hör till det minsta egenvärdet. Detta Yt tar vi till +1 (eller -1). Minimivärdet blir precis detta minsta egenvärde. Motsvarande minimerande x = Qy blir den kolonn i Q som svarar mot det minsta

egenvärdet, alltså egenvektorn hörande till det minsta egenvärdet. Om det minsta egenvärdet är multipelt, blir skillnaden bara den att flera riktningar x ger minimum, men fortfarande är alla dessa riktningar egenriktningar som hör till ,\min ( K). 7 .20

Om A är symmetrisk så är A diagonaliserbar och alla egenvärden är reella. Om det största är lika med det minsta så har A bara ett enda egenvärde. Då är motsvarande diagonalmatris av formen A = ,\ / och A = SAS- 1 = S,\ 15- 1 =

>.Sts- 1 = >.I.

7.25

c)

=0 · · · = Xn = 0.

XT

Hx

{::::::::>

fo Px(t) 1

2

dt

=0

{::::::::} Px(t)

= 0, 0 ~ t ~

1, {::::::::}

X1

= X2 =

Kapitel 9

ln-u tsignalrelationer Linearitet För att kontrollera att S är lineär måste man visa att superpositionsregeln S(c1w1

+ c2w2) = c1S(wi) + c2S(w2)

gäller för alla w1 och w2 samt för alla c1 och c2. För att visa att S inte är lineär räcker det att visa att olikhet gäller för ett enda val av w1 , w2, c1 och c2. Några speciella val som är lätta att kontrollera är:

=0 S(cw) = cS(w)

1. S(O)

2.

Om någon av dessa likheter slår fel, så är relationen inte lineär. För att bevisa att relationen verkligen är lineär, så får man använda kända räkneregler för derivata, integral, ... Ett enkelt exempel: y(t) = Sw(t) = w'(t) + w(t) 3 uppfyller visserligen S(0) = 0 men om tex w(t) Kär konstant, så är S(cw)(t) = 0 + (cK) 3 = c3K 3 = c3Sw(t) =I= cSw(t) om c =I= 1. Alltså är S inte lineär.

=

A 9.1

Systemet S är lineärt. Följande insignal-utsignalpar är kända:

w

y=Sw t t2

1

cost cos2t Bestäm svaret på insignalen w(t) A 9.2

t3

= cos2 t.

Ett system S ger utsignalen y vid insignalen w. Nedan följer några exempel:

1

1

W2

W1

1 1

1

Yl

1

1

1

2

1 1

Kan systemet vara lineärt? 102

W3

9:

103

A 9.3

IN-UTSIGNALRELATIONER

Vilka av följande insignal-utsignalrelationer definierar lineära system? y(t)

= Sw(t) =

a) w(t) e)

b) w(t)

w(t - 2)

f)

+t

c)

dw

dt + w(t)

d) w(t) 2 h)

1t

d)

(t 2

dw g) w(t)dt

cos w(t)

r 2 w(r) dr

Stegfunktioner A 9.4

A 9.5

Rita funktionerna /(t)

=

a)

(t - l)O(t - 1) b) tO(t - 1)

e)

(t - 1}20(t - 1).

-

l)O(t - 1)

Skriv med hjälp av stegfunktioner

J(t) a)

b)

1 1

t

t /(t)

/(t)

c)

d)

1

t

1

A 9.6 a) Skriv med hjälp av stegfunktioner funktionen /(t) i figuren:

3 t

b) Rita g(t)

= f(-t)

och h(t)

= /(4 -

t).

t

104

ÖVNINGAR I LINEÄRA SYSTEM

A 9. 7

Uttryck med hjälp av enhetsrektangelpulser funktionen i figuren nedan: f(t)

1

L

3

t

Impulssvar A 9.8

Systemet S har impulssvaret vid tid k(t, r)

T

= (t 2 -

r 2 )8(t - r).

Bestäm utsignalen då insignalen är a) w(t)

A 9.9

= B(t)

b)

w(t)

= B(t -

1)

Bestäm pulssvaret

för RC-filtret i exempel 9.9 genom att lösa differentialekvationen

I

!~ = -

y(O)

R~y+ R~På(t- r)

= 0, t

0.

Integralerna beräknas lättast grafiskt. Se också 10.3.

10.9 9• =integration.Räkna ut faltningen för 2, 3 och eventuellt 4 faktorer och använd sedan induktion. 10.10

a) Jämför 10.1. b) Skriv upp faltningsintegralen direkt eller jämför med exempel 10.4. c) Skriv eventuellt e-1:rl med hjälp av stegfunktioner. d} Skriv upp faltningsintegralen direkt och multiplicera ihop exponentialfaktorema. Förenkla i exponenten, kvadratkomplettera och byt variabel.

10.11

Jämför med exempel 10.5 för den inledande räkningen. Använd sedan integralkalkylens medelvärdessats som i beviset för Analysens huvudsats.

10.12

Använd formeln i exempel 10.5.

10.14

Sambandet mellan impulssvar och stegsvar finns i läroboken, kapitel 10.

10.15

a) Stegsvaret fås genom att lösa differentialekvationen med w(t) = 9(t). Förskjutningen är naturligtvis kontinuerlig som funktion av tiden om kraften är begränsad.

SVAR KAPITEL 10

115 10.1

a) t8(t) - 2(t - 1)8(t - 1) + (t - 2)8(t - 2) b) te-t8(t)

10.2

Nej.

10.3

Konstanten är

10.8

a) Funktionsgrafema blir

1-:

00

/(t) dt.

I

s h

g

h

~

b) Faltningarna får följande utseende: f•g

~ 10.10

*h

=1, / * (g * =0. Associativa regeln gäller alltså ej i detta fall.

c)

(/ * g)

a)

6 (e-2z - e-3z) 8(x)

h)

1 b) 271" (arctan(x + 1) - arctan(x - 1))

c)

½sinhle

d) (21r

10.12 10.13

lzl

om lxl > 1, ½(1-e- 1 cosbx) om lxl < 1

t 1/2e-z2 /2.

d 1 dt(pt.. *I)= l!J. (f(t) - f(t - l!J.)).

116

SVAR

b) ( 1 - cos t )8( t)

10.15

a) S8(t)

= ~ (1 -

cos /f:.t) B(t).

b) h(t)

= !S8(t) = ~ sin ( /f:. t) 8(t)

c)

=f

y(t)

00

~ sin ( jF:.(t - T)) w(T) dr.

c)

t8(t)

117

10.6

LÖSNINGAR KAPITEL 10

a)

Ur »triangelolikheten» för integraler fås

Eftersom

lg(r)I :S l 911 I/* g(t)I

00

::;

(väsentligen maximum av

J:

00

lgl)

för alla t och

T

så är

1/(t - r)I IIYlloo dr= 11/lli llglloo-

Här har vi gjort det sedvanliga variabelbytet i den erhållna integralen. Olikheten gäller för alla t, varav normolikheten genast följer. b) Använd den första uppskattningen i a) och resultatet i 10.5.

Kapitel 11

Generaliserade funktioner Definition av distributioner A 11.1

Beräkna de symboliska integralerna a)

A 11.2

a)

f:

00

b)

costtS(t)dt

r+oc e-t tS(t -

2) dt.

2

}_

00

Visa att

-1. s+1

a) Systemfunktionerna blir

wti

b) H(iw) = 0 sin 2 = 0 och w =I O w = 2krr / !i, k =I 0. Bilden av en sådan sinusformad variation blir helt grå. Medelvärdet av sinus över en hel period blir noll. 12.27

a) H(s) = e- ✓(•+ri)/,r.d (principalgrenen av kvadratroten) b) Frekvensfunktionen och fasfunktionen blir H(iw)

ln A(w) 't'{w)

= e- ✓(iw-,..,,)J,r.d = =

(

(

w2

w2

+

K2

7T) ! d cos( 21 arctan w--;, )

+ .,,2 ) K2

I

4

1 w d sin( 2 arctan --;, )

146

LÖSNINGAR

12.19

S är enligt definitionen tidsinvariant då och endast då ST0 w är T-periodisk kan uttryckas så att w = TTw. Alltså är TT(Sw)

= S(TTw) = Sw

om w är T-periodisk, vilket visar att även Sw är det.

=T

0

S för alla a. Att

Kapitel 13

Fouriertransformationen Definition och räkneregler A 13.1

Beräkna direkt ur definitionen av Fouriertransformen av b)

a) rektangelpulsen p~(t)

A 13.2

= et(l -

8(t)).

Beräkna med residykalkyl Fouriertransformema av a

A 13.3

f(t)

)

1

I

t

b)

+ t2

t2

+ 4t + 5

Bevisa skalningsregeln:

F

(W)

1 · /(at) ~ ~ I ~ då a är reellt och # 0.

L 13.4 Bevisa konjugationsregeln: /(t) ~ F(w)

A 13.5

=}

/(t) ~ F(-w)

Vid amplitudmodulering, dubbelt sidband (DSB) med undertryckt bärvåg, omvandlas en lågfrekvent signal w(t) till den transmitterade radiofrekventa y(t) enligt formeln y(t) = w(t)acosw0 t där w 0 är bärvinkelfrekvensen. Härled sambandet mellan frekvensspektra y och w. Tolka det i en figur, med hänsyn taget till att w och därmed även y är en reell värd funktion.

A 13.6

Tryckfördelningen i en ljudhang från ett flygplan är en s k N-våg, med utseendet

t

Bestäm frekvensspektrum j(w) for N-vågen. 147

148

ÖVNINGAR I LINEÄRA SYSTEM

Tabellmetoden Vid användning av tabellmetoden är det ofta enklast att starta med en funktion ur tabellen och sedan succes.5ivt använda räknereglerna tills man kommer fram till den önskade funktionen. Vi räknar igenom ett enkelt exempel. Sök Fouriertransformen av /(t) = eit /(2 + 5t 2 ). Utgå från 1/(1 + t 2 ): 1 1 + t2 1 2 + 5t 2

1 21

1

+ (J5/2t)2 eit

2 + 5t 2

F

1re-lwl

F

!_1_,re-lwl/VS/2 (skalning) 2

1----t

1----t

F

1----t

./512

!_l_,re-lw-11/VS/2 2

./512

Ofta kan man ha nytta av kända knep som kvadratkomplettering osv. A 13. 7

Beräkna med användning av tabell Fouriertransformema av 1

a) / (t) A 13.8

b) /(t)

= 1 + Jt2

= e-(t-2)2

Beräkna med tabellmetoden Fouriertransformema av a) /(t)

= e-s1i1

b) /(t)

= e- 2(i+ 2>9(t + 2) c)

f(t)

eit

d)

A 13.9

I (t) = 1 + 2t2

Beräkna Fouriertransformen av den modulerade pulsen

f(t)

Skissera/ och A 13.10

j

då w0 r

»

= { 0coswot

då ltl < r/2 annars.

l.

Beräkna Fouriertransformen av funktionen

f(x)

= e_4z, cos 3x.

Derivationsreglerna A 13.11

Beräkna Fouriertransfonnema av a)

/(t)

= te-'

t

2

b) /(t)

= (1 + t2)2

= e-2t9(t + 2)

13:

149

A 13.12

FOURIERTRANSFORMATIONEN

Visa att funktionen

är en egenfunktion tilden lineära operatorn :F (Fouriertransformationen), dvs att :Ft1.o = ÅoUo- Ange egenvärdet ,\0 • Gör sedan detsamma for funktionen

A 13.13

Frekvensfunktionen for en stokastisk variabel X uppfyller relationen

f

-+00

-oo

f(x) dx

= 1.

Väntevärdet av X definieras genom

E(X)

=

f

+oo

xf(x) dx

-oo

och variansen genom

V(X) = E(X - E(X}} 2 =

f

+oo

-oo

(x - E(X)) 2 f(x) dx.

E(X) och V(X) kan enkelt uttryckas med hjälp av Fouriertransformen F(w)

j(w) av /(x). Bestäm dessa enkla uttryck. A 13.14

Betrakta differential-differensekvationen f'(x)

+ f(x) + f(x + 2) =

1 l+x 2

Det finns en Fouriertransformerbar lösning. Ange dess Fouriertransform.

Inversion med inversionsformeln A 13.15

Funktionen /(t) har Fouriertransformen

i(w}

= {ol - w2

om lwl < 1, annars.

Använd inversionsformeln tör att beräkna /(t).

=

150

ÖVNINGAR I LINEÄRA SYSTEM

Inversion med tabellmetoden Vid inversion med tabellmetoden använder man lämpligast samma teknik som vid bestämning av direkta Fouriertransformer. Hitta en funktion på höger sida om tabellen som påminner om den givna, och tillämpa räknereglerna tills den givna står på höger sida. Inversen finns då till vänster. Ett exempel: Sök inversa Fouriertransformen av F(w) = eiw /(2 + 5ui2). Till höger i tabellen finner vi 2/(1 + w 2 ), och eftersom

eiw F(w) = 2 + 5w2

. 1

= eu.,21 +

1

~w2 2

så får vi successivt:

2 1 + w2

l -It/ V1!1 -e 2 2

:,: 1---t

:,: 1---t

:,: 1---t

A 13.16

/5

1

V2 1 + ( v1 wF

(skalning, a

= l/

~52 )

V2

1 2+5w2

eiw -2-+-5w-2 (fördröjning, t0

= -1)

Bestäm med hjälp av tabell och räkneregler inversa Fouriertransformema av funktionerna a) F(w) = e-2iw-41wl b) F(w) = e-"'2 14 c) F(w) = we-w2 / 4 d) F(w) = w2 e-w 2 ! 4 w

e)

F(w)= l+4w 2 •

A 13.17

Visa att om funktionen J(t) har Fouriertransformen F(w) så har funktionen F(t) transformen 21r J(-w).

A 13.18

Beräkna med hjälp av tabell Fouriertransformema av a)

A 13.19

_1_ 1 + it

b)

_1_ 1 - it

) C

Låt J(t) vara den funktion vars Fouriertransform är

j(w) Visa att

= { 0✓1 -

w2 då lwl < 1 annars.

J uppfyller differentialekvationen tf"

+ 3j' + tf = 0.

sin t

t

13:

151 A 13.20

Låt

FOURIERTRANSFORMATIONEN

P(d~) vara en lineär ordinär differentialoperator med konstanta koefficien-

ter:

d) f P (dx

Låt P( s) Visa att

f + · · · + a1 -df + aof. = 0n d" dx" dx

= o.ns" + · · ·+ a 1 s + ao vara det karakteristiska polynomet för operatorn.

Faltningssatsen A 13.21

Låt /(t) = 8(t + ½) - 8(t - ½). a) Beräkna faltningen/*/. Rita upp dess graf. b) Beräkna sedan genom direkt integration Fouriertransformema :Ff och :Ff * f.

A 13.22 Beräkna (på enklaste sätt) Fouriertransformen av faltningen f * f * g, där /(t)

= 8(t + 2)

- 8(t - 2}

och

g(t)

= e-(t-1)

2

~ii.

A 13.23 Beräkna för alla reella x värdet av integralen

f

dy

+oo

_ 00

{1-+- 4(x - y}2}{1

+ y2 ) ·

A 13.24 Låt 1

f(x)

= 1 + x2

Beräkna faltningen f * f * ... * f (n faktorer). (Formeln kan sannolikhetsteoretiskt tolkas så att summan av oberoende Cauchyfördelade variabler är Cauchyfördelad). A 13.25

Bestäm en begränsad lösning till den olineära integralekvationen

f

+oo

-oo

13.26

u(s)u(t - s) ds

= e-t

2

,

t ER.

Beräkna med hjälp av Fouriertransformation en lösning

y

till integralekvationen

t ER.

152

ÖVNINGAR I LINEÅRA SYSTEM

A 13.27

Låt f vara en reellvärd funktion (i L2 {R)). Autokorrelationsfunktionen {för signal med ändlig energi) för f definieras genom formeln

Härled följande variant av Wiener-Khinchins fonnel:

A 13.28

Funktionen u definieras genom formeln

där f(x) och g(x) är givna funktioner och /(E.) och g({) är deras Fouriertransformer. Uttryck u så enkelt som möjligt med hjälp av J och g. A 13.29

Funktionen f # 0 är kontinuerlig och integrerbar. Dess Fouriertransform försvinner då l~I ~ 1 (dvs den är lika med O för dessa~). Visa att f är en egenfunktion till integraloperatorn T, definierad genom Tu(x)

=

r+oo sin(x - y) u(y) dy, X - Y

-oo
0,

1.

b) Använd resultatet i a) för att beräkna integralen

f

+oo

-oo

A 13.34

w2 ---"""72dw (w2 + a2)

(a i= 0)

Beräkna, t ex med hjälp av Fouriertransformationen, integralen

f

+oo -oo

Id"dx"

2

e-z:2 1

dx.

A 13.35 Beräkna Fouriertransformen av funktionen då f(x) = { 0 cosx då

lxl > 7r /2 lxl :S 1r /2.

Beräkna med hjälp härav integralerna

f

+oo

-oo

cos2 ~{ (1 - e)2

~

och

f

+oc,

-oc,

cos ~{ 1-

e ~-

Fouriertransformation av distributioner A 13.36

Beräkna Fouriertransformen av distributionerna

a) «S1(t) + 0. Starta i a) med e-ltl, i b) och c) med e-t8(t) och i d) med 1/(1 + t 2 ). Använd sedan a) skalning b) först skalning och sedan förskjutning. Skriv om 2t = 2(t + 2) - 4. d) först skalning och sedan modulering. 13.9

Använd exempel 13.1 i läroboken, Eulers formler samt moduleringsregeln.

13.10 Starta med e-t2, skala om och använd till slut modulation som i föregående exempel. 13.11

b) Funktionen /(t) är derivatan av en enklare funktion.

13.12

Använd tabell, skalning och sedan derivation.

13.13 Vad är /(O) uttryckt i /? 13.14

Fouriertransformera hela ekvationen.

13.15

Beräkna inversionsintegralen. Vilka gränser gäller effektivt? Partialintegrera två gånger och förenkla enligt Euler.

13.16 Använd metoden i exemplet ovan: a) Utgå ifrån 1/(1 + t 2 ) och tillämpa först skalning, sedan fördröjning b) Skalning c) Skalning och derivation

ANVISNINGAR

158

d) Skalning och derivation två gånger e) Utgå från e-it! och använd först skalning, sedan derivation. 13.17

Detta är bara en omformulering av inversionsformeln.

13.18

Använd metoden i exempel 13.7.

13.19

~ouriertransformera ~ifferentialekvationen. Detta ger en differentialekvation för

f. Sätt in det givna f i denna ekvation. 13.20

Fouriertransformera differentialekvationen och använd derivationsregeln. Använd sedan inversionsformeln.

13.21

För den första uppgiften kan man jämföra med övning 10.1. Fourierintegralerna skall beräknas med uppdelning i intervall och i det senare fallet partialintegration. Förenkla med Euler. Vilket blir sambandet mellan :Ff och :F(f • !)?

13.22

Enklaste sättet betyder här med användning av räkneregler (faltningssatsen, förskjutnings- och modulationsreglerna) samt tabell.

13.23

Integralen är en faltningsintegral. Vilka är faktorfunktionema? Följ här den moderna metoden att beräkna faltningar (används även i numeriska fall, FFT): transformera, multiplicera, inverstransformera.

13.24

Faltningssatsen.

13.25

Fouriertransformera integralekvationen.

13.27

Läs beviset av Parsevals formel. Använd till exempel att r 1 (-t) = j • f(t) = S11(t) om f är reell. Alternativt kan man multiplicera definitionen av r 1 (t) med e-Mllt, integrera och byta integrationsordning.

13.28

Kombinera inversionsformeln och faltningssatsen.

13.29

Beräkna Fouriertransformen av Tu med hjälp av faltningssatsen. Transformen av sinc-funktionen F(t) = sin(t)/t kan fås ur tabell, till exempel med hjälp av resultatet i övning 13.17.

13.30

Parsevals formel använd på två rektangelpulser. Integralerna

kan räknas ut i huvudet (rita figur!).

159 13.31

ANVISNINGAR KAPITEL

13

a) För att fä fram Fouriertransformen av / kan man antingen i) beräkna Fourierintegralen direkt eller ii) använda att triangelvågen är en faltning av två lika rektangel pulser. b) Den som är helt okunnig i ellära kan titta i läroboken, sid 271.

13.32

Se anvisningen till övning 13.29.

13.33

Använd Parsevals formel med g

13.34

Tabell, derivationsformeln och Parsevals formel eliminerar derivatorna men inför potenser w 2". Sedan kan man använda en viktig metod för att beräkna integraler av typen

= f.

nämligen följande: Om F

= :Ff

så ger inversionsformeln och derivationsregeln att

Insättning av t = 0 ger en integral av den sökta typen. Om nu/ är en någorlunda enkel funktion så är det lätt att bestämma derivatorna /(ml(O) med hjälp av Maclaurins formel och utvecklingar av kända funktioner. I föreliggande exempel rör det sig om en funktion av typen /(t) = e-d 2 • Denna bör ej deriveras direkt. Utvecklingen av ez är däremot känd från envariabelanalysen, och i denna sätter man in x = -ct, 2 •

13.35

Fouriertransformen beräknas lättast ur med hjälp av transformen av en rektangelpuls samt moduleringsregeln. (Använd Euler på cos.) Den första integralen fås ur Parseval, den andra ur inversionsformeln för x = 0. (Anm. Varför är integralerna inte farliga i ~ = ±1 ?)

13.36

Använd tabellmetoden. Jämför exempel 13.12 och 13.13.

13.39

Använd sambandet mellan frekvensfunktion och impulssvar (t ex avsnitt 13.13). Jämför också med övning 9.16.

13.40

b) Approximera frekvensfunktionen för låga frekvenser w.

13.41

Inverstransformera frekvensfunktionen. Använd inverstransformen av en rektangelpuls på frekvenssidan, samt förskjutningsregeln (Euler på cos).

13.42

a) Ekot går runt i återkopplingsslingan (oändligt många gånger) och dämpas i varje steg en faktor a

ANVISNINGAR

160

b) Fouriertransformera och summera serien (geometrisk!). 13.43

Använd Parsevals formel för att beräkna energin före och efter passagen av filtret. Statisk förstärkning = förstärkning vid frekvensen w = 0.

13.44 a) Bestäm först frekvensfunktionen (läroboken sid 234). b) Beräkna utsignalens Fouriertransform.

161 13.1

SVAR KAPITEL

a)

1 - e-iw~

=I- 0, 1 om w = 0

, om w

iw~

b)

13

1 1- iw

b) -,r(2 + isignw)e-lw!+ 2iu1.

13.5

Sambandet blir y(w)

a

= 2w(w -

w0 ) +

a

2w(w + w0 ).

Realdelen av w är en jämn

funktion (eftersom w(t) är reell) och realdelen av y består av två kopior (med halva amplituden) av denna, en förskjuten +w0 och en -w0 . Imaginärdelarna är udda, och erhålls på motsvarande sätt. Det man ser nedan är hur de "positiva" respektive "negativa" frekvenskomponenterna i basbandet (signalen w) ger upphov till det övre respektive nedre sidbandet i den modulerade signalen.

w(w)

J:,_,L\.,.. w

Wo

13.6

2abi(sinwb - wbcoswb)/(wb) 2 om w =I- 0, 0 om

13 7

a)

.

~e-iw!/v'l

b)

v'3

b)

a) w2 + 25

2

= 0.

/4-2iw

c)

Jrre-w 2 /4-2iw+4.

e4+2iw

e2iu1

10

13.8

J'ire-w

w

c)

2 + iw

2 + iw

d)

~e-lw-1 i/ v'2

v'2

13.9

+ w0 )/2) + sin{ r(w - wo)/2) = { T sm u; + ;.vo w - wo rw 0 -+-sin( r(w

j (w)

2

2wo

-iwl b) -i,r:.i; -e 2

13.13

E(X)

= iF'(0), V(X) = F'(0) 2 -

F"(0).

om w =I- ±wo om w

= ±wo.

162

SVAR

13.14

. /({)

= .

13.15

f(t)

=;

13.16

a)

1re-i{:

i{+ 1 + e

.. .. . Namnaren ar # 0 for alla{.

2,{"

2 sin t - t cos t t3 om t i- 0,

1r( t 2

-

2

= J1r

om t

= 0.

4 4t + 20)

c)

- 1-2ite-t 2

v'i

d) ~(1 - 2t 2 )e-t2 ~ 13.18

a) 21re"'(l - 9(w))

13.21

a) / * /(t) b) :FJ(w)

c)

= (t +

c) 1r(8(w + 1) - 9(w - 1)). 1)9(t + 1) - 2t9(t) + (t - 1)9(t - 1)

= sin(;/ 2) då w # 0, = 1 då w = 0, w 2

:F{J • f)(w) = (

sin~;t

2>)' då w ;' 0, = 1 då w = 0.

13.22

. 22w 2 c 510 4 v1r e -i(w-1) e -(111-1) /4 . 2

13.23

31r 9 + 4x 2 •

w

13.24

=f

* g.

13.28

u

13.29

Egenvärdet är 1r. (Operatorn är ett idealt lågpassfilter med bandgräns 1.)

13.30

b) 1r min(a, b).

13.31

a) Se problem 13.21.

13.32

2

7r

b)

2;

RPo.

163

SVAR KAPITEL

-2wi

13.33

a)

13.35

. /(f.)

13.36

a) e-;.., d)

13.37

13.38

7r

b)

w2 +02

=l

2 _

2lal ·

e cos( 2~). Integralernas värden är 1r /4 respektive 1r. 7r

2

+ e;.., = 2 cosw -1r(o;(w) + o~ 9 (w))

b)

-w 2

21ro"(w)

-

+ 21.t 2

a) 2o(t) - 2~5. e3it

b) -o"(t)

c) o(t) - 6io'(t) - IM"(t)

+ 20io( 3 l(t) + 15o( 4 l(t) - 6io( 5 l(t) -

a) /s(t) =

~

+oo

L

=~

f(kT)eilrOt =

lr=-oo

c)

L

f(kT)o(t - kT).

lr=-oc

+oo

L

(5( 6 l(t).

... oo

lr=-oo

b) is(w)

13

+oo

i(w - kO)

=

L

f(kT)e-ilrTw

lr=-oo

Den andra serien i b) är en Fourierserie för is med period O = 21r /T.

is (

d) Den första serien i b) framställer w) som en summa av translationer sträckorna kO, k = 0, ±1, ±2, ... av i(w)/T.

}(w)

is(w)

t

30/2

JI -0/2

w

B Om J har bandbredd B så täcker dessa translationer ej över varandra och i intervallet lwl < 0/2 blir i.(w) = i(w)/T.

164

SVAR

lnverstransformen av en modulerad rektangelpuls är en translaterad sincfunktion.

e)

:,:- 1 (e-ilrTw(8(w

+ 0/2)

- 8(w - 0/2))

1 sin fl(t - kT)

= - -0 -2 - - T

2 (t - kT)

Ur b) och d) följer att +oo

/(w)

L

=T

f(kT)e-ilrTw(fJ(w

+ fl/2)

- 8(w - 0/2))

lr=-oo

och invers Fouriertransformation av denna formel ger interpolationsformeln. 13.39

h(t)

a sinBt

7r

13.40

aB

= ---, t # 0, = -, t = 0.

a) H(iw)

t

7r

= iw.

b) Spänningsdelning ger H(iw)

= 1 +iw~~c· JW

För frekvenser med lwl

«

1/RC

är H(iw):::::: iwRC, alltså RC gånger en ren derivation. 1rt

13.41

h(t)

= aB c7 ~ , t # 1r

B - t

±B, och h(t) är kontinuerlig för alla t. Systemet är stabilt

men ej kausalt. 00

13.42

a) h(t)

= L alr,S(t -

kT)

lr=O

b) H(iw)

=

1 1- ae-

minimal då w c)

flT

=

21r. Förstärkningen blir maximal då w

= (k + ½)O, k heltal.

Systemet blir instabilt (rundgång i högtalare etc).

13.43

~ ( 1:

B 2 + arctan

13.44

a) h(t)

= Wo 21r

b)

i,.,ff'

7r

0 h(t).

B) (➔ 1 då B➔ +oo.)

(sin1{½wot -w !))2 -wot - -4 2

=

kO,

165

13.4

LÖSNINGAR KAPITEL

Antag att

Då är

= Här har vi använt att

e-i..lt

1

+00

-oo

e-i(-w)t

f (t) dt = F(-w).

= ei..11 = e-i(-w)t_

13

Kapitel 14

Laplacetransformationen A 14.1

Bestäm genom att använda definitionen Laplacetransfonnen av a)

f(t)

= e- 2'8(t)

b)

f(t) = e-2t(8(t) - 1) c)

f(t) = 8(t) - 8(t - 1).

Ange definitionsstrimlan.

A 14.2

Bevisa skalningsregeln. Ange hur definitionsstrimlan ändras vid omskalning.

A 14.3 Funktionen / är deriverbar. Dess Laplacetransfonn är F(s)

s

= -4 - . +1

s

Bestäm Laplacetransfonnen av a) tf(t)

b) e- 2'/(t)

c)

f(t - 5)

d)

f'(t)

e)

/(2t).

A 14.4 Bestäm med hjälp av tabell Laplacetransformerna av a) cos t8(t) d) e- 3'8(t)

e)

A 14.5

b) cos t(8(t) - 1)

c) cos(t - 1)8(t - 1)

+ 2cost8(t) + ö"(t) + e'(B(t) -

(t - 2)8(t - 2) f)

t8(t - 2)

1)

g) t 2 sin 3t 8(t)

h) ö(t - 3) + M"(t

+ 1).

Beräkna Laplacetransfonnen av funktionen

A 14.6 Funktionen / är styckvis kontinuerligt deriverbar på R med andraderivatan

och uppfyller villkoren lim f(x)

z--oo

= 0,

lim f'(x)

z--00

= 0.

Bestäm / och C, f. För f skall svaret anges i form av en tydlig figur, för Laplacetransfonnen med en formel samt definitionsmängd.

166

14:

167

LAPLACETRANSFORMATIONEN

A 14.7 Laplacetransformen av funktionen l(t)8(t) är lika med 1

= -v-::::s2;=:+=2=s=+=2

F( s)

Bestäm värdet av integralen

1 00

A,L 14.8

/(t) dt.

Antag att funktionen I har perioden T. Låt lo vara lika med 0 < t < T och noll för övrigt, alltså lo= (8 - 8T)I. Visa att

f

i intervallet

A 14.9 Beräkna Laplacetransformen F(s) av l(t)

= {sint, 0,

0 < t < 21r annars

Kontrollera att F(s) är en hel analytisk funktion.

A 14.10

Beräkna Laplacetransformen av funktionen 1

I (t) = cosh t ,

tER

Vilken blir existensstrimlan? Ange speciellt Fouriertransformen.

Invers Laplacetransformering A 14.11

Finn l(t) om F(s) a)

14.12

!

b)

s

_!_

c)

s3

s 4 + 6s3 - 10s2 + 1 ss

Res> 0.

Finn l(t) om F(s) = Cl(s) =

a) -

2

b)

s+3

14.13

= Cl(s) =

1

2 1 s+3 - (s+3) 2 + (s+3)3

c)

s+5 (s + 3) 2 '

---

Bestäm den inversa Laplacetransformen till a) F(s)

c)

F(s)

s3

= --, s+l

= s2 -

Res< -1

83

3s+ 2 ,

1 -1

Res> -3.

168

ÖVNINGAR I LINEÄRA SYSTEM

A 14.14

Finn de kausala inversa Laplacetransformema till

1 a)

A 14.15

s2

s

+ 16

b)

s2

c)

+ 16

1

s2

+ 4s + 8

Finn de kausala inversa Laplacetransforrnema till

a) e)

s+3 s2 - s - 2 1

s 3 (s 2

+ 1)

3s + 5 s3 + 3s 2 + 2s

b)

f)

e-3,

c)

s3

5s s 2 + 4s + 3 -

d)

s

s3

+ 5s2 + 9s + 5

1 + -.

s2

-

1

A 14.16

Vilka av funktionerna i övning 14.15 har en begränsad invers Laplacetransfonn? Bestäm alla sådana.

A 14.17

Bestäm den begränsade funktion vars Laplacetransforrn är

e2•

F(s)---- s 2 + 2s + 2 A 14.18

Sätt / ' e-(t-T)

J(t)

= { lo

sin T

dT

0

'

t>0

-

annars.

Bestäm Laplacetransfonnen av / utan att först beräkna integralen. Bestäm sedan / genom inverstransforrnering.

L 14.19

Beräkna på enklaste sätt faltningen

fr" = 0 • 0 • ... • 0 n faktorer. A 14.20

Bestäm den kausala inversa Laplacetransformen till

F(s)

= In ( 1 + ~) ,

s > 0.

Differentialekvationer A 14.21

Bestäm den begränsade lösningen till differentialekvationen u" - u

A 14.22

= o(t),

-oo < t < +oo.

Finn den lösning till ekvationen

-u" + u som försvinner fört < 0.

= o'(t)

14:

169

14.23

LAPLACETRANSFORMATIONEN

Finn den lösning till ekvationen

y"'

+ 2y" + 2y' + y = 9(t), t

E R,

som försvinner då t < 0. (Stegsvar för Butterworthfilter av tredje ordningen.)

14.24

En lång balk på ett fjädrande underlag utsätts för ett vridande moment i punkten x = 0. Dess utböjning u(x) uppfyller differentialekvationen U(iv)

+ 4u = ö'(x),

-OO


0

{

y{0)

= ao, ...

I

y(n~

l)(0)

= lln-1,

där g(x) och ao, ... ,lln-i är givna. Vilken känd formel erhålles härur?

A 14.48

Vid en kedja av radioaktiva sönderfall

där isotopen At är stabil, är sönderfallskonstanterna k1 , k2 och k3 . De antas vara skilda (och naturligtvis > 0). Vid tiden t = 0 placeras mängden a av A 1 i en behållare. Bestäm mängden av A4 i behållaren som funktion av tiden.

174

ÖVNINGAR I LINEÅRA SYSTEM

Ledning: (för icke-fysiker) Den sökta funktionen x4(t) erhllles ur systemet

dx1

-dt = -k1X1 dx2

-dt = k1X1

-

k2X2

-dt = k2X2 -

k3X3

dx3

dx4 dt A 14.49

= k3X3

Många fenomen inom tekniken, tex antalet anrop till en telefonväxel eller antalet sönderfall i ett radioaktivt preparat, kan beskrivas med en s k Poissonprocess. Låt Pt(t) vara sannolikheten för k händelser under tidsintervallet [O, t]. För en Poissonprocess uppfyller dessa sannolikheter det oändliga systemet av differentialekvationer

-dPo - -ÅPo, dt

Po(O)

1

dp1 dt

ÅPo - Åp1,

P1(0) - 0

dpk dt

ÅPk-1 - Åp,,

Pk(O)

0

Uppgift: Lös systemet ovan med Laplacetransformation. 14.50 A 14.51

Beräkna med hjälp av Laplacetransformation e'A, där A är matriserna i 5.25. Vid två kopplade kemiska reaktioner (av första ordningen) sönderfaller ämnet A till B och B till P,

Den mängd av ett ämne som sönderfaller per tidsenhet är proportionell mot den totala mängden av detta ämne. Proportionalitetskonstanterna är k1 resp k 2 , med k1 > k2. En viss kvantitet av ämnet A placeras i en förut tom behållare. Visa att kvantiteten av ämnet B först växer mot ett maximum och sedan avtar mot noll, och ange hur lång tid det tar innan maximum antas.

Faltningsekvationer A 14.52 Lös ekvationen y(t)

+

l'

y(r) dr= t,

t > O.

14:

175

14.53

Bestämt ex genom Laplacetransfonnering en funktion g, som fört > 0 uppfyller ekvationen

t 14.54

A 14.55

LAPLACETRANSFORMATIONEN

=

l'

cos 2(t - r)g(r) dr.

Finn en funktion/ som uppfyller

Lösningen x till den lineära integralekvationen

x(t) +

l'

t >0

cos(t - u)x(u) du= y(t),

där y(t) är en given funktion, är av formen

x(t)

= y(t) +

l'

K(t - u)y(u) du,

t > 0.

Visa detta och bestäm funktionen K (t). 14.56

Lös ekvationen

y'(t) + där y(O)

l'

f(t - r)y(r) dr= f(t),

t

~0

= 0 och /(t) = e- 2'.

A 14.57 En fotgängare kommer fram till ett övergångsställe på en enkelriktad gata, väntar till dess att det uppstår en lucka i trafiken som är tillräckligt lång för att han skall kunna hinna över utan att blir överkörd, och går sedan över. Hur lång tid tar det i genomsnitt för honom innan han är över gatan? En enkel statistisk modell leder till integralekvationen

Här betyder v(t) frekvensfunktionen för den totala tiden, b anger tiden för att gå över gatan, och c är ett mått på trafikintensiteten. Väntevärdet för den totala tiden ges då av integralen

1

00

Bestäm detta väntevärde!

tv(t) dt.

176

ÖVNINGAR I LINEÅRA SYSTEM

Begynnelse- och slutvärdessatserna A 14.58

Den kausala funktionen / har Laplacetransformen

=

F( 8 )

28 2 + 83

8

+3 _

+ 382 + 28

Beräkna /(t) och gränsvärdena lim /(t) och lim /(t). Jämför med motsvarande t-+0+

t-++oo

gränsvärden för 8F(8). A 14.59

Bestäm den kausala inversa Laplacetransformen / till F(8)

=

8+ 1 28 + 2

82 -

och undersök lim / (t) och lim / (t). Jämför med motsvarande gränsvärden för t-+0+

t-++oo

8F(8). 14.60

På vilka av följande transformer V= l:, 1 v kan begynnelsevärdessatsen användas? Bestäm för des.5a lim v(t). t-+0+

+ 3s + 2 a) (8 + l)(s + 3)

s

82

82

d)

14.61

+ 38 + 2 + 1)3

(s

1

+ l)(s - 2)

b)

(s

e)

8(8

c)

s(s

+ l)(s + 2)

1

+ 1)(82 + 1) ·

På vilka av transformerna i föregående exempel kan slutvärdes.5atsen användas? Ange för dessa lim v(t). t-++oo

A 14.62 Besselfunktionen u(x)

= J0 (x) av första ordningen uppfyller differentialekvationen xu"

+ u' + xu = 0

och vidare är J0 (0) = 1. Bestäm U = 1:, 1 u. A 14.63

En viss förstärkare är (under lämpliga driftförhållanden) lineär och tidsinvariant, och har en rationell överföringsfunktion H(8) med pol-nollställediagrammet nedan. -1

+i

X

-2 -1- i

X

8

14:

177

LAPLACETRANSFORMATIONEN

Vidare är stegsvarets slutvärde lika med lim S8(t)

t--1-00

Bestäm ffirstärkarens impulssvar!

= 10.

ANVISNINGAR

178

14.1

Jämför exempel 14.1-14.3.

14.2

Jämför med övning 13.3. Gör variabelbytet x = at i definitionen av Laplacetransformen av /(at). Vad sker med gränserna då a < 0? F(s/a) är definierad om s/a tillhör definitionsstrimlan för F(s).

14.3

Använd räknereglerna (tids- och frekvensderivation, dämpning, förskjutning, skalning) i lämpliga fall.

14.4

Jämför med exempel 14.11.

14.5

Integralen är en faltningsintegral (ersätt gränsen med en stegfunktion och splittra exponentialfunktionen i två faktorer).

14.6

Det är nog lättast att först bestämma f (genom direkt integration och bestämning av integrationskonstanter ur villkoren i t = - oo) och sedan Laplacetransformera.

14. 7

Sätt s

14.8

Rita upp u = 8I och v = (h- I för något trevligt T-periodiskt I och konstatera att v(t) = u(t - T). Var ser man lo i denna figur? Laplacetransformera ekvationen för lo och använd förskjutningsregeln på v.

14.9

Använd resultatet i problem 14.8. Nämnaren blir 0 i vissa punkter. Visa att singulariteterna i dessa punkter är hävbara.

= 0 i integraldefinitionen av Laplacetransformen av l(t)8(t).

= (e' + e-'}/2. Gör variabelbytet x = e' och använd residykalkyl.

14.10

cosh t

14.11

Beräkna residyer i polerna enligt reglerna i läroboken, sid 305. Jämför exempel 14.16-14.17. Alternativt kan man partialbråksuppdela.

14.14

För komplexa poler är det oftast bekvämast att inte dela upp i komplexa partialbråk utan kvadratkomplettera i nämnaren och använda förskjutningsregeln. Jämför exempel 14.13--14.14.

14.15

Partialbråksuppdela. Observera att termen e- 3• i f) ej är rationell utan måste behandlas separat (förskjuten deltafunktion).

14.16

Använd tumreglerna för att avgöra om en term skall innehålla faktorn 8 eller 8-1.

14.17

Observera att funktionen ej är rationell. lnverstransformera först den rationella funktionen 1/(s2 + 2s + 2) och använd sedan förskjutningsregeln.

14.18

Lägg märke till att integralen är en ensidig faltningsintegral.

14.20

lnverstransformera först derivatan F'(s) och använd sedan frekven.sderivationsregeln.

179

ANVISNINGAR KAPITEL

14

14.21

Laplacetransfonnera ekvationen, lös ut Cu och inverstransfonnera. Vilken inverstransform som skall väljas bestäms av villkoret att u är begränsad. Jämför exempel 14.18.

14.22

Inverstransformen bestäms här av ett kausalitetsvillkor. Jämför exempel 14.19.

14.27

Laplacetransfonnation ger ett lineärt ekvationssystem för U Lös detta (lämpligen med Cramers regel).

14.28

Laplacetransfonnera ekvationen och lös ut X = Cx. Lösningen har formen X = H F för en viss (enkel) funktion H ( s). Faltningssatsen visar att x = h • f. Bestäm h genom att inverstransfonnera H. Använd villkoren om vila hos massan och jorden och studera faltningsintegralen.

14.29

b) Repetera sambandet mellan impulssvar och stegsvar.

= Cu

och V

= Cv.

c)

Vilket är sambandet mellan impulssvar och överföringsfunktion? Använd ev. index i läroboken. d) Denna fråga skall du avgöra på två olika sätt: i) Genom att använda impulssvaret (kap 9, sid 19) ii) Med överföringsfunktionen (kap 14, sid 19). Observera dock att det vanliga stabilitetsvillkoret: "Systemet är stabilt då och endast då alla poler ligger i vänster halvplan Res < O" endast gäller under förutsättningarna att systemet är kausalt av ändlig ordning, och att dessutom täljaren i överföringsfunktionen har högst samma gradtal som nämnaren. e)

Använd sambandet mellan överföringsfunktion och frekvensfunktion {kap. 12.3)

g) Observera att här bör Laplacetransformation användas. Insignalen sin 2t 6( t) går utmärkt väl att Laplacetransformera. lnverstransformen bestäms sedan av kausalitetsvillkoret. Eftersom w(t) = 0 för t < 0 och S är kausalt, så är y(t) = 0 då t < 0. (Ett alternativt, men i praktiken krångligare sätt är att använda impulssvaret och faltning). 14.32

Laplacetransfonnera insignal-utsignalsambandet och använd sambandet mellan överföringsfunktionen och (de tvåsidiga) Laplacetransfonnerna för insignal och utsignal.

14.33

Bestäm först överföringsfunktionen. Om du inte tycker om att integrera, så bör du lägga märke till att stegsvarets Laplacetransform är H (s) / s (varför?).

14.36

Bestäm först överföringsfunktionen för det sammansatta systemet.

14.38

Partialbråksuppdela överföringsfunktionen och skriv upp motsvarande uttryck för impulssvaret. Gör sedan som i övning 14.28.

180

ANVISNINGAR

14.39

Multiplicera med () och slå i tabell.

14.40 Skriv upp Laplaceintegralen. Kvadratkomplettera t 2 variabelbytet u = t + a för något lämpligt a. 14.41

Följ anvisningarna i uppgiften : - )

14.42

Studera först exempel 14.24 i läroboken.

+ st i

exponenten och gör

14.44 Studera först exempel 14.25 i läroboken. Lägg märke till användningen av Cramers regel för att lösa det lineära ekvationssystemet. 14.46

Om du Laplacetransformerar, så kontrollera begynnelsevärdena i svaret! Jämför också med exempel 14.26.

14.47

Repetera Maclaurins formel med restterm (i envariabelanalysen).

14.48

Ensidig Laplacetransformation. Lös de erhållna lineära ekvationssystemen uppifrån och neråt.

14.49

Ensidig Laplacetransformation. Lös de erhållna lineära ekvationssystemen uppifrån och neråt.

14.51

För uppställning av ekvationssystemet så jämför med övning 1.4 och 1.5. För lösningen används lämpligen ensidig Laplacetransformation. Endast kvantiteten B behöver bestämmas som funktion av tiden.

14.52

Imitera exempel 14.28 i läroboken.

14.55

Laplacetransformera ekvationen (ensidigt), lös ut X = C, 1x som ett uttryck i Y = C,1y och inverstransformera. Använd faltningssatsen.

14.57 Transformera integralekvationen ensidigt. Väntevärdesintegralen kan uttryckas på ett enkelt sätt med hjälp av V'(O), så att man behöver (och kan) inte inverstransformera. 14.58

Jämför med läroboken, exempel 14.29.

14.59

Jämför med läroboken, exempel 14.30.

14.62

Laplacetransformera differentialekvationen ensidigt. Detta ger en differentialekvation med s som oberoende variabel. Lös denna med integrerande faktor. Konstanten kan bestämmas med hjälp av begynnelsevärdessatsen.

14.63

Polerna och nollställena bestämmer H(s) på en konstant när (se avsnitt 12.9 i läroboken). Konstanten fås ur slutvärdessatsen.

SVAR KAPITEL 14

181 141 •

1

a)

Re s>-2.

s + 2'

1

b)

s

Res0

b)

s2

+ l'

(1

-,

0

+ ~ + s2 -r - 1 0 -1. s+l

14.6

Funktionen kan skrivas

f(x)

+ l'

= (x + l)B(x + 1) -

3x8(x)

+ 3(x -

/{x)

X

Laplacetransfonnen blir

e' - 3 + Je-• - e- 3• s

2

3

(1

l)B(x - 1) - (x - 3)8(x - 3)

och ser ut så här:

Cf(s)=

-

+ 9 )3,

,

Res>0.

>0

182

SVAR

14. 7

Integralens värde är

r+oo

lo 14.9

1

= F(O) = v12·

f(t) dt

Laplacetransfonnen är s E C

med hävbara singulariteter i s 14.10

= ±i.

Laplacetransfonnen är 7r

F(s)

= cos (•2 s )'

-l 0.

x > 0.

= te-t, t 2: O.

(.~t )/r

= k!e

-,\t

,

t 2: 0.

(e-lr2 t - e-1:,t) efter tiden t. Maximum antas 2

187

14.58

SVAR KAPITEL

14

lnverstransformen blir

och gränsvärdena är lim /(t) = lim sF(s) = 2, lim /(t) = lim sF(s) = ~t---+O+ 1---++oc t---++oc a---+0+ 2 14.59

= et(cost + 2sint)9(t). lim /(t) = 1, lim /(t) existerar ej. t---+0+ t---++oo

/(t)

lim sF(s) •---++oc

= 1,

limsF(s) ,---+0

c)

14.60

a) finns ej h) 1

14.61

a) 0

14.62

U(s)

= J s2 + 1 ,

14.63

h(t)

= 20(e- 2t -

Res

~

e-t cos t

d) 1

0

b) finns ej 1

= 0.

c)

!

2

0 (principalgrenen).

+ e-t sin t)9(t).

e)

0. d) 0

e)

finns ej.

188

LÖSNINGAR

14.8

Funktionen / 0 kan skrivas som fo(t)

= fJ(t)J(t)

- fJ(t - T)f(t - T)

och Laplacetransformation ger, med hjälp av förskjutningsregeln, att

14.19

Laplacetransformen av faltningen blir C,({J

* {J * ... * 8) =

och inverstransformation ger

1 1 s s

1 s

1 sn

- . - ..... - = -

Lineära system - övningar

l l 111111111111111 725072

KFS eAB J