Villamosenergia-rendszerek : [egyetemi tankönyv] 9789631796124, 9631796124 [PDF]

Zitiervorschau

,.

11• •

'

•

• '

..

'·

• >,

,

..

"

.„

.

..

,

.,

' ' '

"

• . ./,

·.

„ '·

'

"

(

'

•

'

'

r

.,

''

•

'

'

'

.,

l

'·

•,

„

~1-·

'·

•

.•.

-~·

'

..

',

'

'·

'·

,,

•'

,,

.• fi e

'

•

.' ....,

..

•

'

•

,

-·

,

..

>

~

' ' ,.

' .•

l

•

•

•

' •

'

'

' ·'

' •

''

'•

..

..

'

' "

'

'

•

•

'. ' r

.

.,

,, J, •

'

',

;

•

" '

DR. GESZTI P. OTTÓ

Villamosenergia-rendszerek 1.

•

DR. GESZTI P. OTTÓ egyetemi tanár, az MTA r. tagja

•

-

1. kötet J\1ásodik kiadás

Tankönyvkiadó, Budapest, 1986

EGYETEMI TANKÖNYV Készült a

művelődési

miniszter rendeletére

Bírálók:

DR. BÁN GÁBOR egyetemi tanár, a

műszaki

tudományok doktora

VARJÚ GYÖRGY egyetemi adjunktus

Összkiadás ISBN 963 17 9612 4 ISBN 963 17 9613 2

©Dr. Geszti P. Ottó jogutóda, Budapest, 1983

Tartalomjegyzék

,, , El oszo ................................................................... .

11

1. .Bevezetés .............................................................. .

13

1. 1 1.2 1.3 1.4

.. é . , k" , T ort nett atte 1ntes ............................ „ • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 13 A villamos energia termelésének és fogyasztásának főbb jellemzői ......... . 17 Energiaforrások ............ „ • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 24 A villamos erőátvitel ............................................... . 27 1.4.1 A, feszültségek megválasztása ................................... . 27 J.4.2 Aramnemek összehasonlítása .................................... . 31 1.4.2 .1 Egyenáramú átvitel ...................................... . 31 1.4.2.2 Egyfázisú (kétvezetős) váltakozó áramú vezeték ........... . 31 1.4.2.3 Háromfázisú vezetékek .................................. . 32 1.4.3 A villamosenergia-ellátás minősége .............................. . 33 1.4.3.1 Az állandó feszültség szerepe az energiaátvitelben .......... . 33 1.4.3.2 Az állandó frekvencia jelentősége ........................ . 34 1.4.3.3 A feszültséggörbe alakja ................................ . 35 1.4.3.4 Az üzemfolytonosság .................................. . 35 1.4.4 Az energiarendszer felépítése ................................... . 36 J.4.5 A villamosenergia-rendszer elemei ............................... . 38 1.4.6 Elosztóhálózatok kialakítása ................................... . 42

2. Elektrotechnikai a]apok ........................... 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2. 7 2.8

„ •••••••••••••••••••••

Konvenciók • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Az energiaáramlás vizsgálata térjellemzőkkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mechanikai és villamos rendszerek összevetése differenciálegyenletük alapján . . Kirchhoff törvényei váltakozó áramú körökben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soros rezgőkör energiaviszonyai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ideális és valódi feszültség- és áramforrások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A linearitás fogalma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A teljesítményre és az energiára vonatkozó összefüggések . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8. l Egyfázisú hálózat teljesítménye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48 48 50 54 57 69 71 74 78 78

5

•

2.8.2 Háromfázisú hálózat teljesítn1ényviszonyai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.3 Teljesítményviszonyok többfrekvenciás feszültségek és áramok esetén . . . 2.8.4 A teljesítményátvitel speciális esetei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9 Az átviteli hálózat impedanciái és admittanciái. Hálózatátalakítások, redukciók 2.10 Lineáris passzÍ\' kétkapuk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10.l A kétkapuk végponti jellemzői közötti összefüggések impedancia- és

84 86 88 90 94

admittanciakarakterisztikákkal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 2.10.2 A kétkapuk átviteli (lánc-) karakterisztikái, végponti egyenértékű helyettesítések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 2.10.3 Kétkapuk eredőjének számítása az alapkapcsolások átviteli mátrixai ' ' ' 1 .................................................. . 105 seg1tsegeve 2.10.4 Kétkapuk bemeneti impedanciái különböző lezárások esetén ......... 2.10.5 Thevenin és Norton elvének alkalmazása két- és többkapukra . . . . . . . 2.1 l Az indukció, a kölcsönös impedancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11. l A kölcsönös indukció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11.2 A mágneses vezetőképesség és ellenállás .................... 2.11.3 A transzformátor mágneses körei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11.4 A kölcsönös in1pedanciák kiküszöbölése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.12 Viszonylagos egységek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

110 112 117 118 120 121 126 129

1

1

'

i

3. Többfázisú hálózatok aszin1n1etrikus üzemmódjának számítása . . . . . . . . . . . . . . . 135 i

3.1 Szimmetrikus

3. 1.1 3.1.2 3.1.3 3. 1.4

összetevők

........................................... . Többfázisú aszi111metrikus feszültség- és áram rendszer felbontása szin1.. t evo''k re .......................................... . me t r1"k us ossze Impedanciamátrix szimmetrikus összetevő transzformációja ........ . Szimmetrikus összetevők, sajátértékek, sajátvektorok .............. . Háromfázisú hálózat helyettesítése szimmetrikus összetevők segítségével. 3.1.4.1 Aktív és passzív elemek különböző sorrendű impedanciái ..... . 3.1.4.2 Összefüggések a fázis- és a vonali mennyiségek között ....... . 3.1.4.3 Transzformátorok különböző sorrendű in1pedanciái és helyettesítő ' 1a tat. .................................................. . vaz 3.1.4.4 Adott háro1nfázisú hálózat pozitív, negatív és zérus helyettesítő

136 136 142 145 153 153 161

1

' '

165

sorrendű

vázlatainak felrajzolása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 3.1.5 Szimmetrikus összetevők módszerének alkalmazása háromfázisú rendszerre .... : .................. ·.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 3.1.5. I Feszültségek és áramok felbontása szimmetrikus összetevőkre . . . 184 3.1.5.2 A pozitív, negatív és zérus sorrendű összetevők ............... 184 3.1.6 Nem ciklikus impedancia-rendszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 3.1.7 Sönthibák ..................................................... 200 3.1.7.l Egyfázisú földzárlat (FN) ................................ 201 3.1.7.2 Kétfázisú földzárlat (2FN) ............................... 206 3.1.7.3 Fázisok közötti zárlat (2F) ............................... 210 3.1.7.4 Háromfázisú zárlatok (3F és 3FN) ......................... 213

6

i

,

1 .'

3.1.7.5 A hibahelyi impedancia hatása ............................. 215 3.1. 7.6 Példák aszin1metrikus terhelésre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 3.1.8 Soros hibák ................................................... 225 3.1.8.1 Egyfázisú szakadás. Soros impedancia a vezeték egyik fázisában 225 3.1.8.2 Kétfázisú szakadás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 3.1.8.3 Általános soros hiba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 3.1.9 Transzfer impedancia sönt- és soros hibák esetén .................... 230 3.1.10 Szimultán hibák ............................................. 234 3.1.11 Egy- és kétfázisú vezetékek szimmetrikus összetevőkkel . . . . . . . . . . . . 241 3.1.11. l Egyfázisú zárlat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 3.1.ll.2Kétfázisú zárlat ........................................ 244 3.2 A Clarke-transzformáció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 3.2. l Feszültségek, áramok és impedanciák Clarke-tra11szformációja . . . . . . . 245 3.2.2 Háromfázisú hálózat helyettesítése a Clarke-összetevőkkel . . . . . . . . . . . 255 3.2.3 Sönt- és soros hibák helyettesítése Clarke-összetevőkkel . . . . . . . . . . . . . . 260 3.2.3. l Háromfázisú zárlat ( 3F és 3FN) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 3.2.3.2 Egyfázisú földzárlat ( FN) ................................. 261 3.2.3.3 Kétfázisú zárlatok ( 2FN és 2 F) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 3.2.3.4 Egyfázisú szakadás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 3.2.3.5 Kétfázisú '.szakadás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 3.2.3.6 Szimultán hibák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 3.3 Aszimmetrikus impedancia-rendszerek és szin1n1etrizálásuk ............... · 270 3.3.l Távvezeték fáziscseréje .......................................... 271 3.3.2 Aszimmetrikus soros rendszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 3.3.3 Aszimmetrikus, deltába kapcsolt impedanciák vizsgálata . . . . . . . . . . . . . 284 3.3.4 Altalános önimpedancia-rendszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 3.3.5 Aszimmetrikus adn1ittancia-rendszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 3.4 A szimmetrikus összetevők mérése ..................................... 291 3.4.1 A feszültség különböző sorrendű összetevőinek n1érése .............. 291 3.4.1. l A feszültség zérus sorrendű összetevője . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 3.4. l .2 A feszültség pozitív és negatív sorrendű összetevője ........... 292 3.4.2 Az áram külön'Jöző sorrendű összetevőinek mérése ................. 294 3.4.2.1 Az áram zérus sorrendű összetevője ......................... 294 3.4.2.2 Az áran1 pozitív és negatív sorrendű összetevője . . . . . . . . . . . . . 296

-

4. Szabadvezetékek soros impedanciája . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 4.1 Szabad vezetékek általános jellemzői . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Szabadvezetékek ön- és kölcsönös induktivitásai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. l Egyetlen végtelen hosszú, egyenes, kör keresztmetszetű vezető . . . . . . . . 4.2.2 Két végtelen hosszú, párhuzamos, kör keresztmetszetű vezető ........• 4.2.3 11 darab végtelen hosszú, kör keresztn1etszetű, párhuzan1os vezető .... 4.3 A geometriailag egyenértékű távolságok nlódszere ....................... 4.4 Köteges vezeték induktív reaktanciája ..................................

297 298 305 308 310 318 323

7

4.4.1 Kétvezetős köteg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • 4.4.2 Háromvezetős köteg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3 Négyvezetős köteg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Nem hengeres vezetők redukált sugara és induktív reaktanciája . . . . . . . . . . . . 4.5 .1 Sodronyok redukált sugara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.2 Tömör vezetők induktív reaktanciája . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Távvezetékek soros impedanciája a föld figyelembevétele nélkül . . . . . . . . . . . 4.6. l Egyrendszerű, egyfázisú vezeték reaktanciamátrixa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.2 Egyrendszerű háromfázisú nullavezetős vezeték reaktanciamátrixa . . . . 4.6.3 Háromfázisú vezeték szimmetrizálása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.4 Háromfázisú vezeték nullavezető nélkül . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.5 Kétrendszerű egyfázisú vezeték . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.6 Kétrendszerű háromfázisú vezeték . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. 7 Szabad vezetékek soros impedanciája a föld figyelembevételével . . . . . . . . . . . . 4. 7.1 Egy vezető- föld hurok impedanciája . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. 7.2 Két fázisvezető-föld hurok impedanciája . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. 7.3 A föld figyelembevétele fiktív, neutrális vezetővel ................... 4. 7.4 Egyrendszerű háromfázisú vezeték impedanciamátrixa .............. 4.8 Szabadvezetékek impedanciája védővezetők és a föld figyelembevételével . . . . 4.8.1 Egyrendszerű háromfázisú vezeték egy védővezetővel . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.2 Egyrendszerű háromfázisú vezeték két védővezetővel . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.3 Kétrendszerű háromfázisú vezeték két védővezetővel . . . . . . . . . . . . . . . .

324 325 326 328 328 330 334 334 336 341 342 344 350 354 355 357 365 367 372 374 378 380

5. Szabadvezetékek kapacitása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 .

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5

A térben egyedül álló vezető villamos tere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Két párhuzamos, kör keresztmetszetű vezető kapacitása . . . . . . . . . . . . . . . . . . n számú, végtelen hosszú, párhuzamos, kör keresztmetszetű vezető kapacitása . Köteges vezetők kapacitása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A kapacitások szimmetrikus összetevői . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.1 Szimmetrikus egyfázisú vezeték védővezet9 nélkül .................. 5.5.2 Szimmetrikus egyfázisú vezeték védővezetővel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.3 Háromfázisú vezeték védővezető nélkül . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ' 5.5.4 Egyrendszerű háromfázisú vezeték két védővezetővel • • • • • • • • • • • • • • • • 5.5.5 Kétrendszerű háromfázisú vezeték két védővezetővel • • • • • • • • • • • • • • • •

387 388 392 399 402 402 405 406 411 413

6. Veszteségi jelenségek a szabadvezetékeken .................................. 417

6.1 A koronajelenség ................................................... 6.1.1 A koronakisülés mechanizmusa .................................. 6.1.1.1 A negatív koronakisülés .................................. 6.1.1.2 A pozitív koronakisülés .................................. 6.1.2 Néhány fontosabb összefüggés a koronajelenséggel kapcsolatban .... 6.1.3 Vezetékek körül kialakuló villamos tér . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.3.1 Kis sugarú gömb vagy henger homogén villamos térben .......

8

417 421 421 423 424 425 425

. . . K e't veze t''os k""t o eg t'erer o''sse'g-e1oszI'asa ..................... . 6132 6.1.3.3 Háromvezetős köteg térerősség-eloszlása .................. . 6.1.3.4 Négyvezetős köteg ...................................... . 6.1.4 A koronajelenség hatásai ....................................... . 6.1.4. l A koronaveszteség számítása ............................ . 6.1.4.2 A rádió- és tv-zavarás ................................... . 6.1.4.3 A hallható zaj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Szabadvezetékek soros ellenállása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 A szkinhatás. A közelségi hatás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 A pozitív sorrendű soros önimpedancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3 A szkinhatás homogén, egyenes, tömör, nem ferromágneses anyagú körhengereknél a közelségi hatás figyelembevétele nélkül . . . . . . 7. Szabadvezetékek mechanikai tulajdonságai

• • • • • •

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

426 428 429 432 433 435 437 439 440 443 443 447

7.1 Vezetékanyagok ..................................................... 447 7.1.1 Réz ........................................................... 449 7.1.2 Alumínium ........................................ „ • • • • • • • • • • • 450

7.2

7.3

7.4 7.5 7.6

7.1.3 Acél .......................................................... 7.1.4 Alumínium és ötvözött alumínium vezetéksodrony acél erősítéssel ..... A szabadvezeték mechanikai igénybevételei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Függőleges terhelések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.2 Vízszintes terhelések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A szabadvezetékek belógásának számítása .......... ; . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 A belógás számítása parabola alapján ............................ 7.3.2 A belógás számítása kötélgörbe alapján . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.3 A belógás számítása különböző felfüggesztési magasság esetén ........ A szabadvezeték mechanikai állapotegyenlete ........................... A szilárdsági számítások összefoglalása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Felcsapódás, összelengés, vezetékrezgés .................................

8. Kábelek

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • . • • • . • . • • • • • • • • • • • • . • • • • • • • • • • • • • • • • „ • • • • •

8.1 A kábelek osztályozása, szerkezete és fajtái ............................ 8.1.1 Szabványos kábelek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.2 Különleges kábelek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 A kábelek számítása és méretezése ................................... 8.3 A kábelek valódi és geometriailag egyenértékű adatai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Kábelek kapacitása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.1 Egyerű és Höchstadter-kábel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.2 Háromerű övszigetelésű kábel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5 Kábelek soros impedanciája . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.1 Köpenyáram nélküli háromfázisú kábelelrendezések . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.2 Köpenyáramokat eredményező háromfázisú kábelelrendezések . . . . . . . .

450 450 452 452 454 455 456 457 462 463 469 471 473 475 476 480 485 489 493 493 493 494 495 497

9

8.5.3 Háromfázisú kábelelrendezések idegen vezetékekre gyakorolt hatása. A köpeny védőhatása .. „ • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ,, • • • • • • • • • • • • • 8.5.4 Kábelek felületi impedanciája . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6 Kábelek fektetése, melegedése és terhelhetősége . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6.1 A melegedésvizsgálatok általános kérdései . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6.2 A kábelek terhelhetőségének számítására vonatkozó szabványelőírások . . 8.6.2.1 A kábelben keletkező veszteségek szán1ítása . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6.2.2 A hőellenállások számítása ............................... 8.6.3 Változó terhelésű kábelek melegedése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

500 503 506 506 512 512 518 525

Függelék . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529

F/l. Villamosenergia-rendszerrel kapcsolatos fogaln1ak az MVMT Statisztikai ' k""onyve a 1apJan ., .................................................. . ev • F/1.1 Altalános fogaln1ak .......................................... . '' · te 1Jes1 · 'to''k eppesseg ' · .................................... . FI 1.2 E r0•• muv1 F / J.3 Egyéb erőművi fogalmak ...................................... . F / 1.4 Villamosenergia-tern1elés és -felhasználás ........................ . F / J.5 Hálózati fogalmak ............................................ . F/4. Szabványos szabadvezeték-sodronyok ................................ . F /8. Kábelparan1éterek ................................................. .

1rodalon1jegyzék

....................................................... . 541 '

I

Tárgymutató

10

529 529 529 530 531 532 533 536

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

• • •

• • • • • •

•

• • • • • • • • • • • •

545

Előszó

A Budapesti Műszaki Egyetemen 1957 óta adom elő a villamosenergia-rendszerek állandósult állapoti és tranziens problémáival foglalkozó tárgyat, - összegyűjtve azokat a fogalmakat, definíciókat és összefüggéseket, amelyekkel az e kérdéssel toglalkozók a gyakorlatban találkozhatnak - eleinte Villamosművek, a későbbiekben Villamosenergiarendszerek címen. Előadásaim alapján született meg az 1967-ben megjelent Villamosművek c. könyv, amelynek összeállításánál nagymértékben korlátozó tényező volt - a terjedelmen kívül az akkoriban oktatásra került matematikai apparátus. Az azóta eltelt időszakban a matematikai oktatás jelentős változáson ment át, a mátrixszá1nítás, a valószínűségszámítás mellett a gráfelmélet oktatása is bevezetésre került, ami lehetővé tette a villamosenergiarendszerekkel kapcsolatos oktatás niatematikai alapjainak kibővítését. A számítógépek hazai elterjedése lehetővé tette olyan kérdések n1egoldását, illetve olyan módszerek al·kalmazását, amelyekre azelőtt nen1 volt mód, és amelyek használata n1a a villa111os hálózati problémák megoldásában mindennapos. Az t1tóbbi években a villamos energia termelésének, szállításának, elosztásának, fogyasztásának rendszer jellege, vagyis az ezekkel kapcsolatos kérdések összefonódottsága került előtérbe, ez indokolta a tárgy tematikájának kibővítését és nevének meg\.áltoztatását Villamosenergia-rendszerek-re, ezzel is hangsúlyozva, hogy itt nem annyira az egyes elemekkel kapcsolatos ismeretekről, mint azok összefüggésben való megismeréséről van szó. Jelen könyv megírásánál igyekezetem elsősorban arra irányult, hog)' az olvasó a tárgyalt jelenségek fizikáját megérthesse, és a folyan1atok leírásához alkalmazott maten1atika a mérnöki igényeknek feleljen meg, így nem a teljes matematikai egzaktságot tartottam legfontosabb szempontnak. Az anyag összeállításánál szen1 előtt tartottam, hogy a könyv a BME Villamosmérnöki Kara Erősáramú szakán tankönyvként legyen használható - felhasználva a korábban tanult alapozó tárgyakban szerzett ismereteket - , ugyanakkor alkalmas legyen a posztgraduális képzésben, valamint az iparban dolgozók továbbképzésében történő felhasználásra is. Szeretettel és köszönettel említem itt nieg munkatársain1at, akik értékes munkájukkal segítségemre voltak a könyv n1egírásában, így Rózsa Lajosné, Horváth István, Farkas Lajos, Kiss Lajos, Szabó László, dr. Madarász György, Dán András adjunktusokat, dr. Czira Zsuzsa, Faludi Andor, dr. Tóth Judit tanársegédeket. Köszönetet n1ondok Dr. Tevan György és Regul)' Zoltán munkatársaimnak is segítségükért.

11

Külön köszönöm dr. Czira Zsuzsának, Faludi Andornak, Horváth Istvánnak és Szabó Lászlónak azt a segítséget, amelyet a kézirat sajtó alá rendezésével .nyújtottak; így a könyv 1979-ben bekövetkezett infarktusom ellenére kis késéssel ugyan mégis megjelenhetett. Ezúton külön ki kell emelnem azt a kollegiális támogatást, amit Dr. Vágó István egyetemi tanártól kaptam, aki szíves volt könyvem néhány fejezetét átnézni és értékes tanácsokat adott. Nagy segítségemre voltak hasznos észrevételeikkel lektoraim, Dr. Bán Gábor egyetemi tanár és Varjú György adjunktus, amit hálásan köszönök. Köszönettel tartozom Vida Annának a könyv ábráinak, Csordás Gábornak és Kiss Zsuzsának a könyv fotóinak elkészítéséért, valamint a Tankönyvkiadó munkatársainak, különösen Divényi Andrásné felelős szerkesztőnek és dr. Gelei Gáborné kézirat-előké­ szítőnek, akiknek értékes, körültekintő munkája nélkül a könyv nem jelenhetett volna meg jelen formájában. Budapest, 1982. június A

12

Szerző

1. Bevezetés

1.1 Történeti áttekintés A történelem első szakaszaiban, kezdetleges termelési körülmények között is használt már az ember munkakönnyítő eszközöket, gépeket. Ezen eszközök és egyszerű gépek - emelők, C!iigák, kerekek, lejtők, a kötél, különböző súrlódáscsökkentő berendezések segítségével és nagyszámú rabszolgával monumentális épületeket sikerült emelni, miközben olyan súlyos köveket bányásztak, szállítottak és helyeztek el, amely a mai technikával sem lenne könnyű. Az évezredes emlékek grandiozitása ellenére a munkaeszközök rendkívül primitívek voltak, és a munka termelékenysége alacsony volt. A termelés túlnyomó része a földművelés területén folyt, ahol az eke használata - még a faekéé is - viszonylag újabb kori. A faekét bivallyal, lóval vagy más állattal vo11tatták, a már évezredek óta használt kocsihoz hasonlóan. A vízkiemelést szintén állatok segítségével oldották meg. A vízesések energiáját is már régóta használják: malmokat, vízikerekeket, kovácsműhelyek fújtatóit hajtották a vízenergia felhasználásával. A szélmalmok használata szintén régen elterjedt. Az újkorban egyre-másra jelentek meg a gépek, de ezek kis teljesítményűek voltak. A termelés túlnyomó része kézi, manufakturális formában történt, ahol a gépet maga az iparos hajtotta. Később a feladatok elválasztódtak: egyik ember hajtotta pl. az esztergapadot, a másik esztergált rajta. A modern társadalmakban a termelés olyan gépeken történik, amelyek alkalmasak nagy teljesítményre, vagyis az időegység alatt nagy értékű gyártmányt állítanak elő, ugyanakkor a sorozatgyártás előnyei miatt a gyártmány egyenletesen jó minőségű. Ezek a gépek az úgynevezett munkagépek, például esztergapad, hengerlést végző gép, szövőszék, malom. A munkagép jellegzetessége, hogy működéséhez teljesítményre van szükség, ezt rendszerint forgó mozgás nyomatéka szolgáltatja. A munkagépnek az energiát a hajtógépek biztosítják, amelyek tengelyükön mechanikai teljesítményt, nyomatékot adnak át, amely vagy mechanikai forrásból származik - ilyen forrás pl. a vízturbina vagy a szélmalom - , vagy fűtőanyag elégetésével juthatunk gőzhöz, ami például turbinákat hajt. Újabban nemcsak az atomok úgynevezett héjenergiájából lehet energiát, illetve teljesítményt nyerni, hanem az atommag hasadási energiája is kelt gőzt atomerőművek reaktorában. Végül a hajtógép és munkagép között kell, hogy elhelyezkedjék az átvitel, amely lehet mechanikai, pl. fogaskerék, hajtószíj, tengely. Van olyan át,·iteli rendszer is - mi ilyennel fogunk foglalkozni - , ahol a turbina nem egyszerű tengelykapcsolón keresztül hajtja a munkagépet, hanem a turbina villamos generátort hajt, és az villamos és mágneses kölcsönhatások alapján hajt ezer és ezer fogyasztói motort: ez a villamos energiaátvitel. Ilyen

13

értelemben a mai villamosenergia-ellátás korszerűbb és távolságban alig korlátozott energiaelosztó rendszer, hiszen a kezdet kezdetén a hajtógép és munkagépek közötti ' energiaátvitel oly módon volt megvalósítva, hogy a hajtógép (pl. gőzgép) tengelyt hajtott, amelyre szíjhajtásokkal csatlakozhattak a munkagépek. Ilyen esetben persze a csatlakozási távolságok néhány métertől néhány tíz méterig terjedhettek. A hajtógép (erőművi generátor) és hajtott munkagépek között ilyen távolságkorlátozás a villamos energiaátvítelnél nincs, de a villamosenergia-rendszer lényegében megőrizte azt az átviteli jelleget, amely régen a közeli telepítésű hajtógép és munkagépek között a mechanikai átvitel volt. Az első jelentős hajtógépet, a gőzgépet a XVIII. század második felében találta fel J. Watt. Ebben az időben a manufakturális termelés már olyan fejletté vált (csoportosan dolgozók megjelenése), hogy igényelte a hajtógépet. A gőzgép n1egtere111tette a gyáripar kialakulásának lehetőségét, mivel igen gyorsan elterjedt; és amint azt az 1789-es polgári forradalom is igazolta, hatalmas társadalomátalakító erőnek bizonyult. Világossá vált, hogy a feudalizmus munkakötöttségei már nem felelnek meg a gyáripar követe!n1ényei11ek, a feudalizmus átadta helyét a kapitalizmusnak, amely ilyen körülmények között l;önn}·en tudott munkaerőhöz jutni. Tulajdonképpen hogyan tudja egy hajtógép a társadalon1 és egyén termelékenységét növelni? Felnőtt, jó erőben levő ember huzamosan körülbelül 10-20 W-ot tud teljesíteni (azzal, hogy viszonylag rövid ideig a teljesítn1énye J()() W, sőt ennél nagyobb is lehet), ami azt jelenti, hogy nyolc órai munkája 8·3600·(10-2t1) = = 28 800 (10-20) = 288 000-576 000 J. 1 kWh = 1000 W .1 h, vagyis az előhhi n1ur1kamennyiség egy órára véve 1-2%-a a kWh-nak, nyolc órára 8-16'1.,-a. (Ha 1,20 Ft egy kWh, akkor villamosenergia-értékben 10-20 fillér értékű az a munkan1ennyiség, an1it egy ember egy nap alatt el tud végezni.) A feltűnő és döntő az, hogy milyen csekély az en1her munkavégző képessége. 1 kWh = 3,6. J()3 kWs, ami megfelel annak, hogy egy en1ber 8 óra alatt 288 kWs, illetve 576 kWs-ot termel. Tekintsünk jó minőségű szenet (25 -106 Joule/kg), így 100'1.,-os hatásfok esetén kb. 1-2 dkg szénnek megfelelő az a termikus kalória, amit egy ember naponta megtermel. Ha most feltételezzük, hogy a kazán és a gőzgép első idejében a kazán hatásfoka 50% és a gőzgépé 2%, vagyis ri 1 = 0,5 és ri 2 = = 0,02, tehát az eredő hatásfok 'Y/er = 0,01, akkor a veszteségek figyelembevételével 1-2 kg szenet kell elégetni egy ember egy napi munkavégzésének helyettesítésére. Ha szénből a bányászok fejenként csak 100 kg-ot bányásztak naponta, akkor is mintegy megszázszorozták az egy főre jutó teljesítményt. Ha erősen gépesített bányákból fejenként pl. 20 t szén kerül ki, a kazán hatásfoka ri 1 = 0,9 és a turbina hatásfoka kb. 'f/2 = 0,4, így '17er = 0,36, akkor a kalorikus energiából nagyságrendekkel több energiát lehet elérni, mint fizikai erőből. (A példában szereplő 20 t szén ,,hasznos mennyisége'' 20 OOO kg ·0,36 = = 7200 kg; a fenti számokból láthatóan egy bányász munkája nagyságrendekkel több ember fizikai munkavégzését helyettesíti.) Ha ezek után figyelembe vesszük, hogy az atommag energiájából nyerhető villamos energia ennek sokezerszerese, és így a termelékenység is többszörösére nő, akkor érthetővé válik, hogy szoros összefüggés van valamely társadalom által fogyasztott villamos energia és a társadalom termelékenysége között. (Ezt pontosabban úgy mondhatjuk, hogy valamely társadalomban a termelékenység és az egy fő által az iparban felhasznált energia erősen korreláltak.) Természetesen az előbbi tájékoztató számítások csak a nagyságrendeket akarják mu-

14

tetén csak ellenállást érzékelünk, 50 Hz-en , induktivitást és ellenállást mérhetünk, egy adott frekvencia - esetleg már 10 kHz - felett a kapacitív áram a meghatározó. /gy egy valóságos elem R, L vagy C elemekkel való leképezhetősége attól függ, hogy milyen időbeli lefolyású jelenséget vizsgálunk: stacionert vagy tranzienst - tranziensek esetén ezek frekvenciájától is függ a modell. Megemlítjük még a Pveszt

=

2

1R

(2.12)

(W)

hálózati Joule-veszteséget, amely tulajdonképpen az elektromágneses energia hővé alakulásának n1értéke. Ez nem tárolódik, mint a villamos és mágneses energia, amelyek át tudnak egymásba alakulni közel veszteségmentesen. A Joule-veszteség hasonló a mechani-

fojtó-

tekercs

e

L R

' ag

2.7 áhra Fojtótekercs frekvenciafüggö helyettesítése

2.8 áhra

Hálózati ág feszültségés áram-irányfelvétele

kában a súrlódási veszteséghez, amely a mozgó test sebességével arányos fékezőerőt kelt. A Joule-veszteség persze sok esetben hasznos, például villamos fíitőtestek, csillapítás stb. esetén, a villamosenergia-átvitel területén azonban általában hátrányos. Az eddigiek során láttuk, hogy egy egyenáramú és rendkívül egyszeríi hálózat eleget tett Kirchhoff két törvényének, és arról is beszéltünk, hogy ezek a törvények hogyan képviselik az energiamegmaradás, illetve a teljesítménymegmaradás elvét. Ha a hálózatot áganként vesszük figyelembe (nem teljes hurkonként), akkor az előjelek megfelelnek a 2.1 ábra jobb oldalának, de félreértések elkerülése végett a 2.8 ábrán ismét felvázoltuk az egyetlen ág esetére érvényes viszonyokat. Ebben az esetben igen széles érvényességi feltételekkel fennáll Te/legen tétele, amely szerint (2.13) •

ahol uk és ik a k-adik ág feszültségének, illetve áramának pillanatértéke, és a hálózatnak e ága van.

53

2.3 Mechanikai és villamos rendszerek összevetése differenciálegyenletük alapján Tekintsünk egy mechanikai rendszert koncentrált tömegekkel. Newton második törvénye satint (ha nincs rugó és nincs súrlódás) a külső F erő hatására a gyorsulás keletkezik, így m ·a tehetetlenségi erő tart egyensúlyt az F külső erő­ vel, amely ellenkező irányú és azonos nagyságú. Vagyis ha x x a mozgó test elmozdulása, v a sebessége és m a tömege (2.9 ábra): m

F

2.9 dbra Koncentrált tömegre ható F

Az F

erő

dv d2x F-ma=F-m =F-m 2 =0 dt dt ' és

erő

1 V=m

Fdt.

(2.14) (2.15)

teljesítménye:

p =

dv vm dt'

(2.16)

és a befektetett (tárolt) energia (ha t

t

= 0-nál v = 0 volt):

v(t)

mv2 v dv = . 2

dv mv dt dt = m

E=

(2.17)

0

0

Ha a rendszerben van egy olyan csillapítás, amelyet viszkózusnak lehet tekinteni, mert fékezőereje a sebességgel arányos (2.10 ábra}, akkor:

F-kv= F-k

F

dx

= 0 dt '

'

(2.18)

vagy

1 v = F· k '

(2.19)

a csillapítási veszteség teljesítménye 2.10 dbra Mechanikai csillapítás

P= vF= kv 2•

(2.20) 1

Ha a mozgó testre egy rugó ereje hat (2.11 ábra): t

F-

1 Ot

x

= F-

1 ~

io

v dt

=

0,

(2.21) 1 1

54

'

1

vagy

1

v=

ot

dF • dt

1 1

(2.22)

x

F

F A 2.10 és 2.11 ábránál feltételeztük, hogy a csillapító dugattyú szára és a rugó egyik b) a) vége rögzített, így azon az oldalon nincs elmozdulás (így 2.11 ábra sebesség sem). Lehetséges, Rugó elmozdulása F erő hatására hogy a rugóerő (a rugó mindkét végének elmozdulása esetén a két végén levő x1 és x 2 különbségéből alkotott) .dx-szel, a súrlódás pedig ( v1- v2) = Ltv-vel arányos. Vagyis a súrlódási erő (2.23) ,

,

,,

es a rugoero

1

F= -oc

(2.24)

Hasonló összefüggések írhatók fel forgó rendszerekre is, de az erő helyett nyomatékot, elmozdulás helyett szögelfordulást, sebesség helyett szögsebességet, gyorsulás helyett szöggyorsulást kell figyelembe venni. Itt a tengely két végén 8 1 és 8 2 elfordulások x1- és x2-nek, w1 és w2 szögsebességek v1- és v2-nek felelnek meg. Az egyenletek: a tehetetlenségi nyomaték (/ inercianyomaték)

M;

=

dw l dt'

(2.25)

a súrlódási nyomaték (2.26)

és a torziós nyomaték (2.27)

A villamos összefüggéseket ismerteknek tételezzük fel, és a 2.1 táblázatban foglaljuk öspe. A 2.1 táblázat első oszlopában szereplő két egyenlet hasonló, csupán u és i szerepe fordított. A másik két oszlopnál C "' L-nek és u "' i-nek és viszont ("' : megfelel). Ezek a

55

2.1 táhláza t

Elemi áramkörök enenállás

induktivitás

fY'I

I>

•

R

IR

u,

uz

7

•

=R

IR

1,

IR

v

uR•Rfi1-i1 )

-

,

R

IL

u,

L

RiR

'

le

ul !

u2

1

•

.

=e -

lr

IL

••

L

1,

UL •

l

d (.

~

te

•

1.

'

. )

diL 1,-12 =l df

dt

d dt fu,-uz)

.

•

lz

2

. C>

'

fu 1.- u 2 Jdt

•

v

L

,

1=-

L

T V'"'\,

Uz

1

•

(u 1 -u1 J

•

•

I>

•

kapacitás

uc

=~

e

(% ,

pi,-i2 Jdt=z

irdf ~

jól ismert duális összefüggések. Vegyünk egy párhuzamos mechanikai és egy párhuzamos villamos kört, továbbá egy soros mechanikai és soros villamos kört. 1. Párhuzamos mechanikai rendszer esetén, ha a rendszerben a tömeg-, a súrlódási és a rugóerő együtt lép fel (2.12 ábra): t

0

(2.28) F

2. Párhuzamos villamos rendszer. Tekintsük a 2.13 ábrát és a 2.1 táblázat első sorát; Jegyen U 2 = 0 mindhárom esetben. Legyen továbbá a három bemenő feszültség értéke azonos. Így·

,

.

2.12 ábra

.

.

.

1 = 1c+1R+1L =

e du

Párhuzamos mechanikai rendszer

l l dt + R u+ L

d

u t. (2.29)

•

Látható, hogy a villamos és mechanikai egyenletek alapján a megfelelő mennyiségek

1

Mechanikai 2.JJ ábra

Párhuzamos villamos rendszer

56

Villamos

m

k

e

1 --R

L

F

v

•

u

1

3. Soros mec·hanikai rendszer ( 2.14 ábra). Az elmozdulásokra felírható xa

= (xa-x2)+(x2-x1)+x1, (2.30)

illetve

idő

k

m

2.14 ábra

Soros mechanikai rendszer

szerint differenciálva

v=

rL

dF 1 1 + - - F+ dt k m

F dt. (2.31)

e

R

L • I>

4. Soros villamos rendszer (2.15 ábra). A 2.1 táblázat második sora alapján

di R" 1 u = L dt+ 1+ e

(2.32)

"d , 1.

A mechanikai és villamos egyenletek alapján a Mechanikai Villamos

L

'

u

2.15 ábra

Soros villamos rendszer

megfelelő

mennyiségek:

1/k

m

F

v

R

e

•

u

I

Látható, hogy a két párhuzamos és a két soros rendszer analóg. Miután mind a négy esetben azonos struktúrájú a differenciálegyenlet, így ezek keresztben is analógok lehetnek, például az 1 eset 4-gyel. Ebben az esetben az analóg mennyiségek: Mechanikai Villamos

nt

L

k R

e

F

v

x

u

•

q

l

Általában ezt hívják klasszikus analógiának.

,

,

2.4 Kirchhoff törvényei váltakozó aramu körökben A 2.16 ábrán feltüntetett áramkörben egy ideális váltakozó áramú feszültségforrás és egy ellenállás szerepel. Tételezzük fel, hogy a tranziens jelenségek lezajlottak vagy nem voltak tranziensek (megfelelő pontban való bekapcsolással). Jelenleg csak a stacioner állapotot vizsgáljuk. A feszültségforrás feszültségének amplitúdója állandó, Umax értékű, a kör-

57

frekvencia is állandó, és a szinuszos feszültség nem torzított (egyetlen körfrekvencia v,~n csupán). A Kirchhoff-egyenlet alapján felírható

-~I>

•

' u =Umox cos wt

R

u-iR = 0, •

.

A

I

2.16 dbra

Váltakozó áramú feszültségforrás ellenállás-terheléssel

=

(2.33)

u

(2.34)

R.

Mivel (2.35)

u = Umax cos wt,

így •

I

=

Umax

R

cos wt =

Imax cos

(2.36)

wt,

ahol l

_

Umax.

R

max -

(2.37)

,

vagyis az áram mindig fázisban van a feszültséggel. Tehát olyan áram folyik, amely bármely pillanatban az ohmos ellenálláson akkora feszültségesést okoz ( - iR), hogy körbejárva éppen nulla feszültséget kapjunk (2.17 ábra). A pillanatnyi teljesítmény, amit R felvesz

,I I

I

I I l /

I

I

2.17 dbra Ellenállás áramának és feszültségének áramú körben

, ... - ....,

időfüggvénye

váltakozó

•

I

\

--t>

\ \

\ U=UmoxCOS

L

c.ot

21r

\

wf

\

''

''-· -/• R

2.18 dbra Induktivitásra dolgozó váltakozó áramú feszültségforrás

'

Miután az áram és feszültség fázisban van, ezért előjelük egyidejűleg pozitív, illetve negatív; szorzatuk mindig pozitív, így a teljesítmény is mindig pozitív és kétszeres frekvenciával változik. Gondoljunk egy izzólámpára, amelyen az áthaladó 50 Hz-es áram mind a negatív, mind a pozitív periódusában maximumra izzítja a szálat. A 2.18 ábrán a (2.35) egyenlettel definiált ideális feszültségforrás L induktivitásra kapcsolódik. Keressük a stacioner megoldást. diL O u- L dt = .•

58

vagy

. = -·l · L

IL

UL

d f,

(2.38)

ahol

u

=

Umax

cos wt.

(2.39)

Ekkor diL dt • lL

=

Umax

L

Umax

= wL

coswt,

(2.40)

•

(2.41)

Umax

(2.42)

sin wt,

és /Lmax

= wL .

A feszültség és az áram alakulását a 2.19 ábra mutatja. Az ábrán látható, hogy az u feszültség már a t = 0 pontban elérte a maximumát, a hozzá tartozó induktív áram pedig csak wt = 90°*-nál, tehát az áram 90°-kal késik a feszültséghez képest. Világos, hogy most

L-lel megszorozva éppen az u értéket veszi fel. Látható ugyanakkor, hogy 0° és 90° i=lLmax sin wt között mind az áram, mind a feszültség -L di u pozitív, 90° és 180° között a feszültség nedt gatív és az áram pozitív, 180° és 270° között a feszültség és az áram is negatív (vagyis pillanatértékeik szorzata most is pozitív), 270° és 360° között pedig a feszültség pozitív, az áram negatív. Ha energetikailag próbáljuk ezt a jelenséget értelmezni, akkor a következőket láthatjuk : a tekercs 1 2.19 ábra energiája L1"2, előjele nem függ az áram 2 Induktivitás áramának és feszültségének idófüggvénye irányától; értéke vagy pozitív, vagy zérus váltakozó áramú áramkörben (nemnegatív). 0°-nál az áram nulla, a tekercs energiamentes. A pozitív feszültség hatására az áram növekedni kezd, enel együtt •

nulla, majd negatívvá válik. Ezáltal az áram és ezzel együtt a tekercs energiája csökkenni kezd. Az eltávozó energiát - mivel más nincs a körben - a feszültségforrásnak kell föl• vennie (visszaáramlik az energia a feszültségforrásba). Amikor az áram nullára csökken ( 180°-nál), a tekercs ismét energiamentes. Ezután az energia 1"2 növekedése miatt ismét nő, de most a tekercset ellenkező irányú áram tölti. Az energia 270°-nál éri el a maximumot, utána

• Itt és a továbbiakban wt értékét fokokban adjuk meg, bár wt dimenziója radián.

59

ismét kisül. A fojtótekercs körül periódusonként kétszer kialakul a mágneses tér, ma_jd megszűnik. Ez a jelenség azt feltételezi, hogy a feszültségforrás valamilyen fQrmában fel tudja venni az induktivitásból (majd késéSbb, amint látni fogjuk, a kapacitásból) kiáramló energiát. ErréSl a lengési jelenségréSl a teljesítménynél még fogunk beszélni. Vizsgáljuk meg azt az esetet, amikor a váltakozó áramú feszültségforrás kondenzátorral van sorba I kapcsolva ,·2.20 ábra). A stacioner állapotot szá• , )( E·H m1tva: u •

)(

e .

)(

t

l u-C

iedt=O

(2.43)

0

2.20 ábra

vagy

Kondenzátorra dolgozó váltakozó áramú feszültségforrás

.

te=

e du

dt .

Ha u

=

Umax

cos wt,

(2.44)

TT

(2.45)

akkor

dU dt

•

= -Wvmax Sin WI,

és

.le=-~ --·"Umaxsmwt . = -

Umax

1

. sin

(2.46)

wt.

wG Az idéSfüggvényeket a 2.21 ábrán láthatjuk. Az áram most 90°-kal megeléSzi a feszültséget (a megfelel{) nullapontokon, illetve maximális értékeken 90°-kal eléSbb halad át). 0°-tól

u::Umax • cos wt

2T

wf

ic=-Icmax sin wt 2.21 ábra Kondenzátor áramának és feszültségének időfüggvénye váltakozó áramú körben

60

most is teljesül a körben Kirchhoff U. törvénye. Vizsgáljuk meg a teljesítmény- és az ener-

energia tárolódik, ezért a kondenzátor energiája ebben a pillanatban nulla. A negatív irányú áram hatására negyedperiódus alatt a kondenzátoron a feszültség eléri negatív értékének maximumát, ami a tárolt energia képletében természetesen u2 miatt pozitív maximumot szolgáltat. Eddig a generátor leadott teljesítménye is pozitív volt (ugyanis a generátor feszültsége és árama a 90°-180° intervallumban egyaránt negatív, szorzatuk pedig pozitív). 180° után az áram előjelet vált, így a generátor teljesítménye a következő negyedperiódusban negatív. E periódus végén a feszültség nullára csökken: a kondenzátor energiája ,,elfogyott''. (Fizikailag: a kondenzátorból visszaáramlott az energia a generátorba; a generátor előbbi ,,negatív'' teljesítménye pedig azt jelenti, hogy a generátor nem leadott teljesítményt, hanem felvett teljesítményt a 180°-270° intervallumban). A következő negyedhullámban a kondenzátor ismét feltöltődik s.í.t. A jelenség hasonló az induktivitás esetéhez. TekintsüK a 2.21 ábrát, illetve annak -90° és + 90° közé eső részét. Ezalatt a kondenzátorban az E villamos térerősség iránya állandó (ha nagysága változó is). Legyen -90° és 0° között az áram a kondenzátoron belül egyező irányú a 2.20 ábrában felrajzolttal. A kondenzátoron az áramot az egyszerűsítés céljából egyben és nem elosztva képezzük. Az áramot körülvevő H mágneses térerősség a kondenzátor külső jobb oldali részében lép ki az ábra síkjából, és a belső oldalon (a feszültségforráshoz közelebb) lép be a papír síkjába. Látható, hogy ha ebben a negyedperiódusban az ábra síkjában felülről lefelé mutató E-t vektorálisan megszorozzuk az ábra jobb oldalán az ábra síkjából kifelé mutató H-val, akkor egy jobbról bal felé mutató, a másik oldalon balról jobb felé mutató Poynting-vektort kapunk, az energia a kondenzátorba áramlik, amíg az fel nem töltődik. Ezek az irányok H megfordulásával megfordulnak, és a kondenzátor energiája (és töltése) ,,kiürül''. Hasonlóan járhatunk el fojtótekercs esetén is: a fojtótekercset képzeljük körszimmetrikus szolenoidnak. A H tisztán tengelyirányú, a tekercs belsejében w körfrekvencia esetén rot H

= jwEE.

(2.47)

lgy hengerkoordinátákkal

oH . E rot H = or e.,, = JWE ,

(2.48)

E= Ee.,,

(2.49)

P = HEez X e'F = - EHe,,

(2.50)

•

vagyis és

ahol e.,,, ez, e, érintőirányú, hosszirányú és sugárirányú egységvektorok. Azaz P sugárirányú - az energia felhalmozódásakor befelé, az energia távozása esetén kifelé mutat. Az okfejtés hasonló, mint az előbb a kondenzátornál, végigkövethető a 2.19 ábrán. Érdemes megjegyezni, hogy ha egy áramkörben sorosan (vagy párhuzamosan) egyszerre van induktivitás

61

és kapacitás, akkor az energia ellenütemben halmozódik fel a kondenzátorban, mint az induktivitásban, így az egyik elembc51 való kilépés utá11 a másik elemben tárolódik az ener• gia. Ha összehasonlítjuk a 2.19 és 2.21 ábrát, azt láthatjuk, hogy ugyanazon feszültséghez az egyik esetben • lL

=

Umax

•

(2.51)

wL sin wt,

a másikban •

le= -

Umax

1 wC

•

sin wt

(2.52)

áram tartozik . •

'

u

I>

u

21'(

L

wt

2.23 ábra Párhuzamos rezgőkör áramai és feszültsége

2.22 dbra Párhuzamos rezgőkörre dolgozó feszültségforrás

A 2.22 ábrán láthatjuk, ha az induktivitást és kapacitást párhuzamosan kötjük, akkor a feszültségforrásnak csak az áramok különbségét kell szolgáltatnia (2.23 ábra). Ha

1 wC = wL,

'

(2.53)

akkor a két áram eredője pontosan nulla, mivel azonos nagyságúak. Vagyis az L-C körben belül folyik áram és leng a teljesítmény. Látható, hogy 0°-nál a kapacitás van feltöltve, az L üres, 90°-nál L feltöltött, C üres, 180°-nál C feltöltött és L üres, 270°-nál L feltöltött és C üres (/. a 2.24 ábrát). Ha ez az ún. párhuzamos rezonancia teljes, és nincs veszteség, akkor a külső körben nem folyik áram, és így az impedancia végtelen nagynak tűnik. Ha a kör soros, akkor

wli =

ULmax

1 • - wC l =

62

TT

.sin wt, •

VCmax Sln Wf.

(2.54) (2.55)

Innen az áram

tele •

1

Uma11.

•

= - - - - stn wt. 1 wL--wC

ures

..L

(2.56)

T

1 _J_ 1

frekvencián) éppen nulla (soros rezonancia). Vizsgáljuk. . meg a sorosR-L-C(állandó)elemekbői álló váltakozó áramú kört (2.25 ábra). Az áramkört ideális feszültségforrás táplálja, ·amely w = állandó körfrekvenciájú váltakozó feszültséget szolgáltat. Jelöljük u-val és í-vel a feszültség és az áram pillanatértékeit, továbbá U-val és I-vel ezek effektív értékét (állandosult állapotban). Ekkor

= )"2u sin wt.

_j_

90°

1 Ha wL = wC , akkor a soros impedancia (ezen a kör-

u

••

..L

270°

T

'

2.24 ábra

Párhuzamos rezgőkör elemei közötti teljesítmény lengés

•

I

R

-!>-

(2.57)

L

C

--

u

A hurokegyenlet az ábra alapján 1

. L di u- Rl -

dt

1 --

"d l t

e

0

= ·

(2.58)

2.25 ábra

Váltakozó áramú soros R-L- C kör

0

illetve az egyenlet differenciálása és átrendezés után (2.59) Oszcilloszkóppal való megfigyelés azt mutatja, hogy ilyen esetben az áram is szinuszos lefolyású lesz, de fázishelyzete nem egyezik a tápfeszültség fázishelyzetével. Ezt a megoldásban egy rp szöggel vesszük figyelembe, amely a két görbe egymáshoz viszonyított fáziseltolódása:

i

=

)Í21 sin (wt+rp).

(2.60)

Ismert U, w, R, L és C, ismeretlen I és rp (ahol cp negatív is lehet). A differenciálásokat végrehajtva és behelyettesítve, y'2-vel és w-val mindkét oldalt elosztva I Rcos(wt+ kiszámítható. A megoldás során kiderül, hogy q> nem függ U-tól, hanem csak a hálózat R, L és C paramétereitől, valamint w-tól. I persze U-tól is függ. A továbbiakban nem ezzel a módszerrel számítjuk ki az ismeretleneket, hanem az Euler-relációk felhasználásával írjuk át a (2.6Ib) egyenletet. Mivel (2.62a) •

,

es •

Sin 1X

•

e11_e-1" = ---·-2j -•

•

•

•

•

- 1e1"+1e-1x • ' 2

(2.62b)

,

1gy

I 2

R+j wL-

=

1 wC

ei(wl+qi)+ !_ R-i wL- l _ e-j(wt+qi) . wC 2 '

u ., u

·w1

= (2.63)

2 el"' + 2 e-l '

vagy átrendezve

1 2

U-I R+j wL- ~

ei'I' eiwt +

1 U-I R-j coL- l +-wC 2 Ha az U cos wt =

u

hosszúságú,

u . u . -- e +- e2

1 01 '

ellenkező

2

1 1 "'

e-i'I' e-Jwt = 0.

(2.64)

feszültséget a komplex síkon ábrázoljuk, akkor két

irányban forgó vektort (fazort)* kapunk, amelyek összege minden

2 pillanatban a valós tengely irányába esik és a feszültség pi/lanatértékét szolgáltatja (2.26 ábra). Látható az is, hogy e két vektor egymás konjugáltja.

•A vektort a fizikában, a matematikában és a műszaki gyakorlatban két - egymással összefüggő - értelemben is használják: egyrészt mint síkbeli vagy térbeli irányított mennyiséget (a skalároktól megkülönböztetve), másrészt általánosan oszlop- vagy sorvektor értelemben, tehát valamilyen rendező elv szerint összeállított mennyiségek rendszereként. Ilyen értelemben például egy háromfázisú áramrendszer i., i 6 és i, áramai tömören felírhatók egy háromelemű oszlopvektorba; ugyanakkor 50 Hz-es állandósult állapotban ezen áramok bármelyike jellemezhető egy-egy komplex számmal mint vektorral. Az említett kettősség megszüntetésére az elektrotechnikai gyakorlatban elterjedőben van a fazor kifejezés, amely a meghatározott fázishelyzetű komplex vektort (komplex számot) jelenti. Amikor a két fogalom együtt jelenik meg (például komplex vektorokból, azaz fazorokból képezünk oszlopvektort), akkor erre a megkülönböztetésre kellene áttér11ünk. Mivel azonban a fazor megkülönböztető használata még nem terjedt el, mi sem használjuk. Feltételezzük, hogy az olvasó így is meg fogja tudni különböztetni a fenti két fogalmat.

64

w

2.26 ábra

A feszültség pillanatértéke mint két

különböző

irányban forgó vektor

eredője

Ez az átírás azért fontos, mert segítségével az állandósult váltakozó áramú hálózatok jelenségeit leíró valós argumentumú, valós értékfi függvények [az u(t) és i(t) feszültségés áramhullámok] matematikailag leírhatók megfelelő konjugált komplex vektorpárok össugeként vagy, mint a későbbiekben kimutatjuk, ezen komplex vektorpárok egyikével. A (2.64) egyenlet teljesül, ha a kapcsos zárójelen belüli mennyiségek nullát adnak:

U

I

2

2

-·---

R+j wL- ~

U - !__ R - j wL- l 2 2 wC

ei'I

= 0,

e-jrp

(2.65a)

= 0.

(2.65b)

Bevezetjük a következő megkülönböztető jelöléseket, valamint segítségükkel definiáljuk az alábbi skaláris és komplex vektoriális mennyiségeket. A feszültségek és áramok pillanatértékeit kisbetűkkel jelöljük [pl. u(t), i(t)]. Ugyanezen mennyiségek időben szinuszos változása esetén értelmezett effektív értékét kurzív nagybetűvel jelöljük: U és /. Ez egyben jelenteni fogja az alább értelmezett komplex vektorok abszolút értékét (nagyságát) is. A komplex vektorokat álló félkövér betűkkel, pl. U, a; a konjugáltakat ...... jellel, ún. kalappal, pl. Ű jelöljük. A fenti jelölésekkel az alábbi komplex vektorok értelmezhetők a (2.65a-b) egyenletek kapcsán: (2.66) U = Uei 0 = U,

-

1 = /eirr,

1

•

(2.61b)

= fe-j"·

z=

1 R+i. O J LwC --·

Z = R-j

(2.67a)

'

l 01L----·

5 Villamosener11ia-rcndszerek 44445. 1.

cuC

(2.684) (2.68b)

65

Ekkor a (2.65) egyenletek (a fenti komplex mennyiségekre való áttéréssel):

u

1

2 - 2

z=

(2.69a)

0,

illetve (2.69b) alakban írhatók. Mivel a (2.69b) egyenlet a (2.69a) egyenlet konjugáltja, ezért matematikailag további információt nem ad. A hálózat passzív elemeit (R, L, C) leíró Z impedancia, valamint a feszültségforrást leíró U és az áramfelvételt leíró 1 vektor összefüggéseit tartalmazó két komplex egyenlet közül elegendő az egyiket fmegállapodásszerűen a (2.69a) típusút] felhasználni a váltakozó áramú hálózatok állandósult állapotának matematikai tárgyalására (a skaláris időfüggvények helyett). Ennek megfelelően a 2.26 ábrán, a valós tengely irányában a feszültség pillanatértékeit szolgáltató két, szembeforgó feszültségvektor közül is elegendő csak az egyiket - az előbbi megállapodás esetén a pozitív w szögsebességgel forgó (az ábrán a felső) vektort - figyelembe venni. A (2.60) és a (2.61b) egyenletek között bevezettünk egy }"2 Iéptékváltozást (az Umax = }"2u csúcsértékréSI az U effektív értékre áttérve), ezután megállapodásszerűen, további

=

léptékváltásként az

~ nagyságú vektorok helyett a teljes effektív értéket felhasználó U nagy-

ságú (amplitúdójú) forgó vektorokra térünk át. (Ugyanezt a léptékváltást az áramvektorokra is elvégezzük.) Az U és I nagyságú vektorokra való áttérés egyenértékű a (2.69a) egyenlet 2-vel való szorzásával, amivel megkapjuk Kirchhoff huroktörvényét komplex vektorokra felírva: (2.70a) U-ZI = 0. Így a valódi feszültségek és áramok [mint valós u(t) és i(t) időfüggvények] helyett az U, 1 és Z komplex mennyiségekkel írható le a 2.25 ábrán látható váltakozó áramú hálózat állandósult állapotban. Amennyiben egy hálózatszámítás során meghatározzuk az U és 1 vektorokat, azokból a pillanatértékek (a fent említett léptékváltásokat és a szembeforgó vektorokat figyelembe véve) így számíthatók: u(t) =

u . 1 }'2 -e'w + 2

ű e-1·w1 2 '

(2.70b)

és i(t) =

1

y'2 2

. eJWI

1

+2

.

e -JWI

•

(2.70c)

Az alábbiakban felsoroljuk az U, 1 és Z komplex vektorok legfontosabb tulajdonságait: 1. A feszültség U vektora (nagysága U) w szögsebességgel forog a matematikai pozitív (az óramutató járásával ellenkező) irányban.

66

2. Az áram 1 'Vektora (nagysága /) ehhez képest állandó rp fázisszöggel eltérve, a feszültségvektorral azonos irányban forog. A rp szög értékét az alább részletezett módon a Z impedancia úgynevezett belső szöge határozza meg. A rp szög tipikus értékei: a) A fázisszög, rp = 0°, ha a hálózat csak R ellenállást tartalmaz. Ilyenkor a feszültség U és az áram 1 vektora fázisban van (együtt f~ognak); b) A fázisszög, rp = 90°, ha a hálózat csak kapacitást tartalmaz. Ilyenkor a feszültség U vektorát megelőzi 90°-kal az áram 1 vektora (,,siet''). e) A fázisszög, rp = - 90°, ha a hálózat csak induktivitást tartalmaz. Ilyenkor a feszültség U vektorát követi 90°-kal az áram 1 vektora (,,késik''). Általános esetben az áramkör konkrét R, L, C viszonyai szabják meg a fázisviszonyokat, a ± 90° intervallumon belül. 3. A hálózat passzív R, L, C adataiból a (2.68a) egyenlet által definiált Z komplex impedancia nem forgóvektor, hanem állandó, ún. belső szöge van, és mint ön• álló vektor ábrázolható az ún. komplex J impedanciasíkon (2.27 ábra). (Matematikailag az impedancia az a kompJe:l!: ope1 R. rátor, amely megszabja U és 1 vektorok relatív fázishelyzetét és nagyságarányát, 2.27 ábra ugyanakkor önmaga érzéketlen _ invari- A komplex impedancia vektorábrája áns - a feszültségre és áramra.) A (2.68a) egyenlet értelmében és a 2.27 ábra jelöléseivel az impedancia belső szöge:

e

z

e=

XL-X.c arc tg . R

(2.71)

A (2. 70) egyenlet átrendezésével megkapjuk az Ohm-törvényt komplex egyenlet formájában: U

= ZI,

(2.72a)

ahonnan az áram 1 komplex értéke (az U feszültség ésZ impedancia ismeretében)

(2.72b) Tekintettel arra, hogy a feszültség és az áram U és 1 vektorainak ro szögsebességgel való forgatása a nagyságok (abszolút értékek) és a rp fázisszög (fázishelyzet) mint alapvető információk szempontjából nem meghatározó (sőt, zavaró), ezért az ábrázolás érdekében m.egállapodásszerűen rögzíthetjük az U feszültségvektort valamely állapotban a komplex síkon, például a valós tengely irányában (ekkor szöge nulla). (Természetesen ekkor az áram vektora is ,,álló'' vektor lesz.) Ebben az egyszerűsítő - és egy bonyolultabb hálózaton csak egyetlen

67

1

feszültségvektorral megtehető - feltétellel a (2.72b) komplex egyenlet az áramvektor kiszámítása szempontjából két skaláris egyenletre bontható. Az áram abszolút értékét az I = U

(2.13a)

z

összefüggés, a feszültséghez viszonyított

1, akkor negatív ellenállást mérhetünk a bemeneten. A 2.32b és 2.32c ábrák a trióda és a tranzisztor egy-egy helyettesítő kapcsolását mutatják.

e

• t>

2.32 ábra

Itt

Néhány függő forrás helyettesítő kapcsolása a) áramtól függő feszültségforrás (uB) vagy áramforrás (iB), b) trióda, e) tranzisztor

u

e}

2. 7 A linearitás fogalma Ha az általunk vizsgált koncentrált elemekből álló hálózat lineáris, akkor alkalmazható a szuperpozíció elve. Koncentrált elemekből álló rendszerekre felírható d'w d(r-l)w ao(t) dt' + ai(t) dt

S

= P+ jQ

ezért az

áram), alakban

cos rp

P

>

>

0,

0,

sin rp de

O;

>

Q

•


0) a fogyasztó által felvett (vagy a generátor által leadott) wattos te(iesítménynek nevezzük. A terminológiát a meddő­ teljesítményre is kiterjesztve az induktív jellegű fogyasztó felé terjedő meddőteljesítményt (Q > 0) az induktív fogyasztó által felvett meddőteljesítménynek nevezzük. (Mint erre későbbi fejezetekben rámutatunk, ehhez valamilyen meddőteljesítmény-forrásból meddő­ teljesítmény leadására lesz szükség.) A 2. fejezet elején említett nyílfolytonos áramirány előnyére itt is rámutathatunk a hálózatelemenként szimmetrikusan (befelé) felvett áramirány-rendszerhez képest. Eszerint nem kell megkülönböztetni külön fogyasztói típusú és külön termelőoldali látszólagos teljesítményábrákat, illetve az S komplex síkon megkülönböztető térfeleket; az S = UI = P+ jQ teljesítményt az adott keresztmetszeten átlépő teljesítménynek tekintjük, és ha pl. a hálózat valódi forrásai (a generátorok) felől a tényleges fogyasztók felé vettük fel a pozitív áramirányt, akkor az adott keresztmetszeten átlépő wattos teljesítmény pozitív (P > 0), amit másképpen úgy mondhatunk, hogy pozitív a fogyasztó által felvett, valamint a generátor által leadott wattos teljesítmény. Az összefüggések gyakorlása és a fogyasztói áramkörökben szokásos induktív jellegű impedancia esetére alkalmazható formulák levezetése céljából vizsgáljuk meg egy soros R-L kör teljesítményviszonyait. Felhasználva a 2.2 táblázat 4. sorának információit, az áram késő fázisszögű a feszültséghez képest, tehát az alábbi felírásban rp < 0 (negatív szám) lesz. Ugyancsak gyakorlásképpen kiindulhatunk sin oJt lefutású időfüggvényekből (az eddigi cos wt helyett). Tehát a feszültségek és áramok:

YlU sin wt,

(2.106a)

i = }Í2/sin(wt+rp),

(2.106b)

u=

ahol rp < 0°. Értékét a 2.27 ábra impedanciavektor-ábrája, valamint a (2.71) és (2.73b) összefüggések felhasználásával számíthatjuk ki. Ezek szerint az impedancia belső szöge

wL

C=arc tg R ,

82

(2.107)

valamint (mivel az áram ugyanannyit késik, amennyi az impedancia

belső

szöge):

-z:.

0 és az impedancia imaginárius része +j-vel szerepel; az egyenértékű admittanciában BP < 0, az imaginárius rész - j-vel szerepel (de változatlanul induktív elemet kell ilyenkor is fizikailag elképzelni, például egy egyenértékű fogyasztói modellben, és nem kapacitást!). Az említett előjelváltási jelenség oka, hogy amíg az U = ZI összefüggésben C> 0 impedanciaszög biztosítja a feszültség ,,sietését'' az áramhoz képest (valójában a fogyasztóra kapcsolt, kiindulásul szolgáló feszültségről vesz fel a fogyasztó késő áramot), addig az 1 = YU összefüggésben 'Y/ < 0 admittanciaszög ,,késlelteti'' az áramot a feszültséghez képest.

2.10 Lineáris passzív kétkapuk Valamely többkivezetésű hálózat két kivezetését (két pólusát vagy póluspárját, mint például valamely helyen a kivezetett fázis- és nullavezetőt) a lineáris hálózatok elméletében kapunak nevezik, ha a kivezetés két vezetője (pólusa) között feszültség mérhető és a két vezetőn a be- és kifolyó áramok azonos nagyságúak. Kapu ilyen értelemben pl. a 2.4la ábrán szereplő, tartalmában nem részletezett hálózat egyik (pl. bal oldali) csatlakozási kivezetéspárja (esetünkben az U1 és 11 árammal jellemezve). Ha egy hálózatnak két-két olyan végző­ dése (két kivezetéspárja) van, amelyek mindegyike teljesíti a kapura vonatkozó feltételt, akkor kétkapuról van szó. (Pl. a 2.4la ábrán az U 1 feszültségű kivezetéspár az egyik kapu, az U2 feszültségű kivezetéspár a másik kapu.)

94

A kétkapu niegjelölés érvényes mind a 2.4/a ábrán szereplő általános hálózatra, mi11d például a 2.4/b ábrán szereplő T-kapcsolásra. Az utóbbi ábrán az alsó összeköttetés impedancian1entes, és így ez a vezetékszál (a két kivezetés ellenére) ,,egy pólusnak'' tekintendő. Tehát a b) ábrán szereplő hálózat ilyen értelemben hárompólus. [Összefoglalva: kétkapu, mert két független kivezetéspárja van, hárompólus, mert három különböző potenciálú kivezetése van, és négy áramkötéssel köthető össze az esetleges szomszédos hálózatokkal.

I, 1

u,

Zs

1

[>

,.

hatózat -

2'

0

b}

0

2.41 ábra Kétkapu általános jelölése (a) és T-helyettesítése (b) szimmetrikusan felvett áramirányokkal

A későbbi fejezetekben részletesen ismertetett hálózati helyettesítő kapcsolások egyik pólusa általában kitüntetett ,,referencia'', impedancian1entes vezetőszál lesz (ún. nulla vezető), mint amilyen a 2.41b ábra szerinti hálózatba11 az alsó összeköttetés, de általános esetben a 2.4/a ábra szerinti hálózati struktúrákkal is dolgozhatu11k. Ez az ábra például kétkaput, de négypólust ábrázol.] A kétkapu megjelölésű hálózat csak az U 1 és U 2 különbségfeszültségekkel jellen1zett kivezetéspárokon építhető tovább (zárható le). Nem alkalmazhatók a kétkapuelmélet összefüggései olyan általános lezárások esetén, amikor pl. feszültségforrást vagy nlérőmű­ szert a 2.4/a ábrán az 1' és 2' vagy az 1' és 2 kapcsok közé iktatnánk. Ilyen esetben csak az általános négypóluselmélettel oldhatók meg a problémák. A kétkapu megjelölésű hálózatok az m póluspárral rendelkező, 111 kapus (közös referenciavezető esetén m+ 1 kivezetésű) hálózatok speciális esetei. A hálózati áramköri számításokhoz szükséges helyettesítő kapcsolásokat általában elemi kétkapukból építjük fel, és a bonyolultabb eseteket kétkapuk kombinációjára vezethetjük vissza. Ezért a kétkapuk legfontosabb összefüggéseivel külön és részletesen foglalkozunk.

2.10.1

A kétkapuk végponti jellemzői közötti összefüggések impedancia- és admittanciakarakterisztikákkal

A kétkapu nlegjelölésű hálózatot - nlint írtuk - kapcsain négy mennyiség jellemzi: az U 1, U 2 , 11 és 12 feszültségek, ill. áramok (2.4/a-b ábra). E négy mennyiség között a passzív hálózat adataitól függő összefüggések írhatók fel, mégpedig úgy, hogy két mennyiség tetszőlegesen felvehető (ezek matematikai értelemben független változók, fizikai értelemben bemenetek lesznek és ismertnek tételezendők fel), a másik két mennyiség pedig két egyenletből álló egyenletrendszerrel számítható. A felvehető függetlenváltozó-variációk

95

az alábbiak lehetnek:

U2 .

..-

I~

' .

U1

•

1., •

-

u ..11

•

tehát összesen hatféle választással élhetünk. A kétkapu végponti menyiségei közötti összefüggések egyenleteinek egy lehetséges típusa az alábbi: U1 = Z11l1+Z12l2.

(2.146a)

U!! = Z21l1+Z22l2.

(2.146b)

vagy

-

z.,--..

•

(2.146c)

A feszültségek oszlopvektorát U-val, az áran1okét I-vel, az in1pedanciamátrixot pedig Z-vel jelölve, írható: U= Zl.

(2.146d)

A (2.146) összefüggések elsősorban olyan fizikai eset számítására alkalmasak, amikor az I oszlopvektorban szereplő áramok (1 1 és 12 ) a független változók (az ismertnek feltételezett ,,bemenetek''), és ezekhez számítjuk ki a hozzájuk rendelhető U (azaz U1 és U2) feszültségvektort mint függő változót (az ismeretlen következményeket, ,,kimeneteket''). Ebben a gondolatmenetben 11 és 12 szükségszerűen áran1generátoroktól származó kényszertáplálások. A (2. 146) típusú összefüggéseket ho111ogén i111pedanciakarak teri'sztikáknak nevezzük. A (2.146) általános egyenletekben szereplő z,k i111pedanciapara1néterek a következő­ képpen definiálhatók (az összefüggések akár nlérési úton, akár adott nlodellhálózat esetén számítási úton, a konkrét hálózati adatok isn1eretében lehetővé teszik az impedanciák meghatározását, lásd még a 2.42 áb1·át): (2.147a) (2.147b) (2.147c) (2.147d)

Ezek az ú11. üresjárási 111érésponti és átviteli (transzfer) i111pedanciák.

96

I,

I 2 =O I>

t u,

•

hálózat

l 1 =O 0

r/-

u, t

. ' holorot

a)

b)

2.42 ábra

Üresjárási mérésponti (a) és transzfer (b) impedancia értelmezése

Gyakorlásképpen a 2.4/b ábra hálózatára: (2.148a)

Z11 = ZA+Zc, Z12 = Zc, Z22 = Zs+Zc,

(2.148b)

= Zc,

(2.148c) (2.148d)

Z12 = Z21

(2.149)

Z21 •

vagyis ,

es

ZA = Z11-Z12 Zs = Z22-Z12.

(2.150a) (2.150b)

A kétkapu végponti mennyiségei között a (2.146) egyenletekhez képest.fordított hozzárendelés is lehetséges, mégpedig úgy, hogy a független változó (ismert) U feszültséghez számítjuk ki az 1 áram vektort. Ekkor az összefüggések az alábbiak: (2.151a)

11 = Y 11U1+Y12U2, 12 = Y21U1+ Y22U2,

(2.15lb)

vagy

-

Y11

(2.151c)

•

Tömörebben, mátrixegyenlettel felírva: (2.151d)

l= YU.

I,

I, ---!>

u,

' 1

•

•

halozot

u2 =0

U,--0

.,. t hórOZO

a)

b)

2.43 ábra Rövid zárási mérésponti (a) és transzfer ( b) admittancia értelmezése

7 Villamoseneraia-rendszerek 4444.5;1.

97

Az Y;k együtthatókat admittanciapara1nétereknek nevezzük. A paraméterek értelmezése (2.43 ábra): Y11

=

11

1

U 1

,

(2.152a)

,

(2:152b)

,

(2.152c)

.

(2.152d)

1 lu,=O '

Y21

-

12 = U . l iUz=O

Y12

11 = U 2 U 1 =0

12 ! Y22=u. 2

/u, =O

Ezek a rövidzárási bemenő (mérésponti), illetve átviteli (transzfer) admittanciák. Itt tehát a megszakítás helyett rövidzárás van. Gyakorlásképpen, a 2.41b ábra hálózatára:

Y11

11 11 Za+Zc = -- = -----=-=- , U1 ZA+_Z_a_Z_c_ ZAZa+ZAZc+Z8 Zc 11

(2. l 53a)

Za+Zc Zc

1

(2.153b)

(2.153c)

(2. l 53d)

[Látható, hogy •

(2. l 53e) hasonlóan a (2.149) összefüggéshez]. A Z1 2 = Z 21 és az Y 12 = Y 21 egyenlőségek a rec·1proc·itás elvét fejezik ki. Rec·1prok hálózatra példa lehet minden lineáris passzív kétkapu (négypólus). Nen1 reciprok az olyan hálózat, amelyben például félvezetők vannak, és ilyen például a girátor is. A reciprocitás szemléltetésére végezzük el a következő kísérletet, és alkalmazzuk a (2.146) egyenleteket megfelelő peremfeltételekre. Legyen 11 = 1 A

és

12 = 0.

l

l

Ekkor az U 2 feszültség értéke

•

'

98

(természetesen ez nem általános ké.plet, hanem a speciális lezárásnak megfelelő számérték U2-re). Cseréljük meg az árambetáplálások (áraminjektálások) helyeit, azaz legyen 12 = l A

és

11 = 0 . •••

Ekkor

Ha Z12 = Z21, vagyis a hálózat reciprok, akkor a fenti eredményt így lehet összefoglalni. Ha az. l oldalon (az egyik kapun) egy áramgenerátor betáplál általános esetben 11 = 1 áramot, miközben a 2 oldal meg van szakítva, akkor a 2 oldalon (a másik kapun) megjelenik a Z 211 feszültség; ha megcserélve, a 2 oldalon injektálunk 12 = 1 áramot, miközben az 1 oldal van megszakítva, akkor az előbbivel azonos értéket adó Z12I = Z21I feszültség az 1 oldalon jelenik meg. (A hálózat az ,,átviteli hatás'' szempontjából oda-vissza szimmet'rikusan viselkedik.) Ugyanezt a táplálási felcserélést elvégezhetjük a (2.151) egyenletek lezáró peremfeltételeire is. Legyen U2 = 0 és U1 = 1, akkor Y12 = Y21 esetén

Ha U1 = 0 és U2 = l, akkor

vagyis ha az egyik oldalon az egyik kapura kapcsolunk U feszültséget és a másik oldalon (kapun) mérjük a rövidzárásban az áramot, akkor a feszültségforrás és a rövidzár (ampermérő) felcserélésével azonos értéket mérhetünk. Könnyen megállapítható, hogy a (2.146) és (2.151) típusú egyenletfelírás együtthatói egymásnak nem reciprokai, azaz Y11

-,é.

1 z 11 ,

(2.154a)

-,é.

1 z . 12

(2.154b)

és .

y 12

A teljes impedancia-, illetve admittanciamátrixra viszont fennáll az alábbiakban levezetett összefüggés :

U= ZI, l

= YU,

U = (ZY)U; •

vagyis (2.155a) 1•

99

az egységmá.trixot adja, illetve Y=

z-1.

(2.155b)

Eszerint tehát elég az egyik mátrix ismerete, a másik ebből számítható. A 2.41b ábra T-kapcsolására levezetett összefüggések alapján, gyakorlásképpen kimutatjuk a (2.155a) azonosság fennállását. A ZY =E szorzás mátrixelemeit a (2.148) és (2.153) egyenletek tartal mi1zzák. A mátrixszorzás elvé~7ésére bemutatjuk azt a formai eljárást, amely a sor-oszlop kombinálást, valamint e1 r· ~zeredmények megfelelő helyre írását mechanikussá teszi. E számítási eljárás az eredményt a jobb alsó mezőben szolgáltatja. A módszer mátrixok láncban való szorzásának elvégzését nagymértékben egyszerűsíti és az eljárást mechanizálja, ugyanis bármely részeredményből az ismertetett eljárással tovább folytatható a mátrixszorzás. Például:

ZB+Zc ZAZB+ZAZc+ZBZc Zc -ZAZB+ZAZc+ZBZc -------Zc (ZB+Zc)

1 0

Zc ZAZB+ZAZc+ZBZc ZA+Zc

0 1

A (2.146) és (2.151) típusú összefüggések alkalmazásával kapcsolatosan az alábbiakra hívjuk fel a figyelmet. 1. Szokás használni Y 11 , Y 12 stb. inverzét mint impedanciát (rövidzárási n1érésponti és átviteli impedancia néven); ebben az esetben (2.156a) (2.156b)

Természetesen z;1,

(2. l57a)

Z12 7"' Z~2·

(2.l57b)

Z11

7"'

A (2.156) egyenletekben értelmezett impedanciákat csillaggal jelölve különböztettük meg ~(2.146) egyenletekben szereplő impedanciáktól. A (2.156) egyenleteket azonban egyszerHbb lenne a megfelelő admittanciákkal felírni, ezenkívül ezek az impedanciák nem azonosak a (2.146) egyenletekben szereplő, de azonos indexű impedanciákkal, és így a tévesztés veszélye is fennáll. E két ok miatt általában nem kívánatos a csillaggal jelölt típusú impedanciákat használni. E könyvben ezt be is tartjuk, kivéve, ha valan1ilyen külön-

100

1 •

1

leges ok alkalmazását mégis szükségessé teszi. Ekkor azonban ismét külön felhívjuk a figyelmet a kétféle impedanciaértelmezésre. 2. A 2.41 ábrának megfelelő szimmetrikus, befelé mutató áramfelvétel esetén az Y 12 transzfer admittancia negatív előjelű, amint ezt a T-kapcsolás példáján kiszámítottuk (lásd a 2. l 53b_ és e egyenlete). A negatív előjel érvényes marad akkor is, ha a (2.156) típusú összeimpedanciára térünk át. Ezek a negatív függésben szereplő, csillaggal jelöit 2 tran_szfer • előjelek azt tükrözik, hogy egyoldali táplálás esetén a másik oldalon az áram nem belép, hanem kilép a passzív hálózatból: Például ha a 2.41b ábrán U 2 = 0, egy rövidzár segítségével, és U 1 -;:: 0, akkor az 11 áram belép a hálózatba, az 12 áram kilép a hálózatból. (A ,,belép'' és ,,kilép'' fogalmát komplex Z, U és 1 értékek esetén általánosítva kell érteni, és ,,szó szerint'' csak ohmos ellenállásokból felépített passzív hálózat egyenfeszültségű táplálása esetén érvényes.) Mivel az 1 és 2 kapukra - általános esetben - nincs bemenet-kimenet megkötésünk, ezért indokolt, hogy pozitív iránynak szimmetrikus, bemenő áramirányokat vettünk fel. Megemlítjük, hogy a z;k transzfer impedancia értelmezhető úgy is, hogy az impedanciával kapcsolatos előjelváltást ,,kiemeljük'' a vegyes indexű tagok elé. Ebben az esetben egy általános n kapura a következő egyenlet érvényes:

z;

k

=

l, 2, ... , n,

•

(2.158)

és így a z;k együttható mindig pozitív előjelű a passzív hálózat elemeivel kifejezve. 3. Ha a kétkaput meghatározott energiaáramlású hálózatba kapcsoljuk, és U 1 csatlakozik a generátoroldalhoz, az 12 áram pedig fogyasztói körzetet lát el, akkor szokás használni olyan pozitív irányt 12-re, ahol 12 iránya ellentétes a 2.41 ábrán felvetthez képest, vagyis. kilép a 2 jelű kapun. Ekkor vagy előjelet kell váltanunk az 12 árammal kapcsolatos tagokban a korábbi egyenletekben (2.15lc, 2.156b), vagy beleértve azelőjelváltásta megfelelőegyütt­ hatókba, megváltozik 1 és 2 előjele egy konkrét számítás során. 4. Ha a négypólusnál U 2 = 0 és ismert U 1 mellett mérjük (kiszámítjuk) 12-t, és ugyanezt megcserélt feszültségekkel is elvégezzük, akkor szimmetrikus irányfelvételek esetén azt. kapjuk, hogy

z; z;

(2.159a) illetve (2.159b) vagyis a reciprocitás miatt nem négy független paraméter van, hanem csak három. 5. Ha ezenkívül még (2.160a) illetve Y11

=

Y22,

(2..160b)

akkor azt mondjuk, hogy a kétkapu (négypólus) két végpontjára szimmetrikus. Ilyenkor a független paraméterek száma csak kettő: Z11 és Z12.

101 • •I

6. Példánkban könnyen ellenőrizhető, hogy ha ZA = Zs = 0, akkor a négypólusunknak nincs y mátrixa, az mátrix pedig szinguláris. 7. zlk• illetve z;k impedanciák jelölése hasonló a kölcsönös induktivitási tényezőkhöz, illetve kölcsönös kapacitási tényezőkhöz, azokkal azonban nem azonosak. (Ez utóbbiakkal a 4. és 5. fejezetben foglalkozunk.) 8. A kétkapura levezetett összefüggések n kapus hálózatra általánosíthatók. 9. Általános esetben a négypólus tartalmazhat feszültség- és áramforrásokat is. Ekkor általános lineáris (nem homogén), nem passzív kétkapu esetével van dolgunk. Ilyen pl. az alábbi: U1 U2

Z11 Z21

-

Z12 Z'\!2

(2.161)

Látható, hogy ha 11 = 12 = 0 (megszakítás), akkor U1 = U10,

(2.162a)

U2 = U20.

(2.162b)

...,.

,

Atrendezéssel (2.161) ismét homogén alakra hozható: U1-U10 U2- U20

-

Uí U2

-

Z11 Z21

Z12 Z22

11 12 .

(2.163)

2.10.2 A kétkapuk átviteli (lánc-) karakterisztikái, végponti egyenértékű helyettesítések A 2.10.1 fejezetben felsoroltuk, hogy a kétkapuk négy végponti mennyisége közül hányféleképpen választhatunk kételemű független változót, és foglalkoztunk azokkal az esetekkel, • amikor a független változónak tekintett vektor vagy két feszültség, vagy két áram volt. ' A gyakorlati számításokban olyan megválasztás is széleskörűen alkalmazásra kerül, amikor a kételemfí oszlopvektorok egyik komponense feszültség, a másik áram. Tekintsük át azokat az eseteket, amikor e feltétel mellett még az oszlopvektorok komponenseinek indexe .azonos. Mosi tehát az alábbi két-két mennyiség között fogunk felírni összefüggéseket: ,

es •

A fenti megválasztást egyrészt az indokolja, hogy az adott kapun jesítmény az S =

UI

•

átlépő

látszólagos telösszefüggéssel, az adott kapun jelentkező terhelés impedancia alakjá-

U ban pedig a Z = hányadossal közvetlenül számítható. Másrészt - mint látni fogjuk 1 . . az így választott oszlopvektorokkal matematikailag jól kezelhető összefüggéseket kapunk, amikor egyszerűbb hálózatokból bonyolult hálózatokat építünk fel. •

102

A 2. fejezet elején, valamint a 2.10.1 po11tban említettük, hogy ha a hálózatrészek sorba kapcsolásával folyamatos energiaáramlású hálózatot hozunk létre, akkor az egyes részhálózatok (,,dobozok'') vizsgálatakor nem a szimmetrikus, hanem az ún. folytonos áram, iránnyal célszerű dolgozni. lgy a 2.44 ábrán jelölt I'2---I2 I1 pozitív irányokkal (tehát a 2.41 ábrához képest for--il> dított 12 pozitív iránnyal) fogjuk felírni az egyen•

[>

r, --

u,

r - - - - - - - . I2 -1>

Zs

u,

Yic

2.46 ábra

2.47 ábra

Soros impedancia mint négypólus

Söntadmittancia mint négypólus

3. A keresztirányú adn1ittancia ( 2.47 ábra) Yk átviteli 1nátrixa: (2.174)

Üresjárásban U 1 = U 2 , vagyis A = l, szim111etria miatt D = A; soros impedancia nincs, így B = 0.

106

'4. A 2.48 ábrán levő fémes soros kötés átviteli mátrixa:

1

0

0

1 .

(2.175)

I,

I,

-E>

u, 2.49 ábra Fémes keresztbekötésnek két kapu

2.48 ábra Fémes soros kötésnek kétkapu

megfelelő

megfelelő

5. A 2.49 ábrán szereplő fémes keresztbekötés átviteli mátrixa:

-1 0 0 -1 .

(2.176)

6. A szimmetrikus IT-kapcsolás (2.50 ábra) átviteli mátrixa a (2.173-174) egyenletek alapján: r 1 o l Zn 1 0 (l+ZnY) Zn (2.177) n= 1 0 1 Y 1 Y(2+YZn) (l+ZnY) '

lv

1 behelyettesítésével illetve Y = Zn Zn l+ Zn 1J

=

2 Zn Zá +z[l

Zn (2.178)

•

Zn l+ Zó

I, --IE>

u, z;

u„• '

1

Zi=y

' 2

1

3.

hálózatrész

a)

b)

2.50 ábra

Szimmetrikus fi-kapcsolás (a) és annak részhálózatai (b)

107

)

Megjegyezzük, hogy a vesszős megkülönböztetést itt - és értelemszerűen a könyv más fejezeteiben - az ún. keresztirányú (sönt) elemek megjelölésére haszn&ljuk. A (2.178) összefüggésből megállapítható, hogy a Il-kapcsolásra

Zrr A=D= l+Zn'

(2.179a)

B = Zrr,

(2.179b)

2

Zrr

(2.179c)

e= zn + zíi • amiből

' B Zrr =A-l·

(2.180)

7. A szimmetrikus T-kapcso/ás (2.51 ábra) átviteli mátrixa: T=

1 ZT 0 1

1 0

y

(2ZT+Yzt) (YZT+ 1) '

1

(2.181)

illetve

1

Y = Zí- helyettesítéssel

T=

(2.182)

•

u,

' 1 Zr=y

u2

I ; '1 V1 •

2.

1.

3.

hálózatrész

a)

b}

2.51 ábra

Szimmetrikus T-kapcsolás (a) és annak részhálózatai (b)

A (2.182) egyenletből

ZT A=D=l+zr,

(2.183a)

zt B= 2ZT+ Z].'

(2.183b)

e= 108

1

z.r·

(2.183c)

Ebből

ZT =

A-l

t

.

(2.184)

8. Vizsgáljuk meg az ideális transz/or111átor átviteli mátrixát. A transzformátornak ( 2.52 ábra) legyen T = Te1°, tehát komplex áttétele: ]'

T = U1,

1 -[>

(2.185a)

u.,-

T:1

(2.185b) 2.52 ábra

A

A nevezőbe azért került T, mert a primer oldalon betáplált és a szekunder oldalon kilépő teljesítn1énynek meg kell • egyeznie:

Ideális transzformátor mint négypólus

(2.185c) (Egyébként, ha T a komplex síkon {)szöggel jobbra forgat, akkor jobbra. Így az áram és a feszültség együtt fog elfordulni.) A fentiek mátrixalakban:

--

T

0

0

1

u„-

•..-

A

T

1/T balra, és 1/ Tismét

(2.186)

'

ha T = l, akkor

-

ei0

0

0 •

ei0

(2.187)

ahol AD- BC

= et'!.f>

.rf

l,

tehát az átvitel nem reciprok. A (2.185a-b) egyenletek felírásakor ideális transzformátort vettünk fel, amelynek szórási reaktanciája nulla, mágnesezési reaktanciája végtelen nagy (n1ágnesező árama nulla). Ilyen transzformátor természetesen nincs, emiatt a 2.52 ábra négypólusa, valamint a (2.186) egyenletben szereplő átviteli mátrix csupán a valódi transzformátor (komplex) átvitelét veszi figyelembe. Amennyiben a niodellezésben a most elhanyagolt szórást és mágnesezési ágat is figyelembe akarjuk venni, akkor az áttételt reprezentáló ,,dobozt'' ki kell egészíteni további egységekkel. A transzforn1átorok részletesebb helyettesítő kapcsolásaival a további fejezetekben foglalkozunk. A fentebb szereplő egyenletek és összefüggések folytonos áramirány-felvétel eseté11 érvényesek.

109

2.10.4

Kétkapuk bemeneti impedanciái esetén

különböző

lezárások

A 2.10.1 és 2.10.2 fejezetekben önmagában vizsgáltuk a kétkapukat, a 2.10.3 fejezetben a kétkapuk lánckapcsolására vonatkozó számításokat mutattuk be. Mindhárom fejezetben közös volt, hogy a szélső kapukra csatlakozó hálózatokkal, az ún. lezárásokkal nem foglalkoztunk, tehát csak mint valamilyen nagy hálózat részei jelentek meg az eddig analizált részhálózatok. Bizonyos elvi és gyakorlati kérdések - amelyekkel a későbbi fejezetekben fogunk foglalkozni - szükségessé teszik annak vizsgálatát, hogy hogyan viselkedik valamely négypólus például az 1 kapun mint bemeneten, ha a 2 kapun ~int kimeneten egy Zt koncentrált terhelőimpedanciával .. lezárjuk. Szimmetrikus négypólus azonosan fog viselkedni, ha a két kapun a terhelést és a bemenetet megcseréljük, az aszimmetrikusok pedig nem. A lezárással ellentétes kapun mérhető U /1 hányadost az adott kapun mérhető mérésponti (bemeneti) impedanciának nevezzük. Az általános mérésponti impedancia speciális esetei és jelölései: Zu az üresjárási mérésponti impedancia, amikor az ellenkező kapu üresjárásban van (nyitott), zrz a rövidzárási mérésponti impedancia, amikor az ellenkező kapu rövidzárásban van. A mérésponti impedanciák terhelésfüggésének ismeretére hálózatok reflexiómentes (illesztett) csatlakoztatása, a wattos vagy meddő teljesítI, --IC> ményviszonyok optimális biztosítása céljából van szükség. ABCD U1 Lí1 A mérésponti impedancia tetszés szerinti hálózatra érte!2.53 ábra mezhető, tehát akár koncentKétkapu mérésponti impedanciájának értelmezése rált elemekből, akár megoszló paraméterű elemekből (távvezetékekből) áll a vizsgált hálózat. A 2.53 ábrán az A, B, C, D paraméterekkel leírt hálózatot a 2 kapun egy Z 2t terhelőimpedanciával zártuk le, ahol a lezárás feltételeinek megfelelő egyenlet: (2.188a)

Írjuk fel az 1 kapun a Z 1m mérésponti impedanciát, először az 1 kapu adataival, aztán az átviteli (lánc-) mátrix segítségével, a 2 kapu adataival kifejezve: (2.188b)

Mind a számlálót, mind a nevezőt 12-vel végigosztva, az 1 kapun érvényes mérésponti impedancia a láncparaméterek és a 2 kapun elhelyezett terhelés (lezárás) segítségével

110

így

fejezhető

ki:

(2.189)

A fenti képlet általános összefüggést szolgáltat, és tetszés szerinti négypólus bármely lezárása esetén igaz (csak a kapukat nem szabad felcserélni, ha a négypólus nem szimmetrikus). A mérésponti impedancia értékei speciális lezárások eseté11 és feltételezve a gyakorlatban általánosabb reciprok, szimmetrikus kétkaput (hálózatot), an1ikor is az A = D egyenlőség fennáll, az alábbiak. 1. Az üres_járási n1érésponti impedancia a (2.189) egyenletből a Z 21 .... = határátmenet •• esetén számítható: Z1u =

A

C.

(2.190)

2. A rövidzárási mérésponti i111pedanc:ia a (2.189) számítható: •

egyenletből

B Z1rz = D.

a Z 21 = 0 helyettesítéssel

(2.191)

akár koncentrált elemekből épül fel, akár megoszló paraméterű távvezetékből áll - értelmezhető a Zo hullámimpedancia. Mint ismeretes, egy szimmetrikus távvezeték esetén a Zo hullámimpedancia egyik definíciója: az a koncentrált lezáró (terhelő) impedancia, amelyet ha a 2 kapocspárra helyezünk, akkor az 1 oldalon (bemeneten) mérésponti impedanciaként ugyanezt az • impedanciát mérjük (vagyis mintha a távvezeték ott sem lenne). Ezt a definíciót általánosítva a kétkapukra, a (2.189) egyenletből a

3. Adott szimmetrikus kétkapu (négypólus) esetére -

(2.192) helyettesítéssel

Zo = AZo+B CZo+D egyenletet kaphatjuk, sával

Zo=

amelyből

B

e·

(2.193) átrendezéssel és az A = D szimmetriafeltétel kihasználá-

(2.194)

111

A (2.190) és (2.191) egyenletek összeszorzása és négyzetgyökvonás után (az A= D felhasználásával) megállapítható, hogy a hullámimpedancia az üresjárási és rövidzárási mérésponti impedanciák mértani középarányosaként is értelmezhető, illetve számítható:

Zo

=

(2.195)

YZ1uZ1rz·

Megjegyezzük, hogy ha a kétkapu nem szimmetrikus, akkor a felsorolt mérésponti és hullámimpedancia-képletek egy része módosul, és min_den említett impedanciára két értéket kapunk, attól függően, hogy a kétkapu melyik oldalát tekintjük bemenetnek. Ezekkel a kérdésekkel részletesebben fogunk foglalkozni a 9. és 10. fejezetben, a megoszló paraméterű távvezetékek és azok állandósult állapota vizsgálatakor. A (2.179-2.194) egyenletek jobb oldalán szereplő A, B, C, D állandók a kétkapuk impedancia- és admittancia-paramétereivel is kifejezhetők (lásd például a 2.10.2 fejezetben szereplő egyenleteket).

2.10.5 Thevenin és Norton elvének alkalmazása két- és többkapukra A Thevenin-helyettesítésnél az a cél, hogy egy hálózatot - jelen esetben először egy kétkaput - egy valóságos feszültségforrással helyettesítsünk. Ehhez ismerni kell a helyettesítő feszültséggenerátor U8 feszültségét és Z 8 impedanciáját. Ezek meghatározása két lépésben történhet (2.54 ábra): [ 9 =0

'

O;

b)

2.54 ábra Thevenin-helyettesítéshez szükséges mérések ••

a) Uresjárásban meghatározzuk U8 -t az általunk kijelölt pontban. (Miután

R.,

(2.243c)

0

0

• Ez a helyettesítő kapcsolás 1 : 1 áttételre u 1 érvényes, és ha ez nem teljesül, akkor az áttételt megval6sító kétkaput (négypólust) még sorba kell kötni (lásd a 2.52 ábrát és a hozzá 2.67 ábra tartozó egyenleteket). 'franszforlllátor helyettesitése i: áram forditott , Attérve az eddig is alkalmazott folytonos irányával áramirányra (2.67 ábra), a pillanatértékekre vonatkozó differenciálegyenlet a (2.229a-b) egyenlethez hasonló szerkezetű, de az i2-vel kapcsolatos tagok előjelet váltanak:

. di1 di2 U1 = Ri11+L11 dt -L12 dt '

(2.244a)

. di2 di1 U2 = -R2l2-L22 dt +L21 dt .

(2.244b)

A (2.244b) egyenlet helyességéről meggyőződhetünk egy, az u1 oldaláról való bekapcsolási folyamat minőségi képének ismertetése útján: az u1 feszültség hatására az i 1 áram di növekedése visz át feszültséget a 2-es oldalra az L2 1 d; tagon keresztül. A hatására elinduló i2 áram kifolyik a 2-es kapcson, pl. egy külső terhelés felé, de az ellenálláson (és szórási reaktancián) fellépő feszültségeséssel csökkentett értékű lesz az u2 kapocsfeszültség. Legyen a transzformátor ismét 1 : 1 áttételű, és alkalmazzuk a folytonos áramirányú helyettesítést. A 2.68 ábrán bemutatjuk, hogy a valódi transzformátorból az ideális transzformátor absztrakciója hogyan származtatható. Mivel a szórási reaktancia nagyságre~ · dekkel kisebb, mint az Xm mágnesező ág reaktanciája, ezért Xsz - 0 határátmenet a szórási reaktancia elhanyagolható. Az Xm mágnesező ág viszont éppen nagy reaktan-

I, ---

Xszl

-o

I

0

---

u,

u,

a) 2.68 ábra Ideális, 1 : 1 áttételű transzforlllátor

b) helyettesitő

kapcsolása

125

ciája miatt kis lm mágnesező áramot vesz fel a transzformátor soros 11 és 12 áramaihoz képest. Tehát ha lm ... 0, akkor ez egyenértékű az X m ág elhagyásával. Ha a 2.68a ábrán ezeket a változtatásokat végrehajtjuk, akkor a 2.68b ábrát kapjuk. Ez az eset nem különböztethető meg attól, amikor egy kétkapuban (fekete dobozban) csak egy soros átkötés van, és az index nélküli 1 áram folyik át az ideális, 1 : 1 áttételii transzformátoron. Az ideális transzformátor tehát úgy származtatható a valódi transzformátorból, hogy a) elhanyagoljuk a tekercselés ellenállását,

b) nincs szórási raktancia, e) a mágnesező áram és a vele kapcsolatos kölcsönös fluxus közel nulla, d)

Ni

N = állandó, 2

e) a vas veszteségmentes.

A transzformátorok szokásos helyettesítésekor a soros szórási reaktanciát általában nem fogjuk elhanyagolni. A transzformátorral kapcsolatos részletes ismereteket az erőát­ viteli transzformátorokról szóló fejezetben tárgyaljuk.

2.11.4 A kölcsönös impedanciák kiküszöbölése A továbbiakban megvizsgáljuk, hogyan helyettesíthetők egyszerii, kölcsönös impedanciát is tartalmazó hálózatalakzatok. Vizsgáljunk két párhuzamos vezetéket, amelyeknek kölcsönös impedanciájuk is van. Ezt kapcsos zárójellel jeleztük a 2.69 ábrán.

ZAA

A

l

A

A

t>

ZAB Zss

ZA

e I

I t>

A

t>

I

Zs B 1

e

Zc

t>

t>

B

a)

b}

2.69 ábra

Kölcsönös impedanciával csatolt vezetékek helyettesítése

Ha az IA és 18 azonos vagy kb. azonos, akkor az egyik ágban folyó áram átindukál a másik ágba, és látszólag nagyobb lesz a feszültségesés, mint ha csak önimpedancia volna. Három mérést végzünk a két egyenértékű impedanciahármason : 1. A-C között folyik az áram, B árammentes. Az impedancia értéke (2.245a)

126

2. B-C között folyik az áram, A árammentes. Az impedancia (2.245b)

Zss = Zs+Zc. 3. A-B között folyik az áram, C árammentes.

(2.245c) Ebből

z„ = z„„-z„s, (2.246)

Zs= Zss-Z.As és

Zc =ZAB·

1

I

I I> A=B

Is

z

-t> A=B - - - L - ------.

ZAB I> •

u

Zss

e

u

;:>

•

e a)

b)

2.70 ábra

Két végén összekötött csatolt vezetékek helyettesítése

Ha nem akarjuk külön megtartani az A és B pontot, akkor a helyettesítést a 2.70 ábráit láthatjuk. Ebben az esetben a fel írható hurokegyenletek :

U-ZA„IA -Z„sls = 0,

(2.247a)

U-Zssls-ZAslA = 0, 1-IA-IB = 0.

(2.247b) (2.248)

A (2.247a-b) egyenletekből (2.249) • 1gy

1 = IA

(2.250)

vagy (2.251)

127

Hasonlóan Is = 1

Z..t..t -ZAB Z..t..t+Zss-2Z..ts

(2.252)

és (2.253) Ebből

z=

U = Z..t..tZss-Z~s . 1 Z..t..t+Zss-2Z..ts

(2.254)

Ha Z..ts = 0, akkor a párhuzamos impedanciák ismert eredé> értékét kapjuk. Ha például Z,t 8 = 50 ohm és ZA..t = Z 88 = 100 ohm, akkor

1002 - 502 Z= 100+ 100-2·50 = 15 ohm. Ha viszont szimmetrikus a két ág viselkedése, és az ún. önimpedanciák megegyeznek, azaz

valamit azonosak a kölcsönös impedanciák is, azaz

akkor a (2.254) képlet ilyen alakú Jesz: (2.255)

=---- •

2

Láthatóan a két azonos önimpedancia párhuzamos kapcsoJásánáJ érvényes összefüggés (Zön/2) még módosul a kölcsönhatás Zköics/2 értékével. Az itt röviden kimutatott jelenséggel részletesebben a 4. fejezetben foglalkozunk, amikor egymással mágneses csatolásban levé> távvezetékek eredé) impedanciáját számítjuk. A

•

IA

A

'

I>

Zss

8

•

Is

18

•Zsc

Zcc /

I>

e •

a) 2.71 dbra

Három, kölcsönös impedanciákkal csatolt vezeték helyettesítése

128

Zs

8

•

[>

e

IA

.zAC

•ZAB

t>

Zc

L e

-

J

t>

b}

Alakítsuk át a teljesen általános csillagot önimpedancia-csillaggá (lásd a 2.71 ábrát). Az A - B kapocsra:

(2.256a) Az A-C kapocsra:

ZAA+Zcc-2ZAc = ZA+Zc.

(2.256b)

A B-C kapocsra: (2.256c)

Zss+Zcc-2Zsc = Zs+Zc. Bár111ely két egyenletet összeadva és az ciklikusan megismételve kapjuk:

eredményből

ZA = ZAA+Zsc-ZAs-ZAc. Zs = Zss+ZAc-Zsc-ZAs. Zc = Zcc+ZAs-ZAc-Zsc-

a harmadikat levonva, majd ezt

(2.257a) (2.257b) (2.257c)

2.12 Viszonylagos egységek A

hálózatszámítást könnyíti, ha a hálózatban szereplő valamennyi mennyiséget viszonylagos egységekre számítjuk át (jele: v. e.). Az átszámítandó mennyiségek nyilván a feszültség és az áram, valamint ezek szorzata, a teljesítmény, és hányadosa, az impedancia. Négy mennyiségről van szó, de ha az áram és feszültség alapértékeit megválasztottuk, akkor az Ohm-törvény és a teljesítmény-összefüggés miatt a másik két mennyiség már adódik. A viszonylagos egységekre azért van szükség, hogy az azonos feszültségszintre hozott hálózatban áttekinthető és azonnal értékelhető módon történhessenek a számítások. Például, ha 840 V feszültségesésről van szó, azt nem tudjuk rögtön értékelni, mert ez 10 kV-ra vonatkoztatva 8,4%, de már 100 kV-ra csak 0,84%. A választott közös feszültségszintet a feszültség alapértékének fogjuk tekinteni. A viszonylagos egységekkel lényegében azonosan számolunk, mint a százalékos egységekkel. A különbség mindössze az, hogy nem szorzunk százzal, és így tizedes törttel számolunk. Az előbbi példában tehát 8,4% helyett 0,084-et írunk. Ennek az eljárásnak előnye, hogy műveleteket végezhetünk a viszonylagos egységekkel, és a kényelmetlen 100-zal való osztást, szorzást elkerülhetjük. Minthogy egyfázisú helyettesítő sémában dolgozunk, célszerű, ha a háromfázisú rendszer fázisfeszültségével (V), vonali áramával (A), egy fázis impedanciájával (Q) és a háromfázisú teljesítmény egyharmadával (VA) számolunk. 9 Villamosencrgia-rendsurck 4444!1 I.

129

A viszonylagos egységek alapmennyiségeit tetszőlegesen választhatjuk meg. A választás helyes, ha olyan gyakorlati szempontok szerint történik, hogy a nyert eredmények azonnal és jól, minimális számítási munkával felhasználhatók. A fizikai dimenzióval rendelkező mennyiségeket úgy számítjuk át viszonylagos egységekre, hogy minden egyes mennyiséget az alapul vett mennyiséggel elosztunk. A továbbiakban a megfelelő mennyiségek alapértékeit ,,al'' indexszel jelöljük. Összefüggések az alapmennyiségek között:

l 1

_ Sa1 (VA) I al - Ua1 (V)

z _ al -

(A

(2.258a)

), 2

Ua1 (V) _ U!1 (V ) lai (A) - Sal (VA)

(2.258b)

(il).

Rendszerint a feszültség- és teljesítményalapot szoktuk megválasztani, és az áram, valamint az impedancia alapmennyiségét a fenti módon kiszámítani. Az impedanciát viszonylagos egységben a fentiek alapján a következőképpen kapjuk :

z (v. e.)=

Z(il) = Z(Q) Sa1~VA)' Za1(il) U:1(V)

(2.259a)

•

és fordítva : 2

Ui1(V ) Z (Q) = Z (v. e.) Za1 (Q) = Z (v. e.) Sai (VA) .

(2.259b)

Ezek az összefüggések egy fázisra vagy szimmetrikus háromfázisra vonatkoznak, ahol a feszültség fázisfeszültség, a teljesítmény az összes teljesítmény harmadrésze. Például tekintsünk 120 kV·os háromfázisú rendszert, melyben 120 MVA teljesítményalapot választunk.

ual =

120000

}"3

= 69 300

v•

120 608 Sa1 = =40·10" VA. ;

,

Ezekből

kiszámíthatjuk az 1.1-et és Za1·et:

40·10" . lai = = 578 A, 69 3 103

•

'

z.,

69 300 = 578 120 0.

5 5 Ha egy távvezeték impedanciája ohmban Z = 1,5 +j5 0, akkor viszonylagos egységben ~ • +j = 0,0124+ 120 +j0,0416 v. e. Az ugyanebben a rendszerben fellépő 52 kV-os fázisfeszültség értéke relatív egységben 52000 - - = 0,75 v. e. 69300

A szakkönyvek sokszor nem a fenti képleteket, hanem a háromfázisú teljesítményt és a láncolt feszültséget tartalmazó képleteket adják meg. Tekintettel arra, hogy az egyfázisú helyettesítő vázlathoz fogalmi szempontból jobban kapcsolódnak az általunk

130

1

n1egadottak, a kétféle képlet pedig gyakorlatunk szerint állandó számítási tévedéshez vezet, az alternatív képletcsoportot nem adjuk meg. A számítások során felmerült az alapmennyiségek változtatásának szükségessége. A rendelkezésre álló mennyiségek egy része közvetlenül ohmban áll rendelkezésre, például vezetékek impedanciái. Más impedanciák, például gépek és transzformátorok impedanciái a saját teljesítmél)yükre megadott viszonylagos egységekként szerepelnek. Előfordul, hogy impedanciákat más feszültségalapra és más teljesítményalapra kell átszámítani. Nézzük a (2.259a) képletet, és tegyük fel, hogy a tényleges Z (Q) adott, és felvettük az alapfeszültséget is, amelyet állandónak tekintünk. Két alapteljesítményt veszünk fel S 01-et és S02-t, ezekhez tartozzék Z 1 és Z 2 • Z1 (v. e.) Sa1 ---=-, Z2 (v. e.) Sa2

(2.260a)

vagy Sa2

Z2 ( v. e.) = S

Z1 (v. e.),

(2.260b)

al

ha Sa2 > S 01 , az új Z 2 viszonylagos egységben számított impedanciaérték számszerűen nagyobb lesz, mint a régi Z1 volt. Ha a feszültségalapot változtatjuk adott impedanciának más feszültségalapra történő számításánál változatlan teljesítményalap mellett, akkor (2.259a) alapján: Z 2 (v. e.) U!1 Z 1 (v. e.) = ----',,-2 Ua2 '

(2.26la)

illetőleg

(2.26lb) Ha Ua2 > U01 , akkor nyilván Z 2 számszerű értéke csökken. (2.260a)-t és (2.26la)-t fizikailag is értelmezhetjük. Ha az alapáram folyik az alapimpedancián, az alapfeszültség adódik. Ha tehát az alapteljesítményt megnöveljük adott feszültségen, ez nagyobb alapáramot jelent, és így az adott impedancián nagyobb feszültségesést okoz; viszont a viszonyítási alap, a feszültség állandó. Ha a feszültségszintet emeljük, akkor az adott impedancián kisebb lesz a V-ban mért feszültségesés, mert az állandónak feltételezett teljesítményt kisebb árammal visszük át. Ezt a kisebb feszültségesést nagyobb alapfeszültséghez hasonlítjuk, ezért változik az alapfeszültség négyzetével fordítva arányosan a Z impedancia értéke viszonylagos egységben. Összefoglalva, a viszonylagos egységekkel történő számítást az alábbi lépésekben kell elvégcmi: a)tekintjük a transzformátorok által határolt körzeteket; b) felvesszük a teljesítmény- és feszültségalapot (fázisfcszültség), melyek egyezhetnek valamely hálózati elem névleges adataival; • e) minden körzetben a felvette! awnos teljesítményalapból és a transzformátorok áttételével átszámított fcszültségalapból kiszámítjuk az áram- és impedanciaalapokat; d) meghatározzuk a feszültségek és impedanciák értékeit viswnylagos egységben, a megfelelő alapokkal való osztással.

„

„

131

Példa viszonylagos egységekkel történő számításra: ' Adott a következő hálózat (2.72 ábra): -

-

-

-

-

-1- -

1 G

-

-

7il

r1 1

1 1

-

-

-

-

7il

r21

V.1

-

-

V-2

-

--

:

8---1( :o )1'-----1( 0:)1---;I 1 1 1

_, 1 1 1

L-----'------~----~ Tr 1

G

U„ = 10,6 kV S„ = 44MVA xl = 200°/.

U„.,/U„1 = 132/10,S kV S„ = 40MVA X=8%

Tr 1 U,.z/U„1 = 126/36,75 kV S„ = 24 MVA x = 10"/o

x.1 = 2on x.: =

40

2.72 ábra

Hálózati elrendezés és adatok a viszonylagos egységekkel való számolás példájához

először

Az 1. körU:tben választjuk meg

az alapmennyiségeket. Legyen

kV, MVA,

10 z

-

z - u. s. •1 -

(3 = 2 n, ~so~

1 1

3

so 103 3

= 2890 A.

10

(3 A 2. körzet alapmennyiségei:

s.1

=

s.1 =

so

MVA.

3 132

(3

12S,8

(3

U.: = U.1 10,S =

kV.

(3 12S,8

1

1

z • 1 -- u;. Y3 s.1 - --=so-=----

l

=

316

n,

3

s.r l 1 =--= • u••

so · 1()-1 3 12S,8

(3

132

= 230

A.

1

A 3. körzet alapmennyiségei:

.S = s. = so 1 4 3

MVA,

36,75

u.,. = u••

)ÍJ

36,6

kV,

=~

126

)ÍJ

)ÍJ

36,6

Z.a=

U:a =

s..

1

3 --'--f3"'".,--'-_

= 26,9 n,

so 3

I.3 =

S4

u.a

so · 103

3 = -·~~ = 788 A. 36,6 )ÍJ

Az 1. körzetben szerepló impedanciák átszámítása viszonylagos egységre: 10,6 z G;

u:

X~)

X (v. e.) =

1

s„ z.1

)ÍJ 44

200 100

-

1 -2 = 2,SS ,

3

10,S z

Tr1:

X (v. e.) = X(%) 100

.!!E!

1

s„ z.1

-

)ÍJ

8 100

40 -3

1

2 =

0,11.

·'

Ugyanerre az eredményre jutunk, ha a transzformátor ( 132/fj) kV-os feszültségére számítjuk a reaktanciát, és a z..-vel osztunk. 13>;j 1

z„

~-

)ÍJ'.

8 100

1

40 ··~=0,11. 3

•

A 2. körzetben szerepló impedanciák átszámítása viszonylagos egységre: X (v. e.) = X ( v. e. )

z..

20 = = 0,0633, 316

X(!l)

= X(%)

100

fP.1 l s„ z..

_

10 1261 l 100 24 316 = 0•21 ·

A 3. körzetben szerepló impedanciák átszámítása viszonylagos egységre: X(v.e.) =

X(íl) Z

•3

4 = = 0,149. 269 '

A feszültségeket, áramokat, teljesítményeket ezek után szintén viszonylagos egységben számítjuk.

133

Ha a hálózat sehol sem terhelt, és a generátor névleges feszültségre van gerjesztve, akkor az 1. körzetben a feszültség visionylagos egységben:

10,6

u.

f3 10

= 1,06 v.

e.

f3 Ugyanekkor a feszültség a 2. körzetben 132 10.6

f3

y'J

10,5

f3

Uz=

132 10

f3

f3

10,5

= 1,06 v. e.

f3

Hasonlóképpen a 3. körzet feszültsége is U3 ...:. 1,06 v. e., vagyis U 1 = U 1 = U 3 , ami megfelel azon feltételezésünknek, hogy a hálózat üresen jár. A hálózat tetszőleges terhelése esetén a hálózat egy pontján megadott feszültségből és az impedanciák viszonylagos értékben megadott adataiból az áramok, a teljesítmények és az egyes pontok feszültségei az egyfázisú áramkörökre érvényes összefüggések szerint számolhatók. Az így kapott értékek viszonylagos értékek. Ha a tényleges értékekre vagyunk kíváncsiak, akkor a viszonylagos egységben kiszámított értékeket kell megszoroznunk az illető körzetre érvényes alapmennyiséggel. Pl. ha a számítás során az adódik, hogy az áram J...•. = 0,8-j0,6 v. e., ez az 1. körzetben 11 = = (0,8-j0,6)2890 = 2312-jl734 A áramot, a 2. körzetben 11 = (0,8-j0,6)230 = 184-jl38 A áramot jelent.

134

3. Többfázisú hálózatok aszimmetrikus üzemmódjának számítása

A villamosenergia-átvitel és az elosztóhálózatok túlnyomórészt háromfázisú rendszerben épültek, és ez várhatóan a jövőben is így lesz, legalábbis még hosszú ideig. A fogyasztók egy része hat, tizenkét, esetleg még több fázist is igényel, rendszerint egyenirányítók táplálására. A fogyasztók, különösen a kisfogyasztók jelentős részben egyfázisúak, de euket úgy csoportosítják, hogy a terhelés a három fázisban hozzávetőlegesenszimmetrikussá váljék, így ezek az átvitel és a villamosenergia-ter111elés szempontjából szimmetrikusnak tekinthetők.

Háromfázisú az a rendszer, amelynek három fázisvezetöje és esetleg egy nullavezetöje .. . . van. A három fázis vezető feszültsége - a földhöz vagy a nullaponthoz képest - azonos nagyságú, de a szinuszos lefolyású feszültségek mindegyike 120° -120°-kal eltér a másiktól. Ha a fogyasztó az egyik fázisvezető és a földpotenciálon levő nullavezető között van, akkor egyfázisú. Elképzelhető olyan megoldás is, ahol az egyik fázisvezető a földhöz képest + U, a másik fázisvezető - U feszültségen van, vagyis a két fázisvezető feszültsége között 180° a különbség. Ezt a rendszert kétfázisúnak hívjuk (szokták ezt is egyfázisúnak nevezni, és azt a rendszert kétfázisúnak, amelyben 90°-os eltérés van a két fázis feszültsége között). A passzív vezetékrendszer a három fázisban gyakorlatilag szimmetrikus, vagyis mind a három fázisvezető azonos keresztmetszetű és anyagú. Az elhelyezés olyan, hogy a három vezető térbeli helyzete közel azonos. Nagyobb vezetékeknél fáziscserét alkalmaznak, hogy a végpontokra kiegyenlítsék a fázisok közötti aszimmetriákat. Azt mondhatjuk, hogy normális iiremmód esetén a vezetékek jó közelítéssel szimmetrikusnak tekinthetők. A háromfázisú feszültségforrások, a fogyasztók, az áramok és a feszültségek is szimmetrikusak. (Meg kell jegyezni, hogy amíg a passzív rendszer szimmetriája azt jelenti, hogy a három fázisban az impedanciák stb. azonosak, addig feszültségek és áramok esetén csak az abszolút értékek azonosak, és a fázisszög a maximális értékek között 120°; továbbá a fáziskövetési sorrend a, b, e, azaz ebben a sorrendben érik el az egyes fázisok feszültségei, illetve áramai a maximális értéküket.) Amint látni fogjuk, szimmetrikus hálózaton a zavarmentes állapot alkalmas egyfázisú helyettesítő sémával való tárgyalásra. Nehezebb a helyzet, ha helyileg különböző aszimmetriák lépnek fel. E problémák megoldására szolgál a szimmetrikus összetevők módszere . • Miután ez a módszer a szuperpozíción alapszik, körültekintően kell a hálózat linearitását mérlegelni. A következőkben - ha mást nem kötünk ki - kizárólag stacioner 50 Hz-es jelenségekkel foglalkozunk.

135

A szimmetrikus összetevlSk gondolata ellSször 1912-ben vetlSdött fel L. G. Stokvis egy cikkében, amelyben a harmadik harmonikusok problémáival foglalkozott. Hasonló cikket publikált A. Blondel 1915-ben. 1918-ban C. L. Fortescue publikálta az elslS teljesen a szimmetrikus összetevlSkről szóló közleményt, és a következőkben először az lS gondolatmenetével ismerkedhetünk meg. A szimmetrikus összetevők módszerét és hasonló módszereket C. F. Wagner, R. D. Evans, valamint E. C/arke és sokan mások tovább tökéletesítették.

3.1 Szimmetrikus összetevők 3.1.1

Többfázisú aszimmetrikus feszültség- és áramrendszer felbontása szimmetrikus összetevőkre

Miután sokféle többfázisú rendszer van, ezért a képleteket az általánosság kedvéért n fázis esetére vezetjük le. Legyenek az n fázisú rendszer fázisfeszültségei U0 , U6 , ••• , Un. E feszültségek komplex mennyiségek, a komplex síkon ábrázolva ezeket nagyság és elrendezés szempontjából aszimmetrikus vektorcsoportot kapunk. Azt fogjuk megkísérelni, hogy az adott n komplex vektort felbontjuk n számú szimmetrikus (komplex) rendszerre. Egy-egy rendszeren belül n összetevlS vektor van. Így minden adott vektort n összetevőre, az n vektort összesen n 2 összetevőre bontjuk. Egy

összetevő

rendszeren belül két szabályt állítunk fel:

a) A rendszeren belül minden komponens hossza azonos. b) A rendszeren belül az a, b, e, ... , n fázisok feszültségei egymást azonos fázisszöggel követik, mégpedig a k-adik rendszeren belül az a, b, e, ... , n vektorok egymás közötti szöge ek, ahol

ek =

-k

360° n

= -ka.

[k = 0, 1, 2, ... , (n-1)],

(3.1)

és 360°

or.=--. n

(3.2)

Például a k = 0 rendszer, a zérus sorrendű rendszer, n számú azonos hosszúságú és egymással 0° szöget bezáró vektorból áll. A k = 1 rendszerben (amit pozitív sorrendű rendszernek hívunk) a vektorok közötti szög

136

vagyis ebben a rendszerben a vektorok hossza azonos, és a fázisok követési sorrendje, na a vektorcsillag a felvett pozitív irányban forog, a-b-c·- ... -n, és egyetlen fordulattal minden fázis sorra kerül. A k = n-1 (háromfázisú rendszerben a k = 2) sorrendű összetevőket negatÍl' sorrendű­ nek nevezzük, mivel ekkor a fázisok követési sorrendje éppen a pozitív sorrendű összetevőkének fordítottja. Tekintsünk egy n fázisú aszimmetrikus feszültségrendszert. Legyenek a fázisfeszültségek Ua, Ub, ... , Un. Határozzuk meg a rendszer szimmetrikus összetevőit. Jelölje pl. Ua1c az Va fázisfeszültség k-adik szimmetrikus összetevőjét. Ekkor kiinduló egyenletrendszerünk a következő: Ua = Uao+ Ua1+ Ua2+ ... + Ua(n-1)• Ub = Ubo+ Ub1+ Ub2+ ... + Ub• Uc = Uao+ e-ft"Ua1 + e-i4"Ua2+ ... + e-ft"Uacn-1>• •

(3.5)

• •

A fenti egyenletekben az egyes feszültségeket az a fázis szimmetrikus összetevőinek segítségével fejeztük ki, így az a fázisnak kiemelt szerepe van a többihez képest. Ezért ezt a fázist referenciafázisnak nevezzük. Az első oszlopban mindenhova Uaa·t írhattunk, hiszen a zérus sorrendű vektorok azonosak. A többi oszlopban az a referenciafázis vektorait forgattuk a szükséges pozícióba. Így n egyenletet kaptunk n ismert és n ismeretlen mennyiséggel. Oldjuk meg ezt az egyenletrendszert!

137

Adjuk össze a (3.5) egyenletrendszer bal és jobb oldalát: Ua+ Ub+ Uc+ ... +Un= nUao+ U 0 1[l+e-1"+e-1211 + ... +e-i tevője az elektromotoros erőnek nincs. A hálózat az a, b, és e fá3.9 ábra Az árazisokban szimmetrikus. Szimmetrikus háromfázisú hálózat közvetlenül földelt mok és valamely kapocsnál mércsillagponttal hető U feszültség aszimmetrikus. , Jrjuk fel a három fázisra a feszültségegyenleteket Kirchhoff II. törvénye értelmében. Az áramok aszimmetrikusak, tehát rögtön szimmetrikus összete\·őikkeJ írjuk fel őket, és szorozzuk a velük szemben mutatkozó impedanciákkal:

"

Uu 11 -Zoluo-Z1Ia1 -Z2Ia2- U„ = 0, a 2Ua 11 -Zol„o-Z1a21a1 -Z2ala2- Ub = 0,

(3.63)

aV„ 11 -Zol„o-Z1al„1-Z2a 21„2- Uc = 0. ,

Irjuk be a feszültség szimn1etrikus

összetevőit:

U„g-Zol„o-Z1la1-Z2lu2- U„o- U„1- U„2 = 0, 2 a U„i:-Zol„o-Z1a 2I„1-Z2al„2- U„o-a2U„1-aU„2 = 0, aU„i:-Zolao-Z1ala1 -Z2a210 2- U„o-aU„1-a 2Uu2 = 0.

(3.64)

Szorozzuk a második egyenletet a-val, a harmadikat a 2-tel, es adjuk össze a három egyenletet: ,

(3.65)

Szorozzuk a második egyenletet a 2-tel, a harmadikat a-val, és adjuk össze a három egyenletet: (3.66) A három eredeti eg)·enletet adjuk össze: (3.67) A szimmetrikus viszonyok között érvényes összefüggést a (3.65) egyenlet tartalmazza. Az ekkor érvényes feszültségeloszlás a helyettesítő hálózattal a 3./0a ábrán látható.

158

z, --

lao

Uog

Ua2

3.10 ábra A feszültség s:i:immetrikus összetevőinek eloszlása a) pozitív, b) negatív, e·) zérus sorrendű hálózat mentén

Negatív és zérus sorrendű elektromotoros erő nincs, illetve 11 negatív és zérus sorrendű elektromotoros erő nulla. Ez a negatív, ill. zérus sorrendű hálózatban rövidzárnak felel meg. Az ezekhez tartozó feszültségeloszlást a 3.JOb és e· ábr{l szemlélteti. A visszavezetés impedanciamentes helyettesítésével a 3.3 fejezet elején t'oglalkozunk. Az előbb már láttuk, hogy a cson1ópontok száma az összetevő hálózatban megegyezik az eredeti hálózat csomópontjainak számával. Most azt látjuk, hogy valamely összetevő hálózatban levő hurkok száma is megegyezik a hálózatban levő hurkok szán1ával. Egy ilyen hurokban a valóságos hálózat áramának valamely összetevője folyik. A hurokban szereplő in1pedanciák a valóságos hálózatnak vala1nelyik komponenssel szen1ben tanúsított impedanciái. Ha a három összetevő hálózat megfelelő ágaiban a pozitív áramirány nem azonos, ak1

,

'

n I,

' -.... Ut•g ·. '· '

,

,

"'----(1:::Ji-=---..i.l.::Lb~

3.11 ábrc1

Szimmetrikus háromfázis(1 hálózat

z. impedancián keresztül földelt csillagponttal 159

Külön meggondolást igényel a csillagpont feltüntetése az összetevő hálózatokban. Pozitív sorrendű alapperiódusú áramoknál a csillagpont Unt feszültsége megegyezik a referenciának. tekintett föld feszültségével: Un1 = U11 = 0. Hasonlóan a negatív sorrendű hálózatban: U112 = V 12 = 0. A zérus sorrendű hálózatban niár más a helyzet. irjuk fel a 3.11 ábrán látható háromfázisú generátorra és impedanciákra az összefüggéseket. A 3.11 ábra abban különbözik a 3.9 ábrától, hogy az n és /között niostZn impedancia van. Ezen az impedancián 11 = 10 + Ib +le = 3Ia0 áram folyik át. Így a (3.63) és (3.64) minden egyenletét a Zn-en kelet·· kező feszültségeséssel ki kell egészíteni. Az egyenletek felírásakor itt is a földtől mint referenciától indulunk el. Pozitív irányban haladva az 11 áram feszültségesést hoz létre. Így a Z)1 előjele negatív lesz. A Znll = 3Znla0 feszültségesés úgy is felfogható mint az Ia0 áramnak 3Zn impedancián l.étrehozott feszültségesése. A (3.64) egyenleteket ezek alapján kiegészítve a következőket kapjuk: -{3Zn)Ia0+ Ua,-Zolao-Z1la1-Z2la2-Uao- Ua1-Ua2 = 0, -(3Zn)la0+a2Ua1-Zolao-Z1a2 1a1-Z2ala2-Uao-a2Ua1-aUa2 = 0, -(3Zn)Ia0+aUa1-Zola0-Z1ala1 -Z2a21a2-Uao-aUa1-a2Ua2 = 0. Az egyenleteket összeadva: -{3Zn+Zo)lao = Ua0. A (3.65) és (3.66) egyenlet és ezekkel együtt a 3.lOa és 3.lOb ábra továbbra is érvényben marad. Tehát a pozitív és negatív sorrendű hálózatban nincs semmilyen következménye annak, hogy Zn impedanciát helyeztünk el a föld és a csillagpont közé. A zérus sorrendű hálózatot és a hozzá tartozó feszültségeloszlást most a 3.12 ábra mutatja. n 0 és/0 közé most, 3Zn impedancia került, az ezen beIa0 U00 következő feszültségesés miatt a zérus sorrendű hálóJZ,, zatban az n0 és /o különböző potenciálúak. Az n 0 és az fo potenciál csak akkor azonos, ha Z,, = 0. HaZn = =, akkor ez szakadást jelent a zérus sorrendű hálózat.. ban, ezért zérus sorrendű áram nem folyhat. Ha ekkor Ua0 feszültséget helyezünk a zérus sorrendű hálózat kapcsaira, akkor a zérus sorrendű hálózat bármely pont·· Uao ja és az/0 pont között ez a feszültség az uralkodó. n~L.IJJ.JJ.l.UlllWUilill Mivel elektromotoros erő a zérus sorrendű háló0 3.12 ábzatban szimn1etrikus esetben nincsen, ezért a 3.12 ábra . ra egyúttal nlegfelel olyan szin1metrikus passzív impeA zérus sorrendú feszültség-összetevő danciacsillag képének is, ahol impedancia van n és eloszlása Z.. impedancián keresztül földelt csillagpont esetén /között. (

•

zn

160 •

•

3.1.4.2

Összefüggések a fázis- és a vonali mennyiségek között

A 3.13 ábrán szimmetrikus impedancia-háromszöget rajzoltunk fel. Ez állhat három önimpedanciából, de az is elképzelhető, hogy ez egy transzformátor deltatekercselése. Jelöljük: az áramok pozitív irányát az ábrán látható módon, és írjuk fel az a, b és e csomópontokra a Kirchhoff-egyenleteket: la =

lac - lba•

lb = lba - lcb•

(3.68)

--[>

a

la

le = lcb - lac•

•

A (3.68) egyenletek alapján felrajzoljuk a pozitív sorrendű áramok vektorábráját. Először a deltában folyó áramokat ábrázoljuk. Az Icbl áramot felrajzolva a máso- e b --[> dik index betűjéből indulunk ki. Pozitív·

oldalán hat tag szerepel, mindegyik egyszer pozitív, egyszer negatív elé>jellel, így nyilván: (3.73)

1•

!

í

A (3. 73) azt jelenti, hogy ha a táplálás deltatekercsbe vagy deltatekercsb61 történik, akkor a vonali áramnak zérus sorrendfi összetevője nem lehet. Ez fizikai meggondolás alapján is egyszerűen belátható. A zérus sorrendű áram mindhárom fázisban minden pillanatban egyirányú és azonos nagyságú. Ha a zérus sorrendű áramoknak nincs visszafolyási lehetéSségük, azok nem is folyhatnak. Mivel zérus sorrendfi áramok csak a földön keresztül tudnak visszafolyni, s itt nincsen kapcsolat a földdel, a deltába befolyó vagy a deltából elfolyó vonali áramoknak nincs zérus sorrendfi összetevé>jük. Magában a deltában folyhat zérus sorrendű áram - például ahogy a 3.13 ábrán az áramok pozitív irányát feltüntettük de a deltából nem léphetnek ki, mert minden csomópontban ugyanannyi áram folyik be, mint ki. Az áramok után most a vonali és fázisfeszültségek közötti összefüggésekkel foglalkozunk • ..\ vonali feszültségek a fázisfeszültségek különbségeként állíthatók elé>. A fázisfeszültséget a földhöz mint nullapotenciálú referenciához mérjük ( 3.16 ábra). tb: b --+-------+--....;..._ _ __

J·ubo

.

1

1

Ucb

= Uc-Ub,

Uac

= Ua-Uc,

Uba

= Ub-Ua.

(3.74)

Felrajzoljuk a pozitív sorrendű rendszert ( 3.17 ábra). Először a fázisfeszültségeket rajzoljuk fel, majd a (3. 74) egyenleteket figyelem· be véve a láncolt feszültségeket. A 3.17b ábrát a 3.14b ábrával összehasonlítva látható, hogy a vektorok elhelyezkedése azonos, azz:al a kü-

Jucb e-~-+---------'-~---

3.16 ábra

Háromfázisú hálózat fázis- és vonali feszültségei

lönbséggel, hogy most a kétbetűs indexű vektorok abszolút értéke VJ·szorosa a fázismennyiségek vektoraiénak. (3.69)- és (3. 70)-hez hasonlóan felírható: U al --

·

1 U

Y3

·300 1 ac1e -

1-

a2

- - Uacl,

(3.75)

3

és •

' •

1 l

•

Ua1 = - (, Ucbl· 3

(3.76)

163

lf:b1

Uoc1 licbt

Uot

a}

b)

3.17 ábra

Háromfázisú hálózat pozitív sorrendü feszültségvektorai a) vonali feszültségek mint a fázisfeszültségek különbségei; b) közös kezdőpontból felrajzolt feszültségvektorok

Ua2

a) b) 3.18 ábra

Háromfázisú hálózat negatív sorrendü feszültségvektorai a) vonali feszültségek mint a fázisfeszültségek különbségei b) közös kezdőpontból felrajzolt feszültségvektorok

A negatív sorrendű feszültségek közötti összefüggést a 3.18 ábrán rajzoltuk fel. Az összefüggések a (3. 71) és (3. 72) egyenletekhez hasonlóan:

U a2

=

1 U

y3

-·aoo

ac2'! J

=

l-a -3- u„ ..

(3. 77)

' es •

Ua2

164

=

~j Vcb2·

(3. 78)

Megállapítható, hogy az azonos sorrendű összetartozó áramok és feszültségek azonos irányban, azonos szöggel fordulnak el. , Allapítsuk meg a vonali feszültségek zérus sorrendű összetevőjét: Uac0

=

UbaO

=

UcbO. :-

1

3 (Ucb+ Uac+ Uba) = . •-··

(3.79)

•

A vonali feszültségek zérus sorrendű összetevője tehát azonosan nulla. Ez fizikailag is érthető, hiszen a vonali feszültségek mindig, még szimmetrikus esetben is, zárt vektorháromszöget adnak, és így összegük nulla. Természetesen a fázisfeszültségeknek aszimmetrikus esetben lehet zérus sorrendű összetevőjük .

3.1.4.3

Transzformátorok különböző és helyettesítő vázlatai

sorrendű

impedanciái

A transzformátorok szerepe az energiaátvitelben jelentős. Egyfázisú helyettesítő kapcsolási vázlatukat már a 2. fejezetben ismertettük. Itt a transzformátorokat szimmetrikus összetevők szempontjából vizsgáljuk. A transzformátort a 3.19 ábra szerint képezzük le. Az ohmos ellenállásokat elhanyagoljuk. A helyettesítő sémában Xpés Xs a primer, illetve a szekunder szórási reaktancia (légmagos jellegű) Xm a gerjesztési reaktancia (vasmagos jellegű). Korábban láttuk, hogy Xm >> (Xp+ Xs)· Szigorúan véve, mivel Xm nem állandó, hanem Xm = f(U), a szuperpozíció elvét és így a szimmetrikus összetevők módszerét nem alka!mazhatnánk. Ha három egyfázisú transzformátoron a feszültség nagyon aszimmetrikus, és a három fázisban xm értéke egymástól jelentősen eltér, akkor a ki- 3.19 ábra indulási feltétel, azaz a három fázisban Transzformátor egyfázisú helyettesítő kapcsolása az impedanciák azonossága, már nem áll fenn szigorúan. Ezért nem alkalmazhatók a csupán szimmetrikus impedancia-rendszerre érvényes összefüggések. Xm értéke rendkívül nagy, ezért általában Xp és Xs mellett elhanyagolható, ha zárlatszámításról van szó. Ha egy transzformátor primer és szekunder tekercsében folyik áram, akkor rendszerint Xm-et elhanyagoljuk, és a transzformátort (Xp+ Xs) soros reaktanciaértékkel vesszük figyelembe. Ha a szekunder tekercselésben áram nem tud folyni, és ezért ellenampermenet nem tud kialakulni, a transzformátor mint egy nagy impedanciájú induktivitás szerepel. A gerjesztőáramok sorrendje nem közömbös, mert a mágneses tér kialakulásában ennek jelentős szerepe van. A pozitív és negatív sorrendű reaktanciák egymással megegyeznek, hiszen a transzformátor statikus elem. A zérus sorrendű reaktancia ezektől eltérő értékű, mivel

-

165

/ /

•

a mágneses körök itt máshogy alakulnak. A transzformátorok azon kívül, hogy reaktanciájuk passziv, a' feszültségek és áramok fázisszögét elforgatják (pl. csillag-delta transzfor111átorok ). A forgatás iránya más pozitiv és más negatív sorrendnél, ezt a későbbiekben láthatjuk. Háromfázisú transzformátorok kivitelezése többféle módon valósitható meg ( 3.20 ábra). Egyfázisú egységekből bármilyen kapcsolású transzformátor előállítható. Ekkor a három vastest független egymástól, és az a, b, e tekercsek mágnesesen nincsenek egymással kapcsolatban. Leggyakrabban azonban a háromfázisú magtipust használják. A háromfázisú magtípusú transzformátor mágneses szimmetriája nem tökéletes, mert a középső oszlop helyzete eltér a két szélsőtől, de ha az oszlopokat pozitív sorrendií gerjesztőáramokkal gerjesztik, akkor a három oszlop főftuxusainak összege éppen nulla.

a

e

b

a

e

a) b

b)

-

e

e) .3.20ábra Háromfázisú transzformátorok megvalósitási formái .a) három egyfázisú egység .b) ötoszlopos transzformátor e) köpenytipusú transzformátor d) magtípusú transzformátor

166

a

e

b

d)

----

\

I

\ I \I \/

/ - '\

;'

I

I I

I

j

1 1

1 1 1 1

1 1 \

\

\

,_ _,

•1

j

1

1

/

\ 1 1

I I

1

I

I

\

1

1 1

/\ I \

\

1

1

!

\

1 1 1

1 1

1 1

-"'\

\.

I

-

I /

b)

\

a}

\

3.21 ábra Zérus sorrendű áramokkal gerjesztett magtípusú transzformátor a) zérus sorrendű fiuxusok b) a vasedény hatása

Zérus sorrendű áramokkal való gerjesztés esetén a három fluxus nem tud a vasban záródni ( 3.2Ja ábra}, ezért a levegőben záródik. Tehát a pozitív sorrendű főftuxus gyakorlatilag végig vasban, a zérus sorrendű főftuxus pedig levegőben záródik. Ezért a zérus sorrendű gerjesztési impedancia - a helyettesítő 'vázlatban a keresztirányú ág - lényegesen kisebb a pozitív sorrendűnél. A szórási impedanciák ugyanakkor a pozitív és zérus sorrendű helyettesítő sémákban kb. megegyeznek. A zérus sorrendű gerjesztési impedancia 100%-os feszültséggel gerjesztve törtrésze a pozitív sorrendű gerjesztési impedanciának. Értéke a kapcsolási csoport és a konstrukció függvénye. A zérus sorrendű gerjesztési impedancia nagyságrendje háromfázisú transzformátor esetében viszonylagos egységben kb. 0,4-0,5 - szemben a szórási (Xp+ X5 )együttes kb. 0,1 v. e. értékével és a pozitív sorrendű gerjesztési impedancia lOOnagyságrendű értékével. A pozitív és zérus sorrendű gerjesztési impedancia nagysága között több mint két nagyságrend van. A 3.22 ábrán egy transzformátor pozitív

5%

5%

s1

P,

10%

s,

~c------'t"YY)~------~o

'KJ()()()%

a}

b}

3.22 ábra A transzfon••átor pozitív sorrendű helyettesítő vázlata a) a gerjesztési ág figyelembevételével, b) elhanyagolásával

167

1 '

1 '

i

! '

'

sorrendű

pontos és a gerjesztési ágat elhanyagoló kapcsolási vázlatát n1utattuk be. A 3.23 ábrában ugyanezt láthatjuk a zérus sorrendű vázlatban. A szórási reaktancia mindkét esetben azonos, különbség csak a gerjesztési impedanciánál van.

~

---..J

5%

5% "Y"'I.----

s

0

40%

a}

b)

3.23 ábra A transzformátor zérus sorrendű helyettesítö vázlata a) a gerjesztési ág figyelembevételével, b) elhanyagolásával

A pozitív

sorrendű

kapcsolási vázlatban a Zp 1s 1 átviteli impedancia

5.5 Zp1s1 = 5+5+ lOOOO = 10,0025%. Az egyszerű helyettesítő kapcsolási vázlatban az átviteli impedancia 10%, így az eltérés jelentéktelen. A zárlatszámítás szempontjából fontos a zérus sorrendű átviteli impedancia: 5.5 Zposo = 5+5+ = 10,6%. 40 Ha a gerjesztési ágat elhagyjuk, akkor Zposo értéke 10%. Az elhanyagolással elkövetett hiba itt nagyságrendekkel nagyobb, mint pozitív sorrend esetén. Az elhanyagolással nyert zérus sorrendű átviteli impedancia a valóságnál kisebb, az átmenő áram ennek megfelelően nagyobb. Ha S 0 -t rövidre zárjuk, és ZpoPO-t, a mérésponti impedanciát számítjuk, akkor 5.40 Zpopo = 5 + + = 9,45%, 40 5 míg az egyszerűsített ábrából 10%. Az egyszerűsített ábrából nyerhető mérésponti impedancia nagyobb a tényleges impedanciánál, ennek megfelelően az egyszerűsített vázlatban a ténylegesen befolyó áramnál kisebb áramot kapunk. A zérus sorrendű gerjesztési impedancia elhanyagolása tehát már jelentősebb hibát okoz, mint a pozitív sorrendű gerjesztési impedancia elhanyagolása háromfázisú magtípusú transzformátoroknál. Ennek ellenére rövidzárlati számításoknál a zérus sorrendű helyettesítő kapcsolási vázlatban az egyszerűsített sémát alkalmazzák.

168

1

'

A háron1fázisú niagtra11szfor111átor edényének szerepe