Vibration Exo Corriger [PDF]

Zitiervorschau

Université USTHB – Fac. De Physique - Contrôle continu – GP 2eme année - Avril 2017

Exercice 1 : Système à un degré de liberté

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Une tige rigide, homogène, de masse M =10 kg, de longueur L = 4a (a =025m étant un paramètre) peut pivoter librement dans le plan vertical autour d'un axe passant par O, Ecartée de sa position d'équilibre (θ=0), la tige se met à osciller (Fig. ci-dessous). 1- Equation du mouvement : a. Trouver l’énergie cinétique du système 1 2 1 𝑚(4𝑎)2 7𝑚𝑎2 2 2 2 ̇ ̇ 𝐸𝑐 = 𝐽𝜃 = ( + 𝑚𝑎 ) 𝜃 = 𝜃̇ 2 2 12 6

2

b. Trouver l’énergie potentielle (l’énergie gravitationnelle étant simplifiée à cause de l’existence de la déformation initiale)

1 1 1 𝐸𝑝 = 𝑘(𝑎𝜃)2 = 𝑘𝑎2 𝜃 2 2 2 c. Trouver la fonction de dissipation D 1 9 2 1 𝐷 = 𝛼(3𝑎𝜃̇ ) = 𝛼𝑎2 𝜃̇ 2 2 d. Etablir l’équation de mouvement en fonction de la coordonnée angulaire θ en précisant les expressions du facteur d'amortissement δ et de la pulsation propre ω0. 7𝑚𝑎2 𝜃̈ + 9𝑎2 𝜶𝜃̇ + 𝑘𝑎2 𝜃 = 0 3 𝟐𝟕𝜶 3𝑘 𝜃̈ + 𝜃̇ + 𝜃=0 𝟕𝒎 7𝑚 4 27𝛼 3𝑘 𝛿= , 𝜔0 = √ 14𝑚 7𝑚 2- Calcul de α et de k ; a. On suppose qu'au bout do 4 périodes, l’amplitude initiale de vibration est divisée par dix. Si la période d'oscillations amortis est égale à 0,6 s, calculer la valeur du coefficient de frottement α. 1 𝑋0 1 𝜃0 1 ln ( ) , 𝐷 = ln ( ) = ln(10) = 𝟎, 𝟓𝟕 𝜃0 𝑛 𝑋𝑛 4 4 2 10 𝐷 27𝛼 𝛿= = 0,96𝑠 −1 𝑜𝑟 𝛿 = 𝑇𝑎 14𝑚 14𝑚𝐷 14 ∙ 10 ∙ 0,57 𝛼= = = 𝟒. 𝟗𝟐 𝑘𝑔. 𝑠 − 1 27𝑇𝑎 27 ∙ 0,6 b. De ce qui précède déduire ω0 ensuite calculer la constante de raideur k du ressort. 2𝜋 𝜔𝑎 = = 10,47 𝑠 𝑜𝑟 𝜔𝑎 = √𝜔02 − 𝛿 2 𝑇𝑎 2 𝐷=

3𝑘 ′ 7𝑚(𝜔𝑎2 + 𝛿 2 ) 7 ∙ 10 ∙ (10.472 + 0.962 ) ω0 = √𝜔𝑎2 + 𝛿 2 = √ 𝑑 𝑜𝑢 𝑘 = = = 2568 𝒌𝒈 ∙ 𝒔 − 𝟐 7𝑚 3 3

Exercice 2 : Système forcé (fréquence forcée)

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Université USTHB – Fac. De Physique - Contrôle continu – GP 2eme année - Avril 2017 Le système mécanique représenté sur la figure est constitué d'un cylindre homogène de masse M et de rayon R pouvant rouler sans glisser sur un plan horizontal. Son mouvement est repéré par le déplacement x(t) de son centre de masse par rapport à sa position d'équilibre. Un déplacement s(t)=S0cosωt est imposé au point P. 1- Etablir l'équation différentielle du mouvement du système et préciser les expressions du facteur d'amortissement ô et de la pulsation propre ω0. k 2- Donner la réponse totale du X(t)

système correspondant aux valeurs calculées de δ et de ω0. 3- En régime permanent, donner

m, R

l’expression de l’amplitude des

θ

α

vibrations en fonction de So, δ, ω0 et ω. On donne M = 10kg, α = 1800 kg/s, k = 5400N/m., R=0.05 m Solution : 1 1 1 1 1 3 1- 𝐸𝑐 = 2 𝑚𝑥̇ 2 + 2 𝐽𝜃̇ 2 = 2 𝑚𝑥̇ 2 + 2 ∙ 2 𝑚𝑅 2 𝜃̇ 2 , 𝑂𝑟 𝑥 = 𝑅𝜃̇ 𝑑′ 𝑜𝑢 𝐸𝑐 = 4 𝑚𝑥̇ 2

1 𝐸𝑝 = 𝑘𝑥 2 2 1 1 𝐷 = 𝛼(𝑥̇ − 𝑠̇ )2 = 𝛼(𝑥̇ + 𝑠0 𝜔 sin(𝜔𝑡))2 2 2 3 𝐿′ é𝑞𝑡 𝑑𝑒 𝑚𝑣𝑡: 𝑚𝑥̈ + 𝑘𝑥 = −𝛼(𝑥̇ + 𝑠0 𝜔 sin(𝜔𝑡)) 2 2𝛼 2𝑘 2𝛼 (𝑠 𝜔 sin(𝜔𝑡)) 𝑥̈ + 𝑥̇ + 𝑥=− 3𝑚 3𝑚 3𝑚 0 𝛼 𝛿= = 60𝑠 −1 3𝑚

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2𝑘 𝜔0 = √ = 18,97 𝑟𝑎𝑑. 𝑠 −1 3𝑚 𝐹0 2𝛼𝑠0 𝜔 =− 𝑚 3𝑚 2- C’est une équation avec second membre x=xH+xp 𝛿 > 𝜔0 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑥𝐻 = 𝐶1 𝑒 𝑟1 + 𝐶2 𝑒 𝑟2 2 La solution complète qui est la réponse totale du système 𝑥(𝑡) = 𝐶1 𝑒 𝑟1 + 𝐶2 𝑒 𝑟2 + 𝑋𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + Φ) 𝑟1 𝑒𝑡 𝑟2 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑙𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑑𝑒 𝑙 ′ é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡é𝑟𝑖𝑠𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑡 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑛é𝑔𝑎𝑡𝑖𝑓𝑠 𝑟1,2 = −𝛿 ± √𝛿 2 − 𝜔02 < 0 3- En régime permanent la partie xH tend vers 0. La solution devient x= xp = 𝑋𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + Φ) 2𝛼𝑠0 𝜔 1 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑋 = − . 3𝑚 √(𝜔02 − 𝜔 2 )2 + 4𝛿 2 𝜔 2 Φ = 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (−

2𝛿𝜔 ) − 𝜔2

𝜔02

2

S(t)=S0cosωt P