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Zitiervorschau

« Echangeurs de chaleur » Exercice 01 : Analyse thermique d’un échangeur co-courants Soit le schéma représentant la distribution de température dans un échangeur à courants parallèles. On se propose de déterminer le flux thermique pour cet échangeur en fonction des températures à l’entrée et à la sortie. D T ce

T cs

T fe

T fs

ds T ce

dTc

∆T1

Tc Tf

∆T2 T cs

∆T

T fs dTf

T fe 0

s

Distribution de température dans des échangeurs à un seul passage (Courants parallèles) Solution : Soient les différences de températures Le bilan enthalpique s’écrit : ∆T1 = Tce − T fe ∆T2 = Tcs − T fs

dq = −m& c cpc dTc = m& f cp f dT f = Kds (Tc − T f ) dTc < 0 dTc =

dT f > 0

− dq dq et dT f = m& c cpc m& f cp f

 1 1 + dTc − dT f = −dq   m& c cpc m& f cp f d (Tc − T f

(T

c

− Tf

) dT )= T

c

− dT f

c

− Tf

  

 1 1 = − KdS  +  m& cp  c c m& f cp f

   

La 1ere intégration donne : Avec dS = π Ddx

118

« Echangeurs de chaleur »

 1 1 + h=  m& cp  c c m& f cp f

Soit

   

ln(Tc − T f ) = − Kπ Dx . h . + ln cte ln(

Tc − T f cte

) = Kπ Dx h

En prenant l’exponentielle de l’expression : ln(Tc − T f ) = − Kπ Dx . h . + ln cte Tc − T f

= exp (− Kπ Dx h ) cte en x = 0 on a ∆T1 = Tce − T fe en x = l on a ∆T2 = Tcs − T fs D' où Tcs − T fs Tce − T fe

= exp (− Kπ Dx h )

En prenant le log de l’expression : ln(

Tcs − T fs Tce − T fe

) = − Kπ Dl h

En inversant les signes :

ln(

 1 1 + ) = K π Dlh = Kπ Dl   Tcs − T fs  mc cpc m f cp f

Tce − T fe

   

Par ailleurs, le bilan d’enthalpie global s’écrit en fonction des températures d’entrée et de sortie du fluide q = m& c cp c (Tce − Tcs ) = m& f cp f (T fs − T fe )

En remplaçant les m& c cp c et m& f cp f dans l’expression logarithmique, il vient : ln(

Tce − T fe Tcs − T fs

) = − Kπ Dl .

D' où : q = K .S .

(T

ce

[

]

1 (Tce − Tcs ) + (T fs − T fe ) q

− T fe ) − (Tcs − T fs ) ∆T − ∆T2 = KS 1 ∆T Tce − T fe ln 1 ln ∆T2 Tcs − T fs

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« Echangeurs de chaleur »

q = KS

∆T2 − ∆T1 ∆T ln 2 ∆T1

q = KS∆Tlm

;

∆Tlm =

∆T 2 − ∆T 1 ∆T 2 ln ∆T 1

DTLM ou ∆Tlm est appelé "différence de température logarithmique moyenne" Exercice 02 : Chute de température dans un conduit de fumées dans une cheminée

On veut estimer la chute de température des fumées dans une cheminée, en considérant le conduit comme un échangeur dont les fumées constituent le fluide chaud, et l’air ambiant le fluide froid. On considère que la température Ta de l’air ambiant est constante le long de la paroi extérieure de la cheminée. On désigne par k le coefficient global d’échange à travers la paroi. 1.

En adaptant le calcul d’un échangeur co-courant au cas particulier ci-dessus

(Tf = Ta = Cte), montrer que le profil de température des fumées dans la cheminée obéit à la loi suivante :  k  Tc − Ta = exp − S  Tce − Ta  qt c 

2.

Le conduit est cylindrique, de diamètre D et de longueur L. Ecrire la

température Tce de sortie des fumées. 3. Calculer Tcs avec les valeurs suivantes :

L = 20 m ; D = 30 cm ; Tce = 320 °C ; Ta = 10 °C ; k = 20 W/m²K Pour les fumées : qmc = 0,5 kg/s ; Cpc = 1050 j/kg K. Solution : 1. A travers un élément de paroi dS de la cheminée s’échappe un flux de chaleur :

dΦ = k (Tc − T f )dS = k (Tc − Ta )dS dΦ est aussi la chaleur perdue par le fluide chaud :

120

« Echangeurs de chaleur »

dΦ = −qt c dTc On regroupe les deux équations :

dTc k =− dS Tc − Ta qt c Nous avons aussi ici Ta = cte, de sorte que :

dTc ≡ d (Tc − Ta ) d’où en intégrant :  k  Tc − Ta = cte × exp − S   qt c 

A l’entée, S = 0 ; Tc = Tce donc : cte = Tce-Ta et  k  Tc − Ta S  = exp − Tce − Ta  qt c 

2. A la sortie, Tc = Tcs et S = Σ surface latérale totale de la cheminée :

Σ = π DL La formule de la question 1 devient :   k πDL  Tcs = Ta + (Tce − Ta )exp −   qt c

3. Les calculs numériques donnent :

qt c = qmc Cpc = 0,5 × 1050 = 525 W / K  20  Tcs = 10 + (320 − 10) exp − π × 0,3 × 20   525  Tcs = 161°C d’où une chute de température de 160 °C environ.

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« Echangeurs de chaleur » Commentaires 1. La formule donnant Tcs (question 2) est recommandée pour le calcul des

cheminées. 2. Dans la question 1 on ne peut pas écrire le bilan local sur le fluide froid

( dΦ = qt f dT f ) du fait que dT f = dTa = 0 (Ta = cte ) , ce qui est équivalent à qt f → ∞ . On se retrouve dans la même situation qu’avec un évaporateur ou un condenseur. 3. L’hypothèse Ta = cte est acceptable (Ta n’est pas ici une température de

mélange mais la température du fluide extérieur loin de la paroi) ; elle conduit à une formule simple qui donne des estimations numériques assez correctes. Exercice 03 : Analyse thermique d’un échangeur à contre- courants

Soit le schéma représentant la distribution de température dans un échangeur à contrecourant. On se propose de déterminer le flux thermique en fonction des températures de l’échangeur. T

Tce ∆T1 Tfs

dq

Tcs ∆T2

dx Tfe

Tce Tfs

Tcs Tfe

x

Distribution de température dans un échangeur à contre-courant

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« Echangeurs de chaleur » Solution : Erreur ! Des objets ne peuvent pas être créés à partir des codes de champs de mise en forme.

dTc =

− dq dq et dT f = in c cp c in f cp f

dTc − dT f =

 1 − dq dq 1  + = −dq  −  in c cp c in f cp f  in c cp c in f cp f 

avec dq = KS (Tc − T f d (Tc − T f

(T

c

−Tf

) dT )= T

)

c

− dT f

c

−Tf

 1 1 = − KdS  −  in cp in cp f f  c c

   

La 1ère intégration donne : dS = πDdn  1 1  Soit h = − −  in cp in cp  f f   c c Avec : ln(Tc − T f ) = KπDhx + ln cte Ln(

Tc − T f cte

) = KDπh

En prenant l’exponentielle de l’expression Tc − T f cte

= exp(KπDµh )

en µ = 0 on a ∆T1 = Tce − T fs en µ = l on a ∆T2 = Tcs − T fe

D’on :

Tcs − T fe Tce − T fse

= exp(KπDlh )

(*)

En prenant le log de l’expression (*) : Ln Ln

Tcs − T fe Tce − T fs

= KπDlh

 1 1 = − KS  −  Tce − T fs  inc cp c in f cp f Tcs − T fe

   

(*)(*)

Le bilan d'enthalpie s’écrit : inc cp c (Tce − Tcs ) = in f cp f (T fs − T fc )

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« Echangeurs de chaleur »

En remplaçant les Erreur ! Des objets ne peuvent pas être créés à partir des codes de champs de mise en forme.dans l’expression on obtient Erreur ! Des objets ne peuvent pas être créés à partir des codes de champs de mise en forme.

q = KS∆T’lm ;

ou bien

∆T’lm = ∆T1−∆T2 ln ∆T1 ∆T2

la nouvelle différence de température logarithmique moyenne relative à l’échangeur contre-courants pur. Remarques : 1- L’analyse précédente a été faite sans les hypothèses suivantes :

- La chaleur massique des fluides reste sensiblement constante pendant la traversée de l’échangeur. - Le coefficient d’échange global K reste sensiblement constant tout le long de la surface d’échange, ce qui nous laisse supposer que les coefficients de convections fluides parois sont aussi constants. 2- Si ∆T1 ne diffère pas de plus de 50% de ∆T2 , on peut remplacer ∆Tlm par Tm =

T1 + T2 (température moyenne arithmétique). 2

3 - Dans les bureaux d’études, on utilise souvent des abaques fournissant

directement ∆T LM en fonction de ∆T1 et ∆T2 . 4- La formule de ∆Tlm appliquée aux échangeurs à contre courant pur et aux

échangeurs à courants parallèles montre que le premier type d’échangeur est plus intéressant puisque pour un transfert donnée, et déterminé par les 4 températures aux extrémités, il fournit le ∆Tlm le plus important, correspondant donc à la surface d’échange la plus faible. Exercice 04 : Abaques de calcul des échangeurs à courants croisés

Pour le calcul d’un échangeur à courants croisés ou un échangeur de configuration différente, on prendra comme référence le contre courant pur, en corrigeant pas un facteur F avec F