Valószínűségszámítási példatár informatikusoknak : egyetemi tananyag 9789632795171, 9632795172 [PDF]

Zitiervorschau

Írta:

MIHÁLYKÓNÉ ORBÁN ÉVA Pannon Egyetem

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI PÉLDATÁR INFORMATIKUSOKNAK Egyetemi tananyag

2011

COPYRIGHT: 2011–2016, Dr. Mihálykóné dr. Orbán Éva, Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kar Matematika Tanszék

LEKTORÁLTA: Dr. Buzáné dr. Kis Piroska, Dunaújvárosi Főiskola Központi Oktatási Intézet Matematika Tanszék Creative Commons NonCommercial-NoDerivs 3.0 (CC BY-NC-ND 3.0) A szerző nevének feltüntetése mellett nem kereskedelmi céllal szabadon másolható, terjeszthető, megjelentethető és előadható, de nem módosítható. TÁMOGATÁS: Készült a TÁMOP-4.1.2-08/1/A-2009-0008 számú, „Tananyagfejlesztés mérnök informatikus, programtervező informatikus és gazdaságinformatikus képzésekhez” című projekt keretében.

ISBN 978-963-279-517-1 KÉSZÜLT: a Typotex Kiadó gondozásában FELELŐS VEZETŐ: Votisky Zsuzsa AZ ELEKTRONIKUS KIADÁST ELŐKÉSZÍTETTE: Benkő Márta KULCSSZAVAK: valószínűség, valószínűségi változó, eloszlás, eloszlásfüggvény, sűrűségfüggvény, várható érték, szórás, kapcsolatok az eloszlások között, centrális határeloszlás tétel , számítógépes szimuláció. ÖSSZEFOGLALÁS: Ennek a feladatgyűjteménynek a célja a valószínűségszámítással kapcsolatos, alap valószínűség-számítás kurzuson ismertetett fogalmak elmélyítése, feladatokon keresztül történő „begyakorlása”. A feladatok között megtalálhatók csupán a definíció ismeretét igénylő példák éppúgy, mint a számolási gyakorlatot illetve ötleteket igénylő feladatok. Igyekeztem a példák egy részét úgy fogalmazni, hogy a hallgatók ráismerhessenek a mindennapi életben felbukkanó problémákra. Nagy hangsúlyt helyeztem az eloszlások fogalmára, az eloszlások közötti kapcsolatokra, valamint kihasználva a mérnök informatikus hallgatók számítástechnikában való jártasságát, a problémák szimulációval történő kezelésére. Már az első fejezettől fogva tudatosan törekedtem szimulációs feladatok adására, és arra, hogy a „véletlen viselkedésével” kapcsolatos jelenségekre felhívjam a hallgatók figyelmét. Remélhetőleg a későbbiekben ennek meglesz az a haszna, hogy ha egy sztochasztikus problémát analitikusan nem is sikerül megoldani a gyakorló informatikusnak, de a szimulációval történő kezelés lehetősége eszébe fog majd jutni. Minden feladatnak ismertettem a megoldását, illetve a számítógépes megvalósításokra is adtam egy lehetséges utat, ami megkönnyíti az önellenőrzést.

Tartalom

3

Tartalom Klasszikus (kombinatorikus) valószínűség ..................................................................................... 4 Feladatok ................................................................................................................................... 4 Megoldások ............................................................................................................................... 6 Geometriai valószínűség .............................................................................................................. 16 Feladatok ................................................................................................................................. 16 Megoldások ............................................................................................................................. 17 Összetett események valószínűsége, események függetlensége ..................................................... 25 Feladatok ................................................................................................................................. 25 Megoldások ............................................................................................................................. 27 Feltételes valószínűség, teljes valószínűség tétel, Bayes tétel ........................................................ 33 Feladatok ................................................................................................................................. 33 Megoldások ............................................................................................................................. 36 Diszkrét eloszlású valószínűségi változók és jellemzőik ............................................................... 43 Feladatok ................................................................................................................................. 43 Megoldások ............................................................................................................................. 45 Nevezetes diszkrét eloszlású valószínűségi változók .................................................................... 55 Feladatok ................................................................................................................................. 55 Megoldások ............................................................................................................................. 57 Folytonos eloszlású valószínűségi változók .................................................................................. 65 Feladatok ................................................................................................................................. 65 Megoldások ............................................................................................................................. 68 Nevezetes folytonos eloszlású valószínűségi változók .................................................................. 78 Feladatok ................................................................................................................................. 78 Megoldások ............................................................................................................................. 80 Kapcsolatok az eloszlások között ................................................................................................. 85 Feladatok ................................................................................................................................. 85 Megoldások ............................................................................................................................. 87 Valószínűségi változók függvényének az eloszlása....................................................................... 95 Feladatok ................................................................................................................................. 95 Megoldások ............................................................................................................................. 96 Csebisev egyenlőtlenség, szimulációk ........................................................................................ 104 Feladatok ............................................................................................................................... 104 Megoldások ........................................................................................................................... 105 Centrális határeloszlás tétel ........................................................................................................ 113 Feladatok ............................................................................................................................... 113 Megoldások ........................................................................................................................... 115

© Mihálykóné Orbán Éva

© www.tankonyvtar.hu

4

Valószínűségszámítási példatár informatikusoknak

Klasszikus (kombinatorikus) valószínűség Feladatok 1) Kétszer elgurítunk egy szabályos kockát. Írja fel az alábbi eseményeket és adja meg a valószínűségüket! a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o)

A két gurítás azonos. A két gurítás különböző. Az egyik gurítás 5, a másik 3. Nincs hatos a gurítások közt. Van hatos a gurítások közt. Egy hatos van a gurítások közt. Mindkét gurítás hatos. Az egyik gurítás páros, a másik páratlan. Legalább az egyik gurítás páratlan. A gurítások összege 10. A gurítások összege legalább 10. A gurítások egymástól való eltérése 2. A gurítások maximuma legfeljebb 3. A gurítások minimuma legfeljebb 3. A gurítások összege 7, eltérésük 2.

2) Háromszor feldobunk egy szabályos érmét. Írja fel az alábbi eseményeket és adja meg a valószínűségüket! a) b) c) d) e) f) g) h)

A dobások mindegyike fej. A dobások közt 2 fej van. A dobások közt legalább 2 fej van. A dobások közt legfeljebb 2 fej van. A dobások közt van fej is meg írás is. Előbb dobunk fejet, mint írást. Több a fej, mint az írás. Eggyel kevesebb a fej, mint az írás.

3) Hatszor gurítunk egy szabályos kockát. Mennyi a valószínűsége az alábbi eseményeknek? a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o)

Minden gurítás különböző. Van legalább két azonos gurítás. Minden gurítás azonos. Nincs hatos gurítás. Két hatos gurítás van. Legalább két hatos gurítás van. Két különböző számot gurítunk. A gurítások maximuma legfeljebb 4. Van páros gurítás. Két hatost, három hármast és egy kettest gurítunk. A gurítások csökkenő sorrendben követik egymást. Minden gurítás különböző és nincs hatos. A gurítások összege legalább 34. Páros számú páros értéket gurítunk. Páratlan számú páratlan értéket gurítunk.

© www.tankonyvtar.hu

© Mihálykóné Orbán Éva

Klasszikus (kombinatorikus) valószínűség

5

4) Egy urnában 20 golyó van, köztük 9 piros, 6 fehér és 5 zöld. Hogy megkülönböztessük az azonos színűeket is egymástól, a golyókat egytől húszig megszámozzuk. Visszatevés nélkül kiválasztunk közülük 4 darabot. Mennyi a valószínűsége az alábbi eseményeknek? a) b) c) d) e) f) g) h)

A kiválasztottak közt nincs piros golyó. A kiválasztottak közt 2 piros golyó van. A kiválasztottak közt van piros golyó. Minden kiválasztott golyó piros. Minden kiválasztott golyó azonos színű. Van mindhárom színű golyó a kiválasztottak közt. Több piros golyót választunk, mint fehéret és zöldet együtt. A kiválasztott piros és fehér golyók száma megegyezik.

5) Egy sokaságban N elem van, egyessel, kettessel, …, N-nel jelöltük meg őket. a) Visszatevés nélkül választunk közülük n darabot. Mennyi a valószínűsége, hogy az i jelű elem a kiválasztottak közt van? b) Visszatevéssel választunk közülük n darabot. Mennyi a valószínűsége, hogy az i-vel jelölt elem a kiválasztottak közt van? c) Legalább hányszor válasszunk, ha azt szeretnénk, hogy legalább 0.95 valószínűséggel legyen a kiválasztottak közt az i-vel jelölt elem? 6) Egy tesztet töltenek ki a hallgatók, amelynél a megoldandó 10 feladatot a számítógép egy 100 feladatot tartalmazó bázisból választja ki véletlenszerűen. A kiválasztás megtörténte után áramszünet miatt elvesznek a feladatok, és a gép újra kisorsol egy feladatsort. Mennyi a valószínűsége, hogy van közös feladat a két véletlenszerűen kisorsolt feladatsor feladatai között? 7) Egy ember bemegy egy lépcsőházba, a 10 postaláda közül ötöt kiválaszt és beletesz mindegyikbe egy-egy szórólapot. Aztán bemegy egy másik terjesztő és a 10 postaláda közül kiválaszt ötöt és beletesz egy-egy szórólapot. Mennyi a valószínűsége, hogy legalább 8 postaládába jut szórólap? 8) Választunk k számot visszatevéssel az 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 számok közül. a) Mennyi a valószínűsége, hogy minden kiválasztott szám különböző, ha k=1,2,3,…,11? b) Ábrázoljuk a kapott valószínűségeket k függvényében! Lineáris-e a kapott függvény? 9) 4N fős csoportban a csoport tagjainak fele fiú, fele lány. A csoportot két egyforma nagyságú részre bontjuk véletlenszerűen. a) Mennyi a valószínűsége, hogy a kialakuló két csoport mindegyikében ugyannyi lány lesz, mint fiú? b) Hova tart a fenti valószínűség, ha N ® ¥ ? Adja meg a konvergencia nagyságrendjét! 10) Fogadjuk el, hogy a számítógép által generált véletlen számok olyanok, hogy mind 0 és 1 közötti, és annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott szám a [0,1] valamely részhalmazába esik, egyenlő a részhalmaz hosszával. a) Írjon szimulációs programot a kockadobás szimulációjára! b) Végezze el 10-szer a kísérletet és írja le az eredményeket! c) Hasonlítsa össze az egyes, kettes, ….., hatos dobások relatív gyakoriságát 1/6-dal! Mekkora eltérést tapasztal N=10, N=100, N=1000, N=10000, N=100000, N=1000000 kísérlet esetén?

© Mihálykóné Orbán Éva

© www.tankonyvtar.hu

6

Valószínűségszámítási példatár informatikusoknak

11) Szimulálja le a visszatevés nélküli mintavételt N elemből n elemet kiválasztva! Ha 15 elem van, köztük 4 selejtes, és visszatevés nélkül kiválasztunk közülük 3-at, számolja ki annak a relatív gyakoriságát, hogy egy selejtes van a kiválasztott elemek közt! Hasonlítsa össze a szimuláció eredményét a pontos valószínűséggel 100, 1000, 10000, 100000 szimuláció esetén! 12) Szimulálja le a visszatevéses mintavételt N elemből n elemet választva! Ha 15 elem van, köztük 4 selejtes, és visszatevéssel kiválasztunk közülük 3-at, számolja ki annak a relatív gyakoriságát, hogy egy selejtes van a kiválasztott elemek közt! Hasonlítsa össze a szimuláció eredményét a pontos valószínűséggel 100, 1000, 10000, 1000000 szimuláció esetén! 13) 12-szer feldobva egy szabályos érmét 4 fejet és 8 írást dobtunk. a) Mennyi a valószínűsége, hogy a kialakuló dobássorozatban legalább két fej közvetlenül követi egymást? b) Szimuláljuk le a fenti kísérletet és adjuk meg a fenti esemény relatív gyakoriságát 1000000 kísérlet elvégzése esetén! 14) Választunk egy számot a hétjegyű számok közül. Mennyi a valószínűsége, hogy a kiválasztott számnak 3 számjegye páros, 4 pedig páratlan? 15) Egy hallgatói kódfajta 6 karakterből áll, minden karakter 26 betű és 10 számjegy valamelyike. A gép véletlenszerűen generál egy kódot minden hallgatóhoz. a) Mennyi a valószínűsége, hogy 10000 hallgató esetén lesz két azonos a véletlenszerűen generált kódok közt? b) Hány kódot generálhatunk, ha azt szeretnénk, hogy 0.9 valószínűséggel különbözzenek egymástól?

Megoldások 1)

W = {(i, j ) : 1 £ i £ 6, 1 £ j £ 6 egészek }, W = 36 .

6 . 36 b) B= a két gurítás különböző= {(i , j ) : i ¹ j , 1 £ i £ 6, 1 £ j £ 6 egészek } = A , 30 6 B = 6 × 5 = 30 , P ( B ) = = 1. 36 36 2 c) C= Az egyik gurítás 5, a másik 3= {(3,5), (5,3)} , C = 2 , P(C ) = . 36 d) D= Nincs hatos a gurítások közt= a) A=a két gurítás azonos= {(1,1), (2,2), (3,3), ( 4,4), (5,5), (6,6)} , A =6, P( A) =

{(1,1), (1,2),....(1,5), ( 2,1),....( 2,5),...., (5,1), (5,2),...(5,5)}, e)

D = 5 × 5 = 25 , P( D) =

E= Van hatos a gurítások közt=

{(1,6), (2,6), (3,6), ( 4,6), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} , E f)

25 . 36

= 11 , P( E ) =

11 . 36

F= Egy hatos van a gurítások közt=

{(1,6), ( 2,6), (3,6), ( 4,6), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5)} , F

© www.tankonyvtar.hu

= 10 , P( F ) =

10 . 36

© Mihálykóné Orbán Éva

Klasszikus (kombinatorikus) valószínűség

g) G= Mindkét gurítás hatos= {(6,6)}, G = 1 , P(G ) =

7

1 . 36

h) H=Az egyik gurítás páros, a másik páratlan= 18 ì(1,2), (1,4), (1,6), (2,1), (2,3), (2,5), (3,2), (3,4), (3,6), ü . ý , H = 2 × 3 × 3 = 18 , P( H ) = í 36 î(4,1), ( 4,3), (4,5), (5, 2), (5, 4), (5,6), (6,1), (6,3), (6,5) þ i) I= Legalább az egyik gurítás páratlan, ì(1,2), (1,4), (1,6), ( 2,1), ( 2,3), (2,5), (3,2), (3,4), (3,6), ( 4,1), ( 4,3), (4,5), (5,2), ü I= í ý, î(5, 4), (5,6)(6,1), (6,3), (6,5), (1,1), (1,3), (1,5), (3,1), (3,3), (3,5), (5,1), (5,3), (5,5)þ I = 27 = 36 - 3 × 3 , P( I ) =

27 . 36

3 . 36 k) K=a gurítások összege legalább 10= {(4,6), (5,5), (6,4), (5,6), (6,5), (6,6)} , K = 6 , j)

J= a gurítások összege 10= {(4,6), (6,4), (5,5)} , J = 3 , P( J ) =

l)

6 . 36 L= a gurítások egymástól való eltérése 2= {(1,3), ( 2,4), (3,5), (4,6), (3,1), ( 4,2), (5,3), (6,4)} , 8 . L = 2 × 4 = 8 , P ( L) = 36 P( K ) =

m) M= a gurítások maximuma legfeljebb 3 = {(1,1), (1,2), (1,3), ( 2,1), ( 2,2), ( 2,3), (3,1), (3, 2)(3,3)} , 9 M = 3 × 3 = 9 , P( M ) = . 36 n) N=a gurítások minimuma legfeljebb 3= ì(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), ( 2,2), (2,3), ( 2,4), ( 2,5), ( 2,6), (3,1), (3,2),ü ý, í þ î(3,3), (3, 4), (3,5), (3,6), (4,1), ( 4,2), (4,3), (5,1), (5,2), (5,3), (6,1), (6,2), (6,3)

27 . 36 o) L=a gurítások összege 7, eltérésük 2. L= Æ , P( L) = 0 . N = 27 , P ( N ) =

2)

W = {( F , F , F ), ( F , F , I ), ( F , I , F ), ( I , F , F ), ( F , I , I , ), ( I , F , I ), ( I , I , F ), ( I , I , I )} , W = 8 .

a) A=a dobások mindegyike fej= {( F , F , F )} , A = 1 , P( A) =

1 . 8

b) B=a dobások közt 2 fej van= {( F , F , I ), ( F , I , F ), ( I , F , F )} , B = 3 , P ( B) = c)

3 . 8

C=a dobások közt legalább 2 fej van= = {( F , F , F ), ( F , F , I ), ( F , I , F ), ( I , F , F )}, C = 4 , P(C ) =

4 . 8

d) D=a dobások közt legfeljebb 2 fej van=

{( F , F , I ), ( F , I , F ), ( I , F , F ), ( F , I , I , ), ( I , F , I ), ( I , I , F ), ( I , I , I )} e)

D = 7 , P ( D) =

7 . 8

E=a dobások közt van fej is, meg írás is=

{( F , F , I ), ( F , I , F ), ( I , F , F ), ( F , I , I , ), ( I , F , I ), ( I , I , F )} , E

© Mihálykóné Orbán Éva

= 6 , P( E ) =

6 . 8

© www.tankonyvtar.hu

8

Valószínűségszámítási példatár informatikusoknak

f)

F=Előbb dobunk fejet, mint írást= = {( F , F , I ), ( F , I , F ), ( F , I , I )}, F = 3 , P( F ) =

3 . 8

4 . 8 3 h) H=Eggyel kevesebb a fej, mint az írás= {( F , I , I ), ( I , I , F ), ( I , I , F )} , H = 3 , P( H ) = . 8 g) G=Több a fej, mint az írás= {( F , F , F ), ( F , F , I ), ( F , I , F ), ( I , F , F )}, G = 4 , P(G ) =

3)

W = {(i, j , k , l , m, n) | 1 £ i, j, k , l , m, n £ 6 egészek}, W = 6 × 6 × 6 × 6 × 6 × 6 = 6 6 = 46656 . a) A=Minden gurítás különböző. A = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720 , P ( A) =

720 = 0.015 . 46656

720 = 0.985 . 46656 6 = 0.0001 . c) C=Minden gurítás azonos. C = 6 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 , P(C ) = 46656 d) D=Nincs hatos gurítás. D = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 15625 , P( D) = 0.335 .

b) B=Van legalább két azonos gurítás. B = A , P( B ) = 1 -

e)

f)

æ6ö E=Két hatos gurítás van. çç ÷÷ féleképpen jelölhetjük ki a hatosok helyét, ahol hatos van è 2ø ott egyértelmű, ahol nem hatos van, ott ötféle lehetőség közül választhatunk, tehát æ6ö E = çç ÷÷ × 12 × 5 4 = 9375 , P ( E ) = 0.201 . è2ø

F=Legalább két hatos gurítás van. Kettő, három, négy, öt vagy hat darab hatos lehet. æ 6ö æ 6ö æ6ö æ6ö F = çç ÷÷ × 12 × 5 4 + çç ÷÷ × 13 × 5 3 + çç ÷÷ × 14 × 5 2 + çç ÷÷ × 15 × 51 + 1 = è 2ø è3ø è 4ø è5ø 9375+2500+375+30+1=12281, P ( F ) = 0.263 . Könnyebben célba érünk, ha azokat számoljuk meg, amikor nincs hatos, illetve amikor egy hatos van. æ6ö F = 5 6 + çç ÷÷11 × 55 = 15625+18750=34375, P( F ) = 0.737 , P(F)=1-0.737=0.263 è1 ø

æ6ö g) G=Két különböző számot gurítunk. çç ÷÷ féleképpen jelölhetjük ki azt a két számot, amit è 2ø gurítunk. Ha a két szám a és b , a p , akkor a két ponthoz tartozó középponti szög

vagyis sin

x- y

x-y 1 h = sin < , 2 2 4


) = P(x = 2) = < P(x < M (x )) . 8 8

© Mihálykóné Orbán Éva

© www.tankonyvtar.hu

50

8)

Valószínűségszámítási példatár informatikusoknak

W = {1,2,3,4,5} (a nyomtatandó oldalak száma), x (1) = 0 , x (2) = 1 , x (3) = 1 , x (4) = 2 , x (5) = 2 .

a)

æ 0

1

2 ö

÷÷ , mivel x eloszlása çç è 0.3 0.5 0.2 ø

P (x = 0) = P ({w : x (w ) = 0}) = P({1}) = 0.3 , P(x = 1) = P ({w : x (w ) = 1}) = P({2,3}) = 0.4 + 0.1 = 0.5 , P(x = 2) = P({w : x (w ) = 2}) = P({4,5}) = 0.1 + 0.1 = 0.2 .

9)

b)

M (x ) = 0 × 0.3 + 1 × 0.5 + 2 × 0.2 = 0.9 , M (x 2 ) = 0 2 × 0.3 + 12 × 0.5 + 2 2 × 0.2 = 1.3 ,

c)

D(x ) = M (x 2 ) - M 2 (x ) = 1.3 - 0.9 2 = 0.49 = 0.7 P (x > M (x )) = P (x > 0.9) = P(x = 1) + P (x = 2) = 0.7 .

W = {(i , j , k , l ) : 1 £ i , j , k , l £ 6 egészek } x ((1,1,1,1)) = 1 , x ((3,2,6,1)) = 4 , x ((5,4,4,6)) = 3 , stb.

a)

æ 1

x eloszlása ç 6

ç 4 è6

P(x = 1) = P( mind

2 210 64 a

3 720 64 négy

4 ö 360 ÷ , mivel ÷ 64 ø dobás azonos ) = P({(1,1,1,1),...., (6,6,6,6)}) =

P (x = 2) = P (egyikb ől 3, másikból egy ) + P (kétfajtábó l kettő - kettő ) =

6 64

æ6ö æ 4ö æ 6 ö æ 4ö çç ÷÷ × 2 × çç ÷÷ çç ÷÷ × çç ÷÷ 2 2 2 1 210 = P ({(1,1,13), (1,1,3,1),....}) + P({(1,1,2, 2), (1,2,1, 2),....}) = è ø 4 è ø + è ø 4è ø = 4 . 6 6 6 P (x = 3) = P (egyikb ől 2, a

másikból

egy, a

harmadikbó l egy ) =

æ6ö çç ÷÷ × 3 × 12 3 720 = P ({(1,2,3,2),......}) = è ø 4 = 4 . 6 6 P(x = 4) = P( mindegyik

b) c)

különböző) = P({(1,5,3,6),....}) =

6 × 5 × 4 × 3 360 = 4 . 64 6

6 210 720 360 + 2× + 3× + 4× = 3.106 . 1296 1296 1296 1296 function kocka(szimszam) format long gyak=zeros(1,4); osszeg=0; for i=1:1:szimszam dobas=zeros(1,4); dobas(1,1)=floor(6*rand(1)+1); dobas(1,2)=floor(6*rand(1)+1); dobas(1,3)=floor(6*rand(1)+1); dobas(1,4)=floor(6*rand(1)+1); a=unique(dobas); hany=length(a); osszeg=osszeg+hany; gyak(1,hany)=gyak(1,hany)+1; end relgyak=gyak/szimszam atlag=osszeg/szimszam M (x ) = 1 ×

© www.tankonyvtar.hu

© Mihálykóné Orbán Éva

Diszkrét eloszlású valószínűségi változók és jellemzőik

P(x = 1) P(x = 2) 0.0046296 0.162037

Pontos érték N=100 0 0.2 N=10000 0.0057 0.1608 N=1000000 0.0046710 0.161865

51

P(x = 3) 0.555555

P(x = 4) 0.277778

Átlag 3.106481

0.54 0.5579 0.555669

0.26 0.2756 0.277795

3.060 3.1034 3.106588

d) Lásd a táblázat utolsó oszlopa. 10) A 90 szám közt 45 páros és 45 páratlan szám van. Legyen h a kiválasztott páratlan számok darabszáma. æ 45 öæ 45 ö æ 45 öæ 45 ö æ 45 öæ 45 ö çç ÷÷çç ÷÷ çç ÷÷çç ÷÷ çç ÷÷çç ÷÷ 0 øè 5 ø è1 øè 4 ø è 2 øè 3 ø è P(h = 0) = = 0.0278 , P(h = 1) = = 0.1526 , P(h = 2) = = 0.3196 , æ 90 ö æ 90 ö æ 90 ö çç ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷ è5 ø è5 ø è5 ø æ 45 öæ 45 ö æ 45 öæ 45 ö çç ÷÷çç ÷÷ çç ÷÷çç ÷÷ è 3 øè 2 ø è 4 øè1 ø P(h = 3) = = 0.3196 , P(h = 4) = = 0.1526 , P(h = 5) = æ 90 ö æ 90 ö çç ÷÷ çç ÷÷ è5 ø è5 ø

æ 45 öæ 45 ö çç ÷÷çç ÷÷ è 5 øè 0 ø = 0.0278 . æ 90 ö çç ÷÷ è5 ø

æ 1 10 100 1000 10 4 10 5 ö ÷. x = 10h . x eloszlása çç ÷ è 0.0278 0.1526 0.3196 0.3196 0.1526 0.0278 ø b) M (x ) = 1 × 0.0278 + 10 × 0.1525 + 100 × 0.3196 + 1000 × 0.3196 + 10 4 × 0.1525 + 10 5 × 0.0278 = 4658 P(x £ M (x )) = P(x = 1) + P(x = 10) + P(x = 100) + P (x = 1000)) = 0.8196 > P(x ³ M (x )) = 0.1804 . c) Módusz: 100 és 1000.

a)

11) A 90 szám között 10 darab tízzel osztható és 80 darab tízzel nem osztható szám van. Legyen h a kivett 10-zel osztható számok száma. æ10 öæ 80 ö çç ÷÷çç ÷÷ 0 5 P(h = 0) = è øè ø = 0.547 , P(h = 1) = æ 90 ö çç ÷÷ è5 ø

æ10 öæ 80 ö æ10 öæ 80 ö çç ÷÷çç ÷÷ çç ÷÷çç ÷÷ 2 3 è1 øè 4 ø = 0.360 , P(h = 2) = è øè ø = 0.084 , æ 90 ö æ 90 ö çç ÷÷ çç ÷÷ è5 ø è5 ø

æ10 öæ 80 ö çç ÷÷çç ÷÷ è 3 øè 2 ø P(h = 3) = = 0.009 , P(h = 4) = æ 90 ö çç ÷÷ è5 ø

æ10 öæ 80 ö çç ÷÷çç ÷÷ è 4 øè1 ø = 0.0004 , P (h = 5) = æ 90 ö çç ÷÷ è5 ø

a) b) c)

æ10 öæ 80 ö çç ÷÷çç ÷÷ è 5 øè 0 ø æ 90 ö çç ÷÷ è5 ø

= 6 × 10 -6 .

æ 1 100 10 4 10 6 10 8 1010 ö ÷ x = 100h , x eloszlása çç -6 ÷ è 0.547 0.360 0.084 0.009 0.0004 6 × 10 ø M (x ) = 1 × 0.547 + 100 × 0.360 + 10 4 × 0.084 + 10 6 × 0.009 + 10 8 × 0.0004 + 1010 × 6 × 10 -6 = 109877 x legvalószínűbb értéke a 1.

© Mihálykóné Orbán Éva

© www.tankonyvtar.hu

52

Valószínűségszámítási példatár informatikusoknak

12) a)

x lehetséges értékei 4,5,6,7,8,9,10. x = k akkor, ha a kiválasztott számok között szerepel a k, és a többi három kiválasztott szám ennél kisebb. æ k - 1öæ1öæ10 - k ö æ k - 1ö çç ÷ç ÷ç ÷ ç ÷ 3 ÷øçè1÷øçè 0 ÷ø çè 3 ÷ø 1 è = , k=4,5,6,7,8,9, 10, P(x = 4) = P(x = k ) = = 0.0048 , æ10 ö æ10 ö æ10 ö çç ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷ è4 ø è4 ø è4 ø æ 4ö æ 5ö çç ÷÷ çç ÷÷ è3 ø è 3ø P(x = 5) = = 0.019 , P(x = 6) = = 0.0476 , P(x = 7) = æ10 ö æ10 ö çç ÷÷ çç ÷÷ è4 ø è4 ø æ7ö çç ÷÷ è3 ø P(x = 8) = = 0.1667 , P(x = 9) = æ10 ö çç ÷÷ è4 ø æ

4

5

6

æ 6ö çç ÷÷ è 3 ø = 0.0952 , æ10 ö çç ÷÷ è4 ø

æ8ö çç ÷÷ è 3ø = 0.2667 , P(x = 10) = æ10 ö çç ÷÷ è4 ø 7

8

9

æ 9ö çç ÷÷ è 3ø = 0.4000 . æ10 ö çç ÷÷ è4 ø 10

ö

÷÷ . x eloszlása çç è 0.0048 0.019 0.0476 0.0952 0.1667 0.2667 0.4000 ø

b) M (x ) = 4 × 0.0048 + 5 × 0.019 + 6 × 0.0476 + 7 × 0.0952 + 8 × 0.1667 + 9 × 0.2667 + 10 × 0.4 = 8.8 c) x legvalószínűbb értéke 10. d) function maximum(szimszam) format long gyak=zeros(1,7); osszeg=0; for i=1:1:szimszam for j=1:1:10 vel(1,j)=j; end for j=1:1:100 veletlenszam1=floor(rand(1)*10+1); veletlenszam2=floor(rand(1)*10+1); c1=vel(1,veletlenszam1); c2=vel(1,veletlenszam2); vel(1,veletlenszam1)=c2; vel(1,veletlenszam2)=c1; end vel; kival=[vel(1,1),vel(1,2),vel(1,3),vel(1,4)]; maximum=max(kival); osszeg=osszeg+maximum; for j=4:1:10 if maximum==j gyak(1,j-3)=gyak(1,j-3)+1; end end end relgyak=gyak/szimszam atlag=osszeg/szimszam © www.tankonyvtar.hu

© Mihálykóné Orbán Éva

Diszkrét eloszlású valószínűségi változók és jellemzőik

Pontos N=100 N=10000 N=1000000

53

P(x = 4)

P(x = 5)

P(x = 6)

P(x = 7)

P(x = 8)

P(x = 9)

P (x = 10)

0.0048 0 0.0053 0.00483

0.019 0.02 0.0214 0.018967

0.0476 0.09 0.0509 0.047426

0.0952 0.07 0.0942 0.095105

0.1667 0.14 0.1704 0.166799

0.2667 0.25 0.2685 0.267239

0.4000 0.43 0.3893 0.399634

13) Legyen A az az esemény, hogy a 90 évet megélt állampolgár megéri a következő januárt. x legyen a kifizetendő jubileumi jutalom. M (x ) = M (90000 × 1 A ) = 90000 × P ( A) . Jelölje B i azt az eseményt, hogy a születésnapja az i-edik hónapban van. Legyen h az életéből hátralevő hónapok száma. P( A) =

12

å

P( A | Bi ) P ( Bi ) =

i =1

1 12

12

å

P( A | Bi ) ; P( A | Bi ) = 1 - P (h £ 12 - i) = 1 -

12 -i

å P(h = j ) . j =0

i =1

A P( A | Bi ) valószínűségeket i = 1,2,3,...,12 esetén az alábbi táblázatban láthatjuk: i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

P

0.6047

0.6275

0.6515

0.6770

0.7041

0.7328

0.7635

0.7962

0.8313

0.8688

0.9093

0.9529

P(A)=0.76, M (x ) = 90000 × 0.76 = 68400 Ft . A hátralevő hónapokhoz tartozó valószínűségeket az alábbi ábrán láthatjuk ábrázolva. 0.05 0.045 0.04 0.035 0.03 0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 0

0

20

40

60

80

100

120

14) A1 legyen az az esemény, hogy az első félévben nincs szükségünk az összegre, A2 az az esemény, hogy a második félévben nincs szükségünk az összegre. a) Jelölje x az év végén kamatokból összegyűlt pénz arányát. x = 0.025 × 1 A1 + 0.025 × 1 A2 . M (x ) = 0.025P( A1 ) + 0.025P ( A2 ) = 0.025 × 2 × 0.9 = 0.045 . b) Jelölje h az év végén kamatokból összegyűlt pénz arányát. h = 0.025 × 1 A1 + 0.01 . M (h ) = 0.025P ( A1 ) + 0.01 = 0.0325 . c) Jelölje a az év végén kamatokból összegyűlt pénz arányát. a = 0.02 . M (a ) = 0.02 . d) Jelölje b az év végén kamatokból összegyűlt pénz arányát. b = 0.07 × 1 A1 Ç A2 , M ( b ) = 0.07 × P ( A1 Ç A2 ) = 0.07 × P( A1 ) × P ( A2 ) = 0.07 × 0.9 × 0.9 = 0.0567 .

© Mihálykóné Orbán Éva

© www.tankonyvtar.hu

54

Valószínűségszámítási példatár informatikusoknak

e)

M (x ) = 2 × 0.025 × (1 - p) , M (h ) = 0.025(1 - p) + 0.01 , M (a ) = 0.02 , M ( b ) = 0.07(1 - p) × (1 - p) . Az egyes várható értékeket a p függvényében ábrázolva láthatjuk az alábbi ábrán: (piros: x , kék: h , fekete: a , zöld: b .) 0.07

0.06

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

0

f)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Az ábráról leolvasható, hogy a kis p értékek esetén az éves lekötés, közepes p értékek esetén a kétszer féléves, nagy p értékek esetén a le nem kötés mellett maximális a kamat várható értéke. Számszerűsítve: ha p £ 0.2857 , akkor az éves lekötés optimális. Ha 0.2857 < p £ 0.6 , akkor a kétszer féléves lekötés, ha p >0.6, akkor a lekötés nélküli változat optimális. k M ( b ) = k1 (1 - p) 2 M (x ) =k 2 (1 - p) , M (x ) £ M ( b ) Û 2 £ 1 - p . k1

15) Először lássuk be, hogy M ((x - M (x )) 2 ) £ M ((x - x ) 2 ) minden valós x esetén. M ((x - x) 2 ) = M (x 2 ) - 2 xM (x ) + x 2 ( M (x )) 2 , ami x -nek másodfokú függvénye. Ez akkor minimális, ha x = M (x ) . Most már ezt felhasználva kapjuk, hogy D 2 (x ) = M ((x - M (x )) 2 ) £ M ((x - x) 2 ) £ ( a - x ) 2 P(x < x) + (b - x ) 2 P(x ³ x) = = ( a - x ) 2 - ( a - x ) 2 P(x ³ x) + (b - x) 2 P (x ³ x ) = (a - x) 2 + (b - a )(b + a - 2 x ) P(x ³ x) . 2

a+b æb-aö helyettesítéssel b + a - 2 x = 0 , ( a - x ) 2 = ç ÷ . 2 è 2 ø b-a (b - a) 2 Kaptuk, hogy D 2 (x ) £ , azaz D(x ) £ . 4 2 x=

Az egyenlőtlenség nem javítható, mert ha P(x = a) = P (x = b) = 0.5 , akkor D(x ) =

© www.tankonyvtar.hu

b-a . 2

© Mihálykóné Orbán Éva

Nevezetes diszkrét eloszlású valószínűségi változók

55

Nevezetes diszkrét eloszlású valószínűségi változók Feladatok 1) Szabályos kockákkal gurítunk. Minek nagyobb a valószínűsége: hat kockával gurítva legalább az egyik gurítás hatos, vagy 12 kockával gurítva legalább két gurítás hatos, vagy 18 gurítás esetén legalább 3 gurítás hatos? 2) Egy termékbemutatóra meghívott házaspárok száma 15, mindegyik pár a többitől függetlenül 0.65 valószínűséggel jelenik meg a bemutatón. a) Adja meg a bemutatón megjelenő párok számának eloszlását! b) Mennyi a valószínűsége, hogy 12-nél több pár jelenik meg a bemutatón? c) Mennyi a valószínűsége, hogy kevesebb pár jelenik meg a bemutatón, mint a várható értékük fele? d) Hány pár jelenik meg a bemutatón a legnagyobb eséllyel, és mennyi ez a valószínűség? 3) Egy jeltovábbítón jeleket továbbítanak. Minden jel a többitől függetlenül 0.05 valószínűséggel torzul. 19 jel továbbítása esetén a) b) c) d)

mennyi a valószínűsége, hogy legfeljebb 2 jel torzul? mennyi a valószínűsége, hogy legalább 4 jel torzul? hány jel torzul a legnagyobb valószínűséggel és mennyi ez a valószínűség? minek nagyobb a valószínűsége: a várható értéknél több vagy kevesebb jel torzul?

4) Egy gép sok műveletet végez. A műveletek elvégzésénél 1/1000 valószínűséggel vét hibát és 999/1000 valószínűséggel hiba nélkül végzi a műveletet a korábbiaktól függetlenül. a) Mennyi a valószínűsége, hogy 2000 művelet során legfeljebb 4 hibát vét a gép? b) Legfeljebb hány hibát vét a gép 2000 művelet elvégzése esetén 0.99 valószínűséggel? c) Hány művelet elvégzése során vét legalább egy hibát a gép 0.99 valószínűséggel? 5) Egy bolha ugrál a számegyenesen. A 0 pontból indul, és minden lépése p valószínűséggel balra és 1 - p valószínűséggel jobbra történik arról a helyről, ahol éppen áll, és minden lépésben egységnyit ugrik. Legyen x n az n . lépés utáni helye a számegyenesen. a) Adjuk meg x n eloszlását! b) Mennyi a valószínűsége, hogy n lépés megtétele után a bolha nulla pontba kerül? Hova tart ez a valószínűség, ha n ® ¥ , és milyen a konvergencia nagyságrendje? 6) Egy művelet eredményére vagyunk kíváncsiak. A műveletet 3 géppel végeztetjük el párhuzamosan. Mindegyik gép a többitől függetlenül 1/1000 valószínűséggel vét hibát és 999/1000 valószínűséggel nem vét hibát. Ha a gépek hibát vétenek, akkor a vétett hibák egymástól különbözők. Egy művelet elvégzése után összehasonlítjuk a kapott eredményeket. Ha mindhárom gép eredménye azonos, akkor természetesen jó az eredmény, ha két gép eredménye azonos, akkor ezt tekintjük a művelet eredményének, ha mindhárom gép eredménye különböző, akkor hibásnak tekintjük az eredményt (nem találgatunk).

© Mihálykóné Orbán Éva

© www.tankonyvtar.hu

56

Valószínűségszámítási példatár informatikusoknak

a) Mennyi a valószínűsége, hogy 1 művelet elvégzése után hibásnak tekintett eredményt kapunk? b) Mennyi a valószínűsége, hogy 100000 művelet elvégzése esetén lesz hibásnak tekintett eredmény? c) Mennyi a hibásnak tekintett eredmények számának várható értéke 100000 művelet esetén? d) Hány művelet elvégzése során lesz legalább 1 hibásnak tekintett eredmény 0.99 valószínűséggel? 7) Egy postahivatalban bármely időszakban címzés nélkül feladott levelek száma Poisson eloszlású valószínűségi változónak tekinthető. Egy nap alatt feladott címzés nélküli levelek várható értéke 2.5. a) Mennyi a valószínűsége, hogy egy nap alatt legfeljebb 3 címzés nélküli levelet adnak fel a postahivatalban? b) Hány címzés nélküli levelet adnak fel 4 nap alatt a legnagyobb eséllyel? c) Hány nap alatt adnak fel legalább egy címzés nélküli levelet 0.99 valószínűséggel? 8) Egy számítógépre valamely időszakban érkező vírusos file-ok száma Poisson eloszlású valószínűségi változó. 40 perc leforgása alatt 0.1 valószínűséggel érkezik legalább egy vírusos file a gépre. a) Hány vírusos file érkezik 24 óra leforgása alatt a legnagyobb eséllyel? Mekkora ez az esély? b) Mennyi T értéke, ha a T idő alatt érkező vírusos file-ok számának módusza 3. (Esetleg több módusz is van, de köztük van a három is.) c) Ha két ilyen gépünk van, és rájuk érkező vírusos file-ok száma egymástól független, akkor mennyi a valószínűsége, hogy a két gépre egy óra alatt összesen legfeljebb 3 vírusos file érkezik? 9) Két kockával addig gurítunk, amíg először dupla hatost nem kapunk. Legyen x a szükséges gurítások száma. a) b) c) d)

Adja meg x eloszlását! Mennyi a valószínűsége, hogy legfeljebb 15-ször kell gurítanunk? Mennyi a valószínűsége, hogy több gurítás szükséges, mint a x várható értékének duplája? Legfeljebb hány gurítás kell a sikerhez 0.9 valószínűséggel?

10) Egy szigorlatra addig járnak a hallgatók szigorlatozni, amíg az első 3 tétel valamelyikét nem húzzák (10 tétel van, egytől tízig számozzuk őket). a) Mennyi a valószínűsége, hogy egy vizsgaidőszakon belül (3 próbálkozás) „sikerrel” járnak? b) Mennyi a valószínűsége, hogy 3 vizsgaidőszak (9 alkalom) sem elég a „sikerhez”? c) Mennyi a befizetendő díj várható értéke, ha az első két próbálkozás ingyenes, többiért pedig 1000 Ft iv díjat kell fizetni? 11) Két játékos felváltva gurít egy kockát. Az nyer, aki előbb hatost gurít, és ekkor abbahagyják a játékot. Mennyi a valószínűsége, hogy a kezdő játékos nyer? 12) Egy szerencsejátékot játszunk. Szabályos érmét dobunk fel és a nyereményünk értéke (Ft-ban) 10-nek annyiadik hatványa, ahányadik dobásra sikerül először fejet dobnunk. Nyereményünket egy banktól kapjuk meg. a) Mennyi (lenne) a nyereményünk várható értéke, ha a bank bármekkora nyereményt ki tud(na) fizetni? © www.tankonyvtar.hu

© Mihálykóné Orbán Éva

Nevezetes diszkrét eloszlású valószínűségi változók

57

b) Mennyi (lenne) a nyeremény várható értéke, ha a bank úgy módosítja a szabályokat, hogy maximum 10 milliárd Ft értékű nyereményt fizet ki, ha több lenne a nyeremény értéke, akkor is ezt az összeget fizeti csupán? 13) Egy urnában 6 piros és 4 fehér golyó van. Addig húzunk közülük visszatevés nélkül, amíg először piros golyót húzunk. Legyen x a szükséges húzások száma. a) Adjuk meg x eloszlását! b) Számoljuk ki x várható értékét, szórását és móduszát! c) Hasonlítsuk össze a kapott eredmények azzal, amit visszatevéses választás esetén kapnánk! 14) Két urnánk van, amelyekbe lépésenként véletlenszerűen helyezünk el golyókat. Az első lépésben mindkét urnába 1-1 golyót rakunk. A második lépésben egy golyót helyezünk valamelyik urnába, 0.5 valószínűséggel az elsőbe, 0.5 valószínűséggel a másodikba. A következő lépésben egy golyót helyezünk valamelyik urnába oly módon, hogy annak a valószínűsége, hogy a golyó az első urnába kerül, arányos az első urnában levő golyók számával, s ugyanez igaz a második urnára. Legyen x 3 a harmadik lépés után az első urnában levő golyók száma. a) Bizonyítsa be, hogy x 3 egyenletes eloszlású valószínűségi változó! b) Ha x n az n. lépés után az első urnában levő golyók száma, teljes indukcióval bizonyítsa be, hogy x n egyenletes eloszlású valószínűségi változó! 15) Egy szolgáltatás révén biztosított bevétel maximalizálásában érdekelt egy cég. A kiszolgáló kapacitása (azaz kiszolgálható igények maximuma) k. Amennyiben egy igényt kiszolgálnak, azon 10 egység haszon van. Ha egy kiszolgálóegység kihasználatlanul marad, akkor 1 egység fenntartási költség terheli, azaz 1 egység kár keletkezik minden egyes kihasználatlan egységen. Mekkora legyen k értéke, hogy a haszon várható értéke maximális legyen, ha a kiszolgálandó igények száma Poisson eloszlású valószínűségi változó l = 100 várható értékkel?

Megoldások 1) Legyen x 6 a dobott hatosok száma, ha 6 kockával dobunk, x12 a dobott hatosok száma, ha 12 kockával dobunk, és x18 a dobott hatosok száma, ha 18 kockával dobunk. x 6 binomiális eloszlású valószínűségi változó n6 = 6 p = n12 = 12 , p =

méterekkel.

1 , x12 binomiális eloszlású valószínűségi változó 6

1 1 , és x18 binomiális eloszlású valószínűségi változó n18 = 18 , p = para6 6 0

6

æ 6 öæ 1 ö æ 5 ö P(x 6 ³ 1) = 1 - P (x 6 = 0) = 1 - çç ÷÷ç ÷ ç ÷ = 0.665 . è 0 øè 6 ø è 6 ø 0 12 1 12 -1 æ12 öæ 1 ö æ 5 ö æ12 öæ 1 ö æ 5 ö P(x12 ) ³ 2) = 1 - ( P(x12 = 0) + P (x12 = 1)) = 1 - (çç ÷÷ç ÷ ç ÷ + çç ÷÷ç ÷ ç ÷ ) = 0.619 . è 0 øè 6 ø è 6 ø è1 øè 6 ø è 6 ø P(x18 ) ³ 3) = 1 - ( P (x 18 = 0) + P(x18 = 1) + P (x18 = 3) = 0 18 1 18 -1 2 18 -2 æ18 öæ 1 ö æ 5 ö æ18 öæ 1 ö æ 5 ö æ18 öæ 1 ö æ 5 ö + çç ÷÷ç ÷ ç ÷ ) = 1 - 0.403 = 0.597 . 1 - (çç ÷÷ç ÷ ç ÷ + çç ÷÷ç ÷ ç ÷ è 0 øè 6 ø è 6 ø è1 øè 6 ø è 6 ø è 2 øè 6 ø è 6 ø Annak a legnagyobb a valószínűsége, hogy hat kockával dobva legalább 1 hatost dobunk.

© Mihálykóné Orbán Éva

© www.tankonyvtar.hu

58

Valószínűségszámítási példatár informatikusoknak

2) Jelölje x a megjelenő házaspárok számát. 15-ször ismétlem azt a kísérletet, hogy leellenőrzöm, hogy a meghívott házaspár megjelenik-e a bemutatón. x az az szám, ahányszor az A= ’a pár megjelent’ esemény bekövetkezik a 15 független kísérlet során. a)

x binomiális eloszlású valószínűségi változó n=15, p=0.65 paraméterrel, azaz x

æ15 ö lehetséges értékei 0,1,2,...,15 és P (x = k ) = çç ÷÷0.65 k (1 - 0.65)15 -k . èk ø b) P (x > 12) = P (x = 13) + P(x = 14) + P (x = 15) =

c)

d) 3)

æ15 ö æ15 ö æ15 ö = çç ÷÷0.6513 × 0.35 2 + çç ÷÷0.6514 × 0.351 + çç ÷÷0.6515 × 0.35 0 = 0.062 . è13 ø è14 ø è15 ø M (x ) = 4.875 . M (x ) = np = 15 × 0.65 = 9.75 , 2 æ15 ö P (x < 4.875) = P (x = 0) + P (x = 1) + P (x = 2) + P (x = 3) + P (x = 4) = çç ÷÷0.65 0 × 0.3515 + è0 ø æ15 ö æ15 ö æ15 ö æ15 ö + çç ÷÷0.651 × 0.3514 + çç ÷÷0.65 2 × 0.3513 + çç ÷÷0.65 3 × 0.3512 + çç ÷÷0.65 4 × 0.3511 = 0.003 . è4 ø è1 ø è2 ø è3 ø æ15 ö x legvalószínűbb értéke [(n + 1) × p ] = [10.4] = 10 , P (x = 10) = çç ÷÷0.6510 × 0.355 = 0.212 . è10 ø

x legyen a torzult jelek száma. x binomiális eloszlású valószínűségi változó n=19, p=0.05 paraméterrel. (19-szer ismételjük azt a kísérletet, hogy továbbítjuk a jelet, minden kísérletnél azt figyeljük, hogy az A=”a jel torzult” esemény bekövetkezik-e. x az a szám, ahányszor az A esemény bekövetkezik a 19 kísérlet során.) Ez azt jelenti, hogy x lehetséges értékei 0,1,2,...,19 és æ19 ö P (x = k ) = çç ÷÷0.05 k (1 - 0.05)19 -k . èk ø æ19 ö æ19 ö P (x £ 2) = P (x = 0) + P (x = 1) + P (x = 2) = çç ÷÷0.050 (1 - 0.05)19 + çç ÷÷0.051 (1 - 0.05)18 + è0 ø è1 ø æ19 ö + çç ÷÷0.05 2 (1 - 0.05)19 - 2 = 0.933 . è2 ø b) P(x ³ 4) = 1 - ( P(x = 0) + P (x = 1) + P(x = 2) + P (x = 3)) = 0.013 . c) x legvalószínűbb értékének megkeresése: ( n + 1) × p = 20 × 0.05 = 1 , ez egész szám, ezért két módusz is van, ( n + 1) p = 1 és (n + 1) p - 1 = 0 . P(x = 0) = 0.377 = P (x = 1) . d) M (x ) = n × p = 0.95 , P (x > 0.95) = 1 - P(x = 0) = 0.623 , P(x < 0.95) = P (x = 0) = 0.377 . Annak a valószínűsége a nagyobb, hogy a torzult jegyek száma több, mint a várható értékük.

a)

4)

x a gép által vétett hibák száma 2000 művelet elvégzése esetén. x binomiális eloszlású valószínűségi változó n=2000, p=0.001 paraméterrel. Ez azt jelenti, hogy x lehetséges értékei æ 2000 ö ÷÷(0.001)k (1 - 0.001)2000 -k . 0,1,…,2000 és P(x = k ) = çç k è ø

© www.tankonyvtar.hu

© Mihálykóné Orbán Éva

Nevezetes diszkrét eloszlású valószínűségi változók

59

a) P(x £ 4) = P (x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3) + P (x = 4) = 0.947 . b) m=? P (x £ m) = 0.99 , m = 5 még nem elég, mert P(x £ 5) = 0.983 < 0.99 . P(x £ 6) = 0.995 >0.99. Tehát a keresett m értéke 6. c)

x n n művelet elvégzése esetén a vétett hibák száma. x n binomiális eloszlású az ismeretlen n és p=0.001 paraméterekkel. P(x n ³ 1) = 1 - P (x n = 0) = 0.99 , P (x n = 0) = 0.01 , ænö ln 0.01 çç ÷÷ × 0.0010 × 0.999 n = 0.01 , 0.999 n = 0.01 , n = = 4602.29 , ln 0.999 è0ø 1 - 0.999 4603 = 1 - 0.009998 > 0.99 , 1 - 0.999 4602 = 1 - 0.0100080 < 0.99 . A keresett szám 4603.

5) a)

h n legyen n lépés során a jobbra történő ugrások száma. h n binomiális eloszlású n és 1-p

ænö ænö paraméterrel. P(h n = k ) = çç ÷÷(1 - p ) k (1 - (1 - p)) n - k = çç ÷÷(1 - p ) k × p n - k , k = 0,1,2,..., n . èk ø èk ø Ekkor a balra történő ugrások száma n - h n , így a bolha helye x n = h n - (n - h n ) = 2 × h n - n . Így x n lehetséges értékei - n,- n + 2,..., n - 2, n , amelyek mind párosak, ha n páros és x +n k+n mind páratlanok, ha n páratlan. Mivel h n = n , ezért ha x n = k , akkor h n = , 2 2 vagyis æ n ö k+n ç ÷ P(x n = k ) = P(h n = ) = ç n + k ÷(1 - p) ( n+ k ) / 2 × p ( n- k ) / 2 , k = - n,-n + 2,...., n - 2, n . 2 ÷ ç è 2 ø b) Ha n páratlan, akkor P (x n = 0) = 0 , ha n páros, akkor

æn ö n! ç ÷ (1 - p ) n / 2 × p n / 2 ~ P(x n = 0) = ç n ÷(1 - p ) n / 2 × p n / 2 . P (x n = 0) = n n æ ö æ ö ç ÷ ç ÷!×ç ÷! è2ø è2ø è2ø

~

ænö ç ÷ èeø æ nö ç ÷ è 2e ø

n/2

n

2pn

æ n ö pn × ç ÷ è 2e ø

Amennyiben p = valószínűség Amennyiben

1 n

pn 2

= 2 n (1 - p ) n / 2 p n / 2

(1 - p) n / 2 p n / 2

n/2

pn

= ( 4(1 - p ) p ) n / 2

2 1 . p n

1 , akkor az utóbbi formula 2

2 1 -re egyszerűsödik, tehát a p n

nagyságrendben tart nullához.

0 < p < 1,

p¹

1 , 2

akkor

0 < (1 - p ) p
72) = 1 - P (x £ 72) = 1 - (1 - ç ÷ ) = ç ÷ p 36 è ø è 36 ø n

d)

P (x £ n) = 0.9

n=

n=?,

- ln 0.1 = 81.7 , 35 ln( ) 36

æ 35 ö P (x £ n) = 1 - ç ÷ , è 36 ø

æ 35 ö P(x £ 81) = 1 - ç ÷ è 36 ø

72

= 0.132 .

n

æ 35 ö 1 - ç ÷ = 0. 9 , è 36 ø

n

æ 35 ö ç ÷ = 0.1 , è 36 ø

81

= 0.898 < 0.9 ,

n=81

még

nem

elég,

82

æ 35 ö P(x £ 82) = 1 - ç ÷ = 0.9007 > 0.9 , n=82 már elég. Tehát a legkisebb olyan dobásè 36 ø szám, ami már elég, a 82. © Mihálykóné Orbán Éva

© www.tankonyvtar.hu

62

Valószínűségszámítási példatár informatikusoknak

3 10 paraméterrel. (Addig ismételjük az ’elmegyünk szigorlatozni’ kísérletet, amíg az A=’no végre, az első három tétel valamelyikét húztam’ esemény be nem következik. Az egyes kísérletek kimenetelei függetlennek tekinthetők.)

10) Legyen x a próbálkozások száma. x geometriai eloszlású valószínűségi változó p =

a)

P(x £ 3) = P(x = 1) + P (x = 2) + P(x = 3) = 0.3 + 0.3 × 0.7 + 0.3 × 0.7 2 = 0.657 . 9

b) c)

æ7 ö P(x > 9 ) = 1-P( x £ 9 ) = ç ÷ = 0.040 . è 10 ø Jelölje h a befizetendő díj várható értékét!

M (h ) = M (1000 × x ) - (1000 × 0.3 + 1000 × 0.3 × 0.7) = 1000 ×

1 1 - 510 = 1000 × - 510 = 2823 p 0. 3

11) Legyen x a kockagurítások száma mindaddig, amíg el nem dől a játék. x geometriai eloszlá1 sú valószínűségi változó p = paraméterrel. Akkor nyer a kezdő játékos, ha x értéke párat6 lan. P(a

kezdő nyer ) =

¥

å

p (1 - p) 2i =

i =0

1 6

i

1 æ 25 ö å ((1 - p) ) = 6 å ç 36 ÷ ¥

i =0

2

¥

i =0

è

ø

i

=

1 × 6

1 = 0.545 . 25 136

12) h annyi, ahányadik dobásra először fejet dobunk. h geometriai eloszlású valószínűségi 1 1 változó p= paraméterrel, lehetséges értékei 1,2,….,k,…, P (h = k ) = k . x = 10h , 2 2 1 P(x = 10 k ) = k . 2 a)

M (x ) =

¥

å

10 k ×

k =1

1 = 2k

¥

å5

k

=¥

k =1

¥

b)

1 1 = 9 , x1 eloszlása i 2 i =10 2

x1 = 10h , ha h £ 9 , x1 = 1010 , ha h ³ 10 , P (h ³ 10) = å æ10 100 1000 10 9 ç1 1 1 ..... 1 çç 8 4 29 è2 9 1 10 i × i + 1010 M (x 1 ) = 2 i= 1

å

13) a)

1010 1 29 1 × 9 = 2

ö ÷, ÷÷ ø 9

å5

i

+ 5 9 × 10 = 21972656 .

i= 1

x lehetséges értékei 1,2,3,4,5 (az ötödik húzásra legkésőbb piros lesz, mert addigra elfogynak a fehérek) 6 P(x = 1) = , 10 4 6 P(x = 2) = × = 0.267 (kétszer húzok, első golyó nem piros, a második piros) 10 9

© www.tankonyvtar.hu

© Mihálykóné Orbán Éva

Nevezetes diszkrét eloszlású valószínűségi változók

P (x = 3) =

63

4 3 6 × × = 0.1 (háromszor húzok, az első kettő golyó nem piros, a harmadik 10 9 8

piros) 4 3 2 1 6 4 3 2 6 × × × = 0.029 , P(x = 5) = × × × × = 0.005 10 9 8 7 10 9 8 7 6 M (x ) = 1 × 0.6 + 2 × 0.267 + 3 × 0.1 + 4 × 0.029 + 5 × 0.005 = 1.575 ,

P(x = 4) =

b)

M (x 2 ) = 1 × 0.6 + 4 × 0.267 + 9 × 0.1 + 16 × 0.029 + 25 × 0.005 = 3.157 ,

c)

D(x ) = M (x 2 ) - M 2 (x ) = 3.157 - 1.575 2 = 0.822 . Módusz: 1. h -val jelölve a szükséges próbálkozások számát visszatevéses húzás esetén h geometriai eloszlású valószínűségi változó p = 0.6 paraméterrel. P (h = 1) = 0.6 , P (h = 2) = 0.6 × 0.4 = 0.24 < P (x = 2) , P(h = 3) = 0.6 × 0.4 2 = 0.096 < P(x = 3) ,

P(h = 4) = 0.6 × 0.4 3 = 0.0384 > P(x = 4) , P(h = 5) = 0.6 × 0.4 4 = 0.006 > P(x = 5) , P (h = i ) ¹ 0 i = 6,7,... , M (h ) =

1- p 1 10 0.4 = = 1.667 , D(h ) = = = 1.054 , 0.6 6 p 0.6

módusz: 1. 14)

a) Legyen x 2 a második lépés után az első urnában levő golyók száma. x 2 lehetséges értékei 1 1,2 , P (x 2 = 1) = P (x 2 = 2) = . Jelölje A3 azt az eseményt, hogy a harmadik lépés során 2 2 1 1 az urnába rakott golyó az első urnába kerül. P(x 3 = 1) = P ( A 3 | x 2 = 1) P(x 2 = 1) = × = , 3 2 3 1 1 1 1 1 P(x 3 = 2) = P( A3 | x 2 = 1) P(x 2 = 1) + P ( A 3 | x 2 = 2) P(x 2 = 2) = × + × = , 3 2 3 2 3 æ1 2 3ö 2 1 1 P(x 3 = 3) = P ( A3 | x 2 = 2) P(x 2 = 2) = × = . x eloszlása ç 1 1 1 ÷ , diszkrét ç ÷ 3 2 3 è3 3 3ø egyenletes eloszlás. b) An legyen az az esemény, hogy az n. lépés során elhelyezett golyó az 1. urnába kerül. Az 1 indukciós feltevés értelmében x n -1 lehetséges értékei 1,2,…,n-1 és P (x n -1 = i) = . n -1 Ekkor x n lehetséges értékei 1,2,…,n ·

x n akkor 1, ha x n-1 = 1 és utoljára a golyó nem az első urnába kerül, x n akkor i, ha x n -1 = i - 1 és utoljára a golyó az első urnába kerül vagy x n -1 = i és

·

utoljára a golyó nem az első urnába kerül i=2,3,…,n-1. x n akkor n, ha x n -1 = n - 1 és utoljára a golyó az első urnába kerül.

·

P(x n = 1) = P ( An | x n-1 = 1) P(x n-1 = 1) = golyó van az összes n-ből)

n -1 1 1 × = (a második urnában n-1 darab n n -1 n

P(x n = i) = P( An | x n-1 = i - 1) P (x n-1 = i ) + P ( An | x n-1 = i) P(x n-1 = i) = =

i -1 1 n-i 1 × + × = n n -1 n n -1

i -1+ n - i n -1 1 = = . ( 2 £ i £ n -1) n(n - 1) n( n - 1) n

© Mihálykóné Orbán Éva

© www.tankonyvtar.hu

64

Valószínűségszámítási példatár informatikusoknak

(ha x n -1 = i - 1 , akkor az első urnában i - 1 darab golyó van az n-ből, ha x n -1 = i , akkor a második urnában n-i golyó van az n-ből) n -1 1 1 P(x n = n) = P( An | x n-1 = n - 1) P(x n-1 = n - 1) = × = . (az első urnában n-1 n n -1 n nö æ1 2 darab golyó van az n-ből). Így x n eloszlása ç 1 1 ...... 1 ÷ , ami szintén diszkrét ç ÷ nø èn n egyenletes eloszlás. 15) Legyen x a kiszolgálandó igények száma. k kiszolgáló egység esetén a haszon ha x ³ k ì10k . hk = í î10x - (k - x ) ha x < k

h k = 10k × 1x ³ k + (11x - k ) × 1x < k . M k = M (h k ) = ¥

=

å

10k × P (x = i ) +

i=k

M k -1 =

k -1

å (11i - k )P(x = i) , i =0

¥

å

10(k - 1) × P (x = i ) +

i = k -1

k -2

å (11i - k + 1)P (x = i) . i =0

¥

M k - M k -1 = 10

i = k -1

-

k -2

k -2

i=0

i =0

å P(x = i) - 11P(x = k - 1) - å P(x = i) = 10 × (1 - å P(x = i)) - 11P(x = k - 1)

k -2

k -1

i =0

i =0 k -1

å P (x = i ) = 10 - 11å P(x = i) .

0 £ M k - M k -1 , ha

10

å P(x = i) £ 11 , és M

k

- M k -1 < 0 , ha

i =0

Tehát a haszon várható értéke azon k értékig nő, amíg

10 < 11 k -1

k -1

å P (x = i) . i =0

10

å P(x = i) £ 11

teljesül, ennél

i= 0

nagyobb k értékekre már csökken. Mivel

¥

å P(x = i) = 1 , ezért létezik az a legnagyobb i= 0

k érték, amire

k -1

10

å P(x = i) £ 11 , s ezen k-ra maximális a haszon várható értéke. Poisson i=0

eloszlású x esetén l = 100 mellett k = 112.

© www.tankonyvtar.hu

© Mihálykóné Orbán Éva

Folytonos eloszlású valószínűségi változók

65

Folytonos eloszlású valószínűségi változók Feladatok 1) Legyen egy x valószínűségi változó sűrűségfüggvénye ì1 ha e £ x £ A ï , f (x) = í x ïî0 különben a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l)

Mekkora A értéke? Adjuk meg a x valószínűségi változó eloszlásfüggvényét! Mennyi a valószínűsége, hogy x értéke kisebb 5-nél? Mennyi a valószínűsége, hogy x értéke nagyobb 3-nál? Mennyi a valószínűsége, hogy x értéke az [5,6] intervallumba esik? Mennyi a valószínűsége, hogy x értéke az [A-1, A] intervallumba esik? Mennyi a valószínűsége, hogy x értéke a [7,8] intervallumba esik? Mely értéknél kisebb x értéke 0.9 valószínűséggel? Mely értéknél nagyobb x értéke 0.9 valószínűséggel? Adjunk olyan intervallumot, amibe x értéke 0.9 valószínűséggel esik! Számoljuk ki x várható értékét! Számoljuk ki x szórását!

2) Egy rendelőben várakozunk a bekerülésre. A várakozási idő legalább 10 perc, legfeljebb 2 óra, ezen belül véletlentől függő mennyiség. A megérkezés és a bekerülés közti idő egy olyan valószínűségi változó, amelynek sűrűségfüggvénye 1 ì c £ x £2 , ha ï 6 . f(x) = í x ï0 különben î a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k)

Mekkora c értéke? Adjuk meg a várakozási idő eloszlásfüggvényét! Mennyi a valószínűsége, 20 percnél kevesebbet kell várnunk? Mennyi a valószínűsége, hogy 1 óránál többet kell várnunk? Mennyi a valószínűsége, hogy a várakozási idő negyed óra és fél óra közé esik? Mennyi időnél kell többet várnunk 0.75 valószínűséggel? Mennyi időnél kell kevesebbet várnunk 0.75 valószínűséggel? Mennyi a várakozási idő várható értéke? Mennyi az esélye, hogy többet kell várnunk a várakozási idő várható értékénél? Mennyi a várakozási idő mediánja? Mennyi a várakozási idő szórása?

3) Méréseket végzünk a laborban. A mérések hibája (azaz a mért és a valós érték közti -x különbség) egy olyan x valószínűségi változó, amelynek sűrűségfüggvénye f ( x ) = 0.5e bármely x esetén! a) Igazoljuk, hogy f (x ) sűrűségfüggvény! b) Adjuk meg a mérési hiba eloszlásfüggvényét! c) Számoljuk ki annak a valószínűségét, hogy a mérési hiba abszolút értéke nagyobb 2-nél! © Mihálykóné Orbán Éva

© www.tankonyvtar.hu

66

Valószínűségszámítás példatár mérnök informatikus szakos hallgatóknak

d) Adjunk olyan intervallumokat, amibe a mérési hiba 0.9 valószínűséggel beleesik! e) Számoljuk ki a mérési hiba várható értékét! ì x -1 , ha 1 £ x ï 4) Egy valószínűségi változó eloszlásfüggvénye F ( x) = í x + 2 ïî0 különben

a) b) c) d) e) f)

Igazolja, hogy F (x ) eloszlásfüggvény! Mennyi az esélye, hogy a valószínűségi változó értéke 2 és 3 közé esik? Mennyi az esélye, hogy a valószínűségi változó értéke nagyobb, mint 10? Mely értéknél nagyobb a valószínűségi változó értéke 0.95 valószínűséggel? Számítsa ki a valószínűségi változó sűrűségfüggvényét! Adja meg a valószínűségi változó mediánját!

5) Választunk két számot egymástól függetlenül a [0,1] intervallumon a geometriai valószínűség szerint. Legyen x a két szám összege. a) b) c) d)

Adja meg x Adja meg x Számolja ki Számolja ki

eloszlásfüggvényét! sűrűségfüggvényét! x várható értékét! x móduszát és mediánját!

6) Választunk két számot egymástól függetlenül a [0,1] intervallumon a geometriai valószínűség szerint. Legyen x a két szám egymástól való eltérése. a) b) c) d)

Adja meg x Adja meg x Számolja ki Számolja ki

eloszlásfüggvényét! sűrűségfüggvényét! x várható értékét! x mediánját!

7) Választunk egy számot a [0,1] intervallumon a geometriai valószínűség szerint, és képezzük a számnál eggyel nagyobb érték reciprokát. Jelölje h az így kapott véletlen számot. a) Adja meg h eloszlásfüggvényét és sűrűségfüggvényét! b) Számolja ki h várható értékét! c) Generáljon egy véletlen számot a számítógéppel, végezze el az adott műveletet és az így kapott számoknak képezze az átlagát. Hasonlítsa össze az így kapott átlagot az előzőleg kiszámolt várható értékkel! Mekkora eltérést tapasztal 100, 10000, 1000000 és 10 8 szimuláció esetén? 8) Választunk egy pontot a [0,1]x[0,1] négyzetről a geometriai valószínűség szerint. Legyen x a választott pont origótól való távolsága a) Adja meg x eloszlásfüggvényét és sűrűségfüggvényét! b) Rajzolja fel az eloszlásfüggvényt és „közelítse” az értékeit a {x < x} események relatív gyakoriságával! Mekkora eltérést tapasztal 10 6 szimuláció esetén? 9) Választunk egy pontot a [0,1]x[0,1] négyzetről a geometriai valószínűség szerint. Legyen x a választott pont origótól való távolsága, h pedig a kiválasztott ponthoz vezető vektor x tengellyel bezárt szöge. © www.tankonyvtar.hu

© Mihálykóné Orbán Éva

Folytonos eloszlású valószínűségi változók

67

a) Adja meg h eloszlásfüggvényét és sűrűségfüggvényét! b) Független-e az előző feladatban megadott x és h ? 10) Egy valószínűségi változó sűrűségfüggvénye ì1 ha x ³ 1 ï , . f(x) = í x n ï0 különben î a) b) c) d)

Mekkora n értéke? Mennyi az esélye, hogy a valószínűségi változó értéke kisebb 3-nál? Mennyinél kisebb a valószínűségi változó értéke 0.9 valószínűséggel? Mennyi a valószínűségi változó várható értéke?

11) Egy valószínűségi változó sűrűségfüggvénye ì c , ha x ³ 1 ï . f(x) = í x a ï0 különben î (hatványeloszlás) a) Mekkora c értéke? b) Mely „ a ” értékek esetén lesz a valószínűségi változó várható értéke véges, de szórása nem? c) Mely a értékek esetén lesz a valószínűségi változó véges szórása nagyobb, mint a várható értéke? 12) Egy izzó élettartama olyan valószínűségi változó, amelynek eloszlásfüggvénye b ïì1 - e - lx , ha x ³ 0 F ( x) = í ïî0 különben ( l > 0, b > 0 paraméterek –Weibull eloszlás) Annak a valószínűsége, hogy az izzó 500 órán belül tönkremegy 0.3, annak a valószínűsége, hogy 1200 órán belül sem megy tönkre 0.1. Mennyi időn belül megy tönkre az izzó 0.5 valószínűséggel? 13) Legyen 0 £ F ( x ) £ 1 olyan szigorúan monoton növő folytonos függvény egy intervallumon, amelynek értékkészlete [0,1] (esetleg valamely végpont kivételével). Válasszon egy számot a [0,1] intervallumról a geometriai valószínűség szerint. Képezze F inverz függvényét és helyettesítse be ebbe a választott véletlen számot. Adja meg a behelyettesítés után kapott valószínűségi változó eloszlásfüggvényét! 14) Egy részecske sebessége olyan valószínűségi változó, amelynek eloszlásfüggvénye ìtanh m ax n , ha x ³ 0 F ( x) = í î0 különben a) Milyen értékeket vehetnek fel az egyes paraméterek, ha F (x ) eloszlásfüggvény? b) Rajzolja fel az eloszlásfüggvényt és a sűrűségfüggvényt a=1, m=1, n=1; a=1; m=2, n=1; a=1, n=2, m=1; a=1, m=0.5, n=0.5 paraméterértékek esetén! c) Számolja ki a várható értéket a=1, m=2, n=1 paraméterértékek esetén! d) Számolja ki a „közelítőleg” a várható értéket oly módon, hogy generál ilyen eloszlású valószínűségi változó értékeket és átlagolja őket!

© Mihálykóné Orbán Éva

© www.tankonyvtar.hu

68

Valószínűségszámítás példatár mérnök informatikus szakos hallgatóknak

e) Számolja ki a „közelítőleg” a várható értéket a=1 m = 0.5 , n = 0.5 paraméterek esetén oly módon, hogy generál ilyen eloszlású valószínűségi változó értékeket és átlagolja őket! 15) Egy szolgáltató egység nyereményjátékot szervez. Az ügyfél bizonyos összeg csekken történő befizetése esetén részt vehet egy nyereményjátékon, és ha szerencsés, akkor visszanyerheti a szolgáltató egység számára általa befizetett pénzösszeget, maximum 100 ezer Ft-ot. A befizetett díj olyan valószínűségi változó, amelynek sűrűségfüggvénye (10 ezer Ft-ban megadva) f ( x ) = 0.25 × xe - x + 0.75 x 4 e - x / 24 (x>0 esetén). a) Mennyi egy nyertes csekkre visszafizetett összeg várható értéke? b) Mennyi egy játékban részvevő csekkre visszafizetett összeg várható értéke, amennyiben minden ezredik befizetés nyer? c) Ha csak akkor vesznek részt az emberek a játékban, ha 100 ezer Ft vagy annál nagyobb a befizetett összeg, mennyi az egy csekken visszanyert összeg várható értéke, amennyiben minden ezredik csekk nyer?

Megoldások 1) ¥

a)

f ( x ) ³ 0 teljesül, ¥

ò

e

f ( x )dx =

-¥

ò

ò f ( x)dx = 1 -nek kell még fennállnia.

-¥ A

0dx +

-¥

ò e

¥

A

1 1 A dx + 0dx = dx = [ln x ]e = ln A - ln e = ln A - 1 = 1 , x x A e

ò

ò

ln A = 2 ,

A = e2 .

ì0, ha x < e ï F ( x) = f (t ) dt = íln x - 1, ha e £ x £ e 2 , ï -¥ 2 î1, ha e < x x

b)

ò

mivel F ( x) =

x

x

-¥

-¥ x

ò f (t )dt = ò 0dt = 0,

x

F ( x) =

F ( x) =

e

1

ha x < e ;

ò f (t )dt = ò 0dt + ò t dt = 0 + [ln t ]

-¥

-¥

e

x

e

e2

ò

f (t )dt =

-¥

ò

0dt +

-¥

x e

= ln x - ln e = ln x - 1, ha e £ x £ e 2 ;

x

1 e2 dt + 0dt = 0 + [ln t ]e + 0 = 0 + ln e 2 - ln e + 0 = 1, ha e 2 < x t e e2

ò

ò

c) d) e)

P(x < 5) = F (5) = ln 5 - 1 = 0.609 . P(x > 3) = P (x ³ 3) = 1 - F (3) = 1 - (ln 3 - 1) = 2 - ln 3 = 0.901 . P(5 £ x £ 6) = P(5 £ x < 6) = F (6) - F (5) = ln 6 - 1 - (ln 5 - 1) = 0.182 .

f) g)

P( A - 1 £ x £ A) = P (e 2 - 1 £ x < e 2 ) = F (e 2 ) - F (e 2 - 1) = ln( e 2 ) - 1 - (ln( e 2 - 1) - 1) = 0.145 P(7 £ x £ 8) = F (8) - F (7) = 1 - (ln 7 - 1) = 0.054 .

h) x=?, P (x < x ) = 0.9 , F ( x ) = 0.9 , ln x - 1 = 0.9 , ln x = 1.9 , x = e1.9 = 6.686 . i)

x=?, P (x > x) = 0.9 , 1 - F ( x) = 0.9 , F ( x ) = 0.1 , ln x - 1 = 0.1 , ln x = 1.1 , x = e1.1 = 3.004 .

j)

[e,6.686], [3.004, e 2 ] , További ilyen intervallum pl: [ a, b] , amennyiben P(x < a) = 0.05 , P(x > b) = 0.05 . Ekkor a = e1.05 = 2.858 , b = e1.95 = 7.029 .

© www.tankonyvtar.hu

© Mihálykóné Orbán Éva

Folytonos eloszlású valószínűségi változók e2

¥

k)

e2

1 e2 M (x ) = xf ( x) dx = x × dx = 1dx = [x ]e = e 2 - e = 4.671 . x -¥ e e

ò

ò

ò

e2

¥

l)

69

e2

2

e é x2 ù 2 2 2 1 M (x ) = x f ( x) dx = x dx = xdx = ê ú = 23.605 , x ë 2 ûe e e -¥

ò

ò

ò

D(x ) = M (x 2 ) - M 2 (x ) = 23.605 - 4.6712 = 1.336 .

2) Jelölje x a várakozási időt. a)

f ( x ) ³ 0 , ha c ³ 0 . 2

¥

1=

ò

2

f ( x) dx =

-¥

c=

é ù ê xú æ 1 ö÷ 1 c ) = 2cç 2 dx = c ê ú = c × 2 × ( 2 , ç 6 ÷ø 6 x ê 1 ú è ëê 2 ûú 1 / 6

1 × 2

ò

1/ 6

1 1 26

= 0.497 » 0.5 .

1 ì ï0 , ha x < 6 ï ï 1 b) A c=0.5 kerekített értékkel számolva: F ( x) = í x , ha 6 ï ï1 , ha 2 < x ï î

c)

1 £ x£2 6

1 1 1 1 P(x < ) = F ( ) = = 0.17 . 3 6 3 3 1 )= P(x > 1) = 1 - F (1) = 1 - ( 1 6 1 1 1 1 1 P( < x < ) = F ( ) - F ( ) = 2 4 2 4 2

1 = 0.41 . 6 1 1 1 e) ) = 0.21 . -( 4 6 6 1 f) x=?, P(x > x) = 0.75 , 1 - F ( x) = 0.75 , x = 0.25 , x=0.43. 6 1 g) P(x < x ) = 0.75 , x = 0.75 , x=1.34. 6 d)

2

h)

M (x ) =

¥

2

-¥

1/ 6

ò xf ( x)dx = ò x × 0.5

1 x

2

dx = 0.5

i)

P(x > 0.92) = 1 - F (0.92) = 1 - ( 0.92 -

j)

F ( x ) = 0. 5 ,

x-

© Mihálykóné Orbán Éva

ò

1/ 6

ù é ê x3 ú x dx = 0.5 × ê ú = 0.92 . ê 3 ú ëê 2 úû 1 / 6

1 ) = 0.45 ¹ 0.5 . 6

1 = 0.5 , x=0.82. 6

© www.tankonyvtar.hu

70

Valószínűségszámítás példatár mérnök informatikus szakos hallgatóknak 2

é ù ê x5/ 2 ú 2 2 2 0.5 M (x ) = x f ( x) dx = x dx = 0.5ê ú = 1.13, x ê 5 ú -¥ 1/ 6 ëê 2 ûú1 / 6 ¥

k)

2

ò

ò

D(x ) = M (x 2 ) - M 2 (x ) = 1.13 - 0.92 2 = 0.53 .

3) a)

f ( x) ³ 0 , ¥

ò

0

ò

¥

ò

[ ]

f ( x )dx = 0.5( e x dx + e - x dx) = 0.5( lim e x

-¥

-¥

0

y ®¥

0 y

[

]

y

+ lim - e - x 0 ) = 0.5(1 - lim e y + ( - lim e - y + 1) = 1 y ®¥

y ® -¥

x ®¥

c)

ìï0.5 × e x , ha x £ 0 f (t )dt = í . -x ï > 1 0 . 5 e , ha x 0 î -¥ P ( x > 2) = 1 - P ( -2 £ x £ 2) = 1 - ( F ( 2) - F (-2)) = 1 - (1 - 0.5 × e -2 - 0.5 × e -2 ) = e -2 .

d)

( -¥, x) alakú intervallum esetén F ( x ) = 0.9 , 1 - 0.5 × e - x = 0.9 , e - x = 0.2 , x = - ln 0.2 .

x

b)

F ( x) =

ò

( x, ¥ ) alakú intervallum esetén 1 - F ( x) = 0.9 , F ( x ) = 0.1 0.5 × e x = 0.1 , e x = 0.2 , x = ln 0.2 . [ a, b] alakú intervallum esetén P(x < a) = 0.05 , P(x > b) = 0.05 tulajdonsággal: F ( a) = 0.05 , 0.5 × e a = 0.05 , e a = 0.1 , a = ln 0.1 , 1 - F (b) = 0.05 , F (b) = 0.95 , 1 - 0.5e -b = 0.95 , e -b = 0.1 , b = - ln 0.1 . ¥

e)

M (x ) =

ò x × f ( x)dx = 0 .

Az improprius integrál konvergens,

f (x ) páros, ezért az

-¥

integrál 0. 4)

F ( x) ³ 0 (mind a számláló, mind a nevező nemnegatív, (( x + 2) - ( x - 1) ) = 3 > 0 , így F (x) monoton nő, f ( x) = F ' ( x) = ( x + 2) 2 ( x + 2) 2 1 1x = 1 , lim F ( x) = lim 0 = 0 , F (x ) folytonos minden pontban. lim F ( x) = lim x ®¥ x ®¥ x ® -¥ x ® -¥ 2 1+ x 3 -1 2 -1 b) P( 2 < x < 3) = F (3) - F ( 2) = = 0.067 . 3 + 2 1+ 2 10 - 1 c) P (x > 10) = 1 - F (10) = 1 = 0.25 . 10 + 2 x -1 d) x=? P(x > x) = 0.95 , 1 - F ( x) = 0.95 , F ( x ) = = 0.05 , x - 1 = 0.05 x + 0.1 , x = 1.16 . x+2 ì 3 , ha 1 < x ï ' . e) f ( x) = F ( x) = í ( x + 2) 2 ï0, ha x < 1 î f) F ( x ) = 0.5 , x = 4 .

a)

© www.tankonyvtar.hu

© Mihálykóné Orbán Éva

Folytonos eloszlású valószínűségi változók

5)

71

a) Jelöljük u-val az elsőre, v-vel a másodszorra választott számot. x = u + v . Mivel 0 £ u £ 1 , 0 £ v £ 1 , így 0 £ x £ 2 . Legyen 0 £ x £ 2 . u + v = x ³1

1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

u + v = x £1

x2 , ha x £ 1 . 2 Amennyiben 1 £ x , akkor az u + v = x egyenes a v = x - 1 -nél metszi az u = 1 egyenest, így a felső (be nem satírozott) háromszög oldala 1 - ( x - 1) = 2 - x , tehát a háromszög

Ekkor az ábra alapján látható, hogy P(x < x) = P(u + v < x) =

területe ( 2 - x) 2 . Vagyis P(u + v < x ) = 1 - (2 - x ) 2 / 2 . Összefoglalva ì0, ha x £ 0 ï 2 ïï x , ha 0 < x £ 1 . F ( x) = í 2 2 ï1 - ( 2 - x) / 2, ha 1 < x £ 2 ï îï1, ha 2 < x

b)

ì0, ha x £ 0 ï x, ha ha 0 < x £ 1 ï f ( x) = F ' ( x) = í ï2 - x, ha 1 < x £ 2 ïî0, ha 2 < x ¥

0

1

2

¥

1

2

é x3 ù é x3 ù c) M (x ) = xf ( x )dx = x × 0dx + x × xdx + x × (2 - x )dx + x × 0dx = ê ú + ê x 2 - ú = 1 3 û1 ë 3 û0 ë -¥ -¥ 0 1 2 1 d) A sűrűségfüggvény lokális maximuma x=1-ben van, ezért a módusz 1. F ( x ) = éppen 2 x=1-nél, ezért x=1 a medián is.

ò

ò

ò

ò

ò

6) Jelölje u és v a két választott számot, x = u - v . Mivel u és v egyaránt 0 és 1 között helyezkedik el, ezért a két szám egymástól való eltérése legalább nulla és legfeljebb egy. a) Legyen 0 < x £ 1 . F ( x) = P (x < x ) = P ( u - v < x) = 1 -

(1 - x) 2 . (Vesd össze Geometriai 2

valószínűség fejezet 6) d) !)

© Mihálykóné Orbán Éva

© www.tankonyvtar.hu

72

Valószínűségszámítás példatár mérnök informatikus szakos hallgatóknak

ì0, ha x £ 0 ï Tehát F ( x) = í1 - (1 - x ) 2 , ha 0 < x £ 1 . ï1, ha 1 < x î

ì0, ha x < 0 ï f ( x) = F ( x) = í2 - 2 x, ha 0 < x £ 1 . ï0, ha 1 < x î '

b)

1

-¥

0

ò x × f ( x)dx = ò x × (2 - 2x)dx = [ ]

M (x ) =

c)

1 x2 0

1

é 2x3 ù 2 1 -ê ú =1- = . 3 3 ë 3 û0

1 , 1 - (1 - x) 2 = 0.5 , x = 0.293 . 2

F ( x) =

d)

7)

¥

1 . Mivel 0 £ x £ 1 , ezért 0.5 £ h £ 1 . x +1 1 1 - ( - 1) 1 1 x = 2- . Legyen 0.5 £ x £ 1 , Fh ( x) = P (h < x) = P( - 1 < x ) = x 1 x 0 , ha x £ 0 . 5 ì ï 1 ï Azaz az eloszlás-függvény Fh ( x ) = í2 - , ha 0.5 < x £ 1 , x ï ïî1, ha 1 < x

W = [0,1] , legyen x a választott szám. h =

a)

ha x < 0.5 ì0, ï1 ï és a sűrűségfüggvény fh ( x) = í 2 , ha 0.5 < x < 1 . ïx ïî0, ha 1 < x ¥

ò

M (x ) =

b)

1

ò

x f ( x )dx =

-¥

1

x×

0.5

1 1 1 dx = dx = [ln x ]0.5 = 0.693 . 2 x x 0.5

ò

c) N= átlag eltérés

100 0.67914631 0.0140

10000 0.693257656 0.00011

1000000 0.693168932 0.00002

100000000 0.69314016174

7 × 10 -6

8) a)

1

0.8

0.6

u2 + v2 = x > 1

0.4

0.2

0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

u + v = x 1,

akkor

1

¥

ò 1

¥

é x - n+1 ù 1 x -n +1 1 1 = lim dx = = 0= 1 , vagyis n = 2 . ê ú n - n +1 x ë - n + 1 û 1 x ®¥ - n + 1 - n + 1 3

b)

P(x < 3) =

ò

3

f ( x )dx =

-¥

ò 1

3

1 2 é 1ù dx = ê - ú = . 2 x x û1 3 ë

c)

ì0, ha x £ 1 ï , P (x < x ) = F ( x ) = 0.9 , x = 10 . F ( x) = í 1 ïî1 - x , ha 1 < x

d)

M (x ) =

¥

¥

ò

¥

ò

xf ( x)dx = x ×

-¥

1

1 1 ¥ dx = dx = [ln x ]1 = ¥ . Nem véges a várható érték. 2 x x 1

ò

11) ¥

a)

c

ò xa dx = 1 , c = a - 1 ,

1 a - 3 èa - 2ø a -2 2

2

2

a -1 æ a -1 ö > 2×ç ÷ , a -3 èa - 2 ø

3