Πανεπιστημιακή Φυσική - University Physics [1 & 2, 1 ed.] 960-02-1067-5 [PDF]

Zitiervorschau

Αυτή η εικόνα από το βιβλίο Principia (1687) του Sir Isaac Newton δείχνει ότι τόσο η ελεύθερη πτώση πάνω στη Γη όσο και η περιστροφική κίνηση γύρω από τη Γη οφείλονται στη βαρυτική της ε'λξη.

( Το διαστημικό εργαστήριο 1:1

ΤΕΡΜΑ

32

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ χ ( m) 400

300

χ2

I I I I I χ2 - χI I I I

200 100

2-2 Η θέση της φόρμουλας ως συνάρτησης του χρόνου. Η μέση

χι

- - - - 2 �ι_=_Δ!._ - - j

- ----':+ """"--'----:2-----'3 ο

ταχύτητα ανάμεσα στα σημεία Ρ, και Ρ2 είναι η κλίση της γραμμής Ρ1Ρ2 ·

-'4,-----

-

(ι

{2

=

Δχ

---5 -'-

-

-

1

(s)

Η μέση ταχύτητα είναι διανυσματική ποσότητα και η Εξ. (2-3) ορίζει τη χ-συνιστώ­ σα της. Στην ευθύγραμμη κίνηση, όπου καλούμε μετατόπιση την ποσότητα Δχ και συμβο­ λίζουμε με V av τη μέση ταχύτητα, πρέπει να θυμόμαστε πως στην πραγματικότητα αυτές είναι οι συνιστώσες χ διανυσματικών ποσοτήτων, που σ' αυτή την ειδική περίπτωση έ­ χουν συνιστώσες χ. Στο Κεφ. 3. τα διανύσματα μετατόπισης, ταχύτητας και επιτά­ χυνσης θα έχουν δύο ή τρεις μη μηδενικές συνιστώσες. Μερικές φορές, ειδικά όταν η κίνηση γίνεται κατά μήκος κατακόρυφης γραμμής, είναι πιο φυσικό να καλούμε τη γραμμή αυτή άξοναy αντί για άξονα χ. Τότε, αν βάλουμε παντού y στη θέση του χ, η Εξ. (2-3) θα δίνει τη συνιστώσαy της μέό'ης ταχύτητας. Στο Σχ. 2-2 έχουμε το διάγραμμα της θέσης της φόρμουλας ως συνάρτησης του χρόνου. Η καμπύλη παριστάνει την τροχιά του αυτοκινήτου στον χώρο· όπως φαίνε­ ται στο Σχ. 2-1 αυτή η τροχιά είναι ευθύγραμμη. Το διάγραμμα παριστάνει την αλλαγή της θέσης του αυτοκινήτου με τον χρόνο. Τα σημεία του διαγράμματος που αντιστοιχούν στις θέσεις Ρι και Ρ2 σημειώνονται με pι και p2. Η μέση ταχύτητα Vav του αυτοκινήτου πα­ ριστάνεται από την της ευθείας pιp2 δηλ. σαν ο λόγος της κατακόρυφης πλευράς προς την οριζόντια πλευρά του τριγώνου. Μην ξεχνάτε ότι η κατακόρυφη πλευρά του τριγώνου αντιπροσωπεύει μετατόπιση, ενώ η οριζόντια χρόνο. Έτσι, η Vav είναι ο λόγος της διαφοράς χ2 -χι, ή Δχ, προς την t2 - tι, ή Δt. Δεν έχει σημασία η σταθερότητα ή μη της ταχύτητας του αυτοκινήτου κατά το χρο­ νικό διάστημα Δt = t2 - tι. Κάποια άλλη φόρμουλα μπορεί να ε ίχε ξεκινήσει από την α­ φετηρία, να έφτασε μια μέγιστη ταχύτητα και μετά να κάηκε η μηχανή της με αποτέλε­ σμα σιγά - σιγά να σταματήσει. Για να υπολογίσουμε τη μέση της ταχύτητα χρειαζόμαστε μόνο την ολική μετατόπιση Δχ = χ2 - χι και το ολικό χρονικό διάστημα Δt = t2 - tι. Ο πίνακας 2-1 δείχνει ορισμένα χαρακτηριστικά μεγέθη ταχυτήτων.

μόνο

δεν

κλίση

ΠΙΝΑΚΑΣ 2-1 Χαρακτηριστικά μεγέθη ταχυτήτων Σαλιγκάρι Ζωηρό περπάτημα Ο ταχύτερος άνθρωπος Γατόπαρδος (τσίτα) Το πιο γρήγορο αυτοκίνητο Τυχαίες κινήσεις μορίων αερίου Το πιο γρήγορο αεροπλάνο Τηλεπικοινωνιακός δορυφόρος Ηλεκτρόνιο ατόμου του υδρογόνου Φως

10-3 m/s 2 m/s 1 1 m/s 35 m/s 283 m/s 500 m/s 1 000 m/s 3 000 m/s 2 χ 1 06 m/s 3 χ l0 Δt

(2-6 )

t

• Όταν η επιτάχυνση είναι σταθερή, η θέση χ και η ταχύτητα υ κάθε χρονική στιγμή σχετίζονται με την επιτάχυνση α , την αρχική θέση χ0 και την αρχική ταχύτητα υ0 (κι οι δύο για t = Ο) με τις παρακάτω εξισώσεις: χ = χ0 + υ0t + υ = υ0 + at, υ z = υσz + 2α Χ - Χ0 =

f at2,

(χ -χο) , -- t . 2 υ0 + υ

(2-13) (2-9) (2-14) (2-15)

• Όταν η επιτάχυνση δεν είναι σταθερή, αλλά δίνεται σαν συνάρτηση του χρόνου, μπορούμε να βρούμε την ταχύτητα και τη συντεταγμένη θέσης ολοκληρώνοντας τη συ­ νάρτηση της επιτάχυνσης. • Όταν ένα σώμα Ρ κινείται σχετικά με σώμα (ή σύστημα αναφοράς) Β και το Β κι­ νείται σχετικά με το Α, συμβολίζουμε τη σχετική ταχύτητα του Ρ ως προς το Β με υΡ/8, τη σχετική ταχύτητα του Ρ ως προς το Α με υΡΙΑ και τη σχετική ταχύτητα του Β ως προς το Α με υΒιΆ · Αυτές οι ταχύτητες συνδέονται με τη σχέση (2-24)

ΚΥΡΙΟΙ ΟΡΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ

50

ΑΣΚΉΣΕΙΣ

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Εδάφιο 2-1 Μέση ταχύτητα 2-1 Πύραυλος που μεταφέρει δορυφόρο επιταχύνεται προς τα πάνω ακριβώς κατακόρυφα από την επιφάνεια της Γης. Ο πύραυ­ λος εγκαταλείπει την κορυφή της εξέδρας εκτόξευσης 47 m πάνω από το έδαφος, 1,35 s μετά την aπογείωσή του. Αφού πέρασαν άλ­ λα 4,45 s ο πύραυλος βρίσκεται 1,00 km πάνω από το έδαφος. Υπολογίστε το μέτρο της μέσης ταχύτητας του πυραύλου για a)το διάστημα πτήσης των 4,45 s· b)τα πρώτα 5,80 s της πτήσης του. 2-2 Μια κοπέλα πεζοπορεί επί 40 min σε ευθεία γραμμή με μέση ταχύτητα που έχει μέτρο 1,4 m/s. Πόση απόσταση καλύπτει σ' αυτό το διάστημα; 2-3 Στην εθνική οδό Αθηνών-Λαμίας κανονικά οδηγούμε με μέση ταχύτητα 80 km/h και η διαδρομή διαρκεί 2 h 45 min. Μια βροχερή μέρα, οδηγούμε με μικρότερη μέση ταχύτητα, 65 km/h. Για την ίδια απόσταση, πόσο χρόνο περισσότερο θα διαρκέσει η διαδρομή; 2-4 Ο πιο γρήγορος άνθρωπ ος του κόσμου. Στις 30 Αυγούστου 1987, στη Ρώμη, ο Ben Johnson έτρεξε τα 100 m σε 9,83 s. Το διάστημα από 50,0 ώς 70,0 m το έτρεξε σε 1,70 s. Ποιο ήταν το μέτρο της μέσης ταχύτητας για a) όλη τη διαδρομή; b) Για το τμήμα της από τα 50,0 m ώς τα 70,0 m; 2-5 Ένα αυτοκίνητο ταξιδεύει σε ευθύ δρόμο. Η απόστασή του, χ, από ένα σήμα STOP σαν συνάρτηση του χρόνου δίνεται α­ πό την εξίσωση χ = αt2 + βt3, όπου α = 1,80 m/s2 και β = 0,250 m/s3. Υπολογίστε τη μέση ταχύτητα του αυτοκινήτου για τα παρα­ κάτω χρονικά διαστήματα: a) t = Ο ως t = 2,00 s· b) t = Ο ως t = 4,00 s· c) t = 2,00 s ως t = 4,00 s. Εδάφιο 2-2 Στιγμιαία ταχύτητα 2-6 Κάποια καθηγήτρια φυσικής ξεκινάει από το σπίτι της με τα πόδια για την Πανεπιστημιούπολη. Μετά από 5 min την πιάνει βροχή και επιστρέφει σπίτι της. Η απόστασή της από το σπίτι σαν συνάρτηση του χρόνου φαίνεται στο Σχ. 2-23. Σε ποια από τα ση­ μεία που σημειώνονται η ταχύτητά της είναι a) μηδέν, b) σταθε­ ρή και θετική, c) σταθερή και αρνητική, d) αύξουσα κατά μέ­ τρο, e) φθίνουσα κατά μέτρο; 2-7 Ένας μοντελιστής δοκιμάζει νέο μοντέλο μηχανής πυραύ­ λου πaνω σε βαγονάκι που κινείται σε μοντέλο σιδηροτροχιάς. Βρίσκει ότι η κίνηση του βαγονιού κατά τον άξονα χ περιγράφεται από την εξίσωση χ = bt2, όπου b = 12,0 cm/s2• Υπολογίστε τη στιγ­ μιαία ταχύτητα του βαγονιού τη χρονική στιγμή t = 3,00 s. x (m) IV

ΣΧΗΜΑ 2-23

2-8 Ένα αυτοκίνητο σταματάει στο κόκκινο. Όταν ανάψει πράσινο, προχωράει σε ευθεία και η απόστασή του από το σημα­ τοδότη δίνεται από την εξίσωση χ = bf2 + cf3, όπου b = 1,40 m/s2 και c = 0,100 m/s3• a) Υπολογίστε τη μέση ταχύτητα του αυτοκι­ νήτου μέσα στο χρονικό δ ιάστη μα από t = Ο ώς t = 1 0,0 s. b) Υπολογίστε τη στιγμιαία ταχύτητα του αυτοκινήτου τις χρονι­ κές στιγμές i) t = ο· ii) t = 5,0 s· iii) t = 10,0 s. Εδάφιο 2-3 Μέση και στιγμιαία επιτάχυνση 2-9 Ένα-φορτηγό τρέχει σε ευθύγραμο τμήμα της εθνικής ο­ δού με 120 km/h. Ο οδηγός διακρίνει μπροστά του το περιπολικό της τροχαίας. Αν το φορτηγό αρχίσει να φρενάρει με μέση επι­ βράδυνση -4,0 m/s2, πόση ώρα θα χρειαστεί ώστε η ταχύτητά του να μειωθεί στο όριο του δρόμου, που είναι 80 km/h; 2-10 Στο Σχ. 2-24 βλέπουμε, σαν συνάρτηση του χρόνου, την ταχύτητα αυτοκινήτου που λειτουργεί με ηλιακούς συσσωρευτές. Ξεκινώντας από κάποιο STOP ο οδηγός αρχικά επιταχύνει, μετά προχωράει με σταθερή ταχύτητα 60 km/h επί 20 s και τέλος φρε­ νάρει για να σταματήσει σ' ένα άλλο STOP, 40 s αφού ξεκίνησε από το προηγούμενο. a) Υπολογίστε τη μέση επιτάχυνση σε κα­ θένα από τα παρακάτω χρονικά διαστήματα: ί) t = Ο ώς t = 10 s· ίί) t = 30 s ώς t = 40 s· ίίί) t = 10 s ώς t = 30 s· iv) t = Ο ώς t = 40 s. b) Ποια χρονική στιγμή η στιγμιαία επιτάχυνση α παίρνει τη μέγιστη τιμή της; c) Πόση είναι η στιγμιαία επιτάχυνση όταν t = 20 s; d) Πόση είναι η στιγμιαία επιτάχυνση όταν t = 35 s; υ

(km!h)

_ ι (s) -JL- ...J..._ JL -0 -10 _20 _30_ 40_ _ι_

_j_

ΣΧΗΜΑ 2-24

2-1 1 Ο δοκιμαστής της ελέγχει έ­ να νέο μοντέλο, του οποίου το ταχύμετρο είναι βαθμονομημένα σε m/s αντί για km/h. Σε ένα τεστ πάρθηκαν οι παρακάτω ενδεί­ ξεις του ταχύμετρου: Ο Χρόνος (s) Ταχύτητα (m/s) Ο

2 ο

4 2

6 5

8 10

10 15

12 20

14 22

16 22

a) Υπολογίστε τη μέση επιτάχυνση κατά τη διάρκεια καθενός διαστήματος 2 s. Παραμένει αυτή σταθερή; Παραμένει σταθερή για κάποιο τμήμα του συνολικού τεστ; b) Να τοποθετήσετε τα δεδομένα αυτά σε διάγραμμα ταχύτητας - χρόνου με οριζόντια κλίμακα 1 cm = 1 s και κάθετη κλίμακα 1 cm = 2 m/s. Σχεδιάστε μια ομαλή καμπύλη διά μέσου αυτών των σημείων. Μετρώντας την κλίση της καμπύλης αυτής βρείτε τη στιγμιαία επιτάχυνση για t = 8 s, 13 s και 15 s.

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ υ

(m/s) so r=����=r=η�

2-12 Ένας aστροναύτης ξεκίνησε από το �

υρεύμα �

ΣΧΗΜΑ 2-31

ΠΡΟΒΛΉΜΑΤΑ 2-39 Η κίνηση σωματίου σε ευθεία γραμμή περιγράφεται από τη συνάρτηση χ = α + βt2 - γt4, όπου α = 6,00 m, β = 4,80 m/s2 και γ = 1,30 m/s4• a) Βρείτε τη θέση, την ταχύτητα και την επιτά­ χυνση τη χρονική στιγμή t = 2,00 s. b) Σχεδιάστε τα διαγράμματα θέσης, ταχύτητας και επιτάχυνσης σαν συναρτήσεων του χρόνου από ι = Ο ώς ι = 2,00 s. c) Ποια είναι η μέγιστη θετική ταχύτητα του σωματίου; Ποια χρονική στιγμή τη φτάνει; 2-40 Κάθε διαγωνιζόμενος σε πρέπει να τρέξει 20,0 m μεταφέροντας ένα αυγό μέσα σε κουτάλι και να ξαναγυρί­ σει πίσω. Η Ελένη τρέχει τα πρώτα 20,0 m σε 12,0 s. Κατά την επι­ στροφή της έχει αποκτήσει περισσότερη αυτοπεποίθηση, οπότε της χρειάζονται μόνο 8,0 s. Ποιο είναι το μέτρο της μέσης της τα­ χύτητας για a) τα πρώτα 20,0 m; b) την επιστροφή της; c) Πόση είναι η μέση της ταχύτητα για τη συνολική διαδρομή μετ' επιστρο­ φής; d) Πόσο ε ίναι το μέσο μέτρο ταχυτήτων για τη συνολική διαδρομή;

βράδυνση (εξαιτίας απότομης σύγκρουσης), αν το μέτρο της είναι μικρότερο από 250 m/s2 (περίπου 25 g). Αν σας συμβεί αυτοκινητι­ κό δυστύχημα από αρχική ταχύτητα 100 km/h και προφυλαχτείτε με αερόσακκο που φουσκώνει από το τιμόνι, μέσα σε πόση απόσταση πρέπει ο αερόσακκος να σας σταματήσει, ώστε να επιζήσετε;

2-43 Ο Γιάννης μπαίνει στην εθνική οδό από την πόλη Seward της πολιτείας Nebraska και οδηγεί σ' ευθεία γραμμή δυτικά με μέ­ ση ταχύτητα, που έχει μέτρο 88 km/h. Αφού διανύσει 76 km φτά-

2-41 Ο τυπικός δρομέας παγκόσμιων επιδόσεων επιταχύνεται στη μέγιστη ταχύτητά του σε 4,0 s. Αν ένας τέτοιος δρομέας τερ­ ματίζει αγώνα 100 m σε 9,1 s, πόση είναι η μέση του επιτάχυνση κατά τα πρώτα 4,0 s της κούρσας; 2-42 Αερόσακκοι ασφαλείας αυτοκινήτου. Το ανθρώ­ πινο σώμα μπορεί να αντέξει τραυματισμό, που οφείλεται στην επι-

� 76 km f-- 3 4 km �

Aurora 8 ΣΧΗΜΑ 2-32

York 8

Seward 8 -l

-

-----

--

--

54

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ

νει στην έξοδο για την πόλη Aurora (Σχ. 2-32). Καταλαβαίνοντας πως ξεπέρασε τον προορισμό του, γυρίζει πίσω και ταξιδεύει α­ νατολικά προς την έξοδο για την πόλη York με μέση ταχύτητα, που έχει μέτρο 79 km/h. Για τη συνολική του διαδρομή από την έ­ ξοδο της Seward ώς την έξοδο της York, a) Πόσο είναι το μέσο μέτρο ταχυτήτων του; b) Πόσο είναι το μέτρο της μέσης του ταχύ­ τητας;

θερή επιτάχυνση 2,00 m/s2 • Την ίδια στιγμή ένα φορτηγό, που κι­ νείται με σταθερή ταχύτητα 14,0 m/s, προσπερνάει το αυτοκίνητο. a) Σε πόση απόσταση από το σημείο που ξεκίνησε το αυτοκίνητο θα προσπεράσει το φορτηγό; b) Με πόση ταχύτητα θα κινείται το αυτοκίνητο όταν θα προσπερνάει το φορτηγό; c) Σχεδιάστε τις θέσεις των δύο οχημάτων σαν συναρτήσεις του χρόνου στο ί­ διο διάγραμμα, με αρχή τη διασταύρωση.

2-44 Κυκλοφορία σε aυτοκινητόδρομους. Σύμφωνα με άρθρο του περιοδικού Scίentίfic Amerίcan (τεύχος Μα"tου 1990) οι σύγχρονοι αυτοκινητόδρομοι μπορούν να εξυπηρετήσουν σε ο­ μαλή κυκλοφοριακή ροή στα 90 km/h περίπου 2250 οχήματα ανά λωρίδα και ώρα. Με περισσόΠ!'(t οχήματα η κυκλοφοριακή ροή α­ ναταράσσεται (δηλ. διακόπτεται περιοδικά). a) Αν, κατά μέσο ό­ ρο, τα οχήματα έχουν μήκος 4,3 m, πόση είναι η μέση απόστασή τους στην παραπάνω κυκλοφοριακή πυκνότητα; b) Η απαιτούμε­ νη απόσταση μεταξύ οχημάτων θα μπορούσε να περιοριστεί σημα­ ντικ� με χρήση αυτοματοποιημένων συστημάτων ελέγχου, που λει­ τουργούν με εκπομπή σημάτων ραντάρ ή σονάρ από γειτονικά οχή­ ματα· όσα κινδυνεύουν να συγκρουστούν επιταχύνονται ή επιβρα­ δύνονται αυτομάτως. Αν η μέση απόσταση οχημάτων είναι 8,6 m (διπλάσια του μέσου μήκους), πόσα οχήματα ανά ώρα μπορεί να εξυπηρετήσει μια λωρίδα κυκλοφορίας στα 90 km!h;

2-48 Ο μηχανοδηγός επιβατικής αμαξοστοιχίας, που κινείται με 25,0 m/s, διακρίνει μπροστά του φορτηγό συρμό του οποίου το τελευταίο βαγόνι-γραφείο απέχει 200 m, στην ίδια σιδηροδρομική γραμμή (Σχ. 2-34). Το φορτηγό τρένο κινείται με ταχύτητα 15,0 m/s, στην ίδια κατεύθυνση με το επιβατικό. Ο μηχανοδηγός του ε­ πιβατικού αμέσως φρενάρει και προκαλεί σταθερή επιβράδυνση -0,100 m/s2, ενώ το φορτηγό συνεχίζει να κινείται με την ίδια τα­ χύτητα. a) Θα γίνουν οι αγελάδες μάρτυρες σύγκρουσης; b) Αν ναι, σε ποιο σημείο θα συμβεί; c) Σχεδιάστε τη θέση της αρχής καθενός τρένου σαν συνάρτηση του χρόνου, στο ίδιο διάγραμμα. Θεωρήστε ότι η αρχική θέση του επιβατικού τρένου είναι στο ση­ μείο χ = Ο.

2-45 Αυτοκίνητο, που έχει μήκος 3,5 m και κινείται με σταθε­ ρή ταχύτητα 20 m/s, πλησιάζει σε διασταύρωση (Σχ. 2-33). Το πλάτος της διασταύρωσης είναι 20 m. Όταν η μάσκα του αυτοκι­ νήτου απέχει 50 m από την αρχή της διασταύρωσης ανάβει κίτρι­ νο. Αν ο οδηγός πατήσει φρένο το αυτοκίνητο επιβραδύνεται κα­ τά -4,2 m/s2 . Αν, αντίθετα, ο οδηγός πατήσει γκάζι το αυτοκίνητο θα επιταχυνθεί κατά 1,5 m/s2 • Το κίτρινο φως διαρκεί 3,0 s. Αμε­ λήστε το χρόνο αντίδρασης του οδηγού. Για να μη βρεθεί μέσα στη διασταύρωση με κόκκινο, ο οδηγός θα πρέπει να πατήσει φρένο ή γκάζι;

υπ

= 15,0 rn/s

ΣΧΗΜΑ 2-34

-""'3,5 m.......

so m /4 � -

ΣΧΗΜΑ 2-33

2-49 Ένα αυτοκίνητο Ι.Χ. και ένα φορτηγό ξεκινούν την ίδια στιγμή, όταν το Ι.Χ. βρίσκεται σε κάποια απόσταση πίσω από το φορτηγό. Το φορτηγό έχει σταθερή επιτάχυνση 2,20 m/s2 και το αυτοκίνητο 3,50 m/s2. Το αυτοκίνητο προσπερνάει το φορτηγό, α­ φού το φορτηγό έχει προχωρήσει 75,0 m. a) Πόσος χρόνος απαι­ τήθηκε ώστε το Ι.Χ. να προσπεράσει το φορτηγό; b) Σε πόση α­ πόσταση πίσω από το φορτηγό βρισκόταν αρχικά το Ι.Χ.; c) Πό­ ση είναι η ταχύτητα καθενός οχήματος όταν αυτά βρίσκονται δί­ πλα - δίπλα; d) Σχεδιάστε τη θέση καθενός οχήματος σαν συνάρ­ τηση του χρόνου στο ίδιο διάγραμμα. Θεωρήστε ότι η αρχική θέ­ ση του φορτηγού βρίσκεται στο σημείο χ = Ο.

2-46 Ένα έλκηθρο ξεκινάει από την ηρεμία στην κορυφή λό­ * 2-50 Η ταχύτητα αντικειμένου μετράται να είναι v(t) = α - βt2, φου και γλυστράει προς τα κάτω με σταθερή επιτάχυνση. Κάποια όπου α = 6,00 m/s2 και β = 2,00 m/s3. Τη χρονική στιγμή t = Ο το αντικείμενο βρίσκεται στη θέση χ = Ο. a) Βρείτε τη θέση και κατοπινή χρονική στιγμή το έλκηθρο απέχει 32,0 m από την κορυ­ την επιτάχυνση του αντικειμένου σαν συναρτήσεις του χρόνου. φή· μετά 2,00 s απέχει 50,0 m από την κορυφή· μετά 2,00 s απέχει b) Πόση είναι η μέγιστη θετική απομάκρυνση του αντικειμένου α­ 72 m· τέλος, μετά από άλλα 2,00 s, απέχει 98,0 m από την κορυφή. πό την αρχή; a) Πόσο είναι το μέτρο της μέσης ταχύτητας του έλκηθρου κατά τη διάρκεια καθενός από τα διαστήματα των 2,00 s, αφού ξεπέρασε 2-51 Βρίσκεστε στην ταράτσα του κτιρίου φυσικής, 46,0 m πά­ την απόσταση των 32 m; b) Πόση είναι η επιτάχυνση του έλκη­ νω από το έδαφος (Σχ. 2-35). Ο καθηγητής σας της φυσικής, που θρου; c) Πόση είναι η ταχύτητα του έλκηθρου, όταν απέχει 32 m έχει ύψος 1,80 m, πλησιάζει προς το κτίριο με σταθερή ταχύτητα από την κορυφή; d) Πόσο χρόνο χρειάστηκε για να γλυστρήσει 1,20 m/s. Αν θέλετε να ρίξετε ένα αυγό στο κεφάλι του καθηγητή από την κορυφή στα 32 m; e) Πόση απόσταση διάνυσε το έλκη­ σας, πού πρέπει να βρίσκεται αυτός όταν αφήνετε το αυγό; θρο μέσα στο πρώτο δευτερόλεπτο αφότου πέρασε τα 32 m; 2-52 Απλό τεστ χρόνου αντίδρασης. Κρατάτε ένα χά­ 2-47 Τη στιγμή που ο φωτεινός σηματοδότης δείχνει πράσινο ρακα από την κάτω άκρη του, κατακόρυφα πάνω από το χέρι σας, ένα αυτοκίνητο, που περίμενε στη διασταύρωση, ξεκινάει με σταμε τον αντίχειρα και το δείκτη σας. Ελευθερώνετε το χάρακα και

ΠΡΟΒΛΉΜΑΤΑ

υ =

1 ,80 m

1,20 m/s

�

0 D 0 EI 0 D 0 D B 0

0 O 0 D 0 O 0 O CJ 0

0 G 0 EJ 0 EI 0 lΞJ EJ 0

0 O 0 D 0 O 0 O O 0

55

πάνω από το έδαφος και μια φοιτήτρια, που κοιτάζει από το πα­ ράθυρό της, βλέπει τη μπάλα να περνάει από μπροστά της με τα­ χύτητα 5,00 m/s προς τα πάνω. Το παράθυρο βρίσκεται 12,0 m πά­ νω από το έδαφος. a) Πόσο ψηλά σηκώθηκε η μπάλα από το έ­ δαφος; b) Πόσο χρόνο χρειάστηκε για να φτάσει η μπάλα στο μέγιστο ύψος της;

46,0 m

ΣΧΗΜΑ 2-35

τον ξαναπιάνετε με τα ίδια δάχτυλα. Ο χρόνος αντίδρασής σας μπορεί να υπολογιστεί από την απόσταση που διάνυσε ο χάρακας, η οποία μετριέται κατευθείαν από την ένδειξη που πιάσατε. a) Βρείτε τη σχέση που δίνει το χρόνο αντίδρασής σας σαν συνάρ­ τηση αυτής της απόστασης d, που μετράτε. b) Αν μετρήσατε από­ σταση 22,8 cm, πόσος είναι ο χρόνος αντίδρασης;

2-53 Σε ένα τσίρκο οι θεατές παρακολουθούν καταδύσεις σε πισίνα από ελαστική πλατφόρμα που βρίσκεται σε ύψος 25,0 m. Σύμφωνα με τον παρουσιαστή οι αθλήτριες μπαίνουν στο νερό με ταχύτητα 100 km/h. a) Είναι σωστός ο ισχυρισμός του παρουσια­ στή; b) Είναι δυνατό η αθλήτρια να πηδήξει προς τα πάνω από την πλατφόρμα και κατά την πτώση της στο νερό να φτάσει ταχύ­ τητα 100 km/h; Πόση αρχική ταχύτητα προς τα πάνω θα χρειαζό­ ταν για να το πετύχει αυτό; Είναι αυτή η ταχύτητα πραγματοποιή­ σιμη; 2-54 Ένας σπουδαστής, aποφασισμένος να ελέγξει προσωπι­ κά το νόμο της βαρύτητας, πηδάει από ουρανοξύστη 250 m ψηλό με το χρονόμετρο στο χέρι και αρχίζει την ελεύθερη πτώση του (με μηδενική αρχική ταχύτητα). Μετά πέντε δευτερόλεπτα φτάνει ο Σούπερμαν και βουτάει από την ταράτσα για να σώσει τον σπουδαστή. a) Πόση πρέπει να είναι η αρχική ταχύτητα του Σού­ περμαν ώστε να πιάσει τον σπουδαστή ακριβώς πριν χτυπήσει στο έδαφος; (Υποθέστε ότι ο Σούπερμαν έχει την επιτάχυνση της ε­ λεύθερης πτώσης). b) Αν το ύψος του ουρανοξύστη είναι μικρό­ τερο από ένα ελάχιστο όριο, ακόμα κι ο Σούπερμαν δεν προφταί­ νει να πιάσει τον σπουδαστή πριν χτυπήσει κάτω. Πόσο είναι αυ­ τό το ελάχιστο ύψος; 2-55 Κλωτσάμε μια μπάλα ποδοσφαίρου κατακόρυφα προς τα

2-56 Ένα βάζο πέφτει από το περβάζι και η διέλευσή του μπροστά από το κάτω παράθυρο, που έχει ύψος 1,90 m, απαιτεί 0,420 s. Πόσο απέχει το πάνω μέρος του παράθυρου αυτού από το περβάζι που βρίσκεται από πάνω του; 2-57 Ο οδηγός Ι.Χ. αυτοκινήτου θέλει να προσπεράσει φορτη­ γό που ταξιδεύε ι με σταθερή ταχύτητα 20,0 m/s (περίπου 70 km/h). Αρχικά, το Ι.Χ. ταξιδεύει κι αυτό με 20,0 m/s. Η μέγιστη ε­ πιτάχυνση του Ι .Χ. σε αυτή την περιοχή ταχυτήτων ε ίναι 0,800 m/s2. Αρχικά, τα οχήματα απέχουν 25,0 m και το Ι.Χ. επι­ στρέφει στη λωρίδα που κινείται το φορτηγό, αφού το προσπερά­ σει κατά 25,0 m. Το I.X. έχει μήκος 5,0 m και το φορτηγό 20,0 m. Η επιτάχυνση του Ι.Χ. είναι σταθερή, 0,800 m/s2• a) Πόσος χρό­ νος απαιτείται ώστε το Ι.Χ. να προσπεράσει το φορτηγό; b) Πό­ ση απόσταση διανύει το Ι.Χ. σ' αυτό το χρόνο; c) Πόση είναι η τελική ταχύτητα του Ι.Χ.; 2-58 Ένας ζογκλέρ δίνει παράσταση σε αίθουσα της οποίας το ταβάνι βρίσκεται σε ύψος 4,50 m από τα χέρια του. Ρίχνει ένα μήλο κατακόρυφα προς τα πάνω έτσι ώστε αυτό μόλις και αγγίζει το ταβάνι. a) Με πόση αρχική ταχύτητα το έριξε; b) Πόσος χρό­ νος χρειάστηκε ώστε το μήλο να φτάσει στο ταβάνι; Ο ζογκλέρ ρί­ χνει κι ένα πορτοκάλι με την ίδια αρχική ταχύτητα προς τα πάνω τη στιγμή που το μήλο βρίσκεται στο ταβάνι. c) Μετά πόσο χρόνο από τη στιγμή που φεύγει το πορτοκάλι συναντάει το μήλο στον α­ έρα; d) Τη στιγμή της συνάντησής τους πόσο απέχουν από τα χέ­ ρια του ζογκλέρ; 2-59 Το πρόβλημα του ταχυδρομικού περιστεριού. Ο Γιώργος οδηγε ί ανατολικά το αυτοκίνητό του με ταχύτητα 40 km/h. Ο δίδυμος αδελφός του, ο Γιάννης, οδηγεί ένα aπαράλ­ λακτο αυτοκίνητο δυτικά προς το Γιώργο, με 30 km/h στον ίδιο ευ­ θύ δρόμο. Όταν απέχουν 35 km ο Γιώργος αφήνει ένα ταχυδρομι­ κό περιστέρι, που πετάει με σταθερή ταχύτητα 50 km/h. (Όλες οι ταχύτητες είναι σχετικές με το έδαφος.) Το περιστέρι πετάει προς το Γιάννη, μπερδεύεται κι αμέσως επιστρέφει στο Γιώργο, όπου μπερδεύεται περισσότερο και πετάει ξανά πίσω στο Γιάννη. Αυτό συνεχίζεται μέχρι να συναντηθούν οι δίδυμοι, οπότε το σαστισμέ­ νο περιστέρι πέφτει εξαντλημένο στο έδαφος. Αμελώντας το χρό­ νο που χρειάστηκε για τις στροφές, πόση απόσταση διάνυσε το περιστέρι; 2-60 Δύο αυτοκίνητα Α και Β κινούνται σε ευθεία γραμμή. Η απόσταση του Α από την αρχή σαν συνάρτηση του χρόνου είναι χΑ = at + βt2, με α = 4,00 m/s και β = 1,20 m/s2. Η απόσταση του Β από την αρχή είναι χ8 = γt2 + δt3, με γ = 1,60 m/s2 και δ = 1,20 mfs3. a) Για ποιες τιμές του t τα αυτοκίνητα βρίσκονται στο ίδιο σημείο; c) Για ποιες τιμές του t μηδενίζεται η ταχύτητα του Β σχετικά με το Α; d) Για ποιες τιμές του t η απόσταση των Α και Β ούτε μεγαλώνει ούτε μικραίνει;

56

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ

Π Ι Ο ΣΥ Ν Θ Ε Τ Α ΠΡ Ο ΒΛ Ή Μ Α Τ Α 2-61 Από τις Εξ. (2-4) και (2-6) φαίνεται πως ο ορισμός της παραγώγου df/dt της συνάρτησηςf(t) είναι d[ = Δlim Δf ι.....

dt

ο Δt '

όπου Δf = f(t + Δt) -f(t). Με βάση τον ορισμό αυτό aποδείξτε τα παρακάτω: a) (d!dt)t" = nt" - 1 • (Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα που μπορείτε να το βρείτε στο Παράρτημα Β.) b) (d! dt) [ af(t)] = a (df! dt) . c) (d! dt) [j(t) + g(t)] = (df!dt) + (dg/dt) .

2-62 Ένας παρατηρητικός πεζοπόρος βλέπει μια κροκάλλα να πέφτει από την κορυφή γκρεμού και σημειώνει πως χρειάστηκε 1,50 s για να διανύσει η κροκάλλα το τελευταίο τρίτο της διαδρο­ μής της προς το έδαφος. a) Πόσο είναι το ύψος του γκρεμού σε μέτρα; b) Αν στο a) μέρος βρήκατε τις δύο ρίζες δευτεροβάθμιας εξίσωσης και δώσατε τη μία σαν απάντηση, τι παριστάνει η άλλη; 2-63 Μια φοιτήτρια τρέχει να προλάβει το εσωτερικό λεωφο­ ρείο της Πανεπιστημιούπολης, που περιμένει στη στάση. Η φοιτή­ τρια τρέχει με 6,0 m/s· δεν μπορεί να τρέξει γρηγορότερα. Όταν η φοιτήτρια θέλει ακόμα 60,0 m για να το φτάσει, το λεωφορείο ξε­ κινάει με σταθερή επιτάχυνση 0,180 m/s2 . a) Επί πόσο χρόνο πρέπει να τρέξει η φοιτήτρια και τι απόσταση πρέπει να διανύσει για να φτάσει το λεωφορείο; b) Πόσο γρήγορα κινείται το λεω­ φορείο όταν το φτάνει η φοιτήτρια; c) Να κάνετε γραφικές πα­ ραστάσεις των aπομακρύνσεων x(t) τόσο της φοιτήτριας όσο και του λεωφορείου. Πάρτε την αρχική θέση της φοιτήτριας στο ση­ μείο χ = Ο. d) Οι εξισώσεις που χρησιμοποιήσατε στην a) ερώτη-

ση για να βρείτε το χρόνο, έχουν και μια δεύτερη λύση που αντι­ στοιχεί σε μια κατοπινή χρονική στιγμή, όπου η φοιτήτρια και το λεωφορείο βρίσκονται και πάλι στο ίδιο σημείο, αν συνεχίσουν τις κινήσεις που περιγράψαμε. Εξηγήστε τη σημασία αυτής της δεύτερης λύσης. Πόσο γρήγορα κινείται το λεωφορείο σ' αυτό το σημείο; e) Αν η σταθερή ταχύτητα της φοιτήτριας ήταν 4,0 m/s θα έφτανε το λεωφορείο; f) Πόση είναι η ελάχιστη ταχύτητα που πρέπει να έχει η φοιτήτρια ώστε να φτάσει το λεωφορείο; Επί πό­ σο χρόνο πρέπει να τρέξει και τι απόσταση πρέπει να διανύσει στην περίπτωση αυτή;

2-64 Ρίχνουμε μια μπάλα κατακόρυφα προς τα πάνω από την άκρη της ταράτσας κτιρίου και 2,00 s αργότερα αφήνουμε δεύτε­ ρη μπάλα να πέσει κάτω ελεύθερα. a) Αν το ύψος του κτιρίου εί­ ναι 60,0 m πόση πρέπει να είναι η αρχική ταχύτητα της πρώτης μπάλας ώστε να φτάσει στο έδαφος συγχρόνως με τη δεύτερη; Θεωρήστε τώρα την ίδια κατάσταση, αλλά υποθέστε πως δίνεται η αρχική ταχύτητα υ0 της πρώτης μπάλας, ενώ είναι άγνωστο το ύ­ ψος h του κτιρίου. b) Πόσο πρέπει να είναι το ύψος του κτιρίου ώστε οι δύο μπάλες να πέσουν συγχρόνως στο έδαφος για τις πα­ ρακάτω τιμές της υ0: ί) 13,0 m/s· ίί) 19,2 m/s. c) Αν η υ0 είναι μεγαλύτερη από κάποια τιμή Vmax δεν υπάρχει τιμή του h που να ε­ πιτρέπει στις δύο μπάλες να φτάσουν συγχρόνως στο έδαφος βρείτε την Vmax· Αυτή η τιμή Vmax έχει μια απλή φυσική ερμηνεία· ποια είναι αυτή; d) Αν η υ0 είναι μικρότερη από κάποια τιμή Vmin δεν υπάρχει τιμή του ύψους h που να επιτρέπει στις δύο μπάλες να φτάσουν συγχρόνως στο έδαφος βρείτε την Vmin· Αυτή η τιμή Vmin έχει επίσης μια απλή φυσική ερμηνεία· ποια είναι αυτή;

Κ Υ Ρ Ι Ε Σ

Ε Ν Ν Ο Ι Ε Σ

• Η κίνηση σε δύο ή τρεις διαστάσεις περιγράφεται με τα διανύσματα μετατόmσης, ταχύτητας και εmτάχυνσης. • Η κίνηση βλήματος είναι συνδυασμός δύο ανεξάρτητων κινήσεων: μιας οριζόντιας κίνησης με σταθερή ταχύτητα και μιας κατακόρυφης κίνησης με σταθερή εmτάχυνση. Η τροχιά του βλήματος είναι παραβολή. • Στην ομαλή κυκλΙκή κίνηση ένα σωμάτιο κινείται σε

κυκλΙκή τροχιά και το μέτρο της ταχύτητάς του παραμένει σταθερό αλλά η κατεύθυνσή της συνεχώς μεταβάλλεται. Η επιτάχυνσή του σε κάθε σημείο κατευθύνεται προς το κέντρο του κύκλου. Το μέτρο της εξαρτάται από την ταχύτητα και την ακτίνα του κύκλου. • Για τον προσδιορισμό της σχετικής ταχύτητας σε δυο και τρεις διαστάσεις απαιτείται συνδυασμός ταχυτήτων με χρήση διανυσματικής πρόσθεσης.

Ε Ι Σ Α Γ Ω Γ Η

Ε

να πολεμικό τζετ F14 τύπου «Tomcat» απογειώνεται από το διάδρομο αεροπλανοφόρου με ταχύτητα 55 m/s σχετικά με το κατάστρωμα . Επιταχύνεται γοργά προς τον ουρανό. Τα όργανα του πιλοτηρίου δείχνουν την ταχύτητα και το ύψος ακόμα προειδοποιούν για άλλα περιιπτάμενα αεροπλάνα. Ο πιλότος πρέπει να έχει αδιάκοπη συνείδηση της τρισδιάστατης φύσης της κίνησής του. Στα προβλήματα ευθύγραμμης κίνησης του Κεφαλαίου 2 μπορούσαμε να περιγράψουμε τη θέση ενός σωματίου με μια συντεταγμένη μόνο. Αλλά ο πραγματικός κόσμος είναι τρισδιάστατος. Θα δεχόσαστε να περπατήσετε πάνω σε λεπτή χαλύβδινη ράβδο ανάμεσα από τους πεντηκοστούς ορόφους δύο γειτονικών ουρανοξυστών; Κατά πάσαν πιθανότητα όχι· θα αμφισβητούσατε την ικανότητά σας να προχωρήσετε σταθερά στην ευθεία. Θα φοβόσαστε να προσθέσετε μια πλάγια διάσταση και ακόμα μια τρίτη διάσταση - προς τα κάτω. Για να καταλάβουμε την καμπύλη που ακολουθεί η μπάλα του ποδοσφαίρου, την τροχιακή κίνηση δορυφόρου ή την τροχιά βλήματος τηλεβόλου πρέπει να επεκτείνουμε τις περιγραφές της κίνησης σε δισδιάστατες και τρισδιάστατες καταστάσεις. Τα διανυσματικά μεγέθη μετατόπισης, ταχύτητας και επιτάχυνσης έχουν τώρα δύο ή τρεις διαστάσεις και δεν βρίσκονται πια σε μία ευθεία γραμμή. Αρκετά σημαντικά είδη κίνησης γίνονται στο επίπεδο και μπορούν να περιγραφούν με δυο συντεταγμένες και δυο συνιστώσες ταχύτητας και επιτάχυνσης. Θα γενικεύσουμε επίσης την έννοια της σχετικής ταχύτητας στην περίπτωση κίνησης στο χώρο, όπως είναι η κίνηση του τζετ σχετικά με το αεροπλανοφόρο. Στο κεφάλαιο αυτό αναμειγνύουμε τη διανυσματική γλώσσα, που μάθαμε στο Κεφάλαιο 1, με τη γλώσσα της κινηματικής του Κεφαλαίου 2. Όπως πριν, θα μας απασχολήσει η περιγραφή της κίνησης και όχι η ανάλυση των αιτίων της. Πάντως, η γλώσσα που θα μάθετε εδώ αποτελεί βασικό εργαλείο των κεφαλαίων που ακολουθούν, όπου θα χρησιμοποιήσετε τους νόμους κίνησης του Νεύτωνα για να μελετήσετε τη σχέση μεταξύ δύναμης και κίνησης.

58

59

3-1 ΤΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΤΑΧΥfΗΤΑΣ

3-1

Υ

ΤΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΤΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ

Για να περιγράψουμε την κίνηση σωματίου, που βρίσκεται στο σημείο Ρ στο χώρο, πρέ­ πει πρώτα να μπορούμε να περιγράψουμε τη θέση του σωματίου. Το διάνυσμα θέσης r σημείου Ρ είναι ένα διάνυσμα που κατευθύνεται από την αρχή του συστήματος συντεταγ­ μένων προς το σημείο (Σχ. 3-1). Το σχήμα δείχνει επίσης ότι οι καρτεσιανές συντεταγμέ­ νες χ, y και z του σημείου Ρ είναι οι συνιστώσες y και z του διανύσματος r. Χρησιμοποι­ ώντας τα μοναδιαία διανύσματα που εισαγάγαμε στο Εδ. 1-9, μπορούμε να γράψουμε χ,

(3-1)

r = χί + yj + zk.

Καθώς το σημείο Ρ κινείται, η τροχιά του είναι εν γένει καμπύλη (Σχ. 3-2). Κατά τη διάρκεια ενός χρονικού διαστήματος Δ t το σωματίδιο κινείται από το σημείο Ρ,, που έχει διάνυσμα θέσης r,, στο Ρ2 με διάνυσμα θέσης r2. Η μεταβολή θέσης (μετατόπιση) του σωματίου κατά τη διάρκεια αυτού του χρονικού διαστήματος είναι Δr = r2 - r,. Ορίζου­ με τη μέση ταχύτητα υav μέσα σ' αυτό το χρονικό διάστημα με τον ίδιο τρόπο, που ακο­ λουθήσαμε στο Κεφ. 2 για την περίπτωση της ευθύγραμμης κίνησης, δηλ. σαν τη μετατό­ πιση διαιρεμένη με το χρονικό διάστημα:

χ z

3-1 Το διάνυσμα θέσης r, που κατευθύνεται από την αρχή προς το σημείο Ρ, έχει συνιστώσες χ, y και z.

(3-2)

Υ

Ορίζουμε τη στιγμιαία ταχύτητα σαν το όριο της μέσης ταχύτητας, όταν το χρονικό διά­ στημα πλησιάζει το μηδέν: υ =

lim Δr = dr . Δ t dt

(3-3)

Δι....ο

Καθώς Δt�Ο, τα σημεία Ρ, και Ρ2 όλο και πλησιάζουν μεταξύ τους. Στο όριο, το διάνυ­ σμα Δr γίνεται εφαπτόμενο στην καμπύλη. Η κατεύθυνση της μετατόπισης Δr στο όριο είναι επίσης ίδια με την κατεύθυνση της στιγμιαίας ταχύτητας υ. Φτάνουμε, επομένως, σ' ένα σπουδαίο συμπέρασμα: Σε κάθε σημείο της τροχιάς το διάνυσμα της στιγμιαίας ταχύτητας εφάπτεται στην τροχιά (Σχ. 3-3) . Σε οποιαδήποτε μετατόπιση Δr οι μεταβολές Δχ, Δy και Δz των τριών συντεταγμέ­ νων είναι οι συνιστώσες της Δr. Επομένως, οι συνιστώσες υχ, υy και υz της στιγμιαίας τα­ χύτητας υ είναι απλώς οι χρονικές παράγωγοι των συντεταγμένων χ, y και z, δηλ. 41

υχ = dx dt '

,

υΥ = dt

dz . υz = dt

z

3-2 Η μέση ταχύτητα Vaν ανάμεσα στα σημεία Ρι και Ρ2 έχει την ίδια κατεύθυνση με τη μετατόπιση Δr.

(3-4) Υ

Μπορούμε επίσης να καταλήξουμε σε αυτό το αποτέλεσμα παίρνοντας την παράγωγο της Εξ. (3-1). Αφού τα καρτεσιανά μοναδιαία διανύσματα ί, j και k είναι σταθερά κατά μέτρο και κατεύθυνση οι παράγωγοί τους μηδενίζονται και βρίσκουμε υ =

dr dt

=

d.x . dy . dz + + k dt ι dt 1 dt ·

Τροχιά

(3-5)

Αυτή η ισότητα φανερώνει πως οι συνιστώσες της ταχύτητας υ είναι d.x/dt, dy/dt και dz/dt. Το υ του διανύσματος της στιγμιαίας ταχύτητας υ δίνεται από το Πυθαγό­

μέτρο

ρειο θεώρημα, δηλ.

v

= Yv/ + / + v/ . v

(3-6)

z

3-3 Η στιγμιαία ταχύτητα σε οποιοδήποτε σημείο εφάπτεται της τροχιάς σε εκείνο το σημείο.

60

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Υ

Στο Σχ. 3-4 φαίνεται η περίπτωση όπου σωμάτιο κινείται στο επίπεδο .xy κι επομέ­ νως οι συνιστώσες και υ, μηδενίζονται. Επομένως, το μέτρο του διανύσματος υ είναι z

�0�------ χ 3-4 Οι δυο συνιστώσες της

ταχύτητας στην περίπτωση κίνησης στο επίπεδο xy.

-

ΙυΙ = υ = � υ} + υ/ ,

και η κατεύθυνσή του δίνεται στο σχήμα από τη γωνία . Βλέπουμε ότι α

tan α = vυy ·

(3-7)

.r

(Χρησιμοποιούμε πάντα ελληνικά γράμματα για τις γωνίες χρησιμοποιούμε το α για την κατεύθυνση του διανύσματος της ταχύτητας, ώστε να αποφύγουμε σύγχυση με την κατεύ­ θυνση θ του διανύσματος θέσης του σωματιδίου). Μπορούμε να παριστάνουμε την ταχύτητα, που είναι διανυσματικό μέγεθος, είτε με τις συνιστώσες της ή με το μέτρο και την κατεύθυνσή της, ακριβώς όπως κάνουμε και με τα άλλα διανυσματικά μεγέθη, όπως τη μετατόπιση και τη δύναμη. Η κατεύθυνση της στιγμιαίας ταχύτητας σωματίου σε κάθε σημείο εφάπτεται πάντα στην τροχιά σ' εκείνο το σημείο.

11 Α J> \ \ I' Ι Ι' .\I \ 3- l -------

Υπολογισμός μέσης και στιγμιαίας ταχύτητας Παί­ ζετε με τηλεκατευθυνόμενο αυτοκινητάκι σε κενό γήπεδο τέννις. Η θέση σας είναι η αρχή των συντεταγμένων και η ε­ πιφάνεια του γηπέδου βρίσκεται στο επίπεδό .xy . Το αυτοκί­ νητο, που το παριστάνουμε σαν σημείο, έχει συντεταγμένες που μεταβάλλονται με το χρόνο σύμφωνα με τις εξισώσεις

χ = 3,0 m + (2,0 m!s')ι', y = (10,0 m/s)ι + (0,25 m!s')ι'.

Αυτή τη στιγμή η απόσταση του αυτοκινήτου από την αρχή είναι r =

v?+7 = Υ( Ι \ ,Ο m)2 + (22,0 m)2 = 24,6 m.

b) Το διάνυσμα θέσης r κάθε χρονική στιγμή δίνεται από τη σχέση r = [3,0 m + (2,0 m!s')ι']i + [( 1 0,0 m/s)t + (0,25 m!s')t'li· Τη χρονική στιγμή ι έχουμε ro = (3,0 m)ί + (O)j. Από το a ) μέρος βρίσκουμε ότι τη χρονική στιγμή ι 2,0 s το διάνυσμα θέσης rz είναι r2 = ( 1 1,0 m)ί + (22,0 m)j. Επομένως, η μετατόπιση από t = ως ι = 2,0 s είναι Δr = r2 - r0 = ( 1 1,0 m)ί + (22,0 m)j - (3,0 m)ί = (8,0 m)ί + (22,0 m)j. Η μέση ταχύτητα στο ίδιο διάστημα είναι

=Ο

a) Βρείτε τις συντεταγμένες του αυτοκινήτου και την από­ στασή του από σας τη χρονική στιγμή ι = 2,0 s. b) Βρείτε τη μετατόπιση του αυτοκινήτου και τη μέση του ταχύτητα στο διάστημα από ι = ως ι = 0,2 s. c) Να διατυπώσετε μια γενική έκφραση της στιγμιαίας ταχύτητας του αυτοκι­ νήτου και να βρείτε τη στιγμιαία ταχύτητα τη χρονικ1j στιγμή ι = 2,0 s.

Ο

·

ΛΥΣΗ a ) Η τροχιά του αυτοκινήτου φαίνεται στο Σχ. 3-5. Τη χρονική στιγμή ι = 2,0 s έχουμε

χ = 3,0 m + (2,0 m/s')(2,0 s)' = 1 1 ,0 m, y = (10,0 m/s)(2,0 s) + (0,25 m/s3)(2,0 s)' = 22,0 m.

=

Ο

Vav

Δr )ι_ .o.. v2 � (b)

;?---- -? �

1'

α

(c)

3-6 (a) Το διάνυσμα αav = Δr/Δt

παριστάνει τη μέση επιτάχυνση μεταξύ των σημείων Ρ και Pz. (b) Γεωμετρική κατασκευή του διανύσματος Δυ = vz - υ ι. (c) Στιγμιαία επιτάχυνση α στο σημείο Ρ ι. Το διάνυσμα υ εφάπτεται της τροχιάς το διάνυσμα α κατευθύνεται προς την κοίλη μεριά της τροχιάς.

ι

62

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ EillΠEΔO

και το διάνυσμα α της επιτάχυνσης σαν

dlx d2z k !fy_ α - dt2 1 + dt2 1 + dt2 _

- Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 3-2

ναγυρίσουμε στο τηλεκατευθυνόμενο αυτοκινητάκι του Παραδείγματος 3-1 . Βρήκαμε πως οι συνιστώσες της στιγ­ μιαίας ταχύτητας κάθε χρονική στιγμή t είναι

v1 =

dx

=

dt

(2,0 mls2 )(2t),

(4,0 mls2 )tί + [ 10,0 mls + (0,75 mls3) t2]j.

a) Βρείτε τη μέση επιτάχυνση κατά το διάστημα από t = Ο ως t 2,0 s. b) Βρείτε τη στιγμιαία επιτάχυνση όταν t =

2,0 s.

(3-13)

•

Το διάνυσμα της επιτάχυνσης τη χρονική αυτή στιγμή είναι α

(4,0 mls2)ί + (3,0 mls2 )j.

=

Το μέτρο της επιτάχυνσης τη στιγμή αυτή είναι

� = 10,0 mls + (0,25 mls3)(3t2),

και πως το διάνυσμα ταχύτητας είναι υ =

.

-------

Υπολογισμός μέσης και στιγμιαίας επιτάχυνσης Ας ξα­

Vx =

.

Η κατεύθυνσή της ως προς το θετικό άξονα χ δίνεται από τη γωνία β, όπου tan β =

=

ΛΥΣΗ a) Βρίσκουμε τις συνιστώσες της στιγμιαίας ταχύ­

τητας για t = Ο αντικαθιστώντας αυτή την τιμή στις παρα­ πάνω εκφράσεις των Vx και υ1: Vx = Ο ,

Vy

=

10, Ο mls.

Στο Παράδειγμα 3-1 βρήκαμε πως τη χρονική στιγμή t = 2,0 s οι τιμές αυτών των συνιστωσών είναι Vx =

8,0 mls,

Vy =

13, Ο mls.

β=

3,0 mls2 4,0 mls2 ' 37Ό

Στο Σχ. 3-7 φαίνονται οι θέσεις του αυτοκινήτου κατά το χρονικό διάστημα από t = Ο ώς t = 2,0 s και τα διανύσματα ταχύτητας και επιτάχυνσης για t = 2,0 s. Σημειώστε πως αυτά τα δύο διανύσματα δεν έχουν την ίδια κατεύθυνση. Το διάνυσμα της ταχύτητας εφάπτεται σε κάθε σημείο της τρο­ χιάς και το διάνυσμα της επιτάχυνσης κατευθύνεται προς την κοίλη μεριά της τροχιάς.

Επομένως, οι συνιστώσες της μέσης επιτάχυνσης σε αυτό το διάστημα είναι 12 χ 8,0 mls - Ο (αχ) aν = Δυ Δt = 2 ο s - ο = 4 0 m s '

y (m)

'

'

30

13,0 mls - 10,0 mls = 1 5 m1s2 . (αy) - � Δt 2οs-ο aν

_

_

'

'

b) Οι συνιστώσες της στιγμιαίας επιτάχυνσης είναι οι χρο­ νικές παράγωγοι των συνιστωσών της στιγμιαίας ταχύτη­ τας. Βρίσκουμε

x 4 Ο mls2 αχ = dv ' dt = '

dv = (0,75 mls3 )(2t) α1 = dt

Μπορούμε να παραστήσουμε το διάνυσμα α της στιγμιαίας επιτάχυνσης σαν α

( 4,0 mls2 ) ί + (1,5 m/s3) tj Τη χρονική στιγμή t = 2,0 s οι συν ι f'τώσες της στιγμιαίας ε­ =

πιτάχυνσης είναι

αχ = 4,0 mls2 ,

αy =

(1,5 mls3 )(2,0 s) = 3,0 mls2 .

25 20 15 10 5 ο

15

χ ( m)

3-7 Η τροχιά του τηλεκατευθυνόμενου αυτοκινήτου. Φαίνονται η ταχύτητα και η επιτάχυνση για ι = 2,0 s.

Μπορούμε επίσης να αναλύσουμε την επιτάχυνση σωματιδίου κινούμενου σε κα­ μπύλη τροχιά σε συνιστώσες παράλληλες και κάθετες στην ταχύτητα σε κάθε σημείο (Σχ. 3-8). Αυτές οι συνιστώσες στο σχήμα συμβολίζονται με αιι και a1. Για να καταλάβουμε τη χρ'ησιμότητα αυτών των συνιστωσών θα μελετήσουμε δυο ειδικές περιπτώσεις. Στο Σχ. 3-9a το διάνυσμα της επιτάχυνσης είναι στην ταχύτητα V ι . Αφού η α δίνει το

παράλληλο

3-3 ΚΙΝΗΣΗ ΒΛΗΜΑΤΟΣ

ρυθμό μεταβολής της ταχύτητας, η μεταβολή του υ κατά τη διάρκεια μικρού χρονικού διαστήματος Δt είναι ένα διάνυσμα Δυ που έχει την ίδια κατεύθυνση με το α και επομέ­ νως θα έχει την ίδια κατεύθυνση και με το υ ι. Η ταχύτητα υ2 στο τέλος του διαστήματος ΔΙ, που δίνεται σαν υ2 = υ ι + Δυ, είναι διάνυσμα που έχει την ίδια κατεύθυνση με το υ 1 , αλλά κάπως μεγαλύτερο μέτρο. Στο Σχ. η επιτάχυνση α είναι στην ταχύτητα υ. Η μεταβολή της, Δυ, σε ένα μικρό χρονικό διάστημα Δι, όπως φαίνεται στο σχήμα, είναι ένα διάνυσμα σχεδόν κάθετο στο υ ι. Ισχύει πάλι υ2 = υ ι + Δυ αλλά στην περίπτωση αυτή τα υ ι και υ2 έχουν διαφορετικές κατευθύνσεις. Καθώς το χρονικό διάστημα Δ Ι τείνει στο μηδέν, η γωνία φ στο σχήμα τείνει επίσης στο μηδέν και το διάνυσμα Δυ γίνεται κάθετο τόσο στο υ ι όσο και στο υ2, των οποίων τα μέτρα γίνονται ίσα. Επομένως, όταν η α είναι (ή aντιπαράλληλη) με τη υ, έχουμε μεταβολή του μέτρου, αλλά όχι της κατεύθυνσης της υ· όταν η α είναι στη υ έχουμε μεταβολή της κατεύθυνσης, αλλά όχι του μέτρου της υ. Γενικά η α μπορεί να έχει παράλληλη, και κάθετη συνιστώσα στη υ, αλλά τα παραπάνω συμπεράσματα εξακολουθούν να ισχύουν για κάθε συνιστώσα ξεχωριστά. Όταν ένα σωματίδιο κινείται σε καμπύλη τροχιά, η επιτά­ χυνσή του δεν είναι μηδενική ακόμα και στην ειδική περίπτωση, που το μέτρο της ταχύτητάς του παραμένει σταθερό. Στην περίπτωση αυτή η επιτάχυνση είναι πάντα κάθετη στη υ σε κάθε σημείο. Π.χ. όταν ένα σωματίδιο κινείται σε κύκλο και το μέτρο της ταχύτητάς του πα­ ραμένει σταθερό, η επιτάχυνσή του κάθε χρονική στιγμή κατευθύνεται προς το κέντρο του κύκλου. Αυτή την ειδική περίπτωση θα μελετήσουμε λεπτομερώς στο Εδ. Γενικότερα, οι δύο ποσότητες d lυl και dt

3-9b

63

κάθετη

παράλληλη

κάθετη

τόσο

όσο

3-8 Η επιτάχυνση μπορεί να

αναλυθεί σε μια συνιστώσα α11 παράλληλη με την τροχιά (και την ταχύτητα) και σε μια συνιστώσα α.L κάθετη στην τροχιά.

3-4.

I ��μέτρου I

δεν είναι ίσες. Η πρώτη είναι ο ρυθμός μεταβολής του της ταχύτητας ακόμα κι αν η κατεύθυνση κίνησης μεταβάλλεται, η πρώτη ποσότητα μηδενίζεται όταν το μέτρο της ταχύτητας παραμένει σταθερό. Η δεύτερη ποσότητα είναι το μέτρο της διανυσματικής ε­ πιτάχυνσης αυτή μηδενίζεται μόνο στην περίπτωση όπου η επιτάχυνση μηδενίζεται, δηλ. όπου το σωμάτιο κινείται σε ευθεία γραμμή με σταθερή ταχύτητα.

3-3

ΚΙ Ν Η Σ Η ΒΛΗΜΑΤΟΣ

_ _ _ _ _ _ _ _

(a)

(b)

3-9 (a) Όταν το διάνυσμα α είναι παράλληλο με το υ, το μέτρο του υ αυξάνεται, αλλά η κατεύθυνσή του δεν αλλάζει. (b) Όταν το α είναι κάθετο στο υ η κατεύθυνσή του υ αλλάζει, αλλά το μέτρο του παραμένει σταθερό.

Βλήμα είναι οποιοδήποτε σώμα ακολουθεί τροχιά προσδιορισμένη εντελώς την επιτάχυν­ ση της βαρύτητας και την αντίσταση του αέρα, αφού του δοθεί κάποια αρχική ταχύτητα. Βλήματα π.χ. αποτελούν η μπάλα του μπέιζμπολ, όταν τη χτυπάμε με το μπαστούνι, η μπά­ λα του ποδοσφαίρου, όταν τη σουτάρουμε ψηλά, ένα πακέτο που πέφτει από αεροπλάνο ή η σφαίρα του όπλου. Τροχιά του βλήματος είναι η διαδρομή που ακολουθεί. Για να αναλύσουμε αυτόν τον κοινό τύπο κίνησης θα ξεκινήσουμε με ένα εξιδανι­ κευμένο μοντέλο παριστάνοντας το βλήμα σαν απλό σωμάτιο με επιτάχυνση (εξαιτίας της βαρύτητας) σταθερή τόσο κατά μέτρο όσο και κατά κατεύθυνση. Θα αμελήσουμε την επί­ δραση της αντίστασης του αέρα, όπως επίσης την καμπυλότητα και την περιστροφή της Γης. Όπως όλα τα μοντέλα, έτσι κι αυτό έχει όρια ισχύος. Η καμπυλότητα της Γης πρέπει να λαμβάνεται υπόψη κατά τις πτήσεις των διηπειρωτικών βαλλιστικών πυραύλων (ICBM), η δε αντίσταση του αέρα είναι ζωτικής σημασίας για τους αλεξιπτωτιστές ελεύθερης πτώ­ σης. Παρόλα αυτά, αναλύοντας το παραπάνω απλό μοντέλο μπορούμε να μάθουμε πολλά. Παρατηρούμε πρώτα πως η κίνηση του βλήματος περιορίζεται πάντα στο κατακό­ ρυφο επίπεδο, που ορίζει η διεύθυνση της αρχικής ταχύτητας (Σχ. 3-10). Αυτό το επίπε­ Υ δο θα καλούμε επίπεδο xy θα θεωρούμε τον άξονα χ οριζόντιο και τον y κατακόρυφο με τη θετική κατεύθυνση προς τα πάνω. Το ουσιαστικό σημείο στην ανάλυση της κίνησης βλήματος ε ίναι το γεγονός ότι μπορούμε να μελετήσουμε τις συντεταγμένες χ και y ανεξάρτητα τη μια από την άλλη. Η συνιστώσα χ της επιτάχυνσης μηδενίζεται, ενώ η συνιστώσα της y είναι σταθερή και ίση με -g. (Να θυμάστε πως η g είναι εξ ορισμού πάντα θετική και πως η ay είναι αρνητική μετά την εκλογή κατευθύνσεων των αξόνων συντεταγμένων μας.) Μπορούμε, επομένως, να σκεφτόμαστε την κίνηση του βλήματος σαν συνδυασμό οριζόντιας κίνησης με σταθε­ ρή ταχύτητα και κατακόρυφης κίνησης με σταθερή επιτάχυνση. Μπορούμε να εκφρά­ ο σουμε όλες τις διανυσματικές σχέσεις με τη βοήθεια εξισώσεων για την οριζόντια και την κατακόρυφη συνιστώσα ξεχωριστά. Η πραγματική κίνηση είναι υπέρθεση αυτών των 3-10 Η κίνηση του βλήματος γίνεται αποκλειστικά σε κατακόρυφο ανεξάρτητων κινήσεων. Οι συνιστώσες της α είναι επίπεδο, που περιέχει την αρχική α, = Ο, Uy = - g. (3-14) ταχύτητα υο.

64

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

9,80 m/s2•

3-11

Συνήθως θα χρησιμοποιούμε την τιμή g = Το Σχ. δείχνει δύο βλήματα των οποίων η κίνηση έχει διαφορετικές συνιστώσες χ αλλά aπαράλλακτες συνιστώσες y. Στην περίπτωση της κίνησης βλημάτων, κάθε συντεταγμένη μεταβάλλεται σύμφω­ να με τους νόμους κίνησης με σταθερή επιτάχυνση και μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε κατευθείαν τις Εξ. και Για παράδειγμα, υποθέτουμε πως τη χρονική στιγμή t = Ο το σωμάτιο βρίσκεται στο σημείο (χο, Υο) και πως οι συνιστώσες της ταχύτη­ τάς του έχουν αρχικές τιμές υ0, και υ0y. Οι συνιστώσες της επιτάχυνσης είναι α, = Ο, αy = g . Θεωρώντας τη συνιστώσα χ της κίνησης aντικαθιστούμε το υ με υ,, το υ0 με υ0, και το α με Ο στις Εξ. και Βρίσκουμε

(2-9), (2-13)

-

(2-9)

(2-14).

(2-13).

(3-15) (3-16)

υ, = υοχ , χ = χο + υο, t .

Για να προσδιορίσουμε την κίνηση κατά τη διεύθυνση y aντικαθιστούμε το χ με y, το υ με υy, το υο με υοy και το α με g :

-

υy = υοy -

gt,

Υ = Υο + υoyt -

3-11 Ανεξαρτησία της οριζόντιας

από την κατακόρυφη κίνηση: Κάθε χρονική στιγμή και οι δύο σφαίρες έχουν τις ίδιες συνιστώσες y θέσης, ταχύτητας και επιτάχυνσης, παρόλο που έχουν διαφορετικές συνιστώσες χ θέσης και ταχύτητας.

tgtz.

(3-17) (3-18)

Είναι, συνήθως, απλούστερο να παίρνουμε την αρχική θέση (σε χρόνο t = Ο ) σαν αρχή· στην περίπτωση αυτή έχουμε χ0 = y0 = Ο. Αυτό το σημείο μπορεί π.χ. να είναι η θέ­ ση της μπάλας τη στιγμή που αφήνει το χέρι ή η θέση της σφαίρας τη στιγμή που βγαίνει από την κάνη του όπλου. Το Σχ. δείχνει την τροχιά βλήματος που ξεκινάει (ή περνάει) από την αρχή τη χρονική στιγμή t = Ο. Φαίνονται η θέση, η ταχύτητα και οι συνιστώσες της ταχύτητας για σειρά χρονικών στιγμών που απέχουν μεταξύ τους ίσα χρονικά διαστήματα. Η συνιστώ­ σα χ της επιτάχυνσης μηδενίζεται, οπότε η υ, είναι σταθερή, αλλά η υy μεταβάλλεται κατά ίσα ποσά σε ίσους χρόνους, που σημαίνει σταθερή επιτάχυνση κατά τη διεύθυνση y. Στο ψηλότερο σημείο της τροχιάς έχουμε υy = Ο. Μπορούμε, ακόμα, να παραστήσουμε την αρχική ταχύτητα vo με το μέτρο της και τη γωνία αο, που σχηματίζει με το θετικό άξονα χ. Οι συνιστώσες υ0, και υ0y της αρχικής ταχύτητας δίνονται συναρτήσει των ποσοτήτων αυτών από τις σχέσεις

3-12

cos αο,

sin αο. (3-19) Αντικαθιστώντας αυτές τις σχέσεις στις Εξ. (3-15) ως (3-18) και θέτοντας χ0 = y0 = Ο υοχ = υο

βρίσκουμε

cos ao) t, sin αο) t t gt2. υ, = υο cos αο, υy = υο sin αο - gt .

χ = (υο

Υ = (υο

3-12 Τροχιά σώματος, που

εκτοξεύτηκε με αρχική ταχύτητα υο, υπό γωνία α0 ως προς το οριζόντιο επίπεδο, όταν η αντίσταση του αέρα είναι αμελητέα. Η απόσταση R είναι το οριζόντιο βεληνεκές και το h είναι το μέγιστο ύψος.

υοy = υο

Υ V

υ =Ο Υ

v

-

(3-20) (3-21) (3-22) (3-23)

65

3-13 Στροβοσκοπική φωτογραφία μπάλας που αναπηδάει. Φαίνονται οι παραβολικές τροχιές μετά από κάθε αναπήδηση. Τα διαδοχικά είδωλα αντιστοιχούν σε ίσα χρονικά διαστήματα, όπως στο Σχ. 3-11. Κάθε κορυφή τροχιάς βρίσκεται χαμηλότερα από την προηγούμενη εξαιτίας της απώλειας ενέργειας μετά από κάθε αναπήδηση, δηλ. κάθε πρόσκρουση με την οριζόντια επιφάνεια.

3-12

Οι εξισώσεις αυτές δίνουν τη θέση και την ταχύτητα του βλήματος στο Σχ. κάθε χρονική στιγμή t. Από τις εξισώσεις αυτές μπορούμε να πάρουμε πολλές πληροφορίες. Π.χ. η από­ σταση r του βλήματος από την αρχή κάθε χρονική στιγμή (το μήκος του διανύσματος θέ­ σης r) είναι r =

W+/

(3-24)

.

Το μέτρο της ταχύτητας κάθε χρονική στιγμή είναι υ =

α,

Η γωνία που σχηματίζει η από τη σχέση

Yu/ + u/.

(3-25)

κατεύθυνση της ταχύτητας με τον θετικό άξονα χ, δίνεται tan α = υυr

(3-26)

χ .

Το διάνυσμα της ταχύτητας υ εφάπτεται στην τροχιά σε κάθε σημείο. Μπορούμε να βρούμε την εξίσωση, που δίνει το σχήμα της τροχιάς, με τη βοήθεια cos και των συντεταγμένων και y, αν απαλείψουμε το t. Βρίσκουμε t =

χ/(υο αο)

χ

Υ =

g (tan αο)χ - 2 υο cos αο χ2. 2

(3-27)

2

Μην σας μπερδεύουν οι πολλοί παράγοντες αυτής της εξίσωσης το σημαντικό στοιχείο είναι η γενική της μορφή. Οι ποσότητες cos και g είναι σταθερές, ο­ πότε η εξίσωση έχει τη μορφή

υ0, tan α0, α0

Υ =

b 3-13).

bx- c.x2,

παραβολής.

όπου οι και c είναι θετικές σταθερές. Αυτή είναι εξίσωση Στο απλό μοντέ­ λο, που αναπτύξαμε για την κίνηση του βλήματος, η τροχιά του είναι πάντα παραβολή (Σχ.

Σ Τ ΡΑΤ Η Γ Ι Κ Η Ε Π Ι ΛΥΣ Η Σ Π Ρ Ο Β Λ Η Μ Ά Τ Ω Ν Κίνηση βλήματ ος Οι στρατηγικές που χρησιμοποιήσαμε στα Εδ. (2-4) και (2-5) για τα προβλήματα ευθύγραμμης κίνησης με σταθερή επιτάχυνση ε ίναι και εδώ χρήσιμες.

1. Ορίστε το σύστημα συντεταγμένων και σχεδιάστε πρόχει­ ρα τους άξονές σας. Συνήθως, ε ίναι πιο εύκολο να βάλετε την αρχή στην αρχική θέση (για t = Ο) του βλήματος, με τον άξονα χ οριζόντιο και τον άξονα y κατακόρυφο. Στην περί­ πτωση αυτή θα ισχύει χο = Ο, yo = Ο, αχ = Ο και ay = -g.

2. Να κάνετε κατάλογο γνωστών και άγνωστων ποσοτή­ των. Σε μερικά προβλήματα δίνονται οι συνιστώσες (ή το μέτρο και η κατεύθυνση) της ταχύτητας, οπότε μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις Εξ . (3-20) ως (3-23) για να βρείτε τις συντεταγμένες και τις συνιστώσες της ταχύτητας σε κάποια κατοπινή χρονική στιγμή. Σε άλλα προβλήματα μπορεί να σας δίνονται δύο ση μεία της τροχιάς και να ζητε ίται να βρείτε την αρχική ταχύτητα. Να βεβαιωθείτε για το ποιες ποσότητες δίνονται και ποιες ζητούνται.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ElliΠEΔO

66

3. Συχνά βοηθάει η προφορική διατύπωση του προβλήμα­ τος και στη συνέχεια η μεταφορά του σε σύμβολα. Π. χ. πό­ τε φτάνει το σωμάτιο σε ορισμένο σημείο (δηλ. για ποιά τι­ μή του t); Πού βρίσκεται το σωμάτιο όταν η ταχύτητά του έ­ χει ορισμένη τιμή; (Δηλ. ποιες είναι οι τιμές των χ και y ό­ ταν η υχ ή η Vy έχει την ορισμένη τιμή;) 4. Στο ψηλότερο σημείο μιας τροχιάς έχουμε Vy = Ο. Επο­ μένως, η ερώτηση «Π6τε το σωμάτιο φτάνει στο μέγιστο ύ­ ψος του>> μεταφέρεται στην Ι (a)

Fχ

rmm α

ΚΑΙ ΚΙΝΗΏΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ

της δύναμης συναρτήσει της συντεταγμένης χ του σωματίου. Για να βρούμε το έργο που παράγει η δύναμη αυτή, διαιρούμε την ολική μετατόπιση σε μικρά τμήματα Δχ. , Δχb και ούτω καθεξής (Σχ. 6-7b ). Προσεγγίζουμε το έργο που παράγει η δύναμη κατά μήκος του τμήματος Δχ. με τη μέση δύναμη Fa στο τμήμα αυτό πολλαπλασιασμένη επι το μήκος του Δχ• . Επαναλαμβάνουμε το ίδιο για κάθε τμήμα και στη συνέχεια προσθέτουμε τα αποτε­ λέσματα για όλα τα τμήματα. Το έργο που παράγει η δύναμη κατά μήκος της ολικής με­ τατόπισης από το Χι ως το χ2 είναι προσεγγιστικά. W = Fa Δχa

Καθώς ο αριθμός των τμημάτων γίνεται πολύ μεγάλος και το μέγεθος του καθενός τμή­ ματος γίνεται πολύ μικρό, το άθροισμα αυτό καταλήγει (στο όριο) στο ολοκλήρωμα της F από το Χι ώς το χ2:

c

--:+-- --':---'--':--'---':---'--'---- χ ο Δχα Δχ Δχ Δχb Δχd Δχ1 f-χ2-χι ___, c

e

(b)

6-7 (a) Καμπύλες που δείχνουν πώς η F μεταβάλλεται με το χ. (b) Αν η

επιφάνεια διαμεριστεί σε μικρά ορθογώνια, το άθροισμα των εμβαδών των επιφανειών τους προσεγγίζει το ολικό έργο που παράγεται κατά τη μετατόπιση· όσο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός των ορθογωνίων που χρησιμοποιούνται, τόσο ακριβέστερη είναι η προσέγγιση.

+ Fb Δχb + · · · .

W=

f

x-z

(6-4)

F dx.

χι

Παρατηρήστε ότι το Fa Δχ. αντιπροσωπεύει το εμβαδόν της πρώτης κάθετης λωρίδας στο Σχ. 6-7b και ότι το ολοκλήρωμα στην Εξ. αντιπροσωπεύει το εμβαδόν της επιφά­ νειας κάτω από την καμπύλη του Σχ. 6-7a μεταξύ των σημείων Χι και χ2 . Σε μια γραφική παράσταση της δύναμης συναρτήσει της θέσης, το ολικό έργο που παράγεται από τη δύ­ ναμη απεικονίζεται από το εμβαδόν της επιφάνειας κάτω από την καμπύλη μεταξύ της αρχικής και της τελικής θέσης. Ας επανέλθουμε τώρα στο τεταμένο ελατήριο. Για να διατηρήσουμε ένα ελατήριο τεντωμένο κατά επιπλέον μήκος χ πέραν του αρχικού του μήκους, πρέπει να εξασκήσου­ με δύναμη μέτρου F σε κάθε άκρο (Σχ. 6-8). Αν η επιμήκυνση δεν είναι πάρα πολύ μεγά­ λη, βρίσκουμε ότι η F είναι ανάλογη του χ:

(16-4)

(6-5)

F = kx,

όπου k είναι μια χαρακτηριστική σταθερά του ελατηρίου που ονομάζεται σταθερά ελα­ τηρίου. Η εξίσωση (6-5) δείχνει ότι οι μονάδες του k είναι δύναμη δια απόσταση, N/m σε μονάδες SI και lb/ft σε Αγγλοσαξωνικές μονάδες. Ο κανόνας ότι η επιμήκυνση είναι ανάλογη της δύναμης για επιμηκύνσεις που δεν είναι πάρα πολύ μεγάλες ανακαλύφθηκε από τον Robert Hook (Ρόμπερτ Χουκ) το 1678 και είναι γνωστός σαν νόμος του Hook. Θα τον εξετάσουμε λεπτομερέστερα στο Κεφάλαιο 13. Στην πραγματικότητα δεν έπρεπε να αποκαλείται νόμος είναι η διατύπωση ενός κανόνα για μια συγκεκριμένη συσκευή και όχι ένας θεμελιώδης νόμος της φύσης. Τα πραγματικά ελατήρια δεν υπακούουν πά­ ντοτε στην Εξ. (6-5) επακριβώς, εντούτοις είναι ένα χρήσιμο εξιδανικευμένο μοντέλο. Ας υποθέσουμε ότι ασκούμε αντίθετες δυνάμεις ίσου μέτρου στα άκρα του ελατη­ ρίου και ότι aυξάνουμε σταδιακά τις δυνάμεις αρχίζοντας από το μηδέν. Κρατάμε το α­ ριστερό άκρο ακίνητο, οπότε η δύναμη που εφαρμόζεται στο άκρο δεν παράγει έργο. Η δύναμη στο κινούμενο άκρο παράγει έργο. Το Σχήμα 6-9 είναι μια γραφική παράσταση της F συναρτήσει του χ (της επιμήκυνσης του ελάτηρίου). Το έργο που παράγει η F όταν F

F

6-8 Η δύναμη που απαιτείται για να

εκταθεί ένα ιδανικό ελατήριο είναι ανάλογη προς την επιμήκυνσή του: F = kx.

6-9 Το έργο που παράγεται κατά την έκταση ενός ελατηρίου είναι ίσο με το εμβαδόν του σκιασμένου τριγώνου.

6-3 ΕΡΓΟ ΠΑΡΑΓΟΜΕΝΟ ΑΠΟ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ ΔΥΝΑΜΗ

Ι: Ι:

153

η επιμήκυνση μεταβάλλεται από το μηδέν ως μία μέγιστη τιμή χ είναι W=

F dx =

kx dx = t kX2 •

(6-6)

Μπορούμε να καταλήξουμε στο αποτέλεσμα αυτό και με γραφική μέθοδο. Το εμβαδόν του σκιασμένου τριγώνου στο Σχ. 6-9, το οποίο παριστάνει το ολικό έργο που παράγεται από τη δύναμη, ισούται με το μισό του γινομένου της βάσης επί το ύψος, ή

σχέση αυτή φανερώνει επίσης ότι το έργο είναι η μέση δύναμη kX/2 πολλαπλασιασμέ­ νη επί την ολική μετατόπιση Χ. Βλέπουμε ότι το ολικό έργο είναι ανάλογο του τετραγώνου της τελικής επιμήκυν­ σης Χ. Όταν η επιμήκυνση διπλασιάζεται, το ολικό έργο που ε ίναι αναγκαίο για να προκληθεί η νέα επιμήκυνση τετραπλασιάζεται. Το ελατήριο ασκεί επιπλέον μία δύναμη στο χέρι, που κινείται κατά τη διάρκεια της εκτατικής διαδικασίας. μετατόπιση του χεριού είναι η ίδια με την μετατόπιση του κινούμενου άκρου του ελατηρίου, αλλά η δύναμη επ' αυτού είναι αντίθετης κατεύθυνσης προς τη δύναμη στο άκρο του ελατηρίου, επειδή οι δύο αυτές δυνάμεις αποτελούν ένα ζεύγος δράσης-αντίδρασης. Έτσι το έργο που παράγεται επί του χεριού από το ελατήριο είναι το αρνητικό του έργου που παράγεται επί του ελατηρίου, δηλαδή, - ! kX2 • Στα προ­ βλήματα που εμπεριέχουν το έργο και τη σχέση του με την κινητική ενέργεια, θα επιδιώ­ κουμε σχεδόν πάντα να υπολογίζουμε το έργο που παράγεται από μία δύναμη επί του σώματος που μελετάμε, επιβάλλεται λοιπόν να είμαστε προσεκτικοί και να σημειώνουμε τις ποσότητες έργου με το σωστό τους πρόσημο. Ας υποθέσουμε ότι το ελατήριο εκτείνεται αρχικά σε απόσταση χ1 • Τότε το έργο που πρέπει να παραγάγουμε για να το εκτείνουμε σε μεγαλύτερη επιμήκυνση χ2 είναι

Η

Η

W=

fx, f'' F dx =

Χι

kx dx = t kx / - t kx /.

(6-7)

Χ]

Αν το ελατήριο έχει διάκενα μεταξύ των σπειρών του χωρίς να έχει εκταθεί, τότε μπορεί και να συμπιεστεί, οπότε ο νόμος του Hooke ισχύει τόσο στη συμπίεση όσο και στην έκταση. Στην περίπτωση αυτή τα F και χ στην Εξ. (6-5) είναι και τα δύο αρνητικά. δύναμη έχει πάλι την ίδια κατεύθυνση με την μετατόπιση, και το έργο που παράγεται από την F είναι πάλι θετικό. Άρα το ολικό έργο δίνεται και στην περίπτωση αυτή από τις Εξ. (6-6) ή (6-7), ακόμα και αν το Χ ή ένα από ταχ1 και χ2 -ή και τα δύο- είναι αρνητικά.

Η

8

11 Α

ΡΑΔ

Ε

Ι

ΓΜ Α

6-4

------

Έργο παραγόμενο σε ζυγαριά με ελατήριο Μια γυναίκα βάρους 600 Ν ανεβαίνει σε ζυγαριά μπάνιου που πε­ ριέχει ένα βαρύ ελατήριο (Σχ. 6-10). Το ελατήριο συμπιέ­ ζεται κατά 1 ,0 cm υπό το βάρος της γυναίκας. Βρείτε τη σταθερά ελατηρίου και το ολικό έργο που παράγεται επί του ελατηρίου κατά τη διάρκεια της συμπίεσης. ΛΥΣΗ Αν οι θετικές τιμές του χ αντιστοιχούν σε επιμή­ κυνση, τότε χ = - 0,010 m όταν F = - 600 Ν. Από την Εξ.

(6-5) η σταθερά ελατηρίου k είναι

F = - 600 Ν k = "i" = 60 000 N/m. 0 010 m _

'

Άρα, από την Εξ. (6-6),

W = � kX2

=

� (60 000 N/m)(- 0,010 m)2 = 3,0 Ν · m = 3,0 J.

6-10 Η συμπίεση του ελατηρίου σε μία ζυγαριά μπάνιου καταλήγει σε αρνητική μετατόπιση από μια αρνητική δύναμη, αλλά και σε μια θετική ποσότητα έργου.

dl

(a)

(b) 6--1 1 (a) Ένα σωμάτιο κινείται κατά μήκος μιας καμπύλης τροχιάς από το σημείο Ρ1 στο σημείο Ρ2 , υπό την επίδραση μιας δύναμης F που μεταβάλλεται κατά μέτρο και κατά κατεύθυνση. Το έργο που παράγεται από τη δύναμη κατά τη διάρκεια μιας aπειροστής μετατόπισης (ενός μικρού τμήματος τροχιάς) δίνεται από την F = F cos φ dl. (b) Η δύναμη που συνεισφέρει στο έργο είναι η συνιστώσα της δύναμης που είναι παράλληλη προς την μετατόπιση, F11 = F cos φ .

dW

dl

Μπορούμε να γενικεύσουμε περισσότερο τον ορισμό που δώσαμε στο έργο, για να συμπεριληφθεί σ' αυτόν και μια δύναμη που μεταβάλλεται τόσο ως προς τη διεύθυνση, ό­ σο και ως προς το μέτρο, καθώς και μια μετατόπιση που πραγματοποιείται κατά μήκος μιας καμπύλης τροχιάς. Υποθέστε ότι ένα σωμάτιο κινείται από το σημείο Ρ1 στο σημείο Ρ2 κατά μήκος μιας καμπύλης, όπως φαίνεται στο Σχ. 6-11. Φανταζόμαστε ότι διαιρούμε το τμήμα της καμπύλης μεταξύ των σημείων αυτών σε πολλές aπειροστές διανυσματικές μετατοπίσεις, και ονομάζουμε μια τυπική από τις aπειροστές αυτές μετατοπίσεις dl. Κά­ θε dl εφάπτεται στην τροχιά στην αντίστοιχη θέση του. Έστω F η δύναμη σε ένα σημείο που προσδιορίζει τη θέση του dl κατά μήκος της τροχιάς και έστω φ η γωνία μεταξύ F και dl στο σημείο αυτό. Τότε το στοιχειώδες έργο dW που παράγεται επί του σωματίου κατά τη διάρκεια της μετατόπισης dl μπορεί να γραφεί ως dW = F cos φ dl = F11 dl = F · dl,

όπου F11 = F cos φ είναι η συνιστώσα της F σε κατεύθυνση παράλληλη προς το dl (Σχ. 6-l lb ). Το ολικό έργο που παράγεται από την F επί του σωματίου καθώς αυτό κινείται από το σημείο Ρ1 στο σημείο Ρ2 παριστάνεται συμβολικά στην περίπτωση αυτή ως

dW= ·dl

-

Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α

W=

6-5

τ� I θ

R l

s

Ρι

F11 dl =

Ρι

(6-8)

F dl. ·

Πόσο είναι το ολικό έργο που παράγεται από την τάση Τ στις αλυσίδες; Πόσο είναι το ολικό έργο που παράγεται α­ πό τη δύναμη F; ΛΥΣΗ Το διάγραμμα ελεύθερου σώματος φαίνεται στο

Σχ. 6-12b. Αντικαταστήσαμε τις τάσεις στις δύο αλυσίδες με τη συνισταμένη τους Τ. Σε κάθε σημείο της τροχιάς του Throcky η δύναμη Τ είναι κάθετη στο αντίστοιχο dl, έτσι η γωνία μεταξύ της δύναμης αυτής και της μετατόπισης είναι πάντοτε 90 ο . Άρα το συνολικό έργο που παράγεται από την τάση στις αλυσίδες είναι μηδέν. Για να υπολογίσουμε το έργο που παράγεται από την F, πρέπει να βρούμε πώς μεταβάλλεται η δύναμη αυτή με τη γωνία θ. Ο Throcky βρίσκεται σχεδόν σε ισορροπία σε κάθε σημείο· από τη συνθήκη ΣF, = Ο έχουμε F - T sin θ = Ο, και από την ΣFy= Ο βρίσκουμε T cos θ - w = Ο.

F

T sin θ

(a)

w

(b) 6--1 2 (a) Ωθώντας το νεαρό Throckmorton σε μια κούνια. (b) Διάγραμμα ελεύθερου σώματος για τον Throcky, που θεωρείται

υλικό σημείο. Στο διάγραμμα έχει παραλειφθεί το μικρό βάρος του καθίσματος και των αλυσίδων.

154

f� f�

------

Υ I

1!--������

Ρι

F cos φ dl =

Το ολοκλήρωμα αυτό ονομάζεται επικαμπύλιο ολοκλήρωμα. Για να αποτιμήσουμε την Εξ. (6-8) σε ένα συγκεκριμένο πρόβλημα, είναι αναγκαία κάποια λεπτομερής περιγρα­ φή της τροχιάς καθώς και της μεταβολής της F κατά μήκος της τροχιάς. Συνήθως εκφρά­ ζουμε το ολοκλήρωμα συναρτήσει μιας βαθμωτής μεταβλητής, όπως στο ακόλουθο παρά­ δειγμα.

Σε ένα οικογενειακό πικ-νικ σας ανατίθεται να απασχολεί­ τε τον ταραχοποιό ανηψιό σας Throckmorton σε μία κού­ νια (Σχ. 6-12a). Το βάρος του είναι w, το μήκος κάθε αλυ­ σίδας ε ίναι R, και σπρώχνετε τον Throcky προς τα πάνω, ώσπου οι αλυσίδες να σχηματίσουν γωνία θ0 με την κατα­ κόρυφο. Για να το πραγματοποιήσετε, ασκείτε μια μετα­ βαλλόμενη οριζόντια δύναμη F που αρχίζει από το μηδέν και αυξάνεται βαθμιαία με τέτοιο ακριβώς ρυθμό, ώστε ο Throcky και η κούνια να κινούνται με πολύ μικρή ταχύτητα και να παραμένουν εγγύτατα στην κατάσταση ισορροπίας.

ι

f�

Διαιρώντας τις δύο αυτές εξισώσεις έχουμε

F = w tan θ. Το σημείο όπου εξασκείται η F ακολουθεί το τόξο s. Το μήκος του τόξου s ισούται με την ακτίνα R της κυκλικής τροχιάς επί τη γωνία θ (σε ακτίνια), έτσι s = Rθ. Άρα η με­ τατόπιση dl που αντιστοιχεί σε μια μικρή μεταβολή της γω­ νίας dθ έχει μέτρο ds = R dθ . Το έργο που παράγεται από την F είναι

f

W = F · dl =

fF

cos θ ds.

6-4 ΕΡΓΟ ΚΑΙ ΚΙΝΗτΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ

Εκφράζουμε τώρα κάθε μέγεθος συναρτήσει της μεταβαλ­ λόμενης γωνίας θ:

W= =

Αν θο cos θο

= =

J

00

ο

(w tan θ) cos θ R dθ

wR

J θο ο

sin θ dθ

=

wR (l - cos θο).

(6-9)

Ο, δεν υπάρχει μετατόπιση· στην περίπτωση αυτή, 1 και W Ο όπως θα έπρεπε να αναμένουμε. Αν

6-4

=

,

=

θο = 90 ° , τότε cos θ0 = Ο και W wR . Στην περίπτωση αυ­ τή το ολικό έργο που παράγεται είναι ίδιο με το έργο που θα είχατε παραγάγει αν είχατε ανυψώσει τον Throcky κα­ τακόρυφα προς τα πάνω και για απόσταση R με μία δύνα­ μη ίση με το βάρος του w. Η ποσότητα R (l - cos θ0) είναι πραγματικά η αύξηση της ανύψωσής του πάνω από το έδα­ φος κατά τη διάρκεια της μετατόπισης. Άρα, για κάθε τιμή της θο, το έργο που παράγεται από τη δύναμη F είναι η με­ ταβολή του ύψους πολλαπλασιασμένη επί το βάρος. Θα απο­ δείξουμε το αποτέλεσμα αυτό γενικότερα στο Εδάφιο 7-1 .

ΕΡΙΌ ΚΑΙ ΚΙΝΗΤΙΚΉ Ε ΝΕΡΓΕΙΑ

__

Στο Εδάφιο 6-2 υποσχεθήκαμε να επεξεργαστούμε τη σχέση μεταξύ έργου και κινητι­ κής ενέργειας. Η σημαντική αυτή αλληλεξάρτηση ονομάζεται χωρίς αυτό η έννοια του έργου δεν θα ήταν και πολύ χρήσιμη. Ήλθε λοιπόν η ώρα να εκ­ πληρώσουμε την υπόσχεσή μας. Ας θεωρήσουμε ένα σωμάτιο μάζας που κινείται κατά μήκος του άξονα υπό την επενέργεια μιας σταθερής συνισταμένης δύναμης μέτρου F που κατευθύνεται κατά μήκος του άξονα. Η επιτάχυνση του σωματίου είναι σταθερή και δίνεται από τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα, F = Υποθέστε ότι το μέτρο της ταχύτητάς του αυξάνεται από ι σε ενώ το σωμάτιο υφίσταται μια μετατόπιση s από το σημείο Χι στο σημείο Χρησι­ μοποιώντας την εξίσωση σταθερής επιτάχυνσης, Εξ. (2-14 ), και αντικαθιστώντας το με το ι , το με το και το με το s, έχουμε

θεώρημα έργου-ενέργειας

m

υ2, υ υ

χ

ma.

υ2

χ2 •

(χ-χ0)

Αν πολλαπλασιάσουμε την εξίσωση αυτή επί βρίσκουμε

υ

υ0

m και αντικαταστήσουμε το ma με το F,

και (6-10) Το γινομενο Fs είναι το έργο που παράγεται από τη συνισταμένη δύναμη F, άρα είναι ί­ σο με το ολικό έργο W,01 που παράγεται από όλες τις δυνάμεις. Η ποσότητα είναι η κινητική ενέργεια Κ του σωματίου που ορίσαμε στο Εδάφιο 6-1 :

� mυ 2

(6-11 ) Ο πρώτος όρος στο δεξιό μέλος της Εξ. (6-10) είναι η τελική κινητική ενέργεια του σωματίου, = (μετά την μετατόπιση). Ο δεύτερος όρος είναι η αρχική κινητική ενέργεια, Κι = και η διαφορά μεταξύ των όρων αυτών είναι η στην κινη­ τική ενέργεια. Έτσι η Εξ. (6-10) καθορίζει ότι το έργο που ΠΙΙQάγεται από την συνιστα­ μένη εξωτερική δύναμη επί ενός σωματίου ισούται με την μεταβολή στην κινητική ε­ νέργεια του σωματίου. Με σύμβολα,

Κ2 )mυ/ !mυ 12,

155

μεταβολή

(6-12) Το αποτέλεσμα αυτό ονομάζεται θεώρημα έργου-ενέργειας είναι η βάση πάνω στην ο­ ποία εδράζεται το μεγαλύτερο μέρος των όσων ακολουθούν στο κεφάλαιο αυτό. Η κινητική ενέργεια ε ίναι ένα βαθμωτό μέγεθος, όπως και το έργο. Δεν μπορεί ποτέ να είναι αρνητική, αν και το έργο μπορεί να είναι είτε θετικό είτε αρνητικό. Η κινη­ τική ενέργεια ενός κινούμενου σωματίου εξαρτάται μόνο από το μέτρο της ταχύτητάς του (δηλαδή το μέτρο του διανύσματος της ταχύτητάς του), όχι από την κατεύθυνση της κίνη­ σής του. Ένα αυτοκίνητο (θεωρούμενο σαν σωμάτιο) όταν κατευθύνεται προς βορράν

156

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΡΓΟ

ΚΑΙ ΚINHTIIffi ΕΝΕΡΓΕΙΑ

με 5 m/s, έχει την ίδια κινητική ενέργεια που έχει όταν κατευθύνεται προς ανατολάς με 5 m/s. Η μεταβολή στην κινητική ενέργεια κατά τη διάρκεια οποιασδήποτε μετατόπισης καθορίζεται από το ολικό έργο �οι που παράγεται από όλες τις δυνάμεις που δρουν επί του σωματίου. Αν το έργο αυτό �οι είναι θετικό, το σωμάτιο επιταχύνεται κατά τη διάρ­ κεια της μετατόπισης, η Κ2 είναι μεγαλύτερη της Κι και η κινητική ενέργεια αυξάνεται. Αν η �οι είναι αρνητική η κινητική ενέργεια και το μέτρο της ταχύτητας μειώνεται, και αν �οι = Ο η Κ είναι σταθερή. Σε μονάδες SI, το m μετρείται σε χιλιόγραμμα και το υ σε μέτρα ανά δευτερόλε­ πτο, έτσι η κινητική ενέργεια έχει μονάδες kg · m2/s2. Από την Εξ. (6-- 1 0) ή την (6-- 1 2) η κινητική ενέργεια και το έργο πρέπει να έχουν ίδιες μονάδες. Για να το επαληθεύσουμε, ανακαλούμε στη μνήμη μας ότι 1 Ν = 1 kg · m/s2, έτσι

joule

είναι η μονάδα του έργου, άρα και της κινητικής ενέργειας καθώς και της ενέρ­ Το γειας κάθε μορφής, όπως θα δούμε στη συνέχεια. Στο Αγγλοσαξωνικό σύστημα

1 ft · lb = 1 ft · slug · ft/s2 = 1 slug · ft2/s2• Μια υπενθύμιση: Στην Εξ. (6-- 1 2), το W10, είναι το έργο που παράγεται από τη συνι­ σταμένη δύναμη, το διανυσματικό άθροισμα όλων των δυνάμεων που δρουν στο σωμάτιο. Εναλλακτικά, μπορούμε να υπολογίσουμε το έργο που παράγεται από κάθε δύναμη ξε­ χωριστά. Το �οι είναι τότε το αλγεβρικό άθροισμα όλων αυτών των ποσοτήτων έργου. Στο Παράδειγμα 6--2 (Εδάφιο 6--2 ) αναλύονται οι δύο αυτές εναλλακτικές λύσεις. Αν και αποδείξαμε την Εξ. (6-12) για την ειδική περίπτωση μιας σταθερής συνι­

σταμένης δύναμης, ισχύει ακόμα και αν η δύναμη είναι συνάρτηση της θέσης. Για την α­ πόδειξη διαιρούμε τη συνολική μετατόπιση χ σε ένα μεγάλο αριθμό μικρών τμημάτων Δχ, όπως ακριβώς κάναμε στον υπολογισμό του έργου που παράγεται από μια μεταβαλ­ λόμενη δύναμη. Η μεταβολή της κινητικής ενέργειας στο τμήμα Δχa είναι ίση με το έργο Fa Δχa και ούτω καθεξής. Η ολική μεταβολή της κινητικής ενέργειας είναι ίση με το ά­ θροισμα των μεταβολών στα επιμέρους τμήματα, και είναι άρα ίση με το ολικό έργο που παράγεται κατά τη διάρκεια της συνολικής μετατόπισης. Ιδού και μια εναλλακτική απόδειξη της Εξ. για μία δύναμη που είναι συ­ νάρτηση της θέσης. Εμπεριέχει μια αλλαγή μεταβλητής, δηλαδή την αντικατάσταση του χ από το στο ολοκλήρωμα του έργου. Προκαταρκτικά σημειώνουμε ότι η επιτάχυνση του σωματίου μπορεί να εκφραστεί με διάφορους τρόπους, αν γίνει χρήση των καθώς και του κανόνα σύνθετης παραγώγισης:

(6-12)

υ υ = dx/dt,

α α = dυ/dt,

dυ = dυ dx = υ dυ . α = dt dx dt dx

(6-13)

Χρησιμοποιώντας το αποτέλεσμα αυτό, μπορούμε να ξαναγράψουμε το ολοκλήρωμα του έργου ως εξής:

W=

f� dx = f�mα dx =f�mυ : dx. χι

F

(dυ/dx) dx (6--14)

χι

χι

dυ

(6--14)

Αλλά το γινόμενο είναι η μεταβολή στην ταχύτητα κατά τη διάρκεια της με­ τατόπισης έτσι στην Εξ. μπορούμε να αντικαταστήσουμε το με το Αυτό μετατρέπει τη μεταβλητή ολοκλήρωσης από χ σε άρα αλλάζουμε τα όρια της ολο­ κλήρωσης: αντί των Χι και χ2 πρέπει τώρα να χρησιμοποιηθούν οι αντίστοιχες ταχύτητες ι και υ 2 στα σημεία αυτά. Αυτό μας δίνει

dx,

υ,

(dυ/dx) dx

dυ.

υ

fυι

W = mυ dυ. υ

Το ολοκλήρωμα του σκουμε τελικά

(6--1 5)

ι

υ dυ είναι απλά υ2/2· αντικαθιστώντας τα άνω και κάτω όρια, βρί­ (6--16)

6-4 ΕΡΓΟ ΚΑΙ ΚΙΝΗτΙΚΉ ΕΝΕΡΓΕΙΑ

157

Σ Τ ΡΑΤ Η Γ Ι Κ Η Ε Π Ι Λ Υ Σ Η Σ Π Ρ Ο Β Λ Η Μ Α Τ Ω Ν ΈQΎΟ και κινη τική ενέQΎεια 1. Σχεδιάστε ένα διάγραμμα ελεύθερου σώματος βεβαιω­ θείτε ότι δείχνετε όλες τις δυνάμεις που δρουν επί του σώ­ ματος. Απαριθμήστε τις δυνάμεις και υπολογίστε το έργο που παράγεται από κάθε μία δύναμη. Είναι δυνατό σε με­ ρικές περιπτώσεις να είναι άγνωστη μία ή περισσότερες δυνάμεις παραστήστε τους αγνώστους με αλφαβητικά σύμ­ βολα. Βεβαιωθείτε ότι χρησιμοποιείτε ορθά τα πρόσημα. Όταν μια δύναμη έχει μια συνιστώσα στην ίδια κατεύθυνση με τη μετατόπιση, το έργο της είναι θετικό· όταν η κατεύ­ θυνσή της είναι αντίθετη με τη μετατόπιση, το έργο είναι αρνητικό. Όταν η δύναμη είναι κάθετη προς τη μετατόπι­ ση, το έργο της είναι μηδέν. 2. Για να βρείτε το συνολικό έργο, αρκεί να προσθέσετε τις ποσότητες του έργου που παράγεται από τις επιμέρους δυ­ νάμεις. Και πάλι να είστε προσεκτικοί με τα πρόσημα. Σε μερικά προβλήματα, όχι όμως ιδιαίτερα συχνά, είναι πιθα­ νό να διευκολύνει περισσότερο ο υπολογισμός αρχικά της

-

Π Α Ρ Α Δ Ε Ι ΓΜ Α

6-6

=

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Χρήση έργου και ενέργειας για τον υπολογισμό της ταχύτητας Ας εξετάσουμε πάλι το έλκηθρο στο Σχ. 6-6

καθώς και τους αριθμούς στο τέλος του Παραδείγματος 6-2. Το διάγραμμα ελεύθερόυ σώματος φαίνεται και πάλι στο Σχ. 6-13. Βρήκαμε ότι το ολικό έργο που παράγεται α­ πό όλες τις δυνάμεις είναι 10 000 Ν · m = 10 kJ. Η μάζα του έλκηθρου είναι m = (14 700 Ν)/(9,8 m/s2) = 1500 kg. Υποθέστε ότι η αρχική ταχύτητα υ ι είναι 2,0 m/s. Πόση εί­ ναι η τελική ταχύτητα; ΛΥΣΗ Τα βήματα 1 και 2 της στρατηγικής επίλυσης προ­ βλημάτων έγιναν στο Παράδειγμα 6-2, όπου βρήκαμε Wιοι = 10 kJ. Η αρχική κινητική ενέργεια Κι είναι Κι = �mυ/ = � (1500 kg)(2,0 m/s)2 = 3000 kg · m2/s2 = 3000 J.

I

συνισταμένης των δυνάμεων, και στη συνέχεια η εύρεση του έργου που παράγεται από τη συνισταμένη δύναμη. 3. Θεωρήστε ότι η αρχική και η τελική κινητική ενέργεια είναι αντίστοιχα Κι και Κ2. Αν μια ποσότητα είναι άγνωστη, π.χ. η υ ι ή η υ2, εκφράστε την με τη βοήθεια του αντίστοιχου αλγεβρικού συμβόλου. Όταν υπολογίζετε κινητικές ενέρ­ γειες, βεβαιωθείτε ότι χρησιμοποιείτε τη μάζα του σώματος και όχι το βάρος του. 4. Χρησιμοποιήστε τη σχέση Wιοι Κ2 - Κι = ΔΚ: αντικα­ ταστήστε τα αποτελέσματα που προέκυψαν από τα παρα­ πάνω βήματα επίλυσης και στην προκύπτουσα εξίσωση επι­ λύστε ως προς τον ζητούμενο άγνωστο. Να θυμάστε ότι η κινητική ενέργεια δεν μπορεί ποτέ να είναι αρνητική. Αν καταλήξετε σε αρνητικό Κ, σε κάποιο σημείο της πορείας επίλυσης έχετε κάνει λάθος. Ίσως εναλλάξατε τους δείκτες 1 και 2, ή κάνατε ένα σφάλμα προσήμου σε ένα από τους υ­ πολογισμούς έργου.

Η τελική κινητική ενέργεια Κ2 είναι κ2 = � (1500 kg) υ/,

όπου υ 2 είναι η άγνωστη τελική ταχύτητα που θέλουμε να βρούμε. Η εξίσωση (6-12) δίνει Κ2 = Κι +

Wιοι ·

� (1500 kg) υ/ = 3000 J + 10 000 J = 13 000 J .

Λύνοντας ως προς υ2 βρίσκουμε υ 2 = 4,2 m/s.

Το πρόβλημα μπορεί επίσης να λυθεί χωρίς να χρησιμοποι­ ηθεί το θεώρημα έργου-ενέργειας. Μπορούμε να βρούμε την επιτάχυνση από την F = ma και στη συνέχεια να χρησι­ μοποιήσουμε τις εξισώσεις κίνησης με σταθερή επιτάχυνση για την εύρεση του υ 2: α = F = 4000 Ν - 3500 Ν = Ο'333 mIs2 .

Υ

m

n

υ �

w

6-13 Διάγραμμα ελεύθερου σώματος για το έλκηθρο στο Παράδειγμα 6-2.

1500 kg

άρα υ/ = υ/ + 2as = (2,0 m/s)2 + 2 (0,333 m/s2)(20 m) = 17,3 m2/s2, υ 2 = 4,2 m/s.

Καταλήξαμε στο ίδιο αποτέλεσμα που έδωσε και ο ενερ­ γειακός τρόπος αντιμετώπισης του προβλήματος, εκεί όμως αποφύγαμε το ενδιάμεσο βήμα εύρεσης της επιτάχυνσης. Στο κεφάλαιο αυτό, καθώς και στο επόμενο, θα βρείτε αρ­ κετά άλλα παραδείγματα και προβλήματα που μπορούν να λυθούν χωρίς να χρησιμοποιηθούν ενεργειακές έννοιες, εί­ ναι όμως ευκολότερα αν η λύση τους επιχειρηθεί με χρήση ενεργειακών μεθόδων. Επιπλέον, αν ένα πρόβλημα μπορεί να λυθεί με δύο διαφορετικές μεθόδους, η λύση του και με . τους δύο τρόπους είναι πάντα μια καλή πρόταση για τον έ­ λεγχο της δουλειάς σας.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΡΓΟ

158

ΚΑΙ ΚΙΝΗτΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ

- Π Α .Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α �7 -------

Δυνάμεις επί μιας κεφαλής σφύρας Σε ένα καταπήκτη δοκών μία aτσάλινη κεφαλή σφύρας μάζας 200 kg ανυψώ­ νεται 300 m πάνω από το άνω άκρο μιας δοκού διατομής Ι που οδηγείται χωστά στο έδαφος (Σχ. 6-14a). Κάποια στιγ­ μή αφήνεται η σφύρα να πέσει, βυθίζοντας τη δοκό 7,4 cm βαθύτερα εντός του εδάφους. Οι κατακόρυφες ράβδοι που οδηγούν τη σφυροκεφαλή ασκούν μια σταθερή δύναμη τρι­ βής 60 Ν επί της κεφαλής. Χρησιμοποιήστε το θεώρημα έρ­ γου-ενέργειας και βρε ίτε a) την ταχύτητα της σφυροκεφα­ λής τη στιγμή της πρόσκρουσή ς της στη δοκό· b) τη μέση δύναμη που ασκεί η σφυροκεφαλή επί της δοκού διατομής I. ΛΥΣΗ Το Σχήμα 6-14b ε ίναι ένα διάγραμμα ελεύθερου

σώματος που απεικονίζει τις κατακόρυφες δυνάμεις επί της πίπτουσας σφυροκεφαλής. Αφού η μετατόπιση είναι κατακόρυφη, οι όποιες ασκούμενες οριζόντιες δυνάμεις δεν παράγουν έργο. Οι κατακόρυφες δυνάμεις είναι το βά­ ρος w = mg = (200 kg)(9,8 m/s') = 1 960 Ν με κατεύθυνση προς τα κάτω και η δύναμη τριβής μέτρου 60 Ν με κατεύθυν­ ση προς τα πάνω. Έτσι η συνολική δύναμη προς τα κάτω εί­ ναι 1 900 Ν και το ολικό έργο που παράγεται επί της σφυρο­ κεφαλής κατά τη διάρκεια της πτώσης των 3,00 m είναι

Wιοι

=

( 1 900 Ν)(3,00 m)

=

5700 J.

a) Η σφυροκεφαλή αρχικά ηρεμεί (σημείο 1), άρα η αρχι­ κή κινητική της ε ν έργ εια ΚΙ είναι μηδέν. Η Εξίσωση (6-12) δίνει 5 700 J = ! (200 kg)υ / - Ο, v 2 = 7,55 m/s.

Αυτό είναι το μέτρο της ταχύτητας της σφυροκεφαλής στο σημείο 2 τη στιγμή της πρόσκρουσής της με τη δοκό. b) Έστω ότι η θέση της σφυροκεφαλής όταν τελικά ηρεμήσει εί­ ναι το σημείο 3· τότε Κ3 = Ο. Όπως δείχνει το Σχήμα 6-14c, υπάρ­ χει τώρα μια επιπλέον δύναμη, η κάθετη δύναμη n προς τα πάνω (θεωρούμενη σταθερή) που ασκεί η δοκός επί της σφυροκεφαλής στη διάρκεια της επιπρόσθετης μετατόπισης προς τα κάτω κατά 7,4 cm. Το ολικό έργο που παράγεται επί της σφυροκεφαλής κατά τη διάρκεια της μετατόπισης αυτής είναι

Wιοι

=

(1900 Ν)(Ο,074 m) + n (0,074 m)(- 1).

Το αποτέλεσμα είναι ίσο με τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας Κ - Κ2, έτσι έχουμε 3 (1900 Ν - n)(0,074 m) = Ο - 5700 J, n = 79 ΟΟΟ Ν. Η δύναμη αντίδρασης επί της δοκού έχει αντίθετη κατεύθυνση (φορά προς τα κάτω) αλλά ίδιο μέτρο 79 000 Ν (περίπου 9 τόν­ νους). Η ολική μεταβολή της κινητικής ενέργειας της σφυροκεφα­ λής κατά τη διάρκεια της όλης διαδικασίας είναι μηδέν· μια σχετι­ κά μικρή δύναμη παράγει θετικό έργο για μεγάλη απόσταση, και στη συνέχεια μια πολύ μεγαλύτερη δύναμη παράγει αρνητικό έρ­ γο για πολύ μικρότερη απόσταση. Το ίδιο συμβαίνει αν επιταχύ­ νετε το αυτοκίνητό σας σταδιακά και στη συνέχεια το ρίξετε σε έ­ να πλινθόκτιστο τοίχο. Η πολύ μεγάλη δύναμη που απαιτείται για να ελαττώσει την κινητική ενέργεια ως το μηδέν σε μικρή από­ σταση ευθύνεται για τη ζημιά στο αυτοκίνητό σας - και ίσως και σε σας τον ίδιο. Υ

I

n

3 = 60 Ν υ

w = mg

(b)

.--- χ

w = mg

(c)

6-14 (a) Ένας πασσαλοπήκτης σφυροκοπεί μια δοκό διατομής Ι και τη βυθίζει εντός τους εδάφους. (b) Διάγραμμα ελεύθερου σώματος για την κεφαλή σφύρας κατά τη διάρκεια της πτώσης της. (c) Διάγραμμα ελεύθερου σώματος για τη σφuροκεφαλή ενώ βυθίζει τη δοκό διατομής Ι. Τα μήκη των διανυσμάτων δεν είναι υπό κλίμακα. •

Δύο τελικές παρατηρήσεις: Πρώτον, εξαιτίας του ρόλου των νόμων του Νεύτωνα στην εξαγωγή του θεωρήματος έργου-ενέργειας, μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε μό­ νο σε ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς. Οι απόλυτες τιμές των ταχυτήτων που χρησι-

6-5 ΙΣΧΥΣ

μοποιούμε για τον υπολογισμό των κινητικών ενεργειών και οι αποστάσεις που χρησιμο­ ποιούμε για τον υπολογισμό του έργου να έχουν μετρηθεί σε ένα αδρανειακό σύ­ στημα αναφοράς. Δεύτερον, το θεώρημα έργου-ενέργειας ισχύει σε τα αδρανειακά συστήματα αναφοράς. Σε μία δεδομένη περίσταση το έργο και οι κινητικές ενέργειες θα είναι διαφορετικές σε διαφορετικά συστήματα αναφοράς, επειδή η ταχύτητα ενός σώμα­ τος είναι διαφορετική σε διαφορετικά συστήματα αναφοράς.

πρέπει

ΙΣΧΥΣ

6-5

Η

όλα

-------

έννοια του χρόνου δεν υπεισέρχεται στον ορισμό του έργου. Αν aνυψώνετε μια μπάρα άρσης βαρών που ζυγίζει Ν για μια κατακόρυφη απόσταση με σταθερή ταχύτη­ τα, παράγετε έργο όσο χρόνο δευτερόλεπτο, ώρα ή χρόνο- κι αν χρειάζεστε γι' αυτό. Εντούτοις, συχνά είναι αναγκαίο να γνωρίζουμε πόσο γρήγορα παράγεται το έργο. Ο χρονικός ρυθμός με τον οποίο παράγεται το έργο ή μεταφέρεται η ενέργεια ονο­ μάζεται Η ισχύς είναι βαθμωτό μέγεθος, όπως βαθμωτά μεγέθη είναι το έργο και η ενέργεια. Όταν μια ποσότητα έργου ΔW παράγεται κατά τη διάρκεια ενός χρονικού διαστή­ ματος Δt, η μέση ισχύς Ρ.ν , ή το έργο ανά μονάδα χρόνου, ορίζεται ως

200 J,

400

-1

0,5 m 1

1

ισχύς.

(6-17) Ο ρυθμός με τον οποίο παράγεται το έργο θα μπορούσε να μην είναι σταθερός. Ακόμα όμως και αν ο ρυθμός αυτός μεταβάλλεται, μπορούμε να ορίσουμε τη στιγμιαία ι­ σχύ Ρ ως το όριο του λόγου αυτού καθώς το Δt τείνει στο μηδέν Ρ=

. lim ΔΔtW = dW dt

(6-18)

Δι--.0

Η μονάδα της ισχύος στο σύστημα SI, το Joule ανά δευτερόλεπτο (J/s), ονομάζεται (W). Το κιλοβάτ (kilowatt) (1 kW = 103 W) και το μεγαβάτ (megawatt) (1 MW = 106 W) χρησιμοποιούνται επίσης συχνά. Στο Αγγλοσαξωνικό σύστημα, στο οποίο το έργο εκφράζεται σε foot-pounds, η μονάδα ισχύος είναι το foot-pound ανά δευτερόλε­ πτο. Χρησιμοποιείται επίσης μια μεγαλύτερη μονάδα, ονομαζόμενη ιπποδύναμη (horsepower) (hp) , ή κοινώς ίππος: 1 hp = 550 ft · lb/s = 33 000 ft- lb/min. Αυτό σημαίνει ότι ένας κινητήρας ισχύος 1 hp που λειτουργεί με πλήρες φορτίο παράγει 33 000 ft · lb έργου κάθε λεπτό. Ένας χρήσιμος παράγοντας μετατροπής είναι 1 hp = 746 W = 0,746 kW, με άλλα λόγια: 1 ίππος ισούται με τα � περίπου του κιλοβάτ, ένας χρήσιμος αριθμός που αξίζει να θυμάστε. Το βατ είναι μια γνώριμη μονάδα ηλεκτρικής ισχύος ένας λαμπτήρας φωτισμού των 100 W μετατρέπει 100 J ηλεκτρικής ενέργειας σε φως και θερμότητα κάθε δευτερό­ watt (βατ)

λεπτο. Δεν υπάρχει βέβαια τίποτε εγγενώς ηλεκτρικό περί το βατ· ένας λαμπτήρας φωτι­ σμού θα μπορούσε να αποτιμηθεί σε ίππους, και μερικοί κατασκευαστές αυτοκινήτων a­ ποτιμούν τους κινητήρες τους σε κιλοβάτ μάλλον παρά σε ίππους. Οι μονάδες ισχύος μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να οριστούν νέες μονάδες έργου ή ενέργειας. (kίlowatt-hour) είναι η συνηθισμένη εμπορική μονάδα μέτρησης της ηλεκτρικής ενέργειας. Μια κιλοβατώρα είναι το ολικό παραγόμενο έργο σε διάστημα ώρας όταν η ισχύς είναι κιλοβάτ άρα

Η κιλοβατώρα (kWh) 1 (3600 s) 1 (103 J/s), 1 kWh = (103 J/s) (3600 s) = 3,6 MJ χ 106 J = 3,6 MJ. Η κιλοβατώρα είναι μία μονάδα έργου ή ενέργειας και όχι μία μονάδα ισχύος.

Μια aξιοπερίεργη πραγματικότητα της σύγχρονης ζωής είναι το ότι η ενέργεια σή­ μερα αγοράζεται και πουλιέται ενώ ταυτόχρονα είναι μια αφηρημένη φυσική ποσότητα. Δεν αγοράζουμε ένα δύναμης ή ένα μέτρο ανά δευτερόλεπτο ταχύτητας, αλλά μια κιλοβατώρα ηλεκτρικής ενέργειας κοστίζει συνήθως από έως δραχμές ανάλογα με τον τόπο και την αγοραζόμενη ποσότητα.

newton

5

25

159

160

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΡΓΟ ΚΑΙ ΚΙΝΗτΙΚΉ ΕΝΕΡΓΕΙΑ

Όταν μια δύναμη δρα σε ένα κινούμενο σώμα, παράγει έργο επί του σώματος (ε­ κτός αν η δύναμη και η ταχύτητα είναι πάντα διανύσματα κάθετα μεταξύ τους). Η αντι­ στοιχούσα ισχύς μπορεί να εκφραστεί συναρτήσει της δύναμης και της ταχύτητας. Ας υ­ ποθέσουμε ότι μία δύναμη F δρα επί ενός σώματος ενώ το σώμα υφίσταται μια διανυ­ σματική μετατόπιση Δs. Αν F11 είναι η συνιστώσα της F η εφαπτόμενη στην τροχιά (δηλα­ = F11 και η μέση ισχύς είναι δή η παράλληλη προς το Δs), τότε το έργο είναι

ΔW Δs Δs F1 Δs Ρaν = --ιft = Fιι Δt = FιιVav · Η στιγμιαία ισχύς είναι το όριο αυτού για Δt � 0: 1

P = F11v,

(6-19) (6-20)

όπου υ είναι το μέτρο της στιγμιαίας ταχύτητας. Μπορούμε επίσης να διατυπώσουμε την Εξ. επικαλούμενοι το εσωτερικό γινόμενο:

(6-20)

P = F · v.

- Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 6-8

-------

Μια μηχανή αεριωθούμενου αεροπλάνου Qet) αναπτύσσει μια ώση ( μια προωστική δύναμη επί του αεροπλάνου) 15 000 Ν (3000 lb κατά προσέγγιση). Αν το αεροπλάνο πε­ τάει με ταχύτητα 300 m/s (1080 km/h), πόση ιπποδύναμη α­ ναπτύσσει ο κινητήρας; - ΠΑΡΑΔΕ Ι Γ

Μ

Α 6-9

ΛΥΣΗ Από την Εξ. (6-20),

Ρ = F v = (1,50 χ 104 Ν)(300 m/s) = 4,50 χ 106 W =

( 4,50 χ 106 W) 7�:Rτ = 6030 hp.

------

Στα πλαίσια μιας καμπάνιας φιλανθρωπικού εράνου μία μαραθωνοδρόμος από το Σικάγο μάζας 50,0 kg ανεβαίνει τις σκάλες ώς τον τελευταίο όροφο του ουρανοξύστη Sears Tower (Σίαρς Τάουερ), που είναι το ψηλότερο κτίριο στις ΗΠΑ (443 m), σε 15,0 λεπτά (Σχ. 6-15). Πόση είναι η μέση ισχύς που αποδίδει η αθλήτρια σε βατ, σε κιλοβάτ και σε ίππους; ΛΥΣΗ Το συνολικό έργο της μαραθωνοδρόμου είναι το

βάρος της mg πολλαπλασιασμένο επί το ύψος h της ανάβα­ σης:

W = mgh = (50,0 kg)(9,80 m/s2)(443 m) = 2,17 χ 105 J. Ο χρόνος είναι 15 min = 900 s, άρα η μέση ισχύς είναι

Ρaν =

(6-21)

2,17 χ 105 J = 241 W = 0,241 kW 900 S

=

0,323 hp.

Εναλλακτικά, η μέση κατακόρυφη συνιστώσα της τα­ χύτητας ε ίναι (443 m)/(900 s) = 0,492 m/s, άρα η μέση ι-

6-15 Πόση ισχύς απαιτείται για να ανέβει κανείς τρέχοντας τις σκάλες του Sears Tower στο Σικάγο σε 15 λεπτά;

•

σχύς είναι

Ρaν = F υ aν = (mg) V aν = (50,0 kg)(9,80 m/s')(0,492 m/s) = 241 W.

6-6 Η Ι Σ Χ Υ Σ Τ Ο Υ Α ΥΤ Ο Κ Ι Ν Η Τ Ο Υ : Μια ειδική μελέτη στις ενεργειακές σχέσεις Οι ενεργειακές σχέσεις σε ένα βενζινοκίνητο αυτοκίνητο είναι ένα σημαντικό πρακτικό παράδειγμα των εννοιών της ενέργειας και της ισχύος που εξετάζονται στο κεφάλαιο αυ­ τό. καύση λίτρου βενζίνης αποδίδει περίπου χ ενέργειας. ενέργεια αυτή δεν μετατρέπεται εξ ολοκλήρου σε ενέργεια. Οι νόμοι της θερμοδυναμικής που θα συναντήσουμε στα Κεφάλαια 17 και επιβάλλουν ουσιαστικούς περιορισμούς στην α­ ποδοτικότητα της μετατροπής της θερμότητας σε μηχανική ενέργεια ή έργο. Σε ένα τυπικό κινητήρα αυτοκινήτου, τα δύο τρίτα της θερμότητας από την καύση της βενζίνης δαπανώ­ νται στο σύστημα ψύξης και στην εξάτμιση. Ένα άλλο περίπου μετατρέπεται σε μη­ χανική ενέργεια αλλά χάνεται λόγω τριβών στο σύστημα μετάδοσης της κίνησης ή χρησι­ μοποιείται από το βοηθητικό εξοπλισμό: γεννήτριες ηλεκτρικής ισχύος (δυναμό), συσκευ­ ές κλιματισμού και ηλεκτρομηχανοκίνητη οδήγηση (υδραυλικό τιμόνι) για παράδειγμα. Έτσι απομένει μόνο το περίπου της ενέργειας για την προώθηση του αυτοκινήτου. Το μεγαλύτερο μέρος της ενέργειας αυτής χρησιμοποιείται για να υπερνικηθεί η τριβή κυλίσεως και η αντίσταση του αέρα. Κάθε ένας από αυτούς τους καταναλωτές ε­ νέργειας μπορεί να περιγραφεί με τη βοήθεια μιας δύναμης που aνθίσταται στην κίνηση του αυτοκινήτου. Περιγράψαμε την τριβή κυλίσεως στο Εδάφιο συναρτήσει ενός συ­ ντελεστή τριβής κυλίσεως μ, . Μια τυπική τιμή του για σωστά φουσκωμένα λάστιχα α­ πό καουτσούκ σε σκληρό οδόστρωμα είναι Μια μοντέλο έχει μάζα και βάρος Ν . Η aνθιστάμενη δύνα­ μη της τριβής κυλίσεως είναι

Η

1

3,5 107 J

μηχανική 18

Η

20%

15%

1989,

5-3 μ, 0,015. Porsche 911 Carrera, (1251 kg) (9,80 m/s2) = 12 260

1251 kg

F,οιι

= μ, n = (0,015)(12 260 Ν) = 184 Ν.

Η δύναμη αυτή είναι σχεδόν ανεξάρτητη της ταχύτητας του αυτοκινήτου.

Η δύναμη αντίστασης του αέρα Fair είναι κατά προσέγγιση ανάλογη του τετραγώ­ νου της ταχύτητας και μπορεί να παρασταθεί από την εξίσωση

(6-22) όπου Α είναι η επιφάνεια του αυτοκινήτου όπως απεικονίζεται σε σκιαγράφημα, αν ι­ δωθεί από εμπρός, p είναι η πυκνότητα του αέρα (περίπου σε κανονικές θερ­ μοκρασίες), είναι η ταχύτητα του αυτοκινήτου και είναι μια αδιάστατη σταθερά που ονομάζεται και εξαρτάται από το σχήμα του κι­ νούμενου σώματος. Οι τυπικές τιμές του για αυτοκίνητα κυμαίνονται από ώς για την είναι και Α Για το αυτοκίνητο αυτό η δύναμη α­ ντίστασης του αέρα είναι Fair ! Ν·

1,2 kg/m3 υ C συντελεστής οπισθολκής (αντιστάσεως) C Carrera 911 C = 0,38 = 1,77 m2• = (0,38)(1, 77 m2)(1,2 kg/m3)υ2 = (0,40 s2/m2)υ2•

0,35 0,50·

Σε μια οικιστική περιοχή, όπου τα αυτοκίνητα δεν επιτρέπεται να υπερβαίνουν μια ανώ­ τατη ταχύτητα και για (περίπου η δύναμη αντίστασης του αέρα εί­ ναι προσεγγιστικά Ν· F.ir = Ν.

υ = 10 m/sec

35 km/h), 0,40 s2/m2)(10 m/s)2 = 40 Για μια μέση ταχύτητα υ = 15 m/s (54 km/h), η Fair είναι 90 Ν, και για μια ταχύτητα υ = 30 m/s (108 km!h) (π.χ. σίο εθνικό αυτοκινητόδρομο) η Fair είναι 360 Ν. Έτσι στις χαμηλές

ταχύτητες η αντίσταση του αέρα είναι λιγότερο σημαντική από την τριβή κυλίσεως. Στις μέσες ταχύτητες οι δύο δυνάμεις είναι συγκρίσιμες και στις υψηλές ταχύτητες που συνή­ θως προσεγγίζουμε στους εθνικούς aυτοκινητόδρομους η αντίσταση του αέρα υπερισχύει. τι σημαίνει αυτό σε συνάρτηση με την που απαιτείται από τον κινητήρα; Σε ο­ δήγηση σταθερής ταχύτητας επί οριζοντίου επιπέδου, η πρόσθια δύναμη που παρέχεται από τους τροχούς κίνησης πρέπει να ισοσταθμίζει ακριβώς το άθροισμα των F,011 και Fair , και η ισχύς είναι η δύναμη αυτή πολλαπλασιασμένη επί την ταχύτητα. Για την η ισχύς που απαιτείται για επίτευξη σταθερής ταχύτητας είναι

ισχύ

Carrera

911

Ρ

= F10,υ = (Froll + Fair)υ = [184 Ν + 0,40 Ν · s2/m2)υ2] υ.

(6-23)

Μπορείτε να κάνετε τις πράξεις για εξάσκηση· στις τρεις ταχύτητες που αναφέραμε πα-

161

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΡΓΟ ΚΑΙ ΚΙΝΗτΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ

1 62

ραπάνω θα βρείτε τα παρακάτω αποτελέσματα: υ

(m/s) 10 15 30

F,.ιι ( Ν)

Fair

F,.,

(Ν)

(kW)

184 184 184

40 90 360

224 274 544

2,24 3,00 4,1 1 5,51 16,3 21,9

(Ν)

Ρ

Ρ

(hp)

Πώς σχετίζονται όλα αυτά με την κατανάλωση καυσίμων; Ας δούμε την περίπτωση των 15 rn/s. Η ισχύς που απαιτείται είναι 4,1 1 kW = 4110 J/s. Σε 1 ώρα (3600 s) η ολική ε­ νέργεια που απαιτείται είναι (4110 J/s)(3600 s) = 1 ,48 χ 107 J. Κατά τη διάρκεια της ώρας αυτής το αυτοκίνητο διατρέχει μια απόσταση (15 m/s)(3600 s) = 5,4 χ 104 m = 54 km. Όπως εξηγήσαμε παραπάνω, μόνο το 15% από την ενέργεια των 3,5 χ 107 J που αποδί­ δεται από την καύση ενός λίτρου (1 L) βενζίνης είναι διαθέσιμη για να κινήσει προσωρι­ νά το αυτοκίνητο. Η διαθέσιμη ενέργεια κατά λίτρο είναι: (0,15)(3,5 χ 107 JJL) = 5,25 χ 106 JJL.

Έτσι η ποσότητα καυσίμου που καταναλίσκεται σε 1 ώρα, καλύπτοντας 54 km με ταχύτη­ τα 15 m/s, είναι στην πράξη: (1,48 χ 107 J)/(5,25 χ 1 06 JJL) = 2,82 ι . Η ποσότητα αυτή της βενζίνης κινεί το αυτοκίνητο για 54 km, άρα η κατανάλωση καυσί­

μου ανά μονάδα απόστασης είναι (54 km)/(2,82 J) = 19,1 km/L, ή περίπου 44,9 μίλια ανά γαλόνι. (το Σχ. 6-16 παρουσιάζει μερικά από τα πιο αξιοσημείωτα χαρακτηριστικά της σύγχρονης σχεδίασης του αυτοκινήτου που έχουν βελτιώσει την απόδοση των καυσίμων). Η ισχύς που απαιτείται για μια σταθερή ταχύτητα 15 m/s επί οριζοντίου εδάφους είναι 4,1 1 kW, αλλά η ισχύς που απαιτείται για επιτάχυνση και ανάβαση υπό κλίση μπο­ ρεί να είναι πολύ μεγαλύτερη. Η 9 1 1 διαφημίζεται ότι επιταχύνεται από το μη­ δέν ως τα 100 km!h (27,8 rn/s) σε 6,1 s. Η τελική κινητική ενέργεια είναι τότε: Κ = � mv2 = � ( 1251 kg)(27,8 m/s)2 = 4,8 χ 105 J.

Carrera

Μη αεροδυναμικό ατσάλινο αμάξωμα

Άξονας κινήσεως

Προεξέχοντες καθρέπτες

Αλεξίνεμο (παρμπρίζ) τοποθετημένο υπό μεγάλη κλίση χωρίς προεξοχές με

Κινητήρας V-8 (οκταβάλβιδος) από σίδηρο

Ανεμιστήρας ψύξης με μετάδοση κίνησης μέσω ιμάντα

Εγκάρσιος τετρακύλινδρος κινητήρας αλουμινίου με έγχυση καυσίμου, κίνηση στους εμπρόσθιους τροχούς και ελεγχόμενος από υπολογιστή

Ανάρτηση με συρόμενο . εκτυλισσόμενο βραχίονα (μεταβλητού μήκους) Αεροτομή ( μάσκα απόκλισης αέρος)

Ηλεκτρικός ανεμιστήρας ψύξης ελεγχόμενος με θερμοστάτη

6-16 (a) Τα αυτοκίνητα που σχεδιάστηκαν στις αρχές της δεκαετίας του 1970 δεν είχαν αεροδυναμική μορφή και χρησιμοποιούσαν βαρέα υλικά, όπως για παράδειγμα σίδηρο για τους κινητήρες και ατσάλι για το αμάξωμα (καρότσα). Η κίνηση στους οπίσθιους τροχούς απαιτούσε επιπλέον ένα βαρύ σύστημα μετάδοσης της κίνησης. (b) Κατά τη δεκαετία του 1990 η οικονομική συγκυρία επέβαλε νέες ιδέες στη σχεδίαση των αυτοκινήτων. Τα σχήματα των αμαξωμάτων έχουν μικρότερους συντελεστές οπισθολκής (αντίστασης), οι κινητήρες είναι κατασκευασμένοι από αλουμίνιο και τα εξαρτήματα του αμαξώματος είναι συχνά κατασκευασμένα από πλαστικό υλικό. Οι αλλαγές αυτές διπλασίασαν την τυπική απόδοση των καυσίμων στα αυτοκίνητα.

ΣΥΝΟΨΗ

Η μέση επιπρόσθετη ισχύς που απαιτείται για την επιτάχυνση είναι 4,8 χ 1 05 J = 7,87 χ 10 W = 78,7 kW = 105,5 hp. P.v = 6,1 s 4

Έτσι αυτή η γρήγορη επιτάχυνση απαιτεί περίπου 18 φορές την ισχύ (χωρίς να συμπερι­ λαμβάνεται η ισχύς που απαιτείται για να υπερνικηθεί η τριβή) της οδήγησης με σταθερή ταχύτητα 15 m/s. Τι συμβαίνει όμως στην οδήγηση σε ανηφορικό δρόμο; Μια βαθμίδα κλίσης 5%, που είναι περίπου η μέγιστη που συναντάμε στους περισσότερους aυτοκινητόδρομους μεταξύ μεγάλων πόλεων, aνυψώνει το οδόστρωμα κατά 5 μέτρα για κάθε 100 μέτρα ορι­ ζόντιας απόστασης. Ένα αυτοκίνητο που κινείται με ταχύτητα 30 m/s σε ανηφορικό δρό­ μο σταθερής κλίσης 5% κερδίζει ύψος με ρυθμό (0,05) · (30 m/s) = 1,50 m/s. ανύψωση της Carrera 9 1 1 που ζυγίζει 12 260 Ν με το ρυθμό αυτό απαιτεί ισχύ

Η

Ρ = Fυ = (12 260 Ν)(1,50 m/s) = 18 390 J/s = 18,4 kW = 24,7 hp.

Η ολική

ισχύς που απαιτείται είναι η ποσότητα αυτή συν τα 16,3 kW που είναι αναγκαία για να διατηρήσουν την ταχύτητα στα 30 m/s σε μια ισόπεδη οδό, δηλαδή

=

=

=

PIO, 18,4 kW + 16,3 kW 34,7 kW 46,5 hp. Για την αντικειμενική πληροφόρηση του αναγνώστη προσθέτουμε ότι η Carrera 911 διαφημίζει μια μέγιστη ιπποδύναμη 214 hp στην στροφική ταχύτητα των 5900 στρο­ φών/mί η (5900 rpm) του κινητήρα της. Τελειώνοντας, ας συγκρίνουμε αυτές τις ποσότητες ισχύος και ενέργειας με μερι­ κές εκτιμήσεις καθαρά Αυτό είναι λίγο πρόωρο· θα μελετήσουμε τη σχέση της θερμότητας με τη μηχανική ενέργεια λεπτομερώς σε επόμενα κεφάλαια, αλλά ιδού μια μικρή πρώτη γεύση. Θα μάθουμε ότι για να θερμανθεί 1 kg νερού από τους Ο ο C στους 100 ° C απαιτεί μια εισροή ενέργειας στο νερό 4,19 χ 1 05 J. Έτσι τα 3,5 χ 107 J που είναι απολήψιμα από 1 L βενζίνης είναι αρκετά για να θερμάνουν (3,5 χ 107 J)/(4,19 χ 105 J/kg) = 84 kg νερού από τη θερμοκρασία πήξεως ως τη θερμοκρασία βρασμού του νε­ ρού. Αυτή η ποσότητα νερού δεν είναι ιδιαίτερα μεγάλη, μόνο 84 λίτρα (23 γαλόνια περί­ που). Έτσι η ποσότητα ενέργειας που είναι αναγκαία για την θέρμανση 84 λίτρων νερού από τη θερμοκρασία πήξεως ώς την θερμοκρασία βρασμού είναι ικανή να προωθήσει ο­ ριζόντια το αυτοκίνητό μας για περισσότερο από 19 km! Δεν σας εντυπωσιάζει το συμπέ­ ρασμα αυτό;

θερμικές.

ΣΥΝΟΨΗ • Οι έννοιες του έργου και της κ�νητικής ενέργειας παίζουν κεντρικό ρόλο σε ένα α­ πό τους παγκόσμιους νόμους διατήρησης της φυσικής, στο νόμο διατήρησης της ενέρ­ γειας. • Αν μια σταθερ1i δύναμη F δρα σε ένα σωμάτιο που υφίσταται μια ευθύγραμμη μετατόπιση s , το έργο που παράγεται από τη δύναμη ορίζεται ως ·

W = Fs cos φ = F · s,

φ

(6-3)

Η

όπου είναι η γωνία που σχηματίζουν οι, κατευθύνσεις των F και s. μονάδα έργου στο σύστημα SI είναι το 1 newton · μέτρο 1 joule (1 Ν · m 1 J). Το έργο είναι μια βαθμωτή ποσότητα· έχει αλγεβρικό πρόσημο (θετικό ή αρνητικό), αλλά δεν έχει κα­ τεύθυνση στο χώρο. • Όταν η δύναμη μεταβάλλεται κατά τη διάρκεια της μετατόπισης, το έργο που παρά­ γει η δύναμη δίνεται από το ολοκλήρωμα

=

W=

=

f ;dx. χ,

αν η δύναμη έχει την ίδια κατεύθυνση με τη μετατόπιση ή από το

W=

f� �

F cos φ

dl =

f� dl = f� �

F11

�

F

·

dl.

1 63

1 64

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΡΓΟ

ΚΑΙ ΚΙΝΗτΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Η

αν σχηματίζει γωνία φ με τη μετατόπιση. τροχιά μπορεί να είναι καμπύλη και η γω­ νία φ μπορεί να μεταβάλλεται κατά τη διάρκεια της μετατόπισης. • κινητική ενέργεια Κ ενός σωματίου με μάζα m και ταχύτητα υ είναι

Η

(6-1 1 )

Η

κινητική ενέργεια είναι βαθμωτό μέγεθος έχει μέτρο (πάντοτε θετικό) αλλά δεν έ­ χει κατεύθυνση στο χώρο. μονάδα μέτρησής της, kg · m2/s2, είναι η ίδια με τη μονά­ δα μέτρησης του έργου: 1 kg · m 2/s2 = 1 Ν · m = 1 J. • Όταν πολλές δυνάμεις δρουν επί ενός σωματίου ενώ μετατοπίζεται ως προς ένα α­ δρανειακό σύστημα αναφοράς, το ολικό έργο που παράγεται επί του σωματίου α­ πό όλες τις δυνάμεις ισούται με τη μεταβολή στην κινητική ενέργεια του σωματίου στο ίδιο αδρανειακό σύστημα αναφοράς:

Η

Wιοι

Wιοι = κ2 - ΚΙ = ΔΚ.

(6-12)

Η σχέση αυτή ονομάζεται θεώρημα έργου-ενέργειας. • Η ισχύς ε ίναι ο χρονικός ρυθμός παραγωγής του έργου. Αν μια ποσότητα έργου ΔW παράγεται σε χρόνο Δt, η μέση ισχύς Ρ,. είναι

(6-17)

Η στιγμιαία ισχύς Ρ ορίζεται ως Ρ = lim ΔW = dW . Δι....ο Δt dt

(6-18)

Όταν μια δύναμη F δρα επί ενός σωματίου που κινείται με ταχύτητα υ, η στιγμιαία ι­ σχύς, ή ο ρυθμός με τον οποίο η δύναμη παράγει έργο, είναι P = F · υ. (6-21) ισχύς είναι ένα βαθμωτό μέγεθος, όπως το έργο και η ενέργεια. μονάδα της στο σύστημα SI, δηλαδή το ένα joule ανά δευτερόλεπτο (1 J/s), ονομάζεται ένα βατ (watt) (1 W).

Η

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Η

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Εδάφιο 6-2 Έργο 6-1 Ένα βιβλίο φυσικής ωθείται 1,50 m κατά μήκος της οριζό­ ντιας επιφάνειας ενός τραπεζιού από μια οριζόντια δύναμη 2,00 Ν. Η αντιτιθέμενη δύναμη τριβής είναι 0,400 Ν. a) Πόσο έργο πα­ ράγεται επί του βιβλίου από τη δύναμη των 2,00 Ν; b) Πόσο είναι το έργο που παράγεται επί του βιβλίου από τη δύναμη τριβής; 6-2 Ένας εργάτης εργοστασίου ωθεί ένα ξυλοκιβώτιο μάζας 35,0 kg για απόσταση 5,0 m κατά μήκος ενός ισόπεδου δαπέδου με σταθερή ταχύτητα ασκώντας δύναμη σ' αυτό σε οριζόντια διεύθυν­ ση. Ο συντελεστής κινητικής τριβής (συντελεστής τριβής ολισθήσε­ ως) μεταξύ του ξυλοκιβωτίου και του δαπέδου είναι 0,25. a) Ποιο είναι το μέτρο της δύναμης που πρέπει να ασκήσει ο εργάτης; b) Πόσο έργο παράγεται επί του ξυλοκιβωτίου από τη δύναμη αυτή; c) Πόσο έργο παράγεται επί του ξυλοκιβωτίου από την τριβή; d) Πόσο έργο παράγεται από την κατακόρυφη δύναμη; Από τη βαρύ­ τητα; 6-3 Ένας ψαράς τυλίγει 20,0 m πετονιάς ενώ ανασύρει ένα ψά­ ρι που ασκεί μια σταθερή aνθιστάμενη δύναμη 18,0 Ν. Αν το ψάρι ανασύρεται με σταθερή ταχύτητα, πόσο έργο παράγεται επ' αυτού από την τάση στην πετονιά;

6-4 Μια αθλήτρια θαλάσσιου σκι σύρεται από ένα σχοινί ρυ­ μούλκησης πίσω από ένα ταχύπλοο σκάφος. Η σκιέρ κάνει ένα πλευρικό ελιγμό και το σχοινί σχηματίζει γωνία 20,0° με την κα­ τεύθυνση της κίνησής της. Η τάση στο σχοινί είναι 120 Ν. Πόσο έρ­ γο παράγεται επί της αθλήτριας από το καλώδιο κατά τη διάρκεια μιας μετατόπισης μήκους 150 m; 6-5 Υποθέστε ότι ο εργάτης της Άσκησης 6-2 ωθεί το ξυλοκι­ βώτιο προς τα κάτω υπό γωνία 30 ο κάτω από την οριζόντια διεύ­ θυνση. a) Ποιο είναι το μέτρο της δύναμης που πρέπει να ασκή­ σει ο εργάτης για να μετακινήσει το ξυλοκιβώτιο με σταθερή ταχύ­ τητα; b) Πόσο έργο παράγεται επί του ξυλοκιβωτίου από τη δύ­ ναμη αυτή όταν το ξυλοκιβώτιο ωθείται για απόσταση 5,0 m; c) Πόσο έργο παράγεται επί του ξυλοκιβωτίου από την τριβή κατά τη διάρκεια της μετατόπισης αυτής; d) Πόσο έργο παράγεται από την κατακόρυφη δύναμη; Από τη βαρύτητα; 6-6 Ο παλιός δρύινος κάδος που κρέμεται μέσα σ' ένα πηγάδι έχει μάζα 6,75 kg. Τον aνυψώνετε με αργό ρυθμό για απόσταση 7,00 m έλκοντας στην οριζόντια διεύθυνση με ένα σχοινί που διέρ­ χεται πάνω από μια τροχαλία στο άνοιγμα του πηγαδιού. a) Πόσο έργο παράγεται τραβώντας τον κάδο προς τα πάνω; b) Πόσο έρ­ γο παράγεται από τη δύναμη βαρύτητας που δρα επί του κάδου;

Εδάφιο 6-3 Έργο παραγόμενο από μεταβαλλόμενη δύναμη 6-7 Αν μια δύναμη δράσει στο ελεύθερο άκρο ενός ελατηρίου το επιμηκύνει κατά 0,400 m πέρα από το αρχικό του μήκος. a) Ποιο είναι το μέτρο της δύναμης που απαιτείται για να επιμηκύνει το ελατήριο κατά 0,100 m πέρα από το αρχικό του μήκος; Για να συμπιέσει το ελατήριο κατά 0,200 m; b) Πόσο έργο πρέπει να πα­ ραχθεί για να επιμηκύνει το ελατήριο κατά 0,100 m πέρα από το αρχικό του μήκος; Πόσο έργο πρέπει να παραχθεί για να συμπιέ­ σει το ελατήριο κατά 0,200 m από το αρχικό του μήκος; 6-8 Αν 8,00 J έργου πρέπει να παραχθούν για να επιμηκυνθεί ένα ελατήριο κατά 5,00 cm πέρα από το αρχικό του μήκο, πόσο έρ­ γο πρέπει να παραχθεί για να συμπιεστεί το ίδιο ελατήριο κατά 10,0 cm από το αρχικό του μήκος; 6-9 Μια μηχανική συσκευή γυμναστηρίου για εκτέλεση κάμψε­ ων του βραχίονα έχει μια χειρολαβή προσαρτημένη σ' ένα σκληρό ελατήριο. Μια γυναίκα παράγει έργο 20,0 J μετακινώντας τη χει­ ρολαβή κατά 0,150 m και επιμηκύνοντας το ελατήριο κατά το μή­ κος αυτό, ενώ αρχίζει την άσκηση με το ελατήριο στο αρχικό του μήκος. Πόσο είναι το μέτρο της δύναμης που πρέπει να εξασκήσει για να συγκρατήσει τη χειρολαβή στη θέση αυτή; 6-1 0 Εκγύμναση των ποδιών με χρήση μηχανικής συσκευής με πιεστή βάση (ποδόπρεσα). Στην εκτέλεση μιας από τις γυμναστικές ασκήσεις της καθημερινής σας προπόνη­ σης, ξαπλώνετε με την πλάτη προς τα κάτω (ανάσκελα) και ωθείτε με τα πόδια σας μια βάση προσαρτημένη σε δύο σκληρά ελατήρια (Σχ. 6-17). Όταν ωθείτε τη βάση, συμπιέζετε τα ελατήρια. Παράγε­ τε έργο 40,0 J όταν συμπιέζετε τα ελατήρια κατά 0,200 m από το αρ­ χικό τους (aσυμπίεστο) μήκος. Πόσο πρόσθετο έργο πρέπει να πα­ ραγάγετε για να μετακινήσετε τη βάση 0,200 m μακρύτερα;

ΣΧΗΜΑ 6-17

Μια δύναμη F που είναι παράλληλη προς τον άξονα χ α­ σκείται επί ενός σώματος. Η συνιστώσα χ της δύναμης μεταβάλλε­ ται συναρτήσει της συντεταγμένης χ του σώματος όπως δείχνει το Σχ. 6-18. Υπολογίστε το έργο που παράγεται από τη δύναμη F ό­ ταν το σώμα μετακινείται a) από τη θέση χ = Ο στη θέση χ = 12,0 m· b) από τη θέση χ = 12,0 m στη θέση χ = 8,0 m. 6- 1 1

ΣΧΗΜΑ 6-18

2 -1 -2

2 3 4

7 ΣΧΗΜΑ 6-19

6-12 Ένα παιδί εφαρμόζει μια δύναμη F παράλληλη προς τον άξονα χ σε ένα έλκηθρο που κινείται πάνω στην παγωμένη επιφά­ νεια μιας μικρής λίμνης. Ενώ το παιδί ρυθμίζει την ταχύτητα του έλκηθρου, η συνιστώσα χ της δύναμης που εξασκεί μεταβάλλεται με τη συντεταγμένη χ του έλκηθρου όπως φαίνεται στο Σχ. 6-19. Υπολογίστε το έργο που παράγεται από τη δύναμη F όταν το έλκη­ θρο μετακινείται a) από τη θέση χ = Ο στη θέση χ = 3,0 m · b) α­ πό τη θέση χ = 3,0 m στη θέση χ = 4,0 m· c) από τη θέση χ = 4,0 m στη θέση χ = 7,0 m· d) από τη θέση χ = Ο στη θέση χ = 7,0 m.

Εδάφιο 6-4 Έργο και κινητική ενέργεια 6-13 Υπολογίστε την κινητική ενέργεια σε joules, μιας σφαίρας όπλου μάζας 5,00 g που κινείται με ταχύτητα 5,00 m/s. 6-1 4 a) Υπολογίστε την κινητική ενέργεια ενός αυτοκινήτου μάζας 1200 kg που κινείται με ταχύτητα 25,0 krnJh· b) Κατά ποιο παράγοντα αυξάνεται η κινητική του ενέργεια αν η ταχύτητά του διπλασιαστεί; 6-15 Ο ρίπτης του μπέιζμπολ Dwight Gooden ρίχνει τη μπάλα με ταχύτητα 42,0 m/sec (τη στιγμή που χάνει την επαφή της με το χέρι του). Η μάζα της μπάλας του μπέιζμπολ είναι 0,145 kg. Πόσο έργο παρήγαγε ο παίκτης στη μπάλα ρίχνοντάς την; 6-16 Μια συσκευή τηλεόρασης μάζας 18,2 kg ηρεμεί αρχικά σε μια οριζόντια επιφάνεια χωρίς τριβή. Στη συνέχεια σύρεται για 2,50 m από μια οριζόντια δύναμη μέτρου 112 Ν. Χρησιμοποιήστε το θεώ­ ρημα έργου-ενέργειας για να βρείτε την τελική της ταχύτητα. 6-17 Ένα μικρό κόκκινο βαγόνι μάζας 2,50 kg κινείται ευθύ­ γραμμα σε μια οριζόντια επιφάνεια χωρίς τριβή. Έχει αρχική τα­ χύτητα 3,00 m/s και στη συνέχεια ωθείται κατά 4,0 m από μια δύ­ ναμη μέτρου 2,50 Ν και στην κατεύθυνση της αρχικής του ταχύτη­ τας. a) Χρησιμοποιήστε το θεώρημα έργου-ενέργειας (Εξ. 6-12) για να βρείτε την τελική ταχύτητα του βαγονιού. b) Υπολογίστε την επιτάχυνση που παρήγαγε η δύναμη. Χρησιμοποιήστε την επι­ τάχυνση αυτή στις σχέσεις της κινηματικής του Κεφαλαίου 2 για να υπολογίσετε την τελική ταχύτητα του βαγονιού. Συγκρίνετε το αποτέλεσμα αυτό με το αποτέλεσμα που υπολογίσατε στο (a). 6-18 Ένα έλκηθρο μάζας 8,00 kg κινείται ευθύγραμμα σε μια επιφάνεια χωρίς τριβή. Σε ένα σημείο της τροχιάς του η ταχύτητά του είναι 4,00 m/s. Αφού διανύσει 3,00 m, η ταχύτητά του ε ίναι 9,00 m/s προς την ίδια κατεύθυνση. Χρησιμοποιήστε το θεώρημα έργου-ενέργειας για να βρείτε τη δύναμη που δρα στο έλκηθρο, θεωρώντας ότι η δύναμη αυτή είναι σταθερή και ότι δρα στην κα­ τεύθυνση της κίνησης του έλκηθρου. 6-19 Μία δύναμη μέτρου 30,0 Ν δρα σε μια μπάλα ποδοσφαίρου μάζας 0,420 kg που αρχικά κινείται στην κατεύθυνση της δύναμης με ταχύτητα 4,00 m/s. Πόση απόσταση πρέπει να καλύψει η δρώσα δύ­ ναμη αν επιδιώκεται να αυξηθεί η ταχύτητα της μπάλας στα 6,00 m/s; 6-20 Μια πέτρα μάζας 1 ,20 kg ρίχνεται (αρχική ταχύτητα μη­ δέν) από μια στέγη ενός κτιρίου ύψους 20,0 m. a) Υπολογίστε το έργο που παράγει η βαρύτητα στην πέτρα κατά τη διάρκεια της με­ τατόπισής της από τη στέγη στο έδαφος. b) Πόση είναι η κινητική ενέργεια της πέτρας μόλις πριν από την κρούση της σφαίρας στο έ­ δαφος; 1 65

166

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΡΓΟ ΚΑΙ ΚΙΝΗτΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ

6-2 1 Μια μπάλα του μπέιζμπολ μάζας 0,145 kg εκσφενδονίζε­ ται ίσια προς τα πάνω με αρχική ταχύτητα 27,0 m/s. a) Πόσο έργο παρ1jγαγε η βαρύτητα στη μπάλα του μπέιζμπολ όταν αυτή φθάνει ως ένα ύψος 20,0 m; b) Χρησιμοποιήστε το θεώρημα έργου-ενέρ­ γειας για να υπολογίσετε την ταχύτητα της μπάλας του μπέιζμπολ σε ύψος 20,0 m. 6-22 Ένας κύβος πάγου μάζας 0,050 kg ολισθαίνει 0,40 m κατά μήκος ενός κεκλιμένου επιπέδου με κατωφερή κλίση, που σχηματί­ ζει γωνία 60 ° κάτω από την οριζόντια διεύθυνση. Αν ο κύβος πά­ γου αρχίζει την κίνησή του από την ηρεμία, ποια είναι η τελική του ταχύτητα; Η τριβή μπορεί να αγνοηθεί. 6-23 Ένα αυτοκίνητο κινείται σε οριζόντια οδό με ταχύτητα υ0 τη στιγμή που εφαρμόζονται τα φρένα (τροχοπέδη) ακινητοποιώντας τους τροχούς. a) Χρησιμοποιήστε το θεώρημα έργου -ενέργειας (Εξ. 6-12) για να υπολογίσετε την ελάχιστη απόσταση στην οποία σταματά το αυτοκίνητο συναρτήσει του υ0, του συντελεστή κινητικής τριβής μk μεταξύ των ελαστικών και του οδοστρώματος και της επι­ τάχυνσης g που οφείλεται στη βαρύτητα. b) Το αυτοκίνητο ακινητο­ ποιείται σε απόσταση 42,7 m αν υ0 = 1 7,9 m/s (64,4 km!h). Πόση εί­ ναι η απόσταση ακινητοποίησης αν υ0 = 26,8 m/s (96,5 km!h); Υπο­ θέστε ότι ο συντελεστής μk (άρα και η τριβή) παραμένουν τα ίδια. 6-24 Μια στήλη πάγου μάζας 2,00 kg εφάπτεται στο ελεύθερο άκρο ενός οριζόντιου ελατηρίου που έχει σταθερά k = 150 N/m και έχει συμπιεστεί κατά 0,040 m. Στη συνέχεια αποδεσμεύεται το ελα­ τήριο και επιταχύνει τη στήλη κατά μήκος μιας οριζόντιας επιφά­ νειας. Η τριβή μπορεί να αγνοηθεί. a) Υπολογίστε το έργο που παράγεται επί της στήλης από το ελατήριο κατά την κίνηση της στή­ λης από την αρχική της θέση ώς τη θέση που το ελατήριο έχει απο­ κτήσει το (aσυμπίεστο) αρχικό του μήκος. b) Ποια είναι η ταχύτη­ τα της στήλης τη στιγμή που χάνει την επαφή της με το ελατήριο; 6-25 Ένα ελατήριο σταθεράς k = 300 N/m ηρεμεί πάνω σε μια οριζόντια επιφάνεια χωρίς τριβή. Το ένα άκρο του είναι σε επαφή με ένα σταθερό τοίχο, ενώ στο άλλο άκρο ωθείται ένα μεταλλικό κουτί (κονσέρβα) με όσπρια, συμπιέζοντας το ελατήριο κατά 0,100 m. Στη συνέχεια η κονσέρβα αποδεσμεύεται χωρίς αρχική ταχύτη­ τα. Πόση είναι η ταχύτητα της κονσέρβας όταν το ελατήριο a) α­ ποκτήσει το (aσυμπίεστο) αρχικό του μήκος; b) διέλθει από τη θέση στην οποία είναι ακόμη συμπιεσμένο κατά 0,060 m; 6-26 Ένας εφευρετικός τοιχοποιός κατασκευάζει μια συσκευή εκτόξευσης των τούβλων ως το ύψος του τοίχου που έχει ήδη οικο­ δομήσει, όπου και συνεχίζει την εργασία της τοιχοποίlας. Τοποθε­ τεί το τούβλο πάνω σ' ένα συμπιεσμένο ελατήριο σταθεράς k = 250 N/m. Όταν αποδεσμεύεται το ελατήριο, δίνεται ισχυρή ώθηση στο τούβλο προς τα πάνω. Αν το τούβλο έχει μάζα 1,50 kg και πρό­ κειται να φθάσει ένα μέγιστο ύψος 3,8 m πάνω από την αρχική του θέση επί του συμπιεσμένου ελατηρίου, πόση είναι η απόσταση κα­ τά την οποία πρέπει αρχικά να συμπιεστεί το ελατήριο; 6-27 Ένας μικρός ολισθητής μάζας 0,0500 kg τοποθετείται επί ενός συμπιεσμένου ελατηρίου σταθεράς k = 150 N/m που βρίσκε­ ται στο κάτω άκρο μιας αεροτροχιάς. Στην αεροτροχιά έχει δοθεί η κατάλληλη κλίση, ώστε να σχηματίζει γωνία 40,0 ° πάνω από την οριζόντια διεύθυνση. Όταν αποδεσμεύεται το ελατήριο, ο ολισθη­ τής το εγκαταλείπει και κινείται ώς μια μέγιστη απόσταση 1 ,80 m κατά μήκος της αεροτροχιάς πριν ολισθήσει και πάλι προς τα κά­ τω. a) Κατά πόσο μήκος είχε αρχικά συμπιεστεί το ελατήριο; b) Πόση είναι η κινητική ενέργεια του ολισθητή όταν έχει ήδη καλύ­ ψει 0,80 m κατά μήκος της αεροτροχιάς από την αρχική του θέση επί του συμπιεσμένου ελατηρίου;

Εδάφιο 6-5 Ισχύς 6-28 Αν η τιμή της κιλοβατώρας είναι 19 δρχ., πόσο κοστίζει η λει­ τουργία ενός ηλεκτροκινητήρα (μοτέρ), ισχύος 4000 W για 8,00 ώρες; 6-29 Μια ομάδα ποδηλασίας με δίδυμα ποδήλατα (tandem)

πρέπει να υπερνικήσει μια δύναμη 150 Ν για να διατηρήσει μια τα­ χύτητα 9,20 m/s. Βρείτε την απαιτούμενη ισχύ ανά αναβάτη υποθέ­ τοντας ότι ο κάθε ποδηλάτης συνεισφέρει εξίσου στην προσπάθεια. Εκφράστε την απάντησή σας ως ιπποδύναμη (δηλ. σε μονάδες hp). 6-30 Η ολική κατανάλωση ηλεκτρικής ενέργειας στις Ηνωμέ­ νες Πολιτείες της Αμερικής είναι περίπου 1 ,0 χ 1 019 joules ανά έ­ τος. a) Πόσος είναι ο μέσος ρυθμός κατανάλωσης ηλεκτρικής ε­ νέργειας σε βατ; b) Αν ο πληθυσμός των ΗΠΑ είναι 240 εκατομ­ μύρια, πόσος είναι ο μέσος ρυθμός κατανάλωσης ηλεκτρικής ενέρ­ γειας ανά άτομο; c) Ο ήλιος ακτινοβολεί προς τη γη ενέργεια με ρυθμό 1 ,4 kW ανά τετραγωνικό μέτρο επιφάνειας περίπου. Αν ή­ ταν δυνατή η συγκέντρωση της ενέργειας αυτής και η μετατροπή της σε ηλεκτρική ενέργεια με απόδοση 100%, πόσο μεγάλη επιφά­ νεια (σε τετραγωνικά χιλιόμετρα) θα απαιτούσε η συλλογή της η­ λεκτρικής ενέργειας που χρησιμοποιείται στις ΗΠΑ σε ένα έτος; 6-3 1 Ένας άνδρας του οποίου η μάζα είναι 80,0 kg ανεβαίνει ώς τον τρίτο όροφο ενός κτιρίου. Ο όροφος βρίσκεται σε κατακό­ ρυφο ύψος 12,0 m πάνω από το επίπεδο του δρόμου. Αν ανεβαίνει τις σκάλες σε 20,0 s, πόσος είναι ο ρυθμός με τον οποίο παράγει έργο σε μονάδες βατ; 6-32 Η σφύρα ενός καταπήκτη δοκών έχει βάρος 4800 Ν και πρέπει να ανυψωθεί με σταθερή ταχύτητα κατά μία κατακόρυφη απόσταση 1 ,80 m σε 3,00 s. Βρείτε την απαιτούμενη ιπποδύναμη του κινητήρα ανύψωσης. 6-33 Ο κινητήρας μιας βενζινακάτου αποδίδει 30,0 kW στην έ­ λικα (προπέλα) ενώ το σκάφος κινείται με ταχύτητα 1 2,0 m/s. Αν το σκάφος ρυμουλκείται με την ίδια ταχύτητα, πόση είναι η τάση του σχοινιού ρυμούλκησης (ρυμουλκίου); 6-34 Μια ανάβαση χιονοδρομίας με ρυμούλκηση (ski tow) λει­ τουργεί σε μια πλαγιά κλίσης 37,0 ° και μήκους 300 m. Το σχοινί κινείται με ταχύτητα 12,0 km/h και η ισχύς παρέχεται κάθε στιγμή σε 80 αναβάτες συγχρόνως, ενώ η μέση μάζα κάθε αναβάτη είναι 65,0 kg. Εκτιμήστε την ισχύ που απαιτείται για τη λειτουργία της ρυμούλκησης.

Εδάφιο 6-6 Η ισχύς του αυτοκινήτου: Μια ειδική μελέτη στις ενεργειακές σχέσεις 6-35 Θεωρήστε το αυτοκίνητο του Εδαφίου 6-6. a) Επαληθεύ­ στε ότι η ισχύς που είναι αναγκαία για την επίτευξη σταθερής τα­ χύτητας 30,0 m/s σε μια ισόπεδη οδό είναι 1 6,3 kW. b) Πόσος ό­ γκος βενζίνης καταναλίσκεται σε 1 ,0 h με την ταχύτητα αυτή αν μόνο το 15% της ενέργειας των 3,5 χ 1 07 J που παράγεται κατά την καύση 1,0 ι βενζίνης είναι διαθέσιμο για την παροχή ώθησης στο αυτοκίνητο; c) Υπολογίστε την κατανάλωση καυσίμου ανά μονάδα απόστασης σε μονάδες L/km και σε μονάδες gal/mi. 6-36 Ο κινητήρας ενός φορτηγού αυτοκινήτου αναπτύσσει 20,0 kW (26,8 hp) όταν το φορτηγό κινείται με ταχύτητα 50,0 km/h. a) Πόση είναι η aνθιστάμενη δύναμη που δρα στο φορτηγό; b) Αν η aνθιστάμενη δύναμη είναι ανάλογη της ταχύτητας, πόση ισχύς θα κινήσει το φορτηγό με ταχύτητα 25,0 km/h; Με ταχύτητα 100,0 km/h; Δώστε τις απαντήσεις σας σε κιλοβάτ και σε ίππους. 6-37 a) Αν 6,00 hp απαιτούνται για την κίνηση ενός αυτοκινή­ του μάζας 1200 kg με ταχύτητα 50 km/h σε μια ισόπεδη οδό, πόση είναι η συνολική επιβραδύνουσα δύναμη η οφειλόμενη στην τριβή, την αντίσταση του αέρα κ.λπ.; b) Πόση ισχύς είναι αναγκαία για να κινήσει το αυτοκίνητο με ταχύτητα 50,0 km!h σε ανωφέρεια κλί­ σης 10% (δηλ. σε μία aνηφορική οδό που ανυψώνεται κάθετα κα­ τά 10,0 m για κάθε 100 m οριζόντιας μετακίνησης); c) Πόση ισχύς απαιτείται για να κινήσει το αυτοκίνητο με 50,0 km/h σε κατωφέ­ ρεια κλίσης 2%; d) Βρείτε την κλίση της κατωφέρειας, στην οποία το αυτοκίνητο θα εκινείτο ελεύθερα (με σβησμένη τη μηχανή) με σταθερή ταχύτητα 50 km/h.

ΠΡΟΒΛΉΜΑΤΑ

167

ΠΡΟΒΛΉΜΑΤΑ 6-38 Ένα δέμα μάζας 6, 00 kg ολισθαίνει προς τα κάτω καλύ­ πτοντας απόσταση 4,00 m σε κεκλιμένο επίπεδο υπό κλίση 53,1 ο κάτω από την οριζόντια διεύθυνση. Ο συντελεστής κινητικής τριβής μεταξύ του δέματος και του κεκλιμένου επιπέδου είναι μk = 0,40. Υπολογίστε a) Το έργο που παράγεται από τη δύναμη τριβής επί του δέματος. b) Το έργο που παράγεται από τη βαρύτητα. c) Το έργο που παράγεται από την κάθετη δύναμη. d) Το συνολικό έργο που παράγεται επί του δέματος. 6-39 Μια βαλίτσα βάρους 90,0 Ν ωθείται προς τα πάνω κατά μήκος ενός κεκλιμένου επιπέδου χωρίς τριβή υπό κλίση 30° πάνω από την οριζόντια διεύθυνση, από μια δύναμη F που έχει μέτρο 80,0 Ν και δρα παράλληλα προς το κεκλιμένο επίπεδο. Αν η βαλί­ τσα μετακινείται κατά 4 , 60 m κατά μήκος του κεκλιμένου επιπέ­ δου, υπολογίστε a) Το έργο που παράγεται στη βαλίτσα από τη δύναμη F. b) Το έργο που παράγεται από τη δύναμη βαρύτητας. c) Το έργο που παράγεται από την κάθετη δύναμη. d) Το συνολι­ κό έργο που παράγεται στη βαλίτσα. 6-40 Ένα αντικείμενο έλκεται προς την αρχή του άξοναχ από μία δύναμη που δίνεται από τη σχέση Fx = - k/r. (Μια τέτοια εξάρτηση από την απόσταση έχουν οι ηλεκτρικές δυνάμεις και οι δυνάμεις βα­ ρύτητας). Υπολογίστε το έργο που παράγεται από τη δύναμη Fx όταν το αντικείμενο κινείται στην κατεύθυνση χ από το χι ως το χ2. Αν χ2 > χι, το έργο που παράγεται από την Fx είναι θετικό ή αρνητικό; 6-41 Ένα αντικείμενο έλκεται προς την αρχή του άξονα χ από μια δύναμη που δίνεται από τη σχέση F = αχ3, όπου α = 8,00 N/m3. Πόση είναι η δύναμη F όταν το αντικείμενο βρίσκεται a) στο ση­ μείο α που απέχει 1,00 m από την αρχή; b) στο σημείο b που απέ­ χει 2,00 m από την αρχή; c) Πόσο έργο παράγεται από τη δύναμη F όταν το aντικείμενο μετακινείται από το σημείο α στο σημείο b; Το έργο αυτό είναι θετικό ή αρνητικό; 6-42 Ένα δέμα μάζας 4,00 kg ολισθαίνει προς τα κάτω καλύ­ πτοντας απόσταση 2,00 m κατά μήκος ενός κεκλιμένου επιπέδου, υπό κλίση 50,0 ο κάτω από την οριζόντια διεύθυνση. Ο συντελεστής κινητικής τριβής μεταξύ του δέματος και του κεκλιμένου επιπέδου είναι μk = 0,30 a) Υπολογίστε το έργο που παράγεται επί του δέ­ ματος από τη βαρύτητα. b) Υπολογίστε το έργο που παράγεται επί του δέματος από τη δύναμη τριβής. c) Αν το δέμα έχει ταχύτητα 1,2 m/s στο ψηλότερο σημείο του κεκλιμένου επιπέδου, πόση είναι η ταχύτητά του μετά την ολίσθησή του κατά 2,00 m πάνω στο κεκλι­ μένο επίπεδο; 6-43 Ένα μικρό σώμα (σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέ­ δου) μάζας 0,0500 kg συνδέεται με νήμα που διέρχεται από μια οπή σε οριζόντια επιφάνεια χωρίς τριβή (Σχ. 6-20). Το σώμα περιστρέ­ φεται αρχικά σε απόσταση 0,40 m από την οπή με ταχύτητα 0,80 m/s. Στη συνέχεια το νήμα έλκεται μέσω της οπής προς τα κάτω, με αποτέλεσμα η ακτίνα του κύκλου, στην περιφέρεια του οποίου πε­ ριστρέφεται το σώμα, να μειωθεί στα 0,20 m. Στη νέα αυτή απόστα­ ση, η ταχύτητα του σώματος βρίσκεται ίση προς 1,60 m/s. a) Πόση είναι η τάση του νήματος, όταν η ταχύτητα του σώματος είναι υ = 0,80 m/s; b) Πόση είναι η τάση του νήματος όταν η ταχύτητα του σώματος είναι υ = 1 ,60 m/s; c) Πόσο έργο παρήχθη από τον άν­ θρωπο που άσκησε την έλξη στο νήμα;

..... __

-----

ΣΧΗΜΑ 6-20

Βομβαρδισμός με πρωτόνιο. Ένα πρωτόνιο μάζας 1,67 χ 10-27 kg εκτοξεύεται με αρχική ταχύτητα 8,00 χ 1 04 m/s ακρι­ βώς στην κατεύθυνση ενός πυρήνα χρυσού που βρίσκεται σε απόστα­ ση 4,00 m από το πρωτόνιο. Το πρωτόνιο aπωθείται απο τον πυρήνα χρυσού με δύναμη μέτρου F = α/J, όπου χ είναι η απόσταση μεταξύ των δυο σωματιδίων και α = 1,82 χ 10-26 Ν · m2. Υποθέστε ότι ο πυ­ ρήνας χρυσού παραμένει σε ηρεμία. a) Όταν το πρωτόνιο βρίσκε­ ται σε απόσταση 8,00 χ ιο-9 m από τον πυρήνα, πόση είναι η ταχύτη­ τά του; b) Πόση είναι η μικρότερη δυνατή απόσταση προσέγγισης του πρωτονίου στον πυρήνα; (Υπολογίστε τη θέση του πρωτονίου για την οποία το έργο που έχει παραχθεί από την απωστική δύναμη έχει μηδενίσει στιγμιαία τη μειούμενη ταχύτητα του πρωτονίου). 6-45 Μία στήλη πάγου μάζας 5,00 kg ηρεμεί αρχικά πάνω σε μια οριζόντια επιφάνεια χωρίς τριβή. Στη συνέχεια ένας εργάτης ε­ ξασκεί μια οριζόντια δύναμη F στη στήλη, με αποτέλεσμα η στήλη να κινηθεί κατά μήκος του άξονα χ και η θέση της ως συνάρτηση του χρόνου να δίνεται από τη σχέση x(t) = α t2 + βf, όπου α = 3,00 m/s2 και β = 0,500 m/s2. a) Υπολογίστε την ταχύτητα του αντικει­ μένου όταν t = 4,00 s. b) Υπολογίστε το έργο που παράγεται από τη δύναμη F κατά τη διάρκεια των πρώτων 4,00 s της κίνησης. 6-46 Το ελατήριο ενός ελατηριοφόρου όπλου έχει σταθερά k = 500 N/m. Το ελατήριο συμπιέζεται κατά 0,0500 m, και ένα βλήμα μά­ ζας 0,0300 kg τοποθετείται μέσα στην οριζόντια κάννη του όπλου σε επαφή με το συμπιεσμένο ελατήριο. Στη συνέχεια το ελατήριο απο­ δεσμεύεται και το βλήμα εξωθείται έξω από την κάννη. a) Υπολογί­ στε την ταχύτητα με την οποία το βλήμα εγκαταλείπει την κάννη, αν οι δυνάμεις τριβής είναι αμελητέες. b) Προσδιορίστε την ταχύτητα του βλήματος καθώς αυτό εγκαταλείπει το άκρο της κάννης, υποθέ­ τοντας ότι στο βλήμα δρα μια σταθερή aνθιστάμενη δύναμη 10,0 Ν κατά τη διαδρομή του, μήκους 0,0500 m, μέσα στην κάννη. Σημειώ­ στε ότι η μέγιστη ταχύτητα δεν επισυμβαίνει στο άκρο της κάννης σ' αυτή την περίπτωση. 6-44

ΣΧΗΜΑ 6-21 6-47 Εσείς και το ποδήλατό σας έχετε μια συνολική μάζα 80,0 kg. Όταν φθάσετε στη βάση μιας υπερυψωμένης διάβασης κινείστε κατά μήκος του ποδηλατόδρομου με ταχύτητα 3,00 m/s (Σχ. 6-21). Το κατακόρυφο ύψος της υπερυψωμένης διάβασης είναι 5,20 m και η ταχύτητά σας στο ψηλότερο σημείο της διάβασης είναι 1,50 m/s. Αγνοήστε το έργο που παράγεται από την τριβή καθώς και οποια­ δήποτε απώλεια ενέργειας που σχετίζεται με το ποδήλατο ή με τα πόδια σας. a) Πόσο είναι το συνολικό έργο που παράγεται επί του εαυτού σας και επί του ποδηλάτου σας κατά την κίνησή σας από τη βάση ως το ψηλότερο σημείο της διάβασης; b) Πόσο έργο έχετε παραγάγει με τη δύναμη που ασκείτε στα πετάλια (πέδιλα) του πο­ δηλάτου; 6-48 Ένα λεξικό μάζας 6,00 kg ωθείται προς τα πάνω κατά μή­ κος ενός aτριβούς κεκλιμένου επιπέδου χωρίς τριβή υπό aνωφερή κλίση 30,0' πάνω από την οριζόντια διεύθυνση. Το λεξικό ωθείται

νερό; c) Πόση πρέπει να είναι η ισχύς της αντλητικής μηχανής; Ένα αυτοκίνητο μάζας m επιταχύνεται αφού εκκινήσει α­ πό την ηρεμία και ενώ ο κινητήρας παρέχει σταθερή ισχύ Ρ. a) Δείξτε ότι η ταχύτητα ως συνάρτηση του χρόνου δίνεται από τη σχέση υ = (2Pt!m)112• b) Δείξτε ότι η επιτάχυνση ως συνάρτηση του χρόνου δίνεται από τη σχέση α = (P/2mt)112, άρα δεν είναι στα­ θερή. c) Δείξτε ότι η μετατόπιση ως συνάρτηση του χρόνου δίνε­ ται από τη σχέση χ -χ0 = (8Ρ ! 9m)112 t 312• 6-55 Το φράγμα του Grand Coulee (μεγάλο κανάλι υπερχείλι­ σης, μέσω του οποίου έρρεε το νερό από την τήξη των πάγων της ε­ ποχής των παγετώνων, στην πολιτε ία Washington των Η ΠΑ (σ.τ.Μ.)) έχει μήκος 1270 m και ύψος 170 m. Η ηλεκτρική ισχύς εξό­ δου από τις γεννήτριες στη βάση του είναι 2000 MW περίπου. Πόσα κυβικά μέτρα νερού πρέπει να διέρχονται από το φράγμα ανά δευ­ τερόλεπτο για να παραγάγουν την ηλεκτρική αυτή ισχύ; (Η πυκνό­ τητα ή η μάζα ανά μονάδα όγκου του νερού είναι 1,00 χ 10' kg!m') . 6-56 Το σχήμα 6-24 παριστάνει πώς μεταβάλλεται η δύναμη που ασκεί η χορδή ενός σύνθετου τόξου επί του βέλους, ως συνάρ­ τηση του μήκους κατά το οποίο το βέλος ελκύεται προς τα πίσω. Υποθέστε ότι η ίδια δύναμη ασκείται στο βέλος ενώ, αφού αποδε­ σμευθεί, εκτελεί την πρόσθια κίνησή του. Η πλήρης έλξη (τάνυ­ σμα) για τη χορδή αυτή ισοδυναμεί με μήκος τανύσματος 75,0 cm. Αν η χορδή εκτοξεύει ένα βέλος μάζας 0,0425 kg από τη θέση πλή­ ρους έλξης, πόση είναι η ταχύτητα του βέλους όταν χάσει την επα­ φή του με τη χορδή; 6-57 Για μια περιηγήτρια ποδηλάτισσα ο συντελεστής οπισθολ­ κής (αντιστάσεως) είναι 1,00, η μετωπική επιφάνεια είναι 0,463 m2 και ο συντελεστής τριβής κυλίσεως είναι 0,0045. Η αναβάτιδα ζυ­ γίζει 540 Ν και το ποδήλατό της ζυγίζει 1 1 1 Ν. a) Για να διατηρή­ σει ταχύτητα 14,0 m/s (50 km/h περίπου) σε ισόπεδη οδό, πόση πρέπει να είναι η αποδιδόμενη ισχύς της αναβάτιδας; b) Στις πο­ δηλατοδρομίες η ίδια αναβάτιδα χρησιμοποιεί ένα διαφορετικό ποδήλατο που έχει συντελεστή τριβής κυλίσεως 0,0030 και βάρος 89 Ν. Επίσης συσπειρώνει το σώμα της σκύβοντας προς τα εμπρός, μειώνοντας έτσι το συντελεστή οπισθολκής της σε 0,88 και ελαττώ­ νοντας τη μετωπική της επιφάνεια στα 0,366 m2• Πόση πρέπει να είναι η αποδιδόμενη ισχύς της στην περίπτωση αυτή, για να διατη­ ρήσει ταχύτητα 14,0 m/s; c) Για την περίπτωση της ερώτησης (b), πόση αποδιδόμενη ισχύς απαιτείται για να διατηρηθεί η ταχύτητα των 7,0 m/s; Παρατηρήστε τη μεγάλη πτώση της απαιτήσεως σε ι­ σχύ όταν η ταχύτητα απλά και μόνο υποδιπλασιάζεται. (Βλέπε το άρθρο ( αλλά ποτέ δεν μπορεί να υπάρχει ταυτόχρονα και στις δύο θέσεις. Αν το βαρυτικό έργο περιλαμβάνεται στην ΔU, μη το συμπεριλάβετε και πάλι στο Woι her·

7-2 ΒΑΡΥfΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ

-

ΙΙ

Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 7-2

175

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Έργο και ενέργεια κατά τη ρίψη μιας μπάλας του μπέιζμπολ Αναφερόμενοι στο παράδειγμα 7-1 , ας υποθέ­ σουμε ότι το χέρι σας κινείται προς τα πάνω κατά 0,50 m ε­ νώ πετάτε τη μπάλα, που φεύγει από το χέρι σας με μια τα­ χύτητα 20 m/s προς τα πάνω. Αγνοήστε και πάλι την αντί­ σταση του αέρα. a) Υποθέτοντας ότι το χέρι σας ασκεί μια σταθερή προς τα πάνω δύναμη στη μπάλα, βρείτε το μέτρο της δύναμης αυτής. b) Βρείτε την ταχύτητα της μπάλας σε ένα σημείο 15 m πάνω από το σημείο στο οποίο η μπάλα χάνει την επαφή της με το χέρι σας.

Υ I F

0,50 m

1

ΛΥΣΗ Στο Σχήμα 7-5 φαίνεται ένα διάγραμμα για την

περίπτωση αυτή, συμπεριλαμβανομένου και ενός διαγράμ­ ματος ελεύθερου σώματος για την μπάλα κατά τη διάρκεια της ρίψης της.

(a)

y, =

-0,50m

IV

χ

(b)

7-5 (a) Ρίχνοντας μια μπάλα στην κατακόρυφη διεύθυνση. (b) Το διάγραμμα ελεύθερου σώματος για τη μπάλα καθώς η δύναμη F που ασκείται από το χέρι παράγει το έργο Woιher επ' αυτής.

a ) Έστω 1 το σημείο όπου το χέρι σας αρχίζει να κινείται, και έστω 2 το σημείο όπου η μπάλα χάνει την επαφή της με το χέρι σας. Χρησιμοποιώντας το ίδιο σύστημα αναφοράς που χρησιμοποιήσαμε στο προηγούμενο παράδειγμα, έ­ χουμε y1 = - 0,50 m και y2 = Ο. Άρα

τρο του βάρους της μπάλας.

b) Έστω ότι το σημείο 3 βρίσκεται στο ύψος των 1 5 m. Τό­ τε y3 = 15 m, και θέλουμε να βρούμε την ταχύτητα υ3 στο ση μείο αυτό. Ανάμεσα στα σημεία 2 και 3 δεν ασκείται πλέον η δύναμη του χεριού και Woιher Ο. Έχουμε

ΚΙ = Ο, U1 = mgy1 = (0, 150 kg)(9,8 m/s2)(- 0,50 m) = - 0,74 J, U2 = mgy2 = (0,150 kg)(9,8 m/s2)(0) = Ο, Κ2 = ! mv/ = ! (0,1 50 kg)(20 m!s? = 30 J. Σύμφωνα με την Εξ. (7-7), ΚΙ + ul + wother = κ2 + u2 ,

=

U3 = mgy3 = (0,150 kg)(9,8 m/s2)(15 m) κ3 = ! mυ32 = ! (0,150 kg)υ/.

=

22 J,

Η διατήρηση της ενέργειας, Εξ. (7-4), δίνει

επομένως

Kz + Uz = Κ3 + U3, 30 J + Ο = i (0,150 kg)υ32 + 22 J ,

Ο + (- 0,74 1) + Woιher = 30 1 + Ο,

wother = 31 J.

υ3 = ± 1 0 m/s.

Η κινητική ενέργεια της μπάλας αυξάνεται κατά 30 J, και η δυναμική ενέργεια αυξάνεται κατά μία ποσότητα μικρότε­ ρη από 1 J· το άθροισμα είναι ίσο με το wother . Το έργο Woιher είναι το έργο που παράγεται από την προς τα πάνω δύναμη F που ασκεί το χέρι σας στη μπάλα κατά τη διάρκεια της ρίψης της. Υποθέτοντας ότι η δύναμη αυτή είναι σταθερή, έχουμε

Μπορούμε να εκλάβουμε την υ3 ως την συνιστώσα y της τα­ χύτητας της μπάλας. Στην περίπτωση αυτή η σημασία του προσήμου συν ή πλην έγκειται στο ότι η μπάλα διέρχεται α­ πό το σημείο αυτό δύο φορές, μία κατά την άνοδο και μία πάλι κατά την κάθοδό της. Η δυναμική ενέργεια στο ση­ μείο αυτό είναι ίδια είτε η μπάλα κινείται προς τα πάνω εί­ τε προς τα κάτω, επομένως και η κινητική της ενέργεια κα­ θώς και το μέτρο της ταχύτητάς της είναι επίσης ίδια. Η αλ­ γεβρική τιμή της ταχύτητας είναι θετική (πρόσημο συν) ό­ ταν η μπάλα κινείται προς τα πάνω και αρνητική (πρόσημο πλην) όταν η μπάλα κινείται προς τα κάτω.

u,.;,ther = F (yz - Υ Ι ) = (0,50 m)F, Ν. _llL_ F = YzWoιher -y , = 0,50 m = 62 Το μέτρο της δύναμης αυτής είναι 40 φορές περίπου το μέ-

Στα δύο πρώτα μας παραδείγματα το σώμα εκινείτο κατά μήκος μιας ευθείας κατα­ κόρυφης γραμμής. Τι συμβαίνει όταν η τροχιά είναι ευθύγραμμα κεκλιμένη ή καμπυλό­ γραμμη (Σχ. 7--6a); Οι δυνάμεις περιλαμβάνουν τη βαρυτική δύναμη w = mg, ίσως δε και μια πρόσθετη δύναμη Foιher· Το έργο που παράγεται από την βαρυτική δύναμη κατά τη

T L

7--6 ( a) Μια μετατόπιση κατά μήκος

Δy

yl

__ w=m g

ο__,_ ,

Δs

1!2

-------'--

(a)

(b)

μιας καμπυλόγραμμης τροχιάς (b) Το έργο που παράγεται από τη βαρυτική δύναμη w εξαρτάται μόνο από την κατακόρυφη συνιστώσα της μετατόπισης, το Δy.

1 76

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

διάρκεια της μετατόπισης αυτής εξακολουθεί να δίνεται από την Εξ. (7-1) ή την Εξ. (7-3).

Για να το αποδείξουμε, διαιρούμε την τροχιά σε μικρά τμήματα Δs· ένα τυπικό τμήμα φαίνεται στο Σχ. 7-6b. Το έργο που παράγεται από την βαρυτική δύναμη στο τμήμα αυτό είναι το γινόμενο της δύναμης επί την μετατόπιση. Όπως φαίνεται στο Σχ. 7-6b, η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων της δύναμης και της μετατόπισης είναι β. Το έργο που παράγε­ ται κατά τη διάρκεια της μετατόπισης είναι επομένως mg Δs cos β. Αλλά το Δs cos β εί­ ναι ίσο με το Δy, άρα το έργο που παράγεται από το w είναι mg Δs cos β = - mg Δy.

Στο ίδιο έργο θα καταλήγαμε, αν το σώμα είχε μετακινηθεί κατακόρυφα καλύπτοντας α­ πόσταση Δy. Αυτό είναι ακριβές για κάθε τμήμα, άρα το έργο που παράγεται από τη βαρυτική δύναμη εξαρτάται μόνο από την κατακόρυφη μετατόπιση (y2 - Υ ι) · Το ολικό έργο είναι - mg (y2 - Υ ι) · το έργο αυτό είναι ανεξάρτητο από οποιαδήποτε οριζό­ ντια κίνηση που ίσως συνυπάρχει.

ολικό

ολική

-

ΙΙ Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 7-3 ------

7-7b). Τότε , yι = R και y2 = Ο. Υποθέτοντας ότι ο Throcky εκκινεί από την ηρεμία στο ανώτατο σημείο, υ1 = Ο, και οι διάφορες ενεργειακές ποσότητες είναι

Υπολογίζοντας την ταχύτητα κατά μήκος της περι­ φέρειας ενός κατακόρυφου κύκλου Ο ανηψιός σας Throckmorton τροχοδρομεί πάνω σε πατίνι skateboard (σκέιτμπορντ) κατηφορίζοντας κατά μήκος μιας πίστας σχολικού γηπέδου αθλοπαιδιών σε σχήμα τεταρτημορίου περιφέρειας κύκλου ακτίνας R (Σχ. 7-7). Η συνολική μάζα του Throcky και του σκέιτμπορντ είναι 25,0 kg. Αν εκκινεί από την ηρεμία και δεν υπάρχει τριβή, βρείτε την ταχύτητά του στο κατώτατο σημείο της κατηφορικής πίστας.

κ2 = � mv/ . U2 = ο.

Κι = Ο, Uι = mgR,

Από τη διατήρηση της ενέργειας, Κι + Uι Ο + mgR

ΛΥΣΗ Παρατηρήστε αρχικά ότι δεν μπορούμε να χρησι­

μοποιήσουμε τις εξισώσεις κίνησης με σταθερή επιτάχυν­ ση· η επιτάχυνση δεν είναι σταθερή γιατί η κλίση μειώνεται καθώς ο Throcky κατηφορίζει. Όμως, αν δεν υπάρχει τρι­ βή, η μόνη δύναμη εκτός από το βάρος του είναι η κάθετη δύναμη n εξασκούμενη από την κατακόρυφη πίστα. Το έρ­ γο που παράγεται από τη δύναμη αυτή είναι μηδέν γιατί σε κάθε σημείο αυτή είναι κάθετη προς την ταχύτητά του στο ίδιο σημείο. Έτσι Woιher = Ο, και η μηχανική ενέργεια δια­ τηρείται. Θεωρήστε ως σημείο 1 το σημείο εκκίνησης και ως ση μείο 2 το κατώτατο ση μείο της κατωφέρε ιας (Σχ.

Uz =

= Κ2 + Uz ' =

! mv22 + Ο,

V28R .

Θα βρίσκαμε την ίδια ταχύτητα αν ο Throcky είχε πέσει κατακόρυφα κατά ένα ύψος R. Επίσης η ταχύτητα αυτή εί­ ναι ανεξάρτητη από τη μάζα του. Σαν αριθμητικό παράδειγμα, ας θέσουμε R = 3,00 m. Τότε υ = Υ2(9,80 m/s2)(3 , 00 m) = 7,67 m/s. Point

1

n= Ο w

Point 2

(a)

2

Στάθμη Αναφοράς

n

w

(b)

7-7 (a) Ο τhrocky ενώ τροχοδρομεί πάνω σε πατίνι σκέιτμπορντ κατηφορίζοντας σε κυκλική πίστα. (b) Διαγράμματα

ελεύθερου σώματος για τον Throcky στα σημεία 1 (πάνω) και 2 (κάτω).

7-2

- Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 7-4

ΒΑΡΥfΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ

------

Ας υποθέσουμε ότι η κατηφορική πίστα του Παραδείγματος

7-3 δεν είναι χωρίς τριβές και ότι η ταχύτητα του Throcky στο κατώτατο σημείο είναι μόνο 7,00 m/s. Πόσο έργο παρή­

J=O Σημείο ! n = Ο - - - - - -

χθη από τη δύναμη τριβής που ησκείτο στον Throcky;

R

ΛΥΣΗ Επιλέγουμε τα ίδια αρχικά και τελικά σημεία, κα­

θώς και την ίδια στάθμη αναφοράς που έχουμε δεχθεί στο Παράδειγμα 7-3 (Σχ. 7-8). Στην παρούσα περίπτωση, Woιher = W3 . Οι ενεργειακές ποσότητες είναι Κ1 = Ο, υ, = mgR = (25,0 kg)(9,80 m/s2)(3,00 m) = 735 J, κ2 = imv/ = � (25,0 kg)(7,00 m/s)2 = 613 J,

υ2 = ο.

Από την Εξ. (7-7),

W3 = Κ2 + υ2 - κ, - υι = 613 J + ο - ο - 735 J = -122 J.

Το έργο που παρήχθη από τη δύναμη τριβής είναι -122 J, και η ολική μηχανική ενέργεια μειώνεται κατά 122 J. Διακρίνετε γιατί το W3 πρέπει να είναι αρνητικό; Στο πρόβλημα αυτό η κίνηση του Throcky προσδιορίζεται από το δεύτερο νόμο του Νεύτωνα, ΣF = ma, αλλά θα ήταν ι­ διαίτερα δύ> δυνάμεις που δεν παράγουν έργο, όπως αναφέραμε στο Εδάφιο 7-2. Να θυμάστε ότι στην έκφραση U = � kx2 το χ πρέπει να είναι η επιμήκυνση του ελατηρίου πέρα από το αρχικό του μήκος - αρχικό μήκος είναι το μή­ κος του ελατηρίου, αν δεν υφίσταται ούτε έκταση ούτε συ­ μπίεση -. Αυτό γιατί χρησιμοποιήσαμε τη σχέση F = kx για να αποδείξουμε την έκφραση για το U.

------

Στο Σχ. 7-15 είναι ολισθητής μάζας m = 0,200 kg βρίσκε­ ται στη θέση χ = Ο μιας οριζόντιας αεροτροχιάς και είναι συνδεδεμένος με ελατήριο σταθεράς k = 5,00 N/m. Έλκετε τον ολισθητή, εντε ίνοντας το ελατήριο κατά 0,100 m και στη συνέχεια τον αφήνετε χωρίς αρχική ταχύτητα. Ο ολι­ σθητής αρχίζει να κινείται πάλι προς τη θέση ισορροπίας (χ = 0). Πόση είναι η ταχύτητά του όταν χ = 0,080 m;

Σημειώστε ότι το πρόβλημα αυτό δεν μπορεί να επιλυ­ θεί με χρήση των εξισώσεων κίνησης με σταθερή επιτάχυν­ ση, επειδή η δύναμη του ελατηρίου μεταβάλλεται με την α­ πόσταση. Σε αντιδιαστολή η ενεργειακή μέθοδος προσφέ­ ρει μια απλή και κομψή λύση.

ΛΥΣΗ Καθώς το σώμα αρχίζει να κινείται, η δυναμική του ενέργεια μετατρέπεται σε κινητική ενέργεια. Η δύναμη του ελατηρίου ε ίναι η μόνη δύναμη που παράγει έργο στο σώμα, επομένως Waιher = Ο, και μπορούμε να χρησιμοποιή­ σουμε την Εξ. (7-1 1). Οι ενεργειακές ποσότητες είναι

Κι

=

Uι

=

Κ2 U2

1 (0,200 kg)(0) 2 = Ο,

1 (5,00 N/m)(0,100 m)2 = 0,0250 J,

=

� (0,200 kg)υ22,

=

! (5,00 N/m)(0,080 m)' = 0,0160 J.

Άρα, από την Εξ. (7-1 1),

1 (0,200 kg)υ22 + 0,0160 J, = ±0,30 m/s. Ποια είναι η φυσική σημασία του προσήμου συν ή πλην;

Ο + 0,0250 J v2

υ =Ο

=

11 Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 7-9

7-15 Η ελαστική δυναμική ενέργεια μετατρέπεται σε κινητική ενέργεια καθώς ο ολισθητής κινείται πάλι προς τη θέση ισορροπίας.

-------

Για το σύστημα του Παραδείγματος 7-8, υποθέστε ότι ο ο­ λισθητής αρχικά ηρεμεί στη θέση χ = Ο ενώ το ελατήριο δεν είναι τεταμένο (έχει το αρχικό του μήκος). Στη συνέ­ χεια εφαρμόζετε μια σταθερή δύναμη F μέτρου 0,61 0 Ν στον ολισθητή. Πόση είναι η ταχύτητα του ολισθητή όταν αυτός έχει μετακινηθεί στη θέση χ = 0,100 m; ΛΥΣΗ Και πάλι δεν έχουμε σταθερή επιτάχυνση. (Μήπως

διακρίνετε την αιτία;) Η μηχανική ενέργεια δεν διατηρεί­ ται εξαιτίας του έργου που παράγει η δύναμη F, μπορούμε όμως ακόμη να χρησιμοποιήσουμε την ενεργειακή σχέση της Εξ. (7-13). Έστω το σημείο 1 στη θέση χ = Ο και το ση­ μείο 2 στη θέση χ = 0,100 m. Οι ενεργειακές ποσότητες εί­ ναι

Κι

=

Ο,

Uι

=

Ο,

Waιher =

Κ2 = 1 {0,200 kg)υ/, U2 1 (5,00 N/m)(O,lOO m)2 = 0,0250 J, =

(0,610 N)(O,lOO m) = 0,0610 J.

Αντικαθιστώντας τα γνωστά μεγέθη με τις αριθμητικές τους τιμές στην Εξ. (7-15) βρίσκουμε

Ο + Ο + 0,0610 J v2

=

=

1 (0,200 kg)υ/ + 0,0250 J, 0,60 m/s.

182

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΔΙΑΤΉΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

Π Α Ρ Ά Δ Ε Ι Γ Μ Α 7-1 0

-

Υποθέστε ότι η δύναμη F του παραδείγματος 7-9 παύει να ασκείται τη στιγμή που ο ολισθητής φθάνει στο σημείο χ = 0, 100 m. Πόση επιπλέον απόσταση καλύπτει ο ολισθητής πριν σταματήσει; ΛΥΣΗ Η ελαστική δύναμη είναι τώρα η μόνη δύναμη που

παράγει έργο, και η ολική μηχανική ενέργεια (Κ + U) δια­ τηρείται. Η κινητική ενέργεια στο σημείο χ = 0,100 m (ση­ μείο 2) είναι Κ2 = ! mv/ = ! (0,200 kg)(0,60 m/s/ = 0,036 J, και η δυναμική ενέργε ια στο ση μ ε ίο αυτό ε ίναι U2 = j kx2 = 0,025 J. Η ολική ενέργεια είναι συνεπώς 0,061 J (ί­ ση με το έργο που παράγεται από τη δύναμη F). Όταν το

σώμα σταματά στο σημείο xmax (σημείο 3) η κινητική του ε­ νέργεια κ3 είναι μηδέν και η δυναμική του ενέργεια u3 είναι

= ! kxma/ = i (5,00 N/m)xmax2 · Από την Κ2 + U2 = Κ + U3 βρίσκουμε 3 0,036 1 + 0,025 1 = Η5,00 N/m)xmax2, U3

Xmax

= 0,156 m.

Άρα το σώμα καλύπτει επιπλέον απόσταση 0,056 m αν η δύναμη ασκείται ως το σημείο χ = 0,100 m (άρα δεν ασκεί­ ται πλέον πέραν του σημείου αυτού).

ΙΙ Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 7- 1 1

-

Σε ένα σενάριο σχεδίασης (που καλύπτει το δυσμενέστερο δυνατό περιστατικό) ένας ανελκυστήρας μάζας 2000 kg με κομμένο το συρματόσκοινο ανάρτησής του υφίσταται ελεύθερη πτώση με ταχύτητα 25 m/s όταν έρ­ χεται σε πρώτη επαφή με ένα ελατήριο απορρόφησης κρα­ δασμών στον πυθμένα του φρέατος του ανελκυστήρα. Το ε­ λατήριο θα προκαλέσει -υποτίθεται- την ακινητοποίηση του ανελκυστήρα, ενώ το ελατήριο θα υποστεί συμπίεση 3,0 m κατά τη διαδικασία αυτή (Σχ. 7-1 6). Κατά τη διάρκεια της κίνησης ένας σφιγκτήρας ασφαλείας ασκεί μια σταθερή δύναμη τριβής 17 000 Ν στον ανελκυστήρα. Είστε σύμβου­ λος σε ενεργειακά θέματα και σας θέτουν το πρόβλημα να προσδιορίσετε τη σταθερά του συγκεκριμένου ελατηρίου.

Αντικαθιστώντας τις τιμές αυτές στην Εξ. (7-13), βρίσκετε

Κι + Uι + Woιher = Kz + Vz , 625 000 J + 58 800 J + (- 5 1 000 J) = Ο + i k(3,00 m?, k = 1,41 χ 105 N/m. Στη συνέχεια πρέπει να εξηγήσετε στον πελάτη σας, ότι ο ανελκυστήρας δεν θα παραμείνει στον πυθμένα του φρέα­ τος, αλλά θα αναπηδήσει και πάλι προς τα πάνω, και κατό­ πιν θα επιστρέψει κτυπώντας το ελατήριο ξανά και ξανά ώσπου να αφαιρεθεί ικανή ενέργεια εξαιτίας της τριβής που τελικά θα επιφέρει την ακινητοποίηση του θαλάμου.

ΛΥΣΗ Θεωρήστε ως σημείο 1 τη θέση του ανελκυστήρα όταν έρχεται σε πρώτη επαφή με το ελατήριο (y 1 = 3,00 m) και ως σημείο 2 τη θέση του όταν το ελατήριο έχει συμπιε­ στεί εντελώς (y2 = 0). Η αρχική ταχύτητα του ανελκυστήρα είναι υ 1 = 25 m/s, άρα

:J =

17,000 Ν

Κ1 = � mv 1 2 = i (2000 kg)(25,0 m/s)2 = 625 000 J. Ο ανελκυστήρας σταματά στο σημείο 2, συνεπώς Κ2

=

Ο. Η

ελαστική δυναμική ενέργεια στο σημείο 1 είναι μηδέν α­ φού το ελατήριο δεν έχει ακόμη υποστεί καμιά συμπίεση. Υπάρχει όμως βαρυτική δυναμική ενέργεια: U1

= (2000 kg)(9,80 m/s2 )(3,00 m) = 58 800 J.

= n1gy 1 Στο σημείο 2 η βαρυτική δυναμική ενέργεια είναι μηδέν α­ φού y = Ο, και η ελαστική δυναμική ενέργεια είναι 2 U2 = i kx = i k(3,00 m?, σΧ:έση στην οποία πρέπει να προσδιοριστεί η σταθερά k του ελατηρίου. Η άλλη δύναμη είναι η δύναμη τριβής μέτρου 1 7 000 Ν που ασκείται σε αντίθετη κατεύθυνση από τη μετατόπιση των 3,00 m, και Woιher

=

(-1 7 000 Ν)(3,00 m) = -5 1 000 J.

7-4

25 m/s

1 l

- -

- -

3,00 m

t_

_ _ _

_

2

7-16 Ένας ανελκυστήρας σε πτώση προκαλεί συμπίεση ενός ελατηρίου. Στο παράδειγμα αυτό επεξηγείται η μετατροπή της κινητικής ενέργειας καθώς και της βαρυτικής και της ελαστικής ενέργειας.

ΔΙΑΤΗΡΗΤΙΚΕΣ ΚΑΙ ΜΗ ΔΙΑΤΗ ΡΗΤΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ

•

---

Στη διαισθητική επιχειρηματολογία μας για τη δυναμική ενέργεια κάναμε λόγο για «α­ ποθήκευση» της κινητικής ενέργειας, μέσω της μετατροπής της σε δυναμική ενέργεια. Πάντοτε έχουμε υπόψη ότι μπορούμε αργότερα να την ανακτήσουμε και πάλι ως κινητι­ κή ενέργεια. Όταν πετάτε μια μπάλα ψηλά στον αέρα, αυτή επιβραδύνεται καθώς η κι-

7-4 ΔΙΑΤΗΡΗτΙΚΕΣ ΚΑΙ ΜΗ ΔΙΑΤΗΡΗτΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ

183

7-17 Το έργο που παράγεται από

μια διατηρητική δύναμη είναι ανεξάρτητο του δρόμου· εξαρτάται μόνο από τα ακραία σημεία.

νητική της ενέργεια μετατρέπεται σε δυναμική ενέργεια. Αλλά στην διαδρομή της προς τα κάτω η μετατροπή αντιστρέφεται, και η μπάλα επιταχύνεται καθώς δυναμική ενέρ­ γεια μετατρέπεται και πάλι σε κινητική ενέργεια. Αν δεν υπήρχε η αντίσταση του αέρα, η μπάλα θα επέστρεφε στο χέρι σας με την ίδια ταχύτητα με την οποία την πετάξατε αρ­ χικά στον αέρα. Αν ένας ολισθητής που κινείται σε μια οριζόντια αεροτροχιά χωρίς τριβή συγκρου­ στεί με ένα προφυλακτήρα πρόσκρουσης στο τέλος της αεροτροχιάς, το ελατήριο συμπιέ­ ζεται και ο ολισθητής σταματά. Στη συνέχεια όμως ο ολισθητής αναπηδά προς τα πίσω και, εφόσον δεν υπάρχει τριβή, αποκτά την ίδια ταχύτητα και κινητική ενέργεια που είχε πριν από την πρόσκρουση. Και πάλι υπάρχει μια αμφίδρομη μετατροπή από κινητική σε δυναμική ενέργεια και αντίστροφα. Και στις δύο περιπτώσεις βρίσκουμε ότι μπορούμε να ορίσουμε μια συνάρτηση δυναμικής ενέργειας με τέτοιο τρόπο, ώστε η ολική μηχανι­ κή ενέργεια, κινητική συν δυναμική, να είναι σταθερή ή να κατά τη διάρκεια της κίνησης. Μια δύναμη που προσφέρει αυτή τη δυνατότητα της αμφίδρομης μετατροπής μετα­ ξύ των δύο μορφών ενέργειας -της δυναμικής και της κινητικής ενέργειας- λέγεται δια­ τηρητική δύναμη. Ένα ουσιώδες χαρακτηριστικό των διατηρητικών δυνάμεων είναι το ότι το έργο τους είναι πάντα Οτιδήποτε καταθέτουμε στην «τράπεζα» ενερ­ γείας μπορεί αργότερα να αναληφθεί χωρίς απώλειες. Οι βαρυτικές δυνάμεις αποκαλύ­ πτουν μια άλλη σημαντική πλευρά των διατηρητικών δυνάμεων. Ένα σώμα έχει τη δυνα­ τότητα να μετακινηθεί από το σημείο 1 στο σημείο 2 ακολουθώντας διάφορους δρόμους (Σχ. 7-1 7), αλλά το έργο που παράγεται από τη βαρυτική δύναμη είναι το ίδιο για όλες αυτές τις διαδρομές. Σε ένα ομοιόμορφο (ομογενές) βαρυτικό πεδίο το έργο εξαρτάται μόνο από τη μεταβολή του ύψους. Αν ένα σώμα κινείται κατά μήκος μιας κλειστής τρο­ χιάς, δηλαδή αν καταλήγει στο σημείο από το οποίο ξεκίνησε, το έργο που πα­ ρήχθη από το βαρυτικό πεδίο είναι πάντα μηδέν. Το έργο που παράγεται από μια διατηρητική δύναμη έχει πάντα τις εξής ιδιότητες:

διατηρείται

aντιστρεπτό.

συνολικό

1. Μπορεί πάντα να εκφραστεί ως η διαφορά μεταξύ της αρχικής και της τελικής τιμής μιας συνάρτησης δυναμικής ενέργειας. 2. Είναι aντιστρεπτό. 3. Είναι ανεξάρτητο της τροχιάς που ακολουθεί το σώμα και εξαρτάται μόνο από το σημείο εκκίνησης και κατάληξης της τροχιάς. 4. Αν το αρχικό σημείο συμπίπτει με το τελικό σημείο, το συνολικό έργο είναι μηδέν. Αν όλο το παραγόμενο έργο στο σώμα παράγεται από διατηρητικές δυνάμεις, η ο­ είναι σταθερή. λική μηχανική ενέργεια Ε = Δεν είναι όλες οι δυνάμεις διατηρητικές. Θεωρήστε τη δύναμη τριβής που ασκείται κατά την ολίσθηση στο κεκλιμένο επίπεδο του κιβωτίου με το ανακατασκευασμένο κιβώ­ τιο ταχυτήτων, του Παραδείγματος 7-7 του Εδαφίου 7-2. Δεν υπάρχει συνάρτηση δυνα­ μικής ενέργειας για τη δύναμη της τριβής. Όταν το σώμα ολισθαίνει προς τα πάνω και στη συνέχεια πάλι προς τα κάτω, προς το σημείο εκκίνησης, το συνολικό έργο που παρά­ γεται επί του σώματος από την τριβή είναι μηδέν. Όταν αντιστρέφεται η κατεύθυνση της κίνησης, το ίδιο συμβαίνει και με τη δύναμη της τριβής, που παράγει έργο

Κ+ U

δεν

αρνητικό

184

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΔΙΑΤΉΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

7-18 Μία μοτοσυκλέτα, ενώ υφίσtαται πλάγια εξολίσθηση (ντεραπάρισμα). Η μηχανική ενέργεια δεν διατηρείται κατά τη διάρκεια μιας εξολίσθησης η κινητική ενέργεια μειώνεται, και αυτό είναι αποτέλεσμα του έργου που παράγεται από τις μη διατηρητικές δυνάμεις τριβής. Δεν υπάρχει αντίσtοιχη δυναμική 1 ενέργεια και η κινητική ενέργεια δεν μπορεί να ανακτηθεί.

και στις δύο

κατευθύνσεις. Όταν ένα αυτοκίνητο με πατημένο το πέδιλο των φρένων που εξολισθαίνει (ντεραπάρει) στο οδόστρωμα με μειούμενη ταχύτητα (και μειούμενη κινητική ενέργεια), η χαμένη κινητική ενέργεια δεν μπορεί να ανακτηθεί με αντιστροφή της κίνησης ή με οποιοδήποτε άλλο τρόπο, και η μηχανική ενέργεια διατηρείται (Σχ. 7-18). Μία δύναμη αυτού του είδους ονομάζεται μη δ ιατηρητική δύναμη ή διασκορπι­ στική δύναμη. Για να περιγράψουμε τις ενεργειακές σχέσεις που συνδέονται με τις δυ­ νάμεις αυτές πρέπει να εισαγάγουμε πρόσθετες μορφές ενέργειας και μια πιο γενική αρ­ χή διατήρησης της ενέργειας. Όταν ένα σώμα ολισθαίνει σε μια ανώμαλη επιφάνεια, ό­ πως για παράδειγμα τα ελαστικά του αυτοκινήτου στο οδόστρωμα ή ένα κιβώτιο που α­ φήνεται να πέσει σε ένα ταινιόδρομο μεταφοράς, οι επιφάνειες γίνονται θερμότερες η ενέργεια που συνδέεται με τη μεταβολή αυτή στην κατάσταση των υλικών ονομάζεται Θα μελετήσουμε τη σχέση της εσωτερικής ενέργειας με τις θερμο­ κρασιακές μεταβολές, τη θερμότητα και το έργο σε επόμενα κεφάλαια. Η σχέση αυτή εί­ ναι το θεμέλιο της περιοχής της φυσικής που ονομάζεται

δεν

ε­

σωτερική ενέργεια.

θερμοδυναμική.

- Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 7-1 2

Έργο παραγόμενο από τριβή Α ς ρίξουμε πάλι μια μα­ τιά στο Παράδειγμα 7-4 του Εδαφίου 7-2, στο οποίο ο α­ νηψιός σας Throcky τροχοδρομεί πάνω σε πατίνι (σκέι­ τμπορντ) κατά μήκος μιας καμπύλης κατωφέρειας. Εκκινεί με 735 J δυναμικής ενέργειας, και στο κατώτατο σημείο έ­ χει 613 J κινητικής ενέργειας. Το έργο W3 που παρήχθη α­ πό τις μη διατηρητικές δυνάμεις τριβής είναι - 122 J. Ενώ κυλά προς τα κάτω, τα ρουλεμάν (τριβείς) και η κατηφορι-

* 7-5

κή πίστα γίνονται ελαφρά θερμότερα. Οι ίδιες θερμοκρα­ σιακές μεταβολές θα μπορούσαν να είχαν παραχθεί και αν προσθέταμε 122 J θερμότητας στα σώματα αυτά. Η τους ενέργεια αυξάνεται κατά 122 J · το άθροισμα της ενέργειας αυτής και της τελικής μηχανικής ενέργειας ισού­ ται προς την αρχική μηχανική ενέργεια και η ολική ενέρ­ γεια του συστήματος (συμπεριλαμβανομένων και μη μηχα­ νικών μορφών ενέργειας) διατηρείται.

εσωτε­

ρική

ΔΥΝΑΜΗ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ

-------

Για τα δύο είδη διατηρητικών δυνάμεων (βαρυτικών και ελαστικών) που εξετάσαμε, αρ­ χίσαμε από μια περιγραφή της συμπεριφοράς της δύναμης και παραγάγαμε από αυτήν μια έκφραση για τη δυναμική ενέργεια. Για ένα σώμα μάζας m σε ένα ομοιόμορφο βα­ ρυτικό πεδίο, η βαρυτική δύναμη είναι FY = mg. Βρήκαμε ότι η δυναμική ενέργεια εί­ ναι U(y) = mgy . Όταν ένα ιδανικό ελατήριο ασκεί μια δύναμη Fx = - kx σε ένα σώμα, η αντίστοιχη συνάρτηση δυναμικής ενέργειας είναι U(x) = � kx2. Μπορούμε να αντιστρέψουμε τη διαδικασία αυτή. Αν μας δίνεται μια έκφραση δυ­ ναμικής ενέργειας, μπορούμε να βρούμε την δύναμη. Ιδού πώς το επιτυγχάνουμε. Αρχι­ κά ας θεωρήσουμε κίνηση κατά μήκος μιας ευθείας με συντεταγμένη χ. Συμβολίζουμε τη συνιστώσα χ της δύναμης, που είναι μια συνάρτηση του χ, ως Fx(x) και τη δυναμική ενέρ­ γεια ως U(x). Ο συμβολισμός αυτός μας υπενθυμίζει ότι και η Fx και η U(x) είναι του χ. Ανακαλούμε τώρα στη μνήμη μας ότι σε κάθε μετατόπιση το έργο W που πα­ ράγεται από μια διατηρητική δύναμη ισούται προς την αντίθετη ποσότητα (πρόσημο -) της μεταβολής ΔU στη δυναμική ενέργεια: -

συναρ­

τήσεις

W = - ΔU.

7-5 ΔΥΝΑΜΗ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΉ ΕΝΕΡΓΕΙΑ

1 85

Ας το εφαρμόσουμε σε μια μικρή μετατόπιση Δχ. Το έργο που παράγεται από τη δύναμη

Fx(x) κατά τη διάρκεια της μετατόπισης αυτής είναι περίπου ίσο προς το γινόμενο Fx(x) χ Δχ. Πρέπει να πούμε «περίπου», αφού η δύναμη Fx(x) ίσως διαφοροποιείται λίγο κατά μήκος του διαστήματος Δχ. Είναι όμως τουλάχιστον κατά προσέγγιση αληθές το ότι

Fx(x) Δχ = - Δ υ,

και

Fx(x) = - ΔΔχυ .

Δχ-70.

Ίσως μπορείτε να προβλέψετε τη συνέχεια. Θεωρούμε το όριο καθώς το Στο όριο αυτό η μεταβολή της καθίσταται αμελητέα, και έχουμε την ακριβή σχέση

Fx

dυ F.(x) = - (]Χ ·

(7-15)

U(x)

Το αποτέλεσμα αυτό έχει νόημα· σε περιοχές όπου η μεταβάλλεται τάχιστα ως συ­ νάρτηση του (δηλαδή εκεί όπου η είναι πολύ μεγάλη), παράγεται το μέγιστο έργο κατά τη διάρκεια μιας δεδ"ομένης μετατόπισης, και αυτό αντιστοιχεί σε μεγάλο μέτρο της δύναμης. Ακόμα, αν η κατευθύνεται προς τη θετική κατεύθυνση αυξανομένου του η Άρα η και η θα έπρεπε να έχουν αντίθετα πρόσημα, και πράγματι αυτό συμβαίνει.

χ

dU/dx

υ μειώνεται.

-

F

F

χ,

dU!dx

Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 7-13

-------

Μ ια ηλεκτρική δύναμη και η δυναμική της ενέργεια Ένα ηλεκτρικά φορτισμένο σωμάτιο κρατείται σε ηρεμία στο σημείο χ = Ο , και ένα δεύτερο σωμάτιο με ίσο φορτίο μπορεί να κινείται ελεύθερα κατά μήκος του θετικού ημιά­ ξονα χ. Η δυναμική ενέργεια του συστήματος είναι

και βρίσκουμε

d 1.. !_ F (x) = - dxU = - k (- χ2 ) = χ2 . χ

Η συνιστώσα χ της δύναμης είναι θετική, και αντιστοιχεί σε

k

μια απωστική αλληλεπίδραση μεταξύ όμοιων ηλεκτρικών φορτίων. Η δύναμη μεταβάλλεται με την απόσταση όπως η l/x2• είναι πολύ μικρή όταν τα σωμάτια απέχουν μεγάλη α­ πόσταση μεταξύ τους (μεγάλο χ), ενώ τόσο η δύναμη όσο και η δυναμική ενέργεια γίνονται πολύ μεγάλες όταν το χ είναι πολύ μικρό και τα σωμάτια έχουν πλησιάσει, ευρι­ σκόμενα σε πολύ μικρή απόσταση μεταξύ τους. Αυτό είναι ένα παράδειγμα του νόμου του Coulomb (Κουλόμπ) για τις ηλεκτρικές αλληλεπιδράσεις. Θα τον μελετήσουμε λεπτο­ μερέστερα στο Κεφάλαιο 22.

U(x) = χ' όπου k είναι μια σταθερά που εξαρτάται από τα μέτρα των φορτίων. Να παραγάγετε μια έκφραση για τη συνιστώσα χ της δύναμης που ασκείται στο κινούμενο φορτίο ως συνάρ­ τηση της θέσης του. ΛΥΣΗ

χ

Μας δίνεται η συνάρτηση δυναμικής ενέργειας

U(x), άρα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την Εξ. (7-15). Η παράγωγος (ως προς χ) της συνάρτησης l/x είναι - l/x2

Μπορούμε να επεκτείνουμε την ανάλυση αυτή σε τρεις διαστάσεις όπου το σωμά­ τιο έχει τη δυνατότητα να κινείται στην κατεύθυνση ή την ή την z, ή και στις δύο ή τρεις από τις κατευθύνσεις αυτές ταυτόχρονα, υπό την επίδραση μιας δύναμης που έχει συνιστώσες και κάθε μία από τις οποίες είναι συνάρτηση των συντεταγμένων και z. Η συνάρτηση δυναμικής ενέργειας είναι επίσης μια συνάρτηση και των τριών χωρικών συντεταγμένων και την γράφουμε ως z ) . Μπορούμε τώρα να χρησιμοποι­ ήσουμε την Εξ. (7-15) και να βρούμε κάθε μία συνιστώσα της δύναμης. Η μεταβολή στη δυναμική ενέργεια όταν το σωμάτιο μετακινείται κατά μικρή απόσταση Δχ στην κατεύ­ θυνση δίνεται και πάλι από την -Fχ Δχ· δεν εξαρτάται από τις και που αντιπρο­ σωπεύουν δυνάμεις που είναι κάθετες στη μετατόπιση και δεν παράγουν έργο. Έτσι έ­ χουμε και πάλι

χ

Fx , Fy

χ, y

Fz,

υ

χ

Οι συνιστώσες

y

υ(χ, y,

Fy

y και

z

Fz,

της δύναμης προσδιορίζονται κατά τον ίδιο ακριβώς τρόπο:

Fy = - dU dy ' υ

Επειδή η ίσως είναι συνάρτηση και των τριών συντεταγμένων, πρέπει να συ­ γκρατήσουμε στη μνήμη μας ότι, όταν υπολογίζουμε κάθε μια από τις παραγώγους αυτές, μεταβάλλεται μόνο μια συντεταγμένη σε κάθε ένα υπολογισμό. Προσδιορίζουμε το υποθέτοντας ότι τα και z είναι σταθερά και ότι μόνο το μεταβάλλεται, κλπ. Η

dυ/dx,

y

χ

186

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

μερική παράγωγος, ο δε συνήθης συμβολισμός d, για να μας θυμίζει τη φύση

παράγωγος αυτού του είδους ονομάζεται είναι aυι 8χ, κλπ. Το σύμβολο 8 είναι ένα τροποποιημένο της συναρτησιακής αυτής πράξης. Έτσι γράφουμε

- aυ · F, = τz

aυ Fx = - τχ ,

(7-16)

Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μοναδιαία διανύσματα για να γράψουμε μια ενιαία συ­ νεπτυγμένη διανυσματική έκφραση για τη δύναμη F: F=

( ax

_ aυ ;

+

aυ j + aυ az ay

k).

(7-17)

Η έκφραση μέσα στην παρένθεση αναπαριστά μια συγκεκριμένη πράξη πάνω στη συ­ νάρτηση υ, κατά την οποία βρίσκουμε τη μερική παράγωγο της υ ως προς κάθε μία συ­ ντεταγμένη, πολλαπλασιάζουμε επί το μοναδιαίο διάνυσμα που αντιστοιχεί σ' αυτήν και τελικά γράφουμε το διανυσματικό άθροισμα. Η συναρτησιακή αυτή πράξη ονομάζεται κλίση ή βαθμίδα της υ, και γράφεται συχνά σε συντεταγμένη μορφή ως Υ' U. Συνεπώς η δύναμη είναι η αρνητική κλίση της συνάρτησης δυναμικής ενέργειας:

F = - Υ' υ. -

Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 7-14

-------

Αλλά το διάνυσμα χί + yj είναι ακριβώς το διάνυσμα θέ­ σης r του σωματίου, άρα μπορούμε να γράψουμε εκ νέου τη διανυσματική έκφραση ως F = -kr. Αυτό παριστάνει μια δύναμη που σε κάθε σημείο είναι αντίθετης κατεύθυν­ σης προς το διάνυσμα θέσης του σημείου, δηλαδή μια δύ­ ναμη που σε κάθε σημείο κατευθύνεται προς την αρχή των συντεταγμένων. Επιπλέον το μέτρο της δύναμης σε κάθε σημείο είναι

Δύναμη και δυναμική ενέργεια σε δύο δ ιαστάσεις Ένας πεσσός ολισθαίνει σε μια οριζόντια αεροτράπεζα χωρίς τριβή· οι συντεταγμένες του είναι χ καιy. Στον πεσσό ασκείται μία διατηρητική δύναμη που περιγράφεται από την εξής συνάρτηση δυναμικής ενέργειας: U(x, y) = μ(χ2 + /).

F = k � = kr.

Να παραγάγετε μια έκφραση για τη δύναμη που ασκείται στον πεσσό.

όπου r είναι η απόσταση του σωματίου από την αρχή των συντεταγμένων. Αυτή είναι η ασκούμενη δύναμη από ένα ελατήριο που ακολουθεί το νόμο του Hooke και έχει πολύ μικρό μήκος, όταν δεν έχει υποστεί έκταση, που μπορεί να αγνοηθεί -αν συγκριθεί με τις άλλες αποστάσεις στο πρό­ βλημα-. Η συνάρτηση δυναμικής ενέργειας μπορεί επίσης να εκφραστεί ως U = μr 2, άρα η ακτινική συνιστώσα της δύναμης F, μπορεί να εκφραστεί ως F = - au . (7-19) ar

ΛΥΣΗ Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τις Εξ. (7-16) για να βρούμε τις συντεταγμένες της δύναμης

au = - /α Fχ = - ax

'

FΥ

(7-18)

au ay

= - - = -

ky.

Αυτές αντιστοιχούν στην ακόλουθη διανυσματική έκφρα­ ση, από την Εξ. (7-17): F = -k(xi· + yj).

* 7-6

r

ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΆ ΔΙΑΓΡΆΜΜΑΤΑ

_ _ _ _

Όταν ένα σωμάτιο κινείται κατά μήκος μιας ευθείας υπό την επίδραση μιας διατηρητι­ κής δύναμης, με μια απλή παρατήρηση της γραφικής παράστασης της συνάρτησης δυνα­ μικής ενέργειας υ(χ), μπορούμε να διακρίνουμε διαισθητικά όλες τις δυνατότητες κίνη-

υ

7-19 (a) Ένας ολισθητής πάνω σε αεροτροχιά. Το ελατήριο ασκεί μια δύναμη Fx = kx . (b) Η συνάρτηση δυναμικής ενέργειας. Τα όρια της κίνησης είναι τα σημεία όπου η καμπύλη U(x) τέμνει την οριζόντια ευθεία που παριστάνει την ολική ενέργεια Ε. -

-Α

ο (a)

Α

-Α

ο (b)

Α

7-6 ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΑ ΔΙΑΓΡΆΜΜΑΤΑ

187

U(x)

Σημεία αστάθούς ισορροπίας

(a)

(b)

σής του. Το Σχ. 7-19a απεικονίζει ένα ολισθητή (βαγόνι) μάζας m που κινείται κατά μή­ κος του άξονα πάνω σε αεροτροχιά. Το ελατήριο ασκεί στον ολισθητή μια δύναμη με Το Σχήμα 7-19b είναι μια γραφική παράσταση της α­ συνιστώσα της μορφής Fx Αν η δύναμη του ελατηρίου ντίστοιχης συνάρτησης δυναμικής ενέργειας είναι η μόνη οριζόντια δύναμη που ασκείται στον ολισθητή, η ολική ενέργεια Ε Κ + είναι σταθερή και ανεξάρτητη του Η γραφική παράσταση της Ε ως συνάρτησης του είναι λοιπόν μια ευθεία οριζόντια γραμμή. Η κατακόρυφη απόσταση μεταξύ των γραφικών παραστάσεων της και της Ε σε κάθε σημείο παριστάνει τη διαφορά Ε - υ που είναι ίση προς την κινητική ενέργεια Κ στο σημείο αυτό. Παρατηρούμε ότι η Κ είναι μέγιστη στο σημείο και είναι μηδέν στις τιμές του όπου τέμνονται οι δύο γραφικές παραστάσεις, που σημειώνονται ως και στο διάγραμμα. Άρα η ταχύτητα υ είναι μέγιστη στο σημείο και είναι μη­ δέν στα σημεία δηλαδή τα σημεία της μέγιστης δυνατής μετατόπισης από το ση­ μείο για μια δεδομένη τιμή της ολικής ενέργειας Ε. Η δυναμική ενέργεια υ δεν μπορεί ποτέ να είναι μεγαλύτερη από την ολική ενέργεια Ε · αν αυτό ήταν δυνατό, η Κ θα ήταν αρνητική και αυτό είναι αδύνατο. Η κίνηση είναι μια παλινδρομική ταλάντωση με­ ταξύ των σημείων και Σε κάθε σημείο η δύναμη Fx στον ολισθητή είναι ίση με την αρνητική κλίση της κα­ η κλίση και η δύναμη μπύλης Fx Όταν το σωμάτιο είναι στη θέση είναι μηδέν, επομένως αυτή είναι μια θέση ισορροπίας. Όταν το είναι θετικό, η κλίση της καμπύλης είναι θετική, άρα η δύναμη Fx είναι αρνητική και κατευ θύνεται προς την αρχή των αξόνων. Όταν το είναι αρνητικό, η κλίση είναι αρνητική οπότε η Fx είναι θετι­ κή και κατευθύνεται πάλι προς την αρχή των αξόνων. Μια δύναμη με αυτή την ιδιότητα ο­ νομάζεται συχνά δύναμη επαναφοράς επειδή, όταν ο ολισθητής μετατοπίζεται προς μια α­ πό τις δύο κατευθύνσεις (δεξιά ή αριστερά) από την αρχή των αξόνων η προκύ­ πτουσα δύναμη τείνει να τον «επαναφέρει» και πάλι στη θέση Μια ανάλογη περί­ πτωση είναι ένας βώλος που κυλιέται στο εσωτερικό μιας ημισφαιρικής σαλατιέρας (μπολ). Λέμε ότι το σημείο είναι ένα σημείο ευσταθούς ισορροπίας. Γενικότερα, κά­

χ

χ

= - kx.

υ χ

υ(χ) = � kx2•

=

χ.

υ

-Α χ = Ο,

χ=Ο χ=Ο

χ

χ = ± Α,

χ = Α χ = -Α. υ(χ): = -dυ/dx. υ χ

Α

χ = Ο, χ

χ = Ο,

χ = Ο.

χ=Ο

θε ελάχιστο σε μια καμπύλη δυναμικής ενέργειας είναι μια θέση ευσταθούς ισορροπίας.

Το Σχήμα 7-20a απεικονίζει μια υποθετική αλλά πιο γενική συνάρτηση δυναμικής Τα ση­ ενέργειας και το Σχ. 7-20b απεικονίζει την αντίστοιχη δύναμη Fx μεία και είναι σημεία ευσταθούς ισορροπίας. Σε κάθε ένα από τα σημεία αυτά η Fx είναι μηδέν, επειδή η κλίση της καμπύλης είναι μηδέν. Αν το σωμάτιο μετατοπίζεται προς μια από τις δύο δυνατές κατευθύνσεις (δεξιά ή αριστερά), η δύναμη ωθεί το σωμά­ τιο πάλι προς το σημείο ισορροπίας. Η κλίση της καμπύλης είναι μηδέν και στα σημεία και τα οποία είναι επίσης σημεία ισορροπίας. Όταν όμως το σωμάτιο μετατοπιστεί λίγο προς τα δεξιά σε ένα από τα σημεία αυτά, η κλίση της καμπύλης καθίσταται αρνη­ τική, και αυτό αντιστοιχεί σε θετική Fx που τείνει να ωθήσει το σωμάτιο ακόμα μακρύτε­ ρα από το θεωρούμενο σημείο. Όταν το σωμάτιο μετατοπιστεί λίγο προς τα αριστερά, η Fx είναι αρνητική, ωθώντας και πάλι το σωμάτιο μακριά από τη θέση ισορροπίας. Αυτό είναι ανάλογο της κίνησης ενός βώλου που αφήνεται ελεύθερα στο υψηλότερο σημείο κυλιόμενο στη συνέχεια στην επιφάνεια μιας ακίνητης μπάλας του μπόουλιν. Συμπεραί­ νουμε ότι κάθε μέγιστο σε μια καμπύλη δυναμικής ενέργειας είναι ένα ασταθές σημείο

υ(χ), χ1 χ2

χ2

χ4,

ισορροπίας.

= - dυ/dx.

υ

υ

υ

7-20 (a) Μια υποθετική συνάρτηση δυναμικής ενέργειας U(x). (b) Η αντιστοιχούσα δύναμη Fx = dU/dx. Τα μέγιστα και τα ελάχιστα της U(x) αντιστοιχούν στα σημεία όπου Fx = Ο. -

188

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΔΙΑΤΉΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

U(x)

Ε Ε 7 Ε6 Ε5 Ε Ε3 4 α

ΕI

Ε2

--��--�---- χ ο χο

7-21 Η συνάρτηση δυναμικής ενέργειας για ένα διατομικό μόριο. Το χ0 είναι η απόσταση ισορροπίας μεταξύ των ατόμων. Απεικονίζονται αρκετές ενεργειακές στάθμες. Κάθε μια από τις στάθμες αυτές αντιστοιχεί σε μια συγκεκριμένη κβαντική κατάσταση του μορίου. Εν γένει η στάθμη Ε1 της χαμηλότερης ενέργειας βρίσκεται λίγο ψηλότερα από την ελάχιστη τιμή U(x) της δυναμικής ενέργειας.

Αν η ολική ενέργεια είναι Ε1 και το σωμάτιο είναι αρχικά κοντά στο χ 1 , αυτό μπορεί να κινηθεί μόνο στο διάστημα μεταξύ των σημείων χ. καιχb που καθορίζονται από την τομή των γραφικών παραστάσεων της Ε1 και της Και πάλι η δεν μπορεί να είναι μεγα­ λύτερη της Ε, αφού η Κ δεν μπορεί να είναι αρνητική. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι το σω­ μάτιο κινείται σε ένα πηγάδι (φρέαρ) δυναμικού. Αν αυξήσουμε την ολική ενέργεια ως τη στάθμη Ε2 , το σωμάτιο μπορεί να κινηθεί μέσα σε μεγαλύτερη περιοχή, από το σημείο χ, ως το σημείο Αν η ολική ενέργεια είναι μεγαλύτερη από την Ε3, το σωμάτιο μπορεί να «διαφύγει» και να κινηθεί σε περιοχές με οσοδήποτε μεγάλες τιμές του χ. Στο άλλο άκρο η Ε0 αντιπροσωπεύει τη μικρότερη δυνατή ολική ενέργεια που μπορεί να έχει το σύστημα. Παρόμοια ενεργειακά διαγράμματα χρησιμοποιούνται συχνά στην αναπαράσταση των δυνάμεων αλληλεπίδρασης μεταξύ ατόμων και μορίων. Η λεπτομερής ανάλυση τέτοι­ ων συστημάτων απαιτεί γνώσεις από την κβαντομηχανική, δεν αρκεί λοιπόν εδώ η νευτώ­ νεια μηχανική. Μια από τις βασικές αρχές της κβαντομηχανικής είναι το ότι η ολική ενέρ­ γεια ενός συστήματος δεν μπορεί να μεταβληθεί κατά ένα αυθαίρετο ποσό. Οι δυνατές πο­ σότητες ενέργειας που μπορεί να έχει ένα σύστημα σχηματίζουν ένα διακριτό σύνολο ενερ­ γειακών σrαθμών. Το Σχήμα 7-21 απεικονίζει μια πιθανή συνάρτηση δυναμικής ενέργειας για τη δύναμη αλληλεπίδρασης σε ένα διατομικό μόριο. Απεικονίζονται αρκετές ενεργεια­ κές στάθμες, και η ενέργεια Ε. αντιπροσωπεύει την ελάχιστη ολική ενέργεια που απαιτεί­ ται για να επέλθει διάσπαση του μορίου σε δύο ξεχωριστά άτομα. Η ύπαρξη αυτών των κβαντισμένων ενεργειακών σταθμών αποτελεί θεμελιώδη προϋπόθεση για την κατανόηση των ατομικών και μοριακών φασμάτων, των ειδικών θερμοχωρητικοτήτων των υλικών κα­ θώς και πολλών άλλων φαινομένων που εξαρτώνται από τις διαμοριακές αλληλεπιδράσεις.

U(x).

xd.

ΕΣ ΩΤΕΡΙΚΟ ΕΡΓΟ ΚΑΙ Ε Ν Ε ΡΓΕΙΑ Μιλήσαμε για μηχανική ενέργεια αναφερόμενοι κυρίως σε σώματα που μπορούν να πα­ ρασταθούν ως σωμάτια. Στην περίπτωση που εξετάζουμε πολυπλοκότερα συστήματα, τα οποία πρέπει να αναπαρασταθούν ως συστήματα πολλών σωματίων με διαφορετικές κι, νήσεις, εμφανίζεται η αναγκαιότητα νέων λεπτών διακρίσεων στις ενεργειακές έννοιες. Δεν μπορούμε προς το παρόν να επεκταθούμε διεξοδικά στο θέμα, ιδού όμως τρία σχετι­ κά παραδείγματα. Φανταστείτε πρώτα ένα άνδρα όρθιο σε ισόπεδη επιφάνεια να στέκεται στραμμένος προς ένα άκαμπτο τοίχο φορώντας τροχοπέδιλα (πατινάζ) χωρίς τριβή (Σχ. 7-22). Ασκεί μια ώθηση στον τοίχο, και θέτει τον εαυτό του σε κίνηση προς τα πίσω (προς τα δεξιά). Οι δυνάμεις που δρουν στον άνδρα είναι το βάρος του w, οι κάθετες δυνάμεις n 1 και n2 που α­ σκούνται από το έδαφος στα τροχοπέδιλά του και η οριζόντια δύναμη F που ασκείται σ' αυ­ τόν από τον τοίχο. Δεν υπάρχει κάθετη μετατόπιση, άρα οι δυνάμεις w, n 1 και n2 δεν παρά­ γουν έργο. Η δύναμη F είναι η οριζόντια δύναμη που τον επιταχύνει προς τα δεξιά, αλλά το σημείο επί του οποίου ασκείται η δύναμη αυτή (τα χέρια του άνδρα) δεν κινείται, άρα η δύ­ ναμη F επίσης δεν παράγει έργο. Επομένως από πού προέρχεται η κινητική ενέργειά του; Η δυσκολία έγκειται στο ότι η θεώρηση του άνδρα ως υλικού σημείου δεν μας δί­ νει ένα ικανοποιητικά επαρκές μοντέλο. Για να πραγματοποιηθεί η κίνηση που περιγρά­ ψαμε προηγουμένως, είναι αναγκαίο διαφορετικά μέρη του σώματος του άνδρα να εκτε­ λέσουν διαφορετικές κινήσεις. Τα χέρια του είναι ακίνητα ως προς τον τοίχο, ενώ το υ­ πόλοιπο σώμα του απομακρύνεται από τον τοίχο. Κατά τη διάρκεια των αλληλεπιδράσε­ ων μεταξύ διαφόρων μελών του σώματός του ένα μέλος μπορεί να ασκεί δυνάμεις και να παράγει έργο επί άλλου μέρους του σώματός του. Επομένως η ολική κινητική ενέργεια του σύνθετου αυτού συστήματος μπορεί να μεταβάλλεται, παρόλο που δεν παράγεται έρ­ γο από δυνάμεις ασκούμενες από σώματα τα οποία δεν ανήκουν στο σύστημα. Αυτό δεν θα ήταν δυνατό να συμβεί σε ένα σύστημα που μπορεί να παρασταθεί σαν ένα σημείο. Στο Κεφάλαιο 8 θα εξετάσουμε την κίνηση μιας ομάδας κινούμενων σωματίων που αλλη­ λεπιδρούν μεταξύ τους. Θα ανακαλύψουμε ότι η ολική κινητική ενέργεια ενός τέτοιου συστήματος μπορεί να μεταβάλλεται ακόμα και όταν σε κανένα μέρος του συστήματος δεν παράγεται έργο από οποιοδήποτε σώμα εκτός του συστήματος. Θεωρήστε ως δεύτερο παράδειγμα ένα αυτοκίνητο που εξολισθαίνει (ντεραπάρει) σε οριζόντιο οδόστρωμα με πατημένο το πέδιλο των φρένων του. Οι δυνάμεις τριβής στα ελα­ στικά του αυτοκινήτου δρουν στην κατεύθυνση που είναι αντίθετη προς την κίνηση του αυ­ τοκινήτου. Αν αυτές είναι οι μόνες οριζόντιες δυνάμεις στο αυτοκίνητο, η κινητική του ενέρ­ γεια μειώνεται. Τα ελαστικά ασκούν ταυτόχρονα μια ίση και αντίθετη δύναμη αντίδρασης, κατά την κατεύθυνση της κίνησης, επί του οδοστρώματος. Αφού όμως το οδόστρωμα δεν κι­ νείται, οι δυνάμεις αυτές δεν παράγουν έργο. Το έργο που παράγεται επί του οδοστρώμα-

* 7-7

7-22 Οι εξωτερικές δυνάμεις οι ασκούμενες σε ένα πεδιλοδρόμο που ασκεί ώθηση σε τοίχο για να απομακρυνθεί προς την αντίθετη κατεύθυνση. Το έργο που παράγεται από τις δυνάμεις αυτές είναι μηδέν, η κινητική του ενέργεια όμως μεταβάλλεται.

U

__

Για ένα σώμα σε βαρυτικό πεδίο δημιουργούμενο από σημειακή μάζα στην αρχή των συντεταγμένων, η γραφική παράσταση της δυναμικής ενέργειας ως συναρτήσεως της απόστασης έχει πάντα θετική κλίση. Η δύναμη που ασκείται σε οποιοδήποτε άλλο σώμα κατευθύνεται πάντα προς την αρχή των συντεταγμένων. Πολύ κοντά στην αρχή των αξόνων, η κλίση της καμπύλης είναι απότομη, και η δύναμη είναι μεγάλη. Σε μεγάλη απόσταση από την αρχή, η κλίση και η δύναμη είναι μικρές.

Για ένα φορτισμένο σωμάτιο στο ηλεκτρικό πεδίο που δημιουργεί ένα θετικό σημειακό φορτίο στην αρχή των συντεταγμένων, η γραφική παράσταση της ηλεκτρικής δυναμικής ενέργειας ως συναρτήσεως της απόστασης εξαρτάται από το σημείο του φορτίου. Για ένα αρνητικό φορτίο η κλίση είναι πάντα θετική και η δύναμη είναι πάντα αρνητική (με κατεύθυνση προς την αρχή), πράγμα που αντιστοιχεί σε ελκτική δύναμη. Για ένα θετικό φορτίο, η κλίση είναι πάντα αρνητική και η δύναμη είναι πάντα θετική (με κατεύθυνση μακράν της αρχής), πράγμα που αντιστοιχεί σε αnωστική δύναμη. Η ηλεκτρική εκκένωση που φαίνεται εδώ προέρχεται από ένα σπινθηριστή αυτοκινήτου (μπουζί).

Για ένα άτομο σε κρυσταλλικό στερεό, η συνάρτηση δυναμικής ενέργειας εμφανίζει ελάχιστο όταν η απόσταση του ατόμου από τα γειτονικά του άτομα ισούται με τη χαρακτηριστική σταθερά του κρυσταλλικού πλέγματος ro. Σε μεγαλύτερες αποστάσεις, η συνάρτηση δυναμικής ενέργειας έχει θετική κλίση και η δύναμη είναι αρνητική, δηλαδή έχει την τάση να ε'λξει πληmέστερα τα άτομα. Σε μικρότερες αποστάσεις, η συνάρτηση δυναμικής ενέργειας έχει αρνητική κλίση και η δύναμη είναι θετική, δηλαδή έχει την τάση να ωθήσει μακρύτερα τα άτομα. Μία θέση ευσταθούς ισορροπίας αντιστοιχεί πάντα σε ένα ελάχιστο της συνάρτησης δυναμικής ενέργειας.

1 90

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΔΙΑΤΉΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

τος δεν είναι το έργο, με αρνητικό πρόσημο, που παράγεται επί του αυτοκινήτου. Άρα υπάρ­ χει μια μείωση της κινητικής ενέργειας του αυτοκινήτου, αλλά δεν υπάρχει καμιά αντίστοι­ χη αύξηση της κινητικής ενέργειας του οδοστρώματος. Πού λοιπόν πηγαίνει η ενέργεια; Τονίσαμε ήδη στο Εδάφιο 7-4 ότι η μηχανική ενέργεια δεν διατηρείται στην περί­ πτωση αυτή. Οι επιφάνειες γίνονται θερμότερες, και η αντιστοιχούσα ενέργεια που με­ ταφέρεται στα υλικά ονομάζεται εσωτερική ενέργεια. Σε επόμενο κεφάλαιο θα μελετή­ σουμε λεπτομερώς την εσωτερικη ενέργεια και τη σχέση της με τις θερμοκρασιακές αλ­ λαγές, τη θερμότητα και το έργο· Στη σχέση αυτή βασίζεται η περιοχή της φυσικής που ο­ νομάζεται θερμοδυναμική. Το τελευταίο μας παράδειγμα αναφέρεται στη ρίψη ενός κιβωτίου επί ενός κινού­ μενου ιμάντος μεταφοράς. Αν το κιβώτιο ρίπτεται από ένα πολύ χαμηλό αρχικό ύψος, ου­ σιαστικά ηρεμεί τη στιγμή που έρχεται σε επαφή με τον ιμάντα. Αρχικά ολισθαίνει, τελικά όμως αποκτά την ίδια ταχύτητα με τον ιμάντα. Με τον τρόπο αυτό το κιβώτιο αποκτά κινη­ τική ενέργεια, και κάποια δύναμη πρέπει να δρα στο κιβώτιο, παράγοντας θετικό έργο επ' αυτού, για να του προσδωσει αυτήν την κινητική ενέργεια. Ποια είναι αυτή η δύναμη; Ασφαλώς η απάντηση πρέπει να είναι «η δύναμη τριβής, που ασκεί ο ιμάντας στο κιβώτιο»· αυτή είναι η μόνη οριζόντια δύναμη που δρα στο κιβώτιο. Άρα νά μια περίπτω­ ση όπου μια δύναμη τριβής σε ένα κινούμενο σώμα παράγει θετικό έργο στο σώμα και αυξάνει την κινητική του ενέργεια. Το ίδιο συμβαίνει και όταν ένα φορτηγό αυτοκίνητο τίθεται σε κίνηση επιταχυνόμενο από την ηρεμία. Αν ένα κιβώτιο βρίσκεται μέσα στο φορτηγό, η δύναμη που προσδίδει στο κιβώτιο την επιτάχυνσή του προς τα εμπρός και ε­ παυξάνει την κινητική του ενέργεια είναι και πάλι η δύναμη τριβής που ασκείται στο κι­ βώτιο, προερχόμενη στην περίπτωση αυτή από το κινούμενο δάπεδο του φορτηγού. Έχουμε συνηθίσει να θεωρούμε κινούμενα σώματα που επιβραδύνονται και ακινητοποι­ ούνται εξαιτίας των δυνάμεων τριβής, εδώ όμως πρόκειται για δύο παραδείγματα στα ο­ ποία οι δυνάμεις τριβής παράγουν θετικό. έργο και αυξάνουν την κινητική ενέργεια των σωμάτων στα οποία υφίστανται l:ις δυνάμεις αυτές. Εντούτοις παραμένουμε με την ενοχλητική αίσθηση ότι θα έπρεπε κατά κάποιο τρόπο οι δυνάμεις τριβής να καταναλίσκουν ή να «διασκορπίζουν» μηχανική ενέργεια. Μήπως δεν λιπαίνουμε τα ρουλεμάν (τριβείς) και τις επιφάνειες ολίσθησης για να ελατ­ τώσουμε την τριβή και να τα καταστήσουμε αποδοτικότερα; Αυτό είναι γενικά σωστό. Επιστρέφοντας στον ιμάντα μεταφοράς, ας θεωρήσουμε το έργο που παράγεται επί του ι­ μάντας από τη δύναμη τριβής που ασκείται στον ιμάντα από το κιβώτιο. Το έργο αυτό εί­ ναι αρνητικό, επειδή η δύναμη στον ιμάντα έχει κατεύθυνση αντίθετη από την κατεύθυν­ ση της κίνησής του. Σύμφωνα με τον τρίτο νόμο του Νεύτωνα οι δύο δυνάμεις αυτές έχουν ίσα μέτρα. Επιπλέον, κατά τη διάρκεια της ολίσθησης του κιβωτίου, ο ιμάντας καλύπτει απόσταση μεγαλύτερη από την απόσταση που καλύπτει το κιβώτιο· άρα το αρνητικό έργο που παράγεται επί του ιμάντας από το κιβώτιο έχει μεγαλύτερο μέτρο από το θετικό έργο που παράγεται επί του κιβωτίου από τον ιμάντα. Άρα το ολικό έργο που παράγεται από τις δύο αυτές δυνάμεις είναι αρνητικό. Πράγματι λοιπόν προκύπτει μια καθαρή απώλεια μηχανικής ενέργειας κατά τη διαδικασία των ανταλλαγών ενέργειας που περιγράψαμε. Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, υπάρχει μια αντίστοιχη αύξηση της εσωτερικής ενέρ­ γειας των υλικών, που γίνεται αντιληπτή από την ανύψωση της θερμοκρασίας τους. Παρά τις δυσχέρειες αυτές, παραμένει ακριβές το ότι, σε κάθε σύστημα που μπο­ ρεί να παρασταθεί επαρκώς ως ένα κινούμενο υλικό σημείο, η ολική μεταβολή της κινη­ τικής του ενέργειας σε κάθε διεργασία είναι πάντοτε ίση με το συνολικό έργο που παρή­ χθη από όλες τις ασκούμενες δυνάμεις στο σύστημα. Δυσχέρειες εμφανίζονται στην πρά­ ξη μόνο όταν το σύστημα συνίσταται από πολλές αλληλεπιδρώσες μάζες. ΣΥΝΟΨΗ • Το έργο που παράγεται επί ενός σωματίου σε ένα ομοιόμορφο (ομογενές) βαρυτι­ ως κό πεδίο μπορεί να παρασταθεί συναρτήσει μιας δυναμικής ενέργειας =

U

mgy

(7-1)

• Όταν ασκούνται σε ένα σώμα βαρυτικές καιάλλες δυνάμεις, το έργο Wothcr πουπα­ ράγεται από τις δυνάμεις που δεν είναι βαρυτικές ισούται με τη συνολική μεταβολή στο άθροισμα της κινητικής ενέργειας και της βαρυτικήςδυναμική ς ενέργειας:

(7-7)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

191

Το άθροισμα υ = Ε ονομάζεται ολική μηχανική ενέργεια. Το έργο που παράγεται από ένα τεταμένο ή συμπιεσμένο ελατήριο, το οποίο ασκεί μία δύναμη Fx = -kx σε ένα σωμάτιο, όπου χ είναι το μέγεθος της έκτασης ή της συ­ μπίεσης, μπορεί να παρασταθεί συναρτήσει μιας συνάρτησης δυναμικής ενέργειας •

•

Κ+

υ = � kx2:

(7-10)

Αν στο σώμα ασκούνται και άλλες δυνάμεις τότε το έργο των άλλων δυνάμεων ισού­ ται με την ολική μεταβολή στο άθροισμα της κινητικής ενέργειας και της ελαστικής δυναμικής ενέργειας: (7-13)

• Ή εξίσωση (7-13) ισχύει και όταν συνυπάρχουν ελαστικές και βαρυτικές δυνάμεις. Σε αυτές τις περιπτώσεις το υ είναι η ολική δυναμική ενέργεια, βαρυτική και ελαστι­ κή. Όταν δεν υπάρχουν άλλες δυνάμεις που παράγουν έργο στο σώμα, εκτός από τις ελαστικές και τις βαρυτικές δυνάμεις, τότε ff'ιοι = και η ολική ενέργεια Ε = υ διατηρείται ή είναι σταθερή: (7-11 )

Ο

Κ+

όπου το υ συμπεριλαμβάνει εν γένει και τη βαρυτική και την ελαστική δυναμική ενέρ­ γεια. • Μια διατηρητηκή δύναμη είναι μια δύναμη για την οποία η σχέση έργου-ενέργειας εCναι πλήρως aντιστρεπτή. Το έργο μιας διατηρητικής δύναμης μπορεί πάντα να πα­ ρασταθεί συναρτήσει μιας δυναμικής ενέργειας, ενώ για το έργο μιας μη διατηρητι­ κής δύναμης δεν υπάρχει αυτή η δυνατότητα. • Για κίνηση κατά μ1Ίκος μιας ευθείας γραμμής, μια διατηρητική δύναμη Fx και η συ­ σχε:rισμένη με αυτήν δυναμική ενέργεια συνδέονται μέσω της εξίσωσης:

V(x)

dυ Fx(x) = - dX .

(7-15)

• Σε τρεις διαστάσεις, όπου το V είναι συνάρτηση των χ, y και z, οι συνιστώσες της δύναμης είναι au aυ (7-16) F, = -τz · Fx = - ax ,

ή, σε διανυσματική μορφή,

F=

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

_

( aυax ; + aυay j + aυaz k)

=

_

v u.

(7-17)

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Εδάφιο 7-2 Βαρυτική δυναμική ενέργεια 7-1 Πόση είναι η δυναμική ενέργεια ενός ανελκυστήρα μάζας 600 kg στο ψηλότερο σημείο του Empire State Building*, 380 m πάνω από το επίπεδο του οδοστρώματος; Υποθέστε ότι η δυναμι­ κή ενέργεια είναι μηδέν στο επίπεδο του οδοστρώματος. 7-2 Ένας σάκκος με αλεύρι μάζας 4,00 kg ανυψώνεται κάθε­ τα με σταθερή ταχύτητα 4,00 m/s καλύπτοντας καθ' ύψος απόσταση 12,0 m. a) Πόση δύναμη απαιτείται για την ανύψωση; b) Πόσο έργο παράγεται επί του σάκκου από την ανυψώνουσα δύναμη; Σε ποιό μέγεθος απολήγει εν τέλει το έργο αυτό; 7-3 Μια μπάλα του μπέιζμπολ ρίχνεται από τη στέγη ενός κτι­ ρίου ύψους 27,5 m με αρχική ταχύτητα μέτρου 1 8,5 m/s και με κα­ τεύθυνση που σχηματίζει γωνία 37,0' πάνω από την οριζόντια κα­ τεύθυνση. a) Πόση είναι η ταχύτητα της μπάλας ακριβώς πριν από την πρόσκρουσή της στο έδαφος; Χρησιμοποιήστε την ενεργειακή μέθοδο. b) Ποια είναι η απάντηση στο (a), αν η αρχική ταχύτητα σχηματίζει γωνία 37,0' κάτω από την οριζόντια κατεύθυνση; ' Πρόκειται γ ια έναν ονομαστό ουρανοξύστη στην πόλη τη ς Νέας Υόρκης (έτος κατασκευής 1 930), το ψηλότερο κτίριο του κόσμου ώς το 1 973 (ΣτΜ).

ΣΧΗΜΑ 7-23

192

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΔΙΑΤΉΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

Ένας ταχυδρομικός σάκκος μάζας 120 kg αναρτάται στο άκρο ενός κάθετου σχοινιού μήκους 8,0 m. a) Πόση οριζόντια δύνα­ μη απαιτείται για να συγκρατήσει το σάκκο μετατοπισμένο πλαγίως κατά 4,0 m από την αρχική του θέση (Σχ. 7-23); b) Πόσο έργο πα­ ράγεται από τον μεταφορέα κατά την μετακίνηση του σάκκου ώς την τελική του θέση; 7-4

1,8 m/s ΣΧΗΜΑ 7-24

Β

7-5 Ένας μικρός λίθος μάζας 0,10 kg αφήνεται από την ηρε­ μία στο σημείο Α, το οποίο βρίσκεται στο ψηλότερο σημείο του ε­ σωτερικού χείλους μιας ημισφαιρικής λεκάνης ακτίνας R = 0,50 m (Σχ. 7-24). Όταν ο λίθος φθάσει στο σημείο Β, στον πυθμένα της λεκάνης, μετρείται η ταχύτητά του, που βρίσκεται ίση προς 1,8 m/s. Υπολογίστε το έργο που παράγεται από την τριβή επί του λίθου κα­ τά την μετακίνησή του από το σημείο Α στο σημείο Β. (Σημείωση: Η δύναμη τριβής δεν είναι σταθερή. Μπορείτε εύκολα να βρείτε το έργο της τριβής όχι όμως και τη δύναμη της τριβής). 7-6 Ένας μικρός λίθος μάζας m προσδένεται στο άκρο ενός άμαζου σώματος μήκους 0,60 m ώστε να σχηματιστεί ένα εκκρεμές. Το εκκρεμές ταλαντώνεται, σχηματίζοντας μέγιστη γωνία 60• από την κατακόρυφο. Πόση είναι η ταχύτητα του λίθου όταν το τεντωμέ­ νο νήμα διέρχεται από την κατακόρυφο; 7-7 Ένας φούρνος μικροκυμάτων μάζας 12,0 kg ωθείται προς τα πάνω κατά μήκος ενός κεκλιμένου επιπέδου μεταφόρτωσης που βρίσκεται υπό κλίση 3Τ πάνω από το οριζόντιο επίπεδο. Η ( σταθε­ ρή) ωστική δύναμη F έχει μέτρο 120 Ν και ασκείται σε κατεύθυνση παράλληλη προς το κεκλιμένο επίπεδο. Ο συντελεστής κινητικής τριβής μεταξύ του φούρνου και του κεκλιμένου επιπέδου είναι 0,25. a) Πόσο έργο παράγεται από τη δύναμη F επί του φούρνου; b) Πό­ σο έργο παράγεται από τη δύναμη τριβής; c) Υπολογίστε την ε­ παύξηση της δυναμικής ενέργειας του φούρνου κατά την κίνησή του. d) Χρησιμοποιήστε τις απαντήσεις σας στα ερωτήματα (a), (b) και (c) για να υπολογίσετε την αύξηση της κινητικής ενέργειας του φούρνου. e) Χρησιμοποιήστε τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα ΣF = ma για να υπολογίσετε την ταχύτητά του όταν ο φούρνος καλύψει 16,0 m μετακίνησης. Από το στοιχείο αυτό λογαριάστε την αύξηση που επιτεύχθηκε στην κινητική ενέργεια του φούρνου, και συγκρί­ νετε με την απάντηση που δώσατε στο ερώτημα ( d).

Εδάφιο 7-3 Ελαστ ική δυναμική ενέργεια 7-8 Ένα ελατήριο έχει σταθερά k = 300 N/m. Βρείτε το μήκος της έκτασης του ελατηρίου που αντιστοιχεί σε απόθεμα δυναμικής ενέργειας 80,0 J στο ελατήριο. 7-9 Μια δύναμη 1400 Ν εκτείνει ένα συγκεκριμένο ελατήριο κα­ τά 0,100 m. a) Πόση είναι η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου, ό­ ταν αυτό έχει εκταθεί κατά 0,100 m; b) Πόση είναι η δυναμική του ενέργεια, όταν το ελατήριο έχει συμπιεστεί κατά 0,050 m; Π ΡΟ ΒΛΗΜΑΤΑ

Εδάφιο 7-5 Δύναμη και δυναμική ενέργεια * 7-14 Μια δύναμη έχει κατεύθυνση παράλληλη προς τον άξονα χ και ασκείται σε σωμάτιο που κινείται κατά μήκος αυτού του άξο­ να. Η δύναμη αυτή παράγει δυναμική ενέργεια U(x) της μορφής U(x) = αχ3 , όπου α = 2,5 J/m3 .Βρείτε τη δύναμη (το μέτρο και τη διεύθυνσή της) όταν το σωμάτιο βρίσκεται στη θέση χ = 1,20 m. * 7-15 Η δυναμική ενέργεια ενός ζεύγους ατόμων υδρογόνου σε μεγάλη απόσταση μεταξύ τους δίνεται από τη σχέση U(x) = -C6 /x6 όπου C6 είναι μια θετική σταθερά. Βρείτε τη δύναμη που ασκεί το ένα άτομο στο άλλο. Η δύναμη αυτή είναι ελκτική ή απωστική; * 7-16 Ένα αντικείμενο που κινείται στο επίπεδο.χy υφίσταται μια διατηρητική δύναμη που περιγράφεται από τη συνάρτηση δυναμικής ενέργειας U(x, y) = α (1/χ + l,ly). Να βρείτε μια έκφραση για τη δύ­ ναμη διατυπωμένη συναρτήσει των μοναδιαίων διανυσμάτων i και j. * 7-1 7 Ένα αντικείμενο που κινείται στο επίπεδο xy υφίσταται μια διατηρητική δύναμη που περιγράφεται από τη συνάρτηση δυ­ ναμικής ενέργειας U(x, y) = k(x' + y') + k xy . Να βρείτε μια έκ­ φραση για τη δύναμη διατυπωμένη συναρτήσει των μοναδιαίων διανυσμάτων i και j. * 7-18 Ένας βώλος κινείται κατά μήκος του άξονα χ σε συνάρτηση δυναμικής ενέργειας που παρουσιάζεται στο Σχ. 7-25. (τα κρίσιμα σημεία-{J'Ι)ντεταγμένες του άξονα χ έχουν χαρακτηριστεί με γράμμα­ τα στο Σχ. 7-25). a) Σε ποιά από τα σημεία α, b, c, d η δύναμη που υφίσταται ο βώλος είναι μηδέν; b) Ποιο σημείο είναι θέση ευστα­ θούς ισορροπίας; c) Ποιο σημείο είναι θέση aσταθούς ισορροπίας;

,

'

U(x)

ΣΧΗΜΑ 7-25

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Ένας άνδρας μάζας 65,0 kg κάθεται σε επίπεδη βάση που αναρτάται από κινητή τροχαλία, όπως φαίνεται στο Σχ. 7-26, και a­ νυψώνει τον εαυτό του με σταθερή ταχύτητα με τη βοήθεια ενός σχοινιού που διέρχεται από άλλη στερεωμένη τροχαλία. Η βάση 7-19

7-10 Μια δύναμη 820 Ν εκτείνει ένα συγκεκριμένο ελατήριο κα­ τά απόσταση 0,150 m. Πόση είναι η δυναμική του ενέργεια όταν μια μάζα 60,0 kg αναρτηθεί κατακόρυφα από το ελατήριο; 7-1 1 Ένα βιβλίο μάζας 120 kg ρίπτεται από ύψος 0,40 m πάνω σε ένα ελατήριο σταθεράς k = 1960 N/m. Ναβρείτε το μέγιστο μή­ κος κατά το οποίο θα συμπιεστεί το ελατήριο. 7-12 Μια σφεντόνα εκσφενδονίζει ένα βότσαλο μάζας 10 g κα­ τακόρυφα προς τα πάνω σε ύψος 35,0 m. a) Πόση δυναμική ενέρ­ γεια έχει εγκλεισθεί στο λάστιχο της σφεντόνας; b) Αν θεωρήσου­ με ότι η ίδια ποσότητα δυναμικής ενέργειας έχει διατηρηθεί στο λάστιχο, σε πόσο ύψος μπορεί η σφεντόνα να εκσφενδονίσει ένα βότσαλο μάζας 20 g; 7-13 Ένα τούβλο μάζας 0,600 kg τοποθετείται πάνω σε κατακό­ ρυφο ελατήριο σταθεράς k = 500 N/m, το οποίο ταυτόχρονα συ­ μπιέζεται συνολικά κατά 0,20 m. Βρείτε το μέγιστο ύψος από την αρχική του αυτή θέση, στο οποίο φθάνει το τούβλο αν αφεθεί ελεύ­ θερο. (Δεν υπάρχει κανενός είδους πρόσφυση (π.χ. κόλληση) μετα­ ξύ τούβλου και ελατηρίου. Το ελατήριο έχει αμελητέα μάζα).

και οι τροχαλίες έχουν αμελητέα μάζα. Υποθέστε ότι δεν υπάρχουν απώλειες λόγω τριβών. a) Βρείτε τη δύναμη που πρέπει να εξασκεί ο άνδρας. b) Βρείτε την αύξηση της ενέργειάς του, καθώς αυτός a­ νυψώνει τον εαυτό του κατά 1,50 m. (Απαντήστε υπολογίζοντας αρ-

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

193

νης τροχιάς που φαίνεται στο Σχ. 7-29. Ξεκινά, ενώ ηρεμεί αρχικά, από το σημείο Α, σε ύψος h πάνω από το κατώτατο σημείο της τρο­ χιάς. a) Ποια είναι η ελάχιστη τιμή του h (συναρτήσει του R), ώστε το αμαξάκι να ολοκληρώσει την ανακύκλωση χωρίς να διακινδυ­ νεύσει πτώση στο ψηλότερο σημείο της τροχιάς (σημείο Β); b) Αν h = 3,50 χ R και R = 30,0 m, υπολογίστε την ταχύτητα, την ακτινική επιτάχυνση και την εφαπτομενική επιτάχυνση των επιβατών όταν το αμαξάκι βρίσκεται στο σημείο C, που αντιστοιχεί στο άκρο μιας οριζόντιας διαμέτρου. Δείξτε τις επιταχύνσεις αυτές σε ένα διά­ γραμμα, κατά προσέγγιση υπό κλίμακα.

ΣΧΗΜΑ 7-26

χικά την αύξηση της δυναμικής του ενέργειας, καθώς και λογαριά­ ζοντας το γινόμενο της δύναμης στο σχοινί επί το μήκος του σχοινι­ ού που διέρχεται μέσα από τα χέρια του). 7-20 Ένα σώμα μάζας 2,00 kg ωθείται συμπιέζοντας ένα ελατή­ ριο σταθεράς k = 400 N/m κατά 0,220 m. Όταν το σώμα αφήνεται ελεύθερο, κινείται κατά μήκος μιας οριζόντιας επιφάνειας χωρίς τριβή και στη συνέχεια ανέρχεται κατά μήκος μιας επικλινούς επι­ φάνειας με κλίση 37,0" (Σχ. 7-27). Υποθέστε ότι οι επιφάνειες δεν εξασκούν τριβή στο κινούμενο σώμα. a) Πόση είναι η ταχύτητα του σώματος καθώς ολισθαίνει κατά μήκος της οριζόντιας επιφάνειας αφού χάσει την επαφή του με το ελατήριο; b) Πόση απόσταση κα­ λύπτει ανερχόμενο το σώμα στην επικλινή επιφάνεια, πριν αρχίσει να ολισθαίνει και πάλι προς τα κάτω;

m =

ΣΧΗΜΑ 7-27

37,0"

7-21 Ένα σώμα μάζας 0,50 kg ωθείται συμπιέζοντας ένα οριζό­ ντιο ελατήριο αμελητέας μάζας κατά μία απόσταση 0,20 m (Σχ. 7-28). Όταν αφεθεί ελεύθερο το σώμα, κινείται κατά μήκος της ο­ ριζόντιας επιφάνειας ενός τραπεζιού καλύπτοντας απόσταση 1,00 m πριν ακινητοποιηθεί. Η σταθερά ελατηρίου k είναι 100 N/m. Πό­ σος είναι ο συντελεστής κινητικής τριβής μk μεταξύ του σώματος και του τραπεζιού; 7-22 Εκτέλεση κάθετης ανακύκλωσης (Loop-the­ loop, Ιοοpίηg-λούπινγκ) σε λούνα παρκ Ένα αμαξάκι σε λούνα-παρκ κυλάει χωρίς τριβές κατά μήκος της ανακυκλούμεm =

I �0,20 m Γ--- 1,00 m --------1 ΣΧΗΜΑ 7-28

7-23 Το σύστημα του Σχ. 7-30 αφήνεται από την ηρεμία, ενώ το σώμα μάζας 12,0 kg βρίσκεται σε ύψος 2,00 m πάνω από το δάπε­ δο. Χρησιμοποιήστε την αρχή διατήρησης της ενέργειας για να βρείτε την ταχύτητα με την οποία το σώμα προσκρούει στο έδαφος. Αγν01jστε τις τριβές καθώς και την αδράνεια της τροχαλίας.

2,00 kg

f-E-- 0,220 m --1

k = 100 N/m

ΣΧΗΜΑ 7-29

0,50 kg

ΣΧΗΜΑ 7-30

7-24 a) Μια χιονοδρόμος (σκιέρ) μάζας 80,0 kg ξεκινά από την ηρεμία στην κορυφή μιας επικλινούς παγοδρομικής πίστας ύψους 75,0 m. Υποθέτοντας αμελητέες τριβές μεταξύ των χιονοπεδίλων (σκι) και του χιονιού, βρείτε την ταχύτητα με την οποία κινείται η χιονοδρόμος στη βάση της πίστας. b) Στη συνέχεια η χιονοδρόμος, κινούμενη στο οριζόντιο επίπεδο, διασχίζει μια χιονοσκεπή περιο­ χή με ανώμαλη επιφάνεια όπου ο μk = 0,20. Αν η περιοχή έχει εύ­ ρος 225 m, πόση είναι η ταχύτητά της όταν έχει πλέον διαπεράσει την περιοχή αυτή; c) Η χιονοδρόμος προσκούει σε ακίνητη χιονο­ στιβάδα, στην οποία η σκιέρ εισχωρεί κατά 2,5 m πριν ακινητοποιη­ θεί. Πόση είναι η μέση δύναμη που ασκείται στη χιονοδρόμο από τη χιονοστιβάδα καθώς η χιονοστιβάδα ανακόπτει την ταχύτητά της; 7-25 Μια χιονοδρόμος (σκιέρ) εκκινεί από την κορυφή μιας πολύ μεγάλης aτριβούς χιονόσφαιρας με πολύ μικρή αρχική ταχύ­ τητα και χιονοδρομεί ευθύδρομα προς τα κάτω ακολουθώντας τη συντομότερη διαδρομή (Σχ. 7-31). Σε ποιο σημείο της τροχιάς της χάνει την επαφή της με τη χιονόσφαιρα και συνεχίζει την κίνησή

I I I I I I I I I I I I I I I

:

! θ :� //

:

I I ' I I

I I I

! / / ι

/ /

/

/ / /

' '

/

///

/

/

/

νει κατά μήκος του κυκλικού τόξου από το σημείο Α ως το σημείο Β; 7-30 Μία μεταβλητή δύναμη F διατηρείται εφαπτομενική κατά μήκος μιας aτριβούς σφαιρικής επιφάνειας ακτίνας α (Σχ. 7-33). Επιβάλλοντας βραδεία μεταβολή (του μέτρου) της δύναμης, ένα σώμα βάρους w κινείται κατά μήκος της επιφάνειας, ενώ το ελατή­ ριο, στο άκρο του οποίου έχει προσκολληθεί το σώμα, εκτείνεται από τη θέση 1 στη θέση 2. Υπολογίστε το έργο που παράγεται από τη δύναμη Ρ.

/

' /

2

ΣΧΗΜΑ 7-3 1

α

της στην κατεύθυνση της εφαπτομένης στο τόξο που έχει ήδη κα­ λύψει η χιονοδρόμος; Πρέπει να βρείτε, δηλαδή, τη γωνία θ που σχηματίζει μια ακτινική ευθεία από το κέντρο της χιονόσφαιρας προς τη χιονοδρόμο τη χρονική στιγμή της απώλειας της επαφής της με τη χιονόσφαιρα. 7-26 Μια ράβδος μήκους ενός μέτρου έχει τη δυνατότητα να πε­ ριστρέφεται περί οριζόντιο άξονα διερχόμενο δια του μέσου της και φέρει ένα μεταλλικό σφιγκτήρα μάζας 3,00 kg προσαρτημένο στο έ­ να άκρο της καθώς και ένα άλλο σφιγκτήρα μάζας 2,00 kg προσαρ­ τημένο στο άλλο της άκρο. Η μάζα της ράβδου μπορεί να αγνοηθεί. Το σύστημα αφήνεται ελεύθερο, ενώ ηρεμεί, με τη ράβδο παράλλη­ λη προς την οριζόντια διεύθυνση. Πόση είναι η ταχύτητα κάθε σφι­ γκτήρα όταν η ράβδος διέρχεται από μια κατακόρυφη θέση; 7-27 Μια μπάλα μάζας 0,500 kg προσδένεται σε νήμα μήκους 2,00 m, ενώ το άλλο άκρο του νήματος προσδένεται σε ακλόνητο στήριγμα. Η μπάλα συγκρατείται οριζόντια σε σχέση με το ακλόνη­ το στήριγμα, με το νήμα τεντωμένο, και στη συνέχεια αφήνεται ε­ λεύθερη. a) Πόση είναι η ταχύτητα της μπάλας στο κατώτατο σημείο της κίνησής της; b) Πόση είναι η τάση του νήματος στο σημείο αυτό; 7-28 Μια πέτρα προσδένεται σε σχοινί, ενώ το άλλο άκρο του σχοινιού διατηρείται στερεωμένο σε σταθερή θέση. Προσδίδουμε στην πέτρα μια αρχική εφαπτομενική ταχύτητα που τη θέτει σε πε­ ριστροφή κατά μήκος της περιφέρειας κατακόρυφου κύκλου. Απο­ δείξτε ότι η τάση του σχοινιού στο κατώτατο σημείο της τροχιάς της πέτρας είναι μεγαλύτερη από την τάση του στο ανώτατο σημείο της τροχιάς της κατά το [μέγεθος που ισοδυναμεί με το] εξαπλάσιο του βάρους της πέτρας. 7-29 Σε ένα σταθμό μεταφόρτωσης φορτηγών αυτοκινήτων ενός κτηρίου της ταχυδρομικής υπηρεσίας ένα δέμα μάζας 2,00 kg αφή­ νεται ελεύθερο, ενώ ηρεμεί, στο σημείο Α για να ακολουθήσει δια­ δρομή επί τόξου τεταρτημορίου κύκλου ακτίνας 1,60 m (Σχ. 7-32). Ολισθαίνει κατερχόμενο κατά μήκος της διαδρομής αυτής και φθά­ νει στο σημείο Β με ταχύτητα 4,00 rn/s. Αρχίζοντας από το σημείο Β, ολισθαίνει κατά μήκος μιας ισόπεδης επιφάνειας καλύπτοντας από­ σταση 3,00 m ως το σημείο C, όπου ακινητεί. a) Ποιος είναι ο συ­ ντελεστής κινητικής τριβής στην οριζόντια επιφάνεια; b) Πόσο έργο παράγεται επί του δέματος από την τριβή, καθώς το δέμα ολισθαίΣΧΗΜΑ 7-32

m = 2,00 kg D

I
j

C

_____ Δ_

Αρχ ικ ό μήκος ε λατηρ ίου

ΣΧΗΜΑ 7-33

7-3 1 Ένας μικρός κύβος πάγου μάζας 0,120 kg τοποθετείται στο άκρο ενός συμπιεσμένου ελατηρίου προσαρτημένου σε οριζό­ ντια επιφάνεια τραπεζιού που απέχει 1,90 m πάνω από το δάπεδο. Το ελατήριο έχει σταθερά Κ = 2940 N/m και είναι αρχικά συμπιε­ σμένο κατά 0,045 m. Το ελατήριο αποδεσμεύεται και ο κύβος πά­ γου ολισθαίνει κατά μήκος του τραπεζιού, φτάνει την περιμετρική άκρη του, την υπερπηδά και κινείται προς το δάπεδο. Αν η τριβή μεταξύ του πάγου και του τραπεζιού είναι αμελητέα, πόση είναι η ταχύτητα του κύβου όταν φθάσει στο δάπεδο; 7-32 Ένας άνδρας μάζας 80,0 kg πηδά από ύψος 2,50 m πάνω σε οριζόντια πλατφόρμα στηριγμένη σε ελατήρια. Καθώς συμπιέ­ ζονται τα ελατήρια, η πλατφόρμα ωθείται προς τα κάτω, καλύπτο­ ντας μια μέγιστη απόσταση 0,200 m κάτω από την αρχική της θέση, και στη συνέχεια αναπηδά. Η πλατφόρμα και τα ελατήρια έχουν αμελητέα μάζα. a) Πόση είναι η ταχύτητα του άνδρα τη στιγμή κα­ τά την οποία η πλατφόρμα έχει υποχωρήσει κατά 0,100 m (από την αρχική της θέση); b) Αν ο άνδρας απλώς πατούσε στην πλατφόρμα με απαλό αλματικό ελιγμό (χωρίς αρχική ταχύτητα) κατά πόση μέ­ γιστη απόσταση θα είχε κατέβει η πλατφόρμα προς τα κάτω; 7-33 Διαπιστώνεται ότι ένα συγκεκριμένο ελατήριο δεν ακο­ λουθεί το νόμο του Hooke αλλά ασκεί μια δύναμη επαναφοράς της μορφής Fx(x) = - αχ - βχ'-, όταν εκτείνεται ή συμπιέζεται κατά μή­ κος χ, όπου α = 70,0 N/m και β = 12,0 N/m'. a) Υπολογίστε τη συ­ νάρτηση δυναμικής ενέργειας U(x) για το ελατήριο αυτό. Υποθέ­ στε ότι U = Ο όταν χ = Ο. b) Ένα αντικείμενο μάζας 2,00 kg προ­ σαρτάται στο άκρο του ελατηρίου αυτού, έλκεται για μήκος 1,00 m προς τα δεξιά πάνω σε οριζόντια aτριβή επιφάνεια και στη συνέ­ χεια αφήνεται ελεύθερο. Πόση είναι η ταχύτητα του αντικειμένου όταν βρίσκεται σε απόσταση 0,50 m δεξιά από τη θέση ισορρο­ πίας, όπου χ = Ο; 7-34 Αν ένα ψάρι συνδεθεί στο άκρο ενός κατακόρυφου ελατη­ ρίου και καταταθεί αργά οδηγούμενο προς τη θέση ισορροπίας του, το ελατήριο εκτείνεται κατά μήκος d. Αν το ίδιο ψάρι συνδε­ θεί με το άκρο του ίδιου (ανέκτατου) ελατηρίου και στη συνέχεια αφεθεί ελεύθερο να πέσει από την ηρεμία, βρείτε το μέγιστο μή­ κος κατά το οποίο εκτείνεται στην περίπτωση αυτή το ελατήριο. (Υπόδειξη: Υπολογίστε πρώτα τη σταθερά του ελατηρίου συναρτή­ σει της απόστασης d και της μάζας m του ψαριού. Η μάζα του ελα­ τηρίου να θεωρηθεί αμελητέα.)

m =

2,00 kg

195

m =

1-----

ΣΧΗΜΑ 7-34

0,60 m

0,500 kg

>IΑ 0,25 -1Β m

7-35 Ένας ξύλινος κύβος μάζας 2,00 kg τοποθετείται στο άκρο ΣΧΗΜΑ 7-35 ενός συμπιεσμένου ελατηρίου στο κατώτατο σημείο ενός επικλι­ νούς επιπέδου με κλίση 37' (σημείο Α). Το ελατήριο, όταν αποδε­ κεια της κίνησης που ακολουθεί, πόση είναι η ελάχιστη απόσταση σμευθεί, εκτοξεύει τον κύβο προς τα πάνω κατά μήκος του επικλι­ προσέγγισης του σώματος στον τοίχο; νούς επιπέδου. Στη θέση Β, που απέχει 6,00 m κατά την κατεύθυν­ ση της aνωφέρειας του επικλινούς επιπέδου από το σημείο Α, ο * 7-38 Ένα αντικείμενο κινείται κατά μήκος του άξονα χ ενώ α­ κύβος έχει ταχύτητα μέτρου 4,00 m/sec, με διεύθυνση παράλληλη σκείται σ' αυτό μια και μόνη διατηρητική δύναμη παράλληλη προς τον άξονα χ. Η δύναμη αντιστοιχεί στη συνάρτηση δυναμικής ε­ προς το κεκλιμένο επίπεδο και φορά προς τα πάνω. Ο συντελε­ νέργειας που απεικονίζεται στο Σχ. 7-36. Το αντικείμενο αφήνε­ στής κινητικής τριβής μεταξύ του κύβου και της aνωφέρειας είναι ται από το σημείο Α, όπου αρχικά ηρεμεί. a) Ποια είναι η κατεύ­ μk = 0,50. Υπολογίστε την ποσότητα της δυναμικής ενέργειας που θυνση της δύναμης στο σώμα όταν αυτό βρίσκεται στο σημείο Α ; είχε αρχικά εναποθηκευθεί στο ελατήριο. b) Στο σημείο Β; c) Για ποια τιμή του χ μεγιστοποιείται η κινητική 7-36 Ένα σώμα μάζας 2,00 kg αφήνεται ελεύθερο ενώ βρίσκε­ ενέργεια του σώματος; d) Βρείτε τη δύναμη που ασκείται στο σώ­ ται σε μια κατωφέρεια με κλίση 53• και απέχει 4,00 m από το ά­ μα όταν αυτό βρίσκεται στο σημείο C. e) Ποια είναι η μέγιστη τιμή κρο ενός ελατηρίου μεγάλου μήκους και σταθεράς k = 70,0 N/m του χ στην οποία φθάνει το σώμα κατά τη διάρκεια της κίνησής που έχει προσαρτηθεί στο κατώτατο σημείο της κατωφέρειας (Σχ. του, f) Ποιά ή ποιές τιμές του χ αντιστοιχούν σε σημεία ευσταθούς 7-34). Οι συντελεστές τριβής μεταξύ του σώματος και της κατωφέ­ ισορροπίας; g) Σε σημεία aσταθούς ισορροπίας; ρειας είναι μ, = 0,40 και μk = 0,20. a) Πόση είναι η ταχύτητα του σώματος ακριβώς πριν προσκρούσει στο ελεύθερο άκρο του ελα­ U(x), J τηρίου; b) Πόση είναι η μέγιστη συμπίεση που υφίσταται το ελατή­ ριο; c) Το σώμα αναπηδά προς τα πάνω κατά μήκος της επικλι­ νούς επιφάνειας. Υπολογίστε κατά πόσο το σώμα θα πλησιάσει την αρχική του θέση, δηλαδή το ελάχιστο διάστημα προσέγγισης του σώματος στη θέση από την οποία αφέθηκε αρχικά ελεύθερο. 7-37 Ένα σώμα μάζας 0,500 kg που έχει συνδεθεί με το ελεύ­ θερο άκρο ενός οριζόντιου ελατηρίου μήκους 0,60 m και σταθε­ ράς k = 40,0 N/m βρίσκεται σε ηρεμία στη θέση Α μιας aτριβούς οριζόντιας επιφάνειας (Σχ. 7-35). Μια σταθερή οριζόντια δύναμη F = 20,0 Ν ασκείται στο σώμα και μετακινεί το σώμα προς τα δε­ ξιά κατά μήκος της επιφάνειας. a) Πόση είναι η ταχύτητα του σώ­ ματος όταν αυτό φθάσει στο σημείο Β, που βρίσκεται σε απόστα­ ση 0,25 m δεξιά του σημείου Α ; b) Όταν το σώμα φθάσει στο ση­ μείο Β, η δύναμη F αιφνιδίως παύει να ασκείται. Κατά τη διάρΣΧΗΜΑ 7-36 ΠΙΟ ΣΥΝΘΕΤΑ ΠΡΟΒΛΉΜΑΤΑ 7-39 Σε ένα αντικείμενο ασκούνται πολλές δυνάμεις. Μια από αυτές είναι η F = -αχ/j, που κατευθύνεται προς την κατεύθυνση -y, ενώ το μέτρο της εξαρτάται από τη θέση του αντικειμένου, η δε σταθερά α = 3,00 N/m3• Θεωρήστε την μετατόπιση του αντικειμέ­ νου από την αρχή των αξόνων ως το σημείο χ = 2,00 m, y = 2,00 m. a) Υπολογίστε το έργο που παράγεται από τη δύναμη F επί του α­ ντικειμένου αν η μετατόπιση αυτή γίνεται κατά μήκος της ευθείας y = χ που συνδέει τα δύο αυτά σημεία. b) Υπολογίστε το έργο που παράγεται από τη δύναμη F επί του αντικειμένου αν η μετατόπιση αυτή πραγματοποιείται ως εξής: το αντικείμενο κινείται αρχικά a­ πομακρυνόμενο κατά μήκος του άξονα χ ως το σημείο χ = 2,00 m, y = Ο και στη συνέχεια ακολουθεί πορεία παράλληλη προς τον ά­ ξοναy ως το σημείο χ = 2,00 m, y = 2,00 m. c) Συγκρίνετε το έργο που παρήγαγε η F κατά μήκος των δύο αυτών δρόμων. Μπορείτε να αποφανθείτε αν η δύναμη F είναι διατηρητική ή μη διατηρητική; * 7-40 Ένα σωμάτιο μάζας m κινείται μονοδιάστατα μέσα σε μια συνάρτηση δυναμικής ενέργειας που έχει τη μορφή U(x) = αz - /}__ χ χ

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Το σωμάτιο αφήνεται ελεύθερο, ενώ αρχικά ηρεμεί, από τη θέση χ0 = α/β. a) Αποδείξτε ότι η U(x) μπορεί να λάβει τη μορφή

Σχεδιάστε την U(x). Υπολογίστε το U(x0) και εξ αυτού εντοπίστε το σημείο χ0 στο γράφημά σας. b) Να εξαγάγετε η συνάρτηση υ(χ), δη­ λαδή την ταχύτητα του σωματίου ως συνάρτηση της θέσης του. Παρα­ στήστε γραφικά το υ ως συνάρτηση του χ, και περιγράψτε ποιοτικά την κίνηση του σωματίου. c) Για ποια τιμή του χ μεγιστοποιείται η τα­ χύτητα του σωματίου; Πόση είναι η μέγιστη αυτή ταχύτητα; d) Βρείτε τη δύναμη στο σωμάτιο στο σημείο όπου μεγιστοποιείται η ταχύτητά του. e) Τώρα θεωρήστε ότι το σωμάτιο δεν αφήνεται ελεύθερο στο σημείο χ0, αλλά στο σημείο χ1 = 3(α!β). Εντοπίστε το σημείο χ, στη γραφική παράσταση της U(x). Να εξαγάγετε και πάλι την υ(χ), και να περιγράψετε ποιοτικά την κίνηση του σωματίου. f) Σε κάθε μία α­ πό τις δύο αυτές περιπτώσεις -δηλαδή τόσο όταν το σωμάτιο αφήνε­ ται από τη θέση χ = χ0 , όσο και όταν το σωμάτιο αφήνεται από τη θέ­ σηχ = χΓ να βρείτε τις μέγιστες και τις ελάχιστες τιμές του χ που επι­ τυγχάνονται κατά τη διάρκεια της κίνησης του σωματίου.

Pz

Το αποτέλεσμα ιuας σύyκρουσης δύο σωμάτων εξαρτάται από τις ορμές τους. ( Η ορμή ενός σώματος είναι το γινόμενο της μάζας του επί την ταχύτητά του) . Όταν δύο κριάρια συyκρούοντ αι και μnλiκουν τα κέρατά τους, το σύμnλεyμα που δημιοupyάται ιανάται προς nι.ν κατεύθυνση του κριαριού JW nι. μeyalύteρη ορχική ορμή.

Κ Υ Ρ Ι Ε Σ

Ε Ν Ν Ο Ι Ε Σ

• Η ορμή ενός σωματίου, η οποία είναι διανυσματικό μέγεθος, ορίζεται ως το γινόμενο της μάζας του σωματίου επί την ταχύτητά του. • Σε κάθε αλληλεπίδραση δύο ή περισσοτέρων σωματίων, κατά την οποία δεν ασκούνται άλλες δυνάμεις εκτός από εκείνες που ασκεί το ένα σωμάτιο πάνω στο άλλο, η ολική ορμή ( το διανυσματικό άθροισμα των ορμών των σωματίων) είναι σταθερή ή, όπως λέμε , διατηρείται. • Μια κρούση στην οποία η ολική κινητική ενέργεια διατηρείται, ονομάζεται ελαστική κρούση. Όταν η κινητική ενέργεια δεν διατηρείται, η κρούση ονομάζεται μη ελαστική.

• Όταν μια σταθερή δύναμη δρα για κάποιο χρονικό διάστημα, η ώθηση της δύναμης είναι το γινόμενό της επί το χρόνο. Η μεταβολή της ορμής ενός σώματος, ή συστήματος σωμάτων, ισούται με την ολική ώθηση όλων των δυνάμεων που ασκούνται επάνω τους. • Το κέντρο μάζας συστήματος είναι η μέση θέση της μάζας του συστήματος. Η κίνηση του κέντρου μάζας, όταν πάνω στο σύ στημα ασκούνται κάποιες δυνάμεις, είναι η ίδια με αυτήν που θα προέκυπτε αν όλη η μάζα ήταν συγκεντρωμένη στο κέντρο μάζας.

Ε Ι Σ Α Γ Ω Γ Η

ια σφαίρα όπλου και μια μπάλα του μπέιζμπολ έχουν προσεγγιστικά την ίδια κινητική ενέργεια, περίπου εκατό Joule. Ποια θα προτιμούσατε να πιάσετε στον αέρα με το γάντι του μπέιζμπολ; Γιατί; Όταν ένα μεγάλο φορτηγό συγκρούεται μετωπικά με ένα μικρό επιβατικό αυτοκίνητο γιατί είναι πιο πιθανό ότι θα τραυματιστούν οι επιβάτες του μικρού αυτοκινήτου και όχι αυτοί του φορτηγού; Πώς αποφασίζετε πώς να σημαδέψετε μια μπάλα στο μπιλιάρδο; Πώς μπορεί ένας πύραυλος να επιταχύνει ένα διαστημικό λεωφορείο στο διάστημα όπου δεν υπάρχει τίποτε για να κρατήσει κόντρα; Για να απαντήσουμε σε αυτές και άλλες παρόμοιες ερωτήσεις, χρειαζόμαστε δύο νέες έννοιες, της ορμής και της ώθησης, καθώς και ένα νέο νόμο διατήρησης, το νόμο διατήρησης της ορμής. Στην ιεράρχηση των νόμων της φυσικής ο νόμος αυτός είναι τόσο σημαντικός όσο και ο νόμος διατήρησης της ενέργειας. Επίσης, όπως και στην περίπτωση της διατήρησης της ενέργειας, η ισχύς του νόμου εκτείνεται πολύ παραπέρα από τα όρια της κλασικής μηχανικής, για να συμπεριλάβει τη σχετικιστική μηχανική (τη μηχανική των μεγάλων ταχυτήτων) και την κβαντική μηχανική (τη μηχανική των πολύ μικρών συστημάτων). Στην κλασική μηχανική, μας επιτρέπει να εξετάσουμε πολλές περιπτώσεις των οποίων η ανάλυση θα ήταν πολύ δύσκολη αν δοκιμάζαμε να εφαρμόσουμε απευθείας τους νόμους του Νεύτωνα. Ανάμεσα σε αυτές συγκαταλέγονται και τα προβλήματα κρούσης, στα οποία δύο σώματα συγκρούονται και ασκούν, το ένα πάνω στο άλλο, πολύ μεγάλες δυνάμεις για μικρό χρονικό διάστημα. •

197

198

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΟΡΜΗ ΚΑΙ ΩΘΗΣΗ

8-1

ΟΡΜΗ

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Ας έλθουμε αμέσως στο θέμα. Όταν ένα σωμάτιο με μάζα m κινείται με ταχύτητα υ, ορί­ ζουμε την ορμή του ως το γινόμενο της μάζας του επί την ταχύτητά του. Χρησιμοποιώ­ ντας το σύμβολο p για την ορμή, έχουμε p = mv .

(8-1)

Επειδή η ταχύτητα είναι διανυσματικό μέγεθος, η ορμή είναι επίσης διανυσματικό μέγε­ θος. Έχει μέτρο (mυ ) και διεύθυνση (την ίδια με αυτήν του διανύσματος της ταχύτητας). Η ορμή ενός αυτοκινήτου που κινείται προς βορράν με m/s είναι διαφορετική από την ορμή του ιδίου αυτοκινήτου όταν κινείται προς ανατολάς με m/s. Η μπάλα που πετάει ένας παίχτης του μπέιζμπολ σε μια γρήγορη μπαλιά έχει μεγαλύτερη ορμή από την ίδια μπάλα όταν την πετάξει ένα παιδί, γιατί η ταχύτητά της είναι μεγαλύτερη στην πρώτη πε­ ρίπτωση. Ένα φορτηγό που κινείται με 90 km!h έχει μεγαλύτερη ορμή από ένα επιβατι­ κό αυτοκίνητο που έχει την ίδια ταχύτητα, γιατί η μάζα του φορτηγού είναι μεγαλύτερη. Οι μονάδες της ορμής είναι αυτές της μάζας επί ταχύτητα· στο σύστημα SI, οι μονάδες της ορμής είναι kg · m/s. Συχνά θα εκφράζουμε την ορμή ενός σωματίου συναρτήσει των συνιστωσών της. Από την Εξ. (8-1) έπεται πως, αν το σωματίδιο έχει ταχύτητα με συνιστώσες υ. , υΥ και V1 , οι συνιστώσες της ορμής του, Ρχ , pY και Pz , δίνονται από τις σχέσεις

20

20

Pz = mυz .

2

(8- )

Αυτές οι τρεις εξισώσεις των συνιστωσών είναι ισοδύναμες με την Εξ. (8-1). Η σημασία της ορμής πηγάζει από τη στενή σχέση που έχει με τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα, ΣF = ma . Υποθέτουμε προς το παρόν ότι η μάζα m του σωματίου ε ίναι σταθερή. (Αργότερα θα μάθουμε πώς να χειριζόμαστε συστήματα στα οποία η μάζα ενός σώματος μεταβάλλεται). Μπορούμε να επαναδιατυπώσουμε τον δεύτερο νόμο του Νεύ­ τωνα συναρτήσει της ορμής. Κατά πρώτον, α = dv/dt και επομένως =

ΣF

m

dv . dt

Ακολούθως, επειδή η m είναι σταθερή, dv dt

m­

=

d dp dt ( m v) = (j( ·

Συνδυάζοντας τις δύο σχέσεις, επαναδιατυπώνουμε τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα ως ΣF

=

dp . dt

(8-3)

Το διανυσματικό άθροισμα των δυνάμεων που ασκούνται πάνω σε ένα σωμάτιο, είναι ί­ σο με τον ρυθμό μεταβολής της ορμής του με το χρόνο. Αυτή, και όχι η ΣF = ma, είναι

η σύγχρονη διατύπωση του δεύτερου νόμου του Νεύτωνα, ισοδύναμη προς την αρχική του διατύπωση. Ισχύει μόνο σε αδρανειακά συστήματα αναφοράς. Ένα μεγάλο πλοίο, ό­ πως είναι ένα τάνκερ, χρειάζεται μεγάλο χρόνο και τη δράση μεγάλων δυνάμεων για να σταματήσει όταν κινείται με την κανονική του ταχύτητα. Μπορούμε να εξετάσουμε το φαινόμενο αυτό με δύο τρόπους είτε συναρτήσει της μεγάλης μάζας του πλοίου ή, εναλ­ λακτικά, συναρτήσει της τεράστιας ορμής που έχει αυτό όταν κινείται. Τι εννοούμε με τον όρο ολική ορμή δύο σωματίων; Την ορίζουμε απλά ως το διανυ­ σματικό άθροισμα των ορμών των δύο σωματίων. Έστω ότι p 1 και p2 είναι οι ορμές δύο σωματίων και ότι συμβολίζουμε με Ρ την ολική τους ορμή. Τότε, εξ ορισμού, Ρ = Ρ ι + Ρ2

(8-4)

Μπορού με να γενικεύσουμε αυτόν τον ορισμό σε οποιοδήποτε αριθμό σωματίων.

8-1 ΟΡΜΗ

199

Ρ

Η ολική ορμή οποιουδήποτε αριθμού σωματίων είναι ίση με το διανυσματικό άθροι­ σμα των ορμών Ρ; των ξεχωριστών σωματίων.

Συχνά θα χρησιμοποιούμε τη μορφή της Εξ. (8-4) που εκφράζει τις συνιστώσες της ολικής ορμής. Αν Ρχι • Ρy ι και p, 1 είναι οι συνιστώσες της ορμής του πρώτου σωματίου και παρόμοιος συμβολισμός χρησιμοποιηθεί για το δεύτερο, τρίτο και άλλα σωμάτια, τότε η Εξ. (8-4) είναι ισοδύναμη με τις εξισώσεις των συνιστωσών px

= Ρχι + Ρχ2 + .. . , Py = Ρyι + Λ2 + .. . , Ρ, = p,, + Pz2 + . .

(8-5)

·

Είναι απολύτως αναγκαίο να θυμόμαστε ότι η ορμή είναι διανυσματικό μέγεθος. Οι Εξ. (8-1), (8-3) και (8-4) είναι διανυσματικές εξισώσεις. Συχνά θα προσθέτουμε διανύσμα­ τα ορμών χρησιμοποιώντας τις συνιστώσες τους και έτσι όλα όσα έχετε μάθει για τις συ­ νιστώσες των διανυσμάτων θα χρησιμεύσουν και για την ορμή.

- ΠΑΡΑΔΕΙ

Γ

Μ Α 8-1

-------

Προκαταρκτική ανάλυση μιας σύγκρουσης Ένα μι­ κρό αυτοκίνητο με μάζα 1000 kg κινείται προς βορρά στη λεωφόρο Μόργουντ με ταχύτητα 1 5 m/s. Στη διασταύρωση της λεωφόρου Μόργουντ με την Π έμπτη λεωφόρο, συ­ γκρούεται με ένα μεγάλο πολυτελές αυτοκίνητο μάζας 2000 kg που ταξιδεύει προς ανατολάς στην Πέμπτη λεωφό­ ρο με 10 m/s (Σχ. 8-1 ) . Θεωρώντας τα αυτοκίνητα ως σω­ μάτια, βρείτε την ολική ορμή λίγο πριν από τη σύγκρουση. Στο σχήμα έχουμε σχεδιάσει άξονες συντεταγμένων και συμβολίσαμε με 1 το μικρό αυτοκίνητο και με 2 το μεγά­ λο. Οι συνιστώσες των ορμών των δύο αυτοκινήτων είναι ΛΥΣΗ

Ρχι = m , υχι = (1000 kg)(O) = Ο, Ρyι = m 1 υyι = (1000 kg) ( 15 m/s) = 1 ,5 χ 10' kg · m/s, Ρχ2 = m 2υχ2 = (2000 kg)(10 m/s) = 2,0 χ 10' kg · m/s, Py2 = m 2vy2 = (2000 kg)(O) = Ο.

m2

=

Από την Εξ. (8-5), οι συνιστώσες της ολικής ορμής

Ρχ = Ο + 2,0 χ 10' kg · m/s = 2,0 χ 1 0' kg · m/s, Py = 1 ,5 χ 10' kg · m/s + Ο = 1,5 χ 10' kg · m/s.

Η ολική ορμή Ρ είναι μια διανυσματική ποσότητα με αυτές τις συνιστώσες. Το μέτρο της είναι Ρ =

=

Υ(2,0 χ 1 04 kg . mjs)2 + ( 1 ,5 χ 1 04 kg . m/s)2 2,5 χ \04 kg . mιs.

Η διεύθυνσή της δίνεται από τη γωνία θ στο Σχ. 8-1b, όπου 1,5 χ 104 kg · m/s _ l tan θ _ - 2,0 χ 104 kg · m/s - 4 '

θ = 36,9 ° .

Να θυμάστε αυτό το πρόβλημα. Πιο κάτω σ' αυτό το κεφά­ λαιο, ένας πραγματογνώμονας ασφαλιστικής εταιρίας θα θελήσει να βρει την κατεύθυνση στην οποία κινήθηκαν τα συντρίμια των αυτοκινήτων και την ταχύτητά τους.

y (Βορράς)

2000 kg

Υ

I

..

Ριz: ----Γ� Υ

"'--1 ..

I I I

θ

c___ _ _ _ _ _ _ _ _

(b)

(a)

(a) Κάτοψη της έναρξης της σύγκρουσης όπως φαίνεται από ένα ελικόπτερο. (b) Υπολογισμός της ολικής ορμής λίγο πριν από τη σύγκρουση.

8-1

Ρ είναι

ι;

'-χ

200

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΟΡΜΗ ΚΑΙ ΩΘΗΣΗ

8-2

8-2 Δύο αστροναύτες σπρώχνουν ο

ένας τον άλλον καθώς αιωρούνται στο διάστημα σε ένα περιβάλλον φαινομενικής ανυπαρξίας βαρύτητας. Οι δυνάμεις που ασκούνται είναι εσωτερικές. Δεν μεταβάλλουν την ολική ορμή των δύο αστροναυτών.

ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΟΡΜΗΣ

Η έννοια της ορμής είναι ιδιαίτερα σημαντική σε περιπτώσεις στις οποίες έχουμε δύο ή περισσότερα αλληλεπιδρώντα σώματα. Ας εξετάσουμε αρχικά ένα εξιδανικευμένο σύ­ στημα που αποτελείται από δύο σώματα που αλληλεπιδρούν μόνο μεταξύ τους και με κα­ νένα άλλο σώμα, όπως για παράδειγμα δύο αστροναύτες που αγγίζουν ο ένας τον άλλο καθώς αιωρούνται ελεύθερα στο διάστημα (Σχ. 8-2). Θεωρήστε τους αστροναύτες ως σωμάτια. Καθένα από τα σωμάτια ασκεί μια δύναμη πάνω στο άλλο. Σύμφωνα με τον τρίτο νόμο του Νεύτωνα, οι δύο δυνάμεις είναι, σε κάθε στιγμή, ίσες σε μέγεθος και αντί­ θετες σε διεύθυνση. Από τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα, όπως διατυπώθηκε στο Εδάφιο 8-1, η δύναμη που ασκείται πάνω σε κάθε σωμάτιο είναι ίση με το ρυθμό μεταβολής της ορμής του. Αυτό σημαίνει ότι οι δύο ρυθμοί μεταβολής της ορμής είναι ίσοι και αντίθετοι οπότε ο ρυθμός μεταβολής της ολικής ορμής είναι ίσος με μηδέν και η ολική ορμή είναι σταθερή. Ας επανεξετάσουμε το πρόβλημα χρησιμοποιώντας καινούργια ορολογία. Σε κάθε σύστημα, οι δυνdμεις που ασκούνται μεταξύ των σωματίων που το αποτελούν ονομάζο­ νται εσωτερικές δυνάμεις. Δυνάμεις που ασκούνται σε κάποιο μέρος του συστήματος α­ πό κάποιο φορέα εκτός του συστήματος λέγονται εξωτερικές δυνάμεις. Ένα σύστημα, ό­ πως αυτό που περιγράψαμε, που δεν υφίσταται εξωτερικές δυνάμεις, ονομάζεται απομο­ νωμένο σύστημα. Έχουμε ορίσει την ολική ορμή Ρ του συστήματος ως το διανυσματικό άθροισμα των ορμών των ξεχωριστών σωμάτων,

P = p 1 + Pz · Ο ρυθμός μεταβολής της ολικής ορμής με το χρόνο είναι: (8-6) Έστω ότι F1 και F2 είναι οι εσωτερικές δυνάμεις που ασκούνται πάνω στα δύο σώματα λόγω της αμοιβαίας αλληλεπίδρασής τους. Από τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα, F2 Από τον τρίτο νόμο του Νεύτωνα, F1 + F2 Εξ. (8-6), βρίσκουμε ότι

=

� - dt . -

Ο. Συνδυάζοντας αυτές τις σχέσεις με την

(8-7) Ο ρυθμός μεταβολής της ολικής ορμής με το χρόνο είναι ίσος με μηδέν. Αν υπάρχουν επίσης και εξωτερικές δυνάμεις, θα πρέπει να συμπεριληφθούν στο δεξιό μέλος της Εξ. (8-7), όπως και οι εσωτερικές δυνάμεις. Αν όμως το διανυσματικό ά­ θροισμα των εξωτερικών δυνάμεων είναι ίσο με μηδέν, οι δυνάμεις αυτές δεν συνεισφέ­ ρουν στο άθροισμα όλων των δυνάμεων και το dP!dt είναι πάλι ίσο με μηδέν. Όταν το διανυσματικό άθροισμα των εξωτερικών δυνάμεων που ασκούνται πάνω σε ένα σύστημα είναι ίσο με μηδέν, η ολική ορμή του συστήματος εί­ ναι σταθερή.

Αυτή είναι, στην aπλούστερή της μορφή, η αρχή διατήρησης της ορμής. Έχουμε χρησιμο­ ποιήσει τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα στην απόδειξη της αρχής και γι' αυτό θα πρέπει να είμαστε προσεκτικοί να τη χρησιμοποιούμε μόνο σε αδρανειακά συστήματα αναφοράς. Μπορούμε να γενικεύσουμε την αρχή αυτή για ένα σύστημα που περιέχει ένα ο­ ποιοδήποτε αριθμό σωμάτων που αλληλεπιδρούν μόνο μεταξύ τους. Τα επιχειρήματα εί­ ναι τα ίδια με τα προηγούμενα. Ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του συστήματος που ο­ φείλεται σε κάθε ζεύγος εσωτερικών δυνάμεων δράσης-αντίδρασης είναι ίσος με μηδέν. Επομένως, ο ρυθμός μεταβολής της ολικής ορμής του συστήματος είναι ίσος με μηδέν ό­ ταν το διανυσματικό άθροισμα των εξωτερικών δυνάμεων που ασκούνται επάνω του εί­ ναι ίσο με μηδέν. Οι εσωτερικές δυνάμεις μπορούν να μεταβάλουν τις ορμές των σωμα­ τίων του συστήματος, αλλά όχι και την ολική ορμή του συστήματος.

8-2 ΔΙΑΤΉΡΗΣΗ ΤΗΣ ΟΡΜΗΣ

201

Κατά κάποιους τρόπους η αρχή διατήρησης της ορμής είναι πιο γενική από την αρ­ χή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας. Για παράδειγμα, ισχύει ακόμη και όταν οι εσω­ τερικές δυνάμεις δεν είναι διατηρητικές, ενώ η μηχανική ενέργεια διατηρείται μόνον ό­ ταν οι εσωτερικές δυνάμεις είναι διατηρητικές. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα αναλύσουμε καταστάσεις στις οποίες τόσο η ορμή όσο και η μηχανική ενέργεια διατηρούνται και άλ­ λες στις οποίες μόνον η ορμή διατηρείται. Αυτές οι δύο αρχές παίζουν ένα θεμελιώδη ρόλο σε όλους τους κλάδους της Φυσικής και θα τις συναντούμε παντού στις μελέτες μας.

Σ Τ ΡΑ Τ Η Γ Ι Κ Ή Ε Π Ι ΛΥΣ Η Σ Π Ρ Ο Β Λ Η Μ ΆΤ Ω Ν Διατήρηση της ορμής

Η ορμή είναι διανυσματικό μέγεθος πρέπει να χρησιμο­ ποιήσετε διανυσματική πρόσθεση για να υπολογίσετε την ολική ορμή ενός συστήματος. Συνήθως, η απλούστερη μέ­ θοδος είναι η χρήση συνιστωσών. 1 . Ορίστε ένα σύστημα συντεταγμένων. Σχεδιάστε ένα σχή­ μα στο οποίο να φαίνονται οι άξονες συντεταγμένων και η θετική φορά για τον καθένα. Είναι συχνά ευκολότερο να ε­ πιλεχθεί ο άξονας των χ έτσι που να έχει τη διεύθυνση μιας από τις αρχικές ταχύτητες. Βεβαιωθείτε ότι χρησιμοποιείτε ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς. Τα περισσότερα προ­ βλήματα σε αυτό το κεφάλαιο αναφέρονται σε καταστάσεις δύο διαστάσεων, στις οποίες τα διανύσματα έχουν μόνο συ­ νιστώσες χ και y όλα όσα ακολουθούν, μπορούν να γενι­ κευθούν, όπου χρειάζεται, για να συμπεριλάβουν και συνι­ στώσες z. 2. Θεωρήστε κάθε σώμα ως σωμάτιο. Σχεδιάστε διαγράμ­

ματα με τις καταστάσεις και 1 (a)

(b)

1 1-5 ΤΑΣΕΙΣ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ

297

1 1-10 (a) Το συρματόσκοινο τεντώνεται από το βάρος του αντικειμένου που κρέμεται από αυτό. (b) Το βαθυσκάφος με μορφή αεροπλάνου είναι τελείως βυθισμένο στο νερό που το συμπιέζει από όλες τις πλευρές. (c) Ο στροφαλοφόρος άξονας δέχεται δυνάμεις στρέψης στα άκρα του που δημιουργούν ροπές περί τον άξονά του.

(a)

1 1-5

(b)

( c)

ΤΑΣ Ε Ι Σ Ε Φ Ε Λ ΚΥΣ Μ ΟΥ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ

Το στερεό σώμα αποτελεί ένα χρήσιμο εξιδανικευμένο μοντέλο στα προβλήματα που έ­ χουμε συναντήσει ως τώρα. Όμως, δεν μπορούμε πάντοτε να αγνοούμε ορισμένες σημα­ ντικές συνέπειες της εφαρμογής δυνάμεων σε ένα πραγματικό σώμα όπως, η επιμήκυν­ ση, η θλίψη και η στρέψη του σώματος. Το Σχ. 1 1-10 δείχνει τρία παραδείγματα. Θα με­ λετήσουμε τη σχέση ανάμεσα στις δυνάμεις και τις αντίστοιχες παραμορφώσε ις σε κάθε περίπτωση χωριστά. Για κάθε είδος παραμόρφωσης ε ισάγουμε ένα μέγεθος που ονομάζουμε τάση και ορίζει τη δύναμη που προκαλεί την επιμήκυνση, τη συμπίεση, ή τη στρέψη, συνήθως με την έκφραση «δύναμη ανά μονάδα επιφάνειας». Ένα δεύτερο μέγεθος, η παραμόρφω­ ση, περιγράφει ακριβώς την παραμόρφωση που προκαλεί η αντίστοιχη τάση. Για μικρές τιμές της τάσης και της παραμόρφωσης, διαπιστώνεται συνήθως ότι το ένα μέγεθος είναι ευθέως ανάλογο του άλλου, ο δε συντελεστής αναλογίας ορίζεται ως μέτρο ελαστικότη­ τας. Όσο πιο δυνατά τεντώνετε κάτι, τόσο περισσότερο επιμηκύνεται, και όσο πιο πολύ το συμπιέζετε τόσο περισσότερο συστέλλεται. Η γενική συμπεριφορά μπορεί να πάρει τη μορφή π

. Τάση , = Μετρο ελαστικοτητας. ' � αραμορφωση

(11-9)

Με ορισμένες προϋποθέσεις, η σχέση αναλογίας μεταξύ τάσης και παραμόρφωσης είναι γνωστή και ως νόμος του Hooke, από τον (Χουκ, σύγχρονο του Νεύτωνα. Μια ε ιδική περίπτωση του νόμου του είδαμε ήδη στα Εδ. και 7-3: η επιμήκυνση ενός ελατηρίου είναι ανάλογη προς τη δύναμη που το εκτείνει. Το απλούστερο πρόβλημα ελαστικής συμπεριφοράς που θα πρέπει να κατανοή­ σουμε είναι η αύξηση του μήκους σωμάτων, όπως μιας δοκού, μιας ράβδου ή ενός σύρ­ ματος, όταν στα άκρα τους εφαρμόζονται δυνάμεις που τείνουν να τα επιμηκύνουν. Στο Σχ. φαίνεται μια δοκός ομοιόμορφης διατομής εμβαδού καθώς δύο αντίθετες δυνάμεις τείνουν να την επιμηκύνουν. Λέμε ότι η δοκός βρίσκεται σε κατάσταση εφελ­ κυσμού. Έχουμε ήδη μιλήσει αρκετά για δυνάμεις εφελκυσμού με τη μορφή της τάσης ε­ νός σκοινιού ή της δύναμης σε ένα ελατήριο· πρόκειται για τις ίδιες έννοιες. Το Σχ. δείχνει μια διατομή της δοκού. Το δεξιό τμήμα έλκει το αριστερό με δύναμη

Robert Hooke Hooke

11-11a F

1635-1703)

6-3

Α,

FJ.

11-llb

1 1-1 1 (a) Δοκός σε κατάσταση εφελκυσμού. (b) Η τάση σε οποιαδήποτε διατομή είναι ίση με F1./A.

(a)

298

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1 ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΚΑΙ ΕΛΑΣτΙΚΟΤΗΤΑ

1 1-12 (a) Δοκός σε κατάσταση θλίψης. (b) Η τάση σε μια κάθετη διατομή είναι και πάλι F1_/Α.

F

�

F --...

F

(a)

και αντίστροφα. Χρησιμοποιούμε τον συμβολισμό Fj_ για να τονίσουμε ότι η δύναμη ε­ νεργεί κάθετα στη διατομή. Υποθέτουμε ότι οι δυνάμεις είναι ομοιόμορφα κατανεμημέ­ νες σε κάθε διατομή, όπως ακριβώς δείχνουν τα μικρά τόξα στο Σχ. 1 1-11b. (Αυτό ισχύει πάντοτε, όταν οι δυνάμεις στα της δοκού είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες.) Ορίζουμε ως τάση εφελκυσμού στη διατομή Α τον λόγο της δύναμης Fj_ προς το εμβαδόν της διατομής Α : Fj_ ταση , εφελκυσμου, = Α . ( 1 1-10)

άκρα

SI

Η μονάδα για την τάση στο σύστημα είναι το Newton ανά τετραγωνικό μέτρο (N/m2), και έχει το ειδικό όνομα pascal (για συντομία Pa):

1 pascal= 1 Pa = 1N/m2• Στο Βρετανικό σύστημα η λογική μονάδα για την τάση θα ήταν το pound ανά τετραγωνι­ κό πόδι, έχει επικρατήσει όμως το pound ανά τετραγωνική ίντσα (lb/in.2, ή psi). Ο ι συντε­ λεστές μετατροπής είναι 1 psi = 6891 Pa

και

1 Pa = 1 ,451

χ

1 0 -4 psi.

πίεσης,

Οι μονάδες τάσης είναι ίδιες με εκείνες της στην οποία θα αναφερθούμε αρκετές φορές σε επόμενα κεφάλαια. Η πίεση στα λάστιχα ενός αυτοκινήτου είναι συνή­ θως της τάξης των 2 χ 105 Pa = 200 kPa, ενώ ένα ατσάλινο καλώδιο είναι κατά κανόνα αρκετά ανθεκτικό ώστε να αντέχει σε τάσεις εφελκυσμού της τάξης των 108 Pa. Όταν οι δυνάμεις στα άκρα μιας δοκού τείνουν να τη βραχύνουν μάλλον παρά να την επιμηκύνουν, λέμε ότι η δοκός βρίσκεται σε κατάσταση συμπίεσης ή θλίψης, και η τάση τότε λέγεται τάση συμπίεσης ή θλιπτική τάση (Σχ. 1 1-12a). Τα δύο τμήματα που ορίζει η διατομή του σχήματος φαίνεται σαν να απομακρύνονται, αντί να έλκονται, με­ ταξύ τους. Η ποσοστιαία μεταβολή του μήκους ( ανηγμένη επιμήκυνση) ενός σώματος στο ο­ ποίο ασκείται τάση εφελκυσμού ονομάζεται παραμόρφωση εφελκυσμού. Το Σχ. 1 1-13 δείχνει μια δοκό με αρχικό μήκος !0• όταν στα άκρα της εφαρμοστούν αντίθετες δυνάμεις F, το μήκος της γίνεται !0 + ΔΖ. Η επιμήκυνση ΔΙ δεν αφορά μόνο τα άκρα αλλά κατανέ­ μεται αναλογικά σε όλο το μήκος. Η παραμόρφωση εφελκυσμού τότε ορίζεται ως ο λό­ γος της επιμήκυνσης Δ1 προς το αρχικό μήκος 10: π

,

,

αραμορφωση εφε λκυσμου =

l - lo

1ο

-

=

Δ1 1ο .

( 1 1-1 1 )

Η παραμόρφωση εφελκυσμού δεν είναι παρά η επιμήκυνση της μονάδας μήκους. Είναι ο λόγος δύο μηκών, πάντοτε εκφρασμένων στις ίδιες μονάδες άρά η παραμόρφωση είναι καθαρός (αδιάστατος) αριθμός που δεν συνοδεύεται από καμιά μονάδα. Η θλιπτική πα­ ραμόρφωση δοκού σε κατάσταση συμπίεσης ορίζεται με παρόμοιο τρόπο, μόνο που τώ­ ρα το Δ1 έχει αντίθετη κατεύθυνση· συνήθως σε αυτή την περίπτωση είναι πιο εύκολο να θεωρούμε το ΔΖ ως αρνητική ποσότητα. Έχει αποδειχθεί πειραματικά ότι για αρκετά μικρή τάση εφελκυσμού ή θλίψης, παραμόρφωση και τάση είναι ανάλογες μεταξύ τους, όπως ακριβώς ορίζει ο νόμος του Hooke στην Εξ. ( 1 1-9). Το αντίστοιχο μέτρο ελαστικότητας ονομάζεται μέτρο του Young, Υ: 1 1-13 Η παραμόρφωση εφελκυσμού ορίζεται από τον λόγο Δl/10. Η επιμήκυνση Δ1 σχεδιάστηκε υπερβολικά μεγάλη για καθαρά εποπτικούς λόγους.

Υ=

Τάση εφελκυσμού Παραμόρφωση εφελκυσμού

Θλιπτική τάση Θλιπτική παραμόρφωση ' (1 1-12)

Ισορροπ ία και τάση

Μια στατΙΚή κατασκευή μεyάλων διαστάσεων, π.χ. μι.α γέφυρα ή ένα κτίριο, δέχεται μεyάλες τάσεΙς εφελκυσμού και θλiψης λόγω του βάρους

που εκ κατασκευής μΙΙορεί να σηκώσει. Τα οmοδομι.κά υλΙΚά πρέπει να ανιiχουν σε αιπiς nς τάσεις, ώστε η κατασκευή να διατηρήσεΙ την ισορροπία της. Συχνά, ο μηχανΙΚός καλείται να εmλε'ξει ανάμεσα σε πολλές διαφορεnκές σχεδιασnκές ιδέες και οmοδομι.κά

υλΙΚά, προκειμένου να εmτύχσ ένα αποτέλεσμα που θα είναι συγχρόνως πρακnκό, αιοθηnκά ελκυστmό και όΧΙ δαπανηρό.

Το βάρσς ιuας κρεμαστής γέφυρας προκαλεί κατά κύριο λόyο τάσεις εφελκυσμού στα συρματόσκοινά της και θλιιιτικiς τάσεις στους πυλώνες της. Συστήματα σε κατάσταση εφελκυσμού είναι πολύ αποτελεσματικά στη στήριξη ιuκρών ή μέσων φορτίων κατά μήκος μεγάλων αποστάσεων. Η δύναμη αντίδρασης στον εφελκυσμό των συρματόσκοινων μεταφέρεται και ασκείται στο έδαφος κάτω από τους πυλώνες. Το έδαφος θα πρέπει να είναι αρκετά στέρεο, ώστε να μην υπάρχει κίνδυνος καθίζησης.

Το βάρος μιας τοξοειδούς κατασκευής προκαλεί κατά κύριο λόyο θλιπτικές τάσεις. Συστήματα σε κατάσταση θλiψης είναι πολύ αποτελεσματικά στη στήριξη μεγάλων φορτίων ή yια τη μετάδοση τάσεων κατά μήκος μι.κρών αποστάσεων. Σε ιuα τοξοσδή γέφυρα η θλιπτική τάση μεταφέρεται στο έδαφος κατευθείαν μέσω των άκρων του τόξου.

Όνομα μονάδας

Ποσότητα

Σύμβολο

Ισοδύναμες μονάδες

W/sr Bq Gy Sν

s- ι J/kg J/kg

Παράγωγες μονάδες του SI watt ανά steradian becquerel gray sieνert

ακτινοβολούμενη ένταση ενεργότητα (ραδιενεργού πηγής) aπορροφηθείσα δόση ακτινοβολίας ισοδύναμη δόση ακτινοβολίας

Συμπληρωματικές μονάδες του SI rad sr

radian steradian

επίπεδη γωνία στερεά γωνία

ΟΡΙΣΜΟΙ ΤΩΝ ΜΟΝΆΔΩΝ ΤΟΥ SI

μέτρο

meter (m) Το είναι το μήκος που ισούται με την απόσταση που διανύει το φως στο κενό, σε χρόνο δευτερόλεπτα.

792 458

1/299

χιλιόγραμμο

Το είναι η μονάδας μάζας ε ίναι ίση με τη μάζα του διεθνούς προτύπου του χιλιο­ γράμμου. (το διεθνές πρότυπο του χιλιογράμμου είναι έ­ νας ειδικός κύλινδρος από κράμα λευκόχρυσου-ιριδίου που φυλάσσεται σε ε ιδικό χώρο στη Seνres, στη Γαλλία, στο Διεθνές Γραφείο Μέτρων και Σταθμών, International Bureau of Weights and Measures.) kilogram (kg)

δευτερόλεπτο

9 192 631 770

second (s) Το είναι η διάρκεια περιόδων της ακτινοβολίας που αντιστοιχεί στην μετάβα­ ση μεταξύ δύο υπέρλεπτων σταθμών της θεμελιώδους κα­ τάστασης του ατόμου του καισίου

αμπέρ

133.

ampere (Α) Το είναι εκείνο το σταθερό ρεύμα το οποίο, αν διέρχεται από δύο ευθύγραμμους παράλλη­ λους αγωγούς απείρου μήκους, αμελητέας κυκλικής δια­ τομής και τοποθετημένους σε μεταξύ τους απόσταση μέ­ τρου στο κενό, δημιουργεί δύναμη μεταξύ αυτών των αγω­ newton ανά μέτρο μήκους. γών ίση με χ

1

2 10-7 kelvin (Κ) Το κέλβιν, η μονάδα της θερμοδυναμικής θερμοκρασίας, είναι το κλάσμα 1/273,16 της θερμοδυναμι­

κής θερμοκρασίας του τριπλού σημείου του νερού.

ωμ

ohm (Ω ) Το ε ίναι η ηλεκτρική αντίσταση μεταξύ δύο σημείων αγωγού, όταν μια σταθερή διαφορά δυναμι­ κού νolt, εφαρμοζόμενη μεταξύ αυτών των δύο σημείων παράγει σε αυτόν τον αγωγό ρεύμα ampere, με την προ­ ϋπόθεση ότι αυτός ο αγωγός δεν είναι πηγή οιασδήποτε η­ λεκτρεγερτικής δύναμης.

1

1

κουλόμπ

coulomb (C) Το είναι η ποσότητα ηλεκτρι­ σμού που μεταφέρεται σε ένα δευτερόλεπτο από ρεύμα ampere.

τομα, μόρια, ιόντα, ηλεκτρόνια, άλλα σωματίδια, ή καθο­ ριζόμενες ομάδες τέτοιων σωματιδίων.

νιούτον

newton (Ν) Το είναι η δύναμη που δίνει σε μά­ ζα kilogram επιτάχυνση meter ανά second ανά second.

1

1

joule (J) Το είναι το έργο που εκτελείται όταν το σημείο εφαρμογής newton μετατοπίζεται κατά meter κατά την κατεύθυνση της δύναμης.

τζουλ 1

βατ

1

watt (W) Το είναι η ισχύς που οδηγεί σε παραγωγή ενέργειας με ρυθμό joule ανά second.

1

volt (V) Το είναι η διαφορά ηλεκτρικού δυναμικού μεταξύ δύο σημείων συρμάτινου αγωγού, που διαρρέεται από σταθερό ρεύμα ampere, όταν η καταναλισκόμενη ι­ σχύς μεταξύ αυτών των σημείων ισούται με watt.

βολτ

1

1

weber (Wb) Το είναι η μαγνητική ροή η οποία, όταν διέρχεται διά μέσου κυκλώματος μιας σπείρας, πα­ ράγει σε αυτό ηλεκτρεγερτική δύναμη νolt, καθώς ελατ­ τώνεται στο μηδέν με σταθερό ρυθμό σε second.

βέμπερ

1

λούμεν 1

1

lumen (Im) Το είναι η φωτεινή ροή που εκπέ­ μπεται σε στερεά γωνία steradian από ισοτροπική ση­ μειακή πηγή που έχει ένταση candela.

φαράντ

1

farad (F) Το είναι η χωρητικότητα πυκνωτή με­ ταξύ των οπλισμών του οποίου ε μφανίζεται διαφορά δυ­ ναμικού νolt, όταν είναι φορτισμένος με ποσότητα ηλε­ κτρισμού ίση με coulomb.

1

1

henry ( Η ) Το είναι η aυτεπαγωγή κλειστού κυ­ κλώματος στο οποίο δημιουργείται ηλεκτρεγερτική δύνα­ μη νolt, όταν το ηλεκτρικό ρεύμα μεταβάλλεται ομοιό­ μορφα με ρυθμό ampere ανά second.

1

ανρί

1

ακτίνιο

1

radian (rad) Το είναι η επίπεδη γωνία μεταξύ δύο ακτίνων κύκλου, που κόβουν από την περιφέρεια τό­ ξο μήκους ίσο με την ακτίνα.

candela (cd) Το ε ίναι η ένταση φωτοβολίας, σε μια ορισμένη κατεύθυνση, πηγής η οποία εκπέμπει μονο­ χρωματική ακτινοβολία συχνότητας χ hertz και έ­ χει ακτινοβολούμενη ένταση σε αυτή την κατεύθυνση watt ανά steradian.

steradian (sr) Το είναι η στερεά γωνία, η οποία έχει την κορυφή στο κέντρο σφαίρας και κόβει μέ­ ρος από την επιφάνεια της σφαίρας εμβαδού ίσου με εμ­ βαδό τετραγώνου πλευρών ίσων με το μήκος της ακτίνας της σφαίρας.

κερί

540 1012

1/683

μολ 0,012

mole (mol) Το είναι η ποσότητα ύλης συστήματος που περιέχει τόσες στοιχειώδεις οντότητες όσα άτομα άν­ θρακα υπάρχουν σε kg άνθρακα Οι στοιχειώδεις οντότητες πρέπει να αναφέρονται και μπορεί να είναι ά-

12.

στερακτίνιο

προθέματα στο SI Τα ονόματα των πολλαπλάσιων και υποπολλαπλάσιων των μονάδων του SI ε ίναι δυνατόν να σχηματιστούν με τη χρήση των προθεμάτων που αναγρά­ φονται στον Πίνακα σελίδα

1-1,

7.

Π3

300

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1 ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΚΑΙ ΕΛΑΣτΙΚΟΤΗΤΑ

ΠΙΝΑΚΑΣ

1 1-1

Ελαστικές σταθερές (προσεγγιστικές τιμές) Μέτρο Young Υ (Pa)

Υλικό

ΑργΟ..ιο Ορείχαλκος Χαλκός Γυαλί Σίδηρος Μόλυβδος Νικέλιο Χάλυβας Βολφράμιο

Μέτρο διάτμησης S (Pa)

0,30 χ 0,36 χ 0,42 χ 0,23 χ 0,70 χ 0,056 χ 0,77 χ 0,84 χ 1,5 χ

0,70 χ 10" 0,91 χ 10" 1,1 χ 1011 0,55 χ 10" 1,9 χ 1011 0,16 χ 1011 2,1 χ 1011 2,0 χ 10" 3,6 χ 1011

Μέτρο ελαστικότητας όγκου Β (Pa)

0,70 χ 10" 0,61 χ 1011 1,4 χ 1011 0,37 χ 1011 1,0 χ 10'' 0,077 χ 1011 2,6 χ 10" 1,6 χ 1011 2,0 χ 1011

10" 1011 1011 1011 1011 1011 10" 10" 10"

Λόγος Poisson

σ

0,16 0,26 0,32 0,19 0,27 0,43 0,36 0,19 0,20

Η παραμόρφωση είναι καθαρός αριθμός κι έτσι το μέτρο Young έχει τις ίδιες διαστάσεις με την τάση, δύναμη ανά μονάδα επιφάνειας. Μερικές χαρακτηριστικές τιμές δίνονται στον Πίνακα (Ο πίνακας αυτός περιέχει επίσης τιμές για τρεις ακόμη ελαστικές σταθερές που θα εισάγουμε παρακάτω.) Ένα υλικό με μεγάλη τιμή του Υ είναι σχετικά και χρειάζεται μεγάλη τάση για να προκληθεί συγκεκριμένη παραμόρφωση. Για παράδειγμα, ο χάλυβας έχει πολύ μεγαλύτερη τιμή για το από ότι το λάστιχο. Ένα σύρμα ή ένα λαστιχάκι που τεντώνεται, εκτός του ότι επιμηκύνεται γίνεται ε­ πίσης και Εφόσον ισχύει ο νόμος του Hooke, η ποσοστιαία μεταβολή του πλάτους είναι ανάλογη προς την παραμόρφωση εφελκυσμού. Αν w0 είναι το αρχικό πλά­ τος και Δw η μεταβολή του, τότε ΔΖ Δw lo ' Wο όπου είναι μια αδιάστατη σταθερά, διαφορετική για κάθε υλικό. Την ονομάζουμε λόγο Poisson (Πουασόν). Για πολλά από τα συνήθη υλικά, το παίρνει τιμές μεταξύ 0,1 και 0,4· χαρακτηριστικές τιμές του δίνονται στον Πίνακα Εντελώς ανάλογα, ένα υλι­ κό που συμπιέζεται εξογκώνεται στα πλάγια· η ποσοστιαία μεταβολή πλάτους δίνεται και πάλι από την Εξ. Για πολλά υλικά, όχι όλα, το μέτρο Young έχει την ίδια τι­ μή τόσο για τάσεις εφελκυσμού όσο και για θλιπτικές τάσεις. Το ίδιο ισχύει και για τον λόγο Poisson.

1-1. δύσκολο να επιμηκυνθεί,

Υ

λεπτότερο.

-

=-σ

(11-13)

-

σ

σ 11-1.

σ

(11-13).

- Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 1 1-6

------,.---

Ανελκυστήρας μάζας 550 kg κρέμεται από συρματόσκοινο μήκους 3,0 m και συνολικής διατομής 0,20 cmΌ Εξαιτίας του φορτίου, το συρματόσκοινο επιμηκύνεται κατά 0,40 cm ως προς το μήκος του χωρίς φορτίο. Προσδιορίστε την τά­ ση, την παραμόρφωση και την τιμή του μέτρου Young για το υλικό του συρματόσκοινου. Υποθέστε ότι το συρματό­ σκοινο συμπεριφέρεται όπως μια συμπαγής ράβδος με ενιαία διατομή. ·

Χρησιμοποιούμε τους ορισμούς της τάσης, της πα­ ραμόρφωσης και του μέτρου Υoung που δίνονται από τις Εξ. ( 1 1-10), ( 1 1-1 1 ) και ( 1 1-12):

Τάση

Υ=

Παραμόρφωση

2,7 χ 108 Pa 0,00133

2,0 χ 1 01 1 Pa.

Καθώς το συρματόσκοινο τεντώνεται, γίνεται λίγο πιο λεπτό. Σύμφωνα με την Εξ. (1 1-13) και τον Πίνακα 1 1-1, Δw ΔΖ = - (Ο 19)(0 00133) = = -σ - Ο'00025 · ' ' wo

-

Ζο

Λ ΥΣΗ

, Ταση

8 m/s2) = 2 7 χ 1 08 pa . = FΑ1. = (5502 Οkg)(9, ' χ 10-5 mz '

, Δ Ζ Ο 0040 m Παραμορφωση = - = ' 3,0 m Ζο

0,00133·

Αν η διατομή είναι κυκλική, η αρχική της διάμετρος είναι 0,5 cm, οπότε η μεταβολή της διαμέτρου λόγω εφελκυσμού είναι

Δw = (- 0,00025)(0,5 cm) = - 0,0001 cm. Τα συνήθη μικρόμετρα δεν έχουν αρκετή ακρίβεια για να μετρήσουν μια τόσο μικρή μεταβολή.

301

1 1--6 ΙΣΟΤΡΟΠΙΚΗ ΤΑΣΗ ΚΑΙ ΙΣΟΤΡΟΠΙΚΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗ

ΙΣΟΤΡΟΠΙΚΗ ΤΑΣΗ ΚΑΙ ΙΣΟΤΡΟΠΙΚΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗ Όταν ένα βαθυσκάφος βρίσκεται βαθειά μέσα στον ωκεανό, το νερό ασκεί σε όλα τα σημεία της επιφάνειάς του σχεδόν ομοιόμορφη πίεση, που προκαλεί ανεπαίσθητη ελάτ­ τωση του όγκου του (Σχ. περίπτωση αυτή είναι διαφορετική από τις τάσεις και παραμορφώσεις εφελκυσμού και θλίψης που έχουμε μελετήσει ως τώρα. τάση εδώ αντιστοιχεί σε μια ομοιόμορφη πίεση που ασκείται σε όλες τις πλευρές και η αντίστοιχη παραμόρφωση είναι απλώς μια μεταβολή όγκου. Για να περιγράψουμε αυτά τα μεγέθη χρησιμοποιούμε τους όρους ισοτροπική τάση και ισοτροπική παραμόρφωση. λλλο γνω­ στό παράδειγμα είναι η συμπίεση αερίου σε μεγάλες πιέσεις, όπως λ.χ. ο αέρας στα λά­ στιχα του αυτοκινήτου. Αν επιλέξουμε μια οποιαδήποτε διατομή μέσα σε ένα ρευστό που βρίσκεται σε ι­ σορροπία (υγρό ή αέριο), η δύναμη που ασκείται στη μια ή την άλλη πλευρά της διατο­ μής είναι πάντοτε σε αυτή. Αν επιχειρήσουμε να ασκήσουμε δύναμη παράλληλα στη διατομή, δεν θα καταφέρουμε τίποτε γιατί το ρευστό θα διαφύγει προς τα πλάγια. Όταν ένα στερεό σώμα είναι βυθισμένο σε ένα ρευστό και επικρατεί ισορροπία, οι δυ­ νάμεις που ασκούνται από το ρευστό στην επιφάνεια του στερεού είναι πάντοτε κάθετες στην επιφάνεια, σε κάθε της σημείο. Αν η δύναμη ασκείται σε επιφάνεια εμβαδού τότε ορίζουμε ως πίεση p του ρευστού τη δύναμη ανά μονάδα επιφάνειας, δηλαδή τον λόγο

1 1-6

11-10b). Η

Η

κάθετη

F1.

Α,

Fl.

(11-14)

p = -x ·

Όταν εφαρμόζουμε πίεση στην επιφάνεια ρευστού μέσα σε ένα δοχείο, όπως δεί­ χνει ο κύλινδρος με το έμβολο του Σχ. η πίεση μεταφέρεται μέσω του ρευστού και αaκείται σε κάθε επιφάνεια κάθε σώματος που είναι βυθισμένο στο ρευστό. Αυτή είναι η Αν αγνοήσουμε τις διαφορές πίεσης λόγω διαφορών βάθους μέσα στο ρευστό, η πίεση είναι ίδια σε κάθε σημείο του ρευστού και σε κάθε σημείο της επιφάνει­ ας οποιουδήποτε σώματος μέσα σε αυτό. πίεση έχει τις ίδιες μονάδες με την τάση· μεταξύ των πιο γνωστών μονάδων είναι Συνήθης επίσης είναι η χρήση της ατμόσφαιρας, ή και το (ή το (ή Μία ατμόσφαιρα είναι η μέση πίεση που ασκεί η ατμόσφαιρα της γης στο επίπεδο της θάλασσας:

11-14,

1 1-14 Σε κάθε στοιχειώδη επιφάνεια dA του βυθισμένου σώματος, ασκείται από το περιβάλλον ρευστό μια κάθετη δύναμη dF1. = p dA με κατεύθυνση προς το εσωτερικό του σώματος.

αρχή του Pascal.

Η Pa N/m2) atm.

lb/in.2 psi).

1 ατμόσφαιρα = 1 atm = 1,0 13 χ 105 Pa = 14,7 lb/in2• Η πίεση είναι βαθμωτό, όχι διανυσματικό μέγεθος και δεν έχει διεύθυνση.

Η

τάσης

πίεση παίζει το ρόλο της (που ήδη χαρακτηρίσαμε ως ισοτροπική τάση) στην περίπτωση που έχουμε μεταβολή όγκου. αντίστοιχη (ισοτροπική) παραμόρφωση ονομάζεται ανηγμένη μεταβολή όγκου, και είναι ίση με την ποσοστιαία μεταβολή όγκου (Σχ. δηλαδή, τον λόγο της μεταβολής όγκου προς τον αρχικό όγκο V0 :

Η

11-15),

ΔV

, , μεταβολη' ογκου Ανηγμενη

=

ΔV

V. . ο

(11-15)

Πρόκειται για τη μεταβολή όγκου της μονάδας όγκου. Όπως οι τάσεις εφελκυσμού ή θλίψης, έτσι και η ανηγμένη μεταβολή όγκου είναι καθαρός αριθμός, χωρίς μονάδες. Όταν ισχύει ο νόμος του Hooke, η ανηγμένη μεταβολή όγκου είναι προς την ισοτροπική τάση (ακριβέστερα, τη μεταβολή πίεσης). Το αντίστοιχο μέτρο ελαστικό­ τητας (λόγος τάσης προς παραμόρφωση) ονομάζεται μέτρο ελαστικότητας όγκου, Β. Όταν η πίεση που ασκείται σε ένα σώμα μεταβάλλεται κατά Δp, από Ρο σε Ρο + Δp, και η αντίστοιχη ανηγμένη (ποσοστιαία) μεταβολή όγκου είναι / V0, ο νόμος του Hooke παίρνει τη μορφή

F.l

ανάλογη

ΔV

Β=-

�

αύξηση

(11-16)

.

ελάττω­

Το αρνητικό πρόσημο απλώς δηλώνει ότι η πίεσης συνεπάγεται πάντοτε ση του όγκου. Με άλλα λόγια αν το Δp είναι θετικό, το είναι αρνητικό. Χάρη στο αρ­ νητικό σημείο της Εξ. το ίδιο το Β είναι πάντα θετική ποσότητα.

(11-16),

ΔV

1 1-15 Ανηγμένη μεταβολή όγκου

είναι η ποσοστιαία μεταβολή όγκου, ΔV! V0.

302

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΚΑΙ ΕΛΑΣΠΚΟΤΗΤΑ

ΠΙΝΑΚΑΣ 1 1-2 Συμπιεστότητες υγρών

Συμπιεστότητα, k

Υγρό

Διθειοtίχος άνθρακας Αιθυλική αλκοόλη Γλυκερ(νη Υδράργυρος Νερό

94 χ 1ο-• 1 1 1 χ 1ο-• 21 χ 1ο-• 3,8 χ 10 ... 46,4 χ 1ο-•

93 χ 10-" ι ιο χ 1ο-Ι1 21 χ 1ο-Ι1 3,7 χ 1ο-Ι1 45,8 χ 1ο-Ι1

Β

Σε ένα στερεό ή ρευστό, το μπορεί να θεωρηθεί ως σταθερό, αρκεί οι μεταβολές της πίεσης να είναι μικρές. Αντίθετα, σε ένα το εξαρτάται από την αρχική πίεση p0• Ο Πίνακας περιλαμβάνει τιμές του για διάφορα στερεά υλικά. Οι μονάδες του δύναμη ανά μονάδα επιφάνειας, είναι ίδιες με εκείνες της πίεσης (και της τάσης θλί­ ψης ή εφελκυσμού). Το αντίστροφο του μέτρου ελαστικότητας όγκου ορίζεται ως συμπιεστότητα Από την Εξ. έχουμε

αέριο, Β Β

11-1

Β,

k.

(11-16)

0 = _ _L ΔV . k = _lΒ = _ ΔV/V (11_17) V0 Δp Δp Η συμπιεστότητα δίνει την ποσοστιαία ελάττωση όγκου όταν η πίεση αυξάνει κατά μία μονάδα. Οι μονάδες του k είναι οι aντίστροφες μονάδες πίεσης, δηλαδή επιφάνεια ανά μονάδα δύναμης. Τιμές του k για διάφορα υγρά περιέχονται στον Πίνακα 11-2. Σύμφωνα με τον πί­ νακα αυτό, το νερό έχει συμπιεστότητα 46,4 χ 10--6 atm Αυτό σημαίνει ότι για κάθε αύ­ ξηση της πίεσης κατά 1 atm, ο όγκος ελαττώνεται κατά 46,4 μονάδες στο εκατομμύριο. Υλικά με μικρό Β, άρα μεγάλο k, συμπιέζονται εύκολα· αντίθετα, υλικά με μεγάλο Β, ά­ ρα μικρό k, συμπιέζονται λιγότερο κάτω από την ίδια αύξηση πίεσης. -ι.

- Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 1 1-7

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Ο όγκος του λαδιού που περιέχεται σε ένα υδραυλικό πιε­ στήριο ε ίναι 0,25 m3 = 250 L. Υπολογίστε την ελάττωση του όγκου του λαδιού όταν η πίεση που ασκείται σε αυτό αυξηθεί κατά Δp = 1,6 χ 10' Pa (περίπου 1 60 atm ή 2300 psi). Δίνεται ότι για το λάδι Β = 5,0 χ 109 Pa (περίπου 5,0 χ 10' atm), και k = 1/Β = 20 χ 10 -• atm-1 • τη μεταβολή όγκου ΔV, λύνουμε την Εξ. ( 1 1-16) ως προς ΔV και στη συνέχεια aντικαθιστούμε τις τιμές των μεγεθών:

ΛΥΣΗ Για να βρούμε

ΔV = -

(0,25 m3)(1,6 χ 107 Pa) 5,0 χ 109 Pa = - 8,0 χ 10-• m3 = - 0,80 L.

ΔV =

_

Εναλλακτικά, μπορού με να χρησιμοποιήσουμε την Εξ. (11-17). Λύνοντας ως προς ΔVκαι κάνοντας τις προσεγγιστι­ κές μετατροπές μονάδων που δόθηκαν πιο πριν, βρίσκουμε ΔV = - kV0 Δp = - (20 χ 1ο -• atm - 1)(0,25 m3)(160 atm) =

-

8,0 χ 1ο-· m3•

Το αποτέλεσμα αυτό αντιστοιχεί σε σημαντική συμπίεση του όγκου του λαδιού κάτω από την εφαρμογή μιας πολύ μεγάλης πίεσης.

Vo Δp

Β

1 1-7

ΔΙΑΤΜΗΤΙΚΗ ΤΑΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΤΜΗΤΙΚΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗ

11-10,

_ _ _

στρέψη.

Η τρίτη περίπτωση τάσης-παραμόρφωσης του Σχ. αναφέρεται στη Το σώμα του Σχ. υφίσταται διατμητική τάση. Η τάση αυτή ορίζεται ως η δύναμη που ασκείται εφαπτομενικά σε κάποια επιφάνεια του σώματος, δια του εμβαδού της επι­ φάνειας,

11-16

Α:

Διατμητική τάση

=

�ι .

F1 ,

(11-18)

Σημειώστε ότι, δυνάμεις που ασκούνται στις απέναντι πλευρές ενός σώματος δημιουρ­ γούν (Εδ. Όπως και οι άλλες δύο περιπτώσεις τάσεων, η διατμητική τάση

ζεύγη

11-4).

303

1 1-7 ΔΙΑΤΜΗτΙΚΗ ΤΑΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΤΜΗτΙΚΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗ

flι

Α

flι

flι

flι

11-16 Σώμα υπό την επίδραση διατμητικής τάσης. Α είναι το εμβαδόν της έδρας στην οποία ασκείται

η Fιι·

είναι και αυτή δύναμη ανά μονάδα επιφάνειας. Για καταστάσεις στατικής ισορροπίας, οι διατμητικές τάσεις μπορούν να εφαρμοστούν μόνο σε υλικά. Στο Σχ. φαίνεται ένα σώμα υπό την επίδραση διατμητικής τάσης. Το περίγραμμα αbcd παριστάνει ένα κυβικό τμήμα στερεού σώματος, π.χ. από μέταλ­ λο, πριν εφαρμοστεί σε αυτό η διατμητική τάση. Η ελαφρά σκιασμένη επιφάνεια α ' b ' c ' d ' παριστάνει το ίδιο τμήμα μετά την εφαρμογή της διατμητικής τάσης. Στο ( a), τα κέντρα των δύο τμημάτων συμπίπτουν. Στο , το κάθε τμήμα διατηρεί την ίδια μορφή όπως και στο (a), αλλά το παραμορφωμένο τμήμα έχει μετατοπισθεί έτσι ώστε οι πλευρές αd και α' d' να συμπίπτουν. Οι διατμητικές τάσεις, σε πολύ καλή προσέγγιση, δεν μεταβάλλουν τα μήκη των πλευρών· όσες διαστάσεις είναι παράλληλες προς τη διαγώνιο αc αυξάνουν σε μήκος, και όσες είναι παράλληλες προς την bd ελαττώνονται σε μήκος. Ορίζουμε ως διατμητική παραμόρφωση τον λόγο της μετατόπισης της κορυφής b προς την εγκάρσια διάσταση

στερεά

11-17

σμένο

b

τονι­

h'

�

�

c

(b)

χ h: ' χ (1 1-19) Δ ιατμητικη παραμορφωση = h = tan φ . Στα συνήθη πραγματικά προβλήματα το χ είναι σχεδόν πάντοτε πολύ μικρότερο του h, και η tan φ γίνεται ουσιαστικά ίση με τη ψ η διατμητική παραμόρφωση απλώς ταυτίζεται με τη γωνία στρέψης φ σε ακτίνια. Για αυτό τον λόγο η διατμητική παραμόρφωση ονομά­

d' α

.....-

c

'

t t

(a)

'

ζεται συχνά και γωνία στρέψης. Όπως όλες οι παραμορφώσεις, έτσι και η διατμητική, είναι ένας αδιάστατος αριθμός αφού δίνεται από τον λόγο δύο μηκών. Αν οι δυνάμεις είναι αρκετά μικρές ώστε να ικανοποιείται ο νόμος του Hooke, η διατμητική παραμόρφωση είναι της διατμητικής τάσης. Το αντίστοιχο μέτρο ε­ λαστικότητας (λόγος της διατμητικής τάσης προς τη διατμητική παραμόρφωση), ονομάζε­ ται μέτρο διάτμησης,

c

c

ανάλογη

S:

S=

Διατμητική τάση = Διατμητική παραμόρφωση

11-17.

Fι �'Α = h Fι = Fιφι!Α , χ /h A χ

(11-20)

όπου τα και ορίζονται όπως στο Σχ. Το μέτρο διάτμησης ονομάζεται επίσης και ή Ο περιλαμβάνει τιμές του μέτρου διάτμησης για διάφορα υλικά. Συνήθως η Πίνακας τιμή του του υλικού κυμαίνεται μεταξύ της τιμής του και του Να θυμάστε πά­ ντως ότι μόνο στα σώματα ορίζεται το μέτρο διάτμησης. Ένα ρευστό, υγρό ή αέ­ ριο, ρέει ελεύθερα προς τα πλάγια όταν επιχειρήσουμε να ασκήσουμε σε αυτό κάποια διατμητική τάση· επομένως δεν μπορούμε να ορίσουμε τη διατμητική τάση για ένα ρευ­ στό σε ισορροπία.

χ h 11-1 S

στερεά

- Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 1 1-8

μέτρο δυσκαμψίας μέτρο στρέψης.

Υ/3

Υ/2.

d, d' (b)

11-17 Η μεταβολή σχήματος του κυβικού σώματος είναι αποτέλεσμα της εφαρμογής μιας διατμητικής τάσης. Η διατμητική παραμόρφωση ορίζεται από τον λόγο χ /h και είναι σχεδόν ίση με τη γωνία φ σε ακτίνια. Για να γίνει πιο κατανοητή η σημασία της παραμόρφωσης φ, στο (b) ο παραμορφωμένος κύβος έχει μετατοπισθεί και περιστραφεί έτσι ώστε η βάση του να συμπίπτει με τη βάση του μη παραμορφωμένου κύβου.

-------

Ας υποθέσουμε ότι το σώμα του Σχ. 1 1-17 είναι το ορει­ χάλκινο ορθογώνιο βάθρο ενός γλυπτού εξωτερικού χώ­ ρου, και ότι στη διάρκεια ενός μικρού σεισμού ασκούνται σε αυτό διατμητικές δυνάμεις. Το βάθρο έχει τετράγωνη

διατομή πλευράς 0,80 m, και πάχος 0,50 cm. Πόση δύναμη F πρέπει να ασκηθεί σε κάθε του πλευρά ώστε η μετατόπι­ ση χ (βλ. Σχ. 1 1-17b) να είναι 0,0 1 6 cm; Δίνεται ότι για τον ορείχαλκο S = 0,36 χ 10'' Pa.

'

304

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1 ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΚΑΙ ΕΛΑΣτΙΚΟΤΗΤΑ

ΛΥΣΗ Η διατμητική τάση σε κάθε κατακόρυφη έδρα του

Το μέτρο διάτμησης S γράφεται

βάθρου είναι ο λόγος της δύναμης προς το ε μβαδόν της έ­ δρας: � = � � Διατμητική τάση = Α (Ο,8Ο m)(0,0050 m) = (250 m

S=

)F11 •

και τελικά,

Εξάλλου,

, Δ ιατμητικη, παραμορφωση = h = χ

1,6 χ 10-4 0,80 m

m

_ -

m-2)F11

Τάση = 0,36 χ 1 0 11 Pa = (250 , Παραμόρφωση 2,Ο χ 1 0-4

F11 = 2,9 χ 1 0' Ν.

2 ,0 χ 10-4.

ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ Π ΛΑΣΤΙ ΚΟΤΗΤΑ Ο νόμος του Hooke, δηλαδή η σχέση αναλογίας μεταξύ τάσης και παραμόρφωσης στις ε­ λαστικές παραμορφώσεις, έχει πολύ περιορισμένη ισχύ. Στις τρεις τελευταίες παραγρά­ φους χρησιμοποιήσαμε κατ' επανάληψη τη φράση «με την προϋπόθεση ότι οι δυνάμεις είναι αρκετά μικρές ώστε να ικανοποιείται ο νόμος του Hooke». Ποια λοιπόν ακριβώς τα όρια ισχύος του νόμου του Hooke; Από πείρα γνωρίζουμε ότι είναι δυνατό να κάμψουμε ή να σπάσουμε σώμα, αρκεί να το υποβάλλουμε σε αρκετά ισχυ­ ρό εφελκυσμό, θλίψη ή στρέψη. Θα προσπαθήσουμε να γίνουμε πιο σαφείς. Ας δούμε άλλη μια φορά την εξάρτηση της τάσης από την παραμόρφωση και ας σχεδιάσουμε την εξάρτηση αυτή σε ένα σύστημα δύο κάθετων αξόνων, ένα για την τάση και ένα για την παραμόρφωση. Αν ο νόμος του Hooke ισχύει, η αντίστοιχη καμπύλη θα είναι ευθεία γραμμή με κλίση ίση προς το μέτρο του Young. Το Σχ. δείχνει μια χα­ ρακτηριστική περίπτωση της συνάρτησης τάση-παραμόρφωση για ένα μέταλλο όπως ο χαλκός ή ο μαλακός σίδηρος. Ο άξονας των παραμορφώσεων δίνει την επι­ μήκυνση· η οριζόντια αυτή κλίμακα παύει να είναι ομοιόμορφη πέρα από το τμήμα της ευθείας γραμμής για το οποίο οι αντίστοιχες παραμορφώσεις δεν ξεπερνούν το Το πρώτο λοιπόν τμήμα της καμπύλης είναι ευθεία γραμμή, υποδηλώνοντας ότι το υλικό συ­ μπεριφέρεται σύμφωνα με τον νόμο του Hooke, δηλαδή η τάση είναι ευθέως ανάλογη της παραμόρφωσης. Αυτό το ευθύγραμμο τμήμα τερματίζει στο σημείο α· η τιμή της τά­ σης στο σημείο αυτό ορίζει το όριο αναλογίας. Από το α ως το b, τάάη και παραμόρφωση παύουν να είναι ανάλογες και Αν αρχίσουμε να ελαττώνουμε το φορτίο βαθμιαία, ξεκινώντας α­ πό οποιοδήποτε σημείο μεταξύ και b, η καμπύλη διαγράφεται εκ νέου προς τα πίσω αυτή τη φορά, ώσπου να αποκτήσει το υλικό το αρχικό του μήκος. Η παραμόρφωση είναι και οι δυνάμεις που την προκαλούν είναι διατηρητικές η ενέργεια που κα­ ταναλίσκεται για την παραμόρφωση του υλικού, ανακτάται πλήρως όταν αφαιρεθεί η τά­ ση. Λέμε τότε ότι στην περιοχή Ob το υλικό επιδεικνύει Το ση­ μείο b, το τελευταίο αυτής της περιοχής, ονομάζεται σημείο διαρροής η τάση στο σημείο διαρροής ονομάζεται όριο ελαστικότητας.

1 1-8

είναι

οποιοδήποτε

11-18 ποσοστιαία 1%.

ο νόμος

του Hooke δεν ισχύει.

Ο

αναστρέψιμη,

ελαστική συμπεριφορά.

l l-18 Χαρακτηριστικό διάγραμμα τάσης-παραμόρφωσης για ένα όλκιμο μέταλλο που υποβάλλεται σε εφελκυσμό.

Όριο ελαστικότητας ( ή σημείο διαρροής

d

Σημείο θραύσης

ο

Παραμόρφωση

30%

1 1-8 ΕΛΑΣτΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΛΑΣτΙΚΟΤΗΤΑ

1 1-19 Χαρακτηριστικό διάγραμμα τάσης-παραμόρqχοσης βουλκανισμένου καουτσούκ, όπου φαίνεται η ελαστική υστέρηση.

Παρα μόρφωση Όταν αυξήσουμε την τάση πέρα από το σημείο b, η παραμόρφωση εξακολουθεί να αυξάνει. Τώρα όμως, αν αφαιρέσουμε την τάση σε οποιοδήποτε σημείο πέρα από το b, π.χ. στο c, το υλικό δεν επανέρχεται στο αρχικό του μήκος. Αντίθετα, ακολουθεί την κόκ­ κινη γραμμή του Σχ. Όταν μηδενιστεί τελείως η τάση, το μήκος είναι από το αρχικό· το υλικό έχει πλέον υποστεί και έχει περιέλθει σε αυτό που ονομάζουμε μόνιμη κατάσταση. Παραπάνω αύξηση του φορτίου πέρα από το c, προκαλεί δυσανάλογα μεγάλη παραμόρφωση για κάθε σχετικά μικρή αύξηση της τάσης ώσπου, σε κάποιο σημείο επέρχεται η Λέμε ότι από το b στο το υλικό υφίστα­ Η πλαστική παραμόρφωση είναι μη ανα­ ται ή στρέψιμη·

11-18.

μόνιμη παραμόρφωση,

μεγαλύτερο

d θραύση. d πλαστική ροή πλαστική παραμόρφωση. όταν αφαιρεθεί τελείως η τάση, το υλικό δεν επανέρχεται στην αρχική του κατά­ σταση. Για ορισμένα υλικά είναι δυνατό να παρατηρηθεί έντονη πλαστική παραμόρφωση μεταξύ του ορίου ελαστικότητας και του σημείου θραύσης. Τα υλικά αυτά ονομάζονται όλ­ κιμα. Αντίθετα, αν το υλικό υποστεί θραύση ευθύς ως η παραμόρφωση υπερβεί το σημείο ελαστικότητας, τότε ονομάζεται εύθραυστο ή ψαθυρό. Ένα σύρμα από μαλακό σίδηρο

που μπορεί να είναι σε κατάσταση έντονου μόνιμου εφελκυσμού είναι όλκυμο· μια aτσάλι­ νη χορδή πιάνου που σπάζει μόλις ξεπεραστεί το όριο ελαστικότητας είναι εύθραυστη. Το Σχ. δείχνει την καμπύλη τάσης-παραμόρφωσης μιας ταινίας από βουλκα­ νισμένο ελαστικό που έχει τεντωθεί πάνω από εφτά φορές το αρχικό της μήκος. Η τάση δεν είναι ανάλογη της παραμόρφωσης, αλλά παρ' όλα αυτά το υλικό συμπεριφέρεται ελα­ στικά γιατί επανέρχεται ακριβώς στο αρχικό του μήκος μόλις αφαιρεθεί το φορτίο. Το φαινόμενο αυτό, όπου το υλικό ακολουθεί διαφορετική καμπύλη κατά την αύξηση και ε­ λάττωση της τάσης ονομάζεται Το έργο που παράγεται από το υλικό κατά την επαναφορά στο αρχικό του σχήμα είναι λιγότερο από το έργο που χρειάστηκε για την παραμόρφωσή του· υπάρχουν επομένως μη διατηρητικές δυνάμεις λόγω εσωτερι­ κών τριβών. Ελαστικά με μεγάλη ελαστική υστέρηση είναι πολύ χρήσιμα στην απορρόφη­ ση κραδασμών, όπως στη στήριξη μηχανημάτων ή στα αμορτισέρ των αυτοκινήτων. Η τάση που απαιτείται για να υποστεί το υλικό πραγματική θραύση ονομάζεται τά­ ή (για τάση εφελκυσμού) Δύο υλικά, ση θραύσης, ή όπως δύο διαφορετικοί τύποι χάλυβα, μπορεί να έχουν παραπλήσιες ελαστικές σταθερές αλλά πάρα πολύ διαφορετικές τάσεις θραύσης. Ο Πίνακας περιέχει χαρακτηριστι­ κές τιμές τάσεων θραύσης για μερικά υλικά υπό τάση εφελκισμού. Ο συντελεστής μετατροπής , χ Pa = 5 psi θα μας βοηθήσει να δούμε τι α­ κριβώς σημαίνουν αυτοί οι αριθμοί. Για παράδειγμα, αν η τάση θραύσης ενός συγκεκρι­ μένου τύπου χάλυβα είναι , χ Pa, τότε η αντοχή θραύσης μιας ράβδου με διατομή 2 ίη είναι

11-19

ελαστική υστέρηση.

μέγιστη αντοχή,

100 000 lb.

6 9 108 6 9 108

αντοχή εφελκυσμού. 11-3

10

1

ΠΙΝΑΚΑΣ 1 1-3 Τάσεις θραύσης υλικών Τάση θραύσης (Pa ή N/m') Υλικό

Αργίλιο Ορείχαλκος Γυαλί Σίδηρος Φωσφορούχος ορείχαλκος Χάλυβας

305

2,2 χ ιοs 4,7 ιο

χ

ιοs ιοs χ 8 χ ιοs χ ιοs χ

3,0 10 5,6 5-20

306

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΚΑΙ ΕΛΑΣτΙΚΟΤΗΤΑ

ΣΥΝΟΨΗ

ΚΥΡΙΟΙΟΡΟΙ

• Δύο συνθήκες πρέπει να ικανοποιούνται για να βρίσκεται ένα στερεό σώμα σε ι­ σορροπία. Πρώτον, το διανυσματικό άθροισμα των δυνάμεων πρέπει να είναι μηδέν. Δεύτερον, το άθροισμα των ροπών ως προς οποιοδήποτε σημείο πρέπει να είναι. μη­ δέν. Η πρώτη συνθήκη, με χρήση συνιστωσών, γράφεται

ΣFΧ = Ο, ΣFΥ = Ο, ΣFΖ = ο.

( 1 1-1)

Στ = Ο ως προς οποιοδήποτε σημείο.

( 1 1-2)

πρώτη συνθήκη ισορροπίας δεύτερη συνθήκη ισορροπίας

Η δεύτερη συνθήκη είναι

κέντρο βάρους

• Η ροπή του βάρους του σώματος μπορεί να βρεθεί αν υποθέσουμε ότι ολόκληρο το βάρος, ως δύναμη, εφαρμόζεται στο κέντρο μάζας που γι' αυτό το λόγο ονομάζεται και κέντρο βάρους. Οι συνιστώσες του διανύσματος θέσης του κέντρου βάρους είναι

κέντρο μάζας ζεύγος τάοη παραμόρφωση

m ix i + m 2x2 + ... Σm;Χ; ' m Ι + m2 + ... Σm; Σm;y; = m1Υι + mzYz + ··· Ycm mι + m2 + ... = Σm; ' Σm;z; = m izi + m 2 z2 + ... Zcm m i + m2 + ... Σm; Xcm =

"'

μέτρο ελαοτικότητας ν()μος του Hooke εφελκυομ()ς τάση εφελκυομού pascal θλίψη, ουμπίεοη θλιπτική τάση παραμ()ρφωση εφελκυομού θλιπτική παραμόρφωοη ή παραμόρφωοη συμπίεσης μέτρο του Young λόγος Poisson ιοοτροπική τάση ιοοτροπική παραμόρφωση πίεοη ατμόσφαιρα ανηγμένη μεταβολή όγκου μέτρο ελαστικότητας όγκου συμπιεστότητα διατμητική τάση διατμητική παραμόρφωση μέτρο διάτμησης όριο αναλογίας σημείο διαρροής όριο ελαστικότητας τάση θραύσης

,,

•

>'

(1 1-3)

• Για να υπολογίσουμε τη ροπή μιας δύναμης βρίσκουμε τη ροπή κάθε συνιστώσας, με τον κατάλληλο μοχλοβραχίονα και πρόσημο, και τις προσθέτουμε όλες μαζί.

• Δύο δυνάμεις ίδιου μέτρου F και αντίθετης κατεύθυνσης που εφαρμόζονται στο σώ­ μα, αποτελούν ζεύγος. Αν l είναι η απόσταση των φορέων τους, το μέτρο της ροπής του ζεύγους είναι ( 11-8) lF.

τ=

Η ροπή αυτή είναι ίδια για οποιοδήποτε σημείο αναφοράς.

• Ο νόμος του Hooke λέγει ότι στις ελαστικές παραμορφώσεις, τάση και παραμόρ­ φωση είναι ανάλογες: π

Τάση , = Μ ετρο ε λαστικοτητας. ' Γ αραμορφωση

( 1 1-9)

• Τάση εφελκυσμού είναι η δύναμη εφελκυσμού ανά μονάδα επιφάνειας, fl_JA. Πα­ ραμόρφωση εφελκυσμού ε ίναι η ποσοστιαία μεταβολή μήκους, Δ//[0. Το μέτρο του Young Υ είναι ο λόγος της τάσης εφελκυσμού προς την παραμόρφωση εφελκυσμού:

}.Q_ Fl_

Υ = Fl_ IΑ =

Α ΔΖ .

Δl/!0

( 1 1-12)

Με τον ίδιο τρόπο ορίζονται η θλιπτική τάση και η θλιπτική παραμόρφωση· για πολλά υλικά το μέτρο του Young για εφελκυσμό είναι το ίδιο με το μέτρο του Young για θλί­ ψη. • Ο λόγος Poisson σ είναι το αντίθετο του λόγου της ποσοστιαίας μεταβολής του πλά­ τους Δw/w0 μιας ράβδου σε κατάσταση εφελκυσμού ή συμπίεσης (θλίψης) προς την ποσοστιαία μεταβολή του μήκους Δl/!0:

Δw

Wο

ΔΖ lo

= - σ -.

( 11-13)

• Πίεση είναι η δύναμη ανά μονάδα επιφάνειας:

Fl_

p = Λ·

( 1 1-14)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

307

Β

Το μέτρο ελαστικότητας όγκου είναι το αντίθετο του λόγου της μεταβολής πίεσης Δp ισοτροπική τάση) προς την ποσοστιαία μεταβολή όγκου Δ V/V0:

(

(11-16)

Β =-� • ΔV/V0

..

Συμπιεστότητα k είναι το αντίστροφο του μέτρου ελαστικότητας όγκου:

(11-17) ι Διατμητική τάση είναι η δύναμη που ασκείται παράλληλα σε μια επιφάνεια, ανά μονάδα επιφάνειας, F1 /A. Διατμητική παραμόρφωση είναι η γωνία του Σχ. Το μέτρο διάτμησης είναι ο λόγος της διατμητικής τάσης προς τη διατμητική παρα­ μόρφωση:

φ

S

11-17.

(11-20) •

Όριο αναλογίας είναι η μέγιστη τάση στην οποία τάση και παραμόρφωση εξακο­ λουθούν να ε ίναι ανάλογες. Για τάσεις πάνω από το όριο αναλογίας, ο νόμος του Hooke παύει να ισχύει. Όριο ελαστικότητας είναι η τάση πάνω από την οποία οι προ­ καλούμενες παραμορφώσεις είναι μόνιμες. Τάση θραύσης, ή μέγιστη αντοχή, είναι η τάση στην οποία επέρχεται θραύση του υλικού.

ΑΣΚΗΣΕΙ Σ

;

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Εδάφιο 11-2 Κέντρο βάρους 1 1-1 Μπάλα ακτίνας r1 = 0,060 m και μάζας m1 = 1,00 kg συν­ δέεται με δεύτερη μπάλα, r2 = 0,080 m, m2 = 4,00 kg με τη βοήθεια αβαρούς ράβδου μήκους 0,400 m (Σχ. 1 1-20). Πού βρίσκεται το κέντρο βάρους του συστήματος;

'ι

"\

'�====[ � 0,400 m �

ΣXHMA l l-20 1 1-2 Υποθέστε ότι η ράβδος στην Άσκηση 1 1-1 είναι ομοιόμορ­ φη και έχει μάζα 2,00 kg. Πού είναι το κέντρο βάρους του συστήμα­ τος τώρα;

Εδάφιο 1 1 -3 Επίλυση προβλημάτων ισορροπίας 1 1-3

Δύο εργάτες μεταφέρουν μια βαριά γεννήτρια τοποθετη­ μένη πάνω σε αβαρή σανίδα μήκους 2,00 m. Ο ένας σηκώνει τη μιαν άκρη με δύναμη 700 Ν, ο άλλος σηκώνει την άλλη άκρη με δύ­ ναμη 400 Ν. Ποιο είναι το βάρος της γεννήτριας και σε ποιο ση­ μείο της σανίδας βρίσκεται το κέντρο βάρους της; 1 1-4 Υποθέστε, ότι η σανίδα της Άσκησης 1 1-3 δεν είναι αβα­ ρής αλλά ζυγίζει 200 Ν, το δε κέντρο βάρους της βρίσκεται στο γε­ ωμετρικό της κέντρο. Οι δύο εργάτες ασκούν τις ίδιες δυνάμεις ό­ πως και πριν. Ποιο είναι το βάρος της γεννήτριας σε αυτή την περί­ πτωση, και πού βρίσκεται το κέντρο βάρους της;

ΣΧΗΜΑ 1 1-21 1 1-5 Ανύψωση κλίμακας. Η κλίμακα του πυροσβεστικού οχήματος του Σχ. 1 1-21 έχει βάρος 1800 Ν και μήκος 20,0 m, με το κέντρο βάρους της στο κέντρο της. Η κλίμακα μπορεί να περιστρέ­ φεται χωρίς τριβή περί οριζόντιο άξονα στο ένα της άκρο (Α). Η a­ νύψωσή της γίνεται με υδραυλικό έμβολο που της ασκεί δύναμη στο σημείο C. Το C απέχει 8,0 m από το Α. Η δύναμη F σχηματίζει γω­ νία 40 με την κλίμακα. Ποιο πρέπει να είναι το μέτρο της F; ο

1 1-6

Δύο άτομα μεταφέρουν μια ομοιόμορφη σκάλα μήκους 6,0

m και βάρους 500 Ν. Αν ο ένας εφαρμόζει στο ένα της άκρο δύνα­ μη 180 Ν προς τα επάνω, σε ποιο σημείο την κρατά ο δεύτερος;

1 1-7 Μια σανίδα καταδύσεων μήκους 3,0 m στηρίζεται σε ένα σημείο που απέχει 1,0 m από το άκρο της ο καταδύτης ζυγίζει 580 Ν και στέκεται στο ελεύθερο άκρο της (Σχ. 11-22). Η σανίδα είναι

ΣXHMA ll-22

308

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1 ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΚΑΙ ΕΛΑΣτΙΚΟΤΗΤΑ

ΣυρματόσΧοινο .

ομοιόμορφη και ζυγίζει 400 Ν. Υπολογίστε a) τη δύναμη στο σημείο στήριξης b) τη δύναμη στο άκρο, που πιέζεται προς τα κάτω. 1 1-8 Μια ομοιογενής ορθογώνια καταπακτή βάρους 350 Ν φρά­ ζει τη δίοδο από ένα δωμάτιο προς το υπόγειο κάτω από αυτό. Η καταπακτή ανοίγει χάρη στους μεντεσέδες που τη συγκρατούν από τη μια της πλευρά. Υπολογίστε το μέτρο της δύναμης που χρειάζε­ ται να ασκηθεί στην καταπακτή για να ανυψωθεί ελάχιστα από την οριζόντια θέση, ως και το μέτρο της ολικής δύναμης που ασκούν οι μεντεσέδες στην καταπακτή, στις περιπτώσεις που η προς τα επάνω δύναμη εφαρμόζεται a) στο κέντρο της καταπακτής, b) στο κέντρο της πλευράς απέναντι στους μεντεσέδες.

Δείξτε ότι στο Παράδ. 1 1-4 το άθροισμα των ροπών ως προς το m1μείο Β των δυνάμεων Τχ και ΤΥ είναι μηδέν. Η απόδειξή σας να αφορά τη γενική περίπτωση και όχι την ειδική περίπτωση με τα αριθμητικά δεδομένα στο τέλος του παραδείγματος.

ιί2ι u

ΣΧΗΜΑ Ι Ι-25

1 1 -9

Στήριξη κλίμακας σε κατακόρυφο τοίχο χωρίς τριβή. Ο μοιογενής κλίμακα μήκους 1 0,0 m και βά­ ρους 400 Ν ισορροπεί ακουμπώντας σε κατακόρυφο τοίχο χω­ ρίς τριβή, με τη βάση της να απέχει 6,0 m από τον τοίχο. Ο συ­ ντε λεστής στατικής τριβής μεταξύ βάσης και ε δάφους ε ίναι 0,40. Ένας άνδρας βάρους 860 Ν ανεβαίνει στη σκάλα με αργό ρυθμό. a) Ποια ε ίναι η μέγιστη δύναμη στατικής τριβής που μπορεί να ασκήσει το έδαφος στη βάση της κλίμακας; b) Ποια είναι η πραγματική δύναμη στατικής τριβής όταν ο άνδρας έχει καλύψει μήκος 3,0 m πάνω στην κλίμακα; c) Πού βρίσκεται ο άνδρας τη στιγμή που η κλίμακα αρχίζει να ολισθαίνει; 1 1- 1 0

επάνω τμήματος του σκοινιού· b) την οριζόντια και κατακόρυφη συ­ νιστώσα της δύναμης που ασκεί η δοκός στο κατακόρυφο τοίχωμα. 1 1 - 1 3 Μια πόρτα ζυγίζει 250 Ν και έχει διαστάσεις 1 ,00 m πλά­ τος και 2,50 m ύψος. Η πόρτα στηρίζεται σε δύο μεντεσέδες, ένα στα 0,50 m από την κορυφή και ένα στα 0,50 m από τη βάση. Κάθε μεντεσές δέχεται δύναμη ίση με το μισό του βάρους της πόρτας. Υποθέτοντας ότι το κέντρο βάρους της πόρτας βρίσκεται στο γεω­ μετρικό της κέντρο, να υπολογίσετε την οριζόντια συνιστώσα της δύναμης που ασκεί ο κάθε μεντεσές στην πόρτα. 1 1- 1 4 Ο ομοιογενής πλάγιος βραχίονας του γερανού του Σχ. 1 1-25 ζυγίζει 3200 Ν, και στηρίζεται χωρίς τριβή στη βάση του. a) Υπολογίστε την τάση ταυ οριζόντιου τμήματος του συρματόσκοινου, καθώς και τις δύο συνιστώσες, οριζόντια και κατακόρυφη, της δύ­ ναμης που ασκείται στη βάση του βραχίονα. b) Έχει η δύναμη αυτή την ίδια διεύθυνση με τον βραχίονα; 1 1- 1 5 Δύο δυνάμεις μέτρου F 1 = F = 6,00 Ν εφαρμόζονται στη 2 ράβδο του Σχ. 1 1-26. a) Υπολογίστε τη συνολική ροπή των F1 , F2 ως προς το σημείο Ο, υπολογίζοντας τη ροπή κάθε δύναμης χωρι­ στά. b) Επαναλάβετε το ερώτημα (a) ως προς το σημείο c) Συ­ γκρίνετε τα αποτελέσματά σας με την Εξ. (1 1-8).

Ρ.

(b)

(a) ΣΧΗΜΑ 1 1-23

1 1 - 1 1 Δίνονται οι δύο διατάξεις του Σχ. 1 1-23. Σε κάθε περί­ πτωml, να υπολογίσετε την τάση Τ σε κάθε τμήμα σκοινιού, ως και τη δύναμη, σε μέτρο και διεύθυνση, που ασκείται στην ομοιογενή δοκό από το σημείο στήριξής της. Το aνυψωμένο σώμα και η δοκός έχουν το ίδιο βάρος w.

1 1- 1 2 Η οριζόντια δοκός του Σχ. 1 1-24 ζυγίζει 150 Ν και το κέ­ ντρο βάρους της είναι στο κέντρο αυτής. Υπολογίστε a) την τάση του

ΣΧΗΜΑ 1 1-26 1 1- 1 6 Δύο ίσες και παράλληλες δυνάμεις μέτρου F 1 = F2 = 8,00 Ν ασκούνται σε μια ράβδο, όπως δείχνει το Σχ. 1 1-27. a) Ποια πρέ­ πει να είναι η απόσταση l μεταξύ των φορέων των δυνάμεων, ώστε να δημιουργήσουν συνολική ροπή 9,60 Ν · m ως προς το αριστερό άκρο της ράβδου; b) Ποια είναι η φορά αυτής της ροπής;

S,OO m 4,00 m

o

ΣΧΗΜΑ Ι Ι-24

�3,00m

-t � l

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ..J

ΣΧΗΜΑ Ι Ι -27

ΠΡΟΒΛΉΜΑΤΑ

Εδάφιο 1 1 -5 Τάση και παραμόρφωση εφελκυσμού 1 1-17 Μεταλλική ράβδος μήκους 4,0 m και διατομής 0,50 cm' επιμηκύνεται κατά 0,20 cm όταν εφαρμοστεί σε αυτή δύναμη 4000 Ν. Υπολογίστε το μέτρο του Υoung του συγκεκριμένου μετάλλου. 1 1-18 Τάσεις στα σκοινιά ορειβασίας. Το σκοινί από νάυλον που χρησιμοποιεί ένας ορειβάτης επιμηκύνεται κατά 1 ,50 m κάτω από το βάρος των 80 kg του ορειβάτη. a) Αν το μήκος του σκοινιού ε ίναι 50,0 m και η διάμετρός του 7,0 mm, ποιο είναι το μέτρο του Young αυτού του υλικού; b) Αν ο λό­ γος Poisson του νάυλον ε ίναι 0,20, υπολογίστε τη μεταβολή της διαμέτρου που προκαλείται από το βάρος. 1 1-19 Ένα ατσάλινο συρματόσκοινο κυκλικής διατομής και μήκους 3,00 m δεν πρέπει να επιμηκύνεται περισσότερο από 0,20 cm όταν τεντώνεται με δύναμη 300 Ν. Ποια είναι η ελάχιστη απαι­ τούμενη διάμετρος του σύρματος; 1 1-20 Ο δικέφαλος μυς. Ο δικέφαλος μυς σε η ρ εμία, χρειάζεται δύναμη 25,0 Ν για επιμήκυνση 3,0 cm· ο ίδιος μυς σε κατάσταση μέγιστης καταπόνησης απαιτεί δύναμη 500 Ν για την ίδια επιμήκυνση. Υπολογίστε το μέτρο του Young για τους ιστούς του στις δύο περιπτώσεις. Θεωρείστε ότι ο μυς έχει ομοιόμορφο κυλινδρικό σχήμα μήκους 0,200 m και διατομής 50,0 cm'. 11-21 Κατακόρυφος aτσάλινος στήλος μήκους 3,00 m και δια­ μέτρου 15 cm υποβαστάζει βάρος 6000 kg. Υπολογίστε a) την τά­ ση· b) την παραμόρφωση· c) τη μεταβολή του ύψους του στύλου. 11-22 Δύο ράβδοι κυκλικής διατομής, ο ένας από ατσάλι ο άλ­ λος από ορείχαλκο, ενώνονται κατά μήκος στο ένα τους άκρο. Έχουν το ίδιο μήκος 0,500 m και την ίδια διάμετρο 2,00 cm. Το σύστημα υποβάλλεται σε δύναμη εφελκυσμού 3000 Ν. Υπολογίστε για κάθε ράβδο, a) την παραμόρφωση· b) την επιμήκυνση· c) τη μεταβολή διαμέτρου. 11-23 Μάζα 5,0 kg κρέμεται από ατσάλινο σύρμα μήκους 0,50 και διατομής 3,0 χ 10-' cm'. Από τη μάζα κρέμεται ένα δεύτερο όμοιο σύρμα που στην άκρη του είναι δεμένη δεύτερη μάζα 10,0 kg. Να υπολογιστεί, για κάθε σύρμα, a) η παραμόρφωση εφελκυ­ σμού· b) η επιμήκυνση. m

Εδάφιο 1 1-6 Ισοτροπικές τάσεις και παραμορφώσεις 11-24 Το πιο μεγάλο βάθος του Ειρηνικού Ωκεανού είναι 10,9 km, η δε πίεση στο σημείο αυτό είναι 1,10 χ 10' Pa (περίπου 1,09 χ 10' atm). a) Αν ένα κυβικό μέτρο νερού μεταφερθεί από την ε­ πιφάνεια στον πυθμένα, ποια θα είναι η μεταβολή του όγκου του; (Η κανονική ατμοσφαιρική πίεση στην επιφάνεια είναι περίπου ΠΡΟ ΒΛΗΜΑΤΑ

309

1,0 χ 105 Pa. Υποθέστε ότι η συμπιεστότητα k του θαλασσινού νε­ ρού είναι ίδια με του γλυκού νερού που δίνει ο Πίνακας 1 1-2.) b) Ποια είναι η πυκνότητα του θαλασσινού νερού σε αυτό το βάθος; (Στην επιφάνεια η πυκνότητά του είναι 1,03 χ 10' kg/m').

1 1-25 Ένα είδος λαδιού με αρχικό όγκο 1000 cm'υποβάλλεται σε αύξηση πίεσης κατά 1,8 χ 10'Pa, οπότε ο όγκος του ελαττώνε­ ται κατά 0,30 cmΌ Ποιο είναι το μέτρο ελαστικότητας όγκου του λαδιού; η συμπιεστότητά του;

Εδάφιο 1 1-7 Διατμητικές τάσεις και παραμορφώσεις 1 1-26 Υποθέστε ότι το αντικείμενο του Σχ. 1 1-16 είναι μια τε­ τράγωνη aτσάλινη πλάκα, πλευράς 10,0 cm και πάχους 1,00 cm. Βρείτε το μέτρο της δύναμης που πρέπει να εφαρμοστεί σε καθε­ μιά από τις τέσσερις πλευρές ώστε να προκληθεί διατμητική τάση 0,0300. 1 1-27 Δύο μεταλλικές ταινίες καρφώνονται στις γωνιές τους η μια πάνω στην άλλη με τέσσερα καρφιά διαμέτρου 0,300 cm το καθένα. Ποιο είναι το μέγιστο φορτίο που μπορεί να ασκηθεί στην καρφωμένη ταινία, αν η διατμητική τάση που θα εφαρμοστεί σε κάθε κορυφή δεν πρέπει να υπερβαίνει τα 6,00 χ 108 Pa; Υποθέ­ στε ότι το κάθε καρφί σηκώνει το 1/4 του φορτίου.

Εδάφιο 1 1 -8 Ελαστικότητα και πλαστικότητα 1 1-28 Τα χαρακτηριστικά ενός aτσάλινου σύρματος είναι: Μήκος = 5,00 m Διατομή = 0,050 cm' Μέτρο του Υoung = 2,0 χ 1011 Pa Μέτρο διάτμησης = 0,84 χ 1011 Pa Όριο αναλογίας = 3,6 χ 10'Pa Τάση θραύσης = 1 1,0 χ 108 Pa Το σύρμα κρέμεται κατακόρυφα από το ένα του άκρο. a) Πόσο βάρος μπορούμε να κρεμάσουμε στο σύρμα χωρίς να υπερβούμε το όριο αναλογίας; b) Πόσο θα επιμηκυνθε ί τότε το σύρμα; c) Ποιο είναι το μέγιστο βάρος που μπορούμε να κρεμάσουμε;

1 1-29 Το όριο ελαστικότητας του συρματόσκοινου σε έναν ανελκυστήρα ε ίναι 2,75 χ 1 08 Pa, και η διατομή του είναι 4,00 cm'. Υπολογίστε τη μέγιστη επιτάχυνση που μπορεί να προσ­ δοθεί σε ανερχόμενο ανελκυστήρα μάζας 900 kg, αν η τάση του συρματόσκοινου δεν πρέπει να υπερβεί το 1/3 του ορίου ε­ λαστικότητας.

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

11-30 Η απόσταση των αξόνων των πρόσθιων και οπίσθιων τροχών ενός αυτοκινήτου είναι 3,00 m, το δε βάρος του είναι 1,96 χ 10' Ν. Κανονικά, τα 10 780 Ν κατανέμονται στους πρόσθιους τροχούς και τα 8820 Ν στους οπίσθιους. Φορτίο 2200 Ν τοποθετεί­ ται στον χώρο αποσκευών 1,00 m πιο πίσω από τον άξονα των οπί­ σθιων τροχών. Τι συνολικό βάρος ασκείται τώρα στους πρόσθιους τροχούς; στους οπίσθιους;

Η κάθετη δύναμη που ασκείται στους οπίσθιους τροχούς είναι τότε ( 1 - f)w . Η απόσταση των αξόνων των πρόσθιων και οπί­ σθιων τροχών είναι d. a) Δείξτε ότι το κέντρο βάρους του αυτο­ κινήτου βρίσκεται μεταξύ των δύο αξόνων και σε απόσταση fd από τον άξονα των οπίσθιων τροχών. b) Δείξτε ότι το γενικό α­ ποτέλεσμα του ερωτήματος ( a ) συμφωνεί με το αριθμητικό α­ ποτέλεσμα του Παραδ. 1 1-2.

11-31 Κέντρο βάρους αυτοκινήτου. Σ ε ένα αυτοκίνητο βάρους w, οι πρόσθιοι τροχοί σηκώνουν ένα κλάσμα f του βά­ ρους, οπότε η κάθετη δύναμη που ασκείται σε αυτούς ε ίναιfw.

1 1-32 Ο ιππότης Lancelot έφιππος βγαίνει αργά από το κά­ στρο, περνώντας την κρεμαστή γέφυρα μήκους 12,0 m πάνω από την τάφρο (Σχ. 1 1-28). Δεν γνωρίζει όμως ότι οι αντίπαλοί του έ-

3 10

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΚΑΙ ΕΛΑΣτΙΚΟΤΗΤΑ

σχηματίζει γωνία 60° με τη σανίδα, και χρειάζεται δύναμη F1 μέ­ τρου 400 Ν για να βγει. Το σφυρί ακουμπά τη σανίδα στο σημείο Α που βρίσκεται 0,080 m από τη βάση του καρφιού. Οριζόντια δύνα­ μη F2 εφαρμόζεται στον βραχίονα του σφυριού, σε ύψος 0,300 m από τη σανίδα. Ποιο είναι το απαιτούμενο μέτρο της F2 για να βγει το καρφί; (Αγνοήστε το βάρος του σφυριού).

ΣΧΗΜΑ 1 1-28

χουν ελαττώσει την αντοχή του κατακόρυφου σκοινιού της γέφυ­ ρας, που θα σπάσει αν η τάση του υπερβεί τα 5,00 χ 10' Ν. Η μάζα της γέφυρας είναι 200 kg και το κέντρο βάρους της είναι στο κέ­ ντρο της. Ο Lancelot με την πανοπλία του και το άλογό του ζυγί­ ζουν συνολικά 600 kg. Θα σπάσει το σκοινί πριν ο Lancelot φτάσει στην άκρη της γέφυρας; Αν ναι, σε ποια απόσταση από το άκρο της γέφυρας προς την πλευρά του κάστρου θα βρίσκεται τότε το κέντρο βάρους του αλόγου με τον αναβάτη; 1 1-33 Περπάτημα πάνω σε σανίδα. Ομοιόμορφη σανί­ δα μήκους 1 5,0 m και βάρους 400 Ν ισορροπεί συμμετρικά πά­ νω σε δύο στηρίγματα που απέχουν μεταξύ τους 8,0 m (Σχ. 1 1-29). Ένα παιδί βάρους 690 Ν ξεκινά από το σημείο Α και περπατά προς τα δεξιά. a) Σχεδιάστε στο ίδιο διάγραμμα τις καμπύλες που δείχνουν την εξάρτηση από τη συντεταγμένη χ του παιδιού, των δυνάμεων FA και F8 που ασκούνται στα ση­ μεία Α και Β της σανίδας. Βαθμολογήστε τις κλίμακες έτσι ώ­ στε 1 cm = 1 00 Ν για τον κατακόρυφο άξονα και 1 cm = 1 ,00 m για τον οριζόντιο. b) Σύμφωνα με τις καμπύλες, μέχρι πού μπορεί να προχωρήσει το παιδί πέρα από το Β πριν ανατραπεί η σανίδα; c) Σε ποια απόσταση από το δεξιό άκρο πρέπει να τοποθετηθεί το στήριγμα Β, ώστε το παιδί να φτάσει στο δεξιό άκρο χωρίς να ανατραπεί η σανίδα;

1 1-35 Η σκυλίτσα σας η Trixie έχει μήκος 0,740 m (από τη μύτη ως τα πίσω πόδια) και ζυγίζει 140 Ν . Η οριζόντια απόσταση από τη μύτη της ως τα μπροστινά της πόδια είναι 0,15 m, και από το κέ­ ντρο βάρους της ως τα πίσω πόδια επίσης 0,15 m. a) Τι δύναμη α­ σκεί το (οριζόντιο) δάπεδο στο κάθε της πόδι; b) Η Trixie αρπάζει ένα κόκκαλο 25 Ν και το κρατά στο στόμα της, ακριβώς κάτω από τη μύτη της. Πόση δύναμη ασκείται τώρα από το δάπεδο στο κάθε της πόδι; 1 1-36 Φορτηγό πάνω σε ανυψ ο ύμενη γέφυρα. Μια φορτωμένη μπετονιέρα μάζας 6000 kg κινείται πάνω σε μια πα­ λιά ανυψούμενη γέφυρα. Στα 3/4 του μήκους της γέφυρας ανα­ γκάζεται να σταματήσει λόγω βλάβης. Ωστόσο, επειδή πρέπει να περάσει από κάτω ένα καράβι, αρχίζει η ανύψωση της γέ­ φυρας με ένα καλώδιο, δεμένο στο δεξιό της άκρο (Σχ. 1 1-31). Το μήκος της γέφυρας είναι 40,0 m και η μάζα της 3000 kg. Το κέντρο βάρους της είναι στη μέση. Όταν η γέφυρα σχηματίζει γωνία 30° με την οριζόντιο, το καλώδιο σχηματίζει γωνία 70° με το δάπεδο της γέφυρας. a) Πόση ε ίναι η τάση του καλωδίου στη θέση αυτή; Πόση είναι η οριζόντια και η κατακόρυφη συνι­ στώσα της δύναμης που ασκείται από τον άξονα περιστροφής της;

70°

Ι1 I 1

I

2,00 m --------:'>1

20 Ν

ΣXHMA l l-35

ρίζεται με το ένα της άκρο στο κέντρο του δίσκου. Το σύστημα ι­ σορροπεί και η ράβδος βρίσκεται στην οριζόντια θέση (Σχ. 1 1-35 ) . a) Ποιο είναι το βάρος της ράβδου; Στο ελεύθερο άκρο της ράβδου κρεμάμε ένα δεύτερο βάρος 20,0 Ν (διακεκομένη γραμμή). Ποια είναι η νέα θέση ισορροπίας της ράβδου, δηλαδή τι γωνία σχηματίζει τώρα με την οριζόντιο;

37'

ΣXHMA l l-33 1 1-39 Ο βραχίονας ενός γερανού μήκους 6,00 m βρίσκεται σε οριζόντια θέση, και στηρίζεται σε κατακόρυφο τοίχωμα μέσω άρ­ θρωσης στο αριστερό του άκρο. Στο δεξιό του άκρο κρέμεται βά­ ρος 500 Ν. Ο βραχίονας στηρίζεται ακόμη με συρματόσκοινο που συνδέει το δεξιό του άκρο με κάποιο σημείο του τοιχώματος πάνω από την άρθρωση. Το βάρος του βραχίονα μπορεί να θεωρηθεί α­ μελητέο. a) Ποιο είναι το χαμηλότερο σημείο στήριξης του συρμα­ τόσχοινου στο τοίχωμα, αν η τάση του δεν πρέπει να υπερβαίνει τα 1000 Ν; b) Πόσο θα αυξηθεί η τάση αν το συρματόσκοινο πρέ­ πει να στηριχθεί 0,50 m χαμηλότερα από το σημείο που υπολογί­ σατε στο ερώτημα (a); (Ο βραχίονας παραμένει πάντοτε στην ορι­ ζόντια θέση.)

a) Το Σχ. 11-34 δείχνει μια δοκό μήκους 6,00 m και βά­ ρους 80,0 Ν να κρέμεται δεμένη 1 ,00 m δεξιά του κέντρου της, σχηματίζοντας γωνία 30,0' με την κατακόρυφο. Στο δεξιό της ά­ κρο κρέμεται βάρος 100,0 Ν και στο αριστερό της άκρο κρέμεται άγνωστο βάρος w. Αν το σύστημα ισορροπεί, ποιο είναι το w; b) Αν η γωνία είναι 45,0' αντί των 30,0', πόσο είναι το w;

1 1-42 Μια εορταστική διακόσμηση περιλαμβάνει δύο γιαλι­ στερές σφαίρες με μάζες 0,0240 kg και 0,0360 kg, που κρέμονται όπως δείχνει το Σχ. 11-36 από μια ομοιόμορφη ράβδο μάζας 0,200 kg και μήκους 1,00 m. Η ράβδος κρέμεται από την οροφή με δύο κατακόρυφα νήματα, και είναι σε οριζόντια θέση. Υπολογίστε τις τάσεις όλων των νημάτων από Α ως F.

Ε 0,200

k'---�*-- 0 ,600 m

w

� m

c

0,0240

ΣXHMA l l-36

kg

0,0360 kg

1 1-43 Η πύλη φάρμας. Η πύλη του Σχ. 1 1-37 έχει μήκος 4,0 m, ύψος 2,0 m και βάρος 500 Ν. Το κέντρο βάρους της ε ί­ ναι στο κέντρο της και στηρίζεται με δύο μεντεσέδες στα ση­ μεία Α και Β. Το σύρμα CD συνδέεται όπως δείχνει το σχήμα για να μειώνει την καταπόνηση στο σημείο Α. Η τάση του σύρ-

D

ΣΧΗΜΑ 1 1-34

1 1-4 1 Κυκλικός δίσκος διαμέτρου 0,500 m μπορεί να περιστρέ­ φεται περί οριζόντιο ακλόνητο άξονα. Γύρω από την περιφέρειά του είναι τυλιγμένο ένα νήμα, που μέσω της τροχαλίας Ρ καταλή­ γει σε βάρος 240 Ν. Μια ομοιόμορφη ράβδος μήκους 2,00 m στη-

0.200 I 53,1 ο

D

1 1-40

lOO N

F

m

ΣXHMA l l-37

312

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1 ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΚΑΙ ΕΛΑΣτΙΚΟΤΗΤΑ

ΣΧΗΜΑ 1 1-40

ΣΧΗΜΑ 1 1-38

ματος CD ρυθμίζεται έτσι ώστε η οριζόντια δύναμη στο Α να είναι μηδέν. a) Ποια είναι η τάση στο σύρμα CD; b) Ποια είναι η οριζόντια συνιστώσα της δύναμης στο Β; c) Ποια είναι η συ­ νισταμένη κατακόρυφη δύναμη που ασκούν στο σύστημα τα Α και Β;

βάρους του είναι στο γεωμετρικό κέντρο του. Ο συντελεστής στα­ τικής τριβής μεταξύ ταινίας και δέματος είναι 0,30 η δε ταινία κι­ νείται με σταθερή ταχύτητα (Σχ. 1 1-40). a) Η γωνία θ της ταινίας αυξάνει με αργό ρυθμό. Σε κάποια κρίσιμη τιμή της θ το δέμα θα ανατραπεί (εκτός αν έχει ήδη ολισθήσει προς τα κάτω) και σε δια­ φορετική κρίσιμη τιμή θα ολισθήσει (εκτός αν έχει ήδη ανατρα­ πεί). Προσδιορίστε τις δύο κρίσιμες γωνίες και ποια από τις δύο περιπτώσεις θα συμβεί πρώτη. b) Θα άλλαζε η απάντησή σας στο πρώτο ερώτημα αν ο συντελεστής τριβής ήταν 0,75;

0,25

Ένας τροχός έχει διάμετρο 1,00 m και βάρος 450 Ν. Ποια είναι η ελάχιστη οριζόντια δύναμη που απαιτείται ώστε κυ­ λιόμενος ο τροχός να ξεπεράσει ένα εμπόδιο ύψους 0,100 m, αν η δύναμη εφαρμόζεται a) στο κέντρα του τροχού; b) στο ψηλότερο σημείο της περιφέρειάς του; 1 1-44

1 1-45 Με ένα φίλο σας μαζί ανεβάζετε σε μια σκάλα ένα κι­ βώτιο 200 kg. Εσείς σηκώνετε από τη χαμηλότερη πλευρά! (Σχ. 1 1-38). Οι διαστάσεις του κιβωτίου είναι 1,25 m μάκρος και 0,50 m ύψος. Σκάλα και κιβώτιο σχηματίζουν γωνία 45,0. με το δάπε­ δο. Αν η δύναμη που ασκεί ο καθένας σας είναι κατακόρυφη, ποιο είναι το μέτρο της για τον καθένα; από ποια πλευρά σας συμφέρει να σηκώνετε;

Το αριστερό άκρο μιας βαθμονομημένης ράβδου ακου­ 1 1-46 μπά σε ένα κατακόρυφο τοίχο με συντελεστή στατικής τριβής 0,40, ενώ το δεξιό της άκρο είναι δεμένο με ελαφρύ νήμα υπό γωνία θ, όπως δείχνει το Σχ. 1 1-39. a) Ποια είναι η μέγιστη τιμή της γωνίας θ ώστε η ράβδος να παραμείνει σε ισορροπία; b) Υποθέστε ότι θ = ω·. Ένα αντικείμενο που έχει την ίδια μάζα όπως και η ράβδος κρέμεται τώρα από τη ράβδο σε απόσταση χ από τον τοίχο. Ποια είναι η ελάχιστη τιμή του χ για να παραμείνει η ράβδος σε ισορρο­ πία; c) Όταν θ = 10•, πόσος πρέπει να είναι ο συντελεστής στατι­ κής τριβής ώστε η ράβδος να ισορροπεί ακόμη και αν το αντικεί­ μενο βρίσκεται στο αριστερό άκρο; 1 1 -47 Μηχανικός σχεδιάζει ταινιόδρομο μεταφοράς και φόρ­ τωσης δεμάτων σανού σε ένα φορτηγό. Κάθε δέμα ζυγίζει 25,0 kg και έχει μήκος 0,75 m, πλάτος 0,25 m και ύψος 0,50 m. Το κέντρο

ΣΧΗΜΑ 1 1-39

τ

� m

ΣΧΗΜΑ 1 1-41

1 1-48 Το δέμα του Προβλ. 1 1-47 σύρρεται από μια δύναμη F στο οριζόντιο δάπεδο με σταθερή ταχύτητα (Σχ. 1 1-41). Ο συντε­ λεστής της τριβής ολίσθησης είναι 0,35. a) Υπολογίστε το μέτρο της F. b) Υπολογίστε το ύψος h, για το οποίο το δέμα μόλις αρχίζει να ανατρέπεται. 1 1-49 Η πόρτα ενός γκαράζ κινείται πάνω σε οριζόντιο οδη­ γό (Σχ. 1 1-42). Οι τροχοί στα Α και Β είναι τόσο σκουριασμένοι ώστε αντί να κυλίονται, ολισθαίνουν. Ο συντελεστής τριβής ολί­ σθησης είναι 0,55. Η απόσταση μεταξύ των τροχών είναι 2,00 m και ο καθένας απέχει 0,50 m από την πλησιέστερη κάθετη πλευρά της πόρτας. Η πόρτα είναι ομοιογενής και ζυγύζει 800 Ν. Μια ορι­ ζόντια δύναμη F την σπρώχνει προς τ' αριστερά με σταθερή ταχύ­ τητα. a) Αν η απόσταση h είναι 1,50 m, ποια είναι η κάθετη συνι­ στώσα της δύναμης που ασκείται σε κάθε τροχό από τον οδηγό;

Α

Β

ΣΧΗΜΑ 11-42

ΠΡΟΒΛΉΜΑΤΑ

3 13

b) Υπολογίστε τη μέγιστη τιμή του h πάνω από την οποία ο ένας τροχός παύει να είναι σε επαφή με τον οδηγό. 1 1-50 Χάλκινο σύρμα μ1jκους 4,40 m και διαμέτρου 1 ,00 mm υποβάλλεται στην ακόλουθη δοκιμή εφελκυσμού. Αναρτάται αρχι­ κά ένα βάρος 20 Ν για να τεντωθεί το σύρμα. Η θέση του κάτω ά­ κρου του σύρματος προσδιορίζεται με τη βοήθεια κλίμακας. Στη συνέχεια αναρτώνται διάφορα φορτία. Από τις μετρ1jσεις προέκυ­ ψαν τα ακόλουθα δεδομένα:

Πρόσθετο φορτίο

ο

(Ν)

10

20

30

40

50

60

70

ΣΧΗΜΑ 1 1-44

Ένδε ιξη κλίμακας

(cm)

3,02 3,07 3,12

3,17

3,22 3,27 3,32 4,27

a) Να γίνει γραφική παράσταση των δεδομένων αυτών, χρησιμο­

ποιώντας τον οριζόντιο άξονα για την επιμήκυνση του σύρματος. b) Υπολογίστε την τιμή του μέτρου του Young. c) Ποια ήταν η τά­ ση στο όριο αναλογίας; 1 1-51 Μάζα 15,0 kg είναι δεμένη στο άκρο aτσάλινου σύρμα­ τος, αρχικού μήκους 0,50 m, και περιστρέφεται σε κατακόρυφο κύκλο με γωνιακή ταχύτητα 2,00 στροφές ανά δευτερόλεπτο στο κατώτατο σημείου του κύκλου. Η διατομή του σύρματος είναι 0,0 14 cm'. Υπολογίστε την επιμήκυνση του σύρματος τη στιγμή που η μάζα περνά από το χαμηλότερο σημείο της τροχιάς. 1 1 -52 Τάσεις στο οστό της κνήμης. Οι θλιπτικές τά­ σεις στα οστά του σώματός μας ε ίναι ένα κοινό καθημερινό πρόβλημα. Το μέτρο του Υoung των οστών ε ίναι περίπου 1 ,0 χ 1 010 Pa. Ένα οστό μπορεί κατά κανόνα να υποστεί μεταβολή του μήκους του πριν σπάσει ως 1 ,0%. a) Ποια είναι η μέγιστη δύναμη που μπορεί να εφαρμοστεί σε ένα οστό που η ελάχιστη διατομή του είναι 3,0 cm'; ( Προσεγγιστικά, τόση ε ίναι η διατο­ μή της κνήμης στο στενότερο σημείο της). b) Υπολογίστε το μέ­ γιστο ύψος από το οποίο μπορεί να πηδήξει κάποιος που έχει μάζα 70 kg χωρίς να υποστεί κάταγμα της κνήμης. Υποθέστε ό­ τι ο χρόνος από τη στιγμή της πρώτης επαφής με το δάπεδο ως τη στιγμή που σταματά η κίνηση του ατόμου είναι 0,030 s , και ότι η καταπόνηση μοιράζεται εξίσου στα δύο πόδια. 1 1-53 Αβαρής ράβδος μήκους 1 ,05 m κρέμεται από τα άκρα της με δύο ισομήκη σύρματα Α και Β (Σχ. 1 1-43). Η διατομή του Α είναι 1 ,00 mm' και εκείνη του Β είναι 4,00 mm'. Το μέτρο του Young είναι 2,40 χ 10" Pa για τσ Α και 1 ,60 χ 1 0'' Pa για το Β. Σε ποιο σημείο της ράβδου θα πρέπει να κρεμαστεί βάρος w ώστε a) οι τάσεις στα Α και Β να είναι ίσες; b) οι παραμορφώσεις στα Α και Β να είναι ίσες;

Α

rad/s;

1 1-55 Χάλκινη ράβδος μήκους 1 ,40 m και διατομής 2,00 cm' στερεώνεται στο άκρο aτσάλινης ράβδου μήκους L και διατομής 1 ,00 cm'. Η νέα ράβδος, μήκους όσο το άθροισμα των δύο, υπο­ βάλλεται σε ίσες και αντίθετες δυνάμεις εφελκυσμού στα δύο της άκρα, μέτρου 4,00 χ 10' Ν. a) Υπολογίστε το μήκος L αν οι επιμη­ κύνσεις των δύο ράβδων είναι ίσες. b) Πόση είναι η τάση σε κάθε ράβδο; c) Πόση είναι η παραμόρφωση κάθε ράβδου;

1 1-56 Ένας λαθρέμπορος οινοπνευματωδών παρασκευάζει κάθε νύκτα καθαρή αιθυλική αλκοόλη και την αποθηκεύει σε ένα ατσάλινο κυλινδρικό δοχείο διαμέτρου 0,300 m, που σφραγίζεται με ένα έμβολο (πιστόνι). Ο συνολικός διαθέσιμος όγκος ε ίναι 0,200 m'. Στην προσπάθειά του να χωρέσει λίγη αλκοόλη παραπά­ νω, τοποθετεί μολυβένια βάρη στο πιστόνι, συνολικής μάζας 1420 kg. Πόσο επιπλέον όγκο αιθυλικής αλκοόλης θα μπορέσει να χω­ ρέσει στο δοχείο; (Θεωρήστε ότι τα τοιχώματα του δοχείου είναι εντελώς ακλόνητα.)

1 1-57 Ορθογώνια πλάκα υποβάλλεται στα δύο της άκρα σε ί­ σες και αντίθετες δυνάμεις εφελκυσμού F. Θεωρήστε ένα πλάγιο επίπεδο που τέμνει την πλάκα υπό γωνία θ ως προς την κατακόρυ­ φο (Σχ. 1 1-45). a) Προσδιορίστε την τάση εφελκυσμού στο επίπε­ δο αυτό, συναρτήσει των F, A και θ. b) Επαναλάβετε, για τη δια­ τμητική τάση στο ίδιο επίπεδο. c) Ποια τιμή του θ μεγιστοποιεί την τάση εφελκυσμού; d) Επαναλάβετε, για τη διατμητική τάση.

Β

.1 ΣΧΗΜΑ 1 1-43

1 1-54 Το Σχ. 1 1-44 δείχνει δύο περιστρεφόμενα διθέσια κα­ θίσματα σε ένα λούνα παρκ. Κάθε ατσαλόσυρμα έχει μήκος 20,0 m και διατομή 7,00 cm'. Το βάρος κάθε διθέσιου καθίσματος με τα δύο άτομα που μεταφέρει είναι 2500 Ν. a) Πόση είναι η επιμή­ κυνση κάθε σύρματος πριν αρχίσει η περιστροφή; b) Πόση είναι η επιμήκυνση στη διάρκεια περιστροφής με γωνιακή ταχύτητα 0,90

1 ,05 m

w

ΣΧΗΜΑ 1 1-45

314

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1 ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΚΑΙ ΕΛΑΣτΙΚΟΤΗΤΑ

Π Ι Ο ΣΥΝ Θ ΕΤΑ Π ΡΟ ΒΛΉΜΑΤΑ 1 1-58

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Α

Ανατροπή στύλου. Το ένα άκρο στύλου που ζυγίζει

500 Ν και έχει ύψος h στηρίζεται σε μια τραχεία οριζόντια επιφά­ νεια με μ, = 0,35. Το άνω άκρο του συγκρατείται με ένα σκοινί στερεωμένο στην επιφάνεια υπό γωνία 37,0 ' με τον στύλο (Σχ. 1 1-46). Στον στύλο εξασκείται οριζόντια δύναμη F, όπως φαίνεται στο σχήμα. a) Αν η F ασκείται στο μέσο του στύλου, πόση είναι η μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει το μέτρο της χωρίς να προκαλέ­ σει ολίσθηση του στύλου; b) Πόσο μεγάλη μπορεί να είναι η δύνα­ μη αν το σημείο εφαρμογής της F είναι στα 6/10 του ύψους, από τη βάση; c) Δείξτε, ότι αν το σημείο εφαρμογής της δύναμης βρίσκε­ ται πολύ ψηλά, ο στύλος δεν μπορεί να εξαναγκαστεί σε ολίσθηση, οσοδήποτε μεγάλη και αν είναι η δύναμη. Υπολογίστε τη θέση του οριακού αυτού σημείου.

F

�

ΣΧΗΜΑ 1 1-46 1 1-59 Βιβλιοθήκη βάρους 1 500 Ν ισορροπεί σε οριζόντιο δάπεδο με συντελεστή στατικής τριβής μ, = 0,30. Έχει ύψος 1 ,80 m και πλάτος 2,00 m. Το κέντρο βάρους της συμπίπτει με το γεωμετρικό της κέντρο. Η βιβλιοθήκη στηρίζεται σε τέσσε­ ρα κοντά πόδια τοποθετημένα 0,10 m από τα άκρα της βάσης. Κάποιος τραβά ένα σκοινί, δεμένο στο άνω αριστερό άκρο της βιβλιοθήκης εξασκώντας δύναμη F υπό γωνία θ με την κατακό­ ρυφο (Σχ. 1 1-47). a) Αν θ = 90' (οριζόντια Ρ), δείξτε ότι κα­ θώς αυξάνει το μέτρο της F η βιβλιοθήκη θα αρχίσει να ολι­ σθαίνει, χωρίς ανατροπή· υπολογίστε το μέτρο της F που απαι­ τείται για να ξεκινήσει η ολίσθηση. b) Αν θ = Ο (κατακόρυφη F) δείξτε ότι η βιβλιοθήκη θα ανατραπεί μάλλον παρά θα ολι­ σθήσει, και υπολογίστε το μέτρο της F, που απαιτείται για να ξεκινήσει η ανατροπή. c) Υπολογίστε, σαν συνάρτηση της θ, το μέτρο της F που θα προκαλέσει (ί) πρώτα ολίσθηση, (ίί) πρώτα ανατροπή. Ποια είναι η ελάχιστη τιμή της θ στην οποία μπο­ ρούμε να έχουμε πρώτα ολίσθηση χωρίς ανατροπή;

�--

2,00 m -----7>

cg � � 0,10 m

ΣΧΗΜΑ 1 1-47

O,lO m

ΣΧΗΜΑ 1 1-48

1 1-60 Δύο σκάλες, μήκους 4,00 m και 3,00 m, συνδέονται στο σημείο Α και συγκρατούνται από οριζόντιο σκοινί σε ύψος 0,90 m από το δάπεδο (Σχ. 1 1-48). Οι σκάλες ζυγίζουν 700 Ν και 450 Ν, αντίστοιχα, και το κέντρο βάρους της καθεμιάς εί­ ναι στο κέντρο της. Το δάπεδο είναι λείο, χωρίς τριβές. a ) Υπο­ λογίστε την κατακόρυφη δύναμη στη βάση κάθε σκάλας. b) Υπολογίστε την τάση του σκοινιού. c) Υπολογίστε τη δύναμη που ασκούν η μια στην άλλη στο Α . d) Αν κρεμάσουμε από τσΑ φορτίο 1000 Ν, υπολογίστε την τάση του σκοινιού. 1 1-61 Η συμπιεστότητα του νατρίου μπορεί να μετρηθεί πα­ ρατηρώντας τη μετατόπιση του εμβόλου του Σχ. 1 1-14 όταν ε­ φαρμόζεται σε αυτό γνωστή δύναμη. Το νάτριο βυθίζεται σε λάδι που περιέχει ο κύλινδρος μέχρι το ύψος του ε μβόλου. Υποθέστε ότι κύλινδρος και έμβολο παραμένουν τελείως άκα­ μπτα και ότι δεν υπάρχουν τριβές ή διαρροές λαδιού. Υπολογί­ στε τη συμπιεστότητα του νατρίου συναρτήσει της δύναμης F, της μετατόπισης χ και της διατομής Α του ε μβόλου, του αρχικού όγκου του λαδιού V0 , του αρχικού όγκου του νατρίου υ0 και της συμπιεστότητας του λαδιού k0. 1 1-62 Μ έτρο ελαστικότητας όγκου ι δαν ι κών αε­ ρίων. Η καταστατική εξίσωση ενός ιδανικού αερίου (δηλαδή,

η εξίσωση που συνδέει πίεση, όγκο και θερμοκρασία) είναιpV = nRT, όπου n και R σταθερές. a) Δείξτε ότι αν το αέριο συ­ μπιεστεί υπό σταθερή θερμοκρασία Τ, το μέτρο ελαστικότητας όγκου είναι αριθμητικά ίσο με την πίεση. b) Αν το ιδανικό αέ­ ριο συ μπιεστεί χωρίς καμιά ανταλλαγή ενέργειας με το περι­ βάλλον, πίεση και όγκος συνδέονται από την pVr = σταθερά, όπου γ μια σταθερά με διαφορετική τιμή για κάθε αέριο. Δείξ­ τε ότι σε αυτή την περίπτωση το μέτρο ελαστικότητας όγκου εί­ ναι Β = γp. 1 1-63 Μάζα 5 ,00 kg κρέμεται από κατακόρυφο ατσάλινο σύρμα μήκους 2,00 m και διατομής 5,00 χ ιο-!3 cm', που το άλ­ λο του άκρο είναι στερεωμένο στην οροφή. a ) Υπολογίστε την επιμήκυνση του σύρματος λόγω του βάρους. Υποθέστε τώρα ό­ τι το σύρμα επιμηκύνεται προς τα κάτω κατά 0,0600 cm από τη θέση ισορροπίας με πολύ αργό ρυθμό, υπό την επίδραση εξω­ τερικής δύναμης μέτρου F. Υπολογίστε: b) Το έργο της βαρύ­ τητας κατά τη μετατόπιση των 0,0600 cm· c) το έργο της δύνα­ μης F· d) το έργο της δύναμης που ασκείται στη μάζα από το σύρμα· e) τη μεταβολή της ελαστικής δυναμικής ενέργειας (δη­ λαδή της δυναμικής ενέργειας που απορρέει από την τάση ε­ φελκυσμού του σύρματος) όταν μετατοπίζεται η μάζα κατά 0,0600 cm προς τα κάτω. Συγκρίνετε τις απαντήσεις στα ερωτή­ ματα (d) και (e) .

Κ Υ Ρ Ι Ε Σ

Ε Ν Ν Ο Ι Ε Σ

• Η βαρυτική ε'λξη ανάμεσα σε δύο σωμάτια είναι ανάλοyη προς το γινόμενο των μαζών τους και αντιστρόφως ανάλοyη του τετραγώνου της απόστασής τους. Το βάρος είναι αποτέλεσμα της βαρυτικής ε'λξης. • Η βαρυτική δυναμική ενέργεια δύο σωματίων είναι

αντιστρόφως ανάλοyη της απόστασής τους.

• Όταν ένας πλανήτης ή δορυφόρος κινείται σε κυκλΙκή τροχιά, η κεντρομόλος δύναμη που απαιτείται ασκείται από το σώμα γύρω από το οποίο περιφέρεται ο πλανήτης ή ο δορυφόρος.

• Οι νόμοι του Κέπλερ περιγράφουν τα σχήματα των τροχιών πλανητών και δορυφόρων και δίνουν σχέσεις ανάμεσα στην ταχύτητά τους και στα μεγέθη και σχήματα των τροχιών τους. • Το βαρυτικό πεδίο στο εξωτερικό ενός σφαιρικά συμμετρικού σώματος είναι το ίδιο με αυτό που προκύπτει αν όλη η μάζα είναι συγκεντρωμένη στο κέντρο του σώματος. • Η περιστροφή της Γης προκαλεί μικρές μεταβολές στη φαινομενική εmτάχυνση ενός σώματος που πέφτει κοντά στην εmφάνεια της Γης.

Ε Ι Σ Α Γ Ω Γ Η

Γ

ιατί μερικοί δορυφόροι της Γης κάνουν το γύρο της Γης σε 90 λεπτά, ενώ η Σελήνη (ο μόνος φυσικός δορυφόρος της Γης) χρειάζεται 28 ημέρες για μια περιφορά γύρω από τη Γη; Γιατί η επιτάχυνση της βαρύτητας, g, έχει διαφορετική τιμή στον Ισημερινό από ότι στο Βόρειο Πόλο; Ποιες δυνάμεις είναι υπεύθυνες για τα σχήματα που έχουν η Γη, η Σελήνη και ο Ήλιος; Η μελέτη της βαρύτητας δίνει απαντήσεις σε αυτές και σε πολλές άλλες παρόμοιες ερωτήσεις . Ο Νεύτωνας ανακάλυψε πριν από 300 χρόνια ότι η πτώση ενός μήλου από μια μηλιά οφείλεται στην ίδια αλληλεπίδραση που κρατά τους πλανήτες στις σχεδόν κυκλικές τροχιές τους γύρω από τον Ήλιο. Δεν θα μπορούσε να είχε προβλέψει το μεγάλο αριθμό τεχνητών δορυφόρων που κινούνται γύρω από τη Γη σήμερα, η ύπαρξη των οποίων οφείλεται στη γνώση που έχουμε για τις βαρυτικές αλληλεπιδράσεις. Οι δορυφόροι μάς δίνουν επίσης ένα νέο εργαλείο για τη μελέτη των βαρυτικών αλληλεπιδράσεων. Όπως αναφέραμε στο Κεφάλαιο 5, η βαρύτητα είναι μια από τις τέσσερις αλληλεπιδράσεις που υπάρχουν στη φύση και ήταν η πρώτη από αυτές που μελετήθηκε εκτενώς. Στο κεφάλαιο αυτό θα μάθετε τον βασικό νόμο που διέπει τις βαρυτικές αλληλεπιδράσεις. Μετά θα μάθετε να εφαρμόζετε το νόμο αυτό σε φαινόμενα όπως η μεταβολή του βάρους με το ύψος, η κίνηση πλανητών και δορυφόρων και η επίδραση της περιστροφής της Γης στην επιτάχυνση κατά την πτώση ενός σώματος.

316

317

12-1 Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ ΝΕγτΩΝΑ ΓΙΑ ΤΗ ΒΑΡγτΗΤΑ

12-1

Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ ΝΕΥΤΩΝΑ ΓΙΑ ΤΗ ΒΑΡΥΤΗΤΑ

_ _ _ _ _ _ _ _

βάρος

Το ενός σώματος, η δύναμη με την οποία έλκεται προς τη Γη (ή προς οποιοδήποτε ουράνιο σώμα είναι κοντά του) είναι το πιο γνώριμο παράδειγμα βαρυτικής έλξης. Ο Νεύτωνας ανακάλυψε τον νόμο της βαρύτητας μελετώντας τις κινήσεις των πλανητών γύρω από τον Ήλιο και τον δημοσίευσε το Μπορεί να διατυπωθεί ως εξής:

1686.

Κάθε σωμάτιο ύλης στο σύμπαν έλκει κάθε άλλο σωμάτιο με μια δύναμη που εί­ ναι ανάλογη προς το γινόμενο των μαζών τους και αντιστρόφως ανάλογη του τε­ τραγώνου της απόστασης μεταξύ τους.

Μεταφράζοντας αυτό σε μια εξίσωση, έχουμε

(12-1) όπου F8 είναι το μέτρο της βαρυτικής δύναμης που ασκείται στο καθένα από τα δύο σω­ μάτια, και είναι οι μάζες τους, η απόσταση μεταξύ τους (Σχ. και είναι μια θεμελιώδης φυσική σταθερά που ονομάζεται βαρυτική σταθερά. αριθμητική τιμή του G εξαρτάται από το σύστημα μονάδων που χρησιμοποιείται. Οι δυνάμεις της βαρυτικής έλξης δρουν πάντοτε κατά μήκος της ευθείας που ενώ­ νει τα δύο σωμάτια και αποτελούν ένα ζεύγος δυνάμεων δράσης-αντίδρασης. Ακόμη και όταν οι μάζες των σωματίων είναι διαφορετικές, οι δύο δυνάμεις αλληλεπίδρασης έχουν το ίδιο μέτρο. ελκτική δύναμη που ασκεί το σώμα σας πάνω στη Γη έχει το ίδιο μέτρο με τη δύναμη που η Γη ασκεί πάνω σε σας. Έχουμε διατυπώσει το νόμο της βαρύτητας για την περίπτωση της αλληλεπίδρα­ σης δύο Προκύπτει ότι η αλληλεπίδραση μεταξύ δύο σωματίων που έχουν κατανομές μάζας (όπως οι συμπαγείς σφαίρες ή οι σφαιρικοί φλοιοί) είναι η ίδια με αυτήν που θα aσκείτο αν όλη η μάζα του κάθε σώματος ήταν συ­ γκεντρωμένη στο κέντρο του, όπως στο Σχ. πράγμα που ουσιαστικά ισοδυναμεί με την αντικατάσταση κάθε σφαιρικά συμμετρικού σώματος από μια σημειακή μάζα στο κέ­ η δύναμη ντρο του. Έτσι, αν προσομοιώσουμε τη Γη με μια συμπαγή σφαίρα μάζας που ασκεί πάνω σε ένα σωμάτιο ή ένα σφαιρικά συμμετρικό σώμα με μάζα όταν η α­ πόσταση του κέντρου του από αυτό της Γης είναι δίνεται από τη σχέση

m 1 m2

r

12- 1) Η

12-1 Δύο σωμάτια, που απέχουν μεταξύ τους απόσταση r, ασκούν το ένα πάνω στο άλλο ελκτικές δυνάμεις ίσες σε μέτρο, ακόμη και όταν οι μάζες τους είναι διαφορετικές.

G

Η

σωματίων. σφαιρικά συμμετρικές

12-2,

_

Fg -

m ε, m,

r, mm-ε ' G,2

(12-2)

με την προϋπόθεση ότι το σώμα βρίσκεται εκτός της Γης. Μια δύναμη του ιδίου μέτρου ασκείται στη Γη από το σώμα. Θα αποδείξουμε αυτά τα θεωρήματα για σφαιρικά συμμετρικές κατανομές μάζας στο Εδάφιο αλλά στο μεταξύ θα τα χρησιμοποιούμε χωρίς απόδειξη. Σε σημεία στο της Γης η κατάσταση είναι διαφορετική. Αν μπορούσαμε να ανοίξουμε μια τρύπα μέχρι το κέντρο της Γης και μετρούσαμε τη βαρυτική δύναμη πά­ νω σε ένα σωμάτιο σε διάφορα βάθη, θα βρίσκαμε ότι η δύναμη καθώς πλη­ σιάζουμε το κέντρο, αντί να αυξάνει όπως το Καθώς το σώμα εισχωρεί στο εσωτερι­ κό της Γης (ή άλλου σφαιρικού σώματος), ένα μέρος της μάζας της Γης θα βρίσκεται, σε σχέση με το σώμα, σε κατεύθυνση αντίθετη από αυτήν προς την οποία βρίσκεται το κέ­ ντρο της Γης και θα το έλκει προς την αντίθετη αυτή κατεύθυνση. Στο κέντρο ακριβώς, η βαρυτική δύναμη πάνω στο σώμα θα μηδενιστεί. Για να προσδιορίσουμε την τιμή της βαρυτικής σταθεράς πρέπει να μετρήσουμε βαρυτική δύναμη ανάμεσα σε δύο σώματα με γνωστές μάζες κάι και σε γνωστή τη απόσταση μεταξύ τους Για σώματα συνήθους μεγέθους, η δύναμη είναι εξαιρετικά μι­ κρή, αλλά μπορεί να μετρηθεί με ένα όργανο που ονομάζεται ζυγός στρέψης, που χρησι­ μοποιήθηκε από τον Henry Cavendish (Κάβεντις) για τον προσδιορισμό του το Ο ζυγός του Cavendish αποτελείται από μια ελαφριά ράβδο σε σχήμα ανάποδου Τ (Σχ. που κρέμεται από μια κατακόρυφη πολύ λεπτή ίνα χαλαζία. Δυο μικρές σφαί­ ρες, μάζας η καθεμιά, ε ίναι στερεωμένες στα άκρα της οριζόντιας ράβδου του Τ. Όταν φέρουμε δύο μεγάλες σφαίρες, μάζας η καθεμιά, στις θέσεις που φαίνονται στο

επάνω

12-7,

εσωτερικό

1/r2•

μειώνεται

G, m1

r.

m2

G, 1798.

12-3)

m1

m2

r

f (a)

(b)

12-2 Η επίδραση της βαρύτητας στο εξωτερικό μιας σφαιρικά συμμετρικής κατανομής μάζας είναι η ίδια με αυτήν που προκύπτει αν όλη η μάζα είναι συγκεντρωμένη στο κέντρο της κατανομής.

318

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 BAPYfHTA

12--3 Η αρχή λειτουργίας του ζυγού του Caνendish. Για σαφήνεια, η γωνία απόκλισης σχεδιάστηκε πολύ μεγαλύτερη από ό,τι στην πραγματικότητα.

σχήμα, οι ελκτικές βαρυτικές δυνάμεις περιστρέφουν το Τ κατά μία μικρή γωνία. Για να μετρήσουμε αυτή τη γωνία, ρίχνουμε μια δέσμη φωτός πάνω σε ένα καθρέφτη που είναι στερεωμένος στο η ανακλώμενη δέσμη προβάλλεται πάνω σε μια κλίμακα σαν μια φωτεινή κηλίδα και καθώς το Τ περιστρέφεται η κηλίδα κινείται κατά μήκος της κλίμακας. Αφού βαθμονομήσουμε το όργανο, μπορούμε να μετρήσουμε βαρυτικές δυνάμεις και έτσι να προσδιορίσουμε το Η αποδεκτή σήμερα τιμή είναι (σε μονάδες Sl).

Τ·

G.

6,673 χ 10-ιι Ν · m2/k{ Επειδή 1 Ν = 1 kg · m/s2, οι μονάδες του G3 μπορούν επίσης να εκφραστούν (σε θεμελιώ­ δεις μονάδες του συστήματος SI) και ως m /(kg · s2) . Οι βαρυτικές δυνάμεις προστίθενται διανυσματικά. Αν καθεμιά από δύο μάζες α- . σκεί μια δύναμη πάνω σε μια τρίτη, η ολική δύναμη πάνω στην τρίτη μάζα δίνεται από το διανυσματικό άθροισμα των ξεχωριστών δυνάμεων που οφείλονται στις άλλες δύο. Στο Παράδειγμα 12-3 χρησιμοποιείται αυτή η ιδιότητα, η οποία συχνά ονομάζεται επαλληλία των δυνάμεων. G=

- Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 1 2-1

-------

Η μάζα m 1 μιας από τις μικρές σφαίρε ς ενός ζυγού Caνendish είναι 0,0100 kg, η μάζα m 2 μιας από τις μεγάλες

σφαίρες είναι 0,500 kg και η απόσταση του κέντρου καθε­ μιάς από τις μεγάλες σφαίρες από αυτό της πλησιέστερης μικρής σφαίρας είναι 0,0500 m. Υπολογίστε τη βαρυτική δύναμη F8 που ασκείται πάνω σε κάθε σφαίρα από την πλησιέστερη σε αυτή σφαίρα. ΛΥΣΗ Το μέτρο της ζητούμενης δύναμης είναι

kg)(0,500 kg) F8 = (6 67 χ 10-11 Ν . m2/kg2) (0,0100 (0,0500 m)2 '

= 1,33 χ 10-11

Ν

Αυτή ε ίναι μια πολύ μικρή δύναμη. Υπενθύμιση: Τα δύο σώματα υφίστανται δυνάμεις του ιδίου μέτρου, μολονότι οι μάζες τους διαφέρουν κατά πολύ.

- Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 12-2 ------Υποθέστε ότι μια μεγάλη και μια μικρή σφαίρα από τη συ­ σκευή του Παραδείγματος 12-1 τοποθετούνται μακρυά α­ πό άλλα σώματα με τα κέντρα τους να απέχουν 0,0500 Ποια είναι η επιτάχυνση της καθεμιάς μέσα σε ένα αδρα­ νειακό σύστημα αναφοράς;

m.

al

f..y,_

m1

=

1,33 χ 10-1ο Ν 1,00 χ ω-z kg

-

1 ' 33 χ 10-8 mIs2.

Η επιτάχυνση α2 της μεγάλης σφαίρας είναι αz

ΛΥΣΗ Η δύναμη πάνω σε κάθε σφαίρα έχει το ίδιο μέ­ τρο, όπως υπολογίστηκε στο Παράδειγμα 1 2-1. Η επιτά­ χυνση α 1 της μικρής σφαίρας είναι

=

=

f..y,_ =

mz

1,33 χ 10-1 0 Ν 0,500 kg

=

2 '67 χ 10-10 mIsz·

Παρ ' όλον ότι οι δυνάμεις πάνω στα δύο σώματα είναι ίσες σε μέτρο, οι δύο επιταχύνσεις δεν ε ίναι ίσες. Επίσης, δεν παραμένουν σταθερές γιατί οι βαρυτικές δυνάμεις αυξά­ νουν καθώς οι σφαίρες κινούνται η μία προς την άλλη.

319

1 2-2 ΒΑΡΟΣ

- Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 12-3

-------

Επαλληλία βαρυτικών δυνάμεων. Τρεις σφαίρες τοπο­ θετούνται όπως φαίνεται στο Σχ. 12-4. Υπολογίστε το μέ­ τρο και κατεύθυνση της ολικής βαρυτικής δύναμης που α­ σκείται πάνω στη μικρή σφαίρα από τις δύο μεγάλες.

μικρή μάζα είναι

ΛΥΣΗ Χρησιμοποιούμε την αρχή της επαλληλίας: Η ολι­

Το μέτρο της ολικής δύναμης είναι

κή δύναμη που ασκείται πάνω στη μικρή σφαίρα είναι ίση με το διανυσματικό άθροισμα των δύο δυνάμεων που οφεί­ λονται στις δύο μεγάλες σφαίρες. Μπορούμε να υπολογί­ σουμε το διανυσματικό άθροισμα χρησιμοποιώντας συνι­ στώσες, αλλά πρώτα θα υπολογίσουμε τα μέτρα των δυνά­ μεων. Το μέτρο F 1 της δύναμης που ασκείται πάνω στη μι­ κρή σφαίρα από την άνω μεγάλη σφαίρα είναι _

F1 -

(6,67

χ

Fx = Fιχ + F2x = 1 1,3 Fy = F 1y + F2y = 2,95

χ χ

10-12 Ν, 10-1 2 Ν.

F = �(1 1,3 χ 10 1 2 Ν)2 + (2,95 = 1,17 χ 10- 1 1 Ν.

χ

10 12 Ν/

και η κατεύθυνσή της είναι

θ = arctan

ιο-ιι Ν · m2/kg2)(0,500 kg)(O,OlOO kg)

(0,200 m) 2 + (0,200 m) 2 12 = 4,1 7 χ 10- Ν.

2,95 χ 10- 12 Ν 1 1 3 χ 1 0_ 12 Ν = 4, 6

1

'

ο

Υ

Το μέτρο F2 της δύναμης που ασκείται από την κάτω μεγά­ λη σφαίρα είναι _

F2 -

=

(6,67 χ

ιο-ιι Ν · m2/kg2)(0,500 kg)(O,OlOO kg) (0,200 m)2

12

8,34 χ 10- Ν.

Οι συνιστώσες χ και y αυτών των δυνάμεων είναι

1 Fιχ = (4,1 7 χ 10- 2 N)(cos 45 ° ) = 2,95 χ 10- 12 Ν, F1y = (4,17 χ 10- 12 N)(sin 45 ° ) = 2,95 χ 10-12 Ν, 1 F2x = 8,34 χ 1 0- 2 Ν, F2y = Ο. Οι συνιστώσες της ολικής δύναμης που ασκείται πάνω στη

12-2

0,200 ο �'""--,.--..--

βάρος

Στο Εδάφιο ορίσαμε προσωρινά το ενός σώματος ως την ελκτική βαρυτική δύναμη που ασκείται επάνω του από τη Γη. Μπορούμε τώρα να διευρύνουμε τον ορισμό μας. Βάρος ενός σώματος είναι η ολική βαρυτική δύναμη που ασκείται επί του σώμα­ τος από όλα τα άλλα σώματα στο σύμπαν. Όταν το σώμα βρίσκεται κοντά στην επιφά­ νεια της Γης, μπορούμε να αγνοήσουμε όλες τις άλλες βαρυτικές δυνάμεις και να θεωρή­ σουμε ως βάρος του σώματος μόνο τη βαρυτική έλξη της Γης. Στην επιφάνεια της Σελή­ νης θεωρούμε ότι βάρος ενός σώματος είναι η έλξη που ασκεί επάνω του η Σελήνη κ.ο.κ. Και πάλι, αν προσομοιώσουμε τη Γη με ένα σφαιρικά συμμετρικό σώμα με ακτίνα Rε και μάζα mε, το βάρος w ενός μικρού σώματος μάζας m που βρίσκεται στην επιφά­ νεια της Γης (σε απόσταση Rε από το κέντρο της) είναι w

ε. = F = Gmm 2 g

Rε

(12-3)

4-4

Γνωρίζουμε όμως από το Εδάφιο ότι το βάρος ενός σώματος είναι ίσο με το γινόμενο της μάζας του m επί την επιτάχυνση της βαρύτητας g, δηλαδή w = mg. Το βάρος είναι η δύναμη στην οποία οφείλεται η επιτάχυνση κατά την ελεύθερη πτώση. Εξισώνοντας αυτό με την Εξ. και aπλοποιώντας τη μάζα m, βρίσκουμε

(12-3)

Gm ε g = /[2 · Ε

---�

12-4 Η ολική βαρυτική δύναμη πάνω στη σφαίρα που έχει μάζα είναι ίση με το διανυσματικό άθροισμα των δυνάμεων που ασκούνται πάνω σε αυτήν από τις δύο σφαίρες με μάζες 0,500 kg. • 0,0100 kg

ΒΑΡΟΣ

4-4

m

(12-4)

320

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 BAPYfHTA

Επειδή αυτό το αποτέλεσμα δεν περιέχει τη μάζα m, η επιτάχυνση της βαρύτητας g είναι ανεξάρτητη της μάζας του σώματος. Το γνωρίζαμε αυτό ήδη, αλλά τώρα βλέπουμε πώς προκύπτει από τον νόμο της βαρύτητας. Επιπλέον, μπορούμε να μετρήσουμε όλα τα μεγέθη στην Εξ. εκτός της mε και έτσι η σχέση αυτή μας επιτρέπει να υπολογίσουμε τη μάζα της Γης. Λύνουμε πρώτα την Εξ. ως προς mε και βρίσκουμε

(12-4)

(12-4)

R2 mε = .!L..E_ · G Παίρνοντας Rε =

6380 km = 6,38 χ 106 m και g = 9,80 m/s2, βρίσκουμε mε = 5,98 χ 1024 kg.

Ο Caνendish, έχοντας προσδιορίσει την τιμή του G, μπόρεσε να υπολογίσει τη μάζα της Γης. Περιέγραψε τη μέτρησή του της σταθεράς G με τη μεγαλοπρεπή φράση «ζυγίζοντας τη Γη». Στην πραγματικότητα δεν έκανε αυτό· προφανώς και δεν έβαλε τον πλανήτη μας σε μια ζυγαριά. Αφού όμως προσδιόρισε το G, υπολόγισε τη μάζα (και όχι το βάρος) της Γης. Σε απόσταση r από το κέντρο της Γης (σε ύψος r - Rε από την επιφάνειά της) το βάρος ενός σώματος δίνεται από την Εξ. αν η Rε αντικατασταθεί από το r:

(12-3)

(12-5) Το βάρος ενός σώματος ελαττώνεται αντιστρόφως ανάλογα του τετραγώνου της απόστα­ σής του από το κέντρο της Γης. Σε απόσταση r 2Rε από το κέντρο, το βάρος του είναι το ένα τέταρτο αυτού στην επιφάνεια της Γης. Το Σχ. δείχνει πώς μεταβάλλεται, με το ύψος πάνω από τη Γη, το βάρος ενός αστροναύτη που ζυγίζει Ν στην επιφάνεια της Γης. Γνωρίζοντας τη μάζα και την ακτίνα της Γης, μπορούμε να υπολογίσουμε τη μέση πυκνότητά της. Ο όγκος της, υποθέτοντας ότι είναι σφαιρική, είναι =

12-5

700

·

Η μέση πυκνότητα p είναι ίση με την ολική μάζα διά του ολικού όγκου: p

12-5 Ένας aστροναύτης που ζυγίζει 700 Ν στην επιφάνεια της Γης, υφίσταται μικρότερη βαρυτική έλξη σε μεγαλύτερες αποστάσεις από το κέντρο της Γης. Η απόσταση του αστροναύτη από το κέντρο της Γης είναι r· από την επιφάνεια της Γης είναι r - Rε = r - 6,38 χ 1 06 m.

5,98 χ 102241 kg - 5500 kg/m3 - 5,50 g!cm3 . - ΜV - 1,09 χ 10 m3

_

_

_

_

r = Rε = 6,38 χ 106 m 500 400 300 200 100 r (x 106 m ) 10 ' 15 20 25 -----'30 1-rs--+·-----'RE (χ 106 m) 5 10 15 20 25 0

--+---��--�----�--�----�----� ο

I

---

__ ....ι. Ι__ _._ ι

__ __ __ __

..ι_ Ι

Ύψος πάνω από την επιφάνεια της Γης

321

12-2 ΒΑΡΟΣ

Για σύγκριση, η πυκνότητα του νερού είναι 1,00 g/cm3 = 1000 kg/m3• Η πυκνότητα μαγ­ ματογενών βράχων στην επιφάνεια της Γης, όπως ο γρανίτης ή ο γνεύσιος, είναι περίπου 3 g/cm3 = 3000 kg/m 3, ενώ κάποια βασαλτικά πετρώματα έχουν πυκνότητες περί τα 5 g/cm3 = 5000 kg/m3 . Φαίνεται λοιπόν ότι η πυκνότητα του εσωτερικού της Γης πρέπει να είναι πολύ μεγαλύτερη από την πυκνότητα στην επιφάνεια. Στην πραγματικότητα, η μέγιστη πυκνότητα στο κέντρο της Γης, όπου η πίεση είναι τεράστια, θεωρείται ότι είναι σχεδόν 15 g/cm3 • Στο Σχ. 12-6 δίνεται η μεταβολή της πυκνότητας συναρτήσει της από­ στασης από το κέντρο της Γης. Το βάρος ενός σώματος στη Γη διαφέρει λίγο από τη βαρυτική δύνα­ μη που ασκεί η Γη σ' αυτό, γιατί η Γη περιστρέφεται και γι' αυτό το λόγο μόνο προσεγγι­ στικά μπορεί να θεωρηθεί ότι αποτελεί ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς. Έχουμε α­ γνοήσει αυτό το φαινόμενο στη συζήτηση που προηγήθηκε και έχουμε υποθέσει ότι η Γη ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς. Θα επανέλθουμε στην επίδραση της περι­ στροφής της Γης στο Εδάφιο 12-8.

ρ (χ

1 000 kg!m3 )

Στερεός εσωτερικός πυρήνας

14

Ι

12

10 8 6

φαινομενικό

4 2 ο

είναι

2 ι·

3

4 5 ( χ 1 06 m)

l:Z--6 Η πυκνότητα της Γης ελαττώνεται καθώς αυξάνεται η απόσταση από το κέντρο της.

- Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 12-4 ------Η βαρύτητα στον Άρη. Συμμετέχετε στον προγραμματι­ σμό μιας αποστολής ανθρώπων στην επιφάνεια του πλανή­ τη Άρη, που έχει ακτίνα Rm = 3,38 χ και μάζα mM = 6, 2 χ 1 3 (Σχ. 1 2-7). Το βάρος στη Γη του διαστημο­ ' πλοίου που θα προσεδαφιστεί στον Άρη ε ίναι 3 Ν. Υπολογίστε το βάρος του, F&, και την επιτάχυνση της βαρύ­ τητας του Άρη, gM: a) Σε ύψος χ πάνω από την επιφάνεια του Άρη (που αντιστοιχεί στην τροχιά του Φό­ βου, δορυφόρου του Άρη)· b) Στην επιφάνεια του Άρη. Αγνοήστε τη βαρυτική επίδραση των δορυφόρων του Άρη.

b) Για να βρούμε τα Fg και gM στην επιφάνεια του Άρη, ε­ παναλαμβάνουμε τους υπολογισμούς αυτος αντικαθιστώ­ Ή, επειδή ντας το r = χ με το RM = 3,38 χ τα Fg και gM είναι αντιστρόφως ανάλογα του r2 (σε κάθε ση­ μείο του εξωτερικού του πλανήτη), μπορούμε να πολλαπλα­ σιάσουμε τα αποτελέσματα του μέρους ( a ) με τον παράγο­ ντα

ΛΥΣΗ

Σας προτρέπουμε να χρησιμοποιήσετε και τις δύο μεθόδους για να δείξετε ότι στην επιφάνεια του Άρη F& = 5 Ν και gΜ = 3,7 Με άλλα λόγια, στην επιφάνεια του Άρη, τα μεγέθη Fg και g έχουν περίπου το των τιμών που έ­ χουν στην επιφάνεια της Γης.

106 m

4 02 kg

9 200

6,0 106 m

a) Στην Εξ. ( 1 2-5) aντικαθιστούμε το mε με mM. Η τιμή του G ε ίναι παντού η ίδια· ε ίναι μια θεμελιώδης σταθερά της φύσης. Η απόσταση από το κέντρο του Άρη είναι r =

106m.

9,4 106m

(3,38 9,4 11006 mm)2· χ χ

m/s2•

6

1 000

40%

6,0 106 m + 3,38 106m 9,4 106m. χ

χ

=

χ

Η μάζα του διαστημοπλοίου ισούται με το βάρος του στη Γη δια της επιτάχυνσης της βαρύτητας g στη Γη:

m

= � =

g

39 200 Ν 9,8

m/s2 4000 kg. =

Η μάζα αυτή είναι η ίδια είτε το διαστημόπλοιο βρίσκεται στη Γη, στον Άρη ή κάπου ανάμεσά τους. Από την Εξ. (12-5), Fg _

Gmm M r2

-_ (6,67 ι ο-ι ι Ν · m2/(9,k4g2)(4000 106 m)2kg)(6,42 1023 kg) 1940 Ν. χ

χ

χ

=

Η επιτάχυνση της βαρύτητας του Άρη σε αυτό το σημείο εί­ ναι

gM

=

Fg

--,;-

=

1940 kgΝ - 0,48 m/s2. 4000 _

Αυτή είναι και η επιτάχυνση που έχει ο Φόβος στην τροχιά του, χ πάνω από την επιφάνεια του Άρη.

6,0 106m

12--7 Πλησιάζοντας τον πλανήτη Άρη και τον δορυφόρο του Φόβο. Π οιο είναι το μέγεθος του βαρυτικού πεδίου του Άρη συγκρινόμενο με αυτό της Γης;

322

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 BAPYfHTA

1 2-3

ΒΑΡΥΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ

_ _ _ _ _ _ _ _

Μπορούμε να επαναδιατυπώσουμε το νόμο της βαρύτητας του Νεύτωνα σε μια εύχρηστη μορφή εισάγοντας την έννοια του βαρυτικού πεδίου. Αντί να υπολογίσουμε τις δυνάμεις αλληλεπίδρασης ανάμεσα σε δύο μάζες απευθείας, χρησιμοποιώντας την Εξ. (12-1), ε­ ξετάζουμε το πρόβλημα σε δύο σκέλη. Μια μάζα δημιουργεί ένα σε όλο το χώρο. Αλλά τι είναι ένα βαρυτικό πεδίο και πώς γνωρίζουμε ότι υπάρχει ένα τέτοιο πε­ δίο; Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μια μάζα m ως ανιχνευτή του βαρυτικού πεδίου. Τοποθετούμε τη μάζα σε διάφορα σημεία· σε κάθε σημείο μετρούμε τη βαρυτική δύναμη που ασκείται πάνω στη μάζα. ως ένταση του βαρυτικού πεδίου ή απλώς βαρυ­ τικό πεδίο g σε κάθε σημείο, το λόγο της δύναμης F8 που υφίσταται η μάζα m στο σημείο εκείνο, δια της μάζας. Δηλαδή

βαρυτικό πεδίο

Ορίζουμε

Fg · g =m

(12-ό)

Με άλλα λόγια, σε ένα σημείο όπου η ένταση του βαρυτικού πεδίου είναι g, η βαρυτική δύναμη F8 πάνω σε μια μάζα m είναι (12-7)

Η

δύναμη είναι διανυσματικό μέγεθος και επομένως και το βαρυτικό πεδίο είναι διανυ­ σματικό μέγεθος οι Εξ. ( 12-ό) και (12-7) είναι διανυσματικές εξισώσεις. Στο Παράδειγμα 12-3, αντί να υπολογίσουμε απευθείας τις δυνάμεις που ασκούν τα μεγάλα σώματα πάνω στο σώμα με μάζα 0,0100 kg, θα μπορούσαμε να θεωρήσουμε ό­ τι τα μεγάλα σώματα δημιουργούν ένα βαρυτικό πεδίο στη θέση του μικρού και ότι το πε­ δίο ασκεί μια δύναμη πάνω σε κάθε μάζα σ' εκείνη τη θέση. Το βαρυτικό πεδίο g που δημιουργείται από μια σημειακή μάζα Μ, σε απόσταση r από αυτήν, έχει μέτρο (12-8) και κατεύθυνση προς τη σημειακή μάζα Μ. Μπορούμε να εκφράσουμε τόσο το μέτρο ό­ σο και την κατεύθυνση του g χρησιμοποιώντας το μοναδιαίο διάνυσμα r (Σχ. 12-8) που έ­ χει κατεύθυνση από το «σημείο πηγής» (τη θέση του Μ, που θεωρείται ως η πηγή του πε­ δίου) προς το «σημείο πεδίου» (τη θέση της μάζας m ) . διανυσματική παράσταση εί­ ναι

Ρ

Η

GM . g=-z r. r

Ρ

m

12-8 Το μοναδιαίο διάνυσμα r έχει κατεύθυνση από τη σημειακή μάζα Μ που δημιουργεί το βαρυτικό πεδίο προς το σημείο Ρ (όπου βρίσκεται η μάζα m ). Η κατεύθυνση του βαρυτικού πεδίου είναι πάντοτε αντίθετη αυτής του r.

(12-9)

Το αρνητικό πρόσημο δείχνε ι ότι η κατεύθυνση του g ε ίναι πάντοτε αντίθετη αυτής του f. Οι Εξισώσεις (12-8) και (12-9) ισχύουν και σε σημεία έξω από μια σφαιρικά συμ­ μετρική κατανομή μάζας θα αποδείξουμε στο Εδάφιο 12-7 ότι το βαρυτικό πεδίο που ο­ φείλεται σε μια σφαιρικά συμμετρική κατανομή μάζας είναι το ίδιο, σε όλα τα σημεία έ­ ξω από την κατανομή μάζας, με το πεδίο που θα προέκυπτε αν όλη η μάζα ήταν συγκε­ ντρωμένη στο κέντρο της κατανομής. Το βαρυτικό πεδίο σε ένα σημείο που οφείλεται σε μάζες που βρίσκονται σε διάφορες θέσεις, είναι ίσο με το άθροισμα των βαρυτικών πεδίων που δημιουργούν ξεχωριστά οι μάζες αυτές. Αυτή είναι και πάλιν η αρχή της επαλληλίας των δυνάμεων. Όταν γνωρίζουμε το πεδίο σε ένα σημείο, μπορούμε αμέσως να υπολογίσου­ με τη βαρυτική δύναμη σε κάθε σώμα που βρίσκεται στο σημείο αυτό. Γενικά, το βαρυτικό πεδίο μεταβάλλεται από σημείο σε σημείο. Δεν είναι επομέ­ νως ένα μοναδικό διάνυσμα αλλά ένα σύνολο διανυσμάτων, έτσι ώστε ένα διάνυσμα να σχετίζεται με κάθε σημείο στο χώρο. Αυτό είναι ένα παράδειγμα διανυσματικού πεδίου. Άλλο γνώριμο παράδειγμα διανυσματικού πεδίου είναι η ταχύτητα ενός υγρού που ρέει· διαφορετικά σημεία του υγρού έχουν διαφορετικές ταχύτητες και αναφερόμαστε τότε στο του ρευστού. Όταν θα μελετήσουμε τον ηλεκτρισμό και τον μαγνη-

ολικό

πεδίο ταχυτήτων

Ρ, διανυσματικό

323

12-3 ΒΑΡΥΠΚΟ ΠΕΔΙΟ

τισμό στο δεύτερο μέρος του βιβλίου αυτού, θα ασχοληθούμε πολύ με ηλεκτρικά και μα­ γνητικά πεδία, που είναι και τα δύο διανυσματικά πεδία. Έχουμε χρησιμοποιήσει το ίδιο σύμβολο g για το μέτρο της έντασης του βαρυτικσύ πεδίου καθώς και νωρίτερα για την επιτάχυνση κατά την ελεύθερη πτώση κάτω από την επίδραση της βαρύτητας. Αυτό δεν είναι τυχαίο. Θα έχετε ίσως προσέξει ότι οι μονάδες του βαρυτικού πεδίου είναι m/s2• Σε ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς, η επιτάχυνση ενός σώματος σε ελεύθερη πτώση είναι σε κάθε σημείο ίση με το βαρυτικό πεδίο στο ση­ μείο εκείνο. Όταν η δύναμη Fg = mg είναι η μόνη δύναμη που ασκείται πάνω σε ένα σώ­ μα μάζας m , τότε, σύμφωνα με το δεύτερο νόμο του Νεύτωνα (F = ma), η επιτάχυνσή του είναι α = g. Συγκεκριμένα, όταν g είναι η ένταση του βαρυτικού πεδίου που οφείλε­ ται στη Γη, η βαρυτική δύναμη Fg είναι απλώς το βάρος w του σώματος και έχουμε τη γνωστή μας σχέση w = mg, που είναι η Εξ. (4-1 1). - Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 12-5

-------

Το Σχ. 1 2-9 δείχνει την ίδια κατάσταση όπως και στο Πα­ ράδειγμα 1 2-3. Υπολογίστε ο μέτρο του βαρυτικού πεδίου στη θέση της μάζας των 0,0100 kg. Βρήκαμε στο Παράδειγμα 1 2-3 ότι η ολική δύνα­ μη πάνω στη μάζα έχει μέτρο Fg = 1 , 1 7 χ 10- ι ι Ν. Από την Εξ. ( 1 2-6) η ένταση του βαρυτικού πεδίου στο σημείο αυτό έχει μέτρο 1 , 1 7 χ 1 0-ι 1 Ν 1 0-9 mIs · g = Fg = m 0,0100 kg = 1 17 χ

ΛΥΣΗ

'

2

Η κατεύθυνση του πεδίου είναι η ίδια με αυτήν της δύνα­

μης που ασκείται πάνω στη μικρή μάζα.

12-9 Το βαρυτικό πεδίο στο κέντρο της σφαίρας με μάζα 0,0100 kg έχει την ίδια κατεύθυνση με τη βαρυτική δύναμη που ασκείται πάνω στη σφαίρα. Το μέτρο του είναι ίσο με το λόγο του μέτρου της βαρυτικής δύναμης δια της μάζας της σφαίρας.

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

� �

L

/

F

_ _ _ _

gl

� z

0,0100 kg

g2

_ _ _ _ _

0,500 kg

- Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 12-6 -------

Ένα σώμα με σχήμα δακτυλίου ακτίνας α έχει μάζα Μ. Υπολογίστε το βαρυτικό πεδίο σε ένα σημείο Ρ που απέχει απόσταση χ από το κέντρο του δακτυλίου και βρίσκεται πά­ νω στον άξονα που περνά από το κέντρο και είναι κάθετος στο επίπεδο του δακτυλίου (Σχ. 1 2-10). ΛΥΣΗ Φανταζόμαστε ότι ο δακτύλιος χωρίζεται σε μικρά

κομμάτια Δs, το καθένα με μάζα ΔΜ. Το καθένα από τα κομμάτια δημιουργεί σε ένα σημείο Ρ ένα βαρυτικό πεδίο με ένταση Δg του οποίου το μέτρο είναι

g, = - 2GMx (χ + a 2)Jπ ·

Η συνιστώσα y του βαρυτικού πεδίου στο σημείο Ρ είναι μηδέν, γιατί οι συνιστώσες γ του πεδίου που οφείλονται σε δύο τμήματα που είναι διαμετρικά αντίθετα αλληλοαναι­ ρούνται και οι συνεισφορές από όλα αυτά τα ζεύγη, όταν προστεθούν για όλο το δακτύλιο, έχουν άθροισμα μηδέν. Το ίδιο ισχύει και για τη συνιστώσα z. Υ

ΔΜ

Η συνιστώσα αυτού του πεδίου κατά μήκος του άξονα των χ είναι

χ Δg, = - Δ g cos φ = G2 ΔΜ = - (xG2 +ΔΜχ a 2)Jπ · x + a 2 .Vx 2 + a 2 ( 1 2-10) Για να βρούμε την ολική συνιστώσα χ του βαρυτικού πεδί­ ου από όλα τα στοιχεία μάζας ΔΜ, αθροίζουμε όλα τα Δ G,. Αυτό είναι απλό· τα χ και α είναι τα ίδια..για κάθε κομμάτι ΔΜ πάνω στο δακτύλιο και επομένως απλώς αθροίζουμε ό­ λα τα ΔΜ. Αυτό το άθροισμα είναι η ολική μάζα Μ. Το α­ ποτέλεσμα είναι

( 1 2- 1 1 )

Μ 12-10 Για την εύρεση του αξονικού βαρυτικού πεδίου ενός δακτυλίου με μάζα Μ και ακτίνα α .

324

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 BAPYfHTA

Η Εξ. ( 1 2-1 1) δείχνει ότι στο κέντρο του δακτυλίου (χ Ο) το ολικό βαρυτικό πεδίο είναι ίσο με μηδέν. Αυτό εί­ ναι αναμενόμενο· στοιχεία μάζας που βρίσκονται σε διαμε­ τρικά αντίθετες θέσεις έλκουν προς αντίθετες κατευθύνσεις και τα πεδία τους αλληλοαναιρούνται. Επίσης, όταν το χ εί=

1 2-4

ναι πολύ μεγαλύτερο του α, μπορούμε να αγνοήσουμε το α στον παρονομαστή της Εξ. (12-1 1)· η παράσταση τότε γίνε­ ται προσεγγιστικά ίση με -GM!x'. Αυτό δείχνει ότι σε απο­ στάσεις (χ) πολύ μεγαλύτερες της ακτίνας (α) του δακτυλί­ • ου, ο δακτύλιος φαίνεται σαν σημειακή μάζα.

ΒΑΡΥΤΙ ΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ Ε Ν Ε Ρ Γ Ε Ι Α ------

Όταν αναπτύξαμε για πρώτη φορά την έννοια της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας στο Εδάφιο 7-2, υποθέσαμε ότι η βαρυτική δύναμη που ασκείται πάνω σε ένα σώμα ε ίναι σταθερή και ως προς το μέτρο και ως προς την κατεύθυνση. Τώρα όμως γνωρίζουμε ότι η βαρυτική δύναμη της Γης πάνω σε ένα σώμα με μάζα m, σε κάποιο σημείο εκτός της Γης, δίνεται από τη γενικότερη έκφραση (12-12) όπου mε είναι η μάζα της Γης και Γ είναι η απόσταση του σώματος από το κέντρο της Γης. Σε προβλήματα στα οποία η απόσταση Γ μεταβάλλεται αρκετά ώστε η βαρυτική δύναμη να μη μπορεί να θεωρηθεί σταθερή, θα πρέπει να αναθεωρήσουμε τις αντιλήψεις μας για τη βαρυτική δυναμική ενέργεια. Η Εξ. (12-12) δείχνει ότι το βάρος w ενός σώματος σε απόσταση Γ από το κέντρο της Γης είναι ανάλογο του 1 /r. Για να βρούμε την αντίστοιχη γενίκευση της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας, πρέπει να υπολογίσουμε το έργο �rav που παράγεται από τη βα­ ρυτική δύναμη όταν η απόσταση Γ μεταβάλλεται από Γι σε ι·2 • Αυτό δίνεται από το ολο­ κλήρωμα �rav =

συνιστώσα μειώνεται,

fr, r

F, dr,

όπου F, είναι η της βαρυτικής δύναμης στην κατεύθυνση αύξησης του Γ, δηλα­ δή από το κέντρο της Γης προς τα έξω. Επειδή η βαρυτική δύναμη έχει κατεύθυνση αυ­ η F, διαφέρει από την παράσταση της Εξ. (12-12) ως τήν προς την οποία το Γ προς το πρόσημο. Δηλαδή, το μέτρο της βαρυτικής δύναμης είναι θετικό, αλλά η συνι­ στώσα της στην κατεύθυνση αύξησης του ι· (την ακτινική κατεύθυνση) είναι αρνητική. Έτσι το Wgrav δίνεται από τη σχέση �rav = - G mmε

Gn1ιn E

- ις-

dΓ

_

-;:τ Γ -

G mm ε Γ2

G mm ε Γι

(12-13)

Η διαδρομή δεν χρειάζεται να είναι ευθύγραμμη· θα μπορούσαμε με επιχειρήματα ό­ μοια με αυτά του Εδαφίου 7-2 να δείξουμε ότι το έργο εξαρτάται μόνο από την αρχική και την τελική τιμή του Γ. Αυτό αποδεικνύει επίσης ότι η βαρυτική δύναμη είναι πάντοτε

υ

o

f r, r,

διατηρητική.

_

_ :E

V

12-Η Γραφική παράσταση της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας υ συναρτήσει της απόστασης r από το κέντρο της Γης. Παρατηρήστε ότι η υ είναι πάντοτε αρνητική, αλλά γίνεται λιγότερο αρνητική καθώς το ι· αυξάνει.

Θέλουμε να ορίσουμε την αντίστοιχη δυναμική ενέργεια υ έτσι, ώστε να ε ίναι Wgrav = υι - υ2, όπως και πριν. Συγκρίνοντας τη σχέση αυτή με την Εξ. (12-13), βλέπουμε ότι ο κατάλληλος ορισμός είναι

υ = - G mm ε . Γ

(12-14)

Όταν το Γ αυξάνει, η βαρυτική δύναμη παράγει αρνητικό έργο και η υ αυξάνει (δηλαδή γίνεται λιγότερο αρνητική), όπως δείχνει το Σχ. 12-1 1 . Όταν το Γ μειώνεται, το σώμα «πέφτει» προς τη Γη, το έργο που παράγει η βαρύτητα είναι θετικό και η δυναμική ενέρ­ γεια μειώνεται (δηλαδή γίνεται πιο αρνητική). Ένα κάπως παράξενο χαρακτηριστικό της Εξ. (12-14) είναι ότι η υ είναι πάντοτε αρνητική. Ο λόγος γι' αυτό είναι ότι, σύμφωνα με την Εξ. (12-14), η υ είναι ίση με μηδέν όταν η μάζα m βρίσκεται· σε άπειρη απόσταση από τη Γη (Γ = οο ). Αυτό είναι τελείως δια­ φορετικό από το να πάρουμε υ = σε κάποιο αυθαίρετο ύψος, όπως κάναμε πριν. Η ε­ πιλογή όμως του σημείου όπου η δυναμική ενέργεια είναι ίση με μηδέν είναι αυθαίρετη.

Ο

325

12-4 ΒΑΡΥfΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ

διαφορές

Μόνο στην υ από ένα σημείο σε άλλο είναι σημαντικές και γι' αυτό αρνητικές τιμές της υ δεν πρέπει να μας ανησυχούν. Αν επιθυμούσαμε, θα μπορούσαμε να πά­ ρουμε υ= Ο στην επιφάνεια της Γης, όπου = απλώς προσθέτοντας την ποσότητα στην Εξ. (12-4). Αυτό θα μηδένιζε την υ όταν = και η υ θα ήταν θετική για > Το τίμημα θα ήταν βεβαίως ότι η παράσταση για την υ θα ήταν πιο πολύπλο­ κη. Ο επιπρόσθετος όρος δεν θα επηρέαζε τη στην υ μεταξύ δύο σημείων, η ο­ ποία και είναι η μόνη σημαντική ποσότητα από φυσική άποψη, και γι' αυτό είναι συνή­ θως ευκολότερο να παραλείπουμε τον όρο αυτό. Εφοδιασμένοι με την Εξ. (12-14), μπορούμε τώρα να χρησιμοποιήσουμε γενικές ε­ νεργειακές σχέσεις σε προβλήματα στα οποία η μεταβολή της βαρυτικής δύναμης της Γης σύμφωνα με τον παράγοντα πρέπει να συμπεριληφθεί. Αν η βαρυτική δύναμη εί­ ναι η μόνη δύναμη που ασκείται πάνω στο σώμα, η ολική μηχανική ενέργεια του συστή­ ματος είναι σταθερή, ή

r

Gmmε!Rε r Rε.

Rε,

r

Rε

διαφορά

1/r2 διατηρείται.

- Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 1 2-7

-------

«Από τη Γη στη Σελήνη». Στο ομώνυμο μυθιστόρημα του Ιουλίου Βερν, που γράφτηκε το τρεις άνδρες ε­ κτοξεύονται προς τη Σελήνη μέσα σε ένα θάλαμο σε σχήμα οβίδας που πυροβολείται από ένα γιγαντιαίο κανόνι κατα­ σκευασμένο μέσα στη γη, στη Φλώριδα. a) Με ποια ταχύ­ τητα πρέπει να βγει από το κανόνι η οβίδα για να φτάσει, κινούμενη κατακόρυφα, σε ύψος μόλις ίσο με την ακτίνα της Γης; b) Ποια ταχύτητα θα επέτρεπε στην οβίδα να δια­ φύγει από τη Γη τελείως; Για να απλοποιηθούν οι υπολογι­ σμοί, αγνοήστε τη βαρυτική έλξη της Σελήνης και όλα τα φαινόμενα που οφείλονται στην αντίσταση του αέρα.

1865,

1 0-ιι

·

ΛΥΣΗ a) Χρησιμοποιούμε τη γενική ενεργειακή σχέση α­

πό το Κεφ.

7:

Κι + Uι +

Woιher

= Kz +

Uz.

Η μόνη δύναμη που παράγει έργο είναι η βαρυτική και έ­ τσι Woιher = Ο. Έστω ότι :to σημείο είναι το σημείο εκκίνη­

2 12-12). 2Rε. ι

2

ι

χ

=

Γενικεύοντας αυτό το αποτέλεσμα, μπορούμε να πούμε ότι η αρχική ταχύτητα υ 1 που πρέπει να έχει ένα σώμα για να διαφύγει από την επιφάνεια μιας σφαιρικής μάζας και ακτίνας είναι ( αγνοόντας τριβές)

R,

1

ση ς και το σημείο είναι το σημείο μέγιστου ύψους, όπου υ Αν η ακτίνα της Γης είναι τότε r1 = = Ο (Σχ. και r2 = Επίσης, υ2 = Ο και η υ 1 απομένει να προσδιο­ ριστεί. Η μάζα της οβίδας (με τους επιβάτες) είναι m. Η ε­ ξίσωση διατήρησης της ενέργειας, Κ1 + U1 = Κ2 + U2, δίνει 2 mυ

=

Ν · m2/kg2)(5,98 χ 1024 kg) 2(6,67 χ 6,38 χ 106 m 1,12 104 m/s (11,2 km/s 40 300 km/h).

Rε,

(

)

(

Rε

mmε mmε + - G ---π;- _ Ο + - G 2Rε -

)

υ1

ν 2�Μ .

Σας καλούμε να χρησιμοποιήσετε το αποτέλεσμα αυτό για να υπολογίσετε τις ταχύτητες διαφυγής από άλλα ουράνια σώματα. Θα βρείτε για τον Άρη, για τον Δία και για τον Ήλιο.

618 km/s 4,97 km/s

.

2

Λύνοντας ως προς υ 1 , βρίσκουμε

ν Rε

=

Μ (2-15)

59,1 km/s

m

102 kg) (6,67 10-11 N6,3· 8m2χ/kg2)( 106m5,98 χ 4 7910 m/s (7,91 km/s 28 500 km/h). b) Όταν υ 1 είναι η ταχύτητα διαφυγής, τότε Rε, Ο. Θέλουμε το σώμα μόλις να καταφέρει να φτά­ υι

=

=

Gmε

=

χ

=

r1

και υ2 =

=

r2

=οο

σει στο r2 = οο, με μηδενική κινητική ενέργεια. Τότε η σχέ­ ση Κ1 + U1 = Κ2 + U2 δίνει 12-12 Ένα βλήμα που εκτοξεύεται από την επιφάνεια της Γης, σε ύψος ίσο με την ακτίνα της.

Μ

Όταν είμαστε κοντά στην επιφάνεια της Γης, η Εξ. (12-13) ανάγεται στη γνωστή μας υ= του Κεφ. 7. Για να το αποδείξουμε αυτό, ξαναγράφουμε την Εξ. (12-13) ως

mgy,

Wgraν _ -

G mm

rι -rz

Ε --,-,---- . 2

1

326

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 ΒΑΡΥΓΗΤΑ

Αν το σώμα παραμένει κοντά στην επιφάνεια της Γης, μπορούμε να αντικαταστήσουμε τόσο το r 1 όσο και το r2 στον παρονομαστή με την ακτίνα της Γης, Rε, για να βρούμε ότι

rι - rz Wgraν - G mm Ε --w·

Σύμφωνα με την Εξ. (12-4), g = Gmε1Rε2, και επομένως Wgraν = mg (ι·ι - Γz) .

Αυτή συμφωνεί με την Εξ. (7-1), με τα r να αντικαθιστούν τα y, και γι' αυτό μπορούμε να θεωρήσουμε την Εξ. (7-1) ως ειδική περίπτωση της πιο γενικής Εξ. (12-13). σχέση μεταξύ της βαρυτικής δύναμης που ασκείται πάνω σε ένα σώμα, η οποία δίνεται από την Εξ. (12-1 2), και της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας, που δίνεται από την Εξ. ( 12-1 4), μπορεί να εκφραστεί σε διαφορική μορφή, χρησιμοποιώντας τη γενική ανά­ λυση του Εδαφίου 7-5. Η Εξ. (7-15) έδειξε ότι η συνιστώσα της δύναμης σε μια δεδομέ­ νη κατεύθυνση είναι ίση με την αρνητική παράγωγο της U ως προς την αντίστοιχη συντε­ ταγμένη. Για κίνηση κατά την κατεύθυνση του άξονα των χ,

Η

dU Fx = - dx "

(12-16)

Στην περίπτωσή μας, aντικαθιστούμε το χ με r στην Εξ. ( 1 2-16)· βρίσκουμε

F = r

_

(

)

Gmm ε _4_ - Gmm ε dU = dr = dr r r2 • _

_

(12-17)

Αυτό συμφωνεί με τη μορφή της F 1 με την οποία αρχίσαμε. Όπως έχουμε παρατηρήσει και πριν, η F, είναι αρνητική, δείχνοντας ότι η δύναμη έχει κατεύθυνση αντίθετη από αυ­ τήν προς την οποία αυξάνει το r.

1 2-5

Κ Ι Ν Η Σ Η Δ Ο ΡΥΦΟΡΩΝ

_ _ _ _ _ _

Οι τεχνητοί δορυφόροι σε τροχιές γύρω από τη Γη είναι ένα συνηθισμένο γεγονός της ε­ ποχής μας. Γνωρίζουμε ότι διαφέρουν μόνο ως προς το μέγεθος και όχι κατ' αρχήν από την κίνηση της Σελήνης γύρω από τη Γη ή την κίνηση των δορυφόρων του Δία γύρω από αυτόν. Παρ' όλα αυτά εξακολουθούμε να αντιμετωπίζουμε ερωτήσεις, όπως Πι κρατά αυτό το πράγμα εκεί πάνω τελοσπάντων;» Γι' αυτό ας δούμε πώς μπορούμε να χρησιμο­ ποιήσουμε τους νόμους του Νεύτωνα και το νόμο της βαρύτητας για μια λεπτομερή ανά­ λυση της δορυφορικής κίνησης. Αρχίζοντας, αναλογιστείτε τη μελέτη της κίνησης βλημάτων του Εδαφίου 3-3. Στο Παράδειγμα 3-3, ένας μοτοσυκλετιστής τρέχει οριζόντια προς το χείλος ενός γκρεμού, ε­ κτοξεύοντας τον εαυτό του σε μια παραβολική τροχιά που καταλήγει στην οριζόντια βά­ ση του γκρεμού. Αν επιζήσει και επαναλάβει το πείραμα με μεγαλύτερη ταχύτητα εκτό­ ξευσης, θα προσγειωθεί πιο μακρυά από το σημείο aπογείωσής του. Μπορούμε να τον φανταστούμε να εκτοξεύεται με ταχύτητα αρκετά μεγάλη ώστε η καμπυλότητα της επι­ φάνειας της Γης να παίζει σημαντικό ρόλο όσον αφορά το σημείο προσγείωσής του. Κα­ θώς πέφτει, η επιφάνεια της Γης απομακρύνεται από αυτόν λόγω καμπυλότητας. Αν κυ­ νείται με αρκετά μεγάλη ταχύτητα και το σημείο εκτόξευσής του είναι αρκετά ψηλά ώστε να κινείται πάνω από τις κορυφές των βουνών, θα μπορούσε να κινείται συνεχώς γύρω από τη Γη χωρίς ποτέ να προσγειώνεται. Το Σχ. 12-13a δείχνει μια παραλλαγή αυτής της κατάστασης. Εκτοξεύουμε ένα βλήμα από το σημείο στην κατεύθυνση εφαπτομενική της επιφάνειας της Γης. Οι τροχιές (1) μέχρι (7) δείχνουν την επίδραση της αύξησης της αρχικής ταχύτητας. Στην τροχιά το βλήμα μόλις που κατορθώνει να αποφύγει την επιφάνεια της Γης και να γί­ νει δορυφόρος της. ταχύτητά του όταν επιστρέφει στο σημείο Α είναι ίση με την αρχι­ κή· αν δεν υπάρχει επιβραδυντική δύναμη (όπως η αντίσταση του αέρα), επαναλαμβάνει την κίνησή του επ' άπειρον. Οι τροχιές (1) μέχρι (5) είναι ελλείψεις ή τμήματα ελλείψεων· η τροχιά ( 4) είναι έ­ νας κύκλος (μια ειδική περίπτωση έλλειψης). Οι τροχιές (6) και (7) δεν είναι κλειστές καμπύλες γι' αυτές το βλήμα δεν επιστρέφει ποτέ στο σημείο εκτόξευσής του, αλλά απο­ μακρύνεται συνεχώς από τη Γη.

Α

(3)

Η

ΑΒ,

12-5 ΚΙΝΗΣΗ ΔΟΡΥΦΟΡΩΝ

327

(7) (6)

(b)

(a)

12-13 (a) Τροχιές ενός σώματος που εκτοξεύεται από το σημείο Α στην κατεύθυνση ΑΒ με διαφορετικές αρχικές ταχύτητες. Οι τροχιές ( 1 ) και (2) θα συμπληρώνονταν όπως φαίνεται αν η Γη ήταν μια σημειακή μάζα στο C. (b) Ένας σύγχρονος τηλεπικοινωνιακός δορυφόρος. Στην επιφάνειά του φαίνονται φύλλα συλλεκτών ηλιακής ενέργειας και μια παραβολική κεραία στο άκρο του.

Μ ια κυκλική τροχιά είναι η απλούστερη περίπτωση· είναι η μόνη που θα αναλύ­ σουμε λεπτομερώς. Οι τεχνητοί δορυφόροι συχνά έχουν σχεδόν κυκλικές τροχιές και οι τροχιές των πλανητών γύρω από τον Ήλιο επίσης είναι σχεδόν κυκλικές. Όπως έχουμε μάθει στο Εδάφιο 3-4, ένα σωμάτιο σε ομαλή κυκλική κίνηση με ταχύτητα και ακτίνα έχει επιτάχυνση με μέτρο a ,.d = και κατεύθυνση πάντοτε προς το κέντρο του κύ­ κλου. Για ένα δορυφόρο, η που προκαλεί αυτή την επιτάχυνση είναι η βαρυτική έλξη της Γης (μάζας όπως φαίνεται στο Σχ. 12-14. πάνω στο δορυφόρο (μάζας Αν η ακτίνα της κυκλικής τροχιάς, μετρούμενη από το της Γης, είναι ι· , τότε η βα­ ρυτική δύναμη δίνεται από το νόμο της βαρύτητας: = αρχή που διέπει την κίνηση είναι ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα· η δύναμη είναι Fg και η επιτάχυνση είναι οπότε η εξίσωση Σ F = δίνει

m ε)

Η

Λύνοντας ως προς

υ

υ2/r δύναμη

υ2/r,

υ, βρίσκουμε

r,

m), κέντρο Fg Gmmε/r. ma Gmmε = mυ2 ι·

2

ι·

υ = � Gmε _

(12-18)

ι·

12-14 Η δύναμη Fg που οφείλεται στη βαρυτική έλξη της Γης, παρέχει την απαιτούμενη κεντρομόλο δύναμη που διατηρεί το δορυφόρο σε τροχιά.

111

328

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 2 BAPYfHTA

r

Αυτή η σχέση δείχνει ότι δεν μπορούμε να επιλέξουμε την ακτίνα της τροχιάς και την ταχύτητα υ ανεξάρτητα τη μία από την άλλη· αν επιλέξουμε την τιμή της η υ είναι καθο­ ρισμένη. Η Εξ. (12-18) δείχνει επίσης ότι η κίνηση του δορυφόρου δεν εξαρτάται από τη μάζα του m, γιατί η m δεν εμφανίζεται στην εξίσωση. Αν μπορούσαμε να κόψουμε ένα δορυφόρο στη μέση χωρίς να επηρεάσουμε την ταχύτητά του, το κάθε μισό θα συνέχιζε την αρχική του κίνηση. Μπορούμε επίσης να βρούμε μια σχέση ανάμεσα στην ακτίνα της τροχιάς r και την περίοδο δηλαδή το χρόνο που απαιτείται για μια περιφορά. Η ταχύτητα υ είναι η από­ σταση που διανύεται σε μια περιφορά, δια του χρόνου που απαιτείται γι' αυτό. Έτσι,

r,

Τ, 2πr

Τ

(12-19) Για να βρούμε μια παράσταση για το δυάζουμε με την Εξ. (12-18):

Τ, λύνουμε την Εξ. (12-19) ως προς Τ και τη συν­

(12-20)

Οι Εξ. (12-18) και (12-20) δείχνουν ότι οι μεγαλύτερες τροχιές αντιστοιχούν σε μικρότε­ ρες ταχύτητες και μεγαλύτερες περιόδους. Ένα ενδιαφέρον γεγονός προκύπτει από αυτή την ανάλυση όταν συγκρίνουμε την Εξ. (12-18) με την Εξ. (12-15). Βλέπουμε ότι η ταχύτητα διαφυγής από ένα σφαιρικό σώ­ μα ακτίνας είναι ίση με {i φορές την ταχύτητα ενός δορυφόρου του σώματος σε κυκλι­ κή τροχιά με αυτή την ακτίνα. Αν το διαστημόπλοιό μας βρίσκεται σε κυκλική τροχιά γύ­ ρω από τον πλανήτη Ήφαιστο, θα πρέπει να αυξήσουμε την ταχύτητά μας κατά ένα πα­ ράγοντα fi για να διαφύγουμε από τον πλανήτη, ανεξάρτητα από τη μάζα του πλανήτη.

R

-

Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 12-8

Υποθέστε ότι θέλουμε να τοποθετήσουμε ένα μετεωρολο­ γικό δορυφόρο σε κυκλική τροχιά πάνω από την ε­ πιφάνεια της Γης. Ποια ταχύτητα, περίοδο και ακτινική ε­ πιτάχυνση πρέπει να έχει; Η ακτίνα της Γης είναι χ και η μάζα της χ

300 km 5,98 1024 kg.

= 6,38 10' m

Από την Εξ.

χ

6380 m

ΛΥΣΗ Η ακτίνα της τροχιάς του δορυφόρου είναι

r = 6380 km + 300 km = 6680 km = 6,68 10' m. Από την Εξ. (12-18), υ = � G�ε = (6,67 10-11 Ν6,6· 8m2/kg2)(5, 106m98 1024 kg) = 7730 m/s.

=

Η ακτινική επιτάχυνση είναι

αrad

χ

χ

χ

χ

(12-20), 68 m/s106 m) τ = 2πrυ = 2π(6,7730 5430 s = 90,5 min. m/s)2 = -;υ2 = 6,(7730 68 106 m χ

Αυτή είναι κάπως μικρότερη από την τιμή της επιτάχυνσης για ελεύθερη πτώση στην επιφάνεια της Γης είναι ίση με την τιμή του g σε ύψος πάνω από την επιφάνεια της Γης.

g

300 km

Έχουμε μιλήσει κυρίως για τεχνητούς δορυφόρους της Γης, αλλά μπορούμε να ε­ φαρμόσουμε την ίδια ανάλυση στην κυκλική κίνηση οποιουδήποτε σώματος κάτω από την επίδραση της βαρυτικής έλξης ενός ακίνητου σώματος. Άλλα γνώριμα παραδείγματα είναι η Σελήνη μας, οι δορυφόροι άλλων πλανητών και οι πλανήτες που περιφέρονται γύρω από τον Ήλιο σε σχεδόν κυκλικές τροχιές. Οι δακτύλιοι του Κρόνου και του Πο­ σειδώνα (Σχ. 1 2-15) αποτελούνται από μικρά κομμάτια πάγου που κινούνται σε κυκλι­ κές τροχιές γύρω από αυτούς τους πλανήτες.

(b)

(a)

(c)

12-15 (a) Οι δακτύλιοι του Κρόνου, όπως φωτογραφήθηκαν από το διαστημικό τηλεσκόπιο Hubble, τον Νοέμβριο του 1990. Τα εξωτερικά τμήματα χρειάζονται περισσότερο χρόνο για μια περιφορά από ότι τα εσωτερικά. (Η λευκή κηλίδα είναι μια ατμοσφαιρικ1j καταιγίδα). (b) Οι δακτύλιοι του Ποσειδώνα, όπως φωτογραφήθηκαν από τον Voyager 1 . (c) Οι πλανητικοί δακτύλιοι αποτελούνται κυρίως από κομμάτια πάγου, το καθένα από τα οποία κινείται σε μια κυκλική τροχιά με περίοδο που δίνεται από την Εξ. ( 1 2-20), χρησιμοποιώντας τη μάζα του πλανήτη αντί της mε.

* 12-6

ΟΙ ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΚΕΠΛΕΡ

Οι κινήσεις των πλανητών, καθώς αυτοί διασχίζουν αργά τον ουρανό, έχουν γοητεύσει την ανθρωπότητα τουλάχιστον από τότε που έχουμε καταγραμμένη ιστορία. Η ανακάλυ­ ψη των νόμων του Κέπλερ για την κίνηση των πλανητών αποτελεί ένα αξιόλογο κεφά­ λαιο στην ιστορία της επιστήμης. Ο Johannes Kepler ( 1571 - 1630) ήταν Γερμανός a­ στρονόμος. Όπως όλοι οι αστρονόμοι της εποχής του, ήταν βαθειά αναμειγμένος στην προσπάθεια κατανόησης των κινήσεων των πλανητών, μια προσπάθεια που είχε την επο­ χή εκείνη και θεολογική σημασία, εκτός από την aστρονομική. Ο Κέπλερ βάσισε την α­ νάλυσή του στις παρατηρήσεις του προκατόχου και δασκάλου του, του Δανού αστρονό­ μου Tycho Brahe (τύχο Μπράχε, 1546 - 1601). Οι μετρήσεις του Brahe ήταν εκπληκτικά ακριβείς, αν ληφθεί υπόψη ότι έγιναν με όργανα παρατήρησης με γυμνό οφθαλμό. (το τηλεσκόπιο εφευρέθηκε το 1608, επτά χρόνια μετά το θάνατο του Brahe). Χωρίς τη θεωρητική υποστήριξη που έδωσε ο Νεύτωνας ( 1642-1727) μετά από ένα σχεδόν αιώνα, ο Κέπλερ ανακάλυψε, δια της μεθόδου της δοκιμής και πλάνης, τρεις ε­ μπειρικούς νόμους οι οποίοι περιέγραψαν και συσχέτισαν τις κινήσεις των πέντε πλανη­ τών που ήσαν τότε γνωστοί: 1.

Κάθε πλανήτης κινείται σε μια ελλειπτική τροχιά, με τον Ήλιο σε μια από τις ε­ στίες της έλλειψης.

2. Η ευθεία που ενών ει τον Ήλιο με έναν πλανήτη, σαρώνει ίσες επιφάνειες σε ίσους χρόνους.

3. Τα τετράγωνα των περιόδων των πλανητών είναι ανάλογα προς τους κύβους των με­

γάλων ημιαξόνων των τροχιών τους.

Οι νόμοι της κίνησης του Νεύτωνα και ο νόμος της βαρύτητας μπορούν να χρησιμοποιη­ θούν για την απόδειξη αυτών των νόμων. Ας εξετάσουμε αρχικά τις ελλειπτικές τροχιές. Το Σχ. 12-16 δείχνει τη γεωμετρία της έλλειψης. Ο άξονας των χ είναι ο μέγας άξονας, με μήκος 2α. Το άθροισμα των απο­ στάσεων ενός σημείου Ρ από τα δύο σημεία F και F' είναι το ίδιο για κάθε σημείο της καμπύλης αυτός είναι ένας από τους τρόπους της έλλειψης.Τα σημεία F και F' είναι οι της έλλειψης. Ο Ήλιος βρίσκεται στο F και ο πλανήτης στο Ρ· θεωρούμε και τους δύο ως σημεία γιατί τα μεγέθη τους είναι πολύ μικρά συγκρινόμενα με τη μετα­ ξύ τους απόσταση. απόσταση μιας εστίας από το κέντρο της έλλειψης είναι όπου είναι ένας α­ διάστατος αριθμός μεταξύ και 1 που ονομάζεται Αν Ο, η έλλειψη γί­ νεται κύκλος. Οι τροχιές των πλανητών είναι σχεδόν κυκλικές η εκκεντρότητα της τρο­ χιάς της Γης είναι περίπου 0,017. Όπως φαίνεται στο Σχ. 12-13, η τροχιά ενός σώματος που κινείται κάτω από την επίδραση μιας δύναμης aντιστρόφου τετραγώνου (1/r) πει να είναι κύκλος, έλλειψη, παραβολή ή υπερβολή. Αυτό το αποτέλεσμα προκύπτει α­ πευθείας από την εφαρμογή των νόμων του Νεύτωνα και του νόμου της βαρύτητας, με τη χρήση όμως διαφορικών εξισώσεων, για τις οποίες δεν είμαστε έτοιμοι σ' αυτό το στά­ διο.

ορισμού

εστίες

Η

Υ

Ο

eα, e εκκεντρότητα. e =

πρέ­

12-16 Η γεωμετρία μιας έλλειψης. Το άθροισμα των αποστάσεων FP και F'P από τις δύο εστίες F και F', είναι το ίδιο για κάθε σημείο Ρ της καμπύλης.

329

12-17. r,

Ο δεύτερος νόμος του Κέπλερ φαίνεται στο Σχ. Σε ένα μικρό χρονικό διά­ στημα η ευθεία από τον Ήλιο F στον πλανήτη Ρ περιστρέφεται κατά γωνία Η επι­ φάνεια που σαρώνεται είναι το έγχρωμο τρίγωνο με ύψος βάση μήκους και εμβα­ δόν dA = � ο ρυθμός σάρωσης της επιφάνειας είναι

dt,

rdθ.

rdθ

d.A

de dt = l2 r dt .

(a)

dθ.

(12-21)

υ

Μπορούμε να εκφράσο11j.ιε :αvτόν τον ρυθμό συναρτήσει της ταχύτητας του πλανήτη· η συνιστώσα της υ κάθετη στην επιβατική ακτίνα είναι υ sin που είναι επίσης ίση με = Χρησιμοποιώντας αυτή τη σχέση στην Εξ. βρίσκουμε ότι

φ, (12-21),

rω r dθ!dt.

dA =

dt

φ

ι

2

rυ

·

φ

sιn .

Αλλά rυ sin είναι το μέτρο του διανυσματικού γινομένου r χ που με τη σειρά του εί­ ναι ίσο με το λόγο της στροφορμής = r χ ) του πλανήτη δια της μάζας του Έτσι προκύπτει ότι

(b)

(L

dA =

dt

υ,

mυ

m.

1 I r χ mυ I = _b_ . 2m 2m

(12-22)

Σταθερός ρυθμός σάρωσης της επιφάνειας ισοδυναμεί με σταθερή στροφορμή! Είναι εύκολο να δει κανείς γιατί η στροφορμή ενός πλανήτη να είναι στα­ θερή. Σύμφωνα με την Εξ.

(10-27),

(c) 12-17 (a) Ο πλανήτης Ρ κινείται σε ελλειπτική τροχιά γύρω από τον Ήλιο που βρίσκεται στο F. (b) Σε χρόνο dt, η ευθεία από τον Ήλιο προς τον πλανήτη σαρώνει την τριγωνική επιφάνεια dA = i (rdθ)r = )rdθ. (c) Η ταχύτητα του πλανήτη μεταβάλλεται έτσι, ώστε ο λόγος της επιφάνειας dA προς το χρόνο dt να είναι σταθερός, ανεξάρτητα από τη θέση του πλανήτη στην τροχιά του.

-

πρέπει

�� = τ = r χ F.

Στη δική μας περίπτωση, τα r και F βρίσκονται πάντοτε πάνω στην ίδια ευθεία· το εξωτε­ = Ο. Έτσι, ο δεύτερος ρικό τους γινόμενο r χ F είναι ίσο με μηδέν, και επομένως νόμος του Κέπλερ είναι ισοδύναμος με τη διατήρηση της στροφορμής. Αυτό το συμπέρα­ σμα εξαρτάται από τη μορφή Ι της δύναμης η στροφορμή διατηρείται για δύ­ ναμη που δρα κατά μήκος της ευθείας που ενώνει το σωμάτιο με ένα σταθερό σημείο. Μια τέτοια δύναμη ονομάζεται (Ο πρώτος και ο τρίτος νόμος ισχύουν για δυνάμεις της μορφής Έχουμε ήδη αποδείξει τον τρίτο νόμο του Κέπλερ για την ειδική περίπτωση των κυκλικών τροχιών. Η Εξ. δείχνει ότι το τετράγωνο της περιόδου ενός δορυφόρου ή πλανήτη σε κυκλική τροχιά είναι ανάλογο του κύβου της ακτίνας της τροχιάς.

dL/dt

δεν

μόνο

κάθε

1r κεντρική δύναμη. 1/r). (12-20)

1 1 Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 1 2-9 -------

Χρησιμοποιώντας τα δεδομένα του Παραρτήματος ΣΤ, ε­ λέγξετε αν οι ακτίνες των τροχιών και οι περίοδοι του Ου­ ρανού και του Κρόνου υπακούουν στον τρίτο νόμο του Κέ­ πλερ.

Σύμφωνα με τον τρίτο νόμο του Κέπλερ, ο λόγος των πε­ ριόδων θα πρέπει να είναι ίσος με τον αριθμό αυτό στη δύ­ ναμη t • δηλαδή Ο λόγος βρίσκεται ότι είναι ίσος με

2,85.

Τu = Ts

ΛΥΣΗ Ο λόγος των ακτίνων των τροχιών του Ουρανού και του Κρόνου είναι ru

rs

_

-

2,1,4873 χχ 1012

m = ι ο ιz m

2,0 1.

84,29,0462 2 85 . '

γ

y

=

Ιδού!

Η μελέτη της κίνησης των πλανητών έπαιξε κεντρικό ρόλο στα πρώτα στάδια της ανάπτυξης της φυσικής. Ο Κέπλερ αφιέρωσε περισσότερα από χρόνια στην ανάλυση των παρατηρήσεων του Brahe και στην αναζήτηση κανονικοτήτων και συσχετίσεων σε αυτές. Δημοσίευσε τους πρώτους δύο νόμους του το και τον τρίτο το Απέμεινε όμως στο Νεύτωνα να δείξει, σχεδόν εκατό χρόνια αργότερα, ότι η συμπεριφορά αυτή των πλανητών μπορούσε να γίνει κατανοητή χρησιμοποιώντας τους ίδιους ακριβώς νό­ μους κίνησης που είχε αναπτύξει για την ανάλυση της κίνησης. Ο Νεύτωνας αναγνώρισε πως ένα μήλο που πέφτει (Εδάφιο 4 - 4) το τραβούσε η Γη με την ίδια βαρυτική έλξη που κρατούσε τους πλανήτες σε τροχιά. Αλλά για να κατα-

15

1609

επίγειας

330

1619.

12-7 ΣΦΑΙΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΜΑΖΑΣ

33 1

λήξει στη μορφή 1/r 2 του νόμου της βαρύτητας, έπρεπε να κάνει κάτι που χρειαζόταν με­ γαλύτερη οξύνε ια· έπρεπε να πάρει τις παρατηρήσεις του Brahe για τις κινήσεις των πλανητών, όπως είχαν συστηματοποιηθεί από τον Κέπλερ και να δείξει ότι οι νόμοι του Κέπλερ απαιτούσαν μια δύναμη aντιστρόφου τετραγώνου. Από τη δική μας ιστορική αντίληψη, που έχουμε 300 χρόνια αργότερα, δεν υπάρχει καμιά αμφιβολία ότι αυτή η Νευτώνεια σύνθεση, όπως αποκαλείται, αποτελεί ένα από τα μεγαλύτερα επιτεύγματα σε ολόκληρη την ιστορία της επιστήμης, σίγουρα συγκρίσιμη σε σημασία με την ανάπτυξη της Κβαντομηχανικής, τη θεωρία της σχετικότητας και την κατανόηση της δομής του DNA στο δικό μας αιώνα. Υπήρξε ένα θαυμαστό άλμα κατα­ νόησης της φύσης, που έγινε από μια γιγάντια διάνοια!

* 12-7

ΣΦΑΙΡΙ ΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜ ΕΣ ΜΑΖΑΣ

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Έχουμε χρησιμοποιήσει χωρίς απόδειξη το γεγονός ότι η βαρυτική αλληλεπίδραση ανά­ μεσα σε δύο σφαιρικά συμμετρικές κατανομές μάζας είναι η ίδια με αυτήν που θα υπήρ­ χε αν όλη η μάζα της καθεμιάς ήταν συγκεντρωμένη στο κέντρο της. Είμαστε τώρα σε θέ­ ση να αποδείξουμε αυτή τη δήλωση. Ο Νεύτωνας αναζητούσε μια απόδειξη για χρόνια και καθυστέρησε τη δημοσίευση του νόμου της βαρύτητας μέχρι που το πέτυχε. Να ποιο είναι το πρόγραμμά μας. Αντί να αρχίσουμε με δύο σφαιρικά συμμετρικές μάζες, θα λύσουμε το απλούστερο πρόβλημα μιας σημειακής μάζας m που αλληλεπιδρά με ένα λεπτό σφαιρικό φλοιό ολικής μάζας Μ. Θα δείξουμε πως, όταν η m βρίσκεται έξω από τη σφαίρα, η που σχετίζεται με αυτήν τη βαρυτική αλληλεπίδρα­ ση είναι η ίδια με εκείνη της μάζας m και μιας σημειακής μάζας Μ στο κέντρο της σφαί­ ρας. Σύμφωνα με την Εξ. (12-16), η δύναμη είναι η αρνητική παράγωγος της δυναμικής ενέργειας και γι' αυτό η πάνω στην m είναι επίσης η ίδια με εκείνη για μια ση­ μειακή μάζα Μ. Κάθε σφαιρικά συμμετρική κατανομή μάζας μπορεί να θεωρηθεί ότι α­ ποτελείται από πολλούς ομόκεντρους σφαιρικούς φλοιούς και γι' αυτό το αποτέλεσμά μας θα ισχύει επίσης για σφαιρικά συμμετρική Μ. Αρχίζουμε θεωρώντας ένα δακτύλιο στην επιφάνεια του φλοιού (Σχ. 12-18a), με το κέντρο του πάνω στην ευθεία από το κέντρο του φλοιού προς το m . Η ακτίνα του φλοιού είναι R· συναρτήσει της γωνίας φ που φαίνεται στο σχήμα, η ακτίνα του δακτυλί­ ου είναι R sin φ, και το μήκος της περιφέρειάς του είναι 2πR sin φ. Το πλάτος του δακτυ­ λίου είναι R dφ και η επιφάνειά του dA είναι προσεγγιστικά ίση με το γινόμενο του πλά­ τους του επί την περίμετρό του:

δυναμική ενέργεια δύναμη

κάθε

dA

Ρ

=

2πR2 sin φ dφ.

Ρ

m

m

r - R cos φ dA =

( 2pR sin Φ) ( R dφ) dM = ..!!! dA Α

R cos φ

ο (b)

(a)

12-18 (a) Για τον υπολογισμό της επίδρασης της βαρύτητας στο εξωτερικό ενός σφαιρικού φλοιού, όλη η μάζα του μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι συγκεντρωμένη στο κέντρο του. (b) Η απόσταση s είναι το μήκος της υποτείνουσας ενός ορθογωνίου τριγώνου.

332

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 BAPYfHTA

dM

dM

αυτού του δακτυλίου. Ο λόγος της Μας χρειάζεται η μάζα προς την ολική μάζα Μ του φλοιού είναι ίσος με το λόγο του εμβαδού dA του δακτυλίου προς το ολικό εμβαδόν του φλοιού:

Α = 4πR 2

dM _ 2πR2 sin Φ dφ Μ 4πR-

. φ dφ. _ J. sιn z

(12-23)

-

m

dM

Η δυναμική ενέργεια της αλληλεπίδρασης των και μπορεί να υπολογιστεί α­ πό την Εξ. με τις απαραίτητες αλλαγές στο συμβολισμό. Στην πε­ ρίπτωσή μας, οι μάζες είναι και αντί και και η απόσταση ανάμεσα στις μάζες είναι η απόσταση στο σχήμα. Αποκαλώντας αυτή τη δυναμική ενέργεια έχουμε

(12-14), U = - Gmm ε/r, m dM s

m mε,

dU,

dU = - GmsdM . Λύνουμε τώρα την Εξ. (12-23) ως προς dM και aντικαθιστούμε στην παράσταση για το dU: (12-24) dU = GMm sin φ dφ _

2s

(12-24) s

Η ολική δυναμική ενέργεια είναι το ολοκλήρωμα της Εξ. πάνω σε ολόκληρη τη σφαίρα, καθώς το μεταβάλλεται από Ο έως (όχι και το μεταβάλλεται από σε Για να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα, πρέπει να εκφράσουμε την παράσταση που θα ολοκληρωθεί συναρτήσει μιας μόνο μεταβλητής επιλέγουμε την Για να εκφρά­ σουμε τα και συναρτήσει του χρειαζόμαστε λίγη γεωμετρία. Στο Σχ. φαί­ νεται ότι το είναι η υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου με πλευρές

φ

r + R.

φ

s

π

dφ

2π !)

r-R

s.

s,

(r- R cos φ)

και

12-18b

(R sin φ),

και από το Πυθαγόρειο θεώρημα,

s2 = (r- R cos Φ)2 + (R sin Φ)2 = r2 - 2rR cos φ + R2•

(12-25)

Υπολογίζοντας τα διαφορικά και στα δύο μέλη, 2s

ds = 2rR sin φ dφ. Στη συνέχεια διαιρούμε αυτό δια 2rR και aντικαθιστούμε το αποτέλεσμα στην Εξ. (12-24): Mm ds. dU = GM2sm srRds = G2rR (12-26) _

_

Για να βρούμε την ολική δυναμική ενέργεια, πρέπει να προσθέσουμε τις συνεισφορές α­ πό όλους τους δακτυλίους που συνιστούν το σφαιρικό φλοιό. Αυτό γίνεται με ολοκλήρω­ ση της Εξ. έχοντας υπόψη ότι το μεταβάλλεται μεταξύ και

(12-26),

s

U = - GMm 2rR Έχουμε τελικά

r- R r + R:

GMm [(r + R) - (r-R)] . f r+Rds = - � r-R

U = Gmr M .

(12-28) Αυτή είναι ίση με τη δυναμική ενέργεια δύο σημειακών μαζών m και Μ σε απόσταση r η μία από την άλλη. Έχουμε έτσι αποδείξει ότι η βαρυτική δυναμική ενέργεια ενός σφαι­ ρικού φλοιού Μ και μιας σημειακής μάζας m σε απόσταση r (έξω από τον φλοιό) είναι η ίδια με αυτήν που θα είχαν αν ήταν σημειακές μάζες. Επειδή η δύναμη δίνεται από τη σχέση F, = -dU/dr, και η δύναμη θα είναι επίσης η ίδια. _

Κάθε σφαιρικά συμμετρική κατανομή μάζας μπορεί να θεωρηθεί ως συνδυασμός ομόκεντρων σφαιρικών φλοιών. Λόγω της αρχής της επαλληλίας των δυνάμεων, ότι ισχύ­ ει για ένα φλοιό ισχύει επίσης και για το συνδυασμό τους. Έχουμε έτσι αποδείξει το ήμι­ συ αυτού που θέλουμε να αποδείξουμε, συγκεκριμένα, ότι η βαρυτική αλληλεπίδραση μεταξύ μιας σφαιρικά συμμετρικής κατανομής μάζας και μιας σημειακής μάζας είναι η ί-

12-7 ΣΦΑΙΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΜΑΖΑΣ

333

12-19 Όταν η μάζα m βρίσκεται στο

εσωτερικό ενός ομοιόμορφου

σφαιρικού φλοιού μάζας Μ, η δυναμική ενέργεια είναι σταθερή (ανεξάρτητη της θέσης της m ) και η δύναμη από την αμοιβαία βαρυτική αλληλεπίδραση των μαζών είναι ίση με μηδέν.

δια με αυτήν που θα υπήρχε αν όλη η μάζα της σφαιρικά συμμετρικής κατανομής ήταν συγκεντρωμένη στο κέντρο της. Το άλλο ήμισυ είναι να αποδείξουμε ότι σφαιρικά συμμετρικές κατανομές μά­ ζας αλληλεπιδρούν σαν να ήσαν και οι δύο σημειακές μάζες. Αυτό είναι ευκολότερο. Στο Σχ. 12-18, οι δυνάμεις που ασκούν το ένα σώμα πάνω στο άλλο αποτελούν ζεύγος δρά­ σης - αντίδρασης και υπακούουν στον τρίτο νόμο του Νεύτωνα. Έχουμε έτσι αποδείξει ότι η δύναμη που ασκεί η m στη σφαίρα Μ είναι η ίδια με αυτήν μιας σημειακής m πάνω σε μια σημειακή Μ. Αν όμως τώρα αντικαταστήσουμε την m με μια σφαιρικά συμ­ μετρική κατανομή μάζας με κέντρο τη θέση της m, το βαρυτικό πεδίο που προκύπτει σε κάθε σημείο της Μ παραμένει το ίδιο και το ίδιο ισχύει και για την ολική δύναμη. Αυτό ολοκληρώνει την απόδειξή μας. Είχαμε υποθέσει αρχικά ότι η m βρισκόταν εκτός του σφαιρικού φλοιού και γι' αυ­ τό η απόδειξη ισχύει μόνο όταν η m βρίσκεται έξω από μια σφαιρικά συμμετρική κατα­ νομή μάζας. Όταν η m βρίσκεται σε ένα σφαιρικό φλοιό, η γεωμετρία είναι αυτή του Σχ. 12-19. όλη ανάλυση παραμένει αμετάβλητη · οι Εξ. ( 1 2-23) μέχρι και την (12-26) εξακολουθούν να ισχύουν. Όταν όμως φτάσουμε στην Εξ. ( 12-27), τα όρια της ολοκλήρωσης πρέπει να αλλαχθούν σε s = R - r και s = R + r. Τότε έχουμε

δύο

πάνω

μέσα

Η

R+r GMm υ = - GMm - ds = - 2sR [ (R + r) - (R - r)1 2rR R r

και το τελικό αποτέλεσμα είναι

J

υ=

- GmM R

.

(12-29)

(12-30)

Αντί στον παρανομαστή να έχουμε την r, την απόσταση ανάμεσα στην m και το κέντρο της Μ, έχουμε την R, την ακτίνα του φλοιού. Αυτό σημείναι ότι η υ δεν εξαρτάται από την r και είναι επομένως σταθερή παντού στο εσωτερικό του φλοιού. Όταν η m κινείται μέσα στο φλοιό, δεν παράγεται έργο επάνω της και επομένως η δύναμη πάνω στην m πρέπει να είναι ίση με μηδέν σε κάθε σημείο στο εσωτερικό του φλοιού. Γενικότερα, σε κάθε σημείο στο εσωτερικό μιας σφαιρικά συμμετρικής κατανομής μάζας (όχι απαραιτήτως φλοιού) και σε απόσταση r από το κέντρο της, η βαρυτική δύνα­ μη πάγω σε μια σημειακή μάζα m είναι η ίδια με αυτήν που θ� είχαμε αν aφαιρούσαμε όλη τη μάζα που βρίσκεται σε αποστάσεις από το κέντρο μεγαλύτερες από r και συγκε­ ντρώναμε όλη την υπόλοιπη μάζα στο κέντρο της. - Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 12- 1 0 -----«Ταξίδι στο κέντρο της Γης» Υποθέστε ότι ανοίγουμε μια τρύπα μέσα στη Γη (ακτίνα Rε, μάζα Με) κατά μήκος μιας διαμέτρου και ρίχνουμε μέσα στην τρύπα ένα αντικεί­ μενο. Βρείτε την παράσταση που εκφράζει τη βαρυτική δύ­ ναμη που ασκείται πάνω στο αντικείμενο (μάζα m) συναρ­ τήσει της απόστασής του r από το κέντρο της Γης. Υποθέ­ στε ότι η πυκνότητα της Γης είναι ομοιόμορφη (μια καθό­ λου ρεαλιστική υπόθεση).

ΛΥΣΗ Η βαρυτική δύναμη σε απόσταση r από το κέντρο καθορίζεται μόνο από τη μάζα Μ που βρίσκεται μέσα στη σφαίρα με ακτίνα r (Σχ. 1 2-20). Για ομοιόμορφη πυκνότη­ τα, η μάζα είναι ανάλογη του όγκου της σφαίρας, που είναι t πr3 γι ' αυτή τη σφαίρα και tΠRε3 για ολόκληρη τη Γη. Έτσι, έχουμε

334

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 ΒΑΡΥΙΉΤΑ

Η βαρυτική δύναμη πάνω στην m είναι

2-20 Μια τρύπα που περνά από το κέντρο της Γης. Όταν ένα αντικείμενο βρίσκεται σε απόσταση Γ από το κέντρο, η βαρυτική δύναμη που ασκείται επάνω του είναι ίση με τη δύναμη που οφείλεται μόνο στη μάζα που βρίσκεται μέσα στη σφαίρα με ακτίνα Γ.

Η σχέση αυτή δείχνει ότι η δύναμη είναι ευθέως ανάλογη προς την απόσταση r από το κέντρο, αντί να είναι ανάλογη του 1 /r2 όπως συμβαίνει για σημεία εκτός της σφαίρας. Ακριβώς στην επιφάνεια, όπου r = Rε, η Εξ. ( 1 2-3 1 ) δίνει Fg = GMεm!Rε2, όπως θα αναμέναμε. Στο επόμενο κεφά­ λαιο θα μάθουμε πώς να υπολογίζουμε το χρόνο που θα χρειαζόταν για να φτάσει το αντικείμενο στην άλλη άκρη της τρύπας. Στο μεταξύ, έχετε υπόψη ότι η υπόθεση της ο­ μοιόμορφης πυκνότητας στο εσωτερικό της Γης είναι τελεί­ ως εξωπραγματική. Έχουμε εξετάσει τη μεταβολή της πυ­ κνότητας της Γης με το βάθος στο Εδάφιο 1 2-2.

* 1 2-8 Η Ε Π Ι Δ Ρ Α Σ Η

ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ ΤΗΣ ΓΗΣ ΠΑΝ Ω ΣΤΗΝ Ε ΠΙΤΆΧΥΝΣ Η Τ Η Σ ΒΑΡΥΤ Η ΤΑΣ

Επειδή η Γη περιστρέφεται γύρω από τον άξονά της, δεν είναι ακριβώς ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς. Για το λόγο αυτό το φαινομενικό βάρος ενός σώματος στη Γη δεν εί­ ναι ακριβώς ίσο με τη βαρυτική έλξη της Γης πάνω στο σώμα, που θα ονομάσουμε αλη­ θές βάρος wo του σώματος. Στο Σχ. 1 2-2 1 φαίνεται μια τομή της Γης και τρεις παρατηρη­ τές. Ο καθένας κρατάει ένα σώμα μάζας m που κρέμεται από ένα ζυγό ελατηρίου (δυνα­ μόμετρο). Ο κάθε ζυγός ασκεί μια δύναμη (τάση ελατηρίου) F πάνω στο σώμα που κρέ­ μεται από αυτόν και η ένδειξη του ζυγού είναι το μέτρο F αυτής της δύναμης. Αν οι πα­ ρατηρητές δεν γνωρίζουν ότι η Γη περιστρέφεται, τότε ο καθένας από αυτούς ότι η ένδειξη της κλίμακας είναι ίση με το βάρος του σώματος γιατί νομίζει ότι το σώμα που κρέμεται από το ζυγό του βρίσκεται σε ισορροπία. Αν το σώμα ισορροπεί, συλλογίζεται ο παρατηρητής, τότε η τάση F πρέπει να είναι ίση και αντίθετη μιας δύναμης w, που ο­ νομάζουμε φαινομενικό βάρος. Λόγω της περιστροφής, τα σώματα είναι ακριβώς σε ισορροπία. Το πρόβλημά μας είναι να βρούμε τη σχέση ανάμεσα στο φαινομενικό βάρος w και το αληθές βάρος w0 • Αν υποθέσουμε ότι η Γη είναι σφαιρικά συμμετρική, τότε το αληθές βάρος w0 έχει μέτρο Gmmε1Rε2, όπου mε είναι η μάζα και Rε η ακτίνα της Γης. τιμή αυτή είναι η ίδια σε όλα τα σημεία της επιφάνειας της Γης. Αν το κέντρο της Γης μπορεί να θεωρηθεί ως η αρχή ενός αδρανειακού συστήματος αναφοράς, τότε το σώμα στο Βόρειο Πόλο πράγματι σε ισορροπία σε ένα αδρανειακό σύστημα και η ένδειξη του ζυγού εκείνου του παρατηρητή είναι ίση με w0 • Το σώμα όμως που βρίσκεται στον Ισημερινό, κινείται σε κυκλική τροχιά ακτίνας Rε με ταχύτητα υ και για να γίνεται αυτό θα πρέπει επάνω στο σώμα να δρα μια κεντρομόλος δύναμη ίση με το γινόμενο της μάζας του επί την κεντρο­ μόλο επιτάχυνση:

νομ(ζ,ει

δεν

Η

είναι

(12-32) Το μέτρο επομένως του φαινομενικού βάρους (ίσο με F σε αυτή τη θέση) είναι 2 w = Wo - mvε . R

(12-33)

12-8 Η ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ ΤΗΣ ΓΗΣ ΠΑΝΩ ΣΤΗΝ ΕΠΙτΆΧΥΝΣΗ ΤΗΣ ΒΑΡΥfΗΤΑΣ

335

Ν

β

ικ_ ��� = w /m

gο = wο

- fj/ Jϊ?ιa rad - - - - -

12-21 Με εξαίρεση στους πόλους, η ένδειξη του δυναμομέτρου είναι μικρότερη από τη βαρυτική ελκτική δύναμη πάνω στη μάζα n1, γιατί μια μη μηδενική συνισταμένη δύναμη χρειάζεται για να προκαλεί την κεντρομόλο επιτάχυνση. Στο σχήμα, οι διαφορές σχεδιάστηκαν πολύ μεγαλύτερες από τις πραγματικές, για να είναι ορατές. Στη Γη η μέγιστη τιμή του α είναι 0,1 • και το μέτρο του φαινομενικού βάρους είναι μικρότερο από αυτό του αληθούς βάρους κατά λιγότερο από 0,35%.

Αν η Γη δεν περιστρεφόταν, το σώμα θα είχε όταν αφεθεί ελεύθερο μια επιτάχυν­ ση g0, που θα δινόταν από τη σχέση g0 = w0/m, αλλά η πραγματική επιτάχυνση σε σχέση με τον παρατηρητή στον Ισημερινό δίνεται από τη σχέση g = w/m. Διαιρώντας την Εξ. (12-33) δια m και χρησιμοποιώντας αυτές τις σχέσεις, βρίσκουμε ότι (12-34) 2 Για να υπολογίσουμε το υ /Rε, παρατηρούμε ότι σε χρόνο 86 1 64 s ένα σημείο πάνω στον Ισημερινό διανύει απόσταση ίση με την περιφέρεια της Γης, δηλαδή 2πRε = 2π (6,38 χ 106 m) . (Η ηλιακή ημέρα, που είναι ίση με 86 400 s, είναι κατά 3�5 μεγαλύτερη από την αστρική που δόθηκε πιο πάνω, γιατί σε μια μέρα η Γη συμπληρώνει επίσης το 3�5 της τροχιάς της γύρω από τον Ήλιο). Βρίσκουμε επομένως ότι 2π (6,38 χ 106 m) = 465 mIs. υ= 86 164 s υz Rε

( 465 m/s) z = 0,0339 m/sz . 6,38 χ 106 m

Επομένως, για σφαιρικά συμμετρική Γη, η επιτάχυνση της βαρύτητας θα πρέπει να είναι περίπου 0,03 m/s 2 μικρότερη στον Ισημερινό από ότι στους πόλους. Σε θέσεις ενδιάμεσες ανάμεσα στον Ισημερινό και τους πόλους, το αληθές βάρος w0 και η κεντρομόλος επιτάχυνση δεν βρίσκονται κατά μήκος της ίδιας ευθείας και χρει­ άζεται να γράψουμε τη διανυσματική εξίσωση που αντιστοιχεί στην Εξ. (12-33). Από το Σχ. 12-21 βλέπουμε ότι η κατάλληλη εξίσωση είναι (12-35) Η διαφορά στα μεγέθη g και g0 μεταβάλλεται μεταξύ μηδέν και 0,0339 m/s 2, και η κατεύ­ θυνση του φαινομενικού βάρους διαφέρει από την ακτινική κατεύθυνση κατά μια μικρή γωνία α που έχει τιμή από μηδέν μέχρι 0,1 όπως φαίνεται στο σχήμα. ο ,

336

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 ΒΑΡΥΊΉΤΑ

ΠΙΝΑΚΑΣ 12-1 Μεταβολή του g με το γεωγραφικό πλάτος και το ύψος Ύψος Βόρειο γεωγραφικό πλάτος (m) Τόπος

Διώρυγα του Παναμά Ιαμαϊκή Βερμούδες Denver Cambridge, Mass. Pittsburgh, Pa. Γροιλανδία

90 ι8· 32° 40° 42° 4ο,5· Ίο·

ο ο ο 1638 ο 235 ο

g(m/s')

9,78243 9,78591 9,79806 9,79609 9,80398 9,80118 9,82534

12-1

Ο Πίνακας δίνει τις τιμές του g σε διάφορους τόπους και δείχνει μια μεταβο­ λή με το γεωγραφικό πλάτος περίπου ίση με αυτήν που υπολογίστηκε. Υπάρχουν επίσης μικρές επιπρόσθετες μεταβολές που οφείλονται στο ότι η Γη δεν είναι τελείως σφαιρική, σε τοπικές μεταβολές στην πυκνότητα (που αξιοποιούνται στην έρευνα για την ανεύρεση μεταλλευμάτων), καθώς και σε διαφορές στο ύψος. Η μελέτη μας για το φαινομενικό βάρος μπορεί να μας βοηθήσει στην κατανόηση της φαινομενικής έλλειψης βαρύτητας σε διαστημικά σκάφη ή διαστημικούς σταθμούς σε τροχιά. Τα σώματα σε ένα διαστημικό σταθμό σε τροχιά είναι αβαρή· η βαρυτική έλ­ ξη της Γης εξακολουθεί να δρα πάνω σ' αυτά ακριβώς όπως όταν είναι ακίνητα σε σχέση με τη Γη. Ένα σκάφος σε τροχιά έχει μια επιτάχυνση α,.ct προς το κέντρο της Γης και εί­ ναι ίση με την επιτάχυνση της βαρύτητας g0 σε απόσταση ίση με την ακτίνα της τροχιάς. Το φαινομενικό βάρος w δίνεται, όπως και προηγουμένως, από τη σχέση

δεν

Στην περίπτωση αυτή όμως, και επομένως w

= Ο.

Αυτό εννοούμε όταν λέμε ότι ένας aστροναύτης ή ένα άλλο σώμα μέσα σ' ένα διαστημό­ Η βαρύτη­ πλοιο βρίσκεται φαινομενικά σε περιβάλλον έλλειψης βαρύτητας (Σχ. τα της Γης δρα τόσο πάνω στο διαστημόπλοιο όσο και στα σώματα που βρίσκονται μέσα σ' αυτό, δίνοντας σε όλα την ίδια επιτάχυνση. Έτσι, ένα σώμα που αφήνεται ελεύθερο μέσα στο διαστημόπλοιο δεν πέφτει σε σχέση με αυτό αλλά να είναι χωρίς βά­ ρος και να αιωρείται.

12-22).

φαίνεται

12-22 Δύο αστροναύτες διασκεδάζουν σε συνθήκες φαινομενικής έλλειψης βαρύτητας.

12-9 ΜΑΥΡΕΣ τpΥΠΕΣ

Κάτι παρόμοιο συμβαίνει και μέσα σε έναν επιταχυνόμενο ανελκυστήρα. Υποθέ­ στε ότι ένας άνθρωπος που έχει μάζα m στέκεται στο πάτωμα του ανελκυστήρα που έχει μια επιτάχυνση αΥ προς τα πάνω, σε σχέση με ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς. Έχουμε δείξει στο Παράδειγμα 5-8, ότι η προς τα πάνω δύναμη που ασκείται στα πόδια του επιβάτη έχει μέτρο m ay ) και αν αυτός στέκεται πάνω σε μια ζυγαριά που μετρά βάρος η ζυγαριά θα δείξει αυτή την ένδειξη και όχι το βάρος του που είναι mg. Αν η επι­ τάχυνση είναι προς τα κάτω, η αΥ είναι αρνητική και η κατακόρυφη δύναμη είναι μικρό­ τερη σε μέγεθος από mg. Στην ειδικ1Ί περίπτωση που, δυστυχώς, ο ανελκυστήρας βρεθεί σε ελεύθερη πτώση, τότε αΥ -g, η δύναμη που ασκεί το πάτωμα είναι ίση με μηδέν και ο επιβάτης φαίνεται να μην έχει βάρος, παρ' όλον ότι εξακολουθεί να υφίσταται τη βαρυτι­ κή έλξη της Γης.

(g + =

12-9

ΜΑΥΡΕΣ ΤΡΥΠ Ε Σ : Μελέτη ενός ε ιδικ ού θέματος απ ό τη σύγχρονη φυσική

Η

έννοια της μαύρης τρύπας (ή μελανής οπής) είναι ένα από τα πιο ενδιαφέροντα και εκπληκτικά αποτελέσματα της σύγχρονης θεωρίας της βαρύτητας, αλλά η βασική ιδέα μπορεί να γίνει κατανοητή με βάση τις αρχές του Νεύτωνα. Σκεφτείτε κατ' αρχ1Ίν τις ι­ διότητες του δικού μας Ήλιου. Η μάζα του Μ = 1,99 χ 1030 kg και η ακτίνα του R 6,96 χ 108 m είναι πολύ μεγαλύτερες από αυτές των πλανητών· σε σύγκριση όμως με άλλα ά­ στρα, η μάζα του ήλιου μας δεν είναι μεγάλη. Ποια είναι η μέση πυκνότητα ρ του Ηλίου; Μπορείτε να τη βρείτε με τον ίδιο τρό­ πο που υπολογίσαμε την πυκνότητα της Γης στο Εδάφιο 12-2: =

_ Μ

Ρ-

_

-

_Μ_

�πR3 3 = 1410 kg/m3. V

_

-

1,99 χ 1030 kg � π (6 96 χ 108 m)3 3 '

Η

θερμοκρασία του Ήλιου μεταβάλλεται από 5800 Κ στην επιφάνειά του, μέχρι 1 ,5 χ 107 Κ στο εσωτερικό του και γι' αυτό δεν περιέχει στερεά ή υγρά. Η έλξη της βαρύτητας

όμως συμπιέζει τα άτομα των αερίων του Ήλιου έτσι, ώστε κατά μέσον όρο η πυκνότητά του να είναι κατά 41% μεγαλύτερη από αυτήν του νερού, και 1 200 φορές μεγαλύτερη α­ πό αυτήν του αέρα που αναπνέουμε. Εξετάστε τώρα την ταχύτητα διαφυγής για ένα σώμα που βρίσκεται στην επιφά­ νεια του Ήλιου· αυτή δίνεται από την Εξ. (12-15). Μπορούμε να τη συσχετίσουμε με τη μέση πυκνότητα. Αντικαθιστώντας την Μ = pV = ρ fπR3 στην Εξ. ( 12-15) προκύπτει ότι

υ

=

�

2GM = R

�

8π Gp

3

R

·

(1 2-36)

Χρησιμοποιώντας οποιαδ1Ίποτε από τις δύο μορφές αυτής της εξίσωσης, μπορείτε να δεί­ ξετε ότι η ταχύτητα διαφυγής ενός σώματος από την επιφάνεια του Ήλιου είναι υ = 6,18 χ 10; m/s (περίπου 2,2 εκατομμύρια χιλιόμετρα την ώρα). Αυτή είναι περίπου ίση με το ;� της ταχύτητας του φωτός και είναι ανεξάρτητη της μάζας του διαφεύγοντος σώματος εξαρτάται μόνο από τη μάζα και την ακτίνα (ή τη μέση πυκνότητα και την ακτίνα) του Ήλιου. Θεωρήστε τώρα διάφορα άστρα με την ίδια μέση πυκνότητα ρ και διαφορετικές α­ κτίνες R. Η Εξ. (12-36) δείχνε ι ότι για δεδομένη τιμή του ρ, η ταχύτητα διαφυγής είναι α­ νάλογη του R. Το 1 783, ο κληρικός John Mitchell (τζων Μίτσελ), ένας ερασιτέχνης a­ στρονόμος, παρατήρησε πως αν ένα σώμα με μέση πυκνότητα ίση με αυτήν του Ήλιου είχε ακτίνα περίπου 500 φορές μεγαλύτερη από αυτόν, τότε θα είχε ταχύiητα διαφυγ1Ίς μεγαλύτερη από την ταχύτητα c του φωτός. Με τη δήλωσή του ότι «ΤΟ φως που εκπέμπε­ ται από ένα τέτοιο σώμα θα εξαναγκαζόταν να επιστρέψει σε αυτό», ο Mitchell ήταν ο πρώτος που εισηγ1Ίθηκε την ύπαρξη αυτού που σήμερα ονομάζουμε μαύρη τρύπα.

337

338

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 ΒΑΡΥΓΗΤΑ

12-23 (a) Όταν η ακτίνα R ενός σώματος είναι μεγαλύτερη από την ακτίνα του Schwarzschild R,, το φως μπορεί να διαφύγει από την επιφάνειά του. Καθώς απομακρύνεται «μετατοπίζεται προς το ερυθρό>>, δηλαδή το μήκος κύματός του μεγαλώνει. (b) Όταν το σώμα βρίσκεται μέσα στον ορίζοντα συμβάντων (που έχει ακτίνα R,), τότε είναι μια μαύρη τρύπα με ταχύτητα διαφυγής μεγαλύτερη από την ταχύτητα του φωτός. Στην περίπτωση αυτή, πολύ λίγες πληροφορίες μπορούμε να αποκτήσουμε γι' αυτήν.

(a)

(b)

Ποια είναι η κρίσιμη ακτίνα που πρέπει να έχει ένα σώμα για να δρα ως μαύρη τρύπα; Ίσως σκεφθήτε ότι μπορείτε να βρείτε την απάντηση αντικαθιστώντας υ c στην Εξ. (12-36). Πράγματι, αυτό δίνει το σωστό αποτέλεσμα, αλλά μόνο επειδή γίνονται δύο είναι mc2/2 και η βα­ λάθη που αλληλοαναιρούνται. Η κινητική ενέργεια του φωτός ρυτική δυναμική του ενέργεια κοντά σε μια μαύρη τρύπα δίνεται από την Εξ. (12-14). Το 1916 ο Karl Schwarzschild (Καρλ Σ βάρτσιλντ) χρησιμοποίησε τη γενική θεω­ ρία της σχετικότητας του Άινστα·ίν (που είναι εν μέρει μια γενίκευση και επέκταση της θεωρίας του Νεύτωνα για τη βαρύτητα) για να βρει τη σχέση που δίνει την κρίσιμη αυτή ακτίνα R, , η οποία είναι τώρα γνωστή ως ακτίνα του Schwarzschild. Το αποτέλεσμα εί­ ναι το ίδιο με αυτό που θα είχαμε αν aντικαθιστούσαμε υ = c στην Εξ. (12-36)· η ακτίνα του Schwarzschild δίνεται από τη σχέση =

δεν δεν

c

=

�

2GM Rs

ή

(12-37)

Αν ένα σφαιρικό, μη περιστρεφόμενο σώμα με μάζα Μ έχει ακτίνα μικρότερη από R., τό­ τε (qύτε το φως) δεν μπορεί να διαφύγει από την επιφάνειά του και το σώμα δρα ως μαύρη τρύπα (Σχ. 12-23). Στην περίπτωση αυτή, κάθε άλλο σώμα που βρίσκεται σε α­ πόσταση μικρότερη από R, από το κέντρο του σώματος «παγιδεύεται» από το βαρυτικό του πεδίο και δεν μπορεί να ξεφύγει από αυτό. Η επιφάνεια της σφαίρας με ακτίνα R, που περιβάλλει μια μαύρη τρύπα ονομάζε­ ται ορίζοντας συμβάντων γιατί είναι αδύνατο να παρατηρήσουμε γεγονότα (συμβάντα) που συμβαίνουν στο εσωτερικό της επιφάνειας, αφού το φως δεν μπορεί να βγει από αυ­ τήν. Τα μόνα που μπορούμε να ξέρουμε για μια μαύρη τρύπα, είναι η μάζα της (από το βαρυτικό πεδίο της), το φορτίο της (από το ηλεκτρικό της πεδίο, που αναμένεται να είναι ίσο με μηδέν) και την περιστροφή της (γιατί μια περιστρεφόμενη μαύρη τρύπα τείνει να παρασύρει το χώρο - και καθετί που βρίσκεται σ' αυτόν - μαζί της).

τίποτε

11 Α Ρ Α Δ Ε 1 Γ Μ Α ι 2- ι 1

-

Η σύγχρονη θεωρητική αστροφυσική λέει ότι ένα άστρο του οποίου τα αποθέματα πυρηνικής ενέργειας έχουν εξαντλη­ θεί, μπορεί να καταρρεύσει κάτω από την ίδια του τη βαρύ­ τητα και να σχηματίσει μια μαύρη τρύπα, ακόμη και όταν η μάζα του είναι ίση με μόνο δύο φορές την ηλιακ1Ί μάζα. Αν συμβεί αυτό, ποια είναι η ακτίνα του ορίζοντα συμβάντων;

ΛΥΣΗ

Η

Μ = 2 ( 1,99

R

ακτίνα είναι η R, και δύο ηλιακές μάζες είναι χ 1030 kg) = 4,0 χ 1 030 kg. Από την Εξ. ( 1 2-37),

2(6,67 χ 10-1 1 N·m2/kg2)(4,0 χ 1030 kg) (3,00 χ 1 08 m/s)2 = 5,9 χ 103 m = 5,9 km, _

'-

2GM c2

_

-

Η μέση πυκνότητα ενός τέτοιου σώματος έχει την εξαιρετι­ κά μεγάλη ελάχιστη τιμή 4,0 χ 1 030 kg Μ Ρ = �πR 3 = �π(5,9 χ 103 m)3 =

4,6 χ 1018 kg/m3 • Αυτή είναι περίπου 1015 φορές μεγαλύτερη από την πυκνό­ τητα της κοινής ύλης στη Γη και είναι συγκρίσιμη με τις πυ­ κνότητες των πυρήνων των ατόμων. Στην πραγματικότητα, σύμφωνα με τη σύγχρονη θεωρία, στα τελευταία στάδια της κατάρρευσης ενός άστρου που , η μάζα του συν­ θλίβεται σε ένα σημείο, γνωστό ως μια μοναδικότητα, που έχει άπειρη πυκνότητα.

12-9 ΜΑΥΡΕΣ ΤΡΥΠΕΣ

Σε σημεία μακρυά από μια μαύρη τρύπα, τα βαρυτικά φαινόμενα είναι τα ίδια με αυτά οποιουδήποτε συνηθισμένου σώματος με την ίδια μάζα. Ένα σώμα όμως που κινείται κοντά σε μια μαύρη τρύπα υφίσταται τεράστιες δυνάμεις οι οποίες εξαρτώνται πολύ έντο­ να από τη θέση. Αυτές οι δυνάμεις έχουν ως αποτέλεσμα να θερμανθεί το σώμα τόσο πολύ ώστε να εκπέμπει όχι μόνο ορατό φως (ως «ερυθροπυρωμένο» ή «λευκοπυρωμένο» ), αλλά και ακτίνες Χ. Οι αστρονόμοι ψάχνουν γι' αυτές τις ακτίνες Χ (που εκπέμπονται το σώμα διασχίσει τον ορίζοντα συμβάντων) ως ένδειξη παρουσίας μιας μαύρης τρύπας (Σχ. 12-24). Έχουν βρεθεί αρκετές υποψήφιες μαύρες τρύπες με ενθαρρυντικές προοπτικές και πολλοί αστρονόμοι εκφράζουν τώρα πεποίθηση για την ύπαρξη των μαύρων τρυπών. Μη διανοηθείτε να πηδήσετε μέσα σε μια μαύρη τρύπα, εκτός κι αν επιθυμείτε πράγματι να γίνετε μάρτυρας της επιστήμης. Αυτοί που θα αφήσετε πίσω σας θα παρατη­ ρήσουν διάφορα παράξενα φαινόμενα καθώς θα κινείστε προς τον ορίζοντα συμβάντων, τα περισσότερα από τα οποία σχετίζονται με φαινόμενα της γενικής σχετικότητας. Αν εί­ χατε μαζί σας ένα ραδιοπομπό για να μεταδίδετε τα σχόλιά σας για το τι συμβαίνει, οι α­ κροατές σας θα πρέπει συνεχώς να επανασυντονίζουν τον δέκτη τους σε ολοένα και πιο χαμηλές συχνότητες, ένα φαινόμενο που ονομάζεται Σε συμφωνία με αυτή τη μετατόπιση, θα παρατηρούσαν ότι τα ρολόγια σας (ηλε­ κτρονικά ή βιολογικά) θα φαίνονταν να πηγαίνουν ολοένα και πιο αργά, ένα φαινόμενο που είναι γνωστό ως Στην πραγματικότητα δεν θα καταφέρετε να φτάσετε στον ορίζοντα συμβάντων στη διάρκεια της δικής τους ζωής, παρ' όλον ότι τα δι­ κά σας ρολόγια δεν θα δείξουν αυτό το φαινόμενο. Αλλά, εν πάση περιπτώσει, δεν θα ζήσετε αρκετά για να φτάσετε ζωντανός στον ορίζοντα συμβάντων· το ανομοιογενές βα­ ρυτικό πεδίο κατά μήκος του σώματός σας θα σας τεντώσει κατά μήκος της κατεύθυνσης του πεδίου και θα σας συμπιέσει στην κάθετη σ' αυτό κατεύθυνση. Αυτά τα φαινόμενα (που οφείλονται στις λεγόμενες θα σας aποτελειώσουν πολύ πριν τα άτομα του σώματός σας θερμανθούν αρκετά για να εκπέμπουν ακτίνες Χ. Ο θεωρητικός φυσικός Stephen Hawking (Χώκινγκ) πιστεύει ότι οι μαύρες τρύπες δεν είναι εντελώς μαύρες. Έχει προτείνει ένα τρόπο με τον οποίο οι μαύρες τρύπες μπο­ ρούν να εκπέμπουν ενέργεια (και έτσι να χάνουν μάζα) μέσω μιας κβαντομηχανικής διεργασίας που ονομάζεται και που είναι κατά κάποιο τρόπο ανά­ λογο της εκπομπής σωματιδίων α από έναν ασταθή πυρήνα. Υπολογίζει όμως πως μια μαύρη τρύπα με μάζα ίση με δύο ηλιακές μάζες θα είχε θερμοκρασία της τάξης του 10-6 Κ και θα χρειαζόταν περίπου 1067 χρόνια για να «εξαερωθεί» με αυτόν τον τρόπο. Γι' αυ­ τό μην αδημονείτε ! Στο μεταξύ, οι πειραματικές και θεωρητικές μελέτες για τις μαύρες τρύπες εξακολουθούν να αποτελούν μια ζωτική και συναρπαστική περιοχή έρευνας της σύγχρονης φυσικής.

πριν

βαρυτική μετατόπιση προς το ερυ­

θρό.

διαστολή του χρόνου.

παλιρροιακές δυνάμεις)

φαινόμενο σήραγγας

12-24 Ύλη από έναν υπεργιγαvtιαίο αστέρα έλκεται και σχηματίζει ένα δίσκο πρόσφυσης γύρω από τη μαύρη τρύπα καθώς το ζεύγος περιστρέφεται γύρω από το κέντρο μάζας του. Το αέριο στον δίσκο πρόσφυσης αποκτά τόση ενέργεια ώστε μετατρέπεται σε έντονη πηγή ακτίνων Χ.

339

340

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 BAPYfHTA

ΣΥΝΟΨΗ • Ο νόμος uης βαρύuητας του Νεύτωνα: Δύο οημειακές μάζες m 1 και m 2, που απέχουν

μεταξύ τους απόσταση r, έλκουν η μία την άλλη με δυνάμεις των οποίων το μέτρο εί­ ναι KYPIOJ OPOI

νόμος της βαρύτητας σταθερά της βαρύτητας βάρος βαρυτικό πεδίο διανυσματικό πεδίο Νευτώνεια σύνθεση αληθές βάρος φαινομενικό βάρος μαύρη τρύπα ακτίνα του Sch\varzschild ορίζοντας συμβάντων

, Fg = 0 m 1m2 r2

(12-1)

Αυτές οι δυνάμεις συνιστούν ζεύγος δράσης-αντίδρασης και υπακούουν στον τρίτο νόμο του Νεύτωνα. Όταν δύο ή περισσότερα σώματα ασκούν βαρυτικές δυνάμεις πά­ νω σε ένα συγκεκριμένο σώμα, η ολική βαρυτική δύναμη που υφίσταται αυτό είναι ί­ ση με το διανυσματικό άθροισμα των επιμέρους δυνάμεων.

• Το βάρος w ενός σώματος είναι η ολική βαρυτική δύναμη που ασκείται επάνω του από όλα τα άλλα σώματα στο σύμπαν. Κοντά στην επιφάνεια της Γης (της οποίας η μάζα είναι mε) το βάρος είναι ουσιαστικά ίσο με τη βαρυτική δύναμη της Γης μόνο. Το βάρος ενός σώματος, του οποίου η μάζα είναι m, είναι τότε

w = Fg = Gmmε . Rε2

(12-3)

και η επιτάχυνση της βαρύτητας g είναι Gm ε g = /[2 ·

( 1 2-4)

Ε

• Το βαρυτικό πεδίο g σε ένα σημείο στο χώρο είναι η βαρυτική δύναμη ανά μονάδα μάζας στο σημείο αυτό. Το βαρυτικό πεδίο που οφείλεται σε μια σημειακή μάζα Μ σε απόσταση r από αυτήν είναι

(12-9) Σε ένα σημείο, το ολικό βαρυτικό πεδίο που οφείλεται σε διάφορες μάζες είναι ίσο με το διανυσματικό άθροισμα των βαρυτικών πεδίων που οφείλονται στις επιμέρους μάζες. • Η βαρυτική δυναμική ενέργεια U δύο σημειακών μαζών m και mε που απέχουν με­ ταξύ τους απόσταση r είναι

U = _ G mm ε . r

(12-14)

• Όταν ένας δορυφόρος κινείται σε κυκλική τροχιά, η κεντρομόλος επιτάχυνσή του οφείλεται στη βαρυτική έλξη της Γης. Η ταχύτητα υ και η περίοδος του δορυφόρου σε τροχιά ακτίνας ι· είναι

Τ

υ = �.

(12-18)

( 12-20) • Οι τρεις νόμοι του Κέπλερ περιγράφουν τα χαρακτηριστικά μεγέθη των ελλειπτι­ κών τροχιών των πλανητών γύρω από τον Ήλιο ή των δορυφόρων των πλανητών. • Η βαρυτική επίδραση μιας σφαιρικά συμμετρικής κατανομής μάζας, σε σημεία ε­ κτός της κατανομής, είναι η (δια με αυτήν μιας ίσης σημειακής μάζας στο κέντρο της κατανομής. • Εξαιτίας της περιστροφής της Γης, το φαινομενικό βάρος ενός σώματος πάνω στη Γη, διαφέρει από το αληθές του βάρος κατά 0,3% περίπου στον Ισημερινό και η επι­ τάχυνση ελεύθερης πτώσης g διαφέρει κατά το ίδιο ποσοστό από την τιμή που θα είχε αν η Γη δεν περιστρεφόταν.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

341

• Αν μια μη περιστρεφόμενη σφαιρική κατανομή ύλης με μάζα Μ έχει ακτίνα μικρό­ τερη από R, = 2GM/c2, τότε η βαρυτική έλξη εμποδίζει τα πάντα, συμπεριλαμβανομέ­ νου και του φωτός, από το να διαφύγουν από το εσωτερικό της σφαίρας με ακτίνα R, γνωστής ως ακτίνας του Schwarzschild. Ένα τέτοιο σώμα ονομάζεται μαύρη τρύπα.

ΑΣ Κ Η Σ Ε Ι Σ

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Εδάφιο 12-1 Ο νόμος του Νεύτωνα για τη βαρύτητα 12-1 Ποιος είναι ο λόγος της βαρυτικής έλξης του Ήλιου επί της Σελήνης προς την έλξη της Γης επί της Σελήνης; Χρησιμοποιή­ στε τα δεδομένα του Παραρτήματος ΣΤ. Ποια είναι η σημασία του αποτελέσματος αυτού για την κίνηση της Σελήνης; 12-2 Ένας τηλεπικοινωνιακός δορυφόρος μάζας 200 kg βρί­ σκεται σε κυκλική τροχιά γύρω από τη Γη με ακτίνα 30 000 km με­ τρούμενη από το κέντρο της Γης. Ποια είναι η βαρυτική δύναμη που ασκείται πάνω στο δορυφόρο; Τι ποσοστό του βάρους του στην επιφάνεια της Γης είναι η δύναμη αυτή; 12-3 Ένα διαστημόπλοιο ταξιδεύει από τη Γη προς τον Ήλιο, κινούμενο πάνω στην ευθεία που ενώνει τα κέντρα των δύο σωμά­ των. Σε ποια απόσταση από το κέντρο της Γης αλληλοαναιρούνται πλήρως οι βαρυτικές δυνάμεις που ασκούν η Γη και ο Ήλιος πάνω στο διαστημόπλοιο; Χρησιμοποιήστε τα δεδομένα του Παραρτή­ ματος ΣΤ 12-4 Τα κέντρα τριών ομοιογενών σφαιρών βρίσκονται πάνω σε μια ευθεία (Σχ. 12-25). Η σφαίρα που βρίσκεται ανάμεσα στις άλλες δύο έχει μάζα 0,1 00 kg και απέχει 4,00 m από τη σφαίρα που βρίσκεται στ' αριστερά της και που έχει μάζα 5,00 kg και 6,00 m α­ πό τη σφαίρα που βρίσκεται στα δεξιά της και έχει μάζα 10,0 kg. Ποιο είναι το μέτρο και ποια η κατεύθυνση της δύναμης που α­ σκείται πάνω στη μεσαία σφαίρα; 10,0 kg

5,00 kg

0, 100 kg

�

4,00 m ---71-Ε--- 6,00 m -----,�

ΣΧΗΜΑ 1 2-25

12-5 Οι αρχικές θέσεις τριών σφαιρών είναι αυτές που φαίνο­ νται στο Σχ. 12-26. Οι σφαίρες Α και Β είναι στερεωμένες έτσι ώ­ στε να παραμένουν ακίνητες. Η μικρή μάζα στο Ρ είναι αρχικά α­ κίνητη και αφήνεται ελεύθερη να κινηθεί. Ποια είναι η αρχική της επιτάχυνση (μέτρο και κατεύθυνση) αν υφίσταται μόνο τις βαρυτι­ κές δυνάμεις των άλλων δύο;

Ρ

10,0 cm /

kg "0,010 " 1 't " 0,0 6 ,0

_ _ _ _

6,40 kg Α

ΣΧΗΜΑ 1 2-26

/

/

/

8,0 cm

± I

cm

",

cm

_ _ _ _

8,0 cm

6,40 kg Β

Εδάφιο 12-2 Βάρος 1 2-6 Βάρος στη Σελήνη. Η μάζα της Σελήνης είναι περί­ που το ii της μάζας της Γης και η ακτίνα της το ± της ακτίνας της Γης. Από αυτά τα δεδομένα, υπολογίστε την επιτάχυνση της βαρύ­ τητας στην επιφάνεια της Σελήνης. 12-7 Σε ένα πείραμα για τη μέτρηση της σταθεράς G χρησιμο­ ποιώντας το ζυγό του Caνendish, βρέθηκε ότι μια σφαίρα μάζας 3 0,800 kg έλκει μιαν άλλη της οποίας η μάζα είναι 4,00 χ 10- kg με 0 1 δύναμη 1 ,30 χ 10- Ν, όταν τα κέντρα τους απέχουν 0,0400 m. Η επιτάχυνση της βαρύτητας στην επιφάνεια της Γης είναι 9,80 m/s2, και η ακτίνα της Γης είναι 6380 km. Από αυτά τα δεδομένα, υπολο­ γίστε τη μάζα της Γης. 12-8 Χρησιμοποιήστε τις τιμές της μάζας και της ακτίνας του πλανήτη Ερμή που δίνονται στο Παράρτημα ΣΤ για να υπολογίσε­ τε την επιτάχυνση της βαρύτητας στην επιφάνειά του.

Εδάφιο 12-3 Βαρυτικό πεδίο 12-9 Ποιο είναι το μέτρο του βαρυτικού πεδίου σε απόσταση 2,00 m από μια σημειακή μάζα 5,00 kg; 12-10 Ποιο είναι το μέτρο και ποια η κατεύθυνση της βαρυτικής δύναμης πάνω σε μια σημειακή μάζα 0,100 kg που βρίσκεται σε έ­ να σημείο όπου το βαρυτικό πεδίο έχει συνιστώσες gx = 4,00 m/s2 και gr = - 6,00 m/s2; 12- 1 1 Η βαρυτική δύναμη F πάνω σε μια μάζα 0,0100 kg είναι ίση με F = ( - 0,225 Ν) ί + (0,540 N)j σε κάποιο σημείο. Ποιες εί­ ναι οι συνιστώσες του διανύσματος του βαρυτικού πεδίου στο ση­ μείο αυτό; 12-12 Δύο σημειακές μάζες m 1 και m2 (m 2 > m 1 ) απέχουν με­ ταξύ τους απόσταση d. Ποιο είναι το μέτρο και ποια η κατεύθυν­ ση του διανύσματος του βαρυτικού πεδίου στο σημείο που βρί­ σκεται μεταξύ των δύο μαζών και σε ίση απόσταση από την κα­ θεμιά; 12-13 Σε τι ύψος από την επιφάνεια της Γης το μέτρο του βαρυ­ τικού πεδίου είναι ίσο με 4,90 m/s2, αν στην επιφάνεια της Γης εί­ ναι 9,80 m/s2; 12-14 Ένα αντικείμενο σχήματος λεπτού δακτυλίου έχει ακτί­ να α = 0,800 m και μάζα Μ = 2,50 kg. Μια μικρή ομοιογενής σφαίρα μάζας m = 0,0200 kg τοποθετείται σε απόσταση χ = 3,00 m προς τα δεξιά του κέντρου του δακτυλίου, πάνω στην ευθεία που περνά από το κέντρο του και είναι κάθετη στο επίπεδό του (Σχ. 1 2-27). Ποια είναι η βαρυτική δύναμη που ασκεί η σφαίρα στον δακτύλιο;

342

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 2 BAPYfHTA

χ

m

Μ ΣΧΗΜΑ 1 2-27

Εδάφιο 1 2-4 Βαρυτική δυναμική ενέργεια 12-15 Χρησιμοποιήστε τα αποτελέσματα του Παραδείγματος 1 2-7 για να υπολογίσετε την ταχύτητα διαφυγής ενός αντικειμένου από a) την επιφάνεια της Σελήνης και b) την επιφάνεια του Κρόνου. c) Γιατί η ταχύτητα διαφυγής ενός αντικειμένου είναι α­ νεξάρτητη της μάζας του; 12-16 Ένα βλήμα μάζας m εκτοξεύεται κατακόρυφα από την επιφάνεια της Γης. Αν η αρχική ταχύτητα του βλήματος είναι 8,00 χ 10' m/s, ποιο είναι το μέγιστο ύψος πάνω από την επιφάνεια της Γης στο οποίο θα φθάσει το βλήμα; (Αγνοήστε την αντίσταση του αέρα, ώστε η μόνη δύναμη που ασκείται πάνω στο βλήμα να είναι η βαρυτική). 12-17 Ο aστεροειδής Toro, ο οποίος ανακαλύφθηκε το 1964, έ­ χει ακτίνα ίση με 5,0 km περίπου και μάζα ίση με 2,0 χ 1015 kg πε­ ρίπου. Χρησιμοποιήστε τα αποτελέσματα του Παραδείγματος 1 2-7 για να υπολογίσετε την ταχύτητα διαφυγής από την επιφά­ νεια του Toro. Μπορεί ένας άνθρωπος να αποκτήσει αυτή την τα­ χύτητα τρέχοντας;

Εδάφιο 12-7 Σφαιρικές κατανομές μάζας * 1 2-23 Θεωρήστε το δακτυλιοειδές σώμα του Παραδείγματος 1 2-6. Μια σημειακή μάζα m τοποθετείται σε απόσταση χ από το κέντρο του δακτυλίου, πάνω στην ευθεία που περνά από το κέντρο του και είναι κάθετη στο επίπεδό του (Σχ. 12-27). a) Χρησιμοποιή­ στε την Εξ. ( 1 2-14) για να υπολογίσετε τη βαρυτική δυναμική ε­ νέργεια αυτού του συστήματος. b) Δείξτε ότι το αποτέλεσμά σας ανάγεται στο αναμενόμενο όταν η απόσταση χ είναι πολύ μεγαλύ­ τερη από την ακτίνα α του δακτυλίου. c) Χρησιμοποιήστε τη σχέση F, = - dU!dx για να υπολογίσετε τη δύναμη ανάμεσα στα δύο σώ­ ματα. Συγκρίνετε το αποτέλεσμά σας με αυτό που προκύπτει από την Εξ. ( 1 2-1 1). * 12-24 Μια λεπτή, ομοιογενής ράβδος, έχει μήκος L και μάζα Μ. Μια μικρή ομοιογενής σφαίρα μάζας m τοποθετείται σε από­ σταση χ από το ένα άκρο της ράβδου και σε σημείο που βρίσκεται πάνω στον άξονα της ράβδου (Σχ. 1 2-28). Υπολογίστε τη βαρυτική δυναμική ενέργεια του ζεύγους των μαζών. Δείξτε ότι το αποτέλε­ σμά σας ανάγεται στο αναμενόμενο όταν το χ είναι πολύ μεγαλύ­ τερο του L. Μ I ).

Η γωνία φ ονομάζεται γωνία φάσης. Όταν φ = Ο, το σώμα ξεκινά από τη θέση της μέ­ γιστης θετικής του μετατόπισης. Όταν φ = π/2, το σώμα ξεκινά από τη θέση ισορρο­ πίας με μια αρχική ταχύτητα. Η περίοδος, η συχνότητα και η γωνιακή συχνότητα στην απλή αρμονική κίνηση είναι

(13-10)

ω = 2τrf = •

(13-11)

Vf;,.

(13-12)

Στη στροφική απλή αρμονική κίνηση η συχνότητα και η γωνιακή συχνότητα σχετί­ ζονται με τη ροπή αδράνειας Ι και τη σταθερά στρέψης με τον εξής τρόπο:

κ

Η

f = 2� �

και

ω = �.

(13-26)

Η

L. Η

fi_ · VZ

�7τ = 2� Vf· τ = 2;: = l = 2π VJ: . J

=

Οι ποσότητες αυτές είναι ανεξάρτητες της μάζας m .

ι

•

ι

περιοδική κίνηση ταλάντωση δύναμη επαναφοράς απλή αρμονική κίνηση πλάτος κύκλος (cycle) περίοδος συχνότητα γωνιακή συχνότητα

κύκλος αναφοράς περιστρεφόμενο διάνυσμα φάσης απλό εκκρεμές απόσβεση αποσβενόμενη ταλάντωση κρίσιμη απόσβεση υπεραπόσβεση υποκρίσιμη απόσβεση διεγείρουσα δύναμη εξαναγκασμένη ταλάντωση συντονισμός

κατασκευή του κύκλου αναφοράς χρησιμοποιεί ένα περιστρεφόμενο διάνυσμα, • το οποίο έχει μήκος ίσο με το πλάτος της κίνησης. προβολή του στον οριζόντιο άξο­ να απεικονίζει την πραγματική κίνηση του σώματος. • Το απλό εκκρεμές αποτελείται από μία σημειακή μάζα m στο άκρο νήματος με μή­ "Λος κίνησή του είναι κατά προσέγγιση απλή αρμονική για επαρκώς μικρή μετα­ τόπιση· η γωνιακή συχνότητα, η συχνότητα και η περίοδος δίνονται από τις σχέσεις ω = ..

ι

γωνία φάσης

(13-9)

f = � = 2� Υ!;, '

•

(13-29) (13-30) (13-31)

χώρος των φάσεων

374

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13 ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

' I I

ιιl ι

• Φυσικό εκκρεμές ι;fναι κάθε σόJμά που μπορεί να αιωρείται γύρω από άξονα περι­ στροφΊ1ς σε απόσταση από το »έντρο βάρους του. Αν η ροπή αδράνειας, ως προς τον άξονα περιστροφής είναι η γωνιακή συχνότητα και η περίοδος είναι '' I �],''1-pl' ιI •'lf I " ' ' I' t " I.ι ' ι, .. I , ,:,, ., I ι· Α ΓmiιJ , '' ' I I Ίι ν1 ' I

d

Ι,

ω=

,, 11,

ιI

Τ = 2π

�.

=-

(13-35)

,,,

I"'

i

,.:

I

(13-36)

Ί•

'

I

bv ανάλογη της ταχύτητας προστιοθεί στον απλό • Όταν μια δύναμη απόσβεσης F αρμονικό ταλαντωτή, η κίνηση ονομάζεται αποσβενόμενη ταλάντωση:

= Αe- (bΙΖιιψ cos ω 't. Η γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης ω' δίνεται από τη σχέση χ

,, :•

I•

ι'•

"�11.

,'I :..II'I 111'I ι''l, I f.ιι ι iι

I'

'ι•Ι, I

I• ;

t 11

ι

ι•

' ι,

11 .,ιι, ' ,ι,

ιι' llι• .. '

,

11 Ι'

IΙΙ

ι:·

11 '

I Ί' Ι\' ι

•

1,1

,. Ι lι ' II

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

���

t

,I

(13-40)

4m -

Αυτή η κίνηση παρουσιάζεται όταν b2 < 4km, μια κατάσταση που ονομάζεrtω υποκρί­ σιμη απόσβεση. Όταν b1 4km1 το σύστημα παρουσιάζει κρίσιμη απόσβεση και δεν ταλαντώνεται πια. Όταν η παράμετρος b είναι ακόμη μεγαλύτερη, το σύστημα παρου­ σιάζει υπερωτόσβεση. • Όταν μια διεγείρουσα δύναμη ποv μεταβάλλεται ημιτονοειδώς ασκηθεί σε έναν αρμονικό ταλαντωτή με απόσβεση, η κίνηση που προκύΠίτει ονομάζεται εξαναγκασμέ­ νη ταλάντωση. Το πλάτος της, ως συνάρτηση της διεγείρουσας συχνότητας δίνεται από τη σχέση =

ωd,

Α

'I

lj•lll'•ιι ι

,,. ι·

�Η

ω' = Υ!!_ _ b2,. m

,ι ,, llι�•Ι' ι I , I �ι;.�Ι I' I I " Ι ι ' ..ι·

(13-39)

I '

(13-4�)

Το πλάτος φτάνει σε μια μέγιστη τιμή όταν η διεγείρουσα συχνότητα βρίσκεται κοντά στη φυσική συχνότητα του συστήματος. Αυτή η συμπεριφορά ονομάζεταu συντονισμός.

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Εδάφιο 1 3- 1 Θεμελιώδεις έννοιες 13-1 Ένα ταλαντωνόμενο σώμα πραγματοποιεί τέσσερις πλή­ ρεις ταλαντώσεις σε 1 ,00 s. Να βρείτε τη γωνιακή συχνότητα και την περίοδο της κίνησης. 1 3-2 Το σώμα στο Σχ. 13-1 μετατοπίζεται κατά 0, 1 60 m από τη θέση ισορροπίας του και αφήνεται ελεύθερο με μηδενική αρχική ταχύτητα. Μετά από 1 , 1 0 s η μετατόπισή του είναι 0,1 60 m στην α­ ντίθετη πλευρά, ενώ έχει περάσει τη θέση ισορροπίας μια φορά σε αυτό το χρονικό διάστημα. Να βρείτε a) το πλάτος, b) την πε­ ρίοδο, c) τη συχνότητα. 13-3 a) Για να μετατοπιστεί το άκρο ενός ελατηρίου κατά 0, 1 20 m απαιτείται δύναμη 36,0 Ν. Να βρείτε τη σταθερά ελατηρίου k. b) Ένα ελατήριο έχει σταθερά k = 1500 N/m. Πόση δύναμη απαι­ τείται για να μετατοπίσει το άκρο του ελατηρίου κατά 0,060 m;

Εδάφιο 13-2 Ενέργεια στην απλή αρμονική κίνηση 1 3-4 Ελατήριο με σταθερά k = 600 N/m είναι αναρτημένο ό­ πως στο Σχ. 1 3 - 1 . Ένα σώμα με μάζα 0,400 kg συνδέεται με το ά­ κρο του και εκτελεί απλή αρμονική κίνηση με πλάτος 0,075 m. Δεν υπάρχει δύναμη τριβής στο σώμα. Να υπολογίσετε a) τη μέγιστη ταχύτητα του σώματος, b) την ταχύτητά του όταν χ = 0,030 m, c) το μέτρο της μέγιστης επιτάχυνσής του, d) την επιτάχυνσ1j του όταν βρίσκεται σε χ = 0,030 m και e) την ολική μηχανικ1j του ενέργεια σε οποιοδήποτε σημείο της διαδρομής. 13-5 Αντικείμενο με μάζα 0,500 kg εκτελεί απλή αρμονικ1j κίνη­ ση στο άκρο ενός οριζόντιου ελατηρίου με σταθερά k = 300 N/m. Όταν το αντικείμενο βρίσκεται 0,0 12 m από τη θέση ισορροπίας, έχει ταχύτητα 0,300 m/s. a) Πόση είναι η ολική ενέργεια του αντι­ κειμένου σε οποιοδ1jποτε σημείο της διαδρομής; Πόσο είναι το πλάτος της κίνησης; Πόση είναι η μέγιστη ταχύτητα που αποκτά κατά την κίνησή του;

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

13-6 Αντικείμενο με μάζα 0,400 kg εκτελεί απλή αρμονική κίνηση με πλάτος 0,025 m στο άκρο ενός οριζόντιου ελατηρίου. Το μέτρο της μέγιστης επιτάχυνσης του αντικειμένου είναι 6,00 m!s'. a) Ποια είναι η σταθερά ελατηρίου; Πόση είναι b) η μέγιστη ταχύτητα του αντικειμένου; c) η επιτάχυνσή του (μέτρο και κατεύθυνση) όταν εί­ ναι μετατοπισμένο κατά 0,01 2 m στα αριστερά της θέσης ισορρο­ πίας; 13-7 Ένας αρμονικός ταλαντωτής έχει μάζα 0,800 kg, και ελα­ t�jριο με σταθερά 140 N/m. Να βρείτε a) την περίοδο, b) τη συ­ χνότητα, c) τη γωνιακή συχνότητα. 13-8 Ένας αρμονικός ταλαντωτής αποτελείται από ένα σώμα με μάζα 0,400 kg και ένα ελατήριο με άγνωστη σταθερά. Ο ταλα­ ντωτής έχει περίοδο 0,200 s. Να βρείτε τη σταθερά ελατηρίου. 13-9 Σώμα με άγνωστη μάζα είναι συνδεδεμένο με ένα ελατή­ ριο που έχει σταθερά ελατηρίου 200 N/m στη διάταξη του Σχ. 13- 1 . Παρατηρείται ότι το σώμα ταλαντώνεται με συχνότητα 4,00 Hz. Να βρείτε a) την περίοδο, b) τη γωνιακή συχνότητα και c) τη μάζα του σώματος. 13-10 Σε ένα διαπασών με φυσική συχνότητα 440 Hz το άκρο του κάθε σκέλους του ταλαντώνεται με πλάτος 0,90 mm. a) Πόση είναι η μέγιστη ταχύτητα του άκρου του σκέλους; b) Πόση είναι η μέγιστη επιτάχυνσή του;

Εδάφιο 13-3 Εξισώσεις της απλής αρμονικής κίνησης 13-1 1 Να αποδείξετε την Εξ. (13-25) ξεκινώντας a) από τις Εξ. (1 3-20) και ( 1 3-23), b) από τη διατήρηση της ενέργειας (Εξ. J 3-6). 13-12 Σώμα με μάζα 3,00 kg είναι συνδεδεμένο με ελατήριο που έχει σταθερά k = 150 N/m. Στο σώμα δίνεται μια αρχική τα­ χύτητα στη θετικιj κατεύθυνm1 με μέτρο v0 = 12,0 m/s και μηδενι­ κή αρχική μετατόπιση (χ0 = 0). Να βρείτε a) το πλάτος, b) τη γωνία φάσης, c) την ολική ενέργεια της κίνησης. d) Να γράψετε μια εξίσωση για τη θέση συναρτήσει του χρόνου. 13-13 Επαναλάβετε την άσκηση 1 3- 1 2, αλλά θεωρήστε ότι στο σώμα έχει δοθεί αρχικιj ταχύτητα -6,00 m/s και αρχική μετατόπι­ ml χ0 = +0,200 m.

13-14 Η κλίμακα μιας ζυγαριάς ελατηρίου με εύρος τιμών από Ο ως 1 80 Ν έχει μιjκος 9,00 cm. Παρατηρούμε ότι ένα ψάρι που κρέμεται από τη ζυγαριά ταλαντώνεται κατακόρυφα με συχνότητα 2,20 Hz. Πόση είναι η μάζα του ψαριού; Να αγν01jσετε τη μάζα του ελατηρίου. 13-15 Ένα αντικείμενο ταλαντώνεται με απλή αρμονική κίνηση πλάτους 1 8,0 cm και συχνότητας 4,00 Hz. Να υπολογίσετε a) το μέ­ γιστο μέτρο της επιτάχυνσης και της ταχύτητας, b) την επιτάχυνση και την ταχύτητα όταν η θέση του σώματος είναι χ = +9,0 cm, c) τον χρόνο που απαιτείται για να κινηθεί από τη θέση ισορροπίας απευ­ θείας σε ένα σημείο που απέχει 1 2,0 cm από αυτήν. 13-16 Σώμα με μάζα 1 ,50 kg κρέμεται από το άκρο ενός ελατη­ ρίου με αμελητέα μάζα και το τεντώνει κατά 0,200 m. a) Ποια είναι η σταθερά ελατηρίου; b) Ποια είναι η περίοδος της ταλάντωσης του σώματος αν τραβηχτεί προς τα κάτω και μετά αφεθεί ελεύθε­ ρο; 13-17 Σώμα με μάζα 5,00 kg κρέμεται από το άκρο ενός ελατη­ ρίου. Όταν μετατοπιστεί από τη θέση ισορροπίας και αφεθεί ε­ λεύθερο, το σώμα ταλαντώνεται με περίοδο 0,400 s. Πόσο τεντώ­ νεται το ελατήριο όταν το σώμα και το ελατιjριο βρίσκονται σε ι­ σορροπία (είναι ακίνητα); 13-18 Σώμα με μάζα 4,00 kg είναι συνδεδεμένο με ένα ελατή­ ριο και ταλαντώνεται κατακόρυφα με απλή αρμονική κίνηση. Το πλάτος της ταλάντωσης είναι 0,250 m. Στο υψηλότερο σημείο της

3 75

κίνησης το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος. Να υπολογίσετε την ελαστική δυναμική ενέργεια του ελατηρίου (θεωρήστε την ότι είναι μηδενική όταν αυτό έχει το φυσικό του μήκος), την κινητική ενέργεια του σώματος, τη βαρυτική δυναμική ενέργεια ως προς το χαμηλότερο σημείο της κίνησης, και το άθροισμα των τριών αυτών ενεργειών όταν το σώμα βρίσκεται a) στο χαμηλότερο σημείο, b) στη θέση ισορροπίας του, c) στο υψηλότερο σημείο. 13-19 Ένα ξυπνητήρι χτυπά τέσσερις φορές το δευτερόλεπτο, και ο κάθε χτύπος αντιστοιχεί σε μισή περίοδο. Ο σφόνδυλος του ρολογιού αποτελείται από ένα λεπτό στεφάνι με ακτίνα 0,65 cm συνδεδεμένο με τον άξονα του σφονδύλου με λεπτές ακτίνες που έ­ χουν αμελητέα μάζα. Η ολική μάζα του σφονδύλου είναι 0,800 g. a) Πόση είναι η ροπή αδράνειας του σφονδύλου γύρω από τον άξο­ νά του; b) Να βρείτε tll σταθερά στρέψης της τρίχας του ρολογιού. 13-20 Ο σφόνδυλος ενός ρολογιού ταλαντώνεται με γωνιακό πλάτος π/4 rad και με περίοδο 0,500 s. a) Να βρείτε τη μέγιστη γωνιακή του ταχύτητα. b) Να βρείτε τη γωνιακή του ταχύτητα ό­ ταν η μετατόπισή του είναι το μισό του γωνιακού πλάτους. c) Να βρείτε tll γωνιακή του επιτάχυνση όταν η γωνιακή του μετατόπιση είναι π/8 rad.

Εδάφιο 13-4 Ο κύκλος αναφοράς 13-21 Ένα αντικείμενο εκτελεί απλή αρμονική κίνηση με πε­ ρίοδο π/2 και πλάτος Α = 0,300 m. Τη χρονική στιγμή ι = Ο το α­ ντικείμενο βρίσκεται στη θέση χ = Ο. Πόσο μακριά θα βρεθεί αυ­ τό από τη θέση ισορροπίας του όταν ι = π/1 0 s; 13-22 Ένα αντικείμενο εκτελεί απλή αρμονική κίνηση με πε­ ρίοδο Τ = 0,800 s και πλάτος Α. Αρχικά βρίσκεται στη θέση χ = Ο και έχει ταχύτητα στη θετική κατεύθυνση. Να χρησιμοποιήσετε τον κύκλο αναφοράς για να υπολογίσετε τον χρόνο που απαιτείται για να μετακινηθεί το αντικείμενο από τη θέση χ = Ο στη θέση

χ = Α/4.

Εδάφιο 13-5 Το απλό εκκρεμές 13-23 Να βρείτε το μήκος ενός απλού εκκρεμούς που ολοκλη­ ρώνει 1 00 πλήρεις ταλαντώσεις σε 75,0 s σε μια περιοχή όπου g = 9,80 m/s'.

13-24 Απλό εκκρεμές με μήκος 4,00 m ταλαντώνεται με μέγι­ στη γωνιακή μετατόπιση 0,400 rad. a) Να υπολογίσετε τη γραμμι­ κιj ταχύτητα υ στο κατώτατο σημείο του εκκρεμούς. b) Να υπολο­ γίσετε τη γραμμική του επιτάχυνση α στα άκρα της διαδρομής του. 13-25 Ένα εκκρεμές στο φεγγάρι Κάποιο απλό εκκρε­ μές έχει περίοδο 1,20 s στη Γη. Πόση είναι η περίοδός του στην ε­ πιφάνεια της Σελήνης, όπου g = J ,62 m!s';

Εδάφιο 13-6 Το φυσικό εκκρεμές 13-26 Ένα γαλλικό κλειδί με μάζα 1 ,50 kg κρέμεται από το έ­ να άκρο του και αφήνεται να ταλαντωθεί ως φυσικό εκκρεμές. Η περίοδός του είναι 0,820 s, ενώ ο άξονας περιστροφής απέχει από το κέντρο μάζας του 0,200 m. a) Πόση είναι η ροπή αδράνειας του γαλλικού κλειδιού ως προς άξονα που συμπίπτει με τον άξονα πε­ ριστροφής του; b) Αν το γαλλικό κλειδί έχει μετατοπιστεί αρχικά 0,600 rad από τη θέση ισορροπίας, πόση είναι η γωνιακή του ταχύ­ τητα καθώς περνά από τη θέση ισορροπίας; 13-27 Ένα χριστουγεννιάτικο στολίδι που έχει σχήμα συμπα­ γούς σφαίρας με μάζα Μ = 0,01 5 kg και ακτίνα R = 0,050 m είναι κρεμασμένο από το κλαδί ενός δέντρου με ένα μικρό δαχτυλίδι α-

13-29 Μάζα 0,400 kg κινείται στο άκρο ελατηρίου το οποίο έχει σταθερά k = 300 N/m. Στη μάζα ασκείται δύναμη απόσβεσης Fx = - bv. a) Αν η σταθερά b έχει την τιμή 6,00 kgls, με ποια συχνότητα ταλαντώνεται η μάζα; b) Για ποια τιμή της σταθεράς b έχουμε κρίσιμη απόσβεση;

ΣΧΗΜΑ 13-29

πό σύρμα που είναι κολλημένο στην επιφάνεια της σφαίρας (Σχ. 13-29). Αν το στολίδι μετατοπιστεί κατά μία πολύ μικρή απόσταση και αφεθεί ελεύθερο, θα αρχίσει να ταλαντώνεται μπρος-πίσω σαν φυσικό εκκρεμές. Να υπολογίσετε την περίοδό του. (Να α­ γνοήσετε την τριβή στον άξονα. Η ροπή αδράνειας της σφαίρας γύρω από το άκρο στο κλαδί του δέντρου είναι 7 MR'/5.)

Εδάφιο 1 3-7 Αποσβενόμενες ταλαντώσεις 13-28 Μια μάζα 0,200 kg κινείται στο άκρο ελατηρίου το οποίο έχει σταθερά k = 320 N/m. Η αρχική της μετατόπιση είναι 0,300 m. Όταν ασκηθεί στη μάζα δύναμη απόσβεσης Fx = - bυ το πλά­ τος της κίνησης ελαττώνεται στα 0,100 m σε χρόνο 5,00 s. Να υπο­ λογίσετε την τιμή της σταθεράς απόσβεσης b.

Εδάφιο 1 3-9 Χάος: Μελέτη ενός ειδικού θέματος στη δυναμική ανάλυση 13-30 a) Για αποσβενόμενη αρμονική κίνηση, να χρησιμοποιή­ σετε τις σχέσεις υ (t) = dx!dt και τη x(t) που δίνεται στην Εξ. (13-39) για να υπολογίσετε την ταχύτητα υ(ι). b) Να υπολογίσετε τη θέση χ και την ταχύτητα υ για ι = Ο, π/2ω', π/ω', 3π/2ω', 2π/ω', 3π/ω' και 4π/ω'. Να καταχωρήσετε αυτά τα σημεία σε μια γραφική παράσταση του χώρου των φάσεων, και να δείξετε ότι η γραφική παράσταση έχει τη μορφή του Σχ. 13-23. 13-31 Να δείξετε ότι η δυναμική ενέργεια υ(χ) που δίνεται α­ πό την Εξ. (13-47) έχει δύο ελάχιστα, το ένα στη θέση χ = Ο και το άλλο στη θέση χ = L. 13-32 Να αποδείξετε την Εξ. (13-48) ξεκινώντας από την Εξ. (13-47). Να δείξετε ότι όταν χ < < L, η Εξ. ( 13-48) καταλήγει στη σχέση F = - kx, και ότι για τιμές του χ κοντά στο L, καταλήγει στη σχέση F = - k (x - L) 13-33 Για τη δυναμική ενέργεια υ(χ) που δίνεται από την Εξ. (13-47), να δείξετε ότι η θέση χ = L/2 είναι σημείο aσταθούς ι­ σορροπίας. .

ΠΡΟΒΛΉΜΑΤΑ 13-34 a) Σώμα κρεμασμένο από το άκρο ελατηρίου ταλαντώνε­ ται με απλή αρμονική κίνηση. Τη στιγμή που η μετατόπιση του σώ­ ματος είναι ίση με το μισό του πλάτους, τι ποσοστό της ολικής ε­ νέργειας του συστήματος είναι κινητική και τι ποσοστό είναι δυ­ ναμική; Να υποθέσετε ότι στη θέση ισορροπίας υ = b) Όταν το σώμα είναι σε ισορροπία, το μήκος του ελατηρίου είναι μεγαλύτε­ ρο κατά s από το φυσικό του μήκος. Να αποδείξετε ότι Τ = 2π--Js/g. 13-35 Απλή αρμονική κίνηση στη μηχανή αυτοκινή­ του Η κίνηση του εμβόλου στη μηχανή ενός αυτοκινήτου (Σχ. 13-30) είναι προσεγγιστικά απλή αρμονική. a) Αν η παλινδρομική κίνηση σε μια μηχανή (δηλαδή το διπλάσιο του πλάτους) είναι 0,100 m και αν η μηχανή λειτουργεί με 2500 reν/min, να υπολογί­ σετε την επιτάχυνση του εμβόλου στο τέλος της παλινδρομικής κί­ νησης. b) Αν το έμβολο έχει μάζα 0,400 kg ποια συνισταμένη δύ­ ναμη πρέπει να ασκείται στο έμβολο σε αυτό το σημείο; c) Πόση είναι η ταχύτητα του εμβόλου, σε μέτρα ανά δευτερόλεπτο, στο μέσο της παλινδρομικής κίνησης;

Ο.

τ 1

0, 100 m

ΣΧΗΜΑ 13-30 376

13-36 Τέσσερις επιβάτες με συνολική μάζα 350 kg μπαίνουν σε ένα αυτοκίνητο με χαλασμένα αμορτισέρ και συμπιέζουν τα ελα­ τήριά του κατά 5,00 cm. Αν το συνολικό βάρος που ασκείται στα ε­ λατήρια είναι 1200 kg, να βρείτε την περίοδο με την οποία ταλα­ ντώνεται το φορτωμένο αυτοκίνητο. 13-37 Σώμα εκτελεί απλή αρμονική κίνηση επάνω σε οριζόντια επιφάνεια χωρίς τριβές με πλάτος 0,100 m. Σε ένα σημείο 0,060 m μακριά από τη θέση ισορροπίας η ταχύτητα του σώματος είναι 0,320 m/s. a) Πόση είναι η περίοδος; b) Πόση είναι η μετατόπιση όταν η ταχύτητά του είναι 0,120 m/s; c) Ένα μικρό αντικείμενο με μάζα πολύ μικρότερη από αυτήν του σώματος τοποθετείται επάνω στο σώμα που ταλαντώνεται. Εάν το μικρό αντικείμενο είναι να γλιστρήσει στο ακρότατο σημείο της διαδρομής, ποιος είναι ο συντελεστής στατικής τριβής μεταξύ του μικρού αντικειμέ­ νου και του σώματος; 13-38 Σε ένα αντικείμενο με μάζα 0,200 kg ασκείται ελαστική δύναμη επαναφοράς με σταθερά ελατηρίου k = 25,0 N/m. a) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της ελαστικής δυναμικής ενέργειας υ συναρτήσει της μετατόπισης χ για τιμές του χ από -0,300 m ως +0,300 m. Να βάλετε στον κατακόρυφο άξονα 1 cm = 0,1 J και στον οριζόντιο άξονα 1 cm = 0,05 m. Το αντικείμενο ξεκινά την ταλάντωση με αρχική δυναμική ενέργεια 0,500 J και με αρχική κι­ νητική ενέργεια 0,200 J. Να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις αναφερόμενοι στη γραφική παράσταση. b) Πόσο είναι το πλάτος της ταλάντωσης; c) Πόση είναι η δυναμική ενέργεια όταν η μετα­ τόπιση είναι ίση με το μισό του πλάτους; d) Σε ποια τιμή της μετα­ τόπισης είναι ίσες η κινητική και η δυναμική ενέργεια; e) Ποια εί­ ναι η γωνία φάσης φ αν η αρχική ταχύτητα υ0 είναι αρνητική και η αρχική μετατόπιση χ0 είναι θετική; 13-39 Όπως αναφέραμε στο Κεφ. 1 1, ένα σύρμα μπορεί να τε­ ντωθεί αν ασκηθεί σε αυτό κάποια τάση εφελκυσμού. a ) Να

ΠΡΟΒΛΉΜΑΤΑ

συγκρίνετε τις Εξ. ( 1 3- 1 ) και ( 1 1 -12) για να διαμορφώσετε μια έκφραση για τη σταθερά ελατηρίου k του σύρματος συναρτήσει του μήκους 10, της επιφάνειας της διατομής Α και του μέτρου Young Υ. b) Ένα χάλκινο σύρμα έχει μήκος 2,00 m και διάμετρο 1,50 mm. Τι τιμή έχει η σταθερά ελατηρίου k αυτού του σύρματος;

13-40 Σώμα με μάζα 1 00 kg κρέμεται από το άκρο σύρματος, του οποίου το μήκος όταν δεν είναι τεντωμένο, 10 , είναι 2,00 m. Το σύρμα επιμηκύνεται κατά 4,00 χ 1 0-3 m. Η διατομή του σύρματος που μπορεί να θεωρηθεί σταθερή είναι Ο, 1 00 cm 2 Εάν το σώμα μετακινηθεί προς τα κάτω κατά μία μικρή πρόσθετη απόσταση και αφεθεί ελεύθερο, να βρείτε τη συχνότητα με την οποία θα ταλα­ ντωθεί.

13-4 1 Μια σχεδία από καουτσούκ ανεβοκατεβαίνει λόγω των κυμάτων σε μια λίμνη χάνοντας απλή αρμονική κίνηση. Το πλάτος της ταλάντωσης είναι 0,600 m και η περίοδος είναι 3,50 s. Δίπλα στη σχεδία υπάρχει σταθερή αποβάθρα σε επίπεδο ίσο με το μέγι­ στο ύψος της σχεδίας. Οι άνθρωποι που θέλουν να aποβιβασθούν από τη σχεδία στην αποβάθρα μπορούν να το επιτύχουν με άνεση μόνο αν το επίπεδο της σχεδίας απέχει το πολύ 0,300 m από το ε­ πίπεδο της aποβάθρας. Πόσο χρόνο έχουν διαθέσιμο αυτοί που θέλουν να aποβιβασθούν με άνεση σε κάθε περίοδο της απλής αρμονικής κίνησης; 13-42 Σώμα με μάζα 0,0 1 00 kg εκτελεί απλή αρμονική κίνηση με πλάτος 0,240 m και περίοδο 3,00 s. Η συνιστώσα της μετατόπι­ σης του σώματος στον άξονα χ είναι +0,240 m όταν ι = Ο. Να υ­ πολογίσετε a) τη συνιστώσα της μετατόπισης του σώματος στον άξονα χ όταν ι = 0,500 s, b) το μέτρο και την κατεύθυνση της δύ­ ναμης που ασκείται στο σώμα όταν ι = 0,500 s, c) τον ελάχιστο χρόνο που απαιτείται για να κινηθεί το σώμα από την αρχική θέση στη θέm1 όπου χ = - 0,1 20 m, d) την ταχύτητα του σώματος όταν χ = - 0,120 m. 13-43 Σώμα με μάζα 0, 1 00 kg είναι κρεμασμένο από μακρύ ε­ λατήριο. Όταν το σώμα μετακινηθεί 0,1 00 m κάτω από τη θέση ι­ σορροπίας του και αφεθεί ελεύθερο, ταλαντώνεται με περίοδο 1,80 s. a) Πόση είναι η ταχύτητά του καθώς περνά από τη θέση ι­ σορροπίας; b) Πόση είναι η επιτάχυνmj του όταν βρίσκεται 0,050 m επάνω από τη θέση ισορροπίας; c) Πόσος χρόνος απαιτείται ό­ ταν κινείται προς τα πάνω για να διανύσει την απόσταση από ένα σημείο 0,050 m κάτω από τη θέση ισορροπίας ως ένα σημείο 0,050 m επάνω από αυτήν; d) Η κίνηση του σώματος σταματά, και το σώμα αποσυνδέεται από το ελατήριο. Πόσο κονταίνει το ελατή­ ριο; 13-44 Δύναμη 30,0 επιμηκύνει κατακόρυφο ελατήριο κατά 0,200 m. a) Πόση πρέπει να είναι η μάζα ενός σώματος που κρέ­ μεται από αυτό για να ταλαντωθεί με περίοδο π/4 s; b) Αν το πλάτος της κίνησης είναι 0,050 m και η περίοδος είναι αυτ1j που καθορίστηκε στο μέρος (a), σε ποια θέση βρίσκεται το σώμα και σε ποια κατεύθυνση κινείται π/1 2 s αφού έχει περάσει τη θέση ι­ σορροπίας, κινούμενο προς τα κάτω; c) Πόση δύναμη (μέτρο και κατεύθυνση) ασκεί το ελατήριο στο σώμα όταν αυτό βρίσκε­ ται 0,030 m κάτω από τη θέση ισορροπίας, κινούμενο προς τα ε­ πάνω; 13-45 Απλή αρμονική κίνηση στη ζυγαριά του κρεο­ πώλη Ένα ελατήριο με σταθερά k = 400 N/m είναι κρεμασμένο

κατακόρυφα· ένας δίσκος ζυγαριάς με μάζα 0,200 kg είναι συνδε­ δεμένος με το κάτω άκρο του. Ο κρεοπώλης ρίχνει στη ζυγαριά μια μπριζόλα με μάζα 1 ,8 kg από ύψος 0,40 m. Η μιτριζόλα χάνει μια εντελώς ανελαστική κρούση με τη ζυγαριά και προκαλεί κατα­ κόρυφη αρμονική ταλάντωση του συστtjματος. a) Πόση είναι η τα­ χύτητα του δίσκου μαζί με τη μπριζόλα αμέσως μετά την κρούση; b) Πόσο είναι το πλάτος της κίνησης που επακολουθεί; c) Πόση είναι η περίοδος της κίνησης;

377

13-46 Ταξίδι στο κέντρο της Γης (συνέχεια) Ένα πο­ λύ ενδιαφέρον, αλλά καθόλου πρακτικό παράδειγμα απλής αρμο­ νιχtjς κίνησης είναι εκείνη ενός αντικειμένου το οποίο αφήνεται να πέσει σε μια τρύπα που αρχίζει από τη μία πλευρά της Γης, περνά από το κέντρο της, και βγαίνει στην άλλη πλευρά. Να απο­ δείξετε ότι η κίνηση είναι απλή αρμονιχ1j και να βρείτε την περίο­ δό της. [Σημείωση: Η βαρυτιχή δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα σαν συνάρτηση της απόστασής του ι· από το κέντρο της Γης προέ­ κυψε από την ανάλυση του Εδ. 1 2-7 και το αποτέλεσμα δίνεται στην Εξ. ( 1 2-31 ). Η κίνηση είναι απλή αρμονική εάν η σχέση με­ ταξύ της επιτάχυνm1ς α και της μετατόπισης από τη θέση ισορρο­ πίας χ δίνεται από την Εξ. ( 1 3-15). Τότε η περίοδος της κίνησης είναι τ = 2π/ω]. 13-47 Σώμα με μάζα 5,00 kg είναι ακουμπισμένο στο πάτωμα, και πάνω του είναι τοποθετημένο ένα άλλο σώμα με μάζα 0,50 kg. Το μεγαλύτερο σώμα είναι συνδεδεμένο με ένα οριζόντιο ελατή­ ριο με σταθερά 15,0 N/m· μετατοπίζεται και εκτελεί απλή αρμονι­ κή κίνηση. Πόσο είναι το μέγιστο πλάτος ταλάντωσης που μπορεί να χάνει το σώμα των 5,00 kg έτσι ώστε το μικρότερο σώμα να πα­ ραμείνει ακίνητο ως προς το μεγαλύτερο; Ο συντελεστής στατικής τριβής μεταξύ των δύο σωμάτων είναι 0,25. Δεν υπάρχει τριβή με­ ταξύ του μεγαλύτερου σώματος και του πατώματος. 13-48 Θεωρήστε τον κύκλο αναφοράς του Σχ. 13-13. a) Η ορι­ ζόντια συνιστώσα της ταχύτητας του σημείου Q είναι η ταχύτητα του σημείου Ρ. Να υπολογίσετε αυτή τη συνιστώσα και να δείξετε ότι η ταχύτητα του Ρ είναι αυτή που δίνεται από την Εξ. ( 1 3-21 ). b) Η οριζόντια συνιστώσα της επιτάχυνσης του σημείου Q είναι η επιτάχυνση του σημείου Ρ. Να υπολογίσετε αυηj τη συνιστώσα και να δείξετε ότι η επιτάχυνση του Ρ είναι αυηj που δίνεται από την Εξ. (13-22). 13-49 Για να μετρήσει μια φοιτήτρια το g με ανορθόδοξο τρό­ πο, τοποθετεί τη μπίλια ενός ρουλεμάν στην κοίλη πλευρά ενός ο­ πτικού φακού (Σχ. 1 3-3 1). Τοποθετεί τον φακό πάνω σε έναν α­ πλό αρμονικό ταλαντωτή (στην πραγματικότητα ένα μικρό ηχείο στερεοφωνικού) του οποίου το πλάτος είναι Α ενώ η συχνότητά του f μπορεί να μεταβάλλεται. Έχει τη δυνατότητα να μετρtjσει το Α και την f με στροβοσκοπική πηγή φωτός. a) Αν το ρουλεμάν έ­ χει μάζα n1, να βρείτε την κάθετη δύναμη που ασκείται από τον φακό στο ρουλεμάν συναρτήσει του χρόνου. Να εκφράσετε το α­ ποτέλεσμά σας με τη βοήθεια των μεγεθών Α, J, rn, g και της γω­ νίας φάσης φ. b) Η συχνότητα αρχίζει να αυξάνεται σιγά-σιγά. Όταν φτάσει σε μία τιμή Λ, το ρουλεμάν ακούγεται να αναπηδά. Πόσο είναι το g συναρτήσει των Α και Λ;

ΣΧΗΜΑ 13-3 1

13-50 Σώμα με μάζα rn1 είναι συνδεδεμένο με οριζόντιο ελατή­ ριο το οποίο έχει σταθερά k και κινείται με απλή αρμονική κίνηση πλάτους Α . Τη στιγμή που το σώμα περνά από τη θέση ισορρο­ πίας, ρίχνουμε από πολύ μικρό ύψος ένα κομμάτι στόχο με μάζα rn2 που, κολλάει πάνω στο σώμα. a) Να βρείτε τη νέα περίοδο και το νέο πλάτος των ταλαντώσεων. b) Χάθηκε μηχανική ενέργεια; Αν ναι, τι απέγινε; Να υπολογίσετε τον λόγο της τελικής προς την αρχική μηχανική ενέργεια. c) Πώς διαμορφώνονται οι απαντή­ σεις του μέρους (a) εάν ο στόχος πέσει στο σώμα όταν αυτό βρί­ σκεται σε ένα από τα ακραία σημεία της διαδρομής;

378

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13 ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

φής είναι 1 8,0 kg · m2 • Το γλωσσίδι είναι μια μικρή μάζα 1,8 kg κολλημένη στο κάτω άκρο λεπτής ράβδου με μήκος L και αμελη­ τέα μάζα. Το άλλο άκρο της ράβδου είναι κρεμασμένο από .το ε­ σωτερικό της καμπάνας και μπορεί να ταλαντώνεται ελεύθερα πε­ ρί τον ίδιο άξονα όπως η καμπάνα (Σχ. 1 3-34). Πόσο πρέπει να εί­ ναι το μήκος L αυτής της ράβδου ώστε η καμπάνα να

90 °

14-17 Όταν η διαχωριστική

επιφάνεια υγρού-αερίου συναντά την επιφάνεια ενός στερεού, συνήθως καμπυλώνεται προς τα πάνω ή προς τα κάτω κοντά στην επιφάνεια του στερεού.

θ

θ

90 ο

90 ο. Η

Η

ανέρχεται

90°

μηνίσκος.

Η

90 ο.

κάτω,

αντλείται

αρνητικής πίεσης. θλιπτικές,

14-18 Δυνάμεις επιφανειακής τάσης σε ένα υγρό μέσα σε τριχοειδή σωλήνα. Το υγρό (a) ανέρχεται αν θ < 90 ο ή (b) κατέρχεται, αν θ > 90 ο . Η διάμετρος του σωλήνα έχει μεγεθυνθεί στο σχήμα, για μεγαλύτερη σαφήνεια.

(a)

·�, (b)

393

1 4-5 ΡΟΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ

εφελκυσμού.

ριπτώσεις τα ρευστά μπορούν να υποβληθούν και σε τάσεις Θεωρήστε ένα κυλινδρικό σωλήνα που είναι κλειστός στο ένα άκρο και φέρει ένα έμβολο που εφαρμό­ ζεται καλά στο άλλο. Γεμίζουμε το σωλήνα εντελώς με ρευστό, που διαβρέχει την εσωτε­ ρική επιφάνεια του σωλήνα και την επιφάνεια του εμβόλου· τα μόρια του υγρού συνά­ πτονται με όλες τις επιφάνειες. Αν οι επιφάνειες είναι πολύ καλά καθαρισμένες και το υ­ γρό πολύ καθαρό, τότε όταν τραβήξουμε το έμβολο, παρατηρούμε μια τάση και μια μικρή στον όγκο· το υγρό. Οι δυνάμεις συναφείας εμποδίζουν την απόσπαση του υγρού από τα τοιχώματα του δοχείου. Σε εργαστηριακές μετρήσεις έχουν παρατηρηθεί μεγάλες τάσεις εφελκυσμού για το νερό ώς και atm. κατάσταση αυτή είναι άκρως ασταθής ένα ρευστό υπό τάση τείνει να θρυμματιστεί σε πολλά μικρά σταγονίδια. Στα ψηλά δέντρα, όμως, οι αρνητικές πιέσεις αποτελούν συνηθισμένο φαινόμενο. αρνητική πίεση πιστεύεται ότι αποτελεί σπουδαίο μηχανισμό για τη μεταφορά νερού και τροφών από τις ρίζες στα φύλλα, με τους ξυλώδεις σωλήνες (που έχουν διάμετρο της τάξης μεγέθους του mm) που βρίσκονται στις ανα­ πτυσσόμενες στρώσεις (σομφό ξύλο) του δέντρου.

αύξηση

300

εφελκυσμού

εκτείνουμε

Η

Η

0,1

1 4-5

ΡΟΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ

κίνηση

Η

Είμαστε τώρα έτοιμοι να θεωρήσουμε την ενός ρευστού. ροή ενός ρευστού μπορεί να είναι εξαιρετικά πολύπλοκη, όπως φαίνεται από τα ρεύματα σε ένα πλημμυρι­ σμένο ποτάμι ή τις στροβιλιζόμενες φλόγες σε μια φωτιά στην κατασκήνωση. Παρόλα αυτά, μερικές καταστάσεις μπορούν να εξηγηθούν με σχετικά απλά εξιδανικευμένα μο­ ντέλα. Ιδανικό ρευσtό ονομάζεται ένα ρευστό που είναι aσυμπίεστο και δεν έχει εσωτε­ ρική τριβή ή ιξώδες. παραδοχή της μη συμπιεστότητας είναι συνήθως μια καλή προ­ σέγγιση για υγρά· μπορούμε και ένα αέριο να το θεωρήσουμε ως aσυμπίεστο, όταν η διαφορά πίεσης μεταξύ των διαφόρων περιοχών του δεν είναι πολύ μεγάλη. εσωτερι­ κή τριβή σε ένα ρευστό προκαλεί διατμητικές τάσεις, όταν ένα στρώμα ρευστού κινείται ως προς κάποιο γειτονικό του στρώμα, όπως για παράδειγμα σε ένα ρευστό που ρέει μέ­ σα σε ένα σωλήνα ή γύρω από ένα αντικείμενο. Σε μερικές περιπτώσεις, μπορούμε να α- Α γνοήσουμε αυτές τις διατμητικές δυνάμεις, που είναι αμελητέες συγκρινόμενες με αυτές Σωλljνας ροής που προέρχονται από τη βαρύτητα και τις διαφορές πίεσης. διαδρομή που ακολουθεί ένα σωμάτιο ενός κινούμενου ρευστού ονομάζεται 14-19 Ένας σωλήνας ροής έχει γραμμή ροής. Αν η συνολική εικόνα της ροής δεν αλλάζει με το χρόνο, η ροή ονομάζεται όρια που καθορίζονται από τις μόνιμη. Στη μόνιμη ροή κάθε στοιχείο μάζας που διέρχεται από κάποιο σημείο ακολου­ γραμμές ροής. Στη μόνιμη ροή, θεί την ίδια γραμμή ροής. Στην περίπτωση αυτή, το διάγραμμα ταχυτήτων του ρευστού το ρευστό δεν μπορεί να διασχίσει στα διάφορα σημεία του χώρου παραμένει σταθερό, μολονότι η ταχύτητα ενός συγκεκρι­ τα τοιχώματα ενός σωλήνα ροής. μένου σωματίου μπορεί να αλλάζει ως προς το μέγεθος και τη διεύθυνση κατά τη διάρ­ κεια της κίνησής του. Ρευματική γραμμή είναι μια καμπύλη, σε κάθε σημείο της οποίας η εφαπτομένη συμπίπτει με τη διεύθυνση της ταχύτητας του ρευστού στο σημείο αυτό. Όταν η εικόνα ροής αλλάζει με το χρόνο, οι ρευματικές γραμμές δεν συμπίπτουν με τις γραμμές ροής. Θα θεωρήσουμε μόνο μόνιμες καταστάσεις, στις οποίες οι γραμμές ροής συμπίπτουν με τις ρευματικές γραμμές. 14-20 (a), (b), (c) Στρωτή ροή γύρω Οι γραμμές ροής που περνούν από το χείλος μιας φανταστικής στοιχειώδους επι­ από αντικείμενα με διαφορετικό φάνειας, όπως είναι η στο Σχ. σχηματίζουν σωλήνα, που ονομάζεται σωλήνας σχήμα. ( d) Ροή μέσα από ένα ροής ή ρευματικός σωλήνας ή φλέβα. Από τον ορισμό της γραμμής ροής, το ρευστό δεν δίαυλο (κανάλι) του οποίου η εγκάρσια διατομή μεταβάλλεται μπορεί να διασχίσει το πλευρικά τοιχώματα ενός σωλήνα ροής δεν μπορεί να γίνει ανά­ κατά μήκος του άξονά του. μιξη των ρευστών διαφορετικών σωλήνων ρ01Ίς.

Η

Η

Η

Α

(a)

14-19,

(b)

(c)

(d)

394

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 ΜΗΧΑΝΙΚΉ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ

14-20

14-21 Ένας σωλήνας ροής με μεταβαλλόμενη εγκάρσια διατομή. Το γινόμενο Α υ είναι σταθερό για ένα aσυμπίεστο ρευστό.

Το Σχ. δείχνει εικόνες ροής ενός ρευστού που ρέει από αριστερά προς τα δεξιά, γύρω από διάφορα εμπόδια και μέσα από ένα κανάλι του οποίου η εγκάρσια δια­ τομή μεταβάλλεται κατά μήκος του άξονά του. Οι φωτογραφίες ελήφθησαν εκχέοντας χρώμα σε νερό που έρρεε μεταξύ δύο γυάλινων πλακών σε μικρή μεταξύ τους απόσταση. Αυτές είναι τυπικές εικόνες στρωτής ροής, στην οποία γειτονικά στρώματα νερού γλι­ στρούν απαλά μεταξύ τους. Σε αρκετά μεγάλους ρυθμούς ροής ή όταν οι συνοριακές επι­ φάνειες προκαλούν απότομες μεταβολές της ταχύτητας, η ροή γίνεται ακανόνιστη και χαοτική και ονομάζεται τυρβώδης ή στροβιλώδης. Στην τυρβώδη ροή δεν υπάρχει εικό­ να μόνιμης κατάστασης η εικόνα της ροής διαρκώς αλλάζει. Η διατήρηση της μάζας κατά τη ροή ενός ρευστού μας δίνει μια σπουδαία σχέση που ονομάζεται εξίσωση συνεχείας. Η ουσία αυτής της σχέσης περιέχεται στη σημασία που δίνουμε στο χαρακτηρισμό «σιγανό ποτάμι». Αν ο ρυθμός ροής όγκου ενός ποτα­ μού με σταθερό πλάτος είναι ο ίδιος για κάποιο μήκος, το νερό πρέπει να τρέξει γρηγο­ ρότερα όπου είναι ρηχό, και βραδύτερα εκεί όπου είναι βαθύ. Σαν ένα άλλο παράδειγ­ μα, η φλέβα νερού από μια βρύση γίνεται πιο λεπτή χαμηλότερα, γιατί επιταχύνεται κα­ θώς. πέφτει και χρειάζεται μικρότερη διάμετρος για να πραγματοποιηθεί ο ίδιος ρυθ­ μός ροής όγκου που υπάρχει ψηλότερα. Μπορούμε να μετατρέψουμε αυτές τις παρατηρήσεις σε μια ποσοτική σχέση. Το Σχ. δείχνει τμήμα ενός σωλήνα ροής μεταξύ δύο σταθερών διατομών με εμβαδόν Α ι και Α 2• Οι ταχύτητες του ρευστού σε αυτές τις τομές είναι ι και υ 2• Το ρευστό δεν δια­ περνά το πλευρικό τοίχωμα σε κανένα σημείο του. Κατά τη διάρκεια ενός μικρού χρονι­ κού διαστήματος dt, το ρευστό στην Α ι κινείται κατά ένα διάστημα ι dt. Ο όγκος dVι του ρευστού που διέρχεται μέσα από την Α ι σε αυτό το διάστημα, είναι το ρευστό μέσα στο κυλινδρικό στοιχείο με βάση Α ι και ύψος υ ιdt, dVι Α ιυ ι dt. Αν η πυκνότητα του ρευστού είναι ρ, η μάζα dm ι που εισρέει στο σωλήνα ε ίναι dm ι ρΑ ιυ ι dt. Παρόμοια, η μάζα dm 2, που εκρέει μέσα από την Α 2 στον ίδιο χρόνο, είναι dm 2 ρΑ 2υ 2 dt. Στη μόνιμη ροή, η ολική μάζα μέσα στο θεωρούμενο τμήμα του σωλήνα ροής είναι σταθερή, οπότε dm ι dm 2 και

14-21

υ

υ

=

=

=

=

ο ρυθμός παροχής όγκου ή παροχή, dV/dt, ο ρυθμός με τον οποίο ο

Το γινόμενο Αυ είναι όγκος περνάει από μια διατομή Α του σωλήνα: dV dt

= Αυ .

(14-15)

14-14

Η εξίσωση δείχνει ότι η παροχή είναι σταθερή κατά μήκος οποιουδήποτε σωλήνα ροής. Όταν η εγκάρσια διατομή ενός σωλήνα ροής ελαττώνεται (Σχ. η ταχύτητα αυξάνει. Το ρηχό τμήμα του ποταμού έχει μικρότερη εγκάρσια διατομή και γρηγορότερο ρεύμα από το βαθύ τμήμα, αλλά η παροχή είναι ίδια και στα δύο. Η φλέβα νερού από μια βρύση στενεύει καθώς αυξάνει η ταχύτητά της, αλλά η παροχή dV/dt είναι παντού η ίδια κατά μήκος του ρεύματος. Αν ένας σωλήνας νερού με διάμετρο cm συνδεθεί με ένα σωλήνα διαμέτρου cm, η ταχύτητα ροής στο τμήμα με cm διάμετρο είναι τέσσερις φο­ ρές μεγαλύτερη από αυτή στο τμήμα με διάμετρο cm. Η dm/dt, ο ρυθμός ροής μάζας ανά μονάδα χρόνου διαμέσου μιας εγκάρσιας διατομής, ισούται με την πυκνότητα p επί τον ρυθμό παροχής όγκου:

14-20d),

1 παροχή μάζας,

2

1

2

(14-16) Μπορούμε να γενικεύσουμε για την περίπτωση που το ρευστό ρ ι και ρ 2 είναι οι πυκνότητες στις διατομές και τότε

1

2,

δεν είναι aσυμπίεστο. Αν (14-17)

Αφήνουμε την απόδειξη σαν άσκηση. Δεν χρειαζόμαστε αυτήν την πιο γενική μορφή ό­ ταν μελετάμε aσυμπίεστα ρευστά, για τα οποία οι ρ ι και ρ 2 είναι πάντοτε ίσες.

Σχή μα και αντίσταση στη ροή ενός ρευστού Ένας ωιό τους κυριότερους συντελεστές που επηρεάζουν την κίνηση των σωμάτων σε ένα ρευστό είναι το μέγεθος της δύναμης

ανάμεσα στο σώμα και το ρευστό. Ένα μέτρο αυτής της δύναμης αντίστασης είναι ο συντελεστής αντίστασης (οπισθολκής) Cυ, ο οποίος σε μεγάλο

σε σημαντικό

βαθμό εξαρτάται ωιό το σχήμα του σώματος. Και άλλοι παράγοντες ε�εάζουν το συντελεστή οπισθολκής

βαθμό, όπως η τραχύτητα της επιφάνειας, η σχετική ταχύτητα της ροής και το εμβαδόν της διατομής κάθετα

στη διεύθυνση της ροής. Μία ωιό τις σπουδαιότερες, όμως, παραμέτρους που μελετώνταιι στο σχεδιασμό αντικειμένων ου θα κινηθούν στον αέρα ή στο νερό, είναι το aτρακτοειδές ή αεροδυναμικό σχήμα του αντικειμένου.

Μετρήσεις κατά μήκος της περιμέτρου της πέστροφας ή του τόνου δείχνουν τη σχεδόν τεΛεια συμφωνία με το σχήμα της αεροτομής μιας σύyχ:ρονης πτέρυγας αεροπλάνου με χαμηλή αντίσταση. Παρομοίως, τα σχέδια υποβρυχίων μοιάζουν με το σχήμα των θαλάσσιων κολυμβητικών θηλαστικών, όπως οι φάλαινες· το σχήμα του σκάφους ενός πλοίου σχεδιάζεται να μοιάζει κατά πολύ με το σώμα της πάmας, και η άτρακτος μικρών αεροπλάνων μιμείται το σχήμα μεγάλων πτηνών.

Οι αεροδυναμικές σήραγγες ωιοτελούν τα κυριότερα πειραματικά εργαλεία για τον εΛεyχ:ο του σχήματος των αυτοκινήτων, αεροπλάνων ή άλλων οχημάτων προκειμένου να ελαχιστοποιηθεί η αντίσταση του αέρα. Με τη βοήθεια των αεροδυναμικών σηράγγων έχουν ανωιτυχθεί αεροτομές που έχουν συντελεστή αντίστασης μικρότερο ακόμη και ωιό μια λεπτή πλάκα παράλληλη στη ροή· οι αεροτομές αυτές όμως προκαλούν στροβιλισμό, εκτός εάν η ροή είναι πολύ ομαλή και ορθά προσανατολισμένη ως προς το αντικείμενο.

Το σχήμα ενός δίσκου φρίσμm (frisbee) ή ενός μπούμερανγκ (boomerang)* παρουσιάζει μικρή αντίσταση και μεγάλη δυναμική άνωση, δίνοντάς του τη δυνατότητα να καλύψει γλυστρώντας μεγάλες ωιοστάσεις μέσα στον αέρα. Το σχήμα αυτό παίρνουν ωιοικiες στάσιμων θαλάσσιων οργανισμών για να ελαχιστοποιήσουν την οmσθολκή των ωκεάνειων ρευμάτων που τείνουν να τις εκτοπίσουν αλλά και για να προκαλέσουν κυκλοφορία του νερού μέσα ωιό αυτές εξασφαλίζοντας έτσι την πρόσληψη τροφής και την εξαγωγή των ωιοβλήτων τους.

• Οξύ καμπύλο βλήμα, που έχει την ιδιότητα να επανέρχεται στο σημείο της ρίψης του. Χρησιμοποιήθηκε αρχικά από ιθαγενείς φυλές της Αυστραλίας.

396

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ

1 4-6

Η Ε Ξ Ι Σ Ω Σ Η Τ Ο Υ B E R N O U L L I ---

Σύμφωνα με την εξίσωση συνεχείας, η ταχύτητα ροής ενός ρευστού μπορεί να μεταβάλ­ λεται κατά μήκος της διαδρομής του ρευστού. Μπορεί επίσης να μεταβάλλεται και η πίε­ ση· αυτή εξαρτάται από το ύψος, όπως και στη στατική περίπτωση, αλλά και από την τα­ χύτητα ροής. Μπορούμε να εξαγάγουμε μια σημαντική σχέση, που λέγεται εξίσωση του Bernoulli, η οποία συνδέει την πίεση, την ταχύτητα ροής και το ύψος κατά μήκος της ροής ενός ιδανικού ρευστού. εξάρτηση της πίεσης από την ταχύτητα ροής προκύπτει από την Εξίσωση Όταν ένα aσυμπίεστο ρευστό ρέει κατά μήκος ενός σωλήνα ροής που δεν έχει σταθερή διατομή, η ταχύτητά του να αλλάζει. Επομένως κάθε στοιχείο του ρευ­ στού πρέπει να έχει κάποια επιτάχυνση και η δύναμη που προκαλεί αυτή την επιτάχυνση πρέπει να εφαρμόζεται από το περιβάλλον ρευστό. Αυτό σημαίνει ότι η πίεση να είναι διαφορετικ1Ί σε διάφορες περιοχές αν ήταν η ίδια παντού, η συνισταμένη δύναμη σε κάθε στοιχείο του ρευστού θα ήταν μηδέν. Όταν ένα στοιχείο του ρευστού επιταχύνε­ ται, θα πρέπει να κινείται από μια περιοχή υψηλής πίεσης προς άλλη χαμηλΊiς, για να υ­ πάρχει συνισταμένη δύναμη προς τα εμπρός που θα το επιταχύνει. Όταν η διατομή του σωλήνα ροής μεταβάλλεται, να αλλάζει και η πίεση ακόμα και όταν δεν υπάρχει διαφορά ύψους. Όταν αλλάζει και το ύψος, αυτό προκαλεί μια πρόσθετη διαφορά πίε­ σης. Για να εξαγάγουμε την εξίσωση Bernoulli, εφαρμόζουμε το θεώρημα έργου-ενέρ­ γειας στο ρευστό, σε ένα τμήμα ενός σωλήνα ροής. Στο Σχ. θεωρούμε το ρευστό που, κάποια αρχική στιγμή, βρίσκεται μεταξύ των διατομών α και c. ταχύτητα στο χα­ μηλότερο άκρο είναι υ1 και η πίεση p1• Μέσα σε ένα μικρό χρονικό διάστημα dt, το ρευ­ στό που βρίσκεται αρχικά στη διατομή α μετακινείται στη κατά μια απόσταση ds1 = υ 1 dt. Κατά το ίδιο χρονικό διάστημα dt, το ρευστό που βρίσκεται αρχικά στην c μετακι­ νείται στην d κατά μία απόσταση ds2 = υ 2 dt. Οι εγκάρσιες διατομές στα δύο άκρα είναι Α 1 καιΑ 2, αντίστοιχα. Από την εξίσωση συνεχείας προκύπτει ότι ο όγκος του ρευστού dV, που διέρχεται από οποιαδήποτε διατομή στο χρονικό διάστημα dt, είναι dV = Α 1 ds1 = A 2 ds2• Ας υπολογίσουμε το που προσφέρεται σε αυτό το ρευστό κατά τη διάρκεια του dt. ολική δύναμη πάνω στη διατομή α είναι p1A 1 και στη διατομή c είναι p2A 2, όπου p1 και p2 είναι η πίεση στα δύο άκρα. Το συνολικό έργο dW που προσφέρεται στο στοι­ χείο κατά τη διάρκεια αυτής της μετατόπισης, θα είναι τότε,

Η (14-14).

πρέπει

πρέπει

πρέπει

14-22,

Η

b

έργο

Η

(14-18) Χρειάζεται το αρνητικό πρόσημο στο δεύτερο όρο, γιατί η δύναμη στο c έχει φορά αντί­ θετη από τη μετατόπιση. Εξισώνουμε τώρα αυτό το έργο προς την ολική μεταβολή της ενέργειας του στοι­ χείου του ρευστού, κινητική και δυναμική. ενέργεια του ρευστού, που βρίσκεται με­ ταξύ των διατομών και c, δεν μεταβάλλεται. Στην αρχή του dt, το ρευστό μεταξύ των α και έχει όγκο Α 1 ds 2 , μάζα pA 1 ds 1 και κινητική ενέργεια ! p (A 1 ds1) υ /. Παρόμοια, στο τέλος του dt, το ρευστό μεταξύ των c και d έχει κινητική ενέργεια ! P (A 2 ds2) υ/. συνολική μεταβολή της κινητικής ενέργειας dK κατά τη διάρκεια του dt είναι:

Η

b

b

Η

(14-19)

dK = � p dV (υ/ - υ/).

Η

Ποια είναι η μεταβολή της δυναμικής ενέργειας; δυναμική ενέργεια της μάζας που περιέχεται μεταξύ των α και στην αρχή του dt είναι dm gJ ι , δυναμική ενέργεια της μάζας μεταξύ των c και d στο τέλος του dt είναι dm gy2 = p dVgy2 • συνολική μετα­ βολή της δυναμικής ενέργειας dU κατά τη διάρκεια του dt είναι

b

Υ1

14-22 Το συνολικό έργο που παράγεται από την πίεση ισούται με το άθροισμα των μεταβολών της κινητικής ενέργειας και της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας.

Η

dU = Ρ dV g (yz - Υ Ι ) ·

Η

(14-20)

(14-18), (14-19) και το (14-20) και το θεώρημα έργου-ενέργειας,

Συνδυάζοντας τις Εξ. dW = dK dU, παίρνουμε

+

2 (pl - Pz) dV = � Ρ dV (υ/ - υ Ι )

+ Ρ dV g(yz - ΥΙ ) ·

( 14-21)

14-6 Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ BERNOULLI

397

Αυτή είναι η εξίσωση του Bernoulli. Στη μορφή αυτή ορίζει ότι το έργο p1 -p2 που παράγεται στη μονάδα όγκου του ρευστού είναι ίσο με το άθροισμα των μεταβολών της κινητικής και της δυναμικής ενέργειας ανά μονάδα όγκου κατά μήκος της ροής. Μπο­ και με τη βοήθεια των πιέσεων. Ο δεύτερος ό­ ρούμε να ερμηνεύσουμε την Εξ. ρος στο δεξιό μέλος είναι η διαφορά πίεσης που οφείλεται στο βάρος του ρευστού και τη διαφορά ύψους των δύο άκρων. Ο πρώτος όρος στο δεξιό μέλος είναι η πρόσθετη διαφο­ ρά πίεσης που σχετίζεται με την αλλαγή της ταχύτητας του ρευστού. και με τη μορφή Μπορούμε να διατυπώσουμε την Εξ.

(14-21)

(14-21)

(14-22) 1

2

οποιαδήποτε δύο σημεία κατά μήκος του σωλήνα

Οι δείκτες και αναφέρονται σε ροής, οπότε μπορούμε να γράψουμε και p

+ pgy + ! ρ υ 2 = σταθερό.

(14-23)

ΣΤΡΑΤ Η Γ Ι Κ Ή Ε Π Ι ΛΥΣ Η Σ Π Ρ Ο Β ΛΗ ΜΑ Τ Ω Ν Η εξίσωση του Bernoulli

Η εξίσωση του Bernoulli προκύπτει από τη σχέση έργου-ε­ νέργειας και επομένως δεν εκπλήσσει το ότι σημαντικό τμήμα της στρατηγικής για την επίλυση προβλημάτων, που προτάθηκε στο Εδάφιο 7-2, εφαρμόζεται και εδώ. Ιδιαίτε­ ρα: 1. Αρχίστε πάντοτε με το να αναγνωρίσετε τα σημεία 2, που αναφέρονται στην εξίσωση του Bernoulli.

1 και

2. Σχηματίστε ένα κατάλογο των γνωστών και άγνωστων

ποσοτήτων της Εξ. (14-22). Οι μεταβλητές είναι p 1 , p2, v1, v2, y 1 και y2, ενώ τα ρ και g ε ίναι σταθερά. Τι δίνεται; Τι πρέπει να προσδιοριστεί;

3. Σε μερικά προβλήματα χρειάζεται να χρησιμοποιήσετε

-

Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 14-8

την εξίσωση συνεχείας, Εξ. (14-14), για να καταλήξετε σε μια σχέση μεταξύ των δύο ταχυτήτων συναρτήσε ι των ε ­ γκαρσίων διατομών των σωλήνων ή των δοχείων. Ή, μπο­ ρεί να γνωρίζετε και τις δύο ταχύτητες και να χρειαστεί να προσδιορίσετε μια από τις διατομές. Μπορεί να χρειαστεί­ τε και τις εκφράσεις για την παροχή, Εξ. ( 1 4- 1 5) και Εξ. (14-16), για να βρήτε τις dV/dt και dm/dt.

4. Όπως πάντα, είναι απαραίτητη η συμφωνία των μονά­

δων. Στο Σύστημα SI, η πίεση εκφράζεται σε pascal, η πυ­ κνότητα σε χιλιόγραμμα ανά κυβικό μέτρο και η ταχύτητα σε μέτρα ανά δευτερόλεπτο. Επίσης προσέξτε ότι οι πιέ­ σεις, πρέπει να είναι όλες είτε απόλυτες είτε διαφορικές.

-------

Η πίεση του νερού στο σπίτι Το ισόγε ιο μιας κατοι­ κίας υδροδοτείται με ένα σωλήνα εσωτερικής δ ιαμέτρου 2,0 cm υπό απόλυτη πίεση 4,0 χ 105 Pa (περίπου 4 atm). Ο σωλήνας που οδηγεί στο μπάνιο του δεύτερου δρόμου, 5,0 m ψηλότερα, έχει διάμετρο 1,0 cm (Σχ. 14-23). Όταν η τα­ χύτητα ροής στο σωλήνα ε ισόδου ε ίναι 2,0 m/s, βρείτε την ταχύτητα ροής, την πίεση και την παροχή όγκου στο μπά­ νιο. ΛΥΣΗ Έστω ότι το σημείο 1 είναι στο σωλήνα εισόδου και το σημείο 2 στο μπάνιο. Η ταχύτητα υ 2 στο μπάνιο υπολογί­ ζεται από την εξίσωση συνεχείας, Εξ. ( 1 - 1 ) :

4 4

_ π(l,Ο cm)2 _ V2 _- il_ Α 2 V ι - π(Ο,5Ο cm)2 (2,0 m/s) - 8,0 m/s. Παίρνουμε y = Ο (στην ε ίσοδο) και y2 = 5,0 m (στο μπά­ νιο). Μας δίνονται οι p1 και υ1 • μπορούμε να βρούμε την p2

από την εξίσωση Bernoulli:

Ρ2 = Ρι - ! ρ (υ/ - υ /) - pg (y2 -Υι) = 4,0 χ 105 Pa - ! (1,0 χ 103 kglm3 )(64 m2/s2 - 4,0 m2/s2) 14-23 Πόση είναι η πίεση του νερού στο μπάνιο του δεύτερου

ορόφου αυτού του σπιτιού;

ζεστού νερού

Κ εντρική παροχή νερού ' (σωλήνας διαμέτρου 2 cm)

398

Η

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 4 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ

= ( 1 ,0 χ 1 03 kg/m3)(9,8 m/s2 )(5,0 m) 4,0 χ 1 05 Pa - 0,30 χ 1 05 Pa - 0,49 χ 1 05 Pa 3,2 χ 105 Pa = 3,2 atm.

= 6,3 χ 1 0-4 m3/s = 0,63 L/s.

= =

Σημειώστε ότι, αν διακοπεί η ροή, μηδενίζεται ο δεύτερος όρος στο δεξιό μέλος της εξίσωσης που δίνει τη διαφορά πίεσης, οπότε αυτή γίνεται 3,5 χ 1 05 Pa. Πραγματικά, όταν το ρευστό δεν κινείται, η εξίσωση του Bournelli, Εξ. ( 1 4-21 ), απλοποιείται στην Εξ. ( 1 4-5), που βρήκαμε για την πίεση σε ένα ρευστό που ηρεμεί.

παροχή όγκου είναι dV dt

= Azυ z = π(0,50 χ 1 0-2 m)2 (8,0 n1/s)

- Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 1 4-9

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Ταχύτητα εκροής Το Σχ. 1 4-24 δείχνε ι μια δεξαμενή

βενζίνης με εμβαδό διατομής Α 1 , γεμισμένη ώς το ύψος h . Ο χώρος πάνω από τη βενζίνη περιέχει αέρα μ ε πίεση p0, ενώ η βενζίνη εκρέει μέσω ενός κοντού σωλ1Ίνα με διατομή Α 2 • Βρείτε τις εκφράσεις για την ταχύτητα εκροής και την παροχή όγκου. Λ ΥΣΗ Μπορούμε να θεωρήσουμε ολόκληρο τον όγκο του

κινουμένου ρευστού σαν ένα σωλήνα ρο1Ίς υ 1 και υ 2 είναι οι ταχύτητες στα σημεία 1 και 2 του Σχ. 14-24. Η πίεση ρ" στο σημείο 2 είναι η ατμοσφαιρική. Εφαρμόζοντας την εξί­ σωση του Bernoulli στα σημεία 1 και 2 και θεωρώντας y = Ο στον πυθμένα της δεξαμενής, βρίσκουμε

Ρο + � p υ , 2 + pgh

= ρ.

-

-

Δηλαδή, η ταχύτητα εκροής δια μέσου ενός ανοίγματος σε βάθος h από την ελεύθερη επιφάνεια του υγρού είναι η ίδια με αυτή που θα αποκτούσε ένα σώμα αν έπεφτε ελεύθερα από ύψος h . Αυτό το αποτέλεσμα λέγεται θεώρημα του Toπίcellί. Ισχύει όχι μόνο για ένα άνοιγμα στον πυθμένα ε­ νός δοχείου, αλλά και για μια τρύπα στο πλευρικό τοίχωμά του σε βάθος h κάτω από την επιφάνεια. Την παροχή ό­ γκου βρίσκουμε από την Εξ. (14-15): . r;:;-;­ dt = Α 2 '12gh.

dV

+ � p υ 22,

Po Pa + 2gh . υ 22 = υ , 2 + 2 Ρ

τ 1

Επειδή η Α 2 είναι πολύ μικρότερη από την Α 1 , η υ 1 2 είναι πολύ μικρότερη από την υ/ και μπορεί να παραλειφθεί. Έτσι βρίσκουμε,

υ/ = 2 Ρο Ρ Ρ . + 2gh .

(1 4-24)

υ 2 = .V2gh.

( 14-25)

h

Η ταχύτητα υ , που ονομάζεται μερικές φορές και ταχύτη­ 2 τα εκροής, εξαρτάται και από τη διαφορά πίεσης Ρο - p. και από το ύψος h της στάθμης του υγρού στη δεξαμενή. Αν η στέγη της δεξαμενής είναι ανοιχτή, τότε p0 = Pa και δεν θα υπάρχει διαφορά πίεσης, δηλ. Ρο - Pa = Ο. Σε αυτή την

περίπτωση,

- 11 Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 1 4- 1 0

14-24 Για τον υπολογισμό της ταχύτητας εκροής της βενζίνης που εκρέει από τον πυθμένα μιας δεξαμενής αποθήκευσης.

----

Το ροόμετρο του Ventouri ( βεντουρίμετρο) Το Σχ.

14-25 δείχνει ένα βεντουρίμετρο, που χρησιμεύει για τη μέ­

τρηση της πυκνότητας ροής σε ένα σωλήνα. Το στενό τμήμα του σωλήνα λέγεται και λαιμός. Βρε ίτε μια έκφραση για την ταχύτητα ροής υ 1 , συναρtΊΊσει των εμβαδών των εγκάρ­ σιων διατομών Α 1 και Α 2 και της διαφοράς ύψους h της στάθμης του υγρού στους δύο κατακόρυφους σωλήνες.

κρότερη από την p 1 • Μια δύναμη προς τα δεξιά επιταχύνει το ρευστό καθώς μπαίνει στο λαιμό και μια δύναμη προς τα αριστερά το επιβραδύνει καθώς βγαίνει. Επίσης, η διαφο­ ρά πίεσης p 1 - p2 είναι ίση με pgh, όπου h είναι η διαφορά ύψους της στάθμης του υγρού στους δύο σωλήνες. Συνδυά­ ζοντας αυτό με το παραπάνω αποτέλεσμα και λύνοντας ως προς υ 1 , έχουμε

ΛΥΣΗ Εφαρμόζουμε την εξίσωση Barnoulli στο πλατύ τμήμα (σημείο 1 ) και στο στενό τμήμα (σημείο 2) του σωλή­ να, με Υι = Υ2 : Ρι + � p υ ,2 = Ρ 2 + � pv/.

Από την εξίσωση συνεχείας, υ 2 = (Α 1 /Α 2)υ 1• Αντικαθιστώ­ ντας αυτό βρίσκουμε

( )

Α2 p , -p2 - 21 p υ , 2 /1 - 1 . Α _

Επειδή η Α 1 είναι μεγαλύτερη από την Α 2 , η υ2 θα είναι με­ γαλύτερη από την υ 1 και η πίεση p2 στο λαιμό θα είναι μι-

14-25 Το ροόμετρο του Yentouri ή βεντουρίμετρο.

14-6 Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ BERNOULLI

399

- Π Α Ρ Ά Δ Ε Ι Γ Μ Α 1 4-1 1 Ανυψωτική δύναμη σε πτέρυγα αεροπλάνου Το Σχ.

14-26 δείχνει γραμμές ροής γύρω από την εγκάρσια διατο­ μή μιας πτέρυγας αεροπλάνου. Οι γραμμές πυκνώνουν πά­ νω από την πτέρυγα, που σημαίνει αύξηση της ταχύτητας ροής και ελάττωση της πίεσης σε αυτή την περιοχή, όπως και στο λαιμό του βεντουριμέτρου. Επειδή η προς τα πάνω δύναμη στην κάτω πλευρά της πτέρυγας είναι μεγαλύτερη από την προς τα κάτω δύναμη στην πάνω πλευρά, προκύ­ πτει μια προς τα πάνω συνισταμένη δύναμη ή δυναμική ά­ νωση (αυτή η εξαιρετικά απλουστευμένη θεώρηση αγνοεί την επίδραση της τυρβώδους ροής και το σχηματισμό στρο­ βίλων· μια πληρέστερη μελέτη θα ελάμβανε και τα φαινό­ μενα αυτά υπόψη). Μπορούμε επίσης να κατανοήσουμε τη δυναμική άνω­ ση βασιζόμενοι στη μεταβολή της ορμής. Το Σχ. 14-26 δεί­ χνει ότι υπάρχει μια προς τα κάτω μεταβολή στην κατακό­ ρυφη συνιστώσα της ορμής του αέρα που προσπερνά την πτέρυγα· αυτή αντιστοιχεί στην προς τα κάτω δύναμη που η

14-26 Γραμμές ροής γύρω από μια πτέρυγα αεροπλάνου.

πτέρυγα εξασκεί πάνω του. Η δύναμη αντίδρασης που α­ σκείται στην πτέρυγα είναι προς τα πάνω, όπως συμπερά­ ναμε παραπάνω.

- Π Α Ρ Ά Δ Ε Ι Γ Μ Α 1 4- 1 2 Φάλτσα ή σκαφτή μπαλιά Το Σχ. 1 4-27a δείχνε ι μια μπάλα που κινείται στον αέρα από αριστερά προς τα δεξιά. Σε ένα παρατηρητή που κινείται με το κέντρο της μπάλας, το ρεύμα του αέρα φαίνεται ότι κινείται από τα δεξιά προς τα αριστερά, όπως δείχνουν οι γραμμές ροής στο σχήμα. Λόγω της μεγάλης ταχύτητας που συνήθως αναπτύσσεται, υπάρχει μια περιοχή τυρβώδους ροής πίσω από τη μπάλα. Όταν η μπάλα περιστρέφεται (Σχ. 14-27b ), η τριβή του αέρα συμπαρασύρει τα στρώματα αέρα που είναι κοντά στην επιφάνεια της μπάλας κατά τη φορά της περιστροφής. Η ταχύτητα του αέρα ως προς την επιφάνεια της μπάλας γί­ νεται στο πάνω μέρος πιο μικρή από την ταχύτητά του στο κάτω μέρος. Η περιοχή διαταραχής γίνεται ασύμμετρη· η διαταραχή στην κορυφή συμβαίνει πιο μπροστά από τη διαταραχή στο κάτω μέρος. Αυτή η ασυμμετρία προκαλεί μια διαφορά πίεσης η μέση πίεση γίνεται στο πάνω μέρος της μπάλας μεγαλύτερη από αυτή στο κάτω. Η προκύπτου­ σα συνισταμένη δύναμη αποκλίνει τη μπάλα προς τα κάτω,

όπως δείχνει το Σχ. 14-27c. Αυτό μπορεί να είναι η πλευρι­ κή όψη μιας μπάλας τέννις που κινείται από αριστερά προς τα δεξιά με v.v για οποιαδήποτε ομάδα σωματι­ δίων, αρκεί να μην έχουν όλα την ίδια ταχύτητα. 16-57 Το δυναμικό Lennard-Jones. Μια συνάρτηση της δυναμικής ενέργειας που χρησιμοποιείται συχνά για την αλλη­ λεπίδραση δύο μορίων (Σχ. 1 6-8) ε ίναι το δυναμικό Lennard-Jones. 2 U(r) = Uo -

[( 7 } ( 7 η

a) Ποια είναι η δύναμη F(r) που αντιστοιχεί σε αυτό το δυναμικό; Σχεδιάστε τις συναρτήσεις U(r) και F(r). b) Να βρείτε, συναρτή­ σει του σ, τις τιμές r1, όπου μηδενίζεται η U (U(r1) = Ο) και τις τι­ μές r2 όπου μηδενίζεται η F (F(r2) = 0). Να βρείτε επίσης τον λόγο r1/r2• Να δείξετε τις θέσεις r1 και r2 στο διάγραμμα της U(r). c) Αν η απόσταση μεταξύ των μορίων είναι r2 (όπως την υπολογίσατε στο μέρος (b)], πόσο έργο πρέπει να παράγουμε ώστε να τα απο­ μακρύνουμε σε άπειρη απόσταση (r -t οο);

Κ Υ Ρ Ι Ε Σ

Ε Ν Ν Ο Ι Ε Σ

• Ένα θερμοδυναμικό σύστημα μπορεί να ανταλλάσσει ενέρyεια με το περιβάλλον του με δύο τρόπους: με διάδοση θερμότητας και με μηχανικό έρyο. Το σύστημα παράyει έρyο, όταν μεταβάλλεται ο όyκος του. • Η εσωτερική ενέρyεια του συστήματος εξαρτάται μόνο από την κατάσταση του. Αντίθετα, δεν έχει νόημα να ορίζονται έννοιες, όπως ποσότητα θερμότητας ή έρyου συστήματος. Η εσωτερική ενέργεια μεταβάλλεται, είτε όταν μεταφέρεται θερμότητα ή όταν παράγεται έρyο. • Το πρώτο θερμοδυναμικό αξίωμα είναι μία έκφραση της διατήρησης της ενέργειας (συμπεριλαμβανομένης της εσωτερικής ενέργειας, θερμότητας και έρyου) σε συνδυασμό με το γεyονός, ότι σε οποιαδήποτε συγκεκριμένη κατάσταση ένα σύστημα έχει μία ορισμένη ποσότητα εσωτερικής ενέργειας.

• Μερικά είδη θερμοδυναμικών μεταβολών αποκτούν εξαιρετική σπουδαιότητα, όπως οι αδιαβατικές, οι ισόχωρες, οι ισοβαρείς και οι ισόθερμες μεταβολές. • Η εσωτερική ενέρyεια ενός ιδανικού αερίου εξαρτάται μόνο από την θερμοκρασία του. Το γεyονός αυτό μπορεί να χρηαιμοποιηθεί yια να βρεθεί μία σχέση μεταξύ των γραμμομοριακών (molar) θερμοχωρητικοτήτων υπό σταθερό όyκο και υπό σταθερή πίεση yια ένα ιδανικό αέριο. • Όταν ιδανικό αέριο υφίσταται μία αδιαβατική μεταβολή (χωρίς μεταφορά θερμότητας), οι μεταβολές στην πίεση, όyκο και θερμοκρασία συσχετίζονται με απλές εξισώσεις.

Ε Ι Σ Α Γ Ω Γ Ή

κ

άθε φορά που οδηγείτε ένα αυτοκίνητο, βάζετε σε λειτουργία ένα σύστημα κλιματισμού ή χρησιμοποιείτε μία ηλεκτρική συσκευή, δρέπετε τα οφέλη της θερμοδυναμικής, της επιστήμης που μελετά τις ενεργειακές σχέσεις που περιλαμβάνουν θερμότητα, μηχανικό έργο και άλλες έννοιες, που σχετίζονται με ενέργεια και τη διάδοσή της. Εάν έχετε παρακολουθήσει πειράματα επίδειξης, που χρησιμοποιούν υγρό άζωτο, μπορεί να σας δημιουργήθηκε η απορία, πώς υγροποιούνται τα αέρια. Μία μέθοδος συνίσταται στην αρχική συμπίεση του αερίου σε πολύ μεγάλη πίεση διατηρώντας την θερμοκρασία σταθερή, στην συνέχεια στην θερμική μόνωση του αερίου και στην εκτόνωσή του. Το αέριο ψύχεται τόσο πολύ κατά την διάρκεια της εκτονώσης, που υγροποιείται. Αυτό είναι ένα παράδειγμα μιάς θερμοδυναμικής μεταβολής. Το πρώτο θερμοδυναμικό αξίωμα, που είναι το κύριο σημείο στην κατανόηση μιάς τέτοιας μεταβολής, αποτελεί επέκταση της αρχής διατήρησης της ενέργειας. Διευρύνει την αρχή αυτή για να συμπεριλάβει ανταλλαγή ενέργειας λόγω διάδοσης θερμότητας και μηχανικού έργου και εισάγει την έννοια της εσωτερικής (θερμοδυναμικής) ενέργειας ενός συστήματος . Η διατήρηση της ενέργειας παίζει ζωτικό ρόλο σε κάθε κλάδο των φυσικών επιστημών και το πρώτο αξίωμα έχει εξαιρετικά ευρεία χρησιμότητα. Για να διατυπώσουμε επακριβώς σχέσεις ενέργειας χρειαζόμαστε rην έννοια ενός θερμοδυναμικού συστήματος και εξετάζουμε τη θερμότητα και το έργο σαν δύο τρόπους διάδοσης ενέργειας προς και από ένα τέτοιο σύ στημα. •

482

483

17-1 ΕΝΕΡΓΕΙΑ, ΘΕΡΜΟτΙΠΆ ΚΑΙ ΕΡΓΟ

1 7- 1

ΕΝΕΡΓΕΙΑ, ΚΑΙ Ε ΡΓΟ

ΘΕΡΜΟΤΗΤΑ

Π εριβάλλον

------

Έχουμε μελετήσει μεταφορά ενέργειας με μηχανικό έργο (Κεφάλαιο 6) και με διάδοση · θερμότητας (Κεφάλαια 15 και 16). Τώρα είμαστε έτοιμοι να συνδυάσουμε και να γενι­ κεύσουμε αυτές τις αρχές. Πάντοτε θα αναφερόμαστε σε κάποιο συγκεκριμένο σύστημα· αυτό μπορεί να είναι κάποια ποσότητα ατμού που εκτονώνεται σε μία στροβιλογεννή­ τρια, το σε σύστημα κλιματισμού, κάποια άλλη συγκεκριμένη ποσότητα υλικού ή μερικές φορές μία συγκεκριμένη διάταξη ή ένας οργανισμός. Θερμοδυναμικό σύστημα (Σχ. 17-1) είναι ένα σύστημα που μπορεί να αλληλεπιδρά (και να ανταλλάσσει ενέργεια) με το περιβάλλον του κατά δύο τουλάχιστον τρόπους, ένας εκ των οποίων είναι η διάδο­ ση θερμότητας. Ένα οικείο παράδειγμα θερμοδυναμικού συστήματος είναι μία ποσότη­ τα αερίου εγκλωβισμένη σε κύλινδρο με έμβολο, όπως στους κυλίνδρους των μηχανών ε­ σωτερικής καύσης. Ενέργεια μπορεί να προσφερθεί στο σύστημα με αγωγή θερμότητας και το σύστημα μπορεί να παράγει καθώς το αέριο εξασκεί μία δύναμη στο έμβολο και το μετατοπίζει. Συχνά έχουμε χρησιμοποιήσει την έννοια στη μηχανική, σχετίζοντας αυτή με διαγράμματα ελεύθερων σωμάτων και με τη διατήρηση ενέργειας και ορμής. Στα θερ­ μοδυναμικά συστήματα, όπως και σε όλα τα άλλα, είναι ουσιώδες να ορίσουμε ξεκάθα­ ρα ευθύς εξ αρχής επακριβώς, τί περιλαμβάνει και τί δεν περιλαμβάνει το σύστημα. Μό­ νο τότε μπορούμε να περιγράψουμε με σαφήνεια την διάδοση ενέργειας προς και από το σύστημα. Όπως έχουμε αναφέρει, η θερμοδυναμική έχει τις ρίζες της σε πρακτικά προβλή­ ματα. μηχανή ενός αυτοκινήτου και οι αεριωθούμενες μηχανές ενός αεροπλάνου χρησιμοποιούν την θερμότητα καύσης του καυσίμου για να παράγουν μηχανικό έργο κα­ τά την προώθηση του οχήματος (Σχ. 17-2). Οι μυ'ίκοί ιστοί σε ζωντανούς οργανισμούς μεταβολίζουν τη χημική ενέργεια της τροφής και παράγουν μηχανικό έργο στο περιβάλ­ λον του οργανισμού. Μία ατμομηχανή ή ένας aτμοστρόβιλος χρησιμοποιεί την θερμότη­ τα καύσης του άνθρακα ή άλλου καυσίμου για να παράγει μηχανικό έργο για να λειτουρ­ γήσει μία ηλεκτρική γεννήτρια ή για να θέσει σε κίνηση ένα τρένο. Σε όλες αυτές τις καταστάσεις περιγράφουμε τις σχέσεις ενέργειας συναρτήσει της ποσότητας θερμότητας Q που προσφέρεται σύστημα και του έργου W που παρά­ γεται το σύστημα. Και οι δύο ποσότητες Q και W μπορεί να είναι θετικές ή αρνητι­ κές. Θετική ποσότητα Q παριστάνει εισροή θερμότητας το σύστημα, που αντιστοι­ χεί σε προσφορά ενέργειας σε αυτό· αρνητική Q παριστάνει εκροή θερμότητας το σύστημα. Θετικό έργο W παριστάνει έργο που προσφέρεται το σύστημα προς το πε­ ριβάλλον του, όπως το παραγόμενο έργο από αέριο που εκτονώνεται, και επομένως α-

Q>0

Περιβάλλον

QPz και το έργο είναι πάλι θετικό.

(17-4)

Όταν ένα σύστημα μεταβάλλεται από μία αρχική κατάσταση σε μία τελική, ακο­ λουθεί μία σειρά ενδιάμεσων καταστάσεων· καλούμε την σειρά αυτή διαδρομή. Υπάρ­ χουν πάντοτε άπειρες διαφορετικές δυνατότητες γι' αυτές τις ενδιάμεσες καταστάσεις. Όταν όλες αυτές είναι καταστάσεις ισορροπίας, η διαδρομή είναι δυνατό να παρασταθεί σε διάγραμμα p-V (Σχ. Το σημείο 1 παριστάνει την αρχική κατάσταση με πίεση p 1 και όγκο Vι και το σημείο παριστάνει την τελική κατάσταση με πίεση p 2 και όγκο Vz . Π.χ. θα μπορούσαμε να κρατήσουμε την πίεση σταθερή σε p1 ενώ το σύστημα εκτονώνε­ ται σε όγκο Vz (σημείο στο Σχ. και ακολούθως να μειώσουμε την πίεση σε p2 (πιθανώς ελαττώνοντας την θερμοκρασία) κρατώντας τον όγκο σταθερό σε Vz (σημείο

17-6a). 2 3 17-6b)

(17-5)

2

486

Ρ Ρι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 17 ΠΡΩΤΟ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟ ΑΞΙΩΜΑ

3 1 t-------t �

(a)

Ρ Ρι

...,.______

-t

3

Ρ Ρι

Ρ

1

Ρι

v2 v

17-6 (a) Τρεις διαφορετικές διαδρομές μεταξύ των καταστάσεων 1 και 2. (b), (c) και (d) Το παραγόμενο υπό του συστήματος έργο κατά την διάρκεια μετάβασής του μεταξύ δύο καταστάσεων εξαρτάται από την διαδρομή, που έχει επιλεγεί.

στο διάγραμμα). Το έργο που παράγεται από το σύστημα κατά τη διάρκεια της μεταβο­ λής αυτής είναι ίσο προς το εμβαδόν κάτω από την καμπύλη 1 δεν παράγεται έργο κατά την διάρκεια της διαδικασίας υπό σταθερό όγκο. Εναλλακτικά, θα μπορούσε το σύστημα να διανύσει τη διαδρομή 1 (Σχ. 17-6c)· στην περίπτωση αυτή το έργο είναι ίσο προς το εμβαδόν κάτω από την καμπύλη ομαλή καμπύλη από το 1 στο είναι μιά άλλη δυνατότητα (Σχ. 17-6d), για την οποία το έργο είναι διαφορετικό από ό,τι στις άλλες δύο διαδρομές. Συμπεραίνουμε, ότι το α­

3� 2 � 4� 2

2

� 3·

4� 2. Η

έργο που παράγεται από το σύστημα δεν εξαρτάται μόνο πό την αρχική και την τελική κατάσταση, αλλά εξαρτάται επίσης και από τις ενδιάμεσες καταστάσεις, δηλαδή από την διαδρομή. Επιπλέον μπορούμε να οδηγήσουμε το σύστημα μέσα από μία σε ιρά καταστάσεων, που σχηματίζουν κλε ιστή διαδρομή, όπως την 1 � 3� 2� 4� 1. Στην περίπτωση αυτή η τελική κατάσταση είναι η ίδια με την αρχική, αλλά το ολικό παραγόμενο από το σύστημα έργο δεν είναι μηδέν. (Στην πραγματικότητα,

παρίσταται στο διάγραμμα από το εμβαδόν που περικλείεται από την κλειστή διαδρομή. Μπορείτε να το αποδείξετε; Δείτε την άσκηση 17-6). Συμπεραίνεται λοιπόν, ότι δεν έχει έννοια να μιλάμε για ποσότητα έργου, που σε ένα σύστημα. Σε μία συ­ γκεκριμένη κατάσταση, ένα σύστημα μπορεί να χαρακτηρίζεται από συγκεκριμένες τι­ μές των καταστατικών συντεταγμένων p, και αλλά δεν έχει έννοια να λέμε, ότι χαρα­ κτηρίζεται από συγκεκριμένη τιμή έργου W.

περιλαμβάνεται V Τ

1 7-3

ΔΙΑΔΟΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΚΑΤΑ ΤΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ Μ ΕΤΑΒΟΛΩΝ ΟΓΚΟΥ

-------

θερμότητα

Έχουμε μάθει, ότι είναι η ενέργεια που διαδίδεται προς ή από ένα σύστημα σαν αποτέλεσμα μιας διαφοράς θερμοκρασίας μεταξύ του συστήματος και του περιβάλ­ λοντός του. Διάδοση θερμότητας και έργο είναι οι δύο τρόποι, με τους οποίους η ενέρ­ γεια ενός θερμοδυναμικού συστήματος μπορεί να αυξηθεί ή να ελαττωθεί. Μόλις είδαμε στο Εδάφιο 17-2, ότι όταν ένα θερμοδυναμικό σύστημα υφίσταται μία αλλαγή κατάστασης, το παραγόμενο υπό του συστήματος δεν εξαρτάται μόνο α­ πό την αρχική και τελική κατάσταση αλλά επίσης από τη σειρά των ενδιάμεσων καταστά­ σεων, από τις οποίες διέρχεται, δηλαδή από την που ακολουθεί από την αρχική στην τελική κατάσταση. Θα δείξουμε τώρα, ότι αυτό ισχύει και για τη που προσφέρεται στο σύστημα. Αναφέρουμε ένα παράδειγμα. Υποθέτουμε, ότι θέλουμε να αλλάξουμε τον όγκο μιάς δεδομένης ποσότητας ιδανικού αερίου από ι σε ι, διατηρώντας τη θερμο­ κρασία σταθερή στους Κ. Το Σχ. 1 7-7 δείχνει δύο διαφορετικούς τρόπους, με τους οποίους μπορούμε να επιτύχουμε αυτό. Στο Σχ. 17-7a το αέριο περιορίζεται σε ένα κύλινδρο με έμβολο και έχει αρχικό όγκο ι. Αφήνουμε το αέριο να εκτονωθεί αργά, προσφέροντας θερμότητα με ένα ηλεκτρικό θερμαντήρα για να διατηρήσουμε τη θερμο­ κρασία στους Κ. Μετά την εκτόνωση με αυτό τον αργό, ελεγχόμενο, ισόθερμο τρόπο το αέριο καταλαμβάνει όγκο ι. Κατά την διάρκεια της μεταβολής αυτής το αέριο α­ πορροφά ένα ορισμένο πόσο θερμότητας. Το Σχ. 17-7b δείχνει μία διαφορετική μεταβολή που οδηγεί στην ίδια τελική κατά­ σταση. Το δοχείο περιβάλλεται από μονωτικά τοιχώματα και χωρίζεται σε δύο χώρους με ένα λεπτό, εύθραυστο χώρισμα. Το χαμηλότερο τμήμα έχει όγκο ι και το υπερκεί­ μενο τμήμα έχει όγκο ι. Γεμίζουμε τον χαμηλότερο χώρο με την ίδια ποσότητα αερί­ ου, όπως και στο Σχ. 17-7a, σε Κ και πάλι. αρχική κατάσταση είναι η ίδια ό-

έργο

διαδρομή 2,0

Τ = 300

θερμότητα

5,0

2,0

300

5,0

3,0

2,0

Τ = 300

Η

1 7-4 ΕΣΩΤΕΡΙΚΉ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟ ΑΞΙΩΜΑ

Κατάσταση 2

Κατάσταση 1

Κατάσταση 2

Κατάσταση 1

17-7 (a) Βραδεία, ελεγχόμενη, ισόθερμη εκτόνωση αερίου από μία αρχική κατάσταση 1 σε μία τελική κατάσταση 2 με την ίδια θερμοκρασία αλλά χαμηλότερη πίεση. (b) Ταχεία, μη ελεγχόμενη εκτόνωση του ιδίου αερίου ξεκινώντας από την ίδια κατάσταση 1 και καταλήγοντας στην ίδια κατάσταση 2.

(b)

(a)

πως και πριν. Στη συνέχεια αφαιρούμε το χώρισμα· το αέριο υφίσταται μία ταχεία, μη ε­ λεγχόμενη εκτόνωση, χωρίς να διέρχεται κανένα ποσό θερμότητας από τα μονωτικά τοι­ χωμάτα. Ο τελικός όγκος είναι ο ίδιος όπως στο Σχ. Το dέριο δεν παράγει έργο κατά την διάρκεια αυτής της εκτόνωσης, επειδή δεν μετακινεί τίποτε. Αυτή η μη ε­ λεγχόμενη εκτόνωση του αερίου στο κενό καλείται ελεύθερη εκτόνωση· θα αναπτύξουμε αυτήν αναλυτικώτερα στο Εδάφιο Πειράματα έχουν δείξει, ότι όταν ένα ιδανικό αέριο υφίσταται ελεύθερη εκτόνω­ ση, δεν παρατηρείται μεταβολή της θερμοκρασίας. Επομένως η τελική κατάσταση του α­ ερίου στο Σχ. είναι η ίδια όπως στο Σχ. Οι ενδιάμεσες καταστάσεις (πιέσης και όγκου) κατά την διάρκεια της μεταβολής από την κατάσταση στην κατάσταση εί­ ναι εντελώς διαφορετικές στις δύο περιπτώσεις. Τα Σχ. και παριστάνουν μεταξύ των και Κατά την διαδρομή προσφέρεται θερμότητα στο σύστημα και αυτό δεν παράγει έργο. Όπως το έργο,

5,0 L,

17-7a.

17-6.

17-7b

17-7a.

1 2 17-7a 17-7b δύο διαφορετικές διαδρομές ίδιων καταστάσεων 1 2. (b) δεν η θερμότητα δεν εξαρτάται μόνο από την αρχική και τελική κατάσταση αλλά επίσης από την διαδρομή.

Λόγω της εξάρτησης αυτής από την διαδρομή, δεν θα είχε νόημα να λέμε, ότι ένα σύστημα "περιέχει" μία συγκεκριμένη ποσότητα θερμότητας. Θεωρείστε, τί συμβαίνει αν προσπαθήσουμε να αναπτύξουμε μία τέτοια ιδέα. Υποθέστε, ότι καθορίζουμε μία αυθαί­ ρετη τιμή στη "θερμότητα στο σώμα" σε κάποια κατάσταση αναφοράς. Τότε ενδεχομέ­ νως η "θερμότητα στο σώμα" σε κάποια άλλη κατάσταση θα ήταν ίση με την θερμότητα που προστέθηκε, όταν το σώμα μεταβαίνει στην δεύτερη κατάσταση. Αλλά αυτό είναι αμφίβολο, όπως είδαμε μόλις προ ολίγου. Η προστιθέμενη θερμότητα εξαρτάται από την που ακολουθούμε από την κατάσταση αναφοράς στην δεύτερη κατάσταση. Εί­ μαστε αναγκασμένοι να συμπεράνουμε, ότι δεν υπάρχει τρόπος να ορίσουμε "θερμότητα σε ένα σώμα". Δεν αποτελεί χρήσιμη έννοια. Αντίθετα όμως, έχει νόημα να μιλάμε για το ποσό της (θερμοδυναμικής) ενός σώματος. Η σημαντική αυτή έννοια είναι το επόμενο αντικείμενο μελέτης μας.

διαδρομή

εσωτερικής

17-4

ενέργειας

ΕΣΩΤΕΡΙΚΉ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟ Α Ξ Ι ΩΜΑ

----

Η έννοια της εσωτερικής ενέργειας είναι μία από τις πιό σημαντικές έννοιες στη θερμο­ δυναμική. Μπορούμε να την εξετάσουμε με διάφορους τρόπους, από τους οποίους μερι­ κοί είναι απλο.ίκοί και άλλοι έξυπνοι. Ας αρχίσουμε με τους απλο'ίκούς. Η ύλη αποτελεί­ ται από άτομα και μόρια και αυτά αποτελούνται από σωματίδια, που έχουν κινητική και δυναμική ενέργεια. Ορίζουμε δοκιμαστικά την εσωτερική ενέργεια ενός συστήματος ως το άθροισμα όλων των κινητικών και δυναμικών ενεργειών των σωματιδίων, που αποτε­ λούν το σύστημα. Χρησιμοποιούμε το σύμβολο για την εσωτερική ενέργεια. Κατά την διάρκεια μιάς μεταβολής της κατάστασης ενός συστήματος η εσωτερική ενέργεια μπορεί να αλλάξει από μιά αρχική τιμή U, σε μία τελική τιμή · παριστάνουμε την μεταβολή στην εσωτερική ενέργεια με ΔU = Γνωρίζουμε επίσης, ότι διάδοση θερμότητας είναι μεταφορά ενέργειας. Όταν προ­ σφέρουμε ένα ποσό θερμότητας Q σε ένα σύστημα και δεν παράγεται έργο κατά την διάρ­ κεια της διαδικασίας, η εσωτερική ενέργεια θα αύξανε κατά ένα ποσό ίσο προς Q, δηλαδή

U

Uz - U, .

Uz

487

488

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 17 ΠΡΩΤΟ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟ ΑΞΙΩΜΑ

ΔU = Q. Όταν ένα σύστημα παράγει έργο W προς το περιβάλλον του κατά την εκτόνωση και δεν προσφέρεται θερμότητα κατά την διάρκεια της μεταβολής, ενέργεια εγκαταλείπει το σύστημα και η εσωτερική ενέργεια μειώνεται. Δηλαδή, όταν W είναι θετικό, ΔU είναι αρνητικό και αντίστροφα· έτσι ΔU= - W. Όταν συμβαίνουν και τα δύο, δηλαδή και μετα­ φορά θερμότητας και παραγωγή έργου, η αλλαγή στην εσωτερική ενέργεια είναι

ολική

Uz - Uι

=

ΔU = Q - W.

(17-6)

Μπορούμε να ανακατατάξουμε την σχέση αυτή στην μορφή Q = ΔU

+ W.

(17-7)

Ερμηνεία: Όταν προσφέρεται σε ένα σύστημα θερμότητα Q, μέρος της προστιθέμενης ε­

νέργειας παραμένει στο σύστημα αυξάνοντας την εσωτερική ενέργεια κατά ένα ποσό ΔU το υπόλοιπο εγκαταλείπει το σύστημα ξανά καθώς το σύστημα παράγει έργο προς το περιβάλλον του. Επειδή W και Q μπορούν να είναι θετικά ή αρνητικά, αναμένουμε ε­ πίσης, ότι η ΔU θα είναι θετική για μερικές μεταβολές και αρνητική για άλλες. Εξ. (17-6) ή (17-7) αποτελεί το πρώτο θερμοδυναμικό αξίωμα. Παριστάνει μία γενίκευση της αρχής διατήρησης της ενέργειας για να συμπεριλάβει μεταφορά ενέργει­ ας λόγω διάδοσης θερμότητας καθώς επίσης και μηχανικό έργο. Μελετήσαμε τη διατή­ ρηση της ενέργειας στο Κεφάλαιο 7 με καθαρά θεώρηση και φαίνεται λογικό, ότι θα έπρεπε να είχε γενικότερη ισχύ. Παρ' όλα αυτά αξίζει μιά προσεκτικότερη ματιά. Ένα πρόβλημα που προκύπτει είναι, ότι ο ορισμός της εσωτερικής ενέργειας συ­ ναρτήσει των μικροσκοπικών κινητικών και δυναμικών ενεργειών δεν είναι εντελώς πει­ στικός. Στην πράξη ο αυτής της ολικής ενέργειας για ένα πραγματικό σύ­ στημα θα ήταν απελπιστικά πολύπλοκος. Δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτό τον ορισμό σαν ορισμό, επειδή δεν περιγράφει, πώς να υπολογίσουμε την εσω­ τερική ενέργεια από φυσικές ποσότητες, τις οποίες μπορούμε να μετρήσουμε άμεσα. Έτσι χρειάζεται να ανατρέξουμε λίγο προς τα πίσω για να δείξουμε με σαφήνεια την ε­ μπειρική και πειραματική βάση του πρώτου θερμοδυναμικού αξιώματος. Ξαναρχίζοντας, την μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας ΔU κατά την διάρκεια οποιασδήποτε μεταβολής ενός συστήματος ως την ποσότητα που δίνεται από την Εξ. (17-6). Αυτός ο ορισμός λειτουργικός, επειδή μπορούμε να μετρήσουμε τα Q και W. Δεν ορίζει την ίδια την U, μόνο την ΔU. Αυτό δεν αποτελεί σοβαρό μειονέκτη­ μα· μπορούμε να ότι η εσωτερική ενέργεια ενός συστήματος έχει μία συγκεκρι­ μένη τιμή σε κάποια κατάσταση αναφοράς και μετά να χρησιμοποιήσουμε την Εξ. (17-6) για να ορίσουμε την εσωτερική ενέργεια σε οποιαδήποτε άλλη κατάσταση. Αυτό είναι α­ νάλογο με την αντιμετώπιση της δυναμικής ενέργειας στο Κεφάλαιο 7, στο οποίο αυθαί­ ρετα ορίσαμε τη δυναμική ενέργεια ενός μηχανικού συστήματος να είναι ίση προς μηδέν σε κάποια συγκεκριμένη θέση. Αυτός ο νέος ορισμός ανταλλάσσει την μία δυσκολία με κάποια άλλη. Αν ορίσουμε την ΔU με την Εξ. (17-6), τότε, όταν το σύστημα μεταβαίνει από την κατάσταση 1 στην κατάσταση μέσω δύο διαφορετικών διαδρομών, πώς γνωρίζουμε ότι η ΔU είναι η ίδια για τις δύο διαδρομές; Έχουμε ήδη σχολιάσει, ότι η Q και το W, στην γενική περίπτωση, είναι ίδια για διαφορετικές διαδρομές. Αν η ΔU, που είναι ίση προς Q - W, εξαρτά­ ται από την διαδρομή, τότε η ΔU δεν είναι μονοσήμαντα ορισμένη. Εάν ισχύει αυτό, η έννοια της εσωτερικής ενέργειας ενός συστήματος υπόκειται στην ίδια κριτική, όπως η ε­ σφαλμένη έννοια του ποσού θερμότητας σε ένα σύστημα, όπως το συζητήσαμε στο τέλος του Εδαφίου 17-3. Ο μόνος τρόπος για να απαντήσουμε στην ερώτηση αυτή είναι το Μελε­ τούμε τις ιδιότητες διαφόρων υλικών, συγκεκριμένα τα Q και W για ποικίλες μεταβολές καταστάσεων και ποικίλες διαδρομές, προκειμένου να διαπιστώσουμε άν η ΔU εξαρτά­ ται ή όχι από τη διαδρομή. Τα αποτελέσματα πολλών τέτοιων ερευνών είναι ξεκάθαρα πέρα από κάθε αμφιβολία. ΔU μεταβολή της ε­ σωτερικής ενέργειας ενός συστήματος κατά την διάρκεια μιάς θερμοδυναμικής μεταβο­ λής εξαρτάται μόνο από την αρχική και τελική κατάσταση, όχι από τη διαδρομή που οδη­ γεί από τη μία κατάσταση στην άλλη. Το πείραμα λοιπόν είναι η έσχατη δικαίωση για να πιστέψουμε, ότι ένα θερμοδυ­ ναμικό σύστημα σε μία δεδομένη κατάσταση διαθέτει μία μονοσήμαντα ορισμένη εσωτε­ ρική ενέργεια (σε σχέση με κάποια δεδομένη τιμή αναφοράς), που εξαρτάται μόνο από

Η

μηχανική

υπολογισμός λειτουργικό ορ(C,ουμε

είναι

ορίσουμε

2

δεν

πείραμα.

Η

είναι ανεξάρτητη από την διαδρομή. Η

17-4 ΕΣΩΤΕΡΙΚΉ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟ ΑΞΙΩΜΑ

489

την κατάσταση αυτή. Μία ισοδύναμη πρόταση είναι, ότι η εσωτερική ενέργεια U ενός συστήματος είναι συνάρτηση των καταστατικών συντεταγμένων p, και (στην πραγμα­ τικότητα μόνο δύο από αυτές είναι απαραίτητες, επειδή οι τρεις αυτές μεταβλητές συνδέ­ ονται με την καταστατική εξίσωση). Ας επανέλθουμε τώρα στο πρώτο θερμοδυναμικό αξίωμα. Το να λέμε, ότι το πρω­ παριστάνει τη διατήρηση της ενέρ­ ή το αξίωμα, που εκφράζεται με τις Εξ. γειας σε θερμοδυναμικές μεταβολές είναι απολύτως ορθό. Αλλά ένα σημαντικό στοιχείο του πρώτου αξιώματος είναι το γεγονός, ότι η εσωτερική ενέργεια εξαρτάται μόνο από την κατάσταση του συστήματος. Σε μεταβολές της κατάστασης η μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας είναι ανεξάρτητη από τη διαδρομή. Όλα αυτά μπορεί να φαίνονται λίγο αφηρημένα εάν είσθε ικανοποιημένοι με την σύνδεση της εσωτερικής ενέργειας με μικροσκοπική μηχανική ενέργεια. θεώρηση αυτή δεν είναι καθόλου λανθασμένη. Αλλά λόγω του ενδιαφέροντος για επακριβείς ορισμούς, η εσωτερική ενέργεια, όπως η θερμότητα, μπορεί και πρέπει να ορισθεί με ένα τρόπο, ο οποίος είναι ανεξάρτητος από την λεπτομερή μικροσκοπική δομή του υλικού. Αν υποβάλουμε ένα σύστημα σε μιά μεταβολή που τελικά φέρνει το σύστημα στην αρχική του κατάσταση (κυκλική μεταβολή), η μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας πρέπει να είναι μηδέν. Τότε

V Τ

(17-6) (17-7),

επιπλέον Η

κούς

λειτουργι­

ολική

και

Uz = Uι

Q = W.

Αν παράγεται από το σύστημα ένα ολικό ποσό έργου W κατά την διάρκεια αυτής της με­ ταβολής, τότε ένα ίσο ποσό ενέργειας πρέπει να έχει εισρεύσει στο σύστημα ως θερμότη­ τα Q. Αλλά δεν υπάρχει λόγος γιατί ανεξάρτητα είτε η Q ή το W πρέπει να είναι μηδέν. Ένα σύστημα είναι ένα σύστημα που δεν παράγει έργο προς το πε­ ριβάλλον του και δεν ρέει θερμότητα από το περιβάλλον προς το σύστημα. Για οποιαδή­ ποτε διαδικασία, που πραγματοποιείται σε ένα απομονωμένο σύστημα ισχύει

απομονωμένο

Επομένως Με άλλα λόγια, η

W = Q = Ο.

εσωτερική ενέργεια ενός απομονωμένου συστήματος είναι σταθερή.

Σ Τ ΡΑΤ Η Γ Ι Κ Ή Ε Π Ι ΛΥ Σ Η Σ Π Ρ Ο Β Λ Η ΜΆ Τ Ω Ν Π ρώτο θερμοδυναμικό αξίωμα 1. Η μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας ΔU σε μία θερ­ μοδυναμική μεταβολή ή σειρά μεταβολών είναι ανε­ ξάρτητη από τη διαδρομή, άσχετα από το αν η ουσία εί­ ναι ιδανικό αέριο ή όχι. Αυτό είναι εξαιρετικής σπου­ δαιότητας στα προβλήματα αυτού του κεφαλαίου και του επόμενου. Μερικές φορές θα σας δοθούν αρκετές πληροφορίες για μία διαδρομή μεταξύ αρχικής και τελι­ κής κατάστασης για να υπολογίσετε την ΔU για την συ­ γκεκριμένη διαδρομή. Μπορείτε τότε να χρησιμοποιή­ σετε το γεγονός, ότι η ΔU είναι η ίδια για οποιαδήποτε άλλη διαδρομή μεταξύ των δύο ίδιων καταστάσεων για να συσχετίσετε τις διάφορες ποσότητες ενέργειας για άλλες διαδρομές. 2. Ως συνήθως, η χρήση μονάδων ενός και μόνο συστή­ ματος είναι ουσιώδης. Αν η p είναι σε Pa και ο V σε m3, τότε το W είναι σε joules. Σε αντίθετη περίπτωση, μπο­ ρείτε να μετατρέψετε τις μονάδες πίεσης και όγκου σε Pa και m3 • Εάν η θερμοχωρητικότητα δίνεται σε θερμί- Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 1 7-2

δες, η απλούστερη διαδικασία είναι συνήθως η μετατρο­ πή αυτής σε joules. Να είσθε ιδιαίτερα προσεκτικοί με τα γραμμομόρια ( moles). Όταν χρησιμοποιείτε τη σχέ­ ση n = moJM για μετατροπή μεταξύ ολικής μάζας και α­ ριθμού γραμμομορίων, να θυμάστε, ότι αν mσλ είναι σε χιλιόγραμμα, Μ πρέπει να είναι σε χιλι6γραμμα ανά γραμμομόριο. Οι συνήθεις μονάδες για την Μ ε ίναι γραμμάρια ανά γραμμομόριο. Να είστε προσεκτικοί. 3. Όταν μία μεταβολή αποτελείται από μερικά διακεκρι­ μένα βήματα, συχνά βοηθάει η δημιουργία ενός πίνακα, στον οποίο θα φαίνονται τα Q, W και ΔU για κάθε βήμα. Τοποθετείστε αυτές τις ποσότητες για κάθε βήμα σε δια­ φορετική γραμμή και ταξινομείστε αυτές , έτσι ώστε τα Q, W και ΔU να σχηματίζουν στήλες. Μπορείτε τότε να εφαρμόσετε το πρώτο θερμοδυναμικό αξίωμα σε κάθε γραμμή. Επιπλέον μπορείτε να προσθέσετε τα ποσά κά­ θε στήλης και να εφαρμόσετε το πρώτο θερμοδυναμικό αξίωμα στα αθροίσματα. Αντιλαμβάνεστε γιατί;

----

Καταναλώνοντας το επιδόρπιό σας Προτίθεστε να φά­ τε ένα γλύκισμα 900 διαιτητικών θερμίδων και μετά να α­ νεβείτε τρέχοντας τις σκάλες μερικών ορόφων για να κα-

ταναλώσετε την ενέργεια που πήρατε. Πόσο ψηλά πρέπει να ανεβείτε; Υποθέστε, ότι η μάζα σας είναι 60 kg.

490

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 7 ΠΡΩΤΟ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟ ΑΞΙΩΜΑ

ΛΥΣΗ Το σύστημα αποτελείται από σας και την Γη. Να

θυμάστε, ότι μία διαιτητική θερμίδα είναι 1 kcal = 1000 cal = 4190 J. Η προσληφθείσα ποσότητα ενέργειας είναι Q = 900 kcal (4190 J/kcal) = 3,77 χ 10 6 J.

Η κατανάλωση ενέργειας είναι

W = mgh = (60 kg)(9,8 m/s2)h = (588 N)h. Αν η τελική κατάσταση του συστήματος είναι η ίδια με την - Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 1 7-3

-------

Το Σχήμα 17-8 δείχνει μία κλειστή μεταβολή (μεταβολή στην οποία η αρχική και τελική κατάσταση είναι ίδιες). Ξεκι­ νά από ένα σημείο α και φτάνει στο σημείο b ακολουθώντας μία aριστερόστροφη διαδρομή, ακολούθως επανέρχεται στο α και το ολικό έργο είναι W = -500 J. a) Γιατί το έργο είναι αρνητικό; b) Υπολογίστε τη μεταβολή της εσωτερικής ενέρ­ γειας και τη θερμότητα που προστέθηκε στο σύστημα. ΛΥΣΗ a) Το έργο που παράγεται είναι ίσο προς το εμβα­ δόν κάτω από την καμπύλη, με θετικό πρόσημο, όταν αυξά­ νει ο όγκος και αρνητικό, όταν μειώνεται ο όγκος. Από το σημείο α στο b το εμβαδόν είναι θετικό, αλλά είναι μικρό­ τερο από την απόλυτη τιμή του αρνητικού εμβαδού από το b στο α. Επομένως το ολικό εμβαδόν (το εμβαδόν που περι­ κλείεται από την διαδρομή) και συνεπώς και το έργο είναι αρνητικά. Με άλλα λόγια, 500 J επιπλέον προσφέρονται στο σύστημα από ό,τι παράγει το σύστημα. b) Για τη μεταβολή αυτή και για οποιαδήποτε άλλη κλειστή

- Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 1 7-4

ΛΥΣΗ a) Καμία μεταβολή όγκου δεν συμβαίνει κατά τη

μεταβολή αb, έτσι Wab = Ο και ΔUab = Qab = 150 J. b) Η μεταβολή bd πραγματοποιείται υπό σταθερή πίεση, έ­

τσι το έργο που παράγεται από το σύστημα κατά την διάρ­ κεια της εκτόνωσης είναι

8,0 χ 1 0 4 Pa

μεταβολή (για την οποία η αρχική και τελική κατάσταση εί­ ναι ίδιες), ΔU = Ο, έτσι Q = W = -500 J. Δηλαδή 500 J θερμότητας πρέπει να προσφερθούν από το σύστημα.

Ρ

--�--�_L����-L�--- v ο � 1-j, 17-8 Το ολικό παραγόμενο έργο από το σύστημα στη μεταβολή aba είναι -500 J. Τι θα είχε συμβεί, αν η διαδικασία είχε ακολουθήσει δεξιόστροφη διαδρομή;

------

Στο διάγραμμα pV του Σχ. 17-9 φαίνεται μία σειρά θερμο­ δυναμικών μεταβολών. Κατά τη διαδικασία αb προσφέρο­ νται στο σύστημα 150 J θερμότητας και στη μεταβολή bd προσφέρονται 600 J. Υπολογίστε a) τη μεταβολή της εσω­ τερικής ενέργειας στη μεταβολή αb· b) τη μεταβολή της ε­ σωτερικής ενέργειας στη μεταβολή αbd· c) την ολική προ­ σφερθείσα θερμότητα στη μεταβολή αcd.

Ρ

αρχική (δηλαδή ούτε παχύτερος ούτε λεπτότερος), αυτές οι δύο ποσότητες πρέπει να είναι ίσες, οπότε βρίσκουμε 3,77 χ 10 6 J = (588 N)h. h = 6410 m. Καλή τύχη ! Έχουμε υποθέσει συντελεστή απόδοσης 100 % στην μετατροπή ενέργειας τροφής σε μηχανική. Αυτό δεν α­ νταποκρίνεται πλήρως στην πραγματικότητα. Θα επανέλ­ θουμε αναλυτικότερα στον συντελεστή απόδοσης αργότερα.

.:... b.----.--.d

3,0 χ 1 0 4 Pa

17-9 Το διάγραμμα pV, στο οποίο φαίνονται οι διάφορες θερμοδυναμικές διαδικασίες.

Wab = p(V2 - Vι ) = (8,0 χ 104 Pa)(5,0 χ 10-3 m3 - 2,0 χ 10-3 m 3) = 240 J. Το ολικό έργο για την διαδικασία αbd είναι Waιχι = Wab+ Wιχι = Ο + 240 J = 240 J, και η ολική προσφερθείσα θερμότητα είναι Qabd = Qab+Qιxι = 150 J + 600 J = 750 J. Εφαρμόζοντας την Εξ. (17-6) στη μεταβολή αbd, βρίσκου­ με Δ Uabd = Qabd - Wabd = 750 J - 240 J = 510 J. c) Επειδή η Δ U είναι ανεξάρτητη από την διαδρομή, η με­ ταβολή της εσωτερικής ενέργειας είναι η ίδια για την δια­ δρομή αcd όπως και για την διαδρομή αbd. Δηλαδή Δ Uacd = 5 10 J. Το ολικό έργο για την διαδρομή acd είναι Wacd = Wac+ Wcd = p(V2 - Vι ) + Ο = (3,0 χ 104 Pa)(5,0 χ 10-3 m3 - 2,0 χ 10-3 m3) = 90 1. Εφαρμόζουμε τώρα την Σχέση ( 17-7) στη μεταβολή αcd Qacd = Δ Uacd + Wacd = 510 J + 90 J = 600 J. Βλέπουμε, ότι παρ' όλο που η ΔU είναι η ίδια (510 J) για τις διαδρομές αbd και αcd, το W (240 J έναντι 90 J) και η Q (750 J έναντι 600 J) είναι εντελώς διαφορετικά για τις δύο μεταβολές.

491

1 7-5 ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ

Ακολουθεί ο πίνακας των διαφόρων ποσοτήτων: Βήμα

Q

ab bd

150 J 600 1

abd

750 1

w

ΔU = Q - W

Βήμα

240 1

150 1 360 1

ac cd

240 1

510 1

acd

ο

- Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 1 7-5

Q

,_ _

600 1

90 1

ΔU = Q - W

ο

'

90 1

510 1

-------

Η θερμοδυναμική ανάλυση του νερού σε κατάσταση

βρασμού Ένα γραμμάριο νερού ( 1 cm3) μετατρέπεται σε 1671 cm3 ατμού, όταν βράσε ι υπό σταθερή πίεση 1 atm (1,013 Pa). Η θερμότητα εξάτμισης στην πίεση αυτή είναι Lv = 2,256 χ 106 1/kg = 2256 1/g. Υπολογίστε a) το έργο που παράγει το νερό καθώς εξατμίζεται · b ) την αύξηση της εσωτερικής του ενέργειας. ΛΥΣΗ Για μία μεταβολή υπό σταθερή πίεση μπορούμε να

χρησιμοποιήσουμε την Εξ. (17-3) για να υπολογίσουμε το έργο που παράγεται από το εξατμιζόμενο νερό: W = p (V2 - Vι) = (1,013 χ 105 Pa)(1671 χ 10-6 m3 - 1 χ 10-6 m3) = 169 1.

b) Η θερμότητα που προσφέρεται στο νερό είναι ίση προς την θερμότητα εξάτμισης

Q = m Lv = ( 1 g)(2256 1/g) = 2256 1.

Από το πρώτο θερμοδυναμικό αξίωμα, Εξ. (17-6), η μετα­ βολή στην εσωτερική ενέργεια είναι ΔU = Q - W = 2256 1 - 169 1 = 2087 1. Για να εξατμίσουμε ένα γραμμάριο νερού, πρέπει να προ­ σφέρουμε 2256 1 θερμότητας. Το μεγαλύτερο μέρος αυτής της ενέργειας παραμένει στο σύστημα σαν αύξηση της ε­ σωτερικής ενέργειας. Τα υπόλοιπα 169 1 εγκαταλείπουν το σύστημα πάλι καθώς το σύστημα παράγει έργο προς το πε­ ριβάλλον, ενώ εκτονώνεται από την υγρή φάση στην αέριο. Η αύξηση στην εσωτερική ενέργεια συνδέεται με τις δια­ μοριακές δυνάμεις, που συγκρατούν τα μόρια στην υγρή φάση. Επειδή οι δυνάμεις αυτές είναι ελκτικές, οι αντίστοι­ χες δυναμικές ενέργειες είναι μεγαλύτερες μετά την απο­ σύνδεση των μορίων για τον σχηματισμό της αερίου κατά­ στασης. Είναι η ίδια περίπτωση με την αύξηση της δυναμι­ κής ενέργειας κατά την απομάκρυνση ενός ανελκυστήρα από το κέντρο της Γης. •

Στα προηγούμενα παραδείγματα οι αρχικές και τελικές καταστάσεις διαφέρουν κατά ένα πεπερασμένο ποσό. Αργότερα θα θεωρήσουμε μεταβολές κατα­ στάσεων, στις οποίες ένα μικρό ποσό θερμότητας dQ προστίθεται στο σύστημα, αυτό πα­ ράγει έργο dW και η εσωτερική του ενέργεια μεταβάλλεται κατά dU. Σε μία τέτοια μετα­ βολή, εκφράζουμε το πρώτο θερμοδυναμικό αξίωμα υπό διαφορική μορφή

aπειροστές

dU = dQ - dW.

(17-8)

Για τα συστήματα, στα οποία θα αναφερθούμε, το έργο dW δίνεται από την σχέση dW = p dV, οπότε μπορούμε να διατυπώσουμε το πρώτο θερμοδυναμικό αξίωμα ως dU = dQ -p dV.

17-5

w

(17-9)

ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙ ΚΕΣ Μ ΕΤΑΒ ΟΛΕΣ

Ακολουθούν τέσσερα συγκεκριμένα είδη θερμοδυναμικών μεταβολών, που παρατηρού­ νται αρκετά. συχνά σε πρακτικά προβλήματα ώστε να δικαιολογούν περισσότερη συζήτη­ ση. Για μερικές από αυτές μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μία απλουστευμένη μορφή του πρώτου θερμοδυναμικού αξιώματος. Οι μεταβολές μπορούν να περιγραφούν συνο­ πτικά ως μεταβολές "μηδενικής διάδοσης θερμότητας", "σταθερού όγκου", "σταθερής πίεσης" και "σταθερής θερμοκρασίας" αντίστοιχα.

492

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 17 ΠΡΩΤΟ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟ ΑΞΙΩΜΑ

Αδιαβατική μεταβολή Αδιαβατική μεταβολή είναι η μεταβολή στην οποία δεν παρατηρείται διάδοση θερμότη­ τας προς ή από το σύστημα· Q ή dQ Μπορούμε να εμποδίσουμε ροή θερμότη­ τας είτε περιβάλλοντας το σύστημα με θερμομονωτικό υλικό ή εκτελώντας την διαδικα­ σία αρκετά γρήγορα, ώστε να μη μεσολαβεί αρκετό χρονικό διάστημα γιά να παρατηρη­ θεί σημαντική ροή θερμότητας. Από το πρώτο θερμοδυναμικό αξίωμα βρίσκουμε, ότι για κάθε αδιαβατική μεταβολή ισχύει

=Ο

υz - υ1

=

Δυ

= Ο.

=-W

(17-10)

(αδιαβατική μεταβολή)

W

Όταν ένα σύστημα εκτονώνεται υπό αδιαβατικές συνθήκες το είναι θετικό, η Δ υ είναι αρνητική και η εσωτερική ενέργεια ελαττώνεται. Όταν ένα σύστημα συμπιέζεται αδια­ βατικά, το είναι αρνητικό και η υ αυξάνει. Αύξηση της εσωτερικής ενέργειας συνο­ δεύεται συχνά, όχι όμως πάντοτε, από αύξηση της θερμοκρασίας. φάση συμπίεσης σε μία μηχανή εσωτερικής καύσης είναι κατά προσέγγιση μία α­ διαβατική μεταβολή. θερμοκρασία αυξάνει καθώς το μείγμα αέρας-καυσίμο στον κύλιν­ δρο συμπιέζεται. εκτόνωση του καμένου καυσίμου κατά την διάρκεια της φάσης, που πα­ ράγεται μηχανική ισχύς, είναι μία αδιαβατική εκτόνωση με πτώση της θερμοκρασίας.

W

Η

Η

Η

Ισόχωρη μεταβολή

υπό σταθερό όγκο.

Ισόχωρη μεταβολή είναι η μεταβολή, που πραγματοποιείται Όταν ο όγκος ενός θερμοδυναμικού συστήματος παραμένει σταθερός, δεν παράγεται έργο προς το περιβάλλον. Τότε και

W= Ο υz -

υ1 = Δυ = Q

(17-11)

(ισόχωρη μεταβολή)

Σε μία ισόχωρη μεταβολή, όλη η ενέργεια που προστίθεται υπό μορφή θερμότητας παρα­ μένει στο σύστημα σαν αύξηση της εσωτερικής ενέργειας. Η θέρμανση ενός αερίου σε έ­ να κλειστό, σταθερού όγκου δοχείο είναι ένα παράδειγμα ισόχωρης μεταβολής. (Υπάρ­ χουν και εξαιρέσεις μπορούμε να προσφέρουμε έργο σε ένα υγρό χωρίς να μεταβάλ­ λουμε τον όγκο του αναδεύοντάς το. Σε τέτοιες περιπτώσεις ο όρος "ισόχωρος" χρησιμο­ ποιείται σε κάποια βιβλιογραφία με την έννοια της διαδικασίας "μηδενικού έργου", ά­ σχετα από αλλαγές όγκου.)

Ισοβαρής μεταβολή

υπό σταθερή πίεση. W

Ισοβαρής μεταβολή είναι η μεταβολή, που πραγματοποιείται Στην γενική περίπτωση ισοβαρούς μεταβολής, από τις τρεις ποσότητες Δυ, Q και του πρώτου θερμοδυναμικού αξιώματος δεν είναι μηδέν, όμως ο υπολογισμός του έργου εί­ ναι εύκολος. Από την Εξ.

καμία

17-5

(17-3) W = p (Vz - V1)

(17-12)

(ισοβαρής μεταβολή)

Το Παράδειγμα αναφερόταν σε παράδειγμα μιάς ισοβαρούς μεταβολής. Το Παρά­ δειγμα περιλαμβάνει και ισοβαρείς και ισόχωρες μεταβολές.

17-4

Ισόθερμη μεταβολή Ισόθερμη μεταβολή είναι η μεταβολή, που πραγματοποιείται

υπό σταθερή θερμοκρασία.

Για να θεωρηθεί μία μεταβολή ισόθερμη, οποιαδήποτε ροή θερμότητας προς ή από το σύστημα πρέπει να γίνεται αρκετά αργά, ώστε να διατηρείται θερμική ισορροπία. Στη γενική περίπτωση από τις ποσότητες Δυ, Q και δεν είναι μηδέν. Σε μερικές ειδικές περιπτώσεις η εσωτερική ενέργεια ενός συστήματος εξαρτάται από την θερμοκρασία του, όχι από την πίεση ή τον όγκο του. Το πιο οικείο σύστη­ μα, που έχει αυτή την ξεχωριστή ιδιότητα είναι το ιδανικό αέριο· θα αναπτύξουμε το ση­ μείο αυτό στην επόμενη παράγραφο. Για τέτοια συστήματα, αν η θερμοκρασία παραμέ­ νει σταθερή, η εσωτερική ενέργεια είναι επίσης σταθερή· Δυ και Q Δηλαδή, οσηδήποτε ενέργεια και άν προσφέρεται στο σύστημα υπό μορφή θερμότητας Q πρέπει ισόποση ενέργεια να το εγκαταλείπει υπό μορφή έργου που παράγεται από το σύστη­ μα. Το Παράδειγμα που αναφέρεται σε ένα ιδανικό αέριο, είναι παράδειγμα ισό­ θερμης μεταβολής, στην οποία η υ είναι επίσης σταθερή. Για τα περισσότερα συστήμα­ τα, που δεν είναι ιδανικά αέρια, η εσωτερική ενέργεια εξαρτάται από την πίεση καθώς

καμία

W

μόνο

=Ο

17-1,

W,

= W.

493

17-6 ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΕΝΟΣ ΙΔΑΝΙΚΟΥ ΑΕΡΙΟΥ

Ρ

17-10 Τέσσερις διαφορετικές

μεταβολές για μία σταθερή Ποσότητα ενός ιδανικού αερίου, που ξεκινούν όλες από την κατάσταση α. Για την αδιαβατική μεταβολή Q = Ο. Για την ισόχωρη μεταβολή W = Ο και για την ισόθερμη μεταβολή ΔU = Ο. Η θερμοκρασία αυξάνεται μόνο κατά την διάρκεια της ισοβαρούς εκτονώσης.

�0+---L_----�- v Va Αδιαβ ατική ΤΙ < τα και από την θερμοκρασία, με αποτέλεσμα η υ να μπορεί να μεταβάλλεται ακόμη και ό­ ταν η είναι σταθερή.

Τ

17- 6

ΕΣΩΤΕΡΙΚΉ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΕΝΟΣ Ι ΔΑΝΙΚΟΥ ΑΕΡΙΟΥ

-----

Στο Εδάφιο 17-5 αναφέραμε, ότι για ένα ιδανικό αέριο η εσωτερική ενέργεια εξαρτάται μόνο από τη θερμοκρασία και όχι από τη πίεση ή τον όγκο. Πώς το γνωρίζουμε αυτό; Ας θυμηθούμε ξανά το πείραμα της ελεύθερης εκτονώσης, που περιγράψαμε στο Εδάφιο 17-3. Ένα θερμικά μονωμένο δοχείο με στερεά τοιχώματα διαιρείται σε δύο χώρους με ένα διάφραγμα (Σχ. 17-1 1). Ο ένας χώρος περιέχει ποσότητα ιδανικού αερίου και ο άλ­ λος χώρος είναι κενός. Όταν αφαιρεθεί ή συνθλιβεί το διάφραγμα, το αέριο εκτονώνεται και καταλαμβά­ νει και τους δύο χώρους του δοχείου. μεταβολή αυτή καλείται Το αέριο δεν παράγει έργο προς το περιβάλλον επειδή τα τοιχώματα του δοχείου είναι α­ κλόνητα. Τόσο η Q όσο και το W είναι μηδέν, επομένως η εσωτερική ενέργεια υ είναι σταθερή. Αυτό ισχύει για οποιαδήποτε ουσία, είτε αυτή είναι ιδανικό αέριο ή όχι. Μεταβάλλεται η θερμοκρασία κατά την διάρκεια μιάς ελεύθερης εκτόνωσης; Ας υποθέσουμε, ότι μεταβάλλεται, ενώ η εσωτερική ενέργεια παραμένει σταθερή. Στην πε­ ρίπτωση αυτή θα πρέπει να συμπεράνουμε, ότι η εσωτερική ενέργεια εξαρτάται και από τη θερμοκρασία και τον όγκο ή από τη θερμοκρασία και τη πίεση, αλλά βεβαίως όχι μό­ νο από τη θερμοκρασία. Αλλά αν η είναι σταθερή κατά τη διάρκεια μιάς ελεύθερης ε­ κτόνωσης, για την οποία γνωρίζουμε, ότι η υ παραμένει σταθερή ακόμη και όταν η p και ο όγκος v μεταβάλλονται, τότε πρέπει να συμπεράνουμε, ότι η υ εξαρτάται μόνο από την όχι από τη p ή τον Πολλά πειράματα έχουν δείξει, ότι ότάν ένα ιδανικό αέριο υφίσταται ελεύθερη ε­ κτόνωση, η θερμοκρασία μεταβάλλεται. Το συμπέρασμα είναι: Η εσωτερική ενέρ­

Η

ελεύθερη εκτόνωση.

Τ

Τ,

V.

δεν

γεια ενός ιδανικού αερίου εξαρτάται μόνο από τη θερμοκρασία του, όχι από τη πίεσή του ή τον όγκο του. ιδιότητα αυτή μαζί με την καταστατική εξίσωση των ιδανικών αε­

Η

ρίων είναι μέρος του πρότυπου ιδανικού αερίου. Στα επόμενα εδάφια θα χρησιμοποιή­ σουμε αρκετές φορές το γεγονός, ότι για ένα ιδανικό αέριο η υ εξαρτάται μόνο από τη θερμοκρασία Για αυτόν τον λόγο βεβαιωθείτε, ότι το έχετε κατανοήσει. Για μη ιδανικά αέρια παρατηρείται κάποια μεταβολή της θερμοκρασίας κατά την διάρκεια ελεύθερης εκτονώσης, ακόμα και όταν η εσωτερική ενέργεια παραμένει σταθε­ ρή. Αυτό δείχνει, ότι η εσωτερική ενέργεια δεν μπορεί να εξαρτάται από τη θερμο­ κρασία· πρέπει να εξαρτάται επίσης και από την πίεση. Από μικροσκοπική θεώρηση, αυ­ τό δεν εκπλήσσει. Μη ιδανικά αέρια υπόκεινται συνήθως σε ελκτικές διαμοριακές δυνά­ μεις. Όταν τα μόρια απομακρύνονται, αυξάνει η δυναμική ενέργεια που σχετίζεται με τις δυνάμεις αυτές. Αν η ολική ενέργεια παραμένει σταθερή, οι κινητικές ενέργειες θα πρέπει να ελαττώνονται. θερμοκρασία συνδέεται άμεσα με την ενέργεια, και της γ ια ένα τέτοιο αέριο μιά ελεύθερη εκτόνωση συνοδεύεται συνήθως από μία θερμοκρασίας.

Τ.

μόνο

Η

κινητική

πτώση

-Ι-�...-....:;;__.ι-·

,i χώρισμα

Εύθραστο

17-11 Το διάφραγμα σπάζει (ή απομακρύνεται) για να αρχίσει η ελεύθερη εκτόνωση του αερίου στην περιοχή που επικρατεί κενό.

494

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 17 ΠΡΩΤΟ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟ ΑΞΙΩΜΑ

1 7-7

ΘΕΡΜΟΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΕΣ Ι ΔΑΝΙ ΚΟΥ ΑΕΡΙΟΥ

------

Στον Εδάφιο 15-5 ορίσαμε την ειδική θερμοχωρητικότητα και την γραμμομοριακή ειδι­ κή θερμοχωρητικότητα. Παρατηρήσαμε επίσης προς το τέλος εκείνου του εδαφίου, ότι η ειδική θερμοχωρητικότητα ή η γραμμομοριακή θερμοχωρητικότητα μιάς ουσίας εξαρτά­ ται από τις συνθήκες, με τις οποίες προσφέρεται θερμότητα. Συνήθως είναι ευκολότερο να μετρήσουμε τη θερμοχωρητικότητα ενός αερίου σε ένα κλειστό δοχείο υπό συνθήκες σταθερού όγκου. αντίστοιχη θερμοχωρητικότητα είναι η γραμμομοριακή θερμοχωρη­ τικότητα υπό σταθερό όγκο και συμβολίζεται με Cv. Μετρήσεις θερμοχωρητικότητας σε στερεά και υγρά πραγματοποιούνται στην ατμόσφαιρα υπό σταθερή ατμοσφαιρική πίε­ ση και καλούμε την προκύπτουσα θερμοχωρητικότητα γραμμομοριακή θερμοχωρητικό­ τητα υπό σταθερή πίεση, Cp . Αν ούτε η p ούτε ο V παραμένουν σταθερά, έχουμε άπειρο αριθμό δυνατών θερμοχωρητικοτήτων. Ας θεωρήσουμε τις Cp και Cv για αέρια. Για να μετρήσουμε την Cv aυξάνουμε την θερμοκρασία ενός αερίου σε ένα στερεό δοχείο με σταθερό όγκο (αγνοώντας την θερμι­ κή του διαστολή). Για να μετρήσουμε την Cp αφήνουμε το αέριο να εκτονωθεί έτσι ώστε να διατηρηθεί η πίεση σταθερή καθώς αυξάνεται η θερμοκρασία. Γιατί όμως θα έπρεπε να διαφέρουν οι δύο αυτές θερμοχωρητικότητες; απάντη­ ση βρίσκεται στο πρώτο θερμοδυναμικό αξίωμα. Σε μία μεταβολή της θερμοκρασίας υπό σταθερό όγκο, το σύστημα δεν παράγει έργο και η μεταβολή στην εσωτερική ενέργεια ΔU είναι ίση προς την προσφερθείσα θερμότητα Q. Σε μία μεταβολή της θερμοκρασίας υπό σταθερή πίεση αφετέρου, ο όγκος να αυξηθεί. Διαφορετικά η πίεση δεν θα μπορούσε να μείνει σταθερή. Καθώς το υλικό εκτονώνεται, παράγει ένα ποσό έργου Σύμφωνα με το πρώτο θερμοδυναμικό αξίωμα

Η

Η

πρέπει

W.

Q = ΔU + W

(17-13)

Για δεδομένη μεταβολή της θερμοκρασίας, το ποσό της προσφερόμενης θερμότητας σε μία μεταβολή υπό σταθερή πίεση πρέπει να είναι από εκείνο για την υπό σταθερό όγκο μεταβολή, επειδή πρέπει να προσφερθεί επί πλέον ενέργεια για να ισο­ σταθμίσει το έργο που παράγεται κατά την εκτόνωση και επομένως η CP είναι μεγαλύτε­ ρη από την Cv. Το διάγραμμαp-V στο Σχήμα 17-12 δείχνει αυτή τη σχέση. Για τον αέρα η κατά την διάρκεια της Cp ε ίναι 40 % μεγαλύτερη από τη Cv. Αν ο όγκος θέρμανσης, το W'θα ήταν αρνητικό, η προσφερομένη θερμότητα θα ήταν μικρότερη από αυτήν που θα προσφερόταν στην περίπτωση υπό σταθερό όγκο και η Cp θα ήταν από την Cv. Αυτή είναι μία ιδιάζουσα περίπτωση· το νερό μεταξύ o o c και 4 o c είναι ένα από μερικά παραδείγματα. Μπορούμε να καταλήξουμε σε μία σχέση μεταξύ Cp και Cv για ένα ιδανικό αέριο. Θεωρούμε πρώτα τη μεταβολή Τοποθετούμε n γραμμομόρια ιδανικού αερίου σε θερμοκρασία σε ένα δοχείο σταθερού όγκου. Το φέρνουμε σε θερμική επα­ φή με ένα θερμότερο σώμα. Ένα aπειροστό ποσό θερμότητας dQ ρέει προς το αέριο, και η θερμοκρασία του αυξάνει κατά ένα aπειροστό ποσό dT Από τον ορισμό της Cv, η γραμμομοριακή θερμοχωρητικότητα υπό σταθερό όγκο είναι

μεγαλύτερο

ελαττωνόταν

μικρότε­

ρη

Ρ

Τ

Pz Σταθερή πίεση

υπό σr:αθερό όγκο.

dQ

17-12 Για ιδανικό αέριο, η U

εξαρτάται μόνο από την τ. Στην υπό m;αθερό όγκο μεταβολή δεν παράγεται έργο, έτσι Q = ΔU. Αν και η ΔΤ και η ΔU είναι οι ίδιες για τις δύο μεταβολές, η Q για την υπό σtαθερή πίεση μεταβολή πρέπει να περιλαμβάνει και την ΔU και το W p,(V2 - V,). Επομένως η Q είναι μεγαλύτερη για την υπό σtαθερή πίεση μεταβολή από την Q για την υπό σtαθερό όγκο μεταβολή, και

=

Cρ>Cv.

=

nCv dT

(17-14)

Η πίεση κατά την διάρκεια της μεταβολής αυτής αυξάνεται, αλλά το αέριο δεν παράγει έργο (dW = 0), επειδή ο όγκος του είναι σταθερός. Το πρώτο θερμοδυναμικό αξίωμα υ­ πό διαφορική μορφή, Εξ. (17-9), είναι dQ = dU + p dV. Όταν dW = Ο, τότε dQ = dU και η Εξ. (17-14) μπορεί να γραφεί ως

dU = nCv dT

(17-15)

dQ = nCp dT

(17-16)

υπό σr:αθερή πίεση.

Θεωρούμε τώρα μία μεταβολή Τοποθετούμε το ίδιο αέριο σε ένα κύλινδρο με έμβολο, το οποίο αφήνουμε να μετατοπίζεται, όσο χρειάζεται για να διατηρείται η πίεση σταθερή. Φέρνουμε και πάλι το σώμα σε θερμική επαφή με ένα θερ­ μότερο σώμα. Καθώς ρέει θερμότητα προς το αέριο, αυτό εκτονώνεται υπό σταθερή πίε­ ση και παράγε ι έργο. Από τον ορισμό της γραμμομοριακής θερμοχωρητικότητας υπό σταθερή πίεση Cp , το ποσό της θερμότητας dQ που προσφέρεται στο αέριο είναι

17-7 ΘΕΡΜΟΧΩΡΗτΙΚΟΤΗΤΕΣ ΙΔΑΝΙΚΟΥ ΑΕΡΙΟΥ

Το έργο dW, που παράγεται από το έργο στη μεταβολή υπό σταθερή πίεση είναι dW = p dV. Μπορούμε επίσης να εκφράσουμε το dW συναρτήσει της μεταβολής της θερμοκρασίας, χρησιμοποιώντας την καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων pV = nRT. Έπειδή η p είναι σταθερή η μεταβολή του όγκου είναι ανάλογη προς τη μεταβολή της θερμοκρασίας p dV = nR dT

και

dW = nR dT

(17-17)

Αντικαθιστούμε τώρα τις Εξ. ( 1 7-16) και (17-17) στο πρώτο θερμοδυναμικό αξίωμα dQ = dU + dW και παίρνουμε nCp dT = dU + nR dT

(17-18)

Η

Στο σημείο αυτό αναφύεται το κύριο σημείο δυσκολίας στον υπολογισμό. μετα­ βολή στην εσωτερική ενέργεια dU δίνεται και πάλι από την Εξ. (17-15), dU = nCv dT, Γιατί συμβαίνει αυτό; Ας ξαναθυμηθούμε τη συζήτηση στο Εδάφιο 17-6· μια από τις χαρακτηριστικές ιδιότητες του ιδανικού αερί­ ου είναι, ότι η εσωτερική ενέργεια εξαρτάται από τη θερμοκρασία. Έτσι η στην εσωτερική ενέργεια κατά την διάρκεια οποιασδήποτε μεταβολής πρέπει να υπο­ λογισθεί μόνο από τη μεταβολή της θερμοκρασίας. Αν η Εξ. (17-15) ισχύει για ιδανικό αέριο για ένα συγκεκριμένο είδος μεταβολής, πρέπει να ισχύει για ένα ιδανικό αέριο είδος μεταβολής με την ίδια μεταβολή dT για Για να συμπληρώσουμε την απόδειξή μας, aντικαθιστούμε την dU στην Εξ. (17-18) με nCv dT:

παρόλο που τώρα ο όγκος δεν είναι σταθερός. μόνο λή

μετ'αβο­

οποιοδήποτε

nCp dT = nCv dT + nR dT Διαιρώντας κάθε όρο με τον κοινό παράγοντα n dT παίρνουμε Cp = Cv + R .

(17-19)

Όπως προβλέψαμε, η γραμμομοριακή θερμοχωρητικότητα ενός ιδανικού αερίου υπό σταθερή πίεση είναι από την γραμμομοριακή θερμοχωρητικότητα υπό στα­ θερό όγκο· η διαφορά είναι ίση προς την σταθερά των αερίων R. (Βεβαίως η R πρέπει να εκφρασθεί στις ίδιες μονάδες όπως η Cp και η Cv όπως π.χ. J/mol · Κ.) Έχουμε χρησιμοποιήσει το πρότυπο ιδανικού αερίου για να αποδείξουμε την Εξ. (17-19) αλλά αποδεικνύεται, ότι ακολουθείται αρκετά ικανοποιητικά (με απόκλιση μερι­ κών μονάδων επί τοις εκατό) για πολλά πραγματικά αέρια και μέτριες πιέσεις. Τιμές των Cp και Cv που μετρήθηκαν για μερικά πραγματικά αέρια σε χαμηλές πιέσεις δίνονται στον Πίνακα 17-1. διαφορά στις περισσότερες περιπτώσεις είναι 8,31 J/mol · K . Ο πίνακας δείχνει επίσης, ότι η γραμμομοριακή θερμοχωρητικότητα ενός αερίου σχετίζεται με τη μοριακή δομή του, όπως ήδη αναπτύξαμε στο Εδάφιο 16-4. Στην πραγμα­ τικότητα οι δύο πρώτες στήλες του Πίνακα 17-1 είναι οι ίδιες με αirτές του Πίνακα 1 6-1.

μεγαλύτερη

Η

ΠΙΝΑΚΑΣ 17-1 Γραμμομοριακές θερμοχωρητικότητες αερίων σε χαμηλές πιέσεις Τύπος αερίου

Αέριο

Μονατομικό

He

Διατομικό

Hz Nz

Α

02

Πολυατομικό

co

C02 S02 H2S

Cv (J/mol · Κ)

cp (J/mol · Κ)

Cp - Cv (J/mol · Κ)

12,47 12,47

20,78 20,78

8,31 8,31

20,42 20,76 20,85 20,85

28,74 29,07 29,17 29,16

8,32 8,31 8,31 8,31

1,41 1,40 1,40 1,40

28,46 31,39 25,95

36,94 40,37 34,60

8,48 8,98 8,65

1,30 1,29 1,33

γ=

Cp / Cv 1,67 1,67

495

496

Ρ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 17 ΠΡΩΤΟ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟ ΑΞΙΩΜΑ

τ, υ Τ + dτ, U + dU

Η

τελευταία στήλη του Πίνακα 17-1 παρουσιάζει τις τιμές του αδιάστατου λόγου Cp/Cv, που συμβολίζεται με το ελληνικό γράμμα γ p γ=C . Cv

(17-20)

Επειδή για αέρια η Cp είναι πάντοτε μεγαλύτερη από την Cv, ο γ είναι πάντοτε μεγαλύτε­ ρος από τη μονάδα. Το μέγεθος αυτό παίζει σημαντικό ρόλο σε μεταβολές ι­ δανικών αερίων, τις οποίες θα εξετάσουμε στην επόμενο εδάφιο. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την συζήτησή μας σχετικά με τη θερμοχωρητικό­ τητα των ιδανικών αερίων και την κινητική θεωρία (Εδάφιο 16-4) για να προβλέψουμε τιμές του γ από την κινητική θεωρία. Ένα ιδανικό μονατομικό αέριο έχει Cv = tR. Από την Εξ. ( 17-19)

αδιαβατικές

Cp = Cv + R = tR + R = tR,

17-13 Η μεταβολή της εσωτερικής

ενέργειας σε ένα ιδανικό αέριο είναι ίδια για όλες τις διαδικασίες μεταξύ δύο δεδομένων θερμοκρασιών.

η

οπότε

γ=

�R + R 5 C = -- = - = 1 ' 67 . Cv 3 �R

.:::::2_

Όπως φαίνεται από τον Πίνακα 17-1, η τιμή αυτή βρίσκεται σε καλή συμφωνία με τιμές του γ �ου υπολοrίσθηκαν από μετρήσεις θερμοχωρητικοτήτων. Για ένα διατομικό αέριο Cv = 2R, Cp = 2R και

�R + R 7 C γ = .:::χ_ = -- = - = 1 '40 5 Cv �R . επίσης σε καλή συμφωνία με τις τιμές, που μετρήθηκαν. Ακολουθεί μία γραφική προσέγγιση στις γραμμομοριακές θερμοχωρητικότητες των ιδανικών αερίων. Το Σχ. 1 7-13 ε ίναι ένα διάγραμμα p V, το οποίο δείχνει δύο ισό­ θερμες ιδανικού αερίου, μία σε θερμοκρασία και η άλλη σε + dT εσωτερική ε­ νέργεια υ ενός ιδανικού αερίου εξαρτάται μόνο από την θερμοκρασία επομένως το α­ έριο έχει την ίδια τιμή υ σε κάθε σημείο της ισόθερμης θερμοκρασίας και την ίδια τιμή dT στην εσωτερική ενέργεια dU υ + dυ σε κάθε σημείο της ισόθερμης είναι η ίδια για κάθε μεταβολή, η οποία φέρνει το αέριο από σημείο στην μία ισόθερμη σε σημείο στην άλλη ισόθερμη. Στην Σχ. 17-13, dυ είναι η ί­ δια για τις μεταβολές ab, ac, ad και ef. Ειδικότερα, η μεταβολή ad παριστάνει μία μετα­ βολή υπό σταθερό όγκο από θερμοκρασία σε θερμοκρασία + dT και ab είναι μία με­ ταβολή υπό σταθερή πίεση για την ίδια μεταβολή θερμοκρασίας. Στη μεταβολή ad δεν παράγεται έργο. Στη μεταβολή ab το έργο είναι ίσο προς το εμβαδόν που περικλείεται α­ πό την καμπύλη. Μία τελευταία υπενθύμιση: Στα ιδανικά αέρια η μεταβολή της εσωτερικής ενέρ­ γειας για οποιαδήποτε aπειροστή διαδικασία δίνεται από τη σχέση dυ = n Cv dT, σχέση αυτή, η οποία είναι χρήσιμη στο παρακά­ τω παράδειγμα, ισχύει για άλλες ουσίες μόνο, όταν ο όγκος παραμένει σταθερός.

Τ

Η Τ, Τ Η μεταβολή οποιοδήποτε

Τ+

οποιοδήποτε

Τ

Τ

Τ

άσχετα

αν ο όγκος παραμένει σταθερός ή όχι. Η

- Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 1 7-6

-------

Κλιματισμός δωματίου Ένα χαρακτηριστικό δωμάτιο σε φοιτητικούς κοιτώνες περιέχει περίπου 2500 mol αέρα. Υπολογίστε την μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας αυτού του αέρα, όταν ψύχεται από 23,9 ο C σε 1 1,6 ο C υπό σταθε­ ρή πίεση 1,00 atm. Θεωρείστε, ότι ο αέρας συμπεριφέρεται σαν ιδανικό αέριο με γ = 1,400.

Πρόκειται γιά μία μεταβολή υπό σταθερή πίεση. Η πρώτη αυθόρμητη κίνηση μπορεί να είναι ο υπολογισμός της Cp και μετά ο υπολογισμός της Q από την σχέση Q = nCpΔT Στη συνέχεια ο υπολογισμός της μεταβολής του ό­ γκου και του παραγόμενου από το αέριο έργου από την σχέση W = p ΔW. Τέλος ο υπολογισμός της U από το πρώτο θερμοδυναμικό αξίωμα. Η πορεία αυτή θα ήταν εντελώς σωστή, αλλά υπάρχει ένας πολύ aπλούστερος τρόπος. Στα ιδανικά αέρια η μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας είναι

ΔU = nCvΔT για κάθε μεταβολή, άσχετα από το αν ο ό­ γκος παραμένει σταθερός ή όχι. Έτσι το μόνο που πρέπει να υπολογίσουμε είναι η Cv και να τη χρησιμοποιήσουμε στη σχέση για την ΔU. Από την Εξ. ( 17-20) γ =

Cp!Cv = (Cv + R)!Cv = l +R!Cv

Cv = R/(y - 1) = 8,315 J/mol-1 υ. , κατά μήκος ποιας διαδρομής το μέτρο της μεταφερόμενης θερμότητας Q είναι μέγιστο; Για τη διαδρομή αυτή το σύστημα απορροφά ή α­ πελευθερώνει θερμότητα; 17-6 Έργο και Διαγράμματα p -V. a) Στο Σχ. 17-6a θεω­ ρείστε την κλειστή διαδρομή 1--? 3--? 2--? 4--? 1 . Αποδείξτε, ότι το ολικό έργο, που παράγεται από το σύστημα είναι ίσο προς το εμ-

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Ρ

�0+------ v α

ΣΧΗΜΑ 1 7-17

βαδό που περικλείεται από την κλειστή διαδρομή. b) Πώς σχετί­ ζεται το έργο, που παράγεται κατά την μεταβολή του (a) μέρους με το έργο, που παράγεται, αν η διαδρομή διαγραφεί κατά την α­ ντίθετη φορά, 1�4� 2� 3� 1;

17-7 Ένα σύστημα ακολουθεί την κλειστή διαδρομή, που φαί­ νεται στο Σχ. 17-17, από την κατάσταση α στην κατάσταση b και πάλι πίσω στην κατάσταση α. Το μέτρο της διαδιδόμενης θερμότη­ τας κατά την διάρκεια ενός κύκλου είναι 400 J. a) Απορροφά η απελευθερώνει θερμότητα το σύστημα, όταν διαγράφει την κλει­ σrή διαδρομή κατά την φορά, που φαίνεται στην εικόνα; b) Ποιό είναι το έργο που παράγεται από το σύστημα σε ένα κύκλο; c) Αν το σύστημα διαγράφει την κλειστή διαδρομή κατά την αντίθετη φορά, απορροφά ή απελευθερώνει θερμότητα σε ένα κύκλο; Πό­ ση θερμότητα ανταλλάσσεται τότε σε ένα κύκλο;

W

Εδάφιο 1 7-4 Εσωτερική ενέργεια και το πρώτο θερμοδυναμικό αξίωμα 17-8 Ένα υγρό αναδεύεται ακανόνιστα σε καλά θερμικά μο­ νωμένο δοχείο με συνέπεια να υποστεί αύξηση της θερμοκρασίας. Θεωρείστε το υγρό σαν ένα σύστημα. a) Έχει γίνει μεταφορά θερμότητας; b) Έχει παραχθεί έργο; c) Ποιό είναι το πρόσημο της ΔU; 17-9 Ένας φοιτητής πραγματοποιεί ένα πείραμα καύσης καίγο­ ντας μείγμα καυσίμου και οξυγόνου σε ένα μεταλλικό δοχείο στα­ θερού όγκου, που είναι βυθισμένο σε λουτρό νερού. Κατά την διάρκεια του πειράματος παρατηρείται αύξηση της θερμοκρα­ σίας. Θεωρείστε, ότι το μείγμα του καυσίμου και του οξυγόνσυ α­ ποτελούν το σύστημα. a) Έχει μεταφερθεί θερμότητα; b) Έχει παραχθεί έργο; c) Πο ιό είναι το πρόσημο της ΔU; 17-10 Ενέργεια από καύση βουτύρου. Η ονομαστική τροφική αξία του βουτύρου είναι 6,0 kcal/g. Αν όλη αυτή η ενέρ­ γεια μπορούσε να μετατραπεί πλήρως σε μηχανική ενέργεια, πό­ ση ποσότητα βουτύρου θα χρειαζόταν μία ορειβάτις μάζας 80 kg στην διαδρομή της από Lupine Meadows (υψόμετρο 2070 m) προς την κορυφή του Grand Teton (4196 m); 17-11 Κατά την πραγματοποίηση μιάς συγκεκριμένης χημικής διεργασίας ο τεχνικός του εργαστηρίου προσφέρει στο σύστημα θερμότητα 140 J και συγχρόνως προσφέρεται στο σύστημα από το περιβάλλον του έργο 100 J. Πόση είναι η αύξηση της εσωτερικής ενέργειας του συστήματος; 17-12 Ένα αέριο σε κύλινδρο διαστέλλεται από όγκο 0,400 m3 σε 0,600 m3• Συγχρόνως προσφέρεται θερμότητα με τέτοιο γρήγο­ ρο ρυθμό, ώστε να διατηρείται η πίεση σταθερή στα 1,5 χ 105 Pa κατά την διάρκεια της διαστολής. Η ολική θερμότητα, που προ­ σφέρθηκε είναι 1,2 χ 105 J. a) Υπολογίστε το έργο, που παρή­ γαγε το αέριο. b) Υπολογίστε την μεταβολή της εσωτερικής ενέρ­ γειας του αερίου. c) Έχει σημασία αν το αέριο είναι ιδανικό ή όχι;

501

17-13 Αέριο σε κύλινδρο ψύχεται και συμπιέζεται υπό σταθερή πίεση 2,00 χ 10S Pa από 1,20 m3 σε 0,80 m3. Ποσότητα θερμότητας ίση προς 2,80 χ 105 J αφαιρείται από το αέριο. a) Υπολογίστε το έργο που παρήγαγε το αέριο. b) Υπολογίστε την μεταβολή της ε­ σωτερικής ενέργειας του αερίου. c) Έχει σημασία αν το αέριο είναι ιδανικό ή όχι; 17-14 Βρασμός νερού υπό μεγάλη πίεση. Όταν βρά­ ζει νερό υπό πίεση 2,00 atm, η θερμότητα εξάτμισης είναι 2,2 χ 106 J/kg και το σημείο βρασμού είναι 120 ·c. Στην πίεση αυτή, νε­ ρό μάζας 1,00 kg έχει όγκο 1,00 χ 10-3 m 3 και 1,00 kg ατμού έχει ό­ γκο 0,824 m3. a) Υπολογίστε το έργο που παράγεται κατά τον σχηματισμό 1,00 kg ατμού στη θερμοκρασία αυτή. b) Υπολογίστε την αύξηση της εσωτερικής ενέργειας του νερού. Εδάφιο 1 7-7 Θερμοχωρητικότητες ενός ιδανικού αερίου 17-15 Θεωρείστε την ισόθερμη συμπίεση 0,100 mol μορίων ιδα­ νικού αερίου σε Τ = 27,0 ·c. Η αρχική πίεση είναι 1,00 atm και ο τελικός όγκος είναι ίσος προς το 1/8 του αρχικού όγκου. a) Υπο­ λογίστε το απαιτούμενο έργο. b) Ποιά είναι η μεταβολή στην ε­ σωτερική ενέργεια; c) Ανταλλάσσει το αέριο θερμότητα με το περιβάλλον του; Αν ναι, πόσο; Απορροφά η απελευθερώνει θερ­ μότητα το αέριο; 17-16 Κατά την διάρκεια ισόθερμης συμπίεσης ενός ιδανικού αερίσυ πρέπει να αφαιρεθεί θερμότητα 135 J από το αέριο για να διατηρηθεί σταθερή η θερμοκρασία του. Πόσο έργο παράγεται α­ πό το αέριο κατά την διάρκεια της μεταβολής; 17-17 Ένα συγκεκριμένο ιδανικό αέριο έχει γ = 1,33. Υπολο­ γίστε τη γραμμομοριακή θερμοχωρητικότητα υπό σταθερό όγκο και τη γραμμομοριακή θερμοχωρητικότητα υπό σταθερή πίεση. 17-18 Κύλινδρος περιέχει 1,00 mol οξυγόνου σε θερμοκρασία 27,0 ·c. Ο κύλινδρος είναι εφοδιασμένος με ένα έμβολο χωρίς τριβές, το οποίο διατηρεί την πίεση του αερίου σταθερή 1,00 atm. Το αέριο θερμαίνεται μέχρις ότου αυξηθεί η θερμοκρασία του στους 177 ·c. Υποθέστε, ότι το οξυγόνο μπορεί να αντιμετωπιστεί σαν ιδανικό αέριο. a) Σχεδιάστε ένα διάγραμμαp-V, που παρι­ στάνει τη μεταβολή αυτή. b) Πόσο έργο παράγεται από το αέριο στη μεταβολή αυτή; c)Πού προσφέρεται το παραγόμενο έργο; d) Πόση είναι η μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας του αερίου; e)Πόση θερμότητα προσφέρθηκε στο αέριο; f) Πόσο έργο θα εί­ χε παραχθεί, αν η πίεση ήταν 0,5 atm; Εδάφιο 1 7-8 Αδιαβατικές μεταβολές ιδανικού αερίου 17-19 Μία βενζινοκίνητη μηχανή προσλαμβάνει αέρα στους 20,0 ·c και πίεση 1,00 atm και τον συμπιέζει αδιαβατικά στο 1/3 του αρχικού του όγκου. Υπολογίστε την τελική θερμοκρασία και πίεση. 17-20 Ιδανικό αέριο, αρχικά στις 5,00 atm και 400 Κ εκτονώνε­ ται αδιαβατικά μέχρις ότου διπλασιαστεί ο όγκος του. Υπολογίστε την τελική πίεση και θερμοκρασία, αν το αέριο είναι a) μονατο­ μικό, b) διατομικό. 17-21 Κατά την διάρκεια μιάς αδιαβατικής εκτονώσης η θερμο­ κρασία 0,600 γραμμομορίων οξυγόνου πέφτει από 30,0 •c σε 10,0 ·c. a) Πόσο έργο παράγει το αέριο; b) Πόση θερμότητα προ­ σφέρεται στο αέριο; 17-22 Μονατομικό ιδανικό αέριο υπό αρχική πίεση 4,00 χ 105 Pa με όγκο 0,0800 m3 συμπιέζεται αδιαβατικά μέχρις ότου ο όγκος του γίνει 0,0300 m3• a)Πόση είναι η τελική πίεση; b) Πόσο έργο παρήγαγε το αέριο;

502

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 17 ΠΡΩΤΟ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟ ΑΞΙΩΜΑ

Π Ρ ΟΒΛΗ ΜΑΤΑ

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

1 7-23 Όταν ένα σύστημα μεταβαίνει από την κατάσταση α στην κατάσταση b του Σχ. 1 7-18 κατά μήκος της διαδρομής αcb, εισρέ­ ουν στο σύστημα 90,0 J θερμότητας και παράγεται από το σύστημα έργο 70,0 J. a) Πόση θερμότητα εισρέει στο σύστημα κατά μήκος της διαδρομής αdb αν το έργο που παράγεται από το σύστημα εί­ ναι 10,0 J; b) Όταν το σύστημα επιστρέφει από την b στην α κατά μήκος της καμπύλης διαδρομής, το μέτρο του έργου που παράγε­ ται είναι 45,0 J. Το σύστημα απορροφά ή απελευθερώνει θερμότη­ τα; Πόση θερμότητα; c) Αν Ua = Ο και Ud = 6,0 J, υπολογίστε την θερμότητα που απορροφήθηκε στις διαδικασίες αd και db. Ρ

ΣΧΗΜΑ 1 7-18

17-24 Ένα θερμοδυναμικό σύστημα μεταβαίνει από την κατά­ σταση α στην κατάσταση c του Σχ. 17-19 κατά μήκος είτε της δια­ δρομής αbc ή της αdc. Κατά μήκος της διαδρομής αbc το έργο W που παράγεται από το σύστημα είναι 500 J. Κατά μήκος της δια­ δρομής αdc το W είναι 200 J. Οι εσωτερικές ενέργειες καθεμιάς α­ πό τις τέσσερις καταστάσεις, που φαίνονται στο σχήμα, είναι Ua = 100 J, Ub = 500 J, U, = 800 J και Ud = 600 J. Υπολογίστε τη ροή θερμότητας Q για καθεμία από τις τέσσερις διαδικασίες αb, bc, αd και dc. Σε καθεμία από αυτές τις μεταβολές το σύστημα απορρο­ φά ή απελευθερώνει θερμότητα;

Ρ b f------!---"f C ------!---.. d

�0+------ v α

ΣΧΗΜΑ 1 7-19

1 7-25 Σε μία συγκεκριμένη μεταβολή, 2,65 χ 105 J θερμότητας προσφέρονται σε ένα σύστημα και συγχρόνως το σύστημα εκτο­ νώνεται υπό σταθερή εξωτερική πίεση 6,90 χ 105 Pa. Η εσωτερική ενέργεια του συστήματος είναι η ίδια στην αρχή και στο τέλος της μεταβολής. Υπολογίστε την αύξηση του όγκου του συστήματος. (το σύστημα δεν είναι ιδανικό αέριο). 1 7-26 Αέριο άζωτο σε δοχείο μεταβλητού όγκου θερμαίνεται α­ πό 0,0 oC σε 50,0 oC υπό σταθερή πίεση 4.00 χ 1 05 Pa. Η ολική προσφερθείσα θερμότητα είναι 6.0 χ 104 J. a) Υπολογίστε τον α­ ριθμό των γραμμομορί- ων του αερίου. b) Υπολογίστε τη μεταβο­ λή της εσωτερικής ενέργειας του αερίου. c) Υπολογίστε το έργο που παράγεται από το αέριο. d) Αν ο όγκος παρέμενε σταθερός Πόση θερμότητα θα απαιτείτο για την ίδια μεταβολή της θερμο­ κρασίας;

17-27 Ένας χημικός μηχανικός, που μελετά τις ιδιότητες της γλυκερίνης, χρησιμοποιεί ένα κύλινδρο διατομής 0,0200 m2 που περιέχει 1 ,50 χ 10-2 m 3 γλυκερίνης. ο κύλινδρος είναι εφοδιασμέ· νος με στεγανό έμβολο, το οποίο υποβαστάζει φορτίο 3,00 χ 104 Η θερμοκρασία του συστήματος αυξάνεται από 20,0 oc σε 70,0 °C. Ο θερμικός συντελεστής της γλυκερίνης δίνεται στον Πίνακα 15-2. Αγνοείστε τη διαστολή του χαλύβδινου κυλίνδρου. Υπολογί· στε a) την αύξηση του όγκου της γλυκερίνης b) το μηχανικό έρ· γο της δύναμης 3,00 χ 104 Ν c) το ποσό της θερμότητας, που προ· σφέρθηκε στη γλυκερίνη (η Cp της γλυκερίνης είναι 2,43 χ 103 J/Kkg) d) τη μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας της γλυκερίνης. 17-28 Μηχανή συμπιεσμένου αέρα. Σχεδιάζετε μία μη· χανή, η οποία λειτουργεί με συμπιεσμένο αέρα. Ο αέρας εισέρχε­ ται στη μηχανή υπό πίεση 2,00 χ 106 Pa και εξέρχεται υπό πίεση 3,00 χ 1 05 Pa. Ποιά πρέπει να είναι η θερμοκρασία του συμπιε­ σμένου αέρα για να μη υπάρχει δυνατότητα σχηματισμού πάγου στην έξοδο των αερίων από τη μηχανή; Υποθέστε, ότι η εκτόνωση είναι αδιαβατική. (Σημείωση: Συχνά σχηματίζεται πάγος στα ση­ μεία εξόδου του αέρα σε μηχανές, που λειτουργούν με συμπιεσμέ­ νο αέρα. Αυτό συμβαίνει, όταν ο αέρας περιέχει υγρασία και ψυ­ χθεί σε θερμοκρασία χαμηλότερη από Ο ο C κατά την εκτόνωση). 17-29 Μία αντλία, που συμπιέζει αέρα ατμοσφαιρικής πίεσης (1,01 χ 105 Pa) σε ένα πολύ μεγάλο δοχείο σε υπερπίεση 4,40 χ 105 Pa, έχει κύλινδρο μήκους 0,220 m (η Cvγια τον αέρα είναι 20,8 J/mol · K) a) Σε ποιά φάση κίνησης του εμβόλου θα εισαχθεί αέ­ ρας '6-το δοχείο; Υποθέστε, ότι η συμπίεση είναι αδιαβατική. (Σας ζητείται να υπολογίσετε το μήκος της διαδρομής του εμβόλου στον κύλινδρο.) b) Αν ο αέρας, που εισάγεται στην αντλία, έχει θερμο­ κρασία 27,0 °C, ποιά είναι η θερμοκρασία του συμπιεσμένου αέ­ ρα; c) Πόσο έργο καταναλίσκει η αντλία για να εισάγει 30,0 mol αέρα στο δοχείο; 1 7-30 0,28 m3 αέρα, αρχικά σε θερμοκρασία 80,0 oc, διαστέλ­ λονται υπό σταθερή υπερπίεση 1 ,38 χ 10S Pa σε όγκο 1,42 m3 και ακολούθως εκτονώνονται αδιαβατικά σε τελικό όγκο 2,27 m3 και τελική υπερπίεση 2,29 χ 104 Pa. Σχεδιάστε ένα διάγραμμα p-V γι' αυτή την ακολουθία μεταβολών και υπολογίστε το ολικό έργο, που παράγεται από τον αέρα. (Θεωρείστε, ότι η ατμοσφαιρική πίεση είναι 1,01 χ 105 Pa. Η Cvγια τον αέρα είναι 20,8 J/mol . Κ) 17-31 Ένα ιδανικό αέριο εκτονώνεται στον διπλάσιο του αρχι­ κού του όγκο, παράγοντας 600 J έργου στην μεταβολή. Υπολογί­ στε την θερμότητα που προσφέρθηκε στο αέριο και την μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας του αερίου, αν η μεταβολή είναι a) ισό­ θερμη b) αδιαβατική. 17-32 Σύγκριση θεQμοδυναμικών μεταβολών. Σε έ­ να κύλινδ-ρο 3,00 mol ενός ιδανικού μονατομικού αερίου, αρχικά σε 1,00 χ 105 Pa και 300 Κ, εκτονώνονται μέχρις ότου διπλασια­ σθεί ο όγκος του. Υπολογίστε το έργο, που παράγεται από το αέ­ ριο αν η εκτόνωση είναι a) ισόθερμη b) αδιαβατική c) ισοβα­ ρής. d) Σχεδιάστε κάθε μία μεταβολή σε ένα διάγραμμα pV. Σε ποιά περίπτωση είναι μέγιστο το μέρος του έργου, που παράγεται από το αέριο; Ελάχιστο; e) Σε ποιά περίπτωση είναι μέγιστο το μέτρο της μεταφερομένης θερμότητας; Ελάχιστο; f) Σε ποιά περί­ πτωση είναι μέγιστη η μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας του αε­ ρίου; Ελάχιστη; 17-33 Δύο γραμμομόρια ηλίου, αρχικά σε θερμοκρασία 27,0 oc καταλαμβάνουν όγκο 0,0400 m3 . Το ήλιο αρχικά διαστέλλεται υπό σταθερή πίεση μέχρις ότου διπλασιασθεί ο όγκος. Ακολούθως ε­ κτονώνεται αδιαβατικά μέχρις ότου η θερμοκρασία επανέλθει στην αρχική της τιμή. Υποθέστε, ότι το ήλιο μπορεί να αντιμετωπι­ στεί σαν ιδανικό αέριο. a) Σχεδιάστε ένα διάγραμμα p-V για τη μεταβολή αυτή. b) Πόση είναι η ολική θερμότητα, που προσφέρ•

503

ill O ΣΥΝΘΕΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

θηκε στο ήλιο κατά τη μεταβολή αυτή; c) Πόση είναι η μεταβολή της ολικής ενέργειας του ηλίου; d) Πόσο είναι το ολικό έργο, που παρήγαγε το ήλιο; e) Ποιός είναι ο τελικός όγκος; 17-34 Κύλινδρος με έμβολο περιέχει 0,500 mol οξυγόνου υπό πίεση 5,00 χ 105 Pa σε θερμοκρασία 300 Κ. Το οξυγόνο μπορεί να αντιμετωπιστεί σαν ιδανικό αέριο. Το αέριο εκτονώνεται αρχικά υπό σταθερή πίεση στον διπλάσιο του αρχικού του όγκο. Ακολού­ θως συμπιέζεται ισόθερμα στον αρχικό του όγκο και τέλος ψύχε­ ται υπό σταθερό όγκο στην αρχική του πίεση. a) Σχεδιάστε σε διάγραμμα p- την σειρά των μεταβολών. b) Υπολογίστε την θερμοκρασία κατά την διάρκεια της ισόθερμης συμπίεσης. c) Υπολογίστε την μέγιστη πίεση. 17-35 Χρησιμοποιείστε τις συνθήκες και μεταβολές του Προ­ βλήματος 1 7-34 για να υπολογίσετε: a) το έργο, που παράγεται από το αέριο, την προσφερθείσα σ' αυτό θερμότητα και τη μετα­ βολή της εσωτερικής ενέργειας κατά την διάρκεια της αρχικής ε­ κτονώσης, b) το παραγόμενο έργο, την προσφερθείσα θερμότη­ τα και τη μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας κατά τη διάρκεια της τελικής ψύξης, c) την μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας κατά την διάρκεια της ισόθερμης συμπίεσης.

1 7-36 Μία ποσότητα αέρα μεταβαίνει από την κατάσταση α στην κατάσταση b κατά μήκος μιάς διαδρομής, η οποία αποδίδε­ ται από ευθεία γραμμή σε διάγραμμα pV (Σχ. 1 7-20). Αν Vα = 0,0900 m3, Ρα = 1 ,00 χ 105 Pa και Pb = 1 ,60 χ 1 05 Pa, πόσο έργο παράγεται από το αέριο στην μεταβολή αυτή;

V

ΠΙΟ

----------- b

�

Ρα

I I I I I I

�----v------------� v.-0 b α

-

v

ΣΧΗΜΑ 17-20

ΣΥΝ Θ ΕΤΑ Π ΡΟ ΒΛ ΉΜΑΤΑ

17-37 Η εξίσωση νan der Waals, μία προσεγγιστική αναπαρά­ σταση της συμπεριφοράς των αερίων υπό υψηλή πίεση, είναι, (Εξ. 16-8), ό που

Ρ

(Ρ + c;;η ( V - nb)

=

nRT,

α και b είναι σταθερές, που έχουν διαφορετικές τιμές για διάφορα αέρια. (Στην ειδική περίπτωση που α = b = Ο, παίρνουμε

την εξίσωση ιδανικών αερίων.) Υπολογίστε το έργο, που παράγε­ ται από ένα αέριο με αυτή την καταστατική εξίσωση σε μία ισό­ θερμη διαστολή από σε Vz. Δείξτε, ότι η απάντησή σας συμφω­ νεί με το αποτέλεσμα για ιδανικά αέρια, Εξ. ( 1 7-4), όταν θέσετε α = b = Ο.

Vι

Κ Υ Ρ Ι Ε Σ

Ε Ν Ν Ο Ι Ε Σ

• Μία θεριuκή μηχανή μετατρέπει μέρος της θερμότητας σε μηχανικό έργο. Το ποσοστό που μετατρέπεται καλείται θερμΙκή απόδοση. Οι βενζινομηχανές και οι πετρελαιομηχανές είναι παραδείγματα θερμικών μηχανών. • Ένα ψυγείο μεταφέρει θερμότητα από ένα ψυχρό χώρο σε ένα θερμότερο. Η θερμότητα που απομακρύνεται από τον ψυχρό χώρο διαιρεμένη με το έργο που απαιτείται yια την μεταφορά αυτή, καλείται συντελεστής απόδοσης. • Το δεύτερο θερμοδυναμικό αξίωμα δηλώνει, ότι είναι αδύνατο να κατασκευαστεί μία διάταξη, που θα δουλεύει κυκλικά και θα μετατρέπει εξ ολοκλήρου θερμότητα σε έργο ή θα μεταφέρει θερμότητα από ένα ψυχρότερο σώμα σε ένα θερμότερο χωρίς να απαιτείται προσφορά έργου.

• Η μηχανή του Carnot είναι μία εξιδανικευμένη μηχανή, η οποία χρηmμοποιεί μόνο αντιστρεπτές μεταβολές και έχει την μεγαλύτερη δυνατή θερμΙκή απόδοση yια δεδομένες θερμοκρασίες εισόδου και εξόδου. Χρηmμοποιεί δύο ισόθερμες και δύο αδιαβατικές μεταβολές. • Η εντροπία αποτελεί μέτρο της αταξίας ενός συστήματος σε μία δεδομένη κατάσταση. Αυξήσεις στην αταξία συνοδεύονται από αυξήσεις στην εντροπία. Η ολική εντροπία του σύpΙιαντος δεν μπορεί ποτέ να ελαττωθεί. • Ο κύκλος του Carnot μπορεί να χρηmμοποιηθεί yια να οριστεί μία κλίμακα θερμοκραmών, η οποία δεν εξαρτάται από τις φυσικές ιδιότητες οποιασδήποτε συγκεκριμένης ουσίας.

Ε Ι Σ Α Γ Ω Γ Η

"'Ο

ταν αναμίξετε σε ένα θερμικά μονωμένο δοχείο 0, 1 kg νερού που βράζει και 0, 1 kg πάγου, καταλήγετε με 0,2 kg νερού σε θερμοκρασία 10 oC περίπου. Αυτό δεν προκαλεί έκπληξη. Αλλά θα είχατε εκπλαγεί πάρα πολύ εάν επιστρέφατε αργότερα και διαπιστώνατε, ότι το νερό είχε μετατραπεί πάλι σε 0,1 kg πάγου και σε 0 , 1 kg νερού που βράζει. Αυτό δεν θα παραβίαζε το πρώτο θερμοδυναμικό αξίωμα· η ενέργεια θα διετηρείτο. Αλλά αυτό δεν συμβαίνει στη φύση. Γιατί όχι; Γιατί ένα εργοστάσιο παραγωγής ενέργειας μετατρέπει σε ηλεκτρική ενέργεια λιγότερο από το μισό της θερμότητας, που προκύπτει από την καύση άνθρακα, αποβάλλοντας το υπόλοιπο της θερμότητας στο περιβάλλον; Γιατί πάντοτε ρέει θερμότητα από θερμότερα μέρη σε ψυχρότερα και ποτέ το αντίστροφο; Όταν ρίξετε μία σταγόνα μελάνι σε νερό, αναμιγνύεται αμέσως με το νερό και το χρωματίζει, αλλά ποτέ δεν διαχωρίζεται το μελάνι από το χρωματισμένο νερό. Γιατί όχι; τί κοινό έχουν όλα αυτά τα φαινόμενα; Το πρώτο θερμοδυναμικό αξίωμα εκφράζει τη διατήρηση της ενέργειας σε θερμοδυναμικές μεταβολές. Υπάρχει όμως μία ολόκληρη κατηγορία ερωτημάτων, στα οποία αδυνατεί να απαντήσει το πρώτο θερμοδυναμικό αξίωμα και που έχουν σχέση με την κατεύθυνση των θερμοδυναμικών μεταβολών. Μελέτη μεταβολών, που πραγματοποιούνται από τη φύση τους προς μία μόνο κατεύθυνση, όπως η ροή θερμότητας από θερμότερες σε ψυχρότερες περιοχές και η μη aντιστρεπτή μετατροπή έργου σε θερμότητα με τριβή, οδηγεί στο δ εύτερο θερμοδυναμικό αξίωμα. Το αξίωμα αυτό θέτει θεμελιώδεις περιορισμούς στην απόδοση μιάς μηχανής ή ενός εργοστασίου παραγωγής ενέργειας θέτει επίσης περιορισμούς στην ελάχιστη ενέργεια που απαιτείται για να λειτουργήσει ένα ψυγείο. Επομένως το δεύτερο αξίωμα σχετίζεται άμεσα με πολλά σημαντικά πρακτικά προβλήματα. Μπορούμε επίσης να διατυπώσουμε το δεύτερο αξίωμα με την έννοια της εντροπίας, ένα ποσοτικό μέτρο της aταξίας ή της τυχαιότητας ενός • συστή ματος. ·

505

506

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 ΔΕΥfΕΡΟ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟ ΑΞΙΩΜΑ

1 8- 1

ΚΑΤΕΥΘΥΝ Σ Ε Ι Σ Θ Ε Ρ Μ Ο ΔΥΝΑΜ Ι ΚΩΝ Δ Ι Α Δ Ι ΚΑ Σ Ι Ω Ν

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Πολλές θερμοδυναμικές μεταβολές εξελίσσονται από την φύση τους προς μία κατεύθυν­ ση αλλά όχι προς την αντίθετη. Για παράδειγμα, θερμότητα πάντα ρέει από ένα ζεστό σώμα προς ένα ψυχρότερο, ποτέ αντίστροφα. Ροή Θερμότητας από ένα ψυχρό σώμα προς ένα θερμό δεν θα παραβίαζε το πρώτο αξίωμα, αλλά όμως δεν παρατηρείται στην φύση. Υποθέστε ακόμη, ότι όλος ο αέρας σ' ένα κιβώτιο θα μπορούσε να συγκεντρωθεί από μόνος του σε μία πλευρά, αφήνοντας κενό στην άλλη πλευρά, έχετε δηλαδή την αντί­ στροφη διαδικασία της ελεύθερης εκτόνωσης, που περιγράφηκε στο Εδάφιο 17-3. Ούτε αυτό συμβαίνει στην φύση, αν και το πρώτο αξίωμα δεν το απαγορεύει. πλήρης μετα­ τροπή μηχανικής ενέργειας σε θερμότητα είναι εύκολη. Το πετυχαίνουμε αυτό κάθε φο­ ρά που χρησιμοποιούμε τα φρένα του αυτοκινήτου για να το σταματήσουμε. Αντίθετα δεν είναι εύκολο να μετατρέψουμε θερμότητα σε μηχανική ενέργεια. Πολλοί που θα επι­ θυμούσαν να θεωρηθούν εφευρέτες, έχουν προτείνει ψύξη του αέρα για να πάρουμε θερμότητα από αυτόν, και να τη μετατρέψουμε σε μηχανική ενέργεια που θα κινήσει ένα αυτοκίνητο ή ένα αεροπλάνο. Κανένας δεν το κατάφερε ποτέ. Κανένας δεν έχει κατα­ σκευάσει μία μηχανή που θα μετατρέπει εξ ολοκλήρου θερμότητα σε μηχανική ενέργεια. Το κοινό χαρακτηριστικό στα παραδείγματα αυτά είναι μία προτιμόμενη Σε κάθε περίπτωση μία μεταβολή προχωρεί αυθόρμητα προς τη μία κατεύθυνση αλλά ό­ χι προς την άλλη. Το αξίωμα, που καθορίζει την προτιμόμενη κατεύθυνση για μία δεδομένη μεταβολή, είναι το το κύριο θέμα αυτού του κεφαλαίου. Παρ' όλο που υπάρχει μία προτιμόμενη κατεύθυνση για κάθε φυσική μεταβολή, μπορούμε να θεωρήσουμε μία κατηγορία εξιδανικευμένων μεταβολών, που είναι Λέμε, ότι ένα σύστημα υπόκειται σε μία αντιστρεπτή μεταβολή αν το σύστημα βρίσκεται πάντοτε πολύ κοντά σε θερμοδυναμική ισορροπία, και στο εσωτερικό του και με το περιβάλλον του. Αν συμβαίνει αυτό, τότε οποιαδήποτε αλλαγή στην κατάσταση του συστήματος μπορεί να αντιστραφεί (δηλαδή να προχωρήσει αντίστροφα) πραγματο­ ποιώντας μόνο μία aπειροστή αλλαγή στις συνθήκες του συστήματος. Π.χ., ροή θερμότη­ τας μεταξύ δύο σωμάτων, των οποίων οι θερμοκρασίες διαφέρουν aπειροστά, μπορεί να αντιστραφεί πραγματοποιώντας μόνο πολύ μικρή αλλαγή της μιάς θερμοκρασίας ή της άλλης. Ένα αέριο που εκτονώνεται αργά και αδιαβατικά μπορεί να συμπιεστεί αργά και αδιαβατικά με μία aπειροστή αύξηση της πίεσης. Αντιστρεπτές μεταβολές είναι επομένως μεταβολές ισορροπίας. Σε αντίθεση, ροή θερμότητας μεταξύ σωμάτων με πεπερασμένη διαφορά θερμοκρασίας, ελεύθερη εκτό­ νωση ενός αερίου και μετατροπή έργου σε θερμότητα λόγω τριβής είναι όλες μη αντι­ στρεπτές μεταβολές. Καμία μικρή αλλαγή στις συνθήκες δεν θα μπορούσε να αναγκάσει τις μεταβολές αυτές να προχωρήσουν προς την άλλη κατεύθυνση. Επίσης, όλες αυτές εί­ ναι μεταβολές σε κατάσταση Είναι δυνατόν να έχετε παρατηρήσει μία προφανή αντίφαση στη συζήτηση. Αν έ­ να σύστημα είναι σε θερμοδυναμική ισορροπία, πώς είναι δυνατό να πραγ­ ματοποιηθεί σ' αυτό οποιαδήποτε καταστατική αλλαγή ; Πως μπορεί να ρέει θερμότητα προς ή από ένα σύστημα αν η θερμοκρασία είναι ομοιόμορφη παντού; Πώς μπορεί το σύστημα να αρχίσει να εκτονώνεται και να παράγει έργο επί του περιβάλλοντος, αν βρί­ σκεται σε μηχανική ισορροπία με αυτό; απάντηση σε όλες αυτές τις ερωτήσεις είναι, ότι η aντιστρεπτή διαδικασία απο­ τελεί μία εξιδανίκευση, που δεν μπορεί ποτέ να επιτευχθεί στην πραγματικότητα. Αλλά κάνοντας τις μεταβολές της θερμοκρασίας και τις διαφορές της πίεσης στην ουσία πολύ μικρές, μπορούμε να διατηρήσουμε το σύστημα πολύ κοντά σε καταστάσεις ισορροπίας. Χρησιμοποιούμε τον όρο για να τονίσουμε την εξιδανικευ­ μένη φύση μιάς aντιστρεπτής μεταβολής. Τέλος, θα διαπιστώσουμε ότι υπάρχει μία σχέση μεταξύ της κατεύθυνσης μιας με­ ταβολής και της ή της της προκύπτουσας κατάστασης. Π. χ. φαντα­ στείτε μία κουραστική εργασία ταξινόμησης, όπως την τοποθέτηση κατ' αλφαβητική σει­ ρά των τίτλων χιλίων βιβλίων, που είναι γραμμένοι σε κάρτες. Ρίξτε τις κάρτες, που έ­ χουν ήδη ταξινομηθεί, στον αέρα. Προσγειώνονται κατ' αλφαβητική σειρά; Όχι, η τάση τους είναι να προσγειώνονται κατά τυχαίο ή άτακτο τρόπο. Στο παράδειγμα της ελεύθε­ ρης εκτόνωσης ο αέρας έχει μεγαλύτερη αταξία μετά την εκτόνωσή του σε ολόκληρο το κιβώτιο απ' ό,τι είχε, όταν ήταν περιορισμένο στο ένα τμήμα, επειδή τα μόρια διασκορπί­ ζονται σε μεγαλύτερο χώρο.

Η

κατεύθυν­

ση.

δεύτερο θερμοδυναμικό αξίωμα,

αντι­

στρεπτές.

μη ισορροπίας. πραγματικά

Η

μεταβολές ψευδο-ισορροπίας

aταξίας

τυχαιότητας

18-2 ΘΕΡΜΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ

Ομοίως, η μακροσκοπική κινητική ενέργεια είναι ενέργεια συνδεδεμένη με οργα­ νωμένες, συντονισμένες κινήσεις πολλών μορίων, Αντίθετα, ροή θερμότητας περιλαμβά­ νει μεταβολές στην ενέργεια τυχαίας, άτακτης μοριακής κίνησης. Επομένως, μετατροπή μηχανικής ενέργειας σε θερμότητα συνεπάγεται αύξηση της τυχαιότητας ή της aταξίας. Στις παραγράφους που ακολουθούν θα εισαγάγουμε το δεύτερο θερρμοδυναμικό αξίωμα θεωρώντας δύο ευρείες κατηγορίες διατάξεων, τις που επιτυγ­ χάνουν μερική μετατροπή θερμότητας σε έργο, και τις οι οποίες επι­ . τυγχάνουν την μερική μεταφορά θερμότητας από ψυχρότερα σε θερμότερα σώματα.

θερμικές μηχανές, ψυκτικές μηχανές,

18-2

ΘΕΡΜΙΚΕΣ

Μ ΗΧΑΝΕΣ

_ _ _ _ _ _

Το κύριο χαρακτηριστικό μιάς τεχνολογικής κοινωνίας είναι η ικανότητα να χρησιμοποι­ εί άλλες πηγές ενέργειας εκτός από την μυική δύναμη. Μηχανική ενέργεια είναι μερικές φορές άμεσα διαθέσιμη· υδάτινη ισχύς είναι ένα παράδειγμα. Αλλά το μεγαλύτερο μέ­ ρος της ενέργειάς μας προέρχεται από την καύση φυσικών καυσίμων (άνθρακας, πετρέ­ λαιο και αέριο) και από πυρηνικές αντιδράσεις. Όλα αυτά προσφέρουν ενέργεια, που διαδίδεται σαν Αυτή είναι άμεσα χρησιμοποιήσιμη για την θέρμανση κτι­ ρίων, για την μαγειρική και για χημικές και μεταλλουργικές διαδικασίες αλλά για τη λει­ τουργία μιάς μηχανής ή για την προώθηση ενός οχήματος χρειαζόμαστε ενέργεια. Για τον λόγο αυτό είναι σημαντικό να γνωρίζουμε, πώς να παίρνουμε θερμότητα από μία πηγή και να μετατρέπουμε όσο το δυνατόν περισσότερη σε μηχανική ενέργεια ή έργο. Αυτό συμβαίνει στις βενζινοκίνητες μηχανές αυτοκινήτων, στις αεριωθούμενες μη­ χανές αεροπλάνων, στους ατμοστρόβιλους σε εργοστάσια παραγωγής ηλεκτρικής ενέρ­ γειας και σε πολλά άλλα συστήματα. Στο ζωικό βασίλειο συχνά συμβαίνουν ανάλογες μεταβολές, όταν γίνεται "καύση" των τροφών (δηλαδή, υδατάνθρακες αντιδρούν με οξυ­ γόνο για να παράγουν νερό, διοξείδιο του άνθρακα και ενέργεια) και μερική μετατροπή της σε μηχανική ενέργεια καθώς το μυικό σύστημα του ζώου παράγει έργο επί του περι­ βάλλοντος. Οποιαδήποτε διάταξη, που μετατρέπει μέρος της θερμότητας σε μηχανική ενέρ­ γεια, καλείται θερμική μηχανή. Συνήθως μία ποσότητα ύλης στο εσωτερικό της μηχανής υποβάλλεται σε προσθήκη και απαγωγή θερμότητας, σε εκτόνωση και συμπίεση και με­ ρικές φορές σε αλλαγή φάσης. Ονομάζουμε αυτή την ύλη ενεργό υλικό της μηχανής. Στις μηχανές εσωτερικής καύσης το ενεργό υλικό είναι ένα μείγμα αέρα και καυσίμου· στις ατμομηχανές είναι το νερό. Το απλούστερο είδος μηχανής , που προσφέρεται για ανάλυση, είναι εκείνο, στο οποίο το ενεργό υλικό υποβάλλεται σε μία κυκλική μεταβολή, δηλαδή μία σειρά μεταβο­ λών, που τελικά επαναφέρουν το υλικό στην αρχική του κατάσταση. Σε μία ατμομηχανή το νερό ανακυκλώνεται και επαναχρησιμοποιείται. Μηχανές εσωτερικής καύσης δεν ε­ παναχρησιμοποιούν τον ίδιο αέρα, αλλά μπορούμε και αυτές να τις μελετήσουμε με κυ­ κλικές μεταβολές, που προσεγγίζουν την πραγματική τους λειτουργία. Όλες οι θερμικές μηχανές, που αναφέρθηκαν, απορροφούν θερμότητα από μία πηγή σε σχετικά υψηλή θερμοκρασία, παράγουν μηχανικό έργο και αποβάλλουν θερμό­ τητα σε χώρο με χαμηλότερη θερμοκρασία. Για την ίδια την μηχανή, η aποβαλλόμενη θερμότητα είναι άχρηστη. άχρηστη θερμότητα στις μηχανές εσωτερικής καύσης απο­ βάλλεται με τα θερμά καυσαέρια και το σύστημα ψύξης στις ατμομηχανές η άχρηστη θερμότητα είναι η θερμότητα, που πρέπει να αφαιρεθεί από τον χρησιμοποιημένο ατμό για να συμπυκνωθεί σε νερό και να ανακυκλωθεί. Όταν ένα σύστημα υπόκειται σε μία κυκλική μεταβολή, η αρχική του εσωτερική (θερμοδυναμική) ενέργεια είναι ίση με την τελική. Σε οποιαδήποτε κυκλική μεταβολή, το πρώτο θερμοδυναμικό αξίωμα απαιτεί να ισχύει

θερμότητα.

μηχανική

Η

και

Q = W.

Δηλαδή, το τελικό ποσό θερμότητας, που αξιοποιείται από μία μηχανή σε μία κυκλική μεταβολή, είναι ίσο προς το τελικό έργο που παράγεται από την μηχανή. Όταν μελετούμε θερμικές μηχανές, είναι χρήσιμο να θεωρούμε την ύπαρξη δύο σωμάτων, με τα οποία αλληλεπιδρά το ενεργό υλικό της μηχανής. Το ένα από αυτά κα­ λείται και μπορεί να προσφέρει, υπό σταθερή θερμοκρασία ΤΗ, μεγάλα ποσά θερμότητας στο ενεργό υλικό χωρίς να μεταβάλλεται ουσιαστικά η θερμοκρασία

θερμή δεξαμενή

507

508

Ψυχρή δεξαμενή υπό θερμοκρασία

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 ΔΕΥΙΈΡΟ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟ ΑΞΙΩΜΑ

τ

c

18-1 Σχηματικό διάγραμμα ροής ενέργειας σε μία θερμική μηχανή.

της. Το άλλο σώμα καλείται ψυχρή δεξαμενή και μπορεί να απορροφά από την μηχανή μεγάλα ποσά άχρηστης θερμότητας υπό σταθερή και χαμηλότερη θερμοκρασία Tc- Σε μία ατμομηχανή η θερμή δεξαμενή είναι οι φλόγες και τα ζεστά αέρια στον λέβητα ενώ το κρύο νερό και ο αέρας, που χρησιμοποιούνται για τη συμπύκνωση και ψύξη του α­ τμού, αποτελούν τη ψυχρή δεξαμενή. Συμβολίζουμε με QH και Qc τις ποσότητες θερμότητας που μεταφέρονται από την θερμή δεξαμενή και την ψυχρή δεξαμενή αντίστοιχα. Μία ποσότητα θερμότητας Q είναι θετική, όταν αντιστοιχεί σε θερμότητα που μεταφέρεται από μία δεξαμενή προς το ενερ­ γό υλικό και αρνητική, όταν αντιστοιχεί σε θερμότητα που εγκαταλείπει το ενεργό υλικό. Έτσι σε μία θερμική μηχανή η QH είναι θετική αλλά η Qc είναι αρνητική, αφού παριστά­ νει θερμότητα που εγκαταλείπει το ενεργό υλικό. Ο κανόνας αυτός του προσήμου είναι σύμφωνος με τους κανόνες που αναφέραμε στο Κεφ.17' θα συνεχίσουμε να εφαρμόζου­ με τους κανόνες αυτούς και εδώ. Μερικές φορές η χρήση των απόλυτων τιμών των Q και W αποσαφηνίζει τις σχέσεις, επειδή οι απόλυτες τιμές είναι πάντοτε θετικές. Όταν εργα­ ζόμαστε με τις απόλυτες τιμές, ο συμβολισμός μας θα το δείξει ξεκάθαρα. Μπορούμε να παραστήσουμε τους μετασχηματισμούς ενέργειας σε μία θερμική μηχανή με το διάγραμμα ροής ενέργειας του Σχ. 18-1. ίδια η μηχανή παριστάνεται με ένα κύκλο. Το ποσό της θερμότητας QH, που προσφέρεται στην μηχανή είναι ανάλογο προς το πλάτος της εισερχόμενης "σωλήνωσης" στο πάνω μέρος του διαγράμματος.Το πλάτος της εξερχόμενης "σωλήνωσης" στο κάτω μέρος του διαγράμματος είναι ανάλογο προς το μέτρο I Qc I της αποβαλλόμενης θερμότητας. διακλάδωση προς τα δεξιά παρι­ στάνει το κλάσμα της προσφερόμενης θερμότητας, το οποίο μετατρέπει η μηχανή σε μη­ χανικό έργο W. Όταν μία μηχανή επαναλαμβάνει συνεχώς τον ίδιο κύκλο, τα QH και Qc παριστά­ νουν τις ποσότητες θερμότητας που απορροφά και αποβάλλει η μηχανή κατά τη διάρ­ κεια ενός κύκλου· η QH είναι θετική και η Qc αρνητική. τελική θερμότητα Q, που α­ πορροφάται ανά κύκλο, είναι

Η

Η

Η

(18-1) Το ωφέλιμο έργο εξόδου της μηχανής είναι το τελικό έργο W, που πραγματοποιεί το ε­ νεργό υλικό· από το πρώτο θερμοδυναμικό αξίωμα (18-2) Στην ιδανική περίπτωση θα θέλαμε να μετατρέψουμε όλη την θερμότητα QH σε έργο· στην περίπτωση αυτή θα είχαμε QH = W και Qc = πείρα δείχνει, ότι αυτό είναι α­ δύνατο· πάντοτε αποβάλλεται κάποια θερμότητα σαν άχρηστη και η Qc ποτέ δεν είναι μηδέν. Ορίζουμε την θερμική απόδοση μιάς μηχανής, που συμβολίζεται με e, ως τον λό­ γο

Ο. Η

e=

w

QH

.

(18-3)

Η

θερμική απόδοση e παριστάνει το κλάσμα της QH, που μετατρέπεται σε έργο. Με άλλα λόγια e είναι ο λόγος του τι κερδίζει κανείς με το τι πληρώνει. Αυτό είναι πά­ ντοτε μικρότερο από την μονάδα, όπως πολύ καλά γνωρίζουμε από πείρα! Στο διάγραμ­ μα ροής του Σχήματος 18-1 η πλέον αποδοτική μηχανή θα παρίσταται με όσο το δυνατό πιό πλατιά διακλάδωση, παριστάνοντας το έργο εξόδου, και η εξερχόμενη σωλήνωση με όσο το δυνατό μικρότερο πλάτος. Όταν αντικαταστήσουμε τις δύο εκφράσεις του W από την Εξ. ( 1 8-1) στην Εξ. (18-3), παίρνουμε τις εξής ισοδύναμες εκφράσεις για την e : (18-4) Να σημειωθεί, ότι e είναι ο λόγος δύο ποσοτήτων ενέργειας και επομένως είναι καθαρός αριθμός, χωρίς μονάδες. Βεβαίως, θα πρέπει πάντοτε να εκφράζουμε τα W, QH και Qc με τις ίδιες μονάδες.

509

18-3 ΜΗΧΑΝΕΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΗΣ ΚΑΥΣΗΣ

Σ Τ Ρ ΑΤ Η Γ Ι Κ Ή Ε Π Ι ΛΥΣ Η Σ Π Ρ Ο Β ΛΗ Μ Ά Τ Ω Ν θ ερμικές μηχανές Συνιστούμε να ξαναδιαβάσετε την στρατηγική της Παραγράφου 17-4· οι υποδείξεις εκείνες είναι εξίσου χρήσιμες και σε αυτό το κεφάλαιο. Ίσως να χρειάζεται να δοθεί μεγαλύτερη έμφαση στα παρακάτω σημεία.

1. Να είστε προσεχτικοί, όταν εφαρμόζετε τον κανόνα προmjμου

για το W και τα διάφορα Q. Το W είναι θετικό, όταν το σύστημα έ­ κτονώνεται και παράγει έργο, αρνητικό όταν συμπιέζεται. Κάθε Q είναι θετικό αν παριστάνει θερμότητα, που προσφέρεται στο ε­ νεργό υλικό της μηχανής ή άλλου συστήματος, αρνητικό όταν απο­ βάλλεται από το σύστημα. Αν υπάρχει αμφιβολία, εφαρμόστε το

1.

πρώτο θερμοδυναμικό αξίωμα, αν είναι δυνατό, για να ελέγξετε την συνέπεια των προσήμων. Όταν γνωρίζετε, ότι μία ποσότητα είναι αρνητική, όπως η Ωc στην συζήτηση που προηγήθηκε, μερι­ κές φορές είναι χρήσιμο να γραφεί με την μορφή Ωc = - I Ωc . 2. ΜεριΚa προβλήματα αναφέρονται περισσότερο σε ισχύ παρά σε ποσότητες ενέργειας. Ισχύς είναι έργο ανά μονάδα χρόνου (Ρ = W!t) και ο ρυθμός μεταφοράς θερμότητας (ρεύμα θερμότη­ -τας) Η είναι η μεταφερόμενη θερμότητα ανά μονάδα χρόνου (Η = Qlt). Μερικές φορές είναι χρήσιμη η ερώτηση, " Πόσο είναι το Wή η Q ανά δευτερόλεπτο (ή ανά ώρα);

- Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 1 8- 1 ------Η βενζινομηχανή ενός φορτηγού αυτοκινήτου προσλαμβά­ νει 2500 1 θερμότητας και αποδίδει 500 1 μηχανικού έργου ανά κύκλο. Η θερμότητα προέρχεται από την καύση βενζί­ νης με θερμότητα καύσης L, =5,0 χ 104 1/g. a) Ποιά είναι η θερμική απόδοση αυτής της μηχανής; b) Πόση θερμότη­ τα αποβάλλεται σε κάθε κύκλο; c) Πόση βενζίνη κατανα­ λίσκεται σε κάθε κύκλο; d) Αν η μηχανή πραγματοποιεί 100 κύκλους ανά δευτερόλεπτο, πόση είναι η ισχύς εξόδου σε watt; Σε ίππους; e ) Πόση βενζίνη καταναλίσκεται ανά δευτερόλεπτο; Ανά ώρα; ·

ΛΥΣΗ Έχουμε QH = 2500 1 και W = 500 1.

a) Από την Εξ. ( 18-3) η θερμική απόδοση είναι

= 500 1 = 0,20 = 20%. 2500 1 e Αυτή είναι μία χαρακτηριστική τιμή για αυτοκίνητα και φορτηγά, αν W περιλαμβάνει μόνο το έργο, που προσφέρε­ ται αποκλειστικά στους τροχούς. b) Από την Εξ. (18-2), W = QH + Ω c 500 1 = 2500 1 + Ωc Ωc = - 2000 1. Δηλαδή σε κάθε κύκλο η μηχανή αποβάλλει 2000 1 θερμό­ τητας. =

18-3

w

QH

Μ ΗΧΑΝΕΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΗΣ

c) Έστω m η μάζα της βενζίνης, που καίγεται σε κάθε κύκλο· τότε Q = mL, 2500 1 = m (5,0 χ 104 1/g) m = 0,050 g d) Η ισχύς Ρ (ρυθμός παραγωγής έργου) είναι το έργο ανά κύκλο πολλαπλασιασμένο επί τον αριθμό των κύκλων ανά δευτερόλεπτο: Ρ = (500 1/κύκλο)(lΟΟ κύκλοι/s) = 50 000 W= 50 kW ·

Ρ- (50 000 W) ...l..!!.ρ_ _ - 67 hp. 746 W e) Η μάζα της βενζίνης που καίγεται ανά δευτερόλεπτο εί­ ναι ίση προς την μάζα που καίγεται ανά κύκλο πολλαπλα­ σιασμένη επί τον αριθμό των κύκλων ανά δευτερόλεπτο: (0,050 g/κύκλο)(100 κύκλοι/s) = 5,0 g/s. Η μάζα που καίγεται ανά ώρα είναι (5,0 g/s) 3 0 s = 18 000 g/h = 18 kg/h.

��

Η πυκνότητα της βενζίνης είναι περίπου 0,70 g!cm3, επομέ­ νως ο αντίστοιχος όγκος ανά ώρα είναι περίπου 25 700 cm3, 25,7 L ή 6,8 γαλόνια. Εάν το φορτηγό αναπτύσσει τα­ χύτητα 90 km/h, η αντίστοιχη κατανάλωση καυσίμου είναι 13 km/γαλόνι.

ΚΑΥΣΗ Σ

Οι βενζινομηχανές, που χρησιμοποιούνται στα αυτοκίνητα και σε άλλους τύπους μηχανη­ μάτων, αποτελούν το π:ιό γνωστό παράδειγμα θερμικής μηχανής. Ας εξετάσουμε την θερ­ μική της απόδοση. Το Σχ. (σελ. 510) δείχνει την ακολουθία των μεταβολών. Αρχικά ένα μείγμα αέρα και ατμών βενζίνης εισρέει σε έναν κύλινδρο μέσω μιάς aνοιχτής βαλ­ βίδας εισόδου κατά την διάρκεια καθόδου του εμβόλου, αυξάνοντας τον όγκο του κυλίν­ δρου από μία ελάχιστη τιμή V (όταν το έμβολο βρίσκεται στην ανώτατη θέση) σε μία μέ­ γιστη τιμή rV (όταν βρίσκεται στην κατώτατη θέση). ποσότητα r καλείται λόγος συ­ μπίεσης στα σύγχρονα αυτοκίνητα αυτός είναι περίπου ίσος προς Στο τέλος αυτής της

18-2

Η

8.

510

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 8 ΔΕΥfΕΡΟ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟ ΑΞΙΩΜΑ

lS-2 Κύκλος τετραφασικής μηχανής εσωτερικής καύσης. (a) Φάση εισαγωγής: Το έμβολο κινείται προς τα κάτω, δημιουργώντας μερικό κενό στον κύλινδρο · μείγμα βενζίνης-αέρα εισρέει στον κύλινδρο από την ανοιχτή βαλβίδα εισόδου. (b) Φάση συμπίεσης: Η βαλβίδα εισόδου κλείνει και το μείγμα συμπιέζεται καθώς το έμβολο ανέρχεται. (c)Ανάφλεξη: Ο σπινθηριστής αναφλέγει το μείγμα. (d) Φάση Ισχύος: Το θερμό μείγμα, που έχει αναφλεγεί, ωθεί το έμβολο προς τα κάτω παράγοντας έργο. ( e) Φάση εξαγωγής αερίων: Η βαλβίδα εξόδου ανοίγει και το έμβολο κινείται προς τα πάνω, ωθώντας το καμένο μείγμα έξω από τον κύλινδρο. Η μηχανή είναι τώρα έτοιμη για την επόμενη φάση εισόδου και ο κύκλος επαναλαμβάνεται.

φάσης εισαγωγής η βαλβίδα εισόδου κλείνει και το μείγμα συμπιέζεται, περίπου αδιαβα­ τικά, σε όγκο κατά την διάρκεια της φάσης συμπίεσης. Το μείγμα τότε αναφλέγεται α­ πό τον σπινθηριστή (μπουζί) και το θερμό αέριο εκτονώνεται, περίπου αδιαβατικά, στον αρχικό του όγκο ωθώντας το έμβολο και παράγοντας έργο · αυτή είναι η φάση ισχύος. Τελικά η βαλβίδα εξόδου ανοίγει και τα προ.ίόντα της καύσης ωθούνται προς τα έξω (κατά την διάρκεια της φάσης εξόδου), αφήνοντας τον κύλινδρο έτοιμο για την επόμενη φάση εισόδου.

V

rV,

Ο

κύκλος του Otto

V,

Το Σχήμα 18-3 είναι ένα διάγραμμα p- που δείχνει .ένα εξιδανικευμένο μοντέλο των θερμοδυναμικών μεταβολών σε μία βενζινομηχανή. Το πρότυπο αυτό καλείται ο κύκλος του Otto. Στο σημείο α το μείγμα βενζίνης-αέρα εισέρχεται στον κύλινδρο. Το μείγμα συμπιέζεται αδιαβατικά (γραμμή και στην συνέχεια αναφλέγεται. Θερμότητα QH προσφέρεται στο σύστημα με την καύση της βενζίνης (γραμμή και η φάση ισχύος εί­ ναι η αδιαβατική εκτόνωση Το αέριο ψύχεται μέχρι την θερμοκρασία του αέρα του περιβάλλοντος )· κατά την διάρκεια αυτής της μεταβολής απελευθερώνεται θερμότη­ τα Ωc . Στην πράξη, δεν επανεισέρχεται ο ίδιος αέρας στην μηχανή, αλλά ένα ισοδύναμο ποσό και επομένως μπορούμε να θεωρήσουμε τη μεταβολή κυκλική. Μπορούμε να υπολογίσουμε την απόδοση αυτού του εξιδανικευμένου κύκλου. Οι μεταβολές και γίνονται υπό σταθερό όγκο, και επομένως οι θερμότητες QH και Ωc σχετίζονται απλά με τις θερμοκρασίες:

ab)

cd.

(da

bc

bc),

da

QH =

nCv (Tc - Tb), Ωc = nCv (Ta - Td), Η θερμική απόδοση δίνεται από την Εξ. (18-4)· αντικαθιστώντας τις παραπάνω εκφρά­ σεις και aπαλείφοντας τον κοινό όρο nCv, βρίσκουμε

Ρ c

(18-5) Για να aπλοποιήσουμε περαιτέρω αυτή την εξίσωση, χρησιμοποιούμε την σχέση θερμο­ κρασίας-όγκου για αδιαβατικές μεταβολές σε ένα ιδανικό αέριο, Εξ. (17-24). Για τις δύο αδιαβατικές μεταβολές και

ab

lS-3 Διάγραμμα p- V του κύκλου του

Otto, ένα εξειδανικευμένο μοντέλο της θερμοδυναμικής μεταβολής σε μία βενζινοκίνητη μηχανή.

cd,

Ta (rV)r- Ι = Tb γr- Ι , Td (rV) Y- 1 = Tc v r- 1 •

Διαιρούμε κάθε μία από τις σχέσεις αυτές με τον κοινό παράγοντα v r - Ι και aντικαθι­ στούμε στην Εξ. ( 18-5) τις εκφράσεις που προκύπτουν για και Το αποτέλεσμα

Tb

Tc.

18-3 ΜΗΧΑΝΕΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΗΣ ΚΑΥΣΗΣ

είναι

Απαλείφοντας τον κοινό παράγοντα (Td - Ta), παίρνουμε 1 e = 1 - y:τ . r

(18-6)

Η

θερμική απόδοση, που δίνεται από την Εξ. (18-6), είναι πάντοτε μικρότερη από την μονάδα, ακόμη και γι' αυτό το εξιδανικευμένο πρότυπο. Με r = 8 και γ = 1 ,4 (η τιμή για τον αέρα) η θεωρητική απόδοση είναι e = 0,56 ή 56%. απόδοση μπορεί να αυξη­ θεί αυξάνοντας το r. Όμως, αυτό αυξάνει επίσης την θερμοκρασία στο τέλος της αδια­ βατικής συμπίεσης του μείγματος αέρα-καυσίμου. Αν η θερμοκρασία ε ίναι πολύ υψηλή το μείγμα αυτοαναφλέγεται κατά την διάρκεια της συμπίεσης αντί να υποστεί ομοιόμορ­ φη καύση μετά την ανάφλεξή του από τον σπινθηριστή. Αυτό καλείται προανάφλεξη ή έ­ κρηξη· προκαλεί ένα ξηρό ήχο και μπορεί να καταστρέψει την μηχανή. αξιολόγηση της βενζίνης με τον αριθμό οκτανίων είναι ένα μέτρο αποφυγής δημιουργίας ξηρού ή­ χου. Στην πράξη ο μέγιστος λόγος συμπίεσης για βενζίνη με υψηλό αριθμό οκτανίων εί­ ναι περίπου 10. Μεγαλύτεροι λόγοι συμπίεσης μπορούν να επιτευχθούν με ε ιδικά καύσι­ μα. Ο κύκλος του Otto, που μόλις περιγράψαμε, αποτελεί ένα εξιδανικευμένο μοντέ­ λο. Υποθέτει, ότι το μείγμα αέρας-καύσιμο συμπεριφέρεται όπως ένα ιδανικό αέριο· α­ γνοεί την τριβή, την δημιουργία στροβίλων, απώλεια θερμότητας από τα τοιχώματα και πολλά άλλα φαινόμενα, που συνδυάζονται με αποτέλεσμα να ελαττώνουν την απόδοση μιάς πραγματικής μηχανής. Μία άλλη αιτία μειωμένης απόδοσης είναι η ατελής καύση. Ένα μείγμα ατμών βενζίνης με όσο αέρα χρειάζεται για την πλήρη καύση των υδρογο­ νανθράκων σε νερό και διοξείδιο του άνθρακα (C02) δεν αναφλέγεται εύκολα. Ικανο­ ποιητική ανάφλεξη απαιτεί ένα μείγμα, που είναι "πλουσιότερο" σε βενζίνη· συνέπεια της ατελούς καύσης είναι η παρουσία μονοξειδίου του άνθρακα (CO) και υδρογοναν­ θράκων στα καυσαέρια. θερμότητα που αναπτύσσεται από τη βενζίνη είναι τότε μι­ κρότερη από την ολική θερμότητα καύσης η διαφορά αυτών των θερμοτήτων μένει α­ νεκμετάλλευτη και τα προ"ίόντα καύσης συμβάλλουν στην μόλυνση του περιβάλλοντος. Οι αποδόσεις των πραγματικών βενζινομηχανών κυμαίνονται γύρω από το 20%.

Η

Η

Η

Ο κύκλος

Diesel

Η μηχανή Diesel λειτουργεί κατά τον ίδιο τρόπο περίπου όπως μία βενζινομηχανή. Η πιό σημαντική διαφορά είναι, ότι δεν υπάρχει καύσιμο στον κύλινδρο κατά την έναρξη

της φάσης συμπίεσης. Λίγο πριν από την έναρξη της φάσης ισχύος, αρχίζει η έγχυση του καυσίμου απ' ευθείας στον κύλινδρο, τόσο γρήγορα ώστε να κρατηθεί η πίεση περί­ που σταθερή κατά την διάρκεια του πρώτου μέρους της φάσης ισχύος. Επειδή αναπτύσ­ σεται υψηλή θερμοκρασία κατά την διάρκεια της αδιαβατικής συμπίεσης, το καύσιμο αυτοαναφλέγεται καθώς εγχύνεται· εδώ δεν είναι απαραίτητη η παρουσία σπινθηριατών. Ο εξιδανικευμένος κύκλος Dίesel φαίνεται στο Σχ. 18-4. Αρχίζοντας από το ση­ μείο α, ο αέρας συμπιέζεται αδιαβατικά μέχρι το σημείο b, θερμαίνεται υπό σταθερή πίεση μέχρι το σημείο c, εκτονώνεται αδιαβατικά μέχρι το σημείο d και ψύχεται υπό στα­ θερό όγκο μέχρι το σημείο α. Επειδή δεν υπάρχει καύσιμο στον κύλινδρο κατά την διάρ­ κεια του μεγαλύτερου μέρους του χρόνου συ μπίεσης, δεν μπορεί να γίνει προανάφλεξη και ο συντελεστής συμπίεσης r μπορεί να γίνει πολύ μεγαλύτερος από ό,τι στις βενζινο­ μηχανές. Αυτό βελτιώνει την απόδοση και εξασφαλίζει βέβαιη ανάφλεξη, όταν εγχυθεί το καύσιμο (λόγω της υψηλής θερμοκρασίας κατά την διάρκεια της αδιαβατικής συ μπίε­ σης). Χαρακτηριστικές τιμές του r είναι 15 έως 20· με αυτές τις τιμές και με γ = 1,4 η θε­ ωρητική απόδοση ενός εξιδανικευμένου κύκλου Diesel είναι περίπου από 0,65 έως 0,70. Όπως και με τον κύκλο του Otto, η απόδοση μιάς πραγματικής μηχανής είναι σημαντικά χαμηλότερη. Οι μηχανές Diesel είναι συνήθως περισσότερο αποδοτικές από τις βενζινο-

Ρ

18-4 Διάγραμμα p-V εξ ιδανικευμένου κύκλου Diesel.

511

5 12

ΚΕΦΑΛΑΙΟ

18

ΔΕΥfΕΡΟ θΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟ ΑΞΙΩΜΑ

μηχανές. Είναι επίσης βαρύτερες (ανά μονάδα ισχύος εξόδου) και τίθενται σε λειτουρ­ γία δυσκολότερα. Δεν χρειάζονται σύστημα ανάμειξης ή σύστημα ανάφλεξης, αλλά α­ παιτείται πολυδάπανο και μεγάλης κατασκευαστικής ακρίβειας σύστημα έγχυσης.

1 8-4

ΨΥΚΤ Ι Κ Ε Σ Μ Η ΧΑΝΕ Σ

Μπορούμε να θεωρήσουμε μία ψυκτική μηχανή σαν μία θερμική μηχανή, που λειτουρ­ γεί αντίστροφα. Μία θερμική μηχανή παίρνει θερμότητα από ένα θερμό μέρος και απο­ δίδει θερμότητα σε ένα ψυχρότερο μέρος. Μία ψυκτική μηχανή πραγματοποιεί το αντί­ θετο· παίρνει θερμότητα από ένα ψυχρό μέρος (το εσωτερικό της ψυκτικής μηχανής) και το αποδίδει σε ένα θερμότερο μέρος (συνήθως ο αέρας του χώρου, στον οποίο είναι το­ ποθετημένη). Μία θερμική μηχανή παράγει στην έξοδό της μηχανικό έργο· η ψυκτική μη­ χανή απαιτεί την προσφορά σε αυτή μηχανικού έργου. Με τα σύμβολα, που χρησιμοποι­ ήσαμε στο Εδάφιο 18-2, η Qc είναι θετική ποσότητα σε μία ψυκτική μηχανή, αλλά και το w και η QH είναι αρνητικά, οπότε I Wl = - w και I QH I = - QH. Το διάγραμμα ροής για μία ψυκτική μηχανή φαίνεται στο Σχήμα 1 8-5. Από το πρώτο θερμοδυναμικό αξίωμα για μία κυκλική διαδικασία, ή ή επειδή και η QH και το W είναι και τα δύο αρνητικά, (18-7) Έτσι, όπως δείχνει το διάγραμμα ροής, η θερμότητα I QH I που εγκαταλείπει το ενεργό υλικό και προσφέρεται στην θερμή δεξαμενή είναι πάντοτε μεγαλύτερη από την θερμό­ τητα Qc , που aπάγεται από την ψυχρή δεξαμενή. Ας σημειωθεί, ότι η σχέση των απόλυ­ των τιμών (18-8) ισχύει τόσο για θερμικές όσο και για ψυκτικές μηχανές. Από οικονομική άποψη ο βέλτιστος ψυκτικός κύκλος είναι εκείνος, κατά τον ο­ ποίο aπάγεται το μέγιστο ποσό θερμότητας Qc από την ψυκτική μηχανή με την ελάχιστη κατανάλωση μηχανικού έργου W. Επομένως, η ποσότητα που ενδιαφέρει στην προκειμέ­ νη περίπτωση είναι I Qc! WI = - Qc!W. Ο λόγος αυτός καλείται συντελεστής απόδοσης και συμβολίζεται με Κ. Επίσης έχουμε W = QH + Qc = - I QH I + Qc, οπότε (18-9) Όπως πάντα, μετρούμε τα QH, Qc και W στις ίδιες μονάδες ενέργειας έτσι ο Κ είναι έ­ νας αδιάστατος αριθμός. Το Σχ. 18-6 δείχνει τις βασικές αρχές λειτουργίας ενός κοινού ψυκτικού κύκλου. Το "κύκλωμα" του ρευστού περιέχει ένα ψυκτικό υγρό (το ενεργό υλικό). Στο παρελθόν αυτό ήταν συνήθως CCI2F2 ή Κάποιο άλλο της οικογένειας Freon· επειδή τα αλογόνα κα­ ταστρέφουν το όζον στην ανώτερη ατμόσφαιρα, έχει αρχίσει η .παραγωγή διαφόρων ε­ ναλλακτικών ψυκτικών υγρών. αριστερή πλευρά του κυκλώματος (συμπεριλαμβανομέ­ νων των ψυκτικών σωληνώσεων στο εσωτερικό της ψυκτικής μηχανής) βρίσκεται σε χα­ μηλή θερμοκρασία και υπό χαμηλή πίεση· η δεξιά πλευρά (συμπεριλαμβανομένων των σωληνώσεων του συμπιεστού έξω από την ψυκτική μηχανή) βρίσκεται σε υψηλή θερμο­ κρασία και υπό υψηλή πίεση. Συνήθως και οι δύο πλευρές περιέχουν υγρό και aτμούς σε ισορροπία φάσεων. Ο συμπιεστής παίρνε ι το υγρό, το συμπιέζει αδιαβατικά, και το μεταφέρει στις σωληνώσεις του συμπυκνωτή υπό μεγάλη πίεση. θερμοκρασία του υγρού είναι τότε με­ γαλύτερη από την θερμοκρασία του αέρα που περιβάλλει τον συμπυκνωτή· έτσι το ψυκτι­ κό υγρό αποδίδει θερμότητα I QH I συμπυκνώνοντας μερικώς το υγρό. Το ρευστό τότε ε­ κτονώνεται αδιαβατικά προς τον εξατμιστήρα με ρυθμό που ελέγχεται από την βαλβίδα εκτόνωσης. Στην διαδικασία αυτή το υγρό στις σωληνώσεις του εξατμιστήρα ψύχεται ση­ μαντικά, ώστε να είναι ψυχρότερο από το περιβάλλον τους. Απορροφά θερμότητα I Qc I από το περιβάλλον του ψύχοντας το με παράλληλη μερική εξάτμιση. Το υγρό τότε εισέρ-

Η

Η

18-5 Σχηματικό διάγραμμα ροής μιάς ψυκτικής μηχανής.

18-4 ΨΥΚτΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ

+-- Συ μπυκνωτής

ΘΕΡΜΟ �

513

.-.-.-- Βαλβίδα εκτόνωσης

t

Συμπυκνωτής

ΖΕΣΤΟ

Εσωτερικό του ψυγείου Συμπιεστής

(a) (b)

χεται στον συμπιεστή για να αρχίσει και πάλι νέος κύκλος. Ο συμπιεστής, που συνήθως λειτουργεί με ένα ηλεκτρικό κινητήρα, απαιτεί ενέργεια, ενώ παράγει έργο I W I επί του ενεργού υλικού κατά την διάρκεια κάθε κύκλου. Ένα σύστημα κλιματισμού λειτουργεί ακριβώς πάνω στην ίδια αρχή. Στην περί­ πτωση αυτή το ψυκτικό δοχείο είναι το δωμάτιο ή ολόκληρο το κτίριο. Οι σωληνώσεις ε­ ξάτμισης βρίσκονται στο εσωτερικό, οι σωληνώσεις του συμπυκνωτή στο εξωτερικό και ανεμιστήρες κυκλοφορούν τον αέρα μέσω αυτών (Σχ. 18-7). Σε μεγάλες εγκαταστάσεις οι σωληνώσεις του συμπυκνωτή ψύχονται συχνά με νερό. Οι ποσότητες, που έχουν μεγά­ λη πρακτική σημασία στα συστήματα κλιματισμού, είναι ο ρυθμός απαγωγής θερμότητας (το ρεύμα θερμότητας Η που aπάγεται από τον χώρο που ψύχεται) και η ισχύς εισόδου Ρ = W/t στον συμπιεστή. Αν θερμότητα Qc aπάγεται σε χρόνο t, τότε Η = Qc /t. Μπορούμε τότε να εκφράσουμε τον συντελεστή απόδοσης ως

l S-6 Αρχή του μηχανικσύ ψuκτικσύ κύκλου.

Συνήθεις τύποι συστημάτων κλιματισμού έχουν ρυθμούς απαγωγής Η ίσους προς 5000 μέχρι 10000 Btu/h, ή περίπου 1500 μέχρι 3000 W και απαιτούν ηλεκτρική ισχύ εισόδου 600 μέχρι 1200 W. Χαρακτηριστικές τιμές του συντελεστή απόδοσης είναι περίπου 2,5 με ελαφρώς μεγαλύτερες τιμές για μονάδες μεγαλύτερης χωρητικότητας. Οι τιμές του Κ με­ τριούνται σε κανονικοποιημένες συνθήκες εσωτερικής και έξωτερικής θερμοκρασίας: οι πραγματικές τιμές του Κ μεταβάλλονται ανάλογα με τις συνθήκες λειτουργίας. IS-7 Η αρχή λειτουργίας ενός συσtήματος κλιματισμσύ είναι ίδια με εκείνη μιάς ψυκτικής μηχανής.

514

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 ΔΕΥ'fΕΡΟ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟ ΑΞΙΩΜΑ

Δυστυχώς πολλές φορές στο εμπόριο ο Κ εκφράζεται σε μονάδες μεικτών συστημά­ των, με σε Btu ανά ώρα και σε watt. Στις μονάδες αmές ο λόγος καλείται βαθμο­ νόμηση ενεργειακής απόδοσης (energy efficίency ralίng, EER). Επειδή 1 W = 3,4 1 3 Btu/h, η EER είναι αριθμητικά 3,413 φορές μεγαλύτερη από τον αδιάστατο Κ. Συστήματα κλιματισμού δωματίων έχουν τιμές της EER από 7 έως 10. Οι μονάδες, που συνήθως παρα­ λείπονται, είναι (Btu/h)/W. Μία παραλλαγή του συστήματος αυτού είναι η αντλία θερμότητας, που χρησιμο­ ποιείται στην θέρμανση κτιρίων ψύχοντας τον εξωτερικό αέρα. Λειτουργεί όπως μία α­ ντίστροφη ψυκτική μηχανή με τον εσωτερικό και εξωτερικό χώρο aντεστραμμένους. Οι σωληνώσεις εξάτμισης τοποθετούνται εξωτερικά, παίρνοντας θερμότητα από τον ψυχρό αέρα, και οι σωληνώσεις του συμπυκνωτή τοποθετούνται εσωτερικά, προσφέροντας θερ­ μότητα στον εσωτερικό θερμότερο αέρα. Με την κατάλληλη σχεδίαση η θερμότητα I QH ι, που προσφέρεται ανά κύκλο στο εσωτερικό μπορεί να είναι σημαντικά μεγαλύτερη από το έργο Ι w ι, που απαιτείται για να μεταφερθεί εκεί. Για να μεταφερθεί θερμότητα από ένα ψυχρότερο σώμα σε ένα θερμότερο απαιτεί­ ται πάντοτε κάποιο έργο. Θερμότητα ρέει αυθόρμητα από το θερμότερο στο ψυχρότερο, και για να αντιστραφεί αυτή η ροή απαιτείται η προσφορά έργου εξωτερικά. πείρα δεί­ χνει, ότι είναι αδύνατη η κατασκευή μιάς ψυκτικής μηχανής, που θα μεταφέρει θερμότητα από ένα ψυχρό σώμα σε ένα θερμότερο χωρίς την προσφορά έργου. Αν δεν απαιτείτο έρ­ γο, ο συντελεστής απόδοσης θα ήταν άπειρος. Μία τέτοια συσκευή θα ονομαζόταν άεργη ψυκτική μηχανή· πρόκειται για ένα μυθικό τέρας, όπως ο μονόκερως και το δωρεάν γεύμα!

Η

Ρ

ΗI Ρ

Η

1 8-5

ΤΟ Δ ΕΥΤΕ Ρ Ο ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙ ΚΟ ΑΞ Ι Ω Μ Α

Ισχυρές πειραματικές ενδείξεις ενισχύουν την άποψη, ότι είναι αδύνατο να κατασκευα­ στεί θερμική μηχανή, που να μετατρέπει εξ ολοκλήρου θερμότητα σε έργο, δηλαδή μία μηχανή με θερμικό συντελεστή απόδοσης 100%. αδυναμία αυτή αποτελεί τη βάση μιάς από τις διατυπώσεις του δεύτερου θερμοδυναμικού αξιώματος, ως εξής:

Η

Δεν υπάρχει σύστημα που υφίσταται μία μεταβολή, κατά την οποία απορ­ ροφά θερμότητα από μία δεξαμενή σε μία συγκεκριμένη θερμοκρασία, την μετατρέπει εξ ολοκλήρου σε μηχανικό έργο και καταλήγει στην ίδια αρχική . του κατάσταση.

Τη διατύπωση αυτή καλούμε διατύπωση "θερμικής μηχανής" του δεύτερου θερμοδυναμι­ κού αξιώματος. βάση του δεύτερου θερμόδυναμικού αξιώματος βρίσκεται στην διαφορά ανάμε­ σα στη φύση της εσωτερικής (θερμοδυναμικής) ενέργειας και της μακροσκοπικής μηχα­ νικής ενέργειας. Σ' ένα κινούμενο σώμα τα μόρια εκτελούν τυχαία κίνηση, στην οποία ό­ μως επιπροστίθεται η διατεταγμένη κίνηση του σώματος στην κατεύθυνση της κίνησής του. κινητική ενέργεια, που είναι συνυφασμένη με την διατεταγμένη μακροσκοπική κί­ νηση αποτελεί την γνωστή κινητική ενέργεια κινουμένου σώματος. κινητική ενέργεια και η δυναμική ενέργεια, που είναι συνυφασμένες με την τυχαία κίνηση των μορίων του σώματος συνιστούν την εσωτερική ενέργεια. Όταν ένα κινούμενο σώμα καταλήξει σε ηρεμία λόγω τριβής ή λόγω μη ελαστικής σύγκρουσης, το διατεταγμένο μέρος της κίνησης μετατρέπεται σε τυχαία κίνηση. Επειδή δεν μπορούμε να επέμβουμε τις κινήσεις των μεμονωμένων μορίων, δεν μπορούμε να με­ τατρέψουμε πλήρως αυτή την τυχαία κίνηση σε διατεταγμένη κίνηση. Μπορούμε να με­ τατρέψουμε μέρος αmής, και αυτό ακριβώς κάνει η θερμική μηχανή. Σκεφτείτε, τι θα μπορούσαμε να κάνουμε αν δεν ίσχυε το δεύτερο θερμοδυναμικό αξίωμα. Θα μπορούσαμε να κινήσουμε ένα αυτοκίνητο ή να θέσουμε σε λειτουργία ένα εργοστάσιο ηλεκτροπαραγωγής ψύχοντας τον αέρα του περιβάλλοντος. Καμία από αmές τις δύο απίθανες περιπτώσεις δεν παραβιάζει το πρώτο θερμοδυναμικό αξίωμα. Επομένως το δεύτερο θερμοδυναμικό αξίωμα δεν είναι απόρροια του πρώτου αλλά αποτελεί ένα ξε­ χωριστό νόμο της φύσης. Το πρώτο θερμοδυναμικό αξίωμα δεν επιτρέπει την δημιουργία ή την καταστροφή ενέργειας το δεύτερο θερμοδυναμικό αξίωμα περιορίζει την διάθεση ε­ νέργειας και τους τρόπους, με τους οποίους μπορεί να χρησιμοποιηθεί και να μετατραπεί. ανάλυσή μας για τις ψυκτικές μηχανές στο Εδάφιο 18-4 αποτελεί την βάση για μία εναλλακτική διατύπωση του δεύτερου θερμοδυναμικού αξιώματος. Θερμότητα ρέει αυθόρμητα από ένα θερμότερο σώμα σε 9'α ψυχρόγ!ρο, ποτέ αντίστροφα. Μία ψυκτική

Η

Η

Η

Η

18-5 ΤΟ ΔΕΥΙΈΡΟ θΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟ ΑΞΙΩΜΑ

(a)

(b)

μηχανή πράγματι μεταφέρει θερμότητα από ένα ψυχρότερο σώμα σε ένα θερμότερο, ό­ μως η λειτουργία αυτή εξαρτάται από την προσφορά μηχανικής ενέργεια ή έργου. Γενικεύοντας αυτή την παρατήρηση, διατυπώνουμε την εξής πρόταση: Είναι αδύνατο οποιαδήποτε μεταβολή να έχει σαν αποκλειστικό αποτέλε­ σμα την μεταφορά θερμότητας από ένα ψυχρότερο σώμα σε ένα θερμότερο.

Τη διατύπωση αυτή καλούμε διατύπωση της "ψυκτικής μηχανής" του δεύτερου θερμοδυναμικού αξιώματος. διατύπωση αυτή μπορεί να φαίνεται, ότι δεν σχετίζεται με τη διατύπωση "θερμικής μηχανής". Όμως στην πραγματικότητα, οι δύο αυτές διατυ­ πώσεις είναι εντελώς ισοδύναμες. Για παράδειγμα, αν μπορούσαμε να κατασκευάσουμε μία ψυκτική μηχανή, που θα λειτουργούσε χωρίς iην κατανάλωση έργου, παραβιάζοντας τη διατύπωση "ψυκτικής μηχανής" του δεύτερου θερμοδυναμικού αξιώματος, θα μπο­ ρούσαμε να την χρησιμοποιήσουμε σε συνδυασμό με μία θερμική μηχανή προσφέροντας στην θερμή δεξαμενή την θερμότητα που αποβάλλει η ψυκτική μηχανή για να ξαναχρησι­ μοποιηθεί. Αυτή η σύνθετη μηχανή (Σχ. 18-8a) θα παραβίαζε τη διατύπωση "θερμικής μηχανής" του δεύτερου θερμοδυναμικού αξιώματος, επειδή το τελικό αποτέλεσμα θα ή ­ ταν να πάρουμε μία ολική ποσότητα θερμότητας Q H - I Qcl από την δεξαμενή υψηλής θερμοκρασίας και να την μετατρέψουμε εξ ολοκλήρου σε έργο W. Εναλλακτικά θα μπορούσαμε να κατασκευάσουμε μία μηχανή με θερμική απόδο­ ση 100 %, παραβιάζοντας το πρώτο θερμοδυναμικό αξίωμα. Θα μπορούσαμε να την θέ­ σουμε σε λειτουργία χρησιμοποιώντας θερμότητα από μία δεξαμενή υψηλής θερμοκρα­ σίας και να χρησιμοποιούσαμε το έργο εξόδου για να θέταμε σε λειτουργία μία ψυκτική μηχανή, που προσφέρει θερμότητα από τη δεξαμενή χαμηλής θερμοκρασίας στη δεξαμε­ νή υψηλής θερμοκρασίας (Σχήμα 18-8b) σύνθετη αυτή μηχανή θα παραβίαζε τη δια­ τύπωση της "ψυκτικής μηχανής" του δεύτερου θερμοδυναμικού αξιώματος, επειδή το τε­ λικό της αποτέλεσμα θα ήταν να πάρουμε θερμότητα Qc από τη δεξαμενή χαμηλής θερ­ μοκρασίας και να την αποδώσουμε στη δεξαμενή υψηλής θερμοκρασίας, χωρίς να απαι­ τούμε οποιαδήποτε προσφορά έργου. Επομένως οποιαδήποτε διάταξη, που παραβιάζει τη μία διατύπωση του δεύτερου θερμοδυναμικού αξιώματος μπορεί επίσης να χρησιμο­ ποιηθεί για την κατασκευή μιάς διάταξης που παραβιάζει και την άλλη διατύπωση. Αν παραβιάσεις της πρώτης διατύπωσης είναι αδύνατες, θα είναι αδύνατες οι παραβιάσεις και της άλλης διατύπωσης . μετατροπή έργου σε θερμότητα, όπως στην τριβή ή στη ροή παχύρευστων υ­ γρών, και η διάδοση θερμότητας από θερμότερα σώματα σε ψυχρότερα κατά μήκος πε­ περασμένης βαθμίδας θερμοκρασίας είναι μη αντιστρεπτές μεταβολές. διατύπωση "θερμικής μηχανής" και "ψυκτικής μηχανής" του δεύτερου θερμοδυναμικού αξιώματος δηλώνουν, ότι οι μεταβολές αυτές μπορούν εν μέρει να αντιστραφούν. Θα μπορούσαμε να αναφέρουμε πολλά παραδείγματα. Τα αέρια πάντοτε διαρρέουν από ένα άνοιγμα αυ­ θόρμητα από μία περιοχή υψηλής πίεσης σε περιοχή χαμηλής πίεσης υγρά και αέρια που είναι δυνατό να αναμειχθούν, εάν αφεθούν ελεύθερα, πάντοτε τείνουν να αναμει­ χθούν και όχι να διαχωριστούν. Το δεύτερο θερμοδυναμικό αξίωμα είναι μία έκφραση της μονόδρομης ενδογενούς θεώρησης αυτών και πολλών άλλων μη aντιστρεπτών διαδι­ κασιών. Μετατροπή ενέργειας είναι μία ουσιώδης θεώρηση του φυτικού και ζωικού βα­ σιλείου και πολλών άλλων μηχανικών διατάξεων· επομένως, το δεύτερο θερμοδυναμικό αξίωμα είναι υψίστης σημασίας για τον κόσμο, στον οποίο ζούμε.

Η

.

Η

Η

Η

5 15

1 8-8 Διάγραμμα ροής ενέργειας για ισοδύναμες διατυπώσεις του δεύτερου θερμοδυναμικού αξιώματος. (a) Μία ψυκτική μηχανή που δεν καταναλίσκει έργο, εάν υπήρχε, θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί σε συνδυασμό με μία κοινή θερμική μηχανή(δεξιά). Ο συνδυασμός των δύο μηχανών θα λειτουργούσε σαν μία μηχανή με απόδοση 100 %, μετατρέποντας θερμότητα QH - Ι Ωc Ι εξ ολοκλήρου σε έργο. (b) Μία θερμική μηχανή με απόδοση 100 % (αριστερά), εάν υπήρχε, θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί από κοινού με μία συνήθη ψυκτική μηχανή (δεξιά). Ο συνδυασμός των δύο θα ήταν μία ψυκτική μηχανή που μεταφέρει θερμότητα Ωc από την ψυχρότερη δεξαμενή στην θερμότερη χωρίς την προσφορά έργου. Επειδή οποιαδήποτε από αυτές τις δύο μηχανές δεν είναι δυνατό να υπάρξει, και η άλλη πρέπει επίσης να είναι αδύνατη.

5 16

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 ΔΕΥfΕΡΟ θΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟ ΑΞΙΩΜΑ

1 8-6

Ο

ΚΥΚΛ Ο Σ ΤΟΥ CARNOT

_ _ _ _ _

Σύμφωνα με το δεύτερο θερμοδυναμικό αξίωμα μία θερμική μηχανή δεν μπορεί να έχει συντελεστή απόδοσης 100%. Πόσο μεγάλο συντελεστή απόδοσης μπορεί να έχει μία μη­ χανή, όταν δίνονται δύο δεξαμενές θερμότητας σε θερμοκρασίες ΤΗ και Tc; ερώτηση αυτή απαντήθηκε το 1824 από τον Γάλλο μηχανικό Sadi Carnot (1796-1832), ο οποίος α­ νέπτυξε μία υποθετική, εξιδανικευμένη θερμική μηχανή, η οποία έχει τον μέγιστο δυνα­ τό συντελεστή απόδοσης, σύμφωνο με το δεύτερο θερμοδυναμικό αξίωμα. Ο κύκλος αυ­ τής της μηχανής καλείται Κύκλος tου Carnot. Για να κατανοήσουμε την λογική βάση του κύκλου του Carnot επανερχόμαστε σε ένα θέμα που επαναλαμβάνεται συχνά στο κεφάλαιο αυτό, την aντιστρεπτότητα και την σχέση της με τις κατευθύνσεις των θερμοδυναμικών μεταβολών. Μετατροπή έργου σε θερμότητα είναι μία μη aντιστρεπτή μεταβολή· ο βασικός στόχος μιάς θερμικής μηχανής είναι η μερική αντιστροφή αυτής της μεταβολής, η μετατροπή θερμότητας σε έργο με όσο το δυνατό μεγαλύτερη απόδοση. Επομένως, για να επιτύχουμε την μέγιστη δυνατή από­ δοση μιάς θερμικής μηχανής πρέπει να αποφεύγουμε όλες τις μη αντιστρεπτές μεταβολές. Αυτή η απαίτηση αποδεικνύεται, ότι είναι αρκετή για να καθορίσει την βασική αλληλου­ χία βημάτων στον κύκλο του Camot, όπως θα δείξουμε παρακάτω. Ροή θερμότητας λόγω πεπερασμένης θερμοβαθμίδας είναι μία μη aντιστρεπτή μετα­ βολή. Επομένως, κατά τη διάρκεια μεταφοράς θερμότητας στον κύκλο του Camot δεν μπο­ ρεί να υπάρχει πεπερασμένη διαφορά θερμοκρασίας. Όταν η μηχανή προσλαμβάνει θερ­ μότητα από την δεξαμενή υψηλής θερμοκρασίας ΤΗ, το ενεργό υλικό της μηχανής πρέπει και αυτό να βρίσκεται σε θερμοκρασία ΤΗ, διαφορετικά θα παρατηρηθεί ροή θερμότητας. Ομοίως, όταν η μηχανή αποβάλλει θερμότητα προς την δεξαμενή χαμηλής θερμοκρασ�ας Tc, η ίδια η μηχανή θα πρέπει να βρίσκεται σε θερμοκρασία Tc . Δηλαδή, κάθε μεταβολή, που συνεπάγεται μεταφορά θερμότητας, θα πρέπει να είναι ισόθερμη είτε σε ΤΗ ή σε ΤcΑντίστροφα, σε οποιαδήποτε μεταβολή, στην οποία η θερμοκρασία του ενεργού υλι­ κού βρίσκεται μεταξύ των ΤΗ και Τσ δεν θα πρέπει να υπάρχει μεταφορά θερμότητας με­ ταξύ της μηχανής και οποιασδήποτε από τις δύο δεξαμενές, επειδή μία τέτοια μεταφορά θερμότητας δεν θα ήταν aντιστρεπτή. Επομένως, οποιαδήποτε μεταβολή, στην οποία η θερμοκρασία Τ του ενεργού υλικού μεταβάλλεται, πρέπει να είναι αδιαβατική. Το γενικό συμπέρασμα είναι, ότι κάθε μεταβολή ότο εξιδανικευμένο σύστημά μας πρέπει να είναι εί­ τε ισόθερμη ή αδιαβατική. Επί πλέον, θερμική και μηχανική ισορροπία πρέπει να διατη­ ρούνται κάθε χρονική στιγμή, έτσι ώστε κάθε μεταβολή να είναι εξ ολοκλήρου aντιστρεπτή.

Η

18-9 Ο κύκλος του Carnot για ιδανικό αέριο. Οι γαλάζιες γραμμές αντΙJtροσωπεύουν τις ισόθερμες μεταβολές οι σκούρες μπλε τις αδιαβατικές. Ρ

--+-

J-

d --7 a Αδιαβατική εκτόνωση

-

C --'ι d

Ισόθερμη συμπίεση

b --7 c Αδιαβατικ1j συμπίεση

18--6 Ο ΚΥΚΛΟΣ ΤΟΥ CARNOT

Ο κύκλος του Carnot

Carnot

Ο κύκλος του αποτελείται από δύο ισόθερμες και δύο αδιαβατικές μεταβολές. Το Σχ. 18-9 δείχνει ένα κύκλο του στον οποίο χρησιμοποιείται κάποιο ιδανικό αέ­ ριο σε κύλινδρο με έμβολο. Περιλαμβάνει τα εξής βήματα: 1 . Το αέριο εκτονώνεται ισόθερμα σε θερμοκρασία aπορροφώντας θερμότητα

Carnot,

ΤΗ,

QH (ab).

2. Το αέριο εκτονώνεται μέχρις ότου η θερμοκρασία πέσει σε Tc (bc). 3. Το αέριο εκτονώνεται ισόθερμα σε θερμοκρασία Tc αποβάλλοντας θερμότητα

I Ωc l (cd).

4. Το αέριο συμπιέζεται αδιαβατικά και επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση σε θερμοκρασία TH (da). Όταν το ενεργό υλικό σε μία μηχανή του είναι ιδανικό αέριο, μπορούμε να υπολογίσουμε την απόδοση e. Για τον υπολογισμό αυτό προσδιορίζουμε πρώτα τον λόγο Ωc/QH των ποσοτήτων θερμότητας που υπεισέρχονται στις δύο ισόθερμες μεταβο­ λές και στην συνέχεια χρησιμοποιούμε την Εξ. (18-4) για να υπολογίσουμε την e. Για ένα ιδανικό αέριο η εσωτερική ενέργεια U εξαρτάται μόνο από τη θερμοκρα­ σία και επομένως παραμένει σταθερή σε μία ισόθερμη μεταβολή. Στην ισόθερμη εκτό­ νωση ab, ισχύει Δ Uab = Ο, και η QH είναι ίση προς το έργο Wab που παράγεται από το αέ­ ριο κατά τη διάρκεια της ισόθερμης εκτόνωσης σε θερμοκρασία Το έργο αυτό δίνε­ ται από την Εξ. (17-4):

Carnot

ΤΗ.

(18-10) Ομοίως

v = - nRTc ln v . ln ι/ Vd

�d = Ωc = nRTc

c

(18-11)

Η ποσότητα αυτή είναι αρνητική επειδή ο όγκος Vd είναι μικρότερος από τον V: . Ο λόγος των δύο ποσοτήτων θερμότητας είναι λοιπόν ( 18-12) Η εξίσωση αυτή μπορεί να απλουστευθεί ακόμη περισσότερο χρησιμοποιώντας την σχέ­ ση θερμοκρασίας-όγκου για αδιαβατικές μεταβολές, Εξ. (17-24). Για τις δύο αδιαβατι­ κές μεταβολές έχουμε

ΤΗ V/- Ι = Tc V:y- 1 , TH V/ - 1

=

Tc V/ - ' .

Διαιρώντας κατά μέλη, καταλήγουμε στην σχέση

v.b y - 1 V/ - 1

1

v y-' V/- 1 ' -

και

v.b v = . Va Vd c

Επομένως στην Εξ. (18-12) οι δύο λογάριθμοι είναι ίσοι, και η σχέση αυτή απλοποιείται στην ή Στη συνέχεια, η απόδοση της μηχανής

(18-13)

Carnot είναι, σύμφωνα με την Εξ. (18-4) (18-14)

Αυτό το εκπληκτικά απλό αποτέλεσμα δηλώνει, ότι ο συντελεστής απόδοσης μιάς μηχανής εξαρτάται μόνο από τις θερμοκρασίες των δύο δεξαμενών θερμότητας. Η απόδο­ ση γίνεται μεγάλη, όταν η διαφορά θερμοκρασίας είναι μεγάλη και γίνεται πολύ μικρή, ό­ ταν οι θερμοκρασίες είναι σχεδόν ίσες. Η απόδοση δεν μπορεί ποτέ να είναι ίση προς την μονάδα εκτός εάν Tc = Ο· θα δούμε αργότερα, ότι και αυτό είναι επίσης αδύνατο.

Carnot

517

518

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 ΔΕΥfΕΡΟ θΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟ ΑΞΙΩΜΑ

- Π Α ΡΑ ΔΕΙΓΜΑ

1 8-2

-----

Μηχανή Carnot αφαιρεί 2000 J από μία δεξαμενή στους παράγει λίγο έργο και αποδίδει λίγη θερμότητα σε μία δεξαμενή, της οποίας η θερμοκρασία είναι 350 Κ. Πό­ σο έργο παράγει, πόση θερμότητα αποδίδει και ποιά είναι η απόδοση; ΛΥΣΗ Από την Εξ. (18-13) η θερμότητα Qc , που αποδίδε­ ται από την μηχανή, είναι 500 Κ,

QC = - QH

Tc

ΤΗ

350 Κ = - (2000 J) 500 Κ

QH

= - 1400 1.

- Π Α ΡΑ ΔΕΙ ΓΜ Α

= 6,65 χ 105 m3•

Ο όγκος διπλασιάζεται κατά την διάρκεια της ισόθερμης ε­ κτόνωσης α � b, Vb = 2V" = 2(6,65 χ 10-4 m3) = 13,3 χ 10-4 m3.

Επίσης, κατά τη διάρκεια της ισόθερμης εκτόνωσης α � b, Pa Va = pb Vb, έτσι Pb = P(b a = 5,00 χ 105 Pa. Για την αδιαβατική εκτόνωση b � c, ισχύει ΤΗVbγ - ι = Tc V,Y - \ έτσι 2 V, = Vb ( ΤΗ)ι/(γ - Ι) = ( 13,3 χ 10-4 m3) ( 400 Κ ) '5 Tc

300 Κ

= 27,3 χ 10-4 m3•

Χρησιμοποιώντας την καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων για το σημείο c, βρίσκουμε Pc = � =

(0,200 mol)(8,315 1/mol · Κ)(300 Κ) 27,3 χ 10-4 m3 = 1,83 χ 105 Pa. nRTc

Για την αδιαβατική συμπίεση d � α, TcV/-ι = τΗ V/ - ι' ο­ πότε ) .s τ )ιι(γ - ι) = (6'65 χ 10-4 m3) (i..._ 00 _Κ 2 vd = va (_!:!. Tc 300 Κ Pd = ----γ;;- = nRTc

·

(0,200 mo\)(8,3 15 1/mo\ Κ)(300 Κ) 13,6 χ 10-4 m3

= 3,67 χ 105 Pa.

2000 Κ

1 8-3 -----

Υποθέστε, ότι 0,200 mol ιδανικού διατομικού αερίου (γ = 1,40) υπόκειται σε ένα κύκλο του Carnot με θερμοκρασίες ΤΗ = 400 Κ και Tc = 300 Κ. Η αρχική πίεση είναι p" = 10,0 χ 105 Pa και κατά την διάρκεια της ισόθερμης εκτόνωσης σε θερμοκρασία ΤΗ ο όγκος διπλασιάζεται. a) Υπολογίστε την πίεση και τον όγκο σε κάθε σημείο α, b, c και d στο Σχ. 18-9. b) Υπολογίστε τα Q, W και ΔU για κάθε βήμα και για ολόκληρο τον κύκλο. c) Προσδιορίστε την απόδοση α­ πευθείας από τα αποτελέσματα του (b) μέρους και να τη συγκρίνετε με το αποτέλεσμα της Εξ. ( 18-14). ΛΥΣΗ a) Χρησιμοποιούμε την καταστατική εξίσωση των ι­ δανικών αερίων για να υπολογίσουμε τον va : (0,200 mo\)(8,315 1/mol · Κ)(400 Κ) = V" = nRTH Ρ. 10,0 χ 105 Pa

= 13,6 χ 10-4 m3•

Σύμφωνα με το πρώτο θερμοδυναμικό αξίωμα, το έργο που παράγεται από την μηχανή είναι W = QH + Qc = 2000 1 + (-1400 1) = 600 1. Από την Εξ. (18-14) ο συντελεστής θερμικής απόδοσης είναι Tc 350 Κ e = 1ΤΗ = 1 - 500 Κ = 0,30 = 30%. Εναλλακτικά, από το πρώτο θερμοδυναμικό αξίωμα, W = 600 Κ = 0,30 = 30%. e =

εκτόνωση α � b, έχουμε ΔUab = Ο. Για να υπολογίσουμε τΟ Wab (το ΟΠΟίΟ είναι ίσο ΠρΟς τΟ QH), χρησιμοποιούμε την Εξ. ( 1 7-4) στο Παράδειγμα 1 7-1 για το έργο, που παράγεται από ένα ιδανικό αέριο σε μία ισό­ θερμη εκτόνωση: vb Wab = QH = nRTH ln γ a b) Στην ισόθερμη

= (0,200 mo\)(8,3 15 1/mol · Κ)(400 Κ) (\η 2) = 461 1.

Για την αδιαβατική εκτόνωση b � c, Qικ = Ο. Υπολογίζου­ με το έργο Wικ από την Εξ. (1 7-27), χρησιμοποιώντας Cv = 20,8 1/mo\ · Κ για ένα ιδανικό διατομικό αέριο: Wικ = - ΔUικ = nCv (TH - Tc) = (0,200 mo\)(20,8 1/mo\ · Κ)(400 Κ - 300 Κ)

=

461 1.

Για την ισόθερμη συμπίεση c � d, ΔUcd = Ο· η Εξ. ( 1 7-4) δίνει

(

= (Ο '200 mo\)(8'315 1/mol · Κ)(300 Κ) ιn 13,6 χ 10-4 m3 27,3 χ 10-4 m3 = - 348 1.

)

Για την αδιαβατική συμπίεση d � α, ισχύει Qda = Ο και wda = - ΔUda = nCv (Tc - ΤΗ)

·

= (0,200 mol)(20,8 1/mo\ Κ)(300 Κ - 400 Κ) = - 461 1.

Μπορούμε να καταγράψουμε τα αποτελέσματα σε πίνακα ως εξής: Q

Διαδικασία

α �b b�c c �d d�α

-

461 1

ο - 348 1

ο

w

461 1 416 1

ΔU

ο - 41 6 1

- 348 1

ο

- 416 1

416 1

113 1 113 1 Σύνολο ο Ας σημειωθεί, ότι για ολόκληρο τον κύκλο Q = W και ΔU = Ο. Επίσης, ότι οι ποσότητες του έργου στις δύο αδια­ βατικές μεταβολές έχουν αντίθετα πρόσημα· είναι εύκολο να αποδειχθεί από την ανάλυση που οδηγεί στην Εξ. ( 18-13), ότι έτσι πρέπει να συμβαίνει πάντοτε.

519

18-6 Ο ΚΥΚΛΟΣ ΤΟΥ CARNOT

c) Από τον πίνακα προκύπτει, ότι το ολικό έργο είναι 113 J και QH = 461 J. Επομένως w 1 13 1 e = QH 461 J = 0,25.

=

Μπορούμε να συγκρίνουμε αυτό με το αποτέλεσμα της Εξ. (18-14): Κ - 300 Κ = 0 25 = THΤΗTc = 400 400 · Κ • '

e

Η ψυκτική μηχανή Carnot

Carnot

Επειδή κάθε βήμα στον κύκλο του είναι aντιστρεπτό, ολόκληρη η λειτουργία της μηχανής μπορεί να αντιστραφεί, μετατρέποντας την θερμική μηχανή σε ψυκτική μηχανή. Ο συντελεστής απόδοσης της ψυκτικής μηχανής λαμβάνεται συνδυάζοντας τον γενικό ορισμό του Κ, Εξ. (18-9), με την Εξ. (18-13) για τον κύκλο του Πρώτα ξα­ ναγράφουμε την Εξ. (18-9) με την μορφή

Carnot

Carnot.

I Ωc i Ι I Q H I . 1 - / Ωc i / I Q H / Στην συνέχεια aντικαθιστούμε την Εξ. (18-3), I Ωc i Ι I Q H I = Tc !YH , στη σχέση αυτή. Το αποτέλεσμα είναι Keamoι

=

Tc

ΤΗ - τ.

-

C

·

(18-15)

Όταν η διαφορά θερμοκρασίας ΤΗ - Tc είναι μικρή, ο Κ είναι πολύ μεγαλύτερος από την μονάδα· στην περίπτωση αυτή μπορεί να "αντληθεί" αρκετή θερμότητα από την δεξαμενή χαμηλής θερμοκρασίας στην δεξαμενή υψηλής θερμοκρασίας με ελάχιστη κατανάλωση έρ­ γου. Όμως, όσο μεγαλύτερη είναι η διαφορά θερμοκρασίας, τόσο μικρότερος είναι ο Κ και τόσο περισσότερο έργο απαιτείται για τη μεταφορά δεδομένης ποσότητας θερμότητας. -

Π Α ΡΑ ΔΕ Ι ΓΜ Α

1 8-4

-------

Αν ο κύκλος που περιγράφεται στο Παράδειγμα 18-3 λει­ τουργήσει αντίστροφα σαν ψυκτική μηχανή, ο συντελεστής απόδοσης δίνεται από την Εξ. (18-9): Q κ = H = 348 Κ = 3,0. 113 κ ι wι Επειδή ο κύκλος είναι ένας κύκλος του Carnot, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την Εξ. (18-15): τ κ Κ = ΤΗ _c = 400 3οο Κ - 300 Κ = 3'0' Tc

Σε έναν κύκλο του Carnot ο e και ο Κ εξαρτώνται μόνο από τις θερμοκρασίες, όπως προκύπτει από τις Εξ. (18-14) και (18-15) και δεν είναι απαραίτητο να υπολογίσουμε την Q και το W. Για κύκλους που περιλαμβάνουν μη αντιστρεπτές μεταβολές, όμως, οι σχέσεις αυτές παύουν να ισχύουν και απαιτούνται περισσότερο λεπτομερείς υπολογισμοί.

κύκλος του Carnot και το δεύτερο θερμοδυναμικό αξίωμα Μπορούμε να αποδείξουμε, ότι καμία μηχανή δεν μπορεί να είναι περισσότερο αποδοτι­ κή από μία μηχανή Carnot που λειτουργεί μεταξύ των δύο ίδιων θερμοκρασιών. Το κύ­ ριο σημείο στην απόδειξη είναι η παρατήρηση που έγινε παραπάνω, ότι επειδή κάθε βήμα στον κύκλο του Carnot είναι aντιστρεπτό, ολόκληρος ο κύκλος μπορεί να αντιστραφεί. Αντιστρέφοντας την πορεία διαγραφής του Κύκλου, η θερμική μηχανή μετατρέπεται σε ψυκτική μηχανή. Ας υποθέσουμε, ότι έχουμε μία θερμική μηχανή, που είναι περισσότερο αποδοτική από μία μηχανή Carnot (Σχ. 18-10 στη σελίδα 520). Θεωρούμε, ότι η μηχανή Carnot, λειτουργεί αντίστροφα σαν ψυκτική μηχανή με αρνητικό έργο - W, προσλαμβάνει θερμότητα Ωc από τη ψυχρή δεξαμενή και αποδίδει θερμότητα /QH/ στη θερμή δεξαμενή. Η υπεραποδοτική μηχανή αποδίδει / Ωc/ , αλλά για να πραγματοποιηθεί αυτό προσλαμβά­ νει μεγαλύτερο ποσό θερμότητας QH + Δ. Το έργο εξόδου είναι τότε W + Δ και το τελικό αποτέλεσμα των δύο μηχανών μαζί είναι να πάρουν ποσότητα θερμότητας Δ και να τη με­ τατρέψουν πλήρως σε έργο. Αυτό παραβιάζει τη διατύπωση του δεύτερου θερμοδυναμι­ κού αξιώματος, που αφορά τη "θερμική μηχανή". Με ένα παρόμοιο συλλογισμό Θα μπο­ ρούσαμε να κατασκευάσουμε μία υπεραποδοτική μηχανή, που θα παραβίαζε τη διατύπω­ ση της "ψυκτικής μηχανής" του δεύτερου θερμοδυναμικού αξιώματος. Ας σημειωθεί, ότι η υπεραποδοτική μηχανή δεν χρειάζεται να υποθέσουμε, ότι είναι aντιστρεπτή. Ο

520

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 ΔΕΥΙΈΡΟ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟ ΑΞΙΩΜΑ

lS-10 Αν υπήρχε μία περισσότερο αποδοτική μηχανή από μία μηχανή Carnot, θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί σε συνδυασμό με μία ψυκτική μηχανή Carnot, για να μετατρέψει τη θερμότητα Δ εξ ολοκλήρου σε έργο, χωρίς τη συνολική διάδοση θερμότητας στη ψυχρή δεξαμενή. Σύμφωνα με το δεύτερο θερμοδυναμικό αξίωμα αυτό δεν είναι δυνατό να συμβεί.

Υπεραποδοτική

μηχανή

Επομένως η δήλωση, ότι καμία μηχανή δεν μπορεί να είναι περισσότερο αποδοτική από μία μηχανή είναι μία ακόμη ισοδύναμη διατύπωση του δεύτερου θερμοδυνα­ μικού αξιώματος. Επίσης συνεπάγεται αμέσως, ότι όλες οι μηχανές Carnot που λειτουρ­

Carnot

γούν μεtαξύ tων δύο ίδιων θερμοκρασιών, έχουν tον ίδιο συντελεστή απόδοσης, ανεξάρ­ tηtα από to ενεργό υλικό. Αν και αποδείξαμε την Εξ. (18-14) για ένα κύκλο του

Carnot

χρησιμοποιώντας ένα ιδανικό αέριο ως ενεργό υλικό, στην πραγματικότητα ισχύει για ο­ ποιαδήποτε μηχανή του χωρίς να έχει σημασία τι είναι το ενεργό υλικό. Εξίσωση (18-14) δείχνε ι πώς να μεγιστοποιούμε την απόδοση μιάς πραγματι­ κής μηχανής, όπως μιάς aτμομηχανής. θερμοκρασία εισόδου ΤΗ πρέπει να είναι όσο το δυνατό ψηλότερη και η θερμοκρασία εξόδου Tc όσο το δυνατό χαμηλότερη. θερμοκρασία εξόδου δεν μπορεί να είναι χαμηλότερη από την θερμοκρασία που διατίθεται για την ψύξη του σωλήνα εξαγωγής. Αυτή είναι συνήθως η θερμοκρασία του αέρα, ή ίσως.το νερό ενός ποταμού ή μιάς λίμνης, εάν υπάρχει διαθέσιμο στο εργο­ στάσιο. Επίσης θέλουμε η θερμοκρασία του λέβητα να είναι όσο το δυνατό μεγαλύτε­ ρη. τάση ατμών όλων των υγρών αυξάνε·ι τάχιστα αυξάνοντας την θερμοκρασία, έτσι περιοριζόμαστε από την μηχανική αντοχή του λέβητα. Στους 500 ο η τάση ατμών του νε­ ρού είναι περίπου 240 χ 105 (235 ή 3450 psi), και αυτή είναι περίπου η μέγιστη πίεση που επιτυγχάνεται στη πράξη σε σύγχρονους μεγάλους aτμολέβητες. Σε εργοστάσια ηλεκτροπαραγωγής δημιουργεί σοβαρό περιβαλλοντολογικό πρό­ βλημα η αναπόφευκτη απώλεια θερμότητας εξόδου . Όταν χρησιμοποιείται μία λίμνη ή ένας ποταμός για ψύξη, η θερμοκρασία του νερού μπορεί να αυξηθεί κατά μερικούς βαθμούς. Μία τέτοια μεταβολή της θερμοκρασίας έχει σαν συνέπεια την διατάραξη της γενικής οικολογικής ισορροπίας, δεδομένου ότι σχετικά μικρές μεταβολές της θερμο­ κρασίας μπορεί να έχουν σημαντικές επιδράσεις στους ρυθμούς μεταβολισμού σε φυτά και σε ζώα. Επειδή η θερμική ρύπανση, όπως καλείται το φαινόμενο αυτό, είναι μία ανα­ πόφευκτη συνέπεια του δεύτερου θερμοδυναμικού αξιώματος, ένας προσεκτικός σχεδια­ σμός είναι εξαιρετικά ουσιώδης στην ελαχιστοποίηση της οικολογικής επίδρασης νέων εργοστασίων ηλεκτροπαραγωγής.

Η

Carnot,

Η

Η

ΤΗ

Η

Pa

* 1 8-7

C

atm

ΕΝΤΡΟΠΙΑ

Το δεύτερο θερμοδυναμικό αξίωμα, όπως το έχουμε διατυπώσει, έχει μάλλον διαφορετι­ κή μορφή από άλλους νόμους της Φυσικής. Δεν είναι μία εξίσωση ή κάποια ποσοτική σχέση αλλά μάλλον μία δήλωση αδυνατότητας. Όμως, το δεύτερο θερμοδυναμικό αξίω­ μα μπορεί να διατυπωθεί ποσοτικά χρησιμοποιώντας την έννοια της εντροπίας, το αντι­ κείμενο αυτού του εδαφίου. Έχουμε συζητήσει για αρκετές φυσικές μεταβολές, που προχωρούν αυθόρμητα προς την κατεύθυνση αυξανόμενης aταξίας. μη aντιστρεπτή ροή θερμότητας αυξάνει την αταξία επειδή τα μόρια αρχικά είναι διαχωρισμένα σε θερμότερες και ψυχρότερες περιοχές αυτός ο διαχωρισμός εξαφανίζεται, όταν το σύστημα αποκτήσει θερμική ισορ­ ροπία. Προσφέροντας θερμότητα σε ένα σώμα αυξάνεται η αταξία του επειδή αυξάνο­ νται οι μέσες ταχύτητες των μορίων και επομένως η τυχαιότητα της μοριακής κίνησης. ελεύθερη εκτόνωση ενός αερίου αυξάνει την αταξία επειδή η τυχαιότητα θέσης των μο­ ρίων μετά την εκτόνωση είναι μεγαλύτερη από ότι ήταν πριν από την εκτόνωση.

Η

Η

1 8-7 ΕΝΤΡΟΠΙΑ

521

Εντροπία και Αταξία

Η εντροπία παρέχει ένα ποσοτικό μέτρο της aταξίας. Για να ορίσουμε την έννοια αυτή,

θεωρούμε μία aπειροστή ισόθερμη εκτόνωση ενός ιδανικού αερίου. Προσθέτουμε θερ­ μότητα dQ και αφήνουμε το αέριο να εκτονωθεί όσο χρειάζεται για να παραμείνει η θερμοκρασία του σταθερή. Επειδή η εσωτερική ενέργεια του ιδανικού αερίου εξαρτάται μόνο από τη θερμοκρασία του, η εσωτερική του ενέργεια παραμένει επίσης σταθερή· ε­ πομένως από το πρώτο θερμοδυναμικό αξίωμα, το έργο dW που παράγεται από το αέριο είναι ίσο προς την θερμότητα dQ που του προσφέρεται. Δηλαδή, dQ = dW = p dV =

n�T dV.

Το αέριο βρίσκεται σε μία κατάσταση αυξημένης aταξίας μετά την εκτόνωση από ό,τι πριν, επειδή τα μόρια κινούνται σε μεγαλύτερο όγκο και έχουν περισσότερη τυχαιότητα ως προς τη θέση. Επομένως η ποσοστιαία μεταβολή του όγκου dV/ V είναι ένα μέτρο της αύξησης της aταξίας και είναι ανάλογη προς την ποσότητα dQ ιτ. Εισάγουμε το σύμβολο S για την εντροπία του συστήματος και ορίζουμε την aπειροστή μεταβολή της εντροπίας dS κατά την διάρκεια μιάς aντιστρεπτής μεταβολής σε απόλυτη θερμοκρασία Τ με τη σχέση d (18-16) (aντιστρεπτή ισόθερμη μεταβολή) dS =

?

Εάν προσφερθεί ποσό θερμότητας Q κατά την διάρκεια μιάς aντιστρεπτής ισόθερμης μεταβολής σε απόλυτη θερμοκρασία Τ, η ολική μεταβολή της εντροπίας ΔS = S2 - S 1 δί­ νεται από την σχέση (18-17) Οι μονάδες της εντροπίας είναι ενέργεια προς θερμοκρασία· η μονάδα εντροπίας στο SI είναι 1

J/Κ.

- Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 1 8-5

-------

Ένα χιλιόγραμμο πάγου σε Ο ο C τήκεται και μετατρέπεται σε νερό 0 ° C. Υπολογίστε την μεταβολή της εντροπίας του. Η θερμότητα τήξης του νερού είναι L1 = 3,34 χ 1 05 J/Κg. ΛΥΣ Η Η θερμοκρασία Τ παραμένει σταθερή στους 273 Κ. Η θερμότητα που απαιτείται για να τακεί ο πάγος είναι Q = mL1 = 3,34 χ 105 J. Από την Εξ. ( 18-1 7) η αύξη­ ση στην εντροπία του συστήματος είναι ΔS

=

3,34 χ 105 J S2 - S 1 = Q τ= 273 κ

=

1 22 χ 103 J/Κ· '

Αυτή η αύξηση αντιστοιχεί σε αύξηση της aταξίας όταν τα μόρια του νερού μεταβαίνουν από μία διατεταγμένη κατά­ σταση κρυσταλλικού στερεού στην κατά πολύ πιό άτακτη κατάσταση του υγρού. Σε οποιαδήποτε ισόθερμη aντιστρεπτή μεταβολή η μετα­ βολή της εντροπίας είναι ίση προς το πηλίκο της θερμότη­ τας που διαδίδεται προς την απόλυτη θερμοκρασία. Όταν παγώσει και πάλι το νερό, η μεταβολή στην εντροπία του είναι ΔS = -1,22 χ 1 03 1/Κ.

Μπορούμε να γενικεύσουμε τον ορισμό της μεταβολής της εντροπίας για να συ­ μπεριλάβουμε οποιαδήποτε aντιστρεπτή μεταβολή από μία κατάσταση σε κάποια άλλη, είτε αυτή είναι ισόθερμη ή όχι. Παριστάνουμε τη μεταβολή σαν μία ακολουθία από aπει­ ροστά αντιστρεπτά βήματα. Κατά την διάρκεια ενός χαρακτηριστικού βήματος προστίθε­ ται στο σύστημα μία aπειροστή ποσότητα θερμότητας dQ σε απόλυτη θερμοκρασία Τ. Στη συνέχεια προσθέτουμε (ολοκληρώνουμε) τα πηλίκα dQΠ για ολόκληρη τη διαδικα­ σία. Έχουμε δηλαδή, ΔS =

Γ? d

(aντιστρεπτή μεταβολή)

(18-18)

I

Τα όρια 1 και 2 αναφέρονται στην αρχική και τελική κατάσταση. Σε μία τέτοια μεταβολή μπορούμε να δούμε ξανά τη σχέση μεταξύ της αύξησης της εντροπίας και της αύξησης της aταξίας. Ψηλότερες θερμοκρασίες σημαίνει μεγαλύτερη τυχαιότητα στην κίνηση. Όταν το υλικό είναι αρχικά ψυχρό, με ελάχιστη μοριακή κίνη­ ση, ποσό θερμότητας Q προκαλεί μία σημαντική αύξηση στην τυχαιότητα της μοριακής

522

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 ΔΕΥfΕΡΟ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟ ΑΞΙΩΜΑ

κίνησης. Αλλά όταν το υλικό είναι ήδη θερμό, η ίδια ποσότητα θερμότητας θα προσφέρει ελάχιστα στην ήδη αυξημένη μοριακή κίνηση. Επομένως το πηλίκο Q ;τ είναι ένα κατάλ­ ληλο μέγεθος για την περιγραφή της αύξησης της τυχαιότητας ή της aταξίας. Επειδή η εντροπία είναι ένα μέτρο της aταξίας ενός συστήματος σε οποιαδήποτε κατάσταση, θα πρέπει να εξαρτάται μόνο από την κατάσταση του συστήματος, στην ο­ ποία βρίσκεται και όχι από την προγενέστερη. Θα δείξουμε αργότερα, χρησιμοποιώντας το δεύτερο θερμοδυναμικό αξίωμα, ότι πράγματι συμβαίνει αυτό. Όταν ένα σύστημα με­ ταβαίνει από μία αρχική κατάσταση με εντροπία S1 σε μία τελική κατάσταση με εντροπία 52 , η μεταβολή στην εντροπία ΔS = S2 - S1, όπως ορίζεται από την Εξ. ( 18-18), δεν εξαρ­ τάται από τη διαδρομή από την αρχική κατάσταση στην τελική, αλλά είναι η ίδια για όλες τις δυνατές μεταβολές που οδηγούν από την κατάσταση 1 στην κατάσταση 2. Επομένως, η εντροπία ενός συστήματος πρέπει επίσης να παίρνει μία συγκεκριμένη τιμή σε κάθε κατάσταση του συστήματος. Ας θυμηθούμε, ότι η και η εσωτερική ενέργεια, που ορίστη­ κε στο Κεφάλαιο 17, έχει αυτή ακριβώς την ιδιότητα αν και εντροπία και εσωτερική ε­ νέργεια είναι δύο εντελώς διαφορετικές ποσότητες. Το γεγονός, ότι η εντροπία είναι μία συνάρτηση της κατάστασης του συστήματος μόνο μας δείχνει, πώς να υπολογίζουμε τις μεταβολές της εντροπίας σε μη αντιστρεπτές φυσικές μεταβολές (καταστάσεις μη ισορροπίας), για τις οποίες η Εξ. (18-16) δεν ισχύει. Απλά επινοούμε μία διαδρομή, η οποία συνδέει την αρχική και την τελική κατάσταση που δίνονται και η οποία αποτελείται αποκλειστικά από αντιστρεπτές μεταβολές ισορρο­ πίας. Στην συνέχεια υπολογίζουμε την ολική μεταβολή της εντροπίας για την διαδρομή αυτή, που δεν είναι βέβαια η πραγματική διαδρομή . Όμως η μεταβολή της εντροπίας πρέπει να είναι η ίδια όπως και στη πραγματική διαδρομή . Όπως και με την εσωτερική ενέργεια, η παραπάνω συζήτηση δεν ορίζει την ε ­ ντροπία αυτή καθεαυτή, αλλά μόνο τη μεταβολή της σ ε μία δεδομένη φυσική μεταβολή. Για να συμπληρώσουμε τον ορισμό, μπορούμε αυθαίρετα να αποδώσουμε μία τιμή στην εντροπία ενός συστήματος σε μία συγκεκριμένη κατάσταση αναφοράς και στην συνέχεια να υπολογίσουμε την εντροπία οποιασδήποτε άλλης κατάστασης ως προς την κατάσταση αναφοράς. - Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 1 8-6 -----

Ένα χιλιόγραμμο νερού σε Ο o c θερμαίνεται στους 100 ° C. Υπολογίστε την μεταβολή της εντροπίας. ΛΥΣΗ Η θερμοκρασία δεν παραμένει σταθερή· για να υ­ πολογίσουμε το ολοκλήρωμα στην Εξ. (18-18), χρησιμο­ ποιούμε την Εξ. (15-16) για να αντικαταστήσουμε το dQ με mc dT Έτσι παίρνουμε

kg)(4190 J/kg · κψη �;��) = 1310 J/Κ. =

( 1 ,οο

- Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 1 8-7

Ένα αέριο εκτονώνεται αδιαβατικά και αντιστρεπτά. Ποιά είναι η μεταβολή της εντροπίας; ΛΥΣΗ Σε μία αδιαβατική μεταβολή, ούτε προσφέρεται ούτε αποδίδεται θερμότητα στο σύστημα: dQ = Ο, και δεν μεταβάλλεται η εντροπία του: ΔS Ο. Κάθε aντιστρεπτή α=

- Π Α Ρ Ά Δ Ε Ι Γ Μ Α 1 8-8

διαβατική μεταβολή είναι μεταβολή υπό σταθερή εντροπία. αύξηση στην αταξία, που προκύπτει από την κατάληψη μεγαλύτερου όγκου από το αέριο μετά την εκτόνωση εξι­ σορροπείται από την ελάττωση στην αταξία, που προκύπτει από την πτώση της θερμοκρασίας και τη μείωση των ταχυ­ τήτων των μορίων. Η

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Ένα θερμικά μονωμένο κιβώτιο διαιρείται με ένα διά­ φραγμα σε δύο χώρους, κάθε ένας με όγκο V (Σχ. 18-11). Αρχικά ο ένας χώρος περιέχει η γραμμομόρια ιδανικού α­ ερίου σε θερμοκρασία Τ και ο άλλος χώρος είναι κενός.

Ρ

v

α

18-11 (a, b). Ελεύθερη εκτόνωση ενός θερμικά μονωμένου ιδανικού αερίου. (c) Η μεταβολή με ελεύθερη εκτόνωση δεν διέρχεται από καταστάσεις ισορροπίας κατά την μετάβαση από την α στην b. Όμως η μεταβολή της εντροπίας S, - Sb είναι δυνατό να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας την ισόθερμη διαδρομή, που φαίνεται στο σχήμα ή οποιαδήποτε aντιστρεπτή διαδρομή από την α στην b.

(a)

(b)

(c)

Εντροπία και Αταξία

Η εντροπία αποτελεί μέτρο aταξίας και η ολική εντροπία του σύμπαντος δεν ελαττώνεται ποτέ. Από αυτές τις δύο δηλώσεις

μπορούμε να συμπεράνουμε, ότι όλες οι φυσικές μεταβολές οποιουδήποτε συστήματος οδηγούν σε μία κατάσταση μεγαλύτερης aταξίας από την αρχική. Θεωρείστε τις παρακάτω μεταβολές.

Μια ιmινούρyια τράπουλα tίναι

ταξινομημiνη σύμφωνα με το σχήμα (καρδιές, καρό, τριφύλλια ΙUD μιιαοτούνια) και με τους αριθμούς. Ανακcιτtύοντας την τράπουλα αυξάνπαι η αταξία της με την τυχαία κατάταξη. Συνtχίζοντας το ανακάτεμα της τράπουλας tίναι μάλλ.ον απίθανο να αnτrυχθtί ιmι πάλι η αρχική ταξινόμηση.

θερμότητα ρiει από ένα θερμό σώμα σε ένα φuχρό. Σαν αποτέλεσμα, η εσωτερική ενiρ'fΣια του φuχρότερου σώματος, όπως ο πάyος, αυξάνει ιmι τα μόρια αποκτούν αυξημένη τυχαία κίνηση. Η αύξηση της aταξίας στον πάyο tίνω μεyαλύτερη από τη μείωση της aταξίας στο περιΙJάλλον κω επομένως υπάρχει μία συνολJχή αύξηση της aταξίας του συστήματος. Όταν ένα yραμμομόριο πάyου τήκεται στους Ο ·c, η εντροπία του νερού αυξάνεται κατά 22 J/Κ.

Η φυσική ανάμειξη δύο υyρών αρχίζει από μία κατάσταση σχmχής τάξης, κατά την οποία κάθε υyρό tίναι ξεχωριστό ιmι διακρίνεται από το άλλο. Η τώκή κατάσταση μετά την ανάμειξη έχει περισσότερη αταξία επειδή σωμάτια από κάθε υyρό περιΙJάλλοντω κατά τυχαίο τρόπο από σωμάτια ιmι από τα δύο υyρά. Ο aυθόρμητος διαχωρισμός των υyρών tίναι εξωρmκά αοίθανος.

524

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 ΔΕΥfΕΡΟ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟ ΑΞΙΩΜΑ

Αφαιρούμε το διάφραγμα και το αέριο εκτονώνεται κατα­ λαμβάνοντας και τους δύο χώρους. Ποιά είναι η μεταβολή της εντροπίας σ' αυτή την ελεύθερη εκτόνωση; ΛΥΣΗ Για την μεταβολή αυτή Q = Ο, W = Ο, ΔU = Ο και επομένως (επειδή το σύστημα είναι ιδανικό αέριο) ΔΤ = Ο. Θα μπορούσαμε να σκεφτούμε, ότι η μεταβολή της εντρο­ πίας είναι μηδέν, επειδή δεν υπάρχει ανταλλαγή θερμότη­ τας. Αλλά η Εξ. (18-18) ισχύει μόνο για αντιστρεπτές μετα­ βολές αυτή η ελεύθερη εκτόνωση δεν είναι aντιστρεπτή και η εντροπία μεταβάλλεται. Για να υπολογίσουμε την ΔS, χρησιμοποιούμε το γεγονός, ότι η μεταβολή της εντροπίας εξαρτάται μόνο από την αρχική και την τελική κατάσταση. Μπορούμε να επινοήσουμε μία aντιστρεπτή μεταβολή έχο­ ντας τα ίδια ακραία σημεία, να χρησιμοποιήσουμε την Εξ. (18-18) για να υπολογίσουμε τη μεταβολή της εντροπίας του και επομένως να υπολογίσουμε τη μεταβολή της εντρο­ πίας στην αρχική μεταβολή. Η κατάλληλη aντιστρεπτή με- Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 1 8-9

---

--

Εντροπ ί α και ο κύκλος του Carnot

Για τη μηχανή Carnot στο Παράδειγμα 18-2 (Εδάφιο 18-6), υπολογίστε την ολική μεταβολή της εντροπίας της μηχανής κατά τη διάρκεια ενός κύκλου. ΛΥΣΗ Κατά τη διάρκεια της ισόθερμης εκτόνωσης σε 500 Κ προσφέρονται στη μηχανή 2000 J και η μεταβολή της ε­ ντροπίας είναι Q 2000 J ΔS - Τ 500 Κ - 4'0 J/Κ. Κατά τη διάρκεια της ισόθερμης συμπίεσης στους 350 Κ η _

_

ταβολή στην περίπτωση αυτή είναι μία ισόθερμη εκτόνωση από V σε 2 V υπό θερμοκρασία τ. Το αέριο παράγει έργο κατά την διάρκεια αυτής της υποθετικής εκτόνωσης, επο­ μένως θα πρέπει να του προσφερθεί θερμότητα για να δια­ τηρηθεί σταθερή η εσωτερική του ενέργεια. Η ολική θερ­ μότητα ισούται προς το ολικό έργο, το οποίο δίνεται από την Εξ. (17-4): W = Q = nRτ ιn 2 Επομένως η μεταβολή της εντροπίας είναι ΔS = Qτ = nR 1n 2, και αυτή είναι επίσης η μεταβολή της εντροπίας για την ε­ λεύθερη εκτόνωση. Για ένα γραμμομόριο ΔS = (1 mol)(8,315 J/mol · Κ)(Ο,693) = 5,76 J/Κ.

_

-

μηχανή αποδίδει 1400 J θερμότητας και η μεταβολή της ε­ ντροπίας του είναι 1400 J = - 4,0 1/Κ. ΔS = -350 Κ Η ολική μεταβολή της εντροπίας της μηχανής κατά τη διάρ­ κεια ενός κύκλου είναι 4,0 J/Κ - 4,0 J/Κ = Ο . Η ολική μετα­ βολή της εντροπίας των δύο δεξαμενών θερμότητας είναι μηδέν, αν και κάθε μία δεξαμενή υφίσταται κάποια μεταβο­ λή εντροπίας. Αυτός ο κύκλος δεν περιλαμβάνει μη αντι­ στρεπτές μεταβολές και η ολική μεταβολή της εντροπίας του συστήματος και του περιβάλλοντος μαζί είναι μηδέν. •

Εντροπία σε κυκλικές μεταβολές Το Παράδ. 18-9 έδειξε, ότι η ολική μεταβολή της εντροπίας ανά κύκλο μιάς συγκεκριμέ­ νης μηχανής Carnot είναι μηδέν. Το αποτέλεσμα σχετίζεται άμεσα με την Εξ. (18-13), την οποία μπορούμε να ξαναγράψουμε ως 1S-12 (a) Μία aντιστρεπτή κυκλική μεταβολή ιδανικού αερίου περιγράφεται σε διάγραμμα p- V σαν μία ·κλειστή διαδρομή. Επίσης φαίνονται μερικές ισόθερμες ιδανικού αερίου. (b) Η διαδρομή μπορεί να προσεγγιστεί με μία ακολουθία από επιμήκεις, λεπτούς κύκλους του Carnot· ένας κύκλος έχει χρωματιστεί έντονα. Το έργο και η θερμότητα κατά μήκος της κοινής ισόθερμης οποιουδήποτε ζεύγους διαδοχικών κύκλων αλληλοαναιρούνται, επειδή οι δύο κύκλοι διατρέχουν την ίδια ισόθερμη με αντίθετες κατευθύνσεις. Τα εξωτερικά τμήματα των ισόθερμων και αδιαβατικών προσεγγίζουν την πραγματική κυκλική μεταβολή· η ολική μεταβολή της εντροπίας είναι μηδέν και για τις δύο περιπτώσεις, τον πραγματικό κύκλο και την προσεγγιστική διαδικασία. (c) Η μεταβολή της εντροπίας sb - s. είναι η ίδια για όλες τις διαδρομές, όπως οι διαδρομές και 2, που συνδέουν τα σημεία α και b.

1

QH ΤΗ

+

Qc Tc

= Ο.

(18-19)

Camot,

Σύμφωνα με το δεύτερο θερμοδυναμικό αξίωμα, όλες οι μηχανές που λειτουργούν μεταξύ των θερμοκρασιών ΤΗ και Tc έχουν την ίδια αποδοτικότητα, επομένως το αποτέλε­ σμα αυτό ισχύει για κάθε μηχανή που λειτουργεί μεταξύ αυτών των θερμοκρα­ σιών, ανεξάρτητα αν το ενεργό υλικό είναι ιδανικό αέριο ή όχι. Συμπερασματικά η ολική μεταβολή της εντροπίας ανά κύκλο μιάς οποιασδήποτε μηχανής του Carnot είναι μηδέν. Το αποτέλεσμα αυτό μπορεί να γενικευθεί για να δείξουμε, ότι η ολική μεταβολή της εντροπίας κατά τη διάρκεια οποιασδήποτε aντιστρεπτής κυκλικής μεταβολής είναι μηδέν. Μία aντιστρεπτή κυκλική μεταβολή αποδίδεται σε διάγραμμα p- V σαν μία κλει­ στή διαδρομή (Σχ. 18-12a). Μπορούμε να προσεγγίσουμε μία τέτοια διαδρομή, με όση α-

Carnot,

Ρ

Ρ

Ρ α

( a)

(b)

v

ο

CJ, (c)

v

525

18-7 ΕΝΎΡΟΠΙΑ

κρίβεια επιθυμούμε, σαν μία ακολουθία ισόθερμων και αδιαβατικών μεταβολών σχημα­ τίζοντας διαδρομές πολλών επιμήκων, λεπτών κύκλων του (Σχ. 18-12b). Οποιοι­ δήποτε δύο διαδοχικοί κύκλοι έχουν μία κοινή ισόθερμη, αλλά κάθε κοινή ισόθερμη δια­ γράφεται με αντίθετες κατευθύνσεις. Επομένως η ολική θερμότητα Q και το ολικό έργο Wγια κάθε εσωτερική ισόθερμη είναι μηδέν. ολική μεταβολή της εντροπίας για κάθε μικρό κύκλο του είναι μηδέν, έτσι η ολική μεταβολή της εντροπίας κατά την

Carnot

Η

Carnot

διάρκεια οποιουδήποτε αντιστρεπτού κύκλου είναι μηδέν:

J d?

=

Ο

(aντιστρεπτή κυκλική μεταβολή).

(18-20)

Από το αποτέλεσμα αυτό συνεπάγεται, ότι όταν ένα σύστημα υπόκειται σε μία aντι­ στρεπτή μεταβολή από την κατάσταση α σε μία άλλη b, η μεταβολή της εντροπίας είναι α­ νεξάρτητη από την διαδρομή (Σχ. 18-12c). Αν η μεταβολή της εντροπίας για τη διαδρομή 1 ήταν διαφορετική από εκείνη για τη διαδρομή 2, το σύστημα θα μπορούσε να ακολουθή­ σει τη διαδρομή 1 και να επανέλθει στην αρχική κατάσταση μέσω της διαδρομής 2, με μη μηδενική μεταβολή της ολικής εντροπίας. Αυτό θα παραβίαζε το προηγούμενο συμπέρα­ σμα , ότι η ολική μεταβολή της εντροπίας σε μία τέτοια φυσική μεταβολή πρέπει να είναι μηδέν. Επειδή η μεταβολή της εντροπίας σε παρόμοιες φυσικές μεταβολές είναι ανεξάρ­ τητη από τη διαδρομή, συμπεραίνουμε, ότι σε οποιαδήποτε κατάσταση το σύστημα έχει πεπερασμένη τιμή της εντροπίας (σε σχέση με κάποια τιμή αναφοράς) που εξαρτάται μό­ νο από την κατάσταση και όχι από τη μεταβολή που οδήγησε στην κατάσταση αυτή.

Εντροπία σε μη αντιστρεπτές μεταβολές Σε μία εξιδανικευμένη, aντιστρεπτή μεταβολή, που περιλαμβάνει καταστάσεις ισορρο­ πίας, η ολική μεταβολή της εντροπίας του συστήματος και του περιβάλλοντός του είναι μηδέν. Όμως, όλες οι μη αντιστρεπτές μεταβολές συνεπάγονται αύξηση της εντροπίας. Σε αντίθεση με την ενέργεια, η εντροπία είναι μία ποσότητα που δεν διατηρείται σταθε­ ρή. εντροπία ενός θερμικά μονωμένου συστήματος μπορεί να μεταβληθεί, αλλά, όπως θα δούμε, ποτέ δεν μπορεί να ελαττωθεί. Σε κάθε φυσική (μη aντιστρεπτή) μεταβολή παρατηρείται μία αύξηση της εντροπίας, εφόσον συμπεριλαμβάνονται όλα τα συστήματα που συμμετέχουν στην μεταβολή. Το Παράδειγμα 18-8 έδειξε αύξηση της εντροπίας κα­ τά την διάρκεια μιάς μη aντιστρεπτής μεταβολής σε ένα θερμικά μονωμένο σύστημα.

Η

-

Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 1 8- 1 0 ------

Υποθέστε, ότι φέρουμε 1,00 kg νερού σε 100 oc σε θερμι­ κή επαφή με 1,00 kg νερού σε Ο °C. Πόση είναι η ολική με­ ταβολή της εντροπίας; Υποθέστε, ότι η ειδική θερμότητα του νερού είναι σταθερή και ίση προς 4190 1/kg · Κ στην περιοχή αυτή των θερμοκρασιών. ΛΥΣΗ Η φυσική αυτή μεταβολή περιλαμβάνει μη aντι­ στρεπτή ροή θερμότητας λόγω της διαφοράς της θερμοκρα­ σίας. Η τελική θερμοκρασία είναι 50 oc = 323 Κ. Τα πρώ­ τα 4190 1 της μεταφερόμενης θερμότητας ψύχουν το ζεστό νερό στους 99 oc και θερμαίνουν το κρύο νερό από Ο oc στον 1 °C. Η ολική μεταβολή της εντροπίας είναι περίπου ΔS - 4190 1 + 4190 1 = 4 1 1/Κ. = 373 κ 273 κ ' Περαιτέρω αύξηση στην εντροπία παρατηρείται καθώς το σύστημα πλησιάζει θερμική ισορροπία στους 50 oc (323 Κ). Η ολική αύξηση της εντροπίας μπορεί να υπολογιστεί χρη­ σιμοποιώντας την ίδια μέθοδο όπως στο Παράδειγμα 18-6. Η μεταβολή της εντροπίας του ζεστού νερού είναι

ΔShοι = mc

J

τ2

�

Τ =

dT (1,00 kg)(4190 1/kg · Κ)

J

323 κ

Τ

dT

κ 4190 1/Κ) (ln 323 373 Κ ) = - 603 1/Κ. Η μεταβολή της εντροπίας του κρύου νερού είναι ΔScold = (4190 1/Κ) ( ln ��� �) = + 705 1/Κ Η ολική μεταβολή της εντροπίας του συστήματος είναι ΔSολική = + 705 1/Κ - 603 1/Κ = + 102 1/Κ. Η μη aντιστρεπτή ροή θερμότητας σε ένα θερμικά μονωμέ­ νο σύστημα συνοδεύεται από μία αύξηση της εντροπίας. Θα μπορούσαμε να είχαμε καταλήξει στην τελική κατάσταση αναμιγνύοντας απλώς τις δύο ποσότητες νερού. Και αυτή είναι επίσης μία μη aντιστρεπτή μεταβολή· επειδή η εντρο­ πία εξαρτάται μόνο από την κατάσταση του συστήματος, η ολική μεταβολή της εντροπίας θα ήταν η ίδια, 102 1/Κ. =(

Εντροπία και το δεύτερο θερμοδυναμικό αξίωμα Οι περιπτώσεις ανάμειξης ουσιών σε διαφορετικές θερμοκρασίες ή η ροή θερμότητας α­ πό υψηλότερη σε χαμηλότερη θερμοκρασία είναι χαρακτηριστικά παραδείγματα όλων των φυσικών (δηλαδή μη aντιστρεπτών) μεταβολών. Όταν συμπεριληφθούν όλες οι μετα­ βολές της εντροπίας , οι αυξήσεις της εντροπίας είναι πάντοτε μεγαλύτερες από τις μειώ-

mκ

526

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 ΔΕΥfΕΡΟ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟ ΑΞΙΩΜΑ

σεις. Στην ειδική περίπτωση μιάς aντιστρεπτής μεταβολής οι αυξήσεις είναι ίσες προς τις μειώσεις. Επομένως μπορούμε να διατυπώσουμε την εξής γενική αρχή: Όταν συμπεριλη­ φθούν όλα τα συστήματα, που συμμετέχουν σε μία φυσική μεταβολή, η εντροπία είτε παραμένει σταθερή ή αυξάνει. Ή: Καμία φυσική μεταβολή δεν είναι δυνατή, στην ο­ ποία η ολική εντροπία μειώνεται, όταν συμπεριληφθούν όλα τα συστήματα, που λαμβά­ νουν μέρος στην μεταβολή. Αυτή η εναλλακτική διατύπωση του δεύτερου θερμοδυναμι­

κού αξιώματος, που χρησιμοποιεί την έννοια της εντροπίας, είναι ισοδύναμη προς τις διατυπώσεις "θερμικής μηχανής" και "ψυκτικής μηχανής", που αναφέρθηκαν παραπάνω. Η αύξηση της εντροπίας σε κάθε φυσική (μη aντιστρεπτή) μεταβολή αποτελεί μέ­ τρο της αύξησης της aταξίας, ή της τυχαιότητας, στο σύμπαν, που είναι συνδεδεμένη με τη συγκεκριμένη διαδικασία. Θεωρείστε και πάλι το παράδειγμα της ανάμειξης του ζε­ στού και κρύου νερού. Θα μπορούσαμε να είχαμε χρησιμοποιήσει το ζεστό και κρύο νε­ ρό ως τη δεξαμενή υψηλής και χαμηλής θερμοκρασίας αντίστοιχα μιάς θερμικής μηχα­ νής. Κατά την διάρκεια της απόδοσης θερμότητας από το ζεστό νερό και της προσφοράς θερμότητας στο κρύο νερό, θα μπορούσαμε να είχαμε κερδίσει κάποιο μηχανικό έργο. Αλλά από τη στιγμή που το ζεστό και το κρύο νερό έχουν αναμειχθεί και έχει αποκατα­ σταθεί ομοιόμορφη θερμοκρασία, αυτή η ευκαιρία της μετατροπής θερμότητας σε μηχα­ νικό έργο έχει χαθεί ανεπιστρεπτί. Το χλιαρό νερό ποτέ δεν πρόκειται να διαχωριστεί α­ πό μόνο του σε θερμότερα και ψυχρότερα μέρη. Καμία ελάττωση σε ενέργεια δεν παρα­ τηρείται, όταν αναμειχθεί το ζεστό και κρύο νερό. Αυτό που χάνεται δεν είναι ενέργεια, αλλά δυνατότητα, η δυνατότητα της μετατροπής μέρους της θερμότητας από το ζεστό νε­ ρό σε μηχανικό έργο. Όταν αυξάνεται η εντροπία, τόσο ελαττώνεται η διαθέσιμη ενέρ­ γεια και το σύμπαν έχει γίνει περισσότερο τυχαίο, ή "aποδιοργανωμένο". * 1 8-8

Η ΚΛΙ ΜΑΚΑ Θ Ε Ρ Μ Ο Κ ΡΑΣ Ι Ω Ν Κ Ε LVI Ν

----

Όταν μελετήσαμε τις κλίμακες θερμοκρασιών στο Κεφάλαιο 15 αναφερθήκαμε στην α­ ναγκαιότητα ύπαρξης μιας κλίμακας θερμοκρασίας , η οποία δεν εξαρτάται από τις ιδιό­ τητες ή την συμπεριφορά ενός συγκεκριμένου υλικού. Μπορούμε τώρα να χρησιμοποιή­ σουμε τον κύκλο του Carnot για να ορίσουμε μία τέτοια κλίμακα. Η απόδοση μιάς μηχα­ νής του Carnot που λειτουργεί μεταξύ δύο δεξαμενών θερμότητας σε θερμοκρασίες ΤΗ και Tc είναι ανεξάρτητη από τη φύση του ενεργού υλικού και εξαρτάται μόνο από τις θερμοκρασίες. Αν μερικές μηχανές του Carnot με διαφορετικά ενεργά υλικά λειτουρ­ γούν μεταξύ των δύο ίδιων δεξαμενών, οι θερμικές αποδόσεις τους θα είναι όλες ίδιες: + QH Qc = 1 + Qc . e= QH QH Επομένως ο λόγος Ωc /QH είναι ο ίδιος για όλες τις μηχανές Carnot που λειτουργούν με­ ταξύ δύο δεδομένων θερμοκρασιών ΤΗ και Tc . Ο Kelvin πρότεινε να ορίσουμε τον λόγο των θερμοκρασιών, Tc και ΤΗ, να είναι ί­ σος προς το μέτρο του λόγου Ωc /QH των ποσοτήτων θερμότητας που απορροφούνται και αποδίδονται: (18-21)

Η Εξίσωση (18-21 ) φαίνεται ταυτόσημη με την Εξ. (18-13), αλλά υπάρχει μία λε­ πτή και κρίσιμη διαφορά. Οι θερμοκρασίες στην Εξ. (18-13) βασίζονται σε θερμόμετρο ιδανικού αερίου, όπως ορίστηκε στο Εδάφιο 15-3, ενώ η Εξ. (18-21) ορίζει μία κλίμακα θερμοκρασιών που βασίζεται στον κύκλο του Carnot και το δεύτερο θερμοδυναμικό α­ ξίωμα και είναι ανεξάρτητη από την συμπεριφορά του οποιουδήποτε συγκεκριμένου υλι­ κού. Επομένως η κλίμακα θερμοκρασιών Kelvίn είναι πραγματικά απόλυτη. Για να ολο­ κληρώσουμε τον ορισμό της κλίμακας Kelvin, προχωρούμε, όπως στο Εδάφιο 15-3, και aντιστοιχούμε την αυθαίρετη τιμή 273,16 Κ στη θερμοκρασία του τριπλού σημείου του νερού. Όταν μία ουσία υπόκειται σε κύκλο του Carnot, ο λόγος της θερμότητας που α­ πορροφάται προς αυτή που αποδίδεται, I QH I I I Ωc I , είναι ίσος προς τον λόγο των θερμο­ κρασιών των δεξαμενών, όπως εκφράζονται στην κλίμακα θερμοκρασιών αερίου, που ο­ ρίστηκε στο Εδάφιο 15-3. Επειδή, και στις δύο κλίμακες, το τριπλό σημείο του νερού ε­ πιλέγεται να είναι 273 , 16 Κ, συνεπάγεται, ότι η κλίμακα θερμοκρασιών Kelvίn και η κλί­ μακα θερμοκρασιών ιδανικού αερίου είναι ταυτόσημες.

18-9 ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΕΣ ΠΗΓΕΣ

Η θερμοκρασία μηδέν βαθμών στην κλίμακα Kelνin καλείται απόλυτο μηδέν. Υπάρχουν θεωρητικοί λόγοι για να πεισθούμε, ότι το απόλυτο μηδέν δεν μπορούμε να το επιτύχουμε πειραματικά, αν και έχουν επιτευχθεί θερμοκρασίες χαμηλότερες από 1 0-7 Κ. Όσο πιό πολύ πλησιάζουμε το απόλυτο μηδέν, τόσο πιό δύσκολα μπορούμε να το πλη­ σιάσουμε ακόμη περισσότερο. Το απόλυτο μηδέν μπορεί επίσης να ερμηνευθεί σε μο­ ριακό επίπεδο, αν και αυτό πρέπει να γίνει με μεγάλη προσοχή. Λόγω κβαντικών φαινο­ μένων, δεν θα ήταν σωστό να λέμε, ότι για Τ = Ο, κάθε μοριακή κίνηση σταματά. Στο α­ πόλυτο μηδέν το σύστημα έχει την ελάχιστη δυνατή ενέργεια (κινητική και δυναμική) Μία διατύπωση του τρίτου θερμοδυναμικού αξιώματος είναι, ότι είναι αδύνατο να επιτύ­ χουμε το απόλυτο μηδέν με πεπερασμένο αριθμό θερμοδυναμικών βημάτων.

18-9

Ε Ν Ε Ρ Γ Ε Ι Α Κ Ε Σ Π Η Γ Ε Σ: Μ ελέτη ενό ς ε ιδ ικού θ έματος τ η ς Θ εf]μοδ υναμικής

Τα θερμοδυναμικά αξιώματα θέτουν γενικούς περιορισμούς στη μετατροπή ενέργειας α­ πό μία μορφή σε κάποια άλλη. Στους σημερινούς καιρούς αυξανόμενης ζήτησης ενέργει­ ας και μείωσης των αποθεμάτων της τα θέματα αυτά είναι υπέρτατης πρακτικής σπου­ δαιότητας. Κλείνουμε το κεφάλαιο αυτό με μία σύντομη συζήτηση μερικών συστημάτων μετατροπής ενέργειας, που είτε υπάρχουν σήμερα ή προτείνονται για το μέλλον. Περισσότερη από τη μισή ηλεκτρική ενέργεια που παράγεται στις ΗΠΑ λαμβάνε­ ται από εργοστάσια που χρησιμοποιούν aτμοκίνητες μηχανές με καύση άνθρακα. Οι σύγχρονοι λέβητες μπορούν να αποδώσουν στον ατμό 80% ως 90% της θερμότητας καύ­ σης του άνθρακα . Η μέγιστη θερμική απόδοση της μηχανής, που δίνεται από την Εξ. ( 18-1 4), περιορίζεται συνήθως στο 0,55 και η πραγματική απόδοση είναι 90% της τιμής αυτής, ή περίπου 0,50. Η απόδοση μεγάλων γεννητριών στη μετατροπή μηχανικής ισχύος σε ηλεκτρική είναι πολύ μεγάλη, χαρακτηριστικά 99%. Επομένως η ολική θερμική από­ δοση ενός τέτοιου εργοστασίου είναι περίπου (0,85) (0,50) (0,99) ή περίπου 40%. Το εργοστάσιο Paradise παραγωγής ηλεκτρικjς ισχύος της Tennessee Valey Au­ thority παράγει περίπου 1 gigawatt ( 1000 MW7 ή 1 0 W). Ο ατμός θερμαίνεται στους 540oC (1004 o F) υπό πίεση 248 atm (2,51 χ 1 0 Pa ή 3650 psi). Το εργοστάσιο καταναλί­ σΧει 10 500 τόνους άνθραΧα Χάθε μέρα Χαι η ολική θερμική απόδοση είναι 39,3%. Σε ένα πυρηνικό εργοστάσιο παραγωγής ηλεκτρικής ενέργειας η θερμότητα, που χρειάζεται για τη δημιουργία ατμού, παράγεται από πυρηνική αντίδραση και όχι από χη­ μική αντίδραση ή καύση άνθρακα. Οι ατμοστρόβιλοι σε πυρηνικά εργοστάσια έχουν το ίδιο όριο στη θεωρητική απόδοση όπως και στα εργοστάσια που χρησιμοποιούν καύση άνθρακα. Προς το παρόν δεν είναι πρακτικό να λειτουργούν οι πυρηνικοί aντιδραστή­ ρες σε θερμοκρασίες και πιέσεις τόσο υψηλές όσο στους λέβητες, που χρησιμοποιούν άνθρακα, έτσι η θερμική απόδοση ενός πυρηνικού εργοστασίου είναι λίγο μικρότερη, χαρακτηριστικά 30%. Κατά το έτος 1990, 1 6% της παγκόσμιας παραγωγής ηλεκτρικής ισχύος προήλθε από πυρηνικά εργοστάσια ( 19% στις ΗΠΑ). Υψηλό κόστος κατασκευής, προβλήματα σχετικά με τη δημόσια ασφάλεια και το πρόβλημα της απόρριψης των ραδιενεργών απο­ βλήτων έχουν επιβραδύνει την ανάπτυξη περισσοτέρων πυρηνικών εργοστασίων. Όμως παρατηρείται επίσης αύξηση του ενδιαφέροντος για τις επιπτώσεις στο περιβάλλον των εργοστασίων που λειτουργούν με καύση άνθρακα. Οι κίνδυνοι για την υγεία από τον κα­ πνό είναι σοβαροί και έχουν επιβεβαιωθεί ενώ η καύση του άνθρακα συνεισφέρει στην παγκόσμια θέρμανση με το φαινόμενο του θερμοκηπίου. Είναι σημαντικό να διαχειριζό­ μαστε την ανάπτυξη των ενεργειακών πηγών κατά τέτοιο τρόπο που να ελαχιστοποιεί τους κινδύνους στην ανθρώπινη ζωή και υγεία· συγχρόνως η παραγωγή ισχύος από πυ­ ρηνική ενέργεια εξακολουθεί να έλκει την προσοχή σαν μελλοντική πηγή ενέργειας. Το­ νίσαμε στο τέλος του Εδαφίου 18-6, ότι η θερμική μόλυνση τόσο από εργοστάσια που λειτουργούν με άνθρακα όσο και από πυρηνικά εργοστάσια δημιουργούν σοβαρά περι­ βαλλοντολογικά προβλήματα. Η ηλιακή ενέργεια είναι μία ελκυστική δυνατότητα. Η ισχύς της ακτινοβολίας του Ήλιου ανά μονάδα επιφάνειας (πριν εισέλθει στην ατμόσφαιρα της Γης) είναι περίπου 1 ,4 kW/m2 • Η μέγιστη ισχύς ανά μονάδα επιφάνειας που προσπίπτει στη Γη κατά τη

527

ι

528

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 ΔΕΥfΕΡΟ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟ ΑΞΙΩΜΑ

Απορροφητική πλάκα καλλυμένη με γυαλί

μεταφοράς ζε στού Μόνωση υγρού

( a)

18-13 (a) Παθητικός επίπεδος ηλιακός συλλέκτης για θέρμανση νερού. (b) Διάταξη φωτοβολτα·ίκών κυττάρων για άμεση μετατροπή της ηλιακής ενέργειας σε ηλεκτρική. (c) Τα αυτοκίνητα που λειτουργούν με ηλιακή ενέργεια και βρίσκονται ακόμη στο στάδιο ανάπτυξης χρησιμοποιούν φωτοβολτα·ίκά κύτταρα για την παραγωγή ηλεκτρικής ενέργειας.

18-14 Μία σειρά από ανεμόμυλους για την εκμετάλλευση της αιολικής ενέργειας. Τα ελικοειδή πτερύγια θέτουν σε περιστροφή γεννήτριες μετατρέποντας την κινητική ενέργεια του κινούμενου αέρα σε ηλεκτρική ενέργεια.

διάρκεια μιάς ηλιόλουστης μέρας είναι πε � ίπου 1,0 kW/m2 και η μέση τιμή κατά τη διάρ­ κεια ενός 24ώρου είναι περίπου 0,2 kW/m . Η ακτινοβολία αυτή μπορεί να αποθηκευτεί και να χρησιμοποιηθεί στην θέρμανση νερού για οικιακή χρήση (Σχ. 18-13a). Ένας διαφορετικός τρόπος εκμετάλλευσης της ηλιακής ενέργειας είναι η χρήση μεγάλων πρανών με φωτοβολτα·ίκά κύτταρα (PV) (Σχ. 18-13b) για άμεση μετατροπή της · ηλιακής ενέργειας σε ηλεκτρική. Ένα τέτοιο σύσiημα δεν αποτελεί μία θερμική μηχανή με την συνήθη έννοια του όρου και δεν περιορίζετaι από την απόδοση μηχανής Carnot. Υπάρχουν άλλοι ουσιώδεις περιόρισμοί στην απόδοση των φωτοκυττάρων, αλλά 50% φαίνεται, ότι είναι δυνατό να επιτευχθεί σε πολυστρωματικά ημιαγώγιμα φωτοκύτταρα. Λόγω του υψηλού κόστους, η τιμή της κιλοβατώρας, που παράγεται με PV κύτταρα είναι πενταπλάσια εκείνης που παράγεται από συμβατικά εργοστάσια με ατμοστρόβιλους. Όμως ένα τέτοιο σύστημα προσφέρει πολλά πλεονεκτήματα, όπως έλλειψη θορύβου, έλ­ λειψη κινουμένων τμημάτων, ελάχιστες απαιτήσεις συντήρησης και εξάλλειψη της μόλυν­ σης. Το κεφαλαιουχικό κόστος προβλέπεται ότι θα μειωθεί με τη βελτιούμενη τεχνολο­ γία καθώς τα PV συστήματα μελετώνται και αναπτύσσονται (Σχ. 13c ) . Η αιολική ενέργεια, στην ουσία ηλιακής προέλευσης, μπορεί να συλλεχτεί και να μετατραπεί από "δάση" ανεμόμυλων (Σχ. 18-14). Περίπου 17 000 ανεμογεννήτριες (85% του συνολικού αριθμού των ΗΠΑ) βρίσκονται στην πολιτεία California, όπου η πολιτει­ ακή κυβέρνηση ενθαρρύνει τη χρήση τους. Όπως και με τα PV συστήματα, το κεφαλαι­ ουχικό κόστος τέτοιων συστημάτων είναι μεγαλύτερο από εκείνο των εργοστασίων ηλε­ κτροπαραγωγής με καύση άνθρακα ίδιας χωρητικότητας, αν και μερικές εγκαταστάσεις παράγουν ενέργεια μόνο κατά 40% ακριβότερα.

529

ΠΕΡΙΛΗΨΗ

Η βιομάζα είναι ένας ακόμη μηχανισμός για την εκμετάλλευση της ηλιακής ενέρ" γειας. Τα φυτά απορροφούν ηλιακή ενέργεια και την αποθηκεύουν· η ενέργεια μπορεί να αξιοποιηθεί με την καύση της φυτικής ύλης ή με τη ζύμωση και απόσταξη για την πα­ ραγωγή αλκοολών. Αιθανόλη που παράγεται με ζύμωση αραβοσίτου χρησιμοποιείται στις ΗΠΑ ως προσθετικό στη βενζίνη, αν και το κόστος δεν είναι τόσο ανταγωνίσιμο με τις τρέχουσες τιμές του ακατέργαστου πετρελαίου. Ένα σημαντικό χαρακτηριστικό των υλικών βιομάζας είναι, ότι προσλαμβάνουν τόσο διοξείδιο του άνθρακα από την ατμό­ σφαιρα όσο ακριβώς απελευθερώνουν κατά την καύση τους έτσι δεν συνεισφέρουν στο φαινόμενο του θερμοκηπίου. Ένας έμμεσος τρόπος συλλογής και μετατροπής της ηλιακής ενέργειας θα χρησι­ μοποιούσε την βαθμίδα θερμοκρασίας στους ωκεανούς. Στην Καρα'ίβική για παράδειγ­ μα, η θερμοκρασία του νερού κοντά στην επιφάνεια είναι περίπου 25 ·c, και σε βάθος μερικών εκατοντάδων μέτρων είναι περίπου 10 ·c. Το δεύτερο θερμοδυναμικό αξίωμα απαγορεύει την ψύξη του ωκεανού και μετατροπή της απαγομένης θερμότητας σε έργο, τίποτε όμως δεν απαγορεύει τη χρήση μιάς θερμικής μηχανής μεταξύ των δύο αυτών θερμοκρασιών. Η θερμοδυναμική απόδοση θα ήταν πολύ χαμηλή (περίπου 5% ), αλλά μία αστείρευτη πηγή ενέργειας θα ήταν διαθέσιμη. Το σημερινό επίπεδο δραστηριότητας στην έρευνα μετατροπής ενέργειας στις ΗΠΑ είναι μάλλον χαμηλό σε σύγκριση με την δεκαετία του 1970, όταν αντιμετωπίσθηκε μία σοβαρή ενεργειακή κρίση. Πολιτικές αναταραχές στην Μέση Ανατολή έχουν τονίσει για άλλη μιά φορά τους κινδύνους της υπερβολικής εξάρτησης από ανανεώσιμες πηγές ενέργειας, όπως το πετρέλαιο, ειδικά το εισαγόμενο πετρέλαιο. Επικριτές έχουν κατηγο­ ρήσει την κυβέρνηση των ΗΠΑ για έλλειψη συνεπούς και αποδοτικής ενεργειακής πολι­ τικής σε σύγκριση με άλλες χώρες. Οι Ινδίες για παράδειγμα, έχουν προτείνει πρόσφατα ένα φιλόδοξο σχέδιο για την παραγωγή μέσα στην επόμενη δεκαετία ηλεκτρικής ισχύος 15 000 MW από τον συνδυασμό μη συμβατικών πηγών (συμπεριλαμβανομένων όλων ε­ κείνων που αναφέρθηκαν παραπάνω) και 30 000 MW επί πλέον από πυρηνική ενέργεια. Καθώς εξαντλούμε τις φυσικές πηγές καυσίμων, θα πρέπει με βεβαιότητα να ενεργοποι­ ηθούμε προς την ανάπτυξη εναλλακτικών πηγών ενέργειας. Οι αρχές της θερμοδυναμι­ κής θα παίξουν κεντρικό ρόλο στην ανάπτυξη αυτή.

ΣΥΝ Ο Ψ Η

• Αντιστρεπτή μεταβολή είναι η εκείνη η μεταβολή της οποίας η κατεύθυνση μπορεί να αντιστραφεί με μία aπειροστή αλλαγή στις συνθήκες της μεταβολής. Κάθε aντι­ στρεπτή μεταβολή είναι επίσης και κατάσταση ισορροπίας. • Μία θερμική μηχανή προσλαμβάνει θερμότητα QH από μία πηγή, μετατρέπει μέρος αυτής σε έργο W και απορρίπτει την υπόλοιπη I Qc; l σε χαμηλότερη θερμοκρασία. Η θερμική απόδοση e της θερμικής μηχανής είναι

e = 1!:':_ =1+ QH

Qc QH

=1

_

I Qcl I QH I

(18-4)

• Μία βενζινομηχανή, που λΗτουργεί με βάση τον κύκλο του Otto με συντελεστή συ­ μπίεσης r έχει μία μέγιστη θεωρητική θερμική απόδοση e, που δίνεται από τη σχέση

e=1

-

1

---γ::τ . r

(18--6)

• Μία ψυκτική μηχανή προσλαμβάνει θερμότητα Qc από ένα ψυχρό μέρος, προσλαμ­ βάνει έργο W και απορρίπτει θερμότητα I Qcl σε θερμότερο μέρος. Ο συντελεστής α­ πόδοσης Κ ορίζεται ως (18-9) • Το δεύτερο θερμοδυναμικό αξίωμα περιγράφει την κατεύθυνση φυσικών θερμοδυ­ ναμικών μεταβολών. Μπορεί να διατυπωθεί με μερικές ισοδύναμες μορφές. Η διατύ­ πωση "θερμικής μηχανής": Καμία κυκλική μεταβολή δεν μπορεί να μετατρέψει εξ ο-

..

530

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 ΔΕΥfΕΡΟ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟ ΑΞ:ΙΩΜΑ

ΚΥΡΙΟΙ ΟΡΟΙ aντιστρεπτή μεταβολή κατάσταση ισορροπίας μη aντιστρεπτή μεταβολή

λοκλήρου θερμότητα σε έργο. Η διατύπωση "ψυκτικής μηχανής": Καμία κυκλική με­ ταβολή δεν μπορεί να μεταφέρει θερμότητα από μία ψυχρή περιοχή σε μία θερμότερη περιοχή χωρίς την κατανάλωση έργου. • Ο κύκλος του Carnot λειτουργεί μεταξύ δύο δεξαμενών θερμότητας σε θερμοκρα­ σίες ΤΗ και Tc και χρησιμοποιεί μόνο αντιστρεπτές μεταβολές. Η θερμική του απόδο­ ση είναι

θερμική μηχανή

(18-14)

ενεργό υλικό

Δύο επί πλέον ισοδύναμες διατυπώσεις του δεύτερου θερμοδυναμικού αξιώματος: Καμία μηχανή, που λειτουργεί μεταξύ των δύο ίδιων θερμοκρασιών, δεν μπορεί να εί­ ναι περισσότερο αποδοτική από μία μηχανή Carnot. Όλες οι μηχανές Carnot που λει­ τουργούν μεταξύ των δύο ίδιων θερμοκρασιών, έχουν την ίδια απόδοση. • Μία μηχανή Carnot, που λειτουργεί αντίστροφα, είναι μία ψυκτική μηχανή Carnot. Ο συντελεστής απόδοσης είναι

κυκλική μεταβολή θερμική απόδοση λόγος συμπίεσης κύκλος του Otto κύκλος του Dίesel

(18-15)

ψυκτική μηχανή συντελεστής απόδοσης βαθμονόμηση ενεργειακής απόδοσης (EER) αντλία θερμότητας δεύτερο θερμοδυναμικό αξίωμα κύκλος του Carnot θερμική μόλυνση εντροπία κλίμακα θερμοκρασιών Kelvίn απόλυτο μη δέν

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Μία άλλη διατύπωση του δεύτερου θερμοδυναμικού αξιώματος: Καμία ψυκτική μηχα­ νή, που λειτουργεί μεταξύ των δύο ίδιων θερμοκρασιών μπορεί να έχει μεγαλύτερο συντελεστή απόδοσης από μία ψυκτική μηχανή Carnot. Όλες οι ψυκτικές μηχανές Carnot, που λειτουργούν μεταξύ των δύο ίδιων θερμοκρασιών έχουν τον ίδιο συντελε­ στή απόδοσης. • Εντροπία είναι ένα ποσοτικό μέτρο της aταξίας ενός συστήματος. Η αλλαγή της ε­ ντροπίας σε οποιαδήποτε aντιστρεπτή μεταβολή είναι ΔS =

f 2 d?

(aντιστρεπτή μεταβολή)

(18-18)

I

όπου Τ είναι η απόλυτη θερμοκρασία. Η εντρωtία εξαρτάται μόνο από την κατάστα­ ση του συστήματος και η μεταβολή της εντροπίας μεταξύ δύο δεδομένων καταστάσε­ ων είναι η ίδια για όλες τις μεταβολές που οδηγούν από μία κατάσταση σε άλλη. Το γεγονός αυτό μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να υπολογίσουμε τη μεταβολή της εντρο­ πίας σε μία μη aντιστρεπτή μεταβολή, όπου η Εξ. (18-18) παύει να ισχύει. • Το δεύτερο θερμοδυναμικό αξίωμα μπορεί να διατυπωθεί με την έννοια της εντρο­ πίας: Η εντροπία ενός θερμικά απομονωμένου συστήματος μπορεί να αυξηθεί αλλά ποτέ δεν μπορεί να ελαττωθεί. Όταν ένα σύστημα αλληλεπιδρά με το περιβάλλον του, η ολική εντροπία του συστήματος και του περιβάλλοντος ποτέ δεν μπορεί να ελαττωθεί. Όταν η αλληλεπίδραση αφορά μόνο αντιστρεπτές μεταβολές1 η ολική εντροπία παραμένει στα­ θερή· όταν υπεισέρχεται μία μη aντιστρεπτή μεταβολή, η ολική εντροπία αυξάνει. • Η κλίμακα θερμοκρασιών Kelνin βασίζεται στην απόδοση του κύκλου του Carnot και είναι ανεξάρτητη από τις ιδιότητες του οποιουδήποτε συγκεκριμένου υλικού. Το μηδέν της κλίμακας Kelνin καλείται απόλυτο μηδέν.

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Εδάφιο 1 8-2 Θερμικές μηχανές 18-1 Μηχανή Dίesel. Μία μεγάλη μηχανή diesel προσλαμ­ βάνει 8000 J θερμότητας και αποδίδει 2000 J έργου ανά κύκλο. Η θερμότητα προκύπτει από την καύση πετρελαίου diesel με θερμό­ τητα καύσης 5,00 χ 104 J/g. a) Πόση είναι η θερμική απόδοση; b) Πόση θερμότητα αποβάλλεται σε κάθε κύκλο; c) Πόση μάζα πετρελαίου καταναλίσκεται σε κάθε κύκλο; d) Αν η μηχανή εκτε­ λεί 40,0 κύκλους ανά δεmερόλεπτο, πόση είναι η ισχύς εξόδου σε watt; Σε ίππους;

1 8-2 Μία βενζινομηχανή έχει ισχύ εξόδου 20,0 kW (περίπου 27 hp). Η θερμική της απόδοση είναι 30,0%. a) Πόση θερμότητα

πρέπει να προσφέρεται στη μηχανή ανά δεmερόλεπτο; b) Πόση θερμότητα αποβάλλεται από τη μηχανή ανά δευτερόλεπτο;

18-3 Ένα πυρηνικό εργοστάσιο ηλεκτροπαραγωγής έχει μη­ χανική ισχύ εξόδου (που χρησιμοποιείται για να θέσει σε λει­ τουργία μία ηλεκτρική γεννήτρια) 200 MW. Ο ρυθμός με τον ο­ ποίο προσφέρεται θερμότητα από τον πυρηνικό αντιδραστήρα εί­ ναι 700 MW. a) Πόση είναι η θερμική απόδοση του συστήματος; b) Με ποιό ρυθμό αποβάλλεται θερμότητα από το σύστημα;

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

18-4 Μία μηχανή προσλαμβάνει 8000 J θερμότητας και απο­ βάλλει 5000 J ανά κύκλο. a) Πόσο είναι το μηχανικό έργο εξό­ δου κατά τη διάρκεια ενός κύκλου; b) Πόση είναι η θερμική α­ πόδοση της μηχανής; 18-5 Μία βενζινομηχανή παράγει 9000 J μηχανικού έργου και αποβάλλει 6000 J θερμότητας σε κάθε κύκλο. a) Πόση θερμότη­ τα πρέπει να προσφερθεί στη μηχανή σε κάθε κύκλο; b) Πόση είναι η θερμική απόδοση της μηχανής; Εδάφιο 1 8-3 Μηχανές εσωτερικής καύσης 18-6 Για ένα αέριο με γ = 1,40, πόσος πρέπει να είναι ο λόγος συμπίεσης r σ' ένα κύκλο του Otto για να επιτευχθεί μία ιδανική απόδοση 65,0%; 18-7 Σε ένα κύκλο του Otto με γ = 1,40 και r = 7,00 η θερμο­ κρασία του μείγματος καυσίμου-αέρα, όταν εισέρχεται στον κύ­ λινδρο είναι 22,0 oc (σημείο α στο Σχ. 18-3). Πόση είναι η θερμο­ κρασία στο τέλος του χρόνου συμπίεσης (σημείο b ); Εδάφιο 18-4 Ψυκτικές μηχανές 18-8 Ένα σύστημα κλιματισμού, τοποθετημένο σε παράθυρο, απορροφά 9,00 χ 1 04 J θερμότητας ανά λεπτό από το δωμάτιο που ψύχεται και κατά το ίδιο χρονικό διάστημα αποδίδει 1,30χΗf J θερμότητας στον εξωτερικό αέρα. a) Πόση είναι η κατανάλωση σε ισχύ, εκφρασμένη σε watt; b) Πόσος είναι ο συντελεστής από­ δοσης της μονάδας; 18-9 Μία ψυκτική μηχανή έχει συντελεστή απόδοσης 2,00. Στην διάρκεια ενός κύκλου απορροφά 3,00 χ 104 J θερμότητας α­ πό την ψυχρή δεξαμενή. a) Πόσο μηχανικό έργο απαιτείται σε κάθε κύκλο για να λειτουργήσει η ψυκτική μηχανή; b) Πόση θερ­ μότητα αποβάλλεται στην δεξαμενή υψηλής θερμότητας σε κάθε κύκλο; 18-10 Ένας καταψύκτης έχει συντελεστή απόδοσης Κ = 4,00. Ο καταψύκτης μετατρέπει 1 ,50 kg νερού θερμοκρασίας Τ = 20,0 oc σε 1,50 kg πάγου θερμοκρασίας τ = -10,0 o c σε μία ώρα. a) Πόση θερμότητα πρέπει να αφαιρεθεί από το νερό; b) Πόση ηλεκτρική ενέργεια καταναλίσκεται από τον καταψύκτη σε αυτή την ώρα; c) Πόση ανεκμετάλλευτη θερμότητα αποβάλλεται στον χώρο, στον οποίο βρίσκεται ο καταψύκτης; Εδάφιο 18-6 Ο κύκλος του Carnot 18-11 Δείξτε, ότι η απόδοση e μιάς μηχανής του Carnot και ο συντελεστής απόδοσης Κ μιάς ψυκτικής μηχανής Carnot συνδέο­ νται με τη σχέση Κ = (1 - e)/e. Οι δύο μηχανές λειτουργούν μετα­ ξύ των ίδιων δεξαμενών υψηλής και χαμηλής θερμοκρασίας. 18-12 Μία μηχανή Carnot λειτουργεί μεταξύ δύο δεξαμενών θερμότητας σε θερμοκρασίες 500 Κ και 300 Κ. a) Αν σε κάθε κύ­ κλο η μηχανή προσλαμβάνει 5000 J θερμότητας από την δεξαμενή των 500 Κ, πόσα joules ανά κύκλο αποβάλλει στην δεξαμενή των 300 Κ; b) Πόσο μηχανικό έργο παράγεται σε κάθε κύκλο; c ) Πόση είναι η θερμική απόδοση της μηχανής; 18-13 Μία μηχανή του Carnot, της οποίας η δεξαμενή υψηλής θερμοκρασίας έχει θερμοκρασία 400 Κ, προσλαμβάνει σε κάθε κύκλο 480 J θερμότητας από τη δεξαμενή αυτή και αποδίδει 335 J στην δεξαμενή χαμηλής θερμοκρασίας. a) Ποιά είναι η θερμο­ κρασία της ψυχρής δεξαμενής; b) Πόση είναι η θερμική απόδο­ ση του κύκλου; c) Πόσο μηχανικό έργο παράγει η μηχανή σε κά­ θε κύκλο;

531

18-14 Μία ψυκτική μηχανή Carnot λειτουργεί μεταξύ δύο δε­ ξαμενών θερμότητας σε θερμοκρασίες 350 Κ και 250 Κ. a) Αν σε κάθε κύκλο η ψυκτική μηχανή προσλαμβάνει 300 J θερμότητας α­ πό τη δεξαμενή στους 250 Κ, πόσα joules θερμότητας αποδίδει στη δεξαμενή στους 350 Κ; b) Αν η ψυκτική μηχανή διαγράφει 3,0 κύκλους ανά δευτερόλεπτο, πόση ισχύς εισόδου απαιτείται για να λειτουργήσει η ψυκτική μηχανή; c ) Πόσος είναι ο συντελε­ στής απόδοσης της ψυκτικής μηχανής; 18-15 Μία παγοποιητική μηχανή λειτουργεί ακολουθώντας κύκλο του Carnot προσλαμβάνει θερμότητα από νερό στους Ο oc και αποδίδει θερμότητα σε δωμάτιο, του οποίου η θερμοκρασία είναι 27,0 °C. Υποθέστε, ότι 40,0 kg νερού σε 0,0 oc μετατρέπο­ νται σε πάγο στους 0,0 °C. a) Πόση θερμότητα αποβάλλεται στο δωμάτιο; b) Πόση ενέργεια πρέπει να προσφερθεί στην ψυκτική μηχανή; Εδάφιο 18-7 Εντροπία * 18-16 Δύο γραμμομόρια ιδανικού αερίου υπόκεινται σε μία a­ ντιστρεπτή ισόθερμη εκτόνωση σε θερμοκρασία 300 Κ. Κατά τη διάρκεια της εκτόνωσης αυτής το αέριο παράγει 1 800 J έργου. Πόση είναι η μεταβολή της εντροπίας του αερίου; * 18-17 Εντροπία και συμπύκνωση. Πόση είναι η μετα­ βολή της εντροπίας 0,800 kg ατμού σε 1,0 atm και 100 °C, όταν συμπυκνώνεται σε 0,800 kg νερού θερμοκρασίας 100 oC; * 18-18 Δευτεροετής φοιτητής, που δεν έχει τίποτε καλύτερο να κάνει, προσθέτει θερμότητα σε 0,300 kg πάγου θερμοκρασίας 0,0 oc μέχρις ότου λυώσει ο πάγος. a) Πόση είναι η μεταβολή της ε­ ντροπίας του νερού; b) Η πηγή θερμότητας είναι ένα συμπαγές σώμα σε θερμοκρασία 20,0 °C. Πόση είναι η μεταβολή της εντρο­ πίας του σώματος αυτού; c) Πόση είναι η ολική μεταβολή της ε­ ντροπίας του νερού και της πηγής θερμότητας; * 18-19 Υπολογίστε την μεταβολή της εντροπίας, που παρατη­ ρείται, όταν 1 ,00 kg νερού στους 20,0 oc αναμειχθεί με 2,00 kg νερού στους 60,0 °C. * 18-20 Ένας κύβος αργιλλίου μάζας 1,00 kg, αρχικά στους 100,0 o c, τοποθετείται μέσα σε 0,500 kg νερού, αρχικά στους 0,0 °C. a) Πόση είναι η τελική θερμοκρασία; b)Πόση είναι η μετα­ βολή της εντροπίας του συστήματος; * 18-21 Δύο γραμμομόρια ιδανικού αερίου υπόκεινται σε μία a­ ντιστρεπτή ισόθερμη εκτόνωση από 0,200 m3 σε 0,500 m3 σε θερ­ μοκρασία 300 Κ. Πόση είναι η μεταβολή της εντροπίας του αερί­ ου; Εδάφιο 18-9 Ενεργειακές πηγές: Αντικείμενο μελέτης στη Θερμοδυναμική 18-22 Εργοστάσιο παραγωγής ισχύος με καύση άν­ θρακα. Ένα aτμοηλεκτρικό εργοστάσιο παραγωγής ισχύος με καύση άνθρακα έχει μηχανική ισχύ εξόδου 500 MW και θερμική απόδοση 35,0%. a) Με ποιό ρυθμό πρέπει να προσφέρεται θερ­ μότητα; b) Αν η θερμότητα καύσης του άνθρακα είναι 2,50 χ 104 1/g, πόση μάζα άνθρακα καταναλίσκεται ανά δευτερόλεπτο; Ανά ημέρα; c) Με ποιό ρυθμό αποβάλλεται θερμότητα από το σύστη­ μα; d) Αν η aποβαλλόμενη θερμότητα προσφέρεται στο νερό ε­ νός ποταμού και η θερμοκρασία του αυξάνεται κατά 5,0 o c, πό­ σος όγκος νερού απαιτείται ανά δευτερόλεπτο; e) Στο ερώτημα d), αν ο ποταμός έχει πλάτος 100 m και βάθος 5,0 m, πόση πρέπει να είναι η ταχύτητα ροής του νερού;

532

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 ΔΕΥ'fΕΡΟ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟ ΑΞΙΩΜΑ

18-23 Ηλιακή θέρμανση. Ένα καλά θερμικά μονωμένο σπίτι μετρίου μεγέθους σε ήπιο κλίμα απαιτεί μέγιστο ρυθμό πα­ ροχής θερμότητας ίσο προς 20,0 kW. Αν τη θερμότητα αυτή παρέ­ χει ένας ηλιακός συλλέκτης με μέση (24ωρη) παροχή ενέργειας 200 W/m2 και συλλεκτική απόδοση 60,0%, πόση επιφάνεια ηλια­ κού συλλέκτη απαιτείται; 18-24 Πρόκειται να κατασκευαστεί μία μηχανή που θα παρά­ γει ενέργεια από την θερμοβαθμίδα του ωκεανού. Αν οι θερμο­ κρασίες της επιφάνειας και σε μεγάλο βάθος είναι 25,0 oc και 10,0 oc αντίστοιχα, πόση είναι η θεωρητικά μέγιστη απόδοση μιάς τέτοιας μηχανής; 18-25 Ηλιακός θερμοσίφωνας για οικιακή χρήση χρησιμοποιεί επίπεδους ηλιακούς συλλέκτες με συλλεκτική ικανότητα 50% σε μία περιοχή, όπου η μέση προσφορά ηλιακής ενέργειας είναι 200 W/m2 • Αν η θερμοκρασία του νερού ε ισόδου είναι 15,0 oc και πρόκειται να θερμανθεί στους 60,0 °C, πόσος όγκος νερού μπορεί να θερμανθεί ανά ώρα αν η συλλεκτική επιφάνεια έχει εμβαδό 30,0 m2; 18-26 a) Ο ιδιοκτήτης κατοικίας σε ψυχρό κλίμα χρησιμοποιεί για την θέρμανσή της καυστήρα με κάρβουνα, ο οποίος καταναλί­ σκει 9000 kg (περίπου 1 0 τόνους) κάρβουνα κατά την διάρκεια του χειμώνα. Η θερμότητα καύσης του άνθρακα είναι 2,50 χ 107 J/kg. Αν οι απώλειες θερμότητες στην καπνοδόχο είναι 20%, πόσα joules χρησιμοποιήθηκαν στην πραγματικότητα για τη θέρμανση της κατοικίας; b) Ο ιδιοκτήτης προτείνει την εγκατάσταση ενός

ηλιακού θερμοσίφωνα, που θα θερμαίνει μεγάλες δεξαμενές νε­ ρού με ηλιακή ενέργεια κατά τη διάρκεια του καλοκαιριού και θα χρησιμοποιεί την αποθηκευμένη ενέργεια κατά τη διάρκεια του χειμώνα. Υπολογίστε τις απαιτούμενες διαστάσεις της δεξαμενής αποθήκευσης, υποθέτοντας ότι θα είναι κύβος, ικανός να αποθη­ κεύσει ενέργεια ίση προς αυτή που υπολογίσθηκε στο μέρος (a). Υποθέστε, ότι η θερμοκρασία του νερού αυξάνεται στους 49,0 oc (120 ° F) το καλοκαίρι και ψύχεται στους 27,0 oc (81 o F) τον χει­ μώνα. 18-27 Ένα "ηλιακό σπίτι" έχει δυνατότητες αποθήκευσης 5,25 χ 109 J (περίπου 5 εκατομμύρια Btu). Συγκρίνετε τις απαιτήσεις σε χώρο (σε m3) γι' αυτή την αποθήκευση βασιζόμενοι στην υπό­ θεση a) ότι η ενέργεια αποθηκεύεται σε νερό που θερμαίνεται α­ πό μία ελάχιστη θερμοκρασία 21,0 oc (70 oF) σε μέγιστη 49,0 oc ( 1 20 °F)· b) ότι η ενέργεια αποθηκεύεται σε ένα υλικό (άλας Glauber), που θερμαίνεται στην ίδια περιοχή θερμοκρασιών. Ιδιότητες του άλατος Glauber (Na 2 S0 · 1 0 Η 2 0 ): 4 Ειδική θερμοχωρητικότητα 1930 J/kg · K Στερεό 2850 J/kg · K Υγρό 1600 kg/m 3 Πυκνότητα 32,0 o c Σημείο τήξης Λανθάνουσα θερμότητα τήξης 2,42 χ 105 J/kg

Π Ρ Ο Β Λ ΉΜΑΤΑ

18-28 Μία μηχανή του Carnot, της οποίας η ψυχρή δεξαμενή είναι στους 250 Κ έχει απόδοση 40,0%. Ανατίθεται σε ένα μηχανι­ κό η αύξηση της απόδοσης αυτής σε 50,0%. a) Κατά πόσους βαθ­ μούς πρέπει να αυξηθεί η θερμοκρασία της θερμής δεξαμενής, αν η θερμοκρασία της ψυχρής δεξαμενής παραμένει σταθερή; b) Κατά πόσους βαθμούς πρέπει να ελαττωθεί η θερμοκρασία της ψυχρής δεξαμενής, αν παραμένει σταθερή η θερμοκρασία της θερμής δεξαμενής; Ρ 2

l,OO atm

τ2 = 600 κ

-,0:+----- v ΤΙ = 300 κ

ΣΧΗΜΑ 1 8-15

18-29 Ιδανικό αέριο, με τη βοήθεια θερμικής μηχανής, υπόκει­ ται στον κύκλο που φαίνεται στο διάγραμμαp-V του Σχ. 18-15. Η μεταβολή 1 � 2 πραγματοποιείται υπό σταθερό όγκο, η μεταβολή 2 � 3 είναι αδιαβατική και η μεταβολή 3 � 1 πραγματοποιείται υπό σταθερή πίεση 1,00 atm. Η τιμή του γ, για το αέριο αυτό, είναι 1,67. a) Υυπολογίστε την πίεση και τον όγκο στα σημεία 1, 2 και 3. b) Υπολογίστε τα Q, W και ΔU για κάθε μία από τις μεταβολές αυτές. c) Υπολογίστε το συνολικό έργο, που παράγεται από τη μηχανή σε κάθε κύκλο. d) Υπολογίστε τη συνολική ροή θερμότητας στη μηχα­ νή σε κάθε κύκλο. ε) Πόση είναι η θερμική απόδοση της μηχανής;

18-30 Ένας κύλινδρος περιέχει οξυγόνο υπό πίεση 2,00 atm.

Ο όγκος του είναι 5,00 L και η θερμοκρασία 300 Κ. Το οξυγόνο υ­

πόκειται στις εξής μεταβολές: 1. Θερμαίνεται υπό σταθερή πίεση από την αρχική κατάσταση (κατάσταση 1) στην κατάσταση 2, της οποίας η θερμοκρασία εί­ ναι τ = 500 κ. 2. Ψύχεται υπό σταθερό όγκο στους 250 Κ (κατάσταση 3). 3. Ψύχεται υπό σταθερή πίεση στους 150 Κ (κατάσταση 4). 4. Θερμαίνεται υπό σταθερό όγκο στους 300 Κ, πράγμα το οποίο επαναφέρει το αέριο στην κατάσταση 1. α) Δείξτε σε διάγραμμα p-V αυτές τις τέσσερις μεταβολές, αναφέ­ ροντας τις αριθμητικές τιμές της p και του V για κάθε μία από τις τέσσερις καταστάσεις. b) Υπολογίστε την Q και το W για κάθε μία από τις τέσσερις καταστάσεις. c) Υπολογίστε το συνολικό έρ­ γο που παράγεται από το οξυγόνο. d) Πόση είναι η απόδοση της μηχανής αυτής αν θεωρηθεί σαν θερμική μηχανή; 18-31 Πόση είναι η θερμική απόδοση μιάς μηχανής, που λει­ τουργεί χρησιμοποιώντας n γραμμομόρια ιδανικού αερίου και τα υποβάλλει στον παρακάτω κύκλο (Σχ. 1 8-16); Θεωρείστε Cv = 20,5 J/mol · Κ. Ρ

2po - - - - -2..--.,...-... .. 3

Ρο

ο

ιΙ

-----

I I I I

vo

1I 4

I I I 2V0

v

ΣΧΗΜΑ 1 8- 1 6

533

ΠΙΟ ΣΥΝΘΕΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

1. Αρχίζει με η γραμμομόρια σε Ρο , V0 Τ0 • 2. Μεταβαίνει σε 2p0, V0 υπό σταθερό όγκο. 3. Μεταβαίνει σε 2p0 , 2V0 υπό σταθερή πίεση. 4. Μεταβαίνει σε Ρο , 2V0 υπό σταθερό όγκο. 5. Μεταβαίνει σε p0 , V0 υπό σταθερή πίεση. 18-32 Ένα μονατομικό ιδανικό αέριο υπόκειται στον κύκλο που φαίνεται στο διάγραμμα του Σχ. 18-17 με τη φορά που δείχνει το σχήμα. Η διαδρομή της μεταβολής ca είναι ευθεία γραμμή στο διάγραμμα p- V. a) Υπολογίστε τα Q, W και ΔU για κάθε μεταβο­ λή ab, bc, και ca. b) Ποιές είναι οι τιμές των Q, W και ΔU για ένα πλήρη κύκλο; ,

Ρ

3,00 χ 105 Pa

1 ,00 χ 1 05 Pa

c

----L- ---------L�--- v � Ο 0,500 m� 3 0,800 m3 ΣΧΗΜΑ 1 8- 1 7

18-33 Θερμοδυναμικές μεταβολές σε ψυκτικές μη­ χανές. Μία ψυκτική μηχανή λειτουργεί με βάση τον κύκλο του Σχ. 18-18. Η συμπίεση (dα) και η εκτόνωση (bc) είναι αδιαβατι­ κές. Η θερμοκρασία, η πίεση και ο όγκος του ψυκτικού υγρού σε Ρ Συμπυχνωτιjς

b .- � �

-0:+------ v Εξατμ ιστής

κάθε μία από τις τέσσερις καταστάσεις α, b, c και d δίνονται από τον παρακάτω πίνακα. Κατάσταση

τc · c)

P(kPa)

V(m3)

U(k.J)

Ποσοστό υγρού

α

80 80 5 5

2305 2305 363 363

0,0682 0,00946 0,2202 0,4513

1 969 1 171 1005 1657

100 54 5

b c

d

ο

a) Σε κάθε κύκλο, πόση θερμότητα λαμβάνεται από το εσωτερικό της ψυκτικής μηχανής στο ψυκτικό υγρό για όση διάρκεια βρίσκε­ ται το ψυκτικό υγρό στον εξαερωτήρα; b) Σε κάθε κύκλο πόση θερμότητα αποδίδεται από το ψυκτικό υγρό στον αέρα έξω από την ψυκτική μηχανή για όση διάρκεια αυτό βρίσκεται στον συμπυ­ κνωτή; c) Σε κάθε κύκλο πόσο έργο παράγεται από τον κινητήρα που θέτει σε λειτουργία τον συμπιεστή; d) Υπολογίστε τον συντε­ λεστή απόδοσης της ψυκτικής μηχανής. 18-34 Μία μηχανή Carnot λειτουργεί μεταξύ δύο δεξαμενών θερμότητας σε θερμοκρασίες ΤΗ και Tc- Ένας ερευνητής προτεί­ νει την αύξηση της απόδοσης θέτοντας σε λειτουργία μία μηχανή μεταξύ ΤΗ και Τ' και μία δεύτερη μηχανή μεταξύ Τ' και Tc χρησι­ μοποιώντας την θερμότητα που αποβάλλεται από την πρώτη μηχα­ νή. Υπολογίστε τον συντελεστή αυτού του σύνθετου συστήματος και συγκρίνετέ τον με αυτόν της αρχικής μηχανής. * 18-35 Ένας κύβος πάγου μάζας 0,0600 kg σε αρχική θερμο­ κρασία -15,0 ·c τοποθετείται σε 0,500 kg νερού σε Τ = 60,0 ·c σε θερμικά μονωμένο δοχείο αμελητέας μάζας. Υπολογίστε την μεταβολή της εντροπίας του συστήματος. * 18-36 Κατά την διεξαγωγή ενός πειράματος θερμικής αγωγής ένας φοιτητής της φυσικής βυθίζει το ένα άκρο μιάς χάλκινης ρά­ βδου σε νερό που βράζει στρυς 100 ·c και το άλλο άκρο σε μείγ­ μα νερού και πάγου σε Ο •c. Οι πλάγιες πλευρές της ράβδου είναι θερμικά μονωμένες. Μετά την αποκατάσταση μόνιμης κατάστα­ σης στην ράβδο, 0,250 kg του πάγου έχουν τακεί σε δεδομένο χρο­ νικό διάστημα. Υπολογίστε a) τη μεταβολή της εντροπίας του νε­ ρού που βράζει· b) τη μεταβολή της εντροπίας του μείγματος πά­ γου-νερού· c) τη μεταβολή της εντροπίας της χάλκινης ράβδου· d) την ολική μεταβολή της εντροπίας ολόκληρου του συστήματος. 18-37 Διαγράμματα TS. a) Σχεδιάστε ένα διάγραμμα ε* νός κύκλου του Carnot, θέτοντας στον κατακόρυφο άξονα την θερμοκρασία Kelνin και την εντροπία στον οριζόντιο (ένα διά­ γραμμα θερμοκρασίας-εντροπίας ή διάγραμμα T-S. b) Δείξτε, ό­ τι το εμβαδό κάτω από οποιαδήποτε καμπύλη σε ένά διάγραμμα θερμοκρασίας-εντροπίας παριστάνει την θερμότητα που απορρό­ φησε το σύστημα. c) Από το διάγραμμα αυτό aποδείξτε την έκ­ φραση της θερμικής απόδοσης ενός κύκλου του Carnot.

ΣΧΗΜΑ 1 8- 1 8

ΠΙΟ ΣΥΝΘ ΕΤΑ Π ΡΟΒΛΉ ΜΑΤΑ

18-38 Ε)εωρείστε ένα κύκλο του Diesel, ο οποίος ξεκινά (από σημείο α του Σχ. (18-4) με 1,20 L αέρα σε θερμοκρασία 300 Κ και πίεση 1,00 χ 105 Pa. Ο αέρας μπορεί να αντιμετωπιστεί σαν ι-

το

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

δανικό αέριο. Αν η θερμοκρασία στο σημείο c είναι Tc = 1200 Κ, aποδείξτε μία σχέση της απόδοσης του κύκλου συναρτήσει του λό­ γου συμπίεσης r. Πόση είναι η απόδοση όταν r = 20,0;

Κ Υ Ρ Ι Ε Σ

Ε Ν Ν Ο Ι Ε Σ

• Κύμα είναι μια διαταραχή στην κατάσταση . ισορροπίας, η οπο ία ταξιδεύει ή διαδίδεται , από μια περιοχή του χώρου σε μια άλλη Η ταχύτητα διάδοσης ονομάζεται ταχύτητα του κύματος. Τα κύματα μπορεί να είναι εγκάρσια, διαμήκη ή ένας συνδυασμός των δύο.

• Η ταχύτητα κύματος σε ένα μέσο, όπως ένα τεντωμένο σχοινί ή ένα ελαστικό στερεό , καθορίζεται από τις ελαστικές και αδρανειακές ιδιότητες του μέσου.

• Σε ένα περιοδικό κύμα," η διαταραχή σε κάθε σημείο

• Ένα ηχητικό κύμα σε αέριο είναι διάμηκες κύμα. Η ταχύτητα του κύματος προσδιορίζεται από τη

.

είναι περιοδική συνάρτηση του χρόνου και η μορφή της διαταραχής είναι περιοδική συνάρτηση της απόστασης. Τα απλούστερα περιοδικά κύματα είναι τα ημιτονοειδή κύματα, τα οποία έχουν καθορισμένη συχνότητα και μήκος κύματος.

• Μια κυματοσυνάρτηση περιγράφει τη θέση κάθε σημείου του μέσου διάδοσης, κάθε χρονική στιγμή.

θερμοκρασία και από τη μάζα ενός μορίου του αερίου.

• Τα κύματα μεταφέρουν ενέργεια από μια περιοχή του χώρου σε άλλη Για ημιτονοειδή κύματα, ο ρυθμός μεταφοράς ενέργειας είναι ανάλογος του τετραγώνου της συχνότητας και του τετραγώνου του πλάτους. .

Ε Ι Σ Α Γ Ω Γ Ή

�0

ταν πηγαινετε στην ακρογια λια- για να απολαυσετε τα κυματα της θάλασσας, βιώνετε μια κυματική κίνηση. Οι κυματισμοί σε μια λίμνη, οι μουσικοί ή χοι, ή χοι που δ εν ακούμε, οι παλινδρομήσεις ενός μακρού εύκαμπτου ελατηρίου τεντω μένου στο πάτω μα, όλα αυτά είναι κυματικά φαινόμενα. Κύματα μπορεί να παρουσιαστούν οποτεδήποτε ένα σύστημα διαταράσσεται από τη θέση ισορροπίας και η διαταραχή ταξιδεύει, ή διαδίδ εται , από μια περιοχή του συστήματος σε μια άλλη. Ο ήχος, το φως, τα κύματα της θάλασσας, οι εκπομπές ραδιοφώνου και τηλεόρασης και οι σεισμοί είναι όλα κυματικά φαινόμενα. Κύματα παρουσιάζονται σε όλους τους κλάδους των φυ σικών και βιολογικών επιστημών και η έννοια του κύματος είναι ένας από τους πιο σημαντικούς και ενοποιητικούς κρίκους που διατρέχει ολόκληρο τον ιστό των φυσικών επιστημών. Αυτό το κεφάλαιο και τα επόμενα δύο αναφέρονται στα μηχανικά κύματα. Κάθε τέτοιο κύμα διαδίδεται μέσα σε κάποιο υλικό που ονομάζεται μέσο. Η ταχύτητα διάδοσης εξαρτάται από τις μηχανικές ιδιότητες του μέσου. Μερικά κύματα είναι περιοδικά και τα σω μάτια του μέσου υφίστανται μια περιοδική κίνηση κατά τη διάδοση του κύματος. Εάν η κίνηση κάθε σω ματίου είναι απλή αρμονική (ημιτονοειδής), το κύμα καλείται ημιτονοει δές. Οι έννοιες αυτού του κεφαλαίου αποτελούν θεμέλιο για τη μελέτη των άλλων ειδών κυμάτων που ακολουθούν, συμπεριλαμβανομένων και των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων. • -

535

536

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 19 ΜΗΧΑΝΙΚΆ ΚΥΜΑΤΑ

1 9- 1 Τ Υ Π Ο Ι Μ Η Χ Α Ν Ι Κ Ω Ν Κ Υ Μ Α Τ Ω Ν Κάθε τύπος μηχανικού κύματος σχετίζεται με κάποιο υλικό ή ουσία που ονομάζεται το μέσο διάδοσης γι' αυτό τον τύπο κύματος. Καθώς το κύμα διαδίδεται μέσα στο μέσο, τα σωμάτια που απαρτίζουν το μέσο υφίστανται μετατοπίσεις διαφόρων ειδών, που εξαρ­ τώνται από τη φύση του κύματος. Το Σχ. 19-1 δείχνει κύματα που παράγονται από στα­ γόνες που πέφτουν σε υδάτινη επιφάνεια. Παρουσιάζουμε μερικά άλλα παραδείγματα μηχανικών κυμάτων. Στο Σχ. 1 9-2a το μέσο είναι ένα σύρμα ή σχοινί υπό μηχανική τάση· θα μπορούσε επίσης να είναι ένα . μακρύ εύκαμπτο ελατήριο, που βρίσκεται σε λείο πάτωμα. Εάν δώσουμε στο αριστερό άκρο ένα μικρό κτύπημα προς τα πάνω ή μια παλινδρομική κίνηση, η παραμόρφωση τα­ ξιδεύει κατά μήκος του σχοινιού. Διαδοχικά τμήματα του μέσου υφίστανται την ίδια πά­ νω-κάτω κίνηση που δώσαμε στο άκρο αλλά σε διαδοχικά επόμενους χρόνους. Επειδή οι μετατοπίσεις του μέσου είναι κάθετες (εγκάρσιες) προς τη διεύθυνση διάδοσης του κύματος κατά μήκος του μέσου, το κύμα ονομάζεται εγκάρσιο κύμα. Στο Σχ. 19-b το μέσο είναι ένα υγρό ή αέριο σε σωλήνα με στερεό τοίχωμα στο δε­ ξιό άκρο και ένα κινούμενο έμβολο στο αριστερό άκρο. Εάν προσδώσουμε στο έμβολο μια απλή κίνηση μπρος-πίσω, δημιουργούνται διακυμάνσεις μετατόπισης και πίεσης που ταξιδεύουν κατά μήκος του μέσου. Αυτή τη φορά οι κινήσεις των σωματίων του μέσου είναι μπρος-πίσω κατά την ίδια διεύθυνση στην οποία οδεύει το κύμα και έτσι το κύμα ο­ νομάζεται διάμηκες κύμα. Στο σχήμα 19-2c το μέσο είναι νερό σε τάφρο, όπως σε αυλάκι άρδευσης ή κανάλι. Όταν μετακινήσουμε το επίπεδο διάφραγμα στο αριστερό άκρο μπρος-πίσω μια φορά, διαδίδεται μια κυματική διαταραχή κατά μήκος του καναλιού. Σε αυτήν την περίπτωση οι μετατοπίσεις των σωματίων του νερού έχουν τόσο διαμήκεις όσο και εγκάρσιες συνι­ στώσες. Κάθε ένα από αυτά τα συστήματα έχει μια κατάσταση ισορροπίας. Για το μακρύ εύκαμπτο ελατήριο ή το τεντωμένο σχοινί είναι η κατάσταση στην οποία το σύστημα βρί­ σκεται σε ηρεμία, τεντωμένο κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής. Για το ρευστό σε σωλή­ να είναι η κατάσταση στην οποία το ρευστό βρίσκεται σε ηρεμία με ομοιόμορφη πίεση και για το νερό στο κανάλι είναι η λεία, επίπεδη επιφάνεια του νερού. Σε κάθε μια περί­ πτωση η κυματική κίνηση είναι μια διαταραχή από την κατάσταση ισορροπίας που διαδί­ δεται από μια περιοχή του μέσου σε άλλη. Στη κάθε μια περίπτωση όταν μετατοπιστούν τα σωμάτια του μέσου δημιουργούνται δυνάμεις που τείνουν να επαναφέρουν το σύστη­ μα στη θέση ισορροπίας του, όπως ακριβώς η δύναμη βαρύτητας, όταν το εκκρεμές μετα­ τοπιστεί, τείνει να το επαναφέρει στη κατακόρυφη θέση ισορροπίας του. Αυτά τα παραδείγματα έχουν τρία κοινά στοιχεία. Πρώτον, σε κάθε περίπτωση η διαταραχή οδεύει ή διαδίδεται στο μέσο, με ορισμένη ταχύτητα. Αυτή η ταχύτητα ονομά­ ζεται ταχύτητα διάδοσης ή απλά ταχύτητα κύματος. Καθορίζεται σε κάθε περίπτωση α­ πό τις μηχανικές ιδιότητες του μέσου. Θα χρησιμοποιούμε το σύμβολο υ για την ταχύτη­ τα κύματος. Δεύτερον, το ίδιο το μέσο δεν ταξιδεύει στο χώρο, τα επιμέρους σωμάτια υ--

19-1 Μια σειρά από σταγόνες, πέφτοντας κατακόρυφα στο νερό, παράγουν μια κυματομορφή που κινείται ακτινικά προς τα έξω από το κέντρο που βρίσκεται η πηγή του κύματος. Οι κορυφές και οι κοιλάδες του κύματος είναι ομόκεντροι κύκλοι.

537

19-2 ΠΕΡΙΟΔΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

Σωμάτια του μέσου

(a) Σωμάτια του μέσου (b)

...... υ

Σωμάτια στην επιφάνεια του μέσου (c)

ο

ο

ο

φίστανται κινήσεις μπρος-πίσω ή πάνω-κάτω γύρω από τις θέσεις ισορροπίας τους. Η 19-2 ( a) Το χέρι μετακινεί το μορφή της κυματικής διαταραχής είναι αυτή που ταξιδεύει. Τρίτο, για να θέσουμε καθέ­ ελατήριο πλευρικά, μετά επιστρέφει, παράγοντας ένα να από αυτά τα συστήματα σε κίνηση, πρέπει να δώσουμε ενέργεια στο σύστημα με την εγκάρσιο κύμα. (b) Το έμβολο παραγωγή μηχανικού έργου. Η κυματική κίνηση μεταφέρει αυτή την ενέργεια από μια συμπιέζει το υγρό ή το αέριο προς περιοχή του μέσου σε άλλη. Τα κύματα μεταφέρουν ενέργεια, αλλά όχι ύλη, από μια Πε­ τα δεξιά, μετά επιστρέφει,

ριοχή σε άλλη. Δεν είναι όλα τα κύματα μηχανικής φύσεως. Μια άλλη ευρεία κατηγορία είναι τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα, που συμπεριλαμβάνουν το φως, τα ραδιοκύματα, την υπέρυ­ θρη και υπεριώδη ακτινοβολία, τις ακτίνες Χ και γάμα. Δεν υπάρχει μέσο διάδοσης για

τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα· μπορούν να ταξιδεύουν μέσω του κενού χώρου. Ακόμη μια άλλη κατηγορία κυματικών φαινομένων είναι η κυματική συμπεριφορά των ατομι­ κών και υπο-ατομικών σωματιδίων. Αυτή η συμπεριφορά συνιστά μέρος των θεμελίων της κβαντικής μηχανικής, της βασικής θεωρίας που χρησιμοποιείται για την ανάλυση της ατομικής και μοριακής δομής. Θα επανέλθουμε στα ηλεκτρομαγνητικά κύματα στα τε­ λευταία κεφάλαια. Εντωμεταξύ, μπορούμε να μάθουμε τη βασική γλώσσα των κυμάτων μέσα στο πλαίσιο των μηχανικών κυμάτων. 1 9-2 Π Ε Ρ Ι Ο Δ Ι Κ Α Κ Υ Μ Α Τ Α Ένα από τα πιο εύκολα για επίδειξη είδη κυμάτων, είναι ένα εγκάρσιο κύμα σε τεντω­ μένη χορδή (η οποία μπορεί επίσης να είναι ένα σχοινί ή εύκαμπτο σύρμα ή καλώδιο). Υποθέστε ότι δένρυμε το ένα άκρο μιας μακριάς εύκαμπτης χορδής σε ένα ακίνητο αντι­ κείμενο και τραβάμε το άλλο άκρο, τεντώνοντας τη χορδή οριζόντια. Έπειτα προσδί­ δουμε σ' αυτό το άκρο μια δόνηση πάνω-κάτω, ασκώντας μιαν εγκάρσια δύναμη σε αυτό καθώς εκτελούμε αυτή την κίνηση. Το αποτέλεσμα είναι μια "παραμόρφωση" ή κυματι­ κός παλμός, που ταξιδεύει κατά μήκος της χορδής. Η μηχανική τάση στη χορδή την επα­ ναφέρει στην ευθύγραμμη μορφή της μόλις ο παλμός έχει περάσει. Μια πιο ενδιαφέρουσα κατάσταση παρουσιάζεται όταν δίνουμε στο ελεύθερο ά­ κρο της χορδής μια επαναλαμβανόμενη ή περιοδική κίνηση. (Ίσως πρέπει να ξαναμελε­ τήσετε τη συζήτηση της περιοδικής κίνησης στο Κεφ. 13 πριν συνεχίσετε). Ειδικότερα, υ­ ποθέστε ότι κινούμε τη χορδή πάνω-κάτω δίνοντάς της μια απλή αρμονική κίνηση (ταλά­ ντωση), πλάτους Α , συχνότητας [, γωνιακής συχνότητας ω = 2 πfκαι περιόδου Τ = l!f = 2πω. Μια δυνατή πειραματική διάταξη φαίνεται στο Σχ. 19-3. Καθώς θα δούμε, είναι ι­ διαιτέρως εύκολο να αναλύσουμε κύματα απλής αρμονικής κίνησης τα ονομάζουμε ημι­ τονοειδή κύματα. Συμβαίνει επίσης, κάθε περιοδικό κύμα να μπορεί να παρασταθεί α­ πό ένα συνδυασμό ημιτονοειδών κυμάτων. Έτσι λοιπόν αυτό το συγκεκριμένο είδος κυ­ ματικής κίνησης αξίζει ειδικής προσοχής.

παράγοντας ένα διαμήκες κύμα. (c) Το διάφραγμα σπρώχνει προς τα δεξιά, μετά επιστρέφει, παράγοντας ένα συνδυασμό διαμήκων και εγκάρσιων κυμάτων. Και στις τρεις περιπτώσεις παράγεται ένα μόνο κύμα (παλμός) που διαδίδεται προς τα δεξιά.

538

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 19 ΜΗΧΑΝΙΚΆ ΚΥΜΑΤΑ

19-3 Το σύστημα ελατηρίου-μάζας εκτελεί απλή αρμονική κίνηση, παράγοντας ένα ημιτονοειδές κύμα που οδεύει προς τα δεξιά πάνω στη χορδή. Σε ένα πραγματικό σύστημα, πρέπει να ασκείται στη μάζα rn μια διεγείρουσα δύναμη ώστε να αναπληρώνει την ενέργεια που aπάγεται από το κύμα.

Στο Σχ. 19-3 μια συνεχής διαδοχή εγκάρσιων ημιτονοειδών κυμάτων προχωρεί κα­ τά μήκος της χορδής. Το Σχ. 19-4 δείχνει το σχήμα μέρους της χορδής κοντά στο αριστε­ ρό άκρο, ανά χρονικά διαστήματα -k της περιόδου και για συνολικό χρονικό διάστημα μιας περιόδου. Η κυματομορφή προχωρεί σταθερά προς τα δεξιά, όπως δηλώνεται από το βραχύ κόκκινο βέλος που είναι σχεδιασμένο κοντά σε μια συγκεκριμένη κορυφή, ενώ κάθε ένα σημείο της χορδής (π.χ. η μπλε κουκκίδα) ταλαντώνεται πάνω-κάτω περί τη θέ­ ση ισορροπίας του με απλή αρμονική κίνηση. Να διακρίνετε προσεκτικά μεταξύ της κί­ νησης μιας κυματομορφής, η οποία κινείται με σταθερή ταχύτητα υ κατά μήκος της χορ­ δής, και της κίνησης ενός σωματίου της χορδής, η οποία είναι απλή αρμονική και εγκάρ­ σια (κάθετη) προς το μήκος της χορδής. Η μορφή της χορδής σε κάθε στιγμή είναι ένα επαναλαμβανόμενο στο χώρο σχήμα, μια σειρά ταυτόσημων μορφών στο χώρο. Για περιοδικό κύμα, το μήκος ενός πλήρους κυματικού σχήματος είναι η απόσταση μεταξύ δύο σημείων σε αντίστοιχες θέσεις δύο διαδοχικών επαναλήψεων της κυματομορφής. Αυτό το ονομάζουμε μήκος κύματος και το συμβολίζουμε με λ. Η κυματομορφή οδεύει με σταθερή ταχύτητα υ και προχωρεί απόσταση ίση με ένα μήκος κύματος λ σε χρονικό διάστημα μιας περιόδου Τ, ως εκ τούτου η ταχύτητα διάδοσης κύματος υ δίνεται από τη σχέση υ = λιτ, ή, επει­ δή f = 1/r,

υ = λf

(19-1)

Η ταχύτητα διάδοσης ισούται με το γινόμενο του μήκους κύματος και της συχνότητας. Για να κατανοήσουμε τους μηχανισμούς του διαμήκους κύματος, εξετάζουμε ένα

μακρύ σωλήνα γεμάτο με ρευστό, με ένα έμβολο στο αριστερό άκρο (Σχ. 19-5). Εάν σπρώξουμε το έμβολο προς τα μέσα συμπιέζουμε το ρευστό κοντά στο έμβολο, αυξά­ νοντας την πίεση σε αυτήν την περιοχή. Η περιοχή αυτή σπρώχνει μετά τη γειτονική περιοχή του ρευστού κ.ο.κ., και κατά μήκος του σωλήνα διαδίδεται ένας κυματοπαλ­ μός. Οι διακυμάνσεις της πίεσης παίζουν το ρόλο της δύναμης επαναφοράς και τεί­ νουν να επαναφέρουν το ρευστό στην ισορροπία και σε κατάσταση ομοιόμορφης πίε­ σης. Τώρα υποθέστε ότι κινούμε το έμβολο μπρος-πίσω με αρμονική κίνηση κατά μή­ κος μιας ευθείας, παράλληλης προς τον άξονα του σωλήνα. Αυτή η κίνηση δημιουργεί περιοχές στο ρευστό στις οποίες η πίεση και η πυκνότητα είναι μεγαλύτερες ή μικρότε­ ρες από τις τιμές ισορροπίας. Ονομάζουμε μια περιοχή αυξημένης πίεσης πύκνωμα. Στην εικόνα, τα πυκνώματα παριστάνονται με πυκνά σκιασμένες περιοχές. Μια περιο­ χή μειωμένης πίεσης είναι ένα aραίωμα· στην εικόνα τα aραιώματα παριστάνονται με ελαφρά σκιασμένες περιοχές. Τα πυκνώματα και τα aραιώματα κινούνται προς τα δε­ ξιά με σταθερή ταχύτητα υ, όπως υποδηλώνεται από τις μετατοπίσεις του μικρού κατα­ κόρυφου βέλους. Η κίνηση ενός μόνο σωματίου του μέσου, που σημειώνεται με μια κουκκίδα, είναι αρμονική, παράλληλη προς τη διεύθυνση διάδοσης. Το μήκος κύματος είναι η απόσταση

19-2 ΠΕΡΙΟΔΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

ι �� � r !-j

19-7 Κίνηση σημείου στο χ = Ο συναρτήσει του χρόνου. Η κατακόρυφη κλίμακα είναι μεγεθυσμένη.

Σ Τ Ρ ΑΤ Η Γ Ι Κ Η Ε Π Ι ΛΥ Σ Η Σ Π Ρ Ο Β Λ Η Μ Α Τ Ω Ν Μηχανικά κύματα 1. Είναι χρήσιμο να κάνουμε τη διάκριση μεταξύ προβλη­ μάτων κινηματικής και προβλημάτων δυναμικής. Στα προ­ βλήματα κινηματικής, ενδιαφερόμαστε μόνο για την περι­ γραφή της κίνησης τα σχετικά μεγέθη είναι η ταχύτητα διά­ δοσης του κύματος, το μήκος κύματος (ή ο κυματαριθμός), η συχνότητα (ή η κυκλική συχνότητα), το πλάτος και η θέ­ ση, η ταχύτητα και η επιτάχυνση των σωματίων του μέσου. Στα προβλήματα δυναμικής, υπεισέρχονται έννοιες όπως δύναμη και μάζα · ένα παράδειγμα είναι η σχέση της ταχύ­ τητας διάδοσης του κύματος προς τις μηχανικές ιδιότητες του συστήματος. Θα αναφερθούμε σ' αυτές τις σχέσεις στα επόμενα λίγα εδάφια.

2. Εάν το f είναι δεδομένο, μπορείτε να βρείτε το Τ = 1/f

και αντιστρόφως. Εάν το λ είναι δεδομένο μπορείτε να βρείτε το k = 2π!λ και αντιστρόφως. Εάν οποιεσδήποτε δύο από τις ποσότητες υ, λ και f (ή υ, k και ω) είναι γνω­ στές, μπορείτε να βρείτε την τρίτη, χρησιμοποιώντας την υ = λf (ή ω = υk). Για μερικά προβλήματα αυτό είναι το μό-

-

Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 1 9-2

νο που χρειάζεστε. Για να προσδιορίσετε πλήρως την κυ­ ματοσυνάρτηση, χρειάζεται να γνωρίζετε το Α και οποια­ δήποτε δύο από τα υ, λ και f (ή υ, k και ω). Αν έχετε αυτές τις πληροφορίες, μπορείτε να τις χρησιμοποιήσετε στις εξι­ σώσεις (19-3), (19-4) ή (19-7) για να βρείτε τη συγκεκρι­ μένη κυματοσυνάρτηση γ ια το υπό εξέταση πρόβλημα. Εφόσον την έχετε, μπορείτε να βρείτε την τιμή του y σε κά­ θε σημείο (οποιαδήποτε τιμή του χ) και σε κάθε στιγμή, α­ ντικαθιστώντας στην κυματοσυνάρτηση. 3. Εάν η ταχύτητα κύματος υ δεν είναι δεδομένη, θα μπο­ ρούσατε να τη βρείτε με έναν από τους εξής δύο τρόπους: Χρησιμοποιήστε τη σχέση συχνότητας-μήκους κύματος υ = λf ή χρησιμοποιήστε σχέσεις μεταξύ της υ και των μηχανι­ κών ιδιοτήτων του συστήματος, όπως τάση και μάζα ανά μονάδα μήκους της χορδής. Θα αναπτύξουμε αυτές τις σχέσεις στα επόμενα τρία εδάφια. Ποια μέθοδο θα χρησι­ μοποιήσετε για να βρείτε το υ, θα εξαρτηθεί από το τις πλη­ ροφορίες που σας έχουν δοθεί.

-------

Κύμα σε σχοινί aπλώματος ρούχων. Ο ξάδελφός σας ο Βαγγέλης παίζει με το σχο ιν ί aπλώματος ρούχων (Σχ. 1 9-8). Λύνει το ένα άκρο, το κρατά τεντωμένο και το κι­ νεί πάνω κάτω ημιτονοειδώς με συχνότητα 5,0 Hz και πλά­ τος 0,010 m. Η ταχύτητα του κύματος ε ίναι υ = 10,0 m/s. Τη στιγμή t = Ο, το άκρο έχει μετατόπιση μηδέν και κι­ νείται προς τη διεύθυνση + y. Υποθέστε πως το κύμα δεν ανακλάται στο άλλο άκρο, ώστε να περιπλέξει την κυματο­ μορφή. a) Βρείτε το πλάτος, την κυκλική συχνότητα, την περίοδο, το μήκος κύματος και τον κυματαριθμό του κύμα­ τος. b) Γράψτε μια κυματοσυνάρτηση που να περιγράφει το κύμα. c) Βρείτε τη μετατόπιση του σημείου με χ = 0,25 m τη στιγμή t = 0,10 s. ΛΥΣΗ a) Το πλάτος Α του κύματος ε ίναι ακριβώς το πλάτος της κίνησης του ακραίου σημείου, Α = 0,010 m. Η κυκλική συχνότητα είναι

ω = 2πf= (2π rad/cycle)(5,0 cycles/s) = 3 1,4 rad/s. 19-8 Ο Βαγγέλης παράγει κύματα σε σχοινί aπλώματος ρούχων.

Η περίοδος είναι = 1/f = 0,20 s. Βρίσκουμε το μήκος κύ­ ματος από την Εξ. ( 19-1) :

Τ

λ =

!:!..

f

= 10,0 m/s = 2 0 m. ' 5,0 s-ι

19-3 ΜΑθΗΜΑτΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΥΜΑΤΟΣ

Βρίσκουμε τον κυματαριθμό από την Εξ. (19-5) ή (19-6): 2π 2π rad = 3,14 rad/m, k = τ = ή 2,0 m rad/s Q!. k= = 31,4 υ 10,0 m/s = 3' 14 rad/m. b) Η κυματοσυνάρτηση, σύμφωνα με την Εξ. (19-4) είναι .!.... ) - � = (Ο'010 m) sin 2π (0,20t -s _ 2,0χ m ) y = Α sin 2π ( τ λ = (0,010 m) sin [(31,4 rad/s)t - (3,14 rad/m)x]. -

_ _

Μπορούμε να καταλήξουμε στην ίδια εξίσωση ξεκινώντας από την Εξ. (19-7) χρησιμοποιώντας τις τιμές των ω και k που βρήκαμε πιο πάνω. c) Βρίσκουμε τη μετατόπιση του σημείου χ = 0,25 m τη στιγμή t = 0,10 s αντικαθιστώντας τις τιμές αυτές στην παραπάνω εξίσωση κύματος: Ο,10 s - 0,25 m) Υ = (Ο'010 m) sin 2π ( 0,20 s 2,0 m = (0,010 m) sin 2π(Ο,375) = 0,0071 m. Βεβαιωθείτε ότι καταλαβαίνετε ότι η ποσότητα 2π(Ο,375) παριστά γωνία που μετριέται σε ακτίνια (rad).

Μπορούμε να τροποποιήσουμε τις Εξ. (19-3) έως (19-7) έτσι ώστε να παριστά­ νουν κύμα που ταξιδεύει στην αρνητική κατεύθυνση χ. Σε αυτή την περίπτωση η μετα­ τόπιση του σημείου χ τη χρονική στιγμή t είναι η ίδια όπως η μετατόπιση του σημείου θέσης χ = Ο στην μεταγενέστερη χρονική στιγμή (t + χ/υ), έτσι στην Εξ. (19-2) aντικαθι­ στούμε το t με το (t + χ/υ). Για ένα κύμα που οδεύει προς την αρνητική κατεύθυνση χ,

= Α sin 2πf (ι + � ) = Α sin 2π( � + � ) (19-8) = Α sin (ωt + /α). Στην έκφραση y = Α sin (ωt ± /α) η ποσότητα (ωt ± /α) ονομάζεται φάση. Παίζει το ρόλο μιας κυκλικής (γωνιακής) ποσότητας (πάντοτε μετριέται σε rad) στην Εξ. (19-7) ή (19-8) και η τιμή της για οποιεσδήποτε τιμές των χ και t ορίζει ποιο μέρος του ημιτονο­ ειδούς επαναλαμβανόμενου κύκλου παρουσιάζεται στο συγκεκριμένο σημείο και χρόνο. Για θετική κορυφή (όπου y = Α και η συνάρτηση του ημιτόνου έχει τιμή ίση με 1), η φάση μπορεί να είναι π/2, 5π/2 και κ.ο.κ. · για σημείο μηδενικής μετατόπισης, μπορεί να είναι Ο, π, 2π, κ.ο.κ . . Η ταχύτητα του κύματος είναι η ταχύτητα με την οποία πρέπει να κινούμαστε μαζί με το κύμα ώστε να συμβαδίζουμε με σημείο σταθερής φάσης. Για κύ­ μα που διαδίδεται προς τη φορά +χ, αυτό σημαίνει ωt - !α= σταθερό. Παίρνοντας την παράγωγο ως προς το χρόνο βρίσκουμε ότι ω= kdx!dt, ή dx = ω dt k " Συγκρίνοντας αυτή με την Εξ. (19-6), βλέπουμε ότι dx!dt ισούται με την ταχύτητα υ του κύματος. Εξαιτίας αυτής της σχέσης, το υ μερικές φορές ονομάζεται φασική ταχύτητα y

του κύματος. Από την κυματοσυνάρτηση μπορούμε να βρούμε μια έκφραση για την εγκάρσια ταχύτητα κάθε σωματίου σε εγκάρσιο κύμα· την ονομάζουμε υy για να τη διακρίνουμε από την ταχύτητα διάδοσης, του κύματος υ. Για να βρούμε την εγκάρσια ταχύτητα υy σε κάποιο σημείο χ, παίρνουμε την παράγωγο της κυματικής εξίσωσης ως προς το χρόνο t, διατηρώντας το χ σταθερό. Εάν η κυματοσυνάρτηση είναι y

τότε

= Α sin (ωt - !α),

υy = � = ωΑ cos (ωt- Ια) .

543

(19-9)

Το a σε αυτή την έκφραση είναι το τροποποιημένο d για τη συνήθη παράγωγο. Αυτό μας θυμίζει ότι το y είναι συνάρτηση δύο μεταβλητών και ότι επιτρέπουμε μόνο σε μία (t) να μεταβάλλεται ενώ η άλλη (χ) είναι σταθερή (επειδή εξετάζουμε ένα συγκεκριμένο ση­ μείο πάνω στη χορδή). Αυτή η παράγωγος ονομάζεται μερική παράγωγος. Εάν δεν έ­ χετε φθάσει σε αυτό το σημείο στα μαθηματικά, μη πανικοβάλλεστε· είναι μια απλή έν­ νοια.

544

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 19 ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

Συνεχίζοντας, βρίσκουμε την επιτάχυνση οποιουδήποτε σωματίου ως τη δεύτερη μερική παράγωγο του y ως προς t:

!ι

82 = - ω2Α sin (ωt a

ay =

- !α).

(19-10)

Μπορούμε επίσης να υπολογίσουμε τις μερικές παραγώγους του y ως προς χ, κρατώντας το t σταθερό. Αυτό χρειάζεται για τη μελέτη της μορφής της χορδής μια χρο­ νική στιγμή, σα να παίρνετε κάποια στιγμή μια φωτογραφία. Η πρώτη παράγωγος oy I οχ είναι η κλίση της χορδής σε κάθε σημείο. Η δεύτερη μερική παράγωγος ως προς χ είναι

�?ι = - k2A sin (ωt - !α).

Από τις εξισώσεις

(19-11)

(19-10) και (19-11) και τη σχέση ω = υk βλέπουμε ότι

,

a "-'::y/ 8t - !!!..._ υ2 --::-;2 ;' ,...2 ....,. 8 y / 8χ - k 2 2

2

2

1

o2y 8 2y = 2 2 8χ υ 8t 2 '

(19-12)

+ !α)

Η κυματοσυνάρτηση y = Α sin (ωt ικανοποιεί επίσης αυτή τη σχέση (επαληθεύστε το). Η Εξ. λέγεται κυματική εξίσωση και είναι μια από τις πιο σημαντικές ε­ ξισώσεις σε όλη τη φυσική. Οποτεδήποτε παρουσιάζεται, γνωρίζουμε ότι η διαταραχή που περιγράφεται από τη συνάρτηση y διαδίδεται ως κύμα κατά μήκος του άξονα χ με ταχύτητα κύματος υ. Η έννοια της κυματοσυνάρτησης είναι εξίσου χρήσιμη και στα διαμήκη κύματα, και οτιδήποτε έχουμε πει περί κυματοσυναρτήσεων μπορεί να προσαρμοστεί και σε αυτή την περίπτωση. Η ποσότητα y μετρά ακόμη τη μετατόπιση ενός σωματίου του μέσου από τη θέση ισορροπίας του. Η διαφορά είναι ότι για διάμηκες κύμα αυτή η μετατόπιση είναι παράλληλη προς τον άξονα χ και όχι κάθετη προς αυτόν. Θα συζητήσουμε τα διαμήκη κύματα λεπτομερώς στο Εδ.

(19-12),

19-5.

1 9-4

ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΕΓΚΆΡΣΙΟΥ ΚΥΜΑΤΟ Σ

Πώς σχετίζεται η ταχύτητα διάδοσης υ ενός εγκάρσιου κύματος σε μια χορδή με τις μη­ χανικές ιδιότητες του συστήματος; Οι σχετικές φυσικές ποσότητες είναι η τάση στη χορ­ δή και η μάζα ανά μονάδα μήκους. Θα μαντεύαμε ότι αυξάνοντας την τάση πρέπει να

αυξηθούν και οι δυνάμεις επαναφοράς που τείνουν να ισιώσουν τη χορδή όποτε παρα­ μορφώνεται, αυξάνοντας έτσι την ταχύτητα κύματος. Θα μπορούσαμε επίσης να μαντέ­ ψουμε ότι αυξάνοντας τη μάζα θα πρέπει να κάνει την κίνηση βραδύτερη και να ελατ­ τώσει την ταχύτητα. Και οι δύο προβλέψεις επαληθεύονται. Θα αναπτύξουμε την ακριβή σχέση με δύο διαφορετικές μεθόδους. Η πρώτη είναι απλή εννοιολογικά και θεωρεί ένα ειδικό τύπο κυματομορφής η δεύτερη είναι γενικότερη αλλά πιο φορμαλιστική. Διαλέξτε όποια σας αρέσει.

Ταχύτητα κύματος σε χορδή: Πρώτη μέθοδος Θεωρούμε μια τελείως εύκαμπτη χορδή (Σχ. 19-9). Στη θέση ισορροπίας η τάση είναι F, και η γραμμική πυκνότητα μάζας (μάζα ανά μονάδα μήκους) είναι μ. (Όταν τμή­ ματα της χορδής μετατοπίζονται από τη θέση ισορροπίας, η μάζα ανά μονάδα μήκους ε­ λαττώνεται λίγο και η τάση αυξάνεται λίγο). Στο Σχ. 19-9a η χορδή ηρεμεί. Δεν λαβαί­ νουμε υπόψη το βάρος της χορδής στη θέση ισορροπίας σχηματίζει μια τέλεια ευθεία γραμμή. Αρχίζοντας τη στιγμή t = Ο, εφαρμόζουμε μια σταθερή εγκάρσια δύναμη F1 στο α­ ριστερό άκρο της χορδής. Θα αναμέναμε ότι το άκρο θα κινιόταν με σταθερή επιτάχυν-

19-4 TAXYfHTA ΕΓΚΆΡΣΙΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ

Ισορροπία

545

F

(a) Σε κίνηση

Σε ηρεμία

υ

F

(b)

ση· αυτό θα συνέβαινε εάν η δύναμη εφαρμόζονταν σε σημειακή μάζα. Αλλά εδώ το αποτέλεσμα της δύναμης Fy είναι να θέσει, διαδοχικά, όλο και περισσότερη μάζα σε κί­ νηση. Το κύμα ταξιδεύει με σταθερή ταχύτητα υ, έτσι το σημείο διαχωρισμού μεταξύ του κινούμενου και μη κινούμενου τμήματος της χορδής κινείται με σταθερή ταχύτητα υ. Η ολική μάζα που κινείται είναι ανάλογη προς το χρόνο t που ενεργούσε η δύναμη και συνεπώς προς την ώθηση της δύναμης σε χρόνο t. Σύμφωνα με το θεώρημα ώθησης­ ορμής (Εδ. 8-5), η ώθηση είναι ίση προς τη μεταβολή της ολικής εγκάρσιας συνιστώ­ σας της ορμής (mυy - Ο) του κινούμενου μέρους της χορδής. Επειδή το σύστημα ξεκίνη­ σε χωρίς εγκάρσια ορμή, αυτή είναι ίση προς την ολική ορμή τη στιγμή t. Η ολική ορμή συνεπώς πρέπει να αυξάνεται γραμμικά με το χρόνο, έτσι η μεταβολή της ορμής πρέπει να συνδέεται εξ ολοκλήρου με την αυξανόμενη ποσότητα μάζας σε κίνηση και όχι με την αυξανόμενη ταχύτητα ενός συγκεκριμένου στοιχείου μάζας. Δηλαδή, το mυy αλλάζει ε­ πειδή αλλάζει το m, όχι το υy. Συνεπώς το άκρο της χορδής κινείται προς τα επάνω με σταθερή ταχύτητα υy. Το Σχ. 19-9b δείχνει τη μορφή της χορδής σε χρόνο t. Όλα τα σωμάτια της χορδής προς τα αριστερά του σημείου Ρ κινούνται προς τα επάνω με ταχύτητα υy και όλα τα σω­ μάτια προς τα δεξιά του Ρ είναι ακόμη σε ηρεμία. Το συνοριακό σημείο Ρ μεταξύ του κι­ νούμενου και του ακίνητου τμήματος ταξιδεύει προς τα δεξιά κατά μήκος της χορδής με ταχύτητα ίση προς την ταχύτητα διάδοσης του κύματος υ. Σε χρόνο t το αριστερό άκρο της χορδής έχει κινηθεί προς τα επάνω κατά απόσταση υyl και το συνοριακό σημείο Ρ έχει προχωρήσει απόσταση υt. Η ολική δύναμη στο αριστερό άκρο της χορδής έχει συνιστώσες F (σταθερό) και Fy. Γιατί F (σταθερό); Δεν υπάρχει κίνηση στη διεύθυνση κατά μήκος της χορδής, έτσι οι ορι­ ζόντιες δυνάμεις στα δύο άκρα έχουν ίσα μέτρα F. Η F, το μέτρο της οριζόντιας συνιστώ­ σας, δεν αλλάζει όταν η χορδή μετατοπίζεται και δεν εξαρτάται από το χ. Στην μετατοπι­ σμένη θέση η τάση είναι (F 2 + F/) 112 (μεγαλύτερη από F) και η χορδή επιμηκύνεται λίγο. Για να παράγουμε μια έκφραση για την ταχύτητα κύματος υ, εφαρμόζουμε το θεώρημα ώθησης-ορμής στο τμήμα της χορδής που βρίσκεται σε κίνηση τη στιγμή t, δη­ λαδή, το γραμμοσκιασμένο τμήμα στο Σχ. 19-9b. Θέτουμε την εγκάρσια ώθηση (εγκάρ­ σια δύναμη επί χρόνο) ίση προς τη μεταβολή της εγκάρσιας ορμής του κινούμενου τμή­ ματος (μάζα επί εγκάρσια συνιστώσα ταχύτητας). Η ώθηση της εγκάρσιας δύναμης Fy σε χρόνο t είναι Fyt. Από την ομοιότητα των τριγώνων, υy FΥ = F υ , και

Εγκάρσια ώθηση = Fyt = F � t.

Η μάζα του κινούμενου τμήματος της χορδής είναι το γινόμενο της μάζας ανά μονάδα μήκους μ επί το μήκος του κινούμενου τμήματος της χορδής υt, δηλαδή μυt. Η εγκάρσια ορμή είναι το γινόμενο της κινούμενης μάζας επί την εγκάρσια ταχύτητα υy: Εγκάρσια ορμή = (μυt) υy.

19-9 Διάδοση εγκάρσιου κύματος σε χορδή. (a) Χορδή σε ισορροπία· (b) τμήμα χορδής σε κίνηση.

546

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 19

ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

Σημειώνουμε πάλι πως η ορμή αυξάνει με το χρόνο, όχι επειδή η μάζα κινείται γρηγορό­ τερα, όπως συνήθως ήταν η περίπτωση στο Κεφ. 8, αλλά επειδή αναγκάζεται να κινηθεί περισσότερη μάζα. Η ώθηση της δύναμης Fy είναι ίση προς την ολική μεταβολή της ορ­ μής του συστήματος. Εφαρμόζοντας αυτή τη σχέση, βρίσκουμε υ F 2 t = (μυt) υy. υ

Λύνοντας ως προς υ, βρίσκουμε υ=

�

'

(εγκάρσιο κύμα).

(19-13)

Αυτό επιβεβαιώνει την πρόβλεψή μας ότι η ταχύτητα κύματος υ πρέπει να αυξάνει όταν η τάση F αυξάνει, αλλά ελαττώνεται όταν η μάζα ανά μονάδα μήκους μ αυξάνει. Σημειώστε ότι το υy δεν εμφανίζεται στην Εξ. (19-13). Η ταχύτητα κύματος δεν ε­ ξαρτάται από το υy . Στον υπολογισμό μας θεωρήσαμε μόνο ένα πολύ ειδικό είδος παλ­ μού, αλλά μπορούμε να θεωρήσουμε κάθε μορφή κυματικής διαταραχής ως σειρά παλμών με διαφορετικές τιμές του υy . Έτσι, αν και αποδείξαμε την Εξ. (19-13) για μια ειδική περίπτωση, ισχύει για κάθε εγκάρσια κυματική κίνηση σε χορδή, περιέχοντας ως ειδικές περιπτώσεις τα ημιτονοειδή και άλλα περιοδικά κύματα που συζητήσαμε στο Εδ.

19-2.

Ταχύτητα κύματος σε χορδή: Δεύτερη μέθοδος

Ιδού μια εναλλακτική απόδειξη της Εξ. (19-13): Εάν δε νιώθετε άνετα με τις μερικές παραγώγους, μπορείτε να αγνοήσετε αυτή τη μέθοδο. Εφαρμόζουμε το δεύτερο νόμο του Νεύτωνα, Σ F = ma, σε μικρό τμήμα της χορδής, του οποίου το μήκος στη θέση ι­ σορροπίας είναι Δχ (Σχ. 19-10). Η μάζα του τμήματος της χορδής είναι m = μ Δχ · οι δυνάμεις στα άκρα εκφράζονται συναρτήσει των χ και y συνιστωσών. Οι χ συνιστώσες έχουν ίσα μέτρα F και το άθροισμα τους είναι μηδέν επειδή η κίνηση είναι εγκάρσια και δεν υπάρχει συνιστώσα της επιτάχυνσης στη διεύθυνση χ. Για να βρούμε τις Fιy και F2y, σημειώνουμε ότι ο λόγος F1y/F είναι ίσος προς τη κλίση της χορδής στο σημείο χ και ότι ο Fzy/F είναι ίσος προς την κλίση στο σημείο χ + Δχ. Παίρνοντας σωστά υπόψη τα πρόσημα, βρίσκουμε

(

!3_ = - 8y \ F 8χ/χ '

(19-14)

Ο συμβολισμός μας υπενθυμίζει ότι οι παράγωγοι υπολογίζονται στα σημεία χ και χ + Δχ, αντίστοιχα. Η συνολική συνιστώσαy της δύναμης είναι

(19-15) 19-10 Διάγραμμα ελεύθερου σώματος για τμήμα της χορδής του οποίου το μήκος στη θέση ισορροπίας είναι Δχ. Η δύναμη σε κάθε άκρο του τμήματος της χορδής είναι εφαπτόμενη στη χορδή στο σημείο εφαρμογής κάθε δύναμη εμφανίζεται με τις χ και y συνιστώσες της.

χ

χ+

Δχ

1 9-4 ΤΑΧΥΊ'ΗΤΑ ΕΓΚΆΡΣΙΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ

547

Εξισώνουμε τώρα αυτό με τη μάζα μ Δχ επί τη συνιστώσα y της επιτάχυνσης, 8 2y Ι 8t 2 , για να πάρουμε F

[( ay ) _ ( ay\ ] = μ Δχ 82� ax

χ + Δχ

ax)x

8t '

(19-16)

ή, διαιρώντας διά του F Δχ, (19-17) Παίρνουμε τώρα το όριο για Δχ � Ο. Σ ' αυτό το όριο το αριστερό μέλος της Εξ. (19-17) γίνεται η παράγωγος της 8y!ax ως προς χ (για σταθερό t), δηλαδή η δεύτερη μερική πα­ ράγωγος του y ως προς χ: (19-18) Τώρα, τελικά, έρχεται η κορυφαία στιγμή στην ιστορία μας. Η Εξ. (19-18) έχει α­ κριβώς την ίδια μορφή όπως η γενική διαφορική εξίσωση που δείξαμε στο τέλος του Εδ. 19-3, η Εξ. (19-12). Εκείνη η εξίσωση και η Εξ. (19-18) περιγράφουν την ίδια ακρι­ βώς κυματική κίνηση, έτσι λοιπόν πρέπει να είναι ταυτόσημες. Συγκρίνοντας τις δύο εξι­ σώσεις, βλέπουμε ότι για να συμβαίνει αυτό πρέπει να έχουj.ιε

υ = . ΓF η οποία είναι η

Y li '

(19-19)

ίδια έκφραση όπως η Εξ. (19-13).

- Π Α Ρ Α Δ Ε J r Μ Α 19-3 ---Η γραμμική πυκνότητα μάζας του σχοινιού ρούχων στο παράδειγμα 19-2 είναι 0,250 kg/m. Πόση τάση πρέπει να ασκήσει ο Βαγγέλης για να παραχθεί η παρατηρούμενη τα­ χύτητα κύματος των 10,0 m/s; ΛΥΣΗ Χρησιμοποιούμε την Εξ. (19-13). Λύνοντας ως

- Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 1 9-4

Το ένα άκρο σχοινιού νάυλον δένεται σε σταθερό υποστή­ ριγμα στην κορυφή κατακόρυφου ορύγματος ορυχείου που είναι 80,0 m βαθύ (Σχ. 19-11). Το σχοινί τεντώνεται γερά με ένα κουτί από δείγματα ορυκτών με μάζα 20,0 kg που κρέμονται στο κατώτερο άκρο του. Η μάζα του σχοινιού είναι 2,0 kg. Ο γεωλόγος στον πυθμένα του ορυχείου στέλ­ νει σήμα στον συνάδελφό του στην κορυφή τραβώντας το σχοινί πλευρικά. a) Ποια είναι η ταχύτητα του εγκάρσιου κύματος στο σχοινί; b) Εάν ένα σημείο του σχοινιού εξα­ ναγκάζεται σε εγκάρσια απλή αρμονική κίνηση συχνότη­ τας 20 Hz, ποιο είναι το μήκος κύματος; ΛΥΣΗ a) Η τάση στο κάτω άκρο του σχοινιού ισούται με το βάρος των 20,0 kg φορτίου: Τ= (20,0 kg)(9,8 m/s2)= 196 Ν 19-11 Στέλνοντας mjματα με εγκάρσια κύματα σε κατακόρυφο σχοινί.

προς F, βρίσκουμε F= μυ2 = (0,250 kg/m)(10,0 m/s)2 = 25,0 kg · m/s2 = 25,0 Ν. Τόση δύναμη πιθανόν είναι μέσα στις δυνατότητες του Βαγγέλη.

548

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 19 ΜΗΧΑΝΙΚΆ ΚΥΜΑΤΑ

b) Από την Εξ. (19-1),

μάζα ανά μονάδα μήκους είναι kg μ - mL - 2,00 80,0 m - 0,0250 kg/m. Η ταχύτητα του κύματος δίνεται από την Εξ. (19-13): Η

υ =

_

_

_

{f

=

λ

..!!...

88,5 m/s f = 20 s ι = 4,43 m. Έχουμε ξεχάσει την κατά 10% αύξηση στην τάση του σχοινιού μεταξύ βάσης-κορυφής που οφείλεται στο βάρος του ίδιου του σχοινιού. Μπορείτε να επιβεβαιώσετε ότι η ταχύτητα κύματος στην κορυφή είναι 92,9 m/s; •

196 Ν 0,0250 kg/m = 88'5 m/s.

=

Πόλωση

Μια σπουδαία ιδιότητα των εγκάρσιων κυμάτων είναι η πόλωση. Όταν δημιουργήσουμε εγκάρσιο κύμα σε οριζόντια χορδή, μπορούμε να κινήσουμε το άκρο είτε πάνω-κάτω είτε πλευρικά· σε κάθε περίπτωση οι κυματικές μετατοπίσεις είναι κάθετες, δηλαδή ε­ γκάρσιες, προς τη διεύθυνση της χορδής. Εάν το άκρο κινείται πάνω-κάτω, η μετατόπιση όλων των σωματίων της χορδής περιορίζεται σ' ένα κατακόρυφο επίπεδο. Εάν το άκρο κινείται πλευρικά οι μετατοπίσεις γίνονται σε οριζόντιο επίπεδο. Σε κάθε περίπτωση το κύμα λέγεται ότι είναι γραμμικά πολωμένο επειδή τα επιμέρους σωμάτια ταλαντώνονται κατά μήκος ευθειών κάθετων προς τη χορδή και παράλληλων μεταξύ τους. Η κίνηση δυνατόν να είναι πιο περίπλοκη, περιέχοντας και κατακόρυφες και οριζόντιες συνιστώσες. Εάν συνθέσουμε δύο κάθετες μεταξύ τους ημιτονοειδείς κινή­ σεις που έχουν ίσα πλάτη αλλά είναι εκτός φάσης κατά ένα τέταρτο του κύκλου, το απο­ τέλεσμα είναι ένα κύμα στο οποίο κάθε σωμάτιο κινείται σε κυκλική τροχιά κάθετη προς τη χορδή. Ένα τέτοιο κύμα ονομάζεται κυκλικά πολωμένο. Το Σχ. 19-12 δείχνει αυτά τα διάφορα είδη πόλωσης. Υ Υ

(a)

19-12 (a) Κατακόρυφη γραμμική πόλωση: Τα σωμάτια ταλαντώνονται στο κατακόρυφο επίπεδο xy. (b) Οριζόντια γραμμική πόλωση: τα σωμάτια ταλαντώνονται στο οριζόντιο επίπεδο χz. (c) Ένα κυκλικά πολωμένο κύμα: Η κίνηση καθενός σημείου είναι ένας συνδυασμός δύο απλών αρμονικών κάθετων κινήσεων, με διαφορά φάσης ενός τετάρτου του κύκλου.

(a) Η σχισμή αφήνει να περάσει κύμα με παράλληλη προς αυτή πόλωση, αλλά (b) εμποδίζει κάθε κύμα με πόλωση κάθετη προς τη σχισμή. 19-13

z

z

z

(b)

(c)

Μπορούμε να κατασκευάσουμε μια συσκευή που να διαχωρίζει τις διάφορες συνι­ στώσες πόλωσης της κίνησης. Κόβουμε μια λεπτή σχισμή σε ένα επίπεδο διάφραγμα (χαρτόνι). Περνάμε τη χορδή μέσα απ' αυτήν και προσανατολίζουμε το χαρτόνι με το ε­ πίπεδο του κάθετο στη χορδή (Σχ. 19-13). Τότε κάθε εγκάρσια κίνηση παράλληλη προς τη σχισμή περνά μέσω αυτής ανεμπόδιστη ενώ κάθε κίνηση κάθετη προς τη σχισμή μπλο­ κάρεται. Μια τέτοια συσκευή ονομάζεται πολωτικό φίλτρο. Ανάλογες οπτικές συσκευές για πολωμένο φως αποτελούν τη βάση μερικών ειδών γυαλιών ηλίου και επίσης πολωτι­ κών φίλτρων που χρησιμοποιούνται στη φωτογραφία. Θα συζητήσουμε την πόλωση των φωτεινών κυμάτων στο Κεφ. 34.

549

19-5 TAXYfHTA ΔΙΑΜΗΚΟΥΣ ΚΥΜΑΤΟΣ

1 9-5

ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΔΙΑΜΗΚΟΥΣ

ΚΥΜΑΤΟΣ

Οι ταχύτητες διάδοσης των διαμήκων, όπως και των εγκάρσιων κυμάτων, καθορίζονται από τις μηχανικές ιδιότητες του μέσου. Μπορούμε να παράγουμε σχέσεις για τα διαμή­ κη κύματα, οι οποίες είναι ανάλογες προς την Εξ. (19-13) για εγκάρσια κύματα σε σχοι­ νί. Όπως στην συζήτηση για τη κυματοσυνάρτηση στο Εδ. 19-3, το χ είναι η συντεταγμέ­ νη κατά μήκος της διεύθυνσης διάδοσης στο μέσο διάδοσης, αλλά για διάμηκες κύμα η μετατόπιση y είναι κατά μήκος της ίδιας διεύθυνσης, και όχι κατά την κάθετη διεύθυνση που είναι στο εγκάρσιο κύμα. Δίνουμε ένα τρόπο εύρεσης της σχέσης για τη ταχύτητα διαμήκων κυμάτων σε ρευστό εντός σωλήνα. Τα βήματα είναι εντελώς ανάλογα προς αυτά για την εύρεση της Εξ. (19-13) και συνιστούμε να συγκρίνετε τους δύο τρόπους απόδειξης. Το Σχ. 19-14 δείχνει ένα ρευστό (υγρό ή αέριο) πυκνότητας ρ σε σωλήνα διατο­ μής Α . Στην κατάσταση ισορροπίας το ρευστό έχει ομοιόμορφη πίεση p. Στο Σχ. 19-14a το ρευστό είναι σε ηρεμία. Τη στιγμή t = Ο αρχίζουμε να κινούμε το έμβολο στο αρι­ στερό άκρο προς τα δεξιά με σταθερή ταχύτητα Vy. Έτσι ξεκινά μια κυματική κίνηση που ταξιδεύει προς τα δεξιά κατά μήκος του σωλήνα, κατά την οποία διαδοχικά τμήματα του ρευστού αρχίζουν να κινούνται και να συμπιέζονται σε διαδοχικά επόμενους χρό­ νους. Το Σχ. 19-14b δείχνει το υγρό μετά από χρόνο t. Όλα τα τμήματα του ρευστού στα αριστερά του σημείου Ρ κινούνται προς τα δεξιά με ταχύτητα Vy και όλα τα τμήμα­ τα στα δεξιά του Ρ είναι ακόμα ακίνητα. Το σύνορο μεταξύ των κινούμενων και ακίνη­ των τμημάτων ταξιδεύει προς τα δεξιά με ταχύτητα ίση προς την ταχύτητα διάδοσης ή ταχύτητα κύματος υ. Σε χρόνο t το έμβολο έχει κινηθεί σε απόσταση Vyl και το σύνορο έχει προχωρήσει σε απόσταση vt. Όπως με την εγκάρσια διαταραχή σε χορδή, μπορού­ με να υπολογίσουμε την ταχύτητα διάδοσης από το θεώρημα ώθησης - ορμής. Η ποσότητα ρευστού που τέθηκε σε κίνηση στο χρόνο t είναι η ποσότητα που αρ­ χικά καταλάμβανε το τμήμα του κυλίνδρου με μήκος vt, διατομής Α και όγκου vtA. Η μά­ ζα αυτού του ρευστού είναι pvtA, και η διαμήκης ορμή του είναι Διαμήκης ορμή

= (pvtA)vy.

Μετά υπολογίζουμε την αύξηση της πίεσης, Δp, στο κινούμενο ρευστό. Ο αρχι­ κός όγκος του κινούμενου ρευστού, Avt, έχει ελαττωθεί κατά Avyt. Από τον ορισμό του μέτρου ελαστικότητας όγκου Β, Εξ. (11-16) στο Εδ. 11-6,

Β=

- Μεταβολή πίεσης

Κλασματική μεταβολή όγκου

=

ΙσορροπCα

ι:=-:-­ Δp --= --,-

pA

-Aυyt/Avt '

�

Vy Δp = B v ·

Η πίεση στο κινούμενο ρευστό είναι p + Δp και η δύναμη που εφαρμόζεται σε αυτό από το έμβολο είναι (p +Δp)A. Η συνολική δύναμη στο κινούμενο ρευστό (βλ. Σχ. 19-14b) είναι ΔpΑ και η διαμήκης ώθηση είναι: Διαμήκης ώθηση

=

Δp At = Β � At.

(p + Δp)Α �

Επειδή το ρευστό ήταν ακίνητο τη στιγμή t = Ο, η μεταβολή στην ορμή έως τη στιγμή t είναι ίση προς την ορμή αυτή τη στιγμή. Εφαρμόζοντας το θεώρημα ώθησης - ορμής για τη μάζα του ρευστού pvtA, βρίσκουμε

(19-20)

�� (b)

Ρ

.

19-14 Διάδοση διαμήκους κύματος σε ρευστό μέσα σε σωλήνα. (a) Ρευστό σε ισορροπία· (b) μέρος του ρευστού σε κίνηση.

550

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 19 ΜΗΧΑΝΙΚΆ ΚΥΜΑΤΑ

Λύνοντας ως προς υ, βρίσκουμε

υ =

19-15 Διάγραμμα για την αναπαράσταση διαμήκων οδευόντων κυμάτων.

Jf,

(διάμηκες κύμα).

(19-21)

Η ταχύτητα διάδοσης διαμήκους παλμού σε ρευστό εξαρτάται μόνο από το μέτρο ελαστι­ κότητας Β και την πυκνότητα p του μέσου. Η μορφή αυτής της σχέσης είναι, όπως μετ' ευ­ χαριστήσεως διαπιστώνουμε, παρόμοια προς αυτήν της Εξ. (19-13). Και στις δύο περι­ πτώσεις ο αριθμητής είναι μια ελαστική ιδιότητα, που περιγράφει τη δύναμη επαναφο­ ράς και ο παρονομαστής είναι μια αδρανειακή ιδιότητα του μέσου. Όταν ένα διάμηκες κύμα διαδίδεται σε στερεά ράβδο, η κατάσταση είναι κάπως διαφορετική. Η ράβδος διαστέλλεται πλευρικά ελαφρώς όταν συμπιέζεται διαμήκως, αλλά ένα ρευστό σε σωλήνα σταθερής διατομής δεν μπορεί να κινηθεί πλευρικά. Χρη­ σιμοποιώντας τα ίδια επιχειρήματα που μας οδήγησαν στην Εξ. (19-21), μπορούμε να δείξουμε ότι η ταχύτητα ενός διαμήκους παλμού στη ράβδο δίδεται από υ =

ff,

(διάμηκες κύμα).

(19-22)

όπου Υ είναι το μέτρο του Young, ορισμένο στο Εδ. 11-5. Σημειώστε την ομοιότητα των εξισώσεων (19-19), (19-21) και (19-22). Η εξίσωση (19-22) εφαρμόζεται μόνο σε ράβδο όπου οι πλευρές είναι ελεύθερες να εξογκώνονται και συρρικνώνονται λίγο καθώς διαδίδεται το κύμά. Δεν εφαρμόζεται σε διαμήκη κύματα σε υλικό μέσο μεγάλων διαστάσεων, στερεό ή ρευστό, επειδή η πλευρική κίνηση οποιουδήποτε στοιχείου σε τέτοιο υλικό αποκλείεται από το περιβάλ­ λον υλικό. Η ταχύτητα των διαμήκων κυμάτων σε ένα τέτοιο υλικό δίδεται από την Εξ. (19-21) και όχι την (19-22). Όταν η συχνότητα ενός διαμήκους κύματος εμπίπτει στην περιοχή της ανθρώπινης ακοής το ονομάζουμε ήχο. Η ταχύτητα του ήχου στον αέρα ή το ΙΠΝΑΚΑΣ 19-1 Ταχύτητα του νερό δίνεται από την Εξ. (19-21 ) . Θα εξετάσουμε τις λεπτομέρειες αυτής της σχέσης στο ήχου σε επόμενο εδάφιο. διάφορα υλικά Όπως και στη περίπτωση εγκάρσιου κύματος σε χορδή, οι Εξ. (19-21) και (19-22) Ταχύτητ α ή χου ισχύουν για ημιτονοειδή και άλλα περιοδικά κύματα, όχι μόνο για την ειδική περίπτωση ' Υλικό (m/s) που συζητήθηκε εδώ. Τα διαμήκη κύματα δεν έχουν συνιστώσα μετατόπισης κάθετη προς τη διεύθυνση Αέρια διάδοσης, έτσι η έννοια της πόλωσης δεν υπάρχει για διαμήκη κύματα. Αέρας (20 "C) 344 Η απεικόνιση της σχέσης μεταξύ της μετατόπισης σωματίου και της διάδοσης δεν Ήλιον (20 "C) 999 είναι τόσο εύκολη για διαμήκη κύματα όπως είναι για εγκάρσια κύματα σε σχοινί. Το Υδρογόνο (20 "C) 1330 Σχ. 19-15 θα σας βοηθήσει να κατανοήσετε αυτές τις κινήσεις. Για να χρησιμοποιήσετε Υyρά αυτήν την εικόνα συγκολλήστε με ταινία 2 ορθογώνια χαρτόνια το ένα δίπλα στο άλλο με 211 Υγρό ήλιον (4 Κ) ένα χάσμα 1 mm περίπου μεταξύ τους, ώστε να σχηματίζεται μια λεπτή σχισμή. Τοποθε­ 1451 Υδράργυρος (20 "C) τήστε τα χαρτόνια πάνω στην εικόνα με τη σχισμή οριζόντια στην κορυφή του διαγράμ­ Νερό (Ο "C) 1402 ματος και κινήστε τα προς τα κάτω με σταθερή ταχύτητα. Τα τμήματα των ημιτονοειδών Νερό (20 "C) 1482 καμπύλων που είναι ορατά μέσω της σχισμής αντιστοιχούν σε μια σειρά από σωμάτια σε Νερό (100 "C) 1543 ένα μέσο στο οποίο διαδίδεται ένα ημιτονοειδές διάμηκες κύμα. Κάθε σωμάτιο εκτελεί μια απλή αρμονική κίνηση περί τη θέση ισορροπίας του με καθυστερήσεις, ή μεταβολές φάσεως, που αυξάνονται συνεχώς κατά μήκος της σχισμής. Οι περιοχές μέγιστης συμπίε­ 12 870 σης και aραίωσης κινούνται από αριστερά προς τα δεξιά με σταθερή ταχύτητα. Κινώ­ 3445 ντας τα χαρτόνια προς τα πάνω έχετε τη περίπτωση κύματος που ταξιδεύει από δεξιά Ορείχαλκος 3480 προς τα αριστερά. Γυαλί ρyreχ 5170 Στον πίνακα 19-1 αναγράφεται η ταχύτητα του ήχου σε μερικά υλικά. Σημειώστε 1840 Πολυσnιρένιο ότι τα ηχητικά κύματα ταξιδεύουν γρηγορότερα στα υλικά εκείνα που έχουν μεγάλες τι­ Χάλυβας 5000 μές των ελαστικών σταθερών, όπως ο χάλυβας και το βηρύλλιο.

19--6

-

551

Π Α Ρ Ά Δ Ε Ι Γ Μ Α 1 9-5

Μήκος κύματος κυμάτων σόναρ. Ένα πλοίο

χρησιμο­ ποιεί ένα σύστημα ηχοεντοπισμού (σόναρ) για να ανιχνεύ­ ει αντικείμενα κάτω από το νερό (Σχ. 19-16). Το σύστημα εκπέμπει ηχητικά κύματα μέσα στο νερό και μετρά το χρο­ νικό διάστημα που χρειάζεται το ανακλώμενο κύμα (ηχώ) να επιστρέψει στον ανιχνευτή. Υπολογίστε την ταχύτητα των ηχητικών κυμάτων στο νερό και βρείτε το μήκος κύ­ ματος ενός κύματος που έχει συχνότητα 262 Hz.

19-16 Ένα σύστημα σόναρ χρησιμοποιεί ηχητικά κύματα μέσα στο νερό για να ανιχνεύσει και εντοπίσει υποβρύχια αντικείμενα.

-

ΚΥΜΑΤΑ ΗΧΟΥ ΣΕ ΑΕΡΙΑ

Π Α Ρ Ά Δ Ε Ι Γ Μ Α 1 9-6

ΛΥΣΗ Χρησιμοποιούμε την Εξ. (19-21) για να βρούμε την ταχύτητα του κύματος. Από τον πίνακα 11-2 βρίσκου­ με ότι η συμπιεστότητα του νερού, που είναι το αντίστροφο του μέτρου ελαστικότητάς του, είναι k = 45,8 χ 10-11 Pa-1. Ως εκ τούτου, Β= (1/45,8) χ 10 1 1 Pa. Η πυκνότητα του νε­ ρού είναι p= 1,00 χ 103 kglm3 . Βρίσκουμε (1/45,8) χ 101 1 Pa Α Γi p I = = υ νΡ 1,00 χ 103 kglm3 -- 1480 m s. Αυτό είναι περισσότερο από τέσσερις φορές την ταχύτητα του ήχου στον αέρα σε συνήθεις θερμοκρασίες. Το μήκος κύματος δίνεται από m/s υ = fυ = 1480 262 s 1 = 5,65 m. Ένα κύμα αυτής της συχνότητας στον αέρα έχει μήκος κύ­ ματος 1,31 m, όπως βρήκαμε στο παράδειγμα 19-1 (Εδ. 19-2). Τα δελφίνια εκπέμπουν ηχητικά κύματα υψηλής συ­ χνότητας (ενδεικτική τιμή 100 000 Hz) και χρησιμοποιούν την ηχώ για οδηγό και κυνήγι. Το αντίστοιχο μήκος κύμα­ τος στο νερό είναι 1,48 cm. Με αυτό το υψηλής συχνότητας σύστημα "σόναρ" μπορούν να αντιληφθούν αντικείμενα μεγέθους περίπου του μήκους κύματος αλλά όχι μικρότερα.

-----

Ποια είναι η ταχύτητα ενός διαμήκους ηχητικού κύματος σε ράβδο χάλυβα; Σε αυτή τη περίπτωση εφαρμόζεται η Εξ. (19-22). Από τον πίνακα 1 1-1, Υ = 2,0 χ 1011 Pa, και από τον πίνα­ κα 14-1, ρ = 7,8 χ 103 kglm3. Βρίσκουμε ΛΥΣΗ

υ = # = Ί,Β χ 103 kglm3 = 5,1 χ 103 m/s. 2Ο χ

=

�

Pa

σχεδόν 15 φορές την ταχύτητα του ήχου στον αέρα για συ­ νήθεις θερμοκρασίες.

1 9-6 Κ Υ Μ Α Τ Α Η Χ Ο Υ Σ Ε A E P I A Στο προηγούμενο εδάφιο βρήκαμε μιαν έκφραση για την ταχύτητα του ήχου σε ρευστό συναρτήσει της πυκνότητας του p και του μέτρου ελαστικότητας όγκου Β:

υ

10 1 1

(διάμηκες κύμα).

Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτή τη σχέση για να βρούμε την ταχύτητα του ήχου σε ιδανικό αέριο. Το μέτρο ελαστικότητας όγκου ορίζεται γενικά όπως στην Εξ. (1 1-16)· για aπειρο­ στές μεταβολές της πίεσης και του όγκου, Β= -V dp Ι dV. Χρειαζόμαστε λοιπόν να γνω­ ρίζουμε πώς το p μεταβάλλεται με το V για ιδανικό αέριο. Εάν η θερμοκρασία είναι στα­ θερή, τότε, σύμφωνα με το Νόμο του Boyle (Μπόϋλ), το γινόμενο pV είναι σταθερό και μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε για να υπολογίσουμε το dp Ι dV. Αλλά όταν ένα αέ­ ριο συμπιέζεται αδιαβατικά, η θερμοκρασία του ανεβαίνει και όταν διαστέλλεται αδια­ βατικά, η θερμοκρασία του πέφτει. Σε αδιαβατική διαδικασία ιδανικού αερίου, η Εξ. (17-25) λέει ότι το pVY είναι σταθερό, και παίρνουμε ένα διαφορετικό αποτέλεσμα για το Β. Έχουμε αυτή την περίπτωση όταν ένα κύμα διαδίδεται σε αέριο, ή υπάρχει αρκετή ροή θερμότητας μεταξύ διαδοχικών στρωμάτων του αερίου ώστε να διατηρείται σχεδόν παντού σταθερή η θερμοκρασία; Οι θερμικές αγωγιμότητες των αερίων είναι πολύ μικρές, και προκύπτει ότι για συνήθεις ακουστικές συχνότητες, από 20 έως 20 000 Hz, η διάδοση του ήχου είναι σχε-

-

552

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 19 ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

δόν

αδιαβατική. Έτσι στην Εξ. (19-21) χρησιμοποιούμε το αδιαβατικό μέτρο ελαστικό­

τητας όγκου Bad, που παράγεται από την υπόθεση ότι

pVY = σταθερό. (19-23) Παίρνουμε την παράγωγο της Εξ. (19-23) ως προς V: !Jb γ Υ + γpvy-1 = ο. Διαιρώντας διά του vγ- 1 και αναδιατάσσοντας όρους, βρίσκουμε (19-24) Bad = - v!Jb = γp. Για μια ισόθερμη μεταβολή, pV = σταθερό, σας προτείνουμε να αποδείξετε (Άσκ. 19-18) ότι το ισόθερμο μέτρο ελαστικότητας όγκου είναι (19-25) Biso = p . Το αδιαβατικό μέτρο ελαστικότητας όγκου είναι μεγαλύτερο από το ισόθερμο κατά παρά­ γοντα γ. Συνδυάζοντας τις Εξ. (19-21) και (19-24), βρίσκουμε υ=

ff

(ιδανικό αέριο).

Μπορούμε να βρούμε μια χρήσιμη εναλλακτική μορφή με τη χρήση την πυκνότητα p ιδανικού αερίου

(19-26) της Εξ. (16-5) για

pM

Ρ -- RT '

όπου R είναι η παγκόσμια σταθερά των αερίων, Μ η γραμμομοριακή (molar) μάζα, και Τ η απόλυτη θερμοκρασία. Συνδυάζοντας αυτά με την Εξ. (19-26), βρίσκουμε

υ

_

� γΜRΤ

_

(19-27)

(ιδανικό αέριο).

Για κάθε συγκεκριμένο αέριο, τα γ, R και Μ είναι σταθερές και η ταχύτητα κύματος εί­ ναι ανάλογη προς την τετραγωνική ρίζα της απόλυτης θερμοκρασίας. Εκτός του αριθ­ μητικού παράγοντα 3 στη μία και γ στην άλλη, αυτή η έκφραση είναι ταυτόσημη προς την Εξ. (16-20), η οποία δίνει την τετραγωνική ρίζα της μέσης τιμής των τετραγώνων (rms) των ταχυτήτων των μορίων σε ιδανικό αέριο. Αυτό δείχνει ότι οι ταχύτητες του ήχου και οι μοριακές ταχύτητες είναι στενά συνδεδεμένες η εξέταση αυτής της σχέσης λεπτο­ μερώς είναι πέραν του σκοπού μας.

------Υπολογίστε την ταχύτητα διαμήκων κυμάτων στον αέρα σε �yRMT (1,40)(28,88,315χ J/mol · Κ)(293 Κ) 344 mI θερμοκρασία δωματίου 20°C). 10 3 kglmol

- Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 1 9-7

υ

(Τ=

Από το παράδειγμα 16-2 (Εδ. 16-1) η μέση γραμμο­ μοριακή (molar) μάζα του αέρα είναι 28,8 χ 10-3 kglmol. Επίσης, γ = 1 ,40 για τον αέρα, και R = 8,315 J/mol· Κ. Σε Τ= 20 oc = 293 Κ, βρίσκουμε

ΛΥΣΗ

=

=

=

s.

Αυτό συμφωνεί με τη μετρούμενη ταχύτητα του ήχου σε αυ­ τή τη θερμοκρασία με ακρίβεια 0,3 %.

Το ανθρώπινο αυτί είναι ευαίσθητο σε μια περιοχή συχνοτήτων ήχου, από περίπου 20 Hz έως περίπου 20 000 Hz. Από τη σχέση υ = λfη αντίστοιχη περιοχή μηκών κύματος είναι από 17 m, που αντιστοιχεί σε νότα 20 Hz, έως 1,7 cm που αντιστοιχεί σε νότα 20 000 Hz.

Οι νυχτερίδες μπορούν να ακούσουν πολύ υψηλότερες συχνότητες. Όπως τα δελ­ φίνια, οι νυχτερίδες χρησιμοποιούν ηχητικά κύματα υψηλής συχνότητας για πλοήγηση. Μια ενδεικτική συχνότητα είναι 100 kHz- το αντίστοιχο μήκος κύματος στον αέρα είναι περίπου 3,4 mm, αρκετά μικρό ώστε οι νυχτερίδες να μπορούν να ανιχνεύσουν τα ιπτά­ μενα έντομα που τρώγουν (Σχ. 19-17).

553

1 9-7 ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΤΗΝ ΚΥΜΑτΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

19-17 Οι νυχτερίδες εκπέμπουν

κραυγές στην περιοχή των υπερήχων (περίπου 100 kHz) που ανακλώνται από τα περιβάλλοντα αντικείμενα. Η ανίχνευση αυτών των ανακλάσεων κάνει ικανές τις νυχτερίδες να αποφεύγουν αντικείμενα τη νύχτα και να εντοπίζουν έντομα για τροφή.

Σε αυτή τη μελέτη αγνοήσαμε τη μοριακή φύση των αερίων και τα μεταχειριστήκα­ με ως συνεχές μέσο. Γνωρίζουμε ότι πράγματι ένα αέριο αποτελείται από μόρια με τυχαί­ ες κινήσεις, με αποστάσεις μεταξύ τους πολύ μεγαλύτερες από τις διαμέτρους τους. Οι δονήσεις, που συνιστούν ένα κύμα σε αέριο, προστίθενται πάνω στην τυχαία θερμική κί­ νηση. Σε ατμοσφαιρικj πίεση, ένα μόριο ταξιδεύει μια μέση απόσταση (μέση ελεύθερη διαδρομή) περίπου 10- m μεταξύ διαδοχικών συγκρούσεων και το πλάτος της μετατόπι­ σης ενός αδύνατου ήχου ίσως είναι μόνο 10-9 m. Μπορούμε να παρομοιάσουμε το αέριο όπου διαδίδεται ηχητικό κύμα σαν ένα σμήνος μελισσών. Το σμήνος ως σύνολο ταλαντώ­ νεται ελαφρώς ενώ τα επιμέρους έντομα κινούνται εντός του σμήνους κατά τυχαίο τρόπο.

1 9-7

ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΤΗΝ ΚΥΜΑΤΙΚΉ Κ Ι Ν Η Σ Η

Κάθε κυματική κίνηση συνοδεύεται από ενέργεια. Το μαρτυρούν η ενέργεια που λαμβά­ νουμε από το ηλιακό φως και τα καταστροφικά αποτελέσματα των κυμάτων του ωκεανού και των σεισμών (Σχ. 19-18). Για να παράγουμε οποιαδήποτε από τις κυματικές κινήσεις που συζητήσαμε σε αυ1ίό το κεφάλαιο πρέπει να εφαρμόσουμε μια δύναμη σε ένα τμήμα του κυματικού μέσου· το σημείο που εφαρμόζεται η δύναμη κινείται, συνεπώς παράγου­ με έργο πάνω στο σύστημα. Με τον ίδιο τρόπο ένα κύμα μεταφέρει ενέργεια από μια πε­ ριοχή του χώρου σε άλλη. Ως ένα παράδειγμα ενεργειακής μελέτης στην κυματική κίνηση, ας εξετάσουμε τα εγκάρσια κύματα σε χορδή. Πώς μεταφέρεται η ενέργεια από ένα τμήμα της χορδής σε άλλο; Σχεδιάστε ένα κύμα που διαδίδεται από αριστερά προς τα δεξιά (θετική διεύθυνση του χ) κατά μήκος της χορδής και θεωρήστε ένα σημείο α πάνω στη χορδή (Σχ. 19-19a). Η χορδή, από τα αριστερά του α, ασκεί μια δύναμη στη χορδή προς τα δεξιά του και αντι­ στρόφως. Στο Σχ. 19-19b η χορδή από τα αριστερά του α έχει αφαιρεθεί και η δύναμη που αυτό το τμήμα ασκεί στο α παριστάνεται με τις συνιστώσες F και Fy, όπως έχουμε κά­ νει προηγουμένως. Σημειώνουμε πάλι ότι το Fy/F είναι ίσο με το αρνητικό της κλίσης της χορδής στο α, που δίνεται επίσης από το oy Ι οχ . Βάζοντας αυτά όλα μαζί, έχουμε Fy = - F

oy

οχ ·

19-18 Ένα κύμα του ωκεανού σπάζοντας στην ακτή περιέχει μια τεράστια ποσότητα ενέργειας, η οποία μπορεί να αποβεί καταστροφική κατά τη διάρκεια καταιγίδων.

(19-28)

Θέτουμε το αρνητικό πρόσημο επειδή η Fy είναι αρνητική όταν η κλίση είναι θετική. Καθώς το σημείο α κινείται, η Fy παράγει έργο πάνω στο σημείο και ως εκ τούτου μεταφέρει ενέργεια στο μέρος της χορδής προς τα δεξιά του α. Η αντιστοιχούσα ισχύς Ρ (ρυθμός παραγωγής έργου) είναι η εγκάρσια δύναμη Fy επί την εγκάρσια ταχύτητα Vy =

&j!8t:

(19-29)

(a)

(b)

19-19 (a) Σημείο α χορδής στην οποία ένα κύμα διαδίδεται από αριστερά προς τα δεξιά. (b) Οι συνιστώσες της δύναμης που ασκούνται στο δεξιό μέρος της χορδής από το αριστερό μέρος του στο σημείο α .

554

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 9 ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

Αυτή η έκφραση ισχύει για κάθε κύμα, ημιτονοειδές ή μη. Για ημιτονοειδές κύμα με κυ­ ματοσυνάρτηση

y(x, t) = Α sin (ωt -!α), �: = - kA cos (ωt -!α),

�

(19-30)

ωΑ cos (ωt -!α), Ρ = FkωA 2 cos2 (ωt - kx). (19-31) Χρησιμοποιώντας τις σχέσεις ω = vk και vz = F/μ μπορούμε από την Εξ. (19-31) να πά­ =

ρουμε την εναλλακτική μορφή

(19-32) Αυτή η εξίσωση δίνει τον στιγμιαίο ρυθμό της μεταφοράς ενέργειας κατά μήκος της χορδής εξαρτάται και από το χ και από το t. Η μέγιστή του τιμή παρουσιάζεται όταν η συνάρτηση cos2 παίρνει την τιμή της μονάδας:

r-;::;ω2Α 2 . Pm"' = -'ιμr

(19-33)

Μπορούμε να βρούμε τη μέση ισχύ χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι η μέση τιμή της συ­ νάρτησης cos2, λαμβανόμενης για οποιοδήποτε αριθμό ολόκληρων κύκλων είναι + · Έτσι, η μέση ισχύς είναι (19-34) Ο ρυθμός μεταφοράς ενέργειας είναι ανάλογος προς το τετράγωνο του πλάτους και προς το τετράγωνο της συχνότητας. - Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 1 9-8 ---a) Στα παραδείγματα 19-2 και 19-3, ποιός είναι ο μέγιστος ρυθμός που ο Βαγγέλης παρέχει ενέργεια στο σχοινί; Δη­ λαδή, ποια είναι η μέγιστη στιγμιαία ισχύς; b) Ποια είναι η μέση ισχύς; c) Καθώς ο Βαγγέλης κουράζεται, το πλάτος ελαττώνεται. Ποια είναι η μέση ισχύς όταν το πλάτος έχει πέσει στα 2,00 mm; ΛΥΣΗ a) Από την Εξ. (19-33), Pmax = {μF ω2Α 2 = './(0,25 kg/m)(25 Ν)(31,4 rad/s)\0,010 m)2 = 0,25 W.

Από τις Εξ. (19-33) και (19-34), Pav= tPmax, έτσι Ρaν = ΗΟ,25 W) = 0,12 W. c) Αυτό το πλάτος είναι το t της τιμής που χρησιμοποιήσα­ με στα (a) και (b). Η μέση ισχύς είναι ανάλογη προς το τε­ τράγωνο του πλάτους, οπότε τώρα η μέση ισχύς είναι Ρaν = 512(0,12 W) = 0,0048 W = 4,8 mW. b)

Σχέσεις ισχύος ανάλογες προς την Εξ. (19-33) μπορούν να παραχθούν και για δια­ μήκη κύματα. Δεν θα προχωρήσουμε σε λεπτομέρειες τα αποτελέσματα αποδίδονται ευ­ κολότερα συναρτήσει της μέσης ισχύος Ρ ανά μονάδα εμβαδού διατομής Α κάθετης προς τη διεύθυνση διάδοσης. Η ποσότητα Pav !A ονομάζεται ένταση και συμβολίζεται με Ι. Για ρευστά σε σωλήνα δίδεται από (19-35) και για στερεά ράβδο από (19-36) Πάλι, η ισχύς είναι ανάλογη προς το Α 2 και το ω 2 •

Η Χ Η Τ Ι ΚΑ Κ Υ Μ Α Τ Α Σ Ε Κ Ρ Υ Σ Τ Α Λ Λ Ο Υ Σ :

1 9-8

Μελέτη ενό ς ειδ ικού θέματος της σύγχρονης φυσικής

Στη μελέτη μας για τον ήχο μεταχειριστήκαμε το μέσο διάδοσης (κάποιο ρευστό ή στε­ ρεό υλικό) ως ομαλή, συνεχή κατανομή ύλης. Αλλά γνωρίζουμε ότι η ύλη σε μικροσκοπι­ κή κλίμακα είναι κοκκώδης επειδή συνίσταται από άτομα. Όταν το μήκος κύματος του ή­ χου είναι συγκρίσιμο προς την απόσταση μεταξύ γειτονικών ατόμων, αναδύονται νέα χα­ ρακτηριστικά του ήχου. Θα διερευνήσουμε δύο από αυτά σύντομα, ένα συνδεδεμένο με την επίδραση της απόστασης των ατόμων, το άλλο με το γεγονός ότι η ενέργεια του ηχη­ τικού κύματος είναι κβαντισμένη. Θα δούμε ότι η ταχύτητα του ήχου εξαρτάται από τη συχνότητα και ότι υπάρχει μία μέγιστη συχνότητα πέραν της οποίας δεν διαδίδεται ήχος σε έναν κρύσταλλο. 19-20 Μοντέλο απλού κυβικού Για να αναλύσουμε τη διάδοση κύματος σε έναν κρύσταλλο θα χρησιμοποιήσουμε κρυσταλλικού πλέγματος. Τα άτομα το απλούστατο δυνατό μοντέλο, ένα απλό κυβικό πλέγμα πανομοιότυπων ατόμων (Σχ. παριστάνονται ως πανομοιότυπες μάζες m και οι διατομικές 19-20), με τον ήχο να διαδίδεται παράλληλα προς μία από τις διευθύνσεις του πλέγμα­ σημειακές δυνάμεις παριστάνονται ως ίδια τος. Θεωρούμε ως πρότυπο του πλέγματος μία σειρά πανομοιότυπων σημειακών μαζών ελατήρια σταθεράς k', που ενεργούν m, συνδεδεμένων με πανομοιότυπα ελατήρια σταθεράς k '. (Χρησιμοποιούμε αυτό το μόνο μεταξύ πλησιέστερων ατόμων. σύμβολο επειδή θα χρησιμοποιήσουμε το k για τον κυματαριθμό, k = 2π(λ.) Με διεύθυν­ ση διάδοσης αυτή που φαίνεται, τα άτομα κείνται σε επίπεδα κάθετα προς τη διεύθυνση διάδοσης. Όλα τα άτομα σε ένα συγκεκριμένο επίπεδο κινούνται συντονισμένα, έτσι ό­ λο κι όλο που πρέπει να κάνουμε είναι να αναλύσουμε την κίνηση μιας μόνο ευθείας γραμμής ατόμων παράλληλης προς τη διεύθυνση διάδοσης. Το Σχ. 19-21a δείχνει μερικά άτομα σε μια τέτοια ευθεία. Τα άτομα, αριθμημένα Ο, 1, 2, 3 και 4 βρίσκονται επί του άξονος χ · οι θέσεις ισορροπίας τους είναι χο, Χι, χ2, κ.ο.κ .. Σε αυτές τις θέσεις απέχουν μεταξύ τους απόσταση α και το άτομο Ο είναι στην αρχή. Έτσι χ0 = Ο, χ ι = α, χ2 = 2α κ.ο.κ .. Το Σχ. 19-21b δείχνει τρία άτομα πιο πέρα πάνω στην ευθεία, αριθμημένα n - 1, n και n + 1. Οι θέσεις ισορροπίας τους είναι χ. - ι = (n - 1)α, χ. = nα, και χ. + ι = (n + 1)α. Κατά τη διάρκεια της κυματικής κίνησης, κάθε άτομο μετατοπίζεται κατά μήκος του άξονα χ· έστω y. η μετατόπιση του n οσιοu ατόμου από τη θέση ισορροπίας του. Όλα ταy. είναι συναρτήσεις του χρόνου. Ας εφαρμόσουμε τη Σ Fx= mαχ στο n οσιο άτομο. Το ελατήριο στα δεξιά του εκτεί­ νεται κατά y. + ι - y Ασκεί μια δύναμη στο άτομο n με συνιστώσα χ ίση προς k ' (y. + ι y.). (Όπου y. + ι < y., το ελατήριο είναι συμπιεσμένο, και η αντίστοιχη συνιστώσα της δύναμης είναι αρνητική.) Παρομοίως, το ελατήριο προς τα αριστερά αυτού του ατόμου προκαλεί δύναμη με συνιστώσα χ ίση προς - k '(y. - Yn - z). Η ολική συνιστώσα χ της δύ­ ναμης στο n οσιο άτομο είναι •.

Σ Fx = k ' (Yn + ι - Yn ) - k ' (Yn - Υn - ι) = k '(Yn + ι - 2yn

+ Υ�� - ι),

και η εξίσωση Σ Fx= mαχ για το n οσιο άτομο είναι

(19-37)

3

4

!ΚΚΚ» )!+'ΝΑΙΝΝΝΝινΝΝ!-� )!fNN.fNNNλfNN�(;>!fNλfNNNN!VNNi-C�ΚιVNNNAWNNi-( ο

2

ο

=

(a)

n - 1 x = na l n �

�

Yn - ι

�

Υ"

�

(b)

19-21 (a) Τμήμα ευθείας ατόμων σε κυβικό κρυσταλλικό πλέγμα που δείχνονται στη θέση ισορροπίας τους. Η απόσταση χ. του nοιπσυ ατόμου από την αρχή είναι χ. na, όπου α είναι η πλεγματική σταθερά. (b) Τρία διαδοχικά άτομα στην ευθεία, μετατοπισμένα από τις θέσεις ισορροπίας τους καθώς ένα διάμηκες κύμα κινείται προς τα δεξιά.

n+l �

Υ" +

� ι

555

556

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 19 ΜΗΧΑΝΙΚΆ ΚΥΜΑΤΑ

Τώρα υποθέστε ότι ένα κύμα με κυματοσυνάρτηση y = Α sin (ωt - /α) διαδίδεται μέσα στον κρύσταλλο. Εδώ το χ παριστά τη θέση ισορροπίας ενός συγκεκριμένου ατό­ μου. Για το n oσro άτομο, χ = nα κ.ο.κ. και μπορούμε να γράψουμε

Yn = Α sin (ωt- knα), nΥ - ι = Α sin [ωt-k(n - 1)α] = Α sin (ωt- knα + kα), Yn +ι = Α sin [ωt- k(n + 1)α] = Α sin (ωt-knα -kα), �;; = - ω2 Α sin (ωt -knα).

Για να βρούμε πότε ένα τέτοιο κύμα είναι φυσικώς δυνατόν, aντικαθιστούμε αυτές τις εκφράσεις στην Εξ. (19-37) για να δούμε τις συνθήκες υπό τις οποίες επαληθεύεται. Αυτό απαιτεί μερικούς υπολογισμούς και χρειάζεται να χρησιμοποιήσουμε τις τριγωνο­ μετρικές ταυτότητες

sin (α ± β) = sin α cosβ ± cos α sinβ, όπου στο πρόβλημά μας α = ωt- knα και β = kα. Θα αφήσουμε τις λεπτομέρειες ως ά­ σκηση. Ο κοινός παράγοντας Α sin (ωt - knα) μπορεί να απαλειφθεί, αφήνοντας το απλό αποτέλεσμα

2k'

(1 - cos kα) = ω2 m , ω2 = -k'm 2 (1 - cos kα).

Μπορούμε να aπλοποιήσουμε περισσότερο αυτή τη σχέση χρησιμοποιώντας την ταυτό­ τητα 1 - cos β = 2 sin2 (β/2)· βρίσκουμε

kα ω = 2 yw (19-38) m 1 sin -z l . Συγκρίνοντας με την απλή σχέση ω = υk, που χρησιμοποιήσαμε στο Εδ. 19-3 για ημιτονοειδή κύματα με σταθερή ταχύτητα υ, αυτό είναι ένα εντελώς απροσδόκητο αποτέ­ λεσμα. Δείχνει ότι ο λόγος ω/k, που ισούται προς την ταχύτητα κύματος υ, δεν είναι στα­ θερός αλλά εξαρτάται από το k (και ως εκ τούτου από τη συχνότητα). Ένα τέτοιο κύμα λέγεται ότι παρουσιάζει διασκεδασμό ή διασπορά. Όμως, εάν το μήκος κύματος λ είναι πολύ μεγαλύτερο από την πλεγματική σταθερά α, τότε ο κυματαριθμός k = 2π!λ είναι πολύ μικρότερος από το α, και το γινόμενο kα είναι πολύ μικρότερο από τη μοvάδα. Σε αυτή την περίπτωση μπορούμε να προσεγγίσουμε το sin (kα/2) στην Εξ. (19-38) με το ί­ διο το kα/2. (Χρησιμοποιήσαμε την ίδια προσέγγιση στο Εδ. 13-5 όταν αναλύσαμε την κίνηση μικρού πλάτους απλού εκκρεμούς.) Αντικαθιστώντας το sin (kα/2) με kα/2 στην Εξ. (19-38), βρίσκουμε ω = υ = α .yfk'fiϊ (19-39) k · .

ω = fflpk

ω

I

I

I

I

I

;, ω = 2 ..fi?ίm sin ka/2

π/α

2π/α

19-22 Η κυκλική συχνότητα ω

είναι προσεγγιστικά ανάλογη προς τον κυματαριθμό k μόνο όταν ka ! L= !I

20-14 Τομή ανοικτού αυλού που

δείχνει τους πρώτους τρεις κανονικούς τρόπους ταλάντωσης καθώς επίσης και τους κόμβους και τις κοιλίες μετατόπισης. Εναλλάξτε τα Α και Ν για να δείξετε τις κοιλίες και κόμβους πίεσης.

fι

υ fI - 4L

(20-13)

(κλειστός αυλός).

ανοικτό

Αυτό είναι το μισό της θεμελιώδους συχνότητας για αυλό ίδιου μήκους. Στη μου­ σική γλώσσα ο ενός κλειστού αυλού είναι μια οκτάβα χαμηλότερος (ένας παράγο­ ντας δύο στη συχνότητα) από αυτόν ανοικτού αυλού ίδιου μήκους. Το Σχ. δείχνει τον επόμενο τρόπο, για τον οποίο το μήκος του αυλού είναι του μήκους κύ­ ματος, που αντιστοιχεί σε συχνότητα 3fι . Για το Σχ. L = 5λ/4 και η συχνότητα εί­ ναι 5fι . Τα επιτρεπτά μήκη κύματος δίνονται από

τόνος

20-15c,

4L (n = n

ή

τρία τ{ταρτα

1, 3, 5, . . . ).

20-15b

(20-14)

Οι συχνότητες κανονικών τρόπων δίνονται από fn = υ/λn, ή (n =

�>.Ι

1, 3, 5, . . . )

(κλειστός αυλός),

(20-15)

ή fn = nfι

(n =

1, 3, 5, .. . ),

(20-16)

με το fι δεδομένο από την Εξ. (20-13). Βλέπουμε ότι η δεύτερη, η τέταρτη και όλες οι άρ­ τιες αρμονικές λείπουν. Σε αυλό που είναι κλειστός στο ένα άκρο η θεμελιώδης συχνότη­ τα είναιfι = υ/4L και μόνο οι περιττές αρμονικές στη σειρά (3fι, 5fι , ... ) είναι επιτρεπτές.

�

L = λ/4------?>1 (a) fι = 4L υ

·:)II �Y Ι'Ε- λ/4 *λ/4 ?>t1 I«--

(b)/3 = 34� = 3!1 =

')!

� A X , J I λ/4 λ/4 λ/4 λ/4 λ/4 Ι< )I( )I( )I( )I( )I I«--

L = Sλ/4-----3>1 (c) fs = 5 4L = Sfι υ

20-15 Τομή κλειστού αυλού που

δείχνει τους πρώτους τρεις κανονικούς τρόπους καθώς επίσης τους κόμβους και κοιλίες μετατοπίσεως. Μόνο περιττές αρμονικές είναι επιτρεπτές.

576

-

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 20 ΑΡΧΗ τΗΣ ΕΠΑΛΛΗΛΙΑΣ ΚΑΙ ΚΑΝΟΝΙΚΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ

Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 20-4 -------

Κάποια μέρα που η ταχύτητα του ήχου είναι 345 m/s, η θε­ μελιώδης συχνότητα ενός οργάνου με ανοικτό αυλό είναι 690 Hz. Εάν η δεύτερη αρμονική αυτού του αυλού έχει το ί­ διο μήκος κύματος με τη δεύτερη ανώτερη αρμονική κλει­ στού αυλού, ποιο είναι το μήκος κάθε αυλού;

ΛΥΣΗ Για ανοικτό αυλό, fι = υ/2L, έτσι το μήκος του α­ νοικτού αυλού είναι υ 345 m/s L open = 2fι = 2(690 8_ι) = 0,250 m.

Η δεύτερη αρμονική του ανοικτού αυλού έχει συχνότητα

/2 = 2fι = 2( 690 Hz) = 1380 Hz.

Εάν τα μήκη κύματος είναι ίδια, οι συχνότητες είναι ίδιες, έτσι η συχνότητα της δεύτερης ανώτερης αρμονικής του κλειστού αυλού ε ίναι επίσης 1 380 Hz. Η πρώτη ανώτερη αρμονική κλειστού αυλού ε ίναι 3fι και η δεύτερη 5fι = 5(υ/4L ). Εάν τεθεί ίση με 1380 Hz, τότε 1 380 Hz = 5 345 m/s 4Lsιopped

και

L sιopped = 0,313 m.

και στα δύο

Μια τελευταία δυνατότητα ε ίναι ένας αυλός κλειστός άκρα, με κόμ­ βους μετατοπίσεως και κοιλίες πίεσης και στα δύο άκρα. Αυτό δεν θα ήταν πολύ χρήσιμο ως μουσικό όργανο επειδή δε θα υπήρχε τρόπος να βγουν οι ταλαντώσεις έξω από τον αυλό. Σε έναν αυλό οργάνου σε πραγματική χρήση, είναι ταυτόχρονα παρόντες αρκετοί τρόποι. Αυτή η κατάσταση είναι ανάλογη με εκείνη χορδής που κτυπάται ή τραβιέται, παράγοντας αρκετούς τρόπους την ίδια χρονική στιγμή. Σε κάθε περίπτωση η κίνηση εί­ ναι μια διαφόρων τρόπων. έκταση της παρουσίας τρόπων με συχνότητα υψηλότερη της θεμελιώδους, εξαρτάται από τη διατομή του αυλού, την αναλο­ γία του μήκους προς το πλάτος, τη μορφή του στομίου και άλλους περισσότερο δυσδιά­ κριτους παράγοντες. Το περιεχόμενο αρμονικών του τόνου είναι ένας σπουδαίος παρά­ ' γοντας γ ια τον καθορισμό της ποιότητας του τόνου, δηλαδή του ηχοχρώματος ή χροιάς. Ένας πολύ λεπτός αυλός παράγει έναν τόνο που είναι πλούσιος σε υψηλότερες αρμονι­ κές που ακούμε ως ένα λεπτό και "ινώδη" τόνο· ένας παχύτερος αυλός παράγει κυρίως το θεμελιώδη τρόπο, που ακούγεται ως ένας μαλακότερος τόνος, που μοιάζει περισσότε­ ρο με τόνο φλάουτου. Έχουμε μιλήσει για aυλούς οργάνου, αλλά αυτή η συζήτηση ισχύει επίσης και για άλλα πνευστά όργανα. Το φλάουτο και η φλογέρα είναι ακριβώς ανάλογα. πλέον ση­ μαντική διαφορά είναι ότι αυτά τα όργανα έχουν οπές κατά μήκος του αυλού. Ανοιγο­ κλείνοντας τις οπές με τα δάχτυλα αλλάζει το ενεργό μήκος της στήλης του αέρα και έτσι αλλάζει ο τόνος. Σε σύγκριση, κάθε επιμέρους αυλός οργάνου παίζει μια μόνο νότα. Το φλάουτο και η φλογέρα συμπεριφέρονται ως αυλοί, αλλά το κλαρινέτο δρα ως αυλός (κλειστός στο άκρο που είναι το στόμιο και ανοικτός στο τέλος του). Οι εξισώσεις (20-11) και (20-15) δείχνουν ότι οι συχνότητες ενός τέτοιου οργάνου είναι ανάλογες προς την ταχύτητα του ήχου υ στην στήλη του αέρα εντός του οργάνου. Όπως δείχνει η Εξ. (19-27), το εξαρτάται από τη θερμοκρασία· αυξάνει όταν η θερμο­ κρασία αυξάνει. Ως εκ τούτου ο τόνος όλων των πνευστών οργάνων οξύνεται με την αύξη­ ση της θερμοκρασίας. Ένα όργανο που έχει μερικούς από τους aυλούς του σε μια θερμο­ κρασία και άλλους σε διαφορετική θερμοκρασία είναι αναγκασμένο να ηχεί παράτονα.

επαλληλία (υπέρθεση)

Η

Η

ανοικτοί

κλειστός

υ

•

•

20-6

ΣΥΜΒΟΛΉ

ΚΥΜΑΤ Ω Ν

Κυματικά φαινόμενα που παρουσιάζονται όταν δύο ή περισσότερα κύματα συναντώνται στην ίδια περιοχή του χώρου ομαδοποιούνται κάτω από την επωνυμία Όπως έ­ χουμε δει, τα στάσιμα κύματα ε ίναι ένα απλό παράδειγμα ενός φαινομένου συμβολής. Δύο κύματα διαδιδόμενα σε αντίθετες κατευθύνσεις σε ένα μέσο συνδυάζονται και δημι­ ουργούν μια μορφή στάσιμου κύματος με κόμβους και κοιλίες που δεν κινούνται. Το Σχ. 20-16 δείχνε ι ένα παράδειγμα συμβολής που περιλαμβάνει κύματα που διαδίδονται στο χώρο. Δύο ηχεία, που οδηγούνται σε φάση από τον ίδιο ενισχυτή, εκπέ­ μπουν πανομοιότυπα ημιτονοειδή ηχητικά κύματα με την ίδια σταθερή συχνότητα. Τοπο­ θετούμε ένα μικρόφωνο στο σημείο Ρ του σχήματος, που απέχει ίση απόσταση από τα η­ χεία. Κορυφές κυμάτων που εκπέμπονται από τα δύο ηχεία την ίδια χρονική στιγμή ταξι­ δεύουν ίσες αποστάσε ις και φθάνουν στο σημείο Ρ την ίδια χρονική στιγμή. Τα πλάτη προσθέτονται, σύμφωνα με την αρχή της επαλληλίας. Το ολικό πλάτος κύματος στο Ρ εί­ ναι διπλάσιο του πλάτους από κάθε ένα κύμα και μπορούμε να μετρήσουμε αυτό το συ­ νολικό πλάτος με το μικρόφωνο.

συμβολή.

20-16 Δύο ηχεία τροφοδοτημένα

από τον ίδιο ενισχυτή. Τα κύματα που εκπέμπονται από τα ηχεία είναι σε φάση· φθάνουν στο σημείο σε φάση επειδή τα δύο μήκη διαδρομής είναι ίσα. Φθάνουν στο σημείο Q μισό κύκλο εκτός φάσης επειδή τα μήκη διαδρομής διαφέρουν κατά λ/2.

Ρ

20-6 ΣΥΜΒΟΛΗ ΚΥΜΆΤΩΝ

577

Ας μετακινήσουμε τώρα το μικρόφωνο στο σημείο Q, όπου οι αποστάσεις από τα δύο ηχεία ως το μικρόφωνο διαφέρουν κατά μισό μήκος κύματος. Τότε τα δύο κύματα φθάνουν κατά μισό κύκλο μια θετική κορυφή από το ένα ηχείο φθάνει την ίδια χρονική στιγμή με μια αρνητική κορυφή από το άλλο και το πλάτος που μετριέται α­ πό το μικρόφωνο είναι πολύ παρά όταν υπάρχει ένα μόνο ηχείο. Εάν τα πλάτη από τα δύο ηχεία είναι ίσα, τα δύο κύματα αναιρούνται εντελώς στο σημείο Q και το ολι­ κό πλάτος εκεί είναι μηδέν.

εκτός φάσης μικρότερο

-

Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 2 0-5

Δύο μικρά ηχεία Α και Β (Σχ. 20-17), τροφοδοτούνται από τον ίδιο ενισχυτή και εκπέμπουν καθαρά ημιτονοειδή κύ­ ματα σε φάση. Εάν η ταχύτητα του ήχου είναι 350 m/s, a) για ποιες συχνότητες παρουσιάζεται ενίσχυση στο σημείο Ρ; b) Για ποιες συχνότητες παρουσιάζεται αναιρετική συμβολή στο σημείο Ρ;

b) Αναιρετική συμβολή (αναίρεση) παρουσιάζεται όταν η διαφορά δρόμου είναι ένας ημιακέραιος αριθμός μηκών κύματος, d = λ/2, 3λ/ 2, 5λ/2, . . . , ή d = v / 2f, 3v/ 2f, 5v/ 2f, .. . . Οι δυνατές συχνότητες είναι f,

11

=

nv = n 350 m/s 2d 2(0,35 m)

(n = 1, 3, 5, .. . )

= 500 Hz, 1500 Hz, 2500 Hz, ... .

Ρ

20-17 Οι αποστάσεις του Ρ από τα Α και Β είναι υποτείνουσες ορθογωνίων τριγώνων.

Καθώς aυξάνουμε τη συχνότητα, ο ήχος στο σημείο Ρ εμφανίζει εναλλαγή μεταξύ μεγάλων και μικρών πλατών· τα μέγιστα και ελάχιστα συμβαίνουν στις συχνότητες που έχουμε βρει. Θα ήταν πολύ δύσκολο να παρατηρήσουμε αυτό το φαινόμενο σε ένα συνηθισμένο δωμάτιο εξαιτίας των πολλαπλών ανακλάσεων από τους τοίχους, το δάπεδο και την οροφή. Ένα τέτοιο πείραμα γίνεται κατά τον καλύ­ τερο τρόπο σε έναν ανηχο·ίκό (ηχο-απορροφητικό) θάλαμο (Σχ. 20-18).

ΛΥΣΗ Πρώτα πρέπει να βρούμε τη διαφορά στα μήκη των διαδρομών από τα σημεία Α και Β ως το σημείο Ρ. Η από­ σταση από το ηχείο Α ως το σημείο Ρ είναι

[ (2,00 m) 2 + (4,00 m)2γ12 = 4,47 m, και η απόσταση από το ηχείο Β ως το Ρ είναι

[ (1,00 m / + (4,00 m)2γ12 = 4, 12 m. Η διαφορά δρόμου είναι

d = 4,47 m - 4,12 m = 0,35 m.

a) Ενίσχυση (ενισχυτική συμβολή) παρουσιάζεται όταν η διαφορά δρόμου d είναι ένας ακέραιος αριθμός μηκών κύ­ ματος, Ο, λ, 2λ, ... , ή d = Ο, v/f, 2v/f, . . = nv/f. Έτσι οι δυ­ νατές συχνότητες είναι .

f,

11

= d =

nv

350 m/s n 0,35 m (n = 1 , 2, 3, . .. ) = 1000 Hz, 2000 Hz, 3000 Hz, . . . .

20-18 Ανηχο'ίκός (ηχο-απορροφητικός) θάλαμος.

Πειράματα ανάλογα προς αυτό, αλλά με τη χρήση φωτός, έχουν δώσει ισχυρές ενδείξεις για την κυματική φύση του φωτός και έναν τρόπο μέτρησης των μηκών κύματός του. Θα μελετήσουμε αυτά τα πειράματα με λεπτομέρεια στο Κεφ. Τα φαινόμενα συμβολής χρησιμοποιούνται για να ρυθμίσουμε το θόρυβο από πολύ ισχυρές πηγές ήχου, όπως σταθμοί παραγωγής ρεύματος με αεροστροβίλους και χώροι δοκιμής αεριοπροωθητικών μηχανών Uet). ιδέα είναι να χρησιμοποιήσουμε πρόσθε­ τες πηγές ήχου που σε μερικές περιοχές του χώρου συμβάλλουν αναιρετικά με τον ανεπι­ θύμητο ήχο και τον εκμηδενίζουν. Μικρόφωνα στην υπό έλεγχο περιοχή τροφοδοτούν με σήματα τις πηγές ήχου, οι οποίες ρυθμίζονται συνεχώς για άριστη αναίρεση του ήχου στην ελεγχόμενη περιοχή.

37.

Η

578

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 20 ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΠΑΛΛΗΛΙΑΣ ΚΑΙ ΚΑΝΟΝΙΚΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΤΑΛΑΝ'ΓΩΣΗΣ

2 0-7

ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ

Έχουμε μελετήσει αρκετά μηχανικά συστήματα που έχουν κανονικούς τρόπους ταλά­ ντωσης. Σε κάθε κανονικό τρόπο, οποιοδήποτε σωμάτιο του συστήματος εκτελεί απλή αρμονική κίνηση με τη συχνότητα του συγκεκριμένου τρόπου ταλάντωσης. Τα συστήματα που έχουμε μελετήσει έχουν μια άπειρη σειρά κανονικών τρόπων, αλλά η βασική έννοια είναι όπως και στον απλό αρμονικό ταλαντωτή, που συζητήθηκε στο Κεφ. ο οποίος έ­ χει μόνο έναν κανονικό τρόπο ταλάντωσης. Υποθέστε ότι εφαρμόζουμε μια περιοδικά μεταβαλλόμενη δύναμη σε σύστημα που έχει κανονικούς τρόπους ταλάντωσης. Το σύστημα τότε εξαναγκάζεται να ταλαντώνεται με συχνότητα ίση προς τη συχνότητα της Αυτή η κίνηση ονομάζεται εξαναγκα­ σμένη ταλάντωση. Γενικά, το πλάτος αυτής της κίνησης είναι σχετικά μικρό, αλλά εάν η συχνότητα της δύναμης είναι κοντά σε μια από τις συχνότητες των κανονικών τρόπων, το πλάτος μπορεί να γίνει αρκετά μεγάλο. Μιλήσαμε για τις εξαναγκασμένες ταλαντώσεις του aρμονικού ταλαντωτή στο Εδ. και σας προτείνουμε να το ξαναμελετήσετε. Εάν η συχνότητα της δύναμης είναι ακριβώς προς τη συχνότητα ενός κανονι­ κού τρόπου και εάν δεν υπάρχει τριβή ή άλλος μηχανισμός κατανάλωσης ενέργειας, τότε η δύναμη προσθέτει συνεχώς ενέργεια στο σύστημα και το πλάτος αυξάνει απεριόριστα. Σε κάθε πραγματικό σύστημα υπάρχει πάντοτε κάποια κατανάλωση ενέργειας, ή από­ σβεση, όπως συζητήσαμε στο Εδ. Ακόμη και τότε, η "απόκριση" του συστήματος (δηλαδή το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης) είναι μέγιστο όταν η συχνότητα της δύναμης είναι ίση προς τη συχνότητα ενός από τους κανονικούς τρόπους. Αυτή η συμπε­ ριφορά ονομάζεται συντονισμός. Στο Εδ. αναφέραμε το σπρώξιμο του εξαδέλφου σας Βαγγέλη πάνω σε αιώρα (κούνια) ως ένα οικείο παράδειγμα μηχανικού συντονισμού. αιώρα είναι ένα εκκρε­ μές έχει ένα μόνο κανονικό τρόπο, με συχνότητα προσδιορισμένη από το μήκος της. Εάν σπρώχνουμε περιοδικά την αιώρα με αυτή τη συχνότητα, μπορούμε να αυξήσουμε το πλάτος της κίνησης. Αλλά, εάν σπρώχνουμε με πολύ διαφορετική συχνότητα, ή εάν σπρώ­ χνουμε τυχαία, η αιώρα δεν κινείται σχεδόν καθόλου. ίδια αρχή εφαρμόζεται στην "αυτο-αιώρηση" - όταν δηλαδή το άτομο πάνω στην αιώρα αυξάνει το πλάτος της ταλά­ ντωσής του με τη μετατόπιση του βάρους του σε φάση με τις μπρος-πίσω ταλαντώσεις. Μια τεντωμένη χορδή (και τα άλλα συστήματα που μελετήθηκαν σε αυτό το κεφά­ λαιο) δεν έχει ένα μόνο κανονικό τρόπο ταλάντωσης αλλά έναν άπειρο αριθμό τρόπων, ο καθένας με τη δική του συχνότητα. Υποθέστε ότι ένα άκρο τεντωμένης χορδής κρατεί­ ται σταθερό ενώ στο άλλο δίνεται μια εγκάρσια ημιτονοειδής κίνηση με μικρό πλάτος, δημιουργώντας στάσιμα κύματα. Εάν η συχνότητα του μηχανισμού που δημιουργεί τις ταλαντώσεις είναι ίση με μια από τις συχνότητες κανονικών τρόπων της χορδής, το πλάτος στις κοιλίες είναι σχετικά μικρό. Όμως, εάν η συχνότητα είναι ίση προς κάποια από τις φυσικές συχνότητες, η χορ­ δή είναι σε συντονισμό και το πλάτος στις κοιλίες είναι πάρα πολύ από το πλάτος του άκρου που τροφοδοτεί την ταλάντωση. Το τροφοδοτούμενο άκρο δεν είναι α­ κριβώς ένας κόμβος, αλλά βρίσκεται πολύ πλησιέστερα σε έναν κόμβο παρά σε μια κοι­ λία όταν η χορδή είναι σε συντονισμό. Οι φωτογραφίες του Σχ. πάρθηκαν με το δε­ ξί άκρο της χορδής ακίνητο και το αριστερό ταλαντούμενο κατακόρυφα με μικρό πλάτος. Οι φωτογραφίες δείχνουν τα μεγάλου πλάτους στάσιμα κύματα που προκύπτουν όταν η συχνότητα της ταλάντωσης του αριστερού άκρου ήταν ίση προς τη θεμελιώδη συχνότητα ή προς μια των τριών πρώτων ανώτερων αρμονικών. Μια σιδερένια γέφυρα, όπως κάθε ελαστική δομή, έχει κανονικούς τρόπους και μπορεί να ταλαντώνεται με ορισμένες φυσικές συχνότητες. Εάν ο κανονικός βηματισμός μιας ομάδας που παρελαύνει έχει συχνότητα ίση με μια από τις φυσικές συχνότητες της γέφυρας, μπορεί να προκύψει μια ταλάντωση με επικίνδυνα μεγάλο πλάτος. Γι' αυτό, ό­ ταν μια ομάδα που παρελαύνει διασχίζει μια γέφυρα πάντοτε "παύει το βηματισμό". Πα­ ρόμοια, ένας τροχός αυτοκινήτου που δεν είναι ζυγοσταθμισμένος, μπορεί να προκαλέ­ σει ταλαντώσεις μεγάλου πλάτους σε τμήματα του συστήματος ανάρτησης για ορισμένες ταχύτητες. Έχουν υπάρξει περιπτώσεις κατά τις οποίες συχνότητες ταλάντωσης μηχα­ νών αεροπλάνων συνέβη να συμπέσουν με συχνότητες κανονικών τρόπων του σκελετού του αεροπλάνου, με αποτέλεσμα να προξενηθούν καταστροφικές ταλαντώσεις. Είναι εύκολο να επιδείξετε το συντονισμό με ένα πιάνο. Δοκιμάστε αυτό: Πατήστε κάτω το πετάλι απόσβεσης (πετάλι προς τα δεξιά) έτσι ώστε οι aποσβεστήρες να σηκω­ θούν και οι χορδές να είναι ελεύθερες να ταλαντωθούν και τραγουδήστε ένα σταθερό

13,

δύναμης.

13-8

ίση

13-8.

13-8

Η

Η

δεν

μεγαλύτερο

20-5

ΣΥΝΟΨΗ

579

20-19 Η ενισχυμένη φωνή τραγουδίστριας ταιριάζει προς τη συχνότητα ενός κανονικού τρόπου ενός ποτηριού κρασιού, με καταστροφικό αποτέλεσμα.

τόνο προς το πιάνο. Όταν σταματήσετε να τραγουδάτε το πιάνο φαίνεται να συνεχίζει να "τραγουδά" την ίδια νότα. Τα ηχητικά κύματα από τη φωνή σας διεγείρουν ταλαντώ­ σεις στις χορδές που έχουν φυσικές συχνότητες κοντά στις συχνότητες (θεμελιώδεις και αρμονικές) που περιλαμβάνονται στη νότα που τραγουδήσατε. Ένα πιο φαντασμαγορι­ κό παράδειγμα είναι όταν μια τραγουδίστρια σπάζει ένα ποτήρι κρασιού με την ενισχυ­ Ένα ποτήρι κρασιού καλής ποιότητας έχει συχνότητες κανο­ μένη φωνή της (Σχ. νικών τρόπων που μπορείτε να τις ακούσετε κτυπώντας το ελαφρά. Εάν η τραγουδίστρια βγάζει μια ισχυρή νότα με συχνότητα που αντιστοιχεί ακριβώς σε μια από αυτές τις συ­ χνότητες κανονικών τρόπων, μπορεί να δημιουργηθούν ταλαντώσεις μεγάλου πλάτους που να σπάσουν το ποτήρι. Ο συντονισμός είναι μια πολύ σπουδαία έννοια, όχι μόνο στα μηχανικά συστήματα αλλά σε όλες τις περιοχές της Φυσικής. Αργότερα θα δούμε παραδείγματα συντονισμού σε ηλεκτρικά κυκλώματα.

20-19).

-

Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 2 0-6

-------

Ένας κλειστός αυλός οργάνου ηχεί κοντά σε κιθάρα κάνο­ ντας μια από τις χορδές να ταλαντώνεται με μεγάλο πλά­ τος. Μεταβάλλουμε την τάση στη χορδή μέχρις ότου βρού­ με το μέγιστο πλάτος. Η χορδή έχει μήκος ίσο προς το 80% του μήκους του κλειστού αυλού. Υποθέτοντας ότι τόσο ο αυλός όσο και η χορδή ταλαντώνονται στη θεμελιώδη τους συχνότητα, υπολογίστε το λόγο της ταχύτητας του κύματος στη χορδή προς την ταχύτητα του ήχου στον αέρα.

fι,. Γνωρίζουμε επίσης από την Εξ. (20- 13) ότι fιa = υ.Ι4L. και από την Εξ. (20-5) ότιfιs = υ,/2L,. Συνδυάζοντας αυτές τις δύο έχουμε

υ. = υ, 4L. 2L, . Αντικαθιστώντας L, = 0,80 L. και αναδιατάσσοντας όρους βρίσκουμε

υ , = 0,40. υ.

ΛΥΣΗ Η μεγάλη απόκριση της χορδής είναι ένα παρά­

δειγμα συντονισμού· αυτό συμβαίνει επειδή ο αυλός του οργάνου και η χορδή της κιθάρας έχουν την ίδια θεμελιώ­ δη συχνότητα. Αν θεωρήσουμε ότι οι δείκτες s και a αντι­ στοιχούν στη χορδή και τον αέρα αντιστοίχως, έχουμε fιa =

Για παράδειγμα, εάν η ταχύτητα του ήχου στον αέρα είναι

345 m/s, η ταχύτητα του κύματος στη χορδή είναι (0,40)(345 m/s) = 138 m/s.

ΣΥΝΟΨΗ • Ένα κύμα που φθάνει στο σύνορο ενός μέσου στο οποίο διαδίδεται, ανακλάται. αρχή της επαλληλίας μας λέει ότι η ολική κυματική μετατόπιση σε οποιοδήποτε ση­ μείο όπου συναντώνται δύο ή περισσότερα κύματα είναι το άθροισμα των μετατοπίσε­ ων των επιμέρους κυμάτων.

Η

• Όταν ένα κύμα ανακλάται στο σταθερό ή ελεύθερο άκρο μιας τεντωμένης χορδής, το προσπίπτον και το ανακλώμενο κύμα συνδυάζονται για να σχηματίσουν στάσιμα κύματα που περιέχουν κόμβους και κοιλίες. Διαδοχικοί κόμβοι βρίσκονται σε από­ σταση μεταξύ τους, όπως και οι διαδοχικές κοιλίες.

λ/2

580

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 20 ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΠΑΛΛΗΛΙΑΣ ΚΑΙ ΚΑΝΟΝΙΚΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ

• Όταν και τα δύο άκρα χορδής μήκους είναι ακλόνητα, μπορεί να παρουσια­ στούν στάσιμα κύματα μόνον όταν το είναι ένα ακέραιο πολλαπλάσιο του λ /2· οι αντίστοιχες επιτρεπτές συχνότητες είναι

L

ΚΥΡΙΟΙ ΟΡΟΙ

f,, = n

συνοριακή (Jυνθήκη αρχή της επαλληλίας

L

υ 2L = nΛ (n = 1, 2, 3, .. . ) .

Κάθε συχνότητα με την αντιστοιχούσα σε αυτήν μορφή δόνησης ονομάζεται κανονι­ κός τρόπος ταλάντωσης. χαμηλότερη συχνότητα/ι ονομάζεται θεμελιώδης συχνότη­ τα. θεμελιώδης συχνότητα δίνεται, συναρτήο:ει των μηχανικών ιδιοτήτων και μ της χορδής, από

συμβολή

Η

Η

κόμβος κοιλία

F

(20-8)

στάσιμο κύμα θεμελιώδης (Jυχνότητα αρμονικές αρμονική σειρά ανώτερη αρμονική

• Για ηχητικά κύματα σε αυλό ή σωλήνα, ένα κλειστό άκρο αντιστοιχεί σε κόμβο με­ τατοπίσεως και σε κοιλία πίεσης ένα ανοικτό άκρο αντιστοιχεί σε κοιλία μετατοπίσε­ ως και σε κόμβο πίεσης. Για αυλό ανοικτό και στα δύο άκρα οι συχνότητες των κανο­ νικών τρόπων είναι

fn �f (n = 1, 2, 3, . . . )

κανονικ()ς τρόπος

(ανοικτός αυλός).

(20-11)

Για αυλό ανοικτό στο ένα άκρο και κλειστό στο άλλο οι συχνότητες κανονικών τρό­ πων είναι

(ταλάντωσης) κόμβος πίεσης

f,

κοιλία πίεσης εξαναγκασμένη ταλάνηοση συντονωμ()ς

(20-6)

nv (n = 1, 3, 5, . . . ) n - 4L _

(κλειστός αυλός),

(20-15)

• Όταν δύο ή περισσότερα κύματα συναντώνται στην ίδια περιοχή του χώρου, τα προκύπτοντα φαινόμενα ονομάζονται συμβολή. Το προκύπτον πλάτος μπορεί να είναι είτε μεγαλύτερο είτε μικρότερο από το πλάτος καθενός από τα επιμέρους κύματα· αυ­ τό εξαρτάται από το πόσο τα κύματα είναι σε φάση ή εκτός φάσης. Όταν τα κύματα είναι σε φάση, το αποτέλεσμα ονομάζεται ενίσχυση ή ενισχυτική συμβολή· όταν είναι σε αντίθεση φάσης, ονομάζεται αναίρεση ή αναιρετική συμβολή.

• Όταν μια περιοδικά μεταβαλλόμενη δύναμη εφαρμόζεται σε σύστημα που έχει κα­ νονικούς τρόπους ταλάντωσης, το σύστημα δονείται με την ίδια συχνότητα όπως αυ­ τή της δύναμης αυτό ονομάζεται εξαναγκασμένη ταλάντωση. Εάν η συχνότητα της δύναμης είναι ίση προς ή κοντά σε μια από τις συχνότητες των κανονικών τρόπων, το πλάτος της προκύπτουσας εξαναγκασμένης ταλάντωσης μπορεί να γίνει πολύ μεγάλο· αυτό το φαινόμενο ονομάζεται συντονισμός.

ΑΣΚΗΣΕΙ Σ

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Εδάφιο 20-2 Επαλληλία και στάσιμα κύματα 20-1 Έστω ότι Υ ι (χ, t) = Α ι sin (ω ιl - k ιχ) και y2(χ, t) = Α 2 sin (ω2Ι - k2x) είναι δύο λύσεις της κυματικής εξίσωσης, Εξ. (19-12), για το ίδιο υ. Δείξτε ότι η y(χ, t) = Υι (χ, t) + y2(x, t) είναι επίσης λύ­ ση της ίδιας κυματικής εξίσωσης. 20-2 Δώστε λεπτομέρειες της απόδειξης της Εξ. (20-1) από την Υι + Υ2 = Α [sin(ωt + /α) - sin(ωt - /α)]. 20-3 Τα στάσιμα κύματα σε σύρμα μήκους 2,40 m περιγράφο­ νται από την Εξ. (20-1 ) , με Α = 3,00 cm, ω = 314 rad/s και k = 1,67π rad/m και με το αριστερό άκρο του σύρματος στο χ = Ο. Σε ποιες αποστάσεις από το αριστερό άκρο είναι a) οι κόμβοι του στάσιμου κύματος b) οι κοιλίες του στάσιμου κύματος; 20-4 Αποδείξτε, με απ' ευθείας αντικατάσταση, ότι η y = [2Α cos ωt] sin /α είναι μια λύση της κυματικής εξίσωσης, Εξ. (19-12), με υ = ω/k.

Εδάφιο 20-3 Κανονικοί τρόποι ταλάντωσης χορδής 20-5 Φοιτητής της Φυσικής παρατηρεί μια τεντωμένη χορδή που ταλαντώνεται με συχνότητα 40,0 Hz στο θεμελιώδη της τρόπο όταν τα στηρίγματα, όπου είναι προσδεδεμένα τα δύο άκρα, βρί­ σκονται σε απόσταση 0,600 m. Το πλάτος ταλάντωσης στην κοιλία είναι 0,50 cm. Η χορδή έχει μάζα 0,0500 kg. a) Ποια είναι η τα­ χύτητα διάδοσης ενός εγκάρσιου κύματος στη χορδή; b) Υπολο­ γίστε την τάση στη χορδή. 20-6 Ένας χορδιστής πιάνων τεντώνει το χαλύβδινο σύρμα του πιάνου με τάση 400 Ν. Το χαλύβδινο σύρμα έχει μήκος 0,500 m και μάζα 6,00 g. a) Ποια είναι η συχνότητα του θεμελιώδους τρό­ που ταλάντωσης της χορδής; b) Ποια είναι η τάξη της υψηλότε­ ρης αρμονικής που μπορεί να ακούσει άτομο που είναι ικανό να ακούει συχνότητες έως 10 000 Hz; 20-7 Παίζοντας το βιολοντσέλο. Το τμήμα της χορδής του βιολοντσέλου μεταξύ της γέφυρας και του πάνω άκρου της τα-

581

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

στιέρας (το τμήμα της χορδής που είναι ελεύθερο να ταλαντώνε­ ται) έχει μήκος 60,0 cm και αυτό το μήκος της χορδής έχει μάζα 2,00 g. Η χορδή όταν παίζεται ηχεί στη νότα λα (440 Hz). a) Πού πρέπει να βάλει το δάκτυλό του ο παίκτης (σε πόση απόσταση χ α­ πό τη γέφυρα) για να παίξει τη νότα ντο (528 Hz); (βλ. Σχ. 20-20). Και για τις δύο νότες λα και ντο η χορδή ταλαντώνεται στο θεμε­ λιώδη της τρόπο. b) Χωρίς νέο χόρδισμα είναι δυνατό να παίξει τη νότα ρε (294 Hz) σε αυτή τη χορδή; Ναι ή όχι και γιατί;

20-12 Να βρείτε τη θεμελιώδη συχνότητα και τις συχνότητες των πρώτων τριών ανώτερων αρμονικών για έναν αυλό μήκους 28,0 cm a) εάν ο αυλός είναι ανοικτός και στα δύο άκρα· b) εάν ο αυλός είναι κλειστός στο ένα άκρο. c) Ποια είναι η τάξη της υ­ ψηλότερης αρμονικής που θα μπορούσε να ακούσει άτομο που έ­ χει κανονική ακοή για κάθε μία από τις παραπάνω περιπτώσεις; (Ένα άτομο με κανονική ακοή ακούει συχνότητες στην περιοχή

20-20 000 Hz).

20-13 Οι μπάσες νότες ενός αρμονίου. Ο μακρύτερος αυλός που βρίσκεται σε μεσαίου μεγέθους αρμόνια είναι 4,88 m. Ποια είναι η συχνότητα του τόνου που αντιστοιχεί στο θεμελιώδη τρόπο ταλάντωσης εάν ο αυλός είναι a) ανοικτός και στα δύο ά­ κρα· b) ανοικτός στο ένα και κλειστός στο άλλο άκρο; 20-14 Ένας συγκεκριμένος αυλός με αέρα παράγει συχνότητα 520 Hz. Εάν ο αυλός γεμιστεί με ήλιον στην ίδια θερμοκρασία, τι συχνότητα παράγει; (Η γραμμομοριακή (molar) μάζα του αέρα εί­ ναι 28,8 g/mol και η γραμμομοριακή (molar) μάζα του ηλίου είναι

4,00 g/mol).

ΣΧΗΜΑ 20-20

20-8 Μια χορδή ταλαντώνεται στο θεμελιώδη της τρόπο. Τα κύματα έχουν ταχύτητα υ, συχνότητα[, πλάτος Α και μήκος κύμα­ τος λ. a) Υπολογίστε τη μέγιστη ταχύτητα και επιτάχυνση σε ση­ μεία που βρίσκονται σε (ί) χ = λ/2 (ίί) χ = λ/4 και (ίίί) χ = λ/8 α­ πό το αριστερό άκρο της χορδής. b) Σε κάθε ένα από τα σημεία της ερώτησης (a), ποιο είναι το πλάτος της κίνησης; c) Σε κάθε έ­ να από τα σημεία της ερώτησης (a), πόσος χρόνος χρειάζεται στη χορδή για να πάει από τη μέγιστη προς τα επάνω μετατόπιση στη μέγιστη προς τα κάτω μετατόπιση; 20-9 Ένα σχοινί μήκους 1,60 m τεντώνεται μεταξύ δύο υποστη­ ριγμάτων με τάση που κάνει την ταχύτητα των εγκάρσιων κυμά­ των 40,0 m/s. Ποιο είναι το μήκος κύματος και η συχνότητα a) του θεμελιώδους τρόπου ταλάντωσης b) της πρώτης ανώτερης αρμονικής c) του τρίτου aρμονικού; Εδάφιο 20-4 Διαμήκη στάσιμα κύματα Εδάφιο 20-5 Κανονικοί τρόποι σε στήλες αέρα 20-10 Παράγονται στάσιμα ηχητικά κύματα σε αυλό μήκους 1,80 m ανοικτού και στα δύο άκρα. Σε ποια σημεία βρίσκονται κα­ τά μήκος του αυλού (όταν μετριέται από το ένα άκρο) a) οι κόμ­ βοι μετατόπισης, b) οι κόμβοι πίεσης, για το θεμελιώδη τρόπο τα­ λάντωσης και για τις δύο πρώτες ανώτερες αρμονικές; 20-1 1 Στάσιμα ηχητικά κύματα παράγονται σε αυλό μήκους 1,80 m που είναι ανοικτός στο ένα και κλειστός στο άλλο άκρο. Σε ποια σημεία βρίσκονται, κατά μήκος του αυλού (όταν μετριέται α­ πό το κλειστό άκρο), a) οι κοιλίες μετατοπίσεως b) οι κοιλίες πιέσεως για το θεμελιώδη τρόπο ταλάντωσης και τις δύο πρώτες ανώτερες αρμονικές;

Εδάφιο 20-6 Συμβολή κυμάτων 20-15 Το σχήμα 20-21 δείχνει δύο ορθογώνιους κυματοπαλ­ μούς σε τεντωμένη χορδή που οδεύουν ο ένας προς τον άλλο. Κάθε παλμός διαδίδεται με ταχύτητα 1,00 mm/s και έχει ύψος και πλάτος που φαίνονται στο σχήμα. Εάν οι μπροστινές άκρες των παλμών είναι σε απόσταση 8,00 mm τη χρονική στιγμή t = Ο, σχεδιάστε τη μορφή της χορδής όταν t = 4,00 s, t = 6,00 s και t = 10,0 s.

υ =

1,00 mm/s �

4,00 mm 4,00 mm

�

ΣΧΗΜΑ 20-21

20-16 Συμβολή με στερεοφωνικό σύστημα. Δύο μεγά­ φωνα, Α και Β (Σχ. 20-22), τροφοδοτούνται από τον ίδιο ενισχιmj και εκπέμπουν ημιτονοειδή κύματα σε φάση. Το μεγάφωνο Β εί­ ναι 2,00 m προς τα δεξιά του μεγαφώνου Α . Η συχνότητα των η­ χητικών κυμάτων που παράγονται από τα μεγάφωνα είναι 700 Hz και η ταχύτητά τους στον αέρα είναι 350 m/s. Θεωρείστε το ση­ μείο Ρ, μεταξύ των μεγαφώνων και κατά μήκος της γραμμής που τα συνδέει, σε απόσταση χ προς τα δεξιά του Για ποιες τιμές του χ θα παρουσιαστεί αναιρετική συμβολή στο Ρ;

Α.

Α

I· •

·I

Ρ

�χ�

ΣΧΗΜΑ 20-22

Q •

2,00 m ------;.iJ

582

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 20 ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΠΑΛΛΗΛΙΑΣ ΚΑΙ ΚΑΝΟΝΙΚΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ

Α

20-17 Δύο μεγάφωνα και Β (Σχ. 20-22), τροφοδοτούνται από τον ίδιο ενισχυτή και εκπέμπουν ημιτονοειδή κύματα σε φάση. Το μεγάφωνο Β είναι 2,00 m στα δεξιά του μεγαφώνου ταχύτητα του ήχου στον αέρα είναι 350 m/s. Θεωρείστε το σημείο Q, κατά

Α. Η

Π ΡΟΒΛΗ ΜΑΤΑ

μήκος της προέκτασης της γραμμής που συνδέει τα μεγάφωνα, σε απόσταση 1,00 m στα δεξιά του μεγαφώνου Β. a) Για ποιες συχνό­ τητες παρουσιάζεται ενισχυτική συμβολή στο σημείο Ρ; b) Για ποι­ ες συχνότητες παρσυσιάζεται αναιρετική συμβολή στο σημείο Ρ;

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

20-18 Μια χορδή με σταθερά τα δύο άκρα ταλαντώνεται στο θεμελιώδη της τρόπο. Τα κύματα έχουν ταχύτητα 32,0 m/s και συ­ χνότητα 20,0 Hz. Το πλάτος του στασίμου κύματος στην κοιλία του είναι 1,20 cm. a) Υπολογίστε το πλάτος της κινήσεως των σωμα­ τίων στη χορδή σε απόσταση (ί) 80 cm, (ίί) 40 cm και (ίίί) 20 cm α­

πό το αριστερό άκρο της χορδής. b) Για καθένα από τα σημεία της ερωτήσεως (a), πόσο χρόνο χρειάζεται η χορδή για να πάει από τη μεγαλύτερη προς τα επάνω μετατόπιση στη μεγαλύτερη προς τα κάτω;

20-19 Λάκκος και σανίδα. Μια ξύλινη σανίδα τοποθετεί­ ται πάνω από λάκκο ο οποίος έχει πλάτος 10,0 m. Μια φοιτήτρια Φύσικής στέκεται στο μέσο της σανίδας και αρχίζει να πηδά με ρυθμό ίσο με δύο πηδήματα ανά δευτερόλεπτο. σανίδα ταλα­ ντώνεται με μεγάλο πλάτος, με μέγιστο πλάτος στο κέντρο της. a) Ποια είναι η ταχύτητα των εγκάρσιων κυμάτων στη σανίδα; b) Με ποιο ρυθμό πρέπει να πηδά η φοιτήτρια ώστε να παράγει τα­ λαντώσεις μεγάλου πλάτους, εάν στέκεται 2,5 m από την άκρη του λάκκου; (Σημείωση: Τα εγκάρσια στάσιμα κύματα της σανίδας έ­ χουν κόμβους στα δύο της άκρα τα οποία είναι ακίνητα στο έδα­ φος σε κάθε μια πλευρά του λάκκου).

Η

20-20 Ο καθηγητής σας της Φυσικής έχει επινοήσει ένα μουσι­ κό όργανο. Αποτελείται από μεταλλικό κουτί μήκους L και διαμέ­ τρου L/10. Το πάνω μέρος του κουτιού έχει κοπεί και κατά μήκος του ανοικτού άκρου έχει τεντωθεί μια χορδή. a) τάση στη χορ­ δή ρυθμίζεται έτσι ώστε η θεμελιώδης συχνότητα για διαμήκη ηχη­ τικά κύματα στην αέρια στήλη μέσα στο κουτί να ισούται με τη συ­ χνότητα της τρίτης αρμονικής για εγκάρσια κύματα στη χορδή. Ποια είναι η σχέση μεταξύ της ταχύτητας υ, των εγκάρσιων κυμά­ των στη χορδή και της ταχύτητας υ, ηχητικών κυμάi:ων στον αέρα; b) Τι συμβαίνει στον ήχο που παράγεται από το όργανο εάν η τά­ ση στη χορδή αυξηθεί κατά παράγοντα τέσσερα;

Η

20-21 Ένας αυλός αρμονίου, ανοικτός και στα δύο άκρα, έχει δύο διαδοχικές αρμονικές με συχνότητες 240 και 280 Hz. a) Ποιο

είναι το μήκος του αυλού; b) Ποιας τάξεως είναι αυτές οι δύο αρ­ μονικές;

20-22 Για τον προσδιορισμό των τροχιών υπατομικών σωματι­

δίων, οι φυσικοί διατάσσουν λεπτά παράλληλα σύQματα σε επίπε­ δα (κάθε επίπεδο είναι όπως μια άρπα) και τα τροφοδοτούν με η­ λεκτρισμό. Εκείνο το σύρμα κάθε επίπεδου, από το οποίο περνά πιο κοντά το σωματίδιο, παράγει ένα χαρακτηριστικό ηλεκτρικό σήμα που μπορεί να καταγραφεί. Είναι αναγκαίο τα σύρματα να είναι πολύ τεντωμένα και όλα να έχουν την ίδια μηχανική τάση. Ένας καλός τρόπος να τεντωθούν τα σύρματα είναι να κρεμαστεί μια μάζα m από το σύρμα ενώ το σύρμα συγκολλάται σε ένα πλαί­ σιο. Υποθέστε ότι εργάζεστε ως προπτυχιακός βοηθός και σας ζη­ τούν να ελέγξετε την τάση σε ένα περατωμένο πλαίσιο συρμάτων· για το σκοπό αυτό θέτετε τα σύρματα σε ελαφρά ταλάντωση (χρη­ σιμοποιώντας μια μαγνητική μέθοδο) σε διάφορες συχνότητες και βρίσκετε τη συχνότητα στην οποία παρουσιάζεται η θεμελιώδης ταλάντωση συντονισμού. Υπολογίστε την αναμενόμενη συχνότητα για ένα κατάλληλα τεντωμένο σύρμα εάν η τείνουσα μάζα είναι 50,0 g και το μήκος του σύρματος είναι 0,700 m. Τα σύρματα είναι κατασκευασμένα από βολφράμιο (πυκνότητα = 19,3 g/cm3) και έ­ χουν διάμετρο 200 μ m.

20-23 Ο βιολοντσελίστας Υο-Υο Ma χορδίζει τη χορδή λα του οργάνου σε θεμελιώδη συχνότητα 220 Hz. Το δονούμενο τμήμα της χορδής έχει μήκος 0,680 m και μάζα 1,42 g. a) Με ποια τάση πρέπει να τεντωθεί; b) Πόση εκατοστιαία αύξηση της τάσης α­ παιτείται για να αυξηθεί η συχνότητα από 220 Hz σε 233 Hz που αντιστοιχεί σε μια αύξηση του τόνου από λα σε λα δίεση;

20-24 Ένα γλυπτό από στερεό αλουμίνιο κρεμιέται από χαλύ­

Η

βδινο σύρμα. θεμελιώδης συχνότητα για εγκάρσια στάσιμα κύ­ ματα στο σύρμα είναι 240 Hz. Το γλυπτό εμβαπτίζεται σε νερό έ­ τσι ώστε το ένα τρίτο του όγκου του να είναι βυθισμένο. Πόση εί­ ναι η νέα θεμελιώδης συχνότητα;

20-25 Ένας μακρύς σωλήνας περιέχει αέρα υπό πίεση 1,00 atm και θερμοκρασία 77,o•c. Ο σωλήνας είναι ανοικτός στο ένα

άκρο και κλειστός στο άλλο με κινούμενο έμβολο. Ένα διαπασών, κοντά στο ανοικτό άκρο, δονείται με συχνότητα 500 Hz. Παράγε­ ται συντονισμός όταν το έμβολο είναι σε αποστάσεις 18,0 , 55,5 και 93,0 cm από το ανοικτό άκρο. a) Από αυτές τις μετρήσεις, ποια είναι η ταχύτητα του ήχου στον αέρα στους 77,o·c; b) Από το αποτέλεσμα της πρώτης ερώτησης, ποιος είναι ο λόγος γ των ει­ δικών θερμοχωρητικοτήτων υπό σταθερή πίεση και σταθερό όγκο γραμμομοριακή (molar) για τον αέρα σε αυτή τη θερμοκρασία; μάζα του αέρα είναι 28,8 g/mol).

(Η

20-26 Ένα στάσιμο κύμα συχνότητας 1 100 Hz σε στήλη μεθα­ νίου (CH4) στους 20,0· C παράγει κόμβσυς που είναι σε απόσταση μεταξύ τους 0,200 m. Ποιος είναι ο λόγος γ της θερμοχωρητικότη­ τας του μεθανίου υπό σταθερή πίεση προς εκείνη υπό σταθερό ό­ γκο; γραμμομοριακή μάζα του μεθανίου είναι 16,0 g/mol).

(Η

Η

συχνότητα του μεσαίου ντο είναι 262 Hz. a) Εάν έ­ νας αυλός αρμονίου ε ίναι ανοικτός και στα δύο άκρα, τι μήκος πρέπει να έχει ώστε ο θεμελιώδης του τρόπος ταλάντωσης να πα­ ράγει αυτή τη νότα στους 2o,o· c; b) Σε ποια θερμοκρασία θα εί­ ναι η συχνότητα κατά 6,00% υψηλότερη, που αντιστοιχεί σε αύξη­ ση του τόνου από ντο σε ντο δίεση;

20-27

20-28 Δύο πανομοιότυπα μεγάφωνα τοποθετούνται στα ση­ μεία και Β, σε απόσταση 2,00 m. Τα μεγάφωνα τροφοδοτούνται

Α

από τον ίδιο ενισχυτή και παράγουν ηχητικά κύματα συχνότητας 480 Hz. Θεωρείστε ότι η ταχύτητα του ήχου στον αέρα είναι 340 m/s. Ένα μικρό μικρόφωνο κινείται από το σημείο Β κατά μήκος μιας γραμμής κάθετης προς τη γραμμή που συνδέει τα και Β (γραμμή BC στο Σχ. 20-23 ) . Σε ποιες αποστάσεις από το Β θα δη­ μιουργηθεί αναιρετική συμβολή;

Α

c

ΣΧΗΜΑ 20-23

583

ΠΙΟ ΣΥΝΘΕΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

ΠΙΟ

Σ Υ Ν Θ Ε Τ Α Π Ρ Ο Β Λ Ή Μ Α Τ Α ------

Η

20-29 Χορδισμός κιθάρας. χαλύβδινη χορδή σι ακου­ στικής κιθάρας έχει μήκος 63,5 cm και διάμετρο 0,406 mm. a) Πόση τάση πρέπει να εφαρμοστεί στη χορδή ώστε τα παραγόμενα εγκάρσια κύματα να έχουν συχνότητα 247,5 Hz; πυκνότητα του χάλυβα είναι 7800 kg/m3. Υποθέστε ότι η χορδή ταλαντώνεται στη θεμελιώδη της συχνότητα. b) Εάν η τάση μεταβληθεί κατά μια μι­ κρή ποσότητα ΔF, η συχνότητα μεταβάλλεται κατά Δf. Δείξτε ότι

Η

c) Εάν η χορδή χορδίζεται όπως στην περίπτωση (a) σε κλειστό χώρο όπου η θερμοκρασία είναι 24,0 °C και μετά μεταφέρεται στη σκηνή που ε ίναι σε ανοιχτό χώρο όπου η θερμοκρασία ε ίναι 11,0 °C, η συχνότητα θα αλλάξει με δυσάρεστα αποτελέσματα. Να βρείτε το Δf εάν το μέτρο του Young Υ, της χαλύβδινης χορδής εί­ ναι 2,00 χ 1011 Pa και ο συντελεστής γραμμικής διαστολής α είναι 1,20 χ 10-s ( ο cγΌ ο τόνος θα ψηλώσει ή θα χαμηλώσει;

ελεύθερο να περιστρέφεται γύρω από καρφί σε οριζόντια επιφά­ νεια χωρίς τριβές (Σχ. 20-24). μάζα τίθεται σε περιστροφή πά­ νω σε κύκλο με γωνιακή συχνότητα ωΌ a) Υπολογίστε το μήκος l του ελατηρίου συναρτήσει του ωΌ b) Τι συμβαίνει στο αποτέλε­ σ,Ι!:!Uου (a) μέρους όταν το ω ' πλησιάζει τη φυσική συχνότητα ω = -.Jk/m του συστήματος μάζας-ελατηρίου; (Εάν το αποτέλεσμα σας προβληματίζει, θυμηθείτε ότι ελατήρια χωρίς μάζα και επιφάνειες χωρίς τριβές δεν υπάρχουν ακριβώς, μπορούν μόνο να προσεγγι­ στούν. Επίσης ο νόμος του Hooke περιγράφει προσεγγιστικά τη συμπεριφορά πραγματικών ελατηρίων· όσο μεγαλύτερη η επιμή­ κυνση του ελατηρίου, τόσο μεγαλύτερη η απόκλιση από το νόμο του Hooke.)

Η

m

20-30 Συντονισμός μηχανικού συστήματος. Μάζα m

προσδένεται στο ένα άκρο ελατηρίου χωρίς μάζα, σταθεράς k και μήκους, όταν είναι ελεύθερο, /0. Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι

ΣΧΗΜΑ 20-24

Φυσητήρας

I

Επιστρέφοντα ηχητικά κύματα (ηχώ)

Κ Υ Ρ Ι Ε Σ

Ε Ν Ν Ο Ι Ε Σ

• Ο ήχος είναι διαμήκεις κυμάνσεις του αέρα. Το ανθρώmνο αυτί είναι ευαίσθητο σε ηχητικά κύματα περιορισμένης περιοχής συχνοτήτων. Ένα ηχητικό κύμα μπορεί να περιγραφεί συναρτήσει των μετατοπίσεων των μορίων του αέρα ή συναρτήσει των διακυμάνσεων της πίεσης. • Ένταση ενός ηχητικού κύματος είναι η μέση μεταφερόμενη ενέργεια από το κύμα, ανά μονάδα εγκάρσιας εmφάνειας και ανά μονάδα χρόνου. Η στάθμη τη ς έντασης του ήχου μπορεί να μετρηθεί σε decibel (ντεσιμπε'λ). • Η επαλληλία δύο ηχητικών κυμάτων που διαφέρουν λίγο στη συχνότητα δημιουργεί ένα διακρότημα, στο οποίο το πλάτος κύματος αυξομειώνεται με συχνότητα ίση με τη διαφορά των συχνοτήτων.

• Φαινόμενο Doppler ( Ντόπλερ) είναι η μεταβολή της συχνότητας που οφείλεται στην κίνηση της πηγής του ήχου, ή του ακροατή, ως προς τον αέρα. • Κρουστικό κύμα παράγεται όταν η πηγή του ήχου κινείται μέσα στον αέρα με ταχύτητα μεγαλύτερη από την ταχύτητα του ήχου στον αέρα. •Οι ιατρικές εφαρμογές του ήχου περιλαμβάνουν τεχνικές απεικόνισης και λιθοτριψίας στα νεφρά ή τη χολή. Οι γεωλογικές εφαρμογές περιλαμβάνουν μελέτες της δομής της Γης, αναζήτηση κοιτασμάτων μεταλλεύματος και ανάλυση σεισμών. • Οι μουσικοί τόνοι μπορούν να περιγραφούν με τα φυσικά χαρακτηριστικά των ηχητικών κυμάτων.

Ε Ι Σ Α Γ Ω Γ Ή

Μ

πορεί να είναι απαλός ή επώδυνος. Μπορεί να γίνει υπόηχος, ακουστός ή υπέρηχος, και μπορεί να προέρχεται από υπερηχητική πηγή. Παρουσιάζει φαινόμενα συμβολής στον χώρο και στον χρόνο . Μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να προκαλέσει σημαντικές βλάβες ή για να εντοπίσει και να θεραπεύσει σωματικές ασθένειες. Ποιος είναι αυτός; Ο ήχος, οι διαμήκεις κυμάνσεις του αέρα. Θα μελετήσουμε διάφορες σημαντικές ιδιότητες των ηχητικών κυμάτων, όπως τη συχνότητα, το πλάτος και την ένταση. Θα μελετήσουμε τις σχέσεις μεταξύ μετατόπισης, μεταβολής της πίεσης και έντασης, καθώς και τις σχέσεις μεταξύ των ποσοτήτων αυτών και της ανθρώπινης αίσθησης του ήχου. Θα βρούμε ότι η συμβολή δύο ηχητικών κυμάτων που διαφέρουν ελαφρά στη συχνότητα δημιουργεί το φαινόμενο που ονομάζεται δ ιακρότημα. Όταν η πηγή του ήχου ή ο ακροατή ς κινείται ως προς τον αέρα, ο ακροατής μπορεί να ακούσει μια συχνότητα διαφορετική από εκείνη που εκπέμπει η πηγή. Αυτό είναι το φαινόμενο Doppler, ένα άλλο θέμα αυτού του κεφαλαίου. Επίσης θα ρίξουμε μια σύντομη ματιά στα κρουστικά κύματα, • στην αίσθηση της ακοής και στους μουσικούς ήχους.

585

586

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΗΧΟΣ

2 1- 1

Η Χ Η Τ Ι ΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

------

Το κύριο θέμα αυτού του κεφαλαίου είναι τα διαμήκη κύματα στον αέρα, δηλαδή ο ήχος. Τα απλούστερα ηχητικά κύματα είναι τα ημιτονοειδή (αρμονικά), που έχουν ορισμένη συχνότητα, πλάτος και μήκος κύματος. Το ανθρώπινο αυτί είναι ευαίσθητο σε κύματα στην περιοχή συχνότητας από μέχρι περίπου, αλλά χρησιμοποιούμε τον όρο και στην περίπτωση όμοιων κυμάτων με συχνότητες πάνω (υπέρηχοι) ή κάτω (υ· πόηχοι) από την περιοχή της ανθρώπινης ακοής. Τα ηχητικά κύματα μπορούν επίσης να περιγραφούν συναρτήσει των μεταβολών της στα σημεία του χώρου διάδοσης. Σε ένα ημιτονοειδές (αρμονικό) η­ χητικό κύμα η πίεση κυμαίνεται πάνω και κάτω από την ατμοσφαιρική τιμή p . με μια ημι­ τονοειδή μεταβολή που έχει την ίδια συχνότητα με τις κινήσεις των σωματίων του αέρα. Στο Εδ. συζητήσαμε μερικές κυματικές συναρτήσεις που περιγράφουν τις με­ τατοπίσεις y (χ, t) των σωματίων ενός μέσου κατά τη διάδοση ενός κύματος. Μια από τις μορφές που χρησιμοποιήσαμε ήταν η Εξ.

20

ήχος

20 000 Hz

πίεσης του αέρα 19-3

(19-7):

(21-1)

y = Α sin (ωt - /α).

παράλληλες

Θυμηθείτε ότι σε ένα διάμηκες κύμα οι μετατοπίσεις είναι προς την κατεύ­ θυνση διάδοσης του κύματος, οπότε οι αποστάσεις χ και y μετριούνται στην ίδια διεύθυν­ ση, και όχι σε κάθετες μεταξύ τους όπως σε ένα εγκάρσιο κύμα. Αυτό σημαίνει ακόμη ό­ τι τα ηχητικά κύματα δεν έχουν πόλωση. Το πλάτος Α είναι η μέγιστη μετατόπιση ενός σωματίου από τη θέση ισορροπίας του. Η Εξ. περιγράφει ένα ηχητικό κύμα που οδεύει μόνο προς μια κατεύθυνση· τα πραγματικά ηχητικά κύματα διαδίδονται συνήθως προς όλες τις κατευθύνσεις με κέ­ ντρο την πηγή, και το πλάτος τους εξαρτάται από την κατεύθυνση και την απόσταση από την πηγή. Θα επανέλθουμε στο ζήτημα αυτό στο επόμενο εδάφιο. Τα μικρόφωνα και οι παρόμοιες συσκευές ανιχνεύουν συνήθως διαφορές πίεσης, όχι μετατοπίσεις, γι' αυτό τον λόγο είναι πολύ χρήσιμο να διατυπώσουμε μια σχέση μετα­ ξύ των δύο αυτών μεγεθών. Έστω p η στιγμιαία διακύμανση πίεσης σε κάποιο σημείο, δηλαδή, η της πίεσης από την κανονική ατμοσφαιρική πίεση p Θεωρήστε ότι το p είναι η που ορίζεται στο Εδ. η οποία μπορεί να είναι είτε θε­ τική είτε αρνητική. πίεση σε κάθε σημείο θα είναι τότε p. + p. Αν οι μετατοπίσεις δύο γειτονικών σημείων χ και χ + Δχ είναι ίδιες, ο αέρας μετα­ ξύ αυτών των σημείων ούτε συμπιέζεται ούτε διαστέλλεται, ο όγκος δεν μεταβάλλεται, και επομένως p = Ο. Μόνο όταν το y μεταβάλλεται από σημείο σε σημείο δημιουργείται μεταβολή στον όγκο, άρα και στην πίεση. Η κλασματική μεταβολή dV/ V ενός στοιχείου όγκου στο σημείο χ προκύπτει ότι είναι απλά ή μερική παράγωγος [}y/ ax, δηλαδή ο ρυθμός μεταβολής του y ως προς το χ καθώς μεταβαίνουμε από το σημείο χ στο γειτονικό του χ + Δχ. με εμ­ Για να το αποδείξουμε, θεωρούμε ένα κυλινδρικό στοιχείο αέρα (Σχ. βαδόν εγκάρσιας διατομής S και άξονα συμμετρίας την κατεύθυνση διάδοσης. Το μπλε χρώμα δείχνει τη θέση ηρεμίας του κυλίνδρου, ενώ το κόκκινο δείχνει τη μετατοπισμένη θέση του. Αν δεν υπάρχει καμιά ηχητική διαταραχή, το μήκος του κυλίνδρου είναι Δχ, και ο όγκος του είναι V = S Δχ. Όταν εμφανιστεί ένα κύμα, το άκρο του κυλίνδρου που ήταν αρχικά στο χ μετατοπίζεται κατάy 1 = y 1 (x, t), ενώ το άκρο που ήταν αρχικά στο χ + Δχ μετατοπίζεται κατά y2 = y2 (x + Δχ, t). Η μεταβολή όγκου ΔV αυτού του στοιχείου εί­ ναι

(21-1)

διαφορά διαφορική πίεση Η απόλυτη

•.

14-2,

v

21-1),

Υι

= y(x,

�

#

s

y2 = y(x + Δχ, t)

t) \ I ι I

I . \

I

I

χ

χ+

\

J

\ Ο) ακούει έναν ήχο μεγαλύτερης συχνότητας (υψηλότερης οξύτητας) από τον ήχο που ακούει ένας ακίνητος παρατηρητής. Ένας ακροατής aπομακρυνόμενος από την πηγή ι < Ο) ακούει ήχο μικρότερης συχνό­ τητας (χαμηλότερης οξύτητας).

(υ

Κινούμενη πηγή

21-6). Η

Υποθέστε τώρα ότι κινείται και η πηγή, με ταχύτητα (Σχ. ταχύτητα του κύμα­ τος ως προς τον αέρα είναι και πάλι αφού προσδιορίζεται από τις ιδιότητες του μέσου διάδοσης και δεν επηρεάζεται από την κίνηση της πηγής. Όμως το μήκος κύματος δεν ι­ σούται πλέον με αιτία είναι η εξής: διάρκεια εκπομπής ενός πλήρους κύκλου του κύματος είναι η περίοδος Κατά τη διάρκεια αυτού του χρόνου το κύμα δια­ Το μήκος ενώ η πηγή κινείται σε απόσταση δίδεται σε απόσταση κύματος είναι η απόσταση μεταξύ διαδοχιΚών κορυφών του κύματος, και προσδιορίζεται από τη σχετική μετατόπιση του κύματος ως προς την πηγή. Όπως δείχνει το Σχ. το μέγεθος αυτό έχει διαφορετική τιμή εμπρός και πίσω από την πηγή. Στην περιοχή προς τα δεξιά της πηγής του Σχ. το μήκος κύματος είναι

υ5

υ,

υ!fs . Η Τ = 1 //5 . υ Τ = υ/fs ,

Η

υ5Τ = υ 5/f5.

21-6,

21-6

υ -υ5 λ _ !υs _ !υss _ T ·

(21-17)

Στην περιοχή προς τα αριστερά της πηγής το μήκος κύματος είναι

λ = υ +!sυ5 21� Οι κορυφές ενός κύματος που

εκπέμπει μια κινούμενη πηγή πυκνώνουν μπροστά από την πηγή και aραιώνουν πίσω της.

(21-18)

595

21-4 ΤΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ DOPPLER

Οι κορυφές του κύματος πυκνώνουν ή aραιώνουν, αντίστοιχα, λόγω της κίνησης της πηγής. Για να βρούμε τη συχνότητα που ακούε ι ο ακροατής, aντικαθιστούμε την Εξ. στην πρώτη από τις Εξ.

(21-18)

(21-15): fι υ +λ υι (υυ + υι , + υs)lfs fι = υυ ++ υυιs fs · =

=

(21-19)

fι

Αυτή η έκφραση δίνει τη συχνότητα που ακούει ο ακροατής συναρτήσει της συχνότη­ τας της πηγής. εξίσωση περιλαμβάνει όλες τις περιπτώσεις κίνησης της πηγής και του ακροατή (ως προς το μέσο διάδοσης) κατά μήκος της ευθείας που τα συνδέει. Αν ο ακρο­ ατής συμβαίνει να ηρεμεί ως προς το μέσο, το μηδενίζεται. Όταν και η πηγή και ο α­ κροατής ηρεμούν ή έχουν την ίδια ταχύτητα ως προς το μέσο διάδοσης, τότε και Όταν η κατεύθυνση της ταχύτητας της πηγής ή του ακροατή είναι αντίθετη προς fs. την κατεύθυνση από τον ακροατή προς την πηγή (που την έχουμε ορίσει ως θετική), η α­ ντίστοιχη ταχύτητα που εμφανίζεται στην Εξ. είναι αρνητική.

fs

Η

(21-19)

υι

fι

υ ι υ5 =

=

(21-19)

Σ Τ Ρ ΑΤ Η Γ Ι Κ Η Ε Π ΙΛΥΣ Η Σ Π Ρ Ο Β Λ Η ΜΆ Τ Ω Ν Φαιvόμεvο Doppler 1. Χρησιμοποιήστε ένα σύστημα συντεταγμένων. Ορίστε ως θετική την κατεύθυνση από τον ακροατή προς την πηγή, και σιγουρευθείτε ότι γνωρίζετε τα πρόσημα όλων των τα­ χυτήτων. Μια ταχύτητα με κατεύθυνση από τον ακροατή προς την πηγή είναι θετική, ενώ προς την αντίθετη κατεύ­ θυνση είναι αρνητική. Επίσης, όλες οι ταχύτητες πρέπει να μετριούνται ως προς τον αέρα μέσα στον οποίο διαδίδεται ο ήχος. 2. Χρησιμοποιήστε έναν συνεπή συμβολισμό για να ξεχω­ ρίζετε κάθε μέγεθος: λογουχάρη, ο δείκτης S να χαρακτη­ ρίζει μεγέθη της πηγής και ο δείκτης L του ακροατή. 3. Όταν ένα κύμα ανακλάται από μια επιφάνεια, ακίνητη ή κινούμενη, η ανάλυση μπορεί να πραγματοποιηθεί σε δύο

-

Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 2 1 -7

βήματα. Στο πρώτο, η επιφάνεια παίζει το ρόλο του ακροα­ τή· η συχνότητα με την οποία οι κορυφές του κύματος κατα­ φθάνουν στην επιφάνεια είναιfι. Θεωρείστε κατόπιν την ε­ πιφάνεια σαν μια νέα πηγή, που εκπέμπει κύματα ίδιας συ­ χνότητας, fι. Τελικά, προσδιορίστε τη συχνότητα την οποία ακούει ένας ακροατής που ανιχνεύει αυτό το νέο κύμα. 4. Αναρωτηθείτε αν έχει φυσικό νόημα το τελικό σας απο­ τέλεσμα. Όταν η πηγ.ή και ο ακροατής πλησιάζουν μεταξύ τους, το fι είναι πάντα μεγαλύτερο από το όταν όμως α­ πομακρύνονται, το fι είναι πάντα μικρότερο από το

fs·

-------

Μια αστυνομική σειρήνα εκπέμπει ένα ημιτονοειδές κύμα συχνότητας = 300 Hz. Η ταχύτητα του ήχου είναι 340 m/s. a) Βρείτε το μήκος κύματος αν η σειρήνα ηρεμεί ως προς τον αέρα. b) Αν η σειρήνα κινείται με ταχύτητα = 30 m/s, βρείτε τα μήκη κύματος εμπρός και πίσω από την πηγή.

fs

Πίσω από τη σειρήνα,

λ

υ8

ΛΥΣΗ

fs·

υ +υ s - fs _

_

340 m/s +30 m/s 300 Hz

=

1'23 m.

a) Όταν η πηγή ηρεμεί,

λ=

υ

fs =

340 m/s = 1 13 m. ' 300 Hz

περίπτωση αυτή αναλύεται στο Σχ. 21-7. Χρησιμοποι­ ούμε τις Εξ. (21-17) και (21-18). Μπροστά από τη σειρήνα, - 30 m/s = 1 03 m. λ ---rs- 340 m/s 300 Hz b) Η

=

υ - υs

=

'

21-7 Τα μήκη κύματος μπροστά και πίσω από την αστυνομική

σειρήνα όταν το αυτοκίνητο κινείται ως προς τον αέρα με ταχύτητα 30

rn/s.

596

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΗΧΟΣ

- Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 2 1 -8 -------

Αν ο ακροατής ηρεμεί και η σειρήνα απομακρύνεται από τον ακροατή με ταχύτητα 30 m/s (Σχ. 21-8), τι συχνότητα α­ κούει ο ακροατής; =

=

υι Ο και υ5 30 m/s. ( Η ταχύτητα της πηγής υ5 είναι θετική γιατί η σειρήνα κινείται με κατεύθυν­ ση από τον ακροατή προς την πηγή.) Από την Εξ. (21-19) προκύπει ΛΥΣΗ Έχουμε

!ι

=

υ υ + υ s fs

=

340 m/s 340 m/s +30 m/s (300 Hz) = 276 Hz.

21-8 Ο ακροατής ηρεμεί, και η σειρήνα απομακρύνεται από τον ακροατή με ταχύτητα 30

m/s.

- Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 2 1-9 ------

Αν η σειρήνα ηρεμεί και ο ακροατής κινείται προς τα αρι­ στερά με ταχύτητα 30 m/s (Σχ. 21-9), τι συχνότητα ακούει ο ακροατής; ΛΥΣΗ Η θετική φορά (από τον ακροατή προς την πηγή)

είναι και πάλι από τα αριστερά προς τα δεξιά, οπότε υ ι -30 m/s, υ5 Ο και =

=

!ι = υ : υι f = 340 m� �fnι�O m/s) (300 Hz) = 274 Hz. s 4 ,

21-9 Η σειρήνα ηρεμεί, και ο ακροαηjς απομακρύνεται με ταχύτητα 30

m/s.

- Π Α Ρ Ά Δ Ε Ι Γ Μ Α 2 1- 1 0

Αν η σειρήνα απομακρύνεται από τον ακροατή μ ε ταχύτη­ τα 45 m/s ως προς τον αέρα και ο ακροατής κινείται προς τη σειρήνα με ταχύτητα 15 m/s ως προς τον αέρα (Σχ. 21-10), τι συχνότητα ακούει ο ακροατής; ΛΥΣΗ Σε αυτή την περίπτωση, υ ι = 15 m/s και υ5 45 m/s. (Και οι δύο ταχύτητες είναι θετικές γιατί και τα δύο διανύσματα ταχύτητας έχουν φορά από τον ακροατή προς την πηγή.) Από την Εξ. (21-19) έχουμε, υ + υι !ι = υ + υ s fs 340 m/s + 15 m/s (300 Hz) = 340 m/s + 45 m/s = 277 Hz. =

21-10 Απεικόνιση των ταχυτήτων ως προς τον αέρα όταν η σειρήνα απομακρύνεται από τον ακροατή με σχετική ταχύτητα 30

m/s.

Όταν η πηγή και ο ακροατής απομακρύνονται μεταξύ τους, η συχνότητα fι που α­ κούει ο ακροατής είναι πάντα από τη συχνότητα fs που εκπέμπει η πηγή. Αυτό συμβαίνει και στα τρία τελευταία παραδείγματα. Σημειώστε ότι η της πηγής ως προς τον ακροατή είναι ίδια και στις τρεις περιπτώσεις, αλλά οι μετατοπίυι-:ις Doppler είναι διαφορετικές γιατί είναι διαφορετικές οι ταχύτητες ως rι:ρος τον αέρα.

μικρότερη

σχετική ταχύτητα

Φαινόμενο Doppler στο φως

ως προς τον αέρα

Σε όλη αυτή τη συζήτηση, οι ταχύτητες υ ι και υ5 μετριούνται πάντα ή ως προς το μέσο διάδοσης. Υπάρχει όμως ένα φαινόμενο Doppler ακόμη και για τα ηλε­ κτρομαγνητικά κύματα στο κενό, όπως είναι τα φωτεινά κύματα ή τα ραδιοκύματα. Στην περίπτωση αυτή δεν υπάρχει μέσο διάδοσης που να μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως σύστη­ μα αναφοράς στη μέτρηση των ταχυτήτων, οπότε η μόνη ταχύτητα που μας απασχολεί εί­ ναι η ταχύτητα υ της πηγής ως προς τον δέκτη του κύματος.

σχετική

597

21-5 ΚΡΟΥΣτΙΚΆ ΚΥΜΑΤΑ ΚΑ1 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

Για να βρούμε την έκφραση της μετατόπισης της συχνότητας κατά Doppler για το φως, πρέπει να χρησιμοποιήσουμε μερικές σχετικιστικές κινηματικές σχέσεις. Θα απο­ δείξουμε τις εκφράσεις αυτές αργότερα (Κεφ. αλλά προς το παρόν απλά αναφέρου­ με το αποτέλεσμα χωρίς απόδειξη. ταχύτητα του κύματος είναι η ταχύτητα του φωτός στο κενό, που συμβολίζεται συνήθως με c, και έχει την ίδια τιμή και ως προς την πηγή και ως προς τον ακροατή. Στο σύστημα αναφοράς στο οποίο ο ακροατής ηρεμεί, η πηγή απο­ μακρύνεται από αυτόν με ταχύτητα (Αν η πηγή τον ακροατή, το είναι αρ­ νητικό.) συχνότητα της πηγής είναι και πάλι fs · συχνότητα fι που μετράει ο ακροα­ τής (δηλαδή η συχνότητα με την οποία καταφθάνουν τα κύματα στη θέση του ακροατή) δίνεται τότε από την έκφραση

39),

Η

υ.

Η

πλησιάζει Η

υ

(21-20)

υ μεγαλύτερο

απομακρύνεται

Όταν το είναι θετικό, η πηγή από τον ακροατή και το fι είναι πάντα μι­ κρότερο από το fs· όταν το είναι αρνητικό, η πηγή τον ακροατή και το fι είναι από το fs. Το ποιοτικό αποτέλεσμα είναι το ίδιο όπως με τον ήχο, αλλά η πο­ σοτική σχέση είναι διαφορετική. Μια γνώριμη εφαρμογή του φαινομένου Doppler με ραδιοκύματα είναι η μαύρη συ­ σκευή ραντάρ που προσαρμόζεται σε πλευρικό παράθυρο των αστυνομικών αυτοκινήτων για να ελέγχει τις ταχύτητες των άλλων αυτοκινήτων. Το ηλεκτρομαγνητικό κύμα που εκπέ­ μπει η συσκευή ανακλάται από το κινούμενο αυτοκίνητο, το οποίο παίζει τον ρόλο κινούμε­ νης πηγής, και το ανακλώμενο κύμα που επιστρέφει στη συσκευή έχει μετατοπισμένη τη συ­ χνότητά του κατά Doppler. Αμέσως μετά, τα εκπεμπόμενα σήματα συνδυάζονται με τα ανα­ κλώμενα και παράγουν διακροτήματα, οπότε η ταχύτητα του κινούμενου αυτοκινήτου μπο­ ρεί να υπολογιστεί από τη συχνότητα των διακροτημάτων. Παρόμοιες τεχνικές («ραντάρ Doppler») χρησιμοποιούνται για να μετρηθούν οι ταχύτητες των ανέμων στην ατμόσφαιρα. Το φαινόμενο Doppler χρησιμοποιείται επίσης στην παρακολούθηση δορυφόρων και άλλων διαστημικών οχημάτων. Στο Σχ. 21-1 1 ένας δορυφόρος εκπέμπει ραδιοσήμα­ τα σταθερής συχνότητας fs. Καθώς ο δορυφόρος διαγράφει την τροχιά του, η απόστασή του από έναν γήινο ακροατή αρχικά ελαττώνεται και μετά αυξάνεται, οπότε η συχνότητα fι των σημάτων που φτάνουν στον στάσιμο ακροατή αρχίζει να ελαττώνεται μόλις ο δο­ ρυφόρος περάσει το σημείο ελάχιστης απόστασής του από τον σταθμό π:αρακολούθησης. Το φαινόμενο Doppler για το έχει μεγάλη σημασία στην αστρονομία. Οι α­ στρονόμοι συγκρίνουν τα μήκη κύματος του φωτός που προέρχεται από μακρυνούς aστέ­ ρες με τα αντίστοιχα μήκη κύματος του φωτός που εκπέμπουν τα ίδια στοιχεία πάνω στη Γη. Σε ένα δυαδικό αστρικό σύστημα, στο οποίο δύο aστέρες περιστρέφονται γύρω από το κοινό κέντρο μάζας τους, το φως από κάθε αστέρα μετατοπίζεται κατά Doppler προς υψηλότερες συχνότητες όταν ο αστέρας πλησιάζει τη Γη, και προς χαμηλότερες συχνότη­ τες όταν απομακρύνεται από τη Γη. Το φως που προέρχεται από τους περισσότερους γαλαξίες είναι μετατοπισμένο προς τα μεγαλύτερα μήκη κύματος, δηλαδή προς το ερυθρό του ορατού φάσματος. Το φαινόμενο αυτό, που λέγεται εξηγείται συνήθως ως μια με­ τατόπιση Doppler οφειλόμενη στην απομάκρυνση των γαλαξιών αυτών από εμάς. Από τη σκοπιά όμως της γενικής θεωρίας της σχετικότητας το φαινόμενο αυτό αντιμετωπίζεται με έναν πολύ πιο θεμελιώδη τρόπο, αφού αποδίδεται στη διαστολή του ίδιου του χώρου. Τις μεγαλύτερες μετατοπίσεις προς το ερυθρό παρουσιάζουν οι πιο απομακρυσμένοι γα­ λαξίες γιατί το φως που προέρχεται από αυτούς συμμετείχε περισσότερο στη διαστολή του χώρου μέσα από τον οποίο κινήθηκε. Μια προέκταση αυτής της διαστολής στο πα­ ρελθόν για περισσότερο από δέκα δισεκατομμύρια χρόνια πριν, οδηγεί στην ε ικόνα της «μεγάλης έκρηξης». Από αυτή την άποψη η μεγάλη έκρηξη δεν ήταν μια έκρηξη στο χώ­ ρο αλλά η αρχική ταχεία διαστολή αυτού του ίδιου του χώρου.

υ

πλησιάζει

φως

μετατόπιση προς το ερυθρό,

2 1-5

ΚΡΟΥΣΤΙΚΆ ΚΥΜΑΤΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

-------

Όλοι σχεδόν έχουμε ακούσει την «ηχητική έκρηξη» που προκαλεί κάθε αεροπλάνο που υπερίπταται με υπερηχητική ταχύτητα. Μπορούμε να δούμε τι συμβαίνει ποιοτικά από το Σχ. 21-12, που είναι όμοιο με το Σχ. 21-6. Οι κορυφές του κύματος συνωθούνται μπροστά από την κινούμενη πηγή και διαμορφώνουν το μήκος κύματος που δίνει η Εξ. (21-17): λ_

-

υ - υs !s

Σταθμός ι
dx προχωρούμε στον υπολογισμό των συνιστωσών του πεδίου Ε, με τα Βήματα 13 έως 1 6 και συνεχίζουμε το πρόγραμμα ως Ymin

Xmin

-

το Βήμα 17. Αλλιώς βάζουμε σημάδι (FLAG = 1 ), ώστε να ειδοποιήσουμε το πρόγραμμα να μην υπολογίσει το πεδίο σε αυτό το σημείο ούτε να σχε­ διάσει τίποτα και προχωρούμε κατευθείαν στο Βήμα 1 7. Βήμα Υπολογίζουμε τη συνιστώσα Ε, σύμφωνα με την Εξ. 14: Προσθέτουμε κι αυτή τη συνεισφορά στο άθροισμα των συνιστωσών χ: Ε" = Exr + Ε, . 15: Υπολογίζουμε και το ΕΥ σύμφωνα με την Εξ. 16: Προσθέτουμε κι αυτή τη συνεισφορά στο άθροισμα των συνιστωσών y:

Βήμα Βήμα Βήμα

13:

(22-22).

(22-23).

629

630

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 22 ΗΛΕκτpικο ΦΟΡΊ'ΙΟ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ

Ey, = Ey, + Ey .

Βήμα 1 7: τέλος της εντολής IF του Βήματος 12. Βήμα 18: Κλείνουμε τον βρόχο του ί, που ανοίξαμε στο Βήμα 10. Βήμα 19: Αν FLAG = Ο, υπολογίζουμε την τιμή του Ε, με την Εξ. (22-24). Θέτουμε c = dx (δηλ. μήκος ίσο με το πλάτος ενός στοιχειώδους ορθογωνίου) και χαράσ­ σουμε ευθεία που ενώνει τα σημεία που δίνονται από την Εξ. (22-25). Βήμα 20: Αν FLAG = 1, δεν υπολογίζουμε το ξ, ούτε χαράσσουμε γραμμή, αλλά ε­

παναφέρουμε το σημάδι FLAG = Ο και προχωρούμε. 21: Κλείνουμε τους βρόχους των j και k. 22: Τέλος του προγράμματος δίνουμε την εντολή END. Το Σχ. παρουσιάζει το αποτέλεσμα αυτού του υπολογισμού στην περίπτωση δύο αντίθετων φορτίων. Μπορούμε να εκλεπτύνουμε την παραπάνω διαδικασία με διάφορους τρόπους. Με αρχ1Ί κάθε πλεγματικό σημείο πεδίου μπορούμε να σχεδιάζουμε διάνυσμα με μήκος ανά­ λογο του μέτρου του πεδίου για να εμφανίζουμε τόσο το μέγεθος του πεδίου όσο και την κατεύθυνσή του. Για να το πετύχουμε αυτό απλώς aντικαθιστούμε την παράμετρο c στο Βήμα 19 με ένα πολλαπλάσιο του Ε,. Μπορεί να χρειαστεί να πειραματιστούμε, ώστε να πετύχουμε την κατάλληλη κλίμακα που οδηγεί στην πιο παραστατική εικόνα. Είναι επίσης δυνατό να σχεδιάσουμε τις πραγματικές δυναμικές γραμμές. Για τον σκοπό αυτό είναι καλύτερα να εγκαταλείψουμε το ορισμένο πλέγμα ορθογωνίων. Αντί­ θετα, υπολογίζουμε το πεδίο και τις συνιστώσες του σε κάποιο αρχικό σημείο. Χαράσ­ σουμε μια γραμμή από αυτό το σημείο προς ένα γειτονικό. Στη συνέχεια υπολογίζουμε το πεδίο σε εκείνο το σημείο, χαράσσουμε μια άλλη γραμμή και ούτω καθεξής. Επανα­ λαμβάνουμε για διαφορετικά αρχικά σημεία. Σε αυτόν τον υπολογισμο η θέση καθενός σημείου πεδίου προσδιορίζεται από τις συνιστώσες του πεδίου στο προηγούμενο σημείο. Η διαδικασία είναι παρόμοια με εκείνες που ακολουθήσαμε για τον προσδιορισμό των τροχιών της μπάλας του μπέιζμπολ στο Εδ. 3-6 και των διαδρομών στον χώρο φάσεων στο Εδ. 13-9. Το πρόγραμμα δεν είναι πολύ πιο περίπλοκο από αυτό που σκιαγραφήσα­ με παραπάνω, αλλά βρίσκει τις γνήσιες δυναμικές γραμμές. Όλες οι πεδιακές απεικονίσεις που μελετήσαμε ήταν απλά και μόνο διδιάστατες αναπαραστάσεις. Δεν θέλουμε να σας δημιουργηθεί η εντύπωση πως το πεδίο υπάρχει στο επίπεδο xy. Κάθε ηλεκτρικό πεδίο, ακόμα κι όταν οφείλεται σε συνεπίπεδα φορτία, είναι στην πραγματικότητα τριδιάστατη οντότητα. Στις περιπτώσεις όπου απαι­ τούνται περισσότερες πληροφορίες για το πεδίο, μπορούμε να aπεικονίζουμε τις τομές του πεδίου με διάφορα επίπεδα. Σημειώνουμε, τέλος, πως, όταν πρόκειται για πολύπλοκες γεωμετρίες, είναι μερι­ κές φορές ευκολότερο να εγκαταλείψουμε τον νόμο του Coulomb και να προσεγγίσουμε το πρόβλημα απευθείας με τις διαφορικές εξισώσεις που ικανοποιεί το πεδίο, ενσωμα­ τώνοντας τις συνθήκες που απαιτούνται στις οριακές επιφάνειες του χώρου μας. Αυτοί και άλλοι παρόμοιοι υπολογισμοί έχουν τρομερά μεγάλη πρακτική σημασία στον σχεδια­ σμό ηλεκτρονικών συσκευών και ηλεκτρομαγνητών που χρησιμοποιούνται στους επιτα­ χυντές σωματιδίων και σε άλλες εφαρμογές.

Βήμα Βήμα

22-27

μόνο

\ \ \ \ \ \ \ \ ' \ ' \ ' ' ' ' .... ' ....

-

-

....

-

I I ' ' \ \

I I I I

ι ι

ι ι \ \ ' \ I ' \ , \ '

I I I

ι

.... .... / .... ..- / I ... / / I / / I I / I I ι / I I ι / I I I I I ι ι ι I I ι ι I I I I ι I ι

I

ι I

I I I / , ,

I I

I

I / / / ...

_

-

\ ' ' .... ' \ , I \ ' I \ ' I \ ' I \ \ ' \ \ I \ \ \ \ \ \ \ \ .....,

/ / / / / ./ ./ ,.. ..,.,. _ _ - _ _

, .,. , ./ , ,, ,_. _ _ _ _

, _ , .,. _ � _ _ _ _ _

_ , , , , , , , , ,

_ _ ...., ....... , , , , , ,

_ _ _ ._ _ _ _ _ _ ......

/ / / / / / / / / _ _

-

, , , ,

' ' ' ' ' '

-

-

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _

-

-

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ -

_ _ _ _ _ -

_

-

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _

, _ _ _ , ""_ _ _ _ _

..... , , , , ' , , _ _ __ - _ _ - _ _ _ _ _ ..,., _ ,.. _, , ...,.. .,.,. , , _. , ..,.... ..,.... .,. ,..

, , , , , ' , ....... , ...... _ _ _ -

_ , , , , , , / / /

' \ \ \ ' \ \ \ ' \ \ ' ' \ \ ' ' \ \ I , ' \ I , ' \ I , ' \ I ..... , \ ' _ , ' '

_ _ ..... \ - -

-

_ - ., ... / ,. / I / / I , I I / I I / I I / I I / I I / I I / I I

/

I ι I I

I

I I ι ι ι ι

I

I I I I

I I I I I

I I

I

I / / / / ..I

/

' \ \ I

' ' ι ι ι ι ι

....

....

-

....

' ' \ ' \ ' \ \ \ \ \ \ I \ I \ I \

,

I I I I / / / / ./ .... -

-

....

....

' ' ' ' \ \ \

\

22-27 Απεικόνιση του πεδίου δύο αντίθετων φορτίων. Για να κατασκευάσουμε την απεικόνιση αυτή επιλέξαμε m = 25.

ΣΥΝΟΨΗ

63 1

ΣΥΝΟΨ Η

• Η θεμελιώδης οντότητα στην ηλεκτροστατική είναι το ηλεκτρικό φορτίο, θετικό και αρνητικό. Τα ομώνυμα φορτία απωθούνται· τα ετερώνυμα έλκονται. Το φορτίο διατη­ ρείται· το ολικό φορτίο απομονωμένου συστήματος είναι σταθερό. • Οι αγωγοί είναι υλικά που επιτρέπουν την κίνηση ηλεκτρικού φορτίου στο εσωτερι­ κό τους. Τα περισσότερα μέταλλα είναι καλοί αγωγοί του ηλεκτρισμού· τα περισσότε­ ρα αμέταλλα είναι μονωτές. • Η συνηθισμένη ύλη αποτελείται από πρωτόνια, νετρόνια και ηλεκτρόνια. Τα πρω­ τόνια και τα νετρόνια συγκρατούνται μεταξύ τους δέσμια στον πυρήνα του ατόμου α­ πό τις πυρηνικές δύναμεις τα ηλεκτρόνια περιβάλλουν τον πυρήνα σε αποστάσεις πο­ λύ μεγαλύτερες από τη διάμετρό του. Οι ηλεκτρικές αλληλεπιδράσεις είναι κατά κύ­ ριο λόγο υπεύθυνες για τη δομή των ατόμων, των μορίων και των στερεών. • Ο νόμος του Coulomb είναι ο βασικός νόμος αλληλεπίδρασης σημειακών ηλεκτρι­ κών φορτίων. Το μέτρο της δύναμης μεταξύ των φορτίων q 1 και q2 σε απόσταση r είναι 1 l q ι qz l (22-2) F= 4π� r 2 - --

Η δύναμη πάνω σε καθένα φορτίο είναι συγγραμμική με την ευθεία που ενώνει τα φορτία, απωστική αν τα q1 και q2 έχουν το ίδιο πρόσημο, ελκτική αν αυτά έχουν αντί­ θετα πρόσημα. Οι δύο δυνάμεις αποτελούν δράση - αντίδραση και υπακούουν στον τρίτο νόμο του Νεύτωνα. Στο σύστημα SI η μονάδα φορτίου ε ίναι το coulomb που συμβολίζεται με C και έχουμε 1 = 8'988 χ 109 Ν · m2/C2 • 4π� • Η αρχή της επαλληλίας καθορίζει πως όταν δύο ή περισσότερα φορτία εξασκούν δύναμη σε κάποιο άλλο φορτίο, η ολική δύναμη σε αυτό το άλλο φορτίο είναι το δια­ νυσματικό άθροισμα των δυνάμεων που του εξασκεί καθένα φορτίο ξεχωριστά. • Το ηλεκτρικό πεδίο, μια διανυσματική ποσότητα, είναι η δύναμη ανά μονάδα φορ­ τίου, που εξασκείται σε δοκιμαστικό φορτίο σε κάθε σημείο, υπό την προϋπόθεση ότι το δοκιμαστικό φορτίο είναι αρκετά μικρό και δεν διαταράσσει τα φορτία που προκα­ λούν το πεδίο. Από τον νόμο του Coulomb, το ηλεκτρικό πεδίο σημειακού φορτίου είναι (22-6 ) όπου r είναι μοναδιαίο διάνυσμα από το q προς τα έξω. • Η αρχή της επαλληλίας ορίζει ότι το ηλεκτρικό πεδίο οποιουδήποτε συνδυασμού φορτίων είναι το διανυσματικό άθροισμα των πεδίων των επιμέρους φορτίων. Για να υπολογίσουμε το πεδίο συνεχούς κατανομής φορτίων, διαμερίζουμε την κατανομή σε μικρά στοιχεία, υπολογίζουμε το πεδίο καθενός στοιχείου και βρίσκουμε το διανυ­ σματικό άθροισμα, ή το άθροισμα για καθεμιά συνιστώσα ξεχωριστά, συνήθως ολο­ κληρώνοντας. Οι κατανομές φορτίου περιγράφονται από γραμμική πυκνότητα φορτί­ ου, επιφανειακή πυκνότητα φορτίου, ή πυκνότητα φορτίου σε τρεις διαστάσεις. • Οι δυναμικές γραμμές παρέχουν γραφικές αναπαραστάσεις των πεδίων. Σε κάθε σημείο του χώρου, μια δυναμική γραμμή εφάπτεται του πεδίου Ε σε εκείνο το σημείο. Ο αριθμός δυναμικών γραμμών ανά μονάδα επιφάνειας (κάθετα στη διεύθυνσή τους) είναι ανάλογη του μέτρου του Ε στη συγκεκριμένη περιοχή. • Το ηλεκτρικό δίπολο αποτελεί ζεύγος αντίθετων φορτίων με απόλυτη τιμή q σε από­ σταση l μεταξύ τους. Η ηλεκτρική διπολική ροπή ορίζεται να είναι p = ql. Το διάνυ­ σμα της ηλεκτρικής διπολικής ροπής p έχει αυτό το μέτρο και κατευθύνεται από το αρνητικό προς το θετικό φορτίο. Αν ένα ηλεκτρικό δίπολο τοποθετηθεί σε ηλεκτρικό πεδίο, υφίσταται ροπή τ με μέτρο (22-15) τ = pE sin φ. όπου φ είναι η γωνία ανάμεσα στα p και Ε. Το διάνυσμα της ροπής είναι τ =p

χ Ε.

(22-16)

ΚΥΡΙΟΙ ΟΡΟΙ ηλεκτρικό φορτίο αγωγός μονωτής επαγωγή φορτίο εξ επαγωγής ηλεκτρόνιο πρωτόνιο νετρόνιο πυρήνας ατομικός αριθμός θετικό ιόν αρνητικό ιόν ιονισμός διατήρηση φορτίου νόμος του Coulomb αρχή της επαλληλίας couloιnb ηλεκτρικό πεδίο δοκιμαστικό φορτίο διανυσματικό πεδίο σημείο πηγής σημείο πεδίου γραμμική πυκνότητα φορτίου επιφανειακή πυκνότητα φορτίου πυκνότιιτα φορτίου σε τρισδιάοτατο χώρο ηλεκτρική δυναμική γραμμή ηλεκτρικc) δίπολο ηλεκτρικι] διπολική ροπή

632

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 22 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΦΟΡτΙΟ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Εδάφιο 22-3 Διατήρηση και κβάντωση φορτίου 22-1 Πόσο είναι το συνολικό θετικό φορτίο, σε coulomb, όλων των πρωτονίων που περιέχονται σε 2,00 mol ατόμων υδρογόνου;

νο επάνω του, όπως δείχνει το Σχ. 22-16. Το κέντρο του δακτυλίου βρίσκεται στην αρχή των συντεταγμένων. Ένα σημειακό φορτίο q = - 2,50 μC τοποθετείται στο σημείο Ρ, στη θέση χ = 0,500 m. Πό­ σο είναι το μέτρο και ποια η κατεύθυνση της δύναμης που ασκεί­ ται από το φορτίο q στον δακτύλιο;

22-2 Σωματίδια σε χρυσό δαχτυλίδι. Έχετε ένα δα­ χτυλίδι από καθαρό χρυσό (24 καρατίων) με μάζα 13,4 g. Το γραμ­ μομόριο του χρυσού είναι 197 g/mol και ο ατομικός του αριθμός 79. a) Πόσα πρωτόνια περιέχει το δαχτυλίδι και πόσο είναι το ο­ λικό θετικό τους φορτίο; b) Πόσα ηλεκτρόνια περιέχει το δαχτυ­ λίδι αν αυτό είναι συνολικά ουδέτερο;

Εδάφιο 22-5 Ηλεκτρικό πεδίο και ηλεκτρικές δυνάμεις

·

Εδάφιο 22-4 Νόμος του Coulomb 22-3 Δύο ίσα σημειακά φορτία + 3,00 μC απέχουν μεταξύ τους απόσταση 0,600 m. Πόσο είναι το μέτρο της δύναμης που ασκεί το ένα στο άλλο; Ποιες είναι οι κατευθύνσεις των δυνάμεων; 22-4 Ένα αρνητικό φορτίο -0,500 μC εξασκεί ελκτική δύναμη με μέτρο 0,600 Ν σε άγνωστο φορτίο που βρίσκεται σε απόσταση 0,200 m. a) Πόσο είναι το άγνωστο φορτίο (μέτρο και πρόσημο); Πόσο είναι το μέτρο της δύναμης που εξασκεί το άγνωστο φορτίο στο φορτίο των - 0,500 μC; 22-5 Φορτίζουμε θετικά δύο μικρές πλαστικές σφαίρες. Όταν βρίσκονται σε απόσταση 40,0 cm η μία από την άλλη, η απωστική δύναμη μεταξύ τους έχει μέτρο 0,250 Ν. Πόσο είναι το φορτίο κά­ θε σφαίρας a) αν τα δύο φορτία είναι ίσα· b) αν η μια σφαίρα έ­ χει διπλάσιο φορτίο από την άλλη; 22-6 Πόσα περισσευούμενα ηλεκτρόνια πρέπει να υπάρχουν σε καθεμιά από δύο μικρές σφαίρες που απέχουν μεταξύ τους α­ πόσταση 15,0 cm, αν αυτές έχουν ίσα φορτία κι αν το μέτρο της α­ πωστικής δύναμης μεταξύ τους είναι 5,00 χ 10-19 Ν; 22-7 Πόσο πρέπει να απομακρυνθεί το ηλεκτρόνιο ατόμου υ­ δρογόνου από τον πυρήνα ώστε η μεταξύ τους ελκτική δύναμη να εξισωθεί με το βάρος του ηλεκτρονίου στην επιφάνεια της Γης;

22-8 Δύο χάλκινες σφαίρες, με μάζα 0,400 kg η καθεμιά, απέ­ χουν μεταξύ τους απόσταση 2,00 m. a) Πόσα ηλεκτρόνια περιέχει κάθε σφαίρα; (το γραμμοάτομο του χαλκού είναι 63,5 g/mol και ο ατομικός του αριθμός 29.) b) Πόσα ηλεκτρόνια πρέπει να απομα­ κρυνθούν από τη μια σφαίρα και να προστεθούν στην άλλη ώστε να προκληθεί ελκτική δύναμη ίση με 1 ,00 χ 1 04 Ν (χονδρικά, ένας τόνος); c) Τι κλάσμα του συνόλου των ηλεκτρονίων κάθε σφαί­ ρας αντιπροσωπεύει αυτός ο αριθμός; 22-9 Δύο σημειακά φορτία βρίσκονται στις παρακάτω θέσεις του άξονα y: Το φορτίο q1 = + 3,80 nC είναι στο σημείο y = 0,600 m και το φορτίο q2 = - 2,50 nC είναι στην αρχή (y = 0). Ποια είναι η συνολική δύναμη (μέτρο και κατεύθυνση) που εξασκείται από αυτά τα δύο φορτία πάνω σε ένα τρίτο σημε ιακό φορτίο q 3 = + 5,00 nC που βρίσκεται στο σημείο y = - 0,400 m;

22-12 Βρείτε το μέτρο και την κατεύθυνση του ηλεκτρικού πε­ δίου σε σημείο που βρίσκεται 0,500 m ακριβώς πάνω από σωμάτιο που έχει ηλεκτρικό φορτίο +4,00 μC. 22-13 Σε πόση απόσταση από σωμάτιο με φορτίο 5,00 nC το η­ λεκτρικό πεδίο αυτού του φορτίου έχει μέτρο 6,00 N/C; 22-14 a) Πόσο είναι το ηλεκτρικό πεδίο πυρήνα χρυσού σε α­ πόσταση 6,00 χ 1 0-10 m από τον πυρήνα; Ο ατομικός αριθμός του χρυσού είναι 79. b) Πόσο είναι το ηλεκτρικό πεδίο πρωτονίου σε απόσταση 5,28 χ ι σ-ι ι m από το πρωτόνιο; (τόση είναι η ακτίνα της τροχιάς του ηλεκτρονίου στο μοντέλο του Bohr για τη θεμελιώ­ δη κατάσταση του ατόμου του υδρογόνου.) 22-15 Ένα μικρό αντικείμενο, που φέρει φορτίο - 5,00 nC, δέ­ χεται δύναμη 3,00 χ 10-8 Ν προς τα κάτω όταν τοποθετηθεί σε ένα ορισμένο σημείο ηλεκτρικού πεδίου. a) Πόσο είναι το μέτρο και ποια η κατεύθυνση του πεδίου σε εκείνο το σημείο; b) Πόσο θα ήταν το μέτρο και ποια η κατεύθυνση της δύναμης που θα δεχόταν πρωτόνιο τοποθετημένο σε αυτό το ίδιο σημείο μέσα στο ηλεκτρι­ κό πεδίο; 22-16 Πόσο πρέπει να είναι το φορτίο (πρόσημο και μέγεθος) σωματίου με μάζα 5,60 g, ώστε να παραμένει ακίνητο στο εργα­ στήριο, όταν τοποθετηθεί μέσα σε ηλεκτρικό πεδίο με μέτρο 5000 N/C προς τα κάτω; 22-17 Πόσο είναι το μέτρο ηλεκτρικού πεδίου που εξασκεί σε ηλεκτρόνιο δύναμη ίση κατά μέτρο με το βάρος του; 22-18 Ηλεκτρικό πεδίο της Γης. Η Γη έχει περίσσευμα ηλεκτρικού φορτίου που προκαλεί πεδίο 150 N/C, κοντά στην επι­ φάνειά της, με κατεύθυνση προς το κέντρο της. Πόσο θα έπρεπε να ήταν το μέγεθος και ποιο το πρόσημο του φορτίου που θα έπρε­ πε να φέρει ένας άνθρωπος με μάζα 60,0 kg, ώστε η δύναμη του η­ λεκτρικού πεδίου της Γης να αντισταθμίσει το βάρος του; b) Πό­ ση θα ήταν η απωστική δύναμη μεταξύ δύο ανθρώπων, που φέ­ ρουν το φορτίο που υπολογίσατε στο μέρος ( a) αν βρίσκονται σε απόσταση 1 00 m; Είναι εφικτό να χρησιμοποιηθεί το ηλεκτρικό πεδίο της Γης στην πραγματοποίηση πτήσεων; 22-19 Ηλεκτρικό πεδίο μεταξύ παράλληλων πλα­ κών. Ηλεκτρόνιο προσπίπτει με αρχική ταχύτητα υ0 = 7,00 χ 106 m/s στο ομογενές πεδίο μεταξύ παράλληλων πλακών, όπως στο Σχ. 22-28. Το πεδίο κατευθύνεται κατακόρυφα προς τα κάτω και μηδενίζεται παντού, εκτός από τον χώρο μεταξύ των πλακών. Το ηλεκτρόνιο μπαίνει στο πεδίο από ένα σημείο στη μέση της από-

22-10 Δυο σημειακά φορτία τοποθετούνται στις παρακάτω θέ­ σεις του άξονα χ: Το φορτίο q1 = +3,00 nC στο σημείο χ = 0,400 m και το φορτίο q2 = +5,00 nC στο σημείο χ = - 0,200 m. Πόσο είναι το μέτρο και ποια η κατεύθυνση της ολικής δύναμης που ασκείται από αυτά τα δύο φορτία σε αρνητικό σημειακό φορτίο q3 = - 8,00 nC στην αρχή (χ = Ο); 22-1 1 Αγωγός σε σχήμα δακτυλίου με ακτίνα α = 0,250 m φέ­ ρει συνολικό θετικό φορτίο Q = +8,40 μC ομογενώς κατανεμημέ-

ΣΧΗΜΑ 22-28

ΠΡΟΒΛΉΜΑΤΑ

στασης των πλακών. Αν περνάει ξυστά από την πάνω πλάκα όταν βγαίνει από το πεδίο, βρείτε το μέτρο του πεδίου.

633

± 1 ,6 χ ι ο-1 9 c σε απόσταση ι μεταξύ τους, υπολογίστε την ι. b) Πόση είναι η μέγιστη ροπή που ασκεί στο μόριο KCI ένα ηλεκτρι­ κό πεδίο με μέτρο 6,0 χ 10' N/C; Σε ένα πρόχειρο σχήμα δείξτε τους σχετικούς προσανατολισμούς της ηλεκτρικής διπολικ1jς ρο­ πής p και του ηλεκτρικού πεδίου Ε όταν η ροπή είναι μέγιστη.

22-20 Στην περιοχή μεταξύ δύο επίπεδων παράλληλων πλακών με αντίθετα φορτία υπάρχει ομογενές ηλεκτρικό πεδίο. Ηλεκτρό­ νιο ξεκινάει με μηδενική αρχική ταχύτητα από την επιφάνεια της πλάκας με το αρνητικό φορτίο και χτυπάει την επιφάνεια της άλλης * 22-29 Το μόριο της αμμωνίας (ΝΗ ) έχει διπολική ροπή 5,0 χ 3 ι ο-30 C · m. Μόρια αμμωνίας, στην αέρια φάση, τοποθετούνται σε πλάκας, σε απόσταση 2,60 cm από την πρώτη, μετά από χρόνο 1 ,50 ομογενές ηλεκτρικό πεδίο με μέτρο Ε = 3,0 χ 105 N/C. a) Κατά χ 10-s s. a) Βρείτε το μέτρο του ηλεκτρικού πεδίου. b) Βρείτε την πόσο μεταβάλλεται η δυναμική ενέργεια μορίου όταν η διπολική ταχύτητα του ηλεκτρονίου, όταν αυτο χτυπάει τη δεύτερη πλάκα. του ροπή p αλλάζει προσανατολισμό και γίνεται κάθετη στο ηλε­ κτρικό πεδίο ενώ πριν ήταν παράλληλη; b) Σε πόση θερμοκρασία Εδάφιο 22-6 Τ η μέση μεταφορική κινητική ενέργεια �k T του μορίου γίνεται ί­ Υπολογισμοί ηλεκτρικών πεδίων ση με τη μεταβολή της δυναμικής ενέργειας, που υπολογίσατε στο (a) μέρος; (Πάνω από αυτή τη θερμοκρασία οι τυχαίες θερμικές 22-21 Ένα σημειακό φορτίο q 1 = - 4,00 nC βρίσκεται στην αρ­ κινήσεις εμποδίζουν δραστικά τον ευθυγραμμισμό των διπόλων με χή και ένα δεύτερο σημειακό φορτίο q 2 = + 6,00 nC βρίσκεται το πεδίο). στον άξονα χ, στη θέση χ = 0,800 m. Βρείτε το ηλεκτρικό πεδίο (κατά μέτρο και κατεύθυνση) στις παρακάτω θέσεις του άξονα χ: a) x = 0,200 m· b) x = 1 ,20 m· c) x = - 0,200 m. 22-22 Δύο σωμάτια, σε απόσταση 1 ,80 m μεταξύ τους, έχουν φορτία q 1 = 1 ,00 nC και q2 = 2,00 nC. Σε ποιο σημείο της απόστα­ σης των δύο φορτίων μηδενίζεται το ηλεκτρικό τους πεδίο; 22-23 Ένα θετικό σημειακό φορτίο με μέτρο 4,00 χ 1 0-s C το­ ποθετείται στη θέση Χ = 0,100 m, y = Ο. Βρείτε το μέτρο και την κατεύθυνση του ηλεκτρικού πεδίου στα παρακάτω σημεία: a) στην αρχή των αξόνων· b)x = 0,200 m, y = Ο· c) x = 0,1 00 m, y = 0,150 m· d) x = Ο, y = 0,1 00 m. 22-24 Ένα σημειακό φορτίο q 1 = +6,00 nC βρίσκεται στο ση­ μείο χ = 0,800 m, y = 0,600 m και ένα δεύτερο σημειακό φορτίο q2 = - 4,00 nC στο σημείο Χ = 0,800 m, y = Ο. Υπολογίστε το μέ­ τρο και την κατεύθυνση του συνιστάμενου ηλεκτρικού πεδίου αυ­ τών των δύο σημειακών φορτίων στην αρχή των αξόνων. 22-25 Επαναλάβετε την Άσκηση 22-23 στην περίπτωση που το σημειακό φορτίο στη θέση χ = +0, 1 00 m, y = Ο είναι θετικό και το άλλο είναι αρνητικό. 22-26 Ένα μακρύ ευθύγραμμο σύρμα έχει φορτίο ανά μονάδα μήκους 3,00 χ 1 0-ιο C/m. Σε πόση απόσταση από το σύρμα το ηλε­ κτρικό πεδίο είναι 0,600 N/C; 22-27 Πόσο είναι το φορτίο ανά μονάδα επιφάνειας, σε C/m2, μιας άπειρης επίπεδης κατανομής φορτίου, αν το ηλεκτρικό της πεδίο έχει μέτρο 3,00 N/C;

Εδάφιο 22-8 Ηλεκτρικά δίπολα * 22-28 Το μόριο του χλωριούχου καλίου (KCI) έχει διπολικ1j ροπή 8,9 χ ιο-3° C · m. a) Αν αυτή προέρχεται από δύο φορτία

Εδάφιο 22-9 Απεικονίσεις πεδίων: Ειδική μελέτη στην ανάλυση με ηλεκτρονικό υπολογιστή 22-30 a) Να επαληθεύσετε ότι η απόσταση μεταξύ των δύο ση­ μείων με τις συντεταγμένες που καθορίζει η Εξ. (22-25) είναι c. b) Να επαληθεύσετε ότι η γραμμή που συνδέει τα δύο σημεία με τις συντεταγμένες των Εξ. (22-25) έχει τη διεύθυνση του συνιστά­ μενου πεδίου Ε, σε σημείο Ρ με συντεταγμένες (Χ, y). 22-3 1 Κωδικοποιήστε ένα πρόγραμμα υπολογιστή σύμφωνα με τη διαδικασία που σκιαγραφήσαμε στα 22 βήματα του κειμέ­ νου. a) Εκτελέστε το πρόγραμμά σας για την περίπτωση δύο αντί­ θετων φορτίων. Να συγκρίνετε τα αποτελέσματά σας με το Σχ. 22-27. b) Εκτελέστε το πρόγραμμά σας για την περίπτωση δύο ί­ σων φορτίων. 22-32 Στο πρόγραμμα της Άσκησης 22-31 να κάνετε τις αλλα­ γές που προτείνουμε στο κείμενο ώστε το μήκος των γραμμών που χαράσσονται να είναι ανάλογο του μέτρου του πεδίου σε κάθε ση­ μείο. Να επαναλάβετε τους υπολογισμούς για τις δύο περιπτώσεις που αναφέρονται στην Άσκηση 22-31 . 22-33 Να τροποποιήσετε τη διαδικασία της Άσκησης 22-3 1, ό­ πως περιγράφεται στο κείμενο, ώστε να χαράσσονται οι πραγμα­ τικές γραμμές του πεδίου. Εκτελέστε το κωδικοποιημένο πρό­ γραμμα που θα γράψετε για τις δύο περιπτώσεις που αναφέρονται στην Άσκηση 22-3 1 . Να συγκρίνετε τα αποτελέσματά σας με το Σχ. 22-20.

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

22-34 Τρία σημειακά φορτία είναι τοποθετημένα κατά μήκος του άξονα χ. Το σημειακό φορτίο q 1 = 6,00 nC βρίσκεται στη θέση χ = 0,300 m και το σημειακό φορτίο q = - 4,00 nC στη θέση χ = 2 -0,200 m. Ένα θετικό σημειακό φορτίο q3 βρίσκεται στην αρχή. a) Πόσο πρέπει να είναι το μέτρο του q ώστε η συνισταμένη δύνα­ μη πάνω του να έχει μέτρο 6,00 χ 1 0-4 3Ν; b) Ποια είναι η κατεύ­ θυνση της συνισταμένης δύναμης στο q ; 3 22-35 Δύο μικρές σφαίρες, με μάζα 1 6,0 g η καθεμιά, κρέμο­ νται από κοινό σημείο δεμένες με μετάξινα νιjματα μήκους 1 ,00 m.

Όταν στις σφαίρες φέρονται ίσες ποσότητες αρνητικού φορτίου, κάθε νήμα σχηματίζει γωνία 20,0· με την κατακόρυφο. a) Σχε­ διάστε διάγραμμα όλων των δυνάμεων σε κάθε σφαίρα. b) Βρεί­ τε το μέτρο του φορτίου καθεμιάς σφαίρας. c) Στη συνέχεια, τα δύο νήματα επιβραχύνονται σε 50,0 cm, καθένα, αλλά τα φορτία των σφαιρών διατηρούνται σταθερά. Πόση θα είναι η γωνία θ που θα σχηματίσουν τα νήματα με την κατακόρυφο; (Υπόδειξη: Το μέ­ ρος αυτό του προβλήματος μπορεί να λυθεί αριθμητικά με διαδο­ χικές διορθώσεις μιας αρχικής δοκιμαστικής τιμής της θ, ώστε να καταλήξετε σε ισότητα που θα ικανοποιείται κατά προσέγγιση.)

634

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 22 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΦΟΡτΙΟ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ

22-36 a) Υποθέστε πως όλα τα ηλεκτρόνια μιας ποσότητας 20,0 γραμμαρίων ατόμων υδρογόνου μπορούσαν να τοποθετηθούν

στον βόρειο πόλο της Γης και όλα τα πρωτόνια στον νότιο πόλο. Πόση θα ήταν η συνολική ελκτική δύναμη που θα εξασκούσε κάθε ομάδα φορτίων στην άλλη; Το γραμμοάτομο του υδρογόνου είναι 1,01 glmol. b) Πόσο θα ήταν το μέτρο και ποια η κατεύθυνση της δύναμης που εξασκείται από τα φορτία του (a) μέρους σε τρίτο φορτίο, που είναι θετικό, ίσο κατά μέτρο με το ολικό φορτίο κάθε πόλου και βρίσκεται στην επιφάνεια της Γης σε ένα σημείο του Ισημερινού; Σχεδιάστε ένα διάγραμμα.

22-37 Σημειακά φορτία 6,00 nC τοποθετούνται σε τρεις κορυ­ φές τετραγώνου με πλευρά 0,200 m. Ποιο είναι το μέτρο και η κα­ τεύθυνση της συνισταμένης δύναμης σε σημειακό φορτίο -2,00 nC τοποθετημένο a) στο κέντρο του τετραγώνου· b) στην τέταρτη κορυφή του; 22-38 Ένα φορτίο q1 = -3,00 nC τοποθετείται στην αρχή συ­ στήματος συντεταγμένων xy και ένα δεύτερο φορτίο q2 = 2,00 nC στον θετικό άξονα y, στο σημείο y = 4,00 cm. a) Αν ένα τρίτο φορτίο q3 = 4,00 nC τοποθετηθεί στο σημείο χ = 3,00 cm, y = 4,00 cm, βρείτε τις συντεταγμένες χ και y της gλικής δύναμης, που εξα­ σκείται σε αυτό το φορτίο από τα δύο άλλα. b) Βρείτε το μέτρο και την κατεύθυνση αυτής της δύναμης. 22-39 Θετικό φορτίο Q κατανέμεται ομοιόμορφα κατά μήκος του θετικού άξσνα y μεταξύ των σημείων y = Ο καιy = α. Ένα αρ­ νητικό σημειακό φορτίο - q βρίσκεται πάνω στον θετικό άξοναχ, σε απόσταση χ από την αρχή (Σχ. 22-29) . Υπολογίστε τις συνιστώσες χ καιy της δύναμης που εξασκεί στο q η κατανομή του φορτίου Q.

τίο ενός σωματίου του τόνερ με μάζα 4,0 χ 10-12 kg αν αυτό το σω­ μάτιο πρέπει να έλκεται από το τύμπανο με δύναμη δεκαπλάσια του βάρους του;

22-42 Θετικό φορτίο +Q κατανέμεται ομοιόμορφα κατά μή­ κος του άξονα +χ από το σημείο χ = Ο ως το χ = α. Αρνητικό φορ­ τίο - Q κατανέμεται ομοιόμορφα κατά μήκος του άξονα -χ από το σημείο χ = Ο ως το χ = - α. a) Ένα θετικό σημειακό φορτίο q βρί­ σκεται πάνω στον θετικό άξονα y, σε απόσταση y από την αρχή. Βρείτε το μέτρο και την κατεύθυνση της δύναμης που ασκεί πάνω στο q η κατανομή φορτίου. Δείξτε πως, όταν το y γίνεται μεγάλο, αυτή η δύναμη είναι ανάλογη του y-3. b) Υποθέστε, αντίθετα, πως το θετικό σημειακό φορτίο q τοποθετείται στον θετικό άξονα χ, σε απόσταση χ > α από την αρχή. Βρείτε το μέτρο και την κατεύθυν­ ση της δύναμης που ασκεί πάνω στο q η κατανομή φορτίου. Δείξτε πως, όταν το χ γίνεται μεγάλο, αυτή η δύναμη είναι ανάλογη του [3. 22-43 Ηλεκετρόνιο βάλλεται μέσα σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο με μέτρο 500 N/C, που κατευθύνεται κατακόρυφα προς τα πάνω. Η αρχική ταχύτητα του ηλεκτρονίου έχει μέτρο 4,00 χ 106 m/s και κα­ τευθύνεται στις 30 ο, πάνω από τον ορίζοντα. a) Βρείτε το μέγιστο ύψος που φτάνει το ηλεκτρόνιο, πάνω από το αρχικό του ύψος. b) Μετά πόση οριζόντια μετατόπιση το ηλεκτρόνιο επιστρέφει στο αρ­ χικό του ύψος; c) Σχεδιάστε την τροχιά του ηλεκτρονίου. 22-44 Μικρή σφαίρα με μάζα 0,400 g φέρει φορτίο 3,00 χ ι ο-ιο C και είναι δεμένη στο άκρο μετάξινου νήματος με μήκος 8,00 cm. Το άλλο άκρο του νήματος στηρίζεται σε μεγάλο κατακόρυφο επί­ πεδο φύλλο μονωτικού υλικού, που φέρει επιφανειακή πυκνότητα φορτίου 25,0 χ 10-6 C/m2• Βρείτε τη γωνία που σχηματίζει το νήμα με το κατακόρυφο φύλλο όταν η σφαίρα ισορροπεί. 22-45 Ένα αρνητικό σημειακό φορτίο q1 = -5,00 nC βρίσκεται πάνω στον άξονα χ, στη θέση χ = 1,20 m. Ένα δεύτερο σημειακό φορτίο q2 βρίσκεται στον άξονα χ, στη θέση χ = - 0,60 m. Ποιο πρέπει να είναι το πρόσημο και το μέτρο του q2 ώστε το συνιστά­ μενο ηλεκτρικό πεδίο στην αρχή να είναι a) 60,0 N/C κατά την κατεύθυνση +χ· b) 60,0 N/C κατά την κατεύθυνση -χ;

Υ α

Q ο

-q

ΣΧΗΜΑ 22-29

χ

22-40 Θετικό ηλεκτρικό φορτίο Q κατανέμεται ομοιόμορφα κατά μήκος του θετικού άξονα χ από το σημείο χ = Ο ως το χ = α. Ένα θετικό σημειακό φορτίο q βρίσκεται στη θέση χ = α + r του άξονα χ, δηλαδή σε απόσταση r από το δεξί άκρο του Q (Σ χ. 22-30) . Υπολογίστε το μέτρο και βρείτε την κατεύθυνση της δύνα­ μης που ασκεί πάνω στο q η κατανομή του φορτίου Q.

__. : )�χ ab____ Υ

22-46 Λειτουργία εκτυπωτή με πίδακα μελάνης. Στον εκτυπωτtj με πίδακα μελάνης τα γράμματα τυπώνονται στο χαρτί με σταγονίδια μελάνης που εκτοξεύονται από ταχέως κινού­ μενο ρύγχος. Το αποτέλεσμα της εκτύπωσης ελέγχεται με ηλε­ κτροστατική βαλβίδα που ορίζει αν θα εκτοξευθεί μελάνη στο χαρτί ή όχι για κάθε θέση του ρύγχους. Το Σχ. 22-31 απεικονίζει μια μέθοδο με την οποία αmό επιτυγχάνεται. Τα σταγονίδια μελά­ νης, με ακτίνα 15 μm, εγκαταλείπουν το ρύγχος και κινούνται προς το χαρτί με ταχύτητα 20 m/s. Τα σταγονίδια διέρχονται από μονάδα φόρτισης, όπου φορτίζονται με αρνητικό φορτίο - q απο­ κτώντας περίσσεια ηλεκτρονίων. Στη συνέχεια, τα σταγονίδια διέρχονται ανάμεσα από παράλληλα πλακίδια εκτροπής, όπου υ­ πάρχει ομογενές κατακόρυφο ηλεκτρικό πεδίο με μέτρο 8,0 χ 104 N/C. Αν ένα σταγονίδιο εκτραπεί περισσότερο από 0,40 mm ώ­ σπου να ξεπεράσει τα πλακίδια, πέφτει στον συλλέκτη και οδηγεί­ ται πίσω στο δοχείο μελάνης. Η μονάδα φόρτισης ελέγχεται με Η/Υ και μπορεί να τίθεται σε λειτουργία, ή να βγαίνει εκτός, σε

ΣΧΗΜΑ 2 2-30

22-41 Φορτίο σωματίων τόνερ. Το ηλεκτρικό πεδίο, α­ κριβώς έξω από την επιφάνεια του θετικά φορτισμένου τυμπάνου φωτοαντιγραφικού μηχανήματος, όπου σχηματίζεται το είδωλο, έ­ χει μέτρο 2,00 χ 105 N/C. Πόσο πρέπει να είναι το αρνητικό φορ-

-

Ρύγχος

ΣΧΗΜΑ 22-31

: 7 � �- � + _ _

-

__ __ _ __

Πλακίδια εκτροπ1jς

ΠΙΟ ΣΥΝΘΕΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

πολύ μικρούς χρόνους. Πόσο είναι το ελάχιστο φορτίο, που πρέπει να μεταφερθεί σε κάθε σταγονίδιο όταν η μονάδα φόρτισης λει­ τουργεί, αν θέλουμε τα σταγονίδια να φτάνουν στο χαρτί μόνο ό­ ταν η μονάδα φόρτισης τίθεται εκτός λειτουργίας; (Υποθέστε πως η πυκνότητα των σταγονιδίων είναι ίδια με του νερού, δηλ. 1 000 kg/m3.)

22-47 Ένα φορτίο 16,0 nC βρίσκεται στην αρχή των συντεταγ­ μένων· ένα δεύτερο φορτίο με άγνωστο μέτρο βρίσκεται στο ση­ μείο χ = 3,00 , y = Ο m και ένα τρίτο φορτίο 1 2,0 nC στο χ = 6,00 m,y := Ο. Ποιο είναι το πρόσημο και το μέτρο του άγνωστου φορτί­ ου αν το συνιστάμενο πεδίο στο σημείο χ = 8,00 m, y = Ο έχει μέ­ τρο 18,0 N/C και βρίσκεται στην κατεύθυνση +χ; 22-48 Θετικό ηλεκτρικό φορτίο Q, συνολικά, είναι κατανεμη­ μένο ομοιόμορφα πάνω σε ημικύκλιο με ακτίνα α (Σχ. 22-32). Πό­ σο είναι το ηλεκτρικό πεδίο (κατά μέτρο και κατεύθυνση) στο κέ­ ντρο καμπυλότητας (δηλαδή, στο σημείο Ρ);

635

2�9 Αρνητικό ηλεκτρικό φορτίο - Q, συνολικά, κατανέμεται ομοιόμορφα πάνω σε τεταρτοκύκλιο με ακτίνα α. Το τεταρτοκύ­ κλιο βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο και το κέντρο καμπυλότη­ τάς του είναι στην αρχή των συντεταγμένων. Βρείτε τις συνιστώ­ σες χ και y του ηλεκτρικού πεδίου στην αρχή. 22-50 Ηλεκτρικό φορτίο κατανέμεται ομοιόμορφα στις τέσσε­ ρις πλευρές τετραγώνου. Δύο διαδοχικές πλευρές έχουν συνολικό θετικό φορτίο +Q, η καθεμιά. a) Αν οι δύο άλλες πλευρές έχουν συνολικό αρνητικό φορτίο - Q, η καθεμιά (Σχ. 22-33), βρείτε τις συνιστώσες χ και y του ηλεκτρικού πεδίου, που προκύπτει στο κέ­ ντρο του τετραγώνου. Καθεμιά πλευρά του τετραγώνου έχει μήκος α. b) Να επαναλάβετε τον υπολογισμό του (a) μέρους αν και οι τέσσερις πλευρές έχουν θετικό φορτίο + Q.

Υ

I +Q

Υ

Q

- Q�· ---�----·1 +Q � �χ

ΣΧΗΜΑ 22-32

ΠΙΟ ΣΥ

θΕΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

22-51 Τρία φορτία τοποθετούνται όπως φαίνεται στο Σχ. 22-34. Γνωρίζουμε πως το μέτρο του qι είναι 4,00 μC αλλά το πρόσημό του, καθώς και το φορτίο q2 , είναι άγνωστα. Το φορτίο q3 ισούται με + 2,00 μC και η συνισταμένη δύναμη F πάνω του βρίσκεται στην αρνητική κατεύθυνση χ. a) Αν λάβουμε υπόψη τα πιθανά πρόσημα των qι και q2, υπάρχουν τέσσερα δυνατά διαγράμματα των δυνάμε­ ων Fι και F2, που εξασκούν τα q ι και q2 στο q3• Σχεδιάστε αυτές τις τέσσερις πιθανές περιπτώσεις. b) Με τη βοήθεια των διαγραμμά­ των του μέρους ( a) και του γεγονότος ότι η συνολική δύναμη πάνω στο q3 δεν έχει συνιστώσαy, ενώ έχει αρνητική συνιστώσα χ, βρείτε τα πρόσημα των φορτίων qι και q2. c) Υπολογίστε την απόλυτη τι­ μή του q2• d) Προσδιορίστε το μέτρο F της συνισταμένης δύναμης στο q3.

4,00 cm

3,00 cm

•'--------��--------·

qι

ΣΧΗΜΑ 22-34

ι-Q

ΣΧΗΜΑ 22-33

5,00 cm

Ρ

ο�

5, cm •

qι

ΣΧΗΜΑ 22-35

Ε

13,0 cm

q2

22-52 Δύο φορτία τοποθετούνται όπως φαίνεται στο Σχ. 22-35. Γνωρίζουμε πως η απόλυτη τιμή του qι είναι 4,00 μC, αλλά το πρό­ σημό του καθώς και το άλλο φορτίο q2 είναι άγνωστα. Το συνιστά­ μενο ηλεκτρικό πεδίο Ε στο σημείο Ρ βρίσκεται στην αρνητική κα­ τεύθυνση y. a) Αν λάβουμε υπόψη τα πιθανά πρόσημα των qι και q2 υπάρχουν τέσσερα δυνατά διαγράμματα των ηλεκτρικών πεδίων Ει και Ε2, που δημιουργούν τα qι και q2• Σχεδιάστε αυτές τις τέσσε­ ρις περιπτώσεις. b) Με τη βοήθεια των διαγραμμάτων του (a) μέ­ ρους και του γεγονότος ότι το συνολικό ηλεκτρικό πεδίο στο σημείο Ρ δεν έχει συνιστώσα χ, ενώ έχει αρνητική συνιστώσαy, βρείτε τα πρόσημα των qι και q2• c) Προσδιορίστε το μέτρο του συνιστάμε­ νου πεδίου Ε.

Κ Υ Ρ Ι Ε Σ

Ε Ν Ν Ο Ι Ε Σ

• Η ηλεκτρική ροή δια μέσου μιας εmφάνειας είναι το γινόμενο του εμβαδού της επιφάνειας και της συνιστώσας του ηλεκτρικού πεδίου κάθετης στην εmφάνεια. • Ο νόμος του Gauss ορίζει, ότι η ολική ηλεκτρική ροή, που διαπερνά προς τα έξω μία κλειστή εmφάνεια, είναι ανάλογη προς το ολικό ηλεκτρικό φορτίο που περικλείεται από την επιφάνεια. Ο νόμος αυτός είναι χρήσιμος στον υπολογισμό πεδίων, που οφείλονται σε κατανομές φορτίων, οι οποίες έχουν διάφορες ιδιότητες συμμετρίας.

• Όταν ένας αyωyός έχει κάποιο πλεόνασμα φορτίου, το οποίο βρίσκεται σε ηρεμία, το φορτίο κείται εξολοκλήρου στην εmφάνεια του αyωyού και το ηλεκτρικό πεδίο είναι μηδέν παντού στο εσωτερικό του αyωyού. • Ο νόμος του Gauss χρησιμοποιείται στην ανάλυση πειραμάτων, που αποβλέπουν στον ε'λεvχο της ισχύος του νόμου του Coulomb με μεγάλη ακρίβεια.

Ε Ι Σ Α Γ Ω Γ Η

Σ

υχνά υπάρχει ένας εύκολος τρόπος και ένας δύσκολος τρόπος για να γίνει μία εργασία. Ο εύκολος τρόπος δεν χρειάζεται τίποτε περισσότερο από τη χρήση των κατάλληλων εργαλείων. Στη Φυσική, ένα από τα σημαντικά εργαλεία στην απλοποίηση προβλημάτων είναι η χρήση των ι διοτήτων συμμετρίας των συστημάτων. Πολλά φυσικά συστήματα έχουν συμμετρία. Ένα κυλινδρικό σώμα π.χ. δεν φαίνεται καθόλου διαφορετικό μετά την περιστροφή του γύρω από τον άξονά του, και μία φορτισμένη μεταλλική σφαίρα φαίνεται ακριβώς η ίδια μετά την περιστροφή της γύρω από οποιονδήποτε άξονα, που διέρχεται από το κέντρο της σφαίρας. Για ένα σύστημα που έχει συμμετρία, οι υπολογισμοί μπορούν να απλοποιηθούν αν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τις ιδιότητες συμμετρίας. Ο νόμος του Gauss αποτελεί μέρος της μεθόδου στη χρήση ιδιοτήτων συμμετρίας στους υπολογισμούς ηλεκτρικού πεδίου. Θα διαπιστωθεί, ότι πολλοί υπολογισμοί πεδίων μπορούν να γίνουν πολύ πιο απλά με τον νόμο του Gauss παρά με τις μεθόδους, που χρησιμοποιήθηκαν στο Κεφάλαιο 22. Για παράδειγμα, το ηλεκτρικό πεδίο γραμμικής ή επίπεδης κατανομής φορτίου, το οποίο υπολογίστηκε στο Εδάφιο 22-6 χρησιμοποιώντας μερικές αρκετά επίπονες ολοκληρώσεις, μπορεί να βρεθεί με λίγα βήματα με την βοήθεια του νόμου του Gauss. Ο νόμος αυτός μπορεί να προέλθει από τον νόμο του Coulomb, αλλά είναι τόσο ισχυρός, που μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην επίλυση μερικών προβλημάτων πεδίου, τα οποία θα ήταν εξαιρετικά • πολύπλοκα αν aντιμετωπιζόντουσαν μόνο με τον νόμο του Coulomb.

637

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23 Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS

638

23-1

Η Λ Ε ΚΤ Ρ Ι Κ Ή

ΡΟΗ

_ _ _ _ _ _ _ _

Ο νόμος του Gauss και ο νόμος του CouJomb είναι δύο εναλλακτικές διατυπώσεις της ί­ διας βασικής σχέσης μεταξύ μιας κατανομής φορτίου και του ηλεκτρικού πεδίου που δη­ μιουργεί. Ο νόμος του Coulomb περιγράφει το πεδίο που δημιουργείται σε ένα Ρ από ένα φορτίο q. Για τον υπολογισμό πεδίων από μία κατανομή φορτίου, πρέπει να θεωρήσουμε την κατανομή αυτή σαν ένα σύνολο σημειακών φορτίων και να χρησιμοποιήσουμε την αρχή της επαλληλίας. Ο νόμος του Gauss αντιμετωπίζει το θέμα συνολικότερα. Όταν δοθεί μία γενική κατανομή φορτίου, την περιβάλλουμε με μία υποθετική επιφάνεια, η οποία περικλείει το φορτίο. Μετά εξετάζουμε το ηλεκτρικό πεδίο σε διάφορα σημεία πάνω στην υποθετική επιφάνεια. Ο νόμος του Gauss είναι μία σχέση μεταξύ του πεδίου σε τα σημεία της ε­ πιφάνειας και του ολικού φορτίου που περικλείεται από την επιφάνεια. Αυτό μπορεί να ακούγεται σαν ένας μάλλον πλάγιος τρόπος διατύπωσης του προβλήματος, αλλά αποδει­ κνύεται ότι ε ίναι μία πολύ αποτελεσματική σχέση. Για τη διατύπωση του νόμου του Gauss θα χρησιμοποιήσουμε την έννοια της ηλε­ κτρικής ροής, η οποία καλείται επίσης Θα ορίσουμε πρώτα την έννοια αυτή και μετά θα συζητήσουμε την αναλογία της με τη ροή ρευστού, που θα βοηθήσει στην ανάπτυξη της διαίσθησης για την έννοια αυτή. Ο ορισμός της ηλεκτρικής ροής περιλαμβάνει μία επιφάνεια εμβαδού και ένα η­ λεκτρικό πεδίο σε διάφορα σημεία της επιφάνειας. Η επιφάνεια δεν χρειάζεται να ανή­ κει σε ένα πραγματικό σώμα· στην πραγματικότητα είναι συνήθως μία φανταστική επι­ φάνεια στον χώρο. Θεωρήστε πρώτα μία μικρή, επίπεδη επιφάνεια εμβαδού κάθετη σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο Ε (Σχ. 23-la). Ορίζουμε, ότι η ηλεκτρική ροή Φε δια μέσου της επιφάνειας είναι ίση με το γινόμενο της έντασης του πεδίου επί το εμβαδόν της επιφάνειας:

σημειακό

εκτεταμένη

σημείο

όλα

ροή του ηλεκτρικού πεδίου.

Α

Α,

Α

Ε

Φε =

/

ΕΑ .

Μπορούμε να απεικονίσουμε χονδρικά την Φε με τις δυναμικές γραμμές του πεδίου, που διαπερνούν την επιφάνεια Μεγαλύτερη επιφάνεια σημαίνει, ότι περισσότερες γραμ­ μές διαπερνούν την επιφάνεια και ισχυρότερο πεδίο σημαίνει πυκνότερες γραμμές και επομένως περισσότερες γραμμές ανά μονάδα επιφάνειας. Αν η μικρή επιφάνεια ε ίναι επίπεδη αλλά δεν είναι κάθετη προς το ηλεκτρικό πεδίο Ε, τότε την διαπερνούν λιγότερες δυναμικές γραμμές. Στην περίπτωση αυτή, σημα­ σία έχει η επιφάνεια Α .ι στο Σχ. 23-lb, δηλαδή η της επιφάνειας σε επίπεδο κάθετο στο Ε. Δύο από τις πλευρές του προβαλλομένου ορθογωνίου έχουν το ίδιο μήκος με το αρχικό, αλλά οι άλλες δύο έχουν βραχυνθεί κατά τον παράγοντα cos Φ" έτσι η προ­ βαλλόμενη επιφάνεια Α .ι είναι ίση προς cos φ. Γενικεύουμε τον ορισμό μας της ηλε­ κτρικής ροής για ένα ομογενές ηλεκτρικό πεδίο και μεγάλη επιφάνεια με την σχέση

Α.

-

Α

Ε -

Α

)

/

/

(a)

προβολή

Α

Α

Ε

Φε =

ΕΑ cos φ.

(23-1)

Προφανώς cos φ είναι η συνιστώσα του διανύσματος Ε, που είναι κάθετη στην επιφά­ νεια. Αν συμβολίσουμε με .ι την συνιστώσα αιm1, μπορούμε να ξαναγράψουμε τη σχέση (23-1) ως

Ε

(23-2)

Ε

Μπορούμε να εκφράσουμε τον ορισμό της ηλεκτρικής ροής πιο συντομευμένα χρη­ Λ , μία διανυσματική ποσότητα με σιμοποιώντας την έννοια του μέτρο και κατεύθυνση κάθετη στην επιφάνεια την οποία περιγράφουμε. Το διανυσμα­ τικό εμβαδόν Λ αποδίδει τόσο το μέτρο του εμβαδού της επιφάνειας όσο και τον προσα­ νατολισμό της στον χώρο. Συναρτήσει του μεγέθους Λ η Εξ. (23-1) γίνεται

Α

(b) 23-1 Μία επίπεδη επιφάνεια σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο. (a) Η ηλεκτρική ροή δια μέσου της επιφάνειας είναι ίση προς ΕΑ. (b) Όταν το διάνυσμα της επιφάνειας σχηματίζει γωνία φ με το Ε, Α �= Α cos φ. Η ροή είναι μηδέν όταν φ = 90 ο .

διανυσματικού εμβαδού Φε = Ε · Λ.

(23-3)

Οι Εξ. (23-1), (23-2) και (23-3) εκφράζουν την ηλεκτρική ροή με διαφορετικούς αλλά ι­ σοδύναμους τρόπους. Η μονάδα ηλεκτρικής ροής στο SI είναι 1 N·m2/C. Τέλος, τι συμβαίνει αν το ηλεκτρικό πεδίο Ε δεν είναι ομογενές αλλά μεταβάλλε­ ται από σημείο σε σημείο πάνω στην επιφάνεια Ή τι συμβαίνει αν η Α είναι τμήμα καμπύλης επιφάνειας; Στις περιπτώσεις αυτές χωρίζουμε την επιφάνεια σε πολλά στοι-

Α;

639

23-1 ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΡΟΗ

χειώδη εμβαδά dA, υπολογίζουμε την ηλεκτρική ροή δια μέσου καθενός από αυτά και ο­ λοκληρώνουμε τα αποτελέσματα για να υπολογίσουμε την ολική ροή:

(23-4)

Ε

Ονομάζουμε το ολοκλήρωμα αυτό επιφανειακό ολοκλήρωμα της συνιστώσας .L εφ' όλης της επιφάνειας, ή το επιφανειακό ολοκλ1Ίρωμα του Ε dA. Αν και ένα ηλεκτρικό πεδίο είναι ροή, η αναλογία του με τη ροή ρευστών θα βοηθ1Ίσει στην ανάπτυξη της διαίσθησης για την ηλεκτρική ροή. Η παροχή νερού dV/dt σε ένα σωλήνα (π. χ. κυβικά μέτρα ανά δευτερόλεπτο) είναι ίση προς το γινόμενο του εμ­ βαδού της διατομής του σωλήνα επί την ταχύτητα της ροής. Γενικότερα, μπορούμε να θεωρήσουμε την παροχή δια μέσου οποιασδήποτε επιφάνειας σε ένα ρέον υγρό σαν τη ροή δια μέσου του συρμάτινου ορθογωνίου με εμβαδόν dA στο Σχ. 23-2. Όταν η επιφά­ dA. Αν το ορθογώνιο νεια είναι κάθετη προς την ταχύτητα ροής (Σχ. 23-2a), dV/dt σχηματίζει γωνία φ με την κάθετη στην υ (Σχ. 23-2b) το εμβαδόν που λαμβάνεται υπόψη είναι dA cos φ και η παροχή δια μέσου της στοιχειώδους επιφάνειας dA ε ίναι ·

δεν

(a)

υ

=υ

υ

dι dV

= υ dA cos φ.

Αν χρησιμοποιήσουμε το διανυσματικό στοιχειώδες ε μβαδόν dA, η παροχή ε ίναι ίση προς dA. Αν φ 90° , τότε cos φ και δεν διέρχεται ρευστό δια μέσου του ορθογωνίου. Επίσης, cos φ είναι ίσο προς την κάθετη συνιστώσα .L της στην dA, έτσι ώστε dV!dt .L dA . Επομένως μπορούμε να εκφράσουμε την παροχή δια μέσου της επι­ φάνειας dA με οποιαδήποτε από τις παρακάτω μορφές:

υ·

=

=υ

=Ο

υ

dt

καθόλου

υ

υ

(23-5) = υ dA cos φ = υ dA = υ dA. Η ποσότητα αυτή καλείται η ροή της υ δια μέσου του dA. Είναι ένας φυσικός όρος γιατί αντιπροσωπεύει την παροχή ενός υγρού δια μέσου της επιφάνειας. Στην περίπτωση του ηλεκτρικού πεδίου τίποτε δεν ρέει αλλά η αναλογία προς την ροή ρευστού μπορεί να dV

.L

·

βοηθήσει τον αναγνώστη να κατανοήσει την έννοια. Μπορούμε να παραστήσουμε την κατεύθυνση ενός στοιχειώδους εμβαδού χρησι­ μοποιώντας ένα n κάθετο στην επιφάνεια. Τότε

μοναδιαίο διάνυσμα

dA = n dA .

Ένα στοιχείο επιφάνειας έχει δύο πλευρές και επομένως υπάρχουν δύο δυνατές κατευ­ θύνσεις για τα n και dA. Πρέπει πάντοτε να καθορίζουμε ποια κατεύθυνση έχουμε επιλέ­ ξει. Με τον νόμο του Gauss θα εργαζόμαστε πάντα με την ροή δια μέσου επιφάνειας, η οποία έχει δύο όψεις, εσωτερική και εξωτερική. Θα επιλέγουμε πάντοτε την κατεύθυνση του n και θα μιλάμε για την ροή που διαπερνά την επιφάνεια

ολική προς τον εξωτερικό της επιφάνειας χώρο, προς τα έξω.

κλειστής

- Π Α Ρ Ά Δ Ε Ι Γ Μ Α 23-1 Ηλεκτρική ροή δια μέσου ενός δίσκου Ένας δίσκος

με ακτίνα 0, 10 m προσανατολίζεται έτσι ώστε το μοναδιαίο του διάνυσμα n να σχηματίζει γωνία 30 ° ως προς ένα ομο­ γενές ηλεκτρικό πεδίο Ε μέτρου 2,0 χ 103 N/C (Σχ. 23-3). a) Πόση είναι η ολική ηλεκτρική ροή δια μέσου του δίσκου; b) Πόση είναι η ολική ροή δια μέσου του δίσκου αν στρα­ φεί έτσι ώστε το επίπεδό του να είναι παράλληλο προς το Ε; c) Πόση είναι η ολική ροή δια μέσου του δίσκου αν η κάθετη σε αυτόν είναι παράλληλη προς το Ε; 23-3 Η ηλεκτρική ροή Φε δια μέσου ενός δίσκου εξαρτάτα ι από την γωνία Που σχηματίζεται μεταξύ της κάθετης σε αυτό n και του ηλεκτρικού πεδίου Ε. ·

r = 0,10 m

(b)

23-2 Η παροχtj ρευστού δια μέσου του ορθογωνίου πλέγματος είναι v dA cos φ, ακριβώς όπως η ηλεκτρικιj ροιj δια μέσου μιας επιφάνειας dA είναι EdA cos φ.

640

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23 Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS

ΛΥΣΗ a) Το ε μβαδόν ε ίναι Α = π (Ο, 1 m )2 = 0,03 14 m2. Από την Εξ. (23-1)

Φε = ΕΑ cos φ = (2,0 χ 1 03 N/C)(0,03 14 m2)(cos 30 ° ) = 54 Ν · m2/C.

c) Η κάθετη στον δίσκο είναι παράλληλη στο Ε, έτσι φ = Ο, cos φ = 1 και από την Εξ. (23-1)

Φε = ΕΑ cos φ = (2,0 χ 103 N/C)(0,03 14 m2)( 1 ) = 63 Ν · m2/C.

b) Η κάθετη στο δίσκο είναι τώρα κάθετη στο Ε, έτσι φ = 90 ° , cos φ = Ο και Φε = Ο.

- Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 23-2

-------

Ηλεκτρική ροή δια μέσου σφαίρας Ένα θετικό φορ­ τίο ίσο προς 3,0 μC περιβάλλεται από μία σφαίρα ακτίνας 0,2 m, της οποίας το κέντρο συμπίπτει με την θέση του φορ­ τίου (Σχ. 23-4) . Να βρεθεί η ηλεκτρική ροή δια μέσου της σφαίρας, η οποία οφείλεται στο φορτίο. Λ ΥΣΗ Σε οποιοδήποτε σημείο πάνω στη σφαίρα το μέ­ τρο του Ε είναι

1 !1._ Ε = _π_ = (9'Ο χ 1 09 Ν . mz;cz) 3,0 χ 1 0-6 C 4 εσ ι· 2 (0,20 m)2 =

6,75 χ 105 N/C.

Για λόγους συμμετρίας το πεδίο είναι κάθετο στην σφαιρι­ κή επιφάνεια σε κάθε σημείο. Θεωρούμε ως θετική φορά για το n και το ΕJ. τη φορά προς τα έξω , έτσι ΕJ. = Ε και η ροή δια μέσου μιας στοιχε ιώδουςεπιφάνειας dA ε ίναι Ε dA . Στην Εξ. (23-4), το Ε είναι το ίδιο σε κάθε σημείο και μπορεί να θεωρηθεί σταθερό στην ολοκλήρωση. Ό,τι απο­ μένει είναι το ολοκλήρωμα J dA, το οποίο είναι ίσο προς το ολικό εμβαδόν 4 π/ της σφαιρικής επιφάνειας. Επομένως η ολική ροή προς τα έξω δια μέσου της σφαίρας είναι Φε = ΕΑ = ( 6,75 χ 1 05 Ν/C)(4π )(Ο,20 m γ = 3,4 χ 105 Ν · m2/C .

23-4 Ηλεκτρική ροή δια μέσου σφαίρας με κέντρο το φορτίο.

23-2

Ο

Να σημειωθεί, οτι η ακτίνα της σφαίρας δεν παίζει κανένα ρόλο στον υπολογισμό αυτό. θα είχαμε το ίδιο αποτέλεσμα με σφαίρα ακτίνας 2,0 m ή 200 m. Υπάρχει ικανοποιητική εξήγηση γι' αυτό, όπωςθα δούμε σύντομα. • ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS

Ο νόμος του Gauss είναι ένας εναλλακτικός του νόμου του Coulomb για την έκφραση της σχέσης μεταξύ ηλεκτρικού φορτίου και ηλεκτρικού πεδίου. Διατυπώθηκε από τον Karl Friedrich Gauss (Καρλ Φρίντριχ Γκάους, 1777-1855), έναν από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς όλων των αιώνων. Πολλές περιοχές των μαθηματικών, από τη θεωρία α­ ριθμών και τη γεωμετρία μέχρι τη θεωρία των διαφορικών εξισώσεων φέρνουν τη σφρα­ γίδα της επίδρασής του και συνέβαλε εξ ίσου σημαντικά στη θεωρητική φυσική. Ο νόμος του Gauss δηλώνει, ότι η ολική ηλεκτρική ροή που διαπερνά μια οποιαδή­ ποτε κλειστή επιφάνεια (δηλαδή μια επιφάνεια που περικλείει ένα καθορισμένο όγκο) είναι ανάλογη προς το ολικό φορτίο που περικλείει η επιφάνεια. Για την ανάπτυξη αυτής της σχέσης, αρχίζουμε με το πεδίο ενός θετικού σημειακού φορτίου q . Οι δυναμικές γραμμές του εκτείνονται προς τα έξω ακτινικά προς όλες τις κατευθύνσεις. Τοποθετούμε το φορτίο αυτό στο κέντρο μιας φανταστικής σφαιρικής επιφάνειας ακτίνας Το μέτρο της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου σε κάθε σημείο πάνω στην επιφάνεια δίνεται από την σχέση

R.

Ε

q

1

Ε=

Ε

4πεο R2 .

Σε κάθε σημείο πάνω στην επιφάνεια το είναι κάθετο στην επιφάνεια και το μέτρο του είναι το ίδιο σε κάθε σημείο, ακριβώς όπως στο Παράδ. 23-2 (Εδάφιο 23-1). Η ολική η­ λεκτρική ροή είναι απλά το γινόμενο του μέτρου του πεδίου επί το ολικόν εμβαδόν Α = της σφαίρας

4πR2

Φε = ΕΑ =

4πεο R2 (4πR ) = � · 1

q

2

q

(23-6)

641

23-5 Προβολή ενός στοιχείου

επιφάνειας dA μιάς σφαίρας ακτίνας R σε μία ομόκεντρη σφαίρα ακτίνας 2R. Με την προβολή πολλαπλασιάζεται κάθε γραμμική διάσταση επί δύο, έτσι ώστε το στοιχείο επιφάνειας γίνεται 4dA . Ο ίδιος αριθμός γραμμών και η ίδια ροή διαπερνούν κάθε στοιχείο επιφάνειας. Η R Εξαρτάται μόνο από το φορτίο, που περικλείεται από τη σφαίρα. Μπορούμε επίσης να ερμηνεύσουμε το αποτέλεσμα αυτό χρησιμοποιώντας τις δυ­ ναμικές γραμμές. Θεωρούμε δύο σφαίρες ακτίνων R και 2R αντίστοιχα (Σχ. 23-5). Σύμ­ φωνα με τον νόμο του Coulomb, το μέτρο του πεδίου στην επιφάνεια της μεγάλης σφαί­ ρας είναι ίσο προς το t του μέτρου του πεδίου στην επιφάνεια της μικρής σφαίρας. Αλλά το εμβαδόν της μεγαλύτερης σφαίρας είναι τετραπλάσιο του εμβαδού της μικρότερης και έτσι ο αριθμός των δυναμικών γραμμών που διαπερνούν και τις δύο σφαίρες είναι ο ίδιος. Ό,τι ισχύει για ολόκληρη τη σφαίρα ισχύει και για ένα μέρος της επιφάνειάς της. Στο Σχ. 23-5 το σκιασμένο στοιχειώδες εμβαδόν στην επιφάνεια της σφαίρας ακτίνας R προβάλλεται πάνω στην επιφάνεια ακτίνας 2R με γραμμές που εκκινούν από το κέ­ ντρο και διέρχονται από τα περιφερειακά σημεία του Η προβαλλόμενη επιφάνεια στη μεγάλη σφαίρα είναι προφανώς 4dA. Η ηλεκτρική ροή είναι η ίδια για τα δύο εμβαδά και είναι ανεξάρτητη από την ακτίνα της σφαίρας. Αυτή η τεχνικ1j της προβολής μας δείχνει πώς να επεκτείνουμε τη συζήτηση σε μη σφαιρικές επιφάνειες. Αντί να θεωρ1jσουμε μια δεύτερη σφαίρα, περιβάλλουμε τη σφαί­ ρα ακτίνας R με μία επιφάνεια ακανόνιστου σχήματος, όπως στο Σχ. 23-6a. Θεωρούμε έ­ να στοιχειώδες εμβαδόν πάνω στην ακανόνιστη επιφάνεια. Παρατηρούμε οτι η επι­ φάνεια αυτή είναι μεγαλύτερη από την αντίστοιχη στοιχειώδη επιφάνεια σφαίρας στην ί­ δια απόσταση από το φορτίο q . Αν η κάθετη στην ακανόνιστη επιφάνεια σχηματίζει γω­ νία φ με μία ακτινική γραμμή από το φορτίο q, δύο πλευρές της επιφάνειας που προβάλ­ λεται στη σφαιρική επιφάνεια υφίστανται προοπτική σμίκρυνση πολλαπλασιαζόμενες ε ­ πί ένα παράγοντα cos φ ( Σχ . 23-6b ). Οι άλλες δύο πλευρές παραμένουν αναλλοίωτες. Έτσι, η ποσότητα που αντιστοιχεί στο για τη σφαιρική επιφάνεια γίνεται cos φ για την επιφάνεια με ακανόνιστο σχήμα. Αλλά η ηλεκτρική ροή δια μέσου του στοιχεί­ ου αυτού είναι η ίδια με αυτήν δια μέσου του αντίστοιχου στοιχείου της σφαίρας.

ροή είναι ανεξάρτητη από την ακτίνα της σφαίρας.

ολικός

dA

dA.

Ε dA

dA

Ε dA

Κάθ ετη στην επ ιφάν ε ια προς

τα έξω

Ε dA

/--

23-6 (a) Η κάθετη στην επιφάνεια

προς τα έξω σχηματίζει γωνία φ με την κατεύθυνση του Ε. (b) Η προβολ1j του στοιχείου επιφάνειας dA επί της σφαιρικής επιφάνειας είναι dA cos φ.

q

(a)

(b)

642

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23 Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS

Μπορούμε να διαιρέσουμε ολόκληρη την ακανονίστου σχήματος επιφάνεια σε στοιχειώδη εμβαδά d.A, να υπολογίσουμε την ηλεκτρική ροή cos για κάθε ένα και να αθροίσουμε τα αποτελέσματα ολοκληρώνοντας, όπως στην Εξ. (23-4). Κάθε ένα από τα στοιχειώδη εμβαδά προβάλλεται πάνω σε ένα αντίστοιχο στοιχειώδες εμβαδόν της σφαίρας. Έτσι η ηλεκτρική ροή δια μέσου της ακανόνιστης επιφάνειας, που δίνε­ ται από οποιαδήποτε μορφή της Εξ. (23-4), πρέπει να είναι ίση προς την ολική ροή δια μέσου της σφαίρας, η οποία σύμφωνα με την Εξ. (23-6) είναι ίση προς q /ε0• Επομένως, για την ακανόνιστη επιφάνεια

Ε dA φ

ολική

Φε

οποιοδήποτε

= 1r = Ε · dA

!l_ ·

(23-7)

εσ

Η σχέση αυτή ισχύει για σχήμα επιφάνειας, με την προϋπόθεση ότι η επιφά­ νεια, που περικλείει το φορτίο q, είναι Ο κύκλος στο σύμβολο ολοκληρώσεως μας υπενθυμίζει, ότι το ολοκλήρωμα υπολογίζεται σε ολόκληρη την επιφάνεια. Τα στοιχειώδη εμβαδά dA και τα αντίστοιχα μοναδιαία διανύσματα n κατευθύνο­ νται πάντοτε προς το του όγκου, που οριοθετείται από την επιφάνεια. Η ηλε­ κτρική ροή είναι τότε θετική σε περιοχές όπου το ηλεκτρικό πεδίο κατευθύνεται προς το εξωτερικό της επιφάνειας και αρνητική όπου κατευθύνεται προς το εσωτερικό. Προφα­ νώς το ηλεκτρικό πεδίο EJ. είναι θετικό σε σημεία όπου το Ε κατευθύνεται προς το εξω­ τερικό της επιφάνειας και αρνητικό όπου κατευθύνεται προς το εσωτερικό της. Για μία κλειστή επιφάνεια η οποία δεν περιέχει φορτία ισχύει

κλειστή.

κλειστή

εξωτερικό

Φε

----

23-7 Κάθε δυναμική γραμμή ηλεκτρικού πεδίου από ένα

εξωτερικό φορτίο, η οποία

εισέρχεται σε κλειστή επιφάνεια σε ένα σημείο εξέρχεται σε κάποιο

άλλο.

= f E = Ο. · d.A

Αυτή είναι μία μαθηματική έκφραση του γεγονότος ότι, όταν ένας χώρος δεν περιέχει φορτία, οσεσδήποτε δυναμικές γραμμές (προκαλούμενες από φορτία από τον χώ­ ρο), οι οποίες εισέρχονται από τη μία πλευρά πρέπει να εξέρχονται από την άλλη. Το Σχ. 23-7a δείχνει αυτή την περίπτωση. Δυναμικές γραμμές μπορούν να αρχίζουν ή να τελει­ ώνουν σε μία περιοχή χώρου, μόνο όταν υπάρχει φορτίο σε εκείνη την περιοχή. Αν το σημειακό φορτίο του Σχ. 23-6 είναι αρνητικό, το πεδίο Ε κατευθύνεται ακτι­ νικά προς το εσωτερικό. Η γωνία είναι τότε μεγαλύτερη από 90 ° , το συνημίτονο της γωνίας είναι αρνητικό και το ολοκλήρωμα στην Εξ. (23-7) είναι αρνητικό. Αλλά αφού το φορτίο q είναι επίσης αρνητικό, η Εξ. (23-7) εξακολουθεί και ισχύει. Τώρα έρχεται το τελευταίο βήμα για την απόδειξη της γενικής μορφής του νόμου του Gauss. Υποθέτουμε, οτι η επιφάνεια περικλείει όχι ένα μόνο σημειακό φορτίο αλλά περισσότερα φορτία q 1 , q2, q3, •• ••• • Το ολικό (συνιστάμενο) ηλεκτρικό πεδίο Ε σε κάθε σημείο είναι ίσο προς το διανυσματικό άθροισμα των πεδίων Ε των μεμονωμένων φορ­ φορτίο που περικλείεται από την επιφάνεια : Qencι τίων. Ονομάζουμε Qencι το q1 + q2 + q + .. . . Επίσης ονομάζουμε Ε το πεδίο στη στοιχειώδη επιφάνεια dA και 3 dE1_ την κάθετη συνιστώσα του στο d.A . Τότε μπορούμε να γράψουμε μία σχέση σαν την Εξ. (23-7) για κάθε ένα φορτίο και το aντίστοιχό του πεδίο και να προσθέσουμε τα απο­ τελέσματα. Όταν κάνουμε αυτό, παίρνουμε την γενική διατύπωση του νόμου του Gauss:

έξω

φ

ολικό

=

ολικό

f = Ε dA •

Q cl . �

(23-8)

Χρησιμοποιώντας τον ορισμό του Qencι και τις διάφορες μορφές της Εξ. (23-4), μπορούμε να εκφράσουμε αυτό με τις ακόλουθες ισοδύναμες μορφές:

fΕ

cos dA

φ

= f Ε dA = f = : = 1_

Ε · dA

Σ ;

Q ,ι � .

Όλες οι διαφορετικές μορφές του ολοκληρώματος διατυπώνουν το ίδιο πράγμα με δια­ φορετικά μεγέθη. Σε συγκεκριμένα προβλήματα, μία μορφή είναι μερικές φορές πιό εύ­ χρηστη από κάποια άλλη. Στην Εξ. 23-8, το Qencι είναι ίσο πάντα με το αλγεβρικό άθροισμα όλων των (θετι­ κών και αρνητικών) φορτίων που περικλείονται από την επιφάνεια και Ε είναι το πεδίο σε κάθε σημείο της επιφάνειας. Να σημειωθεί επίσης, ότι το πεδίο αυτό γενικά ο­ φείλεται εν μέρει σε φορτία μέσα στην επιφάνεια και εν μέρει σε φορτία έξω από την ε­ πιφάνεια. Τα εξωτερικά φορτία δεν συνεισφέρουν στην ολική ροή διαμέσου της επ ιφά­ νειας, έτσι η Εξ. (23-8) εξακολουθεί να είναι σωστή ακόμη και όταν υπάρχουν επιπλέον φορτία έξω από την επιφάνεια, τα οποία συνεισφέρουν στο ηλεκτρικό πεδίο πάνω στην

ολικό

23-3 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΝΟΜΟΥ ΤΟΥ GAUSS

643

επιφάνεια. Όταν Qencι = Ο, η ολική ροή δια μέσου της επιφάνειας πρέπει να είναι μηδέν, αν και μερικές περιοχές μπορεί να έχουν θετική ροή και άλλες αρνητική. Μπορεί να φαίνεται μάταιος κόπος να υπολογίσει κανείς το ολοκλήρωμα στην Εξ. (23-8). Μερικές φορές είναι, αλλά άλλες φορές είναι εξαιρετικά απλό. Θα αναπτύξουμε μερικά παραδείγματα στο επόμενο εδάφιο. ΠΑΡΑ

Ε Ι Γ Μ Α 23-3

------

Το σχήμα 23-8 δείχνει το πεδίο, που δημιουργείται από δύο ίσα και αντίθετα σημειακά φορτία (ένα ηλεκτρικό δίπολο). ηλεκτρική ροή διαμέσου μιας επιφάνειας είναι ανάλογη προς τον αριθμό των δυναμικών γραμμών, που διαπερνούν την επιφάνε ια. Η επιφάνεια Α περικλείει μόνο το θετικό φορτίο και την διαπερνούν προς τα έξω 1 8 γραμμές. επι­ φάνεια Β περικλείει μόνο το αρνητικό φορτίο· διαπερνάται επίσης από 1 8 γραμμές αλλά προς το εσωτερικό. επιφά­ νεια C περικλείει και τα δύο φορτία. Τέμνεται από γραμμές σε 16 σημεία· σε 8 σημεία τομής οι γραμμές κατευθύνονται προς τα έξω και σε 8 προς το εσωτερικό. Ο ολικός αριθμός των γραμμών που διαπερνούν την επιφάνεια είναι ίσος προς μηδέν και το ολικό φορτίο μέσα στην επιφάνεια είναι επίσης μηδέν. επιφάνεια D τέμνεται σε 6 σημεία· σε 3 οι γραμμές διευθύνονται προς τα ε'ξω και στα άλλα 3 προς τα μέσα. Ο ο­ λικός αριθμός των γραμμών που διαπερνούν την επιφάνεια και το ολικό φορτίο που περικλείει αυτή είναι και τα δύο ίσα προς μηδέν. Να σημειωθεί. ότι υπάρχουν σημεία πάνω στις επιφάνειες, όπου το Ε δεν είναι κάθετο στην επιφάνεια, αλ­ λά αυτό δεν επηρεάζει τη μέτρηση των δυναμικών γραμμών.

Η

Η

Η

Η

23-3

23-8 Ο ολικός αριθμός των δυναμικών γραμμών που εξέρχονται

από μία κλειστή επιφάνεια είναι ανάλογος προς το ολικό φορτίο που περικλείει.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΝΟΜΟΥ ΤΟΥ GAU S S

_ _ _ _ _

Καταρχήν, ο νόμος του Gauss ισχύει για οποιαδήποτε κατανομή φορτίων και για οποια­ δήποτε επιφάνεια. Σε προβλήματα εφαρμογής, ο νόμος αυτός είναι μία χρήσιμη σχέση

μόνο όταν το σύστημα έχει ιδιότητες συμμετρίας οι οποίες μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων ροής. Ο νόμος του Gauss ε ίναι δρόμος διπλής κατεύθυνσης. Αν γνωρίζουμε την κατανομή του φορτίου και αν αυτή έχει αρκετή συμμε­ τρία, που μας επιτρέπει να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα στον νόμο του Gauss, μπορού­ με να υπολογίσουμε το πεδίο. Ή αν γνωρίζουμε το πεδίο, μπορούμε να χρησιμοποιήσου­ με τον νόμο του Gauss για να βρούμε την κατανομή του φορτίου, όπως φορτία πάνω σε αγώγιμες επιφάνειες. Ακολουθούν παραδείγματα και για τις δύο περιπτώσεις εφαρμο­ γών. Καθώς μελετώνται, ο αναγνώστης να δώσει έμφαση στον ρόλο των ιδιοτήτων συμ­ μετρίας σε κάθε σύστημα. Τα ηλεκτρικά πεδία, που οφείλονται σε μερικές απλές κατα­ νομές φορτίου έχουν συγκεντρωθεί στον πίνακα της σύνοψης του κεφαλαίου.

ΣΤΡΑΤ Η Γ Ι Κ Ή Ε Π Ι ΛΥΣ Η Σ Π Ρ Ο Β Λ Η Μ ΑΤ Ω Ν Νόμος τοu Gauss 1. Το πρώτο βήμα είναι η επιλογή της επιφάνειας (που συ­ χνά ονομάζουμε γκαουσιανή επιφάνεια), η οποία πρόκειται να χρησιμοποιηθεί με τον νόμο του Gauss. Αν γίνεται προ­ σπάθεια να υπολογιστεί το πεδίο σε κάποιο συγκεκριμένο σημείο, τότε αυτό το σημείο πρέπει να κείται πάνω στην Γκαουσιανή επιφάνεια. 2. Η γκαουσιανή επιφάνεια δεν είναι απαραίτητο να είναι μία πραγματική φυσική επιφάνεια, όπως η επιφάνεια ενός στερεού σώματος. Συχνά, η κατάλληλη επιφάνεια είναι μία φανταστική γεωμετρική επιφάνεια· μπορεί να είναι στον κε­ νό χώρο, ή μέσα σε ένα στερεό σώμα ή εν μέρει και στα δύο.

3. Η

γκαουσιανή επιφάνεια και η κατανομή φορτίου πρέ­ πει να έχουν κάποια ιδιότητα συμμετρίας, έτσι ώστε να εί­ ναι δυνατός στην πράξη ο υπολογισμός του ολοκληρώματος στον νόμο του Gauss. Αν η κατανομή φορτίου έχει κυλιν­ δρική ή σφαιρική συμμετρία, η γκαουσιανή επιφάνεια θα είναι ένας ομοαξονικός κύλινδρος ή μία ομόκεντρη σφαίρα αντίστοιχα. 4. Συχνά μπορεί να θεωρήσει κανένας την κλειστή γκαου­ σιανή επιφάνεια σαν να αποτελείται από αρκετές ξεχωρι· στές επιφάνειες, όπως η παράπλευρη επιφάνεια και οι βά­ σεις ενός κυλίνδρου. Το ολοκλήρωμα f Ε.ι dA πάνω σε όλη

644

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23 Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS

την κλειστή επιφάνεια είναι πάντοτε ίσο προς το άθροισμα των ολοκληρωμάτων πάνω σε όλες τις ξεχωριστές επιφά­ νειες. Μερικά από αυτά τα ολοκληρώματα μπορεί να είναι μηδέν, όπως στα σημεία 6 και 7 παρακάτω. 5. Αν το Ε είναι κάθετο σε κάθε σημείο μιάς επιφάνειας με εμβαδόν Α και αν επίσης έχει το ίδιο μέτρο σε κάθε σημείο της επιφάνειας, τότε Ε1. = Ε = σταθερό και J Ε1. dA πάνω σε όλη την επιφάνεια είναι ίσο προς ΕΑ . 6 . Αν το Ε είναι εφαπτόμενο σε κάθε σημείο της επιφάνει­ ας, τότε Ε1. = Ο και το ολοκλήρωμα πάνω σε όλη την επιφά­ νεια είναι μηδέν.

= Ο σε κάθε σημείο της επιφάνειας, το ολοκλήρω­ μα είναι μηδέν.

7. Αν Ε

8. Τέλος, στο ολοκλήρωμα f Ε1. dA το ΕJ. είναι πάντοτε η κά­

θετη συνιστώσα του ολικού ηλεκτρικού πεδίου σε κάθε ση­ μείο πάνω στην επιφάνεια. Γενικά, αυτό το πεδίο μπορεί να προκαλείται εν μέρει από φορτία μέσα στον όγκο και εν μέρει από φορτία έξω από αυτόν. Ακόμη και όταν δεν υ­ πά_ρχουν φορτία μέσα στον όγκο, το πεδίο σε σημεία πάνω στην επιφάνεια δεν είναι απαραίτητα μηδέν. Στην περίπτω­ ση αυτή όμως, το ολοκλήρωμα πάνω σε όλη την κλειστή ε­ πιφάνεια είναι πάντοτε μηδέν.

- Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 23-4 -----Ε ντο π ισμός περίσσειας φορτίου σε στερεό αγωγό Όταν περίσσεια φορτίου τοποθετηθεί σε έναν συμπαγή α­ . γωγό και αποκατασταθεί ισορροπία, το φορτίο εγκαθίστα­ ται εξ ολοκλήρου πάνω στην επιφάνεια, όχι στο εσωτερικό του υλικού. Ακολουθεί η απόδειξη. Γνωρίζουμε από τη συ­ ζήτηση του Εδ. 22-5, ότι σε κάθε ηλεκτροστατική κατάστα­ ση (φορτία σε ηρεμία) το ηλεκτρικό πεδίο Ε σε κάθε ση­ μείο στο εσωτερικό ενός αγώγιμου υλικού είναι μηδέν. Αν το Ε δεν ήταν μηδέν, τα φορτία θα εκινούντο. Ας υποθέ­ σουμε, ότι κατασκευάζουμε μία γκαουσιαν11 επιφάνεια στο εσωτερικό του αγωγού, όπως η επιφάνεια Α στο Σχ. 23-9. Επειδή Ε = Ο παντού πάνω σε αυτή την επιφάνεια, ο νόμος του Gauss απαιτεί, το ολικό φορτίο στο εσωτερικό της να είναι μηδέν. Ας φανταστούμε τώρα, ότι η επιφάνεια συρρι­ κνώνεται μέχρις ότου η περιοχή που περικλείει να γίνει τό­ σο μικρή, ώστε να μπορεί να θεωρηθεί σαν ένα σημείο· τό­ τε το φορτίο στο σημείο αυτό πρέπει να είναι μηδέν. Μπο­ ρούμε να εφαρμόσουμε την διαδικασία αυτή οπουδήποτε

στο εσωτερικό του αγωγού, έτσι δεν μπορεί να υπάρξει φορτίο σε οποιοδήποτε σημείο μέσα σε αγωγό. Επομένως ο­ ποιαδήποτε περίσσεια φορτίου σε στατική κατάσταση σε στερεό αγωγό πρέπει να κείται στην επιφάνειά του, όπως φαίνεται στο Σχ. 23-9.

23-9 Υπό ηλεκτροστατικές συνθιjκες, οποιαδήποτε περίσσεια φορ· τίου κείται εξ ολοκλήρου στην επιφάνεια του στερεού αγωγού.

- Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 23-5 ------Π εδίο μιας φορτισμένης αγώγιμης σφαίρας Τοποθε­ τούμε φορτίο q σε μία συμπαγή αγώγιμη σφαίρα ακτίνας R. Να υπολογιστεί το ηλεκτρικό πεδίο σε οποιοδήποτε σημείο έξω από τη σφαίρα. ΛΥΣΗ Από το Παράδ. 23-4 γνωρίζουμε ότι όλα τα φορτία

βρίσκονται στην επιφάνεια της σφαίρας. Μ πορούμε να χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα της σφαιρικής συμμετρίας για να δείξουμε ότι το φορτίο πρέπει να είναι κατανεμημέ­ νο ομοιόμορφα πάνω σε όλη την επιφάνεια και ότι η διεύ­ θυνση του ηλεκτρικού πεδίου σε οποιοδήποτε σημείο Ρ έ­ ξω από τη σφαίρα πρέπει να συμπίπτει με την ακτινική ευ­ θεία μεταξύ του κέντρου και του σημείου Ρ. Ο ρόλος της συμμετρίας χρειάζεται προσεκτικότερη συζήτηση. Όταν λέμε ότι το σύστημα παρουσιάζει σφαιρι­ κή συμμετρία, εννοούμε ότι μπορούμε να το περιστρέψου­ με κατά οποιαδήποτε γωνία γύρω από έναν άξονα που διέρχεται από το κέντρο. Το σύστημα μετά την περιστροφή δεν εμφανίζεται διαφορετικό από το σύστημα πριν από την περιστροφή. Δεν υπάρχει τίποτε στο σύστημα που να ξεχω­ ρίζει μία διεύθυνση ή προσανατολισμό στον χώρο από κά­ ποιον άλλο. Το φορτίο ε ίναι ελεύθερο να κινείται πάνω στον αγωγό και δεν υπάρχει τίποτε στον αγωγό, το οποίο θα ανάγκαζε περισσότερο φορτίο να συγκεντρωθεί επιλε­ κτικά σε κάποιες περιοχές από ό,τι σε άλλες. Αν δεν ήταν ομοιόμορφο, τότε κατά την περιστροφή του συστήματος, η σφαίρα θα φαινόταν η ίδια αλλά η κατανομή του φορτίου θα φαινόταν διαφορετική. Δεν υπάρχει ιδιότητα της σφαί­ ρας, που να μπορεί να οδηγήσει σε κάτι τέτοιο. Συμπεραί-

νουμε λοιπόν, ότι η κατανομή του επιφανειακού φορτίου πρέπει να είναι ομοιόμορφη. Ένα παρόμοιο επιχείρημα δείχνει ότι το πεδίο πρέπει να είναι ακτινικό. Αν και πάλι περιστρέψουμε το σύστημα, η διάταξη του πεδίου του συστήματος που περιστράφηκε πρέπει να ταυτίζεται με αυτήν του αρχικού συστήματος. Αν το πεδίο είχε μία συνιστώσα σε κάποιο σημείο, που ήταν κάθετη στην ακτινική διεύθυνση, αυτή η συνιστώσα θα έ­ πρεπε να είναι διαφορετική τουλάχιστον μετά από κάποιες περιστροφές. Έτσι δεν μπορεί να υπάρξει τέτοια συνιστώ­ σα και το πεδίο πρέπει να είναι ακτινικό. Για τον ίδιο λό­ γο το μέτρο Ε του ηλεκτρικού πεδίου εξαρτάται μόνο από την απόσταση ι· από το κέντρο. Επομένως το μέτρο Ε είναι το ίδιο για όλα τα σημεία πάνω σε μία σφαιρική επιφάνεια με ακτίνα ι·, ομόκεντρη με τον αγωγό. Θεωρούμε σαν γκαουσιανή επιφάνεια μία φανταστική σφαίρα με ακτίνα r μεγαλύτερη από την ακτίνα R της αγώ­ γιμης σφαίρας. Το εμβαδόν της γκαουσιανής επιφάνειας είναι 4πι·2. Το Ε είναι ομογενές πάνω στη σφαίρα και είναι κάθετο σε αυτή σε κάθε σημείο. Το ολοκλήρωμα στον νόμο του Gauss δίνει Ε(4πι·2) οπότε η Εξ. (23-8) δίνει 1 !!.._ (23-9) 4πεο ι· 2 . Αυτή η έκφραση του πεδίου σε κάθε σημείο έξω από την σφαίρα ε ίναι η ίδια με αυτή για σημειακό φορτίο. Αυτό δείχνει ότι το πεδίο που προκαλείται από την φορτισμένη σφαίρα είναι το ίδιο με αυτό που θα εδημιουργείτο αν το φορτίο ήταν συγκεντρωμένο στο κέντρο της. Ακριβώς έξω

και

Ε=

_ _

23-3 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΝΟΜΟΥ ΤΟΥ GAUSS

από τη σφαίρα, όπου ι· = R, Ε =

__ 1 !!.._ 4π � R2 •

Στο εσωτερικό της σφαίρας, όπως και σε οποιοδήποτε στε­ ρεό αγωγό όταν τα φορτία είναι σε ηρεμία, το πεδίο είναι μηδέν. Έτσι όταν ι· είναι μικρότερο από R, Ε = Ο . Το Σχ. Ε 23-10 δείχνει το σαν συνάρτηση της απόστασης ,. από το κέντρο της σφαίρας. Να σημειωθεί επίσης, ότι στο όριο κα­ θώς R----70 η σφαίρα γίνεται σημειακό φορτίο. Με αυτό τον τρόπο καταλήγουμε στον νόμο του Coulomb από τον νόμο του Gauss. (Στην απόδειξη του Εδ. 23-2 αποδείχθηκε ο νό­ μος του Gauss από τον νόμο του Coulomb και επομένως ο­ λοκληρώνεται η απόδειξη της λογικής ισοδυναμίας των δύο νόμων.) Μπορούμε επίσης να χρησιμοποιήσουμε αυτή τη μέθο­ δο για έναν αγώγιμο σφαιρικό φλοιό (ένα σφαιρικό αγωγό με μία ομόκεντρη σφαιρική κοιλότητα στο κέντρο) αν δεν υπάρχουν φορτία στο εσωτερικό της κοιλότητας. Θεωρού­ με μία σφαιρικ1Ί γκαουσιανή επιφάνεια με ακτίνα ,. μικρό­ τερη από την ακτίνα της κοιλότητας. Αν υπήρχε πεδίο στο εσωτερικό της κοιλότητας, θα έπρεπε να παρουσιάζε ι σφαιρική (ακτινική) συμμετρία όπως πριν, έτσι Ε = Ω cncι Ε /4πε0ι·2• Αλλά αυτή τη φορά Ωencι = Ο, έτσι πρέπει να εί­ ναι επίσης μηδέν. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την ίδια τεχνική για τον υπολογισμό του ηλεκτρικού πεδίου στον ενδιάμεσο χώρο μ ετ αξύ μιας φορτισμένης σφαίρας και μιας ομόκεντρης κοίλης σφαιρικής σφαίρας, που την περιβάλλει; Επειδή οι δυνάμεις βαρύτητας έχουν επίσης την εξάρ­ τηση 1 /ι.z, υπάρχει ένας νόμος του Gauss για την βαρύτητα. Επιχειρήματα όμοια με αυτά στη συζήτηση αυτή μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να αποδείξουν, ότι η βαρυτική αλ-

Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 23-6

645

ληλεπίδραση οποιασδήποτε σφαιρικά συμμετρικής κατανο­ μής μάζας, σε οποιοδήποτε σημείο έξω από την κατανομή, είναι η ίδια ως αν ολόκληρη η μάζα ήταν συγκεντρωμένη στο κέντρο. Αυτός ε ίναι ο λόγος, για τον οποίο μπορούμε να αντιμετωπίζουμε σώματα με σφαιρική συμμετρία σαν σημεία, όταν υπολογίζουμε βαρυτικές αλληλεπιδράσεις. Αποδείξαμε το ίδιο πράγμα στο Εδ. 1 2-7, χρησιμοποιώντας αρκετά επίπονη ανάλυση. Η απόδειξη χρησιμοποιώντας τον νόμο του Gauss στη βαρύτητα είναι σχεδόν τετριμμένη.

q E(R) - l 4πε0 R2

E(R)/4 E(R)/9

23-10 Υπό ηλεκτροστατικές συνθήκες το ηλεκτρικό πεδίο στο εσω­ τερικό μιας συμπαγούς αγώγιμης σφαίρας είναι μηδέν. Έξω από τη σφαίρα, το ηλεκτρικό πεδίο εξασθενεί όπως το 1/ι·2 , ως αν η περίσ­ σεια φορτίου ήταν συγκεντρωμένη στο κέντρο.

-------

Πεδίο γραμμικού φορτίου Ηλεκτρικό φορτίο είναι ο­ μοιόμορφα κατανεμημένο κατά μήκος ενός σύρματος πολύ μεγάλου μήκους. Το φορτίο ανά μονάδα μήκους ε ίναι λ . Ποιο είναι το ηλεκτρικό πεδίο; ΛΥΣΗ Ποια είναι η συμμετρία; Μπορούμε να περιστρέ­ ψουμε το σύστημα κατά οποιαδήποτε γωνία γύρω από τον άξονά του και μπορούμε επίσης να το μετατοπίσουμε κατά οποιαδήποτε απόσταση κατά μήκος του άξονα. Σε κάθε περίπτωση το σύστημα που προκύπτει δεν διαφοροποιείται από το αρχικό. Χρησιμοποιώντας το ίδιο επιχείρημα με αυ­ τό του Παραδ. 23-5, συμπεραίνουμε ότι το ηλεκτρικό πεδίο σε κάθε σημείο δεν αλλάζει όταν εφαρμοστεί οποιαδήποτε από τις παραπάνω διαδικασίες. Το πεδίο δεν μπορεί να έ­ χει συνιστώσα παράλληλη προς το σύρμα. Αν είχε, θα έ­ πρεπε να υπάρχει κάτι που να διακρίνει το ένα άκρο του σύρματος από το άλλο· και δεν υπάρχει. Επιπλέον το πεδίο δεν μπορεί να έχει συνιστώσα εφαπτόμενη σε κύκλο του ο­ ποίου το επίπεδο είναι κάθετο στο σύρμα με το κέντρο του στο σύρμα. Αν υπήρχε, θα έπρεπε να εξηγηθεί γιατί η συνι­ στώσα κατευθύνεται κατά την μία φορά γύρω από το σύρ­ μα και όχι κατά την άλλη. Τί απομένει; Μόνο η συνιστώσα που κατευθύνεται ακτινικά. Έτσι αν το σύρμα είναι πολύ μακρύ και δεν είμαστε κοντά σε οποιοδήποτε από τα άκρα του, τότε οι δυναμικές γραμμές του πεδίου έξω από το σύρ­ μα είναι ακτινικές και βρίσκονται πάνω σε επίπεδα κάθετα προς το σύρμα. Το μέτρο του πεδίου πρέπει να εξαρτάται μόνο από την ακτινική απόσταση από το σύρμα. Αυτές οι ιδιότητες συμμετρίας του πεδίου υποδεικνύ­ ουν να χρησιμοποιήσουμε σαν μία γκαουσιανή επιφάνεια

έναν κύλινδρο με αυθαίρετη ακτίνα r και αυθαίρετο μήκος l με τις βάσεις του κάθετες στο σύρμα (Σχ. 23- 1 1 ). Το ολικό φορτίο μέσα στην γκαουσιανή επιφάνεια είναι Ωencι = λ!. Αναλύουμε το επιφανειακό ολοκλήρωμα σε ένα ολοκλήρω­ μα για κάθε βάση του κυλίνδρου και σε ένα για την παρά­ πλευρη επιφάνεια. Τα Ε και dA στις βάσεις είναι κάθετα μεταξύ τους και έτσι δεν συνεισφέρουν στο ολοκλήρωμα. Για λόγους συμμετρίας, το Ε είναι κάθετο στην παράπλευρη επιφάνεια και παράλληλο προς το dA σε κάθε σημείο της, επομένως το Ε = Ε.ι είναι το ίδιο παντού στην παράπλευρη επιφάνεια. Το εμβαδό αυτής της επιφάνειας είναι 2πrl. (Για να κατασκευαστεί ένας χάρτινος κύλινδρος με ακτίνα r και ύψος l απαιτείται ένα ορθογώνιο χαρτί με πλάτος 2πr, ύψος l και άρα εμβαδού 2πrl.) Από την Εξ. (23-8) προκύπτει

Ε.ι =

23-11 Η ομοαξονική κυλινδρική γκαουσιανή επιφάνεια χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του ηλεκτρικού πεδίου στον εξωτερικό χώρο ενός φορτισμένου σύρματος μεγάλου μήκους.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23 Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS

646

λ (E)( 2πrl) = οl Ε

και

1 � Ε = -2πε0 r ·

(23-10)

Αυτό είναι το ίδιο αποτέλεσμα, οτο οποίο καταλήξαμε στο Παράδ. 22-1 1 (Εδάφ. 22--6) με πολύ πιό κοπιαστικό τρόπο. Να σημειωθεί, ότι παρόλο που ολόκληρο το φορτίο στο σύρμα συμβάλλει στο πεδίο Ε, μόνο το μέρος του ολικού φορτίου που βρίσκεται μέσα στην γκαουσιανή επιφάνεια λαμβάνεται υπ' όψη κατά την εφαρμογή του νόμου του Gauss. Αυτό μπορεί να φαίνεται περίεργο· φαίνεται σαν να έχουμε κατά κάποιο τρόπο καταλήξει στη σωστή απά­ ντηση αγνοώντας μέρος του φορτίου και ότι το πεδίο ενός σύρματος μικρού μήκους l θα ήταν το ίδιο με αυτό ενός σύρματος μεγάλου μήκους. Αλλά όμως συμπεριλαμβάνου­ με ολόκληρο το φορτίο στο σύρμα, όταν κάνουμε χρήση της - ΠΑΡΑ

ΛΥΣΗ Χρησιμοποιούμε την γκαουσιανή επιφάνεια που

φαίνεται στο Σχ. 23-12, έναν κύλινδρο με τον άξονά του κάθετο στο φύλλο του φορτίου με εμβαδόν βάσης Α . Η κα­ τανομή του φορτίου δεν αλλάζει αν ολισθήσουμε τον κύλιν­ δρο προς οποιαδήποτε διεύθυνση παράλληλη προς το επί­ πεδο. Από αυτό συμπεραίνουμε, ότι σε κάθε σημείο το Ε ε ίναι κάθετο στο επίπεδο. Από τη συμμετρία του προβλή­ ματος το πεδίο έχει το ίδιο μέτρο Ε σε οποιαδήποτε από-

Γκαουσιανή επιφάνεια

23-12 Γκαουσιανή επιφάνεια με σχήμα κυλίνδρου για την εύρεση του πεδίου ενός aπείρων διαστάσεων επίπεδου φύλλου φορτίου.

ΡΑ

μήκους, η συμμετρία σε σχέση με την μετατόπιση κατά μή­ κος του άξονα δεν υφίσταται και το πεδίο δεν έχει σταθερό μέτρο πάνω στη γκαουσιανή επιφάνεια. Ο νόμος του Gauss δεν είναι πλέον χρήσιμος και το πρόβλημα αντιμετωπίζεται καλύτερα χρησιμοποιώντας τον νόμο του Coulomb, όπως είδαμε στο Παράδ. 22- 1 1 . Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την ίδια τη μέθοδο για να δείξουμε ότι το πεδίο σε σημεία έξω από έναν ομοιόμορφα φορτισμένο κύλινδρο ε ίναι το ίδιο ως αν το φορτίο ήταν συγκεντρωμένο κατά μήκος του άξονά του. Μπορούμε επί­ σης να υπολογίσουμε το ηλεκτρικό πεδίο στον χώρο μεταξύ του φορτισμένου κυλίνδρου και ενός ομοαξονικού κοίλου αγώγιμου κυλίνδρου που τον περιβάλλει. Αφήνουμε αυ­ τούς τους υπολογισμούς σαν προβλήματα.

Ε Ι Γ Μ Α 23-7

Πεδίο επ ίπεδου φύλλου φοQτίου απείQων διαστάσεων Να υπολογιστεί το ηλεκτρικό πεδίο που δημιουργείται από ένα μεγάλο ομοιόμορφα φορτισμένο επίπεδο φύλλο αν το φορτίο ανά μονάδα επιφάνειας ε ίναι σ.

Π

συμμετρίας του προβλήματος. Αν το σύρμα ε ίναι μικρού

σταση από την κάθε μία πλευρά της επιφάνειας και έχει δι­ εύθυνση κάθετη προς το επίπεδο με φορά προς το εξωτερι­ κό του φύλλου του φορτίου (αν η σ είναι θετική). Επειδή το Ε είναι κάθετο στο επίπεδο, είναι παράλληλο προς την πα­ ράπλευρη επιφάνεια του κυλίνδρου και το Ε.ι είναι μηδέν στην επιφάνεια αυτή. Σε κάθε βάση του κυλίνδρου το Ε.ι εί­ ναι ίσο προς Ε. Το ολοκλήρωμα στον νόμο του Gauss απλο­ ποιείται σε 2ΕΑ . Το ολικό φορτίο μέσα στην γκαουσιανή ε­ πιφάνεια είναι σΑ . Ο νόμος του Gauss (Εξ. 23-8) δίνει 2ΕΑ

= σΑ

Εο

και

Ε = ..!!_

2 ε0

(23-1 1 )

Αυτό είναι το ίδιο αποτέλεσμα , το οποίο βρήκαμε στο Πα­ ράδ. 22-12 (Εδάφ. 22-6) χρησιμοποιώντας ένα πολύ πιό πολύπλοκο υπολογισμό. Το πεδίο είναι ομογενές και κάθε­ το προς το επίπεδο. Το μέτρο του είναι ανεξάρτητο από την απόσταση από το φύλλο. Οι δυναμικές γραμμές του πεδίου είναι επομένως ευθείες παράλληλες και ομοιόμορφα κατα­ νεμημένες. Οι υποθέσεις ότι το φύλλο είναι aπείρων διαστάσεων και ότι έχει μηδενικό πάχος ε ίναι εξιδανικεύσεις. τίποτε στη φύση δεν είναι πραγματικά aπείρων διαστάσεων ή μη­ δενικού πάχους. Αλλά η Εξ.(23-1 1) ε ίναι μία καλή προσέγ­ γιση για σημεία που βρίσκονται κοντά στην επιφάνεια (σε σύγκριση με τις διαστάσεις) και όχι κοντά στα άκρα του φύλλου. Στα σημεία αυτά το πεδίο θεωρείται σχεδόν ομο­ γενές και κάθετο στο επίπεδο.

Ε Ι Γ Μ Α 23-8

Πεδίο μεταξύ παράλληλων αγώγιμων πλακών με αντί­ θετα φορτία Δύο μεγάλες παράλληλες αγώγιμες πλάκες φορτίζονται με ίσα και αντίθετα φορτία. Το φορτίο ανά μο­ νάδα επιφάνειας είναι +σ για τη μία και -σ για την άλλη. Να βρεθεί το ηλεκτρικό πεδίο στον χώρο μεταξύ των πλακών. ΛΥΣΗ Το πεδίο μεταξύ και γύρω από τις πλάκες ε ίναι κατά προσέγγιση αυτό που φαίνεται στο 4χ. 23-13a. Επει­ δή αντίθετα φορτία έλκονται, τα περισσότερα φορτία συ­ γκεντρώνονται στις απέναντι εσωτερικές επιφάνειες των πλακών. Ένα μικρό ποσό φορτίου εγκαθίσταται στις εξω­ τερικές επιφάνειες των πλακών και υπάρχει μιά θυσανο­ ε ιδής διάχυση του πεδίου κοντά στα άκρα. Αν οι πλάκες είναι πολύ μεγάλες σε σύγκριση με την μεταξύ τους από­ σταση, η διάχυση γίνεται αμελητέα εκτός παρά μόνο πολύ κοντά στα άκρα. Στην περίπτωση αυτή υποθέτουμε, ότι το πεδίο είναι ομογενές στον χώρο μεταξύ των πλακών, όπως στο Σχ. 23-13b και ότι τα φορτία κατανέμονται ομοιόμορ-

φα στις απέναντι επιφάνειες. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την Εξ. (23-1 1 ) για κάθε πλάκα. Το ηλεκτρικό πεδίο σε οποιοδήποτε σημείο ο­ φείλεται σε δύο φύλλα φορτίου με αντίθετα πρόσημα. Στα σημεία α και c του Σχ. 23-13b καθεμία από τις συνιστώσες Ε 1 και Ε2 έχει μέτρο σ/2Εο, αλλά έχουν αντίθετες κατευθύν­ σεις και το συνιστάμενο πεδίο είναι μηδέν. Αυτό ισχύει επί­ σης και σε κάθε σημείο στο εσωτερικό του υλικού κάθε πλά­ κας, σύμφωνα με την απαίτηση ότι με φορτία σε στατική κα­ τάσταση δεν μπορεί να υπάρξει πεδίο στο εσωτερικό ενός αγωγού. Σε οποιοδήποτε σημείο b μεταξύ των πλακών οι συ­ νιστώσες έχουν την ίδια φορά. Το συνιστάμενο πεδίο είναι Ε=

.!!.._ .

Εο

(23-12)

Μπορούμε επίσης να καταλήξουμε στο ίδιο αποτέλεσμα ε­ φαρμόζοντας τον νόμο του Gauss στις επιφάνειες με μωβ γραμμές. Αφήνουμε την απόδειξη αυτή σαν πρόβλημα.

23-3 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΝΟΜΟΥ ΤΟΥ GAUSS

647

1-------

2

(b)

(a)

23-13 Ηλεκτρικό πε δίο μεταξύ πλακών με αντίθετα φορτία.

- Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 23-9

-------

ΟμοιόμοQφα φοQτισμένη σφαίQα Ηλεκτρικό φορτίο είναι ομοιόμορφα κατανεμημένο σε ολόκληρο τον όγκο μιας μονωτικής σφαίρας με ακτίνα R. Το ολικό φορτίο εί­ ναι Q. Να βρεθεί το μέτρο του ηλεκτρικού πεδίου σε ση­ μείο Ρ στο εσωτερικό της σφαίρας σε απόσταση r από το κέντρο. ΛΥΣΗ Επιλέγουμε την γκαουσιανή επιφάνεια έτσι ώστε

να είναι σφαίρα με ακτίνα r, ομόκεντρη με την κατανομή του φορτίου. Η πυκνότητα του φορτίου p (φορτίο ανά μο­ νάδα όγκου) είναι Q Ρ- 4πR3/3 . Ο όγκος V' που περικλείεται από την Γκαουσιανή επιφά­ νεια είναι jπr 3 , έτσι το ολικό φορτίο QencΙ> που περικλείε­ ται από αυτή την επιφάνεια είναι

Για λόγους συμμετρίας το μέτρο του ηλεκτρικού πεδίου έ­ χει την ίδια τιμή Ε σε κάθε σημείο πάνω στην γκαουσιανή επιφάνεια και η κατεύθυνσή του σε κάθε σημείο ε ίναι α­ κτινική προς τα έξω. Το ολικό εμβαδόν της επιφάνειας εί­ ναι 4πr2, επομένως η τιμή του ολοκληρώματος στον νόμο του Gauss είναι απλά 4πr 2Ε. Εξισώνουμε αυτό με Qenc/ε0 όπου Qencι δίνεται από την παραπάνω σχέση και παίρνουμε E=

1 Qr -_ 4πεσ R3 .

E(R) =

J

-

Q -

Γκαουσιανή επιφάνεια

Ε

4πε0 R2

(23-13)

Το μέτρο του πεδίου ε ίναι ανάλογο προς την απόσταση r του σημείου του πεδίου από το κέντρο της σφαίρας. Στο κέντρο (r = 0), Ε = Ο, όπως θα περιμέναμε από τη συμμε­ τρία. Στην επιφάνεια της σφαίρας (r = R) το μέτρο του πε­ δίου είναι 1 .2_ Ε = __ 4πεσ R2 •

Αυτό δείχνει, ότι πάνω στην επιφάνεια το πεδίο έχει το ί­ διο μέτρο σαν να ήταν συγκεντρωμένο το φορτίο στο κέ­ ντρο της σφαίρας. Όπως έχουμε μάθει, αυτό ισχύει και για κάθε σημείο πεδίου που βρίσκεται σε απόσταση από το κέ­ ντρο μεγαλύτερη από R. Το Σχ. 23- 1 4 δείχνε ι μία γραφική παράσταση του Ε σαν συνάρτηση του r για το πρόβλημα αυτό. Για r < R, το Ε εί­ ναι ανάλογο του r. Για r > R, το Ε μεταβάλλεται ως l/r 2• Παρατηρήσαμε νωρίτερα, ότι υπάρχε ι ένας νόμος του Gauss για τις βαρυτικές αλληλεπιδράσεις. Το αποτέλεσμα αυτού του παραδείγματος είναι απευθείας εφαρμόσιμο στο πεδίο βαρύτητας στο εσωτερικό της Γης. Αν μπορούσαμε να τρυπήσουμε την Γη μέχρι το κέντρο της και αν η πυκνό­ τητα ήταν ομοιόμορφη, θα βρίσκαμε ότι το μέτρο του βαρυ­ τικού πεδίου μεταβάλλεται με το r κατά τον ίδιο τρόπο ό­ πως το μέτρο του πεδίου Ε στο Σχ. 23-1 4 . Η κατεύθυνση του βαρυτικού πεδίου ε ίναι προς το κέντρο· οι βαρυτικές δυνάμεις είναι πάντοτε ελκτικές.

R

23-14 Το μέτρο του ηλεκτρικού πεδίου μιας ομοιόμορφα φορτισμέ­ νης μονωτικής σφαίρας. Να συγκρίνετε αυτό με το Σχ. 23-10, δηλαδή με το πεδίο μιας αγώγιμης σφαίρας.

648

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23 Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS

23-4

ΦΟΡΤΙΑ ΠΑΝΩ

ΣΕ ΑΓΩΓΟΥΣ

_ _ _

Έχουμε μάθει, ότι σε οποιοδήποτε ηλεκτροστατικό πρόβλημα, όπου δεν υπάρχει κίνηση φορτίου, το ηλεκτρικό πεδίο σε κάθε σημείο στο εσωτερικό του αγωγού είναι μηδέν και ότι περίσσεια φορτίου σε συμπαγή αγωγό εντοπίζεται εξ ολοκλήρου στην επιφάνειά του (Σχ. 23- 15a). τί γίνεται όμως, αν υπάρχει κοιλότητα στο εσωτερικό του αγωγού (Σχ. 23-1 5b); Αν δεν υπάρχει φορτίο στην κοιλότητα, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μία Γκαουσιανή επιφάνεια όπως η Α για να δείξουμε, ότι το ολικό φορτίο στην επιφάνεια της πρέπει να είναι μηδέν, επειδή Ε = Ο παντού στην γκαουσιανή επιφάνεια. Στην πραγματικότητα, μπορούμε να αποδείξουμε, ότι στην περίπτωση αυτή όχι μόνο το φορτίο στην επιφάνεια της κοιλότητας είναι μηδέν, αλλά επίσης ότι δεν μπορεί να υπάρξει οποιοδήποτε φορτίο στην επιφάνεια της κοιλότητας. Θα αναβάλου­ με τη λεπτομερή απόδειξη της πρότασης αυτής για το Κεφ. 24. Ας υποθέσουμε, ότι τοποθετούμε ένα μικρό σώμα με φορτίο q μέσα σε μία κοιλό­ τητα στο εσωτερικό ενός αγωγού, μονωμένο από αυτόν (Σχ. 23-1 5c). Και πάλι ισχύει Ε = Ο παντού πάνω στην επιφάνεια Α, οπότε σύμφωνα με τον νόμο του Gauss το φορτίο στο εσωτερικό αυτής της επιφάνειας πρέπει να είναι μηδέν. Επομένως, πρέπει να υπάρχει ένα ολικό φορτίο - q στην επιφάνεια της κοιλότητας. Το φορτίο στον αγω­ γό πρέπει να παραμείνει μηδέν και για τον λόγο αυτό ένα φορτίο + q πρέπει να εμφανι­ στεί είτε στην εξωτερική επιφάνεια ή στο εσωτερικό του υλικού.

κοιλότητας ολικό

οπουδήποτε

ολικό

ολικό

23-15 (a) Το φορτίο σε συμπαγή

αγωγό εντοπίζεται εξ ολοκλήρου στην εξωτερική του επιφάνεια. (b) Αν δεν υπάρχει φορτίο στο εσωτερικό της κοιλότητας του αγωγού, το ολικό φορτίο στην επιφάνεια της κοιλότητας είναι μηδέν. (c) Αν υπάρχει φορτίο q στο εσωτερικό της κοιλότητας, το ολικό φορτίο στην επιφάνεια της κοιλότητας είναι q.

(b)

(c)

Για να βεβαιωθούμε, ότι το φορτίο αυτό δεν μπορεί να είναι μέσα στο υλικό, φα­ νταζόμαστε αρχικά ότι η επιφάνεια Α συρρικνώνεται τόσο, ώστε να γίνει μόλις μεγαλύ­ τερη από την κοιλότητα. Το πεδίο παντού στην Α είναι μηδέν, οπότε σύμφωνα με τον νό­ μο του Gauss το ολικό φορτίο στο εσωτερικό της Α είναι μηδέν. Τώρα, θεωρούμε ότι η ε­ πιφάνεια Α μεγαλώνει μέχρις ότου αποκτήσει διαστάσεις που να την τοποθετούν στην ε­ σωτερική πλευρά της εξωτερικής επιφάνειας του αγωγού. Το πεδίο εξακολουθεί να εί­ ναι μηδέν παντού στην επιφάνεια Α , οπότε το ολικό φορτίο που περικλείεται εξακολου­ θεί να είναι μηδέν. Δεν έχουμε περικλείσει επί πλέον φορτία με τη διαδικασία αύξησης της επιφάνειας Α , και επομένως δεν πρέπει να υπάρχει φορτίο στο εσωτερικό του υλι­ κού. Συμπεραίνουμε ότι το φορτίο + q πρέπει να εμφανίζεται στην εξωτερική επιφάνεια. Με την ίδια επιχειρηματολογία, αν ο αγωγός είχε αρχικά ένα φορτίο q', τότε το ολικό φορτίο στην εξωτερική του επιφάνεια, μετά την εισαγωγή του φορτίου q στην κοιλότητα, είναι q + q'. - Π

Ρ Α Δ !Ε Ι Γ Μ Α 23-10

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Ο αγωγός, του οποίου η διατομή φαίνεται στο Σχ. 23-1 6, φέρει ολικό φορτίο 7 nC. Το φορτίο στο εσωτερικό της κοι­ λότητας, η οποία είναι μονωμένη από τον αγωγό, είναι -5 nC. Πόσο ε ίναι το φορτίο σε κάθε επιφάνεια (εσωτερική και εξωτερική) του αγωγού; ΛΥΣΗ Αν το φορτίο στην κοιλότητα είναι q , το φορτίο στην επιφάνεια της κοιλότητας πρέπει να είν α ι - q. Στην περίπτωση αυτή το φορτίο στην επιφάνεια της κοιλότητας είναι - (- 5 nC) = + 5 nC. Ο αγωγός φέρει ολικό φορτίο 7 nC, κανένα μέρος του οποίου δεν βρίσκεται στο εσωτερικό του υλικού. Αν 5 nC είναι στην εσωτερική επιφάνεια (την επιφάνεια της κοιλότητας), τότε το εναπομένον φορτίο 2 nC θα πρέπει να βρίσκεται στην εξωτερική του επιφάνεια.

23-16 Δεν υπάρχει περίσσεια φορτίου στο συμπαγές υλικό αυτού

του αγωγού. Φορτίο εντοπίζεται μόνο στην εσωτερική και στην εξωτερική επιφάνεια. Το εσώτατο φορτίο παριστάνεται με ένα μόνο αρνητικό πρόσημο αντί για είκοσι.

(a)

(b)

Μπορούμε τώρα να θεωρήσουμε ένα ιστορικό πείραμα, που φαίνεται στο Σχ. 23-17. Τοποθετούμε ένα αγώγιμο δοχείο, όπως ένα κάδο με σκέπασμα, πάνω σε ένα μο­ νωμένο στήριγμα. Το δοχείο είναι αρχικά aφόρτιστο. Στη συνέχεια αναρτούμε με μονω­ τικό νήμα μία φορτισμένη μεταλλική σφαίρα, την κατεβάζουμε μέσα στο δοχείο και το­ ποθετούμε το σκέπασμα (Σχ. 23-17b). Φορτία επάγονται στα τοιχώματα του δοχείου, ό­ πως φαίνεται στο σχήμα. Αφήνουμε τώρα την σφαίρα να τα εσωτερικά τοιχώμα­ τα του δοχείου (Σχ. 23-17c). Η επιφάνεια της σφαίρας γίνεται στην πραγματικότητα μέ­ ρος της επιφάνειας της κοιλότητας. Η κατάσταση τώρα είναι η ίδια όπως στο Σχ. 23-15b· αν ο νόμος του Gauss είναι σωστός, το ολικό φορτίο πάνω σε αυτή την επιφάνεια πρέπει να είναι μηδέν. Επομένως η σφαίρα πρέπει να χάσει όλο το φορτίο της. τέλος, βγάζουμε την σφαίρα από τον κάδο· διαπιστώνουμε, ότι πράγματι έχει χάσει όλο το φορτίο της. Το πείραμα αυτό πραγματοποιήθηκε από τον Faraday, ο οποίος χρησιμοποίησε έ­ να μεταλλικό κάδο πάγου με σκέπασμα, και γι' αυτό λέγεται το πείραμα του Faraday με τον κάδο του πάγου. ( Παρόμοια πειράματα πραγματοποιήθηκαν νωρίτερα από τους Benjamίn Franklin και Joseph Priestley, αν και με πολύ μικρότερη ακρίβεια). Το αποτέ­ λεσμα επιβεβαιώνει την ισχύ του νόμου του Gauss και επομένως του νόμου του Coulomb. Παρ' όλα αυτά, το αποτέλεσμα του Faraday ήταν σημαντικό, επειδή η πειραματική μέθο­ δος του Coulomb, ο οποίος χρησιμοποίησε ένα ζυγό στρέψης και μέθοδο υποδιπλασια­ σμού φορτίων, δεν ήταν πολύ ακριβής. Είναι πολύ δύσκολο να επιβεβαιωθεί η 1/r 2 εξάρ­ τηση της ηλεκτροστατικής δύναμης με μεγάλη ακρίβεια με απευθείας μέτρηση της δύνα­ μης. Το πείραμα του Faraday έχει τη δυνατότητα ελέγχου της ισχύος του νόμου του Gauss και επομένως του νόμου του Coulomb με πολύ μεγαλύτερη ακρίβεια. Μία σύγχρονη παραλλαγή του πειράματος αυτού φαίνεται στο Σχ. 23-18. Οι λεπτο­ μέρειες του κιβωτίου με την επιγραφή «τροφοδοτικό» δεν είναι σημαντικές. Σκοπός του είναι να τοποθετήσει φορτίο στην εξωτερική σφαίρα και να το απομακρύνει, μόλις απαι­ τηθεί. Το εσωτερικό δοχείο με τον μετρητή είναι ένα ευαίσθητο ηλεκτρόμετρο, ένα όργα­ νο, το οποίο μπορεί να ανιχνεύσει κίνηση μικρών ποσοτήτων φορτίου μεταξύ της εξωτε­ ρικής και εσωτερικής σφαίρας. Αν ο νόμος του Gauss είναι σωστός, δεν μπορεί να υπάρ­ ξει ποτέ οποιοδήποτε φορτίο στην εσωτερική επιφάνεια της εξωτερικής σφαίρας. Αν έτσι έχουν τα πράγματα, δεν θα υπήρχε ροή φορτίου μεταξύ των σφαιρών κατά την διάρκεια φόρτισης και εκφόρτισης της εξωτερικής σφαίρας. Το γεγονός ότι πράγματι δεν παρατη-

αγγίξει

(c)

23-17 (a) Μία φορτισμένη αγώγιμη

σφαίρα αναρτάται με ένα μονωτικό νήμα έξω από ένα αγώγιμο δοχείο πάνω σε μονωτικό στήριγμα. (b) Η σφαίρα οδηγείται μέσα στο δοχείο και τοποθετείται το σκέπασμα του δοχείου. Φορτία επάγονται στα τοιχώματα του δοχείου. (c) Όταν η σφαίρα αγγίξει την εσωτερική επιφάνεια του δοχείου, ολόκληρο το φορτίο της μεταφέρεται στο δοχείο και εμφανίζεται στην εξωτερική επιφάνεια του δοχείου.

23-18 Ο εξωτερικός σφαιρικός

φλοιός μπορεί εναλλάξ να φορτισθεί και να εκφορτισθεί από το τροφοδοτικό, με το οποίο είναι συνδεδεμένος. Αν υπάρχει οποιαδήποτε ροή φορτίου μεταξύ του εσωτερικού και εξωτερικού φλοιού, αυτή ανιχνεύεται από το ηλεκτρόμετρο, που βρίσκεται μέσα στον εσωτερικό φλοιό.

649

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23 Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS

650

ρείται ροή αποτελεί μία επιβεβαίωση με μεγάλη ευαισθησία του νόμου του Gauss και ε­ πομένως και του νόμου του Coulomb. Η ακρίβεια του πειράματος περιορίζεται κυρίως α­ πό το ηλεκτρόμετρο, το οποίο μπορεί να είναι εκπληκτικά ευαίσθητο. Τα πλέον πρόσφα­ τα πειράματα έχουν δείξει ότι ο εκθέτης στον παράγοντα στον νόμο του Coulomb δεν διαφέρει από ακριβώς κατά περισσότερο από Επομένως δεν υπάρ­ χει σήμερα λόγος να υποψιαζόμαστε ότι έχει οποιαδήπτε άλλη τιμή από ακριβώς Το Σχ. δείχνει τα κυρίως μέρη μιας ηλεκτροστατικής γεννήτριας Van Graaff. Η φορτισμένη αγώγιμη σφαίρα του Σχ. αντικαθίσταται από ένα φορτισμέ­ νο ιμάντα, ο οποίος συνεχώς μεταφέρει φορτία στο εσωτερικό ενός αγώγιμου φλοιού, α­ πό όπου μεταφέρονται στην εξωτερική επιφάνεια του φλοιού. Σαν αποτέλεσμα, το φορ­ τίο στον φλοιό και το ηλεκτροστατικό πεδίο γύρω από αυτόν παίρνουν τάχιστα πολύ με­ γάλες τιμές. Η ηλεκτροστατική γεννήτρια Van Graaff χρησιμοποιείται ως επιταχυντής φορτισμένων σωματιδίων και σε πειράματα επίδειξης Φuσικής. Αυτή η συζήτηση αποτελεί επίσης και την βάση για την Ας υποθέσουμε, ότι έχουμε ένα ευαίσθητο ηλεκτρονικό όργανο, το οποίο θέλουμε να προστατεύσουμε από παρασιτικά ηλεκτρικά πεδία, τα οποία θα μπορούσαν να προκαλέ­ σουν εσφαλμένες μετρήσεις. Περιβάλλουμε το όργανο με ένα αγώγιμο κιβώτιο, ή επι­ στρώνουμε τους τοίχους, το δάπεδο και την οροφή του δωματίου με ένα αγώγιμο υλικό, όπως ένα φύλλο χαλκού. Το εξωτερικό ηλεκτρικό πεδίο ανακατανέμει τα ελεύθερα ηλε­ κτρόνια στον αγωγό, αφήνοντας σε μερικές περιοχές της εξωτερικής επιφάνειας θετικό φορτίο και αρνητικό φορτίο σε άλλες (Σχ. Αυτή η κατανομή προκαλεί ένα πρό­ σθετο ηλεκτρικό πεδίο τέτοιο ώστε το πεδίο σε κάθε σημείο στο εσωτερικό του κι­ βωτίου να είναι μηδέν, όπως προβλέπει ο νόμος του Gauss. Η κατανομή του φορτίου πά­ νω στο κιβώτιο τροποποιεί επίσης τις δυναμικές γραμμές του πεδίου κοντά στο κιβώτιο, όπως φαίνεται στο σχήμα. Μία τέτοια διάταξη συχνά καλείται τέλος, σημειώνουμε ότι υπάρχει άμεση σχέση μεταξύ του πεδίου Ε σε κάποιο ση­ μείο ακριβώς έξω από οποιονδήποτε αγωγό και την επιφανειακή πυκνότητα σε εκείνο το σημείο. Εν γένει, το μεταβάλλεται από σημείο σε σημείο πάνω στην επιφάνεια. Θα δείξουμε στο Κεφ. 24, ότι σε οποιοδήποτε τέτοιο σημείο η διεύθυνση του Ε είναι πάντοτε κάθετη στην επιφάνεια. Για να βρούμε μία σχέση μεταξύ του σε κάθε σημείο πάνω στην επιφάνεια και του Ε στο ίδιο σημείο, κατασκευάζουμε μία γκαουσιανή επιφάνεια σε σχήμα μικρού κυ­ λίνδρου (Σχ. Η μία βάση με εμβαδόν βρίσκεται στο εσωτερικό του αγωγού και η άλλη μόλις έξω από τον αγωγό. Το φορτίο στο εσωτερικό της γκαουσιανής επιφάνειας είναι Το ηλεκτρικό πεδίο είναι μηδέν σε όλα τα σημεία στο εσωτερικό του αγωγού.

(1986)

2

2

23-19

1Q-16•

1/r 2

23-17

2.

de

de

ηλεκτροστατική θωράκιση.

23-20). ολικό

23-19 Τομή μιας ηλεκτροστατικής γεννήτριας Van de Graaff. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί μία πηγή ηλεκτρονίων αντί της καταβόθρας ηλεκτρονίων οπότε θα φορτισθεί ο αγώγιμος φλοιός με αρνητικό φορτίο.

κλωβός Faraday. σ

σ

23-21).

σ Α

σΑ.

/

"

==τΞΤ --

- -

Ε=Ο

=== =-

--

Φορτισμένος Α αγωγός

+

+.jJ

_______/

'

(a)

(b)

23-20 (a) Ένα αγώγιμο κιβώτιο (ηλεκτροστατική θωράκιση) μέσα σε ομογενές

ηλεκτρικό πεδίο. Το πεδίο ωθεί τα ηλεκτρόνια προς τα αριστερά, αφήνοντας αρνητικά φορτία στην αριστερή πλευρά και θετικά φορτία στη δεξιά πλευρά. Το ολικό πεδίο σε κάθε σημείο στο εσωτερικό του κιβωτίου είναι μηδέν. Το σχήμα των εξωτερικών δυναμικών γραμμών του πεδίου κοντά στο κιβώτιο τροποποιούνται ελαφρά. (b) Η ηλεκτροστατική θωράκιση μπορεί να σας προστατεύσει από επικίνδυνες ηλεκτρικές εκκενώσεις.

23-21 Το πεδίο ακριβώς έξω από ένα φορτισμένο αγωγό είναι κάθετο στην επιφάνεια και το μέτρο του είναι ίσο προς

σ /ΕιJ.

23-4 ΦΟΡ'ΓΙΑ ΠΑΝΩ ΣΕ ΑΓΩΓΟΥΣ

65 1

Έξω από τον αγωγό, η κάθετη συνιστώσα του Ε στην παράπλευρη επιφάνεια του κυλίν­ δρου είναι μηδέν, ενώ στη βάση ε ίναι ίση προς Επομένως, από τον νόμο του Gauss παίρνουμε

Ε.

σΑ ΕΑ = Εο '

Ε = !!...Εο .

(23-14)

Μπορούμε να ελέγξουμε τη σχέση αυτή συγκρίνοντάς την με τα αποτελέσματα, στα ο­ ποία καταλήξαμε για σφαιρικές, κυλινδρικές και επίπεδες επιφάνειες. Έχουμε δείξει επίσης στο Παράδ. 23-8, ότι το πεδίο μεταξύ δύο aπείρων διαστά­ σεων επιπέδων και αντιθέτως φορτισμένων αγώγιμων πλακών είναι ίσο προς σ/ε0 • Στην περίπτωση αυτή το πεδίο είναι το ίδιο σε όλες τις αποστάσεις από τις πλάκες, αλλά γενι­ κώς το πεδίο ελαττώνεται καθώς αυξάνεται η απόσταση από την επιφάνεια.

- Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 23-1 1

Να επαληθευτεί η Εξ. (23-14) για μία αγώγιμη σφαίρα με ακτίνα R και ολικό φορτίο q . ΛΥΣΗ Στο παράδειγμα 23-25 (Εδ. 23-3) δείξαμε, ότι το ηλεκτρικό πεδίο ακριβώς έξω από την επιφάνεια είναι 1 Ε = __!1_ · 4π εσ R2

Η επιφανειακή πυκνότητα φορτίου είναι

σ=

q

4πR2 •

Συγκρίνοντας αυτές τις δύο εκφράσεις, βλέπουμε ότι Ε =

σ/ε0, σύμφωναμε την Εξ. (23-14).

- Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 23- 1 2

Το ηλεκτρικό πεδίο της Γης Η Γη έχει ένα ολικό ηλε­ κτρικό φορτίο. Το ηλεκτρικό πεδίο που προκύπτει κοντά στην επιφάνεια μπορεί να μετρηθεί με ευαίσθητα ηλεκτρο­ νικά όργανα· είναι περίπου ίσο προς 150 N/C και κατευθύ­ νεται προς το κέντρο της Γης. a) Ποια είναι η αντίστοιχη επιφανειακή πυκνότητα φορτίου; b) Ποιο ε ίναι το ολικό επιφανειακό φορτίο πάνω στη Γη; ΛΥΣΗ a ) Από την διεύθυνση του πεδίου συμπεραίνουμε,

b) Το ολικό φορτίο Q είναι ίσο προς το γινόμενο της επι­ φάνειας 4πRε2 επί την επιφανειακή πυκνότητα σ:

Q = 4π(6,38 χ 106 m) 2(-1,33 χ ω-9 C/m2) = - 6,8 χ 105 c. Θα μπορούσαμε επίσης να χρησιμοποιήσουμε το αποτέλε­ σμα του Παραδ. 23-9. Λύνοντας ως προς Q, βρίσκουμε

ότι η σ είναι αρνητική (που αντιστοιχεί σε μία κάθετη συνι­ στώσα Ε1_ με κατεύθυνση προς το εσωτερικό της επιφάνει­ ας). Από την Εξ. (23-14) παίρνουμε σ = ε0 Ε1_ = (8,85 χ 10-1 2 C2/N · m2)(- 150 N/C) = - 1 ,33 χ 10-9 C/m2 = - 1,33 nC/m2

Q = 4πε0 R2Εl_ = (9,0 χ 109 Nm2/C2γ' (6,38 = - 6,8 χ 105 C = - 680 kC.

χ

106 m)2 (-150 N/C)

-

ΣΥΝ Ο Ψ Η

• Η ηλεκτρική ροή είναι ίση προς το ολοκλήρωμα του γινομένου ενός στοιχείου επι­ φάνειας επί την κάθετη σε αυτό συνιστώσα του Ε: (23-4)

• Ο νόμος του Gauss είναι λογικά ισοδύναμος προς τον νόμο του Coulomb. Δηλώνει ότι η ηλεκτρική ροή προς την εξωτερική πλευρά οποιασδήποτε κλειστής επιφάνειας (το επιφανειακό ολοκλήρωμα της κάθετης στην επιφάνεια συνιστώσας του Ε) είναι α­ νάλογο προς το ολικό φορτίο Qencι που περικλείεται από την επιφάνεια:

f

E cos φ dA =

f

E.ι dA =

f

E · dA =

:

Σ ; =

Q�cι .

(23-8)

• Όταν περίσσεια φορτίου ηρεμεί σε έναν αγωγό, εγκαθίσταται εξ ολοκλήρου πάνω στην επιφάνεια και Ε = Ο παντού στο εσωτερικό του αγωγού.

ΚΥΡΙΟΙ ΟΡΟΙ ηλεκτρική ροή επιφανειακό ολοκλήρωμα νόμος του Gauss πείραμα του Faraday με τον κάδο του πάγου

652

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23 Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ

GAUSS

Στον παρακάτω πίνακα καταχωρούνται τα πεδία που προκαλούνται από ορισμένες κατανομές φορτίου. Στον πίνακα τα μεγέθη q, Q, και σ αναφέρονται στα μέτρα των φορτίων.

λ

Κατανομή φορτίου

Σημείο παρατήρησης του ηλεκτρικού πεδίου

Σημειακό φορτίο q

Απόσταση r από το q q

Έξω από τη σφαίρα, r > R

Ε=

Μέσα στη σφαίρα, r < R

Ε=Ο

Μακρύ σύρμα με φορτίο λ ανά μονάδα μήκους

Απόσταση r από το σύρμα

Ε=

1 λ 2πε0 r

Μακρύς αγώγιμος κύλινδρος με ακτίνα R και φορτίο λ ανά μονάδα μήκους

Έξω από τον κύλινδρο, r > R

Ε=

1 λ 2πε0 r

Μέσα στον κύλινδρο, r < R

Ε=Ο

Συμπαγής μονωτική σφαίρα, με φορτίο Q ομοιόμορφα κατανεμημένο σε όλο της τον όγκο

Έξω από τη σφαίρα, r > R

Δύο αντίθετα φορτισμένες αγώγιμες πλάκες με επιφανειακές πυκνότητες φορτίου + σ και - σ

Οποιοδήποτε σημείο μεταξύ τους

Φορτίο q πάνω σε επιφάνεια αγώγιμης σφαίρας με ακτίνα R

ΑΣΚΗΣΕΙ Σ

Μέτρο ηλεκτρικού πεδίου

4πε0 f2

Μέσα στη σφαίρα, r < R

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Εδάφιο 23-1 Ηλεκτρική ροή 23-1 Το Παράδειγμα 22-1 1 έδειξε, ότι το ηλεκτρικό πεδίο που

Εδάφιο 23-2 Ο νόμος του Gauss 23-3 Μία κλειστή επιφάνεια περικλείει ολικό φορτίο 5,20 μC.

οφείλεται σε ένα απείρου μήκους ευιtύ-yραμμο φορτίο είναι κάθε­ το στην ευθεία και έχει μέτρο Ε = λ/2πε0r. Θεωρείστε ένα λεπτό, κοίλο κύλινδρο με ακτίνα r = 0,160 m και μήκος ι = 0,400 m. Κατά μήκος του άξονα του κυλίνδρου έχει τοποθετηθεί ένα απείρου μή­ κους θετικό φορτίο, με γραμμική πυκνότητα φορτίου λ = 5,00 μC/m. a) Ποια είναι η ηλεκτρική ροή που διαπερνά τον κύλινδρο, η οποία οφείλεται σε αυτό το απείρου μήκους φορτίο; b) Ποια εί­ ναι η ροή που διαπερνά τον κύλινδρο αν η ακτίνα του αυξηθεί σε r = 0,320 m; c) Ποια είναι η ροή που διαπερνά τον κύλινδρο αν το μήκος του αυξηθεί σε ι = 0,800 m;

Ποια είναι η ολική ηλεκτρική ροή που διαπερνά την επιφάνεια;

23-2 ΗλεκτQική QΟή μέσα από κύβο

Θεωρείστε ομογε­ νές ηλεκτρικό πεδίο κατά την κατεύθυνση + χ με μέτρο Ε = 6,00 χ 1W N/C. a) Ποιο είναι το μέτρο της ηλεκτρικής ροής που δια­ περνά μία έδρα του κύβου, -η οποία έχει πλευρά 0,800 m και έχει τοποθετηθεί σε αυτό το πεδίο με τέτοιο τρόπο, ώστε το επίπεδο της έδρας να σχηματίζει γωνία 37,0• με τη διεύθυνση του πεδίου; b) Ποια είναι η ολική ηλεκτρική ροή που διαπερνά όλες τις έδρες του κύβου;

23-4 Η ηλεκτρική ροή που διαπερνά μία κλειστή επιφάνεια βρίσκεται ότι είναι ίση προς 3,60 Ν · m2/C. Πόσο φορτίο περικλεί­ εται από την επιφάνεια;

23-5

Ένα σημειακό φορτίο q = 3,00 nC βρίσκεται στο κέντρο ενός κύβου με πλευρά 0,200 m. Ποια είναι η ηλεκτρική ροή που διαπερνά μία από τις έξι έδρες του κύβου;

Εδάφιο 23-3 Εφαρμογές του νόμου του Gauss Εδάφιο 23-4 Φορτία πάνω σε αγωγούς 23-6 Φωτοαντ ιyQαφικό τύμπανο απε ικόνισης

Το κυ­ λινδρικό τύμπανο απεικόνισης ενός φωτοαντιγραφικού μηχανήμα-

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

τος (βλ. Κεφ. 22) πρέπει να έχει ηλεκτρικό πεδίο ακριβώς έξω α­ πό την επιφάνειά του ίσο προς 2,00 χ 10S N/C. a) Αν η επιφάνεια του τυμπάνου είναι ίση προς 0,061 m2 (το εμβαδόν ενός φύλλου χαρτιού διαστάσεων 8,5 in χ 1 1 ίη), πόσο φορτίο πρέπει να είναι κατανεμημένο στην επιφάνεια του τυμπάνου; b) Αν η επιφάνεια του τυμπάνου αυξηθεί σε 0,122 m2, ώστε να μπορούν να χρησιμο­ ποιηθούν μεγαλύτερα φύλλα χαρτιού, πόσο φορτίο απαιτείται για την παραγωγή του ίδιου ηλεκτρικού πεδίου των 2,00 χ 10S N/C α­ κριβώς έξω από την επιφάνεια; 23-7 Πόσα επιπλέον ηλεκτρόνια πρέπει να προστεθούν σε ένα μονωμένο σφαιρικό αγωγό διαμέτρου 0,180 m για την παραγωγή ηλεκτρικού πεδίου 1300 N/C ακριβώς έξω από την επιφάνειά του; 23-8 Το ηλεκτρικό πεδίο στην περιοχή μεταξύ δύο αντίθετα φορτισμένων επίπεδων παράλληλων πλακών, που κάθε μία έχει εμβαδό 100 cm2, είναι 4,00 χ 104 N/C. Ποιο είναι το φορτίο σε κά­ θε πλάκα; Αγνοείστε φαινόμενα άκρων. 23-9 Αποδείξτε, ότι το ηλεκτρικό πεδίο έξω από έναν απείρου μήκους κυλινδρικό αγωγό με ομοιόμορφη κατανομή επιφανεια-

653

κού φορτίου είναι το ίδιο ως αν το φορτίο βρισκόταν στον άξονα του αγωγού.

23- 1 0 Σφαίρα μέσα σε άλλη σφαίρα Μία αγώγιμη σφαίρα με φορτίο q έχει ακτίνα α. Η σφαίρα αυτή βρίσκεται στο ε­ σωτερικό μιάς κοίλης ομόκεντρης αγώγιμης σφαίρας με εσωτερι­ κή ακτίνα b και εξωτερική ακτίνα c. Η κοίλη σφαίρα δεν φέρει φορτίο. a) Βρείτε εκφράσεις του μέτρου του ηλεκτρικού πεδίου συναρτήσει της απόστασης r από το κέντρο για τις περιοχές r < α, α < r < b, b < r < c και r > c. b) Σχεδιάστε μία γραφική παρά­ σταση του μέτρου του ηλεκτρικού πεδίου σαν συνάρτηση του r από r = Ο έως r = 2c. c) Ποιο είναι το φορτίο στην εσωτερική επιφά­ νεια της κοίλης σφαίρας; d) Στην εξωτερική επιφάνεια; e) Να παραστήσετε το φορτίο στην μικρή σφαίρα με τέσσερα θετικά πρόσημα. Σχεδιάστε τις δυναμικές γραμμές του συστήματος μέσα σε σφαιρικό όγκο ακτίνας 2c. 23-1 1 Εφαρμόστε τον νόμο του Gauss στη μωβ γκαουσιανή ε­ πιφάνεια του Σχ. 23-13b για να υπολογίσετε το ηλεκτρικό πεδίο μεταξύ των πλακών και έξω από αmές.

Π Ρ Ο Β Λ Η Μ ΑΤΑ

23-12 Το ηλεκτρικό πεδίο Ε στο Σχ. 23-22 είναι παντού πα­ ράλληλο προς τον άξονα χ. Το πεδίο έχει το ίδιο μέτρο σε όλα τα σημεία σε οποιοδήποτε επίπεδο κάθετο στον άξονα χ (παράλληλο προς το επίπεδο yz), αλλά το μέτρο είναι διαφορετικό σε διάφορα επίπεδα. Δηλαδή το ξ εξαρτάται από το χ αλλά όχι από το y και z και τα ΕΥ και ξ είναι μηδέν. Σε σημεία του επίπεδου yz (όπου χ = Ο) ξ = 300 N/C. (Ο όγκος που δείχνεται θα μπορούσε να είναι έ­ να μικρό τμήμα μιας μεγάλης μονωτικής πλάκας πάχους 1,00 m με έδρες παράλληλες προς το επίπεδο yz και με κατανομή φορτίου εμφυτευμένη σε αυτό. Το ηλεκτρικό πεδίο δημιουργείται από φορτία έξω από τον όγκο καθώς επίσης και από φορτία μέσα σε αυτόν). a) Ποια είναι η ηλεκτρική ροή που διαπερνά την επιφά­ νεια Ι στο Σχ. 23-22; b) Ποια είναι η ηλεκτρική ροή που διαπερ­ νά την επιφάνεια ΙΙ; c) Αν υπάρχει ολικό θετικό φορτίο 26,6 nC μέσα στον όγκο, ποιο είναι το μέτρο του πεδίου Ε και ποια η κα­ τεύθυνσή του στην απέναντι έδρα από την έδρα Ι; 23-13 Ένα ομογενές ηλεκτρικό πεδίο Ε 1 κατευθύνεται προς τα έξω από μια έδρα ενός παραλληλεπιπέδου και ένα άλλο ομογε­ νές ηλεκτρικό πεδίο Ε2 κατευθύνεται προς την αντίθετη έδρα (Σχ. 23-23) . Το Ε 1 έχει μέτρο 3,50 χ 104 N/C και το Ε2 έχει μέτρο z

II

ΣΧΗΜΑ 23-22

ι / � Ε

Υ

5,00 χ 104 N/C. Υποθέτοντας ότι δεν υπάρχουν άλλες ηλεκτρικές δυναμικές γραμμές που να διαπερνούν τις επιφάνειες, προσδιορί­ στε το ολικό φορτίο που περικλείεται από το παραλληλεπίπεδο. (το ηλεκτρικό πεδίο δημιουργείται από φορτία έξω από το πα­ ραλληλεπίπεδο καθώς επίσης και από φορτία μέσα σε αmό).

cm

-.t ΣΧΗΜΑ 23-23

23-14 Ένα σημειακό φορτίο q 1 = 2,50 nC είναι τοποθετημένο στην αρχή των αξόνων και ένα δεύτερο σημειακό φορτίο q2 = 5,00 nC βρίσκεται πάνω στον άξονα χ στο σημείο-χ = 1,00 m. Ποια εί­ ναι η ολική ηλεκτρική ροή που οφείλεται σε αmά τα δύο σημειακά φορτία που διαπερνά μία σφαιρική επιφάνεια ακτίνας 0,500 m με κέντρο την αρχή των αξόνων; 23-15 Θετικό φορτίο Q κατανέμεται ομοιόμορφα πάνω στην ε­ πιφάνεια ενός λεπτού σφαιρικού μονωτικού φλοιού ακτίνας R. Υπολογίστε την δύναμη (μέτρο και κατεύθυνση) την οποία εξα­ σκεί ο φλοιός σε ένα θετικό σημειακό φορτίο q, που είναι τοποθε­ τημένο a) σε απόσταση r > R από το κέντρο του φλοιού (έξω από τον φλοιό) b) σε απόσταση r < R από το κέντρο του φλοιού (μέ­ σα στον φλοιό). 23-16 Αγώγιμος μονωμένος σφαιρικός φλοιός με εσωτερική ακτίνα α και εξωτερική ακτίνα b έχει θετικό φορτίο Q τοποθετη­ μένο στο κέντρο του. Το ολικό φορτίο πάνω στον φλοιό ε ίναι - 3Q (Σχ. 23-24) . a) Βρείτε εκφράσεις για το ηλεκτρικό πεδίο συναρτήσει της απόστασης r από το κέντρο για τις περιοχές r < α,

654

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23 Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS

α < r < b και r > b. b) Ποια είναι η επιφανειακή πυκνότητα φορ­ τίου στην εσωτερική επιφάνεια του αγώγιμου φλοιού; c) Ποια είναι η επιφανειακή πυκνότητα φορτίου στην εξωτερική επιφά­ νεια του αγώγιμου φλοιού; d) Σχεδιάστε ένα διάγραμμα στο ο­ ποίο να φαίνονται οι ηλεκτρικές δυναμικές γραμμές και η θέση ό­ λων των φορτίων. e) Αποδώστε γραφικά την εξάρτηση του μέ­ τρου του ηλεκτρικού πεδίου συναρτήσει του r.

23-20

Τρία μεγάλα παράλληλα μονωτικά φύλλα έχουν επιφα­ νειακές πυκνότητες +0,0200 C/m2, +0,0100 C/m2 και -0,0200 C/m2 αντίστοιχα (Σχ. 23-26). Τα γειτονικά φύλλα απέχουν 0,300 m με­ ταξύ τους. Υπολογίστε το συνιστάμενο ηλεκτρικό πεδίο (μέτρο και κατεύθυνση) που οφείλεται και στα τρία φύλλα a) στο σημείο Ρ (0, 150 m αριστερά του φύλλου I, b) στο σημείο R (στο μέσον με­ ταξύ των φύλλων Ι και Π, c) στο σημείο S (στο μέσον μεταξύ των φύλλων Π και ΙΙΙ) d) στο σημείο Τ (0 , 150 m δεξιά του φύλλου

ΙΙΙ).

ΣΧΗΜΑ 23-24

Ομόκεντροι σφαιρικοί φλοιοί Μικρός αγώγιμος σφαιρικός φλοιός με εσωτερική ακτίνα α και εξωτερική ακτίνα b είναι ομόκεντρος με ένα μεγαλύτερο σφαιρικό φλοιό με εσωτερι­ κή ακτίνα c και εξωτερική ακτίνα d (Σχ. 23-25). Ο εσωτερικός φλοιός έχει ολικό φορτίο + 2q και ο εξωτερικός φλοιός έχει φορ­ τίο +4q. a) Υπολογίστε το ηλεκτρικό πεδίο σαν συνάρτηση του q και της απόστασης r από το κοινό κέντρο των δύο φλοιών για i) r < α, ii) α < r < b, iii) b < r < c, iv) c < r < d, ν) r > d. Να πα­ ραστήσετε γραφικά τα αποτελέσματά σας σε διάγραμμα του E(r) σαν συνάρτηση του r. b) Ποιο είναι το ολικό φορτίο πάνω στην i) εσωτερική επιφάνεια του μικρού φλοιού; ίί) εξωτερική επιφά­ νεια του μικρού φλοιού; iii) εσωτερική επιφάνεια του μεγάλου φλοιού; ίν) εξωτερική επιφάνεια του μεγάλου φλοιού; 23-17

23-21 Το ομοαξονικό καλώδιο Ένα μακρύ ομοαξονικό καλώδιο αποτελείται από κυλινδρικό αγωγό με ακτίνα α και έναν εξωτερικό ομοαξονικό κύλινδρο με εσωτερική ακτίνα b και εξω­ τερική ακτίνα c. Ο εξωτερικός κύλινδρος στηρίζεται σε μονωτικά στηρίγματα και δεν έχει καθόλου φορτία. Ο εσωτερικός κύλιν­ δρος είναι ομοιόμορφα φορτισμένος. Η γραμμική πυκνότητα φορ­ τίου είναι λ. Να υπολογιστεί το ηλεκτρικό πεδίο a) σε οποιοδή­ ποτε σημείο μεταξύ των κυλίνδρων σε απόσταση r από τον άξονα. b) σε οποιοδήποτε σημείο έξω από τον εξωτερικό κύλινδρο. c) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση του μέτρου του ηλεκτρικού πεδίου σαν συνάρτηση της απόστασης r από τον άξονα του καλω­ δίου από r = Ο μέχρι r = 2c. d) Να βρεθεί το φορτίο ανά μονάδα μήκους στην εσωτερική επιφάνεια και στην εξωτερική επιφάνεια του εξωτερικού κυλίνδρου. 23-22 Ένας πολύ μακρύς αγώγιμος σωλήνας έχει εσωτερική ακτίνα α και εξωτερική b. Ο σωλήνας φέρει φορτίο ανά μονάδα μήκους +α, όπου α ε ίναι μία θετική σταθερά με μονάδες C/m. Ένα γραμμικό φορτίο είναι κατανεμημένο κατά μήκος του άξονα του σωλήνα με γραμμική πυκνότητα +α. a) Υπολογίστε το ηλε­ κτρικό πεδίο σαν συνάρτηση του α και της απόστασης r από τον ά­ ξονα του σωλήνα για ί) r < α, ii) α < r < b, iii) r > b. Δείξτε τα α­ ποτελέσματά σας σε μία γραφική παράσταση του E(r) σαν συνάρ­ τηση του r. b) Ποιο είναι το φορτίο ανά μονάδα μήκους πάνω ί) στην εσωτερική επιφάνεια του σωλήνα; ii) στην εξωτερική επιφά­ νεια του σωλήνα; 23-23

Επαναλάβετε το Πρόβλημα 23-22, αλλά θεωρείστε τώ­ ρα, ότι ο αγώγιμος σωλήνας έχει φορτίο ανά μονάδα μήκους - α. Όπως στο Πρόβλημα 23-22 η φορτισμένη ευθεία έχει φορτίο ανά μονάδα μήκους + α. 23-24

ΣΧΗΜΑ 23-25 23-18 Επαναλάβετε το πρόβλημα 23-17 αν ο εξωτερικός φλοι­ ός έχει φορτίο - 2q. Όπως στο πρόβλημα 23-17, ο εσωτερικός φλοιός έχει φορτίο + 2q. 23-19 Επαναλάβετε το πρόβλημα 23-17 αν ο εξωτερικός φλοι­ ός έχει φορτίο - 4q. Όπως στο πρόβλημα 23-17, ο εσωτερικός φλοιός έχει φορτίο + 2q.

0,150m 0,150 m 0,150 m 0,150 m R

s ΙΙ

. ΣΧΗΜΑ 23-26

23-25

Μία μη ομοιόμορφη αλλά σφαιρικά συμμετρική κατανο­ μή φορτίου έχει πυκνότητα φορτίου που δίνεται από τις σχέσεις:

-0,0200 C/m2

+0,0200 C/m2

Ρ

Υποθέστε ότι θετικό φορτίο κατανέμεται ομοιόμορφα με πυκνότητα όγκου φορτίου ρ σε ένα πολύ μακρύ κυλινδρικό ό­ γκο με ακτίνα R. a) Βρείτε την έκφραση του ηλεκτρικού πεδίου μέσα στον όγκο σε απόσταση r από τον άξονα του κυλίνδρου σαν συνάρτηση της πυκνότητας φορτίου ρ. b) Ποιο είναι το ηλεκτρικό πεδίο σε ένα σημείο έξω από τον όγκο σαν συνάρτηση του φορτί­ ου ανά μονάδα μήκους λ στον κύλινδρο; c) Να συγκρίνετε τις α­ παντήσεις στα (a) και (b) όταν r = R. Να σχεδιάσετε μία γραφική παράσταση του μέτρου του ηλεκτρικού πεδίου σαν συνάρτηση του r από r = Ο έως r = 3R.

+0,0100 C/m2

lL

τ

ΠΙ

Ρ = p0(1 - r/R)

για r 5, R,

ρ=Ο

για r '?:. R.

όπου ρ0 = 3QiπR3 είναι σταθερά. a) Δείξτε ότι το ολικό φορτίο που περιέχεται στην κατανομή φορτίου είναι Q. b) Δείξτε ότι για την περιοχή που ορίζεται από r '2:. R, το ηλεκτρικό πεδίο είναι το ί­ διο με αmό που προκύπτει από ένα σημειακό φορτίο Q. c) Βρεί­ τε μία έκφραση για το ηλεκτρικό πεδίο στην περιοχή r 5, R. d) Συ­ γκρίνετε τα αποτελέσματά σας στα ερωτήματα (b) και (c) για

r = R.

mo

ΠΙΟ

ΣΥΝΘ ΕΤΑ Π ΡΟ ΒΛΉ ΜΑΤΑ

23-26 Θετικό φορτίο Q κατανέμεται ομοιόμορφα μέσα σε κά­

θε ένα από δύο σφαιρικούς όγκους (μονωτές) ακτίνας R. Η μία σφαίρα έχει το κέντρο της στην αρχή των αξόνων και η άλλη στο σημείο χ = 2R (Σχ. 23-27). Να βρεθεί το μέτρο και η κατεύθυνση του συνισταμένου ηλεκτρικού πεδίου, που οφείλεται στις δύο αυ­ τές κατανομές φορτίου στα εξής σημεία πάνω στον άξονα χ; a) χ = Ο, b)x = R/2, c)x = R, d) x = 3R.

Υ

χ

655

ΣΥΝθΕΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

περιοχές. Βεβαιωθείτε ότι τα αποτελέσματά σας συμφωνούν στα σύνορα των περιοχών. c) Τι κλάσμα του ολικού φορτίου περιέχε­ ται μέσα στην περιοχή με r < R/2; d) Αν ηλεκτρόνιο (φορτίο q ' = - e) ταλαντώνεται γύρω από την θέση r = Ο (το κέντρο της κατανο­ μής) με πλάτος μικρότερο από R/2, να δείξετε ότι η κίνηση είναι α­ πλή αρμονική. [Υπόδειξη: Μελετήστε ξανά τον ορισμό της απλής αρμονικής κινήσεως, όπως ορίζεται από την Εξ. (13-1). Αν μπορεί να αποδειχθεί ότι η συνισταμένη δύναμη που εξασκείται στο ηλε­ κτρόνιο έχει αυτή τη μορφή, τότε προκύπτει ότι η κίνηση είναι α­ πλή αρμονική. Αντίστροφα, αν η συνισταμένη δύναμη δεν ακολου­ θεί αυτή την σχέση, η κίνηση δεν είναι απλή αρμονική.] e) Ποια είναι η περίοδος στην κίνηση του ερωτήματος (d); f) Αν το πλά­ τος της κίνησης, που περιγράφεται στο ερώτημα (e) είναι μεγαλύ­ τερο από R/2, εξηγείστε γιατί η κίνηση δεν είναι πλέον απλή αρ­ μονική.

23-28 Μία περιοχή στον χώρο περιέχει φορτίο, το οποίο είναι

ομοιόμορφα κατανεμημένο σφαιρικά κατά τέτοιο τρόπο, ώστε η πυκνότητα φορτίου να δίνεται από τις σχέσεις:

ΣΧΗΜΑ 23-27

Ρ = 3ar/(2R)

23-27 Μία περιοχή στον χώρο περιέχει φορτίο, το οποίο κατα­

νέμεται σφαιρικά έτσι ώστε η πυκνότητα φορτίου p να δίνεται από τις σχέσεις: p=α

για r :::; R/2,

p = 2a ( l - r/R)

για R/2 :::; r :::; R,

p=Ο

για r

�

R.

Το ολικό φορτίο Q είναι 3,00 χ ιΟ-17 C, η ακτίνα R της σφαιρικής κατανομής είναι 2,00 χ ιο-1 4 m και α είναι μία σταθερά, που έχει διαστάσεις C/m3. a) Προσδιορίστε την σταθερά α σαν συνάρτηση των Q και R καθώς και την αριθμητική της τιμή. b) Χρησιμοποιώ­ ντας τον νόμο του Gauss βρείτε μια έκφραση για το μέτρο του ηλε­ κτρικού πεδίου σαν συνάρτηση της απόστασης r από το κέντρο της κατανομής. Να κάνετε αmό ξεχωριστά για καθεμιά από τις τρεις

για r :::; R/2,

p = a [ l - (r!R)2] για R/2 :::; r :::; R, p=O

για r

�

R.

Το ολικό φορτίο είναι Q, η ακτίνα R της σφαιρικής κατανομής εί­ ναι 5,00 χ ιο-ιο m και α = 3,00 χ 1011 C/m3 και είναι μία σταθερά. a) Προσδιορίστε το φορτίο Q σαν συνάρτηση των α και R και υπο­ λογίστε την αριθμητική του τιμή. b) Χρησιμοποιώντας τον νόμο του Gauss βρείτε μία έκφραση του μέτρου του ηλεκτρικού πεδίου σαν συνάρτηση της απόστασης r από το κέντρο της κατανομής. Κάνετε αmό και για τις τρεις περιοχές. c) Τι κλάσμα του ολικού φορτίου περιέχεται μέσα στην περιοχή που ορίζεται από R/2 :::; r :::; R; d) Ποιο είναι το μέτρο του ηλεκτρικού πεδίου σε απόσταση r = R/2; e) Αν ένα ηλεκτρόνιο (φορτίο q ' = - e) αφεθεί ελεύθερο σε οποιοδήποτε σημείο οποιασδήποτε περιοχής, η προκύπτουσα κίνηση θα είναι ταλάντωση, όχι όμως απλή αρμονική. Γιατί; (Βλ. Πρόβλ. 23-27.)

Ο παλμοyράφος .χρησιμοποιείται yια την παρατήρηση και τη μέτρηση ταχέως μεταβαλλόμενων διαφορών δυναμικού (τάοtων) ot ηλεκτρονΙΚά κυκλώματα. Η προς μέτρηση τάση συνδέεται στα πλακίδια απόκλΙσης που είναι μέσα στον καθοδικό σωλήνα του παλμοyράφου. Η κατακόρυφη απόκλΙση της ηλεκτρονΙΚής δέσμης είναι ανάλοyη προς την εφαρμοζόμενη τάση. Η οριζόντια απόκλΙση είναι ανάλοyη προς το .χρόνο, οπότε με επαναλαμβανόμενη σάρωση, η δέσμη απεικονίζει μια yραφική παράσταση της τάσης συναρτήοtι του .χρόνου.

τ -� �-- �YF

_,_

.

Κ Υ Ρ Ι Ε Σ

Ε Ν Ν Ο Ι Ε Σ

• Η δύναμη που ασκείται σε φορτίο ιuνούμενο μέσα σε στατικό ηλεκτρικό πεδίο είναι διατηρητική δύναμη. Η δύναμη αυτή συνδέεται με μια δυναμική ενέργεια. • Το ηλεκτρικό δυναμικό, μια βαθμωτή ποσότητα, είναι η δυναμική ενέργεια ανά μονάδα φορτίου, η οποία οφείλεται στην αλληλεπίδραση φορτίου και ηλεκτρικού πεδίου. Συνήθως το ονομάζουμε ωιλώς δυναμικό. • Το δυναμικό σε ένα σημείο ενός συyκεκριμένου ηλεκτρικού πεδίου μπορεί να υπολογιστεί είτε από τα φορτία που προκαλούν το πεδίο, είτε απευθείας από το ίδιο το πεδίο.

Οι ισοδυναμικές εmφάνειες είναι μια χρήσιμη προσθήκη στις γραφικές απεικονίσεις του ηλεκτρικού πεδίου. • Αν το δυναμικό είναι yνωοτό ως συνάρτηση της θέσης σε κάθε σημείο μιας περιοχής, το ηλεκτρικό πεδίο μπορεί να υπολογιστεί σε κάθε σημείο της περιοχής αυτής. • Το πείραμα του Millikan με σταγονίδια λαδιού μας παρέχει μια άμεση μέτρηση του μεyiθους του φορτίου του ηλεκτρονίου. • Η έννοια του δυναμικού είναι χρήσιμη για την κατανόηση της λειτουργίας πολλών πρακτικών συσκευών όπως ο καθοδικός σωλήνας.

• Ισοδυναμική εmφάνεια ονομάζεται μια εmφάνεια σε κάθε σημείο της οποίας το δυναμικό έχει την ίδια τιμή.

Ε Ι Σ Α Γ Ω Γ Ή

Α

υτό το κεφάλαιο αναφέρεται στην ενέργεια που συνδέεται με τις ηλεκτρικές αλληλεπιδράσεις. Κάθε φορά που ανάβετε ένα λαμπτήρα ή θέτετε σε λειτουργία έναν ηλεκτρικό κινητήρα, χρησιμοποιείτε ηλεκτρική ενέργεια που είναι αναπόσπαστο στοιχείο της καθημερινής ζωής, καθώς και ένα αναντικατάστατο συστατικό της τεχνολογικής μας κοινωνίας. Στα Κεφάλαια 6 και 7 εισαγάγαμε τις έννοιες του έργου και της ενέργειας στην περιοχή της μηχανικής τώρα συνδυάζουμε αυτές τις έννοιες με όσα μάθαμε για το ηλεκτρικό φορτίο, τον νόμο του Coulomb και τα ηλεκτρικά πεδία. Όταν ένα φορτισμένο σωμάτιο κινείται μέσα σε ένα ηλεκτρικό πεδίο, η δύναμη του ηλεκτρικού πεδίου παράγει έργο πάνω στο σωμάτιο. Αυτό το έργο μπορεί πάντοτε να εκφραστεί συναρτήσει της δυναμικής ενέργειας, η οποία με τη σειρά της συνδέεται με μια νέα έννοια που ονομάζεται ηλεκτρικό δυναμικό, ή απλώς δυναμικό. Στα κυκλώματα το δυναμικό ονομάζεται συχνά τάση. Οι πρακτικές εφαρμογές αυτής της έννοιας καλύπτουν ένα ευρύ φάσμα, στο οποίο περιλαμβάνονται τα ηλεκτρικά κυκλώματα, οι δέσμες ηλεκτρονίων στους καθοδικούς σωλήνες των τηλεοράσεων, οι επιταχυντές σωματιδίων υψηλής ενέργειας και πολλές άλλες περιοχές. •

657

658

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 24 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ

Υ

+

2 4- 1

ΗΛΕΚΤΡΙΚΉ ΔΥΝΑΜΙΚΉ ΕΝΕΡΓΕΙΑ

_ _ _ _ _ _

Τα εισαγωγικά εδάφια αυτού του κεφαλαίου αναφέρονται στο έργο, τη δυναμική ενέρ­ γεια και στη διατήρηση της ενέργειας. Ας ξεκινήσουμε λοιπόν ανακεφαλαιώνοντας ορι­ σμένα βασικά σημεία των Κεφαλαίων 6 και 7. Πρώτον, όταν μια δύναμη ενεργεί πάνω σε ένα σωμάτιο που κινείται από ένα σημείο α σε ένα σημείο b, το έργο που παράγεται από τη δύναμη αυτή, wa -+ b ι είναι

Ε

F

24-1 Στο δοκιμαστικό φορτίο q' που κινείται από το α στο b ασκείται δύναμη μέτρου qΈ· το έργο που παράγεται από αυτή τη δύναμη είναι w. ->b = q'Ed και είναι ανεξάρτητο από τη διαδρομή του σωματίου.

W.

__.

b

=

[ F · dl [ =

F cos φ dl,

(24-1)

όπου dl είναι το στοιχείο μήκους στην τροχιά του σωματίου και φ είναι η γωνία μεταξύ της και του dl σε κάθε σημείο κατά μήκος της τροχιάς. Δεύτερον, εάν το πεδίο δυνάμεων είναι όπως ήδη αναλύσαμε τον όρο αυτό στο Εδ. 7-4, αυτό το έργο μπορεί να εκφραστεί πάντα συναρτήσει μιας δυναμικής ενέργειας υ. Όταν το σωμάτιο κινείται από ένα σημείο όπου η δυναμική ενέργεια είναι υ. ' σε άλλο σημείο με δυναμική ενέργεια υb το έργο w. -+ b που παράγεται από τη δύνα­ ' μη είναι

F

διατηρητικό,

(24-2) Όταν το έργο w. .... b είναι θετικό, η υ. είναι μεγαλύτερη από την υb , οπότε η δυναμική ε­ νέργεια Αυτό ακριβώς συμβαίνει όταν μια μπάλα πέφτει από ένα σημείο (α ) που βρίσκεται ψηλά, σε ένα σημείο (b) χαμηλότερα, υπό την επίδραση της γήινης βα­ ρύτητας. Η δύναμη της βαρύτητας παράγει θετικό έργο, ενώ η βαρυτική δυναμική ενέρ­ γεια ελαττώνεται. Όταν πετάμε μια μπάλα προς τα επάνω, η βαρυτική δύναμη παράγει αρνητικό έργο κατά τη διάρκεια της ανόδου και η δυναμική ενέργεια αυξάνεται. Τρίτον, το θεώρημα έργου - ενέργειας λέγει ότι η μεταβολή στην κινητική ενέρ­ γεια (Kb - Κ.) κατά τη διάρκεια οποιασδήποτε μετατόπισης είναι ίση με το συνολικό έρ­ γο που παράγεται στο σωμάτιο. Έτσι, εάν η Εξ. (24-2) μας δίνει το έργο, τότε Kb - κ. = υ. - υb, το οποίο γράφουμε συνήθως ως

ελαττώνεται.

Ε

συνολικό

(24-3)

(a) Ελαττούμενο υ

Ας εξετάσουμε αυτές τις βασικές έννοιες με ένα παράδειγμα από τον ηλεκτρισμό. Στο Σχ. 24-1 ένα ζευγάρι φορτισμένες παράλληλες μεταλλικές πλάκες δημιουργούν ένα ομογενές ηλεκτρικό πεδίο με ένταση Το πεδίο εξασκεί μια δύναμη προς τα κάτω με μέτρο F = q' πάνω στο θετικό δοκιμαστικό φορτίο q', καθώς το φορτίο διανύει μια από­ σταση d από το σημείο α στο σημείο b. Η δύναμη στο δοκιμαστικό φορτίο είναι σταθερή, ανεξάρτητη από τη θέση του, οπότε το έργο που παράγεται από το ηλεκτρικό πεδίο είναι

Ε.

Ε

1

Ε

w. .... b

=

Fd = q Έd.

(24-4)

δυναμικής ενέργειας

Μπορούμε να παραστήσουμε αυτό το έργο με μια συνάρτηση υ, ακριβώς όπως κάναμε για τη βαρυτική δυναμική ενέργεια στο Εδ. 7-2. Η συνιστώσαy της δύναμης, FY = - q' είναι σταθερή, ενώ δεν υπάρχουν συνιστώσες χ ή z, έτσι το έργο είναι ανεξάρτητο από την πορεία που ακολουθεί το σωμάτιο από το σημείο α στο σημείο b . Όπως ακριβώς η δυναμική ενέργεια για τη δύναμη βαρύτητας FY = - mg ήταν υ = mgy , η δυναμική ενέργεια για τη δύναμη του ηλεκτρικού πεδίου FY = - q' είναι (24-5) υ = q'Ey.

Ε

Ε

Όταν το δοκιμαστικό φορτίο κινείται από το ύψοςy. στο ύψοςyb , το έργο που παράγεται πάνω στο φορτίο από το πεδίο, δίνεται από . (b) Αυξανόμενο υ

(24-6)

Όταν το Ya είναι μεγαλύτερο από το Yb (Σχ. 24-2a), το σωμάτιο κινείται προς την ίδια κατεύ­ θυνση με αυτήν του πεδίου Ε, η υ ελαττώνεται και το πεδίο παράγει θετικό έργο. Όταν το Ya κινείται προς την κατεύθυνση του ηλεκτρικού πεδίου, το πεδίο παράγει είναι μικρότερο από το yb (Σχ. 24-2b), τότε το σωμάτιο κινείται αντίθετα από την κατεύθυν­ θετικό έργο και η δυναμική ενέργεια ση του πεδίου Ε, η υ αυξάνεται και το πεδίο παράγει αρνητικό έργο. Πιο συγκεκριμένα, αν ελαττώνεται. (b) Όταν θετικό Ya = d καιyb = Ο, τότε η Εξ. (24-6) μας δίνει w;, _, b = q'Ed, σε συμφωνία με την Εξ. (24-4). φορτίο κινείται αντίθετα από την Εάν το δοκιμαστικό φορτίο q' είναι αρνητικό, η δυναμική ενέργεια αυξάνει όταν κατεύθυνση του ηλεκτρικού πεδίου, το πεδίο παράγει αρνητικό έργο και το φορτίο κινείται προς τη φορά του πεδίου και ελαττώνεται όταν το φορτίο κινείται α­ η δυναμική ενέργεια αυξάνεται. ντίθετα προς αυτήν (Σχ. 24-3). 24-2 (a) Όταν θετικό φορτίο

24-1 ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ

24-3 (a) Όταν αρνητικό φορτίο κινείται προς την κατεύθυνση του ηλεκτρικού πεδίου, το πεδίο παράγει αρνητικό έργο και η δυναμική ενέργεια αυξάνεται. (b) Όταν αρνητικό φορτίο κινείται προς την αντίθετη του ηλεκτρικού πεδίου κατεύθυνση, το πεδίο παράγει θετικό έργο και η δυναμική ενέργεια ελαττώνεται.

Ε

(b) Ελαπούμενο υ

(a) Αυξανόμενο υ

659

Μπορούμε να παραστήσουμε κάθε κατανομή φορτίων σαν μια συλλογή σημειακών φορτίων. Ως εκ τούτου, θα ήταν χρήσιμο να υπολογίσουμε το έργο που παράγεται σε ένα δοκιμαστικό φορτίο q ' το οποίο κινείται μέσα στο ηλεκτρικό πεδίο που προκαλείται από ένα μεμονωμένο φορτίο q. Θα εξετάσουμε αρχικά μια μετατόπιση κα­ τά μήκος της γραμμής στο Σχ. 24-4, από το σημείο α στο σημείο b. Η δύναμη είναι σταθερή γι' αυτό θα πρέπει να ολοκληρώσουμε για να υπολογίσουμε το έργο που παράγεται πάνω στο q '. Η δύναμη στο q ' δίνεται από το νόμο του Coulomb και η α­ κτινική της συνιστώσα είναι 1 qq ' F' = (24-7) 4 ,z .

δεν

στατικό σημειακό ακτινικής

Π ΕΌ

Εάν τα q και q ' είναι ετερόσημα, τότε η F, είναι αρνητική· εάν τα δύο φορτία q και q ' εί­ ναι ομόσημα, τότε η F, είναι θετική. Το έργο w. __. b που παράγεται στο q ' από τη δύναμη F, καθώς το q ' κινείται από το σημείο α στο b είναι W. __.b =

f'b F, dr = f'b - dr = 4 (1- - -) . 1

'•

'•

qq '

4- 2 ΠEiJ r

qq '

ΠΕΌ r.

1

rb

(24-8)

Συνεπώς το έργο γι' αυτή τη συγκεκριμένη τροχιά εξαρτάται μόνο από τα ακραία ση­ μεία. Στην πραγματικότητα, το έργο παραμένει ίδιο για όλες τις τροχιές από το α στο b. Για να το αποδείξουμε αυτό, ας θεωρήσουμε μια πιο γενική μετατόπιση (Σχ.

δυνατές

24-4 Το φορτίο q ' κινείται κατά μήκος ευθείας γραμμής, η οποία εκτείνεται ακτινικά από το φορτίο q. Καθώς κινείται από το α στο b, η απόσταση μεταβάλλεται από r0 σε rb.

24-5 Το έργο που παράγεται από τη δύναμη του ηλεκτρικού πεδίου στο φορτίο q ' εξαρτάται μόνο από τα r0 και rb.

660

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 24 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ

24-5) στην οποία τα σημεία α και b δεν βρίσκονται πάνω στην ίδια ακτινική ευθεία. Το έργο που παράγεται στο q' κατά τη διάρκεια αυτής της μετατόπισης δίνεται από

W._, b =

rf b F cos φ dl. r,

Όμως, το σχήμα δείχνει ότι cos φ dl = dr. Αυτό σημαίνει ότι το έργο που παράγεται σε μια μικρή μετατόπιση dl εξαρτάται μόνο από τη μεταβολή dr της απόστασης r μεταξύ των φορτίων, η οποία είναι η της μετατόπισης. Ως εκ τούτου η Εξ. (24-8) μας δίνει το έργο που παράγεται από το πεδίο ακόμα και για αυτήν την πιο γενική μορφή μετατόπισης. Η Εξ. (24-8) μας δείχνει ότι το έργο που παράγεται στο q' από το πεδίο Ε το οποίο δημιουργείται από το φορτίο q εξαρτάται μόνο από τα rα και rb, όχι από τις λεπτομέρειες της τροχιάς. Επίσης, εάν το φορτίο q' επιστρέψει στο σημείο εκκίνησής του α ακολουθώ­ ντας μια διαφορετική τροχιά, το συνολικό έργο που θα έχει παραχθεί σε αυτή τη μετ' ε­ πιστροφής διαδρομή είναι μηδέν. Αυτά είναι τα ζητούμενα χαρακτηριστικά ενός διατη­ ρητικού πεδίου δυνάμεων, όπως το περιγράψαμε στο Εδ. 7-4. Συνεπώς, η δύναμη στο q' προέρχεται από πεδίο δυνάμεων. Συγκρίνοντας τις εξισώσεις (24-2) και (24-8), βλέπουμε ότι είναι συνεπείς μεταξύ τους, εάν θεωρήσουμε ότι το qq'/4πεο rα είναι η δυναμική ενέργεια υα όταν το q' βρίσκε­ ται στο σημείο α, δηλαδή σε απόσταση rα από το q, ενώ q' /4π ε0 rb είναι η δυναμική ενέρ­ γεια υb όταν το q' βρίσκεται στο σημείο b, σε απόσταση rb από το q. Επομένως, όταν το δοκιμαστικό φορτίο q' βρίσκεται σε μια απόσταση r από το φορτίο q, η δυ­ ναμική ενέργεια υ είναι

ακτινική συνιστώσα

διατηρητικό

οποιαδήποτε

υ=

1 qq '

-

4πεο r

(24-9)

Σημειώστε ότι δεν έχουμε κάνει καμία παραδοχή για τα πρόσημα των q και q' · η Εξ. (24-9) ισχύει για κάθε συνδυασμό προσήμων. Ο νόμος του Gauss μας λέει ότι το ηλεκτρικό πεδίο στο εξωτερικό οποιασδήποτε σφαιρικά συμμετρικής κατανομής φορτίων είναι το ίδιο με αυτό που προκύπτει όταν εί­ ναι συγκεντρωμένο όλο το φορτίο στο κέντρο. Συνεπώς η Εξ. (24-9) ισχύει επίσης εάν το δοκιμαστικό φορτίο q' βρίσκεται έξω από κάποια σφαιρικά συμμετρική κατανομή φορ­ τίων με συνολικό φορτίο q, σε μια απόσταση r από το κέντρο. Η δυναμική ενέργεια πάντα καθορίζεται σε σχέση με κάποιο σημείο αναφοράς στο οποίο υ = Ο. Στην Εξ. (24-9) η υ είναι μηδέν όταν η απόσταση μεταξύ των q και q' είναι άπειρη, δηλαδή r = οο. Άρα η υ παριστάνει το έργο που προσφέρεται στο δοκιμα­ στικό φορτίο q' από το πεδίο του q όταν το q ' κινείται από μια αρχική απόσταση r μέχρι το άπειρο. Εάν το q και το q' έχουν το ίδιο πρόσημο, η αλληλεπίδραση είναι απωστική, το έργο είναι θετικό και η υ είναι θετική σε κάθε πεπερασμένη απόσταση. Εάν έχουν α­ ντίθετο πρόσημο, η αλληλεπίδραση είναι ελκτική και η υ είναι αρνητική. - Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 24-1

-------

Το ποζιτρόνιο (το αντισωματίδιο του ηλεκτρονίου) έχει μά­ ζα ίση με 9, 1 1 χ 1 0 - 31 kg και φορτίο + 1 ,60 χ 1 0 - 19 C. Υποθέστε ότι ένα ποζιτρόνιο κινείται κοντά σε ένα σωμα­ τίδιο άλφα, το οποίο έχει φορτίο 3,20 χ 10 - 19 C. Το σωμα­ τίδιο άλφα έχει μάζα 7000 φορές αυτήν του ποζιτρονίου, γι' αυτό το θεωρούμε ότι παραμένει ακίνητο σε κάποιο αδρα­ νειακό σύστημα αναφοράς. Όταν το ποζιτρόνιο είναι σε α­ πόσταση 1 ,00 χ 10 - I O m από το σωματίδιο άλφα, απομα­ κρύνεται ακτινικά από αυτό με ταχύτητα 3,00 χ 10 6 m/s. a) Ποια είναι η ταχύτητα του ποζιτρονίου όταν τα δύο σω­ ματίδια βρίσκονται σε απόσταση 3,00 χ 1 Ο - 10 m; b) Τι θα άλλαζε στην προαναφερθείσα περίπτωση εάν το κινούμενο σωματίδιο ήταν ένα ηλεκτρόνιο (ίδια μάζα με το ποζιτρό­ νιο, αλλά με αντίθετο φορτίο) ; ΛΥΣΗ a) Η ηλεκτρική δύναμη είναι διατηρητική και έτσι η ενέργεια (κινητική συν δυναμική) διατηρείται. Ανατρέ­ χοντας στη στρατηγική επίλυσης προβλημάτων του Εδ. 7-2, καταγράφουμε την αρχική και τελική κινητική και δυναμι-

κή ενέργεια του ποζιτρονίου, Κα, Kb, υα, υb: Κα = =

Kb = υα = = = υb = =

1(9, 1 1 χ 1 0 - 3 1 kg)(3,00 χ 10 6 m/s)2 4,10 χ 10 - 18 1 1mv/

1mv/

=

=

1(9, 1 1 χ 1 0 - 3 1 kg)υ/,

1 qq ' -4πεο Γα

--

(9,0 χ 109 Ν . mz; cz) (3 , 20 χ 10-1 9 C)(1,60 χ 10-19 C) 1 ,00 χ 10-10 m 1 8 J, χ 104,61 (3,20 χ 10-19 C)(1,60 χ 10- 19 C) (9'0 χ 109 Ν . m z;cz) 0 3,00 χ 10 1 m 1 ,54 χ 10 - 18 J.

24-1 ΗΛΕΚΤΡΙΚΉ ΔΥΝΑΜΙΚΉ ΕΝΕΡΓΕΙΑ

Από τη διατήρηση της ενέργειας,

661

θα επιβραδύνεται αντί να επιταχύνεται. Η μόνη διαφορά στους παραπάνω υπολογισμούς είναι ότι η δυναμική ενέρ­ γεια είναι αρνητική. Η εξίσωση διατήρησης της ενέργειας δίνει

κ. + υ. = κb + ub 1 4,10χ 10- 8J +4, 6 1 χ 10- 1 8J = t (9, 1 1 χ 10-31 kg )υ/+ 1 ,54 χ 10-1 8J,

και τελικά

4, 1 0 χ 1 0-1 8 J - 4,61 χ 10- 1 8 J = t(9, 1 1 χ 10-3 1 kg ) υ/ - 1 ,54 χ ω- 1 8 J, υb = 1 ,5 χ 106 m/s.

υb = 4,0 χ 106 m/s. Η δύναμη είναι απωστική, συνεπώς το ποζιτρόνιο επιταχύνε­ ται καθώς απομακρύνεται από το ακίνητο σωματίδιο άλφα. b) Εάν το κινούμενο φορτίο είναι αρνητικό, η δύναμη που ασκείται σε αυτό είναι ελκτική και όχι απωστική, συνεπώς

Μπορούμε να γενικεύσουμε την Εξ. (24-9) για περιπτώσεις στις οποίες το πεδίο Ε, σημειακά φορτία q 1 , q2 , q3 , μέσα στο οποίο κινείται το φορτίο q ' προκαλείται από ... τα οποία βρίσκονται σε αποστάσεις r1 , r2 , r3 , ... αντίστοιχα από το q '. Το συνολικό ηλε­ κτρικό πεδίο σε κάθε σημείο είναι το των πεδίων λόγω των επί μέρους φορτίων, και το συνολικό έργο που παράγεται πάνω στο q ' κατά τη διάρκεια μιας μετατόπισης είναι το άθροισμα των συνεισφορών από τα επιμέρους φορτία. Συμπεραίνου­ με ότι, η δυναμική ενέργεια που συνδέεται με ένα δοκιμαστικό φορτίο q ' στο σημείο α στο Σχ. 24--Ό, λόγω της ύπαρξης της συλλογής των φορτίων q 1 , q2 , q3 , σε αποστάσεις r1 , r2 , r3 , . .. από αυτό το δοκιμαστικό φορτίο, είναι το το διανυσματικό) άθροισμα

μερικά διανυσματικό άθροισμα

.••

αλγεβρικό (όχι

(24-10) Όταν το φορτίο q ' βρίσκεται σε ένα διαφορετικό σημείο b, τότε η δυναμική ενέρ­ γεια δίνεται από τον ίδιο τύπο, μόνο που οι αποστάσεις r1 , ι·2 , είναι αυτές των φορτίων q 1 , q2 , από το σημείο b. Το έργο που παράγεται στο φορτίο q ' όταν κινείται από το α στο b κατά μήκος οποιασδήποτε τροχιάς είναι ίσο με τη διαφορά υ. - υb ανάμεσα στις δυναμικές ενέργειες όταν το q ' βρίσκεται στο α ή στο b, αντίστοιχα. Μπορούμε να παρουσιάσουμε κατανομή φορτίων ως μια συλλογή σημεια­ κών φορτίων, συνεπώς η Εξ. (24-10) δείχνει ότι μπορούμε πάντοτε να βρούμε μια συ­ νάρτηση δυναμικής ενέργειας για στατικό ηλεκτρικό πεδίο. Συνεπώς κάθε ηλεκτρι­ •••

•••

κάθε κάθε

κό πεδίο που οφείλεται σε στατική κατανομή φορτίων, είναι ένα διατηρητικό πεδίο δυ­ νάμεων.

Οι εξισώσεις (24-9) και (24-10) μας δείχνουν ότι η υ είναι ίση με μηδέν όταν όλες οι αποστάσεις r1 , r2 , r3 , , είναι δηλαδή όταν το δοκιμαστικό φορτίο q ' είναι πο­ λύ μακριά από όλα τα φορτία που παράγουν το πεδίο. Αυτή η θέση είναι θεωρητικά ισα­ πέχουσα από όλα τα φορτία q; , (εκτός από την περίπτωση που η ίδια η κατανομή των φορτίων εκτείνεται στο άπειρο). Όπως σε κάθε συνάρτηση δυναμικής ενέργειας, το ση­ μείο αναφοράς είναι αυθαίρετο· μπορούμε πάντοτε να προσθέσουμε μια σταθερά για να γίνει η υ ίση με το μηδέν σε όποιο σημείο διαλέξουμε. Θέτοντας υ = Ο στο άπειρο έχου­ με μια βολική στάθμη αναφοράς για ηλεκτροστατικά προβλήματα, όμως στην ανάλυση κυκλωμάτων είναι συχνά πιο κατάλληλες άλλες στάθμες αναφοράς. Η Εξ. (24-10) μας δίνει τη δυναμική ενέργεια που συνδέεται με την παρουσία του Όμως υ­ δοκιμαστικού φορτίου q ' μέσα στο πεδίο Ε που παράγεται από τα q 1 , q2 , q3 , πάρχει επίσης δυναμική ενέργεια που σχετίζεται με την συλλογή αυτών των ίδιων των φορτίων. Εάν αρχίσουμε με τα φορτία q 1 , q2 , q3 , όλα τοποθετημένα σε άπειρη απόστα­ ση το ένα από το άλλο και ύστερα τα πλησιάσουμε έτσι ώστε η απόσταση μεταξύ του q; και του qi να γίνει r;i, η δυναμική ενέργεια θα είναι το άθροισμα των ενεργειών των αλληλεπιδράσεων κατά ζεύγη και μπορούμε να τη γράψουμε ως 1- Σ qi qj υ= (24-1 1) 4πε0 ii Ι;.i . Αυτό το άθροισμα εκτείνεται σε όλα τα φορτίων: δεν επιτρέπουμε ί = j (διότι αυτό θα σήμαινε την αλληλεπίδραση ενός φορτίου με τον εαυτό του), και πρέπει να μετράμε κάθε ζεύγος μόνο μία φορά. Εάν περιλάβουμε τον όρο όπου ί = 3 καιj = 4 δεν περιλαμ­ βάνουμε τον όρο ί = 4 καιj = 3. Ένας εύκολος τρόπος για να εκφράσουμε αυτόν τον πε­ ριορισμό είναι να αθροίσουμε ως προς όλα τα ί και ως προς όλα τα j, για τα οποία ί > j. Ένα τελευταίο σχόλιο για την ηλεκτρική δυναμική ενέργεια. Την έχουμε ορίσει συναρτήσει του έργου που παράγεται από τη πάνω σε ένα •••

άπειρες,

•••

..•

συνολική

ζεύγη

δύναμη του ηλεκτρικού πεδίου

•

24-6 Η δυναμική ενέργεια που

συνδέεται με το φορτίο q ' στο σημείο α εξαρτάται από τα φορτία q 1 , q2 και q3 και από τις αποστάσεις τους r1, r2 και r3 από το σημείο α.

662

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 24 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ

φορτισμένο σωμάτιο που κινείται μέσα στο πεδίο, όπως στο Κεφ. 7 ορίσαμε τη δυναμική ενέργεια συναρτήσει του έργου που παράγεται από το πεδίο βαρύτητας ή από μια ελα­ στική δύναμη. Όταν ένα σωμάτιο κινείται από το σημείο α στο σημείο b, το έργο που πα­ ράγεται από το ηλεκτρικό πεδίο είναι W. Όταν η υ. είναι μεγαλύτερη από τη το πεδίο παράγει θετικό έργο στο σωμάτιο καθώς αυτό "πέφτει" από ένα σημείο υψηλότερης δυναμικής ενέργειας (α ) σε ένα σημείο χαμηλότερης δυναμικής ενέργειας __,

υb ,

b = υ. - υb.

(b).

Μια εναλλακτική, αλλά ισοδύναμη άποψη, είναι ότι για να "aνυψώσουμε" ένα σω­ μάτιο από ένα σημείο b στο οποίο η δυναμική ενέργεια είναι σε ένα σημείο α που έ­ χει μεγαλύτερη τιμή υ. (π.χ. σπρώχνοντας δύο θετικά φορτία το ένα προς το άλλο), θα χρειαζόταν να εφαρμόσουμε μια επιπλέον δύναμη Fexι που είναι ίση και αντίθετη προς τη δύναμη του ηλεκτρικού πεδίου και παράγει θετικό έργο. Η διαφορά δυναμικής ενέργει­ ας ορίζεται τότε ως το έργο που παράγεται από την Fexι κατά την με­ τατόπιση από το b στο Επειδή η Fexι είναι αντίθετη της δύναμης του ηλεκτρικού πεδίου και η μετατόπιση είναι προς την αντίθετη κατεύθυνση, ο ορισμός της διαφοράς δυναμι­ κού είναι ο ίδιος όπως προηγουμένως. Συνήθως δεν χρησιμοποιούμε αυτήν την ε­ ναλλακτική άποψη επειδή η υποθετική πρόσθετη δύναμη Fexι μπορεί να υπάρχει ή να μην υπάρχει σε συγκεκριμένο πρόβλημα. Θα συγκρίνουμε περισσότερο αυτές τις δύο από­ ψεις στο επόμενο εδάφιο.

υb,

υ. - υb

αντίστροφη

α.

υ. - υb

2 4-2

ΔΥΝΑΜΙ ΚΟ

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Στο πρώτο εδάφιο εξετάσαμε τη δυναμική ενέργεια υ που συνδέεται με ένα δοκιμαστι­ κό φορτίο μέσα σε ηλεκτρικό πεδίο. Τώρα θα εισαγάγουμε τη δυναμική ενέργεια "α­ νά μονάδα φορτίου", ακριβώς όπως η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου ως δύναμη σε φορ­ τισμένο σωμάτιο εισάγεται "ανά μονάδα φορτίου". Αυτό μας οδηγεί στην έννοια του η­ λεκτρικού δυναμικού, που συχνά καλείται απλά δυναμικό. Αυτή η έννοια είναι πολύ χρήσιμη σε υπολογισμούς ενεργειών φορτισμένων σωματίων. Διευκολύνει επίσης πολ­ λούς υπολογισμούς ηλεκτρικού πεδίου, επειδή είναι στενά συνδεδεμένη με το πεδίο Ε. Όταν χρειάζεται να υπολογίσουμε ένα ηλεκτρικό πεδίο, είναι συχνά ευκολότερο να υ­ πολογίσουμε πρώτα το δυναμικό και έπειτα να βρούμε το πεδίο από αυτό. Το δυναμικό είναι η Ορίζουμε το δυναμι­ κό σε κάθε σημείο εντός ηλεκτρικού πεδίου ως

q'

δυναμική ενέργεια ανά μονάδα φορτίου. V τη δυναμική ενέργεια υ που συνδέεται με ένα δοκιμαστικό φορτίο q' σε αυτό το σημείο, δια του φορτίου q': υ V= ­ (24-12) q " ή υ = q'V

Η δυναμική ενέργεια και το φορτίο είναι και τα δύο βαθμωτά μεγέθη, έτσι και το δυναμικό είναι βαθμωτή ποσότητα. Από την Εξ. (24-12) οι μονάδες του είναι ενέργεια διά φορτίο. Η μονάδα του δυναμικού στο σύστημα SI, 1 J/C, ονομάζεται volt (1 V) προς τιμήν του Ιταλού επιστήμονα AJessandro Volta (Βόλτα, 1745-1827).

1V

= 1 volt = 1 J/C = 1 joule/coulomb.

Στην ανάλυση κυκλωμάτων το δυναμικό ονομάζεται συχνά τάση. Για να θέσουμε την Εξ. (24-2) στη βάση του "έργο ανά μονάδα φορτίου", διαιρού­ με και τα δύο μέλη με και βρίσκουμε

q'

(24-13)

v. = υ. /q'

vb Vb το δυναμικό στο σημείο και το δυναμικό στο V q': qj -1 v= � (24-14) q = 4π-ε0 Σ; r; .

όπου είναι η δυναμική ενέργεια ανά μονάδα φορτίου στο σημείο α και εί­ ναι το ίδιο στο b. Ονομάζουμε και α b, αντίστοιχα. Για να βρούμε το δυναμικό σε ένα σημείο, που οφείλεται σε σύνολο σημει­ ακών φορτίων, διαιρούμε την Εξ. (24-10) με το

v.

Όταν έχουμε μια συνεχή κατανομή φορτίου κατά μήκος γραμμής, επάνω σε επιφάνεια ή μέσα σε όγκο, διαιρούμε το φορτίο σε στοιχεία (μικρών διαστάσεων) και το άθροισμα

dq

24-2 ΔΥΝΑΜΙΚΟ

663

γίνεται ολοκλήρωμα

J

dq v - -1- r ' 4 ε0

π

(24-15)

όπου το r είναι η απόσταση από το στοιχείο φορτίου dq προς το σημείο του πεδίου όπου υπολογίζουμε το V. Θα μελετήσουμε αρκετά παραδείγματα τέτοιων περιπτώσεων. Για την απόδειξη της Εξ. (24-15) χρησιμοποιήσαμε μια έκφραση για το δυναμικό σημειακού φορτίου που δίνει μηδέν σε άπειρη απόσταση από το φορτίο· συνεπώς το V που ορίζεται από την Εξ. (24-15) είναι μηδέν σε σημεία που είναι aπείρως μακριά από τα φορτία. Αργότερα θα συναντήσουμε περιπτώσεις που η ίδια η κατανομή του φορ­ τίου εκτείνεται στο άπειρο και δεν θα μπορέσουμε να χρησιμοποιήσουμε άμεσα αυτήν την εξίσωση. Όταν μας δίδεται μια συλλογή σημειακών φορτίων, η Εξ. (24-14) μας δίνει συνή­ θως τον ευκολότερο τρόπο υπολογισμού του δυναμικού V. Αλλά σε μερικά προβλήματα στα οποία το πεδίο Ε είναι γνωστό ή μπορεί να βρεθεί εύκολα, είναι ευκολότερο να δου­ λέψουμε κατευθείαν με το πεδίο. Η δύναμη πάνω στο δοκιμαστικό φορτίο q' μπορεί να γραφεί ως = q'E, έτσι

όλα

F

F

w. b = ....

[F

· dl =

[

q'E · dl.

Όταν συνδυάσουμε αυτή με την Εξ.(24-13), το δοκιμαστικό φορτίο q' aπαλείφεται και παίρνουμε V. - Vb =

[Ε

· dl =

[Ε

cos

(24-16)

φ dl.

Όταν το πεδίο Ε παράγει θετικό έργο σε θετικό δοκιμαστικό φορτίο που κινείται από το στο b, το δυναμικό πρέπει να είναι μεγαλύτερο στο α από ό,τι στο b. Ή, χρησιμοποιώ­ ντας την εναλλακτική άποψη που αναφέρθηκε στο τέλος του Εδ. 24-1, λέγουμε ότι για να μεταφέρουμε ένα δοκιμαστικό φορτίο από το b στο α θα απαιτούσε μια εξωτερική δύνα­ μη ανά μονάδα φορτίου ίση προς - Ε. Το έργο που παράγεται από αυτήν την εξωτερική δύναμη είναι η διαφορά δυναμικού v. - Vb. Δηλαδή,

α

V. - Vb = -

[

E · dl.

Συγκρινόμενη προς την Εξ. (24-16), αυτή έχει αρνητικό πρόσημο αλλά τα όρια είναι a­ ντεστραμμένα. Συνεπώς οι δύο εκφράσεις είναι ισοδύναμες. Η διαφορά v. - Vb ονομάζεται το α b· μερικές φορές το γράφουμε για συντομία ως v.b = v. - Vb. Αυτό ονομάζεται συχνά διαφορά δυναμικού με­ ταξύ των α και b, αλλά αυτό είναι αόριστο εκτός εάν ορίσουμε ποιο είναι το σημείο ανα­ φοράς. Σημειώστε ότι το δυναμικό, όπως το ηλεκτρικό πεδίο, είναι ανεξάρτητο από το δοκιμαστικό φορτίο q' που χρησιμοποιούμε για να το ορίσουμε. Όταν ένα θετικό δοκι­ μαστικό φορτίο κινείται από υψηλότερο σε χαμηλότερο δυναμικό (δηλαδή v. > Vb), το η­ λεκτρικό πεδίο παράγει θετικό έργο. Ένα θετικό φορτίο τείνει να "πέσει" από περιοχή υψηλού δυναμικού σε περιοχή χαμηλότερου δυναμικού. Το αντίθετο αληθεύει για αρνη­ τικό φορτίο. Ένα όργανο που μετράει τη διαφορά δυναμικού μεταξύ δύο σημείων ονομάζεται Η αρχή του κοινού τύπου βολτομέτρου με κινούμενο πηνίο θα περιγραφεί αργότερα. Υπάρχουν επίσης πολύ πιο ευαίσθητα όργανα μέτρησης δυναμικού που χρη­ σιμοποιούν ηλεκτρονική ενίσχυση. Όργανα που μπορούν να μετρούν διαφορά δυναμι­ κού 1 μν είναι συνηθισμένα και μπορούν να επιτευχθούν ευαισθησίες ως 10 - Ι z ν.

δυναμικό του ως προς το

βολτόμετρο.

- Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 24-2

-------

Ένα πρωτόνιο (φορτίο 1,60 χ 1 0 - 19 C) κινείται από το ση­ μείο α στο σημείο b πάνω σε ευθεία γραμμή μέσα σε γραμ­ μικό επιταχυντή, διανύοντας ολική απόσταση d = 0,50 m. Το ηλεκτρικό πεδίο ε ίναι ομογενές κατά μήκος αυτής της

ευθείας στην κατεύθυνση από α προς b, με μέτρο Ε = 1 ,5 χ 107 N/C. Προσδιορίστε a) τη δύναμη στο πρωτόνιο· b) το έργο που παρήχθη από το πεδίο και c) τη διαφορά δυνα­ μικού v. - Vb.

664

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 24 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ

ΛΥΣΗ a) Η δύναμη είναι στην ίδια κατεύθυνση με το ηλε­ κτρικό πεδίο και το μέτρο της είναι F = qE = ( 1 ,60 χ 10 - ι9 C)( 1 ,5 χ 107 N/C) = 2,4 χ 1 Ο - 12 Ν. b) Το έργο που παράγει αυτή η δύναμη είναι

Fd = (2,4 χ 10- 1 2 Ν)(Ο,50 m) = 1 ,2 χ 1 0 - 1 2 J.

w=

c) Η διαφορά δυναμικού είναι το έργο ανά μονάδα φορτί­

ου, το οποίο είναι

1 , 2 χ 1 ο-1 2 J w --7'5 χ 1 06 J/C v. - vb = - = q 1 ,6 χ 1 0-19 c

= 7,5 χ 1 06 V = 7,5 ΜΥ. Εναλλακτικά, το Ε είναι η δύναμη ανά μονάδα φορτίου, έ­ τσι μπορούμε να βρούμε το έργο ανά μονάδα φορτίου πολ­ λαπλασιάζοντας το Ε επί την απόσταση d: V. - Vb = Ed = ( 1 ,5 χ 1 07 N/C)(0,50 m) = 7,5 χ 1 06 J/C = 7,5 χ 1 06 Υ = 7,5 ΜΥ.

- Π Α Ρ Ά Δ Ε Ι Γ Μ Α 24-3

Ένα ηλεκτρικό δίπολο αποτελείται από δύο σημειακά φορ­ τία + 12 nC και - 12 nC, τοποθετημένα σε απόσταση 10 cm (Σχ. 24-7). Υπολογίστε τα δυναμικά στα σημεία α, b και c.

ΛΥΣΗ Αυτή είναι η ίδια διάταξη φορτίων όπως στο Πα­ ράδειγμα 22-9 (Εδ. 22-6). Αυτή τη φορά έχουμε να υπολο­ γίσουμε το αλγεβρικό άθροισμα

1_ � _ Σ 4π εο ; rι

Στο σημείο c το δυναμικό που οφείλεται στο θετικό φορτίο είναι 1 2 χ 1 0-9 C 1 q3 _ _ = (9,0 χ 109 Ν . m 2/C2 ) 4πεο r3 0, 1 3 m

= 830 ν,

το δυναμικό που οφείλεται στο αρνητικό φορτίο είναι - 830 V και το ολικό δυναμικό είναι μηδέν: vc = 830 ν + (- 830 Υ) = ο ν.

σε κάθε σημείο. Στο σημείο α το δυναμικό που οφείλεται στο θετικό φορτίο είναι 1 2 χ 1 0-9 c 1 __ � = (9'0 χ 109 Ν · m 2/C 2 ) 4πεο r ι 0,060 m = 1 800 Ν · m/C = 1 800 J/C = 1 800 Υ, και το δυναμικό που οφείλεται στο αρνητικό φορτίο είναι 1 2 χ 1 0-9 c 1 q __ 2 = (9 0 χ 1 09 Ν · m 2/C 2 ) 4πεο r2 ' 0,040 m = - 2700 Ν · m!C = - 2700 J/C = - 2700 Υ. -

Το Va είναι το άθροισμα τους: Va = 1 800 ν. + (- 2700 Υ) = - 900 Υ. Στο σημείο b το δυναμικό που οφείλεται στο θετικό φορτίο είναι + 2700 Υ, το δυναμικ!5 που οφείλεται στο αρ­ νητικό φορτίο είναι - 770 Υ και vb = 2700 ν + (- 770 Υ) = 1 930 ν.

- Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 24-4

b

cm cm 6,0

-+4,0 �

q2

24-7 Ποιο είναι το δυναμικό στα σημεία α, b και c γι' αυτό το ηλεκτρικό δίπολο;

-------

Υπολογίστε τις δυναμικές ενέργειες που συνδέονται με ση­ μειακό φορτίο + 4,0 nC εάν τοποθετηθεί στα σημεία α, b και c του Σχ. 24-7.

Στο σημείο c,

Για κάθε σημειακό φορτίο q, υ = q V. Χρησιμο­ ποιούμε τις τιμές του V από το Παράδειγμα 24-3. Στο ση­ μείο α, υa = qVa = (4,0 χ 1 0 - 9 C)(- 900 J/C) = - 3,6 χ 1 ο - 6 J.

(Όλες αυτές οι τιμές αντιστοιχούν σε υ και V που μηδενί­ ζονται στο άπειρο). Σημειώστε ότι για το σημείο c δεν πα­ ράγεται καθόλου έργο όταν το φορτίο των 4 nC κινηθεί α­ πό την αρχική του θέση μέχρι το άπειρο διανύοντας οποι­ ονδήποτε δρόμο. Ειδικότερα, εάν κινείται κατά μήκος της μεσοκαθέτου στη γραμμή που ενώνει τα άλλα δύο φορτία, το πεδίο σε κάθε σημείο της είναι κάθετο προς αυτήν, συ­ νεπώς δεν παράγεται έργο για οποιαδήποτε μετατόπιση κατά μήκος της.

ΛΥΣΗ

Στο σημείο b, υb = qVb = (4,0 χ 1 0 - 9 C)(- 1 930 J/C) = 7,7 χ 1 ο - 6 J.

υc = qVc = 0.

24-3 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΔΥΝΑΜΙΚΩΝ

-

Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 24-5

-------

Στο Σχ. 24-8 ένα σωμάτιο μάζας m = 5,0 g και φορτίου q' = 2,0 nC ξεκινά από την ηρεμία στο σημείο α και κινείται κατά μήκος ευθείας γραμμής προς το σημείο b. Ποια είναι η ταχύτητά του υ στο σημείο b; ΛΥΣΗ

V. - Vb = ( 1350 V) - (- 1350 V) = 2700 ν.

Τελικά,

υ=

Από τη διατήρηση της ενέργειας, κ. + υ. = Kb + υb .

Ο + q'Va = !mυ2 + q'Vb .

Λύνοντάς την ως προς υ, βρίσκουμε 2q'(Va - Vb )

m Υπολογίζουμε τα δυναμικά χρησιμοποιώντας την Εξ. (24-14), ακριβώς όπως κάναμε στο παράδειγμα 24-3: Va = (9,0 χ 109 Ν . mz/C z)

= 1350 V,

(

- 3,0 χ 10-9 C 3,0 χ 10-9 C + 0,020 m 0,01 0 m

(

3,0 χ 10-9 c vb = (9,0 χ 109 Ν . mzιc z) 0,020 m = - 1350 V,

24-3

2(2,0 χ ω -9 C)(2700 V) 5,0 χ 1ο-3 kg

= 4,6 χ 1 0- 2 m/s = 4,6 cm/s.

Σε αυτήν την περίπτωση κ. = Ο και Kb = -tmυ'. Βρίσκουμε τις δυναμικές ενέργειες ( U) από τα δυναμικά (V) χρησιμο­ ποιώντας την Εξ. (24-1 2): υ. = q'V. και υb = q ' Vb . Γρά­ φουμε πάλι την εξίσωση ενέργειας ως

υ=

665

+

- 3,0 χ ω -9 c 0,010 m

)

)

Μπορούμε να ελέγξουμε τη αυτοσυνέπεια των μονάδων σημειώνοντας ότι 1 V = 1 J/C, έτσι ο αριθμητής στο υπόρι­ ζο έχει μονάδες J ή kg · m2/s2 • Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την ίδια ακριβώς μέ­ θοδο για να βρούμε την ταχύτητα ενός ηλεκτρονίου που ε­ πιταχύνεται από διαφορά δυναμικού 500 ν σε καθοδικό σωλήνα παλμογράφου ή από διαφορά δυναμικού 20 kV σε καθοδικό σωλήνα τηλεόρασης. Τα προβλήματα στο τέλος του κεφαλαίου περιλαμβάνουν αρκετά παραδείγματα τέ­ τοιων υπολογισμών.

-3,0 nC 3,0 nC --e)L_ l,O + � -: l,O---L+ l,O J -0-� cm

cm

cm �

24-8 Το σωμάτιο κινείται από το σημείο α προς το b· η επιτάχυνσή του δεν είναι σταθερή. •

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΔΥΝΑΜ Ι ΚΩΝ

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Οι υπολογισμοί του δυναμικού ακολουθούν συνήθως τη μια από τις δύο παρακάτω μεθό­ δους. Εάν γνωρίζουμε την κατανομή του φορτίου, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τις Εξ. (24-14) ή (24-15). Ή, εάν γνωρίζουμε το ηλεκτρικό πεδίο, μπορούμε να χρησιμοποι­ ήσουμε την Εξ. (24-16), ορίζοντας το δυναμικό να είναι μηδέν σε κάποιο βολικό σημείο. Μερικά προβλήματα απαιτούν το συνδυασμό αυτών των δύο διαδικασιών.

Σ Τ ΡΑΤΗ Γ Ι Κ Η Ε Π ΙΛΥΣ Η Σ Π Ρ Ο Β Λ Η Μ ΑΤ Ω Ν Υπολογισμός δυναμικού 1 . Να θυμάστε ότι το δυναμικό είναι απλά δυναμική ενέρ­ γεια ανά μονάδα φορτίου. Κατανοώντας αυτή την απλή

πρόταση θα μπορέσετε να προχωρήσετε ευκολότερα. 2. Για να βρείτε το δυναμικό που οφείλεται σε συλλογή ση­ μειακών φορτίων, χρησιμοποιείστε την Εξ. (24-14). Εάν σας δοθεί μια συνεχής κατανομή φορτίου, σκεφθείτε έναν τρόπο να την διαιρέσετε σε aπειροστά στοιχεία που να εκ­ φράζονται συναρτήσει συντεταγμένων και διαφορικών συ­ ντεταγμένων. Μετά χρησιμοποιήστε την Εξ. (24-15), εκ­ φράζοντας το άθροισμα ως ολοκλήρωμα. Ολοκληρώστε με κατάλληλα όρια, ώστε να περιλάβετε ολόκληρη την κατα­ νομή του φορτίου. Προσέξτε ποιες από τις γεωμετρικές πο­ σότητες στο ολοκλήρωμα μεταβάλλονται και ποιες παραμέ­ νουν σταθερές.

3. Εάν σας δοθεί το ηλεκτρικό πεδίο ή μπορείτε να το βρεί­ τε με κάποια από τις μεθόδους των Κεφ. 22 ή 23, ίσως είναι ευκολότερο να υπολογίσετε το έργο που παράγεται κατά τη μετακίνηση ενός δοκιμαστικού φορτίου από το σημείο α στο b και μετά χρησιμοποιείστε την Εξ. (24-16). Όταν το κρίνετε κατάλληλο, χρησιμοποιείστε την ελευθερία να ορί­ σετε το V ως μηδέν σε οποιοδήποτε βολικό σημείο. Για ση­ μειακά φορτία αυτό συνήθως είναι το άπειρο, αλλά για άλ­ λες κατανομές φορτίου (ειδικά εκείνες που εκτείνονται στο άπειρο) ίσως είναι βολικό ή απαραίτητο να ορίσουμε το μηδέν του V σε κάποια πεπερασμένη απόσταση από την κατανομή του φορτίου, ας πούμε στο σημείο b. Αυτό είναι παρόμοιο με τον ορισμό της υ ως μηδέν στο επίπεδο του ε­ δάφους στα προβλήματα βαρύτητας. Τότε το δυναμικό σε

666

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 24 ΗΛΕΚ'fΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ

αιτοιοδήποtε άλλο σημείο, ας ΠΟ\ίμε το α , μπορεί να βρεθεί (24-16) με vb = ο.

από την

Εξ.

4. Να θuμάσtε 6n το δυναμικό είναι βαθμωτή ποσότητα, ό­

χι διάνυσμα. Δεν έχει σuνι.σcώσες και θα είναι λάθος να

- Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 24-6

προσπαθήσετε να χρησιμοποιήσετε συνιστώσες δυναμι­ κού. Όμως, ίσως πρέπει να χρησιμοποιήσετε συνιστώσες των διανυσμάτων Ε και dl 6ταν χρησιμοποιείτε την Εξ. (24-1 6).

-------

ΦοQτισμένος σφαιQικός αγωγός. Μια στερεά αγώγιμη σφαίρα ακτίνας R φέρει συνολικό φορτίο q. Να βρείτε το δυναμικό παντού μέσα και έξω από τη σφαίρα. Χρησιμοποιήσαμε το νόμο του Gauss στο Παρά­ δειγμα 23-5 (Εδ. 23-3) για να δείξουμε ότι σε όλα τα ση­ μεία εκτός της σφαίρας το πεδίο είναι το ίδιο με αυτό ενός σημειακού φορτίου q στο κέντρο της σφαίρας. Εντός της σφαίρας το πεδίο ε ίναι μηδέν παντού· διαφορετικά, μέσα στη σφαίρα θα είχαμε κίνηση φορτίου. Εάν πάρουμε V = Ο στο άπειρο, όπως κάναμε με το σημειακό φορτίο, τότε για σημείο εκτός της σφαίρας και σε απόσταση r από το κέντρο της, το δυναμικό ε ίναι το ίδιο όπως αυτό που θα είχαμε με σημειακό φορτίο q στο κέντρο της, δηλαδή, ΛΥΣΗ

v

1 9._ V= _ _ · 4πε ο r

Το δυναμικό στην επιφάνεια της σφαίρας είναι 1 9._ (24-1 7) V= _ 4πε_ο R · Εντός της σφαίρας το πεδίο είναι μηδέν παντού και δεν πα­ ράγεται έργο κατά τη μετακίνηση δοκιμαστικού φορτίου μεταξύ δύο οποιωνδήποτε σημείων σε αυτή την περιοχή. Έτσι το δυναμικό ε ίναι το ίδιο σε κάθε σημείο εντός της σφαίρας και ίσο προς την τιμή του δυναμικού στην επιφά­ νεια, q/4πε0R. Στο Σχ. 24-9 φαίνονται το πεδίο και το δυ­ ναμικό ως συναρτήσεις του r για θετικό φορτίο q. Το ηλε­ κτρικό πεδίο Ε στην επιφάνεια έχει μέτρο Ε = -1- 1qJ 4πεο R - ·

V = -1- !]_ 4 πε0 R q

24-9 Το μέτρο του ηλεκτρικού πεδίου Ε και το δυναμικό V σε σημεία εντός και εκτός φορτισμένου σφαιρικού αγωγού.

(24-18)

Να μια πρακτική εφαρμογή του αποτελέσματος του Παραδείγματος 24-6. Το μέγι­ στο δυναμικό στο οποίο μπορεί να τεθεί αγωγός στον αέρα, περιορίζεται από το γεγονός ότι τα μόρια του αέρα ιονίζονται και ο αέρας καθίσταται αγώγιμος για ηλεκτρικό πεδίο περίπου 3 χ 1 0 6 N/C. Υποθέστε προς στιγμή ότι το q είναι θετικό. Συγκρίνοντας τις Εξ. (24-17) και (24-18) σημειώνουμε ότι στην επιφάνεια αγώγιμης σφαίρας το πεδίο και το δυναμικό σχετίζονται με την V = ER. Έτσι εάν Em είναι το μέτρο του ηλεκτρικού πεδίου για το οποίο ο αέρας γίνεται αγώγιμος (γνωστό ως η του αέρα), το μέγιστο δυναμικό Vm στο οποίο μπορεί να βρεθεί ένας σφαιρικός αγωγός είναι

διηλεκτρική αντοχή

Για σφαίρα ακτίνας 1 cm, στον αέρα, Vm = (10- 2 m)(3

χ

1 0 6 N/C) = 30 000 V.

Κανένας τρόπος "φόρτισης" δεν είναι δυνατόν να υψώσει το δυναμικό μιας σφαίρας αυ­ τού του μεγέθους μέσα στον αέρα υψηλότερα από περίπου 30 000 V. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο στις μηχανές υψηλής τάσεως χρησιμοποιούνται σφαιρικοί πόλοι μεγάλου μεγέθους, όπως στις γεννήτριες Van de Graaf (Σχ. 24-10). Εάν κάνουμε το R = 2 m, τότε Vm = (2 m)(3

χ

10 6 N/C)

=

6 χ 10 6 V

=

6 ΜΥ.

24-3 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΔΥΝΑΜΙΚΩΝ

667

τέτοιες μηχανές τίθενται πολλές φορές σε δεξαμενές πίεσης γεμάτες με αέριο, όπως το εξαφθοριούχο θείο (SF6), που μπορεί να αντέξει μεγαλύτερα πεδία χωρίς να γίνει αγώ­ γιμο. Στο άλλο άκρο είναι το φαινόμενο που παράγεται από επιφάνεια πολύ α­ κτίνας καμπυλότητας, όπως ένα οξύ σημείο ή λεπτό σύρμα. Αφού το μέγιστο δυναμικό είναι ανάλογο προς την ακτίνα, ακόμη και σχετικώς μικρά δυναμικά εφαρμοσμένα σε ο­ ξέα σημεία στον αέρα παράγουν αρκετά υψηλά πεδία πολύ κοντά στο σημείο ώστε να ιο­ νίζουν τον περιβάλλοντα αέρα, κάνοντάς τον αγώγιμο. Το προκύπτον ρεύμα και η συνο­ δεύουσα αυτό φωτοβολία (ορατή σε σκοτεινό δωμάτιο) ονομάζεται Τα φωτοα­ ντιγραφικά μηχανήματα χρησιμοποιούν την κορόνα από λεπτά σύρματα για να φορτί­ σουν το τύμπανο απεικονίσεως και σε μερικές μηχανές που μεταχειρίζονται χαρτί χρησι­ μοποιείται η κορόνα για τον αποφορτισμό από στατικά φορτία που διαφορετικά θα προ­ καλούσαν προβλήματα στην τροφοδοσία χαρτιού. Μαζί με τον ιονισμό παράγεται και ό­ ζον, το οποίο είναι ανθυγιεινό σε μεγάλες ποσότητες. Οι κεραίες ραδιοφώνου στα αυτο­ κίνητα έχουν μια μπάλα στην κορυφή (αντί για οξύ άκρο) για να αποτρέπουν τη δημιουρ­ γία κορόνας που θα προκαλούσε ηλεκτρικό και τελικά ακουστικό θόρυβο.

μικρής

κορόνα.

24-10 Γεννήτρια Van de Graaf. Ηλεκτρικό φορτίο μεταφέρεται προς το θόλο σrην κορυφή από κινούμενο ιμάντα εντός της κατακόρυφης στήλης. Μπορούν να επιτευχθούν διαφορές δυναμικού έως και 10 6 ν.

-

Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 24-7

-------

Παράλληλες πλάκες. Να βρείτε το δυναμικό σε κάθε ύ­ ψος y μεταξύ των δύο φορτισμένων παράλληλων πλακών που αναφέρθηκαν στην αρχή του Εδ. 24-1. δυναμική ενέργεια υ για δοκιμαστικό φορτίο q' σε απόσταση y πάνω από την κάτω πλάκα (Σχ. 24--1 1 ) δίνε­ ται από την Εξ. (24--5), υ = q Έy. Το δυναμικό VY στο ση­ μείο y ε ίναι η δυναμική ενέργεια ανά μονάδα φορτίου, VY = υ! q ': Vy = Ey . Επιλέξαμε το υ, και ως εκ τούτου το V, να είναι μηδέν στο σημείο b, όπου y = Ο. Ακόμη και αν επιλέξουμε μια διαφο­ ρετική τιμή δυναμικού Vb στο b, εξακολουθεί να είναι

Το δυναμικό ελαττώνεται γραμμικά συναρτήσει του y κα­ θώς κινούμαστε από την πάνω προς την κάτω πλάκα. Στο σημείο α , όπου y = d και � = v., v. - vb = Ed, v. - vb Ε

ΛΥΣΗ Η

L+

+ Ε

-

ι

-

+

Υ

q'4 α

b

- 0

+

+

-

-

I

1

χ

24-11 Οι παράλληλες φορτισμένες πλάκες από το Σχ. 24-1.

-

-

-

d

vb - . d

(24--1 9)

Δηλαδή, το ηλεκτρικό πεδίο ισούται με τη διαφορά δυναμι­ κού μεταξύ των πλακών διαιρεμένη διά της μεταξύ τους α­ ποστάσεως. (Προσοχή! Αυτή η σχέση ισχύει μόνο για την ε­ πίπεδη γεωμετρία που περιγράψαμε· δεν εφαρμόζεται σε συστήματα όπως ομόκεντρες σφαίρες και κυλίνδρους, για τα οποία το πεδίο Ε δεν ε ίναι ομογενές). Στο Παράδειγμα 23-8 (Εδ. 23-3) βρήκαμε την έκφρα­ ση Ε = σ/ε0 για το ηλεκτρικό πεδίο μεταξύ δύο αγώγιμων πλακών συναρτήσει της επιφανειακής πυκνότητας φορτίου σ της μιας πλάκας. Η Εξ. (24-- 1 9) είναι γενικότερα πιο χρή­ σιμη από αυτήν την έκφραση, επειδή η διαφορά δυναμικού v.b μπορε ί να μετρηθεί εύκολα με ένα βολτόμετρο, αλλά δεν υπάρχουν όργανα που να μετρούν άμεσα επιφανειακή πυκνότητα φορτίου. Η Εξ. (24-19) δείχνε ι επίσης ότι η μονάδα του ηλε­ κτρικού πεδίου μπορεί να εκφραστεί ως 1 volt ανά μέτρο (1 V/m), όπως επίσης και ως 1 N/C : 1 V/m = 1 N/C.

Στην πράξη το volt ανά μέτρο είναι η συνήθης μονάδα του

Ε.

Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 24-8 -------

Γραμμική κατανομή φορτίου και αγώγιμος φορτι­ σμένος κύλινδρος. Να βρείτε το δυναμικό σε απόσταση r από γραμμική κατανομή φορτίου με πυκνότητα φορτίου (φορτίο ανά μονάδα μήκους) λ.

κατευθύνσεις) ευθύγραμμη κατανομή φορτίου ή εκτός α­ γώγιμου φορτισμένου κυλίνδρου έχει ακτινική συνιστώσα

ΛΥΣΗ Βρήκαμε στο Παράδειγμα 23-6 (Εδ. 23-3) ότι το πεδίο Ε σε απόσταση r από μια μακριά (και προς τις δύο

Από την Εξ. (24-- 1 6) το δυναμικό οποιουδήποτε σημείου α ως προς οποιοδήποτε άλλο σημείο b, σε ακτινικές αποστά-

1 ξ = 2πε σ

λ

--; ·

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 24 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ

668

σεις rα και rb από τη γραμμή του φορτίου (Σχ. 24-1 2a), είναι Vα - Vb =

f

b

α

λ E · dl = -2πεο

f 'b ra

r dr λ ln ...! !. . (24-20) - = -r 2πεο 'α

λύτερες από την ακτίνα R του κυλίνδρου. Εάν διαλέξουμε το r0 να είναι η ακτίνα R του κυλίνδρου, έτσι ώστε V = Ο ό­ ταν r = R (Σχ. 24- 1 2b), τότε για κάθε σημείο για το οποίο r > R,

R λ ln . V = -2π εο r

Εάν θεωρήσουμε το σημείο b στο άπειρο και θέσουμε Vb = βρίσκουμε για το δυναμικό Vα ,

Ο,

όπου ι· είναι η απόσταση από τον άξονα του κυλίνδρου.

=

λ Vα = -- ln - = =. rα 2π εο

Αυτό δείχνει ότι εάν προσπαθήσουμε να ορίσουμε το V ως μηδέν στο άπειρο, τότε πρέπει να είναι άπειρο σε κάθε πε­ περασμένη απόσταση από την ευθεία του φορτίου. Αυτός λοιπόν ο τρόπος δεν είναι βολικός για να ορίσουμε το V σε αυτό το πρόβλημα. Η δυσκολία, όπως αναφέραμε προη­ γουμένως, έγκειται στο ότι η κατανομή φορτίου εκτείνεται και η ίδια στο άπειρο. Για να αποφύγουμε αυτή τη δυσκολία μπορούμε να δώσουμε στο V την τιμή μηδέν σε όποιο σημείο θέλουμε. Θέτουμε Vb = Ο στο σημείο b με αυθαίρετη ακτίνα r0. Τότε σε οποιοδήποτε σημείο α σε ακτινική απόσταση r το δυνα­ μικό V είναι Vα - Vb = �� - Ο, ή

λ

V = __ Ιη

2πεο

!:Qr _

(24-22)

r

(a)

+

(24-2 1 )

Οι εξισώσεις (24-20) και (24-2 1 ) δίνουν το δυναμικό στο πεδίο ενός κυλίνδρου μόνο για τιμές του r ίσες ή μεγα-

+

+

+

(b)

24-12 Ηλεκτρικό πεδίο εκτός (a) ενός μακρού φορτισμένου σύρματος (b) ενός μακρού φορτισμένου κυλίνδρου.

- Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 24-9

Φ ορτισμένος κυκλικός δακτύλιος. Ηλεκτρικό φορτίο είναι κατανεμημένο ομοιόμορφα σε λεπτό δακτύλιο ακτί­ νας α, με ολικό φορτίο Q (Σχ. 24-13). Να βρείτε το δυναμι­ κό σε σημείο Ρ του άξονα του δακτυλίου σε απόσταση χ α­ πό το κέντρο του. Έχουμε δει αυτόν τον δακτύλιο αρκετές φορές πριν, τελευταία στο Παράδειγμα 22-10 (Εδ. 22-6). ΑναφεΛΥΣΗ

ρόμενοι σε αυτό το παράδειγμα,2 σημειώνουμε ότι όλο το φορτίο είναι σε απόσταση r = (χ + α 2) 112 από το σημείο Ρ. Συμπεραίνουμε λοιπόν αμέσως ότι το δυναμικό στο σημείο Ρ, ως συνάρτηση του χ, είναι Q 1 V(x) = --_ z ;, +=α=z . 4π εο -J= x,;=

(24-23)

Το δυναμικό είναι μια βαθμωτή ποσότητα· δεν υπάρχει λό­ γος να θεωρήσουμε συνιστώσες διανυσμάτων σε αυτόν τον υπολογισμό, όπως έπρεπε να κάνουμε όταν βρήκαμε το η­ λεκτρικό πεδίο στο Ρ, έτσι ο υπολογισμός του δυναμικού ε ίναι πολύ aπλούστερος από τον υπολογισμό του πεδίου. Όταν το χ είναι πολύ μεγαλύτερο του α, η Εξ. (24-23) γίνε­ ται προσεγγιστικά (βλ. Παράρτημα Γ) 1 Q V(x) = - - . 4π εο χ

24-13 Όλο το φορτίο Q είναι στην ίδια απόσταση r από το Ρ.

Αυτή εκφράζει το δυναμικό σημειακού φορτίου Q σε από­ σταση χ. Όταν είμαστε πολύ μακριά από τον φορτισμένο δακτύλιο, αυτός φαίνεται ως σημειακό φορτίο.

- 1 1 Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 24-1 0 -----Λεπτή φ ορτισμένη ράβδος. Ηλεκτρικό φορτίο Q κα­ τανέμεται ομοιόμορφα κατά μήκος λεπτής ράβδου μήκους 2α . Να βρείτε το δυναμικό στο σημείο Ρ κατά μήκος της μεσοκαθέτου της ράβδου σε απόσταση χ από το κέντρο της. Αυτή είναι η ίδια κατάσταση όπως στο Παράδειγ­ μα 22-1 1 (Εδ. 22-6). Στο Σχ. 24-14 το στοιχείο φορτίου dQ

ΛΥΣΗ

που αντιστοιχεί σε στοιχείο μήκους dy της ράβδου δίνεται πάλι από dQ = (QI2a)dy. Η απόσταση από το dQ στο Ρ εί­ ναι (χ 2 + /) 112 και η συνεισφορά στο δυναμικό, dV, που δη­ μιουργεί το dQ στο σημείο Ρ, είναι dV =

dy _1_Q 4π εο 2α -/χ 2 + y z ·

24-4 ΙΣΟΔ ΥΝΑΜΙΚΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ

669

Για να βρούμε το δυναμικό στο Ρ, ολοκληρώνουμε αυτή για όλο το μήκος της ράβδου από y - α έως y α: =

V(x)

α f " �.

_ l _Q_ πεο 2

4

_

dy

-a

Μπορείτε να βρείτε το ολοκλήρωμα στο Παράρτημα Β · το τελικό αποτέλεσμα είναι

ο -------χ�--�-- χ

V(x)

Q

24-14 Για την εύρεση του ηλεκτρικού δυναμικού στην μεσοκάθετο μιας ομοιόμορφα φορτισμένης ράβδου μήκους 2il.

24-4

=

=

=

α 1 Q ο 2α ln � ...Jα 2 + χ2-+ α · 4πε

Όταν το χ ε ίναι πολύ μεγάλο, αναμένουμε το V να τείνει στο μηδέν. Σας προτείνουμε να το επαληθεύσετε. Προσέξτε πάλι ότι το πρόβλημα είναι απλούστερο από τον υπολογισμό του Ε στο σημείο Ρ επειδή το δυναμικό εί­ ναι βαθμωτή ποσότητα και δεν υπεισέρχονται υπολογισμοί διανυσμάτων. •

Ι Σ Ο ΔΥΝΑΜΙΚΕΣ Ε Π Ι ΦΑΝ Ε Ι Ε Σ

Οι γραμμές πεδίου (δυναμικές γραμμές, Εδ. 22-7) μας βοηθούν να αποκτήσουμε επο­ πτεία των ηλεκτρικών πεδίων. Κατά παρόμοιο τρόπο το δυναμικό σε διάφορα σημεία μέσα σε ηλεκτρικό πεδίο μπορεί να παρασταθεί γραφικά από ισοδυναμικές επιφάνει­ ες. Μια ισοδυναμική επιφάνεια ορίζεται ως μια επιφάνεια στην οποία το δυναμικό εί­ ναι το ίδιο σε κάθε της σημείο. Σε περιοχή που υπάρχει ηλεκτρικό πεδίο μπορούμε να κατασκευάσουμε μια ισοδυναμική επιφάνεια που περνάει από οποιοδήποτε σημείο. Στα διαγράμματα δείχνουμε μόνο μερικές ισοδυναμικές, συχνά με ίσες διαφορές δυνα­ μικού μεταξύ γειτονικών επιφανειών. Κανένα σημείο δεν μπορεί να έχει δύο διαφορε­ τικά δυναμικά, έτσι οι διάφορες ισοδυναμικές επιφάνειες δεν μπορούν ποτέ να εφά­ πτονται ή να τέμνονται. Η δυναμική ενέργεια ενός δοκιμαστικού φορτίου είναι η ίδια σε κάθε σημείο δε­ δομένης ισοδυναμικής επιφάνειας, έτσι το πεδίο Ε δεν παράγει έργο όταν το δοκιμαστι­ κό φορτίο κινείται από σημείο σε σημείο πάνω σε μια τέτοια επιφάνεια. Επομένως το πεδίο Ε δεν μπορεί να έχει συνιστώσα εφαπτόμενη προς την επιφάνεια· τέτοια συνιστώ­ σα θα παρήγαγε έργο κατά την κίνηση του φορτίου πάνω στην επιφάνεια. Ως εκ τούτου το Ε πρέπει να είναι κάθετο προς την επιφάνεια σε κάθε σημείο. Οι δυναμικές γραμμές και οι ισοδυναμικές επιφάνειες είναι πάντοτε κάθετες μεταξύ τους. Γενικά, οι δυναμι­ κές γραμμές είναι καμπύλες γραμμές και οι ισοδυναμικές ε ίναι καμπύλες επιφάνειες. Στην ειδική περίπτωση ομογενούς πεδίου, στο οποίο οι δυναμικές γραμμές είναι ευθείες παράλληλες και ισαπέχουσες, οι ισοδυναμικές είναι παράλληλα επίπεδα κάθετα προς τις δυναμικές γραμμές. Το Σχ. 24-15 δείχνει μερικές διατάξεις φορτίων. Οι δυναμικές γραμμές στο επίπε­ δο του σχήματος παριστάνονται με κόκκινες γραμμές, και οι τομές των ισοδυναμικών ε­ πιφανειών με αυτό το επίπεδο φαίνονται ως μπλε γραμμές. Το πραγματικό πεδίο και οι

(a)

(b)

24-15 Ισοδυναμικές επιφάνειες (μπλε γραμμές) και ηλεκτρικές δυναμικές γραμμές (κόκκινες γραμμές), για σημειακά φορτία. (a) Απλό απομονωμένο θετικό φορτίο. (b) Ηλεκτρικό δίπολο. (c) Δύο ίσα θετικά φορτία. Πώς θα άλλαζαν τα διαγράμματα εάν τα πρόσημα aντιστρέφονταν;

(c)

670

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 24 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ

Ε

ισοδυναμικές επιφάνειες είναι τρισδιάστατα. Οι ισοδυναμικές γραμμές τέμνουν κάθετα τις ισοδυναμικές επιφάνειες. Μπορούμε να αποδείξουμε ότι όταν όλα τα φορτία είναι σε ηρεμία, το ηλεκτρικό πεδίο μόλις έξω από έναν αγωγό πρέπει να είναι κάθετο προς την επιφάνειά του σε κάθε σημείο. Γνωρίζουμε ότι Ε = Ο παντού εντός του αγωγού· διαφορετικά, τα φορτία θα εκινούντο. Ειδικότερα η συνιστώσα του Ε η εφαπτόμενη προς την επιφάνεια, μόλις

24-16 Εντός του αγωγού, Ε = Ο. Εάν το Ε ακριβώς έξω από τον

αγωγό είχε μια σuνισtώσα, Ε11, παράλληλη προς την επιφάνεια του αγωγού, τότε, κατά την κίνηση ενός δοκιμασtικού φορτίου κατά μήκος τσu παραλληλόγραμμου βρόχσu, θα παρήγετο από το πεδίο μη μηδενικό έργο με την επισtροφή τσu mo σημείο εκκίνησης. Επειδή το πεδίο Ε είναι διατηρητικό, αυτό είναι αδύνατο. Συνεπώς το Ε11 πρέπει να είναι μηδέν και το Ε ακριβώς έξω από την επιφάνεια είναι κάθετο σε αυτήν.

στο εσωτερικό της επιφάνειας, είναι μηδέν σε κάθε σημείο. Κατά συνέπεια και η εφα­ πτομενική συνιστώσα του Ε μόλις από την επιφάνεια είναι επίσης μηδέν. Εάν δεν ήταν έτσι, τότε, κατά την κίνηση φορτίου σε παραλληλόγραμμη τροχιά, μερικώς μέσα και μερικώς έξω από τον αγωγό (Σχ. 24-16), θα είχε παραχθεί συνολικώς ένα ποσό έρ­ γου κατά την επιστροφή στο αρχικό σημείο. Αυτό θα παραβίαζε την διατηρητική φύση του ηλεκτροστατικού πεδίου, συνεπώς η εφαπτομενική συνιστώσα του Ε μόλις έξω από την επιφάνεια πρέπει να είναι μηδέν για κάθε σημείο της επιφάνειας. Ως εκ τούτου το Ε είναι κάθετο προς την επιφάνεια σε κάθε σημείο (Σχ. 24-17). Επομένως, υπό ηλε­ κτροστατικές συνθήκες, μια αγώγιμη επιφάνεια είναι πάντοτε μια ισοδυναμική επιφά­

έξω

νεια.

Μπορούμε να σχεδιάσουμε τις ισοδυναμικές επιφάνειες έτσι ώστε διαδοχικές επι­ φάνειες να έχουν ίσες διαφορές δυναμικού. Τότε, σε περιοχές που το μέτρο του Ε είναι μεγάλο, οι ισοδυναμικές επιφάνειες είναι πλησίον η μία στην άλλη, επειδή το πεδίο πα­ ράγει σχετικά μεγάλη ποσότητα έργου για σχετικά μικρή μετατόπιση του δοκιμαστικού φορτίου. Αντίστροφα, σε περιοχές που το πεδίο είναι ασθενέστερο οι ισοδυναμικές επι­ φάνειες απέχουν περισσότερο. Τελικά, μπορούμε να αποδείξουμε ένα θεώρημα που αναφέραμε χωρίς απόδειξη στο Εδ. 24-4. Το θεώρημα έχει ως ακολούθως: Για ηλεκτροστατικές συνθήκες, εάν αγω­ γός περιέχει κοιλότητα και εάν δεν υπάρχει φορτίο στο εσωτερικό της κοιλότητας, τότε δεν μπορεί να υπάρχει φορτίο οπουδήποτε πάνω στην επιφάνεια της κοιλότητας. Για να αποδείξουμε αυτό το θεώρημα, πρώτα αποδεικνύουμε ότι έ­ Στο Σχ. 24-18 η επιφάνεια Α της κοιλότητας είναι ισοδυναμική επιφά­ νεια, όπως μόλις αποδείξαμε. Υποθέστε ότι το σημείο Ρ στην κοιλότητα έχει διαφορετι­ κό δυναμικό· τότε μπορούμε να κατασκευάσουμε μια διαφορετική ισοδυναμική επιφά­ νεια που περιέχει το σημείο Ρ. Τώρα θεωρείστε μια γκαουσιανή επιφάνεια, που φαίνεται ως μια μοβ γραμμή, μεταξύ των δύο ισοδυναμικών επιφανειών. Εξαιτίας της σχέσης του Ε προς τις ισοδυ­ ναμικές γνωρίζουμε ότι το πεδίο σε κάθε σημείο μεταξύ των ισοδυναμικών κατευθύνε­ ται μόνο από την Α προς την ή μόνο από την προς την Α, ανάλογα με το ποια ισοδυ­ ναμική επιφάνεια είναι σε υψηλότερο δυναμικό. Σε κάθε περίπτωση η ροή μέσω αυτής της γκαουσιανής επιφάνειας ε ίναι μη μηδενική. Τότε ο νόμος του Gauss λέει ότι το φορτίο που περικλείεται από την γκαουσιανή επιφάνεια δεν μπορεί να είναι μηδέν. Αυ­ τό αντιτίθεται στην αρχική μας υπόθεση, ότι δεν υπάρχει φορτίο στην κοιλότητα. Έτσι το δυναμικό στο Ρ να είναι διαφορετικό από αυτό του τοιχώματος της κοιλό­ τητας. Ολόκληρη η περιοχή λοιπόν της κοιλότητας πρέπει να είναι στο ίδιο δυναμικό. Αλλά για να είναι αυτό αληθές, Τελικά ο νόμος του Gauss δείχνει ότι το ηλεκτρικό πεδίο σε κάθε σημείο στην επιφάνεια ενός αγωγού είναι ανάλογο προς την επιφανειακή πυκνότητα φορτίου σ σε αυτό το σημείο. Συμπεραίνουμε ότι η Αυτή η διαδοχή επιχειρημάτων μπορεί να δεί­ χνει κουραστική, αλλά αξίζει προσεκτικής μελέτης.

κάθε σημείο στην κοιλότητα

χει ίδιο δυναμικό. Β

24-17 Όταν τα φορτία είναι σε ηρεμία, μια αγώγιμη επιφάνεια είναι πάντσtε μια ισοδυναμική επιφάνεια. Οι δυναμικές γραμμές είναι κάθετες στην αγώγιμη επιφάνεια.

Β,

Β

δεν μπορεί

μηδέν παντού.

το ηλεκτρικό πεδίο εντός της κοιλότητας πρέπει να είναι

επιφανειακή πυκνότητα φορτίου στα τοιχώματα της κοιλότητας είναι μηδέν σε κάθε σημείο.

24-18 Κοιλότητα σε αγωγό. Εάν η

κοιλότητα δεν περιέχει καθόλου φορτίο, κάθε σημείο μέσα στην κοιλότητα έχει το ίδιο δυναμικό, το ηλεκτρικό πεδίο είναι μηδέν παντού και δεν υπάρχει φορτίο πουθενά στην επιφάνεια της κοιλότητας.

Ισοδυναμική επιφάνεια διά του Ρ Γκαουσιανή επιφάνεια Επιφάνεια κοιλότητας

24-5 ΒΑΘΜΙΔΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ

24-5

ΒΑΘΜΙ ΔΑ ΔΥΝΑΜΙ ΚΟΥ

------

Το ηλεκτρικό πεδίο και το δυναμικό είναι στενά συνδεδεμένα. Η Εξ. μια όψη αυτής της σχέσης:

(24-16) εκφράζει (24-24)

Εάν γνωρίζουμε το Ε σε διάφορα σημεία, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτή την εξί­ σωση για να λογαριάσουμε διαφορές δυναμικού. Μπορούμε να κάνουμε και το αντί­ στροφο· εάν γνωρίζουμε το δυναμικό V σε διάφορα σημεία, μπορούμε να το χρησιμοποι­ ούμε για να προσδιορίσουμε το Ε . Θεωρώντας το V ως συνάρτηση των συντεταγμένων y, z) ενός σημείου στο χώρο, θα δείξουμε ότι οι συνιστώσες του Ε σχετίζονται άμεσα με τις του V ως προς χ, y και z. είναι το δυναμικό του α ως προς το b, δηλαδή, η Στην Εξ. μεταβολή του δυναμικού όταν ένα σημείο κινείται από το b στο α. Αυτό μπορούμε να το γράψουμε ως

(χ,

μερικές παραγώγους (24-24), Vab = Va - Vb Vab =

ι V = [ dV, d

-

όπου dV είναι η aπειροστή μεταβολή του δυναμικού που συνοδεύει το aπειροστό στοι­ χείο dl του δρόμου από το b προς το α. Έστω η συνιστώσα του Ε παράλληλη προς το dl· τότε χρησιμοποιώντας την παραπάνω έκφραση για το va ' μπορούμε να γράψουμε την πρώτη μας εξίσωση ως

Ε,

Αυτά τα δύο ολοκληρώματα πρέπει να είναι ίσα για ζεύγος ορίων α και b και για να ισχύει αυτό, οι πρέπει να είναι ίσες. Συνεπώς για aπει­ ροστή μετατόπιση dl

κάθε

υπό ολοκλήρωση ποσότητες

κάθε

- dV = E,dl, ή Η παράγωγος dV!dl είναι ο ρυθμός μεταβολής του V για μετατόπιση προς τη διεύθυνση του dl. Ειδικότερα, εάν το dl είναι παράλληλο προς τον άξονα τότε η συνιστώσα του Ε παράλληλη προς το dl είναι απλά η συνιστώσα του Ε, δηλαδή η Έτσι, d V/dx. Επειδή γενικά το V είναι επίσης συνάρτηση των y και z, χρησιμοποιούμε το σύμβολο της μερικής παραγώγου. Μια παράγωγος στην οποία μόνο το μεταβάλλεται γράφεται V! Οι συνιστώσες y και z του Ε σχετίζονται προς τις αντίστοιχες παραγώγους του V κατά τον ίδιο τρόπο, έτσι έχουμε

χ,

χ

ξ.

ξ=-

χ

ο οχ.

ov Εχ = - οχ '

ov Ε =-, oy

(24-25)

Υ

Συναρτήσει των μοναδιαίων διανυσμάτων, μπορούμε να γράψουμε το Ε ως Ε

( . + J oy + k az ) ο) ο ο = - (ι. οχ + J.-y + k- v. =

-

ι

ov ΟΧ

. ov

o

ov

ΟΖ

(24-26)

Με διανυσματικό συμβολισμό η ακόλουθη πράξη ονομάζεται η βαθμίδα (gradient) .της συνάρτησης

f:

) k_Ε_ ι. vι = (ί_Ε_ oy + ΟΖ οχ + j_E_

(24-27)

671

672

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 24 ΗΛΕΚΊ'ΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ

Ο τελεστής που παριστάνεται με το σύμβολο V ονομάζεται "del" (ντελ) ή ανάδελτα. Έτσι σε διανυσματικό συμβολισμό, οι Εξ. (24-25) γράφονται συνοπτικά ως E = - V V.

(24-28)

Αυτή διαβάζεται ως "το Ε είναι το αρνητικό της βαθμίδας του V", ή "το Ε ισούται προς το αρνητικό del του V", ή "το Ε ισούται με μείον ανάδελτα V". Αυτή η εξίσωση δεν εξαρτάται από οποιαδήποτε επιμέρους επιλογή του μηδενικού σημείου για το V. Εάν αλλάξουμε το μηδενικό σημείο, το αποτέλεσμα είναι να αλλάξει το V σε κάθε σημείο κατά το ίδιο ποσό· οι παράγωγοι του V θα παραμείνουν οι ίδιες. Σε προβλήματα που το Ε είναι ακτινικό, όπως για σημειακό φορτίο ή κυλινδρική κατανομή, και r είναι η απόσταση από το σημείο ή τον άξονα, η σχέση που αντιστοιχεί στις Εξ. (24-25) είναι av E, = - a,: ·

(24-29)

Σημειώνουμε πάλι ότι η μονάδα ηλεκτρικού πεδίου μπορεί να εκφραστεί με τις α­ κόλουθες ισοδύναμες μορφές: 1 V/m = 1 N/C.

- Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 24- 1 1

------

Δυναμικό και πεδίο ση μειακού φοQτίου Έχουμε δεί­ ξει ότι το δυναμικό σε ακτινική απόσταση r από το σημεια­ κό φορτίο q είναι 1 q_ _ V= _ 4πι:ο r ·

- Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 24- 1 2

Ε =ξ= -

�� = - :, (4:εο ;) = 4:ι:ο � ·

σε συμφωνία με την Εξ. (22-6).

------

Δυναμικό και π εδίο εκτός φοQτισμένου κυλίνδQου Στο παράδειγμα 24-8 βρήκαμε ότι το δυναμικό εκτός φορ­ τισμένου κυλίνδρου ακτίνας R και φορτίου λ ανά μονάδα μήκους είναι λ ! R λ V= (ln R - ln r). η -;- = 2πεο

Λόγω συμμετρίας το ηλεκτρικό πεδίο έχει ακτινική διεύ­ θυνση και έτσι

2πεο

Το ηλεκτρικό πεδίο έχει μόνο ακτινική συνιστώσα Ε, και είναι λ av Ε, = - = εο ar

-2π

r'

σε συμφωνία με προηγούμενο αποτέλεσμά μας.

- 11 Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 24-13 ------

Δυναμικό και π εδίο φοQτισμένου δακτυλίου Στο πα­ ράδειγμα 24-9 βρήκαμε, ότι για φορτισμένο δακτύλιο ακτί­ νας α και ολικού φορτίου Q το δυναμικό στο σημείο Ρ που απέχει απόσταση χ από το κέντρο του δακτυλίου και βρί­ σκεται στην ευθεία που περνά από το κέντρο και είναι κά­ θετη στο επίπεδο του δακτυλίου, είναι Q V(x) = 4π1εο ...J z + . x az Από την Εξ. (24-25), Qx av = _1_ Ε = • ax 4πι:ο (χ2 + a 2)3(2 χ

Αυτό συμφωνεί με το αποτέλεσμα του παραδείγ ματος

22-10 (Εδ. 22-6).

Σε αmό το παράδειγμα, το V δεν φαίνεται να είναι συ­ νάρτηση του y, αλλά δε θα ήταν σωστό να συμπεράνουμε ό­ τι 8 V! 8y = Ο και Ey = Ο παντού. Ο λόγος ε ίναι ότι η έκ­ φραση μας για το V ισχύει μόνο για σημεία πάνω στον άξο­ να των χ όπου y = Ο. Εάν ε ίχαμε την γενική μορφή του V για όλα τα σημεία του χώρου, τότε θα μπορούσαμε να τη χρησιμοποιήσουμε για να βρούμε το ΕΥ = - avιay σε κά­ θε σημείο, κ.ο.κ.

_

- Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 24- 1 4 ------

Δυναμικό και πεδίο φοQτισμένη ς ευθείας Ένα φορ­ τίο Q είναι ομοιόμορφα κατανεμημένο κατά μήκος ράβδου

μήκους 2a . Στο παραδειγμα 24-10 (Εδ. 24-3) βρήκαμε μια έκφραση για το δυναμικό σε σημείο πάνω στην μεσοκάθε-

24-6 ΤΟ ΠΕΙΡΑΜΑ ΤΟΥ MILLIΚAN ΜΕ ΣΤΑΓΟΝΙΔΙΑ ΛΑΔΙΟΥ

το μιας τέτοιας ράβδου σε απόσταση χ από το κέντρο της: V(x) =

1

Q

4π εο 2α

-

In

�+ α -� ν α- + χ- - α ·

Το αρνητικό της παραγώγου αυτής της έκφρασης ως προς χ είναι το ξ. Να κάνετε τη διαφόριση και να δείξετε ότι το αποτέλεσμα είναι η έκφραση που βρέθηκε στο Πα­ ράδειγμα 22-11 (Εδ. 22-6) με απευθείας ολοκλήρωση. μείωση: Γράφοντας το \η του κλάσματος ως τη διαφορά των δυο ln απλοποιεί τον υπολογισμό.) •

(Ση­

Αρκετά από τα παραδείγματα αυτά καταδεικνύουν ένα σημαντικό σημείο. Πολλές φορές μπορούμε να υπολογίσουμε το ηλεκτρικό πεδίο που δημιουργείται από μια κατα­ νομή φορτίου με δύο τρόπους: ή κατευθείαν, προσθέτοντας τα πεδία Ε των σημειακών φορτίων, ή υπολογίζοντας πρώτα το δυναμικό και μετά παίρνοντας το αρνητικό της βαθ­ μίδας για να βρούμε το πεδίο. Η δεύτερη μέθοδος είναι συχνά ευκολότερη επειδή το δυ­ ναμικό είναι ποσότητα, που απαιτεί, στη χειρότερη περίπτωση, την ολοκλήρω­ ση μιας βαθμωτής συνάρτησης. Το ηλεκτρικό πεδίο είναι ποσότητα, που α­ παιτεί τον υπολογισμό συνιστωσών για κάθε στοιχείο φορτίου και ξεχωριστή ολοκλήρω­ ση για κάθε συνιστώσα. Συνεπώς, ξέχωρα από τη θεμελιώδη σημασία του, το δυναμικό προσφέρει και μια πολύ χρήσιμη υπολογιστική τεχνική σε υπολογισμούς πεδίου. Ένα άλλο σημαντικό σημείο είναι η σχέση της του Ε προς τη συμπε­ ριφορά του V. Σε κάθε σημείο, το Ε είναι πάντοτε κάθετο προς την ισοδυναμική επιφά­ νεια μέσω αυτού του σημείου και η κατεύθυνση του είναι η κατεύθυνση κατά την οποία το V πιο γρήγορα. Σε όλα αυτά τα παραδείγματα το δυναμικό ελαττώνεται καθώς απομακρυνόμαστε από την κατανομή φορτίου (υποθέτοντας πως το φορτίο είναι θετικό) και το ηλεκτρικό πεδίο έχει φορά προς τη κατεύθυνση απομάκρυνσης από αυτό. Εάν το φορτίο είναι αρνητικό, το δυναμικό αυξάνει αλγεβρικά (και γίνεται λιγότερο αρ­ νητικό) καθώς απομακρυνόμαστε από το φορτίο και το Ε έχει φορά προς το φορτίο. Η κατάσταση είναι εντελώς ανάλογη προς τη βαρυτική δυναμική ενέργεια (Εδ. 7-2 και 12-4). Κοντά στην επιφάνεια της Γης, για παράδειγμα, το βαρυτικό πεδίο έχει φορά προς το κέντρο της Γης αυτή είναι η κατεύθυνση της γρηγορότερης ελάττωσης της βαρυ­ τικής δυναμικής ενέργειας. Η ροή θερμότητας μας παρέχει άλλη μια αναλογία· η κατεύ­ θυνση ροής της θερμότητας είναι η κατεύθυνση της πλέον γρήγορης ελάττωσης της θερ­ μοκρασίας Τ, δηλαδή, η φορά του - V τ. Τελικά, τονίζουμε ακόμη μια φορά ότι εάν γνωρίζουμε το Ε συναρτήσει της θέσης, μπορούμε να υπολογίσουμε το V, χρησιμοποιώντας την Εξ. (24-16) ή την (24-24), και ε­ άν γνωρίζουμε το V συναρτήσει της θέσης, μπορούμε να υπολογίσουμε το Ε χρησιμοποι­ ώντας τις Εξ. (24-25), (24-26) ή (24-29). Η εύρεση του V από το Ε απαιτεί ολοκλήρωση και η εύρεση του Ε από το V απαιτεί διαφόριση.

βαθμωτή

διανυσματική

κατεύθυνσης

ελαττώνεται

24-6

Τ Ο Π Ε Ι ΡΑΜΑ ΤΟΥ M I L L I KA N Μ Ε ΣΤΑΓΟΝΙ ΔΙΑ ΛΑΔ Ι ΟΥ

_ _ _ _ _

κβάντωση

Στο Εδ. 22-3 αναφερθήκαμε σύντομα στην του φορτίου. Αναρωτηθήκατε ποτέ πώς μπορεί να μετρηθεί το φορτίο ενός ηλεκτρονίου; Η πρώτη επιτυχής λύση σε αυτό το πραγματικά δύσκολο πειραματικό πρόβλημα ήταν το πείραμα του Millikan με σταγονί­ δια λαδιού, μια λαμπρή εργασία που πραγματοποιήθηκε στο Πανεπιστήμιο του Chicago τα χρόνια 1909-1913 από τον Α. Millikan (Μίλικαν). Αναβάλλαμε τη συζήτηση αυτού του πειράματος μέχρι τώρα ώστε να μπορέσουμε να χρησιμοποιήσουμε την έννοια του δύναμικού στη συζήτησή μας. Η συσκευή του Millikan φαίνεται σχηματικά στο Σχ. 24-19a. Δύο παράλληλες ορι­ ζόντιες μεταλλικές πλάκες Α και είναι μονωμένες η μια από την άλλη και απέχουν με­ ρικά χιλιοστά μεταξύ τους. Λάδι εκτοξεύεται σε πολύ λεπτές σταγόνες (διάμετρος περί­ mm) από εξαερωτή πάνω από την άνω πλάκα και μερικές σταγόνες αφήνονται που να διέλθουν από τη μικρή οπή αυτής της πλάκας. Μία δέσμη φωτός κατευθύνεται οριζό­ ντια μεταξύ των πλακών και ένα τηλεσκόπιο είναι τοποθετημένο με τον άξονα του κάθε­ τα προς τη διεύθυνση της φωτεινής δέσμης. Οι σταγόνες του λαδιού, φωτισμένες από τη φωτεινή δέσμη και παρατηρούμενες από το τηλεσκόπιο, εμφανίζονται ως μικρά λαμπρά άστρα. Μια κλίμακα στο τηλεσκόπιο επιτρέπει την ακριβή μέτρηση των κατακόρυφων θέσεων των σταγόνων, έτσι ώστε οι ταχύτητες τους να μπορούν να μετρηθούν.

R.

ω-4

Β,

673

674

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 24 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ

i

24-19 a) Σχηματικό διάγραμμα της

συσκευής του MiHikan με σταγονίδια λαδιού. b) Οι δυνάμεις στη σταγόνα σε ηρεμία (παρουσία ηλεκτρικού πεδίου). c) Δυνάμεις στη σταγόνα που πέφτει με την ορική της ταχύτητα V1 (απουσία ηλεκτρικού πεδίου).

E =V�B ι

d

l

Φωτεινή πηγή

qΤηλεσκόπιο

qE υ =

mg

(b)

(a)

Ε= Ο F Ο

q -

�υ,

mg

(c)

Μερικές από τις σταγόνες λαδιού είναι ηλεκτρικά φορτισμένες εξαιτίας φαινομέ­ νων τριβής ή ιονισμού του περιβάλλοντος αέρα από ακτίνες Χ ή ραδιενέργεια. Οι σταγό­ νες ε ίναι συνήθως αρνητικά φορτισμένες, αλλά καμιά φορά μπορεί να βρεθεί και κά­ ποια φορτισμένη θετικά. Να πώς μπορούμε να μετρήσουμε το φορτίο σε μια σταγόνα. Υποθέστε ότι μια σταγόνα έχει αρνητικό φορτίο με απόλυτη τιμή q και οι πλάκες διατηρούνται σε διαφορά δυναμικού τέτοια ώστε να υπάρχει ένα ηλεκτρικό πεδίο μεταξύ τους με κατεύθυνση προς τα κάτω. Οι δυνάμεις στη σταγόνα είναι το βάρος της mg και η δύναμη προς τα επά­ νω qE. Ρυθμίζοντας το πεδίο μπορούμε να κάνουμε το qE ίσο προς το mg (Σχ. 24-19b). Η σταγόνα τότε είναι σε στατική ισορροπία και

Ε

Ε

q=

Ε

y

(24-30)

Το μέτρο του ηλεκτρικού πεδίου είναι η διαφορά δυναμικού VA8 διαιρεμένη με την α­ πόόταση d μεταξύ των πλακιδίων, όπως βρήκαμε στο Παράδειγμα 24-7. Μπορούμε να βρούμε τη μάζα m της σταγόνας εάν γνωρίζουμε την ακτίνα της r, επειδή η μάζα ισούται προς το γινόμενο της πυκνότητας ρ επί τον όγκο 4πr3/3 . Έτσι μπορούμε να γράψουμε την Εξ. (24-30) ως 4π pr3gd (24-31 ) q- 3 v . ΑΒ _

Όλα τα μεγέθη στο δεξιό μέλος της Εξ. (24-31) είναι εύκολο να μετρηθούν εκτός από την ακτίνα r της σταγόνας, η οποία είναι πολύ μικρή για να μετρηθεί άμεσα με κά­ ποιο βαθμό ακρίβειας. Αλλά ιδού ένα παράδειγμα της ευφυίας του Millikan. Μηδενίζο­ ντας το ηλεκτρικό πεδίο και μετρώντας την ορική ταχύτητα υ, της σταγόνας καθώς έπε­ φτε, προσδιόρισε την ακτίνα της σταγόνας. Ίσως πρέπει να μελετήσετε πάλι την έννοια της ορικής ταχύτητας στο Παράδειγμα 5-19 (Εδ. 5-3). Όταν πέφτει με την ορική ταχύ­ τητα, το βάρος mg εξισορροπείται ακριβώς από τη δύναμη της αντίστασης του αέρα F (Σχ. 24-19c). Να ο τρόπος με τον οποίο ο Millikan βρήκε την ακτίνα της σταγόνας από το υ, . Η δύναμη τριβής F σε σφαίρα ακτίνας r κινούμενης με ταχύτητα υ μέσα σε ρευστό ιξώδους η δίνεται από τον νόμο του Stokes, Εξ. (14-31): F = 6πηrυ . Κατά την πτώση της σταγό­ νας με την ορική ταχύτητα, η δύναμη αυτή εξισορροπεί ακριβώς το βάρος w = mg της σταγόνας, το οποίο μπορούμε να το εκφράσουμε ως 4πpgr3/3. Εξισώνοντας αυτό προς την έκφραση του νόμου του Stokes για το F, βρίσκουμε:

24-{i ΤΟ ΠΕΙΡΑΜΑ ΤΟΥ MILLIΚAN ΜΕ ΣΤΑΓΟΝΙΔΙΑ ΛΑΔΙΟΥ

και

�i;�.

(24-32)

18π.�ΒΑ._ � η3υ/. 2pg

(24-33)

r

=3

Συνδυάζοντας αυτήν την έκφραση για το r με την Εξ. (24-31), βρίσκουμε ότι

q

=

Αυτό εκφράζει την απόλυτη τιμή q του φορτίου συναρτήσει μετρήσιμων ποσοτήτων. Στην πραγματικότητα το πείραμα ήταν λίγο πιο περίπλοκο. Ο Millikan έπρεπε να διορθώσει για τη δύναμη άνωσης του αέρα στη σταγόνα που πέφτει αντικαθιστώντας την πυκνότητα p του λαδιού με το p - Ρ.;, όπου Ρ.;, είναι η πυκνότητα του αέρα. Έπρεπε επίσης να χρησιμοποιήσει μια πιο λεπτομερή παραλλαγή του νόμου του Stokes που έχει περιλάβει τη μοριακή φύση του αέρα επειδή οι διαμοριακές αποστάσεις συμβαίνει να είναι συγκρίσιμες με τα μεγέθη των σταγόνων. Ο Millikan και οι συνεργάτες του μέτρησαν τα φορτία χιλιάδων σταγόνων. Κάθε σταγόνα είχε φορτίο ίσο προς κάποιο μικρό ακέραιο πολλαπλάσιο ενός βασικού φορτί­ ου e, εντός των ορίων του πειραματικού τους σφάλματος. Δηλαδή, βρήκαν σταγόνες με φορτία ± 2e, ± Se κ.ο.κ., ποτέ όμως με φορτίο 0,76e ή 2,49e. Μια σταγόνα με φορτίο - e είχε προσλάβει ένα επιπλέον ηλεκτρόνιο· εάν το φορτίο της ήταν 2e, είχε προσλάβει δύο επιπλέον ηλεκτρόνια κ.ο.κ.. Όπως αναφέραμε στο Εδ. 22-4, η καλύτερη πειραματική τιμή της απόλυτης τιμής e του φορτίου του ηλεκτρονίου είναι -

e = 1,60217733(49) χ 10 - 19 C,

όπου το (49) φανερώνει την αβεβαιότητα στα δύο τελευταία ψηφία, 33. Το μοντέλο των κουάρκ για τη θεμελιώδη δομή των σωματιδίων περιλαμβάνει σω­ ματίδια που ονομάζονται κουάρκ με κλασματικά φορτία ± e/3 και ± 2e/3. Όμως τα κου­ άρκ παρουσιάζονται πάντοτε σε συνδυασμούς με ολικό φορτίο που είναι ακέραιο πολλα­ πλάσιο του e, ενώ το φορτίο ενός μοναδικού κουάρκ είναι πιθανώς μη παρατηρήσιμο. Συνεπώς κάθε ηλεκτρικό φορτίο που μπορεί άμεσα να παρατηρηθεί είναι ακέραιο πολ­ λαπλάσιο του e. Το μέτρο e του φορτίου του ηλεκτρονίου μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να οριστεί μια μονάδα ενέργειας, το ηλεκτρονιοβόλτ, το οποίο είναι χρήσιμο σε πολλούς υπολογι­ σμούς σε ατομικά και μοριακά συστήματα. Όταν ένα σωμάτιο φορτίου q κινείται από σημείο που το δυναμικό είναι v. σε σημείο που είναι Vb, η μεταβολή Δ υ στη δυναμική ε­ νέργεια υ, είναι

Εάν το φορτίο q ισούται προς το μέτρο e του φορτίου του ηλεκτρονίου, 1,602 χ 10- 19 C, και η διαφορά δυναμικού είναι vba = 1 ν, η μεταβολή στην ενέργεια είναι υ = (1,602 χ 1 0 - 19 C)(1 ν) = 1,602 χ 1 0 - 19 1.

Αυτή η ποσότητα ενέργειας ορίζεται ως 1 ηλεκτρονιοβόλτ (1 eν): 1 eν = 1 ,602 χ 1 0 - 19 J.

Τα πολλαπλάσια meν, keν, Μeν, Geν και Τeν χρησιμοποιούνται επίσης συχνά. Όταν ένα σωματίδιο φορτίου e κινείται σε διαφορά δυναμικού 1 ν, η μεταβολή στη δυναμική του ενέργεια είναι 1 e ν. Εάν το φορτίο είναι πολλαπλάσιο του e, π.χ. Ne, η μεταβολή στη δυναμική ενέργεια εκφρασμένη σε ηλεκτρονιοβόλτ είναι φορές τη δια­ φορά δυναμικού σε βολτ. Όταν π.χ. ένα σωματίδιο άλφα, που έχει φορτίο 2e, κινείται με­ ταξύ δύο σημείων με διαφορά δυναμικού 1000 ν, η μεταβολή στη δυναμική του ενέργεια

Ν

675

676

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 24 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ

είναι 2(1000 e V)

=

2000 e V. Για να το επιβεβαιώσουμε γράφουμε ΔU = qVba = (2)(1,602 χ 10- 1 9 C)(1000 V) = 3,204 χ ω - 1 6 J 2000 eV. =

δυναμικής ενέργειας,

Αν και ορίσαμε το ηλεκτρονιοβόλτ συναρτήσει της μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε για μορφή ενέργειας, όπως στην κινητική ενέργεια κινού­ μενου σωματίου. Όταν μιλούμε για "ηλεκτρόνιο ενός εκατομμυρίου βολτ", εννοούμε η­ λεκτρόνιο με κινητική ενέργεια ενός εκατομμυρίου ηλεκτρονιοβόλτ (1 MeV), ίσο προς (106)(1,602 χ ω- 1 9 J) 1,602 χ ω - n J.

κάθε

=

24-7

ΚΑΘ ΟΔΙΚΟΣ

ΣΩΛΗΝΑΣ

_ _ _ _ _ _

Ας εξετάσουμε τώρα πώς η έννοια του δυναμικού εφαρμόζεται σε συσκευές που ονομά­ ζονται καθοδικοί σωλήνες. Τέτοιες συσκευές συναντώνται σε παλμογράφους και παρό­ μοιες χρησιμοποιούνται σε συσκευές τηλεόρασης και οθόνες υπολογιστών. Το Σχ. 24-20 είναι ένα σχηματικό διάγραμμα των κυρίων στοιχείων ενός καθοδικού σωλήνα. Το όνο­ μα μάς παραπέμπει πίσω στα 1900. Οι καθοδικοί σωλήνες χρησιμοποιούν μια δέσμη ηλε­ κτρονίων· πριν γίνει κατανοητή η φύση της δέσμης, ονομαζόταν καθοδική ακτίνα επειδή προερχόταν από την κάθοδο (αρνητικό ηλεκτρόδιο) μιας λυχνίας κενού. Το εσωτερικό ενός καθοδικού σωλήνα βρίσκεται σε υψηλό κενό, με παραμένουσα πίεση περίπου 0,01 Pa (10 - 7 atm) ή χαμηλότερη. Σε υψηλότερη πίεση, οι συγκρούσεις των ηλεκτρονίων με τα μόρια του αέρα θα σκέδαζαν υπερβολικά τη δέσμη των ηλεκτρο­ νίων. Η στο αριστερό άκρο του σχήματος, θερμαίνεται σε υψηλή θερμοκρασία από τον και τα ηλεκτρόνια "εξατμίζονται" από την επιφάνεια της καθόδου. Η με μια μικρή οπή στο κέντρο της, βρίσκεται σε υψηλό θετικό δυ­ ναμικό V1 , της τάξης του 1 έως 20 kV, ως προς την κάθοδο. Αυτό το δυναμικό δημιουργεί ένα ηλεκτρικό πεδίο, που κατευθύνεται από τα δεξιά προς τα αριστερά του σχήματος, στην περιοχή μεταξύ της επιταχύνουσας ανόδου και της καθόδου. Τα ηλεκτρόνια δια­ περνώντας την οπή στην άνοδο σχηματίζουν μια λεπτή δέσμη και ταξιδεύουν με σταθερή οριζόντια ταχύτητα από την άνοδο προς τη Η περιοχή όπου τα ηλε­ κτρόνια κτυπούν την οθόνη, φθορίζει έντονα. Η λειτουργία του είναι να ρυθμίζει τον αριθμό των ηλεκτρο­ νίων που φθάνουν στην άνοδο και συνεπώς τη λαμπρότητα της κηλίδας στην οθόνη. Η ε­ εξασφαλίζει ότι τα ηλεκτρόνια που αφήνουν την κάθοδο με ελαφρώς διαφορετικές κατευθύνσεις εστιάζονται σε λεπτή δέσμη και όλα φθάνουν στην ίδια κηλί­ δα επί της οθόνης. Δεν χρειάζεται να πάρουμε υπόψη μας αυτά τα δύο ηλεκτρόδια στην ανάλυση που ακολουθεί. Το σύστημα της καθόδου, του πλέγματος ελέγχου, της επιταχύ­ νουσας ανόδου και του ηλεκτροδίου εστίασης ονομάζεται

κάθοδος, θερμαντήρα, επιταχύνουσα άνοδος,

φθορ(ζ,ουσα οθόνη.

πλέγματος ελέγχου

στιάζουσα άνοδος

τηλεβόλο ηλεκτρονίων.

24-20 Βασικά στοιχεία καθοδικού σωλήνα.

24-7 ΚΑΘΟΔΙΚΟΣ ΣΩΛΗΝΑΣ

677

s

Υ

τ Υ

24-21 Ηλεκτροστατική απόκλιση

�� άρα

Η

Ceq = Cι

+ Cz.

Ομοίως μπορούμε να δείξουμε ότι για οιονδήποτε αριθμό πυκνωτών, σε παράλληλη σύν­ δεση, Ceq = C1

+ C2 + C3 + · · ·

(παράλληλη σύνδεση).

(25-8)

Η ισοδύναμη χωρητικότητα του συνδυασμού σε παράλληλη σύνδεση, ισούται με το ά­ θροισμα των επί μέρους χωρητικοτήτων. Οι διαφορές δυναμικού είναι ίδιες για όλους

τους πυκνωτές, αλλά τα φορτία τους είναι εν γένει διαφορετικά. Στην παράλληλη σύνδεση η ισοδύναμη χωρητικότητα είναι πάντοτε πό οποιαδήποτε επί μέρους χωρητικότητα. Στη σύνδεση σειράς είναι πάντοτε από οποιαδήποτε επιμέρους χωρητικότητα.

μεγαλύτερη α­ μικρότερη

Σ Τ ΡΑΤ Η Γ Ι Κ Ή Ε Π Ι Λ Υ Σ Η Σ Π Ρ Ο Β Λ Η ΜΑΤ Ω Ν Ισ οδύναμη χωρη τικότη τ α 1. Ν α θυμάστε ότι όταν ένας πυκνωτής έχει φορτίο Q , πά­ ντοτε εννοούμε ότι ο οπλισμός με το μεγαλύτερο δυναμικό έχει φορτίο +Q > Ο και ο άλλος φορτίο - Q . 2. Στην περίπτωση πυκνωτών συνδεδεμένων σ ε σειρά, ό ­ πως στο Σχ. 25-5a, ο ι πυκνωτές έχουν πάντοτε το ίδιο φορ­ τίο - υποθέτοντας ότι ήταν aφόρτιστοι πριν να συνδεθούν μεταξύ τους -. Ο ι διαφορές δυναμικού δεν ε ίναι ίσες αν δεν είναι ίσες και οι χωρητικότητες. Η ολική διαφορά δυ­ ναμικού στα άκρα του συνδυασμού ισούται με το άθροισμα των επί μέρους διαφορών δυναμικού. 3. Αν έχουμε πυκνωτές συνδεδεμένους παράλληλα, όπως στο Σχ. 25-6a, η διαφορά δυναμικού V είναι πάντοτε η ίδια και για τους δύο. Τα φορτία του καθενός δεν είναι ίσα, αν

- 11 Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 2 5-4

δεν είναι ίσες και οι χωρητικότητες. Το ολικό φορτίο του συνδυασμού ισούται με το άθροισμα των επί μέρους φορ­ τίων. 4. Για πιο πολύπλοκους συνδυασμούς μπορείτε μερικές φο­ ρές να προσδιορίσετε τμήματα τα οποία είναι απλοί συν­ δυασμοί σειράς ή παράλληλοι συνδυασμοί και έτσι να τα α­ ντικαταστήσετε βήμα προς βήμα με τις ισοδύναμές τους χω­ ρητικότητες, aπλοποιώντας το πρόβλημα με τη διαδικασία της αναγωγής. Κατόπιν, αν πρέπει να βρείτε το φορτίο ή τη διαφορά δυναμικού ενός επί μέρους πυκνωτή, ίσως χρειά­ ζεται να ακολουθήσετε την αναγωγική πορεία κατά την α­ ντίθετη κατεύθυνση προς τους αρχικούς πυκνωτές.

-------

Στα Σχ. 25-5 και 25-6, έστω C1 = 6,0 μF, C2 = 3,0 μF, και Vab = 18 ν. Βρε ίτε την ισοδύναμη χωρητικότητα, καθώς και το φορτίο και τη διαφορά δυναμικού γ ια τον καθένα πυκνωτή αν οι δύο πυκνωτές συνδεθούν a) σε σειρά· b) παράλληλα.

' Η μεγαλύτερη διαφορά δυναμικού ε μφανίζεται στα άκρα του μικρότερου πυκνωτή.

a) Η ισοδύναμη χωρητικότητα του συνδυασμού σε σειρά (Σχ. 25-Sa) δίνεται από την Εξ. (25-6):

b) Η ισοδύναμη χωρητικότητα του συνδυασμού σε παράλ­ ληλη σύνδεση (Σχ. 25-6a) δίνεται από την Εξ. (25-8):

ΛΥΣΗ

1

_ _

Ceq

=

1._ C1

+

1._ C2

=

1 6,0 μF

_ _

+

1

_ _

3,0 μF '

Ceq = 2,0 μF.

Το φορτίο Q ε ίναι Q = CeqV = (2,0 μF)( 18 ν) = 36 μC. Οι διαφορές δυναμικού στα άκρα των πυκνωτών είναι

Q

36 μC _ Vac - V1 - 6 Ο μF - 6,0 ν, Cι ' _

_

_

Q

36 μC

1 2 ν. Vcb - V2 C2 - 3 Ο μ F _

Ceq = C1

_

_

_

+ C2 = 6,0 μF + 3,0 μF = 9,0 μF.

Τα φορτία Q 1 και Q2 ε ίναι Q 1 = C1 V = (6,0 μF)(18 ν) = 108 μC. Q2 = C2V = (3,0 μF)(18 ν) = 54 μC.

Η διαφορά δυναμικού στα άκρα του κάθε ενός πυκνωτή ε ί­ ναι 18 V.

695

25-4 ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ

-

1 1 Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 25-5

-------

Βρείτε την ισοδύναμη χωρητικότητα του συνδυασμού που φαίνεται στο Σχ. 25-7a.

(25-8). Ονομάζουμε την ισοδύναμη χωρητικότητα του συν­ δυασμού τους C" και έχουμε C" = 3 μF

ΛΥΣΗ Πρώτα aντικαθιστούμε τον συνδυασμό σε σειρά των 12 μF και 6 μF με την ισοδύναμή του χωρητικότητα· την ονομάζουμε C' και χρησιμοποιούμε την Εξ. (25-6):

1

=

:Jl:Ι " μf :J[: ιz6 μF,F

_1_ = Ceq

α

_[3 μF τ

=r

1_ _ + 1 8 μF

+

4 μF = 18 μF.

_[3 μF τ

1_ _ 9 μF '

Ωeq = 6 μF.

:Jl: 1 Ι" μF l τ ' μF Ι " μF α

τ 9 μF

1 1 μF

Αυτό μας δίνει τον ισοδύναμο συνδυασμό που φαίνεται στο Σχ. 25-7c. Τέλος βρίσκουμε την ισοδύναμη χωρητικότητα ceq αυτών των δύο χωρητικοτήτων σε σειρά:

1 + 1 C' = 4 μF. 1 2 μF 6 μF ' Αυτό μας δίνει τον ισοδύναμο συνδυασμό που φαίνεται στο Σχ. 25-7b, κατόπιν βρίσκουμε την ισοδύναμη χωρητικότητα των τριών πυκνωτών παράλληλα, χρησιμοποιώντας την Εξ. C'

+

τ 9 μF

α

τ 9 μF

b

b

b

(a)

(b)

(c)

25-7 (a) Εύρεση της ισοδύναμης χωρητικότητας μεταξύ των σημείων a και b: (b) Απεικονίζεται η χωρητικότητα δύο πυκνωτών συνδεδεμένων σε σειρά· (c) Απεικονίζεται η ισοδύναμη χωρητικότητα τριών πυκνωτών συνδεδεμένων παράλληλα.

25-4

ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ Π Ε Δ Ι ΟΥ

_ _ _ _ _ _

Πολλές από τις σημαντικότερες εφαρμογές των πυκνωτών σχετίζονται με την ικανότητά τους να αποθηκεύουν ενέργεια. Τα αντίθετα φορτία επί των οπλισμών, που είναι διαχωρι­ σμένα ενώ ταυτόχρονα έλκονται μεταξύ τους, παρουσιάζουν αναλογία προς ένα τεντωμέ­ νο ελατήριο ή προς ένα σώμα που έχει ανυψωθεί μέσα στο βαρυτικό πεδίο της Γης. Η δυ­ ναμική ενέργεια ισούται με την ενέργεια που πρέπει να εισρεύσει ώστε να φορτιστεί ο πυ­ κνωτής και με το έργο που παράγεται από τις ηλεκτρικές δυνάμεις όταν εκφορτίζεται. Αυ­ τό το έργο είναι ανάλογο προς το έργο που παράγει ένα ελατήριο ή η βαρύτητα της Γης ό­ ταν το σύστημα επανέρχεται από τη θέση του μετά τη μετατόπιση στη θέση αναφοράς. Ένας τρόπος υπολογισμού της δυναμικής ενέργειας U φορτισμένου πυκνωτή είναι να υπολογιστεί το έργο που απαιτείται για να φορτιστεί. Το τελικό φορτίο Q και η τε­ λική διαφορά δυναμικού συνδέονται με τη σχέση

W

Q

υ

= cv.

q

Έστω και η μεταβαλλόμενη (στιγμιαία) διαφορά δυναμικού και φορτίο αντίστοιχα κατά τη διάρκεια της διαδικασίας φορτίσεως ισχύει q/C. Το έργο που χρειάζε­ ται για να μεταφερθεί επί πλέον στοιχειώδες φορτίο είναι

Το ολικό έργο τιμή Q είναι

υ= dq

dW

dW = υ dq = q�q

W που απαιτείται για να αυξηθεί το φορτίο q από το μηδέν ως την τελική

fw

l fQ

2

Q W = dW = -C q dq = -. 2C 0

0

Αυτό επίσης ισούται με το ολικό έργο που παράγεται από το ηλεκτρικό πεδίο επί του φορτίου όταν το ελαττώνεται από την αρχική τιμή Q ως το μηδέν, καθώς τα στοιχειώδη

q

-

696

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 25 ΧΩΡΗτΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ

υ

φορτία dq er πυκνιiτητα μαγνητικής ροής κυκλοτρονική ουχνιiτητα φασματόμετρο μάζας ιοι)τοπο μαζικιiς αριθμι)ς μαγνητική ροπή σωληνοειδές φαινόμενο Hall

• Το μαγνητικό πεδίο, που συμβολίζεται με Β, ε ίναι ένα διανυσματικό πεδίο. Ένα σωμάτιο με φορτίο q που κινείται με ταχύτητα υ μέσα σε ένα μαγνητικό πεδίο Β, υφί­ σταται μια δύναμη F που δίνεται από τη σχέση F = qυ

χ

Β.

=

(28-2)

Η μονάδα SI για το μαγνητικό πεδίο είναι το tesla (1 Τ 1 Ν/Α · m). • Ένα μαγνητικό πεδίο μπορεί να παρασταθεί γραφικά με τις γραμμές μαγνητικού πεδίου· σε κάθε σημείο μια γραμμή ε ίναι εφαπτομενική στην κατεύθυνση του Β στο σημείο εκείνο και ο αριθμός των γραμμών ανά μονάδα επιφάνειας κάθετης στο Β εί­ ναι ανάλογος του μέτρου του Β. • Η μαγνητική ροή Φ8 μέσα από μια επιφάνεια ορίζεται ως ΦΒ =

fΒ

_ι

dA

=

f Β cos

φ dA

= f Β . dA.

(2�)

Η μονάδα SI για τη μαγνητική ροή είναι το weber (1 Wb = 1 Τ · m2). • Η μαγνητική δύναμη ε ίναι πάντοτε κάθετη στην υ· ένα σωμάτιο που κινείται υπό την επίδραση ενός μαγνητικού πεδίου μόνο, κινείται με σταθερή ταχύτητα. Μέσα σε ένα ομογενές πεδίο, ένα σωμάτιο με αρχική ταχύτητα κάθετη στο πεδίο, κινείται σε κυκλική τροχιά με ακτίνα που δίνεται από τη σχέση mv (28-11) iq iB " • Ο J.J. Thomson χρησιμοποίησε κάθετα μεταξύ τους ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο, για να μετρήσει τον λόγο e/m του φορτίου προς τη μάζα για τα ηλεκτρόνια. Η ηλεκτρι­ κή και η μαγνητική δύναμη αλληλοαναιρούνται ακριβώς όταν υ = Ε/Β. • Η δύναμη F πάνω σε ένα τμήμα I αγωγού που διαρρέεται από ρεύμα Ι και βρίσκε­ ται μέσα σε ένα μαγνητικό πεδίο Β είναι

R

R=

F = Il

χ

Β.

(28-19)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

797

Ένας βρόχος ρεύματος με εμβαδόν Α και ρεύμα /, μέσα σε ένα ομογενές μαγνητικό πεδίο Β, δεν υφίσταται ολική δύναμη, αλλά ροπή τ που δίνεται από τη σχέση

(28-22)

τ = !ΒΑ sin φ. Συναρτήσει της μαγνητικής ροπής μ

Η

= !Α του

τ=μ

χ

βρόχου, το διάνυσμα της ροπής είναι

(28-25)

Β.

δυναμική ενέργεια υ μιας μαγνητικής ροπής μ μέσα σε ένα μαγνητικό πεδίο Β εί­ ναι υ = - μ · Β = - μΒ cos φ.

(28-26)

Η

μαγνητική ροπή ενός (επίπεδου) βρόχου εξαρτάται μόνο από το ρεύμα και το εμβα­ δόν· είναι ανεξάρτητη του σχήματος του βρόχου. • Σε έναν ηλεκτροκινητήρα συνεχούς ρεύματος, το μαγνητικό πεδίο από τα πηνία πε­ δίου ασκούν εφαπτομενικές δυνάμεις και ροπές πάνω στα ρεύματα του ρώτορα. Σε έ­ ναν κινητήρα με σειριακή σύνδεση, τα πηνία του ρώτορα και τα πηνία του πεδίου εί­ ναι συνδεδεμένα σε σειρά· σε κινητήρα με παράλληλη σύνδεση είναι συνδεδεμένα παράλληλα. κίνηση του ρώτορα μέσα στο μαγνητικό πεδίο προκαλεί μια επαγόμενη την αντηλεκτρεγερτική δύναμη. Για έναν κινητήρα με σειριακή σύνδεση, η τάση στους ακροδέκτες ισούται με το άθροισμα της αντηλεκτρεγερτικής δύναμης και της πτώσης δυναμικού στην εσωτερική του αντίσταση. • Το φαινόμενο συνίσταται στην εμφάνιση μιας διαφοράς δυναμικού κάθετα στην κατεύθυνση του ρεύματος σε έναν αγωγό, όταν αυτός βρίσκεται μέσα σε μαγνη­ τικό πεδίο. διαφορά δυναμικού προσδιορίζεται από την ανάγκη εξισορρόπη­ σης της μαγνητικής δύναμης πάνω στο κινούμενο φορτίο, από το ηλεκτρικό πεδίο που δημιουργείται. Μετρήσεις που βασίζονται στο φαινόμενο μπορούν να χρησιμο­ ποιηθούν για τον προσδιορισμό της πυκνότητας n των φορέων φορτίου καθώς και του προσήμου των, από τη σχέση

Η

ΗΕΔ,

Ir Hall

Η

Hall

Hall

(28-29)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Εδάφιο 28-2 Μαγνητικό πεδίο 28-1 Μέσα σε ένα μαγνητικό πεδίο που έχει κατακόρυφη κα­ τεύθυνση προς τα πάνω, ένα σωμάτιο που αρχικά κινείται προς βορράν, αποκλίνει προς ανατολάς. Ποιο είναι το πρόσημο του φορτίου του σωματίου; 28-2 Ένα σωμάτιο με μάζα 2,00 χ 1 0 - 3 kg και φορτίο 1,20 χ 10 - 8 C έχει σε μια δεδομένη στιγμή ταχύτητα υ = (3,00 χ 1 05 m/s)j. Ποιο είναι το μέτρο και η κατεύθυνση της επιτάχυνσης του σωματίου που προκαλείται από ένα ομογενές μαγνητικό πεδίο Β = - (0,800 τ) ί; 28-3 Ένα σωμάτιο με φορτίο - 2,50 χ 10-8 C κινείται με στιγ­ μιαία ταχύτητα υ

= - (3,00

χ

28-5 Σε καθεμιά από τις κορυφές του κύβου στο Σχ. 28-36 που

σημειώνονται με ένα γράμμα, υπάρχει ένα θετικό φορτίο q που κι­ νείται με ταχύτητα της οποίας το μέτρο είναι υ και η κατεύθυνση όπως φαίνεται στο σχήμα. Στην περιοχή του σχήματος υπάρχει ο­ μογενές μαγνητικό πεδίο Β, παράλληλο προς τον άξονα χ και προς τα δεξιά. Αντιγράψtε το σχήμα, βρείτε το μέτρο και την κατεύθυν­ ση της δύναμης πάνω σε κάθε φορτίο και σχεδιάστε τις δυνάμεις αυτές στο διάγραμμά σας. Υ

b

104 m/s)i + (5,00 χ 10 4 m/s)j.

Ποια δύναμη ασκείται πάνω στο σωμάτιο αυτό από ένα μαγνητικό πεδίο a) Β = (1,40 τ)ί; b) Β = (1,40 τ)k; 28-4 Ένα σωμάτιο μάζας 0,500 g έχει φορτίο 2,50 χ ι ο - 8 C. Στο σωμάτιο δίνεται μια αρχική οριζόντια ταχύτητα προς ανατο­ λάς, ίση με 4,00 χ 10 4 m/s. Ποιο είναι το μέτρο και η κατεύθυνση του ελάχιστου μαγνητικού πεδίου που θα διατηρήσει το σωμάτιο στην ίδια οριζόντια κίνησή του προς ανατολάς μέσα στο βαρυτικό πεδίο της Γης;

χ z

ΣΧΗΜΑ 28-36

e

d

z

Βρείτε τον χρόνο που απαιτείται για να διανύσει μισό κύκλο. c) Μέσα από ποια διαφορά δυναμικού θα πρέπει να επιταχυνθεί το δευτερόνιο για να αποκτήσει την ταχύτητα αυτή; kg. 28-12 Ένα ιόν 7Li με φορτίο + e έχει μάζα χ Επιταχύνεται από διαφορά δυναμικού ν και μετά εισέρχεται σε μια περιοχή όπου το μαγνητικό πεδίο έχει μέτρο Τ και εί­ ναι κάθετο στην κατεύθυνση κίνησης του ιόντος. Ποια είναι η α­ κτίνα της τροχιάς του ιόντος μέσα στο μαγνητικό πεδίο; 28-13 Καθοδικός σωλήνας τηλεόρασης. Ένα ηλε­ κτρόνιο της δέσμης ενός καθοδικού σωλήνα τηλεόρασης επιταχύ­ νεται από διαφορά δυναμικού V. Στη συνέχεια περνά μέσα από μια περιοχή όπου υπάρχει ένα εγκάρσιο μαγνητικό πεδίο, ό­ που διαγράφει τόξο κυκλικής τροχιάς ακτίνας m. Ποιο είναι το μέτρο του μαγνητικού πεδίου;

500

χ

50,0 cm

ΣΧΗΜΑ 28-37

Εδάφιο 28-3 Γραμμές του μαγνητικού πεδίου και μαγνητική ροή 28-6 Το μαγνητικό πεδίο Β σε μια περιοχή είναι Τ και έ­ χει την ίδια κατεύθυνση με τον άξονα + χ στο Σχ. a) Ποια είναι η μαγνητική ροή μέσα από την επιφάνεια abcd του σχήματος; b) Ποια είναι η μαγνητική ροή μέσα από την επιφάνεια befc; c) Ποια ε ίναι η μαγνητική ροή μέσα από την επιφάνεια aefd; d) Ποια είναι η ολική μαγνητική ροή μέσα από τις πέντε επιφάνειες που περικλείουν τον σκιασμένο όγκο στο σχήμα; 28-7 Μια κυκλική επιφάνεια με ακτίνα m βρίσκεται στο επίπεδο xy. Ποια είναι η μαγνητική ροή μέσα από αυτόν τον κύ­ κλο, που οφείλεται σε ένα ομογενές μαγνητικό πεδίο Β = Τ: a) στην κατεύθυνση + z; b) σε κατεύθυνση που σχηματίζει γωνία με τον άξονα + z; c) στην κατεύθυνση + y;

0,600 28-37.

0,400

1,60

3ο,ο·

Εδάφιο 28-4 Κίνηση φορτισμένων σωματίων μέσα σε μαγνητικό πεδίο 28-8 Ένα κύκλοτρο προορίζεται για την επιτάχυνση πρωτο­ νίων σε ενέργεια Μeν. Ο υπεραγώγιμος ηλεκτρομαγνήτης του παράγει ένα μαγνητικό πεδίο μεγέθους τ. a) Ποια είναι η ακτίνα της κυκλικής τροχιάς των πρωτονίων και ποια η γωνιακή τους ταχύτητα όταν έχουν φτάσει σε κινητική ενέργεια Me ν; b) Επαναλάβετε το (a) όταν τα πρωτόνια έχουν αποκτήσει την τε­ λική τους κινητική ενέργεια των Meν. 28-9 Ένα ηλεκτρόνιο στο σημείο Α του Σχ. έχει ταχύτη­ τα υ0 = χ m/s. Βρείτε, a) το μέτρο και την κατεύθυνση του μαγνητικού πεδίου που θα αναγκάσει το ηλεκτρόνιο να ακο­ λουθήσει την ημικυκλική τροχιά από το Α στο Β· b) το χρόνο που απαιτείται για να μεταβεί το ηλεκτρόνιο από το Α στο Β.

3,00

3,20

1,50

3,00

28-38

4,00 106

1,16 10-26 0,300

20 000

0,150

Εδάφιο 28-5 Εφαρμογές της κίνησης φορτισμένων σωματ ιδίων 28-14 a) Ποια είναι η ταχύτητα των ηλεκτρονίων μιας δέσμης όταν αυτά δεν αποκλίνουν κάτω από την ταυτόχρονη επίδραση ε­ νός ηλεκτρικού πεδίου χ νιm και ενός μαγνητικού πεδίου χ τ, τα οποία είναι κάθετα μεταξύ τους και στη δέσμη; b) Δείξτε σε ένα διάγραμμα τους σχετικούς προσανατολισμούς των διανυσμάτων υ , Ε και Β. c) Ποια είναι η ακτίνα της τροχιάς των ηλεκτρονίων όταν αφαιρεθεί το ηλεκτρικό πεδίο; 28-15 Μετρώντας τη μάζα ενός ισοτόπου. Το ηλε­ κτρικό πεδίο ανάμεσα στις πλάκες ενός επιλογέα ταχυτήτων σε έ­ να φασματόμετρο μάζας του Bainbridge (Σχ. είναι χ ν/m και το μαγνητικό πεδίο και στις δύο περιοχές είναι Τ. Μια δέσμη ιόντων νέου με φορτίο + e κινείται σε κυκλική τρο­ χιά ακτίνας m μέσα στο μαγνητικό πεδίο. Προσδιορίστε τη μάζα ενός ιόντος νέου και τον μαζικό αριθμό αυτού του ισοτόπου. 28-16 Στο φασματόμετρο μάζας του Bainbridge (Σχ. υ­ ποθέστε ότι το μαγνητικό πεδίο Β στον επιλογέα ταχυτήτων είναι Τ και ότι ιόντα με ταχύτητα χ m/s περνούν μέσα από αυτόν χωρίς απόκλιση. a) Ποιο είναι το ηλεκτρικό πεδίο ανάμε­ σα στις πλάκες Ρ και Ρ'; b) Αν η απόσταση των πλακών είναι cm, ποια είναι η διαφορά δυναμικού μεταξύ τους;

3,40 105

5,00 10-2

1,20 0,600

28-19)

106

0,728

28-19),

4,00 106

1,20

0,500

Εδάφιο 28-6 Μαγνητική δύναμη πάνω σε αγωγό που διαρρέεται από ρεύμα 28-17 Μια οριζόντια ράβδος μήκους m είναι στερεωμένη πάνω σε ζυγό και διαρρέεται από ρεύμα. Στη θέση της ράβδου υ­ πάρχει ένα ομογενές οριζόντιο μαγνητικό πεδίο με μέτρο τ και κατεύθυνση κάθετη στη ράβδο. Η μαγνητική δύναμη πάνω στη ράβδο μετριέται από τον ζυγό και βρίσκεται ίση με Ν. Πόσο είναι το ρεύμα που τη διαρρέει; 28-18 Ένας ηλεκτρομαγνήτης παράγει μαγνητικό πεδίο 1,20 Τ σε μια κυλινδρική περιοχή ακτίνας cm ανάμεσα στους πόλους του. Ένα ευθύγραμμο σύρμα που διαρρέεται από ρεύμα έντασης Α περνά από το κέντρο της περιοχής και είναι κάθετο στο πε­ δίο. Πόση δύναμη ασκείται πάνω στο σύρμα; 28- 1 9 Ένα σύρμα κατά μήκος του άξονα χ διαρρέεται από ρεύμα έντασης Α προς τη θετική κατεύθυνση. Υπολογίστε τη δύναμη (εκφρασμένη συναρτήσει των μοναδιαίων διανυσμάτων) cm, α­ που ασκείται πάνω σε ένα τμήμα του σύρματος, μήκους πό τα ακόλουθα μαγνητικά πεδία: a) Β = T)j· b) Β = τ)k· c) Β = τ)ί ­ + τ)i· d) Β = + τ)k· e) Β = + τ)j T)k.

0,200

0,0700

'" \

Α

ΣΧΗΜΑ 28-38

-

�-- 10,00 cm

0,240

•Β

5,00

)I

14,0

28-9

28-10 Υποθέστε ότι το σωματίδιο στην Άσκηση ε ίναι πρωτόνιο και όχι ηλεκτρόνιο. Βρείτε τα ίδια μεγέθη. 28-1 1 Ένα δευτερόνιο �ο πυρήνας ενός ισοτόπου του υδρογό­ νου) έχει μάζα χ kg και φορτίο + e. Το δευτερόνιο κι­ νείται σε κυκλική τροχιά ακτίνας m μέσα σε ένα μαγνητικό πεδίο μέτρου Τ. a) Βρείτε την ταχύτητα του δευτερονίου. b)

3,34 10-2 1,50

798

0,0400

7,00

(0,500 (0,300

(0,300 (0,900 (0,400

(0,600

1,00 (0,200

799

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ρα; b) Με πόση ισχύ τροφοδοτείται ο κινητήρας; c) Ποια είναι η 28-20 Ένα ευθύγραμμο κατακόρυφο σύρμα διαρρέεται από μηχανική ισχύς που αναπτύσσει ο κινητήρας; ρεύμα έντασης 8,00 Α με φορά προς τα πάνω, σε μια περιοχή ανά­ μεσα στους πόλους ενός μεγάλου υπεραγώγιμου ηλεκτρομαγνήτη, * 28-27 Σε έναν ηλεκτροκινητήρα συνεχούς ρεύματος με παράλ­ στον οποίο το μαγνητικό πεδίο έχει μέτρο Β = 2,75 Τ και είναι ο­ ληλη σύνδεση (Σχ. 28-40), η αντίσταση R1 των πηνίων πεδίου είναι ριζόντιο. Ποιο είναι το μέτρο και ποια η κατεύeυνση της μαγνητι­ 140 Ω και η αντίσταση R, του ρώτορα είναι 5,00 Ω. Όταν στις ψή­ κής δύναμης πάνω σε ένα τμήμα του σύρματος μήκους 1,00 cm αν κτρες τσυ εφαρμόζεται μια διαφορά δυναμικού 120 ν και ο κινητή­ η κατεύθυνση του μαγνητικού πεδίου είναι: a) προς ανατολάς ρας δουλεύει με τη μέγιστή του ταχύτητα παράγοντας μηχανική ι­ b) προς δυσμάς c ) προς την κατεύθυνση 30,0 ο νότια της δύσης; σχύ, το παρεχόμενο σε αυτόν ρεύμα έχει ένταση 4,50 Α. a) Πόσο είναι το ρεύμα στα πηνία πεδίου; b) Πόσο είναι το ρεύμα στον ρώ­ τορα; c) Ποια είναι η επαγόμενη ΗΕΔ που αναπτύσσεται από τον Εδάφιο 28-7 κινητήρα; d) Πόση μηχανική ισχύς παρέχεται από τον κινητήρα; Δύναμη και ροπή πάνω σε βρόχο ρεύματος 28-21 Ένα κυκλικό πηνίο διαμέτρου 8,00 cm έχει 12 σπείρες και διαρρέεται από ρεύμα έντασης 3,00 Α. Το πηνίο βρίσκεται σε + e-------�---1 μια περιοχή όπου το μαγνητικό πεδίο είναι 0,600 Τ. a) Ποια είναι η μέγιστη ροπή πάνω στο πηνίο; b) Σε ποια θέση η ροπή είναι η μισή της μέγιστης; 1 20 V 28-22 Ποια είναι η μέγιστη ροπή πάνω σε ένα ορθογώνιο πη­ νίο διαστάσεων 5,00 cm χ 1 2,0 cm που έχει 600 σπείρες, όταν αυ­ τό διαρρέεται από ρεύμα έντασης 0,0700 Α, και βρίσκεται μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο μέτρου 0,300 Τ; ΣΧΗΜΑ 28-40 2 28-23 Ένα πηνίο που έχει μαγνητική ροπή μ = 1,30 Α · m προσανατολίζεται αρχικά με τη μαγνητική του ροπή παράλληλη * 28-28 Ένας ηλεκτροκινητήρας συνεχούς ρεύματος με παράλ­ προς ένα ομογενές μαγνητικό πεδίο με Β = 0,750 τ. Ποια είναι η ληλη σύνδεση (Σχ. 28-40) τροφοδοτείται από γραμμή 120 ν συνε­ μεταβολή στη δυναμική ενέργεια του πηνίου όταν αυτό περιστρα­ χούς. Η αντίσταση των πηνίων πεδίου, R1 , είναι 240 Ω. Η αντίστα­ φεί κατά 180° έτσι ώστε η μαγνητική του ροπή να είναι παράλλη­ ση του ρώτορα, R, , είναι 4,00 Ω. Όταν ο κινητήρας λειτουργεί, ο λη και αντίρροπη προς το πεδίο; ρώτορας αναπτύσσει μια ΗΕΔ ε. Ο κινητήρας τραβάει ρεύμα 4,50 28-24 Το επίπεδο ενός συρμάτινου ορθογώνιου βρόχου 5,00 Α από τη γραμμή. Οι απώλειες λόγω τριβής είναι συνολικά 50,0 cm χ 8,00 cm είναι παράλληλο προς ένα μαγνητικό πεδίο με μέ­ Υπολογίστε: a) το ρεύμα στα πηνία πεδίου· b) το ρεύμα στον τρο 0,150 τ. Ο βρόχος διαρρέεται από ρεύμα έντασης 4,00 Α. a) ρώτορα· c ) την ΗΕΔ ε · d) τον ρυθμό παραγωγής θερμότητας Ποια είναι η ροπή που ασκείται πάνω στον βρόχο; b) Ποια είναι στα πηνία πεδίου· e) τον ρυθμό παραγωγής θερμότητας στον ρώ­ η μαγνητική ροπή του βρόχου; c ) Ποια είναι η μέγιστη ροπή που τορα· f) την ισχύ εισόδου του κινητήρα· g) την απόδοση του κι­ μπορεί να επιτευχθεί με το ίδιο μήκος σύρματος που διαρρέεται α­ νητήρα. πό το ίδιο ρεύμα και βρίσκεται μέσα στο ίδιο μαγνητικό πεδίο; 28-25 Ένα κυκλικό πηνίο με εμβαδόν Α και Ν σπείρες είναι ε­ Εδάφιο 28-9 λεύθερο να περιστραφεί γύρω από μια διάμετρό του που συμπί­ Το φαινόμενο Hall πτει με τον άξονα των χ. Ρεύμα Ι διαρρέει το πηνίο. Υπάρχει ομο­ γενές μαγνητικό πεδίο Β στην κατεύθυνση + y. Υπολογίστε το μέ­ * 28-29 Το Σχ. 28-4 1 δείχνει ένα τμήμα μιας aσημένιας ταινίας με z1 = 2,00 cm και y1 = 1 ,00 mm, που διαρρέεται από ρεύμα 140 τρο και την κατεύθυνση της ροπής τ που ασκείται πάνω στο πηνίο, Α με φορά στην κατεύθυνση +χ. Η ταινία βρίσκεται μέσα σε ένα καθώς και τη δυναμική ενέργεια U, όπως δίνεται από την Εξ. ομογενές μαγνητικό πεδίο με κατεύθυνση την + y και μέτρο 1,50 (28-26), όταν ο προσανατολισμός του πηνίου είναι αυτός που φαί­ Τ. Αν υπάρχουν 5,85 χ 1 028 ελεύθερα ηλεκτρόνια ανά κυβικό μέ­ νεται στο Σχ. 28-39, (a) έως (d). τρο, βρείτε: a) το μέγεθος της ταχύτητας ολίσθησης των ηλεκτρο­ νίων στην κατεύθυνση χ· b) το μέτρο και τη φορά του ηλεκτρικού πεδίου στην κατεύθυνση z λόγω του φαινομένου Hall· c ) την HEΔ Hall.

W.

Υ

(a) ΣΧΗΜΑ 28-39

(b)

(c)

(d) χ

Εδάφιο 28-8 ΣΧΗΜΑ 28-41 Ο ηλεκτροκινητήρας συνεχούς ρεύματος * 28-26 Ένας ηλεκτροκινητήρας συνεχούς ρεύματος με τον ρώ­ * 28-30 Το Σχ. 28-41 δείχνει μια ταινία καλίου των ιδίων δια­ τορά του και τα πηνία πεδίου συνδεδεμένα σε σειρά, έχει εσωτε­ στάσεων με την ασημένια ταινία της Άσκησης 28-29. Όταν το μα­ ρική αντίσταση 5,00 Ω. Όταν λειτουργεί με πλήρες φορτίο συνδε­ γνητικό πεδίο είναι 5,00 Τ και το ρεύμα 100 Α, η ΗΕΔ Hall μετριέ­ δεμένος σε μια γραμμή 1 2,0 ν, η ΗΕΔ στον ρώτορα είναι 1 05 V. ται και βρίσκεται ίση με 223 μν. Ποια είναι η πυκνότητα των ελεύ­ a) Ποιο είναι το ρεύμα που παρέχεται από τη γραμμή στον κινητήθερων ηλεκτρονίων στο κάλιο;

800

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 28 ΜΑΓΝΗτΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗτΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ

Π ΡΟ Β ΛΗ ΜΑΤΑ

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Διασταυρωμένα πεδία Ε και Β. Ένα σωματίδιο με αρχική ταχύτητα υ0 = ( 4,00 χ 103 m/s)i εισέρχεται σε μια πε­ ριοχή ομογενούς ηλεκτρικού και μαγνητικού πεδίου. Το μαγνητι­ κό πεδίο στην περιοχή αυτή είναι Β = - (0,600 τ)j. Υπολογίστε το μέτρο και την κατεύθυνση του ηλεκτρικού πεδίου που απαιτείται στην περιοχή, ώστε το σωματίδιο να περάσει χωρίς απόκλιση, αν το φορτίο είναι: a) + 0,400 χ 1 0 - 8 C· b) - 0,400 χ 1 0 - 8 C. Αγνοήστε το βάρος του σωματιδίου. 28-32 Επίδραση του μαγνητικού πεδίου της Γης πάνω σε έναν καθοδικό σωλήνα τηλεόρασης. Υποθέ­ στε ότι το δυναμικό επιτάχυνσης σε έναν καθοδικό σωλήνα τηλεό­ ρασης είναι 8000 V. Υπολογίστε προσεγγιστικά την απόκλιση μιας δέσμης ηλεκτρονίων κατά μήκος μιας απόστασης 0,40 m από την πηγή ηλεκτρονίων προς την οθόνη, που οφείλεται σε εγκάρσιο μα­ γνητικό πεδίο μεγέθους 5,0 χ 10 - 5 τ (συγκρίσιμου με το μαγνητι­ κό πεδίο της Γης), υποθέτοντας ότι δεν υπάρχουν άλλα πεδία. Εί­ ναι σημαντική αυτή η απόκλιση; 28-33 Ένα σωμάτιο έχει φορτίο 6,00 nC. Όταν κινείται με τα­ χύτητα υ 1 που έχει μέτρο 3,00 χ 1 04 m/s και σχηματίζει γωνία 45,ο• με τον άξονα +χ στο επίπεδο χy, ένα ομογενές μαγνητικό πεδίο ασκεί πάνω στο σωμάτιο δύναμη F1 κατά μήκος του άξονα z (Σχ. 28-42). Όταν το σωμάτιο κινείται με ταχύτητα υ που έχει 2 μέτρο 2,00 χ 104 m/s και φορά κατά μήκος του άξονα + z, η δύνα­ μη F2 που ασκείται πάνω στο σωμάτιο έχει μέτρο 4,00 χ 1 0 - 5 Ν και φορά κατά μήκος του άξονα + χ. Ποιο είναι το μέτρο και ποια η κατεύθυνση του μαγνητικού πεδίου; 28-31

από τις πληροφορίες που δίνονται (βλ. Πρόβλημα 28-34). c) Αν το μέτρο του μαγνητικού πεδίου είναι 0,500 Τ, προσδιορίστε τις υ­ πόλοιπες συνιστώσες του Β. 28-37 Υποθέστε ότι το ηλεκτρικό πεδίο μεταξύ των πλακών Ρ και Ρ' του Σχ. 28-19 είναι 1,50 χ 104 V/m και το μαγνητικό πεδίο και στις δύο περιοχές είναι 0,600 τ. Αν η πηγή περιέχει τα τρία ι­ σότοπα του μαγνησίου, 24Mg, 25Mg και 26Mg, και τα ιόντα έχουν φορτίο + e, βρείτε την απόσταση ανάμεσα στις γραμμές που τα τρία ισότοπα σχηματίζουν πάνω στη φωτογραφική πλάκα. Υποθέ­ στε ότι οι ατομικές μάζες των ισοτόπων (σε μονάδες ατομικής μά­ ζας) είναι ίσες με τους μαζικούς τους αριθμούς. (Μία μονάδα ατο­ μικής μάζας = 1 amu = 1 u = 1,66 χ 10-27 kg). 28-38 Η δύναμη πάνω σε φορτισμένο σωμάτιο που κινείται μέ­ σα σε μαγνητικό πεδίο μπορεί να υπολογιστεί ως το διανυσματικό άθροισμα των δυνάμεων που οφείλονται σε κάθε ξεχωριστή συνι­ στώσα της ταχύτητας του σωματίου. (Βλ. Πρόβλημα 28-34). Σωμά­ τιο με φορτίο 7,60 χ 10-8 C κινείται σε μια περιοχή όπου υπάρχει ομογενές μαγνητικό πεδίο με μέτρο 0,300 Τ και κατεύθυνση την + χ. Σε μια συγκεκριμένη στιγμή, η ταχύτητα του σωματίου έχει συνιστώσες υ, = 2,50 χ 104 m/s, υΥ = 9,00 χ 104 m/s και υ, = - 5,00 χ 104 m/s. Ποιες είναι οι συνιστώσες της δύναμης πάνω στο σωμά­ τιο τη στιγμή αυτή; 28-39 Σωμάτιο με θετικό φορτίο q και μάζα m = 1,50 χ 10-1 5 kg κινείται μέσα σε μια περιοχή όπου υπάρχει ομογενές μαγνητι­ κό πεδίο Β = - (0,220 τ)k. Σε κάποια στιγμή η ταχύτητα του σω­ ματίου είναι υ = (1,00 χ 106 m/s) (4i - 3j + 12k)

z ..--

ΣΧΗΜΑ 28-42

28-34 Η δύναμη που ασκείται πάνω σε ένα φορτισμένο σωμά­ τιο που κινείται μέσα σε ένα μαγνητικό πεδίο, μπορεί να υπολογι­ στεί ως το διανυσματικό άθροισμα των δυνάμεων που οφείλονται ξεχωριστά σε καθεμιά από τις συνιστώσες του μαγνητικού πεδίου. Ένα σωμάτιο με φορτίο 3,50 χ 1 0 - 8 C έχει ταχύτητα υ = 6,00 χ 105 m/s στην κατεύθυνση -χ και κινείται μέσα σε μαγνητικό πεδίο με συνιστώσες Β, = + 0,200 Τ, Br = 0,500 Τ και Β, = + 0,300 Τ. Ποιες είναι οι συνιστώσες της δύναμης που ασκεί το μαγνητικό πεδίο πάνω στο σωμάτιο; 28-35 Ένα ηλεκτρόνιο και ένα σωματίδιο α (διπλά ιονισμένο άτομο ηλίου) κινούνται μέσα σε ένα μαγνητικό πεδίο, σε κυκλικές τροχιές με την ίδια εφαπτομενική ταχύτητα. Υπολογίστε τον λόγο του αριθμού περιφορών που διαγράφει το ηλεκτρόνιο ανά μονάδα χρόνου, προς αυτόν του σωματιδίου α. Η μάζα του σωματιδίου α είναι 6,65 χ 10 - 27 kg. 28-36 Ένα σωμάτιο που έχει φορτίο q = 2,00 μC κινείται με ταχύτητα υ = (1,50 χ 103 m/s)j. Το σωμάτιο υφίσταται δύναμη F = (2,00 χ 1 0 - 4 Ν) (3i - 4k) από ένα μαγνητικό πεδίο Β. a) Υπολο­ γίστε το μέτρο F της δύναμης F. b) Προσδιορίστε τα Β., By και Β,, ή τουλάχιστον όσο το δυνατόν περισσότερες από τις συνιστώσες, -

και η δύναμη F που ασκείται πάνω στο σωμάτιο έχει μέτρο 2,00 Ν. (Βλ. Πρόβλημα 28-38). a) Προσδιορίστε το φορτίο q. b) Υπολο­ γίστε την επιτάχυνση α του σωματίου. c) Εξηγήστε γιατί η τροχιά του σωματίου είναι ελικοειδής και βρείτε την ακτίνα καμπυλότη­ τας R της κυκλικής συνιστώσας της ελικοειδούς τροχιάς. d) Υπο­ λογίστε την κυκλοτρονική συχνότητα του σωματιδίου. e) Παρ' ό­ λον ότι η ελικοειδής κίνηση δεν είναι περιοδική με την αυστηρή σημασία του όρου, οι συνιστώσες χ και y μεταβάλλονται περιοδι­ κά. Αν οι συντεταγμένες του σωματίου τη στιγμή ι = Ο είναι (χ, y, z) = (R, Ο, 0), προσδιορίστε τις συντεταγμένες του τη στιγμή ι = 2τ, όπου Τ είναι η περίοδος της κίνησης στο επίπεδο xy. 28-40 Ένα ηλεκτρόνιο κινείται σε κυκλική τροχιά με ακτίνα r = 4,00 cm στο χώρο ανάμεσα σε δύο ομοαξονικούς κυλίν­ δρους. Ο εσωτερικός κύλινδρος είναι ένα θετικά φορτισμένο σύρμα ακτίνας α = 1 ,00 mm, ενώ ο εξωτερικός είναι αρνητικά φορτισμένος και έχει ακτίνα b = 5,00 cm. Η διαφορά δυναμικού ανάμεσα στον εσωτερικό και τον εξωτερικό κύλινδρο είναι Vab = 1 20 V, με το σύρμα στο υψηλότερο δυναμικό. (Βλ. Σχ. 28-43). Το ηλεκτρικό πεδίο Ε στην περιοχή ανάμεσα στους κυλίνδρους είναι ακτινικό και προς τα έξω και, όπως δείξαμε στο Πρόβλη­ μα 24-43, έχει μέτρο Ε = V.b l[r ln (b/a)]. a) Υπολογίστε την τα­ χύτητα που έχει το ηλεκτρόνιο όταν κινείται στην κυκλική του τροχιά. Αγνοήστε το βαρυτικό και το μαγνητικό πεδίο της Γης. b) Τώρα συμπεριλάβετε και το μαγνητικό πεδίο της Γης. Αν ο ά­ ξονας των κυλίνδρων είναι παράλληλος προς το μαγνητικό πε­ δίο της Γης, με ποια ταχύτητα πρέπει να κινείται το ηλεκτρόνιο για να διατηρηθεί στην ίδια κυκλική τροχιά; Υποθέστε ότι το μαγνητικό πεδίο της Γης έχει μέτρο 1 ,00 χ 1 0-4 Τ και ότι η κα­ τεύθυνσή του είναι κάθετη στο Σχ. 28-43 και προς τα έξω. c) Επαναλάβετε τον υπολογισμό του μέρους (b) για την περίπτωση που το μαγνητικό πεδίο έχει την αντίθετη κατεύθυνση από αυ­ τήν που έχει στο (b).

801

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Υ

χ

z

ΣΧΗΜΑ 2�3

ΣΧΗΜΑ 2�5

28-44

0,500 0,200

28-41 Ο κύβος του Σχ. έχει ακμές μήκους m και βρίσκεται μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο με μέτρο Τ και κατεύθυνση αυτήν του ημιάξονα + χ. Το σύρμα abcdef διαρρέεται από ρεύμα έντασης στη φορά που φαίνεται στο σχήμα. a) Υπολογίστε τα μέτρα και τις κατευθύνσεις των δυνάμεων που α­ σκούνται πάνω στα τμήματα ab, bc, cd, de και ef. b) Ποιο είναι το μέτρο και ποια η κατεύθυνση της ολικής δύναμης που ασκείται πάνω στο σύρμα;

Υ

4,00 Α,

Υ

χ

ΣΧΗΜΑ 2�6 z

z ΣΧΗΜΑ 2�4

28-7,

d

0,150

28-42 Ένα σύρμα έχει μήκος m, βρίσκεται πάνω στον ά­ ξονα των y και διαρρέεται από ρεύμα έντασης με φορά προς τα θετικά y. Στην περιοχή υπάρχει ομογενές μαγνητικό πεδίο με συνιστώσες Βχ = Τ, Br = Τ και Bz = Τ. a)

8,00 Α 0,500

0,300 -1,20 Βρείτε τις συνιστώσες της δύναμης που ασκείται πάνω στο σύρμα. (Όπως στο Πρόβλημα 28-34, η συνισταμένη δύναμη είναι το δια­

νυσματικό άθροισμα των δυνάμεων που οφείλονται σε κάθε συνι­ στώσα του Β). b) Ποιο είναι το μέτρο της ολικής δύναμης που α­ σκείται πάνω στο σύρμα; 28-43 Ροπή πάνω σε βρόχο ρεύματος. Ο ορθογώνιος βρόχος του σύρματος στο Σχ. έχει μάζα g ανά εκατο­ στόμετρο μήκους και μπορεί να περιστραφεί χωρίς τριβές γύρω α­ πό άξονα που συμπίπτει με την πλευρά του ab. Το ρεύμα στο σύρ­ μα είναι με τη φορά που φαίνεται στο σχήμα. Βρείτε το μέ­ τρο και την κατεύθυνση του μαγνητικού πεδίου που είναι παράλ­ ληλο προς τον άξονα των y, το οποίο θα προκαλούσε περιστροφή του βρόχου ώστε να ισορροπήσει στη θέση όπου το επίπεδό του σχηματίζει γωνία με το επίπεδο yz. 28-44 Ο ορθογώνιος βρόχος του Σχ. μπορεί να περι­ στραφεί γύρω από τον άξονα y και διαρρέεται από ρεύμα έντασης στη φορά που φαίνεται στο σχήμα. a) Αν ο βρόχος βρίσκε­ ται μέσα σε ένα ομογενές μαγνητικό πεδίο μέτρου Τ που εί­ ναι παράλληλο και ομόρροπο με τον άξονα χ, βρείτε το μέτρο της

28-45

ροπής που απαιτείται για να κρατηθεί ο βρόχος στη θέση που φαί­ νεται στο σχήμα. b) Επαναλάβετε το (a) για την περίπτωση που το πεδίο είναι παράλληλο και ομόρροπο με τον άξονα z. c) Για καθεμιά από τις προηγούμενες περιπτώσεις, ποιο θα ήταν το μέ­ τρο της απαιτούμενης ροπής αν ο βρόχος είχε ως άξονα περιστρο­ φής την ευθεία που περνά από το κέντρο του και είναι παράλληλη προς τον άξονα των y; 28-45 Ένα πηνίο ήχου. Στο Εδάφιο δείξαμε ότι η ολική δύναμη πάνω σε ένα βρόχο ρεύματος μέσα σε ένα ομογενές μαγνητικό πεδίο είναι ίση με μηδέν. Η μαγνητική δύναμη πάνω σε ένα πηνίο ήχου ενός μεγαφώνου (Σχ. ) διαφέρει από το μη­ δέν γιατί το μαγνητικό πεδίο στη θέση του πηνίου δεν είναι ομογε­ νές. Έν� κυκλικό πηνίο ήχου σε ένα μεγάφωνο αποτελείται από σπείρες σύρματος, έχει διάμετρο cm και διαρρέεται από ρεύμα έντασης Υποθέστε ότι το μαγνητικό πεδίο σε κάθε σημείο του σύρματος του πηνίου έχει σταθερό μέτρο ίσο με Τ και κατεύθυνση που σχηματίζει γωνία με την κάθετη στο επίπεδο του πηνίου, προς τα έξω (Σχ. ) Έστω ότι ο άξονας του πηνίου είναι παράλληλος προς τον άξονα των y. Το ρεύμα στο πηνίο έχει τη φορά που φαίνεται στο σχήμα (αντίθετη της φοράς των δεικτών του ρολογιού όταν το βλέπουμε από πάνω, από ένα σημείο πάνω στον άξονα των y). Υπολογίστε το μέτρο και την κα­ τεύθυνση της συνισταμένης μαγνητικής δύναμης που ασκείται πά­ νω στο πηνίο.

0,100

28-32

40

1,80

0,800 Α.

60,0' 28-47 .

8,00 Α,

I I

30,0'

�

28-46

15,0 Α

0,200

ΣΧΗΜΑ 2�7

----- χ

0,200

802

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 28 ΜΑΓΝΗΠΚΟ ΠΕΔΙΟ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗΠΚΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ

28-46 Το πρότυπο των κουάρκ για το νετρόνιο. Το νετρόνιο είναι ένα σωματίδιο με μηδενικό φορτίο αλλά μη μηδενι­ κή μαγνητική ροπή, η οποία έχει μέγεθος μ = χ Α· Αν το νετρόνιο θεωρηθεί ότι είναι μια στοιχειώδης οντότητα χω­ ρίς εσωτερική δομή, οι δύο ιδιότητες που αναφέρ9ηκαν φαίνονται αντικρουόμενες. Σύμφωνα με τη σημερινή θεωρία της φυσικής των στοιχειωδών σωματιδίων, ένα νετρόνιο συντίθεται από τρία πιο στοιχειώδη σωματίδια που ονομάζοναι κουάρκ. Στο πρότυπο αυτό, το νετρόνιο αποτελείται από ένα «πάνω κουάρκ» (up) που έχει φορτίο 2e/3 και δύο Ο, _Β < ο

(a) Φ > Ο, _Β > Ο Β dt

30-4 Η μαγνητική ροή είναι (a) θετική και αυξάνει, (b) θετική και μειώνεται, (c) αρνητική και μειώνεται και (d) αρνητική και αυξάνει. Άρα η Φ8 αυξάνει στις περιπtώσεις (a) και (d) και μειώνεται στις (b) και (c). Στις (a) και (d) οι ΗΕΔ είναι αρνητικές (έχουν τη φορά των δεικτών του ρολογιού αν τις παρατηρήσουμε από πάνω), ενώ στις (b) και (c) είναι θετικές (έχουν φορά αντίθετη της φοράς των δεικτών του ρολογιού).

Α

Α

(c) ΦΒ < 0,

dΦ dt

(d) ΦΒ < 0, -Β > 0

dΦ _Β < 0 dt

Στο Παρ. 30-1 το Α έχει κατεύθυνση προς τα πάνω. Εάν παρατηρήσουμε από πά­ ε νω, η θετική στον βρόχο έχει φορά αντίθετη της φοράς των δεικτών του ρολογιού. Σε αυτό το παράδειγμα τα Α και Β δείχνουν προς τα πάνω, με αποτέλεσμα η Φ8 να είναι θε­ ε τική. Το μέτρο Β αυξάνεται, άρα η dΦ8/dt είναι θετική. Σύμφωνα με την Εξ. (30-3), η πρέπει να είναι αρνητική· έχει τη φορά των δεικτών του ρολογιού γύρω από τον βρόχο, όπως δείχνει το Σχ. 30-3. Αν στη θέση του βρόχου υπήρχε μπαταρία, το σημείο α θα ήταν ο θετικός πόλος και το σημείο b ο αρνητικός πόλος. Το ρεύμα που επάγεται από αυτή την ΗΕΔ έχει επίσης τη φορά των δεικτών του ρολογιού. Αυτό δημιουργεί ένα πρόσθετο μαγνητικό πεδίο μέσα στον βρόχο, και σύμ­ φωνα με τον κανόνα του δεξιού χεριού, η φορά του είναι αντίθετη από αυτήν του πεδίου που προκαλεί ο ηλεκτρομαγνήτης. Αυτό είναι ένα παράδειγμα ενός γενικού κανόνα που ονομάζεται νόμος του Lenz (Λενζ), που θα μελετήσουμε στο Εδ. 30-4. Σύμφωνα με τον νόμο του Lenz κάθε επαγωγικό φαινόμενο τείνει να αντιτεθεί στη μεταβολή που το προ­ κάλεσε. Στην περίπτωση αυτή μεταβολή είναι η αύξηση του πεδίου μέσα στον βρόχο. Ο νόμος του Lenz, καθώς και το αρνητικό πρόσημο στην Εξ. (30-3), έχουν άμεση σχέση με τη διατήρηση της ενέργειας. Σκεφτείτε τι θα συνέβαινε στην περίπτωση που το επαγό­ μενο ρεύμα είχε την αντίθετη φορά. Τότε το πεδίο θα αθροίζονταν με το πεδίο που προ­ ϋπήρχε, προκαλώντας επιπρόσθετη αύξηση στη ροή καθώς και στο ρεύμα. Θα αντιμετω­ πίζαμε μια ανεξέλεγκτη κατάσταση, με το ρεύμα να αυξάνει (και με συσσώρευση ενέρ­ γειας στο μαγνητικό πεδίο) χωρίς όρια, τουλάχιστον ώσπου να λυώσει ο αγωγός. Αυτό σίγουρα θα παραβίαζε τη διατήρηση της ενέργειας και τέτοιες καταστάσεις δεν συμβαί­ νουν στη φύση. Κάνετε κι εσείς έναν έλεγχο στα πρόσημα των επαγόμενων ΗΕΔ και ρευμάτων για τα πειράματα που αναφέρονται στο τέλος του Εδ. 30-1. Για παράδειγμα, όταν ο βρό­ χος βρίσκεται σε σταθερό πεδίο και τον γείρουμε ή τον συμπιέσουμε ώστε να ελαττωθεί η ροή που τον διαπερνά, η ΗΕΔ και το ρεύμα που επάγονται έχουν φορά αντίθετη της φοράς των δεικτών του ρολογιού όταν τα παρατηρούμε από πάνω. Εάν έχουμε ένα πηνίο με Ν πανομοιότυπες σπείρες και η ροή μεταβάλλεται με τον ίδιο ρυθμό σε κάθε σπείρα, οι επαγόμενες ΗΕΔ της κάθε σπείρας είναι ίσες, βρίσκονται σε σειρά και προστίθενται. Η ολική ΗΕΔ είναι ε =-

dΦΒ Ν dt .

(30-4)

30-2 O NOMOΣ TOY FARADAY

843

Σ Τ ΡΑΤ Η Γ Ι Κ Η Ε Π ΙΛΥΣ Η Σ Π Ρ Ο Β ΛΗ ΜΑΤ Ω Ν Ο νόμος του Faraday 1. Για να υπολογίσετε τον ρυθμό μεταβολής της μαγνητικής ροής, πρέπει πρώτα να καταλάβετε τι προκαλεί τη μεταβολή της ροής. Κινείται ο αγωγός; Αλλάζει ο προσανατολισμός του; Μεταβάλλεται το μαγνητικό πεδίο; Να θυμάστε ότι δεν έχει σημασία η ίδια η ροή, αλλά ο ρυθμός μεταβολής της. 2. Να θυμάστε τον κανόνα προσήμου για τη θετική φορά της ροής του μαγνητικού πεδίου και της ΗΕΔ. Να τον χρη· σιμοποιείτε με συνέπεια όταν εφαρμόζετε τις Εξ. (30-3) ή

(30-4). Αν ο αγωγός είναι πηνίο με Ν σπείρες, μην ξεχάσε­ τε να πολλαπλασιάσετε με το Ν.

3. Χρησιμοποιήστε τον νόμο του Faraday για να βρείτε την ΗΕΔ. Εφαρμόστε τους κανόνες προσήμου για να εξηγήσε­ τε το πρόσημο που έχει το αποτέλεσμά σας και για να κα­ θορίσετε τη φορά του επαγόμενου ρεύματος. Αν η αντίστα­ ση του κυκλώματος είναι γνωστή, τότε μπορείτε να υπολο­ γίσετε το ρεύμα.

- Π Α Ρ Ά Δ Ε Ι Γ Μ Α 3 0-2

Ένα πηνίο που αποτελείται από 500 κυκλικούς βρόχους σύρματος με ακτίνα 4,00 cm είναι τοποθετημένο ανάμεσα στους πόλους ενός μεγάλου ηλεκτρομαγνήτη· το μαγνητικό πεδίο είναι σταθερό με κατεύθυνση 60° από το επίπεδο του πηνίου (Σχ. 30-5). Το πεδίο ελαττώνεται με ρυθμό 0,200 T/s. Να βρεθεί η απόλυτη τιμή της επαγόμενης ΗΕΔ.

ΛΥΣΗ Διαλέξτε για το Α την κατεύθυνση που έχει στο Σχ.

30-5. Τότε φ είναι η γωνία μεταξύ των Α και Β. Η ροή Φ8 σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή είναι Φ8 = ΒΑ cos φ, και ο ρυθμός μεταβολής της ροής είναι dΦ8/dt = (dB!dt)A cos φ. Στην περίπτωση αυτή dB/dt = - 0,200 T/s, Α = π (0,0400 m? = 0,00503 m2, φ = 30• (και όχι 60. ), και dΦΒ

dB = dt A cos 30 = (- 0,200 T/s)(0,00503 m2) ( 0,866) = - 0,000871 τ . m2/s = - 0,000871 Wb/s. Εφαρμόζοντας την Εξ. (30-4), η επαγόμενη ΗΕΔ είναι dΦΒ ε = - Ν dt ο

dt

30--5 Το μέτρο του Β μειώνεται. Με την κατεύθυνση που έχει το Λ,

ε η ροή που διαπερνά το πηνίο ελαττώνεται με αποτέλεσμα η να είναι θετική. Αυτό αντιστοιχεί σε ΗΕΔ και σε ρεύμα που έχει φορά αυτήν των δεικτών του ρολογιού για παρατήρηση από τα αριστερά κατά την κατεύθυνση του Λ. Το πρόσθετο πεδίο Β που προκαλείται από το επαγόμενο ρεύμα τείνει να αντισταθμίσει τη μείωση της ροής.

- Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 3 0-3

-------

Ένας απλός εναλλάκτης Ένας τετραγωνικός βρόχος περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω γύρω από άξονα, όπως δείχνει το Σχ. 30-6 (στη σελίδα 844). Το μα­ γνητικό πεδίο είναι ομογενές και σταθερό. Στη χρονική στιγμή t = Ο, φ = Ο. Να βρεθεί η επαγόμενη ΗΕΔ. ΛΥΣΗ Η ροή Φ8 μέσα από τον βρόχο είναι ίση με το γινό­

μενο της επιφάνειας Α επί την συνιστώσα του Β που είναι κάθετη στην επιφάνεια, δηλαδή Β cos φ. Φ8 = ΒΑ cos φ

=

= - ( 500) (- 0,000871 Wb/s) = 0,435 ν. Όταν παρατηρούμε από τα αριστερά, προς την κατεύθυν­ ση του διανύσματος της επιφάνειας (30 ° πάνω από το μα­ γνητικό πεδίο Β), η θετική φορά για την ε είναι η φορά των δεικτών του ρολογιού, σύμφωνα με τον κανόνα του δεξιού χεριού. Η ΗΕΔ είναι θετική και άρα έχει τη φορά των δει­ κτών του ρολογιού. Αν τα άκρα του σύρματος συνδεθούν με έναν αντιστάτη, η φορά του ρεύματος στο πηνίο έχει ε­ πίσης τη φορά των δεικτών του ρολογιού. Ένα τέτοιο ρεύ­ μα δίνει πρόσθετη μαγνητική ροή μέσα από το πηνίο στην ίδια κατεύθυνση με τη ροή από τον ηλεκτρομαγνήτη και ά­ ρα τείνει να αντιτεθεί στη μείωση της ολικής ροής.

ΒΑ cos ωt.

Τότε ε

=

-

dΦΒ

dt

Β 'Λ

.

= ω v-ι sιn ωt.

Η επαγόμενη ΗΕΔ, ε, μεταβάλλεται ημιτονοειδώς με τον χρόνο (Σχ. 30-6b). Επειδή η ε είναι ανάλογη των ω και Β, θα μπορούσα­ με να χρησιμοποιήσουμε την ΗΕΔ περιστρεφόμενου πηνί­ ου για να μετρήσουμε την ταχύτητα περιστροφής ή το μα­ γνητικό πεδίο. (Η αρχή αυτή χρησιμοποιείται σέ ορισμένα όργανα για τη μέτρηση του μαγνητικού πεδίου.) Όταν το ε-

844

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 30 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗτΙΚΉ ΕΠΑΓΩΓΗ

πίπεδο του βρόχου είναι κάθετο στο Β (Φ = Ο ή 180°), η Φ8 φτάνει στη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή 1:ης. Τότε ο στιγ­ μιαίος ρυθμός μεταβολής της είναι μηδέν, άρα και η ε εί­ ναι μηδέν. Επίσης, η ε είναι μέγιστη όταν το επίπεδο του

βρόχου είναι παράλληλο στο Β (Φ = 90° ή 270 ° ) και η Φ8 έχει την πιο γρήγορη μεταβολή. Τελικά, παρατηρούμε ότι η επαγόμενη ΗΕΔ δεν εξαρτάται από το σχήμα του βρόχου, αλλά μόνο από την επιφάνειά του.

α

(a)

(b)

30-6 (a) Σχηματικό διάγραμμα απλού εναλλάκτη, όπου ένας αγώγιμος βρόχος περιστρέφεται μέσα σε μαγνητικό πεδίο. Το κάθε άκρο του βρόχου συνδέεται με το εξωτερικό κύκλωμα με τον δακτύλιο επαφής S. Το σύστημα παρουσιάζεται τη χρονική στιγμή όταν είναι ωt = 90° . (b) Γραφική παράσταση της επαγόμενης ΗΕΔ στα άκρα ab, που συνοδεύεται από τους αντίστοιχους προσανατολισμούς του βρόχου κατά τη διάρκεια μιας πλήρους περιστροφής.

-

Ο περιστρεφόμενος βρόχος είναι το πρότυπο μοντέλο ενός τύπου γεννήτριας εναλ­ λασσόμενου ρεύματος, του εναλλάκτη, και αναπτύσσει ΗΕΔ σε εξωτερικό κύκλωμα με τη βοήθεια των δύο δακτυλίων επαφής S, οι οποίοι περιστρέφονται με τον βρόχο, όπως δείχνει το Σχ. 30-6a. Σταθερές επαφές που ονομάζονται ψήκτρες ολισθαίνουν στους δα­ κτυλίους και είναι συνδεδεμένες με τα άκρα εξόδου και b. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μια παρόμοια διάταξη για να εξασφαλίσουμε ΗΕΔ που έχει πάντα το ίδιο πρόσημο, όπως δείχνει το Σχ. 30-7a. Η διάταξη αυτή ονομά­ ζεται συλλέκτης και αντιστρέφει τις συνδέσεις με το εξωτερικό κύκλωμα στις γωνιακές θέσεις όπου αντιστρέφεται η ΗΕΔ. Το Σχ. 30-7b δείχνει τηv ΗΕΔ που προκύπτει. Αυτή η συσκευή είναι το πρότυπο της γεννήτριας συνεχούς ρεύματος. Γεννήτριες συνεχούς ρεύ­ ματος που κυκλοφορούν στο εμπόριο διαθέτουν έναν μεγάλο αριθμό πηνίων και συλλε­ κτών· αυτή η διάταξη εξομαλύνει τα εξογκώματα στην ΗΕΔ, με αποτέλεσμα η τάση στα άκρα της πηγής να μην έχει απλώς μια κατεύθυνση, αλλά και να είναι πρακτικά σταθερή (κυμαινόμενη συνεχής τάση). Η διάταξη αυτή με ψήκτρες και συλλέκτη χρησιμοποιήθη­ κε επίσης στον κινητήρα συνεχούς ρεύματος στην ανάλυση του Εδ. 28-8. Η αντηλεκτρε­ γερτική δύναμη του κινητήρα είναι απλώς η ΗΕΔ που επάγεται από τη μεταβαλλόμενη μαγνητική ροή μέσα από τα περιστρεφόμενα πηνία του.

α

30-7 (a) Σχηματικό διάγραμμα

γεννήτριας συνεχούς ρεύματος που χρησιμοποιεί συλλέκτη (δακτύλιο με δύο εγκοπές). (b) Γραφική παράσταση της επαγόμενης ΗΕΔ στα άκρα αb.

(b)

845

30-2 Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ FARADAY

- Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 3 0-4 Ο δίσκος του Faraday Ένας δίσκος με ακτίνα R, που δείχνει το Σχ. 30-8, βρίσκεται στο επίπεδο xy και περιστρέ­ φεται με σταθερά γωνιακή ταχύτητα ω περί τον άξονα z. Ο δίσκος είναι τοποθετημένος σε ομογενές, σταθερό πεδίο Β παράλληλο στον άξονα z. Να βρεθεί η επαγόμενη ΗΕΔ με­ ταξύ του κέντρου και της περιφέρειας του δίσκου.

Υ

ΛΥΣΗ Θεωρούμε ως κύκλωμα το περίγραμμα της κόκκι­ νης περιοχής του Σχ. 30-8. Δεν υπάρχει ροή μέσα από το ορθογώνιο τμήμα στο επίπεδο yz, επειδή το Β είναι παράλ­ ληλο με αυτό το επίπεδο. Το κόκκινο μέρος του δίσκου στο 2 επίπεδο xy είναι ένας τομέας το εμβαδόν του είναι �R θ και η ροή Φ8 που περνά από αυτόν είναι 2 Φ8 = �ΒR θ. Καθώς περιστρέφεται ο δίσκος, η κόκκινη περιοχή μεγα­ λώνει. Σε χρονικό διάστημα dt η γωνία αυξάνει κατά dθ = ω dt και η ροή αυξάνει κατά 2 2 dΦ8 = �BR dθ = �BR ωdt. Η επαγόμενη ΗΕΔ είναι

ε=

_ d:e = - �ΒR2ω.

Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτή τη συσκευή ως πηγή ΗΕΔ σε κύκλωμα αν το συμπληρώσουμε με ολι­ σθαίνουσες επαφές, ή ψήκτρες (b στο σχήμα). Η ΗΕΔ που δη μιουργ ε ί ένας τέτο ιος δ ίσκος μελετή θηκε από τον Faraday. Η συσκευή ονομάζεται δίσκος του Faι·aday, ή ομο­ πολική γεννήτρια. - Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 3 0-5

χ

z

30-8 Ο δίσκος του Faraday. Η μαγνητική ροή αυξάνει επειδή η κόκκινη περιοχή μεγαλώνει.

-------

Το πηνίο ανίχνευσης Ένας πρακτικός τρόπος να μετρη­

θεί η ένταση του μαγνητικού πεδίου είναι να χρησιμοποιη­ θεί μικρό πηνίο με πολύ σφιχτή περιέλιξη Ν σπειρών, που ονομάζεται πηνίο ανίχνευσης. Αν η επιφάνεια που περικλεί­ ει το πηνίο είναι Α και το διάνυσμα της επιφάνειας είναι αρχικά ευθυγραμμισμένο με μαγνητικό πεδίο μέτρου Β, η ροή Φ8 που διαπερνά το πηνίο είναι Φ8 = ΒΑ . Αν περιστρέ­ ψουμε γρήγορα το πηνίο κατά ένα τέταρτο της στροφής πε­ ρί τη διάμετρό του, ή αν το τραβήξουμε και το βγάλουμε α­ πότομα από το πεδίο, η ροή ελαττώνεται ραγδαία από την τιμή ΒΑ στο μηδέν. Καθώς ελαττώνεται η ροή, εμφανίζεται μια στιγμιαία επαγόμενη ΗΕΔ, και παρατηρείται επαγόμε-

νο στιγμιαίο ρεύμα στο εξωτερικό κύκλωμα που συνδέεται με το πηνίο. Ο ρυθμός μεταβολής της ροήs; μέσα από το πη­ νίο είναι ανάλογος του ρεύματος, ή του ρυθμσύ ροής του φορτίου, με αποτέλεσμα να είναι εύκολο να δείξουμε ότι η ολική μεταβολή της ροής είναι ανάλογη του ολικού φορτίου που ρέει στο κύκλωμα. Μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα όργανο που μετρά αυτή την ολική μεταβολή και με αυτό τον τρόπο να υπολογίσουμε το Β. Αφήνουμε τις λεπτομέρειες σε σας, ως πρόβλημα. Αν τη δούμε αυστηρά, αυτή η μέθο­ δος δίνει μόνο το μέσο πεδίο στην επιφάνεια του πηνίου. Στην περίπτωση όμως που η επιφάνεια είναι μικρή, τότε αυ­ τό είναι περίπου ίσο με το πεδίο στο κέντρο του πηνίου.

- Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 3 0-6

Το Σχ. 30-9 δείχνει έναν αγωγό με σχήμα U σε ομογενές μαγνητικό πεδίο Β κάθετο στο επίπεδο του σχήματος και με κατεύθυνση προς τη σελίδα. Τοποθετούμε μεταλλική ράβδο με μήκος L κάθετα στις δύο παράλληλες πλευρές του αγωγού, ώστε να σχηματίζεται βρόχος, και κινούμε τη ράβδο προς τη δεξιά με σταθερή ταχύτητα υ. Να βρεθεί το μέτρο και η φορά της επαγόμενης ΗΕΔ που θα προκύψει. ΛΥΣΗ Η μαγνητική ροή μέσα από τον βρόχο μεταβάλλε­

ται επειδή αυξάνει η επιφάνειά του. Σε χρονικό διάστημα dt η ράβδος διανύει απόσταση υ dt και η επιφάνεια αυξά­ νει κατά dA = Lυ dt. Θεωρήστε ότι η θετική κατεύθυνση για την επιφάνεια είναι προς το σχήμα, παράλληλη του Β. Τότε, η μαγνητική ροή μέσα από τον βρόχο είναι θετική, και αυξάνει σε χρονικό διάστημα dt κατά dΦ8 = Β dA = ΒLυ dt.

χ χ

χ

χ

χ

χ

χ

χ

� χ χ

χ

χ

χ

χ

χ

χ

'>(

χ

ΘΆ χ

hv

χ χ χ '>(

Α

)
ο

το !!..!:.. είναι θετικό

(b)

ελαττούμενο ί ____,.

το !!..!:.. είναι αρνητικό

(c)

31-4 Ένα πηνίο με αμελητέα

(ωμική) αντίσταση. Όταν το πηνίο διατρέχεται με τη φορά με την οποία διαρρέεται από το ρεύμα, το δυναμικό εξαρτάται από τον ρυθμό μεταβολής του ρεύματος.

Vab

=L

dί . dt

ε = -L

�� ·

(31-7)

Η aυτεπαγωγή ενός κυκλώματος είναι το μέτρο της επαγόμενης ΗΕΔ ανά μονάδα ρυθ­ μού μεταβολής του ρεύματος στο ίδιο το κύκλωμα. Εξ ορισμού οι μονάδες της aυτεπα­

(a) v;.b

dι

(31-6)

Από τον νόμο του Faraday, Εξ. (30-4), η αυτεπαγόμενη ΗΕΔ ε είναι - NdΦ8/dt, συνεπώς

= ο

αυξανόμενο ί

dt

ΝΦΒ = Lί.

ή

Εάν το Φ8 και το ί μεταβάλλονται συναρτήσει του χρόνου, τότε

σταθερό ί �

ΝΦΒ ί '

γωγής είναι οι ίδιες με αυτές της αμοιβαίας επαγωγής η μονάδα aυτεπαγωγής στο σύ­ στημα SI είναι το ένα henιy. Θα εξετάσουμε παρακάτω τη σημασία του αρνητικού προσή­ μου στην Εξ. (31-7). Ένα κύκλωμα ή τμήμα κυκλώματος, που έχει σχεδιαστεί να έχει ορισμένη aυτεπα­ γωγή ονομάζεται πηνίο ή τσοκ (choke) . Όπως οι αντιστάτες (αντιστάσεις) και οι πυκνω­ τές, τα πηνία (aυτεπαγωγές) είναι μεταξύ των βασικών στοιχείων των κυκλωμάτων των μοντέρνων ηλεκτρονικών. Στα ακολουθούντα εδάφια θα εξετάσουμε τη συμπεριφορά των πηνίων ως στοιχείων κυκλωμάτων. Το σύνηθες σύμβολο πηνίου σε κυκλώματα είναι Μπορούμε να βρούμε την πολικότητα της επαγόμενης ΗΕΔ και του συσχετιζόμε­ νου μη ηλεκτροστατικού πεδίου Ε από τον νόμο του Lenz. Το αίτιο της επαγόμενης ΗΕΔ και του πεδίου είναι το μεταβαλλόμενο ρεύμα στον ίδιο τον αγωγό και η ΗΕΔ πάντοτε α­ ντιτίθεται προς αυτήν την μεταβολή. Το Σχ. 3 1-4 δείχνει τρεις περιπτώσεις. Στο Σχ. 3 1-4a το ρεύμα είναι σταθερό και v.b = Ο. Στο Σχ. 3 1 -4b το ρεύμα αυξάνεται, και το dί/dt είναι θετικό. Σύμφωνα με τον νόμο του Lenz η επαγόμενη ΗΕΔ αντιτίθεται στο αυ­ ξανόμενο ρεύμα. Η ΗΕΔ λοιπόν, πρέπει να είναι κατά την φορά από το b προς το α · το α γίνεται ο ακροδέκτης υψηλότερου δυναμικού και το v.b είναι θετικό, όπως φαίνεται. Η ΗΕΔ αντιτίθεται στην αύξηση του ρεύματος που προκαλείται από το εξωτερικό κύκλω­ μα. Η πολικότητα της ΗΕΔ είναι ανάλογη προς την πολικότητα μπαταρίας όπου το α εί­ ναι ο ακροδέκτης + . Στο Σχ. 3 1-4c η κατάσταση είναι αντίθετη. Το ρεύμα ελαττώνεται και το dί/dt είναι αρνητικό. Η επαγόμενη ΗΕΔ αντιτίθεται σε αυτήν τη μείωση και το v.b είναι αρνητικό. Και στις δύο περιπτώσεις η επαγόμενη ΗΕΔ αντιτίθεται όχι στο ίδιο το ρεύμα αλλά στη μεταβολή dί/dt του ρεύματος. Έτσι λοιπόν η συμπεριφορά της σε κύκλωμα είναι εντελώς διαφορετική από αυτήν μιας (ωμικής) αντίστασης. Το Σχ. 3 1-5 δείχνει τη σύγκριση και ανακεφαλαιώνει τις σχέσεις των προσήμων.

31-5 Όταν η θετική φορά του ρεύματος είναι από το α προς το b ·

(a) για (ωμική) αντίσταση, το v.b είναι πάντοτε θετικό· (b) για καθαρή aυτεπαγωγή, το είναι θετικό για αυξανόμενο ρεύμα, αρνητικό για ελαττούμενο ρεύμα και μηδέν για σταθερό ρεύμα.

Vab

't f:R

Vab

= ίR

(a)

ί�

α

L b

Vab = q,_j_ L

dt (b)

3 1-2 ΑΥfΕΠΑΓΩΓΗ ΚΑ1 ΠΗΝlΑ

87 1

Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 3 1-3 -------

-

Ένα δακτυλιοειδές πηνίο με πυρήνα αέρα, εμβαδού διατο­ μής Α και μέσης ακτίνας r φέρει πολύ πυκνά περιτυλιγμέ­ νες σπείρες σύρματος (Σχ. 3 1-6). Προσδιορίστε την aυ­ τεπαγωγή του L. Για τον υπολογισμό της ροής, υποθέστε ό­ τι το Β είναι ομογενές σε όλη την επιφάνεια της διατομής θεωρήστε αμελητέα τη μεταβολή του Β με την απόσταση α­ πό τον άξονα του δακτυλίου.

Ν

Υποθέστε ότι Ν= 200 σπείρες, Α = 5 ,0 cm2 = 5,0 χ 10 - 4 m 2 και r = 0, 10 m· τότε

L=

(4π χ ιo- 7 Wb/A· m)(200)2 (5 ,0 χ 10-4 m2 ) 2π(Ο, 10 m) = 40 χ 1Ο-6 Η = 40 μΗ.

ΛΥΣΗ Από την Εξ. (31-6) που ορίζει την aυτεπαγωγή,

L = N�n . ι

Για να βρούμε το Φ8 , πρέπει πρώτα να βρούμε το μέτρο του πεδίου Β. Από την Εξ. (29-22) , σε απόσταση r από τον άξονα του δακτυλίου, Β = μ 0Νί/2πr. Εάν υποθέσουμε ότι το πεδίο έχει αυτό το μέτρο σε όλη την έκταση της διατομής Α, τότε η ολική ροή μέσω της διατομής είναι φΒ

-

Β' Α

"" -

μοΝίΑ . 2πr

'

Όλη η ροή διαπερνά κάθε σπείρα και η aυτεπαγωγή L είναι

'

'

...... _ _ _ _ _ ..--

31-{i Προσδιορίζοντας την aυτεπαγωγή ενός πυκνά περιτυλιγμένου δακτυλιοειδούς πηνίου (τόρου).

- Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 3 1 -4

-------

Εάν το ρεύμα στο πηνίο του παραδείγματος 31-3 αυξάνει ομοιόμορφα από Ο μέχρι 6,0 Α σε 0,30 s, να βρείτε το μέτρο και τη φορά της επαγόμενης ΗΕΔ. ΛΥΣΗ Από την Εξ. (31-7),

Ι εi = L dί = (4Ο χ 1 ο - 6 Η) 6 ,Ο Α dt 0,30 s = s,o χ 10-4 ν.

Το ρεύμα αυξάνει και σύμφωνα με το νόμο του Lenz, η φο­ ρά της ΗΕΔ είναι αντίθετη προς αυτήν του ρεύματος. Αυτό αντιστοιχεί προς το Σχ. 31-4b· η ΗΕΔ έχει τη φορά από b προς α, όπως σε μπαταρία με το α ως πόλο + και το b ως πόλο -, αφού έχει την τάση να αντισταθεί στην αύξηση του ρεύματος από το εξωτερικό κύκλωμα. •

Η aυτεπαγωγή ενός κυκλώματος εξαρτάται από το μέγεθός του, τη μορφή του και τον αριθμό των σπειρών. Για σπείρες πολύ πυκνά περιτυλιγμένες είναι πάντοτε ανάλο­ γη προς το �- Εξαρτάται επίσης και από τις μαγνητικές ιδιότητες του υλικού όπου δημι­ ουργείται το μαγνητικό πεδίο. Στα παραπάνω παραδείγματα υποθέσαμε ότι ο αγωγός περιβάλλεται από κενό. Εάν η μαγνητική ροή συγκεντρώνεται σε περιοχή που υπάρχει έ­ να μαγνητικό υλικό με διαπερατότητα τότε στην έκφραση για το Β πρέπει να αντικα­ ταστήσουμε το (διαπερατότητα του κενού) με το = όπως συζητήθηκε στο Εδ. 29-8. Η αυτεπαγωγική συμπεριφορά του κυκλώματος ελάχιστα επηρεάζεται από το εάν το μαγνητικό υλικό είναι είτε διαμαγνητικό, είτε παραμαγνητικό. Εάν όμως το υλικό εί­ ναι η διαφορά είναι σημαντική. Ένα πηνίο με πυρήνα από μαλακό σί­ δηρο που έχει Km = 5000 έχει aυτεπαγωγή περίπου 5000 φορές μεγαλύτερη από το ίδιο πηνίο με πυρήνα από αέρα. Πηνία με σιδηροπυρήνα ή πυρήνα από φερρίτη χρησιμοποι­ ούνται ευρέως σε μια ποικιλία ηλεκτρονικών και ηλεκτρολογικών εφαρμογών. Μια πρόσθετη περιπλοκή είναι ότι στα σιδηρομαγνητικά υλικά η μαγνήτιση δεν εί­ ναι πάντοτε γραμμική συνάρτηση του μαγνητίζοντας ρεύματος, ιδιαίτερα καθώς προσεγ­ γίζουμε τον κόρο. Στην περίπτωση αυτή λοιπόν, η aυτεπαγωγή δεν είναι πάντοτε σταθε­ ρή αλλά μπορεί να εξαρτάται από το ρεύμα κατά έναν σχετικά περίπλοκο τρόπο. Στη συ­ ζήτηση μας θα αγνοήσουμε αυτό τον σκόπελο και θα υποθέσουμε πάντοτε ότι η επαγωγή είναι σταθερή. Αυτή είναι μια λογική παραδοχή ακόμη και για σιδηρομαγνητικό υλικό ε­ φόσον η μαγνήτιση παραμένει αρκετά κάτω από την τιμή κορεσμού.

Ν

μ0

σιδηρομαγνητικό,

μ,

μ Κmμ0,

872

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 1 ΑΥΊΈΠΑΓΩΓΗ - ΑΜΟΙΒΑΙΑ ΕΠΑΓΩΓΗ

3 1-3

ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙ ΟΥ

------

Η δημιουργία ρεύματος σε ένα πηνίο απαιτεί εισροή ενέργειας και ένα πηνίο που διαρ­ ρέεται από ρεύμα έχει αποθηκευμένη ενέργεια. Ας δούμε γιατί συμβαίνει αυτό. Ένα με­ ταβαλλόμενο ρεύμα σε πηνίο δημιουργεί μια ΗΕΔ ε μεταξύ των ακροδεκτών του. Η πη­ γή που παρέχει το ρεύμα, όσο το ρεύμα μεταβάλλεται, πρέπει να συντηρεί μια αντίστοιχη διαφορά δυναμικού vab μεταξύ των πόλων της και ως εκ τούτου η πηγή παρέχει ενέργεια στο πηνίο. Μπορούμε να υπολογίσουμε την ολική εισρέουσα ενέργεια υ που απαιτείται για να δημιουργηθεί ένα τελικό ρεύμα Ι σε πηνίο aυτεπαγωγής L, εάν το αρχικό ρεύμα είναι μηδέν. Έστω ότι το ρεύμα κάποια χρονική στιγμή είναι ί και ο ρυθμός μεταβολής του εί­ ναι di!dt. Τότε η τάση μεταξύ των πόλων αυτή τη χρονική στιγμή είναι Vab = L(di/dt) και η στιγμιαία ισχύς που παρέχεται από την πηγή ρεύματος είναι Ρ = Vabι. = L ι. dί .

dt

Η ενέργεια dυ που παρέχεται στο πηνίο κατά τη διάρκεια του απειροστού χρόνου dt είναι dυ = Ρ dt, επομένως ισχύει dυ = Li dί. Η ολική παρεχόμενη ενέργεια υ καθώς το ρεύμα αυξάνει από μηδέν έως μια τελική τιμή

Ι είναι

(31-8)

Όταν πλέον το ρεύμα έχει φθάσει στην τελική μόνιμη (σταθερή) τιμή του Ι, το dί/dt = Ο και η ισχύς που εισέρχεται είναι μηδέν. Μπορούμε να θεωρήσουμε την ενέργεια υ ως ανάλογη προς μια κινητική ενέργεια που συνδέεται με το ρεύμα. Αυτή η ενέργεια εί­ ναι μηδέν όταν δεν υπάρχει ρεύμα. όταν το ρεύμα είναι Ι, η ενέργεια είναι %LJ 2. Όταν το ρεύμα ελαττώνεται από Ι σε μηδέν, το πηνίο δρα ως πηγή, παρέχοντας μια ολική ποσότητα ενέργειας %LJ 2 προς το εξωτερικό κύκλωμα. Εάν διακόψουμε απότομα

το κύκλωμα ανοίγοντας ένα διακόπτη, το ρεύμα μεταβάλλεται πολύ γρήγορα, η επαγόμε­ νη ΗΕΔ είναι πολύ μεγάλη και η ενέργεια θα καταναλωθεί στον σπινθήρα ανάμεσα στις επαφές του διακόπτη. Αυτή η μεγάλη ΗΕΔ είναι το ηλεκτρικό ανάλογο της μεγάλης δύ­ ναμης που ασκείται από ένα αυτοκίνητο που προσκρούει σε τοίχο και σταματά απότομα. Εάν προσπαθήσετε να σταματήσετε απότομα το ρεύμα που διαρρέει τις περιελίξεις του κινητήρα μιας ηλεκτρικής σκούπας, τραβώντας απότομα το καλώδιο από την μπρίζα, θα δείτε έναν σπινθήρα καθώς η μεγάλη επαγόμενη τάση προκαλεί στιγμιαία διηλεκτρική διάτρηση του αέρα. Η ενέργεια σε ένα πηνίο αποθηκεύεται ουσιαστικά στο μαγνητικό πεδίο του πηνί­ ου, ακριβώς όπως η ενέργεια ενός πυκνωτή αποθηκεύεται στο ηλεκτρικό πεδίο ανάμεσα στους οπλισμούς του. Μπορούμε να αποδείξουμε μια σχέση για την ενέργεια του μαγνη­ τικού πεδίου ανάλογη προς αυτήν που βρήκαμε για την ενέργεια ηλεκτρικού πεδίου στο Εδ. 25-4, τις Εξ. (25-1 1 ) και (25-19). Θα επικεντρώσουμε την προσοχή μας σε μια απλή περίπτωση, το ιδανικό δακτυλιοειδές πηνίο (τόρο)· αυτό το σύστημα έχει το πλεονέκτημα ότι το μαγνητικό του πεδίο περιορίζεται εντελώς σε πεπερασμένη περιοχή του χώρου ε­ ντός του πυρήνα του. Όπως στο παράδειγμα 3 1-3, υποθέτουμε ότι το εμβαδόν της διατο­ μής Α είναι αρκετά μικρό ώστε να θεωρούμε το μαγνητικό πεδίο ομογενές σε όλη την έ­ κταση της διατομής του πηνίου. Ο όγκος V που περιβάλλεται από τον δακτύλιο είναι ίσος προς την περιφέρεια 2πr πολλαπλασιασμένη επί το εμβαδόν Α, ή V = 2πrΑ. Από το πα­ ράδειγμα 3 1-3 η aυτεπαγωγή του δακτυλιοειδούς πηνίου (τόρου) (αν στον πυρήνα του υ­ πάρχει κενό) είναι

L = μo2πJVlrA '

και η αποθηκευμένη ενέργεια υ όταν το ρεύμα είναι Ι είναι

υ = %LJ 2 = �μο;;Α ι z.

3 1-3 ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΜΑΓΝΗτΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ

873

Το μαγνητικό πεδίο, και ως εκ τούτου αυτή η ενέργεια, εντοπίζονται στον όγκο ανά μονάδα όγκου, ή πυκνότη­

2πιΑ

V= που περικλείεται από τις σπείρες. Η ενέργεια τα ενέργειας, u = U/V, είναι τότε

Μπορούμε να την εκφράσουμε συναρτήσει του μαγνητικού πεδίου Β εντός του δακτυλιο­ ειδούς. Από την Εξ. (29-22) Β=

και

μ0 ΝΙ 2πr '

Αν αντικαταστήσουμε την ποσότητα αυτή στην παραπάνω εξίσωση υπολογισμού του u , βρίσκουμε τελικά Β2 =2 . μο

u

(31-9)

Αυτό είναι το μαγνητικό ανάλογο της ενέργειας ανά μονάδα όγκου του ηλεκτρικού πεδί­ ου σε έναν πυκνωτή αέρα, u = iε0Ε2, που βρήκαμε στο Εδ. 25-4. Όταν το υλικό εντός του δακτυλιοειδούς δεν είναι το κενό αλλά ένα υλικό με (στα­ θερή) μαγνητική διαπερατότητα μ = Κm μ0, πρέπει να αντικαταστήσουμε στην Εξ. (31-9) το μ0 με μ. Η ενέργεια ανά μονάδα όγκου στο μαγνητικό πεδίο είναι τότε ιι

=

Β2

(31 10)

μ.

-

2

Αν και έχουμε δείξει την Εξ. (31-10) μόνο για μια ειδική περίπτωση, αποδεικνύε­ ται ότι είναι εντελώς γενική. Η ενέργεια ανά μονάδα όγκου που συνδέεται με οποιοδή­ ποτε μαγνητικό πεδίο σε υλικό σταθερής διαπερατότητας δίνεται από την Εξ. (3 1-10). Για το κενό αυτή ανάγεται στην Εξ. (31-9). Θα χρησιμοποιήσουμε τις εκφράσεις για την ενέργεια ηλεκτρικού και μαγνητικού πεδίου όταν θα μελετήσουμε την ενέργεια που συν­ δέεται με τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα στο Κεφ. 33 . - Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 3 1-5

-------

Αποθήκευση ενέργειας σε πηνίο Η βιομηχανία παρα­ γωγής ηλεκτρικής ισχύος θα ήθελε να βρει aποδοτικούς τρόπους αποθήκευσης του περισσεύματος της ενέργειας που παράγεται κατά τις ώρες χαμηλής ζήτησης ώστε να ι­ κανοποιεί τη ζήτηση στις ώρες υψηλής ζήτησης. Ίσως θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν υπεραγώγιμα πηνία. Τι aυτεπαγωγή θα χρειάζονταν για την αποθήκευση 1 ,00 kWh ενέργειας σε πηνίο που διαρρέεται από ρεύμα 200 Α; ΛΥΣΗ

=

Έχουμε U 1 ,00 kWh = (1,00 χ 103 W) · (3600 s) 106 J και Ι = 200 Α. Λύνοντας την Εξ. (31-8) ως

= 3,60 χ

προς L, βρίσκουμε L _ -

2U _ 2(3,60 χ 106 J) (200 Α? 12 = 180 Η .

Ένα πηνίο επαγωγής 180 Η που φτιάχνεται από σύνηθες σύρμα αρκετά χονδρό για να μεταφέρει 200 Α θα ήταν πο­ λύ μεγάλο (μέγεθος δωματίου) ενώ ένα υπεραγώγιμο πη­ νίο θα ήταν κατά πολύ μικρότερο.

- Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 3 1-6 ------Ο Superconducting Supercollider (Υπεραγώγιμος υπερεπι­ ταχυντής συγκρουόμενων δεσμών σωματιδίων) σχεδιάζο­ νταν για να έχει ηλεκτρομαγνήτες κάμψεως της δέσμης που θα δημιουργούσαν μαγνητικό πεδίο 6,6 τ. Ποια είναι η πυ­ κνότητα ενέργειας στο κενό του σωλήνα επιτάχυνσης γι' αυτό το πεδίο; ΛΥΣΗ

Στο κενό μ =

μ0 και

Β2 = ι 2μο = 2(4π

(6,6 τ) 2 1 3 ω-7 Τ · m/Α) = 1 ,73 χ 10 J/m .

χ

Για να οδηγηθούμε σε μια ενδιαφέρουσα σύγκριση, σημει­ ώνουμε ότι η θερμότητα καύσης της βενζίνης, εκφρασμένη σε ''ενέργεια ανά μονάδα όγκου" είναι περίπου 3,5 χ 10 10

J/m3 .

•

874

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 31 ΑΥfΕΠΑΓΩΓΗ - AMOIBAlA ΕΠΑΓΩΓΗ

3 1-4

ΤΟ

ΚΥΚΛΩΜΑ R-L

Ένα πηνίο (ή aυτεπαγωγή) είναι κυρίως ένα στοιχείο κυκλώματος. Ας εξετάσουμε λοι­ πόν μερικά παραδείγματα της συμπεριφοράς του πηνίου σε κυκλώματα. Ένα πράγμα εί­ ναι ήδη σαφές δεν πρόκειται να δούμε απότομες αλλαγές στο ρεύμα που διέρχεται μέσω ενός πηνίου. Η Εξ. (31-7) δείχνει ότι όσο μεγαλύτερος ο ρυθμός μεταβολής του ρεύμα­ τος, τόσο μεγαλύτερη θα πρέπει να είναι η διαφορά δυναμικού στα άκρα του πηνί­ ου. Αυτή η εξίσωση μαζί με τους κανόνες του Κirchhoff μας δίνουν τις αρχές που χρεια­ ζόμαστε για να αναλύσουμε τα κυκλώματα που περιέχουν πηνία.

di!dt,

Σ Τ ΡΑΤ Η Γ Ι Κ Η Ε Π Ι ΛΥ Σ Η Σ Π Ρ Ο Β Λ Η Μ ΆΤ Ω Ν

Πηνία σε κυκ λώματα 1. Όταν ένα πηνίο υπάρχει ως στοιχείο κυκλώματος, όλες οι τάσεις, τα ρεύματα και τα φορτία των πυκνωτών είναι γενικά συναρτήσεις του χρόνου και όχι σταθερές, όπως ή­ ταν στις περισσότερες αναλύσεις κυκλωμάτων που κάναμε ως τώρα. Όμως, οι κανόνες του Κirchhoff, που μελετήσαμε στο Κεφ. 27, ισχύουν και εδώ. Όταν οι τάσεις και τα ρεύ­ ματα μεταβάλλονται με το χρόνο, οι κανόνες του Κirchhoff ισχύουν για κάθε μία χρονική στιγμή.

2. Όπως σε όλες τις αναλύσεις κυκλωμάτων, η επιλογή των

ορθών προσήμων είναι πολλές φορές δυσκολότερη από την κατανόηση των αρχών. Σας συνιστούμε, να επαναλάβετε τη στρατηγική του Εδ. 27-2. Επιπλέον, μελετήστε προσεκτικά τον κανόνα των προσήμων που περιγράφηκε με τη βοήθεια της Εξ. (31-7) και των σχημάτων 31-4 και 31-5. Στον κανό­ να βρόχου του Κirchhoff, όταν προχωρούμε μέσω ενός πη­ νίου κατά την ίδια φορά όπως το υποτιθέμενο ρεύμα, αντι­ μετωπίζουμε μια πτώση τάσεως ίση προς L dί/dt, έτσι ο α­ ντίστοιχος όρος στην εξίσωση του βρόχου είναι - L dί!dt.

Αύξηση του ρ εύματος σε ένα κύκλωμα R-L Μπορούμε να μάθουμε αρκετά βασικά πράγματα για τη συμπεριφορά πηνίου αναλύο­ ντας το κύκλωμα του Σχ. 3 1-7. Ο aντιστάτης (αντίσταση) R μπορεί να είναι ένα ξεχωρι­ στό στοιχείο του κυκλώματος, ή μπορεί να είναι η αντίσταση της περιέλιξης του πηνίου· κάθε πραγματικό πηνίο έχει κάποια αντίσταση· εξαιρείται η περίπτωση της κατασκευής του από υπεραγώγιμο σύρμα. Με το κλείσιμο του διακόπτη S, μπορούμε να συνδέσουμε το σύστημα R-L με πηγή σταθεράς ΗΕΔ ε. (Υποθέτουμε ότι η πηγή έχει μηδενική εσωτε­ ρική αντίσταση, άρα η τάση στους πόλους ισούται προς την ΗΕΔ). Υποθέστε ότι αρχικά και οι δύο διακόπτες είναι ανοικτοί και ότι σε κάποια χρονική στιγμή κλείνουμε το διακόπτη S1• Όπως έχουμε αναφέρει, το ρεύμα δεν μπορεί να πάρει κάποια τελική τιμή, μεταπηδώντας σ' αυτήν απότομα από τη μηδενική τιμή, εξαιτίας της άπειρης επαγόμενης ΗΕΔ που θα δημιουργείτο. Αντί γι' αυτό, αρχίζει να αυξάνεται με ορισμένο ρυθμό, ε­ ξαρτώμενο από την τιμή του L στο κύκλωμα. Έστω ότι είναι το ρεύμα κάποια χρονική στιγμή μετά το κλείσιμο του S1 και ο ρυθμός μεταβολής του τη στιγμή αυτή. Η διαφορά δυναμικού υ/χ: στα άκρα του πη­ νίου αυτή τη στιγμή είναι

t=Ο

.---

... ·--..., -t ι----- ι

L

c

Ένα κύκλωμα R-L σε σειρά. Κλείνοντας το διακόπτη S1 συνδέουμε το συνδυασμό R-L με πηγή ΗΕΔ το ε. κλείνοντας το διακόπτη s2 aποσυνδέουμε το συνδυασμό R-L από την πηγή. 31-7

di!dt

ί

t

και η διαφορά δυναμικού v.b στα άκρα της αντίστασης είναι

Εφαρμόζουμε τον κανόνα τάσεων του Κirchhoff, αρχίζοντας από τον αρνητικό πόλο και προχωρώντας στο βρόχο με φορά αντίθετη αυτής των δεικτών του ρολογιού:

ί

ε - R -L

�� = Ο.

(31-1 1 )

3 1-4 ΤΟ ΚΥΚΛΩΜΑ R-L

875

Λύνοντας ως προς dί/dt, βρίσκουμε ότι ο ρυθμός αύξησης του ρεύματος είναι

(31-12)

=Ο

Κατά την αρχική στιγμή που ο διακόπτης S, κλείνει, ί και η πτώση τάσεως στην R είναι μηδέν. Ο αρχικός ρυθμός μεταβολής του ρεύματος είναι

( didt ) = ε τ

ο

αρχικός

Όσο μεγαλύτερη η aυτεπαγωγή L, τόσο πιο αργή είναι η αύξηση του ρεύματος. και ο Καθώς το ρεύμα αυξάνει, αυξάνει επίσης και ο όρος (RIL)ί στην Εξ. αύξησης του ρεύματος γίνεται όλο και πιο μικρός. Όταν το ρεύμα φθάσει στην τελική (σταθερή) τιμή του Ι, ο ρυθμός αύξησή ς του μηδενίζεται. Τότε η Εξ. γίνεται

(31-12)

ρυθμός μόνιμη (31-12)

( dtdί ) = O = §_L _ !i1 L ' τελικός

και

τελικό

Δηλαδή, το (λεύμα Ι δεν εξαρτάται από την aυτεπαγωγή L· είναι σαν να ήταν συν­ δεδεμένος μόνο ο αVτιστάτης R στην πηγή με ΗΕΔ ε . Η συμπεριφορά του ρεύματος συναρτήσει του χρόνου δείχνεται στη γραφική πα­ Για να βρούμε την εξίσωση αυτής της καμπύλης (μια έκφραση του ράσταση του Σχ. ρεύματος συναρτήσει του χρόνου), προχωρούμε ακριβώς όπως και στο πρόβλημα της στη μορφή Πρώτα αναδιατάσσουμε την Εξ. φόρτισης πυκνωτή στο Εδ.

31-8.

(31-12)

27-4.

dί ί - (ε!R)

= - -y;R dt.

Έχουμε διαχωρίσει τις μεταβλητές, με το ί στο αριστερό μέλος και το t στο δεξιό. Στη συ­ νέχεια ολοκληρώνουμε και τα δύο μέλη δίνοντας νέα ονόματα στις μεταβλητές ολοκλή­ ρωσης ί' και t' έτσι ώστε να μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τα ί και t ως τα άνω όρια. (Ίο κάτω όριο του καθενός είναι το μηδέν, που αντιστοιχεί σε μηδενικό ρεύμα στην αρ­ χική χρονική στιγμή t 0). Βρίσκουμε

=

'' R = - f ' -dt' f ί ί' -d(ε!R) L ' ( ί - ειR ) = _ fiιL ln ο

--==1 -

ο

- εJR

Τώρα γράφουμε την εκθετική μορφή της εξίσωσης αυτής και λύνουμε ως προς ί. Αφή­ νουμε σε εσάς να κάνετε τους αναλυτικούς υπολογισμούς το τελικό αποτέλεσμα είναι

· - f(1 -e R

ι -

Αυτή είναι η εξίσωση της καμπύλης του Σχ. βρίσκουμε

(31-13)

dί ε dt _

re

-

(R/L)ι )

(31-13)

.

31-8. Παίρνοντας την παράγωγο της Εξ. - (RIL)ι

(31-14)

.

Τη στιγμή t ί και di!dt ειL. Καθώς t � οο, � ειR και di!dt όπως προ­ βλέψαμε. Όπως φαίνεται στο Σχ. το στιγμιαίο ρεύμα ί αρχικά αυξάνει γρήγορα, έπειτα αυξάνει πιο αργά και τείνει aσυμπτωτικά προς την τελική του τιμή ει R. Σε χρόνο τ ί-

= Ο, = Ο

=

31-8,

= Ο,

ί

Ι=

t

= !=.R

31-8 Γραφική παράσταση του i συναρτήσει του ι κατά την αύξηση του ρεύματος σε ένα κύκλωμα R-L σε σειρά. Το τελικό ρεύμα είναι Ι = E!R· μετά από μια σταθερά χρόνου, το ρεύμα είναι το 1 - 1 /e αυτής της τιμής.

876

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 1 ΑΥΙΈΠΑΓΩΓΗ - ΑΜΟΙΒΑΙΑ ΕΠΑΓΩΓΉ

L/R,

σο προς το ρεύμα έχει αυξηθεί στο 1 - 1 /e, ή περίπου στο 0,63 της τελικής του τιμής. ονομάζεται σταθερά χρόνου του κυκλώματος: Η ποσότητα τ =

L/R

(31-15) Σε χρόνο ίσο προς 2τ το ρεύμα φθάνει στα 86% της τελικής του τιμής σε χρόνο 5τ, στα 99,39% και σε 10τ στα 99,995% της τελικής του τιμής. Οι γραφικές παραστάσεις του συναρτήσει του έχουν την ίδια γενική μορφή για όλες τις τιμές του Για δοσμένη τιμή του η σταθερά χρόνου τ είναι μεγαλύτερη για μεγαλύτερες τιμές του Όταν το είναι μικρό το ρεύμα αυξάνεται γρήγορα προς την τελική του τιμή· όταν το είναι μεγάλο αυξάνεται πιο αργά. Για παράδειγμα, εάν = 100 Ω και L = 10 Η,

L.

ί

L. L

R

L

τ

L

=R

t

R

=

10 Η = 0,10 s, 100 Ω

και το ρεύμα αυξάνει στο 63% της τελικής του τιμής σε 0,10 s. Αλλά εάν 1 ,0 χ 10-4 s = 0,10 ms, και η αύξηση είναι πολύ πιο γρήγορη.

- 11 Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 3 1-7

L = 0,010 Η, τ =

-------

Μετρήσεις που έγιναν σε κύκλωμα R-L εργαστηριακής επί­ δειξης με ψηφιακό πολύμετρο και παλμογράφο δείχνουν ότι η ΗΕΔ της πηγής είναι 6,3 ν, η αντίσταση του κυκλώματος είναι 1 75 Ω και το ρεύμα χρειάζεται 58 μs για να φθάσει α­ πό μηδέν σε 4,9 mA. a) Ποιο ε ίναι το τελικό ρεύμα; b) Ποια είναι η aυτεπαγωγή; c) Ποια είναι η σταθερά χρόνου; ΛΥΣΗ a) Το τελικό ρεύμα Ι, το οποίο δεν εξαρτάται από την aυτεπαγωγή L, είναι ε _ 0,036 Α _ 36 mA. - 6,3 ν Ι_ -R_ 1 75 Ω b) Για να βρούμε το L λύνουμε την Εξ. (31-13) ως προς L. Πρώτα πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη επί - R!ε και έ­ πειτα προσθέτουμε 1 και στα δύο μέλη και καταλήγουμε στην 1 _ ίR = e - (RIL)ι . ε

Μετά παίρνουμε τους φυσικούς λογάριθμους και των δύο μελών, λύνουμε ως προς L και aντικαθιστούμε αριθμητικές τιμές: - Rt L = Ιn ( 1 - ίRΙε) - ( 1 75 Ω)( 58 χ 10-6 s) = Ιη [ 1 - (4,9 χ 10-3 Α)( 175 Ω)/(6,3 ν)]

= 69 mH. c) Η σταθερά χρόνου τ δίνεται από την Εξ. (31-15): ι 69 χ 10 -3 Η τ= R= 175 Ω = 3,9 χ ι ο - 4 s = 390 μs. Σημειώστε ότι ο χρόνος των 58 μs είναι πολύ μικρότερος α­ πό τη σταθερά χρόνου. Το ρεύμα έχει χρόνο να αυξηθεί μόνο από το μηδέν στην τιμή 4,9 mA, ένα μικρό κλάσμα της τελικής του τιμής των 36 mA.

Η ενεργειακή μέθοδος ανάλυσης μας επιτρέπει να κατανοήσουμε πληρέστερα τη Ο στιγμιαίος ρυθμός προσφοράς ενέργειας από την συμπεριφορά ενός κυκλώματος πηγή προς το κύκλωμα είναι Ρ = Ο στιγμιαίος ρυθμός κατανάλωσης ενέργειας στον = αντιστάτη είναι και ο ρυθμός αποθήκευσης ενέργειας στο πηνίο είναι Αν πολλαπλασιάσουμε την Εξ. (31-1 1 ) επί και αναδιατάξουμε τους όρους, βρίσκουμε

ί 2R

R-L. Εί.

ίvbc Lί dί/dt. ί .dί z ε ι. _ (31-16) - L ι dt + ι· R . Η σχέση αυτή δείχνει ότι ένα μέρος της ισχύος Εί που παρέχεται από την πηγή κατανα­ λώνεται (ί 2R) στον αντιστάτη και ένα άλλο μέρος αποθηκεύεται (Lί di/dt) στο πηνίο. Αυ­

τή η συζήτηση είναι εντελώς ανάλογη με την ανάλυση ισχύος για τη φόρτιση πυκνωτή στο τέλος του Εδ. 27-4.

Απόσβεση ρεύματος σε κύκλωμα R-L Υποθέστε τώρα ότι ο διακόπτης S 1 στο κύκλωμα του Σχ. 3 1-7 έχει κλείσει για αρκετό χρόνο ώστε το ρεύμα να έχει πάρει την τιμή /0• Μηδενίζουμε το χρονόμετρο μας για να ο­ ρίσουμε ξανά την αρχή του χρόνου, κλείνουμε το διακόπτη S2 τη στιγμή = Ο, παρακά-

t

3 1-5 ΤΟ ΚΥΚΛΩΜΑ L-C

μπτοvτας τη μπαταρία (την ίδια στιγμ1j πρέπει να ανοίξουμε τον S 1 για να προφυλάξουμε την μπαταρία, αλλιώς θα καταστραφεί). Το ρεύμα μέσω των R και L δεν μηδενίζεται ακαριαία αλλά φθίνει ομαλά, όπως φαίνεται στο Σχ. 31-9. Η εξίσωση βρόχου του κανόνα του Κirchhoff βρίσκεται από την Εξ. (31-1 1), αν απλώς παραλειφθεί ο όρος ε . Σας προ­ καλούμε να επαναλάβετε τα βήματα της παραπάνω ανάλυσης και να δείξετε ότι το ρεύμα ί μεταβάλλεται με το χρόνο σύμφωνα με τη σχέση

877

!0

(31-17) όπου το Ι0 είναι το αρχικό ρεύμα τη στιγμή t = Ο. Η σταθερά χρόνου, τ = L/R, είναι ο χρόνος που απαιτείται για να ελαττωθεί το ρεύμα στο 1/e, ή περίπου στο 37%, της αρχι­ κής του τιμής. Σε χρόνο 2τ έχει πέσει στο 13,5%, σε χρόνο 5τ στο 0,67% και σε 10τ στο 0,0045% της αρχικής του τιμής. Η ενέργεια που απαιτείται για να διατηρείται το ρεύμα κατά τη διάρκεια της από­ σβεσης παρέχεται από την αποθηκευμένη ενέργεια στο μαγνητικό πεδίο του πηνίου. Η λεπτομερής ενεργειακή μέθοδος ανάλυσης είναι αυτή τη φορά απλούστερη. Στη θέση της Εξ. (31-16) έχουμε

31-9 Γραφική παράσταση του ί συναρτήσει του ι κατά την απόσβεση του ρεύματος σε κύκλωμα R-L σε σειρά.

(31-18) Σε αυτήν την περίπτωση, το Lί dί/dt είναι αρνητικό· αυτή η εξίσωση δείχνει ότι η ενέρ­ γεια που είναι αποθηκευμένη στο πηνίο ελαττώνεται με ρυθμό ίσο προς το ρυθμό κατα­ νάλωσης ενέργειας, ί 2R, στην αντίσταση. Όλη αυτή η συζήτηση πρέπει να σας είναι γνώριμη· η κατάσταση είναι όμοια προς αυτήν που αναφέρεται στη φόρτιση και εκφόρτιση πυκνωτή, που αναλύθηκε στο Εδ. 274. Θα ήταν μια καλή ιδέα να συγκρίνετε εκείνο το εδάφιο με τη ανάλυση μας για το κύ­ κλωμα R-L. - Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 3 1-8

-------

Ενέργεια σε κύκλωμα R-L Καθώς το ρεύμα σε κύκλω­ μα R-L φθίνει, τι κλάσμα της αρχικής ενέργειας της αποθη­ κευμένης στο πηνίο έχει καταναλωθεί μετά 2,3 σταθερές χρόνου; ΛΥΣΗ Από την Εξ. (31-17) το ρεύμα ί κάθε χρονική στιγ­ μή ι είναι ί = lo e - ( R!L Jι_

Η ενέργεια υ στο πηνίο κάθε χρονική στιγμή βρίσκεται α­ ντικαθιστώντας αυτήν την έκφραση στην υ = �Lί 2 . Βρί-

σκουμε όπου υ0 = �L/02 είναι η αρχική ενέργεια τη χρονική στιγμή ι = Ο. Όταν ι = 2,3 τ = 2,3 L/R, έχουμε υ = υ0e - 212•31

= υ0e - 4•6 = 0,01 0 υ0 •

Δηλαδή, μόνο το 0,010, ή το 1 ,0 %, της ενέργειας παραμέ­ νει, άρα το 99,0 % έχει καταναλωθεί.

3 1-5 Τ Ο Κ Υ Κ Λ Ω Μ Α L - C Κύκλωμα που περιέχει πηνίο και πυκνωτή δείχνει μια εντελώς νέα μορφή συμπεριφο­ ράς, που χαρακτηρίζεται από ταλαντούμενο ρεύμα και φορτίο. Αυτό είναι σε οξεία αντί­ θεση προς την εκθετική προσέγγιση προς μια μόνιμη κατάσταση που έχουμε δει και στα δύο κυκλώματα R-C και R-L. Στο κύκλωμα L-C του Σχ. 31-10, φορτίζουμε τον πυκνωτή με διαφορά δυναμικού Vm και αρχικό φορτίο Q = C v., όπως φαίνεται στο Σχ. 3 1-10a και έπειτα κλείνουμε το διακόπτη. Τι συμβαίνει; Ο πυκνωτής αρχίζει να εκφορτίζεται μέσω του πηνίου. Εξαιτίας της επαγόμενης ΗΕΔ στο πηνίο, το ρεύμα δεν μπορεί να μεταβληθεί ακαριαία· αρχίζει από το μηδέν και τελικά φθάνει σε μια μέγιστη τιμή Ιm · Κατά τη διάρκεια αυτής της αύξησης, ο πυκνωτής εκφορτίζεται. Σε κάθε στιγμή το δυναμικό του πυκνωτή ισούται προς την επαγόμενη ΗΕΔ, έτσι, καθώς ο πυκνωτής εκφορτίζεται, ο ρυθμός μεταβολής του ρεύματος ελαττώ­ νεται. Όταν το δυναμικό του πυκνωτή γίνεται μηδέν, η επαγόμενη ΗΕΔ είναι επίσης μη­ δέν και το ρεύμα έχει φθάσει στη μέγιστη τιμή του Im. Το Σχ. 31-10b δείχνει αυτή την κα­ τάσταση· ο πυκνωτής έχει τελείως εκφορτιστεί. Η διαφορά δυναμικού στα άκρα του (κα­ θώς και στα άκρα του πηνίου) έχει ελαττωθεί στο μηδέν και το ρεύμα έχει φθάσει τη μέ­ γιστη τιμή του Ιm·

_ _ _ _ _ _ _ _

878

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 31 ΑΥrΕΠΑΓΩΓΗ - AMOffiAlA ΕΠΑΓΩΓΗ

-Q

/m t

c

ιJ�� Ε

ι=

(b)

U8 UE

+Q

tιm

ι=Ο

(a)

m

-V

�

Ε

w�

Τ/4

ι =

(c)

U8 UE

Ε

Τ/2

U8 UE

vm

�

31-10 Μεταφορά ενέργειας μεταξύ

ηλεκτρικού και μαγνητικού πεδίου σε ένα ταλαντούμενο κύκλωμα L-C σε σειρά. Ο διακόπτης κλείνει τη χρονική στιγμή ι = Ο. Όπως συμβαίνει και στην απλή αρμονική κίνηση {Σχ. 13-3), η ολική ενέργεια Ε παραμένει σταθερή.

ι =

3τ/4

(d)

Κατά την εκφόρτιση του πυκνωτή το αυξανόμενο ρεύμα στο πηνίο έχει δημιουργή­ σει ένα μαγνητικό πεδίο στον περί αυτό χώρο και η ενέργεια που ήταν αρχικά αποθη­ κευμένη στο ηλεκτρικό πεδίο του πυκνωτή είναι τώρα αποθηκευμένη στο μαγνητικό πε­ δίο του πηνίου. Το ρεύμα δεν μπορεί να μεταβληθεί ακαριαία· καθώς το ρεύμα συνεχίζει να ρέει, ο πυκνωτής αρχίζει να φορτίζεται με πολικότητα αντίθετη προς αυτήν της αρχικής κατά­ στασης. Καθώς το ρεύμα ελαττώνεται, το μαγνητικό πεδίο ελαττώνεται επίσης, επάγο­ ντας μια ΗΕΔ στο πηνίο, φοράς ίδιας με τη φορά του ρεύματος. Τελικά, το ρεύμα και το μαγνητικό πεδίο φθάνουν στο μηδέν και ο πυκνωτής έχει φορτιστεί κατά την αvrίθετη φορά σε σχέση με την αρχική του πολικότητα (Σχ. 31-10c) με διαφορά δυναμικού -Vm και φορτίο - Q. Η διαδικασία επαναλαμβάνεται κατά την αντίθετη φορά. λίγο αργότερα ο πυκνω­ τής έχει πάλι εκφορτιστεί και υπάρχει ρεύμα στο πηνίο κατά την αντίθετη φορά (Σχ. 31-10d). Ακόμη αργότερα το φορτίο του πυκνωτή επανέρχεται στην αρχική του τιμή (Σχ. 31-10e) και η όλη διαδικασία επαναλαμβάνεται. Εάν δεν υπάρχουν ενεργειακές απώ­ λειες, τα φορτία στον πυκνωτή συνεχίζουν να ταλαντώνονται επ' άπειρον. Αυτή η διαδι­ κασία ονομάζεται ηλεκτρική ταλάντωση. Αν σταθούμε στην ενεργειακή άποψη, οι ταλαντώσεις ενός ηλεκτρικού κυκλώμα­ τος μεταφέρουν ενέργεια από το ηλεκτρικό πεδίο του πυκνωτή προς το μαγνητικό πεδίο του πηνίου και τανάπαλιν. Η ολική ενέργεια που είναι συνδεδεμένη με το κύκλωμα είναι

879

31-5 ΤΟ ΚΥΚΛΩΜΑ L-C

σταθερή. Αm:ό είναι ανάλογο προς τη μεταφορά ενέργειας σε ταλαντούμενο μηχανικό σύστημα από δυναμική σε κινητική και τανάπαλιν με σταθερή την ολική ενέργεια. Όπως θα δούμε, αυτή η αναλογία πηγαίνει πολύ μακρύτερα. Για να μελετήσουμε τη ροή φορτίου λεπτομερώς, προχωρούμε όπως ακριβώς κά­ ναμε στην περίπτωση του κυκλώματος R-L. Αρχίζουμέ με τον κανόνα βρόχου του Κirchhoff. Το Σχ. 31-1 1 δείχνει τους ορισμούς μας των q και ί. Σημειώστε ότι εάν ο πu­ κνωτής είναι αρχικά φορτισμένος και αρχίζει η εκφόρτιση, το αρχικό ρεύμα ί είναι αρνη­ τικό, αντίθετο προς τη (θετική) φορά που δείχνεται. Ξεκινώντας από το κάτω δεξιό άκρο του κυκλώματος του Σχ. 3-1 1 και προσθέτοντας τα δυναμικά καθώς προχωρούμε γύρω στον βρόχο σύμφωνα με τη φορά των δεικτών του ρολογιού, βρίσκουμε -L

�� - f

(31-19)

Η εξίσωση αυτή έχει ακριβώς την ίδια μορφή με την εξίσωση που βρήκαμε για την απλή αρμονική κίνηση στο Εδ. 13-3, δηλαδή την Εξ. ( 1 3-17):

k m

d2x - + -χ = 0. dt 2 (Σας προτείνουμε να κάνετε μια επανάληψη αm:ού του εδαφίου πριν συνεχίσετε τη μελέ­ τη της ανάλυσης που ακολουθεί). Στο κύκλωμα L-C το φορτίο του πuκνωτή q παίζει τον ρόλο της μετατόπισης χ, και το ρεύμα ί = dq/dt αντιστοιχεί στην ταχύτητα του σωματίου και το αντίστροφο της χωρητικότητας, υ = dx!dt. Η επαγωγή L αντιστοιχεί στη μάζα 1/C, αντιστοιχεί στη σταθερά ελατηρίου Ακολουθώντας αm:ή την αναλογία, σας θυμίζουμε ότι η γωνιακή συχνότητα ω = 2πfτου aρμονικού ταλαντωτή ισούται προς γn και η θέση δίνεται συναρτήσει του . χρόνου από τη σχέση

m,

(k!m

x = A cos (ωt + Φ),

(31-20)

όπου το πλάτος Α και η σταθερά φάσης φ εξαρτώνται από τις αρχικές συνθήκες. Στο ηλε­ κτρικό ανάλογο, το φορτίο του πuκνωτή q δίνεται από τη σχέση q = Q cos (ωt + φ),

(31 -2 1 )

και η γωνιακή συχνότητα ω της ταλάντωσης δίνεται από τ η σχέση ω=

�.

(31-22)

Σας προτείνουμε να επαληθεύσετε ότι η Εξ. (31-21) ικανοποιεί την Εξ. (31-19) του βρό­ χου, όταν το ω έχει την τιμή που δίνεται από την Εξ. (31-22). Κατά τη διαδικασία της ε­ παλήθευσης θα βρείτε ότι το στιγμιαίο ρεύμα ί = dq!dt δίνεται από τη σχέση

ί = - ω Q sin (ωt + φ).

L

31-11 Εφαρμογή του κανόνα

= Ο.

Γνωρίζουμε επίσης ότι κάθε στιγμή το ρεύμα ί πρέπει να είναι ίσο προς το ρυθμό μετα­ βολής του φορτίου του πuκνωτή dq/dt: ί = dq/dt και dί/dt = d2q/dt2• Αντικαθιστούμε αυ­ τή την έκφραση στην παραπάνω εξίσωση και, διαιρώντας με - L, βρίσκουμε

k.

c

q_ .----+-' ..: ..., q--1 ι--..

(31-23)

Επομένως, το φορτίο και το ρεύμα σε κύκλωμα L-C ταλαντώνονται ημιτονοειδώς με το χρόνο με γωνιακή συχνότητα που καθορίζεται από τις τιμές των L και C. Η συνή­ θης συχνότητα [, ο αριθμός κύκλων ανά δεm:ερόλεπτο, ισούται προς ω/2π, όπως πάντα. Οι σταθερές Q και φ προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Εάν τη χρονική στιγμή t = Ο ο πυκνωτής έχει το μέγιστο του φορτίο Q και το ρεύμα ί είναι μηδέν, τότε φ = Ο. Εάν τη χρονική στιγμή t = Ο, q = Ο, τότε φ = ±π/2 rad.

βρόχου του Κirchboff σε κύκλωμα L-C σε σειρά. Η φορά περιφοράς που θεωρούμε για την εξίαοοη του βρόχου σημειώνεται στο σχήμα. Μόλις κλείσει ο διακόπτης, το ρεύμα είναι αρνητικό (αντίθετο προς τη φορά που φαίνεται).

880

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 1 ΑΥfΕΠΑΓΩΓΗ - AMOIBAIA ΕΠΑΓΩΓΉ

- Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 3 1-9 ------Ένα κύκλωμα ταλαντώσεων Τροφοδοτικό 300 ν dc χρησιμοποιείται για να φορτίσει πυκνωτή 25 μF. Μετά την πλήρη φόρτισή του ο πυκνωτής αποσυνδέεται από την πηγή και συνδέεται με πηνίο 10 mH. Η αντίσταση στο κύκλωμα είναι αμελητέα. a) Βρείτε τη συχνότητα ταλάντωσης του κυκλώματος. b) Βρείτε το φορτίο του πυκνωτή και το ρεύ­ μα στο κύκλωμα 1,2 ms μετά τη σύνδεση του πυκνωτή με το πηνίο. ΛΥΣΗ

a) Η φυσική γωνιακή συχνότητα είναι

ω=

� = �( 10 χ 10 3 Η�(25 χ 10 6 F)

= 2,0 χ 103 rad/s.

Η συχνότητα f είναι: f

... 2,0 χ 103 _rad/s = .!!!. 2π = 2π rad/κυκλο = 320 Hz. b ) Χρησιμοποιούμε την Εξ. (31-21) για να βρούμε το φορ-

τίο του πυκνωτή συναρτήσει του χρόνου. Το φορτίο είναι μέγιστο τη χρονική στιγμή t = Ο , έτσι φ = Ο και Q = CVm = (25 χ 1 0 - 6 F) (300 V) = 7,5 χ 10 - 3 C. Το φορτίο q κάθε χρονική στιγμή είναι q = (7,5 χ 10-3 C) cos ωt. Τη χρονική στιγμή t = 1,2 χ ω - 3 s, ωt = (2,0 χ 103 rad/s)(1,2 χ 10-3 s) = 2,4 rad, q = (7,5 χ ω - 3 C) cos (2,4 rad) = - 5,5 χ 10-3 C. Το ρεύμα ί σε κάθε χρονική στιγμή είναι ί = - ωQ sin ωt. Τη χρονική στιγμή ι = 1 ,2 χ 10-3 s, ί = (2,0 χ 103 rad/s)(7,5 χ 10-3 C) sin (2,4 rad) = - 10 Α. Το αρνητικό πρόσημο δείχνει ότι αυτή τη χρονική στιγμή το ρεύμα είναι αντίθετο προς τη φορά που ορίστηκε ως θετική στο Σχ. 31-1 1 . -

Μπορούμε επίσης να αναλύσουμε το κύκλωμα L-C κάνοντας χρήση της ενερ­ γειακής προσέγγισης. Η αναλογία προς την απλή αρμονική κίνηση είναι εξίσου χρή­ σιμη και εδώ. Στο μηχανικό πρόβλημα ένα σώμα μάζας m είναι συνδεδεμένο με ελα­ τήριο σταθεράς k. Υποθέστε ότι μετατοπίζουμε το σώμα κατά απόσταση Α από τη θέ­ ση ισορροπίας και το ελευθερώνουμε από την ηρεμία τη χρονική στιγμή t = Ο. Η κι­ νητική ενέργεια του συστήματος οποιαδήποτε μεταγενέστερη χρονική στιγμή είναι �mυ' και η ελαστική δυναμική του ενέργεια είναι i;kx'. Επειδή το σύστημα είναι δια­ τηρητικό, το άθροισμα αυτών των ενεργειών ισούται προς την αρχική ενέργεια του συστήματος �kA'. Βρίσκουμε την ταχύτητα υ γ ια κάθε θέση χ όπως ακριβώς κάναμε στο Εδ. 13-2, Εξ. (13-7):

υ = ± � �Α ' -χ'.

(31-24)

Την ολοκληρώσαμε για να βρούμε το χ συναρτήσει του t και το αποτέλεσμα ήταν η Εξ .

(31-20).

Το κύκλωμα L-C είναι επίσης διατηρητικό σύστημα. Ας θεωρήσουμε και πάλι ότι

Q είναι το μέγιστο φορτίο του πυκνωτή. Η ενέργεια μαγνητικού πεδίου t Lί' στο πηνίο

κάθε χρονική στιγμή αντιστοιχεί στην κινητική ενέργεια �mυ' του ταλαντούμενου σώμα­ τος. Η ενέργεια ηλεκτρικού πεδίου q '/2C στον πυκνωτή αντιστοιχεί στη δυναμική ενέρ­ γεια � kx' του ελατηρίου. Το άθροισμα αυτών των ενεργειών ισούται προς την ολική ε­ νέργεια Q '/2C του συστήματος: Λύνοντας ως προς ί, βρίσκουμε ότι όταν το φορτίο στον πυκνωτή είναι q, το ρεύμα ί είναι

·� ι' -- +- ·νΓl u ' - q2. ιc -ν Q

(31-25)

Συγκρίνοντας τη σχέση αυτή με την Εξ. (31-24), βλέπουμε ότι το ρεύμα ί = dq/dt και το φορτίο q συσχετίζονται όπως η ταχύτητα υ = dx/dt και η θέση χ του μηχανικού προβλή­ ματος. Θα μπορούσαμε να ολοκληρώσουμε την Εξ. (31-25) και να βρούμε την Εξ . (31-21), όπως κάναμε στο μηχανικό πρόβλημα. Οι αναλογίες μεταξύ της απλής αρμονικής κίνησης και της ταλάντωσης του κυκλώ­ ματος L-C συνοψίζονται στον πίνακα 31-1. Αυτή η χτυπητή αναλογία μεταξύ του μηχανι­ κού και του ηλεκτρικού συστήματος είναι ένα μόνο από τα πολλά παρόμοια παραδείγμα­ τα στη Φυσική. Η παραλληλία μεταξύ ηλεκτρικών και μηχανικών (και ακουστικών) συ­ στημάτων είναι τόσο στενή ώστε μπορούμε να λύσουμε περίπλοκα μηχανικά και ακου-

3 1-6 ΤΟ ΚΥΚΛΩΜΑ L-R-C

88 1

ΠΙΝΑΚΑΣ 3 1-1 Ταλάντωση συστήματος ελατηρίου - μάζας συγκρινόμενη με ηλεκτρική ταλάντωση σε κύκλωμα L-C

Σύστημα ελατηρίου - μάζας

Κύκλωμα πηνίου - πυκνωτή

Κινητική ενέργεια = � mυ2

Μαγνητική ενέργεια = � Li2

Δυναμική ενέργεια = � Ια2

Ηλεκτρική ενέργεια =

υ=±

Wm ,JA2 - x2

dx

lιί2 + 2

.

=

1

ω=

ω=

x = A cos (ωt + Φ)

2 = Q

2

2C

ί = ± �1/L C ,JQ2 - q2

υ = dt

�

!f_ 2C

fc

dq dt

g

q = Q cos (ωt + Φ)

στικά προβλήματα κατασκευάζοντας ανάλογα ηλεκτρικά κυκλώματα και μετρώντας τα ρεύματα και τις τάσεις που αντιστοιχούν στις μηχανικές και ακουστικές ποσότητες που θέλουμε να προσδιορίσουμε. Αυτή είναι μάλιστα η βασική αρχή ενός αναλογικού υπολο­ γιστή συγκεκριμένου τύπου. Βλέπουμε ότι στη σύγκριση μας μεταξύ του aρμονικού ταλα­ ντωτή και του κυκλώματος L-C, η m αντιστοιχεί στο L, το k στο (1/C), το χ στο q και το υ στο ί. Αυτή η αναλογία μπορεί να επεκταθεί στις φθίνουσες ταλαντώσεις, που θα εξετά­ σουμε στο επόμενο εδάφιο. 3 1-6 Τ Ο Κ Υ Κ Λ Ω Μ Α L - R - C Στη μελέτη του κυκλώματος L-C που προηγήθηκε, υποθέσαμε πως δεν υπήρχε αντίσταση στο κύκλωμα. Αυτό φυσικά είναι μια εξιδανίκευση· κάθε πραγματικό πηνίο έχει αντί­ σταση στις σπείρες του και επιπλέον μπορεί να υπάρχει αντίσταση στα σύρματα των συν­ δέσεων. Η λειτουργία της αντίστασης στο κύκλωμα συνδέεται με την κατανάλωση ηλε­ κτρομαγνητικής ενέργειας και τη μετατροπή της σε άλλες μορφές, όπως τη θερμοδυναμι­ κή (εσωτερική) ενέργεια στα υλικά του κυκλώματος. Η αντίσταση σε ηλεκτρικό κύκλωμα είναι ανάλογη προς την τριβή σε μηχανικό σύστημα. Ας υποθέσουμε ότι πηνίο aυτεπαγωγής L και aντιστάτης αντίστασης R συνδέονται σε σειρά στους ακροδέκτες φορτισμένου πυκνωτή. Όπως προηγουμένως, ο πυκνωτής αρχίζει να εκφορτίζεται μόλις κλείσει το κύκλωμα. Αλλά, εξαιτίας των απωλειών i 2R στον αντιστάτη, η ενέργεια μαγνητικού πεδίου που αποκτήθηκε από το πηνίο όταν ο πυ­ κνωτής εκφορτίστηκε πλήρως είναι μικρότερη από την αρχική ενέργεια ηλεκτρικού πεδί­ ου στον πυκνωτή. Κατά τον ίδιο τρόπο η ενέργεια του πυκνωτή όταν το μαγνητικό πεδίο έχει ελαττωθεί στο μηδέν είναι ακόμη μικρότερη κ.ο.κ . . Εάν η αντίσταση R είναι σχετικά μικρή, το κύκλωμα μπορεί ακόμη να ταλαντώνε­ ται, αλλά με φθίνουσα (αποσβενόμενη) αρμονική ταλάντωση (Σχ. 31-12a) και λέμε ότι το κύκλωμα είναι υποκρίσιμα αποσβενόμενο. Εάν αυξήσουμε το R, οι ταλαντώσεις τερ­ ματίζονται ταχύτερα. Όταν το R φθάσει μια ορισμένη τιμή, το κύκλωμα δεν ταλαντώνε_ _ _ _ _ _ _

q

Q

σ

31-12 Γραφικές παραστάσεις του

q

' � '-L Y V)J /

(a)

(b)

(c)

φορτίου του πυκνωτή συναρτήσει του χρόνου σε κύκλωμα L-R-C εν σειρά με μηδενικό αρχικό ρεύμα: (a) υποκρίσιμα αποσβενόμενο (μικρό R) (b) κρίσιμα αποσβενόμενο (μεγαλύτερο R)· (c) υπεραποσβενόμενο (πολύ μεγάλο R).

882

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 1 ΑΥfΕΠΑΓΩΙΉ - AMOffiAIA ΕΠΑΓΩΓΉ

l

ε

.-----...;., +ι ι------.

q

s

ται πλέον, και λέμε ότι είναι κρίσιμα αποσβενόμενο (Σχ. 31-12b). Για ακόμα μεγαλύτε­ ρες τιμές της R, το κύκλωμα είναι υπεραποσβενόμενο (Σχ. 31-12c) και το φορτίο στον πυκνωτή τείνει στο μηδέν πιο αργά. Σημειώστε ότι χρησιμοποιούμε τους ίδιους όρους που χρησιμοποιήσαμε για να περιγράψουμε τη συμπεριφορά του ανάλογου μηχανικού συστήματος, του αποσβενόμενου aρμονικού ταλαντωτή στο Εδ. 13-7. Για να αναλύσουμε λεπτομερώς τη συμπεριφορά του κυκλώματος R-L-C, θεωρού­ με το κύκλωμα που φαίνεται στο Σχ. 31-13. Είναι όπως το κύκλωμα L-C του Σχ. 31-11 αν εξαιρεθεί η προσθήκη του αντιστάτη R· δείχνουμε ακόμη την πηγή που φορτίζει αρχικά τον πυκνωτή. Έχει ακολουθηθεί η ίδια σύμβαση στο συμβολισμό και τα πρόσημα των q και που ακολουθήθηκε και στο κύκλωμα L-C. Η ανάλυση για την ανεύρεση του ρεύματος ί και του φορτίου του πυκνωτή q συ­ ναρτήσει του χρόνου δίνεται παρακάτω. Πρώτον, κλείνουμε το διακόπτη προς τα πάνω, συνδέοντας τον πυκνωτή με πηγή με τάση μεταξύ των ακροδεκτών Vm για αρκετό χρόνο c vm και κάθε ώστε να είμαστε σίγουροι ότι ο πυκνωτής απόκτησε τελικό φορτίο αρχική ταλάντωση έχει αποσβεστεί. Έπειτα, τη χρονική στιγμή t κλείνουμε το διακό­ πτη προς τα κάτω. Σημειώστε ότι το αρχικό ρεύμα είναι αρνητικό, αντίθετης φοράς προς αυτήν που φαίνεται να έχει το στο σχήμα. Για να βρούμε την εξάρτηση των q και από το χρόνο, εφαρμόζουμε τον κανόνα βρόχου του Κirchhoff. Αρχίζοντας από το σημείο α και πηγαίνοντας γύρω στο βρόχο κα­ τά τη διεύθυνση abcda, βρίσκουμε την εξίσωση

ί

c ....___""

� ί

31-13 Κύκλωμα L-R-C σε σειρά.

=Ο

ί

Q=

ί

ί

Αντικαθιστώντας το με το dq/dt και αναδιατάσσοντας τους όρους, βρίσκουμε ότι (31-26)

= Ο,

Σημειώστε ότι, για R η εξίσωση αυτή ανάγεται στην Εξ. (31-19). Υπάρχουν γενικές μέθοδοι εύρεσης λύσεων της Εξ. (31-26). Η μορφή της λύσης είναι διαφορετική για υποκρίσιμα αποσβενόμενη (μικρό R) και για υπεραποσβενόμενη (μεγάλο R) περίπτωση. Όταν το R2 είναι μικρότερο από το 4L/C, η λύση έχει τη μορφή _

q -

R2 t + φ) . Qe - (R/2L)ι cos (�LC1 - 4L2

(31-27)

Σας προτείνουμε να πάρετε τη δεύτερη παράγωγο αυτής της συνάρτησης και να αποδεί­ ξετε με κατευθείαν αντικατάσταση ότι πράγματι ικανοποιεί την Εξ. (31-26). Αυτή η λύση αντιστοιχεί στην υποκρίσιμα συμπεριφορά που φαίνε­ ται στο Σχ. 3 1-12a· η συνάρτηση παριστά μια ημιτονοειδή ταλάντωση με ένα εκθετικά μειούμενο πλάτος. Όταν R ανάγεται στην Εξ. (31-21). Γενικά, όμως, η γωνιακή συ­ χνότητα της ταλάντωσης δεν είναι πλέον 1/(L C) 1n αλλά μικρότερη, εξαιτίας του όρου που περιέχει το R. Η γωνιακή συχνότητα των αποσβενόμενων ταλαντώσεων δίνεται α­ πό

αποσβενόμενη

= Ο,

ω'

(3 1-28)

ω=

Όταν R = Ο, αυτή η εξίσωση ανάγεται στην (31-22), 1/(LC)1n. Καθώς το R αυξάνε­ ται, το γίνεται διαρκώς μικρότερο. Όταν R 2 4L/C, η υπόρριζη ποσότητα μηδενίζε­ ται. Το σύστημα δεν ταλαντώνεται πλέον και έχουμε την περίπτωση της (Σχ. 3 1-12b). Για ακόμη μεγαλύτερο R το σύστημα συμπεριφέρεται όπως στο Σχ. 3 1-12c. Σε αυτήν την περίπτωση το σύστημα είναι και το q δίνεται συναρτήσει του χρόνου από το άθροισμα δύο φθινουσών εκθετικών συναρτήσεων.

ω'

σβεσης

- li Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 3 1 - 1 0

=

κρίσιμης από­

υπεραποσβενόμενο

------

τι αντίσταση R απαιτείται (συναρτήσει των L και C) για να δώσει σε ένα κύκλωμα L-R-C μια συχνότητα που ισούται προς το μισό της μη αποσβενόμενης συχνότητας;

ΛΥΣΗ Θέλουμε η γωνιακή συχνότητα ω ' της Εξ. (31-28) να είναι το μισό της μη αποσβενόμενης γωνιακής συχνότη­ τας ω της Εξ. (31-22).

Συσκευή προς προφύλαξη X . c (c) Διάγραμμα περιστρεφόμενων διανυσμάτων φάσης για την περίπτωση Xc > Χι .

900

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 32 ΕΝΑΛΛΑΣ ΣΟΜΕΝΟ ΡΕΥΜΑ

νυσμα φάσης του ρεύματος, παριστάνει την τάση στα άκρα του αντιστάτη. Η προβολή του στον οριζόντιο άξονα σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή δίνει τη στιγμιαία διαφορά δυ­ ναμικού Η τάση στα άκρα του πηνίου του ρεύματος κατά 90 ° . Έχει πλάτος

υR .

προηγείται Vι

Το περιστρεφόμενο διάνυσμα φάσης στο Σχ. 32-Sb παριστάνει την τάση στα άκρα του πηνίου. Η προβολή του στον οριζόντιο άξονα σε οποιαδήποτε στιγμή είναι ίση με Η τάση στα άκρα του πυκνωτή υστερεί κατά 90° από το ρεύμα. Έχει πλάτος

υι.

Vc υ

Το περιστρεφόμενο διάνυσμα φάσης στο Σχ. 32-Sb παριστάνει την τάση στα άκρα του πυκνωτή. Η προβολή του στον οριζόντιο άξονα σε οποιαδήποτε στιγμή είναι ίση με Η στιγμιαία διαφορά δυναμικού μεταξύ των άκρων α και είναι σε κάθε στιγμή ίση με το ( αλγεβρικό) άθροισμα των διαφορών δυναμικού και Δηλαδή είναι ίση και των περιστρεφόμενων διανυσμάτων φάσης με το άθροισμα των Το άθροισμα όμως των προβολών τους είναι ίσο με την του τους αθροίσματος. Επομένως το διανυσματικό άθροισμα πρέπει να είναι το περιστρεφόμε­ νο διάνυσμα φάσης που παριστάνει την τάση στα άκρα της πηγής και τη στιγμιαία ολι­ κή τάση στα άκρα της σειράς των τριών στοιχείων. Για να κατασκευάσουμε αυτό το διανυσματικό άθροισμα, καταρχήν αφαιρούμε το περιστρεφόμενο διάνυσμα φάσης από το περιστρεφόμενο διάνυσμα φάσης (Αυτά βρίσκονται πάντοτε στην ίδια ευθεία, αλλά έχουν αντίθετες κατευθύνσεις.) Προκύπτει το περιστρεφόμενο διάνυσμα φάσης το οποίο είναι πάντοτε κάθετο στο περιστρε­ φόμενο διάνυσμα φάσης Επομένως σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα, το μέτρο του περιστρεφόμενου διανύσματος φάσης είναι

προβολών

υ

υad

V

υR, υι υc. VR, Vι Vc. προβολή διανυσματικού

Vc Vι - Vc,

VR.

υc.

d

Vι.

V V = �V/ + (Vι - Vc)2 = �(JR)2 + (!Χι - IXc)2 = Ι �R2 + (Χι -Xc)2• Το μέγεθος Χι -Xc ονομάζεται άεργη αντίσταση, Χ, του κυκλώματος:

(32-20)

(32-21 ) Τέλος, ορίζουμε τη σύνθετη αντίσταση Ζ του κυκλώματος: (32-22) και επαναδιατυπώνουμε την Εξ. (32-20):

V = IZ. (32-23) Η Εξ. (32-23) έχει και πάλι τη μορφή της V = IR, όπου η σύνθετη αντίσταση Ζ παίζει τον ίδιο ρόλο με την αντίσταση R σε κύκλωμα dc. Σημειώστε όμως ότι η σύνθετη αντίσταση είναι στην πραγματικότητα συνάρτηση των R, L και C, καθώς και της γωνιακής συχνότη­ τας ω. Η πλήρης έκφραση της Ζ για κύκλωμα L-R-C σε σειρά είναι Ζ

= �R2 + Χ2 = �R2 + (Χι -Xc) 2 = �R2 + [ωL - (1/ωC)]2•

(32-24)

Η σύνθετη αντίσταση είναι πάντοτε λόγος τάσης προς ρεύμα. Η μονάδα της σύνθετης α­ ντίστασης στο σύστημα SI είναι το ohm. Η Εξ. (32-24) δίνει τη σύνθετη αντίσταση Ζ μόνο για το κύκλωμα των Μπορούμε όμως να τη σύνθετη αντίσταση κυκλώματος ac, με τη βοήθεια της Εξ. (32-23), ως τον λόγο του πλάτους της τάσης προς το πλάτος του ρεύματος.

σειρά.

ορίσουμε

οποιουδήποτε

L-R-C σε

32-3 ΤΟ ΚΥΚΛΩΜΑ L-R-C ΣΕ ΣΕΙΡΑ

901

32-8b είναι η γωνία φάσης της τάσης υ της πηγής σε σχέση με το

Η γωνία φ στο Σχ. ρεύμα Από το διάγραμμα,

ί.

tan φ

= ---γ;- =

-Xc Vι - Vc !(Χι -Xc) Χι Χ R- = R IR ωL - l /ωC R

(32-25)

Η τάση της πηγής προηγείται του ρεύματος κατά γωνία φ. Αν το ρεύμα είναι τότε η τάση της πηγής είναι

υ

ί = Ι cos ωt,

υ = Vcos (ωt + φ). Το Σχ. 32-8b παρουσιάζει τη συμπεριφορά κυκλώματος στο οποίο Χι > Xc. Αν Χι < Xc, όπως στο Σχ. 32-8c, το διάνυσμα V βρίσκεται στη δεξιά πλευρά του διανύσμα­ τος του ρεύματος /, με αποτέλεσμα η τάση να καθυστερεί ως προς το ρεύμα. Στην περί­ πτωση αυτή, η Χ = Χι -Xc είναι αρνητικό μέγεθος, η tan φ είναι αρνητική και η φ είναι αρνητική γωνία μεταξύ Ο ο και -90 ο. Τέλος, επισημαίνουμε ότι όλες ο ι σχέσεις που αναπτύξαμε για το κύκλωμα των L-R-C σε σειρά ισχύουν ακόμη και αν λείπει ένα από τα στοιχεία του κυκλώματος. Αν λείπει ο aντιστάτης, βάζουμε αν λείπει το πηνίο, βάζουμε Αν λείπει ο πυ­ κνωτής, βάζουμε οο, τιμή που αντιστοιχεί στην απουσία οποιασδήποτε διαφοράς δυ­ ναμικού ή οποιασδήποτε χωρητικής άεργης αντίστασης

C= (υ = q /C)

R = Ο·

L = Ο. (Xc = 1 /ωC).

Σ Τ ΡΑΤ Η ΓΙ Κ Η Ε Π ΙΛΥΣ Η Σ Π Ρ Ο Β Λ Η ΜΆΤ Ω Ν Κ υκλώματα εναλλασσόμενου ρεύματος 1 . Στα προβλήματα με κυκλώματα ac είναι σχεδόν πάντοτε ευκολότερο να χρησιμοποιείτε τη γωνιακή συχνότητα ω . Μπορεί ν α σας δοθεί η κανονική συχνότήτα f, σ ε Hz. Μην ξεχνάτε να κάνετε τη μετατροπή, χρησιμοποιώντας τη σχέ­ ση ω = 2πf.

2. Να έχετε υπόψη μερικές βασικές ιδέες για τις φάσεις. Για έναν αντιστάτη, η τάση και το ρεύμα είναι πάντοτε σε φάση και τα αντίστοιχα περιστρεφόμενα διανύσματα φά­ σης σε ένα διάγραμμα έχουν την ίδια κατεύθυνση. Για ένα πηνίο η τάση πάντοτε προηγείται του ρεύματος κατά 90 ο (δηλαδή, φ = + 90 ο ) και το περιστρεφόμενο διάνυσμα φά­ σης της τάσης είναι πάντοτε στραμμένο κατά 90° στα αρι­ στερά του αντίστοιχου περιστρεφόμενου διανύσματος του ρεύματος. Για έναν πυκνωτή η τάση πάντοτε υστερεί κατά 90 ° ως προς το ρεύμα (δηλαδή, φ = 90 ° ), και το περι­ στρεφόμενο διάνυσμα φάσης της τάσης ε ίναι πάντοτε στραμμένο κατά 90 ° στα δεξιά του αντίστοιχου περιστρε­ φόμενου διανύσματος του ρεύματος. -

3. Να θυμάστε ότι οι κανόνες του Κirchhoff ισχύουν πάντο­ τε στα κυκλώματα ac. Οι τάσεις και τα ρεύματα είναι ημι-

τονοειδείς συναρτήσεις του χρόνου αντί να είναι σταθερές, οι κανόνες του Κirchhoff όμως ισχύουν σε κάθε χρονική στιγμή. Επομένως, το στιγμιαίο ρεύμα, σε κύκλωμα με σύν­ δεση σε σειρά, είναι το ίδιο σε όλα τα στοιχεία του κυκλώ­ ματος σε κύκλωμα με παράλληλη σύνδεση, η στιγμιαία τά­ ση στα άκρα όλων των στοιχείων του κυκλώματος είναι η ί­ δια. 4. Η άεργη και η σύνθετη αντίσταση είναι ανάλογες προς την αντίσταση· κάθε μια παριστάνει τον λόγο πλάτους τά­ σης V προς πλάτος ρεύματος Ι σε στοιχείο ή σε συνδυασμό στοιχείων κυκλώματος. Να έχετε όμως υπόψη ότι ο ρόλος της σχέσης των φάσεων είναι σημαντικός η αντίσταση και η άεργη αντίσταση πρέπει να προκύψουν από τη διανυσμα­ τική άθροιση των αντίστοιχων περιστρεφόμενων διανυσμά­ των φάσης. Όταν υπάρχουν, για παράδειγμα, πολλά στοι­ χεία κυκλώματος σε σειρά, δεν μπορείτε να προσθέσετε α­ πλώς τις αριθμητικές τιμές της αντίστασης και της άεργης αντίστασης αυτό θα αγνοούσε τις σχέσεις μεταξύ των φά­ σεων.

- 11 Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 32-4 ------Στο κύκλωμα με σύνδεση σε σειρά του Σχ. 32-Sa, υποθέστε ότι R = 300 Ω , 60 mH, C = 0,50 μF, ν = 50 ν και = 1 0 000 rad/s. Βρείτε τις άεργες αντιστάσεις Χι και Xc , τη σύνθετη αντίσταση Ζ, το πλάτος του ρεύματος /, τη γωνία φάσης φ και το πλάτος της τάσης στα άκρα του κάθε στοι­ χείου του κυκλώματος.

L=

ω

ΛΥΣΗ Από τις Εξ. (32-12) και (32-18), Χι = Xc =

ωL = (10 000 rad/s)(60 mH) = 600 Ω .

ωC = (10 000 rad/s)�0,50 χ 1 0-- η ) η γωνία θb που σχηματίζει με την κάθετο είναι μι­ κρότερη στο δεύτερο υλικό από τη γωνία θα στο πρώτο υλικό, και η ακτίνα κάμπτεται και προσεγyι1;ει την κάθετο (Σχ. 34-3c). Όταν ο δεύτερος δείκτης είναι μικρότερος του πρώ­ του (nb < η. ) η ακτίνα κάμπτεται και απομακρύνεται από την κάθετο. Ο δείκτης διάθλα­ σης του κενού εξ ορισμού ισούται με τη μονάδα. Όταν μια ακτίνα διέρχεται από το κενό σε ένα υλικό, κάμπτεται πάντα και προσεγy[ζει την κάθετο· όταν διέρχεται από ένα υλικό σε περιοχή όπου υπάρχει κενό, κάμπτεται και απομακρύνεται από την κάθετο. Όταν η προσπίπτουσα ακτίνα είναι κάθετη προς τη διαχωριστική επιφάνεια θα = Ο, sin θ. = Ο και η διερχόμενη ακτίνα δεν κάμπτεται καθόλου. Όταν μια ακτίνα φωτός προσεγγίζει τη διαχωριστική επιφάνεια από την αντίθετη πλευρά (από τη δεξιά πλευρά στο Σχ. 34-3c) υπάρχουν και πάλι οι δύο ακτίνες, η ανακλώ­ μενη και η διαθλώμενη· οι δύο αυτές ακτίνες, η προσπίπτουσα ακτίνα και η κάθετος προς την επιφάνεια κείνται και πάλι στο ίδιο επίπεδο. Οι νόμοι της ανάκλασης και της διάθλα­ σης ισχύουν είτε η προσπίπτουσα ακτίνα οδεύει αρχικά στο υλικό α, είτε οδεύει αρχικά στο υλικό b κατά το σχήμα. Η πορεία μιας διαθλώμενης ακτίνας είναι αντιστρεπτή·ακο­ λουθεί τον ίδιο δρόμο είτε διέρχεται από το b στο α , είτε από το α στο b. Η πορεία που α­ κολουθεί μια ακτίνα α ανακλώμενη σε οποιαδήποτε επιφάνεια είναι επίσης aντιστρεπτή. Οι εντάσεις των δύο ακτίνων, ανακλώμενης και διαθλώμενης, εξαρτώνται από τη γωνία πρόσπτωσης, τους δύο δείκτες διάθλασης και την πόλωση της προσπίπτουσας α­ κτίνας. Για μη πολωμένο φως το ανακλώμενο ποσοστό είναι ελάχιστο στην κάθετη πρό­ σπτωση (0 .), για παράδειγμα παίρνει την τιμή 4% (περίπου), αν πρόκειται για διαχωρι­ στική επιφάνεια αέρα-γυαλιού, και αυξάνεται, αυξανομένης της γωνίας πρόσπτωσης, ως την τιμή 100% που ισχύει για ακροθιγή, σχεδόν εφαπτομενική ("ξυστή") πρόσπτωση, ο­ πότε θα = 90•. α

,

949

950

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 34 ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΔΟΣΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ

Αν και έχουμε περιγράψει τους νόμους της ανάκλασης και της διάθλασης σαν πει­ ραματικά αποτελέσματα, είναι δυνατό να εξαχθούν οι νόμοι αυτοί και θεωρητικώς μέσω ενός κυματικού μοντέλου με χρήση των εξισώσεων του Maxwell. Η ανάλυση αυτή μας παρέχει τη δυνατότητα να προβλέψουμε το πλάτος, την ένταση, τη φάση και τις καταστά­ σεις πόλωσης των δύο κυμάτων, του ανακλώμενου και του διαθλώμενου. Οι περισσότερες ύαλοι που χρησιμοποιούνται στα οπτικά όργανα έχουν δείκτη διάθλασης με τιμές περίπου από 1,5 έως 2,0. Ελάχιστες μόνο ουσίες έχουν μεγαλύτερο δείκτη διάθλασης δύο παραδείγματα είναι ο αδάμας με τιμή 2,42 , και το ρουτίλιο (κρυ­ σταλλική μορφή του διοξειδίου του τιτανίου) με 2,62. Ο δείκτης διάθλασης δεν εξαρτά­ ται μόνο από τη φύση του υλικού αλλά και από το μήκος κύματος του φωτός. Η εξάρτηση αυτή από το μήκος κύματος ονομάζεται διασκεδασμός · θα την μελετήσουμε στο Εδάφιο 34-4. Στον Πίνακα 34-1 δίνονται οι δείκτες διάθλασης μερικών στερεών και υγρών. Ο δείκτης διάθλασης του αέρα υπό κανονικές συνθήκες θερμοκρασίας και πίεσης είναι 1,0003 περίπου. Θα τον θεωρούμε, στις περισσότερες περιπτώσεις, ακριβώς ίσο προς την μονάδα. Ο δείκτης διάθλασης ενός αερίου αυξάνεται γραμμικά με την πυκνότη­ τά του. Όταν το φως διέρχεται από ένα υλικό σε κάποιο άλλο, η συχνότητα f του κύματος δεν μεταβάλλεται. Η διαχωριστική επιφάνεια δεν μπορεί να δημιουργήσει νέα κύματα ή να εξαφανίσει τα υπάρχοντα· ο αριθμός των κυμάτων που καταφθάνουν στην διαχωρι­ στική επιφάνεια ανά μονάδα χρόνου πρέπει να ισούται με τον αριθμό των κυμάτων που την εγκαταλείπουν ανά μονάδα χρόνου. Σε κάθε υλικό ισχύει υ = λf. Αφού το f είναι το ίδιο σε κάθε υλικό, όπως και στο κενό, και η ταχύτητα υ είναι πάντοτε μικρότερη από την ταχύτητα του κύματος στο κενό c, το μήκος κύματος λ επίσης μειώνεται αντίστοιχα. Έτσι το μήκος κύματος λ του φωτός σε ένα υλικό είναι μικρότερο από το μήκος κύματος λ 0 του ίδιου φωτός στο κενό. Από την παραπάνω επιχειρηματολογία προκύπτει ότι ισχύει η ισό­ τητα/ = c/λ0 = υ/λ. Συνδυάζοντας τη σχέση αυτή με την Εξ. (34-1), δηλαδή την n = c/υ βρίσκουμε

λ = λnο .

(34-5)

ΠΙΝΑΚΑΣ 34-1 Δείκτης διάθλασης για την κίτρινη γραμμή του νατρίου (λ0 = 589 nm) Δείκτης διάθλασης, n Υλικό Στερεά Πάγος (Η20) Φθορίτης (Αργυραδάμας) (CaF2) Πολυσευρόλιο Ορυκτό άλας (Λιθάλας) (NaCI) Χαλαζίας (Si02) Ορυκτό Ζιρκόνιο (Zr02 • Si02) Αδάμας (C) Φαβουλίτης (Srτi03) Ρουτίλιο (τί02) Ύαλοι (γυαλιά, τυπικές τιμές) Στεφανύαλος (Βοημική ύαλος) Μολυβδύαλος (μικρής οπτικής πυκνότητας) Μολυβδύαλος (μέσης οπτικής πυκνότητας) Μολυβδύαλος (μεγάλης οπτικής πυκνότητας) Μολυβδύαλος λανθανίου Υγρά σε θερμοκρασία 20· C Μεθανόλη (CH30H) Νερό (Η20) Αιθανόλη (�Η50Η) Τετραχλωράνθρακας (CC14) Ρητίνη πεύκης (τερεβινθίνη) Γλυκερίνη Βενζόλιο Διθειάνθρακας (CS2)

1 ,309 1,434 1 ,49 1,544 1,544 1,923 2,417 2,409 2,62 1 ,52 1,58 1 ,62 1 ,66 1,80 1 ,329 1,333 1,36 1 ,460 1 ,472 1,473 1 ,501 1,628

95 1

34-2 ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΘΛΑΣΗ

Σ Τ ΡΑΤ Η ΓΙ Κ Η Ε Π Ι Λ Υ Σ Η Σ Π Ρ Ο Β ΛΗ ΜΆ Τ Ω Ν Ανάκλαση και διάθλαση 1. Στη γεωμετρική οπτική η επίλυση προβλημάτων στα ο­ ποία υπεισέρχονται ακτίνες και γωνίες αρχίζει πάvrα με τη σχεδίαση ενός μεγάλου και ακριβούς σχήματος. Χαρακτη­ ρίστε με σύμβολα όλες τις γνωστές γωνίες και τους δείκτες διάθλασης. 2. Μην ξεχνάτε ότι, εξαιτίας της σύμβασης που ακολουθού­ με, μετράμε πάντα τις γωνίες πρόσπτωσης, ανάκλασης και διάθλασης αρχίζοντας από την κάθετο προς την επιφάνεια στην οποία εκδηλώνεται η ανάκλαση και η διάθλαση, ποτέ από την ίδια την επιφάνεια.

- Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 34-l

3. Συχνά θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε μερικές στοιχειώ­ δεις γνώσεις γεωμετρίας και τριγωνομετρίας κατά την επε­ ξεργασία σχέσεων που περιέχουν γωνίες. Το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός τριγώνου είναι ιsο·, οι κατά κο­ ρυφήν γωνίες είναι ίσες κλπ. Συχνά υποβοηθείστε αν ανα­ κεφαλαιώσετε στη σκέψη σας το πρόβλημα, και κατόπιν υ­ ποβάλετε ερωτήσεις στον εαυτό σας του τύπου nb . Από τον νόμο του Snell έχουμε

α,

•.

sin θb =

n

�

nb

sin θ

•.

Επειδή ο λόγος n.fnb είναι μεγαλύτερος της μονάδος, το sin θb είναι μεγαλύτερο του sin θ; η ακτίνα στο μέσο b απομακρύνεται από την κάθετο. Άρα πρέπει να υπάρχει μία τιμή της θ., μικρότερη από τις 90•, για την οποία ο νόμος του Snell δίνει sin θb 1 και θb = 90• . Αυτό παριστάνεται από την ακτίνα 3 στο διάγραμμα που αναδύεται εφαπτομενι­ κά προς την επιφάνεια, σχηματίζοντας γωνία διάθλασης 90 • . Η γωνία πρόσπτωσης για την οποία η διαθλώμενη ακτίνα αναδύεται εφαπτομενικά προς την επιφάνεια ονομάζεται κρίσιμη γωνία (ή ορική γωνία) και συμβολίζεται με θcriι · (Μια πιο λεπτομερής ανάλυση, με χρήση των εξισώσεων Maxwell δείχνει ότι καθώς η γω­ νία πρόσπτωσης προσεγγίζει την κρίσιμη γωνία, η διαδιδόμενη ένταση τείνει στο μηδέν.) =

b

Ρ

(a)

(b)

953

(a)

34-8 (a) Ολική εσωτερική ανάκλαση σε ένα πρίσμα Ροπο. (b) Ο συνδυασμός δύο πρισμάτων Ροπο σε διόπτρα.

(b)

Αν η γωνία πρόσπτωσης είναι μεγαλύτερη από την κρίσιμη γωνία, το ημίτονο της γωνίας διάθλασης, όπως υπολογίζεται από το νόμο του Snell, πρέπει να λαμβάνει τιμές μεγαλύτε­ ρες της μονάδας, πράγμα αδύνατο. Πέραν της κρίσιμης γωνίας η ακτίνα δεν μπορεί να ει­ σχωρήσει στο πάνω υλικό· παγιδεύεται στο κάτω υλικό, και ανακλάται εξ ολοκλήρου εσω­ τερικά στην διαχωριστική επιφάνεια. Το φαινόμενο αυτό, που ονομάζεται ολική εσωτερι­ κή ανάκλαση, εκδηλώνεται μόνο στην περίπτωση κατά την οποία μια ακτίνα προσπίπτει σε μια διαχωριστική επιφάνεια με ένα δεύτερο υλικό, του οποίου ο δείκτης διάθλασης εί­ ναι μικρότερος από τον δείκτη διάθλασης του υλικού μέσα στο οποίο διαδίδεται η ακτίνα. Είναι δυνατό να βρούμε την κρίσιμη γωνία για δύο δεδομένα υλικά, αν θέσουμε θb = 90• (sin θb = 1) στον νόμο του Snell. Έχουμε τότε nb . sιn θcrit = n .

(34-6)

α

Για μια επιφάνεια γυαλιού-αέρα, με n = 1,52 για το γυαλί, sin θcriι =

;

= 0,658 , 1 2 '

θcriι = 41 , 1 · .

Το γεγονός ότι η κρίσιμη αυτή γωνία είναι λίγο μικρότερη των 45 • καθιστά δυνατή τη χρησιμοποίηση ενός τριγωνικού πρίσματος με γωνίες 45 · , 45 • και 90 • ως ολικώς ανα­ κλώσας επιφάνειας. Τα ολικά ανακλώντα πρίσματα έχουν, ως ανακλαστήρες, μερικά πλεονεκτήματα, αν συγκριθούν με τις μεταλλικές επιφάνειες - ένα παράδειγμα των τε­ λευταίων είναι τα κοινά επιστρωμένα γυάλινα κάτοπτρα. Το φως ανακλάται ολικά από ένα πρίσμα, ενώ καμία μεταλλική επιφάνεια δεν ανακλά το 100% του φωτός που προ­ σπίπτει σ' αυτήν. Επιπλέον, οι ανακλαστικές τους ιδιότητες είναι μόνιμες και δεν επηρε­ άζονται από τυχόν αμαυρώσεις της μεταλλικής τους επίστρωσης. Ένα πρίσμα 45 • - 45 • - 90•, χρησιμοποιούμενο όπως φαίνεται στο Σχ. 34-Sa, ονο­ μάζεται πρίσμα Porro. Το φως εισέρχεται και εξέρχεται κάθετα προς το «υποτείνον» ε­ πίπεδο, που αντιστοιχεί στην έδρα του πρίσματος απέναντι από την ορθή γωνία, και υφί­ σταται ολική ανάκλαση σε κάθε μια από τις δύο μικρότερες έδρες του, που αντιστοιχούν στις «παρά την βάσιν» γωνίες του πρίσματος, οι οποίες έχουν τιμή 45 • . Η ολική μεταβολή της κατεύθυνσης των ακτίνων είναι 180 • . Οι διόπτρες (κιάλια) χρησιμοποιούν συχνά ένα συνδυασμό δύο πρισμάτων Porro, όπως φαίνεται στο Σχ. 34-Sb. -

Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 34-4

-------

Ένα περισκόπιο με διαρροή Ένα �ερισκόπιο περιέχει δύο πρίσματα ολικής ανάκλασης 45 · - 45 ·- 90 ·, ενώ η ολι­ κή εσωτερική ανάκλαση που καθιστά δυνατή τη λειτουργία του πραγματοποιείται στις έδρες των πρισμάτων που βρί­ σκονται απέναντι από τις ορθές του γωνίες. Αν εμφανίσει διαρροή, το κάτω πρίσμα επικαλύπτεται από το νερό που διεισδύει λόγω της διαρροής. Εξηγήστε γιατί δεν είναι πλέ­ ον δυνατό να εξασφαλιστεί η λειτουργικότητα του περι­ σκοπίου. ΛΥΣΗ Η κρίσιμη γωνία για τη διάταξη του υδάτινου

στρώματος (nb = 1,33) πάνω στο γυαλί (na = 1 ,52) είναι ,33 = 61 ,ο · . criι = arcsιn. 11 ,52

θ

Η γωνία πρόσπτωσης των 45 • είναι μικρότερη από την κρί­

σιμη γωνία των 61 • που απαιτείται για ένα πρίσμα ολικής ανάκλασης, άρα δεν παρατηρείται ολική εσωτερική ανά­ κλαση στη διαχωριστική επιφάνεια γυαλιού-νερού. Η πε­ ρισσότερη φωτεινή ακτινοβολία μεταδίδεται μέσα στο νε­ ρό, ενώ ένα πολύ μικρό ποσοστό της ανακλάται προς τα πί­ σω διαδιδόμενο μέσα στο πρίσμα.

954

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 34

ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΔΟΣΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ

34-9 Μια φωτεινή ακτίνα εξαιτίας των διαδοχικών ολικών ανακλάσεων, που υφίσταται, υπό τον όρο ότι οι γωνίες που φαίνονται στο σχήμα υπερβαίνουν την κρίσιμη γωνία.

Όταν μια φωτεινή δέσμη εισέρχεται σε μια διαφανή ράβδο από το ένα της άκρο (Σχ. 34--9 ), το φως ανακλάται ολικά στο εσωτερικό της και «παγιδεύεται» μέσα στη ρά­ βδο ακόμα και αν η ράβδος έχει καμπυλωθεί, εφόσον η καμπυλότητα δεν είναι υπερβο­ λικά μεγάλη. Μια ράβδος αυτής της μορφής ονομάζεται σε ωρισμένες περιστάσεις φω­ ταγωγός σωλήνας. Μια δεσμίδα λεπτών υάλινων ή πλαστικών ινών συμπεριφέρεται με τον ίδιο τρόπο και επιπλέον έχει το πλεονέκτημα της ευκαμψίας. Μια δεσμίδα είναι δυ­ νατό να αποτελείται από χιλιάδες μεμονωμένες ίνες, κάθε μία με διάμετρο που κυμαίνε­ ται από 0,002 mm ώς 0,01 mm. Αν οι ίνες έχουν συναρμολογηθεί σε δεσμίδα με τέτοιο τρόπο, ώστε οι σχετικές θέσεις των άκρων των ινών να είναι ίδιες (ή να συμπίπτουν μετά από κατοπτρική αντιστροφή) και στα δύο άκρα, η δέσμη μπορεί να μεταβιβάσει μια ει­ κόνα, όπως επιδεικνύεται στο Σχ. 34-- 1 0. Οι συσκευές που χρησιμοποιούν οπτικές ίνες έχουν αποκτήσει ένα ευρύτατο πεδίο ιατρικών εφαρμογών σε όργανα, ονομαζόμενα ενδοσκόπια, τα οποία μπορούν να εισα­ χθούν απευθείας στους βρογχικούς aυλούς, την ουροδόχο κύστη, στο κόλον κλπ. οπότε υπάρχει δυνατότητα απευθείας οπτικής ιατρικής εξέτασης. Μια δεσμίδα ινών μπορεί να εγκλειστεί σε μια υποδερμική βελόνη σύριγγας για τη διερεύνηση των ιστών και των αι­ μοφόρων αγγείων που εντοπίζονται σε μεγάλο βάθος κάτω από το δέρμα. Η χρήση οπτικών ινών επεκτείνεται επίσης στα συστήματα τηλεπικοινωνιών, όπου χρησιμοποιούνται για τη μετάδοση μιας διαμορφωμένης δέσμης λέηζερ. Ο όγκος πληρο­ φοριών που μπορεί να μεταδοθεί από ένα κυματικό φορέα (φως, ραδιοφωνικό κύμα ή ο­ ποιοδήποτε άλλο κύμα) εντός ορισμένου χρονικού διαστήματος είναι ανάλογος προς τη συχνότητα. Για να δούμε ποιοτικά γιατί συμβαίνει αυτό, θεωρήστε ότι διαμορφώνετε (μετατρέπετε) το κύμα αποκόπτοντας μερικές από τις κορυφές του κύματος. Φανταστεί­ τε ότι κάθε κορυφή παριστάνει ένα δυαδικό ψηφίο, όπου μια αποκομμένη κορυφή παρι­ στάνει το μηδέν και μια αμετάτρεπτη κορυφή περιστάνει το ένα. Ο αριθμός των δυαδι­ κών ψηφίων που μπορεί να μεταδοθεί ανά μονάδα χρόνου είναι, επομένως, ανάλογος προς τη συχνότητα του κύματος. 34-10 (a) Μετάδοση εικόνας μέσω μιας δεσμίδας ινών. (b) Ένα καλώδιο οπτικών ινών, που χρησιμοποιείται για τη διαβίβαση μιας διαμορφωμένης δέσμης λέηζερ σε τηλεπικοινωνιακές εφαρμογές, συγκρινόμενο με ένα καλώδιο χαλκού, πολύ μεγαλύτερης διαμέτρου, που μπορεί να μεταδώσει τον ίδιο όγκο πληροφορίας.

(a)

(b)

34-4

955

ΔΙΑΣΚΕΔΑΣΜΟΣ

Τα φωτεινά κύματα στην υπέρυθρη και ορατή περιοχή του ηλεκτρομαγνητικού φά­ σματος είναι πολύ πιο υψίσυχνα από τα ραδιοκύματα, άρα μια διαμορφωμένη δέσμη λέ­ ηζερ μπορεί να διαβιβάσει μια τεράστια ποσότητα πληροφορίας διαμέσου ενός μόνο κα­ λωδίου οπτικών ινών. Για παράδειγμα, στο σύστημα δικτυώσεως των υπολογιστών του Πανεπιστημίου Carnegie-Mellon, που περιλαμβάνει αρκετές χιλιάδες δικτυωμένους προσωπικούς υπολογιστές και σταθμούς εργασίας (workstations)*, η διασύνδεση γίνεται εν μέρει με καλώδια οπτικών ινών του τύπου του Σχ. 34-10b. Πολλά τηλεφωνικά κέντρα και συστήματα δικτύωσης διασυνδέονται εν μέρει τουλάχιστον και με οπτικές ίνες. Ένα άλλο πλεονέκτημα των καλωδίων οπτικών ινών ειναι το γεγονός ότι είναι κα­ τασκευασμένα από υλικά τα οποία χαρακτηρίζονται ηλεκτρολογικά ως μονωτές. Είναι α­ πρόσβλητα σε ηλεκτρικές παρεμβολές από κεραυνούς ή από άλλες πηγές, ενώ δεν επιτρέ­ πουν τη διέλευση ανεπιθύμητων ρευμάτων μεταξύ πηγής και δέκτη. Έχουν μεγάλο δείκτη ασφάλειας, η δυνατότητα υποκλοπής των συνδιαλέξεων που μεταδίδουν είναι πολύ περιο­ ρισμένη, από την άλλη μεριά όμως είναι ιδιαίτερα δυσχερής η συγκόλλησή τους ή η δημι­ ουργία ενδιάμεσης διακλάδωσης, χωρίς την προμήθεια ιδιαίτερα δαπανηρού εξοπλισμού. * 3 4-4 Δ Ι Α Σ Κ Ε Δ Α Σ Μ Ο Σ Υπό κανονικές συνθήκες το λευκό φως είναι η υπέρθεση κυμάτων με μήκη κύματος που εκτείνονται σε όλο το ορατό φάσμα. Η ταχύτητα του φωτός στο κενό είναι η ίδια για όλα τα μήκη κύματος αλλά η ταχύτητά του σε ένα υλικό μέσο είναι διαφορετική για διαφορε­ τικά μήκη κύματος. Επομένως ο δείκτης διάθλασης ενός υλικού εξαρτάται από το μήκος κύματος. Η εξάρτηση της ταχύτητας του κύματος και του δείκτη διάθλασης από το μήκος κύματος ονομάζεται διασκεδασμός. Το Σχήμα 34-1 1 δείχνει τη μεταβολή του δείκτη διά­ θλασης συναρτήσει του μήκους κύματος σε μερικά ευρέως χρησιμοποιούμενα οπτικά υ­ λικά. Η τιμή του n συνήθως μειώνεται, αυξανομένου του μήκους κύματος και επομένως αυξάνεται, αυξανομένης της συχνότητας. Φως μεγαλύτερου μήκους κύματος έχει συνή­ θως μεγαλύτερη ταχύτητα σε ένα υλικό από φως μικρότερου μήκους κύματος. Το Σχήμα 34-12 δείχνει μια ακτίνα λευκού φωτός που προσπίπτει σε ένα πρίσμα. Η εκτροπή (αλλαγή κατεύθυνσης) που προκαλείται από το πρίσμα αυξάνεται, αυξανομένου του δείκτη διάθλασης ή της συχνότητας ή μειουμένου του μήκους κύματος. Το ιώδες χρώμα υφίσtαται τη μέγιστη εκτροπή, το ερυθρό χρώμα υφίσtαται την ελάχιστη, ενώ τα άλλα χρώ­ ματα υφίστανται ενδιάμεσες εκτροπές. Όταν το φως αναδύεται από το πρίσμα διασκορπί­ ζεται σε μια δέσμη σχήματος ριπίδας (βεντάλιας) ή πτερυγίου ανεμιστήρα, όπως φαίνεται στο σχήμα. Λέμε ότι το φως διασκεδάζεται σε ένα φάσμα. Το μέγεθος του διασκεδασμού ε­ ξαρτάται από τη διαφορά μεταξύ των δεικτών διάθλασης για το ιώδες και για το ερυθρό φως. Στο Σχ. 34-1 1 παρατηρούμε ότι σε ένα υλικό όπως ο φθορίτης, του οποίου ο δείκτης διάθλασης για το κίτρινο φως έχει μικρή τιμή, η διαφορά μεταξύ των δεικτών διάθλασης για το ερυθρό και για το ιώδες είναι μικρή. Στην πυριτική στεφανύαλο είναι μεγαλύτερος τόσο ο δείκτης διάθλασης για το κίτρινο φως, όσο και η διαφορά μεταξύ των ακραίων δεικτών διάθλασης. Η λάμψη (στίλβη) του αδάμαντα οφείλεται εν μέρει στον μεγάλο του διασκεδασμό και εν μέρει στον ασυνήθιστα μεγάλο δείκτη διάθλασής του. Οι κρύσταλλοι του ρουτιλίου και του τιτανικού στροντίου, που μπορούν να παρασκευαστούν τεχνητώς με συνθετική μέθοδο, έχουν διασκεδασμό περίπου οκτώ φορές μεγαλύτερο από τον διασκεδασμό του αδάμαντα.

Δείκτης διάθλασης (n)

Μήκος κύματος (nm) . 34-11 Μεταβολή τσu δείκτη διάθλασης συναρτήσει τσu μήκσuς κύματος.

34-12 Σχηματική απεικόνιση τσu διασκεδασμού που προκαλείται από ένα πρίσμα. Η ταινία των εξερχόμενων χρωμάτων ονομάζεται φάσμα.

• Ανάλογα σvσrήματα διασύνδεσης δικτύου wρέος φάσματος έχουν ήδη εγκατασrαθεί και λειτουργούν σrο ΑΠΘ, σrο ΕΜΠ, σrο Παvεπισrήμιο Κρήτης και σε άλλα ελληνικά (ΣτΜ).

ΑΕΙ

956

34-13 Διάθλαση σε σταγόνες νερού, και μηχανισμός σχηματισμού ουράνιου τόξου. (a) Το εξωτερικό κυκλικό τόξο του πρωτεύοντος ουράνιου τόξου είναι ερυθρό. (b) Το εσωτερικό κυκλικό τόξο του . αμυδρότερου δευτερεύοντος ουράνιου τόξου είναι ερυθρό. Οι κατακόρυφες πολύχρωμες στήλες δείχνουν τη διάταξη των χρωμάτων όπως βγαίνουν από μ ια συγκεκριμένη σταγόνα. Στο μάτι του παρατηρητή τα διάφορα χρώματα φθάνουν από σταγόνες σε διαφορετικό ύψος και η διάταξη των χρωμάτων που βλέπει στο πρωτεύον και το δευτερεύων τόξο αντιστρέφεται. (Βλ. σελ. 944).

(a)

(b)

Όσες φορές έχετε την ευκαιρία να παρατηρήσετε τη φυσική ωραιότητα του ουρά­ νιου τόξου, απολαμβάνετε το συνδυασμό των φαινομένων του διασκεδασμού και της ολι­ κής εσωτερικής ανάκλασης. Το φως έρχεται από πίσω, ως προς τη δική σας θέση παρα­ τήρησης, διαθλάται μέσα σε ένα σταγονίδιο νερού, υφίσταται ολική εσωτερική ανάκλα­ ση στην οπίσθια επιφάνεια του σταγονιδίου και ανακλάται και πάλι προς τα μάτια σας (Σχ. 34-13a). Ο διασκεδασμός προκαλεί τη διάθλαση των διάφορων χρωμάτων σε δια­ φορετικές γωνίες. Όταν παρατηρείτε ένα δεύτερο, λίγο μεγαλύτερο ουράνιο τόξο με α­ νεστραμένη τη σειρά των χρωματισμών του, βλέπετε τις συνέπειες του διασκεδασμού και δύο ολικών εσωτερικών ανακλάσεων (Σχ. 34-13b). Υ

z

(a) Υ

z

μ. (b)

z

(c) 34-14 (a) Εγκάρσιο κύμα σε χορδή

πολωμένο κατά τη διεύθυνσηy. (b) Κύμα πολωμένο κατά τη διεύθυνση z. (c) Ένα φράγμα στο οποίο έχει εγκοπεί μια λεία κάθετη σχισμή επιτρέπει τη διέλευση των συνιστωσών που είναι πολωμένες κατά τη διεύθυνση y, αλλά παρεμποδίζει τις συνιστώσες που είναι πολωμένες κατά τη διεύθυνση z, συμπεριφερόμενο ως πολωτικό φίλτρο.

3 4-5 Π Ο Λ Ω Σ Η Η πόλωση είναι χαρακτηριστικό γνώρισμα όλων των εγκάρσιων κυμάτων. Το κεφάλαιο αυτό αναλύει τις διάφορες όψεις του φωτός, αλλά πριν από την εξοικείωσή μας με τα βα­ σικά χαρακτηριστικά της πόλωσης ας επιχειρήσουμε μια αναδρομή στις έννοιες που πα­ ρουσιάσαμε στο Κεφάλαιο 19 (οι οποίες αφορούσαν τα εγκάρσια κύματα σε μια χορδή). Για μια χορδή της οποίας η θέση ισορροπίας συμπίπτει με τον άξονα χ, οι μετατοπίσεις ί­ σως γίνονται κατά μήκος της διεύθυνσηςy, δηλαδή όπως στο Σχ. 34-14a. Στην περίπτωση αυτή η χορδή κείται πάντα επί του επιπέδου xy. Είναι δυνατό όμως, οι μετατοπίσεις να πραγματοποιούνται κατά μήκος του άξονα z, όπως στο Σχ. 34-14b· στην περίπτωση αυτή η χορδή κείται επί του επιπέδου xz. Όταν ένα κύμα έχει μετατοπίσεις μόνο κατά μήκος της διεύθυνσηςy, λέμε ότι είναι γραμμικά πολωμένο στην διεύθυνση y ένα κύμα με μετατοπίσεις μόνο στη διεύθυνση z είναι γραμμικά πολωμένο στη διεύθυνση z. Για μηχανικά κύματα μπορούμε να κατα­ σκευάσουμε ένα πολωτικό φίλτρο (ή πολωτικό nθμό) που επιτρέπει να διέρχονται μόνο κύματα με ορισμένη διεύθυνση πόλωσης. Στο Σχ. 34-14c η χορδή μπορεί να ολισθαίνει κάθετα, κατά μήκος της σχισμής, χωρίς τριβή, αλλά δεν είναι δυνατή οποιαδήποτε οριζό­ ντια κίνησή της. Το φίλτρο αυτό επιτρέπει τη διέλευση κυμάτων, πολωμένων στην διεύ­ Θυνση y, αλλά ανακόπτει τα κύματα που είναι πολωμένα στη διεύθυνση z. Η ίδια φρασεολογία μπορεί να εφαρμοσθεί και στα ηλεκτρομαγνητικά κύματα, που επίσης χαρακτηρίζονται από το γνώρισμα της πόλωσης. Όπως μάθαμε στο Κεφάλαιο 33, ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα είναι ένα εγκάρσιο κύμα. Τα κυμαινόμενα ηλεκτρικά και μα­ γνητικά πεδία είναι κάθετα τόσο μεταξύ τους όσο και προς την κατεύθυνση διάδοσης του κύματος. Η διεύθυνση πόλωσης ενός ηλεκτρομαγνητικού κύματος, συμπίπτει πάντοτε εξ ορισμού με τη διεύθυνση του διανύσματος του ηλεκτρικού πεδίου, και όχι του μαγνητικού πεδίου, επειδή οι περισσότεροι κοινοί ανιχνευτές (φωρατές) των ηλεκτρομαγνητικών κυ­ μάτων (συμπεριλαμβανομένου και του ανθρώπινου ματιού) είναι ευαίσθητοι στις ηλεκτρι­ κές δυνάμεις που ασκούνται στα ηλεκτρόνια των υλικών και όχι στις μαγνητικές δυνάμεις. Πολωτικά φίλτρα (Πολωτικοί ηθμοί)

Είναι δυνατή η κατασκευή πολωτικών φίλτρων (πολωτικών ηθμών) για τα ηλεκτρομαγνη­ τικά κύματα. Οι λεπτομέρειες της κατασκευής τους εξαρτώνται από τη φασματική περιο-

34-5 ΠΟΛΩΣΗ

957

Κατακόρυφες ταλαντώσεις aπορροφούμενες μερικώς

34-15 Γραμμικά πολωμένο φως Γραμμικά πολωμένο διερχόμενο φως

διερχόμενο από ένα πολωτικό φίλτρο. Οι συνιστώσες που είναι κάθετες στον άξονα πόλωσης απορροφούνται.

χή στην οποία ανήκει το ηλεκτρομαγνητικό κύμα που πολώνουν. Για ακτινοβολία μικρο­ κυμάτων μήκους κύματος μερικών εκατοστών, ένα πλέγμα αποτελούμενο από παράλληλα αγώγιμα σύρματα, μονωμένα και σε μικρή απόσταση μεταξύ τους, θα επιτρέψει τη διέλευ­ ση των κυμάτων των οποίων τα ηλεκτρικά πεδία Ε είναι κάθετα προς τα σύρματα, ενώ θα αποκόψει τα κύματα των οποίων τα ηλεκτρικά πεδία Ε είναι παράλληλα προς τα σύρματα. Το πιο κοινό πολωτικό φίλτρο είναι ένα υλικό που είναι γνωστό με την εμπορική ονομα­ σία Polaroid (Πολαρόιντ), χρησιμοποιούμενο ευρέως στα γυαλιά ηλίου (αντιθαμβωτικά γυαλιά) καθώς και στα πολωτικά φίλτρα των φακών των φωτογραφικών μηχανών. Το υλι­ κό αυτό, που εφευρέθηκε αρχικά από τον Edwin Η. Land (Έντουιν Χ. Λαντ) περιέχει ου­ σίες που παρουσιάζουν διχρωισμό, δηλαδή επιλεκτική απορρόφηση μιας από τις συνιστώ­ σες πόλωσης σε πολύ έντονο βαθμό, ενώ η άλλη συνιστώσα απορροφάται ελάχιστα από αυτές. (Σχ. 34-15). Ένα φίλτρο (ηθμός) Polaroid επιτρέπει τη διέλευση του 80% (ή ακόμα μεγαλύτερου ποσοστού) της έντασης κυμάτων πολωμένων παράλληλα προς ορισμένο ά­ ξονα (ονομαζόμενο άξονα πόλωσης) μέσα στο υλικό, ενώ διέρχεται μόλις το 1% (ή ακόμα λιγότερο ποσοστό) της έντασης κυμάτων πολωμένων κάθετα προς τον άξονα αυτόν. Τα κύματα που εκπέμπονται από ένα πομπό ραδιοκυμάτων είναι συνήθως γραμμι­ κώς πολωμένα. Οι κεραίες σε σχήμα κατακόρυφης ράβδου που χρησιμοποιούνται στη ζώνη ραδιοκυμάτων CB (Citizen Band) εκπέμπουν κύματα τα οποία, ως προς οριζόντιο επίπεδο στο ύψος της κεραίας, είναι πολωμένα κατά την κατακόρυφη διεύθυνση (παράλ­ ληλα προς την κεραία). Οι κεραίες τηλεόρασης που τοποθετούνται συνήθως στις στέγες των κατοικιών έχουν οριζόντια στοιχεία στις Ηνωμένες Πολιτείες και κάθετα στοιχεία στη Μεγάλη Βρετανία, διότι τα μεταδιδόμενα κύματα είναι πολωμένα σε διαφορετικές διευθύνσεις στις δύο χώρες. Το φως που εκπέμπεται από τις συνήθεις φωτεινές πηγές δεν είναι πολωμένο. Οι "κεραίες" που ακτινοβολούν φωτεινά κύματα είναι τα μόρια τα οποία συνιστούν τις πη­ γές. Τα κύματα που εκπέμπονται από κάθε ένα μόριο είναι, ίσως, γραμμικώς πολωμένα, όπως συμβαίνει και με τα κύματα από μια κεραία ραδιοκυμάτων. Αλλά μια οποιαδήποτε συνήθης πραγματική φωτεινή πηγή αποτελείται από ένα τεράστιο αριθμό μορίων με τυ­ χαίους προσανατολισμούς, έτσι το εκπεμπόμενα φως είναι ένα τυχαίο μείγμα κυμάτων που είναι γραμμικώς πολωμένα σε όλες τις δυνατές εγκάρσιες διευθύνσεις. Ένα τέλειο πολωτικό φίλτρο, ή πολωτής επιτρέπει τη διέλευση του 100% του προ­ σπίπτοντος φωτός, αν αυτό είναι πολωμένο στη διεύθυνση του άξονα πόλωσης του φίλ­ τρου, αλλά αποκόπτει τελείως το σύνολο των φωτεινών κυμάτων που είναι πολωμένα σε 34-16 Η ένταση του διερχομένου Προσπίπτον φυσικό φως

Γραμμικώς πολωμένο διερχόμενο φως

γραμμικώς πολωμένου φωτός, καθώς μετρείται από το φωτοκύτταρο, παραμένει σταθερή για οποιαδήποτε γωνία προσανατολισμού του πολωτικού φίλτρου. Αν πρόκειται για ιδανικό πολωτικό φίλτρο, η ένταση του διερχόμενου φωτός είναι ίση με το μισό της έντασης του προσπίπτοντος.

958

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 34 ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΔΟΣΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ

Προσπίπτον φυσικό

φως

34-17 Ο τέλειος αναλύτης

επιτρέπει τη διέλευση μόνο της συνιστώσας που είναι παράλληλη προς την χαρακτηριιπική του διεύθυνση, η οποία ονομάζεται άξονας πόλωσης του αναλύτη.

διεύθυνση κάθετη προς τον άξονα αυτόν. Το οπτικό αυτό εξάρτημα είναι μια ανέφικτη ε­ ξιδανίκευση, αλλά το νοητικό αυτό κατασκεύασμα έχει πρακτική χρησιμότητα, γιατί α­ ποσαφηνίζει τις υπεισερχόμενες βασικές έννοιες. Στην επόμενη ανάλυση θα υποθέσου­ με ότι όλα τα πολωτικά φίλτρα είναι τέλεια. Στο Σχ. 34-16, μη πολωμένο φως (ένα τυχαίο μείγμα όλων των καταστάσεων πόλωσης) προσπίπτει σε ένα πολωτή που έχει τη μορφή επίπεδης πλάκας. Ο άξονας πόλωσης σημειώνεται με την κυανή γραμμή. Το διάνυσμα του προσπίπτοντος κύματος μπορεί να αVτικατασταθεί από τις δύο συνιστώσες του, την παράλληλη και την κάθετη αντίστοιχα προς τον άξονα πόλωσης. Ο πολωτής επιτρέπει τη διέλευση μόνο των συνιστωσών του που είναι παράλληλες προς τον άξονα αυτόν. Το φως που αναδύεται από τον πολωτή είναι γραμμικώς πολωμένο παράλληλα προς τον ά­ ξονα πόλωσης. Αν μετρήσουμε την ένταση (δηλαδή την ισχύ ανά μονάδα επιφάνειας) του φωτός που διέρχεται μέσω ενός τέλειου πολωτή, χρησιμοποιώντας το φωτοκύτταρο του Σχ. 34-16, βρίσκουμε ότι είναι ίση ακριβώς με το μισό της έντασης του προσπίπτοντος φω­ τός, χωρίς να εξαρτάται από τη γωνία προσανατολισμού του άξονα πόλωσης. Ο λόγος εί­ ναι ο εξής: Μπορούμε να αναλύσουμε το πεδίο του προσπίπτοντος κύματος σε μια συ­ νιστώσα παράλληλη προς τον άξονα πόλωσης και σε μια συνιστώσα κάθετη προς αυτόν. Αφού το προσπίπτον φως είναι ένα τυχαίο μείγμα όλων των καταστάσεων πόλωσης, οι δύο αυτές συνιστώσες είναι κατά μέσο όρο ίσες, αφού το φωτοκύτταρο καταγράφει τις μέσες τιμές, χρονικά, των εντάσεων των συνιστωσών. Ο τέλειος πολωτής επιτρέπει τη διέλευση μόνο της συνιστώσας που είναι παράλληλη προς τον άξονα πόλωσης, άρα εξέρ­ χεται η μισή ένταση από την ένταση που προσπίπτει στον πολωτή. Ας υποθέσουμε τώρα ότι παρεμβάλλουμε ένα δεύτερο πολωτή μεταξύ του πρώτου πολωτή και του φωτοκύτταρου (Σχ. 34-17). Ο άξονας πόλωσης του δεύτερου πολωτή, ή του αναλύτη, είναι κατακόρυφος, ενώ ο άξονας του πρώτου πολωτή σχηματίζει γωνία με την κατακόρυφο. Αυτό σημαίνει ότι η γωνία μεταξύ των αξόνων πόλωσης των δύο πο­ λωτών είναι Μπορούμε να αναλύσουμε το γραμμικώς πολωμένο φως που διήλθε από τον πρώτο πολωτή σε δύο συνιστώσες, όπως φαίνεται στο Σχ. 34-17, την μία παράλληλη και την άλλη κάθετη προς τον άξονα του αναλύτη. Μόνο η παράλληλη συνιστώσα, πλά­ τους Ε cos διέρχεται από τον αναλύτη. Η ένταση του διερχομένου φωτός είναι μέγιστη αν = Ο· είναι μηδέν αν = 90•, δηλαδή αν ο άξονας πόλωσης του πολωτή και του ανα­ λύτη είναι κάθετοι (ή διασταυρωμένοι) μεταξύ τους. Για να βρούμε την ένταση του διερχόμενου φωτός σε ενδιάμεσες γωνίες, επαναφέ­ ρουμε στη μνήμη μας την ανάλυση του Κεφαλαίου 33. Εκεί σημειώνεται ότι η ένταση ε­ νός ηλεκτρομαγνητικού κύματος είναι ανάλογη προς το τετράγωνο του πλάτους του κύ­ ματος. Ο λόγος του πλάτους της διερχόμενης προς το πλάτος της προσπίπτουσας δέσμης είναι ίσος προς το cos άρα ο λόγος της έντασης της εξερχόμενης προς την ένταση της προσπίπτουσας δέσμης είναι ίσος προς το cos 2 Επομένως ισχύει

Ε

Ε

Ε

φ

φ.

φ

φ,

φ

φ,

φ.

(34-7)

I = Imax cos 2 φ,

φ

όπου Imax είναι η μέγιστη ένταση του διερχόμενου φωτός (όταν = Ο) και Ι είναι η έντα­ ση του διερχόμενου φωτός αν η γωνία μεταξύ των αξόνων των δύο πολωτών είναι Η σχέση αυτή, που ανακαλύφθηκε πειραματικά από τον Etienne Louis Malus (Ετιέν Λουί Μαλύς) το 1 809, ονομάζεται νόμος του Malus.

φ.

34-5 ΠΟΛΩΣΗ

959

Σ Τ ΡΑΤ Η Γ Ι Κ Η Ε Π Ι ΛΥΣ Η Σ Π ΡΟ Β Λ Η Μ Ά Τ Ω Ν Γραμμική πόλωση 1. Να θυμάστε ότι στα φωτεινά κύματα - ή γενικότερα, στα ηλεκτρομαγνητικά κύματα - το πεδίο Ε είναι κάθετο προς την κατεύθυνση διάδοσης, η δε διεύθυνσή του συμπίπτει με τη διεύθυνση πόλωσης. Η διεύθυνση πόλωσης μπορεί να θεωρηθεί ως ένα βέλος με αιχμές στα δύο του άκρα. Όταν συμπεριλαμβάνετε πολωτικά φίλτρα (πολωτικούς ηθμούς) σε μια οπτική διάταξη, ουσιαστικά βρίσκεστε αντιμέτωποι αφενός με τις συνιστώσες του Ε που είναι παράλληλες προς τον άξονα πόλωσης και αφετέρου με τις συνιστώσες του Ε που είναι κάθετες προς αυτόν. Όλα όσα γνωρίζετε περί διανυσμάτων και των συνιστωσών τους μπορεί να εφαρμο­ στούν και στην περίσταση αυτή.

- Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 3 4-5

2. Η ένταση (μέση ισχύς ανά μονάδα επιφάνειας) ενός κύ­ ματος είναι ανάλογη προς το τετράγωνο του πλάτους του. Αν βρείτε ότι δύο κύματα διαφέρσυν ως προς το πλάτος κα­ τά ένα ορισμένο παράγοντα, οι ισχείς τους διαφέρουν κατά το τετράγωνο του παράγοντα αυτού.

3. Το μη πολωμένο φως είναι ένα τυχαίο μείγμα όλων των δυνατών καταστάσεων πόλωσης, έτσι το φως αυτό έχει κα­ τά μέσον όρο ίσες συνιστώσες σε οποιεσδήποτε δύο κάθε­ τες μεταξύ τους διευιtύνσεις. Το μερικώς γραμμικώς πολω­ μένο φως είναι μια επαλληλία γραμμικώς πολωμένου και μη πολωμένου φωτός.

-------

Στο Σχ. 34-1 7 το προσπίπτον μη πολωμένο φως έχει έντα­ ση /0• Βρείτε την ένταση του φωτός που διέρχεται από τον πρώτο πολωτή, καθώς και την ένταση του διερχόμενου φω­ τός μετά το δεύτερο πολωτή, αν η γωνία μεταξύ των χαρα­ κτηριστικών αξόνων των δύο φίλτρων ε ίναι 30· .

φ

= 30 • , το δεύτερο φίλτρο μειώνει την ένταση κατά ένα παράγοντα ίσο προς cos2 30 • = t. Επομένως η ένταση του διερχόμενου φωτός από το δεύτερο πολωτή είναι

Λ ΥΣΗ Όπως εξηγήθηκε στα προηγούμενα, η ένταση μετά το πρώτο φίλτρο είναι /0 /2 . Σύμφωνα με την Εξ. 3 4-7), με

Πόλωση από ανάκ λαση

Το μη πολωμένο φως είναι δυνατό να πολωθεί μερικώς λόγω ανάκλασης. Όταν μη πολω­ μένο φως προσπίπτει σε ανακλαστική επιφάνεια μεταξύ δύο οπτικών υλικών, ακολουθεί επιλεκτική ανάκλαση για εκείνα τα κύματα, στα οποία το ηλεκτρικό πεδίο είναι παράλ­ ληλο προς την ανακλώσα επιφάνεια. Στο Σχ. 34-18 το επίπεδο που περιλαμβάνει την προσπίπτουσα ακτίνα, την ανακλώμενη ακτίνα καθώς και την κάθετο προς την επιφά­ νεια ονομάζεται επίπεδο πρόσπτωσης. Για μια συγκεκριμένη γωνία πρόσπτωσης που ο­ νομάζεται γωνία πόλωσης θΡ, ανακλάται μόνο το φως του οποίου το διάνυσμα Ε είναι κάθετο στο επίπεδο πρόσπτωσης (παράλληλο προς την ανακλώσα επιφάνεια). Το ανα34-18 Όταν φως προσπίπτει σε

ανακλώσα επιφάνεια υπό τη γωνία πόλωσης, το ανακλώμενο φως είναι γραμμικά πολωμένο.

Διαθλώμενο (διερχόμενο) φως, έντονο και ελαφρά πολωμένο I

960

ΚΕΦΑΛΑ10 34

Κάθετος

I

34-19 Όταν φως προσπίπτει σε ανακλώσα επιφάνεια υπό τη γωνία πόλωσης, η ανακλώμενη ακτίνα και η διαθλώμενη ακτίνα είναι κάθετες μεταξύ τους. Οι κύκλοι παριστάνουν τη συνιστώσα του Ε που ε ίναι κάθετη στο επίπεδο του σχήματος.

ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΔΟΣΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ

κλώμενο φως είναι επομένως γραμμικά πολωμένο με πόλωση κάθετη προς το επίπεδο πρόσπτωσης (παράλληλη προς την ανακλώσα επιφάνεια), όπως φαίνεται στο Σχ. 34-18. Όταν φως προσπίπτει στην ανακλώσα επιφάνεια υπό την γωνία πόλωσης, δεν α­ νακλάται καθόλου η συνιστώσα του πεδίου Ε που είναι παράλληλη προς το επίπεδο πρό­ σπτωσης η συνιστώσα αυτή διέρχεται εξολοκλήρου 100% στο δεύτερο μέσο και αποτε­ λεί τη διαθλώμενη δέσμη. Επομένως το ανακλώμενο φως είναι ολικώς πολωμένο. Το δια­ θλώμενο φως είναι ένα μείγμα της συνιστώσας που είναι παράλληλη προς το επίπεδο πρόσπτωσης, - συνιστώσας που διαθλάται εξολοκλήρου - και του υπολοίπου της συνι­ στώσας που είναι κάθετη προς το επίπεδο πόλωσης είναι, επομένως, μερικώς πολωμέ­ νο. Το 1812 ο Sir Daνid Brewster (Ντέιβιντ Μπρούστερ) παρατήρησε ότι όταν η γωνία πρόσπτωσης είναι ίση προς τη γωνία πόλωσης θΡ , η ανακλώμενη ακτίνα και η διαθλώμε­ νη ακτίνα είναι κάθετες μεταξύ τους, όπως φαίνεται στο Σχ. 34-19. Στην περίπτωση αυτή η γωνία διάθλασης θb είναι η συμπληρωματική της θΡ , άρα ισχύει sin θb = cos θΡ. Από τον νόμο της διάθλασης,

άρα καταλήγουμε στη σχέση

(34-8) Η σχέση αυτή είναι γνωστή ως νόμος του Brewster. Αν και αρχικά η ανακάλυψή της προέκυψε από πειραματικές μετρήσεις, είναι δυνατό να εξαχθεί ο νόμος αυτός με βάση το κυματικό μοντέλο και χρ1Ίση των εξισώσεων του Maxwell. - 11 Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α 3 4-6

-------

Ανάκλαση από την επιφάνεια μιας κολυμβητικής δε­ ξαμενής (πισίνας) Το ηλιακό φως ανακλάται από την α­ κύμαντη επιφάνεια μιας μη χρησιμοποιούμενης πισίνας κο­ λύμβησης. a) Για ποια γωνία ανάκλασης το ανακλώμενο φως είναι ολικώς πολωμένο; b) Ποια είναι η αντίστοιχη γωνία διάθλασης για το φως που εισχωρεί (διαθλάται) μέ­ σα στο νερό; c) Τις νυκτερινές ώρες ο υδάτινος όγκος της πισίνας φωτίζεται από ένα υποβρύχιο προβολέα. Απαντή­ στε και πάλι στα ερωτήματα (a) και (b) για τις φωτεινές α­ κτίνες που προέρχονται από τον προβολέα και προσπίπτουν στη λεία επιφάνεια με κατεύθυνση από τον προβολέα προς τον αέρα.

Προσπίπτον μη πολωμένο φως

ΛΥΣΗ a) Ζητάμε την γωνία πόλωσης για το φως που ο­ δεύει από τον αέρα προς το νερό, άρα na = 1 (αέρας) και nb = 1 ,33 (νερό). Από την Εξ. (34-8), nb 1 ,33 θ Ρ = arctan = arctan 1 ΟΟ = 53, 1 ο . na , Οι γωνίες φαίνονται στο Σχ. 34-20a. -

b) Η ανακλώμενη ακτίνα και η διαθλώμενη ακτίνα είναι κάθετες μεταξύ τους, άρα

θp = 53 " !

53"

'I

! I '

Μερικώς πολωμένο διαθλώμενο ," (διερχόμενο) φως

(a)

(b)

34-20 Φως προσπίπτον στη διαχωριστική επιφάνεια νερού-αέρα υπό τη γωνία πόλωσης (a) από την πλευρά του αέρα· (b) από την πλευρά του νερού.

961

34-5 ΠΟΛΩΣΗ

θb

=

90° - 53,1

ο

=

36,9 " .

c ) Τώρα το φως διαδίδεται αρχικά μέσα στο νερό, και συ­ νεχι1;ει την πορεία του στον αέρα, άρα na = 1 ,33 και nb =

1 ,00 . Χρησιμοποιώντας και πάλι την Εξ. (34-8) έχουμε θΡ

=

arctan

1 ,00 1,33

=

0 36 9 ,

θb

=

90° - 36,9"

53,1

ο .

Οι γωνίες φαίνονται στο Σχ. 34-20b. Παρατηρούμε ότι οι δύο γωνίες πόλωσης για τη διαχωριστική αυτή επιφάνεια είναι συμπληρωματικές (το άθροισμά τους είναι 90°). Αυτό δεν είναι τυχαίο. Μήπως διακρίνετε γιατί συμβαίνει αυτό;

,

Τα πολωτικά φίλτρα χρησιμοποιούνται ευρέως στα γυαλιά ηλίου (αντιθαμβωτικά γυαλιά). Όταν το ηλιακό φως ανακλάται σε μια οριζόντια επιφάνεια, το επίπεδο πρό­ σπτωσης συμπίπτει με ένα κατακόρυφο επίπεδο, και το ανακλώμενο φως περιέχει περίσ­ σεια φωτός πολωμένου στην οριζόντια διεύθυνση. Όταν η ανάκλαση προέρχεται από μια λεία επιφάνεια οδοστρώματος με ασφαλτοτάπητα ή από την επιφάνεια μιας λίμνης, προ­ καλεί ανεπιθύμητη αντιλαμπή ("αντηλιά"). Η όραση βελτιώνεται, αν εξαλειφθεί η αντιλα­ μπή αυτή. Ο κατασκευαστής των γυαλιών ηλίου προσανατολίζει τον άξονα πόλωσης του υλικού των φακών σε διεύθυνση κατακόρυφη ως προς το οριζόντιο επίπεδο. Με τον τρό­ πο αυτό ένα πολύ μικρό ποσοστό του οριζοντίως πολωμένου φωτός διέρχεται τελικά προς τα μάτια. Τα γυαλιά ηλίου μειώνουν επίσης την συνολική ένταση του διερχόμενου φωτός, με αποτέλεσμα να φθάνει στα μάτια περίπου το 50% - ή και λιγότερο - της έντασης του μη πολωμένου προσπίπτοντος φωτός. Κυκλική κ αι ελλειπ τ ική πόλωση

Το φως αλλά και η ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία γενικά μπορεί ακόμη να έχει κυκλική ή ελλειπτική πόλωση. Για να εισαγάγουμε τις έννοιες αυτές, ας επανέλθουμε για μια α­ κόμα φορά στα μηχανικά κύματα σε τεντωμένη χορδή. Στο Σχ. 34-14, ας υποθέσουμε ότι τα δύο γραμμικά πολωμένα κύματα είναι σε φάση και ότι έχουν ίσα πλάτη. Αν θεωρή­ σουμε την επαλληλία τους, κάθε σημείο της χορδής υφίσταται ταυτόχρονες μετατοπίσεις κατά μήκος των διευθύνσεων y και z που έχουν το ίδιο μέτρο. Με λίγη σκέψη οδηγούμα­ στε στο συμπέρασμα ότι το προκύπτον συνιστάμενο κύμα κείται επί επιπέδου που σχη­ ματίζει γωνία 45 ο με τους άξονες y και z (δηλαδή επί επιπέδου που σχηματίζει γωνία 45 ο με τα επίπεδα xy και xz ). Το πλάτος του συνιστάμενου κύματος είναι μεγαλύτερο κατά τον παράγοντα {2 από το πλάτος του καθενός επιμέρους συνιστώντας κύματος, ενώ το συνιστάμενο κύμα είναι γραμμικώς πολωμένο. Ας υποθέσουμε τώρα ότι τα δύο κύματα ίσου πλάτους έχουν διαφορά φάσης π/2, που ισοδυναμεί με διαφορά φάσης τεταρτοκυκλίου. Σ ' αυτή την περίπτωση η συνιστάμε­ νη κίνηση κάθε σημείου περιγράφεται από μια υπέρθεση δύο απλών αρμονικών κινήσε­ ων κατά μήκος δύο κάθετων αξόνων, ενώ η διαφορά φάσης τους είναι π/2, που αντιστοι­ χεί σε διαφορά φάσης τεταρτοκυκλίου. Η μετατόπιση y ενός σημείου είναι μέγιστη τη χρονική στιγμή κατά την οποία η μετατόπιση z είναι μηδέν, και αντιστρόφως. Επομένως η κίνηση της χορδής δεν κείται επί ενός μόνου επιπέδου. Είναι δυνατό να αποδειχθεί ότι κάθε σημείο της χορδής διαγράφει περιφέρεια κύκλου επί επιπέδου παράλληλου προς το επίπεδο yz. Συνεχόμενα σημεία της χορδής έχουν διαδοχικές διαφορές φάσης, με αποτέ­ λεσμα η συνολική κίνηση της χορδής να έχει τη μορφή μιας περιστρεφόμενης κυλινδρι­ κής έλικας. Αυτ11 η συγκεκριμένη υπέρθεση δύο γραμμικώς πολωμένων κυμάτων ονομά­ ζεται κυκλική πόλωση. Συμβατικά λέμε ότι το κύμα είναι κυκλικώς πολωμένο δεξιόστρο­ φο αν η φορά της κίνησης ενός σωματιδίου της χορδής - για ένα παρατηρητή με κατεύ­ θυνση παρατήρησης από εμπρός προς τα πίσω και κατά μήκος της κατεύθυνσης διάδο­ σης - συμπίπτει με τη φορά των δεικτών του ρολογιού· θεωρούμε ότι το κύμα είναι κυκλι­ κώς πολωμένο aριστερόστροφο αν συμβαίνει το αντίθετο. Το Σχ. 34-21 (στην επόμενη σελίδα) δείχνει την ανάλογη κατάσταση για ένα ηλε­ κτρομαγνητικό κύμα. Δύο κύματα, πολωμένα κατά μήκος των διευθύνσεων y και z, υπερ­ τίθενται, ενώ η διαφορά φάσης τους ισοδυναμεί με γωνία τεταρτοκυκλίου (π/2). Το α:τιο­ τέλεσμα είναι ένα κύμα, σε κάθε σημείο του οποίου το διάνυσμα Ε περιστρέφεται κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού. Ονομάζουμε το κύμα αυτό κυκλικώς πολωμένο, δε­ ξιόστροφο ηλεκτρομαγνητικό κύμα. Αν η διαφορά φάσης μεταξύ των δύο συνιστωσών κυμάτων δεν είναι ίση προς π/2 (γωνία που αντιστοιχεί σε τεταρτοκύκλιο) ή αν τα δύο συνιστώντα κύματα έχουν διαφο­ ρετικά πλάτη, τότε κάθε σημείο της χορδής διαγράφει, αντί της περιφέρειας κύκλου, μια έλλειψη. Το προκύπτον κύμα ονομάζεται ελλειπτικά πολωμένο. ,

=

Υ I

ι=Ο

ι = τι8

@ ι = τι4

ι = 3τ/8

ι = ST/8

ι = 3τι4

ι = Π/8

ι=τ

34-21 Κυκλική πόλωση.

Η συνιστώσα y του Ε καιJuστερεί, σε

σχέση με τη συνιστώσα z, ο δε χρόνος κα(Jυστέρησης ισοδυναμεί με ένα τεταρτοκύκλιο. Αυτή η διαφορά φάσης οδηγεί σε δεξιόστροφη κυκλική πόλωση αν το κύμα οδεύει προς τον αναγνώστη (δηλ. ακολουθώντας την κατεύιJuνση +χ).

34-22 (a) Φωτοελαστική ανάλυση

τάσεων του πλαστικού ομοιώματος ενός εξαρτήματος μηχανής. (b) Ανάλυση τάσεων ενός ομοιώματος με διατομή που συμπίπτει με τη διατομή ενός καθεδρικού ναού Γοτθικού ρυθμού. Η λιθοδομή που χρησιμοποιήθηκε ως φέρουσα κατασκευή στα κτίρια αυτού του είδους έχει μεγάλη αντοχή σε θλίψη αλλά πολύ μικρή αντοχή σε εφελκυσμό. Η ανεπαρκής στήριξη με aντερείσματα καθώς και οι ισχυροί άνεμοι προκάλεσαν σε μερικές περιπτώσεις εφελκυστικές τάσεις σε δομικά φέροντα στοιχεία τα οποία υπό ομαλές συνθήκες υφίσταντο μόνο σύνθλιψη. Ο συνδυασμός αυτός οδήγησε μερικά κτίρια σε θεαματική κατάρρευση.

962

I

ι = Τ/2

Στα ηλεκτρομαγνητικά κύματα των οποίων η συχνότητα εμπίπτει στην περιοχή των ραδιοκυμάτων, η κυκλική ή η ελλειπτική κατάσταση πόλωσης μπορεί να παραχθεί αν χρη­ σιμοποιηθούν δύο κεραίες, κάθετες μεταξύ τους, τροφοδοτούμενες από τον ίδιο πομπό αλ­ λά με την προσθήκη ενός κυκλώματος διαφοροποίησης της φάσης που εισάγει την ορθή διαφορά φάσης. Στο φως η διαφορά φάσης μπορεί να εισαχθεί αν χρησιμοποιηθεί ένα υλι­ κό που εμφανίζει διπλοθλαστικότητα: παρουσιάζει διαφορετικούς δείκτες διάθλασης για διαφορετικές διευθύνσεις πόλωσης. Ένα συνηθισμένο παράδειγμα είναι ο aσβεστίτης. Όταν ένας κρύσταλλος aσβεστίτη είναι κατάλληλα προσανατολισμένος ως προς μία δέσμη μη πολωμένου φωτός, ο δείκτης διάθλασής του (για φως μήκους κύματος λ = 589 nm) είναι 1,658 για μια διεύθυνση πόλωσης και 1,486 για την διεύθυνση πόλωσης που είναι κάθετη προς την πρώτη. Όταν δύο κύματα με κάθετες διευθύνσεις πόλωσης εισέρχονται σε ένα δι­ πλοθλαστικό υλικό, οδεύουν με διαφορετικές ταχύτητες. Αν έχουν την ίδια φάση όταν ει­ σέρχονται στο υλικό, οι φάσεις τους δεν συμπίπτουν πλέον, στη γενική περίπτωση, όταν ε­ ξέρχονται από το υλικό. Αν ο κρύσταλλος είχε ακριβώς το απαιτούμενο πάχος, ώστε να ε­ πιτευχθεί η εισαγωγή διαφοράς φάσης π/2, που αντιστοιχεί σε τεταρτοκύκλιο, τότε ο κρύ­ σταλλος μετατρέπει γραμμικώς πολωμένο φως σε κυκλικώς πολωμένο. Ένας τέτοιος κρύ­ σταλλος ονομάζεται πλακίδιο λ/4. Ένα πλακίδιο λ /4 μετατρέπει επίσης κυκλικώς πολω­ μένο φως σε γραμμικώς πολωμένο φως. Μπορείτε να αποδείξετε τον ισχυρισμό αυτόν;

Φωτοελαστικότητα Μερικά οπτικά υλικά που δεν είναι υπό φυσιολογικές συνθήκες διπλοθλαστικά, �ιπορούν να αποκτήσουν διπλοθλαστικότητα αν υποβληθούν σε μηχανική καταπόνηση. Αυτή είναι η βάση της επιστήμης της φωτοελαστικότητας. Οι τάσεις που αναπτύσσονται σε δοκούς, στα τοιχώματα ενός λέβητα (μπόιλερ), στο σύστημα οδόντων ενός οδοντωτού τροχού (γραναζιού), στους στύλους ενός καθεδρικού ναού μπορούν να αναλυθούν ως εξής: Κα­ τασκευάζεται ένα διαφανές ομοίωμα του αντικειμένου, συνήθως από πλαστικό υλικό, υ­ ποβάλλεται σε μηχανική καταπόνηση και εξετάζεται το αντικείμενο μεταξύ ενός πολωτή και ενός αναλύτη με κάθετους τους άξονες πόλωσης. Με την οπτική αυτή μέθοδο μπορούν

(a)

(b)

963

34-6 ΣΚΕΔΑΣΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ

να μελετηθούν αρκετά πολύπλοκες κατανομές τάσεων*. Στο Σχήμα 34-22 έχουν αναπα­ ραχθεί δύο φωτογραφίες φωτοελαστικών ομοιωμάτων υπό μηχανική καταπόνηση. * 3 4-6 Σ Κ Ε Δ Α Σ Η Τ Ο Υ Φ Ω Τ Ο Σ Ο ουρανός έχει κυανό χρώμα. Το φως του ουρανού είναι μερικώς πολωμένο· μπορείτε να το διαπιστώσετε, αν κοιτάξετε το μέρος του ουρανού ακριβώς πάνω από το σημείο παρατή­ ρησης μέσω ενός πολωτικού φίλτρου. Κατά τη δύση του ήλιου επικρατεί το ερυθρό χρώμα. Αποδεικνύεται ότι και για τις τρεις αυτές διαπιστώσεις είναι υπόλογο ένα μόνο φαινόμενο. Στο Σχ. 34-23 ηλιακό φως (μη πολωμένο) διαδίδεται από την αριστερή πλευρά κα­ τά μήκος του άξονα χ και διέρχεται πάνω από ένα παρατηρητή που κοιτάζει κατακόρυφα προς τα πάνω, κατά μήκος του άξονα y. (Παρακολουθούμε το περιστατικό από πλευρική εποπτική θέση). Το ηλεκτρικό πεδίο της δέσμης του ηλιακού φωτός διεγείρει τα ηλεκτρι­ κά φορτία στα μόρια σε ταλάντωση. Το φως είναι ένα εγκάρσιο κύμα· η διεύθυνση κάθε συνιστώσας του ηλεκτρικού πεδίου του ηλιακού φωτός κείται στο επίπεδο yz, και η κίνη­ ση των φορτίων πραγματοποιείται πάνω στο επίπεδο αυτό. Δεν υφίσταται πεδίο, άρα και ταλάντωση, στη διεύθυνση του άξονα χ. Ένα προσπίπτον φωτεινό κύμα του οποίου το ηλεκτρικό πεδίο Ε σχηματίζει γωνία θ με τον άξονα z, διεγείρει τα ηλεκτρικά φορτία των μορίων σε ταλάντωση κατά μήκος της ευθείας επί της οποίας κείται το διάνυσμα Ε, όπως υποδεικνύεται από το βέλος με αιχμές στα δύο του άκρα που διέρχεται από το σημείο Ο. Μπορούμε να αναλύσουμε την ταλάντωση αυτή σε δύο συνιστώσες, μία κατά μήκος του άξονα y και την άλλη κατά μή­ κος του άξονα z. Κάθε συνιστώσα του προσπίπτοντος φωτός παράγει το ισοδύναμο δύο μοριακών «κεραιών» που πάλλονται με τη συχνότητά του κατά μήκος των αξόνων y και z. Σημειώσαμε στο Εδάφιο 33-8 ότι μια κεραία της μορφής αυτής δεν ακτινοβολεί στη διεύθυνση της ευθείας επί της οποίας κείται. Η κεραία κατά μήκος του άξονα y δεν εκπέ­ μπει καθόλου φως προς τον παρατηρητή που βρίσκεται ακριβώς κάτω από αυτήν, παρά το ότι εκπέμπει ασφαλώς φως προς άλλες κατευθύνσεις. Επομένως το μόνο φως που φθάνει στον παρατηρητή αυτόν προέρχεται από την άλλη κεραία, και αντιστοιχεί στη συνιστώσα της ταλάντωσης κατά μήκος του άξονα z. Το φως αυτό είναι γραμμικώς πολωμένο, και το η­ λεκτρικό του πεδίο είναι παράλληλο προς την κεραία. Τα βέλη πάνω στον άξονα y κάτω α­ πό το σημείο Ο δείχνουν την διεύθυνση πόλωσης του φωτός που φθάνει στον παρατηρητή. Η διαδικασία που μόλις περιγράψαμε ονομάζεται σκέδαση. Η ενέργεια του σκε­ δασθέντος φωτός αφαιρείται από την αρχική δέσμη, μειώνοντας έτσι την έντασή της. Η πλήρης ανάλυση της φυσικής διαδικασίας της σκέδασης αποδεικνύει ότι η ένταση του σκεδαζόμενου φωτός από τα μόρια του αέρα αυξάνεται αναλόγως προς την τέταρτη δύ­ ναμη της συχνότητας (ή είναι αντιστρόφως ανάλογη προς την τέταρτη δύναμη του μήκους κύματος). Έτσι ο λόγος των εντάσεων για τα δύο άκρα του ορατού φάσματος είναι (700 nm /400 nm) 4 = 9,4 . Προκύπτει λοιπόν ότι το σκεδαζόμενο φως περιέχει κατά προσέγγι­ ση εννιά φορές περισσότερο κυανό χρώμα από το αντίστοιχο ερυθρό που περιλαμβάνει, και αυτή είναι η αιτία της κυανής απόχρωσης του ουρανού.

_ _ _ _ _ _

34-23 Το σκεδαζόμενο φως είναι γραμμικώς πολωμένο και περιέχει, σε υπερισχύουσα αναλογία, φως από το κυανό άκρο του ορατού φάσματος. Το αρχικώς λευκό φως υφίσταται την απώλεια αυτού του κυανού φωτός καθώς διατρέχει την ατμόσφαιρα, ενώ το τελικώς διερχόμενο φως περιλαμβάνει κατά κύριο λόγο φως από το ερυθρό άκρο του ορατού φάσματος.

Τελικώς διερχόμενο φως, περισσότερο ερυθρό και μη πολωμένο =χ

ενο φως, � Σκεδαζόμ περισσότερο κυανό k και γραμμικώς πολωμένο Παρατηρητής, 3:00 μ.μ. • Η οuσκευή με την οποία παρατηρούνται και αναλύοντα ι οι φωτοελαστικές αυτές εικόνες ονομά ζεται πολωσκόπιο. (ΣτΜ)

964

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 34 ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΔΟΣΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ

Αφού το φως του ουρανού είναι μερικώς πολωμένο, έχει πρακτική σημασία η χρήση πολωτών κατά τη διαδικασία της φωτογράφισης. Είναι δυνατό να μειωθεί σημαντικά το φως που προέρχεται από τον ουρανό σε μια φωτογράφιση, με την προσθήκη ενός πολωτή με ορθό προσανατολισμό του άξονα πόλωσής του. Οι συνέπειες της ατμοσφαιρικής θολό­ τητας - οφειλόμενης σε ελαφρή ομίχλη (καταχνιά) ή ακόμη και στο "νέφος" λόγω ατμο­ σφαιρικών ρύπων - σε μια φωτογράφιση είναι δυνατόν να μειωθούν ακολουθώντας ακρι­ βώς την ίδια μέθοδο, ενώ οι ανεπιθύμητες ανακλάσεις μπορούν να ελεγχθούν όπως ακρι­ βώς επιτυγχάνεται ο περιορισμός τους με τη χρήση πολωτικών γυαλιών ηλίου (αντιθαμβω­ τικών γυαλιών), θέμα που αναπτύχθηκε στο Εδάφιο 34-5. Καθώς πλησιάζει το σούρουπο, όταν το ηλιακό φως πρέπει να διανύσει μεγάλη α­ πόσταση μέσα στη γήινη ατμόσφαιρα, ένα σημαντικό κλάσμα του κυανού φωτός δια­ σκορπίζεται λόγω της σκέδασης. Αν από το λευκό φως αφαιρεθεί το κυανό φως, το απο­ τέλεσμα γίνεται αισθητό ως κίτρινο ή ερυθρό χρώμα. Άρα όταν το ηλιακό φως χωρίς την κυανή συνιστώσα του προσπίπτει πάνω σε ένα νέφος, το φως που ανακλάται από το νέ­ φος και γίνεται τελικά ορατό από τον παρατηρητή φέρει κίτρινη ή ερυθρή απόχρωση, πράγμα που παρατηρείται συχνά κατά τη δύση του ήλιου. Αν η Γη δεν είχε ατμόσφαιρα, δεν θα γινόμαστε αποδέκτες του φωτός του ουρανού πάνω στην επιφάνεια της Γης, και ο ουρανός θα εμφανιζόταν τόσο σκοτεινός κατά τη διάρκεια της ημέρας όσο μαύρος πα­ ρουσιάζεται κατά τη διάρκεια της νύχτας. Σε ένα αστροναύτη που οδηγεί ένα διαστημό­ πλοιο ή εξερευνά την επιφάνεια της Σελ1iνης ο ουρανός φαίνεται μαύρος και όχι κυανός. 3 4-7 Α Ρ Χ Η Τ Ο Υ H U Y G E N S Οι νόμοι της ανάκλασης και της διάθλασης των φωτεινών ακτίνων, που εισαγάγαμε στο Εδάφιο 34-2 ανακαλύφθηκαν πειραματικά πολύ πριν εδραιωθεί με ακλόνητες αποδεί­ ξεις η κυματική φύση του φωτός. Εντούτοις είναι δυνατό να εξαγάγουμε τους νόμους αυ­ τούς χρησιμοποιώντας κυματικά επιχειρήματα και να αποδείξουμε ότι είναι συνεπείς με την κυματική φύση του φωτός. Αρχίζουμε με μια αρχή που ονομάζεται αρχή του Huygens και διατυπώθηκε αρχι­ κά από τον Christiaan Huygens (Κρίστιααν Χόυχενς) το 1678. Η αρχή αυτή προτείνει μια γεωμετρική μέθοδο εύρεσης της μορφής του μετώπου του κύματος σε μια μεταγενέστερη χρονική στιγμ1i αν είναι γνωστή η μορφή του μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή. Ο Huygens υπέθεσε ότι κάθε σημείο του μετώπου ενός κύματος μπορεί να θεωρηθεί ως η _ _ _ _ _ _ _

πηγή δευτερευόντων μικρών κυμάτων που διαδίδονται προς όλες τις κατευθύνσεις με ταχύτητα ίση προς την ταχύτητα διάδοσης του κύματος. Το νέο μέτωπο του κύματος

κάποια μεταγενέστερη χρονική στιγμή ανευρίσκεται αν κατασκευαστεί μια επιφάνεια ε­ φαπτόμενη στα δευτερεύοντα κύματα, που ονομάζεται περιβάλλουσα των κυματίων. Όλα

34-24 Εφαρμογιj της αρχιj ς του

Huygens στο μέτωπο κύματος Μ ' και κατασκευή ενός νέου μετώπου κύματος ΒΒ'.

τα αποτελέσματα που προκύπτουν από την αρχή του Huygens μπορούν επίσης να εξα­ χθουν από τις εξισώσεις του Maxwell. Επομένως δεν είναι μια ανεξάρτητη αρχή, συχνά όμως είναι πολύ χρήσιμη σε υπολογισμούς που αναφέρονται στα κυματικά φαινόμενα. Η αρχή του Huygens απεικονίζεται στο Σχ. 34-24. Το αρχικό μέτωπο κύματος Μ 1 οδεύει aπομακρυνόμενο από μια πηγή, όπως υποδεικνύεται από τα μικρά βέλη. Θέλουμε να βρούμε τη μορφή του μετώπου του κύματος μετά από χρονικό διάστημα t. Αν υ είναι η ταχύτητα διάδοσης του κύματος, τότε σε χρόνο t το κύμα διανύει απόσταση υt. Κατα­ σκευάζουμε μερικές περιφέρειες κύκλων (που είναι οι τομές των μετώπων των σφαιρι­ κών δευτερογενών κυματίων με το επίπεδο του σχήματος) με ακτίνα ι· = υt και κέντρα κείμενα κατά μήκος του τόξου Μ '. Η τομή της περιβάλλουσας των κυματίων, που είναι το νέο μέτωπο κύματος, είναι η καμπύλη ΒΒ'. Υποθέτουμε ότι η ταχύτητα υ είναι σταθε­ ρή σε όλα τα σημεία και προς όλες τις κατευθύνσεις. Για να εξαγάγουμε τον νόμο της ανάκλασης από την αρχή του Huygens, θεωρούμε ένα επίπεδο κύμα που προσεγγίζει μια επίπεδη ανακλώσα επιφάνεια. Στο Σχ. 34-25a τα ευθύγραμμα τμήματα Μ 1, ΒΒ1 και CC1 παριστούν διαδοχικές θέσεις ενός μέρους του με­ τώπου κύματος που προσεγγίζει την επιφάνεια ΜΜ'. Το σημείο Α του μετώπου Μ 1 μόλις έχει φθάσει στην ανακλώσα επιφάνεια. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την αρχή του Huygens για να βρούμε τη θέση του μετώπου του κύματος μετά από χρονικό διάστημα t. Σχεδιάζουμε μερικά δευτερογενή κυμάτια με κέντρα επί του ευθύγραμμου τμήματος Μ 1 και ακτίνα ίση προς υt, όπου υ είναι η ταχύτητα διάδοσης του κύματος. Τα δευτερογενή κυμάτια που προέρχονται από την περιοχή του άκρου του Μ 1 απλώνονται ανεμπόδιστα και η περιβάλλουσά τους αποτελεί το τμήμα ΟΒ1 του νέου μετώπου του κύματος. Όμως τα κυμάτια που προέρχονται από την περιοχή του κάτω άκρου του Μ 1 προσκρούουν στην ανακλώσα επιφάνεια. Αν η επιφάνεια δεν υπήρχε εκεί, θα είχαν φθάσει στις θέσεις που απεικονίζονται μέ διακεκομμένα κυκλικά τόξα.

Μ'

C'

(a)

965

Β'

Μ

(b)

34-25 (a) Διαδοχικές θέσεις ενός επίπεδου κύματος Μ ' καθώς ανακλάται από μια επίπεδη επιφάνεια. (b) Μεγεθυσμένο τμήμα της εικόνας (a).

Το αποτέλεσμα της ύπαρξης της ανακλώσας επιφάνειας συνίσταται στο ότι μετα­ βάλλει την διεύθυνση της διάδοσης των δευτερογενών κυματίων που προσκρούουν πάνω

σε αυτήν, επομένως ένα μέρος του κυματίου που κανονικώς θα είχε διαπεράσει την επι­ φάνεια βρίσκεται τώρα στα αριστερά της, όπως φαίνεται από τις πλήρεις ημιευθείες. Το πρώτο κυμάτιο αυτής της μορφής έχει ως κέντρο του το σημείο Α και είναι το κυμάτιο στην άμεση γειτονία του σημείου Β. Η περιβάλλουσα, επομένως, όλων των ανακλώμενων κυματίων, όπως αναπτύχθηκε παραπάνω, είναι το τμήμα ΟΒ του μετώπου. Το ίχνος όλου του μετώπου του κύματος τη χρονική αυτή στιγμή είναι η τεθλασμένη γραμμή ΒΟΒ'. Μια παρόμοια κατασκευή καταλήγει στην γραμμή CNC', που είναι το μέτωπο του κύματος μετά από άλλο ένα χρονικό διάστημα t. Από την γεωμετρία του επιπέδου η γωνία θα μεταξύ του προσπίπτοντος μετώπου κύματος και της επιφάνειας είναι ίση προς τη γωνία μεταξύ της προσπίπτουσας ακτίνας και της καθέτου προς την επιφάνεια, είναι επομένως η γωνία πρόσπτωσης. Ομοίως η θ, είναι η γωνία ανάκλασης. Για την εύρεση της σχέσης μεταξύ των γωνιών αυτών, θεωρού­ με το Σχ. 34-25b. Από το σημείο Ο φέρουμε την ΟΡ = υt κάθετο επί την Μ '. Τώρα η ΟΒ, εκ κατασκευής, είναι εφαπτόμενη σε κύκλο με κέντρο Α και ακτίνα υt. Αν φέρουμε την AQ από το σημείο Α ώς το σημείο επαφής της εφαπτομένης με την περιφέρεια του κύ­ κλου, τα τρίγωνα ΑΡΟ και OQA είναι ίσα γιατί είναι ορθογώνια, έχουν την υποτείνουσα ΑΟ κοινή και τις κάθετες πλευρές Α Q = ΟΡ υt ίσες. Άρα η γωνία θα είναι ίση προς τη γωνία θ, , καταλήγουμε λοιπόν στο νόμο της ανάκλασης. =

S'

Μέσο α

S

(a)

Β'

Μέσο b

Μέσο α

(b)

Μέσοb

34-26 ( a) Διαδοχικές θέσεις ενός επίπεδου μετώπου κύματος Μ' καθώς διαθλάται από μια επίπεδη επιφάνεια. (b) Μεγεθυσμένο τμήμα της εικόνας (a). Στο σχήμα απεικονίζεται η περίπτωση υ6 < V0•

966

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 34 ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΔΟΣΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ

Μπορούμε να εξαγάγουμε το νόμο της διάθλασης ακολουθώντας παρόμοια μέθο­ δο. Στο Σχ. 34-26a θεωρούμε ένα μέτωπο κύματος, που παρίσταται από την Μ 1, της ο­ ποίας το σημείο Α μόλις έφθασε στη συνοριακή επιφάνεια SS1 μεταξύ δύο διαφανών υλι­ κών α και b με δείκτες διάθλασης nα και n b και κυματικές ταχύτητες υα και υb αντίστοιχα. (τα ανακλώμενα κύματα δεν φαίνονται στο σχήμα· οδεύουν όπως ακριβώς δείχνει το Σχ. 34-25). Μπορούμε να εφαρμόσουμε την αρχή του Huygens για να βρούμε τη θέση των διαθλώμενων μετώπων του κύματος μετά από χρόνο t. Με κέντρα σημεία επί της Μ 1 σχεδιάζουμε μερικά δευτερογενή κυμάτια. Από αυ­ τά, εκείνα που εκκινούν από την περιοχή κοντά στο άνω άκρο του Μ 1 κινούνται με ταχύ­ τητα υα και μετά από χρονικό διάστημα t έχουν τη μορφή σφαιρικών επιφανειών ακτίνας υαt. Το κυμάτιο όμως που εκκινεί από το σημείο Α κινείται μέσα στο δεύτερο υλικό b με ταχύτητα υb, επομένως μετά από χρόνο t γίνεται μια σφαιρική επιφάνεια ακτίνας υb t. Η περιβάλλουσα των δευτερογενών κυματίων από το αρχικό μέτωπο κύματος είναι το επίπε­ δο του οποίου η τομή με το επίπεδο του σχήματος είναι η τεθλασμένη γραμμή ΒΟΒ1• Μια παρόμοια κατασκευή οδηγεί στην τομή CPC1 μετά από ένα δεύτερο χρονικό διάστημα t. Οι γωνίες θα και θb μεταξύ της επιφάνειας και των μετώπων του προσπίπτοντος και του διαθλώμενου κύματος είναι οι γωνίες πρόσπτωσης και διάθλασης, αντίστοιχα. Για την εύρεση της σχέσης των δύο αυτών γωνιών ανατρέξτε στο Σχ. 34-26b. Φέρετε την OQ = υαt κάθετη προς την AQ, καθώς και την ΑΒ = υb t, κάθετη προς την ΒΟ. Από το ορ­ θογώνιο τρίγωνοΑΟQ έχουμε . υαt sιn θα = ΑΟ ' ενώ από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΟΕ έχουμε αντίστοιχα

υb t

. θb = sιn Αο · Διαιρώντας κατά μέλη τις δύο αυτές σχέσεις, φθάνουμε στη σχέση sin θα υ (34-9) sin θb = υ: · Ορίσαμε το δείκτη διάθλασης n ενός υλικού ως το λόγο της ταχύτητας του φωτός c στο κενό προς την ταχύτητά του υ μέσα στο υλικό: nb c/υb υα nα = c/υα = υb '

και μπορούμε να γράψουμε την Εξ. (34-9) ως εξής: sin θα sin θb ή

Πα SΪΠ θα = nb SΪn θb ,

σχέση που αναγνωρίζουμε ως τον νόμο του Snell, Εξ. (34-4). Άρα εξαγάγαμε τον νόμο του Snell με τη βοήθεια της κυματικής θεωρίας. Εναλλακτικά είναι δυνατό να επιλέξου­ με τη θεώρηση του νόμου του Snell ως ενός πειραματικού αποτελέσματος που ορίζει το δείκτη διάθλασης ενός υλικού· στην περίπτωση αυτή η ανάλυση αυτή επιβεβαιώνει τη σχέση υ = c/n που προσδιορίζει την ταχύτητα του φωτός σε ένα υλικό. Οι aντικατοπτρισμοί προσφέρουν μια ενδιαφέρουσα επίδε ιξη της αρχής του Huygens στην πράξη. Όταν η επιφάνεια του οδοστρώματος ή η άμμος της ερήμου θερ­ μαίνεται έντονα από την ηλιακή ακτινοβολία, σχηματίζεται κοντά στην επιφάνεια, ένα θερμό, λιγότερο πυκνό στρώμα αέρα με μικρότερο n. Η ταχύτητα του φωτός είναι λίγο μεγαλύτερη στο επιφανειακό θερμότερο αυτό στρώμα αέρα, τα δευτερογενή κυμάτια του Huygens έχουν λίγο μεγαλύτερες ακτίνες, τα μέτωπα κύματος κλίνουν ελαφρά, και οι α­ κτίνες που κατευθύνοντα προς το έδαφος με προσπίπτουσα γωνία γύρω στις 90' έχουν την τάση να κυρτώνονται προς τα πάνω, όπως δείχνει το Σχ. 34-27. Το φως που διαδίδε­ ται σε μεγαλύτερη απόσταση από το έδαφος κυρτώνεται λιγότερο, και ακολουθεί σχεδόν ευθύγραμμη πορεία. Ο παρατηρητής βλέπει το αντικείμενο στη φυσική του θέση ενώ κά­ τω από αυτό σχηματίζεται ένα αντεστραμμένο είδωλό του, σαν να υπήρχε μια οριζόντια ανακλώσα επιφάνεια μέσω της οποίας θα κατοπτριζόταν το αντικείμενο, του οποίου το αντεστραμμένο είδωλο βλέπει ο παρατηρητής. Ακόμα και αν ο στροβιλισμός του θερμού αέρα εμποδίζει το σχηματισμό ενός ευκρινούς aντεστραμμένου ειδώλου, είναι δυνατό ο νους του διψασμένου ταξιδιώτη να εκλάβει το φαινομενικά υφιστάμενο ανακλών επίπε­ δο σαν μια αβαθή υδάτινη επιφάνεια.

34-7 ΑΡΧΗ ΤΟΥ HUYGENS

--

- -- -

--

-

-- -

---

--

34-27 Το φαινόμενο του aντικατοπτρισμού οφείλεται στο ότι τα δευτερογενή κυμάτια κοντά στη θερμή επιφάνεια έχουν λίγο μεγαλύτερες ακτίνες vt, γεγονός που προκαλεί σταδιακή μεταβολή της κλίσης των μετώπων των κυμάτων και την κύρτωση των φωτεινών ακτίνων.

--

Είναι σημαντικό να συγκρατήσουμε στη μνήμη μας ότι οι εξισώσεις του Maxwell είναι οι θεμελιώδεις σχέσεις που διέπουν τη διάδοση των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων. Αποτελεί όμως μια αξιοσημείωτη πραγματικότητα το γεγονός ότι η αρχή του Huygens προκατέλαβε την θεωρητική ανάλυση του Maxwell και προηγήθηκε κατά μεγάλο χρονικό διάστημα από αυτήν. Ο Maxwell στήριξε με ακλόνητα θεωρητικά επιχειρήματα την αρχή του Huygens δύο αιώνες μετά τη διατύπωσή της. Κάθε σημείο ενός ηλεκτρομαγνητικού κύματος, με τα χρονικά μεταβαλλόμενα ηλεκτρικά και μαγνητικά του πεδία, δρα ως πηγή για το αενάως διαδιδόμενο κύμα, όπως προβλέπουν οι νόμοι του Ampere και του Fara­ day. ΣΥΝΟΨΗ .,

967

• Το φως είναι ηλεκτρομαγνητικό κύμα. Όταν εκπέμπεται ή απορροφάται, εμφανίζει επίσης σωματιδιακές ιδιότητες. Εκπέμπεται από επιταχυνόμενα ηλεκτρικά φορτία στα οποία έχει προσδοθεί περίσσεια ενέργειας που προέρχεται από θερμότητα ή από ηλεκτρική εκκένωση. Η ταχύτητα του φωτός είναι μια θεμελιώδης φυσική σταθερά. • Ένα μέτωπο κύματος είναι μια επιφάνεια σταθερής φάσης τα μέτωπα του κύματος κινούνται με ταχύτητα ίση προς την ταχύτητα διάδοσης του κύματος. Μια ακτίνα είναι μια γραμμή κατά μήκος της κατεύθυνσης διάδοσης που διατηρείτα� κάθετη προς τα μέτωπα του κύματος. Η παράσταση του φωτός με τη βοήθεια των ακτίνων είναι η βά­ ση της γεωμετρικής οπτικής. • Ο δείκτηςδιάθλασης n ενός υλικού είναι ο λόγος της ταχύτητας του φωτός στο κενό c προς την ταχύτητά του στο υλικό υ: n = c/v . Η προσπίπτουσα ακτίνα, η ανακλώμε­ νη ακτίνα, η διαθλώμενη ακτίνα και η κάθετος προς τη διαχωριστική επιφάνεια κεί­ νται επί ενός μόνου επιπέδου, που ονομάζεται επίπεδο πρόσπτωσης. Ο νόμος της α­ νάκλασης ορίζει ότι η γωνία πρόσπτωσης είναι ίση προς τη γωνία ανάκλασης. Ο νό­ μος της διάθλασης δίνεται από τη σχέση

(34-4)

968

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 34

Ί

ι •ι

μέτωπο κύματος ακτίνα γεωμετρική οπτική

ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΔΟΣΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ

Οι γωνίες πρόσπτωσης, ανάκλασης και διάθλασης μετρούνται πάντοτε ως προς την κάθετο προς την επιφάνεια. • Όταν μια ακτίνα διαδίδεται μέσα σε υλικό με μεγαλύτερο δείκτη διάθλασης na κα­ τευθυνόμενη προς τη διαχωριστική επιφάνεια με ένα υλικό μικρότερου δείκτη διά­ θλασης nb , προκαλείται ολική εσωτερική ανάκλαση αν η γωνία πρόσπτωσης είναι με­ γαλύτερη από μια κρίσιμη τιμή θcriι που δίνεται από τη σχέση nb

sι. n θcrit = . na

φυσική οπτική δείκτης διάθλασης νόμος της ανάκλασης νόμος της διάθλασης (νόμος του Snell ) κρίσιμη γωνία ολική εσωτερική ανάκλαση

• Η μεταβολή του δείκτη διάθλασης n συναρτήσα του μήκους κιύματος λ ονομάζεται διασκεδασμός. Στις περισσότερες περιστάσεις, αυξανομένου του λ, ο n μειώνεται. • Η διεύθυνση πόλωσης ενός γραμμικώς πολωμένου ηλεκτρομαγνητικού κιύματος εί­ ναι η διεύθυνση του ηλεκτρικού πεδίου Ε. Ένα πολωτικό φίλτρο επιτρέπει τη διέλευ­ ση της ακτινοβολίας που είναι γραμμικώς πολωμένη κατά μήκος του άξονα πόλωσής του και αποκόπτει την ακτινοβολία που είναι πολωμένη καθέτως προς τον άξονα αυ­ τό. Όταν πολωμένο φως έντασης Ι προσπίπτει σε αναλύτη, και αν φ είναι η γωνία μεταξύ των αξόνων πόλωσης του πολωτή και του αναλύτη, ο νόμος του Malus ορCζει ό­ τι η διερχόμενη ισχύς Ι είναι max

(34-7)

διασκεδασμός πολωτικό φίλτρο ή πολωτής (πολωτικός ηθμός) διχρωϊσμός άξονας πόλωσης νόμος του Malus επίπεδο πρόσπτωσης γωνία πόλωσης νόμος του Brewster κυκλική πόλωση ελλειπτική πόλιιJση διπλοθλαστικότητα πλακίδιο λ Ι 4 φωτοελαστικότητα σκέδαση αρχή του Huygens

(34-6)

• Όταν μη πολωμένο φως προσκρούει σε διαχωριστική επιφάνεια μεταξύ δύο υλι­ κών, ο νόμος του Brewster ορίζει ότι το ανακλώμενο φως είναι τελείως πολωμένο κα­ θέτως προς το επίπεδο πρόσπτωσης αν η γωνία πρόσπτωσης θΡ είναι η προκύπτουσα από τη σχέση

(34-8) • Αν υπερτεθούν δύο γραμμικώς πολωμένα κύματα που διατηρούν διαφορά φάσεως, το αποτέλεσμα είναι κυκλικώς ή ελλειπτικώς πολωμένο φως. Στην περίπτωση αυτή το διάνυσμα Ε δεν περιορίζεται σε ένα επίπεδο το οποίο περιέχει το διάνυσμα της διά­ δοσης, διαγράφει όμως κύκλους ή ελλείψεις σε επίπεδα κάθετα προς την κατεύθυνση διάδοσης. • Ένα διπλοθλαστικό υλικό έχει διαφορετικούς δείκτες διάθλασης για δύο κάθετες διευθύνσεις πόλωσης. Υλικά που καθίστανται διπλοθλαστικά αν εκτεθούν σε μηχανι­ κή καταπόνηση παρέχουν τη βάση της φωτοελαστικής ανάλυσης των τάσεων. Ένα δι­ χρωικό υλικό εμφανίζει επιλεκτική απορρόφηση για μια διεύθυνση πόλωσης. • Το φως σκεδάζεται από τα μόρια του αέρα. Το σκεδαζόμενο φως είναι μερικώς πο­ λωμένο. • Η αρχή του Huygens ορίζει ότ�, αν είναι γνωστή η θέση ενός μετώπου κύματος μια χρονική στιγμή, είναι δυνατό να προσδιοριστεί η θέση του μετώπου σε μεταγενέστερη χρονική στιγμή, αν δεχθούμε την υπόθεση ότι το μέτωπο είναι πηγή δευτερογενών κυ­ ματίων. Με χρήση της αρχής του Huygens είναι δυνατό να αποδειχθούν οι νόμοι της ανάκλασης και της διάθλασης.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Εδάφιο 34-2 Ανάκλαση και διάθλαση 34-1 Μια ακτίνα φωτός προσπίπτει σε επίπεδη επιφάνεια που

διαχωρίζε ι δύο υάλινες πλάκες με δείκτες διάθλασης 1,80 και 1,52 . Η γωνία πρόσπτωσης είναι 35,0 ' , και η ακτίνα προέρχεται από το γυαλί που έχει τον μεγαλύτερο δείκτη διάθλασης. Υπολογί­ στε τη γωνία διάθλασης.

34-2 Μια υάλινη πλάκα με παράλληλες πλευρές, δείκτη διά­

θλασης 1,60 , εφάπτεται στην υδάτινη επιφάνεια μιας δεξαμενής. Μια ακτίνα προσπίπτει στην πάνω επιφάνεια του γυαλιού υπό γω­ νία πρόσπτωσης 38,0 ' προερχόμενη από τον αέρα. a) Ποια γω­ νία σχηματίζει η διαθλώμενη ακτίνα μέσα στο νερό με την κάθετο προς την επιφάνεια; b) Ποια είναι η εξάρτηση της γωνίας αυτής από τον δείκτη διάθλασης του γυαλιού;

969

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

34-3 Μια παράλληλη δέσμη φωτός στον αέρα σχηματίζει γωνία 30,0 ° με την επιφάνεια μιας υάλινης πλάκας, δείκτη διάθλασης 1,52 . a) Πόση είναι η γωνία μεταξύ του ανακλώμενου μέρους της δέσμης και της υάλινης επιφάνειας; b) Πόση είναι η γωνία μετα­ ξύ της διαθλώμενης δέσμης και της υάλινης επιφάνειας; 34-4 Φως συχνότητας 5,00 χ 1014 Hz διαδίδεται σε ένα κύβο α­ πό πλαστικό που έχει δείκτη διάθλασης 2,00 . Πόσο είναι το μήκος κύματος του φωτός κατά τη διάδοσή του στο πλαστικό και πόσο κατά τη διάδοσή του στο κενό; 34-5 Η ταχύτητα φωτός, μήκους κύματος 656 nm, είναι 1,90 χ 108 m/s, αν η διάδοσή του γίνεται μέσα σε μολυβδύαλο. a) Ποιος είναι ο δείκτης διάθλασης του γυαλιού αυτού γι' αυτό το μ1jκος κύ­ ματος; b) Αν το ίδιο φως διαδίδεται στον αέρα, ποιο είναι το μή­ κος κύματος στο μέσο αυτό; 34-6 Παρατηρώντας το ηλιοβασίλεμα. Η πυκνότητα της ατμόσφαιρας της Γης αυξάνει όσο προσεγγίζουμε την επιφά­ νειά της. Αυτή η αύξηση της πυκνότητας συνοδεύεται από αύξηση του δείκτη διάθλασης. a) Να κατασκευάσετε ένα διάγραμμα στο οποίο να φαίνεται πώς κάμπτονται οι φωτεινές ακτίνες που προ­ έρχονται από ένα αστέρα ή ένα πλανήτη καθώς διέρχονται από την ατμόσφαιρα. Να σημειώσετε τη φαινόμενη θέση της φωτεινής πηγής. b) Εξηγήστε γιατί είναι δυνατό να εξακολουθείτε να βλέ­ πετε τον Ήλιο και μετά τη δύση του. c) Εξηγήστε γιατί ο Ήλιος που δύει εμφανίζεται πεπλατυσμένος. 34-7 Μια δέσμη φωτός έχει μήκος κύματος 500 nm στο κενό. a) Πόση είναι η ταχύτητα τσυ φωτός αυτού μέσα σε ένα κομμάτι γυαλί του οποίου ο δείκτης διάθλασης είναι 1 ,70 γι' αυτό το μήκος κύμα­ τος; b) Ποιο είναι το μήκος κύματος στο γυαλί των φωτεινών αυ­ τών κυμάτων; 34-8 Φως μιας ορισμένης συχνότητας έχει μήκος κύματος 442 nm στο νερό. Πόσο είναι το μήκος κύματος του φωτός αυτού μέσα σε διθειάνθρακα; 34-9 Μια παράλληλη δέσμη φωτός προσπίπτει σε πρίσμα, ό­ πως φαίνεται στο σχήμα 34-28. Ένα μέρος της δέσμης ανακλάται από τη μία έδρα ενώ το υπόλοιπό της τμήμα ανακλάται από την άλλη έδρα. Δείξτε ότι η γωνία θ μεταξύ των δύο δεσμών είναι δι­ πλάσια από τη γωνία Α μεταξύ των δύο ανακλωσών επιφανειών.

γυαλιού και του αέρα. Πόση είναι η μέγιστη γωνία που μπορεί να σχηματίζει η ακτίνα με την κάθετο στη διαχωριστική επιφάνεια, ώστε να μην έχουμε ολική εσωτερική ανάκλαση, δηλαδή διάδοση όλης της δέσμης μέσα στο γυαλί και μετά την ανάκλαση; 34-13 Η κρίσιμη γωνία για ολική εσωτερική ανάκλαση σε μια διαχωριστική επιφάνεια ενός υγρού και του αέρα είναι 37,0° . a) Αν μια φωτεινή ακτίνα που διαδίδεται στο υγρό προσπίπτει στη διαχωριστική επιφάνεια υπό γωνία πρόσπτωσης 28,0 ποια γωνία σχηματίζει η διαθλώμενη ακτίνα στον αέρα με την κάθετο; b) Αν μια φωτεινή ακτίνα που διαδίδεται στον αέρα προσπίπτει στη δια­ χωριστική επιφάνεια υπό γωνία πρόσπτωσης 28,0 ° , ποια γωνία σχηματίζει η διαθλώμενη ακτίνα στο υγρό με την κάθετο; 34-14 Μια σημειακή φωτεινή πηγή είναι τοποθετημένη 32,0 cm κάτω από την επιφάνεια μιας λίμνης. Να βρείτε τη διάμετρο του μέγιστου κύκλου επί της επιφάνειας της λίμνης, μέσω του ο­ ποίου είναι δυνατό να αναδυθεί το φως από το νερό στον αέρα. ο,

Εδάφιο 3 4-5 Πόλωση 34-15 Μη πολωμένο φως έντασης 10 προσπίπτει σε πολωτικό φίλτρο. Το εξερχόμενο φως διέρχεται μέσω ενός δεύτερου πολω­ τικού φίλτρου, του οποίου ο άξονας σχηματίζει γωνία 60,0° με τον άξονα του πρώτου φίλτρου. Να βρείτε a) την ένταση της δέσμης μετά τη διέλευσή της από τον δεύτερο πολωτή· b) την κατάσταση πόλωσής της. 34- 1 6 Ένας πολωτής και ένας αναλύτης είναι προσανατολι­ σμένοι κατά τρόπο που να επιτρέπει τη διέλευση της μέγιστης πο­ σότητας φωτός. Κατά πόσο ποσοστό της μέγιστης αυτής έντασης μειώνεται η ένταση της διερχόμενης δέσμης εάν ο αναλύτης στρα­ φεί κατά a) 30,0° · b) 45,0o · c) 60,0o; 34- 1 7 Τρία πολωτικά φίλτρα. Τρία πολωτικά φίλτρα συστοιχούνται διαδοχικά με τις επιφάνειές τους παράλληλες, ενώ ο άξονας πόλωσης του δεύτερου και τρίτου πολωτή σχηματίζει γω­ νία 60,0° και 90,0° αντίστοιχα με τον άξονα πόλωσης του πρώτου πολωτή. a) Αν μη πολωμένο φως έντασης 10 προσπίπτει στη διά­ ταξη των πολωτών, βρείτε την ένταση και την κατάσταση πόλωσης του φωτός που εξέρχεται από κάθε φίλτρο. b) Αν απομακρυνθεί το δεύτερο φίλτρο, πόση είναι η ένταση της φωτεινής δέσμης που εξέρχεται από καθένα από τα άλλα δύο φίλτρα; 34-18 Φως διαδιδόμενο στο νερό προσπίπτει σε γυάλινη πλά­ κα υπό γωνία πρόσπτωσης 50,0 · ένα μέρος της δέσμης ανακλάται και ένα άλλο μέρος της διαθλάται. Αν η ανακλώμενη και η δια­ θλώμενη δέσμη σχηματίζουν γωνία 90°, ποιος είναι ο δείκτης διά­ θλασης του γυαλιού; 34-19 Μια παράλληλη δέσμη μη πολωμένου φωτός στον αέρα προσπίπτει υπό γωνία 58,6 ο (ως προς την κάθετο) και σε επίπεδη υάλινη επιφάνεια. Η ανακλώμενη δέσμη είναι τελείως γραμμικώς πολωμένη. a) Πόσος είναι ο δείκτης διάθλασης του γυαλιού; b) Πόση είναι η γωνία διάθλασης της διερχόμενης δέσμης; 34-20 a) Ποια είναι η γωνιακή θέση του Ήλιου πάνω από τον ορίζοντα, αν το ηλιακό φως που ανακλάται από τον επίπεδο μιας ακύμαντης υδάτινης επιφάνειας είναι τελείως πολωμένο; b) Ποιο είναι το επίπεδο του διανύσματος του ηλεκτρικού πεδίου Ε του α­ νακλώμενου φωτός; 34-2 1 Μη πολωμένο φως, διαδιδόμενο σε υγρό δείκτη διάθλα­ σης n, προσπίπτει στην επιφάνεια του υγρού, πάνω από την οποία υπάρχει αέρας. Αν το φως προσπίπτει στην επιφάνεια υπό γωνία 31,0° ως προς την κατακόρυφο, το φως που ανακλάται διαδιδόμε­ νο και πάλι στο υγρό, είναι τελείως πολωμένο. a) Πόσος είναι ο δείκτης διάθλασης n του υγρού; b) Ποια γωνία σχηματίζει με την κάθετο στην επιφάνεια το διαθλώμενο φως, που διαδίδεται στον αέρα; ο

ΣΧΗΜΑ 34-28 34-10 Δείξτε ότι μια φωτεινή ακτίνα, η οποία ανακλάται από ένα επίπεδο κάτοπτρο, στρέφεται κατά γωνία 2θ όταν το κάτο­ πτρο στρέφεται κατά γωνία θ γύρω από άξονα κάθετο στο επίπε­ δο πρόσπτωσης.

Εδάφιο 3 4-3 Ολική εσωτερική ανάκλαση 34- 1 1 Η ταχύτητα ενός ηχητικού κύματος είναι 344 m/s στον α­ έρα και 1320 m/s στο νερό. a) Ποιο μέσο έχει το μεγαλύτερο / h 2 + ( l - x) 2 .._ _...:._ + _...:2:.___:_ Vι Vz b)Υπολογίστε την παράγωγο dι!dx . Θέστε dι/dx = Ο και δείξτε ότι ο χρόνος αυτός εγγίζει την ελάχιστη τιμή του όταν n 1 sin θ 1 = n2 sin θ2 . Αυτός είναι ο νόμος του Snell, και αντιστοιχεί στην πραγ­ ι=

ματική διαδρομή που ακολουθεί το φως. Πρόκειται για ένα άλλο παράδειγμα της αρχής ελάχιστου χρόνου του Fermat (βλέπε Πρό­ βλημα 3�4).

τ l ι

n' n

ΣΧΗΜΑ 34-39 όπου το ι παριστάνει το πάχος της πλάκας d) Μια φωτεινή ακτίνα προσπίπτει υπό γωνία 60" στη μια επιφάνεια υάλινης πλάκας πά­ χους 1 ,80 cm και δείκτη διάθλασης 1 ,50 . Το μέσο διάδοσης και στις δύο πλευρές της πλάκας είναι ο αέρας. Να βρείτε την εγκάρ­ σια μετατόπιση, ως προς την προσπίπτουσα ακτίνα, της αναδυόμε­ νης ακτίνας.

34-47 Θεωρήστε δύο ταλαντώσεις ίσου πλάτους και της ίδιας

συχνότητας, διαφέρουσες όμως ως προς τη φάση, μια κατά μήκος του άξονα χ,

χ = α sίη (ωι - α), και την άλλη κατά μήκος του άξονα y, y = α sin (ωι -β). Οι σχέσεις αυτές μπορούν να γραφούν και ως εξής: . . χ α = sιn ωt cos α - cos ωt sιn α, . . Υ- = sιn ωt cos β - cos ωt sιn β . α

ΣΧΗΜΑ 34-38

34-46 Φως διαδιδόμενο στον αέρα προσπίπτει υπό γωνία θ.

(Σχ. 34-39) στην πάνω επιφάνεια μιας διαφανούς πλάκας, οι επι­ φάνειες της οποίας είναι επίπεδες και παράλληλες. a) Δείξτε ότι Θ. = θ 'a · b) Δείξτε ότι η ίδια σχέση ισχύει και στην περίπτωση πε­ ρισσότερων διαφορετικών παράλληλων πλακών, ανεξαρτήτως του αριθμού τους. c) Δείξτε ότι η εγκάρσια μετατόπιση d της εξερχό­ μενης δέσμης δίνεται από τη σχέση

d = ι sincos(θα θ-bθb) ' ο

π

π

3π

4

2

4

π

(2)

a) Πολλαπλασιάστε την Εξ. ( 1 ) επί sin β, και την Εξ. (2) επί sin α. Στη συνέχεια αφαιρέστε κατά μέλη τις προκύπτουσες εξισώσεις. b) Πολλαπλασιάστε την Εξ. ( 1 ) επί cos β, και την Εξ. (2) επί cos α. Στη συνέχεια αφαιρέστε και πάλι κατά μέλη τις προκύπτουσες εξι­ σώσεις. c) Υψώστε πρώτα στο τετράγωνο και κατόπιν προσθέστε κατά μέλη τις