Unidad 6 Metodos Numericos [PDF]

Zitiervorschau

Tecnológico Nacional de México

Sistemas de ecuaciones lineales algebraicas Unidad 6

Métodos Numéricos M.C. Ma. Isabel Piña Villanueva

Por: Getsemaní Carmona Narváez Oziel Ezra Castillo Ortega Edna Jackelyn Pérez Leija Saltillo, Coahuila a 03 de Octubre del 2016

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Introducción Las ecuaciones diferenciales tienen importancia fundamental en las aplicaciones, ya que muchas leyes y relaciones físicas pueden idealizarse matemáticamente en la forma de estas ecuaciones. En particular, el estudio de problemas de equilibrio de sistemas continuos se encuentra dentro de este contexto. 1.- Una ecuación diferencial es una ecuación que relaciona dos o más variables en términos de derivadas o diferenciales.

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Índice. Introducción…………………………………………………………………………..……………… … ….2 Fundamentos de ecuaciones diferenciales…………………………………………….. ……………….4 Método de Euler……………………………………………………………………………………………..5 Método de Euler mejorado…………………………………………………………………………… ….10 Método de Runge Kutta ………………………………….. ……………………………………………….13 Método de pasos múltiples ………………………………….. …………………………………………..18 Aplicaciones…………………………………………………………..…………………………………....23 Conclusiones…………………………………………………………….……………………….…………27 Bibliografía……………………………… …..…………………………….……………………….………28

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Fundamentos de ecuaciones

Diferenciales Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas deuna o más funciones desconocidas. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen enEcuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente. 

Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.



Una ecuación diferencial es una ecuación que incluye expresiones o términos que involucran a una función matemática incógnita y sus derivadas. Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales son: 

es una ecuación diferencial ordinaria, donde

representa una función no especificada de

la variable independiente a .

,



, es decir,

es la derivada de

con respecto

La expresión

es una ecuación en derivadas parciales. A la variable dependiente también se le llama función incógnita (desconocida). La resolución de ecuaciones diferenciales es un tipo de problema matemático que consiste en buscar una función que cumpla una determinada ecuación diferencial. Se puede llevar a cabo mediante un método específico para la ecuación diferencial en cuestión o mediante una transformada (como, por ejemplo, la transformada de Laplace).

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Método de

Euler La idea del método de Euler es muy sencilla y está basada en el significado geométrico de la derivada de una función en un punto dado. Supongamos que tuviéramos la curva solución de la ecuación diferencial y trazamos la recta tangente a la curva en el punto dado por la condición inicial.

Debido a que la recta tangente aproxima a la curva en valores cercanos al punto de tangencia, podemos tomar el valor de la recta tangente en el punto aproximación al valor deseado

como una

.

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Así, calculemos la ecuación de la recta tangente a la curva solución de la ecuación diferencial dada en el punto que la ecuación de la recta es:

. De los cursos de Geometría Analítica, sabemos

Donde m es la pendiente. En este caso, sabemos que la pendiente de la recta tangente se calcula con la derivada:

Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente es :

Ahora bien, suponemos que como

es un punto cercano a

, y por lo tanto estará dado

. De esta forma, tenemos la siguiente aproximación:

De aquí, tenemos nuestra fórmula de aproximación:

Esta aproximación puede ser suficientemente buena, si el valor de h es realmente pequeño, digamos de una décima ó menos. Pero si el valor de h es más grande, entonces podemos cometer mucho error al aplicar dicha fórmula. Una forma de reducir el error y obtener de hecho un método iterativo, es dividir la distancia en n partes iguales (procurando que estas partes sean de longitud suficientemente pequeña) y obtener entonces la aproximación en n pasos, aplicando la fórmula anterior n veces de un paso a otro, con la nueva h igual a

.

En una gráfica, tenemos lo siguiente:

Ahora bien, sabemos que: 6

Para obtener punto

únicamente hay que pensar que ahora el papel de

lo toma el

, y por lo tanto, si sustituimos los datos adecuadamente, obtendremos que:

De aquí se ve claramente que la fórmula recursiva general, está dada por:

Esta es la conocida fórmula de Euler que se usa para aproximar el valor de aplicándola sucesivamente desde

hasta

en pasos de longitud h.

Ejemplo Dada la siguiente ecuación diferencial con la condición inicial:

Aproximar

.

NOTA Primero observamos que esta ecuación sí puede resolverse por métodos tradicionales de ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, podemos aplicar el método de separación de variables. Veamos las dos soluciones. Solución Analítica.

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Sustituyendo la condición inicial:

Por lo tanto, tenemos que la curva solución real está dada:

Y por lo tanto, el valor real que se pide es:

Solución Numérica: Aplicamos el método de Euler y para ello, observamos que la distancia entre

y

no es lo suficientemente pequeña. Si didimos esta distancia entre cinco obtenemos un valor de cinco pasos.

y por lo tanto, obtendremos la aproximación deseada en

De esta forma, tenemos los siguientes datos:

Sustituyendo estos datos en la fórmula de Euler, tenemos, en un primer paso:

Aplicando nuevamente la fórmula de Euler, tenemos, en un segundo paso: 8

Y así sucesivamente hasta obtener

. Resumimos los resultados en la siguiente tabla:

n 0

0

1

1

0.1

1

2

0.2

1.02

3

0.3

1.0608

4

0.4

1.12445

5

0.5

1.2144

Concluimos que el valor aproximado, usando el método de Euler es:

Puesto que en este caso, conocemos el valor verdadero, podemos usarlo para calcular el error relativo porcentual que se cometió al aplicar la fórmula de Euler. Tenemos que:

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Método de

Euler Mejorado Este método se basa en la misma idea del método anterior, pero hace un refinamiento en la aproximación, tomando un promedio entre ciertas pendientes. La fórmula es la siguiente:

Donde :

Para entender esta fórmula, analicemos el primer paso de la aproximación, con base en la siguiente gráfica:

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En la gráfica, vemos que la pendiente promedio corresponde a la pendiente de la recta bisectriz de la recta tangente a la curva en el punto de la condición inicial y la “recta tangente” a la curva en el punto , donde es la aproximación obtenida con la primera fórmula de Euler. Finalmente, esta recta bisectriz se traslada paralelamente hasta el punto de la condición inicial, y se considera el valor de esta recta en el punto

como la aproximación de Euler mejorada.

Ejemplo Aplicar el método de Euler mejorado, para aproximar

si:

Solución Vemos que este es el mismo ejemplo 1 del método anterior. Así que definimos y encontraremos la aproximación después de cinco iteraciones. A diferencia del método de Euler 1, en cada iteración requerimos de dos cálculos en vez de uno solo: el de primero y posteriormente el de

.

Para aclarar el método veamos con detalle las primeras dos iteraciones. Primero que nada, aclaramos que tenemos los siguientes datos iniciales:

En nuestra primera iteración tenemos: 11

Nótese que el valor de

coincide con el

coincidir, pues para calcular

se usará

(Euler 1), y es el único valor que va a y no

.

Esto lo veremos claramente en la siguiente iteración:

Nótese que ya no coinciden los valores de (Euler 1) y el de . El proceso debe seguirse hasta la quinta iteración. Resumimos los resultados en la siguiente tabla: n 0

0

1

1

0.1

1.01

2

0.2

1.040704

3

0.3

1.093988

4

0.4

1.173192

5

0.5

1.28336

Concluimos entonces que la aproximación obtenida con el método de Euler mejorado es:

Con fines de comparación, calculamos el error relativo verdadero:

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Vemos que efectivamente se ha obtenido una mejor aproximación con este método, reduciendo el error relativo verdadero de un 5.4% hasta un 0.05%. En nuestro tercer método veremos cómo se reduce aún más este error prácticamente a un 0%!

Método de

Runge-Kutta El método de Runge-Kutta es un método genérico de resolución numérica de ecuaciones diferenciales. Este conjunto de métodos fue inicialmente desarrollado alrededor del año 1900 por los matemáticos C. Runge y M. W. Kutta. Los métodos de Runge-Kutta (RK) son un conjuntos de métodos iterativos (implícitos y explícitos) para la aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias, concretamente, del problema de valor inicial. Sea

una ecuación diferencial ordinaria, con abierto, junto con la condición de que el valor inicial de ƒ sea

donde

es un conjunto 13

Entonces el método RK (de orden s) tiene la siguiente expresión, en su forma más general:

, donde h es el paso por iteración, o lo que es lo mismo, el incremento entre los sucesivos puntos y . Los coeficientes son términos de aproximación intermedios, evaluados en ƒ de manera local

Con coeficientes propios del esquema numérico elegido, dependiente de la regla de cuadratura utilizada. Los esquemas Runge-Kutta pueden ser explícitos o implícitos dependiendo de las constantes del esquema. Si esta matriz es triangular inferior con todos los elementos de la diagonal principal iguales a cero; es decir, para , los esquemas son explícitos.

Ejemplo Este método está dado por la ecuación

Este método requiere solo 4 formulas útiles que se tiene que seguir una por una en orden que va como sigue.

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El tamaño de paso (h) se define como el incremento de tiempo entre los sucesivos puntos tn y tn+1. Así, el siguiente valor (yi+1) es determinado por el presente valor (yi) más el producto del tamaño del intervalo (h) por una pendiente estimada. La pendiente es un promedio ponderado de pendientes:  k1 es la pendiente al principio del intervalo  k2 es la pendiente en el punto medio del intervalo, usando k1 para determinar el valor de y en el punto xi + h/2.  k3 es otra vez la pendiente del punto medio, pero ahora usando k2 para determinar el valor de y  k4 es la pendiente al final del intervalo, con el valor de y determinado por k3 Se promedian las 4 pendientes y se le asigna mayor peso a las pendientes en el punto medio: En pocas palabras después de usar estas formulas se usa al final esta para obtener la pendiente

Ejemplo.

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Se busca que llegue la pendiente a 0.5 y de esta forma se pueda calcular Y . En este ejemplo programado se puede ver con facilidad.

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Método de Pasos

Múltiples

Se considera el problema de valores iniciales (P.V.I.) 8 0 y < 0, se trata de una masa que parte de un punto abajo de la posición de equilibrio y a la cual se ha comunicado una velocidad dirigida hacia arriba. Si < 0 y > 0, se trata de una masa en reposo que se suelta desde un punto que está %. %unidades arriba de la posición de equilibrio. Los demás casos son análogos. Solución y ecuación de movimiento: Para resolver la ecuación d²x/dt² + .²x = 0 observemos que las soluciones de la ecuación auxiliar M² - w² = 0 son los números complejo M = .i y Mi = - .i. De esta forma se obtiene una solución general: x (t) = C1 cos .t + C2 sen .t. 25

El periodo de las vibraciones libres descritas por la ultima ecuación general planteada es T = 2./. y la frecuencia es . = 1/T = ./2.. Por ejemplo, para x (t) = 2 cos 3t - 4 sen 3t el periodo es 2./3 y la frecuencia es 3/2.. El primer número indica que hay 3 ciclos de la gráfica de cada 2. Unidades; en otras palabras, la masa realiza 3/2. Oscilaciones completas por unidad de tiempo. Además, se puede demostrar que el periodo 2./. Es el intervalo de tiempo entre dos máximos sucesivos de x(t). Finalmente, una vez que hemos determinado las constantes C1 y C2 en x (t) = C1 cos .t + C2 sen .t mediante las condiciones iniciales x(0) = ., dx/dt% = . %t = 0 Decimos que la solución particular resultante es la ecuación de movimiento. Ejemplo: Resolver e interpretar el problema de valor inicial: d²x/dt² + 16 x = 0 x(0) = 10, dx/dt% = 0 %t = 0 Solución: Una formulación equivalente del problema es: se estira hacia abajo de un cuerpo que pende de un resorte hasta que esté 10 unidades bajo la posición de equilibrio y luego se le retiene hasta t = 0; se le suelta a continuación de manera que parta de un estado de reposo. Aplicando las condiciones iniciales a la solución: x (t) = C1 cos 4t + C2 sen 4t. Resulta x (0) = 10 = C1 . 1 + C2 . 0 de modo que C1 = 10 y por lo tanto x (t) = 10 cos 4t + C2 sen 4t. dx/dt = 40 sen 4t + 4C2 cos 4t dx/dt% = 0 = 4C2 . 1 %t = 0 La ultima ecuación implica que C = 0 y por lo tanto la ecuación de movimiento es x (t) = 10 cos 4t. La solución muestra claramente que una vez que el sistema se pone en movimiento, permanece en tal estado, con la masa deslazándose alternadamente 10 unidades hacia cada lado de la posición de equilibrio x = 0. El periodo de oscilación es 2./4 = ./2 segundos. Ejemplo: Un cuerpo que pesa 2lb. Se estira un resorte 6plg. Dicho cuerpo se suelta en t = 0 desde un punto que está 8plg bajo la posición de equilibrio, con una velocidad dirigida hacia arriba de 4/3 pie/seg. Determine la función x(t) que describe el movimiento libre resultante. Solución: 26

Puesto que estamos usando el sistema de unidades inglesas gravitatorias, las magnitudes dadas en pulgadas deben expresarse en pies: 6plg = 6/12 = 1/2 pie, 8plg = 8/12 = 2/3 pie. Además, debemos convertir las unidades de peso en unidades de masa. M = W/g Tenemos M = 2/32 = 1/16slug; Además, por la Ley de Hooke se tiene: 2 - k (1/2) lo que implica que k = 4lb/pie. Por consiguiente, se tiene: 1/16 d²x/dt² = -4x y d²x/dt² + 64x = 0. El desplazamiento y la velocidad iniciales están dados por: x(0) = 2/3, dx/dt% = - 4/3 %t = 0 En donde el signo negativo que aparece en la última condición en consecuencia de que a la masa se le da una velocidad inicial con dirección negativa, esto es, dirigida hacia arriba. Ahora bien, .² = 64, ósea. = 8, de modo que la solución general de la ecuación diferencial es: x (t) = C1 cos 8t + C2 sen 8t. Aplicando las condiciones iniciales a esta ecuación tenemos que: x (0) = 2/3 = C1 . 1 + C2 . 0 (C1 = 2/3) x (t) = 2/3 cos 8t + 8C2 cos 8t x´(t) = - 16/3 sen 8t + 8C2 cos 8t x´(0) = - 4/3 = - 16/3 . 0 + 8C2 .1, (C = -1/6) Luego C2 = - 1/6. Por consiguiente, la ecuación de movimiento es: x (t) = 2/3 cos 8t - 1/6 sen 8t.

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Conclusiones Finalmente y para concluir se determinó que, la resolución de problemas de ingeniería está asociada, por lo general, a resultados numéricos puesto que se requieren respuestas prácticas. La mayor parte de las leyes científicas de expresan en términos de rapidez de variación de una variable con respecto otra. Además proporcionan una herramienta esencial para modelar muchos problemas en Ingeniería, Física, Economía y Biología, puesto que estos, por lo general, requieren la determinación de una función que satisface a una ecuación diferencial. El Método de Runge Kutta es mejor que el método de Euler, pero aún así es posible aumentar la precisión achicando los pasos entre los puntos o implementando el método de orden superior. Es el método más utilizado para resolver numéricamente problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias con condiciones iniciales es el método de Runge-Kutte, el cual proporciona un pequeño margen de error con respecto a la solución real del problema y es fácilmente programable en un software para realizar iteraciones necesarias. El dominio de los métodos numéricos, en combinación con las capacidades y potencialidades de la programación de computadoras resuelve problemas de ingeniería de manera más fácil y eficientemente

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Bibliografía. [Euler y Euler mejorado] http://gomez-metodos-numericos.webnode.es/ecuaciones-diferencialesordinarias/euler/ejemplo01/ http://gomez-metodos-numericos.webnode.es/ecuaciones-diferenciales-ordinarias/euler/ http://gomez-metodos-numericos.webnode.es/ecuaciones-diferenciales-ordinarias/ http://www.monografias.com/trabajos73/metodos-numericos-metodo-eulermejorado/metodos-numericos-metodo-euler-mejorado.shtml#ixzz4PSiy7g9d [Método de Runge Kutta] http://juankenny.blogspot.mx/2012/08/lab-acsd-metodos-numericos-metodo-runge.html [Métodos de pasos múltiples] https://www.youtube.com/watch?v=CtFBEEvn0e4 https://www.youtube.com/watch?v=NZfM_ozPBOI https://www.youtube.com/watch?v=qkZB5LUGzG0 [Toda la unidad 6 (solo conceptos claros)] http://www.itpn.mx/recursosisc/4semestre/metodosnumericos/Unidad%20VI.pdf

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