Ubungsbuch Elektromagnetische Felder: Mit durchgerechneten Losungswegen [1 ed.] 3540718532, 9783540718536 [PDF]

Zitiervorschau

Springer-Lehrbuch

Manfred Filtz · Heino Henke

Übungsbuch Elektromagnetische Felder Mit 162 Abbildungen

123

Dr. Manfred Filtz Professor Dr.-Ing. Heino Henke Technische Universität Berlin Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik Einsteinufer 17 D-10587 Berlin E-mail: [email protected] [email protected]

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7/3100/YL - 5 4 3 2 1 0

Gedruckt auf säurefreiem Papier

Vorwort

Die vorliegende Aufgabensammlung ist aus den „Übungen zur Theoretischen Elektrotechnik“ an der Technischen Universität Berlin hervorgegangen und als Ergänzung zum ebenfalls in diesem Verlag erschienenen Lehrbuch „Elektromagnetische Felder“ [Henke] gedacht. Insofern orientieren sich auch die hier verwendeten Symbole und Bezeichnungen an [Henke]. Die Aufgabensammlung richtet sich sowohl an Studierende ingenieur- und naturwissenschaftlicher Studiengänge als Hilfe für die Prüfungsvorbereitung und Wissensvertiefung als auch an Ingenieure, die nach effektiven Lösungswegen für elektromagnetische Problemstellungen suchen. Man findet eine große Anzahl durchgerechneter Aufgaben aus den folgenden Teilgebieten: E S M Q W

Elektrostatische Felder Stationäres Strömungsfeld Magnetostatische Felder Langsam veränderliche (Quasistationäre) Felder Beliebig zeitveränderliche Felder (Wellen)

Jedem dieser Teilgebiete ist eine kurze Zusammenfassung der notwendigen Formeln und Lösungsmethoden ohne Herleitungen vorangestellt. Dabei wird aber vorausgesetzt, dass der Leser bereits mit dem Stoff einigermaßen vertraut ist und sich hier nur noch einmal einen zusammenfassenden Überblick verschafft. Dieser Überblick erhebt außerdem nicht den Anspruch der Vollständigkeit. Die Nummerierung der Übungsaufgaben erfolgt zur besseren Orientierung durch Voranstellen der oben angegebenen Buchstaben für das jeweils behandelte Teilgebiet. Die ausführlich durchgerechneten Beispiele sollen die grundsätzliche Vorgehensweise bei der Lösung elektromagnetischer Problemstellungen aufzeigen. Der Schwierigkeitsgrad der Aufgaben variiert zum Teil deutlich. Es wurden nämlich absichtlich auch anspruchsvollere Probleme1 behandelt, um die praktische Bedeutung aufzuzeigen, die das Gebiet der elektromagnetischen Feldtheorie in ganz unterschiedlichen Situationen gewonnen hat. Wir werden uns, um nur einige Beispiele zu nennen, u.a. mit – – – – – – 1

der feldreduzierenden Wirkung eines Erdseils, elektrostatischen Linsen zur Fokussierung von Teilchenstrahlen, der Widerstandsmessung mit Hilfe der Vierspitzenmethode, transienten Vorgängen in einem Turbogenerator, der Verwendung magnetischer Wanderwellen in einer Wirbelstromkanone, der Abschirmung durch Wirbelströme, diese sind mit einem Stern gekennzeichnet

VI

– – – –

Vorwort

dem elektrodynamischen Schweben (Levitation), einem phased array zur Erzeugung gerichteter Strahlung, einer einfachen Anordnung zur Radarabschirmung, einem Beispiel für die Entstehung von Cerenkov-Strahlung

befassen, zumindest unter Verwendung einfacher Modelle. Genannt werden soll an dieser Stelle auch noch die besonders für den Elektroingenieur wichtige Berechnung von Kapazitäten und Induktivitäten, wofür es zahlreiche Beispielaufgaben gibt. Dabei stehen natürlich im Rahmen dieses Buches vor allem die konkrete Berechnungsmethode und weniger technische Gesichtspunkte im Vordergrund. Gerade bei den anspruchsvolleren Aufgabenstellungen wird besonders die Notwendigkeit der Modellbildung deutlich. Der Leser soll erkennen, wie durch sinnvolle Vernachlässigungen ein Problem einer analytischen Lösung zugänglich werden kann, ohne dass dabei die physikalischen Gegebenheiten zu stark verfälscht werden. Selbstverständlich bedarf es zuvor einiger „Fingerübungen“, um sich schlussendlich an mehr praxisorientierte Probleme heranzuwagen. Dies hat zur Folge, dass nicht alle Aufgaben einen sofort ersichtlichen Praxisbezug aufweisen, sondern eher das Ziel verfolgen, eine bestimmte Arbeitsweise an einem einfachen Beispiel einzuüben. Im Anschluss an die durchgerechneten Beispiele werden dann noch speziell zur Kontrolle des eigenen Lernfortschrittes kurze Ergänzungsaufgaben gestellt, bei denen nur das Resultat angegeben ist. Im Gegensatz zur Mechanik wird bei Aufgaben zum Elektromagnetismus häufig ein gewisser Mangel an Anschaulichkeit beklagt. Das ist durchaus verständlich, denn wenn man sich auch über die Auswirkungen elektromagnetischer Felder im Klaren ist, so ist das Feld selbst natürlich nur eine auf Faraday zurückgehende Abstraktion. Dennoch hat man auch hier die Möglichkeit der Veranschaulichung in Form sogenannter Feldlinien (Faradays lines of force). Daher werden in diesem Übungsbuch auch immer wieder solche Feldlinienbilder gezeigt. Sie illustrieren ein häufig unübersichtliches mathematisches Resultat und geben darüber hinaus die Möglichkeit, Ergebnisse auf ihre Plausibilität hin zu überprüfen. Dazu gehört sicherlich etwas Erfahrung, welche sich aber nach einer gewissen Zeit der Beschäftigung mit den Übungsaufgaben einstellen dürfte. An dieser Stelle möchten wir den Tutoren des Fachgebietes Theoretische Elektrotechnik Claudia Choi, Joel Alain Tsemo Kamga sowie Abdurrahman Öz unseren besonderen Dank für das Korrekturlesen und Nachrechnen der Aufgaben aussprechen.

Berlin, im Juli 2007

Manfred Filtz Heino Henke

Inhaltsverzeichnis

1.

Elektrostatische Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zusammenfassung wichtiger Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grundgleichungen im Vakuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elementare Feldquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Superposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Materie im elektrischen Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Differentialgleichungen für das Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rand- und Stetigkeitsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elektrische Feldenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elektrischer Fluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kräfte im elektrischen Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spiegelungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E1 Kraftberechnung mit dem Coulombschen Gesetz . . . . . . E2 Superposition von Ladungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E3 Unendlich lange, gerade Linienladungen . . . . . . . . . . . . . E4 Kreisförmige Flächenladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E5 Feldberechnung mit dem Gaußschen Gesetz . . . . . . . . . . E6 Halbkugelförmige Raumladung, Ladungsschwerpunkt . E7 Lineare Dipolverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E8 Elektrischer Liniendipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E9 Dipolverteilung auf einer Fläche (Doppelschicht) . . . . . E10 Feldreduzierende Wirkung eines Erdseils . . . . . . . . . . . . E11 Äquipotentialflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E12 Kapazität zwischen zylindrischen Leitern . . . . . . . . . . . . E13∗ Polarisierte Platte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E14 Stetigkeitsbedingungen am dielektrischen Zylinder . . . . E15 Spiegelung am dielektrischen Zylinder . . . . . . . . . . . . . . . E16 Linienladung vor einem dielektrischen Halbraum . . . . . E17 Energie einer kugelförmigen Raumladung . . . . . . . . . . . . E18 Teilkapazitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E19 Kräfte an metallischen Oberflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . E20 Elektrischer Dipol vor einer leitenden Kugel . . . . . . . . .

1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 10 12 15 16 17 18 21 22 24 28 29 30 32 33 35 36

VIII

Inhaltsverzeichnis

E21 E22 E23 E24∗ E25 E26

Kapazität einer Stabantenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Randwertproblem in kartesischen Koordinaten . . . . . . . Elektrostatische Linse (periodischer Fall) . . . . . . . . . . . . Elektrostatische Linse (aperiodischer Fall) . . . . . . . . . . . Homogen polarisierter Zylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ringladung über einem leitenden Halbraum mit dielektrischer Halbkugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E27∗ Lösung einer Poisson-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ergänzungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38 40 45 49 53 54 58 63

2.

Stationäres Strömungsfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zusammenfassung wichtiger Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grundgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elementare Feldquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rand- und Stetigkeitsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stromwärmeverluste und Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spiegelungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S1 Kugelerder, Schrittspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vierspitzenmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S2∗ S3 Elektrolytischer Trog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S4 Widerstand einer leitenden Kreisscheibe . . . . . . . . . . . . . S5 Luftblase im leitenden Volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Strömungsfeld in einer Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S6∗ Ergänzungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69 69 69 70 70 71 71 72 72 74 78 82 86 87 92

3.

Magnetostatische Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zusammenfassung wichtiger Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grundgleichungen im Vakuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elementare Feldquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Magnetfeld verteilter Ströme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Materie im magnetischen Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Differentialgleichungen für das Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rand- und Stetigkeitsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Magnetischer Fluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Magnetische Feldenergie und Induktivität . . . . . . . . . . . . . . . . . Kräfte im magnetischen Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spiegelungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M1 Kraftberechnung mit dem Ampèreschen Gesetz . . . . . . M2 Leiterschleife im Feld einer Doppelleitung . . . . . . . . . . . M3 Feldberechnung mit dem Biot-Savartschen Gesetz . . . . M4 Magnetischer Dipol vor einer Spule . . . . . . . . . . . . . . . . . M5∗ Permanentmagnet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95 95 95 96 96 97 97 98 98 99 100 100 100 100 102 104 107 109

Inhaltsverzeichnis

Gegeninduktivität zwischen einer Kreisschleife und einer Doppelleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M7 Achsenfeld einer Spule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M8 Selbstinduktivität einer Spule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M9 Stromdurchflossene Bandleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M10 Doppelleitung über einem permeablen Halbraum . . . . . M11∗ Feldberechnung in einer elektrischen Maschine . . . . . . . M12∗ Erzeugung eines magnetischen Wanderfeldes . . . . . . . . . M13 Permeable Hohlkugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ergänzungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

IX

M6

4.

5.

113 115 117 118 121 125 132 136 139

Quasistationäre Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zusammenfassung wichtiger Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grundlegende Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ohmsches Gesetz für bewegte Leiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diffusionsgleichung und Eindringtiefe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Komplexer Wechselstromwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Q1 Unipolarmaschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Q2 Induktion in einer bewegten Leiterschleife . . . . . . . . . . . Q3 Induktion durch Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Q4 Lesespule über einem Magnetband (Skalarpotential) . . Q5∗ Lesespule über einem Magnetband (Vektorpotential) . . Q6 Stromverteilung in einem mehradrigen Kabel . . . . . . . . Q7 Induktionsofen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Q8 Diffusion im leitenden Block (Laplace-Transformation) Q9 Diffusion im leitenden Block (Bernoulliansatz) . . . . . . . Q10∗ Leitende Platten im transienten Magnetfeld . . . . . . . . . . Q11 Abschirmung durch leitende Kugelschalen . . . . . . . . . . . Q12 Schirmung einer HF-Spule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Q13 Dünnwandiger Rechteckzylinder im homogenen, magnetischen Wechselfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Q14∗ Doppelleitung über einer leitenden Platte . . . . . . . . . . . . Q15∗ Bewegte Doppelleitung über einer leitenden Platte (Levitation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Q16∗ Wirbelstromkanone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ergänzungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

143 143 143 144 144 145 145 145 147 149 150 153 155 158 161 164 165 170 174

Beliebig zeitveränderliche Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zusammenfassung wichtiger Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grundlegende Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Homogene Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Komplexe Dielektrizitätskonstante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Poyntingscher Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ebene Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

195 195 195 196 196 196 197

176 177 181 186 190

X

Inhaltsverzeichnis

Retardierte Potentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 Hertzscher Dipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 Geführte Wellen in Hohlleitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 W1 Anpassung von Leitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 W2 Ebene Welle, elliptische Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . 202 W3 Reflexion am geschichteten Medium . . . . . . . . . . . . . . . . 206 W4 Unterdrückung von Radarechos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 W5 Hertzscher Dipol vor einer leitenden Ecke . . . . . . . . . . . . 211 W6 Phased Array mit Hertzschen Dipolen . . . . . . . . . . . . . . . 213 W7∗ Gruppenstrahler mit λ/2-Dipolen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 W8 Strahlung eines ringförmigen Stromes . . . . . . . . . . . . . . . 219 W9 Verluste in einer Parallelplattenleitung . . . . . . . . . . . . . . 221 W10 Parallelplattenleitung mit Dielektrikum . . . . . . . . . . . . . 223 W11 Rechteckhohlleiter mit Anregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 W12 Wellen im Koaxialkabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 W13 Rundhohlleiter mit dielektrischer Schicht auf der Wand 233 W14∗ Rechteckresonator mit Anregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 W15∗ Dielektrischer Resonator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 W16∗ Cerenkov-Strahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 W17 Komplexer Energiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 W18 Innerer Wechselstromwiderstand eines Leiters . . . . . . . . 248 Ergänzungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

1. Elektrostatische Felder

E

Zusammenfassung wichtiger Formeln Die Elektrostatik beschäftigt sich mit den Feldern zeitlich konstanter Ladungsverteilungen. Die Grundlage dafür ist die Coulomb-Kraft K = QE ,

(1.1)

welche die Kraft auf eine punktförmige Ladung Q im äußeren elektrischen Feld E angibt. Handelt es sich bei der felderzeugenden Ladung ebenfalls um eine Punktladung Q, dann ist deren elektrische Feldstärke As Q R , (1.2) E= , ε0 = 8.854 · 10−12 4πε0 R3 Vm wobei der Vektor R von der Punktladung zum betrachteten Aufpunkt weist. (1.2) stellt eine Art Grundbaustein des elektrischen Feldes dar, da sich das Feld jeder verteilten Ladungsanordnung daraus durch Superposition ergibt. Grundgleichungen im Vakuum Die Grundgleichungen der Elektrostatik stellen Spezialfälle der Maxwellschen Gleichungen dar und lauten in differentieller bzw. integraler Form
∇×E =0 , E · ds = 0 
S (1.3) qV ∇·E = , ε0 E · dO = qV dV = Qgesamt . ε0 O V qV ist die räumliche Dichte der Ladungsverteilung. Das Oberflächenintegral in (1.3), das sogenannte Gaußsche Gesetz der Elektrostatik, steht für alle möglichen Ladungen in V und kann in einigen hochsymmetrischen Fällen, in denen E unabhängig von den Integrationsvariablen ist, direkt zur Feldberechnung verwendet werden (siehe z.B. Aufg. E5). Das elektrostatische Feld ist konservativ und somit aus einer skalaren Ortsfunktion, dem sogenannten Potential φ, bestimmbar E = −∇φ .

(1.4)

2

1. Elektrostatische Felder

Elementare Feldquellen Zwei weitere wichtige Grundbausteine neben der Punktladung stellen der Dipol (Dipolmoment pe ) sowie die unendlich lange, gerade Linienladung (Dichte qL ) dar, Abb. 1.1. a)

R

P

b)

Q

+Q d

R

P

qL

c)

pe = lim Q · d −Q

Q→∞ d→0

R

P

Abb. 1.1. Elementare Feldquellen. (a) Punktladung. (b) Elektrostatischer Dipol. (c) Unendlich lange, gerade Linienladung

Die Potentiale dieser Elementarquellen sind Q 4πε0 R 1 pe · R φ= 4πε0 R3 qL R φ=− ln 2πε0 R0

φ=

für die Punktladung ,

(1.5a)

für den Dipol ,

(1.5b)

für die Linienladung ,

(1.5c)

und die entsprechenden Feldstärken ergeben sich nach (1.4) durch Differentiation. Der bei der unendlich langen Linienladung eingeführte Referenzabstand R0 sorgt für ein dimensionsloses Argument des Logarithmus und hat keinen Einfluss auf das Feld. Analog zum räumlichen Dipol lässt sich auch ein „Liniendipol“ als zweidimensionale Elementarquelle einführen (siehe Aufg. E8). Superposition Das Feld einer gegebenen Ladungsverteilung lässt sich durch Überlagerung der Beiträge infinitesimal kleiner Ladungselemente bestimmen. Dabei ist es zweckmäßig, neben Raumladungen (Dichte qV ) auch Flächenladungen (Dichte qF ) und Linienladungen (Dichte qL ) zuzulassen, Abb. 1.2. Deren Potentiale lauten:     (Linienladung)  qL (r ) ds 1 1    dq , dq = qF (r ) dF  (Flächenladung) (1.6) φ(r) =  4πε0 R  qV (r  ) dV  (Raumladung) Das elektrische Feld folgt aus (1.4) und ∇(1/R) = −R/R3 .

Zusammenfassung wichtiger Formeln

a)

b) Linie S

qL

qF



ds r

R




0

r

P

3

c) Volumen V

Fläche F

dF  r
0

dV 

qV R r

R

P r 0




P

r

Abb. 1.2. Ladungsverteilungen. (a) Linienladung. (b) Flächenladung. (c) Raumladung

Materie im elektrischen Feld Bringt man materielle Körper in ein elektrisches Feld ein, so verändert sich dieses in der Regel. Man unterscheidet grundsätzlich leitende und nichtleitende (polarisierbare) Materie. Leitende Materie: Im Leiter verschwindet die elektrische Feldstärke und die Leiteroberfläche stellt eine Äquipotentialfläche dar. Die Ladungen sind frei beweglich und nur auf der Oberfläche vorhanden. Polarisierbare Materie: Der Einfluss eines polarisierbaren Mediums auf das elektrische Feld hat seinen Ursprung in der atomaren Dipolverteilung des Materials, die makroskopisch durch die Polarisation P (Dipolmomentendichte) beschrieben wird. Für polarisierbare Materie wird neben der elektrischen Feldstärke zusätzlich die elektrische Verschiebung D eingeführt und es gilt  ε0 E + P (1.7) ∇ · D = qV , D = ε0 εr E , wenn P ∼ E . εr ist die relative Dielektrizitätskonstante eines linearen Mediums. Ein polarisierter Körper kann alternativ auch durch sogenannte Polarisationsraum- und flächenladungen beschrieben werden  (1.8) qV pol = −∇ · P , qF pol = n · P Oberfl¨ache . Dabei ist n die Flächennormale des polarisierten Körpers. Differentialgleichungen für das Potential In Gebieten mit konstanter Dielektrizitätskonstanten ε erfüllt das elektrostatische Potential φ die Poisson-Gleichung qV ∇2 φ = − (1.9) ε bzw. bei Raumladungsfreiheit die Laplace-Gleichung ∇2 φ = 0 .

(1.10)

Diese partiellen Differentialgleichungen bilden in Verbindung mit den Randund Stetigkeitsbedingungen den Ausgangspunkt einer elektrostatischen Randwertaufgabe.

4

1. Elektrostatische Felder

Rand- und Stetigkeitsbedingungen Oberflächen leitender Körper sowie Sprungstellen der Dielektrizitätskonstanten geben Anlass zu Unstetigkeiten der elektrischen Feldverteilung, Abb. 1.3. E a)

n

b)

E2

n

F ε

ε2

E1

F Leiter E=0

ε1 Abb. 1.3. (a) Sprungstelle der Dielektrizitätskonstanten. (b) Oberfläche eines leitenden Körpers

Auf der Leiteroberfläche gelten die Randbedingungen   n × E F = 0 , εn · E F = qF

(1.11)

und am Übergang ε1 /ε2 die Stetigkeitsbedingungen



n × E 2 − E 1 F = 0 , n · D2 − D1 F = 0 .

(1.12)

Damit ist an der Grenzfläche die Tangentialkomponente der elektrischen Feldstärke stetig und die Normalkomponente unstetig. qF in (1.11) ist die influenzierte Oberflächenladung des leitenden Körpers in Abb. 1.3b. Befindet sich auf der Trennfläche in Abb. 1.3a zusätzlich eine freie Flächenladung qF , so gilt anstelle von (1.12)



n × E 2 − E 1 F = 0 , n · D 2 − D 1 F = qF . (1.13) Elektrische Feldenergie Im elektrischen Feld ist die Energie We gespeichert. Sie lässt sich für verschiedene Anordnungen folgendermaßen berechnen: 1  E · D dV (allgemein)    2 V      1   qV φ dV (räumliche Ladungsverteilung)  2 V (1.14) We = 1   Qφ (Leiter mit Ladung Q und Potential φ)    2     Qφ (potentielle Energie einer Punktladung   im Potentialfeld φ)

Zusammenfassung wichtiger Formeln

5

Elektrischer Fluss Der elektrische Fluss durch eine Fläche F ist als Flächenintegral  ψe = D · dF

(1.15)

F

definiert. Nach dem Gaußschen Gesetz ist der von einer Ladungsverteilung ausgehende Gesamtfluss identisch mit der Gesamtladung der Ladungsverteilung. Der Fluss spielt eine wichtige Rolle bei der Berechnung von Feldlinien, da diese die Bewandung sogenannter Flussröhren bilden. Die prinzipielle Vorgehensweise wird u.a. in den Aufgaben E13∗ und E22 erläutert. Im Falle rotationssymmetrischer Felder erhält man die Feldlinien im ladungsfreien Gebiet durch Lösung der Gleichung ψe =const.. Handelt es sich dagegen um ebene, d.h. von einer geradlinigen Koordinate unabhängige Felder, so hält man den Fluss ψe pro Längeneinheit konstant. Kapazität Die Kapazität eines Kondensators bestehend aus zwei Elektroden, Abb. 1.4a, ist ψe Q Q = , (1.16) C= = φ1 − φ2 U U wobei Q und φ1 Ladung und Potential der Elektrode 1 darstellen, während die Elektrode 2 die entgegengesetzte Ladung −Q und das Potential φ2 aufweist. ψe ist der von der Elektrode 1 ausgehende und in die Elektrode 2 einmündende Gesamtfluss. Bei Mehrleitersystemen, Abb. 1.4b, bestimmt man die Teilkapazitäten Cij aus den Kapazitätskoeffizienten kij       n k11 k12 · · · k1n φ1 Q1   Q2   k21 k22 · · · k2n   φ2  Ci∞ = kij       ,  . = . .. . . ..  ·  ..  . (1.17) j=1  ..   .. . . .   .  Cij = −kij Qn φn kn1 kn2 · · · knn

a)

b) Ci∞ Q φ1

−Q C

U = φ1 − φ2

φ2

φi

Cij

Qj

φj

Qi

φn Qn

φ1

Abb. 1.4. (a) Kondensator. (b) Mehrleitersystem

Q1 φ=0

6

1. Elektrostatische Felder

Kräfte im elektrischen Feld Die Kraft auf vorgegebene Ladungen kann mit (1.1) berechnet werden. Ansonsten kann auch das Prinzip der virtuellen Verrückung verwendet werden δWe konstanter Ladung bei (1.18) konstanter Spannung , δs bei der ein Körper um eine virtuelle Strecke δs verschoben und die dabei auftretende Energieänderung δWe ermittelt wird. An leitenden Oberflächen bzw. dielektrischen Grenzflächen, Abb. 1.3, gilt für die Flächendichte der Kraft  2 (Leiter) 1 εE  (1.19) K =n 2 (ε1 − ε2 ) (E 1 · E 2 ) (Trennfläche ε1 /ε2 ) . Ks = ±

Spiegelungsverfahren In einigen (leider nur wenigen) Fällen ist es möglich, das sekundäre Feld eines leitenden oder dielektrischen Körpers bei Einwirkung eines primären elektrischen Feldes mit Hilfe von Ersatzladungen, sogenannten Spiegelladungen, zu beschreiben. a)

b)

φ=0 a

Q∗ = −

a

Q

a Q c

Q

c∗ = a2 /c c

c

Abb. 1.5. Spiegelung einer Punktladung an einer leitenden, geerdeten Kugel. (a) Originalanordnung, (b) Ersatzanordnung

Q

a) h

Q

b)

(1 − k)Q

c)

ε1

h

ε1

ε2

h

ε1

h

ε1

ε1 ε2 − ε1 −kQ k= ε2 + ε1 Abb. 1.6. Spiegelung einer Punktladung an einem dielektrischen Halbraum. (a) Originalanordnung. (b) Ersatzanordnung für das Potential im oberen Halbraum. (c) Ersatzanordnung für das Potential im unteren Halbraum

Aufgabe E1

7

Die Abbildungen 1.5 und 1.6 zeigen dies am Beispiel einer leitenden, geerdeten Kugel und am dielektrischen Halbraum. Abb. 1.6 gilt im Grenzfall ε2 → ∞ auch für den leitenden Halbraum. Am dielektrischen Zylinder ist eine Spiegelung ebenfalls möglich, allerdings nur für unendlich lange, ebene Quellen (siehe Aufg. E15).

Aufgaben E1 Kraftberechnung mit dem Coulombschen Gesetz Bestimme die Gleichgewichtslage zwischen zwei punktförmig anzunehmenden Ladungen Q und q, wobei die Ladung Q fest im Raum angebracht ist, und die Ladung q mit einer starren Verbindung der Länge b beweglich um den Ursprung gelagert sein soll, Abb. 1.7. Auf die Ladung q wirke die Gewichtskraft G, die gleich sein soll der Coulombschen Anziehungskraft zwischen zwei Ladungen Q und q im gegenseitigen Abstand a.

ϑ

b

a

q c

Q

G

Abb. 1.7. Anordnung der beiden Punktladungen Q (fest) und q (beweglich)

Lösung: Im Gleichgewicht gilt für das Drehmoment b × (K + G) = 0 mit K=

Qq b − a Qq c = 4πε0 c3 4πε0 c3

nach (1.1) und (1.2). Die Gewichtskraft zeigt in Richtung des Vektors a und kann daher in der Form Qq a G= 4πε0 a3 geschrieben werden. Die Gleichgewichtsbedingung lautet jetzt   b−a Qq a b × (K + G) = b× + =0. 4πε0 c3 a3 Nach Auflösen des Kreuzproduktes wird daraus   ab ab Qq − 3 sin ϑ ez = 0 4πε0 c3 a

8

1. Elektrostatische Felder

mit den Lösungen ϑ = 0, ϑ = π und c2 = a2 . Mit dem Kosinussatz c2 = a2 + b2 − 2ab cos ϑ ergibt sich daraus die stabile Gleichgewichtslage ϑ = arccos(b/2a). E2 Superposition von Ladungen Welche Kraft wirkt auf eine Punktladung Q am Ort (x, y, z) = (0, a, 0), wenn auf der x-Achse a) zwei gleichnamige, homogene, kugelförmige Raumladungen der Dichte qV oder b) zwei ungleichnamige, homogene, kugelförmige Raumladungen der Dichte ±qV in den Punkten x = ±a angeordnet sind? Der Radius der Raumladungen sei r. y Q

a

±qV

qV r

r 2a

x Abb. 1.8. Punktladung im Felde zweier kugelförmiger Raumladungen

Lösung: Da das Feld der Raumladungen nur außerhalb benötigt wird, können diese wie Punktladungen betrachtet werden, die jeweils im Kugelmittelpunkt anzuordnen sind und folgenden Betrag aufweisen: 4 π r3 . 3 Im Falle a) wird sich aus Symmetriegründen nur eine y-Komponente der Kraft (a) (b) ausbilden K (a) = Ky ey und im Falle b) eine x-Komponente K (b) = Kx ex . Mit dem Abstandsvektor R = −a ex + a ey vom Mittelpunkt der rechten Raumladung zur Punktladung wird dann nach (1.1) und (1.2) Qk = qV

Ky(a) = 2

QQk ey · R QQk = √ , 3 4πε0 R 4 2πε0 a2

Kx(b) = Ky(a) .

E3 Unendlich lange, gerade Linienladungen Zwei unendlich lange, gerade, homogene Linienladungen qL1 und qL2 stehen sich in allgemeiner Lage gegenüber. Ihre kürzeste Entfernung voneinander sei h und die beiden Ladungen seien um den Winkel α = 0 aus einer parallelen Ausrichtung heraus verdreht, Abb. 1.9. Bestimme die Kraft zwischen den Ladungen.

Aufgabe E4

9

y s qL2 α h

x

qL1

z Abb. 1.9. Zur Bestimmung der Kraftwirkung zwischen zwei unendlich langen, geraden Linienladungen

Lösung: Die Linienladung qL1 erzeugt nach (1.4), (1.5c) das elektrische Feld   qL1 R qL1 x ex + y ey qL1 R E 1 = −∇ − ln = . = 2πε0 R0 2πε0 R2 2πε0 x2 + y 2 Mit x = s sin α und y = h ergibt sich daraus für die aus Symmetriegründen allein benötigte y-Komponente der Feldstärke am Ort der Linienladung qL2 E1y (s) =

h qL1 . 2πε0 s2 sin2 α + h2

Nach dem Coulombschen Gesetz (1.1) erhalten wir die Kraft auf die Linienladung qL2 , indem die eben berechnete Feldstärke am Ort s mit dem Ladungselement qL2 ds multipliziert und über die gesamte Länge integriert wird, d.h. ∞ ∞ ds qL1 qL2 h K = ey qL2 E1y (s) ds = = 2 2 2πε0 s sin α + h2 −∞ −∞ a qL1 qL2 s sin α  qL1 qL2 1 lim arctan ey . = = ey πε0 sin α a→∞ h 0 2ε0 sin α

E4 Kreisförmige Flächenladung Im kartesischen Koordinatensystem sei die Fläche x2 + y 2 ≤ a2 der Ebene z = 0 homogen mit der Gesamtladung Q belegt, Abb. 1.10. Zu bestimmen ist die Kraft auf eine Punktladung Q, die im Abstand c von der Flächenladung auf der z-Achse angeordnet ist. Überprüfe das Ergebnis außerdem für den Fall c  a.

10

1. Elektrostatische Felder z Q

qF

R

c y

Abb. 1.10. Punktladung über einer kreisförmigen Flächenladung

a

x

Lösung: Die vorliegende Anordnung ist rotationssymmetrisch, so dass die Rotationsachse (z-Achse) naturgemäß eine Feldlinie darstellt und daher nach (1.1) nur eine Kraft in z-Richtung auftreten wird, F = ez Fz = ez QEz . Der elementare Kraftbeitrag am Ort der Punktladung infolge der differentiellen Ladung dq = qF dF  beträgt zunächst nach (1.2) dKz = Q

qF dF  ez · R 4πε0 R3

,

qF =

Q πa2

mit dF  =  d  dϕ und R = ez c − e

 , so dass man für die resultierende Kraft den Ausdruck a 2π c Q2 1 Kz =  d  dϕ = 4πε0 πa2 (c2 + 2 )3/2

=0 ϕ
=0

a  2 c c Q     d =  = 2 2 2πε0 a2 (c2 + 2 )3/2 c + 0 0   Q2 1 = 1−  2πε0 a2 1 + a2 /c2 Q2 = 2πε0 a2

a

erhält, welcher wie zu erwarten stets positive Werte liefert. Für große Entfernungen c  a muss die Kraft dem Wert zustreben, der sich ergibt, wenn man die Flächenladung als Punktladung im Ursprung konzentriert annimmt. Entwickelt man also den reziproken Wurzelausdruck in eine Taylor-Reihe und bricht nach dem linearen Glied ab 

1 1+

a2 /c2

≈1−

1 a2 2 c2

für

so erhält man schließlich Kz ≈

a

1 , c

Q2 für c  a, q.e.d.. 4πε0 c2

E5 Feldberechnung mit dem Gaußschen Gesetz In einer Kugel vom Radius a herrsche eine homogene Raumladungsdichte qV mit Ausnahme einer hohlkugelförmigen Region vom Radius b < a, deren

Aufgabe E5

11

Mittelpunkt vom Zentrum der Kugel den Abstand d aufweise, Abb. 1.11. Man bestimme die elektrische Feldstärke innerhalb der hohlkugelförmigen Region.

P r2 b

r1 a

d

qV Abb. 1.11. Kugelförmiger Hohlraum in einer Raumladungskugel

Lösung: Nach dem Superpositionsprinzip kann man sich das elektrische Feld im kugelförmigen Hohlraum als die Überlagerung E = E 1 − E 2 vorstellen, wobei E 1 das Feld einer homogenen Raumladungskugel mit dem Radius a und der Raumladungsdichte qV ist, während E 2 das Feld einer homogenen Raumladungskugel ist, die den Bereich des Hohlraumes ausfüllt und ebenfalls die Raumladungsdichte qV aufweist. Die Anwendung des Gaußschen Gesetzes, d.h. des Oberflächenintegrals in (1.3), für eine Kugeloberfläche mit dem Radius r1 liefert 2ππ

2ππ r1 Er1 (r1 ) r12

ε0 0

r2 sin ϑ dr dϑ dϕ .

sin ϑ dϑ dϕ = qV

0

0

0

0

Daraus folgt 4πε0 r12 Er1 (r1 ) = qV

4 π r13 3

→

E1 =

qV r1 . 3ε0

Der Beitrag der im Hohlraum angebrachten Raumladung kann dann sofort in völlig analoger Weise gefunden werden qV r2 . E2 = 3ε0 Wie man dem Bild entnehmen kann, gilt r 1 − r 2 = d, wobei d ein Vektor mit dem Betrag d ist, der vom Mittelpunkt der großen zum Mittelpunkt der kleinen Kugel weist. Damit ergibt sich resultierend des Gesamtfeld qV d E = E1 − E2 = 3ε0

12

1. Elektrostatische Felder

und wir halten fest, dass im Hohlraum ein homogenes elektrisches Feld herrscht, das in Richtung der Verbindungsachse der beiden Kugelmittelpunkte weist. E6 Halbkugelförmige Raumladung, Ladungsschwerpunkt Gegeben ist eine halbkugelförmige, homogene Raumladung mit dem Radius a und der Gesamtladung Q, Abb. 1.12. a) Wo liegt der Ladungsschwerpunkt der Anordnung? b) Berechne die elektrische Feldstärke auf der Rotationsachse und überprüfe das Ergebnis mit Hilfe der Feldstärke einer vollen Raumladungskugel. c) Zeige, dass die Raumladung in großen Entfernungen z  a durch eine Punktladung im Ladungsschwerpunkt ersetzt werden darf. z P qV

dV

r

dϑ

R

ϑ

ϕ

dr r sin ϑ

a 

Abb. 1.12. Schnitt durch eine halbkugelförmige, homogene Raumladung. Dargestellt ist außerdem das ringförmige Volumenelement zur Berechnung der elektrischen Feldstärke

Lösung: a) Aufgrund der rotationssymmetrischen Ladungsanordnung kann der Schwerpunkt nur auf der Rotationsachse liegen. Seine z-Koordinate wird dabei (ebenso wie der Masseschwerpunkt eines Körpers) in der Form 1 zs = ez · r s = V



2π (ez · r) dV = V

π/2a (r cos ϑ)r2 sin ϑ dr dϑ 0

0

ermittelt. Die radiale Integration gestaltet sich elementar, und die Integration über den Winkel ϑ liefert mit der Substitution u = sin ϑ, du/dϑ = cos ϑ π/2 1 1 cos ϑ sin ϑ dϑ = u du = 2 0

→

zS =

3 a. 8

0

b) Zur Bestimmung des Achsenfeldes wird ein ringförmiges Volumenelement betrachtet, Abb. 1.12. Das Feld im betrachteten Aufpunkt lautet dann

Aufgabe E6

1 Q Ez (P ) = 4πε0 V



ez · R dV R3

,

13

dV = 2πr2 sin ϑ dr dϑ V = 23 πa3 .

Aus dem Bild lassen sich die geometrischen Zusammenhänge z  = r cos ϑ, √  R = − e
+ (z − z ) ez und R = r2 + z 2 − 2rz cos ϑ ablesen, mit deren Hilfe das angegebene allgemeine Integral in eine auswertbare Form gebracht werden kann Ez (P ) 3 = E0 a

π/2a 0

0

(z − r cos ϑ) sin ϑ r2 dr dϑ (r2 + z 2 − 2rz cos ϑ)3/2

,

E0 =

Q . 4πε0 a2

Substituiert man u = cos ϑ, so wird daraus 3 Ez (P ) = E0 a

a 1  0

0

 zr2 r3 u − du dr R3 R3

und nach Durchführung der Integration1 über u   a  1   1 a  1 Ez (P ) r 3  r2 + z 2 . = r dr − dr R +  E0 a  R u=0 2z 2 R u=0 0

0

√ Das Integral vereinfacht sich mit R(u = 0) = r2 + z 2 , R(u = 1) = |r − z| zu  a  2 r (z − r) r3 3 Ez (P ) √ + = 2 dr . E0 az |z − r| r2 + z 2 0

Die Integration des ersten Summanden ist elementar, erfordert aber eine sorgfältige Fallunterscheidung z  2 a 2    r dr − r dr , 0 ≤ z ≤ a   z  a 2  0 a r (z − r) , z≥a dr = + r2 dr  |z − r| 0   a 0    , z≤0,  − r2 dr 0

während die Integration des zweiten Summanden auf das Ergebnis   3 1 2 r3 √ dr = r + z 2 − z 2 r2 + z 2 3 r2 + z 2 führt2 . Schlussendlich erhalten wir damit für das elektrische Feld auf der gesamten Rotationsachse die Darstellung 1 2

siehe z.B. [Bronstein] Integral Nr. 136 siehe z.B. [Bronstein] Integral Nr. 195

14

1. Elektrostatische Felder

 z a2   4 − 2 , 0≤z≤a   a z       2 Ez (z) z2 a a2 z (1.20) = 1+ 2 −2 + + 2 , z≥a 2  E0 a z a z2    2    −2 z − a , z≤0. a z2 Das elektrische Feld Ez,v einer vollen Raumladungskugel lässt sich nach dem Superpositionsprinzip aus dem Feld zweier Halbkugeln zusammensetzen. Dann ergibt sich nach sorgfältigem Einsetzen des Resultates (1.20) z  , |z| ≤ a   1 a Ez (z) − Ez (−z) = E0 Ez,v (z) = z  2  a2 3 , |z| ≥ a . |z| Zu diesem Ergebnis gelangt man selbstverständlich auch durch die übliche Vorgehensweise mit Hilfe des Gaussschen Gesetzes. c) Um zu zeigen, dass die Halbkugel in großen Entfernungen durch eine Punktladung im Ladungsschwerpunkt ersetzt werden darf, wird die im Resultat (1.20) auftretende Wurzel nach Taylor in eine Potenzreihe für a/z entwickelt und nach dem 3. Glied abgebrochen   z  1 a2 z2 1 a4   1+ 2 =  1+ − + ... . a a 2 z2 8 z4 Nach Einsetzen und Berücksichtigung von Gliedern bis zur Ordnung a3 /z 3 erhält man die Approximation    −2 a2 a2 Ez (z  a) 6 a 3 a a2 ≈ 2 1+ = (1.21) ≈ 2 1− 2 , E0 z 8 z z 8 z (z − zS ) die dem elektrischen Feld einer im Ladungsschwerpunkt zS angebrachten Punktladung entspricht. 2 1

Ez E0 Ladungsschwerpunkt

0 −1

z/a = 3/8 −2 −3

−2

−1

0

1

z/a −→

2

3

Abb. 1.13. Elektrische Feldstärke entlang der Rotationsachse. Die durchgezogene Kurve gibt den exakten Verlauf wieder, die gestrichelte Kurve gilt für die Approximation durch eine im Ladungsschwerpunkt angebrachte Punktladung

Aufgabe E7

15

Abb. 1.13 zeigt die Näherungslösung (1.21) im Vergleich zum exakten Verlauf (1.20). Verständlicherweise ist die Approximation für z > a besser als für z < 0. E7 Lineare Dipolverteilung Berechne die elektrische Feldstärke einer auf der z-Achse im Bereich |z| ≤ a homogen mit der Dichte pL = pL ez verteilten Dipolanordnung. Wie kann man das Ergebnis deuten? z

P

R1

a R

dz 

R2  pL −a

Abb. 1.14. Lineare Dipolverteilung auf der z-Achse und Festlegung eines Elementardipols der Länge dz 

ϕ

Lösung: Ein Element der Dipolverteilung hat das differentielle Moment dpe = pL dz  ez und das Potential im Aufpunkt P ist somit nach (1.5b) pL φ= 4πε0

a −a

ez · R  dz . R3

Mit R = (z − z  ) ez + e
und R = pL φ= 4πε0

a

z − z 3

−a

[(z − z  )2 + 2 ] 2



(z − z  )2 + 2 wird daraus

dz 

oder nach Substitution u = (z − z  )2 + 2 , du = −2(z − z  )dz  pL φ=− 8πε0

→

φ=

2 2 (z−a)  +


u (z+a)2 +
2

pL 4πε0



− 32

(z−a)2 +
2 pL 1  √ du = 4πε0 u (z+a)2 +
2

1 1 − R1 R2

 ,

R1,2 =



(z ∓ a)2 + 2 .

16

1. Elektrostatische Felder

Daraus ergibt sich das elektrische Feld mit E = −∇φ zu   R1 R2 pL − E= . 4πε0 R13 R23 Dies ist aber nichts anderes als das elektrische Feld zweier Punktladungen ±Q = ±pL an den Enden der Dipolverteilung! E8 Elektrischer Liniendipol Bestimme das Potential eines sogenannten Liniendipols, bestehend aus zwei unendlich langen, homogenen Linienladungen ±qL , die sich im sehr kleinen Abstand δs parallel gegenüberstehen. Das Produkt qL · δs mit qL → ∞, δs → 0 definiert dabei das Dipolmoment des Liniendipols q · δs . pL = q lim →∞ L L

δs→0

y R − δs

P

+qL δs

pL −qL

R x

Abb. 1.15. Zwei parallel zur z-Achse verlaufende Linienladungen im kleinen Abstand δs zueinander

Lösung: Das Potential der beiden Linienladungen ist nach (1.5c) φ(x, y) =

R qL R + δR qL ln − ln = φ1 − (φ1 + δφ1 ) = −δφ1 . 2πε0 R0 2πε0 R0 ! "# $ ! "# $ φ1 φ1 + δφ1

Andererseits gilt, wenn δs klein ist, φ1 (R − δs) ≈ φ1 (R) − ∇φ1 · δs

→

δφ1 ≈ −∇φ1 · δs .

Daraus folgt schließlich im Grenzfall δs → 0, qL → ∞   qL R 1 pL · R φ(x, y) = δs · ∇ ln . → φ= 2πε0 R0 2πε0 R2

(1.22)

Man beachte, dass die Beziehung für das Potential des Liniendipols koordinatenunabhängig ist.

Aufgabe E9

17

E9 Dipolverteilung auf einer Fläche (Doppelschicht) In der Höhe h über der Erdoberfläche befinde sich eine langgestreckte Gewitterwolke der Breite 2a. Als Modell nehme man am Ort der Wolke Dipole an, die gemäß Abb. 1.16b mit der Flächendichte pF homogen verteilt sind. Berechne das elektrische Feld auf der Erdoberfläche für den Fall, dass die Länge der Gewitterwolke sehr viel größer als die Breite 2a ist (ebenes Problem). y

a)

y

b) 2a pF

h

R1

h x

Erdboden

dx

−a h

pF

a

x

Abb. 1.16. (a) Langgestreckte Gewitterwolke über dem Erdboden. (b) Homogene Doppelschichten als Ersatzanordnung

Lösung: Der Einfluss des Erdbodens wird durch Spiegelung der Doppelschicht an der Ebene y = 0 erfasst, wodurch diese zur Äquipotentialfläche φ = 0 wird, Abb. 1.16b. Der differentielle Potentialbeitrag eines infinitesimalen Liniendipols des Momentes dpL = pF dx , der sich am Ort x = x und y = h befindet, ist dann nach (1.22) mit R = (y − h) ey + (x − x ) ex dφ(x, y) =

y−h dpL ey · R dpL = . 2πε0 R2 2πε0 (x − x )2 + (h − y)2

Das elektrische Feld besitzt auf der Erdoberfläche mit R = R1 , siehe Abb. 1.16b, nur eine y-Komponente. Sie ergibt sich durch Differentiation des Potentials nach y   dpL (h − y)2 1 −2 = dEy = − 2 2πε0 (x − x )2 + (h − y)2 [(x − x )2 + (h − y)2 ] =−

dpL (x − x )2 − (h − y)2 . 2πε0 [(x − x )2 + (h − y)2 ]2

Das resultierende Gesamtfeld der oberen Doppelschicht erhält man durch Integration der differentiellen Feldbeiträge. Die gespiegelte Doppelschicht erzeugt aus Symmetriegründen denselben Feldbeitrag, so dass noch ein Faktor 2 zu berücksichtigen ist pF Ey (x, y = 0) = − πε0

a −a

a  x − x pF  2 dx = − πε (x − x )2 + h2   2 2 0 [(x − x ) + h ] −a (x − x )2 − h2



18

1. Elektrostatische Felder

→

Ey (x, y = 0) =

−→

3

pF πε0



x+a x−a − (x + a)2 + h2 (x − a)2 + h2

 .

h/a = 0.2 0.4

2

Ey E0 1

0.6

0 −1 −2

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

x/a −→

Abb. 1.17. Elektrische Feldstärke auf dem Erdboden. Aus Symmetriegründen wurde nur der Verlauf im Bereich x > 0 dargestellt

Abb. 1.17 zeigt die Feldstärke in der Ebene y = 0, während in Abb. 1.18 die Feldlinien dargestellt wurden. Dort gibt es zwei singuläre Punkte S auf der Erdoberfläche, in denen die Feldstärke verschwindet und die Feldlinien unter einem Winkel von 45o einmünden. Für die Berechnung der Feldlinien kann man übrigens die Gleichung (3.44) in Aufg. M10 mit k = 1 verwenden. Denn die elektrische Feldlinien einer elektrischen Doppelschicht entsprechen vollkommen den magnetischen Feldlinien einer magnetischen Doppelschicht.

S

S

Abb. 1.18. Verlauf der elektrischen Feldlinien

E10 Feldreduzierende Wirkung eines Erdseils Freileitungen werden im besonderen Maße den hohen elektrischen Feldern vorbeiziehender Gewitter ausgesetzt. Sie müssen also vor Überspannungen

Aufgabe E10

19

geschützt werden. Dies wird erreicht, indem an den Mastspitzen ein allseits gut geerdeter Draht, das sogenannte Erdseil, aufgehängt wird. a) Wie lässt sich qualitativ die feldreduzierende Wirkung eines geerdeten Leiters erklären? b) Berechne anhand eines idealisierten Modells den Feldverlauf zwischen Gewitterwolke und Erdboden. Das elektrische Feld wird dabei als homogen angenommen und das Erdseil durch einen unendlich langen, geraden, dünnen Leiter mit dem Radius a approximiert, Abb. 1.19. y

a)

y

b)



E

a

qL

A

r h

A

h

x Erdboden

P

R1 R2

x

h −qL

Abb. 1.19. (a) Geerdeter Draht im homogenen Feld über einem leitenden Halbraum. (b) Spiegelung der Erdseilladung am leitenden Halbraum

Lösung: a) Wir betrachten zunächst einen isolierten Leiter zwischen Wolke und Erde Abb. 1.20a. a)

b)

E

E

Abb. 1.20. (a) Isolierter Leiter zwischen Wolke und Erdboden. (b) Geerdeter Leiter zwischen Wolke und Erdboden

Der Leiter konzentriert das Feld in seiner Umgebung und seine Oberflächenladungen werden sich wie im Bild angedeutet polarisieren. Erden wir nun den Leiter, Abb. 1.20b, so fließen negative Ladungen zur Erde ab und es entsteht im unteren Bereich eine Zone verminderter elektrischer Feldstärke.

20

1. Elektrostatische Felder

b) Zunächst wird die Erdseilladung qL an der Erdoberfläche gespiegelt, so dass die Ersatzanordnung nach Abb. 1.19b entsteht, bei der das Potential, so wie es sein muss, für y = 0 verschwindet. Das resultierende Potential im Aufpunkt P lautet  R1 qL ln − E0 y mit R1,2 = x2 + (y ∓ h)2 . φ(x, y) = − 2πε0 R2 Soll das Potential im Punkt A der Oberfläche des Erdseils, Abb. 1.19b, verschwinden, so erhält man daraus die bisher nicht bekannte Erdseilladung 0=−

a qL − E0 (h − a) ln 2πε0 2h − a

→

qL = 2πε0 E0

h−a ln(2h/a − 1)

und auf der y-Achse stellt sich das elektrische Feld     h−a 1 1 ∂φ(0, y) Ey (0, y) = − = E0 − +1 ∂y ln(2h/a − 1) y − h y + h →

h(h − a) 2 Ey (0, y) = +1 E0 ln(2h/a − 1) y 2 − h2

ein. In Abb. 1.21 sieht man den Verlauf des Potentials und der elektrischen Feldstärke auf der y-Achse der Anordnung. Deutlich ist die Feldüberhöhung am Ort des Erdseils zu erkennen. Das bedeutet, dass ein Blitz ins Erdseil und nicht in die darunter liegenden Leitungen einschlagen wird. 1.6

8

1.4

7 6

1.2

hom. Feld

|φ| E0 h

5

−→

−→

1.0 0.8

|E| E0

0.6 0.4

3 2

hom. Feld

1

0.2 0.0

4

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

y/h −→

1.2

1.4

1.6

0 0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

y/h −→

1.2

1.4

1.6

Abb. 1.21. (a) Potential und (b) elektrische Feldstärke entlang der y-Achse bei einem Abmessungsverhältnis a/h = 0.05

Natürlich wird das Potential genaugenommen nur im Punkt A der Leiteroberfläche verschwinden. Die Äquipotentialfläche φ = 0 um die Linienladung qL herum hat daher eine etwas andere Form als die Leiteroberfläche. So wird

Aufgabe E11

21

z.B. im Punkt A der Abb. 1.19b ein etwas von null verschiedenes Potential auftreten. Diese Abweichung fällt aber nur bei dickeren Leitern ins Gewicht, siehe Abb. 1.22. A idealer Kreis a

Abb. 1.22. Abweichung der Äquipotentialfläche φ = 0 von der idealen Kreisform für a/h = 0.05

A

E11 Äquipotentialflächen Im ansonsten homogenen Gesamtraum befinden sich zwei unendlich lange, homogene Linienladungen ±qL im Abstand 2a parallel zueinander, Abb. 1.23. Zeige, dass die Äquipotentialflächen der Anordnung kreiszylindrische Flächen sind und gib deren Radien und Mittelpunktslagen an. y R2

P R1

−qL

Abb. 1.23. Zur Berechnung des Potentials zweier unendlich langer Linienladungen

qL

−a

a

x

Lösung: Das Gesamtpotential der Anordnung lautet nach (1.5c) % x2 + y 2 + a2 + 2ax (x − a)2 + y 2 qL 1 qL ln . ln = φ(x, y) = − 2πε0 (x + a)2 + y 2 2πε0 2 x2 + y 2 + a2 − 2ax Mit der Abkürzung   φ(x, y) λ := exp φ0

,

φ0 =

qL 4πε0

wird daraus die Gleichung der Äquipotentialflächen

(1.23)

22

1. Elektrostatische Felder

λ=

x2 + y 2 + a2 + 2ax = const. x2 + y 2 + a2 − 2ax

und schließlich nach Umformen   2 2 λ+1 λ+1 λ+1 + a2 − a2 y 2 + x2 − 2ax +a2 = 0 λ−1 λ−1 λ−1 ! "# $ quadratische Ergänzung →

y 2 + (x − xm )2 = R2 .

(1.24)

Die gesuchten Äquipotentialflächen sind damit Kreiszylinder der Radien und Mittelpunkte √ 2a λ λ+1 R= , xm = a mit R2 = x2m − a2 . (1.25) |λ − 1| λ−1 Es handelt sich hier um sogenannte Apollonische Kreise. E12 Kapazität zwischen zylindrischen Leitern Berechne unter Verwendung des Ergebnisses in Aufgabe E11 den Kapazitätsbelag einer Doppelleitung bestehend aus kreiszylindrischen Leitern der Radien R1 und R2 im Abstand h > R1 + R2 , Abb. 1.24. y

φ = φ1 > 0

φ = φ2 < 0 R2

R1 −qL

qL

−a

a

|x2 |

x1 h

x

Abb. 1.24. Zwei kreiszylindrische Leiter und deren Ersatzlinienladungen

Lösung: In Aufg. E11 wurde festgestellt, dass zwei parallele, unendlich lange Linienladungen ±qL kreiszylindrische Äquipotentialflächen erzeugen. Auch die Oberflächen leitender Körper stellen bekanntlich Äquipotentialflächen dar. Das Feld zweier leitender Kreiszylinder mit den Potentialen φ1 und φ2 lässt sich also ersatzweise mit Hilfe zweier Linienladungen beschreiben, die gemäß Abb. 1.24 auf der x-Achse angeordnet sind und auf den jeweiligen Oberflächen ebenfalls die Potentiale φ1 und φ2 hervorrufen. Die Abb. 1.25 illustriert den eben dargestellten Sachverhalt noch einmal. Gezeigt werden

Aufgabe E12

23

dort die kreisförmigen Äquipotentialflächen nach (1.24), (1.25), wobei zwei davon durch leitende Zylinder ersetzt wurden.

φ1

φ2

Abb. 1.25. Äquipotentialflächen zweier kreiszylindrischer Leiter mit den Potentialen φ1 und φ2

Die Kapazität pro Längeneinheit lautet C =

qL qL /φ0 4πε0 , = = φ1 − φ2 φ1 /φ0 − φ2 /φ0 ln(λ1 /λ2 )

(1.26)

wobei die Abkürzung (1.23) verwendet wurde. Hinsichtlich der Vorzeichen gilt dabei φ1 > 0 φ2 < 0

→ →

λ1 > 1 λ2 < 1

→ →

x1 > 0 x2 < 0 .

In der Aufgabenstellung sind jedoch nicht die Größen x1 und x2 vorgegeben, sondern nur die Leiterabmessungen h, R1 und R2 . Mit Hilfe von (1.25) ergeben sich zunächst die Zusammenhänge  R12 = x21 − a2 → x21 − x22 = R12 − R22 R22 = x22 − a2 x1 − x2 = h

→

x21 = x22 + h2 + 2hx2 ,

nach deren Subtraktion x1 und x2 durch h, R1 und R2 ausgedrückt werden können   1 R22 − R12 (1.27) x2 = − h+ , x1 = h + x2 . 2 h

24

1. Elektrostatische Felder

Mit Hilfe von (1.25) lassen sich schließlich noch die zur Berechnung der Kapazität (1.26) benötigten Werte λ1 und λ2 angeben & x1,2 + a 2 , , a = x21,2 − R1,2 λ1,2 = x1,2 − a womit das Problem gelöst wäre. E13∗ Polarisierte Platte a) Eine unendlich ausgedehnte Platte der Dicke d habe die konstante Polarisierung P 0 . Wie groß ist die elektrische Feldstärke und die dielektrische Verschiebung innerhalb und außerhalb der Platte? b) Dieselbe Platte habe nun eine endliche Breite a, sei aber immer noch unendlich lang, Abb. 1.26. Bestimme das resultierende Feld im gesamten Raum. c) Gib die Gleichung der elektrischen Feldlinien sowie der dielektrischen Verschiebungslinien an und diskutiere die jeweiligen Verläufe. a)

y

b)

R+

+qF pol P0

d

d/2 −qF pol

R−

x x

d/2 a/2

a

P

a/2

Abb. 1.26. (a) Polarisierte Platte. (b) Ersatz der polarisierten Platte durch Polarisationsflächenladungen ±qF pol

Lösung: a) Die polarisierte Platte kann nach (1.8) durch zwei Polarisationsflächenladungen ±qF pol = ±P0 auf der Ober- bzw. Unterseite der Platte ersetzt werden. Da diese Flächenladungen unendlich ausgedehnt sind, heben sich ihre Beiträge zum Feld außerhalb der Platte gerade auf Ea = 0 ,

D a = ε0 E a = 0 .

Das Feld innerhalb der Platte kann man sich mit Hilfe von (1.7) und der Stetigkeitsbedingung (1.12) herleiten D i = D a = ε0 E i + P 0

→

E i = −P 0 /ε0 .

b) Die Platte wird gemäß Abb. 1.26b durch ihre Polarisationsflächenladungen ±qF pol ersetzt. Da die Flächenladungen in z-Richtung unendlich ausgedehnt sind, entspricht ein herausgegriffenes Element der Breite dx einer Linienladung dqLpol = qF pol dx . Das Potential dieser Linienladung sowie der

Aufgabe E13∗

25

entsprechenden negativen Linienladung auf der gegenüberliegenden Seite ist nach (1.5c) und Abb. 1.26b %  2 P0 dx R+ d  2 dφ = − ln , R± = (x − x ) + y ∓ 2πε0 R− 2 und damit das resultierende Potential der gesamten Platte E0 φ(x, y) = 2

+a/2 

ln −a/2

(x − x )2 + (y + d/2)2  dx (x − x )2 + (y − d/2)2

mit

E0 =

P0 . 2πε0

Daraus folgen die Feldstärkekomponenten3 Ex = −∂φ/∂x und Ey = −∂φ/∂y Ex = E0

+a/2  

−a/2

1 ln 2

= Ey = E0



+a/2  

−a/2

= arctan

x − x x − x −  2 2  2 (x − x ) + (y − d/2) (x − x ) + (y + d/2)2



(x − a/2)2 + (y + d/2)2 (x + a/2)2 + (y − d/2)2 · (x − a/2)2 + (y − d/2)2 (x + a/2)2 + (y + d/2)2 y − d/2 y + d/2 − (x − x )2 + (y − d/2)2 (x − x )2 + (y + d/2)2



dx = 

dx =

x − a/2 x + a/2 x + a/2 x − a/2 − arctan − arctan + arctan . y + d/2 y − d/2 y + d/2 y − d/2

c) Die Feldlinien der dielektrischen Verschiebung (D-Linien) lassen sich mit Hilfe des elektrischen Flusses berechnen. In Abb. 1.27 sind zunächst zwei benachbarte Feldlinien eines zweidimensionalen elektrischen Feldes angedeutet.

P4

S2

P2

Feldlinien

 ψe2

 ψe1

S1 P1

P3 Abb. 1.27. Zur Berechnung der DLinien ebener, ladungsfreier, elektrischer Felder

 Der Fluss pro Längeneinheit ψe1 durch die Verbindungslinie S1 zwischen den Punkten P1 und P2 ist nach (1.15) 3

siehe z.B. [Bronstein] Integral Nr. 57 und 61

26

1. Elektrostatische Felder  ψe1 =

 D · n ds mit

D = ε0 E + P ,

S1

wobei der Einheitsvektor n senkrecht auf S1 steht. Ist das von den beiden Feldlinien sowie S1 und S2 begrenzte Gebiet wie in der vorliegenden Aufgabe   = ψe1 und folglich gilt allgemein ladungsfrei, so ist in Abb. 1.27 ψe2  ψe = D · n ds = const. . S

Die Berechnung der Feldlinien könnte dann so erfolgen, dass man für S eine Linie wählt, die von einem festen Punkt P0 ausgeht und in einem variablen Punkt P (x, y) endet. Bei der polarisierten Platte wissen wir, dass aus Symmetriegründen die y-Achse eine Feldlinie darstellt. Es ist daher sinnvoll, eine gerade Linie S parallel zur x-Achse von einem Punkt der zu berechnenden Feldlinie bis hin zur y-Achse zu wählen, so dass bei der Flussberechnung nur über x zu integrieren ist. Beschränken wir uns dabei, wieder aus Symmetriegründen, auf den ersten Quadranten des Rechengebietes, so erhalten wir die Gleichung der D-Linien in der Form    x für y ≤ d/2 , x ≤ a/2   P0 x Ey dx + P0 a/2 für y ≤ d/2 , x > a/2 = const. (1.28) ε0   0 0 für y > d/2 Die Feldlinien der elektrischen Feldstärke (E-Linien) können in ähnlicher Weise ermittelt werden. Jedoch ist hier zu bedenken, dass die elektrische Feldstärke E im Gegensatz zur elektrischen Flussdichte D nicht quellenfrei ist. Wir betrachten dazu die Abb. 1.28. y ψ2∗ 

Feldlinie

S2 d/2

P2

qF pol

ψ1∗  S1

P1

a/2

Die Flüsse4 ψ1∗  = ε0

 E · n ds , S1

x

Abb. 1.28. Zur Berechnung der E-Linien

ψ2∗  = ε0

 E · n ds S2

unterscheiden sich in diesem Fall, weil in dem markierten Gebiet, das durch S1 , S2 , die y-Achse und die Feldlinie begrenzt wird, die Polarisationsladung 4

Für die E-Linien wird eine von (1.15) abweichende Flussdefinition verwendet und durch einen Stern gekennzeichnet.

Aufgabe E13∗

27

umschlossen wird. Folglich lautet die korrekte Gleichung der E-Linien    x P0 a/2 für y ≤ d/2 Ey dx + ε0 = const. . (1.29) 0 für y > d/2 0 Wie man sieht, wurde für y ≤ d/2 der konstante Term P0 a/2 hinzugefügt. Er sorgt dafür, dass ψ1∗  und ψ2∗  für die auf derselben Feldlinie liegenden Punkte P1 und P2 identische Werte liefern. a)

b)

Abb. 1.29. (a) E-Linien und (b) D-Linien einer homogen polarisierten Platte für das Seitenverhältnis a/d = 2

a)

b)

Abb. 1.30. (a) E-Linien und (b) D-Linien einer homogen polarisierten Platte für das Seitenverhältnis a/d = 0.5

28

1. Elektrostatische Felder

Für die Auswertung von (1.28) und (1.29) kann das Integral5  z c z arctan dz = z arctan − ln(c2 + z 2 ) c c 2 verwendet werden. Auf das Einsetzen wird an dieser Stelle aber verzichtet. Die Feldbilder Abb. 1.29a+b bzw. 1.30a+b unterscheiden sich nur im Innenraum. Die D-Linien sind aufgrund der Abwesenheit freier Ladungen stets geschlossen. Die E-Linien starten auf den positiven Polarisationsladungen und enden auf den negativen Polarisationsladungen. Man erkennt außerdem deutlich, dass die elektrischen Feldlinien im Gegensatz zu den Verschiebungslinien ohne Knick durch die Seitenflächen der Platte verlaufen. Auf der oberen bzw. unteren Fläche verhält es sich genau umgekehrt. E14 Stetigkeitsbedingungen am dielektrischen Zylinder Ein in z-Richtung unendlich ausgedehnter dielektrischer Kreiszlinder mit Radius a wird einem ebenen, d.h. nur von den Polarkoordinaten und ϕ abhängigen, elektrischen Feld mit dem Potential φe = φe ( , ϕ) ausgesetzt. Für das Potential innerhalb bzw. außerhalb des Zylinders lässt sich dann schreiben  φe ( , ϕ) − kφe (a2 / , ϕ) für > a φ( , ϕ) = (1.30) für < a . (1 − k)φe ( , ϕ) Wie muss die Konstante k gewählt werden, damit die Stetigkeitsbedingungen auf der Zylinderoberfläche exakt erfüllt werden? Lösung: Auf der Oberfläche des Zylinders müssen die Tangentialkomponente der elektrischen Feldstärke Eϕ sowie die Normalkomponente der dielektrischen Verschiebung D
stetig übergehen     ∂φ  ∂φ  ∂φ  ∂φ  = , ε0 =ε . (1.31) ∂ϕ 
=a+0 ∂ϕ 
=a−0 ∂ 
=a+0 ∂ 
=a−0 Wie man durch Einsetzen von = a in (1.30) feststellt, verhält sich das Potential φ( , ϕ) beim Durchgang durch die Zylinderoberfläche stetig, und da dies für jeden Winkel ϕ gilt, folgt daraus sofort die Stetigkeit der Tangentialableitung. Aus der Stetigkeit von D
wird nach Einsetzen von (1.30) in (1.31) und Anwenden der Kettenregel   2   ∂φe ( , ϕ) ∂φe (a2 / , ϕ) a ∂φe ( , ϕ)  − k − ε(1 − k) = ε 0  ∂ ∂ 2 ∂(a2 / )
=a
=a → 5

ε(1 − k) = ε0 (1 + k)

→

siehe z.B. [Bronstein] Integral Nr. 498

k=

ε − ε0 . ε + ε0

Aufgabe E15

29

E15 Spiegelung am dielektrischen Zylinder Berechne die Kraft auf den Zylinder in Aufg. E14, wenn sich im Mittelpunktsabstand c > a eine unendlich lange Linienladung qL parallel vor dem Zylinder befindet, Abb. 1.31. Hinweis: Bestimme zunächst aus dem allgemeinen Potentialansatz äquivalente Spiegelladungen im Innern des Zylinders. a)

P



b)

k=

R

a

a qL

ϕ

−kqL

ε − ε0 ε + ε0 qL

kqL

ε

ε0

ε0

c∗ = a2 /c

c

c

Abb. 1.31. (a) Linienladung vor einem dielektrischen Zylinder. (b) Ersatzanordnung für das Potential im Bereich  > a

Lösung: Die Linienladung vor dem Zylinder erzeugt nach (1.5c) mit der willkürlichen Festlegung R0 = c das erregende Potential φe ( , ϕ) = −

qL qL R 2 + c2 − 2 c cos ϕ ln = − ln . 2πε0 c 4πε0 c2

(1.32)

Nach Ersetzen von durch a2 / wird daraus   4  2  a 1 a qL a2 1 ,ϕ = − cos ϕ φe ln +1−2 4πε0 c2 2 c oder etwas umgeformt und mit c∗ = a2 /c  2  a qL qL 2 + c∗ 2 − 2 c∗ cos ϕ ,ϕ = φe ln − ln . 2πε0 c 4πε0 c2

(1.33)

Der erste Term in (1.33) beschreibt nach (1.5c) das Potential einer Linienladung −qL auf der Zylinderachse. Vergleicht man den zweiten Term mit (1.32), so erweist sich dieser als das Potential einer Linienladung +qL in der Entfernung c∗ = a2 /c von der Zylinderachse. Es ergibt sich also aus (1.30) die Ersatzanordnung nach Abb. 1.31b. Die Kraft pro Längeneinheit auf die felderregende Ladung qL ist dann K  = qL E, wobei E das elektrische Feld der Spiegelladungen ±kqL darstellt   2 2 1 1 k qL kqL a2 − K  = ex . = −e x 2πε0 c c − a2 /c 2πε0 c c2 − a2 Wie es sein muss, wird die Ladung vom Zylinder angezogen.

30

1. Elektrostatische Felder

Zur Veranschaulichung sind in Abb. 1.32 die D-Linien dargestellt. Sie verlaufen innerhalb des Zylinders geradlinig und ihre Verlängerungen treffen sich alle am Ort der erregenden Linienladung.

Abb. 1.32. Verlauf der DLinien einer unendlich langen Linienladung vor einem dielektrischen Zylinder mit εr = 3

E16 Linienladung vor einem dielektrischen Halbraum In der Höhe h über einem dielektrischen Halbraum befindet sich eine unendlich lange Linienladung qL , Abb. 1.33. Bestimme die Kraft auf den Halbraum. y qL

2

ε0

1

ε

R

h

x Abb. 1.33. Unendlich lange Linienladung über einem dielektrischen Halbraum

Lösung: Das elektrische Feld lässt sich im unteren Halbraum mit Hilfe des Spiegelungsverfahrens durch eine Linienladung qL (1 − k)

,

mit

k=

ε − ε0 ε + ε0

Aufgabe E16

31

am Ort x = 0, y = h im ansonsten homogenen Gesamtraum der Dielektrizitätskonstanten ε0 bestimmen, vgl. √ Abb. 1.6c. Auf der Unterseite der Trennfläche y = −0 ist dann mit R = x2 + h2   qL (1 − k) x h E 1 = E(x, y = −0) = e − e . x y 2πε0 R2 R2 Aufgrund der Stetigkeitsbedingungen (1.12) gilt für das elektrische Feld auf der Oberseite der Trennfläche   qL (1 − k) x ε h E 2 = E(x, y = +0) = e − e . x y 2πε0 R2 ε0 R 2 Der auf das Dielektrikum wirkende Druck folgt aus (1.19)  ' q (2 k(1 − k)  x2 1 ε h2 L p = (ε − ε0 ) (E 1 · E 2 ) ey = + ey 2 2π ε0 R4 ε0 R 4 und daraus die Kraft pro Längeneinheit Ky =

∞ py dx = −∞

' q (2 k(1 − k) ∞ x2 + (ε/ε )h2 L 0 dx . 2π ε0 (x2 + h2 )2

(1.34)

−∞

Das uneigentliche Integral kann mit dem Residuensatz gelöst werden, indem die reelle Variable x durch eine komplexe z = ξ + j η ersetzt und der Integrationspfad wie in Abb. 1.34 in der oberen Halbebene (η > 0) mit unendlichem Radius geschlossen wird. An der Stelle z = jh tritt in (1.34) ein zweifacher jη

jh R→∞ ξ

Abb. 1.34. Zur Berechnung des uneigentlichen Integrals in (1.34)

Pol auf, so dass das Residuum des Integranden die Gestalt   1 d z 2 + (ε/ε0 )h2 1 · lim = (z − jh)2 z→jh dz (z 2 + h2 )2 2jh 1 − k annimmt. Da das Integral nach dem Residuensatz das 2πj–fache dieses Wertes ist, ergibt sich daraus die Kraft pro Längeneinheit auf das Dielektrikum in der Form

32

1. Elektrostatische Felder

Fy =

2 k qL . 4πε0 h

Zum selben Resultat gelangt man natürlich auch, wenn man die Coulombsche Anziehungskraft pro Längeneinheit zwischen der Linienladung qL und ihrer Spiegelladung −kqL an der Stelle y = −h im unteren Halbraum, siehe Abb. 1.6b, berechnet. E17 Energie einer kugelförmigen Raumladung Berechne die elektrostatische Feldenergie einer homogenen, kugelförmigen Raumladungswolke mit der Dichte qV 0 und dem Radius a a) mit Hilfe der elektrischen Feldstärke b) mit Hilfe des Potentials. Lösung: a) Das radialsymmetrische Feld der kugelförmigen Raumladungsverteilung berechnen wir zunächst in gewohnter Weise mit Hilfe des Gaußschen Gesetzes der Elektrostatik  3 
4 r , r≤a 2 ε0 E · dO = 4πr ε0 Er = qV dV = qV 0 π a3 , r ≥ a 3 →

qV 0 Er = 3ε0

 r a3 /r2

für r ≤ a für r ≥ a .

Aus (1.14) folgt dann die Feldenergie 1 We = ε 0 2



1 Er2 dV = ε0 2



qV 0 3ε0

 a 

2 4π



0

∞ r4 dr + a

 a6  dr = r2 

4π 2 5 = q a . 15ε0 V 0

(1.35)

b) Das Potential ist nach (1.4) das Integral über die Feldstärke   qV 0 −r2 /2 + C für r ≤ a φ = − Er dr + C = 3ε0 a3 /r für r ≥ a . Die Integrationskonstante ist so zu wählen, dass das Potential eine stetige Ortsfunktion wird, d.h.  qV 0 (3a2 − r2 )/2 für r ≤ a φ= 3ε0 a3 /r für r ≥ a . Die Energie kann nun nach (1.14) durch Integration über das raumladungsbehaftete Volumen ermittelt werden

Aufgabe E18

1 We = 2



1 qV2 0 qV 0 φ dV = 4π 2 3ε0

a

33

3a2 − r2 2 4π 2 5 r dr = q a . (1.36) 2 15ε0 V 0

0

Die auf unterschiedliche Weise erhaltenen Resultate (1.35) und (1.36) stimmen also überein. E18 Teilkapazitäten Über dem Erdboden befinden sich in der Höhe h1 bzw. h2 zwei unendlich lange, parallele Leiter mit der gegenseitigen Entfernung a, Abb. 1.35. Die Radien r1 bzw. r2 der Leiter seien sehr viel kleiner als die übrigen Abmessungen des Systems. Zu bestimmen sind die Teilkapazitäten der elektrostatischen Anordnung. Welche Betriebskapazität stellt sich ferner ein, wenn beide Leiter den gleichen Radius und die gleiche Höhe über der Erde aufweisen und im Gegentakt betrieben werden, d.h. entgegengesetzt gleiche Leiterpotentiale aufweisen? r2

r1

a)

b) a

h1

h2

φ=0

qL1 h1

a

qL2 h2

b

h1

h2 −qL1

−qL2

Abb. 1.35. (a) Zwei dünne Leiter über dem Erdboden. (b) Ersatzanordnung

Lösung: Zunächst können die beiden Leitungen aufgrund ihrer vorausgesetzt kleinen Radien durch unendlich lange Linienladungen in ihren Mittelpunkten ersetzt werden. Den Einfluss des Erdbodens erfassen wir wie üblich durch Spiegelung. Es entsteht dann die Ersatzanordnung in Abb. 1.35b. Aus der Abbildung lässt sich auch der diagonale Abstand b in der Form b2 = a2 + 4h1 h2 ablesen. Ausgangspunkt bei der Berechnung von Teilkapazitäten eines Systems von n Leitern ist ein Gleichungssystem, das die Ladung auf den Leitern mit den Leiterpotentialen verknüpft. Dieses Gleichungssystem hat in unserem Fall analog zu (1.17) die Gestalt               k11 k12 φ1 φ1 p11 p12 q qL1 = · oder = · L1 (1.37)   qL2 k21 k22 φ2 φ2 p21 p22 qL2

34

1. Elektrostatische Felder

 mit den Kapazitätskoeffizienten kik , aus denen nachher die gesuchten Teilkapazitäten bestimmt werden, und den Potentialkoeffizienten pik . Zuerst werden die Potentialkoeffizienten berechnet. Dabei ist zu beachten, dass auf jeder Leiteroberfläche die Beiträge aller vier Linienladungen zu superponieren sind. Nach (1.5c) erhält man dann sofort   1 r1 2h1 a b − qL1 ln + qL2 ln − qL2 ln qL1 ln φ1 = − 2πε0 R0 R0 R0 R0   1 r2 2h2 a b − qL2 ln + qL1 ln − qL1 ln φ2 = − qL2 ln . 2πε0 R0 R0 R0 R0

R0 ist wieder irgendein Referenzabstand. Durch Vergleich mit (1.37) findet man die Potentialkoeffizienten als 1 2h1,2 1 b ln , p12 = p21 = ln . p11,22 = 2πε0 r1,2 2πε0 a Um nun zu den Kapazitätskoeffizienten zu gelangen, brauchen wir nur die Matrix der Potentialkoeffizienten in (1.37) zu invertieren. Dies gestaltet sich bei einer 2 × 2 Matrix natürlich sehr einfach und man erhält       1 qL1 p22 −p12 φ1 = · . 2 qL2 −p p φ p11 p22 − p12 12 11 2 Mit der Abkürzung p11 p22 −

p212

∆ = 4π 2 ε20

  2h1 2h2 1 2 4h1 h2 ∆ = ln ln − ln 1 + r1 r2 4 a2

,

lauten die Kapazitätskoeffizienten  k11,22 =

2h2,1 2πε0 ln ∆ r2,1

,

  k12 = k21 =−

  4h1 h2 πε0 ln 1 + . ∆ a2

Die Teilkapazitäten pro Längeneinheit, Abb. 1.36, folgen schließlich aus der Beziehung (1.17)   = −k12 C12

,

   C1∞ = k11 + k12

,

   C2∞ = k22 + k12 .

(1.38)

 C12

 C1∞

 C2∞

Abb. 1.36. Teilkapazitäten pro Längeneinheit einer Doppelleitung über dem Erdboden

Wir kommen nun zur Berechnung der gesuchten Betriebskapazität. Bei symmetrischer Anordnung der Leiter wird aus den Potentialkoeffizienten

Aufgabe E19

r1 = r2 = r h1 = h2 = h

35

 → p11 = p22 = p .

Außerdem ist im Gegentaktbetrieb qL1 = −qL2 = qL

φ1 = −φ2 = (p − p12 )qL

,

und es ergibt sich als Betriebskapazität pro Längeneinheit der Ausdruck ) * % + 1 qL h  = πε0 ln 2 . (1.39) CB = φ1 − φ2 r 1 + 4h2 /a2 Hier bietet sich eine schöne Kontrolle der zuvor ermittelten Teilkapazitäten an. Die Betriebskapazität ist nämlich nach Abb. 1.36 nichts anderes als die  Parallelschaltung der Kapazität C12 mit den in Reihe geschalteten Kapazi  täten C1∞ und C2∞ , d.h.   = C12 + CB

  C2∞ C1∞ C1∞ . = C12 +   C1∞ + C2∞ 2

Nach Einsetzen von (1.38) ergibt sich wieder das Resultat (1.39). E19 Kräfte an metallischen Oberflächen Eine leitende, dünnwandige Kugelschale mit Radius a bestehend aus zwei sich berührenden Hemisphären befinde sich in einem ursprünglich homogenen elektrischen Feld der Stärke E0 , welches senkrecht auf der Trennebene der beiden Hälften steht. Bestimme die erforderliche Kraft, um die Hemisphären zusammenzuhalten. d a

ϑ z ϕ E0

Abb. 1.37. Leitende, in der Mitte durchtrennte Hohlkugel im homogenen elektrischen Feld

Lösung: Zunächst erhebt sich die Frage, wie der Einfluss der leitenden Kugel auf das resultierende Feld erfasst werden kann. Es ist leicht vorstellbar, dass ein homogenes Feld dadurch erzeugt werden kann, dass man zwei entgegengesetzte Punktladungen immer weiter voneinander entfernt und dabei betragsmäßig größer werden lässt, so dass während dieses Grenzüberganges

36

1. Elektrostatische Felder

das Feld in einem endlichen Bereich zwischen den beiden Ladungen zunehmend homogener wird. Bei Anwesenheit der leitenden Kugel erhalten die beiden Ladungen ihre entsprechenden Spiegelbilder innerhalb der Kugel. Diese Spiegelladungen wandern im Zuge des erwähnten Grenzprozesses nach den Spiegelungsgesetzen (siehe Abb. 1.5b) aufeinander zu und werden dabei ebenfalls immer größer. Mit anderen Worten: Es entsteht ein Dipol im Kugelmittelpunkt, der die Wirkung der physikalisch realen Influenzladung auf der Kugeloberfläche beschreibt und wir machen daher den Potentialansatz 1 pe · r , pe = p0 ez . φ = −E0 z + 4πε0 r3 Das Moment des Ersatzdipols bestimmen wir so, dass sich auf der Kugeloberfläche das Potential φ = 0 einstellt. Wegen pe · r = p0 z = p0 r cos ϑ folgt p0 φ(r = a) = 0 → −E0 a + = 0 → p0 = 4πε0 E0 a3 . 4πε0 a2 Damit lautet das resultierende Potential eines durch eine leitende Kugel gestörten homogenen elektrischen Feldes   3 a φ(r, ϑ) = E0 − r cos ϑ . r2 Die Radialkomponente der elektrischen Feldstärke auf der Kugeloberfläche folgt durch Differentiation  ∂φ  Er (r = a, ϑ) = − = 3 E0 cos ϑ . (1.40) ∂r r=a Diese gibt nach (1.19) Anlass zu einer radial in Richtung der Flächennormalen wirkenden mechanischen Spannung. Deren Integration über die rechte Halbkugelfläche liefert dann die aus Symmetriegründen allein z-gerichtete Kraft 1 Kz = 2πa2 ε0 2

π/2 Er2 (a, ϑ) (ez · er ) sin ϑ dϑ 0

und nach Einsetzen von (1.40) sowie ez · er = cos ϑ 2

Kz = 9πε0 a

E02

π/2 9 cos3 ϑ sin ϑ dϑ = π ε0 a2 E02 . 4 0

E20 Elektrischer Dipol vor einer leitenden Kugel Vor einer isolierten, leitenden Kugel mit dem Radius a befinde sich im Abstand c vom Mittelpunkt der Kugel ein elektrostatischer Dipol mit dem Moment pe . Der Dipol weist bezüglich der Kugeloberfläche radial nach außen. Die Kugel sei ungeladen. Gesucht ist die auf den Dipol ausgeübte Kraft.

Aufgabe E20

leitende Kugel

a) a

d∗

b) q1

pe

37

q2

−q +q

c∗

d

c

c

Abb. 1.38. (a) Elektrischer Dipol vor einer leitenden, ungeladenen Kugel. (b) Spiegelung der Dipolladungen an einer geerdeten Kugel

Lösung: Um das Spiegelungsgesetz eines Dipols an einer leitenden Kugel zu finden, nehmen wir zunächst an, die Kugel sei geerdet. Außerdem wird der Dipol aus zwei Punktladungen ±q im Abstand d zusammengesetzt, wobei lim q · d pe = q→∞ d→0

gilt. Spiegelt man nun die Ladungen des Dipols an der geerdeten Kugel, Abb. 1.38b, so entstehen die Spiegelladungen q1 und q2 mit den Abständen c∗ − d∗ bzw. c∗ . Es gilt nach dem Spiegelungsgesetz für eine Punktladung vor einer geerdeten Kugel, siehe Abb. 1.5b, c · c∗ = a2

,

(c + d) · (c∗ − d∗ ) = a2

→

d∗ =

a2 d c(c + d)

sowie a a q , q2 = q . (1.41) c+d c Im Grenzfall d → 0, q → ∞ bildet sich im Innern der Kugel ein Dipol mit dem Moment q1 = −

p∗e =

pe a3 pe a3 ∗ lim q · d = q d = p lim . 2 e pe q→∞ pe q→∞ c2 (c + d) c3 d→0

(1.42)

d→0

Summiert man die Ladungen q1 und q2 in (1.41)   a a a − qd , q1 + q 2 = q= c c+d c(c + d) so stellt sich im Grenzfall d → 0, q → ∞ eine nicht verschwindende Gesamtladung der Größe Q∗ =

pe a c2

(1.43)

am Ort c∗ = a2 /c ein. Nun sollte die Kugel aber nicht geerdet, sondern ungeladen sein. Wir müssen also im Mittelpunkt der Kugel eine weitere Punktladung der Größe

38

1. Elektrostatische Felder

QM = −Q∗

(1.44)

anbringen, um die Ladungsfreiheit sicherzustellen. Damit lautet das äußere elektrische Feld aller Spiegelquellen (1.42), (1.43), (1.44) im Abstand z vom Mittelpunkt der Kugel zu einem beliebigen Punkt auf der Verbindungsachse zwischen Dipol und Kugelmittelpunkt E(z) =

pe p∗e Q∗ QM pe 1 + + . ∗ 2 2 4πε0 (z − c ) pe 4πε0 z pe 2πε0 (z − c∗ )3

Die gesuchte Kraft auf den Dipol lässt sich als Grenzübergang  , dE  K = q→∞ lim − q E(z = c) + q E(z = c + d) = pe dz  z=c

d→0

berechnen. Nach Einsetzen und Differenzieren ergibt sich schließlich  5  a pe pe a5 c 3a7 c K= − 2 − 2 . 2πε0 a4 c5 (c − a2 )3 (c − a2 )4

E21 Kapazität einer Stabantenne Über einem leitenden Halbraum befinde sich senkrecht angeordnet eine homogene Linienladung qL mit der Länge 2c. Ihr Mittelpunkt habe die Entfernung m zum leitenden Halbraum, Abb. 1.39a. a)

b)

z

z φA

qL

2c

2a

m

b

m h 

leitender Halbraum

 leitender Halbraum

Abb. 1.39. (a) Linienladung über einem leitenden Halbraum. (b) Äquipotentialfläche φ = φA in unmittelbarer Umgebung der Linienladung als Oberfläche einer dünnen Antenne

a) Berechne die Äquipotentialflächen der Anordnung. b) Bestimme die Kapazität einer dünnen Stabantenne, die senkrecht über

Aufgabe E21

39

dem Erdboden angeordnet ist. Die Antenne habe die Länge b, den Durchmesser 2a und ihr unteres Ende weise die Entfernung h zur Erdoberfläche auf. Die Berechnung soll näherungsweise erfolgen, indem man sich die leitende Oberfläche der Antenne als Äquipotentialfläche der zuvor betrachteten Anordnung in unmittelbarer Umgebung der Linienladung vorstellt, Abb. 1.39b. Lösung:  a) Nach (1.6) mit R = 2 + (z − z  )2 erhält man zunächst für das erregende Potential der Linienladung im freien Raum, d.h. bei Abwesenheit des leitenden Halbraumes, φ(e) ( , z) =

Q 8πε0 c

m+c 



dz 

= 2 + (z − z  )2 m−c    z − m + c +  2 + (z − m + c)2  Q    ln  =  , 8πε0 c  z − m − c + 2 + (z − m − c)2 

(1.45)

wobei Q = qL 2c die Gesamtladung der Linienladung ist.6 Den Einfluss des leitenden Halbraumes erfassen wir nun mit Hilfe des Spiegelungsprinzips, d.h. wir nehmen eine negative Linienladung −qL im unteren Halbraum an. Deren Potentialbeitrag erhält man, wenn man in (1.45) z durch z + 2m ersetzt. Das resultierende Potential ist also φ( , z) = φ(e) ( , z) − φ(e) ( , z + 2m) .

(1.46)

b) Die Äquipotentialflächen φ( , z) =const. sind in Abb. 1.40 zusammen mit den elektrischen Feldlinien dargestellt.

leitender Halbraum 6

siehe z.B. [Bronstein] Integral Nr. 192

Abb. 1.40. Äquipotentiallinien und Feldlinien einer Linienladung über einem leitenden Halbraum

40

1. Elektrostatische Felder

Wie man dem Feldbild entnehmen kann, bilden die Äquipotentialflächen in unmittelbarer Umgebung der Linienladung langgestreckte Rotationskörper. Die Oberfläche einer Linearantenne wird im Folgenden näherungsweise als ein solcher Rotationskörper angesehen. Die Antenne sei gegenüber der Erde auf das Potential φA angehoben und trage die Gesamtladung Q, Abb. 1.39b. Die Kapazität zwischen Antenne und Erdboden ist dann C=

Q , φA

(1.47)

wobei das Antennenpotential φA durch Wahl des Aufpunktes = a, z = m in (1.45) und (1.46) ermittelt wird *√ +  a2 + (2m − c)2 + 2m − c a2 + c2 + c Q ln √ . · φA = 8πε0 c a2 + c2 − c a2 + (2m + c)2 + 2m + c Bei einer langgestreckten√Antenne gilt a c und a (2m ± c) und wir können die Wurzeln wegen 1 + x ≈ 1 + x/2 für |x| 1 annähern 

a2 + c2 ≈ c +

a2 1 a2  2 1 , a + (2m ± c)2 ≈ (2m ± c) + . 2 c 2 (2m ± c)

Das Potential lässt sich damit bei sehr kleinem Radius auf die vereinfachte Form    2 2c 2m − c Q ln φA ≈ 8πε0 c a 2m + c bringen und mit 2c ≈ b und m = h + b/2 folgt aus (1.47) die Kapazität +−1  * % b 4h/b + 1 C ≈ 2πε0 b ln . a 4h/b + 3 Die Formel liefert für h → ∞ auch die Kapazität der Antenne im homogenen Raum, die gleichzeitig die minimale Kapazität darstellt  −1 b . Cmin = lim C = 2πε0 b ln h→∞ a

E22 Randwertproblem in kartesischen Koordinaten Im kartesischen Koordinatensystem sind die Ebenen x = 0, x = a und y = 0 als leitende geerdete Beläge ausgeführt, während in der Ebene y = b das Potential in der Form a) φ = φ0 cos πx/a bzw. b) φ = φ0 sin πx/a vorgegeben ist. Zu bestimmen ist das elektrostatische Potential sowie der Verlauf der elektrischen Feldlinien im Innenraum des Rechteckzylinders.

Aufgabe E22

y

41

φ(x, b)

b Abb. 1.41. Rechteckzylinder mit drei geerdeten Wänden und Potentialvorgabe auf einer Wand

a x

Lösung: Es liegt ein hinsichtlich der Koordinate z ebenes Randwertproblem erster Art in kartesischen Koordinaten vor. Das Potential erfüllt nach (1.10) die zweidimensionale Laplace-Gleichung ∇2 φ =

∂2φ ∂2φ + 2 =0, ∂x2 ∂y

(1.48)

für welche mit Hilfe der Separation nach Bernoulli der allgemeine Lösungsansatz φ(x, y) = (A0 + B0 x) · (C0 + D0 y) + (1.49) . / . / A(p) cos px + B(p) sin px · C(p) cosh py + D(p) sinh py + p=0

aufgestellt werden kann.7 Für den Fall, dass die Separationskonstanten p keine diskreten sondern kontinuierliche Werte annehmen, ist anstelle der Summation über den gesamten Wertebereich zu integrieren. Eine Alternative zu den hyperbolischen Funktionen stellen Exponentialfunktionen exp(±py) dar, welche besser geeignet sind, wenn ein Rand des Rechengebietes im Unendlichen liegt. Außerdem ist es prinzipiell möglich, in (1.49) die Koordinaten x und y zu vertauschen, da die Differentialgleichung (1.48) symmetrisch aufgebaut ist. Bei der vorliegenden Aufgabe stellt aber die Wahl trigonometrischer Funktionen in x-Richtung und hyperbolischer Funktionen in y-Richtung die günstigere Alternative dar, weil ansonsten mit imaginären Separationskonstanten gerechnet werden müsste. Bei der Bestimmung der noch unbekannten Konstanten in (1.49) beginnt man am besten mit den homogenen Randbedingungen, um den allgemeinen Lösungsansatz soweit wie möglich zu reduzieren φ(0, y) = 0

→

A0 = A(p) = 0

φ(a, y) = 0

→

B0 = 0

φ(x, 0) = 0

→

C(p) = 0 .

,

sin pa = 0

→

p=

nπ , n = 1, 2, 3, . . . a

Kürzt man noch das Produkt der übriggebliebenen Konstanten mit En ab, so lautet der auf das vorliegende Problem zugeschnittene reduzierte Lösungsansatz 7

siehe z.B. [Henke], Elektrostatische Felder IV

42

1. Elektrostatische Felder

φ(x, y) =

∞  n=1

En sinh

nπx nπy sin . a a

(1.50)

a) Potentialvorgabe φ(x, y = b) = φ0 cos(πx/a) Einsetzen in (1.50) liefert ∞ 

En sinh

n=1

nπx nπb πx sin = φ0 cos . a a a

(1.51)

Um die an dieser Stelle noch unbekannten Konstanten En zu bestimmen, werden beide Seiten von (1.51) mit sin(mπx/a) multipliziert und anschließend über den Bereich 0 ≤ x ≤ a integriert. Diesen Vorgang nennt man Orthogonalentwicklung. a a ∞  mπx mπx πx nπb nπx sin dx = sin dx En sinh sin φ0 cos a a a a a n=1 0 0 ! "# $ n δm a/2 n Durch das Auftreten des Kronecker-Symbols δm verbleibt lediglich das Glied m = n in der Summe. Da der Index m jede beliebige natürliche Zahl sein kann, liefert die beschriebene Prozedur tatsächlich alle unbekannten Konstanten En . Die Integration auf der linken Seite ergibt8   a mπx a 1 − cos[(m + 1)π] 1 − cos[(m − 1)π] πx sin dx = + cos a a 2π m+1 m−1 0

und wegen cos[(m + 1)π] = cos[(m − 1)π] = (−1)m+1 nimmt das Potential im Rechteckzylinder die endgültige Form ∞ nπx n sinh(nπy/a) φ(x, y) 4  sin = φ0 π n=2,4,6 n2 − 1 sinh(nπb/a) a

an. Bei der Berechnung der elektrischen Feldlinien genügt aus Symmetriegründen die Betrachtung des Bereiches 0 ≤ x ≤ a/2. Die Feldlinien erhält man durch Konstanthalten des elektrischen Flusses (1.15). Der Fluss durch die Fläche F in Abb. 1.42 verändert sich nicht, wenn man den variablen Punkt P (x, y) entlang einer Feldlinie verschiebt. Da das in Abb. 1.42 markierte Gebiet ladungsfrei ist, kann der Fluss ψe in die beiden Anteile ψe1 und ψe2 zerlegt werden und die Feldliniengleichung lautet   ψe (x, y) = ψe1 (x, y) + ψe2 (a/2, y) = const. 8

siehe z.B. [Bronstein] Integral Nr. 408

Aufgabe E22

43

mit den Flüssen pro Längeneinheit  ψe1 (x, y)

a/2 = ε0 x

∂φ dx , ∂y

 ψe2 (a/2, y)

b = −ε0 y

 ∂φ  dy . ∂x x=a/2

y P0

b ψe

ψe2

F P (x, y)

F2 F1 ψe1

0 0

a/2

a

x

Abb. 1.42. Zerlegung des Gesamtflusses durch F in zwei Anteile zur Berechnung der elektrischen Feldlinien

Nach Differentiation, Integration und Addition wird aus dem Fluss   ∞  nπx ψe (x, y) n cosh(nπy/a) nπb n/2 cos − (−1) = coth ψ0 n2 − 1 sinh(nπb/a) a a n=2,4,6 mit ψ0 = 4ε0 φ0 /π. Die Äquipotential- und Feldlinien sind in Abb. 1.43 dargestellt.

Abb. 1.43. Feldlinien und Äquipotentiallinien bei kosinusförmiger Potentialvorgabe

Bemerkenswert ist dabei die Wirbelbildung der elektrischen Feldlinien in den oberen Ecken des Zylinders. Tatsächlich sieht das Feld dort eher wie das magnetische Feld eines Linienstromes aus und wir nähern es daher in unmittelbarer Umgebung der linken oberen Ecke in der Form  C , = x2 + (y − b)2 . (1.52) E ≈ eϕ

44

1. Elektrostatische Felder

1000

−→

100

10

|E|a φ0 1

0.1

0.01

0.01

0.1

1 − y/b −→

1

Abb. 1.44. Das elektrische Feld entlang der yAchse. Der gestrichelte Verlauf zeigt die Approximation durch (1.52)

Die Konstante C folgt aus dem Wegintegral π/2 φ0 = E( ) dϕ

→

C = φ0

0

2 . π

Wie der Abb. 1.44 entnommen werden kann, wird das Feld in der Ecke durch (1.52) gut approximiert. b) Potentialvorgabe φ(x, y = b) = φ0 sin(πx/a) Im Aufgabenteil a) haben wir gesehen, dass zur Anpassung des allgemeinen Lösungsansatzes an die kosinusförmige Potentialvorgabe eine Orthogonalentwicklung erforderlich war. Wir betrachten jetzt eine sinusförmige Potentialvorgabe, die also in Form der Eigenfunktion n = 1 unseres Problems gegeben ist. Damit ist klar, dass in der allgemeinen Lösungssumme (1.49) nur das Glied n = 1 zur Anpassung an die Potentialvorgabe zu berücksichtigen ist, und die unbekannte Konstante E1 kann sofort bestimmt werden. Es ergibt sich dann für das Potential das Ergebnis φ(x, y) πx sinh(πy/a) sin . = φ0 sinh(πb/a) a Ebenso einfach gestaltet sich die Flussberechnung, bei der diesmal zu berücksichtigen ist, dass die Linie x = a/2 zur Feldlinie wird, so dass ψe2 in Abb. 1.42 verschwindet. Damit lautet die Gleichung der Feldlinien ψe (x, y) = ε0 φ0

πx cosh(πy/a) cos = const. . sinh(πb/a) a

Die Äquipotential- und Feldlinien sind in Abb. 1.45 dargestellt.

Aufgabe E23

45

Abb. 1.45. Feldlinien und Äquipotentiallinien bei sinusförmiger Potentialvorgabe

E23 Elektrostatische Linse (periodischer Fall) Koaxiale Strukturen, bestehend aus leitenden Ringen, die auf unterschiedliche Potentiale angehoben wurden, Abb. 1.46a, treten in der Praxis bei Teilchenbeschleunigern und Fokussierungseinrichtungen auf. Gegeben ist eine periodische Anordnung solcher Ringe, an die alternierend die Potentiale ±φ0 angelegt sind, Abb. 1.46b. Der Radius aller Ringe sei a, ihre Breite h und der gegenseitige Abstand d a, h. Bestimme das Potential im Raum < a unter der Annahme, dass das Potential sich im Spalt zwischen den Ringen in erster Näherung linear mit der Koordinate z ändert. y

a)

x b) h

d



ϕ

a

z −φ0

+φ0

−φ0

+φ0

z

Abb. 1.46. (a) Periodische Anordnung leitender Ringe. (b) Betrachtung der Anordnung in Zylinderkoordinaten und Festlegung der Potentiale

46

1. Elektrostatische Felder

Lösung: Es liegt ein rotationssymmetrisches Randwertproblem erster Art in Zylinderkoordinaten vor. Das Potential erfüllt nach (1.10) die zweidimensionale Laplace-Gleichung ∇2 φ( , z) =

∂ 2 φ 1 ∂φ ∂ 2 φ + 2 =0, + ∂ 2 ∂ ∂z

(1.53)

für welche mit Hilfe der Separation nach Bernoulli der allgemeine Lösungsansatz φ( , z) = (A0 + B0 ln ) · (C0 + D0 z) + . / . / Ap I0 (p ) + Bp K0 (p ) · Cp cos pz + Dp sin pz +

(1.54)

p=0

mit periodischen Funktionen in z-Richtung oder alternativ (1.55) φ( , z) = (A0 + B0 ln ) · (C0 + D0 z) + . / . / Ap J0 (p ) + Bp N0 (p ) · Cp cosh pz + Dp sinh pz + p=0

mit aperiodischen Funktionen in z-Richtung aufgestellt werden kann.9 Hierin bezeichnen J0 (x) bzw. N0 (x) die Bessel-Funktion bzw. Neumann-Funktion nullter Ordnung und I0 (x) bzw. K0 (x) die modifizierte Bessel-Funktion nullter Ordnung und erster bzw. zweiter Art. Eine Alternative zu den Hyperbelfunktionen stellen Exponentialfunktionen exp(±pz) dar, welche besser geeignet sind, wenn sich das Rechengebiet in z-Richtung bis ins Unendliche erstreckt. Die Periodizität der Anordnung erfordert hier einen periodischen Lösungsansatz in z-Richtung, also (1.54). Aufgrund ihres singulären Verhaltens auf der Achse = 0 scheiden der natürliche Logarithmus sowie die modifizierte Bessel-Funktion zweiter Art von vornherein aus. Ein linearer Term in z-Richtung ist aufgrund der Periodizität der Anordnung ebenfalls nicht möglich. Der zur Ebene z = 0 schiefsymmetrische Potentialverlauf lässt weiterhin nur Sinusfunktionen im Ansatz zu. Zur Ebene z = (h + d)/2 dagegen wird sich das Potential symmetrisch ausbilden, so dass damit auch die Separationskonstanten p in der Form nπ , n = 1, 3, 5 . . . p= L bereits vorliegen und wir erhalten den reduzierten Potentialansatz ∞ ' nπ (  nπz sin mit L = h + d . An I0 φ( , z) = L L n=1,3,5 Die Konstanten An ergeben sich aus dem Potentialverlauf auf der Fläche =a 9

siehe z.B. [Henke], Elektrostatische Felder IV

Aufgabe E23 ∞ 

An I0

' nπa (

n=1,3,5

L

 2z/d nπz = −φ0 sin 1 L

für 0 ≤ z ≤ d/2 für d/2 ≤ z ≤ L/2 .

47

(1.56)

Dabei wurde nur ein Viertel der gesamten Periodenlänge betrachtet. Dies ist aus Symmetriegründen auch vollkommen ausreichend, da die Funktionen sin(nπz/L), mit n = 1, 3, 5 . . ., alle Symmetrieanforderungen erfüllen. Zwecks Auffindung der noch unbekannten Konstanten An wird (1.56) im Zuge einer Fourier-Analyse auf beiden Seiten mit sin(mπz/L) multipliziert und über den Orthogonalitätsbereich 0 ≤ z ≤ L/2 integriert L/2 ' nπa (  mπz nπz sin dz = An I0 sin L L L n=1,3,5 0 "# $ ! n δm L/4 ∞ 

2 = − φ0 d

L/2 d/2  mπz mπz dz −φ0 dz . z sin sin L L 0 d/2 "# $ ! ! "# $ I1m I2m

Mit den Integralen10   d/2 L/2 sin(mπz/L) z cos(mπz/L) cos(mπz/L) I1m = − , I = − 2m (mπ/L)2 mπ/L mπ/L 0 d/2   2 mπd L 2 2 L mπd I1m + I2m = = si → sin d d m2 π 2 2L mπ 2L sin x ergibt sich schließlich das resultierende und der Spaltfunktion si(x) = x Potential   ∞ nπd I0 (nπ /L) φ( , z) nπz 4  1 si sin . (1.57) =− φ0 π n=1,3,5 n 2L I0 (nπa/L) L Da damit im Prinzip auch das elektrische Feld E = −∇φ in der Struktur bekannt ist, kann die Bahnkurve eines geladenen Teilchens mit der Ladung q und der Masse m in dem periodischen Potentialfeld berechnet werden. Dafür sind die Newtonschen Bewegungsgleichungen d2 d2 z dv
dvz = m 2 , Kz = qEz = m =m 2 dt dt dt dt zu lösen. Für ein kleines Zeitintervall t0 ≤ t ≤ t0 + ∆t, in welchem angenommen werden kann, dass sich die elektrische Feldstärke nur unwesentlich ändert, liefert die Integration der Bewegungsgleichung zunächst die Geschwindigkeit in -Richtung K
= qE
= m

10

siehe z.B. [Bronstein] Integral Nr. 279

48

1. Elektrostatische Felder

q v
(t0 + ∆t) = v
(t0 ) + m

t0+∆t

E
(t) dt ≈ t0

q E
(t0 ) ∆t m

und nach nochmaliger Integration den Ort q E
(t0 ) (∆t)2 . (t0 + ∆t) ≈ (t0 ) + v
(t0 )∆t + 2m Analoges gilt natürlich für z und vz . Wenn also die Zeitspanne ∆t klein genug gewählt wird, ist es auf diesem Wege möglich die Bahnkurve auf iterative Weise zu erhalten, indem die aus den Anfangswerten (t0 ) und vx (t0 ) berechneten aktuellen Werte und v
als neue Startwerte verwendet werden, u.s.w.. Zur Normierung führen wir noch die Geschwindigkeit v0 ein, die dem kinetischen Energiezuwachs der Ladung q nach Durchqueren der Potentialdifferenz ∆φ = φ0 entspricht 1 m v02 = ±qφ0 für q ≷ 0 2 und erhalten den iterativen Algorithmus i+1 i v
,i E
( i , zi ) = + 2δ für q ≷ 0 ± δ2 a a v0 φ0 a v
,i+1 v
,i E
( i , zi ) für q ≷ 0 . = ±δ v0 v0 φ0 a

(1.58)

Die entsprechenden Gleichungen für die longitudinale Position z und Geschwindigkeit vz lauten ganz analog.

→

0.9

/a 0

a) →

0.9

/a 0

b) 1

z/a −→

9

Abb. 1.47. Bahnkurven geladener Teilchen und Äquipotentiallinien des periodischen Potentialfeldes der Anordnung in Abb. 1.46b für h = 2a und v
(z = h/2) = 0. (a) vz (z = h/2)/v0 = 0.2. (b) vz (z = h/2)/v0 = 0.4

Aufgabe E24∗

49

Zur Abkürzung wurde in (1.58) die normierte Zeitschrittweite 1 v0 ∆t δ= 2 a eingeführt. Diese muss klein genug sein und sollte der am jeweiligen Ort herrschenden Feldstärke angepaßt werden, damit der Algorithmus stabile Ergebnisse liefert. In Abb. 1.47 wurden neun radial versetzte Teilchen betrachtet, die in der Ebene z = h/2 mit v
= 0 und vz /v0 = 0.2 bzw. vz /v0 = 0.4 starten. Im Falle der geringeren Anfangsgeschwindigkeit werden die Ladungen zunächst fokussiert, aber die kinetische Energie der äußeren Teilchen reicht offenbar nicht aus, um die nächste Potentialbarriere zu überwinden. Die Coulombsche Abstoßungskraft der Ladungen untereinander blieb bei der Berechnung unberücksichtigt. E24∗ Elektrostatische Linse (aperiodischer Fall) Anstelle der periodischen Anordnung in Aufg. E23 soll nun der aperiodische Fall, d.h. zwei auf die Potentiale +φ0 bzw. −φ0 angehobene und einseitig ins Unendliche laufende, leitende Zylinder betrachtet werden, Abb. 1.48. Dabei darf der Abstand d diesmal als vernachlässigbar klein angesehen werden. a) Berechne das Potential sowie die elektrische Feldlinien. b) Leite zur Kontrolle das Potential der aperiodischen Anordnung aus dem Resultat (1.57) der Aufg. E23 durch einen Grenzübergang mit L → ∞, d.h. unendlicher Periodenlänge her.  ϕ

a −φ0

+φ0 d→0

z

Abb. 1.48. In der Mitte durchtrenntes, leitendes Rohr. Die Hälften haben die Potentiale ±φ0

Lösung: a) Bei dieser aperiodischen Anordnung wählen wir den Lösungsansatz (1.55). Aufgrund ihres singulären Verhaltens auf der Achse = 0 scheiden der natürliche Logarithmus sowie die Neumann-Funktion von vornherein aus. Ein linearer Term in z-Richtung ist ebenfalls nicht möglich, da er für z → ∞ zu einem unendlichen Potential führen würde. Dasselbe gilt auch für die Hyperbelfunktionen, so dass wir stattdessen Exponentialfunktionen verwenden.11 11

Natürlich kann das korrekte Potentialverhalten im Unendlichen auch durch eine Linearkombination von sinh und cosh erreicht werden, jedoch würde dies wegen cosh x ± sinh x = exp(±x) letztendlich auch wieder auf Exponentialfunktionen führen.

50

1. Elektrostatische Felder

Aufgrund des unstetigen Potentialverlaufs in z-Richtung, sind für die Bereiche z < 0 und z > 0 getrennte Ansätze aufzustellen  ∞ ' (    −φ + A J j0n e−j0n z/a für z > 0  0 n 0  a n=1 φ( , z) = (1.59) ∞ ' (    j z/a 0n  e Bn J0 j0n für z < 0 .  +φ0 + a n=1 Als Separationskonstante wurde hier p = j0n /a gesetzt, wobei j0n die Nullstellen der Bessel-Funktion J0 sein sollen. Damit verschwinden die Summen in (1.59) für = a und durch die konstanten Terme ±φ0 im Potentialansatz sind die Randbedingungen auf dem leitenden Rohr bereits erfüllt. Einen ersten Zusammenhang zwischen den Konstanten An und Bn erhalten wir, wenn wir die Stetigkeit der Normalkomponente der elektrischen Feldstärke beim Durchgang durch die Ebene z = 0 fordern   ∂φ  ∂φ  = → Bn = −An , ∂z  ∂z  z=+0

z=−0

wohingegen der notwendige stetige Übergang des Potentials auf die Beziehung ∞ ' (  (1.60) φ( , z = +0) = φ( , z = −0) → φ0 = An J0 j0n a n=1 führt. Im Zuge der nun folgenden Fourier-Bessel-Entwicklung werden beide Seiten von (1.60) mit J0 (j0m /a) multipliziert12 und über den orthogonalen Bereich 0 ≤ ≤ a integriert a ' a ' ∞  ( ( ' ( d = J0 j0m d . φ0 J0 j0m An J0 j0n a a a n=1 0 0 ! ! "# $ "# $ 2 n 2 2 J1 (j0m ) a /j0m δm J1 (j0m ) a /2 In der Summe verbleibt dabei nur das Glied n = m und mit den dadurch bekannten Konstanten Am lautet das resultierende Potential   ∞  J0 (j0n /a) −j0n |z|/a φ( , z) e . (1.61) = sign(z) −1 + 2 φ0 j J (j ) n=1 0n 1 0n Zur Veranschaulichung der Feldausbildung wurden in Abb. 1.49 sowohl die Äquipotentiallinien als auch die elektrischen Feldlinien dargestellt. Dabei erhält man die Feldlinien durch Konstanthalten des elektrischen Flusses (1.15) durch eine kreisförmige Fläche mit variablem Radius. Für z > 0 gilt dann 
ψe = −2πε0 0 12

∞  ∂φ J1 (j0n /a) −j0n z/a d = 4πε0 aφ0 e = const.. ∂z a j0n J1 (j0n ) n=1

dabei ist  die Gewichtsfunktion

Aufgabe E24∗

51

Dabei wurde das Integral  ' ( a2 ' ( J0 j0n d = J1 j0n a j0n a a verwendet. −φ0

+φ0

Abb. 1.49. Äquipotentialund Feldlinien am Übergang zweier leitender Rohrhälften mit den Potentialen ±φ0

b) Wir wollen jetzt versuchen, durch den Grenzübergang L → ∞ in der periodischen Potentiallösung (1.57) zur Lösung der aperiodischen Anordnung (1.61) zu gelangen. Da der Abstand d verschwindend klein sein soll, nimmt zunächst die Spaltfunktion in (1.57) den Wert 1 an ∞  nπz 1 I0 (nπ /L) 4 φ( , z) lim sin . =− φ0 π L→∞ n=1,3,5 n I0 (nπa/L) L

Im Verlauf des Grenzprozesses L → ∞ wird der Abstand zweier benachbarter Eigenwerte pn = nπ/L infinitesimal klein und die Summe geht in ein Integral über: 1 1 L 2π 1 dp 2π → dp , = → pn+1 − pn = L n 2 nπ L 2 p →

φ( , z) 2 =− φ0 π

∞ 0

I0 (p ) sin pz dp . I0 (pa) p

Solche uneigentlichen Integrale lassen sich vorteilhaft mit dem Residuensatz lösen. Dabei nutzen wir aus, dass der Integrand eine gerade Funktion hinsichtlich der Variablen p ist und schreiben mit sin x = (e jx − e−jx )/2j   ∞  ∞  I0 (p ) jpz I0 (p ) −jpz  φ( , z) 1 e dp − e =− dp =  φ0 2πj  p I0 (pa) p I0 (pa) −∞

1 {I1 − I2 } . =− 2πj

−∞

(1.62)

52

1. Elektrostatische Felder

Wie man sich leicht überzeugen kann, gilt I2 = −I1 . Wir fassen nun p als komplexe Variable auf und schließen den Integrationspfad des Integrals durch einen Halbkreisbogen mit unendlichem Radius in der oberen komplexen Ebene, Abb. 1.50. Für z > 0 liefert dieser Halbkreisbogen keinen zusätzlichen Beitrag, so dass sich das Integral nicht verändert hat. Für z < 0 würde man das Integral in der unteren komplexen Halbebene schließen, was hier aber aufgrund der Symmetrie nicht nötig ist. Im{p}

Polstellen r→0 R→∞ Re{p}

Abb. 1.50. Zur Lösung des uneigentlichen Integrals (1.62)

Da aus modifizierten Bessel-Funktionen mit imaginärem Argument gewöhnliche Bessel-Funktionen entstehen, erkennt man, dass die Polstellen des Integranden auf der imaginären Achse liegen und in der Form pa = j · j0n durch die Nullstellen der Bessel-Funktion J0 gegeben sind. Eine weitere Polstelle liegt im Ursprung der komplexen Ebene p = 0. Sie wird in Abb. 1.50 von einem Halbkreis mit Radius r → 0 umfahren. Nach dem Residuensatz wird dann aus dem Integral I1 in (1.62)  
j · j0n I1 = f (p) e jpz dp = 2πj Res f (p); p = e−j0n z/a + a (1.63) +πj Res {f (p); p = 0} . Die Berechnung der Residuen gestaltet sich wie folgt:   J0 (j0n /a) pa − j · j0n I0 (p ) j · j0n · =− Res f (p); p = = lim pa→j·j0n a I0 (pa) pa j0n J1 (j0n ) Res {f (p); p = 0} = lim

p→0

p − 0 I0 (p ) =1. p I0 (pa)

(1.64)

Dabei wurden bei der Grenzwertberechnung die Regel von L’ Hospital sowie die Zusammenhänge dI0 (x) = I1 (x) dx

,

I0 (jx) = J0 (x)

,

I1 (jx) = j J1 (x)

Aufgabe E25

53

verwendet. Nach Einsetzen der Residuen (1.64) in (1.63) und danach von (1.63) in (1.62) ergibt sich   ∞  J0 (j0n /a) −j0n z/a φ( , z) e = −1 + 2 , φ0 j J (j ) n=1 0n 1 0n was für z > 0 vollständig mit (1.61) übereinstimmt. E25 Homogen polarisierter Zylinder Gegeben ist ein sehr langer, in x-Richtung homogen polarisierter Zylinder vom Radius a, Abb. 1.51. Die Polarisation sei P = P0 ex . Berechne das Feld im Innen- und Außenraum des Zylinders.

y  P

z

ϕ 1

x

a

2 a)

b)

Abb. 1.51. (a) Homogen polarisierter Zylinder. (b) Feldlinien der dielektrischen Verschiebung (D-Linien)

Lösung: Es liegt ein ebenes Randwertproblem in Polarkoordinaten vor. Wegen ∇ · P = ∂P/∂x = 0 gilt (mit Ausnahme der Zylinderoberfläche) im gesamten Raum die zweidimensionale Laplace-Gleichung (1.10) ∇2 φ( , ϕ) =

1 ∂2φ ∂ 2 φ 1 ∂φ + + =0, ∂ 2 ∂ 2 ∂ϕ2

(1.65)

für welche mit Hilfe der Separation nach Bernoulli der allgemeine Lösungsansatz φ( , ϕ) = (A0 + B0 ln ) · (C0 + D0 ϕ) +  ∞   1 n + An + Bn n · (Cn cos nϕ + Dn sin nϕ) n=1

(1.66)

54

1. Elektrostatische Felder

aufgestellt werden kann.13 Auf der Oberfläche des Zylinders = a befindet sich nach (1.8) die Polarisationsflächenladung qF pol = n · P = e
· ex P0 = P0 cos ϕ

(1.67)

und es gelten die Stetigkeitsbedingungen (1.12). Die Stetigkeit der Tangentialkomponente von E wird durch ein stetiges Potential gewährleistet. Mit D = ε0 E + P = −ε0 ∇φ + P nach (1.4) und (1.7) lauten damit die entsprechenden Bedingungen für das Potential   ∂φ1 ∂φ2 P0 cos ϕ − = . (1.68) φ1 ( = a, ϕ) = φ2 ( = a, ϕ) , ∂ ∂
=a ε0 Das Potential muss für → ∞ abklingen, für = 0 endlich bleiben und die gleiche ϕ-Abhängigkeit wie die Polarisationsflächenladung (1.67) aufweisen. Die reduzierten Ansätze für das Potential in den Teilbereichen 1 und 2 lauten also a φ1 = A cos ϕ , φ2 = B cos ϕ . a Einsetzen in (1.68) liefert   1 a  P0 + = A=B , A a 2 
=a ε0

→

A=

aP0 2ε0

und schließlich mit cos ϕ = x und 2 = x2 + y 2 φ1 =

aP0 x 2ε0 a

,

φ2 =

xa aP0 . 2 2ε0 x + y 2

Das Potential im Innenraum steigt also linear mit der Koordinate x an, was damit ein homogenes elektrisches Feld E = −ex P0 /2ε0 zur Folge hat. Das Feld im Außenraum entspricht dem Feld eines x-gerichteten Liniendipols, vgl. (1.22) in Aufg. E8. In Abb. 1.51b wurden die D-Linien dargestellt. Man beachte, dass die elektrische Flussdichte D im Innenraum wegen D = ε0 E + P entgegengesetzt zur elektrischen Feldstärke, also in positive x-Richtung zeigt. E26 Ringladung über einem leitenden Halbraum mit dielektrischer Halbkugel In der Höhe h über dem leitenden Halbraum z < 0 befinde sich eine kreisringförmige Linienladung qL mit dem Radius b und dem Mittelpunkt auf der z-Achse. Ferner sei der halbkugelförmige Bereich r ≤ a, 0 ≤ ϑ ≤ π/2 mit homogener, dielektrischer Materie gefüllt, Abb. 1.52a. Zu bestimmen ist das elektrostatische Potential im gesamten Raum. Ferner soll das Ergebnis für den Spezialfall ε → ∞ überprüft werden. 13

siehe z.B. [Henke], Elektrostatische Felder IV

Aufgabe E26 z

a)

z

b)

b Ringladung qL P

h

ε0 ε

a

r ϑ ϕ

φ=0

55

2 h



ε0

ϑ c

1

ϕ qF (ϑ) =

 qL δ(ϑ − ϑ ) c

Abb. 1.52. (a) Ringladung über einem leitenden Halbraum mit dielektrischer Halbkugel. (b) Zur Berechnung des primären Potentials

Lösung: Wir bestimmen zunächst das erregende Potential φ(e) der Ringladung im freien Raum und beschreiben diese nach Abb. 1.52b mit Hilfe der Diracschen Deltafunktion δ(ϑ − ϑ ) als Flächenladung qF (ϑ) auf einer Kugelschale mit dem Radius c. Aus dem Bild ergeben sich sofort die geometrischen Zusammenhänge  h b c = b2 + h2 , cos ϑ = =: u , sin ϑ = . c c Die so eingeführte Flächenladung trennt den Gesamtraum in die beiden Teilräume 1 und 2, in denen jeweils die Laplace-Gleichung in Kugelkoordinaten     ∂ 1 ∂ ∂φ 2 2 ∂φ ∇ φ(r, ϑ) = r + sin ϑ =0 (1.69) ∂r ∂r sin ϑ ∂ϑ ∂ϑ gilt, wobei hier schon die Rotationssymmetrie der Anordnung berücksichtigt wurde. Der allgemeine Lösungsansatz14 lautet  0 ∞  1  Bn n φ(r, ϑ) = An r + n+1 · Cn Pn (u) + Dn Qn (u) r n=0

(1.70)

mit der Abkürzung u = cos ϑ. Die Kugelfunktionen erster Art Pn (u), die man in diesem Fall auch Legendre-Polynome nennt, sind überall regulär, während die Kugelfunktionen zweiter Art Qn (u) an den Orten ϑ = 0 und ϑ = π, also auf der Rotationsachse, singulär werden. Weil im vorliegenden Fall die Rotationsachse Teil des Rechenvolumens ist, müssen also die Funktionen zweiter Art von der Lösung ausgeschlossen werden. Da das Potential im Ursprung r = 0 nicht unendlich werden darf und für r → ∞ gegen null gehen muss, lassen sich in den beiden Teilräumen die reduzierten Ansätze 14

siehe z.B. [Henke], Elektrostatische Felder IV

56

1. Elektrostatische Felder

 ∞ ' r (n   A P (u)  n n  c φ(e) (r, ϑ) = n=0 ∞ ' c (n+1     Bn Pn (u)  r n=0

für r ≤ c mit

u = cos ϑ

für r ≥ c

aufstellen. Man beachte, dass die willkürlich vorgenommene Normierung des Abstandes r auf den Kugelschalenradius c keine Beschränkung der Allgemeingültigkeit darstellt. Solche Normierungen wirken sich hingegen günstig auf die Erfüllung der Stetigkeitsbedingungen aus. Die erforderliche Stetigkeit des Potentials am Kugelschalenradius r = c wird daher durch die Gleichheit der Konstanten An und Bn erreicht φ(e) (c + 0, ϑ) = φ(e) (c − 0, ϑ)

→

An = Bn .

Zur Bestimmung der verbleibenden Konstanten An wird das sprungartige Verhalten der Normalkomponente der dielektrischen Verschiebung beim Durchgang durch eine Flächenladung (1.13) herangezogen   ∂φ(e)  ∂φ(e)  qF (ϑ) (e) (e) − = Er (c + 0, ϑ) − Er (c − 0, ϑ) = ∂r r=c−0 ∂r r=c+0 ε0 ∞ 

→

(2n + 1)An Pn (u) =

n=0

qL δ(ϑ − ϑ ) . ε0

(1.71)

Um nun nach den Konstanten auflösen zu können, verwenden wir die Orthogonalitätseigenschaft der Legendre-Polynome und multiplizieren beide Seiten von (1.71) mit Pm (u) und integrieren über u im Bereich −1 ≤ u ≤ +1 +1 +1 qL (2n + 1)An Pn (u)Pm (u) du = δ(ϑ − ϑ )Pm (u) du . ε 0 n=0 −1 −1 "# $ "# $ ! ! n δm 2/(2n + 1) sin ϑ Pm (u ) ∞ 

(1.72)

Im rechten Integral wurde von der Ausblendeigenschaft der Diracschen Deltafunktion π

f (ϑ) δ(ϑ − ϑ ) dϑ = f (ϑ )

0

sowie von du = − sin ϑ dϑ Gebrauch gemacht. Damit lassen sich die Konstanten An in (1.72) eliminieren und das erregende Potential lautet  ∞ ' r (n    P (u ) P (u) für r ≤ c  n n c qL b n=0 φ(e) (r, ϑ) = ∞ ' c (n+1  2ε0 c    Pn (u ) Pn (u) für r ≥ c .  r n=0

Aufgabe E26

57

Es gilt nun, den Einfluss der Inhomogenitäten, d.h. des leitenden Halbraumes und der dielektrischen Halbkugel zu erfassen. Der Einfluss des leitenden Halbraumes lässt sich durch eine negative aber ansonsten gleichartige Ringladung in der Ebene z = −h simulieren. Wegen  0 für gerade n Pn (u ) − Pn (−u ) = 2P (u ) für ungerade n n ergibt sich für das Potential einer Ringladung vor einem leitenden Halbraum, im Folgenden primäres Potential φ(p) genannt,  ∞ ' r (n     Pn (u ) Pn (u) für r ≤ c  c qL b n=1,3,5 (p) φ (r, ϑ) = (1.73) ∞ ' c (n+1   ε0 c    P (u ) P (u) für r ≥ c .  n n  r n=1,3,5 Die sich in der dielektrischen Halbkugel als Folge des Potentials φ(p) einstellende Polarisation wird durch ein sekundäres Potential φ(s) in der Form  ∞ ' r (n     Cn Pn (u) für r ≤ a  a qL b n=1,3,5 (s) φ (r, ϑ) = ∞ ' a (n+1   ε0 c   C P (u) für r ≥ a  n n  r n=1,3,5 mit den noch unbekannten Konstanten Cn erfasst. Wie man sofort sieht, garantiert der Ansatz für φ(s) ein stetiges Potential an der Trennfläche r = a. Eben dort muss weiterhin die Normalkomponente der elektrischen Flussdichte D stetig sein, d.h.



 ∂ φ(s) + φ(p)  ∂ φ(s) + φ(p)  =ε ε0     ∂r ∂r r=a+0

 →

ε0

n ' a (n n+1 Cn Pn (u ) − a c a

woraus die Konstanten Cn folgen ' a (n n(εr − 1) Cn = − Pn (u ) c n(εr + 1) + 1

r=a−0

 =ε

,

 n ' a (n a

εr =

c

Pn (u ) +

n Cn a

ε . ε0

Das sekundäre Potential der polarisierten Halbkugel ist damit  ∞ ' r (n     ξn Pn (u ) Pn (u) für r ≤ a  c qL b n=1,3,5 (s)  ∗ n φ (r, ϑ) = − ∞ a  ε0 c  r   ξn Pn (u ) Pn (u) für r ≥ a  r c n=1,3,5

,

58

1. Elektrostatische Felder

mit den Abkürzungen r∗ =

a2 r

,

ξn =

n(εr − 1) . n(εr + 1) + 1

Zur Kontrolle betrachten wir den Spezialfall εr → ∞. Dann wird ξn = 1 und wir erhalten durch Vergleich mit (1.73) den einfachen Zusammenhang a φ(s) (r, ϑ) = − φ(p) (r∗ , ϑ) für r > a . r Dies ist aber nichts anderes als die Bestätigung des Spiegelungsgesetzes an der leitenden Kugel. Denn ein Körper mit unendlicher Permittivität verhält sich im Außenraum wie ein leitender Körper. In beiden Fällen steht das elektrische Feld senkrecht auf der Oberfläche des Kugel. Abb. 1.53 zeigt zur Veranschaulichung des Feldes die Äquipotentiallinien für zwei verschiedene Dielektrizitätskonstanten. a)

b)

Abb. 1.53. Äquipotentiallinien der betrachteten Randwertaufgabe in Kugelkoordinaten für a = h = b. (a) εr = 3. (b) εr = 10

E27∗ Lösung einer Poisson-Gleichung In den Aufgaben E22 bis E26 haben wir uns mit Randwertaufgaben beschäftigt, denen die Laplace-Gleichung zugrunde lag. Wie wir gesehen haben, kann man Punkt-, Linien- und Flächenladungen durch eine entsprechende Raumaufteilung und über die Stetigkeitsbedingungen berücksichtigen, ohne direkt die Poisson-Gleichung lösen zu müssen. Bei räumlichen Ladungsverteilungen könnte man das Potential eines infinitesimalen Elementes bestimmen und dann das Ergebnis über das ladungsbehaftete Volumen integrieren. Oftmals ist aber der direkte Weg über die Poisson-Gleichung einfacher. Die folgende Aufgabe zeigt die prinzipielle Vorgehensweise. Es soll das Potential eines endlich langen, homogen geladenen Hohlzylinders mit dem Innenradius a, dem Außenradius b und der Länge l als Lösung der Poisson-Gleichung in Zylinderkoordinaten berechnet werden, Abb.

Aufgabe E27∗

59

1.54a. Da die Anordnung weder in z- noch in -Richtung begrenzt ist, lässt sich das Potential zunächst nicht mit Hilfe unendlicher Reihen darstellen. Um dies dennoch zu ermöglichen, wird gemäß Abb. 1.54b eine künstliche Begrenzung in Form eines leitenden, geerdeten Zylinders eingeführt. Bei genügend großem Radius c ist der Einfluss dieses Zylinders vernachlässigbar.

l a)

qV 0

b)  c ϕ

a

b

a 1

b z

2

z

qV 0 φ=0

l

Abb. 1.54. (a) Homogen geladener Hohlzylinder. (b) Die Raumladung wird für die Feldberechnung konzentrisch mit einem leitenden, geerdeten Zylinder umgeben

Lösung: Für das vorliegende rotationssymmetrische Potential φ( , z) lautet die Poisson-Gleichung (1.9) in Zylinderkoordinaten  qV 0 1 für a ≤ ≤ b, |z| ≤ l/2 ∂ 2 φ 1 ∂φ ∂ 2 φ + 2 =− + (1.74) ∂ 2 ∂ ∂z ε0 0 sonst. . Wir nehmen zunächst eine Aufteilung des Rechengebietes in den Teilraum 1 (|z| < l/2) und in den ladungsfreien Bereich 2 (|z| > l/2) vor. Dann kann im Raum 2 der Lösungsansatz (1.55) verwendet werden. Dabei wird die Neumann-Funktion aufgrund ihres singulären Verhaltens ausgeschlossen und anstelle der Hyperbelfunktionen werden abklingende Exponentialfunktionen verwendet. Da außerdem das Potential auf dem Zylinder = c verschwinden muss, liegen auch die Separationskonstanten als p = j0n /a mit den Nullstellen j0n der Bessel-Funktion J0 bereits fest und man kann den reduzierten Ansatz   ∞ ' (  |z − l/2| (2) Bn J0 j0n φ ( , z) = exp −j0n c c n=1

60

1. Elektrostatische Felder

aufstellen. Im Bereich 1 ist der Lösungsansatz (1.55) wegen der vorhandenen Raumladung jedoch nicht mehr gültig. Wenn wir dort ebenfalls BesselFunktionen wählen, was im Hinblick auf die in der Ebene z = l/2 zu erfüllenden Stetigkeitsbedingungen sinnvoll ist, dann müssen in z-Richtung zunächst noch unbekannte Funktionen Zn (z) angesetzt werden ∞ ' (  Zn (z) . J0 j0n (1.75) φ(1) ( , z) = c n=1 Zur Bestimmung der Funktionen Zn wird (1.75) in (1.74) eingesetzt  2  ' ∞  ' (  d ( d2 Zn 1 d + + J0 j0n Zn J0 j0n = d 2 d c dz 2 c n=1   ' ∞  2 2  d Zn ( j0n qV 0 1 für a ≤ ≤ b − 2 Zn J0 j0n (1.76) =− = dz 2 c c ε0 0 sonst. n=1 Dabei wurde die Besselsche Differentialgleichung nullter Ordnung 1 f  (x) + f  (x) + f (x) = 0 x angewendet. Ferner kann die Orthogonalitätseigenschaft der Bessel-Funktionen c ' ' c2 2 ( ( n J0 j0m d = J (j0n ) δm J0 j0n c c 2 1 0

ausgenutzt werden. Multiplikation von (1.76) mit J0 (j0n /c) und Integration im Bereich 0 ≤ ≤ c liefert dann die inhomogene Differentialgleichung 2 d2 Zn j0n − Zn = Kn dz 2 c2

mit

qV 0 ε0

b

' ( d = J0 j0n c a     2 1 b b a ' a( J1 j0n . − J1 j0n j0n J12 (j0n ) c c c c

1 qV 0 2 Kn = − ε0 c2 J12 (j0n ) =−

(1.77)

Die Lösung von (1.77) setzt man wie üblich aus einem homogenen und einem partikulären Anteil zusammen ' z( c2 − Kn 2 Zn (z) = An cosh j0n c j0n und das Potential nimmt somit im gesamten Bereich < c die Form  ' z( c2   A − K cosh j für |z| ≤ l/2 ∞ n 0n n  ' ( 2  c j0n   φ( , z) = J0 j0m c  |z − l/2|  n=1 Bn exp −j0n für |z| ≥ l/2 c

Aufgabe E27∗

61

mit den noch zu bestimmenden Koeffizienten An und Bn an. Nun gibt es am Übergang z = l/2 zwischen den Teilbereichen keinen Anlass zu Unstetigkeiten, weder für das Potential noch für die elektrische Feldstärke, d.h. es gilt   l c2 φ( , l/2 − 0) = φ( , l/2 + 0) → An cosh j0n − Kn 2 = Bn 2c j0n       ∂φ  l ∂φ  = → An sinh j0n = −Bn . ∂z z=l/2−0 ∂z z=l/2+0 2c Nach Auflösen sind die Konstanten und damit das gesuchte Potential vollständig bekannt und man erhält für z ≥ 0 die Darstellung



∞ qV 0 c  ' ( b J1 j0n cb − a J1 j0n ac × (1.78) J0 j0n φ( , z) = − 3 J 2 (j ) ε0 n=1 c j0n 1 0n      z − l/2 z + l/2   + exp −j0n − 2 für 0 ≤ z ≤ l/2 exp +j0n c  c    × z + l/2 z − l/2   − exp −j0n für z ≥ l/2 . exp −j0n c c Das Resultat soll nun anhand von Spezialfällen, für die einfachere Lösungen existieren, überprüft werden. Dabei wird von einem Vollzylinder mit a = 0 ausgegangen. Man kann z.B. das elektrische Feld auf der Rotationsachse15 = 0 ohne weiteres mit Hilfe des Coulomb-Integrals (1.6) berechnen. Der Leser möge sich zur Übung selbst davon überzeugen, dass auf der Stirnseite der Raumladung die elektrische Feldstärke * +  qV 0 l b2 b 1+ − 1+ 2 (1.79) Ez ( = 0, z = l/2) = 2ε0 l l herrscht. Für c → ∞ muss (1.78) mit Ez = −∂φ/∂z numerisch denselben Wert liefern. Abbildung 1.55a zeigt die relative Abweichung vom exakten Ergebnis (1.79) in Abhängigkeit vom Radius der geerdeten Hülle. Für das gewählte Beispiel liegt der Fehler schon bei einem Radienverhältnis c/b = 3 unter 1%. Dabei ist zu bedenken, dass der Rechenaufwand mit größerem Radius c ansteigt, da die Konvergenz der unendlichen Reihe in (1.78) erst später einsetzt. Ein Hinweis darauf ist die leichte Welligkeit in der Fehlerkurve bei größeren Radien. Bei der numerischen Auswertung wurden konstant 200 Summenglieder berücksichtigt. Eine weitere gute Kontrolle lässt sich durch Betrachtung der elektrischen Feldstärke auf der Mantelfläche der Raumladung durchführen, wenn es sich um einen sehr langen Zylinder, l  b, handelt. Dann nämlich können die Randeffekte vernachlässigt werden und das Feld lässt sich mit dem 15

Außerhalb der Achse ist es nicht möglich, einen geschlossenen Ausdruck für die Feldstärke anzugeben und es wäre eine numerische Integration erforderlich.

62

1. Elektrostatische Felder

Gaußschen Gesetz ermitteln. Auch hier überlassen wir es dem Leser zu zeigen, dass das Feld den Grenzwert E0 = lim E
( = b) = l→∞

qV 0 b 2ε0

annimmt. In Abb. 1.55b wird deutlich, wie das aus (1.78) mit E
= −∂φ/∂ numerisch gewonnene Feld bei zunehmender Zylinderlänge dem Wert E0 zustrebt. 10%

1

a)

b)

8%

0.9

6%

0.8

E
(b, 0)/E0

∆Ez (0, l/2)/Ez 4%

0.7

2%

0.6

0

1

2

3

4

c/b −→

5

0.5

0

2

4

6

8

l/b −→

10

Abb. 1.55. (a) Relativer Fehler der elektrischen Feldstärke am Ort  = 0, z = l/2 für a = 0 und l = b. (b) Elektrische Feldstärke am Ort  = b, z = 0 bezogen auf das elektrische Feld auf der Oberfläche eines unendlich langen Zylinders für a = 0 und c = 3b

S

Abb. 1.56. Äquipotentiallinien eines homogen geladenen Hohlzylinders

Ergänzungsaufgaben

63

Abschließend sind in Abb. 1.56 die Äquipotentiallinien eines geladenen Hohlzylinders dargestellt. Im Mittelpunkt stellt sich dabei ein singulärer Punkt S mit verschwindender Feldstärke ein. Es lässt sich zeigen, dass in unmittelbarer Umgebung dieses singulären Punktes die durch S verlaufende Äquipotential√ fläche durch einen Kreiskegel mit dem Öffnungswinkel α = 2 arctan 2 ≈ 109o angenähert werden kann.

Ergänzungsaufgaben Aufgabe E28: Gegeben ist eine kreisförmige, dünne Scheibe vom Radius a, die homogen mit der Gesamtladung Q belegt ist. Mit welcher Kraft senkrecht zur Scheibe wird eine Punktladung Q abgestoßen, die sich auf dieser Scheibe befindet? Lösung:

Kn =

Kn

Gesamtladung Q

Q2 2πε0 a2

leitende Hohlkugel

Aufgabe E29: Gegeben ist eine kugelförmige, homogene Flächenladung qF mit Radius a. a) Wie groß ist die elektrostatische Feldenergie der Anordnung? b) Wie groß ist die Feldenergie wenn die Flächenladung konzentrisch von einer leitenden, ungeladenen Hohlkugel mit dem Innenradius b > a und der Wandstärke d umhüllt wird?

Lösung:

a)

Q

a

We = qF2

2πa3 ε0

,

b)

b

We = qF2

Aufgabe E30: Im Luftzwischenraum eines ebenen Plattenkondensators (Plattenfläche F , Abstand d und Randeffekte vernachlässigbar) befinde sich isoliert eine weitere dünne Platte gleicher Fläche, welche die gleichmäßig verteilte Gesamtladung Q trägt. a) Wie groß ist das elektrische Feld, wenn zwischen den Platten die Spannung U0 liegt? b) Welche Kraft wirkt auf die innere Platte?

d

a qF

2πa4 ε0

„

1 1 1 − + a b b+d

F φ=0

F

«

F

a

b

1

2

φ = U0

x

64

1. Elektrostatische Felder

Lösung:

a)

E1 = −

b)

K=

U0 b Q − d d ε0 F

,

E2 = −

Q (E1 + E2 ) ex 2

Aufgabe E31: Der Bereich zwischen zwei parallel angeordneten Elektroden mit der Fläche F und dem Abstand a sei homogen mit einer Raumladung der Dichte qV gefüllt. Die linke Elektrode habe das Potential φ = 0 und die rechte Elektrode habe das Potential φ = U0 . a) Bestimme das Potential im Raumladungsbereich unter der Voraussetzung, dass das Potential nur von der Koordinate x abhängig ist. b) Welche Ladung befindet sich auf der rechten Elektrode? Lösung:

a)

b)

F

φ=0

φ = U0

a Raumladung qV

x

„ « x q V a2 x x2 + − 2 a 2ε0 a a „ « ε0 U0 qV a Q= − F a 2

K=

QqV R2 a arctan ey 2ε0 a h

2

K=

»

Q 1 1 −√ 4πε0 h a a2 + h 2

y

Q

h R

−a

a

z Q h

Q a

– ez

x

qV

z

Aufgabe E33: Auf einem Ring mit dem Radius a ist die Gesamtladung Q homogen verteilt. Welche Kraft wirkt auf eine homogene Linienladung, die auf der z-Achse im Bereich 0 ≤ z ≤ h angeordnet ist und ebenfalls die Gesamtladung Q hat?

Lösung:

F

φ(x) = U0

Aufgabe E32: Eine Raumladung ist homogen mit der Dichte qV in einem unendlich langen Zylinder vom Radius R verteilt. In der Höhe h darüber wird rechtwinklig zur Zylinderachse ein gleichmäßig mit der Gesamtladung Q geladener Stab der Länge 2a angeordnet. Berechne die Kraft auf den Stab.

Lösung:

U0 a Q + d d ε0 F

x

y

Ergänzungsaufgaben

Aufgabe E34: In der Ebene z = 0 befindet sich eine kreisförmige Linienladung mit der Gesamtladung Q und dem Radius a. Man berechne das elektrische Feld auf der z-Achse, wenn sich eine leitende, geerdete Kugel mit dem Radius b < a im Koordinatenursprung befindet.

Lösung:

E=

Q 4πε



z

y x

v0 ≥

q 4

a

ez

Q R z=0

z

φ=0 q, m v0

2 πε0 ma

Aufgabe E37: Gegeben sind drei homogene, kugelförmige Raumladungen, die durch Punktladungen Q, bzw. −2Q in ihren Mittelpunkten ersetzt werden können. Die Ladungen Q haben jeweils den Abstand a zur Ladung −2Q und die beiden Achsen zwischen den positiven Ladungen und der negativen Ladung bilden wie im Bild angegeben den Winkel α. Bestimme das äquivalente Dipolmoment der Anordnung.

b

ff

z b z − a (b4 /a2 + z 2 )3/2 (a2 + z 2 )3/2

Aufgabe E36: Eine Punktladung (Ladung q, Masse m) befinde sich im Abstand a vor einer unendlich ausgedehnten leitenden geerdeten Platte. Welche Anfangsgeschwindigkeit benötigt die Punktladung, um ins Unendliche befördert zu werden? Lösung:

leitende, geerdete Kugel

Q

Aufgabe E35: Eine Punktladung (Masse m, Ladung q) bewege sich geradlinig auf der zAchse. Konzentrisch um die z-Achse ist am Ort z = 0 ein homogen geladener Ring mit dem Radius R und der Gesamtladung Q an- q, m v0 geordnet. Beide Ladungen haben das gleiz = −a che Vorzeichen. Welche Mindestgeschwindigkeit v0 benötigt die Punktladung im Punkt z = −a, um durch den Ring hindurchzufliegen? s  ff 1 qQ 1 Lösung: v0 > −√ 2πε0 m R R2 + a2

r

65

a

y Q α Q −2Q

a

x

66

1. Elektrostatische Felder

Lösung:

pe = 2Qa cos

α 2

Aufgabe E38: Auf der z-Achse befindet sich mit Ausnahme des Ortes z = 0 eine unendlich lange Dipolkette. Die Dipole haben das Moment pe und den gegenseitigen Abstand a voneinander. Bestimme das elektrische Feld im Koordinatenursprung. Lösung:

E=

pe pe pe pe

z a

E0 a

ϕ

qF (ϑ) = 3ε0 E0 cos ϑ

P0 [f (z + h) − f (z − h)] 2 p mit f (ζ) = ζ/ a2 + ζ 2

z a h

P

Dz =

Aufgabe E41: Man bestimme die Kapazität C  pro Längeneinheit eines unendlich langen, dünnen, leitenden Drahtes vom Radius a, der in der Höhe h über dem Erdboden verläuft.

Lösung:

ϑ z

Aufgabe E40: Gegeben ist ein homogen polarisierter Stab mit der Höhe 2h und dem Radius a. Die Polarisation sei P = P0 ez . Berechne die elektrische Flussdichte D auf der z-Achse.

Lösung:

pe pe pe

∞ pe pe X 1 ≈ 1.202 πε0 a3 i=1 i3 πε0 a3

Aufgabe E39: Bestimme die Ladungsverteilung qF (ϑ) auf einer leitenden Kugel, die in ein ursprünglich homogenes elektrisches Feld der Stärke E0 eingebracht wird. Hinweis: Das Störfeld der Kugel kann proportional zu einem Dipolfeld angesetzt werden.

Lösung:

y

C =

2πε0 ln(2h/a)

x

ah

h Erdboden

y h

Ergänzungsaufgaben

Aufgabe E42: Vor einem leitenden, geerdeten Winkel befinde sich gemäß Abbildung eine kleine, leitende Kugel mit dem Radius a  h. Berechne die Kapazität der Anordnung.

„ Lösung:

C = 4πε0

1 1 1 − + √ a h 2 2h

h

a

h

«−1

Aufgabe E43: Bestimme die Kapazität pro Längeneinheit eines unendlich langen Zylinderkondensators mit Innenradius a und Außenradius b, der zur Hälfte mit Dielektrikum ε = ε0 gefüllt ist.

Lösung:

67

b a

 ff−1 b C = π(ε0 + ε) ln a 

Aufgabe E44: Ein Kugelleiter (Radius a, Ladung Qa ) werde konzentrisch von einer leitenden Hohlkugel (Radius b, Ladung Qb ) umschlossen. Der Bereich a ≤ r ≤ b, 0 ≤ ϕ ≤ 2π und 0 ≤ ϑ ≤ α ist mit Dielektrikum gefüllt. Berechne die Energieänderung des elektrischen Feldes ∆We , wenn beide Elektroden leitend miteinander verbunden werden.

ε

z

α

ε Qb

ε0

Qa

a b ϕ

Lösung:

∆We = −

1 Q2a b − a 4π ab ε(1 − cos α) + ε0 (1 + cos α)

Aufgabe E45: Gegeben ist eine sehr kleine metallische Kugel mit Radius r1 und eir1 ne große mit Radius r2 . Der Abstand zwi+Q schen den Kugelmittelpunkten sei d. Die Kugeln tragen entgegengesetzt gleiche Ladungen ±Q. Man bestimme die Kapazität der Anordnung. 4πε0 Lösung: C = 1 r2 − d r2 1 1 + − 2 + − r1 d2 d − r22 r2 d

−Q

d r1

r2

68

1. Elektrostatische Felder

Aufgabe E46: Die Ebenen x = 0 und x = a sowie y = 0 und y = b bilden eine leitende geerdete Bewandung. Der Bereich 0 < x < a, 0 < y < c sei in y-Richtung polarisiert: πx P = ey P0 sin a

y

φ=0

π(b − y) aP0 πx πc φ2 = sin sinh sinh πε0 a a a

Aufgabe E47: Ein leitender Halbzylinder befindet sich isoliert in sehr kleinem Abstand über einem leitenden Halbraum. Der Halbzylinder habe das Potential φ0 , der Halbraum das Potential φ = 0. Berechne das Potential φ(, ϕ) der Anordnung.

Lösung:

ffi

x

πb sinh a

y P

φ = φ0  a

φ=0

ϕ x

φ(, z) =



φ=0

a

ϕ

z

εr

qF

“ ” 1 qF 0 a e−j01 |z|/a J0 j01 j01 ε0 (1 + εr ) a

Aufgabe E49: Gegeben ist ein dielektrisches Medium (εr ) mit einem kugelförmigen Hohlraum vom Radius a. Im Mittelpunkt des Hohlraumes befinde sich ein elektrostatischer Dipol mit dem Moment pe = ez p0 .

z ϑ

εr ε0

ε0

φ(r ≤ a, ϑ) =

p0 4πε0 a2



a2 r 1 − εr +2 r2 a 1 + 2εr

ff cos ϑ

P r

pe

Bestimme das Potential im Hohlraum.

Lösung:

c

P

∞ „ «2n−1 sin(2n − 1)ϕ 4X a φ(, ϕ) = φ0 π n=1  2n − 1

Aufgabe E48: Gegeben ist ein unendlich langes, geerdetes Metallrohr vom Radius a. Das Rohr ist für z > 0 mit Dielektrikum εr = 1 gefüllt. In der Ebene z = 0 befinde sich die Flächenladung qF = qF 0 J0 (j01 /a), wobei j01 die erste Nullstelle der Bessel-Funktion J0 sein soll. Bestimme das Potential innerhalb des Rohres. Lösung:

b

1

Bestimme das Potential im Bereich 2. Lösung:

a

ε0 2

a



2. Stationäres Strömungsfeld

S

Zusammenfassung wichtiger Formeln Unter einem stationären Strömungsfeld versteht man ein Feld mit zeitlich konstanten Feldgrößen, in welchem eine Strömung von Ladungen mit konstanter Geschwindigkeit vorliegt. Prinzipiell gilt der Erfahrungssatz von der Invarianz der Ladung, nach dem die zeitliche Abnahme der Gesamtladung Q in einem Volumen V mit dem Fließen eines Stromes I durch die Oberfläche O dieses Volumens verbunden ist dQ . (2.1) I=− dt Diese integrale Gesetzmäßigkeit hat ihre differentielle Entsprechung in der Kontinuitätsgleichung ∂qV , ∂t wobei J die ortsabhängige Stromdichte im Volumen V ist. ∇·J =−

(2.2)

Grundgleichungen Im stationären Strömungsfeld mit ∂qV /∂t = 0 gelten die Grundgleichungen in differentieller bzw. integraler Form
E · ds = 0 ∇×E =0 ,
S (2.3) ∇·J =0 , J · dO = 0 O

sowie das Ohmsche Gesetz als Materialgleichung J = κE mit der Leitfähigkeit κ des stromführenden Mediums.

(2.4)

70

2. Stationäres Strömungsfeld

Das stationäre Strömungsfeld verhält sich analog zum elektrostatischen Feld in ladungsfreien Gebieten und kann wie dieses durch ein skalares Potential φ, Gl. (1.4), beschrieben werden, welches in Gebieten mit konstanter Leitfähigkeit κ die Laplace-Gleichung erfüllt ∇2 φ = 0

,

E = −∇φ .

(2.5)

Elementare Stromquellen In Analogie zur Elektrostatik stellt die punktförmige Stromquelle die einfachste Elementarquelle des stationären Strömungsfeldes dar. Deren Potential und Stromdichte ist I I R φ= , J= , (2.6) 4πκR 4π R3 wobei R der vektorielle Abstand von der Punktquelle zum betrachteten Aufpunkt ist. Punktförmige Stromquellen treten z.B. als tief im Erdreich vergrabene, gut leitende, kleine Kugelerder mit isolierter Zuleitung auf (s. z.B. Aufg. S1). Elementarquelle eines zweidimensionalen Strömungsfeldes ist eine Linienquelle, aus welcher der Strom I  pro Längeneinheit radial in die leitende Umgebung austritt. Das Potential im Abstand R von dieser Linienquelle ist analog zu (1.5c) φ=−

R I ln . 2πκ R0

(2.7)

In Aufg. S2∗ werden wir eine solche Linienquelle verwenden. Rand- und Stetigkeitsbedingungen Sprungstellen der Leitfähigkeit κ geben Anlass zu Unstetigkeiten der elektrischen Feldverteilung, Abb. 2.1a. a)

n

κ2

b)

E2 F E1

κ1

n E

κ=0

F

κ = 0

Abb. 2.1. (a) Sprungstelle der Leitfähigkeit. (b) Grenzfläche zwischen einem leitenden und einem nichtleitenden Gebiet

Die Stetigkeitsbedingungen lauten:

Zusammenfassung wichtiger Formeln

n × E2 − E1 F = 0 ,

n · J2 − J1 F = 0 .

71

(2.8)

Auf der Oberfläche eines Leiters verschwindet dagegen die Normalkomponente der elektrischen Feldstärke, wenn der umgebende Raum nichtleitend ist, Abb. 2.1b  n · E F = 0 . (2.9) Stromwärmeverluste und Widerstand Zwischen den Feldgrößen eines Strömungsfeldes E und J und der im stromdurchflossenen Volumen V entstehenden Verlustleistung PV besteht der Zusammenhang   1 2 J dV = I 2 R , PV = E · J dV = (2.10) κ V V wobei R der Ohmsche Widerstand des leitenden Volumens ist und I der Gesamtstrom. Spiegelungsverfahren Aufgrund der schon erwähnten Analogie zum elektrostatischen Feld gibt es auch im stationären Strömungsfeld die Möglichkeit der Spiegelung. Als Beispiel sei der zur Abb. 1.6 analoge Fall zweier aneinander grenzender, leitender Halbräume mit einer punktförmigen Stromquelle betrachtet, Abb. 2.2. I

a) h

I

b)

(1 − k)I

c)

κ1

h

κ1

κ2

h

κ1

h

κ1

κ1 κ 2 − κ1 −kI k= κ 2 + κ1 Abb. 2.2. Spiegelung einer punktförmigen Stromquelle an der Trennfläche zwischen zwei leitenden Halbräumen. (a) Originalanordnung. (b) Ersatzanordnung für das Potential im oberen Halbraum. (c) Ersatzanordnung für das Potential im unteren Halbraum

Die angegebene Spiegelung gilt bei Verwendung des Potentials bzw. der elektrischen Feldstärke E. Zur Ermittlung der jeweiligen Stromdichten muss mit den entsprechenden Materialkonstanten κ1 bzw. κ2 multipliziert werden. Bei Hinzunahme einer weiteren Trennebene (Dreischichtenproblem) wird ein unendlicher Spiegelungsprozess erforderlich (vgl. Aufg. S2∗ ).

72

2. Stationäres Strömungsfeld

Aufgaben S1 Kugelerder, Schrittspannung Um die Rückleitung vom Verbraucher zum Kraftwerk einzusparen, wird der Rückstrom über einen Kugelerder ins Erdreich geleitet. Um Menschen und Tiere an der Erdoberfläche nicht zu gefährden, darf die Schrittspannung bei einer Schrittweite s einen vorgegebenen Maximalwert nicht überschreiten. Ein sehr kleiner Kugelerder mit dem Radius a ist in der Tiefe T  a im Erdreich vergraben und wird mit dem Strom I versorgt, Abb. 2.3. Berechne die Schrittspannung am Ort . Gib ferner den Ort = m maximaler Schrittspannung für den Fall an, dass die Schrittweite wesentlich kleiner als die Tiefe des vergrabenen Erders ist. Wie groß ist schließlich der Übergangswiderstand, d.h. der Quotient aus dem Potential auf der Oberfläche des Erders und dem Strom I?

I A r2 s

r1 

I

a

T

κ

Kugelerder

Abb. 2.3. Ein im Erdreich vergrabener, kleiner Kugelerder wird mit dem Strom I gespeist.

Lösung: Nimmt man an, dass der Radius des Kugelerders sehr klein ist, so stellt er eine punktförmige Stromquelle dar, die in einem homogenen, leitfähigen Gesamtraum nach (2.6) das primäre Potential I 4πκr hervorrufen würde, wobei r der Abstand zum Erder ist. Dieses radialhomogene Feld wird natürlich durch die Erdoberfläche beeinflusst, da die Stromlinien diese nicht durchdringen können, Abb. 2.4. Ein Blick auf das dargestellte Strömungsfeld in Abb. 2.4 und ein Vergleich mit den elektrischen Feldlinien φ(p) (r) =

Aufgabe S1

73

zweier gleichnamiger Punktladungen zeigt, dass der Einfluss der Erdoberfläche durch eine fiktive, punktförmige Stromquelle I im oberen Halbraum erfasst werden kann, die ebenfalls die Entfernung T vom Erdboden hat.

I Abb. 2.4. Verlauf der Äqupotentiallinien (gestrichelt) und Stromlinien bei Speisung eines Kugelerders mit dem Strom I. An der Erdoberfläche existiert keine Normalkomponente der Stromdichte

Die gespiegelte Stromquelle ruft auf der Erdoberfläche dasselbe Potential wie die Quelle im unteren Halbraum hervor, so dass nur ein Faktor 2 hinzukommt. Das resultierende Potential auf der Erdoberfläche ist daher 1 I  . (2.11) φ( ) = 2πκ 2 + T 2 Daraus folgt die gesuchte Schrittspannung als Potentialdifferenz U = φ( − s/2) − φ( + s/2) =   T T  = U0  & −& 2 2 2 2 T + ( − s/2) T + ( + s/2)

(2.12) ,

U0 =

I . 2πκT

Der Ort maximaler Schrittspannung entspricht näherungsweise dem Ort maximaler Feldstärke, denn bei kleinen Schrittweiten gilt U ≈ E · s. Anstatt also das von der Schrittweite s abhängige Maximum von (2.12) zu ermitteln, suchen wir besser das Maximum der elektrischen Feldstärke auf der Erdoberfläche. Dort ist aber E
= −dφ/d und folglich muss am Ort maximaler Feldstärke die Bedingung  d2 φ  =0 d 2 
=
m

eingehalten werden. Zweimaliges Differenzieren von (2.11) liefert dann den gesuchten Ort auf der Erdoberfläche 

1 2m + T 2

3

− 3

2m 2m + T 2

5

=0

→

T m = √ . 2

Wie man in Abb. 2.5 erkennt, stimmt dieser Wert recht gut. Die Leitfähigkeit des Erdbodens schwankt im Bereich 10−4 bis 10−2 (Ωm)−1 . Wir wählen als Beispiel einen mittleren Wert κ = 10−3 (Ωm)−1 . Dann ergibt sich für

74

2. Stationäres Strömungsfeld

I = 10 A, T = 2 m und s = 1 m eine maximale Schrittspannung von etwa 150 V, was ein durchaus schon bedenklicher Wert ist.

−→

0.4

T /s = 1

0.3

U/U0 0.2

2 0.1

4 0.0

0

1

/T −→

2

3

Abb. 2.5. Schrittspannung auf der Erdoberfläche nach Gl. (2.12) in Abhängigkeit vom Abstand  und für verschiedene Tiefen T

Zur Berechnung des Übergangswiderstandes benötigen wir das Potential auf der Oberfläche des Kugelerders. Es setzt sich zusammen aus dem Beiträgen der punktförmigen Stromquelle im Erdboden sowie der gespiegelten Stromquelle im oberen Halbraum. Daraus folgt 1 ' a ( φErder ≈ 1+ für a T . RErder = I 4πκa 2T Mit denselben Parametern wie oben und einem Kugelradius von 20 cm ergibt sich ein Übergangswiderstand von etwa 400 Ω. S2∗ Vierspitzenmethode Zur Messung des spezifischen Widerstandes eines Materials wird gerne die Vierspitzenmethode verwendet. Auf die ebene Oberfläche der Probe werden dabei vier Spitzen entlang einer geraden Linie mit den definierten Abständen s1 , s2 und s3 aufgesetzt, Abb. 2.6. An die äußeren Spitzen wird eine Spannung angelegt, so dass ein Strom I durch das Material fließt. Über die mittleren Spitzen wird die Messspannung abgegriffen. Aus dieser soll die Leitfähigkeit des Materials bestimmt werden. a) Berechne unter der Annahme eines sehr dicken Materials (d → ∞) die Leitfähigkeit κ der Probe aus den gemessenen Strom- und Spannungswerten. Außerdem ist von einer unendlich ausgedehnten Oberfläche auszugehen. b) Wie lautet das Ergebnis für den Fall d s, d.h. einer sehr dünnen, unendlich ausgedehnten Platte? c) Berücksichtige nun die endliche Dicke der Platte mit Hilfe des Spiegelungsverfahrens.

Aufgabe S2∗

75

Hinweis: Die Spitzen sind als punktförmige Stromquellen aufzufassen.

A V

s1

Materialprobe

s3

s2

d

κ

Abb. 2.6. Anordnung der vier Spitzen auf der Oberfläche eines leitenden Materials

Lösung: a) Den Einfluss der Oberfläche der Materialprobe kann man sehr einfach dadurch erfassen, dass man mit dem doppelten Strom rechnet, der dann aber im Gesamtraum mit der Leitfähigkeit κ = 0 fließt, Abb. 2.7.

κ Umess −2I

2I

s1

s2

s3

Abb. 2.7. Ersatzanordnung für den Fall eines leitenden Halbraumes als Materialprobe

Aus dem Potential einer punktförmigen Stromquelle (2.6) ergibt sich nach dem Superpositionsprinzip die Messspannung als Potentialdifferenz an den inneren Spitzen   1 I 1 1 1 − − + . Umess = 2πκ s1 s1 + s2 s2 + s3 s3 Die gesuchte Leitfähigkeit ist also   1 1 1 1 1 I − − + κ= Umess 2π s1 s1 + s2 s2 + s3 s3 oder für den praktisch wichtigen Fall gleicher Spitzenabstände κ=

I Umess

1 2πs

für s1 = s2 = s3 = s .

(2.13)

76

2. Stationäres Strömungsfeld

b) Im Falle einer sehr dünnen Materialprobe verläuft die Strömung im wesentlichen tangential zur Oberfläche. Da es sich damit um ein zweidimensionales Feld handelt, verwenden wir diesmal das logarithmische Potential (2.7) mit I  = ±I/d und erhalten durch Superposition die Messspannung   I s1 + s2 s2 + s3 s3 s1 − ln − ln + ln Umess = − ln 2πκd R0 R0 R0 R0 und daraus die gesuchte Leitfähigkeit zu κ=−

s1 s3 1 I ln Umess 2πd (s1 + s2 )(s2 + s3 )

oder wieder bei gleichen Spitzenabständen κ=

I Umess

ln 2 πd

für s1 = s2 = s3 = s .

(2.14)

c) Soll die endliche Dicke des Materials berücksichtigt werden, so kann man durch einen unendlichen Spiegelungsprozess der Stromquellen an den Oberflächen die dort erforderlichen Randbedingungen erfüllen, Abb. 2.8.

2I

2I

2I

2I

−2I

−2I

−2I

−2I

d

d

d

d

d

d

Abb. 2.8. Spiegelung der punktförmigen Stromquellen an den beiden Oberflächen einer leitenden Platte endlicher Dicke

Bei gleichen Spitzenabständen lautet dann die Messspannung   ∞ I  1 1  − . Umess = πκ n=−∞ s2 + (2nd)2 (2s)2 + (2nd)2 Nach Zusammenfassen der positiven und negativen Indices in der Summe lässt sich daraus die Leitfähigkeit in der Form   d 1 I F κ= (2.15) Umess 2πd s

Aufgabe S2∗

mit dem von der Plattendicke abhängigen Faktor 6  7 ∞  1 1  F (ζ) = ζ 1 + 2 − 0.25 + (nζ)2 1 + (nζ)2 n=1

77

(2.16)

angeben. Wie immer bei etwas komplexeren Berechnungen erhebt sich an dieser Stelle natürlich die Frage, ob das alles richtig ist. Wir unterziehen daher das Ergebnis einer strengen Kontrolle. Es muss sich nämlich im Grenzfall d/s → 0 das Resultat (2.14) der dünnen Platte einstellen. Bei diesem Grenzübergang wird ζ zu einer differentiell kleinen Größe, die wir dx nennen wollen. Die Summe wird also zu einem Integral, wobei das Produkt nζ als Integrationsvariable x aufgefasst werden kann   ∞  1 1 ζ → dx √ −√ dx . → F (ζ → 0) = 2 nζ → x 0.25 + x2 1 + x2 0

1

Die Lösung des Integrals ist ∞ √ x + 0.25 + x2  √ F (ζ → 0) = 2 ln  = 2 ln 2 . x + 1 + x2  0 Nach Einsetzen in (2.15) erhält man so das für die dünne Platte gültige Ergebnis (2.14).

−→

10

F

„ « d s

1 0.01

0.1

1

d/s −→ 10

Abb. 2.9. Verlauf der Funktion F (d/s), Gl. (2.16)

Abb. 2.9 gibt Aufschluss über den Verlauf der Funktion F (d/s). In der doppelt logarithmischen Darstellung erkennt man sehr schön den Gültigkeitsbe1

siehe z.B. [Bronstein] Integral Nr. 192

78

2. Stationäres Strömungsfeld

reich der in den Aufgabenteilen a) und b) gefundenen Resultate (2.13) und (2.14). Sie stellen die gestrichelt eingezeichneten Asymptoten dar. Bis zu einem Abmessungsverhältnis d/s = 0.1 ist die Annahme einer sehr dünnen Platte durchaus berechtigt, während man ab einem Abmessungsverhältnis d/s > 4 schon von einer unendlich dicken Probe ausgehen kann. S3 Elektrolytischer Trog Aufgrund der Äquivalenz zwischen den Verschiebungslinien einer Elektrodenanordnung in einem Dielektrikum und den Stromlinien derselben Elektrodenanordnung in einem Elektrolyten ist es möglich, Potentialfelder in einem sogenannten elektrolytischen Trog auszumessen. Ein Trog aus isolierendem Material wird zu diesem Zweck mit einem Elektrolyten gefüllt, in welchen die auszumessende Feldanordnung eingebracht wird. Mit Hilfe einer bis auf die Spitze isolierten Sonde können dann die Potentialwerte in irgendeinem Punkt aufgenommen werden. Die Trogwände stellen bei dieser Methode eine willkürliche Begrenzung dar und erzwingen ursprünglich nicht vorhandene Randbedingungen für das elektrische Feld. Um den daraus resultierenden Messfehler klein zu halten, sind die Trogabmessungen möglichst groß zu wählen. Als Beispiel soll hier als auszumessende Feldanordnung eine sehr lange Doppelleitung, deren Stränge die gegenseitige Entfernung 2c und den Radius a c aufweisen, betrachtet werden. Sie wird mittig in einen elektrolytischen Trog mit quadratischem Querschnitt der Kantenlänge 2b eingeführt, Abb. 2.10. Zu bestimmen ist die Potentialverteilung im Trog, wenn an die Leitung eine Gleichspannung U angelegt wird und der Elektrolyt die Leitfähigkeit κ besitzt. a)

y

y

b)

∂φ/∂y = 0

Trogwand 2b

2b 2c

∂φ/∂x = 0 a

b

2 1

a

x

∂φ/∂x = 0 qL

c

−b

b

x

φ=0 Elektrolyt Abb. 2.10. (a) Elektrolytischer Trog mit Doppelleitung. (b) Analoges elektrostatisches Randwertproblem und Raumaufteilung

Hinweis: Randeffekte aufgrund der endlichen Länge der Leitung sind zu vernachlässigen (zweidimensionales Potentialproblem).

Aufgabe S3

79

Lösung: Die sich nach Anlegen einer Spannung ausbildenden Stromlinien können die Trogwände nicht durchstoßen. Damit verschwindet dort die Normalableitung des Potentials, ∂φ/∂n = 0, und es liegt folglich ein Randwertproblem zweiter Art des stationären Strömungsfeldes vor. Außerhalb der Stromquellen gilt die Laplace-Gleichung (2.5) mit dem zweidimensionalen Lösungsansatz (1.49). Die kleinen Radien der Leitungen erlauben es nun, ersatzweise in deren Mittelpunkten linienförmige Stromquellen anzuordnen. Derartige Stromquellen stellen Feldsingularitäten dar, da das Potential nach (2.7) einen logarithmischen Pol aufweist. Im Folgenden wollen wir von der schon in der Einleitung zur Aufgabenstellung erwähnten Analogie zum elektrostatischen Feld Gebrauch machen. Dann liegen anstelle der Stromquellen im Elektrolyt jetzt Linienladungen ±qL im dielektrischen Medium ε0 vor. Da diese Linienladungen wiederum unendlich große Raumladungsdichten beinhalten, gilt an ihrem Ort die Laplace-Gleichung nicht mehr. In einem solchen Fall behelfen wir uns damit, dass eine die Linienladung enthaltende Trennfläche das Gebiet in Teilbereiche unterteilt, in denen die LaplaceGleichung gilt. Der Linienladung wird dann mit Hilfe der Diracschen Deltafunktion eine Flächenladungdichte qF zugeordnet, für welche die Stetigkeitsbedingungen (1.13) erfüllt werden müssen. In unserem Fall kann die Raumaufteilung wie in Abb. 2.10b vorgenommen werden, wobei auch eine andere Aufteilung denkbar wäre. Aus Symmetriegründen genügt die Betrachtung des oberen Halbraumes. Ebenfalls aus Symmetriegründen werden in der allgemeinen Lösungssumme (1.49) nur die Kosinusfunktionen und das konstante Glied in x-Richtung auftreten. Aufgrund der homogenen Randbedingungen zweiter Art auf den Flächen x = ±b ergeben sich die Eigenwerte p zu nπ , n = 1, 2, 3, . . . . sin pb = 0 → p = b In den Teilbereichen 1 und 2 lassen sich jetzt die reduzierten Potentialansätze φ φ

(1)

(2)

(x, y) = D0 y +

∞ 

Dn cos

n=1 ∞ 

nπy nπx sinh b b

nπ(y − b) nπx cosh (x, y) = E0 + En cos b b n=1

(2.17)

aufstellen, die bereits garantieren, dass die Randbedingungen in den Ebenen y = 0 und y = b erfüllt sind. Man beachte in diesem Zusammenhang die Argumentverschiebung im Hyperbelkosinus. In der Trennfläche y = c gelten die Stetigkeitsbedingungen (1.13). Die Stetigkeit der Tangentialkomponente von E wird dabei durch ein stetiges Potential gewährleistet D0 c = E0 φ(1) (x, c) = φ(2) (x, c) →

Dn sinh

nπc nπ(c − b) = En cosh . b b

(2.18)

80

2. Stationäres Strömungsfeld

Die Normalkomponente der dielektrischen Verschiebung erleidet dagegen einen Sprung von der Größe   ∂φ(1)  ∂φ(2)  qL − = δ(x) Dy(2) − Dy(1) = qF (x) → ∂y y=c ∂y y=c ε0 mit der Diracsche Deltafunktion δ(x). Nach Einsetzen von (2.17) und Differenzieren wird daraus ∞  qL nπx = Fn cos δ(x) (2.19) D0 + b ε0 n=1 mit der Abkürzung   nπ nπc nπ(c − b) − En sinh Fn = Dn cosh . b b b

(2.20)

Im Verlauf der nun erforderlichen Orthogonalentwicklung werden beide Seiten von (2.19) mit cos(mπx/b) multipliziert und anschließend über den Bereich −b ≤ x ≤ b integriert b

b ∞  mπx mπx nπx dx + cos dx = Fn cos D0 cos b b b n=1 −b −b ! ! "# $ "# $ 0 0 n ) δm b 2b δm (1 − δm qL = ε0

b δ(x) cos −b

qL mπx dx = . b ε0

Als weitere Bestimmungsgleichung für die unbekannten Konstanten erhalten wir also qL qL , Fn = . (2.21) D0 = 2ε0 b ε0 b Aus (2.18), (2.20) und (2.21) lassen sich nun die unbekannten Konstanten ermitteln. Nach kurzer Zwischenrechnung unter Zuhilfenahme der Additionstheoreme der Hyperbelfunktionen ergibt sich E0 =

qL c , 2ε0 b

Dn =

qL cosh(nπ[c − b]/b) , ε0 nπ cosh nπ

En =

qL sinh(nπc/b) ε0 nπ cosh nπ

und das Problem kann als gelöst betrachtet werden. Der Vollständigkeit halber sei noch auf die Bestimmung der ersatzweise in den Leitermittelpunkten angebrachten Linienladungen ±qL eingegangen. Sie folgen aus der Bedingung φ(1) (x = 0, y = c − a) = U/2 . Nach Einsetzen liegt dann auch gleich die Kapazität pro Längeneinheit der Anordnung vor, die für unendlich weit entfernte Trogwände die bekannte Form

Aufgabe S3

 −1 qL 2c − a → πε0 ln C = U a 

81

für b → ∞

anzunehmen hat. Hier bietet sich die Möglichkeit einer Kontrolle der Rechnung sowie einer Abschätzung des mittleren Messfehlers infolge der isolierenden Bewandung. Tabelle 2.1 gibt Auskunft über das Verhalten der Kapazität in Abhängigkeit von der Dimension des Troges und über den relativen Fehler im Vergleich zur Anordnung der Doppelleitung im freien Raum (b → ∞). Tabelle 2.1. Messergebnisse für die Kapazität einer Doppelleitung in Abhängigkeit der Größe des Troges und relativer Messfehler für a/c = 0.1 Abmessung b/c

Kapazität C  /ε0

relativer Fehler

2

0.945

11.4%

4

1.033

3.2%

6

1.052

1.4%

8

1.058

0.81%

10

1.061

0.51%

12

1.065

0.33%

14

1.066

0.20%

∞

1.067

0%

Abbildung 2.11 zeigt schließlich den Verlauf der Äquipotentiallinien. Es wurde die Situation mit und ohne Einfluss der Bewandung untersucht.

a)

b)

Abb. 2.11. (a) Äquipotentiallinien einer Doppelleitung in einem elektrolytischen Trog. (b) Äquipotentiallinien ohne Beeinflussung durch die Trogwände

82

2. Stationäres Strömungsfeld

Deutlich ist die Verzerrung der Äquipotentiallinien an den Trogwänden zu erkennen, wo sie ja senkrecht einmünden müssen. Da das elektrische Feld aber offensichtlich in diesem Bereich im Vergleich zum mittleren Gebiet recht schwach ist, ergibt sich für dieses Abmessungsverhältnis ein immer noch mäßiger Fehler in der Kapazität von etwa 10%. Man kann also aufgrund dieser Ergebnisse allgemein den Schluss ziehen, dass zum Erreichen genauerer Messergebnisse ganz erhebliche Trogabmessungen erforderlich sind. Daher ist es sinnvoll sich zu überlegen, ob andere Maßnahmen zu einer Verbesserung der Genauigkeit führen können. Das ist immer dann der Fall, wenn man die natürlichen Symmetrieebenen einer gegebenen Anordnung ausnutzt und die Trogwände genau dort hinein legt. In unserem Fall existieren zwei Symmetrieebenen. Damit lässt sich also die Genauigkeit eines viermal größeren Troges erreichen, wenn man eine Wand auf die y-Achse und eine andere auf die x-Achse legt und letztere mit einer geerdeten metallischen Beschichtung versieht. S4 Widerstand einer leitenden Kreisscheibe Über zwei sich diametral gegenüberstehende Elektroden wird einer Kreisscheibe mit dem Radius a, der Dicke d und der Leitfähigkeit κ ein Gleichstrom I0 zu- bzw. abgeführt. Zu bestimmen ist der elektrische Widerstand der Kreisscheibe. Hinweis: Es darf vorausgesetzt werden, dass der Strom sich über die Dicke d der Kreisscheibe nicht verändert. Desweiteren soll angenommen werden, dass die Radialkomponente der Stromdichte über die Bereiche = a, |ϕ| ≤ γ und = a, π − γ ≤ ϕ ≤ π + γ der Einspeisung örtlich konstant verläuft. y

2γ

I0

P 

I0

ϕ x

2b

κ

a

Abb. 2.12. Leitende Kreisscheibe mit Zuleitungen

Lösung: Es liegt ein zweidimensionales Randwertproblem zweiter Art des stationären Strömungsfeldes in Polarkoordinaten vor. Als Lösung der Laplace-Gleichung (2.5) kann somit der allgemeine Lösungsansatz (1.66) verwendet werden. Zur Bestimmung der vielen unbekannten Konstanten ist es zunächst sinnvoll Symmetrie- und Regularitätsüberlegungen anzustellen, da sich dadurch

Aufgabe S4

83

der umfangreiche Ansatz meist schon weitgehend reduzieren lässt. Da nämlich am Ort = 0 kein unendliches Potential auftreten darf, können der Logarithmus sowie die reziproken Potenzen vom Abstand sofort ausgeschlossen werden. Außerdem muss das Potential symmetrisch zur Ebene ϕ = 0 verlaufen, so dass nur die Funktionen cos nϕ zu verwenden sind, wobei der Laufindex n nur ungerade Werte annimmt, da das Potential aus Symmetriegründen für ϕ = π/2 verschwinden muss. Es verbleibt damit der reduzierte Ansatz ∞ ' (2n−1  An cos[(2n − 1)ϕ] . (2.22) φ( , ϕ) = a n=1 Zur Bestimmung der Konstanten An betrachten wir den Rand der Kreisscheibe. Dort wissen wir, dass mit Ausnahme der Einspeisestellen die Normalkomponente der Stromdichte allerorts zu verschwinden hat, da kein Strom in den nichtleitenden Außenraum austreten kann. Von jetzt ab können wir uns auf den ersten Quadranten 0 ≤ ϕ ≤ π/2 des Rechengebietes beschränken, da durch den Ansatz (2.22) automatisch das richtige Potential in den übrigen Quadranten garantiert ist. Die Randbedingung zweiter Art lautet also für = a, 0 ≤ ϕ ≤ π/2   1 für 0 ≤ ϕ ≤ γ ∂φ  I0 = (2.23) J
(a, ϕ) = −κ  ∂
=a 2aγd 0 für γ < ϕ ≤ π/2 . Dabei wurde die in der Aufgabenstellung gemachte Voraussetzung einer konstanten Radialkomponente der Stromdichte am Einspeiseort berücksichtigt. Für die nun erforderliche Fourier-Entwicklung wird (2.23) mit der Funktion cos[(2m − 1)ϕ] multipliziert und über den Orthogonalitätsbereich 0 ≤ ϕ ≤ π/2 integriert π/2 ∞ κ An (2n − 1) cos[(2n − 1)ϕ] cos[(2m − 1)ϕ] dϕ = − a n=1 0 "# $ ! n δm π/4 γ I0 = cos[(2m − 1)ϕ] dϕ . 2aγd

(2.24)

0

Das Aufreten des Kronecker-Symbols in (2.24) erlaubt das Auflösen nach den gesuchten Konstanten An = −

2I0 sin[(2n − 1)γ] γdπκ (2n − 1)2

und die resultierende Potentialverteilung in der leitenden Kreisscheibe lautet ∞ 2I0  ' (2n−1 sin[(2n − 1)γ] φ( , ϕ) = − cos[(2n − 1)ϕ] . (2.25) πκγd n=1 a (2n − 1)2

84

2. Stationäres Strömungsfeld

Um daraus den Verlauf der Stromlinien zu ermitteln, berechnet man die Strommenge pro Längeneinheit, die einen Kreisbogen mit dem Radius im Bereich 0 ≤ ϕ ≤ ϕ durchsetzt, und hält diesen Wert konstant 



ϕ

I ( , ϕ ) = −κ 0

∂φ( , ϕ ) dϕ = const. . ∂

Nach Einsetzen von (2.25) ergibt sich daraus die Stromliniengleichung ∞ ' (2n−1  sin[(2n − 1)γ] sin[(2n − 1)ϕ] = const. . a (2n − 1)2 n=1 Trotz der in Abb. 2.13 gewählten relativ breiten Zuleitungen fällt auf, dass die Stromlinien einigermaßen glatt am Einspeiseort verlaufen. Das geringfügige Abknicken ist auf die in der Aufgabenstellung vorausgesetzte konstante Radialkomponente der Stromdichte zurückzuführen, was nur näherungsweise der Fall ist.

Abb. 2.13. Verlauf der Stromlinien in der leitenden Kreisscheibe

Die ermittelte Potentialverteilung (2.25) gestattet die Berechnung des Potentials an den Speisepunkten ( = a, ϕ = 0, π), so dass mit Ausnutzung der Symmetrie und dem gegebenen Speisestrom I0 der gesuchte Widerstand in der Form ∞ 4  sin[(2n − 1)γ] 2φ(a, π) U = → R = R0 (2.26) R= I0 I0 π n=1 (2n − 1)2 berechnet werden kann. Zur Abkürzung wurde der Widerstand R0 =

1 1 a 1 ≈ = κγd κd sin γ κ bd

für γ 1

eingeführt, der in der angegebenen Form für kleine Winkel γ den Widerstand eines Quaders der Länge 2a und des Querschnittes 2bd beschreibt. Für kleine Werte des Öffnungswinkels γ lässt sich außerdem eine Näherungsrechnung durchführen. Mit Hilfe der bekannten Beziehung2 2

siehe z.B. [Gradshteyn] 1.442

Aufgabe S4

85

∞  1 γ cos[(2n − 1)γ] = ln cot 2n − 1 2 2 n=1

sowie durch gliedweises Integrieren   ∞ ∞ cos[(2n − 1)γ]  sin[(2n − 1)γ] = 2n − 1 (2n − 1)2 n=1 n=1 kann man die Summe in (2.26) für kleine Winkel γ geschlossen darstellen3   −2 2γ ' γ( R 2 γ γ 1 − ln . (2.27) = ln cot dγ ≈ ln dγ = R0 π πκγd 2 π 2 ! "# 2$ ≈ 2/γ Eine eventuelle Integrationskonstante konnte zu null gesetzt werden, da R/R0 → 0 für γ → 0. Abb. 2.14 zeigt die Güte der gefundenen Näherung im Vergleich zur exakten Lösung. Sichtbare Abweichungen treten erst bei großen Winkeln auf. Dann aber ist auch die Voraussetzung einer konstanten Radialkomponente der Stromdichte an den Einspeiseorten sicherlich nicht mehr sinnvoll. 1.4

−→

1

R R0

2γ

a

κ

0

3

0

γ/rad −→

1

siehe z.B. [Bronstein] Integral Nr. 465

2b

1.4

Abb. 2.14. Widerstand der leitenden Kreisscheibe als Funktion des Öffnungswinkels γ und normiert auf R0 ≈ a/(κbd). Der gestrichelte Verlauf zeigt die Näherung nach (2.27)

86

2. Stationäres Strömungsfeld

S5 Luftblase im leitenden Volumen Gegeben ist ein homogenes Medium der Leitfähigkeit κ mit einer homogenen elektrischen Strömung der Dichte J = J0 ez . Es wird nun ein kugelförmiges Stück Materie mit dem Radius a aus dem leitenden Volumen herausgeschnitten, Abb. 2.15. Bestimme die Verteilung der Verlustleistungsdichte auf der Oberfläche des isolierenden Einschlusses.

J P

r κ = 0

κ=0 a

ϑ z

J

Abb. 2.15. Kugelförmige Luftblase in einem leitenden, stromführenden Medium

Lösung: Das vorliegende rotationssymmetrische Randwertproblem zweiter Art in Kugelkoordinaten wird mit dem allgemeinen Lösungsansatz (1.70) analysiert. Da die Rotationsachse im betrachteten Volumen eingeschlossen ist, werden nur die Legendre-Polynome Pn (u), mit u = cos ϑ, angesetzt. Zweckmäßigerweise spalten wir das gesamte Potential in einen primären Anteil φ(p) infolge des ungestörten, homogenen Strömungsfeldes sowie in einen sekundären Anteil φ(s) auf, der die Verzerrung der Stromlinien aufgrund des isolierenden Einschlusses wiedergeben soll. Das primäre Potential J0 1 J0 φ(p) (r, ϑ) = − J0 z = − r cos ϑ = − r1 P1 (cos ϑ) κ κ κ enthält wie man sieht nur das Glied n = 1 der allgemeinen Lösungssumme (1.70). Folglich darf mit Blick auf die zu erfüllende Randbedingung auf der Oberfläche des isolierenden Einschlusses erwartet werden, dass auch das sekundäre Potential nur das Glied n = 1 aufweisen wird. Weiterhin müssen wir sicherstellen, dass die Wirkung des nicht leitenden, kugelförmigen Bereiches mit zunehmender Entfernung r > a abnimmt, so dass man zu dem reduzierten Ansatz 1 φ(s) (r, ϑ) = A 2 cos ϑ r für das sekundäre Potential gelangt. Zur Bestimmung der noch unbekannten Konstanten A wird nun gefordert, dass die Normalkomponente der Stromdichte auf der Kugeloberfläche r = a verschwindet  ∂(φ(p) + φ(s) )  1 = 0 → J0 + 2κA 3 = 0 . Jr (a, ϑ) = −κ  ∂r a r=a

Aufgabe S6∗

87

Damit liegt das gesamte Potential der Anordnung in der Form   J0 a r 1 a2 φ(r, ϑ) = − + cos ϑ (2.28) κ a 2 r2 vor. Die pro Volumeneinheit in einem leitenden Medium umgesetzten Verluste erhält man nach (2.10) zu  2 κ ∂φ(a, ϑ) 2 pV = κ |E| = 2 . a ∂ϑ Nach Einsetzen der Potentialverteilung (2.28) wird daraus  2 J 2 a2 κ 1 9 J2 2 pV = 0 2 sin ϑ 1 + = pV 0 sin2 ϑ mit pV 0 = 0 . 2 κ a 2 4 κ Am Ort ϑ = π/2 sind die Verluste mehr als doppelt so hoch wie im ungestörten Fall der homogenen Stromverteilung. Dies wird auch in Abb. 2.16 deutlich, wo zur Veranschaulichung des Feldes die Äquipotential- und Stromlinien dargestellt wurden.

Abb. 2.16. Äquipotentialund Stromlinien für eine Luftblase in einem homogenen Strömungsfeld

S6∗ Strömungsfeld in einer Kugel a) Zu bestimmen ist das Potential in einer Kugel mit dem Radius a und der Leitfähigkeit κ, welcher über zwei diametral gegenüberliegende Punkte der Strom I zu- bzw. abgeführt wird, Abb. 2.17a. b) Wie lässt sich das Problem unter Verwendung des Superpositionsprinzips prinzipiell für den allgemeinen Fall beliebig angeordneter Zuleitungen, Abb. 2.17b, mit Hilfe rotationssymmetrischer Potentialsansätze lösen?

88

2. Stationäres Strömungsfeld

I

I a)

I

b)

κ

κ

I Abb. 2.17. Leitende Kugel mit (a) diametral gegenüberliegenden und (b) beliebig angeordneten Zuleitungen

Lösung: a) Als erstes betrachten wir das primäre Potential einer Stromquelle I am Ort r = a, ϑ = 0 und einer Stromsenke −I am Ort r = a, ϑ = π, wobei der gesamte Raum die Leitfähigkeit κ haben soll, Abb. 2.18. κ = 0

P r2

r1

r ϑ −I

+I κ = 0

z

a Abb. 2.18. Punktförmige Stromquelle und -senke im homogenen Gesamtraum der Leitfähigkeit κ

Das Potential ist Lösung der Laplace-Gleichung (2.5) in Kugelkoordinaten. Da die Anordnung rotationssymmetrisch ist, gilt der allgemeine Lösungsansatz (1.70). Es sind außerdem keine Singularitäten (außer natürlich direkt auf den punktförmigen Stromquellen) zu erwarten, so dass man sofort den reduzierten Ansatz  ∞ ' r (n     A Pn (u) für r ≤ a n   a n=1,3,5 (p) (2.29) φ (r, ϑ) = ∞ ' a (n+1     An Pn (u) für r ≥ a   r n=1,3,5

Aufgabe S6∗

89

mit u = cos ϑ aufstellen kann, der bereits einen stetigen Übergang des Potentials auf der Fläche r = a garantiert. Es werden nur die Legendre-Polynome ungerader Ordnung verwendet, da das Potential bezüglich der Ebene ϑ = π/2 eine ungerade Funktion sein wird. Die Legendre-Polynome erfüllen die Orthogonalitätsrelation4 1 Pn (u)Pm (u) du =

1 δm 2n + 1 n

mit

n, m = 1, 3, 5, . . . .

(2.30)

0

Nun stellen wir uns die punktförmigen Stromquellen als Grenzfall einer flächenhaften Stromquellenverteilung5 iF (ϑ) vor, für die gilt π/2 2πa iF (ϑ) sin ϑ dϑ = I 2

und iF (ϑ) = 0

für ϑ = 0, π.

(2.31)

0

Dies verhält sich analog zu einer Flächenladung in der Elektrostatik und aufgrund der Analogie des stationären Strömungsfeldes mit der Elektrostatik ist dann auf der Fläche r = a die Stetigkeitsbedingung6   ∂φ  ∂φ  iF (ϑ) (2.32) − + = ∂r  ∂r  κ r=a+0

r=a−0

einzuhalten. Daraus lassen sich die noch unbekannten Koeffizienten An durch Ausnutzen der Orthogonalitätsrelation (2.30) bestimmen. Nach Einsetzen von (2.29) in (2.32) werden beide Seiten von (2.32) mit 2πa2 Pm (u) multipliziert und über den Orthogonalitätsbereich integriert  ∞

1  κ2πa An n + [n + 1] Pn (u)Pm (u) du = a 1,3,5 1

2

0

1 2

π/2 iF (ϑ)Pm (u) du = 2πa iF (ϑ)Pm (cos ϑ) sin ϑ dϑ = I . 2

= 2πa

0

0

Beim letzten Integral wurde berücksichtigr, dass der Integrand wegen (2.31) nur für ϑ = 0, d.h. u = 1 von null verschieden ist, so dass das LegendrePolynom Pm (1) = 1 als Konstante vor das Integral gezogen werden kann. In der Summe verbleibt lediglich das Glied n = m und die gesuchten Koeffizienten sind I . An = 2πκa 4

5 6

Normalerweise sind die Legendre-Polynome im Bereich −1 ≤ u ≤ +1 orthogonal, wenn der Index n eine beliebige natürliche Zahl ist. Bei Beschränkung auf ungerade oder auch gerade Indices sind die Funktionen auch im halben Bereich orthogonal. nicht zu verwechseln mit einer Flächenstromdichte JF vgl. (1.13) nach Ersetzen von D durch J und von qF durch iF

90

2. Stationäres Strömungsfeld

Das ist natürlich noch nicht die Lösung, denn wir hatten ja eingangs angenommen, dass der gesamte Raum die Leitfähigkeit κ aufweist. Um zu berücksichtigen, dass der Außenraum r > a nicht leitend ist, überlagern wir innerhalb der Kugel ein sekundäres Potential ∞ ' r (n  I Bn Pn (u) . φ(s) (r, ϑ) = 2πκa n=1,3,5 a Die Koeffizienten Bn sind so zu wählen, dass der vom primären Feld herrüh(p) rende Stromfluss aus der Kugel heraus, also Jr (r = a + 0), vom sekundären Feld kompensiert wird, d.h. es muss gelten   ∂ (s) ∂ (p) !   =− φ (r, ϑ) φ (r, ϑ) . ∂r ∂r r=a r=a+0 Einsetzen liefert

1 n+1 − [n + 1] + nBn = 0 → Bn = a n und das gesuchte Potential innerhalb der Kugel ist schließlich ∞  2n + 1 ' r (n I Pn (u) . φ(r, ϑ) = 2πκa n=1,3,5 n a Manchmal gelingt es, solche unendlichen Summen durch einfache Funktionen auszudrücken. Das Ergebnis lässt sich nämlich in zwei Terme aufspalten ∞  1 ' r (n I φ(r, ϑ) = 2φ(p) (r, ϑ) + Pn (u) , 2πκa n=1,3,5 n a wobei aufgrund des Faktors 1/n der zweite Term durch Integration des primären Potentials (2.29) für r ≤ a darstellbar ist r/a ∞ 'r(  1 ' r (n a (p) I φ (r, ϑ) d . Pn (u) = 2πκa n=1,3,5 n a r a 0

(p)

Der Vorteil, φ(r, ϑ) durch φ (r, ϑ) ausdrücken zu können, liegt darin, dass man das primäre Potential nach (2.6) und Abb. 2.18 auch in der einfachen Form    r2 I a r a r1,2 (p) = − + 1 ∓ 2 cos ϑ mit φ (r, ϑ) = 4πκa r1 r2 a a2 a ohne Verwendung von Legendre-Polynomen berechnen kann. Mit dem Integral7  ' r ( 'r( a a a 1,2 = − ln 2 + 2 ∓ 2 cos ϑ d r r1,2 a r r 7

siehe z.B. [Bronstein] Integral Nr. 258

Aufgabe S6∗

erhalten wir schließlich den geschlossenen Ausdruck   I r1 + a − r cos ϑ a a 1 φ(r, ϑ) = − − ln 2πκa r1 r2 2 r2 + a + r cos ϑ

91

(2.33)

zur Berechnung der Äquipotentiallinien in der leitenden Kugel, Abb. 2.19a. +I a)

+I b) −I

−I Abb. 2.19. Verlauf der Äquipotentiallinien in der leitenden Kugel. (a) Diametral gegenüber liegenden Zuleitungen. (b) Die Einspeisepunkte liegen nicht mehr auf einer gemeinsamen durch den Kugelmittelpunkt verlaufenden Achse

Das Resultat (2.33) ist übrigens nicht uninteressant. Man hätte ja vermuten können, dass analog zur Elektrostatik eine Spiegelung möglich ist. Bei einer punktförmigen Stromquelle vor einem nichtleitenden Halbraum kann man z.B. mit einer gespiegelten Punktquelle gleichen Vorzeichens rechnen. Im Falle einer Kugel geht das offensichtlich nicht mehr, wie man am dritten Term des Ergebnisses (2.33) unschwer erkennt. b) Den allgemeinen Fall beliebig auf der Kugeloberfläche angeordneter Zuleitungen kann man sich als Überlagerung von zwei jeweils für sich genommen rotationssymmetrischen Anordnungen vorstellen, Abb. 2.20. In den Teilanordnungen wurde jeweils eine punktförmige Stromquelle durch eine Stromquelle im Mittelpunkt der Kugel ersetzt, deren Zuleitung isoliert nach außen geführt wird. Nach erfolgter Überlagerung heben sich diese Mittelpunktsquellen gegenseitig auf. In Abb. 2.19b wurden zur Veranschaulichung die Äquipotentiallinien im nicht mehr rotationssymmetrischen Fall dargestellt. Es bleibe dem Leser selbst überlassen als Übung den Beweis zu erbringen, dass in der ersten Teilanordnung der Abb. 2.20 das Potential   r1 + a − r cos ϑ a a I − − ln 2 +C φ(r, ϑ) = 4πκa r1 r a

92

2. Stationäres Strömungsfeld

mit r12 = r2 + a2 − 2ar cos ϑ herrscht. C ist dabei eine bei Randwertproblemen zweiter Art nicht eindeutig bestimmbare Konstante, die aber keinen Einfluss auf das Strömungsfeld hat.

I

I

I

I

+

=

I I Abb. 2.20. Superposition zweier für sich genommen rotationssymmetrischer Anordnungen zur Berechnung des Strömungsfeldes in der Kugel bei beliebiger Lage der Zuleitungen

Ergänzungsaufgaben Aufgabe S7: Ein Hochspannungsmast sei mit einem halbkugelförmigen Erder mit dem Radius r geerdet. Die Leitfähigkeit des Erders kann als unendlich angesehen werden. Durch Berührung eines Leiters mit dem Mast fließe ein Strom I in den Erdboden mit der Leitfähigkeit κ, siehe Skizze. a) Wie groß ist die Schrittspannung US im Punkt P , der sich in einer Entfernung a von der Einspeisestelle befindet? Dabei sollen die Punkte zur Spannungsberechnung jeweils eine halbe Schrittlänge s/2 links bzw. rechts des Punktes gewählt werden. b) Wie groß ist der Übergangswiderstand R zwischen dem Erder und einem unendlich weit entfernten Punkt? Lösung:

a)

US =

I 2πκ

„

1 1 − a − s/2 a + s/2

I

a P

r κ

« ,

b)

R=

1 2πκr

Ergänzungsaufgaben

Aufgabe S8: Über zwei kleine, halbkugelförmige Erder mit dem Radius r wird an der Erdoberfläche der Gleichstrom I zu- bzw. abgeführt, siehe Skizze. Die Leitfähigkeit der Erder kann als unendlich angesehen werden. Der Erdboden habe die Leitfähigkeit κ. Außerdem sei a r. Bestimme die Stromdichte J in der Symmetrieebene zwischen den Erdern. Lösung:

y I r

J=

I 2πd



r

a κ

φ(x, y) =

−I 2κad

0

( x + 4a

∞ X n=1

(

φ(, z) = −

z

y

I

I

I πκa

x

κ d

a

(x + a/2) ex + y ey (x − a/2) ex + y ey − (x − a/2)2 + y 2 (x + a/2)2 + y 2

ff

y

d

a/2

I

I

−a −a/2

a κ

I

h κ a I

z X J0 (j1n /a) sinh (j1n z/a) + a n=1 j1n J02 (j1n ) cosh (j1n h/2a) ∞

x

) “ nπy ” “ nπx ” sin (nπ/2) cos sinh a a (nπ)2 cosh(nπ)

Aufgabe S11: Gesucht ist das Potential in einem leitenden Zylinder mit dem Radius a, der Höhe h und der Leitfähigkeit κ, dem im Zentrum der Stirnflächen der Gleichstrom I punktförmig zu- bzw. abgeführt wird, siehe Bild. Der Koordinatenursprung liege im Mittelpunkt des Zylinders. Verwende dabei die Z a Orthogonalitätsrelation ´ ´ ` ` 2 n . J0 j1n a
J0 j1m a
 d = a2 J02 (j1n ) δm Lösung:

a

Ia J = ex p 3 π a2 + y 2

Aufgabe S10: Gegeben ist eine dünne quadratische Probe der Leitfähigkeit κ (Kantenlänge 2a, Dicke d). An zwei sich gegenüberstehenden Kanten wird ein Gleichstrom I homogen und symmetrisch eingespeist bzw. abgeführt. Man berechne das Potential in der Probe.

Lösung:

I x

Aufgabe S9: Auf ein dünnes Blech mit der Dicke d und der Leitfähigkeit κ, das in x- und y-Richtung unendlich ausgedehnt ist, wird durch zwei Leitungen mit dem Abstand a der Strom I zu- bzw. abgeführt. Berechne die Stromdichte J im Blech. Es darf zur Vereinfachung angenommen werden, dass a d ist. Lösung:

93

)

3. Magnetostatische Felder

M

Zusammenfassung wichtiger Formeln Magnetostatische Felder werden von konstanten Strömen oder Permanentmagneten hervorgerufen. Das grundlegende physikalische Gesetz ist die Lorentzkraft auf eine mit der Geschwindigkeit v im äußeren Feld der magnetischen Induktion B bewegte Punktladung Q K = Q(v × B) .

(3.1)

Bei einem Stromelement I der Länge dl wird aus der Lorentz-Kraft das Ampèresche Gesetz dK = I × B dl ,

(3.2)

das zur Kraftberechnung auf stromdurchflossene Leiter verwendet werden kann (siehe z.B. Aufg. M1). Handelt es sich bei der felderzeugenden Anordnung um einen geraden, unendlich langen Stromfaden I, dann ist Vs µ0 I × R , (3.3) , µ0 = 4π · 10−7 2π R2 Am wobei der Vektor R vom Stromfaden zum betrachteten Aufpunkt weist und sein Betrag die kürzeste Entfernung angibt. (3.3) stellt eine Art Grundbaustein zweidimensionaler Magnetfelder dar, aus dem sich durch Superposition das Feld einer beliebigen, ebenen Stromverteilung ergibt. B=

Grundgleichungen im Vakuum Die Grundgleichungen der Magnetostatik lauten als Spezialfälle der Maxwellschen Gleichungen in differentieller bzw. integraler Form
 ∇ × B = µ0 J , B · ds = µ0 J · dF = µ0 Igesamt F
S (3.4) ∇·B =0 , B · dO = 0 . O

96

3. Magnetostatische Felder

Das Umlaufintegral in (3.4), der sogenannte Durchflutungssatz, steht für alle möglichen Ströme, die von der Kontur S umschlossen werden und kann in einigen hochsymmetrischen Fällen, in denen B unabhängig von den Integrationsvariablen ist, direkt zur Feldberechnung verwendet werden. Die quellenfreie magnetische Induktion B lässt sich durch die Wirbel eines Vektorfeldes, des sogenannten magnetischen Vektorpotentials A bestimmen B =∇×A.

(3.5)

Elementare Feldquellen Der einfachste räumliche Grundbaustein zum Aufbau magnetischer Felder ist der magnetische Dipol, Abb. 3.1a. Der unendlich lange, gerade Stromfaden bildet die elementare Feldquelle zweidimensionaler Magnetfelder, Abb. 3.1b. a)

I

b)

P

R

pm F I

pm = lim I · F I→∞ F →0

R

P

Abb. 3.1. Elementare Feldquellen. (a) Magnetischer Dipol. (b) Unendlich langer, gerader Stromfaden

Die Vektorpotentiale dieser Elementarquellen sind µ0 pm × R 4π R3 R µ0 I ln A=− 2π R0

A=

für den magnetischen Dipol

(3.6a)

für den Linienstrom

(3.6b)

und die magnetische Induktion ergibt sich nach (3.5) durch Differentiation. Der beim unendlich langen Stromfaden eingeführte Referenzabstand R0 sorgt für ein dimensionsloses Argument des Logarithmus und hat keinen Einfluss auf das Feld. Magnetfeld verteilter Ströme Man unterscheidet hier zwischen dünnen Leiterschleifen mit dem Strom I, Stromverteilungen auf einer Fläche (Flächenstromdichte J F ) sowie räumlichen Stromverteilungen (Stromdichte J ), Abb. 3.2. Vektorpotential und magnetische Induktion im Falle der räumlichen Stromverteilung ergeben sich aus dem Gesetz von Biot-Savart in der Form   J (r  ) J (r  ) × R µ0 µ0  dV , B(r) = A(r) = dV  . (3.7) 4π V R 4π V R3

Zusammenfassung wichtiger Formeln

97

Im Falle einer flächenhaften Stromverteilung ist J (r  )dV  durch J F (r  )dF  und im Falle einer dünnen Leiterschleife durch I ds zu ersetzen. a)

Kontur S

b)

c)

Volumen V

Fläche F

ds

I

R r

dF 

JF




P

r


r

0

R r

0

J

dV 

P r
0

R

P

r

Abb. 3.2. Stromverteilungen. (a) Linienstrom. (b) Flächenstrom. (c) Räumliche Stromverteilung

Materie im magnetischen Feld Bringt man materielle Körper in ein magnetisches Feld ein, so erzeugt der Körper in der Regel ein sekundäres Magnetfeld. Ursache dafür ist die Ausrichtung atomarer Dipolmomente, welche makroskopisch durch die Magnetisierung M (Dipolmomentendichte) beschrieben wird. Für magnetisierbare Materie wird neben der magnetischen Induktion B zusätzlich die magnetische Feldstärke H eingeführt und es gilt  1   B−M  µ0 ∇×H =J , H = (3.8) 1   B , wenn M ∼ B .  µ0 µr µr ist die relative Permeabilitätskonstante eines linearen Mediums. Ein magnetisierter Körper kann alternativ auch durch sogenannte Magnetisierungsströme und Magnetisierungsflächenströme beschrieben werden  (3.9) J mag = ∇ × M , J F mag = M × nOberfl¨ache . Dabei ist n die Flächennormale des magnetisierten Körpers. Differentialgleichungen für das Potential In Gebieten mit konstanter Permeabilität µ erfüllt das Vektorpotential A die vektorielle Poisson-Gleichung ∇2 A = −µJ

(3.10)

bzw. in stromfreien Gebieten die vektorielle Laplace-Gleichung ∇2 A = 0 .

(3.11)

98

3. Magnetostatische Felder

Diese partiellen Differentialgleichungen bilden in Verbindung mit Rand- und Stetigkeitsbedingungen den Ausgangspunkt einer magnetostatischen Randwertaufgabe. Bei ebenen Feldern mit einer Stromdichte, die nur eine geradlinige Komponente aufweist, ergeben sich wie in der Elektrostatik skalare Differentialgleichungen. In Gebieten, die keinen Strom führen, ist es zusätzlich möglich ein magnetostatisches Skalarpotential φm mit ∇2 φm = 0 ,

H = −∇φm

(3.12)

zu verwenden. Von dieser Möglichkeit werden wir z.B. in Aufg. Q4 im Kapitel über quasistationäre Felder Gebrauch machen. Rand- und Stetigkeitsbedingungen Sprungstellen der Permeabilitätskonstanten geben Anlass zu Unstetigkeiten der magnetischen Feldverteilung, Abb. 3.3. H a)

n

b)

H2

n

F µ

µ2

H1

F µ→∞ H =0

µ1 Abb. 3.3. (a) Sprungstelle der Permeabilitätskonstanten. (b) Oberfläche eines hochpermeablen Körpers

Am Übergang µ1 /µ2 gelten die Stetigkeitsbedingungen



n × H 2 − H 1 F = 0 , n · B2 − B1 F = 0 .

(3.13)

Im Grenzfall eines hochpermeablen Körpers, Abb. 3.3b, erhält man auf dessen Oberfläche die Randbedingung  n × H F = 0 . (3.14) Befindet sich auf der Trennfläche in Abb. 3.3a zusätzlich ein freier Flächenstrom J F , so gilt anstelle von (3.13)



n × H 2 − H 1 F = J F , n · B2 − B1 F = 0 . (3.15) Magnetischer Fluss Der magnetische Fluss ψm , der eine Fläche F mit der Randkontur S durchsetzt, kann mittels Flächen- bzw. Konturintegration bestimmt werden

Zusammenfassung wichtiger Formeln




B · dF =

ψm =

99

F

A · ds .

(3.16)

S

Im Falle rotationssymmetrischer Felder erhält man den Verlauf der magnetischen Feldlinien durch Konstanthalten des magnetischen Flusses ψm =const.. Handelt es sich um ebene, von geradlinigen Strömen hervorgerufene Magnet pro Längeneinheit zur Bestimmung der Feldfelder, so hält man den Fluss ψm linien konstant. Nach (3.16) sind damit die Feldlinien ebener Magnetfelder identisch mit den Äquipotentiallinien Az (x, y) =const., wenn man annimmt, dass die Ströme in z-Richtung fließen. Magnetische Feldenergie und Induktivität Setzt man ein lineares Medium voraus, so ist im magnetischen Feld die Energie   1 1 B · H dV = A · J dV (3.17) Wm = 2 V 2 V gespeichert. Bei einem System von N Leitern lässt sich die Energie auch in der Form 1  Lik Ii Ik 2 i=1 N

Wm =

N

(3.18)

k=1

schreiben, wobei die Koeffizienten Lik für i = k Gegeninduktivitäten bzw. für i = k Selbstinduktivitäten heißen. Aus (3.17) lassen sich damit durch Vergleich mit (3.18) die Induktivitäten eines Systems über eine Feldberechnung ermitteln (siehe als Beispiel Aufg. M11∗ ). Bei dünnen Leiterschleifen ermittelt man die Induktivitäten mit Hilfe des magnetischen Flusses. Die Gegeninduktivität zwischen den Schleifen i und k ist dann ψm,ik ψm,ki = Lki = . (3.19) Lik = Ik Ii ψm,ik sei dabei der Fluss durch Schleife i infolge des Stromes Ik in Schleife k. Die Selbstinduktivität einer dünnen Leiterschleife zerlegt man üblicherweise in zwei Anteile µl ψ∗ , (3.20) L = m + L0 , L0 = I 8π ∗ wobei ψm der Fluss ist, der die von der Leiterschleife nach innen begrenzte Fläche durchsetzt und L0 den Beitrag der im Leiter mit der Gesamtlänge l gespeicherten Feldenergie berücksichtigt (innere Selbstinduktivität). Die angegebene Beziehung für L0 gilt dabei für Leiter mit kreisrundem Querschnitt bei Vernachlässigung der Krümmung der Leiterachse und bei Annahme einer gleichmäßigen Stromverteilung über den Leiterquerschnitt. Infolge der bei höheren Frequenzen einsetzenden Stromverdrängung ist die innere Selbstinduktivität frequenzabhängig.

100

3. Magnetostatische Felder

Kräfte im magnetischen Feld Die Kraft auf stromführende Leiter kann mit (3.1) berechnet werden. Ansonsten kann auch das Prinzip der virtuellen Verrückung verwendet werden δWm konstantem Strom bei (3.21) Ks = ± konstantem Fluss , δs bei der ein Körper um eine virtuelle Strecke δs verschoben und die dabei auftretende Energieänderung δWm ermittelt wird. An Oberflächen hochpermeabler Körper bzw. permeablen Grenzflächen, Abb. 3.3, gilt für die Flächendichte der Kraft  2 (hochpermeabler Körper) 1 µH  (3.22) K =n 2 (µ1 − µ2 )(H 1 · H 2 ) (Trennfläche µ1 /µ2 ) . Spiegelungsverfahren Auch in der Magnetostatik ist es möglich, das sekundäre Feld permeabler Materie mit einfacher Geometrie (z.B. Halbraum, Zylinder) durch Ersatzquellen zu erfassen. Abb. 3.4 zeigt dies am Beispiel eines Linienstromes über einem permeablen Halbraum. I

a) h

I

b)

(1 + k)I

c)

µ1

h

µ1

µ2

h

µ1

h

µ1

µ1 µ2 − µ1 k= kI µ2 + µ1 Abb. 3.4. Spiegelung eines Linienstromes an einem permeablen Halbraum. (a) Originalanordnung. (b) Ersatzanordnung für das Vektorpotential im oberen Halbraum. (c) Ersatzanordnung für das Vektorpotential im unteren Halbraum

Die Ersatzanordnungen gelten für die Berechnung von A oder B. Bei der Bestimmung der magnetischen Feldstärke H muss die jeweilige Permeabilität µ1 bzw. µ2 des betrachteten Halbraumes berücksichtigt werden.

Aufgaben M1 Kraftberechnung mit dem Ampèreschen Gesetz Eine dünne, vom Strom I2 durchflossene Leiterschleife umschließt in der Ebene z = 0 einen z-gerichteten, unendlich langen Stromfaden I1 . Die Leiterschleife besteht aus geraden Leitersegmenten und einem Halbkreisbogen,

Aufgabe M1

101

Abb. 3.5. Berechne das Drehmoment auf die Leiterschleife, wenn diese drehbar um die y-Achse gelagert ist. y 2a

b

I2 I1 x Abb. 3.5. Drehbar um die y-Achse gelagerte Leiterschleife im Magnetfeld eines unendlich langen Stromfadens auf der z-Achse

Lösung: Zunächst kann festgestellt werden, dass auf den Kreisbogen keine Kraft wirkt, da sich dieser direkt auf einer Feldlinie des magnetischen Feldes B des Stromfadens I1 befindet und folglich das Kreuzprodukt in (3.1) verschwindet. Das äußere Magnetfeld des Stromfadens lautet in kartesischen Koordinaten nach (3.3) und mit R = x ex + y ey B=

µ0 I1 ez × R µ0 I1 x ey − y ex = . 2 2π R 2π x2 + y 2

Der differentielle Kraftbeitrag auf ein Element dx des oberen Leiterstücks ist also mit (3.2) und nach Ausführen des Kreuzproduktes x µ0 I1 I2 ez dx . 2π x2 + b2 Somit wirkt auf das betrachtete Element ein differentielles Drehmoment dK =

dT 1 = (x ex ) × dK = −

x2 µ0 I1 I2 ey dx 2 2π x + b2

und das gesamte Drehmoment auf das obere Leiterstück folgt durch Integration1 a 2 a( x dx µ0 I1 I2 µ0 I1 I2 ' a − b arctan . Ty1 = − = − π x2 + b2 π b 0

Aus Symmetriegründen liefern beide Seitenstücke den gleichen Beitrag zum Drehmoment. Wir betrachten daher nur das linke am Ort x = −a. Der differentielle Kraftbeitrag auf ein Element dy dieses Seitenstücks ist mit (3.2) nach Ausführen des Kreuzproduktes 1

siehe z.B. [Bronstein] Integral Nr. 65

102

3. Magnetostatische Felder

dK =

y µ0 I1 I2 ez dy . 2π y 2 + a2

und das differentielle Drehmoment wird zu dT 2 = (−a ex ) × dK =

ya µ0 I1 I2 ey dy . 2 2π y + a2

Das gesamte Drehmoment auf das linke Seitenstück folgt wieder durch Integration2 Ty2

µ0 I1 I2 a = 2π

b 0

  y dy b2 µ0 I1 I2 a ln 1 + = . y 2 + a2 2π 2 a2

Die Superposition der einzelnen Drehmomentbeiträge Ty = Ty1 + 2 · Ty2 ergibt das Resultat     1 b2 a b ln 1 + 2 − 1 + arctan Ty = T0 , 2 a a b wobei zur Normierung T0 = µ0 I1 I2 a/π gesetzt wurde. M2 Leiterschleife im Feld einer Doppelleitung Im kartesischen Koordinatensystem verlaufen an den Orten (x = ±a, y = 0) parallel zur z-Achse zwei vom Gleichstrom I1 entgegengesetzt durchflossene, unendlich lange Linienleiter, Abb. 3.6. y

I2

x

I1 z I1 2

siehe z.B. [Bronstein] Integral Nr. 61

Abb. 3.6. Drehbar um die z-Achse gelagerte, quadratische Leiterschleife im Magnetfeld einer stromdurchflossenen Doppelleitung

Aufgabe M2

103

Welches Drehmoment wirkt auf eine um die z-Achse drehbar gelagerte quadratische Leiterschleife mit der Seitenlänge 2b, wenn diese vom Gleichstrom I2 durchflossen wird? Man vereinfache und interpretiere das Ergebnis für kleine Leiterschleifen (b a). Lösung: Das äußere Magnetfeld der Linienleiter weist keine z-Komponente auf. Aus dem Ampèreschen Gesetz (3.2) folgt, dass nur die zur z-Achse parallelen Leiterstücke der quadratischen Leiterschleife zum Drehmoment beitragen werden. Wir können daher die Anordnung in der Ebene z = 0 betrachten, Abb. 3.7. y P

R1



ϕ

I1 a I2

R2

I2

α

I1

a

x

2b

Abb. 3.7. Querschnitt der Anordnung in Abb. 3.6 in der Ebene z = 0

Das Drehmoment ist das Kreuzprodukt aus dem Hebelarm b e
und der Kraft (3.2) T = 2b e
× [2b I2 ez × B( = b, ϕ = α)] . Der Faktor 2 berücksichtigt das Leitersegment am Ort = b, ϕ = α + π, auf welches selbstverständlich dasselbe Drehmoment wirkt. B ist das Magnetfeld der äußeren Linienleiter, welches nach (3.5) aus einem Vektorpotential A = Az ez bestimmt werden kann. Da sich die Schleife nur um die z-Achse drehen kann, wird nur die z-Komponente des Drehmomentes benötigt 1( ' 0  Tz = 2 b ez · e
× 2b I2 ez × ∇ × A(
=b,ϕ=α) = 1 0  = 2b (ez × e
) · 2b I2 ez × ∇ × A(
=b,ϕ=α) =  = 4 b2 I2 eϕ · ∇Az (
=b,ϕ=α) . (3.23) Hier wurde einmal zyklisch vertauscht und dann die Regel

104

3. Magnetostatische Felder

a × (b × c) = b(a · c) − c(a · b) verwendet. Das Vektorpotential der Linienleiter ist nach (3.6b) und Abb. 3.7 A = −ez

R1 µ0 I1 ln 2π R2

R12 = 2 + a2 + 2a cos ϕ R22 = 2 + a2 − 2a cos ϕ

,

und damit die ϕ-Komponente des Gradienten eϕ · ∇Az = −

R2 µ0 I1 ∂ ln 12 . 4π ∂ϕ R2

Nach Differenzieren und Einsetzen in (3.23) ergibt sich schließlich das Drehmoment   a2 Tz a2 + = 2 sin α T0 a2 + b2 + 2ab cos α a2 + b2 − 2ab cos α mit T0 = µ0 I1 I2 b2 /(πa). Für kleine Leiterschleifen, b a, wird daraus µ0 I1 · I2 4b2 · sin α = |pm × B| . ! "# $ πa ! "# $ p m B Hier ist B das Magnetfeld infolge der äußeren Linienleiter im Koordinatenursprung und pm das magnetische Dipolmoment der Leiterschleife. Kleine Leiterschleifen verhalten sich also wie ein magnetischer Dipol. Tz ≈

M3 Feldberechnung mit dem Biot-Savartschen Gesetz Gegeben sei eine in der y, z-Ebene liegende, halbkreisförmige Leiterschleife mit dem Radius R, Abb. 3.8. Durch die Schleife fließe der Strom I. z I

R I y

Abb. 3.8. Stromdurchflossene, halbkreisförmige Leiterschleife in der y, z-Ebene

a) Berechne die magnetische Feldstärke auf der x-Achse. b) Überlege, wie man mit Hilfe des Superpositionsprinzips die x-Komponente der magnetischen Feldstärke auf der x-Achse einfacher aus dem Achsenfeld einer vollständigen Kreisschleife berechnen kann.

Aufgabe M3

105

Lösung: a) Die Berechnung erfolgt mit dem Gesetz von Biot-Savart (3.7), welches im vorliegenden Fall einer dünnen Leiterschleife die Form  
x   ds × (r − r ) I 0 H(r) = mit r = 4π |r − r  |3 0 annimmt. Die gesamte Kontur wird dabei in zwei Wege S1 und S2 zerlegt   H(r) = dH 1 + dH 2 , S1

S2

wobei S1 der Halbkreis und S2 das Geradenstück sei. Grundsätzlich ließe sich diese Aufgabe unter Zuhilfenahme von Zylinderkoordinaten lösen. Einen allgemeineren Weg stellt aber die Parametrisierung der Leiterschleife dar. Wir werden sie an diesem einfachen Beispiel anwenden und beginnen mit dem Halbkreis. Aus der Parametrisierung   0 r  (u) =  R cos u  , u ∈ [0, π] R sin u folgt zunächst 

 x r − r  (u) =  −R cos u  −R sin u

,

  0  dr du =  −R sin u  du ds = du R cos u

&

3  3 x2 + R2 (cos2 u + sin2 u) = x2 + R2      ex  R ey ez   ds × (r − r  ) =  0 −R sin u R cos u  du =  x cos u  R du .  x −R cos u −R sin u  x sin u

|r − r  (u)|3 =

Daraus ergibt sich für die gesuchte magnetische Feldstärke das Integral   π R IR  x cos u  du H 1 (x, 0, 0) = √ 3 4π x2 + R2 0 x sin u und nach Durchführung der elementaren Integration 2

I H 1 (x, 0, 0) = √ 3 πR ex + 2xR ez . 4π x2 + R2 Das gerade Leiterstück parametrisiert man in der Form   0 r  (u) =  u  , u ∈ [−R, R] 0

(3.24)

106

3. Magnetostatische Felder



 x r − r  (u) =  −u  , 0   ex ey  ds × (r − r  ) =  0 1  x −u

  0  3 ds =  1  du , |r − r  (u)|3 = x2 + u2 0    0 ez  0  du =  0  du −x 0 

und es ergibt sich das Integral3 H 2 (x, 0, 0) = −ez

Ix 4π

R −R

du IR √ ez . √ 3 =− 2 2 2πx x2 + R2 x +u

b) Wir können uns das Feld der halbkreisförmigen Schleife aus dem Feld zweier gleich- bzw. gegensinnig vom Strom I/2 durchflossenen Schleifen zusammengesetzt denken, Abb. 3.9. a)

I/2

b)

I/2

I/2

I/2

I/2

I/2

I/2

I/2

Abb. 3.9. Die Überlagerung der beiden Anordnungen (a) und (b) ergibt die Leiterschleife in Abb. 3.8

Die geraden Leiterstücke in Abb. 3.9a heben sich in ihrer Wirkung auf, während die geraden Leiterstücke in Abb. 3.9b nur zu einer z-Komponte der magnetischen Feldstärke auf der x-Achse Anlass geben. Auch die halbkreisförmigen Leiterstücke in Abb. 3.9b liefern auf der x-Achse nur einen Beitrag zur z-Komponente, so dass lediglich die halbkreisförmigen Leiterstücke in Abb. 3.9a resultierend für die x-Komponente verantwortlich sind. Das Achsenfeld einer kreisförmigen Leiterschleife mit dem Strom I/2 ist aber IR2 Hx = √ 3 , 4 x2 + R2 was natürlich vollständig mit der x-Komponente in (3.24) übereinstimmt. 3

siehe z.B. [Bronstein] Integral Nr. 206

Aufgabe M4

107

M4 Magnetischer Dipol vor einer Spule Eine halbunendliche Spule erstrecke sich von z = −∞ bis z = 0. Die Spule habe den Radius a und bestehe aus N  Windungen pro Längeneinheit, Abb. 3.10. Durch die Spule fließe der Strom I. a) Bestimme das magnetische Feld auf der z-Achse. b) Gib eine Näherungslösung in großen Entfernungen z  R an. Welche elektrostatische Anordung hat dann dasselbe Abstandsverhalten? c) Betrachte den Fluss durch eine sehr dünne, kleine Scheibe der Dicke ∆z und mit dem Radius R. Die Rotationsachse der Scheibe sei die Spulenachse. Leite daraus eine Approximation für die Radialkomponente des magnetischen Feldes in unmittelbarer Umgebung der Achse her. d) Berechne die Kraft auf einen magnetischen Dipol, der im Abstand c vor der Spule auf der Achse angeordnet ist. dz 

c

d a

P R

pm

Abb. 3.10. Magnetischer Dipol vor einer halbunendlichen Spule

Lösung: a) Da die Wicklungsdicke zu vernachlässigen ist (d → 0), können wir von einer Flächenstromdichte J F = N  I eϕ ausgehen. Das Feld ist auf der Rotationsachse gesucht, wo es naturgemäß nur eine z-Komponente aufweist, die wir mit dem Gesetz von Biot-Savart (3.7) in der Form 0 2π ez · (eϕ × R) µ0 N  I a dϕ dz  Bz = 4π R3 −∞ 0

mit R = −a e
+ (z − z  ) ez finden können. Nach Auflösen des Spatproduktes ez · (eϕ × R) = a verbleibt das Integral µ0 N  Ia2 Bz = 2

0  −∞

dz  a2 + (z − z  )2

3

.

108

3. Magnetostatische Felder

Zur Lösung des Integrals wird an dieser Stelle üblicherweise auf [Bronstein] verwiesen. Zur Abwechslung verwenden wir diesmal die Substitution 1 z − z  = a tan α → dz  = −a dα . cos2 α Dann wird aus dem Integral   tan α 1 1 1 . . . dz  → − 2 cos α dα = − 2 sin α = − 2 √ a a a 1 + tan2 α und nach Rückkehr zur ursprünglichen Integrationsvariablen z  0    z − z µ0 N  I µ0 N  I z   √ Bz = − . 1−  = 2 2 a2 + z 2 a2 + (z − z  )2 −∞

(3.25)

b) In großen Entfernungen z  R lässt sich das magnetischen Feld approximieren √    a2 + z 2 − z µ0 N  I µ0 N  I z ≈ ≈ Bz = 1− √ 2 2 z a2 + z 2   µ0 N  I z(1 + a2 /[2z 2 ]) − z 1 µ0 N  I a2 ≈ ∼ 2 . = 2 z 4 z2 z Das Feld nimmt also mit dem Quadrat des Abstandes ab, so dass sich die halbunendliche Spule in großen Entfernungen wie eine Punktladung am Ort x = y = z = 0 verhält. c) Wir betrachten eine Scheibe mit der Dicke ∆z und dem Radius a, Abb. 3.11.  B

∆z

Abb. 3.11. Zur Herleitung der Approximation für die Radialkomponente der Induktion in der Umgebung der Achse

Aufgrund der Quellenfreiheit der magnetischen Induktion ∇ · B = 0 verschwinden sämtliche Oberflächenintegrale. Nehmen wir also die Oberfläche der kleinen Scheibe, so wird aus dem Oberflächenintegral Bz ( = 0, z + ∆z) π 2 − Bz ( = 0, z) π 2 + B
( , z) 2π ∆z = 0 . Da die Scheibe klein sein soll, konnte hier angenommen werden, dass Bz in der Scheibe konstant ist. Im Grenzfall ∆z → 0 erhält man daher  ∂Bz  Bz ( = 0, z + ∆z) − Bz ( = 0, z) 2 = = − B
lim ∆z→0 ∆z ∂z 
=0

Aufgabe M5∗

109

und damit die Möglichkeit die Radialkomponente der Induktion aus dem Achsenfeld (3.25) zu berechnen  ∂Bz  . (3.26) B
≈ − 2 ∂z 
=0

d) Zur Kraftberechnung stellen wir uns den magnetischen Dipol als kleine kreisförmige Leiterschleife mit dem Radius r vor, die vom Strom I1 durchflossen werde. Die Kraft ist dann nach (3.2)
K = I1 ds × B und die allein zu erwartende z-Komponente ergibt sich mit Hilfe von (3.26) 2π

2π ez · (eϕ × B) r dϕ = −I1

Kz = I1 0

B
r dϕ = 0

 ∂Bz  ∂z z=c

= −2πrI1 B
( = r, z = c) = pm

mit

pm = I1 πr2 .

Wie man sieht, liefert nur der Feldgradient in Richtung des Dipols einen Kraftbeitrag. Einsetzen von (3.25) und Differenzieren ergibt schließlich a2 µ0 N  Ipm √ 3 . 2 a2 + c2 Wie es sein muss, wird der Dipol von der Spule, in der ein Strom in positive ϕ-Richtung angenommen wurde, angezogen. Kz = −

M5∗ Permanentmagnet Gegeben ist ein in achsialer Richtung homogen magnetisierter, zylindrischer Stabmagnet mit dem Radius a und der Höhe 2h, Abb. 3.12. a)

z

z P

b) a

R

dI h

z

dz  M

y

a



h

x Abb. 3.12. (a) Homogen magnetisierter Zylinder. (b) Zur Berechnung des Achsenfeldes durch Integration über die äquivalenten Magnetisierungsströme auf der Mantelfläche

110

3. Magnetostatische Felder

a) Bestimme mit Hilfe der äquivalenten Magnetisierungsströme die magnetische Induktion sowie die magnetische Feldstärke auf der Rotationsachse. b) Ausgehend vom Vektorpotential eines elementaren magnetischen Dipols ist das Feld auf der Achse durch Volumenintegration zu berechnen. c) Diskutiere die Unterschiede zum analogen elektrostatischen Fall eines polarisierten Stabes. Lösung: a) Ein magnetisiertes Volumen lässt sich nach (3.9) durch seine Magnetisierungsstromdichte J mag und Magnetisierungsflächenstromdichte J F mag beschreiben. Da ein homogen magnetisierter Körper vorliegt, verschwindet die Magnetisierungsstromdichte J mag , und es verbleibt nur eine ϕ-gerichtete Flächenstromdichte J F mag = M0 eϕ . Der Magnet verhält sich also wie eine dicht bewickelte Spule auf der Mantelfläche. Wir greifen zunächst eine in der Höhe z  befindliche Elementarwindung mit dem differentiellen Strom dI = M0 dz  heraus, Abb. 3.12b, und berechnen mit Hilfe des Biot-Savartschen Gesetzes (3.7) den elementaren Feldbeitrag auf der Rotationsachse, der selbstverständlich nur eine z-Komponente aufweist. Mit R = −a e
+ (z − z  ) ez und ds = a dϕ eϕ
ist dann
a2 µ0 dI µ0 M0 ez · (ds × R)  = dBz =  3 dz 4π R3 2 (z − z  )2 + a2 und die Integration über den Bereich −h ≤ z  ≤ h liefert4   z+h µ0 M0 z−h  Bz = − . 2 (z + h)2 + a2 (z − h)2 + a2

(3.27)

Dieses Resultat gilt auf der gesamten z-Achse, also auch im Innern des Magneten. Bei der Berechnung der magnetischen Feldstärke ist dagegen die Magnetisierung zu berücksichtigen  Bz für |z| > h µ0 Hz = Bz − µ0 M0 für |z| < h . b) Ein elementarer magnetischer Dipol dpm am Ort r  ruft nach (3.6a) das Vektorpotential dA =

µ0 dpm × (r − r  ) 4π |r − r  |3

,

dpm = ez M0 dV 

und mit (3.5) die Induktion    µ0 M0 r − r ez · ∇ × ez × dV  dBz = 4π |r − r  |3 hervor. Das mehrfache Vektorprodukt lässt sich umformen 4

siehe z.B. Aufg. M4 oder [Bronstein] Integral Nr. 206

(3.28)

Aufgabe M5∗

111

      r − r r − r ez · ∇ × ez × × = ∇ · e × e z z |r − r  |3 |r − r  |3     r − r ∂ ez · (r − r  ) = ∇· − |r − r  |3 ∂z |r − r  |3 und nach Einsetzen der bekannten Beziehung5    r − r  ∇· ) , δ(r − r  ) dV  = 1 = 4π δ(r − r |r − r  |3 V lautet die z-Komponente der Induktion   µ0 M0 ez · (r − r  ) µ0 M0 ∂  Bz = − dV +  3 4π ∂z V |r − r | 0

für |z| < h für |z| > h .

Es sei dem Leser zur Übung überlassen, sich davon zu überzeugen, dass das Ergebnis der Integration wieder auf (3.27) führt. Auch empfiehlt es sich, in diesem Zusammenhang die Aufg. E40 zu lösen, da hier dasselbe Integral auftaucht. Es bietet sich aber noch eine alternative Vorgehensweise bei der Berechnung der magnetischen Induktion durch Volumenintegration an, die im Folgenden dargestellt werden soll. Auch wenn die Induktion nur auf der Achse gesucht ist, genügt es wegen Bz = ez · ∇ × A =

1 ∂( Aϕ ) ∂

nicht, das Vektorpotential nur auf der Achse zu kennen.6 Um es nach differenzieren zu können, benötigen wir das Vektorpotential also auch außerhalb der Achse. Seine ϕ-Komponente ergibt sich aus dem Integral  M ×R µ0 eϕ · dV  = Aϕ = 4π R3 V   µ0 M0 eϕ · (ez × R) µ0 M0 R  = dV = e
· 3 dV  3 4π R 4π R V V mit R = e
−  e

+ (z − z  ) ez . Wichtig dabei ist, zwischen den Einheitsvektoren e
und e

zu unterscheiden. Der Betrag des Abstandsvektors R wird zu  √ R = R · R = 2 + 2 − 2  cos(ϕ − ϕ ) + (z − z  )2 (3.29) und wir haben das Integral 5

6

Diesen Zusammenhang kann man sich sofort klar machen, indem man einer Punktladung Q am Ort r  mit Hilfe der Diracschen Deltafunktion die Raumladungsdichte qV = Q δ(r − r  ) zuordnet. Aus der Grundgleichung ∇ · E = qV /ε0 und dem elektrischen Feld einer Punktladung (1.2) mit R = r − r  folgt dann die angegebene Differentialgleichung. Die Rotationsachse ist naturgemäß eine Feldlinie, auf der das Vektorpotential verschwindet.

112

3. Magnetostatische Felder

µ0 M0 Aϕ = 4π

h 2πa −h 0

0

−  cos(ϕ − ϕ )     d dϕ dz R3

zu lösen. Dies führt im Allgemeinen auf elliptische Integrale. Da wir später aber sowieso den Aufpunkt auf die Achse legen werden, ist es zweckmäßig, eine Taylor-Reihe für das Vektorpotential anzusetzen  1 ∂( Aϕ )  2 = 2 f1 Aϕ = f0 + f1 + f2 + . . . → Bz ( = 0, z) = ∂ 
=0  ∂Aϕ  mit f0 = 0 und f1 = , d.h. ∂ 
=0 µ0 M0 f1 = 4π

h 2πa  −h 0

0

    1 ∂ 1   −  cos(ϕ − ϕ )  d  dϕ dz  . R3 
=0 ∂ R3 
=0

Nach Differentiation und Integration über ϕ wird daraus µ0 M0 f1 = 4

a h  2 0 −h

3  − 3 R3 |
=0 R5 |
=0



d  dz  =

 a h  1 µ0 M0  2 ∂ + = 2 3 d  dz  . 4 R |
=0 ∂  R3 |
=0 0 −h

Der zweite Term im Integranden lässt sich partiell integrieren  a h  µ0 M0 f1 = d  dz  + 2 4 R3 |
=0 0 −h

h  + 2 −h

1 R3 |
=0

a



a h

dz − 2 0

0 −h

 d  dz  3 R |
=0



und wir erhalten nach Einsetzen von (3.29) die Induktion 2Bz = µ0 M0

h −h

a2 z+h z−h dz  =  − 2 2 2 R3 |
=0 a + (z + h) a + (z − h)2

also wieder (3.27). Zusammenfassend erweist sich also die Feldberechnung mit Hilfe der Magnetisierungsflächenstromdichte auf dem Mantel als die optimale Vorgehensweise. Andererseits gibt der aufwendigere Weg über die Volumenintegration einen tieferen Einblick in die mathematischen und physikalischen Zusammenhänge und kontrolliert obendrein das Ergebnis. c) Der wesentliche Unterschied zwischen dem magnetischen Feld B eines

Aufgabe M6

113

Stabmagneten und dem elektrischen Feld E eines polarisierten Stabes besteht darin, dass aufgrund des Fehlens magnetischer Ladungen die B-Linien stets geschlossen sind, während die elektrische Feldstärke an Orten unkompensierter Polarisationsladungen Quellen aufweist. M6 Gegeninduktivität zwischen einer Kreisschleife und einer Doppelleitung In der Ebene y = 0 sind an den Stellen x = 0 und x = c die Stränge einer Doppelleitung angeordnet. In der Mittelpunktsentfernung m von der z-Achse befindet sich zusätzlich eine Kreiswindung mit Radius a < c − m, deren eingeschlossene Fläche mit der Ebene y = 0 den Winkel ϕ bildet, Abb. 3.13. Bestimme die Gegeninduktivität M der beiden Leiterschleifen für die Winkellagen ϕ = 0, ϕ = π und ϕ = arccos(m/c). y

e
2a P m

Kreiswindung

γ

R

ϕ 1

2

x

c

Abb. 3.13. Anordnung der Doppelleitung und der Kreiswindung im Koordinatensystem

Lösung: Der mit der Kreiswindung verkettete Fluss besteht aus einem vom (1) (2) Leiter 1 herrührenden Anteil ψm und einer Komponente ψm , die vom Leiter 2 hervorgerufen wird. Wie unmittelbar einleuchten dürfte, wird nur der zuletzt genannte Beitrag vom Winkel ϕ abhängig sein. Wir beginnen mit seiner Bestimmung. Die ϕ-Komponente7 des magnetischen Feldes am Ort der Kreisschleife infolge des Leiters 2, welcher in der in Abb. 3.13 angedeuteten Richtung vom Strom I durchflossen wird, ist nach (3.3) I (R × ez ) I (ez × eϕ ) I (e
· R) I cos γ , =R· =− =− 2πR2 2πR2 2πR2 2πR wobei γ den Winkel zwischen den Vektoren e
und R darstellt. Nach dem Kosinussatz ist c2 = 2 + R2 − 2 R cos γ − c cos ϕ 2 + R2 − c2 = → cos γ = 2 2 2 2 R R R = + c − 2 c cos ϕ Hϕ(2) = eϕ ·

und folglich 7

nur diese ist für die Flussberechnung erforderlich

114

3. Magnetostatische Felder

Hϕ(2) = −

− c cos ϕ I 2π 2 + c2 − 2 c cos ϕ

m p 2 a2 − ξ 2 ξ



a Abb. 3.14. Zur Bestimmung des magnetischen Flusses durch die Kreiswindung

dξ

Wir berechnen jetzt den Fluss durch die in Abb. 3.14 eingezeichnete Elementarfläche der Kreiswindung  (2) dψm = µ0 Hϕ(2) ( = m − ξ, ϕ) 2 a2 − ξ 2 dξ =  (m − ξ) − c cos ϕ µ0 I a2 − ξ 2 dξ . (3.30) =− π (m − ξ)2 + c2 − 2(m − ξ)c cos ϕ Der Beziehung lässt sich jetzt schon entnehmen, dass im Falle ϕ = arccos(m/c) eine ungerade Funktion in ξ vorliegt, deren Integration von −a bis a den Wert null liefert8 ' m( (2) ϕ = arccos =0. ψm c Für die Winkel ϕ = 0 und ϕ = π wird aus (3.30)   a  2 a − ξ2 µ0 I 0 (2) ψm dξ . (3.31) = π π ξ − (m ∓ c) −a

Mit den Integralen9   √ 2  a − x2 dx 2 2 dx = a − x − b √ + 2 x−b a − x2  dx √ + (a2 − b2 ) (x − b) a2 − x2  x dx √ = arcsin 2 2 a a −x 

8

9

dx 1 a2 − bx √ =√ arcsin a|x − b| (x − b) a2 − x2 b2 − a2

Dies ist auch ohne Rechnung klar, da die Kreiswindung in Abb. 3.14 für cos ϕ = m/c gerade eine symmetrische Lage zum Leiter 2 einnimmt. siehe z.B. [Gröbner] 231.6+10 sowie [Bronstein] Integral Nr. 164

Aufgabe M7

115

lässt sich das Integral in (3.31) lösen   a  2  a − ξ2 a−b a+b 2 2 dξ = b − a arcsin − arcsin − bπ . ξ−b |a + b| |a − b| −a

Das Auftreten der Beträge |a ± b| macht für die beiden Winkellagen eine Fallunterscheidung erforderlich ϕ=0

→

b = − (c − m) ! "# $ >a

→

a−b>0 a+b R) =

1 H (p) = S H (p) . 1 + jλ

b) Das durch die Wirbelströme in der leitenden Hülle hervorgerufene homogene Magnetfeld treibt einen zusätzlichen Fluss durch die abzuschirmende Spule, dessen zeitliche Änderung gerade die gesuchte Zusatzimpedanz definiert (RK + jω LK )Iˆ = jω µ0 π a2 Hz(s) N . Das sekundäre Magnetfeld innerhalb der Abschirmung ist mit = r sin ϑ µ0 Hz(s) =

1 ∂( A(s) ) ∂

→

µ0 Hz(s) =

2C R

und damit die Impedanz

2 2 1 jλ . (RK + jω LK ) = −j ω πa2 N 2 µ0 2 R 4πR 1 + j λ Schließlich führen wir noch das Kugelvolumen VK = (4/3)πR3 sowie die mittlere Spulenfläche F = πa2 ein und zerlegen nach Real- und Imaginärteil RK =

λ 4 1 (N F )2 2 3 κδS VK 1 + λ2

,

LK = −µ0

2 (N F )2 λ2 . 3 VK 1 + λ 2

176

4. Quasistationäre Felder

Der Verlustwiderstand ist, wie es sein muss, positiv. Die Gesamtinduktivität als Summe der ungestörten Selbstinduktivität L0 und der Zusatzinduktivität LK verringert sich durch den Einfluss der Kugelhülle. Auch dies ist nach der Lenzschen Regel sofort plausibel. Q13 Dünnwandiger Rechteckzylinder im homogenen, magnetischen Wechselfeld Gegeben ist ein unendlich langer, dünnwandiger, leitender Hohlzylinder mit den Kantenlängen 2a und 2b sowie der Wandstärke d a, b, Abb. 4.19. Bestimme die magnetische Feldstärke innerhalb des Zylinders, wenn dieser einem ursprünglich homogenen, quasistationären magnetischen Wechselfeld der Stärke H 0 = ez H0 cos ωt ausgesetzt wird. Der gesamte Raum habe die konstante Permeabilität µ0 . Verschiebungsströme dürfen vernachlässigt werden. Außerdem soll die Skineindringtiefe sehr viel größer als die Leiterdicke sein. d y H 2b x κ, µ0

2a

Abb. 4.19. Metallischer Rechteckzylinder kleiner Wandstärke parallel zu einem homogenen, magnetischen Wechselfeld

Lösung: Die wirbelstromdurchflossene Bewandung verhält sich analog zu einer stromdurchflossenen, unendlich langen Spule. Von einer solchen wissen wir, dass sie in ihrem Inneren ein homogenes Feld erzeugt, während der Außenraum feldfrei ist. Daher können wir davon ausgehen, dass auch bei Anwesenheit des leitenden Rechteckzylinders im Außenraum die ungestörte Feldstärke H0 herrscht, da das sekundäre Feld der Wirbelströme nur im Innenraum vorhanden ist. Dort stellt sich durch Überlagerung des primären und sekundären Magnetfeldes das um den Schirmfaktor S geschwächte, ortsunabhängige Feld Hi = S H0 ein. Aufgrund der harmonischen Anregung stellen alle hier verwendeten Feldgrößen komplexe Zeiger dar, die wir mit dieser Festlegung nicht gesondert kennzeichnen. Wegen der vorausgesetzt geringen Wandstärke fassen wir die induzierte Wirbelstromdichte als Flächenstromdichte JF auf. Diese weist aufgrund der Anregung keine z-Komponente auf. Den Zählpfeil der zirkulierenden Wirbelströme wählen wir im positiven Uhrzeigersinn. Mit dieser Vereinbarung folgt aus (3.15)

Aufgabe Q14∗

H0 − Hi = H0 (1 − S) = JF .

177

(4.48)

Da sowohl der Schirmfaktor als auch die induzierte Flächenstromdichte nicht bekannt sind, benötigen wir eine weitere Gleichung. Es bietet sich an, das Faradaysche Induktionsgesetz (4.1) in seiner integralen Form auf die Querschnittsfläche F des Rechteckzylinders anzuwenden. Der Feldstärkeumlauf geht dann durch die leitende Bewandung und wir erhalten mit Hinzunahme des Ohmschen Gesetzes J = J F /d = κE 

l 1 JF = −jω B · dF = −jωµ0 Hi F E · ds = J F · ds = κd κd F F . (4.49) l Nach Einsetzen von (4.49) in (4.48) ergibt sich der Schirmfaktor in der Form  2d F 2d ab 1 2 mit λ = 2 = 2 und δS = S= . 1 + jλ δS l δS a + b ωκµ0 →

JF = jωκµ0 d S H0

Wie in den Aufgaben (Q11) und (Q12) ließ sich ein dimensionsloser Universalparameter λ einführen, der alle Geometrie- und Materialgrößen sowie die erregende Frequenz in sich vereinigt. Dies ist offensichtlich ein charakteristisches Merkmal bei der Wirbelstromberechnung in dünnen Blechen. Verfolgt man den Gang der Herleitung, so kann festgestellt werden, dass das Ergebnis auch für anders geformte Zylinder verwendet werden darf. Es braucht lediglich das Verhältnis aus Querschnittsfläche und Umfang F/l jeweils neu berechnet zu werden. Q14∗ Doppelleitung über einer leitenden Platte Über einer dünnen leitenden Platte befinde sich in der Höhe h eine aus dünnen Drähten bestehende Doppelleitung, Abb. 4.20. Der Abstand zwischen den Strängen der Doppelleitung sei 2a h. y i(t)

2a d

h h

κ, µ0 Messleitung

x

Abb. 4.20. Anordnung der leitenden Platte und der Doppelleitungen im kartesischen Koordinatensystem

a) Bestimme den zeitlichen Verlauf des Vektorpotentials unter der Platte, wenn zum Zeitpunkt t = 0 der Strom i(t) in der Doppelleitung vom Wert 0

178

4. Quasistationäre Felder

sprunghaft auf den konstanten Wert I0 ansteigt. b) Welche Spannung wird dabei pro Längeneinheit in einer Messleitung induziert, die im Abstand h unter der Platte angeordnet wird und ansonsten die gleiche Gestalt wie die Doppelleitung oberhalb der Platte haben soll? Lösung: a) Das resultierende Vektorpotential wird in einen primären Anteil A(p) infolge der Doppelleitung im ansonsten ungestörten Raum sowie einen Beitrag A(s) infolge der durch Induktion hervorgerufenen Wirbelstöme in der Form 0 1 A(x, y, t) = A(p) (x, y, t) + A(s) (x, y, t) ez zerlegt. Für das primäre Potential gilt nach (3.6b) für t > 0 (x + a)2 + (y − h)2 1+u µ0 I0 µ0 I0 ln ln =− 2 2 4π (x − a) + (y − h) 4π 1−u 2xa 2xa ≈ 2 für a h . u= 2 x + a2 + (y − h)2 x + (y − h)2

A(p) (x, y) = − mit

Wegen a h können wir den Logarithmus näherungsweise als 1+u ≈ 2u für |u| 1 1−u schreiben, so dass das primäre Potential die etwas einfachere Gestalt ln

A(p) (x, y) ≈ −

x µ0 I0 a π x2 + (y − h)2

(4.50)

A(p) (x, y, t) = σ(t) A(p) (x, y) annimmt. Infolge des durch die Sprungfunktion σ(t) beschriebenen Einschaltvorganges werden in der leitenden Platte z-gerichtete Wirbelströme induziert, die wir, da die Platte dünn sein soll, als Flächenstromdichte JF auffassen dürfen. Daraus folgt nach (3.15) ein unstetiges Verhalten der Tangentialkomponente der magnetischen Feldstärke am Ort der Platte . / ey × H(x, y = +0) − H(x, y = −0) = ez JF . Mit B = ∇ × A wird daraus unter Beachtung der Symmetrie des Vektorpotentials der Wirbelströme A(s) zur Ebene y = 0  ∂A(s)  = µ0 JF . (4.51) 2 ∂y y=−0 Aus dem Induktionsgesetz von Faraday folgt dagegen  1 ∂(A(p) ) + A(s) )  JF = −  ∂t κd y=0

(4.52)

und nach Kombination der Gleichungen (4.51) und (4.52) erhält man schließlich die Randbedingung

Aufgabe Q14∗

  ∂A(s)  ∂(A(p) + A(s) )  2 =− .  ∂t κµ0 d ∂y y=−0 y=0

179

(4.53)

Da es sich hier um einen Einschaltvorgang handelt, bietet es sich an, die Differentialgleichung (4.53) einer Laplace-Transformation zu unterziehen, siehe (4.25). Nach Anwendung des Differentiationssatzes (4.26) lautet die Randbedingung (4.53) dann im Bildbereich der Laplace-Transformation - ,  ( '  ∂L A(s)  2 (p) (s) +L A =− , (4.54) s L A   κµ0 d ∂y y=0 y=−0

wobei nach der Lenzschen Regel angenommen wurde, dass der untere Halbraum unmittelbar nach dem Einschalten noch feldfrei ist ( ' A(p) + A(s) =0. t=+0

Die Potentiale erfüllen die zweidimensionale Laplace-Gleichung in kartesischen Koordinaten ∇2 A(p,s) (x, y) = 0, so dass der allgemeine Ansatz (1.49) gültig ist. Damit das Potential für |y| → ∞ abklingt, verwenden wir anstelle der Hyperbelfunktionen Exponentialfunktionen und unter Beachtung der Symmetrie zur Ebene x = 0 lassen sich die reduzierten Ansätze8  A(p) (x, y < 0, t) = σ(t) C(p) sin px e p(y−h) (4.55) A(s) (x, y < 0, t) =



p

D(p, t) sin px e py

p

oder nach Transformation  1 L A(p) (x, y < 0, t) = C(p) sin px e p(y−h) s p   L A(s) (x, y < 0, t) = E(p, s) sin px e py p

aufstellen. Der Faktor 1/s im primären Potential stellt dabei die LaplaceTransformatierte der Sprungfunktion σ(t) dar. Nach Einsetzen in die Randbedingung (4.54) lassen sich die Konstanten des Potentials der Wirbelströme durch die Konstanten des primären Potentials ausdrücken 2 1 mit η = E(p, s) = −C(p) e−ph s+ηp κµ0 d und das Potential der Wirbelströme lautet im Bildbereich der LaplaceTransformation 8

Die Summe über die Separationskonstanten steht, wie schon in Aufg. E22 erwähnt, formal auch für eine Integration über p. Weil die Anordnung in x-Richtung keine Begrenzung aufweist, liegen nämlich keine diskreten Werte für p vor, und C(p) stellt eine kontinuierliches Spektrum dar. Dies ist aber für die weitere Rechnung ohne Bedeutung, da sich zeigen wird, dass C(p) nicht explizit ermittelt werden muss.

180

4. Quasistationäre Felder

L

  A(s) (x, y < 0, t) = − C(p) ,

Mit L e lung

−αt

-

p −1

= (s + α)

A(s) (x, y, t) = −σ(t)

1 sin px e p(y−h) . s+ηp

kommt man damit im Zeitbereich zu der Darstel-



C(p) sin px e p(y−h−ηt)

für y < 0 ,

(4.56)

p

die dieselbe prinzipielle Struktur wie das primäre Potential hat und man findet durch Vergleich von (4.56) mit (4.55) den Zusammenhang A(s) (x, y, t) = −σ(t) A(p) (x, y − ηt)

für y < 0 .

Da das sekundäre Potential der Wirbelströme symmetrisch zur Ebene y = 0 ist, gilt schließlich für alle y 2 A(s) (x, y, t) = −σ(t) A(p) (x, −|y| − ηt) mit η = . (4.57) κµ0 d Dies ist ein bedeutsames Resultat, weil es einem gestattet für jede beliebige erregende Anordnung mit dem primären Potential A(p) (x, y) das sekundäre Potential der Wirbelströme durch die Substitution y → −|y| − ηt in A(p) (x, y) zu berechnen. Die Darstellung des primären Potentials durch Lösungsfunktionen der Laplace-Gleichung diente dabei nur der Herleitung von (4.57). Bei der praktischen Auswertung wird natürlich (4.50) verwendet, d.h. C(p) braucht nicht explizit berechnet zu werden. Bisher sind wir davon ausgegangen, dass das primäre Potential zum Zeitpunkt t = 0 von null auf einen konstanten Wert angestiegen ist. Für den Fall (p) eines Potentialsprunges zum Zeitpunkt t = t0 vom Wert A1 auf den Wert (p) A2 lautet die Verallgemeinerung von (4.57) A(s) (x, y, t) = −σ(t − t0 ) ∆A(p) (x, −|y| − η[t − t0 ]) (4.58) 2 . κµ0 d Da man jeden zeitlichen Potentialverlauf in infinitesimale Elementarsprünge zerlegen kann, bietet (4.58) die Möglichkeit, das Potential der Wirbelströme bei beliebiger Zeitabhängigkeit des erregenden Feldes zu bestimmen. Wir werden dies in Aufg. Q15∗ tun. mit

(p)

(p)

∆A(p) (x, y) = A2 (x, y) − A1 (x, y)

und η =

b) Das Vektorpotential unterhalb der Platte kann nun mit (4.50) und (4.57) sofort angegeben werden   x µ0 I0 a x A(x, y < 0, t) = −σ(t) , − 2 π x2 + (y − h)2 x2 + (h − y + ηt) woraus man wegen By = −∂A/∂x die magnetische Induktion am Ort der Messleitung in der Form

Aufgabe Q15∗

µ0 I0 a By (x = 0, y = −h, t) = σ(t) 4π



1 1 − 2 h2 (h + ηt)

181



erhält. Nach dem Induktionsgesetz von Faraday wird dann die Spannung  ∂By  dψ  Ui (t) = − m ≈ −2a dt ∂t  x=0,y=−h

pro Längeneinheit induziert. Die Näherung ist hier wegen der vorausgesetzten kleinen Abmessung 2a h zulässig. Nach Durchführung der Differentiation erhalten wir schließlich 1 I0 a2 mit τ = κµ hd und U = . Ui (t) = −U0 0 0 (1 + t/τ )3 κπ dh3 Die eingeführte Zeitkonstante τ gibt damit die Zeit an, nach welcher die Spannung in der Messleitung auf 1/8 ihres Maximalwertes abgesunken ist, Abb. 4.21. 1

−→

0.8 0.6

|Ui | U0 0.4 0.2 0

0

0.4

0.8

1.2

t/τ −→

1.6

2

Abb. 4.21. Zeitlicher Verlauf der in der Messleitung induzierten Spannung

Q15∗ Bewegte Doppelleitung über einer leitenden Platte (Levitation) Eine Möglichkeit Magnetschwebebahnen zu realisieren ist die sogenannte EDS-Technik (elektrodynamisches Schweben). Im Fahrzeug sind zu diesem Zwecke gleichstromdurchflossene Spulen angebracht. Das Fahrzeug selbst bewegt sich dann z.B. über einem als leitende Platte ausgeführten Fahrweg. Als Folge der Bewegung werden in diesem Wirbelströme induziert, die aufgrund der Lenzschen Regel eine abhebende Kraft aber auch eine Bremskraft verursachen. Die auftretenden Kräfte sollen in dieser Übung anhand eines einfachen Modells analysiert werden, Abb. 4.22.

182

4. Quasistationäre Felder y 2a I

v d

h

x

µ0 , κ

Abb. 4.22. Anordnung der bewegten Doppelleitung und der leitenden Platte im kartesischen Koordinatensystem

Im Abstand h über einer leitenden Platte der Dicke d h bewege sich eine unendlich lange Doppelleitung mit der Geschwindigkeit v. Sie besteht aus sehr dünnen, vom Strom I durchflossenen Drähten, deren gegenseitiger Abstand 2a klein gegenüber der Höhe h sein soll. Zu bestimmen ist die abhebende und die abbremsende Kraft auf die Doppelleitung. Lösung: Aus Aufg. Q14∗ ist das primäre Vektorpotential einer ruhenden Doppelleitung bekannt. Ersetzt man also in (4.50) die Koordinate x durch x − vt, so lautet das Potential einer mit der Geschwindigkeit v bewegten Doppelleitung A(p) (x, y, t) ≈ −

x − vt µ0 Ia π (x − vt)2 + (y − h)2

für a h .

(4.59)

Den zeitlichen Verlauf des primären Potentials können wir uns nun aus kleinen Stufen zusammengesetzt vorstellen, Abb. 4.23, wobei das sekundäre Potential infolge eines einzelnen Sprunges in (4.58) hergeleitet wurde. ∆t

A(p) (p)

Ai+1 (p)

Ai

(k − i)∆t

i∆t

k∆t

t

Abb. 4.23. Stufenapproximation eines zeitlich beliebig variierenden Potentialverlaufs

Unter Berücksichtigung aller bis zum Zeitpunkt tk = k∆t stattgefundenen Sprünge im primären Potential erhält man dann das sekundäre Potential im unteren Halbraum y < 0 aus der allgemeinen Vorschrift (4.58) in Form der Summe

Aufgabe Q15∗

A(s) (x, y, tk ) =

183

k  



(p) (p) Ai x, y − η[tk − ti ] − Ai+1 x, y − η[tk − ti ]

,

i=−∞

oder nach Ersetzen von i durch k − i ∞   (p) (p) A(s) (x, y, k∆t) = Ak−i (x, y − iη∆t) − Ak−i+1 (x, y − iη∆t)

.

i=0

Jetzt kann der Grenzübergang ∆t → 0 durchgeführt werden. Mit     ∆t → dt , k∆t → t , i∆t → t , → und A(p) (t = [k − i]∆t) − A(p) (t = [k − i + 1]∆t) ∆t ∂ (p)  A (t − t ) → −∆t ∂t erhält man die Darstellung ∞ ∂ (p) (s) A (x, y, t) = − A (x, y − ηt , t − t ) dt . (4.60) ∂t (p)

(p)

Ak−i − Ak−i+1 = ∆t

0

Aus (4.59) ergibt sich die Ableitung µ0 Iav (y − h − ηt )2 − (x − v[t − t ])2 ∂A(p) (x, y − ηt , t − t ) = 0 12 ∂t π (x − v[t − t ])2 + (y − h − ηt )2 und die anschließende Integration9 über t in (4.60) µ0 Iav π

∞ 0 0

(y − h − ηt )2 − (x − v[t − t ])2  12 dt =  2  2 (x − v[t − t ]) + (y − h − ηt )

=−

µ0 Ia 1 λ2 ξ + λ(y − h) , 2 π 1 + λ ξ 2 + (y − h)2

(4.61)

wobei zur Abkürzung ξ = x − vt und λ =

κµ0 vd v = η 2

gesetzt wurde. Unsere bisherigen Betrachtungen beschränkten sich auf den unteren Halbraum y < 0. Da das Vektorpotential der induzierten Wirbelströme A(s) jedoch symmetrisch zur Ebene y = 0 ist, braucht in (4.61) lediglich y durch −|y| ersetzt zu werden und wir erhalten schließlich die im gesamten Raum gültige Darstellung 9

siehe z.B. [Bronstein] Integrale Nr. 41, 45 und 48

184

4. Quasistationäre Felder

A(s) =

λ2 ξ − λ(|y| + h) 1 µ0 Ia . π 1 + λ2 ξ 2 + (|y| + h)2

Bemerkenswert ist, dass Geschwindigkeit, Leitfähigkeit und Plattendicke nur gemeinsam im Universalparameter λ vereinigt auftreten. Auf dieses für alle Wirbelstromprobleme in dünnen Blechen typische Verhalten haben wir bereits in den Aufgaben Q12 und Q13 hingewiesen. Für den Sonderfall λ → ∞, der entweder bei einer perfekt leitenden Platte oder aber auch bei extrem hohen Geschwindigkeiten erreicht wird, lautet das Potential der Wirbelströme ξ µ0 Ia für λ → ∞ , A(s) = π ξ 2 + (|y| + h)2 d.h. im unteren Halbraum verschwindet das Gesamtfeld und im oberen Halbraum entspricht das Feld der induzierten Wirbelströme dem Feld einer mit dem Strom −I durchflossenen Doppelleitung am gespiegelten Ort y = −h. Da nun das Feld der Anordnung bekannt ist, können auch die auf die bewegte Doppelleitung einwirkenden Kräfte untersucht werden. Die Kraft pro Längeneinheit im äußeren Feld B (s) ist nach (3.2) 0 1 K  = I ez × B (s) (x = vt − a, y = h) − B (s) (x = vt + a, y = h) . Mit B (s) = ∇ × A(s) wird daraus 0 1 K  = I ∇ A(s) (x = vt − a, y = h) − A(s) (x = vt + a, y = h) .

(4.62)

Die Gradientenbildung des Vektorpotentials der Wirbelströme ergibt  1 µ0 Ia  ∇A(s)  = (ex fx + ey fy ) π 1 + λ2 y=h mit λ2 (4h2 − ξ 2 ) + 4λhξ λ(4h2 − ξ 2 ) − 4λ2 hξ , f = . fx = y (ξ 2 + 4h2 )2 (ξ 2 + 4h2 )2 Die in ξ geraden Anteile von fx und fy liefern beim Einsetzen in (4.62) keinen Beitrag und es verbleibt µ0 I 2 a2 −λ ex + λ2 ey für a h . (4.63) πh h2 1 + λ2 Erstaunlich ist die Kompaktheit der Kraftbeziehung (4.63) vor dem Hintergrund der doch recht anspruchsvollen Herleitung. Die Näherung a h ist keine wirkliche Einschränkung. Sie wurde nur deshalb eingeführt, um die erforderliche Integration analytisch durchführen zu können. Nur so haben wir dieses überschaubare Resultat für die Kraftwirkung erhalten und können damit ohne großen Aufwand die Aussage machen, dass die Hubkraft eine mit der Geschwindigkeit monoton ansteigende Funktion ist, während die Bremskraft bis zum Parameter λ = 1 ansteigt und dann wieder abfällt. Die in Abb. 4.24 dargestellten charakteristischen Kraftverläufe findet man im K ≈

Aufgabe Q15∗

185

1 0.8

Ky /K0

0.6 0.4

Kx /K0 0.2 0

0

2

4

λ −→

6

8

10

Abb. 4.24. Verlauf der Hub- und Bremskraft auf die Doppelleitung in Abhängigkeit des Universalparameters λ ∼ v

übrigen bei allen elektrodynamischen Schwebesystemen, unabhängig davon, wie diese konstruktiv realisiert wurden. a)

b)

c)

Abb. 4.25. Verlauf der magnetischen Feldlinien. (a) λ = 0.1. (b) λ = 1. (c) λ = 10

Den Feldbildern in Abb. 4.25 ist schließlich zu entnehmen, wie mit zunehmender Geschwindigkeit der untere Halbraum durch die induzierten Wirbelströme abgeschirmt wird.

186

4. Quasistationarc Fcldcr

Q16*

Wirbelstromkanone

Dem in Aiifg. M12* berechneten rnagnetischen '\'\'^,nderfeld einer periodischen Spulenanordnung wird n u n ein sehr langer, diinnwandiger Ilohlzylinder mit dem Radius r < o. der Wandstarke ri a ,

(4.64)

rnit P I = 7r/(25) und der Abkiirzung An = —f.ii-)Nr2\^a/{bTr). Durch dieses primare F'eid werden irn bewegten, leitenden .Holiizyiinder (^-gerichtete Wir~ belstrorne induziert, die aufgrund der geringen Wandstarke als Flachenstrorn (w)

Jp' auf der Zylinderflache g = r aufgefasst werden diirfen. D a wir bereits die Spulen durch Flachenstrome ersetzt liatten, ist es n u n prinzipiell moglich, einen zum primaren Potential (4.64) analogen Ansatz fiir das sekundare Potential Al^' aufzustellen, welches selbstverstandlich dieselbe Abhangigkeit von der .Koordinate z aufweisen muss

Aufgabe Q16∗

−jp1 z A(s) ϕ ( , z) = A0 E e

 I1 (p1 ) K1 (p1 r) für ≤ r K (p ) I (p r) für ≥ r . 1 1 1 1

187

(4.65)

Dieser Ansatz garantiert bereits einen stetigen Übergang des Potentials an der Trennfläche = r. Zur Bestimmung der noch unbekannten komplexen Konstanten E ziehen wir die differentielle Form des Faradayschen Induktionsgesetzes (4.6) heran ∇ × E = −jωB = −jω(∇ × A)

→

E = −jωA .

(4.66)

Für die induzierte Wirbelstromdichte J (w) gilt weiterhin das Ohmsche Gesetz für bewegte Leiter (4.5) (w)

JF

= κd eϕ · (E + v × B)

(4.67)

mit eϕ · (v × B) = vB
= −v

∂Aϕ v = jvp1 Aϕ = jω (A(p) + A(s) ϕ ). ∂z vp ϕ

vp ist die Geschwindigkeit des primären Wanderfeldes und v die Geschwindigkeit des Hohlzylinders. Kombiniert man nun (4.66) und (4.67), so ergibt sich in der leitenden Bewandung des Hohlzylinders die Bedingung ( ' (w) (s) + A µ0 rJF = −jλs A(p) ϕ ϕ
=r

mit den Abkürzungen v 2rd und s = 1 − , δS2 vp  wobei δS = 2/(ωκµ0 ) die Skineindringtiefe ist und s (analog zum Schlupf beim Asynchronmotor) als relative Abweichung von der synchronen Geschwindigkeit eingeführt wurde. Einsetzen der Potentiale (4.64) und (4.65) liefert die Beziehung A0 jλs  (w) I1 (p1 r) K1 (p1 a) + E I1 (p1 r) K1 (p1 r) e−jp1 z . (4.68) JF = − µ0 r λ=

(w)

Da an dieser Stelle die induzierte Flächenstromdichte JF noch nicht bekannt ist, benötigen wir eine weitere Gleichung. Wir betrachten dazu das Verhalten der Tangentialkomponente der magnetischen Feldstärke nach (3.15) und erhalten * +   ∂( Aϕ )  ∂( Aϕ )  1 (w) − = JF . µ0 r ∂ 
=r−0 ∂ 
=r+0 Mit den Ableitungen d( I1 ) = p1 I0 (p1 ) d

,

d( K1 ) = −p1 K0 (p1 ) d

188

4. Quasistationäre Felder

und der Wronski-Determinante I1 (p1 ) K0 (p1 ) + K1 (p1 ) I0 (p1 ) =

1 p1

wird daraus A0 E −jp1 z (w) e . JF = µ0 r

(4.69)

Durch Gleichsetzen der Bedingungen (4.68) und (4.69) folgt schließlich die unbekannte Konstante E zu −jλs I1 (p1 r) K1 (p1 a) . (4.70) E= 1 + jλs I1 (p1 r) K1 (p1 r) Aus der Kraft pro Flächeneinheit  , (w) K  = Re J F e jωt × Re B( = r) e jωt , die auf den Hohlzylinder wirkt, wird nach Umformung und zeitlicher Mittelung die Kraft pro Längeneinheit  . (w) / 1   (w) K z = 2πr Re ez · J F × B ∗ ( = r) = −πr Re JF B
∗ ( = r) = 2  ∗  (w) ∂Aϕ  = πr Re JF . ∂z 
=r Mit (4.69) und der Ableitung   ∂A∗ϕ   I1 (p1 r) K1 (p1 a) + E ∗ I1 (p1 r) K1 (p1 r) e+jp1 z = jp A 1 0 ∂z 
=r folgt daraus 

Kz =

1 π π |E|2 . p1 A20 Re{jE} I1 (p1 r) K1 (p1 a) = p1 A20 µ0 µ0 λs

(4.71)

Die im Hohlzylinder pro Längeneinheit umgesetzten Wärmeverluste erhält man aus der Beziehung 1 1 (w) 2 |J | . 2κ d2 F Einsetzen des induzierten Wirbelstrombelags (4.69) führt auf 

P V = 2πrd



PV =

π 2 π 2 πr ω p 1 vp 1 = = (4.72) A2 |E|2 A |E|2 A |E|2 (µ0 r)2 0 κd µ0 0 ωκµ0 rd µ0 0 λ

und es ergibt sich nach Vergleich von (4.72) mit (4.71) der zu erwartende Zusammenhang 



P V = K z (vp − v) . Nach Einsetzen der komplexen Konstante E, Gl. (4.70), lässt sich die für die Kraft gefundene Formel (4.71) auch in die zweckmäßigere Form

Aufgabe Q16∗ 

K z = Kk

189

2 s/sk + sk /s

mit sk =

1 λ I1 (p1 r) K1 (p1 r)

und Kk = p1 A20

π I1 (p1 r) K12 (p1 a) 2µ0 K1 (p1 r)

bringen. Dies ist die von der Asynchronmaschine her bekannte Klosssche Formel. Bei s = sk , dem sogenannten Kippschlupf, nimmt die Schubkraft den maximalen Wert Kk an. Dieser ist unabhängig von der Leitfähigkeit des Projektils, während der Kippschlupf linear mit dem spezifischen Widerstand des Projektils zunimmt. Abb. 4.27 zeigt den normierten Verlauf der Kraft in Abhängigkeit von s/sk . Es ergibt sich also eine Schubkraft für s > 0, d.h. v < vp . Das Zustandekommen einer Schubkraft lässt sich auch sehr schön mit der Lenzschen Regel erklären. Die Ursache der Wirbelströme ist ja offensichtlich die Relativgeschwindigkeit zwischen dem Wanderfeld und dem Hohlzylinder. Dieser Ursache wirken die Wirbelströme entgegen, indem sie versuchen mittels der Schubkraft die Relativgeschwindigkeit zu verkleinern.

−→

1



Kz Kk 0

−1 −5

0

s/sk −→

5

Abb. 4.27. Kraft auf den leitenden Hohlzylinder in Abhängigkeit vom Schlupf

Abbildung 4.28 zeigt zur Veranschaulichung die Veränderung der magnetischen Feldlinien der periodischen Spulenanordnung in Abb. 3.25 durch die induzierten Wirbelströme. Es ist deutlich zu erkennen, wie die Wirbelströme bei zunehmender Relativgeschwindigkeit vp − v dazu neigen, den Bereich < r abzuschirmen. Für v/vp = 1, d.h. verschwindender Relativgeschwindigkeit, verlaufen die Feldlinien natürlich wie in Abb. 3.25. Die Kreuzungspunkte der magnetischen Feldlinien auf der Rotationsachse = 0 sind singuläre Punkte, in denen das Magnetfeld verschwindet.

190

4. Quasistationäre Felder

r a

v/vp = 0

v/vp = 0.5

Abb. 4.28. Verlauf der magnetischen Feldlinien bei unterschiedlichen Geschwindigkeiten

Ergänzungsaufgaben Aufgabe Q17: Auf perfekt leitenden Schienen bewegen sich in entgegengesetzter Richtung mit konstanter Geschwindigkeit v zwei leitende Stäbe mit dem Widerstand R. Senkrecht zu der Anordnung wirkt ein homogenes statisches magnetisches Feld B ein. Die Schienen haben die Entfernung a voneinander. Berechne den induzierten Strom in den Stäben. Das Magnetfeld infolge des induzierten Stromes soll dabei vernachlässigt werden. Lösung:

i(t) =

vaB R

R v

(entgegen dem Uhrzeigersinn)

R B

v

a

Ergänzungsaufgaben

Aufgabe Q18: Zwei sehr lange Linienleiter im Abstand a bilden die Stränge einer Doppelleitung. Diese ist an einem Ende an eine ˆ cos ωt anWechselspannungsquelle u(t) = U geschlossen und am anderen Ende mit dem Ohmschen Widerstand R abgeschlossen. Der Radius der Leiter r sei sehr viel kleiner als der Leiterabstand, r  a, und die Länge der Leiter l sei sehr viel größer als der Leiterabstand, l a. Weiterhin seien die Leiter ideal leitend und ihre innere Induktivität ist vernachlässigbar klein. Berechne den Spitzenwert Iˆ des Stromes i(t) durch den Widerstand unter quasistationären Voraussetzungen. Lösung:

2r

u(t)

a

R

l a

" „ «2 #−1/2 ωµ0 l a 2 ˆ ˆ I=U R + ln π r

Aufgabe Q19: In der Ebene x = 0 befinden sich an den Orten y = ±2h die Stränge eiy ner unendlich langen, vom Strom I durchflossenen Doppelleitung. Entlang der x-Achse 2h wird eine rechteckförmige Leiterschleife mit der Höhe 2h, der Länge l und dem Ohmschen v Widerstand R mit konstanter Geschwindigkeit v bewegt. Bestimme den Strom in der bewegten Leiterschleife in Abhängigkeit von −2h ihrer Position x. Das magnetische Feld infolge des induzierten Stromes ist dabei zu vernachlässigen.  ff 1 1 µ0 Ilxv − Lösung: i(x) = − πR x2 + 9h2 x2 + h2

Aufgabe Q20: Eine Leiterschleife, bestehend aus einem ideal leitenden U-förmigen Teil und einem dünnen Stab (Querschnitt A, Länge l, Leitfähigkeit κ) befindet sich im Feld eines unendlich langen, geraden, stromdurchflossenen Leiters. Der Strom steigt langsam mit der Zeit t an i(t) = I0 t/T , wobei T eine Zeitkonstante ist. Welche Kraft wirkt auf den Stab? Das Magnetfeld infolge des induzierten Stromes soll dabei vernachlässigt werden. Lösung:

191

K = µ20 κF l

I02 t b ln 4π 2 b T 2 a

y I

I i(t) 2h

x

z l

I

I

F i(t)

(anziehend)

κ a b

l

192

4. Quasistationäre Felder

Aufgabe Q21: Ein magnetischer Dipol pm = pm ez befindet sich im Abstand h0 auf der Achse einer dünnen, runden Leiterschleife. Die Schleife habe einen Widerstand R. Welcher Strom i(t) wird in der Schleife induziert, wenn der Dipol eine kleine harmonische Bewegung h(t) = h0 + δ · cos ωt

,

z pm h(t)

i(t)

δ  h0

um die Ruhelage h0 ausführt und das sekundäre Feld des induzierten Stromes vernachlässigt werden kann? Lösung:

y

r

x r 2 h0 δ 3 µ0 pm i(t) ≈ − p 5 ω sin ωt 2 R r2 + h20 + 2h0 δ cos ωt

Aufgabe Q22: Gegeben ist ein unendlich langer, dünnwandiger, leitender, gleichseitiger Dreieckzylinder mit der Kantenlänge a und der Wandstärke d  a. Bestimme den Phasor der magnetischen Feldstärke innerhalb des Zylinders, wenn dieser einem ursprünglich homogenen, quasistationären magnetischen Wechselfeld der Stärke H0 cos ωt parallel zur Zylinderachse ausgesetzt wird. Der gesamte Raum habe die konstante Permeabilität µ0 . Verschiebungsströme dürfen vernachlässigt werden und außerdem soll die Skineindringtiefe sehr viel größer als die Leiterdicke sein. √ 4 3 Lösung: H i = H 0 √ 4 3 + jωκµ0 ad

κ = 0, µ0 H0 d

a

κ = 0, µ0

Aufgabe Q23: Der Halbraum y < 0 ist y nichtleitend und hochpermeabel. Der Halbraum y > h ist leitend und hat die Permeabiliκ = 0, µ = µ0 tät µ0 , während der Zwischenraum 0 < y < h nichtleitend ist und ebenfalls die Permeabilität µ0 aufweist. Auf der Oberfläche des hochJF κ = 0, µ = µ0 h permeablen Halbraumes y = 0 fließt zusätzlich der Flächenstrom J F = ez JF 0 cos ωt. Bestimme den Phasor der induzierten Wirbelκ = 0, µ → ∞ stromdichte im leitenden Halbraum y > h bei Vernachlässigung der Verschiebungsströme. r  ff 1+j 2 1+j Lösung: J = −ez JF 0 exp − (y − h) , δS = δS δS ωκµ0

x

Ergänzungsaufgaben

Aufgabe Q24: In der Ebene y = 0 befinde sich ein homogener, zeitlich veränderlicher Flächenstrom J F = JF 0 cos ωt ez . Der Gesamtraum habe die Leitfähigkeit κ und die Permeabilität µ0 . Berechne den Phasor der Spannung, die in einer unendlich langen, parallel zum Flächenstrom verlaufenden Doppelleitung pro Längeneinheit induziert wird. Der Radius der Doppelleitungstränge sei vernachlässigbar klein.

Lösung:

Ui =

Lösung:

Hy (x) = −

κ = 0 µ = µ0 h2

h1

JF x

r

J = −k

ˆ I1 (k) IN eϕ l I0 (ka)

,

k=

,

δS =

2 ωκµ0

y d

d

h i(t)

i(t) a

a

κ, µ

κ, µ x

˜ ˆ Iˆ sinh (1 + j)(x − a − d)/δS ˆ ˜ h sinh (1 + j)d/δS

Aufgabe Q26: Ein sehr langer, leitender Zylinder (Radius a, Länge l a, Leitfähigkeit κ, Permeabilität µ) ist außen mit einer dicht gepackten Spule mit N Windungen bewickelt. Durch die Spule fließt ein Wechselstrom i(t) = Iˆ cos ωt. Berechne den Phasor der Wirbelstromdichte im Zylinder unter Vernachlässigung der Randeffekte und der Verschiebungsströme.

Lösung:

y

” 1 + j JF 0 “ −(1+j)h1 /δS e − e−(1+j)h2 /δS δS 2κ

Aufgabe Q25: Zwei unendlich in z-Richtung ausgedehnte, parallele Leiter der Leitfähigkeit κ mit rechteckigem Querschnitt (Dicke d, Höhe h a) stehen sich im Abstand 2a gegenüber und werden entgegengesetzt vom Wechselstrom i(t) = Iˆ cos ωt durchflossen. Berechne den Phasor der y-Komponente des magnetischen Feldes Hy innerhalb der Leiter. Verschiebungströme sind zu vernachlässigen. Außerdem kann aufgrund der Höhe der Leiter näherungsweise davon ausgegangen werden, dass Hy nur von der Koordinate x abhängig ist.

193

ϕ

r ,

δS =

2 ωκµ



Iˆ cos ωt

a µ, κ

1+j , δS = δS

r

2 ωκµ

z

5. Beliebig zeitveränderliche Felder

W

Zusammenfassung wichtiger Formeln Elektromagnetische Felder mit beliebiger Zeitabhängigkeit werden durch die vollständigen Maxwellschen Gleichungen beschrieben. Das bedeutet, dass im Gegensatz zu den quasistationären Feldern des vorangegangenen Kapitels nun die Maxwellsche Verschiebungsstromdichte berücksichtigt wird und damit die magnetische Feldstärke auch außerhalb leitender Körper den zeitlichen Stromdichteänderungen nicht mehr instantan folgt. Als Lösungen der Maxwell-Gleichungen treten elektromagnetische Wellen auf, sei es in Form von Strahlungsfeldern, hervorgerufen durch vorgegebene zeitveränderliche Stromverteilungen (Antennen), oder in der Gestalt von z.B. in Hohlleitern geführten Wellen und nicht zuletzt auch als stehende Wellen in Resonatoren. Grundlegende Gleichungen Im Rahmen dieser Aufgabensammlung beschränken wir uns auf lineare und abschnittsweise homogene Materialkonstanten ε, µ, κ. Dann lauten die Maxwellschen Gleichungen ∇ × H = κE +

∂D +J ∂t

,

∇×E =−

∂B ∂t

(5.1) qV , ∇ · B = 0 , D = εE , B = µH . ε Die Stromdichte J sowie die Raumladungsdichte qV sollen hier als eingeprägte Quellen aufgefasst werden. Die Felder lassen sich aus einem Vektorpotential und Skalarpotential über die Beziehungen ∇·D =

B =∇×A

,

E=−

∂A − ∇φ ∂t

(5.2)

bestimmen.1 1

Für µ =const. ließe sich auch (wie in [Henke], Zeitlich beliebig veränderliche Felder IV) ein Vektorpotential mit H = ∇ × A verwenden.

196

5. Beliebig zeitveränderliche Felder

Homogene Wellengleichung Unter den für das System (5.1) gemachten Voraussetzungen folgt außerhalb der eingeprägten Quellen und für ein verlustfreies Medium mit κ = 0 die homogene Wellengleichung ∂ 2 F (r, t) , (5.3) ∂t2 wobei das Vektorfeld F durch die elektrische Feldstärke E, die magnetische Feldstärke H oder auch das Vektorpotential A ersetzt werden kann. Durch Fourier-Transformation ∇2 F (r, t) = εµ

˜ (r, ω) F (r, t) ◦—• F wird daraus die Helmholtz-Gleichung ˜ = −k 2 F ˜ ∇2 F mit der Freiraumwellenzahl ω 2π √ = ω εµ = , k= λ c

(5.4)

c ≈ 3 · 108

m s

für

ε = ε0 µ = µ0 .

(5.5)

˜ den komplexen Bei harmonischer Anregung mit der Kreisfrequenz ω stellt F Zeiger (Phasor) der zeitabhängigen Feldgröße dar. Grundsätzlich kann auf die Kennzeichnung der Phasoren durch eine Tilde verzichtet werden, wenn bei einer Aufgabe aufgrund harmonischer Anregung allein mit komplexen Zeigern gerechnet wird. Komplexe Dielektrizitätskonstante Gleichung (5.4) beschreibt die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen in einem verlustfreien Medium. Auftretende Verluste (κ = 0) lassen sich mit Hilfe einer komplexen Dielektrizitätskonstanten ' κ( (5.6) εk = ε 1 − j ωε in Rechnung stellen, indem in (5.4) εk anstelle von ε eingesetzt wird. Dadurch erhält die Wellenzahl einen Imaginärteil, was einer exponentiellen Dämpfung in Ausbreitungsrichtung entspricht. Poyntingscher Vektor Mit Hilfe des Poyntingschen Vektors S =E×H

(5.7)

lässt sich die Energieerhaltung im elektromagnetischen Feld in der Form  
∂ S · dO = pV dV + (we + wm ) dV (5.8) − ∂t V O V

Zusammenfassung wichtiger Formeln

197

mit der Verlustleistungsdichte pV = J · E

(5.9)

und der elektrischen bzw. magnetischen Energiedichte 1 1 E · D , wm = B · H (5.10) 2 2 schreiben. Bei zeitlich harmonischen Feldgrößen mit der Kreisfrequenz ω lautet der Energiesatz in komplexer Form
  − S k · dO = pV dV + 2jω (wm − we ) dV (5.11) we =

O

V

V

mit dem komplexen Poyntingschen Vektor ( 1 '˜ ˜∗ Sk = E×H 2 und den zeitlichen Mittelwerten 1 ˜ ˜∗ 1 ˜ ˜∗ 1 ˜ ˜∗ pV = J , we = E ·E · D , wm = B ·H . 2 4 4

(5.12)

(5.13)

Ebene Wellen Die einfachste Lösung von (5.4) ist die harmonische, ebene Welle. Es handelt sich dabei um ein elektromagnetisches Feld, das keine Feldkomponente in Ausbreitungsrichtung hat und transversal zur Ausbreitungsrichtung keine Ortsabhängigkeit aufweist, Abb. 5.1. k · r =const.

E H

k S =E ×H

r 0

Abb. 5.1. Ausschnitt aus der Phasenfront einer ebenen Welle. Die Vektoren E, H und k bilden ein Rechtssystem

Für die Phasoren des elektromagnetischen Feldes einer ebene Welle gilt  µ k −jk·r ˜ ˜ ˜ , (5.14) , ZH = ×E , Z = E = E0 e k ε

198

5. Beliebig zeitveränderliche Felder

wobei k der in Ausbreitungsrichtung zeigende Vektor der Wellenzahl und Z der Wellenwiderstand des freien Raumes ist. Für ε = ε0 und µ = µ0 wird Z ≈ 120π Ω. Retardierte Potentiale Die Felder zeitabhängiger Strom- und Ladungsverteilungen J (r, t) und qV (r, t), Abb. 5.2a, breiten sich mit Lichtgeschwindigkeit im Raum aus. a)

b)

J (r, t) qV (r, t) dV r 0





r R r

P

R P r

0 r  · r/r

Abb. 5.2. (a) Zeitabhängige Strom- und Ladungsverteilung in einem Volumen V und Festlegung der Abstandsvektoren zur Berechnung der retardierten Potentiale im Aufpunkt P . (b) Projektion des Ortsvektors r  auf den Ortsvektor r zur Verwendung in der Fernfeldnäherung

Die zugehörigen in (5.2) definierten Potentiale heißen dann retardierte Potentiale und errechnen sich aus der zum früheren Zeitpunkt tret = t − R/c vorliegenden Quellenverteilung in der Form  qV (r  , tret ) 1 dV  φ(r, t) = 4πε V R (5.15)  J (r  , tret ) µ dV  A(r, t) = 4π V R bzw. nach Fourier-Transformation ˜ ω) , q˜V (r  , ω) φ(r, t) , qV (r  , t) φ(r, ◦—• ˜ ˜ (r  , ω) A(r, t) , J (r  , t) A(r, ω) , J  e−jkR ˜ ω) = 1 dV  φ(r, q˜V (r  , ω) 4πε V R  −jkR µ ˜ ˜ (r  , ω) e A(r, ω) = J dV  . 4π V R

(5.16)

˜ sind die Phasoren der elektrodynamischen Potentiale bei einer moφ˜ und A nochromatischen Feldanregung mit der Kreisfrequenz ω. Im häufig allein interessierenden Fernfeld mit kr  1, Abb. 5.2b, führt man die Näherungen

Zusammenfassung wichtiger Formeln
1 1 ≈ , e−jkR ≈ e−jk(r−r ·r/r) R r ein, die zu einer drastischen Vereinfachung der Integration führen.

199

(5.17)

Hertzscher Dipol Handelt es sich bei der strahlenden Stromverteilung um ein kleines Linienelement ∆s mit einem zeitharmonischen Strom i(t) = Iˆ cos ωt, so spricht man von einem Hertzschen Dipol, Abb. 5.3. z

P

ϑ

r

Iˆ cos ωt ∆s y ϕ Abb. 5.3. Hertzscher Dipol im Ursprung des Koordinatensystems

x

Die Phasoren der elektrischen und magnetischen Feldstärke ergeben sich im Fernfeld, kr  1, zu −jkr ˆ ˜ ≈ jk I∆s e sin ϑ eϕ , H 4π r

˜ ≈ ZH ˜ ϕ eϑ , E

k = ω/c  , Z = µ/ε .

(5.18)

Geführte Wellen in Hohlleitern Bei geführten Wellen unterscheidet man transversal elektrische Wellen (TEoder H-Wellen) und transversal magnetische Wellen (TM- oder E-Wellen) mit der Eigenschaft EzH = 0 , HzH = 0

für H-Wellen

HzE = 0 , EzE = 0

für E-Wellen ,

wenn die Wellenausbreitung in z-Richtung stattfindet und das wellenführende Medium ein in z-Richtung homogen verlaufender, idealer Hohlleiter ist. Liegen mindestens zwei parallel verlaufende Leiter vor (z.B. Parallelplattenleitung oder Koaxialkabel), so gibt es auch eine elektrisch und magnetisch transversale Welle (TEM-Welle), die keine Feldkomponenten in Ausbreitungsrichtung aufweist.

200

5. Beliebig zeitveränderliche Felder

Die Phasoren von H- und E-Wellen lassen sich aus z-gerichteten Vektorpotentialen bestimmen H-Wellen:

˜H ˜H = ∇×A E

,

E-Wellen:

˜E =∇×A ˜E H

˜ H,E = ez AH,E (u, v) e±jkz z . A t

(5.19)

Der nur von den transversalen Koordinaten u und v abhängige Faktor AH,E (u, v) erfüllt dabei die zweidimensionale Helmholtz-Gleichung t = (kz2 − k 2 )AH,E , ∇2 AH,E t t

k=

ω 2π = , λ c

kz =

2π ω = . λz vph

(5.20)

Die Wellenlänge λz bzw. Phasengeschwindigkeit vph der geführten Wellen ist im Hohlleiter stets größer als die Freiraumwellenlänge λ bzw. Lichtgeschwindigkeit c.

Aufgaben W1 Anpassung von Leitungen Gegeben ist eine Parallelplattenleitung mit der Breite a und dem Plattenabstand b. Sie ist an ihrem Ende mit einem leitfähigen Block der Dicke d abgeschlossen, Abb. 5.4. Vernachlässigt man die Feldverzerrung an den Plattenrändern y = 0 und y = a, so können sich entlang einer solchen Leitung ebene Wellen ausbilden. Der leitende Block soll nun so dimensioniert werden, dass die gesamte Energie einer einfallenden ebenen Welle vollständig absorbiert wird (Anpassung). Dabei sei die Eindringtiefe sehr viel größer als die Blockdicke, δS  d, so dass die Stromdichte im Block als homogen angesehen werden darf. z κ d  δS

x a b E

y

Abb. 5.4. Parallelplattenleitung mit leitendem Block als Abschlusswiderstand

Aufgabe W1

201

Lösung: Das elektromagnetische Feld innerhalb der Parallelplattenleitung folgt aus (5.14) mit k · r = kz  µ0 E0 −jkz Ex = E0 e−jkz , Hy = e , Z= Z ε0 und der im zeitlichen Mittel transportierte Energiestrom pro Flächeneinheit ist nach (5.12) 1 1 2 Re{Ex Hy∗ } = E . 2 2Z 0 Dieser Energiestrom soll nun im leitenden Block vollständig in Wärme umgesetzt werden. Der zeitliche Mittelwert der dort entstehenden Verluste ist nach (5.13) S = Re{Sk } =

1 1 J · E ∗ abd = κ E02 abd . 2 2 Bei vollständiger Energieumsetzung in Wärme muss also gelten  µ0 1 ! =Z= S ab = P V → . κd ε0 PV =

In der Praxis verwendet man bei Leitungen anstelle des Wellenwiderstandes Z den sogenannten Leitungswellenwiderstand ZL als Verhältnis von Strom und Spannung in einer Ebene z =const.. Im vorliegenden einfachen Fall einer ebenen Welle mit örtlich konstanten Feldern in einer Querschnittsebene lassen sich Strom und Spannung leicht aus dem magnetischen bzw. elektrischen Feld berechnen Ex b Ex b b U = = = Z. ZL = I JF a Hy a a Führt man noch den Ohmschen Abschlusswiderstand des leitenden Blockes ein 1 b R= , κ da so ergibt sich als Bedingung für vollständige Absorption R = ZL . Dieses Prinzip, die Leitung zur Anpassung mit einem Abschlusswiderstand gleich dem Leitungswellenwiderstand zu versehen, gilt bemerkenswerterweise ganz generell für beliebige Zweidrahtleitungen. Als praktischer Anwendungsfall sei die Vernetzung von Computern mittels Koaxialkabeln genannt. Man verwendet hier Kabel mit einem Leitungswellenwiderstand von 50 Ω. Da Reflexionen am Leitungsende eine sichere Datenübertragung unmöglich machen würden, muss jede Leitung an ihrem Ende mit einem 50 Ω Abschlusswiderstand versehen werden.

202

5. Beliebig zeitveränderliche Felder

W2 Ebene Welle, elliptische Polarisation In der Ebene z = 0 fließen zwei phasenverschobene, harmonische Flächenströme J F 1 = JF 0 cos ωt ex ,

J F 2 = p · JF 0 cos(ωt + δ) ey .

Der Gesamtraum habe die Leitfähigkeit κ und ansonsten die Materialeigenschaften von Vakuum (ε0 , µ0 ), Abb. 5.5. a) Bestimme das elektromagnetische Feld, das sich in Form einer gedämpften ebenen Welle ausbreiten wird. b) Zeige, im Falle κ = 0, dass die Spitze des elektrischen Feldvektors in Abhängigkeit von der Zeit auf Ellipsenbahnen umläuft und bestimme die Lage und die Halbachsen dieser Ellipsen. c) Berechne Phasen- und Gruppengeschwindigkeit für κ = 55 · 106 Ω−1 m−1 und f = 50 Hz.

z κ, µ0 , ε0

x

κ, µ0 , ε0

y

JF 2 JF 1 x

Abb. 5.5. Erzeugung gedämpfter, ebener Wellen durch Flächenströme in der Ebene z = 0

Lösung: a) Aufgrund der zeitharmonischen Anregung können wir die Aufgabe mit Hilfe komplexer Zeiger lösen, d.h. alle auftretenden Feldgrößen seien von nun an Phasoren. Die Ströme J F 1 und J F 2 rufen elektromagnetische Felder E 1 , H 1 und E 2 , H 2 hervor, welche nach (5.4) die eindimensionalen HelmholtzGleichungen d2 Hy1 = −k 2 Hy1 dz 2

,

k 2 = ω 2 µ0 εk

,

mit

d2 Hx2 = −k 2 Hx2 dz 2   κ εk = ε0 1 − j ωε0

(5.21)

erfüllen. Die Felder weisen jeweils nur eine Komponente auf und hängen nur von der Koordinate z ab, da der Flächenstrom homogen über die Ebene

Aufgabe W2

203

z = 0 verteilt ist. Die Lösungen von (5.21) sind ebene Wellen, für die wir mit Berücksichtigung der Diskontinuität am Ort des Strombelages die Ansätze Hy1 = −sign(z)A1 e −jk|z|

,

Hx2 = sign(z)A2 e −jk|z|

mit den noch unbekannten Amplituden A1 und A2 aufstellen können. Diese lassen sich aus der Stetigkeitsbedingung (3.15) am Ort der Flächenströme bestimmen 1 −Hy1 (z = +0) + Hy1 (z = −0) = JF 1 → A1 = JF 0 2 1 −Hx2 (z = −0) + Hx2 (z = +0) = JF 2 → A2 = p JF 0 e jδ 2 und das Magnetfeld ist damit bekannt JF 0 −jk|z| JF 0 e p e jδ e−jk|z| . , Hx2 = sign(z) 2 2 Das elektrische Feld erhält man aus dem magnetischen durch Multiplikation mit dem Wellenwiderstand. Die Richtung überlegt man sich anhand des Poyntingschen Vektors, der in Ausbreitungsrichtung zu weisen hat, d.h. in positive z-Richtung im oberen Halbraum und in negative z-Richtung im unteren Halbraum. Man erhält dann die Ausdrücke JF 0 −jk|z| JF 0 e p e jδ e−jk|z| , Ey2 = −Zk Ex1 = −Zk 2 2  mit dem komplexen Wellenwiderstand Zk = Z/ 1 − j κ/(ωε0 ), und das gesamte elektromagnetische Feld wird schließlich Hy1 = −sign(z)

E ges = Ex1 ex + Ey2 ey

,

H ges = Hy1 ey + Hx2 ex .

b) Um die elliptische Polarisation des elektrischen Feldvektors zu zeigen, benötigen wir das zeitabhängige elektrische Feld  E ges (z, t) = Re (Ex1 ex + Ey2 ey ) e jωt = E0 (fx ex + fy ey ) = 0 1 = E0 cos(ωt − k|z|) ex + p cos(ωt − k|z| + δ) ey mit den Abkürzungen E0 = −ZJF 0 /2

,

fx = cos(ωt − k|z|)

,

fy = p cos(ωt − k|z| + δ) .

Mit Hilfe des Additionstheorems cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y lässt sich fy umformen fy = p cos(ωt − k|z|) cos δ − p sin(ωt − k|z|) sin δ 0 12 0 12 fy − p cos(ωt − k|z|) cos δ = − p sin(ωt − k|z|) sin δ ! ! "# $ "# $  fx 1 − fx2 und es ergibt sich die Gleichung eines Kegelschnittes

204

5. Beliebig zeitveränderliche Felder

p2 fx2 − 2p cos δ fx fy + fy2 − p2 sin2 δ = 0 . Sie stellt in der angegebenen Form eine Ellipse mit dem Mittelpunkt im Ursprung fx = fy = 0 dar. Die Halbachsen dieser Ellipse sind gegenüber der fx - bzw. fy -Achse um einen Winkel ϕ verdreht, Abb. 5.6. fy

fη

fξ

E ges ϕ

fx Abb. 5.6. Umlauf der Spitze des elektrischen Feldvektors auf einer um den Winkel ϕ verdrehten Ellipse

Nachdem die elliptische Polarisation nachgewiesen ist, wollen wir noch versuchen, die Halbachsen der Ellipse explizit als Funktion von p und δ zu bestimmen. Dazu ist es zweckmäßig, die Gleichung des Kegelschnittes in die Matrizenform xT · A · x + a0 = 0 mit

 x=

fx fy



(5.22) 

,

A=

−p cos δ p2 −p cos δ 1

 ,

a0 = −p2 sin2 δ

zu überführen, wobei ein hochgestelltes T für die Transponierte einer Matrix steht. Bei der Matrix A handelt es sich um eine reelle, symmetrische Matrix mit orthogonalen Eigenvektoren. Wir führen jetzt eine sogenannte Hauptachsentransformation durch, d.h. wir gehen vom Koordinatensystem (fx , fy ) über in das System (fξ , fη ), siehe Abb. 5.6. In diesem Koordinatensystem enthält die Ellipsengleichung natürlich nur quadratische Terme fξ2 , fη2 und keinen gemischten Term fξ fη . Im System (fξ , fη ) lautet dann die zu (5.22) analoge Ellipsengleichung   fξ T   , x · C · x + a0 = 0 mit x = fη wobei die Matrix C wegen des Fehlens des gemischten Terms fξ fη eine Diagonalmatrix sein muss. Der Zusammenhang zwischen x und x lässt sich mit Hilfe einer Drehmatrix D beschreiben

Aufgabe W2

* x=D·x



,

T

x =x

T

·D

T

,

D=

cos ϕ − sin ϕ sin ϕ

und nach Einsetzen in (5.22) erhalten wir T

x



· C · x + a0 = 0 mit

C =D ·A·D = T



205

+

cos ϕ

λ1 0 0 λ2

 .

Die Matrix A wurde also mit Hilfe der Drehmatrix D auf Diagonalform transformiert. Aus der linearen Algebra ist bekannt, dass dann die Elemente der Matrix C gerade die Eigenwerte λi der Matrix A darstellen. Im gedrehten Koordinatensystem lautet jetzt die Ellipsengleichung   λ1 0 xT · · x + a0 = 0 0 λ2 oder explizit ausgeführt     λ2 λ1 2 + f fη2 = 1 . ξ p2 sin2 δ p2 sin2 δ Um daraus die Halbachsen ablesen zu können, müssen nur noch die Eigenwerte λ1 und λ2 bestimmt werden   2  p −λ −p cos δ  !  det {A − λ1} =  =0  −p cos δ 1 − λ  1 1 2 → λ1,2 = (1 + p ) ± (1 − p2 )2 + p2 cos2 δ . 2 4 Der noch nicht bekannte Winkel ϕ, der die Orientierung der Ellipse bestimmt, verbirgt sich in der Drehmatrix D. Wir betrachten dazu noch einmal die Matrizengleichung   λ1 0 T D ·A·D = , 0 λ2 welche explizit in vier einzelne Gleichungen zerfällt. Der Einfachheit halber wählen wir eine mit verschwindender rechter Seite −p2 sin ϕ cos ϕ + p sin2 ϕ cos δ − p cos2 ϕ cos δ + sin ϕ cos ϕ = 0 , aus der sich wegen sin 2x = 2 sin x cos x und cos 2x = cos2 x − sin2 x der Drehwinkel in der Form 2p cos δ tan 2ϕ = 1 − p2 berechnen lässt. c) Zur Ermittlung der Phasen- und Gruppengeschwindigkeit ist der funktionale Zusammenhang ω(β) zwischen der Kreisfrequenz ω und der Phasenkonstanten β = Re{k} erforderlich

206

5. Beliebig zeitveränderliche Felder

ω β= c

 ' (  1 1 + 1 + (κ/ωε0 )2 2

→

ω(β) = 

2cβ 2 4β 2 + (κZ)2

.

Einsetzen und Differenzieren liefert 2βc ω(β) vph = = 2 β 4β + (κZ)2 vgr =

4βc dω(β) 8β 3 c = − 3 . dβ 4β 2 + (κZ)2 4β 2 + (κZ)2

Zahlenmäßig ergeben sich bei der in der Aufgabenstellung genannten Leitfähigkeit und Frequenz für die Geschwindigkeiten die Werte vgr ≈ 2 · vph ≈ 6 m/s . Die geringe Phasengeschwindigkeit kann man sofort überprüfen. Bei der gegebenen hohen Leitfähigkeit und geringen Frequenz ist es mit sehr guter Genauigkeit zulässig, die Verschiebungsstromdichte zu vernachlässigen und aus der komplexen Wellenzahl wird k ≈ (1 + j)/δS . Dann erhält man die Phasengeschwindigkeit aus der einfachen Beziehung vph ≈ ωδS , was auf den Wert ≈ 3 m/s führt. Festzuhalten bleibt, dass sich in einem leitenden Medium auch ohne Verschiebungströme Wellen ausbreiten, die man Diffusionswellen nennt. W3 Reflexion am geschichteten Medium Eine aus dem Vakuum (Raum 1) einfallende ebene Welle treffe in z-Richtung senkrecht auf ein System aus mehreren Schichten, Abb. 5.7. Dieses besteht aus einer leitenden Schicht der Dicke d2 (Raum 2), einer isolierenden Schicht der Dicke d3 (Raum 3) sowie einem ideal leitenden Belag auf der Rückseite des Systems. Berechne den Reflexionsfaktor R12 an der Trennfläche zwischen Vakuum und dem Mehrschichtensystem.

E

1 S

H

ε0 µ0

x z

2

3

d2

d3

ε2 µ2

ε3 µ3

κ2

κ→∞

Abb. 5.7. Senkrechter Einfall einer ebenen Welle auf ein geschichtetes Medium

Aufgabe W3

207

Lösung: Das elektromagnetische Feld in den einzelnen Teilräumen setzt sich aus vor- und rücklaufenden Wellen zusammen. Wir verwenden die Phasorenschreibweise, wobei auf eine gesonderte Kennzeichnung komplexer Größen verzichtet wird. Beachtet man, dass ein positives Vorzeichen im Argument der Exponentialfunktion eine Welle in negative z-Richtung beschreibt, so lauten die Feldansätze nach (5.14) mit k · r = kz , Raum 1: H 1 (z) = H0 e−jk1 z + R12 e jk1 z ey , E 1 (z) = H0 e−jk1 z − R12 e jk1 z ex Z1 , Raum 2: H 2 (z) = H0 A e−jk2 z + B e jk2 z ey , E 2 (z) = H0 A e−jk2 z − B e jk2 z ex Z2 , Raum 3: H 3 (z) = H0 C e−jk3 z + D e jk3 z ey , E 3 (z) = H0 C e−jk3 z − D e jk3 z ex . Z3 Dabei sind die Wellenwiderstände Zi und Freiraumwellenzahlen ki materialabhängig    µ0 µ2 µ3 Z1 = , Z2 = , Z3 = ε0 εk2 ε3 √ √ √ k1 = ω ε0 µ0 , k2 = ω εk2 µ2 , k3 = ω ε3 µ3 . Die Leitfähigkeit im Raum 2 wurde durch eine komplexe Dielektrizitätskonstante (5.6) berücksichtigt. Man beachte auch das negative Vorzeichen vor den rücklaufenden Wellentermen bei der elektrischen Feldstärke. Dieses hat seine Ursache in der Forderung, dass der Poyntingsche Vektor bei den rücklaufenden Wellen in negative z-Richtung zu zeigen hat. Die noch unbekannten Konstanten Ai , Bi und R12 können aus den Randund Stetigkeitsbedingungen an den Bereichsgrenzen ermittelt werden. Explizit sind wir dabei nur am Reflexionsfaktor R12 interessiert. Wir beginnen mit der perfekt leitenden Ebene und legen dort willkürlich den Koordinatenursprung z = 0 fest. Dann muss gelten E3 (0) = 0

→

C=D.

Damit ergeben sich stehende Wellen im Raum 3 H3 (z) = 2H0 C cos k3 z

,

E3 (z) = −2jZ3 H0 C sin k3 z .

Die Stetigkeitsbedingungen in der Ebene z = −d3 lauten H2 (−d3 ) = H3 (−d3 ) → A e jk2 d3 + B e−jk2 d3 = 2C cos k3 d3 Z3 E2 (−d3 ) = E3 (−d3 ) → A e jk2 d3 − B e−jk2 d3 = 2j C sin k3 d3 . Z2

208

5. Beliebig zeitveränderliche Felder

Bilden wir Summe und Differenz der beiden letzten Gleichungen, so wird daraus   Z3 jk2 d3 Ae = C cos k3 d3 + j sin k3 d3 (5.23) Z2   Z3 sin k3 d3 . (5.24) B e−jk2 d3 = C cos k3 d3 − j Z2 Auch in der Ebene z = −d3 − d2 =: −d müssen die elektrische und magnetische Feldstärke stetig übergehen H1 (−d) = H2 (−d) → A e jk2 d + B e−jk2 d = e jk1 d + R12 e−jk1 d

Z1 jk1 d e E1 (−d) = E2 (−d) → A e jk2 d − B e−jk2 d = − R12 e−jk1 d . Z2 Auch hier bilden wir Summe und Differenz der beiden letzten Gleichungen und erhalten     Z1 Z1 (5.25) e jk1 d 1 + + R12 e−jk1 d 1 − = 2A e jk2 d Z2 Z2     Z1 Z1 (5.26) e jk1 d 1 − + R12 e−jk1 d 1 + = 2B e−jk2 d . Z2 Z2 Mit dem Ziel den Reflexionsfaktor zu isolieren erfolgt nun eine Division der Gleichungen (5.23) und (5.24) A = B e−2jk2 d3 F

mit

F=

Z2 cos k3 d3 + j Z3 sin k3 d3 . Z2 cos k3 d3 − j Z3 sin k3 d3

(5.27)

Wir können dann in (5.25) A durch B ausdrücken und die Gleichungen (5.25) und (5.26) durcheinander dividieren. Das Resultat ist (Z2 + Z1 ) + R12 (Z2 − Z1 ) e−2jk1 d = F e 2jk2 d2 (Z2 − Z1 ) + R12 (Z2 + Z1 ) e−2jk1 d oder nach dem gesuchten Reflexionsfaktor umgestellt R12 =

(Z1 − Z2 ) F e 2jk2 d2 + (Z1 + Z2 ) 2jk1 d e . (Z1 + Z2 ) F e 2jk2 d2 + (Z1 − Z2 )

(5.28)

W4 Unterdrückung von Radarechos Objekte mit leitenden Oberflächen (Flugzeuge, Schiffe, etc.) erzeugen ein deutliches Radarecho. Durch geeignete Beschichtung des Objektes lässt sich das Echo zumindest in einem engen Frequenzbereich deutlich herabsetzen. Prinzipiell können senkrecht auf eine leitende Oberfläche einfallende, monochromatische ebene Wellen mit einer Beschichtung wie in Aufg. W3 fast vollständig absorbiert werden. Man dimensioniere die Anordnung in Aufg. W3 so, dass der Reflexionsfaktor R12 verschwindet. Dabei sollen folgende Annahmen gemacht werden:

Aufgabe W4

209

1. Die Dicke des Raumes 3 entspricht gerade einem Viertel der Wellenlänge in diesem Medium, d3 = λ3 /4. 2. Verschiebungsströme im Raum 2 dürfen vernachlässigt werden, d.h. ωε2 κ. 3. Die Eindringtiefe im Gebiet 2 ist sehr viel größer als die Schichtdicke, δS  d2 . Lösung: Wegen der ersten Voraussetzung vereinfacht sich zunächst der Ausdruck F in (5.27) d3 = λ3 /4

→

k3 d3 = π/2

→

F = −1

und wir erhalten mit (5.28) als Bedingung für die Absorption einer Radarwelle R12 = 0

→

(Z2 + Z1 ) + (Z2 − Z1 ) e 2jk2 d2 = 0 .

(5.29)

Für den komplexen Wellenwiderstand im Raum 2 kann man zusammen mit der zweiten Voraussetzung schreiben    µ2 µ2 ωµ2 Z2 = ≈ j = . εk2 ε2 [1 − jκ2 /(ωε2 )] κ2 √ √ Mit j = ±(1 + j)/ 2 und der Skineindringtiefe δS wird daraus  2 1 1+j , δS = , Z2 ≈ κ2 δS ωκ2 µ2 wobei das Vorzeichen der Wurzel so gewählt wurde, dass sich ein positiver Realteil für den Wellenwiderstand ergibt. Ähnlich gehen wir bei der Berechnung der Wellenzahl im Raum 2 vor: %    √ κ2 µ2 κ2 √ = κ2 Z2 −1 . ≈ ω −j k2 = ω εk2 µ2 = ω ε2 µ2 1 − j ωε2 ω √ Wegen −1 = ±j ist das Resultat zunächst nicht eindeutig. Wir setzen das Vorzeichen der Wurzel so fest, dass eine ebene Welle, die sich in einem Medium mit den Materialeigenschaften des Raumes 2 ausbreitet, gedämpft wird e−jk2 z → 0

für z → ∞

→

k2 ≈ −jκ2 Z2 .

Schließlich können wir noch wegen der dritten Voraussetzung δS  d2 , d.h. |k2 d2 | 1, die Exponentialfunktion in (5.29) durch eine nach dem linearen Glied abgebrochene Taylor-Reihe ersetzen e 2jk2 d2 ≈ 1 + 2j k2 d2 und die Bedingung für verschwindende Reflexion nimmt nun die Form (Z2 − Z1 )(1 + 2j k2 d2 ) + Z2 + Z1 = 2Z2 (1 + j k2 d2 ) −2Z1 j k2 d2 = 0 ! "# $ ! "# $ ≈ κ2 d2 Z2 ≈1 an. Daraus folgt als Dimensionierungsvorschrift für das Medium 2

210

5. Beliebig zeitveränderliche Felder

κ2 d2 ≈

1 = Z1



ε0 µ0

(5.30)

und die Frequenz der absorbierten Radarwelle ergibt sich aus der ersten Voraussetzung π √ k3 d3 = ω ε3 µ3 d3 = 2

→

f=

1 . √ 4d3 ε3 µ3

(5.31)

Für µ2 = µ3 = µ0 , ε3 = ε0 εr und mit der Bedingung für verschwindende Reflexion (5.30) lässt sich der Betrag des Reflexionsfaktors (5.28) in der vereinfachten Form    (1 − η)F e 2η + (1 + η)   (5.32) |R12 | =  (1 + η)F e 2η + (1 − η)  mit

√ εr η cos ζ + j sin ζ F=√ εr η cos ζ − j sin ζ

,

η=

Z2 d2 = (1 + j) Z1 δS

,

ζ = k3 d3

berechnen, Abb. 5.8. Bei einer Schichtdicke d2 = δS /10 sind die Voraussetzungen der durchgeführten Rechnung sehr gut erfüllt, so dass der Reflexionsfaktor bei der Frequenz (5.31) tatsächlich fast verschwindet. Mit abnehmender Eindringtiefe verschiebt sich das Minimum von R12 zu höheren Frequenzen. 0.4

−→

0.3

0.9

R12

0.2

0.5 0.1

0

d2 = 0.1 δS 1

1.2

1.4

1.6

1.8

k3 d3 ∼ ω −→

2

Abb. 5.8. Frequenzgang (5.32) des Reflexionsfaktors für verschiedene Eindringtiefen und εr = 1

Die Bedingung (5.30) ist uns schon in Aufg. W1 bei der Anpassung einer Parallelplattenleitung begegnet. Dies ist eigentlich nicht verwunderlich, denn man kann ja senkrecht zu den elektrischen Feldlinien perfekt leitende Platten einfügen, ohne das Feld zu beeinflussen. Allerdings sind diese Platten dann am Ende der dritten Schicht kurzgeschlossen. Durch die spezielle Länge der dritten Schicht wird dieser Kurzschluss vom rechten Rand der zweiten Schicht

Aufgabe W5

211

aus gesehen zu einem Leerlauf. In der Leitungstheorie spricht man hier von einem λ/4-Transformator. W5 Hertzscher Dipol vor einer leitenden Ecke Berechne die horizontale Strahlungscharakteristik für einen z-gerichteten ˆ Hertzschen Dipol I∆s, der sich am Ort r 1 der Ebene z = 0 befindet, Abb. 5.9. Die Ebenen x = 0 und y = 0 seien als perfekt leitende Beläge ausgeführt. a)

b)

y

y

P

r ˆ I∆s

ˆ I∆s

ˆ I∆s −r 2

r1 α

r1 ϕ

α

x

κ→∞

x −r 1

r2

ˆ I∆s

ˆ I∆s

Abb. 5.9. (a) Anordnung eines Hertzschen Dipols vor den perfekt leitenden Ebenen x = 0 und y = 0. (b) Ersatzanordnung mit gespiegelten Dipolen

Lösung: Wie in der Elektrostatik können wir das Verschwinden der Tangentialkomponente des elektrischen Feldes auf den ideal leitenden Wänden durch Spiegelung erfassen, Abb. 5.9b. Die magnetische Fernfeldstärke in der Ebene ϑ = π/2 ist dann nach (5.18) die Superposition aller Dipolbeiträge  ˆ  e−jk|r−r1 | I∆s e−jk|r+r1 | e−jk|r−r2 | e−jk|r+r2 | + − − Hϕ ≈ jk . 4π |r − r 1 | |r + r 1 | |r − r 2 | |r + r 2 | Wir machen außerdem von der Fernfeldnäherung (5.17) Gebrauch |r ± r 1,2 |−1 ≈ r−1

,

e−jk|r±r1,2 | ≈ e−jk(r±r·r1,2 /r)

und erhalten für die magnetische Feldstärke 1 ˆ I∆s k −jkr 0 jker ·r1 e e Hϕ ≈ j + e−jker ·r1 − e jker ·r2 − e−jker ·r2 = 4π r 1 ˆ I∆s k −jkr 0 =j cos(ker · r 1 ) − cos(ker · r 2 ) . e 2π r

212

5. Beliebig zeitveränderliche Felder

Mit Hilfe des Additionstheorems α+β α−β cos α − cos β = −2 sin sin 2 2 wird daraus ˆ I∆s k −jkr ker · (r 1 − r 2 ) ker · (r 1 + r 2 ) e sin . sin Hϕ ≈ −j π r 2 2 Nach einer einfachen Geometriebetrachtung, siehe dazu Abb. 5.9b, er · r 1 = r1 cos(ϕ − α)

,

er · r 2 = r2 cos(ϕ + α) ,

r1 = r2 = a

er · (r 1 + r 2 ) = a[cos(ϕ − α) + cos(ϕ + α)] = 2a cos ϕ cos α er · (r 1 − r 2 ) = a[cos(ϕ − α) − cos(ϕ + α)] = 2a sin ϕ sin α lässt sich das magnetische Feld in der Horizontalebene schließlich in der übersichtlichen Produktform ˆ I∆s k −jkr e sin(ka cos ϕ cos α) sin(ka sin ϕ sin α) Hϕ ≈ −j π r darstellen. Nach (5.12) lautet dann die Energieflussdichte 1 1 er · (E × H ∗ ) = Z|Hϕ |2 = 2 2 * +2 ˆ k I∆s 1 sin2 (ka cos ϕ cos α) sin2 (ka sin ϕ sin α) = Z ! "# $ 2 π r f (ϕ)

Skr =

und das gesuchte horizontale Strahlungsdiagramm ist durch die Funktion f (ϕ)/fmax gegeben, Abb. 5.10.

a/λ = 0.5

a/λ = 1

a/λ = 2

Abb. 5.10. Horizontales Strahlungsdiagramm eines Hertzschen Dipols vor einer leitenden Ecke für unterschiedliche Wellenlängen und α = π/4

Eine Animation der magnetischen Feldlinien zu dieser Aufgabe findet man auf der Internetseite [www-tet].

Aufgabe W6

213

W6 Phased Array mit Hertzschen Dipolen Das horizontale Richtdiagramm eines Hertzschen Dipols weist keine gerichtete Strahlung auf. Oft ist aber eine starke Bündelung der Strahlung gewünscht. Dies erreicht man durch eine geometrische Anordung mehrerer Strahlungselemente, sogenannte arrays. Um eine Bündelung der Strahlung zu erzielen, ist es notwendig, dass die Felder der einzelnen Elemente in der gewünschten Richtung konstruktiv und ansonsten destruktiv interferieren. In der vorliegenden Aufgabe werden wir sehen, dass man die Richtung der maximalen Strahlungsleistungsdichte durch die Phasenverschiebung der anregenden Antennenströme zueinander beeinflussen kann. Man erhält so eine elektronisch schwenkbare Hauptstrahlungskeule und spricht von einem phased array. Auf der x-Achse seien im Abstand d voneinander N z-gerichtete Hertzsche Dipole angeordnet, Abb. 5.11. Die Dipole der Länge ∆s werden von den phasenverschobenen Wechselströmen in (t) = Iˆ cos(ωt + [n − 1]β)

,

n = 1, 2, 3 . . . , N

durchflossen. Berechne das horizontale Strahlungsdiagramm der Anordnung. P

y

r − rN

r ϕ i2

i1

i3

i4

iN x

d

d

d

Abb. 5.11. Äquidistante Anordnung von Hertzschen Dipolen auf der x-Achse

Lösung: Bezeichnet man mit r n = (n − 1)d ex die vektorielle Entfernung der einzelnen Dipole vom Koordinatenursprung, so ergibt sich aus (5.18) mit sin ϑ = 1 nach Superposition der Beiträge aller phasenverschobenen Ströme der Phasor des resultierenden Magnetfeldes in der Ebene z = 0 N  ˆ I∆s e−jk|r−rn |+j[n−1]β . Hϕ ≈ jk 4π n=1 |r − r n |

Mit der Fernfeldnäherung (5.17) 1 1 ≈ |r − r n | r

,

e−jk|r−rn | ≈ e−jk(r−r·rn /r)

(5.33)

214

5. Beliebig zeitveränderliche Felder

und dem Skalarprodukt r · r n = r(n − 1)d cos ϕ wird daraus Hϕ ≈ jk

N ˆ I∆s e−jkr  j(n−1)ψ e 4π r n=1

,

ψ = kd cos ϕ + β .

(5.34)

An dieser Stelle sei besonders darauf hingewiesen, dass nach (5.33) im Argument der Exponentialfunktion eine genauere Näherung durchgeführt wird als in der reziproken Abstandsfunktion |r − r n |−1 . Eine gröbere Näherung in der Exponentialfunktion wäre fatal, denn auch kleine Abweichungen, z.B. in der Größenordnung einer halben Wellenlänge, führen zu nicht vernachlässigbaren physikalischen Effekten, wie z.B. die Auslöschung oder Verstärkung einzelner Beiträge. Es sind aber gerade diese Effekte, die dem zu berechnenden Strahlungsdiagramm seine charakteristischen Eigenschaften verleihen. Mit Hilfe der geometrischen Reihe N 

q n−1 =

n=1

qN − 1 q−1

lässt sich schließlich noch die Summe in (5.34) geschlossen darstellen N 

e j(n−1)ψ =

n=1

e jN ψ/2 sin(N ψ/2) e jN ψ − 1 = e jψ − 1 e jψ/2 sin(ψ/2)

und das Magnetfeld des Dipolarrays nimmt die Form Hϕ ≈ jk

ˆ I∆s e−jkr j(N −1)ψ/2 sin(N ψ/2) e 4π r sin(ψ/2)

an. Aus (5.12) folgt dann die Energieflussdichte * +2  2 ˆ I∆s sin(N ψ/2) k 1 1 1 ∗ 2 Skr = er · (E × H ) = Z|Hϕ | = Z 2 2 2 4π r sin(ψ/2) ! "# $ f (ϕ) bzw. das Strahlungsdiagramm  2 sin(N ψ/2) 1 f (ϕ) = 2 . fmax N sin(ψ/2) Will man nun das Maximum des Strahlungsdiagramms bei einem Winkel ϕ = ϕ0 erreichen, so muss die Phase zwischen zwei Array-Elementen so eingestellt werden, dass ψ = kd cos ϕ0 + β = 0

→

β = −kd cos ϕ0

gilt. Soll das Array eine „Breitseite abfeuern“, so spricht man von einem

Aufgabe W6

215

π → β=0 . 2 Strahlt das Array dagegen hauptsächlich in Längsrichtung, so nennt man es auch Broadside-Array:

End-Fire-Array:

ϕ0 =

ϕ0 = 0, π

→

β = ∓kd .

Als Beispiel wird ein Array mit 10 Elementen gewählt, wobei die Dipole den Abstand d = λ/4 voneinander aufweisen sollen, d.h. kd = (2π/λ)(λ/4) = π/2. Die Diagramme in Abb. 5.12 zeigen die Strahlungsleistungsdichte in linearer Darstellung, während sie in Abb. 5.13 logarithmisch skaliert wurde. Der äußere Kreis entspricht dabei 0 dB, der darunter liegende -10 dB, u.s.w.. Durch die logarithmische Skalierung sind die Nebenkeulen besser zu erkennen. Sie liegen aber immer deutlich unter der -10 dB Marke.

a)

b)

c)

Abb. 5.12. Strahlungsdiagramme eines Dipolarrays mit 10 Elementen in linearer Skalierung. (a) ϕ0 = 0o . (b) ϕ0 = 60o . (c) ϕ0 = 90o

a)

b)

c)

Abb. 5.13. Strahlungsdiagramme eines Dipolarrays mit 10 Elementen in logarithmischer Skalierung. (a) ϕ0 = 0o . (b) ϕ0 = 60o . (c) ϕ0 = 90o

216

5. Beliebig zeitveränderliche Felder

W7∗ Gruppenstrahler mit λ/2-Dipolen Gegeben sind drei dünne, lineare Antennen der Länge l, die in gleichem Abstand d parallel zueinander auf einer Linie angeordnet sind, Abb. 5.14. Die Antennen werden in der Mitte von harmonischen Strömen ii (t) = Iˆi cos ωt, mit i = 1, 2, 3 gespeist. Es kann in guter Näherung davon ausgegangen werden, dass sich der Strom als Sinushalbwelle mit dem Maximum am Speisepunkt und Stromknoten an den Antennenenden über die jeweilige Antenne verteilt, d.h. die Antennenlänge soll gerade der halben Freiraumwellenlänge l = λ/2 mit λ = 2πc/ω entsprechen (λ/2-Dipole). Für den Fall d = λ/2 und Iˆ3 = Iˆ1 bestimme man das Vektorpotential im Fernfeld sowie die azimuthale Verteilung der magnetischen Feldstärke in der Ebene z = 0. z

er R1

d

P

d

dz 

r

i1

z

i2

ϑ

λ/2

i3

r 1 y

ϕ eϕ

 x

e


Abb. 5.14. Anordnung der λ/2-Antennen im Koordinatensystem und Kennzeichnung des laufenden Integrationspunktes sowie der relevanten Abstandsvektoren

Lösung: Das Vektorpotential berechnet man mit der Formel (5.16) nach Ersetzen von J dV  durch Iˆi sin kz  dz  ez A=

3  i=1

Ai

,

µ0 ˆ Ii Ai (r) = ez 4π

λ/2 0

e−jkRi sin kz  dz  Ri

Ri ist dabei der Abstand des Integrationspunktes der jeweiligen Antenne zum betrachteten Aufpunkt P . Da das Potential nur in großen Entfernungen von der Antenne, kr  d, interessiert, verwenden wir die Fernfeldnäherung (5.17), die davon ausgeht, dass die Vektoren r und Ri für sehr weit entfernte Punkte P annähernd

Aufgabe W7∗

217

parallel verlaufen und sich in ihrer Länge in erster Näherung nur durch die Projektion des Quellpunktsvektors r i auf den Ortsvektor r unterscheiden 1 1 ≈ Ri r

,




e−jkRi ≈ e−jk(r−ri ·r/r) .

Damit wird aus den Vektorpotentialen Ai µ0 ˆ e−jkr Ii Azi (r) ≈ 4π r

λ/2
e jk(ri ·r)/r sin kz  dz 

,

i = 1, 2, 3 .

0

Führt man noch die Quellpunktsvektoren λ λ ey , r 2 = z  ez , r 3 = z  ez + ey 2 2 sowie den Ortsvektor in Kugelkoordinaten ein r 1 = z  ez −

r = r er = r(sin ϑ cos ϕ ex + sin ϑ sin ϕ ey + cos ϑ ez ) , so lauten die Skalarprodukte im Argument der Exponentialfunktionen r 1 · r = z  cos ϑ − r r 3 · r = z  cos ϑ + r

λ sin ϑ sin ϕ , 2 λ sin ϑ sin ϕ . 2

r 2 · r = z  cos ϑ r

Mit dem Integral2 6 λ/2  jkz
cos ϑ  sin kz e dz = 0




e jkz cos ϑ (jk cos ϑ sin kz  − k cos kz  ) k 2 − k 2 cos2 ϑ jπ cos ϑ

e cos π − 1

7λ/2 0

1 k sin2 ϑ 2 cos ([π/2] cos ϑ) j [π/2] cos ϑ = e k sin2 ϑ erhalten wir schließlich nach Einsetzen und Summieren das resultierende Vektorpotential =−

Az (r, ϑ, ϕ) =

µ0 e−j(kr−[π/2] cos ϑ) cos ([π/2] cos ϑ) × 2π kr sin2 ϑ  × Iˆ2 + 2 Iˆ1 cos(π sin ϑ sin ϕ) .

Das magnetische Feld ergibt sich aus den Wirbeln des Vektorpotentials H=

1 1 ∇×A= ∇Az × ez . µ0 µ0

Mit dem Gradienten in Kugelkoordinaten 2

siehe z.B. [Bronstein] Integral Nr. 459

218

5. Beliebig zeitveränderliche Felder

∂Az ∂Az 1 ∂Az 1 + eϑ +eϕ ∂r r ∂ϑ r sin ϑ ∂ϕ ! "# $ "# $ ! −2 ∼r ∼ r−2 und dem Kreuzprodukt ∇Az = er

er × ez = − sin ϑ eϕ erhält man im Fernfeld unter Vernachlässigung aller Terme, die schneller als r−1 abklingen, den Ausdruck Hϕ (r, ϑ, ϕ) ≈

j −j(kr−[π/2] cos ϑ) cos ([π/2] cos ϑ) e × 2πr  sin ϑ × Iˆ2 + 2 Iˆ1 cos(π sin ϑ sin ϕ) .

In der Ebene z = 0 wird daraus j −jkr  ˆ I2 + 2 Iˆ1 cos(π sin ϕ) . Hϕ (r, ϑ = π/2, ϕ) = e 2πr

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Iˆ1 x

F (ϕ)

λ/2

Iˆ2 ϕ

λ/2 Iˆ1

y Abb. 5.15. Normierte Verteilung der magnetischen Feldstärke F (ϕ) in der Ebene z = 0. (a) Iˆ2 = 0. (b) Iˆ2 = Iˆ1 . (c) Iˆ2 = 2Iˆ1 . (d) Iˆ2 = 3Iˆ1 . (e) Iˆ2 = 10Iˆ1 . (f) Anordnung der λ/2-Dipole

In Abb. 5.15 wurde die Feldstärkeverteilung in der normierten Form F (ϕ) =

Iˆ2 + 2 Iˆ1 cos(π sin ϕ) Hϕ (r, ϑ = π/2, ϕ) = Hϕ (r, ϑ = π/2, 0) Iˆ2 + 2 Iˆ1

(5.35)

Aufgabe W8

219

grafisch dargestellt. Es bilden sich im Allgemeinen vier Maxima aus, deren Winkellage man auch durch Differentiation nach dem Winkel ϕ findet: ∂Hϕ (r, ϑ = π/2, ϕ) ! ! = 0 → cos ϕ · sin(π sin ϕ) = 0 ∂ϕ ϕ = 0, π („Hauptkeulen“) → ϕ = ±π/2 („Nebenkeulen“) Der Abb. 5.15 ist außerdem zu entnehmen, dass für Iˆ2 = 2 Iˆ1 keine Nebenkeulen entstehen. Dann nämlich treten in (5.35) für ϕ = ±π/2 Nullstellen auf, weil die Strahlungsbeiträge der drei Antennen in dieser Richtung vollständig destruktiv interferieren. W8 Strahlung eines ringförmigen Stromes Berechne das Fernfeld eines auf einem Ring mit dem Radius a fließenden Wechselstromes I = Iˆ cos ωt, Abb. 5.16. Überprüfe das Ergebnis für a λ durch Vergleich mit dem Fernfeld eines magnetischen Dipolstrahlers. z P

ϑ r R

a

ϕ

I

r

y

ϕ

x

Abb. 5.16. Festlegung der relevanten Abstandsvektoren zur Berechnung des Strahlungsfeldes einer kreisförmigen Stromschleife

Lösung: Zur Berechnung des Phasors des Vektorpotentials verwenden wir ˆ dϕ die Formel (5.16) nach Ersetzen von J dV  durch eϕ
Ia µ0 aIˆ A(r) = 4π

2π 0

1 −jkR e eϕ
dϕ . R

Wichtig dabei ist, genau zwischen den gestrichenen Koordinaten des Quellpunktes r = a, ϕ , ϑ = π/2 und den ungestrichenen Koordinaten des Aufpunktes r, ϑ, ϕ zu unterscheiden. Für sehr weit entfernte Punkte P mit kr  a können wir im Integranden die Fernfeldnäherung (5.17) anwenden

220

5. Beliebig zeitveränderliche Felder

1 1 ≈ , e−jkR ≈ e−jk(r−aer
·er ) . R r Der betrachtete Ringstrom produziert ein rotationssymmetrisches Feld, weshalb wir uns im Folgenden zunächst auf die Ebene ϕ = 0 beschränken wollen. Dort gilt er = sin ϑ ex + cos ϑ ez er
= cos ϕ ex + sin ϕ ey

→

er · er
= sin ϑ cos ϕ .

Zerlegt man das Wegelement in seine kartesischen Komponenten, erhält man ds = a dϕ eϕ
= a dϕ (− sin ϕ ex + cos ϕ ey ) und die Zusammenfassung gegenüberliegender Wegelemente in der Form ds (ϕ ) + ds (−ϕ ) = 2a cos ϕ dϕ ey zeigt, dass das Vektorpotential in der Ebene ϕ = 0 nur eine y-Komponente aufweist, d.h. π ˆ e−jkr 
µ0 Ia Ay ≈ e jka cos ϕ sin ϑ cos ϕ dϕ . 2π r 0

Mit der Integraldarstellung der Bessel-Funktion3  π e jx cos ϕ cos nϕ dϕ = jn π Jn (x) 0

wird daraus ˆ e−jkr µ0 Ia J1 (ka sin ϑ) , 2 r wobei aufgrund der Rotationssymmetrie eϕ für ey gesetzt wurde, um wieder ein für alle Winkel ϕ gültiges Resultat zu erhalten. Mit dem nun bekannten Potential kann das elektromagnetische Feld ermittelt werden, wobei wir, da es sich um eine Fernfeldberechnung handeln soll, Terme, die schneller als mit r−1 abklingen, unberücksichtigt lassen. Aus µ0 H = ∇ × A folgt dann in Kugelkoordinaten für das magnetische Feld Aϕ ≈ j

1 1 ∂(Aϕ sin ϑ) 1 ∼ 2 ≈0 µ0 r sin ϑ ∂ϑ r ˆ Ika e−jkr 1 1 ∂(r Aϕ ) ≈− J1 (ka sin ϑ) , Hϑ = − µ0 r ∂r 2 r Hr =

und weil sich das Strahlungsfeld einer beliebigen Stromverteilung bekanntlich in großen Entfernungen lokal wie eine ebene Welle (5.14) verhält, wird das elektrische Feld ˆ Ika e−jkr J1 (ka sin ϑ) Eϕ ≈ −ZHϑ ≈ Z 2 r 3

siehe z.B. [Abramowitz] 9.1.21

Aufgabe W9

221

 mit Z = µ0 /ε0 . Soll nun die Freiraumwellenlänge wesentlich größer als der Radius a sein, kann wegen ka 1 die Näherung der Bessel-Funktion für kleine Argumente4 J1 (x 1) ≈ x/2 benutzt werden und das Resultat vereinfacht sich zu Eϕ ≈ −ZHϑ ≈ Zk 2

pm e−jkr sin ϑ für a λ , 4π r

ˆ 2 das magnetische Dipolmoment des Ringstromes angibt. wobei pm = Iπa Dies aber ist das bekannte Feld eines magnetischen Dipolstrahlers.5 W9 Verluste in einer Parallelplattenleitung Eine senkrecht polarisierte Welle (x-unabhängige TE-Welle) breite sich in z-Richtung der in Abb. 5.17 dargestellten Parallelplattenleitung aus. Man berechne die Verluste pro Flächeneinheit, die in der Bewandung entstehen, wenn diese eine endliche Leitfähigkeit κ aufweist. y

∆z

H =0 δS I d

ε0

J

x

H · ds z

H =0

Abb. 5.17. Verlustbehaftete Parallelplattenleitung mit Wandströmen, die bis zur Skintiefe δS in die Platten eindringen

Lösungshinweis: Die Verlustberechnung soll näherungsweise mit der sogenannten Power-Loss Methode durchgeführt werden, bei welcher zunächst die verlustfreien Felder (bei Annahme perfekter Leitfähigkeit der Bewandung) und daraus die induzierten Wandströme bestimmt werden. Dabei wird vorausgesetzt, dass der Wandstrom mit konstanter Dichte über die Eindringtiefe δS verteilt ist und danach sprungartig auf null absinkt. Lösung: Das elektrische Feld einer senkrecht polarisierten Welle weist nur eine x-Komponente auf, deren Phasor die Helmholtz-Gleichung (5.4) E = Ex (y, z) ex

,

∂ 2 Ex ∂ 2 Ex + = −k 2 Ex ∂y 2 ∂z 2

mit k 2 = ω 2 ε0 µ0 erfüllt. Da nur Wellen in z-Richtung betrachtet werden sollen, steht damit die z-Abhängigkeit Z(z) = exp(∓jkz z) bereits fest und der 4 5

siehe z.B. [Abramowitz] oder [Henke] vgl. [Henke], Zeitlich beliebig veränderliche Felder IV

222

5. Beliebig zeitveränderliche Felder

übliche Produktansatz nach Bernoulli Ex = Y (y) · Z(z) führt bei idealen Wänden mit κ → ∞ auf die Lösung Exn = An sin(kyn y)e∓jkzn z & (5.36) nπ 2 , kzn = k 2 − kyn kyn = , n = 1, 2, 3, . . . , d die das Verschwinden der elektrischen Feldstärke auf den Wänden y = 0 und y = d garantiert. Das positive Vorzeichen in der Exponentialfunktion beschreibt dabei Wellen in negative z-Richtung und das negative Vorzeichen Wellen in positive z-Richtung. Es entsteht also für jedes n ein unterschiedlicher Wellentyp, eine sogenannte Eigenwelle, die sich mit der Wellenzahl kzn = 2π/λzn im Wellenleiter ausbreitet. Das magnetische Feld erhalten wir aus der Maxwellschen Gleichung ∇ × E = −jωµ0 H = ey

∂Ex ∂Ex − ez ∂z ∂y

durch Differentiation des elektrischen Feldes kzn Hyn = ± An sin(kyn y)e∓jkzn z ωµ kyn An cos(kyn y)e∓jkzn z . Hzn = −j ωµ

(5.37)

Man beachte den Vorzeichenwechsel bei Hyn , der die korrekte Richtung des Poyntingschen Vektors garantiert. Gemäß den in der Aufgabenstellung gemachten Voraussetzungen können wir die Wandstromdichte aus den verlustfreien Feldern durch das in Abb. 5.17 angedeutete Umlaufintegral ermitteln
H · ds = −Hz ∆z = Jx δS ∆z → Hz |y=d = −Jx δS . Dabei sind wir davon ausgegangen, dass die stromführende Schicht sehr dünn ist (etwa 2 µm für Kupfer bei einer Frequenz von 1 GHz), so dass nur zgerichtete Wegelemente einen Beitrag zum Konturintegral liefern. Der zeitliche Mittelwert der Verlustleistungsdichte ist nach (5.13) 1 1 Re {E · J ∗ } = Jx Jx∗ 2 2κ und damit die gesuchte Verlustleistung pro Flächeneinheit pV =



PV = 2

2 kyn 1 δS 1 Jx Jx∗ = (Hz Hz∗ )y=d = A2n 2 2 . 2κ κδS ω µ κδS

Durch den Faktor 2 wurde dabei der zusätzliche Beitrag der unteren Platte erfasst. Bemerkenswert ist, dass die Verlustleistung mit zunehmender Frequenz abnimmt. Setzt man konstante in z-Richtung transportierte Wirkleistung voraus Skz =

, - A2n 1 ∗ Re Exn Hyn , ∼ 2 ω

Aufgabe W10

so muss die Amplitude An mit mit zunehmender Frequenz ab 

PV ∼

223

√ ω zunehmen und die Verlustleistung nimmt

A2n 1 ∼√ . ω 2 δS ω

Dies ist eine allgemeine Eigenschaft von Wellentypen, bei welchen elektrische Feldlinien nicht auf der Leiterwand enden. W10 Parallelplattenleitung mit Dielektrikum Eine Parallelplattenleitung mit perfekt leitenden Wänden sei für z > 0 mit Dielektrikum εr gefüllt, Abb. 5.18. Bestimme Reflexion und Transmission bei Einfall einer senkrecht polarisierten Welle. y

d

ε0

1

ε = εr ε0

2

x z

Abb. 5.18. Verlustfreie Parallelplattenleitung mit dielektrischem Stoffeinsatz. Von z < 0 her fällt eine senkrecht polarisierte Welle ein

Lösung: Das elektromagnetische Feld wird sich im Raum z ≤ 0 aus einer einfallenden und einer reflektierten Welle zusammensetzen und im Raum z ≥ 0 breitet sich eine transmittierte Welle in positive z-Richtung aus. Damit lauten die Wellenansätze in den Teilräumen 1 und 2 unter Verwendung der Felder (5.36) und (5.37)  (1) (1) (1) (y, z) = An sin(kyn y) e−jkzn z + Rn e jkzn z Exn  (1) (1) (1) Hyn (y, z) = An sin(kyn y) e−jkzn z − Rn e jkzn z

(1)

kzn ωµ0

(5.38)

(2)

(2) Exn (y, z) = An Tn sin(kyn y) e−jkzn z (2)

(2) Hyn (y, z) = An Tn sin(kyn y) e−jkzn z

(2)

kzn . ωµ0

(5.39)

Rn bzw. Tn sind dabei die gesuchten Reflexions- bzw. Transmissionsfaktoren. An Trennflächen zwischen Räumen unterschiedlicher Materialeigenschaften müssen die Tangentialkomponenten der magnetischen und der elektrischen Feldstärke stetig ineinander übergehen6 6

vorausgesetzt natürlich, dass dort keine freie Flächenladungsdichte und kein freier Flächenstrom anzutreffen ist

224

5. Beliebig zeitveränderliche Felder (1) (2) Exn (y, 0) = Exn (y, 0)

,

(1) (2) Hyn (y, 0) = Hyn (y, 0) .

Nach Einsetzen der Feldstärkeansätze (5.38) und (5.39) erhält man zwei Bestimmungsgleichungen für Rn und Tn 1 + R n = Tn

,

(1) (2) kzn (1 − Rn ) = kzn Tn

und schließlich nach Auflösen (1)

Rn =

(2)

kzn − kzn (1)

(2)

(1)

,

Tn =

2 kzn (1)

(2)

kzn + kzn kzn + kzn mit den Ausbreitungskonstanten & & (1) (2) 2 , 2 , kzn = k 2 − kyn kzn = εr k 2 − kyn

ω nπ , k= . d c Abb. 5.19 zeigt zur Veranschaulichung den Verlauf der magnetischen Feldlinien in einem zeitlichen Ablauf über eine viertel Periodendauer. Deutlich zu erkennen ist die Verkürzung der Wellenlänge im dielektrischen Bereich. Außerdem kommt es durch die Überlagerung von einfallender und reflektierter Welle im vorderen Bereich zu einer pulsierenden Feldintensität. Noch anschaulicher ist natürlich ein kontinuierlicher zeitlicher Ablauf in Form eines Filmes. Hier sei auf die Internetseite [www-tet] verwiesen. Dort findet man kleine Animationen für zahlreiche Anordnungen, die auch z.T. in diesem Übungsbuch behandelt werden. Es stellt sich natürlich die Frage, wie diese Feldbilder entstanden sind. Grundsätzlich gilt, dass das Wegelement ds einer Feldlinie parallel zum Feld steht und damit das Kreuzprodukt ds × B verschwindet. Da wir an einem zeitlichen Ablauf interessiert sind, bisher aber mit zeitunabhängigen Phasoren gearbeitet haben, müssen diese in den Zeitbereich transformiert werden und die Feldliniengleichung lautet  Re ds × B e jωt = 0 . kyn =

Mit der Maxwellschen Gleichung ∇ × E = −jωB sowie der Tatsache, dass das elektrische und magnetische Feld senkrecht aufeinander stehen, d.h. ds · E = 0, wird dann daraus     1 1 ds × (∇ × E) e jωt = Re (ds · ∇)E e jωt = 0 . −Re jω jω Berücksichtigt man, dass der Ausdruck (ds · ∇)E = ex (ds · ∇)Ex = ex dEx das totale Differential der elektrischen Feldstärke dEx enthält, so gelangt man schließlich zu der skalaren Gleichung   1 Ex (y, z) e jωt = const. f (y, z, t) = Re (5.40) jω für die magnetischen Feldlinien. Mathematisch sucht man also die Höhenlinien einer örtlich zweidimensionalen Funktion f (y, z, t). Dafür stehen heutzutage zahlreiche Programme zur Verfügung, mit deren Hilfe die Suche numerisch erfolgen kann.

Aufgabe W10

225

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Abb. 5.19. Verlauf der magnetischen Induktionslinien des Wellentyps n = 1 zu verschiedenen Zeitpunkten und für kd = 1.2, εr = 2. (a) t/T = 0. (b) t/T = 0.05. (c) t/T = 0.1. (d) t/T = 0.15. (e) t/T = 0.2. (f) t/T = 0.25

226

5. Beliebig zeitveränderliche Felder

W11 Rechteckhohlleiter mit Anregung In einem ideal leitenden Rechteckhohlleiter, der in der Ebene z = 0 abgeschlossen ist, befindet sich an der Stelle x = c, z = h ein y-gerichteter Stromfaden i(t) = Iˆ cos ωt, Abb. 5.20. Bestimme das elektromagnetische Feld der Anordnung.

a

y

i(t) c

x

b h z

Abb. 5.20. Stromfaden im Rechteckhohlleiter. Die markierte Fläche unterteilt den Hohlleiter in zwei separate Bereiche

Lösung: Der Phasor des vom y-gerichteten Stromfaden hervorgerufenen elektrischen Feldes wird nur eine y-Komponente aufweisen und erfüllt die zweidimensionale Helmholtz-Gleichung (5.4) ∂ 2 Ey ∂ 2 Ey + = −k 2 Ey , k 2 = ω 2 ε0 µ0 . 2 ∂x ∂z 2 Dabei genügt es, nur die von der Koordinate y unabhängigen Felder zu betrachten, da der Stromfaden aufgrund seiner Homogenität in y-Richtung keine anderen anregen wird. Das Feld im Rechteckhohlleiter entspricht damit vollkommen dem eines unendlich langen Linienstromes zwischen zwei leitenden Platten in den Ebenen x = 0 und x = a. Die Felder einer Parallelplattenleitung sind uns aber schon aus Aufg. W9 bekannt. Wir können daher den Ansatz (5.36) verwenden, wobei d durch a zu ersetzen ist und die Koordinaten (x, y) zu vertauschen sind. Der Ansatz gilt jedoch nur in stromfreien Gebieten. Wir sind daher gezwungen, den Hohlleiter wie in Abb. 5.20 in zwei Teilgebiete 0 ≤ z < h (Raum 1) und z > h (Raum 2) zu zerlegen. Den in der Trennfläche fließenden Strom fassen wir dabei als Flächenstromdichte JF auf, die über eine gegen null gehende Breite 2δ verteilt ist. Bedenkt man noch, dass es im Raum 0 ≤ z < h aufgrund von Reflexionen am ideal leitenden Abschluss in der Ebene z = 0 sowohl vor- als auch rücklaufende Wellen geben wird, dann kann man schließlich die Ansätze E = Ey (x, z)

Ey(1) (x, z) = Ey(2) (x, z)

=

,

∞  n=1 ∞  n=1

sin

nπx + −jkzn z Cn e + Cn− e jkzn z a

Bn(2)

nπx −jkzn z e sin a

(5.41)

Aufgabe W11

227

für die elektrische Feldstärke in den beiden Teilräumen aufstellen. Jedes Glied der Summe beschreibt eine Welle mit der Ausbreitungskonstanten  ' nπ (2 , (5.42) kzn = k 2 − a aber nur für k > nπ/a handelt es sich tatsächlich um ausbreitungsfähige Wellen. Die anderen, nicht ausbreitungsfähigen Feldanteile in der Summe sind nur in der Umgebung der Anregung signifikant und, wie wir später noch sehen werden, zur Erfüllung der Stetigkeitsbedingungen unerlässlich. Bezeichnet man mit λ die Wellenlänge einer Freiraumwelle mit der Kreisfrequenz ω, so erhält man aus (5.42) die Wellenlängen der ausbreitungsfähigen Hohlleiterwellen in der Form λ 2a (5.43) λzn = & nλ 2 , λ < n . 1 − 2a Will man z.B., dass sich nur der Wellentyp n = 1 ausbreitet (MonomodeBetrieb mit der H10 -Welle), so lautet die Bedingung dafür a (5.44) 0.5 < < 1 → Monomode-Betrieb. λ Durch das notwendige Verschwinden der elektrischen Feldstärke an der Wand z=0 Ey(1) (x, 0) = 0

→

Cn+ + Cn− = 0

lässt sich der Ansatz im Raum 1 weiter reduzieren ∞  nπx sin kzn z , Ey(1) (x, z) = Bn(1) sin a n=1 wobei 2jCn− =: Bn gesetzt wurde. Zur Bestimmung der jetzt noch unbe(1) (2) kannten Koeffizienten Bn und Bn fordern wir zunächst die Stetigkeit der elektrischen Feldstärke an der Trennstelle z = h (1)

Ey(1) (x, h) = Ey(2) (x, h)

Bn(1) sin kzn h = Bn(2) e−jkzn h

→ (1)

und mit der Abkürzung Fn = Bn e jkzn h wird aus den Ansätzen (5.41) Ey(1) (x, z)

=

Ey(2) (x, z) =

∞  n=1 ∞  n=1

Fn e−jkzn h sin

nπx sin kzn z a

Fn sin kzn h sin

nπx −jkzn z e . a

Wegen des Stromes in der Trennfläche z = h ist das Magnetfeld dort nicht stetig und muss die Bedingung (3.15) erfüllen Hx(2) (x, h) − Hx(1) (x, h) = JF (x) .

(5.45)

228

5. Beliebig zeitveränderliche Felder

Den eigentlich unendlich dünnen Linienstrom stellen wir uns dabei, wie schon erwähnt, als einen über die endliche Breite 2δ „verschmierten“ Flächenstrom JF vor.7 Die benötigte x-Komponente der magnetischen Feldstärke erhält man aus der Maxwellschen Gleichung ∂Ey ∂Ey + ez = −jωµ0 H ∂z ∂x durch Differentiation nach z, und nach Einsetzen in (5.45) folgt ∇ × E = ∇ × (ey Ey ) = −ex

∞ nπx j  = JF (x) . (5.46) kzn Fn e−jkzn h (j sin kzn h + cos kzn h) sin "# $ ! ωµ0 n=1 a =1 Somit läuft also das Auffinden der Konstanten Fn auf die Bestimmung der Fourier-Koeffizienten der Stromverteilung JF (x) hinaus. Zu diesem Zweck wird (5.46) mit sin(mπx/a) multipliziert und über den Orthogonalitätsbereich 0 ≤ x ≤ a integriert c+δ a  ∞ Iˆ mπx j  nπx mπx sin dx = lim dx . kzn Fn sin sin δ→0 2δ ωµ0 n=1 a a a 0 c−δ "# $ ! n δm a/2

Das Integral auf der rechten Seite führt auf den Ausdruck   a mπ(c + δ) mπc mπδ mπ(c − δ) 2a − cos sin sin cos = mπ a a mπ a a und wegen sin x =1 x ergeben sich so die gesuchten Konstanten lim

x→0

k nπc Fn = −2jE0 sin kzn a

mit

ˆ IZ E0 = a

 ,

Z=

µ0 ε0

und damit das elektrische Feld im Rechteckhohlleiter ∞  nπx −jkzn h k nπc sin e sin sin kzn z Ey(1) (x, z) = −2j E0 k a a zn n=1 Ey(2) (x, z)

∞  nπx k nπc sin sin kzn h e−jkzn z . = −2j E0 sin k a a zn n=1

(5.47)

Der zeitliche Verlauf der magnetischen Feldlinien, Abb. 5.21, ergibt sich, wenn man analog zu (5.40) die Funktion  1 2π , T = = f (x, z, t) = Re j Ey (x, z) e j2πt/T f ω 7

Alternativ kann man natürlich auch gleich eine Delta-Distribution ansetzen.

Aufgabe W12

229

konstant hält. Warum dies so ist, wurde bereits in Aufg. W10 erläutert. In den Feldbildern wurde λz1 = 2.8a gewählt. Aus (5.43) folgt dann für n = 1  a a = 0.25 + = 0.779 , λ λz1 d.h. es ist nach (5.44) kein anderer Wellentyp als n = 1 ausbreitungsfähig, was in den Feldbildern deutlich wird. In Abb. 5.21f ist ωt = π/2, so dass der anregende Strom zu diesem Zeitpunkt gerade einen Nulldurchgang hat. Sehr gut erkennt man hier, dass die Trennfläche den Abstand h = λz1 /4 aufweist. Auch zu dieser Aufgabe existiert eine Animation der Feldlinien im Internet, siehe [www-tet]. a)

b)

c)

d)

e)

f)

Abb. 5.21. Magnetische Feldlinien zu verschiedenen Zeitpunkten für c/a = 0.25, h/a = 0.7 und λz1 /a = 2.8. (a) t/T = 0. (b) t/T = 0.05. (c) t/T = 0.1. (d) t/T = 0.15. (e) t/T = 0.2. (f) t/T = 0.25

W12 Wellen im Koaxialkabel Gegeben ist ein unendlich langes Koaxialkabel. Der perfekt leitende Innenleiter habe den Radius a, der ebenfalls perfekt leitende Außenleiter den Radius b. Das Medium zwischen den Leitern sei verlustfrei und habe die Dielektrizitätskonstante ε0 und die Permeabilität µ0 , Abb. 5.22a. Auf der Leitung können sich sowohl TEM-Wellen als auch Hohlleiterwellen ausbreiten, wobei

230

5. Beliebig zeitveränderliche Felder

letztere in der Regel unerwünscht sind. a) Berechne die Felder der magnetisch transversalen Wellenmoden (E-Wellen) und stelle eine Gleichung zur Berechnung der Ausbreitungskonstanten kz auf. b) Für welches kz ergibt sich ein elektrisch und magnetisch transversales Feld (TEM-Welle)? Man bestimme für diesen Fall die Felder mit der zusätzlichen ˆ cos ωt zwiRandbedingung, dass in der Ebene z = 0 eine Wechselspannung U schen Innen- und Außenleiter anliegt. c) Für den in b) betrachteten Sonderfall einer TEM-Welle berechne man den ortsabhängigen Ladungs- und Strombelag auf den Leiteroberflächen und verifiziere damit die bekannte Beziehung L · C  = ε0 µ0 = 1/c2 zwischen dem Kapazitätsbelag C  und Induktivitätsbelag L der Leitung. Dabei brauchen die Größen C  und L nicht explizit berechnet zu werden.

a)

b) y b

P

 ϕ ε0 , µ0

x

a At = 0 At = 0

Abb. 5.22. a) Koaxialkabel und Randbedingung für den transversalen Anteil des Vektorpotentials. b) Magnetische Feldlinien der E11 -Welle

Lösung: a) Magnetisch transversale Wellen können nach (5.19) durch ein z-gerichtetes Vektorpotential A = At ( , ϕ) e−jkz z ez

mit

H =∇×A

(5.48)

beschrieben werden. Wir betrachten hier der Einfachheit halber nur in positive z-Richtung fortschreitende Wellen. Das transversale Feld At ( , ϕ) ist Lösung der zweidimensionalen Helmholtz-Gleichung (5.20)  (5.49) ∇2 At + K 2 At = 0 mit K = k 2 − kz2 . Die Separation der partiellen Differentialgleichung (5.49) in Polarkoordinaten führt auf die Schwingungsdifferentialgleichung in ϕ und die Besselsche

Aufgabe W12

231

Differentialgleichung in , so dass eine magnetisch transversale Eigenwelle im Koaxialkabel allgemein durch den Ansatz ' (' ( At ( , ϕ) = C Jm (K ) + D Nm (K ) E cos mϕ + F sin mϕ (5.50) mit der Bessel-Funktion Jm und der Neumann-Funktion Nm beschrieben werden kann.8 Dabei ist kz die an dieser Stelle noch unbekannte zur jeweiligen Eigenwelle gehörende Ausbreitungskonstante. Mit (5.48) und Maxwells Gleichung ∇ × H = jωε0 E erhält man 1 ∂At −jkz z ∂At −jkz z e e , Hϕ = − , Hz = 0 ∂ϕ ∂ ∂Hϕ ∂H
= jkz Hϕ , jωε0 Eϕ = = −jkz H
jωε0 E
= − ∂z ∂z 0 1

H
=

jωε0 Ez = ∇ × (∇ × A)

z

(5.51)

= ez · ∇(∇ · A) − ∇2 A = K 2 At e−jkz z .

Hier wurde ∇ · A = −∂A/∂z und ∇2 A = −k 2 A verwendet. Die allgemeine Lösung (5.50) ist noch an die Randbedingungen auf den Leiteroberflächen anzupassen. Dort muss naturgemäß das tangentiale elektrische Feld verschwinden, d.h. es muss gelten Ez (a, ϕ, z) = Ez (b, ϕ, z) = Eϕ (a, ϕ, z) = Eϕ (b, ϕ, z) = 0 . Für das transversale Potential bedeutet dies   ∂At  ∂At  = = 0 und At (a, ϕ, z) = At (b, ϕ, z) = 0 , ∂ϕ 
=a ∂ϕ 
=b wobei das Verschwinden des Potentials auf den Leiteroberflächen offensichtlich hinreichend ist, da damit die Ableitungen nach ϕ ebenfalls verschwinden. Es ergibt sich somit das homogene Gleichungssystem + * + * + * Nm (ξ) Jm (ξ) 0 C mit ξ = Ka , = b

b · 0 D Jm ξ a Nm ξ a das nur dann nichttriviale Lösungen hat, wenn die Koeffizientendeterminante verschwindet, d.h.       b b b fm ξ, (5.52) = Jm (ξ) Nm ξ − Jm ξ Nm (ξ) = 0 . a a a liefern dann die gesuchten K Die Nullstellen der Funktion fm , Abb. 5.23, √ und damit die Ausbreitungskonstanten kz = k 2 − K 2 . Da für jeden Wert von m, der die azimuthale Feldverteilung bestimmt, unendlich viele Lösungen von (5.52) existieren, werden die zugehörigen Wellen doppelt indiziert und heißen Emn -Wellen. Die transversale Potentialverteilung lautet also für die Eigenwelle m, n 8

siehe [Henke], Zeitlich beliebig veränderliche Felder II

232

5. Beliebig zeitveränderliche Felder   Atmn ( , ϕ) = (Emn cos mϕ + Fmn sin mϕ) ×   Nm (Kmn ) × Jm (Kmn ) − Jm (Kmn a) , Nm (Kmn a)

  und CF = Fmn gesetzt wurde. Die magnetischen Feldlinien wobei CE = Emn in einer Querschnittsebene des Koaxialkabels sind durch die Äquipotentiallinien At ( , ϕ) =const. gegeben. Es sei dem Leser an dieser Stelle zur Übung selbst überlassen, den Beweis dafür zu erbringen. Wie man dabei prinzipiell vorgeht, kann in Aufg. W10 nachgelesen werden. Das Feldbild der E11 -Welle ist in Abb. 5.22b dargestellt. Der zur Berechnung erforderliche Eigenwert K11 kann der Abb. 5.23 entnommen werden, K11 a = 1.636.

−→

1

f1

0 −0.2

0

1

2

K11 a

3

4

ξ −→

5

Abb. 5.23. Verlauf der Funktion fm in (5.52) für m = 1 und b/a = 3

b) In (5.51) erkennt man, dass für K = 0, d.h. kz = k, auch die z-Komponente des elektrischen Feldes verschwindet, so dass ein TEM-Feld entsteht. Die Helmholtz-Gleichung (5.49) entartet in diesem Fall zur zweidimensionalen Laplace-Gleichung ∇2 At ( , ϕ) = 0 für kz = k , deren allgemeine Lösung in Polarkoordinaten in (1.66) gegeben wurde At ( , ϕ) = (A0 + B0 ln ) · (C0 + D0 ϕ) +  ∞   1 n + An + Bn n · (Cn cos nϕ + Dn sin nϕ) . n=1 Die Randbedingungen Eϕ (a, ϕ) = Eϕ (b, ϕ) = 0

→

  ∂At  ∂At  = =0 ∂ϕ 
=a ∂ϕ 
=b

lassen sich nur mit An = Bn = D0 = 0 befriedigen. Mit der beliebigen Festlegung A0 = 0 und B0 C0 = F0 folgt dann für das transversale Feld

Aufgabe W13

At ( ) = F0 ln

a

233

für kz = k .

ˆ zwischen InnenMit der Forderung, dass in der Ebene z = 0 die Spannung U und Außenleiter anliegt, lässt sich F0 bestimmen b ˆ= U (z = 0) = U

E
d = − a

→

ˆ U 1 F0 = − Z ln b/a

1 kz 0 kz b F0 ln At (b) − At (a) = − ωε0 ωε0 a 

mit

Z=

µ0 ≈ 120 π Ω . ε0

und die Felder der TEM-Welle ergeben sich mit (5.51) und kz = k zu E
= ZHϕ =

ˆ U 1 e−jkz . ln b/a

(5.53)

ˆ wird sich auf den Leiteroberflächen eine c) Durch Anlegen der Spannung U Flächenladung qF = qF (z) und ein Flächenstrom J F = JF (z) ez einstellen. Beide breiten sich, ebenso wie die Felder, mit der Ausbreitungskonstanten kz = k entlang der Leitung aus. Auf dem äußeren Leiter gilt für den Ladungsbelag nach (1.11) qF (z) = ε0 E
( = b, z) und aus der Kontinuitätsgleichung (2.2) folgt der Strombelag dJF (z) = −jkJF (z) = −jωqF (z) → JF = c qF . dz Mit dem jetzt bekannten Ladungs- und Strombelag sowie den TEM-Feldern (5.53) lassen sich Kapazitäts- und Induktivitätsbelag in der allgemeinen Form b µ0 a Hϕ ( , z) d 2πbqF (z)   , L = C = b 2πbJF (z) E
( , z) d ∇ · JF =

a

angeben, und die Multiplikation ergibt  1 µ0 µ0 ε0 qF (z) µ0 1   = = C ·L = = 2 JF (z) Z c Z c µ0 c

q.e.d. .

Abschließend sei noch erwähnt, dass das elektromagnetische Feld in (5.53) für = 0 singulär wird. Es ist daher keine TEM-Welle mehr möglich, wenn der Innenleiter entfernt wird. Die Existenz einer TEM-Welle erfordert immer mindestens zwei parallele Einzelleiter. W13 Rundhohlleiter mit dielektrischer Schicht auf der Wand Gegeben ist ein Rundhohlleiter vom Radius a. Auf der Innenseite der Bewandung ist eine dielektrische Schicht mit ε = εr ε0 , µ = µ0 und der Dicke d aufgetragen. Wie lautet die Gleichung zur Bestimmung der Ausbreitungskonstanten für rotationssymmetrische H-Wellen?

234

5. Beliebig zeitveränderliche Felder

Lösung: H-Wellen können nach (5.19) durch ein z-gerichtetes Vektorpotential A = At ( , ϕ) e−jkz z ez

mit

E =∇×A

(5.54)

beschrieben werden. Das transversale Feld At ( , ϕ) ist Lösung der zweidimensionalen Helmholtz-Gleichung (5.20) und es gilt der allgemeine Lösungsansatz (5.50). Da nur rotationssymmetrische Wellen betrachtet werden sollen, kann dort m = 0 gesetzt werden  At ( ) = C J0 (K ) + D N0 (K ) , K = k 2 − kz2 . Zu beachten ist, dass die Wellenzahl k und damit auch K vom Material abhängig ist. Wir definieren daher in den beiden Bereichen 1 (0 ≤ < a − d) bzw. 2 (a − d ≤ ≤ a) K12 = k12 − kz2

,

K22 = εr k12 − kz2

,

k12 = ω 2 ε0 µ0 .

Im Hinblick auf die Erfüllung von Rand- und Stetigkeitsbedingungen sind weiterhin nur die tangentialen Komponenten von E und H von Interesse. Sie folgen aus (5.54) und der Maxwellschen Gleichung ∇ × E = −jωµ0 H zu ∂At −jkz z 1 e , Hz ( , z) = − K 2 At e−jkz z . Eϕ ( , z) = − ∂ jωµ0 Man erhält sie auch durch eine Analogiebetrachtung aus (5.51), wenn man dort das elektrische und magnetische Feld vertauscht und jωε0 durch −jωµ0 ersetzt. Wir benötigen nun im Dielektrikum Lösungen, die für = a das Verschwinden des tangentialen elektrischen Feldes garantieren. Dies funktioniert nur mit einer Linearkombination aus Bessel- und Neumann-Funktionen. Im Raum 0 ≤ ≤ a − d dagegen kann die Neumann-Funktion aufgrund ihres singulären Verhaltens auf der Achse = 0 nicht auftreten. Nach Definition der Linearkombinationen S0 (K2 ) = N0 (K2 ) J1 (K2 a) − J0 (K2 ) N1 (K2 a) S1 (K2 ) = −S0 (K2 ) =

(5.55)

= N1 (K2 ) J1 (K2 a) − J1 (K2 ) N1 (K2 a) , in denen durch einen Strich die Differentiation nach dem Argument gekennzeichnet wurde, lautet dann der Potentialansatz für H-Wellen  A S0 (K2 ) für a − d ≤ ≤ a At ( ) = B J (K ) für 0 ≤ ≤ a − d 0 1 und die Ableitung nach  A K2 S1 (K2 ) dAt ( ) =− B K J (K ) d 1

1

1

für a − d ≤ ≤ a für 0 ≤ ≤ a − d .

Aufgabe W14∗

235

Die Funktion S0 in (5.55) wurde gerade so gewählt, dass ihre Ableitung −S1 und damit Ez auf der Fläche = a verschwindet. Außerdem wurde in beiden Teilräumen davon ausgegangen, dass die Felder sich mit gleicher Phasengeschwindigkeit also gleicher Wellenzahl kz ausbreiten, da ansonsten die nun folgende Erfüllung der Stetigkeitsbedingungen für alle Werte von z nicht möglich wäre. Die Stetigkeit der Tangentialkomponenten von E und H Eϕ ( = a − d − 0, z) = Eϕ ( = a − d + 0, z) Hz ( = a − d − 0, z) = Hz ( = a − d + 0, z) liefert mit den Abkürzungen ξ = K1 (a − d)

η = K2 (a − d)

,

das homogene Gleichungssystem + * + * + * 0 A η S1 (η) −ξ J1 (ξ) , = · 0 B η 2 S0 (η) −ξ 2 J0 (ξ) welches natürlich nur bei verschwindender Koeffizientendeterminante von null verschiedene Lösungen aufweist. Dies führt auf die gesuchte Bestimmungsgleichung für die Ausbreitungskonstanten kz f (kz ) = ξ S1 (η) J0 (ξ) − η S0 (η) J1 (ξ) = 0 . Die Nullstellen der Funktion f (kz ) müssen dann numerisch ermittelt werden. W14∗ Rechteckresonator mit Anregung Der Hohlleiter in Aufg. W11 wird nun in der Ebene z = 2h mit einer perfekt leitenden Platte kurzgeschlossen und zusätzlich mit Teflon gefüllt, so dass ein verlustbehafteter Resonator mit anregendem Stromfaden i(t) = Iˆ cos ωt entsteht, Abb. 5.24.

a

y

b c

i(t) x

1

2 h

2h

z

Abb. 5.24. Stromfaden in einem mit verlustbehaftetem Dielektrikum gefüllten Rechteckresonator

Teflon hat eine komplexe Dielektrizitätskonstante εk = εr ε0 (1 − j tan δ)

mit

εr = 2.3

und

tan δ = 2 · 10−4 .

236

5. Beliebig zeitveränderliche Felder

a) Berechne die erzwungenen elektromagnetischen Schwingungen im Resonator unter Verwendung des in Aufg. W11 ermittelten Feldes. b) Führe eine Näherungsrechnung für den Fall durch, dass die Frequenz des anregenden Stromes nur wenig von der ersten Resonanzfrequenz des Resonators abweicht. Lösung: a) Wir verwenden das in Aufg. W11 berechnete Feld (5.47) als primäres Feld (p) (p) Ey1 im Raum 1 (0 ≤ z < h) bzw. Ey2 im Raum 2 (h ≤ z < 2h) (p)

Ey1 (x, z) = −2j (p)

Ey2 (x, z) = −2j

∞ ˆ  IZ k nπx −jkzn h nπc sin e sin sin kzn z a n=1 kzn a a ∞ ˆ  IZ nπx k nπc sin sin kzn h e−jkzn z sin a n=1 kzn a a

mit den Ausbreitungskonstanten  ' nπ (2 . (5.56) kzn = k 2 − a Da der Hohlleiter nun in der Ebene z = 2h geschlossen wurde, kommt es (s) dort zu Reflexionen. Dies berücksichtigen wir durch ein sekundäres Feld Ey , welches in der Ebene z = 0 verschwinden muss ∞ ˆ  IZ nπx k nπc sin sin kzn z . Dn sin Ey(s) (x, z) = −2j a n=1 kzn a a Die Konstanten Dn werden dann so bestimmt, dass das resultierende elektrische Feld auch in der Ebene z = 2h verschwindet (p)

Ey2 (x, 2h) = Ey2 (x, 2h) + Ey(s) (x, 2h) = 0 Dn sin 2kzn h + sin kzn h e−j2kzn h = 0

→

Dn = −

e−j2kzn h . 2 cos kzn h

Hierbei wurde sin 2x = 2 sin x cos x verwendet. Damit ergibt sich im Bereich 1, auf den wir uns aus Symmetriegründen beschränken können, das elektromagnetische Feld Ey1 (x, z) = −j

∞ ˆ  IZ nπx sin kzn z k nπc sin sin a n=1 kzn a a cos kzn h

∞ Iˆ  nπx cos kzn z 1 ∂Ey1 nπc Hx1 (x, z) = =− sin . sin jωµ0 ∂z a n=1 a a cos kzn h

(5.57)

b) Das elektromagnetische Feld der Grundschwingung in einem Rechteckresonator ohne Anregung9 lautet 9

siehe [Henke], Zeitlich beliebig veränderliche Felder II

Aufgabe W14∗

 πz jωr t πx sin e Ey (x, z, t) = Re A sin a 2h   A π πx πz jωr t Hx (x, z, t) = Re sin cos e jωµ0 2h a 2h

237

(5.58)

mit der wegen des verlustbehafteten Dielektrikums komplexen Resonanzfrequenz ωr , die sich aus der Beziehung ' π ( 2 ' π (2 kr2 = ωr2 εk µ0 = + (5.59) a 2h ergibt. Liegt also die Frequenz des Stromfadens nahe der Resonanzfrequenz, so wird im Wesentlichen nur die Grundschwingung angeregt. Um die Amplitude A zu bestimmen, bilden wir zunächst die Rotation der zweiten Maxwellschen Gleichung ∇ × (∇ × E) = −jωµ0 ∇ × H = −jωµ0 (J + jωεk E) . Die eingeprägte Stromdichte J ist nur an der Stelle x = c und z = h vorhanden und mit ∇ × (∇ × E) = ∇(∇ · E) − ∇2 E erhält man die inhomogene Wellengleichung ∇2 Ey + k 2 Ey = jωµ0 Iˆ δ(x − c) δ(z − h) ,

k 2 = ω 2 εk µ0

und nach Einsetzen von Ey πz πx (5.60) sin ≈ jωµ0 Iˆ δ(x − c) δ(z − h) . (k 2 − kr2 )A sin a 2h Diese Gleichung kann natürlich niemals exakt erfüllt sein, denn wir haben ja näherungsweise (5.58) als elektrisches Feld verwendet. Dieses erfüllt aber die homogene und nicht die inhomogene Wellengleichung. Speziell in der unmittelbaren Umgebung des Linienstromes sind daher Abweichungen zu erwarten. Um nun die Konstante A zu eliminieren, gehen wir so wie bei der Orthogonalentwicklung vor und multiplizieren (5.60) mit sin(πx/a) sin(πz/2h) und integrieren über das Resonatorvolumen. Mit der Ausblendeigenschaft der Diracschen Deltafunktion ergibt sich dann für die Amplitude A ≈ jωµ0

2Iˆ 1 πc sin 2 2 ah k − kr a

und für das Magnetfeld die Näherung Hx (x, z) ≈

Iˆ π πx πz ω2 πc sin cos . sin 2 2 2 a (kh) ω − ωr a a 2h

(5.61)

Es zeigt sich nach Abb. 5.25 eine gute Übereinstimmung mit dem exakten Resultat (5.57), wenn man nicht zu nahe an die Anregung heran geht und die Frequenz dicht bei der Resonanzfrequenz liegt. Die Approximation kann man auch aus (5.57) direkt ableiten. Offenbar wird Hx1 für kzn h = (2p − 1)π/2 mit p = 1, 2, 3, . . . unendlich. Dies bestimmt die Resonanzfrequenzen des Resonators. Bei kleiner Dämpfung wird in der

238

5. Beliebig zeitveränderliche Felder

Umgebung der ersten Resonanzfrequenz ωr im Wesentlichen nur das Glied n = 1 in der Lösungssumme beitragen, d.h. Iˆ 1 nπc πx πz Hx1 (x, z) ≈ sin sin cos . (5.62) a cos kz1 h a a 2h Hier wurde, außer in der sonst unendlich werdenden Kosinusfunktion im Nenner, kz1 ≈ π/2 eingesetzt. Aus (5.56) und (5.59) folgt außerdem für ω → ωr , d.h. k → kr ' π (2 ' π (2 2 kz1 = k2 − = k 2 − kr2 + 2h ' (a 2 π 1 π kz1 h = + (k 2 − kr2 )h2 ≈ + h2 (k 2 − kr2 ) 2 2 π und damit h2 cos kz1 h ≈ − (k 2 − kr2 ) für ω → ωr . π Setzt man dies in (5.62) ein, erhält man wieder die Näherung (5.61). 23.9

118.5

↑ Hx a Iˆ

↑ Hx a Iˆ 0

0

1.38 GHz −23.9 71.13

0

5

z/cm −→

1.395 GHz −118.5 10 0 20.8

z/cm −→

10

5

z/cm −→

10

↑ Hx a Iˆ

↑ Hx a Iˆ 0

0

1.405 GHz −71.13

5

0

1.42 GHz 5

z/cm −→

10

−20.8

0

Abb. 5.25. Magnetische Feldstärke zum Zeitpunkt t = 0 in der Ebene x = c für a = 10 cm und c = h = 5 cm. Die gestrichelten Kurven zeigen den angenäherten Verlauf (5.61). Die Resonanzfrequenz beträgt ca. 1.4 GHz

Abschließend soll noch einmal darauf hingewiesen werden, dass sowohl die Wellenzahl k als auch die Resonanzkreisfrequenz ωr komplex sind. Wegen tan δ 1 gelten die Näherungen

Aufgabe W15∗



1 − j tan δ ≈ 1 − j

1 tan δ 2

239

1 1 √ ≈ 1 + j tan δ 2 1 − j tan δ

,

und damit

  ω√ 1 √ k = ω εk µ0 ≈ εr 1 − j tan δ c0 2    1 c0 1 1 fr ≈ √ + 2 1 + j tan δ . 2 εr 4h2 a 2

Für das in Abb. 5.25 gewählte Beispiel a = 10 cm und h = 5 cm liegt der Realteil der komplexen Frequenz bei 1.39876 GHz. W15∗ Dielektrischer Resonator Innerhalb einer verlustfreien Parallelplattenleitung mit dem Plattenabstand d sei der Bereich |z| ≤ a mit Dielektrikum εr = 1 gefüllt, Abb. 5.26. Die Anordnung stellt einen dielektrischen Resonator für parallel polarisierte elektromagnetische Felder (x-unabhängige TM-Felder) dar. Gesucht ist die Gleichung zur Bestimmung der Resonanzfrequenzen. y κ→∞

d

ε0

1

ε

ε0 z

κ→∞

2a

2 Abb. 5.26. Parallelplattenleitung mit dielektrischem Stoffeinsatz und Raumaufteilung

Lösungshinweis: Man stelle sich das Feld im Dielektrikum aus vor-und rücklaufenden Wellen vor, die sich zu einer stehenden Welle überlagern. Damit die Energie in diesem Bereich auch „gefangen“ bleibt, muss die Frequenz unterhalb der cut-off Frequenz der homogenen Parallelplattenleitung liegen, so dass außerhalb des Dielektrikums exponentiell abklingende Felder entstehen. Lösung: Das magnetische Feld einer senkrecht polarisierten Welle weist nur eine x-Komponente auf, deren Phasor die Helmholtz-Gleichung (5.4) H = Hx (y, z) ex

,

∂ 2 Hx ∂ 2 Hx + = −k 2 Hx ∂y 2 ∂z 2

mit k 2 = ω 2 εµ erfüllt. Wie schon bei der Betrachtung parallel polarisierter Wellen in Aufg. W9 wird die Helmholtz-Gleichung mit dem BernoulliAnsatz Hx = Y (y) · Z(z) mit Z(z) = exp(∓jkz z) gelöst. Wir sind aber diesmal an resonanten Feldern und nicht an ausbreitungsfähigen interessiert und

240

5. Beliebig zeitveränderliche Felder

machen daher, wie im Lösungshinweis angedeutet, einen Stehwellenansatz in Raum 1 und einen nach außen hin abklingenden Feldansatz im Raum 2   nπy cos(kz1 z)/ cos(kz1 a) Hx1 (y, z) = A cos d sin(kz1 z)/ sin(kz1 a) (5.63) nπy −jkz2 |z−a| Hx2 (y, z) = B cos e d mit den Wellenzahlen   ' nπ (2 ' nπ (2 2 kz1 = εr k2 − , kz2 = k22 − (5.64) d d 2 2 Re {kz2 } = 0 , Im {kz2 } < 0 , k2 = ω ε0 µ0 . Die Ansätze garantieren das notwendige Verschwinden des tangentialen elektrischen Feldes Ez ∼ ∂Hx /∂y auf den leitenden Wänden y = 0 und y = d. Außerdem wurden bereits die beiden möglichen Symmetrien bezüglich der Ebene z = 0 mit eingearbeitet. So beschreibt der obere Term in den geschweiften Klammern eine gerade und der untere Term eine ungerade Verteilung des magnetischen Feldes. Die Normierung auf cos(kz1 a) bzw. sin(kz1 a) ist zwar an dieser Stelle nicht notwendig, erleichtert aber die spätere Erfüllung der Stetigkeitsbedingungen. Die noch benötigte y-Komponente des elektrischen Feldes errechnet sich unter Verwendung von ∇ × H = jωεE

→

Ey =

zu



1 ∂Hx jωε ∂z

− sin(kz1 z)/ cos(kz1 a)

Ey1

kz1 nπy = A cos jωε0 εr d

Ey2

−jkz2 nπy −jkz2 |z−a| e = B cos . jωε0 d

cos(kz1 z)/ sin(kz1 a)

 (5.65)

An der Trennfläche z = a müssen die Tangentialkomponenten von H und E stetig sein, d.h. es muss gelten Hx1 (y, a) = Hx2 (y, a)

,

Ey1 (y, a) = Ey2 (y, a) .

Aufgrund der vorgenommenen Normierung wird das Magnetfeld (5.63) durch die Wahl A = B stetig, so dass das elektrische Feld (5.65) bei Erfüllung der transzendenten Eigenwertgleichung   kz1 − tan(kz1 a) = −jkz2 (5.66) εr cot(kz1 a) stetig wird. Da kz2 negativ imaginär sein muss, um ein „Herauslecken“ der Wellen aus dem Resonator zu vermeiden, lässt sich (5.66) nur mit reellen Werten von kz1 erfüllen. Führt man noch den frequenzproportionalen Parameter

Aufgabe W15∗

λ=

k2 d nπ

mit

241

1 √ a ∂y 2 ∂z 2 c r

Sie wird wie üblich mit dem Bernoulli-Ansatz Hx = Y (y) · Z(z) gelöst. Die feldanregende Flächenladung (5.68) erzwingt dabei die z-Abhängigkeit Z(z) = exp(−jkz z). Somit können wir im oberen Halbraum y ≥ 0, auf den man sich aus Symmetriegründen beschränken kann, den Lösungsansatz  (A cos ky1 y + B sin ky1 y) für 0 < y ≤ a Hx (y, z) = e−jkz z  C e−jky2 (y−a) für y ≥ a mit

& ω 1 − c2 /v02 = j c2 /v02 − 1 c   √  εr − c2 /v02 für v0 > c/ εr  ω = εr k 2 − kz2 =  c −j c2 /v 2 − ε für v < c/√ε r 0 r 0

ky1 = ky2



k 2 − kz2 =

ω c

&

(5.69)

aufstellen. Der Ansatz garantiert, dass das Magnetfeld im Dielektrikum für √ v0 < c/ εr mit steigenden Entfernungen y abklingt. Mit Hilfe der Bedingung (3.15) kann man zunächst die Konstante A bestimmen −2 Hx (y = +0, z) = JF (z)

→

A = −v0 qF 0 /2 .

In der Ebene y = a ist die Stetigkeit der Tangentialkomponenten von E und H zu fordern Hx (y = a − 0) = Hx (y = a + 0) Ez (y = a − 0) = Ez (y = a + 0)

→

  ∂Hx  1 ∂Hx  = , ∂y y=a−0 εr ∂y y=a+0

Aufgabe W16∗

245

woraus sich die Bestimmungsgleichungen A cos ky1 a + B sin ky1 a = C ky1 (−A sin ky1 a + B cos ky1 a) = −j ky2

1 C εr

ergeben. Nach Auflösen erhält man dann für B und C die Ausdrücke v0 qF 0 ky1 εr sin ky1 a − jky2 cos ky1 a 2 ky1 εr cos ky1 a + jky2 sin ky1 a ky1 εr v0 q F 0 . C=− 2 ky1 εr cos ky1 a + jky2 sin ky1 a

B=−

Damit ist das Magnetfeld vollständig bekannt und wir können, wie in Aufg. W15∗ , die Verschiebungsstromlinien über die Gleichung , Re Hx (y, z) e jωt = const. berechnen, siehe Abb. 5.31. √ v0 = 0.9 c/ εr

√ v0 = c/ εr

√ v0 = 1.1 c/ εr

Abb. 5.31. Verlauf der Verschiebungsstromlinien für verschiedene Geschwindigkeiten der Flächenladung und εr = 10, kz a = 1

√ b) In Abb. 5.31 erkennt man, wie sich für v0 > c/ εr eine ebene Welle im Dielektrikum unter einem gewissen Winkel ϑ zur Teilchentrajektorie ausbreitet. Dann nämlich wird ky2 in (5.69) reell, so dass ein Energietransport auch in y-Richtung stattfindet. Bezeichnet man mit n den Normalenvektor auf einer Wellenfront, dann gilt für den Winkel ϑ zwischen der Wellennormalen und der z-Achse

246

5. Beliebig zeitveränderliche Felder

√ c/ εr ky2 ey + kz ez & cos ϑ = n · ez = · ez = . v0 2 + k2 ky2 z

(5.70)

Der in Abb. 5.30a eingezeichnete Cerenkov-Winkel wäre dann π/2 − ϑ. c) Wir betrachten nun anstelle der Flächenladung eine bewegte Linienladung qL im homogenen Gesamtraum mit der relativen Dielektrizitätskonstanten εr . In diesem Fall wird sicherlich keine monochromatische Welle abgestrahlt, weshalb sich eine Fourier-Transformation anbietet. Wir gehen aus von der Wellengleichung (5.3) ∂ 2 Hx ∂ 2 Hx ∂ 2 Hx + = ε ε µ . 0 r 0 ∂y 2 ∂z 2 ∂t2 Durch Anwendung der Fourier-Transformation ˜ x (y, z, ω) = H

+∞  Hx (y, z, t) e−jωt dt

(5.71a)

−∞

1 Hx (x, z, t) = 2π

+∞  ˜ x (y, z, ω) e+jωt dω H

(5.71b)

−∞

geht die Wellengleichung über in die Helmholtz-Gleichung ˜x ˜x ∂2H ∂2H ˜x , + = −ω 2 ε0 εr µ0 H 2 ∂y ∂z 2 für die wir, analog zum Aufgabenteil a), den Ansatz ω2 c2 machen können. Der Linienladung kann mit Hilfe der Diracschen Deltafunktion die Flächenladungsdichte ˜ x (y, z, ω) = A e−j(ky y+kz z) H

mit

ky2 + kz2 = εr

qF (z, t) = qL δ(z − v0 t) zugeordnet werden und wegen δ(z − v0 t) ◦—•

1 −jkz z e v0

mit

kz =

ω v0

stellt sich im Frequenzbereich die Flächenstromdichte J˜F (z, ω) = qL e−jkz z ein. Auch für die transformierten Feldgrößen gilt natürlich (3.15) ˜ x (y = +0, z, ω) = J˜F (z, ω) −2 H

→

A = −qL /2

und das zeitabhängige Magnetfeld lautet nach (5.71b)

Aufgabe W16∗

qL Hx (y, z, t) = − 4π mit

+∞  e jωt−jky y−jωz/v0 dω

247

(5.72)

−∞

  2 2 1  ω εr − c /v0 ky =  c −j |ω| c2 /v 2 − ε r 0

√ für v0 > c/ εr √ für v0 < c/ εr .

Man beachte insbesondere die Betragszeichen bei der Kreisfrequenz ω, die √ notwendig werden, damit auch bei negativen Frequenzen für v0 < c/ εr ein in positive y-Richtung abklingendes Feld entsteht. √ Wir beginnen mit der Lösung des Integrals (5.72) für v0 > c/ εr . Da sich in diesem Fall die Frequenz ω im Argument der Exponentialfunktion ausklammern lässt, folgt mit der Integraldarstellung der Diracschen Deltafunktion +∞    “ ” √ & jω t−z/v0 − εr −c2 /v02 y/c e dω = 2πδ t − z/v0 − εr − c2 /v02 y/c . −∞

Für das Feld ergibt sich dann mit (5.70), dem Ortsvektor r = y ey + z ez sowie der Wellennormalen n = sin ϑ ey + cos ϑ ez die Darstellung   √ n·r qL Hx (y, z, t) = − δ t − √ (5.73) für v0 > c/ εr . 2 c/ εr (5.73) ist die mathematische Formulierung eines Dirac-förmigen, ebenen Wellenpulses, der sich unter dem in (5.70) festgelegten Winkel ϑ ausbreitet. √ Im Falle v0 < c/ εr muss das Integral (5.72) wegen der Betragszeichen aufgespalten werden +∞ +∞   √2 2 e jω(t−z/v0 )−|ω| c /v0 −εr y/c dω = e jωτ −|ω|η dω = −∞

−∞

0 =

+∞  jωτ +ωη e dω + e jωτ −ωη dω =

−∞

0

1 2η 1 + = 2 η + jτ η − jτ η + τ2

 und mit τ = ω(t − z/v0 ) und η = c2 /v02 − εr y/c lässt sich das magnetische Feld in der Form √ y γqL v0 für v0 < c/ εr Hx (y, z, t) = − 2π y 2 + γ 2 (z − v0 t)2 schreiben, wobei zur Abkürzung der relativistische Faktor γ=

1 1−

β2

eingeführt wurde.

mit

β=

v0 √ c/ εr

248

5. Beliebig zeitveränderliche Felder

W17 Komplexer Energiesatz Man zeige mit Hilfe des komplexen Energiesatzes, dass in einem verlustfreien Hohlraum mit perfekt leitender Bewandung die zeitlichen Mittelwerte der elektrischen bzw. magnetischen Energien einer elektromagnetischen Schwingung gleich sind. Lösung: Im komplexen Energiesatz (5.11)


1 (5.74) (E × H ∗ ) · dO + P V = 2jω W e − W m O 2 verschwindet zunächst für den zu betrachtenden verlustfreien Hohlraum der Term P V . Das Oberflächenintegral über den komplexen Poyntingschen Vektor lässt sich mit dO = n dO und zyklischem Vertauschen im Spatprodukt umformen zu

1 1 (E × H ∗ ) · dO = H ∗ · (n × E) dO . 2 2 O O Da aber die tangentiale Komponente n × E auf der gesamten ideal leitenden Oberfläche des Resonators verschwindet und die zeitlichen Mittelwerte der Feldenergien stets positiv sind, folgt damit aus (5.74) W m = W e , q.e.d.. W18 Innerer Wechselstromwiderstand eines Leiters Beweise, dass der innere Wechselstromwiderstand eines massiven Leiters aus dem komplexen Poyntingschen Vektor in der Form
1 Zi = Ri + j ω Li = − 2 S k · dO Ieff O durch Integration über die Leiteroberfläche O berechnet werden kann. Lösung: In einem guten Leiter können bei technischen Frequenzen die Verschiebungströme gegenüber den Leitungsströmen vernachlässigt werden jωD J

→

jωwe pV .

Dann wird aus dem komplexen Energiesatz (5.11)
S k · dO + P V = −2jω W m .

(5.75)

O

Fließt durch einen Massivleiter ein Wechselstrom mit dem Effektivwert Ieff , dann lässt sich der Widerstand bzw. die innere Induktivität analog zu den für Gleichstrom geltenden Definitionen (2.10) und (3.18) aus dem zeitlichen Mittelwert der Verlustleistung bzw. der magnetischen Energie berechnen Ri =

PV 2 Ieff

,

Li =

2Wm . 2 Ieff

(5.76)

Nach Einsetzen in (5.75) ergibt sich dann der in der Aufgabenstellung gegebene innere Wechselstromwiderstand Zi .

Ergänzungsaufgaben

249

Ergänzungsaufgaben Aufgabe W19: Eine Gleichspannungsquelle speist über ein sehr langes Koaxialkabel (Abr r3 r2 messungen siehe Bild) den Widerstand R. Be- 1 stimme den Poyntingschen Vektor in einer zur Kabelachse senkrechten Ebene sowie den Energiefluss durch diese Ebene bei Annahme eines idealen Innen- und Außenleiters. Randeffekte am Kabelende sind dabei zu vernachlässigen. Lösung:

S = ez

1 1 U02 R ln(r2 /r1 ) 2π2

l

R U0 Z

,

S · dF =

Energiefluss = F

Aufgabe W20: Eine senkrecht polarisierte ebene Welle mit dem Einfallswinkel α

y

E

E(r, t) = E0 cos(ωt − k · r) ex √ k = ω ε0 µ0

k

α

wird an einem ideal leitenden Halbraum reflektiert. Zu bestimmen ist der zeitliche Mittelwert der Energieflussdichte.

Lösung:

S = Re {S k } = ez

z κ→∞

2E02 sin2 (kx cos α) sin α Z

Aufgabe W21: Eine harmonische, ebene Welle trifft gemäß Abbildung auf eine dielektrische Schicht der Dicke a auf, welche auf der rechten Seite (Ebene z = 0) mit einer perfekt leitenden Folie belegt ist. Das Magnetfeld der einfallenden Welle sei

r ,

Z=

H

µ0 ε0

κ→∞

E S

H (z, t) = H0 cos(ωt − kz) ey √ k = ω ε0 µ0 . Berechne die Amplitude des magnetischen Feldes auf der leitenden Folie.

Lösung:

U02 R

√ √ 2H0 εr cos(ka εr ) |H(z = 0)| = q √ √ εr cos2 (ka εr ) + sin2 (ka εr )

ε0 µ0

a

ε0 εr µ0

250

5. Beliebig zeitveränderliche Felder

Aufgabe W22: Gegeben ist ein z-gerichteter Hertzscher Dipol der Länge ∆s und mit dem Strom Iˆ cos ωt, der sich in der Ebene z = 0 im Abstand a vor der perfekt leitend ausgeführten Ebene y = 0 befindet. Berechne mit Hilfe der Spiegelungsmethode den zeitlichen Mittelwert der Energieflussdichte im Fernfeld in der Ebene z = 0.

y

P ˆ I∆s



a

ϕ x κ→∞

Lösung:

1 S = Re {S k } = 2

r

µ0 ε0

ˆ Ik∆s 2π

Aufgabe W23: Eine Parallelplattenleitung ist für z > 0 mit Dielektrikum gefüllt. Von z = −∞ her falle eine TEM-Welle ein. Für welches εr wird die Hälfte der Leistung der einfallenden Welle ins Dielektrikum transmittiert? √ Lösung: εr = 17 + 12 2 = 33.97

Aufgabe W24: Gegeben ist eine ideale Parallelplattenleitung mit dem Plattenabstand d. Bestimme die Resonanzfrequenzen senkrecht polarisierter Felder, wenn in den Ebenen z = −l/2 und z = l/2 der Parallelplattenleitung zusätzlich ideal leitende Platten eingeführt werden, so dass ein Resonator entsteht. Lösung:

fnm

r c “ n ”2 “ m ”2 = + 2 d l

,

!2 sin2 (ka sin ϕ) e


,

√ k = ω ε0 µ0

y

d

µ0 , ε0

µ0 , ε0 εr

x

z

y

d

µ0 , ε0

z

x

l/2 n, m = 1, 2, 3 . . .

l/2 ,

c = 3 · 108 m/s

Aufgabe W25: Ein ideal leitender Halby µ0 , ε0 raum ist mit einer dielektrischen Schicht der Dicke d belegt. Gesucht ist die räumliche Verteilung des Phasors der magnetiµ0 , ε0 εr z d schen Feldstärke einer von x unabhängigen x E-Welle, die sich √ mit der Phasengeschwindigkeit vph = c/ εr in z-Richtung ausbreitet. c ist dabei die Vakuumlichtgeschwindigkeit. ( 1 , 0≤y≤d √ ω −j εr kz Lösung: H (y, z) = ex H0 e , k= √ −k εr −1(y−d) c e , d≤y

Ergänzungsaufgaben

Aufgabe W26: Gegeben ist ein zur Hälfte mit Dielektrikum gefüllter Rechteckhohlleiter der Kantenlängen 2a und b. Es ist die Gleichung zur Bestimmung der Ausbreitungskonstanten kz für die Hm0 -Wellen aufzustellen.

y

b µ0 , ε0 εr 0

Lösung:

tan

`√ √

εr k2 − kz2 a

εr k2 − kz2

´ =−

tan

`√ √

k2 − kz2 a

a

2a

,

k2 = ω 2 ε0 µ0

k2 − kz2

J F (x, t) y

Berechne die vom Flächenstrom hervorgerufene elektrische Feldstärke im Rechteckhohlleiter.

E(x, z) = −ey

JF 0 ωµ0 πx −jkz |z| sin e 2 kz a

E0 ka mπz J1 (j0n ) cos Z j0n l

z

r ,

ω 2 ε0 µ0 −

kz =

π2 a2

z a

Berechne die Wandströme auf der Mantelfläche des Resonators für den Fall zylindersymmetrischer TM-Schwingungsmoden. Das elektrische Feld auf der Zylinderachse soll dabei eine maximale Schwingungsamplitude E0 haben.

JF z = −j

x b

a

Aufgabe W28: Ein Rundhohlleiter mit Radius a und der Länge l sei an seinen Enden mit perfekt leitenden Wänden abgeschlossen und bildet einen Hohlraumresonator.

Lösung:

x

´

Aufgabe W27: Gegeben ist ein unendlich langer Rechteckhohlleiter mit den Kantenlängen a und b. In der Ebene z = 0 befinde sich zusätzlich ein Flächenstrom J F (x, t) = ey JF 0 sin(πx/a) cos ωt.

Lösung:

251

z=l

µ, ε

z=0 ,

√ k = ω εµ

r ,

Z=

µ ε

Literaturverzeichnis

[Henke] Henke, H.: Elektromagnetische Felder, Theorie und Anwendung. Springer, Berlin, 2007. [Abramowitz] Abramowitz, M., Stegun, I. A.: Handbook of Mathematical Functions. Dover Publications, Inc., New York, 1970. [Bronstein] Bronstein, I. N., Semendjajew, K. A.: Taschenbuch der Mathematik. Verlag Harri Deutsch, 1978. [Gradshteyn] Gradshteyn, I. S., Ryzhik I. M.: Table of Integrals, Series and Products. Academic Press, New York, 1965. [Gröbner] Gröbner, W., Hofreiter, N.: Integraltafel. Springer, 1965. [Philippow] Philippow, E.: Taschenbuch Elektrotechnik, Band 1. VEB Verlag Technik Berlin, 1981. [www-tet] Homepage des Fachgebietes Theoretische Elektrotechnik an der TU Berlin: http://www-tet.ee.tu-berlin.de/ (die in einigen Aufgaben angesprochenen animierten Feldbilder findet man unter dem Eintrag „Animationen“)

Sachverzeichnis

Abschirmung – durch leitende Kugelschalen, 170 – einer HF-Spule, 174 Absorption einer Welle, 208 Äquipotentialflächen – einer Doppelleitung im elektrolytischen Trog, 81 – einer Linienladung über einem leitenden Halbraum, 39 – einer Ringladung über einer dielektrischen Halbkugel, 58 – eines geladenen Hohlzylinders, 62 – in einer elektrostatischen Linse, 48, 50 – zweier Linienladungen, 21 Ampèresches Gesetz, 95, 100 Anpassung von Leitungen, 200 Apollonische Kreise, 22 Asynchronmaschine, 189 Ausblendeigenschaft, 237 Bündelleiter, 155 Bandleitung, 118 Bernoulli, Produktansatz von, 41, 46, 53 Bessel-Funktion, 46 – Integraldarstellung, 220 – Orthogonalitätsrelation, 60 Besselsche Differentialgleichung, 60 – modifizierte, 134 Betriebskapazität, 34 Biot-Savartsches Gesetz, 96, 104 Broadside-Array, 215 Cerenkov-Strahlung, 242 Coulomb-Kraft, 1, 7 Dielektrischer Halbraum, 30 Dielektrischer Resonator, 239 Dielektrischer Zylinder, 28 – Spiegelung, 29 Dielektrizitätskonstante, 3

– komplexe, 196, 235 Differentiationssatz der LaplaceTransformation, 162 Diffusion – im leitenden Block, 161, 164 – in zwei leitenden Platten, 165 Diffusionsgleichung, 144 – in kartesischen Koordinaten, 164, 166 Diffusionswellen, 206 Dipol – elektrischer, 2 – – lineare Verteilung, 15 – – vor einer leitenden Kugel, 36 – Hertzscher, 199 – magnetischer, 96, 107 Dipolmoment – eines magnetischen Dipolstrahlers, 221 – elektrisches, 2 – magnetisches, 104 Diracsche Deltafunktion, 55 – Ausblendeigenschaft, 237 – Integraldarstellung, 247 Doppelleitung, 113 – über einem permeablen Halbraum, 121 – über einer leitenden Platte, 177 – – Levitation, 181 – bandförmige, 118 Doppelschicht – elektrische, 17 – magnetische, 125 Drehmoment – auf eine Doppelleitung, 150 – auf eine Leiterschleife, 101, 103 – in einer elektrischen Maschine, 131 E-Welle, 199 – im Koaxialkabel, 230 – in der Parallelplattenleitung, 239 Ebene Welle, 197

256

Sachverzeichnis

– – – –

Absorption, 208 elliptisch polarisierte, 202 gedämpfte, 202 Reflexion am geschichteten Medium, 206 Eigenwelle, 222 – im Koaxialkabel, 231 Eigenwert – einer Matrix, 205 Eigenwertgleichung – eines dielektrischen Resonators, 240 Elektrische Doppelschicht, 17 Elektrische Energie, 4 Elektrische Energiedichte, 197 Elektrische Feldstärke, 1 Elektrische Maschine, 125 – Drehmoment, 131 – Induktivitäten, 127 Elektrische Verlustleistung, 71 Elektrische Verschiebung, 3 Elektrischer Dipol, 2 – vor einer leitenden Kugel, 36 Elektrischer Fluss, 5 Elektrischer Liniendipol, 16 Elektrischer Strom, 69 Elektrolytischer Trog, 78 Elektrostatische Felder, 1 – Grundgleichungen, 1 Elektrostatische Linse, 45, 49 Elliptische Polarisation, 202 End-Fire-Array, 215 Energie – einer kugelförmigen Raumladung, 32 – elektrische, 4 – magnetische, 99 Energiedichte, 197 Energiesatz, 196 – komplexer, 197, 248 Erdseil, 18 Faradaysches Induktionsgesetz, 143 – differentielle Form, 144 Feldlinien, 5, 42, 135, 224 – der E11 -Welle im Koaxialkabel, 230 – einer über einer leitenden Platte bewegten Doppelleitung, 185 – einer bewegten Flächenladung, 245 – einer Doppelleitung über einem permeablen Halbraum, 124 – einer elektrischen Doppelschicht, 18 – einer Linienladung über einem leitenden Halbraum, 39 – einer Linienladung vor einem dielektrischen Zylinder, 30

– einer permeablen Hohlkugel im homogenen Feld, 138 – einer polarisierten Platte, 27 – eines Bündelleiters, 158 – eines magnetischen Wanderfeldes, 136 – eines periodisch magnetisierten Bandes, 155 – eines polarisierten Zylinders, 53 – eines Stromfadens im Rechteckhohlleiter, 229 – im dielektrischen Resonator, 242 – in einer elektrischen Maschine, 132 – in einer elektrostatischen Linse, 50 – in einer Parallelplattenleitung, 225 – in einer Wirbelstromkanone, 190 Feldstärke – elektrische, 1 – magnetische, 97 Fernfeldnäherung, 198, 211, 213, 216, 219 Flächenladung, 2 – kreisförmige, 9 Flächenstromdichte, 96 Fluss – elektrischer, 5 – magnetischer, 98 Fourier-Bessel-Entwicklung, 50 Fourier-Entwicklung, 47, 133, 164 Fourier-Transformation, 144, 196, 198, 246 Gaußsches Gesetz – der Elektrostatik, 1, 10, 62 Gegeninduktivität, 99 – zwischen einer Kreisschleife und einer Doppelleitung, 113 Geometrische Reihe, 214 Gewichtsfunktion, 50 Gruppengeschwindigkeit, 205 Gruppenstrahler – mit λ/2-Dipolen, 216 – mit Hertzschen Dipolen, 213 H10 -Welle, 227 H-Welle, 199 – im Rechteckhohlleiter, 226 – in der Parallelplattenleitung, 221 Hauptachsentransformation, 204 Helmholtz-Gleichung, 144, 196, 200 – in kartesischen Koordinaten, 221, 226, 239, 244 – in Polarkoordinaten, 230, 234

Sachverzeichnis – in Zylinderkoordinaten, 159 Hertzscher Dipol, 199 – Phased Array, 213 – vor einer leitenden Ecke, 211 HF-Spule – geschirmte, 174 – – Zusatzimpedanz, 175 Hohlleiter, 199 – koaxialer, 229 – rechteckiger, 226 – runder, 233 Induktion – durch Rotation, 149 – in einer bewegten Leiterschleife, 147 Induktionsgesetz, 143 – differentielle Form, 144 Induktionsofen, 158 Induktivität, 99 – einer Maschinenwicklung, 127 Kapazität, 5 – einer Stabantenne, 38 – zwischen zylindrischen Leitern, 22 Kapazitätskoeffizienten, 5, 34 Kegelschnitt, 203 Kloss’sche Formel, 189 Koaxialkabel, 229 Komplexe Dielektrizitätskonstante, 196, 235 Komplexer Energiesatz, 197, 248 Komplexer Poyntingscher Vektor, 197, 248 Komplexer Wellenwiderstand, 203 Kontinuitätsgleichung, 69 Kraft – an dielektrischen Grenzflächen, 6 – an leitenden Oberflächen, 6, 35 – an Oberflächen hochpermeabler Körper, 100 – an permeablen Grenzflächen, 100 – auf eine bewegte Doppelleitung, 184 – auf einen elektrischen Dipol, 38 – auf einen magnetischen Dipol, 109 – im elektrischen Feld, 6 – im magnetischen Feld, 100 Kronecker-Symbol, 42, 83 Kugelerder, 70, 72 L’ Hospital, Regel von, 52, 163 Ladungsschwerpunkt, 12 Laplace-Gleichung, 3, 70, 97 – in kartesischen Koordinaten, 41, 79 – in Kugelkoordinaten, 55, 88, 137

257

– in Polarkoordinaten, 53, 82, 126, 232 – in Zylinderkoordinaten, 46 Laplace-Transformation, 162, 179 Legendre-Polynome, 55, 86, 89 – Orthogonalitätsrelation, 56, 89 Leiterschleife – Dipolmoment einer, 104 – kreisförmige, 113 – quadratische, 101 Leitfähigkeit, 69 Leitungswellenwiderstand, 201 Lenzsche Regel, 123, 147, 173, 179, 189 Levitation, 181 Liniendipol – elektrischer, 16 Linienladung, 2, 38 – ringförmige, 54 – unendlich lange, 2, 8, 29, 30 Linienstrom, 96 Lorentz-Kraft, 95 Machscher Kegel, 243 Magnetband, 150, 153 Magnetische Doppelschicht, 125 Magnetische Energiedichte, 197 Magnetische Feldstärke, 97 Magnetische Induktion, 95 Magnetischer Dipol, 96 – vor einer Spule, 107 Magnetischer Dipolstrahler, 221 Magnetisierter Zylinder, 109 Magnetisierung, 97 Magnetisierungsflächenstromdichte, 97, 110 Magnetisierungsstromdichte, 97, 110 Magnetostatische Felder, 95 – Grundgleichungen, 95 Materie – im elektrischen Feld, 3 – im magnetischen Feld, 97 – leitende, 3 – magnetisierbare, 97 – polarisierbare, 3 Maxwellsche Gleichungen, 195 Mehrleitersysteme, 5 Monomode-Betrieb, 227 Neumann-Funktion, 46 Newton-Verfahren, 241 Newtonsche Bewegungsgleichung, 47 Oberflächenwiderstand, 161 Ohmscher Widerstand, 71 – einer leitenden Kreisscheibe, 82

258

Sachverzeichnis

Ohmsches Gesetz, 69 – für bewegte Leiter, 144, 149, 187 Orthogonalitätsrelation – der Bessel-Funktionen, 60 – der Legendre-Polynome, 56, 89 Parallelplattenleitung, 200 – mit Dielektrikum, 223, 239 – mit Wandverlusten, 221 Permanentmagnet, 109 Permeabilitätskonstante, 97 Permeable Hohlkugel, 136 Phased Array, 213 Phasengeschwindigkeit, 205 Phasor, 145, 196 Poisson-Gleichung, 3, 97 – in kartesischen Koordinaten, 153 – in Zylinderkoordinaten, 58 Polarisation – einer Welle – – elliptische, 202 – – parallele, 239 – – senkrechte, 221, 223 – elektrische, 3 Polarisationsflächenladung, 3, 24, 54 Polarisationsraumladung, 3 Polarisierte Platte, 24 Polarisierter Zylinder, 53 Potential – elektrostatisches, 1 – retardiertes, 198 – skalares, magnetisches, 98, 137, 151 Potentialkoeffizienten, 34 Power-Loss Methode, 221 Poyntingscher Vektor, 196 – komplexer, 197, 248 Produktansatz von Bernoulli, 41, 46, 53 Quasistationäre Felder, 143 – Grundlegende Gleichungen, 143 Randwertproblem erster Art – in kartesischen Koordinaten, 41 – in Zylinderkoordinaten, 46 Randwertproblem zweiter Art – in kartesischen Koordinaten, 79 – in Kugelkoordinaten, 86, 88 – in Polarkoordinaten, 82 Raumladung, 2 – halbkugelförmige, 12 – kugelförmige, 8, 11, 32 – zylindrische, 59 Rechteckhohlleiter, 226 Rechteckresonator, 235

– Grundschwingung, 236 Reflexion – ebener Wellen, 206 Residuensatz, 31, 51, 163 Resonator – dielektrischer, 239 – quaderförmiger, 235 Retardierte Potentiale, 198 Rundhohlleiter, 233 Runge-Kutta-Verfahren, 128 Schirmfaktor – einer leitenden Kugelschale, 173, 175 – eines leitenden Rechteckzylinders, 177 Schlupf, 187 Schrittspannung, 72 Selbstinduktivität, 99 – einer Bandleitung, 119, 120 – einer langen Spule, 117 – innere, 99 Singulärer Punkt, 18, 63, 124, 189 Skalarpotential – elektrodynamisches, 144, 195 – elektrostatisches, 1 – magnetisches, 98, 137, 151 – retardiertes, 198 Skineffekt, 158, 161 Skineindringtiefe, 145 Spaltfunktion, 47 Spiegelung – am dielektrischen Halbraum, 6, 30 – am dielektrischen Zylinder, 29 – am permeablen Halbraum, 100, 122 – an einer leitenden Kugel, 6, 37 – einer punktförmigen Stromquelle, 71, 76 Spiegelungsverfahren, 6, 71, 100 Spule – Achsenfeld, 115, 117 – Selbstinduktivität, 117 Stationäres Strömungsfeld, 69 Stetigkeitsbedingungen – im elektrischen Feld, 4 – im magnetischen Feld, 98 – im Strömungsfeld, 70 Strahlung – einer kreisförmigen Stromschleife, 219 – eines Hertzschen Dipolarrays, 213 – eines Hertzschen Dipols, 199 – eines Hertzschen Dipols vor einer leitenden Ecke, 211

Sachverzeichnis – von λ/2-Dipolen, 216 Strahlungsdiagramm – eines Dipolarrays, 215 – eines Hertzschen Dipols, 212 Stromdichte, 69 Stromlinien – eines vergrabenen Kugelerders, 73 – in einem leitenden Medium mit Luftblase, 87 – in einer leitenden Kreisscheibe, 84 Stromquelle, 70 – linienförmige, 70 – punktförmige, 70, 72, 75 Superposition – von Ladungen, 8 TE-Welle, 199 – im Rechteckhohlleiter, 226 – in der Parallelplattenleitung, 221 Teilkapazitäten, 5 – einer Doppelleitung über Erde, 34 TEM-Welle, 199, 232 TM-Welle, 199 – im Koaxialkabel, 230 – in der Parallelplattenleitung, 239 Turbogenerator, 125 Übergangswiderstand, 74 Unipolarmaschine, 145

259

Vektorpotential, 96 – elektrodynamisches, 144, 195 – für E- und H-Wellen, 200 – retardiertes, 198 Verlustleistung, 71 Verlustleistungsdichte, 197 Vierspitzenmethode, 74 Virtuelle Verrückung, 6, 100, 121, 130 Wanderfeld, 132 Wechselstromwiderstand, 145, 248 Welle – ebene, 197 – elektrisch transversale, 199, 221 – elektrisch und magnetisch transversale, 199 – geführte, 199 – im Koaxialkabel, 229 – magnetisch transversale, 199, 230, 239 Wellengleichung – homogene, 196 – inhomogene, 237 Wellenwiderstand, 198 – komplexer, 203 Wirbelstromkanone, 186 Wronski-Determinante, 135, 188