Travaux Dirigeees de Materiaux Composites1 [PDF]

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EINSEIGNANT : TCHAMDJIE ALEXANDRA TRAVAUX DIRIGEES DE MATERIAUX COMPOSITES EXERCICE N°1 : Une structure en composite doit être réalisée en un composite contenant une proportion V f en volume de fibres. La structure à réaliser à un volume c. Calculer les masses de fibres et de matrice nécessaires. Application : Vf = 5000, c = 0.01m3. Calculer les masses dans chacun des cas suivants : fibre de verre (  f = 2500 kg /m3), fibre de carbone (  f =1900 kg /m3), de Kevlar (1500  f = kg/m3), pour une même matrice ( m =1200 kg/ m3). Exercice N°2 : Expliquez les procédés de mise en œuvre suivants (Schéma, Principe, matières premières, matériel): - Moulage au contact ; - Moulage par projection simultanée ; - Moulage par injection de résines ; - Moulage par compression à froid ; - Moulage par injection - Moulage par centrifugation ; - Moulage par enroulement filamentaire ; Exercice N°3 : Définir les termes suivants : Random, composite, stratifié, renfort, matrice, pli, unidir, mat, composite triclinique, composite monoclinique, composite orthotrope, composite isotrope transverse, composite isotrope. EXERCICE N°4 Tracer (en coordonnées cartésiennes, puis en coordonnées polaires) les modules d'élasticité Ex, Gxy, 𝜂𝑥𝑦 et 𝜈𝑥𝑦 en fonction de l'orientation 𝜃 dans le cas : -

D’un composite unidirectionnel :

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EINSEIGNANT : TCHAMDJIE ALEXANDRA 𝐸𝐿 = 45 GPa, 𝐸𝑇 = 10 GPa, 𝜈𝐿𝑇 =0,31, 𝐺𝐿𝑇 =4,5 GPa ; -

D’un composite orthotrope :

𝐸𝐿 = 𝐸𝑇 = 25 GPa, 𝜈𝐿𝑇 =0.12, 𝐺𝐿𝑇 =4 GPa ; EXERCICE N°5 Calculer les constantes de rigidité réduites, dans les axes principaux, des composites considérés dans l'exercice 2. Calculer ensuite les constantes de rigidité réduites dans une direction de 30° par rapport aux axes principaux. EXERCICE N°6 Établir une procédure numérique ayant : -

Pour entrées : les modules 𝐸𝐿 , 𝐸𝑇 , 𝜈𝐿𝑇 , 𝐺𝐿𝑇 et l'orientation 𝜃 de la couche ;

-

Pour sorties : les constantes de rigidité réduite 𝑄𝑖𝑗 , dans les axes et 𝑄′ 𝑖𝑗 , dans la direction 𝜃.

Appliquer cette procédure pour établir les résultats trouvés dans l'exercice 3 EXERCICE N°7 À la suite de la procédure précédente, établir une procédure de calcul numérique ayant : -

Pour entrées : l'état de déformation (𝜀𝑥𝑥 , 𝜀𝑦𝑦 ,, 𝛾𝑥𝑦 ) en un point d'une couche ;

-

Pour sorties : les contraintes (𝜎𝑥𝑥 , 𝜎𝑥𝑥 ,, 𝜎𝑥𝑦 ) dans les axes géométriques et les contraintes (𝜎𝐿 , 𝜎𝑇 ,, 𝜎𝐿𝑡 ) dans les axes principaux.

Appliquer cette procédure dans le cas des couches considérées dans l'exercice 3 et pour l'état de déformation : 𝜀𝑥𝑥 = 1,5 %, 𝜀𝑦𝑦 = 1 %,𝛾𝑥𝑦 = 2 %.

EXERCICE N°8 Expliquer la désignation normalisée (schéma à l’appui) des composites suivants : ̅̅̅̅)𝑆𝑉 /02𝐾 ] [90/452 /0̅]𝑆 , [(30/60)3 (90/45/0)2 ], [02𝐶 /(45/90

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EINSEIGNANT : TCHAMDJIE ALEXANDRA V=Verre ; C=Carbone ; K=Kevlar. ⃗⃗⃗⃗1 = 𝐿⃗ : 1.2. Démontrer que dans le cas d’un matériau unidirectionnel d’axe 𝑁 𝐸𝐿 = 𝐶11 − 𝐶

2 2𝐶12

22 +𝐶23

, 𝜈𝐿𝑇 = 𝐶

2𝐶12

22 +𝐶23

, 𝐸𝑇 = 𝐶22 +

𝜈𝑇𝑇 ′ =

2 (𝐶 −2𝐶 )+𝐶 𝐶 2 𝐶12 22 23 11 23 2 −𝐶 𝐶 𝐶12 11 22

et 𝜈𝑇𝐿 =

𝐶12 (𝐶23 −𝐶22 ) 2 −𝐶 𝐶 𝐶12 11 22

2 𝐶12 − 𝐶23 𝐶11 2 𝐶12 − 𝐶11 𝐶22

EXERCICE N°9 Calculer les constantes de rigidité et de souplesse d'un composite orthotrope de caractéristiques : 𝐸𝐿 = 30𝐺𝑃𝑎, 𝐸𝑇 = 20𝐺𝑃𝑎, 𝐸 𝑇 ′ = 10 GPa, 𝜈𝐿𝑇 =0,14, 𝜈𝑇𝑇 ′ = 0.32, 𝜈𝐿𝑇 ′ = 0.30 𝐺𝐿𝑇 =4 GPa, 𝐺𝑇𝑇 ′ = 2.5𝐺𝑃𝑎, 𝐺𝐿𝑇 ′ = 3.5𝐺𝑃𝑎

EXERCICE N°10 Tracer les modules EL, ET, GLT et GTT' en fonction de la fraction volumique de fibres de composites unidirectionnels constitués d'une matrice de caractéristiques Em = 3 GPa et m = 0,30 et de fibres de verre-R (Ef = 86 GPa, f = 0,22). EXERCICE N°11 Calculer les constantes de rigidité et de souplesse : -

D'un composite unidirectionnel à fibres de verre :

𝐸𝐿 = 45 GPa, 𝐸𝑇 = 10 GPa, 𝜈𝐿𝑇 =0,31, 𝐺𝐿𝑇 =4,5 GPa, 𝐺𝑇𝑇 ′ = 4.5𝐺𝑃𝑎 -

D'un composite unidirectionnel à fibres de carbone :

𝐸𝐿 = 230 GPa, 𝐸𝑇 = 15 GPa, 𝜈𝐿𝑇 =0,36, 𝐺𝐿𝑇 =5 GPa, 𝐺 𝑇𝑇 ′ = 4𝐺𝑃𝑎 EXERCICE N°12 : On considère une rotation d’angle θ autour de l’axe ⃗⃗⃗⃗ 𝑁3 d’un matériau orthotrope. 1°) Exprimer la matrice de rigidité dans les nouveaux axes.

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EINSEIGNANT : TCHAMDJIE ALEXANDRA 2°) Déduire de la question précédente la forme de la matrice de rigidité d’un matériau isotrope transverse. EXERCICE N°13 : On considère un matériau orthotrope d’axe (1,2,3) et en un point de ce matériau, on exerce un état de déformation de directions principales (1’,2’,3’) et de déformations principales 𝜀1′ = 5. 10−3 , 𝜀2′ = 2. 10−3 , 𝜀3′ = 4. 10−3 . Les directions (1’,2’) font un angle θ=30° avec les directions (1,2) du matériau de constante de rigidité : C11=32GPa ; C12=4.2GPa ; C13=3.8GPa ; C22=20GPa ; C23= 4GPa ; C33=12GPa ; C44=2.5GPa ; C55=3.5GPa ; C66=12GPa. Déterminer la matrice des contraintes dans les axes (1,2,3), puis les contraintes et directions principales. EXERCICE N°14 1.

Un stratifié [0/30/45] est constitué de trois couches de même épaisseur e = 1 mm et de

mêmes caractéristiques mécaniques : 𝐸𝐿 = 45 GPa, 𝐸𝑇 = 10 GPa, 𝜈𝐿𝑇 =0,31, 𝐺𝐿𝑇 =4,5 GPa, Calculer la matrice de rigidité du stratifié 2.

Les couches considérées dans la question 1, d'épaisseurs égales à 0,5 mm, constituent

maintenant un stratifié symétrique [0/30/45]s. Calculer la nouvelle matrice de rigidité. Comparer avec la matrice précédente. 3.

Reprendre l’exercice en intervertissant l'ordre des couches : [45/30/0] et [45/30/0]s .

Comparer les résultats obtenus. 4.

Reprendre dans le cas où l'orientation des couches est modifiée suivant [0/45/90].

5.

Établir une procédure de calcul numérique ayant : -

-

Pour entrées : •

Le nombre de couches n,

•

Les modules 𝐸𝐿 , 𝐸𝑇 , 𝜈𝐿𝑇 , 𝐺𝐿𝑇 , et l'orientation de chaque couche ;

Pour sortie : la matrice de rigidité du stratifié constitué des n couches.

Appliquer cette procédure pour retrouver les résultats des questions 1 à .4.

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EINSEIGNANT : TCHAMDJIE ALEXANDRA 6. Établir une procédure de calcul numérique ayant : -

-

Pour entrées : •

La matrice de rigidité d'un stratifié,

•

Les résultantes en membrane et les moments de flexions et de torsion ;

Pour sorties : •

La matrice de rigidité inverse,

•

Les déformations en membrane et les courbures,

•

Les déformations dans les axes principaux de chaque couche,

•

Les contraintes dans les axes principaux de chaque couche.

Coupler cette procédure à la procédure mise en place dans la question précédente. Appliquer l'ensemble aux cas où les stratifiés des exercices 1 et 2 sont soumis aux résultantes et moments de valeurs : 𝑁𝑥 =2,5 kN/mm, 𝑁𝑦 =1,5 kN/mm, 𝑁𝑥𝑦 =1 kN/mm, 𝑀𝑥 =20 Nm/mm, 𝑀𝑦 =15 Nm/mm, 𝑀𝑥𝑦 =10 Nm/mm. EXERCICE N°15 Un stratifié est constitué de trois couches 1, 2 et 3, orientées respectivement dans les directions 0°, 30° et 45°. Ces couches, de même épaisseur h = 1 mm, ont les mêmes caractéristiques mécaniques : 𝐸𝐿 = 160GPa, 𝐸𝑇 = 15 GPa, 𝜈𝐿𝑇 =0,32, 𝐺𝐿𝑇 =5 GPa, 𝐺 𝑇𝑇 ′ = 4.5𝐺𝑃𝑎 En un point, le stratifié est soumis à l'état de déformation : 𝜀𝑥𝑥 = 0.40 %, 𝜀𝑦𝑦 = 0.25%, 𝛾𝑥𝑦 = 0.50 %, 𝛾𝑥𝑧 = 𝛾𝑦𝑧 = 0.50 %. Calculer les contraintes dans chaque couche du stratifié ; puis les résultantes en membrane et cisaillement, les moments de flexion et torsion nécessaires pour obtenir cet état de déformation. EXERCICE N°16 On considère un stratifié constitué de deux couches d'un composite unidirectionnel (figure ci-dessous). La couche inférieure de 3 mm d'épaisseur est orientée à 45° du repère (x, y, z) du stratifié. La couche supérieure est orientée à 0° et a une épaisseur de 5 mm. Le matériau

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EINSEIGNANT : TCHAMDJIE ALEXANDRA composite unidirectionnel constituant les deux couches est un composite époxyde-fibres de verre de caractéristiques mécaniques : 𝐸𝐿 = 46 GPa, 𝐸𝑇 = 10 GPa, 𝜈𝐿𝑇 =0,31, 𝐺𝐿𝑇 =4,6 GPa, Expliciter l'équation constitutive du stratifié.

EXERCICE N°17 On considère une couche orthotrope dont les caractéristiques à la rupture sont données par : 𝑋𝑡 = 1500𝑀𝑃𝑎 ; 𝑋𝑐 = 1700𝑀𝑃𝑎 𝑌𝑡 = 90𝑀𝑃𝑎 ; 𝑌𝑐 = 250𝑀𝑃𝑎 ; 𝑆 = 80𝑀𝑃𝑎 ; Cette couche est soumise à un état de traction dans la direction 𝜃 1. Tracer en coordonnées cartésiennes pour 0 < 𝜃 < 𝜋/2 la contrainte à la rupture 𝜎𝑥𝑢 en fonction de l’ange 𝜃 de traction, en utilisant les critères en contrainte maximale. 2. Reprendre la question précédente, en utilisant le critère de Hoffman. 3.3. Comparer les résultats.

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