Trattato d’aritmetica [PDF]

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TESTIMONIANZE DI STORIA DELLA SCIENZA

PAOLO DELL' ABBACO

a cura DELLA DOMUS GALILAEANA DI PISA DELL' IsTITUTO E MUSEO DI STOIlIA DELLA SCIENZA DI FIKBNZE E DELL' ISTITUTO DI STORIA DELLA MEDICINA DELL' UNIVERSITÀ DI MILANO

•

Direttori

Istituto di Storia deUa Medicina dell'Università di Milano Istituto e Museo di Storia della Scienza di Firenze DUENZINI - Domus Galilaeana di Pisa

TRATTATO D'ARITMETICA

LUIGI BELLONI -

MARIA LUISA BoNELLI TULLIO

Secondo la Inione del Codice Magliabechiano XI, 86 della Biblioteca Nazionale di Firenze.

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a cura e con introduzione di

GINO ARRIGHI /

PISA

PISA

DOMUS GALIL,EANA

DOMUS GALIL,EANA

1964

1964

INTRODUZIONE

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Paolo dell'Abbaco, chiamato altresi Geometra Arismetra ed anche Strolago (come nel presente codice) e comunemente detto della nobile famiglia dei Dagomari sebbene altri lo voglia dire di quella dei Ficozzi venuta da Ficarolo di Lombardia e ramo di una famiglia Aldobrandini, è da valutarsi, com'è valutato e giustamente, quale uno dei piu valorosi matematici dei tempi suoi. Maestro Paolo è da ritenersi nato nella terra di Prato in Toscana attorno al 1281; in Firenze, dove ebbe a portarsi ben presto, abitò, e forse pure mori, in via Maffia nella parrocchia di San Frediano in quella parte di Oltrarno allora detta della Verzaia. Nel 1351 egli compare nel libro della Lega del Gonfalone del Drago verde e, nell'anno istesso, si trova mallevadore del Comune in un contratto. Il padre suo, ser Pietro, sotto la data del 1334, anno forse in cui ebbe a morire, resulta inscritto alla Congregazione Spirituale di San Frediano: è forse il notaro ser Pietro d'Aldobrando o di Landa di cui si hanno rogiti per alcuni anni della terza decade del Trecento? Giovanni, fratello del nostro Paolo, lo si ritrova mallevadore in uno strumento dell'aprile 1334 e, nel 1343, ottiene un decreto di rinvio di lite da parte di Gualtieri duca d'Atene. Paolo, che fu dei Priori di Firenze per il bimestre maggio-giugno 1363, moriva in questa città nel 1374 ed il suo corpo trovava sepoltura in una cappella a lato dell'altar maggiore della chiesa fiorentina di Santa Trinita: oggi purtroppo, della sua tomba, non resta piu alcuna traccia. Il Nostra tenne lungamente scuola in un locale posto dinanzi alla facciata della chiesa che dovea accoglierne le spoglie, ed ebbe numerosi scolari fra i quali fu forse l'Iacopo figlio di Dante Alighieri. Egli svolse l'opera sua ricco di un rilevantissimo corredo . di libri attinenti alla scienza da lui praticata e di strumenti astronomici anche da lui costruiti. Con suo testamento, rogato il 19 febbraio 1366 ancora in istile fiorentino, stabiliva, come ci dice Domenico Maria Manni nelle sue Osservazioni istoriche sopra i sigilli antichi de' secoli bassi, • che tutti i suoi Libri di Astrologia si· mettessero in S. Trinita in una cassa serrata a due serrami, e che una chiave ne tenessero i Frati, e l'altra i suoi eredi, e quivi stessero fin tanto che non fosse

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in Firenze qualche Astrologo bravo Fiorentino approvato per tale almeno per quattro Maestri, e quando venisse il caso, che ve ne fosse uno tale, a lui lasciò, che fossero dati, e che divenissero suoi... A Maestro Tommaso del Garbo e a Maestro Dino d'Olena, entrambi ricordati da Franco Sacchetti nelle sue Novelle, riservava i libri di medicina; a Michele di Giovanni detto della Gera, del popolo di San Paolo, assegnava l'uso della bottega dell'abbaco con relativo corredo di mobili, panche e tavole, e dei libri pertinenti. Resulterebbe, però, che, dopo Maestro Paolo, venisse qui ad insegnare Maestro Antonio dei Mazzinghi da Peretola a cui segui Maestro Giovanni di Bartolo che ebbe per allievo il celebre Paolo Dal Pozzo Toscanelli.

naIe di Firenze e che per certe date che compaiono in problemi di « chonpangnja. ivi trattati, le quali io presumo scelte nei tempi piu prossimi a quelli in cui i problemi stessi vengon redatti come di solito accade, sono tentato di attribuire alla piu tarda maturità dell'Autore, quasi a compendio di una vita spesa a pro' della scienza e della scuola. Nel presentarlo ora alle stampe, onde agevolarne la lettura da parte degli studiosi, reputo di avere, almeno parzialmente, soddisfatto un desiderio espresso da Pietro Riccardi nella sua Biblioteca matematica italiana là dove, dopo aver notato «di questo celebre aritmetico non trovo pubblicato che le regoluzze ., esclama: « Ben meriterebbe della storia della nostra scienza chi si applicasse fruttuosamente a pubblicarne e ad illustrarne le opere. Il.

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... ... ... L'opera di Paolo dell'Abbaco, che a noi rimane testimoniata parzialmente dai suoi scritti (non pochi, in verità) che ancora si conservano, spazia per i campi dell'aritmetica, della geometria, dell'algebra e dell'astronomia alla quale portò altresi il contributo della costruzione di alcuni strumenti. La sua fama già risplenderà presso i contemporanei; mi limito a ricordare come, con degne parole di elogio, ebbero a parlarne Giovanni Villani nella Cronica a proposito di una congiunzione di Saturno e di Giove c poco dopo l'ora di nona. del 28 marzo 1345 e Giovanni Boccaccio che per lui spende parole di lode nel suo trattato De genealogia deorum. Tralasciando di dire della sua attività di rimatore, rimandando per questo alle edizioni dei suoi componimenti curate da Baldassarre Boncompagni e da Enrico Narducci, non può non osservarsi che varie sono le opere scientifiche da lui lasciate. Ma qui dovevasi lamentare che ben poco era reso alle stampe. In realtà, oltre le Regoluzze pubblicate per la prima volta da Guglielmo Libri nel 1840 in poco piu di cinque pagine di stampa e successivamente riprodotte da A. Z. a Bologna nel 1857 da Cesare Guasti nel 1860 a Prato e da G. Frizzo a Verona nel 1883, solo poco altro, e di ancor piu breve passo, si trova edito dal Boncompagni nel suo volume dedicato a Leonardo Fibonacci. Fra quelle rimaste inedite si imponeva, per mole ed importanza, il Trattato d'aritmetica che occupa il Codice Magliabechiano classe XI n. 86 (già Gaddiano n. 386) della Biblioteca Nazio-

Passando a parlare del codice, che è di scrittura del sec. XV, dirò che esternamente, sul costolo della fodera in pergamena della sua rilegatura, si trovano i titoli: PAOLO STROLOGO Abaco e PAOLO DALL'ABBACO Trattato d'Aritmetica. Oltre i due fogli di guardia, posti l'uno in principio e l'altro in fine, si hanno 58 carte in bambacina di cm. 21~ x28~ e che, a cominciare dalla seconda, !;ono modernamente numerate da I a 57. A c. 1 r. comincia il Trattato con la iscrizione in alto: « + In xj nomine amen. Istratto di ragionj saranno in questo Libro schritte di piu manjere inposte per lo venerabile Strolagho Maestro Pagholo si chome apresso si vedranno e chome si deono pratjchare cioè in questo modo Il. A questa scritta segue subito l'elenco dei titoli o, meglio deve dirsi, delle prime parole delle varie c ragioni., il quale elenco si estende sino a c. 2 r .. In seguito si hanno le c Librettine usuali Il. Da c. 2 v. sino a c. 5 r., sono varie tavole di moltiplicazione che qui compendio cosi: ~ prodotti dei numeri 12, 13 e cosi via sino a 19, 23, 24, 29, 31, 37, 41, 43, 47 per i numeri 2, 3 e cosi via sino a IO, 20, 30 e cosi via sino a 100; ~ quadrati dei numeri II, 12 e c'osi via sino a 100, Ila, 120 e cosi via sino a 160; - prodotti dei numeri II, 12 e cosi via sino a 16 per ciascuno dei loro successivi sino a 20;

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e, da c. 5 r. a c. 6 r., si trovano tavole con multipli e sottomultipii di misure di valore (lire, soldi, danari) e di peso (libbre, once). La c. 6 v. è bianca e da c. 7 r. comincia il testo del Trattato articolato in 197 • ragioni. numerate da I a 197· Il Trattato ha termine a c. 54 v. lasciando interrotta l'ultima • ragione.'; la c. 55, r. e v., reca una scrittura intitolata: .Questa la mexxa fecie papa Chjmentj chontro la pistolenza. e, appena terminata, si legge: o: Questo libro è d'Agnolo di Domenico Pandolfinj el quale chonperai da Orlando Ghuiccardini oggi questo di xviiijO di Luglio 1473 ed ebbe lire iiiio per me dal Lionello Bonj al presente chonpangnia di Lodovico Bonj e chonpagnj setaiuolj In por zanta Maria». Le cc. 56 e 57 sono rimaste in bianco: i segni a lapis della loro riquadratura potrebbero far pensare che esse fossero destinate ad accogliere altre tavole cosi come se ne trova al principio. Quando si venga a chiedermi i criterj seguiti nella impresa della trascrizione, avvertirò di essermi attenuto alla conservazione di ogni lettera, limitandomi a sopprimere quelle battute che non per ragione rafforzativa, ma per banale svista dell'amanuense resultano ripetute: cosa, per altro, estremamente rara. Ho dovuto provvedere, e qui in larghissima misura, alla opportuna ricomposizione di talune parole spezzate e alla indispensabile decomposizione di altre riunite: aspetto, questo, tanto poco curato dall'amanuense. Ho riparato alla assoluta mancanza di accenti ed apostrofi con la loro collocazione dove sono richiesti ed ho messo l'accento. in luogo della h che mai in tal caso è usata, per quelle voci del verbo avere che lo richiedono. La esposizione delle soluzioni dei problemi ha quasi sempre un carattere ragionativo, onde il docente conduce, grado a grado, il lettore rivolgendogli il suo dire in seconda persona. Per tale ragione, la esposizione, atteso anche il procedere amplissimamente divulgativo del Trattato ovviamente in particolar modo destinato ad uso dei banchi mercantili del tempo, ha tutto il proceder frammentario del parlar popolare di allora e d'ogni tempo. Ragion per cui, avvalendomi degli attuali segni di punteggiatura, ho provveduto ad una loro collocazione opportuna, lo spero, al fine di ottenere una facile comprensione anche da parte di coloro che non sono soliti leggere testi di quei tempi. Una tale sistemazione della punteggiatura implicava, ma non solo per questo ho dovuto provvedere a quanto segue, implicava una revisione circa l'uso della

maiuscola: il pratico di scritture di quel tempo sa bene quale mancanza di ordine regnasse solitamente nell'avvalersi dei segni di punteggiatura, punti sbarrette inclinate od altro, e nell'adoprar le maiuscole. Varrà ch'io insista nel fare osservare la cura mostrata dall'Autore nel render piu chiaro il suo ragionare; a mo' di esempio citerò un passo della «ragione. 164 dove si parla d'un coperchio d'. archa. a guisa di piramide retta a base rettangolare ed è sottolineato il carattere del suo vertice: • e il suo choperchio sia 4 faccie ed è aghuto dal chapo che fa punta laxxu e ttorna nulla». Le figure geometriche, che nel Codice hanno soltanto l'oggetto di puntualizzare gli elementi della • ragione» onde non sono eseguite rispettando convenientemente i rapporti delle parti loro, sono state da me riprodotte in tale ordine di idee. Ma, cosa veramente notevole sul piano di un'arte sinceramente popolare fiorentina della metà del Quattrocento, sono da considerarsi i numerosi disegni ad illustrazione dell'argomentare di taluni enunciati: sono realizzati con lo stesso inchiostro nero-seppia usato nella scrittura e recano talvolta alcuni elementi segnati in rosso-sinopia. Atteso questo particolare loro valore, sebbene non essenziali ai fini della comprensione aritmetica dell'oggetto, ho ritenuto opportuno riprodurre un certo numero di queste illustrazioni anche per rallegrJr la vista dello studioso matematico con modelli di una piacevolissima figurativa di istinto.

IO

II

• • • Nell'approssimarci alla conclusione di queste note introduttive, ed ancor prima di iniziare la lettura del Trattato, si pone una domanda circa il suo contenuto. Il Lettore voglia considerare che, in allora, il termine di aritmetica aveva un senso piu esteso o, se si vuole. meno preciso di quello attuale. Oltre alla vera e propria aritmetica, vi si contemplavano la geometria ed i principi dell'algebra: e di tutto questo si parla nel presente Trattato del Pratese. Debbo aggiungere che un profondo senso pratico cioè la esigenza, posta dalla vita quotidiana, della risoluzione di problemi aritmetici e geometrici che si affacciavano nel mondo degli artigiani e dei mercanti è ciò che lo impregna. lo articola e lo muove. Mi limito a ricordare, a guisa di esempio, che il procedimento per dividere in parti proporzio-

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nali continuerà a chiamarsi ancora «partjre per chonpangnja D allorquando piu nulla v'è di mercanti e dei conti loro. La soluzione è quasi sempre giusta, talvolta si incontrano errori: tali caratteri resulteranno chiari ed immediati. Al fine di una piu facile consultazione, nel senso della conoscenza degli argomenti trattati e della loro collocazione nell'opera, sarà utile consultare l'indice originale premesso e, in non poca misura, quello analitico di nomi e di cose che io stesso ho curato. Tuttavia reputo non dovermi esimere dal citare i gruppi di «ragioni D dedicati ad alcuni particolari quesiti, come ad esempio: le «ragionj di chonpangnja D; l'uso del «chatuino D, ovverosia «regula duorum falsorum D ed infine l' «arcjbra» ove si forniscono le regole per la risoluzione di equazioni di secondo grado per le quali, giova avvertire, «choxa» e «eienxo D son rispettivamente la incognita e il suo quadrato. Quando, rivolgendo la considerazione alla storia della matematica medievale, si consideri la estrema rarità delle edizioni a stampa dei codici redatti in quei tempi, si dovrà convenire sopra la non inopportunità della presente edizione che, come si è visto di sopra, si inserisce fra i programmi di lavoro auspicati da Pietro Riccardi là dove parla di Paolo dell'Abbaco. A conclusione di queste note introduttive, anche al fine di mostrare la validità della presente edizione, mi sia concesso di parlare di una personale esperienza. Atteso il quasi totale abbandono degli studi sulla matematica medievale, al fine di portare un mio pur lieve contributo in tale campo di ricerca, stavo per accingermi ad una recognizione dei codici contenenti testi di questa disciplina, anche, nella prospettiva di addivenire alla impostazione di un relativo catalogo ragionato. ~ stata, appunto, la considerazione dei criterj ordinativi di un tal catalogo ragionato che mi ha intrattenuto la mente sulla mancanza di un minimo di edizioni atto a fornire un riferimento comparativo nella valutazione degli argomenti e nel processo della loro esposizione. Nell'ordine di idee testé espresso, opera basilare è da considerarsi il Trattato d'aritmetica dovuto a Colui che, fra i numerosissimi cultori delle discipline matematiche fra noi durante il XIV secolo, deve ritenersi, come saviamente ritiene Achille Pellizzari, «il piu celebre di tutti». Con ciò non intendo, certamente, di aver risolto il fine ora accennato in modo definitivo: ad esempio è indispensabile cono-

scere piu a fondo quanto e come, nei tempi precedenti, si insegnasse di quell'aritmetica che, come arte liberale, apre ed è fondamento del Quadrivio. In tale prospettiva è da considerarsi la importanza della edizione da me curata in questa stessa collana dell'opera del Vescovo Guglielmo De arithmetica compendiose tractata estratta da un codice lucchese di pochi anni anteriore al comparire del Liber Abaci di Leonardo Pisano che apre il XIII secolo.

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NOTA BIBLIOGRAFICA

(Le opere del Nostro o attorno a lui si susseguono nell'ordine in cui comparvero alle stampe. Si voglia considerare che taluni suoi scritti, come già ho detto, si trovano editi nell'opera del Boncompagni, nella quale sono ampiamente citati passi di altre, da me non citate, in cui si ricorda il Nostro e dove si trova' un'ampia bibliografia delle sue opere edite e inedite, per altro successivamente ripresa).

GUGLIELMO LIBRI Histoire des sciences mathématiques en ltalie. depuis la renaissance des lettres jusqu'à la fin du di~-septième siècle Tome troisième. Paris, Jules Renouard et C.ie, 1840. Specialmente la « Note XXX. » il pp. 295-3°1. BALDASSARRE BoNCOMPAGNI Intorno ad alcune opere di Leonardo Pisano matematico del secolo decimoterzo Roma, Tip. delle Belle Arti, 1854. Specialmente le pp. 275-327 e 353-397·

Regoluzze del M. PAOLO DELL'ABBACO celebre matematico del sec. XIV. Bologna, Tipi di G. Monti al Sole, 1857. Le regoluzze di Maestro PAOLO DELL'ABBACO matematico del secolo XIV. S'aggiugne una notizia bibliografica delle Opere di lui Prato, dalla Tipografia Guasti, MDCCCLX; in « Della Miscellanea pratese di cose inedite o rare antiche e moderne ».

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PAOLO DELL' ABBACO Poesie inedite pubblicate da Enrico Naf'ducci Roma, Tip. delle scienze matematiche e fisiche, 1864. PAOLO DELL' ABBACO Le regoluzze ripubblicate ed illustrate dal prof. G. Frizzo Verona, H. F. Miinster, 1883. BEIlNAllDINO BALDI Pavolo Geometra da Vite inedite di matematici italiani scritte da Bemardino Baldi e pubblicate da Enrico Narducci in « Bullettino di bibliografia e di storia delle scienze matematiche e fisiche pubblicato da B. Boncompagni», t. XIX, novembre 1886. Pp. 600-602. GUSTAVO UZIELLI La vita e i tempi di Paolo dal Pozzo Toscanelli. Ricerche e studi Roma, auspice il Ministero della Pubblica Istruzione, 1894 in « Raccolta di documenti e studi pubblicati dalla R. Commissione Colombiana pel quarto centenario della scoperta dell' America» parte V. vol. I. Vedi la voce Dagomari nell'indice dei nomi propri e cose notevoli. '

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PAOLO DELL'ABBACO

ENRICO MASINI Maestro Paolo dell' Abbaco dei Ficozzi erroneamente creduto dei Dagomari in « Rassegna nazionale », anno XLI, sec. serie, voI. XXII, 12 agosto 1919. Pp. 215-225. ACHILLE PELLIZZARI Il Quadrivio nel Rinascimento Soc. An. Ed. Francesco PerreUa, Napoli, 1924. P. 42.

• • • Per taluni procedimenti vedi: GINO ARRIGHI, Metodi di calcolo in un codice lucchese del Trecento. Regola del « chatuino » e problemi di secondo grado in « Bollettino deU'Unione Matematica Italiana», vol. 18 (1963); pp. 433~445·

TRATTATO D'ARITMETICA

I

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2 3 4 5 6 7 8 9

. -

IO -

II -

+ In Xl

nomine amen

Istratto di ragionj saranno in questo Libro schritte di pili manjere inposte per lo venerabile Strolagho Maestro Pagholo si chome apresso si. vedranno e chome si deono pratjchare cioè in questo modo.

12 13 14 15 16 17

-

18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

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30 31 32 33 34 35

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36 37 38 39 40

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Infilzare de' rottj Partj 12 per 3 r/4 Partj 12 per 1/3 Partj 2/3 per 8 Partj 5 3/4 per 6 Partj 5/7 per r/2 Partj 9 2/5 per 4 1/3 Termjna 4/5 quantj 1/3 sono Termjna 7/8 quantj 2/7 sono Ragiungnj insieme 4/7, 1/2, 3/4 Traj 2/3 di 7/8 Traj 3 2/5 di 5 4/7 Multjpricha 1/2 via 2/3 Multjpricha 5 1/4 via 8 3/5 Dimmj 2/3 che part'è di 8 Dimmj 2/3 che part'è di 5/6 Dimmj 2 3/4 che part'è di 5 1/2 Dimmj 5 1/2 che part,è di 2 3/4 Dimmj: se 5 è 2/3 6, 4 che sarà di 8 Pigia 3/4 di 29 3/5 Un chonpro 3 uova 4 d. Quando lo staio del grano Un togle a fare u' llavorio E' 'gl'è un granaio ch'è llungho Una chanpana pexa 29 libbre Un pozzo quadro Un fa amattonare una sala l' vo, rachorre ttuttj i numerj E' 'gl'è un tondo che il diamjtro Che fa 3 s. via 5 lire Un vende una sua mercatantja Un vende una sua mercatantja Dua merchatantj voglono etc. La lira è prestata il me.xe a 3 d. La lira è prestata il mexe per 3 d. Uno si vuoI vestjr d'un panno Uno chonprò il CO della lana Uno à fatto fare un chopertoio Uno vende una sua mercatantja Quando io vendexxj una mja merchatantja

4 I - 7 genovinj vaglono 8 bolongnjnj 42 - Un chanpo che è lungho 60 braccia 43 . Una lancia è sotterra 1/4 e 'l 1/6 44 - Se no' voleximo mixurare un monte di grano 45 - La libra di Firenze torna in Pixa 46 - Due voglono chonprare una chaxa 47 - Un singnore à un suo fante 48 - E' 'gl'è un cholonbo in un chanpo 49 - Uno huomo à uno d. 50 - Una nave à due vele 51 - Un chonpIÒ un pezzo di terra 52 - Dimj quante lire furono quelle 53 • E' 'gl'è un quadro che per l'u· faccia 54 - E' 'gl'è un quadro chome vedi 55 - E' 'gl'è un quadro ch'è lungho 16 braccia 56 - E' 'gl'è un tondo che gira intorno 57 - Uno de' avere da un altro 58 - Uno fante sta chon un singnore 59 - 3 chonpangnj ànno ghuadangnato 60 - Una torre Rira intorno 61 - Fammj di 30 tre partj 62 • Un togle a fare u' llavorio 63 - Firenze gira intorno intorno 64 - Fammj di 20 due partj che Il'una . 65 - Alchuna quantità di danarj fu doppia 66 - Sono 3 anpolle 67 - E' 'gl'è uno triangholo 68 - Le 365 lire ghuadangnarono 69 - Due huomjnj ànno danarj 70 - E' 'gl'è un pozzo tondo 71 - Uno escie per 3 portj e a ongnj porto. 72 - Un tondo gira 22 braccia

20 73 74

75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85

86 '37 88 89 90 91 92

93 94 95 96 -

97 98 99 100

101 102 -

103 104 105 106 -

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PAOLO DELL' ABBACO E' xono due palle di terra E' 'gl'è un salvodanajo ch'è grosso 4 dita Un'archa è per ongnj faccia Fammj di 100 dua partj 6 huova vaglono tanto meno Due chonpangnj, il primo misse 60 Tre chonpangnj, il primo misse 1/2 l'altro 1/3 E' xono due torrj in un piano A 33 lire l'anno, che ttoccha al di A 16 d. i' di che ttoccha all'anno Un albero è sotterra 1/3 e 'I 1/4 Truovamj u' numero del quale Truovamj u' numero del quale E' sono due che barattano Due barattano insieme, l'uno La lira è prestata il mexe a 2 d. 2/3 La lira è prestata il mexe a I d. Le 40 lire ghuadangnano in Una volpe è inanzj a un chane Uno apigiona una chasa Due mercatantj danno a serbare Due lavoratorj stanno a mangiare Uno presta a un altro 100 lire Due è pocho e IO è ttroppo l' vo' rachorre tuttj i numerj Rachoglj tuttj i numerj che ssono Rachoglj tuttj numeri che ssono Uno fa testamento e 11ascia Tre vanno al merchato Uno togle a chavare un pozzo E' sono 3 saccha di panno A che partjr fu di 5, 3 rimane 8 A che partjr fu di 4, 4 rimane 4 Il 100 della lana o di ciò che xxia Se 4 vie 4 faciexe 17, che fare' 5

108 -

Di qui a Firenze à 60 migla

109 - Uno presta a un altro danarj

La lira è prestata il mese a 3 d. Un presta a un altro queste partjte Il2 Quando noj volexxino rechare a un di Il3 Uno de' avere da un altro Il4 Truovamj un numero che partjto Il5 - Truovamj un numero che partjto Il6 - Uno à un suo fjorino 117 - La lira de' pixanj ricieve di canbio 118 - Due huomjnj fanno un vjaggio 119 Due huomjnj fanno un vjaggio 120 E' 'gl'è uno che va il primo di uno mjglo 121 Uno huomo va il primo di 2 mjgla 122 Due huomjnj ànno a dividire danarj 123 Sono 4 che fanno chonpangnja 124 - Uno à ttolto una chaxa a pigione 125 3 huomjnj truovano una borxa di danarj 126 Due ànno danari, l'un dicie all'altro 127 - Alchuno huomo àe danari 128 - Fammj 2 numerj che ll'uno sia 5 tanti 129 - Uno vende una sua mercatantia 130 - Due huomjni ànno una ruota 131 - Chome udito ài dinanzi il modo 132 Ora pongniamo un'altra misura 133 Ora diciamo della valuta 134 Se noj diciexximo e' 'gl'è un tondo 135 - Ora porremo di ritrovare 136 - E se noi volexxjmo sapere 137 - Ora pongnamo assenpro 138 - Ora tj voglo insengnare uno 139 - Diciamo deglj sciemj de' tondi 140 - E anche pongniamo uno simjle IlO I II

TRATTATO D'ARITMETICA

14 I - Anchora può fare per altro modo [42 Mostrato abiano glj tondi pianj ora 143 - Se ttu volexxj coprir questa palla 144 - Diciamo sopra glj pexj delle palle 145 - OIa diciamo d'un'altra bella ragione 146 . Pongnan di metter il quadro nel tondo 147 E se ttu volexxi metter di fuor del tondo 148 - Noj vogliamo metter nel tondo uno 149 - Pongnamo un altro simile 150 . Anchora una simile ragione 151 - Anche pongnamo sia un tondo 152 - Di choxi: e' 'gl'è un pozzo fondo 153 - Anchora pon' che xe nel pozzo fosse 153 - E' 'gl'è un pozzo ch'à 8 faccie 155 - Se noj volexximo mjsurare 156 - Ora diremo in questo modo, cioè 157 - Se nnoi diciesimo che la detta torre 158 - E' son due torrj in un piano 159 - Due torrj sono in un piano 160 - Pongnian che xien due torrj 161 - Una torre è alta 40 braccia 162 - Una torre non xo quant'è alta 163 - Una torre è alta 60 braccia 164 - Un'archa che fuxxe lungha 16 braccia 165 - Uno albero è in piano chaduto 166 - E' 'gl'è uno albero ch'è allato a un fiume 16] - Pongnano axxenplo sopra a l'altra

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168 - Alchuno riccho uomo viene a morire 16g • Uno huomo à danarj in una borxa 170 Famj questa ragione: truova u' numero 171 Partj 30 per radicie di 5 172 E' 'gl'è una botte ch'à 20 daghe 173 - Due merchatanti barattano 174 - Truovamj dua numeri 175 - Simile dirò: truova 2 numerj 1]6 - Truovamj 2 numerj In - Truovami 2 numerj 178 - Truovamj 2 numerj 179 - Truovami uno numero 180 - Una reghola dell'arcjbra dicie: 7 cose 181 Una reghola dicie: se' ciensi 182 Una reghola dicie choxi 183 Un'altra dicie choxf 184 - Una quarta reghola d'arcjbra 185 Se 3 vie 3 faciexxe piu di IO 186 Seguitando de rechar restj a un di 187 - Un fattore sta a un fondacho 188 - E' 'gl'è uno schudo che per ongni faccia 189 - Uno à danari e ànne tanti I go - Uno spese 48 d. in 48 uciellj 191 - E' 'gl'è un pozzo ch'è a fondo 30 braccia 192 - Se noj volexximo multjprichare 3 via radicie di IO 193 - La reghola delle 3 choxe 194 - Del partjre e multjprichare delle 3 choxe 195 - Dicho choxi: il 100 della lana vale Ig6 - Partj 8 per 4, ne viene 2 197 - Uno presta a un altro 100 fiorinj

Infilza questj numerj rottj, cioè 2/3, 1/2 e 3/4. Dobiamo senpre multjprichare in questo modo: cioè 2 vie 2, che fa 4, e questo 2 ch'i' ò multjprichato si è il 2 del sechondo rotto chontro al due che sta di sopra al primo rotto e chom'è detto e' fa 4; e senpre vi giungnj quello ch'è di sopra al sechondo rotto che è I, e àj che fa 5, e poj seghujta all'altro rotto e pigIa senpre quello di sotto, cioè 4, e multjprichalo chontro a 5, che fa 20, e senpre v'agiungnj quello ch'è di sopra al 4, che v'è 3, e àj che fa 23. E chon questo modo senpre seguita e sieno i rottj quantj essere voglano e àj fatto il numero di sopra de' rrotto. Ora si vuole fare il numero di sotto de' rrotto. E senpre multjpricha la fighura di sotto del primo rotto, che è 3, chontro alla fighura di sotto del sechondo rotto, che è 2, e àj che fa 6; ora multjprica 6 chontro alla seghuente fighura di sotto del terzo rotto, che è 4, e àj che fa 24, e àj il numero di sotto. Ài che '1 numero di sopra e' è 23 e quello di sotto e' è 24. Sichè fae 23/24 e chon questo modo si vuole senpre infilzare; e chi vuole sapere che è infilzare legha quj di sotto. Abiano data di sopra la reghola dello infilzare perpetualmente buona. Ora pare che 110 infilzare non xia altro a dire se non è ragiungnere di rotti e dicie choxj: ragiungni 2/3 e 1/2 di terzo, il quale 1/2 di terzo è 1/6, e poj dicie e' 3/4, cioè ragiungnj anchora 3/4 d'uno mezzo 1/3, cioè a dire d'uno sesto. E ragiungnere 2/3 e 1/6 e chon 3/4 di uno sesto il quale è uno ottavo fae in tutto 23/24. E questo è chiaro perochè 2/3 sono 16/24 e 1/6 sono 4/24 e 1/8 sono 3/24. Ragiungnj 16 e 4 e 3 fae 23/24 e questo è assai chiaro e basta, e il modo de ragiungnere si mostra ne' seghuentj rottj.

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Partj questo numero cioè 12 per 3 1/4. Sempre dej fare choxì. Recha 3 1/4 a quartj, che sono 13, e pojchè ttu àj rechati a quarti, che è il partjtore,. convientj rechare anchora il numero che ttu vuoj partire, cioè 12, a quartj che sono 48 quartj. Ora puoj partjre l'uno per l'altro perochè sono numerj simjglantj; parti 48 in 13 ne viene 3 e 9/13, ed

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è fatta. E senpre tjenj questo modo quando partj il numero intero per lo numero intero e rotto: senpre recha il numero intero e Trotto a quello rotto ch'eglj àe secho e de' rrotto ne fa' rottj di quella ragione, e poj partj. E starà bene.

perochè sono numerj simiglantj. Partj 23 per 24 ne viene 23/24, e è fatta e questo sechondo modo è assaj chiaramente dimostrato nelle ragion paxxate.

Partj 12 per 1/3. Sempre si de' fare choxj. Perochè 'l partjtore e' è numero rotto, cioè 1/3, dobiamo rechare il numero che tu vuoj partjre, cioè 12, a tterzj che xxono 36, e partj in I; ne viene 36 e nota che sempre in ciò che ttu partj di quello ne viene, cioè che se tu partj a1chuno numero in 1/3 quello che ne viene à sustanza di 1/3 avengna che elle diventjno choxe intere e chiaro apare in questa ragione perochè noj trovjamo che partjto 12 per 1/3 ne viene 36; i quali ànno sustanza di 1/3 e sono 12 interj e anche 36 interj sono per la domanda che è fatta, cioè che si faccj di 12 1/3 terzj i quali sono 36. E vo' fare (?) provare questo partire e ongn'altro partjre senpre; quando partj a1chuno numero se quello che ne viene multjprichato per lo partjtore fae quello ch'era prima sta bene. E questa è vera e buona pruova di questa medexima ragione. Multjpricha 1/3 via 36 fae 12, echo che multjprichato si ritorna pure nel medeximo primo . numero cioè 12, e sta bene. E choxì puoj fare tutte similj ragionj.

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Partj 2/3 per 8. Sempre dej fare choxì. Multjprica 8 via 3, che fae 24, e ponj, di sopra a 24, 2; àj che ne viene 2/24 cioè 1/12 ed è fatta. Ma xe ttu vuoj chonoscere più chiaramente questo partire, tj chonviene rechare 8 a tterzj che xxono 24 terzj e, perchè tu dicestj partj 2/3 per 8, partj 2 in 24; ne viene 2/24 cioè 1/12 e àj partjto numerj simjglantj. E se ttu vuoj provare questa ragione multjpricha 8 che fu il numero via 1/12 fae 2/3 e echo che ttoma nel primo numero e sta bene. E ximilemente fa' ll'altre.

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Partj 5 3/4 per 6. Puoxxi fare in due modi. L'uno si è questo: partj 5 per 6 ne viene 5/6, ora infilza 5/6 e 3/4 di sesto che ne viene 23/24. L'altro modo si è questo il quale è più chiaro e migliore; fa choxì: recha 5 3/4 a quartj, che sono 23 quartj, e anche recha il partjtore a quartj, che xxono per 6 di sopra 24 quartj, e ora puoj partjre l'uno per l'altro

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Partj 5/7 per 1/2. Fa' choxj chome detto è nelle paxxate ragionj, che senpre i numerj che xj partono debono essere simiglantj l'uno all'altro cioè il partjtore al partjto; e però tj chonviene trovare uno numero che vi ritruovj entro il mezzo e il settjmo, il quale numero si è 14. E ora sapi un mezzo quanti 14 sono che ssono 7 quattordecjmj, ora sapi 5/7 quanti quattordecjmj sono che sono IO quattordecjmj; ora àj rechato il partjtore e il partjto a choxe simjglantj cioè 5/7 a IO e 1/2 a 7, ora partj IO per 7 ne viene I e 3/7 cioè 1/2 e 3/7 di mezzo e ragionevolmente tanto dee essere 1/2 e 3/7 di 1/2 quanto e' è 5/7. E questa è axxai buona pruova e però ragiungnj 1/2 e 3/7 di mezzo, i tre settimi di mezzo fae 3/14 e 1/2 e' è 7/14, ragiungnj 7 e 3 fa IO quattordecjmj cioè 5/10 chome fa il partito, ed è fatta. E sta bene.

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Partj 9 2/5 per 4 1/3. Fa' choxì chome detto abiamo nelle paxxate ragionj, che il partjtore e il numero partito debono essere choxe simjglantj e d'una medexima ragione. Dobiamo trovare un numero che vj si truovi il terzo e il quinto, il quale numero e' è 15. Ed e' è il più corto numero che vi xia, chomechè 1/3 e il 1/5 si ritruovj in 30 e in 45 e in moltj altrj numerj e ongnuno si potrebbe pigIare; ma pigIamo 15 perochè è il più corto e il più bello; e rechiamo 4 1/3 a quindecjmj, che xono 65 quindecjmj. e rechiamo 9 e 2/5 a quindecjmj, che sono 141 quindecimj. Ora abiamo che il partjtore e' è 65 e il partito è 141; ora partjamo 141 in 65, ne viene 2 e n/65. Ed è fatta. Anchora ci e' è un altro modo; cioè rechare 4 e 1/3 a tterzj, che sono 13 terzi, e 13 è il partjtore; ora recha 9 2/5 a tterzj cioè multjpricha per 3, che ne viene 28 e 1/5, e partj per 13 che ne viene, di 28, 2 e rimane 2/13 e 1/5; ora infilza 2/13 e 1/5 fae n/65 e àj che ne viene 2 n/65. Ed è fatta per lo sechondo modo.

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Termina 4/5 quanti terzj sono, cioè a dire fammi di 4/5 terzj e dimmj quantj sono. Fa' choxì. Sempre pigIa 4/5 di 3, che nne viene 2 e 2/5, e àj che ne viene 2/3 e 2/5 di

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terzo. Anchora cioè un altro modo: partjre 4/5 in uno terzo e verrattene terzj perochè senpre in quello che Il'uomo parte di quello ne viene. E fa' choxj: multjpricha 3 via 1/3, fa I, e multjpricha 3 via 4/5, fa 12 quintj che ssono 2 e 2/5; a partire in I ne viene quello medesimo cioè 2 e 2/5; ed è fatta. A volere provare questa ragione chonviene che quello che ne viene sia tanto quanto è 4/5 perochè io g1' ò tramutatj in terzj e dicho che ne viene 2/3 e 2/5 di terzo: ragiungnj 2/3 e 2/5 di terzo fae 4/5· E echo che ttorna bene. Nota che questa ragione cioè che esso pigIa 4/5 di 3 e vienne 2 e 2/5 cioè 2/3 e 2/5 di terzo per questa ragione perochè se io diciexxi: I quantj terzj sono? Risponderestj: sono 3. E io dicho: 4/5 quanti terzj sono? E perchè uno sono 3 terzj seguita che 4/5 sia meno che 3 terzj perochè 4/5 e' è meno che uno intero e però diraj che 4/5 sia 3 terzj meno la quinta parte di 3 terzj, perochè è 1/5 meno d'uno intero; e àj adunche che è 2/3 e 2/5 di terzo. Anchora puoj pigIare questa ragione per la reghola delle 3 choxe e dire choxj: se I vale 3 cioè 3 terzi, che v~r~à 4/5? E però multjpricha 4/5 via 3, fae 2 e 2/5, e part) In uno; ne viene quello medesimo, cioè 2 e 2/5, e àj adunque che 4/5 varranno 2 e 2/5 cioe 2 terzj e 2/5 di terzo. Ed è fatta e ttorna a uno mesimo modo, e sta bene. O Termina 7/8 quantj 2/7 sono, cioè a dire fammj di 7/ 8 duo settjmj, cioè tramutamegli in questo numero 2/7; cioè chome se io diciexxj tramutamj uno in quartj che tj chonviene partjre uno per 1/4 che ne viene 4 e choxì fa' simjglantj ragionj chome di questa cioè che ttu parta 7/8 per 2/7. Recha 7/8 a xxettjmi, multjpricha 7 via 7 e partj in 8 che ne viene 6 1/8, cioè 6/7 e 1/8 di settjmo, e ora partj 6 e 1/8 in 2, che ne viene 3 e 1/16 ed è fatta; cioè a dire che ne viene 3 che ongnuno vale 2/7 e anche ne viene 1/16 di 2/7 e nondimeno questj 3 e 1/16 sono interj per la domanda ch'è fatta a 7/8, che ne viene 3 interj di quello che ttu domandj e 1/16 d'intero di quello che ttu domandj. E a volere provare questa ragione tj chonviene multjprichare quello che ne viene chontro al partjtore e dee fare il numero di prima, cioè 7/8. Multjprichiamo 3 e 1/16 chontro al partitore che fu 2/7; multjprichiamo 3 e 1/16 via 2/7, fae 7/8, e echo che sta bene.

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Ongnj partjre si può fare in questo modo che xxe ttu partjxxj 12 per 4 ne viene 3 e a volerlo provare chonvientj multjprichare quello che nne viene partjto chontro al partjtore e dee fare il prjmo numero cioè 12. Nota che, chome per la paxxata nota àj veduto, choxj recha questa ragione alla reghola delle 3 choxe in questo modo, cioè, e di': uno intero quantj 2/7 sono? 3 1/2 sono, 3 perchè 3 sono 6 e 1/2 è I, àj 7/7 e tanto è quanto è uno intero sichome dicie 2 s. sono 24 d .. E però di' choxì: se I vale 31/2 che varrà 7/8? E però multjpricha 7/8 per 31/2, fa 3 1/16, e chotanto varrà perochè partj in uno ne viene quello medesimo; e vedj adunque che 7/8 sono 3 e 1/16 cioè 3 che vaglono ciaschuno 2/7 e 1/6 di 2/7. Ed è fatta. lO

Ragiungnj 4/7 e 1/2 e 3/4. Fa' choxj: Truova un numero che vj si truovj entro tuttj questj numerj cioè il 7 e 'l 2 e 'l 4; sempre si dee tenere questo modo a ttrovarlo: multjricha 7 via 2, fae 14, e multjpricha 14 via 4, fa 56; si truovano tuttj questj numerj cioè il partjtore loro che non viene alchuno rotto cioè che partjto 56 pér 7 e per 2 o per 4 non n'àe rotto. Ora truova il numero il quale è 56, dej pigIare e' 4/7 di 56, che ne viene 32, e ora pigIa 1/2 di 56, che ne viene 28, e ora pigIa 3/4 di 56, che ne viene 42, e ora ragiungnj 32 e 28 e 42, fae 102; cioè 102 cinquantaseeximj e' qualj sono uno intero e 23/28; e àj che fanno uno interf) e 23/ 28 . Anchora cioè un altro modo, cioè di fare di 4/7 e di 1/2 e di 3/4 cjnquantasejeximj; e' 4/7 sono 32/56 e' 1/2 sono 28/56 e 3/4 sono 42/56 e rachogli 32/56 e 28/56 e 42/56, fa 102/56, cioè uno intero e 46/56 che a schisarglj sono 23/28; e' fa e vienne I e 23/28 apunto. Ed è fatta.

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Traj 2/3 di 7/8. Sempre si dee fare choxj. Trovare un numero che vi si truovi 1/3 e l' 1/8 sanza rotto; multjpricha 3 vie 8, che fa 24, e 24 è il numero. Ora recha 2/3 a ventjquattreximj, che ssono 16/24, e anche recha 7/8 a ventjquattreximj, che xono 21/24, ora traj 16/24 di 21/24, resta 5/24. È fatta e ttratto 2/3 di 7/8 e' n'è i' rresto, chome detto, 5/24. E a volere provare questa ragione si dee fare choxj: ragiungnj 2/3 e 5/24 che dee fare 7/8 perochè noj diciamo

TRATTATO D'ARITMETICA PAOLO DELL'ABBACO

che 7/8 è più di 2/3, 5/24; ragiungnj 2/3 e 5/24, fa 7/8, in questo modo perochè 2/3 sono 16/24 e a giungnere àe 5/ 24 àj che fa 21/24. Ischixa questj 21/24 sono 7/8, e ongnj rotto si può schixare in questo modo cioè che se amendunj i numerj si poxxono partjre per a1chuno altro no' rimanendo rotto torna in una medexima quantjtà. Verbj grazia partj 21 in 3, ne viene 7, e 7 e' è il numero di sopra; ora partj il numero di sotto, che è 24, in 3, ne viene 8, e 8 è il numero di sotto, sichè fae 7/8. 12

Traj 3 2/5 di 5 4/7·

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Multjpricha 1/2 via 2/3·

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Multjpricha 5 1/4 via 8 3/5. Questo si può fare in dua modi. L'uno modo si è questo: multjprichare 5 vie 8 3/5 e poj pigIare 1/4 di 8 e 3/5 e ragiungnj, e pertanto multjprichiamo 5 via 8 e 3/5 fa 43, e pigIa 1/4 di 8 e 3/5 che ne viene 2 e 3/20; ora rachoglj 2 e 3/20 con 43 fae 45 e 3/20. Ed è fatta. L'altro modo si è questo: di rechare 5 e 1/4 a quartj, che xxono 21 quartj, e anchora rechare 8 3/5 a quintj, che sono 43 quintj; ora multipricha 43/5 via 21/4 e multipricha 21 via 43 fa 903 e nota che senpre quando tu multjprichi quintj contro a quartj fae venteximj e choxì adiviene d'ongnj simjglante rotto e però partj 903 cioè 903/20 in 20 e araj a ssani(?) parti 903 in 20, ne viene 45 e 3/20 ed è fatta ed eccho che ttorna a uno medeximo modo. E sta bene. Duo terzj che parte è di 8? Fa' choxì. Se ttu vuoj vederlo chiaramente recha 8 a tterzj, che ssono 2413; ora puoj dire 2 che part'è di 24, che è 2/24 cioè 1/12. Ed è ffatta. E anchora si può, ed e'è partjre 2/3 in 8 e quello che nne viene tal parte è di otto. Partjamo 2/3 in 8, multjpricha 3 via 8 fa 24 e pogli di sopra il 2, ch'è di sopra al 3, àj che ffa 2/24 cioè 1/12. Anchora, cioè un altro modo più chiaro del partjre l'uno per l'altro; cioè che se ttu vuoj partjre 2/3 in 8, recha 8 a tterzj che xxono 24/3. ora puoj partire 2 per 24, perochè ciaschuno sono choxe similj, e però partj 2 per 24, ne viene

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2/24 cioè 1/12 ischixato e abiamo 2/3 e' è 1/12 d'otto e Ila pruova e' è chiara perochè il dodecjmo d'otto e' è 2/3. Adunque 2/3 che parte è d'otto? e'è 1/12. Ed è fatta, amen. 16

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~imj 2/3 c~e parte è di 5/6. Questa ragione si può fare m du~ n:od). L'~no modo si è questo: partire 2/3 per 5(6 e mult]pncha 6 VIe 2/3, fae 4 sanj, e partj in 5, che ne viene 4/5, ed è fatta. L'altro modo si è questo: di trovare un numero ove si truovj e 'l 1/3 e il 1/6 che è 12. E di' c~oxj: ~/3 quantj dodecjmj sono? che sono 8/12 e anche di chox~: 5/~ quantj dodecjmj sono? che xxono 10/12. ~ra Pu~] partire 8 per .10 perochè xxono choxe simjglant), part] ~,per 1~ ne viene 8/10 cioè 4/5 ed è fatta e àj che 2/3 e e 1/ ~ dI 5/6. E puoxxi provare in questo modo: c~e ttl;' de~bl pigIare e' 4/5 di 5/6, pigIa 4/5 di 5/6 fà choxì, pigIa Il qumto di 5/6 che è 1/6 adunque e' 4 sono 4/6 cioè 2/3. E echo che sta bene. ~imm) 2 e 3/4 che parte è di 5 e 1/2. Puoxxi fare i'

mol~] mO~I chome veduto àj ne' paxxati e ximilj rottj; ma ~acclamo m questo modo e di' chosj. 1/2 e il 1/4 si ritruovano

m 4, ora recha 2 e 3/4 a quartj che xxono I I guartj e anc~or~ recha 5 e 1/2 a quart~ che xxono 22 quartj. Ora puoj dl~e. II/4 ch~ parte sono di 22/4, cioè I I che part'è di 22? chIaramente S,I, vede che è la metade cioè 1/2; àj adunque ch~ 2 e 3/4 e.e 1/2 di 5 e 1/2. Ed è fatta e choxi vedi che chIaramente SI poxxono fare tuttj i rottj similj a questo modo. Amen. 18

Dimmj 5 e 1/2 che parte è di 2 e 3/4. Puoxxj fare in questo m?do paxxato, cioè che il 1/2 e il 1/4 si ritruova in 8 e xapp~ 5 e 1/2 quantj ottavj sono, che xxono 44 ottavj; ora saPI?1 ~ e 3/4 quantj ottavj sono, che ssono 22 ottavj; ora PUO] dl~e 44 che parte e'è di 22? Dej rispondere che è duo cho~ant]. Ed è fatta e questo è chiaro perochè ongnuno chonosCle. che 44 è duo chotantj di 22. Adunque 51/2 che parte è dI 2 e 3/4? E' è due chotantj. Ed è fatta.

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~immj ~e 5 e' ,~ 2/3 d~ 6, 4 che parte sarà di 8. Dej fare choxl. Sapp] che e e 2/3 dI 6 che è 4; adunque noj troviano che 5 vale 4 perochè nnoj diciamo che exxo è 2/3 di 6. Ora

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sappj che vale 4 e di' choxj: se 5 vale 4, che varrà 4? Debbj senpre multjprichare 4 via 4, che fae r6, e àj a partire in 5; partj r6 in 5 ne viene 3 e r/5. Ora debbj dire choxj: 3 r/5 che parte è di 8? puoj fare in piune modi; ma fa' choxj: chome udito àj recha otto a quintj che sono 40 quintj e anche recha 3 e r/5 a quintj che ssono r6 quintj. Ora puoj dire: r6 che parte è di 40? che ssono r6/40 cioè, a schixarlo, è 2/5. Ed è fatta e à' che 4 e' è 2/5 di 8 se 5 è 2/3 di 6. E sta bene. 20

Piglia 3/4 di 29 e 3/5. Fa' choxj. Il modo del pigIare si può fare in dua modi. L'uno si è questo: pigIare l'uno quarto e poj multjplichare per 3, perochè dixxj e' 3/4; pigIa uno quarto di 293/5, fa' choxj: partj 29 e 3/5 per 4 e araj la quarta parte, partj 29 e 3/5 in 4, ne viene 7 e 2/5, ora multjpricha per 3 perochè vuoj e' 3/4, multjpricha 3 via 7 e 2/5 fae 22 e r/5. Aj che 3/4 di 29 e 3/5 sono 22 e r/5; e è fatta. Un altro modo, cioè senpre multjpricha 3 vie 29 e 3/5 fae 88 e 4/5 e poj partj in quattro, che ne viene 22 e r/5; echo che ttorna a u' modo e sta bene. E xxe ttu vuoj sapere lachagione del partjre che ttu faj, cioè per 4, si è questa perochè ttu àj multjprichato per 3 e àne fatto 3 chotantj cioè che 88 e 4/5 e'è 3 chotantj che 29 e 3/5. E io adornando la quarta parte di tre chotantj e però partj quello 3 chotantj in 4 il qual' è 88 e 4/5 e perchè io adornando il quarto anchora la chagione si è perochè 3/4 e'è il quarto di 3, per lo quale 3 io multjprichaj.

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Uno chonperò 3 huova 4 d. e poj vendè le 5 huova 7 d. e infjne si truova ghuadangnato 40 d. Vo' sapere quante furono quelle che egli vendè. Fa' choxj. Se lle 3 huova gli venghono 4 ,d. che gli verranno le 5 huova? Puoj dire: se 3 mj vale 4 che mi varrà 5? Multjpricha 4 vie 5, fae 20, e partj in 3, che ne viene 6 e 2/3, e no' diciamo che eglj le vendè 7 d.; adunque ghuadangna r/3 d. delle 5. Ora di' choxj: se lle 5 huova mi vaglono r/3 di d., quanto n'arò per 40? Multipricha 5 via 40, fae 200, e partj in r/3, che ne viene 600; adunque 600 huova vendè. Ed è fatta, e choxj dej fare le xjmjlj ragionj e questa medexjma ragione si fa per lo chatujno.

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Quando lo stajo del grano valeva 20 S., facievaxene il pane che pesava 12 oncie e valeva 4 d.; ora vale lo stajo del grano 8 s. e faxxene pane che vale 3 d.. Va' sapere che de' pexare il pane che ssi vende 3 d. a quella medexima ragione. Fa' choxì. Il pane pexa 12 oncie del grano che mj chosta 20 S., ora mj chosta 8 s. che pexerà vendendolo quel medeximo, cioè 4 d. ? Fa' choxì: inperò che 20 è duo chotantj e 1/2 d'otto, dee pexare quello medeximo pane 2 e 1/2 chotantj che prima e in prima pexava 12 oncie. Ora .multipricha 2 e 1/2 via 12 oncie, che exxo pane pesava prima, fae 30 oncie e àj che, chostandotj lo staio del grano 8 s. e vendendo il pane 4 d., dee pexare 30 oncie. Ora die che ttu il vendi 3 d. e ttu vuoj sapere che dee pexare il pane vendendolo 3 d.; dej multjprichare 3 via 30 che fa go oncie e partj in 4 che ne viene 22 oncie 1/2 e 22 oncie e 1/2 de' pexare il pane de lo staio del grano che ttu chomprj 8 s. vendendo il pane 3 d. a quella medexima ragione di prima. E è fatta.

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Uno togle a fare u' llavario in 4 dì e un altro togle a fare quello medeximo lavorio in 5, vo' sapere mettendo questj due maestrj in quello medeximo lavorio in quanto tenpo l'aranno fatto. Fa' choxj. Senpre ragiungnj 5 e 4 che fa 9 e senpre multjpricha l'uno per l'altro, che fa 20, e senpre iragiungnere: e' è il partjtore e il multjprichatore e'è il partjto. Adunque partj 20 con 9 ne viene 2 e 2/9 e in 2 dì e 2/9 aranno fatto questo lavorio. Ed è fatta. E xe noj voglano chonosciere meglo questa ragione, il perchè noj mu1tjprichiamo 4 via 5 che fa 20 perochè nel ventj si ritruovano, di' coxj. In 20 dì chostoro lo farebbono 9 volte e io lo voglo fare solamente una volta; adunque s'eglino il fanno in 20 dì 9 volte, pigIa la nona parte di questo tenpo, cioè di 20 dì che ne viene 2 dì e 2/9 di dì. E choxj puoj dire che in chotanto tenpo il faranno amendunj insieme cioè in 2 dì e 2/9 di dì; ed è fatta, chome vedj, per questo più intelligibile modo.

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E' 'gl'è un granaio che è lungo 23 braccia ed è largo 9 braccia e alto 3 braccia, vo' xapere quanto terrà tenendo ongni braccio quadro 9 staia. Fa choxj. Senpre recha in prima il granaio a braccia quadre e fa' choxj: mu1tjpricha

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la larghezza del granaio chontro alla lunghezza, cioè multjpricha 9 via 23 fa 207, e àj che nel fondo e' 'gl'è 207 braccia quadre e noj diciamo che 'gl'è alto 3 braccia, adunque multjpricha 3 via 207 fa 621 e àj che il granaio è in tutto 621 braccia quadre. E ora multjpricha 9 via 621 braccia quadre perochè nnoj diciamo che ongnj braccio quadro tjene 9 staia, che fae 9 via 621, che fae 5589 staia e chotanto terrà il granaio. Ed è fatta. 25

Una chanpana pexa 29 libre e avj entro 12 libre di rame e avj entro IO libre di stagno e avvj entro 7 libre d'arìen· to; ora se ne ronpe un pezzo che pexa 12 libre, va' sapere quanto rame e quanto stangno e quanto ariento aè in questo pezzo che pexa 12 libre. Fa' choxj e di': questa canpana delle 29 partj le 12 sono rame e delle 29 partj le IO sono stangno e delle 29 partj le 7 sono ariento e choxj puoj dire simiglamente del pezzo che pexa 12 libre; e però pigia 12/29 di 12 libre, che pexa il pezzo, e chotanto rame aè nel pezzo, multjpricha 12 via 12 libre fa 144 libre e partj in 29 che ne viene 4 libre 28/29 di libra; e ora pigIa 10/29 di 12 libre, multjpricha IO via 12 fa 120 e partj in 29 che ne viene 4 libre e 4/29 di libra; e ora pigIa 7/29 di 12, multjpricha 7 via 12 partj in 29 che ne viene 2 libre 26/29 di libra. E àj che in questo pezzo aè 4 libre 28/29 di libra di rame e 4 libre 4/29 di libra di stagno e 2 libre 26/29 di libra d'ariento. Ed è fatta.

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E' 'gl'è un pozzo quadro ch'è per faccia 2 braccia 1/2 ed è a fondo 25 braccia, va' sapere quanto terrà tenendo ongnj braccio quadro 5 barili. Fa' choxj. Dej in prima rechare il pozzo a braccia quadre e però multjpricha 2 1/2 via 2 1/2 fa 6 1/4 e àj ch'egl'è nel fondo 6 braccia e 1/4 di braccia quadre; e ora dicho ch'è alto, o vuoj a fondo, 25 braccia e però multjpricha 6 e 1/4 contro all'altezza ch'è 25, fae 156 e 1/4 e àj che 'l pozzo è in tutto 156 braccia quadre e 1/4 di braccio. E noj diciamo che ongni braccio quadro tiene 5 b:lrilj e però multipricha 5 via 1561 /4 che fa 781 e 1/4 e 781 e 1/4 barilj terrà il pozzo, i quali 781 e 1/4 barilj sono 78 chongna e uno barile e 1/4 di barile a modo di Firenze.

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TRATTATO D'ARITMETICA

Uno vuole fare amattonare una sala che è lung?a 24 braccia e llarga 14 braccia. 1/2, e v~olla mat~onare dI mattonj lunghj l'uno 1/2 braCCIa e larghI 1/4· 0 xapen~ quantj mattonj v'enterranno. Dej fare choxj .. P~Ima sapp] quante braccia quadre è Ila xala e però mu.1tlPncha la larghezza chontro alla lunghezza, cioè 14 e 1/2 VIa 24 ch~ fa 348. braccia, e 348 braccia quadre è Ila sala. Ora ;app] q~ant] mattonj entrano nel braccio quadro, fa' ~~ox]:. reca Il mattone a quadro, mu1tjpricha 1/2 vie 1/4 e aJ che Il matt~ne è I/~ di braccio quadro. Adunqu~ v'entrano 8 nel braccIo e pero mu1tjpricha 8 via 348 braccia quadre~ che fae 27~4, e 2784 mattonj entterranno in una sala che SIa 348 braCCIa quadre.

di primo costo. Dej fare choxj. Partj 90 lire in 7/8, che ne viene 102 lire 6/7 di libra e chotanto chostò di prima, del quale chosto perdè 2 s. 6 d. per lira quando la rivendè ed è fatta. E se nnoj voglamo sapere la chagione del partjre 7/8, si è questa perochè 2 s. 6 d. è 1/8 di lira e insino in una è 7/8 e però si parte in 7/8 e àj che 102 lire 6/7 di lira fu il chosto di prima. E nota che questa ragione si può fare per la reghola delle 3 choxe in questo modo cioè diciendo chosi: se 20 s. tornano 17 s. 6 d., che ttorneranno 90 lire? o vuoj dire chosì: se una lira torna 7/8 di lira, che ttornerae ch'io abbi per go lire di quelle de' 7/8? cioè a dire: quante n'arò per 90 lire? Però mu1tjpricha novanta via uno e partj in 7/8 che ne viene 102 lire 6/7 di lira. E questo è chiaro e similmente, chome vedi queste, puoj fare tutte l'altre però ch'io tj mostro la vera ragione per più modi, choxj faraj.

v.

I voglo rachoglere tuttj i numerj che s~no da uno ~nsino in 24, cioè rachoglere tuttj i numerj che SI ~ru~v~no ~n 24, cioè l'uno e 'l 2 e 'l 3 e 'l 4 e choxj seghmre mfmo m 24: Fa' choxj. Senpre pigIa la metà di 24,. che è 12, e arrogI uno a 24 e àj 25, e senpre mu1tjpricha 12 via 25: f.a 300: e 300 sono ed è fatta. Choxì dej senpre fare le simiglant] a volerle fare per reghola. E' gl'è un tondo che 'l diamjtro ~uo. è 12 bracci.a! ~o' 29 xapere che gIra mtorno. No] abIamo detto che e' 'gl'è per lo mezzo , 12 braccia; senpre dej tenere que2(rer~ sta reghola sechondo il geometra 1-~~-l-----1 J7S/T che dicie che ttu mu1tjprichi ;:enpre per 3 e 1/7 e chotanto .gir~ intorno intorno. E però mult]pnchiamo 12 via 3 e 1/7, che fa 37 e 5/7, e 37 braccia 5/7 di braccio girerà di fuorj, cioè intorno

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intorno. Che fa 3 s. via 5 lire? Fa' choxj. Perochè si de' multjprichare per la sustanza de' numeri, reca 3 s. a d. c~e sono 36 d. e ora multjpricha .36 d. vi~ 5 li;e che fa 180 hre e .se nchora il vuoj mu1tjpnchare plU chIaramente recha 5 hre : d. e po' multjpricha 36 d. via qu~llj d. che fa quello medeximi. cioè 180, e 180 lire fa. Ed e fatta. Uno vendè una sua merchatantja go lire e truov~xj per: duto a ragione di 2 s. 6 d. per lira; vo' sapere che gh chosto

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Uno vende una sua merchatantja 30 s. e ttruovaxj ghuadangnato a ragione di 6 s. per lira, vo' xapere che gli chostò di prima. Fa' choxj e di': egli guadangna 6 s. per lira che xxono 3/10 di lira. E ora di': d'ongnj I esso fa I 3/10 e però partj 30 s. inI 3/10, mu1tjpricha IO via 30 s fa 300 s. e partj in 13 perochè I 3/10 sono 13 decjmj; che ne viene 23 s. e 1/13 di s.. E tanto gli chostò di prima; choxj fa' le ximjlj;

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Due merchatantj voglono barattare insieme, l'uno àe pannj e l'altro àe lana. Quegli che à panno gli mette in baratto la channa del panno che vale 30 s. che le chonta 45 s in baratto e vuole 1/3 de' danarj che Ila sua merchatantja monta contantj; e il 100 della lana vale 20 lire, adornando che glele chonterà in questo baratto acciò che non si inghannjno. Fa' choxj e di': costuj gli chonta, ongnj 30 s., 45 e ànne 1/3 di contantj; pigIa 1/3 di 45 lire che è 15 e ora clie: adunque rià eglj, de' suoj 30 s., 15 s., 15 s. contantj, adunque glj chont'eglj i' rresto, cioè 15 s., 30 s. che glele chonta dua cotantj che Ila valuta; e però chostuj glj dee mettere, in questo baratto, il centjnaio della sua lana due chotantj. Adunque s'ella vale 20 lire glele metterà 40 lire. Ed è fatta e choxj fa' le ximjlj.

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La lira è prestata il mexe a 3 d., domando le 60 lire che guadangneranno in 8 mexj. Fa' choxj e di': in 8 mexj una lira guadangna 2 s.. E però di': se una lira guadangna 2 s., che ghuadangneranno le 6o? Mu1tjpricha 2 via 60, fa 120 s. e 120 s. ghuadangneranno le 60 libre in 8 mexj. Ed è fatta.

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La lira è prestata il mexe per 3 d., adornando le 25 lire in quanto tenpo ghuadangneranno 40 d.. Dej dire choxj. Le 25 lire a 3 d. la lira il mexe ghuadangnano in un mexe, cioè in 30 dì, 75 d.; ora dej dire: se 30 dì vaglono 75 d., per 40 d., quantj dì arò? E però rnultjpricha 40 via 30, fae 1200, e partj in 75, che ne viene 16 dì, e àj che per 40 d. araj 16 dì. Adunque in 16 dì le 25 lire ghuadangnano 40 d.. Ed è fatta.

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Uno si vuole vestire d'un panno che è largho 2 braccia 1/2 e dicie il sarto che exxo ne vuole 13 braccia; vo' xapere d'un altro panno che xia largho 3 braccia 1/4 quanto ne vorrà per lunghezza. Fa' choxj. Sappi quante braccia quadre e'è quello panno che è largo 2 braccia 1/2 e però mu1tjpricha 13 via 2 1/2, fae 32 1/2, e àj che 32 braccia 1/2 quadre e'è quello primo panno. Ora dej dire choxj: di questo che è largo 3 1/4 quanto ne vorrà? Assaj è chiaro che egli ne vorrà 32 braccia 1/2 quadre e però dej dire choxj: truovamj un numero che mu1tjprichato per 3 1/4 facia 32 1/2. Partj 32 1/2 per 3 1/4, che ne viene IO, e IO braccia di quest'altro panno vorrà. E lla pruova è questa perochè IO braccia d'un panno che sia largho 31/4 e'è 321 / 2 quadre, adunque e'è quanto le 13 braccia d'un panno che xxia largho 2 1/2. Ed è fatta.

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Uno chonperò il 100 della lana 18 lire e ttolseno 490 libbre e llavolla, e lavata tornò 184 libbre. Vo' xapere che gli venne il 100 lavata. Fa' choxj. Sapi che venghono 490 libre a 18 lire il 100, mu1tjpricha 18 via 490, che fa 8820, e partj in 100, che ne viene 88 lire e 4 s.. Ora puoj dire choxj: perochè queste 490 libre tornano 184, die, 184 libre mj costono 88 lire 4 soldi, che mj venghono le 100 libbre? Mu1tjpricha 100 via 88 lire 4 s., fae 8820 lire, e partj in 184 cioè

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partj in 8 via 23. Partj in 8, e poj quello che ne viene in 23, che ne viene 47 lire 18 s. 8 d. e 8/23 di danaio. Ed è fatta.

100 lire fanno 123 3/4 di lira a quella medexima ragione. Sichè viene a 233/4 per 100, chome vedi che ssono più che 100 lire 23 3/4. E chotanto ghuadangnano vendendo chostuj questa sua merchatantja 45 lire.

Uno à fatto fare un chopertoio che è lungho 9 braccia ed è largho 5 braccia e chosta 40 lire, ora chonpera un altro chopertoio che è lungho I l braccia ed è largho 6 braccia. Vo' xapere che chosterà a quella medexima ragione. Fa' choxì. Recha il primo chopertoio a braccia quadre, mu1tjpricha 5 via 9 fae 45 e di': 45 braccia vaglono 40 lire. E ora c;api quante braccia quadre e'è questo sechondo chopertoio, multipricha 6 via I l fae 66. Ora di': se 45 vale 40, che varanno 66? Multjpricha 66 via 40, che fae 2640 lire, e partj in 45 che ne viene 58 lire 13 soldi 4 denari e chotanto varrà. Ed è fatta e sta bene. Uno vende una sua merchatantja 14 lire più quella no' gli chostò e truovaxj ghuadangnato a ragione di 25 per centjnaio, vo' xapere che fu il chosto. Fa' choxj e di': ongni 100 vale 25 lire di pro', per 14 lire di pro' quante n'arà? Multjpricha 14 via 100, fa 1400, e partj in 25, che ne viene 56 lire, e 56 lire fu il primo chosto, delle qualj 56 lire ghuadangnò14 lire. Ed è fatta e choxj fa' le ximjlj. Quando io vendexxi una mia merchatantia a 40 lire io ne ghuadangnerej a ragione di IO per 100; adornando: vendendola 45 lire a che ragione ghuadangnerò per 100? De' fare choxì. Sapere vendendo unO una sua choxa 40 lire e ghuadangnando a IO per 100, che fu il primo chosto? Fa' choxì. Sapi che ne toccha per lira a ragione di IO per 100, che ne toccha 2 soldi. Sapi 2 soldi che part'è di lira, che è il l/IO, e senpre partj 40 I sul l/IO, che ne viene 36 4/ 11 di lira, e àj che Ile 40 lire divenghono 36 lire 4/11 ghuadangnando a IO per 100. Ora dicho: vendendo, queste 36 lire 4/ I l di lira, 45 lire a quanto viene per 100? Dej fare choxì e dire: se 36 lire e 4/11 di lira vaglono 45 lire, che varranno le 100 lire? Mu1tjpricha 45 via 100, fae45°°, e partj per 36 4/ II; recha il partjtore a undecimi che sono 400 e 400 e'è il partjtore, ora recha 4500 a undecjmj che sono 49500 . Ora puoj partjre per 400 perochè xxono choxe simjlj e pertanto partj 49500 in 400, che ne viene 123 3/4 e àj che Ile

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Sette gienovinj vaglono 8 bolongnini e 5 bolongnjnj vaglono II sanexj, le 125 lire di bolongnjnj che sieno a sanexj? Fa choxj e di': se 7 vale 8 bolongnjnj, per 5 bolongnjnj quantj genovinj arò? Mu1tjpricha 5 via 7, fae 35, e partj in 8, che ne viene 4 3/8; e ora puoj dire che 4 genovinj e 3/8 di genovino vaglono II sanexj, inperochè 4 e 3/8 vaglono 5 bolongnjnj e ttu di' che 5 vaglono I l sanexi. Ora fa' choxj e di' se 4 3/8 vaglono I l sanexj, per 125 lire di bolongnjnj quantj sanexj arò? E però mu1tjpricha I l via 125, fae 1375, e partj in 4 e 3/8; recha a ottavj multjpricha 8 via 1375, che fae 11000, e xapi 4 e 3/8 quantj ottavj sono, che ssono 35; ora partj 11000 in 35 che ne viene 314 lire 2/7 di lira e àj che Ile 125 lire di gienovini vaglono 314 lire e 5 s. e 4 d. e 4/7 di sanexj. Ed è fatta.

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E' 'gl'è uno chanpo che è lungho 60 braccia ed è largho 40 braccia e vovi porre piantonj ch'abia dall'uno all'altro 2 braccia; vo' sapere quantj piantonj v'enterrà eritro. Fa' choxj. Sappi quantj piantonj v'entrano per lunghezza pigIando lo spazio di 2 braccia, che ve n'entrano 31, perochè ttu ne ponj in su 'n ongnj chapo uno e però ve ne va 31. Ora sappj quantj ne va per larghezza, la quale è 40 braccia, che ve ne vae 21 pigIando lo spazio di 2 braccia. Ora multjpricho 21 via 31, fae 651, e àj che 651 piantonj v'enterranno che arà dall'uno all'altro 2 braccia. Ed è fatta e chome questa choxj molt'altre simjlj puoj fare d'ongnj ragion choxe.

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Una lancia è xotterra 1/4 e il 1/6 di tutto quello ch'ella e'è lunga, e sopra terra n'àe 20 braccia; vo' xapere quanto è llunga in tutto. Fa' choxj e di': 1/4 e il 1/6 si ritruovano in 24, e pigIa il quarto e il sesto di ventjquattro che è IO, e infino in 24 àe 14 e ttu adomandi 20. Di choxj: per 24 mj vale 14. quantj n'arò per 20? Multjpricha 24 via 20, fae 480, e partj in 14, che ne viene 34 e 2/7. Adunque 34 braccia e 2/7 di braccio sia lungha tutta la lancia. Ed è fatta e sta bene.

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Se nnoi volexximo mjsurare uno monte di grano sanza staio dobiamo fare chox). Mettere una channa raxente terra sotto questo grano e sapere quanto è, pongniamo che foxxe 4 braccia, e poj mettere una channa in sullo chuchuzzolo del monte e mandarlo giù al diritto e sapere quanto ella e'è, e pongniamo che ssia 3 braccia. Ora die: e' 'gl'è uno tondo che il diamitro suo e'è 4 braccia. uno mOflfe quanto è quadro? Fa' choxj: multii tipricha il diamitro per xe mederemo ximo; multjpricha 4 via 4, fae 16, e pigIa senpre II/14 di 16, multjpricha II via 16 fa 176 e partj per 14, ne viene 12 4(7. Ora di': noj abiamo che il piano di questo gra-Ibra. no è 12 braccia e 4/7 di braccia quadre e ora diciamo che è alto 3 braccia, cioè dalla punta del monte atterra; e però pigIa 1/2 di 3 che è I e 1/2. E ora di': e' 'gl'è un tondo che è 12 braccia 4/7 nel fondo ed è alto I braccio e 1/2 quante braccia quadre sia? Multjpricha I e 1/2 via 12 e 4/7, che fae 18 braccia e 6/7, e 18 braccia e 6/7 quadre è questo monte di grano. Ora diciamo che Ho braccio quadro tiene 9 staia e però multjpricha 9 via 186/7, che fae 16