Transformari de Asemanare [PDF]

Zitiervorschau

Universitatea de Stat din Tiraspol Facultatea Fizică Matematică si Tehnologii Informaţionale Specialitatea Matematica

Referat la geometrie

Realizat: Cîrlig Maria, gr.41 Verificat: Mitrofan Cioban, prof. de geometrie

Martie 2015

CONSIDERAŢII GENERALE

Istoria matematicii consemnează că transformările geometrice au fost folosite pentru obţinerea primelor demonstraţii ale unor teoreme de geometrie a planului şi spaţiului. Astfel se afirmă că Thales din Milet a demonstrat prin suprapunerea figurilor, folosind ideea de mişcare, tradusă astăzi în aceea de transformare geometrică, teoremele: unghiurile opuse la vârf sunt congruente; unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente; diametrul împarte cercul în două părţi congruente ş.a. Mai târziu, Aristotel a eliminat mişcarea din geometrie şi deci şi transformările geometrice, considerând obiectele matematicii ca entităţi abstracte. Această concepţie a fost concretizată de Euclid prin celebra sa carte “Elementele”, în care geometria este construită fără utilizarea ideii de mişcare pentru că aceasta nu poate exista, conform concepţiei lui Platon, Aristotel, Euclid, în lumea formelor ideale. Pe aceeaşi linie s-a situat D. Hilbert în construcţia sistemului cunoscut de axiome ale geometriei. El a înlocuit ideea de mişcare cu ceea de figuri congruente. Predarea geometriei în spiritul axiomaticii lui Hilbert sau a lui Birkhoff este implicată, indiscutabil, în diminuarea ponderii transformărilor geometrice în unele programe analitice şi manuale. Intuiţia asigură înţelegerea de către elevi a noţiunilor de mişcare, suprapunere, transformare a figurilor, ceea ce favorizează înţelegerea ulterioară a unor concepte fundamentale din geometrie sau oferă o cale de a pătrunde în corpul teoremelor geometrice fără supoziţii complicate, greu de explicitat şi de motivat. Acest fapt indică posibilitatea de a introduce în geometrie transformările geometrice, propusă de A. N. Kolmogorov şi folosite în ţările din fosta Uniune Sovietică. Pe această cale numeroase teoreme de geometrie se demonstrează simplu. Transformările geometrice sunt în esenţă funcţii. Studiul lor este calea principală pe care noţiunea de funcţie pătrunde în geometrie. Aşadar transformările geometrice sunt elemente de unificare a matematicii şcolare. Deşi transformările geometrice erau folosite de mult timp în rezolvarea unor probleme de geometrie, ele nu au fost gândite ca funcţii decât relativ recent, când figurile geometrice au fost concepute ca mulţimi de puncte. Astfel, dacă π este un plan dat, o aplicaţie T : π → π se numeşte transformare geometrică, în cazul când e compatibilă, într-un sens bine precizat, cu o structură geometrică din π. Unei asemenea transformări geometrice i se poate asocia o nouă aplicaţie. Dacă prin F notăm mulţimea tuturor părţilor lui π (figurilor din π) iar pentru orice f ∈ F notăm T( f) = {T (M ): M ∈f } obţinem o aplicaţie T:F → F , f →T (f) numită asociată a transformării T. T este bijectivă dacă şi numai dacă este bijectivă. Aplicaţiile T şi se notează în mod curent cu aceeaşi literă, ceea ce poate duce la confuzii, dar şi la o mai mare uşurinţă în exprimarea proprietăţilor lui T prin T. De exemplu, când spunem că T aplică o dreaptă într-o dreaptă paralelă cu ea avem în vedere aplicaţia . Ea ilustrează punctul de vedere mai vechi asupra transformărilor geometrice când planul era gândit ca o colecţie de figuri pe care “acţiona” . Punctul de vedere actual conduce la exprimări mai complicate, de exemplu “aplicaţia T transformă

punctele unei drepte în puncte ale unei drepte paralele cu ea”, dar este mai unificator şi mai în spiritul matematicii moderne. Ca orice alte funcţii, transformările geometrice se pot compune. Există multe situaţii în care mulţimea transformărilor geometrice de un anumit tip este închisă la compunere, formând un grup. Amintim grupul translaţiilor, grupul rotaţiilor de acelaşi centru, grupul asemănărilor. Aşadar transformările geometrice furnizează exemple netriviale de grupuri, fapt ce facilitează înţelegerea noţiunii abstracte de grup la algebră, şi care indică rolul integrator al transformărilor geometrice, de această dată cu algebra abstractă. Primele obiective operaţionale care se urmăresc în predarea temei respective sunt: - construirea imaginii unui punct printr-o anume transformare geometrică; - determinarea punctelor ce se corespund printr-o transformare care duce o figură întro altă figură (determinarea aplicaţiei T din T ); - remarcarea elementelor care determină o transformare geometrică: centrul simetriei, centrul şi unghiul rotaţiei. etc.; - construirea imaginii unei figuri printr-o transformare geometrică. Prin atingerea acestor obiective elevii capătă deprinderea de a folosi transformările geometrice în rezolvarea problemelor. În funcţie de timpul disponibil, se poate aborda structura grupală a transformărilor geometrice şi teoreme de exprimare a unor transformări geometrice ca o compunere de transformări mai simple. De exemplu, orice izometrie este compunerea a cel mult trei simetrii axiale. O structură geometrică suficient de simplă şi în acelaşi timp cu multe proprietăţi este structura metrică a planului (spaţiului) dată de distanţa dintre două puncte. Această structură are şi un accentuat caracter intuitiv, ceea ce permite utilizarea ei în clasele a VI-a şi a VII-a. Transformările geometrice compatibile cu structura metrică sunt interesante şi bogate în proprietăţi. Două asemenea clase de transformări sunt studiate cu precădere: izometriile şi asemănările. Ne vom ocupa numai de aceste transformări. Gândim spaţiul fizic obişnuit ca o mulţime de elemente numite puncte, notat cu S. Noţiunea de distanţă ce formalizează într-o aplicaţie d : S × S → R , cu următoarele proprietăţi: 1. d( A,B) ≥ 0 şi egal cu zero dacă şi numai dacă A coincide cu B; 2. d(A,B) = d(B,A) 3. d(A,B) ≤ d(A,C) + d (C,B), oricare ar fi punctele A, B, C din S.

Aplicaţia T : S → S se numeşte izometrie dacă d(TA,TB) = d(A,B), adică păstrează distanţa între puncte, şi se numeşte asemănare dacă d(TA,TB) = k ⋅ d(A,B), adică multiplică distanţa cu un factor real strict pozitiv k. Orice izometrie este o asemănare particulară (k = 1). Totuşi în mod obişnuit, se face întâi studiul detaliat al izometriilor apoi cel al asemănărilor. Această ordonare pe lângă avantajul didactic evident de a se trece de la simplu la mai complicat este dictată şi de faptul că orice asemănare este compunerea unei izometrii cu o omotetie (o asemănare particulară). Teoreme asemănătoare pentru izometrii, de exemplu, orice izometrie a planului care păstrează orientarea este sau o translaţie, sau rotaţie, sau simetrie centrală, respectiv, orice izometrie este compunerea a cel mult trei simetrii axiale ne arată că e recomandabilă mai întâi studierea izometriei particulare (simetria, translaţia, rotaţia), apoi trecerea la stabilirea proprietăţilor generale ale izometriilor. În urma analizei modalităţilor de a concepe predarea transformărilor geometrice în diferite programe şi manuale se pot distinge două puncte de vedere: sintetic şi vectorialanalitic. Conform primului, transformările geometrice se definesc în mod direct, cu elemente geometrice simple: puncte, drepte, plane, unghiuri şi proprietăţile lor se demonstrează geometric pe baza axiomelor şi teoremelor simple de geometrie. Al doilea punct de vedere se referă la introducerea transformărilor geometrice pe baza noţiunii de vector sau prin expresiile lor analitice, proprietăţile obţinându-se prin combinarea elementelor de algebră vectorială cu elemente de geometrie analitică.

NOŢIUNEA DE COMPOZIŢIE.

Fie M o mulțime nevidă. Numim lege de compoziție internă (operație algebrică) pe mulțimea M orice funcție definită pe M × M cu valori în M:

care asociază Elementul

fiecărui cuplu se citește x compus cu y.

un

element

unic

.

COMPOZIŢIA ASOCIATIVĂ. Definiţie: Fie x, y, z aparţinând lui M. Legea de compoziţie „* ” se numeşte asociativă pe mulţimea M dacă: • Prezenţa parantezelor, în expresia (x*y)*z, cere următoarea procedură de calcul: se află mai întâi compusul lui x cu y şi apoi (x * y) se compune cu z, obţinânduse, în final, elementul (x*y)*z, care aparţine lui M. Prezenţa parantezelor în

expresia x*(y*z) impune să aflăm mai întâi (y*z) şi apoi să-l compunem cu x, obţinându-se astfel elementul x*(y*z), care aparţine lui M. • Dacă legea de compoziţie este notată cu „+” sau „.” atunci proprietatea de asociativitate a acesteia se scrie: • (x + y) + z = x + (y + z), respectiv (x.y).z = x.(y.z); x, y, z M. • Exemple: 1. Adunare şi înmulţirea numerelor reale sunt legi de compoziţie asociative, pentru că: • (x + y) + z = x + (y + z) şi (x.y).z = x.(y.z); x, , y zR. • 2. Adunarea şi înmulţirea matricilor din M(R) sunt legi de compoziţie asociative, deoarece: • (A + B) + C = A + (B + C) şi (A.B).C = A.(B.C). • 3. Reuniunea şi intersecţia părţilor unei mulţimi E sunt legi de compoziţie asociative, deoarece: • (XUY)UZ = XU(YUZ). • 4. Compunerea funcţiilor unei mulţimi E, în ea însăşi este o lege de compoziţie asociativa, deoarece: • (f * g)*h = f*(g * h).

GRUPURI DE TRANSFORMĂRI. Transformare este acea modificare de stare creată într-un spațiu obiectual interactiv printr-o acțiune configurantă dată. Specificitatea transformării depinde de caracteristica structurală și interactivă a spațiului și de particularitățile operante ale sistemului transformant. Marea majoritate a transformărilor sunt generate de om în spațiul real fenomenal, din ale cărui obiecte și proprietăți își derivă criteriile de supraviețuire. Transformările stărilor realității se realizează prin acțiune gestuală directă sau prin intermediul diferitelor unelte cu sau fără potențial energo interactiv propriu. Dar în realitate se produc sistematic transformări și fără intervenția umană, natura posedând enorme energii și direcții de aplicare, pentru a își modifica mereu alcătuirea și evoluția. Practica și inteligența umană sunt mereu orientate spre înțelegerea direcțiilor, modalităților și consecințelor transformărilor naturale, individuale și sociale. Criteriul unic care determină totalitatea transformărilor naturale este 'cauzalitatea universală', înțeleasă că acel set de condiții interactive fundamentale care stau la baza fiecărui proces natural. Transformări în individualitate pot fi metabolice, informaționale,

exprimând salturi de cunoaștere și transformări afective, caracterizând câmpurile de atractori care fixează și polarizează interactiv subiectul. Transformările sociale vizează schimbări politice, culturale, științifice, tehnologice, comerciale, economice, religioase, etice, fiecare ducând la o anume modificare structurală și funcțională locală, statală sau mondială. Transformări se petrec mereu în toate nivelurile personalității și colectivității umane care evoluează sistematic, își schimbă parametrii opționali, culturali, creativi, teoriile științifice, normele morale și valorice. 

Transformare, (din lat. transformare "a trece de la o formă la alta"), se mai numește aplicație sau funcție .



Transformare geometrică, corespondență între elementele a două mulțimi de figuri geometrice.



Transformările care depind de un număr de parametri formează o mulțime de transformări; o transformare a mulțimii este determinată pentru anumite valori date parametrilor.



O mulțime de transformări formează un grup de transformări dacă produsul a două transformări din mulțime aparține mulțimii, iar inversa unei transformări din mulțime aparține mulțimii. Rezultă că un grup de transformări conține transformarea identică operând pe intersecția mulțimilor transformate între ele. Proprietățile invariante într-un grup de transformări constituie o geometrie atașată grupului. Două figuri obținute una din alta printr-o transformare a grupului sunt egale în grup.





Geometria elementară are diferite ramuri bazate pe: 

- grupul deplasărilor



- grupul metric



- grupul asemănărilor



- grupul analagmatic



- grupul proiectiv



- grupul afin



- grupul topologic, etc. Transformările acestor grupuri sunt:





- deplasări



- izometrii



- asemănări



- inversiuni



- proiectivități



- afinități



- omeomorfisme, etc.



- sau combinări ale acestor transformări.

Teoria grupurilor continui de transformări a fost elaborată de Sophus Lie. În 1872, Felix Klein a susținut că o geometrie este studiul invarianților unui grup de transformări.

 

  

Transformare proiectivă, ... Transformare afină - transformare proiectivă care lasă un plan fix. Între coordonatele punctelor transformate există relații lineare, de determinant diferit de zero. Transformarea afină este determinată prin: 

- patru perechi de puncte, în spațiu.



- trei perechi de puncte, în plan.

Transformare topologică - transformare biunivocă și bicontinuă (continuă împreună cu inversa sa). Figurile egale în grup sunt numite omeomorfe. Transformata Fourier, ... Transformata Laplace , (a unei funcții reale de argument real), se utilizează la rezolvarea unor ecuații diferențiale, integrale, sau cu derivate parțiale. ASEMĂNAREA ÎN PLAN. PROPRIETĂŢI GENERALE

Transformarea de asemănare poate fi introdusă prin generalizarea celei izometrice. Izometria este transformarea geometrică ce păstrează distanţa. Putem considera, teoretic vorbind, transformări geometrice care multiplică distanţa cu un factor.Cum distanţele se exprimă prin numere reale pozitive, factorul de multiplicare

trebuie să fie în mod necesar un număr real strict pozitiv. Introducem definirea formală ce urmează. Definiţie. O aplicaţie ak : π → π a planului se numeşte asemănare de raport k, unde k este un numărl real strict pozitiv dacă este surjectivă şi pentru oricare două puncte A şi B din π avem: d(ak ( A ),ak ( B))= k *d( A,B). Numărul k trebuie luat strict pozitiv pentru că dacă ar fi zero, din relatia de mai sus ar rezulta pentru oricare două puncte A, B. Deci aplicaţia este aplicaţie o constantă, care nu este surjectivă. Mulţimea asemănărilor planului nu este vidă, deoarece conţine izometriile planului, obţinute pentru k = l . Amânăm pe mai tîrziu problema existenţei unei asemănări proprii, deci pentru k ≠ 1. Din relaţia de mai sus rezultă că orice asemănare a planului este injectivă, iar fiind prin definiţie surjectivă, este bijectivă. Se demonstrează uşor că inversa unei asemănări de raport k este o asemănare de raport 1 / k. Menţionăm că asigură şi surjectivitatea aplicaţiei , dar demonstratia acestui fapt este anevoioasă. Considerând aplicaţia identică asemănare particulară, se constată că mulţimea asemănărilor planului formează un grup în raport cu compunerea aplicaţiilor. Asocierea este un izomorfism al acestui grup cu grupul multiplicativ al numerelor reale strict pozitive. a k → k. Asemănările au multe proprietăţi similare cu cele ale izometriilor. O primă consecinţă a acestui fapt este aceea că, întrucât în planul euclidian există triunghiuri asemenea necongruente, există asemănări ale planului care nu sunt izometrii. O altă consecinţă rezidă în motivaţia următoarei definiţii: Două figuri F şi F' ale planului π se numesc asemenea cu coeficientul de asemănare k dacă există o asemănare a planului k a π, încât ak (F)= F'. TRANSFORMARE GEOMETRICĂ Transformările geometrice au fost utilizate încă din cele mai vechi timpuri pentru demonstrarea unor teoreme. Definim distanţa ca o aplicaţie pe un spaţiu şi

Aplicaţia

cu următoarele proprietăţi:

se numeşte izometrie dacă: adică păstrează distanţa dintre puncte şi se numeşte asemănare dacă adică multiplică distanţa cu un factor real strict pozitiv k.

GRUP DE TRANSFORMĂRI GEOMETRICE O aplicaţie se numeşte transformare geometrică a planului spune că T este izometrie dacă T conservă distanţele dintre puncte:

Vom

Notăm cu mulţimea tuturor izometriilor planului Dacă şi sunt izometrii, atunci şi este o izometrie. este un grup, numit grupul izometriilor planului Fie F o figură plană, şi o izometrie; notăm cu Spunem că T invariază (global) pe F dacă Notăm cu mulţimea tuturor izometriilor care invariază pe F. este un subgrup al grupului , numit grupul de simetrie al lui F. Fie şi un poligon regulat cu n laturi din planul Grupul de simetrie al lui se notează şi se numeşte grupul diedral.

Transformările geometrice ale planului (p) sunt funcţii f:(F) - > (p), F C (p), care asociază fiecărui punct M€(F) un punct (şi numai unul) M'€(p): f(M) = M', M' C (p). Numind "figură geometrică" - mulţimea F şi "transformata" acesteia -mulţimea f(F) = F' (imaginea funcţiei f), spunem că funcţia f transform figura F în figura F'. În funcţie de legea de corespondenţă definită (sintetic, vectorial sau analitic), figura F' poate (sau nu poate) fi congruentă cu figura F, la fel (sau nu) aşezată în plan. În cele de mai jos sunt prezentate transformările numite translaţie, simetrie, rotaţie şi omotetie. TRANSLATIA Definitie: Translaţia planului (p), de vector v cunoscut, este o funcţie bijectivă t:(p) - > (p), care asociază fiecărui punct M€(p) un punct M'€(p), numit translatatulpunctului M, astfel încât vec(MM') = vec(v). Proprietati:  Transforma o dreapta (un segment) intr-o dreapta (intr-un segment).  Conserva directiile.  Conserva distantele, adica dacă M şi N au ca imagini M' şi N', atunci MN=M'N' (este o izometrie).  Conserva unghiurile orientate.  Transforma o figura geometrica intr-o figura (invers) congruenta.  Mulţimea translaţiilor formează faţă de compunerea acestora (ca şi mulţimea vectorilor faţă de compunerea lor) un grup abelian; cele două grupuri sunt izomorfe. Translatia unui punct in plan: Fiind dat un punct M(x,y), si vectorul

ne propunem sa identificam coordonatele imaginii M'(x',y') a punctului M, obtinuta prin translatia de vector v. Intrucat vectorii MM' si v sunt echipolenti, se obtin egalitatile:

deci:

Aplicatie: Fie punctul M(1;2) si vectorul v(2;-3). Coordonatele punctului M', obtinut prin translatia de vector v sunt x' = 1 + 2 = 3 si y' = 2 + (-3) = -1, deci M'(3;-1). Intr-adevar:

Translatia unei curbe in plan: Fiind data curba de ecuatie y = f(x) si vectorul

ne propunem sa identificam ecuatia curbei y' = f(x'), obtinuta prin translatia de vector v a curbei y = f(x). Cum fiecare punct M(x,y) al curbei y = f(x) se transforma in punctul M'(x',y') al curbei y' = f(x'), rezulta ca se obtine y' - b = f( x' - a) < = > y' = f(x' - a) + b. Aplicatie: Fie parabola de ecuatie y = x² - 3x + 2, pe care o supunem unei translatii de vector

Inlocuim in ecuatia curbei y = f(x) coordonatele curente (x,y) ale punctului M prin coordonatele curente x' si y' ale punctului M', adica x = x' - 2 si y = y' - (- 3) = y' + 3: y' + 3 = (x' - 2)² - 3(x' - 2) + 2 < = > ... < = > y' = (x')² - 7x' + 9. Renotand x' cu x si y' cu y, obtinem ecuatia parabolei translatate: y = x² - 7x + 9.

SIMETRIA (fata de o axa) Definitie:Daca (d) este o dreapta, simetria de axa (d) este o transformare a planului (p) in el insusi, definita prin functia bijectiva s:(p) - > (p), astfel incat imaginea (simetricul) unui punct M este:  Tot M, daca M este situat pe (d).  Punctul M', astfel incat (d) sa fie mediatoarea segmentului [MM'], daca M nu este un punct al dreptei (d). Proprietati:  Transforma o dreapta (un segment) intr-o dreapta (intr-un segment).  Nu conserva directiile.  Conserva distantele (est une isometrie).  Nu conserva unghiurile orientate.  Transforma o figura geometrica intr-o figura (invers) congruenta. Simetricul unui punct: Fie, in reperul cartezian xOy, o dreapta (d): y = mx + n si un punct M(a,b) unde m, n, a si b sunt numere reale cunoscute. Pentru a determina simetricul M'(a',b') al punctului M in raport cu axa de simetrie (d), se uitilizeaza definitia:  Daca M este un punct al axei (d), atunci M' = M.  Daca M nu este situat pe dreapta (d), atunci trebuie ales M'(a',b') astfel incat axa (d) sa fie mediatoarea segmentului [MM']. Fie I(α,β) mijlocul segmentului [MM'], deci:  MI = IM' < = > 2α = a + a' si 2β = b + b'; (1)  MM' si (d) perpendiculare < = > [(b-b')/(a-a')]·m = -1; (2) (a = a' in cazul particular (d)||Ox, situatie mult mai simpla).

 I€(d) < = > β = mα + n; (3) Din (1), (2) si (3) se obtin coordonnatele a' si b' ale punctului M', in functie de coeficientii cunoscuti m, n, a si b. Aplicatie: Reprezentatrea grafica a unei functii pare f:R - > R prezinta simetrie fata de axa Oy. Intr-adevar, daca f(-x) = f(x), oricare ar fi x din R, rezulta de aici ca pentru orice M(x,y) apartinand graficului functiei f, exista M'(-x,y) pe acelasi grafic. Este de la sine inteles ca axa Oy constitue mediatoarea segmentului [MM'], deci este vorba de o simetrie fata de axa Oy. ROTATIA (in jurul unui punct) Rotatia de unghi α a planului (p), in jurul unui punct fix O, numit centrul rotatiei, este o functie bijectiva r:(p) - > (p), care asociaza fiecarui punct M€(p) un punct M'€(p), astfel incat OM = OM' si mas( (f') este bijectiva. Sunt evidente urmatoarele proprietati ale rotatiei:  Transforma o dreapta (segment) tot intr-o dreapta (segment).  Conserva distanţele (dacă M şi N au ca imagini M' şi N', atunci MN = M'N'). translaţia este, din acest motiv, o izometrie.  Conserva unghiurile.  Transforma o figura geometrica (f) intr-o figura geometrica congruenta (f').  Mulţimea rotatiilor formează faţă de compunerea acestora un grup abelian. Rotatia unui punct in plan: Alegem drept centru de rotatie originea reperului ortogonal xOy si M' transformatul lui M prin rotatia de unghi α, conform schitei alaturate:

Din triunghiurile dreptunghice formate obtinem:  1) Coordonatele punctului M x = ρcosβ y = ρsinβ 2) Coordonatele punctului M' x' = ρcos(α + β) y' = ρsin(α + β). Din 1) si 2) rezulta formulele care exprima coordonatele punctului M' in functie de coordonatele punctului M si de unghiul de rotatie: x' = xcosα - ysinα y' = xsinα + ycosα. Aceste doua formule alcatuiesc un sistem liniar de doua ecuatii in x si y, care este compatibil determinat (determinantul sau este egal cu 1, deci este nenul), ceea ce arata ca trecerea de la M la M' este reversibila, adica rotatia este o transformare bijectiva, ca si translatia. Se arata usor ca multimea rotatiilor avand acelasi centru O si unghiuri (diferite) α formeaza grup abelian fata de compunerea acestora. Rotatia unei curbe in plan: Pentru a determina ecuatia transformatei prin rotatie de unghi α, in jurul originii, a unei curbe de ecuatie y = f(x), se inlocuiesc valorile lui x si y, obtinute prin rezolvarea sistemului de mai sus (in functie de x' si y'), dupa care se poate reveni la notatia

uzuala (cu x si y). Aplicatie: Se da cercul C(Q(a,b),R) si se cere sa se scrie ecuatia cercului C'(Q'(a',b'),R), obtinut prin rotatia de centru O(0,0) si unghi α = π/2, a cercului C(Q,R). Rezolvare: Din x' = xcos(π/2) - ysin(π/2) = -y si y' = xsin(π/2) + ycos(π/2) = x obtinem y = -x' si x = y'; inlocuind in ecuatia cercului C(Q(a,b),R), anume (x - a)² + (y - b)² = R², obtinem imediat ecuatia (x + b)² + (y - a)² = R² (am renotat x' cu x si y' cu y), care reprezinta cercul C'(Q'(-b,a),R). OMOTETIA Definitie: Fie un punct fix O si un numar real k, diferit de zero. Omotetia de centru O si raport k este o transformare a planului (p), definita prin functia bijectiva h:(p) - > (p), astfel incat imaginea (omoteticul) unui punct M al planului (p) este punctul M', cu conditia

Observatii:  Pentru k = -1, omotetia este numita simetrie centrala de centru O.  Pentru k = 1, omotetia este o transformare identica. Proprietati:  Transforma o dreapta (un segment) intr-o dreapta (un segment).  Conserva directiile.  Transforma un cerc tot intr-un cerc, raportul razelor fiind egal cu valoarea absoluta a raportului k al omotetiei.  Nu conserva, in general, distantele (pentru k raport de omotetie, lungimile sunt multiplicate prin |k| si ariile prin k²).

 Conserva unghiurile orientate.  Multimea omotetiilor, de acelasi centru, impreuna cu operatia de compunere formeaza un grup abelian, izomorf cu grupul multiplicativ al numerelor reale nenule. Omoteticul unui punct: Conform definitiei, coordonatele transformatului M'(x',y') printr-o omotetie de centru Q(a,b) si raport real si nenul k, a punctului M(x,y), se calculeaza cu ajutorul formulei

Deducem x' - a = k(x - a) si y' - b = k( y - b), deci coordonatele omoteticului M', in functie de coordonatele punctului M si de k sunt: x' = kx + (1 - k)a si y' = ky + (1 - k)b. De asemenea, coordonatele punctului M, in functie de coordonatele omoteticului M' si de raportul k sunt:

FORMA ANALITICĂ A DEPLASĂRILOR ÎN PLAN. 1. Distanţa dintre două puncte: d(A,B) =AB=

 x2  x1  2   y 2  y1  2

2. Ecuaţia dr. care trece printr-un pct.:  A x 0 , y 0 ; m  tg  panta   y  y 0  m x  x 0      u  pi  qj  

q  m  p  coef .unghiular ( panta) 

3.Ecuaţia dr. care trece prin două pct.:

A x1 , y1 ; B x 2 , y 2 

x y  y1 x  x1   x1 y 2  y1 x 2  x1 x2

y

1

y1 1  0 y2 1

4. Condiţia ca 3 pct. să fie coliniare: x1 y 2  y1 x 2  x1   x2 y 3  y1 x3  x1 x3

y1

1

y2 y3

1 0 1

5. Distanţa dintre două puncte:     u  xi  yj ; u  x 2  y 2    AB   x 2  x1  i   y 2  y1  j

6. Ec. unei dr. care trece prin M(x0,y0) şi este paralelă cu un vector x  x0 y  y0  p q

7. Distanţa de la un pct. la o dr.: d : ax  by  c  0; M 0  x 0 , y 0  ax 0  by 0  c dM 0, d   a2  b2

8. Intersecţia dintre două dr.:  d1 : a1 x  b1 y  c1  0   d 2 : a 2 x  b2 y  c 2  0 a b 1) 1  1  m1  m 2  d1 // d 2 a 2 b2 a b c 2) 1  1  1  d1 , d 2  confundate a 2 b2 c 2

3)

a1 b1   d1 , d 2  concurente a 2 b2

4)m1  m 2  1  d1  d 2

 u  p, q 

:

9. Unghiul dintre doi vectori:   u v cos      u v

x1 x 2  y1 y 2 x12  y12  x 22  y 22

10. Aria unui triunghi: x1 1 S ABC  x 2 2 x3

y1 1 y2 1 y3 1

11. Forma redusă a unui fascicul de dr.: a1 x  b1 y  c1    a 2 x  b2 y  c 2   0

12. Produsul vectorial a doi vectori:     u  v  u  v  sin  ;    0,         u  v  u  v  sin   n0 ;  n0  versorul lui w 