Transferts Thermiques Cours Et 55 Exercices Corrigés [PDF]

Zitiervorschau

Yves Jannot & Christian Moyne

Transferts thermiques Cours et 55 exercices corrigés

2

Préambule Outre son intérêt évident que la transition énergétique actuelle ne démentira sûrement pas, la thermique a une place à part parmi les sciences de l’ingénieur. Enseignée souvent dès le début des cursus d’ingénierie, elle apprend à analyser les phénomènes mis en jeu dans une situation réelle, à dégager les aspects importants et à en élaborer une description susceptible de fournir, avant toute démarche plus sophistiquée, quelques éléments de solution voire si possible une première solution approchée simple à calculer. A chacun des trois modes de transfert de chaleur : conduction, convection et rayonnement sont associés trois manières de penser différentes. La conduction, du fait de la simplicité apparente de la loi de Fourier et de l’équation de la chaleur, va autoriser des modélisations et des méthodes de résolution différentes selon les simplifications retenues. La complexité des fluides en écoulement va rendre en général une telle approche impraticable en convection thermique sans un recours au calcul numérique : pour rester dans une relative simplicité on recourra à des approches d’analyse dimensionnelle sans toutefois mésestimer quelques approches élémentaires mais essentielles notamment du concept de couche limite. Le rayonnement, qui ouvre sur le vaste univers de la physique, nécessitera également des hypothèses simplificatrices pour pouvoir être pris en compte par le thermicien. Dans tous les cas, la compréhension des processus de transfert de chaleur passe par la résolution et surtout la méditation de quelques exercices allant de cas élémentaires (pour commencer) à des situations plus 3

complexes obligeant au final à une approche simultanée des différents modes de transferts souvent couplés. Ce cours de transferts thermiques est destiné aux étudiants de deuxième cycle universitaire et des écoles ingénieurs ainsi qu’aux ingénieurs praticiens. Il présente les principaux modes de transferts thermiques : conduction, convection et rayonnement et comporte un chapitre à part entière sur les échangeurs de chaleur. Les principales méthodes de résolution de l’équation de la chaleur sont présentées et illustrées : par transformée de Laplace, par séparation de variables, par transformation intégrale et par utilisation de la méthode des quadripôles. Les chapitres sur la conduction en régime permanent, sur le rayonnement et sur les échangeurs de chaleur ainsi que leurs exercices d’application peuvent également être abordés par des étudiants des IUT et de premier cycle. Les 55 exercices proposés sont tous corrigés de manière détaillée, ils présentent des applications pratiques couvrant tous les aspects théoriques du cours. Certains exercices longs sont de véritables problèmes et montrent que l’assimilation de ce cours permet de résoudre des problèmes concrets dans de nombreux domaines d’intérêt comme par exemple : calcul de déperditions thermiques d’un bâtiment, calcul d’un double vitrage, mesure des propriétés thermiques de solides, dimensionnement d’un capteur solaire, dimensionnement d’un échangeur de chaleur. Les annexes contiennent toutes les données physiques et les corrélations nécessaires à la résolution des exercices et problèmes présentés et seront une source d’information précieuse pour l’ingénieur.

4

Table des matières Préambule ...................................................................................................

3

Nomenclature .............................................................................................

11

1 – Généralités sur les transferts de chaleur .............................................

13

1.1 Introduction ...............................................................................................

13

1.2 Définitions ..................................................................................................

13

1.2.1 Champ de température .....................................................................

13

1.2.2 Gradient de température ...................................................................

13

1.2.3 Flux de chaleur ...................................................................................

14

1.3 Formulation d’un problème de transfert de chaleur ............................

14

1.3.1 Bilan d’énergie ....................................................................................

14

1.3.2 Expression des flux d’énergie ...........................................................

15

2 – Transfert de chaleur par conduction en régime permanent ..............

19

2.1 L’équation de la chaleur ............................................................................

19

2.2 Transfert unidirectionnel .........................................................................

21

2.2.1 Mur simple ..........................................................................................

21

2.2.2 Mur multicouche ...............................................................................

22

2.2.3 Mur composite ...................................................................................

23

2.2.4 Cylindre creux long (tube)................................................................

24

2.2.5 Cylindre creux multicouches............................................................

26

2.2.6 Prise en compte des transferts radiatifs ..........................................

27

2.3 Transfert multidirectionnel......................................................................

27

2.3.1 Méthode de séparation des variables ...............................................

27

2.3.2 Méthode du coefficient de forme .....................................................

30

2.3.3 Méthodes numériques .......................................................................

32 5

2.4 Les ailettes ...................................................................................................

35

2.4.1 L’équation de la barre ........................................................................

35

2.4.2 Flux extrait par une ailette .................................................................

37

2.4.3 Efficacité d’une ailette ........................................................................

41

2.4.4 Choix des ailettes ................................................................................

42

2.5 Exercices corrigés .......................................................................................

42

2.5.1 Apport de chaleur dans une pièce climatisée..................................

42

2.5.2 Pertes thermiques d’un oléoduc .......................................................

44

2.5.3 Epaisseur critique d’isolation ............................................................

45

2.5.4 Anémométrie à fil chaud ...................................................................

46

2.5.5 Calcul d’une ailette .............................................................................

49

2.5.6 Résistance thermique d’un tube aileté .............................................

50

2.5.6 Apports thermiques dans une chambre froide ...............................

52

2.5.8 Isolation d’une conduite ....................................................................

53

2.5.9 Déperditions thermiques d’une canalisation ..................................

54

2.5.10 Transfert de chaleur interne dans une conduite ..........................

56

2.5.11 Tubes enterrés ...................................................................................

58

2.5.12 Mesure de la conductivité thermique d’une roche ......................

60

3 – Transfert de chaleur par conduction en régime variable....................

69

3.1 Conduction unidirectionnelle en régime variable sans changement d’état....................................................................................

69

3.1.1 Milieu à température uniforme ........................................................

69

3.1.2 Milieu semi-infini ...............................................................................

70

3.1.3 Transfert unidirectionnel dans des milieux limités : plaque, cylindre, sphère ..............................................................................

78

3.1.4 Systèmes complexes : méthode des quadripôles.............................

98

3.2 Conduction multidirectionnelle en régime variable .............................

105

3.2.1 Théorème de Von Neuman...............................................................

105

3.2.2 Transformations intégrales et séparation de variables ..................

105

3.3 Exercices corrigés .......................................................................................

108

3.3.1 Age de la Terre : « Ambiguïté de Kelvin » (1864) ..........................

108

3.3.2 Diffusion d’une excitation périodique .............................................

110

3.3.3 Mesure de la diffusivité thermique par excitation sinusoïdale .....

111

6

3.3.4 Gel d’un lac .........................................................................................

113

3.3.5 Gel des conduites d’eau dans un sol sec ..........................................

114

3.3.6 Gel des conduites d’eau dans un sol humide..................................

115

3.3.7 Paroi coupe-feu ..................................................................................

117

3.3.8 Incendie d’une poutre en bois ..........................................................

118

3.3.9 Méthode Flash ....................................................................................

119

3.3.10 Traitement thermique d’un train d’atterrissage ..........................

123

3.3.11 Traitement thermique d’une couche mince .................................

124

3.3.12 Echauffement de plaquettes de frein .............................................

125

3.3.13 Méthode du Plan chaud ..................................................................

127

3.3.14 Mesure de la diffusivité thermique d’une plaque mince.............

131

3.3.15 Méthode du régime régulier ...........................................................

132

3.3.16 Modélisation du fil chaud ...............................................................

134

4 – Transfert de chaleur par rayonnement ...............................................

139

4.1 Généralités. Définitions ............................................................................

139

4.1.2 Nature du rayonnement ....................................................................

139

4.1.2 Définitions ..........................................................................................

140

4.2 Lois du rayonnement ................................................................................

145

4.2.1 Loi de Lambert ...................................................................................

145

4.2 Lois physiques .......................................................................................

145

4.2.1 Loi de Kirchoff ....................................................................................

145

4.2.2 Rayonnement du corps noir .............................................................

146

4.2.3 Rayonnement des corps non noirs ..................................................

148

4.3 Rayonnement réciproque de plusieurs surfaces ....................................

148

4.3.1 Radiosité et flux net perdu ................................................................

148

4.3.2 Facteur de forme géométrique .........................................................

149

4.3.3 Calcul des flux ....................................................................................

150

4.3.4 Analogie électrique ............................................................................

152

4.4 Emission et absorption des gaz ................................................................

154

4.4.1 Spectre d’émission des gaz ................................................................

154

4.4.2 Echange thermique entre un gaz et une paroi................................

155

4.5 Exercices corrigés ......................................................................................

157

4.5.1 Eclairement solaire ............................................................................

157 7

4.5.2 Transmission du rayonnement.........................................................

158

4.5.3 Formation de la rosée.........................................................................

158

4.5.4 Influence du rayonnement sur les mesures de température .........

160

4.5.5 Mesure de la température de l’air extérieur ....................................

161

4.5.6 Emissivité apparente d’une rainure..................................................

162

4.5.7 Equilibre thermique d’un satellite ....................................................

163

4.5.8 Echauffement d’une ampoule à filament.........................................

164

4.5.9 Transfert de chaleur par rayonnement dans une vitrine réfrigérée ..........................................................................

165

4.5.10 Echauffement d’une paroi par rayonnement ................................

167

4.5.11 Refroidissement d’une théière ........................................................

169

4.5.12 Etude du confort thermique ...........................................................

173

4.5.12 Capteur solaire à tubes.....................................................................

175

4.5.13 Chauffe-eau solaire capteur-stockeur ............................................

177

5 – Transfert de chaleur par convection ....................................................

183

5.1 Rappels sur l’analyse dimensionnelle ......................................................

183

5.1.1 Dimensions fondamentales ...............................................................

183

5.1.2 Principe de la méthode ......................................................................

183

5.1.3 Exemple d’application........................................................................

184

5.1 4 Avantages de l’utilisation des grandeurs réduites ..........................

187

5.2 Convection sans changement d’état ........................................................

187

5.2.1 Généralités. Définitions .....................................................................

187

5.2.2 Expression du flux de chaleur ...........................................................

189

5.2.3 Calcul du flux de chaleur en convection forcée ..............................

191

5.2.4 Calcul du flux de chaleur en convection naturelle .........................

196

5.3 Convection avec changement d’état ........................................................

198

5.3.1 Condensation ......................................................................................

198

5.3.2 Ebullition .............................................................................................

202

5.4 Exercices Corriges ......................................................................................

206

5.4.1 Convection forcée dans et autour d’un tube ...................................

206

5.4.2 Ecoulement d’eau dans un tube chauffant ......................................

207

5.4.3 Refroidissement de l’air dans un conduit ........................................

209

5.4.4 Echauffement de l’air dans un capteur solaire ................................

211

8

5.4.5 Isolation perméodynamique d’une maison ....................................

213

5.4.6 Convection dans une cheminée .......................................................

215

5.4.7 Convection naturelle dans un double vitrage ................................

216

5.4.8 Etude d’une bouilloire électrique .....................................................

221

6 – Introduction aux échangeurs de chaleur .............................................

225

6.1 Les échangeurs tubulaires simples ..........................................................

225

6.1.1 Généralités. Définitions.....................................................................

225

6.1.2 Expression du flux échangé ..............................................................

226

6.1.3 Efficacité d’un échangeur ..................................................................

232

6.1.4 Nombre d’unités de transfert ...........................................................

233

6.1.5 Calcul d’un échangeur .......................................................................

235

6.2 Les échangeurs à faisceaux complexes ....................................................

236

6.2.1 Généralités ..........................................................................................

236

6.2.2 Echangeur 1-2.....................................................................................

236

6.2 3 Echangeur 2-4.....................................................................................

237

6.2.4 Echangeur à courants croisés ...........................................................

237

6.2.5 Echangeurs frigorifiques ...................................................................

239

6.3 Exercices Corrigés .....................................................................................

242

6.3.1 Comparaison de différents types d’échangeurs .............................

242

6.3.2 Calcul d’un échangeur à courants croisés .......................................

243

6.3.3 Calcul d’un échangeur à plaques......................................................

245

6.3.4 Calcul d’un évaporateur noyé...........................................................

248

6.3.5 Dimensionnement d’un condenseur ...............................................

249

Bibliographie ..............................................................................................

253

Annexes.......................................................................................................

257

A.1.1 : Propriétés physiques de certains corps .............................................

257

A.1.1 : Propriétés physiques de l’air et de l’eau ............................................

259

A.2.1 : Valeur du coefficient de forme de conduction ................................

260

A.2.2 : Efficacité des ailettes ...........................................................................

262

A.2.3 : Equations et fonctions de Bessel........................................................

263

A.3.1 : Principales transformations intégrales : Laplace, Fourier, Hankel.................................................................................

264

A.3.2 : Transformation de Laplace inverse ...................................................

265 9

10

A.3.2 : Transformation de Laplace inverse ...................................................

268

A.3.3 : Choix des transformations intégrales pour différentes configurations ......................................................................

269

A.3.4 : Valeur de la fonction erf .....................................................................

271

A.3.5 : Milieu semi-infini avec coefficient de transfert imposé..................

272

A.3.6 : Plaque infinie d’épaisseur 2L avec température de surface imposée ............................................................

272

A.3.7 : Plaque infinie d’épaisseur 2L avec flux surfacique imposé.............

273

A.3.8 : Plaque infinie d’épaisseur 2L avec coefficient de transfert imposé...............................................................

274

A.3.9 : Matrices quadripolaires pour différentes configurations ...............

275

A.3.10 : Orthogonalité des fonctions propres ..............................................

277

A.4.1 : Emissivité de certains corps ................................................................

278

A.4.2 : Fraction d’énergie rayonnée par un corps noir................................

278

A.4.3 : Facteurs de forme géométrique de rayonnement ............................

280

A.4.4 : Epaisseurs de gaz équivalentes vis-à-vis du rayonnement .............

284

A.5.1 : Les équations de conservation............................................................

285

A.5.2 : Corrélations pour les coefficients de transfert en convection forcée ...................................................................

293

A.5.2 : Corrélations pour les coefficients de transfert en convection forcée ........................................................................................

294

A.5.3 : Corrélations pour les coefficients de transfert en convection naturelle ...................................................................................

295

A.6.1 : Abaques NUT/efficacité pour les échangeurs ..................................

296

Nomenclature

Δ

L

Diffusivité thermique Nombre de Biot Chaleur spécifique Diamètre Epaisseur Effusivité thermique Facteur de forme de rayonnement Coefficient de forme de conduction Nombre de Fourier Accélération de la pesanteur Nombre de Grashof Coefficient de transfert de chaleur par convection Chaleur latente de changement de phase Intensité énergétique Radiosité Longueur, Luminance Débit massique Emittance Nombre de Nusselt Nombre d’unités de transfert Variable de Laplace Périmètre Nombre de Prandtl Quantité de chaleur Débit calorifique 11

,

, ,

Rayon, Résistance Résistance de contact Nombre de Reynolds Surface Temps Température Vitesse Volume Variables d’espace

Lettres grecques

Φ

Ω

12

Coefficient d’absorption du rayonnement Coefficient de dilatation cubique Emissivité Densité de flux de chaleur Transformée de Laplace du flux de chaleur Flux de chaleur Conductivité thermique, longueur d’onde Viscosité dynamique Viscosité cinématique Rendement ou efficacité Angle solide Masse volumique, coefficient de réflexion du rayonnement Constante de Stefan-Boltzmann Coefficient de transmission du rayonnement Transformée de Laplace de la température

1 Généralités sur les transferts de chaleur 1.1 Introduction La thermodynamique permet de prévoir la quantité totale d’énergie qu’un système doit échanger avec l’extérieur pour passer d’un état d’équilibre à un autre. La thermique (ou thermocinétique) se propose de décrire quantitativement (dans l’espace et dans le temps) l’évolution des grandeurs caractéristiques du système, en particulier la température, entre l’état d’équilibre initial et l’état d’équilibre final. 1.2 Définitions 1.2.1 Champ de température Les transferts d’énergie sont déterminés à partir de l’évolution dans l’espace et dans le temps de la température : , , , . La valeur instantanée de la température en tout point de l’espace est un scalaire appelé champ de température. Nous distinguerons deux cas : – Champ de température indépendant du temps : le régime est dit permanent ou stationnaire. – Evolution du champ de température avec le temps : le régime est dit variable ou transitoire. 1.2.2 Gradient de température Si l’on réunit tous les points de l’espace qui ont la même température, on obtient une surface dite surface isotherme. La variation de température par unité de longueur est maximale le long de la normale à la surface isotherme. Cette variation est caractérisée par le gradient de température :

13

Isotherme T0  grad T 



(1.1)

Figure 1.1 : Isotherme et gradient thermique

Avec :

vecteur unitaire de la normale dérivée de la température le long de la normale.

1.2.3 Flux de chaleur La chaleur s’écoule sous l’influence d’un gradient de température des hautes vers les basses températures. La quantité de chaleur transmise par unité de temps et par unité d’aire de la surface isotherme est appelée densité de flux de chaleur (W m-2) : 1



(1.2)

Où est l’aire de la surface (m2). On appelle flux de chaleur  (W) la quantité de chaleur transmise sur la surface par unité de temps :

(1.3)

1.3 Formulation d’un problème de transfert de chaleur 1.3.1 Bilan d’énergie Il faut tout d’abord définir un système ( ) par ses limites dans l’espace et il faut ensuite établir l’inventaire des différents flux de chaleur qui influent sur l’état du système et qui peuvent être : ( )

st

flux de chaleur stocké flux de chaleur généré flux de chaleur entrant

s

flux de chaleur sortant

Figure 1.2 : Système et bilan énergétique

14

dans le système (S)

On applique alors le 1er principe de la thermodynamique pour établir le bilan d’énergie du système ( ) : (1.4)

1.3.2 Expression des flux d’énergie Il faut ensuite établir les expressions des différents flux d’énergie. En reportant ces expressions dans le bilan d’énergie, on obtient l’équation différentielle dont la résolution permet de connaître l’évolution de la température en chaque point du système. 1.3.2.1 Conduction C’est le transfert de chaleur au sein d’un milieu opaque, sans déplacement de matière, sous l’influence d’une différence de température. La propagation de la chaleur par conduction à l’intérieur d’un corps s’effectue selon deux mécanismes distincts : une transmission par les vibrations des atomes ou molécules et une transmission par les électrons libres.









x Figure 1.3 : Schéma du transfert de chaleur conductif

La théorie de la conduction repose sur l’hypothèse de Fourier : la densité de flux de chaleur est proportionnelle au gradient de température : (1.5)

Le flux de chaleur transmis par conduction dans la direction s’écrire sous forme algébrique :

peut donc

Avec : Densité de flux de chaleur transmis par conduction Flux de chaleur transmis par conduction

(1.6)

(W m-2) (W) 15

Conductivité thermique du milieu (W m-1 K-1) Variable d’espace dans la direction du flux (m) Aire de la section de passage du flux de chaleur (m2) On trouvera dans le tableau 1.1 les valeurs de la conductivité thermique de certains matériaux parmi les plus courants. Un tableau plus complet est donné en annexe A.1.1. Tableau 1.1 : Conductivité thermique de certains matériaux (W m-1 K-1)

Matériau Argent Cuivre Aluminium Acier doux Acier inox Glace Béton Brique terre cuite Verre Eau

419 386 204 45 15 1,9 1,4 1,1 1,0 0,60

(W m-1 K-1)

Matériau Plâtre Amiante Bois (feuillu-résineux) Liège Laine de roche Laine de verre Polystyrène expansé Polyuréthane (mousse) Polystyrène extrudé Air

0,48 0,16 0,12-0,23 0,044-0,049 0,038-0,041 0,035-0,051 0,036-0,047 0,030-0,045 0,028 0,026

1.3.2.2 Convection C’est le transfert de chaleur entre un solide et un fluide, l’énergie étant transmise par déplacement du fluide. Ce mécanisme de transfert est régi par la loi de Newton : Fluide à

∞



(1.7)

Figure 1.4 : Schéma du transfert de chaleur convectif

Avec :

Flux de chaleur transmis par convection Coefficient de transfert de chaleur par convection Température de surface du solide Température du fluide loin de la surface du solide Aire de la surface de contact solide/fluide

(W) (W m-2 K-1) (K) (K) (m2)

Remarque : La valeur du coefficient de transfert de chaleur par convection est fonction de la nature du fluide, de sa température, de sa vitesse et des caractéristiques géométriques de la surface de contact solide/fluide. 16

1.3.2.3 Rayonnement C’est un transfert d’énergie électromagnétique entre deux surfaces (même dans le vide). Dans les problèmes de conduction, on prend en compte le rayonnement entre un solide et le milieu environnant et dans ce cas nous avons la relation : Milieu environnant à



(1.8)

Figure 1.5 : Schéma du transfert de chaleur radiatif

Avec :

Flux de chaleur transmis par rayonnement (W) Constante de Stefan (5,67.10-8 W m-2 K-4) Facteur d’émission de la surface Température de la surface (K) Température du milieu environnant la surface (K) Aire de la surface (m2)

Remarque : Dans les relations (1.6) et (1.7) les températures peuvent indifféremment être exprimées en °C ou K car elles n’apparaissent que sous forme de différences. Par contre dans la relation (1.8) la température doit impérativement être exprimée en K. 1.3.2.4 Flux de chaleur lié à un débit massique Lorsqu’un débit massique de matière entre dans le système à la température et en ressort à la température , on doit considérer dans le bilan (1.5) un flux de chaleur entrant correspondant :

(1.9)

Avec :

,

Flux de chaleur entrant dans le système Débit massique Chaleur spécifique Températures d’entrée et de sortie

(W) (kg s-1) (J kg-1 K-1) (K)

17

1.3.2.5 Stockage d’énergie Le stockage d’énergie sous forme sensible dans un corps correspond à une augmentation de son enthalpie au cours du temps d’où (à pression constante et en l’absence de changement d’état) : Avec :

Le produit

(1.10)

Flux de chaleur stocké (W) Masse volumique (kg m-3) Volume (m3) Chaleur spécifique (J kg-1 K-1) Température (K) Temps (s) (J K-1) est appelé la capacitance thermique du corps.

1.3.2.6 Génération d’énergie Elle intervient lorsqu’une autre forme d’énergie (chimique, électrique, mécanique, nucléaire) est convertie en énergie thermique. On peut l’écrire sous la forme : Avec :

18

Flux d’énergie thermique générée Densité volumique d’énergie générée Volume

(1.11) (W) (W m-3) (m3)

2 Transfert de chaleur par conduction en régime permanent 2.1 L’équation de la chaleur Dans sa forme monodimensionnelle, elle décrit le transfert de chaleur unidirectionnel au travers d’un mur plan :

»



e

0

Figure 2.1 : Bilan thermique sur un système élémentaire

Considérons un système d’épaisseur dans la direction et de section d’aire normalement à la direction . Le bilan d’énergie sur ce système s’écrit : Avec :



19

En reportant dans le bilan d’énergie et en divisant par

Soit :



, nous obtenons :



Et dans le cas tridimensionnel, nous obtenons l’équation de la chaleur dans le cas le plus général :

(2.1)

Cette équation peut se simplifier dans un certain nombre de cas : a) Si le milieu est isotrope : b) S’il n’y a pas de génération d’énergie à l’intérieur du système : 0 c) Si le milieu est homogène, n’est fonction que de . Les hypothèses a) + b) +c) permettent d’écrire :

d) Si de plus est constant (écart modéré de température), nous obtenons l’équation de Poisson : Le rapport

(2.2)

est appelé la diffusivité thermique (m2 s-1), elle caractérise

la vitesse de propagation d’un flux de chaleur à travers un matériau. On en trouvera des valeurs en annexe A.1.1. e) En régime permanent, nous obtenons l’équation de Laplace : 0

(2.3)

Par ailleurs, les hypothèses a), c) et d) permettent d’écrire : – Equation de la chaleur en coordonnées cylindriques (r, ,z) : 1

1

1

(2.4)

Dans le cas d’un problème à symétrie cylindrique où la température ne dépend que de et de , l’équation (2.4) peut s’écrire sous forme simplifiée :

20

– Equation de la chaleur en coordonnées sphériques ( , , ) : 1

1

1

1

(2.5)



2.2 Transfert unidirectionnel 2.2.1 Mur simple On se placera dans le cas où le transfert de chaleur est unidirectionnel et où il n’y a pas de génération ni de stockage d’énergie. On considère un mur d’épaisseur , de conductivité thermique  et de grandes dimensions transversales dont les faces extrêmes sont à des températures et :



1









Section transversale 2



0



Figure 2.2 : Bilan thermique élémentaire sur un mur simple

En effectuant un bilan thermique sur le système ( ) constitué par la tranche de mur comprise entre les abscisses et , il vient :

 D’où :

 et :

⟹





0

Avec les conditions aux limites : D’où :





et

(2.6)

Le profil de température est donc linéaire. La densité de flux de chaleur traversant le mur s’en déduit par la relation :

21



d’où :



(2.7)

La relation (2.7) peut également se mettre sous la forme :

, cette

relation est analogue à la loi d’Ohm en électricité qui définit l’intensité du courant comme le rapport de la différence de potentiel électrique sur la résistance électrique. La température apparaît ainsi comme un potentiel thermique et le terme apparaît comme la résistance thermique d’un mur plan d’épaisseur , de conductivité thermique et de surface latérale . On se ramène donc au schéma équivalent représenté sur la figure 2.3.

T1

T2

Figure 2.3 : Schéma électrique équivalent d’un mur simple

2.2.2 Mur multicouche C’est le cas des murs réels (schématisé sur la figure 2.4) constitués plusieurs couches de matériaux différents et où on ne connaît que températures et des fluides en contact avec les deux faces du mur surface latérale . En régime permanent, le flux de chaleur se conserve lors de la traversée mur et s’écrit :

D’où :

1

1

de les de du

(2.8)

On a considéré que les contacts entre les couches de différentes natures étaient parfaits et qu’il n’existait pas de discontinuité de température aux interfaces. En réalité, compte-tenu de la rugosité des surfaces, une microcouche d’air existe entre les creux des surfaces en regard qui contribue à la création d’une résistance thermique (l’air est un isolant) appelée résistance thermique de contact. La formule précédente s’écrit alors :

22

1

1

(2.9)

Figure 2.4 : Schématisation des flux et des températures dans un mur multicouches

Le schéma électrique équivalent est représenté sur la figure 2.5.  1

2

1

1

1

1

Figure 2.5 : Schéma électrique équivalent d’un mur multicouche

Remarques : – Une résistance thermique ne peut être définie en l’absence de sources que sur un tube de flux. – Cette résistance thermique de contact est négligée si le mur comporte une paroi isolante ou si les parois sont jointes par soudure. 2.2.3 Mur composite C’est le cas le plus couramment rencontré dans la réalité où les parois ne sont pas homogènes. Considérons à titre d’exemple un mur de largeur constitué d’agglomérés creux (figure 2.6). En supposant le transfert unidirectionnel et en tenant compte des axes de symétrie, on peut se ramener au calcul du flux à travers l’élément isolé sur la droite de la figure et calculer la résistance thermique équivalente d’une portion 23

de mur de largeur et de hauteur ℓ ℓ ℓ ℓ en utilisant les lois d’association des résistances en série et en parallèle par la relation : 1 1

1

1

Avec :

1 ; ℓ

ℓ

;

ℓ

;

ℓ

;

ℓ

;

ℓ

;

1 ℓ

ce qui peut être schématisé par le schéma électrique équivalent représenté sur la figure 2.7.

Figure 2.6 : Schéma d’un mur composite

R3 R1

R2

R4

R6

R7

R5 Figure 2.7 : Schéma électrique équivalent du mur composite

On notera bien que cette solution n’est qu’approchée car le transfert réel est 2D du fait des différences entre les conductivités thermiques et . 2.2.4 Cylindre creux long (tube) On considère un cylindre creux de conductivité thermique , de rayon intérieur , de rayon extérieur , de longueur , les températures des faces internes et externes étant respectivement et (cf. figure 2.8). On suppose que le gradient longitudinal de température est négligeable devant le gradient radial. 24

Effectuons le bilan thermique du système constitué par la partie de cylindre comprise entre les rayons et : Avec : Et :

2 2

Soit : 2

2

d’où : et :

Avec les conditions aux limites :

r

Figure 2.8 : Schéma des transferts dans un cylindre creux

D’où :

(2.10)

2

Et par application de la relation

, on obtient :

2 (2.11)

Cette relation peut aussi être mise sous la forme :

avec

et être représentée par le schéma électrique équivalent de la figure 2.9. 1

2 12

2 1

2

Figure 2.9 : Schéma électrique équivalent d’un cylindre creux

25

2.2.5 Cylindre creux multicouches C’est le cas pratique d’un tube recouvert d’une ou plusieurs couches de et des matériaux différents et où l’on ne connaît que les températures fluides en contact avec les faces interne et externe du cylindre ; et sont les coefficients de transfert de chaleur par convection entre les fluides et les faces internes et externes (cf. figure 2.10). Fluide 2

2

2 3

2 1 1

1

Fluide 1

2

3

1

Figure 2.10 : Schéma des transferts dans un cylindre creux multicouches

En régime permanent, le flux de chaleur  se conserve lors de la traversée des différentes couches et s’écrit : 2 2 2 2

1 2

D’où :

2

1 2

2

(2.12)

ce qui peut être représenté par le schéma électrique équivalent de la figure 2.11.

1

1 12

2 1 1

2

3 2

2

2

1 22

3

Figure 2.11 : Schéma électrique équivalent d’un cylindre creux multicouche

26

2.2.6 Prise en compte des transferts radiatifs Dans les exemples traités précédemment, le transfert de chaleur entre une surface à température et le milieu environnant a été considéré comme purement convectif. Dans le cas où le fluide en contact avec la surface est un gaz et où la convection est naturelle, le transfert de chaleur par rayonnement avec les parois (à la température moyenne ) entourant la surface peut devenir du même ordre de grandeur que le transfert de chaleur par convection avec le gaz (à la température ) au contact de la surface et ne peut plus être négligé. Le flux de chaleur transféré par rayonnement s’écrit d’après la relation (1.9) : que l’on peut mettre sous la forme linéaire : étant appelé le coefficient de transfert radiatif : Les deux transferts, convectif et radiatif, s’effectuent en parallèle et le schéma électrique correspondant est représenté sur la figure 2.12.

1



1 Figure 2.12 : Schéma électrique équivalent avec transferts convectif et radiatif simultanés

Le coefficient de transfert radiatif varie peu pour des variations limitées des températures et et peut pour un premier calcul simplifié être considéré comme constant. Par exemple avec 0,9, 60 °C et 20 °C, la valeur exacte est 6,28 W m K . Si devient égale à 50 °C (au lieu de 60 °C), la devient égale à 5,98 W m K , soit une variation de seulement 5 valeur de %. 2.3 Transfert multidirectionnel Dans le cas où la diffusion de la chaleur ne s’effectue pas selon une direction unique, plusieurs méthodes de résolution peuvent être appliquées : 2.3.1 Méthode de séparation des variables Un problème de transfert de chaleur sur un système défini par ses limites 27

spatiales est caractérisé par l’équation de la chaleur et les conditions aux limites vérifiées par la température sur les frontières du système. Ces conditions aux limites peuvent être : – Homogènes si elles sont du type : – Non-homogènes si elles sont du type :



0

0

La méthode de résolution par séparation de variables ne s’applique que si une seule condition aux limites est non-homogène. Cette méthode repose sur une décomposition de la température en un produit de fonctions et sur le théorème de superposition des solutions. Elle s’applique globalement de la manière suivante : – Recherche des fonctions de la forme , , satisfaisant au système formé par l’équation de la chaleur et les conditions aux limites homogènes. – Recherche de la solution unique du système complet sous la forme ∑ , , , , , les coefficients étant déterminés en utilisant la condition aux limites non homogène. On notera que la solution , , du système complet n’est pas un produit de fonction séparées de , de et de . Nous allons illustrer cette méthode à travers la résolution d’un problème 2D. Considérons une plaque dont trois côtés sont maintenus à une température et le quatrième à . Par un changement de variable on peut se ramener au cas où 0.

0



1

0

1

0 1



0

0



Figure 2.13 : Schéma d’une plaque avec températures imposées sur les côtés

L’équation de la chaleur s’écrit :

0

(a)

0, 0 (b) , 0 (c) ,0 0 (d) (e) , On effectue une décomposition de la température en un produit de fonctions

Avec les conditions aux limites :

28

sous la forme : , 0

L’équation de la chaleur conduit à :

soit encore :

0 On en déduit que : Où est une constante car les deux fonctions et dépendent l’une de et l’autre de . Analysons le cas où la constante est positive et égale à . 0⟹ On a : " Et : " 0⟹ Les conditions limites homogènes imposent : (b) : 0, 0 d’où : 0 (c) : , 0 d’où : 0 Les deux conditions ne sont pas réalisables simultanément donc la constante . est négative et égale à Dans ce cas : Et : , On utilise d’abord les conditions limites homogènes : (b) 0, 0 d’où 0 (d) ,0 0 d’où 0 Et : , (c) , 0 d’où 0 sont solutions de cette équation, Toutes les valeurs n de la forme on les appelle les valeurs propres du problème. Les fonctions sont appelées les fonctions propres. La solution générale est une superposition des solutions à variables séparées qui forment une base de l’espace des solutions soit : ,



La méthode consiste ensuite à calculer l’intégrale du produit de la condition limite non-homogène (e) par une fonction propre sur son domaine d’application (ici entre 0 et pour ). Le calcul de cette intégrale qui s’écrit ici est réalisé de deux manières différentes : , – En utilisant la condition limite non-homogène. – En remplaçant , par son expression obtenue par superposition des solutions particulières. 29

Nous obtenons ainsi dans l’exemple considéré : ,



,

Soit :











1



1

On a également : ,







Le théorème d’orthogonalité des fonctions propres (cf. annexe A.3.10) permet d’écrire : 0 si D’où : ,







L’égalité des deux expressions de la valeur de : 2 1 1 La température s’écrit finalement : ,

2





1

,





2

1

1





permet de calculer 1



(2.13)

Remarque : Dans le cas de l’utilisation des coordonnées cylindriques on calculera l’intégrale du produit de la condition limite non-homogène par . 2.3.2 Méthode du coefficient de forme Dans les systèmes bidimensionnels ou tridimensionnels où n’interviennent que deux températures limites et , on montre que le flux de chaleur peut se mettre sous la forme : Avec : Conductivité thermique du milieu séparant les surfaces 1 ) Température de la surface (K) 30

(2.14)

et

(W m-1 K-

Température de la surface (K) Coefficient de forme (m) Le coefficient de forme ne dépend que de la forme, des dimensions et de la position relative des deux surfaces et . Les valeurs de pour les configurations les plus courantes sont présentées en annexe A.2.1. Cas particulier : Enceinte tridimensionnelle (four, chambre froide, pièce climatisée,…) Méthode : on découpe l’enceinte en différents éléments et on calcule le flux traversant chacun d’eux selon la représentation de la figure 2.14. Bord Coin

Paroi

Figure 2.14 : Méthode de découpe d’une enceinte tridimensionnelle

Si les dimensions longitudinales sont grandes devant l’épaisseur e des parois (supposée constante), les coefficients de forme des différents éléments ont pour valeur :

0,54 0,15 Avec : :Aire de la paroi i : Longueur de la paroi ou du bord i : Epaisseur de la paroi i Le flux de chaleur traversant l’enceinte s’écrit alors : Avec :

: Conductivité thermique (équivalente si paroi multicouche) de la paroi i (W m-1 K-1) : Différence de température entre les faces intérieure et 31

extérieure de la paroi i (°C) 2.3.3 Méthodes numériques Expression de l’équation de Laplace en différences finies Dans le cas où la méthode du coefficient de forme ne peut pas s’appliquer (surfaces non isothermes par exemple), il faut résoudre l’équation de Laplace numériquement. On utilise par exemple une méthode aux différences finies en discrétisant le domaine considéré (espace ou plan). On traitera dans ce qui suit le cas bidimensionnel, le cas tridimensionnel s’en déduit en rajoutant simplement une dimension d’espace. On considère un milieu plan sur lequel on a appliqué un maillage de pas Δ et Δ tel que représenté sur la figure 2.15.

i,j+1

y i-1,j

i+1,j

i,j

y i,j-1

x

x

Figure 2.15 : Représentation du maillage de la surface

Les dérivées partielles de la température formules suivantes : ,

, ,

,

, ∆

,

,

,

,

∆ ,

,



,

,



,

0 s’écrit alors :

L’équation de Laplace en bidimensionnel : ,



,

,

∆

Et si l’on choisit ∆ ,

,



,

∆

0

∆ , on obtient : 1,

1,

,

1

4

Expression des conditions aux limites en différences finies 32

,

∆

∆

∆

,

, ∆

∆

,

,

,

,

; ,

,

,

;

∆

,

peuvent s’exprimer selon les

,

1

Les conditions aux limites imposant sur un bord une température de surface s’expriment simplement en fixant la valeur de la température , à la valeur imposée pour tout couple , représentant un point de ce bord. Les conditions aux limites avec transfert convectif ou flux imposé s’expriment de la manière suivante : Bord rectiligne Un bilan thermique appliqué à la surface grise (rectangle de côtés ∆ /2 et ∆ , cf. figure 2.16)) conduit au résultat suivant compte tenu des formules établies précédemment :

Δ 1

i,j+1 1

Δ i-1,j

3

2

3

ℓΔ

2

3

ℓΔ

∞

ou : i,j 1

Δ 2

i,j-1

Figure 2.16 : Représentation des flux élémentaires sur un bord rectiligne

(en W.m-2) imposée : 1, , 1 , 2 4 Coefficient de convection imposé : , 1 1, 2 , 2 est le nombre de Biot Où :

Densité de flux

,

1

,

1

Δ 2

Coin extérieur

33

Figure 2.17 : Représentation des flux élémentaires sur un coin extérieur

Un bilan thermique appliqué à la surface grise (cf. figure 2.17) conduit au résultat suivant compte-tenu des formules établies précédemment : Densité de flux (en W m-2) imposée : Δ 1, , 1 , 2 4 Coefficient de convection imposé : 1, , 1 2 , 1 Coin intérieur Un bilan thermique appliqué à la surface grise (cf. figure 2.18) conduit au résultat suivant compte-tenu des formules établies précédemment : Densité de flux (en W m-2) imposée : 1, , 1 1, , 1 Δ , 3 6 3 Coefficient de convection imposé : 1, , 1 1, , 1 2 , 3 i,j+1

i-1,j i,j

Δ Δ

i+1,j

i,j-1

Figure 2.18 : Représentation des flux élémentaires sur un coin intérieur

34

Méthode de résolution numérique Soit à résoudre l’équation de Laplace sur un domaine plan limité par un contour . On réalise un maillage du système avec un pas Δ en général identique dans les deux directions du plan. On affecte à chaque point du domaine une valeur initiale de la température : – Egale à la température imposée sur les points du contour où la condition limite impose une température. – Arbitraire ailleurs mais la plus « réaliste » possible. La résolution s’effectue par la méthode itérative de Gauss-Seidel. On effectue des itérations successives consistant à remplacer la valeur de la température en chaque nœud du maillage par la valeur calculée par l’équation aux différences finies qui lui est associée. Une itération consiste à effectuer un balayage complet de tous les nœuds, ligne après ligne et de gauche à droite pour chaque ligne par exemple. Les valeurs recalculées sont immédiatement prises en compte pour le calcul de la valeur de la température aux points d’ordre supérieur (points situés à droite et en-dessous dans le mode de balayage proposé). Critère de convergence ,

On peut par exemple arrêter le calcul dès que la variation la plus grande de au cours d’une itération reste inférieure à une valeur donnée.

Remarques – On n’applique aucun calcul sur les points du contour où la température est imposée. – La valeur de la température sera rangée dans un tableau , , on pourra utiliser un autre tableau , dont les valeurs indiqueront si le point de coordonnées Δ , Δ appartient au domaine et le type d’équation aux différences finies qui s’y applique. On peut noter que la discrétisation décrite ici revient très exactement à simuler un milieu bidimensionnel conducteur de l’électricité par un réseau de résistances reliant chaque nœud à ses voisins. 2.4 Les ailettes 2.4.1 L’équation de la barre Le problème de la barre encastrée schématise le problème pratique important du refroidissement d’un solide par des ailettes. 35

Considérons une barre de section constante (épaisseur et largeur ℓ) encastrée entre 2 surfaces à température et baignant dans un fluide à température . Fluide à

∞

Fluide à

0

0

∞

0

0

x Périmètre Section transversale S

Figure 2.19 : Représentation d’une barre encastrée et schéma simplifié

La symétrie du problème montre l’existence d’un extremum de la température au milieu de la barre ce qui permet de simplifier la géométrie et de ne considérer qu’une demi-barre avec condition de flux nul à l’extrémité située en contact avec le milieu à (cf. figure 2.19). La barre est supposée de section suffisamment faible pour qu’il n’y ait pas de variation de température dans une même section droite à une distance de l’encastrement dans la paroi à . Effectuons un bilan d’énergie sur le système constitué par la portion de barre comprise entre les abscisses et (nous retenons l’hypothèse du régime permanent et nous négligeons le rayonnement) : Fluide à 0







T



∞



Figure 2.20 : Représentation des flux élémentaires sur une barre encastrée

Avec :



Flux de chaleur transmis par conduction à l’abscisse





Flux de chaleur transmis par conduction à l’abscisse





Flux de chaleur transmis par convection à  la périphérie de la barre entre et Le bilan d’énergie s’écrit :    36





Soit : Si  et

sont indépendants de l’abscisse , nous obtenons :

Donc de la barre :

est solution de l’équation différentielle suivante appelée équation



0

(2.15)

2.4.2 Flux extrait par une ailette Une ailette est un milieu bon conducteur de la chaleur dont une dimension est grande devant les autres, exemple : barre d’épaisseur et de longueur , avec ≪ . Elles sont utilisées à chaque fois que des densités de flux élevées sont à transmettre dans un encombrement réduit : refroidissement de composants électroniques, refroidissement d’un moteur par air,… On a établi l’équation différentielle (2.15) vérifiée par la température d’une ailette encastrée dans un mur à la température et baignant dans un fluide à la température . En posant :

et

elle peut encore s’écrire :

0 Si la section est constante, c’est une équation différentielle du 2nd ordre à coefficients constants dont la solution générale est de la forme : ou : 2.4.2.1 Ailette rectangulaire longue de section constante Dans le cas de l’ailette longue, on émet l’hypothèse que : la longueur de l’ailette tend vers l’infini. 0 0 Les conditions aux limites s’écrivent alors : en en → ∞ →0 ⇒ 0 ⇒ D’où :

, où (a) (b)

(2.16)

Le flux dissipé sur toute la surface de l’ailette peut être calculé par intégration

37

du flux de convection local :

Ou plus facilement en remarquant que dans le cas du régime permanent, c’est le même que celui transmis par conduction à la base de l’ailette soit : 0 avec :

D’où :

(2.17)

2.4.2.2 Ailette rectangulaire de section constante isolée à l’extrémité La solution générale obtenue est identique au cas précédent, ce sont les conditions aux limites qui différent : 0 0 (conservation du flux de chaleur en x = L)

La solution s’écrit :

∞ 0

(2.18)

∞

Et le flux total dissipé par l’ailette a pour expression :



(2.19)

Remarque : si l’épaisseur de l’ailette est faible devant sa largeur ℓ, 2.4.2.3 Ailette rectangulaire de section constante avec transfert de chaleur à l’extrémité La solution générale obtenue est identique au cas 2.4.2.1, ce sont les conditions aux limites qui différent : 0 (conservation du flux de chaleur en x = L) La solution s’écrit : (2.20)

38

Et le flux total dissipé par l’ailette a pour expression :





(2.21) 1



Remarque : de l’ailette est faible devant sa largeur ℓ (ce qui est

Dans le cas où l’épaisseur en général vérifié) :

. Les ailettes étant en général réalisées en matériau

bon conducteur ( élevé) et ayant une épaisseur

faible, l’hypothèse

≪ 1 est

le plus souvent vérifiée et les équations (2.20) et (2.21) se ramènent alors aux expressions plus simples des équations (2.18) et (2.19) qui sont celles utilisées dans la pratique (cf. annexe A.2.2). 2.4.2.4 Ailette circulaire de section rectangulaire Ces ailettes destinées à améliorer le transfert de chaleur entre la paroi externe d’un tube et le milieu ambiant (exemple : tubes de radiateur d’automobile) sont schématisées sur la figure 2.21. Effectuons un bilan thermique sur l’élément d’ailette compris entre les rayons et : Le bilan d’énergie s’écrit (cf. figure 2.21) : Avec : Flux de chaleur transmis par conduction 2

au rayon Flux de chaleur transmis par conduction au rayon Flux de chaleur transmis par convection sur la surface de l’ailette entre et

:

2

2 2

39

0

T0

∞

r + dr Figure 2.21 : Schéma d’une ailette circulaire et des flux élémentaires sur l’ailette

Si  est indépendant du rayon , nous obtenons : 2

1



0 où :

Soit encore :

C’est une équation de Bessel (cf. annexe A.2.3) dont la solution s’écrit sous la forme :

et

où :



En

étant déterminés par les conditions aux limites : : :

En

l’extrémité) On en déduit les valeurs de

(cas le plus général : transfert de chaleur à

et de



:



1



Dans le cas où l’on peut faire l’hypothèse du flux nul à l’extrémité :

≪ 1,

on aboutit à l’expression simplifiée suivante : (2.22) Et le flux total dissipé par l’ailette a alors pour expression :

40

2

(2.23)





2.4.3 Efficacité d’une ailette Elle définit les performances d’une ailette en comparant le flux dissipé à celui qui serait dissipé dans une ailette de mêmes dimensions mais dont la température serait uniforme et égale à celle de la base (conductivité thermique   ∞, pas de résistance thermique de conduction donc pas de chute de température dans l’ailette). Le flux échangé par cette ailette idéale serait : pour une ailette rectangulaire de périmètre et de longueur pour une ailette circulaire de rayon de 2 base et de rayon externe . L’efficacité de l’ailette s’écrit donc : Nous en déduisons les relations suivantes : Ailette rectangulaire longue (L → ) :

1

Ailette rectangulaire isolée à l’extrémité :

(2.24)

(2.25)

Ailette rectangulaire avec transfert de chaleur à l’extrémité :



(2.26)

Avec : Ailette circulaire de section rectangulaire : 2



1

1

(2.27)

41

Avec : Dans le cas de géométries plus complexes (ailettes à section variable, ailettes aiguilles…), il existe des formules ou des abaques (cf. annexe A.2.2) permettant de déterminer l’efficacité des ailettes et ensuite le flux de chaleur extrait par . l’ailette grâce à la relation : Remarque : Résistance thermique d’une ailette Des relations

on déduit :

et

Où est la surface d’échange entre l’ailette et le fluide. La résistance thermique globale entre la base de l’ailette à la température s’écrit donc : le fluide à la température 1

et

(2.28)

2.4.4 Choix des ailettes Les ailettes sont utilisées lorsqu’il faut extraire une densité de flux importante dans un encombrement réduit, exemples : radiateur d’automobile, carter de moteur refroidi par air, évaporateur de climatiseur. D’une façon générale, l’usage des ailettes est : – peu utile pour les liquides car le coefficient de transfert par convection h est grand, – utile dans le cas des gaz car est faible. Des ailettes étroites et rapprochées sont meilleures que des ailettes plus grandes et espacées mais on est limité par les pertes de charges du fluide avec lequel les ailettes échangent de la chaleur (elles augmentent si l’on diminue trop l’écartement des ailettes). L’ailette est d’autant plus performante que sa conductivité thermique  est élevée. Le choix des ailettes est alors un compromis entre le coût, l’encombrement, la masse, les pertes de charge et le transfert de chaleur. 2.5 Exercices corrigés 2.5.1 Apport de chaleur dans une pièce climatisée Les murs d’une pièce climatisée à 25 °C sont constitués des différentes couches suivantes de l’extérieur vers l’intérieur : – 2 cm d’enduit en ciment – 20 cm d’agglomérés creux 42

– 5 cm de polystyrène – 1 cm de plâtre La température extérieure est de 35 °C, les coefficients de convection externe et interne ont pour valeurs respectives 10 W m K et 5 W m K . 1. Calculer la résistance thermique globale du mur. 2. Calculer le flux de chaleur entrant pour une surface de 40 m2. 3. Calculer le coût journalier de la climatisation représenté par les pertes à travers ces murs en considérant les données suivantes : – Fonctionnement 8 h par jour – Efficacité de l’installation de climatisation égale à 2 – Prix du kWh électrique égal à 0,15 € 4. 5. 6.

Calculer la température de la face intérieure du mur Reprendre les questions 3 et 4 dans les deux cas suivants : 10 cm de polystyrène et pas de polystyrène. La consommation d’un écran cathodique de PC est de 150 W, celle d’un écran plat est de 75 W. En supposant qu’il reste également allumé pendant 8 h par jour, comparer l’effet du passage d’une épaisseur de polystyrène de 5 à 10 cm avec l’effet d’un changement d’écran. Quelle économie annuelle représente un changement d’écran ? Données : 0,9 W m K , 0,95 W m K , é é â 1,2 W m K 0,035 W m K è

Corrigé : 1.

Les résistances thermiques de convection et de conduction dans les différentes couches sont en série donc la résistance thermique globale entre l’air extérieur et l’air intérieur s’écrit : 1 1 â 1 10

2. 3.

,

0,02 0,95 40

0,2 0,05 0,5 0,035 185 W

0,01 1,2

1 5

â

2,15 K m W

Quantité journalière d’énergie consommée : 0,185 kW 8 h 1,48 kWh Energie électrique consommée : 0,74 kWh Coût journalier de la climatisation : 0,74 0,15 0,111 €

43

4.

On a la relation : d’où :

5.

25

25,9 °C

Avec 10 cm de polystyrène on obtient : 3,59 K m W 35 15 Δ 40 111,5 W 3,59 Quantité journalière d’énergie consommée : 0,1115 kW 8 h 0,89 kWh Energie électrique consommée : 0,45 kWh Coût journalier de la climatisation : On a la relation : d’où :

25

0,45

0,15

0,067 €

25,6 °C

Sans polystyrène on obtient : 0,73 K m W Δ 35 15 40 548,4 W 0,73 Quantité journalière d’énergie consommée : 0,548 kW 8 h 4,39 kWh Energie électrique consommée : 2,19 kWh Coût journalier de la climatisation : 2,19 0,15 0,329 € On a la relation : d’où :

6.

25

27,7 °C

La consommation d’énergie est multipliée par près de 3 et la température des parois internes est de 2,7 °C supérieure à la température de l’air ce qui diminue la sensation de confort thermique du fait de l’échange radiatif entre le corps et les murs. En passant de 5 cm à 10 cm de polystyrène on réduit le flux de : 185 111 74 W ce qui a quasiment le même effet que de changer d’écran : 150 75 75 W. L’économie annuelle induite par un changement d’écran est en fait la somme : – de l’économie d’énergie électrique au niveau de l’alimentation de l’écran soit : 0,075 8 0,15 365 32,85 € – de l’économie d’énergie électrique de climatisation soit : 0,075 8 0,15 365 0,5 16,42 € Soit un total annuel de 49,27€.

2.5.2 Pertes thermiques d’un oléoduc Un oléoduc de diamètre 100/108 mm est isolé par une couche de laine de 44

verre d’épaisseur 50 et de conductivité thermique 0,042 W m K . La température d’entrée de l’huile est 50 °C, la 15 °C et le coefficient d’échange avec température de l’air extérieur est l’air extérieur 30 W m K (vent fort). Si le débit d’huile est 6,4 kg s , la chaleur massique de l’huile 2100 J kg K , quelle est la température de l’huile au bout d’une longueur 10 km ? Corrigé : En effectuant un bilan thermique sur la portion de fluide situé entre les abscisses et , on peut écrire :

(1)

Où est la résistance thermique entre le fluide à d’après la relation (2.12) :

et l’air à

qui s’écrit (2)

Un coefficient de transfert convectif liquide/paroi est au moins 100 fois plus élevé qu’un coefficient convectif gaz/paroi ce qui permet de négliger devant . La conductivité thermique d’un acier est supérieure à 15 W m-1 K-1 soit 300 fois la conductivité de la laine de verre dont l’épaisseur est de plus supérieure ce qui permet de négliger devant . L’application numérique conduit alors à : 2,51 K W L’intégration de l’équation (1) donne : Application numérique : 15

50

15

,

,

33,3 °C

2.5.3 Epaisseur critique d’isolation Soit un tube cylindrique de rayon interne et de rayon externe constitué d’un matériau de conductivité thermique . Supposons que l’on veuille l’isoler avec un manchon de rayon externe et de conductivité thermique . Soient et les coefficients de transfert interne et externe. 1. Donner l’expression de la résistance thermique du tube seul. 2. Donner l’expression de la résistance thermique de l’ensemble tube + manchon. 3. Déterminer les conditions pour lesquelles l’adjonction d’un manchon permet bien de diminuer les pertes thermiques. Données : =1,5 cm ; 2 0,1 W m 1 K 1 ; 6 W m K

45

Corrigé : 1.

2.

3.

La résistance thermique globale dans le cas d’un tube non isolé s’écrit : 1 1 2 2 2 La résistance thermique globale dans le cas de l’ensemble tube + manchon s’écrit : 1 1 2 2 2 2 Une diminution des pertes se traduit par la condition : 0⟹

1

1

ou

0

0

conduit Une résolution numérique[ou le tracé de la courbe 1,86 cm. à: L’adjonction d’un manchon augmente la résistance thermique de conduction mais diminue la résistance thermique de convection externe par augmentation de la surface d’échange. 2.5.4 Anémométrie à fil chaud L’expérience montre qu’un conducteur filiforme fin parcouru par un courant électrique et soumis à un écoulement transversal d’un fluide atteint très rapidement un état d’équilibre thermique sous l’influence d’une part de l’effet Joule et d’autre part des pertes de chaleur par conduction le long du fil et surtout par convection sur la surface latérale du fil immergé dans le fluide. Si le fil est chauffé modérément, l’effet du rayonnement thermique est négligeable par rapport à celui de la convection. Ce principe est utilisé pour mesurer (à partir de la variation du coefficient d’échange par convection ) la vitesse du fluide à l’aide d’un dispositif appelé « anémomètre à fil chaud ». Considérons un fil cylindrique circulaire de diamètre , de longueur 2ℓ dont le coefficient de conductivité thermique est constant et la résistivité électrique fonction linéaire de la température de sorte que 1 où et la résistivité du fil à la température de référence. Ce fil est maintenu entre deux bornes d’amenée du courant, massives et de grandes dimensions, de sorte que la température aux extrémités du fil puisse être considérée comme égale à la température des bornes, elle-même égale à la température du fluide incident . Le coefficient d’échange par convection entre le fluide incident à la température et la surface latérale du fil immergé sera supposé constant même au voisinage des extrémités. 46

1.

2.

3.

Si est l’intensité du courant parcourant le fil en régime de fonctionnement normal, c’est-à-dire lorsque l’équilibre thermique du fil est atteint, déterminer l’expression du champ de température le long du fil. Calculer la température maximale du fil si 6000 W m K et 50 mA. Calculer les pertes par conduction aux extrémités du fil. A partir de quelle longueur 2ℓ du fil peut-on considérer que les pertes de chaleur par les extrémités du fil sont indépendantes de la longueur ? Quand le fil parcouru par un courant d’intensité est placé dans un écoulement pour lequel le coefficient d’échange par convection est connu, calculer l’expression de la résistance électrique du fil et en déduire ̅ ̅ avec l’expression d’une température moyenne telle que 1 ℓ

4.

Dans la pratique, c’est le coefficient d’échange par convection que l’on désire mesurer. Cela est rendu possible par la mesure simultanée de l’intensité et de la résistance du fil. Montrer que l’on peut déterminer le coefficient d’échange par convection à partir des grandeurs caractéristiques du fil à la température et des valeurs à l’équilibre de la résistance électrique et de l’intensité du courant .

5.

Pour une intensité

50 mA, on a mesuré

2,004. Que vaut le

coefficient d’échange ? Si l’on admet que dans ces conditions expérimentales le coefficient d’échange (en W m-2 K-1) est donné en fonction de la vitesse (en m s-1) par la relation 3945 , , quelle est la vitesse de l’air ? Données numériques : 9,8. 10 Ω ; 3,8. 10 K 5. 10 m ; ℓ 1. 10 m ; 70 W m K ; 20 °C Corrigé : 1. En effectuant un bilan thermique sur la portion de fil situé entre les abscisses et , on peut écrire :

Fluide à 0

∞



x



Avec :

47

 Flux de chaleur transmis par conduction 

à l’abscisse



Flux de chaleur transmis par conduction



à l’abscisse

 Flux de chaleur transmis par convection 

à la périphérie du fil entre et  Flux de chaleur généré par effet Joule entre





et



:

Soit en posant

Si  et



sont indépendants de l’abscisse , nous obtenons : (1)

qui est de la forme : avec : On vérifiera ultérieurement avec les données numériques fournies que :

est une solution particulière de (1)

La solution générale s’écrit : Les conditions aux limites sont : en 0 : 0 ℓ

en



0

:

ℓ

1

On en déduit : est obtenu en

ℓ, on déduit de (2) :

Application numérique : 3,407. 10 ; 266,4 °C ; 2.

(2)

ℓ

1 284,9 °C

Les pertes par conduction aux extrémités s’écrivent : ℓ , or

ℓ

1 si

ℓ

extrémités ne dépendent plus de la longueur si : ℓ 2

3. ℓ

3, donc les pertes aux où

.

0,51 mm.

On trouve : ℓ ℓ

ℓ



ℓ

ℓ

1

48

ℓ

ℓ

ℓ

1



ℓ

ℓ

d’où :



1

1



ℓ

ℓ

ℓ ℓ

̅ avec

1

de la forme : 4.

ℓ

ℓ

et ̅

ℓ





ℓ

ℓ

(3)

ℓ

On peut résoudre numériquement cette équation où l’inconnue est déduire ensuite :

et en

et :

où : 5.

ℓ

En résolvant numériquement l’équation (3) avec les données fournies, on obtient : 5277 On en déduit :

5455 W m K

,

1,11 m s

et :

2.5.5 Calcul d’une ailette Une ailette en aluminium de largeur 5 cm, de longueur 10 cm et d’épaisseur 3 mm est encastrée dans un mur. La base de l’ailette est maintenue à 300 °C, la température ambiante est de 30 °C et le coefficient de transfert est de 10 W m-2 K-1. 1. Déterminer la température à l’extrémité de l’ailette et le flux extrait par l’ailette si l’on néglige les gradients thermiques dans les sens de la largeur et de l’épaisseur. 2. Calculer l’efficacité de l’ailette. 3. Calculer les erreurs relatives que l’on aurait commises en considérant les deux cas suivants : – La température de l’extrémité de l’ailette est égale à la température ambiante. – L’extrémité de l’ailette est isolée Corrigé : 1.

La température de l’ailette est donnée par la relation (2.20) :

Soit avec :

, ,

, ,

5,885 et

0,1 m

d’où : 258,1 ° Et le flux total dissipé par l’ailette est donné par la relation (2.21) :

49

D’où : 2.



1



26,0 W

L’efficacité de l’ailette est donnée par la relation (2.26) : d’où :

3. Si



0,906 , l’efficacité de l’ailette est donnée par la relation (2.24) :

qui conduit à une valeur supérieure à 1. L’hypothèse de l’ailette longue n’est pas acceptable dans ce cas. Si l’extrémité de l’ailette est parfaitement isolée, l’efficacité de l’ailette est donnée par la relation (2.25) :

d’où :

0,899. L’erreur de

0,8 % est tout à fait acceptable dans ce cas. 2.5.6 Résistance thermique d’un tube aileté Considérons un tube cylindrique circulaire en acier de conductivité thermique 40 W m K , de longueur ℓ 3 m, de rayon intérieur 40 mm et de rayon extérieur 50 mm. Il est parcouru par un écoulement d’eau chaude à la température et le coefficient d’échange interfacial intérieur, côté eau, est égal à 250 W m K . De l’air frais à la température circule axialement sur la surface extérieure et le coefficient d’échange interfacial extérieur, 10 W m K . côté air, est égal à Afin d’accroître le transfert de chaleur entre l’eau et l’air, on décide de disposer des ailettes longitudinales en acier ( 40 W m K ). 1. Les ailettes doivent-elles être placées côté eau ou côté air ? Justifier leur implantation. Pour des raisons aérodynamiques, leur nombre est fixé à 20. Elles sont soudées le long des génératrices du tube sur toute la longueur ℓ et régulièrement espacées sur le cercle directeur. Soient leur hauteur et leur épaisseur supposée constante (ailette rectangulaire). Afin de minimiser le poids de matière première, on impose le produit 128 mm . 2. Déterminer les dimensions géométriques optimales d’une ailette pour évacuer un flux maximum. 3. Quelle est l’efficacité des ailettes ? 4. Quelle est la résistance thermique totale entre l’eau à la température et l’air extérieur à la température ? Donner le schéma électrique équivalent et discuter. Remarque : Dans le calcul de la résistance thermique interfaciale d’une paroi munie d’ailettes, la surface dont il faut tenir compte est la surface où 50

5.

est l’efficacité totale et la surface baignée par le fluide. Quel est le flux de chaleur échangé entre l’eau et l’air si 60 °C ? Comparer ce flux à celui qui serait échangé par le même dispositif non muni d’ailettes.

Corrigé : 1. 2.

Les ailettes sont placées du côté où le coefficient de transfert convectif est le plus faible soit du côté de l’air. Le flux dissipé sur la surface des 20 ailettes avec transfert à l’extrémité s’écrit : 20 Où :

ℓ;



2

1





ℓ ;

Le flux dissipé sur la surface extérieure sans ailette s’écrit : 2 20 ℓ Le flux total dissipé s’écrit : 20

–

– –



1



2

20 ℓ

Les paramètres et étant liés par la relation , les différents flux ne dépendent en fait que du seul paramètre . On est ainsi ramené au problème de recherche de l’extremum de la fonction d’une seule variable. Plusieurs méthodes sont applicables : Dériver la fonction et trouver la valeur qui annule la dérivée. Dans ce cas précis l’expression des flux en fonction de est relativement complexe ce qui rend cette méthode compliquée. On pourrait toutefois l’appliquer en considérant l’expression simplifiée correspondant à l’hypothèse d’un flux nul à l’extrémité de l’ailette conduisant à : 20 dont la dérivation est plus aisée. Tracé de la courbe et détermination de l’extremum, réalisable très facilement dans un tableur. Utilisation du solveur d’un tableur pour trouver directement la valeur de qui maximise . Cette dernière méthode nous a conduit à : 2,53 mm et 5,05 mm. Il est à noter que ces valeurs ne maximisent pas le flux dissipé sur l’ailette mais sur l’ensemble surface ailetée + surface sans ailette. Les extrema sont légèrement différents car augmenter l’épaisseur des ailettes diminue la surface d’échange sans ailettes. Les valeurs qui maximisent le flux dissipé par 51

3.

les ailettes sont : 2,61 mm et 4,90 mm. Dans le cas 2,53 mm et 5,05 mm, l’efficacité de l’ailette qui s’écrit : a pour valeur = 0,707.



4.

Le schéma électrique équivalent est le suivant :





Où :

ℓ

;

ℓ

;





ℓ

;

ℓ

La résistance globale s’écrit :

Soit :

ℓ



ℓ

ℓ



ℓ

0,00331 K W

Application numérique : En l’absence d’ailettes :

avec

ℓ

0,0198 K W

Application numérique : 5.



Le flux de chaleur s’écrit : Avec ailettes : Sans ailettes :

, ,

18,1

;

3,03

La présence d’ailettes permet de multiplier le flux dissipé par 6. 2.5.6 Apports thermiques dans une chambre froide On considère une chambre froide cubique de côté intérieur ℓ 3 m à une température intérieure de –18 °C. Les parois sont constituées de 15 cm de polystyrène et de 10 cm de béton. La température extérieure est de 35 °C, les coefficients de transfert interne et externe valent respectivement 15 W m K et 10 W m K . En supposant que le sol est parfaitement isolé, calculer le flux de chaleur entrant dans l’enceinte. Corrigé : On peut en première approximation négliger le flux de chaleur ayant traversé 52

les « bords » et les « coins » de la chambre froide et ne considérer que le transfert 1D à travers les parois planes.

1

1 1

1

2 2

Avec : 5ℓ D’après les annexes : 0,043 W m K ; 0,15 m (polystyrène) 1,75 W m K ; 0,10 m (béton) Une première valeur par défaut peut être calculée par : 1

1



On en déduit une première valeur approchée : 652 W On peut affiner le calcul en considérant les pertes par les bords et par les coins. Le sol étant parfaitement isolé on ne doit considérer que 8 bords et 4 coins. Le problème qui se pose est que la paroi est bicouche, on considère dans ce cas une conductivité thermique équivalente telle que le mur d’épaisseur et de conductivité thermique ait la même résistance thermique que le mur réel soit : D’où : 0,0705 W m K Le flux traversant les parois par conduction s’écrit : Ou encore : Et : On en déduit :

avec : ℓ

∑

∑

∑

0,54ℓ ; 0,15 car l’enceinte est cubique. 0,0768 W K

D’où :

;

689,8

L’écart entre les deux valeurs calculées est seulement de 5,4%. 2.5.8 Isolation d’une conduite De l’eau glacée à 8 °C circule à la vitesse de 0,5 m s-1 à l’intérieur d’un tube en 53

acier de diamètres intérieur et extérieur 20/27 mm. Ce tuyau est isolé par une couche d’isolant de 10 mm d’épaisseur. La température de l’air ambiant est égale à 25 °C. La longueur du tuyau est de 30 mètres. 1. Calculer le flux de chaleur gagné par le tube. 2. Calculer la température interne du tube. 3. Calculer l’échauffement de l’eau lors de son passage dans le tube. Données : Coefficient de convection externe : 10 W m K , Coefficient de convection interne : 2027 W m K , 0,35 W m K , vitesse de l’eau 1 m s Corrigé : 1.

Le flux de chaleur transféré se calcule par : 1

2.



2



Application numérique : 159,0 Remarque : ce calcul est approché car on considère l’écart constant tout le long du tube alors que la température de l’eau s’élève entre l’entrée et la sortie. Le flux échangé peut également s’exprimer par :

D’où :

3.

1

2



.

.

1



8,04 °

Les propriétés physiques de l’eau auraient donc du être calculées pour une température 8 °C, elles l’ont été à 12°C ce qui est toutefois très proche et dispense de reprendre le calcul. Un bilan thermique sur l’eau entre l’entrée et la sortie du tube permet d’écrire : On en déduit :

0,12 °C

Ce faible écart valide a posteriori le calcul approché du flux de chaleur. 2.5.9 Déperditions thermiques d’une canalisation Dans une installation de chauffage individuel, l’eau issue d’une chaudière à une température de 50 °C est distribuée vers les radiateurs situés dans les pièces à chauffer par un réseau de tubes en cuivre de diamètres 12/14 mm. Une longueur de tube de 5 m est située dans des combles non isolés où la température moyenne 54

de l’air est de 10 °C. L’eau circule dans les tubes avec une vitesse 0,5 m s . Le coefficient de convection naturelle entre la surface extérieure du tube et l’air est 10 W m K , l’émissivité du cuivre est de 0,4. On supposera que l’abaissement de température de l’eau est faible par rapport à la différence entre la température de l’eau et la température de l’air. 1. Calculer le coefficient de perte de chaleur par rayonnement sur la surface externe du tube. 2. Représenter le schéma électrique équivalent du système. Quelles hypothèses simplificatrices peut-on retenir ? Les justifier. 3. Calculer le flux de chaleur perdu sur la longueur de 5 m et l’abaissement de température correspondant de l’eau. 4. On veut isoler le tube avec un manchon en mousse de conductivité 0,045 W m-1 K-1. Représenter le nouveau schéma électrique équivalent et donner l’expression de la résistance thermique globale entre l’eau et l’air. 5. Quelle épaisseur de manchon doit-on utiliser pour réduire le flux perdu de 80% ? L’émissivité du manchon est de 0,9. Corrigé : 5,67. 10 0,4 101,4 323 283

1.

323

283

2,53 W m

101,4 W m

K

2.

Un coefficient de convection forcée avec un liquide est de l’ordre de 100 à 1000 fois supérieur à un coefficient de convection forcée avec un gaz en convection naturelle donc on peut négliger devant . La conductivité thermique du cuivre est de l’ordre de 400 W m-1 K-1 et son épaisseur est de 1 mm soit une résistance thermique . 2,5. 10 K m W tout à fait négligeable devant 3. En négligeant les résistances de convection interne et de conduction dans le cuivre, la résistance thermique équivalente s’écrit :

55

1

1

1

1

Et : 10

2,53

0,014

5

,

et :

323 283 0,47 °C

,

,

110,3 W

4.







1 1 Avec :

1 1

4

2 car l’écart

D’où : 4 5,67. 10 0,9 283 5. On veut obtenir 0,2 soit encore

sera faible.

4,62 W m K 5

D’où : La résolution de cette équation conduit à d’isolation de 1,67 cm.

4,73 cm soit une épaisseur

2.5.10 Transfert de chaleur interne dans une conduite Le tuyau d’amenée en hydrogène d’un moteur spatial (diamètre 5 cm, épaisseur 5 mm, conductivité thermique 25 W m K ) est, comme le montre la figure, avec sa partie inférieure occupée par H2 liquide avec un et sa partie coefficient d’échange par convection ℓ 3000 W m K supérieure occupée par H2 gazeux avec un coefficient d’échange par convection 30 W m K . La température interne du tuyau (équilibre liquide-gaz de 20 K. La température à l’extérieur du tuyau est 250 K et le H2) est coefficient d’échange externe est 20 W m K . L’objectif de l’exercice est de prédire les pertes thermiques par unité de longueur du tuyau.

56

H2 gaz x

30 W m 2 K

250 K 20 W m 2 K

1

0 H2 liquide ℓ

1.

2. 3. 4. 5.

1

3000 W m 2 K

1

Justifier que la température du tuyau est en bonne approximation constante en fonction du rayon . Dans la suite, on supposera un champ de température où x désigne l’abscisse curviligne à partir de l’interface liquide-vapeur ( 0) en admettant que l’on puisse traiter le problème en monodimensionnel. Justifier que la température de la partie du tuyau en contact avec le liquide est proche de la température du liquide. En admettant les deux approximations précédentes, calculer la température dans la partie supérieure du tuyau. Quel est le flux de chaleur gagné par unité de longueur du tuyau ? Justifier le fait que les transferts de chaleur par rayonnement n’aient pas été pris en compte.

Corrigé 1.

L’épaisseur est faible devant le rayon donc en première approximation on peut traiter le problème comme celui d’une plaque d’épaisseur . On a 3 résistances thermiques en série dans le sens de l’épaisseur :

1

1

1

2

2

1 5. 10 K m W 20 5. 10 3,3. 10 K m W 15 3,3. 10 K m W

;

ℓ

ℓ

3



3,3. 10 K m W

donc est très petit devant dans les deux cas et on peut négliger la variation de la température dans le tuyau en fonction de r. 57

1

2.

Dans la partie inférieure du tuyau : ℓ 3,3. 10 K m2 W , cette valeur est négligeable devant la valeur de 1 donc le tube est à une température très proche de celle de l’hydrogène liquide.

3.

En

, le flux selon

est nul donc le bilan thermique s’écrit : 112

on en déduit :

En prenant l’origine de l’abscisse curviligne à l’interface entre le liquide et le gaz, l’équation de la chaleur dans la paroi supérieure du tube s’écrit : 0 0

pour 0

pour 0

pour

En posant :

et ℓ

,

, la solution s’écrit :

ℓ ℓ 2

2 ℓ

4.

0,005

0,05

20 ,

2

56,8 W

=20 ℓ

ℓ



2 ℓ



ℓ

ℓ



ℓ

20 0,0393 20 0,0393 56,8 53,0 W 30 20 56,8 53,0 109,8 Un coefficient de transfert de chaleur par rayonnement est de la forme : 4 30

5.

20

Dans la partie supérieure du tube : D’où l’ordre de grandeur : m-2 K-1

135 K

0,55 qui est bien négligeable devant 20 W

2.5.11 Tubes enterrés 1.

2.

58

Quelle est l’expression du champ de température autour d’une source linéaire horizontale débitant un flux de chaleur  par unité de longueur et enterrée à une profondeur ℓ dans un sol dont la surface est isotherme. En déduire le facteur de conduction entre une canalisation cylindrique de rayon enterrée à une profondeur ℓ et la surface du sol supposée isotherme.

3.

Deux tubes sont enterrés dans le sol et maintenus respectivement à 300 °C et à 125 °C. Leurs diamètres sont de 8 cm et de 16 cm, la distance entre leurs axes est de 40 cm. Calculer le flux échangé par mètre de longueur si la conductivité thermique de la terre est de 0,7 W m-1 °C-1.

Corrigé : Le champ créé par une source linéaire d’intensité  vérifie l’équation : 2

et s’écrit donc :

On utilise la méthode des images : pour obtenir une isotherme plane, on place une deuxième source d’intensité  symétrique de la première source par rapport à la surface du sol. Par raison de symétrie, les points de la surface du sol situés à égale distance des deux sources (d’intensité égale en module et opposée en signe) subissent une influence égale et opposée de la part de ces deux sources et se trouvent bien sur une isotherme. Les conditions aux limites sont donc bien respectées. Du fait de la linéarité de l’équation de Laplace (équation de la chaleur en régime permanent) la somme de deux solutions est une solution donc dans la configuration avec deux sources la température s’écrit :

2

Source 2

0

Isotherme

x

ℓ

1

Source

Si 2.

:



, d’où :

Les points sur l’isotherme

vérifient :

ℓ ℓ

D’où : Soit encore :

ℓ

ℓ ℓ

ℓ

Ce sont des cercles de centre 0,

et de rayon

ℓ

ℓ

et

avec :

59

On en déduit : peut être exprimé en fonction de

en résolvant cet équation du second

degré, on aboutit à : 1

2

1

2

1

1

2

1

2

1 car

doit être positif. En utilisant la relation :

, le flux de chaleur peut se

calculer par :

ou encore : Le facteur de forme de conduction a donc pour valeur : On retrouve bien la valeur donnée dans les annexes. 3. Dans le cas de deux tubes enterrés, on trouve en annexe la valeur du facteur de forme de conduction : 2 2 0,4 1,096 m 0,4 0,08 0,16 2 2 0,08 0,16 On en déduit le flux échangé par : 300 125 134,3

0,7

1,096

2.5.12 Mesure de la conductivité thermique d’une roche De façon à mesurer la conductivité thermique d’une roche, on dispose symétriquement deux blocs cylindriques de diamètre et de hauteur ( 5 cm) de part et d’autre d’un élément chauffant mince dissipant un flux de chaleur  2 W. L’autre face des blocs est maintenue égale à la température ambiante . Au bout d’un temps assez long pour les indications soient stables, la température au centre de la chaufferette est 30 °C. L’expérimentateur scrupuleux mesure également avec un fluxmètre la densité de chaleur 330 W m sur les deux 20 °C. extrémités des blocs maintenues à 1. Expliquer pourquoi les mesures de flux ne sont pas concordantes. 2. Ecrire les équations du système en supposant le champ de température 1D. Quelle hypothèse doit-on considérer pour supposer le champ de température 1D ?

60

3. 4. 5.

6. 7.

Donner l’expression de la température et du flux de chaleur en fonction de . Donner l’expression de la température de l’élément chauffant et du flux sur la face non chauffée. Déduire des données expérimentales les valeurs des paramètres inconnus en particulier celle de la conductivité thermique de la roche. Ces valeurs vous semblent-elles réalistes ? L’hypothèse d’un champ de température 1D sur les blocs était-elle justifiée ? Etablir l’expression du champ de température 2D en utilisant la méthode de résolution par séparation de variables. Proposer une méthode de résolution numérique du problème 2D.

Corrigé :

1 z



1

e



h

0

/2

0 1.

0

,

509,3 W m

or :

1

330 W m

à cause des pertes latérales convectives. 0,1 est respectée soit si

0,1 alors on peut négliger

2.

Si la condition

3.

le gradient de température suivant le rayon et considérer que le champ de température dans le bloc est 1D. On peut dans ce cas écrire l’équation de la chaleur comme pour une ailette : 0

(a)

Avec : Conditions limites :



(b) (c)

On pose : La solution générale s’écrit :



61



La condition limite (b) conduit à : D’où : La condition limite (c) conduit à : D’où finalement :









Et : 4.





La température atteinte par l’élément chauffant se calcule en 0

5.

Le flux





On peut écrire : or :

0

0:

a pour valeur :

6.



1,0

d’où :

0

, on en déduit :

e 0

0,05 509,3 1,0 1,0 10 0 Soit finalement : 1,94 W m K L’ordre de grandeur de cette valeur est conforme aux valeurs données en annexe.

d’où :

,



,

Soit finalement : 9,7 W m K habituelles en convection naturelle.

qui correspond bien aux valeurs ,

Calculons le nombre de Biot :

7.

, ,

,

0,125

,

Cette valeur est légèrement supérieure à la limite de 0,1, on peut donc prévoir que l’estimation de la conductivité thermique est entachée d’une faible erreur. Le problème est à symétrie cylindrique on utilise donc l’équation de la chaleur en coordonnées cylindriques :

0

(a) (b)

,

Conditions limites :

,

,

,

(c) (d)

La méthode de résolution utilisée est la séparation des variables, on écrit la . L’équation (a) température sous la forme suivante : , s’écrit alors : 1 0

62



Soit encore :

0

On en déduit que les deux termes de la somme sont des constantes de même valeur absolue et de signe opposé. Le problème posé est de déterminer le signe de chacune d’elles. On utilise pour cela les conditions aux limites.

Supposons que :

et :

Les solutions des équations ci-dessus sont : Application des conditions aux limites homogènes : → ∞ lorsque → 0, or la température doit rester finie donc et :

En r =

,

,



⟹



donc :

Les deux fonctions

et

On a donc :





sont positives donc cette égalité n’est pas réalisable. et :

Les solutions des équations ci-dessus sont : Application des conditions aux limites homogènes : → ∞ lorsque → 0, or la température doit rester finie donc et : En r = R :

,

,

On pose :

et

0

⟹



donc :



. sont solutions de l’équation transcendante :

Les valeurs propres ∑ Et : En : , et : Finalement : , On en déduit :

0

donc : ∑ ,



0

∑





On utilise maintenant la condition non-homogène (b) pour déterminer les coefficients en calculant de deux façons différentes l’intégrale entre 0 et : de la densité de flux multipliée par et par la fonction propre

63











On peut aussi écrire :











En utilisant la propriété d’orthogonalité des fonctions propres on a :



























(cf. annexe A.2.3)

On en déduit :













Et finalement : , 8.

∑

















On peut également mettre en place une résolution numérique par différences finies de l’équation de la chaleur. On réalise pour cela un maillage du système sur lequel On identifie sur ce maillage 6 types différents de surfaces élémentaires sur lesquelles on effectuera le bilan thermique général représenté sur la figure suivante : 4 1

3

2

5 R Schématisation du maillage et du bilan thermique effectué sur chaque maille

Le bilan thermique de la surface élémentaire s’écrit : Ecrivons par exemple les bilans sur les surfaces de type 1, 2 et 5 :

64

Type 1 :

dr 0, j+1

1,j+1 dz

0, j

1,j

1

1,j-1

0, j-1 0







0, 1,



0,

0, 0, 1

1 0,



0,

,



,



,

Type 2 :

dr i,j+1

i-1, j+1

i+1,j+1 dz

2 i,j

i-1, j

i-1, j-1 2

i+1,j

i+1, j-1

i,j-1

,

1,

2 2

, 1



,

, 1,

,

1



,

1

1

1

2

,

,

1

,

, 65



,



,



,

,



,



Type 5 :

dr i,2

i-1,2

i+1,2 dz

5 i-1,1

i+1,1

i,1



,1

1,1







1,1

,1

,1

3 2



1,1

2

1



2

1

1 2

,2

,1 1,1

2

1



,2

On effectue de la même manière le bilan thermique des éléments de type 3, 4 et 6 et on obtient ainsi pour tous les points du maillage une relation permettant d’exprimer la température du point en fonction de la température des points qui l’entourent. Le résultat est un système linéaire de équations à autant d’inconnues si

et

. On peut le résoudre par

la méthode de son choix, la méthode itérative dont le principe est donné cidessous permet d’obtenir une solution très simplement : – Initialiser la température de tous les points du maillage à une valeur « plausible » par exemple 25 °C ici. – Faire tant que le critère de convergence n’est pas atteint : – Faire de 1 à et de 1à – Recalculer , à partir des relations issues des bilans thermiques élémentaires – Comparer les valeurs recalculées aux valeurs obtenues au pas de calcul précédent – Si l’écart maximal est inférieur au critère de convergence arrêter le calcul sinon continuer. En imposant 509,3 W m , 1,94 W m K et , 20 °C, , le calcul conduit à 0,0 30,3 °C. Pour retrouver la valeur expérimentale 66

de 30 °C avec le modèle 2D, il faut considérer une conductivité thermique 2,01 W m K qui est donc la valeur exacte de la conductivité de la roche. L’erreur d’estimation commise en utilisant un modèle de type « ailette » 1D pour exploiter la mesure serait donc de : 3,5 %.

,

, ,

100%

67

68

3 Transfert de chaleur par conduction en régime variable 3.1 Conduction unidirectionnelle en régime variable sans changement d’état 3.1.1 Milieu à température uniforme On va étudier le transfert de chaleur vers un milieu à température uniforme, ce qui est a priori contradictoire car il est nécessaire qu’il y ait un gradient thermique pour qu’il se produise un transfert de chaleur. Cette approximation du milieu à température uniforme peut néanmoins être justifiée dans certains cas que l’on va préciser. Soit par exemple la trempe d’une bille métallique qui consiste à immerger une bille initialement à la température dans un bain à température maintenue constante. Si l’on suppose que la température à l’intérieur de la bille est uniforme, ce qui sera d’autant plus vrai que sa dimension est petite et sa conductivité thermique élevée, on peut écrire le bilan thermique de cette bille entre deux instants et : soit : D’où : On remarque que le groupement



(3.1)

est homogène à un temps, on l’appellera

 la constante de temps du système : (3.2) Cette grandeur est fondamentale dans la mesure où elle donne l’ordre de 69

grandeur de temps du phénomène physique, on a en effet : 0 0

1

0,37 0



t

Figure 3.1 : Evolution de la température d’un milieu à température uniforme

Il est toujours intéressant en physique de présenter les résultats sous forme adimensionnelle, deux nombres adimensionnels sont particulièrement important en régime variable : – Le nombre de Biot :

é





é





dimension caractéristique du milieu, ℓ Soit :

Le nombre de Fourier :

ℓ

, ℓ est la

pour une sphère. ℓ

(3.3)

(3.4)

ℓ

Le nombre de Fourier caractérise la pénétration de la chaleur en régime variable. La définition de ces deux nombres adimensionnels permet d’écrire l’expression de la température de la bille sous la forme :

(3.5)

La connaissance du produit des nombres de Biot et de Fourier permet de déterminer l’évolution de la température de la sphère. On considère généralement qu’un système tel que 0,1 peut être considéré comme étant à température uniforme, le critère 0,1 est appelé le critère d’« accommodation thermique ». 3.1.2 Milieu semi-infini Un milieu semi-infini est une paroi d’épaisseur suffisamment grande pour 70

que la perturbation appliquée sur une face ne soit pas ressentie par l’autre face. Un tel système représente l’évolution d’un mur d’épaisseur finie pendant un temps suffisamment court pour la perturbation créée sur une face n’ait pas atteint l’autre face (vrai tout le temps que la température de l’autre face n’a pas varié). 3.1.2.1 Température constante imposée en surface Méthode : Transformée intégrale de Laplace sur le temps et inversion par les tables. Le milieu semi-infini est initialement à la température uniforme . On impose brutalement la température sur sa surface, cette condition limite est appelée condition de Dirichlet :

Figure 3.2 : Schéma du milieu semi-infini avec température de surface imposée

L’équation de la chaleur s’écrit : Avec les conditions aux limites :

(a)

,0 0, , →

quand

(b) (c) (d)

→∞

On effectue le changement de variable suivant : D’où :

et :

,

L’équation (a) peut alors s’écrire :



Les conditions aux limites deviennent :

,0 0 0, , → 0 quand

→∞

(b) (c) (d)

La transformée de Laplace de , par rapport au temps s’écrit (cf. annexe A.3.1 sur les transformations intégrales) : ,

,

,



La transformée de Laplace de l’équation (a) conduit à : 1 ,0 0

71

,0

Avec

0 (ce qui justifie le changement de variable) 0 avec

Cette équation est donc de la forme : , . D’où : La température garde une valeur finie quand , et :

→ ∞ donc

La transformée de Laplace de l’équation (b) conduit à :

Et :

,

0 0,

d’où



L’utilisation des tables de la transformée de Laplace inverse présentées en annexe A.3.2 conduit au résultat suivant : ,

(3.6)

2√ Avec :

√

La fonction



est appelée la fonction erreur (cf. valeurs en annexe A.3.4)

3.1.2.2 Flux imposé Méthode : Transformée intégrale de Laplace sur le temps et inversion par les tables. Considérons la même configuration mais en imposant brutalement une densité de flux de chaleur à la surface du milieu semi-infini, cette condition limite est appelée condition de Neumann.

Figure 3.3 : Schéma du milieu semi-infini avec flux surfacique imposé

L’équation de la chaleur s’écrit :

72



(a)

,0

(b) 0,

Avec les conditions aux limites :

(c)

(d) , → quand → ∞ La condition (c) traduit la conservation du flux de chaleur au niveau de la surface du milieu semi-infini. On effectue le changement de variable suivant :

L’équation (a) peut alors s’écrire :

,0

0

(b)

0,

Les conditions aux limites deviennent : ,

(c)

→ 0 quand

→∞

0 avec

La transformée de Laplace de l’équation (a) conduit à :

D’où : , . La température garde une valeur finie quand Et : ,

→ ∞ donc

D’où :

et

,

0

La transformée de Laplace de l’équation (c) conduit à :

(d)

0,



L’utilisation des tables de la transformée de Laplace inverse présentées en annexe A.3.2 conduit au résultat suivant : , Avec :

√

2

√ 1

2√

(3.7)

, cette fonction est

tabulée en annexe A. 3.4. 3.1.2.3 Coefficient de transfert imposé Méthode : Transformée intégrale de Laplace sur le temps et inversion par les tables. On considère le cas où le coefficient de transfert de chaleur par convection entre le milieu semi-infini et le milieu ambiant est imposé, cette condition limite est appelée condition de Newton :

73

Figure 3.4 : Schéma du milieu semi-infini avec coefficient de transfert convectif imposé



L’équation de la chaleur s’écrit :

(a)

,0 0,

Avec les conditions aux limites : ,

0,

→

quand

→∞

(b) (c) (d)

On effectue le changement de variable suivant :

L’équation (a) peut alors s’écrire : Les conditions aux limites deviennent : ,0

0

(b)

0, ,

0, → 0 quand



→∞

(c) (d) 0 avec

La transformée de Laplace de l’équation (a) conduit à :

D’où : , . La température garde une valeur finie quand → ∞ donc , et : La transformée de Laplace de l’équation (c) s’écrit :

Soit : Et :

0,

,

0

0, d’où :





L’utilisation des tables de la transformée de Laplace inverse présentées en annexe A.3.2 conduit au résultat suivant :

74

,

√ 2√

(3.8)

2√

Pour un calcul approché, on trouvera en annexe A.3.5 un abaque représentant graphiquement cette formule. 3.1.2.4 Température sinusoïdale imposée en surface, régime périodique établi Méthode : Recherche d’une solution de même fréquence que l’excitation ,

0,

0



Milieu semi-infini



0 Figure 3.5 : Schéma du milieu semi-infini avec température sinusoïdale imposée en surface



L’équation de la chaleur s’écrit :

(a)

(b) 0, , → quand → ∞ (c) On recherche une solution en régime établi pour laquelle le champ de température du milieu évolue comme : , Le problème étant linéaire, on considère soit la partie réelle soit la partie imaginaire de la solution selon que la température varie comme ou . La fonction complexe f est solution de : Avec les conditions aux limites :



0

0

avec :





La fonction f doit rester finie quand entraîne D’où :

,



avec :

1

→ ∞ donc

0 et

0

1

Soit en prenant la partie réelle de la solution : ,



2

2

(3.9)

Remarques :

75

– L’amplitude des oscillations décroît rapidement lorsqu’on s’éloigne de l’interface. – L’amplitude des oscillations décroît également rapidement quand la fréquence de l’excitation augmente : une excitation de fréquence élevée appliquée à la surface d’un solide ne modifiera sa température que sur une faible profondeur. – Entre les températures et de 2 points distants respectivement de et

de la surface, il existe un déphasage égal à

. La connaissance de

et la

mesure de la température au sein du milieu en deux points situés à des distances connues et de la surface peut permettre d’évaluer la diffusivité thermique . 3.1.2.5 Contact brusque entre deux milieux semi-infinis Méthode : Transformée intégrale de Laplace sur le temps et inversion par les tables. ,

0



Milieu semi-infini 2

Milieu semi-infini 1

,

0



0 Figure 3.6 : Schéma du contact brusque entre deux milieux semi-infinis

On considère deux milieux semi-infinis initialement à deux températures uniformes différentes et . A l’instant initial, on place les deux milieux en contact et l’on recherche l’évolution de la température au sein des deux milieux. L’équation de la chaleur s’écrit pour chacun des deux milieux : (a)

et

(b)

L’origine des abscisses est prise au point de contact entre les deux milieux. Les conditions aux limites s’écrivent : ,0

(c)

,0

(d) (e)

0, ,

76

0, →

quand

(f) →∞

(g)

,

→

quand

→∞

(h)

On effectue les changements de variable suivants : et Les équations (a) et (b) peuvent alors s’écrire : et ,0

0

,0

Et les conditions aux limites deviennent :

(c)

0

(d)

(e) 0,

0,

, ,

→ 0 quand → 0 quand

(f)

→∞ →∞

(g) (h)

Les transformées de Laplace des équations (a) et (b) conduisent comme dans les cas précédents à des solutions du type : , , Avec :

et :

0 et La température garde une valeur finie quand → ∞ donc 0, nous en déduisons que : , , et Les transformées de Laplace des équations (e) et (f) s’écrivent alors : (e) (f) La résolution de ce système linéaire permet de calculer les valeurs de

et de

: et Où est l’effusivité thermique du milieu i. On en déduit les valeurs de et de : ,



et

,



L’utilisation des tables de la transformée de Laplace inverse présentées en annexe A.3.2 conduit au résultat suivant :

77

| |

, ,



2√



2√

Propriété de la température de contact elle se calcule par :

0,

(3.10)

: 0,

sachant que

0

D’où :

1. (3.11)

On remarque que la température de contact entre les deux milieux reste constante pendant toute la durée du transfert de chaleur. C’est le milieu qui a la plus grande effusivité thermique qui impose la température de contact. Application : Sensation thermique lors du contact de la peau avec un métal (très grande effusivité) ou un isolant (très faible effusivité), choix de matériaux améliorant le confort thermique. 3.1.3 Transfert unidirectionnel dans des milieux limités : plaque, cylindre, sphère 3.1.3.1 Plaque infinie On considère le cas d’une plaque d’épaisseur 2 et de dimensions latérales suffisamment grandes pour que l’on puisse considérer que le transfert de chaleur est unidirectionnel. L’étude de ce cas permettra d’illustrer les différentes méthodes utilisées pour résoudre l’équation de la chaleur monodimensionnelle en régime variable. 1er cas : Plaque avec température constante imposée en surface

Figure 3.7 : Schéma d’une plaque avec température imposée en surface

78

1ère méthode : Transformée de Laplace, développement en série et inversion terme à terme par les tables. L’équation de la chaleur s’écrit :

(a) ,0 ,

Avec les conditions aux limites :

(b) (c) 0

(d)

On effectue le changement de variable suivant : L’équation (a) peut alors s’écrire : ,0 ,

Et les conditions aux limites deviennent :

0

(b) (c)

0 ,

La transformée de Laplace de

par rapport au temps s’écrit :

,

,

(d)

,



La transformée de Laplace de l’équation (a) conduit à : ,0

,0

Avec

0 (ce qui justifie le changement de variable) 0 avec

Cette équation est de la forme : ,

D’où :

0





. 0

La transformée de Laplace de l’équation (d) conduit à : 0 et

d’où :

,



La transformée de Laplace de l’équation (c) conduit à : d’où :



,

Et :







,





Nous pouvons utiliser un développement en série de ,

pour écrire

sous la forme : , ,

Δ Δ



Δ



1 1

Δ



1

La transformation inverse de Laplace terme à terme (propriété de linéarité) 79

conduit à : ,

2

1

1

2

1

2√

1

(3.13)

2√

Remarques : – Cette solution converge rapidement pour les faibles valeurs de . – La température réduite adimensionnelles car :

,

√

n’est fonction que de 2 grandeurs ,

√

avec

(Nombre

de Fourier) ce qui permet d’en établir une représentation graphique (cf. annexe A.3.6). 2ème méthode : Résolution par la méthode de séparation des variables L’équation de la chaleur s’écrit :

(a)

Figure 3.8 : Schéma d’une plaque avec température imposée en surface

Avec les conditions aux limites :

,0 0,

(b) (c)

2 ,

On effectue le changement de variable suivant : L’équation (a) peut alors s’écrire : Et les conditions aux limites deviennent :

,0 0,

2 ,

0

(b) (c)

On peut aussi considérer par raison de symétrie une plaque d’épaisseur en prenant une condition de flux nul en soit pour la seconde condition limite : 0 (d) On effectue une décomposition de la température en un produit de fonctions , . L’équation de la chaleur conduit à sous la forme : l’équation suivante :

80

"



′ ou :

"



Où est une constante car les deux fonctions l’autre de . Nous en déduisons : "

0 0 ⟹

et

dépendent l’une de

et



La température doit rester finie quand → ∞ , donc

0 et peut s’écrire :

D’où : Et : , La condition limite 0, d’où : , fonctions propres du système.

. 0 s’écrit alors : 0 , les fonctions

sont les

0 pour tout s’écrit alors :

La condition limite

0

Cette équation admet une infinité de solutions que l’on appelle les valeurs propres : 2 1 avec variant de 0 à l’infini. Le théorème de superposition des solutions permet d’écrire la solution générale de (a) sous la forme : , La méthode générale de résolution est la suivante : sont déterminés en calculant ,0 de deux Les termes manières : – En remplaçant , 0 par son expression déduite des données du système (g) à l’état initial : ,0 ∑ , on obtient la En remplaçant , 0 par ,0 somme infinie : ,0 On montre que si  alors fonctions propres, cf. annexe A.3.10) donc : ,0 On détermine la valeur des constantes

0 (orthogonalité des (h) en égalant les expressions (g) et

(h).

81

Appliquons cette méthode à l’exemple traité : ,0

On a : ,0

et :

On en déduit : et finalement : 4

,

1 2

2

1

1

2



2

1

4



(3.14)

Cette solution converge pour un petit nombre de termes pour les valeurs élevées de (le premier terme peut suffire pour t élevé). 3ème méthode : Utilisation d’une transformation intégrale sur la variable d’espace. Principe de l’utilisation d’une transformée intégrale à la résolution de l’équation de la chaleur : On applique à l’équation de la chaleur et aux équations résultantes des conditions aux limites une transformation intégrale permettant d’obtenir une nouvelle équation différentielle dont la résolution (plus aisée) conduit à l’expression de la température dans l’espace transformé. On applique ensuite à la transformation inverse pour obtenir l’expression de la température dans l’espace réel. Le choix de la transformation intégrale la mieux adaptée dépend de la configuration et des conditions aux limites. Si la température dépend de la variable d’espace r, on choisit une transformation du type suivant :

,

,

, est une où est le domaine de définition de la température et fonction propre solution du système formé par l’équation de la chaleur et les 1, 2, … . conditions aux limites pour un nombre infini de valeurs sont solutions est appelée l’équation transcendante. La L’équation dont les fonction est choisie constante et égale à 1 en géométrie rectangulaire et égale à en géométrie cylindrique. La formule générale d’inversion est alors la suivante : ,

∑

,



avec :



,

N(n) est appelée la norme de la fonction propre T r , t  . On trouvera en annexe A.3.1 la définition et les propriétés des transformations intégrales sur la variable d’espace les plus utilisées à savoir les transformées de Fourier et de Hankel. On trouvera également en annexe A.3.3 un 82

tableau donnant les fonctions propres et leurs normes, les équations transcendantes et les valeurs propres pour les cas de figure les plus courants. Appliquons cette méthode au système schématisé sur la figure 3.9. L’équation de la chaleur s’écrit :

(a) ,0 0,

Avec les conditions aux limites :

(b) (c)

2 ,

On effectue le changement de variable suivant : ,

Selon l’annexe A.3.3, la fonction propre est

avec

2 , on applique donc une transformation (finie car le milieu est fini) de Fourier en sinus (cf. annexe A.3.1) à l’équation (a) : ⟹

0

0,

avec :

,

,



,

La solution générale de cette équation s’écrit : ,0

La condition limite ,

,



0

,



d’où :

,



1

conduit à :

0





On en déduit : ,



1

1

1

1

∑

,

1

1

et :

,

La transformée inverse permet de calculer

1

1

:



Avec : 2 Soit finalement : 4

,

1 2

1

2

1

2

2

1

4

On retrouve la relation (3.14). 4ème méthode : Transformation de Laplace, résolution et inversion par une méthode numérique Nous avons montré en appliquant la 1ère méthode que la transformée de s’écrit : Laplace , de la température , , La température





,

avec

peut s’en déduire en appliquant une méthode 83

numérique pour trouver la transformée de Laplace inverse de par exemple utiliser la méthode de Stehfest permettant de calculer 2

,





,



2

, ,

. On peut par :

(3.15)

Un nombre de termes 10 est suffisant pour obtenir une précision satisfaisante. Les valeurs des coefficients correspondants sont données en annexe A.3.2. Comparaison des méthodes : La méthode permettant d’arriver le plus simplement à une valeur de , est la 4ème méthode qui ne fournit toutefois qu’une solution numérique approchée de la solution et qui n’est pas à l’abri d’instabilités numériques dans certains cas très particuliers. Un nombre de termes 10 dans la formule (3.15) permet d’obtenir une précision satisfaisante. Viennent ensuite par ordre de difficulté croissante la 1ère méthode puis la 2ème et la 3ème méthode. Le premier terme de la formule (3.13) représente bien la température aux temps courts alors que le premier terme de la formule (3.14) représente bien la température aux temps longs. On trouvera à titre d’illustration sur la figure 3.10 la représentation de la température réduite

,

à 2,5 cm du bord d’une plaque d’épaisseur 10 cm

pour un matériau de diffusivité a = 10-6 m2 s-1. 1.4 0

1.2 1.0 0.8 0.6 (3.15) avec N=10

0.4

(3.13) avec 1 terme

0.2

(3.14) avec 1 terme

0.0

t(s) 0

1000

2000

3000

4000

Figure 3.9 : Température réduite dans une plaque calculée par les différentes relations

2ème cas : Plaque avec flux imposé

84

Figure 3.10 : Schématisation d’une plaque avec flux de chaleur imposé en surface

L’équation de la chaleur s’écrit :

(a) ,0

Avec les conditions aux limites :

(b) 0

(c) (d)

En utilisant les deux premières méthodes du paragraphe précédent, on arrive aux résultats suivants : 3

,

Et :

2

1

6

,

2

√

2



1



(3.16) 2

2√

1

(3.17)

2√

Ces formules sont complexes à calculer car elles comportent une somme infinie de termes. La relation (3.16) converge toutefois rapidement pour un petit nombre de termes aux temps longs où le premier terme permet d’obtenir une bonne estimation. La relation (3.16) peut encore s’écrire : ,

3

La température réduite

1 6 ,

2











n’est fonction que des 2 grandeurs

adimensionnelles et ce qui permet d’en établir une représentation graphique (cf. annexe A3.7). L’application de la 1ère méthode au cas de la plaque avec flux imposé a permis de montrer que la transformée de Laplace de la température , , . s’écrivait : On a la condition limite en

:

85



La transformée de Laplace de cette équation conduit à :

d’où :



,

Et :





(3.18)

La température , peut s’en déduire facilement en appliquant une méthode numérique (Stehfest ou autre) pour trouver la transformée de Laplace , . inverse de On aboutit facilement par cette méthode à une solution beaucoup plus simple à calculer que celle donnée par les formules (3.16) ou (3.17). 3ème cas : Plaque avec coefficient de transfert imposé

Figure 3.11 : Schématisation d’une plaque avec coefficient de transfert imposé en surface

L’équation de la chaleur s’écrit : Avec les conditions aux limites :

(a) ,0



(b)

0

(c) ,

(d)

On effectue une décomposition de la température en un produit de fonctions sous la forme : , , . L’équation de la chaleur conduit à l’équation suivante : "



′ ou :

"



Où est une constante car les deux fonctions l’autre de . Nous en déduisons :

et

dépendent l’une de

et

, Et : . L’exposant de l’exponentielle doit être négatif pour que la température reste finie aux temps longs ce qui justifie a posteriori le choix du signe de la constante

86

. 0 s’écrit alors : B =0

La condition limite ,

d’où :





, les fonctions propres du système sont : ,

La condition limite

pour tout s’écrit alors :

Cette équation admet une infinité de solutions (valeurs propres) . Le théorème de superposition des solutions permet d’écrire la solution générale de (a) sous la forme : , On a d’une part :

,0 Et d’autre part : 1

,0

2 2

Soit : 1

,0

2

On en déduit :

4



2

1 2

1

2

1



Et finalement : ,

2







(3.19)

1,2, … sont les solutions de l’équation :

Où

peut encore écrire :



que l’on de cette équation

. Les solutions

(représentées sur la figure 3.13) ne sont donc fonction que de

.

La relation (3.19) peut encore s’écrire : ,

,

2







87

x tan(x) 100 80 60 40

hL

20



x

0 0

5

10

15

20

-20 -40 -60 -80 -100

1L

2 L

3 L

4 L

5 L

x

6 L

7 L

Figure 3.12 : Schématisation des valeurs propres n

,

La température adimensionnelle ,

adimensionnels

n’est fonction que des nombres

et . On peut donc construire pour une valeur ,

un abaque donnant la valeur de

donnée de

plusieurs valeurs de

en fonction de

pour

0 et

1 en

. On en trouvera deux exemples pour

annexe A.3.8. Par ailleurs aux temps « longs » le premier terme suffit de la somme à donner une bonne estimation de , . Dans ce cas le rapport entre , et 0, ,

s’écrit simplement :

l’équation dépendre de

où

,

est la première racine de

. Ce rapport présente la particularité de ne pas , on peut donc facilement construire un abaque donnant la valeur ,

aux temps longs du rapport

,

en fonction du nombre de Biot pour plusieurs

valeurs de (cf. annexe A.3.8). L’application de la 1ère méthode au cas de la plaque avec coefficient de transfert imposé a permis de montrer que la transformée de Laplace de la s’écrivait : , . température , On a la condition limite en : ,

,

La transformée de Laplace de cette équation conduit à : d’où :

Et :

88



,









(3.20)

La température , peut s’en déduire facilement en appliquant une méthode numérique (Stehfest ou autre) pour trouver la transformée de Laplace inverse de , . 3.1.3.2 Cylindre infini Nous considérons ici un cylindre infini (longueur très grande par rapport au diamètre) de diamètre initialement à la température Ti. On peut faire l’hypothèse dans ce cas que le transfert de chaleur est uniquement radial. 1er cas : Cylindre infini avec température de surface imposée On impose brutalement une température T0 à la surface du cylindre initialement à la température uniforme (cf. figure 3.14).

,0





0

r

Figure 3.13 : Schématisation d’un cylindre infini avec température de surface imposée

1ère méthode : Décomposition de la température en un produit de fonction et transformation de Hankel. L’équation de la chaleur s’écrit : Avec les conditions aux limites :

(a) ,0 ,

(b) (c)

On effectue le changement de variable suivant : Les conditions aux limites deviennent :

,0 , 0

(b) (c)

On effectue une décomposition de la température en un produit de fonctions sous la forme : , . L’équation de la chaleur conduit à l’équation suivante :

89

"

′



′ ou :

"



où est une constante car les deux fonctions en déduit : "

′

0⟹ 0⟹

et

sont indépendantes. On



la Où est la fonction de Bessel de 1ère espèce non modifiée d’ordre 0 et nde fonction de Bessel de 2 espèce non modifiée d’ordre 0. On trouvera en annexe A.2.3 la définition et les principales propriétés des fonctions de Bessel. On en déduit que les solutions de (a) sont de la forme : , 0 ∞ ce qui impose , Par ailleurs on sait que 0 d’où , 0 s’écrit alors : La condition limite homogène 0 ce qui impose que 0. est une solution de l’équation : Le théorème de superposition des solutions permet d’écrire la solution générale de (a) sous la forme : ,



,0 s’écrit alors : La condition limite non homogène ∑ (d) ce qui nous amène à appliquer la transformée La fonction propre est de Hankel à la condition limite (d) soit à multiplier chaque membre de l’équation et à intégrer entre 0 et R : (d) par





car on montre que :

0 si

 . ′

R



r J 0 m r  Ti  T0   Dm

0

R

2  r J 0 mr  dr  Dm

0





2 R2 ' R2 J1 mr 2 J 0 m r   Dm 2 2

car les fonctions Jn vérifient les relations (cf. annexe A.2.3) :

′

On en déduit finalement :

90

et ′





2

,













(3.21)



1,2, … sont les solutions de l’équation :

Où

0.

2ème méthode : Transformation de Laplace, résolution et inversion numérique. L’équation de la chaleur s’écrit : Avec les conditions aux limites :

(a) ,0 ,

(b) (c) et on pose

On effectue le changement de variable suivant : , , La transformée de Laplace de l’équation (a) s’écrit :

(d)

On effectue le changement de variable : 0

L’équation (d) s’écrit alors :

La solution générale de cette équation de Bessel s’écrit (cf. annexe A.2.3) : , On a la condition : 0 d’où : 0 et : 0 0 0 avec : Donc : 0 La seconde condition limite s’écrit : et

,

0 → ∞ d’où , soit

0. ,





On en déduit :



Et finalement :

,



(3.22)

La température , peut s’en déduire facilement en appliquant une méthode numérique (Stehfest ou autre) pour trouver la transformée de Laplace inverse de , . 2ème cas : flux de chaleur imposé On impose brutalement une densité de flux initialement à la température uniforme .

à la surface du cylindre

91

,0 0

0



0



Figure 3.14 : Schématisation d’un cylindre infini avec flux de chaleur imposé

L’équation de la chaleur s’écrit :

(a) ,0

Avec les conditions aux limites :



(b)

(c)

On effectue le changement de variable suivant : Les conditions aux limites deviennent : ,0



(b)

(c)

On effectue une décomposition de la température en un produit de fonctions sous la forme : , . L’équation de la chaleur conduit à l’équation suivante : "

′



"

′ ou :





Dont la résolution mène au résultat suivant : 2

,

1 4

2

2

(3.23)

On peut également traiter le problème par une transformation de Laplace comme dans le cas d’une température de surface imposée. Il a été montré au paragraphe précédent que la température est de la forme : ,



avec

La condition limite en Soit : D’où :

92





s’écrit :

ou : ,





et :

(3.24)

La température , peut s’en déduire facilement en appliquant une méthode numérique (Stehfest ou autre) pour trouver la transformée de Laplace inverse de , . 3ème cas : coefficient de transfert imposé On impose brutalement un échange de chaleur par convection avec un coefficient de transfert et un fluide à la température à la surface du cylindre initialement à la température uniforme .

,0 ,

,

0

Figure 3.15 : Schématisation d’un cylindre infini avec coefficient de transfert convectif imposé

L’équation de la chaleur s’écrit : Avec les conditions aux limites :

(a) ,0



(b)

,

(c)

La solution peut s’écrire : 2

,

Où





1,2,3 …



(3.25)

sont les valeurs propres, racines de l’équation 0.

On peut également traiter le problème par une transformation de Laplace comme dans le cas d’une température de surface imposée. avec Il a été montré que la température est de la forme : ,

La condition limite en



s’écrit : ,

, 93

Soit : Ou :

Et :

,



D’où :

(3.26)

La température , peut s’en déduire facilement en appliquant une méthode numérique (Stehfest ou autre) pour trouver la transformée de Laplace inverse de , . 3.1.3.3 Sphère 1er cas : Température de surface imposée Nous considérons ici une sphère de rayon à la température initiale uniforme à laquelle on impose brutalement une température de surface . L’équation de la chaleur s’écrit : Avec les conditions aux limites :



(a)

où :

,0 , 0

(b) (c)

,0 ,

0

Figure 3.16 : Schématisation d’une sphère avec température de surface imposée

Effectuons le changement de variable suivant :

,



,

, l’équation

(a) devient : Avec les conditions aux limites :

,0 , 0

(b) (c)

On retrouve le système d’équations de la plaque infinie d’épaisseur 2 (§3.1.3.1) moyennant les changements suivants : → → → 94

Ce qui permet d’obtenir : 2

,

1



(3.27)

La température au centre est donnée par la limite de la relation (3.27) quand r tend vers zéro et s’écrit : ,



2

1

On peut comme précédemment traiter le problème par une transformation de Laplace :

L’équation de la chaleur s’écrit :

(a) ,0 ,

Avec les conditions aux limites :

0

où : (b) (c) (d)

La transformée de Laplace de l’équation (a) s’écrit : On effectue un nouveau changement de variable : 0

L’équation (d) s’écrit alors :

La solution générale de cette équation s’écrit : avec : → ∞ quand

→ 0 d’où ,

On a la condition limite : On en déduit : Et finalement :

0.



d’où :

,





(3.28)

La température , peut s’en déduire facilement en appliquant une méthode numérique (Stehfest ou autre) pour trouver la transformée de Laplace inverse de , . 2ème cas : Flux imposé On considère ici une sphère de rayon à la température initiale uniforme à laquelle on impose brutalement un flux surfacique . L’équation de la chaleur s’écrit :



(a)

où :

Avec les conditions aux limites : 95

,0



(b) (c)

,0

Figure 3.17 : Schématisation d’une sphère avec flux surfacique imposé

On effectue le changement de variable suivant : , , qui permet comme précédemment de se ramener au cas de la plaque infinie d’épaisseur 2 . On obtient finalement : ,

3

5 10

3

2



(3.29)

1,2,3 … sont les valeurs propres, racines de l’équation : . On peut également traiter le problème par une transformation de Laplace comme dans le cas d’une température de surface imposée. Il a été montré que la Où

température est de la forme : La condition limite en

D’où :

s’écrit :

ou :

Soit : Et :

avec

,



(3.30)

La température , peut s’en déduire facilement en appliquant une méthode numérique (Stehfest ou autre) pour trouver la transformée de Laplace inverse de , . 3ème cas : Coefficient de transfert par convection imposé On considère ici une sphère de rayon 96

à la température initiale uniforme

à la surface de laquelle on impose brutalement un échange convectif (avec un coefficient ) avec le milieu ambiant à la température .

,

∞

,0

Figure 3.18 : Schématisation d’une sphère avec coefficient convectif imposé

L’équation de la chaleur s’écrit :



(a) ,0

Avec les conditions aux limites :

où :



(b) ,

(c)

On effectue le changement de variable suivant : , , qui permet comme précédemment de se ramener au cas de la plaque infinie d’épaisseur 2 . On obtient finalement : ,

Où





∑



(3.31)

1,2,3 … sont les valeurs propres, racines de l’équation :

1

0

On peut également traiter le problème par une transformation de Laplace comme dans le cas d’une température de surface imposée. Il a été montré que la avec

température est de la forme : La condition limite en

,

s’écrit :

Soit : Ou : Et :



D’où :

,





1

(3.32)

97

La température , peut s’en déduire facilement en appliquant une méthode numérique (Stehfest ou autre) pour trouver la transformée de Laplace inverse de , . 3.1.4 Systèmes complexes : méthode des quadripôles Dans ce paragraphe, on notera : – , la transformée de Laplace de la température , (cf. annexe A.3.1). – Φ , la transformée de Laplace du flux de chaleur , . On trouvera en annexe A.3.9 un récapitulatif des matrices quadripolaires associées aux systèmes les plus couramment rencontrés dans la pratique. 3.1.4.1 Ecoulement unidirectionnel dans des murs plans Mur simple On considère le cas d’un transfert de chaleur unidirectionnel dans un mur d’épaisseur . La température , au sein du mur vérifie l’équation : (a) En appliquant la transformation de Laplace à l’équation (a) on obtient : ,0

(b) si

0.

L’équation (b) admet une solution de la forme : ,

(c)

Avec : La transformée de Laplace du flux en un point quelconque du mur s’écrit : ,

Φ ,

,



Cette relation permet d’exprimer Φ , en fonction de Φ , (e) Les relations (c) et (e) peuvent être écrites en 0 et en Φ 0, 0, ,





Φ ,

,





,

(d) et x : , on obtient :

Il est possible d’éliminer et entre ces 4 équations ce qui revient par , Φ en fonction de , Φ , on aboutit à : exemple à exprimer 0, Φ 0,

98

1





, Φ ,

(3.33)



matrice quadripolaire 1 ce qui permet d’établir la relation réciproque : 1 0, Φ 0,

On a la propriété : , Φ ,

On peut par ailleurs établir une analogie entre la propagation d’un courant en régime sinusoïdal et le transfert thermique unidirectionnel en régime transitoire : Flux de chaleur dans l’espace de Laplace Φ , Température dans l’espace de Laplace , Impédance thermique Z

Intensité du courant électrique Potentiel électrique Impédance électrique

La loi d’Ohm se traduit par : La loi des nœuds : ∑ 0 se traduit par : ∑ 0 Moyennant ces notations, la relation quadripolaire (3.33) peut être représentée par le schéma électrique équivalent de la figure 3.19. Φ





Φ



Figure 3.19 : Schéma électrique équivalent à un mur simple en régime variable

Avec dans le cas du mur plan :

et :





Mur avec échange convectif On considère le cas d’un mur échangeant de la chaleur par convection avec un fluide (cf. figure 3.20). La relation 0, peut aussi s’écrire : 0, que 0 .

l’on peut traduire dans l’espace de Laplace par :

0, 0



Figure 3.20 : Schématisation d’un mur simple avec transfert convectif

99

On peut donc écrire sous forme matricielle quadripolaire :

Φ

1 0

1



1

0, Φ 0,

(3.34)

La relation quadripolaire (3.34) peut être représentée par le schéma électrique équivalent de la figure 3.22. Φ 1

0,

Figure 3.21 : Schéma électrique équivalent à un transfert convectif en régime variable

Résistance de contact entre 2 murs Considérons maintenant le cas du transfert de chaleur à travers une résistance de contact à l’interface entre deux milieux solides tel que représenté sur la figure 3.23. Le flux de chaleur s’écrit

peut aussi s’écrire :

que l’on peut traduire dans l’espace de Laplace par : .

Figure 3.22 : Schéma de deux murs avec résistance de contact

On peut donc écrire sous forme matricielle quadripolaire : Φ

1 0

1 Φ

(3.35)

Cette expression est analogue à la relation (3.34), le schéma électrique équivalent est donc du même type que celui présenté sur la figure 3.21 Mur multicouches avec convection et résistances de contact

100

Les équations matricielles quadripolaires précédemment établies nous permettent d’écrire : 1

1

Φ

0



1 0



1

1 0

1

1



;

avec :

1

1



0



;



Φ

1

et

La description du problème sous forme matricielle permet d’en obtenir une formulation très simple ce qui montre tout l’intérêt de la méthode des quadripôles. 12 1

Fluide 1 à

23 2

3

1

Convection,

Convection,

1

1

2

2

3

Figure 3.23 : Schéma d’un mur multicouche avec convection et résistances de contact

Milieu semi-infini Il a été démontré au §3.1.2.1 que la température dans l’espace de Laplace d’un ,

milieu semi-infini s’écrit :



où :

On en déduit la valeur de la transformée de Laplace du flux en un point du milieu semi-infini : ,

Φ ,



,

 peut donc aussi s’écrire : Φ Où





S

est l’effusivité thermique.

On pourra donc écrire en tout point d’un milieu semi-infini : Φ

(3.36)

101

La relation quadripolaire (3.36) peut être représentée par le schéma électrique équivalent de la figure 3.24.

1

Figure 3.24 : Schéma électrique équivalent à un milieu semi-infini en régime variable

Mur à température uniforme Dans le cas d’un "système mince" : mur dont l’épaisseur et/ou la conductivité thermique permettent de considérer sa température comme uniforme ( 0,1, cf. §2.3.1), la différence entre le flux de chaleur entrant et le flux de chaleur sortant du système s’écrit simplement :

Si

soit en appliquant la transformée de Laplace : Φ Φ 0, cette relation peut se traduire sous forme quadripolaire par : 1 Φ

0 1 Φ

(3.37)

La relation quadripolaire (3.37) peut être représentée par le schéma électrique équivalent de la figure 3.25.

Figure 3.25 : Schéma électrique équivalent à un milieu à température uniforme en régime variable

Exemple d’application : cf. modélisation de la méthode du plan chaud dans les exercices corrigés.

102

3.1.4.2 Transfert radial Cylindre creux 1

2

Figure 3.26 : Schéma du cylindre creux

On montre de la même manière qu’au § 3.1.4.1 (Maillet et al, 2000) que les températures et les flux dans l’espace de Laplace peuvent être reliés par une relation quadripolaire : Φ

, ,



1 2



Φ

, , (3.38)

2

, , et étant des fonctions de Bessel (cf. Annexe A.2.3). Le déterminant de la matrice quadripolaire est égal à 1. Cylindre creux semi-infini Comme dans le cas du mur plan, on montre que l’on peut écrire en tout point d’un cylindre creux semi-infini ( → ∞) (Maillet et al, 2000) :

Φ

2



(3.39)

La relation quadripolaire (3.39) peut être représentée par le schéma électrique équivalent de la figure 3.27. Exemple d’application : cf. modélisation de la méthode du fil chaud dans les exercices corrigés.

103

Φ 1 2



Figure 3.27 : Schéma électrique équivalent à un milieu semi-infini en régime variable

Sphère creuse 1

1

2

2

Figure 3.28 : Schéma de la sphère creuse

On montre de la même manière qu’au § 3.1.4.1 (Maillet et al, 2000) que les températures et les flux dans l’espace de Laplace peuvent être reliés par une relation quadripolaire : Φ

, ,





Φ

, ,

; 4

1

1

(3.40)

Le déterminant de la matrice quadripolaire est égal à 1. Sphère creuse semi-infinie Comme dans le cas du mur plan, on montre que l’on peut écrire en tout point d’une sphère creuse semi-infinie ( → ∞) : Φ

4

1



(3.41)

Le schéma électrique équivalent est identique à celui présenté sur la figure 3.24, avec 104

3.2 Conduction multidirectionnelle en régime variable 3.2.1 Théorème de Von Neuman Certains problèmes bidimensionnels ou tridimensionnels peuvent être résolus par combinaison de 2 ou 3 solutions monodimensionnelles. Considérons par exemple le cas d’une barre rectangulaire infinie (longueur très grande devant les côtés 2 et 2 ), elle peut être considérée comme l’intersection de deux plaques infinies d’épaisseurs respectives 2 et 2 . Le théorème de Von Neumann permet d’affirmer que la température adimensionnelle de cette barre s’exprime comme le produit des températures adimensionnelles des deux plaques infinies dont elle peut être considérée comme étant l’intersection : , ,

,



,







(3.44)

Remarques : – Il faut vérifier que les conditions initiales et aux limites sont satisfaites sous forme adimensionnelle après décomposition de la géométrie considérée en intersection d’éléments simples. – Des géométries plus complexes peuvent également se décomposer en intersection d’éléments simples, comme par exemple : – Cylindre semi-infini Cylindre infini ∩ Milieu semi-infini – Barre rectangulaire semi-infinie = Barre rectangulaire infinie ∩ Milieu semi-infini – Cylindre hauteur 2 Cylindre infini ∩ Plaque épaisseur 2 … 3.2.2 Transformations intégrales et séparation de variables Les problèmes de transfert multidirectionnel de la chaleur peuvent dans certains cas être traités comme en unidirectionnel par transformations intégrales et séparation de variables. Nous traiterons simplement ici à titre d’exemple le transfert de chaleur dans un cylindre fini d’épaisseur et de rayon , initialement à température uniforme, lorsque l’une de ses faces est soumise à une densité de flux de chaleur uniforme . Le cylindre échange de la chaleur par convection sur toutes ses faces avec le milieu environnant (cf. figure 3.29). Si le flux de chaleur est sous la forme d’une impulsion de courte durée, ce système représente la méthode Flash utilisée pour mesurer la diffusivité thermique.

105

Figure 3.29 : Schéma du système modélisé

est un Dirac, on retrouve la méthode Flash en 3D. Si l’on considère que Dans ce cas, Φ 1. Le problème est à symétrie cylindrique on utilise donc l’équation de la chaleur en coordonnées cylindriques :



(a)

La méthode de résolution utilisée est la suivante : – Transformation de Laplace – Séparation des variables

0

(b) (c) d

0

Conditions limites et initiale :

(e) , ,0

(f)

On remarque que les conditions limites (c), (d) et (e) sont homogènes alors que la condition limite (b) est non-homogène. On pose , , , , et , , , , La transformée de Laplace de (a) s’écrit :





On écrit la température après transformation de Laplace sous la forme suivante : , , , , . L’équation précédente conduit à : Soit encore :







La température en 0 augmente brutalement à l’impulsion alors que la température en augmente très lentement donc la courbe , , est concave par rapport à l’axe Oz et : On en déduit :



0 et :

Les solutions des équations ci-dessus sont : 106

0 avec :

, , Application des conditions aux limites : → ∞ quand → 0 , or la température doit rester finie donc , , En : ⟹ ,



On pose :

et :

Les valeurs propres En



,





En posant :

,

sont solutions de l’équation transcendante : , ⟹

:

D’où :



donc :

0 et



,



et

On obtient :







D’où : On pose : , , , , , ,

,





,













En posant :

, en remplaçant

par

et après

développement et factorisation on obtient : , , En faisant la somme de l’ensemble des solutions on obtient la solution générale : , ,

, ,

En Soit :



0:

0 , 0,

, 0,

Φ p



Soit encore en faisant

Φ

0 et en posant

: 107

Φ



Si l’on pose : On obtient : ∑

Φ

Les fonctions propres (cf. annexe A.3.10) sont orthogonales donc : 0 si On peut écrire :







D’où :



Φ

Φ







Φ

Φ

1

2

2Φ 1

On en déduit finalement : , ,



(3.45)

où : Les

étant les solutions de l’équation transcendante

résolue numériquement. Une centaine de termes est suffisante pour calculer , , . On calcule ensuite , , par transformation de Laplace inverse effectuée numériquement. 3.3 Exercices corrigés 3.3.1 Age de la Terre : « Ambiguïté de Kelvin » (1864) uniforme. A l’origine, la masse terrestre se trouvait à une température Actuellement, le gradient thermique à la surface de la Terre est de l’ordre de 0,03 K m-1. 1. En déduire l’âge de la Terre en considérant les hypothèses de Kelvin : 3000 °C et : 10 m s . 2. L’âge de la Terre est évalué à 5 milliards d’années. D’où vient la différence entre les deux valeurs ? 3. En supposant qu’il s’est produit une génération d’énergie constante , calculer 108

cette valeur en considérant que l’âge de la Terre est de 5 milliards d’années. La comparer à la valeur estimée actuellement : 3,32. 10 W m Donnée : 1 W m K Corrigé : 1.

On montrera que le bilan radiatif de la Terre conduit à trouver sa température moyenne de l’ordre de 5 °C (cf. exercice sur l’« Eclairement solaire » dans le chapitre sur le rayonnement). Nous ferons donc ici l’hypothèse simplificatrice que la Terre s’est refroidie comme un milieu semi-infini à température de surface imposée 0 °C. La température vérifie donc :

,

,

√

Le gradient s’obtient par dérivation de cette expression avec la relation : √



D’où :

√

0) se calcule donc par :

Le gradient thermique à la surface de la Terre (en √

On en déduit :

2.

3.

3,18. 10

,

soit environ 101

million d’années. L’âge de la Terre est estimé actuellement à 5 milliards d’années. Kelvin avait négligé dans son calcul la génération d’énergie radioactive au centre de la Terre. Par ailleurs, les phénomènes de changement de phase (solidification) n’ont pas été pris en compte. En supposant le chauffage constant et uniforme, le problème s’écrit : 0 < x < +∞ 0 0 avec p variable de Laplace, on obtient :

En posant

0 < x < +∞ x=0 x→

fini



La solution s’écrit : D’où :







1





Et en effectuant le retour de Laplace, le gradient géothermique à la surface de la Terre vaut : 109

2

√ √ Avec : 5. 10 années et 0,03 K m on trouve : 5,74. 10 W m 1,81 J m an La valeur estimée actuellement est : 3,32. 10 W m 1,05 J m an . √

3.3.2 Diffusion d’une excitation périodique 1.

On admet que la température de surface du sol varie sinusoïdalement. A quelle profondeur y a-t-il inversion des maxima et minima de température ? Quel est alors l’amortissement des oscillations ? On traitera le problème dans les cas d’une période annuelle et d’une période journalière. 2. A quelle profondeur doit-on enterrer sa cave si l’on veut limiter les variations de sa température à 2 °C dans un climat sous lequel la température varie annuellement de 20 °C ? Quelle est alors la valeur du déphasage ? 3. On se place dans un climat tropical où la température varie entre 20 °C (à 4 h) et 35 °C (à 16 h). On veut construire une salle de classe avec des murs en terre, les cours ont lieu de 7 h à 14 h. Quel est l’ordre de grandeur de l’épaisseur optimale des murs et de la température à l’intérieur ? Préciser toutes les hypothèses simplificatrices retenues. Donnée : 3,5.10 m s Corrigé : ,

1. La température se calcule par : L’amortissement



est égal à

et le déphasage à

.

L’inversion des maxima correspond à un déphasage égal à  obtenu pour . Période journalière : 7,27.10 Et :

,

. , .

, .

,

,

0,31

0,31

.

0,042

Période annuelle : 1,99.10

, .

,

,

inchangé 2. On veut obtenir un amortissement 110

° °

0,1

.

5,89

et

0,1 on en déduit :

D’où :

, .



,

,

A cette profondeur le déphasage vaut :

.

.

,

0,1

4,31

, .

Correspondant à un retard de phase de : 12



4,31

2,29 rd

4,4

3. L’épaisseur optimale est celle qui décalerait le minimum de température au milieu de la période d’occupation soit environ 11 h. Le déphasage correspondant est de : 11 h – 4 h 7 h. 2

L’épaisseur nécessaire vérifie la relation : , .

2

d’où :

,

0,18 m

.

L’amortissement correspondant a pour valeur : 7 2 0,16 24 2 La température varie approximativement entre 26,3 et 28,7°C Les hypothèses sont : – Température de la face extérieure du mur = température de l’air (convection négligée) – Modèle du milieu semi-infini appliqué à une plaque – Transferts par les autres éléments de parois (fenêtres, toit,…) non pris en compte. Une simulation numérique dans COMSOL a été réalisée sur un mur d’épaisseur 0,18 m avec variation sinusoïdale de la température sur une face et isolation thermique sur l’autre face. On obtient une valeur identique de 7 h pour le déphasage mais des températures extrêmes de 25 et 30 °C soit une variation deux fois supérieure à celle prévue pour le milieu semi-infini. 3.3.3 Mesure de la diffusivité thermique par excitation sinusoïdale









ℓ

0 1







2





111

On fait varier sinusoïdalement la température de l’extrémité 0 d’une très longue barre cylindrique circulaire de petit diamètre en maintenant des conditions d’échange par convection uniformes le long de la barre, la température ambiante étant . 1. 2. 3.

4. 5.

6.

A quelle condition (que l’on supposera a priori vérifiée) le champ de température de la barre n’est-il fonction que de et de ? Ecrire alors l’équation que vérifie , ) en généralisant l’équation de l’ailette au régime transitoire. Donner la forme de la solution pour un régime périodique établi si la température de l’extrémité varie sinusoïdalement sous la forme : 0, ∆ . . Préciser les conditions aux limites et donner l’expression de , Montrer que la connaissance de l’atténuation (rapport des amplitudes) et du déphasage entre les températures de deux points distants de ℓ permet de mesurer la diffusivité thermique du milieu. Calculer la valeur de la diffusivité thermique avec les données suivantes : Période : 24 minutes ; ℓ

5 cm ; Rapport des amplitudes :

; Déphasage :

Quelle est la valeur du coefficient d’échange si la barre de diamètre 1 cm est en acier ? 7800 kg m et 460 J kg K ) Corrigé : 0,1.

1.

désigne la section transversale de la barre et 2. Si l’équation de la barre en régime transitoire s’écrit :

3. En posant :

,

∆

, il vient :

" 4. Conditions aux limites : 5. La solution est :

0 0

1 et

∞ avec

choisissant la racine de partie réelle positive (

112

son périmètre,

0 et 0) avec :

en

2 Δ Δ

On a alors :

Δ Δ





D’où :

ℓ

Soit :

ℓ ℓ

Et :

6. Application numérique

2 0,05 24 60 2 3 4 Calcul du coefficient d’échange :

6,32.10 m s

3 4

4 400 0,01 7800 460

ℓ

0,05

4

236,04

22,68 W m K 6,32.10 236,04 22,68 13,38 W m K 400

3.3.4 Gel d’un lac On considère un lac où l’eau liquide est en permanence à la température de 273 K. L’air au-dessus du lac est à la température constante congélation 263 K. Libre de glace à l’instant 0, le lac se recouvre progressivement d’une couche de glace d’épaisseur . On donne les valeurs suivantes concernant la glace : 920 kg m ; 1,88 W m K ; 334 kJ kg . Le coefficient de 2040 J K kg ; chaleur latente de fusion : transfert air-glace a pour valeur 20 W m K . 1. Montrer que l’on peut en première approximation négliger la capacité calorifique de la glace dans l’étude du phénomène de congélation 2. Montrer qu’alors la température , dans la glace varie linéairement avec et donner son expression en fonction de 0, , , , et . 3. Par un bilan thermique entre deux instants et à l’interface air-glace, , , , et . établir une relation entre , , 4. En déduire une expression de . En donner une expression simplifiée aux 113

5.

temps longs. On avait coutume de dire à Paris que pour y patiner il fallait 30°C de froid, c’est-à-dire 5 jours à -6°C ou 3 jours à -10°C. Comment interpréter ce dicton ?

Corrigé : 1. On écrit que le flux de chaleur produit par la solidification de l’eau se répartit de la manière suivante : ,

– Une part

est transmise vers l’air extérieur par conduction à

travers la couche de glace – Une part

2.



est stockée dans la couche de glace.

Pour des valeurs faibles de la couche de glace ( petit), le premier terme est prépondérant devant le second car la conductivité thermique de la glace est assez élevée ( 1,88 W m K ) ; On peut donc en première approximation négliger le terme capacitif. Moyennant cette hypothèse, on écrit que le flux de chaleur transmis par conduction à travers la couche de glace est ensuite intégralement transmis par convection à l’air extérieur : ,

0, 3.

On effectue ensuite un bilan thermique entre les instants couche de glace a vu son épaisseur passer de à

0, 4.

(1)

On a :

,

où la :

(2)

En combinant les relations (1) et (2) on obtient : 2 2 On peut encore l’écrire :

et



0 0

21,2

On peut donc faire l’approximation : On en déduit alors : 5.





Après 5 jours à -6 °C (ou 3 jours à -10 °C), cette relation conduit à la valeur 16,9 cm ce qui semble bien être une épaisseur de glace suffisante pour patiner.

3.3.5 Gel des conduites d’eau dans un sol sec Dans l’installation des conduites d’eau souterraines, il est important de déterminer la profondeur à laquelle une variation de température à la surface du 114

sol se fait sentir pendant une période de 12 heures. Sachant que la température initiale du sol est de 4°C et que la température tombe brutalement à –4°C, déterminer la profondeur à laquelle pénètre la température du point de congélation. On considérera un sol sec : 1700 kg m ; 840 J K kg ; 0,4 W m K Corrigé : On se ramène au problème d’un milieu semi-infini initialement à la température uniforme de 4 °C auquel on impose brutalement une température de surface de –4 °C. On cherche la profondeur critique telle que , 12 0 °C. 4 °C ;

Avec :

,

,

La solution à ce problème est :

√

4 °C et

2,74. 10 m s

On en déduit : ,

2√

2 2,74. 10

12

3600

d’où : 10,4 cm Le calcul effectué n’est valable que pour une journée de gel, la profondeur nécessaire est plus importante si les jours de gel se répètent. 3.3.6 Gel des conduites d’eau dans un sol humide On reprend l’exercice 3.3.5 dans le cas où le sol est humide ( 18000 kg m ; 1000 J K kg ; 0,6 W m K ) et contient 333 kJ kg . 10 % d’eau en masse. La chaleur de fusion de la glace est 1. Ecrire le problème à résoudre dans les zones gelées (0 et non gelée ( ), les conditions aux limites en 0 et → ∞ et les conditions à vérifier à l’interface entre les deux zones 2. Montrer que l’on peut chercher la solution pour le champ de température sous la forme : , ,



√

1

dans la zone gelée √

dans la zone non gelée où

est la

4 °C la température profondeur calculée à partir de la surface du sol, 0 °C la température de congélation et la diffusivité initiale du sol, thermique de sol. et sont des constantes à déterminer. 3. En considérant les conditions à l’interface , montrer que nécessairement 2 √ où est une constante vérifiant l’équation transcendante :

115

√

4. 5.



et

Où :

1 1 est le nombre de Stefan-Neumann.



Résoudre l’équation transcendante précédente en supposant a priori petit. Déterminer la profondeur à laquelle pénètre la température du point de congélation

Corrigé : 1.

L’équation de la chaleur s’écrit dans les phases 1 et 2 :

(a)

dans la phase 1 [pour

]



(b)

dans la phase 2 [pour

]

Zone gelée

Phase initiale

,0 Milieu semi-infini

0,

0

0

Les conditions aux limites s’écrivent : 0, ∞, ,

(c) (d) (e)

,



(f)

La relation (f) résulte d’un bilan thermique effectué au niveau du front de changement de phase (en ) entre les instants et : la différence des flux échangés par conduction est égale au flux nécessaire au changement de phase d’une couche d’épaisseur . 2.

D’après les relations établies au §3.1.2, la fonction l’équation de la chaleur,

,



√

où

est une constante

arbitraire vérifie les équations (a) et (c). De même, la fonction 1

√

où

vérifie

√

,

est une constante arbitraire qui vérifie (b) et (d).

L’équation (e) conduit alors à :

3. 116

1 2√ 2√ Cette relation doit être vérifiée pour toutes les valeurs de , on en déduit que :

2 √ , où est une constante. En tenant compte de cette forme de , l’équation (f) permet d’écrire : √

Donc

Où :

4.



√

√ avec :

et :

est solution de l’équation : 1 √ et

1



La position du front de changement de phase se calcule finalement par : 2 √ Si  est petit : 1 Et :

√

2



√

√ 1

√

√ 2

En posant Dont la solution est :

2

1 2 3

1

√

2 3 2

1

1 1 3

√

√

, il vient : √

2 3

2 √ 0 √

0

√ √

Application numérique : 3,33.10 m s ; 0,5 ; 8,325 ; 0,2208 12 On en déduit : 2 √ avec d’où : 12 2 0,2208 12 3600 3,33.10 5,3 cm On trouve une valeur inférieure à celle calculée dans un sol sec (10,4 cm) car l’absorption d’énergie au niveau du front de congélation ralentit la propagation de la perturbation. 3.3.7 Paroi coupe-feu Une paroi coupe-feu doit répondre aux exigences suivantes : à partir de la température ambiante, si du côté chaud, la température s’accroît soudainement de 700 K, la température du côté froid ne doit pas monter de plus de 140 K. Quelle doit être l’épaisseur de la paroi (de diffusivité thermique 5.10 m s ) pour répondre à cette condition au bout de respectivement 3, 6 ou 12 heures ? Corrigé : 117

La condition limite du côté froid n’est pas précisée, on se place dans le cas le plus défavorable où elle serait isolée soit une condition de flux nul. Le problème se ramène alors à la recherche de la température au centre d’un mur d’épaisseur 2 dont les faces seraient maintenues à température constante. La solution s’écrit : 4

,

1



2

1



2

1

4



2



1 2

où est la distance à la face chauffée. Cette solution converge rapidement aux temps longs, on n’utilisera que le premier terme pour résoudre ce problème. On obtient : ,



2



0.

pour

,

D’après les données : D’où :

1



0,8 .

,

,

16,9 cm pour

3 h.

On trouve : pour 6 h : 23,9 cm et pour 12 h : 33,9 cm. Pour valider le calcul basé sur le premier terme de la série on peut calculer le deuxième terme de la série (alternée) et on trouve qu’il est 100 fois plus petit que le premier. Une résolution par transformation de Laplace inverse par la méthode de Stehfest de la solution :

,



avec

conduit aux mêmes valeurs. 3.3.8 Incendie d’une poutre en bois Pour lutter contre les incendies, il est nécessaire de connaître comment des poutres en bois peuvent supporter le feu avant de s’enflammer. Les poutres sont longues de section droite 100 x 100 mm2 et initialement à la température uniforme de 16 °C. A l’instant où se déclare le feu, les poutres sont exposées à une température de 650 °C et le coefficient de transfert convectif vaut 12 W m K . Evaluer le temps avant que le bois n’atteigne sa température d’inflammation de 427 °C. Les propriétés physiques du bois sont les suivantes : 2400 J K kg ; 0,3 W m K . 800 kg m ; Corrigé : D’après le théorème de Neuman, on a : , , ,

118

,

La température maximale est atteinte sur les arêtes soit pour , ,

On déduit des données : ,

et :

0,352

0,352

0,593

On utilisera donc les abaques (annexe 3.8) qui donnent pour une plaque : , ,

2;

Dans ce cas :

, , 0,593 ; ème

On en déduit par lecture de la 2

Et finalement : D’où :

0,075



avec

, ,

1

abaque de l’annexe A.3.8 : ,

0,075

1,56. 10 m s

1202 s soit environ 20 mn.

.

Une résolution par transformation de Laplace inverse par la méthode de Stehfest de la solution ,







conduit à

1190 s.

3.3.9 Méthode Flash Pour déterminer la diffusivité thermique d’un échantillon d’épaisseur , on expose sa face supérieure durant un temps très bref à un flux d’énergie incidente de forte puissance (Flash), le matériau opaque absorbant une énergie par unité de surface. On suppose l’échantillon isolé sur toutes ses faces. On assimile la source impulsionnelle à une condition initiale , 0 pour et , 0 0 pour , en choisissant l’origine des temps après le flash. 1. En utilisant la méthode de séparation des variables, établir l’expression du champ de température , dans l’échantillon. On fera tendre vers 0 pour déterminer les constantes d’intégration. 2. Calculer le champ de température au bout d’un temps infini et montrer que l’on peut estimer la diffusivité thermique a à partir de / (Méthode de Parker) tel que : , / , . 3. Comment sont modifiés qualitativement les résultats précédents si les faces ne sont pas parfaitement isolées ?

119

Thermogramme Flash Acier inox e = 5mm

Thermogramme Flash Acier inox e = 5mm

0.6

0.6

0.5

0.5 0.4 T(°C)

T(°C)

0.4 0.3

0.3

0.2

0.2

0.1

0.1

0.0

0.0

0

1

2

3

4

0

1

2

t (s)

4.

3

4

t (s)

Interpréter les 2 thermogrammes proposés à l’aide de la méthode de Parker et de la méthode des temps partiels de Degiovanni qui prend en compte les pertes convectives : avec /

0,954

1,581

/ / /

1,131

0,558

/ /

1,222

/

,

/

et

/

0,818

1,708

/

0,885

/

/ /

Les valeurs réelles sont : 1,2.10 m s et 5.10 m s . Commenter les résultats. 5. Examiner le cas où la durée de l’impulsion n’est plus infiniment courte. On pourra en particulier traiter le cas d’une impulsion en forme de créneau. Corrigé : 1. L’équation de la chaleur s’écrit : Avec les conditions aux limites :

(a) ,0

0

,0 0,

si

(b)

si

(c)

,

0

(d)

On effectue une décomposition de la température en un produit de fonctions sous la forme : , . L’équation de la chaleur conduit à l’équation suivante : "



′ ou :

"



Où est une constante car les deux fonctions Nous en déduisons : 0 " 0 Les solutions sont de la forme :

120

et

sont indépendantes.

, La condition limite

0,

0 impose

La condition limite

,

0 s’écrit :

0. 0, les valeurs propres du

système sont donc : Le théorème de superposition des solutions permet d’écrire la solution générale sous la forme : ,







Il faut traiter séparément le cas (égale à 1) et non pas un cosinus. Calculons donc ,0



0 où la fonction propre est une constante ,0

,0

or

,0 On en déduit : :

Calcul des



,0 En utilisant l’orthogonalité des fonctions propres on obtient :

,0

2

Par ailleurs : ,0

et si → 0 :

On en déduit :



Et finalement : , 2.

1

2

L’échantillon est supposé sans pertes, l’énergie se répartit uniformément dans l’échantillon au bout d’un temps infini et l’on a : La température sur la face inférieure ( , Soit encore : Avec :

1

) s’écrit :

2∑

,

1

2∑

1

qui est le nombre de Fourier.

Le tracé de la fonction

,

(qui tend vers

quand tend vers l’infini) 121

,

permet de montrer que 3.

5.

0,139 d’où :

0,139

/

Du fait des déperditions thermiques, la température de la face inférieure passe par un maximum avant de tendre vers sa valeur initiale au bout d’un temps infini. Le traitement des courbes s’effectue de la même manière en considérant le rapport

4.

pour

,

. Les pertes modifient légèrement les résultats du 2)

et de manière variable selon les valeurs de la diffusivité thermique de l’échantillon et du coefficient d’échange convectif. Le modèle établi en 1) représente bien la température aux temps courts mais s’en écarte aux temps longs. On lit sur les thermogrammes fournis : Pour le PVC : 1,1 °C et / 21 s, / 25 s, / 34 s, / 44 s On en déduit : 1,39. 10 m s 1,06. 10 m s , 1,40. 10 m s , 1,16. 10 m s d’où : 1,21. 10 m s Pour l’acier : 0,525 °C et / 0,55 s, / 0,7 s, / 0,9 s, / 1,25 s On en déduit : 4,96. 10 m s 5,02. 10 m s , 5,06. 10 m s , 4,76. 10 m s d’où : 4,95. 10 m s La méthode des temps partiels permet une estimation avec moins de 1% d’erreur sur ces deux cas. La méthode de Parker est d’autant plus précise que la diffusivité (et donc en général la conductivité) est élevée. Un matériau plus conductif conduit à un nombre de Biot plus faible, la résistance interne est faible devant la résistance externe de convection et l’importance relative des déperditions thermiques est faible. Posons : ,

et :

1

2∑

la réponse à une

impulsion unité infiniment courte. L’énergie fournie à la face avant entre et est égale à : Le champ de température résultant de cette source élémentaire s’écrit : , , est la Le champ de température résultant d’un créneau entre 0 et somme des champs , , on en déduit : , 122

,

,

si

, et : , , si C’est le produit de convolution de l’excitation par la réponse à un Dirac. 3.3.10 Traitement thermique d’un train d’atterrissage Le traitement thermique d’un train d’atterrissage consiste à refroidir rapidement la pièce pour obtenir une structure métallique et des caractéristiques mécaniques satisfaisantes. On sait par ailleurs que la structure obtenue est satisfaisante pour tout point ayant atteint ou dépassé une vitesse de refroidissement critique de 800 °C s-1 au voisinage de 250 °C. Quelle est l’épaisseur de la couche traitée thermiquement si l’on admet que le refroidissement est réalisé en imposant une température constante de 20 °C à la surface de la pièce initialement portée à la température uniforme de 470 °C ? La pièce est en aluminium et on l’assimilera à un cylindre de 60 cm de diamètre et de 3 m de haut. On abordera les calculs en supposant l’épaisseur de la couche traitée très petite devant le rayon du cylindre (on vérifiera cette hypothèse a posteriori). Corrigé : On fait l’hypothèse que la couche traitée est mince et que le milieu est donc semi-infini pendant la durée du traitement. On est ramené au problème d’un milieu semi-infini avec température de surface imposée dont la solution est : ,

,

√ ,

La dérivée temporelle s’écrit : Calculons la valeur de

√

qui à fixé conduit à

,

on en déduit :

√



√

/

√



0,489√

soit : ,

Soit encore :

D’où : 2 0,489 √ 2 Vérifions que la température à 0,197 : , .

,

,

/

√



√



250 °C : au voisinage de 250°C

dans laquelle 0,489

√

/

0,489

√

800 K s

Le temps correspondant à une vitesse est donné par la relation :



√

0,489

0,489 0,197

0,489 5. 10 0,197 3,06 0,3 m (au centre) n’a pas varié au bout de

1, la condition du milieu semi-infini est bien

satisfaite.

123

3.3.11 Traitement thermique d’une couche mince Une couche d’épaisseur d’un matériau 1 est déposée sur un matériau 2 suffisamment épais pour être considéré comme semi-infini. On doit appliquer à la couche un traitement thermique qui consiste à augmenter sa température jusqu’à une valeur prédéfinie . On impose pour cela sur sa surface un flux de chaleur uniforme et constant . On supposera qu’avant chauffage les deux milieux sont à l’équilibre avec le milieu extérieur à la température et que la couche est suffisamment mince pour que sa température puisse être considérée comme uniforme à chaque instant. Les dimensions transverses sont grandes devant l’épaisseur ce qui permet de considérer un transfert de chaleur unidirectionnel. On supposera que le flux de chaleur est apporté par un élément chauffant très mince collé sur la couche et parfaitement isolé sur son autre face. 1. Ecrire le système d’équations vérifiées par la température , 2. Etablir l’expression de la transformée de Laplace de la différence de température 0, de la couche 3. En utilisant un développement limité de , établir une expression approchée de la température 0, aux temps longs ( → 0). 4. En déduire le temps au bout duquel la température sera atteinte. Données : 2,0. 10 J m K ; 0,5 mm 1,4. 10 J m K ; 0,18 W m K 120 °C ; 5000 W m

Matériau 1 : Matériau 2 : 20 °C ;

Milieu 1 épaisseur e



0

Milieu 2 semi-infini x

Corrigé :

1.

et



,



,

2. La solution pour un milieu semi-infini dans l’espace de Laplace s’écrit sous la forme : ,



avec :

La transformée de Laplace de la condition limite s’écrit : 124



D’où : 0, 3.

0,



1



0,



soit :





0,

√



√



√



Par transformation de Laplace inverse on obtient finalement : 2 √ 0, √ 4.

√



0,

Application numérique : t =113 s 3.3.12 Echauffement de plaquettes de frein On se propose d’étudier l’échauffement des plaquettes de frein et des disques au cours d’un freinage. On suppose qu’un véhicule de masse 1200 kg roule à 108 km/h. Le temps de freinage pour obtenir l’arrêt total du véhicule est de 5 s. Le freinage est obtenu par frottement (sur les 4 roues) de deux plaquettes sur un disque en acier d’épaisseur 1cm. Compte-tenu de la courte durée du freinage, on assimilera les plaquettes et le disque à des milieux semi-infinis à température initiale uniforme de 20 °C. On supposera le transfert unidirectionnel. On traitera le problème en supposant la surface du disque égale à celle des plaquettes. 1. Calculer l’énergie totale dissipée par effet Joule lors du freinage (passage de 108 à 0 km/h). En déduire la valeur du flux de chaleur (supposé uniforme) dissipé sur chaque interface plaquette/disque pendant la durée du freinage. 2. Ecrire les équations du système correspondant à un contact brusque entre deux milieux semi-infinis avec flux imposé. 3. Le freinage est effectué sur les quatre roues par deux plaquettes en matériau composite qu’une mâchoire vient appliquer sur un disque. La surface d’une plaquette est de 30 cm2. Donner l’expression de la température de contact entre le disque et la plaquette à la fin du freinage. Calculer sa valeur à la fin du freinage. Données : Effusivité : 10000 W m K s / ; 1000 W m K s / . A la lecture des informations et de la photo ci-dessous, pensez-vous que cette température soit supérieure ou inférieure à la température réelle ?

125

Schéma et photo d’un disque et de plaquettes de frein

Principe de fonctionnement des plaquettes : Les plaquettes de frein équipent tous les véhicules munis de freins à disque. C’est une pièce d’usure dont le frottement contre le disque assure le freinage. Les plaquettes sont composées de 2 éléments : – Un socle en tôle d’acier – Un matériau de friction (garniture) composée de plusieurs éléments organiques ou métalliques. La composition implique des différences sur les performances, le confort ou le bruit lors du freinage. Corrigé : 1.

1200

Quantité de chaleur dissipée :

30

13,5 kW

Flux de chaleur dissipé par plaquette : 2.

540 kJ

Equations du système :

(a)

et



(b)

L’origine des abscisses est prise au point de contact entre les deux milieux. Les conditions aux limites s’écrivent : ,0 ,0

pour x < 0 pour x > 0 0,

0, 3.

0,

(e)

0,

(f)

On effectue les changements de variable suivants : et Les équations (a) et (b) peuvent alors s’écrire :

126

(c) (d)



et



Et les conditions aux limites deviennent : ,0 ,0

0 0

pour x < 0 pour x > 0

0, 0,

(c) (d)

0,

(e)

0,

(f)

Les transformées de Laplace des équations (a) et (b) conduisent à : , , et La température garde une valeur finie quand tend vers ∞ donc , , 0, nous en déduisons que : et La condition (f) impose : La transformée de Laplace de l’équation (e) s’écrit alors :

d’où :

,

√

et :

,

0 et

√

0 et ces relations deviennent : 1 0, 0, L’utilisation des tables de la transformée de Laplace inverse présentées en Au point de contact :

annexe A.3.2 conduit au résultat suivant : 4.

0,

√

√

1032 °C

La température est surévaluée car : – La couche ayant une effusivité de 1000 W m-2 K-1 s1/2 est mince et repose sur un support en acier ayant une effusivité beaucoup plus importante. – Le disque tourne pendant le freinage donc la surface du disque est beaucoup plus grande que la surface des plaquettes contrairement à l’hypothèse retenue.

3.3.13 Méthode du Plan chaud Le but de la méthode du plan chaud est de mesurer l’effusivité thermique d’un matériau. La méthode consiste à insérer un élément chauffant plan dont on mesure l’évolution de la température entre deux échantillons de grande épaisseur du matériau à caractériser. On lui envoie un échelon de tension qui provoque le dégagement d’un flux de chaleur . La chaleur produite diffuse dans les échantillons et on enregistre l’évolution de la température de l’élément chauffant au cours du temps. 1. Ecrire à l’aide de la méthode des quadripôles l’expression de la transformée de Laplace de cette température. On considérera que la température est uniforme dans l’élément chauffant de masse 2 et de capacité calorifique et 127

que tout le flux est produit sur sa surface médiane ; on notera la résistance thermique de contact entre l’élément chauffant et la sonde. 2. Etudier en utilisant des développements limités les comportements asymptotiques de cette température. En déduire une méthode simple de détermination de l’effusivité. 3. Estimer les valeurs de , et à partir du thermogramme ci-dessous (représenté dans plusieurs systèmes d’axes) obtenu sur du PVC d’épaisseur 1cm. 4. Montrer qu’au bout de 60 s la condition du milieu semi-infini est toujours valable. On supposera que la face non chauffée de l’échantillon est parfaitement isolée. Données : Elément chauffant de surface 20,3 cm , de résistance électrique 40,5  alimenté sous une tension 7 V. Diffusivité thermique du PVC mesurée par méthode Flash : 1,2. 10 m s . 5.0

5.0

4.0

3.0

T (°C)

T (°C)

4.0

2.0 1.0

3.0 2.0 1.0

0.0 0

10

20

30 t (s)

40

50

0.0

60

0

1

2

3

4 t1/2 (s0.5)

0.25

0.2

T (°C)

0.15

0.1

0.05 0 0

128

0.1

0.2

t (s)

0.3

0.4

0.5

5

6

7

8

Corrigé : 1. x

Echantillon semi-infini

0/2

, Résistance de contact

0 Résistance chauffante à Ts

Schématisation d’un plan chaud et notations.

La modélisation du système à l’aide du formalisme des quadripôles permet d’écrire : 1 2

0 1 1 0



1

Avec : 0 Transformée de Laplace de la différence Transformée de Laplace de la différence 0, 0, 0 Résistance de contact à l’interface résistance chauffante / matériau à caractériser 2 Masse thermocouple + résistance chauffante Capacité calorifique thermocouple + résistance chauffante Effusivité thermique du matériau à caractériser Diffusivité thermique du matériau à caractériser Variable de Laplace Surface de la résistance chauffante φ Puissance dissipée dans la résistance chauffante On en déduit : 2 D’où :

1 √ √

Les paramètres inconnus à déterminer expérimentalement sont : – L’effusivité de l’échantillon, entre la sonde et l’échantillon, – La résistance thermique de contact 129

– La capacitance thermique de la sonde. 2. La température au centre s’écrit dans l’espace de Laplace : 1 2 1 Aux temps longs (  0), cette expression devient : 1 2 2 1 Ou :

/

1

soit :

/

1 0

d’où :



/

1 1

1 /



√

√

0 en fonction de √ est donc une droite de pente Le tracé de dont la détermination permet de calculer l’effusivité thermique . √

L’inertie de la sonde et la résistance de contact n’influent pas sur la température aux temps longs. Pour appliquer cette méthode d’estimation, il faut s’assurer que l’hypothèse du milieu semi-infini reste valable sur l’intervalle d’estimation choisi. Par ailleurs, aux temps courts ( → ∞), l’expression de devient : 1 1 2 2 1 0

d’où :

3. On détermine la pente  de la courbe expérimentale s, on trouve 0,65. On en déduit : 7 40,5 0,65 2,03. 10 √ √ √ On détermine la pente de la courbe expérimentale on trouve

0,55. On en déduit :

entre 5 et 60s, on trouve

On en déduit : 2

entre 5 et 60

517,3 W m K

s

/

entre 0 et 0,5s,

,

On détermine l’ordonnée à l’origine √

√

,

1,10 J K

de la courbe expérimentale

0,3 or :



0,6 40,5 1,10 0,502 7 517,3 2,03. 10 Ou encore par unité de surface : 0,004 m 4. On cherche seulement un ordre de grandeur et non pas une valeur précise de , 60 , on se placera donc dans le cas simple où la masse de la sonde et la 130

résistance thermique de contact sont négligeables. Pour un échantillon d’épaisseur parfaitement isolé thermiquement sur sa face non chauffée on a alors la relation quadripolaire : , 0



où :

,

On en déduit :

avec :



Aux temps courts ( → ∞), cette expression devient : ,

Soit encore :

,





D’où en utilisant l’annexe 3.2 : , ,

0,18

Soit :

7 40,5 2,03. 10

,

2

2



1,2. 10

60

4

4

0,01 1,2. 10



60

2√ 0,01



0,01 2 1,2. 10

60

0,017 ° , ce qui valide l’hypothèse du milieu semi-infini.

3.3.14 Mesure de la diffusivité thermique d’une plaque mince On réalise le montage décrit sur la figure ci-dessous pour mesurer la diffusivité thermique d’une plaque mince. On applique sur une extrémité de la plaque un flux de chaleur de forme quelconque pendant un temps et on et en deux points de la plaque enregistre l’évolution des températures distants de . Flux de chaleur quelconque

0

1





On fait les hypothèses suivantes : – La distribution de température est unidirectionnelle selon x – Le matériau est homogène et isotrope – Les propriétés thermophysiques sont constantes – A l’instant initial le matériau est à la même température Ta que l’air ambiant – L’échantillon est suffisamment long pour être considéré comme semi-infini selon x 131

1.

2.

Ecrire l’équation différentielle vérifiée par la température , en régime transitoire. Donner l’expression du rapport des transformées de Laplace et et . des températures Montrer que ce rapport peut permettre d’estimer la valeur de la diffusivité thermique de la plaque. Trouver une fonction de ce rapport qui soit linéaire par rapport à pour simplifier l’estimation.

Corrigé : 1.

On effectue un bilan thermique sur le morceau d’échantillon compris entre x et x + dx : ℓ

ℓ 2

Avec :



D’où : 2.



2ℓ où ℓ est la largeur de la plaque 0 avec

Après transformation de Laplace : On en déduit :

,



,

D’où : 3.

ℓ

ℓ



, ,

Et :

,



Il faut donc calculer les transformées de Laplace des températures mesurées et

puis tracer le graphe de

, ,

en fonction de

qui est

une droite dont la pente permet de calculer directement la diffusivité thermique . 3.3.15 Méthode du régime régulier La méthode du régime régulier est une méthode permettant de mesurer la diffusivité thermique d’un matériau solide. Le principe de la méthode consiste à réaliser un échantillon parallélépipédique à l’intérieur duquel on insère un thermocouple pour en mesurer la température en un point fixe dans l’échantillon. A l’instant initial l’échantillon est à une température uniforme et on le plonge brutalement dans un bain d’eau agité et thermostaté à une température . On relève l’évolution de la température de la température indiquée par le thermocouple que l’on utilise « aux temps longs » pour estimer la diffusivité thermique de l’échantillon. 1. Expliquer pourquoi on peut faire l’hypothèse que la température de surface

132

2. 3. 4.

5. 6.

de l’échantillon est imposée et égale à 0 . Pour quel type d’échantillon cette hypothèse sera-t-elle la plus juste ? , , , dans le Donner une expression littérale exacte de la température cas d’un milieu anisotrope. Donner sans faire de calcul l’allure de la courbe , , , pour un point proche du centre de l’échantillon. En donner une expression approchée simplifiée aux temps longs et montrer qu’alors la courbe , , , est une droite dont la pente ne dépend pas de la position géométrique du point de mesure mais seulement de la diffusivité thermique . Proposer une méthode d’estimation de la diffusivité thermique a à partir d’un enregistrement de T(t). Appliquer cette méthode pour déterminer la diffusivité thermique à partir des points expérimentaux suivants obtenus par immersion d’un échantillon de 6 x 6 x 2 cm dans un bain à 20 °C. La température a été mesurée au point de coordonnées (1cm, 1cm, 0cm) en prenant comme origine des axes le centre de l’échantillon. s °C

50 6,4

100 13,2

150 16,7

200 18,5

250 19,3

300 19,7

Corrigé : 1.

2.

Le coefficient de transfert convectif est élevé car le fluide est de l’eau en convection forcée. La résistance au transfert externe est donc faible devant la résistance au transfert interne. Cela sera d’autant plus vrai que le matériau sera isolant et que la température sera mesurée loin de la surface. On peut appliquer le théorème de Von Neuman : , , ,

, ,

,

,

,







Pour une plaque d’épaisseur 2 nous avons obtenu : ,

,

4

1 2

1



2

1

2

2

1

4



et montré qu’aux temps longs le premier terme suffit à obtenir une bonne estimation soit : ,

,

4



2

4



On en déduit :

133

, , , ,

,

4 2

2

, , ,

4



4

4 ,

3.



4

2 2

,

2

, , ,

Allure de la courbe l’échantillon :

4

2





pour un point proche du centre de

25 20 15 10 5 0 0

100

200

300

400

500

-5

4.

Si le milieu est isotrope : , , , ,

et la solution est de la forme : 1 1 1 4

, ,

,

Soit en prenant le logarithme : , , , C’est une droite dont la pente

5.

4



1

1

1

ne dépend que de la

diffusivité thermique et ne dépend pas de la position du thermocouple dans l’échantillon. Méthode proposée : Tracer , , , et effectuer une régression linéaire sur la partie linéaire de la courbe pour en estimer la pente. Déduire de la pente la valeur de

6.

, ,

par :

Estimation de la diffusivité thermique : Une régression linéaire entre 50 s et 300 s permet d’estimer une pente 0,0152. On en déduit une valeur de la diffusivité thermique 5,04. 10 m s .

3.3.16 Modélisation du fil chaud Le but de la méthode du fil chaud est de mesurer la conductivité thermique d’un matériau. La méthode consiste à insérer un fil chauffant dont on mesure 134

l’évolution de la température entre deux échantillons de grande épaisseur du matériau à caractériser. On lui envoie un échelon de tension qui provoque le dégagement d’un flux de chaleur . La chaleur produite diffuse radialement dans les échantillons et on enregistre l’évolution de la température du fil chauffant au cours du temps. La modélisation de ce transfert de chaleur permet de calculer l’évolution de la température du fil. On applique une méthode d’estimation de paramètres pour calculer les valeurs de : – La conductivité thermique , – La capacitance thermique du fil chauffant, – La résistance de contact à l’interface fil/échantillon, qui minimisent l’écart entre les courbes théoriques et expérimentales. 1. Ecrire à l’aide de la méthode des quadripôles l’expression de la transformée de Laplace de cette température. On considérera que la température est uniforme dans l’élément chauffant. 2. Etudier en utilisant des développements limités les comportements asymptotiques de cette température. En déduire une méthode simple de détermination de la conductivité thermique. Corrigé : 1.

Le voisinage du fil chauffant peut être schématisé de la manière suivante : Résistance de contact

Echantillon = cylindre creux rayon intérieur 0 , rayon extérieur infini

Température

Fil chauffant : rayon 0 , température

,

L’équation de la chaleur s’écrit dans l’échantillon : Avec les conditions aux limites :

(a)

,0 ∞,

(b) (c) ,

0,



(d) ,



(e)

La modélisation du système à l’aide du formalisme des quadripôles permet d’écrire dans l’espace de Laplace :

135

1

0 1 1 0

1 /



2 où :

/

Avec : 1;

;

;

où :

, , 2.

0 Transformée de Laplace de la différence Transformée de Laplace de la différence , , 0 Résistance de contact à l’interface résistance chauffante / échantillon Capacité calorifique volumique du thermocouple + résistance Conductivité thermique de l’échantillon Diffusivité thermique de l’échantillon Variable de Laplace Rayon du fil chauffant Longueur du fil chauffant Puissance dissipée dans la résistance chauffante , Fonctions de Bessel

Si l’on considère un fil fin ( petit) et si l’on se place aux temps longs (  0), nous pouvons utiliser les développements limités des fonctions de Bessel : ;

1;

;

Qui conduisent à : 1;

0;

;

1;

On en déduit :

1

4

4

√

L’utilisation des tables de la transformée de Laplace inverse (cf. annexe A.4) aux temps longs : permet de calculer la température √ 2 4 4 Où 0,57721 est la constante d’Euler. 0 ) en fonction de est donc une droite de pente Le tracé de dont la détermination permet de calculer la conductivité thermique . Aux 0

136

temps longs, l’inertie de la sonde et la résistance de contact ont pour seul effet de décaler la température d’une valeur constante par rapport au modèle de sonde parfaite (sonde de masse nulle et pas de résistance de contact). Pour appliquer cette méthode d’estimation, il faut s’assurer que l’hypothèse du milieu semi-infini reste valable sur l’intervalle d’estimation choisi. Les bruits de mesure sur les valeurs des températures aux différents temps de mesure étant constants et non corrélés, on utilise la méthode des moindres carrés linéaires pour estimer la pente.

137

138

4 Transfert de chaleur par rayonnement 4.1 Généralités. Définitions 4.1.2 Nature du rayonnement Tous les corps, quel que soit leur état : solide, liquide ou gazeux, émettent un rayonnement de nature électromagnétique. Cette émission d’énergie s’effectue au détriment de l’énergie interne du corps émetteur. Le rayonnement se propage de manière rectiligne à la vitesse de la lumière, il est constitué de radiations de différentes longueurs d’onde comme l’a démontré l’expérience de William Herschel : T

Source à T0

Prisme Ecran absorbant Figure 4.1 : Principe de l’expérience de William Herschel

En passant à travers un prisme, les radiations sont plus ou moins déviées selon leur longueur d’onde. On envoie donc les radiations émises par une source à la température sur un prisme et on projette le faisceau dévié sur un écran absorbant (noirci), on obtient ainsi la décomposition du rayonnement total incident en un spectre de radiations monochromatiques.

139

Si l’on déplace le long de l’écran un thermomètre, on mesure la température caractérisant l’énergie reçue par l’écran dans chaque longueur d’onde. En construisant la courbe , on obtient la répartition spectrale de l’énergie rayonnée pour la température de la source. On constate alors que : – L’énergie émise est maximale pour une certaine longueur d’onde variable avec . – L’énergie n’est émise que sur un intervalle [ , ] de longueur d’onde caractérisant le rayonnement thermique. On trouvera représentés sur la figure 4.2 les différents types d’ondes électromagnétiques et leurs longueurs d’ondes correspondantes. On retiendra que le rayonnement ayant un effet thermique émis par les corps se situe entre 0,1 et 100 m. On notera par ailleurs que le rayonnement est perçu par l’homme : – Par l’œil : pour 0,38 μm 0,78 μm rayonnement visible. – Par la peau : pour 0,78 μm 314 μm rayonnement IR. 4.1.2 Définitions 4.1.2.1 Classification Les grandeurs physiques seront distinguées selon : – La composition spectrale du rayonnement – Si la grandeur est relative à l’ensemble du spectre elle est dite totale. – Si elle concerne un intervalle spectral étroit autour d’une longueur d’onde elle est dite monochromatique : – La distribution spatiale du rayonnement – Si la grandeur est relative à l’ensemble des directions de l’espace, elle est dite hémisphérique. – Si elle caractérise une direction donnée de propagation, elle est dite directionnelle : . Thermique



-11

-10

-9

-8

-7

X

-6

-5

log10() -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

IR UV visible Micro-onde

Onde radio

Téléphone

Figure 4.2 : Spectre des ondes électromagnétiques ( en m)

140

4.1.2.2 Définitions relatives aux sources Flux – On appelle flux d’une source la puissance rayonnée notée par dans tout l’espace qui l’entoure, sur toutes les longueurs d’onde. Le flux  s’exprime en W. – Le flux envoyé par un élément de surface dans un angle solide élémentaire  est noté – Le flux envoyé dans tout l’espace par une surface élémentaire est noté



– Le flux envoyé par une surface dans l’angle solide . direction est noté Nous avons donc les relations suivantes : et :

 entourant la

Rappel sur les angles solides élémentaires : L’angle solide sous lequel depuis un point O on voit une surface est par définition l’aire de la surface intersection de la sphère de rayon unité et du cône de sommet O s’appuyant sur le contour de la surface . L’angle solide élémentaire  sous lequel est vu d’un point O le contour d’une petite surface (assimilée à une surface plane) peut être calculé par : cos

Ω





cos

(4.1)



Figure 4.3 : Schéma de l’angle solide

Propriétés : – La valeur d’un angle solide est comprise entre 0 et 4 – Pour un cône de demi-angle au sommet : Ω 2 1

cos



Emittance énergétique – Monochromatique : Un élément de surface émet un certain flux d’énergie par rayonnement dans toutes les directions du ½ espace. Ce flux est réparti sur un intervalle de longueurs d’ondes. Si l’on considère le flux d’énergie émis entre les deux longueurs d’ondes et , on définit l’émittance monochromatique d’une source à la température par :

141

(W m-3)



(4.2)

– Totale : C’est la densité de flux de chaleur émise par rayonnement par sur tout le spectre des longueurs d’ondes. Elle n’est plus fonction que de la température et de la nature de la source :

(W m-2)

(4.3)

Intensité énergétique dans une direction On appelle intensité énergétique le flux par unité d’angle solide émis par : une surface dans un angle solide  entourant la direction (4.4)

Ω Luminance énergétique dans une direction

Soit l’angle fait par la normale à la surface émettrice avec la direction . La projection de sur le plan perpendiculaire à définit la surface cos . L’intensité énergétique élémentaire dans émettrice apparente s’appelle la la direction par unité de surface émettrice apparente luminance énergétique . En partant de la relation (4.4) :



cos



Ω

cos

(4.5)

Figure 4.4 : Schéma de définition des angles

Application : Formule de Bougouer On déduit des définitions précédentes l’expression du flux de luminance sur un autre élément : un élément 142

envoyé par

Ω

cos





Figure 4.5 : Schéma de définition des angles dans la formule de Bougouer

Où : Ω est l’angle solide sous lequel on voit la surface

depuis la surface

donc : Ω D’où la formule de Bougouer :



cos

cos

(4.6)

4.1.2.3 Définitions relatives à un récepteur Eclairement C’est l’homologue de l’émittance pour une source. L’éclairement est le flux reçu par unité de surface réceptrice, en provenance de l’ensemble des directions. Réception du rayonnement par un solide Quand un rayon incident d’énergie frappe un corps à la température , un partie de l’énergie incidente est réfléchie par la surface , une autre partie est absorbée par le corps qui s’échauffe et le reste est transmis et continue son chemin : réfléchi

incident

absorbé

transmis



Figure 4.6 : Schématisation de la répartition d’un flux incident de rayonnement sur un solide

On a évidemment : d’où : 1 On définit ainsi les pouvoirs monochromatiques réfléchissant , absorbant et filtrant qui sont fonctions de la nature du corps, de son épaisseur, de sa température , de la longueur d’onde du rayonnement incident et de l’angle d’incidence. 143

Si l’on considère l’énergie incidente sur tout le spectre des longueurs d’onde, on obtient les pouvoirs réfléchissants , absorbant et filtrant totaux. Les et de certains corps sont donnés en annexe A.4.1. valeurs de , 4.1.2.4 Corps noir, corps gris Corps noir C’est un corps qui absorbe toutes les radiations qu’il reçoit indépendamment de son épaisseur, de sa température, de l’angle d’incidence et de la longueur d’onde du rayonnement incident, il est défini par : 1. Une surface enduite de noir de fumée est approximativement un corps noir. Propriétés du corps noir : – Tous les corps noirs rayonnent de la même manière. – Le corps noir rayonne plus que le corps non noir à la même température. Corps gris Un corps gris est un corps dont le pouvoir absorbant est indépendant de la longueur d’onde du rayonnement qu’il reçoit. Il est défini par : . En général, on considère les corps solides comme des corps gris par intervalle et on utilise un pouvoir absorbant moyen vis-à-vis du rayonnement émis pour 3 μm (rayonnement émis par des corps à haute température comme le Soleil) et un pouvoir absorbant moyen vis-à-vis du rayonnement émis pour 3 μm (rayonnement émis par les corps à faible température : atmosphère, absorbeur solaire). On pourra à titre d’exemple considérer les valeurs suivantes pour la peinture blanche :

0,9

0,3 0



3m

Figure 4.7 : Représentation simplifiée du pouvoir absorbant monochromatique de la peinture blanche.

144

4.2 Lois du rayonnement 4.2.1 Loi de Lambert Une source est isotrope si la luminance est indépendante de la direction :



Or :

De l’égalité

on déduit la loi de Lambert pour une source isotrope :



cos

(4.7)



Figure 4.8 : Schématisation del’intensité énergétique

Ainsi l’indicatrice d’émission est une sphère tangente en O à la surface émettrice lorsque celle-ci suit la loi de Lambert :

I 

 



Luminance

Intensité énergétique

Figure 4.9 : Schématisation de la luminance et de l’intensité énergétique d’une source isotrope

Remarque : Comme pour un cône de demi-angle au sommet : Ω 2 1 cos et Ω 2 sin , lorsqu’un corps suit la loi de Lambert : /

/

cos Ω

2

cos sin α

Soit :

(4.8)

4.2 Lois physiques 4.2.1 Loi de Kirchoff A une température rapport

donnée et pour une longueur d’onde

donnée, le

est le même pour tous les corps.

145

Pour le corps noir :

1 , le rapport

est donc égal à

en appelant

l’émittance monochromatique du corps noir, donc :

(4.9)

L’émittance monochromatique de tout corps est égale au produit de son pouvoir absorbant monochromatique par l’émittance monochromatique du corps noir à la même température, d’où l’intérêt de connaître le rayonnement émis par le corps noir. Cas des corps gris : loi de Kirchoff généralisée Dans le cas du corps gris, on peut généraliser cette loi ce qui facilite les applications. En effet pour un corps gris , donc :



En appelant l’émittance totale du corps noir à la température , nous obtenons pour un corps gris :

(4.10)

L’émittance totale d’un corps gris à la température est égal au produit par l’émittance totale du corps noir à la même de son pouvoir absorbant température. 4.2.2 Rayonnement du corps noir Emittance monochromatique Elle est donnée par la loi de Planck :

1

(W m-3)

(4.11)

3,742. 10 W m 1,4385. 10 m K La loi de Planck permet de tracer les courbes isothermes représentant les en fonction de la longueur d’onde pour diverses variations de températures (cf. figure 4.10) Avec :

Remarques : 146

– La longueur d’onde (m) pour laquelle l’émission est maximale varie avec la température de la source : 2,897. 10

Avec

4.12 et

0,410



10



4.13

: Température (K)

– Pour le Soleil (  5777 ), 90% de l’énergie est émise entre 0,31 et 2,5 m, le maximum étant situé dans le spectre visible. Par contre, un corps noir à 373 K (100°C) a son émission maximale vers 8 dans l’IR. Emittance d'un corps noir à 100°C

Emittance d'un corps noir à 5777 K

100

2,5E+08

80 -3

Mo  (W.m )

Mo  (W.m-3)

2,0E+08 1,5E+08 1,0E+08

60 40 20

5,0E+07

0

0,0E+00 0

1

2

( m)

3

4

0

10

(m)

20

30

Figure 4.10 : Emittance monochromatique d’un corps noir à deux températures différentes

Emittance totale L’intégration de la formule de Planck pour toutes les longueurs d’onde donne du corps noir qui n’est plus fonction que de la température l’émittance totale , on obtient la loi de Stefan-Boltzmann : (4.14) Avec : 

5,675. 10 W m K

Fraction de l’émittance dans un intervalle donné de longueurs d’onde [ ,

]

C’est la fraction du flux émis par l’unité de surface du corps noir à la température entre les longueurs d’ondes et :

Ce qui peut également s’écrire : à fixé :

; Calculons

147

1

1

1

1

1

1

Nous constatons que ne dépend que du produit . Il suffit donc de et de dresser une fois pour toutes une table à une entrée unique donnant l’utiliser pour le calcul de . Le tableau des valeurs est donné en annexe A.4.2. 4.2.3 Rayonnement des corps non noirs Facteur d’émission ou émissivité On définit les propriétés émissives des corps réels par rapport aux propriétés émissives du corps noir dans les mêmes conditions de température et de longueur d’onde et on les caractérise à l’aide de coefficients appelés facteurs d’émission ou émissivités. Ces coefficients monochromatiques ou totaux sont définis par : ;

(4.15)

En utilisant la relation (4.9), il vient : (4.16) Cas des corps gris Ils sont caractérisés par soit d’après ce qui précède : , nous en déduisons l’émittance du corps gris à la Or : température : (4.17) 4.3 Rayonnement réciproque de plusieurs surfaces Hypothèses : – Les surfaces considérées sont supposées homogènes, opaques, isothermes et grises. – Les éclairements sont supposés homogènes et les réflexions diffuses. 4.3.1 Radiosité et flux net perdu Le rayonnement qui quitte une surface est la somme de son émission propre et de la réflexion d’une partie du rayonnement incident sur cette surface. On appelle radiosité, que l’on note , l’émittance apparente de la surface donc : 148

1

(4.18)

Avec : Eclairement de la surface (W m-2) Considérons maintenant la surface choisie parmi homogènes qui délimitent un volume fermé :

surfaces isothermes et

4

1

Figure 4.11 : Schématisation des flux de rayonnement sur une surface

La densité d’énergie nette perdue par rayonnement par En introduisant, d’après (4.18), la radiosité

s’écrit :

par :

,

nous obtenons : 1

(4.19)

4.3.2 Facteur de forme géométrique qui sur toute son étendue a une émission On considère une surface . apparente La surface est environnée par un nombre de surfaces et est envoyé sur toutes ces surfaces (la surface peut également rayonner vers elle-même si elle peut donc se décomposer de la manière est concave). Le flux apparent suivante : ⋯ ⋯ → → → → Calculons → qui est la part du flux quittant qui atteint : D’après la formule de Bougouer, le flux → envoyé par la surface vers la surface élémentaire s’écrit : élémentaire →

avec



comme la surface grise

cos

cos

suit la loi de Lambert.

149

Nous en déduisons :

→









Le facteur de forme géométrique est alors défini par la relation :



de la surface

cos

cos

par rapport à la surface



(4.20)

Il ne dépend que de la géométrie et de la disposition relative des surfaces et . Des formules donnent sa valeur pour les cas de figure les plus courants (cf. annexe A.4.3). Le flux → peut alors s’écrire simplement : →



s’interprète simplement comme la Le facteur de forme géométrique fraction du flux total émis en apparence par ( ) qui atteint la surface . Remarques : – Le 2ème membre de la formule (4.20) de définition de est symétrique en et , on en déduit la relation de réciprocité des facteurs de forme : (4.21) – La relation

or :

→

⋯

→

⋯

⋯

→





→

peut s’écrire : ⋯



⋯

D’où :

1

(4.22)

Ces deux relations sont utiles pour la détermination des facteurs de forme de plusieurs surfaces en présence. 4.3.3 Calcul des flux Le flux

reçu par la surface s’écrit : ∑ → → or → ∑ ∑ D’où : d’après (4.21). En reportant cette expression dans (4.18), nous obtenons : →

1 Soit encore :

∑



En utilisant le symbole de Kronecker 150



1 si

,

0 si

)

nous pouvons écrire :

∑

D’où :



1



(4.23)

On écrit cette relation pour toutes les surfaces dont on connaît les températures. Pour celles dont on connaît plutôt la densité de flux net perdu on utilise la relation :

Qui peut encore s’écrire :



(4.24)

Méthode de résolution Si l’on connaît températures et ( ) densités de flux nets , on écrit fois l’équation (4.23) et ( ) fois l’équation (4.24), on obtient ainsi un ,…, . système linéaire de équations à inconnues : , , … , , La résolution de ce système permet de calculer les ( ) températures et les radiosités inconnues. Les densités de flux nets inconnues se calculent ensuite par la relation : Remarque : Si une surface est noire ( 1), la relation (4. 23) ne peut pas être utilisée. Nous avons alors simplement dans ce cas la relation : et l’on résout le système des ( 1) équations restantes. Exemple d’application : Cas de deux plans parallèles infinis On suppose que les températures et ainsi que les émissivités et des deux surfaces et sont connues, on cherche à déterminer le flux net perdu par chacune de ces surfaces. Nous avons 0 car les surfaces et sont planes et ne peuvent pas rayonner vers elles-mêmes. Nous en déduisons 1 en appliquant la relation ∑ 1 pour 1 et 2. La relation (4.23) s’écrit alors de la manière suivante pour 1 et 2: 151

1 1

D’où : 1

1



1



1

1



Et

1

1

Soit finalement :

1

(4.25)

4.3.4 Analogie électrique Flux net perdu par une surface Nous avons montré que :

ce qui peut encore

s’écrire : Par analogie, cette relation peut être représentée par le schéma électrique équivalent suivant : 4

1

Figure 4.12 : Schéma électrique équivalent du flux radiatif perdu par une surface

On notera que cette résistance thermique de rayonnement ne dépend que des propriétés physiques de la surface et qu’elle est nulle pour un corps noir. Flux net échangé entre plusieurs surfaces Le flux net perdu par la surface dans ses échanges radiatifs avec l’ensemble des surfaces environnantes s’écrit d’après la relation (4.19) : Le flux quittant la surface peut se décomposer de la manière suivante : →

L’éclairement suivante :

152

→

⋯

reçu par la surface

→



peut se décomposer de la manière

→

Le flux net perdu par



peut donc s’écrire :



Le flux net échangé entre les surfaces

et

→



→

s’écrit donc :





1

Cet échange radiatif peut être représenté par le schéma électrique équivalent suivant :

 neti  j



1

Figure 4.13 : Schéma électrique équivalent du flux radiatif échangé entre deux surfaces

On notera que cette résistance thermique de rayonnement est purement géométrique et qu’elle ne dépend pas des propriétés physiques des surfaces et . Application : Echange entre deux surfaces grises Si les deux surfaces et sont seules en présence, le flux net perdu par est égal au flux net  2 net gagné par . Ce flux est encore égal au flux net → échangé entre

et

, nous avons donc les égalités :

Soit :

→



Cet échange radiatif peut être représenté par le schéma électrique équivalent suivant : 1 1

2

1

4

1

1 1 1

1 1 1 2

2

1

4

2 2 2

Figure 4.14 : Schéma électrique équivalent du flux radiatif net échangé entre deux surfaces

153



D’où

1

1

1

(4.26)

Utilisation des schémas analogiques Dans les systèmes simples, il est plus rapide d’utiliser la technique des schémas analogiques que celle du système linéaire. Lorsqu’on a établi le schéma analogique, on calcule les différentes résistances du circuit puis on résout par les techniques habituelles utilisées en électricité : loi d’association des résistances en série et en parallèle, loi des nœuds. Exemple d’application : Cas d’une surface une surface

convexe complètement entourée par

étant convexe elle ne peut pas rayonner vers elle-même donc : La surface 0 1 nous permet de déduire : 1 La relation La relation (4.26) s’écrit alors :

1



1

1

D’où :

1

1

1

1

1

1

(4.27)

Cas particulier où la surface S1 est « petite » devant la surface S2 : Nous avons dans ce cas :

0 et la relation (4.27) s’écrit alors :

Vue de la surface un corps noir.

(« petit corps »), la surface

(4.28)

se comporte alors comme

4.4 Emission et absorption des gaz 4.4.1 Spectre d’émission des gaz Beaucoup de gaz et de mélanges de gaz sont transparents pour < 3000 K : O2, N2, air sec… Par contre, les gaz hétéropolaires diatomiques ou triatomiques (CO2, SO2, CH4…) et des vapeurs d’hydrocarbures ou d’alcools présentent des bandes 154

d’émission et d’absorption de largeur plus ou moins grande dans le spectre, le gaz restant transparent entre ces bandes. Les spectres d’émission sont de plus différents selon la température du gaz. Le CO2 et la vapeur d’eau sont importants en pratique : – Présents en grande quantité dans les gaz de combustion, leur rayonnement est parfois essentiel dans les échanges de chaleur entre les flammes, les gaz chauds et les charges à réchauffer. – Présents dans l’atmosphère, le flux qu’ils envoient vers la Terre joue un rôle important dans son bilan thermique : – Les refroidissements nocturnes importants observés en saison sèche s’expliquent par l’abaissement du rayonnement émis par l’atmosphère du fait de la faible présence de vapeur d’eau dans l’air. – L’augmentation de la teneur en CO2 dans l’atmosphère du fait des émissions industrielles et automobiles augmente le rayonnement émis par l’atmosphère vers la Terre et contribue au réchauffement de la Terre (effet de serre). 4.4.2 Echange thermique entre un gaz et une paroi Cas particulier Traitons le cas d’une masse de gaz hémisphérique et d’une paroi plane de petites dimensions placée au centre de la base de l’hémisphère :

Figure 4.15 : Schématisation du cas considéré

Soient et les températures de la paroi et du gaz et le rayon de l’hémisphère. Le gaz envoie sur la paroi un rayonnement dont la densité de flux a pour , étant le facteur total d’émission de la couche de gaz d’épaisseur valeur : à la température . a la même valeur dans toutes les directions car la couche de gaz a la même épaisseur dans toutes les directions du fait de sa forme hémisphérique. , étant le facteur total La densité de flux absorbé par la paroi est : d’absorption de la paroi. La paroi émet par ailleurs un rayonnement d’une densité de flux égale à : dont une partie est absorbée par le gaz. La densité de flux net échangé par le gaz et la paroi s’écrit finalement : 155

(4.29) Cas général 2

1

3

Figure 4.16 : Schématisation du transfert radiatif dans une sphère gazeuse

Dans le cas particulier que nous venons de traiter, tous les trajets aboutissant à la paroi ont la même longueur donc est le même dans toutes les directions. Il n’en n’est pas ainsi dans le cas général. Par exemple, dans le cas d’une paroi sphérique de diamètre enfermant une masse gazeuse, les trajets aboutissants à la paroi ont une longueur comprise entre 0 et . Le calcul de la densité de flux envoyée par le gaz sur la paroi nécessite donc une intégration par rapport à l’angle d’incidence. On trouve par exemple dans ce cas que la densité de flux est égale à celle que l’on obtiendrait avec un hémisphère de rayon équivalent D’une manière plus générale, on trouve qu’une bonne approximation du rayon de l’hémisphère équivalent peut être calculée par : 4

(4.30)

Des valeurs plus précises sont données dans le tableau de l’annexe A.4.4. Echange thermique entre deux parois séparées par un gaz Considérons un gaz séparant deux surfaces et supposées planes, parallèles et noires, à des températures différentes et . On admettra que la masse de gaz est à la température uniforme et qu’elle a une épaisseur constante .

156

1

1

2

4

4 1

2

4

1

4

4

L 2

4

4

1

2

4 2

Figure 4.17 : Schématisation des flux radiatifs entre deux parois séparées par un gaz

La température du gaz peut être calculée en fonction de et en écrivant que le flux de chaleur absorbé par la couche gazeuse est égal au flux qu’elle rayonne vers les deux parois : 2 D’où : La densité de flux qui passe de la surface à la surface 1 → Soit encore : → Et :

1

s’écrit :

2

(4.31)

4.5 Exercices corrigés 4.5.1 Eclairement solaire 1. 2.

3. 4. 5.

du flux rayonné entre 0 et par un corps noir à Montrer que la fraction la température T ne dépend que du produit . par un En déduire l’expression de la fraction du flux rayonné entre et corps noir à la température . En supposant que le soleil rayonne comme un corps noir à la température de 5762 K et en ne considérant que les échanges radiatifs Terre / Soleil : Calculer la fraction de flux émise dans le domaine du rayonnement visible. Calculer l’éclairement solaire sur une surface terrestre de 1 m2 perpendiculaire au rayonnement solaire. Calculer la température moyenne de la Terre.

Données : Rayon du Soleil : 696 700 km ; Distance Terre / Soleil : 149 637 000 km.

157

Corrigé : 1. 2. 3.

4.

voir cours 2190 μm K et 4494 μm K En utilisant l’annexe A.4.2 on trouve : D’où : 56,3 9,9 46,4 %

9,9% et

56,3%



Formule de Bougouer : cos cos 1 Le Soleil suit la loi de Lambert :

On en déduit le rayonnement solaire reçu par 1m2 de surface terrestre : 5,67. 10 6,967. 10 5762 1 m 1352 → 1,499. 10 5. Le bilan thermique radiatif de la Terre s’écrit : 4 → →

On en déduit :

/

/ ,

.

4,9 °C

4.5.2 Transmission du rayonnement Une plaque de verre de 100 cm2 est utilisée pour observer le rayonnement provenant d’un four. Le facteur de transmission du verre est nul excepté dans la bande 0,2 à 3,5 m où il vaut 0,8. Le facteur d’émission est pris égal à 0,3 jusqu’à 3,5 m et 0,9 au-delà. En admettant que le four est un corps noir à 1800 °C, calculer l’énergie totale absorbée par le verre et l’énergie transmise. Corrigé : Energie absorbée : 0,3 3,5 2073 17,8 %

Pour : 0,3

0,822

0,9

0,9

,

,

7255,5 μm K on trouve : 0,178

5,67. 10

2073

0

82,2 % et

100. 10

4256 W

Energie transmise : 0,3 ,

2073

0,2

Pour : ,

,

0,8

0,822

,

,

414,6 μm K on trouve :

0

0 donc :

82,2 %

5,67. 10

8

2073

100. 10

6877 W

4.5.3 Formation de la rosée On se propose d’étudier la formation de rosée sur une toiture. On supposera que la toiture est constituée d’un matériau à température uniforme parfaitement 158

isolé sur sa face inférieure. On se place en un endroit où en moyenne sur la nuit (entre 18h et 6h) : 22 °C (humidité relative de 84%). La vitesse moyenne du vent est 25 °C et -1 de 2 m s . 1. En supposant que la toiture est à la température atmosphérique à 18h, calculer l’heure à partir de laquelle de la rosée va se former sur la surface de la toiture et la température de la toiture à 6 h dans les cas suivants : – Toiture en tôle aluminium d’épaisseur 0,6 mm recouverte de peinture blanche. – Toiture en tôle acier galvanisée oxydée d’épaisseur 0,6 mm. – Tuile rouge d’épaisseur 1 cm. 2. Dans le cas de la tôle peinte en blanc, calculer la température à 6 h du matin. Au bout de combien de temps la rosée disparaîtrait sous un éclairement solaire de 300 W m-2 avec une température constante et égale à 25 °C ? Au bout de combien de temps la toiture atteindrait-elle la température atmosphérique ? 3. Entre 12 h et 13 h, l’ensoleillement est de 800 W m-2 et la température 35 °C. Calculer dans les 3 cas la température atteinte par atmosphérique la toiture à 13 h. Vérifier les hypothèses de départ et commenter les résultats Données : Le rayonnement émis par l’atmosphère et la voûte céleste vers la surface de la terre peut se calculer par la relation : avec :

0,787

0,764 ln

Température de l’air atmosphérique (K) Température de rosée de l’air (K) Le coefficient de transfert convectif entre une surface et l’air atmosphérique est donné par : 5,7 3,8 On prendra : Acier : 7800 kg m et 480 J kg K Aluminium : 2700 kg m et 920 J kg K Tuile : 1800 kg m et 880 J kg K Corrigé : Bilan thermique de la toiture :

Où :

1.

∗

∗

Facteur d’absorption pour < 2,5m Facteur d’absorption pour > 2,5m Eclairement solaire

159

∗ ∗

1 ln

0

où : exp

2.

3.

(1) -

(2)

Application : Tôle peinte : 0,3 et 0,9 188,9 s é Tôle galvanisée : 0,35 et 0,2 pas de formation de rosée 0,7 et 0,9 2007 s Tuile rouge : é Pour la tôle peinte : 6 21,69 °C Disparition de la rosée : on applique (1) avec 21,69 °C et 22 °C , on trouve : 22,3 s : on applique (1) avec 21,69 °C et 25 °C , on trouve : 278 s La constante de temps du système est inférieure à 1 h, en appliquant (2) on trouve : Tôle peinte : 43,8 °C Tôle galvanisée : 53,1 °C Tuile rouge : 60,4 °C La tôle peinte en blanc est un matériau sélectif froid à utiliser en climat chaud. Il faudrait recalculer la valeur de pour vérifier la validité du calcul.

4.5.4 Influence du rayonnement sur les mesures de température Un thermomètre de diamètre ayant une émissivité 0,8 est utilisé pour mesurer la température d’un gaz transparent s’écoulant dans une grande conduite dont les parois sont à 250 °C. La température réelle du gaz est 500 °C. 1. Calculer la température indiquée par le thermomètre sachant que le 122 W m K . coefficient d’échange convectif est 2. Recalculer cette température si le thermomètre est recouvert de papier d’aluminium d’émissivité 0,1. 3. On considère maintenant que le thermomètre précédent est protégé contre le rayonnement par un écran cylindrique mince de diamètre 4 et de 0,3. En admettant pour , , et les mêmes facteur d’émission (coefficient de transfert par valeurs numériques qu’en a) et pour

160

convection sur chaque côté de l’écran) la valeur 114 W m-2 K-1, évaluer la nouvelle valeur de la température indiquée par le thermomètre. Corrigé : 1.

2.

3.

Bilan thermique du thermomètre : Avec 0,8 ; 500 °C ; 250 °C ; 122 W m K , on 434,5 °C soit une erreur de 65,5°C ! trouve : 0,1 ; 500 °C ; 250 °C ; 122 W m K , Avec 487,9 °C, l’erreur n’est plus que (ou encore ?) de 12,1°C. on trouve : On a intérêt à utiliser le thermomètre le plus fin possible et à avoir une vitesse d’air la plus élevée possible pour augmenter la valeur de . On a également intérêt à avoir l’émissivité la plus faible possible pour le thermomètre. Bilan

thermique

du

0

thermomètre :

(1) Bilan thermique de l’écran : 2

0

(2)

La résolution numérique du système d’équations formé par les équations (1) et (2) conduit à : 494,8 °C et 483,1 °C soit une erreur de mesure de 5,2°C. 4.5.5 Mesure de la température de l’air extérieur On utilise un thermomètre cylindrique de diamètre 5 mm pour mesurer la température de l’air extérieur. L’utilisateur le dispose à l’extérieur verticalement sans aucune protection par rapport au rayonnement solaire. La température réelle de l’air à 12 h a été mesurée égale à 25°C dans une station météorologique voisine. 1. Si le rayonnement solaire sur une surface horizontale est ∗ 700 W m à la même heure, quelle température indiquera le thermomètre dans le cas suivant : facteur d’absorption pour 0 3 μm : 0,5 et facteur d’absorption pour 3 μm : 0,9. 2. Quelle température indiquerait le thermomètre si on le recouvrait de papier d’aluminium ? 3. Le même thermomètre est installé sur une voiture qui roule à 72 km h-1. Quelle est alors la température indiquée ? Données : Le rayonnement émis par l’atmosphère et la voûte céleste vers la surface de la Terre peut se calculer par la relation : avec : 12 K 161

Où : Température de l’air atmosphérique (K) On assimilera le sol à un corps noir à la température Coefficient de convection : 115 W m K La hauteur du Soleil dans le ciel à midi est 45°. Corrigé : La densité de flux solaire reçu par le thermomètre vertical est identique à la densité de flux ∗ reçue sur un plan horizontal puisque la hauteur du Soleil est de 45°. La surface apparente du thermomètre vue par le soleil est : hauteur. On suppose le rayonnement de l’atmosphère diffus (non directionnel). Par raison de symétrie, le facteur de forme géométrique du thermomètre visà-vis du sol est identique à son facteur de forme vis-à-vis du ciel et vaut 0,5. On peut donc considérer que le thermomètre échange par rayonnement avec un corps à une température moyenne 0,5 Le bilan thermique du thermomètre s’écrit (par unité de hauteur) : ∗

On peut poser : avec : Le bilan devient :

4 ∗ ∗

On en déduit : 1. 2. 3.

Avec 0,8 , on obtient : 4,52 W m K et 29,3 °C soit une erreur de mesure de 4,3°C ! Pour l’aluminium poli on trouve en annexe 0,05 et 0,1, on obtient : 0,28 W m K et 26,3 °C soit une erreur de mesure réduite à 1,3°C. Le coefficient de transfert convectif se calcule par la relation : / donnée par l’annexe A.5.2. 1,185 2 0,005 6475 1,83. 10 Donc : 0,93 et 0,618 On trouve :

39,0 et :



,

, ,

202,9 W m

K

On en déduit pour les deux cas précédents : 25,4 °C et 25,1 °C Le coefficient serait plus élevé et donc la mesure plus précise si l’on prenait un thermomètre de plus petit diamètre du type thermocouple. 4.5.6 Emissivité apparente d’une rainure L’émissivité apparente d’une surface à température uniforme est définie comme le rapport du flux radiatif quittant la surface par le flux radiatif du corps

162

noir à la même température quittant la surface apparente (voir figure) Soit une surface entièrement constituée de rainures en V de demi-angle au sommet et d’émissivité placée dans un environnement à . 1. Calculer le facteur de forme entre la surface réelle et la surface apparente 2. 3.

Calculer le flux de chaleur perdu par rayonnement par la surface Quelle est l’émissivité apparente de la surface en fonction de et de

4.

Vérifier la cohérence du résultat si a)

1 ; b)

; c)

?

0

Surface réelle S2

Surface apparente S1

Corrigé : 1. 2.

1;



On suppose donc que est une surface noire à l’émissivité apparente), le schéma complet est le suivant :

1

1

1

(cf. définition de

Il se simplifie en tenant compte de la relation

1 et le flux échangé s’écrit :



3.

On en déduit : 4.

s’écrit :

Le flux radiatif quittant la surface noire Si 1 on trouve , on trouve Si Si 0 , on trouve grande profondeur.





1, on retrouve bien l’émissivité du corps noir ce qui est logique car alors 1, ce qui est logique car on tend vers un trou de

4.5.7 Equilibre thermique d’un satellite Un satellite (dont on supposera l’intérieur vide) en orbite terrestre est constitué d’un disque circulaire et d’une demi-sphère. Le disque reçoit suivant sa

163

normale le rayonnement solaire. L’environnement est supposé à 200 K. Les parois du satellite sont minces et ses surfaces internes ( et ) sont supposées et ) sont les suivantes : noires. Les propriétés des surfaces externes ( 0,85, 0,2, 0,5. Quelles sont les températures et des parois et ? (On négligera le rayonnement émis ou réfléchi par la Terre et on ne prendra pas en compte les échanges convectifs).

200 K

Corrigé : Bilan radiatif sur / : → → Le flux net échangé entre deux surfaces grises s’écrit selon la relation (4.26) : 1

2

1

1

1

1

1

On en déduit : et

1

1→

Avec : et D’où finalement :



Bilan radiatif sur

2→3

1

(parois minces) et

/

:

1

3→2

4

1

et

4

4

4

(1)

0

4→

4

4→

4

3→2

Avec : d’où finalement :

0 (2)

4

0,5 donc : En reportant dans (2), on obtient :

Application numérique :

1

4

4

419,3 K et

1

4

1

4

4

2

357,0 K

4.5.8 Echauffement d’une ampoule à filament Une ampoule à incandescence de puissance 164

100 W est constituée d’un

filament en tungstène assimilable à un corps noir de surface 45 mm2 dans une ampoule en verre sous vide ayant approximativement une forme sphérique de diamètre 7,5 cm. 1. Calculer la température du filament en supposant qu’elle est beaucoup plus élevée que l’environnement. 2. La température du filament est supposée être maintenant à 2500 K. Le coefficient d’absorption du verre de l’ampoule en fonction de la longueur d’onde est donné ci-dessous (la réflexion est négligeable) : 0 3 μm 3 μm 0,10 0,9

3.

L’ampoule est dans une pièce à 20 °C. Le coefficient d’échange 7,5 W m K . convectif entre le verre de l’ampoule et l’ambiance est Quelle est la température du verre de l’ampoule ? Si la température du filament augmente à puissance de l’ampoule constante, comment va varier qualitativement la température du verre ?

Corrigé : /

1. 2.

. D’où :

,

.

2501,5 K

.

3 et 2500 K, 0,8343. Si La puissance absorbée par le verre est donc : 0,8343 0,1 1 0,8343 0,9 5,67. 10 2500 24,9 W L’échange extérieur est donné par : . avec 0,9. L’émissivité du verre dans l’infrarouge est : Une première itération avec 100 °C conduit à : 7,66 W m K 0,9 5,67. 10 373 293 373 293 , D’où : 20 113,0 °C ,

3.

,

,

Cette valeur est proche de la valeur de départ (100°C) mais une deuxième itération réalisée à partir de cette valeur permettrait d’obtenir une valeur plus précise. Si la température du filament augmente, le rayonnement de la lampe va être décalé vers les courtes longueurs d’onde et la partie absorbée par le verre va donc diminuer entraînant la diminution de la température du verre.

4.5.9 Transfert de chaleur par rayonnement dans une vitrine réfrigérée On se propose d’étudier les transferts radiatifs dans une vitrine réfrigérée. On suppose que la surface réfrigérée est le fond de dimensions 1,6 m x 0,8 m dont 165

la température est maintenue à 0 °C, sa hauteur est de 0,8 m. Les parois latérales sont parfaitement isolées, la température de la face supérieure vitrée est supposée égale à 20°C. Toutes les parois seront assimilées à des corps noirs. 1. Calculer le flux net échangé par rayonnement entre le fond et la face supérieure. 2. Calculer la température des faces latérales. 3. Calculer le flux net total échangé par la surface réfrigérée. 4. Comparer cette valeur avec le flux échangé par convection naturelle si 5 W m K avec un écart de température entre la paroi et l’air de 10°C. 5. Représenter le schéma analogique équivalent si les surfaces sont grises et proposer une méthode de résolution. Corrigé : 1.

→2 →1 →2

2.

→2

→1

L’abaque ou la formule correspondante de l’annexe A.4.3 donnent 0,29 pour / 2 et / 1. 38,3 On en déduit : →2 Si on suppose que la température des faces latérales est uniforme, le bilan radiatif sur la surface des faces latérales s’écrit : 0 →3 →1 soit encore : /

Par raison de symétrie : 3.

4. 5.

166

1→

→2

, d’où :

10,53 °

→3

avec : 1 0,71 d’où : 5,67. 10 0,8 1,6 273 → 0,71 273 283,5 et finalement : 84,85 → Δ 5 10 1,6 0,8 64 → Les deux flux sont du même ordre de grandeur.

293

0,29

2

4

1

2 2 2

1

2

1 1 2

1

1 2 2 3

1

4

 0

3

3

1

1 1 1

1

1

1 1 3

4

3 3 3

est isolée donc : . On a 3 inconnues : , et que La surface l’on peut déterminer en résolvant le système obtenu en écrivant que la somme des flux est nulle en chacun des 3 nœuds. 4.5.10 Echauffement d’une paroi par rayonnement La surface externe de la paroi d’un réfrigérateur est disposée parallèlement à la paroi d’un radiateur plat dont la température est de 40°C (voir figure). La distance entre les deux surfaces est de 20 cm. La température à l’intérieur du réfrigérateur est maintenue à 8 °C. La paroi du réfrigérateur est constituée est constituée de 5 cm de polystyrène ( 0,04 W m K ) et d’une tôle métallique mince. Les surfaces externes du réfrigérateur et du radiateur sont supposées noires et isothermes, le milieu environnant est assimilé à un corps noir, le coefficient d’échange par convection est 5W m K . L’air et le milieu environnant sont à 20 °C. 1. Calculer la température d’équilibre de la surface . 2. On recouvre la surface de papier d’aluminium ( 0,1), calculer sa nouvelle température d’équilibre. Corrigé : 1.

Le bilan thermique de la surface externe

du réfrigérateur s’écrit :

ou encore :

167

en posant

4

et

il vient : : = = + Calculons Les facteurs de formes par rayonnement peuvent être calculés en utilisant l’abaque ou la formule de l’annexe A.4.3, on obtient : Avec 1,2 ; 0,6 ; 0,2 : 0,63 Avec 1,2 ; 0,4 ; 0,2 : 0,55 Avec 1,2 ; 1,0 ; 0,2 : 0,72 0,2m 0,6m

S2 = S4 U S5 1,2m S1

S4

S2 S3

S5 1m

→

d’où or donc

: : :

et finalement : Application numérique : ,

,

,

,

, ,

0,73

, ,

. ,

2.

168

,

0,10 0,63 0,27 293

313

,

, ,

.

, ,

,

0,10

0,73 308,0 K

300,2 K

27,2 °C

Si la surface externe du réfrigérateur est recouverte de papier aluminium, son bilan thermique s’écrit :

d’où : Application numérique : ,

.

, ,

, ,

.

,

, ,

293,1 K

20,0 °C

4.5.11 Refroidissement d’une théière Une théière a la forme d’un cylindre de hauteur 20 cm et de diamètre 10 cm. Elle est posée sur un support en liège d’épaisseur 2 cm que l’on considérera comme parfaitement isolant. On la remplit avec de l’eau bouillante à la température 100 °C. La température des parois de la théière sera supposée égale à 100 °C après remplissage par l’eau. La température du milieu environnant est 25 °C. L’émissivité des parois est égale à 0,8. On considérera que lors du refroidissement les températures de l’eau et de la paroi restent égales et uniformes. 1. Calculer le flux de chaleur perdu par convection naturelle juste après remplissage. 2. Calculer le coefficient d’échange équivalent par rayonnement et le flux de chaleur perdu par rayonnement juste après remplissage. 3. En supposant les coefficients de transferts constants, calculer le temps au bout duquel la température de l’eau sera égale à 50°C. 4. Vérifier la validité des hypothèses : – Pertes par le fond négligeables, – Coefficient de rayonnement constant. 5. Reprendre le calcul si la théière est réfléchissante d’émissivité 0,1. 6. Reprendre le calcul des pertes globales si les parois sont constituées de deux cylindres métalliques coaxiaux d’émissivité 0,1 pour les surfaces intérieures et de 0,8 pour la surface externe et de diamètre respectifs 0,2m et 0,21m (type vase Dewar). On a réalisé un vide poussé entre les deux cylindres qui permet d’abaisser le coefficient de convection à 0,5 W m-2 K-1. On considérera que la température de la paroi externe est peu différente de la température du milieu environnant. On justifiera cette hypothèse a posteriori. Données : Coefficient d’échange par convection entre la théière et l’air 10 W m K . ambiant : Corrigé : 1.

Flux de chaleur perdu par convection :

169

car

par

hypothèse , on obtient : 0,1 10 0,1 0,2 100 25 53,0 4 Flux de chaleur perdu par rayonnement : que l’on peut écrire sous la forme :

Avec :

2.

En définissant un coefficient

3.

de rayonnement par :

que l’on peut considérer comme constant sur des plages restreintes de température. Calculons sa valeur : 6,94 W m K 5,67. 10 0,8 373 298 373 298 Le flux de chaleur perdu par rayonnement vaut : 0,1 6,94 0,1 0,2 100 25 36,8 W 4 Ce flux est du même ordre de grandeur que le flux de convection naturelle et ne peut pas être négligé. Considérons comme système le volume d’eau contenu dans la théière. Effectuons un bilan thermique de ce système entre les instants et où la température du système a varié de , il s’écrit : Flux déstocké sous forme de chaleur sensible flux perdu par convection + rayonnement Soit : D’où : exp

Et finalement : En fixant l’origine des temps (

0) au moment du remplissage. ,

La masse d’eau est égale à : 960 0,1 1,51 kg Le temps au bout duquel la température de l’eau sera égale à 50 °C se calcule donc par : 1,51 4216 50 24 ln 16,94 0,07069 100 25

ln

5840 s

4. Hypothèse 1 : Pertes par le fond négligeables par rapport aux pertes totales

4

0,044 0,02



0,1 4

100

25

1,3

Ces pertes représentent moins de 2% des pertes totales par convection +

170

rayonnement. Cette hypothèse est tout à fait justifiée. Hypothèse 2 : Coefficient de rayonnement constant Calculons pour 50 °C : 5,44 W m K 5,67. 10 0,8 323 298 323 298 La variation de entre 50 et 100°C est de l’ordre de 20% ce qui n’est pas négligeable. Il aurait donc mieux valu effectuer les calculs avec une valeur moyenne : °

° 6,19 W m K 2 Les résultats sont légèrement modifiés et l’on obtient : 0,1 6,19 0,1 0,2 100 25 4

5.

,

ln

Et :

,

Avec une émissivité de 0,1, les résultats deviennent : 5,67. 10 0,1 373 298 373 298 ° 5,67. 10 0,1 323 298 323 298 ° Et :

,

0,78

0,1

6111 s 0,87 W m K 0,68 W m K

0,2

100 25 4,1 W 1,51 4216 50 24 ln 10,78 0,07069 100 25

ln 6.

ln

,

32,8 W

9178 s Le système peut être schématisé de la manière suivante : 2

1

2

1



3





Les deux surfaces et ont la même émissivité : . Si l’on néglige l’inertie thermique des parois supposées minces, le flux de chaleur perdu par l’eau et gagné par l’air s’écrit : →

Avec :

→

→

→

→

→

si l’on suppose que l’on a le même coefficient de convection sur la surface 171

latérale et sur la surface supérieure. 1

→

1

1

est le facteur de forme géométrique de rayonnement de vers . Où est convexe donc elle ne rayonne pas vers elle-même et La surface 0. On en déduit 1, c’est-à-dire que tout le flux émis par la surface est reçu par la surface . Donc : 1

→

De la forme : avec

→

1

→

→



→

→

4

→

De la forme : → avec : → Le bilan global s’écrit alors :

→

→

→

4 →

→

4

qui peut encore s’écrire : 1

1 4

→

→

4

→

→

On peut alors éliminer l’inconnue

en utilisant la relation mathématique

: 1

1 →

→

4

→

On peut faire un premier calcul en faisant l’hypothèse : et de 62,5 °C et en calculant les valeurs supposées constantes de → l’aide de cette valeur :

172

4

→

→

à

0,52

0,52 W m



K

5,77 W m K

→

0,5

1

1

→

100 1 0,1 4

0,1

On peut ensuite déduire

0,2

25 10

5,77

5,11 W

1 0,11 4

0,11

0,2

de la relation : →

→

On en déduit : 4 5,11 100 29,1 °C 0,1 0,5 0,52 0,1 0,2 4 Cette valeur est assez éloignée de la valeur de départ, il est donc préférable de reprendre le calcul avec une valeur initiale 29,1 °C et l’on obtient : 4,76 W et : 24,9 °C →

→

4.5.12 Etude du confort thermique On va s’intéresser aux conditions dans lesquelles une personne se sent en condition de confort thermique. On admettra pour simplifier l’étude que le confort thermique est atteint si la température d’équilibre de la peau est de 35 °C. 1. Décrire qualitativement les différents modes d’échanges thermiques entre une personne et son environnement. 2. On appelle la résistance thermique totale de ses vêtements (m2 K W-1), la température de l’air ambiant et la la température de la peau, température moyenne des parois de la pièce. On supposera que les parois sont des corps noirs. On appellera le débit d’eau évaporé à travers les pores de la peau, le coefficient de transfert par convection et le coefficient de transfert de rayonnement. Représenter les échanges thermiques entre une personne et son environnement par un schéma électrique équivalent. 3. En ne tenant compte que des échanges par conduction, convection et rayonnement, calculer la résistance de l’habillement nécessaire pour qu’une personne assise ressente une sensation de confort thermique dans une pièce à 20 °C. On considérera que : – Le corps humain présente une surface d’échange de 1,8 m2

173

4.

5.

– Les vêtements et la peau ont une émissivité de 0,9 – 5 W m K et 120 W. Une personne porte des vêtements de résistance thermique globale 0,5 m K W et est enveloppée dans une couverture de survie d’émissivité 0,1 dans l’infrarouge. En supposant que 12 °C , quelle température 90 . extérieure minimale peut-elle supporter ? On considérera Quelle quantité d’eau une personne vêtue d’une tenue d’été doit-elle évaporer par heure pour maintenir une sensation de confort thermique sous une température 35 °C si son métabolisme est de 120 W ? Chaleur latente de vaporisation de l’eau : 2500 kJ kg Données : Résistance thermique de l’habillement d’après (IIF, 1976) m K W 0 0,039 0,078 0,15 0,31

Nature du vêtement Peau nue Tenue sport : short, chemisette sandales Tenue été : pantalon léger, chemisette sandales Tenue intérieur : complet léger, chemise manches longues Tenue extérieur : tee shirt, chemise, complet, manteau

Corrigé : 1.

Les échanges thermiques entre le corps humain et son environnement s’effectuent par : – Conduction à travers les vêtements – Convection à la surface de la peau en contact direct avec l’air – Evaporation à la surface de la peau – Respiration – Rayonnement

2. 1/



1/





3.

174

0,9

5,67. 10

4

293

5,13 W m



K



120 1,8

5

20 5

5,13

20

26,6 °C

5,13 1,8

35

26,6 0,126 m K W 120 On trouve bien une valeur de résistance correspondant à une tenue d’intérieur (voir tableau ci-dessus). 4.

,

donc

,

35

25

10 °C

12

avec : d’où : 0,1

5,67. 10 5

0,57

4 10

12

5 5.

donc

et

293

0,57

,

0,57 W m K 90 0,57 1,8 2,25 °C , .

0,17 kg h

4.5.12 Capteur solaire à tubes On veut réaliser un capteur solaire dans lequel le rayonnement solaire de est capté par la face supérieure d’une plaque de largeur 2 , d’épaisseur densité et de longueur ℓ grande devant . Cette plaque est connectée à ses deux extrémités à un débit de fluide à température considérée constante qui évacue la chaleur captée. La face inférieure de la plaque est supposée parfaitement isolée. Calculer le flux de chaleur récupéré par le débit de fluide en régime permanent. 1. Donner l’expression du coefficient de transfert de chaleur par rayonnement entre la plaque et l’environnement à et en estimer la valeur. 2. En considérant indépendant de en première approximation, calculer le flux de chaleur récupéré par le débit de fluide en régime permanent. 3. Définir et calculer le rendement de ce capteur solaire Données : Plaque : 2 mm, 40 W m K , corps gris avec 0,9 , 0,1 m, ℓ 2 m. 30 °C ; 25 °C ; 800 W m ; 15 W m K 0

175

Flux solaire

0

Convection, Isolation thermique

0

0

Corrigé : 1.

2.

Pour un élément de plaque à la température , le flux net échangé par rayonnement avec l’environnement à s’écrit : Avec : En faisant l’hypothèse (à vérifier a posteriori) que la température moyenne de la plaque est de 45°C, on obtient : 6 W m K On effectue un bilan thermique sur la portion de plaque comprise entre les abscisses et selon le schéma ci-après : ℓ



0

0





On obtient :

ℓ

ℓ

avec : ℓ On en déduit :

avec :

Soit encore :

avec :

La solution générale s’écrit : 176

=



0





avec : ω 0

La condition limite

0

s’écrit :

Et on en déduit : 0 s’écrit

La condition limite



0

Soit : Et la solution générale s’écrit finalement :

0:

Le flux de chaleur récupéré par le fluide se calcule en 0

ℓ

Application numérique : 3.

48,1 °C 70,2 W ; Le rendement peut être calculé comme le rapport du flux transmis au fluide divisé part le flux solaire incident soit : 70,2 48,7 % 800 0,1 2

4.5.13 Chauffe-eau solaire capteur-stockeur On se propose d’étudier les performances d’un chauffe-eau solaire de type capteur-stockeur dans lequel le réservoir de stockage d’eau chaude est placé directement sous l’absorbeur qui en constitue la paroi supérieure. Surface absorbante Couverture transparente

e Lame d’air

Eau Isolant thermique

On retiendra les hypothèses simplificatrices suivantes (a→absorbeur, c→couverture, s→solaire, IR→Infra-rouge) : – La masse d’eau est isotherme à une température égale à celle de l’absorbeur, e = 7,5cm. – Pour l’absorbeur : 0,9. – Pour le verre : 0,95 ; 0; 0,05 0,9. 177

– Coefficient global de convection-conduction entre l’absorbeur et la couverture transparente : 3 W m K – Coefficient de convection entre la couverture et l’air extérieur : 12 W m K – Conditions météorologiques moyennes entre 9 h et 17 h : 25 °C ; ∗ 700 W m 25 °C. – Le rayonnement du ciel et de l’atmosphère est assimilable à celui d’un corps 15 °C. noir à – Pas de soutirage pendant la période d’étude. Pour les questions 1 à 3, on donnera le schéma électrique équivalent des pertes de chaleur de l’absorbeur vers l’extérieur et on calculera le coefficient de transfert équivalent à chaque résistance du circuit ainsi que le coefficient global de pertes. 1. Calculer la température de l’eau à 17 h en l’absence de couverture transparente (capteur solaire non-couvert). 2. Calculer la température de l’eau et de la couverture à 17 h avec une couverture totalement transparente vis-à-vis de toutes les longueurs d’onde. 3. On considère maintenant que la couverture transparente est une vitre de faible épaisseur. Calculer la part du flux solaire absorbé respectivement par la vitre et par la surface absorbante. Ecrire ensuite les bilans thermiques de la vitre et de la surface absorbante puis calculer la température de l’eau et de la vitre à 17 h avec une couverture en verre mince. 4. Recalculer cette température en prenant en compte les pertes conductives par le fond du capteur ( 5 cm, 0,04 W m K ) 5. En retenant la température à 17 h calculée en 4., calculer la température obtenue le lendemain à 9 h en considérant les conditions moyennes suivantes 20 °C, 10 °C et 8 W m K . entre 9 h et 17 h : 6. On place en fin de journée une plaque de polystyrène d’épaisseur 5 cm sur la vitre. En considérant l’hypothèse simplificatrice , estimer la température de l’eau le lendemain à 9 h. Conclure sur ce type de capteur et préconiser un mode d’utilisation et une épaisseur d’isolation adaptée. 7. Calculer la température limite de fonctionnement avec ∗ 1000 W m et 8 W m K . Corrigé : 1.

Le bilan thermique de l’absorbeur s’écrit : ∗

178

(1)

∗

Ou : Avec :

,

, ∗

,

∗

Avec :

,

et :

,

1

On en déduit :

2.

,

Application numérique : Avec une valeur moyenne 40 °C ( varie entre , on obtient : 5,9 W m K et : , , Le bilan thermique de l’absorbeur s’écrit : ∗

et

) pour calculer 52,3 °C.

(2)

Avec : 1

On en déduit :

avec :

Le bilan de la couverture à la température

,

s’écrit :

d’où :

3.

Application numérique : Avec une valeur moyenne 40 °C ( pour calculer , on obtient , , 32,5 °C et 62,5 °C. Le bilan thermique de l’absorbeur s’écrit : ∗

varie entre 5,9 W m K

et

)

,

(3)

Le bilan thermique de la couverture transparente s’écrit : ∗

(4)

On pose : et :

,

,

Et on fait apparaître dans les équations (3) et (4) les différences , on obtient : ∗ ∗

,

et

,

, ,

,

,

Puis par substitution : 179

,

∗

∗

,

,

,

,

,

, ,

1

,

,

,

De la forme : Avec : ,

∗

∗

,

, ,

,

,

Et :

, ,

,

1

On en déduit :

4.

,

1

,

Application numérique : Avec des valeurs moyennes 40 °C ( varie entre et ) et 30 °C pour calculer , et , , on obtient , 5,6 W m K , 5,8 W m K , 37,2 °C et 64,6 °C. , Pour tenir compte des pertes par le fond, il suffit d’ajouter un terme au bilan thermique de l’absorbeur : ∗

1

1

1 modifié en :

Les équations du 3. restent valables avec

5.

,

1

,

,

,

Application numérique : Avec des valeurs moyennes 40 °C ( varie entre et ) et 30 °C pour calculer , et , , on obtient 36,9 °C et 63,4 °C. Les bilans thermiques restent les mêmes que ceux écrits en 3 avec G* = 0 : 1

1

1

1

1

1

On aboutit à une relation de la forme : 180

Avec :

, ,

, ,

Et : On en déduit :

6.

Application numérique : Avec des valeurs moyennes 40 °C et 30 °C pour calculer , on obtient 26,1 °C et 30,7 °C. , Le bilan thermique de l’absorbeur s’écrit simplement :

,

et

2 d’où :

7.



30 °C pour calculer , et Avec des valeurs moyennes 40 °C et , on obtient 33,1 °C et 49,4 °C. , 34,9 °C et Avec 10 cm de polystyrène de part et d’autre, on obtient 57,5 °C. Il faut donc isoler avec environ 10 cm de polystyrène et prévoir un couvercle amovible pour la période nocturne. 50,5 °C et Les bilans du 4. restent les mêmes avec 0, on obtient : 107,1 °C. valeurs dont il faut tenir compte dans le choix des matériaux.

181

182

5 Transfert de chaleur par convection 5.1 Rappels sur l’analyse dimensionnelle 5.1.1 Dimensions fondamentales On peut exprimer les grandeurs physiques en fonction d’un nombre limité de dimensions fondamentales. Exemples : Vitesse : . ; viscosité dynamique : . . ; force : . . Sur ces exemples on voit que le nombre de dimensions fondamentales est de 3 : Masse , Longueur , Temps . Ces trois dimensions fondamentales ne sont pas toujours suffisantes. Pour les problèmes de transfert de chaleur, il est nécessaire d’ajouter une 4ème dimension : la température et, lorsque l’échange d’énergie entre grandeurs mécaniques et grandeurs thermiques ne sera pas mesurable, on ajoutera la quantité de chaleur qui sera considérée comme une 5ème dimension. Remarque : , homogène à un travail qui s’exprime en fonction des dimensions fondamentales , et par . . n’est pas une vraie dimension fondamentale. La méthode d’analyse dimensionnelle, qui repose sur le principe de l’homogénéité dimensionnelle des termes d’une équation, est connue sous le nom de théorème de Vaschy-Buckingam ou théorème des groupements . 5.1.2 Principe de la méthode Si 1’on peut représenter mathématiquement une loi physique en exprimant une variable physique en fonction d’un certain nombre d’autres variable ou encore ,…, physiques indépendantes , … , , c’est-à-dire si 0, le problème peut être simplifié de la manière suivante : , ,…, 183

– On écrit pour chaque variable , l’équation aux dimensions en fonction des dimensions fondamentales. On dispose alors de équations qui ont nécessité dimensions fondamentales pour caractériser toutes les grandeurs physiques. – On prélève de ces équations que l’on considère comme équations de base. Bien que le choix des équations prélevées soit arbitraire, il faut toutefois que chaque dimension fondamentale apparaisse au moins une fois sur l’ensemble des équations. Les équations aux dimensions doivent être linéairement indépendantes. – Les équations restantes se présentent alors sous forme de rapports sans dimensions appelés groupements qui sont des "grandeurs réduites". On obtient alors une équation réduite : , ,… 0 Un groupement est le rapport d’une équation dimension d’une grandeur physique n’appartenant pas à l’ensemble des équations de base au produit des équations de base, chacune d’elle étant portée à une certaine puissance : … Pour chaque dimension fondamentale , , , , figurant au dénominateur, on fait la somme des exposants que l’on identifie avec l’exposant de la même dimension figurant dans l’équation aux dimensions de la grandeur physique du numérateur. On obtient ainsi un système linéaire de p équations dont la résolution permet de déterminer les exposants des équations de base du dénominateur. Il suffit alors d’écrire le rapport en fonction des grandeurs physiques attachées aux équations dimensions de départ. 5.1.3 Exemple d’application Considérons un fluide en circulation forcée dans une canalisation cylindrique pour lequel on se propose de déterminer le coefficient de convection relatif au transfert de chaleur fluide-paroi qui correspond à une convection forcée : Tube Fluide à Tf

Vitesse Température Figure 5.1 : Schéma de la configuration étudiée

184





Détermination des grandeurs physiques : Il faut déterminer tous les paramètres dont dépend la densité de flux de chaleur (liée à par Δ ) ce sont ici : * Les caractéristiques du fluide : – coefficient de conductibilité thermique – chaleur massique – masse volumique – viscosité dynamique * Les caractéristiques de l’écoulement – vitesse moyenne du fluide * La géométrie de la surface d’échange – diamètre de la conduite * L’écart de température paroi-fluide Δ d’où : , , , , , ,Δ , 0 Equation dimension de chaque grandeur : Il faut ensuite écrire l’équation aux dimensions fondamentales chacune des grandeurs, ce qui s’écrit ici : . . : . : . . : . . : . : . : Δ : . : . Détermination des groupements

, , , ,

de

:

Il faut maintenant choisir 5 équations de base (toutes les dimensions fondamentales ont été utilisées) de façon à ce que les 5 dimensions fondamentales figurent au moins une fois dans l’ensemble des équations. Prenons par exemple : , , , , Δ , il reste , . On écrit alors les 3 rapports sans dimension correspondants à ces variables sous la forme : ;

;

Pour chaque rapport , on remplace les grandeurs physiques par leurs équations dimensions ce qui donne par exemple pour :

185

.

.

. . . . . Pour chaque dimension fondamentale, on identifie les exposants de puissance entre numérateur et dénominateur relatifs à une même dimension ce qui conduit au système : : 1 : 1 : 2 3 :0 :0 s’écrit donc

Le rapport Ce qui avec

Δ peut encore s’écrire : et

On obtient de la même manière :

Le théorème de Vaschy-Buckingam nous permet d’affirmer que la relation : , , , , , ,Δ , 0 entre 8 variables peut s’exprimer à l’aide des trois nombres sans dimension et sous la forme : 0 ou , , ,

,

Signification physique de ces groupements : –

est le nombre de Nusselt, il peut aussi s’écrire :

C’est donc le rapport de la résistance thermique de conduction par la résistance thermique de convection. Il est d’autant plus élevé que la convection est prédominante sur la conduction. Il caractérise le type de transfert de chaleur. –

, c’est l’inverse du nombre de Reynolds qui caractérise le

régime d’écoulement dans la canalisation. –

, c’est le nombre de Peclet On petit aussi 1’écrire : et faire apparaître un nouveau nombre adimensionnel :

appelé

nombre de Prandtl. Ce nombre est calculable pour un fluide donné indépendamment des conditions expérimentales (il ne dépend que de la température) et caractérise l’influence de la nature du fluide sur le transfert de chaleur par convection. On préfère donc chercher une relation sous la forme : ,

186

(5.1)

5.1 4 Avantages de l’utilisation des grandeurs réduites Ils concernent essentiellement la représentation, la comparaison et la recherche des résultats expérimentaux : – La représentation des résultats expérimentaux est simplifiée on pourra avoir une courbe reliant 2 variables ou un abaque reliant 3 variables réduites au lieu d’une relation liant (3 + ) paramètres. – La comparaison des résultats expérimentaux est aussi très rapide et aisée, quel que soit le chercheur, même si le système d’unité utilisé est différent puisque les grandeurs réduites sont sans dimension. – La recherche des résultats expérimentaux est facilitée et ordonnée : s’il suffit de tracer une courbe entre deux variables réduites, c’est qu’il suffit d’effectuer une seule série d’expériences. Remarque : Il faut toutefois bien comprendre que la méthode de l’analyse dimensionnelle qui fournit les grandeurs réduites ne donne pas la forme de la relation qui les lie, la recherche de cette relation fait l’objet du dépouillement des résultats expérimentaux. Quelques groupements sans dimensions

Nombre de Reynolds Nombre de Prandtl Nombre de Nusselt Nombre de Peclet Nombre de Margoulis Nombre de Grashof Nombre de Rayleigh 5.2 Convection sans changement d’état 5.2.1 Généralités. Définitions Les transferts de chaleur qui s’effectuent simultanément avec des transferts de masse sont dits transferts de chaleur par convection. Ce mode d’échange de chaleur existe au sein des milieux fluides dans lesquels il est généralement 187

prépondérant. Convection naturelle et forcée Selon la nature du mécanisme qui provoque le mouvement du fluide on distingue : – La convection libre ou naturelle : le fluide est mis en mouvement sous le seul effet des différences de masse volumique résultant des différences de températures sur les frontières et d’un champ de forces extérieures (la pesanteur). – La convection forcée : le mouvement du fluide est induit par une cause indépendante des différences de température (pompe, ventilateur). L’étude du transfert de chaleur par convection permet de déterminer les échanges de chaleur se produisant entre un fluide et une paroi. Régime d’écoulement Compte tenu du lien entre le transfert de masse et le transfert de chaleur, il est nécessaire de prendre en compte le régime d’écoulement. Considérons à titre d’exemple l’écoulement d’un fluide dans une conduite : En régime laminaire, l’écoulement s’effectue par couches pratiquement indépendantes. Entre deux filets fluides adjacents les échanges de chaleur s’effectuent donc : – Par conduction uniquement si l’on considère une direction normale aux filets fluides. – Par convection et conduction (négligeable) si l’on considère une direction parallèle aux filets fluides.

0 Figure 5.2 : Schématisation d’un écoulement laminaire

En régime turbulent, l’écoulement n’est pas unidirectionnel :

188



0 sous-couche laminaire



zone turbulente

Figure 5.3 : Schématisation d’un écoulement turbulent

L’échange de chaleur dans la zone turbulente s’effectue par convection et conduction dans toutes les directions. On vérifie que la conduction moléculaire est généralement négligeable par rapport à la convection et à la « diffusion turbulente » (mélange du fluide dû à l’agitation turbulente) en dehors de la souscouche laminaire. 5.2.2 Expression du flux de chaleur Analogie de Reynolds De même qu’au niveau moléculaire on explique la viscosité des gaz par la transmission des quantités de mouvement des molécules lors des chocs intermoléculaires, on explique la transmission de la chaleur par la transmission d’énergie cinétique lors de ces mêmes chocs. Cette liaison intime des phénomènes de viscosité et de transfert de chaleur conduit à l’analogie de Reynolds : dans un écoulement fluide avec transfert de chaleur, le profil des vitesses et le profil des températures sont liés par une relation de similitude schématisée sur la figure 5.4. Cette similitude sera démontrée plus loin dans le cas d’un écoulement sur une plaque plane chauffée.



0 Figure 5.4 : Représentation de l’analogie de Reynolds dans le cas d’un écoulement turbulent dans un tube

Couches limites dynamique et thermique Quel que soit le régime d’écoulement, il demeure une couche limite dynamique dans laquelle l’écoulement est laminaire et dont l’épaisseur est d’autant plus réduite

189

que le nombre de Reynolds est grand. L’épaisseur de cette couche varie en fonction de nombreux paramètres : nature du fluide, température, rugosité de la paroi,… L’analogie de Reynolds montre que le gradient thermique est particulièrement important au voisinage de la paroi, dans une couche limite thermique qui se développe de manière analogue à la couche limite dynamique. Quel que soit le régime d’écoulement du fluide, on considère que la résistance thermique est entièrement située dans cette couche limite thermique qui joue le rôle d’isolant. Ceci correspond au modèle de Prandtl représenté sur la figure 5.5 à titre d’exemple pour l’écoulement turbulent d’un fluide dans une conduite.

∞

0

Figure 5.5 : Représentation du modèle de Prandtl pour un écoulement turbulent dans une conduite

Expression du flux Quelque soit le type de convection (libre ou forcée) et quel que soit le régime d’écoulement du fluide (laminaire ou turbulent), le flux de chaleur est donné par la relation dite loi de Newton : Δ

(5.4)

Tableau 5.1 : Ordre de grandeur du coefficient de transfert de chaleur par convection

Configuration Convection naturelle Dans un gaz Dans un liquide Convection forcée Avec un gaz Avec un liquide Ebullition de l’eau Dans un récipient En écoulement dans un tube Condensation de l’eau sous 1 atm Sur une surface verticale A l’extérieur de tubes horizontaux

190

h (W m-2 K-1) 2-10 100-1000 10-200 100-5000 2500-35000 5000-100000 1000-11000 10000-25000

Le problème majeur à résoudre avant le calcul du flux de chaleur consiste à déterminer le coefficient de transfert de chaleur par convection qui dépend d’un nombre important de paramètres : caractéristiques du fluide, de l’écoulement, de la température, de la forme de la surface d’échange. On trouvera dans le tableau 5.1 l’ordre de grandeur du coefficient de transfert de chaleur par convection pour différentes configurations. 5.2.3 Calcul du flux de chaleur en convection forcée Calcul analytique Dans certains cas de figure simples, un calcul théorique peut permettre d’aboutir à une expression analytique du flux de chaleur échangé par convection entre un fluide et une paroi. Nous traiterons ici à titre d’exemple le cas classique de l’écoulement laminaire en régime permanent d’un fluide à propriétés physiques constantes à la température sur une paroi plane de longueur maintenue à une température (cf. figure 5.6). On constate que la vitesse du fluide évolue d’une valeur nulle à la paroi à une valeur proche de dans une zone d’épaisseur appelée couche limite dynamique. De la même manière, la température du fluide évolue de la valeur à la paroi à une valeur proche de dans une zone d’épaisseur Δ appelée couche limite thermique. ∞

∞

Couche limite



dynamique :   V  V

Σ









0







Figure 5.6 : Schématisation du développement d’une couche limite dynamique sur une plaque plane

L’équation de conservation de la masse s’écrit sous forme intégrale (cf. annexe A.5.1) :





.

0

Où est la normale extérieure à Σ et le volume. En régime permanent :

0. Appliquons cette relation au volume [

]

représenté sur la figure 5.6 :

191





. flux masse sortant par ab

On en déduit :



flux masse sortant par bc

flux masse sortant par cd

.



.



L’équation de conservation de la quantité de mouvement en régime permanent (Théorème d’Euler, cf. annexe A.5.1) s’écrit :







. car 0 (pas de force de volume due à un champ extérieur) Où sont les forces extérieures (par unité de surface) s’exerçant par contact sur les faces de la surface Σ délimitant le volume Λ. Appliquons cette relation au volume [ ]:

.

(par unité de largeur) Soit en projection suivant

.



.

:

.







.

.

D’où en utilisant l’équation de conservation de la masse :

.





Analysons les forces en présence suivant : – Sur [ ] s’exerce le frottement pariétal – Sur [ ] comme le profil de vitesse est uniforme, il n’y a pas de frottement – Il n’y a pas de forces de pression puisque la pression est uniforme dans l’écoulement. On peut donc écrire :

–

d’où : car



.

On en déduit :





1

(a)

On cherche a priori la vitesse sous la forme simple d’un profil parabolique : La vitesse est nulle à la paroi : 0 0 La continuité de la vitesse et du frottement à la frontière de la couche limite impose les conditions suivantes :

192

0 2

On en déduit que :

(b)

2

Et :

Les relations (a) et (b) conduisent à : Puis par intégration :

30

30

ou encore : 2

2

On en déduit l’expression du coefficient de frottement : , ,

Une analyse plus précise (équations locales et pas d’hypothèses sur la forme du profil de vitesse) conduirait à une constante de 0,664 au lieu de 0,73. Calculons maintenant le profil de température. A pression constante, la variation d’enthalpie d’un système est égale à la chaleur fournie à ce système. Fluide à

∞

’

Couche limite thermique :

’

∞



Δ ’

’





Paroi à

Figure 5.7 : Schématisation de la couche limite thermique sur une plaque plane

En appliquant ce principe à un volume (Λ) de surface (Σ) et en négligeant la dissipation visqueuse (source interne de chaleur correspondant à la dégradation de l’énergie mécanique en chaleur), il vient :



. où :

0

H

enthalpie massique du fluide vecteur densité de flux de chaleur normale extérieure à Σ volume Appliquons cette relation en régime permanent au volume [ ’ ’ ’ ’] représenté sur la figure 5.7 pour un fluide tel que (la pression est 193

supposée constante). La densité de flux de chaleur conductif est nulle sur la surface [ ’ ’] puisqu’à l’extérieur de la couche limite thermique la température est uniforme et vaut . D’autre part, on néglige le flux de chaleur longitudinal (suivant ) devant le flux de chaleur transversal (suivant ), la température variant beaucoup plus rapidement dans la direction que dans la direction (hypothèse de couche limite). Il vient alors :

0

est la densité de flux de chaleur échangé à la paroi

où

(positive si entrant dans le volume [ ’ ’ ’ ’]). En appliquant la conservation de la masse au volume [ ’ ’ ’ ’], il vient :



.

0

d’où : Δ

soit :

1

(c)

On cherche a priori la température sous la forme :

La continuité de la température et du flux de chaleur impose les conditions suivantes : 0 1 0 2

On en déduit que :

(d)

2

Et :

Les relations (c) et (d) permettent d’écrire : Δ On se place dans le cas où Δ

2

1

Δ

2

et on suppose que

La relation précédente devient alors : Δ Puis après intégration :

194

Δ

où

Δ 1 reste constant

Par ailleurs : est donc solution de l’équation :

(e)



Dans le cas 1, la solution de l’équation (e) est 1, les couches limites dynamique et thermique ont la même épaisseur et il y a analogie complète entre les transferts de chaleur et de quantité de mouvement. C’est le cas des gaz pour lesquels 1. Le cas 1 correspond au cas 1, c’est le cas de l’eau par exemple (

7). Une solution approchée de l’équation (e) est alors : La densité de flux de chaleur à la paroi s’écrit : 2 Et :

0,36



0,332

Un calcul plus précis conduirait à :



entre 0 et Le flux global s’obtient par intégration de déduit le nombre de Nusselt moyen sur la surface de longueur : 0,664







(5.5) et on en

(5.6)

Calcul approché Dans les cas plus complexes où une solution analytique ne peut pas être établie, on utilise des corrélations déduites d’expérimentations. L’application de l’analyse dimensionnelle montre que la relation liant le flux de chaleur transféré par convection aux variables dont il dépend peut être recherchée sous la forme d’une relation entre trois nombres adimensionnels : , Définis par :

(5.7)

Nombre de Reynolds Nombre de Prandtl Nombre de Nusselt

où D est la dimension caractéristique de la géométrie considérée qui sera par exemple le diamètre hydraulique

é

è

pour un écoulement

dans un conduit (égal au diamètre intérieur pour un conduit cylindrique), le diamètre extérieur pour un écoulement extérieur perpendiculaire à un tube, la 195

longueur pour un écoulement à surface libre sur une plaque. Le calcul d’un flux de chaleur transmis par convection forcée s’effectue donc de la manière suivante : 1. Calcul des nombres adimensionnels de Reynolds et de Prandtl. 2. Suivant la valeur de et la configuration  choix de la corrélation (fonction dans la relation 5.7). 3. Calcul de par application de cette corrélation. et de

4. Calcul de

.

Pour la convection forcée, les principales corrélations sont données en annexe A.5.2. Les propriétés du fluide , , , sont calculées à une

température moyenne dite température de film :

5.2.4 Calcul du flux de chaleur en convection naturelle Mécanisme de la convection naturelle Considérons un fluide au repos en contact avec une paroi plane à Δ , le fluide au température . Si l’on porte la paroi à une température contact de la paroi va s’échauffer par conduction et la masse du volume unité va passer de à Δ : Fluide à

0, 0

Fluide à

0, 0

Δ

1

0



0

Δ

1



0

Figure 5.8 : Représentation du mécanisme de convection naturelle

Il sera donc soumis à une force ascensionnelle Δ . Le principe fondamental de la dynamique permet d’évaluer l’accélération du fluide : Pour un volume unité :

d’où : Δ

et

En introduisant le coefficient de dilatation cubique

du fluide défini par :

, il vient : Δ Δ est donc le module de l’accélération produite par l’expansion thermique due à la variation Δ de la température . Ce mouvement du fluide induit par les différences de masse volumique résultantes des gradients de

196

température va donner naissance aux courants de convection. Dans le cas d’un transfert de chaleur par convection naturelle le long d’une plaque plane, le coefficient de convection dépend des caractéristiques du fluide : , , , , , , de la paroi caractérisée par la longueur et de l’écart de température Δ , ce que l’on peut traduire par une relation du type : , , , , , , ,Δ Dans le système , , , , , cette relation entre 8 grandeurs se réduit à une relation entre trois nombres adimensionnels : ,

(5.8)

Définis par : Nombre de Grashof Nombre de Prandtl Nombre de Nusselt Signification physique du nombre de Grashof Lorsque la masse unité du fluide, soumise à l’accélération variation d’altitude , la conservation de l’énergie permet d’écrire :

Δ

subit une Δ

représente la variation d’énergie cinétique et Δ la variation d’énergie potentielle. On voit donc que le nombre de Grashof peut se mettre sous la forme : 1 2 Il est donc proportionnel au carré d’un nombre de Reynolds caractérisant l’écoulement. En pratique, en convection naturelle, le courant qui prend naissance reste laminaire jusqu’à ce que le nombre de Grashof atteigne une valeur d’environ 109. Calcul du flux de chaleur en convection naturelle L’application de l’analyse dimensionnelle montre que la relation liant le flux de chaleur transféré par convection aux variables dont il dépend peut être recherchée sous la forme d’une relation entre trois nombres adimensionnels : , . Le calcul d’un flux de chaleur transmis par convection naturelle s’effectue donc de la manière suivante : 1. Calcul des nombres adimensionnels de Grashof et de Prandtl. 2. Suivant la valeur de et configuration  choix de la corrélation. 197

3. Calcul de

par application de cette corrélation.

4. Calcul de

et de

.

Pour la convection naturelle, les principales corrélations sont données en annexe A.5.3. Les propriétés du fluide , , , sont calculées à la température moyenne de film comme en convection forcée. 5.3 Convection avec changement d’état 5.3.1 Condensation Phénomènes physiques Les échanges de chaleur entre une vapeur se condensant sur une paroi et la paroi proprement dite sont liés aux types de condensation qui dépendent essentiellement des interactions liquide-paroi. Si le liquide ne mouille pas la surface, il se forme alors en certains points des gouttelettes de liquide qui ruissellent le long de la paroi. Ce type de condensation ne peut s’observer que si la paroi a une surface lisse et propre. Dans le cas d’une condensation en gouttes, le liquide qui ne forme pas un film continu sur la paroi offre une résistance thermique négligeable. Cependant, le type de condensation que l’on rencontre généralement dans la pratique est la condensation en film : la paroi est isolée de la vapeur par un film continu de liquide qui joue le rôle d’isolant thermique entre la paroi et la vapeur et fait chuter la valeur du coefficient de transfert de chaleur par convection par rapport à la condensation en gouttes. Valeur du coefficient

pour la condensation en film

La théorie de Nusselt, établie en 1916, relie analytiquement le coefficient de transfert aux divers paramètres physiques intervenant dans la condensation en film d’un fluide sur une paroi : Paroi verticale Hypothèses : – Ecoulement laminaire du film. – Température de paroi constante. – Gradient de température constant dans le film. – Grand rayon de courbure du film de condensat.

198

0







Film de condensat

Figure 5.9 : Schématisation de la condensation sur une paroi verticale

On notera la température de saturation (rosée) de la vapeur et (< ) la température maintenue constante de la paroi verticale. Les forces s’exerçant sur le système constitué du liquide d’épaisseur compris entre et et de longueur unité suivant (surface grise) sont : – La force de pesanteur : – La force due à la vapeur d’eau déplacée : – La force de frottement visqueux :

(hypothèse du fluide newtonien)

Le bilan des forces s’écrit : En intégrant l’équation précédente entre limite 0 en 0, on obtient :

0 et

1 2 Le débit massique de liquide condensé à une hauteur suivant ) est donné par : 1 2

avec la condition

(par unité de longueur

3

Le flux de chaleur cédé par le condensat à la paroi sur la hauteur

s’écrit :

199

Entre les hauteurs et , l’épaisseur du film de liquide passe de à du fait de la condensation sur la hauteur . La quantité de vapeur condensée entre et s’écrit : 3 3 Le flux de chaleur cédé par le condensat à la paroi doit être égal à la chaleur latente de condensation libérée par la quantité de vapeur calculée ci-dessus soit :

L’intégration de cette équation avec la condition limite conduit à :

0 en

0

4 Δ Le coefficient de transfert de chaleur local (en ) par convection vérifie :

D’où : Soit :



Le coefficient de transfert moyen sur la hauteur

s’obtient en intégrant le coefficient local

de la surface condensante : 2√2 3

Soit finalement :

Δ

(5.9)

Δ

Avec : Δ chaleur latente de condensation (J kg-1) Δ différence entre la température de rosée de la vapeur et la température de la paroi (K) hauteur de la paroi (m) Condition de validité : 2100 Considérons par exemple le cas d’un tube vertical de diamètre extérieur . Soient : débit massique de condensat : section de passage du film liquide On définit le diamètre hydraulique du film par : 4

é

è

4

d’où

La condition de validité s’écrit donc dans ce cas : 200

4 2100

Remarque : Les grandeurs physiques relatives au liquide sont évaluées à la température du film définie par la formule de Drew : Tube horizontal Une valeur moyenne de peut être calculée par :

pour un tube horizontal de diamètre extérieur

0,725

Δ

(5.10)

Δ 2100

Avec la condition de validité :

Comparaison entre tube horizontal et vertical Si l’on note

la longueur du tube vertical et

le diamètre extérieur du

tube horizontal, le rapport des deux expressions de

conduit à :

0,769 si 2,86 ce qui est pratiquement toujours le cas. Dans D’où les mêmes conditions de température, le coefficient de transfert est plus élevé sur un tube horizontal que sur un tube vertical. Dans le cas des condenseurs à faisceaux tubulaires, les tubes n’étant pas tous dans un même plan horizontal, le liquide tombant d’un tube va « épaissir » le film qui existe sur le tube situé en-dessous de lui de sorte que le coefficient de transfert de chaleur h est moins élevé sur les tubes inférieurs. En tenant compte du recyclage du condensat sur les tubes inférieurs, Nusselt a proposé la relation suivante pour calculer la valeur moyenne de pour un ensemble de tubes situés dans un même plan vertical :

0,725

Δ

Δ

(5.11)

L’expérience a montré que cette formule théorique donne des valeurs de inférieures à celles déterminées expérimentalement et qu’il convient de multiplier la valeur de donné par la formule (5.9) par un facteur correctif selon la formule suivante :

201

é

1

0,2

1

Δ Δ

(5.12)

5.3.2 Ebullition Formation des gouttelettes et des bulles La pression d’équilibre d’une gouttelette de liquide de rayon est de la forme : 2

dans sa vapeur

où est la tension superficielle du liquide, cf. figure 5.10. Si → 0 alors → ∞, donc une gouttelette ne pourrait théoriquement pas prendre naissance dans une vapeur qui est un milieu continu. Lors du refroidissement d’une vapeur à pression constante, la condensation va donc être initiée sur des « germes » de très petits diamètres (poussières en suspension dans l’atmosphère par exemple) à . Le une température inférieure à la température de saturation développement de la condensation va ensuite avoir pour effet d’augmenter la taille . des gouttelettes et diminuer l’écart entre et De manière analogue, lorsque l’on chauffe un liquide, on suppose que sur les parois chaudes sur lesquelles se produit l’ébullition se trouvent des discontinuités (petites cavités contenant de l’air) qui servent de “germes” favorisant la naissance de bulles de petit diamètre à une température supérieure à la température de saturation . Le développement de l’ébullition va ensuite avoir pour effet d’augmenter la taille des bulles et diminuer l’écart entre et .

Liquide

Courbe d’équilibre d’une gouttelette de liquide de rayon rg

Courbe d’équilibre d’une surface plane de liquide

Vapeur 2 Courbe d’équilibre d’une bulle de vapeur de rayon rb Sous-refroidissement

Surchauffe

Figure 5.10 : Diagramme général d’équilibre liquide-vapeur

202

T

Les différents régimes d’ébullition Les variations du coefficient de transfert de chaleur en fonction de l’écart de température , où est la température de la paroi chauffée, présentent la même allure pour un grand nombre de liquides, elles sont représentées par le graphe de Nukiyama (cf. figure 5.11). Zone AB , il n’y a pas encore naissance de bulles. L’échange paroiBien que liquide s’effectue par convection naturelle et obéit à la loi de Newton : , se calculant par les corrélations concernant la convection naturelle (cf. annexe A.5.2). Une évaporation se produit sur la surface plane et libre du liquide en contact avec l’air.





0 Figure 5.11 : Représentation schématique du graphe de Nukiyama

Zone BC Les bulles montent en colonne à partir de points isolés de la paroi : les « sites » avec une fréquence de l’ordre de 100 par seconde. Ensuite les bulles deviennent de plus en plus nombreuses et isolent presque totalement la paroi par une couche de vapeur presque continue. L’évacuation de la chaleur s’effectue principalement sous forme de chaleur latente de vaporisation. C’est la zone d’ébullition nucléée. La densité de flux de chaleur transférée dans cette zone peut être calculée par la formule suivante (Rosenhow, 1985) : ,

Δ Δ



μΔ

(5.13)

203

Où : Δ Δ

Capacité thermique du liquide Ecart de température Chaleur latente de vaporisation Nombre de Prandtl du liquide à saturation Tension superficielle (valeur pour l’eau dans le tableau

5.2) Accélération de la pesanteur Masse volumique du liquide Masse volumique de la vapeur Constante déterminée expérimentalement (cf. valeurs dans le tableau 5.3) 1 pour l’eau, 1,7 pour les autres liquides Tableau 5.2 : Valeur de la tension superficielle Température saturation °C 0 15,6 37,8 60 93,3 100 160 226,7 293,3 360 374,1

Tableau 5.3 : Valeurs de la constante chauffante (d’après Holman, 1990) Configuration Eau-Cuivre Eau-Platine Eau-Laiton Eau-Cuivre poli à l’émeri Eau-Acier inox poli Tetrachlorure de carbone-Cuivre Tetrachlorure de carbone-Cuivre poli

Point C

204

0,013 0,013 0,006 0,0128 0,0080 0,013 0,007

pour l’eau (d’après Holman, 1990)

Tension superficielle 10-3 N m-1 75,6 73,3 69,8 66,0 60,1 58,8 46,1 32,0 16,2 1,46 0

pour diverses configurations fluide/surface

Benzènze-Chrome Alcool éthylique-Chrome n-Pentane-Chrome n-Pentane-Cuivre poli à l’émeri n-Pentane-Nickel poli à l’émeri Alcool isopropylique-Cuivre Acool n-Butyl-Cuivre

0,010 0,027 0,015 0,0154 0,0127 0,00225 0,00305

La couche de vapeur isole totalement la paroi du liquide et la chaleur ne peut plus se transmettre que par l’intermédiaire de la vapeur de très faible conductivité thermique. L’augmentation brutale de la résistance thermique va provoquer une brusque augmentation de la température de la paroi chauffante jusqu’à un niveau qui va permettre d’évacuer le flux fourni à la paroi à la fois par conductionconvection et par rayonnement. On passe ainsi brusquement du point au point dont la température dépasse largement 1000°C, on a fusion de la paroi dans la plupart des cas, c’est pourquoi le point est appelé point de burn-out. La détermination du point de burn-out est capitale dans l’étude de l’ébullition pour d’évidentes raisons de sécurité. La corrélation la plus utilisée pour déterminer cette densité de flux de burn-out est la suivante (Zuber, 1958) :

24

Δ

1

(5.14)

Zone CD Zone instable. Zone DE Zone d’ébullition pelliculaire dans laquelle le transfert de chaleur de la paroi vers le liquide s’effectue par conduction et par rayonnement à travers la couche continue de vapeur. Les coefficients de transfert de chaleur peuvent se calculer par (Bromley, 1950) :

Conduction :

Où

0,62

Δ

Δ

0,4

Δ

(5.15)

est le diamètre du tube chauffant.

Rayonnement :

(5.16)

Global :

(5.17)

La relation empirique (5.17) nécessite l’utilisation d’une méthode itérative pour calculer le coefficient global . 205

Intérêt du transfert de chaleur par ébullition Outre dans les générateurs de vapeur d’eau largement utilisés dans les industries agro-alimentaires et textiles, ce type de transfert est utilisé pour l’extraction de très importantes puissances calorifiques à partir de surfaces très réduites (refroidissement de cœurs de réacteurs nucléaires, de moteurs de fusée) du fait des valeurs élevées des coefficients de transfert, de l’ordre de 100 000 W m-2 K-1. 5.4 EXERCICES CORRIGES 5.4.1 Convection forcée dans et autour d’un tube 14 W m K , de diamètre Une conduite en acier inoxydable intérieur 30 et de diamètre extérieur 40 est parcourue par un -1 écoulement d’eau à la vitesse moyenne de 3 m s et à la température 70 °C. Sa paroi interne est recouverte d’un mince dépôt ( 0,5 ) de matière dont la conductivité est é ô 0,06 W m K . A l’extérieur de la couche d’acier circule normalement à la conduite un écoulement d’air à la vitesse de 8 m s-1 et à la température 15 °C. 1. Calculer les coefficients d’échange intérieur et extérieur à l’aide des corrélations classiques. 2. Calculer chaque résistance thermique entre le liquide et l’air et donner le schéma électrique équivalent. 3. Calculer la température sur la partie externe du dépôt et sur les parois interne et externe du tube d’acier. Données : Pour l’air : 0,026 W m K ; 1,57. 10 m . s ; 0,7 0,048. 10 m s ; 3 Pour l’eau : 0,65 W m K ; Corrigé : 1. 2 30 2 0,5 29 mm , 181250 , l’écoulement est turbulent ,

0,023

206

,

.

,

0,023 181250 , 3 , 214,62 0,65 514,62 11534 W m K 0,029 8 0,04 20382 1,57. 10 0,193 20383 , 0,7 78,89 0,026 78,89 51,3 W m K 0,04











 1 2

2

2

2. ,

2

, ,

1 51,3

,

70

2206

m ;

0,0899 K W

0,00327 K W

1

3.

0,00095 K W

0,03 0,029 2 0,06

é ô

1 2

m

m ;

0,1552 K W 0,04 0,2493 K W m

m

220,6 W m 70

2206 0,00095 69,8 °C 70 2206 0,00095 0,0899 0,00095

0,0899

0,00327

50,0 °C

49,2 °C

5.4.2 Ecoulement d’eau dans un tube chauffant 20 ° à 90 °C lors de Un débit d’eau de 10 kg mn-1 est chauffé de son passage dans un tube de diamètre intérieur 20 mm et de longueur 3 m. Le tube est équipé d’une résistance chauffante qui produit un flux de chaleur uniforme sur toute sa surface. On considère dans un premier temps que la surface extérieure du tube est parfaitement isolée. 1. Calculer la puissance dissipée par la résistance et le flux de chaleur par unité de longueur de tube 2. Calculer le coefficient de transfert de chaleur par convection entre l’eau et la paroi interne du tube. 3. Montrer que l’écart de température Δ entre la paroi interne du tube et l’eau est constant et calculer la température du tube à son extrémité du côté de la sortie de l’eau. On ne néglige plus dans ce qui suit les déperditions thermiques extérieures par convection et par rayonnement. Le tube en cuivre a une épaisseur 2 mm, une conductivité thermique 400 W m K et une émissivité 0,9. Il est disposé horizontalement dans de l’air à 20 °C. 4. Calculer les coefficients de transferts par convection naturelle 207

5.

6. 7.

(l’écoulement est laminaire) et par rayonnement sur la paroi extérieure du tube. On calculera ces valeurs à l’entrée et à la sortie du tube. Calculer la température de sortie de l’eau si l’on maintient le flux de chaleur à la valeur calculée en 1. On pourra considérer des valeurs moyennes de et de pour effectuer ce calcul. Calculer la température de la surface externe du tube à son extrémité du côté de la sortie de l’eau. Comparer avec la valeur initiale de 90°C (tube parfaitement isolé) et montrer que ce résultat était prévisible. 993 kg m ; 6,83. 10 kg m s ; Données pour l’eau : 4174 J kg K ; 0,63 W m K .

Corrigé : ∆

1.

4174

70

48697 W

16232 W. m 2. 10 60 , ,

993 ,

.

0,023

,



15558 ; ,



0,534 m s

0,01

, ,

.

,

4,519 ,

=0,023 15558 4,519 94,9 0,63 94,9 2989 W m K 0,02 ∆ donc si est constant alors ∆ est constant 16232 ∆ 86,4 °C 2989 0,02 90 86,4 176,4 °C

3.



4.

1,32 A l’entrée : A la sortie :

208

,

1,32 1,32

,

, ,

, ,

10,45 W m K ,

12,12 W m K

A l’entrée : 5,67. 10

0,9

293

86,4 293 293 7,88 W m K

86,4

293

A la sortie : 5,67. 10

0,9

363

86,4 293 363 10,9 W m K

86,4

293

5.

Valeurs moyennes : 11,3 W m K et 9,4 W m K 20,5 W m K Soit : La résistance thermique du tube en cuivre ( 400 W m K ) est négligeable devant la résistance thermique équivalente (convection et rayonnement en parallèle) entre le tube et l’extérieur donc on négligera la différence de température entre la surface interne et la surface externe du tube et on appellera la température du tube. Bilans entre et : Sur la portion de fluide : Sur le morceau de tube : Soit encore : On en déduit : Où :











1









89,3 °C cette valeur est très proche de la valeur obtenue On trouve : avec un tube parfaitement isolé (90 °C). Ce résultat était prévisible car ≫ . 5.4.3 Refroidissement de l’air dans un conduit Un haut-fourneau est soufflé avec un air chaud à la température 1092 K. L’air chaud circule à la vitesse 34,7 m s dans une conduite d’alimentation horizontale de diamètre intérieur 1,4 m avant de se répartir dans les tuyères du haut-fourneau. 1. Calculer le coefficient d’échange entre l’air et la paroi intérieure de la conduite. On justifiera a posteriori le choix de la température retenue pour le calcul des propriétés de l’air. 2. Les parois de la conduite sont constituées en partant de l’intérieur vers l’extérieur : – D’un rouleau de briques réfractaires d’épaisseur 0,2 m, – D’un rouleau de briques isolantes d’épaisseur 0,2 m, – D’une tôle mince en acier. A l’extérieur : d’une part la tôle échange de la chaleur par rayonnement avec un environnement à une température moyenne de 20 °C et d’autre part elle échange de la chaleur par convection naturelle. Donner le schéma électrique équivalent. 3. Montrer que l’écoulement par convection naturelle à l’extérieur du tube est

209

4. 5. 6. 7.

turbulent et choisir une corrélation simplifiée pour calculer le coefficient de transfert par convection he conv. Donner l’expression littérale de la résistance thermique globale entre l’air chaud et l’extérieur. Ecrire le système d’équations à résoudre et proposer une méthode de résolution simplifiée en calculant les propriétés de l’air extérieur à 293 K. Calculer le flux de chaleur et les températures aux interfaces. Les hypothèses pour le calcul des propriétés thermiques de l’air étaient-elles justifiées ? Calculer la chute de température pour 10 m de conduite. Données : Air à 1092 K et 3.105 Pa : 1165 J kg K , 0,0675 W m K , 0,97 kg m , 4,4. 10 kg m s Air à 293 K et 105 Pa : 1000 J kg K , 0,0256 W m K , 1,205 kg m , 1,8. 10 kg m s Briques réfractaires : 1,28 W m K ; Briques isolantes : 0,35 W m K

Corrigé : ,

1.

,

,

1,071. 10

, .

1165 4,4. 10 0,759 0,0675 , , 0,023 1412 0,675 1412 1,4

68,1 W m K 5

1

1

2

2

3

4

3

4 6

,

,

,

1,6. 10

2.

On a :

3.

10 , l’écoulement est turbulent et on peut retenir : (cf. annexe A(5.3) Les résistances s’écrivent :

, .

; 210

;

;

;

en prenant 1,24 Δ

;

1 2 1,24

et

avec : 4.





5. Méthode de résolution proposée : – On fixe 50 , , et  – On calcule – On recalcule par – On reprend le calcul avec cette valeur de jusqu’à convergence. La tôle d’acier étant mince et de conductivité thermique élevée on a négligé sa résistance thermique. On trouve que 2 itérations sont suffisantes et on aboutit à : 1072,5 K, 890,3 K et : 358,3 K ce qui valide l’hypothèse . On obtient bien 6. Le bilan thermique sur l’air entre et s’écrit : 0

On en déduit : 293

1092

293

,

,

,

,

1091,0 K 5.4.4 Echauffement de l’air dans un capteur solaire De l’air circule un capteur solaire ayant la forme d’un un conduit rectangulaire de largeur 1 m, de hauteur 10 cm et de longueur 6 m. La vitesse de l’air est de 2 m s-1, sa température d’entrée de 30°C.

Couverture transparente Isolant

Fluide entrant à 30°C

Isolant

Paroi absorbante / rayonnement solaire Tp = 50 °C

211

1. 2.

3.

Calculer le coefficient de transfert par convection entre l’air et les parois inférieure et supérieure du conduit. Le conduit est dans un caisson isolé surmonté d’une vitre ce qui permet de maintenir la paroi supérieure à une température de 50 °C supposée uniforme et constante en période d’ensoleillement. Calculer la température de l’air et du fond à la sortie du capteur si l’on néglige les échanges avec les Reprendre le calcul si la hauteur du conduit est ramenée à 4 cm à débit constant. Cette solution ne présente-t-elle que des avantages ?

Corrigé : ,

1. 2.

0,1818 m

, ,



,

,

22676

.

0,7



,

0,023

,

0,023 22676 , 0,7 , 60,84 0,026 60,84 8,70 W m K 0,1818

3.

T



Le bilan thermique sur l’air entre

et

Le bilan du fond du capteur s’écrit : Avec :

,

s écrit : ℓ ℓ

,

ℓ ,

d’où :

,

en reportant dans le bilan sur l’air on obtient : 2 , ℓ , ℓ

Soit en intégrant :

, ,

En particulier : 2 ,

212

,

308,3

35,2 °C

Et :

, ,

314,4

41,3 °

Remarque : Il faut se donner une valeur de départ pour calculer 4.

,

La faible élévation de température est due à la faible valeur de . Si l’on considère une hauteur de 4 cm et une vitesse de 5 m.s-1, on obtient : 41,6 ° 21,5 , 39,5 ° et Soit une augmentation de la température du fluide de 9,5 °C au lieu de 5,2 °C dans le premier cas. Ce gain en terme de rendement thermique se paie en augmentation des pertes de charges.

5.4.5 Isolation perméodynamique d’une maison Considérons une maison de surface au sol carrée de côté et de hauteur . Les murs verticaux extérieurs sont constitués de parois perméables à l’air d’épaisseur et de conductivité thermique . Pour obtenir une bonne qualité d’air dans la maison, il est nécessaire de renouveler l’air ambiant. De manière à diminuer les pertes thermiques au travers des parois, on envisage de rejeter le volume d’air usé vers l’extérieur au travers des murs. L’objet de l’exercice est d’évaluer, sous des hypothèses très simples, le bénéfice que l’on peut retirer d’une telle isolation dite perméodynamique. 1. Si désigne la vitesse de l’air par unité de surface de paroi, écrire en régime permanent l’équation de convection-diffusion décrivant le champ de température au travers de la paroi (l’air et le mur sont localement à la même température). 2. Résoudre l’équation précédente en admettant que la température de paroi est ) et à l’extérieur (en , ) de imposée à l’intérieur (en 0,

3.

4.

la maison. Examiner les cas où le nombre de Péclet : tend vers 0 ou l’infini. , calculer la puissance de chauffe nécessaire au Dans le cas où maintien de la température intérieure à en distinguant les contributions dues au renouvellement d’air et aux pertes thermiques à travers les parois dans les deux cas suivants : – Si l’air usé est rejeté à l’extérieur à travers les parois verticales, – Si l’air usé est rejeté directement à l’extérieur. On supposera dans les deux cas que l’air neuf (remplaçant l’air usé extrait) est admis à la température et que les pertes par le plancher et par le plafond sont négligeables. Quel gain en chauffage peut-on attendre de l’isolation perméodynamique en la comparant au cas où l’air est rejeté directement à l’extérieur ?

213

Application numérique : pour l’air 1200 J m K ; pour la paroi : 0,5 W m K et 0,25 m ; on considérera un renouvellement du volume d’air toutes les heures ; pour la maison : 14,4 m ; 2,5 m. Corrigé : 1.

L’équation de transport convectif au travers de la paroi s’écrit 0

2.

La solution est élémentaire :

avec Si

3.

→ 0,

→ (conduction pure).

sauf dans une fine couche Si → ∞, la température est égale partout à limite au voisinage de afin de satisfaire la condition à la limite en . Calcul de la puissance de chauffe nécessaire avec isolation perméodynamique : 1 1 1 Calcul de la puissance de chauffe nécessaire avec extraction directe :

1 4.

Application numérique : Le débit d’air est :

d’air toute les heures) Le débit traverse la surface totale D’où :

214

3600 s (renouvellement d’un volume

avec 4

10 m s

1200

1

10 0,5 1

1

0,25

0,6

17 %

5.4.6 Convection dans une cheminée On considère un conduit de cheminée vertical à l’intérieur duquel entrent des fumées à la température de 400°C. Le conduit est un cylindre en acier de diamètre intérieur 30 cm, d’épaisseur 0,5 mm et de hauteur 3 m, son émissivité est égale à 0,9. Sa surface extérieure est en contact avec de l’air à température de 30°C constante et égale à celle du milieu environnant. La vitesse de circulation des fumées à l’intérieur du tube est de 3 m s-1. L’émissivité des parois du conduit est égale à 0,9. On considérera que les fumées ont les mêmes propriétés thermiques que l’air. 1. Donner un ordre de grandeur du coefficient global de transfert entre l’air et les fumées et en déduire une valeur approchée de la température de sortie des fumées. 2. Calculer le coefficient de transfert de chaleur interne 3. Calculer le coefficient global (convection + rayonnement) de chaleur externe. 4. Calculer le coefficient global d’échange entre les fumées et l’air. 5. Calculer la température de sortie des fumées. Corrigé : 1. On supposera dans un premier temps que 10 W m K . On suppose que 2 et que la résistance de conduction du conduit est négligeable devant les résistances de convection. Le débit de fumées est : 0,616 3 0,15 0,131 kg s 136,5 J K s Le débit calorifique est : L’air est à température constante ce qui correspond à un débit infini si l’on 0

écrit le bilan global de l’échangeur donc : D’où :



, ,

Les formules donnent :

0,21

1

0,19

Or : On en déduit : 2.

330 °C

La température moyenne des fumées est : La température moyenne du conduit vérifie :

365 °C

215

2 D’où :

365



30

250 °C 300 °C

La température de film interne est égale à :

3.

Calcul de : 0,616 kg m ; 1045 J kg K ; 0,68 2,93. 10 Pa s ; 0,616 3 0,03 1892 2,93. 10 , , 8,57 0,023 0,0450 8,57 12,9 W m K 0,03 La température de film externe est égale à :

0,045 W m K

;

140 °C

0,854 kg m ; 1016 J kg K ; 0,0345 W m K ; 2,34. 10 Pa s ; 0,69 5,67. 10 0,9 580 303 580 303 19,3 W m K Δ 9,81 250 30 0,854 3 5,35. 10 383 2,34. 10 5,35. 10 0,68 3,64. 10 On en déduit : 1,24 Δ 1,24 220 , 7,5 W m K 4. 5.

,



, ,

,

,

d’où :

8,5 W m K 365 °C

La température moyenne des fumées est de l’ordre de :

0,553 kg m ; 1050 J kg K Le débit de fumées est : 0,553 3 0,15 0,117 kg s 0,117 1050 122,9 J K s Le débit calorifique est : L’air est à température constante, le bilan thermique de la masse de fumée comprise entre D’où : On en déduit :

et



s’écrit donc : exp 338,2 °C





5.4.7 Convection naturelle dans un double vitrage On considère l’écoulement de convection naturelle permanent établi entre deux plaques parallèles verticales infiniment longues distantes d’une épaisseur 2 à températures respectives et .

216





0



Le dispositif est arrangé de telle manière que le débit volumique moyen de fluide au travers d’une section ( ) soit nul. Le fluide est newtonien de viscosité dynamique , de conductivité thermique et de chaleur massique constante. On admet que sa masse volumique ne dépend que de la température

et s’écrit au voisinage de

1

:

avec :

1 Préliminaires 1.1 Décrire physiquement l’écoulement 1.2 Que vaut dans le cas d’un gaz parfait ? 2 Equations de conservation 2.1 Ecrire l’équation de conservation de la masse en supposant a priori l’écoulement en évolution isovolume 2.2 Ecrire de manière générale les équations du mouvement 2.3 Ecrire l’équation de conservation de l’énergie en négligeant le terme de dissipation visqueuse et le terme lié aux variations spatiales de pression. 2.4 Comment se simplifient ici les équations précédentes du fait en particulier que l’écoulement et le champ de température sont permanents et établis en ? 3 Résolution du champ thermique 3.1 Résoudre l’équation de l’énergie et donner l’expression du champ de température entre les plaques 3.2 Que vaut le nombre de Nusselt caractérisant l’échange thermique entre les deux plaques en utilisant le demi-espacement entre les plaques comme longueur caractéristique ? 4.3 L’hypothèse du 2.1 est-elle vérifiée ? 4 Résolution du champ dynamique 217

4.1 En appliquant les résultats du paragraphe précédent et en utilisant l’équation d’état , réécrire les équations du mouvement 4.2 Justifier que la fonction est impaire. Que peut-on dire du champ de pression ? 4.3 Mettre l’équation du mouvement suivant sous forme adimensionnelle en introduisant les grandeurs adimensionnelles suivantes :

∗

;

∗

;

Donner la signification physique du nombre de Grashof . ∗ 4.4 Donner l’expression du profil de vitesse réduite . Représenter qualitativement son allure. 5 Optimisation d’un double vitrage On souhaite utiliser les résultats précédents pour étudier l’espacement optimal à donner à un double vitrage de manière à assurer une isolation thermique maximale. 5.1 Quelle conclusion tire-t-on de 3. ? Vous semble-t-elle conforme à votre intuition des phénomènes ? 5.2 En fait, on va prendre en considération le transfert thermique aux extrémités du double vitrage dont on suppose les faces horizontales isolées thermiquement. Le double vitrage a une hauteur ℓ suffisamment grande (ℓ ≫ ) pour que dans la partie centrale on puisse considérer que l’écoulement est dynamiquement et thermiquement établi. On suppose désormais que . Quel est le flux d’enthalpie transporté par le fluide dans chacune des sections (1) et (2) ?

(1)

Zone centrale (2)

5.3 Indiquer sur un schéma comment la chaleur doit être échangée aux extrémités du double vitrage. En particulier, quelle est la valeur minimale du flux de chaleur qui doit être échangé aux extrémités ? On retiendra cette valeur pour la suite. 218

5.4 En ajoutant simplement les flux de chaleur échangés sur la hauteur ℓ du fait du transfert calculé en 3. et aux extrémités à la question précédente, donner l’expression du coefficient global d’échange de chaleur en rapportant tous les échanges à la surface latérale du vitrage. Que vaut le nombre de Nusselt global relatif au demi-espacement en fonction du nombre adimensionnel ℓ

?

5.5 La hauteur ℓ étant donnée, calculer la valeur du rapport

ℓ

conduisant à

un coefficient global d’échange de chaleur h minimal en fonction du nombre ℓ

de Rayleigh

avec la hauteur ℓ du double vitrage comme

et représentent respectivement la grandeur caractéristique et où viscosité cinématique et la diffusivité thermique du fluide mesurées à la température . Que vaut alors le nombre de Nusselt ? 0 °C ; 20 °C. 5.6 Application numérique : Pour l’air à 10 °C : 1,4. 10 m s et 1,9. 10 m s . Quel est l’espacement optimal d’un double vitrage de hauteur ℓ 1 m ? Corrigé : 1.1 La masse volumique du fluide chaud est plus faible que celle du fluide froid. De manière à obtenir un débit moyen nul, on a un mouvement ascendant du fluide du côté de la plaque chaude et descendant du côté de la plaque froide du fait des forces de poussée d’Archimède. 1.2

et

2.1

.

0 soit

0

2.2

2.3 0, régime permanent

2.4

0 , régime établi d’après 2.1, il vient :

0 d’où



0 (à la paroi)

0 0 0 219

3.1

et : Δ

avec :

3.2 0

3.3

L’écoulement est isovolume 4.1 0

1

4.2 0 Le système est symétrique par rapport à 0 , la vitesse est ascendante d’un côté et descendante de l’autre donc la fonction vitesse est impaire. 0:

D’où en

0 et

0 0 d’où :

et :

Le champ de pression est « hydrostatique ». 2

4.3 On a alors suivant Ox : d’où :

∗

∗

∗

2

0

0

Gr représente le rapport entre les forces dues à la poussée d’Archimède et les forces de viscosité 4.4

∗

0

0 et

∗

1

0

∗ ∗ Il vient par intégration : ∗ L’allure indicative du profil de vitesse est le suivant :

5.1 De 3, on déduit que sera d’autant plus faible que sera grand. Intuitivement parlant, il semble logique d’imaginer que si l’épaisseur du double vitrage est petite on va davantage bloquer le transfert par convection. 5.2 Posons ∗

∗

∗

∗

2

5.3 Aux extrémités, l’échange ne peut avoir lieu en bas que de la paroi chaude vers le fluide plus froid et inversement en haut. D’où la configuration des échanges représenté sur la figure ci-dessous et qui correspond au flux minimal échangé.

220

ℓ Zone centrale

1

avec

5.4 D’où :

ℓ (profondeur unité)

ℓ

Et :

ℓ

ℓ

5.5 On a posé : D’où :

ℓ

ℓ



ℓ

ℓ

0

pour :

Calculons alors

ℓ

:

et

ℓ

5.6 Application numérique : ℓ

, , .

ℓ

, .

2,606. 10

8,71. 10

d’où :

8,71 mm et l’écartement des deux vitres : 2

17,4 mm.

5.4.8 Etude d’une bouilloire électrique Une bouilloire électrique d’un volume de 1,5 l est équipée d’une résistance électrique capable de délivrer une puissance de 2200W. Elle est assimilable à un cylindre de hauteur 15 cm avec des parois en matière plastique d’épaisseur 2 mm et de conductivité thermique 0,2 W m K . La résistance électrique est un tube en inox de longueur 20 cm, de diamètre intérieur 9 mm et de diamètre extérieur 10 mm. Elle est utilisée pour chauffer 1,5 l d’eau de 20 à 100 °C. 1. Calculer le temps mis pour chauffer l’eau de 20 °C à 100 °C. On négligera les

221

2. 3. 4. 5.

pertes par le fond. Quelle est la nature de l’ébullition à 100 °C ? Calculer l’écart de température entre le tube et l’eau à 100 °C En déduire la valeur du coefficient de transfert de chaleur par convection lors de l’ébullition Au bout de combien de temps la masse d’eau dans la bouilloire ne serait plus égale qu’à 1 l si le thermostat ne fonctionnait plus ? Données : – Chaleur latente d’évaporation de l’eau entre 0 et 100 °C : ∆ 2495,3 -1 2,3457 (kJ kg ) – Emissivité de la paroi extérieure de la bouilloire : 0,8.

Corrigé : 1.

Il faut tout d’abord calculer les coefficients de transfert par convection entre les parois externes et l’air ambiant. On vérifie que est inférieur à 109. Les deux corrélations suivantes s’appliquent donc 1,42

– Paroi verticale :

∆

1,32

– Paroi horizontale face chaude au-dessus :

∆

Le diamètre se calcule à partir du volume et de la hauteur : La surface latérale est donc égale à : 0,2 0,1128 0,07087 m Et la surface du couvercle est égale à :







,

11,28 cm.

0,0100 m

On calcule en première approximation des coefficients moyens pour un Δ moyen de 40°C : 40 5,34 W m K 0,2 ∆ 40 1,32 1,32 5,73 W m K 0,1128 Il faut ajouter à ces valeurs le coefficient de rayonnement calculé lui aussi à une valeur moyenne de 40 °C en supposant l’émissivité de la paroi égale à 0,8 : 5,67. 10 0,8 333 293 333 293 5,67. 10 5,59 W m K D’où finalement : 5,34 5,59 10,93 W m K 5,73 5,59 11,32 W m K 1,42

222

∆

1,42

Les résistances de convection sont en série avec la résistance de conduction de la paroi. Les résistances verticales et horizontales valent respectivement : 1 1 1 1 0,002 1,2896 10,93 0,07087 0,2 1 1 1 1 0,002 9,9339 11,32 0,0100 0,2 Le bilan thermique du volume d’eau s’écrit : 1 1 1

1

1

1

2.





255 s

Pour être en régime d’ébullition nucléée, il faut que la densité de flux de chaleur transmise à la surface de tube soit inférieure à la densité de flux de burn-out calculable par : Δ 24



1

Pour l’eau à 100°C : Δ Chaleur latente de vaporisation 1,74 58,8. 10 (cf. valeurs dans le tableau 5.2) 960 kg m

,



,

0,588 kg m

,



0,008 (cf. valeurs dans le tableau 5.3) 1 pour l’eau Δ 24

,



1 , .

2,261. 10

,



,

,

1

,

1,101. 10 W m La densité de flux dissipée à la surface du tube a pour valeur : 2200 2200 70028 0,01 Il faut que soit : et finalement : 6,36 cm. ,

.

La densité de flux dissipée par un tube de 20 cm est :

223

3.

2200 3,501. 10 W m 0,2 0,01 donc on est en régime d’ébullition nucléée. L’écart de température en régime d’ébullition nucléée est donné par la relation : ,

σ

∆ ∆



∆

On en déduit : ∆ ∆

.

,

, ,

.

.

,

, . ,

.

,



,

8,28° ,

. ,

La quantité de chaleur à fournir est : Or :

224

,

Δ d’où :

4. 5.

,

d’où :



4,23. 10 W m

K

Δ

80 1027 .

6 Introduction aux échangeurs de chaleur 6.1 Les échangeurs tubulaires simples 6.1.1Généralités. Définitions 6.1.1.1 Description Un échangeur de chaleur est un système qui permet de transférer un flux de chaleur d’un fluide chaud à un fluide froid à travers une paroi sans contact direct entre les deux fluides. Exemples : radiateur d’automobile, évaporateur de climatiseur,… Un échangeur tubulaire simple est constitué de deux tubes cylindriques coaxiaux. Un fluide (généralement le chaud) circule dans le tube intérieur, l’autre dans l’espace compris entre les deux tubes. Le transfert de chaleur du fluide chaud au fluide froid s’effectue à travers la paroi que constitue le tube intérieur : Isolant thermique Fluide froid

Surface S2

Fluide chaud

Surface S1 0

h2 h

h1

1

L

2

3

x

Figure 6.1 : Schéma d’un échangeur tubulaire simple

6.1.1.2 Hypothèses Dans les calculs qui suivent, nous avons retenu les hypothèses suivantes : – Pas de pertes thermiques : la surface de séparation est la seule surface d’échange. 225

– Pas de changement de phase au cours du transfert. 6.1.1.3 Conventions Le fluide chaud 1 entre dans l’échangeur à la température le fluide froid 2 entre à et sort à . Deux modes de fonctionnement sont réalisables :

1

T2



,

Contre-courant

Co-courant 2

et en sort à



T1

2

2

1

1

T2

T

T1

2 1

Figure 6.2 : Schématisation des fonctionnements à co-courant et à contre-courant

6.1.2 Expression du flux échangé 6.1.1.2 Coefficient global de transfert Une première expression du flux de chaleur transféré dans un échangeur peut être déterminée en écrivant qu’il est égal au flux de chaleur perdu par le fluide chaud et au flux de chaleur gagné par le fluide froid pendant leur traversée de l’échangeur : Où est le débit massique du fluide i (kg s-1) et sont appelés les débits calorifiques Les produits -1 des deux fluides (W K ). Le flux de chaleur peut donc finalement s’écrire : (6.1) Par ailleurs, le flux de chaleur  transmis d’un fluide 1 à un fluide 2 à travers la paroi d’un tube cylindrique s’écrit : Δ 2

1

2

2

1

Dans les échangeurs de chaleur, on choisit de rapporter le flux de chaleur échangé à la surface 2 , soit d’écrire : Δ . Le coefficient global de transfert d’un échangeur de chaleur s’écrit donc :

226

(6.2)

1

est une résistance thermique due à l’encrassement des surfaces d’échange dont il faut tenir compte après quelques mois de fonctionnement (entartrage, dépôts, corrosion,…). Le tableau 6.1 en donne quelques valeurs pour les fluides les plus courants. Tableau 6.1 : Valeurs de la résistance d’encrassement pour quelques fluides. Fluide Eau de mer (50°C) Eau traitée pour chaudière Eau déminéralisée Vapeur d’eau Fluides frigorigènes Air industriel Fioul Huile lubrifiante

Ren (m2 K W-1) 10-4 2.10-4 2.10-4 9.10-5 1 à 2.10-4 2.10-4 4.10-4 9.10-4 2.10-4

On trouvera dans le tableau 6.2 les ordres de grandeur de échangeurs tubulaires en verre et métallique. Tableau 6.2 : Ordres de grandeur du coefficient global de transfert d’échangeurs

pour des

de divers types

(W m-2 K-1) Liquide-liquide Liquide-gaz Condenseur

100-2000 30-300 500-5000

6.1.2.2 Cas où h est constant Fonctionnement à co-courant Il faut d’abord établir la relation liant le flux de chaleur transmis dans l’échangeur au coefficient global de transfert et à la surface extérieure d’échange. Cette relation est fondamentale car elle permet de dimensionner un échangeur, c’est-à-dire de calculer la surface d’échange nécessaire pour transférer un 227

flux imposé. Pour cela, on effectue un bilan thermique de la partie d’échangeur comprise entre les distances et de l’entrée de l’échangeur :

2

2

2

1

1

1



0



Figure 6.3 : Schéma des flux élémentaires dans un échangeur tubulaire simple

Le bilan thermique consiste à écrire que le flux de chaleur perdu par le fluide chaud lors de son passage entre les plans d’abscisse et est passé intégralement à travers la paroi de séparation des deux fluides soit : L’équation du bilan thermique s’écrit : dépend de donc avant d’intégrer, il faut établir la relation liant ces deux grandeurs. Pour cela, on effectue le bilan thermique de l’échangeur entre l’entrée de l’échangeur et l’abscisse x en écrivant que le flux de chaleur perdu par le fluide chaud a été intégralement récupéré par le fluide froid soit : d’où : Nous pouvons alors écrire en intégrant sur la surface totale d’échange S2 : q



D’où :

1

1

Soit :

1



1



L’écriture du bilan thermique global entre l’entrée et la sortie de l’échangeur : permet d’écrire : En reportant dans l’équation intégrée, il vient : On peut également exprimer 228



en fonction des températures des fluides :



D’où la relation :

qui représente l’écart de température entre le fluide chaud et le fluide froid à l’entrée de l’échangeur peut être noté : ∆ , on écrira de même à la sortie de l’échangeur : ∆ . L’expression précédente peut alors se mettre sous la forme : ∆ ∆ ∆ ∆ Le premier membre de cette équation représente le flux de chaleur total transféré dans l’échangeur. Le rapport :

∆

∆ ∆ ∆

est la moyenne logarithmique (MLDT) de l’écart Δ entre

l’entrée et la sortie de l’échangeur. Sa valeur est donc comprise entre ∆ Le flux de chaleur échangé se met donc finalement sous la forme :

Avec :

Δ

Δ

∆

et ∆ .

(6.3) ∆

∆ ∆

(6.4)

La figure 6.4 présente l’allure de la distribution des températures des fluides le long de l’échangeur. Remarques : – En aucun cas on ne peut avoir car à partir de l’abscisse où les deux fluides seraient à la même température il n’y aurait plus d’échange de chaleur possible. – Les deux fluides voient leurs températures se rapprocher d’une température limite Tlim, cette température est donnée par : (6.5)

229

1

1 2

2

0



Figure 6.4 : Evolution des températures dans un échangeur tubulaire fonctionnant à co-courant

Fonctionnement à contre-courant On montre que la relation (6.3) s’applique aussi bien à un échange à contrecourant qu’à un échange à co-courant, mais les expressions de ∆ et de ∆ ne sont pas identiques dans les deux cas : Co-courant ∆ ∆

Contre-courant ∆ ∆

(6.6)

La distribution des températures dans un échangeur à contre-courant présente l’une des allures suivantes :

1

1

1

2

1

2

2 2

1 1 2

0

2



0

Figure 6.5 : Evolution des températures dans un échangeur tubulaire fonctionnant à contre-courant

230



→

: On dit que le fluide chaud commande le transfert. Si

→ ∞ alors

: On dit que le fluide froid commande le transfert. Si

→ ∞ alors

et

→

et

Remarque : – Dans un fonctionnement à contre-courant il est possible d’obtenir ou

– Il est par contre impossible d’obtenir

.

Comparaison des deux modes de fonctionnement Dans un échangeur tubulaire simple, le flux de chaleur transféré est toujours plus élevé avec un fonctionnement à contre-courant car Δ est plus élevé. Exemple : 90 °C 35 °C 20 °C 30 °C Co-courant : Δ 24,6 °C Contre-courant :

32,5 °C

Δ

A chaque fois que cela sera possible on choisira donc un fonctionnement à contre-courant. Plus généralement, un échangeur de chaleur de configuration quelconque aura des performances toujours supérieures à celles de l’échangeur tubulaire simple en co-courant et inférieures à celles d’un échangeur tubulaire simple en contre-courant. 6.1.2.3 Cas où h n’est pas constant On utilise dans ce cas la méthode de Colburn qui fait l’hypothèse que le coefficient global de transfert varie linéairement en fonction de ∆ : ∆ . Nous pouvons écrire : – A l’entrée de l’échangeur : ∆ – A la sortie de l’échangeur : ∆ Les coefficients et s’expriment par : ∆

∆

et :

∆

∆

∆

Le bilan thermique de l’échangeur entre les abscisses toujours :

et

s’écrit

soit : Le calcul de

après avoir exprimé

et

en fonction de 231

conduit au résultat final suivant : φ

∆

∆



∆ ∆

(6.7)

Remarque : Dans le cas où ne varie pas linéairement sur tout l’échangeur, on découpera celui-ci en autant de morceaux sur lesquels on pourra faire l’hypothèse d’une variation linéaire de . 6.1.3 Efficacité d’un échangeur 6.1.3.1 Définition et calcul On définit l’efficacité d’un échangeur comme le rapport du flux de chaleur effectivement transféré dans l’échangeur au flux de chaleur maximal qui serait transféré dans les mêmes conditions de températures d’entrée des deux fluides dans un échangeur tubulaire de longueur infinie fonctionnant à contre-courant : η



(6.8)

Cas où le fluide chaud commande le transfert : Si → ∞ alors → et d’où : On définit alors une efficacité de refroidissement :

(6.9)



(6.10)

Cas où le fluide froid commande le transfert : Si → ∞ alors → et d’où : On définit alors une efficacité de chauffage :

232

6.1.3.2 Signification du rendement Lorsque le but recherché par l’installation d’un échangeur est de récupérer de la chaleur, la notion de rendement prend toute sa justification du point de vue économique. Considérons l’exemple le plus simple d’un échangeur fonctionnant à co-courant destiné à récupérer de la chaleur sur des fumées. Appelons le prix en € du mètre carré d’échangeur (supposé constant) et le gain en € par W récupéré sur le fluide chaud. Le gain total engendré par l’échangeur est : Le coût de l’échangeur est supposé proportionnel à sa surface : où 2 est la surface d’échange en m . Le bénéfice généré par l’installation de l’échangeur s’écrit : . Ces différentes grandeurs sont représentées schématiquement sur la figure 6.6.



1

0

1



0







Figure 6.6 : Représentation simplifiée du bénéfice engendré par un récupérateur de chaleur.

On constate que le bénéfice atteint un maximum pour une certaine valeur de la surface d’échange. L’augmentation de la surface d’échange au-delà de permet d’augmenter le rendement mais a un effet inverse sur le bénéfice. Il existe donc une limite économique pour la surface d’échange de ce type d’échangeur de chaleur. 6.1.4 Nombre d’unités de transfert 6.1.4.1 Définition On appelle nombre d’unité de transfert noté qui est aussi égal à

∆

le rapport adimensionnel

pour le fluide chaud dans le cas d’un échangeur

tubulaire simple : ∆

(6.11)

233

Le est représentatif du pouvoir d’échange de l’échangeur. Nous allons montrer dans ce qui suit qu’il est lié à l’efficacité de l’échangeur et que son utilisation permet de simplifier les calculs de dimensionnement des échangeurs. 6.1.4.2 Relation entre NUT et efficacité Considérons le cas d’un échangeur tubulaire simple fonctionnant à contrecourant et supposons que le fluide chaud commande le transfert : donc 1 et ∆

Posons

∆ ∆ , nous pouvons écrire : ∆



∆ ∆ en fonction de ∆ et ∆ 1 ∆ ∆ 1 ∆ en fonction de ∆ Nous en déduisons l’expression du Exprimons ∆ et ∆

∆ ∆

∆ ∆

1

∆

1



1 1

∆ ∆

et de 1 1

:

1 1

En reprenant ce calcul dans le cas où le fluide froid commande le transfert puis pour un fonctionnement à co-courant nous obtenons les relations générales suivantes : Co-courant

Contre-courant (6.12)

Avec :

et

Cas particuliers : – Pour tous les types d’échangeurs : 1 et – Pour l’échangeur à contre-courant :

1

si et

0. si

1. L’utilisation de ces formules a permis d’établir les abaques présentés en annexe A.6.1.

234

6.1.5 Calcul d’un échangeur 6.1.5.1 Températures de sorties connues , , , Le coefficient global de transfert ayant été calculé, on connaît : , et . On peut utiliser l’une des deux méthodes suivantes pour calculer : Méthode MLDT : – On calcule – On calcule Δ

∆

∆ ∆ ∆

– On en déduit



Méthode du NUT : – On calcule  et – On détermine – On en déduit

par utilisation des formules (6.12) ou des abaques





6.1.5.2 Températures de sortie inconnues , , , Le coefficient global de transfert h ayant été calculé, on connaît : et . On peut utiliser l’une des deux méthodes suivantes pour calculer et : Méthode MLDT : Son application nécessite la résolution par des méthodes numériques du système (non linéaire) de deux équations : Méthode du NUT : – On calcule

et

– On détermine  par utilisation des formules (6.12) ou des abaques. Dans l’expression de  ne figure qu’une seule température inconnue ou que l’on calcule. – On détermine la deuxième température inconnue par le bilan thermique global de l’échangeur : Remarque : La méthode du qui s’applique directement sans avoir recours à des méthodes numériques complexes est à préférer dans ce cas de figure. 235

6.2 Les échangeurs à faisceaux complexes 6.2.1 Généralités Nous avons jusqu’alors étudié le modèle le plus simple d’échangeur que l’on puisse concevoir à savoir l’échangeur tubulaire simple. Il est toutefois difficile avec ce type d’échangeur d’obtenir des surfaces d’échange importantes sans aboutir à des appareils très encombrants. C’est l’une des raisons qui a conduit à développer d’autres géométries d’échanges. 6.2.2 Echangeur 1-2 C’est l’échangeur à faisceau le plus simple : le fluide circulant dans l’enveloppe effectue un seul passage tandis que le fluide circulant dans le tube effectue 2 (ou 2 ) passages. Une passe en tube s’effectue à co-courant avec l’écoulement en calandre tandis que l’autre s’effectue à contre-courant (cf. figure 6.7). L’écoulement cocourant est moins efficace que l’écoulement à contre-courant, l’échangeur 1-2 a donc une efficacité comprise entre celle d’un échangeur tubulaire fonctionnant à co-courant et celle d’un échangeur tubulaire fonctionnant à contre-courant. 1 passage en enveloppe

2 passages en tube

Figure 6.7 : Schéma d’un échangeur 1-2

Comme pour l’échangeur tubulaire simple, il existe une relation reliant le nombre d’unités de transfert maximal NUTmax et l’efficacité  de l’échangeur : 2 1

2 1

236

1





2

1

1

1

1

1

1



1

1



(6.13)

On trouvera également en annexe A.6.1 les abaques établis à partir de cette relation. Le calcul d’un échangeur 1-2 s’effectue en appliquant la méthode du telle qu’elle a été décrite pour les échangeurs tubulaires simples. 6.2 3 Echangeur 2-4 Lorsque l’échangeur 1-2 ne permet pas d’obtenir une efficacité supérieure à 0,75, on cherche à se rapprocher davantage de l’échangeur à contre-courant en effectuant 2 (ou plus) passages en calandre. L’échangeur 2-4 comporte une chicane longitudinale de sorte que le fluide en enveloppe effectue 2 passages. Le fluide dans le tube effectue 4 (ou 4n) passages (cf. figure 6.8). 2 passages en enveloppe

4 passages en tube

Figure 6.8 : Schéma d’un échangeur 2-4

Comme pour l’échangeur tubulaire simple, il existe une relation reliant le nombre d’unités de transfert maximal et l’efficacité  de l’échangeur. On trouvera en annexe A.6.1 les abaques établis à partir de cette relation. Le calcul d’un échangeur 2-4 s’effectue en appliquant la méthode du telle qu’elle a été décrite pour les échangeurs tubulaires simples. 6.2.4 Echangeur à courants croisés Liquide

Gaz

Gaz Un fluide brassé et un fluide non brassé

Liquide Deux fluides non brassés

Figure 6.9 : Schéma de deux types d’échangeurs à courants croisés

237

Les deux fluides s’écoulent perpendiculairement l’un à l’autre. Un fluide est dit non brassé s’il s’écoule dans une veine divisée en plusieurs canaux parallèles distincts et de faible section, il est dit brassé dans le cas contraire. Le brassage a pour effet d’homogénéiser les températures dans la section droite de la veine. Les changeurs à courants croisés sont surtout utilisés pour des échangeurs entre un gaz circulant en calandre et un liquide circulant dans les tubes. Comme pour l’échangeur tubulaire simple, il existe une relation reliant le nombre d’unités de transfert maximal et l’efficacité  de l’échangeur : Deux fluides non brassés : ,



1

1

(6.14)

,



Deux fluides brassés :

1

(6.15)

1

1



1

Un fluide non brassé : Fluide commandant le transfert (

) non brassé : 1

1 1

1

1

238

1

(6.16)

1

Fluide commandant le transfert (

1



1

1

) brassé :

1 (6.17)

1



Le calcul d’un échangeur à courants croisés s’effectue en appliquant la méthode du telle qu’elle a été décrite pour les échangeurs tubulaires simples. On trouvera en annexe A.6.1 des abaques représentant ces différentes formules. 6.2.5 Echangeurs frigorifiques Une installation frigorifique comporte au moins deux échangeurs de chaleur : – Un condenseur dont le but est d’assurer le transfert de chaleur du fluide frigorigène au milieu extérieur – Un évaporateur dont le rôle est d’assurer le transfert de chaleur du milieu à refroidir au fluide frigorigène. Ces deux échangeurs se caractérisent par un écoulement diphasique du fluide frigorigène. 6.2.5.1 Condenseurs Dans un condenseur, la phase liquide du fluide frigorigène apparaît dès que la température de la surface de refroidissement devient inférieure à la température de saturation du fluide frigorigène sous la pression de condensation. Ceci se produit à une distance très faible de l’entrée du condenseur, pratiquement dès le début s’il s’agit d’un condenseur à eau. On peut ainsi observer, quasiment dès l’entrée de l’échangeur, la présence contre la paroi froide d’une mince couche de liquide sur la surface de laquelle un film de vapeur saturée se condense. On peut dès lors considérer que la température du fluide frigorigène est constante et égale à la température de condensation. Si l’on admet que le coefficient global de transfert est constant, le profil des températures a l’allure suivante :

Figure 6.10 : Evolution des températures dans un condenseur

239

6.2.5.2 Evaporateurs Noyés

é

0

S

Figure 6.11 : Evolution des températures dans un évaporateur noyé

Dans ce type d’échangeur, l’évaporation se produit à l’extérieur des tubes complètement « noyés » dans la phase liquide. Si la perte de charge due à la circulation du fluide frigorigène est négligeable, la température de ce fluide est constante tout au long de l’évaporateur et égale à la température d’évaporation (cf. figure 6.11). Comme dans ces échangeurs le titre de vapeur reste en deçà de 75%, le coefficient d’échange est relativement élevé et peut être considéré comme constant. La surface d’échange nécessaire se calcule de la même manière que pour un autre type d’échangeur. A détente sèche

0 Figure 6.12 : Evolution des températures dans un évaporateur à détente sèche

Tableau 6.3 : Ordre de grandeur du coefficient global d’échange pour divers types d’échangeurs frigorifiques (d’après IIF , 1976)

240

Coefficient global d’échange h pour divers types de condenseurs (W m-2 K-1) Groupe

Médium de condensation Air

A chaleur sensible

A chaleur latente

Eau

Evaporation forcée

Type Circulation naturelle Circulation forcée Immersion Double tube et contrecourant Multitubulaires horizontaux Tubes lisses Tubes à ailettes

9 à 12 24 à 30 240 à 300 700 à 950 700 à 1000 240 à 350 120 à 180

Coefficient global d’échange pour divers types d’évaporateurs (W m-2 K-1) A serpentin Refroidisseurs A immersion de liquides Double tube et contre-courant

70 à 95 400 à 580

Plaques eutectiques (eau ou saumure) Refroidisseurs Circulation d’air forcée : de gaz Tubes lisses Tubes ailetés

35 à 95

580 à 820

35 à 47 16 à 24

Dans ce type d’échangeur, l’évaporation se produit à l’intérieur des tubes dans lesquels le fluide frigorigène circule. Du point de vue des transferts thermiques, deux points différencient ces évaporateurs des précédents : – Pour éviter tout risque que du fluide liquide pénètre dans le compresseur, les vapeurs sont légèrement surchauffées ce qui entraîne une variation de la température du fluide frigorigène dans la partie terminale de l’échangeur. – Pour les titres de vapeur supérieurs à 75%, le coefficient de transfert côté fluide frigorigène chute brutalement ce qui ne permet plus de considérer le coefficient global de transfert comme constant. Pour dimensionner ces échangeurs, il faut les scinder en plusieurs parties telles que le coefficient global de transfert soit constant ou varie linéairement sur chacune d’elles. On trouvera dans le tableau 6.3 l’ordre de grandeur des coefficients globaux d’échanges dans divers types de condenseurs et d’évaporateurs.

241

6.3 EXERCICES CORRIGES 6.3.1 Comparaison de différents types d’échangeurs On veut utiliser un échangeur de chaleur pour refroidir en continu un débit de 20000 kg h-1 d’un fluide caloporteur de 90 °C à 50 °C. On dispose pour cela d’un débit d’eau de 15000 kg h-1 à 15 °C. 1. Calculer la température de sortie de l’eau et la surface d’échange nécessaire dans chacun des cas suivants : 1.1. Echangeur tubulaire simple à co-courant 1.2. Echangeur tubulaire simple à contre-courant 1.3. Echangeur de type 1-2 1.4. Echangeur de type 2-4 1.5. Echangeur à courants croisés à 2 fluides non brassés. 2. Reprendre la question 1.1 pour une température de sortie du fluide caloporteur de 40°C au lieu de 50°C. Calculer ensuite la température limite de sortie de l’eau que l’on peut obtenir avec un échangeur à co-courant. 2100 J kg

Données :

coefficient global de transfert :

K

;

2000 W m K

Corrigé : 20000 3600 15000 3600

2100

11667

4185 17437 11667 0,669 17437 C’est le fluide chaud qui commande le transfert car donc le rendement se calcule par : 90 50 0,533 90 15 La température de sortie de l’eau se calcule par le bilan global de l’échangeur et ne dépend pas du type d’échangeur : 11667 15 90 50 41,8 °C 17437 Les surfaces peuvent se calculer par la méthode du en utilisant soit les abaques soit les relations du cours. Nous avons dans ce qui suit utilisé les formules. 1.1. Echangeur tubulaire simple à co-courant

242

1,323 11667 1,323 2000

On calcule :

7,72

1.2. Echangeur tubulaire simple à contre-courant 0,969 11667 0,969 2000

On calcule :

5,65

1.3. Echangeur de type 1-2 1

On calcule :



1,10

11667 1,10 2000

6,40

1.4. Echangeur de type 2-4 Par lecture de l’abaque de l’annexe A.6.1 avec 0,669 et 1,0 obtient 11667 1 5,83 2000

0,533 on

1.5. Echangeur à courants croisés à 2 fluides non brassés

1



,

1

,

La résolution numérique de cette équation conduit à : 11667 1,06 6,18 2000 2. On a : 0,667 et 0,669

0,533 1,06

n’est plus applicable car 1 1 La relation : 0 En fait le calcul de la température limite conduit à : 11667 90 17437 15 45,06 °C 11667 17437 Il n’est donc pas possible d’obtenir une température de sortie du fluide caloporteur égale à 40 °C avec ce type d’échangeur. 6.3.2 Calcul d’un échangeur à courants croisés On utilise un échangeur à courants croisés constitué de tubes munis d’ailettes pour refroidir un débit de 0,9 kg s-1 d’air de 30°C à 10°C. L’échangeur est parcouru par un débit d’eau de 0,6 kg s-1 entrant à 3°C. Le coefficient global de transfert

243

dans l’échangeur est 55 W m K . 1. Calculer la température de sortie de l’eau ainsi que la surface d’échange nécessaire. 2. On utilise l’échangeur calculé en 1. avec le même débit d’air entrant mais en réduisant le débit d’eau à 0,3 kg s-1, les températures d’entrée des deux fluides étant inchangées. Calculer les températures de sortie de deux fluides ainsi que le flux de chaleur échangé. 3. On utilise l’échangeur calculé en 1. mais en réduisant le débit d’air à 0,6 kg s-1, les températures d’entrée des deux fluides étant inchangées. Calculer la température de sortie de l’eau ainsi que le flux de chaleur échangé. 4. Les tubes sont maintenant immergés dans un bain thermostaté agité maintenu à 1°C. Calculer la surface d’échange nécessaire. Corrigé : 0,9 1006 905,4 J K s 0,6 4180 2508 J K s

1.

Δ



10,22 °C

Δ

13,04 °C Δ ln Δ 30 10 20 0,74 27 30 3 905,4 0,361 2508 2 On en déduit :

Δ



D’où : 2.

On fait l’hypothèse que toute la résistance thermique se situe côté air. Dans ce cas la diminution du débit d’eau qui va faire chuter le coefficient de convection côté eau n’aura pas d’influence sur le coefficient global de transfert de l’échangeur. 0,3 4180 1254 J K s ; 32,9 m 905,4 0,72 1254 2 (inchangé) On en déduit : 0,67 Or D’où :

3.

244

32,9 m



11,91 °C et



17,3 °C

L’hypothèse émise en 2. nous permet de dire que le coefficient global de transfert de l’échangeur varie proportionnellement au coefficient de

convection côté air. Si celui-ci suit la loi de Colburn à savoir : , , 0,023 alors le nouveau coefficient global de transfert s’écrit : 0,6 , 0,6 , 55 39,8 W m K 0,9 0,9 ′ 39,8 32,9 1,30 0,6 1006 On en déduit : 0,75 0,75

Donc :

8,25 °C et

Finalement : 4.

’

0;



0,69 1,2

16,0 °C

d’où : 905,4 19,75 m 55

1,2

6.3.3 Calcul d’un échangeur à plaques On veut refroidir un débit de fumées de 20 000 kg h-1 de 300 °C à 150 °C en réchauffant un débit d’air de 15 000 kg h-1 pris à 20°C. Pour cela on utilise un réchauffeur à plaques schématisé sur la figure ci-dessous qui comprend 19 cellules « fumées » alternées avec 20 cellules « air ». Air Fumées Air Fumées Air Fumées Air

1500 mm 22 mm

28 mm

Les cellules « fumées » ont une section de 28 mm x 1500 mm. Les cellules « air » ont une section de 22 mm x 1500 mm. Les circulations d’air et de fumées se font à contre-courant. Les plaques sont métalliques de faible épaisseur ; on admettra qu’à la même température, les propriétés physiques de l’air et des fumées sont identiques. 1. Calculer le flux de chaleur échangé et la température de sortie de l’air. 2. Calculer les vitesses moyennes de l’air et des fumées. Ces vitesses sont-elles les mêmes à l’entrée et à la sortie des cellules ? 3. Calculer les coefficients d’échanges par convection et côté air et côté 245

4. 5. 6.

fumées. Quelle est la surface d’échange et donc la longueur de réchauffeur nécessaire au transfert ? Quelle serait cette longueur si l’encrassement des plaques a pour effet de multiplier le coefficient d’échange côté fumées par un facteur 0,85 ? Quelle serait cette longueur pour un échangeur encrassé fonctionnant à cocourant ?

Corrigé : 1.

225 °

Température moyenne des fumées : 1025 J kg

Capacité calorifique moyenne : annexes du cours) Flux de chaleur transféré : 1025

2.

300

150

Masse volumique moyenne : ̅

854,2

120 ° 0,898 kg m

Vitesse moyenne de l’air : A l’entrée : 5,24 A la sortie :

20 °C ;

,

7,03

,

1,204 kg m

220 °C ;

et

0,700 kg m

Masse volumique moyenne : ̅ Vitesse moyenne des fumées :

,

et

9,02 Température moyenne des fumées :

246

(utilisation des

Avec l’hypothèse que varie peu avec la température on peut écrire : 15000 20 20000 300 150 220 °C D’où : 20 0,022 1,5 0,66 19 0,028 1,5 0,798 é Température moyenne de l’air :

3.

K

,

,

,

225 °

0,697 kg m ,

9,99

,

A l’entrée :

300 °C ;

0,616 kg m

et

11,3 A la sortie :

150 °C ;

0,834 kg m

et

8,35 Calculons les diamètres hydrauliques : 4 4 0,022 1,5 0,04336 2 0,022 1,5

,

,

,

,

4

4 0,028 1,5 2 0,028 1,5 120 225 172,5 ° 2 Pour l’air :

0,0550

,

Température de film :

146,2 °

0,842 kg m ; 2,36. 10 kg m s 0,842 7,03 0,04336 10873 2,36. 10 , , 0,023 0,023 10873 , 0,69 , 0,035 33,6 27,1 W m K 0,04336 Pour les fumées :

D’où :

,

Température de film : D’où :

4.

33,6

198,8 °

0,746 kg m ; 2,57. 10 kg m s 0,746 9,99 0,055 15949 2,57. 10 , , 0,023 0,023 15949 , 0,68 , 47,17 0,0386 47,17 33,1 W m K 0,055

Coefficient global d’échange : 1 Δ

80

1

130 80 130

Δ 556,2 38 1,5

1 27,1

1 33,1

14,9

K



103,0 °C

854200 14,91 103, .

556,2

9,76 m

5.

,

,

,

13,8

K



9,76 14,91 10,54 m 13,8 6. Schéma du fonctionnement à co-courant : 300°C

150°C

20°C

220°C

247

Fonctionnement impossible car il ne peut y avoir croisement des températures. 6.3.4 Calcul d’un évaporateur noyé On considère un échangeur tubulaire, supposé parfaitement isolé, comportant 100 tubes de cuivre de 2,4 m de long, de 10 mm de diamètre intérieur et 13 mm de diamètre extérieur, répartis dans la section de l’échangeur comme indiqué sur le schéma ci-après :

Entraxe : 20 mm

A l’intérieur des tubes se vaporise un fluide frigorigène, à l’extérieur des tubes et parallèlement à ceux-ci circule de l’air à refroidir. 1. Calculer le diamètre équivalent côté air. 2. Pour quelle valeur du débit d’air y a-t-il passage du laminaire au turbulent ? Quel type d’écoulement choisira-t-on ? 3. Un débit d’air de 900 kg h-1 pénètre à 30°C dans l’échangeur et on veut qu’il en sorte à 10°C. Quelle doit être la température d’évaporation du fluide frigorigène ? 4. Calculer alors le rendement de l’échangeur. Corrigé 1. Le diamètre hydraulique se calcule par : 0,02

Section passage

4

248

900

;

, ,

0,0262 m

1,81. 10 kg m s

;

1,204 0,0262 1742,8 1,81. 10 5000, il faut que : 2,87 m s qui conduit à : 100 1,204 2,87 332,5 kg h

Pour que Soit : On obtient : 3.

è

0,04084

Diamètre hydraulique : A 20 °C : 1,204 kg m 0,0257 W m K .

é

0,0002673 m

Périmètre mouillé 2.

4



soit encore :

0,25 kg h

0,71 ;

0,0002673

0,25 7,77 m s 100 1,204 0,0002673 1742,8 1742,8 7,77 13538 , , 0,023 13538 , 0,71 , 41,9 0,023 0,0257 41,9 41,1 W m K 0,0262 0,25 1006 30 10 5030 W 100 0,013 2,4 9,8 m Surface totale d’échange : On fait l’hypothèse que le coefficient global de transfert est égal au coefficient de convection côté air extérieur, ce qui permet d’écrire : 5030 12,49 °C 41,1 9,8 Or : On en déduit : d’où : 4.

4,95 °C ,

,

4,96

0,798

6.3.5 Dimensionnement d’un condenseur On veut récupérer la chaleur extraite du condenseur d’une machine frigorifique pour chauffer un débit d’eau 2 m3 h-1 de 40 à 70°C. La température de condensation du fluide frigorigène (R114) est 85°C. Calculer les dimensions d’un échangeur de chaleur capable d’assurer ce chauffage. Données : – L’eau circule dans des tubes en cuivre de diamètres 10/12 mm. – La vitesse de l’eau dans les tubes doit être de l’ordre de 1 m s-1 pour limiter les pertes de charges tout en garantissant un bon coefficient de transfert de chaleur par convection. – La longueur de l’échangeur doit être inférieure à 3 m pour des raisons d’encombrement – Propriétés physiques du R114 liquide entre 60 °C et 85 °C : 1578,3 3,9468 (kg m-3) 0,0762 0,000296 (W m-1 K-1) 0,4155 0, 0026 10 (kg m-1 s-1) Δ 140,46 0,431 (kJ kg-1) Corrigé : 1. Calcul du nombre de tubes Soit le nombre de tubes de cuivre en parallèle et la vitesse de l’eau dans

249



les tubes, le débit d’eau total s’écrit :

2.





D’où :







Avec 1 m s on obtient 7,07 On utilisera donc 7 tubes en parallèle avec une vitesse 1,01 m s Calcul des coefficients de transfert Le profil des températures dans chaque tube de l’échangeur a l’allure suivante : R114 à 85°C

 2 1

Eau à

40 °C

1

Eau à

Le coefficient de transfert par convection

1

80 °C

côté eau se calcule par :

(1) ,

0,023



,

(3)

0,0038 10

,

,

, ,

, ,

(2)

0,0505

1022,6





,



,

,



.



60 °C

(

(5)

(6)

,

Avec :

(4)

(7)

Le problème est que l’on ne connaît pas . Le coefficient de transfert par convection côté fluide frigorigène se calcule par : 0,725







,

(8)

Où est le nombre de tubes dans un même plan vertical. Avec 7 tubes par passes et une disposition en quinconce, on peut prendre 2. Avec : 1578,3 3,9468 (9) 0,0762 0,000296 (10) 0,4155 0, 0026 10 (11) (12) Δ 140,46 0,431 Le problème est que l’on ne connaît pas . Il faut donc écrire deux relations dans lesquelles les deux seules grandeurs 250

inconnues seront

et

pour résoudre le problème.

85 °C



2

1

60 °C Ecrivons le flux de chaleur transmis à travers la surface « moyenne » suivante (pour un tube et par unité de longueur de tube) :





(12)

Que l’on peut encore écrire :

Avec :



(13)



On considérera : 2. 10 m K W (cf. tableau 6.2). Le problème est maintenant purement mathématique, il faut résoudre le système formé par les relations (1) à (13) dont les inconnues sont et . On peut par exemple appliquer la méthode suivante : – On fixe une valeur de départ plausible pour : = 60 °C – On calcule par les relations (1) à (7) – On calcule par : – On calcule par : – On calcule – On recalcule

par :



par :

– On reprend la boucle de calcul avec cette nouvelle valeur de convergence. On aboutit ainsi à : 58,1 °C ; 65,9 ° ; 6733 W m K ; 930 W m K Le coefficient global de transfert a pour valeur : 1 303,2 W m K 3.

jusqu’à

Calcul des dimensions de l’échangeur La moyenne logarithmique de la différence de température vaut :

251

27,3 °C

ln



Le flux total transféré dans l’échangeur vaut : On en déduit :



La longueur de tube nécessaire est :

,

8,31 m

,

,

,

31,5 m

L’eau circulera donc dans 7 tubes de diamètres 10/12 mm placés en parallèle. Chaque tube pourra avoir une longueur de 2,63 m avec un nombre de passes égal à 12 pour respecter la contrainte sur la longueur maximale admissible pour cet échangeur.

252

Bibliographie 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

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255

256

Annexes A.1.1 : Propriétés physiques de certains corps



kg m-3 J kg-1 K-1 Métaux et alliages Acier au carbone 7833 465 Acier inox 15%Cr, 10%Ni 7864 460 Acier inox 18%Cr, 8%Ni 7816 460 Acier inox 25%Cr, 20%Ni 7864 460 Alumine Aluminium 2707 896 Argent 10525 234 Bronze 75%Cu, 25%Sn 8800 377 Bronze 92%Cu, 8%Al 7900 377 Carbone graphite 2250 707 Carbure de silicium Chrome 2118 7160 Constantan 60% Cu, 40%Ni 8922 410 Cuivre 8954 383 Cupronickel 70%Cu, 30%Ni 8900 377 Duralumin 2787 883 Etain 7304 226 Fer 7870 452 Fonte 7849 460 Laiton 70%Cu, 30%Zn 8522 385 Magnésium 1740 1004 Or 19300 128 Platine 21400 140 Plomb 11373 130 Sodium liquide 930 1381 Titane 4500 523 Tungstène 19350 134 Zinc 7144 384



W m-1 K-1 54 20 16,3 13 29 204 407 188 71 147 13 449 22,7 386 29,3 164 64 73 59 111 151 312 69 35 84,5 20,9 163 112

257

 kg m-3 J kg-1 K-1 Matériaux divers Amiante 575 1046 Asphalte 2115 920 Caoutchouc (naturel) 1150 Caoutchouc (vulcanisé) 1100 2010 Carton 86 2030 Cuir 998 Glace 920 2040 Plexiglass 1190 1465 Porcelaine 2400 1088 Polyéthylène 929 1830 PVC 1459 930 Sable 1515 800 Téflon 2170 1004 Terre mouillée 1900 2000 Terre sèche 1500 1900 Verre 2300 837 Verre Pyrex 2220 728 Matériaux de construction Ardoise 2400 879 Basalte 2850 881 Béton caverneux 1900 879 Béton plein 2300 878 Bitume (cartonné) 1050 1305 Bois feuillus légers 525 3143 Bois feuillus mi-lourds 675 3156 Bois feuillus très légers 375 3147 Bois résineux légers 375 3147 Bois résineux mi-lourds 500 3160 Bois résineux très légers 375 3147 Brique terre cuite 1800 878 Calcaire dur 2450 882 Calcaire tendre 1650 879 Carrelage 2400 875 Contre-plaqué okoumé 400 3000 Contre-plaqué pin 500 3000 Granite 2600 881 Gravier (vrac) 1800 889 Grès 2500 880 Lave 2350 881 Marbre 2700 881 Plâtre 1440 840 Schiste 2400 879

258

 W m-1 K-1 0,15 0,062 0,28 0,13 0,048 0,159 1,88 0,19 1,035 0,46 0,19 0,2-1,0 0,25 2 1 1,05 1,13 2,2 1,6 1,4 1,75 0,23 0,15 0,23 0,12 0,12 0,15 0,12 1,15 2,4 1 2,4 0,12 0,15 3 0,7 2,6 1,1 2,5 0,48 2,2





kg m-3 J kg-1 K-1 Matériaux isolants 140 80 1300

Balsa Coton Kapok Laine de roche

20 55 135 10 15 40 120 200 32 50 30 40 12 14 18 30

Laine de verre

Liège expansé Moquette Polyuréthane (mousse) PVC (mousse rigide) Polystyrène expansé

Styrofoam

W m-1 K-1 0,054 0,06 0,035 0,047 0,038 0,041 0,045 0,041 0,035 0,044 0,06 0,03 0,035 0,031 0,041 0,047 0,043 0,041 0,032

880 880 880 880 880 880 2100 1300 1300 1360 1300 1300 1300 1300 1300

A.1.1 : Propriétés physiques de l’air et de l’eau Propriétés de l'eau à saturation 



 -3

-1

-1

-1

104. -1

°C kg m J kg K W m K

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300

1002 1001 995 985 974 960 945 928 910 889 867 842 816 786 753 714

4218 4182 4178 4184 4196 4216 4250 4283 4342 4417 4505 4610 4756 4949 5208 5728

Propriétés de l'air à 1 atm 

107. -1

Pa s

2

m s

-1



 -3

-1

-1

-1

105. -1

°C kg m J kg K W m K

0,552 17,90 1,31 13,06 0 1,292 1006 0,597 10,10 1,43 7,02 20 1,204 1006 0,628 6,55 1,51 4,34 40 1,127 1007 0,651 4,71 1,55 3,02 60 1,059 1008 0,668 3,55 1,64 2,22 80 0,999 1010 0,680 2,82 1,68 1,74 100 0,946 1012 0,685 2,33 1,71 1,45 120 0,898 1014 0,684 1,99 1,72 1,24 140 0,854 1016 0,680 1,73 1,73 1,10 160 0,815 1019 0,675 1,54 1,72 1,00 180 0,779 1022 0,665 1,39 1,71 0,94 200 0,746 1025 0,652 1,26 1,68 0,89 220 0,700 1028 0,635 1,17 1,64 0,88 240 0,688 1032 0,611 1,08 1,58 0,87 260 0,662 1036 0,580 1,02 1,48 0,91 280 0,638 1040 0,540 0,96 1,32 1,02 300 0,616 1045

0,0242 0,0257 0,0272 0,0287 0,0302 0,0318 0,0333 0,0345 0,0359 0,0372 0,0386 0,0399 0,0412 0,0425 0,0437 0,0450

107. -1

Pa s

m2 s-1

1,72 1,81 1,90 1,99 2,09 2,18 2,27 2,34 2,42 2,50 2,57 2,64 2,72 2,79 2,86 2,93

1,86 2,12 2,40 2,69 3,00 3,32 3,66 3,98 4,32 4,67 5,05 5,43 5,80 6,20 6,59 6,99

0,72 0,71 0,70 0,70 0,70 0,69 0,69 0,69 0,69 0,69 0,68 0,68 0,68 0,68 0,68 0,68

259

Corrélations entre 0 et 100 °C ( température en °C) Pour l’air kg m-3 J kg-1 K1 W m-1 K-1 kg m-1 s-1 m2 s-1

1008 7,57. 10 0,0242 1,7176 10 0,0046 1,8343 10 0,0146 2,54. 10 0,7147

K-1 Pour l’eau 0,00380 4180 9,87. 10 ,

10 ,

.

,

,

,

,

0,0105

log

273

-50 °C
2r

r

Parallélépipède rectangle isotherme enterré dans un milieu semi-infini à surface isotherme



Sphère creuse

1 0,59

0,078



Cylindre au centre d’un parallélépipède de section carrée

Cylindre creux de longueur

1,685

2



0,54

2 1

0

1

0

0

1

4

0 1

1

0

261

A.2.2 : Efficacité des ailettes ≪ 1 (d’après Whitaker, 1983)

Hypothèse : Flux nul à l’extrémité de l’ailette, vérifié si Rectangulaire



2



1

avec

2

Ailette droite

Parabolique 1

1

1 2



2

1

1

Ailette circulaire

1

2

0

Aiguilles (section droite circulaire)

1

1



2

1

1

0

1

1

1

1

1

0

0

0

1

1

1

1

0

0



1

3



2√2

1 0

4 3 √2 4 3 √2

2

√2

1 2

1

√2

√2

2

Triangulaire

Parabolique

1



1

0



1 2

1

2



262

2

4

Rectangulaire

Rectangulaire

2 2

0

2 2

2

Parabolique

3

1



4 3 4 3

3

1

Triangulaire

Parabolique

2

2



2

2√2

1

2√2 2

8 9

2

1

1

A.2.3 : Equations et fonctions de Bessel Equations particulières de Bessel et leurs solutions "



0 "

′

0

 



0





0

" "

′



Fonction de Bessel de 1ère espèce non modifiée d’ordre Fonction de Bessel de 1ère espèce modifiée d’ordre Fonction de Bessel de 2ème espèce non modifiée d’ordre Fonction de Bessel de 2ème espèce modifiée d’ordre . Principales propriétés des fonctions de Bessel Récurrence

Dérivée ;

;

;

;

Limites des fonctions de Bessel d’ordre 0 et 1 Si  0 :

 1  1

 0  0

 

Si  ∞ :

 0  ∞

 0  ∞

 0  0

 

∞ ∞

∞ ∞

 0  0

Comportement asymptotique des fonctions de Bessel d’ordre 0 et 1 Si  0 :

 1







 1







Si  ∞ : 





,







,





Intégration

263





2



A.3.1 : Principales transformations intégrales : Laplace, Fourier, Hankel Transformée de Laplace Définition (Transformée inverse)

et Propriétés

, idem pour L-1

Linéarité Translation

si si

0 Changement d’échelle ′ "

Dérivation

1

0 0

′ 0

Intégration Multiplication par tn

′

1

Division par t Fonctions périodiques

(Période P)



Transformée de Fourier complexe Définition √

;

Propriétés ; Transformée de Fourier en sinus et cosinus Définitions Sinus

Cosinus :

264

√

0

Propriétés 0 0 Transformée finie de Fourier en sinus et cosinus Définitions Si la température n’est définie que sur l’intervalle 0, transformation finie de Fourier en sinus ou en cosinus :

, on peut utiliser une

ou ∑ 0

ou

∑

Propriétés 0

1

1 Transformée de Hankel d’ordre v Définition Pour

:

Propriété 1 à l’ordre 0 :

A.3.2 : Transformation de Laplace inverse Méthode analytique La transformée de Laplace

de la fonction

est donnée par :

Il n’existe pas de formule analytique générale permettant de calculer connaissant . On connait cependant l’expression exacte de pour certaines fonctions particulières , on en trouvera des exemples page suivante (cf. Spiegel pour des tables plus complètes). L’utilisation de ces tables associée aux propriétés particulières de la transformation de Laplace inverse rappelées en annexe A.2.2 peut permettre de 265

résoudre un certain nombre de cas. On essaiera toujours de décomposer une fonction complexe en somme, produit, série… de fonctions simples plus facilement inversibles. Méthodes numériques Pour les cas de figure pour lesquels on ne peut pas trouver une solution analytique, on peut employer l’une des deux méthodes numériques suivantes : Méthode de Stehfest La transformée inverse de la fonction

peut se calculer par (Stehfest, 1970) :

2

2

20 (double précision) : 5,511463844797178. 10 1,174654761904762. 10 9,228069289021164. 10 3,494211661953704. 10 2,027694830723779. 10 2,870209211471027. 10 1,219082330054374. 10 1,647177486836117. 10 6,488065588175326. 10 5,091380070546738. 10

1,523864638447972. 10 1,734244933862434. 10 2,377408778710318. 10 3,241369852231879. 10 8,946482982379724. 10 6,829920102815115. 10 1,637573800842013. 10 1,221924554444226. 10 2,333166532137059. 10 5,091380070546738. 10

10 (simple précision) : 1279



Méthode de Fourier 〈 Avec

2

〉

:

La somme infinie est dans la pratique calculée pour un nombre de fini de termes , on prendra en général 100. Cette méthode nécessite de choisir deux paramètres : et 2 0. . On doit s’assurer a posteriori que : 2 Choix d’une méthode et vérification des résultats La méthode de Stehfest est plus simple à mettre en œuvre car elle ne nécessite pas de

266

choisir certains paramètres. La méthode de Fourier peut conduire à un meilleur résultat dans le cas d’inversion de certaines fonctions comme les fonctions périodiques par exemple (Maillet et al, 2000). On peut également utiliser directement le sous-programme Matlab « Invlap » reposant sur l’algorithme de De Hoog. L’étude du comportement de la fonction aux temps longs (   soit  0) et aux temps courts (  0 soit  ) peut conduire à des formules approchées de dont on peut alors trouver la transformée de Laplace inverse analytiquement. La comparaison de ces solutions analytiques avec les résultats de l’inversion numérique donne une indication sur la justesse de l’inversion numérique.

267

A.3.2 : Transformation de Laplace inverse (D’après Spiegel,1990)

1

1

1

; 0,57721

1

Dirac

1 √

1

1

2 √

√

2 2

2

2

2 2

1

1

√

2

2

2

2



1

1,2,3 …

1 !

2

4

3

√

2

4 2√ 2

2



4

2√

2 2

2

2



2√



2

2



4

2



2√ 1

1

√

2√ 2

2 4

√

2√

2

2√

√

1 2

1 2

268

4

2√ 2

2√

√

A.3.3 : Choix des transformations intégrales pour différentes configurations (d’après Maillet et al., 2000) Plaque d’épaisseur e n°

Condition limite

Condition limite

Fonctions propres

Valeurs propres

Norme

0 1



0

2



0

3



0

4



0

5



0



0



0

2

1

2

Racines positives de 2



0



0

1

1

0

Racines positives de

0



0

2



0

7

0

Racines positives de 2



Racines positives de

8



0

0

2

2

2

6

2

2



pour n = 0 pour n = 1, 2,...

1

2

1

2

2

1

2

2

2

1 2

Racines positives de 9

2 1

0

0

1 2

2 1 2

2

1

2

2 2

1 2

1 2

2

2



269

A.3.3 : Choix des transformations intégrales pour différentes configurations (d’après Maillet et al., 2000)

n°

Cond.

Cond.

limite

limite

x=0

x=e

Equation vérifiée par les valeurs propres

Fonctions propres

Norme

Cylindre creux de rayons R1 et R2 1

2



0



0



0

0



0

0



0



0



0



0

2

0

2

1

1

1 1

1

1

2

2

0

2

0

1

2

2

1

2

1 0

2

2

2

2

2

2 1

1 1

2 1

1

2

2

2

2

0 1

2 1

1

2

1

0

1 2

2 0

1 2 2 0

2

0

2

2

0

2

2

0

0

2

0

2

2

1

1

2

0 2

0

2

2 0

1

0

1

0 0

0

1

1

0

0

2

0

1 1

2

0

2

1 1

0

2

0 0

4

1

1 1

3

1

2

2

2 1

Cylindre plein de rayon R 5



0

0

0

1

0

2 2

2

6



0

0

2

1

0

si

0

2 2

270

2

2

0

si

0

0

A.3.4 : Valeur de la fonction erf Propriétés :

1

√



Pour

1

;

√

2

√



→∞∶

√





.

. .





⋯

1.2 1 0.8

erf(x)

0.6

erfc(x) 0.4 0.2 0 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

x 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95 1

0,000000 0,056372 0,112463 0,167996 0,222703 0,276326 0,328627 0,379382 0,428392 0,475482 0,520500 0,563323 0,603856 0,642029 0,677801 0,711156 0,742101 0,770668 0,796908 0,820891 0,842701

1,000000 0,943628 0,887537 0,832004 0,777297 0,723674 0,671373 0,620618 0,571608 0,524518 0,479500 0,436677 0,396144 0,357971 0,322199 0,288844 0,257899 0,229332 0,203092 0,179109 0,157299

0,564190 0,518421 0,481106 0,452227 0,431755 0,419658 0,415910 0,420498 0,433440 0,454795 0,484684 0,523311 0,570983 0,628143 0,695397 0,773551 0,863656 0,967059 1,085464 1,221003 1,376328

1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3

0,880205 0,910314 0,934008 0,952285 0,966105 0,976378 0,983790 0,989091 0,992790 0,995322 0,997021 0,998137 0,998857 0,999311 0,999593 0,999764 0,999866 0,999925 0,999959 0,999978

0,11980 0,08969 0,06599 0,04772 0,03390 0,02362 0,01621 0,01091 0,00721 0,00468 0,00298 0,00186 0,00114 0,00069 0,00041 0,00024 0,00013 0,00008 0,00004 0,00002

1,760 2,274 2,972 3,939 5,302 7,260 10,124 14,386 20,842 30,794 46,409 71,349 111,901 179,043 292,257 486,693 826,860 1433,158 2534,205 4571,677

271

A.3.5 : Milieu semi-infini avec coefficient de transfert imposé ,

,



;



;

1 0.9 0.8 0.7

Tr(x,t)

0.6

16 14 12 10

0.5

8 7 6 5 4

15 13 11

0.4

3

1

2

9

0.3 0.2 0.1 0

10

N°

1

-1

10

2

0

3

10

4

5

1

6

10

Fo 7

8

9

2

10

10

11

3

10

4

12 13 14 15 16

Bi 0,01 0,025 0,05 0,075 0,1 0,15 0,2 0,3 0,4 0,5 0,75 1 1,5 2,5 5 10

A.3.6 : Plaque infinie d’épaisseur 2L avec température de surface imposée ,

,



;

, x = 0 sur la surface

1 0.9 0.8 0.7

4 3

0.6

Tr(x,t)

5

910 78 6

2

0.5 0.4

1

0.3 0.2 0.1 10

272

-3

10

-2

N°

1

x/L

0,1

10

-1

10

Fo

2

3

4

5

6

7

8

9

0

10

0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

10

1

A.3.7 : Plaque infinie d’épaisseur 2L avec flux surfacique imposé (x = 0 au centre de la plaque) ,

10

10



;

0

-1

Tr(x,t)

10 10

10

-2

-3

9

8

7

6

5

4 3 2 10

-4

10 -3 10

1

10

0

Tr(x,t)

10

10

-1

10

N° 0

1

x/L 0

0,1

-2

10

Fo

2

3

4

5

6

7

-1

8

10

9

0

10

0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

-2

10 -1 10

10

0

Fo

10

1

273

A.3.8 : Plaque infinie d’épaisseur 2L avec coefficient de transfert imposé ,

,



;



;

Température réduite au centre de la plaque (x/L= 0) N°

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11

12

13 14 15 16 17

Bi 0,005 0,01 0,025 0,05 0,075 0,1 0,15 0,2 0,3 0,4 0,5 0,75 1 1,5 2,5 5 10

0.9 0.8

Tr(x,t)

0.7 0.6

16 14 12 10 9 8 7 6 5 4

0.5

3

1

2

17 15 13 11

0.4 0.3 0.2 0.1 10

-1

10

0

Fo

10

1

10

2

10

3

Température réduite à la surface de la plaque (x/L= 1) 0.9 0.8

Tr(x,t)

0.7 0.6

16

0.5

14

17

0.4

10 9 8 7 6 5 4

12

15

3

1

2

13 11

0.3 0.2 0.1 10

-3

-2

10

10

-1

10

0

10

Fo

1

10

2

10

3

Rapport de la températures réduite Tr(x,t) sur la température réduite au centre T0(0,t) 1

Tr(x,t)/Tr(0,t)

0.8

1

0,1

2

0,2

3

0,3

0.6 4

0,4

5

0,5

0.4 6

0,6

7

0,9

8

0,8

9

0,9

0.2

1 3

N° x/L

4 5 6 7 8 9

10 1,0

0 -2 10

274

2

10

-1

10

0

Bi

10

1

10

10

2

10

3

A.3.9 : Matrices quadripolaires pour différentes configurations ; , ,

,

: Fonctions de Bessel cf. annexe A.2.5.

Quadripôle associé à un transfert unidirectionnel dans un milieu sans génération d’énergie (Maillet et al, 2000) Milieu d’épaisseur finie 1

1

1

T2 1

1

Φ1

2

2

Φ2

1

2 2

Mur plan d'épaisseur

Cylindre creux de rayons

2

Sphère creuse de rayons et

et

1 2 4

1

2

1

Milieu semi-infini La transformée de Laplace Φ du flux de chaleur

s’écrit : Φ

avec : = Mur semi- Cylindre semi-infini de rayon Sphère semi-infinie de rayon infini intérieur intérieur 1 1 1 1 4 2 1 1 1 1 1

Où :

est l’effusivité thermique.

275

A.3.9 : Matrices quadripolaires pour différentes configurations Quadripôle associé à une résistance de constriction (Maillet et al, 2000) (variation brusque de la section de passage du flux de chaleur) 2

r0 T

T

2

0

Transfert d’un flux à la surface d’un cylindre de rayon et d’épaisseur , avec si et infinis ̅ Φ pour

1

8 1

3

4

Avec :

;

1 alors :

Φ

1

8 3



;

avec :



Si :

Φ

pour 1

4

et finis 1 0

0 et :

solution de



1

Quadripôle associé à un transfert unidirectionnel dans un milieu avec génération d’énergie Température considérée = température moyenne de l’élément chauffant Plaque d'épaisseur 1 1

Cylindre plein de rayon et de hauteur L 1

1

1

1 1

1 4

2

2

276

Sphère pleine de rayon

3



3

1



4

1

A.3.10 : Orthogonalité des fonctions propres Prenons l’exemple où les fonctions propres et de valeurs propres sont solutions des équations différentielles suivantes sur le domaine 0 : 0

et

(a)

0

(b)

En multipliant l’équation (a) par et l’équation (b) par et en effectuant la différence des deux équations que l’on intègre ensuite sur le domaine 0 , il vient :











(c)

Il est immédiat d’intégrer le second terme de l’équation (c) pour obtenir :









0

(d)

Si les fonctions et satisfont sur les frontières du domaine à savoir en 0 et des conditions limites homogènes (une condition est dite homogène si elle est vérifiée par Kψ où K est une constante quelconque) : – Condition de Dirichlet homogène :

0

– Condition de Neuman homogène :

0

– Condition de Fourier homogène :

,

il est facile de voir que le second terme de (d) sur les frontières du domaine est nul.

On a alors : Donc :





0

si

0 soit si

.

277

A.4.1 : Emissivité de certains corps FACTEUR DE REFLEXION SOLAIRE : ALBEDO

1

0,7

0,8

0,9

0,6

0,5

0,4

Papier Chaux, plâtre

Brique rouge

Marbre blanc

0,9

0,3

Neige

Papier blanc

0,1

0

Goudron

Asphalte Tuile rouge Peinture noire

Peinture acrylique blanche

0,8

0,2

Béton clair

Ardoise

Craie

MATERIAUX SELECTIFS FROIDS

0,7

CORPS NOIRS

FACTEUR D’EMISSION IR

0,6 0,5

Aluminium oxydé

0,4

Cuivre terni

MATERIAUX REFLECTEURS

MATERIAUX SELECTIFS CHAUDS

0,3 Acier galvanisé oxydé

0,2 Acier galvanisé neuf

0,1

0

0,1

0,2

Surfaces sélectives

Tôle aluminium

Aluminium poli

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

FACTEUR D’ABSORPTION SOLAIRE = 1 - ALBEDO

A.4.2 : Fraction d’énergie rayonnée par un corps noir 100

F0-T (%)

80



60

F0 T 

40

 Mo

T

d

0

T4

20 0 0

5000

10000

15000

T (m.K)

278

20000

25000

30000

1

Fraction d’énergie rayonnée par un corps noir  b

b

0

40

80

120

160

1 000 1 200 1 400 1 600 1 800 2 000 2 200 2 400 2 600 2 800 3 000 3 200 3 400 3 600 3 800 4 000 4 200 4 400 4 600 4 800 5 000 5 200 5 400 5 600 5 800 6 000 6 200 6 400 6 600 6 800 7 000 7 200

0,03 0,21 0,78 1,97 3,94 6,68 10,09 14,03 18,32 22,79 27,33 31,81 36,18 40,36 44,34 48,09 51,60 54,88 57,93 60,66 63,38 65,80 68,04 70,11 72,02 73,78 75,41 76,92 78,32 79,61 80,90 81,92

0,05 0,29 0,96 2,30 4,42 7,31 10,84 14,86 19,20 23,70 28,23 32,70 37,03 41,18 45,11 48,81 52,28 55,51 58,51 61,30 63,88 66,26 68,46 70,50 72,38 74,12 75,72 77,21 78,59 79,86 81,04 82,13

0,08 0,38 1,17 2,66 4,94 7,97 11,61 15,71 20,09 24,61 29,13 33,58 37,88 41,98 45,87 49,53 52,94 56,13 59,09 61,83 64,37 66,72 68,88 70,89 72,74 74,45 76,03 77,49 78,85 80,10 81,26 82,34

0,11 0,49 1,41 3,06 5,49 8,65 12,40 16,57 20,99 25,51 30,03 34,45 38,71 42,78 46,62 50,23 53,60 56,74 59,65 62,35 64,85 67,16 69,30 71,27 73,09 74,78 76,33 77,77 79,11 80,34 81,47 82,55

0,16 0,62 1,68 3,48 6,07 9,36 13,21 17,44 21,89 26,42 30,92 35,32 39,54 43,56 47,36 50,92 54,25 57,34 60,21 62,87 65,33 67,60 69,70 71,65 73,44 75,10 76,63 78,05 79,36 80,58 81,70 82,75

b a 10 000 11 000 12 000 13 000 14 000 15 000 16 000 17 000 18 000 19 000 20 000 30 000 40 000 50 000 60 000 70 000 80 000

7 400

82,95

83,15

83,34

83,53

83,72

90 000

99,98

7 600

83,91

84,09

84,27

84,45

84,62

100 000

99,98

a

a 7 800 8 000 8 200 8 400 8 600 8 800 9 000 9 200 9 400 9 600 9 800 10 000

0

40

80

120

160

84,80 85,63 86,40 87,12 87,80 88,41 88,89 89,55 90,06 90,54 90,99 91,42

84,97 85,78 86,55 87,25 87,92 88,53 89,11 89,65 90,16 90,63 91,08

85,14 85,94 86,69 87,39 88,04 88,65 89,22 89,76 90,26 90,72 91,16

85,30 86,10 86,83 87,52 88,17 88,77 89,33 89,86 90,35 90,81 91,25

85,47 86,25 86,98 87,66 88,29 88,88 89,44 89,96 90,45 90,90 91,33

0

200

400

600

800

91,42 93,18 94,50 95,51 96,29 96,89 97,37 97,77 98,08 98,34 98,55 99,53 99,78 99,89 99,93 99,96 99,97

91,81 93,48 94,73 95,68 96,42 97,00 97,46 97,83 98,14 98,38

92,19 93,76 94,94 95,84 96,54 97,10 97,54 97,90 98,19 98,43

92,54 94,02 95,14 96,00 96,67 97,19 97,62 97,96 98,24 98,47

92,87 94,27 95,33 96,14 96,78 97,29 97,69 98,02 98,29 98,51

Utilisation :

Exemple : 2720 μm K se lit à 2600 + 120 d’où : 20,99 %

279

A.4.3 : Facteurs de forme géométrique de rayonnement (d’après Siegel et Howell, 1992) Configuration

Schéma

Valeur du facteur de forme

1

Surface élémentaire parallèle à un plan rectangulaire



1

1 2

1 2

2

√1

2

√1



2

√1



1 2

√1

2

;

1

Source linéaire parallèle à un plan rectangulaire

1

2

1

1



1

1 2

√1



2

2

√1

1 2

2

√1

; 1 2

2

1 2



1

1

Source linéaire parallèle et plan rectangulaire se coupant avec un angle 

2

2

1 2

2 1

2

2 2

1

2



1



1

1



;

2

;

2

2



1 2

1

2√

1

1

Deux plans parallèles rectangulaires de même aire

2√





1



280

2

1 2

2 1 1 2



√

1 2 1 2 2 1

1

√

2

2

1

;

1

1

√

;

Deux bandes parallèles infinies de largeurs différentes

1 2

1

2



1 ;

2

;

1

2

1



2

4

2

4

2

4

2

4

2

;

1

1

si

A.4.3 : Facteurs de forme géométrique de rayonnement (d’après Siegel et Howell, 1992) Configuration

Schéma

Valeur du facteur de forme 1 2 2

1

Deux plans rectangulaires perpendiculaires ayant un côté commun



1

2

1 4

2

1

2

2

1

2

2

2

1 2

2

;

2

1

1 2

2

2

1

1

1

2

1

2

2

1

2

2

2

2

1

1

;

2

1

2

1



1

2

1

2 2

1

→∞

si



Deux plans identiques ayant un côté commun

1 2

1

1

2 1

2

2



Deux rectangles perpendiculaires

1

2

3

4

5

6

2

1 6

1 2 1

1

2

3

4

3

4

1234 56

34 56

6 6 24 6 6 4

5 5 13

5 5 3

1

3

4

Deux rectangles parallèles

1 7 6

1 4 1

1234 1234 5678 3 3 7

1 1 5

4 4 8

14 14 58

2 2 6

12 12 56

34 34 78

23 23 67

5

7

8



Surface élémentaire perpendiculaire à une surface



1 2

2

1 2

1

1

1 1

1

1

√

2

2

1



;

281

A.4.3 : Facteurs de forme géométrique de rayonnement (d’après Siegel et Howell ,1992) Configuration

Schéma

Valeur du facteur de forme

1

2

2



Deux cylindres infinis à axes parallèles

2

1 2



1

1

1

2 1

2



2

Deux disques parallèles

1

1 2

1 2



2

;

1

;

2 2

4

2

1

2

1 2 1

1

2





Deux cylindres finis coaxiaux

1

1

1

1 1



4 2

2

2

2

3

1

1 1 2

1 3

2

2 2 2

;

2√

1

2 2 2 2 2 1

2 1

4

2 4

4 2

2

1

1 2 2

;

2



1

0

2

2

2

2

2 2



2

; 2

4 2

1

1

;

2

2

√

1

2 1

2

1;

2 2

1

1

1 2



282

1

1 2



Un plan rectangulaire et un cylindre à axe situé dans le plan médian au rectangle

2 1

2

2

2

1 1

4



1



2

2

1

1

2

2

; 2

1;

2

2

2

1

1

A.4.3 : Facteurs de forme géométrique de rayonnement 1

c

S2

0.5 0.4 0.3 0.2

f1-2

5 2

b

a

S1

c/a=10 3 1.5 1 0.8 0.6 0.5 0.4 0.3

0.1

0.25

0.05 0.04

0.1

0.03 0.02

0.01 0.1

0.2

b 0.5

S2

0.3

0.5

1

1.5 2 b/a

3

4 5

10

20

c

S1

a

c/a=0,1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.8 1.0

0.4

0.3

f1-2

1.5 2 3 4 5 10 20

0.2

0.1 0.05 0.02 0 0.1

0.2

0.3

0.5

1 b/a

1.5

2

3

4

5

10

283

A.4.4 : Epaisseurs de gaz équivalentes vis-à-vis du rayonnement

Géométrie du volume Hémisphère rayonnant vers son centre Sphère rayonnant vers sa surface Cylindre de hauteur égale au diamètre rayonnant vers le centre de la base Cylindre infini rayonnant vers sa surface Cylindre semi-infini rayonnant vers le centre de sa base Cylindre semi-infini rayonnant vers toute la base Cylindre de hauteur égale au diamètre rayonnant vers toute la surface Lame à faces parallèles Cube rayonnant vers une face Parallélépipède rectangle : Rayonnement vers toutes les faces Rayonnement vers Rayonnement vers Volume de gaz autour d’un faisceau de tubes et rayonnant sur un seul tube :

Dimension caractéristique

é

Rayon Diamètre

2/3 R

Diamètre

0,77D

2/3 0,71

0,95

Diamètre

0,90

Diamètre

0,65

Diamètre

0,60 Diamètre

2/3

Epaisseur Côté

2 2/3

1,80 0,60

Plus petit côté

8/9

0,81 0,71 0,82

– Disposition en triangle équilatéral : 2 3

– Disposition en carré 2

284

3,4 –

Diamètre D du tube 4,45 – Pas entre centres des tubes 4,1 –



3 –



3,8 (p – D) 3,5 –

A.5.1 : Les équations de conservation Nomenclature Capacité calorifique à volume constant Capacité calorifique à volume constant Force résultante du champ extérieur par unité de masse fluide Pression Température Composante de la vitesse selon Ox Energie interne par unité de masse Vitesse moyenne Composante de la vitesse selon Oy Composante de la vitesse selon Oz Densité de flux de chaleur Viscosité dynamique Viscosité cinématique Masse volumique

J kg-1 K-1 J kg-1 K-1 N kg-1 Pa °C m s-1 J kg-1 m s-1 m s-1 m s-1 W m-2 kg m-1 s-1 m2 s-1 kg m-3

Indices : Entrant Généré Sortant 1. Notations Soit , , un champ scalaire et utilisera les notations suivantes :

Opérateur

un champ vectoriel. On



:

Dérivée particulaire de

Dérivée particulaire de

:

Divergence de

:



.V

Rotationnel de

:



^V

285

Gradient de Laplacien de



: ∆

:



2 2





2

2 2



2







2. Equation de conservation de la masse Considérons l’écoulement d’un fluide et effectuons un bilan matière sur le système constitué par l’élément parallèlépipèdique de fluide de côtés ∆ , ∆ et ∆ et de masse : ∆



∆

∆

La conservation de la masse dans ce volume entre les instants et s’écrire pour chacun des composants du mélange :

t peut

Masse entrante + Masse initiale + Masse générée = Masse finale + Masse sortante

Ce bilan permet d’établir l’équation de continuité (voir cours de mécanique des fluides) : . ρV où :

0

(1)

Masse volumique Vitesse

3. Equation du mouvement : Navier-Stokes

On se propose ici d’établir l’équation régissant le mouvement d’un fluide supposé monocomposant. On peut appliquer à un volume élémentaire ∆ ∆ ∆ de fluide la loi de Newton : où :

La composante On peut écrire

La relation 286

Accélération du fluide (m.s-2)

de la force

suivant la direction

s’écrit :

en utilisant un développement de Taylor à l’ordre 1 :

permet d’écrire pour un temps

très court pendant

lequel reste constant : sous la forme :

,

,

, ce qui permet d’écrire du

≡

Et :

Ecoulement sans forces visqueuses Les forces agissant sur le fluide sont de deux types : – Des forces dues à un champ extérieur (pesanteur par exemple) qui s’appliquent sur tout le volume, on notera leur résultante par unité de masse. – Des forces de pression qui agissent sur les surfaces du volume considéré. La loi de Newton selon

s’écrit :

Δ Δ Δ

Δ Δ Δ

Δ Δ Δ

Et si l’on écrit cette expression suivant les 3 directions, on obtient l’équation (locale) d’Euler : (2) Cette équation permet de traiter les cas où les forces visqueuses sont absentes : hydrostatique (fluide au repos) ou négligeables : écoulements à grande vitesse loin de la paroi (gradient de vitesse très faible). On peut aussi l’écrire sous forme intégrale sur un volume Λ délimité par une surface Σ : dv





.

0

(3) Où

est la normale à la surface Σ dirigée vers l’extérieur du volume Λ.

Ecoulement avec forces visqueuses

Par rapport au cas précédent, il faut ajouter aux forces de surface dues au gradient de pression des forces de cisaillement parallèles aux surfaces du système considéré. On adoptera les notations suivantes pour les forces de cisaillement (frottement visqueux) s’appliquant sur les surfaces d’un volume élémentaire : – , , : composante normale de la force de surface suivant les directions , et . – , , , , , : composante tangentielle de la force de surface : er le 1 indice indique la direction normale à la surface considérée, le 2ème indice 287

indique la direction dans laquelle la composante agit. La loi de Newton permet alors d’écrire selon chacune des 3 directions :

Cette formulation est valable pour tous les fluides. Cas d’un fluide newtonien Un fluide est dit newtonien si les contraintes de cisaillement sont proportionnelles aux gradients de vitesse, on a dans ce cas : ;

; ; .

et :

.

;

.

;

est appelée la viscosité dynamique du fluide et s’exprime en kg m-1 s-1 En remplaçant le tenseur des contraintes par cette expression dans l’équation générale du mouvement déduite de la loi de Newton on obtient finalement .

l’équation de Navier-Stokes : 1

1 3

2

.

(4)

Viscosité cinématique exprimée en m2 s-1

où : et :







Pour un fluide incompressible : . de l’équation de Navier-Stokes : 1

2



0 et on obtient une forme simplifiée

(5)

Où : Force de volume due à un champ extérieur (pesanteur par exemple) Cette dernière équation prend la forme suivante en coordonnées cartésiennes :

288

1











1 1 En régime permanent cette équation peut s’écrire sous la forme intégrale suivante (théorème d’Euler) :



.





(6)

Où : forces extérieures (par unité de surface) s’exerçant par contact sur les faces de la surface Σ délimitant le volume Λ. 4. Equation de conservation de l’énergie On considère comme système le volume de fluide de côtés

,

,

centré

sur le point de coordonnées , , . On appellera , , les vecteurs unitaires des axes , et . On applique à ce système le premier principe de la thermodynamique entre les instants :

et

pendant lequel le volume effectue un déplacement Δ

Où : Δ Δ

Δ

Δ

Δ

Accumulation d’énergie interne et cinétique au sein du fluide contenu dans le volume Energie interne et cinétique entrant dans le système – énergie interne et cinétique sortante Travail des forces visqueuses agissant sur les surfaces du système Travail des forces de pression sur les faces du système Travail des forces du champ extérieur dans le volume Energie de conduction entrant dans le système – énergie de conduction sortante On a : Δ



Pour calculer Δ , calculons par exemple l’énergie cinétique et interne entrant en à travers la surface perpendiculaire à : La masse traversant cette surface pendant un temps s’écrit : Et l’énergie cinétique et interne entrante a pour valeur : Δ 289



L’expression complète de Δ

Δ

s’écrit donc : 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

Or : D’où :

1 2

Δ

1 2

1 2 1 2

.

.

.



. .

.



.

.

.

Or : .

D’où : .



.

.

.





.



.







.

.



.



.

.

Δ

d’où : Δ

Or :



On aboutit à l’équation de l’énergie : 1 1 . 2 2

.

.

En combinant cette équation avec l’équation de continuité et avec l’équation de Navier-Stokes, on établit une autre forme de l’équation de l’énergie :

: Où :

290

:

.

(7)

représente l’augmentation de l’énergie interne due au transfert de Le terme chaleur par conduction qui s’écrit en appliquant la loi de Fourier : .

D’où :

où :

2

2

2

2



2



2



est le Laplacien.

Le terme est l’augmentation due aux forces de pression de l’énergie interne de l’élément par unité de volume. Ce terme est nul pour un fluide incompressible. Le terme de dissipation visqueuse : est une quantité positive qui représente la transformation irréversible d’énergie mécanique en énergie thermique. Les relations classiques de la thermodynamique permettent d’écrire l’énergie interne sous la forme : 1

Ce qui permet d’écrire : L’équation de continuité conduit à : . Et à une nouvelle forme de l’équation de l’énergie : 2

.

:

(8)

Le terme  :.V est important dans les écoulements à très grande vitesse (vitesse du son) et dans les zones à forts gradients de vitesse (près des parois). On peut le négliger dans les autres cas ce qui est fait dans ce qui suit. On montre que la relation (8) peut aussi s’écrire : 2

:

Si l’on fait de plus l’hypothèse du gaz parfait, on a les relations :

(9) et :

1 Pour un fluide à pression constante dans lequel on néglige les effets visqueux (ou pour un solide), la relation (9) s’écrit : . Dans le cas d’un solide

2

(10)

0 et on obtient :

291

2

(11)

C’est l’équation de Poisson qui régit la diffusion de la chaleur.

292

A.5.2 : Corrélations pour les coefficients de transfert en convection forcée Caractéristiques du fluide calculées à Géométrie

Corrélation à la distance du bord du plan moyen sur la longueur du plan

: :

5. 105 et

Ecoulement turbulent : ( 0,8

0,0288 0,8 0,035

Ecoulement sur un plan

1

1

5. 105 et 10

0,5 0,5

1



1

Ecoulement dans un tube

0,5

3

3

Ecoulement turbulent : ( 0,023

3

3

Ecoulement laminaire : ( 0,324 0,628

0,5

5000 et 100

0,6

0,8

0,3 si 0,4 si 4

calculé pour où : est la section de passage du fluide et le périmètre de contact fluide/paroi 1,86

Ecoulement laminaire : 10 ,

Valable pour

1

3,

Ecoulement perpendiculaire à un cylindre circulaire (Jakob, 1947)

vitesse

1

1

3

3

0,14

calculé à

∞

calculée en amont du tube

0,4 – 4 0,989 4 – 40 0,911 40 – 4000 0,683 4000 – 40000 0,193 40000 - 250000 0,0266

0,330 0,385 0,466 0,618 0,805

Géométrie Ecoulement perpendiculaire à un cylindre non circulaire (Jakob, 1947)

∞

∞



5 103 - 105

0,102 0,675

4 103 - 1,5 104

0,228 0,731

293

A.5.2 : Corrélations pour les coefficients de transfert en convection forcée Caractéristiques du fluide calculées à Géométrie

Corrélation 1



3,

vitesse

1,25

∞

calculée en amont du tube

1,5

2,0

3,0

Disposition en ligne 1,25 1,5

0,386 0,592 0,305 0,608 0,111 0,704 0,070 0,752 0,407 0,586 0,278 0,620 0,112 0,702 0,075 0,744

2,0 3,0

0,464 0,570 0,332 0,602 0,254 0,632 0,220 0,648 0,322 0,601 0,396 0,584 0,415 0,581 0,317 0,608 Disposition en quinconce

Ecoulement perpendiculaire à un faisceau de 10 tubes (Grimson, 1937)

0,16

-

-

0,9 1,0

-

-

-

-

-

0,236 0,636

1,125 1,25

0,531 0,565 0,575 0,560 0,575 0,556 0,561 0,554 0,576 0,556 0,579 0,562

1,5 2,0

0,501 0,568 0,511 0,562 0,502 0,568 0,542 0,568 0,448 0,572 0,462 0,568 0,535 0,556 0,498 0,570

3,0

0,344 0,592 0,395 0,580 0,488 0,562 0,467 0,574

Disposition en ligne

Ecoulement perpendiculaire à un faisceau de n rangées de tubes (  10) (Grimson, 1937)

-

0,495 0,571 0,445 0,581 0,552 0,558 -

Disposition en quinconce

10

Nombre rangées 1 en ligne

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0,64 0,80 0,87 0,90 0,92 0,94 0,96 0,98 0,99 1,0

en quinconce 0,68 0,75 0,83 0,89 0,92 0,95 0,97 0,98 0,99 1,0

294

A.5.3 : Corrélations pour les coefficients de transfert en convection naturelle (d’après Holman, 1990)



Corrélations valables pour tous fluides : Géométrie Plaques et cylindres verticaux

104 - 109 109 - 1013

0,59 0,021

1/4 2/5

Cylindres horizontaux

10-10 - 10-2 10-2 - 102 102 - 104 104 - 107 107 - 1012

0,675 1,02 0,850 0,480 0,125

0,058 0,148 0,188 0,25 0,33

Face supérieure d’une plaque chaude ou face inférieure d’une plaque froide

2.104 - 8.106 8.106 - 1011

0,54 0,15

0,25 0,33

Face inférieure d’une plaque chaude ou face supérieure d’une plaque froide

105 - 1011

0,27

0,25

Cellule fermée rectangulaire inclinée 1

1

3

1 < 2

,

12

1

1708

1,8

1,6



∗

1

5830

Convection naturelle

2

1



∗

1708

1,44 1

1 4800 Si : 0 Les grandeurs * sont prises égales à 0 si le résultat de leur calcul conduit à un nombre négatif (Hollands et al, 1976)

Relations simplifiées pour de l’air à pression atmosphérique Géométrie

104

Laminaire

Plaque ou cylindre vertical

1,42

Cylindre horizontal

1,32

Face supérieure d’une plaque horizontale chaude ou face inférieure d’une plaque froide

1,32

Face inférieure d’une plaque chaude ou face supérieure d’une plaque froide

0,59

Δ Δ

Δ Δ

109 1

1

1

1

4

4

4

4

Turbulent 109 1

1,31

1

1,24

1

1,52 0,59

Δ

1

3

3

3

4

295

A.6.1 : Abaques NUT / efficacité pour les échangeurs

0 0,25 0,5 0,75 1 1,33 2 4 Point 1

2

3

4

5

Echangeur co-courant

6

7 8

Echangeur contre-courant 100

100 1

80

2

 (%)

40

40

0 0

1

2

3

4

0

5

1

NUTmax

2

3

4

5

4

5

NUTmax

Echangeur 1-2

Echangeur 2-4 100

100

1

1 2

80

80

3 4 5

3

40

2 4

5

60

 (%)

60

 (%)

4

20

0

40 20

20

0

0 0

1

2

3

4

0

5

1

2

NUTmax

3

NUTmax

Courants croisés, 1 fluide non brassé

Courants croisés, 2 fluides non brassés

100

100

3 4

60

5

8 7 6

60 é

40

1 2 3 4 5

80

 (%)

1/9 2

80

 (%)

2

3

60

20

é

20

40 20

0 0

1

2

3

NUTmax

296

1

5

3 4 5

60

 (%)

80

4

5

0 0

1

2

3

NUTmax

4

5

297

Cet ouvrage a été composé par Edilivre 175, boulevard Anatole France – 93200 Saint-Denis Tél. : 01 41 62 14 40 – Fax : 01 41 62 14 50 Mail : [email protected]

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Imprimé en France, 2016

298