TP3 Force Exercée Par Un Jet [PDF]

Zitiervorschau

Force exercée par un jet Mélanie Zenoni – Mohamed Tohtouh – Marco Rohbohm Octobre/Novembre 2018

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Table des matières 1 Introduction

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2 Travail préliminaire 2.1 Théorème de la quantité de mouvement . . . . . . . . . . . 2.2 Force exercée par un jet sur un auget . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Influence du type d’auget sur l’angle a . . . . . . . . . . . .

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3 Description de l’appareillage et mesures 3.1 Différence entre les vitesses V0 et V1 . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Forces agissant sur le bras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Tableaux des mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4 Exploitation des résultats et analyse 11 4.1 Force normalisée en fonction de la vitesse V1 . . . . . . . . 12 4.2 Forces Fexp et Fth en fonction de la vitesse V1 . . . . . . . . . 13 4.3 Analyse et commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 4.4 Erreur commise sur le débit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 4.5 Erreur commise sur la force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 5 Conclusion

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1 Introduction Lorsqu'un jet fluide vient frapper une surface solide, il exerce sur celle-ci une force qui est fonction de la vitesse du jet et de la forme géométrique du solide. En effet, la force exercée par un écoulement sur un système et l’énergie transférée à un fluide pour le mettre en mouvement sont des sujets importants dans le domaine de l’énergétique. Les applications des jets sont très nombreuses: turbines, propulsion par fusée, par hélices, par coussin d'air etc. Dans ce TP, les manipulations effectuées nous permettrons d'étudier l'impact d'un jet d'eau sur deux obstacles différents: auget plan et auget hémisphérique.

2 Travail préliminaire 2.1 Théorème de la quantité de mouvement

FIGURE 2.1 – Jet impactant un auget

Hypothèses:

1. Filet

de courant assez étroit pour que les quantités P,  et V restent constantes dans une section droite. 2. Mouvement permanent donc indépendant du temps. 3. Fluide incompressible 3

Soient V1 et V2 les vitesses supposées constantes des sections AB et CD (cf. FIGURE 2.1). Le torseur des quantités de mouvement qui sorte du volume ABCD est égal au torseur des forces extérieures appliquées au même volume. En égalant la résultante de ces torseurs, on obtient la relation suivante  ⃗1 ) =∑ ⃗ Q (⃗ V 2−V F

avec: Q le débit

2.2 Force exercée par un jet sur un auget On cherche a démontré l’expression de l’approximation de la force exercée par un jet sur un auget afin de tester la validité de ce résultat pour un jet vertical ascendant impactant un auget plan horizontal.

FIGURE 2.2 – Jet impactant un auget hémisphérique

Soit un jet d’eau frappant un obstacle soit ici un auget hémisphérique (cf. figure 2.1), si on néglige les frottements et les pertes de charges, la seule force extérieure est la force ⃗ F ' qu’exerce l’obstacle sur le jet. En appliquant le théorème d’Euler au volume ABCD Q (⃗ V 2− ⃗ V 1 ) =⃗ F'

En projetant l’équation suivant l’axe Ox colinéaire au jet incident 4

Q ( V 2 cos a−V 1 )=F '

où a est l’angle entre la direction du jet et l’axe Ox. Les sections AB et CD sont dans le même plan horizontal (il n’y a pas d’effet de la gravité) et on négligeant les frottements on a V2 = V1. Donc:

'

F =QV 1 ( cos a−1 )

Finalement la force F exercée par le jet sur l’obstacle est donc égale et opposé à la force F’ qu’exerce l’obstacle sur le jet d’après la 3 ème loi de Newton (action/réaction). Ainsi: Or: Par conséquent:

F=Q V 1 ( 1−cos a )

Q=V 1 A1

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F= A1 V 1 ( 1−cos a )

2.3 Influence du type d’auget sur l’angle a Pour un auget plan, l’angle a entre les lignes de courant à la sortie de l’auget et la direction du het incident est de 90º. Donc on a F ¿ A1 V 21 pour ce cas. Pour un auget hémisphérique, l’angle a entre les lignes de courant à la sortie de l’auget et la direction du het incident est de 180º. Donc on a pour ce cas F¿ 2 A 1 V 21 . A priori on pourrait dire qu’il est plus efficace d’avoir un auget hémisphérique plutôt qu’un auget plan car la force F est plus importante pour l’auget hémisphérique.

3 Description de l’appareillage et mesures 5

Un jet d’eau vertical ascendant crée par une pompe sort d’une buse et percute un auget lié à une balance. On règle le débit du jet par une vanne, et, on mesure celui-ci par le temps de remplissage du bac de récupération de l’eau. Par la suite, on réalisera les expériences pour deux types d’augets différents: plan et hémisphérique. D’autre part, ces deux types d’augets seront montés sur la balance. Celle-ci nous permettra de mesurer la force exercée par le jet sur l’auget, en déplaçant la masse mobile de façon à ramener le bras à l’horizontale. Voici le schéma expérimental:

FIGURE 3.1 – Schéma du montage

3.1 Différence entre la vitesse V0 et V1

On note V0 la vitesse du jet à la sortie de la buse et V 1 la vitesse du jet juste avant l’impact avec l’auget. Voici un schéma qui représente la situation: 6

FIGURE 3.2 – Schéma représentatif des vitesses V0 et V1

Calcul de la vitesse V0: On peut, grâce aux appareils de mesure que l’on possède, mesurer le débit massique à la sortie de la buse. On pourra ainsi déterminer la vitesse V 0 qui est supposé constante à la sortie de la tuyère:

()

d Q = ρ V0 П 2

D’où:

V0 =

2

4Q 2 ρП d

avec: D - diamètre de la tuyauterie Q - le débit

Calcul de la vitesse V1: On applique le théorème de Bernoulli à une ligne de courant passant par les points 0 et 1. On a: 1 1 ρ V02 + ρ g h0 + P0 = ρ V12 + ρ g h1 + P1 2 2

Dans notre cas: D’où: Or:

P 1 = P0 = Patm V12 = V02 + 2 g (h0 - h1) h 0 - h1 = h 7

Donc:

V 1 = √ V 20−2 g h

Différence entre V0 et V1: Donc, la différence entre V12 et V22 est le terme (-2gh): V12 = V02 - 2 g h

3.2 Forces agissant sur le bras En absence du jet: Voici les forces agissant sur le bras en absence de jet.

FIGURE 3.3 – Schéma en absence du jet

avec:

xr – position du ressort x0 – position de la masse M en absence du jet Ainsi, on a comme condition d’équilibre pour ce cas: ⃗ F ressort

D’où:

xr = M ⃗g x0

⃗ F ressort

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=

x0 M ⃗g xr

Remarque: Le ressort sert à maintenir l’équilibre quand il n’y a pas de jet. En effet, sans lui, on n’aurait pas cet équilibre. En présence du jet: Voici les forces agissant sur le bras en présence de jet.

FIGURE 3.4 – Schéma en présence du jet

avec: xM – position de la masse en présence de jet x r – position du ressort x0 – position de la masse M à l’absence du jet x = xM – x0 Ainsi, on a comme condition d’équilibre pour ce cas: ⃗ F th

Or: En projetant sur x:

L + ⃗F ressort xr = M ⃗g xM ⃗ F ressort

Fth =

xr = M ⃗g x0

M g(x M −x 0) L

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Fth =

Donc:

Mgx L

3.3 Tableaux de mesures Pour les deux expériences réalisées, on obtient les tableaux suivants, en fonction du type d’auget utilisé:

FIGURE 3.5 – Tableau des mesures pour l’expérience avec l’auget plan

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FIGURE 3.6 – Tableau des mesures pour l’expérience avec l’auget hémisphérique

4 Exploitation des résultats et analyse Le but de notre expérience est de tracé la force normalisée F en fonction de la vitesse V1 pour le cas théorique et expérimental et d’analyser ces courbes. Il faut savoir que l’on trace une force normalisée et non simplement la force F car la vitesse V1 du jet arrivant sur l’auget varie au cours de l’expérience. Par la suite, on va donc étudier deux cas: un jet impactant un auget plan et un jet impactant un auget hémisphérique. De plus, en fait le fluide n’est pas parfait et il se produit dans l’écoulement une perte d’énergie due aux frottements. Par conséquent V 1 n’est pas égal à V2. On tient compte des frottements en introduisant de manière empirique un coefficient C appelé souvent coefficient de rendement et définit de la manière suivante:

C=

F exp soit Fexp = C Q V1 (1 – cos a) Fth

4.1 Tracé de la force normalisée en fonction de la vitesse V1 Voici la courbe tracée pour le cas de l’auget plan:

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FIGURE 4.1 – Force normalisée en fonction de V1 pour un auget plan

Voici la courbe tracée pour le cas de l’auget hémisphérique:

FIGURE 4.2 – Force normalisée en fonction de V1 pour un auget hémisphérique

4.2 Tracé de la force Fexp et Fth en fonction de la vitesse V1

Pour completér encore plus ce TP, on a aussi choisi de tracer les courbes des forces Fexp et Fth en fonction de la vitesse de l’eau sortant de la buse. Voici la courbe tracée pour le cas de l’auget plan:

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FIGURE 4.3 – Forces Fexp et Fth en fonction de V1 pour un auget plan

Voici la courbe tracée pour le cas de l’auget hémisphérique:

FIGURE 4.4 – Forces Fexp et Fth en fonction de V1 pour un auget hémisphérique

4.3 Analyse et commentaires

Pour chaque auget, hémisphérique et plan, sur les figures 4.1 et 4.2, on a tracé les forces normalisées en fonction de la vitesse V 1. On en conclut que nos résultats sont assez corrects car on obtient une droite qui est presque horizontale et égale à 1 donc nos expériences sont bien validées par la théorie. D’autre part, pour les courbes 4.3 et 4.4, on remarque qu’il y a un petit écart entre la théorie et l’expérience. Ceci est cohérent car il y a de nombreuses 13

incertitudes effectuées sur les mesures: Les unes étant directement liées à la façon de faire de l’opérateur par rapport à l’enclenchement, déclenchement du chronomètre, la lecture du volume d’eau, etc, et, les autres, étant liées aux appareils de mesure, au réglage du banc d’essai, etc. Tous ces facteurs sont des paramètres qui ont une influence non négligeable sur les résultats. De plus, on constate que cette différence, entre courbes expérimentales et théoriques, varie selon le débit utilisé et l’erreur est plus grande si la force exercée par l’eau sur l’auget est importante. On peut donc dire que la vitesse V1 a aussi une influence sur la façon dont va réagir l’obstacle quand il va être atteint par l’eau: Plus le débit sortant de la buse est grand et plus la force est importante, donc, plus l’erreur entre Fexp et Fth aussi. Ainsi, on remarque que les valeurs des forces varient selon la géométrie de l’auget, et donc, on peut déduire que la géométrie de l’obstacle influe assez sur la capacité de la résistance face à la force exercée par l’eau.

4.4 Erreur commise sur le débit Toute expérience possède des erreurs absolues: ici, on a des erreurs liées au volume mesuré dans le réservoir et à la prise du temps à l’aide du chronomètre, soit une erreur sur le débit.

Pour la prise du temps: On a pris le chronomètre et on a vu le temps que l’on met pour réagir et cliquer sur le bouton start. On met 20 ms pour déclencher le chronomètre et 20 ms pour l’arrêter, ce qui nous fait un total de 40 ms. Donc: Δt = 20 ms Pour la mesure du volume: Pour commencer, on a mesuré la surface du réservoir d’eau, soit S = 0,600 x 0,375 = 0,025 m 2. Puis, on a multiplié cette surface par une épaisseur: cette épaisseur correspond à l’erreur que l’on fait en lisant la valeur sur la graduation du réservoir, soit e = 0,002 m. D’où, V = 0,025 x 0,002 = 0,45L. Donc: ΔV = 0,225 L On a donc pour le débit une erreur relative de

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ΔQ Q

=

Δt t

+

ΔV V

Soit une erreur absolue

Δ Q=

(

Δt t

+

ΔV Q V )

Ainsi à l’aide du logiciel Excel on calcule ΔQ pour toute la série de mesures et on en fait la moyenne. ΔQ = 4,63x10-6 m3s-1 pour l’auget plant On trouve finalement: ΔQ = 4,38x10-6 m3s-1 pour l’auget hémisphérique

4.5 Erreur commise sur la force On cherche à connaitre l’erreur commise sur la force F donc on commence par établir l’expression théorique de l’erreur relative de F. On part de : D’où:

Or: D’où:

Finalement:

F =  Q V1 (1 - cos a) F Q V1 = + F Q V1 Q Q V1 = S = d 2 4 V1 Q = Q V1

F=2

car pas d’erreur sur d (donnée)

Q F Q

Connaissant les erreurs liées à la mesure du débit on peut donc estimer l’erreur commise sur la force F.

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Pour le débit: On a une erreur absolue de ΔQ = 4,63x10-6 m3s-1 pour l’auget plan et ΔQ = 4,38x10-6 m3s-1 pour l’auget hémisphérique. Ainsi à l’aide du logiciel Excel on calcule ΔQ pour toute la série de mesures et on en fait la moyenne. ΔF =0,05 N pour l’auget plant On trouve finalement: ΔF =0,07 N pour l’auget hémisphérique

5 Conclusion: la turbine Pelton Une turbine Pelton est un type de turbine hydraulique à augets utilisée dans les centrales hydroélectriques. Cette turbine est du type « à action » car l’énergie potentielle de l’eau s'écoulant dans une conduite forcée est transformée en énergie cinétique par l'intermédiaire d’un jet d’eau qui agit directement sur les augets de la roue. Voici un schéma de celle-ci:

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Augets

FIGURE 5.1 – Schéma d’une turbine Pelton

À l’aide de ce travail, on a vu que la force impactant un auget hemisphérique est supérieure qu’à celle d’un auget plan. Donc, c’est pour cela que la turbine Pelton a été optimisé en installant des auget plutôt hémisphériques qui permettent de rejetter l’eau pour pas qu’elle remonte au niveau de la turbine. Par contre, les augets ne sont pas totalement hémisphériques car si c’était le cas, la direction de l’eau rejetté par les deux augets, étant face à face, serait la même: de cette façon, les directions ne sont plus les mêmes, donc l’eau pourra parfaitement se disperser sans gener la turbine.

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