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Zitiervorschau

MAT2717 – PROCESSUS STOCHASTIQUES SOLUTIONS DU TP1 THOMAS DAVIGNON

Probl` eme 1 (Exercice 1.2). En utilisant les propri´et´es des matrices de transition, montrer que la matrice de transition en deux pas P (2) d’une chaˆıne de Markov a` deux ´etats (0 et 1) satisfait (2)

(2)

P00 ≥ P10

Solution. Il suffit de r´ealiser que P (2) = P 2 . En l’occurence, (2)

P00 = P01 P10 + P00 P00 (2)

P10 = P10 P00 + P11 P10 . En examinant la diff´erence, et en exprimant tout en fonction de P00 et P11 (puisque les lignes doivent sommer a` 1), on obtient. (2)

(2)

2 P00 − P10 = P01 P10 + P00 − P10 (P00 + P11 ) 2 = (1 − P00 )(1 − P11 ) + P00 − (1 − P11 )(P00 + P11 ) 2 2 = 1 − P00 − P11 + P00 P11 + P00 − P00 − P11 + P00 P11 + P11 2 2 = 1 − 2P00 − 2P11 + 2P00 P11 + P00 + P11

= (P00 + P11 )2 − 2(P00 + P11 ) + 1 = (P00 + P11 − 1)2 ≥ 0 

Probl` eme 2 (Exercice 1.3). Une unit´e de production comprend deux machinesoutils qui fonctionnent ind´ependamment l’une de l’autre. Chaque machineoutil a une fiabilit´e de 9/10 au cours d’une journ´ee, ce qui signifie que sa probabilit´e de tomber en panne pendant cette p´eriode est de 1/10. Il faut une nuit pour r´eparer une machine outil, mais on peut n’en r´eparer qu’une a` la fois. (a) Quelle est la matrice de transition pour le nombre de machines-outils en ´etat de fonctionnement au d´ebut d’une journ´ee ? Date: 18 janvier 2018. 1

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(b) S’il faut deux nuits pour r´eparer une machine outils, quel espace d’´etats peut-on consid´erer ? Quelle en serait la matrice de transition ? Solution. (a) Consid´erons ce qui se passe dans tous les cas de figure possible. Si n est le nombre total de machines, Ni le nombre de machines qui cassent pendant la journ´ee i et que Xi est le nombre de machines qui fonctionnent au d´ebut de la journ´ee i, alors Xi+1 = Xi −Ni + 1{Xi 0} – autrement dit, si, une machine a cass´e aujourd’hui ou il y en avait d´ej`a de cass´ees au d´ebut de la journ´ee, on r´eparera une machine la nuit (d’o` u le +1{Xi 0} s. Le nombre total de machines fonctionnelles sera donc le nombre de machines qui fonctionnaient ce matin, moins le nombre de machines qui ont cass´e aujourd’hui (binˆomiale avec n = Xi , p = 1/10), plus 1 si au moins une machine est cass´ee `a la fin de la journ´ee. Dans le cas particulier o` u on n’a que deux machines, on peut ´ecrire la machine de transition plus simplement : Si on commence la journ´ee avec 0 machines fonctionnelles, alors avec probabilit´e 1 il y en aura une qui fonctionnera le lendemain matin, puisqu’on l’aura r´epar´ee. Si on commence la journ´ee avec 1 machine fonctionnelle, alors avec probabilit´e 1/10, elle brisera, et on ne pourra r´eparer qu’une machine. Il n’y aura donc qu’une seule machine fonctionnelle le lendemain. Avec probabilit´e 9/10, elle ne cassera pas, et on pourra r´eparer l’autre. On aura donc deux matrices fonctionnelles le lendemain. Si on commence la journ´ee avec 2 machines fonctionnelles, alors avec probabilit´e 81/100, aucune machine ne brise. On en a donc toujours deux le lendemain. Avec probabilit´e 18/100, l’une des deux machines brise, mais comme on la r´eparera la nuit mˆeme, on aura toujours deux machines disponibles le lendemain. Mais avec probabilit´e 1/100, les deux machines casseront. Et a` ce moment, il n’y aura qu’une machine disponible le lendemain. On peut r´esumer les probabilit´es suivantes dans la matrice de transition que voici   0 1 0 9/10  P = 0 1/10 0 1/100 99/100 (b) Si on a besoin de deux nuits pour r´eparer une machine, on peut consid´erer les ´etats suivants : (1) : Aucune machine n’est fonctionnelle et il reste une nuit avant de compl´eter une r´eparation ; (2) : Une machine est fonctionnelle et il reste deux nuits avant de compl´eter une r´eparation ; (3) : Une machine est fonctionnelle et il reste une nuit avant de compl´eter la r´eparation ;

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(4) : Les deux machines sont fonctionnelles Si on part de l’´etat b1, alors avec probabilit´e 1 on se retrouve le lendemain matin `a l’´etat b2. Si on part de l’´etat b2, alors avec probabilit´e 1/10, la machine brise, et on se retrouve `a l’´etat b1. Avec probabilit´e 9/10, la machine ne brise pas, et on se retrouve a` l’´etat b3. Si on part de l’´etat b3, alors avec probabilit´e 1/10, la machine brise. Mais comme l’autre machine sera r´epar´ee le lendemain matin, on se retrouve tout de mˆeme `a l’´etat b2. Avec probabilit´e 9/10, la machine ne brisera pas. On se retrouvera alors a` l’´etat b4 Si on part de l’´etat b4, alors avec probabilit´e 1/100, les deux machines brisent et on se retrouve `a l’´etat b1. Avec probabilit´e 18/100, une seule des deux machines brisent. On fera la premi`ere nuit de r´eparations subs´equemment. On se retrouvera donc a` l’´etat b3. Avec probabilit´e 81/100, les deux machines fonctionneront toujours apr`es la journ´ee. On restera donc a` l’´etat b4. Avec ces ´etats et ces probabilit´es de transition, la matrice de transition est celle-ci :   0 1 0 0  1/10 0 9/10 0   P =  0 1/10 0 9/10  1/100 0 18/100 81/100 Remarque 1. Si s est le num´ero de l’´etat, alors s/2 donne le nombre de machines r´epar´ees. La figure 1 montre les 20 premiers pas d’une r´ealisation du processus (en bleu) et, pour s’aider `a visualiser, le d´ecompte du nombre de machines disponibles au d´ebut de chaque journ´ee. L’id´ee de compter combien de machines sont r´epar´ees comme des parties fractionnaires permet une g´en´eralisation au probl`eme `a n machines o` u il faudrait k nuits pour r´eparer une machine. On aurait alors kn ´etats possibles ({1, . . . , kn}) et si s ´etait un ´etat, alors s/k donnerait le nombre de machines r´epar´ees, sachant que 1/k machine est r´epar´e chaque nuit et qu’on descendrait de kNi ´etats pour Ni machines bris´ees dans la i`eme journ´ee, avec Ni une binˆomiale bXi /kc , (1 − p) o` u p est la fiabilit´e d’une machine. On peut alors d´ecrire la formule g´en´erale pour un tel processus : Xi+1 = (Xi − kNi ) ∨ 0 + 1{Xi −kNi