TP Loi de Boyle Mariotte [PDF]

Zitiervorschau

JULIEN Jérémie COMFAITS Mathieu 1PG2

La loi de Boyle-Mariotte Lois des Gaz Parfaits

1.

Objectif :

•

Etablir la loi de Boyle-Mariotte.

•

Déterminer la constante des gaz parfaits et préciser son unité.

2.

Introduction :

En actionnant le piston d’une pompe de vélo ou d’une seringue dont l’orifice est fermement obstrué par le pouce, on observe : • Que le piston progresse assez facilement au début puis sa progression est de plus en plus dure voire impossible. •

Que l’air emprisonné peut s’échauffer notablement si on le comprime brusquement.

3.

Analyse :

Ces observations assez simples nous permettent de dégager les grandeurs et les paramètres physiques qui interviennent lors de la compression d’un gaz.. • Pour faire avancer le piston, il faut lui appliquer une certaine force, qui est communiquée à l’air emprisonnée par l’intermédiaire de la surface du piston : on augmente ainsi la pression du gaz emprisonné. •

Quand le piston progresse, le gaz emprisonné voit son volume se réduire.

•

La compression brusque élève sa température.

Deux autres paramètres interviennent aussi dans cette loi : •

La nature du gaz emprisonné

•

La quantité de gaz emprisonné (nombre de moles ou masse).

Nous sommes confrontés à un problème complexe dans lequel interviennent plusieurs paramètres. Nous allons réaliser une série d’expériences simples qui ne sont qu’une partie de l’étude en maintenant des paramètres constants. La nature du gaz sera la même : ce sera toujours de l’air.

La température sera constante, on évitera des compressions brutales pour éviter de chauffer l’air. La quantité de gaz emprisonné sera constante. On fera varier le volume et on mesurera la pression du gaz.. 4. Dispositif expérimental : Une seringue est reliée à un manomètre par l’intermédiaire d’un tuyau et d’une vanne 2 voies. Lorsque la vanne est ouverte l’air de la seringue et le manomètre sont en relation avec l’air atmosphérique. En revanche, lorsque la vanne est fermée, l’air de la seringue est isolé de l’air atmosphérique. Le manomètre indique la valeur de la pression de l’air contenu dans la seringue pour un volume donné. L’expérience consiste à emprisonner un volume d’air donné dans la seringue sous pression atmosphérique à l’aide de la vanne. On fait varier le volume de l’air à l’aide du piston commandé par une tige filetée et on note la pression correspondante à un volume donnée. Ainsi, on vérifie la loi de Boyle-Mariotte.

A. Expérience et données : a) Relever la température dans la salle et l’exprimer en Kelvin. Nous relevons une température de 23° Celsius. Nous décidons de l’exprimer en Kelvin comme demandé. Pour cela nous effectuons l’opération suivante : TK =273.15+TC

Notons que ici TC = 23 °c. Nous remplaçons, ainsi : TK =273.15+ 23=296.15 K

Ainsi TK=296.15 K . b) Exécuter Excel. c) Emprisonner un volume initial de 20 ml et fermer la vanne. Faire varier le volume par palier de 5 ml en compression et en détente et lire puis noter la pression correspondante. Le manomètre donne cette pression. Surveiller la température, celle-ci ne doit pas trop varier. d) Enregistrer vos résultats sur un fichier Excel. Créer un répertoire sur l’ordinateur et donner lui un nom, mettez dedans tous les fichiers Excel de vôtre TP. e) Faire cette opération avec les volumes initiaux suivants : 30 ml, 40 ml, 50 ml, et 65 ml. A chaque fois le volume initial et donc n le nombre de moles est différent. Calculer le nombre de moles emprisonnées. Nous allons nous servir de l’opération qui suit, fourni pendant le cours de Physique : ¿=

Vi Vm

Notons que, d’après ce qui a été dit en cours :

−1

Vm=24 L∗mo l

20 mL=20∗10 −3 ❑L −3

30 mL=30∗10 ❑ L

40 mL=40∗10 −3❑ L En effectuant les divisions nous obtenons ce qui suit : 50 mL=50∗10 −3❑ L65 mL=65∗10 −3 ❑L

n 1=0.83∗10−3 mol −3

n 2=1.25∗10 mol

n 3=1.66∗10−3 mol −3

n 4=2.08∗10 mol

n 5=2.71∗10−3 mol

f) Montrer que ∆(1/V) /(1/V) = ∆V/V. Commençons par rappeler une notion de base :

()

1 ' −u' = 2 u u

Cela étant fait, nous pouvons commencer nôtre démonstration : ∆

( V1 )= −∆V V 2

Mais vu que nous travaillons en valeur absolue le signe négatif n’y est plus. Ainsi nous avons : ∆V V2 ∆V ∆V = 2 ∗V = 1 V V V

Nous avons ainsi montré que : ∆

( V1 ) = ∆ V 1 V

V

De ce fait, cherchons l’expression de ∆(1/V), et on a : ∆

( V1 )= ∆VV 2

g) Etablir l’expression de ∆(PV)/(PV) ; on écrira y = PV et on utilisera deux méthodes : - On prendra la différentielle logarithmique : On a y=PV ln ( y )=ln ( PV )

Et par la propriété du logarithme népérien : ln ( y)=ln( P)+ln(V )

Et donc :

d (ln( y ))=d (ln(P))+ d (ln ( V ))

En remplaçant y par PV, nous avons de ce fait directement : ∆ ( PV ) ∆ ( P ) ∆ ( V ) = + PV P V

- On fera un calcul direct : ∆ ( PV ) ∆ P∗V + P∗dV ∆ P∗V P∗∆ V ∆ P ∆ V = = + = + PV PV PV PV P V

B. Dépouillement des données a) Tracer sur le même graphique en utilisant Excel les courbes expérimentales P en fonction de V (on fera attention aux unités) et les courbes théoriques en utilisant les courbes de tendance de la forme puissance : y=a∗x n et on déterminera à et n. On affichera l’équation ainsi que le coefficient de détermination. Que peut-on dire de l’allure de la courbe ?

−1,159

y 1=0,3683∗x

−1,092

y 2=1,1466∗x

−1,027

y 3=3,087∗x

−1,034

y 4=6,5659∗x

−1,017

y 5=5,582∗x

y 1: a=0,3683 et n=−1,159 y 2: a=1,1466 et n=−1,092y 3: a=3,087 et n=−1,027

y 4 : a=6,5659 et n=−1,034 y 5: a=5,582 et n=−1,017

Nous remarquons que les courbes se tendent vers la même limite, et sont strictement croissantes. Elles ont pratiquement toutes la même forme, et la même décroissante, ce qui nous laisse à penser à une relation mathématique général entre P et V. b) Représenter sur un même graphique la pression du gaz P en fonction de 1/V et les courbes théoriques en utilisant les courbes de tendance de la forme linéaire y = ax et on déterminera a. On affichera l’équation ainsi que le coefficient de détermination et on fera passer la courbe par le point (0,0).

Les courbes que nous avons obtenues sont les suivantes :

y 1¿ 1.9816 x y 2¿ 3.0469 x

y 3¿ 4.0968 x y 4¿ 5.1333 x

y 5=6.693 x

Et de là, nous avons : a 1=1.9816 a 2=3.0469

a 3=4.0968 a 4=5.1333

a 5=6.693

D’après ce que nous avons fournis, nous pouvons remarquer que les courbes présentes sur ce graphique sont toutes, et sans exception, croissantes et linéaires. Cette linéarité traduit une proportionnalité entre les deux P et 1/V, et confirme bien ce que nous avons avancé comme hypothèse dans la question précédente. c) Représenter PV en fonction de P sur un même graphique et les courbes théoriques en utilisant les courbes de tendance de la forme linéaire y = constante.

Nous notons que les courbes sont plus ou moins constantes malgré quelques erreurs de diverses natures effectuées en cours d’expérience surement, qui influence nôtre résultat. Si nous estimons que ces courbes soient constantes, nous pouvons ainsi affirmer le produit de la pression avec le volume est une constante à une température constante donnée, et confirmons le fait que le volume soit inversement proportionnel à la pression qu’il subit, chose que nous avons vu dans la question précédente. d) Donner la loi qui lie la pression du gaz à son volume en déterminant le coefficient directeur des droites par exemple. Faire un tableau et énoncer la loi de Boyle Mariotte. Représenter sur un graphique ces coefficients directeurs notés a en fonction de n nombres de moles.

1

En nous basant sur la question b), nous avons y=ax avec y=P et x= V . En remplaçant, nous avons de ce fait :

P=

a V

Ce qui par équivalence donnerait : PV =a

Courbes et leurs volumes de départs.

Coefficient directeur des courbes

Courbe 20mL

1,9867

Courbe 30mL

3,0469

Courbe 40mL

4,0968

Courbe 50mL

5,1333

Courbe 65mL

6,693

Nombre de Moles

Coefficient directeur

0,83∗10(−3 )

1,9867

1,25∗10(−3 )

3,0469

(−3 )

4,0968

(−3 )

5,1333

1,66∗10

2,08∗10

2,71∗10(−3)

6,693

Nous notons que PV = Constante pour une température donnée constante.

La loi de Boyle-Mariotte relie la pression et le volume d'un gaz parfait à température constante. pour une température donnée constante. En d'autres termes, maintenir la température constante pendant une augmentation de pression d'un gaz exige une diminution de volume. Inversement, la réduction de la pression du gaz passe par une augmentation de volume. La valeur exacte de la constante n'a pas besoin d'être connue pour appliquer la loi entre deux volumes de gaz sous des pressions différentes, à la même température :

Le coefficient directeur a est égale au produit d’une constante k = 1,499 (Dans la mesure où a n’a pas d’unité, l’unité de la constante est mol(−1) , dans un autre cas, où il est le résultat du produit PV, son unité est Pa .m(3 ) . mol ¿) et du nombre de moles n : A=k∗n

Pour la suite nous admettons que le coefficient directeur a est proportionnel à la température T : a=nRT

R=a/nT

Nous allons calculer cette constante notée R, et par la suite en tirer une conclusion :

1.9867

Courbe 20mL : R= 0,00083∗293,15 =¿ 8,165152508 J.mol-1.K-1 3.0469

Courbe 30mL : R= 0,00125∗293,15 =¿ 8,3449241 J.mol-1.K-1 4.0968

Courbe 40mL : R= 0,00167∗293,15 =¿ 8,368322199 J.mol-1.K-1 5.1333

Courbe 50mL : R= 0,00208∗293,15 =¿ 8,418668573 J.mol-1.K-1 6.693

Courbe 65mL : R= 0,00271∗293,15 =¿ 8,27379 J.mol-1.K-1 En faisant une moyenne de ce que nous avons obtenus, nous trouvons : R = 8.303364 J.mol^(-1).K^(-1) R=

a nT

Nous cherchons l’incertitude de cette constante :

On passe au logarithme népérien ln R=ln a−ln n−ln T

On applique les différentielles d¿

On différencie le calcul

dR da dn dT = − − R a n T

On remplace d par ∆ ∆ R ∆a ∆ n ∆T = − − R a n T

Or

d’après

ce

que

nous

avons

vu

précédemment :

∆a ∆(PV ) ∆ P ∆ V =¿ = + a PV P V ∆ R ∆ P ∆V ∆ n ∆ T = + − − R P V n T

D’après l’énoncé : ∆ P=5000 Pa −6

∆ V =10 m

3

Par calcul, nous avons :

0,00271−0,00083 =¿ 0,00094 mol 2 ∆ T =0 K (Température constante).

∆ n=

P=130804 Pa (Moyenne). −4 3 V =4,4∗10 m (Moyenne).

n=4,1586 mol (Moyenne). −6

∆R 5000 10 0,00094 = + − −0 ≈ 0,03=¿ 3 % −4 R 130804 4,4∗10 4,1586

En temps normal la constante des gaz parfaits est R=8,3144621 SI

[ ][ ][ ]

−2

3

[ R ] = PV = F × V = LM 2T L =L2 M T −2 N−1 θ−1  J.mol-1.K-1 nRT S nT L Nθ

Nous nous obtenons R=8,30336 J . mo l−1 . K −1 ce qui est un malgré l’incertitude de 7%.

résultat très proche