Torsion et Type Simple d’Homotopie: Exposés faits au Séminaire de Topologie de l’Université de Lausanne [1 ed.] 3540039198, 9783540039198 [PDF]

Zitiervorschau

Lecture Notes in Mathematics A collection of informal reports and seminars Edited by A. Dold, Heidelberg and B. Eckmann, Z0rich

48 G. de Rham. S. Maumary M. A. Kervaire Universit~ de Lausanne

Torsion et Type Simple d'Homotopie Expos6s faits au S6minaire de Topologie de I'Universit6 de Lausanne

1967

Springer-Verlag. Berlin. Heidelberg-New York

All rights, especially that of translation into foreign languages, reserved. It is also forbidden to reproduce this book, either whole or in part, by photomechanical means (photostat, microfilm and/or microcard)or by other procedure without written permission from Springer Verlag. 9 by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1967. Library of Congress Catalog Card Number 67-31231. Printed in Germany. Title No.7368.

INTRODUCTION

Ces Notes r e p r o d u i s e n t de T o p o l o g i e

de l ' U n i v e r s i t @

dee expos@s fairs au S ~ m i n a i r e

de Lausanne,

saul un en 1960.

Lee deux p r e m i e r e s

nombre restreint

d'exemplaires,

sons ioi sane changement, r@pondre ~ de n o m b r e u s e s utiles comma

introduction

plain d~veloppement.

of the Am. Math.

1963-64

multioopi6es

@pule@as,

saul quelques

l'ann@e

nous

~ un

lee reprodui-

c o r r e c t i o n s mineures,

Nous eep@rons

qu'elles

pour

seront

~ une belle th~orie qui est encore en

Pour lee treveux plus r~cents,

le lecteur ~ l'excellent Bulletin

@ditions,

@tent

demandes.

durent

article Soo.

de J. M i l n o r

vol 72

(1966),

nous r e n v o y o n s

: n W h i t e h e a d Torsion p 358-426.

G. de Rham

IP J

TABLE DES

Og

Introduction

I.

DE RHAM G.-

MATIERES

Propri~t~s

des sommes

et des s~ries II.

DE RHAM G.-

Torsion

de Gauss

de Dirichlet

d'un complexe

~ autoi3

morphismes III.

MAUMARY

S.-

Type simpie

d'homotopie

(th~orie 37

aIg~brique) IV.

MAUMARY

S.-

Type simpie

d'homotopie

g~om~trique)

55 65

Vm

MAUMARY

S.-

Th~or~me

de Mazur

VI.

OE RHAM G.-

Th~or@me

de dualit~

sion et appiications VII.

(th~orie

KERVAIRE Michei

A.-

Le th~or@me

pour ia toraux noeuds de Barden

OE RHAM G.-

Type d'homotopie et des espaces

83

Mazur - StaIiing VIII.

74

des rotations

ienticulaires

9B

-I-

I.

PROPRIETES DES

SOMMES

DE

GAUSS

THEOREME

DE

Expos~ de

Le pour

but

comprendre

le t h ~ o r ~ m e

de

la

des

les

caract~res

th~or@me

En de

1.

appelie

1)

X[a)

= X(b)

2)

X(eb)

= X(a)

3)

X(a)

=

II

m

0

. L'~l~ment que

X

(a) 0

DE

DIRICHLET

de

de

ia

un

probl~me

et

diff~omorphie les

premiers th~or~me

de

d'une de

nombres,

topoIogie des

rota-

simpies

n'ont du

n~cessaire

des

pius

d~monstratlon

le

est

th~orie

Dirichlet

hombres par

qui

pas

~t~

c~l~bre progression

Franz.

m]

caract~re propri~t~s

(mod

X(b)

r

de

fonction

> 1,

un

(mod m)

X(a)

classes ce

ab~lien,

= 1.

est

ie

a

si

m)

r~sidueIles

groupe

(a,m)

~ 0

(mod

groupe

arithm~tlque

:

a ~ b

caract@res

des

toute

pour tous e n t i e r s

(a,m)

sl

m)

suivantes

sl

unit~

= 1

aux

ce

propri~t~s

s~ries

a reproduit

~ ia m u l t i p l i c a t i o n R(m)

dens

des

se t e r m i n e

si

existe

multlpiicatlf

tei

des

th~or@me

Ienticulaires

reietif

[mod

rassembler

d'un

des

SERIES

FRANZ

de

intervient

et

on

L'expos~

jouissant

rapport

m)

DirichIet

On

est

d~monstrations

passent

Caract~res

X(n)

qui

especes

(mod

arithm~tique.

expos~

DES

G. de Rham

d~monstration

des

Seules

rappei~es.

cat

Franz,

(classification tions).

de

ET

et (a,m)

, qui

b = 1

forment

Isomorphe (mod

m)

caract@re

au

per groupe

premi@res princlpaI

X~

On

a

Ies

relations

suivantes

(m) si X=Xo

(1.1)

7 n[mod

x(n) m)

(On

trouvera

der

elgebreischen

sition

le

suivente

PBOPOBITION complet an

de

~

iS(m) si X(n]

O

sl

0

per

example,

Zahlen).

De

ces

relations

: Bi

~(m)

n-1 (mod m)

=

X#Xo

d~monstration

dens on

E. va

sl

n~l

HecKe

(mod

m)

: Theorie

d~duire

la

propo-

:

(1.2)

pour

0

les

nombres

, a s s o c i ~ s ~ un s y s t ~ m e n ~ m parcouru par n , satisfont ~

(mad m) p r e m i e r s

restes

x[n)=

IS

=

tout

caract~re

a

x[mod

, ces

m)

nombres

sont

nuls.

n

Solt et

nI

0

en

tel

que

de

[a,m]

9>0 = 1

cela, =

1

~ e

X(x) donc un

(mod =

I 9

syst~mes

=

ano

=

=

[mod

9]

I

~vident

et

1

a = @

a-1 et

, donc = 9o

= ym x

X(a)

et de

[mod

On

de

Blots

= ano

caract@re tout

~(m)

x(mod

entier

m)

e

le

plus

petit

satisgaisant

.

que

9

= 9o

. Soit

9o).

(mod

=

. Per Le

a

quelconque

.

pour

~ I

9/m

partlcull@re

~ x(nnl] X

du

I

+ zg,

1

m).

= 0

X(a)

e

veleur

~ an n

que

(9,m)

Si

complet

, d'oO

[mod

tel

m;

PROPOSITION

x(n)

posons

divissur

I

une

conducteur

est

satisgaisant x

no

appelle

et

II

(a,m]

~ en n

(1.1)

On entier

e99et no n I m

= ~ x C n 1) X

vertu

Pour

en

< m.

On

Montrons a

peut

d'o8 9)

en

un

entier

posant

x

d'un

entiers

= a-ym

entraSne ne

divise

m

satisgaisant

des

9o

conducteur

9

trouver

. Cele

suite

que

peut

y

= 1+z9

X(X)

= X(a)

@tre

ing@rieur

carect@re

(mod

m)

m 9

= m

, on

dit

(1.$)

: Si

9

de r e s t e s

(mod

m]

oomplets

que

est

is

un d i v i s e u r

premiers

de r e s t e s

career@re

(mod

9]

~ mest

est

de m

propre.

, tout

la r ~ u n i o n

premiers

~ 9 .

de

syst~me ~(m) ~[9]

et

z

, et ~ 9, est

-3-

Montrons premiers f (mod

~

m

contient

entler

premier

m

ne

~ un

y

x

= 1 + zm

= e-yf

et

satisfait

de

f).

il

proposition

fait par

que le

faur

y a

(1.3) est

sous-groupe

nombres

sont

PROPOSITION

suffit

il

m)

clesses,

(x,m)

= 1

d6pend on

s

X(Y)

et

pas

du

y s xx'

choix

des 1

car (mod

si

que

~

(mod

m)

f

f)

est

~

, et

m)

premiers

congru

m

l'entier

, est

o

premier

~ m

z

se

(mod

(mod f ) .

dlvise

de

I~.

au

que

Un s y s t ~ m e

(Ceie

quotient

r~slduelies

pour

a l o r s en c l a s s e s , ~(m) ~(f) nombres.

contlent

et

x[mod

(mod

est

Ii@

de

R(m)

m)

dont

au

ies

de c o n d u c t e u r

m)

, tel que

f)

X = Xo •

f

est

9 Xo

m)

pour

x'

1

,

f).

, car

avec

a'

isomorphe

x'(mod

f),

x

b ~ a e ' ( m o d m)

m

classes

(mod

(mod de

et

imm~diatement

X'(a),

x s a

(a,f) posant

sl

= I, •

(x,m)

s l(mod

en

f)~

choisissent

: X(X) :

[y,m) donc

: I •

x

Cette et

valeur

x s y

: I

tel

(mod

et

= X(X) Remarquons

1,

et

cenoniquement

d~flnit

= a-1

o

f

cheoune

le c a r a c t ~ r e p r i n c i p a l

On

,

premiers

associ~ un c a r a c t @ r e propre ~tant

~

(mod

(mod

le p r o d u i t d e s f e c t e u r s o On p e u t a l o r s t r o u v e r d e s

yf+zm

: A tout c a r a c t @ r e

(1.4)

testes

restes

f).

et

~

de

m

f.

~

de

premier

Solt

premier

r~suite

congrus

e

~

= I

form~

complet

complet

pas

(b,m)

(mod @(f)

R(f)

m.

divisent

x z a(mod

:

syst~me

entier ~

, ~tant

o

restes

II

tout

setisfaisant

(a,m)

(mod f )

complet

z

~

Si b ~ a

qui

tout

syst@me

f)

entiers

LB

un

que

de

(mod

que

, c'est-~-dire

premiers

et

d'abord

et il 2)

il n'y

n'y

apas

apas

~tant

le

de

que de

le

caraot@re

caract@re

caract~re

caraot@re

principal

dont

propre

principal.

le

(mod

a un

conducteur 2),

le

seul

oonducteur est

~gal

caract~re

~gal ~ 2,

que ne f),

-4-

Proprl~t~s

2.

On

des

sommes

de

Gauss

somme

de

Gauss

Cx,~)

=

appalls G

[

un

caract~re

PROPOSITION une

racine

pour

tout

(2.1)

(mod

: Si

primitive entier

X est

m-i~me

k et

: Supposons

d'oO

= x(k)

qua

k~ p a r c o u r t ~).

racine

Remarquons primitive Sir

et

un

x(K)

~ 1 . Alors

G (X,~)

qua

de

l'unlt~.

~

racine

l'unit~,

m-i~me

(mod m)

propre

on a G

(X,r k)

et

= ~(k)

G

(X,r

= V~m

(k,m)

x(ks

= 1.

~k~

complet

nous

pes

de

Alors

= ~(k)

X(s

= X(ks

~(k)

G(X,~)

restes

pss

dO

(mod

m)

supposer

en m ~ m e que

temps

r solt

une

l'unlt~.

une

racine

k tel

= r

de

n'avons

diviseur

un a n t l e r Ck

de

syst@me

un v r a i

trouver

la # o r m e

m]

m-i~me

peut

une

un c a r a c t @ r e

~

n'est

{d = I p o u r

etr

d'abord

r (car

de

m)

IG(X,r

O~monstretion G ( X , ~ k)

m)

expression

XCg)

s off X est

touts

d de m

qua

la

primitive

(k,m)

relation

m-i@me

, comma = 1,

de

X est

l'unit~,

propre,

k ~ 1 (mod

ci-dessus

d]

montre

on et

qua

= 0 . Supposons

meintenant

cine

primitive

m-i~me

x(K)

= 0 , la p r e m l @ r e Pour

~tablir

I

de

(k,m)>l.

l'unit~,

partle la

de

seconds

Alors

donc (2.1)

Ck n ' e s t

G ( X , r k) est

partie,

pes

= 0 ,

et

une

ra-

comma

~tablie. remarquons

I G ( x , ~ n) I 2 = ~ ( m ) I G ( x , ~ ) I

que

2

n (mod m) car

en

vertu

la

somme

non

de

la r e l a t i o n

nuls

sont

tous

qu'on

vlent

~gaux

et

d'~tabllr,

il y e n

a @(m)

les .

termes

de

-5-

Ensuite

on e :

I

I

Ic;cx,~;":31 ~ =

n(mod m]

I

n(mod m]

I

=

XC s

n[mod m)

=m

Note ~t~

: Cette

=fm

PROPOSITION

est

communlqu~e

(2.2)

(mod ~]

per

Naresimhen

G (X,r k]

r6sulte

f-i~me

(mod m] de o o n d u o t e u r

de Z'unit~,

= @(mY G ( X ' , r ~(~)

~'(k)

en e ~ # e t

G (X,; k]

et

le

proposition

G (X',~ k]

,

m

(2.2]

m'e

M. C h e n d r e s s k h a r e n ,

on

a~

X' ~tant

le

G (X,;)

k]

p o u r tout e n t i e r

~C~)

I1

et

assooid ~ X ,

G (X,r k]

et p a r suite

= m $(m]

doe & M. R a g h a v a n

: Si X eet un o a r a o t ~ r e

et ~ one raoine p r i m i t i v e oaraotere propre

x(k]

;

dfimonstratton

obligemmsnt

X[&]

I (mod m)

s IG ( X , r

r-nC~-k]

tn(s

xCg.} ";Ck}

s

donc

"XCk]

s

immfidietement

= ~(m)

r~sulte

~tant r e m p l a c ~

G (X',

alors per

de

[1.3)

que

;k)

de ~ 9

(2.1)

appliqu~e

k

et

-6-

3.

S~ries

de

On si

le

~(s)

en

signant s~rle

d~inl par

par

~ la

converge,

dlverge

pour

o>~

on

l'angle

IS-Sol~H

, et

. Le

hombre

En

utillsent

(o-o o)

d~duit sa

des

qua

somme

~ est

la

de

quel

qua

soit

absclsses

des

est

d'Abel,

qua

s = s o = Oo+it o ells

plan

s~rie

~(s)

appel~

transformation

pour du

In~rleure

en

la

converge s ns

borne

oO

de

. En

points ~our

holomorphe

absclsse

complexe

oO

o>~

dens

convergence

d~la

,

le

deml-

de

le

s~rle.

tre

qus

pour

sl

a>O

les

. Per

PBOPOSITION

:

principal,

L

encore

sommes suite

Si

S

= ~ a K I

n

, car

Sn

est

de m , et est

donc

= ~

peut

@tre

qu'un

il

deml-plan quel

qua

o>0. solt

(I -e--) ~(s) as

de

salt

ce

1

une

(mod

fonction

convergence

m)

different

et est

p~riodique

se

de

somme,

de

p61e

sevoir

qu'on

-an ns

un

qua

~teblit a>O

avec

le

la

analytlquement

l'entler

=

s~rle

d~mon-

conver~e

du c a r a c t ~ r e

holomorphe

pour

ns

que

slnguiier,

suEfit

le

on

de

n

, de p ~ r i o -

born~e.

prolong~e

point

suite,

i'on

d'Abel,

born~es,

converge

X(n)

alors

L'absclsse

1 , male

sont

un c a r a c t ~ r e

n=l

o>0

transformation

:

X est

(s,X)

Is

~onction

dens

simple ~(s)

tout

eu

se

s~rie

de

ie

point

laisse

rapldement

en

!

~ I

est

~gele

ns Riemann

plan, s = I

oO

~(s) ella

. Pour

prolonger remerquant

n'e

la

dens

le

qua,

.

an

=

sl I 1 1 - e

n ~ 0

[mod

si

=

n

0

a] [mod

e]

.

-7-

Les

sommes

et

sa

S

somme

commun

sont

n est

born~es,

holomorphe

& routes

les

de

dens

~onctlons

sorte

qua

cette

le d e m i - p l e n

entl@res

o>0. a

1

a

~tant

s = 1 , ~(s)

est

point

1.

a = 2 on

E(s)

En

avec

prenent

r~sidu

(s)

= -~

an

I

v~ri~ie

et si a n >0

.~

le d e m l - p l a n

qua

a

S

1 est

p61e

a>O

sau~

simple

pas

de

f(s)

relative

au

taylor

de

convergarait

en

un

point

~(k)[s = k

tousles

Sl0) o s ~ r i e est

~

(st_ s )k =

de

et

f(Sl ) =

Cette

au

est un p o i n t s i n g u l i e r de ~(s)

o~

~ n'~tait

tions,

= 1 - e

z~ro

-(s-1)log

n

: Si

comma

saul

Si ~ est l ' a b s c i s s e de c o n v e r g e n c e

:

O~monstration

i~(sl)

dens

Le

converge

1 .

(3.1)

PROPOSITION

holomorphe

s~rie

S1

impossible

puisque

-8-

PROPOBITION

(3.2)

: ~i X est un c a r a c t ~ r e

c a r a o t ~ r e principal,

Pour

on a

L(1,•

on

utillsera

p

ECs)

percourt

tousles 1

= ~ C1 P

[mod

=

-1

L[S,Xo)

(1

n

= ~ p

S

eu

le d e m l - p l e n

de

est

_Yo

En

is

particuller

ceract@re

principal

Xo[P) __]-ls p

sorta

=

qua

P(s)

donc

la d e m l - p l e n

s = 1

des

du

et

L[S,Xo)

caract@re

dens

de m o n t r e r o>0

pas

fonctlons

= E L(s,X) X

holomorphe

loE

Q(s)

=

le ~ o n c t l o n

" '

p,k

kp

d'autre

LCs,x)

prlncipei, , 6tendu

le d e m l - p i a n que

P(s)

comma

point

~[s],

singulier

, oO

X est

s'annulalt

& tousles o>0

. Pour

n'est

d'Euler

L(s,x)

entraSne,

=

~

p,k

pour

a,

un

log

P(s)

ks X xCp k:~ = ~CmJ X

dens

pes

pour

au

point

holomorphe

o>1

, l'expression

~

p k =_ICmod m)

carect@re

~teblir

x(pK) ks kp

= OCs)

un

cerect~res

.

L'identit6

d'oO

1 -1 [1- --]s p

R p~m

.

l'une

distinct

le p r o d u l t

su~Ire

point o >0

Si

serelt

premiers.

P

simple

m)

nombres

[1

S

(mod

d'Euler

P

, at si

- 1)

Plm pole

l'identlt~

P

m]

;(s)

s)

d i s t i n c t du

(1- X(p))-I

= P

oO

m)

~ 0

le d 6 m o n s t r e t l o n ,

LCs,x)

Cmod

ks kp

s = 1 (mod m),

(3.2), dens

il

tout

-9-

On

a

le

coefficient

alnai

0 pas

si

un

n

congru

d~veloppement

n'est ~

1

pas

(mod

Pour

~gal

est

an

s

une

de

O(s)

en

~

~(m) k

si

n = p

d'un

nombre

puissance

s~rie

de

pas

m,

on

r~el,

a

e

I

(mod

premier

oO

m) ou

et n'est

m).

les

termes

de

cette

s~rle

ne c o n s e r v a n t que ceux pour Iesquels k = $(m) k p ~ 1 (mod m) ~ t a n t a I o r s v ~ r i ~ i ~ e pour tout vise

k

Dirichlet,

Ia

sont

, is p

~ 0

. En

condition

premier

qul

ne

dl-

minoration

O(s)

>

1 s~(m)

~.

P P Cette

s~rie

divergeant

pour

s =

9

l'abscisse

de

convergence

~(m)

de

O[s)

est

1

> -

Le r~dult que

on(s) que

La

0

des

, et

il

s~rle

de

de

o>0

sulte

Note

:

m

en

sera

=

de

=

t-il

&

1

O(s)

qul

n'est

ach@ve

Landau

la

Olrlchlet

+

> 0

suite

m@me

P(s)

, qui

Par

de

+

de

& termes

Oirlchlet

~ 0

, qui

converge

les

puissances

toutes

qui

~ termes

convergent

en

m~me

se lors-

temps

pour

02(s)

+

2:

~tant a.

"

+

maJor~e

O'apr@s

donc

..

pas

on(s) n!

par

(3.1),m

holomorphe

d~monstratlon.

+

"'"

O(s) est

, ella un

point

a sin-

dans

tout

le

deml-

(Remarque

: il

en

r~-

I).

d~monstration

donn~e

s~ries

de

convergence

Chendrasekharan

a ~t~

deux

Oirichlet

Olrichlet

, ce

La

de

s~ries

P(s)

qua

de

convergent.

e O(s)

absclsse

gullet

M.

sont

=

plan

s~rie

premi@res

P(s)

m~me

produit

& une

les

$(m)

par st

qui M.

ci-dessus me

Siegel

Hecke.

signale dens

m'a

~t~

qu'une

ses

communiqu~e

d~monstration

cours.

L'id~e

par analogue

remonte

semble-

-10-

4.

Th~or@me

de

Nous de

DirlchIet

Oirichlet

allons

Ca,m)

=

premiers

congrus ~

Si

: a

d'Euler

il existe

1j (mod

L'expression

quels

le

c~l~bre

th~or@me

:

THEOREME

dentit~

passant,

~tablir,_en

de

peut

une infinit~

de nombres

m].

log

LCB,X)

s'~crire,

en

d~duite

s~parant

ci-dessus

les

termes

de

l'i-

pour

les-

k = 1 Co

LC ,x]= Z •

log

p La

derni@re

~. C

p

st

1 + 2p2S

s~rie

reste

1

3p

principal, Par

born~e

Pour simple

log

en

L ( s , X o)

~

que

= I

[mod

=

I • k=2 kp

valeur

absolue


6Ci_ 1

Cpair

(par e x a m p l e

dules

lee

se d ~ c o m p o s e n t

Consld~rons tif

Ainsi,

nd ~C i

le

= T(C')

suits ,I.

C'

qua

,

exacts i'

C'
M(g)

>0

donne

9 (O) D'autre

pert,

~(~)

=

le m o d u l e

+ z(g)

O'

.

: M(gg)@

M(-1C,)

muni

de

la

dig-

g~rentielle

"

est

un

A-systems

0 ce

qul

g

et

~1

a

la

d'

suite

D'

exacts

p M(-1C,)

>0

donne

et

c o m m a Iel

~-~elest

on

a

: ~(D')

T(O)

? :

est simple me simple

l'on

~M(gf)--+

T(O')

O~finition

d'

= ~(g~) un

Isomorphisme

d'oO

notre

h

assertion

On dit qu~une ~quivalence

stil exists des syst~mes tels que

le diagramme

simple

de

BUr

D ,

9

.

homotopique

triviaux

0

T,T'

~ : c ~ c' et un isomorphis-

-52-

T

C

C eT

soit

simple,

~ z

Preuve

:

i

une

est

La

~quivalence

et il suffit

condition

est

~qulvalence

que

~C

T'

homotopique

~(~)

n~cesselre.

homotopique

r

0

~C'e

commutatif.

Pour q u ' u n e

il faut

> C'

h

homotopiquement

THEOREME

-

= 0

f : C ~ C'

.

Remerquons

; en

soit

effet,

tout

la

d'abord

qua

suite

S

.~ - ~ C ~ T

m

~ T

~0

P est

sclnd~e

d~formatlon

et n

comma : T

C@T

T

est

bT

,

Ir

= sp

ecycllque,

1T

= d"n

+ rid"

suite

qua

p' sl

I'on

9 On

s(d"rl

+ nd")p

=

=

sd'~Ip

+ snd"p

=

+

[snp]

un

op~rateur

peut

alors

T(1)

est

>M(1C = 0

d

applique

les

)

~M(i)

~T

~ 0

une

r~sultats

~qulvalence cl-dessus

homotopique &

le

suite

simple exacte

S'

volt

~crlre

.

~gelement

O'

on

de

exacte 0

montre

admet

=

= d[snp)

La

il

qus

p'

0 = T(1T,)

)T'p~,C'

est

un

@ T'~

inverse

= T(p's')

~C'

homotoplque

= T(p')

+ T(B')

~ O

de

s'

= T(p')

et

:

-53-

Comma

?

est

homotope

~

p'hl

T(f)

La c o n d i t i o n is ce

plus

sur

k

inf~rleure g

: E

est

Indlce

n

qu'il

exlste

des

~

et

application

k

une

= C @T

= 0

suffisante.

grand

tel

)E'=

et

comme

C

syst@mes

~

0

est

un

isomorphlsme

(Cette

hypoth@se

O~signons et

simple

consid~rons

par le

en

trivialement

B

Im

=

d

diagramme

0

et

f

par

T'

a

de

DE

H dont

~. EK/'B k

groupe

los

&

)C'

: E' k - 1

.

k:O).

pour

le

r~curren-

dimension

, p'

Inf~rieurs

par

syst~me

= p'gl

: C

vraie

suivant,

) Nk

T,

i

degr~s

est

, on

d'un

. Montrons

avec oO

qul

dimension

trivlaux

C' @ T'

= 0

.

Appelons

qua

T{h)

d'homologle

lignes

). B k _ 1.

sont

de

exactes

> 0

i

m

On

en

d~dult

qua

g

est

un

Isomorphisme.

0

,, B k

~- E k

o

,.

,

r

Le

dlagramme

EK/B k

exact

~0

,L

montre

alors

g' telles on

a

= E~

qua dono

qu'il

des

applications

~ Ek

l-gg' ~g'

existe

~0

= d's' = g

~',

s,

(g'

se

~'(1-gg')

oonstruit =

~,-~g'

,E .l

,

en

relevant :

o

g

~'

;

:

-54-

ce qul

montre

que

1 -gg'

d

E' k+l

On

P : EK.~.-,tB ~

i

;

enfln

S

1-gg'

rel@ve

'

.

, B~

pose d

del

.

d

> EK_ 1 ---.-.---k , , . g

g

2

. . .

oO

gk

est

un

stationnaire

C

Ek -

d' isomorphisme

Lorsque

E k r E~

-g

d'el

T'

k ) {dim C. dim C ' }

i

saul

Isomorphlsme

C

@

avec Ia p I u s

car

0

0-

De Isomorphlsme

" " J

,

on a b o u t i t

& la

situation

suivante :

trlvlaux;

dlmenslon

-I

simple.

T

g

plus,

9

> C'

=E T,

d'

f = p'gl, grande,

et

,H

>E

".~j[n

/B nl n

~ Hn'

~ En' I B 'n ~

= T(g)

g

Isomorphisme

c'est-&-dlre

le d l a g r a m m e

simple.

~ C'

=E'

dens

:(f)

p'

T'

n.

commutetlf

Alors

& Iignes

§

= • T(g n)

simple

en t o u t e

gn

est

un

exactes

>0 i~-1 B~n -1

= 0

B

~0

.

Alnsl,

g

n

est

= B' = 0 n

un

-55

TYPE

IV.

SIMPLE

D'HOMOTOPIE

Expos~

1.

CW-complexes

(Pour An

introduction

Un s~per~

to

r~unlon

~tant

tenue

dens

r~currence

Homotopy

pour

une

le

sous-complexe

de

la m a n i ~ r e U

Chap.

41nl

application

un

pourra

consulter

VII,

K

"cellules"

est

en

: HILTON

Cambridge

1961).

un

topologlque

espace

telles

:

qua

continue

(K m=

hom~omorphlsme

K n-1

lecteur

localement

~ ( K n , K n-l) un

Maumary

Theory,

de

g~om~trique)

cellulalre

d~tails

disJolnte

( o n , a o n)

415n

de

(Th~orie

S.

de

homologle

CW-complexe

e n = 4 ( D n) 4:

et

plus

-

r~unlon

sur

en

4ini.

des

et

cellules

cheque

Autrement

e i pour

cellule

dlt

K

i ~ m)

~tant

s'obtlent

con-

par

sulvante Dn

canon.

Kn-1

On

Kn-1

t.J4

=

~

e

n

disJointe 4

est

une

dire

application

cellule K n-1

application

de

4

dimension

L~ 4 O n

Pour Toute

Si

n

> K n-1 de

> Kn-1

des

4

= 4'

exlste

une

bord

LJ O n

g

4

~L

homotople

on 4

peut

pour

~ K n-1 K

et

: K ~ L

(c'est-@-dlre

: K.

pour

, elles 4t

On

sont telle

g ( K n)

le

la

~

connaissant K n-1

nouveau

nouvelle

complexe cellule

) .

admet C

Ln

une

approximation

) .

cellulalrement

homotopes

que

n+1

4t

une

a

on

continue qua

Ainsi

attacher

de

L) 4 L.

e n.

i~ormer

ceract@ristique

CW-complexes

application

cellulalre 2)

ao n

(l'applicatlon On

1)

:

caract~ristique

(K n ) C L

) .

(il

est

-56-

3]

Tout

rev~tement

4)

Si une

K

application

~I(K) ment

de

~I(L)

f : K

de

K),

complexe

a

est

, ~n-1) le bord

induit

que

singuli~re

sur

~

2.

Passage

, ce qul

systOme

K

induit

est

l'homologle de

d'un

fibre

(on c o n s i d ~ r e

C(K]

des

groupss

~ coefficients

(s

entiers)

,~n-2)

associ~e

~

du s y s t ~ m e

(~n

~n-1)

eat

, j

HI(K)

1K),

pour

cellule

au-dessus

est

9 ~n-1)

~gale

~ l'ho-

sont

libres

localement

~ini

~ un

de bases.

~n-1)

et i n d u i s a n t

C(K)

H (~n n

CW-complexe

un r a v ~ t e m e n t

= Hn(Kn,

rev~te-

homotopique.

le syst~me

singuli~re

(K

par e x c i s i o n .

avec ~ a m i l l e

Cn(K)

>H(~)

une ~ q u i v a l e n c e

K .Les g r o u p e s

~C(K)

tons

H(K)

J >Hn_l exacte

un i s o m o r p h i s m e

canonique.

se voit

~tant

~n

~

relative

de la suite

par l'inJection

mologie

>L

a >Hn_ 1(s

On sait

CW-compiexe.

K, on a s s o c i e

H (~n 9 ~n-1) (homoiogie n muni de is d i ~ r e n t i e l I e Hn(~n

un

et un i s o m o r p h i s m e

universel

A tout

est

simplement

C'est comme

lequel

un

~I(K~

le g r o u p e

une base

de c h a q u e

connexe

K, nous

-module operant

naturelle

cellule

de

pose-

~ gauche

~ gauche

est ~ o r m ~ e

e n ~ K . Toutes

sur d'une

les bases

n a t u r e i l e s e n g e n d r e n t une m~me ~ l ( K ) - ~ a m i i i e . II est c l a i r qua Cn dn )Cn_ 1 c o m m u t e avec ~I(K) de sorte qua C(K) est un ~I[K)~

-syst~me

~ gauche.

Une a p p l i c a t i o n application application

cellulaire C(~)

de

cellulaire ~ : K C(K)

)~ dans

: K

~L

se r e l ~ v e

(non unique) C(L)

associ~e

en une

qui induit

une

~ l'homomorphlsme

-57-

4,

: HI(K)

la 4 o r m e

)HI(L) ~

,

a r HI(L)

l'automo~phisme Si homotopes

F~

et

donc

: K

ft

(qu'on

de

4t

~gal

FI

Induisent

~C(41)

= C(4 o)

cation C(4)

' 41

par

rel~vement

partlculier,

4

continue, d~41nle

]

THEOREME

~quivalence induise

Preuve

4

rel~vement

de

Aiors

-~ 1 [

~;

~ '

--

Ainsi

si

oO

~ une

1E . C(4)

car

~?'~ =

4

est

Si 4,

,

alors

et

alnsl une

4

:

,

oa ~ t a n t

applications

cellulaires solt

Ft

F 1 = a41

un

,

(associ~es

&

4o,)

. C(4)

= C(~)

approximation pr@s,et

pour

touts

cellulalre

isomorphisme

continue

4

:

applide

simple

K

4, pr~s.

soit une

)L

4 : K = L , il faut et il suffit qurelle homotopique

~

C(4)

: C(K}

un r e l ~ v e m e n t

homotoplque

I

>?~'

de

g)

= ?~'

44'~

~ C(L).

de tel

4, qua

et

~'

un

4'f

: 1~

.

sl

K ~ L,

C(4)

est

(volt

peut

zC~)

de

la

Indult

idsnti4ier C(4)

torsion

= zCCC~))

de

C(4)

=

~qulvalence,

Hilton,

homotopique

comme d ~ 4 i n i t i o n

une

l'homomorphlsme

on

= 1E C(4')

C(L)

~quIvalence

:

4,

de

par

homotopes

application

= 1[

que

l'~quivalence

o~

est

si

R~clproquement,

donc

homotople

en

cellulalre),

pose une

rel~vement

t = 0 , donc

= 4o,

l'on

(inverse

C(4')

isomorphlsme,

pour

: K -: L , soit f'

deux

supposer

~ est

homotopique

Si

sont

oa 41.

une ~quivalence

:

~L

4,

Indult

applications

Pour qurune

:

HI(L)

4~

eutre

change

de

~

,

~ . Touts

qul

peut

des

En

est

ce

int~rleur

fo

par

d~4inl

deviant

r NCHICK))

4

Homotopy

HI(K)

4

per

1

C(K)

4,

est

: H(K)

theory,

avec lin~aire.

~H([) p.

HI(L)

un

113).

par

On p o s e

-58-

Soit (suppos~e

M(f)

, Is

cellulaire),

cyllndre

de

c'est-~-dlre

l'appllcatlon

l'~qulvalence

Is

quotient

r

(K x I ) u

L------+KuLu(K

homotoplque

de

(KxI)~

L

f, per

x ~)

donn~e p a r r

= x,r

= f(x),r

= (x,t),@(y) x

C'est f

un

CW-complexe

)L

: K

fl@che

~tant

l'InJection ~I(K)

sclnde

une

r@trectlon.

(resp.

K

~quivalences

est

obtenue

en

(O,13

&

Cn_ 1 ( L )

Dono

que

T(f)

D~finition ple si

C(M)

e n)

et

: Une ~ q u i v a l e n c e

dWhomotopie

On note a l o r s

K

K

et

.

.

sur

L

et

deuxi~me

pour

r

~ 1,

isomorphlsme

)L

une

naturelle

base

naturelle bord

de

dans

le

C(M)

@

et de

= C(M)

L

et est

de

C(M)

de

C(L)

donn~

par

d Cn_ 1 [K)

de

mod C(K)

: K ~ L(Z)

obtlent

C (K)

@" ' ~

oylindre

, on

C(K)

1

si et s e u l e m e n t

~ L(E)

e I

K ,- ) M

homotopique f

t

; la

un

[K)

est

et on note

=0

(M,K)

-

(C(M,K)

,

>L

Cn - 2 (K)

mod C(K)

~(f) ~ 0

d~formation

indult

is

Cn

On dit que simple

base

~)

= T(C(M,K))

per

, ainsi

C(f)

e L

.

une

@

d

On v o l t

~

Juxtaposant

C (L)

y

~qulvalences

) M

identifi~

M

~I(M)

lea

K

r

dens

,

M(f)

Doric

L)

) sur

relevant

r~tracte InJ.

K

(resp.

~I(L)

des

(e n x

se

se

de

En

qul

r K

= y

C(f) )

mod C ( K ) .

.

f : K ~ L

est dite

.

appartiennent

au m~me

si il e x i s t e

f

: K

type

~ L(Z)

sim-

-59-

THEOREME

2 :

binatoire.

Le type simple d'homotopie

(En d'autres

tion identique Preuve

:

de

(M(i),

K K)

termes,

3,

expos~

2)

O~formatlons

Si tel

qua

une

O

dont

est

op~ratlons traction melles

une

une

K n = K'.

la

une

fl~che

expansion

On a

THEOREME

$

classe

formelles

F

homotopiques

.

donc

= 0

application

de

Ki-----~Ki+ 1

indique

la

K i , une

K

Ki

fondamentel

de

mod

O.

Une

form~

O,

K

suite

son et

la

relation

de

est finle

inverse

de

deux appel~ de

une

telles con-

contractions

et

for-

avec

formelle IF]

forme

des K

F

K0 = K ,

=

(K i)

on

appIicatlons > K 1.

l'InJectlon r~traction

: II

si

K

7K'

>K r = K'

> ...

si

con-

1+1 est Ki+ 1

est

une

une

.

K'

Pour que

est l~ensemble

d'~qulvalence

(Klli=o,..,n

[FIEF-l]

. LWensemble

simples.

(~ a u t o m o r p h l s m e s )

9ormelle.

d'homotople

de

K

premiere

deformatlon

de

de

formelle,

formelle

teile

Soient

K ~ K'(Z)

K)

= 0

K) O T

d'expanslons

K 5 K'(O)

m~me type d'homotopie. que

suite

= IF 2 F I ]

:

la

expanslon

d~formatlon

formelle

[F4EF ~

(M(1K),

= T(1 K)

syst~me

~l~mentaire

Une

formelle

contraction

un borde

appel~e

une la

T(i)

est l'applioa-

K' , on a T/i]

de

= C(M(1K),

sous-complexe

d~formatlon

alors

contenant

un

seconde

notera

Pour

K)

admette

formelle. une

subdivision

entraine

formelle

On

sld~re

0

sara

sara

exlste

qul

est

la

expanslon

~K'

oom-

formelles

K mod

cellules

oO

ce

i : K

dans une subdivision

C(M(1), (cf.

si

est un invariant

des

= [I]

deuz CW-oomplexes K ~ K'(D)

EF]

, il faut

pour routes

des classes

connezes,

du

et il suffit

les d~formations

d~homotopie

dr~quivalenoes

-80-

Preuve

: La

une

expansion

dre

de

J

n~cesslt~ formelle,

l'Identit~

: Ki

est

~Ki+l

T(f)

= 0

. Si

donc

est

simple.

sion

ou

le

pius est

g

un

une

mod

une

d~formatlon O

en

vertu

K

du

est

formeiie)

solt C(P,K) 0 ... U

C(Q,K)

est

O

donc le

d

Iemme

Donc

P

P

2,

0

est

une

rei

K.

~

L

: en de

L(D)

K

dens , on

. Enfln

Par

i

Avent falsons

quelques

s L(~)

n+l es

K

n+2 eI

L)

vlent

P

part,

telle k_) de

r

CF] de

(F

T(f)

et

rel

f

ces

entraSne

de

P

si

deux

. D'eutre

cylin-

; l'InJectlon

f

expan=

0

.

le

cyllndre

il

exlsta

qua

...

volr

n+2 et

U

qu'elors

yC(Q~K) ~ C(P,K) 5 0 ( Z )

.

kO

~...

simple.

En

perticulier

formelle

ailleurs si

.~_-~0

P

K

= K

se o

U

F1

s = t de

contrecte en

oO

K

st

rel

K

touJours

en

est

(en+l

= e

n

x

o I

,

Po

cyl.

de

. Per r~currence sur les cellules o obtlent une contraction F2 : P ~L : K

>L i

> P

r r IF2]

d'eborder remerques.

se

sclnde

une

la

o

)

princi.Donc

an

r

pour t o u t

@IK

~L r

d~monstretlon

.

,@ ~ [ F2 F I J des

lemmas

par . for-

,

P

@

~-CF1],

: K

. On

effet,

K Comma

@

d@formation

n+l

= Po U e n U e

de

K

r EF]

n+l

isomorphisme

contracte

pales

~ C

un

Bur

f

les

le

est

forme

ast

principele P

se

d n+2

s K(D)

mellement lule

~ C

le

dens

~ O(Z)

1 ~-dessous

de

un

qua

C(g) ~ C(P) t e l C(K) Or

est

homotoplque

donc

lemme

Ki

inverse

volt

U

F mod

>Ki+ 1

Donc

On

n+l eI

de

: Ki

slmple.

formelle

= K U

F

~qulveIence g

e

sl

~l~menteira

[F-I~,

On

car

syst@me

R~ciproquement @

cylindre

c

contraction

de

~vldente,

indlqu~s,

cel-

-61

Supposons

qu'on

sit

-

deux

complexes

partir d'un compiexe K en a t t a c h a n t n e 0 , e~ par deux applications 4o , homotopes

par

ft

disjointes,

le

K u

e~

e~ ~

9 Alors

compIexe

une

)Kuen

se

contracte

suffit

de

sur

O~

former

attachant

&

n+l-cellule

kj n el

o

un

K

une

complexe

Q*

on

suppose

qua

traction rei

K

c'est

un

d'une

n-ceiluie,

F

O*

&

ces

des

~

De

la

comma

m@me

si

cellules &

sous-complexe

rencontre

ni

eno ni

situation

suivante

K*

tei

dans

Q*

K*

qu'il pour

une

0*

F'

, on

se

K*

e~

consid@re

formelle

Nous une

que

expansion

peut K*.

obtenir II de

O*

est

q

~ 0

de ).

Ia

F'

est

form@

a prolong@

formelle n que e

: par

permis

un

q-cellules

r@de

qu'on

ne

une

rencontre

alors

d'aJouter

l'expansion.

complexe

t o u t e d@formation 4 o r m e l l e

y a autant

par

un

d@fini

K

prolonger

est

K

est 0

dirons

dens

formeiie

FF'(0*)

tel

F

dens

d@formation

K

~

=

remener

. Aiors

-K* est

~

contraction

K

F

tout

en

que

peut @tre prolong@e en une d@formation f c r m e l l e (c'est-~-dire

: on

01

n

9 c'est-~-dire

K*,

' il

rencontrent

ne

qui

e

ajout~es

O*

se

et

contenant

4ormeiIe

derni@res

" e~

(x)

o

O~

e

Be; C 0

g:I~ual~Iul~o--~

entre

Plus g~n@ralement, s i le

e on

. Si

sous-complexe

admet

complexe

d@formation aucune

01

sont

attachant

, y E ai n

en

obtient

en

x e in

. Be?m C K* peut ~K Donc, par une

on

obtenu

, e~

4t[Y)

K

K*

si

sont

g(y,t)

celluie

~

qui

n eo

= f

interm@dieire

K*

K*

sous-compiexe

0*

=

ceIiuIes

g(x,O)

n

O*

>K

1'application

complexe

un

Car

en+l

e~ U

par

K.

les

41(x)

cels

et

rel

form@s

g(x,1)

et

Appliquons un

en o u

01

respectivement $n-1 41 :

0 o s 01(D) K U

O o,

contenant

K*

>K

Q*

dens

~Q 0

tel tel

- K

K K

que

-62-

1

ZEMME

Si

:

v@rifient Q

~ P(D)

~I[P,K) rel

pour

n

th@se

assez

:

vide).

L)

e

n+l

de

n+2 eI

U

S

( > dim

(P-K)

U

+ 3

un c o m p l e x e

~ p-1

,

...

L} e

n+2 r

)

r@currence

dimension

: 3DP

#. 1

#i

le 8 o u s - c o m p l e x e

: P

- K

(pour

p

ne

= O,

contlent l'hypo-

Soit

applications

donc

...

Hypoth@se

de

#1"

les

U

grand

celluie est

et

tel que

K

D@monstratlon aucune

connexe

V l ~ I , il e x i s t e

= 0

n+l K L) e I

Q =

P

le c o m p l e x e

~--Pe i

i

ceract@rlstlques

) pp-1

aln p

:

d@#init,

si

p

des

un

1,...,s

p-cellules

= KP-1

> 0

=

de

P-K

(P,K)

Ce

. On

a

C K

~l@ment

de

~

dernier

P ~tant

nul,

II

existe :

g

telle sud

de

a D P +1

O-cellule

de

un

dans

chemin

). P

P*

(i

varie

de

exlste

#ormelle qua et

P* le

, in p

p1

= #i ( ]Dp+ , 3] p) _ Le

r@sultat @tre

_p+l

U

, et

hombre

qua

dans

p

= 0

O-celluie

sur

) K

q

une

= h@misph@re

K*

tout

pour

p+l Ei

proicngement

pour

&

h@mlsph@res

U

un

O

aussl

reii@e

=

~p+l

= K U

lee

9 Kp )

nord

et

, car toute de

K

par

l'expanslon

~p+2

et

sont

vaut

. Formons

= PUg i

K*

) (pp+l

]

aiors

- K

m@me

application

- K peut

1 ~ s

sous-complexe II

[ 1;1 p + I

~il ]Dp_

qua

une

- K

p+2

P U 6i

cp

est P*

une

, c'est-~-dire P

- Ken

expansion

>0 mI

contlent

a~P+2

K

de

autant 0

dimension

en

ia

de

)

.

simple

de

contraction q-cellule

dimension ~ p

Le

+ 3

5 p,

K.

-63-

Cela

ech~ve

l'induction

Dens

ces

C(Q,K) est

ecyclique.

cellules est

eu

et

2 :

Q,

K

Preuve

~ C

Cn+l[Cn+2)

d-n+2 ei

LEMME

: 0

signs

Si

vide

per

le

un

~[H~-module

de

hombre

que

fini

torsion

(xij)

J = indice

colonne

rel

K

(xij)

torsion

nulle,

peut

d'op~rations

~tre

ligne

(colonne)

per

* 1

II.

Multiplier

une

ligne

(colonne)

par

x E HI(O)

Changer la m a t r i c e

IV.

Remplecer

Chacune formation

des

une

llgne

operations

formelie

u

de

en Ii

(u o) 0

par

ci-dessus 0 rei

K

1

ii

peut :

systems per

n ~ 1

ou + lj

r~duite

du t y p e

une

III.

lee

,

.

Multiplier

).

du

ligne

de

base

donn~e

Ii

droite

de

i = indice

est

Q ~ K(D)

libre,

. La

!e m e t r i c s

C(O,K)

signifie

~0

~ Cn+l

H = HI(K)

ceils

alors

: L'hypoth@se

metrics

est

syst@me

connezes,

d n+2

-n+1 ej

j)':x i j

le

le s y s t ~ m e

eiYn+2)

pr@s

=

.

p

conditions,

ei'n~l (resp.

dcnc

sur

suivent

~ gauche

l'op~ration ,

& le

per

(~

inverse.

i ~ j

se r ~ a l i s e r

:

une

d~-

-64-

I.

0

inchang~,

tion If.

0

III.

O

inchang~, mels -1 ~n+l (x ei ) . subit

[~in+l)

ei

remplace

on

el +2

avec

[~+1)

une

expansion [contraction) qui n§ n+l cellules ek et eI telles

dek +2

-- el +1

Soit

n+2 0i = 0 - ei

une

-n+2

on p r e n d

l'orlente-

oppos@e

deux

IV.

meis

rood K

cellule

~

n+2

xel +2

par

eJoute

(supprime)

qua

. pour

par

un

une

certain

i

application

Attachons dens

la

~

classe

0i d'ho-

motopie

aei +2 + ae~ +2 e ~n+l O'une

part

ar

n+2 0 = Oi~)e i O'eutre

n+2

n+2 = as i

(KL) e l +1 U ... LJ esn+l

dens

H n + l ( O i)

n+2 = OiL)r

part,

on

-- O'(O)

rel

e le d i a g r e m m e

d'oh

n+l KL) e I U

> Cn+l(O',K)

II

IL

g n + 2 [ O ' , T)

~

T = K ~ e n+l I u

oO

verticaux

sont

ceux

de

Cn+I(Q''K)

~gn+l(KUe~

rev~tement

donc

simplement

) compos~s

tion

des

> g n + l ( T , K)

et

oO

les

isomorphismes

s

~

(le

gn+l (T)

... u en+l

Cn+2(Q',K)

O'

n+l ... U e s

commutati~

d

Cn+2(O',K)

) "

Hurewicz

g n+2 [ O ' , K v e

n1 * l

+1 ~

U . . . u en+ls ) "''uen+Is " K )

KUe~+Iu

...Ue

connexe

puisque

avec

les

:

n+l @

n+2

Isomorphlsmes

~tant ~ 3,

induit

par

et

indult

Indults

K par

O'

, par

la p r o j e c -

Ainsl, on

identi~ie

les

cellule

rev~tements. n+2 e dens

Cn+ 2

et

Rn+2

celluie

e n+l

Cn+ I

et

gn+l.OOnc

de m @ m e c a l l a s d ' u n e n de n +2 = ~. n + 2 + d e J+2

dens

" et

images

d'une

i

-85-

V.

THEOREME

Expos~

1.

Fibres

vectoriels

Un (E,

B,

p)

k-fibr~

form~

de

S.

de

DE

MAZUR

Maumary

diff~rentiables.

vectoriel deux

diff~rentiable

vari~t~s

application surJective -1 c B , p (x) est un e s p a c e

p

x

vectorlel

un

phe

U x ~k

~

espaces

voisinage 9 le

base

forment V

torial

, la

Un

pour

et

l'exemple

des

un

&

x

x x~K

n-fibr~

fibre

tangent

de

: E

diff~omorphisme

vectoriels

Citons V n qui

U

en x

~B

et

que

pour

dimension -1 p (U) est un

B

k

, tout

et

qu'il

diff~omor-

isomorphisme

des

.

vecteurs

point

de

induisant

pl(x)

E

telIe

iequeI

vectorial

cheque

l'obJet

diff~rentiabies

d'une

existe

est

tangents

& une

dlff~rentiable x

6 V

~tant

vari~t~

~(V)

l'espace

de vec-

.

morphisme

(E,

B,

p)

f

~(E',B',p')

de

fibr~

vectoriel diff~rentiable est u n e a p p l i c a t i o n diff~rentiable f -I E rE' q u i i n d u i t Bur c h e q u e f i b r e p (x) de E une application une

lin~aire

dens

application

une

fibre

diff~rentleble

~q(y) ~

: B

f

E

d'une

vari~t@

Par V

une

en

telle

d~duit que

~.B'

exemple,

dans

~B'

On

1

B

commutatif.

E'

,.E'

~ soit

de

une

vari~t@

application V'

induit

diff~rentiable une

application

f

-66-

des

~ibr~s

tangents

telle

que

T

fT TCV)

~CV')

1

+

V

solt

commutatlf.

Etant vari~t~

B

tlabie et

[

~LV'

donn~e

dens

la

base

(E',B',p'),

une

une

on

application

de

appllcetlon B'

d'un

peut

di~rentable

k-~Ibr~

construlre

~ibr~

~

: E

E

vectorlel

un

~E'

~

di~ren-

K-~Ibr~

teile

d'une

~*E'=(E,B,p)

qua

;E' p'

B

soit (b,

commutatl~. e')

tels

natureIIes.

E

est

que

Les

On v ~ r i ~ l e q u e ~ t a n t d o n n ~ une

la

~(b)

~Ibres

pattie

= p'(e') de

E

~*E' Jouit appiicatlon (E 1 ,

B,

de , p

sont de de

~

sent

isomorphes

ie p r o p r l ~ t ~ ~ibr~s

pl ) -

des

les

couples

projections

~ ceiIes

de

universelle

E'

~ commutatl~,

il

Induisant

caract~rise

f

exlste

(E 1, unique

-,> E '

B

B,

une

& un

8 de

1~

B*

application

pl )

l'identlt~ f'E'

~,

la

> (E, base

de

~ibr~

B,

p)

telle

Isomorphisme

que

pros

: g*E' e : ~8

: on

.

sulvante

~{E',B',p')

a

E~

Cela

et

~orm~e

que

telle

solt

B x E'

9

l'eppelle

:

-67-

fibr~

induit

tiables me

de

de

E'

m~me

par

produit

si

la

s'il

d'un

exacte E"

dans

et

E de

de l'est

Un

sur

oomme

B

x B

~B

morphisme

du

injectif

fibr~

dit

On

ceux

inJectif

peut

(surjectif)

som-

fibr~

sont

est

fibre.

: la le

morphismes

chaque

diff6ren-

additive

d~finie

Les

B.

Ia

~ E'

, E'

~tant

et

peut

fibre

et

surjective)

TCV)

v(f)

(E,B,p)

la

d6finir

et

de

plus,

vectoriel : E nulle

f

chaque

E

une

induit

que

de

de

une

le

noyau

p

d'un que

f

: V

appelle

de

~(E)

>V'

voisinage

de

(resp. (rasp.

appel6 par

vectorial

fibr~

4). T(E)

;p*T(B)

diff~rentiable p*E

existe

qu'un

voisinage

de

& un

V'

tel

la

ouvert

que si

.

la d'un

fCV)

V'

vari6t6

d'un

fibr~

plongement

est

nulle par

diff6ren-

donn6e

~ ~ = f

section de

de f

et

V

voisinage

isomorphe

de

de

base

tel

est

est

annul~

plongement

. Un

f

localement

inJective

= p*~(B)@

tubulaire

E

ouvert

un

E

mal

d~pende

immersion

l'application

~ibr@

un

voir

une

coker

fibr~

sur

de

voit

ne

l'unit6).

le

~V'

suffit

se

qui

tubulaires.

diff~rentiable

de

orthogonaux

application

dont

alors

m6trique

>V'

(resp.

sorte

fibre),

: cela

: V

~f*~(V')

p*E

Soit On

f

ainsi

Voisinages

tiable.

soit

~0

compl~mentaires

partition

projection

est

sur

dans

~ l'immersion

C'est par

une

example, Alors

~ E"

diff~rentiablement

par

submersion).

induit

E"

introduire

raccorde

normal

~ E exacte

Par

~

est

(c'est-&-dire

(on

l'on

2.

cat~gorie

,p')

vectoriels

suite

E ~E~

que

une

morphisme

0 est

fibres

p x p')

l'identit~

(ker)

. Les

diagonale

B x B,

surJectif)

coker

(E',B

l'appllcation

induisent

ie

f

forment

et

(E x E'.

[rasp.

par

base

(E,B,p)

induit

qui

de

un

,

~ = section ferm~

du

fibr~

: il nor-

isomorphisme

-68-

qui

9.

prolonEe

De plus,

si

l'on m u n i t

deux

tels

voisinaEes

E

EI~/~ d'une un

m~trique

ne d ~ p e n d a n t

isomorphisme

A-dire

a

@ est

que

On peut m~s

de

f

ne d ~ p e n d a n t en b o u l e s

isotope

~V' que

de

: E(r)

~V'

#

pri~t~

d'unlcit~

de

la fibre,

pros

on m u n i t

des

pr~c~dente

respectant

des E

sont

isotopes

le m ~ t r i q u e ,

voisinages

d'une

ce qui

vecteurs

est

ils

c'est-

@1~ .

~

la fibre,

form~

V'

consid~rer

:

E(r)

Alors

que

de f l b ~

aussi

: V

~

permet de

E

m~trique

de

le fibr~

longueur

~erm~

de

devient

ce ces

fer-

riemannienne

de d ~ f i n i r

un v o i s l n a g e dens

tubulaires

f

~ r

. Le pro-

: si

V !

ECr) sont

dsux

: E

voisinaEes ~E 1

El(r)

tubulaires

de f i b r ~

respectant

0 < r I < r , # l ~ I E l ( r 1)

soit

compecte,

forte.

3.

Homotopie

gentielle trivieux 4.

l'isotopie

E~T~

de

si

r

il e x i s t e

la m ~ t r i q u e

isotope

&

un i s o m o r p h i s m e

tel

@ I E ( r 1)

que

pour

Si

V

est

homotopique

~T~T(V)

eT'

r : V oO

~V'

T, T'

est

sont

des

dite

ten-

flbrQs

V .

sur

d'isomorphisme.

que

dimension

E' 9 T '

f,

tangentielle.

~quivalence

Pour ri@t~

est

Une

Crit@re

de

oO

deux

k-fibres

n,

k

T,

T'

> n sont

vsctoriels soient trivieux.

E,

E'

isomorphes,

sur il

une

suffit

veque

-69-

5,

Limites

inductives.

D~f~nition -

V,

dans

Appelons

plongement

int~rieur

W

vari~t~s

diff~rentiables

W

tel que

~(V)CW

ticulier, :

:

l~image

par

et

~

~ bord

~(~)

ouvert

~W

V

un plongement

-

ouvert

d~un ouvert

~ :

dans

de

V

W . (En par-

est un ouvert,

et

dim

Vi

st

V

=

dim W ,) Consld~rons

plongemen~

une

int~rlsurs

ouverts

~1

V1

qul

Soit est

donne

une

Vi

suite

V

est

une

'

de

~3

de

U~V

vari~t~

de

~ ....

sous-vari~t~

de

vari@t@s

topologlque sl

vari~t~s

i c N

>V 3

crolssente

= ~ Vi l'espece i o u v e r t sl st s e u l e m e n t i

fi

~ une

V

tout

infinie

~2

~V 2

Identi~Ions ce

suite

dens

i

est

de m @ m e

Vi+ I

V ICV lequel

ouvert

dimension

per

2 CV S C un

ensemble

dens que

~.i ....

V i pour

les

Vi

:

@

soit

x c V

voisinage eu

9 et U

J

de

x

le

plus

petit

hom~omorphe

&

~j x

dens

( V i , f i) i E H

form~

On par

ne

Vj

x E Vj

est

: un

hom@omorphe

les

sucoessifs

d~but.

Enfin,

dif~omorphe

~i ~

Soient int~rleurs

ouverts.

V

veri~t~s pas

ou si

~ ~j+~CUI?

eppelle

change

diff~omorphlsmes est

dens

que

fj§ > fjCU)

V

9 Elle

gements au

~n

tel

voisinage U

de

Indlce

si

on

on

si

Vi on

limite

inductive

et

plongements

un

syst@mes J

tels

,

g

~V i

les

compose

supprime

a deux

: Vi

le

un

nombre

nombre

que

fi~i

,

de

syst@me ~i

~Ini

~inl

(Vi,~ i)

du

de

plon-

veri~t~s

(V~,~)

=~i+I

"

~i

et "

V

V' f

: V Les

)W limites

: W

induotives

~V

deux

plongements

des

-70-

f

V

g

~ W

V

g.-F

~gelss.

6.

Theorems

THEOREME

de

:

avec

Soient

est d i f f ~ o m o r p h e

est

o'

:

contraction

de

E

sur ~

:

o~

ce

= o'~

Cele

nous

Solt

mt

m~

: E[r)

b o

(car

E(r)

ces

ml(E(r)) On

r

deuz

k-fibres

compaotes

: E

E

sans

eat une ~ q u i -

>E 1

des v a r i ~ t ~ s

a par

o,

o'

compact

)

r

> 0

int~rieurs

le

et

E I , alors

o0

E

voisineges

une

de

Thom).

On

E(r) peut

= o ' I E ( r 1)

~(r)

> E(r),

. Or

om I

> 0

sont

donc

pour

,m t

(rasp.

pIcngements

, o~

de

radlele

om I = o'm I

)E(r)

qua

: E(r)

tubulaires

t

: E(r)

o

nulle

contraction

de

di~o-

.

. Pour

chemln

montrer

un

isotopes.

de

o l E ( r 1)

r~alise

homotopes

section

(th~or~me

E

donc

= E ( r 1)

un

.

de

ellons

pour

deux

)E(r)

(o')

Dcnc

> ...

( E 1 , M I , P I)

. Si

Nous

est

o'~

au

Int~rleur.

isotope

~

donne

ram~ne

,

diff~rentiables

sont f o r t e m e n t

&

qui

= Identlt~,

ment

E(r)

Si

isotope

p)

dl~rentleble

~l(r)

> E(r)

~ortement

M,

k Z n+2

Deux plongements

D~monstration

-f.g

) ...

E1 .

Une

: E(r),

(E,

tangentielle

~

dl~omorphe

LEMME

n, et

~omotopique

morphisme

) ...

g.'f

> V

,~ W

M, M 1 v a r i ~ t ~ s

b o r d de d i m e n s i o n valence

~ .f

9f . g

"f

, V

Mezur.

(MAZUR)

vectoriels,

g

~W

V

%4 sont

+"

V

~

supposer dens

0 < rI < r

telle est

est

un

o ' m 1)

et

m

qua plongeest

int~rleurs.

isotopes

E(r).

fortement

-71 -

En Alors

Igs

perticulier,

iimites

supposons

a

a

E(r)

a'

car

successivement

a >E(r)

a l1

>E(r)

/~ ~0

E(r)

Prenons

slots

radials

digg~omorphe

le de

a

E(r) est

a

on

~:1

contraction

ouverts.

o t

E(r)

I1

la

soient

~ ECr)

a > E(r)

E(r)

a'

a

~ E(r)

~ ECr)

di~omorphes

O'

et

o'

ECr)

E(r)

a

inductives

E(r)

sont

que

&

la

E(r)

E(r)

limits

E(~)

sur o

~ E(r)

C

E(r)

plongement

8:1

~E(r)

a 2 E(r) 9 La o

ECr)

etc.

par

d~fini

limite

inductive

> ...

inductive C

> E(2r)

> E(4r)

C

>...

0

qui un

est

E

ou

plOngement

E(r)

En

int~rieur

conclusion,

ouvert

si

a

homotope

~

: E(r)

rE(r)

I'identit~,

Ie

est

limite

inductive E(r) est

di~f~omorphe

Le une

vari~t~ Pour

th~or@me

E(r) (ou

sere

La

e > 0

, il

plongement

~.

Alors

E

est

un

nition

du

~ibr~

> E(r)

E(r)

est bord

exists

Si

e

voisinage normal,

a

~...

).

d~montr~

E(r)< g de

construction

: M---,E 1 sans

a

ainsi

homotopique

compacts

tout

>

E(r)

ouverts. @~

un

~

~quivalence

int~rieurs

a

quand

nous

aurons

~El(r)

par

des

~

se

~aire

peut

une

application

di~rentiable

de

dim

une

donc

est

n

une

dans

e-approximation

assez

petit,

tubulaire

de

~

, on

a

v(~)

~

~

vari~t~

r

est

: en

de

plongements comma

f * T ( E 1)

suit:

d'une de

dim r

homotope

e~fet,

r~alis~

par

= T(M)@

~ 2n par

&

~.

d~iv(~)

-72-

et

par

ailleurs,

~ * T ( E 1)

= E*r

1)

; r ~tant

une

@quivalence

tangentielle, @ * T ( E 1) oQ

To

T'

sont

des

~ibr~s

~ * T ( E I) o~

T,

T'

E*T(E)

sont

= ~(M)

exists

un

@

E

ce @

91br~

(par

exempIe

pace

euclidien)

dimension

Donc

d'oO

E ~v(9)

sur

fibr@s

triviaux

9

T

~

T(M)

E @ T'

M

tel

normal

au

@

qua

T(M)@

plongement

@triviaI des

~

~Ibres

de

v[s

r~sulte

de

i~

que

~

trivial

de

M

dans

et

E

est

E(r)

est

r = rI

car

E l ( r 1)

d'oO

en~In

ouvert

~

: E(r)

~El(r)

pIongement ~1 ).

tel

int~rieur (~1

section

,

~1(rl)

0 , car

@

soit

(E(r))C

rl>

= ~1

F

en

nombre

de

Mais

.

prolonge

certain

El(r) ~

r > 0

se

. Pour

g~

M.

un

es-

> n

.

>E I

topique

sur

E e trivial.

: E

qua

E*

~inalement

~

un

Appliquons

9 T'

ouvert

tient

E.

donne

sur

F = ~ibr~

e T'

~*T(E) comma

v(~)

commune

Ii

T ~

qui

F

v(9) La

@

~[E) triviaux

consid@r~s

TOM) Ii

@ T ~

~

qua

~

un = ~

ouvert nulla

compact.

g de

E1

g~

-~ ~

=~ g~ =

"FgE1 -'=' E1 ~

identit~

-Fg ~ ' i d e n t i t @

On

plongement pour

peut

plongement . De

: El(r)

Oonc

un

" ~1

un

supposer

int~rleur

m~ma,

on

> E(r) inverse

obtel homo-

-73-

A P P

E N D

I C E

Ap~llcation

: Equivalence

Etant de

vari~t~s

ment

donn~e

stable

une

s'il

on

exlste

dlt

homotopique

qua

M1

et

r M2

: M1

)M 2

sont

stable-

undlgg~omorphisme M 2 x ]Rk

: M 1 x ]~k tel

vari~t~s.

~qulvalence

difg6rentiabIes,

~quivalentes

de

que

M1 x IR K proj.

r

~.M 2 x ]Rk

Pl

proj,

P2

r M1

solt

homotopiquement Pour

M1

et

qua

M2

~

N~cessit~

qua

une

M2

commutati~. deux

soient

soit

~

vari~t~s

stabIement

compactes

sans

~qulvalentes,

6qulvalence

homotopique

iI

bord faut

de et

tangentieIIe

1 K)

=

e 1 k} (M 2

x IR K } =

=

Suffisance

:

th~or@me

M2 sont

de

~ se

M 1 x ~k de

M 2 x pk

Si

dimension

n,

homotopiquement

T ( v 1)

en

. Pour

une

~qulvalence

k i n+2

, on

tengen-

appiique

Mazur :

sont

@ 1 K)

trivlalement

application

plong6es

ouverts

prolongs ~ x id.

k)

x

= p~CTCM 1)

Autre

sufflt

:

1

ie

il

n

:

9

tlelle

dim

dans

deux

~n+k

9 K ~ n+2

dlgg~omorphes,

= p * ~ ( M 1)

vari~tQs

car

~) p * v I

ils

compactes ~qulvalsntes leurs sont

= p*(LM1

sans

bord,

par

voisinages

r

~( :E~n * k )

et

:MI----?M 2

tubulaires

parallQllsables

@ v 1)

MI

:

-74-

V[.

THEOREME

BE

DUALITE

POUR

LA

Expos~

1.

Bref

reppeI

Etant cellulelre L

de

K,

paire

K,

K,

des

un

agissant ~tant

L,

tout

correspondre

un

Deux s'il et

existe S2 @

d~formation et

BS(KL

(Volt

module de

de

et

il

de

S1

et

une du

Ies

C"

matrices

m@me groups

ciasse de

un

nous

C",

Maumary S

est un

dans

S2

un

de un

qui

T1

Whitehead

~ la

et

K',

Ker

L'

la

dit

eo~cllque,

les syst~mes

BS(K,L)

torsion). si

Ker

d'homotopie

de

: C

on

TI

e J.

d~termine

et

S1 ~

en l'autre par une

~ , qui

Whitehead

qua

sont c o m b i n a t o i r e m e n t

Kern

de

~quivaIents

teIs

. Alors

cat

fait

le

sur

C"

lui

eppei~s

T2

(pour tout

isomorphisme

A

.

~t~

a aiors

et

repr~sentent

~(S)

invariant

associ~

anneau

L)

ont

op~rateur

= Bn+n B = I

est

avons

compIexe

B)

(au sens de Whitehead)~

S.

d'un

sous-complexe

9S(K,

On

K, L

a+ql et

~(G)

triviaux

existe

(~+q)2

~

d'automorphlsmes

= (C',

isomorphes.

suppl~menteire

B+n

G

9(G))-syst~me

syst~me

einsi,

n2 = 0

L)

sont ~quivalents

L')

Le

torsion.

ou si lrune peut ~tre chang~e

l'expos~

enest

e

formelle

NOEUDS

G)-syst@me

: Si les paires

~quivalentesj

AUX

Rham

la

finl,

systemes

soient

APPLICATIONS

de

complexe

syst@mes

des

T2

THEOREME

(A,

de

et

un

homomorphisme

ET

iibrement,

S(K, et

G.

groupe

(Z(G),

le

de

d~finltlons

donn~

K/G

TORSION

C"

= Im

sur

B = Im

n

, tel

n

est

n

La C'

B

s'il

que un

sous-

restriction

,

,C isomorphlsme ; cette

i'appeiIera

ciasse

appartiennent est

la W - t o r s i o n

un de

~i~ment S

-75-

Elle

n'est

THEOREME

d~finie

que

pour

S

ecycllque.

e

le

La condition n~cessaire et suffisante pour que deux

:

syst~mes acycliques soient ~quivalents, m~me

On

crest qu'ils aient la

W-torsion.

OOROLLAIRE

Zes classes d'~quivalence de syst~mes acycliques

:

forment, par rapport ~ la somme directe au groupe de Whitehead. triviauxj

@j

un groupe isomorphe

Za classe nulle est form~e des syst~mes

deux classes sont oppos~es

(leur somme est nulle) si

les syst~mes de l'une se d~duisent des syst~mes de ltautre en permutant

SI d~termlnant facteurs

est

appel~

D'une

.

Ia

A

le

est

on

T(S) ; iIs 8 , 8 ( y ) 9 o0 y

forme

(torsion

d~slgn~e

pr~clse,

commutetlf,

de

RF-torslon

meni~re

par ~

RF-torsion

est

un

~I~ment

les

de

A

per

unlt~s

est

matrices

de

et

C"

l'anneau des

des

syst~me,

et

C'

A(sS)

cause du

le

de

de

ne

des

le

par

d~termlnant

AB(K,L)

quotient

sous-groupe

. Ce

que

Reidemelster-Frenz)

fecteur

groupe

consld~rer

dlff~rent

E G

ou

ce

peut

sl

du

S

= S(K,L).

ind~termin~,

Ie

du

toutes

groupe

unlt~s

de

la

de

forme

•

DualitY.

2.

Nous tel

que,

pour

tout

phisme

de

~(G)

phisme

de

A

l'on

c

C

r

pour

y

et

f

, y

A

, nous

que

8(y)

A-module

consld~re ~ C*

&

comme ,

dens

c G

dens tel

Tout que

consid~rons

est

d~flnl

homomorphlsme

de

C1

dens

de

C~

d~flnl

. Et

llbre

A-module ~ A

per

l'antleutomorphisme si

supposons -1 8(y ) .

=

un

If

dens

= y

gauche

I c A,

C~

Z(G)

C2

C

a

~ gauche

, son

=

est

donn~

d~slgnent

per

e

la

=

un

un en

5

diff~omorphisme

d~signe l a

. On

des com-

un h - c o b o r -

d'~quivalence.

de

vari~t~s

Blots

degr~

M

et

+1].

un example de v a r i ~ t ~ s

pes d i f f ~ o m o r p h e s . Ce s o n t

L(p,q)

type

sur chacune

M i l n o r donne dens [ 1 ]

ne s o n t oO

est une v a r i ~ t ~

de son bord.

qua

h-cobordentes simplement~et si

et

fsrm~es

que

h-cobordantes

lE~-.exes

h-cobordentes qui

M'

et

par d ~ f o r m a t i o n

M

sont

orient@as

M

entre

On dira que

M'

(1]

+ C-M]

posantes

Smale

M. K s r v a l r e

- STALLINGS

n

de d i m e n s i o n

entre

MAZUR

veri~t~

L(7,1)

x S4

lenticuleire

de

a

[L[p, q]] ~

ZI p~

Soit le

rev~tement

W

un

universal

de

M

s'identifie

est

un

isomorphisme).

(1)

Cet 40

expos~ (1965)

eu

a ~t~ , p.

31

h-cobordisme de

W.

rev~tement

publi~ 42.

Le

entre

M

et

sous-espace universal

~galement

dens

M'

de

de

M.

~

et

soit

au-dessus

[H 1 M

Comment.

Math.

~H 1 W

Helv.

-84-

On (W,M)

d~slgnere

rei6vement

par

d'une

est

acyclique

(~ = 01

M

et

~1

T(W,M).

C'est

D'apr6s

des

guletlon

t

THEOREME alors

W

, on

du

cl-trlangulation de

c'est

peut

groupe

connus

un

lui

de

(W,M).

essocier

ne

compiexe

~ [~]-module

Whitehead

T(W,M)

Le

une

libra

torsion

WhC~)

d~pend

pas

de

de

~

la

trlan-

de

.

.

lee n o t a t i o n s oi-dessus,

est d i f f ~ o m o r p h e

De plus si

comma

W)

~i~ment

Avec

:

et

M~I

th~or@mes

une

C1-trianguletion

C . ( W t ; M t)

un

C~ t, ~ t )

M

et

x

~

M x I

supposons

que d i m ~

si et s e u l e m e n t si T C W , M )

sont donn~s a r b i t r a i r e m e n t ,

~ Wh(~)

6

= O.

il eziste

o

un h - c o b o r d i s m e

Sma le

a

d~monstratlon

II

est

Mt

@vident

qua on

maintensnt

W

:

qua

dim

W = M x I +

Crs)

d~signe

O s x O n-s+1)

En W

sl

M'

tel que x ( W , M ) = T

essentiellement

W

est

a slots

en

les

L E M M E 2 : Si W = M x l .

Cr

r

+

un

W

Pour tout e n t i e r

d ~ o o m p o s i t i o n en anses de

de

utilise

En e f f e t ,

Supposons

LEMME 1

o~

et une vari~t~

les

m~thodes

de

M x I , on

diff~omorphe

W = M x I

Wt c o l l a p s e

et

"

M'

(*)

M

E3].

Solt et

entre

La

TCW,M) = 0 .

sur

W

h-cobordisme

= n+l

. On

tel que

r

W ...

2 6

remplagant

W

par

M

a

2 ~ r

+

..[r

+

Cr

il existe une

5 n-2

s

+

on des

est de la forme

peut anses

(')

"'"

+ (r

(i.e. d i f f ~ o m o r p h e

a t t a o h ~ e par le p l o n g e m e n t

termes,

entre

de la forme

une anse d'indioe

d'eutres

quelconque

rs

de

~liminer de

deux

S s-1

toutes

x D n-s+1

les

indices

et si x ( W , M )

= 0

enses

cons~cutifs.

on a

0

-85-

On n~e

d~

les

anses

(W,M)

montrer

lemme

ne

m@me

~

M x

d~composition

Xq

la

Y

= bX

r~union

moins

- M ~

q

pour

on

~limine que

la

I +

une

X

x

(

q

@1)

ordonn~e

en

de

M x

(0)

. Autrement on

~ I).

I

x D n-q+1

Elimination

des

(n+l)-disque des

ie

ii

n'y

On

(@iq)

on

anses

ordon-

attach~es

event

(s,t)

Pour

les

anses

d'indices

q+2

. En

obtient

d~-

appliquant

la

~ormule

(*).

des

a plus

On

de

M.

est

de

(0)

d~signera . On

composante ~ q+l

.

par

pose du

bord

(Tout

au

~ 0 q x Dn-q+l

dens

images

,,,

~ q

di~omorphe

Dq x les

On

d'indices

e s t la q anses d'indice

les

+

de

I a'n s e (0)

x

(@iq ) sn-q

" Oe et

0

.

~acile.

M

I

x

ne

Une

. Comme M

x

change

d'une

unlt~

d'indice

1.

d'indice

0

d'indice

1

I

ense W

le

Apr@s

est

au

pas

d'indice connexe,

(~

nombre

un des

hombre

est

l'une

(n+1)-disque. W

un

0

Si

1) X

+

+

...

M x

I

(@1

. Comme

+

l'on

digg~omorphisme anses fini

d'indice

d'op~rations

.

(@~ 11

est

connexe,

X

1

est

un au

consid~re

XI = x I

(@q)

Y

est

on

diminu~

anses

+

W mod

anses

1 Joint

anses,

anses

de

dit,

d'indice

d'anses

des

des

,,

respectivement

d'indice

a ainsi

anses

(@iq)

operation

deux

nombre

X = M

duale,

d~signent

anses

anses

Elimination

o0

d'indice

en

sont

d'indices

o )+ (@~1

+

i ' image

disjoint

ces

et

L'ense

dens

Cette

et

couple

anses

attache

~

pros).

s ~ t

successivement

des

''"

d~signera par O~ -q n-q~l m@me S et Ok

supprime

tout

+

IaqueIie

pour

moins

d~composition

d'indice

d~composition

On

(0)

enses

une

Soit

:

q

existe

t

rajoutant

Notations.

q de

les

1,

m~thode

W

qu'il

, i.e.

d'indice

ie

q < ren la

rappelle

somme

connexe

0

-86-

le

long

du

bord

de

X

evec

~1 cO

X l )

(x I .....

S 1 .....

S 2

~1(XI)

donn~es

soit

des

~ICM)

Le g r o u p s

=

Comma

wi

on eat

il

exlste

a

ne

les

~1

($t

On Y2

" est

On

que

le

:

S

g~n~rateurs.

conjugeison

1

Solent

dens

on-1

x

une

Xal

;R 1 . . . . .

un

>

presentation

Rt ,

S1 .....

isomorphisme dens

les

H I ( X 2)

symboles

at

bX 1

de

HIM.

S ~2

)

du g r o u p s

.

de

, i = I ..... ~I el,...e

. s

H 1(x 1)

des

~ j2

(S 1 x

Dn-1

x

Comme

HIX 1 ~

HIY 1 ,

2)

(n

coupe en

n-1 SI,

que

r

(r

(2)

saul

...

j

elles

et

2

notation et

i'

entre

= 1 "" ..,a

(cf

sl

ct-dassus)

qua

~ i

" consld~r~ comma pIongement -1 XlW i devlent trivial dens

dens

.

d'Indlce cl-dessus

+

,

point,

,I +

dlsjolntes

S ln - 1

= ~

car

1 X = X +

un

) ~

l'anse

condition

sont

(S 1 x O n - l )

+ 1 > 6)

2 (@~)

> Y1

supposer

r

(0))

& z~ro

D n-1

x

peut

des

observe

Solt salt

de

On e d o n c

le p r ~ s e n t e t l o n

indult

S1

images

homotope

~1(X2 ) ~HI(Y

r Rt )

x I .....

:

trensverselement r

& ~I

classes

c o n t e n e n t que -1 XlW i dens

-I xiw i

qua

libre

x i = w.1 (el ..... as)

dlsJolntes (2)

x 1)

.

piongement

repr#sentent que

des

RI,...,

~X 2

@i

(1)

R 9 (x I . . . . .

le g r o u p e

;

es,

l'~l~ment un

= ~1

clots

X

S 1 x Dn

pIongements as

(a I .....

un mot

Consld~rons

Ies

edmet

l'inclusion

Poincar~, cO

per (e 1 , . . . .

=

(Xl)

d~signe

plains

tores

repr~sentants

~1(X2)

~1(X2)

el

( ~I)

2

attach~e

Implique

per

:

2 +

(~1)

+

...

+ (Q I)

$i

" On

'

-87-

En

vertu

de

la

condition

X 1 + C~21) § . . . et

lee

anses

X2

Or, i

~i

Is1

+

C~ 1)

(0)

est

d'un

est

trlvlalement

on

peut

&

Y2

~(x)

dens

un

Y2

dim

" Comma

en

de

Y2

qua

lee

r~sulte

= n

dens

~i

: S 1 -----,SO

~

. Ii

)

canonique

chanKement

supposer

X2

C~2 2 )

,

+

evec

donc

vari~t~

Oonc

plongement

. Apr~s

attachQes

+ ...

la

C~ ) + ...

) -- X +

. y)

peut

~ormer

commutent.

~ z~ro

de

(x,

n~cessalre,

C~

isotope

point =

(~2)i

...

homotope

'(x,y) ~i

par

+

, on

+ C$2 ) + ( # 12)

et

est x

slnaKe

(~2)I

C1)

anses qua

le

"

sl

2

(~i)

l'on

rol-

~il d o n n ~

en

n-1

~ 5

peut

cele sont etta-

char 2

X2 + (0~1 des

anses

d'indlce

3

...

...

($~1)

+

(~)

, dlsons

X2 = X2 + C ~ ) + On

+

. I = 1 .....

+ (~)+ 1

(~)+

ml

...

. telles

qua

C~1 )

e alors

X2 = X . i.e. per dice

lee des 1

anses anses

est

...

d'indlce

+ (,2)+

I de

d'Indlce

3

W

(an

(,~)+ ont

nombre

QtQ

...

+ (,~1)

~limln~es

~gal

aux

st

anciennes

remplacQes anses

d'in-

) .

Elimination (r

(,~)+

des

anses

l'entier

d'Indlce

arbitraire

q

du

avec

lemme

2

_< q

< r

6)

donn~ .

entre

M et

M~

-88-

On les

anses

posante

rappelle

d'Indice

connexe

du

d'Indlce

> - q+l

v~tement

unlversel

au-dessus H

q

(X

q

,X)

est

Solt rel~vement

II xie

bord

de

X

3 :

un

si

qua wk

~tant

P

q prend

au

disjoints

q+l P On

Solt lee

bord et

x r

~

etc... notera

lemme

comme

que

Puieque

(W,M)

~q

, le re-

pour

point

des

~

per

la

et

g(sq)rhS

dans

coupe

Sjn -q

de

~ ~

~

< n - 2)

pour

Yq

transk ~

J

repr~sentent .

On

peut

alors

~llmlner

Y

un

n-dlsque

les

: base

anees

de

d'Indlce

q q

. On

notera

plong~ ce d~-

Indlce

de

k (1 S k 5 8) on c h o i s l t un c h e m l n l'image ~kq+l (S q x D n - q ) les c h e m l n s wk

contenus un

dens

point dee

Y

base

Int

de

~

U k

#q+l k

au-dessus

(S q x D n-q) de

P,

et

.

solent

cellu~es

le p o i n t

l'op~rateur est

d~termin~e~

isotope

g(S q)

d~montr~.

suit

est

>Yq

tel

x E ~(q

(c~ n o t a t i o n s d

dens

~ pr~s.

: Sq

point,

ce

rel~vements

d~termln~s

D~

unlvoquement

q

aqk§

de

un p l o n g e m e n t difg~rentlable. Un q represents une c l a s s e de la ~ o r m e

>u

avec

Y ) disjoint q P . Pour chaque

de

q rel~vement

les r e l @ v e m e n t s

Supposons

On

M x I avec

-(M x (0)) est la c o m q ~ l a q u e l l e sont a t t a c h ~ e s lee a n s e e

~l~ment

en un aeul

d'Indlce

de

= bX

q

q (x i r ~ E ~ ] )

: Sq

c Hq(Xq,X)

(dans

~Y

Le p l o n g e m e n t

si et s e u l e m e n t

Y

la r ~ u n l o n

X

dans

g

un

: Sq

par

veraalement

anses

a~

s Hq (Xq,X

un p l o n g e m e n t

•

et

d~slgne

qui e ' I d e n t i ~ l e a v e c ie s o u s - e e p a c e de q X . On I d e n t i ~ l e a~ a v e c sa c I a s s e d e n s q I q a l o r s un Z~module l l b r e e n g e n d r ~ p a r les a i .

~

multiplication

LEMME

s q,

de

~

de

X

q que

. Solt

de

qul

que

oq ~1 ~mes des anses d'Indlce -k , les r e i ~ v e m e n t s des w d'orlglne

~

q+l_k a pour N

cl-deesue. bord

acycIique,

d d

: H

bord ,~+~{S q x CO))) ~

(~q+ ~ ) ~ H (~ ,~). q+l 1' q q q eat s u r J e c t i ~ . Pour tout index

-69-

j

(1 _< J _< ~)

, il

existe

7. k X j k (observer

que

d

est

: Sq

passant

par

Index

Oe dis

g isotope peut

qua

I r EI,6]

&

encore

se d o n n e

si

~

(sq

de

1'on

>Yq

dens

Y

-~

~kq+l

choisi

~ volont~.

f

en

"tirant"

f(S q)

repr~sentant

x

d~former

w

Jusqu'&

Ensuite D; +1

ce

on

(~1

arrive

passer

f(S q)

x S In-q-1

(cf

SmaIe

g

tout

x c H

= ~

pour

d'abord

le

est

bien et

le

long

0; +1

par

op~ratlon

signe

g

d'un

~ ~ +l(sq

de

le

obtenir long

puis

cette

o~

1

suffit

voislnage

Apr@s

[a q+l)

-

par-dessus

[3]).

~)

arbitrairement

+ xd

q < n-2),

au

(par

plongement

Ii

car

i 'on

qua

felt

Yq ~

rei~vement

(S q x D n-q)

qua

~tre

.

x D n-q)

son

un

Z[~-modules)

plongement

se d o n n e

tel

q+l

de un

k

, il e x i s t e

: sq ~

= aj

II -~Jr q+l

q

P , la c l a s s e

d6terminQe. un

~Y

que

q

d(a q+l)

on

r 7Z[H]tels

Xjk

un h o m o m o r p h i s m e

Si m e i n t e n a n t f

doric des

de

lacet

du

chemln

x Dn-q).

Isotople on

sur

obtlent

pIongement

g isotope

u

~

•

: sq f

sur

Y

9 d ( a ;~ +I)

de ~ a i r e

passer

f

+ ou

-

on

donc

modifier

dCa +1)

dens

par-dessus

cette ~

formula. par

O q+l 1 Par

n'impcrte

qul

d~termlnent

iteration quei

de

~i~ment

les

ce p r o c ~ d ~ , de

la f o r m e

avec

Solent canoniques

(S q x O n-q )

[mais @ v i d e m m e n t pas sur Y ) tel qua q+l q Ii est f a c i l e de v o i r q u ' i l y a d e u x f a g o n s

(S q)

signes peut

- ~k ~k 9 q+l

~Yq

alors

(triviaux)

@I

: S q x D n-q

disjoints X

q

+

et

(~1q+1)+

contenus ...

des

~Yq

dens

+ (~q+l)

plongements P

. On

forme

un

-90-

Comma

i

ces

anses

= 1 ..... e X

On f o r m e images

tell~

= X

q

X des

q + ($

trlvlales,

+1)

et

@1

existe

+ Z(@;+2) a q+l ~k

isotope 0 -~ Xlk

sont ~ s J o l n t e s ) . ~ un d

+ r-($q~ 1)

d'apr&s en

IIen

le

lemme

3 , on

point

saul

$ ,i

(S q x on-q ) ~ Sjn-q

lee

le

dont

le r e l ~ -

supposer

= 0

~

que

pour

(S q x

(0))

coupe

et

J ~ i

.

(@k

=

)

et

C$ i* )

commutent

X + Z(@~ § )

suit

= X + z(&q+l)'k

Autrement par

dit, des

on

Ii

est

la c l a s s e l s o n

q+2)

= Xq+ 1 + T [ $ [ )

+Z(OI

+ ~(~iq+2)

+ Z($; +2)

e ~limin~

anses

Reste

pas

Y q+l

9 d'apr~s le remarque

q

= ai

(transversalement),

q+l

anses

Xq+ 1 = Xq§ 1 + E(~; +1)

placer

sur

* Z($~)

*

s'en

les

qua

Xq+ 1 + ~ ( ~ i ) Ii

peut

un

r~sulte

comma

$I9

car

.

+ ~.( *) ~i

q+l

X = X+ Z ( r et

Or

plongement

(_q+l)

= X

q+l

S n-q i

q+2) ($~

On a d o n c X

et,

($;+2)

anses

9 C'est possible

m k

pr~c~dente.

des

q+l . q+2 + ($~ ) + [$1 ) +'''+

+ ...

des

est

represents

il

qua

+ ~(@;+1)

q+l @i

plongement vsment

sont

les

d'indice

& d~montrer ~vident

anses q+2

le

d'indice

pour

les

ram-

.

lemme

3 .

qu'unelsotople

relQvement.

q

O'autre

de part,

f sl

dens f(S q)

Y

q

ne coupe

change S; -q

-91

en

un

soul

pour

point

(transversalement)

k # j , ii

sst

clair

R~ciproquement, : •

q.

. On

-

pout

n-q si f ( S q) f~ S k

et

qus

~

: +xa q J

soit

f

: Sq

supposer

que

avec ~Y

routes

un

q

les

x e plongement

intersections

avec de

f(S q)

l

avec

los

S

n-disque non

plong~

vides

"point

tel

aussi

Pour

disjoint lacet

l

nues

dens

clalr

que

On

q que

suppose

f(A)

Soient

f ( U ~z)

pairs

P

Dq x

~

P # B

d'indices

int

de

) C

U

. On

:

Soit (i,v)

Y

(i.e. un q ) repr6sentant

A

chemin un

Qv. de

bU ~

r

soit

A vi

certain

qu'il

exists

des

teIs

que

Sq (r

i

)

f { A v] i

que

chemin

~l~ment

P.

points

l'anse

et

pour

les

Bur

Alors

d'origine

P

rencontre

sur

tel

un

ui ~

Ov i

un

contractibles

f(S q)

supposer

bord

A iv

et J o i ~ n a n t

que

centre

S

construire

prendra

slots

peut

de

de

intersections

x D n - q + l ) . On

E P

(disjoints)

f(Q

facile

~galement

U v. x

est

a des

(sq-1

form,s

des

w.

r

) ~ S n-q i

que

touts

los

Ii

qul

f(O

f(U i

st

Y qq

que

tels

q-disques

Y

transversales. dens

tous

de

A ~ Sq Sq

P

avec

base"

Soit de

sont

e P

.

Sq

f(u~)

est

un

d'extremit~ contev xi E ~ II est

q = r,ir,v c~

e~ : I

o~ il

en

(f(U~),

S? -q) z

:*

I

x.~ a i

. Comme

T

: •

q i

par

hypoth@se,

r~sulte V

r

v (Hq{Xq,X)

est

i / j,

on

pout

telles

que

disons

j

group,s Ii

est

pour

un

x~ tel

grouper = xp i que

i : j

peut

est

(dont

homotope

Is g r o u p e

tout

i

s'en

suit

qu8

pour

tout

points 0i en p a i r e s (O i , 0 l k p e = . Pour i = j , il e x i s t s un i -si

x.

:

x

de

,

voir

st

@ z~ro

que

dane

Qj

touts par

u ~i

Poinoar6

los

tellss

~limin~e

[u~) -I

de

Ii

pour

los

st

~tre

e f f e t 9 le c h e m i n qui

libre).

J (Q~j 9 B~)

facile

x

=•

~[~module

en p a i r e s slors

xi

i

se Yq

est

evec

que

v >

k p xj = xj

paire

st E ).

en ~ i t

peuvent

et

(@~'z Q~)

la m ~ t h o d e proJette

1

dens

f

sur

~tre

k ej = ~j

.

, m~me

de W h i t n e y .

par

v Oj

En (w~ )-I

Y q -U k s~-q

.w i ,

-92-

Ii

soustend

donc

ferm~

en

lui

darts

Y

-L~

q de

Joint disque

(fO chang~ tient

S

un

)

aux la

de

(*) (le au

(apr@s chemin

dont

, ne

qu'on

de

P

en le

l'int~rieur

+ 2 < n

bien

f

. On

connu

dO

pr~sente

ait long

peut

d~forme

de

@tre

f ( S q)

~ Whitney. plus

fait

la

Le

paime

un

vrai

S ni - q

) plong~

suppos~

dis-

le]ong nouveau

de

lacet

de

ce

plon-

points

points

d'intersection avec S Rien n'est l' on o b paires (Oi,, Oi~') , . Par r~currence

autres

du

lemme du

lemme

1 est

lemme

3.

ainsi

2:

compl@temsnt

Soit

W

un

d~montr~.

h-oobordisme

entre

M

st

forme

W = M x I nombre nombre

T(W,M) se

~

conclusion

la

q

procdd~

D@monstration M'

car

de

Le

un

, et

isotope

, fO

2-disque

adjoignant

f ~ S q)

par

gement,

un

+ (@~) + I

d'anses des

= 0

d~truisent

i

i

+ (r

d'Indice

anses

. On

i

va

r

d'indice montrer

r

r+1

+ (@1

esten r+l

que

Ies

) + ...

effet

dans

ce

anses

+ (@~+11

n~cessairement

cas).

~gal

Supposons

d'indice

r

et

r+l

mutueliement.

On

sait

que

l'on

peut

calculer

la

torsion

~ partir

du

complexe d

...z oO

0 ( comma

Hr

(Xr,X)
m : a et

a alnsi

et 2m-2 J h

et J/h

de

points 2m-1

aj

S

sont ~

des

de

l'ordre mk

(J

est

change

pair

d~termin~ $2n-1

I'o-

munie

d'unB

z I ..... z des (mod

tels

m

k h).

qUB

l ' e n s e m b l e des p o i n t s (j+l)/h

Ces

ensem-

est en e f f e t le " J o i n t " de 2m-1 aj Ie J o i n t de m-1 c e r c l e s celZules

les

coordonn~es

S 2n-1

nombre

l'ori-

1

effet,

qui

&

coordonn~es

bien

S @m

=

h),

I'une

d'un

entier

des

,

de

sphere

qua

2 r k

z k ,an

syst@me

signe

.

centr~e

(mcd

transformation la

n)

n Z k=l

que

z Ken

prend

i'ensemble

r

point,

une

sera

et

CBIIules

d'un

segment.

changer

2m-2 a. J

mk

(k=l .... n)

changement

l'on

li~e

mk

d~termin~s

Ie est

Si

~ 0

entiers

pr~s.

Solt

cercies

r k

signe

permettra

rk = 0

les

a

sont

orientation on

1,

que

S 2n-1

les

qu'on

s'~crivent

. Supposant

ne

de

l'unit~,

I'alde

(K = I . . . . .

Iis

l'imaainaire

rientaticn

rayon

dirons

de

au

de

. A

S 2n-1,

caract~risti-

choisies

2n et

sph@re

k

= E

z k = rk e 2 i v @ k

R

de et

premiers

la

recines

~ = e

~quatlons

de

= 0 .....

h-l}

de

m-1 et cheque

'

n

,

-97-

dimension

(m = 1 ..... n)

~drale

S 2n-1

de

Solt se

r~dulse

avec Ies

au

~

points

h,

des

de

de R'

et

ses

:

Ses

mais

de

rotation

non

pas

m@tre

une application r~el

t

nous

pIus

forme

appellerons

un

sont

encore pre-

groups

des

(1)

sans

racines

toute a p p l i c a t i o n

qui satisfait f

seront dites

(R,R')-homotopes

d~pendant

et se r~duisant

de

la

R 'h

n~cessairement

(R,R')

R = R'

(R,R')

qua

primitives.

en elle-m~me

(R,R')

poly-

telle

n~cessairement

application

f

existe

sont

aussi

caract~ristlques

(2)

Deux applications

qua

n~cessairement

S 2n-1

subdivision

S 2n-1,

sont

m~ ne

n'engendre racines

de

~quetlons

qui

une

R

entiers

On appellera

f

d~flnlssent

par

autre

des

R'

l'unit~

D~finition continue

mk

car

fixes

h-i~mes

une

l'Identlt~.

lieu

~

invarlante R'

invariants

miers

, qul

contin~ment

~ l'une pour

t = 0

s'il

d'un para-

et ~ l'autre

pour t = I

THEOREME

1

: Deux

applications

elles ont le m~me degr~, eziste une a p p l i c a t i o n que

(R,R')-homotopes

et dans ce cas seulement. (R,R')

rnn

m I m2...

Soit (k = 1 . . . . . f ( r k)

= rk

f . R ( r k)

n).

PK

= Pl

de degr~

si

Pour qu'il

d , il faut et il suffit

m~

n'est

en

chacun 0

~ m 1' m'2 " .. m'n

entier

tel

et

... nulle

qua de

f

congrues

Pn

m'n

est

desqueIs

l'image le

R'.f[@k)

et

(mod I ) .

, car

un

f de

m

1

k en

dont de

f

h) (mod

h)

elle-m@me

~ (2)

,

telle

f

aucune Idol

n'est

qua

car

= Pkm~@k * m~/h

Le degr~ de

point

par

jacobien

PK S2n-1

(mod

satisfait

f(@k ) = PK m~ ~k

= Pkm~@k + mkPkm~/h

rk

d

un

d

L'application

deux v a l s u r s ~ n t

de

sont

lron ait

(3)

do

(R,R')

est

et

ces

~gal

des

coordonn~es

points

exactement,

pas

nui

eta

le

slgne

-98-

En

en

modi41ant

S 2 n - 1 9 on

de

elle-m~me

cation

ne

sett de

dulsent cation ainsl pour

qul

peut

n'importe pius

a

par

R

et

satisfalt

~

(2)

P

entier il

d

de

ses et

touJours

(R,R')

sont

(R,R')-homotopes

qu'elles exlste

solent une

dont

congrus

4~

et

A

que

avec

l'Intervalle

(4)

F ( z 9o)

I

= 4 ~ (z)

Solt

F

si

=

elles

.

Ks

1).

F(z

le

cellules de d i m e n s i o n $2n-1 x I form,e des

de

la

cellules

et

d

x

+h

e

de

deux

deux

. On

la

su49it I

O

d~mons-

applications

de

.Pour qu'il

S 2n-1

que

-- R ' ( F ( z ) ) (ensembie

poly~drale x

d

eppIicetlons

. telle

. a~

a

degr~

(R,R')

t) .

d~-

degr~.

dimensions

I

o

achever

x

subdivision a~

mani~re

de

appli-

il

S 2n-I

s

4

une

de

F ( .R ( z )

&

appli-

cbtlent

le m Q m e

$2n-1

= 4 1 ( z. )

squelette J s)

ont

4aut

. dana

Cette

se

applications il

de

qul

Pour

que

P

S2 n - 1

(R,R')

9 et

point

points

eat

degr~s

prodult

(0.1)

on

(3).

h)

deux

du

des

degr~

les

(R,R')-homotopes,

appiicatlon

+e o mcdlflant

chacun

le

(mod

41

d

application

prouver

sont

soit en

de

setls4elt

(R,R')

Solent

mals

d'un

appiication

puissances 9

d'une

qui

suf~ira

(2) 9

volsinage

une

degr~,

volslnage

l'exlstence

au

obtenir

quel

Ie

prouv~ tout

seulement

dens

de

tratlon,

qu'cn

satlsfera

correspondents

4

et

des

de

e~

x

1

J

(J

= 09

..... h-1

d~termlnent Ks

. Si

F

l'on

ells

sere

par

R

; q sur

peut

K~

Supposons

~tendre

d~termln~e

permute

= 0.1 ..... 2 n - 1 ) .

par

d'une

sa

Les

qu'on

d~Inltlon

(4)

sur

mani@re

conditions sit

~

K s+l

d~finir

l'Int~rieur

9 car

transitive

pu

{4)

~s

ie

F

de

grcupe

a

sur s

x

I

9

e n g e nod r ~

h csllules

a~ J

(J

= 0,1 ..... h - l ) .

sorte par

qu'on Fj

pourra

sa

Cele

est

touJcurs

restriction

au

touJours

possible

d~flnlr

F

bord

de

sur

a~n - l -

si K 2n-1

x I

J

~tendre suite F~

Ia ~

soit

d~inition

K 2n nuI

= 9

de

S2 n - 1 Or,

x

comma

F

~ l'int~rieur

I , il ia

4aut

somme

et

des

il

de

des

o que

de

. D~slgnons

. Pour 2n-1 a

su44it

bords

s < 2n-I,

qu'on x le

I

puisse

9 et

degr~

celluIes

par de

a~n - l -

x

I

J

(J

= 09

..... h-l),

orlentQes

comme

S 2n-1

x I

, est

~gale

au

cycle

-99-

S 2n-1 -

x

~

1

S 2n-1

(S 2n-1

) =

x 0

(d 1

-

d

0

de

, dont

l'image

)S 2n-1

,

o~

F

par d 1

est

et

d

Mais

fo

et

, la

en

vertu

de

ie m ~ m e

degr~

d

dI

et

do

le

degr~

fo

et

le

de

fl

des

derRiere

qua

soRt

d

somme

F~

~tent

o

soRt

des

condition

, de

touJours F

degr~s

Fj

(4)

sorte

est

~gale

, les

Fj

(mod

h)

, et

nul,

peut

d~flnir

sl

~

dI

. Ainsi =

d

sur

F

d l - d o.

onttoutes

d I - d o = hd

que

CoRgrus OR

(S 2 n - I ) 1 s o R t lee d e g r ~ s

o

0

fl

f

,

O

K2n

et

(R,R')-homotopes. COFD

2.

Type

fixes une

et

d'homotople

des

L'espaoe

quotient

cyclique

verIQt~

space).

L

Nous

appel~e

coordonn~es

z 1, .... z

crlvent

ia f o r m e

A-dlre

une

H2n_I(L) ~I(L). mine,

base

, et Ainsl,

en

m~me

et

F(g)

(mod

h)

Indult est

une

cation dens

L'

(1)

le

donn~e

temps

A

des

qua

L,

qua

les

g'

de

L

, oO

F

. Cette

une

le

de

= g,e

. Le

orientetion

de

L,

c'est-

du

groupe

de

R

de

A

c

d~ter-

et

g de

R'

solent

qu'ils

et

g

c

et

g

en

F(c)

F

et

a

un

antler

~I(L) un

dens

applications

d~-

= d c'

~I(L')

rel@vement

f

qul

route

eppllcatlon

~I(L).

. Une

. Invers~ment,

d'une

. Deux

de

H2n_I(L)

..... m n'

entiers

fondamentaI

lentlculalre

d

de s'~-

de

degr~

lens-

R

m

pose@de

est

de

c

de

R

syst~me

m l , . . ., m n

change

relAvement

F(g)

rotetlon

points

~quations

analogues

degr~

sans

(Linsenraum,

L

g

l'espece

L' le

groupe

A coefficients

base

bases

appiicatlon

(R,R 'e)

qua

lee

l'homomorphlsme

(R,R ~)

telle

une

bases

eppIicatlon est

de

inverlants

est

caract~rlse

une

d'homologle

les

dens d

duquel

L'

les

par

Inveriants

h , solt

et

le

lentlculalre

d~termine

groupe

par

l'ordre

~eide

correspond

= ~,e

par

A

n

est

R

F

qul

h

A

c'

application

espace

du

premiers

terminent,

un

S 2n-1 engendrQ

c

Supposons aussl

h

que

lenticuleires.

de

d'ordre

dlrons

sous

espaces

F F

appll-

de

L

et

F1

0

de

L

topes

dens si

L'

leurs

9 telles rel~vements

qua soRt

Fo(E)

= Fl(g)

= g.e

(R,R'a)-homotopes,

, SORt donc,

homoen

vertu

-100-

du

th~or@me

qua

si

de

m K

au

lieu

1,

R' ,

est R 'a

de

g

R'

R

et

R'

F

faut

par

ies

L

~

m@me

par

th6or6me

degr~.

gormuies ces

1

m~mes

et

m K

de

(K

et

. Deux applications

F~

si elles

degr~

dans

de

L

ont

le m~me

ce cas dans

et il suffit

gormuies

avec

a

aiors

suivant

le

par

:

orien-

et soient

.

correspondant de

[

et s a t i s f o n t

d

m~

les r o t a t i o n s

1 . 2 . . . . . n)

FI

lieu

lenticulaires

Pour quril

de degr~

engin au

nl(L')

et

seulement.

L'

=

clair

avec

d~termin~s

m~

~I(L)

est

m K'

les e s p a c e s

dimensions

2n-1

Ii (I)

entrains

L'

et

les bases

(g) j e t

tion

le

drinvariants

homotopes F1

ont

d~finie

Le

h

g'

et

est

Boient

t,s d'ordre et

elles

d~finie

mK

2 :

THEOREME

R

si

telle

dans

L'

sont

~

(g)

=

F~

existe que

une a p p l i c a -

F(g)

=

g ,a

I

,

il

ou

-

I

h)

.

On

que n

[5)

dmlm 2

...

Supposons at

un

a

alors

2

entra~ne

G

: L'

F(g) et

certain d

:

g

,a

m89 . . .

m n' ~

et

:

g

G(g')

et

h

3 ~

:

drinvariants motopiej

=

g

sont

mK

il faut

m'1

soit

:

b

mI

deux

m2

LaB aIors g'

m'n

tel ' ..

[mod

avec

qua mn

a (mod

applications d

b

...

v~rigi~e

soit

bn

m'z

=

1

ou

-

elles

degr~

+

sont

d

:

+

s

I

(mod

h)

,

st

F

: L

I

, telles

applications de

,

+

b

h]

le ~L'

par

et

et

qua

compos~es 1

th~or~me

GeF:L

~L

satisgont

suite

homotopes

:

Pour que

2n-I

a

degr~

FoG(g')

Ainsi

et

de

mame

: L ' ~ L '

THEOHEME

sant

a,

, de

(5)

l'existence

l'$dentit~.

dre

qua

antler

,L

FoG

G~F{g)

m I'

mn

les espaces

dimensions et

m~

(K

d~finis =

et il suffit

~ la c o n g r u e n c e

(5)

lenticulaires par

1 . . . . . n)

quril

avec

et

les r o t a t i o n s aient

existe

d = + 1

L

R

le mSme

un e n t i e r ou - 1

L~ et

type a

dror R' dWho -

satisfai-

-101-

Disons m~me f

type

: V

qua

deux

d'homotopie ~V'

et

et

g,f

solent

tar

au t h ~ o r ~ m e

g

vari~t~s

orient~ : V'

3

, s'il

,V

homotopes

~ l'identlt~.

Pour qua les espaoes

un entier

a

...

m' n

Lss

r~sultats

Volr

(mod

orlent~,

satisfaisant

deux

et

V'

ont

applications

+ 1 , teii~que Nous

sulvant

le

pouvons

fag

alors

aJou-

:

lentioulaires

L

et

L'

aient

exposes

il faut et il suffit quWil existe

~ la oongruenoe

ci-dessus

sont

Abbildungsklassen

ang. RUEFF

Linsenr~ume

Math.,

Beltr~ge

und

185

dus

m l m 2 . . . m n ~ anm~m2 . t

& M.

Rueff

zur

p. Sur

Fixpunktklassen (Journal

(1943),

p.

Untarsuchung

Mannigfaltigkeiten

RHAM

le

,|

h).

sionaler

G.OE

V

et

W.

Franz.

:

W. F R A N Z

M.

existe

de d e ~ r ~

le c o m p i ~ m e n t

m~me t~pe dthomotopie

orient~es

for

die

dreidlmenrelne

und

65-77) der A b b i l d u n g e n

(Composltio

Math.

6,

von (1938),

161-202) les

conditions

(Colloque (1947),

d'hom~omorphie

de T o p o l o g i e p.

87-95)

.

alg~briqua,

...

(etc)

CNRS,

Paris