Topologia I 978-951-745-216-8 [PDF]

Zitiervorschau

Lukijalle Kirja käsittelee metristen avaruuksien ja normiavaruuksien topologiaa. Sen tarkoituksena on antaa lukijalle perusvalmiudet kohdata topologisia kysymyksiä matematiikan eri aloilla, erityisesti analyysissä. Kirja ei vaadi sanottavasti esitietoja, mutta tottumus täsmälliseen nui.,­ temaattiseen ajatteluun helpottaa lukemista. Seuraavat asiat oletetaan tun­ netuiksi: -Joukko-opin alkeet. Nämä kerrataan pykälässä 0. -Reaaliluknjen perusominaisuudet, mm. lukujoukon supremum ja infimum. -Jatknvuuskäsite reaa.liakselilla. -Vektoriavaruuden käsite, joka kerrataan pykälässä l. Jos kuitenkin lukija on kiinnostunut vain euklidisesta avaruudesta R 11 , hän voi korvata kaik­ ki kirjassa esiintyvät vektoriavaruudet Rn :llä. -Viimeises8ä pykälässä 15 lineaarikuvausten perusominaisuudet. Lisäksi esimerkeissä ja tehtävi8sä esiintyy mm. integrointia ja sai:joja. Siltä varalta, että kirjassa on enemmän ainei8toa kuin mitä kurssilla ehditään käsitellä, olen merkinnyt tähdellä, esim. 12. 7*, sellaisia kohtia, jotka voidaan helposti ohittaa kokonaisuuden siitä kärsimättä. Tähän viidenteen painokseen olen tehnyt pieniä korjauksia ja muutok­ sia. Monet näistä perustuvat lukijoilta saamaani palautteeseen. Esitän par­ haat kiitokseni kaikille kommenttien lähettäjille. Otan mielelläni vastaan korjausehdotuk8ia ja muuta palautetta osoittee8sa jussi.vaisalaCCilhelsinki.fi. Tästä painokse8ta löytyvistä virheistä tulee lista verkkosivulle http://www.helsinki.fi/�jvaisa1a/korjaukset1.5p.html. Marraskuussa 2011 Jussi Väi8älä

3

4

Sisältö Lähtö Sisätuloavaruus ja normiavaruus Metrinen avanms . .. . . .. Avoimet joukot ja ympäristöt . Jatkuva kuvaus ......... .Jatkuva kuvaus normiavaruuteen Suljetut joukot ja sulkeuma Relatiivitopologia . . .. Sisä-, ulko- ja reunapiste .. Homeomorfismi . . . . .. . J'vietriikkojen ekvivalenssi. Tuloavaruus .Jonot ja raja-arvot ....... . 12 Täydellisyys.Tasainen jatkuvuus 13 Kompaktius . . . . 14 Yhtenäisyys . . .. .... . 15 Lineaarikuvaukset ..... Maternaatikkojen henkilötietoja . Kirjallisuus Merkintöjä Hakemisto 0 1 2 3 4 5 (:i 7 8 9 10 11

5

(:i 14

21 29 35 41

46 54 59 62 71

78

90 97 llO

12(3 139

140 141

142

O. Lähtö

0

Lähtö

0.1. Mitä on topologia? Matemaattiset peruskäsitteet voidaan karkea.-;ti jakaa kolmeen luokkaan: (1) algebralliset, joita ovat kaikki laskutoimitukset, (2) topologiset , joita ovat jatkuvuuH, raja-arvo yms., (:3) muut, esim. järjestys. J'vfonet matematiikan käsitteet saadaan yhdistämällä peruskäsitteitä. merkin tästä antaa reaalifunktion derivaatta

f' (:r)

lim --··----····-

h-,o

h

Siinä erotusosamäärän muodostaminen on algebraa ja raja-arvo topologiaa. .Jos topologia pitäisi luonnehtia kahdella sanalla, vastauH voisi olla: Oppi jatkuvuudeHta. Tämä ei kuitenkaan kerro koko totuutta. Topologia käsit­ telee rnyöH pistejoukkojen ominaisuulrnia, joista mainittakoon joukon avoi­ muus, kornpaktius ja yhtenäisyys. Topologiaa voi kehittää mm. metrisissä ja topologisissa avaruuksissa. Tässä kirjassa rajoitumme lähes yksinomaan metrisiin avaruuksiin. Topo­ logiset avaruudet rnainitaan vain ohimennen; niitä käsitellään perusteelli­ semmin kirjassa Topologia II. Differentiaalilaskennan peruskurssilla käsitellään reaalifunkt.ion jatku­ vuutta, ja se sisältää runsaasti topologisia aineksia. Tyypillisiä topologi­ sia tuloksia ovat: (1) .Jatkuva funktio saa suljetulla välillä suurimman ja pienimmän arvonsa. (2) .Jatkuva funktio ei voi muuttaa merkkiään jolla­ kin välillä tulematta nollaksi. Näistä (1) liittyy kornpaktiuteen, (2) yh­ tenäisyyteen, esitämme tässä kirjassa tulokset, joista (1) ja (2) seuraavat erikoistapauksina. Joukko-oppia Tämän pykälän loppuosassa esitämme kirjassa tarvittavan joukko-opin. Koska oletamme, että lukija tuntee joukko-opin perusteet muilta mate­ matiikan kursseilta, tämä mm on luonteeltaan kertaustyyppinen, ja sen päätarkoituksena on sopia kirjassa käytettävistä joukko-opillisista merkin­ nöistä ja termeistä. Sivuutamme perusasioiden todistukset. Lukija, joka tuntee hyvin joukko-opin perusteet, voi siirtyä suoraan pykälään 1 ja pala­ ta tarvittaessa myöhemmin takaisin. 0.2. Perusteet. Käytämme naiivia lähestymistapaa, jonka mukaan jank­ ko on kokoelma ( eli joukko!) olioita, joita sanotaan joukon alkio ·ih,i. .Joukko 6

O. Lähtö on hyvin määritelty, kun jokaisesta oliosta voidaan sanoa, kuuluuko se jouk­ koon vai ei. Useimmiten merkitsemme joukkoja isoilla ja sen alkioita pienillä kirjaimilla, mutta tämä ei ole ehdoton sääntö; voivathan joukon alkiotkin olla joukkoja. Jos :r on joukon A. alkio, sanomme, että :r kmtlnu A.:han ja merkitsemme x E A. (tai joskus harvoin A. 3 a:). Muussa tapauksessa ;i; rf: A. Tyypillisiä matematiikassa esiintyviä joukkoja ovat lukujoukot. Käytämme kirjassa tärkeimmille lukujoukoille seuraavia merkintöjä (huomaa kirjasin­ laji), joissa esiintyvä aaltosulkumerkintä kerrataan alempana: N {1, 2, 3, ... } = positiivisten kokonaislukujen joukko, Z {O, ±1, ...} kokonaislukujen joukko, Q = {p/q: p E Z, q EN}= rationaalilukujen joukko, R = reaalilukujen joukko, R+ [O, oo[ = ei-negatiivisten reaalilukujen joukko. Esim. 0 E Z, -7 E Z, 1/3 r/:. Z. Huomaa, että O r/:. N toisin kuin joissakin muissa kirjoissa. Murtolausekkeissa käytämme sopimusta, jonka mukaan esim. abc/a:y z ( abc)/ (;i:yz). Reaalilukuja sanomme usein lyhyesti lnmi.iksi. Joukkojen määrittelyssä on usein kätevä käyttää aaltosulkumerkintiiii. Symbolilla {:r. ; ... } , jossa kolmen pisteen kohdalla on jokin ehto :r:lle, tarkoitetaan niiden olioiden ;,:; joukkoa, jotka toteuttavat ehdon .... Kak­ soispisteen sijasta voi myös käyttää pystyviivaa, ja sen vasemmalla puolella voi esiintyä esim. ehto ;r. E A.. Siis esirn. {:r ; :r E Z ja i:r 1 < 2} {x E Z : /a:/ < 2} = { x E Z/ /:r:/ < 2} on joukko, jonka alkiot ovat -1,0 ja 1. Reaaliakselin väleille käytetään merkintöjä [a,b] = {:r; E R; a::; :1:::; b}, ]a,b[ = {:i; E R: a < :1: < b}, [a, b[

R: a s:; ;,: < b}, ]a,b] = {:1; E R: a < :i: s:; b}. {:c E

IV1erkiunöissä voi esiintyä tapaukset a -oc ja b oc, jolloin väliä sa­ notaan rajattomaksi. Näitä on 5 tyyppiä: ]-oo, c[, ]-oc, c], Jc,oo[, [e,oc[ R, missä E R. Merkki oo on tässä kirjassa vain eräissä ja J-oc, oo[ merkinnöissä esiintyvä symboli eikä itsenäinen olio (eikä siis mikään luku). Joukko A on äiirellinen, jos siinä on äärellinen määrä alkioita. Jouk­ koa., jossa on täsmälleen yksi alkio a, sanotaan yksiökBi, ja sille käytetään merkintää { a}. Vastaavasti kahden alkion a ja b joukko on kakBio { a, b}. Ta­ pauksessa a = b kaksio {a, a} onkin yksiö { a}. Yleisemmin äärelliset jou­ kot voidaan kirjoittaa muodossa { a1, ... , a n}; esim. yllä mainittu joukko on {-1, 0, 1 }. Saman alkion toistaminen ei muuta joukkoa, esim. {O, 1} = {0,1, 0,0, 1}. Merkintä #A (luetaan: risu A) ilmoittaa A:n alkioiden lu­ kumäärän; esim. #{-1, 0, 1} 3. Tyhjässä joukossa 0 ei ole yhtään alkio7

O. Lähtö

= 0. Joukko on ääretön, jos se ei ole ta. Se on äärellinen joukko, ja äärellinen. Tällöin merkitään #A = oo. Joskus ääretönkin joukko voidaan esittää luettelemalla sen alkiot, esim. N = {1, 2, 3, ... }. Tässä kirjassa em­ me kiinnitä huomiota äärettömien joukkojen erilaisiin mahtavuuksiin, ja esim. numeroituvan joukon käsitettä emme kirjassa tarvitse. On tehtävä selvä ero yksiön { a} ja alkion a välillä. Alkiona voi olla myös joukko, ja esim. yhden alkion äärellinen joukko {N} on tietysti eri asia kuin ääretön joukko N. Kaksiota { a,b} sanotaan myös jiirjestiimättöm.äk:si varik:si, sillä { a,b} = {b, a}; lisäksi { a, a} { a}. Sitä ei pidä sekoittaa jii1:festett;yyn pariin eli ly­ hyesti pariin, jolle käytetään merkintää ( a, b) ja jolle pätee: ( a, b) = ( c, cl) {c;> a c ja b = d. Siis (1, 2) =f. (2, 1), mutta {1, 2} = {2, l}. Joukkojen Aja B karteesinen tulo eli tulo.Joukko on AxB

{(a,b):aEAjabEB}.

Esim. taso R2 on tulo R x R. Joukko B on joukon A o.sajonk:k:o, jos jokainen E:n alkio kuuluu A:han. Tällöin sanotaan, että B sisältyy A:han ja merkitään C A tai A :) B. Esim. N Z c Q C R. .Jos B ei ole A:n osajoukko, merkitään B A.

uu-

11

0. Lähtö (7) ff- 1 B C B. (8) Jos lisäksi g: Y ---* Z, niin (gof)A

= gfA .ia (go f)-1c = f 1 g-1C.

0.9. Jektiot. Kuvaus f : X Y on ir�jektio, jos X:n eri pisteillä 011 eri kuvat. Toisin sanoen: f(a) = f(b) :::::;, a b kaikilla a, b X. Kuvaus f on sw:iektio, fX = Y eli jos jokaista y EY kohti on olemassa. sellainen 1.: E X, että f(;i:) = y. Jos I on injektio ja surjektio, niin f on b·�jektio. Määritelmät voidaan lausua myös yhtenäisellä tavalla. seuraavasti: f on injektio {:.:} # 1-1 {:Y} .:::; 1 kaikilla y E Y. I on surjektio {:.:} #J- 1{y} 1 kaikilla y EY. {y} 1 kaikilla y E Y. f on bijektio {:.:} Toisinaan ilmaistaan surjektiivisuus sanomalla, että f on kuvaus Y: (yleisessä tapauksessa sanomme Y:hyn). Tämä tapa sopii kuitenkin parem­ min kieliin, joissa. käytetään prepositioita. eikä sija.päätteitä, esim. englan­ nissa into Y ja outo Y. Tässä kirjassa tätä sopimusta ei käytetä, ja srn:10mme aina, että f on kuvaus Y:hy11. 0.10. Lause. Olkoon f: X ---* Y kuvaus. Jos f on ,injektio, niin 1-1I A = A kaikilla A C X. .loB f on smjektio, niin I 1-1B B kaikilla B c Y. 0.11. Käänteisk11vaus. Olkoon I: X---* }' bijektio. Jokaista y EY koh­ ti on olemassa täsmälleen yksi :c E X, jolla f(:t) y. Ylerkitsernällä tätä al­ käiinteiskuvaus. kiota 1..: = J- 1 (y) saadaan kuvaus 1: Y---* X, joka 011 Siis l (y) {:.:} :Y = f ( :r). J: Jos I ei ole bijektio, käänteiskuvausta ei määritellä. Jos f on injektio, voidaan kuitenkin pienentää kuvauksen maali fX:ksi, jolloin saadaan ku­ J(:r) kaikilla :r E X ja joka on bijektio. JX. jolla fi vaus fi: X Tällä kuvauksella 011 käänteiskuvaus : fX ---* X, jota joskus merkitään 1 huolimattomasti J- :llä. .Joukon X identtinen kuuau8 on se kuvaus g: X ---* jolla = :c kaikilla T E X. Tälle käytetään merkintää idx tai lyhyesti id. Jos f: X ---* Y ja I O 1 = idy. on bijektio, niin 1- 1 0 f =

.r

.r-

r

0.12. Huornantus. Kohdassa 0.7 symboli esiintyi osana joukon B C Y alkukuvan merkintää B. Tässä ei siis J:n tarvinnut olla bijektio; joukon B Y alkukuva on määritelty kaikilla kuvauksilla f: X ---* Y. Jos 1: Y --* X on 1nääritelty, erityisesti f on bijektio ja siis käänteiskuvaus niin B merkitsee myös joukon B kuvaa kuvauksessa f-1. Nähdään kui­ tenkin heti, että ky::;eessä 011 sama joukko, joten väärinkäsityksen vaaraa ei ole.

.r-

12

0. Lähtö 0.13. Lause. Jos f: X ----+ Y on bijektio, niin rnyös 1-1: Y --+ X on 1 )-1 f bijektio, ja = . Jos X 1, Y Z ovat bijektioda, niin: g o f on bijektio, ja (g o f)-1 . 1

u-

1-log

g=

0.14. Lause. Oletamme, etttif: X--+ Y, g: Y----+ X, gof = idx ja Jo 1. idy. Tällöin f ja g ovat bUektioitci, ja g =

r

13

1. Sisätuloavaruus

1

normiavaruus

Sisätuloavaruus ja normiavaruus

Euklidisessa avaruudessa R11 on määritelty vektorien :r; ja y sisätulo (eli skalaaritulo) :r · y ja vektorin x normi l:ri. Ottamalla näiden perusomi­ naisuudet aksiomiksi saadaan käsitteet sisät-uloavaruus ja normiavaruu8. Nämä avaruudet ja niiden osajoukot ovat tärkeitä esimerkkejä metrisistä avaruuksista, joita tämä kirja käsittelee. 1. L Kertmtsta. Palautamme lineaarialgebrasta mieleen vektoriavanm­ den käsitteen. Vektoriavaruudella (jonka kerroinkunta on reaalilukujen kun­ ta R) tarkoitetaan joukkoa jonka alkioita sanotaan vektoreiksi ja jossa on annettu (a) jokaista vektoriparia :c, y E kohti niiden sum1na ::c + y E E, (b) jokaista reaalilukua a ja vektoria :r E E kohti niiden tulo ax E E siten, että seuraavat 7 aksiornaa ovat voirna8sa kaikilla vektoreilla :r, y, ja kaikilla luvuilla a, b: (1) (:r + y) + z = :r + (y + (2) :D + y y + :r. jolla O + x :r kaikilla (3) On olemassa nolla.vektori eli origo O E :c E E. (4) Jokaista x E E kohti on olemassa -x E jolla :r + ( -:r) = 0.

(5)

(ab):r = a(ba:). (6) a(:c + 11) a:r + ay, (a + b):c = aa; + b:r. (7) Le x. Näistä seuraa erilaisia laskusääntöjä, jotka oletamme lineaarialgebrasta tunnetuiksi. Ehdosta (3) seuraa, että vektoriavaruus ei koskaan ole tyhjä. Pienin mahdollinen vektoriavaruus (dimensioltaan) on yk8iö {O}. Vektoriavaruuden E osajoukko F on E:n vektorialiavaruus, jos ( 1) :i:, y E F :r: + y E F, (2) x E F, a E R => a:,: (3) 0 E F. Jokainen E:n vektorialiavaruus on myös vektoriavaruus (alkuperäisin las­ kutoimituksin). Tärkein esimerkki vektoriavaruuksista on n-ulotteinen enklidinen ava­ ruu8 Rn, jossa luku n E N on avaruuden dimensio. Avaruuden vektorit ovat n:n reaalilnvun äärellisiä jonoja eli n-jonoja x , ... , , jossa luvut J;J E R ovat vektorin ::c koordinaatit. Laskutoimitukset määritellään kaavoilla

+ Yl, ···,a:n+ Yn), , ..., a:tn ). 14

1. Sisätuloavaruus

normiavaruus

Nollavektorina on origo O = (0, ... , 0 ). Muita esimerkkejä saadaan erilaisista f1mktfocwaruuks'ista, joiden alkiot ovat funktioita. Olkoon D =f 0 jokin joukko. Merkitsemme F(D, R):llä kaikkien D:8sä määriteltyjen reaaliarvoi8ten funktioiden f: D --+ R jouk­ koa. Tällöin F(D, R) on vektoriavaruus, kun laskutoimitukset määritellään pisteittäin: (f + g)(;i:) = .f(:c) + g(:1;), (af)(:1;) af(::c). Nollavektorina on nollafwiktio, joka saa vakioarvon 0. Itse asiassa Rn voi­ daan tulkita avaruudeksi F(D, R), jossa D {I, ... , n}. Lisää esimerkkejä saadaan avaruuden F(D, R) vektorialiavaruuksista. Yksi tällainen on rajoitettujen funktioiden avaruus raj (D, R). Funktio f: D -+ R on rajoitettu, jos on olemassa sellainen 1'1 ;::: 0, että lf(2;)I :::'. lv! kai­ killa :r: E D. Koska rajoitettujen funktioiden summa on rajoitettu ja rajoi­ tettu funktio kerrottuna vakiolla on rajoitettu, niin raj (D, R) on F(D, R):n vektorialiavaruus. Jos a < b ovat reaalilukuja, on kaikkien jatkuvien funktioiden f: [a, b] R joukko C[a, b] avaruuden raj ([a, b], R) vektorialiavaruus, sillä tunnetus­ ti jokainen jatkuva .f: [a, b] --+ R on rajoitettu, minkä lisäksi jatkuvien funktioiden summa on jatkuva ja jatkuva funktio kerrottuna vakiolla on jatkuva. 1.2. Sisätuloavariws. Olkoon E vektoriava.ruus. Kuvaus (:r, y) ;i; • y: E x E --+ R on sisätulo E:ssä, jos seuraavat ehdot ovat voimassa kaikilla x, y, z E E ja a E R: (SI) :r:·y=y·,c, (S2) (a:r:) · y = a(:r: · y), (S3) (::r+y)·z :r>z+y·z, (S4) x · ;z; ;::: 0, (S5) ::r · :r O {:} ;1: = 0. Vektoriavaruutta, jossa on annettu jokin sisätulo, sanotaan sisätuloa:vanm­ deksi. Olkoon E sisätuloa.varuus. Vektorin a: E E norm.'i on luku f---)

;::: 0. Ehdon (S4) nojalla normi on määritelty. Usein normille käytetään myös merkintää 11:x:/I, etenkin jos on kyse funktioava.ruudesta, jolloin la:/ voi tar­ koittaa. myös funktion :r itseisarvoa, joka myös on funktio. 15

1. Sisätuloavaruus

normiavaruus

sisätuloista on avaruuden R11 1.3. EsimerkkeFL 1. Tärkein tavalhnen sisätulo, joka määritellään kaavalla :r · Y

:1:1v1

+ · · · + :rnYn·

Ehtojen (Sl)-(S5) on helppo todeta olevan voimassa (tehtävä 1:1). Avamuden Rn standardikantaa merkitsemme tapaan ( e 1, (1, 0, ... , 0) on ensimmäisen koordinaattiakse... , , jolloin esim. e 1 lin suuntainen yksikkövektori. Tämä kanta on ortonormaali, ts. = Vektorille

, ... , :rn ) E

(1.a)

Rn

J;. ej

{o1,,

jos i jos i

j, j.

pa"t ee

=

' :,;

n

L :rJe.i.

:i=l

. Euklidisen avaruuden ääretönulotteinen vastine on avaruus l 2 , jonalkioina ovat ne päättymättömät reaalilukujonot :r (:c 1 ,;r 2, ... ), joilla sarja + ;c� + ... suppenee. Sarjan summa.n neliöjuurelle käytämme taas merkintää J:rj. Avaruus l2 on kaikkien lukujonojen avaruuden F(N, R) torialiavaruus (tehtävä 1:12). Sen sisätulo on ääretön summa

Tämä sarja suppenee, vieläpä itseisesti, mikä nähdään soveltamalla sen osa.summiin alla olevaa Schwarzin epäyhtälöä 1.4 R71 :ssä. Kun J;, y l2 ja n EN, niin 11

(Lla:JY:il) :5 ( :i=l

n

( LY;) ::; j:ri

2

j=l

j=l

2

lvl

2

)

seuraavat vastaavista mistä sarjan suppeneminen seuraa. Ehdot (Sl n R :n ominaisuuksista yksinkertaisella rajankäynnillä. 3. Avaruudessa b] kaava

(l.b)

.r . .9 = rb J,

d:c

määrittelee sh,ätulon. Ehtojen (Sl)"--(S5) toteamisen jätämme taas tehtä­ väksi 1:2. 16

1. Sisätuloavaruus

normiavaruus

1 .4. Schwarzin epäyhtälö. JoB E on sisätuloavaru:us, niin ! :r ·Yi ::;

l i v

kaikilla :,:, y E E. Todistus. Olkoot :r, y E E ja t E R. Tällöin sisätulon ominaisuuksista seuraa, että

+ ty) · + tu) :1: • :r + ::r · ty + ty · :r + ty · ty = !::r! 2 + 2t(:r · y) + t2 !Yi 2 f( t) .

0 ::; ( :r

Jos y = 0, niin :! r · y/ = 0, ja väite pätee muodossa O ::; 0. Olkoon y -/- Ö. Nyt f on toisen asteen polynomi, joka on kaikkiallR. vähintään nolla.Siis sen diskriminantti on S 0, eli · y)2 :! r! 2 /yl 2 ::; 0, mistä väitös seuraa. D 1.5. Lause. Jos E on sisätuloavaruus, niin sen norrni toteuttaa ehdot ! !, (1) !:r +YI :! rl + 11 , r a r ! (2) ! : ! = !a! /: ( 3) : ! ei = 0 {:} :r = 0.

Todistus. (1): :i -t-11) · (1: + y) = + 2(:r · y) + jyj2 , jolle J : + y! 2 = 2 I l 2 ( /:z:I + /yj) 2 , joten Schwarzin epäyhtälö antaa ylärajan : l 2;! + 2 1:i:! v l l +Y (1) pätee. = (a:1:) · (a:i:) =a2 , mistä (2) seuraa. (2): (:1) seuraa ehdosta (S5). D 1.6. Norrnfovar1ms. Lause1.5 antaa aiheen seuraavaan määritelmään: Olkoon E vektoriavaruus ja olkoon :r r-> 11:I : E -+ R+ kuvaus. Tämä merkitsee sitä, että jokaista vektoria ::r E E kohti on annettu luku > 0. Sanomme, että tämä kuvaus on normi E:ssä, jos seuraavat ehdot ovat voimassa kaikilla 1:, y E E jaa E R: (Nl) j:r +YI ::; :J z:I + u ! i, J : rl, (N2) ia:c/ a ! ! (N3) Jos :! rJ 0, niin :e Ö. Ehto (N3) voidaan lausua myös muodossa O {:} :c = Ö, sillä 0. Ehtoa (Nl) sanotaan normin kohnioepäyhtälöksi. löi O J ÖI = O ! iö ! i Vektoriavaruutta, jossa on annettu jokin normi, sanotaan normiavaru,1uiek­ Bi. Täsmällisesti: Normiavaruus on pari (E, I · 1), jossa E on vektoriavaruus ja 1 · 1 jokin normi E:ssä. :Merkinnän : ! ei sijasta käytetään normille usein myös merkintää 11:r/! . 17

1. Sisätuloavaruus

normiavaruus

Lauseen 1.5 nojalla jokainen sisätuloavaruus on luonnollisella tavalla Erityisesti Rn :n tavallinen sisätulo normiavaruus, normina l :rl = normin määrittelee sen tavallisen eli

Ellei toisin mainita, käytämme R11 :ssä aina tätä normia. Norrniavaruuden E jokainen vektorialiavaruus on luonnollisella tavalla myös normiavaruus , jonka normina on E:n normin rajoittuma. 1.7. Esimerkkejä. 1. Olkoon D -1- 0 joukko ja E raj (D, R) kaikkien rajoitettujen funktioiden 1: D -----, R muodostama vektoriavaruus. Osoitam­ me, että yhtälö 11111 = sup{ll 1 : :l: ED} määrittelee normin 11 · 11 , jota sanomme sup-normiksi. (Nl): Olkoot 1, g E E ja :r ED. Tällöin IU + g)(:r)I = IJ(:r) +

1::; 11(:r)I + lg(:r)I::; 11111 + llgll.

Koska tämä pätee kaikilla :r D, niin 111 + 911 ::; 11111 + llgJI. (N2): Kaikilla :r ED on l (al)(:r)I = lal(x)I lal ll(.1:)I::; lal lllll, joten 0, niin (N2) pätee muodossa O = 0. Jos a -1- 0, llalll ::; lailllll. Jos a josta edellisen nojalla seuraa, että 11111 ::; la- 1 l llal11 niin 1 = 1 !al- llalll , ja siis llalll 2 la[[llll, (N3 ): Jos 11111 0, niin ll(x)I = 0 kaikilla :c ED, eli 1 on nollafunktio

ö.

Tapauksessa D N saadaan kaikkien rajoitettujen jonojen :r; (:c1, x2, ... ) joukko raj ( N, R). Sille käytetään kirjallisuudes,m usein merkintää l00 • 2. Olkoon edellisessä esimerkissä D {l, ... , n}. Nyt E F(D, R), jonka alkiot 1: D-----, R voidaan ajatella n-jonoiksi ( J(l), ... , 1 (n)) eli R11 :n vektoreiksi. Saadaan samastus E Rn , jolloin esimerkin 1 normi antaa R11 :n normin lxlo max{lxJI: 1::; j ::; n}. 3. Avaruudessa Rn voidaan määritellä myös normi

Tämän todistaminen normiksi jätetään tehtäväksi 1 :5. Yleisemmin voidaan osoittaa, että jos p 2:'. 1, niin yhtälö

18

1. Sisätuloavaruus

normiavaruus

määrittelee Rn :ssä normin, ns. lp-normin. Tapauksessa p = 2 saadaan ta­ vallinen euklidinen normi. Vastaava ääretönulotteinen normiavarum, lp on niiden lukujonojen :i: = , :i:2, ... ) joukko, joilla i:r /�

/:i:i!P

+ /:i:2/P + ... < 00.

4. Olkoon E = C[O, l] kaikkien jatkuvien funktioiden J: [O, 1] --t R muo­ dostama vektoriavaruus. Tämä on raj ([O, 1], R):n vektorialiavaruus, joten esimerkin 1 sup-normi määrittelee E:n normin 11 · 1/. Koska jatkuva funktio saa välillä [O, 1] suurimman arvonsa, niin nyt 11 111 = ma.x{!J(:r)I : 0 :s; :i: :s; 1}. Toinen E:n normi saadaan 1.3.3:ssa käsitellystä sisätulosta. Tätä nor­ mia merkitään /1 · /'2:lla, ja sitä sanotaan L2-nonniksi (huomaa iso kirjain L). Siis \ Yleisemmin voidaan osoittaa, että jos p 2: 1, niin yhtälö

(Le) määrittelee E:ssä normin, ns. Lp-nonnin. Kun p 1/f /Ii

11

= 1, saadaan normi

IJ(:r)/d:c.

Lp-normeilla on tärkeä merkitys funktionaalianalyysissä, jossa avaruus E yleensä laajennetaan sisältämään kaikki Lebesguen mielessä mitalliset funktiot, joilla integraali (Le) on äärellinen. Jotta ehto (N3) toteutuisi, on tällöin samastettava funktiot, jotka eroavat toisistaan vain nollamittaisessa joukossa (eli ovat samat melkein kaikkialla). Tehtäviä 1 1:1 Todista, että R":n tavallinen sisätulo toteuttaa ehdot (Sl)--(S5). 1:2 Todista, että (Lb) määrittelee sisätulon vektoriavaruudessa C[O, 1]. 1:3 Osoita, että yhtälö

,1: ·

y

:rw2 + :r2 y1 ei määrittele sisätuloa tasossa R2.

1:4 Olkoon E sisätuloavaruus ..Joukon A C E ortokomplernentti on joukko A_1_ = { :r E E : :t · y Osoita., että A-1 on E:n vektoriaJiava.ruus. 19

O kaikilla y E A} .

1. Sisätuloavaruus

normiavaruus

1:5 Todista, että esimerkin 1.7.3 normi i:rl1 R 11 :ssä. l:G Olkoon E sisätuloavaruus ja :t, y

l::r11

+··· +

i:rn l todella on normi

E. Todista ns. s1mnnikassääntö = 2l:ri2 + 2lyl2.

Osoita, että jos n > 1, niin edellisen tehtävän normi ei toteuta olla periiisin mistään Hisätulosta.

joten se ei voi

1:7 Tarkastellaan R":11 '""""''"" l:1:I = tavallinen normi, tehtävän 1:5 normi max-normi 1 1, ... , j:1;,, ). Osoita: =' l:i: 0 I (a) /:r!o s; s; l:i:!i (b) l:i:ii ::; (c) Kus8akin epäyhtälössä esiintyy yhtälö =f=. 0. Oh:7e. Kohclau (a) keskimmäisessä epäyhtälössä kirjoita ::r =.-c. Lj :i:1e1 ja sovclla kol­ mioepäyhtälöä. Kohdassa (b) sovella Schwarzin epäyhtälöä vektoreihin( /:r 1 I, ... , l) ja(l, ... ,l). 1:8

että 1.7.4:n Li-normi llflh todella on normi

1:9 Määritteleekö yhtälö Ii.fil

l]:ssä.

j.ft: f(:z:)d:rl normin avaruudessa C'[O,l]?

1:10 Osoita, että yhtälö Jl:rll (l:r11 + !:r21) V 2l :r11 määrittelee normin tasossa. E R2 : 11:rll = 1 }. Piirrä yksikköpallo S 1: 11 Olkoon E kun asetetaan

lj. Tutki, mitkä normin ehdoista N1 , N2 , N3 ovat ,v,,u,,,,., J:i:(O)I.

1 : 12 Todista, että avaruus l2 on F(N, R):n vektorialiavaruus. 1:13 2:i:. y

•')

1 y 1 9- - i:r - YI-.

20

2. l\1etrinen avaruus

2

Metrinen avaruus

Määrittelemme käsitteen metrinen avan1'11s, joka on perustana koko kir­ jalle. 2.1. Metriikka ja rnetrinen avaruus. Olkoon X jouk:ko. Olkoon d: X x R+ kuvaus. Tämä merkitsee siis sitä, että jokaista paria .T, y E X kohti on annettu reaaliluku d(a:, y) 2:: 0. On Hyytä korostaa, että X:stä ei oleteta muuta kuin että se on joukko. Erityisesti X:n ei tarvitse olla vektoriavaruus eikä vektoriavarnuden osajoukko. Kuvaus d on rnetriikka joukm;sa X, jos seuraavat ehdot ovat voimassa kaikilla ;1:, y, E X: (Ml) d(x, z) :s; ci(J:, y) + d(y, (M2) d(:r:, y) d(y, :i:), (M3) d(:r, y) = 0, jos ja vain jos ;1: = y. Lukua d(a:, y) sanotaan :e:n etäisyydeksi (tarkemmin ei-etäisyydeksi) y:stä tai myös :.z::n ja y:n vciliseksi etäisyydeksi. Ehtoa (Ml) sanotaan rnet­ riikan kolrnioepäyhtälöksi. lvfetrinen a1;aruus on joukko X, jossa on annettu jokin metriikka d. Täs­ mällisemmin sanottuna metrinen avaruus on pari (X, d), jossa X on joukko ja d metriikka X:ssä. Käytännössä kuitenkin usein sanotaan X:ää metri­ seksi avaruudeksi. Sen alkioita sanotaan X:n visteiksi. Metristä avaruutta sanomme tässä kirja,ssa usein lyhyesti a1mrnudeksi. Tärkeitä esimerkkejä metrisistä avaruuksista saadaan seuraavan tulok­ sen avulla:

X

2.2. Lause. Olkoon (E, 1 · 1) norrniavanms, Tällöin yhtiilö d(x, y) = jx - 111 määrittelee E:ssä metriikan d, _jota sanotaan normin rnäiiräärnäksi rnetriikaksi. Todistus. Normin perusominaisuuksien avulla saadaan: (Ml): d(a;, z) !;r - zl = l(:c - y) + (y z)! :S j;r YI d(:r , y) + d(y, (M2): d(:r , y) l:i: YI IY :,;j = d(y , (M3): d(:i:, y) = 0 {:} a; y = 0 {:} :D y. Ll

+ IY

2.3. Esim.erkkejä. 1. Jokainen 1. 7:ssä esitetty normiavaruus on edellisen lauseen nojalla metrinen avaruus varustettuna metriikalla d(:r, y) = l:r yJ. Tapauksessa E = R11 saadaan Rn :n tavallinen eli ev.klidinen metriikka

että ;r1 = r, ja kyseiset pisteet :r muodostavat janan, jonka päätepisteet ovat re1 = (r, 0) ja re2 = (0,r). Tapauksessa x1 :s; 0, :r2 � 0 saadaan ehdoksi -:i:1 + :r2 = r, ja kyseessä on jana, jonka päätepisteet ovat -re1 ja re2, Tarkastelemalla vielä neljänneksiä III ja IV nähdään, että S(Ö, r) on neliö, jonka kärjet ovat re1, re2, -re1 ja -re2. T\1loksesta voidaan päätellä, että B(Ö, r) on tämän neliön sisäpuoli. Voidaan siis todeta, että metrisen avaruuden pallo ei aina ole pyöreä. Itse asiassa pyöreydestä puhuminen ei usein ole edes mielekästä. 4. Olkoon edelleen X R2 , mutta tarkastellaan nyt sup-normin i:1:io = I mi=iäräämää metriikkaa. Myös tämän metriikan suhteen pallot 1 V ovat neliöitä, mutta niiden sivut ovat nyt koordinaattiakselien suuntaiset. Tarkempi selvitys jätetään tehtäväksi 2:2. 5. Hyvin erilaisen esimerkin saamme joukon X {O, 1 }-metriikasta. Kuula B(o., r) on joko yksiö {a} tai koko avaruus X sen mukaan, onko r :s; 1 vai kun r ::/- 1, ja S(a, 1) =X\ {a}. r l. Lisäksi S(a,r) 2.8. 0.'3ajonkon kunlat. Olkoon (X, d) metrinen avaruus ja A C X. Tällöin d indusoi A:n metriikan dA. Jos a E Aja r > 0, niin merkitsemme vastaavaa A:n avointa kuulaa BA(a, r):llä. Siis :c E BA(a, r), jos ja vain jos :r E Aja d(:1;, a) < r, joten BA(a, r)

A n B(a, r). 23

2. Metrinen avaruus Vastaava kaava pätee suljetulle k uulalle ja pallolle. Jos esim. X R2 ja A on neljännestaso {:c C R2 : :r1 2: 0, :r2 2: O}, niin < r, :r1 2: 0, :r2 2: O}. BA(ö, r) on neljänneskiekko {:.r C R2 : 2.9. Joukkojen välinen etäisyys. Olkoon (X, d) metrinen avaruus ja joukot Aja B sen epätyhjiä osajoukko ja. Joukko.ien A B 1Jälinen etäisyys on luku

d(A,B)

inf{d(:r:,y): :r c A,y

B} .

.Jos X :n metriikkaa on merkitty esim. e:llä, käytetään vastaavasti merkintää e(A, B). Tyhjän joukon etäisyyttä toisesta joukosta ei määritellä . Jos esim. A kohtaa B:n, niin d(A, B) = 0. Mutta d(A,B) voi olla 0, ka Aja B ovat erillisiä, esim. kun X R, A [O, 1[, B [l, 2] . .Joukkojen välinen ei ole rnetriikka; se ei eshn . toteuta kolmioepäyhtälöä. Jos 0 -/- A C X ja :r C X, merkitään

A) = d( {:r }, A)

inf{d(:r, a) : a C A}.

2.10. Lause. Olkoon (X, metrinen avarnus, 0 Tällöin y). lci(:r:, A) - d(y, A)I :;

A C X, ja :i:, y

Erityisesti

[d(x,z) -d(y,z)I::;

y)

kaikilla z C X. Todistus. Olkoon a c A. Tällöin

d(:c, A)::; cl(:r:, a):::; d(;c, y) + d(y, a). Ottamalla infirnum yli kaikkien a A saadaan d(x, A) :; d(.T, y) + d(y, A). Vaihtamalla x:n ja. y:n roolit saadaan d(y, A) :; d(y, + d(:r, A). Koska d(:1:,y) d(y,:r:), väite seuraa näistä epäyhtälöistä. D Olkoon (X, ei) metrinen avaruus ja 0 -/- A halkaisija on

d(A)

= sup{d(x, y): x C A,

y C A},

jolloin joko d(A) E R+ tai d(A) = 00. LHC>co;.,,a määritellään d(0) 0. Jos käytetään A:n läpimitalle v&staa­ X:n metriikkaa on merkitty esim. vasti merkintää e(A). 24

2. Metrinen avaruus Määritelmästä seuraa heti läpimitan rnonotonisuus: Jos A C B C X, niin d(A) s; d(B). Aina d(A) 2: 0. Lisäksi d(A) 0, jos ja vain jos :$ 1, ts. jos A on tyhjä joukko tai yksiö. 2.12. Lause. Olkoon (X, d) metrinen avaruus jaa E X, r > 0. Tällöin d(B(a, r)) s; d(B(a, r)) s:; 2r. Jos X on normicwan1.us X # {O}, niin d(B(a, r)) d(B(a, r)) 2r. Todistus. Jos a:, y E B(a, r), niin d(:c, y) s:; d(:i:, a)

+ d(a, y) :$ r + r = 2r.

Siis d(B(a,r)) s; 2r. Epäyhtälö d(B(a,r)) s:; d(B(a,r)) seuraa läpimitan monotonisuudesta. Olkoon sitten X normiavanms, joka sisältää vektorin v # 0. Merkitään e = v/lvl, jolloin lei = 1. Olkoon O < t < r. Tällöin :c a + te E B(a, r), sillä x J -aj !te! = t < r. Samoin y a te E B(a, r). Siis

d(B(a, r)) 2: :J i; - vl = l2te!

2t.

Kun t -+ r, tästä seuraa, että cl(B(a, r)) 2: 2r. Lauseen alkuosan nojalla tästä seuraa lauseen loppuosa. D 2.13. Rajoitetut .foukot kuvaukset. :!Vletrisen avaruuden (X, d) osajoukko A on rajoitettu, jos cl(A) < oo. Muutoin A on rajaton. Esim. jokainen kuula B(a, r) on rajoitettu. Joukot N, Z ja R ovat rajat­ tomia. Rajoitetun joukon osajoukot ovat aina rajoitettuja. Olkoon D joukko. Kuvaus f: D -+ X on n�joitettu kuvaus, jos joukko .f D C X on rajoitettu. Tapauksessa X = R kyseessä on sama käsite kuin kohdassa 1.1 määritelty rajoitettu funktio. 2.14. Lause. Olkoon (X, d) cpätyhjä metrinen avaruus. Joukko A C X on rajoitettu, .fos ja vain jos se sisältyy X :n johonkin kuulaan B(a, r). Todistus. .Jos A C B(a, r), niin d(A) ::::; d(B(a, r)) s:; 2r < oo. Olkoon A rajoitettu. .Jos A se sisältyy jokaiseen X:n kuulaan . .Jos A ! 0, valitaan a E Aja merkitään r = d(A) + l. Nyt A C B(a,r), sillä jos :r E A, niin d(x, a) s:; d(A) < r. D 2.15. Lause. Jos Aja B ovat metrisen ova.rmulen (X, d) ra:foiteth4ja osl�joukkoja, niin A U B on rajoitettu. Jos lisäksi A # 0 ! B, niin

d(A u B)

s; d(A) + d(B) + d(A, B). 25

2. Metrinen avaruus niin väite on selvästi tosi. Olkoon Todistus. Jos A = 0 tai A /:: 0 /:: B,ja merkitään 1vf = d(A) +d(B)+d(A,B). Olkoot x,y AUB. On osoitettava, että d(:1:,y) M. Jos :ry , E A, niin d(:ry) , d(A) .M. Samoin käsitellään tapaus :r, y E B. Olkoon sitten :c E A, y E B. Valitaan mielivaltaiset a E Aja b E B. Tällöin

s

s

d(:i:,y) S d(:r,a) + d(a,b) + d(b,y) S d(A) + d(a,b) Ottamalla infimum yli kaikkien a

s

+ d(B).

Aja b E B saadaan d(:1;,y)

s M. D

2.16. Esirnerkki. Olkoon D /:: 0 joukko ja (X,d) metrinen avaruus. Olkoon Z raj (D, X) kaikkien rajoitettujen kuvausten f: D--+ X joukko. Tapauksessa X= R tätä käsiteltiin jo 1.7.1:ssä, jossa Z:sta tehtiin normi­ avaruus. Nyt Z ei ole vektoriavaruus, mutta voimme määritellä Z:n sup­ metriikan e asettamalla e(f,g)

sup d(f(x),g(:r)),

xED

kun f, g E Z. Kun X = R, niin e(f, g) llf g/1, jossa 11 · 11 on 1.7.1:ssä määritelty sup-norrni. Jätämme tehtäväksi 2:3 todistaa, että e todella on metriikka Z :ssa. Tehtäviä 2 2:1 Osoita, että 2.3.2:ssa määritelty 2:2 Määritä tason R 2 pallo

{O, 1}-metriikka todella on metriikka.

l ), kun a

(3, 2) ja normina on !:rlo

l::i:11 V

2:3 Osoita, että 2.16:ssa määritelty funktioe 011 metriikka joukossa Z = raj (D, X). 2:4 Tutki, ovatko seuraavat funktiot �-�metriikkoja reaaliakselilla: Neuvo. Jälkimmäisessä todista ensin, ( a) f (;1,, y) /:r , (b) g(:1:, y) + ./6, kun a, b 2'. 0. että 2:5 Olkoon E normiavaruus. Kun :r, y E E, merkitään d(a:, y) = !::rl + IYI, jos kun :c i y, ja d(:i;,:i:) 0. Osoita, että d on metriikka E:ssä. Piirrä pallot S(a., r saa arvot 1,2,3,4,5. E �oc R2 , a = 2:6 Olkoot d jae metriikkoja joukossa X. Osoita, että myös r1 + e metriikkoja X:ssä.

r1 V

ovat

2:7 Olkoon e lukusuoran R {O, 1}-metriikka. Osoita, että yhtälö d(:t,y) määrittelee metriikan d tasossa R 2 . Määritä tässä metriikassa kuulat 1111 + e(:r2, O, r , kun r saa arvot 1, 2, 3. B( ) 26

2. Metrinen avaruus 2:8 Määritäd(A), kun A c R2 ja (a) A = {(:r,y): 0 5 ::r 5 2, 0 5 y S

(h) A

B(Ö,l)UB(I0e 1 ,2).

1},

y): :c 2 + 1 y < O} ja B = välinen etäisyysd(A, B) (a) tavallisessa, (b) {O, l}-metriikassa.

2:9 Määritä tason joukkojen A = {

{(:r, y): y < O}

2:10 Olkoon X metrinen avaruus, A C X rajoitettu joukko ja d(A) = r > 0. Osoita, että A sisältyy johonkin kuulaan B(a,r). Anna esimerkki tapauksesta, jossa X R2 ja A ei sisälly mihinkään kiekkoon B(a, r/2). 2:11 Olkoon A tason R2 yksikköympyrä S(Ö, 1) tavallisessa metriikassa. Määritä A:n läpimitta seuraavissa metriikoissa: ( a) tavallinen d, (b) normin 1 • I i määräämä rnetriikka cl1 , (c) normin I · lo määräämä metriikka d0 , (d) {O, l}-metriikka o.

2:12 Olkoon E raj ([O, 1], R) varustettuna sup-normilla. Määritä d(A), kun A = Un : n E N}, jossa J11 (x) = ::r". 2:13 Olkoot E ja A kuten edellisessä tehtävässä ja B kaikkien vakiofunktioiden f:

[0,1]-+ R joukko. Määritäd(A,B).

2:14 Olkoon E vektoriavaruus ja :i: !:ei: E R+ kuvaus, joka toteuttaa normin aksiomat (Nl) ja (N3), mutta ( N2):n sijasta heikomman ehdon f---,

(N2') iö! = 0 1 :i:I = l:r.l . Osoita, että yhtälöd(:1:, y) - l:r.

YI määrittelee nytkin metriikand E:ssä.

2:15 Olkoon E = F(N, R) kaikkien reaalilukujonojen x vektoriavaruus. Merkitään

(:1; 1 1 x2, •.. ) muodostama

:Z: r (l:r,,I A 1), (X)

l;i:I

n

n=l

kun :r E E. Osoita, että funktio x ;-; l :1:I toteuttaa ehdot (Nl),(N2'),(N3), joten edellisen tehtävän nojalla yhtälöd(:1:, y) = l:r YI määrittelee E:ssä metriikand. 2:16 Olkoon (X,d) metrinen avaruus ja :c0 E X, a E X. Määritellään funktio fn: X-+ R asettamalla J"(x) =d(:r:, a.) -d(:r, :i:0). (a) 0:-ioita, että fa on rajoitettu. (b) Kohdan (a) nojalla saadaan kuvaus cp : X -+ E rnj (X, R), jossa cp(a) Ja , Osoita, että llcp(a) cp(b)II S b), kun E:ssä on sup-normi. ( c) Osoita, että itse asiassa l! 0 kohti on olemassa sellainen kunx EX ja cl(:i:,a) < ö. luku i5 0, että d'(.f(x),f(a)) < e Todetaan heti, ettii käsite ei muutu, jos toisessa tai kununassakin epäyhtälössä merkki < korvataan merkillä 0, että d'(.f(;r), .f(y)) :S lvicl(:1;, y) kaikilla J:, y E X. Sanornrne tällöin myös, että f on l\!l-Lipschitz. Esim. vakiokuvau8 on 0-Lipschitz ja inkluusiolrnvaus on 1-LipHchitz.

4. Jatkuva kuvaus

4.5. Lause. Lipschitz-kuvaus on jatkmJa. 'Todistus. Olkoon f: X Y A1-Lipschitz. Jos M 0, niin f on vakio ja siis jatkuva. Olkoon Jyf > 0, ja olkoon a E X, c > 0. Kun :i; E X ja niin d'(f(:c), J(a)) :S: A1d(J;, a) < c. Siis f on jatkuva a:ssa. d(:r, a) < D 4.6. Sovellus. Olkoon 0 =/-: A C X. Määritellään funktio f: X -+ R kaavalla f (:c) d(.1:, A). Lauseen 2.10 nojalla f on 1-Lipschitz ja siis jatkuva. d( :c, Erityisesti, jos :r 0 E X, niin funktio :1: on jatkuva. Tämän erikoistapauksena nähdään, että normiavaruuden normifunktio :r f------7 !J:I on jatkuva funktio > R. f----t

4.7. Lause. Olkoon f: X -+ Y kuvm.t8 ja a E Tällöin seuraavat ehdot ovat yhtäpitävät: ( 1) f on .iatkuva a:ssa. (2) Jokaista f(a) :n ympäristöä V kohti on olemassa sellainen a:n ympä­ ristö U, että JU C V. (3) Jokaista J(a):n ympäristöä V kohti on olemassa sellainen a:n V. ristö U, että U C Todistus. Osoitamme, että (1) :::::} (2) :::::} (3):::::} (1). (1) :::::} (2): Olkoon V f(a):n yn1päristö. Tällöin V sisältää jonkin kun­ laympäristön B(f(a), . Koska f on jatkuva a:ssa, niin on olemassa lainen 6 > 0, että fB(a, 6) C B(f(a), c). Siis U = B(a, J) on vaadittu a:n ympäristö. 1 V, sillä jos E U, (2) :::::} (3): Ehdosta JU C V seuraa, että U C niin f(:r) E JU C V, ja siis ;r E f-1 V. (3) :::::} (1): Olkoon c > 0. Tällöin V B(f(a), on J(a):n ympäristö. 1 V. Tämä sisältää Ehdon (3) nojalla on olemassa a:n ympäristö U C 1 B(f(a), c). f on jatkuva kuulaympäristön B(a, ö), jolloin B(a, ö) c a:ssa. D Ehtoa (2) (tai (3)) käytetään jatkuvuuden määritelmänä topologisessa avaruudessa. Useimmiten topologiassa käsitellään kuvauksia, jotka ovat jatkuvia, ts. jatkuvia kaikissa lähtöavaruuden pisteissä. Esitämme seuraavaksi tuloksen, jossa jatkuvuus luonnehditaan avointen joukkojen avulla. Myö­ hemmin Lauseessa 6.13 esitetään vastaava tulos myös suljettujen joukkojen ja sulkeuman avulla. 37

4. Jatkuva kuvaus

vmn

Lause. Olkoon f: X Y kuvaus. Tällöin f on jatk1111a, jos ja jokaisen avoimen joukon V C Y alkukuva 1-1 v on avoin.

Todistus. (a) Olkoon .f jatkuva ja V @ Y. Olkoon a E Koska f on jatkuva a:ssa, ja koska V on .f (a):n ympäristö, niin 4. 7:n nojalla joukko 1V sisältää a:n ympäristön U. Koska tämä pätee lmikilla a E V, niin 1 1- v on avoin (Lause 3.10). (b) Oletamme, että lauseen ehto on voimassa. Olkoon a E X ja V J(a):n V on avoin ja siis a:n ympäristö. Lauseen 4.7 nojalla ympäristö. Tällöin f on jatkuva a:ssa. f on jatkuva. D

.r-

4.9. Huonwutus. Avoimen joukon kuva ei jatkuvassa kuvauksessa aina ole avoin. Olkoon esim. f: R R, f(:c) = :r 2 . Tällöin avoimen välin ]-1, 1 [ kuva [O, 1[ ei ole avoin. 4.10. Joukon r-ympäristö. Olkoon 0 # A C X ja r > 0. Joukon A r-yrnpäristö eli r-pullistuma on joukko B(A, r)

E X : cl(:c, A)

< r}.

Erikoistapauksessa A {a} saadaan tavallinen avoin kuula B({a},r) B(a, r). Vastaavasti merkitään B(A, r) =

E X : d(:r, A) s.

r}.

4.11. Lause. Joukon A C X r-ympäristö B(A, r) on avoin. Määritellään .f: X R yhtälöllä f(x) d(:c, A). Tällöin .f 1 on jatkuva 4.G:n nojalla. Koska B(A, r) 1- J-oo, r[, lause seuraa 4.8:sta. Toinen todistus saadaan, kun huomataan, että B(A, r) on yhdiste avoi­ mista kuulista B(a, r), a E A. D 4.12. Lause. Olkoot X L Y !!..,, Z ja a X. Jos .f on jatkuva a:ssa ja g on jatkuva f(a):ssa, n-i'in g o f on jatkuva a:ssa. yhdistetty kuvaus on ..,,,.n... ,,., Siis jatkuvi8ta f(a) ja z = g(y) Olkoon W .z:n Todistus. Merkitään y y:n ympäristö V, ympäristö. Koska g on jatkuva y:ssä, niin on jolla gV TV. Koska f on jatkuva ci:ssa, niin on olemassa a:n ympäristö jolla. JU C V. Tällöin (g o gfU C gV C vV, mistä lause seuraa. loppuosan voi myös Lauseen 4.8 avulla, sillä (g o 1 g- TV, kun W

4. Jatkuva kuvaus Sovelluksena 4.12:lle tarkastelemme 8euraavassa lauseessa jatkuvaa ku­ O kaikilla :r E X. Tällöin vausta f: X ----, R, josta oletamme, että f( :r) voidaan määritelläfunktiog 1/f: (X,d)- R asettamallag(a:) 1/f(:i:).

:J

4.13. Lause. Jos f: X ----, R on jatkuva ja f(:r) niin funktfo l / f: R on jatkuva.

:J O

kaikilla a:

X'

Todistus. Määritellään h: R \ {O} ----, R yhtälöllä h(t) = 1/t. Pidämme tunnettuna, että h on jatkuva. Koska f(:r) :J O kaikilla a:, voimme pienentää J: n maalin R\ {O}:ksi, jolloin saadaan kuvaus fi: X R\ {O}, jolla .f1 (a:) X. Selvästi myös fi on jatkuva. Nyt g h o fi, ja g:n f(:r) kaikilla :r jatkuvuus seuraa Lauseesta 4.12. D Tehtäviä 4 4:1 Olkoot Xja Y metrisiä avaruuksia, Ydiskreetti, ja f: X-+ Y jatkuva. Osoita, että jokaisella pisteellä :1: E Xon ympäristö, f on vakio. 4·? Anna esimerkki jatkuvasta funktiosta f: [O, l]

-+

R, joka ei ole Lipschitz.

4:3 Olkoon E = C[O, lj varustettuna sup-norrnilla. Osoita, että 0. Samoin päätellään, :r2 :i:. J\1erkitään r2 d(:r2, :1:) että A n B(:r, r1) sisältää jonkin ja haetaan taas piste :r:1 E A n , :r:1 J;. Näin jatkamalla saadaan > .... Siis jono A:n pisteitä J:1, :r2, ... , joille r > d(:r1, :c) > pisteet :cj ovat A:n eri pif,teitä B(:1:, r):ssä. Lauseen viimeinen väite seuraa lauseen alkuosasta. D

11-

6.22. Lause. Jovkko A C X on kaikki kasa1tiumispi.�teensä.

vain jos se sisältää

Todistus. .Jos A sisältää kasautumispisteensä, niin edellisen lauseen no­ jalla Ä = A, joten A on suljettu. Käänteisesti, olkoon A suljettu. Jos ;c on A:n kasauturnispiste, niin edellisen lauseen nojalla :i: E A joten A sisältää kasautumispisteensä. D Tehtäviä 6 61: Onko joukko AC R 2 suljettu, kun :a: 0 A(r) B(re 1, r). Tutki joukoista A(r) ja A LJ{A(r): r > 0}, ovatko ne (a) avoimia, (b) suljettuja tasossa. G:4 Olkoon A {I/n : n E N} C R. Määritä A:n sulkeuma tavallimm metriikka, (b) {0, 1}-metriikka.

kun R:ssä on (a)

G:5 Olkoot Aja B suljettuja joukkoja R:ssä. Osoita, että niiden tulo A x B on suljettu tasossa R 2 • 1] varustettuna sup-normilla A = {f E E : 6:6Olkoon E = 0 kaikilla O ::; ;i; ::; l} kuten tehtävässä :3:6. Osoita, että Ä {.f E E : .f(:i:) E\ 0 kaikilla O ::; r ::; l}. .tvlitkä funktiot kuuluvat

>

6:7 Olkoon F normiavaruuden E vektorialiavamus. Osoita, että myös P on E:n vektorialiavaruus. G:8 Olkoon E sisät.uloavaruns (tehtävä 1:4) on suljettu E:ssä.

A

E. Osoita, että A:n ortokomplementti A-1

sulkeuma

6. 6:9 Määritä joukon A

= {(k/n, 1/n): k E Z,

n EN} sulkeuma tasossa.

6:10 Olkoon A C X rajoitettu. Osoita, että

= d(A).

6:11 (a) Osoita, että jatkuvan funktion f: R

-> R kuvaaja on joukko tasossa. (b) Anna esimerkki epäjatkuvasta funktiosta f: R R, jonka kuvaaja on suljet.t,lL Hae funktiota, joka ei ole rajoitettu epäjatkuvuuspisteen ympäristössä.

6: 12 Olkoot f, g: X , Y jatkuvia kuvauksia ja A C X sellainen joukko, että että JIÄ .flA = glA. G:13 Osoita Lauseen 6.13 avulla, että joukko A on suljettu tasossa. Onko A rajoitettu?

= {(a:,y): :r E R, sina: :5 y :S:

6:14 Määritä joukon A c R 2 kasantumispisteet, kun (a) A

(c) A

Q x Z.

=

l

(b) A =

z X z,

6:16 Osoita, että kuvaus f: X ·> Y on jatkuva, jos ja vain jos kaikilla joukoilla B c Y. 6:16 Joukko A C X on metrisen avaruuden X retro.kti, jos on olemassa jatkuva kuvaus r: X -> A, jolla = id. Osoita, että retrakti on aina joukko. Olkoon :r E CA. Osoita ensin, että on olemassa a::n ja r(:r):n erilliset ympäristöt Toinen Käytä U ja V, joilla rU C V, ja sitten, että U n A tehtävää 6:12. 6:17 Olkoot A = {(;i:, y) (a) A B ovat suljettuja

O} B = { y) E R 2 : :ry erillisiä, (b) d(A, B) 0.

R 2 : :i:y

1}. Todista:

G: 18 Osoita, että jokainen suljettu joukko F X voidaan lausua leikkauksena jonosta avoimia joukkoja. U1 :) :) .... Ohje. Käytä sopivia r-ympäristöjä, ks. 4.10. 6: 19 Osoita, että jokainen avoin joukko U C X voidaan lausua yhdisteenä jonosta suljettuja joukkoja Fi C F2 C .... Ohje. Siirry edellisessä tehtävässä komplement­ teihin.

AcX. 6:21 Todista Rieszin lemma: Olkoon F normiavaruuden E suljettu vektorialiava­ ruus, F ei O < r < l. T ällöin on olmnassa sellainen e E että = 1 ja d(e, F) r. Ohje. Valitse :z: E E \ F, merkitse t = F) ja valitse y E F, IY ·- :rl t/r. Aseta e (;i: - y)/1:r YI- Tehtävästä 2:17 voi olla apua.

53

7

Relatiivitopologia

Sopimu8. Oletamme koko pykälässä 7, että (X, d) ja (Y, d') ovat metri­ siä avarnuksia. Olkoon A C X. Tällöin d:n indusoirna A:n metriikka dA määrittelee metrisen avaruuden (A, . Tässä avaruudessa saadaan edellä määritellyt käsitteet avoin joukko, suljettu joukko, sulkeuma, jatkuvuus, jne. Tarkas­ telemme tässä pykälässä sitä, miten nämä suhtautuvat avaruuden (X, d) vastaaviin käsitteisiin. 7.1. Relatiivitopologia. Avaruuden (A, dA ) avointen joukkojen kokoel{U : U @: A} sanotaan A:n relatiivitopologiaksi, jonka se maa 'JdA X :Itä. Avoimen joukon määritelmän nojalla on U Aeli U E , jos ja vain jos U c A jos jokaista EU kohti on olemassa sellainen r > 0 , että BA r) c U eli AnB(:r,r) C U, missä r) tarkoittaa siis X n: avointa kuulaa. Seuraava tulos antaa yhteyden X:n topologian 'Jd ja A:n topologian 'Jc1A välillä. Topologisissa ava.ruuksissa tätä käytetään rela.tiivitopologian määritelmänä. Vastaava tulos suljetuille joukoille esitetään lauseessa 7.7. 7.2. Lause. Olkoon U C A C X. Tällöin U @: A, olernassa sella-inen V @:X, että U A n V.

ja va:in .fos on

Todistus. Olkoon V X ja U AnV. Olkoon :r EU. Koska V on avoin, niin x l: lä on kuulaympäristö B(x, r) V. Tällöin BA(:r:, r) = AnB(:z:,r) c

A n V= U.

U@: A.

Käänteisesti, olkoon U @: A. Jokaista :1: E U kohti voidaan valita sel­ laincm r(:i:) > 0, että BA(:c,r(:r)) C U eli An B(:r,r(x)) C U. Merkitään V= LJ{B(;i:,r(:r)): :c E U }, jolloin V on avointen joukkojen yhdisteenä Riittää siis osoittaa., että U = A n V. avoin Jos :c EU, niin :r EAja :r E B(:r, r(:r)) C V, joten :r EAn V. Jos taas :c E An V, niin on olemassa sellainen y E U, että :1: E B(y, r(y)). Lisäksi :1: A, joten :r A n B(y, 1·(y)) c U. D 7.3. E�imerkkejfi. l. Aina A @:Aja 0 @ A. 2. Jos U c Aja U @:X, niin U @: A, sillä U A n U. 3. Olkoon X = R ja A = [O, 2]. Nyt esim . ]l, 2] @: A, sillä se voidaan kirjoittaa muodm,sa A n ]1, 3[. Kuitenkaan ]1, 2] ei ole avoin R:ssä. 4. Olkoon X R2 , ja A { (:1:, y) E R2 : xy = O} eli koordinaattiakselien L = { y) : y = O} ei ole avoin A:ssa. Muutoin olisi yhdiste. Nyt

7. sellainen r > 0, että AnB(Ö, r) C L, mutta tällöin (0, r/2) E (AnB(Ö, r)) \ L, ja jouduttaisiin ristiriitaan . 7.4. Lause. Jos U

A@: X, niin U@: X.

Todistus. Lauseen 7.2nojalla U = A n V jollakin V @: X, joten U on kahden avoimen joukon leikkauksena avoin X:ssä . D 7.5. Suljel'llt joukot ja sulkev:rna relatiivitopologiassa. Olkoon A c X. Muista, että merkintä E @ A tarkoittaa sitä, että E c A on suljettu avaruudessa (A, dA), ts . A \ E@: A. Joukon E c A sulkeuma.lle avaruudessa (A, d A ) merkintää clA E. Osoitamme ) että se voidaan lausua E:n clx E avulla seuraavasti: 7.6. Lause. Jos E c A c X, niin clA E Todistus. Koska kaikilla :r E Aja r > 0.

A n E.

niin BA (x, r)nE B(:1:, r)nAnE = B(:1;, r) todetaan oikeaksi seuraavalla päättelyketjulla :

>0 {:} :1: EAja B(:r:, r) n E /= 0 kaikilla r > 0

:i; E cl A E {:} 2:

Aja BA (:D, r) n E /= 0 kaikilla r

{:}:DEAja ;1; {:}xEA n

D

7.7. Lause. Olkoon E C A C X. Tällöin E @ A, jos ja vain olemassa sellainen F @X, että E A n F. Todistus. Jos A, niin edellisen lauseen avulla saadaan E A n E, jossa E @X. Käänteisesti, olkoon E A n F jollakin F X. Tällöin

A\ E=A\(AnF)

{:r:xEA,

:r1

A eli E @ A. D

7.8. Esinierkkejii. l. Aina A Aja 0 @: A. 2. Jos Aja E @X, niin E @A, sillä E = A n E. 3. Olkoon R ja A = JO,2[. Nyt [1,2[@ A, sillä [1,2[

Todistus. Tehtävä 7:1. D 55

clA

An(X\F).

X\ F @:X, tästä seuraa 7.2:n nojalla, että A\

7.9. Lause. Jos E @A @X, niin B X.

on

A n [1, 3].

7. Relatiivitopologia 7.10. Jatkmnms jo. relo.tiivitopologfo. 0 lkoon taas A C X. 0 lkoon j: A � X inkluusio. Se on 4.2.5:ssä todettu jatkuvaksi, koska se on 1 Lipschitz. Jos E C X, niin 1 (7.a) .·,·- E=AnE ' A n E. Olkoon sillä j-1E = {:r: E A : j(:r.:) E E} = {:r: E A : :i: E E}

f: X -> Y kuvaus. Muista, että f:11 rajoittuma A:han on kuvaus fIA : A --+ Y, jolla (flA)(:r)=f(:r) kaikilla :r E A. Tälle on voimassa (7.b) flA=fo j, (flA)-1B=A n f-1B,

missä B on mielivaltainen Y:n osajoukko. Ensimmäinen yhtälö seuraa heti rajoittuman määritelmästä, ja jälkimmäinen seuraa (7. a):sta, sillä (fIA)-1B =(fo.j)-1B=j-1f-1B Anf-1B. 7.11. Lause. Olkoon A C X jo. olkoon kuvaus f: X --+ Y jatkuva pisteessä a E A. Tällöin rnyös fIA on jatkuva a:ssa. Jos f on jatkuva, niin fIA on jatkuva. Todistus. Koska flA =f o .7, lause seuraa yhdistetyn funktion jatku­ vuudesta. Myös suora (E, 5)-todistus on helppo. D 7.12. Huomaufos. On varottava sekoittamasta käsitteitä "flA on jat­ kuva" ja "f on jatkuva A:n pisteissä". Olkoon X=R 2 ja A={(:r:, y) : y= 0} eli :r-akseli. Määritellään f: R 2 --+ R2 asettamalla f(z)=z, kun z E A ja f(z)=0, kun z E R 2 \A. Nyt flA on inkluusio .7: A � X ja siis jatkuva. Mutta f on epäjatkuva A:n pisteissä lukuunottamatta origoa. Myös fICA on vakiokuvauksena jatkuva. Joukko A on suljettu tasossa, mutta CA ei ole. Osoitamme seuraavaksi, että suljettujen joukkojen tapauk­ sessa tilanne on helpompi: 7.13. Lause. Olkoon X =A1 U · · · U A1.;, rnissii A.i @: X kaikilla j . Olkoon f: X --+ Y 8ellainen kuvcms, että flAJ on jatkuva kaikilla l :S j S k. Tällöin f on jatkuva. Todistus. Käytämme Lausetta 6.13. Olkoon F f-1 F ecX. Kaavan (7.b) avulla saadaan k

f-1F =LJ(A.i n f-1F ) j=l

@:

Y. Osoitamme, että

k

LJUIA.i)-1F.

j= l

Koska flA.i on jatkuva, niin (flA.i )-1 F @: Aj . Koska Aj @: X, niin 7.9:n nojalla (flA.i)-1F @: X. Siis f-1F on suljettujen joukkojen äärellisenä yh­ disteenä suljettu. D 56

7. Olkoot a < b < c reaalilukuja, ja olkoon f: [a, c] b] ja f [b, c] ovat jatkuvia, niin f on jatkuva. 1

7.15. Hiwma1d?l8. Lauseen 7.13 vastine äärettömille yhdisteille ei , a: E X, jotka ovat suljet­ Itse asiassa X on aina yhdiste yksiöistä Jos f: X _, Y on tahansa kuvaus, niin rajoittumat fl{ a:} ovat jatkuvia, mutta f voi olla epäjatkuva. 7.16. Maalin Kuvauksen f: X -, Y rajoittuma JIA saadaan f:stä pienentämällä lähtöä X. Vastaavasti voidaan toisinaan myös muutella maalia Y. Jos fXC B C Y, voimme tarkastella kuvausta fi: X-, B, jolla fi f( :r) kaikilla :r E X. Tätä sanotaan f:n rni:iiirittelemäksi kuvaukseksi (joskus myös j:n korajoittumaksi). Osoitamme 7. että f:llä ja .fi :llä on samat jatkuvuusomirmisuudet. Tämän vuoksi voidaan ku­ vauksen maali useissa tarkasteluissa unohtaa ja merkitä karskisti h T_ällöin on kuitenkin oltava varovainen, sillä esim. kuvauksen surjektiivisuur:; riippuu olennaisesti siitä, mikä on kuvauksen 1naali. Tietenkään maalia ei voi pienentää pienemmäksi kuin joukko im f fX . .Jos Y on jonkin laajemman avaruudeu osajoukko, voidaan maalia myös suurentaa jatkuvuuden siitä kärsimättä. 7.17. Lause. Olkoon f: X Y, fX c B c Y, ja fi: X _, B f:n rnäiirittelemJi kuvaus. Olkoon a X. Tällöin f on jatkuva a:BBa, jos ja vain JOS on jatkuva a:ssa. Siis f on 'Hut.:nvu,. jos ja vain jos fi on 1'ochstus. Oletamme, että f on jatkuva a:ssa. Olkoon c > 0. Tällöin on olemassa kun :r E a:n ympäristö U, että 1l1 (.f(:r), f(a)) < U. Näillä :r:illä on myös d'(.fi(x),fi(a)) E:, joten fi on jatkuva a:ssa. Käänteisen osan todistus on melkein sama. D yhtaikaa Ji:ihtöä ja 7.18. Huomcwtus. On myös mahdollista B C Y, saadaan .f:n maalia. Jos f: X-, Y on kuvaus ja jos A C määrittelemä kuvaus fi: A _, B, jolla fi(x) j (J:) kaikilla :1: E A. Jos f on jatkuva, niin myös f1 on jatkuva, sillä voimme pienentää ensin lähtöä ja sitten maalia. Tehtäviä 7 7:1 Todista Lause 7.9. 7:2 Tutki seuraavista joukoista A c IJ2 , mitkä niistä ovat avoimia 1:P:ssa: (a) A {(;r, y) 13 2 : ,ry> O}, (b) A = {(:i:,y) : :c O}. 57

7. Relatiivitopologia 7:3 Tutki seuraavista joukoista A c B 2 , mitkä niistä ovat suljettuja B2 :ssa: (a) A = {(a;,0): -1 < ;,; < l}, (b) A = {(l/n, l - 1/n) : n EN, n� 2}, ( c) A = { ( a;, y) E B 2 : x + y > 1}. Kielteisessä tapauksessa määritä A:n sulkeuma B2 :ssa. 7:4 Osoita, että diskreetin metrisen avaruuden jokainen osajoukko on diskreetti. 7:5 Olkoon X= AUB, V c AnB, VnA C!5:A ja VnB@:B. Osoita, että V@:X. 7:6 Anna esimerkki sellaisista joukoista A, B, V C R, että R A, V n B @: B ja V ei ole avoin R:ssä.

AUB, V n A@:

7:7 Olkoon A, B c X ja A n B= 0= A n B. Osoita, että A ja B ovat avoimia ja suljettuja joukossa A U B. 7:8 Kokoelma 'D c '.P(X) on joukon X peite, jos X = U'D. Olkoot X ja Y metri­ siä avaruuksia, 'D X:n peite, jonka jäsenet ovat avoimia, ja .f: X -) Y sellainen kuvaus, että flA on jatkuva kaikilla A E 'D. Osoita, että f on jatkuva. 7:9 Osoita, että edellisen tehtävän tulos ei päde, jos 'D:n jäsenet oletetaan sulje­ tuiksi eikä avoimiksi. Lauseen 7.13 nojalla se kuitenkin tällöin pätee, jos 'D on äärellinen. Osoita, että se pätee yleisemmin, jos peite 'D on lokaalisti äärellinen, mikä tarkoittaa sitä, että jokaisella X :n pisteellä on ympäristö, joka kohtaa vain äärellisen määrän 'D:n jäseniä.

58

8.

8

Sisä-, ulko- ja reunapiste Sopimus. Oletamme koko pykäliic;sä 8, että (X, ei) on metrinen avaruus.

8.l. Määritelmiä. Olkoon A c X. Jaamme X:n pisteet kolmeen eril­ liseen joukkoon sen mukaan miten ne suhtautuvat A:han. Olkoon :c E X. Sanomme, että :1: on A:n sisäpiste, jos :dlä on ympäristö U C A. Jos :1::llä on ympäristö U, joka ei kohtaa A:ta eli jolla U C CA, niin :1: on A:n ulko­ piste. Jos :r: ei ole A:n sisä- eikä ulkopiste, se on A:n reunapiste. Tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että :1::11 jokainen ympäristö kohtaa sekä A:11 että CA:n. Käsitteet eivät selvästikään muutu, jos määritelmissä sana "ympäristö" korvataan sanalla "kuulaympäristö". Vastaaville pistejoukoille käytetään merkintöjä int A = {:r ext A

X: x on A:n sisäpiste},

{ :r: E X : :e on A:n ulkopiste},

äA = {:r E X: :i: on A:n reunapiste}.

Nämä joukot ovat keskenään erilliset,

niiden yhdiste on X, eli

X= int A u ext A u äA. Niistä tärkein on ehkä äA, jota sanotaan A:n reunaksi Esim. analyysissä [J \ U, tarkastellaan usein avoimen joukon U C R 11 reunaa, joka on öU kuten 8.3(7):ssa osoitetaan. 8.2. EsirnerkkP.jä. l. Olkoon X R2 ja A = B(a, r) tason avoin kiekko. Pisteittäisellä tarkastelulla nähdään helposti, että int A A B(a, r), extA CB(a, r) ja äA S(a., r). Vastaava tulos pätee kaikis­ sa normiavaruuksissa E i= {Ö}, mutta ei kaikissa metrisissä avaruuksissa. Esim. jos X Z, niin B(O, 1) {O} öB(O, 1) = 0 :/= {-1, 1} S(O, 1). 2 ..Jos A on tason suljettu kiekko r), niin saadaan samat joukot int A, ext A ja öA kuin kohdassa 1. Näistä esimerkeistä nähdään, että jou­ kon reuna.piste voi joko kuulua joukkoon tai olla siihen kuulurnatta. 3. Olkoon X = R ja A R Q. Nyt int Q 0, extQ = 0 ja äQ (tehtävä 8:1). Kokoamme seuraavaan lauseeseen yllä määriteltyjen joukkojen erilaisia perusominaisuuksia. 59

8. 8.3. Lause. (1) int A c A, ext A CA. (2) A on avoin, jos ja vain jos iut A A. (3) extA intCA, iutA extCA. (4) extA C)I, intA = CCA, A intAuäA = AuåA. (5) 8A A n CA = il \ int A, ja 8A on aina suljettu. (6) åA äCA. (7) Jos A on avoin, niin 8A A \ A. avoin osajou.kko, joka A:ha.n. (8) intA on X:n

Todistus. Ominaisuudet (1),(2),(3) seuraavat suoraan määritelmi8tä. (4) Ernimrnäinen yhtälö todetaan oikeaksi sEmraavalla päättelyllä: 1; E ext A {::} on :e:n ympäristö U, jolla U C CA eli U n A

0

{:} :r r/:. il

{:} :r

E

C) L

Toinen seuraa ensimmäisestä ja (3):sta. Lisäksi )1

= C ext A

int AuåA c AuåA c

mistä SR,adaan (4):n loppuosa. (5) Käyttäen kohtaa (4) ja De Morganin lakia 0.4 saR,claan

CåA

int A uext A = CCAuCA

C (CA n A),

mistä (5):n ensimmäinen yhtälö seuraa. Toinen seuraa (4):stä. Lisäksi åA on suljettu kahden suljetun joukon leikkauksena. (6) seuraa (5):stä. (7) seuraa myös (5) :stä, koska nyt intA A. (8) on duaalinen muoto vastaavalle sulkeuman ominaisuudelle 6.8(4), tästä siirtymällä komplementteihin. Tarkemmin: Koska (4):n ja. se nojalla C intA CA on suljettu, niin intA on avoin, ja (1):n nojalla int A c A. Olkoon B @ X ja B C A. Tällöin CB on suljettu CB => CA, mistä 6.8(4):n nojalla seuraa, että CB => CA, joten B C CCA intA. D : i:1:J s; 1 tai :1:2 8.4. Esimerkki. Olkoon X= {:r: = (:r:1,:r2) O} ja A = {:c E R 2 : 1}, ts. A on tason suljettu yksikkökiekko 13 2 , jolloin A C X. Otamme tehtäväksi määrittää joukot intA, extA, 8A A avaruudessa X ( ei siis tasossa R 2 , mikä tehtiin 8.2(1):ssä). E ja jaamme käsittelyn kolmeen Tutkimme pistettä :r = ( :i:1, tapaukseen. Tapcius 1. j:ci < 1. Nyt B(:r:, 1 - l:rl) C A, joten :r: E int A.

60

8. Tapaus 2. 1:rl = 1. Käsittelemme 3 alatapausta. Alatapm1s 2a. :i:2 i= 0. Nyt Bx 1) C A, joten :1; E intA. :r E A, ja jokainen Bx(:r, r) kohtaa Alataprms 2b. :i; = e1 (1 1 0). X\ A:n esim. pisteessä (1 + r/2, 0). Siis :r E DA. Alatapaus 2c. x -·e1 l,0). Taas nähdään, että :z; E DA. Tapans 3. /:rl > 1, jolloin :i:2 = 0. Nyt B(:i:, /:r/ 1) n A = 0, joten :1: E extA. Kokoamalla tulokset saadaan: intA

B(0,1)\{-ei,ei},

extA

X\A

= {(t 1 0): lt/ > 1},

DA u intA A. Tulos Ä Lisäksi 1I suljettu tasossa ja siis myös X:ssä.

A nähdään myös

f:ttä A on

Tehtäviä 8 8: 1 Määritä joukon Q sisä, ulko- ja reunapisteet R:s,;ä. 8:2 Olkoon X int A, DA ja

R2 ja A { y) E R2 : a:y 2". 0, :r 2': 0, IYI < 1}. I\fääritä joukot Ratkaisussa voit nojautua sopiviin kuviin.

8:3 Ratkaise edellinen tehtävä, kun A on sama joukko, mutta avaruutena on R2 :n sen osajoukko X = { (:z:, y) R2 : 1:y 2".

8:4 Osoita, että metristen avaruuksien välinen kuvaus f: X ja vain jos [int B] C int 1- 1 B kaikilla joukoilla B Y.

---->

Y on jatkuva, jos

8:5 Olkoon A metrisen avaruuden X osajoukko. Osoita, että åDA C DA. Anna esimerkki tapauksesta, jossa DDA ::/ DA. Eräs mahdollisuus on valita X R, A Q. 8:6 Osoita, että 8A = 0, jos ja vain jos A on

avoin.

8:7 ( a) Lausu R yhdisteenä kahdesta sisäpisteettiimästä joukosta. (b) Olkoon A, B 0 joukoilla A, B C X on metrinen ominaisuus ( tehtävä 9:15 ) . Metriikkaan liittyvät kvantitatiiviset käsitteet, esim. joukon läpimitta, ovat tietysti metrisiä. 9.18. Bilipschitz-lw:vaukset. Sanomme, että kuvaus f: X -; Y on lipschitz, jos on olemassa sellainen luku M� 2: l, että d(x,y)/M:::: d'(.f(:1:) ,f(y)):::: Md(:v,y) kaikilla :t, y E X. Sanomme tällöin että f on M-bilipschitz. Oikeanpuoleinen epäyhtälö merkitsee sitä, että f on A1-Lipschitz. Va­ semmasta epäyhtälöstä seuraa aluksi, että f on injektio, joten se määrittelee bijektion fi: X - fX. Lisäksi 11- 1 : fX X on M-Lipschitz. Rn on bilipschitz, Esim. jokainen bijektiivinen lineaarikuvaus f: R n kuten pykälässä 15 tarkemmin osoitetaan. Tällainen on esim. tämän pykälän johdannossa käRitelty kuvaus f: R 2 - R 2 , y) = (2:c,y), joka on 2-bilipschitz (tehtävä 9:10) . Koska Lipschitz-kuvaus on jatkuva, saadaan heti seuraava tulos: 9.19. Lause. Bilipschitz-kuvaus on upotus. D 67

9. Homeomorfismi 9.20. Isornetria. Kuvaus f: X -+ y· 011 ismnetria, jos se säilyttää etäisyydet, ts. d'(.f(:i;), f(y)) d(:,:,y) kaikilla :i:,y E X, ts. f 011 1-bilipschitz. E, niin yhtälön J(:r) ;1; + a Jos esim. E on nonniavaruus ja a määrittelemä siirtokuwrns f: E -+ E on isometria. Samoin tason kierto on isometria f: R 2 -+ R 2 . Nämä esirnerkit ovat bijektioita, mutta isometrian ei (tässä kirjassa) tarvitse olla bijektio; esim. jokainen inkluusio .f: A � on isometria. Bijektiivinen isometria f: X -+ Y säilyttää kaikki metriset ominaisuu­ det, esim. d'(fA) = ä(A) kaikilla A C X, ja rajoitetun joukon kuva on rajoitettu. Myös 1\1-bilipschitz kuvaus säilyttää joukon rajoittuneisuuden, mutta sen kuvan läpimitta voi vaihdella rajoissa d(A)/lvl:::; d'(fA)

1'v1d(A).

Sanomme, että avaruudet X ja Y ovat 'isometriset, jos on olemassa bi­ jektiivinen isometria f: X Y. Tehtävässä 2:16 todistettiin, että jokainen 1netrinen avaruus on isometrinen jonkin normiavaruuden osajoukon lmns­ sa. Tietyssä mielessä metristen avaruuksien teorifL ei siis ole olennaisesti yleisempi kuin norrnia.varuuksien ja niiden osajoukkojen teoria. Tehtäviä 9 9:1 Todista, että Ja,

� R � ]-co, a[, kun a E R.

9:2 Onko seuraava joukko Jordanin si? Tarkkaa todistusta ei vaadita.

kun viiva ajatellaan äärettömän olmek-

9::1 Todista Lause 9.7. 68

9. Homeomorfismi 9:4 Todista yksityiskohtaisesti yleislauseen 9.15 kohdat (a) = fÄ, (b) åfA fåA, missä f: X;:::,; Y ja A C X. 9:5 Konstruoi jokin homemnorfismi f: R 2 B 2, missä B 2 on tason avoin sikkökiekko. Todistuksen voit vaihteeksi sivuuttaa. 9:6 Konstruoi jokin homcomorfisrni f: R 2 H. missä H on ylempi puolitaso totea, että f o {(:r, y) R2 : y > O}. Anna myös käänteiskuvauksen lauseke .f- 1 ja J- 1 o f ovat identtisiä kuvauksia. 9:7 Olkoon f: R--, R jatkuva, ja olkoon r f:n kuvaaja f(:1:)): :1: E R}, jolloin r c R2 ja f:n metriikka on tason tavallisen metriikan indusoima. Osoita, että r�R. 9:8 Olkoon E nonniavaruus. Osoita, että sen osqjoukot E \ {Ö} ja {:r E E : l j:rl < ovat keskenään homeomorfiset. 9:9 Osoita, että

\

9:10 Osoitfl, että kohdan 9.1 kuvaus f: R 2 --, R 2 on 2-bilipschitz. 9:11 Osoita, että bilipschitz-kuvaus f: R --, R on surjektio ja siis homeomorfonni. Tehtävän 4:10 nojalla f on aidosti monotoninen. 9:12 J'vfääritellään kuvaus f: Z R asettamalla f(n) I/n, kun n n, kun n ::_::: 0. Osoita, että f on jatkuva injektio mutta ei upotus.

0, ja f(n)

9:13 Anna esirnerkki isometriasta f: X --, X, joka ei ole surjektio, kun

[O,

(b)

X=

X =

9 :14 Olkoon g: R R jatkuva. Osoita, että yhtälö f(:r, y) (:r, y g(:i:)) eli J(.z) z+ g(pr1 määrittelee homeomorfismin .f: R 2 -4 , ja anna käänteisg on A1-Lipschitz, niin .f on (Ji.![ + kuvaukse11 lauseke. 08oita myös, että bilipschitz. 9:15 Olkoon g: R --, R jatkuva g(:i:) > 0 kaikilla ;z; E R. Osoita, että yhtälö R2 , f(:i:,y) (:z:,g(:1:)y) määrittelee homeomorfisrnin f: R 2 anna käänteis, ja olkoot A B vaakasuoria suoria. Osoita, kuvauksen lauseke. Olkoon että d(f A, että ehto d(A, B) > 0 ei ole topologinen = 0, ja päiittele orninaisuus. 3. voidaan isomet9: 16 Osoita, että jokainen metrinen avaruus jolla risesti upottaa tasoon. (b) Anna esimerkki nelipisteise:,tä avaruudesta, jota ei voi isometrisesti upottaa mihinkään sisätuloavaruuteen. Vil�je. Ks. tehtävän 1:6 suunnikassääntö.

69

9. Homeomorfismi Y ( 1 + t)-bilipschitz. Osoita, että

9:17 Olkoon X rajoitettu ja f: X 1

d(;r, y) - td(X) :S d (f(:r), f(y)) :S d(:r, y) + td(X) kaikilla :,: , y

X.

70

ekvivalenssi. Tuloavaruus

10.

10

Metriikkojen ekvivalenssi. Tuloavaruus

Tässä pykälässä vertailemme samassa joukossa annettuja metriikkoja keskenään. Käsittelemme myös metristen avaruuksien karteesista tuloa ja sen metriikkoja. 10.1. Mäiiritelrniä. Olkoon X joukko. Sanomme, että X:n metrii­ kat d ja e ovat topologisesU ekvivalent-it tai lyhyesti ekvivalentit, jos ne määräävät X:ssä saman topologian, ts. Tc1 Te , ts. joukko U C X on d-avoin, jos ja vain jos se on e-avoin, ks. 3.6. Tällöin merkitsemme d rv e. Avaruuksilla (X, cl) ja (X, e) on tällöin samat topologiset ominaisuudet. Esim. X :n jokainen metriikka cl on ekvivalentti metriikan 2d kanssa, sillä pisteellä a E X on kummassakin metriikassa samat kuulaympäristöt, tosin eri säteisinä. Olkoon E vektoriavaruus. Sanomme, että E:n normit / · Ii ja / · 1 2 ovat (topologisesti) ekvivalenl'it, jos niiden määräämät metriikat ovat ekvivalen­ tit, ks. 2.2. Olkoot d ja e joukon X metriikkoja, Tällöin id: (X, d) ----, (X, e) on jatkuva, jos ja vain jos C 'Jd Lauseen 4.8 nojalla. Samoin id: (X, e) ---; (X, ei) on jatkuva, jos ja vain jos Tc1 C Te . Saadaan siis tulos: 10.2. Lause. Joukon X rnetriikat d jae ovat ekvivalentit, jos ja vain d) - (X, e) on hornemnorfismi. D jos id: 10.3. Bilipschitz-ekvivalenssi. Sanomme, että joukon X metriikat cl ja (X, e) on bilipschitz, ts. on e ovat bilipschitz-ekvivalentit, jos id: (X, d) olemassa sellainen Af 2: 1, että

d(:i:,y)/M:::; e(:r,y):::; Afd(x,y) kaikilla :c, y E X. Vastaavalla tavalla määritellään normien bilipschitz­ ekvivalenssi. Metriikkojen cl ja e bilipschitz-ekvivalenssiin riittää näennäi­ sesti heikompi ehto acl(:v, y) :::; e(:-i:, y) :::; bd(x, y), jossa O < a:::; b, Rillä edellinen ehto seuraa tästä vakiolla Af rnax{b, 1/a}. Koska bijektiivinen bilipschitz-kuvaus on homeornorfismi (Lause 9.19), saa­ daan tulos: 10.4. Lause. Jos joukon X rnetriikat d ja e ovat bilip.schitz-ekvivalen­ tit, ne ovat myös topologisesti ekvivalentit. D

71

ekvivalenssi. Tuloavaruus

10.

10.5. E8irnerkkejä. 1. Avaruuden R n tavallinen normi 1 · 1 ja kohdassa l · /1 ovat keskenään bilipschitz-ekvivalentit ja ,1.7 määritellyt normit l · lo < siis ekvivalentit, sillä näille on tehtävässä 1:7 todistettu epäyhtälöt /a:j lx:h S ni;cJo. Pykälässä 15 osoitamme, että Rn :n kaikki normit ovat keskenään bilip­ schitz-ekvivalentit ja siis ekvivalentit, Lisäksi osoitamme, että jos vektori­ avaruuden normit ovat ekvivalentit, ne ovat bilipschitz-ekvivalentit. 2. Avaruuden C[O, 1] sup -normi ja L i -normi eivät ole keskenään ekvi­ valentit, kuten tehtävässä 3:6 osoitettiin. 3. Olkoon d kokonaislukuje11 joukon Z tavallinen metriikka, ja olkoon e sen {O, 1}-metriikka. Tällöin sekä (Z, ei) että (Z, e) ovat diskreettejä, ts. kaikki Z:n osajonkot ovat avoimia. Siis d e. JVIetriikat d ja eivät kuiten­ kaan ole bilipschitz-ekvivalentteja, minkä näkee esim. siitä, että (Z, d) on rajaton, mutta (Z, e) on rajoitettu. rv

d(:c,

10.6. Lause. Olkoon d joukon X metriikka. Merkitään e(:r, y) I\ l = rnin{d(:r,y),1}. Tällöin e on :n nietriikka, d"" e.

TodistuB. Osoitamme ensin, että e on metriikka X :ssä. 0lkoot :c,y, E X. Todistaaksemme kolmioepäyhtälön

(lVIl)

S e(:r:, y) + e(y, z)

toteamme aluksi, että vasen puoli 011 enintään 1, joten asia 011 selvä, jos e(:r, y) 1 tai = 1. Oletamme, että , y) < l ja e(y, < 1. Tällöin


a. Neuvo. Aloita tekemällä vastaoletus. 11:7 Olkoon :r 11 = (cos(rrn/2), sin(mr/2)) E R 2 . rviäiiritii jonon (:r ,, ) lrnsautumis­ arvot. Hae kullekin kasautumisarvolle jokin sitä kohti suppeneva osajono. 11:8 Osoita, että avaruuden 1 2 yksikkövektorien jonolla e 1, e2, ... ei ole kasautu­ misarvoja. Tässii esim. e 1 = (1,0, 0,.. .). 88

11. Jonot 11:9 Olkoon (:i: n ) jono avaruudessa X. Osoita, että jonon kasantumisarvojen jouk­ ko on suljettu. , kun n E N. Tutki, suppeneeko 11:10 Olkoon fn : R--, R funktio .fn(:r) OV(:r: funktiojono Un ) R:ssä (a) pisteittäin, (b) tasaisesti. T11tki scmrn.,t asiat niyös, kun R:ssä on {O, 1}-metriikka. 11:11 Olkoot (X, d) (Y, d') rajoitettuja metrisiä avaruuksia., olkoot f,, : X---> Y kuvauksia, jotka snppenevat kohti kuvausta f: X - Y tasaisesti X :ssä. Olkoon A C X. Osoita, että joukkojen f11 A läpimitat d'Cfn A ) suppenevat kohti lukua cl'(.fA). Ohje. Olkoon E > 0. Valitse aluksi no, joka toteuttaa tasaisen suppenerni­ sen ehdon. Kun n 2: n0, arvioi erotusta d'(.fnA) - d'(.fA) ylöspäin ja alaspäin. 11:12 Oletamme, että kuvausten f11 X - Y jono suppenee pisteittäin koht.i ku­ vausta .f että jokainen fn on 5-bilipschitz. Osoita, että myös .f on 5-bilipschitz. :

11:13 Todista Lause 11.31. 1, kun 11:14 :rviääritellään funktio f: R2 - R seuraavasti: y) ja f y) 0 nmissa pisteissä y). Todista: = 0 kaikilla origon kautta kulkevilla suorilla L, (a) �-···z-•u ei ole olemassa. (b)

0 kohti on olemassa sellainen no E N, että ci(,cn , :rk) < E., kun n 2:'. no ja k::::,: no. Ehto muistuttaa jossain määrin jonon suppenernisen määritelmää, mut­ ta huomattakoon, että Cauchyn ehto koskee vain jonon jäseniä; mistään raja-arvosta ei puhuta. :Määritelmä voitaisiin antaa rnyös seuraavasti: 12.2. Lause. Olkoon (:i: n) jono X:.ssä. Merkitään An = kun n E N. Tällöin on Cauchy , jos ja vain jos d(A_.,i) -; 0,

: j::::,:

n-,

n}, CX),

Todistus. Tehtävä 12:1. D 12.3. Lause. Jos avarmulcn X .iono (a:11 ) snppenee, niin se on Cauchy. TodiBtus. Oletamme, että ;i;n a E X. Olkoon > 0. Tällöin on olemassa sellainen no E N, että cl(:cn , a) < E./2, kun n > no. Kun n 2:: no ja k ::::,: no, niin cl(:cn ,

d(x11 , a)

+ d(a, :rk)
Y on kontrnktio eli kutistus, jos se on q-Lipschitz jollakin O < q < l, ts. jos

cl1 (f(2:), f(y)) S: qd(:r, y) kaikilla :i;, y E Kontraktio on aina jatkuva. Kuvauksen ei tarvitse olla kontraktio, vaikka d1 (f(;1:), f(y)) < cl(i:, y) kaikilla ;r;, y E X 1 joilla a: /. y. Esim. kuvaus f: R-+ R, j(;,:) = ;r,/2 + 3, on kontraktio 1 sillä lf(a;) f(y)I = !:1: Yl/2 kaikilla :c R. Siirrymme tapaukseen X Y. Piste a X on kuvauksen f: X X kiintopiste, jos f(a) = a. Esim. jos f: R -+ R on polynomi f(:r:) + g(i:) Toisaalta yhtälön :r + 1 :c 2, sen kiintopisteitä ovat ·V2 ja määrittelemällä kuvauksella g: R -+ R ei kiintopistettä. 91

12.

Tasainen

12.8*. Banachin kiintopistelause. Olkoon f: X -; X avaruuclen X cf 0 kontraktiu. Tällöin f :llti on täsrniilleen yksi w1·,.·1111nn�, 0. Tasaisen jatkuvuuden nojalla on olemassa sellainen o > 0, että d1 (.f( :i;), .f(y)) < c, kun :r, y E X ja d(:1:, y) < o. Koska on Cauchy, niin on olemassa < o, kun n 2 no ja k 2 no. Näillä n ja k sellainen no E N, että d(:rn , on d'(.f(xn ), J(xk)) < c. Siis (.f(x11 )) on Cauchyn jono. D Lause. Oletamrne, että A c X, .f: A _, Y on ta8aisesti 12. Y. jatkuva A:ssa ja Y on täydellinen. Tällöin .f:llä on jatkuva jatke g: A Itse asiassa g on tasaisesti jatknva Ä:ssa. Todist1ts. .Jatkuvan jatkeen olemassaoloa varten riittää 11.33:n nojal­ la osoittaa, että jokaisella a E A raja-arvo lim,c->a,,i:EA .f( :i;) on olemassa. Tähän taas 11.30:n nojalla riittää se, että jos on A:n jono, jolla :1:11 -, a, on Cauchy, joten edellisen lauseen no­ niin jono (.f( Xn)) suppenee. Nyt jalla (.f(xn )) on Cauchy. Koska Y on täydellinen, jono (.f(a: 11 )) snppenee. Lauseen viimeinen väite seuraa tehtävästä 12:17. D 12.16. Esimerkki. Kuvaus f: JO, 1] ---, R, .f(x) sin(l/x), on jatkuva, mutta sillä ei jatkuvaa jatketta sulkeumaan [O, l]. Siis jatkuvuuden tasaisuus edellisessä lauseessa on olennaista. Tehtäviä 12 12:1 Todista Lause 12.2. 12:2 Osoita, että Cauchyn jono on aina rajoitettu. 12:3 Todista, että metrisen avaruuden täydellinen osajoukko on suljettu. T ästä seuraa Lauseen 12.6 toinen osa. 12:4 Olkoon (X, d) täydellinen metrinen avaruus ja sellainen jono X :ssä, että että jono suppenee kohti jotakin pistettä d(:z;n , ;C11 + 1) :S 10 · 2-n kaikilla n. a E X. Osoita, että , a) < 1. 94

12. Täydellisyys. Tasainen jatkuvuus 12:5 Olkoon D joukko ja E raj (D, R) rajoitettujen funktioiden f: D ---+ R avaruus varustettuna sup-normilla. Osoita, että E on täydellinen, ts. Banachin avaruus. Ohje. Käytä tietoa, että R on täydellinen. 12:6 Osoita, että avaruus C[O, l] on täydellinen sup-normin suhteen. Ol�je. Osoi­ ta 11.24:n avulla, että avaruus on suljettu raj ([O, l], R):ssä ja sovella edellistä tehtävää. 12:7 (a) Olkoon X täydellinen metrinen avaruus ja A 1 � A2 � . .. laskeva jo­ no epätyhjiä suljettuja X:n osajoukkoja, joiden läpimitat d(A,,) suppenevat kohti nollaa. Osoita, että joukkojen A11 leikkauksessa on täsmälleen yksi piste. Neuvo. Aloita valitsemalla pisteet :r11 E An . (b) Anna esimerkki tason osajoukoista A 1 � A2 � ... , jossa jokainen A11 on sul­ jettu ja epätyhjä, mutta joukkojen A 11 leikkaus on tyhjä. Miksei a-kohdan tulosta voi nyt soveltaa? 12:8 Todista: Metrisen avaruuden (X, ei) jono (:rn ) on Cauchy, jos ja vain jos jo­ kaista lukua c > 0 kohti on olemassa sellainen k EN, että d(:rk, :rk+p) < c kaikilla p EN. 12:9 Oletetaan tunnetuksi, että harmoninen sarja �n n- 1 hajaantuu, joten sen osasummien s n = �Z=i 1,:- 1 muodostama jono ei ole Cauchy. Osoita, että jono 0, joka on (s 11 ) toteuttaa kuitenkin jokaisella p E N ehdon lim11 __,00 ls n s n +pl siis aidosti heikompi kuin Cauchyn jonon ehto. 12:10 Olkoon E C[-1, l] varustettuna L 1 -normilla; ks. 1.7.4. Määritellään fn E E, missä n EN, asettamalla J,, (:r)

= o, {

n:r, 1,

kun - 1 :S :r :S O, kun O :S 1: :S 1/n, kun 1/n :S :r :S 1.

Todista: (a) .Jono Un ) on Cauchyn jono E:ssä. (b) .Jono (111) ei suppene, joten E ei ole täydellinen. Ohje. Oleta, että fn ---+ g E:ssä ja osoita, että g(:r) = 0, kun kun :r > 0. 12:11 Olkoon X täydellinen ja f: X dellinen ja siis suljettu Y :ssä.

---+

;i;

< 0, ja g(:r)

1,

Y bilipschitz. Osoita, että f X on täy­

12:12 Osoita, että Banachin kiintopistelauseen 12.8 todistuksen merkinnöin on voimassa qn d(:ro, 1: 1 ). d(:r 11 , a) '.S - 1-q

95

12.

Tasainen

12: 1;3 Hae yhtälön 7;r + 1 = 0 juuren likiarvo välillä [O, l] soveltamalla Ba­ nachin kiintopistelausetta funktioon + 1)/7. Muista osoittaa, ettii f toteuttaa lauseen oletukset. Määritä laskimella ainakin 5 desimaalia. Käytä tark­ kuusarvioiunissa edf>llistii tehtiiväiL 12:14 Olkoon E täydellinen nonniavarnus eli Banacbin avaruus, ja olkoon f: E _, E kontraktio. Osoita, että yhtälö F(:r) :r + f(;r) määrittelee homeomorfismin F: E _, on bilipschitz. Ohje. Kun y E E, merkitse gy (:c) Osoita, että gy :llä on täsmälleen yksi kiintopiste G(y), jolloin saadaan kuvaus G: E -, E. Todista, että F on bilipschitz ja että F o G icl. 12:15 Tutki seuraavista funktioista f: R -, R, ovatko ne tasaisesti jatkuvia R:ssä: (a) f(:1;) (b) .f(:c) sin(x 2 ), (c) = 2:r + arctan :r, (d) J(:r) = x 1 13 . 12:lG Olkoon E normiavaruus, (X, d) metrinen avaruus, A C E konveksi 14.26) on rajoitettu joukko, ja .f: A -, X taimisesti jat.kuva. Osoita, että joukko rajoitettu. 12:17 Olkoot (X,d) ja (Y, metrisiä avanmksia, A X, ja J: Ä Y jatkuva kuvaus, on tasaisesti jatkuva A:ssa. Osoita, että J on tasaisesti jatkuva Ä:ssa. Ohje. Olkoon E > 0. Tasainen jatkuvuus A:ssa antaa o:n. Osoita esim., että jos a, b Ä ja d(o., b) o/3, niin cl'(.f(a), f(b)) :3€. 12:18 Olkoon {(:r, y) E R2 : :ry missä j = 0 tai 1, ja X Osoita, että yhtälö J(:c, !/) :i:y määrittelee jatkuvan funktion J : X on tasaisesti jatkuva joukoissa Ao ja A 1 , mutta ei koko X:ssä.

Ao U A 1 . R, joka

2 + :r - arct.an :r määrittelemä funktio. 12:19 Olkoon J: R R yhtälön Osoita: (a) 11(;1:) f(y)I J;r - ui kun ;i;-=! y, (b) f:llii ei ole kiintopistettä. soveltaa? Miksei Banachin kiint.opistelausetta voi ja J: A -, Y. Oletamme lisäksi, että 12:20 Olkoon Y täydellinen, A c X, a E U, että d'(f(a:), f(y)) E, jokaista > 0 kohti on olemassa sellainen a:n kun :i:, y E U n A. Osoita, että raja-arvo lirn,,,-a

96

13.

13

Kompaktius

S0pirn1ts. Oletamme koko pykälässä 13, että risiä avaruuksia.

ja (Y, d') ovat met-

K01npaktius on yksi topologian tärkeimpiä käsitteitä. Monet topologian sovellukset perustuvat kompaktiuteen. Esim. jatkuva kuvaus kornpaktis­ t.a avaruudesta on tasaisesti jatkuva, ja jatkuva reaaliarvoinen funktio saa kompaktissa avaruudessa suurimman ja pienimmän arvonsa. Kompaktiuden määritelmä topologisissa avaruuksissa annetaan taval­ lisesti avointen peitteiden avulla. Metrisissä avaruuksissa voidaan lähtö­ kohdaksi kuitenkin ottaa myös ns. ,ionokompakti11s, joka on luultavasti hel­ pompi omaksua ja johon seuraava esitys perustuu. Esitämme pykälän lo­ pussa peitteisiin perustuvan vaihtoehdon ja todistamme määritelmien yhtäpitävyyden metrisillä avarnuksilla. 13.1. Kompakti avaruus. ·Metrinen avaruus on kompakti, jos sen jokc1i­ sella jonolla on suppeneva osajono. Seurauksen 1 1. 19 nojalla määritelmä voidaan lausua myös seuraavasti: JV[etrimm avaruus on kompakti, jos sen jokaisella jonolla on ainakin yksi kasautmnisarvo. Avaruuden X osajoukko A on kompakti, jos se on kompakti avaruus indusoidussa metriikassa, ts. jos jokaisella A:n jonolla on osajono, joka sup­ penee kohti jotakin A:n pistettä. 13.2. Esim.erkke,iä. l. Äärellinen joukko on aina kompakti, koska sen jokaisella jonolla on osajonona vakiojono (a, a, ... ). l'v1yös on kompakti, mikä nähdään tyhjän joukon logiikalla tai voidaan lisätä määritelmään. 2. Avanms R ei ole kornpakti, sillä esim. jonolla 1, 2, 3, ... ei ole suppe­ nevaa osajonoa. 3. Avoin väli, esim. JO, 1 [, ei ole kompakti, sillä esirn. jonolla 1/2, 1/3, ... ei ole osajo11oa, joka suppenee kohti välin pistettä. Samoin nähdään, että puoliavoimet välit [O, 1 [ ja JO, 1] eivät ole kompakteja. 4. Suljettu väli [a, b] on kompakti. Tämä tärkeä tulos seuraa melkein heti difforentiaalilaskennan kurssilla todistetusta tnloksesta, jonka mukaan rajoitetulla lukujonolla on aina suppeneva osajono. Esitämme tälle kertauk­ sen vuoksi erään todistuksen 13.4:ssä tarvittavan aputuloksen 13.3:ssa. 1'.3.3. Lernrna . .Jokaisella recwlilukujonolla on monotoninen osa,iono. Todistus. Olkoon (:1: 11) jono R:ssä. 1\1Ierkitään A E N : :r n kaikilla j > n}. Jos A on ääretön, kirjoitetaan sen luvut, suuruusjär­ jestyksessä n1 < n2 ... , jolloin S: :rn2 S: ... , ts. osajouo )kEN on nouseva. 97

13. Jos A on äärellinen, valitaan m E N, jolla A c [1, m]. Jokaista koko­ naislukua j > rn kohti voidaan valita j' > .i, jolla ;cj, < , sillä muutoin n�, ja yleisesti nk+1 n�, jolloin j E A. Valitaan n1 = m + 1, n2 on laskeva. D > ... , joten osajono Xn1 > h:cN Lause. Rajoitetulla reaaliluk1{jonolla on aina suppeneva osajono. Todistus. Olkoon rajoitettu jono R:ssä. Edellisen lauseen nojalla (:cn):llä on monotoninen osajono (y1i ). Myös (y11 ) on rajoitettu. Jos se on nouseva, se tunnetusti suppenee kohti lukua sup{yri : n EN}. Laskeva jono taas suppenee kohti infimumiaan. D 13.5. Huomautus. Määritelmä 13.1 on mielekäs myös topologisissa ava­ ruuksissa, mutta saatu käsite (jonokompaktius) ei ole osoittautunut siellä hyödylliseksi. Topologisissa ava.ruuksissa on ehdottomasti käytettävä avoi­ miin peitteisiin perustuvaa kompaktiuden määritelmää, joka metristen ava­ ruuksien tapauksessa todistetaan yhtäpitäväksi määritelmän 13.1 kanssa Lauseessa 13.39. 13.6. Lause. Avarnuden X kompakti osajoukko on aina sH(jettn X :ssä. Lauseen 11. 6 nojalla Todistus. Olkoon A C X kompakti ja olkoon b on jono (:r:11 ), joka suppenee kohti b:tä. Koska A on kompakti, tämän jonon jokin osajono suppenee kohti jotakin a E A. Koska toisaalta jokainen Siis Ä c A, joten A on (:r11 ):n osajono suppenee kohti b:tä, niin b a suljettu. D 13. 7. Lause. Jos X on kompakti ja A c X on suljettit, niin A on kmnpakti. Todistus. Olkoon (x n) jono A:ssa. Koslm X on kompakti, niin :llä A on suljettu, niin a. E A (Huomautus on ka-;aut.umisarvo a E X. 11. . Siis A on kompakti. D 13.8. Lause. Olkoon X kompakti ja A C X. Tällöin A on kornpakti, jos ja vwin jos A @X. Todistus. Tulos seuraa suoraan edellisistä lauseista. D 13.9. Huorna1tfa8. Vaikka ominaisuuksilla "kompakti" ja "suljettu" on yllä olevien tulosten nojalla läheinen yhteys, niillä on tärkeä periaatteelli­ nen ero. "Suljettu" on relatiivinen käsite: on aina sanottava (tai ainakin tiedettävä), missä avaruudessa joukko on suljettu. Sen sijaan "kompakti" 98

on absolv:uttinen käsite: joukon A kompaktius riippuu vain avaruudesta (A, dA) eikä lainkaan mahdollisesta "ulkoavaruudesta" X. Suljettu joukko on aina suljettu jossakin, kompakti joukko on kompakti ja sillä selvä. Lisäksi nämä ominaisuudet käyttäytyvät eri tavoin jatkuvissa kuvauk­ sissa, kuten myöhemmin osoitamme. 13.10. Esimerkki. Joukko [O, on suljettu R:ssä, mutta se ei ole kompakti, mikä nähdään tarkastelemalla jonoa 1, 2, 3, .... 13.11. Lause. Kompakti rnetrinen avaruus on rajoitettu. Todisl'as. Tc�emme vastaoletuksen: Avaruus X on kompakti, mutta ei a E X. Koska X ei ole rajoitettu, voidaan rajoitettu. Kiinnitämme jokaista n E N kohti valita piste :i:n, jolla d(rn, a) n. Tällöin saadulla , joka suppenee jonolla (:i:n ) on X:n kornpaktiuden nojalla osajono kohti jotakin pistettä b X. Lauseen 11.12 nojalla , a) --, d(b, a), kun k--, oo, mikä on mahdotonta, koska d(;cn1; , a) > nk 2 k. D 13.12. Hnornmdus. Käänteiseen suuntaan todistamrne 13.14:ssä, että R11 :11 suljetut rajoitetut joukot ovat kompakteja. Tämä ei päde mielivaltai­ ses8a metrisessä avaruudessa. Esimerkiksi avaruuden X = JO, l[ osajoukot X ja [ 1[ ovat rajoitettuja ja suljettuja X :ssä, mutta eivät kompakteja, koska tällöin ne olisivat suljettuja myös R:ssä.

!,

13.13. Lause. Jos A C R on kompakti ja A :/ ja pienin lttkv..

niin A:ssa on suurin

Todistus. Koska A Lauseiden 13.6 ja 13.11 nojalla on suljettu ja rajoi­ tettu, niin väite seuraa Lauseesta 6.10. D 13.14. Lause. Olkoon A c R n . Tällöin A on kmnpakti, jos ja vain jo8 A on su(jettu ja rajoitettu. Todistus. Jos A on kompakti, niin A on suljettu ja rajoitettu Lauseiden 13.6 ja 13.11 nojalla. Käänteisesti oletamme, että A on suljettu ja rajoitettu. Olkoon aluksi jono A:ssa. Lauseen 13.4 nojalla tällä jonolla n l, ts. A C R. Olkoon on osajono, joka suppenee kohti jotakin a E R. Koska A on suljettu, niin a A. Siis A on kompakti. Olkoon sitten n 2'. 2. Merkintöjen helpottamiseksi todistamme vain tapauksen n= 3, mistä tapauksen juoni on nähtävissä. A:n projektiot prj A Olkoon siis A C R3 suljettu ja rajoitettu. koordinaattiakseleilla ovat rajoitettuja, j l, 2, 3. Olkoon J = (:x:n ) jono

99

13. Kompaktius A:ssa. Lauseen 13.4 nojalla on olemassa .J:n osajono .!1 = (Y1, Y2, ...), jon­ ka jäsenten ensimmäisten koordinaattien jono pr1(:1J1), pr 1 (y2), pr1 (:1J:1), . . . suppence kohti jotakin a1 E R. Samoin löydetään sellainen .!1:n osajono ,h = (z1, z2, ...), että jono pr2(,c:1), pr2(;;2), 1n·2(z:1), ... suppenee kohti lu­ kua a2 E R. Toistamalla sama päättely vielä kerran saadaan sellainen ,h:n osa.jono ,h = (u1, u2, .. . ), että pr:lnk ) ------, 0,:3 E R, kun k ------, co. T ämä jono ,h on myös .J:n osajono, ja prj( nk) ------, aj, kun k------, co, kaikilla j = 1, 2, 3. Lauseen 11.11 nojalla n1,, ------, a = (a1, a2, a::i), kun k ------, co. Lisäksi a E A, koska A on suljettu. Siis A on kompakti. D 1 13.15. Esimerkkejä. 1. Rn:n pallot s 11 - (a, r) ja suljetut kuulat f P1 (a, r) ovat kompakteja. 2. Avoin kuula B 11 (a, r) ei ole kompakti, vaikka se on rajoitettu, koska se ei ole suljettu. + on suljettu R:3:ssa, 3. Paraboloidipinta A = {:r E R:3 : :r3 = koska se on yksiön {O} alkukuva jatkuvassa kuvauksessa f: R:3 ------, R, f (:r) + :c� - :r:3 . Se ei kuitenkaan ole rajoitettu, koska se sisältää esim. pisteen (r, 0, r 2) kaikilla r E R. Siis A ei ole kompakti.

:rr

:rr

:r:n

13.16*. Lause. Kornpaktien avaru.nksien X ja Y karteesinen tulo X x Y on kompakti. Todistus. Lause todistetaan samaan tapaan kuin Lauseen 13.14 tapaus n = 2, ja se jätetään tehtäväksi U:5. D 13.17. Lause. (Bolzano- Wcicrstmss) Kompaktin avaruv.den äärettö­ rniillä osajov.kolla on ainakin yksi ko.scmtun1:ispiste. Todistus. Jos A on kompaktin avaruuden X ääretön osajoukko, niin A:ssa on jono (;i:11 ), jonka jäsenet :z:11 ovat kaikki eri pisteitä. Koska X on kompakti, niin jonolla (:i:11 ) on kasautumisarvo. Tämä on A:n kasautumis­ piste. D 13.18. Lause. J{ornpo.ktin joukon kuva jatk1wassa kuvauksessa on korn­ pakti. Todistus. Olkoon f: X ------, Y jatkuva ja X kompakti. Olkoon (y11 ) jono joukossa fX. Valitaan jokaisella n E N piste :r 71 E X, jolla f(:r: 11 ) = Yn · Koska X 011 kompakti, niin jonolla (:i: 11) on osajouo (:r 11,J kE N, joka suppenee kohti jotakin o. E X. Koska f on jatkuva, niin Lauseen 11.8 nojalla Ynk f(:r 11 ,J ------, f(a), kun k------, co. Siis fX on kompakti. D 100

13.

D

13.19. Seuraus.

X on kornpakti

X ,::;:;; Y, niin Y on kornpakti.

13.20. Huom.antv.s. Kornpaktin joukon alkukuvan ei jatkuvassa ku­ vauksessa tarvitse olla kompakti, minkä osoittaa esim. vakiokuvausf: R -> { D}. Ominaisuudet "kompakti" ja "suljettu" käyttäytyvät siis jatkuvissa kuvauksissa täysin eri tavoin; vrt. G.13.

niin f saa X :ssä

0 on kompakti ja f : X -> R on jatkuva, ,ja s1mrimrnan arvonsa.

Todistus. Lauseen 13.18 nojalla f X on kompakti R:n osajoukko, joten Lauseen 13.13 nojalla siinä on pienin ja suurin luku. Laur-ieen voi todistaa myös suoraan kompaktiuden määritelmän avulla aluksi sal­ seuraavasti. Valitaan X:n jono (:r: 11), jollaf(:1:n) -; sup JX, litaan mahdollisuus sup .fX oc. Korvaamalla (:i: n) osajonollaan voidaan olettaa, että :2:11 a E X, jolloin f :n jatkuvuuden Lauseen 11.8 nojal­ la f(:i:n) -; f(a), mistä seuraa, että f(a) on f:n suurin arvo. Vastaavalla tavalla löydetään pienin arvo. D X osa.icmkkoja. Jos 13.22. Lause. Olkoot Aja B Aon kornpakti, niin on olemassa sellainen o. E A, ettii d(a , B) cl(A, B). Jos myös B on kompakti, niin B: ssä on sellainen piste b, että b) =

cl(A, B). Todistus. Yhtälön f(:i:) B) määrittelemä funktio f: A _., R on jatkuva (ks. 4.6), joten se saa 13.21:n mukaan kompaktissa joukossa A pienimmän arvonsa jossakin pisteessä o. E A. Siis f(a) ::; d(x:, B) kaikilla :r A,joten.f(a):; d(x,y) kaikilla:c E A, y E B, rnistä seuraa,ettäf(o.):; d(A, B). d(A, B). Toisaalta f(a) = d(a, B) ::::, d(A, B), joten cl(o., Oletamme sitten, että myös B on kompakti. Soveltamalla lauseen alkuosaa joukkoihin B ja {a} löydetäänb E B,jollad(b,a) = d(B, d(A, Lauseen loppuosan voi päätellä myös siitä, että jatkuva funktio d saa kompaktissa joukossa A x B pienimmän arvonsa. D 13.2:3. Lause. Olkoot A B avaruwien X Jos Aon korn.pakt'i ja B niin d(A, B) > 0.

epätyl�iiii joukkoja.

Todistus. Edellisen lauseen nojalla voidaan valita piste a E A, d(a, B) d(A, B). Koska B on suljettu ja a f:_ B, niin cl(a, B) 0. (Lause 6.11). D 101

13. 13.24. Lause. Jo8 0 # A C X sella·iset a, b A, että d(a, b) = d(A).

A on kompakti, niin on olernassa

Todistus. Lauseen 13.16 nojalla A x A on kompakti, ja Lauseen 10.12 nojalla d: A x A ---+ R on jatkuva. Siis Lauseen 13.21 perusteella d saa suurimman arvonsa jossakin pisteessä (a, b) E A x jolloin d(a, b) = d(A). D Saimme näin myös uuden todistuksen 13.1 Toisaalta Lause 13.24 voidaan todistaa ilman tuloavaruuttakin valitsemalla sellaiset A:n jonot (a11 ) ja (b11 ), että d(a n , bn ) d(A), siirtymällä sopiviin osajonoihin ja tämällä Lausetta 11.12. 13.25. Lause. Jos X on kompakti f on

.f:

X ---+ Y jatkuva i1�jektio, niin

Todistus. Olkoon A @X. Riittää osoittaa, että fA 0. .fX. Lauseen 13.7 nojalla A on kompakti, joten sen kuva f A on kompakti 13.18), mistä väite 13.6:n nojalla senraa. D n·iin

13.26. Seuraus. Jos X on kornpakti ja f: X ---+ Y jatkuva bijektio, J on horneorn01:fisrni.

13.27. Esimerkkejä. 1 . .Jos f: [a, b] ---+ X on jatkuva injektio, niin im J on kaari. = (cos:r, sin:r) määritte2. Kuten 0.6.5:ssä totesimme, yhtälön 2 --+ R ei ole upotus, koska lemä kuvaus .f: [O, f1 1 : 5 1 ---+ [O, ei e 1. Tämän voi päätellä myös siitä, että [O, ei ole ole jatkuva kompakti mutta 5 1 011. 13.28. Lause. Kompakti metrinen a.va.rnv.s on täydellinen. Olkoon X kompakti, ja olkoon (a: n) Cauchyn jono X :ssä. Kornpaktiuden nojalla tällä jonolla on osajono , joka suppenee kohti oc. jotakin a E X. Riittää osoittaa, että :En ---+ a, kun n on Cauchy, niin on olemassa sellainen no E N, Olkoon E > 0. i 2:: no ja j 2:: no. Koska ---+ a, niin on olemassa että d(:r1, :i:j) < E./2, sellainen k:o, että , a) e/2, kun k 2 ko. Olkoon n 2 no. Valitaan jokin k 2 ko, jolla nk 2 no. Tällöin , a) Siis :i: n ---+ a. 102

< E./2 + E/2 = E.

13. Kompaktius

Johdamme yllä olevasta lauseesta hieman yleisemmän tuloksen: 13.29. Lause. Olkoon X rnetrinen avarmts, jonka jokainen suljettu rajoitettu osc�jov.kko on k:ornpakti. Tällöin X on täydellinen. Todistus. Olkoon (:1:11 ) Cauchyn jono X:ssä. Tehtävän 12:2 nojalla jono (:e n ) on rajoitettu. Joukko A = cl {:i:11 : n E N} on suljettu ja rajoitettu, joten se on kompakti. Edellisen lauseen mukaan (:rn ) suppenee A:ssa ja siis myös X :ssä. D 13.30. Hnomantns. Erikoistapauksena saamme uuden todistuksen sille, että R11 on täydellinen. Pykälän loppuosassa esitämme, kuinka kompaktius voidaan luonneh­ tia peitteiden avulla. Sivutuotteena saamme hyödyllisen Lebesguen peite­ lauseen 13.33. Peitteet

13.31. Joukon peite. Olkoon A C X ja olkoon 'D C '.P(X) kokoelma X:n osajoukkoja. Sanomme, että 'D on A:n peite, jos A C U'D eli jos jokainen A:n piste kuuluu johonkin 'D:n jäseneen. Tapauksessa A = X on X= U'D. Jos 'D' C 'D ja jos 'D' on myös A:n peite, niin 'D' on peitteen 'D osapeite. Jos peitteen 'D jäsenet ovat X:n avoimia osajoukkoja, sanomme, että 'D on A:n avoin peite.

A:n peite 'D

'D:n osapeite 'D'

Ei peite

On varottava sekoittamasta keskenään joukkoja 'D ja U 'D. Näistä 'D:n alkiot ovat X:n osajoukkoja, kun taas U'D:n alkiot ovat X:n pisteitä. Ku­ vassa X = R 2 , peitteessä 'D on 6 alkiota, ja siis 'D on äärellinen, nmtta joukko U'D on ääretön. 13.32. Esirnerkkejii. Avaruuden (X, cl) topologia 'Jd on X:n avoin pei­ te. Eräs 'Jd:n osapeite on {X}, jossa on vain yksi jäsen. Avointen kuu­ lien kokoelma 'D = {B(:i:, r) : :r E X, r > 0} on myös 'J,p1 osapeite. 103

13. Kompaktius Kiinteällä t > 0 on 'l) t = {B(:r, t) : :r E X} 'lJ:n osa.peite. Toisenlainen '.D:n osapeite saadaan kiinnittämällä piste a E X ja muodostamalla peite 'lJ(a) = {B(a, r) : r > O}. 13.33. Lebesguen peitelause. Olkoon A C X kompakti, ja olkoon 1) A:n avoin peite. Tällöin on olernassa sellainen .\ > 0, ettäjos :r E A, nun B(:r:, .\) C Ujollakin U E '.D. Lisäksi, jos B C Aja d(B) < .\, niin B C Ujollakin U E '.D. Todistus. Osoitamme, että .\ = 1/n toteuttaa lauseen alkuosan jollakin n E N. Teemme vastaoletuksen: lVIikään .\ = 1/n ei sitä toteuta. .Jokaista n EN kohti voidaan siis valita sellainen piste :e n E A, että kuula B(:r: 71 , 1/n) ei sisälly mihinkään '.D:n jäseneen. Koska A on kompakti, niin jonolla (:i:n ) on jokin kasautumisarvo (L E A. Koska '.D on A:n peite, niin ([, kuuluu johonkin '.D:n jäseneen U. Koska U 011 avoin, niin se sisältää a:n jonkin kuulaympäristön B(a, r). Valitsemme luvun k EN, jolla k > 2/r eli 2/k: < r. Koska a 011 (:r 71 ):n kasautumisarvo, niin voidaan valita sellainen n > k, että :r 71 E B(a, 1/k:). Nyt B(:c 11 l/n) C B(a, r), sillä jos y E B(:c n , l/n), niin ,

d(y, a) ::::; d(y, :1:11)

+ cl(:rn , a)
.> 0 tämän peitteen Lebesguen luku. Osoitamme , että tasaisen jatkuvuuden ehto 12.11 on voimassa luvulla 8 = A. Olkoot :r, E X < >.. Lauseen 13.33 nojalla on olemassa U E 'D, joka sisältää kaksiou {:r, . Koska U J- 1 B(y, jollakin '!/ E Y, niin J(:r), f (z) E B(y, r::/2), mistä seuraa, että d'(f(:r),f(z))::; ,t(f(:c),y) + d'(y,f(z) ) < c/2 +c/2

c.

Siis f on tasaisesti jatkuva X:ssä. D Toinen todistus Lauseelle 13.36 annetaan tehtävässä 13:20.

[a, b], Y 13.37. Huom0/1dns. Ylläolewrn lauseen erikoistapausta X R sovelletaan integraalilaskennassa jatkuvan funktion integroituvuuden todistamiseen. Kompaktius peitteiden avulla

13.38. Es'irnerkki. Johdantona jatkolle t,11,rkastelernrne R:n avointa pei: r t.että 'D = { ]-r, 0}. Sillä on monia osapeitteitä, esim. 'D' { ]-n, n[: n E N}. Kuitenkaan mikään 'D:n osapeite ei ole äärellinen. Sillä jos 'Doc on äärellinen, niin eräs 'Do:n jäsen ]-ro,ro[ sisältää kaikki muut 'Do:n jäsenet, ja 'Do peittää vain välin ]-r0, ro[ eikä koko R:ää. Osoittautuu, että kornpaktissa avaruudessa tällaista ei voi tapahtua, vaan avaruuden jokaisella avoimella peitteellä on äärellinen osapeite. Tfönä merkitsee sitä, että jos avaruus X peitetään äärettörnällä kokoelmalla avoi­ mia joukkoja, niin näistä "suurin osa on turhia", sillä ne voidaan poistaa kokoelmasta, jolloin jäljelle jää äärellinen määrä joukkoja, jotka jo peittä­ vät X:n. Itse asiassa tätä tietä saada,an kompaktiudelle vaihtoehtoinen määritel­ rnä: 13.39*. Lause. Olkoon A c X. Tällöin A on kompakti, jos sen jokaisella avoimella pcittccllä on äärellinen

vain

Todistus. (a) Olkoon A kon1pakti olkoon 'D '.P(X) sen avoin peite. Teemme vastaoletuksen: Mikään 'D:n äärellinen osakokoelrna. ei peitä A:ta. Valitsemme 13.3.3:n avulla peitteelle 'D Lebesguen luvun ,\ > 0. Konst­ ruoirnme A:n pistejonon (:1: n ) seuraavasti. Piste :q E A valitaan mielivaltaisesti. Tällöin on olemassa Rellaiuen U1 'D, että B(;r1, ,\) c U1. Nyt A .) C U2. Koska {U1 , U2 } ei peitä A:ta, voidaan valita piste :1:3 E A \ (U1 UU2 ). Näin jatkamalla saadaan A:n jono (a:n ) ja 'D:n jäsenet Ui, U2, .. . , joilla B(:rn, A) C Un, :Dn+l E A \ (U1 U · · · U U11) kaikilla n. Jos 1 :S: k < n, niin :i:n (j:_ Uk. Koska B(:r1..,, >.) C l.h, tästä seuraa, että cl(:i: n , ;i;k) > mikä d:n symmetrian nojalla pätee kaikilla k cf n. Siis jo11olla (:i: n ) ei ole kasautumisarvoa, mikä on ristiriidas::m A:n kompaktiuden kanssa. (b) Oletamme, että A toteuttaa lauseen peite-ehdon. Olkoon (x11) jono A:ssa. Teemme vastaoletuksen: Jonolla ei ole kasautumisarvoa A:ssa. Tällöin jokaisella pisteellä a E A on sellainen ympäristö U(a), että :r 71 E U(a) vain äärellisen monella luvulla n EN. Kokoelma {U(a) : a E A} on 11:n avoin peite, joten sillä on äärelli­ nen osapeite, joka voidaan kirjoittaa muodossa {U(a1), ... , U(ak)}. Koska :1: E A C U(a1) U · · · U U(ak) kaikilla n EN, niin jokin U(aj) sisältää :i: :n äärettömän monella n:Ilä, mikä on ristiriidassa ympäristön U ( CLj) valinnan kanssa. D 11

71

13.40. Ifoomantus. Tulos 13.39 pätee vain rnetrisissä avaruuksissa, kun käytetään kornpaktiuden määritelmää 13.1. Topologisissa avaruuksissa Lauseen 13.39 ehto otetaan kompaktiuden määritelmäksi sanotaan, että avaruus on kompakti, jos sen jokaisella avoimella peitteellä on äärellinen osapeite. Käyttäen tätä määritelmää voidaan osoittaa, että Lauseet 13.7, 13.16, 13.17, 13.18 ja 13.21 ovat voimassa kaikissa topologisissa avaruuksissa..Jos oletetaan, että avaruudet ovat Hausdorffin avaruuksia, niin myös Lauseet 13.6, 13.8, 13.25 ja 13.26 ovat voimassa, kuten tämän kirjan osassa II osoi­ tetaan. Tehtäviä 13 13: 1 Todista Lause 1 :3.24 ilman tuloavaruutta, niin kuin lauseen jälkeen on esitetty. 13:2 Todista, että avaruuden X kahden kompaktin osajoukon yhdiste on kompakti. 13:3 Tutki seuraavista joukoista Aj C R 2, ovatko ne (a) kompakteja, (b) täydellisiä:

A1

2 4}, {(:r, y): + 3y = {(:r,y): :ry= 1}, + 3y2 < y) :

106

13 13:4 Olkoon X metrinen avaruus ja A1 :::i teja X:n Osoita, että joukkojen Neuvo. Aloita valitsemalla pisteet :i: 11 E An.

. . laskeva jono epätyhjiä kompak­ leikkaus on epätyhjä ja kompakti.

13:5 Todista Lause 13.16. 13:6 (a) Olkoot A, B C R" epätyhjiä erillisiä joukkoja, joista A on kompakti ja B suljettu. Osoita, että on olemassa sellaiseta E A ja b E B, että la - bl = d(A, B). Ehdotus. Leikkaa B kompaktiksi isolla suljetulla kuulalla. (b) Osoita vastaesimerkillä, että a-kohdan tulos ei päde kaikissa metrisissä avaruuksissa. Vihje. Tällaiseksi avaruudeksi kelpaa esim. R:n osajoukko. 13:7 Olkoon 0 =/= A C R2 suljettu rajoitettu. Osoita, että A sisältää sellaisen pisteen a , että :r 1 ::;:a 1 kaikilla E A. 0::;: f(:c,y)::;: 1/(1 + 13:8 Olkoon 0 =/= A @:R2, f: A---+ R jatkuva, kaikilla (:r, y) E A. Osoita, että f saavuttaa A:ssa suurimman arvonsa.

+

sellainen X:n jono, että 13:9 Olkoon (X, d) metrinen avaruus, r > 0, ja d(:r,, , :r:k) 2: r kaikilla n =J k. Osoita, että X ei ole kompakti. Osoita tämän av ulla, että avaruuden l2 suljettu yksikkökuula B(Ö, 1) ei ole kompakti. 13:10 Olkoot (X, d) ja (Y, d') metrisiä avaruuksia, joista X on kompakti. Olkoot :X Y jatkuvia kuvauk8ia, suppenevat kohti kuvausta f: X --) Y saa arvon y0 E Y. Osoita, että myös tasaisesti X :ssä. Oletamme, ettii f 8aa arvon Yo.

C[O, 1] varustettuna sup-normilla. Olkoon A 13:11 .Olkoon E suljettu ylrnikkökuula (ö nollafunktio). Konstruoi A:n jono Un), jolla 1 kaikilla n =/= k. Päättele tehtävän 13:9 avulla, että A ei ole kompakti. Totea että A on kuitenkin normiavaruuden rajoitettu täydellinen tehtävän 12:6 osajoukko. 1:3:12 08oita, että diskreetti avaruus on kompakti, jos 13:13 Olkoon X kompakti ja arvoa. Osoita, että :r n ---+a.

vain jos 8e on äärellinen.

X:n jono, jolla on tä8rnälleen yksi kasauturni8-

13:14 Olkoon X =J 0 kompakti. Osoita, että X:ssä on pistejono, arvoja ovat kaikki avaruuden pisteet.

kasautumis-

13:15 Olkoon f: R --; R rajoitettu funktio, jonka kuvaaja on suljettu joukko ta­ sossa. Osoita, että f on jatkuva. Ol�je. Jo8 f ei ole jatkuva pisteessä a, niin on olemassa c O sellainen jono (x n ), eU.ä :D n a ja 1/(:r,,) - f(a)I E:. Sovella kompaktiutta jonoon (f(:en )).

107

13. Kompaktius 13:16 Olkoon V@: R". Osoita, että V voidaan lausua yhdistecmä nousevasta.jonosta Fi C F2 C .. . kompakteja joukkoja. Neuvo. Jos V ei R", voi valita esim. F1,: = {:r : d(;r, CV) 2 1/k} n B(O, k). 13:17 (a) Olkoo11 (X, d) epiityhjii metrinen avaruus ja f: X ----> X jatkuva. Osoita, että yhtiilö g(:r) = d(:r, f(:r)) miiärittelce jatkuvan kuvauksen g (mistä mihin?). Vihje. Voit esim. käyttää Lauseita 11.8 ja 11.12. (b) Oletamme lisäksi, että X on kompakti ja että f:llä ei ole kiintopisteitä. Osoita a-kohdan avulla, ettii on olemassa sellainen r > 0, että d(:r, f(:c)) 2 r kaikilla :r E X. (e) Osoita, etUijos X on kompakti ja jos d(f(:r), f(y)) < d(:r, y) kaikilla :r ei y, niin f:llä on täsmälleen yksi kiintopiste. Vertaa tulosta tehtävään 12:10. Ohje. Valitse piste :r0, jossa g saavuttaa rniniminsä. (ei) Olkoot X ja f kuten c-kohdassa ja olkoon :r 1 E X. Osoita, että jono :r 1, f(:r 1), f(f(:ci)), .. . suppencc kohti f:n kiintopistettä :r0. Ohje. Lukujen d(:r,,, :r0) jono on laskeva ja suppcnee kohti lukua r 2 0. Jos r > 0, valitse osajouo (:r12 ,J, joka suppcnec kohti pistettä y. Huomaa, ettii J:,,dl ----> f(y), ja johda ristiriita. 13:18 Olkoon f yksikkökiekon B 2 homeomorfismi itselleen ja (:r11 ) B 2 :u pistejono, jolla l:r n l----> 1, kun n----> oo. Osoita, että lf(:r ,, )I----> 1. Vihje. Ratkairmssa tarvitaan kmnpaktiutta. 1:3:19 Olkoon X kompakti metrinen avaruus ja (f11 ) nouseva jono jatkuvia funk­ tioita f11 : X----> R, jotka suppenevat pisteittäin kohti jatkuvaa funktiota g: X ----> R. Osoita, että snppcneminen 011 tasaista X:ssä. Ohje. Olkoon E > 0. Merkitse A 11 = {;r E X : f11 (:r) ::; g(:c) - E} ja käytä tehtävää 13:4. 13:20 Todista Lause 13.36 seuraavasti: Oletamme, että f ei ole tasaisesti jatkuva. Tällöin on olemassa E > 0 ja sellaiset X:n jonot (:r11 ) ja (y,,), että cl(:c ,, ,;1J,,,) < l/11 ja d' (f(:c11 ), f(y11 )) 2 E. Siirtymällä peräkkäin osajonoihin voidaan olettaa, että j011ot (:i:11 ) ja (y11 ) suppencvat. Osoita, että ne suppenevat kohti samaa pistettä ja että f ei ole tfö,sä pistcessii jatkuva. 13:21 Olkoon f: R" ----> R jatkuva, ja olkoon f tasaisesti jatkuva jonkossa Osoita, että f on tasaisesti jatkuva koko R" :ssä.

R11 \ B 11

•

13:22 Olkoon E nonniavarnus, jonka suljettu yksikkökuula B(O, 1) on kompakti. Osoita, että dim E < oo, ts. E on äärellisen osajoukon virittämä. Ohje. Tee vasta­ olctus: Mikään äärellinen osajoukko ei viritä E:tä. Valitse yksikkövcktori :i: 1 E E ja merkitse F1 = :r 1 :n virittämä suora. Valitse Ricszin lemrnan avulla (tehtävä 6:21) yksikkövektori :c 2 E E, jolla d(:i: 2 , F1 ) 2 1/2. Merkitse F2 = vektori@ :r 1, :i: 2 virittärnä vektorialiavaruus ja valitse yksikkövcktori :r:i, jolla d(:r3, F2) 2 1/2. Osoita, ettei näin saadulla jonolla :r 1, :r2 , ... ole kasautumisarvoja. Voit olettaa tunnetuksi, dtä äärcllisulottcinen normiavanms 011 täydellinen. Tämä seuraa esim. Lauseista 12.5 ja 15.17.

108

13. 13:23 Todista, ettii tehtävän 11:15 kohdan (a) käänteinen väite pätee, jos Y on kompakti. Ornita vastaesimerkillä, että se ei päde tapauksessa X = Y = R, a = 0, A = R \ {O}. 1:1:24 Olkoot I ja J reaaliakselin suljettuja välejä ja olkoon Hl suorakulmion I x J ympäristö tasossa. Osoita, että on olemassa I:n ympäristö U ja J:n ympäristö V, joilla U x V C W. Vih)e. Jos W i= R2 , niin tehtävän 13:G nojalla d(I x J, CW) 0.

109

14. Yhtenäisyys

14

Yhtenäisyys

Sopimus. Oletamme koko pykälässä 14, että (X, d) ja (Y, d') ovat met­ risiä avaruuksia.

0

�

A

B

0

C

14.1. Johdanto. Ylläolevassa kuvassa on kolme tason osajoukkoa A, B ja C. On luonnollista sanoa A:ta yhtenäiseksi, joukkoja B ja C taas epä­ yhtenäisiksi. Voimme todeta, että joukot B ja C on helppo jakaa kahteen osaan, jotka ovat "irti"toisistaan, kun taas joukolle A tällainen jako tuntuu mahdottomalta. Tässä pykälässä annamme näille ajatuksille täsmällisen sisällön ja määrittelemme 14.2:ssa käsitteen yhtenäinen metrinen avaruus. Osoitamme mm., että jatkuva reaaliarvoinen funktio ei yhtenäisessä ava­ ruudessa voi muuttaa merkkiään tulematta jossakin nollaksi, mistä erikois­ tapauksena saadaan differentiaalilaskennan kurssista ja koulukurssista tut­ tu Bolzanon lause. Osoitamme myös, että epäyhtenäinen avaruus jakautuu luonnollisella tavalla maksimaalisiin yhtenäisiin osajoukkoihin, joita sanotaan avaruuden kornponenteiksi. Kuvan joukolla B on kaksi, joukolla C kuusi komponenttia. Yhtenäisyyden käsitettä voidaan lähestyä myös havaitsemalla, että jou­ kossa A mielivaltaiset kaksi pistettä voidaan yhdistää "jatkuvalla käyrällä", mikä joukoissa B ja C ei ole mahdollista. Tämä ajatus johtaa käsitteeseen polkuyhtenäisyys, jonka suhdetta yhtenäisyyteen myös tarkastelemme. 14.2. Yhtenäinen avanms ja jo11,kko. Sanomme, että avaruus (X, d) on yhtenäinen, jos se ei sisällä sellaisia osajoukko ja A, B, että

(l)X=AUB, (2) A # 0 # B, (3) A n B = 0, (4)A@X, B@X.

Muutoin X on epäyhtenäinen. Siis avaruus X on yhtenäinen, jos ja vain jos sitä ei voida lausua kahden erillisen epätyhjän avoimen osajoukon yhdisteenä. Osajoukko E C X on yhtenäinen, jos (E, clE ) on yhtenäinen metrinen avaruus indusoidussa metriikassa dE, Avoin yhtenäinen joukko G c X on X:n alne. 110

14. Ehto (2) on tarpeellinen, koska joukot X ja 0 toteuttavat aina ehdot 1 ( ),(3),(4). 14.3. Esimerkkejä. 1. Tyhjä joukko ja yksiö ovat yhtenäisiä, sillä ehdot (2) ja (3) eivät tällöin voi yhtaikaa toteutua. 2. Diskreetti avaruus, josHa on vähintään kaksi pistettä, on epäyhtenäinen. Voidaan esim. valita jokin a E X ja asettaa A = { a } i B X \ A. 3. Joukko R \ {O} on epäyhtenäinen , sillä joukot A = ]···oo,O[ ja B JO, oo[toteuttavat ehdot (1) (4). 4. Reaaliakseli R ja sen välit ovat yhtenäisiä. Tämä tärkeä tulos todiste­ taan Lauseessa 14.15. Yleensä epäyhtenäisyyden todistaminen on helpom­ paa kuin yhtenäisyyden .

14.4. Sepamatio. Yhtenäisyydelle voidaa11 antaa useita keskenään yhtä­ pitäviä määritelmiä. Eräs niistä perustuu separaation käsitteeseen. Joukon E C X separaatio on sellainenE:n jako kahdeksi osajoukoksi A, B, että (1) E=Au B, (2) A# 0 (3) A n B 0 A n.B. Täsmällisesti: Joukon E separaatio 011 kaksio {A, B}, jossa joukot Aja B toteuttavat ehdot (1)--(3). Jos {A,B} onE:n separaatio, kirjoitamme E=AIB. Koska pystyviivan molemmilla puolilla on aina joukko, merkintä tuskin sekaantuu kuvauksen rajoittuman merkintään. Ehto (3) on joukkojen Aja B irtioloehto, johon viittasimme kohdassa 14.1. Siitä seuraa, että AnB= 0, mutta joukon ei tarvitse olla tyhjä , sillä Aja B voivat kohdata toisensaE:n ulkopuolella. Näin tapahtuu esim., X=R, A JO,l[, B ]1,2[jaE AuB. Separaation määritelmässä joukot Aja ovat sulkeumia X:ssä, joten käsite on ensi näkemältä relatiivinen, ts. se riippuu avaruudesta X eikä vain joukosta E. Osoitamme kuitenkin , että tämä on vain näennäistä: 14.5. Lause. Separaatio on absoluuttinen käsite: Olkoon E C H C X, olkoot A,B C E. Tällöin {A,B} on E:n separnatio X:ssä, jos vain }os se on E:n separaatio H :ssa. Todistus. Joukon AH-sulkeurna on Lauseen 7.6 nojalla cIHA= H n joten B n clHA=B n H n A=B n A. Samoin A n clHB= A n

Lause seuraa näistä yhtälöistä.. 0 111

14.

14.6. Lause. Jos X A U B 1 niin seumavat ehdot ovat yhtiipitävät: (1) A:f 0:fB, AnB= A@X, B @X, (2) A:f 0:fB, An B = A@ B @X, (�3) A.:/0:fB, AnB=0, A@X, A@X, (4) X AIB. ehdoissa joukot Aja B ovat Todistus. Kun huomataan, että toistensa komplementteja, ehdot (1),(2),(3) seuraavat heti toisistaan. Jos (4) on tosi, niin Ä n B joten )I = A, eli Aon suljettu. Samoin B on 1:mljettu, joten (2) pätee. Käänteisesti, ehdosta seuraa, että Ä n B joten ( 4) on tosi. D An B = 0 ja An B AnB 14. 7. Lause. �Metriselle avarmuielle X seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviit:

(I) X on epäyhtenäinen. (2) X A U B, jossa A ja B ovat eriUisiä., suljettuja epätyhfiä. (3) On sellainen A C X, että 0:f A:f X, .ia A on sekä avoin

että

.' R, 15 rajoitettu joukko, 25 rajoitettu kuvaus, 25 rajoitettu lineaarikuvaus, 127 rajoittuma, 11 rajoittuman jatkuvuus, 56 relatiivitopologia, 54 retrakti, 53 reuna, 59 reunanylityslamm, 114 reunapiste, 59 Schwarzin epäyhtälö, 17 separaatio, 111 143

sisäpiste, 59 sisätulo, 15 sisätuloavaruus, 15 suljet.t.u joukko, 46 suljettu kuula, 23 sulkeuma, 47 surnmalrnvaus, 41 sup = supremum, 10 sup-rnetriikka, 26 sup-norrni, 18 suppeneva jono, 78 surjektio, 12 smmnikassääntö, 20 täydellinen avaruus, 102 tasainen jatkuv uus, 93 tasainen suppeneminen, 83 tiheä joukko, 52 topologia, 6, 30, 32 topologin sinikäyrä, 117 topologinen avaruus, 32 topologinen ominRisuus, 66 topologisesti ekvivalentit metriikat, 71 tulo, lineaarikuvausten, 129 tuloavaruus, 72 tulojoukko, 8 tulokuvaus, 41 täydellinen avaruus, 90 nlkopiHte, 59 upotus, G:3, 102 vektorialiavaruus, 14 vektoriavaruus, 14 viili, 7 yhdiste, 8 yhdistetty kuvaus, 11, 38 yhtenäinen avaruus, 110 yhtenäisyys reaaliakselilla, 114 yksikkökuula, 2i3 yk,;ikköpallo, 2:3 yksiö, 7 ympyrä, 23 ympäristö, 31 äärellinen joukko, 7 ääretön joukko, 8

144