Topologia [2012 ed.] 3642108970, 9783642108976, 9783642108983 [PDF]

Zitiervorschau

*. 6corza 'ragoni (Ed.)

7oSologia Lectures given at the Centro Internazionale Matematico Estivo (C.I.M.E.), held in Varenna (Como), Italy, $ugust 6eStemEer , 

C.I.M.E. Foundation c/o Dipartimento di Matematica “U. Dini” Viale Morgagni n. 67/a 50134 Firenze Italy [email protected]

ISBN 978-3-642-10897-6 e-ISBN: 978-3-642-10898-3 DOI:10.1007/978-3-642-10898-3 Springer Heidelberg Dordrecht London New York

©Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011 st Reprint of the 1 ed. C.I.M.E., Florence, 1955 With kind permission of C.I.M.E.

Printed on acid-free paper

Springer.com

CENTRO INTERNATIONALE MATEMATICO ESTIVO (C.I.M.E)

3° Ciclo - Varenna, Villa Monastero – 26 agosto – 3 sett. 1955

TOPOLOGIA

K. Kuratowski:

Théorie de la dimension .................................................

1

G. Scorza – Dragoni:

Traslazioni piane generalizzate....................................... 17

E. Sperner:

1.

Generalizzazioni del teorema di Brouwer sul punto unito ......................................................... 41

2.

Il problema dei colori sulle superficie chiuse .......... 75

G. Darbo:

Grado topologico e punti uniti in trasformazioni plurivalenti ...................................................................... 93

M. Dolcher:

Alcuni risultati della geometria delle trasformazioni continue .................................................. 99

M. Vaccaro:

Sulle rappresentazioni localmente biunivoche delle varietà topologiche sopra i poliedri ....................... 105

Roma - Istituto Matematico dell’ Università

ROlllli-Istituto Matenul.;icc dell'U.liversitEt,1955

1

C. RuratoE'sld

- 1 -

T~ORIE DE LA DII.IENSION

I. Introduction. Espaves metriques. Definition de l'espace metrique: EspacG dont lequol uno fonc-

\X-Y!1

tion non-negative de deux variables

nommae distance, est

Ie terme primitif, assujetti aux axiomes suivants:

~x-Yl

(i)

=o}:: (x=y),

(iii)

\x-Y \ +

Exemple~

;![-Y\ \x-z \.

(ii) \

Iy-z \ ?:

d t espaces mcariquGs: 11 cspeca euclidien

an

dimen-

sions En; cube de Hilbert, clest-a.-dire lr~space H de suites infinies x:=(x 1 ,x2 ",,), o~J xn \~ 1

Ix-y \

L

= )"

-

"t

Oil

\IXn-yn ).

2n

Tous sous-~nsemble dl~iespace metrique est metrique. Notions fondamentales.

6 (A)

=

~am8tre

sup

dlun ensemble A:

lx-xl \ ou x,x' f

A.

Ensemble borne = ensemble dont le diametre est fini. Limite d'une suite de points diun espace matrique: (p = lim Pn) __ (lim \Pn-p\ =0). n= ([)

Espace compact

= espace

n=([)

dans lequel toute suite infinie de

points contient une suite partielle convergente (exemples: llintervalle 0

~

t

~ 1;

Espace complet

cube H de Hilbert).

= espace

dans lequel toute suite satisfaisant

a la condition de Cauchy est convergente (ane suite P1 112'" fait

a.

la condition de Cauchy, 10rsqu I a. tout

E >'

sati.§.

0 co rrespond

un k tel que pour n :::. k ou a \Pn-Pk\

10

C.kuratowski

- 9 -

~transfGrmation dans

~, on montre le theoreme suivant: ~h9ore~. SoH X un ensemble compact a n dimensions si tue l'espace euclidien Er. A tout E > 0 correspond une transfor-

mation continue f de X en un polytope P de dimension n telle que

I< £

\f(x)-x

3i, en particulier, r

a la

tope P

~

2n+1, on peut assujettir Ie

~oly­

condition supplementaire, que les simplexes (ouverts)

qui le constituent soient disjoints deux

a deux.

Dans un ordre d I illees analogue ~ on ales theoremes suivan.s (d I Alexandroff) : L Pour qu'un.espace compact X soit de dimension ~n, i1

'£ > 0

faut et i l suffi t qu I a tout

ciOJrresponde une trasnforma-

tion continue de X en un polytope de dimension!S n, dont toutes les tranches (clest-a.-dire les ensembles f-i(y)) sont de diametre O.

E cia contrasta col fatto che ess-.do t continua il diametro di ogni t ( 1i'",) si puo rendere arbi trariamente piccolo pur di supporre p abba stanza grande. Rasta dunque da provare l'esistenza del ~(associato alla terna (1,2,3).

3. 11 lemma di Sporner. L' esistenza di 1:;'1< Sperner"

[4]

e assicurata

dal cosi detto "lemma di

; nel cas~ unidimensionale

e una

proposizione ov-

via che ha il seguente enunciato: Lemma 1. Nato un

sew~ento

parti. si associ il numero

AB ed una sua qualungue divisione in al punto A. i1 numero 2 al punto

B (0 viceversa) ed uno dei due

nv~eri

1.2. a ciascun punto della

divisione. Allora il numero delle patti cui non ordinata, (1,2)

e dispari.

e associata

la coppia,

Vale a dire essiste rumeno una tale parle.

Hel caso bidimensionale, che

e quello

che a hoi serve,

il lemma di Sperner si enuncia: Lemma 2. Dato un triangolo kBC dividi~olo in triangoli ~1come (-si

e f~tto

nel n.2 e numeriamo i vertici V dei

~K

afisociando ad

Ail numero 1, a B il numero 2L a C il numero 3, ed associando a V i l numero 1

0

2 se V i= A.1h....1d..!!u.mero 2 se VEB-C.il numerc>

~ VG.. C-A. Ai vertici V interni al triangolo ABC associamo,

indlfferenUDente,uno dei ire numeri 1.2.3. Allora 11

n2~0

d,,,i

~K

cui

e dispari. li

e

e _associata

la terna (1,2,3)

Sia infatti mk i l nur;lGro dei lati appartenenti a 't'1( ai quaassociata la coppia (1,2). Sia poi g il numero dei ~ assoi(

21

G.Scorza Dragoni

- 4 -

ciati alla terna (1,2,1)

(1,2,2) ed

0

t quello dei

alla terna (1,2,3). Avromo I"~

2..1Yrt

':t

2,

\(

~

'L assoeiati It

O-r€·

Sia infine f i l nULlGrO dei 1ati avent! punt! interni ad ABC ed associati alla coppia (1,2) cd h il numero dei lati appartenenti ad AB ed associati alln st.:Jssa coppia (1,2). Avromo I'l

L 1

e quind!

f'rIV

I
~, •••

10 contiene si decompone j. g in una successione

di archi di g

(eventualmente fini ta).

Dei due archi ebe, con

fo.i;

"i

individu~ su

r

uno, che indichiamo

,costituisce insieme a oj", i l eontorno di una bicella L1

non contenente 'il punta 0 e si dimostra che

r

= t(G)=J+L 1+L 2+•••

Le ipotesi aggiwltive annuncamte prima sono quelle espresse da

v. ) o

(0 insieme vuoto).

t ( ..,). ). (L. OJ l-V

Vale aUora i l Teorema III.

(cfr.~} ,teor.IV). Se valgono le ipotesi (B1)~

(B 2 ) la t ammette almeno un punto unite che appartiene a J. Per la dimostrazione, che omettiamo, ci ai riconduce, introducendo opportune trasformazioni auailiarie di Li in v~ al caao del teorema I di Brouwer. Nel n.aeguente diremo come il teorema III permette di porre i j[ondamenti per ricostruire la teoria di Brouwer sulle "traiettorie"delle t.p.g. 5. Archi di traslazione e traietterie di'una t.p.g. Una curva semplice e aperta

la diremo un areo di trasla

~

zione in una data t. P.,g. t se l' immagine t (

A. )

(ehe e vvviamen-

te una eurva 'semplice e aperta) e i\ han..'1o in comune solo un punto, estremo per entrambe. Non essendoei punti uniti nella t, tale estremo sara l'immagine t (P) dell' al tro estremo P di areo di traslazione (di il1llua.gine e per t-n ( A ) (n=2,3, ••. ).

A. •

A )

23

Anche t -1 (

A)

e un

e 10 stesso sara per tn~). )

G•. Seor"a Dragoni

- 6 -

11 punta P si dira QFigine dell l areo di traslazione

A .

L'insieme Q eostituito da un area di traslazione A e . " ) , t 2 ( I,), A '\ ), •.• , vale a dagll arch~. t ( I\. •.. , t -1 ( "'" ), t -2 ("dire l' ins i eme

si dice una

trai~ttoria

della t.

Il primo teorema (Ii

Brol~

tel Teorema 1. (cfr. [2J ,teorema1;

sulle traiettorie

[3J

e il

seguen-

,~1,n.2; [4J .,teorema 4;

per la dimostrazione del Gesto ved. [~) , ~ 5). Le traiettorie della t sono eurve

.

~empliei

e aperte •

Diamo un cenna dir.;ostrativo per illustrare l'ufficio che

in questa dimastrazione si pua far assumere al teorema di Brouwer generalizzato del n.4 (teorema III). ProeediarnD per assurdo e limitiamoci al caso della Fig.2, nella qual e e supposto A t 2 ( A) ';'0, rinviando per 10 studio lIllilnuto di tutti i casi a

[91 ' ~ 5:

ttl')

eon

F1'1 • .2 Sia Q la prili1a intersezlone, a partire da t 2 (P) dl t 2 ( A. ; t (Q) dovra apf"lrtenere sia a t 3 (A ) che a t ( it );

sia inoltre a

1'31'00

di estremi P,Q.

24

AJ

G.Scorzo. Dragoni

- 7 -

r

Diciamo G la bicella di contorno g = s + t( ~ ) + r, dove t 2 (P}Q di t 2 (/I.),s l'arco Qt(p) di it , Se e 10. bieella di eontorno =t(g)=t(s)+t 2 ( A )+t(r),

e l'arco

r

'0

avremo Nel caso della Fig.2, nella quale si suppone ehe i punti di a - Q siano tutti all' esterno di

r = t(G)

sono

r,

si vede subi to ehe G e

nelle eondizioni del teorema III, rispetto alla

t. Dovrebbe pereio esistere almena un p=t(p), contro la proprieta 2) delle t,p.g. Se i punti di a - Q r'ossero interni a invece un punta 1mi to per la t

-1

r

si troverebbe

•

6. Esistenza degli archi di traslazi?ne contenenti un punto o.ssegnato. Considerazioni dello stesso tipo di quelle svolte nel n. precede (cfr.

[9J

Teorema 2. Se

A

,n,22) permettono di dimostrare i l

e una

c.urva semplic;c ..§...JllJ\!rta di

es~remi

P e

t(P) e se

It.. •t( It. ) CP +

i\. t ( A )oot (p),

~

t(P)+t 2 (P)

:'ti:-f&~ci che /I.

Vale a dire, ogni punyo P

e un

e origine

area di traslazione.

di quanti si vogliono

archi di traslo.zione; non solo, infatti vale il Teorema punto P

3.

(cfr. ~J ,teorcoa7;

e interno

a

9ua.Q~..L

[4J

,teorema

3; [5J

,pag.62) Ogni

si.J[Q;r,l:i,g}l.Q..._a..r.chi di traslazione.

Infatti, essendo p I t (p), un cerchio C ~ di cent.ro P e raggio ~ non ineontra t (C~ se

e abbastanza

t(~ se ~

tale che

C~

cr /

~

\

piccolo, incontm

grandc • .2er continui ta esiste un

e la bicella

~'--""""

(

e aiJbastanza

\A

f~

"

FIG.3

25

G.Scorza Dragoni

- 8 -

t(C~)

hanno in comune solo pinti dei contmrni. Sia A uno di ta-

li punti. (Fig.3). Una qualunque curva sempliee e aperta

A

estremi t- 1(A),A, passante per P e interna, salvo gli estremi,

a C~

di

e un

area di traslazione, a norma del teor.ama 2. Di qui e da;!. teorema 1 segue anche, subito, che: P ~ tn(P)

(n=o,± 1 ,±2' , ... )

7. Il teorema fondamentale di Brouwer sulle traiettorie. Vale i l seguente Teorema 4 (cfr. [2J ,teorema

6; [9]

,~6). La curva sem'Olice e aper-

ta c incontra la propria immagine t(c) se l'arco staccato

~~

I,yremi di c su una conveniente traiettoria della t contiene almeno un area di traslazione della t e costituisce

__qQn

insie~e

c una curva semplice e chiusa. Rinviamo a

[9J ' ~ 6 per la

come quella del teorema

1

e baseta,

dimostrazione, che

sull'impiego del teorema di

Bro~~

generalizzato (teorema III).

8. Equivalenza topologiea fra traiettorie e rette. a) il teorema seguente stabilisee che ogni traiet'Goria di una t.p.g.

~

topologicamente equivalente ad una retta; vale a

dire esiate una trasformazione topologica che muta una traiettoria in una retta. 8i dira anche ehe una traiettoria semplice aperta. Teorema

5 (efr. (2J

traiettoria " ed s

teorema 2;

e un

[1g ,n.3)

e una

linea

Se J? appartiene ad una

sottoarco (fini to)

d'

che

fit

P nell' interno, allora la d1stanza di P da 6' -s

.e

cont:i,,~.M

P,? si tiva,

Altrimenti detto: Deserivendo una traiettoria in uno dei due versi a part ire da un suo punto P qualunque non 61 si pua avvicinare indefinitamonte ,U.

La dimostrazione si PUQ dedurre in modo semplice daL

26

G.Seorza Dragoni

- 9 -

teorema 4 (cfr. ad es.

B~ ,nI3) ~oJ ,li.5) i l

b) Dal teorema 5 si deduce (Cir.

Teorema 6. (efr. ~J ,t("orema 7; [4J ;teorema 3). Qualungue sia -1 2 -2 11 punto P del..1!.iano la suce~_fLsione P,t(p),t (p), t (p},t (P}, •• diverge. I

.

P,t(p), t

punt~

-1

(p)" •• sono a

~ue

a due distinti (n.6),

pereio se la suecessione non fosse divergente ammetterebbe almeno un punta di aecumulazione A. Costruiamo) analogamente a quanta si

e fatto

nella

dimostr~

zione del teorema 3, un aerohio C di centro A, avente in comune con t(C) sol tanto punti del eontorno e sia t(R) uno di questi punti. In C esiste almeno un tn(P). La spezzata Rtn(P)At(R)

e un

area di traslazione i1 quale genera una traiettoria e:t'!e contiene tutte le immagini. di P nelle diverse potenze di t e ehe dIal trog de passa per A, loro punto di aecumulazione. Cio contro i l teorema 5.

f

14. 4-

c) segue subito dal teorema 6 il

f? ]

Teorem?-......1 (

1

teorema 3; &J ' teorema 10) .§.£ dei due insiemi

A. e un

areo di

traslazioneuia~euno

"'"

Q""

e illimitato. Ogni

= ••• +t

-2, -1 '\ (" )+t (1\);

Ossis,

tra~.£~toria

~plic~rte (=

e divisa

tia ogni suo punto in due semiU-

immagini topo1ogiche di seillirette)

be iilllimitate.

27

~­

G.Scorza Dragoni

- 10 -

9. Un es.empio di t. p. g. Un esempio assai istruttivo di

e il

zione ordinaria.

t~p.g.

che

~

seguente, dovuto a Terasaka

e una

trasla-

fi}

Si consideri 1a trasformazione piana (x,y,x',y' coordinate cartesiane) definita da da

Xl Xl

=X+

yl

1,

=Y

se

=Y+

x + cos y, yl

Y ~ 1&

sen y

se

O~y~1t"

x + 1, y' = y se Y~ 0 Questa trasformazione gode delle pro prieta 1),2),3) con cui si da

Xl

definita una t.p.g.

o

"Y Dopo di cia, utilizziamo coor,dinate baricentriche in rapporto ad S1' cosi come esse son state introdotte mediante Ie (13) (c i siano adesso i vertici di 81 ), Noi procederemo per assurdo come nella dimostrazione del teorema 4. Se la trasformazione non avesse punti uniti in M, esisterebbe siffatto, da aversi

\t(x)-x\

~ [

0

un, 0> 0

per ogni x( M. La dimOA

straz;ione pro cede poi esattemente come ne1 teorema 4 fino alIa definizione della funzione

~

(x) per tutti gli x ( M soddisfa-

centi alle condizioni la indicate. Nel caso attuale 1a funzione ~

soddisfa alla conc1izjone simpliciale in virtu della

(7) Cfr. anche: G. F e i g 1

[101

54

,in particolare ~ 71

- 15 E. Sp1"" soddisfacente alla "( t ,,-1 (x 1I)=x~ da cui per t -1 (x")=x € M aegue appunto t (x}=x, di guisa che con x" M ai e trovato 11 punto uni to r1 !h'iesto. Noi passiamo ora ad un'a1tra estensione del teorema di

B r 0 u w e r sul punta unito, nella qua1e non sono soltanto ampliati gli insiemi di pll-1ti, ma son generalizzate anche Ie traeformazioni, nel senso che si considerano trasformazioni cha ad ogni punta associano come sua immagine un insieme di Punti. Una tal generalizzazione del teorama di B r 0 u w e r e stata uUlizzata per 1a prima volta da J. v. N e u man n nella sua teoria dei giuochi. Noi seguiamo qui la esposizione

[19]

di S. K a k uta n i (13) ad H. N i k aid Il teorema in questione e il seguente:

0

l 20b1

Tegrema 8. Se K e un insieme compatto e convesso dello spazio euclideo Rn e L (x) una trasformaziona superiormente semicontinua (9) che ad ogni x ( K associa, come immagine, un sottoinsieme chiuso e convesso

~ (x~

K, allora esiste almeno,un

punto Xo E:: K per i l quale suss:i