Timo Final 2019 卷s1f [PDF]

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THAILAND

泰國國際數學競賽總決賽 2019 INTERNATIONAL MATHEMATICAL OLYMPIAD FINAL 2019

中學一年級 Secondary 1 時限：120 分鐘 Time allowed:

120

minutes

試題 Question Paper 考生須知： Instructions to Contestants: 1.

本卷包括 試題 乙份，試題紙不可取走。 Each contestant should have ONE Question-Answer Book which CANNOT be taken away.

2.

本卷共 5 個範疇，每範疇有 6 題，共 30 題，每題 5 分，總分 150 分，答錯不扣分。 There are 5 exam areas and 6 questions in each exam area. There are a total of 30 questions in this Question-Answer Book. Each carries 5 marks. Total score is 150 marks. No points are deducted for incorrect answers.

3.

請將答案寫在 答題紙 上。 All answers should be written on ANSWER SHEET.

4.

比賽期間，不得使用計算工具。 NO calculators can be used during the contest.

5.

本卷中所有圖形不一定依比例繪成。 All figures in the paper are not necessarily drawn to scale.

6.

比賽完畢時，本試題會被收回。 This Question-Answer Book will be collected at the end of the contest. 請以最簡形式填寫答案，若計算結果是分數，請確保為真分數或帶分數，或將計算結果寫成小數。錯誤單位將不給予任何分數。 Write down the answer in the simplest form. If the calculation result is a fraction, please write down the answer as a proper or mixed fraction, decimal figure is also accepted. Marks will NOT be given for incorrect unit.

請將答案寫在 答題紙 上。 All answers should be written on the ANSWER SHEET. 本試題不可取走。 THIS Question-Answer Book CANNOT BE TAKEN AWAY. 未得監考官同意，切勿翻閱試題，否則參賽者將有可能被取消資格。 DO NOT turn over this Question-Answer Book without approval of the examiner. Otherwise, contestant may be DISQUALIFIED.

請以最簡形式填寫答案，若計算結果是分數，請確保為真分數或帶分數，或將計算結果寫成小數。錯誤單位將不給予任何分數。 Write down the answer in the simplest form. If the calculation result is a fraction, please write down the answer as a proper or mixed fraction, decimal figure is also accepted. Marks will NOT be given for incorrect unit.

請將答案寫在 答題紙 上。 All answers should be written on the ANSWER SHEET. 填空题（第 1 至 30 题）（每题 5 分，答错及空题不扣分） 填空题（第 1 至 30 题）（每题 5 分，答错及空题不扣分） Open-Ended Questions (1st ~30th) (5 points for correct answer, no penalty point for wrong answer) Logical Thinking 逻辑思维 逻辑思维 1.

There are some chickens and rabbits in a cage. The number of chickens is five times as the number of rabbits. They have 258 legs in total. How many rabbit(s) is / are there? 雞兔同籠，雞的數量是兔的 5 倍，共有腿 258 條，問兔有多少隻？ 鸡兔同笼，鸡的数量是兔的 5 倍，共有腿 258 条，问兔有多少只？

2.

Find the average of the following sequence. 求以下數列的平均數。 求以下数列的平均数。 405, 407, 409,..., 2015, 2017, 2019

3.

Ice goes east for 20km, then goes south for 21km. How far is she now from the original position in km? 小冰向東走了 20 公里，向南走了 21 公里，問她和原來位置相距多遠？（單位以公里） 小冰向东走了 20 公里，向南走了 21 公里，问她和原来位置相距多远？（单位以公里）

4.

There are 30 problems in a mathematics competition. The scores of each problem are allocated in the following ways: 1 mark will be given for a correct answer, 0 marks will be given for a blank answer, 1 mark will be deducted for a wrong answer. Find the minimum number of candidate(s) to ensure that 2 candidates will have the same scores in the competition. 某數學比賽共有 30 條題目。以下述方式為每個題目評分：答對得 1 分、不作答得零分、答錯倒扣 1 分。求最小參賽者的數目才可保證比賽中有兩人同分。 某数学比赛共有 30 条题目。以下述方式为每个题目评分：答对得 1 分、不作答得零分、答错倒扣 1 分。求最小参赛者的数目才可保证比赛中有两人同分。

5.

Define the operation symbol: 定義運算如下： 定义运算如下： 2  4  2 4 3  9  3 5 7  9 5  13  5  7  9 1113

It is known that n !  n  (n  1)  (n  2)  ... 1 . Find the value of

(5  405)  (4  406) . 406!

請以最簡形式填寫答案，若計算結果是分數，請確保為真分數或帶分數，或將計算結果寫成小數。錯誤單位將不給予任何分數。 Write down the answer in the simplest form. If the calculation result is a fraction, please write down the answer as a proper or mixed fraction, decimal figure is also accepted. Marks will NOT be given for incorrect unit.

請將答案寫在 答題紙 上。 All answers should be written on the ANSWER SHEET. (5  405)  (4  406) 的值。 406! (5  405)  (4  406) 已知 n !  n  (n  1)  (n  2)  ... 1 ，求 的值。 406!

已知 n !  n  (n  1)  (n  2)  ... 1 ，求

6.

At a birthday party, if we need to ensure there will be at least 6 people with the same date of birth in Year 2020, how many people are there at the party? 在一個生日會中，若能保證最少有 6 人於 2020 年同一天生日，問這個生日會有多少人？ 在一个生日会中，若能保证最少有 6 人于 2020 年同一天生日，问这个生日会有多少人？

Algebra 代數 代数 7.

Find the value of x if (3x  1)  (6 x  7)  21 . 若 (3x  1)  (6 x  7)  21 ，求 x 的值。 若 (3x  1)  (6 x  7)  21 ，求 x 的值。

8.

3x  4 y  13 Find the value of x  y if  . 4 x  3 y  22 3x  4 y  13 若 ，求 x  y 的值。 4 x  3 y  22 3x  4 y  13 若 ，求 x  y 的值。 4 x  3 y  22

9.

How many positive integral solution(s) is / are there for x if 40x  405  2019 ? 若 40x  405  2019 ，則 x 有多少個正整數解？ 若 40x  405  2019 ，则 x 有多少个正整数解？ 1 1  3 , find the value of x 2  2 . x x 1  3 ，求 x 2  2 的值。 x 1  3 ，求 x 2  2 的值。 x

10. Given x  0 and x  1 x 1 已知 x  0 及 x  x

已知 x  0 及 x 

11. Given x  405  ( y  406)2  0 , find the value of

 x  y   x  y   x  y 2

3



  x  y

2017

  x  y

2018

 x  y

2019

.

請以最簡形式填寫答案，若計算結果是分數，請確保為真分數或帶分數，或將計算結果寫成小數。錯誤單位將不給予任何分數。 Write down the answer in the simplest form. If the calculation result is a fraction, please write down the answer as a proper or mixed fraction, decimal figure is also accepted. Marks will NOT be given for incorrect unit.

請將答案寫在 答題紙 上。 All answers should be written on the ANSWER SHEET. 已知 x  405  ( y  406)2  0 ，求  x  y    x  y    x  y   2

3

  x  y

2017

  x  y

2018

 x  y

2019

的

  x  y

2017

  x  y

2018

 x  y

2019

的

值。 已知 x  405  ( y  406)2  0 ，求  x  y    x  y    x  y   2

3

值。 12. Factorise x 2  3x  18 . 因式分解 x 2  3x  18 。 因式分解 x 2  3x  18 。 Number Theory 數論 数论 13. Find the number of all positive factor(s) of 2019. 求 2019 的正因數數量。 求 2019 的正因子数量。 14. It is known that n !  n  (n  1)  (n  2)  ... 1 . Find the number of “0” at the end of 406! . 已知 n !  n  (n  1)  (n  2)  ... 1 ，求 406! 的尾数「零」的數目。 已知 n !  n  (n  1)  (n  2)  ... 1 ，求 406! 的尾数「零」的数目。 15. What is the largest 5-digit number (without repeated digits) that can be divisible by 12 and 16? 求最大的五位數且數位沒有重複能同時被 12 及 16 整除。 求最大的五位数且数字没有重复能同时被 12 及 16 整除。 16. There are 3 prime numbers. Their sum is 48. Find the value of the largest product among these 3 numbers. 現有 3 個質數，它們的和是 48，求這三個數之積的最大值。 现有 3 个质数，它们的和是 48，求这三个数之积的最大值。 17. It is known that x is rational, x  0 and x  2+

3 3 2+ 2+...

. Find the value of x.

3

已知有理數 x  0 且 x  2+

，求 x 的值。 3 2+... 3 已知有理数 x  0 且 x  2+ ，求 x 的值。 3 2+ 2+... 2+

請以最簡形式填寫答案，若計算結果是分數，請確保為真分數或帶分數，或將計算結果寫成小數。錯誤單位將不給予任何分數。 Write down the answer in the simplest form. If the calculation result is a fraction, please write down the answer as a proper or mixed fraction, decimal figure is also accepted. Marks will NOT be given for incorrect unit.

請將答案寫在 答題紙 上。 All answers should be written on the ANSWER SHEET.

18. A 4-digit number has a remainder 3 when divided by 4, has a remainder 4 when divided by 5 and has a remainder 6 when divided by 7. What is such largest 4-digit number? 一個四位數除以 4 餘 3，除以 5 餘 4，除以 7 餘 6，問這個四位數最大是多少？ 一个四位数除以 4 余 3，除以 5 余 4，除以 7 余 6，问这个四位数最大是多少？

Geometry 幾何 几何 19. Now there are 10 points. How many pentagon(s) can be formed? 現有 10 點，可組成多少個五邊形？ 现有 10 点，可组成多少个五边形？ 20. It is given that the area of a rectangle is 2019. The width and length are integers. Find the smallest value of the perimeter. 已知一個矩形面積為 2019，而長和闊均是整數，求周界的最小值。 已知一个矩形面积为 2019，而长和阔均是整数，求周界的最小值。 21. Refer to the figure below, find the value of A  B  C  D  E . 參考附圖，求 A  B  C  D  E 的值。 参考附图，求 A  B  C  D  E 的值。 A B

E

C

D

Question 21 第 21 題 第 21 题 請以最簡形式填寫答案，若計算結果是分數，請確保為真分數或帶分數，或將計算結果寫成小數。錯誤單位將不給予任何分數。 Write down the answer in the simplest form. If the calculation result is a fraction, please write down the answer as a proper or mixed fraction, decimal figure is also accepted. Marks will NOT be given for incorrect unit.

請將答案寫在 答題紙 上。 All answers should be written on the ANSWER SHEET.

22. It is known as the lengths of shortest and the longest sides for a right-angled triangle are 80 and 116 respectively. Find the area of the triangle. 已知一個直角三角形最短及最長條邊分別為 80 及 116，求三角形的面積。 已知一个直角三角形最短及最长条边分别为 80 及 116，求三角形的面积。 23. M (6, 4) is the mid-point of A(2, 2) and B( x, y ) . Find the value of x  y . M ( 6, 4) 是 A(2, 2) 和 B ( x, y ) 的中點，求 x  y 的值。 M ( 6, 4) 是 A(2, 2) 和 B ( x, y ) 的中点，求 x  y 的值。

24. Amy is now drawing the largest circle inside a side length of 42-unit square. What is the circumference of 22 the circle? (Take   ) 7 22 艾美在一個邊長為 42 的正方形內畫一個最大的圓形，求圓形的面積。（取   ） 7 22 艾美在一个边长为 42 的正方形内画一个最大的圆形，求圆形的面积。（取   ） 7

Combinatorics 組合數學 组合数学 25. There are 6 students passing the balls in an order. Andy holds the ball first. After 5-time pass, Amy holds the ball now. How many way(s) is / are there? 現時 6 名學生在傳球，首先球在安迪手上，經過 5 次傳送後，球在艾美手上，共有多少種走法？ 现时 6 名学生在传球，首先球在安迪手上，经过 5 次传送后，球在艾美手上，共有多少种走法？ 26. A flight of stairs has 10 steps. David can go up for 1 step, 2 steps or 3 steps each time. The 4th and 7th step cannot be stepped on as it is destroyed. How many way(s) is / are there for David to go up the stairs? 一道有 10 級的樓梯，大衛每一步可以上 1 級、2 級或 3 級。其中第 4 級及第 7 級因為損壞而不能 踏上，問大衛走上這道樓梯共有多少種方法？ 一道有 10 级的楼梯，戴维每一步可以上 1 级、2 级或 3 级。其中第 4 级及第 7 级因为损坏而不能 踏上，问戴维走上这道楼梯共有多少种方法？ 27. The value a 3-digit number is exactly equal to 13 times as the digit sum. Find the minimum value of this number. 一個三位數正好等於各個數位上的數字之和的 13 倍，求這個數的最小值。 一个三位数正好等于各个数字上的数字之和的 13 倍，求这个数的最小值。 請以最簡形式填寫答案，若計算結果是分數，請確保為真分數或帶分數，或將計算結果寫成小數。錯誤單位將不給予任何分數。 Write down the answer in the simplest form. If the calculation result is a fraction, please write down the answer as a proper or mixed fraction, decimal figure is also accepted. Marks will NOT be given for incorrect unit.

請將答案寫在 答題紙 上。 All answers should be written on the ANSWER SHEET.

28. Choose 3 digits, without repetition, from 2, 4, 6, 8, 9 to form 3-digit numbers. How many number(s) can be divisible by 9? 從 2、4、6、8、9 中選 3 個不可重複的數位組成三位數。請問當中有多少個數能被 9 整除？ 从 2、4、6、8、9 中选 3 个不可重复的数字组成三位數。请问当中有多少个数能被 9 整除？ 29. When do the hour hand and the minute hand form 60 between 7pm and 8pm? 在下午 7 時至 8 時之間，時針和分針最快何時形成 60 ？ 在下午 7 时至 8 时之间，时针和分针最快何时形成 60 ？

30. If Andy goes from point A to point B, each step can only move up or move right. How many way(s) is / are there? 如果安迪從 A 點走到 B 點，每步只能向上或向右走，共有多少種走法？ 如果安迪从 A 点走到 B 点，每步只能向上或向右走，共有多少种走法？ B

A Question 30 第 30 題 第 30 题 ~ 全卷完 ~ ~ 全卷完 ~ 請以最簡形式填寫答案，若計算結果是分數，請確保為真分數或帶分數，或將計算結果寫成小數。錯誤單位將不給予任何分數。 Write down the answer in the simplest form. If the calculation result is a fraction, please write down the answer as a proper or mixed fraction, decimal figure is also accepted. Marks will NOT be given for incorrect unit.

請將答案寫在 答題紙 上。 All answers should be written on the ANSWER SHEET.

~ End of Paper ~

請以最簡形式填寫答案，若計算結果是分數，請確保為真分數或帶分數，或將計算結果寫成小數。錯誤單位將不給予任何分數。 Write down the answer in the simplest form. If the calculation result is a fraction, please write down the answer as a proper or mixed fraction, decimal figure is also accepted. Marks will NOT be given for incorrect unit.