Thermische Turbomaschinen Zweiter Band Regelverhalten Festigkeit Und Dynamische Probleme [PDF]

Zitiervorschau

Thern1ische Turbon1aschinen Von

Dr. Walter Traupel o. Professor an der Eidgenössischen Technischen Hochschule Zürich

Zweiter Band Regelverhalten, Festigkeit und dynamische Probleme Zweite neubearbeitete und erweiterte Auflage

Mit 587 Abbildungen

Springer-Verlag Berlin Deideiberg GmbH

1968

Alle Rechte vorbehalten Kein Teil dieses Buches darf ohne schriftliche Genehmigung des Springer-Verlages übersetzt oder in irgendeiner Form vervielfältigt werden © by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1960 and 1968 Ursprünglich erschienen bei Springer-Verlag OHG., Berlin/Heidelberg 1968 Softcoverreprint ofthe bardeover 2nd edition 1968 Library of Congress Catalog Card Number: 66-5118 ISBN 978-3-662-13208-1 ISBN 978-3-662-13207-4 (eBook) DOI 10.1007/978-3-662-13207-4

Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Buche berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, daß solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften Titel Nr. 1061

Vorwort zur zweiten Auflage Auch bei der Neuauflage des zweiten Bandes dieses Buches ist eine vollständige Überarbeitung notwendig geworden. Die Bedeutung der hier behandelten Themen ist sogar eher noch stärker in den Vordergrund getreten, da die Steigerung der Einheitsleistungen, die für die derzeitige Entwicklung so charakteristisch ist, vor allem mechanische Probleme aufwirft. Unter den Ergänzungen, die den drei Kapiteln über die Regelung der Turbomaschinen beigefügt wurden, ist wohl die Behandlung des Regulierverhaltens von Gasturbinen mit verstellbarem Leitrad an der mechanisch unabhängig laufenden ND-Turbine die wichtigste. Wir haben uns die Frage gestellt, ob nicht andererseits gerade im Kapitel über die Regelung der Gasturbine auch Schaltungen, die z. Z. kaum angewandt werden, hätten weggelassen werden können. Solange aber die Entwicklung so sehr im Fluß ist, läßt sich auch kaum voraussehen, was schlußendlich bedeutsam bleiben wird, weshalb wir von solchen Streichungen Abstand genommen haben. Die Abschnitte über Festigkeitsrechnungen mußten zahlreiche Erweiterungen erfahren, weil sich die Fälle mehren, wo man außergewöhnlich hohe Beanspruchungen zu beherrschen hat und dementsprechend sorgfältige Untersuchungen machen muß. Die weitestgehende Überarbeitung erfuhr das Kapitel über Temperaturprobleme. Die elektronische Rechenmaschine hat die sehr verwickelten Berechnungen, auf die man dort geführt wird, möglich gemacht, was für den Turbomaschinenbau von großer Tragweite ist, da diese Fragen naturgemäß die Betriebssicherheit der Maschinen in hohem Maße tangieren. Noch wichtiger für die Betriebssicherheit ist die Beherrschung des dynamischen Verhaltens der Maschinen. Da hierüber viel gearbeitet worden ist, mußten auch die entsprechenden Kapitel des Buches überarbeitet werden. Es konnte aber nicht in Frage kommen, die umfangreiche neuere Literatur über die Dynamik der Rotoren auch nur annähernd vollständig zusammenzufassen. Manche dieser Veröffentlichungen sind übrigens für den Ingenieur wenig befriedigend, da sie einerseits von einer sehr abstrakten Betrachtungsweise ausgehen, andererseits aber erst anwendbar werden, wenn Unterlagen vorliegen, über die man meist gar nicht verfügt. In diesem Buch ist daher besonderer Wert darauf gelegt worden, diese z. T. unerwarteten Effekte (z. B. die Labilisierung des überkritischen Laufzustandes durch die innere Dämpfung) anschaulich verständlich zu machen. Anschauliches Verständnis setzt den Ingenieur in die Lage, technisch zweckmäßig zu disponieren. Von befreundeten Ingenieuren wurde ich auf Mängel oder Fehler in der ersten Auflage aufmerksam gemacht. Ich habe diyse zu beheben versucht und danke allen für die positive Kritik. Dank schulde ich ferner meinen Mitarbeitern, den Herren V. BEGLINGER, R. HuWILER, 0. ITEN, U. SALADIN, A. RoEDER, W. ScHLACHTER, C. UTz und H. J. ZoLLINGER für das Lesen der Korrekturen und andere Arbeiten, die sie für die Neuauflage durchführten, und ebenso Frl. D. ToEPFER für die Niederschrift des Manuskriptes. Schließlich möchte ich nicht versäumen, dem Springer-Verlag zu danken für die ausgezeichnete Ausführung des Buches. Zürich, im Februar 1968

W. Traupel

IV

Vorwort zur ersten Auflage

Vorwort zur ersten Auflage Der vorliegende zweite Band behandelt drei voneinander wesentlich verschiedene Problemkomplexe, nämlich erstens das Regelverhalten der thermischen Turbomaschinen, zweitens die Festigkeitsprobleme (einschließlich der Temperaturprobleme, die mit ihnen eng verknüpft sind) und drittens die dynamischen Fragen (Schaufelschwingungen, kritische Drehzahlen usw.). Während die Behandlung des Regelverhaltens eine völlig natürliche Fortsetzung des Stoffes des ersten Bandes ist, scheint dies für die beiden übrigen Problemkreise weniger zuzutreffen. Trotzdem hielten wir es für dringend wünschbar, in einem solchen Buch die mechanischen Fragen nicht zu übergehen. Die Vorstellung, an einer thermischen Strömungsmaschine werde alles Wesentliche durch strömungstechnische und thermodynamische Gesichtspunkte bestimmt, und das übrige sei Routinearbeit, ist leider recht weit verbreitet. Sie ist aber durchaus unzutreffend, um so mehr als dabei auch meist das Konstruktive als gedankliche Leistung unterbewertet wird. Die einwandfreie Lösung der mechanischen Probleme ist ebenso wichtig und ebenso schwierig, und die Betriebstüchtigkeit der Maschine hängt entscheidend davon ab. Deshalb müssen diesbezügliche Untersuchungen schon die ganze Auslegung und Konzeption der Maschine maßgebend beeinflussen. Der verantwortliche Ingenieur sollte die Zusammenhänge in ihrer GesaP"theit überblicken, d. h., in seine Überlegungen müssen zugleich mit thermodynamisch-strömungstechnischen auch mechanische Erwägungen eingehen. Diesem Sachverhalt möchten wir mit dem Buch gerecht werden. Bei der Ausarbeitung dieses zweiten Bandes habe ich wiederum wertvolle Anregungen von Ingenieuren aus der Praxis erhalten. Ihnen allen möchte ich meinen Dank aussprechen, ebenso Frl. 0. PALLAVICINI für die Anfertigung des Manuskriptes und den Herren Dipl.-Ing. H. JAGGI und Dipl.-Ing. G. GYARMATHY für das Lesen der Korrekturen. Besonders bin ich auch dem Springer-Verlag dankbar für die gewohnte vorbildliche Ausführung des Buches und für die Bereitwilligkeit, mit der er bei dem ganzen zweibändigen Werk auf meine verschiedenen Wünsche eingegangen ist. Zürich, im Juli 1960

W. Traupel

Inhaltsverzeichnis Formelzeichen 12. Regelung der Dampfturbinen 12.1 Allgemeines . . . . . . 12.2 Regeleingriffe . . . . . 12.3 Thermodynamische Berechnung der Regelung . 12.4 Empirische Unterlagen über das Teillastverhalten 12.5 Bemessung der Regelventile . . . . . . . . . . 12.6 Funktionelle Probleme der Dampfturbinenregelung 12.7 Probleme der Lastabschaltung . . . . . . 12.8 Zur Dynamik der Dampfturbinenregelung 12.9 Berechnung der Überdrehzahlen Literatur . . . . . . . . . .

13. Regelung der Turboverdichter 13.1 Regeleingriffe 13.2 Saugdrosselregelung . 13.3 Abblaseregelung . . 13.4 Umblaseregelung . . 13.5 Axialverdichterregelung durch ~chaufelverstellung 13.6 Radialverdichterregelung durch einstellbaren Vordrall 13.7 Verdichter mit Zwischenkühlung . . . . . . . 13.8 Funktionelle Probleme der Verdichterregelung Literatur . . . . . . . .

14. Regelung der Gasturbinen 14.1 14.2

Regeleingriffe Berechnung der Beharrungszustände a) Einwellige Anlage . . . . . . . b) Zweiwellige Anlage, Turbinen in Serie geschaltet c) Zweiwellige Anlage, Turbinen parallelgeschaltet . 14.3 Regelung mit verstellbarem Leitapparat . . . 14.4 Klimaempfindlichkeit und Teillastwirkungsgrad a) Allgemeines . . . . . . . . . . . . . b) Einwellige Anlage . . . . . . . . . . . _ c) Anlage mit seriegeschalteten Turbinen . . d) Anlage mit parallelgeschalteten Turbinen e) Anlage mit seriegeschalteten Turbinen und verstellbarem Leitrad f) Gegenüberstellung der verschiedenen Schaltungen . . . . . . . 14.5 Beispiele gerechneter und gemessener Gasturbinencharakteristiken 14.6 Zur Dynamik der Gasturbinenregelung . . 14.7 Energieinhalt und regeltechnische Trägheit 14.8 Das Problem der Lastabschaltung . . . . 14.9 Beispiele von Gasturbinenregelsystemen. . 14.10 Übersicht über das regeltechnische Verhalten der verschiedenen ~chaltungen . Literatur . . . . . . . . .

16. Festigkeit der Schautelungen

.VIII 1 1 1 7 16 19 25 30 36 44 53 54 54 56 61 65 69 76 78 80 86 86 86 90 90 95 100 102 107 107 110 111 113 113 114 116 125 135 143 148 154 157 158

158 15.1 Schaufelbeanspruchung durch Fliehkraft 165 15.2 Beanspruchung der freistehenden Schaufel durch Strömungskräfte . 15.3 Rückwirkung der Fliehkraft auf die Beanspruchung der freistehenden Schaufel durch Strö· 172 mungskräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

VI

Inhaltsverzeichnis 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 15.10 15.11

Beanspruchung des Schaufelpaketes durch Strömungskräfte Torsionsbeanspruchung von Schaufeln . Wärmespannungen in Schaufeln . . . . Viskoser Spannungszustand in Schaufeln Die Gestaltung der Schaufelbefestigung . Die Beanspruchung der Schaufelbefestigung. Die Beanspruchung der Schaufeln der Radialturbinen Die Beurteilung der Festigkeit von Schaufeln und ihren Befestigungen a) Allgemeines . . . b) Tiefe Temperatur c) Hohe Temperatur Literatur . . . . . .

16. Festigkeit der Rotoren

225

16.1 Freitragender Ring 16.2 Radkranz mit Schaufeln, an Scheibe . 16.3 Differentialgleichungen der rotierenden Scheibe bei elastischer Verformung . 16.4 Scheibe gleicher Festigkeit. . . . . . . . . . . . . 16.5 Scheibe für beliebig vorgegebenen Spannungsverlauf . 16.6 Die Scheibe konstanter Dicke . 16.7 Scheibe hyperbolischen Profils . 16.8 Die kegelige Scheibe . . . . 16.9 Die Scheibe beliebigen Profils . 16.10 Die zylindrische Trommel . . . 16.11 Spannungskonzentration an Ausgleichlöchern 16.12 Rotoren mit ausladendem Kranz und zusammengesetzte Rotoren 16.13 Bestimmung des Schrumpfmaßes. 16.14 Biegespannungen in Scheiben . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.15 Spannungen in Radialrädern . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.16 Spannungsverteilung im Rotor bei kriechendem Werkstoff (viskoser Spannungszustand) . 16.17 Spannungsverteilung in Scheiben bei teilweise elastischem, teilweise viskosem Verhalten. 16.18 Die Beurteilung des Spannungszustandes in Rotoren. 16.19 Gestaltung von Rotoren Literatur . . . . . . . . . . . . . . . .

17. Festigkeitsprobleme an stillstehenden Teilen 17.1 Gehäuse und Leitschaufelträger, Allgemeines 17.2 Topfgehäuse . . . . . . . . . . . . . . . 17.3 Gehäuse und Leitschaufelträger mit horizontalem Trennflansch 17.4 Berechnung von Gehäuseteilen nach der Theorie dünner Schalen 17.5 Viskoser Spannungszustand in Kugel- und Zylinderschalen 17.6 Berechnung der Bolzen . . . . . . . 17.7 Berechnung der Leitradzwischenböden Literatur . . . . . . . . . . . . . 18. Temperatur- und Kühlungsprobleme

177 182 185 188 191 198 214 219 219 220 227 234

. . . . . . . . . . .

18.1 Grundgesetze der Wärmeleitung und des Wärmeüberganges. 18.2 Ähnlichkeitsgesetz der Wärmeleitung, Analogieversuche. . . 18.3 Strenge Lösung des Problems der instationären Wärmeleitung a) Ebene Platte b) Zylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c) Kugel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d) Allgemeine instationäre Lösungen für Platte, Zylinder, Kugel und allgemeinere Körper e) Stationäre Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . 18.4 Stationäre Temperaturverteilung in Rotoren und Gehäusen . . . . . . . . . . . . . . 18.5 Eindimensionaler Temperaturverlauf in ungekühlten Schaufeln . . . . . . . . . . . . 18.6 Temperaturprobleme beim Anfahren und bei Laständerungen, vereinfachte Behandlung . 18.7 Differenzenverfahren zur Berechnung instationärer Temperaturfelder 18.8 Berechnung von instationären Temperaturfeldern in Rotoren und Gehäusen 18.9 Berechnung der Wärmedehnungen 18.10 Gekühlte Schaufeln . . . . . . 18.11 Theorie der gekühlten Schaufel 18.12 Theorie der gekühlten Turbine

235 236 240 242 243 245 248 248 255 258 261 262 267 270 273 280 287 289 297 305 306 306 306 313 319 323 325 328 329 330 330 332 335 336 336 337 337 339 339 347 351 354 361 369 371 378 386

Inhaltsverzeichnis

VII

18.13 Vorausbestimmung der Zustandsänderungen in gekühlten Turbinen bei Prozeßrechnungen 395 399 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . .

19. Schwingungen von Schaufeln und Scheiben 19.1 Der einfache Schwinger . . . . . • . 19.2 Rückführung des allgemeineren Falles des schwingenden Körpers auf den einfachen Schwinger 19.3 Gekoppelte Schwingungen . . . . . . . 19.4 Biegeschwingungen eines geraden Stabes . . . . . . . . . . . . . 19.5 Drehschwingungen eines geraden Stabes . . . . . . . . . . . . . 19.6 Bestimmung von Eigenfrequenzen nach dem Verfahren von STODOLA a) Allgemeines . . . b) Biegeschwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c) Drehschwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.7 Bestimmung der Eigenfrequenzen nach dem Verfahren von RAYLEIGH. a) Allgemeines . . . . b) Biegeschwingungen c) Drehschwingungen . 19.8 Formel von DUNKERLEY 19.9 Die Eigenfrequenzen von Schaufelpaketen. 19.10 Der Einfluß der Fliehkraft auf die Eigenfrequenzen 19.11 Schwingungen stark verwundener Schaufeln . 19.12 Schwingungsberechnung mit Hilfe von Übertragungsmatrizen . 19.13 Berechnung von Scheibenschwingungen mit Übertragungsmatrizen. 19.14 Koppelschwingungen von Schaufeln und Scheibe 19.15 Einflüsse zusätzlicher Effekte auf die Eigenfrequenzen . . . . . . 19.16 Experimentelle Feststellung von Eigenfrequenzen . . . . . . . . 19.17 Schwingungsanregung und Spannungsamplitude bei einzeln schwingenden Schaufeln 19.18 Schwingungsanregung und Spannungsamplitude bei Paketschwingungen 19.19 Größe der Erregungskräfte . . . . . . . . . . . . . . 19.20 Größe der Dämpfung, Selbsterregung . . . . . . . . . 19.21 Die schwingungstechnische Auslegung von Schaufelungen. Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20. Dynamische Probleme des Läufers

. . . . .

20.1 Die kritischen Drehzahlen eines beliebigen drehsymmetrischen Läufers 20.2 Die Scheibe an einer masselosen Welle als Modell des wirklichen Läufers 20.3 Stabilitätsuntersuchung nach STODOLA 20.4 Der Einfluß der elastischen Lagerung 20.5 Nicht drehsymmetrische Läufer . . . 20.6 Die Kreiselwirkung . . . . . . . . . 20.7 Nachgiebigkeit und Dämpfung des Ölfilms 20.8 Der Einfluß der inneren Dämpfung auf die Stabilität 20.9 Klassische Verfahren zur Bestimmung kritischer Drehzahlen 20.10 Bestimmung kritischer Drehzahlen durch Digitalrechengeräte 20.11 Bestimmung der kritischen Drehzahlen durch Versuche und Analogiegeräte 20.12 Drehschwingungen . . . . . . . . . . 20.13 Ergebnisse der Lagertheorie . . . . . . 20.14 Selbsterregte Schwingungen des Läufers 20.15 Gaslager . . . . . . . . . . . . . . . 20.16 Zusätzliche Resonanzen bei Wälzlagern. Literatur . . . . . . . . . . . 21. Anhang: Werkstoffeigenschalten 21.1 Allgemeines . . . . . . . 21.2 Bezeichnungen . . . . . . 21.3 Werkstoffe für mäßige Temperaturen (ferritisch) 21.4 Ferritische Werkstoffe für höhere Temperaturen 21.5 Austenitische Werkstoffe und Sonderlegierungen . 21.6 Relaxation und Abbau von Spannungsspitzen. 21.7 Leichtmetalle. . . . . . . 21.8 Oxydation und Korrosion . Literatur . . . . . . . .

Namen· und Sachverzeichnis .

400 400 403 406 407 411 413 413 414 416 418 418 419 422 423 425 434 438 443 448 454 461 462 464 469 473 477 485 488 489 489 496 500 503 508 511 515 523 529 534 540 542 546 559 570 574 576 577 577 579 580 581 583 588 592 593 · 594 595

Formelzeichen Wir geben nachfolgend die häufigst gebrauchten Buchstabensymbole an. Aus naheliegenden Gründen mußten die Buchstaben oft in mehreren verschiedenen Bedeutungen gebraucht werden, also auch ausnahmsweise in solchen, die von den nachfolgenden Angaben abweichen, was dann aber aus dem Zusammenhang hervorgeht. Die Bezeichnungen in den strömungstechnisch-thermodynamischen und in den mechanischen Teilgebieten sind so unterschiedlich, daß sie getrennt aufgeführt werden. a) Strömungstechnisch-thermodynamische Gebiete (Kap. 12, 13, 18 und Abschn. 15.2)

a

Schallgeschwindigkeit lichte Weite eines Beschleunigungsgitters b axiale Breite eines Schaufelkranzes bzw. meridionale Breite des Strömungsweges einer Radialmaschine B Biot-Zahl (vgl. Bd. 2, Seite 332) c Absolutgeschwindigkeit c0 , c1 , c2 , Ca Absolutgeschwindigkeit am Eintritt • eines vorgeschalteten Leitrades, am Eintritt eines Laufrades, am Austritt eines Laufrades, am Austritt eines nachgeschalteten Leitapparates c 00 absolute vektorielle Mittelgeschwindigkeit eines Gitters Cno ... Cna Normalkomponenten der Geschwindigkeiten c0 • • • Ca c,. 0 ••• c,.a Umfangskomponenten der Geschwindig. keiten c 0 ••• Ca c* kritische Geschwindigkeit Cmax Grenzgeschwindigkeit bei Entspannung ins Vakuum c. Auftriebskoeffizient c1 Reibungskoeffizient cP spezifische Wärme bei konstantem Druck c. spezifische Wärme bei konstantem Volumen cw Widerstandskoeffizient Zirkulationskoeffizient [Definition Bd. 1, 2. Aufl., Seite 375) LI c,. Differenz c,. 1 - c,. 2 bzw. c,. 2 - c,. 1 C bezogene Absolutgeschwindigkeit c/u 2 C 0 • •• Ca bezogene Absolutgeschwindigkeiten, gebildet mit c0 ••• Ca Cno . .. Cna Normalkomponenten der bezogenen Absolutgeschwindigkeiten C0 • •• Ca C,. 0 ••• C,.a Umfangskomponenten der bezogenen Absolutgeschwindigkeiten C0 • •• Ca Verhältnis LI c,./u2 Crocco.Zahl cjc=x• siehe Bd. l, 2. Aufl., Seite 98 D Raddurchmesser Dm, DN, D8 Durchmesser des Mittelkreises, Nabenkreises, Spitzenkreises E Ellipsenfaktor, siehe Seite 45 I Durchflußquerschnitt I Verhältnis, siehe Gl. 15.11 (34) a

lsp I~P' 1;; Gr h

h

Spaltquerschnitt allgemein, des Leitrades, des Laufrades Grashof-Zahl, siehe Abschn. 18.1 Totalenthalpie i + c2/2 als Normalenthalpie gebildete Totalenthalpie __ u_ Pv, wird für das ideale u-1

LI i,

Gas gleich cP T Änderung der Totalenthalpie isentrope Änderung der Totalenthalpie unterer Heizwert bei konstantem Druck Enthalpie Enthalpieänderung isentrope Enthalpieänderung

j

Normalenthalpie __ u_ p v, wird für das

.dh LI h, hp

i

Lli

u-1

ideale Gas identisch mit cPT k, k1 ..• ka Durchflußfaktoren für die durch die Indizes angegebenen Kontrollflächen Länge Schaufellängen Arbeit Arbeit pro Masseneinheit am Radumfang geleistete spezifische L.. Stufenarbeit innere spezifische Stufenarbeit innere spezifische Arbeit einer ganzen Maschine oder eines ganzen Prozesses Masse Exponent, siehe Abschn. 15.11 Massenstrom Massenstrom durch Spalt Drehmoment Mach-Zahl n Polytropenexponent n Exponent, siehe Abschn. 15.11 n Drehzahl pro Minute -.n* Charakteristische Drehzahl .!!:..._ N Leistung no Jrx N; innere Leistung Druck p Ll.p Druckabfall p Totaldruck Pr Prandtl-Zahl Wärmemenge Q q Wärmemenge pro Masseneinheit q Wärmestromdichte (in Kap. 18)

VJc:o

IX

Formelzeichen Radius

rm, r"v' r8 Radius des Mittelkreises, Nabenkreises,

'IJ• YJ; 'IJm

r, ril:

'f}p

r

Spitzenkreises Reaktionsgrad, kinematischer Reaktionsgrad R Gaskonstante Re Reynolds-Zahl 8 Sehnenlänge eines Schaufelprofils 8 Entropie pro Masseneinheit S Entropie S Axialschub St Stanton-Zahl, siehe Bd. 2, Seite 331 Schaufelteilung t Zeit T absolute Temperatur T absolute Totaltemperatur u Umfangsgeschwindigkeit u1 , u2 Umfangsgeschwindigkeit Eintritt und Austritt Laufrad um, uN, u 8 Umfangsgeschwindigkeiten entsprechend

u

rm, rN, rs

innere Energie pro Masseneinheit Umfang eines Querschnittes Verhältnis ~t1 /u2 = r 1 /r2 V spezifisches Volumen Volumen V Volumenstrom w Relativgeschwindigkeit Relativgeschwindigkeit Eintritt und Austritt Laufrad Umfangskomponenten von w1 und w 2 relative vektorielle Mittelgeschwindigkeit des Laufrades W, W 10 W 2 , W oo bezogene Relativgeschwindigkeit w/u2 , bzw. w 1/u 2 usw. Wut, W,. 2 Umfangskomponenten von W 1 und W 2 ml1 , lffi2 mit w 1 und w 2 gebildete Crocco-Zahlen x Dampfgehalt des Naßdampfes y Verhältnis des Radius zu einem Bezugsradius, namentlich r/rm oder r/rN Y Radienverhältnis r8 /r.v = Ds/D_v z Stufenzahl z Drosselstellenzahl einer Labyrinthdichtung .. . , da die Koeffizienten, mit denen die unbekannten Funktionen und ihre Ableitungen multipliziert werden, ausschließlich aus Größen gebildet sind, die (wenn nicht ohnehin konstant) auf den Beharrungszustand 0 bezogen sind. Zum besseren Verständnis des Gleichungssystems, geben wir an, das Verhalten welches Teiles der Regelstrecke durch jede Gleichung ausgedrückt wird: (56) Fliehkraftregler, (57) Transmitter, (58) Servomotor, (59) und (60) Regelstufe, Gin. (61) Räume 3 bis n, (62) durch Leistungsschwankung diktierte Drehzahlschwankung. d2f;.

2

.(56)

+ df;d/- + Ct = Cr; r . df;, + r d2 r;, + t t2Ms"""(jt2 ss=st, Ds([t b" d " + ( " + b") P1" " = _ U ~ + _2__1!_ t" .....J!!_ ~ mEO l,s 'IJ!I mEO dt n .2 d!J!2 + mE + (b~' + .E b~) P2 = al P! ". 2

(57)

2

tMt

d2f;, dt2

a1

n

!.!... n

d!J!; dt

1

'ljl

mEO

1Xa 1

No { (ai" PI" "PI" -

1Xn

mEo

{58) •

'IJ!2>

"Pl '

(59) (60)

+ ßa) "Pa= 'ljJ2,

+ {1 -(X·+ ß·)

d!J!n + (1 nt,. dt 2tT

1

dt

: dJt + {1 -

d 'P = Tt

).

df;

raf+Cr=sv;

tMr"""(lt2+

1

11!· Tl

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1

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"" b. 2I + b"2P2 "P2 ) L1 h"I2 - P2 "P2 A h'I2...:;.,

+ 'fJ~2 m~2(P~ V~ 'lj!~ - P2 v2 "P2) - fJ~2(mE - m~2) P2 v2 "P2 + + m2a[Ah23 "P2 + 'f}2a(P2 V21J!2- PaVa "Pa)]+ + mi(i+l) [Ahi(i+l) "Pi+ 'f/i(i+l) (p; v; "Pi- Pi+l vi+I "Pi+l)] +

{61)

43

12.8 Zur Dynamik der Dampfturbinenregelung

+

Wir haben nun ein System von (n 4) linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten vor uns, wobei v, C., Ct, C., 1p~, 1p 2 , 1p 3 ••• "Pn die unbekannten Funktionen und fJN c(t) die einzige Störungsfunktion sind. - Man hat sich fJN c(t)jN 0 als kleine Störung zu denken, da sonst die Voraussetzungen der Theorie nicht mehr erfüllt sind. ~ Die allgemeine Lösung eines solchen Gleichungssystems entsteht aus einer Überlagerung einer partikulären Lösung des Systems mit Störungsfunktion und der allgemeinen Lösung des Systems ohne Störungsfunktion (also des homogenen Systems); unter einer Lösung ist dabei stets der vollständige Satz der gesuchten Funktion verstanden. Damit Stabilität gewährleistet sei, ist es notwendig und hinreichend, daß sich die allgemeine Lösung des homogenen Systems ausschließlich aus Gliedern aufbaut, die mit t abklingen (periodisch oder aperiodisch). Daher geht die Stabilitätsuntersuchung vom homogenen Gleichungssystem aus; die Kenntnis der Störungsfunktion ist nicht nötig. Die Bestimmung der Lösung des homogenen Systems geschieht in bekannter Weise durch Einsetzen von Exponentialansätzen für die gesuchten Funktionen. Das so entstehende Gleichungssystem hat nichttriviale Lösungen nur unter der Bedingung des Verschwindens seiner Determinante, eine Bedingungsgleichung deren Wurzeln rv die sämtlichen Exponenten der Ansätze 0 e~v t liefert, womit die Stabilitätsfrage beantwortet ist. Das Auffinden dieser Wurzeln ist mit sehr leistungsfähigen elektronischen Rechenmaschinen möglich, doch verfügt die Regelungstheorie auch über andere Mittel zur Überprüfung der Stabilität, die eine effektive Lösung des Gleichungssystems nicht erfordern, vgl. darüber die einschlägige Literatur, z. B. [24-27]. Im allgemeinen werden übrigens einzelne der Zeitkonstanten des Gleichungssystems GI. (56) -(62) so klein, daß sie vernachlässigbar werden, woraus entsprechende Vereinfachungen folgen. Im Schema Abb. 2 ist kein Zwischenüberhitzer eingezeichnet. Trotzdem gelten die angegebenen Gleichungen mindestens im normalen Betriebsbereich auch für Anlagen mit Zwischenüberhitzung, denn das nach dem Zwischenüberhitzer angeordnete Regelventil (Ventil 6, Abb. 12.7.7) entfernt sich aus seiner voll offenen Lage bei kleinen Regelschwankungen entweder gar nicht oder so wenig, daß dadurch kein fühlbarer Einfluß entsteht. Der Zwischenüberhitzer spielt also einfach die Rolle eines der in Abb. 2 angegebenen Räume, und zwar ist er ein besonders großer (große Zeitkonstante t;, etwa 4 ..;- 10 sec). Während aber für die anderen Räume der Polytropenexponent n annähernd gleich dem Isentropenexponenten ist - n = 1,25 dürfte ein hinreichend genauer Wert sein - ist für den Zwischenüberhitzer der Exponent der Isotherme zu setzen, also genügend genau n =I. Unsicher sind die Werte der ß;, welche das Schluckverhalten der Vorwärmer kennzeichnen. Ihre Bestimmung erfordert selbst wieder eine kompliziertere dynamische Untersuchung; am besten erfolgt sie experimentell. Da aber keine sehr große Genauigkeit erforderlich ist, kann die folgende grobe Näherung als Anhaltspunkt dienen. Es sei der Dampfdruck im Vorwärmer, welcher der i-ten Anzapfstelle entspricht; p~ ist also um den Druckabfall in der Verbindungsleitung tiefer als p;. Weiter seien Tc; die p~ zugeordnete Kondensationstemperatur, Tli die Eintrittstemperatur und T 2 i die Austrittstemperatur des Speisewassers für den betrachteten Vorwärmer. Mit

p;

(63)

ist dann

(64)

wobei die Werte für den Beharrungszustand einzusetzen sind. Werden andere als Proportionalregler verwendet, sind die betreffenden Reglergleichungen entsprechend abzuwandeln. Wenn etwa der Servomotor mit einer Isodromvorrichtung versehen ist, tritt an die Stelle von GI. (58) die Gleichung tJ

3C, t2Ms ddt3

+t

J

t Ds dj2 d2C,

+ (t + t Ds ) dt dC, = J

t J(fi" dC,

+ ,.

\,t•

(58')

44

12. Regelung der Dampfturbinen

Hier tritt als zustäzliche Zeitkonstante die Isodromzeit tJ auf, die gebildet ist aus der Elastizitätskonstante und der Dämpfungskonstante, welche die nachgiebige Rückführung (Isodromvorrichtung) kennzeichnen. Bei Maschinen, die auf ein großes Netz arbeiten, ist die Frage naheliegend, ob überhaupt Stabilität der Regelung gefordert werden müsse, denn man könnte sich vorstellen, daß die anderen Maschinen die eine, die von sich aus instabil wäre, "festhalten'~. Nun wird aber durch die ständigen kleinen Frequenzschwankungen das Regelsystem der Maschine immer etwas gestört, worauf sie, wenn ihre Regelung instabil ist, mit starken Leistungspendelungen reagiert. Diese sind nicht nur für die Wirtschaftlichkeit und Betriebssicherheit der Maschine selbst höchst unerwünscht, sondern sie müssen auch durch die übrigen Maschinen des Netzes ausgeglichen werden. Deshalb ist auch in einem großen Netz stabiles Regelverhalten jeder einzelnen Einheit erforderlich. In der Theorie ist der Einfluß der Drehzahlverstellvorrichtung nicht berücksichtigt worden. Das wäre ein äußerer Eingriff von gleichem Charakter wie die aufgeprägte Leistungsstörung ~N G(t), d. h. man erhielte eine zusätzliche Störungsfunktion im Gleichungssystem. Diese aber ist für die Betrachtung des Stabilitätsproblems belanglos.

12.9 Berechnung der Vberdrehzahlen Nach den Angaben des Abschn. 12.7 müssen die Bedingungen gestellt werden, daß die bei Vollastabschaltung auftretende Höchstdrehzahl unter der Grenze bleibt, wo der Schnellschluß auslöst und daß andererseits die absolut höchste Drehzahl, die bei Vollastabschaltung und völligem Versagen der Regelung auftreten kann (also bei Auslösen des Schnellschlusses), noch zu keiner Gefährdung der Maschine führt. Da gerade bei modernen Maschinen die Einhaltung dieser Bedingungen nur durch sorgfältigste technische Maßnahmen gelingt, müssen diese Drehzahlerhöhungen vorausgerechnet werden, was in der nachfolgend dargelegten Weise geschehen kann. Für die Durchführung der Theorie ist es an sich gleichgültig, ob es sich um den normalen, bei Vollastabschaltung auftretenden Regelvorgang oder um den Schnellschluß handelt. Die Theorie kann sogar unter naheliegender Änderung der Bedeutung einzelner Symbole zur Berechnung der Drehzahlabweichungen bei beliebigen (positiven oder negativen) plötzlichen Laständerungen herangezogen werden. Die zu berechnenden Drehzahlerhöhungen sind bedingt durch die endlichen Schlußzeiten der Ventile und den Dampfinhalt der einzelnen Leitungen, Toträume usw. Deshalb Pw müssen die Entspannungsarbeiten berechnet werden, die durch die Dampfmengen geleistet werden, die in den einzelnen Räumen enthalten sind, bzw. die während des Schließvorganges noch einströmen. Für diese Untersuchung ist die Turbine wie in Abschn. 12.8 aufzufassen als ein System von hintereinandergeschalteten Räumen, die durch Schaufelungen miteinander verbunden sind, deren Durchflußverhalten durch das Ps Kegelgesetz beschrieben wird. Der Dampfinhalt der Schaufelungen selbst ist den genannten Räumen zu0 m zuschlagen. Allerdings muß im einzelnen ein etwas Abb. 12.9.1 Ellipsengesetz für beliebige anderer Weg eingeschlagen werden als im voranStufengruppe gegangenen Abschnitt, da die Linearisierungen, die man im Rahmen der Stabilitätstheorie durchführt, hier nicht zulässig sind. Im allgemeinsten Falle ist das Kegelgesetz der zwei Räume verbindenden Schaufelung aus einer Ellipsenkonfiguration der in Abb. 1 dargestellten Art zu bilden, d. h., es besteht ein von Null verschiedenes Schalldruckverhältnis (l)

45

12.9 Berechnung der Überdrehzahlen

Es ist aus der Geometrie der Abb. 1 leicht zu verifizieren, daß das Durchflußgesetz dann die Form (2)

annimmt, wobei Index 0 den Vollastpunkt kennzeichnet, Index lX den Eintritt, Index w den Austritt. Hierbei behält allerdings der Wurzelausdruck für Pa!Pw < a den konstanten Wert

V

(1- a) 2

(1 -

a) 2 -

(Pwo!Pao- a) 2

bei. Mit a = 0, was in der Mehrzahl der Fälle mindestens näherungsweise verwirklicht ist, geht (2) in das Gesetz 11.3 (16) über. Wir nennen im folgenden den Wurzelausdruck "Ellipsenfaktor" E, schreiben also (3)

wobei definitionsgemäß

E (P"')

=V

E ( Pw)

=

PIX

PIX

-

-

(1- a) 2 (1 - a) 2 -

V

(1 - a) 2

-

(Pw!Pa- a) 2 (Pwo/P!Xo- a) 2

(1 - a) 2 -

(Pwo/P"o- a) 2

für für

p!X

~ a, 1

Pw

< a. J

1!.!:!...

~

(4)

p".-

Hierbei sind die Rückwirkungen der Eintrittsenthalpie und der Drehzahl vernachlässigt, was im Rahmen einer solchen Untersuchung zulässig ist. Nun betrachten wir z. B. den Raum zwischen einem Regelventil und dem Leitrad der Regelstufe, dessen Volumen V 1 ist und der die Dampfmenge ( 5)

enthält. Wir setzen voraus, daß die Zustandsänderung in diesem Raume im Verlaufe des untersuchten Vorganges polytropen Charakter habe und durch den Polytropenexponenten n gekennzeichnet sei. Dann wird mit ( 6)

aus (5) (7)

Ist weiter rh 0 die Dampfmenge, die im Vollastpunkt je Zeiteinheit durch den Raum V1 strömt, so ist offenbar _ mlo t 1 =-.(8) mo

die "Füllzeit" des Raumes V1 , d. i. die mittlere Verweilzeit eines Dampfteilchens in ihm. In einem beliebigen Zeitpunkt t wird nun der Dampfzufluß zu V1 den Betrag (9) mJt' = rh 0 cp (t) haben, wo die Funktion cp im allgemeinen einen Wert kleiner als Eins hat, bei geschlossenem Ventil Null wird und in ihrem Verlauf vom Schließgesetz des Ventils abhängt. Herrscht im Zeitpunkttin V1 der Druck p 1 (t), so ist andererseits die abströmende Dampfmenge (10) rhl' = rho .l!l. E PIO

(h.), P!

wo p 2 der Druck nach der Regelstufe ist und die E-Funktion derselben als bekannt vorauszusetzen ist. Nun gilt offenbar 1 _ dmdt

•. / m"

P1 E ( -P2 • .,. = m• 0 [ cp (t) - m/" P1o

P1

)l •

(11)

46

12. Regelung der Dampfturbinen

Weiter ist aber nach (7) dm 1 = m 10 dt n

(1L) Pio

1 --1

n

(.12.) = dt p

!:_

m 10

10

n

d

(PI )

dtfu "

1

'

(I2)

so daß durch Gleichsetzung von (ll) und (I2) d (PI ) Ttp;;; n

(I3)

1

n

Mit der Abkürzung

... ,

(I4)

und der Definition (8) der Füllzeit wird aus (I3) (I5) womit die Differentialgleichung für die Druckänderung im betrachteten Raum gefunden ist. Man beachte, daß die E-Funktion für das Argument n2 P2o/n1 p 10 zu bilden ist. Zur Vereinfachung der Schreibweise deuten wir dies mit [ E (n 2 /n 1 ) an. Bei der graphischen Darstellung der E-Funktion, Abb. 2, kann demgemäß außer der Emax Skala p 2/p 1 auch eine solche für n2/n1 angegeben 1 --werden. In gleicher Weise läßt sich die E-Funktion angeben für irgendeinen Schaufelungsabschnitt, wobei die Skalen Pi+ 1 fp; bzw. :n:;+ljn; darstellen. An sich gilt eine solche Beziehung für jede Düsengruppe einzeln. Meist wird man sich aber für den Fall interessieren, wo zunächst alle Düsengruppen voll offen sind und miteinander gleichzeitig schließen. '----=u=-Pco-=--";p=--------L-pzlp Hierbei kann man normalerweise das ganze System 1 0 10 als einen Raum mit einem Absperrorgan betrachten. 0 2 1t2 /Jt1 Über den Polytropenexponenten n muß eine SchätAbb. 12.9.2 "Ellipsenfaktor" E in Funkzung gemacht werden. Günstigste Verhältnisse, d. h. tion des Druckverhältnisses kleinste Überdrehzahlen erhält man mit der Annahme isentroper Zustandsänderung, also n = x. Sie kann der Wirklichkeit nicht völlig entsprechen, weil der bei der Entspannung sich abkühlende Dampf von den noch heißen Wandungen Wärme aufnehmen wird. Außerdem wird, solange das Ventil nicht völlig geschlossen ist, gedrosselter Frischdampf in den Raum übertreten, was eine weitere Erhitzung bewirkt. Die entgegengesetzte Extremannahme, nämlich isotherme Zustandsänderung wäre sicher nach der anderen Richtung falsch, lieferte also zu große Überdrehzahlen. Demgemäß muß n so gewählt werden, daß man zwischen diesen beiden Grenzfällen liegt. Es sei etwa für Heißdampf n = l,I5 bis I,2 empfohlen. Sehr große Fehler können nicht entstehen, da selbst für die beiden Extremfälle die Ergebnisse nicht allzuweit auseinanderliegen. Für einen zwischen zwei Schaufelungsabschnitten liegenden Raum (z. B. Verbindungsleitung) läßt sich die Überlegung in genau gleicher Weise wiederholen, nur ist für die einströmende Menge anstelle eines Gesetzes der Art (9) ein Ansatz der Form (IO) zu machen. Man erhält dann in Analogie zur Gl. (I5) die Differentialgleichung

a;; = ~ n;n~l [ni-1Ei-1,iC~~~J-niEi,i+lc·~~;l )]·

(I6)

+

Hier verweist i auf den betrachteten Raum, i - I auf den ihm vorausgehenden, i I auf den ihm nachfolgenden. Die E-Funktionen sind ebenfalls durch Indizes gekenn-

47

12.9 Berechnung der Überdrehzahlen

zeichnet, da jeder Schaufelungsteil ein besonderes Ellipsengesetz befolgt. Es stellt also z. B. E;- 1 ,; das Ellipsengesetz des Schaufelungsteiles zwischen den Räumen i - 1 und i dar. Weiter können an einem Raum zusätzliche Abzweigungen anschließen. Dann ist in der eckigen Klammer in (16) ein entsprechender Ausdruck zu subtrahieren, dessen Aufbau aus dem Verhalten des betreffenden Verbrauchers hervorgeht. Gleichzeitig ist zu berücksichtigen, daß durch den anschließenden Schaufelungsteil auch im Auslegungspunkt nicht die volle in den Raum einströmende Menge abströmt. Es sei eine Größe ai für den betrachteten Raum definiert durch a; =Abgezweigte Menge/Zuströmende Menge, wobei beide Mengen für den Auslegungspunkt einzusetzen sind. Dann ist in (16) E;, i+ 1 noch mit (1 - a;) zu multiplizieren. Im praktisch häufigsten Fall, wo die abgezweigte Menge zum Speisewasservorwärmer strömt, ist folgendermaßen zu überlegen. Es kann angenommen werden, daß sich der Temperaturzustand des Vorwärmers während der kurzen Dauer des betrachteten Vorganges nicht ändere. Außerdem ist der Dampfinhalt des Vorwärmersystems sehr erheblich, so daß die Druckabsenkung im Vorwärmer derjenigen an der Anzapfstelle nicht zu folgen vermag. Deshalb wird praktisch der abgezweigte Strom vollständig unterbrochen, sobald der Druck an der Anzapfstelle abgefallen ist um einen Betrag, der gleich dem normalen Druckabfall zwischen Anzapfstelle und Vorwärmer ist. Das Rückströmen von Dampf wird durch ein Rückschlagorgan vermieden. Dieses Verhalten kann in folgender Weise ausgedrückt werden:

-p cx - a· P10 ' '-

-

'

Llp;

-

cx; = a;

für

1-

1-n1

a·

für

'LlpdP10

1 - ni

Llp~--',

P;o

Llp.

n; ~ - - ' . P1o

l I

(17)

(18)

Hierbei ist L1 p; der Druckabfall im Vollastpunkt zwischen der Anzapfstelle und dem Vorwärmer. Ist p um mehr als LJp; vom ursprünglichen Wert aus abgefallen, so daß cx; = a;, so ist in (17) das Durchflußverhalten offensichtlich nach den obigen Überlegungen korrekt formuliert. Im Vollastpunkt kann das Zusatzglied für die Anzapfmenge gerade dadurch berücksichtigt werden, daß cx; = 0 gesetzt wird, denn die Anzapfung wirkt gleich wie eine anschließende Schaufelupg, welche die volle Menge schlucken würde. Nimmt man weiter den Übergang zum Zustand völliger Absperrung der Anzapfung linear an, so entsteht das durch (18) angegebene Gesetz. Auf Grund dieser Überlegungen kann für jede Turbinenanlage ein vollständiges System von Differentialgleichungen angegeben werden, das den zeitlichen Verlauf der Drücke an den verschiedenen Punkten beschreibt. Als Beispiel betrachten wir die Anordnung nach Abb. 3, eine Anlage mit Zwischenüberhitzung. Für die einzelnen Räume, deren Numerierung aus Abb. 3 hervorgeht, gelten dabei die folgenden Gleichungen: (19) dn'! = dt

.!.':..n2 n~ t2

n 3 = const

1

=

n-1

dn4 = t; n n4dt

dd~5

=

~

n

n-1

n 5 _n_

[n1E12

(~)n2 E2a (~)]. n n

(20)

2

1

(21)

1, [ f{! "(t) -

L_!

n 6 = const = 1 .

ct

45

n4

E 4 5 (n; n5 )] ,

n 4 E 45

( ::) -

(22)

(1- cx 5 ) n 5 E 56

( : : )].

(23)

(24)

48

12. Regelung der Dampfturbinen

Hier beschreiben q/ und q/' die aus den Schließgesetzen der Regel- und Abfangventile folgenden Durchflußgesetze. lXs ist die gemäß {18) der Anzapfung aus dem Raum 6 zugeordnete Größe, während tX 4 5 der Anzapfung zwischen den Räumen 4 und 5 zugeordnet

Abb. 12.9.3 Schema der Dampfräume einer Anlage mit Zwischenüberhitzung

ist. Sind a 45 die relative Anzapfmenge, p 45 , 0 der Druck an jener Anzapfstelle und L1p 45 der Druckabfall bis zum Vorwärmer, alles bei Vollast, so ist hinreichend genau lX4s

= a,s

A LJ

1-:n4

I

P4 s P45.o

wenn

Llp4 5 1 - :n:, --2 --, P4s.o

sons t

lX 45

= a 45 ,

weil der Druck an der Anzapfstelle annähernd proportional p 4 ändert. Der Fehler liegt auf der sicheren Seite, denn die Anzapfung wird in Wirklichkeit etwas weniger schnell unterbrochen. Der Faktor 1/{1 - tX 45 ) folgt daraus, daß eine Unterbrechung der Anzapfung eine Vergrößerung des Zuflusses zum Raum 5 bedingt. GI. {21) spricht aus, daß während der Zeitspanne, die der ganze Entleerungsvorgang der Turbine in Anspruch nimmt, der Druck im Zwischenüberhitzer praktisch noch nicht ändere, d. h. daß seine Füllzeit groß sei im Vergleich mit den Füllzeiten der Turbinenräume. Wo dies nicht hinreichend genau der Fall wäre (z. B. indirekt mit flüssigem Metall beheizter Zwischenüberhitzer), könnte man eine entsprechende Bilanzgleichung für den Zwischenüberhitzer formulieren. Auch der Kondensatordruck ist mit GI. (24) als während der Zeit des Vorgangs hinreichend genau konstant vorausgesetzt. Weiter ist im Gegensatz zu der Darstellung unter 12.8 hier das Volumen der Anschlußräume der Anzapfungen zwischen 4 und 5 und zwischen 5 und 6 als vernachlässigbar klein angenommen, was oft zulässig ist und zu den entsprechenden Vereinfachungen des Gleichungssystems führt. Die Verallgemeinerung wäre in naheliegender Weise durchführbar. Bei Naßdampfturbinen für Atomkraftanlagen, bei denen zwischen einzelnen Gehäusen ein Wasserabscheider angeordnet ist, muß nicht nur der Dampfinhalt dieser Abscheider berücksichtigt werden, sondern namentlich auch ihr Wasserinhalt, der bei der Druckabsenkung teilweise verdampft. Auch der Wasserfilm an Gehäusewandungen, der bei der Absenkung des Druckes verdampft, ist bei Naßdampfturbinen zu berücksichtigen. Unser Gleichungssystem zerfällt offensichtlich in zwei unabhängige Systeme von je drei Gleichungen, nämlich (19) bis (21) und (22) bis (24), von denen je eine trivial ist, so daß zwei Paare gekoppelter Differentialgleichungen vorliegen für die Funktionen n 1 und n 2 bzw. n 4 und n 5 . Dazu kennen wir für t = 0 die Anfangsbedingungen n 1 (0) = n2 (0) =

:n:, (0) =

n 5 {0) = 1.

{25)

49

12.9 Berechnung der Überdrehzahlen

Damit ist das Problem mathematisch vollständig formuliert. Für die Auflösung der Gleichungssysteme dürfte praktisch nur die Differenzenrechnung in Frage kommen. Man ersetzt also das Zeitdifferential durch eine endliche Zeitspanne L1 t und dementsprechend die d ni durch Differenzen L1 ni, multipliziert die vier Gleichungen mit L1 t und erhält so vier Beziehungen für die L1 ni, also z. B. für (19) n-1

L1 n 1

= ~1 t n n 1_n_ [ " =

(/>' P1 Pao P1o Pa

V

T1o Ta . Tl Tao

(13)

Wegen Pa/P1 = (1 - s) Il' wird dies mit der hinreichend genauen Annahme s = konst. auch

V V

(14)

n*" = n*'VTao VTl.

(15)

(/>"

=

(/> Il:

Ilo

Ta.

T1o Tao

Tl

Weiter findet man aus GI. (7) und (8) Ta

T1o

Die innere Arbeit ist allgemein L·z =

Cp

[T 1

IJFk(II') ' 1);

+T

IJFk(II")]

3

'

II

1);

(16)

während der Arbeitsaufwand für die isotherme Verdichtung den Wert

LT = RT1 lnll

(17)

hat. Daraus ergibt sich für den isothermen Wirkungsgrad Lr

'Y}T

lnii

x- l

= L; = - X -

IJFk(IJ')

'7;

+ !2_ T1

IJFk(IJ") '

(18)

1);'

wobei die Bezeichnung RfcP = (u - 1)/u verwendet ist. Oft interessiert auch die Endtemperatur T 4 , die gegeben ist durch T 4-- T 3 IJFk(II") (19) II

1);

•

Die Durchrechnung eines beliebigen Betriebszustandes kann nun in folgender Weise geschehen. Die gegebenen Ausgangsdaten seien n, m, p 1 , T 1 , T 3 • Dann folgen aus GI. (5) und (7) (/>' und n*' und damit aus der Charakteristik des ND-Teiles, die durch GI. (9) und (11) dargestellt wird, Il' und 'YJ;. Weiter liefert GI. (14) (/>" und GI. (15) n*", worauf durch die Charakteristik GI. (10) und (12) II" und 'YJ" bestimmt sind. Damit gibt GI. (4) II, Gl. (18) 'YJT und GI. (19) T 4• Beim Versuch, diese Untersuchung für eine genügend große Anzahl von Fällen ein für allemal durchzuführen, stößt man allerdings auf die Erschwerung, daß auch bei dimensionsloser Behandlung noch drei unabhängige Variable auftreten, nämlich außer (/>' und n*' noch T 3 fT 1 , wie man aus GI. (14) und (15) erkennt, die den Übergang zu (/>" und n*" vermitteln. Dasselbe Temperaturverhältnis tritt auch in GI. (18) auf, während GI. (19) bei der dimensionslosen Behandlung zweckmäßig in der Form (20) geschrieben wird, womit auch hier das gleiche Temperaturverhältnis vorkommt. Die Anzahl der unabhängigen Veränderlichen läßt sich im allgemeinen nicht auf zwei zurückbringen, es sei denn daß T = rf 1

const

gesetzt werden dürfe 1 • Dies ist aber nur ganz ausnahmsweise möglich, denn Ta hängt vor allem von der Kühlwassertemperatur ab, die kaum proportional T 1 sein wird. Genaugenammen geht selbst das wärmeübertragungstechnische Verhalten des Zwischenkühlers in diese Zusammenhänge ein, wenn auch meist mit hinreichender Genauigkeit Ta pro1 Der Fall n zuständen.

= const = n 0 , Ta = /(T1) führt ebenfalls zu einer zweiparametrigen Schar von Betriebs-

80

13. Regelung der Turboverdichter

portional der absoluten Eintrittstemperatur des Kühlwassers angenommen werden darf. Der so entstehende Fehler liegt bei Teillast auf der sicheren Seite, denn die Kühlung wird bei Teillast besser. Für sehr genaue Untersuchungen muß man also den Parameter T 3 fT 1 etwa drei n*'=7,7---Werte durchlaufen lassen und erhält für 7,0--jeden eine Charakteristik der in Abb. 2 an49-0,8--gegebenen Art, womit durch Interpolation jeder beliebige Betriebszustand auffindbar ~~----------------------------ist. Damit hat man die vollständige Grundlage einer exakten regeltechnischen Untersuchung. - Den Fall des Verdichters mit mehreren Zwischenkühlern erhält man durch sinngemäße Verallgemeinerung des oben ausgeführten, wobei aber beachtenswerterweise die Anzahl der freien Parameter im allgemeinen nicht weiter zunimmt. Die End0 ~I temperaturen nach den verschiedenen KühAbb. 13.7.2 Charakteristik eines Verdichters mit lern sind nämlich entweder alle ungefähr · Zwischenkühlung gleich oder sie haben doch näherungsweise einen einfachen Zusammenhang miteinander, so daß man alle kennt, wenn man eine kennt.

t

13.8 Funktionelle Probleme der Verdichterregelung Entsprechend den sehr verschiedenen Arten der Anwendung von Turboverdichtern, können auch die funktionellen Probleme ihrer Regelung völlig verschiedene sein. Besondere Verhältnisse treten z. B. auf, wenn mehrere .Verdichter in ein gemeinsames Netz fördern, vgl. darüber KLUGE [11]. Hier beschränken wir uns auf eine kurze Erörterung der Funktionsweisen der wichtigsten Typen von Regelsystemen. In gewissen industriellen Betrieben ist heute noch die reine Handregelung gebräuchlich. Sie hat den nicht zu unterschätzenden Vorteil, daß ihr Funktionieren vom Bedienungspersonal leicht verstanden und überblickt werden kann. Oft sind aber die Betriebsbedingungen so kompliziert, daß sie auf diese Weise entweder gar nicht mehr oder nur mit unvertretbarem Personalaufwand beherrscht werden können, womit die automatische Regelung notwendig wird. Auch das Bestreben, unter den verschiedenen Betriebsbedingungen möglichst wirtschaftlich, d. h. mit kleinstem Leistungsaufwand zu fahren, führt zur automatischen Regelung. Deshalb findet man bei Verdichterregelungen zwischen einfachster Handbedienung und kompliziertester AuI tomatik alle Zwischenstufen. I 1 _ _ _ ...JI Abb.l zeigt im Blockschema die Arbeitsweise einer Regelung auf konstanten Förderdruck. Von einer Druckmeßvorricha b tung 1 aus (z. B. Druckdose) Abb. 13.8.1 Schema einer Regelung auf konstanten Förderdruck wird ein den Istdruck darstela) Regeleingriff an der Antriebsmaschine, b) Regeleingriff am Verdichter selbst lender Regelimpuls zum Regelblock 2 weitergegeben, während gleichzeitig von der Druckeinstellvorrichtung 3 aus ein den Solldruck darstellender Impuls zum gleichen Regelblock gelangt. - Die Einstellung

L-Cp-----

dJ

---CD--rn '

13.8 Funktionelle Probleme der Verdichterregelung

81

des Solldruckes kann von Hand oder selbst wieder automatisch in Funktion irgendwelcher Betriebsgrößen des Verbrauchers erfolgen. - Ausgehend von der Differenz zwischen Istdruck und Solldruck leitet nun der Regelblock Eingriffe entweder an der Antriebsmaschine (Abb. la) oder am Verdichter (Abb.l b) oder an beiden gleichzeitig ein, derart, daß die Differenz zum Verschwinden kommt. Als Eingriff ist in Abb. 1 b Saugdrosselung angedeutet, doch kann grundsätzlich irgendeiner der besprochenen Eingriffe vorgenommen werden. Wesentlich komplizierter kann die Regelung werden, I I A wenn ein bestimmter Sollwert I f2l 7 I ___ _J L~---der Menge vorgeschrieben wird. Im Beispiel Abb. 2 ist zu diesem Zweck in der Ansaugleitung a eine Venturi-Düse 1 angeordnet. b Ausgehend von der dort ge- Abb. 13.8.2 Schema einer Regelung auf konstante Fördermenge messenen Druckdifferenz wird a) Regeleingriff an der Antriebsmaschine, b) Regeleingriff am Verdichter selbst ein die Istmenge darstellender Impuls an den Regelblock 2 weitergeleitet. Andererseits wird diesem von einer Einstellvorrichtung 3 aus der Sollwert der Menge gegeben. Der Unterschied zwischen beiden beeinflußt die Antriebsmaschine (Abb. 2a) oder den Verdichter selbst (Abb. 2b) oder beide zugleich im gewollten Sinne. - Die Venturi-Düse beansprucht viel Raum, ist aber gewöhnlichen Düsen oder Blenden unbedingt vorzuziehen, denn beigegebenem "Wirkdruck" (der Messung zur Verfügung stehendes Llp) ist die als Verlust zu betrachtende Druckdifferenz zwischen Eintritt und Austritt kleiner als bei diesen letzteren. Eine _ sehr verlustarme Mengenmessung ermöglicht das Staurohr, das aber geeicht werden muß (dies gilt allerdings oft auch a für Düsen und Blenden, weil sie nicht immer normgerecht - - - - - - - - - - - eingebaut werden können). Seinen Nachteil, nur einen geringen Wirkdruck zu geben, kann man vermeiden durch den sog. "Staudruckvermehrer". Dieser besteht aus einer inmitten der Leitung angeordneten kleinen Venturi-Düse, vgl. Abb. 3a, in deren engstem Querschnitt die Öffnung des Staurohres sitzt. Da die dort sich einstellende Geschwindigkeit weit über der mittleren Geschwindigkeit im Rohr liegt, wird ein entsprechend größeres L1 p gemessen. Man :--1 kanndiesesPrinzipauchmehrmalsanwenden, sieheAbb.3b, b 1 wo die Anordnung auch insofern anders getroffen ist, als .__,____, tJp auf ein Staurohr verzichtet, und das L1 p in der sonst bei Düsenmessungen üblichen Art gemessen wird. Wenn vor Abb. 13.8.3 Staudruckvermehrer a) einfache Venturidüse mit Staurohr, Eintritt in den Verdichter keine Störung der Strömung b) doppelte Venturidüse ohne Staurohr (Saugdrosselung, Umblasung) auftritt, so kann der Druckabfall im Ansaugstutzen selbst unmittelbar als Wirkdruck benutzt werden, womit die Mengenmessung völlig verlustfrei ist. In genauer Weise läßt sich allerdings die Durchflußmenge rh aus der Messung einer Druckdifferenz Llp allein noch nicht gewinnen, denn es gilt ja

--QJ----rn

cb

(l) Traupel, Turbomaschinen II, 2. Auf!.

6

82

13. Regelung der Turboverdichter

oder wenn ideales Gas vorausgesetzt wird

.m-

xVpLlp ---r_r-•

(2)

wobei 0 und K von der Anordnung abhängige Größen sind, die übrigens nur näherungsweise Konstanten sind, da sie z. B. von der Re-Zahl abhängen können. Die genauere Mengenbestimmung würde also verlangen, daß die drei Größen p, LI p und. T in die Regelvorrichtung eingegeben werden. Oft verlangt der Betrieb nur eine ganz ungefähre Einhaltung der Sollmenge. Dann kann man von den Veränderungen des Druckes und der Temperatur am Verdichtereintritt absehen und sich mit der Messung von Llp begnügen. Das genügt aber nicht mehr, wenn größere Genauigkeit verlangt wird, was im Zusammenhang mit vollautomatischen Pumpverhütungsvorrichtungen der Fall sein kann. Aber auch dann, wenn die Menge nicht in der Saugleitung, sondern in der Druckleitung gemessen wird - z. B. bei Abblaseregelung, wo hinter dem Abblaseventil gemessen werden muß muß auf die genaü.ere Relation (2) gegriffen werden, selbst wenn keine besondere Genauigkeit verlangt wird. Die Regelvorrichtung kann 0 0 in solchen Fällen nach dem folgenden Grund7 gedanken gestaltet werden. Nach GI. (2) ist zunächst 0

0

logm = logK + l(logp + logLip -logT). (3) Die Größe (logp + log LI p - logT) hängt also eindeutig mit m zusammen (K wird als konstant betrachtet). Nach Abb. 4 wirken nun die Meßwerte p, LI p und T (dieses durch die Länge des Stabes 3 gemessen) auf geeignete Kurvenscheiben ein, derart, daß die Höhenlagen der Rollen 4, S, 6 proportional logp, logLip und logT sind. Das angeschlossene Hebelwerk gibt eine Höhenlage des Punktes 7, die proportional logp +logLip -logT ist. Von ~er Mengeneinstellvorrichtung 8 aus wird ferner der Drehpunkt 9 so verschoben, daß seine Lage, von oben nach unten gemessen, dem Logarithmus des Sollwertes von m proportional ist. Durch geeignete Wahl der Proportionalitätsfaktoren Abb. 13.8.4 Schema einer automatischen Mengenund Hebelverhältnisse läßt es sich offensichtregelvorrichtung lich erreichen, daß der Drehpunkt 10 stets in derselben Lage bleibt, solange der Sollwert von m gleich dem durch GI. (3) gegebenen Istwert ist. JedeAbweichung von Istwert undSoliwert verschiebt hingegen denPunktlO, was als Ausgangsimpuls für die entsprechenden Regeleingriffe verwendet werden kann. Das Schema, Abb. 4, gibt natürlich nur das funktionelle Prinzip; die technische Ver. wirklichung kann auf sehr verschiedene Arten erfolgen. Meist ist es notwendig, Regelungen der in Abb. 1 und 2 dargestellten Art noch zu ergänzen durch eine Pumpverhütungsvorrichtun g. Das Verfahren besteht dabei darin, ein Abblase- oder Umblaseventil (auch Zwischenabblaseventil) zu öffnen, sobald die Gefahr einer Überschreitung der Pumpgrenze besteht. Wir betrachten zunächst den

-

------------~llr----

83

13.8 Funktionelle Probleme der Verdichterregelung

einfachen Fall konstanter Drehzahl und unveränderlichen Eintrittszustandes. Dann wird die Druck-Mengencharakteristik durch eine einzige Kurve dargestellt, siehe Abb. 5. Daraus erkennt man, wie eine Pumpverhütungsvorrichtung in diesem Fall zu steuern ist. Bei einer steilen Charakteristik (Abb. 5a), wie sie besonders beim Axialverdichter anzutreffen ist, genügt es offenbar, von einem gewissen Druckp* an aufwärts das Abblaseoder Umblaseventil allmählich zu öffnen (siehe Kurve für den Ventilöffnungsquerschnitt f). p

p

p

----+----------- I

0

r-

t

"-.

fmax

a

b

Abb. 13.8.5 Zur Steuerung der Pumpverhütungsvorrichtungen a) steile Charakteristik (Axialverdichter),

b) flache Charakteristik (Radialverdichter)

Bei genügend großem Querschnitt kann so das Pumpen mit Sicherheit vermieden werden. Im Extremfall ist das Ventil so zu bemessen, daß es bei größter Öffnung die volle Menge durchläßt, denn dann wird das Pumpen auch verhindert, wenn der Abfluß zum Verbraucher völlig abgesperrt wird. Bei flacher Charakteristik (Abb. 5b) muß die Purnpverhütungsregelung vom Ansaugvolumen aus gesteuert werden. Von emem nahe der Pumpgrenze befindlichen Grenzwert V* ausgehend, P öffnet das Abblaseventil in der durch die Querp schnittskurve f angegebenen Weise. P'o.., Gegenüber dem in Abb. 5 veranschaulichten r! \\ einfachsten Fall tritt in Wirklichkeit die Erschwe\ rung hinzu, daß der Eintrittszustand - meist in\ \ folge klimatischer Einflüsse - nicht konstant ist. \ Auch die durch Netzfrequenzschwankungen be\ \ dingten Drehzahländerungen sind nicht immer be\ --------------------~ langlos. Wir betrachten etwa einen aus der freien Atmosphäre ansaugenden Axialverdichter und 0 v nehmen an, daß gleichzeitig die AußenlufttempeAbb. 13.8.6 Einfluß klimatischer .Änderungen ratur sehr hoch, der Barometerstand sehr tief und auf die Pumpgrenze bei steiler Charakteristik die Netzfrequenz etwas unter ihrem Sollwert sei. Dann kommt, wie aus der dimensionslosen Darstellung der Gesamtcharakteristik sogleich zu erschließen ist, die Pumpgrenze wesentlich tiefer zu liegen (siehe Abb. 6), z. B. vom Punkt P zum Punkt P'. Das einfachste Mittel, dieser Schwierigkeit zu begegnen, besteht darin, das p* der Pumpverhütungsvorrichtung von vornherein so einzustellen, daß auch in diesem Extremfall das Pumpen noch sicher vermieden wird. Wie aus Abb. 6 hervorgeht, bedeutet dies aber, daß unter normalen Bedingungen das Abblasen bereits einsetzt, lange bevor dies nötig wäre. Man verzichtet damit auf eine Druckreserve, welche die Maschine eigentlich geben könnte, ausgenommen bei besonders ungünstigen klimatischen Verhältnissen. Weiter betrachten wir das Beispiel eines Verdichters mit flacher Charakteristik und nehmen an, die Außentemperatur sei besonders tief, der Barometerstand besonders -------------~-

6*

84

13. Regelung der Turboverdichter

hoch. Dann rückt die Pumpgrenze von P nach P', siehe Abb. 7. Für die Messung des Durchflußvolumens am Eintritt ist auf GI. (2) zurückzugreifen. Es ist V=rhv=rhRT =KRTVpLlp =K'VTLlp. (4) p p T p Wenn nun, wie es meist der Fall ist, die Regelung nur von LI p aus gesteuert wird, so täuscht diese Anzeige offenbar bei besonders tiefem T und besonders hohem p ein zu großes V vor (denn die unter der Wurzel stehende p T- und p-Korrektur wird nicht berücksichtigt). po..~--- . . . . . durch die Verschiebung der Pumpgrenze und Die p ........... , durch den Meßfehler bedingten Abweichungen I ' I '\ addieren sich also hier. Will man trotzdem das I \ Pumpen unter allen Umständen vermeiden, so I \ I \ muß man die Regelung so einstellen, daß man : \ einen beträchtlichen Teil der Volumenreserve der I \ Maschine verliert. ----------L------------~ I I Den hier geschilderten Nachteilen kann man o v v unter Beibehaltung einfacher Regelsysteme nur ausweichen, indem man es dem Betriebspersonal Abb.13.8.7 Einfluß klimatischer Änderungen auf die Pumpgrenze bei flacher Charakteristik überläßt, mindestens in Extremfällen einzugreifen und durch Verstellen der Regelvorrichtung die Anpassung an die jeweiligen Bedingungen herbeizuführen. Eine völlig automatische Pumpverhütungsregelung, welche die Nebeneinflüsse mitberücksichtigt und damit ohne übermäßig große Sicherheitsspanne auskommt, wird selbst bei konstanter Drehzahl nur wenig oder gar nicht einfacher als der komplizierteste Fall, bei dem auch noch die Drehzahl wesentlich ändert. Um die Funktionsweise dieser allgemeinsten Pumpverhütungsregelung zu erkennen, müssen wir auf die dimensionslose Darstellung der Verdichter-

"

0

"

0

a b Abb. 13.8.8 Linien beginnender Abblasung (gestrichelt) a) bei steiler Charakteristik, b) bei flacher Charakteristik

charakteristik zurückgreifen. Wir schreiben uns also vor, daß das Abblasen an den gestrichelten Kurven Abb. 8a und Sb beginnen soll. Eine solche Kurve kann z. B. durch eine Gleichung der Form II = j(n*) (5) dargestellt werden, was besonders bei steiler Charakteristik nach Abb. 8a zweckmäßig ist. Eine Regelvorrichtung, die von dieser Beziehung ausgeht, zeigt im Blockschema Abb. 9. Gemessen wird durch den Fliehkraftregler 1 die Drehzahl und durch den Temperaturfühler 2 die Temperatur. Beide Meßimpulse wirken auf den Regelblock 3 ein, der daraus die Größe n*

=~ 1['1';; no V--p;-

(6)

85

13.8 Funktionelle Probleme der Verdichterregelung

,-----------,

18

I

I

I I I I

f(D)

c)~B

ln i

~t

8-r@J

I Pt&

I

I

I

r L;--v-----


Abb. 4 zeigt diese Größe, wie sie sich aus den Differentialquotienten nach Abb. 2 und 3 ergibt; die Diagramme entstammen sämtlich der Arbeit von JAGGI [21]. Bei strömungstechnisch hochwertig ausgebildeten Turbinen sind die Druckverhältnisse der einzelnen Schaufelkränze verhältnismäßig klein. Arbeitet z. B. das verstellbare Leitrad mit einem Druckverhältnis von 1,15, so bewirkt eine Vergrößerung des Leitradquerschnittes um 10% eine Absenkung des Gegendruckes der HD-Turbine um 2,7%, wie aus Abb. 4 hervorgeht.

106

14. Regelung der Gasturbinen

Wir haben damit die Unterlagen zur Berechnung der Betriebszustände einer Gasturbinenanlage mit verstellbarem Leitapparat. Wenn wir auf die Bezeichnungsweise des Abschn. 14.2 zurückgreifen, so tritt dort an die 0 Stelle der GI. 14.2 (24) die Relation

1\

-0.2

1 -0.~

\ ~ ~ II= 1.~ ~ t--..Z6'

~~~ -ac-

~

'----

\

-0.8

~

2,0

"\

1,2

mo

(l

+ 6). Lastaufnahme sehr träge. Verhalten bei Lastabschaltung sehr ungünstig; Absperrorgan vor Nutzleistungsturbine nötig, kombiniert mit Abblaseventil zur Vermeidung des Pumpens. Das verhältnismäßig kleine Zuflußvolumen zur Nutzleistungsturbine bietet günstige Möglichkeiten der räumlichen Gruppierung, doch sind die Betriebseigenschaften so schlecht, daß diese Schaltung zu vermeiden ist, um so mehr, als zwei parallelgeschaltete Hochtemperaturturbinen teuer werden. Zweiwellige Verbundschaltung, Nutzleistung an der HD- Welle abgenommen, Abb. 4. Anlage ohne besondere Hilfsmittel nur für Generatorantrieb brauchbar. Dann keine Gefahr des Pumpens der Verdichter. Sehr günstiger Teillastwirkungsgrad (mit Wärmeaustauscher im Auslegungspunkt gar kein Abfallen oder sogar leichtes Ansteigen des Wirkungsgrades mit sinkender Last). Große Klimaempfindlichkeit. Lastaufnahme träge.

a

b

Abb. 14.10.4 Verbundanordnung mit Leistungsabnahme an der HD-Welle a) einfache Anordnung;

b) Anordnung mit zwei Zwischenkühlern, zur Erzielung einer günstigen Lage des Druckes für Zwischenerhitzung

Verhalten bei Lastabschaltung insofern günstig, als Nutzleistungsturbine mit Verdichter gekuppelt; trotzdem Abblaseventil nötig. Gefälle der HD-Turbine größer als das der ND-Turbine, daher Zwischenerhitzung zwischen beiden nicht günstig. Vermeidung dieses Nachteiles gelingt durch Anordnung nach Abb. 4 b: Drei Verdichter mit zwei Zwischenkühlungen, wobei zwei Verdichter auf ND-Welle. Ein Propeller, der durch eine solche Anlage angetrieben würde, müßte ein Verstellpropeller sein, der mit fast unveränderlicher Drehzahl laufen müßte. Wesentliche Reduktion der Drehzahl der HD-Welle würde zum Pumpen des ND-Verdichters führen. Zweiwellige Verbundschaltung, Nutzleistung an der ND- Welle abgenommen, Abb. 5. Wirtschaftlicher Teillastbetrieb nur möglich, wenn Nutzleistungsempfänger T mindestens annähernd dem Propellergesetz gehorcht. Dann keine Gefahr des Pumpens der Verdichter. Sehr günstiger Teillastwirkungsgrad (mit Wärmeaustauscher im Auslegungspunkt gar kein Abfallen oder sogar leichtes Ansteigen des Wirkungsgrades mit sinkender Last). Klimaempfindlichkeit groß, doch etwas günstiger als bei Schaltung nach Abb. 4. Lastaufnahme träge. VerAbb. 14.10.5 Verbundanordnung mit Leistungsabnahme an der ND-Welle halten bei Lastabschaltung günstig (noch besser als bei Schaltung nach Abb. 4). Gefälle der HD-Turbine kleiner als das der ND-Turbine, daher Zwischenerhitzung zwischen beiden günstig. Wird die Anlage für Generatorantrieb benutzt, so muß bei jeder einigermaßen stärkeren Lastverminderung hinter dem ND-Verdichter abgeblasen werden, weil er sonst pumpt. Somit also Teillastwirkungsgrad außerordentlich schlecht. Wird dies in Kauf genommen,

Literatur

157

so entsteht eine Anlage mit kleiner Trägheit, kleiner Klimaempfindlichkeit und günstigen Eigenschaften im Auslegungspunkt. Zweiwellige Verbundschaltung mit zwei ND-Turbinen, wovon eine mit der HD-Turbine gekuppelt ist, Abb. 6. Anlage nur für Generatorantrieb geeignet. Dann keine Pumpgefahr. Sehr günstiger Teillastwirkungsg,rad (mit Wärmeaustauscher im Auslegungspunkt gar kein Abfallen oder sogar leichtes Ansteigen des Wirkungsgrades mit sinkender Last). Klimaempfindlichkeit geringer als bei Anlage nach t-1.___N___, Abb. 4. Lastaufnahme träge. Verhalten bei Lastabschaltungrelativ günstig, weil Nutzleistungsturbine mit Verdichter gekuppelt; trotzdem Abblaseventil nötig. Gefälleverteilung auf HDund ND-Turbinen kann so gewählt werden, daß Zwischenerhitzung in günstigster Weise durchführbar. Schaltung vor allem dann vorteilhaft, wenn Anlage so groß, daß Aufteilung der ND- Abb. 14.10.6 Verbundanordnung mit Leistungsabnahme an der HD-Welle mit Aufteilung der Turbine in zwei parallele Einheiten ohnehin ND-Expansion auf beide Wellen notwendig. Anlage ist dann thermodynamisch günstiger als Schaltung Abb. 4a, einfacher als Schaltung Abb. 4 b und regeltechnisch besser als beide. Dreiwellige Verbundschaltung, drei Turbinen in Serie, Ab b. 7. In weitem Bereich kein wesentlicher Unterschied zwischen Generatorantrieb und Antrieb eines Nutzleistungsempfängers nach Propellergesetz. Schaltung besonders für Anlagen mit hohen Druckverhältnissen (12 bis 25) geeignet. Teillastwirkungsgrad an sich schlechter als bei den anderen Verbundanordnungen, außer- Abb.14.10.7 Dreiwellige Verbundanordnung mit dem Pumpgrenze des ND-Verdichters u. U. bei Leistungsabnahme an der ND-Welle nicht allzu kleiner Teillast bereits erreicht. Beide Nachteile behebbar durch verstellbares Leitrad an ND-Turbine. Dann sehr günstiger Teillastwirkungrad und keine Pumpgefahr. Sehr geringe Klimaempfindlichkeit. Lastaufnahme träge. Schaltung nicht geeignet, wenn große Füllzeit (Wärmeaustauscher) unvermeidlich. Verhalten bei Lastabschaltung ungünstig. Abblaseventil praktisch stets nötig. Zwischenerhitzung kann relativ günstig ausgelegt werden. Brauchbar für direkten Antrieb von Landfahrzeugen.

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London: Spon Ltd. 1948. [21 HÄNNY, J.: Rege1ungstheorie. Zürich: Leemann 1947. [3] lsoGAI, N., M. FuJISAWA u. H. Yosmr: ExperimentalGasTurbineofMitsubishiNipponHeavy-Industries Ltd. Congres International des Machines a Combustion, Colloque 1957, Zürich. [4] JAUMOTTE, A.: Regulation a vitesse et temperature maximum constantes des turbines a gaz en circuit ouvert a une ligne d'arbre. Bulletin de l'Academie Royale de Belgique, 5e Serie, Tome XLI, 1955. [5] LEONHARD, A.: Die selbsttätige Regelung, 3. Aufl. Berlin/Göttingen/Heidelberg: Springer 1962. [6] LERCH, E., u. J. GuTIERREZ: Fahrbare Gasturbinen-Kraftwerke im Einsatz in Mexiko. Brown Boveri Mitt. 43 (1956) Nr. 10, S. 407. [7] MALLINSON, D. H., u. W. G. E. LEwrs: The Part.load Performance of Various Gasturbine Engine Schemes. Inst. Mech. Engrs. Appl. Mech., Proc. 1948, Bd. 159 (War Emergency Issue Nr. 41) S. 198-219. [8] McMULLEN, J. J.: The Gas-turbine Installation on the Liberty Ship John Sergant. The Soc. of Naval Architects and Marine Engineers, New York, Bd. 6 (1955) Nr. 4. [9] ÜPPELT, W.: Kleines Handbuch technischer Regelvorgänge, 4. Aufl. Weinheim: Verlag Chemie 1964. [10] PFENNINGER, H.: Betriebserfahrungen mit Brown Boveri Gasturbinen. Brown Boveri Mitt. 44 (1957) Nr. 4/5, S. 200.

158

15. Festigkeit der Schaufelungen

[11] PFENNINGER, H.: Betriebserfahrungen mit Brown Boveri Gasturbinenanlagen. Brown Boveri Mitt. 40

(1953) Nr. 5/6, S. 144.

[12] QurnY, H.: Compte rendu des essais de la turbine aerodynamique Escher-Wyss-AK. Schweiz. Bauztg.

125 (1945) Nr. 23/24.

[13] SALZMANN, F.: Zur Theorie der Regelung von aerodynamischen Wärmekraftanlagen mit geschlossenem

Kreislauf. Schweiz. Bauztg. 65 (1947) 123.

[14] TRAUPEL, W.: Energieinhalt und regeltechnische Trägheit von Gasturbinenanlagen. MTZ 18 (1957)

Nr. 1, S. 19. [15] -:Das Verhalten von Gasturbinen unter geänderten Betriebsbedingungen. MTZ 18 (1957) Nr. 6, S. 163. [16] - : Die Entwicklung der Gasturbine in der Schweiz. Verhandlungen der 5. Weltkraftkonferenz, Wien

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[17] HEIL, G.: Zur Klimaempfindlichkeit der Gasturbinen. Maschinenbautechnik 12 (1963) H. 9.

[18] CORDES, G.: Strömungstechnik der gasbeaufschlagten Axialturbine. Berlin/Göttingen/Heidelberg: Springer

1963. [19] G.ASSERT, H.: Betriebsverhalten einer Turbinenstufe bei verij,nderlichen Drehzahlen und Volumenströmen

bis zu negativen Werten. Diss. TH Stuttgart 1964. [20] H.AUSENBLAS, H.: Vorausberechnung des Teillastverhaltens von Gasturbinen. Berlin/Göttingen/Heidelberg: Springer 1962. [21] J.AGGI, H.: Stationäres Betriebsverhalten von Gasturbinen mit verstellbaren Leitapparaten. Diss. ETH Zürich: Juris 1964. [22] LONDON. A. L., u. R. M. CRINA: The Transient Response of a Two-Fluid Conterflow Heat Exchanger. Trans. ASME, 80 (1958) 1169. [23] lTEN, 0.: Regeldynamik von Gasturbinen mit verstellbaren Leitapparaten. Diss. ETH 1968. [24] ST.ARKERMANN, R.: Die Behandlung linearer Mehrfachregelsysteme mit Hilfe von Determinanten auf der Basis des verallgemeinerten Blockschaltungsbildes. Diss. ETH 1964.

15. Festigkeit der Schaufelungen 15.1 Schaufelbeanspruchung durch Fliehkraft Bei axial durchströmten Maschinen trägt man bei der Ausbildung der Schaufelung oft dem räumlichen Charakter der Strömung Rechnung, was auf ein längs des Radius veränderliches Schaufelprofil führt. Deshalb wird der Schaufelquerschnitt I, Abb. 1, im allgemeinen eine Funktion von r sein. Bildet man die Schaufel nach rein strömungstechnischen Gesichtspunkten aus, so ergibt sich praktisch stets eine Form, bei welcher der Querschnitt von innen nach außen abnimmt. Dies ist aber auch vom Standpunkt der Festigkeit aus wünschbar. Wir haben hier also den leider nicht sehr häufigen Fall vor uns, wo die f mechanischen und strömungstechnischen Erfordernisse einander nicht widersprechen. Abb. 2 zeigt ein Beispiel einer stark verjüngten Schaufel. Ein Massenelement dm = e I dr der Schaufel, vgl. Abb. 1, übt offenbar, wenn w die Winkelgeschwindigkeit des Rotors ist, die Zentrifugalkraft (1) dZ = e f dr r w2 aus. Somit erfährt ein beliebiger, in r* liegender Querschnitt I* die Zugspannung

lLL~l-

Abb. 15.1.1 Zur Berechnung der Fliehkraftspannungen in einer verjüngten Schaufel

J~ r dr, r!'l

kw, k1

Gemäß GI. (36) erhält man hieraus die Spannung, indem man noch mit dem dort in eckiger Klammer geschriebenen Faktor multipliziert. Somit kann man also schließlich setzen (40) mit (41)

Da die Gittergestalt und somit t/8 festliegt und auch die Schaufellänge l gegeben ist, ist (l/8) 2 unmittelbar proportional z2 • GI. (40) hat somit tatsächlich denselben Aufbau wie GI. (19), denn F" ist bis auf einen konstanten Faktor gleich BM 2 (um)· Unter den vereinfachenden Voraussetzungen, auf denen GI. (29) beruht, ist demnach F" tatsächlich proportional dem Quadrat der Mach-Zahl, wie bereits behauptet wurde. Bei der Auslegung einer Schaufelung gibt die thermodynamisch-strömung stechnische Berechnung bekanntlich keinen gerraueren Anhaltspunkt über die zu wählende axiale Breite eines Schaufelkranzes oder, was dasselbe bedeutet, die Sehnenlänge 8. Lediglich die Bedingung einer nicht zu kleinen Reynolds-Zahl ist zu beachten. Die Größe B hängt nun aber offensichtlich von der absoluten Größe von 8 nicht ab, denn tf8 ist durch die strömungstechnische Auslegung gegeben, somit also auch B. Da auch p 2 und M 2 (um) festliegen, hat man gemäß GI. (40) die Biegungsbeanspruchung einzig mit dem "Schlankheitsverhältnis" l/8 in der Hand, und zwar sind die Spannungen proportional dem Quadrat dieser Größe. Dies ist allerdings nur eine theoretische Beanspruchung statischen Charakters, der sich praktisch stets eine gewisse dynamische Beanspruchung überlagert,

15.2 Beanspruchung der freistehenden Schaufel durch Strömungskräfte

171

die aber mit der statischen zusammenhängt, Auch ist die im folgenden Abschnitt behandelte Korrektur in vielen Fällen zu beachten. 1(11 =0,90'1·1o-3

k12 =7,90·1o-3

kw1=k1tfx1=3,97·10- 3 kw2= 7y:2/x2= 12,'1'1· 10-3 kf =0,150

A

Abb. 15.2.5 Turbinenschaufelprofil (z. B. für Überdruckturbine) mit zugehörigen Daten kJ, kw, k1

Abb. 15.2.6 Flaches Turbinenschaufelprofil (z. B. Laufradspitze) mit zugehörigen Daten kJ> kw, k1

Abb. 4, 5, und 6 zeigen Angaben für drei Turbinenschaufelprofile, Abb. 7 solche für drei Laminarprofile für Axialverdichter. Angegeben sind außer den oben eingeführten kJ 1 und kJ 2 noch die Werte _ I k1 = 82 . (42) Mit A ist jeweils der Punkt größten Abstandes von der Hauptträgheitsachse 1 bezeichnet. Für die praktische Durchführung der Berechnung beachte man noch folgendes. Wenn in den Gleichungen e in kgfm 3 und die Geschwindigkeiten in mfsec eingesetzt Dicke 10 %, Wölbung 5%

1

2

s1{.

--------

c:o_

Dicke 7%, Wölbung 3, 75 "I• 1

........-

-------

Dicke 5 "'• , Wölbung 2,5 "/o

te

...............

i

--------:s

k11 -'1.9J·1o-s k12 ='1,21·1o-3 kw1=B,01·10- 9 kf = 7,35·10-z

::::;

7r12 =3,1'1·1o- 3

f ---

k11 = 2,18 ·10 -s

kw1='1.60·to-• k, =5,25·10-z

2

S'

fi

:s

k11 =B.98·10- 6 kiZ = 2,19 ·10 - 3 kw1=Z.ZO·to- 9 kf =3,82·1o-z

Abb. 15.2.7 Drei Laminarprofile für Axialverdichter mit zugehörigen Daten kJ, kw, k,

werden, so müssen die p in Nfm 2 eingesetzt werden, und in diesen Einheiten werden auch die Spannungen erhalten. Will man alle Drücke und Spannungen in bar oder, was das gleiche ist, in Mdynfcm 2 erhalten (1 Mdyn = 10 N = 1,02 kp), so ersetze man Ausdrücke der Form e u 2 durch

(__.!._)2 = (_g_) 10 100

(u/100)2 10v '

wo v das spezifische Volumen ist. Die Rechnung wird dabei besonders übersichtlich, da u/100 sehr bequeme Zahlen liefert und v oft aus einer Entropietafel abgelesen werden kann.

172

15. Festigkeit der Schaufelungen

Für Doppelkreisbogenprofile, wie sie in transsonisch arbeitenden Axialverdichterstufen verwendet werden, hat BEGLINGER [12] die k-Werte berechnet. Die Ergebnisse

I I

,

tO

I

·10"

V I

~

V V

V ~

~.0~

V /

V

vV 40G

..o/

,

I

/ . I / V ~ /

I

I

I

"'2

~- -~

.,

s

t-

r--t-

L_

s

2-(}-1~~

1

-

-f-

·10"J

~o·

I

1~

V

~ ..~.....-: ~

z

~~

~

~ .;Y

f-" /

/

~~

/

v ~VV .§..-V V

/

V

~

~

kr ~

.;Y

.;Y

/

a

/

a

v '

/

~~ V V"v ~'f-..V lk

a10 1- ejs

~

./

/

-·-v,

a10

I

L

/

..-

~ ..~ ~

~ I\

aoz

~

~ ~\\ 0,08

d,fs -

0,10

0,12

~09

O.OG

OJJ8

0,10

d/s-

filZ

0 409

aoG

MB

d/s -

ato

atz

Abb. 15.2.8 Charakteristische Werte für Festigkeitsrechnungen bei Doppelkreisbogenprofilen

sind in Abb. 8 dargestellt. In den Diagrammen ist unter s die theoretische Sehnenlänge zu verstehen, wie man sie erhielte, wenn Ein- und Austrittskante völlig scharf, also ohne jede Abrundung ausgeführt würden.

15.3 Rückwirkung der Fliehkraft auf die Beanspruchung der freistehenden Schaufel durch Strömungskräfte Im vorhergehenden Abschnitt wurde angenommen, die Schaufel verbiege sich unter dem Einfluß der Strömungskräfte so wenig, daß dadurch keine Rückwirkung auf die Beanspruchungsverhältnisse entstehe. Das ist aber bei Laufschaufeln, die einem starken Fliehkraftfeld unterworfen sind, nicht ohne weiteres immer der Fall. Abb. 1 möge eine Laufschaufel im ausgebogenen Zustand veranschaulichen. Ein im Radius r = r N x gelegenes Schaufelelement von der Länge dx und dem Querschnitt I erfährt eine Fliehkraft von der Größe

+

r w 2 dm = (rN

+ x) w

2

(!

I dx.

Da ihre Angriffslinie nicht durch den Schwerpunkt des Wurzelprofils geht, sondern einen Abstand y* von diesem hat (Abb. 1), entsteht im Wurzelquerschnitt ein Biegungsmoment von der Größe dM = y*(rN

Abb. 15.3.1 Rückwirkung der Fliehkräfte auf die Biegebeanspruchung einer Laufschaufel

+ x ) w2 eI dx.

Dieses steht offenbar dem von den Strömungskräften herrührenden Moment entgegen und bewirkt somit eine Verminderung der Biegungsspannungen. An sich ist die elastische Linie der Schaufel im allgemeinen sogar eine räumliche Kurve. Man hat also zwei Ebenen senkrecht zu den Hauptträgheitsachsen des Profils der Schaufelwurzel zu legen und die Projektionen der elastischen Linie auf diese beiden Ebenen zu

15.3 Rückwirkung der Fliehkraft auf die Beanspruchung der freistehenden Schaufel

173

betrachten. Die Konfiguration, Abb. 1, ist als eine solche Projektion aufzufassen. Die betreffende Hauptträgheitsachse verlaufe z. B. parallel zur Drehachse, so daß die genannte Ebene senkrecht auf der Drehachse stehe. Da die Fliehkraft immer längs eines x) und somit Radius angreift, wird dann y* = y rN/(rN dM = y rN w 2 (!I dx. Würde umgekehrt die Hauptträgheitsachse senkrecht zur Richtung der Drehachse stehen, so daß die Ebene eine Meridianebene wäre, so wäre offenbar y* = y und somit

+

dM = y (rN + x) w 2 (!I dx. Daraus folgt, daß für eine Hauptträgheitsachse, die mit der Richtung der Drehachse den Winkel ß bildet, dM = y[rN + x(l - cosß)] w2 (!I dx gilt. Es sei M 0 das der betreffenden Hauptträgheitsachse zugeordnete Biegungsmoment, wie es sich aus den Untersuchungen des vorhergehenden Abschnittes ergibt. Dann ist das tatsächlich auftretende Moment offenbar l

J

M =Mo-(! w 2 y[rN

+ x(l

- cosß)] ldx.

(1)

0

Für den Verlauf des Querschnittes I längs x können wir im allgemeinen hinreichend genau einen linearen Ansatz machen, also setzen (2)

Hier hat b eine anschauliche Bedeutung. Ist etwa der Querschnitt an der Schaufelspitze noch 0,4mal so groß wie der an der Wurzel, so ist b = 0,6. Zur Durchführung der Integration in GI. (1) muß noch die Funktion y(x) bekannt sein, d. h., wir müßten bereits die elastische Linie unter dem vereinigten Einfluß von Strömungskräften und Fliehkräften kennen. Da dies nicht der Fall ist, wäre das korrekte Vorgehen eigentlich folgendes. Unter Verwendung der allgemeinen Gleichung der elastischen Linie, die M " (3) y =JE lautet, müßte von GI. (1) aus zur Differentialgleichung für y übergegangen werden [GI. (1) wäre dabei für einen beliebigen, also nicht den Wurzelquerschnitt zu formulieren]. Mit der Lösung dieser Differentialgleichung wäre die Lösung unseres Problems gegeben. Diese Untersuchung ist durchgeführt bei BIEZENO-GRAMMEL [1]. Wir begnügen uns statt dessen hier mit einer groben Näherung, auf deren Zulässigkeit wir später zurückkommen. Diese Näherung besteht darin, die elastische Linie durch folgende Gleichung zu beschreiben : y

= A [ ~2

-

~~2

] '

(4)

wo A eine vorerst unbekannte Konstante ist. Es folgt daraus (5)

womit man sogleich erkennt, daß der Ansatz (4) sinnvoll ist. In der Tat ist die Krümmung an der Schaufelspitze Null und an der Schaufelwurzel ein Maximum - nämlich gleich Awie es dem tatsächlichen Charakter der elastischen Linie entspricht. Aus dem Vergleich von GI. (3) und (5) folgt auch, daß A = M fJ E (an der Schaufelwurzel gebildet), weshalb die Gleichung der elastischen Linie genauer (6)

lautet.

174

I5. Festigkeit der Schaufelungen

Nun können GI. (2) und (6) eingesetzt werden in GI. (1), womit l

e;~N J[~- I~ 2 ]

M =Mo -M

(1 -b

7) [rN +

(7)

x(1- cosß)] dx.

0

Wenn man diese Integration durchführt und alle Glieder mit dem Faktor M auf die linke Seite nimmt, erhält man

e(wr;~fNl 2

M{1+

[(:J( 230

-~)+(r~Y(! -!~~)(l-cosß)]}=M0 •

(8)

Mit w rN = uN, IN = kr 8 2 , J = kJ 8 4 und mit Einführung des Schaufellängenverhältnisses Y = r 8 /rN = (rN + l)frN kann GI. (8) auch in die folgende Form gebracht werden: M 1 (9) 1 M0 k E (! u"v ( l )2 [ 3 b ) ( I . 37 b) ] · I+ k; (Y- 1) (208 9 + (Y- 1) 2 9 - 420 (1- cosß) Der Ausdruck (! u~v/E ist für (! = 7,85 · 10- 3 kgjcm 3 und E = 2 · 106 Mdynfcm 2 = 2,04 · 10 6 kpfcm 2 in Abb. 2 dargestellt. Ferner gibt Abb. 3 die Größen

I

3 -

V

f--·

IV

I I

V

/

V /1 --

-

~)

K" = (Y -1)2(~- 37b) 9 420 wieder. Damit ist nun die Berechnung der Biegungsspannungen unter Berücksichtigung des Fliehkrafteinflussesill folgender Weise möglich. Nach Gl.l5.2 (36) kann die Spannung a~ 0 in irgendeinem Punkte xi, x 2 des Fußprofils [xi sind dimensionslose Werte gemäß Gleichung 15.2 (34)] ohne Fliehkrafteinfluß berechnet werden aus (10)

I

2

K' - ( y - l) ( 230

und

/,

V

xi cosy

= f-lk;;-'

abiO

-

r---200 uN-

m/sec

Abb. 15.3.2 Die Größe e u~fE in Funktion von

300

UN

Hier deutet Index 0 an, daß ohne Fliehkrafteinfluß gerechnet ist. Mit diesem wird nach der oben durchgeführten Untersuchung (12) mit Xi =

1

+ 3!_ (!:_) e u'f., 2

kJ 1

s

E

1

[K'

+ K"(1- cosß)]

.

(13)

Die kJ i (i = 1, 2) sind dabei für den Wurzelquerschnitt zu nehmen, für welchen auch 8 einzusetzen ist. Meistens ist für die Achse mit dem größeren Trägheitsmoment praktisch XR1l. Die Verminderung der Biegungsspannungen wird noch ausgesprochener, wenn die Schaufel an ihrer Spitze eine Deckplatte trägt (der Fall des Deckbandes, das eine Versteifung bewirkt, ist nicht Gegenstand dieses Abschnittes). Es seit die Teilung im Spitzenradius. Der Querschnitt der Deckplatte sei das c-fache des Wurzelquerschnittes IN. Dann ist die Fliehkraft der Deckplatte

e c IN t y rN w2 •

Die Auslenkung y hat an jener Stelle gemäß GI. (6) den Wert 5

12

MP.

JE.

15.3 Rückwirkung der Fliehkraft auf die Beanspruchung der freistehenden Schaufel

175

Daher wird der maßgebende Hebelarm nach derselben Überlegung wie oben M l2 JE

5

12

1 + Y (1 - cosß) 1+Y

Das Produkt aus Fliehkraft und Hebelarm ist das zusätzliche Moment, das in GI. (7) rechts noch abzuziehen ist. 0,15 ~

9

""i

h,L

0,15

V

_j_ ~tLV 0,10

L _L

I /

/

V

v.~ V/ V / / I~ ~ V r__l~ V 1.--- ~

~ ~ !--""" 1,2

1,'1

1,6

Y-

~11

/

~v

V

I L V I / / '1/ /V v'""

0,05

11_

0,10

~

1),

I

I VV / VJ 1/ ~~V

0,05

l/.1 '/ / ~ r/ V ......

I-''1~

ld ~V

....... 1,8

LI~Y-

2,0

V

~~~

=-

1,2

1,'1

1,6

r-

vv

V

1,8

2,0

Abb. 15.3.3 Die Größen K' und K" in Funktion des Schaufellängenverhältnisses Y

Die weitere Überlegung ist dieselbe wie oben und liefert anstelle der GI. (13) die Beziehung 1

X;=

1 +·~(..!...) 2 eu'1v kJi

s

E

[K'+K"( 1 -cosß)+ 5ncY2 6z

1+Y(1-cosß) )' 1+ Y

(14)

wo z die Schaufelzahl ist. Es bleibt noch zu überprüfen, ob die mit GI. (6) ausgesprochene vereinfachende Annahme über den Verlauf der elastischen Linie die zu fordernde Genauigkeit sichert. Die Gestalt der elastischen Linie äußert sich in den Funktionen K' und K". Daher wurde vergleichsweise auch eine von GI. (6) abweichende Annahme getroffen, nämlich M y- 2J E

2 X '

(15)

d. h. ein parabolischer Verlauf, bei dem die Krümmung praktisch den konstanten Betrag y" = M(J E haV. Diese Annäherung ist offenbar sehr grob, denn an der Schaufelspitze müßte richtigerweise y" auf Null zurückgehen. Wenn man diese sicher sehr schlechte Annahme zugrunde legt anstatt GI. (6), so erhält man für die in GI. (13) in eckiger Klammer geschriebene Größe Werte, die in praktischen Fällen etwa zwischen 10 und 20% von denen abweichen, die nach GI. (6) erhalten werden. Die Abweichung der Xi wird damit noch etwas kleiner. Wenn wir nun annehmen, daß die X; nach unserer Methode gegebenenfalls nur auf 25% genau werden, - ein so großer Fehler ist von vornherein nur bei X;~ 1 denkbar - so haben wir die möglichen Fehler, die von der 1 Dies bedeutet, daß der Parabelbogen sich von einem Kreisbogen mit dieser Krümmung nicht merklich unterscheidet.

176

15. Festigkeit der Schaufelungen

Abweichung der wirklichen elastischen Linie gegenüber der nach GI. (6) herrühren, wohl reichlich eingeschätzt. Was dies praktisch bedeutet, mögen folgende Beispiele zeigen. Es sind in der nachfolgenden Zahlentafel für einige Laufschaufeln angegeben die reinen Zugspannungen durch Fliehkraft azN' die Biegungsspannung abo ohne Korrektur, die gemäß der vorliegenden Methode korrigierte Biegungsspannung ab, der Unterschied LI a = ab - abo und die Summe a = azN + ab. Dampf· turbine HD-Stufe

y UN Us a,N abo (Jb

L1 a (J

rn/sec rn/sec Mdynfcm2 Mdyn/cm2 Mdyn/cm2 Mdyn/cm2 Mdyn/cm2

Kondensationsturbine Endstufe

1,2 2,0 100 200 400 120 173 2750 410 660 410 409 250 1 3160 582 1 Mdyn = 1,02 kp

Gasturbine Endstufe

1,8 200 360 2200 740 507 233 2707

Axialverdichter 1. Stufe

1,8

ISO

324 2070 2025 650 1375 2720

Wie man aus dieser Gegenüberstellung erkennt, wird LI a hier nur beim Axialverdichter derart groß, daß ein beträchtlicher Fehler im Endergebnis a möglich wäre. Dieser Sachverhalt ist nicht zufällig, sondern er ist für lange Axialverdichterschaufeln typisch. Der tiefere Grund dafür ist die schwache Krümmung der Schaufelprofile, die den Quotienten krfkh der in GI. (13) im Nenner erscheint, weit größer werden läßt als bei Turbinenschaufelungen. Namentlich wird auch der in Gl. {11) auftretende Quotient xjk 1 für die Achse mit dem kleinen k 1 ausnehmend groß. - Gesetzt nun der Fall, ab sei für die oben aufgeführte Axialverdichterschaufel in Wirklichkeit 25% größer als nach der Rechnung. Es wäre dann ab= 812, LI a = 1213, a = 2882. Das resultierende a wäre also 6% größer als nach der Rechnung. Das ist ein Fehler, wie er gerade bei Schaufeln selbst durch Herstellungstoleranzen zustande kommen kann. Auch in ;diesem Falle dürfte also das vereinfachte Verfahren noch durchaus genügen. Die Verminderung des Biegungsmomentes an der Schaufelwurzel durch die Fliehkraft ist insofern bemerkenswert, als die von den Tangentialkräften herrührende Komponente dieses Biegungsmomentes für den Arbeitsumsatz wesentlich ist, denn es wirkt treibend bei der Turbine y* und hemmend beim Verdichter. Man könnte darum vermuten, daß eine Beeinflussung dieses Momentes durch die Fliehkraft nicht möglich sei, da doch der Arbeitsumsatz unverändert bleiben muß. Dieser scheinbare Abb. 15.3.4 Widerspruch löst sich wie folgt. In Abb. 4 ist eine gebogene TurbinenVon einer aus- schaufelmit ihrer resultierenden Fliehkraft F dargestellt. Reduziert man f:1b~~n;:ns~~~~; diese Kraft in denSchwerpunktSdes Fußprofils, so daß sie die Lage F' ausgeübte Kräfte einnimmt, so muß man ein Moment M' = y* F beifügen, das entgegen und Momente der sonstigen Schaufelbiegung wirkt und die in diesem Abschnitt behandelte Herabsetzung der Biegungsspannungen zur Folge hat. Hingegen schneidet die Angriffslinie von F' die Drehachse nicht, sondern hat von ihr den Abstand y*, womit der Rotor das gleiche Moment gerade wieder im treibenden Sinne erhält. - Diese ganze Überlegung gelingt nur, wenn man die Richtung von F korrekt annimmt und nicht, wie dies fälschlicherweise in der Literatur gelegentlich geschehen ist, parallel zur ungebogenen Schaufelachse. Diese letztere Annahme wäre, obwohl grundsätzlich unkorrekt, im Zusammenhang mit der Spannungsberechnung zulässig, wenn die Rückwirkung des Fehlers auf die Spannungen vernachlässigbar wäre. Dies ist aber nicht ohne weiteres der Fall. Die K' und K" können nämlich nahezu um einen Faktor 2 falsch werden.

177

15.4 Beanspruchung des Schaufelpaketes durch Strömungskräfte

15.4 Beanspruchung des Schaufelpaketes durch Strömungskräfte Sobald eine feste Querverbindung zwischen zwei oder mehreren Schaufeln besteht, bilden sie ein Schaufelpaket. Das mechanische Verhalten einer Schaufel innerhalb eines Paketes ist ein anderes als für die betreffende freistehende Schaufel. Dies gilt zwar nicht für die reine Zugbeanspruchung, wohl aber für die Biegungsbeanspruchung, sobald die Querverbindung eine nennenswerte Biegesteifigkeit aufweist. Bei den Bindedrähten ist diese meist so gering, daß sie keinen großen Einfluß auf den statischen Spannungszustand der Schaufel ausübt. Wenn man daher in diesem Falle die Rückwirkung der Querverbindung auf die Schaufelbiegung vernachlässigt, entsteht kein großer Fehler, der zudem auf der sicheren Seite liegt. Anders verhält es sich mit den Deckbändern, deren versteifender Einfluß oft so groß ist, daß seine Vernachlässigung ein falsches Bild geben würde. Leider stellen sich aber gerade hier der genauen mathematischen Behandlung solche 2 Schwierigkeiten entgegen, daß man sich mit rohen Näherungen begnügen muß. Im allgemeinsten Falle sind die Schaufeln der Turbomaschinen verjüngt und verwunden, d. h., Abb. 15.4.1 Durch die Verbiegung der Schaubedingte Verformung des Deckbandes. es ändern sich längs der Schaufel nicht nur die feln Wären die Schaufeln bezüglich der HauptHauptträgheitsmomente, sondern auch die Rich- trägheitsachse 2 völlig steif, so ergäbe sich tungen der Hauptträgheitsachsen. In diesem Fall eine Deckbandverformung gemäß gestrichelter Eintragung liegen die Verhältnisse außerordentlich verwickelt, und es wird unumgänglich sein, sofort zum Versuch zu greifen, wenn man sehr genaueUnterlagen haben muß. Übersichtlicher wird das Problem, wenn wenigstens die Richtungen der Hauptträgheitsachsen längs der Schaufeln nicht ändern (unverwundene Schaufel). Dann ist die Behandlung nach BIEZENO und GRAMMEL [1] möglich. Besonders einfach wird der praktisch sehr häufige Sonderfall der Schaufel konstanten Profils. Abb. l zeigt zwei Schaufeln und das sie verbindende Deckband in deformiertem Zustand. Man erkennt daraus sogleich die eigentliche grundlegende Schwierigkeit des Problems. Damit die Lösung mit angemessenem Rechen- 2 aufwand möglich sei, muß das Deckband als eingespannter gebogener Balken behandelt werden, während es in Wirklichkeit ein plattenförmiger Körper ist, der sich in äußerst komplizierter Weise verformt. Man beachte be- Abb. 15 .4.2 Festlegung von l* für angenietetes Deckband sonders, wie kompliziert die Randbedingungen infolge der Gestalt des Schaufelprofils sind. Dazu ist noch zu bemerken, daß die Einspannung am Übergang in die Schaufel keine vollkommene ist, da ja auch das Schaufelende eine gewisse Nachgiebigkeit besitzt. Wie in Abb. l gezeigt wird, grenzen wir vom Deckband einen Bereich ab durch die parallel zur Hauptträgheitsachse 1 verlaufenden gestrichelten Geraden. Das zwischen diesen verbleibende Band von der senkrecht zur Achse 1 gemessenen Breite l* betrachten wir als gebogenen Balken. Wie diese Breite etwa zu wählen ist, zeigt Abb. l für den Fall des mit der Schaufel "verwachsenen" Deckbandes, während Abb. 2 veranschaulicht, wie die Annahme z. B. für ein vernietetes Deckband getroffen werden könnte. Wesentlich ist hierbei gerade Traupel, TurbolllliBChinen II, 2. Auf!.

12

178

15. Festigkeit der Schaufelungen

auch die Annahme, daß der Einspannquerschnitt des Balkens parallel zur einen Hauptträgheitsachse gelegt werden dürfe. Angesichts dieser groben Vereinfachungen wäre es wenig sinnvoll, die theoretische Untersuchung allzuweit zu treiben, denn man könnte sich dabei der Täuschung hingeben, eine sehr genaue Berechnung gemacht zu haben, während die Ausgangsannahmen eine allzu große Genauigkeit von vornherein ausschließen. Das in dieser vereinfachten Form gegebene Problem ist statisch unbestimmt. Der wesentliche Schritt bei seiner Lösung ist die Bestimmung des Momentes M 1 , welches vom Deckband auf die Schaufel ausgeübt wird. Für die Einzelheiten der Überlegung verweisen wir auf das genannte Werk von BrEZENO und GRAMMEL und geben sogleich das dort zu findende Ergebnis für M 1 an: MI

J' E' cosß J1oE J' E'

u1l2 q1o - -

-

l*a

Ti2 +

(1)

12Ä1 J 10 E cosß

Hierin bedeuten: ß der Winkel, Abb. 1, J 10 E die Biegesteifigkeit der Schaufel an der Stelle ihrer Einspannung (Nabe bei Laufschaufel, Gehäuse bei Leitschaufel), J 1 E 1 die Biegesteifigkeit des Deckbandest, q1 0 die senkrecht zur Hauptträgheitsachse 1 einwirkende Strömungskraft je Längeneinheit der Schaufel, und zwar an ihrer Einspannstelle, u1 ein Faktor, der die Veränderlichkeit der Belastung q1 und des Trägheitsmomentes J 1 längs der Schaufel berücksichtigt und A1 ein Faktor, der nur der Variation von J 1 Rechnung trägt. Für zylindrische Schaufeln und q1 = q1 0 = konst. wird u 1 = A1 = 1. Die Annahme eines konstanten q1 ist bei dieser Untersuchung wohl immer zulässig, womit dann auch u 1 nur noch durch die Veränderlichkeit von J 1 gegeben ist. Trotzdem sind auch dann noch im allgemeinen u 1 und A1 verschieden. u 1 vergleicht die Neigung am freien Ende eines einseitig eingespannten und durch eine stetig verteilte Last gebogenen Stabes mit derjenigen Neigung, die ein Stab konstanten Querschnittes bei konstanter Belastung q1 0 aufweisen würde. A1 hingegen vergleicht die Neigung am freien Ende eines einseitig eingespannten Stabes, der an diesem Ende durch ein Biegungsmoment beansprucht ist mit der entsprechenden Neigung des Stabes mit konstantem J 1 • Beide Größen wären im allgemeinsten Falle graphisch zu bestimmen. Um die Berechnung zu erleichtern, kann man vereinfachend setzen Jl

=

J10

(2)

I+a_::_ l

Durch geeignete Wahl sächliche Verlauf von ist damit zugleich der gesetzt wird, ist leicht

des Parameters a läßt sich mindestens in vielen Fällen der tatJ 1 längs der Schaufel hinreichend genau annähern. Mit a = 0 Fall unveränderlichen Querschnittes umfaßt. Wenn q1 aufzufinden, daß mit dem Ansatz GI. (2) a

"1 = 1 + 4' erhalten werden. Nun ist mit q1

=

q10

=

konst.

(3)

= const (4)

das Biegungsmoment um die Trägheitsachse 1, welches der Schaufelwurzelquerschnitt bei frei endigender Schaufel erhalten würde. Demnach kann man für GI. (1) auch setzen M

J' E' 2u1 JEcosß I

-

l*a

Ti2

10

J' E' + 12Ä1 J 10 E cosß

M

lf•

(5)

1 J' ist in der üblichen Weise für den Schritt senkrecht zum Deckband einzusetzen, nicht etwa parallel zu Achse 1.

179

15.4 Beanspruchung des Schaufelpaketes durch Strömungskräfte

Für eine nicht am Ende des Paketes stehende Schaufel ist aber das tatsächliche Moment im Wurzelquerschnitt (6)

Der Faktor 2 vor M' rührt daher, daß auf beiden Seiten der Schaufel ein Deckhandstück vorhanden ist, welches das Moment M' ausübt. Wenn hier M' noch durch Gl. (5) ausgedrückt und dabei der Faktor vor M 1 r noch etwas übersichtlicher geschrieben wird, folgt MI= [ 1 - J1oEl*a 4u~ Mlf· (7) J' E' l t 2

cosß

+ 12 .11

l

Dies gilt, wie oben bemerkt, für eine nicht am Ende des Paketes stehende Schaufel, weil nur dort in Gl. (6) der Faktor 2 auftritt. Daraus ist gelegentlich der Schluß gezogen worden, für die Endschaufeln des Paketes sei der Faktor 2 wegzulassen. Dies ist aber ein Irrtum, wie man aus folgender Überlegung erkennt. Würde an der Endschaufel wirklich nur das Gegenmoment M' auftreten, so würde sie sich entsprechend stärker verbiegen, vgl. gestrichelte Eintragung in Abb. 3. Das Deckband verhindert dies aber, und es entstehen in ihm Längsspannungen, derart, daß die Spitze der letzten Schaufel wieder den Abstand t von der nächstfolgenden einnimmt. Ein aus einer größeren Anzahl Schaufeln bestehendes Paket zwingt daher den Endschaufeln annähernd dieselbe Verformung auf, wie sie die zwischenliegenAbb. 15.4.3 den Schaufeln erleiden, weshalb Gl. (7) praktisch auch für die Verformungszustand eines Endschaufeln gilt. Dies trifft allerdings um so weniger zu, je Schaufelpaketes kleiner die Schaufelzahl des Paketes ist und wird im Grenzfall, wo nur zwei Schaufeln miteinander verbunden sind (die heute oft verwendeten "Schaufelzwillinge"), völlig falsch. Dann fällt in Gl. (6) der Faktor 2 tatsächlich weg, aber auch schon Gl. (1) ist dann so zu ändern, daß der Faktor 12 im Nenner durch 6 zu ersetzen ist. Für Schaufelzwillinge tritt also an die Stelle von GI. (7) die Beziehung M 1=

[1 -

J1o E l*a

2u~

J' E' l t2 cosß

+ 6 ..11

l

(8)

Mlf•

Damit ergibt sich nun das folgende einfache Verfahren zur Berechnung der Biegungsspannungen im Wurzelprofil bei Schaufelpaketen. Gemäß Gl. 15.2 (36) erhält man die Biegungsspannung in einem Punkt x 1 , x 2 [ dimensionslose Koordinaten nach Gl. 15.2 (34)] des Wurzelprofils einer freien Schaufel durch Addition der beiden Spannungen (9)

Ist ein Deckband vorhanden, so wird die Biegungsspannung ab

=

(1 - 0) ab1f

+ ab2f•

( 10)

wobei für ein Paket aus einer größeren Anzahl Schaufeln

0

=

l* 3 j,ol t2

J

4u1 1 cosß

+ 12..11

(11)

'

während dann, wenn nur je zwei Schaufeln durch ein Deckband verbunden werden

0-

2u1

(12)

Jlolu _I_+ 6..1 1 J' l t2 cosß

Hier ist noch für Schaufel und Deckband gleicher Elastizitätsmodul gesetzt, was praktisch stets zutrifft. u1 und A1 können meist hinreichend genau nach GI. (3) bestimmt werden. 12*

180

15. Festigkeit der Schaufelungen

In GI. (10) ist ferner angenommen, daß die Biegung um die Trägheitsachse 2 vom Deckband nicht beeinflußt werde, was berechtigt ist, da die Steifigkeit der Schaufel selbst m dieser Richtung sehr viel größer ist. Werden z. B. nur drei Schaufeln zusammenC gebunden, so ist an sich weder GI. (11) noch GI. (12) anwendbar. In diesem Falle kann man sich folgendermaßen helfen. Es sei zP die Schaufelzahl des Paketes. Dann trägt man gemäß Abb. 4 die Größe 0 auf, nämlich 0 = 0 für die freie Schaufel (zp = 1), 0 nach GI. (12) für 1fzp = 0,5 und 0 nach Gl. (11) für 1/zp = 1/ oo = 0. Mit der so erhaltenen Kurve läßt sich für 1 t/zp 0 jedes Zp der 0-Wert angenähert angeben. Abb.l5.4.4 Bestimmungdes Interessant ist auch der Grenzfall des völlig steifen DeckC-Wertes für ein Schaufelfür welchen nach GI. (11) und (12) übereinstimmend bandes, paket mit zP Schaufeln 0 = x 1 /3 A1 gefunden wird. Da für verjüngte Schaufeln stets x 1 < A1 , erreicht 0 offenbar den absolut größtmöglichen Wert 1/3 für die zylindrische Schaufel mit starrem Deckband. Es ist in diesem Grenzfall (13) Die mögliche Herabsetzung der statischen Biegungsspannungen durch Deckbänder bleibt daher praktisch immer relativ gering. Nicht zu übersehen ist andererseits die Beanspruchung des Deckbandes selbst und der Verbindung zwischen Schaufel und Deckband, die durch das Biegemoment M' gegeben ist. Im Deckband entsteht damit eine Biegungsspannung (14) wo Wa das Widerstandsmoment des Deckbandes ist. Weiter ist 1X ein allfälliger Formfaktor, der von der geometrischen Gestalt der Verbindung zwischen Deckband und Schaufel abhängt. Hier läßt sich M' vermöge GI. (5) durch M 1 r ausdrücken und dieses wiederum durch abd, worauf GI. (14) übergeht in (15) Dabei ist 0* = 0/2 für das Paket mit vielen Schaufeln und 0* = 0 für Schaufelzwillinge; a 1 ist der Abstand des Punktes, in dem ab 1 f auftritt, von der Hauptträgheitsachse 1. Der ganze Ausdruck O*J 10 fWa a 1 hängt offensichtlich nur von der geometrischen Gestalt der Anordnung ab und nicht von den absoluten Abmessungen. Das so bestimmte a~a ist dem aus GI. 15.1 (16) berechneten aab zu überlagern. Während die Übertragung des Momentes M' bzw. 2M' durch das Spitzenprofil der Schaufel im allgemeinen keine Schwierigkeiten bereitet, können an Nietverbindungen außerordentlich hohe Spannungen entstehen. Sie lassen sich in gleicher Weise berechnen wie die Biegungsbeanspruchungen im Deckband, d. h., es ist C~o ( 16) abv = 1X - W ablf• va1

Hier ist wieder 1X der betreffende Formfaktor, der die Spannungskonzentrationen berücksichtigt und Wv das Widerstandsmoment des Verbindungselementes, also z. B. dasjenige des Nietschaftes oder bei Vorhandensein mehrerer Nieten das gesamte Widerstandsmoment aller ihrer Querschnitte. Zu diesem abv ist noch die reine Zugspannung zu addieren, die durch die Fliehkraft des Deckbandes gegeben ist. Der Krümmungsradius r am Übergang des Nietschaftes in das Schaufelblatt, vgl. Abb. 5, sollte allermindestens 10% des Durchmessers d des Schaftes sein, wobei 1X die Größenordnung 1,6 hat; besser ist ein wesentlich größerer Krümmungsradius (rjd = 0,25 gibt Abb.l5.4.5 Ausrundung der Wurzel des Nietschaftes am Deckband

181

15.4 Beanspruchung des Schaufelpaketes durch Strömungskräfte

rx ~ 1,3). - Eigentlich gilt Gl. (16) nur, wenn zwischen Deckband und Schaufelende ein kleiner Spalt besteht, vgl. Abb. 6, denn nur dann muß der Nietschaftquerschnitt das ganze Biegungsmoment übertragen. Es kann aber jederzeit durch herstellungsbedingte Ungenauigkeiten eine Konfiguration entstehen, die der von Abb. 6 ähnlich ist, weshalb vorsichtigerweise nach Gl. (16) zu rechnen ist. Die Nietverbindung zwischen Schaufel und Deckband ist oftmals die eigentliche Schwachstelle der Konstruktion, besonders wenn infolge des Nietverfahrens noch eine örtliche Versprädung des Werkstoffes auftritt. Dies ist um so gefährlicher, als zu der vorerst behandelten rein statischen Beanspruchung noch eine Abb.15.4.6 wesentliche Schwingungsbeanspruchung treten kann. Deshalb Spalt zwischen Deckband sucht man dort, wo besonders schwierige Verhältnisse auftreten und Schaufeln gibt un(große Strömungskräfte, hohe Temperaturen), ohne Vernietung günstige Beanspruchung des Nietschaftes auszukommen und verwendet z. B. Lösungen der in Abb. 15.1.8 dargestellten Art. Eine andere Lösung besteht darin, die Schaufeln zwar mit Zapfen zu versehen, die in entsprechende Löcher des Deckbandes hineinragen, aber keine Vernietung vorzunehmen, sondern die über den Zapfen verbleibenden (also von den Zapfen nicht ausgefüllten) Teile der Löcher mit Schweißmaterial auszufüllen. So entsteht eine sehr gute Verbindung zwischen Zapfen und Deckband. Die Schaufelfüße eines solchen Paketes werden vor dieser Operation durch Schweißen geheftet. Nach Beendigung der Schweißarbeiten wird das Paket geglüht und dann fertig bearbeitet. Bei schlanken Laufschaufeln und hohen Umfangsgeschwindigkeiten ist auch im Falle des Schaufelpaketes die Rückwirkung des Fliehkraftfeldes auf die Verformung und damit den Spannungszustand zu berücksichtigen. Dies kann in grundsätzlich gleicher Weise geschehen wie in Abschn. 15.3 beschrieben, nur daß ein anderer Ansatz für die elastische Linie gemacht werden muß. Diese muß einen Wendepunkt besitzen, da ja das Biegemoment an der Schaufelspitze dem an der Schaufelwurzel entgegengesetzt ist. Wir setzen anstelle der Gl. 15.3 (6)

ME (l)

y = -1 - -

Dabei wird in der Tat

JlO

p

y"(O)

2

(

px) l

1-cos-.

(17)

=~. JlO E

und außerdem wird das Verhältnis der Momente an Schaufelspitze und Schaufelwurzel offenbar richtig, wenn 0 cosp = -T="O oder 0 . p = arc cos ( (18)

1=0),

und zwar gleichgültig, ob es sich um ein Paket mit vielen oder nur mit zwei Schäufeln handelt; man hat nur das jeweils gültige 0 einzusetzen. Ausgehend vom Ansatz Gl. (17) erhält man nach einer Rechnung, die derjenigen im vorangegangenen Abschnitt völlig analog ist, folgendes: (19)

Hier sind abif und ab 2f die Biegungsspannungen an der Schaufelwurzel der freien Schaufel, ohne Berücksichtigung der Fliehkraft, d. h. die Spannungen nach Gl. (9). 0 ist zu bestimmen nach Gl. (11) oder (12) und XI und X2 nach Gl. 15.3 (14). Im Falle von x2 können dabei K' und K" aus Abb. 15.3.3 entnommen werden, während im Falle von XI gilt

K"

=

(y -1 ) p

Y- 1 [ K 1 = -P1 - 2b 2 2

[__!:_ _ ~ 2 3

sinp

-P--

b . ] p2 (1 - cosp - p smp) .

+ 1-cosp-p sinp + ~ (3[p2- 2] cosp + p[p p2 p3

2-

6] sinp

(20)

+ 6)].

(21 )

182

15. Festigkeit der Schaufelungen

Im Grenzfall der deckbandlosen Schaufel wird 0 = 0 und somit p = n/2. Dann müßten die K' und K" eigentlich mit den früher angegebenen Werten übereinstimmen, was natürlich zufolge der anderen Struktur der Gleichung der elastischen Linie nicht exakt zutrifft, wohl aber mit außerordentlich guter Näherung. Die Biegungsspannungen im Deckband selbst und in der Verbindung können analog aus früher zu (22) (23)

berechnet werden. Man beachte, daß die theoretische Behandlung der Nachgiebigkeit des Deckbandes an sich nur bei ß = 0 richtig ist und um so mehr den Charakter einer rohen Näherung annimmt, je größer ß wird. Damit hängt es auch zusammen, daß bei den Entwicklungen dieses Abschnittes die Biegung in Richtung der Hauptträgheitsachse 2 so behandelt wird, als ob die versteifende Wirkung des Deckbandes nicht bestände. Dies erhält seine Berechtigung vor allem dadurch, daß J 2 stets sehr viel größer ist als J 1 • Immerhin darf man bei großem Neigungswinkel ß des Profils die Genauigkeit der Untersuchung nicht überschätzen. Insbesondere kann dann die oft kritische Spannung im Nietschaft den Rechnungswert noch überschreiten.

15.5 Torsionsbeanspmchung von Schaufeln Die Torsionsbeanspruchung der Schaufeln ist in den meisten Fällen so gering, daß man ihr wenig Beachtung schenken muß. Eine solche Beanspruchung entsteht normalerweise durch die Strömungskräfte, deren Resultierende im allgemeinen nicht durch den Profilschwerpunkt geht. Sie wird aber höchstens dann gefährlich, wenn eine Resonanz mit einer Torsionsschwingungszahl der Schaufel auftritt, weil dann eine Spannungsamplitude entsteht, die ein Vielfaches des statischen Rechnungswertes ist, der ja stets den zeitlichen Mittelwert darstellt. - Außerdem entsteht aber unter dem Einfluß der Fliehkraft allein eine Torsionsbeanspruchung in jeder "verwundenen" Laufschaufel, d. h. dann, wenn die Richtungen der Hauptträgheitsachsen der Profile längs der Schaufel varüeren. Auch diese Beanspruchung hat man in der Regel zu Recht als vernachlässigbar betrachtet, doch gibt es Ausnahmefälle, wo sie erheblich wird und sogar die gleiche Größenordnung annehmen kann wie die reine Zugbeanspruchung. Dies ist der Fall bei sehr • Krofllinie •t- consl schlanken und stark verwundenen Schaufeln, also vorab bei Endstufen von Dampfturbinen, t ... t1f/f oder gelegentlich auch bei ersten Stufen von Axialverdichtern, besonders bei solchen gewisser Strahltriebwerke. Um diese Torsionsbeanspruchung näherungsweise zu bestimmen, denken wir uns zunächst für eine Anzahl von Profilen die Skelettlinien eingezeichnet, vgl. Abb. 1. Längs jeder Skelettlinie läßt sich nun eine Kotierung anbringen, indem man durch Abb. 15.5.1 Schaufel mit Profilskelettlinien und "Kraftlinien"

t -=~ I

(1)

eine Größe t definiert. Hier ist I der Profilquerschnitt und LI I der Querschnittsanteil zwischen der Profilnase und dem Laufpunkt P, vgl. Abb. 1. Somit läuft t von 0 bis 1, was zu einer entsprechenden t-Kotierung längs der Skelettlinie führt. Wir nehmen an, daß die Profilschwerpunkte sämtlich auf ein und demselben Radius liegen und daß daher

15.5 Torsionsbeanspruchung von Schaufeln

183

in jedem Schaufelprofil die fliehkraftbedingte Radialspannung az gleichmäßig über den Querschnitt verteilt sei. Für das betrachtete Profil, dessen Torsionsbeanspruchung bestimmt werden soll, kann die Fliehkraft Z =I az als bekannt vorausgesetzt werden. Da wir das Schaufelblatt als verhältnismäßig dünn voraussetzen, denken wir uns die Schaufellängskräfte konzentriert in die Fläche, die durch die sämtlichen Skelettlinien bestimmt ist. In dieser Fläche kann man "Kraftlinien" angeben, indem man Punkte gleichen Wertes t miteinander verbindet. Unter den gemachten Voraussetzungen hat die Längskraft in jedem Punkt der Krofl!inie Fläche die Richtung der Tangente I an die Kraftlinie, die durch den Punkt geht. Projekfion der Nun betrachten wir für das Profil Krofflinie \._ ein Bogenstück, das einem t-Zuwachs dT -........_ dt entspricht. Dieses überträgt offenbar eine radiale Kraftkomponente dt

V

dZ

= Z dt = I 11z dt,

(2}

vgl. Abb. 2. Die Längskraft dL setzt sich aber aus dZ und einer in der Profilebene liegenden Kraft dT zusammen, die offenbar durch dT

= dZ tan v = I az tan v dt

(3)

gegeben ist. Hier ist v der Neigungswinkel der Kraftlinie gegen den Ra- Abb. 15.5.2 Zur Bestimmung des Torsionsmomentes in einem dius. Die Angriffslinie von d T ist die Schaufelquerschnitt Schnittgerade zwischen der Profilebene und der Ebene, die aufgespannt wird durch den Radius und die Tangente an die Kraftlinie in P. Die Angriffslinie ist damit zugleich die Tangente (in P) an die Projektion der Kraftlinie auf die Profilebene, vgl. Abb. 2. Bezüglich des Profilschwerpunktes S übt dT ein Drehmoment dMt = adT

(4)

aus, wo a der Abstand zwischen Angriffslinie und Profilschwerpunkt ist; er hängt von t ab, wie aus Abb. 2 zu erkennen ist. Damit findet man für das gesamte so erzeugte Moment den Ausdruck 1

Mt= f azJ a(t) tanv(t) dt.

(5)

0

Nun kann aber der Schaufelteil oberhalb des betrachteten Querschnittes unter dem Einfluß der Fliehkraft allein auf Abb. 15.5.3 Punkte größter diesen Schnitt kein resultierendes Moment ausüben, sondern Schubspannungen (A und B) lediglich eine radial stehende Kraft durch den SchwerpunktS. an einem Schaufelprofil Also muß im Schaufelschnitt zusätzlich eine Torsionsspannungsverteilung auftreten, die ein Torsionsmoment erzeugt, das entgegengesetzt gleich Mt ist. In Tat und Wahrheit entstehen ja auch die dT durch eine Schubspannungsverteilung im Profil, die wir die primäre nennen wollen. Dieser ist die eben genannte Torsionsspannungsverteilung als sekundäre zu überlagern, woraus eine Spannungsverteilung resultiert, deren Drehmoment verschwindet. Die primären Schubspannungen sind stets verhältnismäßig klein, greifen aber zum Teil an großen Hebelarmen an. Die sekundären Schubspannungen erreichen, wie das bekannte Seifenhautgleichnis lehrt, ihre größten Werte etwa in den Punkten A und B, Abb. 3. Zur Erzeugung des Gegenmomentes stehen diesen Schubspannungen also besonders bei dünnen Profilen nur kleine Hebelarme

184

15. Festigkeit der Schaufelungen

zur Verfügung, weshalb sie u. U. hohe Spitzenwerte annehmen müssen. Im Gebiet der Punkte A und B sind die primären Schubspannungen klein und überdies anders gerichtet als die sekundären. Deshalb genügt es zur Beurteilung der Gefährdung der Schaufel, einfachhin den Spitzenwert der sekundären Schubspannungsverteilung zu bestimmen. Wir sind also auf das klassische Problem der Bestimmung der größten Torsionsschubspannung im Schaufelprofil unter dem Einfluß des bekannten Torsionsmomentes Mt zurückgeführt. Diese ist gegeben durch Tmax

=

"*'

{6}

wo W t das Widerstandsmoment gegen Torsion ist. Wt geht bekanntlich nicht in so einfacher Weise aus der Profilgeometrie hervor, wie das etwa für das Widerstandsmoment gegen Biegung der Fall ist. Nach WEBER und GüNTHER [13] läßt sich setzen W

J,

(7)

t ~d'

wo d die Profildicke und Jt das Torsionsträgheitsmoment bedeuten. Diese Relation läßt sich noch etwas verfeinern. Bekanntlich läßt sich außer dem Seifenhautgleichnis noch eine zweite Analogie für das Torsionsproblem angeben. Man hat sich die Profilherandung zu denken als Begrenzungswand einer im Inneren des so umgrenzten Raumes erfolgenden ebenen Strömung, die dadurch definiert ist, daß der (senkrecht zur Bildebene stehende) Vektor rot t im ganzen Strömungsraum konstant ist. Die so entstehenden Stromlinien sind identisch mit den Höhenlinien im Seifenhautgleichnis, und t ist proportional dem örtlichen Schubspannungsvektor i. Wenn man dies beachtet, also für Gleichheit von Irot tl in den Punkten A und B sorgt und annimmt, die Verteilung von c und somit auch von -c zwischen A und B lasse sich hinreichend genau durch ein quadratisches Gesetz annähern, findet man J, {

wt ~ d

l

+ (d/r.)

+ 12- [(djr;) + (d/r.)] (d/r;)

}

(8)

.

Hier sind r; und r a der innere und der äußere Krümmungsradius der Profilkontur an der kritischen Stelle. Der Wert des Trägheitsmomentes Jt geht nicht auf ebenso einfache Weise aus der h Geometrie des Querschnittes hervor, wie das für die anderen Trägheitsmomente der Fall ist, was mit der Verwölbung des Querschnittes durch die zusammenhängt. Für das J t von SchaufelTorsion a profilen gibt FORSHAW [20] die Näherungsformel Jt

Jh

da

3 : 02

J

t

(J

3

~ _ _ _o'---.----

1

+

a

(9)

ha da

"

Die Bezeichnungen gehen aus Abb. 4a hervor. Die Formel gibt für schlanke Profile (z. B. Axialverc dichter) eine befriedigende Genauigkeit. MüHLE [14] Abb. 15.5.4 ersetzt das gegebene Profil durch ein DoppelkreisZur angenäherten Bestimmung von J, a) gegebenes Profil mit Bezeichnungen; b) gleichbogenprofil, doch scheint die Art des Ersatzes das wertiges Profil mit gerader Skelettlinie; Ergebnis sehr empfindlich zu beeinflussen. Nach c) äquivalente Ellipse einer unveröffentlichten Untersuchung erhält BEGLINGERauch für dicke, stark gekrümmte Profile nach folgendem Verfahren eine sehr gute Näherung. Er geht aus vom polaren Trägheitsmoment J P des gegebenen Profils, d. h. von

JP

= J (x + y 2

f

2}

dx dy.

(10)

15.6 Wärmespannungen in Schaufeln

185

Hier sind x und y die Koordinaten des Flächenelementes dx dy, wobei die Hauptträgheitsachsen Koordinatenachsen sind. Das Integral ist über die ganze Fläche f des Profils zu erstrecken. - Nun wird weiter das gegebene Profil, Abb. 4a, übergeführt in ein symmetrisches, indem man die Skelettlinie zu einer geraden Strecke gleicher Länge streckt und längs dieser die gleiche Dickenverteilung h(a) annimmt wie für das gegebene Profil. So entsteht Abb. 4 b. Dieses gestreckte Profil hat bezüglich seiner Hauptträgheitsachsen Trägheitsmomente Ji und J~, die sich leicht bestimmen lassen. Die gleichen Hauptträgheitsmomente hat ein bestimmter elliptischer Querschnitt mit den Hauptachsen a und b, vgl. Abb. 4c, und zwar ist Jt = J'f

(.!:_)2 b .

(11)

1

Für die Ellipse aber ist das Torsionsproblem streng gelöst, und es läßt sich zeigen, daß

Jt = J* ~ Jt

4 J*

+ Jt + 1

2

Jp.

(12)

Diese Formel kann man nun mit guter Näherung für das ursprüngliche Schaufelprofil übernehmen, d. h., man setzt in GI. (12) das JP des ursprünglichen Profils ein und hat damit sein Jt. Hierauf liefert GI. (8) wt und GI. (6) Tmax' womit das Problem gelöst ist. Das rechnerische Vorgehen läßt sich damit überblicken. Man zeichnet für eine hinreichende Zahl von Schaufelschnitten die Skelettlinien der Profile ein, bestimmt für jede den Verlauf der durch GI. (l) definierten Größe t, und bringt eine entsprechende t- Kotierung an den Skelettlinien an. Die Verbindungslinien von Punkten gleichen t- Wertes sind die Kraftlinien. In dem Schnitt, für den man Tmax berechnen will, bestimmt man in Funktion von t den Neigungswinkel v und den Hebelarm a und kann hierauf aus GI. (5) Mt berechnen. Alsdann erfolgt die Berechnung von Tmax aus den Gin. (6), (8), (10) und (12) wie angegeben. - Die Frage, in welchem Schaufelschnitt das größte Tmax zu erwarten ist, läßt sich nicht zum voraus beantworten. Man muß also die Untersuchung für mehrere Schnitte durchführen. Auch die Winkel, um die die einzelnen Schaufelschnitte unter dem Einfluß der Torsion verdreht werden, sind nicht ohne weiteres vernachlässig bar. Ist d {}der gegenseitige Verdrillwinkel zweier um dr auseinanderliegender Profile, so ist d{}= :;; dr,

'

(13)

wo G der Gleitmodul des Werkstoffes ist. Für den Verdrillwinkel {}gegenüber der spannungsfreien Lage eines im Radius r liegenden Profils findet man folglich, wenn man J t durch GI. (12) ausdrückt, (14)

wo rN der Nabenradius ist. Bei der Behandlung der Drehschwingungen von Schaufeln in Abschn. 19.5 werden wir die Größe "P JPfJt einführen. Sie ist nach den obigen Ausführungen durch

=

(15) gegeben.

15.6 Wärmespannungen in Schaufeln Bei Gasturbinen mit gekühlten Schaufeln ist die Temperaturverteilung innerhalb eines einzelnen Schaufelschnittes im allgemeinen recht ungleichmäßig, was zu Wärmespannungen im Schaufelblatt führt. Ihre genaue Erfassung ist zwar unmöglich, schon weil die Temperaturverteilung nicht sehr genau bekannt sein wird, und weil darüber

186

15. Festigkeit der Schaufelungen

hinaus die exakte Lösung des Spannungsproblems auf unüberwindliche mathematische Schwierigkeiten stößt. Für eine praktische Beurteilung des Problems ist aber schon eine Theorie brauchbar, welche die Schaufel als stabförmigen Körper auffaßt, in dem ein einachsiger Spannungszustand herrscht. Eine solche wird nachfolgend entwickelt, und zwar unter der Voraussetzung elastischen Verhaltens des Werkstoffes. Abb. l stellt das Profil dar, in welchem die Verteilung der Wärmespannungen ermittelt werden soll. Die Koordinatenachsen x und y seien die Hauptträgheitsachsen des Profils, der Koordinatenursprung also sein Schwerpunkt. Innerhalb des Profils sei die Temperaturverteilung T (x, y) bekannt. Da im Gültigkeitsbereich des Hookeschen Gesetzes das Superpositionsprinzip y gilt, dürfen wir uns darauf bef df schränken, die Wärmespannungen in der sonst kräftefreien Schaufel zu betrachten. Für die Dehnung x senkrecht zur Profilebene gilt e

=; + ßT,

(l)

wo ß der Wärmeausdehnungskoeffizient des Werkstoffes ist. ry Die senkrecht zur Bildebene stehende Schwerlinie der Schaufel Abb. 15.6.1 Schaufelprofil, zur Herleitung der Beziehungen wird unter dem Einfluß der unüber die Wärmespannungen gleichmäßigen Temperaturverteilung im betrachteten Profil verkrümmt. Die örtliche Krümmung kann gekennzeichnet werden durch die zwei in die Hauptträgheitsachsen fallenden Krümmungsradien rx und ry, Abb. l. Wenn wir vereinfachend annehmen, daß ursprünglich ebene Schaufelschnitte auch nach der Verkrümmung der Schwerlinie eben bleiben, können wir s in Funktion von x und y darstellen durch x y (2) e = eo+-+-. rx ry Hier ist s0 die Dehnung in der Schwerlinie selbst. Für die Darstellung der Theorie ist es bequemer, mit den Krümmungsgrößen Xx

zu arbeiten, also zu setzen

e

1

=-, r,.

=

(3)

+ Xx X + Xy y.

eo

(4)

Wenn man dies in GI. (l) einsetzt und nach a auflöst, erhält man a

=

E (eo

+ Xx X + Uy y

-

ßT).

(5)

Nun muß diese Spannungsverteilung aber noch der Bedingung der Kräftefreiheit genügen, die wir ja voraussetzen. Es müssen also sowohl die resultierende Normalkraft P als auch die Momente Mx und My bezüglich der Hauptträgheitsachsen verschwinden, d. h., es ist zu fordern P df = 0, (6)

=Ja f

Mx

== JY a df =

0,

(7)

Jx a df = 0.

(8)

f

Myf

Hier ist df das Flächenelement dx dy, und es ist über den ganzen Querschnitt f zu integrieren. GI. (5) in GI. (6) eingesetzt, führt auf

J (eo + Xx

f

X+ Uy

Y - ßT) df

=

0.

(9)

15.6 Wärmespannungen in Schaufeln

187

Da aber die Koordinatenachsen Hauptträgheitsachsen sind, ist

Jxdl =

so daß GI. (9) übergeht in

jydi=O,

0,

f

eo

f

I - ßf

T dI

f

oder e0

= o

j JTdl.

=

(10)

f

Durch Einsetzen von GI. (5) in GI. (7) erhält man eo

JY d I + "x fJ

X

f

Y dI

+ "Y JY d I - ß JY T d I = 0. 2

(11)

f

f

Wie schon erwähnt, verschwindet der erste dieser vier Integralausdrücke. Der zweite ist nichts anderes als das Deviationsmoment; es ist somit

Jxydl = 0,

f

weil wir die Hauptträgheitsachsen vor uns haben. Der dritte Integralausdruck ist das Trägheitsmoment (12) so daß übrigbleibt

"!! Jx

f

- ß y T dI = f

o.

(13)

Eine genau analoge Relation erhält man aus GI. (8). Löst man beide nach den " auf, so findet man (14) "Y = ~xf Y T dl • f

Damit ist unser Problem gelöst, denn aus den Ausgangsdaten lassen sich aus GI. (10) eo und aus den Gin. (14) "x und "Y berechnen, worauf GI. (5) für jeden Punkt x, y die Wärmespannung a liefert. Man beachte, daß die Lösung invariant ist gegenüber willkürlicher Wahl des Temperaturnullpunktes, wie es sein muß. Nun müssen wir nochmals auf die Vereinfachungen zurückkommen, die in der Theorie vorgenommen wurden. Die unübersichtlichste dieser Vereinfachungen besteht darin, daß einachsiger Spannungszustand angenommen wurde. Starke Abweichungen hiervon sind zu erwarten bei sehr großen Temperaturgradienten in radialer Richtung, weil benachbarte Profile sich gegenseitig daran hindern, sich in ihrer eigenen Ebene frei zu dehnen. Qualitativ läßt sich aber sagen, daß die dadurch entstehenden Zwangskräfte wohl selten die Größenordnung derjenigen erreichen dürften, die durch die Behinderung der freien Radialdehnung der einzelnen Fasern zustande kommen. Diese letzteren erzeugen aber den oben berechneten Spannungszustand. - Die Voraussetzung, daß ursprünglich ebene Schnitte eben bleiben, kann nicht streng erfüllt sein. Der Extremfall ist das freie Schaufelende, das sich derart verwölbt, daß es radialspannungsfrei wird. Im großen und ganzen wird man also mit dieser Annahme die Spannungen eher etwas überschätzen. Der gegenteilige Fall ist zwar nicht ganz undenkbar, setzt aber sehr unwahrscheinliche Temperaturverteilungen voraus. Bei Laufschaufeln entsteht eine weitere Komplikation dadurch, daß die Verkrümmung der Schwerlinie zusätzliche fliehkraftbedingte Biegespannungen zur Folge hat. Diese vergrößern die Spannungen gegenüber den Rechnungswerten. Daß dies sicher der Fall ist, erkennt man leicht, wenn man sich den Extremfall vorstellt, die Fliehkraft

188

15. Festigkeit der Schaufelungen

strecke die Schaufel völlig gerade, verhindere also jede Krümmung. Dann ist einfach

a=Eßp;Tat-T],

(15)

was auf größere Spannungsbeträge führt als Gl. (5). Der Fliehkrafteffekt wird aber nur bei sehr schlanken Schaufeln beträchtlich, während gerade gekühlte Schaufeln, um die es sich hier handelt, aus konstruktiven Gründen stets verhältnismäßig gedrungen ausfallen. y Abb. 2 zeigt das Ergebnis eines einfachen ffJ -O -o.ozs durchgerechneten Beispiels. Angenommen ist ein ,-------=~+--+--..._ -0.050 Doppelkreisbogenprofil und darin eine Tempe-0.075 raturverteilung, die beschrieben wird durch X -0)00

''

'' '

''

/

/

/

/

/

T=

/

Abb. 15.6.2 Ergebnis der Wärmespannungs· rechnung an einer Doppelkreisbogenschaufel

To

+ C72 riJ T,

(16)

wobei T 0 und iJ T Festwerte sind. Die Temperatur hängt also nur von x ab und ist an Einund Austrittskanten um iJ T höher als in der Profilmitte. Die Lösung läßt sich darstellen in der Form a = 4E ß iJT cp(x, y). (17)

Es sind in Abb. 2 Linien konstanten Wertes cp eingetragen, die in diesem Beispiel die Gestalt von Parabeln annehmen. Für die angenommenen Proportionen dfs = 0,18, {} = 90° und für E = 2 · 106 Mdynfcm 2 , ß = 1,5 · 10-5 ( C)- 1 , iJ T = 100 oc ist z. B. 4E ß iJ T = 12 · 103 Mdynfcm 2 , so daß der höchste Spannungsbetrag (an den Ein- und Austrittskanten) 1260 Mdynfcm 2 ist (1 Mdyn = 1,02 kp). Dies ist eine Druckspannung, subtrahiert sich also von der Fliehkraftspannung. Die größte Zugspannung ist 960 Mdynfcm2 • Würde man nach Gl. (15) rechnen, also ohne jede Verbiegung der Schaufel, so erhielte man unter den gleichen Bedingungen eine größte Druckspannung von 2340 Mdynfcm2 , aber eine größte Zugspannung von nur 670 Mdynfcm 2 • Das rührt daher, daß dann die Spannung nur von x abhängt (wie auch T). Dementsprechend herrscht die größte Zugspannung über die volle Dicke des Profils und wird deshalb verhältnismäßig klein. Das ist deshalb bedeutsam, weil sich die Zugspannung zur Fliehkraftspannung addiert. Im Grenzfall, wo die Schaufel durch die Fliehkräfte völlig geradegestreckt würde, wäre also der Beitrag der Wärmespannungen zur Gesamtspannung sogar kleiner als bei einer thermisch bedingten Verbiegung der Schaufel. 0

15.7 Viskoser Spannungszustand in Schaufeln Bei hoher Temperatur entspricht einem gegebenen Spannungszustand nicht ein zeitlich unveränderlicher Verformungszustand des Werkstückes, sondern der Werkstoff "kriecht", d. h., er erleidet unter der Beanspruchung eine zeitlich stetig fortschreitende Verformung. Auf diese Erscheinung wird unter 15.11 genauer eingetreten. Hier halten wir zunächst nur fest, daß die relative Dehnung e, die eine einachsig durch die Spannung a bei der Temperatur T beanspruchte Faser erfährt, eine dauernde zeitliche Zunahme e = defdt aufweist, für welche man in allgemeinster Form setzen kann

e

8 = F (a , T, t) .

( 1)

hängt also außer von a und T auch noch von der Zeit ab. Die Funktion F (a , T , t) ist als rein empirisch - nämlich aus Kriechversuchen - gegeben zu betrachten. Es wird schon hier deutlich, daß ein Hauptproblem bei der Untersuchung solcher Beanspruchungszustände darin besteht, sich die nötigen empirischen Unterlagen zu beschaffen, hängt

189

15.7 Viskoser Spannungszustand in Schaufeln

doch die Funktion F von drei Parametern ab, was auf ein äußerst umfangreiches Versuchsprogramm führt. Die Dehnung e, welche die Faser erfährt, setzt sich nun zusammen aus der rein elastischen Dehnung, der Wärmedehnung und der zeitlich fortschreitenden Kriechdehnung, d. h., man kann setzen t

(2)

s=; +ßT+ JF(a,T,t)dt. 0

Daraus folgt

(3)

was für a = const, T = const wieder in GI. ( 1) übergeht. Die Annahme der zeitlichen Konstanz von a darf aber nicht ohne weiteres getroffen werden, sondern es ist gerade unsere Aufgabe, den zeitlichen Verlauf von a zu ermitteln. Wenn wir nun die Spannungsverteilung in der Schaufel durch eine einachsige annähern und wiederum die Annahme zugrunde legen, daß ursprünglich ebene Schaufelschnitte eben bleiben, gilt für jeden Zeitpunkt GI. 15.6 (4), somit also auch

+ ,(x + ,(y Y •

S = B0

(4)

X

Zusammen mit GI. (3) erhalten wir für den Fall zeitlich konstanter Temperatur :; =E[e 0 +"xx+ ,(Yy -F(a, T, t)].

(5)

Wir bezeichnen mit Z die Fliehkraft im betrachteten Profil und mit Mx und My die Biegemomente um die x- und y-Achse, die wie in Abschn. 15.6 die Hauptträgheitsachsen des Profils sind. Es ist dann f

f

f

(6)

My=Jxadf.

Mx= J Y adf,

Z=Jadf,

Bei zeitlich unveränderlichen äußeren Kräften ist daher

J:; df = 0,

(7)

f

J :; ydl

=

0,

(8)

=

0.

(9)

f

J:;

X

dl

f

Durch Einsetzen von GI. (5) in Gl. (7) erhält man

s I + ,(x J x d I + ,(Y J y d I 0

f

f

f

J F (a, T, t) d I

=

0.

Die ersten beiden dieser Integrale verschwinden aber, weil der Koordinatenursprung Schwerpunkt ist. Daher bleibt (10) 0 =+JF(a,T,t)df.

s

f

Ebenso findet man durch Einsetzen von GI. (5) in GI. (8)

e f y d f + "X f 0

f

f

X

y dI

+ "y f Y d I - f F (a' T' t) y d I = 2

f

0.

f

Wiederum verschwindet das erste Integral; dasselbe gilt für das zweite, denn es stellt das Deviationsmoment dar. Das dritte Integral ist das Trägheitsmoment Jx bezüglich

190

15. Festigkeit der Schaufelungen

der x-Achse. Deshalb erhält man schließlich die erste der beiden nachfolgenden Gleichungen, während die zweite auf analoge Weise aus GI. (9) hervorgeht.

iey=

~xfF(a,T,t)ydf,

(ll)

f

Üx= ~vfF(a, T,t)xdf. r

(12)

Schließlich schreiben wir noch GI. (5) als Differenzengleichung, d. h. in der Form

L1a=E[s 0 +iexx+ieyy-F(a,T,t)]L1t.

(13)

Die Rechnung geht nun folgendermaßen vor sich. Für den Zeitpunkt t = 0 berechnet man den rein elastischen Spannungszustand. Dieser wird sich in der Tat zuerst einstellen, da der Kriechvorgang nur sehr langsam fortschreitet. Mit dem so bestimmten Spannungszustand und der als gegeben betrachteten Temperaturverteilung im Profil liefern die Gin. (10) bis (12) i 0 , iey, iex; alsdann wählt man ein erstes Zeitintervall L1t und erhält aus GI. (13) für jede Stelle des Profils die Veränderung L1 a der Spannung. Von diesem neuen Spannungszustand ausgehend bestimmt man in gleicher Weise wie zuvor neue Ob die Spannungsverteilung 0 ,iey, iex und für ein weiteres Zeitintervall die L1 a usw. asymptotisch einem Grenzzustand zustrebt, y hängt von der Struktur der Funktion F ab; im allgemeinen ist ein solches Verhalten mindestens n äherungsweise zu erwart en. Eine einfache Aussage läßt sich machen :c für den Fall, wo über einen Teil des Schaufelschnittes die Temperatur so tief ist, daß dort E überhaupt kein Kriechen eintritt. In diesem Bereich ist F = 0. Der asymptotisch erreichte Spannungszustand kann sogleich angegeben werden. Die Querschnittsteile, in denen der Werkstoff kriecht, sind spannungsfrei. Der nicht kriechende Querschnittsteil übernimmt allein die volle Beanspruchung durch die Fliehkraft und die Strömungskräfte. Außerdem erfährt er Wärmespannungen infolge der Temperaturunterschiede in diesem Querschnittsteil I I während die Temperaturen in den selbst, ~~~ ckriechenden Partien ohne Belang sind. Dieser -wo .,...........-Spannungszustand ist zeitunabhängig und er.J / :...-füllt alle vorgegebenen Bedingungen, womit l.--coo / ~~ gezeigt ist, daß er wirklich der asymptotische V Spannungszustand ist. Er berechnet sich in naheliegender Abwandlung der dargelegten sooo h 70000 Berechnungsmethoden, die Elastizität voraustsetzen. Der Unterschied besteht lediglich darin, Viskoser Spannungszustand in einer Doppelkreis- daß nur der genannte Teil des Quersclmittes bogenschaufel (1 Mdyn = 1,02 kp) als tragend zu betrachten ist (auch die J sind nur für diesen Querschnitt, und zwar für seine Hauptträgheitsachsen zu bestimmen), während die Massen entsprechend dem vollen Quersclmitt einzusetzen sind. Unter Umständen können dadurch sehr wesentliche fliehkraftbedingte Biegemomente entstehen. An diesem asymptotischen Spannungszustand überrascht, daß die kriechenden Querschnittspartiell spannungsfrei sind. Dies ist die Folge der Voraussetzung, wonach ur-

e

15.8 Die Gestaltung der Schaufelbefestigung

I9I

sprünglich ebene Schaufelschnitte eben bleiben, trifft also nur näherungsweise zu. In Wirklichkeit verwölben sich die Querschnitte, wodurch eben jener räumliche Spannungszustand entsteht, der die Kraftübertragung von den "heißen" auf die "kalten" Querschnittspartiell bewirkt. Diese zeitlich fortschreitende Querschnittsverwölbung kann sich aber. in der Nähe der Schaufelwurzel weniger entwickeln als weiter außen, weshalb wir dort eine Spannungsverteilung zu erwarten haben, die der rechnungsmäßigen immerhin ähnlich ist. Die Rechnung überschätzt dabei die auftretenden Spannungen, zeigt aber doch, daß der Fall, wo nur ein Teil des Querschnittes im elastischen Bereich bleibt, seine besonderen Gefahren in sich birgt. Abb. I zeigt Rechenergebnisse für ein durchgerechnetes Beispiel. Bei der dargestellten Doppelkreisbogenschaufel ist wiederum eine Temperaturverteilung angenommen, die quadratisch von x allein abhängt, derart, daß die Temperatur an den Schaufelkanten E und A um IOO oc höher ist als im Mittelschnitt x = 0, wo sie ihr Minimum aufweist. Die Temperatur in E und A ist 750 °0. Für die angegebenen Punkte 1 bis 4 sind die Spannungen in Funktion der Zeit im Bild angegeben. Beachtenswerterweise ist nach 104 h der asymptotische Spannungszustand noch keineswegs erreicht.

15.8 Die Gestaltung der Schaufelbefestigung Der Gegenstand dieses Abschnittes ist nur die Befestigung der Laufschaufel am Rotor, da der Leitschaufelfuß keine sehr großen Kräfte zu übertragen hat und daher im allgemeinen keine schwierigen Probleme stellt. - Günstigste Verhältnisse liegen vor, wenn die Schaufeln mit dem Rotor ein Stück bilden (was nur bei sehr kleinen Maschinen auf wirtschaftliche Weise zu verwirklichen ist, Abb. I) oder wenn die Schaufeln mit dem Rotor verschweißt sind, vgl. Abb. 2. Das an sich naheliegende Schweißen ist aus verschiedenen Gründen auch heute noch wenig

Abb. 15.8.2 Auf die Scheibe aufgeschweißte Laufschaufeln (BBC)

verbreitet. Es schränkt die Freiheit der Wahl der Werkstoffe ein. Dort, wo die einzelnen Füße am Umfang aneinanderstoßen, besteht Abb.l5.8.1 Laufrad einer Kleingasturbine. Schaufeln die Gefahr der Rißbildung in der Schweißund Rad sind aus einem Stück gegossen (Sulzer) naht. Die Schaufelung muß mit dem Rotor zusammen ausgeglüht werden. Deshalb beschränkt sich die Anwendung der Schweißung auf besondere Fälle und wird, wenn einwandfrei ausgeführt, nicht billiger als eine mechanische Befestigung. Jede mechanische Schaufelbefestigung muß einander übergreifende Bauelemente aufweisen, wie in Abb. 3a schematisch dargestellt ist. Diese Art der Übertragung der Kraft erfordert unter allen Umständen mehr Masse als die direkte Übertragung, wie sie im Falle der Schweißung z. B. möglich ist, denn über eine gewisse Strecke muß der not-

192

15. Festigkeit der Schautelungen

wendige Querschnitt I dreimal nebeneinander vorhanden sein. - Wir lassen vorerst Feinheiten aus dem Spiel, wie etwa die Zulässigkeit größerer Spannungen bei Druck als bei Zug und stellen auch die Frage der Biegungsspannungen zurück. - Eine große Masse ist aber nachteilig, denn sie bringt große zusätzliche Fliehkräfte mit sich, die von Teilen des Übergangselementes ebenfalls übertragen und vor allem vom Rotor aufgenommen werden müssen. Daher muß es ein leitender Gesichtspunkt sein, rotierende Konstruktionselemente so leicht wie möglich zu gestalten. In diesem Zusammenhang ist zu beachten, daß die Übertragung einer gegebenen Kraft besser durch mehrere "parallelgeschaltete'' Übertragungselemente geschieht als durch ein einziges, denn dann erhält das einzelne Übertragungselement kleinere Abmessungen, wobei die Querschnitte proportional dem Quadrat der Abmessungen, die Massen aber proportional ihrer drita ten Potenz gehen. - Daraus dürfte c b allerdings nicht gefolgert werden, Abb. 15.8.3 Schematische Darstellung der mechanischen daß von zwei geometrisch ähnlichen, Schaufelbefestigung mit einander übergreifenden Elementen mit gleicherUmfangsgeschwindigkeit laufenden Rotoren der kleinere weniger hoch beansprucht sei, denn die Fliehkraft eines Elementes mit der Massemist m u 2 fr. Das r im Nenner gleicht den Vorteil der relativ kleineren Masse gerade wieder aus. Eine Anordnung der in Abb. 3 b schematisch gezeigten Art, bei der die Kraftübertragung über zwei einander übergreifende Elemente erfolgt, ist offensichtlich leichter als diejenige nach Abb. 3a, da der Querschnitt I nur 2,5mal nebeneinander unterzubringen ist. Es fällt andererseits sofort auf, daß der Werkstoff noch nicht völlig ausgenutzt ist, denn die Querschnitte I', die gleich I sind, sind unnötig groß. Richtiger ist daher die Anordnung nach Abb. 3c, die noch mehr Masse einspart. - Bei diesen Überlegungen ist auf die Biegungsmomente nicht eingetreten worden; ihre Berücksichtigung ändert aber an den besprochenen Grundtatsachen nichts. Man wird indessen stets bestrebt sein müssen, durch geeignete Symmetrien und sonstige konstruktive Mittel die Biegungsmomente nach Möglichkeit zu eliminieren, was allerdings meist nicht restlos gelingt. Damit sind die Richtlinien, nach denen Laufschaufelfüße zu gestalten sind, zu erkennen: Kraftübertragung durch mehrere übereinandergreifende Elemente, Verjüngung der Querschnitte in Richtung der abnehmenden Gesamtkraft, Vermeidung von Biegungsmomenten. Bei Schaufelfüßen, die in Umfangsnuten des Rotors gehalten werden, ist ferner das Problem ihrer Einführung in die Nut bei der Montage zu berücksichtigen. Oft hat die Nut zu diesem Zweck eine Öffnung am Umfang, die nach Einbringen der Schaufeln durch besondere Schloßstücke oder durch eine mit besonders gestaltetem Fuß versehene "Schloßschaufel" geschlossen wird. Dieses Bauelement ist für die ganze Gestaltung der Schaufelbefestigung von ausschlaggebender Bedeutung. - Nach den angegebenen Überlegungen wäre eine mechanische Befestigung einer Schaufel um so hochwertiger, je größer die Anzahl der Übertragungselemente, in welche die Kraftübertragung verzweigt wird. Das würde zutreffen, wenn das gleichzeitige Aufliegen aller Übertragungsflächen gesichert werden könnte, was aber schon die unvermeidlichen Herstellungstoleranzen verunmöglichen. Deshalb tragen die einzelnen Elemente zunächst sehr ung~eich, und die örtlichen Beanspruchungen können die berechneten Werte um ein mehrfaches übersteigen. Der Ausgleich wird hergestellt durch plastische Verfor mungen. Nun liegen aber die Herstellungstoleranzen und somit die plastischen Ver-

193

15.8 Die Gestaltung der Schaufelbefestigung

formungen ihrer absoluten Größe nach ungefähr fest. Gleiche absolute Verformungen führen aber zu um so größeren relativen Deformationen, je kleiner das Bauelement, an dem sie auftreten. Diese Tatsache macht die Vorteile einer Verteilung der Kraftübertragung auf eine sehr große Anzahl von Elementen wieder zunichte. Es muß also im Einzelfall eine optimale Lösung aufgesucht werden, wobei man sich weitgehend auf die Erfahrung stützen muß. Abb. 4 stellt einige Varianten der sog. Hammerkopfbefestigung dar. Die Form a ist vor allem für Trommelrotoren geeignet, während sie bei Scheibenrotoren nur beschränkte Umfangsgeschwindigkeiten erlaubt. Dieser letzteren Bauart ist die Form b angepaßt, die übergreifende Fortsätze 1 aufweist. Ohne diese würde der Querschnitt 2 des Radkranzes eine erhebliche Biegungsbeanspruchung erleiden, die aber vermieden wird, wenn man durch den Fort- < satz 1 das seitliche Ausweichen des Kranzes verhindert. Abb. 5 zeigt das Ergebnis eines Versuches von Escher11 Wyss, der die Richtigkeit dieser An13 e 2 - - - rr - -,--ordnung bestätigt. Dort handelt es -r)i,oh,"*''~ . sich um einen doppelten Hammer• . kopf, wie er auch in Abb. 4c dar' gestellt ist; er gestattet die Überd tragung sehr hoher Fliehkräfte. Im Abb.15.8.4 Falle der Abb. 4 c wird die LagesicheBeispiele von Schaufelbefestigungen durch Hammerkopf rung der einzelnen Schaufeln durch a) für Trommelrotor, b) für Scheibenrotor, c) Doppelhammerkopf, d) Schaufelschloß nach Escher· Wyss, e) Schaufelschloß mit "Zahnlücke" eingestemmte Stücke 1 erreicht. \ '

-~ .l..- - \... -

Abb. 15.8.5 Experimentelle Bestätigung der Wirksamkeit übergreifender Fortsätze am Schaufelfuß zur Vermeidung des seitlichen Ausweichans des Radkranzes. Versuche von Escher-Wyss Traupel, Turbomaschinen II, 2. Auf!.

13

194

15. Festigkeit der Schaufelungen

Bei der Hammerkopfbefestigung tritt das Problem des Schaufelschlosses auf. Abb. 4d zeigt eine Lösung von Escher- Wyss. Die Füllstücke 1 und 2 werden zunächst nicht eingelegt, so daß die Schaufeln 3, 4 weiter nach links, 5, 6 nach rechts geschoben und die Schloßschaufel 7 eingebracht werden können. Dann folgt das Zurückschieben der Schaufeln 3 bis 6, womit die Schaufel 7 "gefangen" ist. Jetzt können die Füllstücke 1 und 2 eingeschoben und in der darI I gestellten Weise verstemmt werI I den. Die Schaufel 7 wird durch I :-1----l-"'-4 die Schaufeln 4 und 5 getragen, I I die normal in der Nut gehalten I I 'I sind, gleichzeitig aber noch in die I I Schaufeln 3 und 6 eingreifen, die l-1------"~ so auch noch zum Tragen mit I I herangezogen werden. Trotz dieser I I Verteilung der Kraftübertragung I a c b sind die Beanspruchungen in der Schloßpartie natürlich größer als Abb. 15.8.6 In Umfangsnuten eingesetzter Sägezahnfuß und im übrigen Teil. Dieser Nachteil zugehöriges Schaufelschloß (Sulzer) läßt sich weitgehend vermeiden mit einem Schloß der in Abb. 4e dargestellten Art. Hier ist an der Einfüllöffnung eine Schaufel weggelassen. In die entstehende Lücke werden die Stücke 1 und 2 eingeführt, die unter die benachbarten Schaufeln greifen und so getragen werden. Alsdann wird der Keil 3 eingetrieben und durch Verstemmen der Stücke 1 und 2 in der angedeuteten Weise am Austreten verhindert. Das Fehlen einer Laufschaufel macht sich immerhin im Wirkungsgrad bemerkbar (Größenordnung 1%) und ist oft auch nicht unbedenklich im Hinblick auf die Möglichkeit der Erregung von Schwingungen in der Leitschaufelung. Zur Übertragung großer Fliehkräfte ist der Sägezahnfuß, auch Tannenbaumfuß genannt, gut geeignet. Abb. 6a stellt einen normalen Fuß dieser Art dar, der ähnlich dem Hammerkopffuß in eine Umfangsnut eingesetzt wird und daher wie dieser auch ein Schloß benötigt. Es ist in einer Ausführung von Sulzer in Abb. 6b und c wiedergegeben. Zwischen dem Fuß 1 und der Ausweitung 2 der Nut sind einzelne schmale beidseitig gezackte Füllstücke 3 eingeschoben. Zum Einführen derselben dient die schmale Öffnung 4, die grundsätzlich die einzige Unterbrechung der Tragrillen darstellt. Die ÖffAbb.15.8. 7 Einsetzen ganzer Schaufelpakete nung 4 wird schließlich gefüllt durch ein einseitig (Parsons) gezahntes Stück 5 und einen Füllkeil 6, der verstemmt oder verschweißt wird. Der gleiche Gedanke wie bei diesem Schaufelschloß liegt auch einer Konstruktion von Parsons zugrunde. Hier werden jeweils einige Schaufeln durch Hartlötung zu einem sehr steifen Paket vereinigt, vgl. Abb. 7, und in die Nut eingebracht, die zu diesem Zweck die nötige Breite aufweist, Abb. Sa. Dann werden durch die Füllöffnung 3, Abb. Sb, die Füllstücke 2 eingesetzt. Die Öffnung 3 wird in ähnlicher Weise geschlossen, wie oben schon beschrieben. Da das Schaufelpaket sich wie ein einziger Körper verhält, entstehen günstige Beanspruchungsverhältnisse. Abb. 9 zeigt die von BBC für mäßig beanspruchte Schaufelungen augewandte Konstruktion, bei welcher das Schaufelblatt aus einer gezogenen Profilstange gefertigt ist.

195

15.8 Die Gestaltung der Schaufelbefestigung

Die Schaufel ist an ihrem unteren Ende augestaucht und nachbearbeitet und greift mit dieser Verdickung unter Zwischenstücke, die ihrerseits in den seitlichen Rillungen der Nut gehalten sind. Diese Rillung ist beachtenswerterweise nir3 gendsamUmfang unterbrochen, 2 denn die Zwischenstücke können eingeführt werden, wie in Abbildung lOa gezeigt. Dies gelingt nur beim letzten Zwischenstück nicht. Diese Lücke wird, wie in Abb. lOb dargestellt, durch Eina setzen getrennter Stücke 1 und 2, Abb. 15.8.8 In entsprechend breite Nut eingesetztes Schaufelpaket Eintreiben eines Keiles 3 und (Parsons) Verstemmen geschlossen. Für höhere Beanspruchungen verwenden BBC Schaufeln, die in üblicher Weise in einen Fuß übergehen, der eine Zwischenform zwischen Hammerkopf und Sägezahnfuß

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a Abb. 15.8.9 BBC-Befestigung für mäßige Beanspruchung. Schaufel besitzt augestauchten Rand, der unter die Zwischenstücke greift

Abb. 15.8.10 a) Einführung der Zwischenstücke in die Nut bei Befestigung nach Abb. 9; b) Ausfüllung der letzten Lücke

darstellt, Abb. 11. Das Profil der Nut ist nirgends unterbrochen, und die einzelnen Schaufelfüße werden eingeführt wie in Abb. lOa die Zwischenstücke. Damit dies möglich sei, ist zwischen je zwei Schaufelfüßen ein schmales Distanzstück angeordnet, vgl. Abb. ll. Zum Schluß werden einige Schaufeln eingeführt ohne die zugehörigen Distanzstücke. Sie werden alsdann an den richtigen Ort gerückt, während die verbleibenden schmalen Lücken in gleicher Weise geschlossen werden, wie in Abb. lOb gezeigt. Bei dieser Konstruktion steht für den eigentlichen Schaufelfuß etwas weniger als die volle Teilung zur Verfügung, was zu entsprechend erhöhten Beanspruchungen führt. Dafür fehlt eine eigentliche Schloßpartie, die sonst fast immer höher und in einer oft recht unübersichtlichen Weise beansprucht ist. Bei Maschinen mit Scheibenrotoren wird auch oft die sog. reitende Schaufel verwendet, vgl. Abb. 12. Wie Abb. 13 schematisch zeigt, wird hier die Kraft in einer günstigeren Weise übertragen als bei einem in eine Umfangsnut eingesetzten Fuß. Schaufelfuß und Radkranz werden daher zusammen entsprechend leichter. Hingegen tritt auch hier das Schloßproblem auf. Es wird meist durch Vernieten der Schloßschaufel gelöst, vgl. Abb. l2b.

Abb. 15.8.11 Schaufelfuß von BBCfürhoheBeanspruchungen 13*

196

15. Festigkeit der Schaufelungen

Die Schaufelbefestigung durch Vernietung (Abb. 14) oder auch durch konische Paßstifte (Abb. 15) ist teuer, aber sehr hochwertig. Sie führt auf leichte Konstruktionen,

a

b

Abb. 15.8.12 Reitende Schaufel a) normale Fußausführung, b) Befestigung der Schloßschaufel durch Nietung

Abb. 15.8.13 Vergleich der reitenden Schaufel mit der :Befestigung, bei welcher der Kranz den Fuß umgreüt. Masse von Fuß und Kranz zusammen wird bei der reitenden Anordnung etwas geringer

Abb. 15.8.14 :Befestigung der Schaufeln durch Nietung

die große Kräfte zu übertragen vermögen. Ein Schaufelschloß wird nicht benötigt. Bei der Befestigung mit Paßstiften wird auch der Schaufelfuß selbst mit Passung in die Nuten des Radkranzes eingeführt. Sie hat den Vorteil absolut klarer Auflage- und Einspannverhältnisse, was mit Rücksicht auf die Schaufelschwingungen bedeutsam ist.

CF-.·-.-·-·:-·-·-·-·-·- ij~1~D Ii

I

Sc/mit/ C-JJ

Abb. 15.8.15 Durch konische Paßstifte befestigter sog. "Steckfuß" für die Laufschaufel der Endstufe einer Kondensationsturbine (AEG)

Die Schaufelbefestigung durch axiale Stifte wird auch bei den Axialverdichtern der Flugtriebwerke allgemein verwendet. Dort werden teilweise absichtlich gelenkige Verbindungen vorgesehen, vgl. Abb. 16, die beim Auftreten von Schaufelschwingungen dämpfend wirken sollen.

15.8 Die Gestaltung der Schaufelbefestigung

197

Bereits DE LAVAL benützte eine Schaufelbefestigung, bei welcher die einzelnen Schaufeln in Axialnuten der Scheibe eingesetzt wurden, vgl. Abb. 17. Diese Befestigungs-

Abb. 15.8.17 Lavalbefestigung

Abb. 15.8.18 Axial eingesetzter Sägezahnfuß Axiale Fixierung durch Ringstücke 1 und eingestimmte Stücke 2

Abb. 15.8.16 Gelenkig befestigte Laufschaufel des Axialverdichters eines Flugtriebwerkes (de Havilland)

art ist in der Folge in sehr großem Umfang für einstufige Maschinen verwendet worden, z. B. für Abgasturbinen von Dieselmotoren. Bei sehr hoch beanspruchten Rädern erwies sich allerdings Abb. 15.8.19 Axial eingesetzte Sägezahnfüße an einer der in Abb. 17 angegebene Querschnitt 1 Regelstufe einer Hochdruckturbine von Escher-Wyss als etwas schwingungsgefährdet, wes(nach 28000 Betriebsstunden mit 600 °C) halb man die Konstruktion mehr und mehr zugunsten des axial eingesetzten Sägezahnfußes verlassen hat. Diesen zeigen z. B. Abb. 18 und 19. Er ist eine teuere aber zugleich auch die hochwertigste mechanische Schaufelbefestigung, denn er gewährleistet die höchste Werkstoffausnutzung und damit geringste Masse. Das Schaufelschloß und die mit ihm verbundenen erhöhten Spannungen fehlen. Es ist lediglich eine axiale Lagesicherung vorzunehmen, für die es viele einfache Möglichkeiten gibt, vgl. z. B. Abb. 18. Äußerst genaue Fertigung ist unbedingtes Erfordernis. Die Herstellung der Nuten geschieht in der Mehrzahl der Fälle durch Räumen, was aber aus naheliegenden Gründen nicht an sehr langen Rotoren geschehen kann. Dort müssen die Nuten gefräst werden. In diesem Falle ist es sogar möglich, sie kreisförmig zu krümmen, vgl. Abb. 15.8.20 Einführung von Sägezahnfüßen in kreisförmig geAbb. 20, und sich so in idealer krümmte Axialnuten an einer Dampfturbinen-Endstufe (SSW)

198

15. Festigkeit der Schaufelungen

Weise der Schaufelform anzupassen. Diese Bauform gewinnt für die Endstufen von Dampfturbinen zunehmende Bedeutung. - Der axiale Sägezahnfuß findet in zunehmendem Maße Verwendung, wo schwierigste Beanspruchungsverhältnisse vorliegen, also vor allem auch für Hochtemperaturstufen, besonders Gasturbinen. Die Turbinen moderner Flugtriebwerke weisen allgemein diese Schaufelbefestigung auf.

15.9 Die Beanspruchung der Schaufelbefestigung Die Berechnung des Schaufelfußes ist naturgemäß verschieden, entsprechend den großen Unterschieden der Bauformen, doch lassen sich einige gemeinsame Richtlinien herausarbeiten. Die Zurückführung des Problems auf die Elementaraufgaben der Festigkeitslehre - die weithin das typische Verfahren zur Berechnung von Maschinenteilen ist - gelingt nur unter Inkaufnahme sehr grober Vereinfachungen. Dadurch wird entweder die Festigkeitsrechnung sehr unsicher, was in Anbetracht der Folgen eines Versagens gerade im vorliegenden Falle nicht zu verantworten ist, oder man muß durch entsprechend vorsichtige Annahmen über zulässige Spannungen u. dgl. die nötige Sicherheit schaffen. Dieser letztgenannte Weg ist aber überall dort nicht mehr gangbar, wo besonders hohe Anforderungen gestellt werden, d. h. wo die Umfangsgeschwindigkeiten oder die Temperaturen an die äußerste Grenze getrieben werden. Deshalb sind in solchen Fällen genauere Untersuchungen Abb. 15.9.1 Spannungsoptisches Bild der Spannungsverteilung notwendig. Als Verfahren hierzu kommen in Frage die Spannungsin einem Hammerkopf optik und der direkte Versuch an einem Probestück (z. B. Abb. 15.8.5), letzterer oft auch bei erhöhter Temperatur. Oft wird auf spannungsoptischem Wege zunächst eine Fußform entwickelt, die günstige F estigkeitseigenschaften verspricht, worauf die Tragfähigkeit noch im direkten Versuch geprüft wird. Andererseits sind für gewisse Konstruktionselemente teils elastizitätstheoretische, teils spannungsoptische Untersuchungen in systematischer Weise durchgeführt worden, womit auch die Grundlagen für eine etwas genauere Berechnung gegeben sind. Jeder tragende Querschnitt eines Schaufelfußes ist im allgemeinen beansprucht durch eine reine Radialkraft (die Summe aus den Fliehkräften der Schaufel und des Fußes selbst oder eines Teiles desselben) und ein Biegungsmoment. Letzteres kann außer durch die Strömungskräfte auch dadurch bedingt sein, daß die Radialkraft nicht durch den Schwerpunkt des Querschnittes geht. Wir betrachten zunächst nur die Radialkräfte und kommen später auf die Biegungsmoment e zurück. Gute Berechnungsunterlagen bestehen für den Hammerkopf, der seiner verhältnismäßig einfachen Form wegen systematisch untersucht werden konnte, und zwar auf spannungsoptischem Wege, vgl. HETENYI [2], oder auch die zusammenfassende Darstellung bei PETERSON [9]. Abb. l zeigt ein Beispiel eines spannungsoptischen Bildes, aus dem zu erkennen ist, daß an der Ausrundung zwischen dem senkrechten und waagerechten "Balken" die höchste Spannung auftritt. Abb. 2 zeigt eine solche Partie vergrößert. Es sei a die Breite, t die senkrecht zur Ebene der Abb. 3 gemessene Tiefe (Teilung) der Halspartie und P die zu übertragende Kraft. Dann läßt sich für die in der

15.9 Die Beanspruchung der Schaufelbefestigung

199

Ausrundung auftretende größte Spannung setzen CTmax =

:' p

(21) (22)

worauf die Gln. (1) P 1 und P 2 liefern. Der Gang der Rechnung kann nun leicht verfolgt werden und läßt sich in abgekürzter Form wie folgt angeben: (19) -+Pr; (20) -+Pt; (21) -+ P; (22) -+ v; (1) -+ P 1 , P2; (13)-+ Me 1 ; (7)-+ Me2; {14)-+ M 1" M2r; (15)-+ a(x1, x2); {17)-+ a"' bzw. (18)-+ a"'max· Die hier vorausgesetzte Bauform mit zwei Tragringen wird praktisch häufig verwendet, siehe etwa das Beispiel Abb. 4. - Dort ist übrigens auch zu erkennen, wie einer Ljungström-Turbine eine Regelstufe vorgeschaltet werden kann, die Teilbeaufschlagung zuläßt. Sie ist im vorliegenden Fall ein Curtis-Rad, das in zentripetaler Richtung durchströmt wird (im Bild ganz rechts). -Daneben kommt es aber auch vor, daß zwei Tragringe nicht mehr genügen, weil man auf Schaufellängen geführt ist, die zu unzulässig hoher Biegebeanspruchung Anlaß geben würden. Dann sind Zwischenringe notwendig,

218

15. Festigkeit der Schaufelungen

also z. B. eine Ausführung mit drei Tragringen, Abb. 5. Die Behandlung dieses Falles kann an sich in völlig analoger Weise erfolgen, doch wird die Rechnung sehr viel ver-

Abb. 15.10.4 Schnitt durch eine Gegendruckdampfturbine Bauart Ljungström (STAL)

wickelter. Wenn man sich in diesem Falle das Problem so vereinfacht, daß man den mittleren Ring in seiner Mittelebene zerschnitten denkt, also wieder zwei Einheiten mit je zwei Tragringen vor sich hat, so werden die Spannungen in den Schaufeln, die ct., und

Abb. 15.10.5 Schnitt durch eine Dampfturbine Bauart Ljungström (gegenläufige Radialturbine) mit achsial durchströmten Endstufen (STAL)

die Einspannmomente an den äußeren Ringen etwas überschätzt. Hingegen treten am mittleren Ring größere Einspannmomente auf, als diese vereinfachte Rechnung ergibt. Für diese kann man eine Näherung erhalten, indem man in GI. (13) J, nach Unendlich

15.11 Die Beurteilung der Festigkeit von Schaufeln und ihren Befestigungen

219

streben läßt. Diese Rechnung liefert wieder etwas zu große Einspannmomente, liegt also auf der sicheren Seite. Diese Einspannmomente interessieren, da durch sie die Beanspruchung der Verbindung zwischen Schaufel und Ring gegeben ist. - Was hier über die Beanspruchungen bei der Lösung mit drei Tragringen gesagt wurde, gilt nur, wenn der Querschnitt des mittleren Ringes ungefähr doppelt so groß ist wie der jedes äußeren Ringes. 15.11 Die Beurteilung der Festigkeit von Schaufeln und ihren Befestigungen a) ,Allgemeines. Jede Festigkeitsrechnung besteht grundsätzlich aus zwei Schritten, nämlich aus der Bestimmung des Spannungszustandes und seiner Beurteilung nach bestimmten Kriterien. Diese Kriterien sind der Gegenstand dieses Abschnittes. Sie werden in der Praxis noch meistens in der Form angegeben, daß man für den gegebenen Werkstoff für einige typische Belastungsfälle (Zug, Druck, stetige oder wechselnde Last usw.) zulässige Spannungen festsetzt, obwohl die Unzulänglichkeit dieses Verfahrens der Forschung seit langem bekannt ist. Leider ist aber unser Wissen noch viel zu lückenhaft, um die Aufstellung exakter Kriterien zu erlauben. Eine gute Übersicht über den Fragenkomplex geben RüHL [11] und SoRs [15]. Sie behandeln allerdings nicht das für den Turbomaschinenbau besonders wichtige Problem der Warmfestigkeit. Der Kontrast zwischen der Geschlossenheit und Strenge der Theorien, die uns zur Berechnung von Spannungszuständen dienen, und der Lückenhaftigkeit, scheinbaren Inkohärenz und Undurchsichtigkeit der Kriterien, die wir zu deren Beurteilung heranziehen, ist für jeden wissenschaftlich denkenden Ingenieur tief unbefriedigend. Diese Situation hat aber Gründe, die im Wesen der Sache liegen. Soll nämlich eine Theorie zur Bestimmung von Spannungen überhaupt eine Struktur aufweisen, die ihre Anwendung auf beliebige Fälle - wie sie in der Technik gegeben sind - zuläßt, so muß sie Kontinuumsmechanik sein. Damit ist aber bereits ein Schritt getan, der zu der genannten Diskrepanz führt. Die anisotrope Struktur unserer Werkstoffe entspricht nicht den Grundvorstellungen der Kontinuumsmechanik, und sie macht sich - das ist die eigentliche Schwierigkeit - bereits im Makroskopischen bemerkbar, denn die Abmessungen der Kristallite sind vergleichbar mit maßgebenden Werkstückabmessungen, wie Abrundungsradieu u. dgl. - Rechnet man mit der Elastizitätstheorie, so macht man weiter die Voraussetzung der vollständigen Reversibilität aller Veränderungen, die der Körper unter der Beanspruchung erleidet. Dieser Idealfall ist wohl nie in voller Strenge verwirklicht, mehr noch, selbst die weniger einschneidende Voraussetzung der WiederherBteilbarkeit eines einmal vorhandenen Zustandes, die auch noch in der Theorie des idealplastischen Körpers gemacht wird, entspricht nicht der Wirklichkeit. Wäre die vollständige Wiederherstellbarkeit eines Zustandes gewährleistet (und zwar selbst unter Voraussetzung einer gewissen Hysteresis) so könnte sich das Problem der Ermüdung des Werkstoffes nicht stellen, denn jeder Zyklus, der einmal geht, müßte dann unbeschränkt oft gehen. Es sind diese Unterschiede zwischen den Grundvorstellungen der Theorie und dem wirklichen Verhalten der Werkstoffe, welche die Anw~ndung der Erkenntnisse der Werkstoffprüfung auf technische Festigkeitsrechnungen ebenso erschweren wie die Schaffung einer in sich kohärenten und umfassenden W erkstoffmechanik. Dazu kommt, daß elastizitätstheoretisc)l gegebene Zusammenhänge und werkstoffmechanische Sachverhalte so ineinandergreifen können, daß die entstehenden Effekte dem Verständnis nicht leicht zugänglich sind. Ein Beispiel ist der als "Stützwirkung" bekannte Effekt. Dabei handelt es sich um das folgende: In einem drehsymmetrischen gekerbten Zugstab ist der Spannungszustand im Kern des engsten Querschnittes dadurch gekennzeichnet, daß die drei Rauptspannungen positiv sind. Dadurch wird die Fließgrenze, wie aus Abb. 16.18.2 hervorgeht, wesentlich erhöht, was sich in einer höheren Tragfähigkeit des Stabes äußert. Es wird daraus aber auch sogleich klar, daß mit diesem Effekt keineswegs bei jeder Kerbe in einem Werkstück zu rechnen ist.

220

15. Festigkeit der Schautelungen

Nachfolgend werden die Verhältnisse für tiefe und hohe Temperatur getrennt dargestellt. Dabei sprechen wir von "tiefer Temperatur" allgemein, solange die Erscheinung des Kriechens nicht auftritt. Kriecht der Werkstoff, so liegt "hohe Temperatur" vor. Bei den im Dampf- und Gasturbinenbau gebräuchlichen Materialien liegt die Grenze zwischen beiden Temperaturgebieten im allgemeinen etwa bei 450 °0. b) Tiefe Temperatur. Wir gehen aus vom einachsigen Spannungszustand mit konstanter Spannungsverteilung über den Querschnitt, wobei wir sofort den Fall der schwingenden Beanspruchung betrachten, bei der sich einem zeitlichen Mittelwert a m eine periodische Spannung mit der Amplitude aa überlagert, derart, daß sich die resultierende aa bewegt, vgl. Abb. l. Schreibt man Spannung zwischen au = am- aa. und a0 = a", sich für einen gegebenen Werkstoff am vor, so existiert im allgemeinen eine zugehörige größte Spannungsamplitude &a, die praktisch unu beschränkt lange aufgebracht werden· darf, ohne U0 daß das Werkstück bricht. Dieses D-a ist strenggenommen wie folgt definiert. Es sei a~ (N) diejenige Spannungsamplitude, die man am überlagern muß, damit der Körper nach N Schwingungen bricht. Dann ist (1) lim a~(N). N-+oo

+

Abb. 15.11.1 Festlegung der Bezeichnungen für periodische Beanspruchung

aa =

Die Beobachtung lehrt, daß Stähle im allgemeinen etwa das folgende Verhalten zeigen. Zwischen N = 1 und 105 fällt a~ etwa ab vom Wert der statischen Bruchspannung as auf 0,9as. Bei N = 106 ist a~ noch etwa das 1,1- bis 1,2fache des asymptotischen Endwertes D-a, der bei N = 10 7 praktisch erreicht ist. Allerdings zeigen Werkstoffe, auch erhebliche Abweichungen von diesem Verhalten, was beachtet werden muß, wenn eine Spannungsspitze, die über am + liegt, eine beschränkte, aber große Anzahl von malen (z. B. 104 mal) auftritt. Bei gewissen Leichtmetallen konnte andererseits ein asymptotischer Endwert überhaupt nicht festgestellt werden, d. h., es ist wahrscheinlich D-a R:::i 0. Solche Werkstoffe sind zur Aufnahme von Wechselbeanspruchung ungeeignet. Die AufD-a und IYu = IYm -D-a tragung von a 0 1Ym in Funktion von am liefert ein Bild der in Abb. 2 wiedergegebenen Art; dort ist ap die dm Fließgrenze, as die statische Bruchgrenze. Dieses sog. Dauerfestigkeitsschaubild (auch Smith-Diagramm genannt}, welches eine Zusammenfassung von Versuchsergebnissen darstellt, ersetzt man für den praktischen Gebrauch in der Regel durch einen eingeschriebenen polygona en Linienzug, der in Abb. 2 ebenfalls eingetragen ist. Er ist dadurch gekennzeichnet, daß er mit ap als oberer Spannungsgrenze abschließt, im Gegesantz Abb. 15.11.2 Dauerfestigkeits-Schaubild (Smith-Diagramm) zum wirklichen Diagramm, das bis as reicht. Das Ersatzdiagramm hat also bei B einen Knick. Die Kohärenz der theoretischen Behandlung verlangt diesen Schritt (der auf der sicheren Seite liegt!}, sobald das wirkliche Spannungs-Dehnungsdiagramm durch die Idealisierung nach Abb. 15.9.7 ersetzt wird, bei der angenommen wird, daß bis zur Fließgrenze ideales linear-elastisches Verhalten vorliege, während der Werkstoff nach

aa

+

15.11 Die Beurteilung der Festigkeit von Schaufeln und ihren Befestigungen

221

Überschreitung dieser Grenze idealplastisches Verhalten zeige, so daß Spannungen von größerem Betrag als aF nicht möglich sind. Solche "praktische" Dauerfestigkeitsschaubilder können etwa den in Abb. 3 dargestellten Charakter annehmen; die Gestalt des Diagramms verrät, daß der Werkstoff im Bereiche der Druckspannungen etwas mehr aushält als im Bereich von Zugspannungen. Dieser Effekt ist bei spröden Werkstoffen (z. B. Gußeisen) sehr ausgeprägt, bei zähen aber, wie sie für die Schaufeln von Turbomaschinen in Frage kommen, äußerst gering, so daß mit guter Näherung gleiches Verhalten gegenüber Zug- und Druckspannungen angenommen werden darf. So entsteht der Polygonzug _ 8 .+-10;:n-l--;!----l---!;-F-J-----:!:--l~1S;--JL.-..;~~!:-k.l,-J.f-~, nach Abb. 2, der im allgemeinen auch in A einen Knick aufweist. Seiner Symmetrieeigenschaften wegen ist er vollkommen gegeben, wenn man ihn im ersten Quadranten kennt. Bei der in Abb. 4 dargestellten Auftragung, bei der alle Spannungen dimensionslos gemacht werden durch Division durch aF, ist das ganze Bild fest- Abb. 15.11.3 Beispiel eines Wechselfestigkeitsschaubildes für einen gelegt, wenn man die Strecken a Stahl mit Fließgrenze 7300 Mdyn/cm2 (1 Mdyn = 1,02 kp) und b kennt. Richtwerte dafür sind in Abb. 4 ebenfalls angegeben; diese zieht man zweckmäßig heran, wo über den betreffenden Werkstoff keine Meßergebnisse vorliegen. PoMP und HEMPEL [16] a~--~-----r----r----, Oßr----+----+---~~~~

t ~71------t--+~~~~

""' ~6~-----~~~~~~------i

~7r----r----r----r--~

~6~~-+----+----+------i

t ~51-----"""~~~-..;::::--+----l t:!

~~1----1------l-=~~~~~

3000

6

Mdyn cm 10000

qF-

Abb. 15.11.4 Richtwerte über das Wechselfestigkeitsverhalten von Stählen in Funktion ihrer Fließgrenze a1 (1 Mdyn = 1,02 kp)

empfehlen, das Diagramm so zu konstruieren, daß die Polygonseite AB, Abb. 2, unter einem Winkel 'JI = 35° geführt wird. Die in Abb. 4 angegebenen a und b, die auf der Auswertung einer Anzahl von gemessenen Diagrammen beruhen, führen auf ein etwas

222

15. Festigkeit der Schaufelungen

größeres v. Auf Sonderwerkstoffe kann man solche Unterlagen nicht ohne weiteres übertragen; besitzt man keine genaueren Angaben, so muß man größere Reserven einrechnen. Liegt nun irgendeine einachsige Beanspruchung vor, wie sie etwa durch (f

=

(fm

+

(fa

sinw t,

(2)

beschrieben werden kann, so scheint die Beurteilung ihrer Zulässigkeit anhand des Dauerfestigkeitsschaubildes ohne weiteres möglich zu sein, denn ist für gegebenes (fm die Amplitude (fa kleiner als Ga, so ist der Bruch vermieden. Bei näherer Betrachtung erweist sich das Problem aber als wesentlich verwickelter. Vor allem ist zu bemerken, daß wir von der reinen Zug- oder Druckbeanspruchung ausgegangen sind, während in der Literatur sehr oft Angaben über die sog. Wechselbiegefestigkeit gemacht werden. Die technisch verhältnismäßig einfache Durchführbarkeit der entsprechenden Versuche, bei denen der Probestab wechselnder Biegebeanspruchung unterworfen wird, dürfte zur Verbreitung dieses Begriffes wesentlich beigetragen haben. Die im Probestab auftretenden extremen Spannungswerte berechnet man dabei aus der elementaren Theorie des gebogenen Stabes.Kontinuumsmechanisch und unter Voraussetzung linearer Elastizität müßte man nun erwarten, daß die so gewonnenen Ergebnisse (also die Grenzamplitude Ga in Funktion von (fm) identisch würden mit denen eines reinen Zug-Druckversuchs, denn die höchstbeanspruchte äußerste Faser müßte sich hinsichtlich Ermüdung genau gleich verhalten wie ein Stab unter wechselnder Längskraft. In Wirklichkeit liegen diese Wechselfestigkeitszahlen aber stets über denen für reine Zug- und Druckbeanspruchung. Das ist durch zwei Effekte bedingt. Einerseits verhalten sich die Werkstoffe nicht genau linearelastisch, was zur Folge hat, daß auch die Spannungsverteilung über dem Querschnitt nicht streng linear ist; sie ist vielmehr etwas völliger, weshalb die Spannungen in den äußersten Fasern kleiner werden, als die elementare Theorie erwartet. Andererseits sind auch die Abmessungen der Probestäbe verhältnismäßig klein (genormter Durchmesser 10 mm), weshalb der Effekt der endlichen Korngröße bereits in Erscheinung tritt, was die Spannungen in den äußersten Fasern weiter vermindert. Die aus solchen Versuchen berechneten und als Wechselbiegefestigkeitswerte angegebenen Spannungen sind also ideelle Werte, denn sie sind zu groß. Mit wachsenden Probestababmessungen geht der Effekt der endlichen Korngröße zurück, weshalb die Wechselbiegefestigkeitswerte denen des Zug-Druckversuches näher kommen, ohne sie indessen zu erreichen. Daraus wird klar, daß die Wechselbiegefestigkeit kein zweckmäßig definiertes Werkstoffcharakteristikum ist. Wir kommen auf die Frage des Einflusses der Absolutabmessungen noch zurück und führen die Überlegungen zunächst unter der Voraussetzung weiter, die Abmessungen seien so groß, daß diese Schwierigkeit nicht auftritt. Ein grundsätzliches Problem stellt sich, wenn örtlich in eng begrenztem Bereich eine hohe Spannungsspitze auftritt, während sonst die Spannungen viel tiefer liegen, denn in diesem Falle sind die Kriterien zur Beurteilung statischer und dynamischer Belastung sehr verschieden. Nach den Ausführungen unter 15.9 darf bei rein statischer Belastung der Rechnungswert dieser Spannungsspitze bis 2(fp betragen, wenn die Spannungen sonst in weitem Bereich des tragenden Querschnittes so weit unter (fp bleiben, daß die Tragfähigkeit des Körpers nicht erschöpft ist. Denn dann fließt der Werkstoff in dem betreffenden engen Bereich. Die Spannung 2(fp tritt dann gar nicht wirklich auf, sondern ist nur ein ideeller Wert, der die örtliche Dehnung kennzeichnet und der eben noch zulässig ist, weil dann ein wiederholtes Fließen bei Entlastung und Wiederbelastung noch unterbleibt. Demgegenüber ist bei dynamischer Beanspruchung das Dauerfestig(fa einen Wert (] 0 nicht überschreiten keitsschaubild maßgebend, das besagt, daß (fm darf, der höchstens den Betrag (fp annehmen kann. Für die praktische Berechnung wird meist vorgeschlagen, (f m ohne Berücksichtigung von Formfaktoren zu bestimmen, (fa aber mit Formfaktor zu berechnen und dann zu prüfen, ob man innerhalb des durch das Dauerfestigkeitsschaubild abgegrenzten Gebietes liegt. Diese Anweisung geht von der Erfahrung aus, daß eine einmalige plastische Ver-

+

15.11 Die Beurteilung der Festigkeit von Schaufeln und ihren Befestigungen

223

formungeiner Faser ihre Fähigkeit zur Aufnahme dynamischer Beanspruchungen nicht beeinträchtigt. Wir möchten diese Vorschrift im Sinne einer größeren Sicherheit - und auch der Kohärenz der Rechenverfahren für statische und dynamische Beanspruchung in folgender Weise ergänzen: Man berechne den statischen Anteil der Spannung einmal ohne Formfaktor (also ohne Berücksichtigung von Spannungsspitzen) und erhält einen Wert a m, ein zweites Mal mit dem Formfaktor IX und erhält einen Wert a:" = IX am. Weiter berechne man die Spannungsamplitude aa, und zwar stets unter Berücksichtigung des Formfaktors. Alsdann prüfe man, ob die folgenden beiden Bedingungen eingehalten sind: a:"

+ aa ~ 2aF,

(]m +(Ja


a 2 > a3 , so ist die größte Schubspannung (5)

wie die bekannte Darstellung im Mohrsehen Spannungskreis anschaulich zeigt. Für den einachsigen Spannungszustand ist daher Tmax = af2, so daß ein Spannungszustand a 1 , a 2 , a 3 äquivalent ist einem einachsigen, dessen Spannung (6)

beträgt. Die Ebenen der größten Schubspannungen bilden mit den Ebenen, in denen a 1 und a 3 auftreten, einen Winkel von 45°. Die Spannungen a; sind hier stets algebraisch zu verstehen, d. h. negativ einzusetzen im Falle der Druckspannung. Die Gleitarbeitshypothese besagt, daß zwei Spannungszustände einander dann äquivalent sind, wenn für beide die größte auf die Volumeneinheit bezogene Gestaltsänderungsarbeit eines Volumenelementes gleich groß wird. Die Beobachtung bestätigt diese Hypothese noch besser als die Schubspannungshypothese, doch sind für die meisten Spannungszustände - insbesondere für alle, mit denen wir in diesem Buch zu tun haben - die Aussagen beider Hypothesen nur wenig verschieden, wobei die Abweichungen der Schubspannungshypothese auf der sicheren Seite liegen. Wir verwenden daher die Schub-

224

15. Festigkeit der Schaufelungen

spannungshypothese, weil sie auf den ungleich einfacheren mathematischen Formalismus führt. Bei der Aufstellung der Kriterien zur Beurteilung der Beanspruchung müssen wir noch den bereits erwähnten Einfluß der Absolutabmessungen berücksichtigen, wie übrigens auch den der Rauhigkeit der Oberfläche. NEUBER [8] erfaßt die Verminderung der Spannungsspitzen an Kerben infolge der endlichen Korngröße, indem er sich am Kerbgrund einen kleinen Raumbezirk vorstellt, innerhalb dessen die Spannung - im Gegensatz zur kontinuumsmechanischen Vorstellung - konstant bleibt. Rechnerisch läuft das darauf hinaus, mit einem ideellen Ausrundungsradius der Kerbe zu rechnen, der um einen Betrag s größer ist als der wirkliche; so werden insbesondere auch die physikalisch unrealen unendlichen Spannungsspitzen an scharfen Kerben vermieden. Die Größe s, welche die Dimension einer Länge hat, wäre eine Werkstoffkonstante; NEUBER gibt dafür die Größenordnung 0,3 mm an. Ein bekanntes Verfahren besteht darin, einen wirklichen Formfaktor ß einzuführen, der mit dem rein elastizitätstheoretisch bestimmten zusammenhängt durch die Gleichung

ß-

(7)

I= rJ(IX- I).

Hier ist 17 < l ein Faktor, der abhängt vom Ausrundungsradius r der Kerbe und vom Typus des Werkstoffes. Er berücksichtigt nicht nur die endliche Korngröße, sondern auch die Abweichung gegenüber linearelastischem Verhalten (dies allerdings nur summarisch für Beanspruchungen in der Nähe der Ermüdungsgrenze, denn dieser Effekt 7,P 0,8

I,

1zol"ld~nfmm•

r-~~~n~ V::: 60

1,0

- -

t0V::v-~o- 1-- ....... f-...=: +-== zo femfischeJ'Iähle 1'/V/J-.-:~~~- \ 'I V/",...- zD

ouslenilische J'löh!e

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O,fJS

-......... \ ~ r--

]\"' 1"-- b"

i 0,7

I

z

J

r-

mm s

I"

I

I

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~-- !'---Ä'fo

z

Abb. 15.ll.5 Faktor 'f} zur Bestimmung des wirklichen Formfaktors ß, nach SoRs [15] (1 Mdyn = 1,02 kp)

r-O,fJO 0.8St::-- 0.80

l

:-- ~ t--

\ I"'

I

0,2 r/

0

ü\\ R:- r---

I~ t-...

J

i

!

I

~"', entstehen, können die DauerwechselfestigII keit wesentlich herabsetzen, vgl. darüber ~~ 1\ II '\WA ~geg/iilite Stöhle _ MORGENSTERN [19]. ~

~~ '0; ~

0,9

'~~ ~ :;:;t'l

w 1;0.,. ~ ~

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'

-

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vergiJiele Stöhle~

1,0

~ ~ :0

Z

'f C 810

ZO

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'fO

Rouhliefe R

CO 801{}(}JJ,In!/J()

Abb. 15.U.8 Oberflächenfaktor b für Zug-DruckWechselbeanspruchung (auch Wechselbiegung), nach SIEBEL und GAIER [18]

Damit lassen sich nun die Kriterien zur Beurteilung eines Spannungszustandes wie folgt formulieren. Es bezeichnen die Indizes I und 3 die größte und die kleinste Hauptspannung (stets algebraisch verstanden) bzw. ihnen zugeordnete Größen, wie Formfaktoren. In dem Punkt des Körpers, den wir herausgreifen, seien O'm 1 und O'ma die zeitlichen Spannungsmittelwerte, und zwar ohne Formfaktoren gerechnet, während o-'ml

=

(10)

Kl 1X1 O'ml,

die entsprechenden Mittelwerte der effektiven Spannungsspitzen sind. Ferner seien O'a 1 und O'aa die Spannungsamplituden, die sich den zeitlichen Mittelwerten überlagern, und zwar seien sie sogleich mit den theoretischen Formfaktoren 1X 1 und 1Xa gerechnet. Dann setzen wir (ll) O'm O'ml - O'ma,

= a:" = 0':"1- a:"a,

(12)

(13) In der letzten Gleichung gilt das obere Vorzeichen, wenn die beiden Spannungskomponenten in Phase sind, das untere, wenn sie in Gegenphase sind. Im allgemeinen Fall, wo O'a 1 und O'aa den beliebigen Phasenwinkel q; miteinander bilden würden, wäre Gl. (13) zu ersetzen durch (13') Wenn man diese Vergleichsspannungen O'm, a~" O'a (Spannungen, die gemäß der Schubspannungshypothese im einachsigen Spannungszustand zur gleichen Werkstoffanstrengung Traupel, Turbomaschinen II, 2. Auf!.

15

226

15. Festigkeit der Schaufelungen

führen) bestimmt hat, so kann man die Bedingungen für die Vermeidung des Bruches formulieren durch (14) a~ -qfi(X)

(35)

rm;

-

-pFop(Y) -ßELITFoT(Y)],

R

X =-· '

(37)

r,

ft(X) = / 2

(X)

(36)

xa ;- 1

(38)

= xs ;-1

(X2 - 1) 2 4(X -1)

1

+ 2·

(39)

Diese Funktionen sind in'~Abb. 7 dargestellt. - Die Lösung des Problems erfolgt derart, daß man q wählt, aus GI. (35) Sjt und aus GI. (36) A bestimmt, worauf mit q

= q+A (1

-

X ; 1

~)

( 40)

der Verlauf der Flächenpressung gegeben ist, insbesondere also auch der Wert im Innenradius X -1 (41) q· = q - A - '

2

'

der größer sein muß als p. Diese Bedingung ist an sich durch Annahme eines genügend großen q stets erfüllbar, doch führt dies u. U. auf so große Sjt, daß die nötigen Bolzenquerschnitte nicht unterzubringen sind. Dann ist die Konstruktion nach Abb. 3b nicht anwendbar, und es muß zur Anordnung nach Abb. 3c übergegangen werden. Im Flansch selbst können sehr erhebliche Wärmespannungen auftreten, die sich aus der längs r gegebenen Temperaturverteilung ungefähr gleich berechnen lassen wie bei der unter 16.6 behandelten Scheibe konstanter Dicke. Allerdings werden die Verhältnisse wesentlich ungünstiger durch die Gegenwart der Schraubenlöcher, deren Einfluß nur roh abgeschätzt werden kann. Weitgehend vermieden werden diese Wärmespannungen durch die Anwendung geschlitzter Flanschen nach Abb. Sa a und b. Die an sich bessere Form a verlangt die Abb. 17.2.8 Geschlitzte Flanschen. Form a) nur Anwendung von Durchgangsschrauben, wäh- für Durchgangsschrauben geeignet, Form b) für Stiftschrauben rend bei Stiftschrauben nur die Form b in Frage kommt. Bei flanschlosen Verbindungen der Art Abb. 1 wird die Zylinderschale stets durch ein Ringmoment auf Biegung beansprucht. Ist M dieses Ringmoment pro Längeneinheit des Umfangs des Mittelkreises der Schale, so ergibt sich die entsprechende Biegespannung näherungsweise zu (42)

wo rm = (r; + ra)/2 der Mittelkreisradius ist. Die Berechnungsverfahren, die hier für Topfgehäuse angegeben sind, lassen sich ebenso für druckbelastete Rohrleitungen anwenden. Der Topfkonstruktion gleichwertig ist die Konstruktion nach Abb. 9. Es handelt sich um eine Doppelmantelbauart, bei der das Innengehäuse die Differenz zwischen dem Frischdampfdruck und dem Zwischenüberhitzungsdruckaufzunehmen hat. Dieses Innengehäuse ist in einer Ebene getrennt, die; wie in der' Zeichnung rechts zu erkennen, schräg gestellt ist. Das hängt damit zusammen,' daß hier die Dampfzufuhrsektoren der Regel-

312

17. Festigkeitsprobleme an stillstehenden Teilen

stufe unmittelbar durch in das Gehäuse eingegossene Kanäle mit Dampf versorgt werden. Bei dieser Anordnung führt die Schräglage der Trennebene zu einer strömungstechnisch

Abb. 17.2.9 Hochdruckdampfturbine mit Doppelwandgehäuse (BBC). Hochbeanspruchtes Innengehäuse zweiteilig, fast völlig drehsymmetrisch und durch Ringe zusammengespannt

günstigeren Gestaltung der Kanäle als sie mit der üblichen Anordnung erreichbar wäre. Das Besondere an der Konstruktion ist das Fehlen eines Trennflansches am Innengehä use.

Abb. 17.2.10 Radialverdichter für Ammoniaksynthesegas mit Topfgehäuse (Nuovo Pignone, Florenz) Vier Verdichter dieser Art sind mit jeweiliger Zwischenkühlung hintereinandergeschaltet und bringen das Synthesegas von 29,2 bar = 29,8 ata auf 236 bar = 241 ata bei Ansangtemperaturen von ca. 30 "C für jedes Gehäuse. Drehzahl 14850 U/min. Wellendichtungen mit Ölsperrung. Anlage ausgelegt fUr Höchstdrucke bis 343 bar = 850 ata

Dieses wird vielmehr durch eine Anzahl von aufgeschrumpften Ringen zusammengehalten. Somit wird seine Kreissymmetrie durch die Trennfläche nicht gestört, solange nur die

17.3 Gehäuse und Leitschaufelträger mit horizontalem Trennflansch

313

Schrumpfkraft der Ringe genügt, um das Klaffen zu vermeiden. Die Ringe bleiben hinreichend kalt, da sie nur mit entspanntem Dampf in Berührung sind. Außerdem sind zwischen die Spannringe und den Schaufelträger Zwischenringe zur Dämmung der vVärmeleitung eingelegt. Der vordere Teil des Innengehäuses ist umgekehrt durch ein Strahlungsblech gegen die Einwirkung des kälteren Dampfes geschützt, damit dort keine zu großen Temperaturgradienten und Wärmespannungen entstehen. Die im Teillastbetrieb nicht beaufschlagten Sektoren werden durch kleine abgezweigte Dampfströme warm gehalten. Die Ringe können berechnet werden wie Scheiben konstanter Dicke, die lediglich an ihrem Innenrand durch den gleichmäßig verteilt gedachten Schrumpfdruck beansprucht werden. Dieser muß so hoch gewählt werden, daß die Schrumpfkraft um ein hinreichendes Maß größer wird als die Kraft, die aus der Druckdifferenz am Innenmantel entsteht. Die Beanspruchung dieses letzteren berechnet sich analog wie oben dargestellt, nur ist jetzt ein durch die Schrumpfringe bedingter äquivalenter Außendruck einzusetzen, der größer ist als der Innendruck. Die Schrumpfkraft ist genügend, wenn diese Rechnung für das Innengehäuse an jeder Stelle eine tangentiale Druckspannung liefert. Sobald in der Wandung ein Temperaturgradient besteht, ist diese Bedingung nicht ohne weiteres schon erfüllt, wenn nur die Schrumpfkraft größer ist als die vom Dampfdruck herrührende Kraft. Topfgehäuse finden nicht nur bei Turbinen Anwendung, sondern auch bei Turboverdichtern für die chemische Industrie, die zum Teil mit Drücken von mehreren 100 bar arbeiten. Abb. 10 zeigt eine solche Konstruktion eines Verdichters für die NH 3 -Synthese.

17.3 Gehäuse und Leitschaufelträger mit horizontalem Trennflansch Bei zylindrischen Gehäusen oder Schaufelträgern mit horizontalem Trennflansch ist der Spannungszustand außerhalb des Flansches praktisch derselbe wie in der nicht geteilten Zylinderschale. Nur der Flansch selber bedarf noch einer besonderen Behandlung, denn er erweist sich als die kritische Partie der Konstruktion. Wir betrachten wiederum zuerst die Flanschform mit schmalen Auflageflächen und führen die Gleichgewichtsbetrachtung an dem in Abb. 1 schraffiert gezeichneten Gehäusestück durch. Das Gleichgewicht der Kräfte in vertikaler Richtung wird pri ausgesagt durch die Gleichung p r;

+ ql b1 + q2 b2 = ts'

(1)

wobei wiederum S die Kraft einer Schraube und t die Schraubenteilung ist. Gleichgewicht der Momente bezüglich des Zentrums 0 liefert die Be-. ziehung

+ r;) + q2 b2(a2 + ri) + + pr~ +M = ~ (as + r;). (2) Wegen des Gliedes p r: + M beachte

q1 bi(a 1

Cfz

Abb. 17.3.1 Gleichgewichtsbetrachtung an zylindrischem

Gehäuse mit horizontalem Trennflansch man folgendes. Die Umfangskraft in der Wand hat pro Breiteneinheit den ·wert p r;. Reduziert man sie in den Punkt A, so muß man noch das Moment ra

M

= JO"t(r- r;) dr r,

(3)

314

17. Festigkeitsprobleme an stillstehenden Teilen

beifügen. Wenn man Gl. (1) mit r; multipliziert und von Gl. (2) abzieht, lautet jene q1 b1 a1

+ q2 b2 a2 + M

s

(4)

= Ta •.

Diese Beziehung hätte aber auch direkt gewonnen werden können durch Betrachtung des Gleichgewichtes der Momente am Flansch, vgl. Abb. 2. Daß diese einfachere Betrachtungsweise das korrekte Ergebnis liefert, ist nicht selbstverständlich, denn bei einem Flansch, dessen Dicke h vergleichbar ist mit r;, ist zunächst nicht klar, ob er in der Weise vom übrigen Körper getrennt gedacht werden kann, wie dies in Abb. 2 angegeben ist. Für das Moment M läßt sich weiter setzen ro

M =

J 7j

= r7

(O'tp

+ O'tT) (r- r;) dr

y

J( p+ 0' t

0' t

T) (y - 1) d y , (5)

1

Abb. 17 .3.2 Gleichgewichtsbetrachtung am horizontalen Trennflansch allein

mit y = rfri, Y = rafri. Für O'tp kann der Aus druck nach Gl. 17.2 (13) eingesetzt werden. Desgleichen kann für den stationären Temperaturzustand, der durch Gl. 17.2 (17) beschrieben wird, für O'tT der Ausdruck nach Gl. 17.2 (18) eingeführt werden. Damit kann unter diesen Voraussetzungen Gl. (5) in die folgende Form übergeführt werden: (6)

wobei die Funktionen

y

F:p(Y)

=J( Yy•-+y1 2

y-1

2 )

----:;;- dy

=

PlnY

Y2- I -

1 2'

(7)

1 y

F :T (y)

-1

=2(1-v)

J[ln(Y/y)-1 lnY

+

(Y;;)~~1](y- 1 )dy

1

=

1

2(1 - v)

[PlnY Y2

-

1 -

P-1] 4ln Y

(8)

in Abb. 3 dargestellt sind. Man kann nun GI. (6) in GI. (4) einsetzen und alsdann GI. (1) und (4) nach Sft und q2 auflösen. So erhält man Bt

= - 1a 2

a,

{q1 (a2 -

a 1) b1

+ p r; a2- r7[pF:p(Y) + ßE L1 T F:T(Y)]};

q2 = :.

(~

-q1b1 -pri)•

(9)

(10)

Man wählt also wiederum q1 hi:rlreichend größer als p, erhält damit aus GI. (9) Sft und aus GI. (10) q2 • Es ist zu beachten, daß q2 positiv sein muß, damit die Voraussetzungen der Rechnung erfüllt bleiben. Würde ein negatives q2 erhalten, dann müßte eine Annahme geändert werden; z. B. müßte man q1 größer annehmen. Die Biegebeanspruchung in den Stegen zwischen den Schraubenlöchern, die nun ebenfalls nachgerechnet werden kann, ist sehr erheblich und kann auf entsprechend große Flanschdicke h führen. Man vermindert sie durch eine girlandenförmige Ausbildung der Dichtungsleiste, vgl. Abb. 17.4.2. Die Berechnung kann dann analog erfolgen, ist aber etwas unsicherer. Allgemein sind die Gleichgewichtsbedingungen in naheliegender Weise zu ergänzen, wenn in den Zwischenraum zwischen den Dichtungsleisten Dampf von nennenswertem Überdruck eingeleitet wird.

315

17.3 Gehäuse und Leitschaufelträger mit horizontalem Trennflansch

0,3

0,03

fkr

,,

fzp~

0, 1

/

V

/

VV

/

/

/

/

/

/

JJfzr

/~

I

1

Fk'f'_;7 I'"

V

L

1

7J I I

,,

/

I

I

""

0,0 1

I I

~

/

I

J

l

II

fj

A~

AV

p,v

1,2

1,3

1,'1

-~~

1,5

1,1

Y=T'ah-

1,2

1,3

Y=T'a/7';.-

1,'1

1,5

Abb. 17.3.3 Die Funktionen Fu, F 1 p, Fk, und FkT

Bei einem Flansch nach Abb. 4 kÖnnen wir für die Flächenpressung den Ansatz -

2x- b

q=q+-b-Liq

(ll)

machen, wobei die beiden Extremwerte q + LI q und q - LI q werden. Dabei wird das Moment pro Breiteneinheit in bezug auf den rechten unteren Eckpunkt des Flansches

J b

x q dx = b2

[

~

+ ~q].

0

Somit lautet jetzt die Bedingung des Gleichgewichtes der Momente mit gleichen Bezeichnungen wie in Abb. 2 b2 [ ~-

Lf ] +-f +M = 7s as;

(12)

oder wenn man GI. (6) einführt und nach LI q auflöst

,. _ LJq- 3 q

+ 6 (Sft)a,-rnpF."(Y)+ßELfTF. p(Y)] bB • (13)

Hierzu kommt noch das Gleichgewicht der Kräfte:

~=pri+qb.

(14)

Abb. 17.3.4 Verteilung der Flächenpressung an einem Trennflansch eines zylindrischen Gehäuses

Mit einem angenommenen q ergibt sich aus GI. (14) Sft und hierauf aus GI. (13) LI q, wobei die Bedingungen JLI qJ < q und q - LI q > p erfüllt werden müssen. In manchen Fällen, besonders bei Leitschaufelträgern von Gasturbinen, treten die Beanspruchungen durch Gasdruck vollkommen zurück gegenüber jenen, die durch die Temperaturunterschiede hervorgerufen werden. Die Flanschverbindung der beiden

316

17. Festigkeitsprobleme an stillstehenden Teilen

Schalenhälften ist dann zu dimensionieren auf Grund der Forderung, daß der Schaufelträger als Ganzes nicht unrund werden darf. Bei den angegebenen Berechnungsverfahren ist diese Bedingung erfüllt, sobald alle Flächenpressungen q positiv bleiben. Die ganze Untersuchung setzt unausgesprochenermaßen die Zylinderschale als unendlich lang voraus. Die endliche Länge bedingt zusätzliche Effekte. Man denke sich etwa einen zylindrischen Leitschaufelträger endlicher Länge, dessen Temperatur am Innenradius höher sei als am Außenradius. Da an beiden Enden keine Ringmomente angreifen, wird der Zylinder die Tendenz haben, sich nach beiden Enden hin zu erweitern. Dies beeinflußt auch die Verhältnisse am Flansch, um so mehr als seine Biegesteifigkeit auf diese Verformung rückwirkt. GrundlegEnde Überlegungen hierüber werden durch REUTER [3] angegeben. Wenn aber die Vorspannung der Schrauben reichlich gewählt wird, entstehen hierdurch keine Schwierigkeiten. Über die komplizierteren Verhältnisse, die auftreten, wenn solche zylindrische Schalen wesentliche Biegebeanspruchungen erfahren, vgl. auch die Ausführungen bei EBERLE [15] und GRGIC [16]. Der Übergang zu extrem hohen Dampfdrücken hat dazu geführt, daß gewisse Konstrukteure den Hochdruckgehäusen kugelAbb. 17.3.5 Gleichgewichtsbetrachtung an einem unendlich dünnen Element einer Kugelschale förmige Gestalt geben, um die montagetechnisch wünschbare horizontale Trennung beibehalten zu können. Solche Gehäuse werden allerdings schwerer als entsprechende Topfgehäuse. Die Berechnung eines solchen kugeligen Gehäuses ist analog derjenigen eines zylindrischen. Zur Herleitung der Differentialgleichungen des Problems betrachten wir zunächst das Gleichgewicht des schraffierten Elementes in Abb. 5. Sie lautet

oder (15) Der Zusammenhang zwischen den Spannungen und den Deformationen wird beschrieben durch (16) 1

dv

s,-dr=E[a,- 2vat]

+ßT,

(17)

wo v die radiale Verschiebung an der betrachteten Stelle ist. Es ist offenbar d ( s, = dr r

St

)

de, = Et + r dr'

(18)

worauf durch Einsetzen von GI. (16) und (17) eine Relation gefunden wird, die in die Form (1 v) (at- a,) (1- v)r ~~~- vr ~~ = -ßEr ~~ (19)

+

+

gebracht werden kann. Mit GI. (15) und (19) liegen zwei Differentialgleichungen für die beiden Funktionen ar und t:Tt vor. In der üblichen Weise läßt sich daraus eine einzige Differentialgleichung für eine der beiden Funktionen gewinnen, im vorliegenden Falle am einfachsten eine solche für a" welche lautet.

~ d2 a, 2 dr 2

+ 2 r da, = dr

-

ß Er dT """irr

-1 - v

(20)

317

17.3 Gehäuse und Leitschaufelträger mit horizontalem Trennflansch

Für eine Kugelschale mit Innenradius r; und Außenradius ra, die nur durch den Innendruck belastet ist, gilt dTfdr = 0, O',{r;) = -p, O',(ra) = 0, worauf die Lösung von Gl. (20) eindeutig bestimmt ist. Wenn man sie in Gl. (15) einsetzt, erhält man ya

2"Y3 + 1

,.,

( y =.!:.!..., ,.,

O'tp = P ya _ 1

(21)

y=.!_),

wobei Index p wiederum andeutet, daß die Spannung nur durch den Druck p bedingt ist. In gleicher Weise läßt sich der Spannungszustand finden, der durch einen gegebenen Temperaturverlauf T (r) allein entsteht. Die Grenzbedingungen für Gl. (20) lauten dann O',{r;) = O',(ra) = 0. Man findet auf diese Weise O'rT

r

du,r

=

2 dr =

2ß E 11 - (1/y) 3 1- v 1- (l/Y) 3

ßE 1- v

I

!LI

- fy [!y' 113.!!!!.... d 11] Jy [!y'Y113 dTdy d Y11] !JL Y dy Y y'' y''

l

1

1

Jy[ Jy 113 dY d y

3 y3 [1- (1/Y) 3] 1

dT

y·

11

1

1

1

dy'

yt4 -

J ,3dY d 1I

1 y y3 1 y

dT

'

y .

(22) (23)

Die Summe dieser beiden Ausdrücke ist nach Gl. (15) O'tr· Die Variablen y' und y 11 haben an sich die gleiche Bedeutung wie y, nur läuft bei der Integration y 11 von 1 bis y' und y' von 1 bis y oder Y. Der stationäre Temperaturverlauf ist bei konstanten Temperaturen Ta und T; =Ta+ L1 T der äußeren und inneren Oberfläche Y-y (24) T=T.. +LJT (Y- 1)y' woraus nach der angegebenen Methode gefunden wird Y Y3 ßELJT[ O'tr=- 1-v

2(ya-1)y3 + 2(Y-1)y-

Y(Y+1)] · Y3 -1

(25)

Mit Gl. (21) bis (25) sind die maßgebenden Spannungen in der Kugelschale gefunden. Die gefährdetste Stelle ist je nach Temperaturverteilung an der Innen- oder Außenfläche. Die äquivalenten Vergleichsspannungen sind dort gemäß der Schubspannungshypothese

+ O'er{1} + p, } . + O'tr(Y)

0'; = O'tp{1} O'a = O'tp(Y)

(26)

Die Flanschverbindung berechnet sich in genau gleicher Weise wie der Rundflansch eines Topfgehäuses, weshalb die Beziehungen sogleich angegeben werden können. Für einen Flansch mit schmalen Auflageflächen gilt mit den Bezeichnungen nach Abb.17.2.4 (27) (28)

f

y

Fkp(Y)=

ya In Y (ya/2y3 ) + 1 (y-1)ydy= 2(ya-1) ya_1

1

J[ 2(Y ya-1)y Fkr(Y)=1-v

1

-6,

(29)

y

-1

3

3

Y(Y+l)] Y (y- 1 )ydy +2(Y-l)y- ya_l

1

[YlnY_Y-I_Y3 -l]} I =-Y-{Y+I+ 3 2 2 Y2-1 4 1-v

( 3 0)

aus Abb. 3 zu entnehmen sind. - Für einen Flansch, der auf der vollen Breite aufliegt, wird der Ansatz Gl. 17.2 (32) übernommen, und die Lösung lautet

~ A = f)X)

=

2~

I

[p

r~ + q(R 2

-

r~)];

[~ r,(r~~r,) -qfi(X) -pFkp(Y) -ßELJTFkr(Y)].

(31) (32)

318

17. Festigkeitsprobleme an stillstehenden Teilen

Hierbei sind / 1 und / 2 dieselben Funktionen wie in Absclm. 17.2. Die Gin. 17.2 (40) und (41) bleiben unverändert. Aus sämtlichen Gleichungen, die für die Wärmespannungen erhalten wurden, wie auch z. B. aus den Kurven, welche die Funktionen Far, Fzr und F~cr darstellen, geht hervor, daß die thermischen Beanspruchungen mit dem Wandstärkenverhältnis Y = rafr; progressiv anwachsen. Übermäßig große Wandstärken müssen also nach Möglichkeit vermieden werden. Daraus ergibt sich der grundlegende Vorteil der Doppelwandgehäuse vgl. z. B. Abb. 16.19.8 - für hohe Drücke. Sie erlauben besonders ein rascheres Anfahren. Bei allen Festigkeitsreclmungen für Gehäuse werden erhebliche Idealisierungen vorgenommen. Dies ist bei der Beurteilung der erhaltenen Rechenergebnisse zu berücksichtigen, und es sind von Fall zu Fall die besonderen Gegebenheiten zu beachten. Sehr verwickelte Verhältnisse treten auf, sobald die Fließgrenze örtlich überschritten wird. Die rechnerischen Verfahren bleiben dabei zwar grundsätzlich gleich, sind aber sinngemäß zu verallgemeinern, wobei z. B. die Bestimmung der Momente der Spannungsverteilungen auf graphischem Wege erfolgen muß. Zweckmäßig wird man die Überschreitung der Fließgrenze zu vermeiden suchen. Bei einem kugeligen Gehäuse, das durch eine Welle durchbrachen wird, wäre z. B. am Lochrand at doppelt so groß als nach der Rechnung, wenn dieser Lochrand keinerlei Verstärkung aufwiese. Eine sehr erhebliche Verstärkung dieser Partie ergibt sich aber normalerweise schon aus konstruktiven Gründen ganz von selbst. Andererseits ist das Gehäuse aber gerade dort durch den Trennflansch zersclmitten. Dementsprechend sind die Bolzen in unmittelbarer Nähe solcher Durchbrechungen höher beansprucht als an anderen Stellen, was man nur schätzungsweise berücksichtigen kann (bzw. bei gegebener Schraubenkraft steht für die Dichtung weniger Pressung zur Verfügung). Will man ebensogute Dichtung erreichen, so kann man in roher Näherung etwa folgendermaßen verfahren. Es sei Z die Kraft, die eine Schraube aufzunehmen hat, wenn man sich vorstellt, daß alle Schrauben gleichmäßig beansprucht seien, also zusammen die Kraft n r~ p und die Dichtkräfte aufnehmen. Dann haben die Schrauben in unmittelbarer Nähe der Durchbrechung ungefähr 1,5Z aufzunehmen. gedrehf

gebohrf

gehobelt

Abb. 17.3.6 Allseitig bearbeitete Hälfte eines zweiteiligen Innengehäuses einer Hochdruckturbine in Doppelwandkonstruktion (AEG)

Bei hochbeanspruchten Gehäusen ist eine Vergütung des Werkstückes unumgänglich. Hierbei besteht aber u. U. die Gefahr, daß beim Vergütungsprozeß die Rauhigkeit der rohen Gußhaut zu Anrissen Anlaß gibt. Dies vermeidet man, indem man das Werkstück vor dem Vergüten allseitig bearbeitet. Eine Form, die dies auf wirtschaftliche Weise gestattet, zeigt Abb. 6, vgl. STEINACK [11]. Zur Vermeidung der bei hohen Drücken sehr schweren Flanschverbindungen werden gelegentlich auch Klammerverbindungen benutzt. Sie auferlegen aber der baulichen Ausführung der Gehäuse sehr wesentliche Beschränkungen. Über Vorschläge dieser Art vgl. auch REUTER [3].

17.4 Berechnung von Gehä useteilen nach der Theorie dünner Schalen

319

17.4 Berechnung von Gehäuseteilen nach der Theorie dünner Schalen Bei nicht zu großer Wandstärke kann man den Spannungszustand in Gehäuseteilen oft hinreichend genau nach der Theorie dünner Schalen bestimmen. Außerdem liefert diese Theorie einen guten Anhaltspunkt über die zweckmäßige Gestaltung auch dickwandiger Gehäuseteile. Die Theorie dünner Schalen nimmt an, daß Schnittflächen, die senkrecht zur Mittelfläche der Schale stehen, nur Normalspannungen zu übertragen vermögen. Diese werden über die Schalendicke als konstant angenommen, so daß insbesondere auch keine Biegemomente übertragen werden können. Die Schale verhält sich also wie eine Membran. Wir betrachten nun eine drehsymmetrische Schale, Abb. 1, die einem Überdruck p ausgesetzt ist und deren Geometrie gegeben ist durch den Meridian der Mittelfläche - beschrieben durch die Funktion y = f(x) -und die Dickenverteilung h(s). Legen wir in y ~----- ~ ------~~

;;1i

--------

I

I I

ot

i

J.

X

I

JQ Abb. 17.4.1 Zur H erleit ung der Spannungsgleichungen für die dünne drehsymmetrische Schale

x 0 und x normale Ringschnitte S 0 und S, so können wir für den zwischen diesen Schnitten liegenden Schalenteil sogleich die Gleichgewichtsbedingung in axialer Richtung angeben. Sie lautet

oder

2n x h

Ua

sin

1 wobei die A, B, 0, D Integrationskonstanten sind. Durch Ableiten erhält man daraus (10) Po= 2B0 r + 0 0 r- 1 + D 0 r(2lnr + 1), für k = 0 2 (11) qJ1 = A1 + 3Bl r 2 - 0 1 r- + DI(lnr + 1), fürk=1 1 1 r-k+l. Dk 2) (k(12) r-k-lOk k rk+ Bk 2) (k rkAk k = (/Jk für k > 1 Naheliegenderweise hängen Biegemoment und Querkraft (beide auf die Längeneinheit des Umfanges bezogen) unmittelbar mit der Deformation zusammen, und zwar ist bei linearelastischem Verhalten, wie in [4] gezeigt wird

+ +

(13) (14) Hier ist

N=

Eha

(15)

-:;1~2(-;-::-1----;,.2;:-)

mit halsPlattendicke und 11 als QuerkontraktionszahL Indem man z. B. für k = 0 die durch GI. (7) gegebene Funktion in die Gin. (13) und (14) einsetzt, erhält man (16) M 0 = N{2B 0(1 + 11)- 0 0 r- 2(1 - 11) +D0[(2lnr + 1) (1 + 11) + 2]}, 1 (17) Q0 = -4ND0 r- . Wenn wir nun für k = 0, also für die Schirmschwingung, die Gin. (7), (10), (16) und (17) untereinander schreiben, so kann die so entstehende Gleichungsgruppe in Matrizenschreibweise auch folgendermaßen dargestellt werden: Uo Po Mo Qo

-

1 r2

lnr

r 2 lnr

Ao

0 2r

1

r(2lnr + 1)

Bo

0

2N(1

0

0

+ 11)

-r

-N(1- v)

r2

N[(2lnr

+ 1) (1 + 11) + 2]

-4N r

0

Oo

(18)

Do

Durch Ausmultiplizieren findet man in der Tat hieraus wieder die genannten Gleichungen. Allgemein kann man setzen (19)

Im Falle k = 0 ist mk die in GI. (18) angegebene quadratische Matrix, während für k = 1 und k > 1 auf genau gleichem Wege wie oben die folgenden Matrizen erhalten werden. 1

-r

rlnr 1

+ 11)

0

2Nr(3

0

-2N(3 +11)

2N

7

(1 - 11) 2N

- 7

+1 (1 + 11)

lnr

-7

(1 - 11)

N

-r

N

7 (3 - 11)

(20)

451

19.13 Berechnung von Scheibenschwingungen mit Übertragungsmatrizen

Die Matrix mk stellen wir dar, indem wir ihre sämtlichen Glieder aii angeben, wobei stets der erste Index die Zeile bezeichnet : a 11 a21

a 31 a 41

= =

= =

a12 =

rk, k rk- 1 , Nrk- 2 k(k- 1) (1- '11), Nrk- 3 k 2(k -1) (1- '11),

rk+2,

+ 2) rk+I, = Nrk(k + 1) [k + 2 - P(k- 2)], = N rk- k(k + 1) [k(1 - '11) - 4], = (k

a 22

a3 2 a42

1

1

a1a = - ,

(21)

rk

aaa

N = kiTk(k + 1) (1 r

- '11),

+ 2)], -N . =-;;::;:y-k(k -1) [(k(1- '11) + 4]. r N = -i((kr

a34

a 44

1)[k- 2- P(k

Bei der Durchführung der Rechnung erweist es sich als notwendig, das durch (19) dargestellte Gleichungssystem nach den Integrationskonstanten Ak ... Dk aufzulösen. Nach dem unter 19.12 über den Matrizenkalkül Gesagten, ist das nichts anderes als die Operation der Inversion der Matrix 2{k. Es ist also

(22)

Wir betrachten nun einen Teilring zwischen den Masseschichten mi und mi+ 1 • Mit rJ bezeichnen wir den Radius unmittelbar außerhalb mi und mit ri+ 1 denjenigen unmittelbar innerhalb mi+ 1. Im Radius ri+ 1 gilt dann nach Gl. (19)

r;:~~::~ J

=

Mk (rj+1) Qk(ri+1)

mk(rj+1) [

~: J,

(19')

Ck Dk

während Gl. (22), für rJ formuliert, lautet

r~: l

::~~~' l·

=

ck Dk

(22')

21;/(ri) [ Mk(~) Qk(rj)

Aus den Gln. (19') und (22') folgt uk(ri+ 1 ) (/Jk (rj + 1)

r

. ) M k (rJ+1

J=

m. (r· k

J+1

) m-1 (r·) k

1

Qk(ri+1)

J

[uk(rj) (/Jk (rj) M k (rj') , Qk(rj)

(23)

womit der Übergang von rJ auf ri+l gewonnen ist. Der Übergang von rJ auf ri, bei dem der Massering mi zu "überqueren" ist, wird durch folgende Relationen hergestellt. Offenbar ist uk(rj)

=

uk(rj),

(/Jk (rj)

=

(/Jk (rj).

(24) (25) 29*

452

19. Schwingungen von Schaufeln und Scheiben

Für das Ringmoment läßt sich setzen, wenn €).

1

= __!!!]__ ..!!1._ 2:n:ri 12

(26)

das (pro Einheit des Umfanges gerechnete) Trägheitsmoment des Massenringes ist Mk(rj) = Mk(ri)- ei w 2 q;k(rj),

(27) denn mit w als Kreisfrequenz ist w 2 q;k die Winkelbeschleunigung, welche die schwingende Ringmasse erfährt. Die Querkraft endlich ist gegeben durch (28) wobei wr die Winkelgeschwindigkeit ist. Das Glied uk w 2 mi/2 n ri ist der von der translatorischen Beschleunigung herrührende Anteil, während ei w2 k 2 ukfrJ die äquivalente Querkraftverteilung repräsentiert, welche die Verteilung des Torsionsmomentes Mt (Abb. l) ersetzt, vgl. [4] und [28]. Schließlich gibt das letzte Glied in Gl. (28) den Einfluß der Fliehkraft wieder, die die Tendenz hat, die ausgebogene Scheibe aufzurichten. Die Gin. (24), (25), (27) und (28) können wie folgt zu einer Matrizengleichung zusammengefaßt werden: (29)

l

0

0

l

0

-

m;w3 h~ 2:n;ri 12 mi

w;

2;-

0 0 0 0 l

0

0

l

(30)

Dies in Gl. (23) eingeführt, liefert

(31)

Damit ist die Beziehung aufgestellt, die uns gestattet, von einem zum nächsten Radius weiterzuschreiten und so schließlich den Zusammenhang zwischen den "Zustandsgrößen" u, q;, M, Q am Innenradius r 0 und am Außenradius rn, Abb. 3, herzustellen. Die gesamte Übertragungsmatrix lautet bei der Anordnung nach Abb. 3a Dk

= mk(rn) m//(rn-d ffiCk(rn-I) mk(rn-I) m;;:I(rn-2) ffiCk(rn-2) ... . . . mk(r2) m1/ (r1) Mk (r1) mk (r1) m;/ (ro),

(32')

während sie bei der Anordnung nach Abb. 3b die Form Dk

ffiCk(rn) mk(rn) m//(rn-1) ffiCk(rn-I) mk(rn-I) m;;:I(rn-2) ...

. . . mk(r2) m;/ (rl) ffiCk (ri) mk (ri) m;;:I (ro)

(32")

annimmt. In beiden Fällen ist die Scheibe an ihren Innenrand (also in r 0 ) als vollkommen eingespannt betrachtet. Die Konfiguration nach Abb. 3a entspricht dem Fall einer Scheibe, deren Außenrand völlig frei ist, während die nach Abb. 3b etwa den Fall einer Scheibe approximieren kann, die an ihrem Außenrand sehr kurze Schaufeln trägt (z. B. Regelrad einer Dampfturbine). Die Schaufelung kann in diesem letzteren Falle als eine

19.13 Berechnung von Scheibenschwingungen mit Übertragungsmatrizen

453

am Umfang verteilte Masse betrachtet werden, die eben durch den Massenring in r,. repräsentiert wird. Da nun am Innenrand u und cp, am Außenrand M und Q verschwinden, erhalten wir

[ :: 0

~::~ ] =

Qk [

0

~

Mk(r 0) Qk(r0)

(33)

]·

Damit ist folgendes Gleichungssystem dargestellt:

-uk(rn) -

+ C{Jk(rn) +

+ !Jku Qk(ro) = + !Jk24 Qk(ro) = Mk(ro) + !Jka4 Qk(ro) = !Jk4a Mk(ro) + !Jk44 Qk(ro) =

!Jkla

!Jk23

Mk(ro) Mk(ro)

!Jkaa

0, 0, 0, 0.

l I

(34)

Das sind vier homogene Gleichungen für die Unbekannten uk(rn}, cpk(rn), Mk(r 0}, Qk(r0}. Das System hat nichttriviale Lösungen nur, wenn seine Koeffizientendeter minante verschwindet, d. h. wenn --1 0 0 0

0 -1 0 0

Qk13 Qk23 Qk33

Qk43

Qk14 Qk24 Qk34 Qk44

=

0.

(35)

Wie aus der vorausgegangenen Entwicklung zu erkennen ist, hängen die Q von der Kreisfrequenz w der Eigenschwingung ab, da diese ja in den Matrizen 9J1 auftritt. Folglich ist GI. (35) eine Bestimmungsgleich ung für w, die für ein gegebenes k - d. h. für eine gegebene Anzahl von Knotendurchmesse rn - eine Folge von Lösungen wk 1, wk 2, ... , wk;, ... hat. Die Anzahl dieser Lösungen ist wiederum abhängig von der Anzahl der Teilringe, durch die man a die Scheibe ersetzt hat, und es werden im allgemeinen höchstens die drei niedrigsten Abb. 19.13.3 Ersatz von Scheiben durch masseSchwingungsordnu ngen gebraucht. Über die lose Ringe und Masseschichten zweckmäßige Durchführung der Rechnung a) Scheibenaußenrand völlig frei; b) Scheibenaußenrand mit kurzen Schaufeln besetzt (äußerste Masseschicht) mit der programmgesteuer ten Rechenmaschine vgl. [28]. Indem man k die Werte 0, 1, 2, ... durchlaufen läßt, erhält man aus einer solchen Rechnung die doppelte Mannigfaltigkeit der Schwingungszahlen , die den Schwingungsformen nach Abb. 2 entsprechen. Da hierbei feste Knotenlinien bestehen, handelt es sich offenbar um Schwingungen, die den Charakter von stehenden Wellen haben. Nun ist aber ebensogut ein Vorgang denkbar, bei dem Wellen auf der Scheibe umlaufen und somit alle Teile der Scheibe in zeitlicher Folge in gleicher Weise am Schwingungsvorga ng teilnehmen. Solche Wellen können im einen oder anderen Drehsinne umlaufen, wobei keiner der beiden vor dem anderen einen Vorzug hat, auch wenn die Scheibe rotiert. Man wird den Vorgang immer in einem mit der Scheibe fest verbundenen Koordinatensystem betrachten. Eine Rotation äußert sich dann darin, daß ein Fliehkraftfeld eingeführt werden muß, das aber von der Richtung der Rotation unabhängig ist. ~ Nun denken wir uns, diese Erscheinung sei auf irgendwelchem Wege berechnet worden. Da beide Umlaufrichtungen möglich sind, kann man auch immer zwei solche Vorgänge überlagert denken, die sich durch nichts als eben die Umlaufrichtung unterscheiden. Auf

454

19. Schwingungen von Schaufeln und Scheiben

diese Weise wird man aber offensichtlich gerade wieder zum Fall der stehenden Wellen zurückgeführt. Die so entstehende Schwingungsform stimmt mit derjenigen der ursprünglichen umlaufenden Schwingungen überein und hat lediglich die doppelte Amplitude dieser letzteren. Nun sind aber diese Schwingungsformen bis auf die beliebige Größe der Amplitude durch die in diesem Abschnitt dargelegte Theorie implizite bestimmt (und können notfalls explizite erhalten werden). Also ist durch diese Theorie auch der Fall der umlaufenden Welle miterfaßt. Ist k die Zahl der Wellen am Umfang - zugleich die Zahl der Knotendurchmesser der stehenden Welle gleicher Form - und wki die Kreisfrequenz der betreffenden Schwingungsform, so ist wu i = wkdk die Winkelgeschwindigkeit des Umlaufes der Störung. - Nur k = 0 stellt hier einen Sonderfall dar, da ja die Schirmschwingung stets den Charakter einer stehenden Welle haben muß. Daß die Theorie den Fall der Scheibenschwingung, welche die Gestalt einer umlaufenden Welle annimmt, mitumfaßt, ist deshalb bedeutsam, weil in dieser Weise die Scheibenschwingungen in Turbomaschinen - abgesehen von Schirmschwingungen tatsächlich auftreten. Wenn man sich in der Tat eine irgendwie geartete raumfeste, längs des Umfanges periodische Störung vorstellt, so entsteht offenbar Resonanz gerade dann, wenn die Scheibenschwingung mit einer Winkelgeschwindigkeit umläuft, die entgegengesetzt gleich der Winkelgeschwindigkeit Wr des Rotors ist, so daß also die Deformation der Scheibe, von einem ruhenden Beobachter aus betrachtet, im Raume unveränderlich bleibt. Die Resonanzbedingung lautet daher Wui

=

lwrl

. .

Wki

= k lwrl•

(36)

Dieser Typus von Scheibenschwingungen ist auch tatsächlich beobachtet worden. Eine Übersicht über Erfahrungsmaterial findet sich bei KANTOROWICZ [29]. Des genaueren Verständnisses wegen sei hier noch die folgende Frage kurz berührt. Da bei der umlaufenden Scheibenschwingung, im Gegensatz zur stehenden, die Scheibe in jedem Meridianschnitt in gleicher Weise an der Schwingung teilnimmt, ist bei gegebener Amplitude offenbar mehr Bewegungsenergie im Spiel. Man könnte daher, indem man an die Herleitung der Rayleighschen Formel denkt, die Frage stellen, warum dies nicht zu einer Verschiebung der Eigenfrequenz führe. Die Antwort darauf gewinnt man, wenn man beachtet, daß bei der umlaufenden Scheibenschwingung sowohl die integrale Bewegungsenergie als auch die integrale potentielle Energie zeitlich unveränderlich sind, und zwar beide gleich dem Maximalwert, den diese Energieformen bei der stehenden Schwingung wechselweise vorübergehend annehmen. Bei der stehenden Schwingung ist nur die Energiesumme zeitlich konstant, bei der umlaufenden aber jede Energieform einzeln, womit die Energiesumme doppelt so groß wird, ohne daß sich dies in einer Änderung der Eigenfrequenz äußern müßte. 19.14 Koppelschwingungen von Schaufeln und Scheibe Wir behandeln hier die Schwingungen des Systems, bestehend aus einer Radscheibe, die mit verjüngten, verdrehten Schaufeln besetzt ist. Zur Berechnung der Schwingungen der letzteren ziehen wir das Verfahren von DIETRICH und ANKE [30] heran, das eine Verallgemeinerung des unter 19.12 angegebenen ist. Die Verallgemeinerung besteht darin, daß die Felder zwischen den Einzelmassen nicht nur verschiedene Biegesteifigkeiten aufweisen, sondern daß auch die Richtungen ihrer Hauptträgheitsachsen gegeneinander verdreht sind, wodurch in unstetiger aber genügend feinstufiger Weise die Verwindung der Schaufel wiedergegeben wird. In einem Schnitt, der, in Richtung auf die Wellenachse betrachtet, unmittelbar unterhalb der Masse mi liegt, seien die Biegemomente um die beiden Hauptträgheitsachsen Mi und Ni, die zugehörigen Querkräfte Qi und R;, die Auslenkungen ui und vi und die Neigungen f{Ji und "Pi• vgl. Abb. l. Alle diese Größen sind sogleich als Amplitudenwerte aufgefaßt. Die entsprechenden Größen in einem Schnitt

455

19.14 Koppelschwingungen von Schaufeln und Scheibe

unmittelbar über m; sind M~, N~,

Q;

usw. Es gilt

I

(1)

U;=U;, I

(/J;

= rp;,

(2)

M;=M;, Q~ = Q; -

m; u; w 2

(3)

+ m; r; w~ - rp;,

(4)

I

(5)

V;= V;, I

"Pi=

(6)

tp;,

N;=N;,

R; = R;- m; V; w 2

(7)

+ m; r; w~ tp;.

(8)

In den Gin. (4) und (8) ist jeweils das zweite Glied rechts die Trägheitskraft der mit der Kreisfrequenz w schwingenden Masse m;, während das dritte die Rückstellkomponente der auf m; einwirkenden Fliehkraft Z; darstellt (wr die Winkelgeschwindigkeit des Rotors),

\\

\

/ 7 '\

~

'\ ~ ~~-.

m' \

Ti

\

\z

ffiu."-- et f1JJj GM~ t Abb. 19.14.1 Kräfte nnd Momente an einem Ausschnitt aus einer verwundenen Schaufel

vgl. Abb. 1. Das von m; aus weiter außen liegende Feld hat Hauptträgheitsachsen, die um den Winkel LI cx; gedreht sind gegenüber dem weiter innen liegenden Feld. Die auf jene Achsen bezogenen Größen seien durch das Zeichen * gekennzeichnet und berechnen sich aus den u;, rp; usw. wie folgt (vgl. Abb. 1):

+ v~ sinLl cx; , rpt = rp~ cos Ll cx; + tp; sinLl cx;, Mt = M; cosLl cx; + N; sinLl cx ;, Qt = Q; cosLl cx ; + R; sinLl cx;, vt = v; cosLl cx; - u; sinLl cx ;, ut = u~ cosLl cx;

"Pt =

tp;

cosLl cx; - rp; sinLl cx ;,

Nt = N~ cosLl cx; - M ; sinLl cx ;,

Rt

=

R; cosLl cx;

-

Q; sinLl cx;.

(9) (10) (11)

(12) (13) (14)

(15) (16)

19. Schwingungen von Schaufeln und Scheiben

456

Von diesen Größen aus wiederum ist der Übergang zu den Größen u;+ 1 , Cfli+t usw., die sich auf den nächsten, um die Länge l; weiter außen liegenden Schnitt beziehen (siehe Abb. 1), herstellbar durch eine Gleichungsgruppe, die den Gin. 19.12 (15) bis (18) entspricht. Sie lautet

.zr

_. + cp;• l; + M;.z~ 2B,

Q*i l, _ CfJ;* + M*; 1i;-

Cfli+t -

(17)

-Q; 6B,'

Ui+l- U;

Zr

(18)

2B,'

(19)

M;+l =Mt- Qt l;, Qi+l

=

(20)

Qt,

- • + "P;• l ; + N*;

V;+t- V;

"Pi +I

lt ,' l~ , - R*; 60 20

(21)

l? R*i 20,' l, - "Pi• + N*i 73;-

(22)

-

N;+t =Nt- Rt l;,

(23)

R;+t = Rt.

(24)

Hier ist B; = E J l i und 0; = E J 2 ; , wo bei J 1 ; und J 2 ; für das betreffende Feld die Trägheitsmomente bezüglich der Hauptträgheitsachsen 1 und 2 sind, denen auch die Biegemomente M; und N; entsprechen. Die Spaltenmatrix, die, von oben beginnend, aus den Elementen u;, cp;, M;, Q;, v;, 'lj);, N;, R; aufgebaut ist, werde mit ['P;] bezeichnet. Analog sind [P;J, [P;"] und ['P;+ 1 ] definiert. - In diesem Abschnitt soll eine eckige Klammer um ein einzelnes Buchstabensymbol bedeuten, daß es sich um eine Matrix mit acht Zeilen handelt. - Mit der Definition -1 0 o0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -m;w 2 m; r; w~ 0 1 0 (25) [X;]0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 I 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 -m;w m;r; w~ 0 1 0

-

schreibt sich alsdann die Gleichungsgruppe (1) bis (8) [P;]

=

[X;] [P;].

(26)

Ebenso läßt sich mit der Definition C;

[Y;]

wobei

C;

= cosLliX; und

=

S;

0 0 0

0 C;

-S;

0 0 0

0 0 0

0 0

-S;

0 0 C;

0 0 0

0 0 0 C;

-8;

0 0 0

0

-S;

S;

0

0 0 0

S;

0 0 C; 0 0 C; 0 0 0 0

0 0 S;

0 0 0

o0 0 S;

C;

0 0 0

0

C·,_

'

(27)

= sinL11X;, die Gleichungsgruppe (9) bis (16) in der Form

(28)

19.14 Koppelschwingungen von Schaufeln und Scheibe

457

darstellen. Die Gleichungsgruppe (17) bis (24) schließlich, kann in folgender Weise als Matrizengleichung dargestellt werden. Wir führen zunächst die beiden folgenden vierreihigen Matrizen ein:

G;=

H;=

l~

.

l" -6B,

1

l;

0

1

0 _0

0 0

1

l;

0

1

o,

l2 ' -20,

0

0 0

1 0

1

_o Dann setzen wir weiter

[Z;]-

2B, l,

l2 '

B, 1

-2B,

0

1

li

20, l,

-l;

'

(29)

ll

-60,

(30)

-l;

lG·o' ~J

(31)

was folgendermaßen zu verstehen ist: Die vierreihigen Matrizen G; und H; sind als Submatrizen aufzufassen, aus denen sich die achtreihige Matrix [Zi] in der angegebenen Weise aufbaut. Die Nullen rechts oben und links unten in Gl. (31) bedeuten vierreihige quadratische Submatrizen, deren sämtliche Elemente Null sind. Mit diesen Festlegungen ~ kann die Gleichungsgruppe (17) bis (24) wiedergegeben wer~ den durch ~ (32) Aus den Gln. (26), (28) und (32) folgt [lf';+I}

=

[Z;] [Yi] [X;] [lf';].

(33)

Diese Relation kann nun fortlaufend auf die verschiedenen Felder, in die die Schaufel eingeteilt wird, angewandt werden. Der Schaufelschnitt in rN, Abb. 2, entspricht einem der Schnitte, die durch * gekennzeichnet sind. Wenn also mit uN, f{JN usw. die Größen in rN, mit Us, ({!s usw. die Größen in rs bezeichnet werden, so hängen die aus ihnen gebildeten Spaltenmatrizen [lf'N] und [lf's] folgendermaßen miteinander zusammen: [lf's] = [Zs] [Ys] [Xs] [Zs-1] [Ys-1] [Xs-1] ... ... [Zt] [Y1J [XI] [Z 0 ] [lf':v].

(34)

Abb. 19.14.2 Ersatzsystem für eine auf einer Welle sitzende Scheibe mit Schaufelkranz

s ist dabei die Nummer des äußersten Schaufelfeldes. Das Matrizenprodukt, das als Faktor vor [lf':v] steht, ist die gesamte Übertragungsmatrix [U] der Schaufel, mit deren Hilfe sich schreiben läßt

[lf's]

=

[U] [lf'N]·

(35)

Die Elemente der Spaltenmatrix [lf's] sind, von oben nach unten gezählt, us, f{Js, 0, 0, Vs, 0, 0, da ja die Querkräfte und Momente am Schaufelende verschwinden. Von den Elementen von [lfl:v] verschwindet im allgemeinen keines. Nun muß der Anschluß an die unter 19.13 behandelte Theorie der Scheibenschwingung hergestellt werden. Das dortige r n ist unser rN. Die Größen am Scheibenrand und an der

1ps,

19. Schwingungen von Schaufeln und Scheiben

458

Schaufelwurzel hängen folgendermaßen miteinander zusammen: (36)

'Uk(rN) = 'UN COSIXN- VN sintXN, (/Jk (rN) = (/JN COSIXN -

(37)

1JlN SintXN,

(38)

Mk(rN) = -2 z (MN costXN- NN sin~XN), :n;rN

(39)

+ 'UN sintXN, 'ljJN COS IXN + (/JN Sin IXN ,

0 = VN COSIXN

(40)

0=

(41)

vgl. Abb. 3. Die Gin. (38) und (39) werden verständlich, wenn man beachtet, daß die Mk und Qk der Scheibentheorie auf die Längeneinheit des Umfanges bezogen sind, die

z M

23trN

N

Abb. 19.14.3 Übergang von den Variablen am Scheibenaußenrand auf diejenigen am Schaufelfuß

MN, NN, QN, RN aber auf eine Schaufel; z ist die Anzahl der Schaufeln, IXN der Winkel der Hauptträgheitsachse im Nabenquerschnitt. Die Gin. (36) bis (41) lassen sich in der folgenden Weise auflösen: 'UN = 'Uk(rN) COSIXN,

(42)

(/JN = (/Jk(rN) COSIXN,

(43)

vN = -uk(rN) sintXN,

(44)

"PN = -q;k(rN) sin~XN,

(45)

M N= N NtantXN

+

2:n:r.v Z COBr/.N

Mk(rN),

(46) (47)

Diese Gleichungsgruppe ist in Matrizenform folgendermaßen darstellbar: UN (/JN MN

[P.v] =

QN VN 'ljJN NN RN

=[V]

uk(rN)-

0

(/Jk (rN) Mk(rN) Qk(rN)

NN tantXN RN tantXN

0 0 0 0

0

+

0 0 NN RN

(48)

459

19.14 Koppelschwingungen von Schaufeln und Scheibe

mit

[V]=

0 0

0

0 COSiXN

0

0

0

0

0

-siniXN 0 0 0

0 -siniXN 0 0

0 0 0 0

COSiXN

2:n rN Z COSIXN

0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

2:n rN Z COSIXN

0 0 0 0

(49)

Gl. (48) schreiben wir in der abgekürzten Form [~v]

=[V] [Wk(rN)]

+ [WN],

(50)

wobei [ Wk(rN )] und [ WN] die beiden in Gl. (48) auf der rechten Seite stehenden Spaltenmatrizen sind. Die hier auftretende Matrix [Wk(rN)] wird aus der Theorie der schwingenden Scheibe gewonnen. Wenn man Gl. 19.13 (33) so verallgemeinert, daß die Kräfte und Momente am Scheibenaußenrand bei Gegenwart der Schaufeln nicht verschwinden, lautet sie

r;)~;t] = ft.,,.) J. Qk

Qk (rN)

(51)

Qk (ro)

Qk ist die gesamte Übertragungsmatrix der Scheibe für die Schwingungsform mit k Knotendurchmessern. Um den Anschluß an die Theorie der schwingenden Schaufel zu erhalten, müssen wir zu Matrizen mit acht Zeilen übergehen. Zu diesem Zweck bilden wir eine Spaltenmatrix [ Wk (r 0 )], deren Elemente von oben nach unten lauten 0, 0, Mk (r 0 ), Qk(r 0 ), 0, 0, 0, 0. Weiter bilden wir die Matrix

(52) Die vierreihige, quadratische Matrix Qk tritt hier als Submatrix auf; die drei Nullen in Gl. (52) sind vierreihige, quadratische Submatrizen, deren sämtliche Elemente Null sind. Mit diesen Festlegungen kann Gl. (51) in der Form [Wk(rN)] = [Qk] [Wk(ro)]

(53)

geschrieben werden, was sich nun in Gl. (50) einführen läßt: [lf'N] =[V] [Qk] [Wk(ro)]

+ [WN]·

(54)

+ [U] [WN]·

(55)

Dies wiederum in Gl. (35) eingesetzt, führt auf [lf's] = [U] [V] [Dk] [Wk(r 0 )] Mit der Abkürzung rWk]

~

[U] [V] [Dk] folgt also schließlich

[lf's]

=

[Wk] [Wk(ro)]

+ [U] [WN]·

(56)

Dies repräsentiert das gesuchte Gleichungssystem. Es enthält in [lf's] die Unbekannten u 8 , rp 8 , v5 , 1ps, in [Wk(r 0 )] die Unbekannten Mk(r 0 ), Qk(r0 ) und in [WN] die Unbekannten NN und RN. Es liegt somit ein homogenes System von acht Gleichungen mit acht Un-

bekannten vor, und es ist das Verschwinden seiner Koeffizientendeterminante zu ver-

460

19. Schwingungen von Schaufeln und Scheiben

langen, wenn es nichttriviale Lösungen haben soll. Diese Determinante erhält man, indem man zur expliziten Darstellung von GI. (56) übergeht. Zur Abkürzung der Schreibweise setzen wir (57) Si= Uia tantXN ui7' (58) Ti""" ui4 tantXN Uis•

+ +

Die Bedingung des Verschwindens der Determinante lautet dann wk1a wk2a wkaa wk43 wksa wkua

wk73

wksa

Wku wk24 wka4 wk44 wk54 wk64 wk74 wks4

sl Tl -1 0 s2 T2 0 -1 Sa s4 Su

Ta T4 Ts Ts

Ss

Ts

Ss

s7 T7

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 -1 0 0 0 0

=

(59)

0.

Die durch die Gin. (25), (27), (29), (30), (31) und (34) gegebenen Definitionen und Rechenoperationen liefern die sämtlichen Elemente der Matrix [U]. Für eine fest gewählte Anzahl k von Knotendurchmessern folgen aus den in Abschn. 19.13 angegebenen Gin. (18) oder (20) oder (21), sowie (30) und (32") die Elemente von Qk und aus GI. (52) dieses vorliegenden Abschnittes diejenigen von [Qk]· Alsdann folgen aus GI. (49) und der nach GI. (55) folgenden Definition von [W"] die Elemente dieser Matrix. Die Gin. (57) und (58) liefern die Si und T;. Damit hat man alle Elemente, um GI. (59) zu formulieren. Die Wk;j, S; und T; enthalten das Quadrat der unbekannten Kreisfrequenz w der Eigenschwingung, so daß (59) eine Bestimmungsgleichung für diese ist. Für ein festes k erhält man die Lösungen (Eigenwerte) wk 1 , wk 2 , • • • ; indem man k = 0, 1 , 2, . . . setzt, wird man also auf die doppelte Mannigfaltigkeit der Eigenfrequenzen geführt. Das Verfahren ist selbstverständlich nur mit sehr leistungsfähigen Rechenautomaten durchführbar, um so mehr, als die Rechnung eine große Anzahl von Malen mit verschiedenen w durchgeführt werden muß, um die Werte wk; aufzufinden, welche die Determinante zum Verschwinden bringen. Wenn man diese Rechnung durchführt, ist sehr häufig -besonders für höhere Werte des zweiten Index i von wk i - die folgende Situation zu erwarten. Die Folge der wk; kommt - mindestens von einem bestimmten k an aufwärts (z. B. k = 2) - für alle k fast gleich heraus, so daß man also Gruppen von sehr nahe beieinanderliegenden Eigenfrequenzen erhält. Die Eigenfrequenzen jeder Gruppe liegen nur wenig unter einer Eigender völlig fest eingespannten Schaufel. Wo dies gefunden wird, bedeutet es, frequenz daß die Scheibe an der Schwingungsbewegung nur wenig teilnimmt, also eigentlich nur eine etwas nachgiebige Einspannung bewirkt. Die Schaufelschwingungsformen sind innerhalb einer Schwingungsgruppe nur sehr wenig voneinander verschieden und stimmen auch fast mit derjenigen der fest eingespannten Schaufel überein. - Die der fest eingespannten Schaufel lassen sich nach dem hier angegebenen Verfahren ebenfalls berechnen. Man hat nur in GI. (35) für ['P:v] eine Spaltenmatrix einzusetzen, deren Elemente von oben nach unten lauten 0, 0, MN, QN, 0, 0, N N, RN. Dann ist GI. (35) ein homogenes System von acht Gleichungen mit acht Unbekannten. Die Nullsetzung seiner Koeffizientenmatrix liefert die Sobald nun aber - anders als im soeben beschriebenen Fall - wk; gefunden werden, die weit unter den entsprechenden liegen, ist die Scheibe in erheblichem Maße an der Schwingung beteiligt. Resonanzen sind in diesem Falle besonders gefährlich, denn erstens kann die an den Schaufeln geleistete Erregungsarbeit groß ausfallen, weil die Schaufel längs ihrer vollen Erstreckung wesentliche Schwingungsausschläge ausführt, zweitens ist die mögliche Folge, der Radbruch, äußerst schwerwiegend. Es muß also unbedingt ver-

w;

w;

ro;.

w;

19.15 Einflüsse zusätzlicher Effekte auf die Eigenfrequenzen

461

mieden werden, daß im Betriebe die Resonanzbedingung, die, wie früher erwähnt wk; = k wr lautet, auftritt. Während einer gewissen Entwicklungsperiode des Dampfturbinenbaues sind Radscheiben mehrfach irrfolge Scheibenschwingungen gebrochen. Im allgemeinen bereitet es aber keine besonderen Schwierigkeiten, dieser Gefahr durch geeignete Proportionierung der Scheiben zu begegnen. Wo man etwa im Hinblick auf die Gewichtsersparnis genötigt ist, sehr dünne Scheiben zu verwenden, kann man die nötige Steifigkeit dadurch erzielen, daß man in der Nähe der Peripherie die Scheiben durch entsprechende Auskragungen miteinander verbindet. Bei der sog. Schirmschwingung (k = 0) erhebt sich naturgemäß die Frage, wie eine solche überhaupt angeregt werden kann, wo doch keinerlei Periodizität längs des Umfanges besteht. In der Tat ist die Erregung dieser Schwingungsform nicht ohne weiteres gegeben. Sie kann aber z. B. zustande kommen durch Unvollkommenheiten der Schrägverzahnung eines Getriebes. Schon verhältnismäßig geringfügige Verzahnungsfehler können zu erheblichen Winkelbeschleunigungen und entsprechenden Drehmomentschwankungen führen. Bei Schrägverzahnungen entstehen damit aber auch periodisch schwankende Längskräfte, die eine Schirmschwingung anregen können. Die in diesem Abschnitt dargelegte Theorie liefert nicht die Drehschwingungen der Schaufeln, die an sich ebenfalls mit Scheibenschwingungen in Wechselwirkung treten können. Ihre Berücksichtigung wäre grundsätzlich möglich, indem man etwa anschließend an die unter 19.11 dargestellte Theorie zu einem Matrizenformalismus übergehen würde. Man wäre dabei auf zehnreihige Matrizen geführt, was den Rechenaufwand nochmals sehr stark vergrößern würde. Praktisch dürfte sich kaum je die Notwendigkeit einstellen, diese Komplikation einzuführen. Bei der sehr langen Schaufel, für welche in Abschn. 19.11 Schwingungszahlen angegeben sind, liegt die tiefste Torsionsfrequenz etwa bei 350 sec- 1 • Bei einer Maschine mit 3000 U /min würde z .. B. eine Scheibenschwingung mit sechs Knotendurchmessern gefährlich, wenn ihre Schwingungszahl 300 sec- 1 wäre; sie läge dann auch in der gleichen Größenordnung wie die genannte Torsionsfrequenz, so daß starke Koppelerscheinungen zu erwarten wären. Nun liegen aber die tatsächlichen Schwingungszahlen bei einer so großen Anzahl von Knotendurchmessern sehr viel höher. Daher liegt der Grenzfall vor, wo die Scheibe nur sehr wenig nachgiebig ist und die Schaufel als fast völlig eingespannt betrachtet werden darf.

19.15 Einflüsse zusätzlicher Effekte auf die Eigenfrequenzen Die hier angegebenen theoretischen Grundlagen zur Berechnung der Eigenfrequenzen von Schaufeln beruhen auf den üblichen Vereinfachungen der elementaren Balkentheorie, auf die unter 19.4 hingewiesen wurde. Die Verzerrung des Stabes durch die Schubspannungen und der Einfluß der Trägheit des einzelnen Volumenelementes gegenüber der mit der Verformung verbundenen Rotation bewirken alle eine Herabsetzung der Eigenfrequenzen. Diese Einflüsse treten deutlich in Erscheinung, sobald die Schaufel sehr gedrungen ist. Die "Schlankheit" der Schaufel kann charakterisiert werden durch das Verhältnis der Schaufellänge zum Trägheitsradius des Schaufelquerschnittes (der Trägheitsradins ist jeweils mit dem Trägheitsmoment zu bilden, das für die betreffende Schwingungsform maßgebend ist). Die Abweichung von der elementaren Balkentheorie kann theoretisch noch näherungsweise erfaßt werden, vgl. etwa [6]. Damit ist aber im allgemeinen die technische Fragestellung noch nicht beantwortet, denn es kann sich eine Unvollkommenheit der Einspannung bemerkbar machen, die durch die Nachgiebigkeit und Ungenauigkeit der Fußverbindung gegeben ist und folglich selbst dann noch nicht berücksichtigt wäre, wenn man nach der unter 19.14 dargelegten Theorie die Nachgiebigkeit der Tragscheibe berücksichtigt hätte. Die statisch unbestimmte Auflage gewisser Verbindungen führt zu erheblichen Streuungen. Abb. 1 mag daher als ungefährer Anhaltspunkt über die zu erwartende Absenkung der Eigenfrequenz bei gedrungenen Schaufeln dienen. Es ist dabei v0 die rechnungs-

462

19. Schwingungen von Schaufeln und Scheiben

mäßige, v die wirkliche Eigenfrequenz, l die Schaufellänge und rJ

=

v;

(1)

der Trägheitsradius des Profils. Für die Hammerkopfbefestigung liegen die vfv 0 etwa in der Nähe der oberen Kurve, für indirekt getragene Schaufeln, etwa nach Abb. 15.8.9 eher in der Nähe der unteren. Bei besonders hochwertigen Befestigungen (Steckfuß, axial eingeschobener Zackenfuß mit engen Toleranzen, Schweißverbindung) kann vfv0 sehr wohl noch über der oberen Kurve liegen, sofern die Nachgiebigkeit des Läufers entweder vernachlässigbar oder nach der unter 19.14 behandelten Theorie erfaßt und in v0 eingeschlossen ist. Nur bei solch hochwertiger Ausführung ist es 0.~0L___j__10 l--__L__2J... 0-L-3...L0-l..-._L'I0=----'---51~v· überhaupt sinnvoll, verfeinerte Theorien anzuwenden. l/r1 Abb. 1 entspricht etwa dem empirischen Befund für die Eigenfrequenz erster Ordnung. Für die zweite Abb. 19.15.1 Absenkung der Biege-EigenOrdnung werden die Fehler der elementaren Balkenfrequenzen erster Ordnung gegenüber dem theoretischen Wert bei gedrungenen theorie größer, der Einfluß der unvollkommenen EinSchaufeln sparung aber kleiner, so daß vfv0 von ähnlicher Größenordnung sein dürfte. Offensichtlich stößt man hinsichtlich der Möglichkeit der exakten Vorausberechnung der Eigenfrequenzen bei gedrungenen Schaufeln an eine Grenze an. Muß man in solchen Fällen die Frequenzen sehr genau kennen, so bleibt nur der Versuch übrig. Für den Hammerkopf hat BERNHARD [3] den Einfluß der UnvollkommenenEinspannung theoretisch zu erfassen versucht. Für ·Biegeschwingungen mit wesentlich axial gerichtetem Ausschlag findet er Verhältnisse vfv 0 von der Größenordnung O,l. Seine Rechnung fußt aber auf der Annahme, daß bei einer solchen Schwingung abwechselnd nur jeweils eine der beiden Tragflanken trage. Dieser Vorgang ist indessen bei Laufschaufelungen der großen Fliehkräfte wegen wohl kaum denkbar. Eher könnte er bei Leitschaufeln auftreten, wäre aber mit einer sehr erheblichen Dämpfung verbunden. Alle Beobachtungen weisen aber darauf hin, daß es gar nicht leicht ist, bewegliche Schaufelbefestigungen zu finden, bei denen im Betrieb auch wirklich Bewegungen auftreten können, was den Vorteil der Dämpfung hätte. Man muß zu diesem Zweck alles Festfressen und Festrosten mit Sicherheit vermeiden, was am ehesten bei geeigneter Werkstoffauswahl durch Anordnungen der in Abb. 15.8.16 gezeigten Art erreichbar sein dürfte. Dieser gelenkigen Aufhängung der Schaufel wird daher in neuerer Zeit erhöhte Beachtung geschenkt. HIRSCH [31] macht eine Untersuchung hierüber, bei der er von der Vorstellung ausgeht, der kleine Durchmesserunterschied zwischen Zapfen und Loch führe dazu, daß der Zapfen im Loch nicht etwa gleite, sondern abrolle. Bei Vernachlässigung der Verformung von Zapfen und Loch ist dann eine theoretische Behandlung möglich. Die durch Deformationen bedingte Abweichung gegenüber diesem Idealfall erweisen sich aber als sehr beträchtlich, so daß man wiederum auf den Versuch angewiesen ist. Der wirkliche Abrollvorgang ist mit einer erheblichen Dämpfung behaftet, was sehr erwünscht ist. 19.16 Experimentelle Feststellung von Eigenfrequenzen Die im vorangegangenen Abschnitt erwähnten Schwierigkeiten machen es oft notwendig, zur genauen Ermittlung der Eigenfrequenzen die Rechnung durch den Versuch zu ersetzen oder doch zu ergänzen. Grundsätzlich können solche Versuche an den für die Ausführung vorgesehenen Schaufeln oder an Modellen von solchen vorgenommen werden. Im letzteren Falle muß das Modell der Ausführung genau geometrisch ähnlich sein, obwohl nach den theoretischen Überlegungen der vorangegangenen Abschnitte ein höheres

19.16 Experimentelle Feststellung von Eigenfrequenzen

463

Maß von Freiheit bestände. Man könnte nämlich theoretisch vermuten, daß nur Gleichheit der Funktionen cp ( ~), ß ( ~), cpt( ~), ß 1 W in Modell und Ausführung gefordert werden müsse, doch trifft dies nur im Rahmen der elementaren Stabtheorie zu, deren beschränkte Gültigkeit ja gerade zur experimentellen Behandlung führen kann. Praktisch kommen vor allem werkstoffmäßige Abweichungen zwischen Modell und Ausführung in Betracht. Für die Biegeschwingung läßt sich nach den Ausführungen dieses Kapitels allgemein setzen Yen

=

"~ 1V{EJ'; eJ::• 12

(1)

Wenn wir mit s als Profilsehnenlänge die J 0 und fo durch (2) Jo = kJ s4, fo = krs 2 ausdrücken, können wir für Gl. (1) auch schreiben (3)

wobei Kn offenbar eine dimensionslose Größe ist, die für eine gegebene Ordnungszahl n nur von der Gestalt der Schaufel abhängt. Für die Drehschwingung ist allgemein Yen=

";n

-l-

ver (!

Vlo

(4)

oder, da G proportional E ist auch (5)

wobei wiederum K 1 n dimensionslos und durch die Gestalt der Schaufel gegeben ist. Gl. (3) und (5) haben, obwohl für durchaus verschiedene Schwingungstypen gültig, genau denselben Abb. 19.16.1 Versuchseinrichtung von EscherWyss zur Erregung von Schaufelschwingungen Aufbau. Man kann daraus schließen, daß · das durch eine Sirene und damit erhaltenes SchwinGesetz für jede Schwingungsart diesen Aufgungsbild einer Schaufel bau hat, auch wenn keine vereinfachenden Voraussetzungen in die Theorie eingeführt werden. Daraus läßt sich das allgemeine Übertragungsgesetz der im Modellversuch gemessenen Schwingungszahlen auf die Ausführung erkennen. Die Größen ohne Index beziehen sich stets auf die Ausführung, diejenigen mit Index M auf das Modell. Dann ist (6)

Die praktische Durchführung der Versuche geschah ursprünglich lediglich durch Anschlagen der Schaufel oder durch Streichen mit einem Geigenbogen. Später ging man dazu über, eine permanente Erregung mit einstellbarer Frequenz vorzunehmen. Zunächst bediente man sich solcher Vorrichtungen wie in Abb. 1 dargestellt. Ein gegen die Schaufel gerichteter Luftstrahl wird durch die Drehung einer Scheibe, die an ihrem Umfang Löcher aufweist (Sirene) abwechselnd durchgelassen und zurückgehalten, wodurch die Schaufel eine periodische Kraft erfährt. Da man mit der Drehzahl der Scheibe die Erregungsfrequenz in der Hand hat und auch die Stelle des Auftreffens des Strahles frei wählen kann, lassen sich so die verschiedenen Schwingungsformen anregen. Abb. 1 ist dadurch beachtenswert, daß hier die Knotenlinien gut zu sehen sind, da sie durch Aufstreuen von Lycopodiumpulver sichtbar gemacht wurden.

464

19. Schwingungen von Schaufeln und Scheiben

Heute kommt praktisch nur noch die elektromagnetische Erregung in Frage, da man über Geber verfügt, die im Handel erhältlich sind. Sie übertragen die Schwingung durch einen geeigneten Kontaktstift auf das Werkstück, wobei die Frequenz in weitem Bereich beliebig eingestellt werden kann. Die schwingende Bewegung des Werkstückes selber kann durch einen elektromagnetischen Aufnehmer registriert werden, der auf die Variation des Spaltes zwischen ihm und der Schaufel reagiert. Über eine geeignete Verstärkeranlage kann so die Bewegung auf einem Oszillographenschirm sichtbar gemacht werden. Manchmal bringt man auch auf der Schaufel Dehnungsmeßstreifen an, die ebenfalls die Schwingung registrieren. Abb. 2 zeigt eine moderne Vorrichtung zur Messung von Schaufelschwingungen. Bei solchen Schwingungsversuchen muß man für eine sehr feste Einspannung der Schaufel sorgen, sobald man Formen höherer Ordnung erhalten will, da

Abb. 19.16.2 Versuchsanordnung zur Messung von Schaufelschwingungen. Bild zeigt die Endstufenschaufel einer Dampfturbine von BBC

diese mit der geringfügigen Erregungsenergie sehr schwer anzuregen sind. Dämpfung durch schlechte Einspannung läßt solche Schwingungsformen völlig verschwinden. Der Kontaktstift muß in der Nähe der Einspannstelle angesetzt werden, damit er keine große Amplitude ausführen muß. - In gewissen Fällen genügt die Erregung einer Versuchsschaufel nicht, sondern es müssen selbst Versuche an laufenden Versuchsrädern durchgeführt werden, wobei die Registrierung der Schwingungen über Dehnungsmeßstreifen erfolgt. Experimentelle Untersuchungen sind vor allem dort unumgänglich, wo eine rechnerische Bestimmung der Eigenfrequenzen unmöglich ist. Dies gilt z. B. für die offenen Radialverdichterräder, die sehr scharfe Resonanzen aufweisen und dementsprechend schwingungsgefährdet sind. Aber auch bei den Schaufeln von Axialmaschinen sind die Schwingungsformen oft derart, daß die theoretische Behandlung als Stab nur als eine grobe Näherung betrachtet werden kann. Eigentlich handelt es sich um Plattenschwingungen, die aber einer genaueren Rechnung schwer zugänglich sind, weil die Platten in komplizierter Weise gewölbt sind und eine variable Dicke aufweisen. 19.17 Schwingungsanregung und Spannungsamplitude bei einzeln schwingenden Schaufeln Für die Beurteilung der Schaufelschwingungen ist es nicht nur wicht ig, die R esonanzfrequenzen zu kennen, sondern auch Anregung und Dämpfung sollten bekannt sein, damit die zu erwartende Spannungsamplitude bestimmt werden könnte. Gerade in dieser

19.17 Schwingungsanregung und Spannungsamplitude bei einzeln schwingenden Schaufeln

465

Hinsicht sind aber unsere Kenntnisse bis heute sehr mangelhaft geblieben. Daher müssen wir uns mit einer rohen Abschätzung begnügen, die allerdings schon sehr wertvolle Anhaltspunkte liefert. Wir betrachten zuerst die Biegeschwingung, worauf wir den Fall der Drehschwingung kurz behandeln können, da die Überlegungen völlig analog sind. Dabei greifen wir zurück auf die unter 19.2 durchgeführte Untersuchung. Wenn wir uns auf eine bestimmte Schwingungsform konzentrieren, so läßt sich diese beschreiben durch y

=

(l)

Y(x) cosw.t,

wo Y (x) die elastische Linie der voll ausgebogenen Schaufel kennzeichnet. Wir können die Funktion y an irgendeiner ausgezeichneten Stelle x, z. B. an der Schaufelspitze, herausgreifen und sie als charakteristische Koordinate q im Sinne von Abschn. 19.2 benutzen, vgl. Abb. l. Die dort vorhandene Amplitude Y bezeichnen wir alsdann mit q0 • Im Resonanzfall nimmt sie den Wert qomax an, der durch GI. 19.2 (18) gegeben ist. Nun vereinfachen wir uns das Problem in folgender Weise. Wir betrachten nicht die an der Körperoberfläche angreifenden Drücke die durch GI. 19.2 (1) gegeben waren, sondern oder Spannungen sogleich die gesamte erregende Kraft, die wir uns in jedem Augenblick als längs der Schaufel konstant vorstellen. Es kann also für y diese Kraft gesetzt werden

p,

Ll P = Ll P 0 sin w t ,

(2)

I

f'l

womit auch insbesondere im Vergleich zu GI. 19.2 (1) sinr = 1, cosr = 0 gesetzt ist. An die Stelle der GI. 19.2 (18) tritt dann

J' APo1- rn d -

'P

Jyq d . l

I

:rc qo"'"'- r5K

-

L1Po

:rc

fJK -~-

X-

(3)

X.

0

0

Abb. 19.17.1 Schaufel in ausgebogener Lage. Zur Herleitung der Be. ziehungüber die Span· nungsamplitude bei Resonanz

Man beachte, daß hier unter Ll P sogleich die in die Richtung der betrachteten Bewegung fallende Komponente der erregenden Kraft verstanden ist. Ferner ist beim Vergleich mit GI. 19.2 (ll) zu berücksichtigen, daß hier über die Schaufellänge zu integrieren ist, wobei auf das einzelne Längenelement die Kraft (LlPJl) dx einwirkt. Das dimensionslose Verhältnis yfq bezeichnen wir wieder mit u und erhalten somit

Judx= ö~ LlPoj ud~, l

qomax =

ö~ Ll~o

1

(4)

0

0

wobei wieder ~ = xjl verwendet ist. Für die Konstante K läßt sich ein Ausdruck erhalten, wenn man beachtet, daß die potentielle Energie 'P, wenn wir vorerst den allfälligen Fliehkrafteinfluß vernachlässigen, gegeben ist durch (5)

Der Vergleich mit GI. 19.2 (5) zeigt, daß

K

= ~;·

J{} u"2 d~ 1

(6)

0

und somit

1

qOmax

:rcAP0

= --,5-

Jud~ o

l3 EJo --=1- - -

Jf}u"

2

(7)

d~

0

'l'raupel, Turbomnsdtin('n TI, 2. Aufl.

30

466

19. Schwingungen von Schaufeln und Scheiben

Nun ist andererseits beim voll ausgebogenen Zustand im Resonanzfall die Auslenkung d2 u dx2 qo max =

d2 Y dx2 =

wobei stets die Akzente die Ableitung nach d2 Y

wird speziell an der Schaufelwurzel ( ~

~

=

=

0, J

=

(9)

J 0)

u"(O)

M(O)

= -l-2- qOmax •

EJ

0

(8)

andeuten. Da allgemein

M EJ'

dx2

u"

--z2 qo max,

(10)

Wenn dies nach q0 max aufgelöst und der so erhaltene Ausdruck in GI. (7) eingesetzt wird, erhält man 1

M(O) u"(O)

=

Jud~

nLJP0 l

o

~

---=1..:.__ _

J {)u"

2

(ll)

d~

0

Nun setzen wir

L1P0 = S P,

( 12)

wobei P der zeitliche Mittelwert der totalen durch die Strömurig des Arbeitsmittels ausgeübten Kraft ist (genauer die Komponente in Richtung der Schwingungsbewegung). Die dadurch definierte Größe S, die PROHL [16] den "Stimulus" nennt, hat eine unmittelbar anschauliche Bedeutung. Ist etwaS= 0,1, so bedeutet dies, daß die Amplitude L1P0 der Kraftschwankung l/10 des Kraftmittelwertes beträgt. P erzeugt im Wurzelquerschnitt der als völlig freistehend betrachteten Schaufel1 das statische Biegemoment

Pl

(13)

Mb·=-

2 '

'

weshalb man auch setzen kann

L1Po

=

2Mb,s

(14)

l

oder durch Einsetzen in GI. (11)

1

M(O)

= 2~n

u"(O)

Mbi S

J ud~ o

1

J {)u"

2

(15)

d~

0

Diese Gleichung stellt eine Beziehung her zwischen dem rein statischen Biegemoment Mbi und dem ihm überlagerten oszillierenden Biegemoment M(O) im Resonanzfalle. Die-

selbe Beziehung muß aber offenbar auch zwischen den entsprechenden Biegespannungen gelten. Nun erinnern wir uns daran, daß unter 15.11, GI. (18) und (41), angegeben wurde, daß sich der statischen Biegespannung ab eine vom Schwingungsverhalten abhängige oszillierende Spannung mit der Amplitude aa = D ab i überlagere. Der dort noch offengelassene Faktor D ist für den Resonanzfall aus GI. (15) offensichtlich gegeben und beträgt 1

D

max

=

u"(O)

2nS ~

1

Jud~

o

J {}u"

( 16) 2

d~

0

1 Bei der nicht freistehenden Schaufel ist Mb 1 ein ideelles Biegemoment und ebenso hat das daraus folgende au ideellen Charakter.

19.17 Schwingungsanregung und Spannungsamplitude bei einzeln schwingenden Schaufeln

467

Wenn nicht Resonanz vorliegt, ist im Verhältnis der Werte des Vergrößerungsfaktors umzurechnen, d. h., es ist allgemein V

D=Dmaxymax'

oder, weil

Vmax

= njb, auch

(17)

1

u"(O)

D=2VS

Jud~

(18)

0

J f}u" 1

2

dt;

0

wobei V aus Abb. 19.1.2 zu entnehmen ist. Bei dieser Herleitung ist der bei Laufschaufeln oft wesentliche Fliehkrafteinfluß vernachlässigt. Seine Berücksichtigung hat zur Folge, daß die potentielle Energie lJf im Verhältnis (v.;v:) 2 größer wird. Für Mbi ist aber nach wie vor der Wert ohne Fliehkrafteinfluß einzusetzen, da wir ja gemäß GI. (14) lediglich L1 P 0 durch M b i ausdrücken, und L1P0 ist unabhängig von der Fliehkraft. Deshalb ist in GI. 15.11 (18) und (41) auch die Biegespannung ab i ohne Fliehkrafteinfluß verwendet. Das Ergebnis dieser Untersuchung läßt sich nun in folgender Weise zusammenfassen. Wir setzen 1

2u" (0)

Hn

=:

1

Ju d~

(19)

o

J 1Ju" 2 d~

0

wobei Index n angibt, für welche Schwingungsordnung diese Größe gebildet ist. Dann folgt D = VsHn für Leitschaufeln,

D

= V S H n ( v! )

I

2

"•n

für Laufschaufeln.

(20)

f

Die Größe Hn hängt gemäß ihrer Definition von der Schwingungsform ab und ebenso vom Verlauf des Trägheitsmomentes längs der Schaufel, d. h. von {} (~). Für prismatische Schaufeln und für verschiedene Schwingungsformen sind die Hn-Werte in Zahlentafel 4 wiedergegeben. Für verjüngte Schaufeln müßte Hn eigentlich gesondert berechnet werden, doch wird man sich normalerweise mit einer roh geschätzten Korrektur der Werte nach Zahlentafel 3 begnügen, da der Stimulus S so wenig genau bekannt ist, daß sich eine wesentliche Komplikation der Rechnung nicht lohnt. Angaben über S werden in Abschn. 19.19 gegeben, ebenso über das logarithmische Dekrement b, das für V maßgebend ist. In Zahlentafel 4 sind außer den Hn-Werten für die freistehende Schaufel auch diejenigen, für die beidseitig eingespannte und für die einseitig eingespannte und einseitig gestützte Schaufel angegeben. In allen diesen Fällen handelte es sich nicht um Paketschwingungen, sondern die Schaufel kann noch einzeln betrachtet werden, wobei die oben angegebenen Überlegungen in sinngemäßer Übertragung ihre Gültigkeit beibehalten. Zahlentafel 4

Ein Ende eingespannt, anderes frei Beide Enden eingespannt .............. . Ein Ende eingespannt, anderes gestützt ..

Drehschwingung

Biegeschwingung

Grenzbedingungen Ht

H,

Ha

0,8908 0,1483 0,2233

0,0818 0 0,0066

0,0189 0,0099 0,0135

0,810 0,405

0,112 0

0,0324 0,045

Wir betrachten nochmals zusammenfassend die vereinfachenden Voraussetzungen, die dieser Theorie zugrunde liegen. Vor allem ist schon der Ansatz GI. (2) eine Vereinfachung, da die anregenden Kräfte an den verschiedenen Stellen x längs der Schaufel 30*

468

19. Schwingungen von Schaufeln und Scheiben

keineswegs in Phase sein müssen, wie GL (2) voraussetzt. Weiter ist Mbi nur die Komponente des statisch einwirkenden Biegemomentes, die derjenigen Hauptträgheitsachse entspricht, welche für die betreffende Schwingung maßgebend ist. Also muß die Gleichung für die Spannungsamplitude aa, die (21) lautet, eigentlich für jede der Hauptträgheitsachsen gesondert angeschrieben werden. Dies ist leicht durchführbar, aber in der Regel unnötig, da das kleinere der beiden Hauptträgheitsmomente meistens so viel kleiner ist als das andere, daß die Biegung in der Ebene senkrecht zu der entsprechenden Hauptträgheitsachse sowohl statisch als auch dynamisch fast einzig in Betracht kommt. Wenn man also in GL (21) für abieinfachhin die größte im Schaufelquerschnitt bei freistehender Schaufel auftretende Biegespannung einsetzt, so ist dies im allgemeinen eine hinreichende Näherung, namentlich in Anbetracht der Unsicherheit des Faktors S. Lediglich bei der "Hochkantschwingung" einer Schaufel (die selten zu gefährlichen Resonanzen führt) wäre diese summarische Betrachtungsweise zu ungenau (und zwar zu ungünstig!); man muß dann vielmehr für ab; die statische Biegespannung einsetzen, die aus dem Biegemoment in Hochkantrichtung allein resultiert. Wenn eine Schaufel schwingt, so wirkt dies auf das Strömungsfeld zurück, wodurch die Kräfte, die das Strömungsmittel auf die Schaufel ausübt, selbst wieder beeinflußt werden. Der Stimulus S ist also keine feste Größe, wondern er variiert mit der Schwingungsamplitude und kann mit dieser zunehmen oder abnehmen. Letzteres ist der weit häufigere Fall; man kann dann so vorgehen, daß man mit einem ideellen konstanten S rechnet und die in Wirklichkeit vorhandene Abnahme von S in Form einer zusätzlichen Dämpfung in Rechnung setzt. In diesem Sinne kann von aerodynamischer Dämpfung gesprochen werden. Besonders gefährlich ist der Fall des mit der Amplitude zunehmenden S, der zur selbsterregten Schwingung führt (vgl. die Ausführungen unter 19.20). Mit Gl. ( 17) ist weiter unausgesprochenerweise vorausgesetzt, daß die Schwingungsform u (~) und damit H" unverändert bleibt, wenn man sich von der Resonanzfrequenz entfernt. Diese Näherung ist in der Nähe der Resonanzfrequenz sicher zulässig, während weit außerhalb der Resonanz die dynamischen Beanspruchungen ohnehin so gering werden, daß ihrer gerraueren Ermittlung keine Bedeutung mehr zukommt. Die hier für die Biegeschwingung durchgeführten Überlegungen lassen sich in völlig analoger Weise auf die Drehschwingungen übertragen. Man erhält für diese, gleichgültig ob Leit- oder Laufrad (22)

mit 1

u'(O)

Htn

-

I ud;

----;1,----..:..o- -

I

(23)

fJ,u'2d;

0

Hierbei ist T; eine ideelle größte Schubspannung im Wurzelprofil der Schaufel, Ta die Amplitude der durch die Torsionsschwingung bedingten Schubspannung, Vt der Vergrößerungsfaktor und St der Stimulus für die Torsionsschwingung. Htn ist ebenfalls in Zahlentafel 4 zu finden. Es ist mit W 1 als Widerstandsmoment gegen Torsion T; =

Mli Ps W, = 2W,.

(24)

Diese _!ormel geht von folgender Vorstellung aus. Wir denken uns die mittlere Schaufelkraft P senkrecht auf der Profilsehne - deren Länge s ist - an der Eintrittskante angreifend. Ihr Hebelarm gegenüber dem Schubmittelpunkt hat dann die Größenordnung sf2, woraus GL (24) unmittelbar entsteht. Das wirkliche oszillierende Torsionsmoment geht aus diesem Moment M 1 ; durch Multiplikation mit dem Stimulus St hervor, der dadurch definiert ist.

19.18 Schwingungsanregung und Spannungsamplitude bei Paketschwingungen

469

19.18 Schwingungsanregung und Spannungsamplitude bei Paketschwingungen Wir betrachten ein in Resonanz oder mindestens in der Nähe der Resonanz schwingendes Schaufelpaket. Dann stimmt die Schwingungsform praktisch mit der einer nugedämpften Eigenschwingung überein, während sich die Amplitude so einstellt, daß die von den äußeren Kräften während einer Periode resultierend geleistete Arbeit gleich der durch Dämpfung dissipierten Arbeit wird. Wir setzen zudem zunächst eine "einfache" Paketschwingung voraus, bei der alle Schaufeln ein und desselben Paketes in gleicher Weise und in Phase schwingen. Die Kraft, die irgendeine Schaufel des Paketes erfährt - genauer gesagt die Kraftkomponente in Richtung der Schwingungsbewegung - ist unter allen Umständen darstellbar in der Form 00

+I Pz sin[Z(wr t - cpz)]. Z-1

P = P

(I)

Hier ist Wr die Winkelgeschwindigkeit des Läufers und P der zeitliche Mittelwert der Schaufelkraft. Die Amplituden Pz und Phasen rpz ergeben sich aus der Fourier-Analyse der längs des Umfangs variierenden Kraft. Pz ist also das im vorhergehenden Abschnitt verwendete LI P 0 für die Ordnung Z, Es sei weiter z die Schaufelzahl des betrachteten Rades und Zp die Anzahl der zu einem Paket vereinigten Schaufeln. Dann erfährt eine Schaufel, die der zuerst betrachteten unmittelbar benachbart ist, die Kraft

P =

P +z~1 Pz sin [z (Wr t -

cpz

+ 2;)],

(2)

das ganze Paket also offenbar die resultierende Kraft Pres

= Zp

P:-

+Ioo

zp-:_1

.,2

•

PzSlll

[

z-1 k=O

Z

(

Wrt-

cpz

+ -2nz -k)] .

(3)

Davon interessiert im Hinblick auf die Anregung von Schwingungen nur der periodische Anteil. Speziell ist die erregende Kraft mit der Frequenz Z Wr, für welche im betrachteten Falle die Resonanzgefahr bestehe PresZ

•

= Poz sm(Z

Wr t -

1

zp• 'l'z) =k~ Pz Sill

[

z

(

Wrt

+ -2nk)] z- .

(4)

Hier ist gegenüber GI. (3) der Phasenwinkel rpz weggelassen worden, was bei der Betrachtung einer einzelnen Frequenz Z Wr zulässig ist, da der Nullpunkt der Zeitmessung immer so gewählt werden kann, daß GI. (4) zutrifft; 'l'z ist der bei dieser Nullpunktswahl sich einstellende Phasenwinkel der resultierenden Erregungskraft, deren Amplitude Poz ist. Nun bilden wir eine Größe CXz nach folgender Definition:

CXz

_

Poz

=-p. Zp

Z

(5)

Die Bedeutung dieser Größe wird sofort klar, wenn man beachtet, daß Zp P z die resultierende Kraftamplitude ist, die auf das Paket einwirken würde, wenn alle Schaufeln in Phase erregt würden, während P 0 z die entsprechende wirkliche Amplitude ist. Daher kennzeichnet CXz unmittelbar die durch die Querverbindung der Schaufeln erreichte Herabsetzung der Erregung. Offensichtlich ist cxz aber nichts anderes als die Amplitude der Größe (6) die sich aber in bekannter Weise graphisch bestimmen läßt. Man hat bloß gemäß Abb. I

zp Strecken von der Länge Eins derart aneinanderzureihen, daß jeweils die folgende

gegenüber der vorhergehenden um einen Winkel gedreht wird, der im Bogenmaß 2 nZfz

470

19. Schwingungen von Schaufeln und Scheiben

beträgt. Dann hat die Verbindungsgerade der Endpunkte A und B des so entstehenden Polygonzuges die Länge Zp txz. Dieses Verfahren kann formal auch als eine Addition komplexer Vektoren aufgefaßt werden, womit sich ß~ 21J2 schreiben läßt 1

_ - 1·r' zp -1 -2nkZ

Zp

k=O

txz = - l

------

A

.

(6')

Abb. 2 zeigt so ermittelte txz-Werte für Pakete mit 2 bis 6 Schaufeln. Die Abszisse ist dabei die Größe L1 rpfL1 rpz, wobei L1 rp der Winkel ist, der durch das Paket eingenommen wird (vgl. Abb. 2) und L1 rpz der Periodenwinkel der Störung, d. h. Zp

-

Ie -

8

--- ------Zpaz

=

,1 rpz

Abb. 19.18.1 .Polygon zur Bestimmung von IXz

2n

== z·

(7)

Um auch für Schaufelpakete mit mehr als 6 Schaufeln noch einen Anhaltspunkt zu haben, ist in Abb. 3 txz noch für Zp = oo angegeben, was sich durch einen entsprechenden Übergang von der Summation zur Integration durchführen läßt, vgl. [24]. Man erkennt aus diesen Diagrammen, daß in gewissen Fällen die resultierende anregende Kraft überhaupt ver-~

~~

/

~

~~\

I'

\

_I Zp=Z

1~. f.--2

--- ,'J· _I

~\\

I

-~,

·~ IJ'/

0

,,

I

Zp=3-

.I,?;. ... ~\

~~

l

/

L1 rp/J. 'Pz-

V \.

\

I ,,_lf ., \

I /

lf

~ [\

,,

I

/"

\

I

\(J

Zp=6""

-.....

~-~'

"'

2

·, . -6-_" ......

I~ ,

\\ '~~ J

Abb. 19.18.2 IXz-Werte für Schaufelgruppen mit zP = 2 bis 6 Schaufeln

schwindet, nämlich dann, wenn sich das nach Abb. 1 gebildete Polygon schließt. Das trifft, wie leicht zu verifizieren ist, immer dann zu, wenn die Anzahl zP der zu einem Paket vereinigten Schaufeln gemäß der Vorschrift

-"'

Zp

=00

\.

z

Zp=N-z

(8}

gewählt wird. Hier ist N irgendeine ganze Zahl, die aber kein ganzzahliges Vielfaches von Zp sein darf. I i In Worten lautet diese Regel: Man muß so viele Schaufeln (Anzahl= Zp) durch Querverbindung zu ......... I ~ 0 1 2 einer Gruppe vereinigen, wie auf eine Störperiode L1rp/Arpz- d. h. also auf den Z-ten Teil des Umfanges Abb. 19.18.3 entfallen oder ein ganzzahliges Vielfaches (N-faches) Grenzwert von IXz für zP -+- oo davon, wobei aber N nicht ganzzahliges Vielfaches von zP sein darf. Abgesehen von einer unten folgenden Einschränkung wäre also eine Elimination aller resultierenden Erregungskräfte erreichbar durch eine alle Schaufeln des Rades umfassende Querverbindung, vorausgesetzt, daß nur die aufeinanderfolgenden Schaufelkränze ver-

''\

-...

19.18 Schwingungsanregung und Spannungsamplitude bei Paketschwingungen

4 71

schiedene Schaufelzahlen aufweisen. Praktisch wird man von einer solchen Lösung mit Rücksicht auf die Wärmespannungen Abstand nehmen und nur verhältnismäßig wenige Schaufeln zu einer Gruppe vereinigen, wobei für gewisse Z-Werte resultierende Erregungskräfte übrigbleiben. Ferner ist zu beachten, daß die ganze Schlußfolgerung an die Ausgangsvoraussetzunggebunden ist, wonach alle Schaufeln gleichartig und in Phase schwingen, denn nur dann ist die Anregung durch die Resultierende der Störkräfte der einzelnen Schaufeln gegeben. Für Schwingungen der in Abb. 19.9.11 und 12 dargestellten Art gelingt also eine Elimination der Erregungskräfte nach obiger Regel nicht, ebensowenig wie durch steife Deckbänder, Ringe oder Zwischenböden Torsionsschwingungen des "beidseitig eingespannten Typs" vermieden werden. Wenn wir vorerst bei der Voraussetzung gleichartig und in Phase schwingender Schaufeln bleiben, so können wir die Überlegungen des Abschn. 19.17 sogleich auf die Paketschwingung übertragen. Da Gleichheit zwischen der Arbeit der Erregungskräfte und der durch Dämpfung dissipierten Energie besteht, müssen die früheren Überlegungen bis und mit Gl. 19.17 (11) weiterhin gelten, sofern man nur anstatt LJ P 0 den auf eine Schaufel entfallenden Anteil der resultierenden Erregung einsetzt, d. h. den Wert cx.zPz. Ferner geht natürlich die Querverbindung dadurch in die Rechnung ein, daß die in Gl. 19.17 ( 11) einzusetzende Funktion u eine andere ist als bei der freistehenden Schaufel. Wir erhalten also 1 M(O) u"(O) =

Jud~

noczPzl o 6 --:"1' - - - {}u"2d~

(9)

I

0

oder, wenn wir noch setzen analog zu 19.17 (12) und (13)

Pz = SzP

und

(10)

(11) schließlich

1

u" (0)

M(0)= 26nMbiSzCX.z

1

ru d~

°

(12)

J {}u,"2 d~ 0

Man beachte, daß Mb i ein ideelles Biegemoment ist, nämlich dasjenige, das durch die Kraft P an der Schaufelwurzel hervorgerufen würde, wenn die Schaufel freistehend wäre. Dieses Biegemoment würde in jedem beliebigen Punkt des Schaufelquerschnittes eine Biegespannung abi hervorrufen, die auf bekanntem elementarem Wege berechenbar ist. Die Amplitude aa der im gleichen Punkt wirklich auftretenden Wechselspannung ist dann nach Gl. (12) in sinngemäßer Übertragung der Überlegungen von Abschn. 19.17:

D2

=

Vz Sz CX.z Hn

für Leitschaufeln,

Dz = Vz Sz cx.zHn (~f für Laufschaufeln.

I

(13) (14)

Index Z deutet dabei an, daß die Schwingungsfrequenz Z Wr ist. Die gesamte dynamische Beanspruchung resultiert aus der Superposition der mit den Frequenzen Z wr (Z = 1, 2, 3 ... ) oszillierenden Spannungen. Groß und oft sogar gefährlich wird diese Beanspruchung aber stets nur in unmittelbarer Nähe der Resonanzen, wobei dann die Spannungsamplitude aaz, die dem die Resonanz erzeugenden Z entspricht, praktisch allein maßgebend ist. Vz ist der nach GI. 19.1 (16) mit Wen und w = Z Wr gebildete Vergrößerungsfaktor, vgl. Abb. 19.1.2, Sz der Stimulus, welcher der erregenden Frequenz Z wr

472

19. Schwingungen von Schaufeln und Scheiben

zugeordnet ist. Hn ist nach der Definitionsgleichung 19.17 (19) mit der u-Funktion der Schwingung n-ter Ordnung zu bilden. Wenn man die u-Funktionen nach GI. 19.9 (10) und (11) verwendet, erhält man H1

H2

a;, b;

=

=

b:

(l + l,333a,f) a2* 4(3 + 3a! + ~*2) ' (0,8

28,8

(15)

+ bt + l,333b:f) bf

+ 36b:f + l6b:f + l2bf + 12bf bf + 4bf 2

2 •

( 16 )

Dabei sind und die durch Gin. 19.9 (14) bis (16) gegebenen Koeffizienten. Die Überlegungen können noch weiter verallgemeinert werden für den Fall, daß die einzelnen Schaufeln nicht in Phase schwingen. Man hat nur mit einem entsprechend geänderten az-Wert zu rechnen, der die Amplitude der Größe -

I zp- 1 ~ sin

Zp k=O

[

Z w, t

2nkZ +-Z

A f(Jk

]

(17)

ist. Dabei ist A f(Jk die Phasenverschiebung der Schwingung derjenigen Schaufel, welcher der Wert k zugeordnet ist. Wir nehmen also bei dem betrachteten Paket eine der beiden äußersten Schaufeln als Ausgangspunkt. Bei den übrigen Schaufeln hat dann die Erregung eine Phasenverschiebung von 2:n k Zjz, wo k = 1, 2 ... (zp- 1) während die Bewegung der Schaufeln um A rp 1 , A rp 2 • • • A f(Jk • •• A CfJzp- 1 phasenverschoben ist. Die für die Schaufel k maßgebende Phasenverschiebung zwischen Erregung und Schwingung ist dann also 2 :n k Zfz - A f(Jk wie Richtungen: im Ausdruck (17) angegeben. Zur Veranschaulichung zeigt Abb. 4 B eine solche Schwingungsform und tJ 'Pt =:Jt das zugehörige Polygon. Der tJrpz= o \ Hn-Wert wäre wieder aus der LI 'PJ =Jr. \ Form der elastischen Linie zu Zp«z = 'tccz-A gewinnen. Für Deckbänder oder A in unmittelbarer Nähe des Schaufelendes befestigte BindeAbb. 19.18.4 Beispiel einer Schaufelgruppe mit nicht in Phase drähte kann indessen angegeben schwingenden Schaufeln und zugehöriges Polygon zur Bestimmung werden, daß die Rn-Werte zwivon iXz schen denen des beidseitig eingespannten und des einseitig eingespannten, einseitig gestützten Stabes liegen. Da für diesen Schwingungstyp wohl nur Schwingungen ohne Knotenpunkt zwischen der Einspannung und der Querverbindung in Frage kommen, hat H 1 nach Zahlentafel 4 etwa die Größenordnung 0,2. Bei den am Schluß von Abschn. 19.9 erwähnten Schwingungen von wesentlich axialer Richtung, vgl. Abb. 19.9.12, kommt als weitere Komplikation hinzu, daß die Ausschläge der Schaufeln ungleich sind. In diesem Falle käme eine weitere Verallgemeinerung des Polygonverfahrens in Frage, wobei die einzelnen Strecken verschiedene Längen erhalten. Man würde dann so normieren, daß man für die Schaufel mit größtem Ausschlag die Strecke Eins wählt, für die anderen Schaufeln proportional zu den Ausschlägen verminderte Strecken. Genauere Untersuchungen können jedoch in solchen Fällen nur mit Hilfe der elektronischen Rechenmaschine durchgeführt werden, vgl. [16, 25]. Die unter [16] beschriebene Theorie wendet die Methode der Matrizen auf die Berechnung der Eigenfrequenzen und Schwingungsformen von Schaufelpaketen an, wobei allerdings von der durch den Matrizenformalismus gegebenen abgekürzten Schreibweise kein Gebrauch gemacht wird; es werden vielmehr die Gleichungssysteme explizite hingeschrieben. Unvollkommene Einspannung vergrößert die H-Werte u. U. wesentlich, ganz besonders wenn eine Radscheibe wesentlich mitschwingt. Solche Resonanzen müssen unbedingt vermieden werden, da ausgeprägte Scheibenschwingungen eine hohe Gefahr in sich schließen, vgl. die Ausführungen unter 19.14.

19.19 Größe der Erregungskräfte

473

19.19 Größe der Erregungskräfte Die Größe der Erregungskräfte ist in den vorangegangenen Abschnitten durch den Stimulus S in die Rechnung eingeführt worden. Leider haben wir über die Werte von S im allgemeinen keine gertauen Grundlagen, sondern wir sind zumeist auf Schätzungen angewiesen. Wenn ns die sekundliehe Drehzahl des Läufers ist, sind die sämtlichen erregenden Frequenzen, denen irgendeine Schaufel ausgesetzt ist Z ns, wobei Z = 1, 2, ... , denn jede längs des Umfanges periodische Kraft läßt sich durch Fourier-Analyse zerlegen in einzelne sinusartige Störungen, welche die genannten Frequenzen aufweisen. Der Stimulus, der einer Ordnung Z zugeordnet ist, sei mit S z bezeichnet. Besonders wichtig ist dabei offenbar die Störungsordnung Z = Zv, wo Zv die Schaufelzahl des dem betrachteten vorausgehenden Schaufelkranzes ist, denn die Nachlaufdellen dieses letzteren werden zu einer sehr deutlichen periodischen Kraftschwankung führen. Wir nehmen den Fall der Biegeschwingung voraus. Nach Beobachtungen von verschiedenen Seiten (z. B. RosARD [17]) hat S2 für Z = Zv etwa die Größenordnung 0,1. Einen Versuch einer gerraueren theoretischen Bestimmung dieser Größe macht NAGUIB [32], wobei er allerdings gewisse nicht streng begründbare, wenn auch plausible Annahmen in die Theorie einführen muß. Höchstwerte von Sz, die er für z = Zv bekommt, bewegen sich zwischen 0,05 und 0,22, bestätigen also die oben angegebene Größenordnung. Ein wesentlicher Parameter ist nach seiner Untersuchung das Verhältnis tftv wo tv die Teilung des vorausgehenden und t diejenige des betrachteten Schaufelkranzes selbst ist. Große 8 2 -Werte erhält er, wenn tftv wesentlich kleiner als 1 wird (etwa unterhalb 0,85). Günstigste Sz findet er in unmittelbarer Nähe von tftv = 1, während im Gebiet tftv > 1 sein Rechnungswert nirgends über 0,15 ansteigt. Der große 8 2 -Wert für tftv < 1 ist plausibel, denn denkt man sich etwa einem Laufrad ein sehr viel gröber geteiltes Leitrad vorgeschaltet, so sind die von jenem ausgehenden Nachlaufdellen derart breit, daß sie selbst eine volle Laufradteilung einnehmen können, was zu sehr ausgeprägten Störkräften Anlaß geben muß. 8 2 -Werte von der Größenordnung 0,3 sind dann durchaus denkbar, woraus folgt, daß man solche Anordnungen vermeiden soll, wenn Resonanzgefahr besteht. Da die von der vorausgehenden Schaufelreihe ausgehende Störung nicht Sinuscharakter hat, werden auch Erregungskräfte höherer Ordnung noch fühlbar sein, d. h., man wird Erregungen mit den Frequenzen 2zvns. 3zvns. ... erhalten. Für Z = 2zv kann der Stimulus noch eine Größenordnung erreichen, die durchaus mit derjenigen für Z = Zv vergleichbar ist; für noch höhere Ordnungen wird er rascher zurückgehen, sofern der Schaufelreihenabstand groß genug ist, ""-. um auch nur eine geringfügige Ausglät- ~ tung der Geschwindigkeitsverteilung { · am Eintritt in den Schaufelkranz zu

~ i§

ermöglichen. "" Stets werden aber auch in mehr oder ~ weniger ausgeprägtem Maße Störkräfte tieferer Ordnung auftreten, selbst wenn wir uns vorerst auf den Fall der Vollbeaufschlagung beschränken. Sie gehen aus von unvermeidlichen Störungen der Kreissymmetrie durch Ein- und Austrittsstutzen oder auch Anzapfstutzen, ferner von geometrischen UngenauigAbb. 19.19.1 Verlauf der Strömungskraft an einer Schaufel keiten (Ausführungsfehlern) der Schauwährend einer vollen Umdrehung felkränze selbst. Abb. 1 stellt dar, wie die Kraft auf die einzelne Schaufel beispielsweise von der Winkellage q; abhängen kann. Das Diagramm ist also zugleich als ein Kraft-Zeit-Diagramm für die Schaufel auffaßbar. Würde man es zum voraus genau kennen, soleiferte die Fourier-Analyse die sämtlichen Stimuli

l

474

19. Schwingungen von Schaufeln und Scheiben

8 1 , 8 2 , ••• , Sz, ... durch Division des Kraftamplitudenwertes Pz durch den Kraftmittelwert P. Für einen ausgeführten Schaufelkranz, der als Erregungsquelle einem anderen (zu untersuchenden) vorausgeht, kann man sich über die Größenordnungen der Stimuli niederer Ordnung in folgender Weise ein Bild machen. Man mißt die sämtlichen lichten Weiten a der Zv Schaufelkanäle; sie seien a 1 , a 2 , ••• , a., ... , az v benannt. Dann bildet man _ 1 zv ii b -= a.(l) a =- ~a., a-

.

Zv v =1

und berechnet

Az

=

2n Z

zv

2 ~b. cos--•, V=l

"•

(2)

Zv

.

2n

z.

Bz = 2 ~b.sm--,

(3)

Kz =VA~+ B~,

(4)

v=l

t an1Jlz

Zv

Az = -B . z

(5)

Das so berechnete Kz ist die durch Ausführungsfehler bedingte Querschnittsschwankung der Ordnung Z und 1pz der zugehörige Phasenwinkel, vgl. Abb. 2. Wären die Kräfte unmittelbar den Querschnitten proportional, so wären die Kz gerade identisch mit den Sz. Der wirkliche Zusammenhang zwischen beiden kann mit hinreichender Näherung durch folgende Überlegung gewonnen werden. Man f = Kz sin (Zrp + 7fz) denke sich den Durchflußquerschnitt des vorausgehenden Schaufelkranzes gleichmäßig um beispielsweise 5 % 'fJ gegenüber dem Sollwert vergrößert und berechne nach der elementaren Theorie der Stufe die dadurch bedingte Veränderung der Geschwindigkeitsdreiecke Abb.19.19.2 Zur Bestimmung der Erregungskräfte niederer und damit der Schaufelkraft des nachOrdnung an einer ausgeführten Maschine folgenden (zu untersuchenden) Schaufelkranzes. Damit hat man den Zusammenhang zwischen Schaufelkraftänderung und Querschnittsänderung, d. h. zwischen Sz und Kz. Nach einer alten Faustregel dürfen die Eigenfrequenzen der Schaufeln nicht die Werte n., 2n., 3n. oder 4n. annehmen. Gelegentlich wurde auch die Forderung aufgestellt, die niedrigste Eigenfrequenz der Schaufel müsse über der vierfachen Drehzahl liegen, was aber bei langen Schaufeln konstruktiv oft schwer zu verwirklichen ist. Es zeigt sich jedenfalls, daß die Sz bis Z = 4 durchaus erheblich sein können, auch wenn keine grobe Störung von der Art der Teilbeaufschlagung vorliegt. Bei den sehr langen Schaufeln der Endstufen von Dampfturbinen sollen nach [15] selbst Störungen bis zur sechsten Ordnung bemerkbar sein. Es seien daher etwa die in Zahlentafel 5 angegebenen Richtwerte für die Stimuli empfohlen. Zahlentafel 5

z Sz

I

I

2

0,05 -;-0,1

3

0,05 -;-0,1

4

0,05 -;-0,1

5

0,03 -;-0,06

6

z.

2zv

3zv

0,02 -;-0,04

0,1 -;-0,25

0,08 -;-0,2

0,05 -;-0,1

Bei Rädern in unmittelbarer Nähe von Stutzen oder Anzapfstellen sind für Z-Werte bis 6 die höheren Sz einzusetzen. Für Z = Zv, 2zv und 3zv gelten die größeren Werte nur

19.19 Größe der Erregungskräfte

475

für Zv ~ O,Sz oder wenn etwa die relative Austrittskantendicke des vorausgehenden Rades besonders groß ist; in Extremfällen können dann die S z noch größer werden. In z R::< Zv gelten etwa die unteren Werte, für Zv ~ 1,2z höchstens ungefähr das 1,5fache davon. Diese Schätzungen dürften auf der sicheren Seite liegen. Vorgeschaltete Rippen erzeugen an den nachfolgenden Laufschaufelreihen von Axialverdichtern starke Störungen, während diese bei Turbinen zufolge der beschleunigten Leitradströmung weit mehr ausgeglättet werden. Ist z,. die Anzahl der am Umfang gleichmäßig verteilten Rippen, so I sind bei Axialverdichtern nach s 1-0,1G FoRSHA w [ 6] die ersten vier - 1-,; Fourier-Ordnungen der Ert 0,12 regung - entsprechend den ~ ' / Frequenzen Zr n., ... 4z,. ns '-'00,08 I I / etwa gleich stark. Den zu! I I I gehörigen Stimulus wird man 0,0~ y etwa mit 0,1 bis 0,15 einsetzen I können. ScHMIDT [33] unter20 wo coo 0 sucht die Fourier-Analyse cosiLlnusförmiger Störungen von der Abb. 19.19.3 Cosinusförmige Störungsimpulse und ihre FourierBreite L1 , wie sie durch voranalyse, nach ScHMIDT [33] geschaltete Rippen hervorgerufen werden können. Die Winkellagen dieser Störungen seien cp 1 , • . • , Cfn, ... , Cfz,., vgl. Abb. 3; die Rippen müssen also nicht notwendig gleichmäßig verteilt sein. Auf unsere Schreibweise übertragen findet er für den Stimulus k-ter Ordnung -

~~~

~-

z

I

0

(6)

wo S 1 der Stimulus erster Ordnung ist. Dies bestätigt nicht nur das Ergebnis von FORSHAW qualitativ, sondern läßt erwarten, daß bei einigermaßen kleinen L1 selbst höhere als die vierte Ordnung noch große Amplituden aufweisen. Man wird daher versuchen müssen, solche Nachlaufdellen nach Möglichkeit auszuglätten, zweckmäßig durch Beschleunigung der Strömung. Allerdings wird für sehr scharfe Dellen sl sicher klein, da die Kraftspitze S, Abb. 3, gegeben ist durch (7)

Das Verhältnis S1JS ist in Abb. 3 in Funktion von L1 angegeben, woraus folgt, daß z. B. für L1 = 20° ein Wert S 1 = 0,055 zu erwarten wäre, wenn die Kraftspitze den vollen Betrag der mittleren Strömungskraft auf die Schaufel erreichte (S = 1). Periodische Störkräfte, die von Anzapfstellen oder auch z. B. von Unrundheiten der Gehäusewand ausgehen, werden sich naheliegenderweise vor allem am äußeren Ende der Laufschaufeln bemerkbar machen. ScHMIDT [33] untersucht daher diesen Typus einer Störung, indem er vereinfachend annimmt, die Störkraft trete als Einzelkraft am Schaufelende auf. In unserer Darstellungsweise läuft das darauf hinaus, die Hn neu zu berechnen, ausgehend von dieser geänderten Annahme. Wie aus der genannten Untersuchung hervorgeht, wird für die einseitig eingespannte, freistehende Schaufel konstanten Querschnittes das so berechnete H 1 um den Faktor 1,3 größer als der in Zahlentafel 4 angegebene Wert, während der Faktor für H 2 sogar 2 wird. Für die verjüngte Schaufel, deren Endquerschnitt 1/3 des Wurzelquerschnittes ist, muß H 1 mit dem Faktor 1,4

476

19. Schwingungen von Schaufeln und Scheiben

multipliziert werden, während für H 2 der Faktor gerade wieder 1 wird. Die Konzentration der Störkraft auf das äußere Ende ist offensichtlich eine ungünstige Extremannahme. Die in den vorangehenden Abschnitten angegebenen H-Werte haben zur Voraussetzung, daß die Erregungskräfte längs der ganzen Erstreckung der Schaufel in Phase seien. Für die Grundschwingung (erste Ordnung) führt diese Annahme auf eine stärkere Erregung als jede andere, nicht aber für die Oberschwingungen. Deshalb sei empfohlen, für diese letzteren die H-Werte nicht unmittelbar der Zahlentafel 4 zu entnehmen, sondern zu setzen H2eff R;,! H2Zahlentafel 0,05Hl, } (8) H3 eff R;,! H3 Zahlentafel + 0,03 Hl•

+

Mit guter Genauigkeit lassen sich die S z im Falle der Teilbeaufschlagung bestimmen. Man hat nur das Kraft-Zeit-Diagramm, das z. B. eine Gestalt hat, wie sie in Abb. 4 dargestellt ist, einer Fourier-Analyse zu unterwerfen. Einen ähnlichen Charakter wie die Anregung durch Teilbeaufschlagung hat diejenige, die durch die rotierende Abreißströmung entsteht. Leider sind dort aber nicht nur die Stimuli der einzelnen Ordnungen praktisch unbekannt, sondern auch die Erregungsfrequenzen lassen sich nur ungefähr angeben. Nach STENNING und KRIEBEL [34] laufen die Ablösungsgebiete mit einer Umfangsgeschwindigkeit Ua um, die etwa gegeben ist durch 0

D

D

I .

t=_!_

ns

(9)

Abb. 19.19.4 Kraft-Zeit-Diagramm für die Laufschaufeln einer Regelstufe, die durch zwei symmetrisch angeordnete Düsengruppen beaufschlagt ist

sofern die Ablösung im Laufrad erfolgt, was meist der Fall ist, vgl. auch HoRLOCK [35]. Hier ist ß 1 der relative Zuströmwinkel, w 1 die relative Zuströmgeschwindigkeit, Cn die Normalkomponente der Durchtrittsgeschwindigkeit, p 1 der Druck vor dem Rad und p 2 derjenige nach diesem; ua hat die Richtung des Drehsinnes des Rades. Da das Rad somit gegenüber den Abreißgebieten die Umfangsgeschwindigkeit u - Ua hat, sind seine Schaufeln periodischen Kräften ausgesetzt, welche die Kreisfrequenzen w;:

R;,J

n{wr-

~n

[cotß 1

-v

p 2 -.p1

.!!..._ w~ sm2ßi

-

1]}·

n = 1, 2, ... ,

(10)

2

aufweisen, wo w, die Winkelgeschwindigkeit des Läufers ist und r der Radius im Mittelkreis. Alle Größen sind einzusetzen für den Betriebszustand, wo das Abreißen eben einsetzt. Die entsprechenden Kreisfrequenzen der Erregung der benachbarten Leiträder sind

w~

R;,J

n

c; [cotßl

-v

P2 o-.PI

.!!..._ Wi sm2ß1

2

-

1]·

(

11 )

Da alle diese Erregungen sehr stark sind, muß man den entsprechenden Resonanzen unbedingt ausweichen. Selbst ihr vorübergehendes Auftreten während des Anfahrens und Abstellens ist nicht ganz unbedenklich. Gesetzt etwa der Fall, die Eigenfrequenz einer Schaufel sei 250 sec-I, und sie komme beim Anfahren und Abstellen jeweils 10 sec lang in Resonanz. Dann erhält man bei 20maligem Anfahren und Abstellen 105 LastwechseL Die Abschätzung der Stimuli der Drehschwingungen ist noch wesentlich unsicherer als im Falle der Biegeschwingungen. Mit GI. 19.18 (22) kann das anregende Moment dargestellt werden als Produkt eines Stimulus 8 1 , eines Hebelarmes sf2 (wo s die Schaufelsehnenlänge ist) und des statischen Mittelwertes der Schaufelkraft. Die getroffene Annahme für den Hebelarm hat dabei lediglich den Charakter einer Normierung, die den

19.20 Größe der Dämpfung, Selbsterregung

Zweck hat, dem dadurch definierten Stimulus St eine anschauliche Bedeutung zu geben. Wählte man nämlich bei dieser Festlegung S t gleich dem entsprechenden Stimulus der Biegeschwingung, so wäre dies gleichbedeutend mit der Annahme, die periodische Kraft greife im Abstand sf2 vom Schubmittelpunkt an. Wie die unmittelbare Anschauung lehrt, würde man damit das erregende Drehmoment sicher stark überschätzen. Es wird sicher noch sehr reichlich eingeschätzt, wenn man die Hälfte des eben genannten Wertes einsetzt. Daher sei empfohlen, als Richtwert zu setzen Stz ~ 0,5Sz.

19.20 Größe der Dämpfung, Selbsterregung Ein Dämpfungseinfluß, der sicher vorhanden ist, ist die Werkstoffdämpfung, die durch ihr logarithmisches Dekrement bw gekennzeichnet ist. Abb. 1 zeigt bw in Funktion der Spannungsamplitude für einige typische Werkstoffe, deren Zusammensetzungen in Zahlentafel 6 zusammengestellt sind. Diese Werte gelten für die Biegeschwingung. Die Werte bwt für die Torsionsschwingung sind halb so groß. Beachtlich ist die hohe Werkstoffdämpfung der 13% Cr-Stähle, die demnach als Schaufelwerkstoffe besonders gut geeignet sind, wo die übrigen Bedingungen es erlauben. Diese von ScHMIDT [33] angegebenen Werte liegen groBteils tiefer, als sonst gelegentlich angegeben wird. Für Kohlenstoffstähle findet man z. B. auch Werte zwischen 0,01 und 0,018, für Nimonic 80 A den Wert 0,005. Es gibt zur Bestimmung von bw noch keine einheitliche, normalisierte Versuchstechnik, die den Vergleich von Ergebnissen aus verschiedenen Quellen in zuverlässiger Weise ermöglichen würde. Außer der Werkstoffdämpfung macht sich auch die Dämpfung durch die Schaufelbefestigung bemerkbar, weil dort besonders große Momente auftreten und mikroskopische Gleitvorgänge eine Hysterese bewirken, die eine nicht unerhebliche Arbeit aufzehrt. Das wird

477

0

"'

6

"

6

:il

o·

e:i

000

,...;

l

\ l

.....!!:..!_ coscx

(!:!::...)2. w

(8)

Nun ist aber das Biegemoment an der Schaufelwurzel

Mb

=

EJ Y"(O)

(9)

und somit die Biegespannung mit dem Abstand a nach Abb. 2 (10)

Wenn man in der Beziehung (8) Y" (0) aus GI. (10) ersetzt und dann nach ab auflöst, erhält man (11) Erst wenn die Spannungsamplitude so groß wird, daß sie die Bedingung (11) erfüllt, setzt das Gleiten wirklich ein. Die Durchrechnung von Beispielen zeigt, daß vollends bei schlanken Schaufeln, bei denen Dämpfungsdrähte angewandt werden, das Gleiten überhaupt erst zustande käme, wenn die Schwingungsausschläge bereits ein völlig unzulässiges Maß erreicht hätten. Dämpfungsdrähte können also nicht so arbeiten, wie man sich das gemeinhin vorstellt. Sie wirken vielmehr wesentlich gleich wie Bindedrähte, denen gegenüber sie aber den Vorteil aufweisen, daß ein gewisser Schutz vor allzu großen Wärmespannungen besteht, selbst wenn man alle Schaufeln eines Kranzes durch einen einzigen durchlaufenden Draht verbindet. Daß allerdings eine gewisse zusätzliche Dämpfung entsteht, ist trotzdem zu erwarten. Man muß nämlich annehmen, daß sich die Ruhereibung beim Einsetzen einer Kraft, der sie das Gleichgewicht hält, durch einen mikroskopischen Gleitvorgang erst allmählich aufbauen muß, daß also der Reibungsbeiwert in Wirklichkeit, von einem sehr kleinen Anfangswert ausgehend, während dieses Gleitvorganges steil ansteigt, so daß makroskopisch keine Relativbewegung wahrnehmbar ist. Wie ein solcher Prozeß im einzelnen abläuft und wieviel Arbeit dabei dissipiert wird, dürfte unbekannt sein. Wenn es aber solche Vorgänge nicht gäbe, wäre nicht zu sehen, wie sich z. B. eine Schraubenverbindung überhaupt lockern könnte. Unter 19.17 wurde bereits darauf hingewiesen, in welcher Weise es sinnvoll sein kann, von aerodynamischer Dämpfung zu sprechen. Die folgende Untersuchung beleuchtet dieses Problem genauer. Der Einfachheit halber setzen wir Inkompressibilität voraus. SöHNGEN [40] weist zwar darauf hin, daß die Kompressibilitätseffekte bei diesen Vorgängen von wesentlichem Einfluß sind, doch werden die allgemeinen qualitativen Folge-

480

I9. Schwingungen von Schaufeln und Scheiben

rungen, die wir durch die vorliegende Untersuchung erhalten, dadurch nicht berührt. Einem Gitter aus ruhenden Schaufeln ströme das Medium so zu, daß die Zuströmbedingungen periodischen Variationen unterworfen sind, wobei auch die Schaufeln periodische Kräfte erfahren. Das so entstehende Strömungsfeld sei gekennzeichnet durch eine Gedie Funktion des Ortes und der Zeit ist. Diese Grundströmung habe, schwindigkeit wie die weiteren ihr überlagerten Störungen, den Charakter einer Potentialströmung. Nun nehmen wir an, die einzelnen Profile führen unter dem Einfluß der Strömungskräfte Schwingungsbewegungen aus, die im allgemeinen nicht in Phase sein werden. Dann überlagern sich dem ursprünglichen Geschwindigkeitsfeld noch zwei Störfelder. Das eine, das 1" benannt sei, rührt davon her, daß die einzelnen Schaufeln im betrachteten Zeitpunkt nicht ihre Mittellage einnehmen. Stellen wir uns in der Tat die Periode des Vorganges sehr lange vor, so durchläuft er eine stetige Folge quasistationärer Zustände; in jedem Zeitpunkt weicht aber das Geschwindigkeitsfeld vom Felde 1' etwas ab, das bestünde, wenn sich die Schaufeln aus ihrer Mittellage nicht entfernt hätten. Diese Abweichung ist das Zusatzfeld 1''. - Eine solche Betrachtungsweise ist allerdings in einfacher Weise nur möglich, wenn die Verschiebungen der Schaufeln klein sind verglichen mit ihren Abmessungen, so daß die Begrenzungsflächen des Strömungsfeldes nur wenig wandern. Man kann dann den Vorgang gedanklich ersetzen durch einen, bei dem die Schaufelkonturen zwar fest sind, wogegen auf ihnen Quellschichten, Senkschichten und Wirbelschichten so verteilt werden, daß dadurch das Strömungsfeld gleich beeinflußt wird wie durch die wirklichen Verschiebungen der Schaufeln. Das Feld 1" kann also als eben durch diese zusätzlichen Singularitätenschichten induziert gedacht werden. Ein weiteres Feld 1"' entsteht durch die momentane Schwingungsbewegung der Schaufeln. Es ist das gleiche Feld, das die schwingenden Schaufeln auch in sonst ruhender Flüssigkeit erzeugen würden, ist also gegeben durch die momentanen Geschwindigkeiten, mit denen sich die Schaufeln bewegen. Auch dieses kann man erzeugt denken durch weitere zeitlich periodische Singularitätenverteilungen auf ruhenden Schaufelflächen. Die Überlagerung

c',

(12)

repräsentiert offenbar die gesamte Strömung, die sich im Gitter der schwingenden Schaufeln einstellt, denn als Potentialströmung erfüllt sie die Kontinuitätsgleichung ebenso wie die Grenzbedingungen, während das Bewegungsgesetz erfüllt ist, wenn die Verteilung des Druckes p überall im Raume der Gleichung grad

(P + ~ c

2)

= - e ~~

(13)

gehorcht. Aus dieser Gleichung folgt unmittelbar gradp

= -e { 2I

grad([c'

= - e {!

grad [ c' 2

aa'

~

aa"

~ ac' ac" ac'"} + ~" c +~ c'"],[c' + ~c" + ~c"'] )+iit+--at+--at + c" + c"' + 2(c', t") + 2(c', c + 2(t", c'")] + 2

111 )

2

ac"'}

+at+Tt+--ae·

(14)

Bei ruhenden Schaufeln, wenn also lediglich die Geschwindigkeitsverteilung Felde herrschte, würde eme Druckverteilung p' entstehen, die der Gleichung gradp'

I

= -e { 2

gradc' 2

*

+ a., }

t, im (15)

genügte. Wir setzen nun voraus, daß die Störungen klein seien, d. h.

c"

~

c',

c"'

~

c'.

(16)

481

19.20 Größe der Dämpfung, Selbsterregung

Dann können in GI. (14) die Glieder c" 2 , c"' 2 und 2(c", t'"') vernachlässigt werden. Wenn man nun einen Differenzdruck p* definiert durch p* == p - p'' (17) so erhält man durch Subtraktion der Gl. (15) von Gl. (14) mit der genannten Vereinfachung

gradp*

=- e

-+ { grad[( -+ c ', c ")

ac" + ---at ac"'} . + (-+c ', -+c "')] +fit"""

(18)

Diese Gleichung wird sehr aufschlußreich, wenn man noch die folgenden dimensionslosen Größen einführt: ~ C'" -+ , =c' -+q II = (.!..._) c" q - -- ' q "'=--· (19) - wY' y cl' Cl

P*

* =-P_.

(20)

-. e cl-2' 2

-r

= cl t;

(21)

8

Grad -

8

grad.

(22)

Hier ist c1 eine geeignete Normierungsgeschwindigkeit, zweckmäßig der zeitliche und örtliche Mittelwert der Zuströmgeschwindigkeit vor dem Gitter. Weiter sind 8 die Profilsehnenlänge, w und Y Kreisfrequenz und Ausschlag der Schwingungsbewegung des Profils. Die Schreibweise Grad deutet an, daß die Ableitungen nach Ortskoordinaten erfolgen, die durch Division durch 8 dimensionslos gemacht sind. - Damit kann nun GI. (18) in die folgende dimensionslose Gestalt gebracht werden:

-! GradP*

= (

~)

[Grad(q 1 ,

q")

+ 8};'] + wa~

[Grad(q1 ,

q"')

+

a;;'].

(23)

P* ist ein Maß für die Druckabweichungen, die im Strömungsfeld dadurch zusätzlich entstehen, daß die Schaufeln schwingen. Eine entsprechende Integration dieser Druckabweichungen über die Profilherandung führt zu der zusätzlichen Kraft, die durch das Schwingen auf die Schaufel einwirkt. Wie nun die rechte Seite der Gl. (23) zeigt, sind für die Entstehung dieser Kraft zwei ähnlich aufgebaute Ausdrücke maßgebend, wobei in jedem Augenblick der erste den Einfluß der momentanen Profilauslenkungen wiedergibt, der zweite den Einfluß der momentanen Schwingungsgeschwindigkeiten der Profile. Damit entsteht naturgemäß die Frage, welcher der beiden Einflüsse überwiegt. Das muß offenbar stark abhängen vom Verhältnis der beiden Faktoren vor den eckigen Klammern, also von (24)

Wird dieser Parameter groß, so überwiegt das erste Glied und umgekehrt. Wenn man noch beachtet, daß gemäß Gl. 19.4 (22) w

=~:V!~=";/

V* V!

=K

;2

Vf..

wo x ein von der Schwingungsform abhängiger Koeffizient ist und Schaufelwerkstoffes, so wird der maßgebende Parameter auch

(25) (}s

die Dichte des

~- 2_ (.!:_)2 ~ w8-K

8

(26)

VE!e.·

Er wird also groß, wenn die Schaufel schlank ist (l/8 groß), ein dünnes, schwach gekrümmtes Profil aufweist (K klein) und mit großem 01 augeströmt wird, d. h. also bei einer sehr biegeelastischen, schnell augeströmten Schaufel. - Man beachte, daß l/E/e. nichts anderes ist als die Schallgeschwindigkeit in einem Stab, 1 /llE / (}s also eine Art Mach-Zahl, die aber mit der Schallgeschwindigkeit im Werkstoff gebildet ist.

c

Traupel, Turbomaschinen II, 2. Aufl.

31

482

19. Schwingungen von Schaufeln und Scheiben

Das Verhältnis der Kräfte, die von der Profilauslenkung herrühren zu denen, die durch die Schwingungsgeschwindigkeit bedingt sind, ist von grundsätzlicher Wichtigkeit, wie eine qualitative Überlegung anhand Abb. 3 lehrt. Nach Abb. 3a ist bei der gezeigten Situation der Anstellwinkel der momentanen relativen Zuströmgeschwindigkeit c1 n die aus der Zuströmgeschwindigkeit c1 und der Schwingungsgeschwindigkeit iJ gebildet wird, kleiner als derjenige von c1 • Der Auftrieb, der in diesem Falle in Richtung der Bewegung weist, wird dementsprechend kleiner. Wäre iJ entgegengesetzt gerichtet, so wäre der Anstellwinkel und somit auch der Auftrieb größer. Beides wirkt der Schwingung entgegen. Die durch die Schwingungsgeschwindigkeit erzeugten Zusatzkräfte sind daher a .b dämpfend. Der Einfluß der von der Lageänderung herrührenden Abb. 19.20.3 Zur qualitativen Beurteilung der Rückwirkung der Kräfte, läßt sich sehr einfach an Schwingungsbewegung einer Schaufel auf die Strömungskraft dem besonders drastischen Beia Einfluß der augenblicklichen Geschwindigkeit y; b Einfluß der augenblickspiel nach Abb. 3b überblicken. lichen Lageabweichung Wenn dort, wie gestrichelt dargestellt, das mittlere Profil aus seiner Mittellage verschoben wird, so herrscht im so entstehenden Querschnitt a2 offenbar ein tieferer Druck als in a 1 , da ja die Strömung mehr eingeschnürt wird. Demnach haben die Strömungskräfte die Tendenz, das Profil noch weiter aus seiner Mittellage zu verschieben, d. h., sie wirken labilisierend. Nach dem oben Gesagten besteht die Gefahr, daß diese labilisierenden Kräfte überwiegen, wenn der durch GI. (26) gegebene Parameter groß wird. Das ist der Fall der selbsterregten Schwingung (Flattern) der Schaufel, auf den BELLENOT und LALIVE [2] wohl erstmals hingewiesen haben. In der weitaus größten Zahl der Fälle überwiegen aber die dämpfenden Kräfte mehr oder weniger stark. Im idealen Grenzfall kann in GI. (23) das labilisierende Glied neben dem dämpfenden vernachlässigt werden. Dann enthält der rechts noch verbleibende Ausdruck beachtenswerterweise durchweg als Faktor. Mit der Definition von q"', GI. (19), und wenn man beachtet, daß alle 't"' proportional iJ sind, ergibt sich schließlich die Proportionalität

q"'

oder

-GradP* f"oo.J.!L cl

(27) Da nun der Druck an der Schaufeloberfläche aus dem Gradienten durch eine Integration längs des Schaufelumfanges hervorgeht und die dämpfende Strömungskraft Da pro Längeneinheit senkrecht zur Bildebene wiederum aus einer Integration von p* längs der Schaufelkontur, gilt schließlich die Proportionalität (27) auch für Da, wenn man rechts noch mit s 2 multipliziert. Man kann also setzen (28)

Hier ist Cd ein Koeffizient, der für eine gegebene Gittergeometrie grundsätzlich theoretisch berechenbar ist. Praktisch ist er nur empirisch bekannt. HILLER [36, 37] gibt dafür die Größenordnung 3 bis 4, vgl. auch [33].

483

19.20 Größe der Dämpfung, Selbsterregung

Die Dämpfungsarbeit, die an der ganzen Schaufel während des Zeitintervalles dt geleistet wird, ist • dWd= -dtJDaiJ(x)dx, (29) 0

was man unter Verwendung von GI. (28) schreiben kann

f

l

d Wd = Gd ; dt s c1 y2 dx.

(30)

0

Sowohl s als auch c1 werden im allgemeinen längs der Schaufel variieren, so daß sie korrekterweise als Faktoren im Integranden zu setzen sind. Man kann aber anstatt dessen auch repräsentative Konstantwerte einsetzen - etwa die im Mittelkreis - und den so entstehenden Fehler durch Anpassen des Koeffizienten Gd ausgeglichen denken; praktisch ist die Kenntnis von Gd ohnehin so ungenau, daß ein solcher Schritt ohne weiteres gegeben ist. Dann erhalten wir

f y dx. l

dWd =Gd; sc1dt

(31)

2

0

Nun existiert sicher längs der Schaufel eine Stelle, wo y gerade so groß ist, daß man den korrekten Wert der Bewegungsenergie der Schaufel erhält, wenn man ihre Masse m mit dem betreffenden i/ 2 /2 multipliziert. Dieses y sei mit iJ bezeichnet. Die Amplitudenfunktion Y(x) hat dort, wo iJ auftritt, den Wert Y. So kann man schließlich GI. (31), die man noch durch dt dividiert, in folgender Form darstellen:

dzd

=[Gd; s c1

f (Yf)

0

I

r

dx]

fJ 2 =

BiJ

2.

(32)

Wenn wir auf die Betrachtungen unter 19.2 zurückgreifen, so übernimmt y die Rolle der dort eingeführten charakteristischen Koordinate q, während der in eckiger Klammer stehende Ausdruck in der Tat identisch ist mit dem dort gesetzten B. Die durch Gl.19.2 (7) eingeführte Größe M wird bei unserer Normierung 0,10 mit der Schaufelmasse identisch, so daß das log~0 arithmische Dekrement ~a der aerodynamischen .......... ltf>. .......... Dämpfung allein vermöge GI. 19.1 (9) dargestellt ~ P.r ~ werden kann in der Form A

V'

-

[/,/

(33)

Hier ist 1J

o,os

V Ii/

f der mittlere Schaufelquerschnitt und

= w/2 n die Eigenfrequenz der Schwingung. -

(} Der Vergleich mit der Darstellungsweise bei o,s to SCHMIDT [33] zeigt, daß der durch l dividierte falltIntegralausdruck in GI. (33) für die Schwingung Abb. 19.20.4 n-ter Ordnung gleich HnfPn ist, wo P,n eine FunkFaktoren p.1 und p.2 nach ScHMIDT [ 33] tion des Verhältnisses Ia//; (äußerer zum inneren Schaufelquerschnitt) ist, die für die einseitig eingespannte freistehende Schaufel und für n = 1 und 2 in Abb. 4 nach [33] dargestellt ist. Das logarithmische Dekrement der aerodynamischen Dämpfung der Biegeschwingung n-ter Ordnung ist demgemäß

(34) 31*

r

~

484

19. Schwingungen von Schaufeln und Scheiben

Für laff;= l werden die Quotienten Hnff-tn in den beiden dargestellten Fällen gleich l, und es ist leicht zu sehen, daß dies überhaupt für alle Schwingungsformen und Ordnungen zutrifft. Da dies der kleinste - somit ungünstigste - Wert ist, den Hnf fln annehmen kann, machen wir einen Fehler, der auf der sicheren Seite liegt, wenn wir allgemein setzen Hnf /-tn = 1 und wenn wir für Ca zudem den unteren Wert einsetzen. So erhalten wir (35) Der Wert, den man nach dieser Formel erhält, liegt meist etwa in der Größenordnung 0,01 und varüert beachtlicherweise von Fall zu Fall nicht so stark, wie man vielleicht zu vermuten geneigt ist, weil e/es als Faktor auftritt. Hat nämlich das Medium eine sehr hohe Dichte, ist also e!es groß, so sind gleichzeitig die Schaufeln gedrungen und haben demgemäß hohe Yn. Für die Drehschwingung ist grundsätzlich eine analoge Überlegung möglich, doch folgt der empirische Koeffizient sehr komplizierten und undurchsichtigen Gesetzen. HILLER [38] gibt darüber einige Unterlagen. Wie schon seit längerer Zeit bekannt ist, wird die Erscheinung des Flatterns, also der selbsterregten Schwingung, vor allem in der Form von Drehschwingungen beobachtet. Der kritische Wert des Parameters c1Jw s liegt hier demnach so, daß er in ausgeführten Konstruktionen gelegentlich erreicht oder überschritten wurde. Er hängt von den Besonderheiten der geometrischen Konfiguration ab. HILLER findet für stark angestellte Plattengitter tiefste Werte von etwa 0,48. Diese entsprechen allerdings Anstellwinkeln von der Größenordnung 30°, wo bei solchen Gittern mit starker Ablösung zu rechnen ist. Bei dem für solche Gitter immer noch verhältnismäßig großen Anstellwinkel 15° ist der kritische Wert bereits 1,0. Betrachtet man diesen Wert als für praktisch verwendete Gitter etwa repräsentativ und bildet die Kennzahl mit der Torsionsfrequenz erster Ordnung Yt 1 statt mit der entsprechenden Kreisfrequenz, so ist mit 2 n zu multiplizieren, und man hat als Bedingung für die Vermeidung des Flatterns

~

4

-

w. näherungsweise ersetzt

(_!:._)2 .

(21)

X

Wir kommen also zu dem Ergebnis, daß die Stabilität des überkritischen Laufzustandes an und für sich nicht ohne weiteres gesichert, sondern an die durch die Ungleichung (21) ausgesprochene Bedingung geknüpft ist. Nun ist allerdings bei jedem auch nur einigermaßen gut ausgewuchteten Läufer (ejx) 2 außerordentlich klein. Deshalb besteht nur ein äußerst schmales Drehzahlgebiet unmittelbar über der kritischen Drehzahl, in welchem unsere Ungleichung nicht erfüllt und somit theoretisch Instabilität zu erwarten ist. Aber auch diese Instabilität in einem engen Bereich wird nur erhalten infolge der Vernachlässigung der Dämpfung. Sobald eine nur geringfügige äußere Dämpfung eingeführt wird, erhält man in unmittelbarer Nähe der kritischen Drehzahl noch gar nicht den hier vorausgesetzten Laufzustand, bei dem der Schwerpunkt - in seiner Gleichgewichtslage - auf der Verbindungsgeraden zwischen Drehzentrum 0 und Wellenzentrum W liegt, und zwar zwischen 0 und W (und dieser Laufzustand war es ja, der in Verdacht stand instabil zu sein). Vielmehr besteht dann im fraglichen Gebiet eine Situation ähnlich der in Ab b. 20.2.3 dargestellten. Die Voraussetzungen der Untersuchung sind damit nicht mehr erfüllt, da insbesondere -r: kein kleiner Winkel mehr ist. In der Tat bestätigt auch die Erfahrung, daß bei Vorhandensein von Dämpfung kritische Drehzahlen gefahrlos durchlaufen werden können. Wie aus dieser Untersuchung hervorgeht, wird die Stabilisierung des überkritischen Laufes dadurch herbeigeführt, daß der Trägheitsradius " groß ist gegenüber der Exzentrizität oder mit anderen Worten: Der Lauf ist stabil, dank des Trägheitsmomentes der Scheibe.

20.4 Der Einfluß der elastischen Lagerung Die Nachgiebigkeit der Lagerung ist oft nicht vernachlässigbar gegenüber derjenigen des Läufers selbst und bewirkt damit eine wesentliche Verschiebung der kritischen Drehzahlen. Um die Zusammenhänge möglichst gut überblicken zu können, betrachten wir wiederum den einfachsten Fall, nämlich die Scheibe, die in der Mitte einer masselosen Welle sitzt. Die Welle selbst ist beidseitig in masselos gedachten gleichartigen Lagern gehalten, die in horizontaler und vertikaler Richtung federnd aufgehängt sind, vgl. Abb. l. - Eine Verallgemeinerung, bei der diese Symmetriebedingungen fallen gelassen sind, gibt PFÜTZNER [43]. Grundsätzlich erhält er die gleichen Effekte wie im symmetrischen Fall. - Bei einer horizontalen Verschiebung des Lagers x' erfährt dieses eine Kraft X'= -k 1 x' (1) und ebenso entsteht bei einer vertikalen Verschiebung y' die Kraft

Y'

=

-k2y'.

(2)

Die Konstanten k 1 und k 2 , die im allgemeinen verschieden sein werden, kennzeichnen die Nachgiebigkeit der Lagerung. Es ist Abb. 20.4.1 Federnd nicht angenommen, daß eine Verschiebung x' auch eine Kraft in abgestütztes Lager der senkrechten Richtung hervorrufe und umgekehrt. Nun betrachten wir die Verhältnisse an der Scheibe, wobei wir in Anlehnung an die früher erhaltenen Ergebnisse sogleich annehmen, daß sie in Anbetracht der stets sehr kleinen Exzentrizität gleichförmig mit der Winkelgeschwindigkeit w rotiere. Für den

20. Dynamische Probleme des Läufers

504

Winkel cp, Abb. 2, läßt sich daher setzen cp = w t. Ist ferner k die elastische Konstante der Welle, so werden die beiden Komponenten der Kraft, welche die ausgebogene Welle auf die Scheibe ausübt y (3) X= -k(x- x'- e cosw t}, 8 (4) Y = -k(y- y' - e sinro t}, wobei x und y die Koordinaten des Schwerpunktes sind, vgl. Abb. 2. Da die Lager masselos sind, gilt (5) X = 2X', · Y = 2 Y'. Wenn man hier für X, X', Y, Y' die Ausdrücke GI. (1) bis (4) einsetzt und nach x' bzw. y' auflöst,

erhält man 0

:r:'

,

X=

X

Xw

x- ecoswt 2~

T+1

Abb.20.4.2 Zur Aufstellung der Bewegungsgleichungen für Läufer mit federnd abgestützten Lagern

y- esinwt

,

y =

'

2~

-k-+1

.

(6)

Nun formulieren wir z. B. für die x-Richtung die Bewegungsgleichung des Schwerpunktes, wobei wir außer der elastischen Kraft X sogleich noch eine Dämpfungskraft - b x einführen. Es ist also

mx=X-bx

oder mit GI. (3) auch

x + k(x- x') + b x =

m

(7)

k e cosw t.

(8}

Wenn man hier noch x' nach der ersten GI. (6) einsetzt und ordnet, erhält man die nachfolgende GI. (9}, der wir sogleich noch die völlig analoge Gleichung in y-Richtung als G1. (10) beifügen t k[ 1 ] ] 1 . +b.+k[ m 1 + k/2~ X= m 1 + k/2~. e mX k[ 1 ] • t ] 1 . +b.+k[ y =-;; 1+k/2~ esmro . -;;Y m 1+kf2ks y

X

COSW

(9)

'

(10)

Diese beiden Gleichungen unterscheiden sich von den entsprechenden Gin. 20,2 (17) und (18} nur durch die geänderten Koeffizienten, und zwar sind jetzt im Gegensatz zu früher die Koeffizienten nicht mehr in beiden Gleichungen gleich. Daher erhalten wir jetzt in x- und y-Richtung verschiedene Eigenfrequenzen, nämlich Wel

=V! [

~/2kJ'

1+

Wes

=V! [

1+

~/2~] ·

(11}

Somit lautet bei klein angenommener Dämpfung die stationäre Lösung (von der exponentiell abklingenden beliebigen Eigenschwingung sehen wir sogleich ab) : e sin(ro t -

,e cos(ro t - 'Pl)

X=

V[1- (:.JT + [ :;;JB' b

tan "P1 = - -

mwe~

Die größten Ausschläge

1

(::1) _(:.J

Xmax

bzw.

Ymax•

y =

,

tp8 )

V[1- C:.JT + [ :;;J2' .

b

tan "P2 = - mw, 2

1 ( : :2 ) _

(w~J

.

(12)

(13)

die im Resonanzfall erreicht werden, sind

emw, 1

Xmax=--b-'

Ymax

emw, = --b-. 2

(14)

Wie die Gin. (11) zeigen, bewirkt eine nachgiebige Lagerung eine Herabsetzung der Eigenfrequenz und somit der kritischen Drehzahl. Wenn die Nachgiebigkeit der Lagerung in den Richtungen x und y eine verschiedene ist - was aus konstruktiven Gründen in

20.4 Der Einfluß der elastischen Lagerung

505

der Regel in mehr oder weniger ausgeprägtem Maße der Fall ist -,werden zwei kritische Drehzahlen erhalten. Übertragen auf den allgemeinen Fall bedeutet dies, daß von der ohnehin vorhandenen Folge der kritischen Winkelgeschwindigkeiten wn jede nochmals in zwei Werte Wn 1 und Wn 2 aufgespalten wird, deren jeder tiefer liegt als das ursprüngliche Wn. In der in Abschn. 20.1 entwickelten Theorie würde sich eine nachgiebige Lagerung einfach im Charakter der Einflußfunktion W(z', z) äußern und man erhielte im allgemeinen für die beiden Koordinatenrichtungen verschiedene Einflußfunktionen W1 und W2 • Dementsprechend würden auch zwei Integralgleichungen der Art GI. 20.1 (28) entstehen, deren jede ihre zugehörige Folge von Eigenwerten und Eigenfunktionen besitzt. Drehsinn Von besonderem Interesse ist nun noch die Analyse der Schwerpunktsbewegung, die sich aus der angegebenen Lösung ergibt. Die beiden aufeinander senkrecht stehenden Schwingungsbewegungen x (t) und y (t) haben jetzt nämlich im Gegensatz zu früher weder dieselbe Amplitude noch um 90° verschobene Phasen (da ja ?pr =f= 1p2). 2 Daher ist die Bewegung nicht mehr eine zirkular polarisierte Schwingung, d. h. eine Kreisbewegung, Wet Tz+2•

Die mit Querstrichen versehenen Größen sind auf die Drehzahl der linken Welle reduziert, entsprechend sollen auch nachfolgend die Ausschläge y und die Momente M bezeichnet werden. Für jede dieser drei Wellen können wir nun die Matrizengleichungen aufstellen, die die Werte der Variablen y und M an der Verbindungsstelle mit denen am freien Wellenende in Beziehung setzen. Für die linke Welle lautet die gesamte Übertragungsmatrix (1 - ~~ 8oTo) To] (14) 1 ' 1 -w. 8 0

Tz-1] ... [

(15)

Ebenso ist für die beiden rechten Ersatzwellen (16)

(17) (18)

(19) Die Gln. (15), (17) und (19) repräsentieren zusammen das folgende Gleichungssystem:

= Mz = Yz = Yz

Mz Yz

Mz

fJ11 Yo Q21

Yo

=

Yn !]21 Yn

= =

lJ21 Ym

.Q11 lJ11

(20)

Ym

Diesen Gleichungen ist noch beizufügen die Bewegungsgleichung für die Masse 8z, die die Verknüpfung herstellt. Sie lautet (21) Traupel, Turbomaschinen II, 2. Auf!.

35

546

20. Dynamische Probleme des Läufers

Mit den Gin. (20 ) und (21) ist ein System von sieben Gleichungen für ebensoviele Unbekannte gegeben. Nichttriviale Lösungen erhalten wir bei Verschwinden der Koeffizientendeterminante, d. h., es ist:

llu [221

0 0 0 0 0

0 0

0 0

Du

0 0

Q21

0 0 0

-1 0 -1

Du

0 -1

Q21

0

0

w; e.

0 -1

0 0

0 0 0 0 -1

0 -1 0 0 1

0 0 0 0 =0. 0 -1 1

(22)

w:,

Dies ist eine Bestimmungsgleichung für da die Q von dieser Größe abhängen. Ihre Wurzeln Weh we 2 , . . . sind die gesuchten Kreisfrequenzen der Eigenschwingungszahlen der Drehschwingungen des gegebenen Systems. Die Reihenfolge der Zeilen der Determinante in Gl. (22) entspricht der Reihenfolge, die durch die Gln. (20) und (21) gegeben ist. Die Spalten entsprechen nacheinander folgenden Unbekannten: y 0 , Yn• Ym• y., M.,

Mz, Mz.

Die häufig angewandte Drehmomentübertragung auf ein Ritzel mit Hilfe einer Welle sehr großer Torsionselastizität ist ein Mittel, die Grundfrequenz der Torsionsschwingungen wesentlich herabzusetzen und gleichzeitig dafür zu sorgen, daß die Drehmomentschwankungen durch Verzahnungsfehler sehr stark herabgesetzt werden. Folgende Einflüsse begrenzen die Ausschläge in Resonanz: Die Werkstoffhysteresis wirkt hier immer als Dämpfung, die allerdings sehr klein ist. Weiter wirkt die Lagerreibung dämpfend, wie man leicht einsieht, wenn man sich das reibende Moment durch die Überlagerung eines konstanten und eines oszillierenden Anteiles entstanden denkt. Der oszillierende Anteil ist dann in Gegenphase mit der Schwingung und trägt so zur Begrenzung der Ausschläge bei. Schließlich ist auch das Drehmoment, das ein Verdichter aufnimmt oder eine Turbine abgibt von der Winkelgeschwindigkeit abhängig, und zwar in solcher Weise, daß wiederum eine die Schwingung hemmende Wirkung entsteht, wie aus einer Überlegung hervorgeht, die derjenigen genau analog ist, die für die Lagerreibung angestellt wurde. Es liegt also auch eine aerodynamische Dämpfung vor.

20.13 Ergebnisse der Lagertheorie Wir fassen hier einige Tatsachen und Ergebnisse aus der Theorie ölgeschmierter Gleitlager zusammen, weil sich hieraus einesteils die Lagerreibungsverluste ergeben, während andererseits die Lagertheorie der Ausgangspunkt ist für die Behandlung selbsterregter Rotorschwingungen, die von den Lagern ihren Ausgang nehmen. Bei den Lagern der Turbomaschinen kann in jedem üblicherweise auftretenden Betriebszustand mit vollkommen flüssiger Reibung gerechnet werden. Damit sind die Vorgänge nach der hydrodynamischen Schmierfilmtheorie erfaßbar. Kompliziertere molekularphysikalische Zusammenhänge werden damit allerdings keineswegs bedeutungslos, wie es zunächst den Anschein hat. Die Schmierfilmtheorie macht nämlich stets die Voraussetzung vollkommener Haftung zwischen dem Schmiermittel und der Oberfläche der beiden relativ zueinander bewegten Körper. Gerade die Erfüllung dieser Voraussetzung hängt aber mit molekularphysikalischen Gegebenheiten zusammen, was bei der Wahl der Werkstoffe und Schmiermittel sorgfältig zu beachten ist. Sehr rasch fortschreitende Abnützungserscheinungen an Lagerschalen und Zapfen können sonst die Folge sein. An austenitischen Stählen ist in dieser Beziehung schon gelegentlich ein ungünstiges Verhalten beobachtet worden, vereinzelt selbst bei Wellen aus ferritischem 13 %-Cr-Stahl. Allerdings scheint bei solchen Schwierigkeiten vor allem die Gegenwart von Verunreinigungen eine maß-

547

20.13 Ergebnisse der Lagertheorie

gebende Rolle zu spielen. Kleinste Fremdkörper, die eine Verletzung der Wellenoberfläche bewirken, können bei härtenden Werkstoffen zur Spanbildung führen , was natürlich eine rasche Zerstörung des Lagers herbeiführt. Über die Frage des Haftens des Schmiermittels vgl. etwa KAMPS [15]. Heute ist man bestrebt, die flüssige Reibung nicht nur im Betriebe, sondern auch beim Anlaufen und Stillsetzen und beim langsamen Durchdrehen der außer Betrieb gesetzten Maschine sicherzustellen, um jede Abnützung oder Beschädigung der Lagerschalen zu unterbinden. Das früher weithin übliche intermittierende Weiterdrehen ("Schalten") des Läufers der stillgesetzten Maschine hat sich in dieser Beziehung nicht bewährt. Heute zieht man ein stetiges Durchdrehen mit etwa 60 U /min vor (sog. Schnelldrehvorrichtung), wobei in den Lagern Gleitgeschwindigkeiten von etwa 0,5 bis l mjsec herrschen und meist schon reine Flüssigkeitsreibung gegeben ist. Außerdem erzeugt dann die Schaufelung bereits eine systematische Ventilationswirkung, womit die thermisch bedingte Verkrümmung der Gehäuseteile vermieden wird. Zum Schutze der Lager beim Losbrechen aus dem Stillstand und zur Verminderung des Losbrechdrehmomentes (das gerade bei Schnelldrehvorrichtungen zu einer sehr starken Überdimensionierung des Drehmotors zwingen würde, da mit einem Ruhereibungskoeffizienten von 0,25 bis 0,35 zu rechnen wäre) wird jetzt oft eine besondere Hochdruckschmierung vorgesehen, die im normalen Betriebe abgestellt wird. Bei dieser wird mit einer Kolbenpumpe (Diesel-Einspritzpumpe) Schmieröl mit einem Druck von 70 bis 300 bar {l bar = 1,02 at) durch eine kleine Bohrung an einem Punkt der untersten Mantellinie in die Lagerschale eingeführt, vgl. Abb. l.

Abb. 20.13.1 Hochdruckschmierung eines Traglagers

Abb. 20.13.2 Zur Herleitung der Differentialgleichung der Schmierfilmtheorie

In der Umgebung der Lochmündung, die entsprechend gestaltet werden muß, bildet sich so ein "Drucksee", auf welchem der Zapfen selbst im Stillstand schwimmt. Im Betriebe würde diese Schmierung nicht genügen, da der Öldurchsatz zur Abführung der Lagerreibungswärme nicht ausreichen würde. Wir leiten nun zunächst die grundlegende Differentialgleichung der Schmierfilmtheorie her und stellen anschließend einige wichtige Ergebnisse zusammen. - In einem ruhenden Koordinatensystem x, y, z, Abb. 2, mögen sich die beiden dargestellten Flächen l und 2 in folgender Weise translatorisch bewegen. Die X-Komponente der Geschwindigkeit der Fläche l sei U 1 , während die y- und z-Komponenten Null sein mögen. Die XKomponente der Geschwindigkeit der Fläche 2 sei U 2 , die y-Komponente V, die z-Komponente Null. Der Raum zwischen beiden Flächen sei erfüllt mit einer zähen inkompressiblen Flüssigkeit, die an beiden Flächen hafte und in laminarer Bewegung sei. Gesucht ist das Druckfeld, das sich aus dem Strömungsvorgang ergibt, welchen die Bewegungen der beiden Flächen der Flüssigkeit aufzwingen. Der Abstand h in y-Richtung zwischen den beiden Flächen sei überall und jederzeit so klein, daß der Druck p als unabhängig von y betrachtet werden darf. Ferner sei die Zähigkeit 'YJ derart groß, daß bei der Formulierung des dynamischen Gleichgewichtes am Raumelement die Trägheitskräfte ver35*

548

20. Dynamische Probleme des Läufers

nachlässigt werden können. Wenn nun u, v und w die Geschwindigkeitskomponenten in den Richtungen x, y, z sind, wird die Bewegung der Flüssigkeit unter den gemachten Voraussetzungen durch folgende Differentialgleichungen beschrieben. Die Kontinuitätsgleichung lautet

~+~+~=0 ' az ay ax

(1)

während das Bewegungsgesetz ausgesprochen wird durch 'YJ

u+ u+ u) = ax'

2 ( 8 8x 2

82 ay 2

82 8z2

2 ( 8 v ax 2

82v

82v )

ap

+ ßy2 + ßz2 = 0 ' 2 ap 82w) 82w ( 8 w = az· 'YJ ax2 + ay2 + a z

'YJ

(2)

2

Dies sind die Gleichungen von NAVIER und STOKES, aus denen die Beschleunigungsglieder sogleich weggelassen sind, da ja die Beschleunigungskräfte als vernachlässigbar klein betrachtet werden können. Da der betrachtete Strömungsraum ein enger Spalt ist, sind ß2ujßx2 und 82ujßz 2 sehr viel kleiner als 82ujay 2 und können vernachlässigt werden, und das Entsprechende gilt auch für v und w. Daher können die Gin. (2) in folgender Weise vereinfacht werden: a2u 'YJ ay 2

ap

= ax·

82 v ßy2 = 82 w 'YJ ßy2

(3) (4)

0, ap

a-z·

=

(5)

Da nun nach Voraussetzung apjax und apjaz nicht von y abhängen, können diese Gleichungen sogleich integriert werden, wobei folgende Grenzbedingungen gelten. w = 0, v = 0, In y = 0 ist u = U 1 , ah w = 0. V = V + u2 ax' in y = h ist u = u2' Damit führt die Integration von GI. (3), ( 4) und (5) auf

+

+ u1,

u

= 2~ !~ (y2 -

v

ah) y -,;· = ( v + u2a;;

(7)

w

( y2 = -27J1 - ap az

(8)

-

h y)

hy).

u2-;; ul Y

(6)

Die so erhaltenen Ausdrücke können nun in GI. (1) eingesetzt werden, womit sie übergeht In + 12 'YJ V. = 6 'YJ (U 1 + U 2 ) !..!!... ap) + _!___ _!___ (9) ax az az ax ax

(ha

(ha !..E.)

Damit ist eine Gleichung gewonnen, welche die Druckverteilung in unmittelbare Beziehung bringt zur Gestalt des Spaltes und zur Bewegung seiner Begrenzungsflächen. Die Normalgeschwindigkeitskomponente V wurde eingeführt, weil sie im Falle des schwingenden Rotors nicht verschwindet. Im stationären Betriebsfall ist V = 0. Wenn wir weiter das Koordinatensystem so wählen, daß die Fläche 1 in Ruhe ist, d. h. U 1 = 0, vereinfacht sich GI. (9) zu (10)

wobei hier

u

gesetzt ist für das bisherige

u2.

549

20.13 Ergebnisse der Lagertheorie

Mit GI. (9) oder (10) ist die Grundlage der hydrodynamischen Schmierfilmtheorie gegeben. Beim Radiallager ist allerdings die bewegte Fläche zylindrisch und rotiert, doch ist der Krümmungsradius gegenüber der Spaltweite stets derart groß, daß die Verhält· nisse im Spalt als quasi eben betrachtet werden dürfen, womit die angegebenen Glei· chungen anwendbar bleiben. Die Behandlung eines bestimmten Lagertyps geht nun grund· sätzlich so vor sich, daß man die besondere Funktion h(x), welche die betreffende Spalt· form beschreibt, in GI. {10) einführt und sie dann mit den Grenzbedingungen des gegebenen Falles löst. Beim Radiallager mit zylindrischer Lagerschale, vgl. Abb. 3, ist z. B. x = r rp und {ll} h = L1r(1 + e cosrp), wo L1 r das radiale Lagerspiel und e die relative Exzentrizität efL1 r darstellt (siehe Abb. 3). Damit geht GI. (10) in die Form

Llr a [

----;:2 87jJ {1

+ e cos rp)

3

a [(1 ap J + L1 r 3 az

iJrp

ap] = + e cos rp) az 3

a (1 a11 UL!r aq; r

+ e cos rp)

über, was auch wie folgt dargestellt werden kann: {12) Obwohl damit die Grundlagen einer rationellen Lagertheorie gegeben sind, ist diese nicht zu einem Abschluß gekommen. Das liegt zunächst am komplizierten Aufbau der maßgebenden Differentialgleichung. Schon bei einfachster Geometrie, wie sie beim Traglager mit zylindrischer Schale gegeben ist, erhält man die Differentialgleichung (12), deren Lösung große Schwierigkeiten bereitet. Vor allem stört das Vorhandensein von zwei unabhängigen Veränderlichen, weshalb man immer wieder auf den einfachen Idealfall des unendlich breiten Lagers zurückgeht, wobei in GI. (12) das Glied mit 82 pfiJz2 wegfällt. Der Übergang zum Lager endlicher Breite wird dann gelegentlich in Form einer nachträglichen Korrektur durchgeführt (z. B. TEN BoscH [6]). FRÄNKEL [10] ersetzt die Abhängigkeit p(z) durch eine Parabel, deren Exponent er aus den vorliegenden Beobach- Abb. 20.13.3 Zur Aufstellung tungen bestimmt und geht damit sogleich in die Differential- der Differentialgleichung des gleichung (12) ein. Außer diesen mathematischen Schwierig- Schmierfilms für Radiallager mit zylindrischer Schale keiten bestehen aber noch solche grundsätzlicher Art. Es ist nämlich nicht von vornherein klar, wie die Grenzbedingungen physikalisch sinnvoll zu formulieren sind. Für das Radiallager, das von einer zylindrischen Lagerschale völlig umschlossen wird, liefert die bereits von SoMMERFELD [22] angegebene Lösung bereichsweise negative Drücke, was nur in beschränktem Grade physikalisch mög· lieh ist (der Umgebungsdruck wird üblicherweise als Nullpunkt der Druckmessung gewählt). Um dies zu vermeiden, treffen viele Autoren mehr oder weniger naheliegende Annahmen, die aber nicht immer zwingend sind. FLOBERG und JAKOBSBON [8, 9] haben daher das Problem des Traglagers mit zylindrischer Schale erneut aufgegriffen und ihren Untersuchungen die Annahme zugrunde gelegt, daß der tiefstmögliche Druck gleich dem Verdampfungsdruck des Schmiermittels sei. Abb. 4 bis 7 geben auszugsweise einige ihrer Ergebnisse wieder. Es ist dabei der Verdampfungsdruck gleich dem atmosphärischen Druck gesetzt, was in der Regel hinreichend genau sein dürfte. Die Grenze zwischen dem Gebiet des zusammenhängenden Ölfilms (der die Differentialgleichung (12) befriedigt) und dem Gebiet der Teilverdampfung und Luftausscheidung ist dabei gegeben durch die Bedingung, daß dort iJpfarp = 0, denn nur so läßt sich der Übergang vom einen zum anderen herstellen, ohne daß eine physikalisch unmögliche Diskontinuität auftritt. Damit ist die Grenzbedingung in einer zwingenden Weise eingeführt. - Daß die Tragfähigkeit und der Schmiermitteldurchfluß aus der Integration der Differentialgleichung

550

20. Dynamische Probleme des Läufers

des Schmiermittelfilms erschlossen werden können, leuchtet unmittelbar ein. Aber auch die Reibungsarbeit ergibt sich sogleich, da ja die Umfangskomponente der Schubspannung an der Zapfenoberfläche -r: = -rJ aufar ist. 1,0

0,8

B

b/d ~ 0,25

L

_,_--

...---.JE-

I V

I I II / I ; 0,2 //

L

./

V

---

-

../'

/

V

'I /

o.s-

V ~

~

....... ~

--

2

IJ. '!J 1, I)' '/;1

~ '// ~~~~ /

~= 0,8

e-

~~ ~~

!~

~

0.2

0,~

0,8

(),6

e--

1

Abb. 20.13.5 Kennzahl j zur Berechnung der Reibungsleistung für zylindrische Lagerschale mit 180° Zentriwinkel bei Belastung in Richtung der Winkelhalbierenden, nach FLOßERG und JAKOßSSON [9]

Die Berechnung eines Lagers kann anhand dieser Unterlagen wie folgt geschehen. Man wählt die Abmessungen des Lagers. Aus der vom Lager aufzunehmenden Kraft G (zu tragendes Gewicht oder allgemein Querkraft, wenn noch andere Kräfte als das Gewicht in Frage kommen), dem Zapfendurchmesser d und der Lagerbreite b erhält man den mittleren Lagerdruck

b/d=co,

0.2

Vw

!--==?

Abb. 29.13.4 Relative Exzentrizität e in Funktion der Lagerkennzahl Ilm [s. Gl. (14)] und des Breitenverhältnisses bfd für zylindrische Lagerschale, Anordnung nach Abb. 20.13.5 oder 6, nach FLOßERG und JAKOßSSON [9]

0,5

II 11/t lhrJ/ 0,2~ lil I rJ/ Jh ~

5

J

IIm-

!Jil

0,5,

I

0

I

1,

7

fL_

10

b/d =CO'-.

Abb. 20.13.6 Kennzahl j zur Berechnung der Reibungsleistung für zylindrische Lagerschale, die den ganzen Umfang umgibt. Schmiernute 90° vor Angriffsrichtung der Belastung, nach FLOßERG und JAKOßSSON [9]

Pm

G

=n·

(13)

Mit diesem bildet man die dimensionslose Sommerfeldsche Lagerkennzahl (14)

wo 'YJ die Zähigkeit des Schmiermittels, w die Winkelgeschwindigkeit und L1 rfr das relative Lagerspiel bedeuten. Alsdann ist aus Abb. 4 die Lagerexzentrizität s = efL1r t6 1,~

bld.;1. ........ I-""'"

1,2 ............

............

.......

-

f; =~

0

0,2

/V

_.-:-

$

I--I--

-

1...--

0,2

V

~

0,25

0,6

e-

ao

/

V

~~

0

/

~7"'

/V

~

V

1...-- ~

O,Z

O,'f

/

./

-V

f-'""

o.s / 0,25

,.;;.;.-

0,6

e-

(1,8

V I--

1,0

Abb. 20.13.7 Kennzahl q zur Berechnung des Öldurchflusses für Lager mit zylindrischer Schale. Anordnung wie in Abb. 20.13.5 und 6, nach FLoßERG und JAKOßSSON [9]

551

20.13 Ergebnisse der Lagertheorie

abzulesen. Die im Hinblick auf die Betriebssicherheit wichtige kleinste Spaltweite a ist dann (15) a = Llr(1 - 8). Aus Abb. 5 bzw. 6 kann weiter die Kennzahl j für die Verlustleistung abgelesen werden. Diese Leistung ergibt sich hieraus zu N _

jnb(rw) 2

_

jnbU 2

- (L1; ) - (L1rr )

(16)

.

Das Öldurchflußvolumen pro Zeiteinheit ist

= q r 2 w LI r = q r U LI r,

Q

(17)

wobei q aus Abb. 7 zu entnehmen ist. Die mittlere Temperaturerhöhung des Schmiermittels ist Llt-~-

jnbU ecQ- ecq(L1r)2'

(18)

wenn e und c dessen Dichte und spezifische Wärme sind. Namentlich mit Rücksicht auf die im folgenden Abschnitt behandelten selbsterregten Rotorschwingungen bevorzugt man für die Traglager oft Sonderbauarten. Eine solche ist das Lager mit "Zitronenspiel", bei dem das Spiel LI rh in horizontaler Richtung wesentlich größer ist als das Spiel LI rv in vertikaler Richtung, vgl. Abb. 8: Dieses Lager hat ÜTT [19]

Abb. 20.13.8 Lager mit "Zitronenspiel"

Abb. 20.13.9 Proportionen der von ÜTT [19] untersuchten Lager mit Zitronenspiel 1 Unterschale,

2 Oberschalen, b = d,

b0 = 0,4b

nach der Theorie von TEN BoscH [6] behandelt. Die von ihm vorausgesetzte Anordnung geht aus Abb. 9 hervor. In Abb. 10 ist für ein Lager mit bjd = l der erhaltene Zusammenhang zwischen IIm, 8 = efLirv und t-tf(Lirhfr) dargestellt, wobei t-t der Reibungskoeffizient ist. Der Kurvenparameter ist !5 = LI rv/LI rh. Die Einflüsse anderer Breitenverhältnisse ß = bfd können anhand von Abb. l l und 12 interpoliert werden. Wiederum bestimmt man mit den angenommenen Lagerdaten IIm, erhält aus dem Diagramm sowohl 8 als auch f-l und kann nun mit diesem die Reibungsleistung aus (19)

bestimmen. Reibung und Ölerwärmung werden beim Lager mit Zitronenspiel im allgemeinen nicht sehr wesentlich anders als bei ähnlichen Lagern mit gewöhnlicher zylindrischer Schale. Weiter ist von ÜTT [20] das in Abb. 13 dargestellte Dreikeillager untersucht worden, und zwar auf experimentellem Wege. Solche Lager zeichnen sich durch besonders gute Stabilität und hohe Belastbarkeit aus. Die Schräglage der Trennfuge ist dadurch gegeben, daß der Druckölerntritt der Hochdruckschmierung einerseits an der tiefsten Stelle liegen muß, während man gleichzeitig eine Störung der Geometrie des eigentlichen Keilspaltes

552

20. Dynamische Probleme des Läufers 20

tf= 1.

1\3 \

10

"

7

t

tf-1.

5

o=i

J

\

IQ.

'\

"'' !'.." 1'\.'\ //» ......

0

/

q7 /

/

I

0,3

I o=f

2

I

~ '(§

\

bC ~ IL (1 ~ ~ [:1 (ArhM

,o.

j

0. 5

Um~

.~

"\

1

II

~ ~

......

1

5

~

~

tf=J... j lf

0.6

e-

Abb. 20.13.10 Zur Berechnung von Lagern mit Zitronenspiel nach ÜTT [19]. " =LI r./LI r11 1,0

qs 0.6 0.5

--

0,9

t

0.3

....:~1 o.z ~~

0,08 0,06 0,05 0,09

ß=1 __. ~ >-

t,.....-

/

-- -

l::::i 0.1

-

.-/

j3-4'1...,7'

""'

O,OJ 0,2

e-

0,6

0,8

Abb. 20.13.ll Abhängigkeit der Lagerkennzahl IIm vom Breitenverhältnis {3 = b/d und von der relativen Exzentrizität s für Lager mit Zitronenspiel, nach ÜTT [19] .30

zo

t ~~II

-

p=alf r-- r-..

10

8

6 =t~5 :('f

3

z

--

r--..... ........

r-- --....., ß=1

........

I'..

"\.

r-....

e-

;>o....

0.6

r---....

\ ~) ' 1,0

Abb. 20.13.12 Abhängigkeit der Reibungszahl p. vom Breitenverhältnis {3 = bfd und von der relativen Exzentrizität für Lager mit Zitronenspiel, nach ÜTT [19]

20.13 Ergebnisse der Lagertheorie

553

durch die Einführöffnung vermeiden wollte. Abb. 14 zeigt in abgewickelter Darstellung die Form der drei Keilspalten. Es war für das untersuchte Lager

I=

und

1,5L1r,

s1 iJrjr

=

0,7s,

bfd = 1,15

= 0,0012.

Seitlich sind die Keilspalten nicht einfach offen, sondern so ausgebildet, wie in Abb. 15 gezeigt. Für ein gegebenes IIm zeigt Abb. 16 flf(L1 rfr) = 833 fl, womit aus GI. (19) wiederum die Reibungsleistung zu entnehmen ist. D Später hat ÜTT [31] seine Untersuchungen noch ausgedehnt auf stärker belastete Lager, wobei die charakteristischen Daten etwas geändert wurden, nämlich I = 1,33r, L1 rfr = 0,0015. Dabei hat er nicht nur die resultierende Gesamtkraft, sondern auch die Kräfte auf die drei Segmente einzeln A untersucht. Abb. 17 zeigt den bezogenen Reibungsbeiwert flf(iJrjr) und ist unmittelbar mit Abb. 16 vergleichbar. - Unterlagen über zylindrische Lager, deren Schalenflächen in einzelne Sektoren unterteilt sind und über Dreikeillager, deren Schalen aus drei gleichartigen Kreisbogen gebildet 8 sind und bei denen die in Abb. 15 angegebene seitliche "Abdichtung" fehlt, gibt PINKUS [32, 33]. Bei Maschinen sehr großer Leistung ist man auf Abb. 20.13.13 Schematischer Schnitt durch entsprechend große Wellendurchmesser geführt und das von ÜTT [20] untersuchte Dreikeillager A Öleintritt für normale Schmierung, B Öleintritt für kann daher auch hohe Umfangsgeschwindigkeiten Hochdruckschmlerung, 0 Trenufuge, D Lastrichtung nicht vermeiden. Dabei kann im Ölfilm die Erscheinung der sog. Taylor- Wirbel auftreten. Das sind Wirbel, deren Achsen sich längs des Zylinderumfanges erstrecken und die in kleinen axialen Abständen dicht nebeneinanderliegen. Der Vorgang ist zwar noch völlig geordnet, also laminar, doch ist die Energiedissipation bereits etwa das 2,4fache des Wertes der Laminarströmung ohne solche Wirbel, die die Lagertheorie voraussetzt. Nach BARWELL [34] ist

Abb. 20.13.14 Abgewickelte Darstellung des Schmierspaltes A seitlicher Rand,

B Laufrichtung der bewegten Gleitfläche

bei Lagern mit voller zylindrischer Lagerschale die Bedingung für die Vermeidung der Taylor-Wirbel etwa ~ 17 (1

eU d

+ o,s9 2)

(L1r)2

-r