Théorie des probabilités en vue des applications statistiques (Publications de l'Institut français du pétrole) 2710805820, 9782710805823 [PDF]

Zitiervorschau

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école notionole supérieure du pétrole et des moteurs

Ph. TASSI et S. LEGAIT

théorie des probabilités en vue des applications

statistiques

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INSTITUT FRANÇAIS DU PETROLE

École Nationale Supérieure du Pétrole et des Moteurs Centre d'études supérieures d'économie et gestion

Théorie des probabilités en vue des applications statistiques Philippe Tassi Directeur scientifique de Médiamétrie Professeur à I'ENSPM et à I'ENSAE

Sylvia Legait Attaché de t'INSEE

Éotnorus rEcHNtp 27, rue Giroux 75737 Paris Cedex 15

@

lgg0. Editions Technip, Paris et Institut Frmtçais du Pétrole, Rueil-Malmaison

tsBN 2-7108-0582-O rssN 0758-147X Toute reproduction, même paftielle de cet ouvrage, par quclque procédé que ce soil est rigouretnement interdite par les lois en vigueur

AVANT-PROPOS

déjà longue histoire des méthodes scientifiques montre que principale victoire du chercheur, du praticien, de |ingénieur, esi t;upprànt,.s"ge la du doute. Le scientifique éclairé remprace de prus en prùs fréquemmenio"" uttirrations comme "le résultat est ...> par des interrogations : *queile est ra probabirité pour que re résultat soit ..". Le calcul et la théàrie des probabilités jouent, joueront et un rôle fondamental dans ra démarche scientifique, d'une part en raison de ra nature aréa_ toire de la plupart des problèmes réels, d""utr" part grâce à la nécessité de recourir aux méthodes statistiques de traitement de donnée-s sans cesse plus nombreuses et complexes à analyser.

Le déterminisme étant souvent une réduction hâtive de la réalité, il n'est plus, maintenant, d'ingénieur chimiste. physicien, fiabiriste, astronome, sans parrer bien sûr des spéeialistes de ra gestion, d" i'é"onornie et prus généràtement des sciences sociales et humaines, qui n'aient à manipurer res ài r"" modères de ra probabilité et de la statistique. Mentionnons, "onË"pt, à titre 0,""".pie, ra physique des particules : les électrons ne décrivent pas des trajectoires autour du noyau comme le font les planètes autour du soleil. Les particules obéissent en effet aux lois de la mécanique quantique, et la notion de trajectoire doit être abandonnée. De manière générale, la seure chose qu'ir est possiÉre de connaître est la probabilité de pré_ sence d'une particule en un point donné et à un instant donné.

, .L',ouvrage propose une introduction aux principales notions des probabilités dont le praticien sera amené à se servir. ll est rédigé pour des lecteurs déjà familiarisés avec un certain bagage mathématique en anaryse et en l'usage de plus en plus repându des méthodes proba'bilirt""-I argèbre. En effet, qui ira encore en grandissant de par re déveroppement de rogiciers adaptés - montre qu'une mauvaise connaissance des propriétés fondamentares des techniques est à r,origine d'interprétations parfois aberrantes des résultats. ll nous apparaît donc important d'insister sur les bases, afin de faciliter la compréhension des méthodes. La rédaction fait en outre appel à de nombreux exemples d'applications et exercices résolus ou à résoudre.

. Le chapitre 1 présente les concepts probabilistes usuels selon I'axiomatique. maintenant classique, de Kormogorov. il'contient égarement res résurtats sur re conditionnement er [indépendanCe. et le célèbre théJrème dû à Thomas

de nprobabilité des causes>

Bayes, dit

chapitre 2 pronge re carcur des probabirités dans ra théorie. prus générare, de la mesure et présenre res principaux étéments de rintàgr"tion générarisée au sens de Lebesgue, dont ra pubrication, au début du 2o'"siècre, a permis

une

PH. TASSi - S. LEGAIT

AVANT PROPOS

approche unifiée des probabilités. Nous avons adopté cette démarche car elle apparaît pédagogiquement intéressante, de par l'unification du langage qu'elle permet et la portée des propriétés qu'elle engendre. Dans le troisième chapitre sont regroupés les principaux résultats sur les variables aléatoires réelles ou multidimerrsionnelles. La piupart d'entre eux sont des cas particuliers de ceux obtenus au chapitre 2. Le chapitre 4 est important pour le praticien: il fournit les définitions et propriétés de dix-huit lois de probabilité parmi les plus rencontrées dans les applications. ll donne également les principes des papiersfonctionnels adaptés à la détermination d'une loi de probabilité au vu des données, ainsi que des éléments sur la génération d'échantillons aléatoires souvent utilisés en simulation. Le chapitre 5 est consacré à la géométrie des variables aléatoires. Après avoir donné une représentation géométrique de certains des outils de la statistique descriptive, il contient les bases sur lesquelles sont fondés le modèle linéaire et la

régression.

Au chapitre 6 est présenté l'un des outils les plus simples à utiliser lorsque l'on veut connaître la loi d'une somme de variables ou étudier les comportements asymptotiques : il s'agit de la fonction caractéristique. Le chapitre 7 porte sur les convergences de variables aléatoires. De nombreuses applications statistiques sont fondées sur des propriétés (aux limites,, autorisant ainsi des approximations justifiées d'un comportement inconnr:. Ainsi, l'un des indices les plus utilisés en statistique est le nornbre des observations: lorsqu'il est impossible d'obtenir des résultats exacts, la taille, parfois éievée, de n autorise

l'usage de résultats approximés.

Un certain nombre de compléments et d"approfondissements font l'objet du chapitre 8. ll est souvent important, en pratique, de pouvoir mesurer la odistance, existant entre deux lois de probabilités. ou entre des observations et un modèle théorique donné. Ouelques indicateurs de proximité sont présentés dans ce chapitre.

L'observation de données aléatoires fait parfois apparaître un ordre naturel ainsi un phénomène qui va en s'amplifiant donnera naissance à des données rangées en ordre croissant. En outre, depuis quelques années, on voit se développer' des méthodes statistiques utilisant des observations ordonnées, méthôdes dont les propriétés de stabilité sont du plus haut intérêt. Le clrapitre 9 est donc consacré aux résultats probabilistes particuliers à ce type de modèle ordonné. :

Enfin, les chapitres 10 et 11 portent sur les processus, c'est-à-ciire une généralisation des variables aléatoires. Leur domaine d'utilisation le plus fréquent est celui des séries temporelles, dont l'observation varie non seulement en fonction de l'individu observé mais aussi selon l'instant d'observation. Le chapitre 1O fournit des résultats probabilistes sur les proeessus, et le chapitre 1 1 présente des exemples de processus, en particulier les processus autorégressifs et moyenne mobile très répandus en automatique et en prévision. Les auteurs PH.

TASSI S. LEGAIT

TABLE EES MATIERES

AVANT PROPOS TABLE DES MATIERES

3 5

Chapitre 1 : LES eONCEPTS pROBAB|L|STES 1 Espace probabitisable 1 .1 Ëxpérience aléatoire 1.2 Evénement 2 Propriétés des tribus 3 Ouelques tribus particulières

3.1 Exemples "... 3.2 Tribu engendrée 3.3 Tribu borélienne

4

Probabilité sur un espace probabilisable 4.1 Définirion d'une probabiliré 4.2 Propriétés d'une probabilité 5 Fonction de répartition 6 Probabilité conditionnelle, indépendance d,événernents

6.1 Probabilité conditionnelle 6.2 lndépendance . . 6.3 Théorème de Bayes

.

Exercices Chapitre 2 : PROBAB|L|TE, MESURE, tNTEGRAT|ON 1 La théorie de la mesure : histoire et apport aux probabilités 2 Notion de mesure

2.1 Déf initions 2.2 Propriétér . ::::' ' ".:: 2.3 Meiure.iriin, sii

3 Mesurabilité

:.:.

:::::::.'

4lntégration ...

PH TASSI . S. TEGAIT

13

16 16 16 17 18 18 21

22 23 23 24 27 29 33 33 35 35

3.1 Application mesurable 3.2 Mesure-image 3.3 Tribu-produit . 4. 1 lntégration 4.2 lntégration

11

12 12 12

des fonctions mesurables étagées positives des fonctions mesurablei positives

37 39

40 4A

43

44 46 46 48

TABLE DFS MATIERES

4.3 Fonctions intégrables 4.4 Propriétés de l'intégrale 4.5 Généralisation 4.6 Exemples ... 5 Négligeabilité . 5.'l Définitions 5.2 Propriétés

50

6 Mesure définie Par une densité 7 lntégration par rapport à une mesure-image 8 lntégration par rapport à une mesure-produit

59

51

52 53 54 54 55 61

64 64 65 67

8.1 Mesure-produit 8.2 lntégration Exercices Chapitre 3 : LES VARIABLES ALEATOIRES 1 Caractéristiques des variables aléatoires réelles (unidimensionnelles) 1.1 Fonction de répartition . . ' . 1.2 Densité de probabilité . . ' .

71

2

80

1.3 Moments ... 1.4 Fractiles 1.5 Changement de variables

Vecteurs aléatoires 2.1 Fonction de répartition

72 72 73 75 77 78 80

80

2.2 Densité de probabilité . . ' . 2.3 Moments ... 2.4 Changement de variables 2.5 Lois marginales 2.6 lndépendance 2.7 Lois conditionnelles

82 85 86 87 91

103

Exercices Chapitre 4 : LES LOIS DE PROBABILITE USUELLES

107

1

107 107

Les lois

discrètes

..".

1.1 La loi de Dirac 1.2 Loi indicatrice (ou loi de Bernoulli) .. 1.3 Loi de Poisson

.'

108 109 110 110

.4 Loi binomiale 1.5 Loi multinomiale . . . 1,6 Loi hypergéométrique 1.7 Loi binomiale négative

1

2 Les lois continues

113 115

116 116

elassiques

2.1 Loi uniforme 2.2 Loi gamma 2.3 Loi de Weibull

117 119 PH

TASSI S. LEGAII

TABLE D.ES MATIERES

2.4

Loi bêta Loi de Gumbel 2.6 Loi normale unidimensionnelle 2.7 Loi normale multidimensionnelle 2.8 Loi log-normale 2.9 Loi du khi-deux 2.10 Loi de Student 2.11 Loi de Fisher-Snedecor Les papiers fonctionnels 3 1 Principe des pcrpters papiers fonctionnels toncltonnels :.: _,,,,v,r/ç uçù 3.2 txemples de construction de papier fonctionnel 3.3 Cas de variables discrètes

121

2.5

3

4

124

124 131

135 136 138

140 142

143 143 147

Divers

148 148

4.1 Création de lois de probabilité 4.2 Les coefficients de symétrie et d.ailaiissement srrucrure générâre , ra tamiirËïfànentierre 11 4.4 Y:" Génération d'éôhantillons aléatoires

150

152 154

Exercices

158

Chapitre 5 : GEOMETRTE DES VARTABLES ALEATOTRES 1 Espaces de variables aléatoires

1.1 Les espaces 9, elL. . . _. 1.2 Lesespaces7jett'. --._. z '' 1 .3 Les espaces 9É et I

...

'

' "

Un peu de géométrie 2 1 Statistiqu" J"""riptlu"'d",;l,;q;;' : : : : :. : : : : : : : : :. :. : : :. : : : : 2.2 Géométrie dans.L,

L, ....... : :... 3 ltry"'jmarion.daÀ's 2.4 lnterprétation des tois?u tni_oeux Liïe Stuoent

I

Chapitre 6 : UN OUTTL: LA FONCTTON CARACTERTSTTOUE

1 Définition et propriétés 1.1 Définition ... 1

d,une fonction caractéristique

.2 Propriétés

j" i"i'jËii"i;;;, 1 3 Un "^".ft" 2 Fonctions caractéristiques

;;i;'

des lois de probabilité usuelles

2.1 Loi de Dirac .... 2.2 Loi de Bernoulli 2.3 Loi binomiale 2.4 Loi de Poisson 2.5 Loi uniforme continue 2.6 Loi gamma 2.7 Loi normale 2.8 Loi du khi-deux 2.9 Loi de Cauchy PH TASSI

.

165 165 165

rob 169 171 171

174

175 180 185 185

185 187 190 191 191

191 191 191

192 192 192 192 192

S. LFGAIT 1

TABLE DFS MATIERES

192

2.10 Loi de Laplace 2.11 Loinormale multidimensionnelle

193 193

2.l2Loimultinomiale.'.

3 Applications de la fonction

caractéristique

3.1 Loi d'une somme de vecteurs aléatoires 3.2 Caractérisation de l'indépendance de deux vecteurs aléatoires 3.3 Obtention des moments non centrés . . Seconde fonction caractéristique . . . . """": 4.1 Définitionsetpropriétés '. 4.2 Applications aux développements d'Edgeworth et de Gram-Charlier ...

4

Exercices Chapitre 7 : I-ES GoNVERGENcES DE VARIABLES ALEAToIRES

'! Convergence Presque sûre 2 Gonvergeneeenprobabilité .

.""!

en loi . . . 3.1 Définition de la convergence en loi

3.2 Caractérisation de la convergence en

4

199 199

202 206 207 247

212 213

'roi".:::::.::::::.:::::::

î12 218

Relations entre les diverses formes de convergence

4.1 lmplicationsdiverses ..'. 4.2 Théorèmes de combinaison

195 196

209 209

2.1 Cas des variables aléatoires réelles 2.2 Cas des vecteurs aléatoires . . ' . .

3 Convergence

194 194

218 221

.'

5 Les lois des grands nombres

223

6 Comportements asymptotiquement gausslens 7 Application aux lois de probabilité classiques 7.1 Loi de Poisson 7.2 Loi binomiale 7.3 Loi gamma 7.4 Loi du khi-deux 7.5 Précision de l'approximation gaussienne donnée par le théorème

227

central limite Exercices chapitre 8

tr

:

COMPLEMENTS ET APPROFONDISSEMENITS SUR LES LOIS DE PROBABILITE

Les distances ,1 La distance 2 La distance .3 La distance .4 La distance

231 231

232

234 235 236 238 241 241

de Paul LévY en variation de Hellinger de LiPschitz

241

242

243 244 PH TASSI , S. LEGA]T

TABLE DES MATIFBFS

1.5 La distance de prohorov 1.6 Comparaison de distances 1.7 Autres indicateu rs ci'écart 1.8 Retour sur les convergences

244 245 246 249

Application à la fonction de répartition empirique 2.1 Propriétés à distance finie

251

252

2.2 Propriétés asymptotiques 2.3 Vitesse de convérgence : loi du logarithme itéré 2.4 lndicateurs de proiimité avec Fn . . .-. .

3 Ordres sur les variables aléatolres

252

253 254

"

258

Chapitre 9 : OBSERVATTONS OFDONNEES 1 Loi de l'échantillon ordonné

261 26a,

1.1 Définition de la staristique d,ordre 1.2 Loi de la statistique d,ordre

2

Lois particulières de l'échantillon de

X1r1

?1L"' 2.2 eas partiiulier

srdonné

261

262 ...

.

263 263 266

extrêmes X1l/ ..'.':..':'......:.:::.:.:.:::.:::..

des valeurs

2.3 Loijointe d,un couple 2.4 Catcutdesmomenrs

(X1py

267

268

3 Comportement asyrnptotique

4

3.1 Convergence d'un fractile empirique 3.2 Convergences des valeurs exirêmes 3.3 Les lois des extrêmes 3.4 Eléments sur la démonstration des convergences en loi 6e Xlny La loi de l'étendue 4.1

4.2

'Résultar

général L'étendue W

Chapitre't 0 : NOTTONS ELEMENTATRES SUR LES PROCESSUS 1 Définition d'un processus aléatoire 1.1 Définition d'un processus

2

3

1.2 Processus équivalent Processus stationnaires . . 2.1 Stationnarité stricte 2.2 Stationnarité faible 2.3 Remarques diverses sur la stationnarité

Corrélation et corrélogramme 3.1 Le coeff icient d'autocorrélation

3.2 Exemples de corrélogrammes

PH.TASSI

.S

LEGAIT

.....

273 273 275

276 280

284 284 286 289 289 289 290 291 291

292

293 296 296

298

TABLE DES MATIEBES

302

Fonction d'autocorrélation partielle . . .

4

302 302 303 304 304

4.1 Définition générale 4.2 Le théorème de Frisch et Waugh ' .. . . . ' 4.3 Système de dé termination de (h) 4.4 Un exemple

5 Les opérateurs

B et

F

Chapitre 11 : EXEMPLES DE PROCESSUS ' '

Poisson

1

Le processus de 1.1 Les processus à accroissements 1.2 Le processus de

Poisson

'

3O7 3O7

indépendants

3O7

308 310

2 Les processus de vie et de mort 3 Le mouvement brownien 4 Les processus autorégressifs

311 311 311

4.1 Définition .. . 4.2 Etude du modèle AR(P) .

5

Les processus moyenne

312

mobile

5.1 Définition ... 5.2 ProPriétés d'un MA(q) 5.3 Remarque sur le lien'entre AR et MA

319 319

':'''

319 320

'

323 327 355

BIBLIOGRAPHIE . TABLES NUMERIOUES

INDEX

1C

PI'J.

TASSI - S. LEGAIT

Chapitre

1

Les concepts probabilistes Dans de nombreux domaines relevant ou non de I'expérimentation scientifique' le langage courant fait de plus en plus appel au vocabulàir.e probabiliste. engenrant d'ailleurs de nombreux barbarismes ou'impropriétés o,usàge. on parlera ainsi d'événement (plus que probabreu ; un match de sérection en rugoy opposera res upossiblesn contre les uprobabres) ; une situation à venir sera décrite comme , comme nous re verrons "ouu"nt cette approche définit une structure purement mathématique, peu au chapitre 2. interprétable a priori pratique. Elle n'est cependant pas sans liaison .en i;int"rprétation fréquentiste, mais ne la requiert point. On gardera "u"" néanmoins en mémoire cette dernière, pour la facilité de compréhension. PH TASSI - S.

LEGAIT

1

1

LES CONC EPTS PFOBABILISTES

1 1.1

ESPACE PROBABILISABLE

Expérience aléatoire

En guise d'introduction, nous allons considérer I'expérience physique qui consiste à .esuret la différence de potentiel U s'exerçant entre les bornes d'un circuit de résistance R: 1O ohms et dans lequel circule un courant d'intensité

:

2 ampères. Si le montage de l'expérience est parfait, le voltmètre indiquera une d.d.p. U : Rl : 20 volts. Tôutes choses égales par ailleurs, les mêmes conditions d'eipérience conduiront toujours au même résultat de 2O volts. Ce type d'expérience |

sera qualifiée de déterministe, le résultat étant parfaitement déterminé par la connaissance des paramètres qui la régissent (résistance. intensité). par opposition, une expérience sera dite aléatoire si son résultat ne peut être prévu a priori.

On note par Q I'ensemble de tous les résultats possibles pour une expérience donnée ; Q esi le référentiel, ou l'espace fondamental de l'expérience. Un élément a,l de O est dit résultat élémentaire. Exemples

a) Considérons l'expérience consistant à noter le résultat du lancer d'un dé régulier ; le résultat du lancer prend ses valeurs dans Q : {1 , 2,3, 4, 5' 6 }' b) Soit l'expérience consistant à tirer au hasard un individu dans une population de taille N, représentée par un identifiant s, d : 1 à N ; O : {1, "' N} S! l'expérience consisté à sélectionner u+n échantillon de taille n (1 ( n ( N)composé

d'individus tous différents, l'ensemble des résultats possibles Q est l'ensemble des Cff échanti llons potentiels.

1.2

Evénement

ll n'y a aucune raison de ne s'intéresser qu'aux réSultats (ou événements)

élémentaires : on peut concevoir sanS difficulté un oévénement complexe> comprenant plusieurs résultats élémentaires, dont on peut dire, une fois l'expérience effectuée, s'il a été réalisé ou non. Ainsi, dans l'épreuve du lancer d'un dé' si O est l;ensemble t1,2,3,4, 5. 6] des résultats numériques possibles, un événement tel que *le résultat d'un lancer est pair, est un événement aléatoire complexe, comjosé des résultats élémentaires {2, 4,6}. De même. si un individu d'identifiant I lf < t ( N) est donné, on peut considérer l'événement complexe E défini comme tous les échantillons de taille n contenant l'individu L Cet événement E est donc la réunion O"s Ci-] échantillons vérifiant cette propriété. E (complexe), peuvent donc être associés tous les événequi le définissent'; si l'un d'entre eux est réalisé iors de l'expéments élémentaires rience, l'événement E le sera également.

A un événement

12

PH.

TASSI S. LEGAIT

LES

C ONC

EPTS PROBABITISTES

Notons ,41'ensemble de tous les événements aléatoires en |,absence de toute idée a priori sur res événements susceptibres d'intéresser ; i,""perir*nt;Ë;,;; pourra prendre .& : g (A), ensemble des parties Oe O.

Historiquement, des conditions de manipulation des événements ont conduit à doter -4 d'une structure d'algèbre, c'est-à-dire que .4"rt-un" crasse de parties, de Q, contenant Q, et stabre pa'. intersection et comprémentation (et donc par réu_ nion) ; sont vérifiées les conditions suivantes :

oQtr-'.r4 o

A€ ,tC., B€.4+ A)B€.& € .4 + Ae u4 Â désigne le complémentaire

cA

de A dans e). Cependant' dans une structure d'algèbre, la stabilité par réunion ou intersection dénombrabtes n'est pas assurée ; àinsi, si (A"t ; à rfi, une suite crois_ sante d'événements de ,4, c'est-à-dire une suite te'ile que "st An

C An*r,de rimite o: Y An: lim / An,il n'y a aucune raison pour que A soit un événement, ou n e e; de même pour la limite d'une suite décroissante. cette non-stabilité .

m:l et par conséquent

:

P (Am)

:

limP(Bn)

n

æoo

:

>_

m:1

Exemple: Supposons Q fini,

p(Am)

:p(A) :p( m=1

ç:

{cdr, .... ,r,r }, où tous les "individus, de Q sont a : 1à N. telle une population de personnes physiques identifiées par leur numéro nSécurité Socialeu ou une population d'entreprises identifiées par leur numéro SIRENE. A toute partie A de O, on associe la fonction f définie par discernables par un indice identifiant s,

:

A

* f 1R1 :

cardinal de A N

Montrons que f est une probabilité sur o f (Q) : o A€ g

P, g@l).ll

est évident que l'on a

1

(al, Be g(al, AnB

- e:

I (A+B)

:

:

f (A)+f (B).

91A1 elant fini, ces deux conditions suffisent à montrer que f, à valeurs dans t0, 1 l, est bien une probabilité. 20

PH.

TASSI S. LEGAIT

LES CONCEPTS PROBABILISTES

4.2

Propriétés d'une probabilité

Les démonstrations sont, en général, immédiates.

Propriété 5 P(@)

:

0

Propriété 6

A,Be .4: ACB;alors p(B-A) : p(B)-p(A) >

O.

Propriété 7 (probabilités totales)

P(AUB) + P(AnB)

=

p(A)+p(B).

Démonstration

AB On peut écrire

:

AUB:A+(BoÂ), B:(BoA)+(BnÂ). D'après l'axiome (c)

:

P(AUB):P(A)+p(BnÂ) P(B):P(AnB)+p(BnÀ). En éliminanr p (B

n Â;, on obtient le résultar.

Généralisation : formule de poincaré P(A1

uAzU..'uA")

:

r.!r

P(Ak)-,Ii ,(A,ôA,)+...+ (-1)n+1 p(Arn...nAn)

Propriété 8 (sous a-additivité)

t'?o"'

=;

P(An)

Démonstrafron.'soit (Bn) la suite d'événements définie de la façon suivante Br : A' Bz : AzO Â,,, ..., Bn: An O An_t a ... n Â1 PH. TASSI

- S. LEGAIT

:

LES CONC EPTS PFOBABILISTES

U Bn :

Les événements(Bn) sont 2 à 2 disjoints et

Comme, pour tout

ll s'ensuit

n.

:

Bn C

An, on a P (Bn)
P(An) n

Remarques 1) Si (An) est une suite décroissante d'événements de limite A, alors P

(A)=

lim

\

P (An)'

2) Si (An) est une suite croissante d'événements de limite A, alors

P(A)

:

lim/P(An)'

Pour démontrer 1), il suffit de se ramener à la condition (d) en écrivant An - A. Bn \ @ donc P (Bn) \ 0 et par conséquent P (An) \ P (A). De la mêrne façon. on écrit Bn = A - An. Bn

:

Définition 6 Le triplet

(A, ,-4, P) porte le nom d'espace probabilisé.

5 fr,

FONEflON DE REPARTITION

Soit P une probabilité définie sur l'espace probabilisable (lR, contienl en particulier tous les intervalles de type l- -' x[.

fr'l;

on sait que

Définition 7 On appelle fonction de répartition de P l'application F : lR Par :

vx

€

lR,

F

(x)

:

P

(l- -'

-

tO, 1l définie

x[)

Remargue

On trouve fréquemment, en particulier dans les ouvrages anglo-saxons, la définition F (x) : P (l- -, xl). La différence entre les deux définitions dépend de P ({x}), probabilité de l'événement élémentaire {x}. Les propriétés de F résultent pour la plupart des propriétés 5 à 8.

Propriété 9 La fonction F est croissante. PH. TASSI

- S. LEGAIT

LES

En effer,

C ONC

EPTS PROBABILiSTES

soirx( y;l_æ, xlcl_ *, y[;

ta propriété 6 étabtir te résutrat.

Propriété 1O La fonction F est continue à gauche.

Soit (xn) une suite de points de lR telle que lirn

,

^n:x; alors la suite (J__, xn[) vers'- -. x[) et donc p(]_;, xn[) = F (xn) converg" àn vers P(l- oo, x[): F (x).

converge en croissant croissant

Propriété 11

e

lim F (x)= X*+oo. o lim F (x)= O x--oo. Ces résultats proviennent de p (lR) 1

= 1 et p (el :

O.

Remargue De façon analogue on définirait la fonction_de répartition d'une probabilité définie sur lRp. muni trrwuuEverrerlrenrs n d,événements æ ,j7''Pconlenantlespavés(J--, ' de sa tribu

x. x1--

^oti

,

f

6

x,|[

""";;;';

(xr,

.

xo)

:

P

(l-oo, xl [x ... x]--, ;o 1;

PROBABILITE CONDITIONNELLE,

IN DEPE N DANCE D'EVENT rVr ÈrVrS

L'axiomatique de Kolmogorov contient une spécification de la probabilité d'un événement conditionnellemeni a ,n uutià.

6.1

Probabilité conditionnelle

Définition 8 Soit un espace probabilisé p, .4, p) et_B e,r/tetque p(B) ) O. On appelte probabilité de A conditionneilemeni a a, p.ooutiùté tonortionnele de A o, sachant que B va être réalisé (ou est réalisé) le'nombre :

P

(AiB)

:

P(AnB) P (B)

PH TASSI - S

LEGAII

..

L.ES CONC EPTS PBOBABILISTES

Q, *41:

Vérifions que la fonction ainsi définie est bien une probabilité sur O

< 1, VA e .& car AaBCB P(OîJL : P(B) :1 P(Q'B) : P (B) P (B)


5) 0, V j=1,...,r,,In

pj

:1

J-l

si:

nl

n)=

Px(n.,.... tm,

n.!...n tm

m

ou:

m

:n,

j:1

oft... on'

!

j:1

)

t

n! n' | ... n.! est le nombre de (n.,. nr. ...,

nr)

-

partages d'un ensemble de n éléments, avec: m

iIr

îi :D

Propriété 1 : La loi marginale de N est une loi gB h, p). En effet, un érément tiré est soit du type (avec probabirité ra p,), soit non i pi) ; te nombre totar d'éréments du iype j aans r,échantiron;;l; jdil;;;'i;; !1 binomiale 4 h, p;). Retrouvon. par re carcur. vvr(rsr soit r,événement t A. défini

""ie*rili

paf :

R,

:

[(n,,, .... nj_.,,nj*.,, ..., n.,n), p (N,

:

I

,ij

;r

il*un

J

n.

jr(1

-

n

Pi)

nr

PH, TASSI

- S. LEGAIT

"*t

(n

-n.J>

n,]

-

n,)!

A; nr l...nj-r ln,*.1 !...n,,nl

Pr' ...p (1

: tr: n -

nfr o-."

n,)

A.

nl

Di

n,,"

ill p.'

- pj)n-nj

n

:

LES LOIS DE PROBABILITE USUELLES

ll s'ensuit

:

P

{Nj: n,): cll eli

1t

-

pj)n

-

nj

Conséquence

E(Nj)

: nFj

(Ni)

: npi(l -pi)

lntuitivement, il n'y a aucune raison pour que les v.a. N, et N, (i + U soient non corrélées, a fortiori indépendantes; calculons Cov (Ni, Nl). Comme auparavant,

(N, N1) suit une loi multinomiale de dimension 3 (une l'oi .trinomials") puisqu'un élément tiré est soit de type j (pj), soit de type I (p,,), soit non (1 - pr - pi) :

(N, Nr)

E

(NjNr)

"U,

(n : pl

p/

n!

:

(ni- )!(nr- 1)!(n - n,- nr) :n(n-1)pipr

(nj, nrl

nj+nt(n d'où

->

:

Cov (N,,

N/: -

La loi multinomiale en statistique

!

4, oi, t''

- pi- pr)n-nj-nr

n Fj p,

:

Soit Y une v.a.r. continue, I son espace de valeurs. (f (y) sa densité, (Yr, ...,Yn) un échantillon de n observations de Y. ll est très fréquent (tranches de i"ù"nr, ti"âncnes d'âge)de partitionner U enclasses.C,, i : 1 à K :

g - :K

i:1

C..r' la classe C. déterminée par C, I

:

[e _,,, e,[

r (v)

112

PH. TASSI

.

S. LEGAIT

LES LOIS DE PROBABILITE USUETLFS

on définit les K v.a. dans

Ni.i:

K, où N, dénombre

1à

C,.

Le vecteur (Nr. .... N*) suit une loi multinomiale

o,: Jj,,_., 1

.6

'b

res points de (y.,, ....yn)

1n

) pt, ..., F*) avec

:

f (v)dv

Loi hypergéométrique

on considère un tirage équiprobable sans remise de n éléments dans une population de taille N (n ( N) ;on s'intéresse à un type donné (l)d'éléments de la population, que I'on supposera être en proportion p (Np est donc entier). soit X le nombre d'éléments du type étudié, présents dans l'échantillon de taille n obtenu. La loi de X est appelée loi hypergéométrique de paramètres N, n, p, et est notéeJf,(N, n, pl. Une définition explicite de la loi J(1N, n, p)est la suivante, à partir du dénombrement "cas favorables./cas possibles, :

Définition 6 X suit une loi hypergéométrique de paramètres N, n et p, si

:

tNP /'n-x uNq Px (x)

pour Max(O. n -

Nq)(x(

-

'x

cft Min(n, Np), avecq

: 1-

F.

Moments E

V

(X):

(X):

nP

N-n

N-1

npq

Démonstration Soiteo,

a:1 ( I

t PH TASSI - S. LEGAIT

à N, la v.a. associée à tout individu a de la population telle que

Eo:1 ro:

si a appartient à l'échantillon

O sinon.

:

LES LOIS DE PROBABILITE USUELLES

Comme

il y a Cft-11 échantillons de taille n contenant l'individu a, et

échantillons possibles de taille n P

On peut écrire

Cfi

:

cil-l

(eo:

n

1)

Cfi

:

x-

: Yoro a:1 où Yo prend la valeur 1 si a est de type (l), Y : O sinon. N

E(X)

N

puisque :

Y- :

= I YoE(eo) a:'l Nn : a:1 aN

Np, nombre d'individus de type (l)dans la population.

d:l

De même:

V(X)

:

N

aTp

G:l

EEoe,.\:P (toeO: 1) : P(€a: 1, eO:

-

P

1l

(€o: 1). P(c, : 1,/to:

1l

n(n-1) N(N-1)

Covrc.E-l: V(sa) En outre

n(n-1)

n'

n(n-N)

N(N-1)

N2 -:

N'z(N-1)

:

leol:+ - É

Ele'?al_ Ez

nN tq:r>. YJt: N'P': a:l

"

a*Ê PH. TASSI

.

S. LEGAIT

LES LOIS DE PROBAEILITE USUELLES

D'où

:

V(X):

n

N

En remarquant

V

(1

^ n{n-N} * nN Y'+ -) N a:1 r'r,N - t) N

que :

y?

a

q:1

::

N

a:1

Yo

Pt

N-l

- :

Np, on obtient

pz*Nprffi # (l

(X):

: lll-r*, p,_ Ll,l-.N) N-1 d'où

:

N

(Nt

a:1

Y2,

al

:

n

*)l

p

:

v(x):

N-n N-1

noo

. 9n constate que, en notant Vn (resp. Vr) ra variance de X seron ra roi hypergéométrique (resp. loi binomiale), oria : V, Ç:

N-n 0, si sa densité

est

LES LOIS DE PROBABILITE USUELLES

Fonction de réPartition

Fr(x)

.

=

1-e-o^o

La forme de la f.r. donne une idée intuitive de I'origine de la loi de Weibull. En

: 1, on retrouve la loi exponentielle Y (, 0l dont la f.r. est 1 - e-dx, soit de grandeur x) : e-d*. Pour décrire des phénomènes dont l'ordreplus faible que beaucoup x} est ) du type extrêmes d'événements {X d'apparition

effet, si a

p (X )

e-dx, on est conduit assez naturellement à étudier leS exponentielles e-0^q.

Remargue La variable Xa suit la loi y (1, 0l; la loi de weibull se déduit donc de la loi **1 /a. exponentielle par le changement de variable '1

Moments

rt1 +1)

r

1x1

:----- o /a Q1

l-(1

v(x) =

2^1 +-) a.a-

l-'(1

+-)

62/a

Démonstration +oo

E

(X)

: J'

+oo

x a0 xa-1 e-e

oo

^a dx

.r.L-"o :J ^t- e-'^1 (;)

E(X)

Oaqaf/aqag1/ad E (X2y

: l'

+æ

du

= .f

e-d ** dx en intégrant par parties'

1

-*" a0xa-1 e-d"od* : 2 t

1

1

1

+oo

oo 1 ,1',*Zl : 2 rt?ld a g2/a

x

e-d*'

-

1

dx

o g2/a

d'où

:

t-(1

V(X)

:

+-l2^1- r' 1t +-) aa 02/a PH, TASSI

. S, LEGAIT

LES LOIS DE PROBABILITE USUELLES

2.4 f

Loi bêta

Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes suivant respectivement f (q). p ) 0, q ) 0. Nous allons chercher ta loi de ta variabte Z:X/y.

(p)et

La loi du couple (X. Y) a pour densité

:

: ;;+ e*(x+v) xp-1 yq-1 1,^. IR; x il,+ r (p) r (q) ".(x,y) la transformation g : lR* x lR+ * lR+ x .lR;- definie-paï

f,r,", (',y) Considérons

/x\

s

lu:X

\rl-\r:*,r) Le jacobien J (S-t)de la transformation (U, Z), d'après le théorème 5 du chapitre 3 :

frr,r1(u, z)

\

g-t est u/22 ; d'où la densité du couple

: --je-u 1r * |t up-l (l lo-t -yr(p) r(q) z z' f (p) f (q)

zq+l

Pour obtenir la loi de Z, il suffit d'intégrer par rapport à u

ce qui conduit à

On pose

:

:

B (p,

d'où

q)

-

rlP) ' r

(q)

r(p+q)

:

':

f-121 L'

PH TASSI - S. LEGAIT

B (P,

q)

:

(1 +

210*e

rR*

'

'

:

LFS LOIS DE PROBABILITE USUELLES

Délinition

11

Z suit une loi bêta ,sur lR* de paramètres p et q, dite loi bêta de seconde espèce. On la note É (p; q).

Rappels

B(P,q)

+ æ xp-l : J (1 + 11n+o O --dx

B(p,q)

:

1

: J" x.P-

1

(1

0

B(q.p)

;

B

11 (-, 22 -)

-

x)a-1 6*

:7f

Définition 12

f : -!1+Z

La variable aléatoire

suit une loi bêta É (p, q)sur [0. 1] dite loi bêta

de première espèce de paramètres p et

T est une v.a. à valeurs dans t0,

1

I

q,

:

,.hrn-r

11

> 0, q )

O.

En faisant le changement de variable

dans f, (z), on trouve facilement la densité de T

fr(t)

p

:

-t)q

11ro..,r(t)

La loi bêta sur [0, 1 ] est extrêmement utilisée, car pouvant être définie sur tout intervalle Ia, b] par le changement de variables Y: a + bT. Remargue Dans le cas

p: 1 et q :1,f r(t) :

Forme de la densité de T

lto, 1l (t) : P (1,1)

:

%rc, tl.

:

Elle varie selon les valeurs des paramètres p et q (voir les graphes page suivante).

Moments E (Tr)

En effet

q) B]gj::f: E rzr\: B (p, q) B (p, q)

B (P + r'

:

:

E(rl

:

tr+p-1 (1 _ t)q-1 J"1

0 122

tt

B (p, q)

dt:

B(P+r'q; B (p, q) PH. TASSI

- S, LEGAIT

LES LOIS DE PROBABILITE USUELLES

p>1

q)1

De même pour E (Zr), à condition que q

l'intégrale.

On en déduit

:

E(T)

E(zl

) r afin d'assurer |existence de

: --o q-

:

p

V(T)

p+q

(q> t)

v

(z)

pq

:

(p+q)'(p+q-1) p(p+q- 1) :--_____-____;_DOUr(q (q

|

-

1)'(q

La variable Z n'a donc de moments d,ordre 1 et 2 que pour q

Théorème

)

2.

1

Soient X et Y deux v.a. indépendantes suivant respectivement p ) 0, q ) O. Alors ta variabte ï: espèce.

i-X + Y

Le résultat est immédiat; il suffit d'écrire

les définitions qui précèdent.

PH. TASSI

>2)

- 2) '

- S. LÊGAIT

f

(p)

et

f

(q).

suit une toi bêta É (p, q)de première

T

sous la forme

X/Y

1+X/Y

et utiliser

142

LES LOIS DE PBOBABILITE USUFLLES

2.5

Loi de Gumbel

Définition 13 X suit une loi de Gumbel si sa densité est

f" (x)

:

Sa fonction de répartition est Fx

exp (x

-

:

ex), x €

lR

:

(x)

:

1

- exp (- ex)

Moments Tr

E(X) : -0,57722

V(X)

2

6

où O,57722 est la constante d'Euler.

Remargue

La loi de Y - - X porte aussi parfois le nom de loi de Weibull, à ne pas confondre avec la loi étudiée au paragraphe2.3. La densité et la fonction de répartition de Y sont :

fy(y)

: exp(-y-e-Y) Yc lR Fy (y) : exP (- eY)

2.6

Loi normale unidimensionnelle

Définition 14 X suit une loi normale de paramètres m et o par

(o) O) si la densité est donnée

:

(x-m)

t*(xt On note

X -)

:;fr"-T

2

(x

€ rR)

N (m. a).

Les paramètres m et a sont aisément interprétables. En effet, calculons E (X)

1 ^*æ E{X):----J o t/2t -

124

oo

xe

-

(x-m)

:

2

-------r-

2o

dx

PH. TASSI

- S. LEGAIT

LES LOIS DE PROBABILITE USUELLES

En posant

u

: x-m

on obtient

o-

E(x):

:

^ -=-f*-, VZlr - æ

"-u"/2du:m

car la fonction à intégrer est impaire. De même

:

(x-m)

^1^+æ :-

l' o \f27r "-

E (Xz)

:

mt+

2^o

*

zo2

xt e

dx

!** -5- æ :/2r "

^ 2o2 ^+æ : m'+ J ----=-t/r o o20'3 t/n

= m- + ----/_ l- (= 2

Comme:

u'/2 6u

,/Zo -

oc

_2

Uz

"-u

/2

6u

)

:t1 , (t t1

ona:

v(x) Les paramètres m et

J**

v1l2 e-udv

(t) |_3

type de X.

*L

a

:

,,F 2

o.2

représentent respectivement I'espérance et l,écart_

Loi normale centrée réduite

.

La

v'a' u

notée N (0,

1),

-

X-m

suit une roi normare d'espérance nuile et de variance

dite loi normale centrée réduite de densité

-

1,

:

2

1 -u2 fr,(u) :p(u) : ,:e " r/2r PH.

TASSi S. LEGAIT

(ue

lR)

125

LES LOIS DE PROBABILITE USUELLES

La f.r. de U est notée O, et définie par

o(u) Les valeurs de la loi N (0,1).

-t (x-m) : t(y - g)ts >-1 S (y - rr) : t(v- ti D-1 (y-p) p1

:,I, 7

132

lv'-u')' PH TASSI - S. LEGAIT

LES LOIS DE PROBABILITE USUELLES

d'où

:

p 0i-u)2

I

2 ti'' e-

u = (2ùe/276-

g (y1' ..., yn)

: f, --! Vzroi

s (v1, ..., yoi

'

i-1

1

T

,1

Ni- u)2

"1

"-

donc Y.,, ..., Yo sont indépendantes et suivent respectivement N (g,, a;). On note

:

Y:

Ona:

(Y.,, .... yO).

:

1r et V(Y) : D où V (Y) désigne la matrice cJe variance-covariance de y, d'où

E(Y)

= E(SY) = SP: m V(X) : V(SY) : SV(Y) tS:

:

E(X)

SD

tS:

X

Propriété 5

Vu €

lRP,

tu

X

->

N (tum,

tulu)

ce résultat vient directement des propriétés du paragraphe 2.3 du chapitre 3. En particulier V (Z

:

u X,) :

It,l

u, u, E

(Xi- mi)(Xj- mj) : tu

V (X) u

Définition 18

La loi

t\ (O, lD) est appelée loi normale (multidimensionnelle) centrée

réduite, de den'sité

et

:

1

(xr, ..., Xn)

:

1 (2rlPtz --e

(t2l2x1

Théorème 3

Soit

X: (X' Xz) un couple gaussien à valeurs dans lRz. X., et X, sont

indépendantes 1) :

l:*1 -: n 1z'+ ^

dz:

o,2s

11

P

(X>

l) :

0,1587 (cf. table

1).

0n dit que la loi de Cauchy est que (0, N l).

1/\En

La loi de Cauchy n'admet aucun moment car les intégrales

J^*æ n(z'+11 -æ -. ,. zk

sont indéfinies. 3)

fr(u)

dz (k211

: "l,-.æ;A

PH TASSI - S. LEGAIT

_1 xe

2

,"1t*11 zdx

1)

etP{X)1}.

2)

+

:

r), on compare p {z

>

l

}

LES LOIS DE PROBABILITE USUELLES

4.3

Montrer que si X et Y sont deux v.a. indépendantes de loi N (m,

a) alorsX+ Y etX- Y sont

indépendantes.

lndication

(;t;):(t;)(i)

donc (X + Y, X

-

Y) est un couple gaussien.

ll suffit de prouver que X + Y et X

-

Y sonl non conélées pour assurer I'indépendance.

E((X+Y) (X-Y))

E(X+Y;

Donc 4.4

:

E(X2)-E(Y21

:

g

et E(X-Y1 :g Cov(X+Y, X-Y): 0

:2t

Loi de laplace

Soit f (x)

:

_ I'l

k

e

0,0êlantunparamètreréel strictementpositif.

1)

Déterminer K de façon que

2)

0n pose

3)

Calculer E (Yr), Vr

, :

f soit la densité

de probabilité d'une v.a.r.

X.

X

7

.Déterminer la loi de Y. appelée loi de Laplace normalisée.

€

lN*. En déduire E (Y) et V (Y).

lndications

1) 2)

^+oo J'_Kr

La densité de Y

-4e dx:l

+

I

K-

n

s'écrit:

:7

1

s (y)

3)

E

(Yr)

e-lvl

: d:+ ,r ,-lvr -æ

6v

L

Si r est impair, la fonction à intégrer sur lR est impaire et donc E (Yr) à intégrer est paire et : oo

E(Y')

d'où: 160

^* : JO E(Y)

yr e-Y

:0

dy:

l-(r+1)

et

V(Y)

:

:

0. Si r est pair, la fonction

r!

:2 PH TASST

_

S

LEGATT

LES LOIS DE PROBABILITE USUETLES

loi de Pareto La v.a. X suit une loi de pareto si sa densité est donnée par

f (x)

==

a0a

114*-1(t)

,r-,

:

(a)o'd)o)

l)

Calculer E (Xk) en précisant les conditions d,existence,

2)

Déterminer le mode et la médiane de X.

lndication

r)

E

n'existe que

Alors

si

a-

k+ I > l,

(Xk;

: l)*

o e,

dx

k N(d" ln)

llZll':

llAZll2

Anrn orthogonale telle que

->

N (0,

:

zl

E(Y)

: J.

r1x]f

llAX+AAll'?

l.) ; AX +

Z' et AX + d' ont même loi, donc llZ ll2

V(Y)

:

vt

i-

i:l

lx?I

+ 2ï. 0

I

â',

i:l

:

:

->

E(X,)

I

+27iXill: : I'

V(Y)

I

0'

:

A0

llAX+0'll" N

(4"

ln)

et llZ'll 2 ont même loiX'?

t:l

I

ll0'll

:

AX

t

lldll :

ont môme loi.

lld'

0r:

162

deuxvecteurs de lRntels que

V(IXÎ)

+ 1. s2

:

(n, lle li'?).

n+

À

I

tV(Xlt+ 40?ulxil+4d,Cov(XÎ,Xi)l '

+4À:2n+4À PH.TASSI

.S

LEGAIT

LES LOIS DE PROBABITITE USUELLES

3)

=.{,

E(u)

v (u) Comme

X,-fi,

tt tx]t

- r' txJt

111,

on déduit E

(Xi-

mi)4

-

3 oai

I

: :nnl3oa+6n'.o7 *r1I

@1,+n?y21 I I

'

i:l

4.7

i

i:l .

suit y=

--)

:

V(U)

:

2m2

:

( d'où

+ E21x,}J: zo2 +

tu(X,)

t-l

: t

soient n v.a. indépendantes (x,) de densité f.. 0n définit les probabilités

:

p,

Montrer

que P

: - i i:l

Zo:,@?,*

i:l

2n1J

:

X.

t, {t) dt

{'

2 Log p suir une loiy2 (2n). '

lndication P,

.1,

F (X,)donc

La densité de

-

P,

: -

varraDle:9lx'l

-? Aro.r,

(cf. exercice 3.1, chapitre 3). 0n effectue le changement de

2Logx.'

2 Log P s'écrit

:

:

s (t,)

I

2

donc

-

2 Log P

-)

X"

el;

les

X

,-

"'

1i0, * -J

(v)

sont indépendantes. les

p

aussi, donc:

n

i:1

.

I

PH TASSI S. LEGAIT

163

Chapitre 5

Géométrie des variables aléatoires Ce chapitre aborde deux aspecis différents des variables aléatoires. Le premier est relatif aux propriétés des v.a. admettant espérance et variance ; le second établit les bases de la géométrie des v.a. ayant une variance finie, et les approximations de v.a. qui engendreront la régression statistique.

1

ESPACES DE VARIABLES ALEATOIRES

Dans ce paragraphe, nous ne considérerons que des espaces probabilisés ; la formulation la plus générale fait référence aux espaces mesurés (voir, par exemple, t

16l)

1

.1

Les espa ces

9 t et

L1

Soit un espace probabilisé (O, u4, P) ;on note 9., (A, .nl,Pl- ou 9., si aucune ambiguïté n'existe sur I'espace probabilisé - l'espace des v.a. réelles, intégrables, définies sur (Q, .&1. On sait par ailleurs (chapitre 2)que la relation oégalité P - presque sûrement, est une relation d'équivalence sur 9.,. Définition

1

On appelle L.' (Q, ué, pl l'espace quotient P -ps.

de 9., par la relation d'égalité

L, (Q, ol , e) est donc l'ensemble des classes d'équivalence de 9., par la relation d'égalité P - presque sûrement. On le notera L, par la suite. En assimilant v.a. et classe de v.a., L1 est l'ensemble des (classes dei; v.a. admettant une espérance. Par exemple, la loi de Cauchy (cf. chapitre 4) n'appartient pas à L,. Théorème

1

Ll est un espace vectoriel sur

llxlll PH TASS] -

S

LEGA T

lR normé par

:

Jlxl

dP:

:

E(lxl) 165

GEOMETRIE DES VARIABLES ALEATOIRES

Notons que J XOp a un sens pour X € Ll ; on fait la confusion de symbole entre X et sa classe d'équivalence, car si X et Y sont dans la même classe, on a :

E(X) ll est facile de montrer que

:

vÀ € rR llixll,

L.,

:

E1Y1

est un espace vectoriel. En outre

:

llxll, .llx+Yll,: -ilx*vl op

i.e E(Xn-X)2->

O

O

(n*-)

Très utilisé en statistique, ce type de convergence porte aussi re nom de

convergence en moyenne quadratique (m.q.).

Exemple

soit Xn (n ) 1)une suite aveccosa:

112

: r*, :

oX..v6 cosa

OH

OX -,d'où:

I*, : OH.\Â; Ott: 16 i PH TASSI . S. TFGAIT

GEOMETRIE DES VARIABLES ALEATOIRES

Dans

pointHadoncpour coordonnées

lRn,

/,\ H-t.l

,i.e. OH:i.Ë

\ "/ La moyen

quadratique q est,

OX'

1

à

: :n

x'.

i:l

I

1

>

OH. on en déduit

près, la longueur OX:

- Vn--

a:.16 Comme OX

:

-

nq'

oX

: q ) i.

La variance (ou l'écart-type) est également facilement interprétable

XH2

ou: PH TASSI S. LEGAIT

: : (xi i)t : ns,t : XH : .16. S,

(n

_

:

1) 52

113

GEOMETBIE DES VARIABLES ALEATOIFES

Calculons maintenant

où Si et Sidésisnent les écarts-types empiriques de (xr, .. ,xn)et (y.,, ...,yn)

cosd:

>

(xi i) (vi - v)

ffi

:

:

r(X,Y)

Le coefficient de corrélation linéaire empirique n'est autre que le cosinus de l'angle entre les vecteurs associés aux variables X et Y centrées en leurs moyennes respectives.

2.2

Géométrie dans L,

Plaçons-nous dans l'espace des variables aléatoires réelles de carré intégrable L, (Q, .4, gl, muni du produit scalaire de la covariance :

: JxYdP:

E(XY)

On désigne pare lavariablealéatoiretelleque e(f.f,, Cov(yyl 'r't'

Cov(Xk,Xt)

k I'n >f f.

:

f

V(Xk)

k'*JK

: o't

:o

k

f..f.. rKlK

d'après les propriétés des matrices orthogonales.

Théorème de Fisher Soient n variables aléatoires (X.,,...,Xn) suivant indépendamment la loi normale N (0,1). n

Les variables

16 Xn et t . l:

(xi

- X)t :

(n

-

1)

Si - nS;'

sont

I

indépendantes et suivent respectivement N (0,1 I et X'(n

-

1)

Démonstration Soient (e.,, ...,en) la base de départ, (f1, ..., fn) la nouvelle base orthonormée. n

Le vecteur unité

Ë peut s'écrire

X représentant le poinr t(x.,,

I i:1

ei. |

....Inl,on sait que N(0,1),Vj

s-,^^^,111'", ensutt

:

t

à n.

1

:

.

Yn

: n6 X" suit N (0,1), résultat que nous connaissons

déjà.

o Yn est indépendant de Yr, ...,yn_r et par conséquent, est indépendant de

. r

n-1 j:l

n-1

I . j:l

_ YÎ suit, par déf inirion, une loi du ;2

(n

'

-

1).

L'application orthogonale conservant,les distances

n-l j:l i:1

une loi N (m, a)

;

n

r

n

et donc

l

i:1

|

:

Corollaire Soit (X,, ..., Xn) n v.a. de même loi N (m, a), indépendantes ; alors

t6

(Xn

-

t)

oo,

"t

rn

-rt

5

suivent indépendamment une loi N (0. 1)et une loi X2 (n PH TASSI S LEGAIT

-

1).

:

:

GEOMETRIE DES VARIABLES ALEAIOIRES

Démonstration

ll suffit de se ramener centrées et réduites

au théorème de Fisher en l'appliquant aux variables

:

X.-m

w-l t-

to

b) lnterprétation de la loi de Student

soit X,, ..., Xn, de loi N (m, a). on a

,6

(X 'n -m)

->N(0,1)

o

S2

n-

x2$-1r

-ln-1

o" Donc, la v.a.r.

:

:

- r)

.,6 (x. U

S

:n

t

/-[Vt" -tt . numérateur et dénominaV n-1

suit le rappor:! d'une loi.N (0,1) sur une loi . teur étant indépendants (cf. chapitre D'où

.u6 (x.

:

4).

-

rn)

-)T(n-1)

n

Où la loi de Student intervient-elle géométriquement ? D'après le théorème : (n - 1) Sl suit une loi X' F - 1). On a, en revenant à la figure

de Fisher, HX2 précédente

:

cotg a

d'où

:

:

\Â-lcotga-)

OH

-

HX

suit N (0,1)

: T(n-1)

L'interprétation de y2 etI est simple : si X varie aléatoirement et N(m,cr): Si U

->

qu (u)= e-'2/2

N (0, 1)

X= m+oU:

gx (u) = E (siu

(m

+au)) = sium gu

(uo)= dum u*u2

2/2

2.8 Loi du x 2 (n) six->x2(n)

çr(u)=_4 r^ r'' ftziu)tz

'

2.9 Loi de Cauchy Si X est de derrsité

f (x)=

-l--: n (1 +xz) 9x(u)= s-lul

2.1O Loi de Laplace Soit X de densité f (x) =

.px(u)= '

+

e- l* l, x €

iR

J]-"-x(1 -iu)6* *2 |o-"-(1+iu)dx.{ 20 +@

l*= 1 to [e-"(t+iu) as-x(1 -iu)1 dx= Jo cosux.e-xdx

i

En intégrant par parties

:

çx(u) = [-e-*cos ux]fr-u Ji = 1-u

192

1

L

i I i

t

"f0

sin

uxe-xdx

sinux.e-xdx

PH.

TASSI S. tEGA]T

UN OUTIL : LA FONCTION CAFACTERIST|OUE

=

- u2 {

u [e-x sin ux]f-

1+

cos ux.

e-x

dx

= 1-u2çx(u) d'où

:

=

ex (u)

1

1+u2

2.71 Loi normale multidimensionnetle Soit X à valeurs dans lRp, de loi N (m, X) ; u étant un vecteur de Rp, tuX une v.a.r. de loi N (tum, tu Xu). La f.c. de tu X est :

gtu* (v) =

d'où

.

qx (u)

:

siv fum)

s-(u Eulv2/2

çtux(1)= situm s-ruDu/2

2.',2 Loi multinomiale t6h:

Soit X = t(Nr. ...., Nr) un v.a. de dimension k de loi multinomiale

p1. ...., pp) (chapitre

4); la f.c. de

:

k

tuX: t

uj

Nj

j=1

est: 9t,*

(v)

=

x

---J-]-_ --

pÎ,

plk eiu,=51,,"

où la somme porte sur tous les k-uples (nr, ....,nn)vérifiant

I

n,

:

n.

j=1

Qt,* (v)=

x

(p1

o'fî

eiu'')n'.."

(ppeiu'r'1nt

k

=( t j=1

Env= 1:

pj eivur )n k

9x

(u):( X pi ei'i

;n

t=1 PH.

TASSI S. LEGAIT

1

93

Ù\

3

OIJTIL : LA FONCTION CAFACTÉRISTIOÙE

APPLICATIONS DE LA FONCTION CARACTÉRISTIOUE

Outre son utrlisation dans le cadre de la convergence en loi, qui sera étudiée au chapitre 7, la f .c. aide à établir un certain nombre de résultats parfois laborieux à démontrer par usage direct des définitions. Nous en développerons trois.

3.1 Loi d'une somme de vecteurs Théorème

aléatoires

I

Soient X et Y deux vecteurs aléatoires indépendants à valeurs dans (Rp,;4p), de f.c. respectives ex et gr: Çx n y (u)

= çx

(u)

çv

(u)

Démonstration : gx Par séparaton des

*y

(u)

=

E (situ (x*YD

i"iii:;i:i:il

=

E (eitux situvl

l',1,i,"1

;:iïiiff'

Cette propriété se généralise sans difficulté au cas de n vecteurs aléatoires indépendants. Si (X,), i = 1 à n, sont indépendants. qi étant la f.c. de X', alors :

qlu)

= ftçi (r)

Xxi

i=1

Exemples:

l3F,

a) Les calculs faits en 2.3 et 2.4 montrent qu'une v.a. de loi binomiale ù est la somme de n v.a. indépendantes suivant la loi de Bernoulli.'/(1, p). De

même

:

7Bb, pl + ,/J (, p) = J3 (n + 1, p) b) Si X et Y suivent deux lois de Poisson indépendantes de paramètres respectifs À et p, alors :

Qx * v (u)

:

çx (u) çv (u) =

u( À + u) lsiu -11

qui est la f.c. d'une loi 9(À+p). D'après le théorème d'injectivité, si X et Y el 3(pl, alors X + Y suit la loi suivent indépendan"rment des lois de Poisson g(

,?(À+

^)

p).

c) Soient X et Y deux v.a.r. indépendantes de lois respectives v (p. 0 ) et g (q, y ). La v.a. X +Y suit la loi y (p + q. A ). En

effet:ex*y(u)=

de la f.c. d'une loi

(1

-

Y (P +

I

iu)-p.(1

q, 0

-0iu)-a:

(1

-diu)-n-cqui

est l'expression

l.

PH TASS1

.S

LEGAIT

UN OUTIL : LA FONCTION CARACTÉRIST|OUE

d) Soient X et Y deux v.a.r. suivant indépendamment des lois normales

N

(mr.or)et N (mr,o2). Alors X + Y suit une loi N (mt, mr, -r/"1

En effet

*"|

I.

:

gx

* v (u) -

giuml

en'41'

gium2

grz

o:l' :

giu(m1

+ m2) e42 (t *

4)l'

e) Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes suivant respectivement deux lois du x2ànet m degrés de liberté. Lav.a. X+ysuit une loi 12(n + m).

3.2

Caractérisation de I'indépendance de deux vecteurs aléatoires

Théorème 9 Soient

Xt et X, deux

vecteurs aléatoires à valeurs respectivement dans

(lR?.r'tn\ et (tR9rdq). On note:

x _,x.. ,X, ,

dedimensionp+q. a)V (u.,.

u2)€

lRp

x

lRq,

ex, (u1)= ex

(u1.

0)et O1, (u2)=

b)X' et X, sont indépendants si et seulement = ex, (u1) e1, (u2).

(u.,, u2)

Ox (0, u2).

si V (u1, u2) e lRp x lRq, gx

Démonstration 9x (u1,

a)

çx (ur, et b) Si X1 et

u2)

= E (si(tutxt

0): r (eitutxt;=

+tu2x2))

ex'

(u1)

ex (0. u2) = E (eituzxzl = ex,

(u2)

X, sont indépendants alors

:

gx (u1, u2)= E (situtXt ,itu2x21=

= e1' (ur) e1,

E (eiturxr; E (eituzxz;

(u2)

Réciproquement, on suppose eue gx (u1. PH TASSI - S. LEGAIT

u2):

ex., (ur) ex,

(u2).

UN OUTIL : LA FONCTION CARACTÉRISTIOUE

Pour montrer.que X, et X, sont alors indépendants, Px = Pxt @ Pxz fl-héoième dè FuOlnl, chapitre 2). Calculons la transformée de Fourier de P

gp (u1,

ur) =

J

= Px1

il suffit de prouver

que

'

@ Px2

+tu2x2l dP (x1, x2)

"i[tu1x1

= J silturxr

+

tu2x2l

d (px1 @ px2) (x1,

x2)

= J siturxr dpxl k1) J situzxz dpx2 k2)

:9x., (ur) ex,

(u2)

donc ç, = ,po*, ce qui entraîne P = Px d'après la propriété d'injectivité et X1 et X2 sont indépendants.

3.3 Obtention des moments non centrés Théorème

1O

Soit X une v.a.r. appartenant à Ln (Q, ,v/ , Pl, c'est-à dire

:

Vk'1,

d) Plus généralement, soit une densité (x), Kç(f)son cumulant d'ordre k, une suite de réels. On définit g (x)par:

avec des notationsévidentes,

s où h est l'opérateur exp

t ;

ap

8):

(-

(ar.),

h [f (x)]

dklk I l

1)k

k=l æ

g (x)s'écrit sous la forme s (x) =

) 'l r.f(k\x)' avec Ào = 1' k=o

On a, par un calcul analogue au cas (c) Kk (g)

=

:

Kp (f) + aç. Pour

tout k >

1

4.2 Application aux développements d'Edgeworth et de Gram-Charlier

On souhaite approximer une densité g (x), de cumulants connus, à l'aide d'une densité.connue.f (x).et de ses dérivées, c'est-à-dire rechercher un développement de la forme :

g(x):f(x)+

À

1

f'(x)+

À

2f"

(x)+

...

où les coefficients À't, À 2,... sont connus. Supposons qu'une telle expression de g (x) existe. En notant Kp (f) (resO. Kp le cumulant d'ordre k de f (resp. g). âvêc âp = fo (S) - Kk 0' on peut écrire formellement : (g))

s (x)= exp.

soit: s

(x)

=f

I k=i

un

t-

1)k

dklk lF

(x)

l

(x)- a' f' (x) .

a? +a^

# t_"? -_3r, "*_". )

f"

(x)

fl3)(x)

3!

aI + 6a1 ar+ 4a, at+ ao ) _ * (------4

it+l1xy+...

|

242

PH TASSI

-S

LEGAIT

UN OUT|L : LA FONCTION CARACTÉRIST]OUE

Les coefficients a1' 42, ..'

i

,,

^1

:-

r, de l'expression recherchée de g (x) dépendent

À

de

:

at, À

z=

u?

!^u, 2

,

"r".

La correspondance entre les an et lesÀn est biunivoque.

Si on travaille sur des variables centrées et réduites, alors a., obtient un développement simplifié de g (x):

s(x) =rt")

- #J!

: ar:

O, on

fl3)ft)+ hOo,(x)+..

Application au cas gaussien Le cas historiquement le plus étudié correspond au choix f (x) = ç (x), densité de la loi normale centrée réduite. On cherche alors à écrire une densité g(x) de cumulants connus (associée éventuellement à une variable centrée et réduite) en fonction de la densité ç(x) et de ses dérivées.

Théorème

11

soit g (x)une densité sur et ses dérivées

lR supposée

admettre un développement selon ç

(x)

:

g

(x): ;

Às çk)ft)

k =o

Alors

:

,^k:

(- 1)k kl

J

s

(x) Hp (x) dx

Démonstration D'après la définition des polynômes de Hermite,

*tr) (x)=

et g

(x)

s'écrit

:

x (k=0

PH IASSI

-S

IEGA]T

(-

1)t nn {x) e

1)k À

r Hr

(x)

(x) ç(x)

203

UN OL'IIL : LA FONCTION CARACTÉRISTIOUE

Pour un indice j donné, on a

:

sk)Hi 14= ; (-1)kiuH,(x) Hnk) e(x) k =o

et, en intégrant et d'après la propriété 3 du chapitre 4

t__r(x) À

H;

(x)dx=

(-1)

Àj

j!

j= (,1)'l-Lr"r H;k)dx t.

Remarque: Ce théorème permet, au vu des données (xr, ...,xn) d'un échantillon, d'une variable de densité g (x), d'approximer les coefficients i u.

Ainsi, H1 (x)= x et Ài =

;,.,

-

Jx g (x)dx sera estimé par

i"3

demême.

- --1-'

k2* 1)s(x)dxseraestimépar i=-1 - L,f 2n ^z= 2

;

1 ' etc' 2

Revenons à l'expression générale de g (x) selon rp (x) et ses dérivées. Si les données sont centrées et réduites, a1 = az= O,comme en outre t 3, on obtient :

s 8)= q (x)-

*â,f, +(|)- *(s)fi).

e(a)(x)+

...

Or. d'après la définition des polynômes de Hermite, *(n)

(x): (_

1)n Hn (x)

d'où le développement d'Edgeworth de g

s (x): q (x) t''

. oâï)

k2

(x)

e k)

:

oâ'l' (xa - 6x + 3)+..'l - 1).

s(x)=q(x) tt+ lsjg) F2-1) - r^'Z\

ka-ox+3)+...1 PH. TASSI _ S. LEGAIT

UN OUT]L : LA FONCTION CARACTÉRISTIOUE

comme pour ra loi g. p1 (s) = o et pz (u) = 1, on a p3 (o)= et p+ (9) /ilb) = 82 (S). B.' et B, étani les coefficients de Pearson d'asymétrie et d'aplatissement de g ; ceia donne (cf. chapitre 4), en utilisant la notation /., et / des coefficients de , Fisher

:

Yt s(x)= ç(x) t1 + -6-

(x3

-

3x)

+

T

(xa

-

6 x2 + 3)+ ... l

Par intégraticn, on obtient une approximation de la fonction de répartition G (x):

G(x)=

o(x)-ç(x) t+1xz-1) +rt'V3 -3x) +- Y? 72

1x5-10x3+ 15x)

*...

l

Avant de conclure, notons qu'il est imBortant de remarquer que si l'on peut éerire une densité g ou une fonction de répartition comme somme infinie cie ô, ç, ou ses dérivées, c'est plutôt le problème de l'approximation par une somme finie de termes qui est utile en pratique. Malheureusement, rien n'assure que l'approximation de g donnée par un nombre fini de termes soit positive en tous points, et que la qualité de l'approximation augmente avec le nombre d'éléments retenus. Pour terminer, nous avons supposé a priori que g (x) admettait un développement en termes de tp (x) et de ses dérivées. H. Cramer a montré, en 1926, que si g (x)est telle que g'(x)et g"(x)existenr, si t'intégrate tS"gll, exz/z dx"onu"rge, I et si lim S k) = lim g (x) = 0. ators g (x) peut êrie développé en :

g(x)= t

ar

k=o k

avec

âr

qk)1x1

!

= Is (x) Hk (x) dx

Cette série est absolument et uniformément convergente pour x

PH

TASSI S

LÊGAIT

€ [--,

*1.

UN OJIIL . LA FONCTION CARACTER|STIOUE

EXERCICES 6.1 : X suit une loi N (0, o). Trouver la f.c. de Y = Log I X I Indication

9v

1

(u)

o

l2n

e-^2no2 dx S lxliu lR

2

otfZn

5x'u lR*

@tEP

1

lzi 6.2:

e-r2/2o2 dx

r tl-tt

(X,, ,.., Xn)sont n v.a.r. indépendantes, telles que Xlsuit N (m;,

1),

j=

1 à n.

n

Déterminer la f.c. de Y

=E

Xi.

j=1

'

lndication iumf

9xz

(u)

= (1

-

2 iu)-

t/z

çv

(u)

= (1

-

ziul-

ntz

,

't

-ziu

,,,

s1

:2iu

n

avec À2

luo

=

F

mf

;on sait

(cf. exercice 4.6, chapitre 4)que Y suit une

loiduX

2 non centrée.

PH.

TASSI

S. LEGAIT

LES CONVERGENCES DE VARIABLES ALEATOIRES

Démonstration

Xn-â:+r(n) r(n, D'après le théorème 17, b)

(n) (Xn

_

(Xn-a).

:

a)l9j X

+

___*0 1

d'où Xn

!

(Xn

-

a)

!91

O,

a, d'après le théorème 16.

5

LES LOIS DES "GRANDS NOMBRES"

Ces lois établissent des propriétés de stabilité des sommes ou des moyennes cumulées de v.a. dans une succession d'expériences, stabilité au sens de lâ limite en convergencg el probabilité (on parle alors de loi faible) ou en convergence presque sûre (loi forte). ll existe beaucoup d'énoncés de théorèmes des giands nombres, se distinguant par les hypothèses faites sur les variables.

Théorème 19 (Khintchine)

Soit (Xn)

, n 21,

une suite de v.a.r. indépendantes et de même : E(Xn) , pour tout n

appartenant toutes à L1 ; on note m n

1 :.x,

loi,

:

:xnI m

n l:l En particulier

:

Théorème 20 (D. Bernoulli) Soit (An) , n2 1, une suite d'événements indépendants de même probabilité p ; on considère la v.a. sn comptant le nombre d'événements réalisés parmi (4., , ..., An) :

9ot o n

Remarque Ces deux théorèmes établissent des lois faibles, puisque les limites sont en probabilité. Le théorème 20 justifie l'approche fréquentisie des probabilités, la probabilité d'un événement étant la limite (en probabilité) de la fréquence empirique de son nombre d'observations dans une suite d'expériences inôépendantès. PH.

TASSI S. LEGAIT

ZZJ

LES CONVERGENCES DE VARIABLES ALEATOIRES

Démonstration

puisqueXnl m

o

la f.c. de Xn , pour tout

Xn !9i

*,

rontrons la convergence en loi. Notons par I

n.

9=(u)

:ç>x;

(u)

:c2x,(9) :[.r(9)

]n

xn

Comme les v.a.r. appartiennent à L1 , E(Xn)existe. donc

a'(0) aussi, ç'

(0)

:

im.

Ecrivons

e(t)

:

:1*imt+qt)

:1*im9+o(9) nnn ç_(u) :[1 *im9+O(q) ]n, e(g)

,

wîn

lim9nXn

(u)

:ei tu'

Or on sait gLle ei m u est la f.c. de ôn,. Frobabilité de Dirac en m. D'après le théorème 9, Xn lo! m, d'où le résultat. Dans le cas particulier de la loi faible de Bernoulli, on définit la suite de v.a.r. (Xn), où Xn vaut 1 si l'événement An est réalisé, et 0 sinon. Les v.a. sont indépendantes et vérifient :

Itt*":1]:p tt{*"-oJ :1-p. Sn

nn-

XXi désigne alors la fréquence empirique, ou probabilité empirique.

Théorème 21 (Loi des grands nombres dans L2)

soit (Xn), n)- 1, une suite de v.a.r. deL2,de même loi et non corrélées. on note m: E(X6) ' 02 -- V(Xn) , pour tout n. Alors: I

Xn?m. 224

PH TASSI - S. LEGAIT

LES CONVFRGFNCES DË VAFIABLES ALEATOIRES

Démonstration ll

X^-mll

2

2:

:e( ,(;r-J, \n / -1n2

-m)

)2

no2

02

n

1>txi n

I

(n-æ1

Théorème 22 lLoi forte des grands nombres) (Xn) , n ) 1. est une suite de v.a.r. indépendantes, de même loi o si Xn € Lr , m désignant E(Xn), pour tout n :Xn 4s il r si Xn Ç t-, (e I Xn | : + -) :Xn est p.s. non borné.

:

Ces lois des grands nombres justifient, en terme de probabilité, I'utilisation de la moyenne empirique comme indicateur de tendance centrale en statistique descriptive. Ouand le nombre d'expériences n augmente indéfiniment, la moyenne empirique basée sur le n-échantillon converge vers une constante qui est I'espérance de la loi dont sont issus les n résultats de l'expérience. ll en est de même de la variance empirique. Théorème 23

Soit (Xn) , n )- 1, une suite de v.a.r. de L2, indépendantes et de même loi, avec : E(Xn) : m et V(Xn) : o2 ; on définit la variance empirique par :

c,2 sn Alors

-

13

n i:1

:

(xi

q.2!

-

xn)2

oz.

Démonstration

sn2:11xi-Xn)? n i:1

Xn

! .

=t X-n)2! m2 (théorème 6)

13 x?I E(xz) -

et

n i:1

(loi faible appliquée

à

la suite (Xl)), Oonc 8,2

PH. TASSI

- S, LEGAIT

!

m2

+

o2

:

"z 225

LES CONVERGENCES DE VARIABLES ALEATOIRES

Se trouve ainsi justifié le choix de la variance empirique comme indicateur classique de dispersion en statistique descriptive.

Remarques Dans la démonstration du théorème 23, nous avons appliqué la loi faible

à

rIl

> X? . En effet, puisque Xn e L2 , E(Xfi)existe, et on est dans les conditions du - i:1 théorème 19 pour la suite de v.a.r. (Yn) , n 2'l , avec Yn : Xn2. Ceci entraîne deux I1

|

remarques importantes

:

a) soit mp le moment non centré d'ordre k d'une v.a.r. X

mr:

:

E(Xk)'

(Xr, ..., Xn,...r)désignant une suite d'observations indépendantes de la v.a. X, le moment emprnque est : m1 (n)

:1i-x1 n l:l

Sous réserve d'existence de E( I X I k ) mk

1n;!

:

m*

b) De même, le moment centré empirique 1rr (n) converge en probabilité vers

/r.:

E(X

-

s'écrit en fonction des rnoments 1 3 fX, " (n): ni:1 -X)k

E(X))k. En effet, 1lr

non centrés m; (n),

j: 1àk 1lr (n)

:

k : >q

r-i (-1)k-j mr '(n) m;

(n)

J:O c) Plus généralement, si h est une fonction réelle telle que E( I h(X)l ) existe

13

n i:1

n1x,1

:

eE(h(x))'

Exemple

(Xr, ..., Xn, ...) est une suite d'observations indépendantes d'une v.a' X de loi de Poisson CI ()'l ; 226

PH TASSI - S. LEGAIT

LES CONVERGENCES DE VARIABLES ALEATOIRES

1 pEr 1 r l3 \l n i:11 * X, + X,

1_t: i e/\1+Xt

tr

x:01 *x

6 COMPORTEMENTS

e-ÀÀ"

x!

int : -9-^ À y:1y!

1-e-À À

ASYMPTOTIOUEMENT GAUSSTENS

La no'tation N(0, >)désigne, dans cette partie, autant la loi normale que tout vecteur aléatoire suivant cette loi.

Théorème 24 (théorème central limite multivarié)

soit (Zn) une suite de vecteurs aléatoires à valeurs dans (lRF, fipl, indépendants et de même loi, tels que g : E(Zn) et L matrice de variance-covariance de Zn existent. Alors :

'rn En En particulier

-

r/)lg

N(0, >).

:

Théorème 25 (théorème central limite unidimensionnel) (Xn), n

)

1, est une suite de v.a.r. indépendantes, de même loi, et appartenant à L2 ; on note m : E(Xn) et o2 : V(Xn), pour tout n.

On définit la v.a.r.

:

v^n-- (èIJ__11l æ Alors

:

vn loj

:

/_n_frn__rl

ru 10, r

o

1.

Démonstrafion .' Nous démontrerons d'abord le théorème 25, puis le théorème 24.

a) Théorème 25 On peut écrire

:

Yn

PH TASSI - S. LEGAIT

1 i f{,--qf : rÆ I 3 tl---l) : ' ni:1 o JÂi:1' o 227

LES CONVERGENCES DE VARIABLES ALEATOIFES

X:---I

Soit e la f.c. de

, indépendante de i ; la f.c. de Yn s'en déduit

cyn(u) Comme

obtient

E(H-)-

et

O

:[*(Ji)

E(Ii--I)'? -

:

]"

1, en développant

e à I'ordre 2, on

:

: t -r!+ott) i1+o (r=l ]" cyn(u) :[1e(t)

soit: et

:

,'il *"n (ul:

s-u2

/

2.

On reconnaît la f.c. de N(0, 1), et, d'après le théorème 9, Yn

!9

rtftO, f

t.

b) Théorème 24 Posons

Xn^: ty ?n pour u €

dantes et de même loi, avec

E(Xn)

:

et d'où

tu

:

lRp

; alors Xn est une suite de v'a.r. indépen-

:

:

:

tu I u, tu u) /,,) l9j ruto, p)19 tu N(0, :) vu €

tu ,u et V(Xn)

I

''/; fr" -'u

/Ï

et, d'après le théorème 10

(Zn

-

IRP

:

JÂ En - /) lg

N(0, >).

Remarque De la même façon que pour le théorème 23, les théorèmes 24 se généraliser à toute moyenne empirique

ln

I

i:1

f"',tX,l. sous réserve

el25 peuvent d'existence de

E(h(X)) et V(h(X)). Etablissons, à titre d'exemple, la convergeRce eR loi de la variance empirique ; soit X une v.a.r. d'espérance nulle (ce qui ne réduit en rien la généralité du résultat), 02 = V(X) : E(X2), (X1, ..., Xn, ...) une suite d'observations indépendantes de X :

Ç2:li-xrt-x-n)2, n l:l v(x1) 228

:

E(x1)

-

E, (x1)

-

m4

- ^3: mq -

oa

PH, TASSI

, S. LEGAIT

I ES CONVERGENCES DE VAR]ABLES ALEATOIRES

Considérons la quantité

:

q!gj_4 J n.4=;-4

J-n t! '' rn I *, - rrxztt i:1 '

Jn@l

D'après le rhéorème centrat limite, appliqué n

- {_!-6d Jn@l

l,ir*1

,

n

/Â(:ni:1x?-E(x2)) ' _LolrutO,fl. /Tm En outre

:

*

;;r::

ï Ë :i: ï,îï:"ïT:"',

D'où, par le théorème 17

./

n çXnf "E o,

et:

Jl Pour E(X)

*

(q2

- o2)

loj ru(0, t).

J^æ

0, on obtiendra

:

Cls="'?) / p;-

!9,! ru(0, rr.

Théorème 26

Soit r : lN * lR- telle que

lim

r(n)

n )- 1, une suite o" u.".r.n*îitiunt

: *

oo.

a une constante réelle, et

(Xn),

,

r(n) (Xn -

a)

!g

N(0, o).

Soit g:lR *lR, dérivable. Alors

:

PH TASSI - S. LEGA]T

r(n) (g(X.)

-

s(a))

g

*,0, o I g' (a) l). 229

LES CONVERGENCES DE VAFIABLES ALEATOIRES

Démonstration Considérons le développement de g à l'ordre 1 au voisinage de a S(x)

-

g(a)

:

c'est-à-dire

:

Ve)O, 3o)0

{l

Xn

P{l xn -

c'est-à-dire

R(x),

:0'

R(x)

(

(

o}C

{l

R(Xn)l

aI

q)'SoitZ irioopËnoânte de-V' telle qué x q) Montrer que Z suit une loiX2 (P

ffii:d.

Y

+

7'

-

lndication

"'u'bsuw"

çx (t)

:

Y et Z. cy $) cz (t) en raison de l'indépendance entre

çz $)

7.2

:(] = ?'lli'i è zt (1 2it)Prz (1 _ Zitlp-A/2

x2

(p

-

q)

Loi hYpergêomêtrique (ru, n, p), X converge en loi vers la loi Montrer que sr X suit une loi hypergéométrique Je æ, p Ïlxes' n et + p\ quand N tend vers

g(n,

tndication

Cto

px (x)

7.3

Soit (Xn)n

6N.,

:-q-

,fti

.,

N

_ --

n

t

(Np)* (Nq)no

- x. Cl -r px qn N.

xJ(n _ x) I

ufle suite de v.a' indépendantes, de même loi de densité

: s- t'' e\ 1rc,a-

f(x)

1) Donner la loi de

t,

: .,Iiln *'

1

(x), 0 >

:

0'

quadratique (12) vers a' 2) Montrer que Yn converge en probabilité et en moyenne

-

3) Vers quelle loi converge la v'a. n(Yn

0) ?

lndication

1) Fyn

0)

- 1-

(1

-

F(ï)n

oÙ F est la

VY>0,F(Y) d'où

:

rrn (v)

:

(1

-

frn (Y) : n

2)

P{ I Yn

lorsque

23A

-

[-

gI

X1 . En effet, puisque Xn € L2 , EfiÎ)existe, et on est dans les conditions du théorème 19 pour la suite de v.a.r. (Yn), n 21, avec Yn : Xl.Ceci entraîne deux I

remarques importantes

:

a) soit m1 le moment non centré d'ordre k d'une v.a.r. X

mr

:

:

E(Xk)'

(Xr, ...,Xn, ...)désignant une suite d'observations indépendantes de la v.a. X, le moment empirique est :

m1 (n)

:13.x1 n l:l

Sous réserve d'existence de E( I X I k )

:

mk 1n1! m* b) De même, le moment centré empirique

lrr

:

E(X

-

E(X))k. En effet,

non centrés m; (n),

j:

/r." (n) -

1àk

/.rr (n)

.n I.I

/r

ni:1-(Xt -X)k

(n) converge en probabilité vers

s'écrit en fonction des moments

:

: k! q t-t)t-j m; (n) 'l-j(n) J:O

c) Plus généralement, si h est une fonction réelle telle que E( I

-n I! n i:l

h(x)l ) existe

:

ntx't!E(h(x)).

Exemple

(Xr, ..., Xn, ...) est une suite d'observations indépendantes d'une v.a. X de loi de Poisson 226

!4.

Q 6l

:

PH. TASSI

- S, LEGAIT

LES CONVERGENCES DE VARIABLES ALEATOIRES

lin i:11 -r1X,pe/\1 1 r + x/

1 \ \1+X,

tr r

Lr_r:Ë_:_:

1 o-ÀÀx e-À i,rt x:01 *x x! À y:1y!

1-e-À

i

6 COMPORTEMENTS

À

ASYMPTOTIOUEMENT GAUSSIENS

La notation N(0, >) désigne, dans cette partie, autant la loi normale que tout vecteur aléatoire suivant cette loi.

Théorème 24 (théorème central limite multivarié) Soit (Zn) une suite de vecteurs aléatoires à valeurs dans (lRF, fiPl, indépendants et de même loi, tels que pr : E(zn) et E, matrice de variance-covariance de Zn existent. Alors :

,rn En En particulier

-

ll)

lg

N(0,

:).

:

Théorème 25 (théoràme central limite unidimensionnel)

) 1, est une suite de v.a.r. indépendantes, de même loi, et appartenant à L2 ; on note m : E(Xn) et o2 : V(Xn), pour tout n.

(Xn), n

On définit la v.a.r.

:

(:Xi) .n:__m - nm. : -

yAlors

:

/_n_frn__rl

.

o

Yn lo! ru (0, t )'

Démonstrafion .' Nous démontrerons d'abord le théorème 25, puis le théorème 24.

a) Théorème 25 On peut écrire

:

1 31Ir--lly Yn:,/nl3 èl--t) : ' ' o ni:l o fii:1

PH TASSI

S

LEGAT

221

LES CONVERGENCES DE VARIABTES ATEATOIRES

Soit

ç

t

L

la f.c. de

, indépendante de i ; la f.c. de Yn s'en déduit

o

vyn(u) comme E(XL- rl) obtient

-

E(LI)'? -

o et

et

]"

1, en développant

e à l'ordre 2, on

:

ç(t) soit

=[*(r*)

:

cyn(u)

:

:

: t-Ï+o(t) 2

:[1-u'+o(*l trn (ul:

"f

s-uz

]" /

2.

On reconnaît la f.c. de N(0, 1), et, d'après le théorème 9. Yn !91 r,rtO, I t.

b) Théorème 24 Posons Xn : tu Zn pour u dantes et de même loi, avec

€

lRp

; alors Xn est une suite de v.a.r. indépen-

:

tu g et V(Xn) : tu E u, tu /r) *,0, tu r u) fr-n (7n p)!9j tu N(0, >) vu €

E(Xn)

et: d'où

tu

:

fi fi

et, d'après le théorème 10

:

I

-

IRP

:

,/Â 1Zn - s)lg

N(0,

:).

Remargue De la même façon que pour le théorème 23, les théorèmes 24 et 25 peuvent se généraliser à toute moyenne empirique

1 3 frX,i,

n

i:l

sous réserve d'existence de

E(h(X)) et V(h(X)). Etablissons, à titre d'exemple, la convergence en loi de la variance empirique ; soit X une v.a.r. d'espérance nulle (ce qui ne réduit en rien la généralité du résultat), 02: V(X) : E(X2), (X1, ..., Xn, ...) une suite d'observations indépendantes de X :

Ç2:13.x1 n l:l v(x1) 228

:

E(x1)

-

E2

(x2il

-

-fr-n)2,

m4

- ^7:

^o

-

04

PH, TASSI

- S. LEGAIT

LES CONVERGENCFS DE VARIABLES ALEATOIFES

Considérons la quantité

:

JÂ t! 3 *, Gl93-41 - -'ni:l ' / n4 o-4 dn$

E(x2)|

'-6-6rE J-v1xzy

-

D'après le théorème central limite, appliqué a

]- 3 xU ni:1

,

|

n

,/i t: : x? - E(x2)) ni:1 ' /Tm -9r.rlo, En outre

lt.

:

*

i;r:: ï Ë :: ï,î:::"ïi:.,

D'où, par le théorème 17

:

,/î1Xnp

!

o,

et:

{T $"2 - o2t !91 rrrfo, r t.

l^;---7

Pour E(X)

*

0, on obtiendra

:

/-_ni$3-g1 !9 r'rto, rr

/ u_ _;n

Théorème 26

Soit r : lN * lR- telle que

lim

r(n)

n 2 1, une suite d" u.u.r.nGïfirnt

(n) Soit g :lR Alors

PH.TASSI

-S

-

: LEGAIT

: * *,

a une constante réelle, et

(Xn),

,

(Xn -

a)lg

N(0, o).

lR, dérivable.

(n) (s(X.)

-

s(a))

g ,,n, o I g' (a) l). 229

LES CONVERGENCES DE VAFIABLES ALEATOIRES

Démonstration Considérons le développement de g à l'ordre 1 au voisinage de a S(x)

où

-

g(a)

:

:

-

lim x-a

c'est-à-dire

d'où

(x

:

ve)0,

3a

{l

Xn

)0

:

P{l xn -

:I

a) g'(a) R(x)

:

*

(x

nn

c'est-à-dire

-

R(x),

x-al (a = I R(x)l (e,

( o } C {l R(Xn)l ( e }, a I g(1, p) Vi = 1 à n, i:1

on a, d'après le théorème central lirnite

:

n

L Y,-no I '

i:l

/ ^pq

l'? tttto'

r t'

Remargue En pratique, on pourra approximer laloig(n, p) par la loi N(np, bien que cette écriture n'ait pas de sens mathématique. PH,

TASSI S

LEGAIT

/n

p(1 - p)),

IJJ

LES CONVEBGENCES DE VARIABLES ALEAIOIFES

Exemples a) Soit X de loi g (91 Par lecture de table de la loi de Poisson

P(X z

(P

-

q)

(1 _ Zi11p-a/2

Loi hypergéométrique p), X converge en loi vers la loi Montrer que si X suit une loi hypergéométrique J0 1ft, n, p fixés' r et quand + p) vers tend N fi(n,

-,

lndication

qo Cfti

Px (x)

7.3

Soit (Xn)n

6N.,

:-q

n! _ -- rl (n;i

.,

*

(Np)r_(!',lq)n-'

r,lrl -

Cl -l

px qn

ufle suite de v.a. indépendantes' de même loi de densité

:

l(x) 1) Donner la loi de

t. :

s- tt - a) 1te,

.,Plln

-

x.

:

+* i (x), 0 > 0'

t'

2) Montrer que Yn converge en probabilité et en mgyenne quadratique (12) vers 3) Vers quelle loi converge la v.a. n(Yn

-

0)

O.

?

lndication

1) Fyn (Y)

- 1-

(1

-

F(ï)n où F est la f'r. de Xn'

VY>o,F(Y) d'où

:

rrn (v) frn

2)

P{ I Yn

lorsque n

238

-

-

0I

:

(Y)

(1

:

-

:1-e-(Y-o)

s- (v-a) n) 116, + -1 (Y)

n e- (Y - u)n 1l u,1 -1

(V)

(e 1 : Fyn (0+.) - Fyn (0-.) :'l -g-(o+e -o)n:'l -0-'n--1

æ, d'où

YnI o

.

PH'

TASS] S. LEGAIT

LES CONVERGENCFS DE VARIABLES ALEATOIRES

E(Yn

-

ul,

: iî

(v

-

o)2 n e- (v - a)n f,y

: !* i;

,, ,-,

O,

:1r(r) :? -o n2 n2

3) Soit Zn : lorsque n

æ, d'où Yn L2 6

.

mq n(Yn

-

o). La densité de Zn est g(z)

La loi de Z est indépendante de

:

:e-t110,+q(z).

n.

\

r

PH.

TASSI S, LEGAIT

t20

Chapitre 8

Compléments et approfondissements sur les lois de probabilité Le chapitre précédent a montré I'importance du concept de convergence appliqué à des variables aléatoires, à leurs fonctions de répartition, à leurs densités, à leurs fonctions caractéristiques, ou à leurs lois de probabilité ; la convergence suppose implicitement la notion de distance entre les divers éléments dont on étudie le comportement asymptotique. Nous nous proposons dans ce chapitre d'étudier plus formellement les distances pouvant exister sur l'espace des v.a. ou de leurs caractéristiques associées ; nous introduirons également un ordre sur les lois de probabilité.

LES DISTANCES Dans tout le paragraphe.'l'espace probabilisable de réféi'ence est (0, .c/l oit 0 est un espace topologique muni d'une distance d, complet, séparable (il contient un sous-ensemble dénombrable dense), :/ est la tribu borélienne de {1. I désigne l'ensemble convexe de toutes les probabilités sur ({-1, dl, I est l'ensemble des fonctions de répartition associées.

1.1

La distance de Paul Lévy

On prend

Définition

0:

lR.

1

La distance de Paul Lévy entre deux fonctions de répartition F et G de définie par

I

est

:

dL (F, G) PH. TASSI

:

- S. LFGAIT

inf{e

>

O

/ Vx F(x -

e)

-

e

(

G(x)

(

F(x

*

e)

*

e}.

241

CON/PLEN4ENTS ÊT APPROFONDISSEMENTS

SUR LES LOIS DE PROBABILITE

F(x)

F(x

-

e)

x-É

x

x*e

dL (F, G) est donc la plus petite valeur de 6 telle que G(x) va, pour tout x, appartenir au "tube" ainsi engendré autour de F.

1.2 Distance en variation Définition 2 Soient P et O deux probabilités de rapport à une mesure p o-finie.

I

de densités respectives

La distance en variation entre P et O est définie par du (P,

o)

:

fdp

lP(A)

-

o(A)

où

dv(P,O) P

-1-(P^O)

et g par

:

I

ll est clair que du prend ses valcurs sur [0, 1]. On établit les relations

a)

f

:

({))

 O : Min (P, O), i.e. est la mesure qui admet Min(f, g) pour densité par

rapport à b)

É{.

2dvP,

O)

:-[ldP-dOl

Exemple On prend. sur lR, pour P la loi exponentielle 7(1, de densité f(x) : et pour O la loi uniforme%ro,,,1sur [0. 1], de densité g(x) : 1,0,,,, 242

s-

x. 1,^ (x), +

(x).

PH TASSI - S. LEGAIT

COMPLEMENIS

ET APPROFONDISSEN/ENTS

SUR LES LOIS DE PROBAB{L|TE

2 du 0(l,oUto, 2 du :

rl:

Ji tt - "-x1 du (z(1)!Ùp,

JR+ I t(*) - s(x)l

dx

f,- e-x dx :

2

dx

+

rl :

t_

e

:

e

0,3679.

1

Remarque Considérons sur lR la restriction de la distance en variation à la elasse'€des intervalles ouverts de la forme ]--" x[. Alors la distance en variation n'est autre que sup I ptt- -, x[) o(]--. xt)l : Sup I r(x) G(x)l , rlresp. G) désignant la

XX fonction de répartition de P(resp. O) ; cette distance porte le nom de distance de Kolmogorov dK (F, G). Sur I'exemple proposé, on a F(x)

:

e-x).

:

1to, rl (r) + ^ qfo, 1t,, * 11 -1(*). 9n vérifie aisément que la distance de Kolmogorov entre 7(1)et est égale à !. (1

-

11p+ (x)

et G(x)

e

1.3

La distance de Hellinger

Définition 3 La distance de Hellinger H(P, O) entre deux probabilités P et O de définie par

I

est

:

:

-i (/æ - faoyz Si P et O admettent des densités f et g (par rapport à une mesure p o-finiel, H2 (p, o)

ona:

H2 (P,

o)

:

-[

(fi

-

dp: 2(1 - I lfr

'u[,12

apl.

Définition 4 On appelle affinité entre P et Q la quantité a(P, O)

ll est immédiat que 0 H2 s'écrit

: tl2|, O) :

et: PH. TASSI

2(1

( -

: I

a(P. O)


O:Xr. Xt-h

r(h) (4)

PH TASSI , S. LEGAIT

:

i:'l

Pi

xr i X, r, * et Xt-l-,

p

:

=' p(h)

g

z

i:'l p

I

,_I,

aiyh-ù ei ph-ù

de X,_n, est

EXEMPLES DE PROCESSUS

On peut écrire les équations (4) sous forme matricielle pour h

1

p

1"

p

(1)

........

p (p

:

1àp

:

- 1)

p(11 .

(5) .

p(1t

: p(p-1)

p ipr

......... plll

1

La relation matricielle (5) s'appelle système de Yule-Walker.

Exemple Soit le processus

:

xr

:

0,5 X,_,

- O,25 Xr_, + e,

Ona:

(;r) :

[],, '.'1) (::,)

: p (21 :

P (11

D'où

o,5

-

o,5 p

o,25 P (1)

(1)-

0,25

:

p (11

:

0,4 et p (2)

: - 0,05.

Pour avoir p (3ll, p (4) etc.. on utilise les relations (4)

p(3)

= p(41 :

:

pQl * e"p (1) : - 0,125 A1 ppl + ezp (2) : -O,OS

A1

etc.

3'1 B

PH. TASSI

. S. LEGAIT

EXEMPLES DE PFOCESSUS

c) Fonction d'autocovariance Soit à calculer E (X, . X,_r,) E

(Xt. Xt_h)

:

E

[(rt

-

0., €t-.,

-

...

-

9o e,_o)

da t,-q-6)J - dr tt-h-., e Si h ) q : E(X,.X,_') : 0 c Si h ( q : E(Xr.Xt_h) : F0n+0.,0h*, *...*0o.7o_nlo' (€t-6

Le processus est donc stationnaire (au sens faible) et on en déduit la fonction

d'autocorrélation

:

P(h) : O Vh )

+...+0

-0,+0.0, p(h) :#si 1+01+ .*eZ

q e

h(q.

Le calcul de r (h) ne présente pas de particularité, et est exécuté selon le système décrit au chapitre 10.

ll résulte des calculs précédents qu'un processus moyenne mobile est toujours stationnaire (au sens faible), ce qui n'était pas le cas pour un processus autorégressif quelconque.

Conclusion Le problème de l'identification d'un processus MA (q), c'est-à-dire la détermination du paramètre q, se fera sur I'examen de la nullité ou non desp (h).

5.3

Remarque sur le lien entre AR et MA

La démonstration de l'inversibilité d'un AR et les exemples 1,2 et 3 du para4 laissent apparaître une équivalence entre AR (p) et MA (oo). En pratique. on peut approximer au sens de la moyenne quadratique (donc dans Lr) un processusAR (p) par un MA d'ordre fini. Considérons, par exemple, un processusAR (1)

graphe

défini par

:

Xr:p X, ., * r, E(€r) 324

:

O, V(e,)

: o',

Cov(e., er*n)

:0

(h +

O)

PH TASS1 S. LEGAIT

EXEMPLFS DE PROCESSUS

Par substitutions successives, il est clair que

:

X, : €, + p €t_t +...+ pq tr_o * pe*t X,_.q*,

E,*,

-

,!o

pi

,, jl, :

p"e*"

E (x1_q_1)

supposons que (X1 est faiblement stationnaire, centré, de variance v: E (X'zr) pour tout t (nous ne démontrerons pas la stationnarité d'un tel processus). L

Alors

:

e (Xt

et

9 r,-j)" : p'q*' v - j:o ^ ri

E(X,-Y,,')t -_ O quandq ---->

+ôo, en notanty,,,

: 9 ,t cr-,. La suite '[r j:0

de v.a. (Yr,o) converge donc en moyenne quadratique vers la v.a. Xr.

DH I i

T^qst S

IFCAIT

321

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PH. TASSI

- S, LEGAIT

325

TABLES NUMERIOUES

Les tables I à I sont reproduites avec I'aimable autorisation du CERESTA: lo, rue Bertin Poirée - 75001 Paris. Elles sont extraites de I'Aide-mémoire pratique des techniques statistiques, qui constitue un numéro spécial du volume XXXIV de la Revue de statistigue appliquée, 1986. Les tables I à I I sont extraites du livre Statistique non paramétrique et robustesse, de Jean-Pierre l-ecoutre et Philippe Tassi, Economica, Paris, 1987.

PH.

TASSI S. LEGAIT

TABLES NTJMEFIOTJES

Table no

1

FONCTION DE REPARTITION DE LA LOI NORMALE REDUITE cette table donne, pour u >- 0, la valeur p normale réduite telle que P

Pourr
3,99, on pourra utiliser I'approximation suivante (à l0-r près)

2. Pour les

u)

F(u):t-e'

PH IASSI S. LEGAIT

2 (t--t

urt7-x\' ;*,i-

3

15 los\

n* ,i)

2to

TABLES NUMERIOUES

Table no 2 FRACTILES DE LA LOI NORMALE REDUITE Cette table donne les valeurs absolues des fractiles, nr de la î,P

loi normale réduite tels

que

,

-!' F1u,l: I +e--ldu:P

J__lztt

Pour P < 0,5 (colonne de gauche et ligne supérieure) les fractiles up sont négatifs. Pour P > 0,5 (colonne de droite et ligne inférieure) les fractiles up sont positifs. P

0.000

0.001

0.002

3,0902 2,8782 2,3263 2,2904 2,257 | 0,02 2,053'7 2,0335 2,0141 0,03 1,8808 I,8663 1,8522 0,04 I,7 507 t,'t392 |,72'79 0,00

0,0 r

0,05

0,06 0,07 0,08

0,09 0, l0 0,1 I 0, 0,

0,15

0,005

2,74'18 2,6521 2,57 58 2,2262 2,1973 2,t701 I,9954 1,977 4 1,9600 I,8384 1,8250 l,8ll9

0,006

0,007

0,008

0,009

0,010

z,5t2l 2,4573 2,4089 2,3656 2,3263 0,99 2,1u4 2,1201 2,0969 2,0749 2,0537 0,98 t,943t 1,9268 I ,91 l0 I,8957 l,8808 0,97 I,7991 l,7866 |,'77 44 t,1624 1,7 507 0,96 I,6849 I,67 47 |,6646 t,6546 |,6449 0,95

t,7 t69 l,7060 |,6954 t,6M9 I,6352 r,6258 |,6164 I,6012 l,5982 I,5893 l,5805 l,5718 I,5632 I,5548 0,94 I,5548 1,5464 l,5382 l,530 r t5220 l,5141 I,4758 I,4684 I ,461 I I,4538 t,4466 I,4395 I,405 I I,3984 I,39t7 l,3852 t,3787 |,3722 l,3408 |,3346 l,3285 1,3225 I ,3165 1,3 106

I,5063

l,4985

I,4909

1,4325

1,4255

I ,41 87

I,3658 |,3047

l,3595 I,2988

l,4833

l,4758 0,93

l,4l l8

r,4051 0,92 r,3532 1,3469 l,3408 0,9 r t,2930 1,2873 I ,28 l6 0,90

l6 I,27 59 t,2702 1,2646 I,259t t,2536 I ,248 r |,2426 t,2372 I,2319 I,2265 0,89 |,2265 t,2zlz I,2r60 |,2t07 I,2055 1,2004 I,1952 I,l90l l, I 850 I,1 800 I,1 750 0,88 I ,28

l6

I,0803

I,0758

l,0714 l,0669 I,0625 I,0581 I,0537 I,0494 I,0450 I,0407 r,0364 0,85

t,0364 |,4322 |,0279 1,0237

0,9904 0,1 7 0,9542 0,9502 0,r8 0,91 54 0,9116 0, l9 0,8179 0,8742 0,9945

0,20 0,8416 0,21 0,8064 0,22 0,7722 0,23 0,7388 0,24 0,7063

l,0152 I ,01 l0 l,0069 I,0027 0,9986 0,9945 0,84 0,9141 0,970 I 0,9661 0,962t 0,9581 0,9542 0,83 0,9346 0,9307 0,9269 09na 0,9192 0,91 54 0,82 0,8965 0,8927 0,8890 0,8853 0,88 l6 4,8779 0,81 0,8596 0,8560 0,8524 0,8488 0,8452 0,84 I 6 0,80

0,83 10 0,8274 0,8239 0,8204 0,8 169 0,796 l 0,7926 0,7892 0,7858 0,7824 0,7655 0,762t 0,7588 0,7 554 0,7 521 0,7488 0,7356 0,7323 0,7290 0,7257 0,7225 0,7 t92 0,7 I 60 0,7031 0,6999 0,6967 0,6935 0,6903 0,6871 0,6840 0,8381 0,8030 0,7688

0,8345 0,7995

0,6745 0,6713 0,6682 0,26 0,6433 0,6403 0,6372 0,27 0,61 28 0,6098 0,6068 0,28 0,s828 0,5799 0,57 69 0,29 0,5534 0,5505 0,5476 0,010

I ,0 194

0,9863 4,9822 0,9782 0,9463 0,9424 0,9385 0,9078 0,9040 0,9002 0,8705 0,8669 0,8633

0,2s

JJU

0.004

l2 1,1750 I,t700 I,1650 I , l60l 1,1 552 I,1 503 1,1 455 t,t407 1,1 359 l,l3 I I t,t264 0,87 l3 |,1264 I,t2t7 I ,l 170 I,l 123 |,1077 I,l03 l l,0985 l,0939 r,0893 l,0848 1,0803 0,86

0,14 0,

0.003

0,009

0.008

0,8 l 34 0,8099 0,8064 0,79

0,7790 0,1'756 0,'7722 0,78 0,7 454 0,7421 0,7388 0,7'7 0,7 t28 0,7095 0,7063 0,76

0,6808 0,6176 0,67 45 0,75

0,6620 0,6588 0,6557 0,6526 0,6495 0,6464 0,6433 0,7 4 0,631l 0,6280 0,6250 0,62t9 0,61 89 0,61 58 0,6128 0,'t3 0,6008 0,5978 0,5948 0.59 l 8 0,5888 0,5858 0,5 828 0,72 0,5740 0,5710 0,568 I 0,565 l 0,5622 0,5592 0,5563 0 st14 0,71 0,5446 0,5417 0,5388 0.5359 0.5330 0.5302 0.5273 0.5244 0,70 0,6651 0,6341 0,6038

0,007

0,006

0,005

0,004

0,003

0.002

0,001

0,000

P

PH TASSI S, LEGAIT

TABLES NUMERIOUES

Table no 2 (suite) FRACTILES DE LA LOI NORMALE REDUITE 0,000

P

0,001

0.002

0,30 0,5244 0,52 I 5 0,31 0,4959 0,4930 0,32 0,467',l 0,4649 0,33 0,4399 0,4372 0,34 0,4125 0,409'7 0,35

0.003

0,004

0,005

0,3799 0,3772 0,3'745 0,3531 0,3505 0,3478 0,3266 0,3239 0,32 l3 0,3002 0,2976 0,2950 0,2741 0,2715 0,2689

0,40 0,2533 0,2508 0,41 0,2275 0,22s0 0,42 0,2019 0, l 993 0,43 0, I 764 0, I 738 0,44 0,1510 0,1484

0,2482 0,2456 0,2430 0,2404 0,2224 0,2 198 0,21'73 0,2147 0,1968 0,t942 0,t917 0,1891 0,1713 0, I 687 0,1662 0, l 637 0,1459 0,t434 0, I 408 0, l 383

0,3826

0,45 0,46 0,47 0,48

0,125'1 0,1231 0, l 206 0, I 004 0,0979 0,0954 0,0753 0,0728 0,0702 0,0502 0,0476 0,0451 0,49 0.0251 0,0226 0,020 l

0.010

0.007

0.008

0,009

0.010

0,4621 0,4593 0,4565 0,4538 0,45 l0 0,4482 0,4454 4,442'7 0,4399 0,67 0,4344 0,43 l6 0,4289 0,4261 a,4234 0,4207 0,4t79 0,4t52 0,4125 0,66 0,4070 0,4043 0,40 l6 0,3989 0,396 l 0,3934 0,3907 0,3880 0,3853 0,65

0,36 0,3585 0,3s58 0,37 0,33 t 9 0,3292 0,38 0,3055 0,3029 0,39 0,2793 0,2767

0,3853

0.006

l 0,5072 0,5044 0,50 I 5 0,4987 0,4959 0,69 0,4902 0,48'14 0,4845 0,4817 0,4'789 0,476t 0,4733 0,4705 0,4677 0,68 0,5 187 0,5 I 58 0,5129 0,5 l0

0,009

0,008

0,37 t9 0,3692 0,3665 0,3451 0,3425 0,3398

0,3638 0,361l 0,3585 0,64 0,3372

0,3345

0,3 186 0,3 160 0,3 134 0,3 107 0,308 I 0,2924 0,2898 0,287 | 0;?845 0,2819

0,33 l9 0,63 0,3055 0,62

{2793

0,6 r

0,2663 0,263't 0,261I 0,2585 0,25s9 0,2533 0,60 0,2378 0,2353 0,2327 0,230

l

0,2275 0,59

0,2t21 0,2096 0,20'10 0,2045

0,20 l 9 0,58 0, l 866 0, l 840 0,l8l5 0, r 789 0,1764 0,57 0, l6l I 0, l 586 0, l 560 0, I 535 0,1 5 10 0,56 0, I 358 0,t332 0, I 307 0,1282 0,1257 0,55

0,1 l8 l 0,1 156 0,1 r30 0,1 105 0, I 080 0,1055 0, I 030 0,1004 0,54 0,0929 0,0904 0,0878 0,0853 0,0828 0,0803 0,0778 0,0753 0,53 0,0677 0,0652 0,0627 0,0602 0,0517 0,0552 0,0527 0,0502 0,52 0,0426 0,040 l 0,0376 0,0351 0,0326 0,030 I 0,02'16 0,025 l 0,51 0,0175 0,01 50 0.0125 0.01 00 0,0075 0,0050 0,0025 0,0000 0.50

0,007

0,006

0.005

0.004

0,003

0,002

0,00 r

0.000

P

Grandes valeurs de u

PH, TASSI

P

l0-"

l0-5

l0 -o

uP

3.7 190

4,2649

4,1534

- S, LEGAIT

l0

-'

5. l 993

l0

-E

5,6 120

t

0-'q

5,9978

331

TABLFS NUMEBIOUES

Table no 3 LOI BINOMIALE

-

PROBABILITES CUMULEES

Probabilités cumulées Pr (& n

c

p:

5

l% P:2ol l0

I

0,9990

0,9039 0,9962

2

I

I

0,95

3 4

0,9044

0,8171

0,9957

2

0,9999

J 4

I

0,983 8 0,999 I I

:

p:3%

p:4%

0,8 5 87

0,8153 0,9852

0,7738 0,97'7 4

0,9681

0,9994

0,9988

0,9980

I

I

I

0,9915 0,9997 I

0 I

t-.

< c) : I t_0

0,73'74 0,9655

P:

5ok

P 0

60l

Tttq

(l -

Cl po

p)

p:'7% P:8% p :9% p : 0,6951 0 q575

0,659 I

0,9969 0,9999

0,9456

0,5905 0,9185

0,9955 0,9998

0,9937 0,999'7

0,99t4

I

I

I

I

0,4344

0,3894

0,8l2l

0,77 46

0,3486 0,7361

0,5987

0,5386

0,9 r 39

0,8824

0,9972 0,9999

0,9885 0,9990

0,98 12

0,4840 0,8483 0,911

0,9599

0,9460

0,9980

0,9964

o os4,

0,9912

I

I

0,9999

0,9998

0,9997

0,9994

0,9990

0,9984

I

I

I

0,9999

0,9999 I

0,3953 0,'7738

0,3367

,1

1

6

l5

I

0,860 l

I 2 J

0,9904 0,9996 I

4

0,7386 0,9647

0,63 33

0,542t

0,4633

4,9270

0,8809

0,9970

0,9906

0,9797

0,9998 I

0,9992 0,9999

0,997 6

0,8290 0,9638 0,9945

0,9998

0,9984

0,9429 0,9896 0,9986

I

l'

I

0,9999

0,9997

l

I

5

6

0,8179

0,6676

0,2430

0,9993 0,9999

0,9987

0,9978

0,9999

0,9997

I

I

I

0, I 887 0,5 169

0,1516 0,45 l6

I

0,983 I

0,940

2 3

0,9990

0,1216 0,3917

20

1

0,7879 0,9294

0,1334

0,6769

0,9529 0,9893

0,981 7

0,9007 0,97 l0

4

0,8670 0,9568

0,9981 0,9997

0,9887

I

0,9987 0,9998

0,9976

I

0,9962 0,9994 0,9999

0.9932

0,9999

I

I

0,9999

0,0591

0,0424

0,2343

0, l 837

0,485 5 0,717 5

0,41t4

0,35 85 0,735 8

0,290 l 0,6605

0,9561

0,924s 0,9841

0,9997

0,9926 0,9990

0,8850 0,9710 0,9944

I

0,9999

0,9997 I

0,4120

l

0,5438 0,8802

0,9929 4,9994

0,9790 0,9973

I

5

6 7 8 9

0,7 l 68 0,91 7 l

0 sR2t

0,9972

3

0,9783 0,9971

4

0,9999

0,9996

5

I

I

0,9997

I

6 7

8 9

l0

n

332

0,997 4

0,9991

0,2342 0,5869 0,8390

0,6035 0,853 I 0,960 I 0,9918

0,2059 0,5490 0,8 r 59

4,94r'.5 o sÂ71

0,9996 I

0,40 l0 0,7'731 0,9399 0,9881 0,9982

)

30

I

0,7397 0,9639 0,9967 0,9998

0

0,8 103

0,9298 0,9872

0,2863 0,6597 0,8870 0,9727 0,9950

'1

0

0,9995

0,6648 0,9418 0,9938 0,9996

5

0

t09

0,6240 4,9326

0,5455

0,8794

I

0,2939

0,2r46

0, I 563

0,1 1 34

0,66t2

0 5s1s 0,8122 0,9392 0,9844

0,4555

0,3694

0,0820 0,2958

0.7324 0,8974 0,9685

0,6488 0,8450 0,9447

0,5654 0,7842 0,9126

0,9989 0,9999

0,9967

0,9921

0,983 8

0,9994

I

0,9999

0,9983 0,9997

I

0,9999

0,9960 0,9992. 0,9999

0,9707 0,9918

0,9980 0,9996

I

I

0,9999 I

0,883 I

0,9694 0 qs17

0,647 4

0,8723

0,8245

0,95 r 9 0,9848 n ooss

0,9268 0,9142

0,991 0

0,9998

0,9980 0,9995

I

0,9999

0 ss?)

I

PH.

TASS S

LEGA]'I

TABLES NUMERIOUES

Table no 3 (suite) LOI BINOMIALE

-

PROBABILITES CUMULEES

Probabilirés cumulées Pr n

40

p:

l% P:20Â P:30/o P :

0

0,6690

I

0,9393

2 3

4

40Â

P:

(k < c) : 5o/o

0,4457 0,8095

0,2957

0. l 954

0, I 285

0,661 5

0,992s 0,9993

0,9543

0,399 I 0,67 67

0,99 r 8

0,8822 0,9686

0,52 l 0 0,7855

I

0,9252 0,9790

0,8619 0,9520

0,9951

0,986 I 0,9966 0,9993

0,9988

0,9933

5

0,9999

6

I

0,9988 0,9998

7

I

8 9

0,9990 0,9998 I

0,9999 I

l0

ll

P:

P:70/o

P:80/o

P:9%

l0

0,0842

0,0549

0,0356

0,0230

0,2990

0,2201 0,4625

0, I 594

0,1 140

0,0148 0,0805

0,3694

0,2894

0,6007 0,7868

0,5092

0,9104

0,6937 0,8546

0,969 I

0,94t9

0,9033

0,9909

0,980

l

0,9624

0,9977 0,9995 0,9999

0,9942

0,9873 0,9963

0,8535 0,936 l 0,9758

I

0,9999 I

60/o

0,5665 0,7827

0,9985 0,9997

0,9990 0,9998 I

t2

4 5

I

3

50

6 7

0,3642

0,2 I 8l

0,1299

0,0'769

0,735 8

o 5ss'l

0,2794

0,9216 0,9822 0,9968

0,8 l 06

0,4005 0,6767

0,9372

0,8609

0,9832

0,95

0,9995

0,9963

0,9999

0,9993 0,9999

0,9856 0,9964 0,9992 0,9999 I

I

I

8

9

l0

ll

t2

l3

l0

0,0453 0, r 900

4,0266

0,4162 0,6473 0,8206

0,3 108

0,7604 0,8964 0,9622 0,9882 0,9968

0,971

0,5405

0,t265

0,0155 0,0827

0,9949 0,9985

0,9996 0,9999

t4

0,0090 0,0532 0, r 605 0,3303 0,527',|

0,0052 0,0338 0,1 I l7 0,2503

0,6161 0,7702

0,7290

0,2260 0,4253 0,6290

0,9224

0,8650

0,7919

0,7072

l

0,94t7

0,898 I

0,9992

0,9906 0,9973

0,9998

0,9993

0,9780 0,9927 0,9978

0,9562 0,9834 0,9944

0,8404 0,9232

I

0,9998

0,9994

I

0,9999

0,9983 0,9995

0,9957 0,9987

I

0,9999

0,9996 0,9999

0,9968 0,9990 0,999'7

I

0,9999

0,5327

I

l5

PH.

0,9994 0,9999

0,7937 0,9005 0,958 l 0.9845

1

0,6050 0,9106 0,9862 0,9984 0,9999

2

0,9920 0,9976

I

l3 0 I

0,7 103

0,2228 0,4231 0,6290

0,43t2

t,96't2

0,8779 0,9421

0,9875

0,9755

0,9906

I

TASSI S.

LEGAIT

??2

0t

TABLES NUMERIOUES

Table LOI DE

POISSON

no

4

PROBABILITES CUMULEES

Probabilités cumulées Pr (/< (

< c) - 'i' "-^ ^r kt. Ï^

m-0,1 m-0.2 n-0,1 m-0,4 m-0,5 m-0,6 m_0,7 m-0,8 m-0,9

0

0,9048

I

0,9953

t

3

0,9998 I

4

0,8187 0,9825 0,9988 0,9999 I

0,7408

0,6703

0,9631

0,9384 0,9920 o,9992 0,9999

0,9964 0,9997

I

I

5

0,9769 0,9966 0,9996

0,4966 0,8442 0,9659 0,9942 0,9992

0,4493 0,8088 0,9526 0;9e0e

0,4066 0,7725 0,9372 0,9866

0,9986

0,9977

1

0,9999

0,9998

0,9997

I

I

0,6065 0,9098

0,5488 0,8781

0,9856 0,9982 0,9998 I

6

Probabilités cumulées Pr c

< c) - 'i' "-^ ^* Ê" ft!

m-1,0 m-1,5 m-2,0 m-2,5 m-3,0 m-3,5 m-4,0 m-4,5 m-5,0 0,0302 0, l 359

0,0183

0,01l I

0,0067

0,0916

O,MM

0,3208 0,5366 0,7254

0,2381 0,4335

0,0611 0,1 736

0,6288

0,532

0,9161 0,9665 0,988 1

0,8576

0,7851 0,8893

0,9997

0,9962 0,9989

0,9901 0,9967

0,9489 0,9786 0,9919

0,9134 0,9s97 0,9829

l0

0,9999

0,9997

0,9933

I

0,9999

0,9990 0,9997 0,9999

0,9972

l1

0,9991

09997

0,99't6 0,9992

I

0,9999

0,9997

I

0,9999

0,9993 0,9998

I

0,9999

0 I

0,3679 0,7358

0,2231

0, I 353

0,0821

0,0498

0,5578

0,4060

0,28'tt

0,199i

7

0,9197

0,9810

a,6767 0,8571

4

0,9963

0,9473

0,5438 0,75't6 0,8912

0,4232

3

0,8088 0,9344 0,9814 0,9955 0,9991 0,9998 I

0,9834

0,9579

0,9955

0,9858

0,9989 0,9998

0,9958 0,9989

I

5 6 7 8

9

t2 l3

l4 l5

l6

334

(k

,l

0,9994 0,9999

I

0,6472 0,8 r 53

I

0,9347

4,9733

0,1423

0,1247 0,2650

l

0,4405

0,7029

0,6160 0,7622 0,8666 0,9319 0,9682

0,831

1

0,9863 0,9945

0,9980

I

PH. TASSl

- S. LEGAIT

TABLES NUMERIOUES

Table no 4 (suite) LOI DE POISSON

-

PROBABILITES CUMULEES

Probabilités cumulées Pr

0,0041 I

'l 3

4

0,0025

(k

< ,, :

0,0015 0,0113

0,0009

0,0006

0,0003

0,0073

0,0030

0,0430

0,0296 0,0818 0, r730

0,0047 0,0203 0,0591

0,0266 0,0884

0,0174 0,0620

0,201'7 0,3575

0,15 I 2

0,1 I

0,2851

0,22!7

l8

0,1 32

1

ti"u^

0,0138

0,0424 0,0996

0,l9l2

#

0,0012 0,0062 0,0212 0,0550

0,0001 0,0008 0,0042 0,0149 0,0403

0,1496 0,2562 0,3856

0,1 1 57

0,0885

0,2068

0,1649

a3219

0,5231

0,4557

0,2687 0,3918

0,6530

0,5874

0,521 8

0,'1614 0,8487 0,9091 0,9486

0,7060 0,8030 0,8758 0,9261

0,6453 0,'1520

0,9726

0,9585

0,898 I 0,9400

0,0002 0,0019 0,0093 0,0301

0,0746

0,0001

0,9161

0,3690 0,5265 0,6728 0,7916 0,8774

0,3007 0,4497 0,5987 0,'1291 0,8305

0,2414 0,3782 0,5246 0,6620 0,7764

0,97 47

0,95'74

0,9332

0,9015

0,8622

0,8159

0,966 I

0,9466 0,9730 0,9872

0,9208 0,9573

0,888 I

13

0,9890 0,9955 0,9983

0,9799 0,9912 0,9964

0,9784

l4

o,9994

0,9986

0,9943

0,9897

0,9658 0,9827

l5

0,9998

0,9988

0,99t4

0,9780 0,9889

0,9665 0,9823

I

0,9998 I

0,9954 0,9980 0,9992

0,9918 0,9963

I

0,9976 0,9990 0,9996 0,9999

0,9862

0,9999

0,9995 0,9998

0,9984

0,9970

0,9947

0,991I

0,9997 0,9999

0,9993 0,9997

0,9987 0,9995

0,9976 0,9989

0,9957

I

0,9999

0,9998 0,9999

0,9996

0,9991

0,9998

0,9996 0,9998 0,9999

5

0,5289

6

0,6860

7

0,8095

8

0,9044 0,9462

9

ll t2

t7

0,4457 0,6063

0,7440 0,8472

l8 l9

0,9840 0,9929 0,9970 0,9996

I

0,3134 0,4530 0,5925 0,7166

0,9162

I

1

23

0,9999

I

0,8364

0,9980

1

24

22Â PH. TASSI - S. LEGAIT

TABTES NUMERIOUES

Table LOI DE POISSON

-

no

4 (suite)

PROBABILITES CUMULEES

Probabilités cumulées Pr c

m:10

m:ll

(k

< ,) :'t

io

u-^

4kt m:17

m:18

0,0004

0,0002

0,000 I

0,0014 0,0040

0,0007 0,0021

0,0003

0,0076 0,0 r 80

0,0 100

0,0054

0,0620 0, l 093

0,0374

0,0220 0,0433

0,0126 0,026 l

0,0071

0,0698

l7

0, l 756

0,077 4

0,3s32

0,2600 0,3584 4,4644 0,5704

0,1 1 84 0, I 847

0,0304 0,0549

0,26'76

0,1931

0,3622

0,2745

0,4656

0,3675

0,0491 0,0847 0, l 350 0,2009 0,2808

0,5680 0,6640

0,4667

0,2867

0,5659

0,37 t4 0,4677

0,7 487

0,6593

0,5440

0,8826 0,9235

0,8193 0,875 l

0,7423

0,6550 0,7363

0,3750 0,4686 0,5622 0,6509

0,9169 0,9468

0,868 I 0,9107

0,8055

0,7307

0,861 5

0,7991

0,9048 0,9367 0,9593

0,855 I

0,9554

m:!4

m:15 m:16

m:12

m:13

0,0001 0,0005 0,0023

0,0002

0,0010

0,0001 0,0005

0,0002

0,0001

0,0076

0,0037

0,001 8

0,0009

0,0107 0,0259 0,0540 0,0997 0, I 658

0,0055

0,0028

0,0142 0,0316

0 2

I

0,0005 0,0028

3

0,0104

4

0,0293

0,0002 0,0012 0,0049 0,0151

5

0,0671 0, l 302

0,0375 0,0786

0,0203 0,0458

0,2243 0,3329 0,4580

0,1432 0,2320

0,0895 0, I 550

0,3405

0,2424

0,4599 0 57S1

0,3472 0,4616 0,5760

0,25

0,68 l6 0,7721

0,5730

t4

0,583 l 0,6968 0,79 I 6 0,8645 0,9 r 66

l5

0,95

l3

0,9075

0,8445

16

0,9730 0,9857 0,9928

0,9442 0,9679 0,9824

0,8988 0,9371 0,9626

0,7636 0,8355 0,8905 0,9302

0,9965

0,9908

0,9787

c,9514

20

0,9984

0,9954

0,9751 0,9860

22

I

0,9805 0,9888

0,9633

24

0,9985 0,9993

0,9833 0,9907 0,9950

0,96t7

û,9999

0,9925 0,9962 0,9982

0,9672

23

0,9978 0,9990 0,9996 0,9999

0,9884 0,9939 0,9969

0,952t

0,9993 0,999'7

Q,9997

0,9992

0,9974

26

0,9999

0,9997

0,9987

I

0,9999

0,9994

I

0,9997 0,9999

0,9992 0,9996

0,9869 0,9926 0,9960 0,9979 0,9989

0,9748 0,9848

27

0,9938 0,9967 0,9983

I

0,9998

6 7

I

9

l0

ll tl

13

l7 l8 l9

25

28 29

0,78 I 3

0,8541

I

0,463 t 0,6751

0,6693

0,7559 0,8272

0,9712

a,8tzz

0,917'7

0,99t2 0,9950 0,9973

0,0154

0,09 r 7

0,t426 0,2081

0,8989 0,93

l3

0,97 l8 0,9E27 0,9897 0,9941

0,9999

0,9995 0,9998

0,9986

3l

0,9993

0,9967 0,9982

32

I

0,9999

0,9996

0,9990

I

0,9998

0,9999

0,9995 0,9998

I

0,9999

30

33 34 35 36

336

0,6887

0,t270

0,0010 0,0029

I

PH. TASSI

. S. LEGAIT

TABLES NUMEFIOUES

Table no 5 FRACTILES DE LA LOI DE x'z(u)

I

oto

2

0,012

3

0,024 0,072 0,115

4

0,091 0,201 0,291 0,2 l0 0,412 0,554 0,831

5

0,676 0.8'72 1,24 0,598 0,989 I,65 1,34 0,857

0,381

6 1

8 9

I,l5

l .73

I,48

t0

ll

l,83

t2

2,21

l3 t4 l5

l'l l8 l9

22 23 25

29 30 32

34 36 38

40

2,13 1'11

2,10 3,25

1S4

7,81

s

I,l

I

2,8

I 5,1

2,20 2.83 3,49

t2,6

t4,4

6.35

10,6 r 2,0

14, I

16,0

7,14

13,4

rs

t4,7

16,9

4,8'7

8,34 9,34

17,5 19,0

16,8 18,5 20, I

8,3

20,5

t9,1

zl,9 26,2 27,7 29,

4,t1

I

I

5

2l

2,62

5,01

5Rg

4,66

6,57

3,48

5,23

5,63 6,26

7,04 7,79 8,55

t2,3

3,04

26,3

8,67

9,31 10,I

9,39

10,9

8,91

10, I

ll,7

15,3 16.3 17,3 18,3

30, I

ass

r

0,9

t2,4

19,3

7,63 8,26

6,45 6,98

8,90 9,54

? {1

10,2 10.9

10,4 I 1,0 I 1,6 12,8 14,I

|,2

6,91 7,56 8,23

10,3

l1,5 rl t

22,4

13,3

)2,1

26,1

14,3

)5

34,2

3"1

28,9

1q1 40,8 42,3

43,8

,6

45,3

38, I

4l

,6

49,'7

43,0

16,5

39,4 40,6

44,3

51,2 52,6

15,4

t?

)5

54, I

18, I 18,9

13.8

t5,1

4,6

1

20.3

'l{ )

S

1

35,6

38,9

4l ,9

45,6

26,3

36,'7

40, I

4',1

21 ,3

31 ,9

4l

28,3 29,3

39, I

42,6 43,8

1J,L 44,5 45,7

40,3 42,6 44,9

18,3 19,8

20,l 2t,-l

3 1.3

t'7,9

2t,3

15

1

4'7,2

19,3

22,9 24,4

23,3 24,9 26,5

17

1

49.5

r00

31,4

2'7,6

16,5

t

1?q

32,0 33,4 34,8 36,2

36.4 37,1

14,0 14,8

18,5

{1

37,'7

28.8 30,2 3 r,5

23,3 24,3

12,3 13, I

t'7,'7

65,6

36, I

30,6

)?

46,8 48,3

14,3

60 70 80 90

l




2,462 2,457

2,374

2,977 2,947

4,501

3,450

dl{

2,779

1

2,7't

3,421 3,408 3,396

t

2,763 2,756 2;750

4,3

l8

3,965

l9

3,707 3,690 3,67 4

3,385

3,659 3,646

3,365

3,622

2,7 t9 2,7 t2

3,348 3,333 3,319

3,601 3,582

2,704

1 1n7

3,551

2,6'78

3,26r

2,660 2,648 2,639 2,632

3,232

3,496 3,460

3,2n

3,435

3,195

3,4r5

3,1 83

3,402

2,626

3,174

2,601

3,13 1 3,1 06

3,389 3,339

2,738 2,728

2,586 2,576

3,090

3,566

3,3

l0

3,29t

Pour v > 40, on pourra utiliser I'approximarion suivante

tp(v)-ue*(u)r+u"\/4v où ur est le fractile d'ordre Pde Ia loi normale réduite.

338

PH, TASSI

. S. LEGAIT

TABLES NUMERIOUES

Table no 7 FRACTILES DE LA LOI F (uI, DEGRÉS DE LIBERTÉ

N I

l6l

z

r

3

10, r

4

7,71 6,61

5

4

5

6

7

8

9

l0

t2

t4

200 19,0

2t6

225

230

214

237

239

241

242

244

245

t9,2

19,2

19,3

19,3

t9,4

19,4

t9,4

19,4

s

t9,4

t9,4

55

9,28

9,t2

9,01

8,94

8,89

8,85

8,81

8,74

8,71

6,94

6,59

6,39

6,26

6,

t6

5,l9

5,05

4,95

6,00 4,77

5,87

5,41

6,04 4,82

5,91

5?0

6,09 4,88

8,79 5,96 4,7 4

4,68

4,64

5,t 4

4,7 6

4,53

4,39

4,28

4,21

4,l5

4,

J,96

4,35 4,0'l

4,12 3,84

147

3,87

171

3,68

3,57

3,53

3,69

3,5 8

3,79 3,50

4,06 3,64

4,00

4,7 4

3,M

3,39

3,3 5

3,28

3,24

3,86

161

3,48

117

3,29

3,23 3,07

3,l8

3,

l4

3,07

3,03

3,02

2,98

2,9t

2,86

2,95

2,90

2,85

2,8 5 ) 11

2,80

) 7(

2,79 2,69

2,74 2,64

2,65 2,59

2,67 2,60

2,60 2,s3

2,54

2,48

2,55 2,48 2,42

2,54 2,49

2,49

2,42

2,45

2,3 8

2,46 2,42

2,4t

2,34 2,3t

9

5,t2

4,46 4,26

l0

4,96

4,

ll

4,84

3,98

t2

4,7 5

3,71

3.48

111

3,22

3,

3,36 3,26

3,20

3,09

3,89

3,59 3,49

3,il

3,01 2,91

l0

l4

4,67

3,81

3,41

3,14

3,34

3,l8 3,l l

3,03 2,96

l5

4,60 4,54

3,68

3,29

3,06

2,90

3,00 2,92 2,85 2.79

2,7 t

2,70 2,64

l6

4,49

2,85

2,7 4

2,66

2,59

t7

4,45

3,24 3,20

3,01

=

3,63 3,59

2,96

2,8 I

2,61

2,55

z

l8 l9

4,4t

155

2,90

2,7 4

20

3,s2 3,49

l6 l3

2,77

4,38 4,35

3, 3,

2,93

.(Jl

2,70 2,66 2,63

3,

l0

2,87

2,7 t

2,60

f,

2t

4,32

141

3,0'l

2,84

t