Theorie des corps 2705614028, 9782705614027 [DJVU]

Table of contents :
Table des matières......Page 6
Préface......Page 12
1. Enoncés des problèmes......Page 16
2. Pourquoi la règle et le compas ?......Page 19
3. Historique......Page 21
1.1. Définitions......Page 28
1.2. Résultats élémentaires......Page 31
1.3. Le corps des nombres constructibles......Page 34
2.1. Rappels sur les extensions de corps......Page 37
2.2. Le résultat de Wantzel......Page 39
2.3. Applications aux trois premiers problèmes......Page 45
1. Caractérisation des corps C et C(i)......Page 52
2. La réciproque du résultat de Wantzel......Page 54
3. Constructions avec plus de deux points de base......Page 56
4. Angles trisectables......Page 57
5. Constructions à partir d'une figure donnée......Page 58
1. Polygones réguliers constructibles......Page 62
2. Le théorème de Gauss......Page 63
3.1 Triangle - carré - pentagone......Page 67
3.2. Le polygone à 15 côtés......Page 69
3.3. Le polygone à 17 côtés......Page 70
3.4. Autres polygones réguliers constructibles......Page 79
3.5. Constructions approchées de polygones réguliers non constructibles......Page 80
CHAPITRE V Constructions graphiques, mécaniques et approchées......Page 82
1. Les coniques de Menechme......Page 83
2.1. La trisection de l'angle......Page 85
2.2. Précisions sur la conchoïde......Page 86
2.3. La duplication du cube......Page 87
3. Résolution graphique d'une équation du troisième degré......Page 88
4.1. La duplication du cube......Page 92
4.2. Le tracé mécanique de la cissoïde de Dioclès......Page 94
4.3. La strophoîde de Newton......Page 96
5.1. La trisection de l'angle......Page 97
5.2. La quadrature du cercle......Page 99
6.1. Le rapport pi......Page 101
6.2. Archimède et le cercle......Page 102
6.3. Valeurs approchées de pi......Page 104
6.4. Quadratures approchées......Page 108
CHAPITRE VI Constructions célèbres à la règle et au compas......Page 112
1. Le problème de Cramer - Castillon......Page 113
2. Le problème de Malfatti......Page 117
1. Le théorème de Mohr-Mascheroni......Page 123
2. Le problème de Napoléon......Page 130
CHAPITRE VIII La règle seule......Page 134
1. Le plan projectif......Page 135
1.1. Définition......Page 136
1.2. Birapport......Page 137
1.3. Repère affine......Page 139
1.4. Repère projectif......Page 141
2. Le théorème des constructions à la règle......Page 145
3. Objection sur les points à l'infini......Page 150
1. La règle et l'équerre traceuse de parallèles......Page 155
2. La règle et l'équerre......Page 159
3. La règle et un cercle. Le théorème de Poncelet-Steiner......Page 161
4. Construction à la règle des racines d'une équation du second degré......Page 166
5.1. Points constructibles à la règle et au bissecteur......Page 171
5.2. Comparaison règle-compas et règle-bissecteur......Page 176
6. Règle et transporteur de distances......Page 178
CHAPITRE X Compléments mathématiques......Page 184
1.1. L'anneau K[x]......Page 185
1.2. Polynômes irréductibles de K[X] . Cas particuliers de R[X] , C[X]......Page 191
1.3. Polynômes irréductibles de Q[X]......Page 194
2.1. Degré d'une extension......Page 200
2.2. Polynôme minimal......Page 203
2.3. Extensions algébriques......Page 208
3.1. Racines primitives de l'unité......Page 218
3.2. Polynômes cyclotomiques......Page 220
3.3. L'indicateur d'Euler......Page 227
4.1. Le théorème de Gauss......Page 229
4.2. Retour sur le polygone à 17 côtés......Page 234
4.3. Le groupe (Z/pZ)^*......Page 236
4.4. Le théorème de Galois......Page 238
5.1. Polynômes symétriques......Page 251
5.2. La transcendance de pi......Page 257
Exercices sur les constructions géométriques......Page 264
Bibliographie......Page 284
Index des auteurs cités......Page 287
Index des notions......Page 290