Théorie de La Houle [PDF]

Zitiervorschau

ZORKANI Mohammed

Département d’Hydraulique

Chapitre 1 Equations des ondes en bidimensionnelle Caractéristiques des Houles 1) Introduction : Il existe dans la nature plusieurs types d’onde marine : les ondes dues au vent, ondes (vagues) engendrées par un navire, tsunamis [ondes engendrées par un tremblement de terre :secousse tellurique] et la marée que le génie maritime doit connaître. battement de surface , ressac , seiches

énergie relative

h na vi

ondes capillaires

re

vagues

surf

o

beat tsunamis

u

10 1 Vent

gravitation

M2 e

tempête

10 2

5mn 10 3

50mn 12h 10 4

transtidales

lune et soleil marée

l

30s 0,1

activité séismique

S2

tempêtes vents

24h 10 5

T en sec

Spéctre énerétique des ondes selon Munk Non de l’onde • Capillarité • Ultragravité ♦ Gravité • Infragravité • Période longue • Transtidal

Intervalle de période (sec) de 0 à 0,1 de 0,1 à 1 de 1 à 30 de 30 à 300 de 300 à 86400 de 86400 à ∞

Le spectre des ondes dues au vent s’étendent jusqu’à 30s. Au – delà, les infra – vagues sont dues à des interactions non linéaires entre vagues de vent de périodes beaucoup plus courtes. Des seiches dues à des variations de la pression atmosphérique qui provoquent des oscillations stationnaires libres de période allant de 30s à 5 mn [le lac de Genève a des seiche de 63mn (uninodale) et 36mn (binodale)&d’Amplitude ~50cm]. Les ondes marines sont donc complexes car dans un train d’onde le spectre possède des composantes de différent déphasage dont les périodes et les amplitudes obéissent á une loi de distribution aléatoire, on recourt pour dépasser cette difficulté aux approches statistiques depuis 1945. Dans ce chapitre on va développer une théorie monochromatique : période constante et amplitude uniforme en profondeur constante. On rencontre dans la littérature plusieurs E.H.T.P. 1 Equations des ondes en bidimensionnelle et caractéristiques des houles :ondes de surface

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théories, la plus simple et la plus utilisée est celle á faible amplitude [théorie linéaire des ondes] proposée par Airy en 1845 [Théorie d’Airy]. 2) Théorie linéaire des ondes : faible amplitude (infinitésimales) La théorie bidimensionnelle des ondes de gravité périodiques a faible amplitude libre [pas en engendrement par le vent] est basé sur la linéarisation des conditions limites á la surface libre et sur le fond ; on admet que l’écoulement est irrotationnel : l’écoulement est donc á potentielle de vitesse. Les hypothèses sont : • Fluide homogène, incompressible • L’effet de la tension superficielle négligeable [longueur d’onde grande devant 3cm].Coriolis négligeable: T〈〈 f

−1

r v r ∂u (2Ω ∧ u) 〈〈 ∂t

• Ecoulement irrotationnel : pas de contraintes qui s’exercent sur la surface libre (pas de vent ) : on dit onde libre et pas de frottement sur le fond (fluide parfait) : le fluide glisse librement sur le fond et toutes autres surfaces solides. → r Il existe alors un potentiel de vitesse : v = grad Φ (x, z, t ) selon l’équation

r de continuité ( div v = 0 ) ce potentiel vérifie :

∂ 2Φ ∂ x2

+

∂ 2Φ ∂ z2

= 0 (1 – 1)

• Le fond est horizontal fixe(pas de transport de sédiment), imperméable. • La pression atmosphérique qui s’exerce sur la surface libre est constante donc pas de vent : la surface se déforme librement. • L’amplitude de l’onde est petite vis á vis de la longueur d’onde et de la profondeur d’eau. Puisque les vitesses des particules fluides sont proportionnelles á l’amplitude alors que la célérité (vitesse de phase) de l’onde varie avec la profondeur ; cette condition se traduit par les particules fluides ont une vitesse faible comparées á la célérité. Ce qui signifie que cette théorie n’est applicable que dans les eaux suffisamment profondes où on a u 〈〈 c car vers les eaux peu profondes on a u ~ c est l’onde déferle [breaking wave]. η(x, t ) z c x H

h

L z = −h

ε

ξ

r g

d − ( −z) = d + z

La position d’une particule fluide dans le plan du mouvement est repérée sur son orbite par : E.H.T.P. 2 Equations des ondes en bidimensionnelle et caractéristiques des houles :ondes de surface

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⎧ξ : horizontalement relativeme nt au centre de l' orbite ⎨ ε : verticalem ent ⎩ Par définition la célérité est de l’onde donnée par : ( s) ⎧ T : la période L ω c= = (1 – 2) où ⎨ T k ⎩ L : la longueur d' onde (m) Supposons que le profil en surface est donné par : 2π 2π H ⎛x t ⎞ H (1 – 3) & ω= η(x, t ) = cos 2π⎜ − ⎟ = cos (k x − ω t ) où k = T L 2 ⎝L T⎠ 2 Au fond pas de vitesse normale [fond étant par hypothèse imperméable] : ∂Φ ∂Φ vn = = v = 0 (1 – 4) = ∂ n au fond horizontal ∂ z z = −h Le théorème de Bernoulli – Lagrange pour un écoulement non 1 2 p ∂Φ permanent et irrotationnel est : u + v 2 + gz + + = 0 (1 – 5) 2 ρ ∂t On linéarise cette condition dynamique á la surface libre z = η où on a

(

)

te

p = p a = C et en négligeant les termes en vitesse car ils sont du second ordre [quadratiques] ; et comme la pression atmosphérique constante 1 ∂Φ est prise comme origine des pressions alors η = − (1 – 6) g ∂ t z=η

cette équation est applicable á la surface libre et comme η est faible par 1 ∂Φ la procédure de linéarisation on peut écrire : η = − (1 – 6/) g ∂ t z =0 • si la pression en surface n’est pas constante on a p a (x, y, t ) ⎧ ⎫ et ηt − Φ z = 0⎬ pour z = 0 ⎨gη + Φ t = − ρ ⎩ ⎭ Voyons voir ce qui se passe si la pression atmosphérique varie harmoniquement dans le temps dans une eau à profondeur constante : oscillations forcées par l’atmosphère p a (x, t ) = p(x ) sin ω t ⎫ ⎪ p a (x, y, t )⎪ 1 2 On a à résoudre ∇ Φ = 0 avec C ⋅ L ⋅ η = − Φ t − ⎬ en z = 0 ρ g ⎪ ⎪ ηt = Φ z ⎭ Cherchons des solutions de la forme: Φ = ϕ(x, z ) cos ω t + ψ (x, z ) sin ω t ω p 0 e Λz Ainsi si p(x ) = p 0 sin Λx : −∞〈 x 〈+∞ ⎯⎯⎯→ ϕ(x, z ) = sin Λx ρg k − Λ alors

E.H.T.P. 3 Equations des ondes en bidimensionnelle et caractéristiques des houles :ondes de surface

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La solution générale est donc donnée par : ⎡ ω p 0 e Λz ⎧cos kx ⎫⎤ kz ⎧cos kx ⎫ sin Λx + Aekz ⎨ cos t Ae Φ=⎢ ω + ⎬⎥ ⎨ ⎬ sin ω t ⎢⎣ ρ g k − Λ ⎩sin kx ⎭⎥⎦ ⎩sin kx ⎭

On constate qu’il peut y avoir résonance (amplification). On signale que si on a pris pour la pression atmosphérique une onde progressive : p a (x, t ) = p 0 ⋅ sin(ωt − Λx ) alors

ω p 0 e Λz cos(ω t − Λx ) ρg k − Λ à laquelle on peut ajouter n’importe quelle solution pour une pression nulle en surface. On a résonance si k ≈ Λ c’est – à – dire s’il existe dans le spectre atmosphérique un mode proche ce celui propagatif dans l’eau. Data : Note sur la technique mathématique des perturbations Cette méthode est basée sur le développement en série de Taylor autour d’une position de référence η0 en plus de l’introduction d’un paramètre de petitesse disons ε ; pour cela on utilise : ∂Φ η2 ∂ 2 Φ Φ (x, y, η , t ) = Φ (x, y,0, t ) + η ⋅ + ⋅ +L ∂ z z =0 2 ∂ z2 Φ (x, z, t ) =

z =0

∂ Φ ∂Φ ∂Φ + (η − η0 ) = ∂x ∂z ∂ x z=η ∂ x z=η 2

0

(

+L z = η0

)

∂Φ ∂2 Φ 2 = + εη1 + ε η2 + L ∂ x z=η ∂x ∂z 0

(

)

∂3 Φ 1 2 + εη1 + ε η2 + L 2 ∂ x ∂ z2

+L z = η0

De même pour les dérivées en y, z, et t : φ t z = η = φ t z = η + εη1 + ε 2 η2 + L ⋅ φ tz 0

(

z = η0

)

z = η0

⎧Φ = εΦ (1) + ε 2 Φ (2 ) + ε 3 Φ (3 ) + L ⎪ ( ) () ( ) ( ) ⎪η = η 0 + εη 1 + ε 2 η 2 + ε 3 η 3 + L On pose : D.L. en série ⎨ (0 ) (1) 2 (2 ) 3 (3 ) ⎪c = c + εc + ε c + ε c + L ⎪ (0 ) (1) 2 (2 ) 3 (3 ) ⎩p = p + εp + ε p + ε p + L 1 2 p ∂Φ Prenons par exemple la condition (1 – 5) u + v 2 + gz + + =0 à 2 ρ ∂t la surface libre z = η : p = p a ≡ 0 on a Bernoulli :

(

)

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2 2 ⎛∂Φ⎞ ⎛∂Φ⎞ ⎤ 1 ⎡⎛ ∂ Φ ⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎥ = 0 Ainsi + ⎢⎜⎜ + ⎜⎜ g η + ⎜⎜ ∂ ∂ ∂ t 2 z x ⎢⎣⎝ ⎝ ⎠z =η ⎠z =η ⎝ ⎠ z = η ⎥⎦ 0 = g η(0 ) + εη(1) + ε 2 η(2 ) + L + εΦ (t1) + ε 2 Φ (t2 ) + L

( ) + (εη( ) + ε η( ) + L)(εΦ ( ) + ε Φ ( ) + L) 1 + (εη( ) + ε η( ) + L) (εΦ ( ) + ε Φ ( ) + L) 2 1 + [(εΦ ( ) + ε Φ ( ) + L) + (εη( ) + ε η( ) + L)(εΦ ( ) + ε Φ ( ) + L) ] 2 g(η( ) + εη( ) + ε η( ) + L) + εΦ ( ) + ε Φ ( ) + ε η( )Φ ( ) 1 1 1 + ε (Φ ( ) ) + ε (Φ ( ) ) + ε (Φ ( ) ) + O(ε ) = 0 ⇒ 2 2 2 1

2

1

1 tz

2

2

1 x

2

2

2

2

1 tzz

2 x

0

2

2

1

1

2

1 2 x

2 tz

2 tzz

2

2

2

1 t

2

2

1 xz

2

2

2

1

t

1 2 y

1 2 z

2

2

2 xz

+L⇒

1 tz

3

η(0 ) = 0 ↔ ordre zéro

gη(1) (x, t ) + Φ (t1) (x,0, t ) = 0 ↔ premier ordre ( Condition de Poisson ) 2 1 r gη(2 ) + Φ (t2 ) + η(1)Φ (tz1) + ∇Φ (1) = 0 ↔ deuxiéme ordre 2 LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL de même pour les autre expressions. On donnera plus bas les résultats des calculs au 2iémordre, 3iémordre … Cependant la fonction potentielle sera cyclique en fonction de la position horizontale x et du temps t et comme η est la dérivée temporelle du potentiel alors la technique de séparation des variables impose que : Φ = Z(z ) ⋅ sin(k x − ω t ) (1 – 7)

[

]

en la reportant dans (1 – 1) on obtient Z(z ) = Ae

kz

+ Be

−k z

d2 Z dz

[

2

alors Φ (x, z, t ) = Ae

− k 2Z = 0 ⇒

kz

+ Be

−k z

] sin(k x − ω t )

vérifie l’équation de Laplace. Pour déterminer les 2 constantes d’intégration A et B il faut satisfaire les conditions limites(1– 4) et (1– 6/) : ∂Φ − kh kh 2k h v= = k Ae − Be ⋅ sin(k x − ω t ) = 0 ⇒ A = Be ∂ z z = −h

[

Alors

]

k h + z) −k (h + z ) ⎫ +e Φ (x, z, t ) = Bekh ⎧⎨e ( ⎬ sin(k x − ω t ) ⇒ ⎩ ⎭ Φ (x, z, t ) = 2Bekhch k (z + h) sin(k x − ω t ) (1 – 8)

La condition (1 – 6/) implique que η ≈ −

1 ∂Φ H ≡ cos (k x − ω t ) ⇒ g ∂ t z =0 2

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gH Finalement on obtient pour une onde progressive : 2 ω chkh g H ch k (z + h) H Φ (x, z, t ) = ⋅ ⋅ sin(k x − ω t ) si η ≡ cos (k x − ω t ) (1 – 9) 2ω ch kh 2 La vitesse verticale des particules fluides appartenant á la surface libre Dη ∂ η ∂η est donnée par v = qui en théorie linéaire s’écrit : = +u Dt ∂t ∂x 2 B ekh =

1 ∂ 2Φ ∂η 1 ∂Φ or η = − alors v = − v= g ∂ t2 ∂t g ∂ t z =0 ∂ Φ 2

d’où

∂t

2

+g

∂Φ =0 ∂z

et comme v = z =0

∂Φ ∂z

z = 0 . En y reportant notre solution (1 – 9 )

en

L ω = T k gL 2πh gT 2 g T ⎛ 2πh ⎞ ⎛ 2πh ⎞ ⋅ th⎜ alors c = ⋅ th ou c = ⋅ th⎜ ⎟ ou L = ⎟ 2π L 2π 2π ⎝ L ⎠ ⎝ L ⎠ Comme en général d’onde se propage des eaux profondes vers les eaux peu profondes sa longueur d’onde et sa célérité diminuent. Son profile surfacique change, le profil de pression sur une verticale et le champ de vitesses changent également : Mais la période de l’onde reste constante. ♦Classification des ondes de gravité en fonction de la profondeur relative : on obtient la relation de dispersion : ω2 = g k ⋅ th(kh ) avec c =

transitional

deep

shallow 2 πh / L

1 th( 2 πh / L )

0,5

n h/L 0,05

0,5

1

♦ Si la profondeur relative est plus grande que 0,5 alors th ainsi : c 0 =

g L0 2π

=

gT 2π

et L 0 =

gT

2πh L

≅1

2

, Les orbites des particules sont

2π

circulaires dont le diamètre exponentiellement décroissant vers le z

fond et sont proches de 0 pour − 〉 0,5 L

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[si par exemple T = 10s et une amplitude de 2m alors c=15,6 m/s et L = 156 m et les particules en surface ont une vitesse orbite circonférentielle / période = πH / T = 0,63 m / s : on a alors u c

=

πH / T πH ⎛H⎞ = ≈ 3⎜ ⎟ ≈ 4% selon la théorie de Stokes on a une L/T L ⎝ L ⎠0

⎛H⎞ limite ⎜ ⎟ ⎝ L ⎠0

max

=

1 7

≈ 14% donc pas de déferlement ].

♦ Si la profondeur relative est inférieure á 0,05 alors th

2πh 2πh ≅ L L

gT et L = gh ⋅ T c’est la condition eau peu 2π profonde [shallow water] (exemple l’onde de marée) se sont des ondes de translation [c – á – d qui affectent uniformément la section : onde longue] et c’est également le cas de la houle proche de la cote [ pour T = 10s et H =2m on a L=44,3m et alors h/L 8,,64 104

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Rappel : Développement limité de Taylor – Young 1⎡ 1 2 // // // + k 2 f yy f (a + h, b + k ) = f (a, b ) + ⎢ h f x/ + k f y/ + h f xx + 2 h k f xy 1! ⎣ 2!

{

}](a, b) + ... +

1⎡ p p h f p + C1php −1k f pp −1 + ... + Cpqhp − qk f pp − q q + ... + k p f pp ⎤⎥ (a, b ) + Rp ⎢ x y x y y ⎦ p! ⎣ x ∂ ⎤ 1 ⎡ ∂ +k où Rp = h ⎢ (p + 1)! ⎣ ∂ x ∂ y ⎥⎦ ainsi à l’ordre 3 on a :

(p +1)

f (a + θh, b + θk ) avec 0 〈 θ 〈 1 1

2

1⎡ ∂ 1⎡ ∂ ∂ ⎤ ∂ ⎤ f (a + h, b + k ) = f (a, b ) + ⎢h f (a, b ) + ⎢h f (a, b ) + +k +k ⎥ 1! ⎣ ∂ x 2! ⎣ ∂ x ∂ y ⎥⎦ ∂ y⎦ 3

1⎡ ∂ ∂ ⎤ h k f (a + θh, b + θk ) avec 0 〈 θ 〈 1 + 3! ⎢⎣ ∂ x ∂ y ⎥⎦ Remarque : effet de la tension superficielle [ et les rides ] On a établit que dans tout le fluide en linéaire que : 2 − ∂ η

+

p ∂Φ + gz + =0 ρ ∂t 1 R

2

~

∂ η ∂x

2

∂x

−

2

x

+

⎛ 1 1 ⎞ ⎟⎟ ≈ σ∇ 2 η Loi de Laplace pint − p ext = ∆p = σ⎜⎜ + ⎝ R1 R 2 ⎠ σ ∂ 2η Or en z = η on a selon la loi de Laplace : p = p a − = p a − σ ⋅ . Le 2 R ∂x ∂ 2η

est positif c’est – á – dire la surface libre ∂ x2 est á concavité vers le haut on a une réduction de pression. Alors si on prend : p a ≡ constante = 0 on peut écrire en théorie linéaire

signe moins signifie que si

⎛ ∂Φ⎞ pa σ ∂ 2η 1⎛ ∂Φ⎞ σ ⎛⎜ ∂ 2 η ⎞⎟ ⎟⎟ ⎟ + gη + ⎜⎜ − ⋅ = 0 ⇒ η = − ⎜⎜ + ⋅ ρ ρ ∂ x2 g ⎝ ∂ t ⎟⎠ z = 0 ρg ⎜⎝ ∂ x 2 ⎟⎠ ⎝ ∂ t ⎠z=η La vitesse verticale des particules fluides appartenant á la surface libre Dη ∂ η ∂η est donnée par v = qui en théorie linéaire s’écrit : = +u Dt ∂t ∂x 1 ⎛ ∂ 2 Φ ⎞⎟ σ ⎛⎜ ∂ 3 η ⎞⎟ ∂η ∂Φ et comme alors v = − ⎜⎜ + ⋅ v= v = g ⎝ ∂ t 2 ⎟⎠ ρg ⎜⎝ ∂ x 2 ∂ t ⎟⎠ ∂t ∂z z =0 E.H.T.P. 8 Equations des ondes en bidimensionnelle et caractéristiques des houles :ondes de surface

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alors

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∂ 2Φ

+g

∂ Φ σ ∂ 3Φ − =0 ∂ z ρ ∂ z ∂ x2

en

z=0

∂t reportons notre solution : g H ch k (z + h) H Φ (x, z, t ) = ⋅ ⋅ sin(k x − ω t ) pour η ≡ cos (k x − ω t ) 2ω ch kh 2 On obtient la relation de dispersion avec l’effet de la tension surfacique : 3⎞ ⎛ σ ⋅ k 2 ⎟ ⋅ th(kh ) la vitesse de phase est donnée par c = L = ω ω = ⎜⎜ g ⋅ k + ρ ⎟⎠ T k ⎝ 2

Cette relation de dispersion contient 2 termes, représentant les 2 sortes de force de rappel agissantes sur le déplacement η de la surface libre. Le premier dépend de g mais pas de σ qui représente la tendance de l’eau en crête á revenir á l’équilibre sous l’effet de la pesanteur (repos) ; le deuxième terme représente l’effet de la tension qui tend á aplatir cette surface et ainsi á réduire sa courbure. La tension surfacique ne prend de l’importance et a un effet significatif que pour les courtes longueurs d’onde nommées les rides. En effet les 2 termes sont du même ordre de σ σ ⋅ k3 ρ⋅g ⇒ k2 ≈ grandeur quand : g ⋅ k ≈ ⇒ L ≈ 2π ρg σ ρ Cette valeur critique de la longueur d’onde est de 17mm pour l’eau á 200C

[σ = 0,073 N / m , ρ = 10 Kg / m ] 3

3

.

On peut maintenant classer les ondes : • Les rides : les ondes plus courtes que la valeur critique rendent la surface plus courbe et la tension superficielle est alors dominante : 1 ⎧ 2 1 ⎛ ⎞ ω σ ⋅ k 2πσ ⎪c = # ⎜ = ⎟ 3 ⎛ σ ⋅ k ⎞2 ⎪ ρL k ⎝ ρ ⎠ ⎟ ⇒⎨ ω # ⎜⎜ ⎟ ⎝ ρ ⎠ ⎪ ∂ ω 3 σk 3 = c # ⎪c g = ∂k 2 ρ 2 ⎩ On constate que c g 〉 c les rides (les très courtes longueurs d’onde)

apparaissent se propager individuellement vers l’arrière relativement au paquet d’onde. • Les ondes de gravité en eau profonde : 1 ⎧ 2 ω g ⎛ ⎞ ⎪c = # ⎜ ⎟ = g L ⎪ k ⎝k ⎠ 2π ω # gk ⇒ ⎨ ⎪ ∂ω 1 g 1 # # c ⎪c g = ∂ k 2 k 2 ⎩ E.H.T.P. 9 Equations des ondes en bidimensionnelle et caractéristiques des houles :ondes de surface

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• Les ondes de gravité en eau peu profonde : ⎧α ≡ g h ⎪ :⎨ 1 2 ⎪β ≡ αh 6 ⎩ N.B. : les calculs précédents résultent du D. L. de la tangente hyperbolique selon le cas : alors ⎧si kh 〉〉 1 ⎯⎯ ⎯→ thkh ≈ 1 ⎪ ⎨ π alors 1 2 3 (kh)5 − L ⎪si kh 〈 ⎯⎯⎯→ thkh = kh − (kh ) + 2 3 15 ⎩ ♣ Cinématique de l’onde et les pressions : sans tension superficielle On établit que le potentiel de vitesse (en linéaire), pour une onde ⎛ 1 ⎞ kh 〈〈 1 ⇒ ω2 # g h k 2 ⎜1 − h2k 2 ⎟ ⇒ ω ≈ αk − β k 3 ⎝ 3 ⎠

progressive dont le profil de la surface libre est η ≡ donné par : Φ (x, z, t ) =

gH 2ω

⋅

ch k (z + h ) ch kh

H 2

cos (k x − ω t ) , est

⋅ sin(k x − ω t ) on déduit alors le

champ de vitesse en théorie linéaire : ⎧ ∂ Φ ⎛ π H ⎞⎛ ch k (z + h) ⎞ ⎟⎜ ⎟ cos(k x − ω t ) =⎜ ⎪u(x, z, t ) = ∂ x ⎜⎝ T ⎟⎠⎜⎝ sh kh ⎟⎠ ⎪ ⎨ ⎪v (x, z, t ) = ∂ Φ = ⎛⎜ π H ⎞⎟⎛⎜ sh k (z + h) ⎞⎟ sin(k x − ω t ) ⎪ ∂ y ⎜⎝ T ⎟⎠⎜⎝ sh kh ⎟⎠ ⎩ On observe que la vitesse résulte de 3 termes : πH • Une vitesse surfacique des particules fluides . Proche du fond z = −h la vitesse maximale en théorie linéaire hors de la couche limite est donnée par πH alors que l’excursion maximale des particules u0 = T ⋅ sh kh H H fluides proche du fond est donnée par A δ = δ = . 2 2 ⋅ sh kh • Un terme hyperbolique définissant la décroissance de la vitesse en fonction de la profondeur relative. • Un terme de phase en fonction de la position x et du temps t. Calculons maintenant les accélérations en théorie linéaire : ∂u ∂u ∂ u ∂ u ⎛⎜ 2π 2 H ⎞⎟⎛ ch k (z + h) ⎞ ⎜ ⎟ sin(k x − ω t ) ax = +u +v ≅ = ∂t ∂x ∂ y ∂ t ⎜⎝ T 2 ⎟⎠⎜⎝ sh kh ⎟⎠ ay =

∂v ∂v ∂ v ∂ v ⎛⎜ 2π 2 H +u +v ≅ = − ∂t ∂x ∂ y ∂ t ⎜⎝ T2

⎞⎛ sh k (z + h) ⎞ ⎟⎜⎜ ⎟⎟ cos(k x − ω t ) ⎟ sh kh ⎠ ⎠⎝

E.H.T.P. 10 Equations des ondes en bidimensionnelle et caractéristiques des houles :ondes de surface

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N. B. : On observe qu’entre l’accélération et la vitesse existe un déphasage : a x , a y / (u, v ) = 90 0 . Le mouvement des particules fluides

(

)

autour de leur position au repos, c’est position moyenne, se calcule par : ⎫ D ξ ∂ ξ ⎛⎜ 2π 2 H ⎞⎟⎛ ch k (z + h) ⎞ ( ) ⎟ ⎜ − ω u= ≅ =⎜ sin k x t ⎪ D t ∂ t ⎝ T 2 ⎟⎠⎜⎝ sh kh ⎟⎠ ⎪ ⎬⇒ 2 ⎞ ⎛ D ε ∂ ε ⎜ 2π H ⎟⎛ sh k (z + h) ⎞ ⎪ ( ) ⎟ ⎜ − ω ≅ = ⎜− v= cos k x t ⎟ ⎜ ⎪ Dt ∂t ⎝ T 2 ⎟⎠⎝ sh kh ⎠ ⎭ H ⎛ ch k (z + h) ⎞ ⎟ sin(k x − ω t ) ξ = ∫ udt = ⎜⎜ 2 ⎝ sh kh ⎟⎠ ε = ∫ vdt = −

H ⎛ sh k (z + h) ⎞ ⎜ ⎟ cos(k x − ω t ) 2 ⎜⎝ sh kh ⎟⎠

L’orbite des particules fluides est donnée par :

ξ2 2

+

ε2 2

=1

a b H ⎛ ch k (z + h) ⎞ H ⎛ sh k (z + h) ⎞ ⎟⎟ et b = ⎜⎜ ⎟ où on a posé : a = ⎜⎜ 2 ⎝ sh kh ⎠ 2 ⎝ sh kh ⎟⎠ H Ce sont donc des ellipses. On constate que est le rayon des orbites 2 des particules en surface en eau profonde. Quand l’onde des eaux profondes vers les eaux peu profondes [en passant par les eaux intermédiaires] les orbites subissent les transformations suivantes : 0,5 H

•

≅e

kz

L 2

•

M eau profonde

eau faible profondeur

⎛ ch k (z + h) ⎞ ⎛ sh k (z + h) ⎞ ⎟⎟ ≅ ⎜⎜ ⎟⎟ ≅ ekz ↓ quand z ↑ Eau profonde : ⎜⎜ ⎝ sh kh ⎠ ⎝ sh kh ⎠ ⎛ ch k (z + h) ⎞ 1 ⎛ sh k (z + h) ⎞ ⎛ z⎞ ⎟⎟ ≅ Eau peu profonde : ⎜⎜ ⎟⎟ ≅ ⎜1 + ⎟ et ⎜⎜ ⎝ sh kh ⎠ kh ⎝ sh kh ⎠ ⎝ h ⎠ Calculons les vitesses en eau peu profonde : πH ⎛ z⎞ H g u(x, z, t ) = cos(k x − ω t ) & v (x, z, t ) = ⎜1 + ⎟ sin(k x − ω t ) 2 h T ⎝ h⎠ On peut également déterminer les déplacements comme avant. E.H.T.P. 11 Equations des ondes en bidimensionnelle et caractéristiques des houles :ondes de surface

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Reportons notre solution Φ dans le théorème de Bernoulli – Lagrange on obtient alors le profil de pression : ρgH ch k (h + z ) p = −ρgz + cos(kx − ω t ) 2 ch kh pression statique

pression dynamique due à l’accélération verticale (régime non permanent)

S.W.L.

(

ρgHchk h + z

)

2chkh

− ρgz

Surpressions et sous – pressions sont donc p

z=±

H

= en surface = ±ρg

2

H 2

et p z = −h = sur le fond = ±

ρgH 2ch kh

4 ) Energie de l’onde et Puissance : L’énergie cinétique par unité de largueur et pour une longueur d’onde est ρgH2L L 0 1 2 2 E c = ∫0 ∫− h ρdxdz u + v ⇒ E c = 16 2 Si nous retranchons l’énergie potentielle d’une masse au repos de l’énergie potentielle totale du volume ondulé (c – à – d avec surface déformée) {voir figure} on obtient l’énergie potentielle due seulement à l’onde en propagation ; ainsi l’énergie potentielle par unité de largueur et ⎛h + η⎞ ⎛h⎞ pour une longueur d’onde est : Ep = ∫0L ρg(h + η)⎜ ⎟dx − ρgL⎜ ⎟ ⇒ ⎝ 2 ⎠ ⎝2⎠

(

)

η

Ep =

ρgH L 16 2

z

x

v dz

u

dx

h

L

E.H.T.P. 12 Equations des ondes en bidimensionnelle et caractéristiques des houles :ondes de surface

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On constate équipartition d’énergie : Ep =

ρgH2L = E c . L’énergie totale 16

ρ g H2 L unité est donc : E = E c + Ep = ←⎯ ⎯→(Joule / mètre de l argeur ) 8 Prenons, par exemple, une onde qui se propage à travers d’une structure poreuse et supposons que la profondeur est la même des 2 cotés de l’ouvrage alors on aura la même longueur d’onde de chaque gT 2 ⎛ 2πh ⎞ th⎜ coté car L = ⎟ ; par conséquent on aura une réduction en 2π ⎝ L ⎠ amplitude car la structure induit la réflexion d’une partie de l’énergie incidente et une autre partie dissipée dans l’ouvrage poreux : d’après le principe de conservation d’énergie on a :

ρ g HΙ2 L ρ g HR2 L ρ g H2T L E= = + + E dissipée 8 8 8 ρ g HΙ2 L ρ g HR2 L ρ g H2T L − − E dissipée = 8 8 8 2 2 2 ρ g HΙ L ⎡ HR HT ⎤ E dissipée = ⎢1 − 2 − 2 ⎥ 8 ⎣ HΙ H Ι ⎦

or par définition les coefficients de réflexion et de transmission (dont le carré sont les facteurs associés) sont respectivement : ∗

alors

∗

⎛ H ⎞⎛ H ⎞ ⎛ H ⎞⎛ H ⎞ H H R ≡ R = ⎜⎜ R ⎟⎟⎜⎜ R ⎟⎟ et T ≡ T = ⎜⎜ T ⎟⎟⎜⎜ T ⎟⎟ HΙ HΙ ⎝ HΙ ⎠⎝ HΙ ⎠ ⎝ HΙ ⎠⎝ HΙ ⎠ ρ g H2Ι L 2 2 E dissipée = E 1 − R − T où E = 8

[

]

On définit le coefficient d’absorption par : A = 1 − R 2 − T 2

de sorte

que E dissipée = E A 2 il en résulte l’égalité : R 2 + T 2 + A 2 = 1 Une réduction de ~50% de l’énergie correspond á une réduction de l’amplitude de ~71% car E ∝ H2 . On peut facilement atteindre le

E.H.T.P. 13 Equations des ondes en bidimensionnelle et caractéristiques des houles :ondes de surface

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coefficient de réflexion R et de transmission T expérimentalement et on en déduit par conséquent le coefficient d’absorption A de l’ouvrage . L’énergie étant variable d’un point á un autre sur une longueur d’onde on parle alors de l’énergie moyenne par unité de surface : E E c + Ep ρ g H2 unité E= = = ←⎯ ⎯ ⎯→(Joule / surface horizontale ) L L 8 qui représente la densité d’énergie ou l’énergie spécifique. N.B. : réflexion d’onde par un absorbeur d’onde vertical Par Madsen [J. WaterWays3(74) et Coastal Engineering7(83) ] ar

ai

at monticule de gravats

h

x w L’équation qui gouverne l’écoulement hors de la structure poreuse est : ig g ω2 ξ xx + ξ = ξ xx + k 2 ξ = 0 et U(x, t ) = ξ x = m ξ ⋅ ω h gh Les équations qui gouvernent l’écoulement dans l’absorbeur sont : • nξ t + hUx = 0 ↔ conservation de la masse 1 Ut + gξ x + U(α + β U ) = 0 ↔ conservation de la quantité de mouvement n où α et β tiennent compte respectivement de la perte par frottement en régime laminaire et turbulent et n la porosité de la structure. On pose : (α + β U ) ⋅ U ≈ f ⋅ ω U linéarisation du frottement (approximation) n On cherche des solutions périodiques de fréquence ω de la forme : •

[

ξ = Re η(x )e

iωt

] et U = Re[v(x)e ] iωt

En les reportant dans les équations du mouvement et en éliminant U on ω2 (1 − if )η = 0 et v = − gn 1 ηx obtient : η xx + ω f +i gh La solution générale, donnée par Madsen et White (1976) pour un écoulement dans une structure poreuse, est :

E.H.T.P. 14 Equations des ondes en bidimensionnelle et caractéristiques des houles :ondes de surface

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(

)

(

)

n ⎧ ξ = Re⎧⎨ a1e −iκx + a 2 eiκx eiωt ⎫⎬ :0 ≤ x ≤ w ε = ⎪ ⎭ ⎩ 1 − if ⎪ où ⎨ ⎧ ⎫ g ⎪κ = ω 1 − if ⋅ ε ⋅ eiωt ⎬ : 0 ≤ x ≤ w U = Re⎨ a1e −iκx − a 2 eiκx ⎪⎩ gh h ⎩ ⎭ A l’extérieur de la structure poreuse SWW équations donnent : ⎧⎪ ⎪ i ωt − kx ) i ωt + kx ) ⎞ ⎫ ξ = Re⎨⎛⎜ ai e ( + ar e ( :x ≤ 0 ⎟ ⎬ ⎠ ⎪⎭ ⎪⎩⎝ ω où k = gh ⎫ ⎪⎧ g ⎛ i(ωt − kx ) i ωt + kx ) ⎞ ⎪ ⋅ ⎜ ai e − ar e ( : x ≤ 0 U = Re⎨ ⎟ ⎬ ⎠ ⎪⎭ ⎪⎩ h ⎝ ai & ar sont les amplitudes de l’onde incidente et l’onde réfléchie. Nos inconnues sont les amplitudes complexes a1, a 2 & ar . Elles peuvent être déterminées par application des conditions aux limites : au niveau de la face frontale de l’absorbeur et sur le mur vertical en arrière. L’amplitude a 2 peut être éliminée en utilisant le faite que la vitesse est nulle au mur (x = w ) alors :

a 2 = a1e

−2 i κ x

Les amplitudes a1 & ar sont déterminées en admettant la continuité de la pression (donc de l’élévation de la surface libre) et la continuité de la masse ( donc de la vitesse) à la face frontale de l’absorbeur (x = 0 ) on ai + ar = ar 1 + e − 2ikw ⎫⎪ ar ( 1 − ε ) + (1 + ε ) e − 2ikw = obtient ainsi : ⎬⇒ − 2ikw ⎪ a (1 + ε ) + (1 + ε ) e − 2ikw i ai − ar = ε a t 1 − e ⎭ a Le coefficient de réflexion est donné par : R = r = R(f , n , kw ) ai

(

)

(

)

R 1 f ~ 10

n ~ 0,5 0,5

n ~ 0,95

kw 1

2

3

6

ar 1 − ε = et pas d’oscillation de R. kw → ∞ ai 1+ ε

Pour un absorbeur long on a : Limite

E.H.T.P. 15 Equations des ondes en bidimensionnelle et caractéristiques des houles :ondes de surface

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On note que l’absorbeur amortie fortement les ondes tel que kw est grand c – à – d les courtes longueurs d’onde. Un absorbeur de forte perméabilité n amortie mieux les ondes : faible réflexion. Notons que pour un court absorbeur la réflexion est presque totale. La vitesse d’écoulement dans l’absorbeur est obtenue en déterminant a t par le système et en reportant dans la solution générale ; soit :

⎧ ⎫ iκ x − 2 w ) ⎤ 2ε ⋅ ⎡⎢e −iκx − e ( ⎪ ⎥ g ⎪ ⎣ ⎦ eiωt ⎪⎪ : 0 ≤ x ≤ w U = ai ⋅ ⋅ Re⎨ ⎬ − 2iκx h ⎪ (1 + ε ) + (1 − ε ) e ⎪ ⎪⎩ ⎪⎭ La détermination des coefficients de frottement peut se faire par les 3 ( (1 − n) ν 1 − n) ν formules empiriques d’Engelund : α = α 0 & β = β 0 n3 d n 2 d2 où d la taille des grains, ν la viscosité cinématique et α 0 & β0 sont des constantes qui tiennent de la forme des particules α 0 ~ 1000 & β0 ~ 2,8 et qui augmentent avec l’irrégularité des particules : α 0 ~ 780 − 1500ou plus & β0 ~ 1,8 − 3,6 ou plus ♦ La puissance de l’onde est l’énergie de l’onde par unité de temps se propageant dans la direction de l’onde. Cette puissance peut s’écrire comme le produit de la force agissante sur un plan vertical normal á la direction de propagation par la vitesse des particules fluides traversant 1 0 ce plan. On a donc : P = ∫0T ∫ (p + ρgz ) ⋅ udtdz selon Bernoulli–Lagrange T −h ⎡1 ⎤ E ≡ ∫∫∫ ⎢ Φ 2x + Φ 2y + Φ 2z + gz ⎥ dxdydz = − ∫∫∫ (p + ρΦ t ) dxdydz ⎦ D ⎣2 D d’où on a le flux d’énergie c’est – à – dire la puissance or ‘’ D bouge appliquons le théorème de transport de Reynolds ’’ : DE = ρ ∫∫∫ Φ x Φ xt + Φ y Φ yt + Φ z Φ zt dxdydz − ∫∫ (p + ρΦ t ) ⋅ v n ds P= Dt D (t )

(

)

(

)

→ ⎛ → ⎞ = ρ ∫∫∫ ⎜⎜ gradΦ • grad Φ t ⎟⎟ dxdydz − ∫∫ (p + ρΦ t ) ⋅ v n ds D(t )⎝ ⎠ = ρ ∫∫ Φ t Φ n − ∫∫ (p + ρΦ t ) v n ds ⇒ DE P= = F = ∫∫ [ρΦ t (Φ n − v n ) − pv n ] ds Dt S On signale qu’on a utilisé la formule de Green pour effectuer le calcul r r r r ⎧Ψ → Φ pour nous 2 2 Φ ∇ Ψ + ∇ Φ • ∇ Ψ d τ = Φ ∇ Ψ • nds ←⎯ ⎯ ⎯⎯→⎨ avec∇ Φ ≡ 0 ∫ ∫ S ⎩Φ ⇒ Φ t

(

)

(

)

E.H.T.P. 16 Equations des ondes en bidimensionnelle et caractéristiques des houles :ondes de surface

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Appliquons cela à notre cas: v n = 0 (la surface géométrique S est fixe) ⎧Φ = u(x, z, t ) dE alors P = = ρ ∫∫ Φ t Φ n dS , ρΦ t = −(p + ρgz ) → ⎨ n dt ⎩dS = dz dx Notons que la force mise en jeu est celle dynamique [p + ρgz ] ; en 2 kh ⎞ E ⎡ 1 ⎛ 2 kh ⎞ ⎤ ρgH2L ⎛ ⎜⎜1 + ⎟⎟ = ⎢ ⎜⎜1 + ⎟⎥ effectuant le calcul alors : P = 16T ⎝ sh 2kh ⎠ T ⎣ 2 ⎝ sh 2kh ⎟⎠⎦ Posons :

n=

2k h ⎞ 1⎛ nE ⎜⎜1 + ⎟⎟ on a alors P = 2 ⎝ sh 2k h ⎠ T

ρ g H2 L (Joule / mètre de l arg eur ) avec E = E c + Ep = 8 Quand une onde se propage des eaux profondes [du large] vers les eaux peu profondes [la côte] : l’énergie par unité de temps (la puissance) en un point le long de son chemin de propagation doit être égale á celle

cot e te ⎛ nE ⎞ ⎛ nE ⎞ P=⎜ ⎟ =⎜ ⎟ =C ⎝ T ⎠1 ⎝ T ⎠ 2

1 2 Le l arge

en un autre point plus loin augmentée de l’énergie réfléchie et de celle dissipée par unité de temps entre ces 2 points. Si on néglige la réflexion et la dissipation on peut alors écrire : P = Constante ; donc quand l’onde se propage du large vers la cote son énergie E décroît inversement proportionnel á n car la période T reste constante. Maintenant construisons les orthogonales aux lignes de crête, la puissance contenue entre 2 orthogonales consécutives doit être constante si on néglige bien entendu la dissipation et la réflexion, on désignera par B leur espacement : T (la période) est constante On définit ainsi les coefficients suivant : plage

breaking B

te ⎛ nE ⎞ ⎛ nE ⎞ ⎜B ⎟ = ⎜B ⎟ =C ⎝ T ⎠1 ⎝ T ⎠ 2 d' où en y reportant E on obtient :

H1 n2L 2 B 2 = H2 n1L1 B1 E.H.T.P. 17 Equations des ondes en bidimensionnelle et caractéristiques des houles :ondes de surface

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K S = coefficient de Shoaling (profondeur )[gonflement ] = K R = coefficient de refraction =

B2 B1

n2L 2 n1L1

:

H1 = K S ⋅ KR H2

Si pas de réfraction alors K R = 1 c’est le cas où les lignes de crêtes sont parallèles aux linges bathymetriques d’égale profondeur. Si on veut tenir compte des pertes par : infiltration, frottement ou déferlement il faut écrire : H1 ⋅ H2−1 = K S ⋅ K R ⋅ K F . ♦Vitesse de groupe : (c,L) (c + dc, L + dL ) x SWL addition c + dc des L + dL cg 2 ondes

train d' ondes : un groupe Quand les ondes du train d’onde se propagent le long d’un canal á houle les ondes au devant du groupe diminuent en amplitude et de nouveaux ondes apparaissent en arrière, de ce fait le nombre d’onde augmente. Ce qui signifie que le groupe se propage plus lentement que les composantes individuelles du paquet. L’explication de ce phénomène se trouve dans la façon dont une onde se propage et que seulement une fraction (n) de son énergie qui se transport avec. Chaque onde laisse de l’énergie derrière elle, relativement au groupe, une nouvelle onde apparaît chaque T secondes et gagne progressivement de l’énergie dans le temps. Comme l’énergie dans le groupe doit rester constante [en négligeant la réflexion et la dissipation] l’amplitude moyenne du groupe (enveloppe) doit continuer á diminuer car le nombre d’onde augmente avec le temps. Une conséquence et une application pratique de la notion de vitesse de groupe [á moins qu’on ne s’intéresse á chaque onde caractérisée par sa célérité] est de prévoir le temps l’arrivé du paquet d’onde en un point donné en utilisant la vitesse du groupe. Pour déterminer la vitesse du groupe prenons le cas de 2 ondes monochromatiques de période dL , différentes (voir figure) : pour parcourir dL , il faut dt avec dt = dc pendant dt le train d’onde avance de dx : E.H.T.P. 18 Equations des ondes en bidimensionnelle et caractéristiques des houles :ondes de surface

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(L + dL ) + L ≈ cdt − L car x = c ⋅ t − x alors ⎡ (c + dc ) + c ⎤ dx = ⎢ dt − g 0 ⎥ 2 2 ⎣ ⎦ dx cdt − L L⎫ cg = = =c− ⎪ dc dt dt dt ⎪ ⎬ ⇒ cg = c − L dL dL ⎪ dt = ⎪⎭ dc On observe que c’est du fait que c est variable avec L que le paquet d’onde possède une célérité de groupe différente de la vitesse de phase de chacune des composantes. 2k h ⎞ 1⎛ c⎛ 2k h ⎞ ⎟ : ⎟⎟ = n ⋅ c avec n = ⎜⎜1 + On obtient alors c g = ⎜⎜1 + 2 ⎝ sh 2k h ⎟⎠ 2 ⎝ sh 2k h ⎠ • n = 0,5 en eau profonde 0,5 ≤ n ≤ 1 avec • n = 1 en eau peu profonde Ainsi l’énergie du groupe se propage á vitesse du groupe. Autre méthode : notion de vitesse de groupe On peut comprendre plus clairement cette notion de vitesse de groupe en superposant deux ondes monochromatiques de même amplitude mais de fréquence très voisine (ω , k ) et (ω + δω , k + δk ) : η = a sin[kx − ω t ] + a sin[(k + δk )x − (ω + δω)t ]

⎡⎛ 1 ⎞ 1 ⎞ ⎤ 1 ⎛ ⎡1 ⎤ η = 2a sin⎢⎜ k + δk ⎟ x − ⎜ ω + δω ⎟ t ⎥ cos ⎢ δk ⋅ x − δω ⋅ t ⎥ 2 ⎠ 2 ⎠ ⎦ 2 ⎝ ⎣2 ⎦ ⎣⎝ b

2π 4π = 1 δk δk 2 Ainsi l’enveloppe [l’amplitude du groupe] se propage avec la célérité : ⎛ ∂ ω⎞ δω ⎛ ∂ ω ⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ soit c g ≡ ⎜⎜ = ⎜⎜ limite ∂ k δ k →0 δk ⎝ ∂ k ⎠ ⎝ ⎠ á t fixe :

2π 2π ~ k + δk k

b

〈〈

∂c ∂ ω ∂ kc ∂c ∂c ∂L = c −L = =c +k =c +k ∂L ∂k ∂L ∂k ∂k ∂k c’est ce résultat qu’on a établit précédemment. On peut retrouver ce résultat par une approche plus élégante en calculons le flux d’énergie F pendant un temps T qui traverse une surface S fixe dans l’espace : t+T ⎛ ∂ Φn ⎞ F = ρ ∫ ⎜⎜ ∫∫ Φ t d s ⎟⎟ d t ∂n t ⎝S ⎠

Soit

cg =

E.H.T.P. 19 Equations des ondes en bidimensionnelle et caractéristiques des houles :ondes de surface

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En supposant que le mouvement est la superposition de 2 ondes harmoniques dans le temps, soit : Φ (x, y, z, t ) = ϕ1(x, y, z ) cos ω t + ϕ 2 (x, y, z ) sin ω t introduisons cette solution dans l’expression du flux d’énergie qui 2π (T étant la période d’oscillation) on obtient : traverse S avec ω = T ⎛ ∂ ϕ2 ⎞ ∂ ϕ1 ⎟ ds − ϕ1 F = ρπ ∫∫ ⎜⎜ ϕ2 ∂ n ⎟⎠ ∂n S⎝ ainsi le flux d’énergie est nul si le mouvement est stationnaire : ce qui n’est pas surprenons car le transfert d’énergie n’aura lieu que si le mouvement est progressif. Maintenant si ϕ1 et ϕ2 sont harmonique et si la surface S est fermée fixe dans le fluide qui enveloppe un domaine D, la formule de Green nous donne : ⎛ ∂ ϕ2 ⎞ ∂ ϕ1 ⎟⎟ d s = ∫∫∫ ϕ2∇ 2 ϕ1 − ϕ2∇ 2 ϕ1 dxdydz − ϕ1 F = ρπ ∫∫ ⎜⎜ ϕ2 ∂n ⎠ ∂n S⎝ D Si ϕ1 et ϕ2 n’ont pas de singularités dans D (sources où puits) alors le flux d’énergie est nul car ϕ1 et ϕ2 sont harmoniques. Calculons dans le cas d’une onde progressive la vitesse avec laquelle le plus d’énergie se propage ; prenons alors φ = Achk (z + h) cos(kx + ωt + α ) alors :

(

t+

t+T ⎛

2π ω

(

)

)

∂ Φn ⎞ F = ρ ∫ ⎜⎜ ∫∫ Φ t d s ⎟⎟ d t = A 2ρωk ∫ ∫−ηh~ 0 ch2k (z + h)dz sin2 (kx + ωt ) dt ∂n t ⎝S t ⎠ ainsi le flux d’énergie moyen par unité de temps est : F A 2ρωkh ⎛ sh 2kh ⎞ ⎜⎜1 + ⎟⎟ Fav. = = T 4 2 k h ⎝ ⎠ ω F A 2ρω2 2 comme on a ω = gk ⋅ thkh et c = alors Fav. = = ch kh . c g k T 2g 1 ⎛ 2k h ⎞ ⎟ où c g a les dimensions d’une vitesse donnée par : c g = c ⎜⎜1 + 2 ⎝ sh2kh ⎟⎠ Calculons maintenant l’énergie moyenne stockée dans l’eau due au mouvement ondulatoire par rapport à la direction de propagation. Nous avons vu que l’énergie stockée dans D est donnée par : ⎡1 ⎤ E ≡ ∫∫∫ ⎢ Φ 2x + Φ 2y + Φ 2z + gz ⎥ dxdydz ⎦ D ⎣2 Calculons cette énergie pour une largeur unité sur une longueur d’onde à n’importe quel instant : 2

(

)

E.H.T.P. 20 Equations des ondes en bidimensionnelle et caractéristiques des houles :ondes de surface

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⎡1 E − E 0 = k 2 ω ∫−ηh ∫0L ⎢ A 2 sh2k (z + h) cos 2 (k x + ω t + α ) + ⎣2 1 2 2 ⎤ A ch k (z + h) sin2 (k x + ω t + α )⎥ dxdz 2 ⎦ + ρ ∫−ηh ∫0L gz ⋅ dxdz où E 0 est l’énergie potentielle de l’eau de profondeur h quand elle est au repos. En négligeant les termes d’ordre élevé en amplitude, nous obtenons ainsi l’énergie due uniquement à la propagation d’onde progressive entre 2 plans distants d’une longueur d’onde L : A 2ρω2 E − E0 = ⋅ Lch 2kh 2g ainsi l’énergie moyenne E av. dans le fluide par unité de longueur dans la direction de propagation x qui résulte du mouvement ondulatoire de l’eau A 2ρω2 ⋅ ch2kh est donnée par : E av = 2g Nous constatons alors que : ⎧Fav flux d' énergie par unité de temps ⎪ à travers un plan vertical ⎪ avec Fav = E av ⋅ c g ⎯⎯⎯→⎨ ⎪E av énergie moyenne par unité de temps ⎪⎩ dans la direction de propagatio n Ainsi sous l’hypothèse que pas d’énergie crée ou détruite dans le fluide, celle – ci est transmise dans la direction de propagation de l’onde à la vitesse de groupe c g . • Relation de dispersion des ondes á l’interface de 2 couches d’un fluide de masse volumique différente : ondes internes z

air η

h / et ρ / x

ρ 〉 ρ/

h et ρ On cherche des solutions pour les 2 couches de fluide sous la forme : Φ = A chk (z + h) cos(k x − ω t )

(

)

Φ / = B chk z − h / cos(k x − ω t )

E.H.T.P. 21 Equations des ondes en bidimensionnelle et caractéristiques des houles :ondes de surface

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Au niveau de l’interface entre les 2 fluides la pression [dynamique] et la vitesse doivent être continues; il en résulte d’après la continuité de la pression que : / ⎛ / ∂ Φ/ ∂Φ 1 ∂ Φ ⎞⎟ / / ∂Φ ⎜ρ ρgη + ρ = ρ gη + ρ ⇒ η= − ρ ⎟⇒ ⎜ / ∂t ∂t ∂ t ∂ t ⎠ gρ−ρ ⎝

(

1 ∂η = ∂t g ρ − ρ/

(

)

)

⎛ / ∂ 2Φ / ∂ 2 Φ ⎞⎟ ⎜ρ −ρ ⎜ ∂ t2 ∂ t 2 ⎟⎠ ⎝

Alors que la continuité de la vitesse est : ∂ Φ ∂ Φ/ ∂ Φ Dη ∂ η = mais comme par définition v = on obtient : ≈ = ∂z ∂z Dt ∂t ∂z

(

g ρ − ρ/

) ∂∂Φz = ρ

/

∂ 2Φ /

−ρ

∂ 2Φ

∂ t2 ∂ t2 En y reportant nos 2 solutions on obtient un système en A et B, qui a une solution non triviale quand son déterminant est nul alors on a : ω = 2

(

g k ρ − ρ/

)

(

2

ρ coth kh + ρ / coth kh /

)

g ρ − ρ/ ⎛ ω⎞ ⇔ c =⎜ ⎟ = k ρ coth kh + ρ / coth kh / ⎝k⎠ 2

Note : si nous avons tenu compte de la capillarité σ pour les ondes internes courtes on aura comme relation de dispersion :

(

)

(

2

gk ρ − ρ / + k 3 σ

)

g g k ρ − ρ / + kσ ⎛ ω⎞ ⇔c =⎜ ⎟ = ω = k ρ coth kh + ρ / coth kh / ρ coth kh + ρ / coth kh / ⎝k⎠ N.B. : • Si kh 〉〉 1 et kh / 〉〉 1 c’est – á – dire en eau profonde on a alors : 2

2

ω = gk 2

ρ − ρ/

g ρ − ρ/ c = k ρ + ρ/ 2

ρ + ρ/

tout se passe comme si le fluide supérieur réduit g à g = g /

ρ − ρ/ ρ + ρ/

car

g en eau profonde. k On remarque que si ρ / 〉 ρ c –à – d que le fluide supérieur a une densité plus grande ω devient imaginaire : il y a donc instabilité. • Si kh 〈〈 1 et kh / 〈〈 1 c’est – á – dire en eau peu profonde on a alors : pour un fluide homogène on a c 2 =

ω2 = k 2

(

)

g ρ − ρ/ k h/ ρh / + ρ / h

E.H.T.P. 22 Equations des ondes en bidimensionnelle et caractéristiques des houles :ondes de surface

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ρ − ρ/ • Si kh 〉 1 et kh / 〈〈 1 on a alors : ω2 = k 2 g h / ρ ≈ Pour ce qui est de l’étude dynamique et cinématique des ondes internes voir le chapitre sur l’océanographie physique. 5) Transport de masse et projection d’eau sur le rivage (wave setup): La théorie de faible amplitude (linéaire) prévoit pour les particules fluides des trajectoires fermées, ainsi il en résulte qu’il n’y a pas de transport de masse. Cependant dans la réalité et surtout en eau peu profonde on observe un transport de masse qui résulte du fait que les trajectoires des particules fluides ne sont pas fermées donc les particules avance pendant le parcourt de chaque orbite : la vitesse de transport augmente quand la profondeur relative diminue. La vitesse de transport massique est plus faible que la vitesse des particules mais significative pour induire une remontée d’eau le long du rivage et contribuer par conséquence largement au transport des sédiments vers large proche du fond (par le courant de retour) après leur mise en suspension par la turbulence car le déferlement projette d’eau vers la côte dans une couche de surface et S ww

vertical

Hb SWL

zone de lavage (Wash zone)

courant de retour comme on a conservation de la masse il en résulte un courant de retour. En se basant sur des études expérimentales en laboratoire Saville (1961) pour des ondes déferlantes sur une plage a établit une équation donnant la remontée d’eau sur le plage (wave setup at the shore) S ww qui a été proposée ultérieurement (1973) par U. S. Army Coastal Engineering Research Center. Si Hb est l’amplitude au déferlement dans la zone du ressac (c’est un retour violant des vagues)(surf zone) : ⎧⎪ Hb ⎫⎪ S ww = 0,19 ⋅ ⎨ 1 − 2,82 ⎬ ⋅ Hb ⎪⎩ gT 2 ⎪⎭ Pratiquement l’onde se projette en moyenne sur 15% de Hb . On présentera une modélisation mathématique de ce genre de problème pour déterminer la descente (wave setdown) et la remontée d’eau (wave setup) sur un rivage et la courantologie (transport de masse induit par la houle : circulation côtière à l’échelle de la houle), ce qui permettra une meilleur représentation de la courantologie marine et une bonne modélisation du transport de sédiments et une étude de la dynamique de E.H.T.P. 23 Equations des ondes en bidimensionnelle et caractéristiques des houles :ondes de surface

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la géomorphologie des cotes sableuses . A ce niveau on tient à signaler que les effets non linéaires sont responsables de l’excitation d’harmoniques (de faibles périodes) qui modulent le profil de la surface libre ainsi que le champ de vitesse qui en résulte auquel s’ajoute la réflexion induite au moins par la pente du fond : ce qui module globalement la morphologie et installe une barre sous – marine qui constitue une protection naturelle de la cote (il se peut qu’il s’excite également des ondes de coin \\ adge waves // dont l’amplitude décroît exponentiellement vers le large : ce qui modifie également la courantologie du littoral. Des ondes d’incidence normale à la côte qui sont fortement réfléchies par la ligne du rivage sont instables à la perturbation induite due aux ondes de coin. Ces ondes de coin extraient leur énergie de l’onde incidente ω par le billet d’interactions non – linéaires (Galvin 1965,Guza et Inman 1975) le potentiel de vitesse de cette onde subharmonique est : ω ⎧ Ag −k e x ⎪ωe = 2 e cos k e y sin(ωe t + θ) avec : ⎨ Φe = ωe ⎪ω2 = g k tgβ e ⎩ e x

β

y Les valeurs successives d’uprushes donnent une valeur approximative ⎛ R − R1 ⎞ A ≈⎜ 2 de l’amplitude : ⎟ ⋅ tgβ 2 ⎝ ⎠ où R1 et R 2 sont les intrusions (horizontales) successives et maximales de l’onde incidente sur le rivage (voir complément vers la fin de ce chapitre). 6) Réflexion d’onde : Clapotis Quand une onde rencontre un changement dans les conditions limites (comme un changement de profondeur d’eau, une convergence ou une divergence dans un canal à houle, un obstacle submergé ou flottant à la surface libre, un mur verticale ou en talus …) il en résulte une réflexion partielle ou totale de l’énergie incidente. On superpose 2 houles sinusoïdales progressives de même caractéristiques mais qui se propagent en sens inverse, on obtient le ‘’Clapotis’’ qui est une onde stationnaire. Prenons le cas obstacle vertical inélastique et lisse (pas de frottement) : l’onde incidente sera alors complètement réfléchie c’est – à – dire l’amplitude réfléchie est égale à celle incidente : la superposition de ces 2 ondes donne une onde purement stationnaire avec bien entendu des nœuds parfaits et des E.H.T.P. 24 Equations des ondes en bidimensionnelle et caractéristiques des houles :ondes de surface

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ventres maximaux. On démontre qu’aux nœuds l’enveloppe a (1 − R ) ⋅ HΙ ER HR = est le coefficient de réflexion. EΙ HΙ Les orbites en réflexion totale sont aplaties avec un retour sur la même trajectoire courbe. Les trajectoires sont verticales sous les ventres et horizontales sous les nœuds. L’ondulation de la surface libre résulte de la superposition des 2 ondes incidente et réfléchie (on a le droit d’utiliser le théorème de superposition car on étudie les ondes linéaires) : H H η(x, t ) = cos(k x − ω t ) + cos(k x + ω t ) = H cos k x ⋅ cos ω t 2 2 L’amplitude de l’onde stationnaire est le double de celle incidente : 2 H . On verra que ceci se traduit par une surpression sur l’ouvrage: c’est pour cela qu’on construit plus des ouvrages qui ont un faible coefficient de réflexion (en talus) et qui dissipent mieux l’énergie incidente (poreux : utilisation des blocs pour revêtir la carapace avec distribution appropriée à cet effet …).

et aux ventres (1 + R ) ⋅ HΙ où R =

ventre

nœud

z

x

Enveloppe de la surface : onde stationaire pure ↔ R = ventre → A ∝ (1 + R ) HΙ

HR =1 HΙ

nœud → A ∝ (1 − R ) HΙ

Enveloppe de la surface : onde partiellem ent stationaire ↔ R =

HR HΙ

〈1

E.H.T.P. 25 Equations des ondes en bidimensionnelle et caractéristiques des houles :ondes de surface

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Remarque : Formule de Healy ‘’ technique expérimentale ’’ La mesure par une sonde linéaire c’est – à – dire dont la réponse est proportionnelle à l’oscillation de la surface libre nous permet de déterminer expérimentalement le coefficient de réflexion R car : A ventre = (1 + R ) HΙ ⎫ 1+ R 1 − TOS ⇒R= ⎬ ⇒ T.O.S.(Taux Of Stationary wave ) = 1− R 1 + TOS A nœud = (1 − R ) HΙ ⎭ La mesure de TOS (en déterminant l’enveloppe de l’onde) permet donc de déterminer le coefficient de réflexion de l’obstacle : Formule de Healy De manière similaire on détermine le potentiel de vitesse de l’onde résultante par la superposition du potentiel incident et réfléchie : ⎧R = 1 g H ch k (z + h) ⎪ Φ (x, z, t ) = − ⋅ ⋅ cos(k x ) sin( ω t ) si ⎨ H ω ch kh ⎪⎩ηΙ (x, t ) = 2 cos(k x − ω t )

La fonction de courant est : Ψ (x, z, t ) =

gH ω

sh k (z + h )

⋅

ch kh

⋅ sin(k x ) sin( ω t )

En déduit alors de l’équation linéarisée de pression que : ch kh(h + z ) p = −ρgz + ρgH cos(k x ) cos(ω t ) ch kh pression statique

pression dynamique due à l’accélération verticale (régime non permanent)

On peut ainsi déterminer le profil de pression au mur parfaitement réfléchissant R = 1 (qui est un ventre en x = 0 ). Dans la réaliser du faite que le mur est rugueux on a une dissipation d’énergie (même faible) qui donne un coefficient de réflexion plus petit que 1 : l’amplitude de l’onde réfléchie est légèrement inférieure à celle incidente. Connaissant le potentiel de vitesse 2D on peut en déduire le champ des → r ∂Φ r ∂Φ r vitesses par : v = grad Φ = i+ k ∂x ∂z Clapotis gaufrée : Une houle se propageant dans une direction faisant un angle (π + α ) H avec Ox sur un mur est : η1 = cos[ω t + k (x ⋅ cos α + y ⋅ sin α )] 2 une réflexion sur la paroi Oy provoque une houle se propageant dans la H direction − α , soit : η2 = cos[ω t − k (x ⋅ cos α − y ⋅ sin α )] 2 y incidente

α x

α réfléchie E.H.T.P. 26 Equations des ondes en bidimensionnelle et caractéristiques des houles :ondes de surface

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Leur somme est η = η1 + η2 = H ⋅ cos(ω t + k y sin α ) cos(k x cos α ) Il y a donc des maxima et des annulations d’amplitude sur des parallèles π à Oy : k x cos α = nπ et k x cos α = (2n + 1) respectivement. Il y a une 2 ligne de nœuds et de ventres mais il n’y a pas simultanément un maximum ou une annulation ; ceux – ci se propage parallèlement à Oy à c la célérité (vers Oy négatif si α est positif). sin α Réflexion normale sur un talus :

β

h b

Pour les houles de faible cambrure, il est constaté que la réflexion était à b 1 peu prés totale pour 〈 . Quand la pente du talus devient plus faible, il L 4 se produit un déferlement qui dissipe une part appréciable de l’énergie incidente et l’énergie réfléchie est proportionnelle au carré de l’amplitude b 1 b 3 est voisin de 0,1 quand = alors que lorsque = l’énergie réfléchie L 2 L 4 n’est que de 0,04 à 0,05 celle incidente. Pour les houles de cambrure plus grande, l’énergie de l’onde réfléchie est sensiblement plus faible que celle des houles de cambrure plus faible car les houles de forte cambrure déferle plus facilement. L’Ingénieur espagnol Iribarren propose une formule qui donne la pente minimale de l’obstacle β réfléchissant une houle de période T. Pour des valeurs plus faibles la houle déferle : 2 H β= Iribarren T 2g La cambrure limite que peut avoir la houle sans déferlée sur la pente est 2 β sin2 β ⎛H⎞ = M. Miche ⎜ ⎟ π π ⎝ L ⎠max ainsi plus une houle est longue plus elle se réfléchie facilement sur une pente donnée : En particulier l’onde de marrée se réfléchie sur tous les rivages, même ceux à pente très douce. Ces résultats sont pour un fond lisse et monolithique : la réflexion change avec la rugosité et la porosité du fond et de la pente :

E.H.T.P. 27 Equations des ondes en bidimensionnelle et caractéristiques des houles :ondes de surface

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⎧K ⎪K 2 2β L b sin β H Hb ⎪ si 〈 :R =K⋅ où β en radians ↔ ⎨ 2 L Lb Hb π ⎪K ⎪⎩K

= 1 asphalte, béton plat = 0,9 béton rugueux = 0,6 remblai = 0,5 enrochement artificiel

7) Le déferlement des ondes : Nous avons vue que les particules fluides appartenants à la crête d’une onde ont une vitesse plus faible que la célérité de l’onde. Comme en eau profonde la vitesse des particules en surface est πH donc une augmentation proportionnelle à l’amplitude de l’onde u0 ≈ T de l’amplitude correspond à l’augmentation de la vitesse de ces gT particules qui tendent vers la célérité de l’onde c 0 = ainsi dans cette 2π 2 2 L 1 gT 2π H ⎛H⎞ ⎛u⎞ limite d’onde ⎜ ⎟ = ≈1⇔ H ~ = 0 ⇒ ⎜ ⎟ ~ = 31,8% devient 2 2 π ⎝ c ⎠ 0 gT ⎝ L ⎠0 π 2π instable et déferle. Miche en 1944 avait déterminé les conditions au déferlement sur fond horizontal, il propose : 1 ⎛ 2πh ⎞ h ⎛H⎞ = th⎜ γ c = cambrure critique (ou limite ) = ⎜ ⎟ ⎟ pour : 0,11〈 〈0,36 L ⎝ L ⎠max 7 ⎝ L ⎠

Soit pour 0,066 〈hL−01〈0,35 et si pas de réflexion ni dissipation d’énergie de l’onde on a : γγ 0−1 = thkhb donc c’est les houles de cambrure faible qui gonflent le plus avant de déferler. Ainsi cette formule admet les 2 limites : 1 gT 2 ⎛H⎞ • En eau profonde : ⎜ ⎟ = ≈ 14% ; L 0 = 2π ⎝ L ⎠0 7 1 2πh ⎛H⎞ ⎛H⎞ = 0,9 = ⇒⎜ ⎟ • En eau peu profonde : ⎜ ⎟ ⎝ h ⎠max ⎝ L ⎠max 7 L Miche en 1951 proposait également pour la cambrure limite, en eau profonde sur un fond en pente avec réflexion totale, l’expression :

⎡ 2β ⎤ ⎛H⎞ =⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎝ L ⎠ critique ⎣ π ⎦

0,5

sin2 β π

où

β = pente du fond

Des ondes de types Stockes en mer très profonde : γ L = 0,318 th

2πh L

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On classe le déferlement sur une plage en 3 catégories : • Déversant : apparition d’écume à mi – hauteur. La crête instable s’écoule sur la face avant (le front de l’onde est mousseux). • Plongeant : formation de rouleaux. La crête se courbe et tombe ce qui induit un emprisonnement d’air et un bruit sourd. • Gonflant : crête presque intacte mais pas sa base et le front avant. γ b ~ 1,11

SWL

γ b ~ 0,84

0,5〈 ξ 0 〈3,3

ξ 0 〈0,5

glissant (spilling) ou Deversant

γ b ~ 1,25

plongeant (plunging )

c=

g (h + η)

ξ0 =

ξ 0 〉 3,3 frontal (surging) ou gonflant tgβ = H0 L 0

1 tgβ 2π H0 gT 2

La zone du déferlement en eau peu profonde est caractérisée par une saturation en énergie de la houle. Les mesures tant en laboratoire qu’en nature montre un contrôle de l’amplitude de la houle a par la profondeur locale suivant une relation linéaire : +a

ηmax − ηmin = H = 2 a = γ ⋅ h

h

−a

La constante γ, initialement introduite par Mac Cowan (1891– 94) dans l’étude théorique de l’onde solitaire (γ = 0,78 ) . En eau peu profonde (kh 〈〈 1) Miche (1944) en supposant que l’onde de Stokes (sinusoïdale) déferle sur un fond horizontal quand la vitesse de la particule fluide en crête est égale à sa célérité, il trouva : (γ = 0,88 ) . Comme l’onde de Stokes est symétrique cette valeur représente le déferlement Spilling. Ultérieurement beaucoup d’auteurs [Galvin et Eagleson (1965), Iverson (1962), Sverdrup et Munk (1946) …] proposent la même valeur de γ qui est observée en laboratoire (houle monochromatique). Mais dans l’approche statistique basée sur l’amplitude quadratique moyenne A rms conduit á une valeur de γ sensiblement plus faible : 0,3 〈 γ rms 〈 0,5 Nelson (1983). E.H.T.P. 29 Equations des ondes en bidimensionnelle et caractéristiques des houles :ondes de surface

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Sur un fond de pente β on dispose du critère : tg β ξ = paramétre de similarité de Battjes = ≤ 2,3 H L0

Hb eb

hs

at

hM

g T2 où L 0 = 2π

niveau d' eau au repos

h t = côte du creux

niveau d' eau moyen

a t = distance entre le niveau moyen et le creux h M = côte du niveau moyen

ht

h s = côte du niveau d' eau au repos e b = hM − h s

fond

⎧0,04 pour pente de 0,05 à 0,10 eb hM − h s = = surélévation = ⎨ Galvin Hb Hb ⎩0,08 pour pente de 0,20 h h On va désigner par : hb = hM et βb = βbM = M = b Hb Hb Pour le déferlement sur une plage de pente m Weggel (1972) propose : ζ=

1 ⎞3

Hb H0/

=

F(m) ⎛ H0/ ⎜

1 ⎞3

⎛H F(m) ⎜ b/ ⎟ ⎜H ⎟ ⎝ 0 ⎠ + G(m) où ( ) +Gm = 1

⎛ Hb ⎞ 3 ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜L ⎟ ⎝ L0 ⎠ ⎝ 0⎠ 1 D1(1 + m) − D 2 1,715 − 0,185 e − 28m ( ) D = 0 , 01 + 0 , 5 m 3 • G(m) = 1 où D1 − D 2

(

)

(

• F(m) = D1[1 + m − G(m)]

)

1

D1 = 0,01 − 0,01e − 28m 3

qui est en accord avec les courbes d’Iversen (U. S. Army Coastal Eng.) L’amplitude maximale de la houle au déferlement :

(

) (

⎧a(m) = 23,75 1 − e −19⋅m en s 2 / m H Hb ⎪ où = b(m) − a(m) b2 ⎯⎯→ ⎯ ⎨ 1,56 sans dim. hb gT ⎪b(m) = −19,5⋅m 1 e + ⎩

(

)

)

E.H.T.P. 30 Equations des ondes en bidimensionnelle et caractéristiques des houles :ondes de surface

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Proposition : Pour comprendre la physique du déferlement il est intéressant de se référer à la théorie de Boussineq pour le calcul de la célérité c’est – à⎡ 3 η h2 ∂ 2 η ⎤ gh 2 ≈ gh ⋅ ⎢1 + + c = dire à : 2⎥ η 2 h 3 ∂ 3 η h2 ∂ 2 η x ⎣ ⎦ − 1− 2 2 h 3η ∂ x qu’il faut comparer à la vitesse des particules fluides en crête de d’onde en théorie non – linéaire (Stokes 2e ordre) : critère cinématique. Nous conseillons pour prévoir les meilleurs conditions de déferlement d’utiliser les figures (7 – 1 et 7 – 2 ) qui sont basées sur des résultats expérimentaux. Selon Kana (1979) on a : ⎧Spilling brea kers : γ = 0,55 − 0,65 ⎪ ⎨Transition al brea kers : γ = 0,65 − 0,75 ⎪Plunging brea kers : γ = 0,75 − 0,90 ⎩ En se basant sur des résultats expérimentaux de laboratoire Weggel H 1,56 43,8 (1972) propose : γ = − 1 − e −19⋅thβ b L0 2π 1 + e −19,5⋅thβ

(

(

)

)

En se donnant la profondeur d’eau et la pente de la plage : l’amplitude de l’onde au déferlement Hb se calcule par Fig(7 – 1) alors que la profondeur au déferlement hb = db par la Fig(7 – 2). On signale que si l’onde se réfracte sur la pente de la plage, l’amplitude d’une onde hypothétique non – réfractée est évaluée par : H0/ = K R ⋅ H0 Munk a montré en 1949 que les conditions de déferlement sont liées à la H 1 cambrure en eau profonde : b/ = . 13 H0 ⎡ H0/ ⎤ 3,3 ⎢ ⎥ ⎣⎢ L 0 ⎦⎥ Quelle est la forme limite en surface de la houle irrotationnelle en profondeur d’eau infinie ? : Stokes 1880

vr

r eθ

O

vr

r er r g

θ

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A mesure que l’amplitude d’une vague croît, les crêtes deviennent de plus en plus aigues. Donnons à l’onde, une célérité c : l’onde progressive est remplacée par un mouvement d’ensemble. Nous savons qu’une Dp particule de la surface libre ne la quitte pas car ≡ 0 . Elle se comporte Dt alors comme un mobile glissant sur un plan incliné. Au sommet de la vague en O, la vitesse est nulle. La vitesse v r de la particule superficielle est # r puisqu’il s’agit d’un glissement sans frottement sur un plan incliné dans le champ de pesanteur : en effet selon la loi de Newton on a : d vr 1 te te te m = g cos θ = C ⇒ v r = C ⋅ t ⇒ r = ⋅ C ⋅ t 2 ⇒ t ∝ r dt 2 Recherchons, au voisinage de la crête, un potentiel Φ donné par : ∂ 2Φ ∂ 2Φ + =0 ∂ x 2 ∂ z2 vérifiant les conditions de symétrie imposées par l’existence de cette crête. L’équation de continuité permet l’introduction de la fonction de courant Ψ telle que : ∂Ψ ∂Φ ⎧ = u = ⎪ ∂z ∂x ∂ 2Ψ ∂ 2Ψ ⎪ et la fonction de courant Ψ vérifie + =0 ⎨ 2 2 ∂ Ψ ∂ Φ ∂ x ∂ z ⎪w = − = ⎪⎩ ∂x ∂z te

te

On peut montrer que Ψ = C 1 et Φ = C 2 sont orthogonaux. Cherchons un potentiel de vitesse complexe du type : ⎧⎪Ψ = A r n cos n θ n n n inθ Ψ + iΦ = A (x + i z ) = A ⋅ z = A r e ⇒ ⎨ ⎪⎩Φ = A r n sin n θ ce choix est justifié en raison des conditions de symétrie. La surface libre est ligne de courant dont Ψ y est constante. Comme elle s’annule en r = 0 ; il en résulte alors que : Ψ = 0 à la surface libre Au voisinage de la crête la vitesse est donnée par : 1 ∂Φ v r = (2gr cos θ l )2 = = nr n −1 sin nθ l ∂r ( v r 〉 0 pour θ 〉 0 et v r 〈 0 pour θ 〈 0 en raison du mouvement). 3 La valeur de l’exposant se déduit de l’égalité précédente : n = . 2

E.H.T.P. 32 Equations des ondes en bidimensionnelle et caractéristiques des houles :ondes de surface

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Ainsi prés de la crête et à la surface :

Ψ=

3 Ar 2

3 cos θ l = 0 2

π = ±60 0 3 L’angle limite (point anguleux) de la crête de la vague de Stokes est donc de 120 0 alors que pour une onde solitaire θ l = ±45 0 soit 90 0 . La vitesse de la particule coïncidant avec la crête est nulle avec la système d’axes considéré. En eau profonde, la particule fluide coïncidant avec le point anguleux est animé d’une vitesse égale à la célérité de l’onde. C’est le critère de déferlement. 2a H = = 14% . La houle La cambrure limite pour la houle de Stokes est L L progressive ne peut avoir une cambrure supérieure à 14%, au – delà, la lame déferle. • On va maintenant discuter l’effet d’un corps flottant sur la propagation d’une houle en eau peu profonde. Seulement le cas 2D sera présenté (toutes les quantités hydrodynamiques sont indépendantes de la coordonnée transversale y). On va présenter le cas d’une plaque mince dans une eau à profondeur constante. On a donc à résoudre : z On en déduit que θ l = ±

x h

Φ xx =

1 pour Φ tt ←⎯⎯→ x 〉 a gh pour

ηt = −hΦ xx ←⎯⎯→ x 〈 a x = −a x=a Les conditions aux limites sont : (Φ x ↔ vitesse ) et (Φ t ↔ pression) sont continues en x = ma On s’intéresse à l’efficacité de la planche en surface comme brise lame des ondes venant du coté droit (x = +∞ ). La solution générale de notre équation différentielle a la forme: Φ (x, t ) = F(x − ct ) + G(x + ct ) où c = gh Il est naturel de chercher des solutions harmoniques : Φ(x, t ) = ϕ(x )eiωt ↔ x 〉 a et η(x, t ) = V (x )eiωt ↔ −a 〈 x 〈 a Nos équations deviennent alors d 2 ϕ ω2 d2 ϕ i ω 0 x a et + ϕ = ↔ 〉 + V = 0 ↔ x 〈a dx 2 gh dx 2 h ω La première équation a pour solution ϕ(x ) = Ae −ikx + Beikx avec k = gh

E.H.T.P. 33 Equations des ondes en bidimensionnelle et caractéristiques des houles :ondes de surface

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Ainsi on a : Φ (x, t ) = Ae −i(kx − ωt ) + Bei(kx + ωt ) c’est la superposition de 2 ondes une progressive se propageant vers la droite Ae −i(kx − ωt ) et l’autre

vers la gauche Bei(kx + ωt ) . On rappelle que dans ce cas l’onde incidente provient de la droite, pour ϕ(x ) on peut écrire ϕ (x ) = Be −ikx + Reikx : x 〉 a où B est l’amplitude de l’onde incidente et R de celle réfléchie : qu’il faut déterminer. Sur la gauche on écrit : ϕ(x ) = Teikx où T est l’amplitude de l’onde transmise (à déterminée également). Si la planche est rédige et fixe on a alors η(x, t ) ≡ 0 il en résulte alors que V (x ) = 0 donc sous la planche on a : ϕ xx = 0 ainsi ϕ(x ) est une fonction linéaire en x : ϕ (x ) = γ ⋅ x + δ . Puisque Φ x (x, t ) est la vitesse horizontale de l’eau, il résulte alors que sous la plaque on a un courant donné par : γ ⋅ eiωt

donc constant sous la plaque et sinusoïdal dans le temps. Ecrivons maintenant les conditions de raccordement des solutions aux ⎧Beika + Re −ika = γa + δ ⎪ ⎪Beika − Re −ika = γ ⎪⎪ ik discontinuités ; il en résulte alors : ⎨ −ika = − γa + δ ⎪Te ⎪ γ ⎪Te −ika = ⎪⎩ ik On dispose donc de 4 équations pour 4 inconnues : R, T, γ et δ. Si on désire calculer la pression sous la plaque il suffit d’appliquer Bernoulli – Lagrange : p(x, t ) = −ρΦ t = −i ωϕ (x ) eiωt . La solution de notre système est 2a 2π où L = par : donnée en fonction du paramètre adimentionnel θ = L k θπie 2θπi ⎫ R=B ⎪ θπi + 1 ⎪ ⎧ θπ R = ⎪ ⎪CR = coéfficient de réfléxion = e 2θπi B T =B ⎪ ⎪ 1 + θ2 π2 θπi + 1 ⎬ ⇒ ⎨ T 1 ⎪ ⎪ = θπi e 2θπi ⎪ ⎪C T = coéfficient de transmissi on = B γ =B 1 + θ2 π2 a θπi + 1⎪ ⎩ ⎪ δ = Be 2θπi ⎭

E.H.T.P. 34 Equations des ondes en bidimensionnelle et caractéristiques des houles :ondes de surface

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Notons qu’on a : CR2 + C 2T = 1 qui exprime la conservation d’énergie. 2a ⋅ π = ka . Il est intéressant d’étudier comment varie la Notons que πθ = L pression sous la plaque : p(x, t ) = −ρΦ t = −i ωϕ (x ) eiωt = −i ω(γx + δ )eiωt donc la partie réelle, qu’il faut prendre, est donnée par : si B est réelle p(x, t ) = p1(x ) cos ω t − p 2 (x ) sin ω t avec ⎧ π2θ2 x ( ) b x = +1 ⎪ 1 ⎧p1 (x ) = ρ ωB ⋅ [b1 (x ) sin πθ + b 2 (x ) cos πθ] ⎪ 1 + π2θ2 a où ⎨ ⎨ 2 2 x ⎩p 2 (x ) = ρ ωB ⋅ [b 2 (x ) sin πθ − b1(x ) cos πθ] ⎪b (x ) = π θ 2 ⎪⎩ 1 + π2θ2 a

8) Wave Run – Up : Ascension des Lames Le niveau auquel un ouvrage en mer (un mur, un revêtement en pierre comme un talus d’une digue … ) doit être rasé (nivelé) est en fonction principalement du run–up élévation. En laboratoire (1957) Saville propose la figure (8 – 1) pour déterminer le run–up Ru (hauteur d’ascension mesurée verticalement des lames sur une structure par rapport à SWL) en fonction de la période de l’onde, de l’amplitude de l’onde non – réfractée et de la cotangente de la pente de l’ouvrage avec comme paramètre H0/ T −2 . Ces courbes sont pour une paroi lisse et imperméable avec une profondeur d’eau de 1 à 3 fois H0/ . Ces courbes sont données par U.S.Army Coastal Enginnering Research Center (1973) la figure (8 – 1) résume cela. Le tableau (8 – 2) proposé par Battjes (1970) donne l’effet d’une paroi non lisse et perméable sur le run–up . Le facteur r est le rapport du run–up donné par la figure (8 – 1) à celui pour une paroi perméable et rugueuse. Saville (1957) propose une procédure à employer pour utiliser la figure (8 – 1) aux parois composées de plusieurs pentes : une pente hypothétique unique est construite à partir du point de déferlement au point d’ascension des lames sur l’ouvrage composé de plusieurs pentes ainsi on effectue le calcul comme si on a une paroi unique run −: up = Ru

hb = db

SWL

pente hypothétique

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dont on connaît la valeur avec laquelle on effectue les calculs comme avant; ce calcul se fait par essais et tâtonnements successifs garce à la figure (8 – 1) et on compare avec la valeur estimée jusqu’à leur accord. Si non on recommence jusqu’à l’accord souhaité. Une formule empirique du run – up d’une onde déferlante sur un talus lisse est proposée par Hunt : [Proc. ASCE 85 WW3 Sept 1959 pp123-152] Ru H

=ξ=

tan gβ H L0

pour : 0,1 〈 ξ 〈 2,3 &

hauteur Run − down hauteur Run − up

=

Rd Ru

= (1 − 0,4 ⋅ ξ )

On signale que si la hauteur de l’ouvrage n’est pas correctement dimensionnée il se produit un problème de franchissement de celui – ci qui engendre des inondations des quais et une agitation de l’autre coté à l’abri ( dans ce cas un système d’évacuation est à prévoir) : on traitera ultérieurement le problème de franchissement : qui présente une grande importance pour le dimensionnement des ouvrages maritimes et pour calibrer le réseau d’assainissement portuaire (voir ch05). N.B. : En eau profonde Mitchell (1893) propose par le critère ⎫ ⎛ Hb ⎞ ⎟ ⎜ = 0 , 142 ⎪ ⎜L ⎟ ⎪ Hb ⎝ 0,b ⎠max 2 cinématique : ⎬ ⇒ 2 m / s = 0,267 T ⎛ L 0,b ⎞ gT 2 ⎪ ⎜⎜ ⎟⎟ = 1,2 avec L 0 = 2π ⎪⎭ ⎝ L0 ⎠

(

)

On peut calculer le coefficient de réflexion R(module du rapport de l’amplitude réfléchie par celle incidente) d’un talus sur lequel l’onde déferle par (selon Miche R=1 pour une onde non–déferlante sur le talus) tgβ gT 2 = tgβ ⋅ où ξ = 2πH H L0 • R = 1 autrement Rappel Mathématique Formules de transformation de Gauss & Les formules intégrales (ou les identités) de Green Si ℜ est un opérateur linéaire on a l’égalité : r r dτ = ∫ ℜ(n) dS Théorème de Gauss ℜ ∇ ∫ • R ≈ 0,1⋅ ξ 2 si R〈1

( )

D

Σ

N.B. : on pose → r r 3 ∂ Vi r ⎧r grad ; V=∑ ei ∇ ϕ = ϕ ∇ ⎪ r 3r ∂ x ∂ = i 1 ⎪ on associe i ∇ = ∑ ei ⎯⎯ ⎯ ⎯⎯→⎨ r rr r 3 i =1 ∂ x i ⎪∇ ∧ vr = rotvr ; V∇ rr = ∑ V ∂ r i ⎪⎩ ∂ xi i =1

( )

ainsi E.H.T.P. 36 Equations des ondes en bidimensionnelle et caractéristiques des houles :ondes de surface

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r r r r r r r r r ℜ ∇ • V = ∇ • V = divV ⇒ ℜ ∇ = ∇ ⇒ ℜ(n) = n → r r r r r r ℜ ∇ ϕ = ∇ϕ = grad ϕ ⇒ ℜ ∇ = ∇ ⇒ ℜ(n) = n r r r rr rr r r r r ℜ ∇ •r = V•∇ r ⇒ ℜ ∇ = V∇ ⇒ ℜ(n) = Vn r r r r r r r r r ℜ ∇ V = ∇ ∧ V = rotV ⇒ ℜ ∇ = ∇ ∧ (∗) ⇒ ℜ(n) = n ∧ (∗) LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLEtc. On obtient alors les formules particulières du théorème de Gauss : ⎧ r r r r formule intégrale de la divergence ∇ τ = ↔ V d n V dS • • ∫ ∫ ⎪ (Gauss − Ostrogradski) Σ ⎪D r r ⎪ ∫ ∇ϕ dτ = ∫ ϕ ndS ↔ formule intégrale du gradient ⎪D ⎨ r r rΣ r r r ⎪ ∫ V • ∇ r dτ = ∫ V • n r dS ⎪D Σ r r r ⎪ ⎪ ∫ rotV dτ = ∫ n ∧ V dS ↔ formule intégrale du rotationne l ⎩D Σ r r r r ⎧ℜ ∇ = r ∧ ∇ r r r r r r Si r ∧ ∇ϕ = ℜ ∇ ϕ ⇒ ⎨ r r r ⇒ r ∫ ∧ ∇ϕ dτ = ∫ ϕ r ∧ n dS D Σ ⎩ℜ(n) = r ∧ n Applications :r Les identités r r de rGreen r Nous avons ϕ∇Ψ ⇒ ∇ • ϕ∇Ψ = ∇ϕ • ∇Ψ + ϕ∆Ψ alors d’après le théorème de la divergence on a : r r r r r ∂Ψ dS ⇒ ∫ ∇ • ϕ∇Ψ dτ = ∫ ∇ϕ • ∇Ψ + ϕ ∆Ψ dτ = ∫ ϕ∇Ψ • ndS = ∫ ϕ ∂n D D Σ Σ r r ∂Ψ dS 1iére identité de Green • ∇ ϕ ∇ Ψ + ϕ ∆Ψ dτ = ∫ ϕ ∫ ∂n D Σ r r ∂ϕ Si on change ϕ ↔ Ψ on obtient ∫ ∇Ψ • ∇ϕ + Ψ ∆ϕ dτ = ∫ Ψ dS et par ∂n D Σ soustraction il en résulte :

( ( ( (

) ) ) )

(

(

( ) ( ) ( ) ( )

)

)

(

( )

( )

(

(

)

(

)

)

(

)

)

(

)

⎛ ∂Ψ ∂ϕ⎞ ⎟⎟dS 2éme identité de Green −Ψ ∫ (ϕ ∆Ψ − Ψ ∆ϕ) dτ = ∫ ⎜⎜ ϕ ∂n ∂n⎠ D Σ⎝ Il s’ensuit que pour un écoulement à potentiel de vitesse c’est – à – dire ⎛ ∂Ψ ∂ϕ⎞ ⎟dS = 0 (1) −Ψ ∫ ⎜⎜ ϕ ∂n ∂ n ⎟⎠ Σ⎝ r 2 ∂ϕ Si maintenant on prend ϕ ≡ Ψ alors ∫ ϕ dS = ∫ ⎡ ∇ϕ + ϕ ∆ϕ ⎤ dτ ; si ⎢ ⎥⎦ Σ ∂n D⎣ en plus ϕ est le potentiel de vitesse d’un champ d’écoulement :

que ∆ϕ = ∆Ψ ≡ 0 l’égalité :

( )

E.H.T.P. 37 Equations des ondes en bidimensionnelle et caractéristiques des houles :ondes de surface

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( )

r 2 ∂ϕ ∆ϕ ≡ ∇ 2 ϕ ≡ 0 alors ∫ ∇ϕ dτ = ∫ ϕ dS D Σ ∂n r r Comme v ≡ ∇ϕ : cette égalité met en évidence l’énergie cinétique . Les relations précédentes mettent en jeu 2 fonctions ϕ et ψ, d’où l’idée d’introduire un potentiel élémentaire pour que nos relations ne s’exprime que par rapport à une seule fonction ? Par exemple on utilise les potentiels de vitesse singulier : ⎛ 1 ⎞ c 1 c ⎟ si D ⊂ E •2 : Φ = Ψ = log⎜⎜ log rPQ si D ⊂ E 3• : Φ = − Ψ= ⎟ 2π rPQ 4πrPQ ⎝ rPQ ⎠ i = 1,2,3 (3 dimensions ) : 3D

i = 1,2 (2 dimensions ) : 2D

1

∂Φ dΦ te ⎡ 2⎤2 r = ⎢∑ (x − z i ) ⎥ remarquons que le flux = c car = pour rPQ = C dr ∂n ⎦ ⎣i où P et Q sont 2 points qui appartiennent au domaine fluide D ou à sa frontière Σ D = D ∪ Σ . Ainsi Ψ est une fonction définie pour P ≠ Q mais singulière pour P = Q et elle satisfait à l’équation différentielle de Laplace Dans ce cas la première formule de Green donne : r ⎛ 1 ⎞ r ∂ ⎛ 1 ⎞ ⎟ • ∇ Q ϕ(Q ) dτQ − ∫ ϕ(Q ) ⎜ ⎟ C ⋅ ϕ(P ) = ∫ ∇ Q ⎜⎜ ⎟ ⎜ r ⎟ dS Q (2) ∂ r n Σ D Q ⎝ PQ ⎠ ⎝ PQ ⎠

(

)

⎧4π si P ∈ D ⎪ C = ⎨2π si P ∈ Σ où ⎪ ⎩0 si P ∈ D en Si maintenant on change ϕ ⎯⎯→ ⎯ Ψ alors la première identité de Green donne également : r r 1 1 1 ∂ ϕ(Q ) ( ) ( ) Q d Q dτ Q = ∫ • ∆ ϕ τ + ∇ ϕ ∇ dS Q (3) ∫ ∫ Q Q Q r r r n ∂ Σ PQ D PQ D PQ Q Si on introduit la relation (1) dans (2) on obtient une représentation intégrale du potentiel ϕ (tel que ∆ϕ ≡ 0 ) n’utilisant bien entendu que des informations concernant le comportement de ces fonctions sur la surface (enveloppe) du volume D liquide.

Q

r nQ

(D)

P

(Σ )

E.H.T.P. 38 Equations des ondes en bidimensionnelle et caractéristiques des houles :ondes de surface

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C ⋅ ϕ(P ) = ∫

Σ

1 ∂ ϕ(Q ) ∂ dS Q − ∫ ϕ(Q ) rPQ ∂ nQ ∂ nQ Σ

⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ r ⎟ dS Q ⎝ PQ ⎠

b b simple couche double couche Cette formule trouve beaucoup d’applications dans la pratique…Souvent dite la 3éme formule de Green. D’après la formule de Green (1), on pourrait introduire dans représentation (3) un potentiel ayant d’autres propriétés : 1 χ(P, Q ) = + Φ (Q ) tel que : ∆Φ = 0 dans Dint ∪ D ext rPQ D int

D ext

On obtient ainsi une nouvelle formule de représentation du potentiel : ∂ ϕ(Q ) ∂ C ⋅ ϕ(P ) = ∫ χ(P, Q ) dS Q − ∫ ϕ(Q ) χ(P, Q ) dS Q ∂ nQ ∂ nQ Σ Σ Les formules(1,2 et 3) contiennent 2 potentiels connus, on les utilisent souvent en hydrodynamique navale : • Le potentiel de simple couche : engendré par une distribution 1 de sources µ1(Q ) : Φ = ∫ µ1(Q ) dS Q rPQ Σ • Le potentiel de double couche : engendré par une distribution ∂ 1 de dipôles µ 2 (Q ) : Φ = ∫ µ 2 (Q ) dS Q ∂ nQ rPQ Σ ♣ La houle de Stokes irrotationnelle du 2eordre : Pour les houles de grandes amplitude mais finie Stokes en 1880 pour effectuer ses calculs développe le potentiel de vitesse sous la forme : ϕ = Hϕ(1) + H2 ϕ(2 ) + H3 ϕ(3 ) + H4 ϕ(4 ) + L

Le premier terme Hϕ(1) correspond à la linéarisation présentée précédemment (Théorie d’Airy). • Houle du 2e ordre : qui est valable pour h ≥ 0,01 ⋅ gT 2 Le potentiel de vitesse est donné par 3 πH2 ch 2k (z + h) HL ch k (z + h) ϕ= sin(kx − ω t ) + sin 2(kx − ω t ) 16 T 2T sh kh sh 4kh Le profil de la surface libre est donné par

E.H.T.P. 39 Equations des ondes en bidimensionnelle et caractéristiques des houles :ondes de surface

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πH2 ⎛ H 3 ⎞ ⎜1 + ⎟ coth kh cos 2(kx − ω t ) η = cos(kx − ω t ) + 2 4L ⎜⎝ 2 sh2kh ⎟⎠ Le paramètre du développement est la cambrure H ⋅ L−1 . On constate que la deuxième harmonique; excité par la non linéarité est : de période 0,5T ↔ 2ω et de longueur d’onde 0,5L ↔ 2k Les profils sont symétriques par rapport à des plans passants par les crêtes et les creux . Les crêtes sont plus hautes et plus courbes alors que les creux plus plats : ce résultat n’est pas mis en évidence par la théorie linéaire (Airy).

La hauteur des crêtes est donnée par : H πH2 ⎛ 3 ⎞ ⎜1 + ⎟ coth kh ηmax = + 2 4L ⎜⎝ 2 sh2kh ⎟⎠ H πH2 ⎛ 3 ⎞ ⎜1 + ⎟ coth kh Les creux sont au niveau : ηmin = − + 2 4L ⎜⎝ 2 sh2kh ⎟⎠ Ce qui montre que le terme introduit n’a d’importance que pour une houle d’amplitude crête – creux H importante. La vitesse orbitale sont : 3 πH πH ch 2k (z + h) ∂ ϕ πH ch k (z + h) ⎧ cos(kx − ω t ) + cos 2(kx − ω t ) ⎪u = ∂ x = T sh kh 4 T L sh 4kh ⎪ ⎨ ⎪w = ∂ ϕ = πH sh k (z + h) sin(kx − ω t ) + 3 πH πH sh 2k (z + h) sin 2(kx − ω t ) ⎪⎩ 4 T L T sh kh ∂z sh 4kh Les trajectoires des orbites sont obtenues par les intégrales : ξ = ∫ u dt ε = ∫ w dt Il faut effectuer les calculs numériquement de proche en proche pour ∂ξ ∂ξ ⎧D ξ ⎪D t = u + u ∂ x + w ∂ z ⎪ obtenir les trajectoires en utilisant les relations : ⎨ ⎪D ε = w + u ∂ ε + w ∂ ε ⎪⎩ D t ∂z ∂x e Pour la houle de Stokes de 2 ordre, posant θ = (k x − ω t ) on obtient :

E.H.T.P. 40 Equations des ondes en bidimensionnelle et caractéristiques des houles :ondes de surface

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⎧ H ch k (z + h) πH2 ⎡ 3 ch 2k (z + h)⎤ sin θ + ⎪ξ = ⎢⎣1 − 2 sh2kh ⎥⎦ sin 2θ 2 2 sh kh 8 Lsh kh ⎪ ⎪ πH2 ch 2k (z + h) 2πt ⎪ + 4L T ⎪ sh2kh ⎨ 2 ⎪ε = H sh k (z + h) cos θ + 3πH sh 2k (z + h) cos 2θ ⎪ 2 sh kh 16L sh 4kh ⎪ ⎪ πH2 sh2k (z + h) + ⎪ 8L sh2kh ⎩ Les orbites (trajectoires) des particules fluides ne sont plus fermées; ainsi le mouvement de l’onde progressive s’accompagne d’un déplacement de matière ( entraînement ) : c’est un transport de masse ( un courant ) :

Dans le cas de la houle d’Airy, c’est–à–dire linéaire monochromatique, on n’a pas de transport de masse. La valeur de la vitesse de ce transport de matière dépend de la cambrure de la vague est donnée par ⎛ π 2H2 ⎞ ⎡ ⎟ ch 2 k (z + h) − sh 2 k h ⎤ l’expression : Um (z ) = ⎜⎜ 2 ⎟⎢ 2kh ⎥⎦ ⎝ 2LTsh kh ⎠ ⎣ Dont la valeur en eau peu profonde et au voisinage de la surface libre 2

est donnée par :

h⎛ h 1 L⎞ ⎛H⎞ ⎛ L ⎞ Um (0 ) = π ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ coth 2π ⎜ coth 4π − ⎟ L⎝ L 4π h ⎠ ⎝L ⎠ ⎝T⎠ 2

2

⎛H⎞ Dans le cas d’une profondeur infinie, ce courant vaut : Um (0 ) = π ⎜ ⎟ c , ⎝L⎠ où c est la célérité de l’onde. Du fait de ce courant d’entraînement les trajectoires de type elliptique ne sont plus fermées car elles se déplacent à la vitesse Um (z ) . A chaque période les orbites avancent de Um (z )T : 2

()

()

Um 0 T Um 0 T

Au fond le courant vaut :

Um (− h) = −

()

Um 0 T

πH 8hT 2

h h − 4π L L h sh2 2π L

sh4π

E.H.T.P. 41 Equations des ondes en bidimensionnelle et caractéristiques des houles :ondes de surface

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Les trajectoires se réduisent à un simple mouvement de va – et – vient, dont la résultante est en sens inverse de la propagation de la houle :

z x h

sens de propagation

D’après cette théorie de Stokes au 2e ordre les vitesses maximales sous la crête et le creux de l’onde sont respectivement données par : ⎧ ωH 3 ω k H2 Max + ⎪u δ,crête = uδ,crête = ( ) 2 sh kh 16 sh 4 (kh ) ⎪ ⎨ ωH 3 ω k H2 ⎪u Max ⎪ δ,creux = uδ,creux = 2 sh (kh ) − 16 sh 4 (kh ) ⎩ Une comparaison des mesurées des vitesses maximales montre un bon accord avec la valeur sous la crête, cependant sous le creux les mesures montrent que la vitesse mesurée est plus petite que celle théorique dans une eau de profondeur inférieur à 3m. En se basant sur ces mesures en eau peu profonde h ≤ 0,01 ⋅ gT 2 Van Rijn propose :

(

)

⎧~ ⎪u δ,crête = α ⋅ uδ ⎛H⎞ où α = 1 + 0,3⎜ ⎟ et u δ donnée par la théorie linéaire ⎨~ ⎝h⎠ ⎪u δ,creux = (2 − α ) ⋅ u δ ⎩ Au 3ème ordre et plus la célérité de l’onde dépend de la cambrure : c 2πh ⎡ ⎛ πH ⎞⎛⎜ 14 + 4ch2 4πh L ⎞⎟⎤ = th ⎟ ⎢1 + ⎜ ⎥ c0 L ⎢⎣ ⎝ L ⎠⎜⎝ 16sh 4 2πh L ⎟⎠⎥⎦ on constate qu’on a une dispersion en fréquence et en amplitude.

E.H.T.P. 42 Equations des ondes en bidimensionnelle et caractéristiques des houles :ondes de surface

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Couche limite de la houle La couche limite d’onde est une couche mince formant la transition entre le fond à la couche supérieur où l’écoulement fluide est irrotationnel & oscillatoire :

z δ

~

uδ

écoulement turbulent

vitesse maximale de

1

l' écoulement irrotationne

écoulement laminaire

δ

u uδ

couche limite d' onde ♣ Pour écoulement laminaire on a : • Jonsson 1980 propose : δ = δ wave = • Manohar 1955 propose : δ =

Où

2π β

4,6 β

1 ⎧ 2 ⎪β = longueur de Stokes = ⎛⎜ π ⎞⎟ (m) ⎜ν T⎟ ⎪ ⎝ ⎠ ⎪ ⎨ν = vis cos ité cinématiqu e m 2 / s ⎪ ⎪ ⎪ ⎩T = période d' oscillation (s )

(

)

♣ Dans le cas d’un écoulement turbulent Jonsson et Carlson (1976) proposent : ⎛ H ⎞ ⎛ 30 δ ⎞ ⎛ 30 δ ⎞ H ⎟⎟ = 1,2 ⋅ ⎜⎜ δ ⎟⎟ ⎟⎟ log ⎜⎜ ⎜⎜ pour 10 ≤ δ ≤ 500 (a) 2Ks ⎝ 2Ks ⎠ ⎝ Ks ⎠ ⎝ Ks ⎠ Cette équation peut également être représentée par : −

1 4

⎛ 0,5 ⋅ Hδ ⎞ δ ⎟⎟ = 0,072 ⎜⎜ 0,5 ⋅ Hδ K s ⎠ ⎝ L’équation (a) est basée sur des résultats expérimentaux. Les résultats théoriques de Fredsœ (1984) avec une erreur de ±20% sont approximativement donnés par :

E.H.T.P. 43 Equations des ondes en bidimensionnelle et caractéristiques des houles :ondes de surface

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−

1 4

⎛ 0,5 ⋅ Hδ ⎞ δ ⎟⎟ = 0,15 ⎜⎜ 0,5 ⋅ Hδ K s ⎠ ⎝ La transition à un écoulement oscillatoire pleinement turbulent sur un fond plat peut être estimer par la formule :

(uδ,critique )

2

où d50

1 ⎞4

⎛ H = 5770 ⎜⎜ δ ⎟⎟ ω⋅ν ⎝ 2 d50 ⎠ est le diamètre moyen des particules solides du fond.

Transport de masse par des ondes non déferlantes Ecoulement oscillatoire d’un fluide parfait : Stokes (en 1847) est le premier à mettre en évidence que les particules ne décrivent pas exactement des orbites fermées dans une onde de faible amplitude se propageant dans un fluide parfait (irrotationnel) en écoulement oscillatoire. Les particules fluides possèdent une vitesse Lagrangienne moyenne au seconde ordre (nommée : ‘’Stokes’’ drift) dans la direction de propagation de l’onde. La vitesse orbitale horizontale augmente avec z au – dessus du fond. Par conséquence, une particule au sommet d’une orbite sous une crête va plus vite dans la direction de propagation que si elle est sous un creux d’onde. Par définition ‘’the Lagrangien Stokes drift’’ ne peut pas être détecter par des mesures en un point fixe. La valeur instantanée du horizontal Us d’une particule d’eau qui a une position moyenne (x1, z1 ) est Us (x1 + ξ, z1 + ε ) où (ξ, ε ) sont les coordonnées de la particule sur sa trajectoire. Une approximation de Us est donnée par : ∂U ∂U Us (x1 + ξ, z1 + ε ) = Us (x1, z1 ) + ξ +ε ∂z ∂x En utilisant la théorie linéaire et en prenant en suite la moyenne sur une période , on obtient ainsi la vitesse en moyenne temporelle (notée ici par 1 ch 2 k (z − h) (équ. a2) une barre au – dessus) : Us (z ) = ω k H2 2 8 sh (kh ) où on a pris l’origine des z à la surface libre du haut vers le bas : z=0

z z=h

E.H.T.P. 44 Equations des ondes en bidimensionnelle et caractéristiques des houles :ondes de surface

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Au fond (z = h)

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ω k H2

: Us =

A la surface (z = 0 ) : Us =

8 sh2 (kh ) ω k H2ch 2 kh

8 sh2 (kh ) Pour des ondes se propageant sur un fond horizontal dans un domaine non limité le débit volumique m 2 / s sur la profondeur d’eau h est :

(

Ms = ∫h0Us (z )dz =

)

ω H2 sh(2kh )

=

g H2 ω H2 th(kh ) = 8 8c

16sh2 (kh ) ⎛ gT ⎞ ⎛g⎞ ⎟⎟ ⋅ th (kh ) = ⎜ ⎟ ⋅ th (kh ) où c = célérité de l' onde = ⎜⎜ ⎝ ω⎠ ⎝ 2π⎠

ω H2 8 Pour des ondes se propageant sur un fond horizontal dans un domaine limité Il est logique d’imposé un débit volumique nul en chaque position x, ce qui conduit à : ω k H2 ⎡ sh (2k h) ⎤ Us (z ) = ⎢ch 2 k (z − h) − 2 k h ⎥ (équ. a1) 2 8 sh (kh ) ⎣ ⎦ Cette équation montre que le courant résultant est la somme d’un dans le sens de propagation de l’onde et d’un courant de retour uniforme dans le sens opposé. Ainsi on a un débit vers dans le sens de propagation de l’onde proche de la surface (vers la cote) et un débit négative proche du fond ( vers le large : dans le sens opposé à la propagation de l’onde) : ce mécanisme de transport de masse nécessite la présence d’un gradient de pression horizontal (cisaillement est absent car le fluide est parfait par hypothèse) qui ne peut être causé que par une élévation de la surface libre vers la cote (wave set – up). Le débit volumique m 2 / s en une position fixe (x) dans un fluide illimité peut être également déterminer par une approche Eulérienne par : 1 T η( t ) Me ≡ ∫0 ∫ U(z, t ) dz dt T h où U est la vitesse horizontale instantanée au niveau z, et η est le déplacement de la surface libre par rapport au niveau moyen d’eau MWL g H2 La théorie linéaire donne : Me = . La méthode Lagrangienne et 8c Eulérienne conduisent au même résultat de débit volumique. Mais la distribution verticale de la vitesse de transport massique moyenne est différente pour les 2 approches. Cette équation en eau profonde (kh ) 〉〉 1 se réduit à : Ms =

(

)

E.H.T.P. 45 Equations des ondes en bidimensionnelle et caractéristiques des houles :ondes de surface

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Effet de la viscosité dans un écoulement oscillatoire turbulent : Longuet – Higgens (1953) a monté qu’il existe, pour un fluide réel visqueux ν, un transfert ‘’en moyenne temporelle’’ de la quantité de mouvement dans la direction de propagation dans la couche limite par la ⎛ ∂U⎞ ⎟⎟ induisant un courant Eulerien moyen Ue en diffusion visqueuse ⎜⎜ ν ⋅ ∂ z ⎝ ⎠ plus Us .

La vitesse de transport totale moyenne Um est définie par : ∂U ∂U Um = Ue + Us = Us + ∫ U dt + ∫ V dt ∂z ∂x Pour écoulement dans une couche limite laminaire Longuet – Higgens a obtenue : z z ⎡ −2 ⎤ z ⎞ −δ ⎛ ⎢5 − 8 cos⎜ ⎟ e + 3 e δ ⎥ Um = 2 16 sh (kh) ⎢⎣ ⎝δ⎠ ⎥⎦

ω k H2

2ν . ω L’équation de Um posséde une valeur maximale donnée par :

où δ = épaisseur de la couche lim ite la min aire =

Um = 1,376

ω k H2

4 sh2 (kh)

u2δ = 1,376 ⋅ où c

⎧u δ = valeur maximale de la vitesse hors C. L. ⎪ ⎨ ω ⎪⎩c = célérité de l' onde = k En admettant un débit nul sur toute la profondeur d’eau Longuet – Higgens a obtenu :

Um (z ) = Us (z ) + Ue (z ) =

ω k H2

⎛z⎞ F ⎜ ⎟ (équ. a3)) où 2 8 sh (kh) ⎝ h ⎠

⎛ z2 3 kh ⎡ z ⎞⎤ ⎛z⎞ F⎜ ⎟ = ch2k (z − h) + + sh⎢2k h⎜⎜ 3 2 − 4 + 1⎟⎟⎥ 2 2 h ⎠⎦⎥ ⎝h⎠ ⎝ h ⎣⎢ ⎞ 3 ⎡ sh 2k h 3 ⎤ ⎛⎜ z 2 + ⎢ + ⎥ ⎜ 2 − 1⎟⎟ 2 ⎣ 2 kh 2⎦⎝ h ⎠ Pour un écoulement oscillatoire dans un fluide illimité la vitesse de transport Eulérienne en moyenne temporelle (induite par les effets de viscosité) peut être décrite par :

E.H.T.P. 46 Equations des ondes en bidimensionnelle et caractéristiques des houles :ondes de surface

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3 ω k H2 1 + ω k 2H2 (h − z ) coth(kh) (équ. a4)) 2 16 sh (kh) 2 Le débit moyen sur la profondeur d’eau est : 0 g H 2 3 ω k h H2 1 M = ∫ Ue + Ue dz = + + ω k 2h 2H2 (h − z ) coth(k h) 2 8c 16 sh (k h) 4 h Ue (z ) =

(

)

0

z h 0,4

0,8

4Um − 0,8

0

0,8

1,6

2,4

ωk H

2

< Stokes drift > dans fluide limité (équ (a1) )

< Stokes drift > dans fluide illimité (équ (a2) )

transport de masse Longuet - Higgens fluide il lim ité (équ (a3) ) transport de masse de Craik fluide il lim ité (équ (a4) )

Transport de masse par des ondes déferlantes Quand une onde déferle elle génère un courant parallèle à la ligne de cote (longshore current) et un autre vers le large (undertow). On présentera par ailleurs le modèle mathématique de Longuet – Higgens pour déterminer la circulation marine à l’échelle de la houle (par l’introduction du tenseur de radiation). Au – dessus du niveau du creux d’onde déferlante existe un débit vers la cote. En première approximation, ce débit peut être estimer par : g H2 M= 8c En utilisant c = g h en eau peu profonde, il en résulte que :

E.H.T.P. 47 Equations des ondes en bidimensionnelle et caractéristiques des houles :ondes de surface

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1 g 2 ⋅H 8 h En admettant qu’il y a pas un transport total net d’eau sur la profondeur d’eau, la valeur moyenne du courant de retour sous le creux, est donné par : 1 g −1 2 Um,off = ht ⋅ H 8 h M=

En prenant h t = 0,8 ⋅ h il résulte donc : 0,75Hb

Um,on

0,25Hb

h

ht

Um,off = 0,15 g ⋅ h

−

3 2

⋅ H2

SWL

Um,off

Complément C1- Variation théorique de l’amplitude et de la cambrure des vagues par fond décroissant en absence de la réfraction : On a vu que l’énergie transmise (flux d’énergie = puissance) par unité de temps et de longueur à travers un plan vertical fixe par mètre linéaire de crête est : ρgH2L ⎛ 2 kh ⎞ E ⎡ 1 ⎛ 2kh ⎞⎤ n ⋅ E ρgH2 ⎜1 + ⎟ = ⎢ ⎜1 + ⎟⎥ = = P= cg 16T ⎜⎝ sh 2kh ⎟⎠ T ⎣ 2 ⎜⎝ sh 2kh ⎟⎠⎦ T 8

2k h ⎞ c⎛ ⎜⎜1 + ⎟ = n⋅c 2 ⎝ sh 2k h ⎟⎠ Au large, c’est – à – dire en eau profonde kh 〉〉 1 , on a : où c g est la vitesse de groupe locale : c g =

• n = 0,5 en eau profonde ρgH02L 0 ρgH02 c g 0 car = P0 = • n = 1 en eau peu profonde 16T 8 Si le fond a une pente faible et qu’une énergie appréciable n’est réfléchie non plus dissipée alors on aura conservation de l’énergie transmise. Si les lignes de niveau sont parallèles aux lignes de crête (pas de réfraction) une énergie qui franchie un mètre de crête au large est la même que celle qui franchie un mètre de crête près de la côte : Calcul de la variation de l’amplitude : P0 = P ⇒

E.H.T.P. 48 Equations des ondes en bidimensionnelle et caractéristiques des houles :ondes de surface

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2

c g0 c 0 ⎛ H ⎞ 1 ⎜⎜ ⎟⎟ = = = H c cg ⎛ ⎞ 2 k h g ⎝ 0⎠ ⎟⎟ th kh ⋅ ⎜⎜1 + ⎝ sh 2kh ⎠ Posant x = k h alors 2

⎛ H ⎞ 1 1 ⎜⎜ ⎟⎟ = = dont la dérivée est : x H ⎛ ⎞ 2 x ⎝ 0⎠ ⎟⎟ thx + 2 th x ⋅ ⎜⎜1 + ch x sh 2 x ⎝ ⎠ 1 − x th 2x 1 −2 s’annule pour : th x = ⇒ x = 1,198 alors 2 x x ⎞ ⎛ ch2 x ⋅ ⎜ thx + 2 ⎟ ch x ⎠ ⎝ ⎛ H ⎞ h h 0,191 ⎜⎜ ⎟⎟ = = 0,158 = 0,9129 ; = 0,191 et L L 1 , 198 H 0 ⎝ 0 ⎠min imum ⎛ H ⎞ x ⎟⎟ = 1 quand thx + 2 = 1 ⇒ 2x = 1 + e − 2x ⇒ Cependant ⎜⎜ ch x ⎝ H0 ⎠ h 0,191 h h x = 0,639 = k h = 2π ⇒ = 0,1016 et = = 0,057 L L 0 1,198 L c’est le point isométrique . C2- Variation de la cambrure : Les cambrures au large et en situation quelconque sont respectivement

H γ0 = 0 L0

2

et

⎛ H ⎞ ⎛H⎞ H ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ γ= alors ⎜⎜ L ⎝ L⎠ ⎝ H0 ⎠

2

2

⎛ L ⎞ γ 2 L2 γ 2 ⎜⎜ ⎟⎟ = 2 ⋅ 2 = 2 th 2k h ⇒ γ 0 L0 γ 0 ⎝ H0 ⎠

2

⎛ γ ⎞ 1 H 1 ⎜⎜ ⎟⎟ = = ⎛ 2kh ⎞ H0 thkh ⎝ γ0 ⎠ ⎟⎟ th3 kh ⋅ ⎜⎜1 + ⎝ sh 2kh ⎠ H H La dérivée n’annule au environ de kh ≈ 2,17 soit ≈ 0,34 et ≈ 0,33 L0 L 2

⎛ γ ⎞ γ ⎟⎟ ≈ 0,97 ⇒ d’où un minimum a peine marqué : ⎜⎜ ≈ 0,985 . On γ γ 0 ⎝ 0⎠ remarque que ce sont les houles les moins cambrées au large qui s’approchent de la terre et subissent le plus forte augmentation de la cambrure.

E.H.T.P. 49 Equations des ondes en bidimensionnelle et caractéristiques des houles :ondes de surface

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C3 - Augmentation de la vitesse horizontale : en théorie linéaire ⎧ H g cos(k x − ω t ) ⎪u(x, z, t ) = 2 h ⎪ On a établit en eau peu profonde : ⎨ ⎪v (x, z, t ) = π H ⎛⎜1 + z ⎞⎟ sin(k x − ω t ) ⎪⎩ T ⎝ h⎠

Ainsi l’amplitude de la vitesse horizontale est u ~

H g gH = et celle 2 h 2c

πH ⎛ z ⎞ gH k (z + h) car c = g h . ⎜1 + ⎟ = T ⎝ h ⎠ 2c La composante horizontale maximale de la vitesse en eau profonde et g H0 . en surface est donnée par : u0 = 2 c0

verticale est v ~

te γ u gH 2c 0 H c 0 H L0 car T = C . = = = = u0 2c gH0 H0 c H0 L γ0 Le rapport des vitesses maximales est égale au rapport des cambrures. Au déferlement, où γ atteint la valeur limite, on obtient alors la limite du u . rapport des vitesses u0

Ainsi le rapport est :

On peut aussi exprimer u en fonction de H0 , L 0 et h . Pour kh assez on a H

2

2

H02

~

3

2

H02

g H 1 = g2 et u2 = TH 2 π 16 2 kh 4c

−

1

u ~

1 1

3 2

1

avec T 2 = 2π

L0 d’où g

3

− ⎛ g ⎞2 4⋅ h 4 H L ⎜ ⎟ 0 0 ⎝2⎠

2(2π )4 Cette vitesse tend vers l’infini si la profondeur d’eau tend vers zéro h → 0 . Mais en réalité sa valeur est limité par le déferlement. H Au large (eau profonde) on a : u0 = 0 2 u = u0

1 ⎛ g ⎞2

1 1

(2π)4

1 ⎜ ⎟ ⋅ 1 ⎝2⎠ ( 2πg)2

1

− 2πg = 2πg H0L 02 donc : L0

⎛ h ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ L ⎝ 0⎠

−

3 4

⎛ h ⎞ ⎟⎟ ≈ 0,18 ⋅ ⎜⎜ L ⎝ 0⎠

−

3 4

E.H.T.P. 50 Equations des ondes en bidimensionnelle et caractéristiques des houles :ondes de surface

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Superposition des mouvements Harmoniques La superposition d’ondes de même périodes est : 2πt 2πt ⎛ 2πt ⎞ η = ∑ a cos⎜ − ε ⎟ = cos ∑ a cos ε + sin ∑ a sin ε T T ⎝ T ⎠

⎧⎪r = (∑ a cos ε )2 + (∑ a sin ε )2 ⎛ 2πt ⎞ = r cos⎜ − θ ⎟ où ⎨ ⎝ T ⎠ ⎪⎩tgθ = (∑ a cos ε ) ÷ (∑ a sin ε ) Par exemple prenons 2 composantes : ⎛ 2πt ⎞ ⎛ 2πt ⎞ ⎛ 2πt ⎞ η = a cos⎜ − ε ⎟ + a / cos⎜ − ε / ⎟ = r cos⎜ − θ⎟ ⎝ T ⎠ ⎝ T ⎠ ⎝ T ⎠ ⎧r = a 2 + a / 2 + 2aa / cos ε − ε / ⎪ où ⎨ a sin ε + a / sin ε / ⎪tgθ = a cos ε + a / cos ε / ⎩ Ainsi si les 2 composantes sont en phase ε = ε / alors : ⎛ 2πt ⎞ η = a + a / cos⎜ − ε ⎟ proche des ventres ⎠ ⎝ T Mais si la différence de phase diffère d’une demi – période alors : ⎛ 2πt ⎞ η = a − a / cos⎜ − ε ⎟ proche des nœuds ⎝ T ⎠ si en plus a = a / ⇒ η = 0 oscillation nulle aux nœuds (onde harmonique stationnaire pur). Si maintenant on superpose 2 ondes harmoniques de périodes différentes mais voisines (battement) : ⎛ 2πt ⎞ ⎛ 2πt ⎞ η = a cos⎜ − ε ⎟ + a / cos⎜ / − ε / ⎟ ⎝ T ⎠ ⎝T ⎠ la résultante ne peut pas être représentée par une onde harmonique. Analytiquement si : η = a cos(2πm t − ε ) + a / cos 2πn t − ε / avec (m − n) est petit alors ⎧r 2 = a 2 + a / 2 + 2aa / cos 2π(m − n)t + ε / − ε ⎪ ⎪ η = r cos(2πm t − θ) où ⎨ a sin ε + a / sin 2π(m − n)t + ε / ⎪tgθ = a cos ε + a / cos 2π(m − n)t + ε / ⎪⎩ On peut donc considérer la superposition de ces 2 ondes comme une harmonique dont les éléments sont r & θ, qui ne sont pas constants mais variables lentement dans le temps ayant la fréquence (m − n) :

(

(

)

(

)

(

)

)

{ {

{

} }

}

E.H.T.P. 51 Equations des ondes en bidimensionnelle et caractéristiques des houles :ondes de surface

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{ } − ε} = −1 dont les valeurs

• L’amplitude est maximale quand : cos 2π(m − n)t + ε / − ε = +1 et

{

minimale quand cos 2π(m − n)t + ε /

correspondantes sont respectivement a + a / et a − a / .

Edge waves on a sloping beach by F. URSELL 1952 Proc. Roy. Soc. A214 pp79 – 97 On considéré des ondes de gravité dans un canal à houle dont : (ii) la longueur est finie et de profondeur constante (ii) la longueur est infinie et de profondeur constante Désignons par Ox l’axe le long du canal et par Oy l’axe vertical vers le haut et Oz l’axe transversal. On supposera avec Ursell que le canal a une profondeur infinie (Cette hypothèse ne changent pas le caractère du spectre).

y

z

a

O

x

b

(ii)

Dans un canal de profondeur infinie limité verticalement par les plans ( x = 0 , x = a ; z = 0 , z = b ) les potentiels de vitesse des modes normaux (naturels) sont donnés par : ⎡ ⎛ m 2 n 2 ⎞ ⎤ iωmn t ⎛ mπx ⎞ ⎛ nπz ⎞ iωmn t ⎢ ( ) Φ mn x, y, z e = Cmn cos⎜ ⎟ cos⎜ ⎟ exp − πy ⎜⎜ 2 + 2 ⎟⎟ ⎥ ⋅ e a b b ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝a où n et m sont 2 entiers et Cmn est une constante complexe. On a :

⎛ m2 n2 ⎞ 2 ωmn = g π ⎜⎜ 2 + 2 ⎟⎟ (1) b ⎠ ⎝a Le spectre de fréquences données par (1) est discret et infini. On peut 2 2 facilement vérifier que : 0 〈 ωm +1,n − ωm,n ≤ gπ a (2). On prendra la partie réelle de la solution. La solution du mouvement libre est donnée par : Φ (x, y, z, t ) = ∑ ∑ Φ mn (x, y, z ) eiωmn t (3)

(

)

m n

(ii) Supposons que la longueur du canal tend vers l’infini a → ∞ l’équation (2) nous suggère que le spectre devient continu. Les modes normaux sont : E.H.T.P. 52 Equations des ondes en bidimensionnelle et caractéristiques des houles :ondes de surface

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Φ n (x, y, z; k ) e

()

iωn k t

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⎡ ⎛ nπz ⎞ = Cn cos(kx ) cos⎜ ⎟ exp⎢− y b ⎝ ⎠ ⎢⎣

⎛ 2 n 2 π 2 ⎞ ⎤ iωn (k ) t ⎜k + ⎟⎥ ⋅ e 2 ⎟ ⎜ b ⎠ ⎥⎦ ⎝

⎛ n2 π2 ⎞ ωn2 (k ) = g ⎜⎜ k 2 + 2 ⎟⎟ b ⎠ ⎝ et k est un nombre positif. Pour le mode bidimensionnel (n = 0 ) toutes les valeurs réelles de σ sont valeurs propres, pour les modes 3Dimensions (n〉0) tout les réels σ sont σ 〉 gnπ b . Quand n est donné il existe une limite inférieure (fréquence de coupure) au – dessous de laquelle n’existe pas de modes normaux. Le mouvement libre est maintenant de la forme : ⎡ ⎛ 2 n2 π 2 ⎞ ⎤ iωn t nπz ∞ ⎢ Φ (x, y, z, t ) = ∑ cos ∫0 Cn (k ) cos(kx ) exp − y ⎜⎜ k + 2 ⎟⎟ ⎥ e dk (4) b n b ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎝ • Ondes de coin non – visqueuses : Inviscid edge waves On va maintenant étudier le cas d’un spectre mixte. On considère le cas de modes normaux excités par une plage de pente α à l’extrémité d’un canal à houle semi – infini. Le potentiel de vitesse est défini dans la région 0 ≤ y ≤ x tgα & 0 ≤ z ≤ b où est satisfaite : où

⎧ 2 ∂Φ ⎪ω Φ + g ∂ y = 0 en y = 0 ⎪ ⎪∂ Φ ∂ Φ tgα en y = x tgα = ∇ 2 Φ = 0 avec les conditions aux limites ⎨ y x ∂ ∂ ⎪ ⎪ ∂Φ = 0 en z = 0 et z = b ⎪ z ∂ ⎩ La dernière condition limite montre que le potentiel est de la forme : mπz iωt Φ = e ∑ cos ⋅ fm (x, y ) b m 1 Si Φ est antisymétrique par rapport à z = b ce que nous admettrons 2 πz iωt alors la série se réduit à : Φ = e ∑ cos(2r − 1) ⋅ f2r −1(x, y ) b r où f2r −1 vérifie l’équation : 2 ⎡ ∂2 ∂2 2 π ⎤ − (2r − 1) 2 ⎥ f2r −1(x, y ) = 0 + ⎢ 2 2 x ∂ y b ⎦ ∂ ⎣ et les 2 premières conditions aux limites. Il est à remarquer que le cas r = 1 est particulier :

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f2r −1(x, y ) = f1[(2r − 1)x, (2r − 1)y ] auquel il faut porter une intention particulière. Maintenant considérons une solution de la forme :

π b Une solution est : Φ = cos kz ⋅ exp[− k (x cos α + y sin α )] ei ω t (5) et Φ = cos kz ⋅ F(x, y ) ei ω t

où

k=

d’après la première condition limite on a : ω2 = gk ⋅ sin α Le mode (5) est dû à Stokes (1846) il sera désigné par Stokes edge wave. → gk sin α g sin α ω Puisque ∫∫∫ grad Φ dxdydz est fini, la fréquence = = 2 2π 4πb 4π est une fréquence discrète du spectre. Pour une pente du fond α faible the Stokes adge wave n’est pas le seul mode discret mais le premier d’une suite. En considérant le potentiel : ⎧ −k (x cos α + y sin α ) n ⎡ −k (x cos(2m − 1)α − y sin(2m − 1)α ) ⎤ + ∑ A mn e Φ = ⎨e ⎥⎦ ⎢⎣ m =1 ⎩ ⎡ −k (x cos(2m + 1)α + y sin(2m + 1)α ) ⎤ ⎫ cos kz e i ω t ⎥⎦ ⎬⎭ ⎢⎣ m =1 qui vérifie la 2ème et la 3ème conditions. La première condition est satisfaite si : m m tg(n − r + 1)α & ω2 = gk ⋅ sin(2n + 1)α A mn = (− 1) ∏ r =1 tg(n + r )α La vitesse est finie dans le secteur quand x → ∞ si (2n + 1)α ≤ π 2 ; le mode de Stockes correspond à n = 0 . Ceci a été expérimentalement vérifié par F. Ursell au laboratoire. • Voir également J. Fluid Mech (1995) vol301 par P. Blondeaux & G. Vittori : The nonlinear excitation of synchronous edge waves by monochromatic wave normally approaching a plane beach. n

+ ∑ A mn e

Théorie d’onde cnoïdale

Quand la profondeur d’eau relative décroît vers à peu près h L = 0,1, la théorie de Stokes cesse d’être valable. Une autre approche théorique est necessaire : c’est la théorie cnoïdale, qui était initialement développée par Korteweg et De Vries en 1895 (Phil. Mag. 5 Ser. 39). La célérité de l’onde cnoïdale est donnée par : ⎡ H 1 ⎛ 1 Ε(κ ) ⎞⎤ H L2 2 où − c = gh ⎢1 + κ = ⎜ ⎟ ⎥ 2 h3 ⎣ h κ ⎝ 2 Κ (κ ) ⎠⎦ E.H.T.P. 54 Equations des ondes en bidimensionnelle et caractéristiques des houles :ondes de surface

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où κ est un paramètre elliptique ou module. Κ (κ ) est l’intégrale elliptique complète de κ de première espèce, Ε(κ ) est l’intégrale elliptique complète de κ de seconde espèce. Dont on rappelle les définitions : On continuera à présenter les résultats de cette théorie après le rappel Rappel mathématique : Les intégrales & fonction elliptiques En physique mathématique appliquée apparaissent en non – linéaires des solutions qui font appel aux fonctions et intégrales elliptiques qui sont la généralisation des fonctions sinusoïdales prisent sur le cercle trigonométrique alors que les premiers sur une ellipse. On va les résumer dans ce qui suit : ♦ Les formes de Legendre : La représentation de Legendre de ces intégrales elliptiques de première et deuxième espèce est : φ dφ Κ (κ, φ) = ∫ ⎧0 ≤ κ ≤ 1 ⎪ 0 1 − κ 2 sin 2 φ ↔ ⎨ ou φ ⎪κ = sin θ , 0 ≤ θ ≤ (π 2) Ε(κ, φ) = ∫ 1 − κ 2 sin2 φ dφ ⎩ 0

où κ et φ sont désignés respectivement par le module et l’amplitude de l’intégrale elliptique en question. La quantité κ / = 1 − κ 2 est désignée par le module complémentaire. Ces intégrales sont tabulées pour les valeurs de θ = arcsin κ et φ entre 0 et π 2 ; en se donnant le valeur de κ 2 dans une intégrale qu’on veut évaluer, on doit d’abord prendre la racine carrée pour avoir κ, puis on cherche θ = arcsin κ par la fonctions trigonométrique naturelle sinus ,en suite trouvait Κ (κ, φ) ou Ε(κ, φ) par les tables des intégrales elliptiques. Les intégrales elliptiques complètes : Les intégrales elliptiques complètes de première et deuxième espèce sont les valeurs de Κ (κ, φ) ou Ε(κ, φ) pour φ = π 2 , on trouve : dφ ⎛ π⎞ π 2 Κ ou Κ (κ ) = Κ ⎜ κ, ⎟ = ∫ ⎝ 2 ⎠ 0 1 − κ 2 sin2 φ ⎛ π⎞ π 2 Ε ou Ε(κ ) = Ε⎜ κ, ⎟ = ∫ 1 − κ 2 sin2 φ dφ ⎝ 2⎠ 0 Il existe des tables à part pour ces intégrales elliptiques complètes. N.B. : on peut évaluer par une méthode numérique ces intégrales. On a par définition des fonctions intégrales elliptiques complètes : Κ (κ, nπ ± φ) = 2nΚ ± Κ (κ, φ) Ε(κ, nπ ± φ) = 2nΕ ± Ε(κ, φ)

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ceci résulte des propriétés de la fonction périodique sinus. Si la borne inférieure d’intégration n’est pas zéro, on peut écrire : φ2 φ2 φ1 dφ dφ dφ = Κ (κ, φ 2 ) − Κ (κ, φ1 ) − ∫ = ∫ ∫ 2 2 2 2 2 2 φ1 1 − κ sin φ 0 1 − κ sin φ 0 1 − κ sin φ on a une formule similaire pour Ε(κ, φ) . Si l’une des bornes d’intégration est négative on peut utiliser le faite que Ε(κ, φ) est impaire en φ : −φ φ dφ dφ Κ (κ,−φ) = ∫ = −∫ = −Κ (κ, φ) 0 1 − κ 2 sin 2 φ 0 1 − κ 2 sin 2 φ et Ε(κ,−φ) = −Ε(κ, φ) . N. B. : pour des valeurs petites de κ on évaluer avec une approximation bonne évaluer les intégrales par un développement en série. ♦ Les formes de Jacobi : Si nous posons sin φ = x dans les formes de Legendre on obtient alors les formes intégrale de Jacobi : dx dx = x = sin φ ⇒ dx = cos φ dφ ⇒ dφ = cos φ 1− x2 correspond à

φ = π 2 ⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯→ x = 1 alors φ

Κ (κ, φ) = ∫

0

φ

dφ

x

1 − κ 2 sin2 φ

=∫

0

dx

(1 − x )(1 − κ x ) 2

x

Ε(κ, φ) = ∫ 1 − κ sin φ dφ = ∫ 2

2

0

0

2 2

1 − κ2x 2 1− x2

1 dφ ⎛ π⎞ π 2 Κ = Κ (κ ) = Κ ⎜ κ, ⎟ = ∫ =∫ ⎝ 2 ⎠ 0 1 − κ 2 sin2 φ 0

dx dx

(1 − x )(1 − κ x ) 2

2 2

1 1 − κ2 x2 ⎛ π⎞ π 2 2 2 dx Ε = Ε(κ ) = Ε⎜ κ, ⎟ = ∫ 1 − κ sin φ dφ = ∫ 1− x2 ⎝ 2⎠ 0 0 Pourquoi désigne – t – on ces intégrales par elliptique ? tout simplement elles sont liées au calcul de la longueur d’un arc le long d’une ellipse, analogue au calcul trigonométrique sur un cercle, en effet : ⎧x = a sin φ L’équation d’une ellipse sous forme paramétrique est : ⎨ on ⎩y = b cos φ prendra a 〉 b (dans le cas où a 〈 b utilise: x = a cos φ , y = b cos φ ), on a :

(

)

ds 2 = dx 2 + dy 2 = a 2 cos 2 φ + b 2 sin2 φ dφ 2 puisque a 2 − b 2 〉 0 on peut écrire : E.H.T.P. 56 Equations des ondes en bidimensionnelle et caractéristiques des houles :ondes de surface

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(

)

∫ ds = ∫ a − a − b sin φ dφ = a ∫ 1 − 2

2

2

2

a2 − b2 2

sin2 φ dφ

a c’est une intégrale elliptique de second espèce où κ 2 = a 2 − b 2 a 2 = e 2 (e est l’excentricité de l’ellipse). Si on veut le périmètre de l’ellipse φ doit varier de 0 à 2π , le résultat est : 4aΕ(κ, π 2) . Pour un petit arc on peut introduire ses bornes dans l’intégrale est obtenir ainsi Ε(κ, φ 2 ) − Ε(κ, φ1 ) . Rappelons nous que : x dx u= ∫ dx = sin −1 x 0 1− x2 qui définit u en fonction de x , ou l’inverse ; ainsi x = sin u . D’une x dx définit u en fonction de φ manière similaire : Κ (κ, φ) = ∫ 2 2 2 0 1− x 1− κ x

(

)(

)

(ou bien fonction de x = sin φ ) [on admet que κ est constante]. On écrit : x dx u= ∫ = sn −1x ↔ x = sn u (lire ess − en de u) 0 1 − x 2 1 − κ2 x 2

(

)(

)

Comme φ = amp u est l’amplitude de l’intégrale elliptique u = Κ (κ, φ) et x = sin φ , on a : sn u = sin φ = sin (amp u) sn u est une fonction elliptique. Il existe d’autres fonctions elliptiques qui ont une ressemblance avec les fonctions trigonométriques. On définit : cn u = cos φ = cos (amp u) = 1 − sin2 (amp u) = 1 − sn2u = 1 − x 2 dφ 1 dn u ≡ = = 1 − κ 2 sin2 φ = 1 − κ 2 sn2u = 1 − κ 2 x 2 du du dφ la valeur de du dφ se calcule à partir des expressions donnant u = Κ (κ, φ) . Il existe des formules, comme en trigonométrie, qui relient ces fonctions : comme les formules d’addition, d’intégrales, de dérivées, …Etc. Exemple : d (sn u) = d (sin φ) = cos φ dφ = cn u ⋅ dn u du du du Pour plus de détail consulter l’ouvrage : D’Abramowitz, Milton, and Irene A. Stegun : [ Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical tables ] E.H.T.P. 57 Equations des ondes en bidimensionnelle et caractéristiques des houles :ondes de surface

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National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series 55 U. S. Government Printing Office, Washington, D. C. 1964 ⎡ H 1 ⎛ 1 Ε(κ ) ⎞⎤ La célérité c = gh ⎢1 + ⎜ − ⎟⎥ se situe entre 2 limites : 2 2 ( ) h Κ κ κ ⎝ ⎠⎦ ⎣ Celle des ondes sinusoïdales de cambrure H h faible et celle des ondes solitaires pour une grande cambrure H h c’est – à – dire : • Pour les premiers (ondes sinusoïdales) : ⎛ 2πh2 ⎞ H L2 tend vers H ⎟ κ 2 = 3 ⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯→ 0 & 〈〈 1 soit : c = gh ⎜⎜1 − 2 ⎟ h 3 L h ⎝ ⎠ qui s’approche de la célérité donnée en théorie linéaire : 1 2πh ⎞ 2

1 2 ⎞⎤

⎡ ⎛ 2πh ⎛ gL ⎟ c=⎜ th ⎟ = ⎢gh⎜⎜1 − 2 ⎟⎥ 2 π L 3L ⎠⎥⎦ ⎝ ⎠ ⎢⎣ ⎝ • Pour les deuxièmes quand l’onde tend vers l’onde solitaire : ⎛ H L2 tend vers H⎞ H 2 ⎟⎟ κ = 3 ⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯→ 1 & ≤ 0,73 soit : c = gh ⎜⎜1 + 2 h h h ⎝ ⎠ qui s’approche à 2% de la célérité de l’onde solitaire ⎛ H⎞ c = g (h + H) = gh ⎜1 + ⎟ h⎠ ⎝ on démontre que dans ce cas T = ∞ . H L2 Le paramètre κ 2 = 3 (dit paramètre d’Ursell dont on a parlé en page h 52 : propagation ondes sur une plage) caractérise le passage des houles de type Stokes à celles de type cnoïdale. La longueur d’onde L est donnée par : 2

1 2 ⎞

⎛ 16 h ⎟ ⋅ κ Κ (κ ) L = ⎜⎜ ⎟ 3 H ⎝ ⎠ L’élévation de la crête au – dessus du SWL est donnée par 3 a c 16 ⎛ h ⎞ L = Κ (κ ) [Κ (κ ) − Ε(κ )] ⎜ ⎟ H 3 ⎝H⎠ H 3

{

}

H = 0,73 h Ces résultats sont au second ordre d’approximation.

Le déferlement selon cette théorie se produit pour :

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