Teorie Vectori [PDF]

Zitiervorschau

9. Vectori şi operaţii cu vectori Definiţie: Se numeşte segment orientat, o pereche ordonată de puncte din plan; Se numeşte vector, mulţimea tuturor segmentelor orientate care au aceeaşi direcţie, aceeaşi lungime şi acelaşi sens cu ale unui segment orientat. Observaţii: Orice vector AB se caracterizează prin: - modul(lungime,normă), dat de lungimea segmentului AB; - direcţie, dată de dreapta AB sau orice dreaptă paralelă cu aceasta; - sens, indicat printr-o săgeată de la originea A la extremitatea B. Notaţii: AB vectorul cu originea A şi extremitatea B; AB = ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 - modulul vectorului AB unde

A(x0,y0), B(x.y). Definiţie: Se numesc vectori egali, vectorii care au aceeaşi direcţie, acelaşi sens şi acelaşi modul. Doi vectori se numesc opuşi dacă au aceeaşi direcţie, acelaşi modul şi sensuri contrare: - AB = BA . Adunarea vectorilor se poate face după regula triunghiului sau după regula paralelogramului:

30

λ ⋅ v = 0 ⇔ λ = 0 sau v = 0, ∀λ ∈ R Daca λ ≠ 0, v ≠ 0 ⇒ λ ⋅ v = λ ⋅ v , λ ⋅ v are direcţia şi sensul

vectorului v dacă λ 〉 0 şi sens opus lui v dacă λ 〈0 . Definiţie: Doi vectori se numesc coliniari dacă cel puţin unul este nul sau dacă amândoi sunt nenuli şi au aceeaşi direcţie. În caz contrar se numesc necoliniari.

vectori coliniari

vectori necoliniari

Teoremă: Fie u ≠ 0 şi v un vector oarecare.

Vectorii u şi v sunt coliniari ⇔ ∃λ ∈ R a.i. v = λ ⋅ u .

31

Punctele A, B, C sunt coliniare ⇔ AB si AC sunt coliniari ⇔ ∃λ ∈ Ra.i. AB = λ ⋅ AC .

AB CD ⇔ AB si CD sunt coliniari; Dacă u şi v sunt vectori necoliniari atunci ∃x, y ∈ R a.i. x ⋅ u + y ⋅ v = 0 ⇔ x = y = 0 .

Teoremă: Fie a şi b doi vectori necoliniari. Oricare ar fi vectorul v , există α , β ∈ R(unice) astfel încât v = α ⋅ a + β ⋅ b .

Vectorii a şi b formează o bază.

( )

α , β se numesc coordonatele vectorului v în baza a, b . Definiţie: Fie XOY un reper cartezian. Considerăm punctele A(1,0),

B(0,1). Vectorii i = OA si j = OB se numesc versorii axelor de coordonate. Ei au modulul egal cu 1, direcţiile axelor şi sensurile semiaxelor pozitive cu OX şi OY.

( )

Baza i, j se numeşte bază ortonormată.

32

v = A' B ' + A' ' B ' ' = x ⋅ i + y ⋅ j

v = prOX v ⋅ i + prOY v ⋅ j

x=xB- xA, y=yB- yA

AB = ( x B − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2

Teoremă: Fie u ( x, y ), v( x' , y ' ) . Atunci:

1) u + v are coordonatele (x+x’.y+y’); 2) ∀λ ∈ R, λ ⋅ v are coordonatele ( λ x’, λ y’); 3) u ( x, y ), v( x' , y ' ) sunt coliniari x y ⇔ = = k , x' , y ' ≠ 0. ⇔ xy '− x' y = 0. x' y ' 4) Produsul scalar a doi vectori nenuli.

u ⋅ v = u ⋅ v ⋅ cos α unde α = m(u, v), α ∈ [0, π ]. cos α =

x ⋅ x'+ y ⋅ y ' x 2 + y 2 ⋅ ( x' ) 2 + ( y ' ) 2

π π α ∈ [0, ] ⇒ u ⋅ v ≥ 0; α ∈ ( , π ] ⇒ u ⋅ v〈0

2 2 Fie u ( x, y ), v( x' , y ' ) nenuli. Atunci:

u ⋅ v = 0 ⇔ u ⊥ v ⇔ x ⋅ x'+ y ⋅ y ' = 0.

2

u ⋅ u = u ≥ 0, ∀u. u ⋅ u = 0 ⇔ u = 0. i ⋅ i = j ⋅ j = 1; i ⋅ j = 0.

Vectori de poziţie. Dacă rA , rB sunt vectori de poziţie, atunci: AB = rB − rA

33