Teoria funcţiilor de o variabilă complexă, vol. 1 [2 ed.] [PDF]

Zitiervorschau

Academician S . S T O I L O W

TEORIA FUNCŢIILOR DE 0 VARIABILA COMPLEXĂ Voi. I NOŢIUNI Şl PRINCIPII

EDITURA

DE STAT

FUNDAMENTALE

DIDACTICĂ

BUCUREŞTI -

Şl

1962

PEDAGOGICĂ

PREFAŢA Acest prim volum de Teoria funcţiilor de o variabilă complexă cuprinde în esenţă principiile fundamentale ale disciplinei, rezultatele şi ideile care au servit drept punct- de plecare principalelor dezvoltări ale ei de la C a u c h y, R i e m a n n şi W e i e r s t r a s s şi pînă azi. în linii generale, materia ce face obiectul acestui volum urmează — cu unele complemente — cursul de două semestre pe care îl ţin la Facultatea de Mate­ matică şi Fizică din Bucureşti. Aproape toate din acele capitole ale Teoriei funcţiilor complexe care sînt azi în plină dezvoltare îşi au originea lor în una, sau în mai multe, din proble­ mele ridicate de rezultatele teoriei clasice. Ori de cîte ori am avut ocazia s-o fac, am căutat deci nu numai să le prezint pe acestea din urmă într-o formă adec­ vată, dar şi să deschid orizonturi spre cercetările mai speciale corespunzătoare, dînd indicaţiile bibliografice necesare pentru a se putea adînci studiul lor. Ideea aceasta de perspectivă m-a călăuzit şi în alegerea materialului pentru acest volum introductiv, întocmai ca şi pentru prelegerile mele universitare. Volu­ mele următoare vor fi consacrate dezvoltării mai ample a unora din cercetările mai recente. M-am străduit să dau prezentului volum un caracter pe cît posibil de unitar, care să facă să reiasă cît mai limpede unitatea întregii discipline. Această uni­ tate apare de altfel ca una din trăsăturile ei cele mai caracteristice, dacă privim azi teoria funcţiilor de o variabilă complexă în ansamblul cercetării matematice moderne. Pentru acest motiv, am lăsat aici la o parte unele chestiuni de natură diferită care figurează, de obicei, sub o formă mai mult sau mai puţin succintă, în tratatele sau în manualele clasice de teoria func­ ţiilor (cea mai importantă dintre ele fiind studiul direct al proprietăţilor funcţiilor armonice), rămînînd ca ele să facă obiectul unor capitole ale volumului următor.

4

PREFAŢA

Ideea generală care străbate prezentul volum este aceea de legătură organică dintre părţile funcţiei, legătură care constituie esenţa analiticităţii. Ea duce în mod firesc la noţiunea de domeniu natural de existenţă al funcţiei, noţiune proprie şi caracteristică întregii teorii. în jurul acestei noţiuni şi a aceleia de punct singular care derivă direct din ea, am căutat să grupez rezultatele esen­ ţiale redate aici. Tabla de materii arată conţinutul fiecărui capitol în parte. Pentru punerea la puncta mai multor detalii în redactarea textului,obser­ vaţiile aspirantei Cabiria Andreian, din Institutul de matematică al Academiei R.P.R., precum şi ale asistentei mele Liuba Weinberg-Stecolcic de la Facultatea de matematică şi fizică mi-au fost adesea utile. Le exprim aici viile mele mul­ ţumiri. m

B u c u r e ş t i , mai

1953

INTRODUCERE 1. Teoria funcţiilor urmăreşte o clasificare logică şi naturală a funcţiilor, precum şi adîncirea studiului diverselor clase de funcţii. Noţiunea de funcţie s-a degajat, în matematică, treptat, din considerarea feluritelor moduri de corespondenţă între valoarea unei anumite mărimi vari­ abile x şi aceea a alteia y, corespondenţă exprimată printr-o lege bine definită, în virtutea căreia, valoarea uneia din mărimi, y, este perfect determinată prin valoarea celeilalte, x. Primele funcţii astfel considerate erau obţinute prin aplicarea operaţiilor aritmetice elementare lui x în număr finit; apoi, studiul fenomenelor naturii a impus şi considerarea de funcţii exprimate printr-o infinitate de asemenea operaţii, adică prin treceri la limită. Aceste procedee dau însă naştere la o varietate foarte bogată de funcţii, cu proprietăţi foarte diferite. Pentru a le putea cuprinde şi situa, adică pentru a le putea înţelege, este necesar să distingem clase de funcţii, pe care să le caracterizăm, fiecare, prin acele pro­ prietăţi ale lor, care sînt, pentru noi, cele mai importante, ele fiindu-ne cele mai utile atunci cînd, prin funcţii, vrem să descriem fenomenele naturii. Pentru prima dată o asemenea încercare de clasificare sistematică a fost făcută de L e o n a r d E u l e r , pe la mijlocul secolului al XVIII-lea. Legată de noţiunea intuitivă de curbă, prin crearea geometriei analitice, precum şi de cele mai variate fenomene de mişcare, prin introducerea calcu­ lului infinitezimal, noţiunea de funcţie — adică de dependenţă matematică între mărimi — trebuia extinsă considerabil faţă de vechea concepţie aritmetico-algebrică; ea se cerea însă totodată delimitată, pentru a rămîne susceptibilă de a fi studiată prin metodele matematicii şi în special accesibilă puternicului instrument nou creat pe care-1 constituia calculul infinitezimal. în opera sa Introductio in analysis infinitorum, apărută în 1748 la Lausanne, L. E u l e r a încercat o astfel de delimitare a domeniului funcţiilor analizei matematice, precum şi o clasificare a lor pe baza procesului lor de formaţie. Postulatele generale la care trebuie să satisfacă un asemenea domeniu de funcţii — numite mai tîrziu funcţii analitice * —, pentru ca delimitarea acestui domeniu să corespundă scopului urmărit, nu apar încă în mod destul de limpede la L. E u l e r . Ele se pot formula astăzi în modul următor: * Termen introdus d e j . întocmai cu cel de azi.

L.

L a g r a n g e

( 1 8 0 6 ) , deşi într-un sens care nu coincide

INTRODUCERE

6

1° Domeniul trebuie să fie destul de vast pentru a cuprinde cele mai multe din funcţiile care se prezintă în problemele de geometrie, de mecanică, de fizică şi, în general, în studiul fenomenelor naturii. 2° E l trebuie să constituie un sistem închis în raport cu principalele operaţii ale aritmeticii, ale algebrei şi ale analizei, adică aceste operaţii [operaţiile elementare ale aritmeticii, rezolvarea de ecuaţii algebrice, deri­ varea şi integrarea] aplicate funcţiilor din domeniul nostru delimitat să nu ne ducă în afara acestui domeniu. 3° Fiecare dintre funcţiile considerate trebuie să formeze oarecum un tot organic legat. De exemplu, dacă funcţia este reprezentată printr-o curbă, trebuie să putem spune că această curbă este aceeaşi în toată întinderea ei, cu aceleaşi proprietăţi geometrice, şi nu, de exemplu, cum ar fi o linie for­ mată dintr-un segment de dreaptă continuat printr-un arc curb oarecare. Dacă postulatele 1° şi 2° sînt aici formulate în mod precis, nu tot astfel stau însă lucrurile cu postulatul 3°. Să ne oprim un moment asupra acestuia, pentru a lămuri mai deplin sensul lui. S-a crezut altădată — încă pe la începutul secolului trecut — că este suficient ca o funcţie y = f(x) să aibă aceeaşi «expresie analitică» în tot intervalul ei de definiţie pentru ca ea să reprezinte aceeaşi curbă geometrică. Or, exemple simple arată contrariul. Să considerăm funcţia definită prin seria 1

f(x)=l

+ x

2

2

l2

+ - ( * - l ) + —2

1-2

J

I( *

2

2

2

- l ) + ... —i 2

l2

I -I 2

1 • 2 ... n

%

^

i

2

(* -l)* + ...

Seria este convergentă pentru | x — 11 1, adică pentru | x |

2

I>

|*l

| * l l /

I ~ I *2 I

1*2!

şi că z z = 0 implică z = 0 sau z = 0. De asemenea, x

2

t

arg

2

= arg z + arg z 1

şi arg

2

= arg z — arg z . ±

2

Un şir de numere complexe z z , z ,..., z ,... este convergent şi are ca limită pe l = a + dacă — şi numai dacă — şirurile X^ y X , . . . , XfJ , ... S l yi, y ••• î t convergente şi au, respectiv, ca limite pe a şi pe (3. Condiţia necesară şi suficientă a lui Cauchy pentru ca şirul (z ) să fie convergent se exprimă întocmai ca pentru un şir real: fiecărui s > 0 îi cores­ punde un iV astfel ca, dacă n > N şin' > N , să avem | z — z i \ < z. O serie de cantităţi complexe este sau nu convergentă dacă cele două serii formate respectiv din părţile reale ale termenilor şi din părţile imaginare ale lor sînt ambele convergente sau nu. Ea este absolut convergentă dacă seria formată din modulele termenilor este convergentă; ceea ce, din cauza inegalităţilor l*l y = y ] a spune că ş i r u l de funcţii complexe f (z) este uniform con­ vergent într-o regiune din planul (z), revine la a spune că şirurile P (x, y) Şi Q ( > y)> unde/„ (z) = P (x, y) + iQ„ (x, y), sînt, ambele, uniform con­ vergente în aceeaşi regiune din planul (x, y). Rezultă de aici că o serie de funcţii complexe continue într-o regiune a planului, uniform convergentă în aceeaşi regiune, reprezintă o funcţie complexă continuă în această regiune. Vom face uz de această observaţie în numeroase cazuri.J 0

0

{]

n

n

x

n

n

* Pentru t o a t e aceste chestiuni, precum şi pentru chestiunile privitoare la produsele infinite, se poate consulta M i r o n N i c o l e s c u , Calcul diferenţial şi integral, B u c u ­ reşti, 1948, voi. I .

CAPITOLUL

NOŢIUNI

I

PRELIMINARE

I. GENERALITĂŢI ASUPRA MULŢIMILOR 1. O mulţime X este o clasă de obiecte oarecare x, numite elementele ei (se scrie x£X), definite printr-una sau mai multe proprietăţi care caracteri­ zează aceste elemente, adică proprietăţi care le aparţin lor şi numai lor. Dacă clasa nu conţine nici un element, adică dacă proprietăţile sînt contra­ dictorii, se spune că X este mulţimea nulă (goală, deşartă) şi ea se înseamnă prin 0. Două mulţimi X şi X fiind date, se numeşte suma (sau reuniunea) lor, şi se înseamnă prin X + X (sau X \J X ), mulţimea elementelor care apar­ ţin cel puţin uneia din mulţimile X sau X . Se numeşte intersecţie (sau parte comună) a mulţimilor X şi X , şi se înseamnă prin X X (sau X f] X ), mulţimea elementelor care aparţin, deodată, lui X şi lui X . Două mulţimi X şi X care nu au nici un punct comun se numesc disjuncte. Avem X X = 0. în mod analog se definesc suma şi intersecţia unei mulţimi oarecare de mulţimi (vom spune cîteodată familie de mulţimi). Aceste operaţii efectuate asupra mulţimilor sînt supuse relaţiilor logice t

2

t

2

x

2

x

2

t

t

2

x

t

2

x

t

2

2

(X -f- X )Xş — X X t

(X, + X )(X 2

3

2

2

2

+ X,) =

t

xx t

s

-f-

3

XX 2

+ XX 2

+

3

S

x,x,

+

X X, 2

t

care se verifică imediat. Aceste două relaţii au determinat pe unii autori să întrebuinţeze pentru intersecţie expresia de «produs», care, bineînţeles, nu are însă nimic a face cu produsul a două numere, de exemplu. Incluziune şi complement. Dacă toate elementele lui X sînt şi elemente ale lui X , se spune că X este cuprins (sau inclus) mX şi se scrie X C.X \ atunci X cuprinde (sau include) pe X . Se mai spune că X este submulţime a lui X . în raport cu această relaţie dintre X şi X se defineşte operaţia com­ plement. Complementul lui X faţă de X este, prin definiţie, mulţimea x

2

x

2

2

t

2

x

x

1

x

2

2

2

12

TEORIA

FUNCŢIILOR

DE

O

VARIABILA

COMPLEXA

elementelor lui X care nu sînt elemente ale lui X . El se notează CX cînd nu poate fi îndoială asupra mulţimii X faţă de care este considerat com­ plementul. Cele trei operaţii, reuniunea, intersecţia şi complementul (aceasta din urmă faţă de o mulţime fixă, care cuprinde toate mulţimile cu care operăm), sînt supuse următoarelor relaţii logice, iarăşi imediate: 2

t

1

2

c

(cx) şi c n

u (X) = n

(X) = u

(cx),

unde (X) înseamnă o mulţime oarecare de mulţimi X, iar (CX) mulţimea complementelor mulţimilor X. 2. Puterea mulţimilor. Se spune că mulţimile X şi X au aceeaşi putere dacă este posibil să stabilim între elementele lor o corespondenţă biunivocă, adică dacă putem forma, cu aceste elemente, perechi astfel ca: 1) în fiecare pereche să se afle un x ^X şi un x £X ; 2) orice x şi orice x să figureze într-o pereche; 3) nici un x sau x să nu figureze în mai mult de o pereche. Puterea stabileşte între mulţimi o relaţie de echivalenţă. într-adevăr, această relaţie este reflexivă, simetrică şi tranzitivă, cum se constată îndată. Mulţimile finite (adică acele care nu posedă decît un număr finit de elemente) au aceeaşi putere atunci — şi numai atunci — cînd numărul ele­ mentelor lor este acelaşi. Mulţimi numărabile. Cea mai simplă mulţime infinită (care este însăşi originea noţiunii noastre de «infinit») este mulţimea numerelor naturale 1, 2, 3,..., pe care o considerăm dată intuitiv. Se numeşte numărabilă orice mulţime care este de aceeaşi putere cu mul­ ţimea numerelor naturale. După această definiţie, şi după aceea a puterii, se vede că elementele a ale unei mulţimi numărabile A se pot aşeza întotdeauna într-un şir infinit x

x

t

x

2

2

2

2

x

2

a

l>

a

2>

•••

»

a

n

y->

n fiind numărul natural care corespunde lui a (adică acela cu care este împerecheat a ). Se demonstrează fără nici o dificultate că: 1° Orice submulţime a unei mulţimi numărabile este o mulţime finită sau numărabilă. 2° Reuniunea unui număr finit de mulţimi numărabile sau finite este o mulţime numărabilă sau finită. 3° Reuniunea unei infinităţi numărabile de mulţimi numărabile sau finite este o mulţime numărabilă. Să arătăm numai cum se demonstrează ultima din aceste propoziţii. Fie a% cel de-al w-lea element (adică cel care corespunde numărului natural n) al celei de-a w-a mulţime. Avem n = 1, 2, 3 ... şi m = 1, 2, 3... în mod independent unul de altul. Să considerăm întîi numai elementele a„ în care n