Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois (UNITEXT La Matematica per il 3+2) [1 ed.] 884700618X, 9788847006188 [DJVU]

Table of contents :
Indice......Page 10
Parte I Anelli di polinomi......Page 15
1.1 Anelli e ideal!......Page 16
1.2 Anelli quoziente e omomorfismi di anelli......Page 21
1.3 Ideali primi e massimali......Page 24
1.4 Divisibilita in un dominio......Page 28
1.4.1 Massimo comune divisore......Page 29
1.4.2 Domini a fattorizzazione unica......Page 30
1.4.3 Domini a ideali principali......Page 32
1.5 II campo delle frazioni di un dominio......Page 34
1.6 La caratteristica di un anello......Page 36
1.7 Esercizi......Page 37
2.1 Polinomi a coefficienti in un anello......Page 42
2.1.1 Polinomi in piu indeterminate......Page 44
2.1.2 II grado di un polinomio......Page 46
2.1.3 Polinomi invertibili e irriducibili......Page 48
2.2.1 Divisione euclidea e massimo comune divisore......Page 49
2.2.2 Fattorizzazione unica......Page 54
2.3.1 II valore di un polinomio......Page 56
2.3.2 Funzioni polinomiali......Page 58
2.3.3 Radici di polinomi......Page 59
2.3.4 Radici multiple......Page 63
2.3.5 Formule di interpolazione......Page 64
2.3.6 Cambio di variabile......Page 67
2.4 Polinomi a coefficienti complessi......Page 69
2.4.1 Polinomi a coefficienti reali......Page 71
2.4.2 Radici complesse deH'unita......Page 73
2.5.1 II lemma di Gauss......Page 76
2.5.2 Criteri di irriducibilita......Page 80
2.5.3 Fattorizzazione su Q......Page 83
2.6 II teorema della base di Hilbert......Page 87
2.7 Polinomi simmetrici......Page 91
2.7.1 Funzioni simmetriche......Page 97
2.7.2 II polinomio generale......Page 99
2.7.3 II discriminante di un polinomio......Page 100
2.7.4 II risultante di due polinomi......Page 103
2.8 Polinomi in infinite indeterminate......Page 108
2.9 Esercizi......Page 110
Parte II Teoria dei campi......Page 120
3.1 Isomorfismi di campi......Page 121
3.2 Ampliamenti di campi......Page 123
3.3 Elementi algebrici e trascendenti......Page 126
3.3.1 Numeri trascendenti......Page 127
3.3.2 II polinomio minimo di un elemento algebrico......Page 131
3.4 Ampliamenti semplici......Page 132
3.5 Ampliamenti finiti......Page 135
3.5.2 Ampliamenti biquadratici......Page 137
3.5.3 Ampliamenti del tipo Q{^, Vh)......Page 138
3.5.4 II composto di due campi......Page 140
3.6 Ampliamenti algebrici finitamente generati......Page 142
3.7 Esercizi......Page 143
4.1 Costruzione di un campo di spezzamento......Page 147
4.2 Estensione di isomorfismi......Page 153
4.2.1 Isomorfismi in C......Page 156
4.2.2 Isomorfismi tra campi di spezzamento......Page 159
4.3 Campi finiti......Page 162
4.3.1 Polinomi irriducibili su Fp......Page 166
4.3.2 Gli automorfismi di un campo finito......Page 169
4.4 Ampliamenti ciclotomici......Page 171
4.4.1 Irriducibilita del polinomio ciclotomico......Page 175
4.4.2 Irriducibilita del polinomio X^ -a......Page 177
4.4.3 Gli automorfismi di un ampliamento ciclotomico......Page 181
4.4.4 Un teorema di Dirichlet......Page 182
4.4.5 Un teorema di Wedderburn......Page 183
4.5 Esercizi......Page 184
5.1 Chiusure algebriche e campi algebricamente chiusi......Page 190
5.1.1 Isomorfismi tra chiusure algebriche......Page 194
5.2 AmpHamenti normah......Page 197
5.2.1 Chiusura normale......Page 200
5.3 AmpHamenti separabili......Page 202
5.3.1 Campi perfetti......Page 204
5.3.2 II teorema dell'elemento primitivo......Page 205
5.3.3 II grado di separabiHta......Page 208
5.3.4 AmpHamenti puramente inseparabiH......Page 211
5.3.5 Chiusura separabile......Page 213
5.3.6 Norma e traccia......Page 215
5.4 AmpHamenti di Galois......Page 218
5.5 Esercizi......Page 221
6.1 Dipendenza algebrica......Page 225
6.2 Basi di trascendenza......Page 228
6.3 II teorema degli zeri di Hilbert......Page 231
6.4 II teorema di Liiroth......Page 234
6.5 Gli automorfismi del campo complesso......Page 235
6.6 Esercizi......Page 236
Parte III La corrispondenza di Galois......Page 239
7.1 II gruppo di Galois di un ampliamento......Page 240
7.2 Campi fissi......Page 243
7.2.1 II lemma di Artin......Page 246
7.2.2 Chiusura inseparabile......Page 248
7.3 II teorema fondamentale della corrispondenza di Galois......Page 250
7.3.1 II caso non finito......Page 255
7.3.2 Un teorema di estensione......Page 258
7.3.3 Alcuni esempi......Page 260
7.4 Esercizi......Page 266
8.1 I gruppi di Galois finiti come gruppi di permutazioni......Page 269
8.1.1 Alcuni esempi......Page 272
8.2 Calcolo del gruppo di Galois di un polinomio.......Page 283
8.2.1 Riduzione modulo p......Page 286
8.3.1 Polinomi su Q con gruppo di Galois totale......Page 288
8.3.2 Polinomi su Q con gruppo di Galois abeliano......Page 293
8.3.3 Un polinomio su Q con gruppo di Galois isomorfo al gruppo delle unita dei quaternioni......Page 298
8.4 Esercizi......Page 300
Parte IV Applicazioni......Page 304
9.1 Ampliamenti radicali......Page 305
9.2 Risolubilita per radicali......Page 311
9.3 Equazioni di terzo grado......Page 317
9.3.1 Le formule di Tartaglia-Cardano......Page 318
9.3.2 II "casus irriducibilis"......Page 319
9.3.3 Formule trigonometriche......Page 322
9.4 Equazioni di quarto grado......Page 323
9.4.1 Le formule di Ferrari......Page 324
9.4.2 Le formule di Descartes......Page 325
9.4.3 II gruppo di Galois di un polinomio di quarto grado..........Page 328
9.5 Equazioni di grado primo risolubili per radicali......Page 331
9.5.1 Equazioni di quinto grado......Page 335
9.6 Come risolvere un'equazione risolubile per radicali......Page 338
9.6.1 Equazioni cicliche......Page 339
9.6.2 Risolventi di Lagrange......Page 341
9.6.3 Calcolo delle radici p-esime dell'unita......Page 344
9.7 Esercizi......Page 345
10 Il teorema fondamentale dell'algebra......Page 350
11.1 Punti costruibili......Page 352
11.1.1 Alcune costruzioni geometriche......Page 353
11.2 Caratterizzazione algebrica dei punti costruibili......Page 357
11.3 Numeri complessi costruibili......Page 361
11.4 Costruzioni impossibili......Page 363
11.5 Costruibilita dei poligoni regolari......Page 365
11.6 Esercizi......Page 369
Parte V Appendici......Page 372
12.1 Azioni di gruppi......Page 373
12.1.1 II coniugio e I'equazione delle classi......Page 375
12.2 I teoremi di Sylow......Page 378
12.3 Gruppi risolubili......Page 381
12.3.1 Gruppi semplici......Page 384
12.4 Gruppi abeliani finiti......Page 386
12.4.1 II gruppo delle unita di Z^......Page 389
12.5 Esercizi......Page 390
13 La cardinalita di un insieme......Page 393
13.1 La cardinalita del numerabile......Page 395
13.2 La cardinalita del continue......Page 398
13.3 Operazioni tra cardinalita......Page 402
Riferimenti bibliografici......Page 405
Indice analitico......Page 408