Teoría Del Error [PDF]

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TEMA TEORÍA DEL ERROR LABORATORIO #1 PRESENTADO POR: LUIS CENTENO ---- 2019219032 ALVARO PÉREZ ---- 2018219049 BRAYAN OBISPO ---- 2015214086 NAYRENITH GONZÁLEZ --- 2014119030

PRESENTADO A: JESUS DAVID GONZALEZ ACOSTA SANTA MARTA (MAGDALENA)

INTRODUCCIÓN En el presente trabajo, vamos a usar el calculo de los errores para poder comprender e identificar las diversas fuentes que generan error en la medición, determinar el verdadero valor de las magnitudes físicas medidas de forma directa e indirecta. Además es muy importante la importancia la práctica que debemos de tener a la hora de medir las corrientes del circuito para poder familiarice y poseer un adecuado manejo de los equipos de medición de laboratorio y trabajo enfocado a nuestra carrera. Para culminar con la introducción, nuestro objetivo es establecer la diferencia entre los diferentes tipos de errores de un conjunto de datos consignados en tablas de fenómenos físicos observados, realizando cálculos de incertidumbres con ayuda de conceptos estadísticos e interpretando los resultados a partir ecuaciones matemáticas obtenidas, además asumiendo una actitud crítica de nuestro análisis. Podremos aprecias la importancia del trabajo en equipo y el papel de la ciencia y la tecnología en la solución de problemas cotidianos.

3. PREGUNTA PROBLEMATIZADORA Describa con sus propias palabras la diferencia entre exactitud y precisión, tal como se emplean con relación a las mediciones experimentales. Haga una lista de cinco errores específicos que suceden con frecuencia en el proceso de hacer mediciones en electricidad y magnetismo. Respuesta Para hacer una diferenciación entre exactitud y precisión primero debemos definir cada una de ellas. Se habla de exactitud cuando la medición que se hace o realiza es la más cercana o aproximada al valor real. Y describimos cómo precisión a la repetición de varias mediciones que nos da o arroja el mismo resultado.

9.1 SITUACIÓN PROBLEMA:

Figura 1.1 Simulación de un experimento de laboratorio.

1. Después de haber observado la figura 1.1 puede usted describir físicamente lo que sucede. Respuesta I (Amperios) es directamente proporcional a V (Voltaje)

2. Identifique que parámetros o variables que necesita medir para analizar el fenómeno físico. Respuesta Se necesita medir la corriente (I), el voltaje (V) y la resistencia (R).

3. ¿Qué elementos matemáticos usaría para estudiar las posibles causa de error en el experimento de la figura 1.1? Respuesta Se usaría el valor real, valor aproximado, error absoluto, error probable y precisión en las mediciones

4. Proponga un experimento que le permita reproducir el fenómeno físico observado. Solo describa lo que va hacer, no es necesario realizar el experimento. Respuesta Implementos: -

Una batería de 5 V Bombillo LED 5mm Hilos de un cable utp Una Protoboard Un multímetro

Armar el circuito en la Protoboard y medir con el multímetro la resistencia e intensidad.

5. Describa que tipos de errores pueden suceder en este experimento común en los cursos de teoría electromagnética. Respuesta Los errores que pueden suceder en un circuito es que haya elementos externos interfiriendo con el buen funcionamiento del circuito, ya sea una carga o la temperatura que en la mayoría de los casos termina quemando los componentes de nuestro circuito.

PARTE 1. 1 1. Después de haber observado la figura 2.3 A y 2.3 B, realice una descripción de lo que observa, en ambos casos se puede determinar las variables que se están midiendo, si es así cuales y defínalas. Respuesta: Podemos observar dos dispositivos que nos sirven para hacer mediciones en la electricidad, el que podemos ver en la figura 2.3 A es un multímetro analógico, y el de la figura 2.3 B uno digital, siendo este último más preciso que el anterior. Podemos determinar las medidas que nos brindan cada uno de ellos, empezando por el multímetro análogo: Mide la resistencia: El tester puede medir la resistencia de una corriente enviando un pequeño voltaje a través de las puntas. La corriente que fluye de vuelta al multímetro hace mover la aguja y nos muestra los valores.

Mide el voltaje: el polímetro puede medir el voltaje también en 4 o 5 rangos (dependiendo el modelo). Se debe seleccionar el rango pertinente girando la rueda. Como vemos en la imagen, podemos medir voltajes de corriente alterna y directa Mide la corriente (amp): por otra parte también podemos medir la corriente en diferentes rangos de 10mA a 10A. En este caso las puntas se utilizan de forma, conectándose a diferente toma del multímetro, ya que se emplea un circuito interno diferente. Un ejemplo seria cuando ocurre que medimos una corriente que es negativa, ya que el medidor no dispones de números negativos y no se leería de forma correcta, por lo que habría que cambiar las puntas positivas y negativas para una medición más precisa Para el multímetro digital tenemos que: Mide la resistencia: se realizan conectando las puntas de prueba en paralelo, a la hora de medir solo hay que seleccionar ac o dc y el rango de medida, es aconsejable en por un rango alto si se desconoce cuánto voltaje hay en el circuito y así evitar daños en el equipo. Mide la corriente: esta, al igual que la tensión puede ser alterna o directa. Para realizar medidas de corriente los rangos habituales son desde 20 uA o 200uA hasta 10A máximo, las medidas de corriente se realizan conectando las puntas en serie, es decir intercalándolas en el circuito. Mide la resistencia: se utiliza para saber la resistencia óhmica de cables, interruptores y conexiones. Las puntas de prueba de conectan igual para medir la corriente, el selector del multímetro debe estar en el rango más alto e ir bajando hasta adecuar el rango.

2. Suponga que un amperímetro análogo (medidor de intensidad de corriente) tiene una escala de lectura de operación que aprecia hasta décimas de amperio (sensibilidad de 𝑆 = 0,1 𝐴) y al hacer una medida, la aguja se queda a la mitad del camino entre 0,6 𝐴 𝑦 0,7 𝐴. ¿cómo se podrá calcular el valor experimental de la medición, llámelo 𝑧1 ? ¿cuál será el error absoluto?, ¿cómo quedaría expresada el valor de la intensidad de la corriente con su incertidumbre? Respuesta: Para calcular el valor experimental de la medición hallamos el punto medio que esta entre 0,6 y 0,7 𝑉𝑒 =

0,6 + 0,7 = 0,65 2

Ahora para hallar el margen de error aplicamos la formula y le sacamos promedio para tener una idea más clara 𝑉𝑒𝑚𝑎𝑥− 𝑉𝑒𝑝𝑟𝑜𝑚 = 0,7 − 0,65 = 0,05 𝐴

𝑉𝑒𝑝𝑟𝑜𝑚 − 𝑉𝑒𝑚𝑖𝑛 = 0,65 − 0,6 = 0,05 𝐴 𝑃𝑒 =

0,05 + 0,05 = 0,05 𝐴 2

Por lo tanto, la intensidad de la corriente con su incertidumbre queda expresada asi: 0,6𝐴 ± 0,05𝐴 O 0,7𝐴 ± 0,05𝐴

3. Ahora suponga que usted tiene un cronómetro digital que mide hasta las milésimas de segundos (sensibilidad 𝑆 = 1 𝑚𝑠) estima el periodo de oscilación de un péndulo en 882 milisegundos. ¿cómo se podrá calcular el valor experimental de la medición, llámelo 𝑧1 ? ¿cuál será el error absoluto?, ¿cómo quedaría expresada el valor de la intensidad de la corriente con su incertidumbre? Respuesta: Entonces m1= 882ms y el error absoluto es de 1ms, por lo tanto quedara expresado como 882(±1)ms

PARTE 2. 1 1. Cuatro observadores efectuaron un conjunto de mediciones independiemtes de voltaje, que se registraron como 117,02 𝑉; 117,11 𝑉; 117,08 𝑉 𝑦 117; 03 𝑉. Calcúlese a) Voltaje promedio; b) rango del error. Respuesta: Encontramos los voltajes promedio sumando todos los voltajes y diviendolos por el número de ellos 𝑉𝑝 =

117,02 + 117,11 + 117,08 + 117,03 = 117,06 4

Organizamos los datos en la tabla y aplicamos formula 𝐸𝑚𝑎𝑥− 𝐸𝑝𝑟𝑜𝑚 = 117,11 − 117,06 = 0,05 𝑉 𝐸𝑝𝑟𝑜𝑚 − 𝐸𝑚𝑖𝑛 = 117,06 − 117,02 = 0,04 𝑉

El rango promedio del error es: 0,05 + 0,04 = ±0,05 𝑉 2

2. Dos resistencias, 𝑅1 y 𝑅2 están conectados en serie. Las mediciones de la resistencias medidas individualmente con un multimetro digital dieron valores de 𝑅1 = 18,7 Ω y 𝑅2 = 3,624 Ω . Calcúlese la resistencia total con el número apropiado de cifras signifcativas. Respuesta: Cuando dos resistencias estan en serie, su resistencia total se calcula sumandolas, de esta forma: 𝑅𝑇 = 𝑅1 + 𝑅2 𝑅𝑇 = 18,7Ω + 3,624Ω = 22,324Ω

3. En el cálculo de una caída de voltaje una corriente de 3,18 𝐴 se registra en una resistencia de 35, 68 Ω, calcuúlese la caída de voltaje a través de la resistencia con el número apropiado de cifras significativas Respuesta: Aplicando la formual de la ley de ohm, podemos calcular la caida de voltaje a tra vez de la resistencia de 35,68 Ω. 𝑉 =𝐼∙𝑅 𝑉 = 3,18 𝐴 ∙ 35,68 Ω = 113.4624 V

4. a). Sumar 826 ± 5 con 628 ± 3 b) Sustraer 628 ± 3 con 826 ± 5 c) Réstese 437 ± 4 de 462 ± 4 y exprése el rango de incertidumbre como porcentaje en la respuesta. Respuesta: Para sumar dos cifras con rangos, sumamos la parte real con la otra parte real, y luego la aproximacion con la otra aproximacion. (826 ± 5) + (628 ± 3) (826 + 628) ± (5 + 3) 1454 ± 8

Para el punto B hacemos lo mismo pero restamos. (628 ± 3) − (826 ± 5) (628 − 826) ± (3 + 5) 198 ± 8 Y por ultimo para el punto c aplicamos lo que ya sabesmo, pero esta vez expresamos la parte de la incertidumbre en porcentaje (462 ± 4) − (437 ± 4) (462 − 437) ± (4 + 4) 25 ± 8 8 ∙ 100 = 32% 25 25 ± 32%

5. En un voltíemtro con sensibilidad de 1000 Ω/𝑉 se lee 100 𝑉 en su escala 150 𝑉, conectado a través de una resistencia desconocida en serie con un miliamperimetro. Cuando el miliampiremetro indica 5 𝑚𝐴, calculese a) el valor de la resistencia aparente desconocida; b) el valor de la resistencia real desconocida; c) el error debido al efecto de carga del voltimetro. Respuesta: Hallamos la resitencia total aplicando su ecuacion: 𝑅𝑇 =

𝑉 100𝑉 = = 200 Ω 𝐼 0,5𝐴

Por lo tanto el valor de la resitencia aparente desconocida es de 200 Ω y para hallar el valor de la resistencia real desconocida, debemos conocer la resistencia del multimetro que es: 𝑅𝑚 = 1000

Ω ∗ 150 = 15000Ω 𝑣

Por consiguiente la resistencai real desconocida seria: 𝑅𝑥 =

𝑅𝑡 ∙ 𝑅𝑚 200Ω ∙ 150𝑘Ω = = 200.2671Ω 𝑅𝑚 − 𝑅𝑡 150𝑘Ω − 200Ω

6. Repitase el ejercicio anterior pero ahora el miliamperímetro indica 800 𝑚𝐴 y en el voltímetro

se lee 40 𝑉 en su escala 150 𝑉. Respuesta: Aplicando la ecuación para hallar la resistencia total tenemos que:

𝑅𝑇 =

𝑉𝑇 40𝑉 = = 50Ω 𝐼𝑇 0.8𝐴

el valor de la resistencia aparente desconocida es de 50 Ω Para hallar el valor de la resistencia real desconocida, debemos conocer la resistencia del voltímetro que es igual a: 𝑅𝑉 = 1000

Ω ∗ 150𝑉 = 150000Ω 𝑉

Por lo tanto, la resistencia real desconocida sería: 𝑅𝑥 =

𝑅𝑇 𝑅𝑉 50Ω × 150𝑘Ω = = 50.01Ω 𝑅𝑉 − 𝑅𝑇 150𝑘Ω − 50Ω

El error debido al efecto de carga del voltímetro es: %𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 =

𝑟𝑒𝑎𝑙 − 𝑎𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 50.01 − 50Ω × 100% = × 100 = 0.19% 𝑟𝑒𝑎𝑙 50.01Ω

7. Seis observadores tomaron un conjunto de mediciones independientes de corriente y los registraron como: 12,8 𝑚𝐴; 12,2 𝑚𝐴; 12,5 𝑚𝐴; 12,31 𝑚𝐴; 12, 9 𝑚𝐴; 12,4 𝑚𝐴. Hay que calcular a) media aritmética; b) desviaciones de la media; c) calcúlese la desviación promedio para los datos anteriores. Respuesta: Hallamos la media aritmética 𝑁

1 𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛 𝑥 ∑ 𝑥𝑖 = 𝑁 𝑛 𝑖=1

=

12.8 + 12.2 + 12.5 + 12.31 + 12.9 + 12.4 75.11 = = 12.51 6 6

Hallamos la desviación de la media: 𝑑 = 𝑥𝑖 − 𝑥 𝑑1 = 12.8 − 12.51 = 0.29 𝑑2 = 12.2 − 12.51 = −0.31 𝑑3 = 12.5 − 12.51 = −0.01 𝑑4 = 12.31 − 12.51 = −0.2 𝑑5 = 12.9 − 12.51 = 0.39 𝑑6 = 12.4 − 12.51 = −0.11

Con los datos anteriores calculamos la desviación promedio: 𝐷= 𝐷=

|𝑑1 | + |𝑑2 | + ⋯ + |𝑑𝑛 | ∑|𝑑| = 𝑛 𝑛

|0.29| + |0.31| + |0.01| + |0.2| + |0.39| + |0.11| = 0.21 6

8. Diez mediciones de una resitencia dan 101,2 Ω; 101,7 Ω; 101,3 Ω; v101,0 Ω; 101,5 Ω; 101,3 Ω; 101,2 Ω; 101,4 Ω; 101,3 Ω y 101,1 Ω. Supóngase que únicmente están presentes errores aleatorios; calcúlese a) media aritmetica; b) desviación estándar de las lecturas; c) error probable. Respuesta: A. Hallamos la media aritmética para tener una estimación de los datos y poder tener unos datos menos inestables a los anteriores 𝑁

1 𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛 𝑥 ∑ 𝑥𝑖 = 𝑁 𝑛 𝑖=1

=

101.2 + 101.7 + 101.3 + 101.0 + 101.5 + 101.3 + 101.2 + 101.4 + 101.3 + 101.1 10 = 101.3

Con lo anteriror podemos decir que la medida aproximada de la resistencia es de 101.3Ω B. Se realiza la desviación estandar para saber que tanto varian los datos respecto a la media 𝜎𝑥 = √

√

1 ∑(𝑥𝑖 − 𝑥)2 𝑁−1

(−0.1)2 + (0.4) + (0)2 + (−0.3)2 + (0.2)2 + (0)2 + (−0.1)2 + (0.1)2 + (0)2 + (−0 − 2)2 10 − 1

= 0.2

C. Error probable: 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑙𝑒 = 0,674 ×

1 − 𝑟2 √𝑛

= 0.134

9. Un voltímetro de 0 − 150 𝑉 tiene una exactitud garantizada de 1% de lectura a plena escala. El voltaje medido por este instrumento es 83 𝑉. Calcúlese el error límite en porcentaje. Respuesta: El error límite es: 0.01 × 150𝑉 = 1.5𝑉 Entonces, el porcentaje de error es: 1.5 × 100 = 1.81 83 La resolución del voltímetro tendrá un error de 1.81% en la precisión con la que realice la medición.

10. El voltaje generado por un circuito es igualmente dependiente del valor de tres resistencia y está dado por la sigeinte ecuación: 𝑉𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 =

𝑅1 𝑅2 𝑅3

Si la tolerancia de cada resitencia es 0,1%, ¿cuál es el error máximo del voltaje generado? Respuesta: Cuando 𝑅1 y 𝑅2 alcanzan el mayor valor permitido por la tolerancia, en este caso 0.1% sus valores serian 1.001 y 𝑅3 está en el menor valor permitido por la tolerancia, su valor sería de 0.999. Con esto se obtendría el valor máximo par V, que sería: 𝑉=

(1.001𝑅1 )(1.001𝑅2 ) = 1.003 0.999𝑅3

Ahora, sí 𝑅3 es el más alto y 𝑅1 y 𝑅2 están en el valor más bajo, tenemos que: 𝑉=

(0.999𝑅1 )(0.999𝑅2 ) = 0.997 1.003𝑅3

Por lo que la variación del voltaje es ±0.3%

11. La corriente que circula por una resistencia de 100 ± 0,2 Ω es 2,00 ± 0,01 𝐴. Con la relación 𝑃 = 𝐼 2 𝑅, calcúlese el erroe límite del valor de la disipación de potencia. Respuesta: Tenemos que los límites de corriente y resistencia en porcentaje son: 𝐼 = 2.00 ± 0.01 = 2.00 ± 0.5% 𝑅 = 100 ± 0.2% = 100 ± 0.2% Que usaremos para aminorar los posibles errores a la hora del cálculo de la potencia y así obtener la disipación de potencia, nos quedaría que: 𝑃 = 𝐼 2 (1 + 0.005)2 𝑅(1.002) = 1.012𝐼 2 𝑅 𝑃 = 𝐼 2 (1 − 0.005)2 𝑅(1 − 0.002) = 0.988𝐼 2 𝑅

12. Un miliamperímetro de 0 − 1 𝑚𝐴 tiene 100 divisiones cuyas divisiones puede ser fácilmente leídas. ¿Cuál es la resolución del medidor? Respuesta: La resolución hace referencia a la presición que tienen los instrumentos para realizar una medición, por lo que calulando la resolución del miliamperimetro tenemos: 1/100=0,01 mA Lo que nos indica que éste tiene una resolución de una centesima de miliamperes.

13. Un voltímetro digital tiene un rango de conteo de lecturas de 0 𝑎 9 999. Determinese la resolución del instrumento en volys cuando lee la lectura al máximo de la escala en 9 999 𝑉. Respuesta: Para determinar la resolución del instrumento en vols cuando lee la lectura al máximo de la escala en 9 999 V, tenemos: 9000/1000=9v El voltímetro tiene una resolución de 9v en un rango de 1000 lecturas.

14. Establézcase el número de cifras significativas en cada uno de los siguientes casos: a) 542, b) 0,65; c) 27,25; d) 0,00005; e) 40 × 106 ; f) 20 000. Respuesta: Para poder establecer las cifras significativas de los siguientes números, toca saber que son las cifras significativas, son una medida que aportan alguna información. Representan el uso de una o más escalas de incertidumbre en determinadas aproximaciones. Por ejemplo, se dice que 4756 tiene 4 cifras significativas, mientras que 4*103 tiene 1 cifra significativa. A. Tiene 3 cifras significativas B. Tiene 2 cifras significativas C. Tiene 4 cifras significativas D. Tiene 1 cifras significativas E. Tiene 2 cifras significativas F. Tiene 5 cifras significativas

15. Cuatro capacitores están colocados en paralelo. Los valores de los capcitores son: 36,3 𝜇𝐹; 3,85 𝜇𝐹; 34,002 𝜇𝐹; y 850 𝑛𝐹, con una incertidumbre de un dígito en el último lugar ¿Cuál es la capacitancia total? Dar solamente las cifras signitivas en la respuesta. Respuesta: Para calcular la capacitacion total en un circuito en serie, vamos a usar la siguiente formula: 𝐶𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐶1 + 𝐶2 + 𝐶3 … . +𝐶𝑛 Antes de usar la formula, hay que convertir nanófaradios a micrófradios para poder hacer la suma de todos los resistores: 850 ∗ 0.001 = 0,850μ𝐹 1 Aplicamos la formula con los resistores que tenemos: 𝐶𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 36,3 + 3,85 + 34,002 + 0,850 = 75,002μ𝐹 Tenemos como capacitancia total: 75,002μF

16. Se mide una caída de voltaje de 112,5 𝑉 a través de una resitencia por la cual pasa una corriente de 1,62 𝐴. Calcúlese la potencia disipada en la resistencia. Dar solamente las cifras significativas en la respuesta. Respuesta: Para poder resolver este punto, usaremos la ley de Ohm. Tenemos como datos: 112,5 V y 1,62 A Para calcular la resistencia, dividimos voltaje por amperios: 𝑅=

𝑉 112,5 = = 69,4 Ω 𝐼 1,62

Ahora calculamos la potencia disipada en la resistencia: 𝑃 = 𝑅 ∗ 𝐼 2 = 69,4 ∗ (1,62)2 = 182,13 𝑊 la potencia disipada en la resistencia es de 182,13 𝑊

17. ¿Qué voltaje daría un medidor de 20 000 𝑜ℎ𝑚𝑠/𝑉 en la escala de 0 − 1 𝑉, que se presenta en el circuito de la figura 2.4?

Figura 2. 4. Circuito pregunta 17. Respuesta: Debemos conocer la resistencia del voltímetro que es igual a: 𝑅 = 20000

Ω ∗ 1𝑉 = 20000Ω 𝑉

Por lo tanto, la resistencia sería: 𝑅=

100000 × 2000 = 16666,67Ω 100000 + 2000

Sumamos la resistencia del voltímetro y la resistencia de serie, para hallar la resistividad total: 𝑅𝑡 = 16666,67Ω + 1𝑀Ω = 1016666,67Ω Usamos la ley de Ohm, para hallar amperios: I𝑡 =

V 5 = = 4,92 A R 1016666,67

Ya que tenemos amperios y resistor, buscamos el voltaje del medidor: E = 4,92μA ∗ 16666,67Ω = 82mV El voltaje que daría un medidor de 20 000 𝑜ℎ𝑚𝑠/𝑉 en la escala de 0 − 1 𝑉 en el circuito anterior es de 82mV.

18. El voltaje en un resistor es de 200 𝑉, con un error probable de ±2 %, y la resistencia es de 42 Ω con un error probable de ± 1,5 %. Calcúlese a) la potencia disipada en el resistor; b) el porcentaje de error en la respuesta. Respuesta: A. La potencia disipada en el resistor: V = 200 V ± 2% = (200 ± 4) V R = 42 Ω ± 1,5 % = (42 ± 0,63)Ω E 2 (200)2 P= = = 952,381 W R 42 ∆P = (200 ∗ 4) + (200 ∗ 4) = 1600 W B. El porcentaje de error en la respuesta: ∆P =

(400 ∗ 0,63) + (1600 ∗ 4) = 52,381 W (42)2

P = (952,381 ± 52,381)W = (952,381 W ± 5,5%)

19. Los siguientes valores se obtuvieron de las mediciones del valor de un resitencia: 147, 2 Ω; 147, 4 Ω; 147, 9 Ω; 148, 1 Ω; 147, 1 Ω; 147, 5 Ω; 147, 6 Ω; 147, 4 Ω; 147, 6 Ω; 147, 5 Ω. Calcúlese a)media aritmética; b) desviación promedio; c) desviación estándar; d) error probable del promedio de las diez lecturas. Respuesta: A. Usamos la formula de media armétrica: N

1 x̅ = ∑ xi N i=1

Remplazos x̅ =

147.4 + 147.9 + 148.1 + 147.1 + 147.5 + 147.6 + 147.4 + 147.6 + 147.5 + 147.2 10 x = 147,5

B. Usamos la formula de la desviación promedio: ∑𝑁 |𝑥1 − 𝑥| + |𝑥2 − 𝑥| + ⋯ + |𝑥𝑁 − 𝑥| 𝑖=1 | 𝑥𝑖 − 𝑥| 𝐷𝑥 = = 𝑁 𝑁 Remplazamos 𝐷𝑥 =

0.1 + 0.4 + 0.6 + 0.4 + 0 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0 + 0.3 = 0.21 10

C. Usamos la formula de la desviación estandar: 1 𝜎𝑥 = √ ∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 𝑁 Remplazamos

𝜎𝑥 = √

0.12 + 0.42 + 0.62 + 0.42 + 02 + 0.12 + 0.12 + 0.12 + 02 + 0.32 = 0.3 10

C. Error probable: Sabemos que el error probable es la multiplicacion del procentaje los datos medidos que estan en la desviación estandar por la desviación estandar. E𝑝 = 0.6747 ∗ 0.3 = 0.2 Ω

20. Seis mediciones de una cantidad están asentadas en la hoja de dato y se presentan para su análisis: 12,35; 12,71; 12,48; 12,24; 12,63 y 12,58. Hay que examinar los datos y con base en las conclusiones calcular: a) media aritmética; b) desviación estándar; c) error probable en porcentaje del promedio de las lecturas. Respuesta: A. Usamos la formula de media armétrica: N

1 x̅ = ∑ xi N i=1

Remplazos x̅ =

12.35 + 12.71 + 12.48 + 10.24 + 12.63 + 12.58 = 12.17 6

B. Usamos la formula de la desviación estandar: 1 𝜎𝑥 = √ ∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 𝑁 Remplazamos

𝜎𝑥 = √

(0.18)2 + (0.54)2 + (0.31)2 + (1.93)2 + (0.46)2 + (0.41)2 = 0.87 6

C. Error probable: Sabemos que el error probable es la multiplicacion del procentaje los datos medidos que estan en la desviación estandar por la desviación estandar. E𝑝 = 0.6745 ∗ 0.87 = 0.58 Ω Sacamos el porcentaje del error probable: X=

0.58 ∗ 100% = 4.81% 12.17

21. Dos resistencias tienen los siguientes valores 𝑅1 = 36 Ω ± 5 % y 𝑅2 = 75 Ω ± 5 % Calcúlese a) la magnitud del error en cada resistencia; b) error límite en ohms y en porcentaje cuando las resistencias se conectan en serie; c) el error límite en ohms y en porcentaje cuando se conectan en paralelo. Respuesta: A. La magnitud del error en cada resistencia: R1 = 36Ω ± 5% = (36 ± 1.8)Ω R 2 = 75Ω ± 5% = (75 ± 3.75)Ω B. El error límite en ohms: Rt = (111Ω ± 10%) = (111 ± 11.1)Ω

C. El error límite en ohms y en porcentaje cuando se conectan en paralelo.

Rt =

Rt =

(36 ± 1.8) ∗ (75 ± 3.75) (111 ± 11.1)

(2700 ± 270) 111 ± 11.1 ∆R =

∆R = 36 ∗ 3.75 + 1.8 ∗ 75 = 270Ω

2700 ∗ 11.1 + 270 ∗ 111 = 4.86Ω 1112 Rt = (24.32 ± 4.86)Ω

22. El valor de una resistencia desconocida se determina con el método del puente de Wheatstone. La solución para la resitencia desconocida es 𝑅𝑑 =

𝑅1 𝑅2 𝑅3

, donde:

𝑅1 = 500 Ω ± 1 % 𝑅2 = 615 Ω ± 1 % 𝑅3 = 100 Ω ± 1 % Calcular a) valor nominal de la resistencia desconocida; b) error límite en ohms de la resistencia desconocida; c) el límite en porcentaje de la resitencia desconocida. a) Calculando el valor nominal reemplazando en la ecuación tenemos: 𝑅𝑑 =

500 Ω 𝑥 615 Ω = 3075 Ω 100 Ω

b) Hallando el error límite tenemos: 500 𝑥 0,01 = 5 615 𝑥 0,01 = 6,15 100 𝑥 0,01 = 1 𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 =

5 + 6,15 + 1 = 9,59𝑥10−3 Ω 500 + 615 + 100

c) Pasando el límite a porcentaje nos queda: 𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟𝑃𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 = 9,59𝑥10−3 𝑥100 = 0,96 %

23. Se mide una resistencia con el método del voltímetro- amperímetro. Lectura del voltimetro es 123,4 𝑉 en la escala de 250 𝑉 y la del amperímetro es 283, 𝑚𝐴 en la de 500 𝑚𝐴. Ambos medidores están garantizados con una exactitud de ±1% de lectura a plena escala. Calcúlese a) valor indicado de la resitencia, b) limites dentro de los cuales se puede garantizar el resultado. a) Calculando el valor indicado tenemos: 𝑉𝑥 = 0,01 𝑥 123,4 = 1,23 𝑅=

123,4𝑉 = 0,43 𝑘Ω 283,5𝑚𝐴

𝐼𝑥 = 0,01 𝑥 283,5 = 2,83

b) Calculando los límites: 𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 =

1,23 + 2,83 = 9,98𝑥10−3 𝑘Ω 123,4 + 283.5

24. En un circuito de cd, el voltaje en un componente es de 64,3 𝑉 y la corriente de 2,53 𝐴, y ambos están dados con uns incertidumbre de una unidad en el último lugar. Calcúlese la disipación de potencia con el número apropiado de cifras significtivas. Calculando la disipación de potencia tenemos: 𝑅=

64,3 𝑉 = 25,42 2,53 𝐴

𝑃 = 𝐼2𝑥 𝑅 𝑃 = (2,53)2 𝑥 (25,4) 𝑃 = 163 𝑊

25, Se probó un transformador de potencia para determinar pérdidas y eficiencia. La potencia de entrada se midó siendo igual a 3650 𝑊 y la salida de potencia entregada fue 3385 𝑊, en cada lectura por ± 10 𝑊. Calcúlese a) porcentaje de incertidumbre en las pérdidas del transformador; b) porcentaje de incertdumbre en la eficiencia del transformador, determinado según la diferencia de la entrada y la salida de potencia leídas. a) Calculando el porcentaje de incertidumbre en las pérdidas del transformador tenemos: 𝑃𝑒𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎 = (3650 ± 10) − (3385 ± 10) = (265 ± 20)𝑊 = (265 𝑊 ± 7.55%) b) Calculando el porcentaje de incertdumbre en la eficiencia del transformador, determinado según la diferencia de la entrada y la salida de potencia leídas tenemos: 𝐸=

(3385 ± 10) (3650 ± 10)

𝐸 = 0.93 ± (

3385 ∗ 10 + 3650 ∗ 10 ) 36502

𝐸 = 0.93 ± 0.0053 𝐸 = 0.93 ± 0.57%

26. El factor de potencia y el ángulo de fase en un circuito que conduce una corriente senoidal se determinan mediante mediciones de corriente, voltaje y potencia. La corriente es leída como 2,50 𝐴 en un amperímetro de 5 𝐴, el voltaje como 115 𝑉 en un voltimetro de 2,50 𝑉 y la potencia como220 𝑊 en un wattímetro de 500 𝑊. El amperimetro y el voltímetro están garantizados con una exactitud de ±0,5 % de la deflexión total. Calcúlese a) porcentaje de exactitud al cual se puede garantizar el factor de potencia; b) posible error en el ángulo de fase. 𝐼 = 2.5 𝐴 ± 5% 𝑉 = 115 𝑉 ± 5% 𝑃 = 220 𝑊 ± 1% 𝑆 =𝑉∗𝐼 𝐹=

𝑃 𝑆

a) Calculando el porcentaje de exactitud al cual se puede garantizar el factor de potencia tenemos: 𝑆 = (115 ± 5.75) ∗ (2.5 ± 0.13) 𝑆 = 287.5 ± (115 ∗ .013 + 5.75 ∗ 2.5) 𝑆 = 287.5 ± 29.33 𝐹=

(220 ± 2.2) (287.5 ± 29.33)

220 ∗ 29.33 + 287.5 ∗ 2.2 ) 𝐹 = 0.77 ± ( 287.52 𝐹 = 0.77 ± 0.082 𝐹 = 0.77 ± 10.6% b) Calculando el posible error en el ángulo de fase tenemos: 𝑠𝑒𝑛𝜃 =

𝑃 𝑆

𝑠𝑒𝑛𝜃 =

220 + 2.2 287.5 ± 29.33

∆𝑠𝑒𝑛𝜃 =

220 ∗ 29.3 + 287.5 ∗ 2.2 287.52

∆𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0.0856 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0.7652 ± 0.0856 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0.7652 ± 11.18%

27. Un vólmetro cuya exactitud está garantizada en menos de 2% de su lectura a escala completa se emplea en su escala de 0 a 50 𝑉. El voltaje medido por el medidor es 15 𝑉 y 42 𝑉. Calcúlese el porcentaje posible de errror en ambas lecturas. Calculando el error porcentual en la medida de 15 V tenemos: 0,02 𝑥 50 = 1 𝑉 15 ± 1 𝑉 𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟𝑃𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 = =

𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑉𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜 − 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑀𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜 𝑥 100 % 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑉𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜

15 − 14 𝑥 100 % 15

= 6,667 % Calculando el error porcentual en la medida de 42 V tenemos: 0,02 𝑥 50 = 1 𝑉 42 ± 1 𝑉 𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟𝑃𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 = =

𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑉𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜 − 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑀𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜 𝑥 100 % 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑉𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜

42 − 41 𝑥 100 % 42

= 2,38095 %

28. Un ampérmetro de 0 a 50 𝑚𝐴 tiene una exactitud de 0,5 %. ¿Entre que límites puede estar la corriente real cuando el medidor indica 13𝑚𝐴? Despejando el valor verdadero de la ecuación de error porcentual tenemos: 𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟𝑃𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 = 0,5 % =

𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑉𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜 − 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑀𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜 𝑥 100 % 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑉𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜

𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑉𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜 − 13 𝑚𝐴 𝑥 100 % 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑉𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜

0,5 𝑥 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑉𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜 = (𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑉𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜 − 13 𝑚𝐴) 𝑥 100 13 𝑚𝐴 𝑥 100 = (100 − 0,5) 𝑥 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑉𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑉𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜 = 13,0653 𝑚𝐴

29. Diez mediciones de corriente en la rama de un circuito dan los valores de 50,2 𝑚𝐴; 50,6 𝑚𝐴; 49,7 𝑚𝐴; 51,1 𝑚𝐴; 49,9 𝑚𝐴; 50,4 𝑚𝐴; 49,6 𝑚𝐴; 50,3 𝑚𝐴 y 51,0 𝑚𝐴. Supóngase que sólo se tiene errores aletorios en el sistema de medida, calcúlese: a) el valor promedio, b) la desviación estándar de la lecturas, c) el error probable de las lecturas. a) Calculando el valor promedio: 𝑥̄ =

50,2 + 50,6 + 49,7 + 51,1 + 50,3 + 49,9 + 50,4 + 49,6 + 50,3 + 51,0 10

𝑥̄ = 50,3 b) Desviación estándar de las lecturas: • • • • • • • • • •

50,2 − 50,3 50,6 − 50,3 49,7 − 50,3 51,1 − 50,3 50,3 − 50,3 49,9 − 50,3 50,4 − 50,3 49,6 − 50,3 50,3 − 50,3 51,0 − 50,3

c) Error probable de las lecturas • • • • • • • • • •

0,6745 𝑥 0,031 = 0,021 0,6745 𝑥 0,098 = 0,064 0,6745 𝑥 0,189 = 0,13 0,6745 𝑥 0,25 = 0,17 0,6745 𝑥 0 = 0 0,6745 𝑥 0,13 = 0,09 0,6745 𝑥 0,031 = 0,02 0,6745 𝑥 0,22 = 0,15 0,6745 𝑥 0 = 0 0,6745 𝑥 0,22 = 0,15

30. Los valores siguientes de voltaje están listados en una hoja de datos como valores obtenidos al medir un determinado voltaje: 21,45 𝑉; 21,74 𝑉; 21, 66 𝑉; 19,07 𝑉; 21,53 𝑉; 21,19 𝑉. Del examen de los números,calcúlese: a) el valor promedio, b) el error probable, c) Si sólo se tienen errores aleatorios, ¿cómo se manipula el valor 19,07 𝑉? a) Calculando el valor promedio: 𝑥̄ =

21,45 + 21,74 + 21,66 + 19,07 + 21,53 + 21,19 6

𝑥̄ = 21,11 b) Error probable: 𝑆= √

0,16 + 0,39 + 0.30 + 4,16 + 0,18 + 6,4 𝑥10−3 6

𝑆 = 0,93 𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑙𝑒 = 0,6745 𝑥 0,93 = 0,63

CONCLUSIÓN Con este trabajo pudimos comprender el cálculo de los errores, a la hora de hacer mediciones en los circuitos y poder ser ingenieros mas eficientes e íntegros, con baja probabilidad de cometer errores y dar a la sociedad buenos productos. También se llega a la conclusión que los errores se presentan al momento de medir una magnitud física por eso se debe realizar las medidas con precaución y evitando el error causal. Para diferentes magnitudes existe otro proceder para el cálculo del error. En esta práctica se pudo comprobar que nosotros sabemos utilizar el cálculo de los errores como debería de ser y recomendamos utilizar correctamente los instrumentos de medida de acuerdo con las instrucciones del profesor. Practicar el uso de los instrumentos de medición como es el multímetro, pues esto facilitará la toma de mediciones de una manera acertada y rápida, siempre teniendo en cuenta en que las mediciones o cálculos existirá siempre los errores de medida. Ya teniendo los resultados tanto valor experimental y el valor exacto, comprobamos que los resultados no son totalmente exactos todo el tiempo, ya que hay variaciones entre una y otra medida realizada. Se diría que nunca daremos con una medida exacta ni precisa solo una aproximación.