Teorema Bisectoarei [PDF]

Zitiervorschau

Teorema 1 (Teorema bisectoarei) Într-un triunghi ABC bisectoarea interioară  AD împarte latura  BC  în segmente proporționale cu laturile triunghiului:

BD AB .  DC AC

Demonstrație:

Notăm BC  a, AC  b, AB  c și considerăm M  AB, N  AC astfel încât AM  bAB și AN  cAC .Atunci

AM  b AB  bc și AN  c AC  cb , deci cei doi vectori au aceeași lungime.Construim apoi AMPN paralelogram.Dar cum paralelogramul are două laturi alăturate de lungimi egale, rezultă că el este un romb.Cum într-un romb diagonalele sunt bisectoare rezultă că A, D, P sunt coliniare și deci AD, AP sunt vectori coliniari, adică  

astfel

încât AD   AP 1 .

Deoarece AMPN paralelogram, atunci AP  AM  AN (regula paralelogramului) și vom avea conform (1)



 



AD   AP   AM  AN   bAB  cAC   bAB   cAC  2  .

 AD fiind bisectoarea unghiului

BAC atunci D   BC  și atunci D împarte segmentul  BC  într-un raport pe care îl

vom nota cu k (k  0) , adică BD  k DC și deci BD  kDC sau k 

Deoarece BD  k DC , atunci AD 

BD . DC

1 k 1 k și  c  .Făcând AB  AC  3 .Din (2)+(3) rezultă că  b  k 1 k 1 k 1 k 1

k

c k 1 c c BD raportul obținem .q.e.d.    k ,adică  1 b DC b b k 1 1

Consecințe:

Dacă  AD este bisectoarea unghiului

Reținem : AD 

AB  k AC  BAC atunci : AD  k 1

c b AB  c AC AC b AB  c AC b b   . c cb b  c 1 b b

AB 

bAB  c AC   . bc

Remarcă: Presupunând că O este un punct fix din plan vom avea că AO  OD  AD, AO  OB  AB, AO  OC  AC și deci din   obținem :

AO  OD 

OD 



 

b AO  OB  c AO  OC bc

  b  c  AO  bOB  cOC  AO  bOB  cOC  bc

bc

br  crC bOB  cOC .  rD  B bc bc

Reținem: rD 

brB  crC  bc

2

bc

Teorema2 (concurența bisectoarelor) Bisectoarele interioare ale unui triunghi sunt concurente într-un punct I Vectorul de poziție al punctului I este dat de : rI 

arA  brB  crC . abc

Demonstrație:

Fie D   BC  , E   AC  astfel încât

 AD ,  BE sunt bisectoarele interioare ale triunghiului. Notăm

BC  a, AC  b, AB  c și fie

I    AD  BE .Vectorii

AI și BI sunt

coliniari cu vectorii AD și BE și deci  ,   astfel încât

AI   AD 

b

AB 

c

AC și bc bc a c BI   BE  BA  BC 1 . ac ac Din triunghiul AIB obținem :

AB  AI  IB  AI  BI 

b bc

AB 

c bc

AC 

a ac

BA 

c ac

BC 

b bc

AB 

c bc

AC 

a ac

AB 

c a c

BC 

a  c c a  c c c  b  b   AC  BA  AC    AC  BA  AC   AB   AB  bc ac bc ac ac bc ac bc ac 





a c  c   b  c      AB    AC . bc ac ac bc ac Deci

a c  c  a c c   b  c  b   c AB         1 AB     AB    AC    AC  0  bc ac ac  bc ac  bc ac ac  bc a c 

3

b bc



a ac



c

c bc



c ac

c

 0 (DE CE?).Din

bc



c

0







și folosind

ac bc ac  a  b  c b a c ac b a c iar apoi   1  0  1      1  0 obținem ac ac ac ac a b c bc ac ac imediat și  

ac

 1  0 și

bc b  c bAB  c AC bAB  c AC aBA  cBC .Prin urmare AI   AD  și analog BI  .  abc abc bc abc abc

Dacă O este un punct fix din plan, folosind vectorii de poziție pentru punctele A, B, C, I și relațiile de mai sus obținem

AO  OI 

 OI 



 

b AO  OB  c AO  OC abc

  b  c  AO  bOB  cOC  OI  b  c  AO  bOB  cOC  AO  abc

abc

 b  c  AO   a  b  c  AO  bOB  cOC  a AO  bOB  cOC  aOA  bOB  cOC abc

abc

abc

 4 . Q.e.d.

Dacă E   AC  , F   AB  astfel încât  BE ,  CF sunt bisectoarele interioare ale triunghiului și I    BE atunci se poate arăta analog că OI  

aOA  bOB  cOC  5 . abc

Din (4)+(5) avem că I  I  de unde rezultă concurența bisectoarelor și faptul că I este centrul cercului înscris în triunghiul ABC .

Reținem:

AI 

bAB  c AC   abc

OI 

aOA  bOB  cOC  abc

sau

rI 

arA  brB  crC  abc

4

CF

Relația lui Sylvester Teorema (Sylvester) Dacă O și H sunt centrul cercului circumscris , respectiv ortocentrul unui triunghi ABC , atunci are loc relația OH  OA  OB  OC . Demonstrație: În triunghiul ABC considerăm Q mijlocul segmentului  BC  , O centrul cercului circumscris , D  BC astfel încât AD  BC și H  AD astfel încât

AH  2OQ .Deoarece OQ  este mediană în triunghiul BOC avem că

2OQ  OB  OC și deci AH  2OQ  OB  OC 1 .Pe de altă parte folosind regula 1

triunghiului avem OH  OA  AH  OH  OA  OB  OC. 1 În mod analog considerăm R mijlocul segmentului  AC  , O centrul cercului circumscris , E  BC astfel încât BE  AC și H   BE astfel încât

BH   2OR

de unde rezultă la fel că OH   OA  OB  OC.  2 

În mod analog considerăm T mijlocul segmentului  AB  , O centrul cercului circumscris , F  AB astfel încât CF  AB și H   CF astfel încât CH   2OT

de unde rezultă la fel că OH   OA  OB  OC.  3

Din (1)+(2)+(3) rezultă că H  H   H  și deci cele trei înălțimi ale triunghiului sunt concurente. Reținem : 1.Înălțimile unui triunghi sunt concurente într-un punct numit ortocentrul triunghiului. 2.Dacă ABC triunghi și O este centrul cercului circumscris iar H este orocentrul triunghiului atunci :

OH  OA  OB  OC (Relația lui Sylvester) Consecințe ale teoremei lui Sylvester 1.Într-un triunghi centrul cercului circumscris , centrul de greutate și ortocentrul sunt puncte coliniare. Demonstrație: Fie ABC un triunghi și O, G, H punctele specificate.Din relația lui Leibniz avem că MA  MB  MC  3MG , oricare ar fi M un punct din plan.Alegem pe postul lui M pe O și obținem că OA  OB  OC  3OG .Dar din relația lui Sylvester avem că OH  OA  OB  OC .Din cele două relații rezultă că OH  3OG 1 și deci OH , OG sunt coliniari iar punctele O, G, H sunt coliniare. Egalitatea 1 mai poate fi speculată astfel: OH  3OG  OH  OG  2OG  GH  2OG  GH  2OG  2  Dreapta pe care se află punctele O, G, H se numește dreapta lui Euler. 5

2.În orice triunghi, cu notațiile uzuale , au loc relațiile : a) HA  HB  HC  3HG ; b) HA  HB  HC  2HO . Demonstrație: a)Relația lui Leibniz





b)Relați lui Leibniz+(1). HA  HB  HC  3HG  3 HO  OG  3HO  3OG  3HO  OH  2 HO . 3.Fie ABC un triunghi și O1 mijlocul segmentului OH  .Atunci are loc relația OA  OB  OC  2OO1 (Relația

lui Euler) Demonstrație: Deoarece O1 este mijlocul lui OH  rezultă că OO1 

1 OH  2OO1  OH  OA  OB  OC .q.e.d. 2

Observații: Fie M mijlocul segmentului  BC  .Din triunghiul

O1OM se deduce că



 



1 1 1 OA  OB  OC  OB  OC   OA 2 2 2 1 1 R așadar O1M  AO și deci O1M AO și O1M  AO  , 2 2 2 unde R este raza cercului circumscris triunghiului ABC .Analog se arată că distanța de la O1 la celelalte mijloace ale laturilor O1M  O1O  OM  

 AB și  AC  este

R .Așadar O1 este cercul cercului 2 circumscris triunghiului median al triunghiului ABC .Cercul care trece prin mijloacele laturilor unui triunghi se numește cercul lui Euler. Dacă notăm cu L mijlocul segmentului  AH  atunci în triunghiul AOH avem că O1 L este linie mijlocie și deci

1 R O1 L  OA adică O1 L  .De aici rezultă că cercul lui Euler trece și prin mijloacele segmentelor  AH  ,  BH  , CH  . 2 2

6