Тензорски рачун и механика континуума Tenzorski račun i mehanika kontinuuma [1 ed.] [PDF]

Zitiervorschau

CHAPTER 1

INDEKSNA NOTACIJA

~iB ~ mogu se izraziti u komponentnom obliku Dva vektora A ~ = A1 b e3 e2 + A3 b e1 + A2 b A

~ = B1 b e3 , e2 + B3 b e1 + B2 b i B

gde su b e1 , b e2 i b e3 ortogonalni jediniˇcni vektori baze. U cilju kratko´ce zapisa, i ako to ~iB ~ zapisuju kao trojke brojeva. Na primer, piˇse ne izaziva zbrku, cˇ esto se vektori A se ~ = (A1 , A2 , A3 ) A

~ = (B1 , B2 , B3 ) i B

~iB ~ date. Jediniˇcni vektori mogu i podrazumeva da su samo komponente vektora A se tako prikazati sa b e1 = (1, 0, 0),

b e2 = (0, 1, 0),

b e3 = (0, 0, 1).

~iB ~ je indeksnom notacijom. U indeksnoj notaciji, Joˇs kra´ce oznaˇcavanje vektora A veliˇcine Ai ,

i = 1, 2, 3

i Bp ,

p = 1, 2, 3

Tenzorski raˇcun i mehanika koninuuma, Prvo izdanje. By Branislav S. Baˇcli´c c ISBN x-xxx-xxxxx-x 2005 John Wiley & Sons, Inc.

1

2

INDEKSNA NOTACIJA

~ i B. ~ Takvo oznaˇcavanje obra´ca paˇznju samo predstavljaju komponente vektora A na komponente vektora i koristi nemi indeks za koji se zadaje opseg celih brojeva ~ koje on moˇze primiti. Simbol Ai odnosi se simultano na sve komponente vektora A. Nemi donji indeks i moˇze imati bilo koju celobrojnu vrednost 1, 2 ili 3. Za i = 1 ~ Stavljenjem i = 2 paˇznja se posve´cuje posmatra se samo komponeta A1 vektora A. ~ drugoj komponenti A2 vektora A i analogno, kada je i = 3 samo tre´coj od vektora ~ Indeks i je nemi indeks (po tome sˇto ne govori niˇsta) i moˇze se zameniti nekim A. drugim slovom, recimo p, ako se zadaju celobrojne vrednosti koje taj nemi indeks moˇze imati. Valja se podsetiti i cˇ injenice da se viˇsedimenzijski vektori mogu definisati kao uredene N -torke. Na primer, vektor ~ = (X1 , X2 , ..., XN ) X sa komponentama Xi , i = 1, 2,...,N naziva se N −dimenzijski vektor. Ovaj vektor se moˇze zapisati i sa ~ = X1 b eN , e2 + ... + XN b e1 + X2 b X

gde su

b e1 , b e2 , ....b eN

linearno nezavisni jediniˇcni vektori baze. Valja zapamtiti da mnoge operacije koje se upotrebljavaju u indeksnoj notaciji vaˇze kako za trodimenzijske vektore tako i za N −dimenzijske vektore. Za naredne odeljke ovog teksta neophodno je definisati veliˇcine koje se zapisuju slovom sa dopisanim gornjim ili donjim indeksima. Takve veliˇcine nazivaju se indeksni sistemi, a kada se one pokoravaju izvesnim zakonima transformacija nazivaju se tenzorski sistemi. Primeri indeksnih sistema su Akij

eijk

δij

δij

Ai

Bj

aij .

Pravila kojim se moraju pokoravati indeksi su slede´ca. 1. Za indekse se upotrebljavaju mala latinska ili grˇcka slova. 2. Slova sa kraja abecede (u, v, w, x, y, z) ili alfabete nikada se ne koriste kao indeksi. Broj donjih i gornjih indeksa odreduje red indeksnog sistema. Sistem sa jednim indeksom je sistem prvog reda. Sistem sa dva indeksa naziva se sistemom drugog reda. U opˇstem sluˇcaju, sistem sa N indeksa naziva se sistemom N -tog reda. Sistem bez indeksa naziva se skalarom ili sistemom nultog reda. Tip indeksnog sistema zavisi od broja gornjih i donjih indeksa koji se pojavljuju m u nekom izrazu. Na primer, Aijk i Bst , (svi indeksi u opsegu od 1 do N ), su sistemi istog tipa jer imaju isti broj gornjih i donjih indeksa. Nasuprot tome, sistemi Aijk i Cpmn nisu istog tipa jer jedan sistem ima dva gornja indeksa, a drugi sistem ima samo

ˇ I KOSO-SIMETRICNI ˇ INDEKSNI SISTEMI SIMETRICNI

3

jedan gornji indeks. Za neke indeksne sisteme vaˇzan je broj gornjih i donjih indeksa, ali ima i sistema gde to uopˇste nije od znaˇcaja. O znaˇcenju i znaˇcaju gornjih i donjih indeksa bi´ce reˇci kasnije u ovom poglavlju. Pri upotrebi gornjih indeksa ne smeju se porbrkati ”stepeni“ neke veliˇcine sa gornjim indeksima. Na primer, ako se nezavisne promenljive (x, y, z) zamene oznakama (x1 , x2 , x3 ), tada je stavljeno y = x2 gde je x2 promenljiva, a nije x stepenovano sa 2. Sliˇcno, z = x3 je zamana z sa promenjivom x3 i to ne treba pobrkati sa x dignutim na tre´ci stepen. Da se zapiˇse veliˇcina sa gornjim indeksom na neki stepen treba koristiti zagrade. Na primer, (x2 )3 je promenljiva x2 na kub. Jedan od razloga uvodenja promenljivih sa gornjim indeksom je cˇ injenica da se mnoge jednaˇcine u matematici i fizici mogu njihovom upotrebom zapisati u konciznom i kompaktnom obliku. U upotrebi indeksa postoji i konvencija o njihovom opsegu. Reˇc je o slede´cem: kadagod se u nekom izrazu indeksi pojavljuju neponovljeni, podrazumeva se da svaki od gornjih ili donjih indeksa moˇze uzeti bilo koju od celobrojnih vrednosti 1, 2, ..., N gde je N zadat ceo broj. Na primer, Kronecker-ov delta simbol δij , definisan sa δij = 1 ako je i = j i δij = 0 za i 6= j, sa i, j u opsegu vrednosti 1,2,3, predstavlja 9 veliˇcina δ11 = 1 δ12 = 0 δ13 = 0 δ21 = 0 δ22 = 1 δ23 = 0 δ31 = 0 δ32 = 0 δ33 = 1. Simbol δij simulatno se odnosi na sve komponente sistema. Evo slede´ceg primera, u jednaˇcini b em · b en = δmn

m, n = 1, 2, 3,

(1.1)

donji indeksi m, n pojavljuju se na levoj strani jednakosti neponovljeni, te se otud moraju pojaviti i na desnoj strani jednakosti. Ovi indeksi se nazivaju “slobodni” indeksi i mogu primiti bilo koju od vrednosti 1, 2 ili 3 kao sˇto je zadato opsegom. Kako postoji tri izbora za vrednost m i tri izbora za vrednost n zakljuˇcuje se da jednaˇcina (1.1) simultano predstavlja slede´cih devet jednaˇcina

1.1

b e1 · b e1 = 1 b e2 · b e1 = 0 b e3 · b e1 = 0

b e1 · b e2 = 0 b e2 · b e2 = 1 b e3 · b e2 = 0

b e1 · b e3 = 0 b e2 · b e3 = 0 b e3 · b e3 = 1

ˇ I KOSO-SIMETRICNI ˇ INDEKSNI SISTEMI SIMETRICNI

Za sistem definisan gornjim i donjim indeksima kaˇze se da je simetriˇcan po svoja dva indeksa ako mu komponente ostaju nepromenjene kada se indeksi uzajamno zamene (promene svoja mesta). Na primer, sistem tre´ceg reda Tijk je simetriˇcan po indeksima

4

INDEKSNA NOTACIJA

i i k ako je Tijk = Tkji

za sve vrednosti i, j i k.

Za sistem definisan gornjim i donjim indeksima kaˇze se da je koso-simetriˇcan po dva od svojih indeksa ako mu komponente menjaju znak kada se indeksi uzajamno zamene (promene svoja mesta). Na primer, sistem cˇ etvrtog reda Tijkl je koso-simetriˇcan po indeksima i i l ako je Tijkl = −Tljki

za sve vrednosti ijk i l.

Slede´ci je primer sistema tre´ceg reda aprs , p, r, s = 1, 2, 3 koji je potpuno kososimetriˇcan po svim svojim indeksima. Tada je aprs = −apsr = aspr = −asrp = arsp = −arps . Za veˇzbu pokazati da ovaj potpuno koso-simetriˇcni sistem ima 27 elemenata, od kojih su 21 nule. Kada su (p, r, s) = (1, 2, 3), svih 6 elemenata razliˇcitih od nule su u medusobnoj relaciji preko gornjih jednaˇcina. Zato se za ovaj sistem kaˇze da ima samo jednu nezavisnu komponentu. 1.2

KONVENCIJA O SABIRANJU

Konvencija (dogovor) o sabiranju kaˇze: kadagod se u nekom izrazu neki indeks pojavi dva puta na istoj strani jednaˇcine, ili u nekom cˇ lanu jednaˇcine, podrazumeva se da to predstavlja sabiranje po tim ponovljenim indeksima. Sabiranje se vrˇsi, po opsegom zadatim, celobrojnim vrednostima. Ponovljeni indeks naziva se sumacioni indeks, dok se neponovljeni indeks naziva slobodni indeks. Konvencija o sabiranju zahteva da se sumacioni indeks nesme pojaviti viˇse od dva puta u bilo kom izrazu. Zbog ovog pravila, a u cilju izbegavanja tri ili viˇse indeksa na istoj strani jednaˇcine, nekada je neophodno zameniti jednu nemu oznaku nekom drugom nemom oznakom. Indeksnom notacijom mogu se koncizno prikazati mnoge sloˇzene jednaˇcine. U preostalom delu ovog poglavlja date su dopunske definicije i primeri u cilju ilustrovanja mo´ci indeksne notacije. Nakon toga ova notacija bi´ce upotrebljena za definisanje komponenata tenzora operacija nad tenzorima.

PRIMER 1. Slede´ce dve jednaˇcine y1 = a11 x1 + a12 x2 y2 = a21 x1 + a22 x2 mogu se, uvodenjem nemog indeksa, recimo k, prikazati kao jedna jednaˇcina oblika yk = ak1 x1 + ak2 x2 ,

k = 1, 2.

KONVENCIJA O SABIRANJU

5

Konvencija o sabiranju kaˇze da k moˇze imati bilo koju od dve vrednosti 1 ili 2, (k je slobodni indeks). Ova jednaˇcina se dalje moˇze zapisati u obliku yk =

2 X

aki xi = ak1 x1 + ak2 x2 ,

i=1

gde je i nemi sumacioni indeks. Izostavljanjem znaka za sumu i usvajanjem konvencije o sabiranju piˇse se yk = aki xi

i, k = 1, 2.

Kako se indeks i ponavlja, konvencija o sabiranju zahteva da se izvrˇsi sumiranje stavljanjem opsegom zadatih vrednosti sumacionom indeksu i zatim neposrednim sabiranjem rezultata. Indeks k koji se pojavljuje samo jednom na levoj i samo jednom na desnoj strani jednaˇcine naziva se slobodni indeks. Treba zapamtiti da su i k i i nemi indeksi i da se mogu zameniti drugim slovima. Na primer, moˇze se pisati yn = anm xm

n, m = 1, 2,

gde je m sumacioni indeks, a n slobodni indeks. Tada sabiranje po m dovodi do yn = an1 x1 + an2 x2 , a dopuˇstanjem slobodnom indeksu n da primi vrednosti 1 i 2 reprodukuju se originalne dve jednaˇcine.

PRIMER 2. Neka je yi = aij xj , i, j = 1, 2, 3 i xi = bij zj , i, j = promenljive y preko promenljivih z. Reˇsenje: U matriˇcnom obliku date jednaˇcine se zapisuju kao:         b11 b12 x1 x1 a11 a12 a13 y1  y2  =  a21 a22 a23   x2  i  x2  =  b21 b22 b31 b32 x3 x3 a31 a32 a33 y3

Reˇsavanjem po y promenljivim preko promenljivih z nalazi se       z1 b11 b12 b13 a11 a12 a13 y1  y2  =  a21 a22 a23   b21 b22 b23   z2  . z3 b31 b32 b33 a31 a32 a33 y3

1, 2, 3. Izraziti

  z1 b13 b23   z2  . z3 b33

Indeksna notacija sa nemim indeksima omogu´cava da piˇse yn = anm xm ,

n, m = 1, 2, 3

i xm = bmj zj ,

m, j = 1, 2, 3.

6

INDEKSNA NOTACIJA

Ovde su namerno promenjini indeksi da, kada se iz jedne jednaˇcine zamane xm u drugu jednaˇcinu, sumacioni indeks ne ponovi viˇse od dva puta. Nakon zamene nalazi se indeksni oblik gornje matriˇcne jednaˇcine yn = anm bmj zj ,

m, n, j = 1, 2, 3,

gde je n slobodni indeks and m, j su nemi sumacioni indeksi. Neka cˇ italac za veˇzbu razvije kako matriˇcni tako i indeksni oblik jednaˇcine i uveri se da postoje razliˇciti naˇcini za zapisivanje jednog te istog.

PRIMER 3. Skalarni proizvod dva vektora Aq , q = 1, 2, 3 i Bj , j = 1, 2, 3 moˇze se indeksnom notacijom prikazati proizvodom Ai Bi = AB cos θ, i = 1, 2, 3, A = ~ ~ A , B = B . Kako je ideks i ponovljen, podrazumava se da on predstavlja sumacioni indeks, te sabiranje po i u naznaˇcenom opsegu rezultuje u A1 B1 + A2 B2 + A3 B3 = AB cos θ.

Zapaziti da indeksna notacija koristi neme indekse. Nekada se ti indeksi menjaju da bi se udovoljilo konvenciji o sabiranju. U takvim sluˇcajevima promena indeksa sama po sebi nije ni od kakvog znaˇcaja. Tako se nemi indeksi q i j u prethodmom primeru mogu promeniti u neka druga slova po zˇ elji. Osim toga, ako opseg vrednosti indeksa nije dat, u daljem tekstu smatra´ce se da im je opseg po celobrojnim vrednostima 1, 2 i 3.

Neke algebarske operacije mogu se primeniti na indeksne sisteme. Na sasvim neformalan naˇcin ovde c´ e se prikazati operacije sabiranja, mnoˇzenja i kontrakcije. 1.3

ˇ SABIRANJE, MNOZENJE O KONTRAKCIJA

Algebarska operacija sabiranja ili oduzimanja primenjuje se na indeksne sisteme istog tipa i istog reda. To znaˇci da se mogu sabrati ili oduzeti odgovaraju´ce komponente u i takvim sistemima. Na primer, zbir Aijk i Bjk je opet sistem istog tipa i obeleˇzava se i i i sa Cjk = Ajk + Bjk , gde su odgovaraju´ce komponente sabrane. Proizvod dva sistema dobija se mnoˇzenjem svake komponente prvog sistema sa svakom komponentom drugog sistema. Takav proizvod naziva se spoljaˇsnji proizvod. Red indeksnog sistema koji nastaje proizvodom jednak je zbiru redova dvaju sistema koji koji uˇcestvuju u proizvodu. Na primer, ako je Aij sistem drugog reda, a B mnl sistem tre´ceg reda, a svi indeksi imaju opseg od 1 do N , tada njihovim mnoˇzenjem nastaje indeksni sistem petog reda i obeleˇzava se sa Cjimnl = Aij B mnl . Indeksni sistem nastao ovim mnoˇzenjem ima N 5 cˇ lanova konstruisanih od svih mogu´cih proizvoda komponenata iz Aij sa komponetama iz B mnl .

PERMUTACIONI SIMBOL I KRONECKER-OVA DELTA

7

Operacija kontrakcije nastaje kada se neki donji indeks izjednaˇci sa nekim gornjim indeksom i primeni konvencija o sabiranju. Na primer, ako se u indeksnom sistemu petog reda Cjimnl stavi i = j i izvrˇsi sabiranje, formira se sistem N mnl C mnl = Cjjmnl = C11mnl + C22mnl + ... + CN .

Ovde je oznaka C mnl upotrebljena da prikaˇze sistem tre´ceg reda koji nastaje kontrakcijom. Kadagod se izvede kontrakcija, rezultuju´ci indeksni sistem je uvek za 2 reda niˇzi od originalnog sistema. U nekim posebnim uslovima dozvoljeno je izvrˇsiti kontrakciju i nad dva donja indeksa. Takvi specijalni uslovi razmotri´ce se kasnije. Gornje operacije bi´ce formalnije definisane nakon objaˇsnjenja sˇta su tenzori. 1.4

PERMUTACIONI SIMBOL I KRONECKER-OVA DELTA

U indeksnoj notaciji cˇ esto se upotrebljavaju dva simbola: e−permutacioni simbol i Kronecker-ovo delta. e−permutacioni simbol se naziva joˇs i alterniraju´ci tenzor. Kako samo ime sugeriˇse, e−permutacioni simbol je u vezi sa permutacijama. Permutacija je jedno uredenje nekih entiteta. Kada se promeni redosled uredenja dobija se nova permutacija. Transpozicija je uzajamna promena mesta dvaju uzastopnih cˇ lanova u nekom uredenju. Za ilustaciju neka je potrebno promeniti cifre 1 2 3 u 3 2 1 nizom transpozicija. Poˇcevˇsi od cifara u redosledu 1 2 3 zamane se 2 i 3 (prva transpozicija) da se dobije 1 3 2. Zati se zamene cifre 1 i 3 (druga transpozicija) da se dobije 3 1 2. Konaˇcno, zamene se cifre 1 i 2 (tre´ca transpozicija) da se dobije 3 2 1. Ovde je ukupan broj transpozicija 1 2 3 u 3 2 1 jednak tri, sˇto je neparan broj. Mogu se izpisati i druge transpozicije 1 2 3 u 3 2 1, ali i njih ima neparan broj.

PRIMER 4. Ukupan broj mogu´cih naˇcina uredenja cifara 1 2 3 je sˇest. Postoje tri izbora za prvu cifru. Kad je prva cifra izabrana, preostala su samo dva izbora za drugu cifru. Time preostaje broj za poslednju cifru. Proizvod (3)(2)(1) = 3! = 6 je broj permutacija cifara 1, 2 i 3. Tih sˇest permutacija su 123 132 312 321 231 213

parna permutacija neparna permutacija parna permutacija neparna permutacija parna permutacija neparna permutacija

Ovde je permutacija od 1 2 3 nazvana parnom ili neparnom u zavisnosti od toga da li izvrˇsen paran ili neparan broj transpozicija cifara. Mnemotehniˇcka shema za pam´cenje parnih i neparnih permutacija od 123 prikazana je na slici 1.1.. Zapaziti da se parne permutacije od 123 dobijau biranjem bilo koja tri uzastopna broja iz niza

8

INDEKSNA NOTACIJA

123123

321321

Figure 1.1. Permutacije od 123.

123123, a neparne permutacije slede biranjem bilo koja tri uzastopna broja iz niza 321321.

U opˇstem sluˇcaju broj permutacija od n stvari od kojih je uzeto m objekata, dat je relacijom P (n, m) = n(n − 1)(n − 2) · · · (n − m + 1). Izbor podskupa od m objekata iz kolekcije od n objekata, m ≤ n, bez obzira na redosled naziva se kombinacija od n objekata od koji je uzeto m objekata. Na primer, kombinacije od 3 broja uzeta iz skupa {1, 2, 3, 4} su (123), (124), (134), (234). Uredenje (redosled) u kombinaciji nije od znaˇcaja, tj. permutacije (123), (132), (231), (213), (312), (321) se smatraju jednakim. U opˇstem aju, broj kombinacija od n
sluˇcn!
n n = m!(n−m)! , gde su m od kojih se uzima njih m dat je sa C(n, m) = m binomni koeficijenti iz izraza n   X n n−m m a b . (a + b) = m m=0 n

Definicija permutacija moˇze se upotrebiti za definisanje tzv. e−permutacionog simbola ili alterniraju´ceg tenzora. Definicija e−permutacionog simbola  

1 −1  0

eijk...l = eijk...l = ako je ijk . . . l parna permutacija celih brojeva 123 . . . n ako je ijk . . . l neparna permutacija celih brojeva 123 . . . n u svim ostalim sluˇcajevima

PERMUTACIONI SIMBOL I KRONECKER-OVA DELTA

6

1

2

4

5

3

1

2

3

4

5

6

Figure 1.2.

9

Permutacije od 123456.

PRIMER 5. Na´ci e612453 . Reˇsenje: Da se ustanovi da li je 612453 parna ili neparna parmutacija od 123456 zapiˇsu se dati brojevi i ispod njih radom brojevi od 1 do 6. Isti brojevi se zatim spoje linijom kao sˇto prikazuje slika 1.2.. Prebroji se sedam preseka linija koje spajaju iste brojeve. Broj preseka je neparan broj sˇto ukazuje da se mora izvrˇsiti neparan broj transpozicija. Otud je e612453 = −1. Pomo´cu donjih i gornjih indeksa definiˇse se i Kronecker-ovo delta, simbol veoma cˇ esto upotrebljavan za koncizan zapis matematiˇckih izraza. Definicija Kronecker-ovog delta:  1 ako je i jednako j δij = δij = 0 ako je i razliˇcito od j PRIMER 6. Neki primeri e−permutacionog simbola i Kronecker-ovog delta su: e123 = e123 = +1 e213 = e213 = −1 e112 = e112 = 0

δ11 = 1 δ21 = 0 δ31 = 0

δ12 = 0 δ22 = 1 δ32 = 0

PRIMER 7. Kada se indeks Kronecker-ovog delta δij pojavi u konvenciji o sabiranju postiˇze se efekat zamene jednog indeksa nekim drugim indeksom. Na primer, neka su aij elementi neke N × N matrice, gde je dopˇsteno da su i i j u opsegu celobrojnih vrednosti 1, 2, . . . , N., i neka se posmatra proizvod aij δik , gde je opseg za i, j, k takode 1, 2, . . . , N. Indeks i je ponovljen, te se podrazumeva da predstavlja sabiranje po zadatom opsegu. Indeks i se naziva sumacioni indeks.

10

INDEKSNA NOTACIJA

Ostali indeksi j i k su slobodni indeksi. Njima se moˇze pridruˇziti bilo koja vrednost iz opsega indeksa. Oni ne uˇcestvuju ni u kakvim sabiranjima i njihove vrednosti, kakvegod da su, jesu fiksirane. Neka su indeksima j i k pridruˇzene vrednosti j i k, gde je podvlaˇcenje upotrebljeno kao podsetnik da su vrednosti za j i k fiksirane i da ne podleˇzu sumiranju. Sprovodenjem sabiranja po sumacionom indeksu i, istom se pridruˇzuju redom vrednosti iz zadatog opsega i zatim neposredno sabiraju cˇ lanovi. Tako se dobija aij δik = a1j δ1k + a2j δ2k + · · · + akj δkk + · · · + aN j δN k . U ovom sabiranju Kronecker-ovo delta je nula gdegod su indeksi razliˇciti, jednako jedan gde su indeksi isti. Samo jednan cˇ lan u ovom sabiranju nije nula i to onaj cˇ lan gde je sumacioni indeks i jednak fiksiranoj vrednosti k. Tako se dobija rezultat akj δkk = akj gde je opet podvlaˇcenje primenjeno kao podsetnik da te vrednost imaju fiksiranje vrednosti i da ne treba vrˇsiti sabirati. Izostavljanjem podvaˇcenja piˇse se aij δik = akj . Ovde je indeks i zamenjen sa k u skadu sa obiˇcajem da se Kronecker-ovo delta upotrebljeno u sabiranju naziva supstitucionim operatorom. Substituciono svojstvo Kronecker-ovog delta moˇze se uporebiti za pojednostavljenje brojnih izraza napisanih u indeksnoj notaciji. Neki primeri su: Bij δjs = Bis δjk δkm = δjm eijk δim δjn δkp = emnp . U nekim tekstovima usvojeno je oznaˇcavanje kojim se indeksi piˇsu velikim slovima da se naglasi da ne treba vrˇsiti sabiranje. Na primer, aKJ δKK = aKJ jer δKK predstavlja samo jedan cˇ lan. Isto tako sre´ce se notacija kojom se indeksi po kojima se ne vrˇsi sabiranje stavljaju u zagrade. Na primer, a(k)j δ(k)(k) = akj , jer δ(k)(k) predstavlja samo jedan cˇ lan. Dakle, za naglaˇsavanje da ne treba vrˇsiti sabiranje po indeksima mogu se upotrebiti bilo podvlaˇcenje, bilo velika slova, bilo zagrade. Medutim, u cilju izbegavanja zabune, dovoljno je napisati napomenu reˇcima stavljenim u zagrade, recimo “(ne sabirati po k)”.

PERMUTACIONI SIMBOL I KRONECKER-OVA DELTA

11

PRIMER 8. Kada se u Kronecker-ovo delta δji stavi j jednako i i izvrˇsi sabiranje dobija se operacija pod imenom kontrakcija. Dakle, kada se δii , sabere po opsegu indeksa i, recimo opsegu 1, 2, . . . , N , dobija se N δii = δ11 + δ22 + · · · + δN

δii = 1 + 1 + · · · + 1 δii = N.

U tri dimenzije, tj. δji , za i, j = 1, 2, 3 je δkk = δ11 + δ22 + δ33 = 3. U nekim okolnostima Kronecker-vo delta se moˇze pisati samo sa donjim indeksima. Na primer, δij , i, j = 1, 2, 3. Kasnije c´ e biti pokazano da te okolnosti dopuˇstaju sprovodenje kontrakcije po donjim indeksima, tako da je δii = 3.

PRIMER 9. Determinanta matrice A = [aij ] moˇze se zapisati u indeksnoj notaciji. Pomo´cu e−permutacionog simbola determinanta neke N × N matrice se zapisuje kao |A| = eij...k a1i a2j · · · aN k , gde je eij...k sistem N -tog reda. U specijalnom sluˇcaju 2 × 2 matrice piˇse se |A| = eij a1i a2j , gde je sumacija po opsegu 1,2 i e−permutacioni simbol drugog reda. U specijalnom sluˇcaju 3 × 3 matrice je a11 a12 a13 |A| = a21 a22 a23 = eijk ai1 aj2 ak3 = eijk a1i a2j a3k a31 a32 a33 gde su i, j, k sumacioni indeksi i sabiranje po opsegu 1,2,3. Ovde eijk oznaˇcava e−permutacioni simbol tre´ceg reda. Treba zapaziti da se uzajamnom razmenom redova u 3×3 matrici mogu dobiti opˇstiji rezulatati. Neka je (p, q, r), neka permutacija brojeva (1, 2, 3), tada se determinanta moˇze zapisati ap1 ap2 ap3 ∆ = aq1 aq2 aq3 = eijk api aqj ark . ar1 ar2 ar3 Ako je (p, q, r) parna permutacija od (1, 2, 3) tada je ∆ = |A| Ako je (p, q, r) neparna permutacija od (1, 2, 3) tada je ∆ = − |A| Ako (p, q, r) nije permutacija od (1, 2, 3) tada je ∆ = 0.

12

INDEKSNA NOTACIJA

Piˇse se kratko eijk api aqj ark = epqr |A| . Svaki od ovih rezultata moˇze se verifikovati sprovodenjem naznaˇcenih sabiranja. Neˇsto formalniji dokaz ovog rezulatata dat je kasnije u primeru 25.

PRIMER 10. Izraz eijk Bij Ci je besmislen jer se indeks i ponavlja viˇse od dva puta sˇto konvencija o sabiranju ne dopuˇsta.

PRIMER 11. Vektorski proizvod jediniˇcnih vektora b e1 , b e2 , b e3 moˇze se u indeksnoj notaciji prikazati sa  ek ako je (i, j, k) parna permutacija od (1, 2, 3)  b b −b ek ako je (i, j, k) neparna permutacija od (1, 2, 3) ei × b ej =  0 u svim ostalim sluˇcajevima

ek . Neka cˇ italac verfikuje ovo Ovaj rezultat moˇze se zapisati u obliku b ei × b ej = ekij b sabiranjem po indeksu k i ispisivanjem svih 9 mogu´cih kombinacija za i i j. PRIMER 12. Data su dva vektora Ap , p = 1, 2, 3 i Bp , p = 1, 2, 3 cˇ iji vektorski prozivod je vektor Cp , p = 1, 2, 3 sa komponentama Ci = eijk Aj Bk ,

i, j, k = 1, 2, 3.

(1.2)

Veliˇcine Ci su komponente rezultuju´ceg vektora ~ =A ~×B ~ = C1 b e3 . e2 + C3 b e1 + C2 b C

~ treba sprovesti sabiranje po ponovlU jednaˇcini (1.2), koja definiˇse komponente od C, jenim indeksima. Sabiranjem po indeksu k dobija se Ci = eij1 Aj B1 + eij2 Aj B2 + eij3 Aj B3 .

(1.3)

Zatim, sabiranjem po indeksu j koji se ponavlja u svakom cˇ lanu jednaˇcine (1.3), dobija se Ci = ei11 A1 B1 + ei21 A2 B1 + ei31 A3 B1 + ei12 A1 B2 + ei22 A2 B2 + ei32 A3 B2 + ei13 A1 B3 + ei23 A2 B3 + ei33 A3 B3 .

(1.4)

E − δ IDENTITET

13

Tako je preostao samo indeks i koji je slobodni indeks i moˇze imati bilo koju od vrednosti 1, 2 ili 3. Stavljanjem i = 1, zatim i = 2, i konaˇcno stavljanjem i = 3 nalaze se komponente vektorskog proizvoda C1 = A2 B3 − A3 B2

C2 = A3 B1 − A1 B3 C3 = A1 B2 − A2 B1 .

~ B ~ = eijk Aj Bk b ei , sˇto se proverava Vektorski proizvod se moˇze zapisati i u obliku A× sabiranjem po indeksima i, j i k. PRIMER 13. Pokazati da je eijk = −eikj = ejki

za

i, j, k = 1, 2, 3.

Reˇsenje: Kako je i k j predstavlja neparan broj transpozicija od indeksa i j k, mora se promeniti znak e−permutacionog simbola. Sliˇcno, j k i je parna transpozicija od i j k te nema promene znaka e−permutacionog simbola. Ovo vaˇzi bez obzira na brojˇcane vrednosti pridruˇzene indeksima i, j, k. 1.5

E − δ IDENTITET

Veoma koristan identitet u pojednostavljenju tenzorskih izraza je tzv. e − δ identet koji povezuje e−permutacioni simbol i Kronecker-ovo delta . Ovaj identitet moˇze se prikazati u razliˇcitim oblicima. Indeksni oblik zapisa je eijk eimn = δjm δkn − δjn δkm ,

i, j, k, m, n = 1, 2, 3

gde je i sumacioni indeks, a j, k, m, n su slobodni indeksi. Na slici 1.3. prikazana je mnemotehniˇcka shema za pozicioniranje indeksa u ovoj relaciji. Indeksi u cˇ etiri Kronecker-ova simbola na desnoj strani e − δ identiteta cˇ itaju se kao (prvi)(drugi) − (spoljaˇ snji)(unutraˇ snji). Ovo se odnosi na pozicije nakon sumacionog indeksa. Tako su j, m prvi indeksi nakon sumacionog indeksa, a k, n su drugi indeksi nakon sumacionog indeksa. Indeksi j, n su spoljaˇsnji indeksi za razliku od unutraˇsnjih indeksa k, m kada se posmatraju na levoj strani identiteta. Drugaˇciji zapis ovog identiteta koristi i gornje i donje indekse i ima oblik j k k eijk eimn = δm δn − δnj δm .

(1.5)

14

INDEKSNA NOTACIJA

spoljašnji unutrašnji i

j

k

i

m

n

prvi drugi Figure 1.3.

Shema za pozicioniranje indeksa u e − δ identitetu.

Jedan od naˇcina da se dokaˇze ovaj identitet je zapaˇzanjem da jednaˇcina (1.5) ima slobodne indekse j, k, m, n. Svaki od tih indeksa moˇze imati vrednosti 1, 2 ili 3. Postoje 3 mogu´cnosti da pridruˇzimo vrednost svakom od j, k, m ili n, sˇto daje ukupno 34 = 81 mogu´cih jednaˇcina koje predstavlja identitet iz jednaˇcine (1.5). Ispisuju´ci svih 81 jednaˇcina moˇze se verifikovati istinitost identiteta za sve mogu´ce kombinacije pridruˇzivanja vrednosti slobodnim indeksima. Alternativni dokaz e − δ identiteta polazi od posmatranja determinante 1 δ1 δ21 δ31 1 0 0 2 δ1 δ22 δ32 = 0 1 0 = 1. 3 δ1 δ23 δ33 0 0 1 Permutacijom redova ove matrice i koriˇsc´ eme permutacionog simbola piˇse se i δ1 δ2i δ3i j j j ijk δ 1 δ2 δ3 = e , δk δk δk 1 2 3

a permutacijom kolona i δr δsi δti δ j δ j δ j = eijk erst . t s r δk δk δk r s t

Ako se sada izvrˇsi kontrakcija po indeksima i i r dobija se i δi δsi δti j j ijk j δ i δs δt = e eist . δk δk δk i

s

t

Sabiranje po i daje δii = δ11 + δ22 + δ33 = 3 a razvoj determinante vodi ka zˇ eljenom rezultatu δsj δtk − δtj δsk = eijk eist .

GENERALISANO KRONECKER-OVO DELTA

1.6

15

GENERALISANO KRONECKER-OVO DELTA

Generalisano Kronecker-ovo delta definisano je (n × n) determinantom i δm δni · · · δpi j δm δnj · · · δpj ij...k δmn...p = . .. .. . .. .. . . . δk δk · · · δk m n p Na primer, u tri dimenzije piˇse se i δm δni δpi ijk j δnj δpj = eijk emnp . δmnp = δm δk δk δk p n m

Nakon kontrakcije po indeksima k i p dobija se sistem cˇ etvrtog reda rs rsp r s s δmn = δmnp = ersp emnp = eprs epmn = δm δn − δnr δm .

Neka cˇ italac za veˇzbu verifikuje da se e−permutacioni simbol moˇze definisati preko generalisanog Kronecker-ovog delta: N . ej1 j2 j3 ···jN = δj112j23j··· 3 ···jN

Dodatne definicije i rezutati koji koriste generalisano Kronecker-ovo delta mogu se na´ci u zadacima na kraju ovog poglavlja. U tre´coj glavi bi´ce pokazano da su Kronecker-ovo delta i epsilon permutacioni simbol numeriˇcki tenzori koji imaju fiksirane komponente u svakom koordinatnom sistemu. 1.7

JOSˇ NEKE PRIMENE INDEKSNE NOTACIJE

Indeksna notacija, skupa sa e − δ identitetom moˇze se upotrebiti za dokaz raznih vektorskih identiteta. ~×B ~ = −B ~ × A. ~ PRIMER 14. Pomo´cu indeksne notacije pokazati da je A Reˇsenje: Neka je ~ =A ~×B ~ = C1 b ei i neka je e3 = Ci b e2 + C3 b e1 + C2 b C ~ ~ ~ ei . e3 = Di b e2 + D3 b e1 + D2 b D = B × A = D1 b

Ranije je pokazano da se komponente vektorskih proizvoda mogu prikazati u indeksnoj notaciji, te je Ci = eijk Aj Bk

i

Di = eijk Bj Ak .

16

INDEKSNA NOTACIJA

Ovde treba pokazati da je Di = −Ci za sve vrednosti i. Neka su Bj = Bs δsj i Ak = Am δmk , pa je Di = eijk Bj Ak = eijk Bs δsj Am δmk

(1.6)

gde su svi indeksi u opsegu 1, 2, 3. U izrazu (1.6) se zapaˇza da se ni jedan sumacioni indeks ne pojavljuje viˇse od od dva puta, jer da nije tako konvencija o sabiranju bi ga uˇcinila besmislenim. Preuredenjem cˇ lanova u jednaˇcini (1.6) dobija se Di = eijk δsj δmk Bs Am = eism Bs Am . U ovom izrazu indeksi s i m su nemi sumacioni indeksi i mogu se zameniti bilo kojim drugim slovima. Kada se s zameni sa k i m zameni sa j dobija se Di = eikj Aj Bk = −eijk Aj Bk = −Ci . ~ = −C ~ ili B ~ ×A ~ = −A ~ × B, ~ odnosno, D ~ = Di b ei = Poslediˇcno, nalazi se da je D ~ ei = −C. −Ci b Napomena 1. Izrazi Ci = eijk Aj Bk

i Cm = emnp An Bp

sa svim indeksima u opsegu 1, 2, 3, izgledaju da su razliˇciti zbog razliˇcitih slova upotrebljenih za indekse. Treba zapamtiti da se neki indeksi sabiraju po konvenciji o sabiranju, a da su neki indeksi slobodni i mogu primiti bilo koju vrednost u zadatom opsegu. Tako, nakon sumiranja, kada se sve brojˇcane vrednosti zamene u indekse, u rezultatu se ne pojavljuje ni jedno nemo slovo upotrebljeno za identifikaciju komponenata. Napomena 2. U radu sa izrazima u indeksnoj notaciji, indeksi se mogu neposredno promeniti. Na primer, u gornjem izrazu za Di moglo se j zameniti sa k i k zameniti simulatano sa j (tako da se ni jedan indeks ne pojavi viˇse od dva puta) i dobiti Di = eijk Bj Ak = eikj Bk Aj = −eijk Aj Bk = −Ci. Napomena 3. U prelasku sa vektorske na indeksnu notaciju i obrnuto treba biti ~ moˇze prikazati sa obazriv. Primetiti da se vektor A ~ = Ai b ei A

ili se njegove komponente mogu predstaviti sa ~ ·b A ei = Ai ,

i = 1, 2, 3.

~ = Ai jer je to Na stavljati da je vektor jednak skalaru, tj. ne cˇ initi greˇsku pisanjem A nedozvoljena upotreba znaka jednakosti. Nije mogu´ce izjednaˇciti vektor i skalar jer

ˇ NEKE PRIMENE INDEKSNE NOTACIJE JOS

17

su to dve potpuno razliˇcite veliˇcine. Vektor ima i magnitutu i pravac, a skalar samo magnitudu.

PRIMER 15. Verifikovati vektorski identitet ~ · (B ~ × C) ~ =B ~ · (C ~ × A) ~ A Reˇsenje: Neka je ~ ×C ~ =D ~ = Di b ei B →

~ ×A ~ = F = Fi b ei C

gde su Di = eijk Bj Ck

i neka je

gde su Fi = eijk Cj Ak

gde su svi indeksi u opsegu 1, 2, 3. Za dokaz datog identiteta imamo prvo ~ · (B ~ × C) ~ =A ~·D ~ = Ai Di = Ai eijk Bj Ck A = Bj (eijk Ai Ck ) = Bj (ejki Ck Ai ) jer je eijk = ejki . Iz izraza Fi = eijk Cj Ak zapaˇza se da se, permutovanjem simbola, dobija ekvivalenat izraz Fj = ejki Ck Ai . Na osnovu toga moˇze se pisati →

~ · (B ~ × C) ~ = Bj Fj = B ~ ·F =B ~ · (C ~ × A) ~ A sˇto je trebalo pokazati. ~ · (B ~ × C) ~ naziva se trostruki skalarni proizvod. Gornja indeksna Veliˇcina A reprezentacija trostrukog skalarnog proizvoda implicira da se on moˇze prikazati kao determinata (vidi Primer 9). Zato se moˇze pisati A1 A2 A3 ~ · (B ~ × C) ~ = B1 B2 B3 = eijk Ai Bj Ck . A C1 C2 C3

Trostrukom skalarnom proizvodu moˇze se pripisati interpretacija da njegova apsolutna vrednost predstavlja zapreminu paralelopipeda formiranog od tri neplanarna vektora ~ B, ~ C. ~ Apsolutna vrednost zato sˇto trostruki skalarni proizvod moˇze biti i negativan. A, Ova interpretacija je ilustrovana slikom 1.4.

18

INDEKSNA NOTACIJA

r A ) en r S C

q

P

r B

R

Q

Figure 1.4. Trostruki skalarni proizvod i zapremina.

~ ~ povrˇsina paralelograma PQRS; (ii) Sa slike 1.4. se zapaˇza da je: (i) B ×C jediniˇcni vektor ~ ×C ~ B b en = ~ ×C ~ B

~ i C; ~ (iii) skalarni proizvod normalan na ravan koja spaja vektore B ~ ~ B × C ~ ~· = h en = A A · b ~ ×C ~ B

~ na b jednak projekciji A en sˇto predstavlja visinu paralelepipeda. Tako je ~ ~ ~ = B ~ ×C ~ h = (povrˇsina osnove)(visina) = zapremina. A · (B × C) PRIMER 16. Potvrditi vektorski identitet ~ × B) ~ × (C ~ × D) ~ = C( ~ D ~ ·A ~ × B) ~ − D( ~ C ~ ·A ~ × B). ~ (A ~ =C ~ ×D ~ = Ei b ~×B ~ = Fi b ei . Ovi vektori imaju ei i E Reˇsenje: Neka je F~ = A komponente Fi = eijk Aj Bk

i

Em = emnp Cn Dp

19

TRANSFORMACIJA KOORDINATA

~ = F~ × E ~ = Gi b ei ima komponente gde su svi indeksi u opsegu 1, 2, 3. Vektor G Gq = eqim Fi Em = eqim eijk emnp Aj Bk Cn Dp .

Pomo´cu identiteta eqim = emqi ovo se moˇze izraziti kao Gq = (emqi emnp )eijk Aj Bk Cn Dp , sˇto je sada u obliku pogodnom za upotrebu e − δ identiteta na cˇ lan u zagradama, te se dobija Gq = (δqn δip − δqp δin )eijk Aj Bk Cn Dp . Pojednostavljenjem ovog izraza dobija se: Gq = eijk [(Dp δip )(Cn δqn )Aj Bk − (Dp δqp )(Cn δin )Aj Bk ] = eijk [Di Cq Aj Bk − Dq Ci Aj Bk ] = Cq [Di eijk Aj Bk ] − Dq [Ci eijk Aj Bk ],

sˇto su komponente vektora ~ D ~ ·A ~ × B) ~ − D( ~ C ~ ·A ~ × B). ~ C( 1.8

TRANSFORMACIJA KOORDINATA

Neka su data dva skupa od N nezavisnih promenljivih obeleˇzenih respektivno oznakama sa crtom i bez crte x ¯i i xi sa i = 1, . . .,N. Moˇze se smatrati da nezai visne promenljive x , i = 1, . . . , N definiˇsu koordinate taˇcke u N −dimenzijskom prostoru. Sliˇcno, nezavisne promenljive sa crtom definiˇsu taˇcku u nekom drugom N −dimenzijskom prostoru. Smatra se da su ove koordinate realne veliˇcine. Dalje, smatra se da su ove promenljive povezane skupom transformacionih jednaˇcina xi = xi (¯ x1 , x ¯2 , . . . , x ¯N ) i = 1, . . . , N.

(1.7)

Ove jednaˇcine se smatraju nezavisnim. Potreban i dovoljan uslov da ove transformacione jednaˇcine budu nezavisne je da Jacobi-eva determinanta (tzv. jakobijan) bude razliˇcita od nule, tj. 1 ∂x1 ∂x1 · · · ∂∂x ∂ x¯12 ∂x ¯22 x ¯N i ∂x ∂x ∂x2 · · · ∂x ∂ x¯1 2 N x ∂x ¯ ∂x ¯ 6= 0. J( ) = j = . . . . .. . . .. x ¯ ∂x ¯ .. ∂xN ∂xN N ∂x · · · 1 2 N ∂x ¯

∂x ¯

∂x ¯

20

INDEKSNA NOTACIJA

z

z z

br

r x

y

a Figure 1.5.

x

a

y

Cilindarske i sferne koordinate.

Tada se moˇze na´ci skup inverznih relacija x ¯i = x ¯i (x1 , x2 , . . . , xN )

i = 1, ..., N,

(1.8)

kojima se promenljive x ¯i odreduju preko promenljivih xi . Tokom ovog razmatranja podrazumeva se da su date transformacione jednaˇcine realne i neprekidne, te da svi izvodi postoje i da su neprekidni u domenu posmatranih promenljivih.

PRIMER 17. Primer skupa transformacionih jednaˇcina definisanih sa (1.7) i (1.8) u sluˇcaju N = 3. Posmatra se transformacija iz cilindarskog (r, α, z) u sferni (ρ, β, α) koordinatni sistem. U skladu sa slikom 1.5. mogu se na´ci transformacione jednaˇcine r = ρ sin β α = α 0 < α < 2π z = ρ cos β 0 < β < π sa inverznom transformacijom p ρ = r2 + z 2 α=α r β = arctan z

Nakon smena promenljivih

(x1 , x2 , x3 ) = (r, α, z)

i

(¯ x1 , x ¯2 , x ¯3 ) = (ρ, β, α).

nalazi se da rezultuju´ce transformacije imaju oblik jednaˇcina (1.7) i (1.8). 1.9

ˇ IZRACUNAVANJE IZVODA

Razmotri´ce se pravilo posrednog diferenciranja primenjeno na funkciju promenljivih sa crtom. Diferenciranje se prikazuje u indeksnoj notaciji. Neka je Φ =

ˇ IZRACUNAVANJE IZVODA

21

Φ(¯ x1 , x ¯2 , . . . , x ¯n ) skalarna funkcija od promenljivih x ¯i , i = 1, . . . , N i neka su te i promenljive povezane sa skupom promenljivih x , za i = 1, . . . , N preko transformacionih jednaˇcina (1.7) i (1.8). Parcijalni izvodi od Φ po promenljivim xi mogu se u indeksnoj notaciji zapisati kao ¯j ¯1 ¯2 ¯N ∂Φ ∂ x ∂Φ ∂ x ∂Φ ∂ x ∂Φ ∂ x ∂Φ = = + + ··· + i j i 1 i 2 i N ∂x ∂x ¯ ∂x ∂x ¯ ∂x ∂x ¯ ∂x ∂x ¯ ∂xi

(1.9)

za bilo koju fiksiranu vrednost i koja zadovoljava 1 ≤ i ≤ N. Drugi parcijalni izvod od Φ moˇze se takode izraziti u indeksnoj notaciji. Parcijalnim diferenciranjem jednaˇcine (1.9) po xm dobija se   j ∂Φ ∂ 2 x ¯j ∂ ∂Φ ∂ x ¯ ∂2Φ = + m . (1.10) ∂xi ∂xm ∂x ¯j ∂xi ∂xm ∂x ∂x ¯j ∂xi Ovaj rezultat je samo primena opˇsteg pravila za diferenciranje proizvoda dvaju veliˇcina. Za izraˇcunavanje izvoda cˇ lana u zagradi u jednaˇcini (1.10) mora se voditi raˇcuna da je veliˇcina u zagradi funkcija promenljivih sa crtom. Neka se obeleˇzi G=

∂Φ = G(¯ x1 , x ¯2 , . . . , x ¯N ) ∂x ¯j

da bi se naglasila zavisnost od promenljivih sa crtom. Tada izvod od G glasi ∂G ∂G ∂ x ¯k ∂2Φ ∂x ¯k = = . m k m j k ∂x ∂x ¯ ∂x ∂x ¯ ∂x ¯ ∂xm

(1.11)

Ovo je samo primena osnovnog pravila iz jednaˇcine (1.9) u kojoj je Φ zamanjeno sa G. Otud se izvod iz jednaˇcine (1.10) moˇze izrazi sa ∂2Φ ¯j ¯j ∂ x ¯k ∂Φ ∂ 2 x ∂2Φ ∂x = + j k i m j i m i ∂x ∂x ∂x ¯ ∂x ∂x ∂x ¯ ∂x ¯ ∂x ∂xm

(1.12)

gde su i, m slobodni indeksi, a j, k su nemi sumacioni indeksi.

PRIMER 18. Neka je Φ = Φ(r, θ) gde su r, θ polarne koordinate povezane sa dekartovim koordinatama (x, y) transformacionim jednaˇcinama x = r cos θ, y = ∂2Φ r sin θ. Na´ci parcijalne izvode ∂Φ ∂x i ∂x2 . Reˇsenje: Parcijalni izvod po x se nalazi iz relacije (1.9) i moˇze se zapisati kao ∂Φ ∂r ∂Φ ∂θ ∂Φ = + . ∂x ∂r ∂x ∂θ ∂x

(1.13)

Drugi parcijalni izvod nalazi se diferenciranjem prvog parcijalnog izvoda. Na osnovu pravila difreneciranja proizvoda piˇse se     ∂2Φ ∂Φ ∂ 2 θ ∂Φ ∂ 2 r ∂r ∂ ∂Φ ∂θ ∂ ∂Φ + (1.14) = + + ∂x2 ∂r ∂x2 ∂x ∂x ∂r ∂θ ∂x2 ∂x ∂x ∂θ

22

INDEKSNA NOTACIJA

Za dalje pojednostavljenje izraza (1.14) nuˇzno je podsetiti se da se cˇ lanovi u zagradama moraju smatrati funkcijama od promenljivih r i θ i da se njihov izvod moˇze izraˇcunati ponovnom primenom osnovnog pravila iz jednaˇcine (1.13) sa Φ zamen∂Φ jenim sa ∂Φ ∂r , a zatim Φ zamenjenim sa ∂θ . Tako se dobija   ∂2Φ ∂Φ ∂ 2 r ∂r ∂ 2 Φ ∂r ∂ 2 Φ ∂θ = + + ∂x2 ∂r ∂x2 ∂x ∂r2 ∂x ∂r∂θ ∂x   ∂θ ∂ 2 Φ ∂r ∂ 2 Φ ∂θ ∂Φ ∂ 2 θ . (1.15) + + + ∂θ ∂x2 ∂x ∂θ∂r ∂x ∂θ2 ∂x Iz transformacionih jednaˇcina nalaze se relacije r2 = x2 + y 2 i tan θ = xy , a iz ovih relacija mogu se izraˇcunati svi neophodni izvodi za pojednostavljenje jednaˇcina (1.13) i (1.15). Ti izvodi su: ∂r ∂x ∂θ sec2 θ ∂x ∂2r ∂x2 ∂2θ ∂x2 2r

∂r x = = cos θ ∂x r y ∂θ y sin θ = − 2 ili =− 2 =− x ∂x r r 2 ∂θ sin θ = − sin θ = ∂x r ∂θ ∂r −r cos θ ∂x + sin θ ∂x 2 sin θ cos θ = = . 2 r r

= 2x ili

Zato se izvodi iz jednaˇcina (1.13) i (1.15) mogu izraziti u obliku ∂Φ ∂Φ ∂Φ sin θ = cos θ − ,i ∂x ∂r ∂θ r ∂2Φ ∂Φ sin2 θ ∂ 2 Φ cos θ sin θ ∂ 2 Φ sin2 θ ∂Φ sin θ cos θ ∂ 2 Φ 2 = + cos θ−2 . +2 + 2 ∂x2 ∂r r ∂θ r2 ∂r2 ∂r∂θ r ∂θ r2 Stavljanjem x ¯1 = r, x ¯2 = θ, x1 = x, x2 = y i sprovodenjem naznaˇcenih sabiranja u jednaˇcinama (1.9) i (1.12) dobija se isti rezultat kao gore. 1.10

VEKTORSKI IDENTITETI U DEKARTOVIM KOORDINATAMA

Ovde c´ e se ilustrovati kako se razliˇcite vektorske operacije u dekartovim koordinatama mogu zapisati u indeksnoj notaciji. To c´ e biti uˇcinjeno pomo´cu smena x1 = x, x2 = y, x3 = z, gde su upotrebljeni gornji indeksi, i jediniˇcnih vektora b e1 , b e2 , b e3 dekartovih koordinata. Gradijent. U dekartovim koordinatama gradijent skalarnog polja je grad φ =

∂φ ∂φ ∂φ b b b e1 + e2 + e3 . ∂x ∂y ∂z

VEKTORSKI IDENTITETI U DEKARTOVIM KOORDINATAMA

23

Indeksna notacija obra´ca paˇznju samo na komponente gradijenta. U dekartovim koordinatama te komponente se zapisuju koriˇsc´ enjem zapete u donjem indeksu da bi se naznaˇcio izvod b ej · grad φ = φ,j =

∂φ , ∂xj

j = 1, 2, 3.

Oznaˇcavanje zapetom bi´ce posebo razmotreno u poglavlju 4, a za sada se ona ∂2φ ∂φ jednostavno koristi za obeleˇzevanje izvoda. Na primer φ,j = ∂x j , φ,jk = ∂x ∂xk , j itd. ~ je skalarDivergencija. U dekartovim koordinatama divergencija vektorskog polja A no polje koje se zapisuje sa ~ = div A ~= ∇·A

∂A2 ∂A3 ∂A1 + + . ∂x ∂y ∂z

Primnenom indeksne notacije i konvencije o sabiranju, divergencija u dekartovim koordinatama se piˇse ~ = div A ~ = Ai,i = ∂Ai = ∂A1 + ∂A2 + ∂A3 ∇·A ∂xi ∂x1 ∂x2 ∂x3 gde je i nemi indeks sumacije. ~ = rot A ~ = ∇×A ~ u dekartovim koordinatama potrebno Rotor. Za prikaz vektora B je napomenuti da indeksna notacija posmatra samo njegove komponente. Kompo~ mogu se zapisati sa nente Bi , i = 1, 2, 3 vektora B ~ = eijk Ak,j , Bi = b ei · rot A

za

i, j, k = 1, 2, 3

k gde je eijk ranije uvedeni permutacioni simbol, a Ak,j = ∂A ∂xj . Za verifikaciju ~ ovog zapisa za rot A potrebno je samo sprovesti sabiranja naznaˇcena ponovljenim indeksima. Sabiranjem po j nalazi se

Bi = ei1k Ak,1 + ei2k Ak,2 + ei3k Ak,3 . Zatim se sabira svaki cˇ lan po ponovljenom indeksu k, sˇto daje Bi = ei12 A2,1 + ei13 A3,1 + ei21 A1,2 + ei23 A3,2 + ei31 A1,3 + ei32 A2,3 . Ovde je i slobodni indeks koji moˇze uzeti bilo koju od vrednosti 1, 2 ili 3. Poslediˇcno, dobija se Za Za Za

i = 1, i = 2, i = 3,

B1 = A3,2 − A2,3 = B2 = A1,3 − A3,1 = B3 = A2,1 − A1,2 =

∂A3 ∂x2 ∂A1 ∂x3 ∂A2 ∂x1

− − −

∂A2 ∂x3 ∂A3 ∂x1 ∂A1 ∂x2

~ indeksnim notacijom u dekartovim koordinatama. sˇto verifikuje prikaz rot A

24

INDEKSNA NOTACIJA

Druge operacije. Slede´ci primeri ilustruju kako se moˇze upotrebiti indeksna notacija za prikaz nekih vektorskih operatora u dekartovim koordinatama. ~ · ∇)A ~ je 1. Indeksna notacija komponenata vektora (B n o ~ · ∇)A ~ ·b (B ep = Ap,q Bq p, q = 1, 2, 3.

Ovo se moˇze verifikovati sprovodenjem naznaˇcenih sabiranja. Sabiranjem po ponovljenom indeksu q dobija se Ap,q Bq = Ap,1 B1 + Ap,2 B2 + Ap,3 B3 .

Ovde je p slobodni indeks koji moˇze primiti bilo koju od vrednosti 1, 2 ili 3. Zato je:

za

p = 1,

za

p = 2,

za

p = 3,

A1,q Bq = A1,1 B1 + A1,2 B2 + A1,3 B3 ∂A1 ∂A1 1 = ∂A ∂x1 B1 + ∂x2 B2 + ∂x3 B3 A2,q Bq = A2,1 B1 + A2,2 B2 + A2,3 B3 2 ∂A2 ∂A2 = ∂A ∂x1 B1 + ∂x2 B2 + ∂x3 B3 A3,q Bq = A3,1 B1 + A3,2 B2 + A3,3 B3 3 ∂A3 ∂A3 = ∂A ∂x1 B1 + ∂x2 B2 + ∂x3 B3

~ · ∇)φ ima slede´ci oblik: 2. Kada se izrazi u indeksnoj notaciji, skalar (B ~ · ∇)φ = Bi φ,i = B1 φ,1 + B2 φ,2 + B3 φ,3 (B ∂φ ∂φ ∂φ = B1 1 + B2 2 + B3 3 . ∂x ∂x ∂x ~ × ∇)φ izraˇzavaju se u indeksnoj notaciji sa 3. Komponente vektora (B h i ~ × ∇)φ = eijk Bj φ,k . b ei (B

Ovo se verifikuje sprovodenjem naznaˇcenog sumiranja (uraditi za veˇzbu). ~ × ∇) · A ~ izraˇzen u indeksnoj notaciji ima oblik 4. Skalar (B ~ × ∇) · A ~ = eijk Bj Ai,k . (B

Ovo se takode verifikuje sprovodenjem naznaˇcenog sumiranja (uraditi za veˇzbu). ~ u indeksnoj notaciji glase 5. Komponente vektora ∇2 A ~ = Ap,qq . b ep · ∇2 A

Dokaz ostaje cˇ itatelju za veˇzbu.

VEKTORSKI IDENTITETI U DEKARTOVIM KOORDINATAMA

25

PRIMER 19. Dokazati u dekartovim koordinatama vektorski identitet ~ = ∇ × (f A) ~ = (∇f ) × A ~ + f (∇ × A). ~ rot(f A) ~ = rot(f A) ~ zapisuju se komponenete Reˇsenje: Oznaˇcavanjem B Bi = eijk (f Ak ),j = eijk [f Ak,j + f,j Ak ] = f eijk Ak,j + eijk f,j Ak . Ovaj indeksni zapis se moˇze preprisati u vektorskom obliku ~ = rot(f A) ~ = f (∇ × A) ~ + (∇f ) × A ~ B ~ + B) ~ =∇·A ~ + ∇ · B. ~ PRIMER 20. Dokazati vektorski identitet ∇ · (A ~ ~ ~ Reˇsenje: Neka je A + B = C, pa ova vektorska jednaˇcina u indeksnoj notaciji glasi Ai + Bi = Ci . Tada je ~ = Ci,i = (Ai + Bi ),i = Ai,i + Bi,i = ∇ · A ~ + ∇ · B. ~ ∇·C ~ · ∇)f = PRIMER 21. Dokazati u dekartovim koordinatama vektorski identitet (A ~ A · ∇f. Reˇsenje: U indeksnoj notaciji zapisuje se ~ · ∇)f = Ai f,i = A1 f,1 + A2 f,2 + A3 f,3 (A ∂f ∂f ∂f ~ · ∇f. = A1 1 + A2 2 + A3 3 = A ∂x ∂x ∂x PRIMER 22. Dokazati u dekartovim koordinatama vektorski identitet ~ × B) ~ = A(∇ ~ ~ − B(∇ ~ ~ + (B ~ · ∇)A ~ − (A ~ · ∇)B. ~ ∇ × (A · B) · A) ~ × B) ~ je Reˇsenje: p-ta komponenta vektora ∇ × (A ~ × B)] ~ = epqk [ekji Aj Bi ],q b ep [∇ × (A = epqk ekji Aj Bi,q + epqk ekji Aj,q Bi

Primenom e − δ identiteta gornji izraz se pojednostavljuje na zˇ eljeni rezultat: ~ × B)] ~ = (δpj δqi − δpi δqj )Aj Bi,q + (δpj δqi − δpi δqj )Aj,q Bi b ep [∇ × (A = Ap Bi,i − Aq Bp,q + Ap,q Bq − Aq,q Bp

26

INDEKSNA NOTACIJA

Vra´canjem ovog na vektorski oblik dobija se ~ × B) ~ = A(∇ ~ ~ − (A ~ · ∇)B ~ + (B ~ · ∇)A ~ − B(∇ ~ ~ ∇ × (A · B) · A) ~ = PRIMER 23. Dokazati u dekartovim koordinatama vektorski identitet ∇×(∇×A) 2~ ~ ∇(∇ · A) − ∇ A. ~ je b ~ = eijk Ak,j pa je poslediˇcno Reˇsenje: i-ta komponenta vektora ∇ × A ei [∇ × A] ~ p-ta komponenta vektora ∇ × (∇ × A): ~ = epqr [erjk Ak,j ],q b ep [∇ × (∇ × A)] = epqr erjk Ak,jq .

e − δ identitet daje ~ = (δpj δqk − δpk δqj )Ak,jq b ep [∇ × (∇ × A)] = Ak,pk − Ap,qq . ~ = ∇(∇ · Izraˇzavanjem ovog rezultata u vektorskom obliku nalazi se ∇ × (∇ × A) 2 ~ ~ − ∇ A. A) 1.11

INDEKSNI OBLIK INTEGRALNIH TEOREMA

Teorema o divergenciji u vektorskoj i indeksnoj notaciji zapisuje se u oblicima ZZZ ZZ ~ b dσ div ·F dτ = F~ · n V S Z Z Fi,i dτ = Fi ni dσ i = 1, 2, 3 (1.16) V

S

gde su ni kosinusi pravca jediniˇcne spoljne normale na povrˇsinu, dτ je element zapremine, a dσ je element povrˇsine. Zapaziti da u upotrebi indeksne notacije zapreminskim i povrˇsinskim integralom treba obuhvatiti ceo zadati opseg indeksa. Ovo sugeriˇse da se teorema o divergenciji moˇze primeniti na vektore u n−dimenzijskim prostorima. Vektorski oblik i indeksna notacija za Stokes-ovu teoremu su ZZ Z b dσ = (∇ × F~ ) · n F~ · d~r S C Z Z eijk Fk,j ni dσ = Fi dxi i, j, k = 1, 2, 3 (1.17) S

C

DETERMINANTE I KOFAKTORI

27

dok se Green-ova teorema u ravni, kao specijalni sluˇcaj Stokes-ove teoreme, moˇze zapisati kao ZZ 

 Z ∂F1 ∂F2 dxdy = F1 dx + F2 dy − ∂x ∂y C Z Z e3jk Fk,j dS = Fi dxi i, j, k = 1, 2 S

(1.18)

C

Drugi oblici gornjih integralnih teorema su ZZZ ZZ ∇φdτ = φb ndσ V

S

~ gde je C ~ konstantan sˇto se dobija iz teoreme o divergenciji stavljanjem F~ = φC ~ ~ ~ vektor. Zamenom F sa F × C u teoremi o divergenciji izvodi se ZZZ  ZZ  b dσ. ∇ × F~ dτ = − F~ × n V

S

Smena F~ = φ∇ψ u teoremi o divergenciji dovodi do ZZZ ZZ   2 b dσ. (φ∇ ψ + (∇φ) · (∇ψ) dτ = (φ∇ψ) · n V

S

Green-ov identitet ZZZ

V


φ∇2 ψ − ψ∇2 φ dτ =

ZZ

S

b dσ (φ∇ψ − ψ∇φ) · n

se dobija stavljanjem u teoremu o divergenciji jednom F~ = φ∇ψ a drugi put F~ = ψ∇φ, te oduzimanjem dobijenih rezultata.

1.12

DETERMINANTE I KOFAKTORI

Za neku n × n matricu A = [aij ], i, j = 1, . . . , n, determinanta se zapisuje sa det A = |A| = ei1 i2 i3 ...in a1i1 a2i2 a3i3 · · · anin . Ovo daje sumaciju po n! permutacija od proizvoda formiranih od elemenata matrice A. Rezultat je broj koji se naziva determinanta A.

28

INDEKSNA NOTACIJA

PRIMER 24. U sluˇcaju n = 2 bi´ce a a12 |A| = 11 = enm a1n a2m a21 a22 = e1m a11 a2m + e2m a12 a2m = e12 a11 a22 + e21 a12 a21 = a11 a22 − a12 a21 .

PRIMER 25. U sluˇcaju n = 3 moˇze se koristiti jedna od slede´ce dve notacije   1   a1 a12 a13 a11 a12 a13 A =  a21 a22 a23  ili A =  a21 a22 a23  a31 a32 a33 a31 a32 a33

i prikazati determinantu od A u jednom od slede´cih oblika det A = eijk a1i a2j a3k det A = eijk ai1 aj2 ak3 det A = eijk ai1 aj2 ak3 det A = eijk a1i a2j a3k .

Ovo predstavlja razvoj determinate po redovima i kolonama. Vaˇzan identitet sledi iz ispitivanja veliˇcine Brst = eijk air ajs akt , u kojoj se lako mogu promeniti nemi sumancioni indeksi i preurediti cˇ lanovi. Na primer, Brst = eijk air ajs akt = ekji akr ajs ait = ekji ait ajs akr = −eijk ait ajs akr = −Btsr , a razmatranjem i drugih permutacija indeksa, moˇze se ustanoviti da je Brst potpuno koso-simetriˇcno. U zadacima je pokazano da bilo koji potpuno koso-simetriˇcan sistem tre´ceg reda zadovoljava Brst = B123 erst . Kako je B123 = det A moˇze se do´ci do identiteta Brst = eijk air ajs akt = |A| erst . Drugi oblici ovog identita su eijk ari asj atk = |A| erst

i eijk air ajs akt = |A| erst .

Neka je potrebno razmotriti prikaz determinante 1 a1 a12 a13 2 |A| = a1 a22 a23 a31 a32 a33

(1.19)

DETERMINANTE I KOFAKTORI

29

indeksnom notacijom. Razvojem po kolonama, ova determinata se moˇze prikazati sa |A| = erst ar1 as2 at3 ,

(1.20)

a razvojem po redovima sa |A| = eijk a1i a2j a3k .

(1.21)

Neka je Aim kofaktor elementa am cine (1.20) kofaktor od i u determinati |A|. Iz jednaˇ ar1 dobija se izostavljanjem tog elementa pa se nalazi A1r = erst as2 at3 .

(1.22)

Tada se rezultat (1.20) moˇze izraziti u obliku |A| = ar1 A1r = a11 A11 + a21 A12 + a31 A13 .

(1.23)

Ovo znaˇci da se determinanta |A| dobija mnoˇzenjem svakog elementa u prvoj koloni sa njegovim odgovaraju´cim kofaktorom i sabiranjem tako dobijenih rezulatata. Treba primetiti da se iz jednaˇcine (1.20) mogu takode dobiti i dodatni kofaktori A2s = erst ar1 at3

i

A3t = erst ar1 as2 .

(1.24)

Zato se jednaˇcina (1.20) moˇze zapisati i u jednom od slede´cih oblika |A| = as2 A2s = a12 A21 + a22 A22 + a32 A23

|A| = at3 A3t = a13 A31 + a23 A32 + a33 A33

Rezultati iz jednaˇcina (1.22) i (1.24) mogu se u indeksnoj notaciji zapisati u malˇcice drugaˇcijem obliku. Oznakom za generalisano Kronecker-ovo delta, definisano sa ijk , eijk elmn = δlmn

gonji kofaktori se mogu zapisati u obliku A1r = e123 erst as2 at3 = A2r = e123 esrt as1 at3 = A3r

123

=e

etsr at1 as2

=

1 1jk erst asj atk 2! e 1 2jk erst asj atk 2! e 1 3jk erst asj atk 2! e

= = =

1 1jk s t 2! δrst aj ak 1 2jk s t 2! δrst aj ak 1 3jk s t 2! δrst aj ak .

Svi ovi kofaktori se mogu iskombinovati u jednu jedinu jednaˇcinu Air =

1 ijk s t 2! δrst aj ak

(1.25)

koja predstavlja kofaktor od ari . Kada se elementi iz jednog reda (ili kolone) pomnoˇze njihovim odgovaruju´cim kofaktorima, te rezulati saberu, dobija se vrednost determinate. Kadagod se elementi iz nekog reda (ili kolone) pomnoˇze kofaktorom elementa iz

30

INDEKSNA NOTACIJA

razliˇcitog reda (ili kolone), te rezulatai saberu, dobija se nula. Ovo se moˇze ilustrovati posmatranjem zbira i am r Am =

=

s t 1 ijk s t m 1 ijk emst am r aj ak 2! δmst aj ak ar = 2! e 1 ijk 1 ijk erjk |A| = 2! δrjk |A| = δri |A| 2! e

Ovde je upotrebljen e − δ identitet da se dobije ijk δrjk = eijk erjk = ejik ejrk = δri δkk − δki δrk = 3δri − δri = 2δri

sˇto je iskoriˇsc´ eno za pojednostavljenje gornjeg rezultata. Za veˇzbu se moˇze pokazati da je alternativan oblik gornjeg sabiranja elemenata pomnoˇzenih svojim kofaktorima r arm Am i = |A| δi .

1.13

ZADACI

◮ 1. Koriˇsc´ enjem sumacionog svojstva Kronecker-ovog delta pojednostaviti slede´ce: (a) eijk δkn (b) eijk δis δjm

(c) eijk δis δjm δkn (d) aij δin

(e) δij δjn (f) δij δjn δni

Sabiranje po sumacionim indeksima sprovesti samo u sluˇcaju nesigurnosti u rezultat. ◮ 2. Pojednostaviti i sprovesti naznaˇcene sumacije po opsegu 1, 2, 3 (a) δii (b) δij δij

(c) eijk Ai Aj Ak (d) eijk eijk

(e) eijk δjk (f) Ai Bj δji − Bm An δmn

◮ 3. Izraziti slede´ce u indeksnoj notaciji. Biti paˇzljiv: ne pisati nemogu´ce jednakosti ~ = Ai (vektor se ne moˇze izjednaˇciti sa skalarom). Koristiti zapis A ~ ·b kao A ei = Ai za izraˇzavanje i-te komponente vektora. ~ B ~ × C) ~ (a) A( ~ × (B ~ × C) ~ (b) A

~ A ~ · C) ~ (c) B( ~ A ~ · C) ~ − C( ~ A ~ · B) ~ (d) B(

◮ 4. Pokazati da e−permutacioni simbol zadovoljava: (a) eijk = ejki = ekij , (b) eijk = −ejik = −eikj = −ekji . ~ × (B ~ × C) ~ = ◮ 5. Pomo´cu indeksne notacije verifikovati vektorski identitet A ~ ~ ~ ~ ~ ~ B(A · C) − C(A · B). ◮ 6. Neka su yi = aij xj i xm = aim zi , sa opsegom indeksa 1, 2. (a) Izraziti yi preko zi koriˇsc´ enjem indeksne notacije i proveriti rezultat da se ni jedan indeks ne pojavljue viˇse of dva puta. (b) Sprovesti naznaˇcena sabiranja i napisati izraze za y1 , y2 preko z1 , z2 .

ZADACI

31

(c) Izraziti gornje jednaˇcine u matriˇcnom obliku. Razviti matriˇcnu jednaˇcinu i proveriti reˇsenje dobijeno pod (b). ◮ 7. Koriˇsc´ enjem e − δ identiteta pojednostaviti (a) eijk ejik , (b) eijk ejki . ◮ 8. Dokazati slede´ce vektorske identitete: (a) (b)

~ B ~ × C) ~ =B ~ · (C ~ × A) ~ =C ~ · (A ~ × B) ~ A( ~ × B) ~ ×C ~ = B( ~ A ~ · C) ~ − A( ~ B ~ · C) ~ (A

trostruki skalarni proizvod

◮ 9. Dokazati slede´ce vektorske identitete: ~ × B) ~ · (C ~ × D) ~ = (A ~ · C)( ~ B ~ · D) ~ − (A ~ · D)( ~ B ~ · C) ~ (A → ~ × (B ~ × C) ~ +B ~ × (C ~ × A) ~ +C ~ × (A ~ × B) ~ = 0 (b) A ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ·C ~ × D) ~ (c) (A × B) × (C × D) = B(A · C × D) − A(B (a)

~ = (1, −1, 0) i B ~ = (4, −3, 2) na´ci pomo´cu indeksne notacije ◮ 10. Za vektore A (a) Ci = eijk Aj Bk , i = 1, 2, 3 (b) Ai Bi ˇ predstavljaju rezultati pod (a) i (b) ? (c) Sta 1 ◮ 11. Pomo´cu indeksne notacije zapisati diferencijalne jednaˇcine dy dt = a11 y1 + dy2 a12 y2 i dt = a21 y1 + a22 y2 . ◮ 12. Neka je Φ = Φ(r, θ) gde su r,θ polarne koordinate sa kojih se na dekartove (x, y) prelazi transformacionim jednaˇcinama x = r cos θ and y = r sin θ. ∂2Φ (a) Na´ci parcijalne izvode ∂Φ ∂y i ∂y 2 . (b) Iskoristiti rezultate pod (a) i rezultate iz primera 18 i izraˇcunti laplasijan ∇2 Φ = ∂2Φ ∂2Φ ∂x2 + ∂y 2 u polarnim koordinatama. ◮ 13. (Indeksna notacija) Neka su a11 = 3, a12 = 4, a21 = 5, a22 = 6. Izraˇcunati C = aij aij , i, j = 1, 2. ◮ 14. Pokazati da se momenti inercije Iij definisani sa RRR 2 RRR I11 = (y + z 2 )ρ(x, y, z) dτ I23 = I32 = − yzρ(x, y, z) dτ R R RRR RRR I22 = (x2 + z 2 )ρ(x, y, z) dτ I12 = I21 = − xyρ(x, y, z) dτ R R RRR 2 RRR I33 = (x + y 2 )ρ(x, y, z) dτ I13 = I31 = − xzρ(x, y, z) dτ,

R

mogu u undeksnoj notaciji prikazati sa Iij =

R

RRR R

(xm xm δij − xi xj )ρdτ, gde su ρ

gustina mase, x1 = x, x2 = y, x3 = z, a dτ = dxdydz je deli´c zapremine. ◮ 15. Odrediti istinitost slede´ce relacije. Verifikovati odgovor. b ei · (b ej × b ek ) = (b ei × b ej ) · b ek = eijk ,

Uputstvo: Neka je b em = (δ1m , δ2m , δ3m ).

i, j, k = 1, 2, 3.

32

INDEKSNA NOTACIJA

◮ 16. Bez zamenjivanja vrednosti za i, l = 1, 2, 3 izraˇcunati svih devet cˇ lanova datih veliˇcina (a) B il = (δji Ak + δki Aj )ejkl

(b) Ail = (δim B k + δik B m )emlk .

◮ 17. Ako je Amn xm y n = 0 za bilo koje xi i y i , i = 1, 2, 3, pokazati da je Aij = 0 za sve vrednosti i, j. ◮ 18. (a) Za amn , m, n = 1, 2, 3 koso-symetriˇcno, pokazati da je amn xm xn = 0. (b) Neka je amn xm xn = 0, m, n = 1, 2, 3 za sve vrednosti xi , i = 1, 2, 3. Pokazati da amn mora biti koso-symetriˇcno. ◮ 19. Neka su A i B dve 3 × 3 matrice sa elementima aij i bij , respektivno. Pokazati da ako je C = AB matriˇcni proizvod, mora biti det(C) = det(A) det(B). Uputstvo: Koristiti rezultat primera 9. ◮ 20. (a) Neka su u1 , u2 , u3 funkcije promenljivih s1 , s2 , s3 . Dalje, uzeti da su s1 , s2 , m ∂(u1 ,u2 ,u3 ) s3 funkcije promenljivih x1 , x2 , x3 . Neka je ∂u ∂xn = ∂(x1 ,x2 ,x3) jakobijan u-va po x-ovima. Pokazati da je i i ∂u ∂u ∂sj ∂ui ∂sj = = · ∂xm ∂sj ∂xm ∂sj ∂xm . i

j

i

x ¯ ∂x ¯ ∂x x (b) Zapaziti da je ∂∂xx¯j ∂x m = ∂xm = δim i pokazati da je J( x ¯ )J( x ) = 1, gde je x J( x¯ ) jakobijan transformacije (1.7). ◮ 21. Za sistem tre´ceg reda almn sa l, m, n = 1, 2, 3, kaˇze se da simetriˇcan po dva svoja indeksa ako mu komponente ostaju nepromenjene kada indeksi uzajamno promene svoja mesta. Kada je almn je potpuno simetriˇcan, tada je almn = amln = alnm = amnl = anml = anlm . Kadagog je ovaj sistem tre´ceg reda popuno simetriˇcan: (i) koliko komponenata ima? (ii) koliko od tih komponenata su razliˇcite? Uputstvo: Razmotriti tri sluˇcaja (i) l = m = n, (ii) l = m 6= n, (iii) l 6= m 6= n. ◮ 22. Za indeksni sistem tre´ceg reda blmn sa l, m, n = 1, 2, 3 se kaˇze da je kososimetriˇcan po dva svoja indeksa ako mu komponente menjaju znak kada indeksi uzajamno promene svoja mesta. Potpuno koso-simetriˇcni sistem tre´ceg reda zadovoljava blmn = −bmln = bmnl = −bnml = bnlm = −blnm . (i) Koliko komponenta ima potpuno koso-simetriˇcan sistem? (ii) Koliko od tih komponenata su nule? (iii) Koliko komponents moˇze biti razliˇcito od nule? (iv) Pokazati da ako postoji jedna posebna komponenta b123 , da su blmn = elmn b123 . Uputstvo: Razmotriti tri sluˇcaja: (i) l = m = n, (ii) l = m 6= n, (iii) l 6= m 6= n. ˇ ova ◮ 23. Neka je i, j, k = 1, 2, 3 i neka je eijk σjk = 0 za sva vrednosti i. Sta jednaˇcina govori o vednostima σij , i, j = 1, 2, 3?

ZADACI

33

◮ 24. Uzeti da su Amn i Bmn simetriˇcni za m, n = 1, 2, 3. Neka je Amn xm xn = Bmn xm xn za proizvoljne vrednosti xi , i = 1, 2, 3, pa pokazati da je Aij = Bij za sve vrednosti i i j. ◮ 25. Izeti da je Bmn simetriˇcno i Bmn xm xn = 0 za proizvoljne vrednosti xi , i = 1, 2, 3, i pokazati da je Bij = 0. ◮ 26. Generalisano Kronecker-ovo delta desfinisano je n × n determinantom

ij...k δmn...p

=

i δm j δm .. .

δni δnj .. .

··· ··· .. .

δpi δpj .. .

k δm

δnk

···

δpk



gde je δsr Kronecker-ovo delta.

123 . (a) Pokazati da je eijk = δijk ijk ijk (b) Pokazati da je e = δ123 . ij (c) Pokazati da je δmn = eij emn . s rs r s rs rsp . = δm δn − δnr δm (d) Neka je δmn = δmnp (sabiranje po p), pa pokazati da je δmn Zapaziti da kombinovanjem ovog rezultata sa rezultatom pod (c) dobija dvodimanzr s s ijski oblik e − δ identita ers emn = δm δn − δnr δm . 1 rn rst r = 2δpr . (e) Neka je δm = 2 δmn (sabiranje po n), pa pokazati da je δpst rst (f) Pokazati da je δrst = 3! 1 a1 a12 a13 ◮ 27. Naka Air oznaˇcava kofaktor od ari u determinati a21 a22 a23 kao sˇto je a31 a32 a33 ijk s t rst i dato jednaˇcinom (1.25). (a) Pokazati da je e Ar = e aj ak . (b) Pokazati da je erst Ari = eijk ajs akt . ◮ 28. (a) Pokazati da za Aijk = Ajik , i, j, k = 1, 2, 3 postoji ukupno 27 elemenata, ali su samo 18 razliˇciti. (b) Pokazati da za i, j, k = 1, 2, . . . , N postoji ukupno N 3 elemenata, ali su samo 2 N (N + 1)/2 razliˇciti. ◮ 29. Neka su aij = Bi Bj za i, j = 1, 2, 3 gde su B1 , B2 , B3 proizvoljne konstante. Izraˇcunati det(aij ) = |A|. ◮ 30. (a) Za A = [aij ], i, j = 1, 2, 3, pokazati |A| = eijk ai1 aj2 ak3 . (b) Za A = [aij ], i, j = 1, 2, 3, pokazati |A| = eijk ai1 aj2 ak3 . (c) Za A = [aij ], i, j = 1, 2, 3, pokazati |A| = eijk a1i a2j a3k . (d) Za I = [δji ], i, j = 1, 2, 3, pokazati |A| = 1. ◮ 31. Neka je |A| = eijk ai1 aj2 ak3 i neka je Aim kofaktor od aim . Pokazati da se determinanta moˇze izraziti u bilo kojem od slede´cih oblika: (a) |A| = Ai1 ai1 gde je Ai1 = eijk aj2 ak3 (b) |A| = Aj2 aj2 gde je Ai2 = ejik aj1 ak3 (c) |A| = Ak3 ak3 gde je Ai3 = ejki aj1 ak2

34

INDEKSNA NOTACIJA

◮ 32. Pokazati da se rezultati zadatka 31 mogu prepisati u o slede´cim oblicima: 1 1 1 Ai1 = 2! e1st eijk ajs akt , Ai2 = 2! e2st eijk ajs akt , Ai3 = 2! e3st eijk ajs akt , ili 1 Aim = 2! emst eijk ajs akt . ◮ 33. Pomo´cu rezultata iz zadataka 31 i 32 pokazati da je apm Aim = |A| δip .   1 2 1 ◮ 34. Za [aij] =  1 0 3  izraˇcunati C = aij aij , i, j = 1, 2, 3. 2 3 2 ◮ 35. Neka su a111 = −1,

a211 = 1,

a112 = 3, a212 = 5,

a121 = 4, a221 = 2,

a122 = 2, a222 = −2.

Izraˇcunati veliˇcinu C = aijk aijk , i, j, k = 1, 2. ◮ 36. Neka su a1111 = 2, a1211 = 5,

a1112 = 1, a1121 = 3, a1122 = 1, a1212 = −2, a1221 = 4, a1222 = −2,

a2111 = 1, a2112 = 0, a2121 = −2, a2211 = −2, a2212 = 1, a2221 = 2,

a2122 = −1, a2222 = 2.

Izraˇcunati veliˇcinu C = aijkl aijkl , i, j, k, l = 1, 2. ◮ 37. Pojednostaviti izraze: (a) (Aijkl + Ajkli + Aklij + Alijk )xi xj xk xl (b) (Pijk + Pjki + Pkij )xi xj xk

(c) (d)

∂xi ∂xj

2

i

j

2

m

◮ 38. Neka g oznaˇcava determinantu matrice cˇ ije su komponente gij , i, j = 1, 2, 3. Pokazati da je: g1r g1s g1t gir gis git (a) gerst = g2r g2s g2t ; (b) gerst eijk = gjr gjs gjt g3r g3s g3t gkr gks gkt i δm δni δpi j ijk δnj δpj . ◮ 39. Pokazati da je eijk emnp = δmnp = δm δk δk δk m n p ijk mnp ijk ◮ 40. Pokazati da je e emnp A = A − Aikj + Akij − Ajik + Ajki − Akji . Uputstvo: Koristiti rezultate iz zadatka 39. ◮ 41. Pokazati da je (a) (b)

eij eij = 2! eijk eijk = 3!

(c) (d)

i

aij ∂ ∂x¯t ∂xx¯s ∂∂xx¯r − ami ∂∂x¯sx∂ x¯t ∂∂xx¯r

eijkl eijkl = 4! Pogoditi rezultat ei1 i2 ...in ei1 i2 ...in .

◮ 42. Ustanoviti istinitost slede´ce tvrdnje: eijk Ai Bj Ck = eijk Aj Bk Ci . Dokazati odgovor.

ZADACI

35

◮ 43. Neka su aij , i, j = 1, 2 komponente A funkcije vremena t. 2 × 2 matrice a11 a12 u cilju verifikacije da su oba (a) Razviti i |A| = eij ai1 aj2 i |A| = a21 a22 prikaza ista. (b) Verifikovati ekvivalenciju slede´cih relacija za izvode d |A| dai1 daj2 d |A| dadt11 dadt12 a11 a12 = eij aj2 +eij ai1 i = . + a21 a22 dadt21 dadt22 dt dt dt dt

(c) Neka su aij , i, j = 1, 2, 3 komponente 3 × 3 matrice A, koje zavise od vremena t. Na´ci odgovaraju´ce relacije za determinantu i njen izvod, razviti ih i verifikovati sliˇcno kao pod (a) i (b). ◮ 44. Za diferencijabilne skalarne funkcije f = f (x1 , x2 , x3 ) i φ = φ(f ) na´ci formulu za izraˇcunavanje grad φ koriˇsc´ enjem indeksne notacije. ~ = 0. ◮ 45. Koriˇsc´ enjem indeksne notacije dokazati: (a) ∇ × ∇φ = ~0; (b) ∇ · ∇ × A ◮ 46. Ako je Aij simetriˇcno, a Bij koso-simetriˇcno, i, j = 1, 2, 3, izraˇcunati C = Aij Bij . ◮ 47. Smatraju´ci da su A¯ij = A¯ij (¯ x1 , x ¯2 , x ¯3 ) i Aij = Aij (x1 , x2 , x3 ) za i, j = i j ¯ ∂x ∂x 1, 2, 3 povezani relacijom A¯mn = Aij ∂ x¯m ∂ x¯n . izraˇcunati izvod ∂∂Ax¯mn k . ◮ 48. Dokazati da ako bilo koja dva reda (ili dve kolone) matrice razmene mesta, tada se vrednost determinante matrice mnoˇzi sa munus jedan. Konstruisati dokaz koriˇsc´ enjem 3 × 3 matrica. ◮ 49. Dokazati da je determinanta matrice nula ako su dva reda (ili kolone) matrice proporcionalna. Konstruisati dokaz koriˇsc´ enjem 3 × 3 matrica. ◮ 50. Dokazati da ako se neki red (ili kolona) matrice promene dodavanjem nekogog drugog reda (ili kolone) pomnoˇzene konstantom, vrednost detemeinante matrice ostaje nepromenjena. Konstruisati dokaz koriˇsc´ enjem 3 × 3 matrica. ◮ 51. Pojednostaviti izrazφ = eijk elmn Ail Ajm Akn . ◮ 52. Neka Aijk oznaˇcava sistem tre´ceg reda u kojem su i, j, k = 1, 2. (a) Koliko komponenata ima ovaj sistem? (b) Neka je Aijk koso-simetriˇcno po poslednjem paru indeksa. Koliko nezavisnih komponenata ima tada oavaj sistem? ◮ 53. Neka Aijk oznaˇcava sistem tre´ceg reda u kojem su i, j, k = 1, 2, 3. (a) Koliko komponenata ima ovaj sistem? (b) Ako se joˇs stavi Aijk = Ajik i Aikj = −Aijk , odrediti broj komponenata u Aijk razliˇcitih od nule. ◮ 54. Pokazati da se svaki sistem drugog reda Tij moˇze izraziti kao zbir jednog simetriˇcnog sitema Aij i jednog koso-simetriˇcnog sistema Bij . Na´ci Aij i Bij izraˇzeno preko komponenata Tij . ◮ 55. Razmotriti sistem Aijk , i, j, k = 1, 2, 3, 4. (a) Koliko komponenata ima ovaj sistem? (b) Smatraju da je Aijk koso-simetriˇcno po poslednjem paru indeksa odrediti koliko nezavisnih komponenata ima ovaj sistem. (c) Ako pored toga sˇto je koso-simetriˇcan po poslednjem paru indeksa, zadovoljena i relacija Aijk + Ajki + Akij = 0 za sve vrednosti i, j i k, odrediti koliko nezavisnih komponenata ima ovaj sistem.

36

INDEKSNA NOTACIJA

~ u indeksnoj formi. (b) Napisati ◮ 56. (a) Napisati jednaˇcinu prave ~r = ~r0 + tA jednaˇcinu ravni ~n · (~r − ~r0 ) = 0 u indeksnoj formi. (c) Napisati jednaˇcinu prave u skalarnom obliku. (d) Napisati jednaˇcinu ravni u skalarnom obliku. (e) Na´ci jednaˇcinu prave odredene presekom ravni 2x + 3y + 6z = 12 i 6x + 3y + z = 6. (f) Na´ci jednaˇcinu ravni kroz tri taˇcke (5, 3, 2), (3, 1, 5), (1, 3, 3). Na´ci i normalu na ovu ravan. ◮ 57. Ugao 0 ≤ θ ≤ π izmedu dve kose linije u prostoru definisan je uglom izmedu njhovih direkcionih vektora kada se oni postave u koordinatni poˇcetak. Pokazati da je kosinus ugla imedu dve prave cˇ iji su koeficijenti pravca ai i bi , i = 1, 2, 3, dat izrazom cos θ = √

ai bi √ . ai ai bi bi

◮ 58. Neka je aij = −aji za i, j = 1, 2, . . . , N . Dokazati da za neparno N vaˇzi det[aij] = 0. 2 ∂λ λ ◮ 59. Neka je λ = Aij xi xj , gde je Aij = Aji . Izraˇcunati (a) ∂x (b) ∂x∂m ∂x . m k ◮ 60. Dat je prozvoljan (razliˇcit od nule) vektor Uk , k = 1, 2, 3, za koji je e−permutacionim simbolom definisana matrica elemenata aij = eijk Uk . Odrediti da li je aij simetriˇcno ili koso-simietriˇcno. Ako su Uk definisani gornjom jednaˇcinom za prozvoljne (razliˇcite od nule) aij , izraziti Uk preko aij . ◮ 61. Ako je Aij = Ai Bj 6= 0 za sve vrednosti i, j i Aij = Aji za i, j = 1, 2, . . . , N , ˇ je λ?. pokazati da je Aij = λBi Bj gde je λ konstanta. Sta ◮ 62. Ako je Aijkm , sa i, j, k, m = 1, 2, 3, potpuno koso-simetriˇcno odrediti koliko nezavisnih komponenata ima ova veliˇcina. ◮ 63. Dato je Rijkm , i, j, k, m = 1, 2, 3, 4. (a) koliko komponenata ima ova veliˇcina? (b) Ako je Rijkm = −Rijmk = −Rjikm koliko tada Rijkm ima nezavisnih komponenata? (c) Ako je joˇs i Rijkm = Rkmij odrediti broj nezavisnih komponenata. ◮ 64. Naka xi = aij x ¯j , i, j = 1, 2, 3, oznaˇcava smenu promenljivih iz koordinata sa crtom u koordinete bez crte, i neka je A¯i = aij Aj , gde su aij konstante, A¯i je ¯ funkcija promenljivih x ¯j , a Aj je funkcija promenljivih xj . Izraˇcunati ∂∂x¯Ami .

CHAPTER 2

TENZORI I TRANSFORMACIJE

~ moˇze se zapisati preko nezavisnih ortogonalnih jediniˇcnih vektora Bilo koji vektor A (vektora baze) b e1 , b e2 , b e3 kao ~ = A1 b e3 e2 + A3 b e1 + A2 b A

~ u odnosu na izabrane vektore baze. Ove gde su (A1 , A2 , A3 ) koordinate vektora A ~ na vektore baze i komponente su projekcije vektora A ~ = (A ~ ·b ~ ·b ~ ·b A e1 )b e1 + (A e2 )b e2 + (A e3 )b e3 .

~ 1, E ~ 2, E ~ 3 ), koja ne moraju biti Ako se izaberu tri nezavisna ortogonalna vektora, (E jedniˇcna, moˇze se pisati ~1 E b e1 = , ~ 1 E

~2 E b e2 = , ~ 2 E

~3 E b e3 = , ~ 3 E

Tenzorski raˇcun i mehanika koninuuma, Prvo izdanje. By Branislav S. Baˇcli´c c ISBN x-xxx-xxxxx-x 2005 John Wiley & Sons, Inc.

37

38

TENZORI I TRANSFORMACIJE

~ se moˇze izraziti sa i poslediˇcno, vektor A ! ! ~·E ~2 ~·E ~1 A A ~1 + ~2 + ~= E E A ~1 · E ~1 ~2 · E ~2 E E

~·E ~3 A ~3 · E ~3 E

!

~ 3. E

Ovde su cˇ lanovi ~·E ~ (i) A , ~ (i) · E ~ (i) E

i = 1, 2, 3

~ u odnosu na izabrane vektore baze E ~ 1, E ~ 2, E ~ 3 . Podsetiti se da komponente vektora A zagrade oko indeksa i oznaˇcavaju da po tom indeksu nema sabiranja, te se on smatra slobodnim indeksom koji moˇze imati bilo koju od vrednosti 1, 2 ili 3. 2.1

ˇ RECIPROCNA BAZA

~ 1, E ~ 2, E ~ 3 ) skup od tri nezavisna vektora koja nisu ni ortogonalna niti jeNeka su (E ~ preko ovih vektora moraju se na´ci komponente diniˇcne duˇzine. Da se prikaˇze vektor A 1 2 3 (A , A , A ) takve da je ~ = A1 E ~ 1 + A2 E ~ 2 + A3 E ~ 3. A Ovo se moˇze uˇciniti uzimanjem odgovaraju´cih projekcija cˇ ime se dobijaju tri jednaˇcine iz kojih se odreduju tri nepoznate komponente. Mnogo lakˇsi naˇcin nalaˇzenja ~ 1, E ~ 2, E ~ 3 ). Dve komponenata (A1 , A2 , A3 ) je konstruisanjem reciproˇcne baze (E 1 2 3 ~ 1, E ~ 2, E ~ 3 ) i (E ~ ,E ~ ,E ~ ) nazvaju se reciproˇcne ako zadovoljavaju uslov baze (E  1 ako je i = j ~i · E ~ j = δj = E . i 0 ako je i 6= j ~ 1 upravan ~3 · E ~ 1 = δ 1 = 0 tako da je vektor E ~2 · E ~ 1 = δ1 = 0 i E Zapaziti da je E 3 2 ~ ~ na oba vektora E2 i E3 (tj. vektor iz jedne baze je ortogonalan na dva vektora ~ 1 = V −1 E ~2 × E ~ 3 gde je V konstanta koju treba druge baze). Zato se moˇze pisati E ~ 1 nalazi se da je odrediti. Skalarno mnoˇze´ci obe strane ove jednaˇcine sa vektorom E ~ ~ ~ ~ 1, E ~ 2, E ~3 V = E1 · (E2 × E3 ) zapremina paralelopipeda formiranog od tri vektora E kada im se poˇceci poklapaju. Na sliˇcan naˇcin moˇze se postupiti i poˇsavˇsi od skupa ~ 1, E ~ 2, E ~ 3 ), te se reciproˇcni vektori baze odreduju iz relacija baznih vektora (E ~1 = 1 E ~2 × E ~ 3, E V

~2 = 1 E ~3 × E ~ 1, E V

~3 = 1 E ~1 × E ~ 2, E V

~ 1 ·(E ~2 ×E ~ 3 ) 6= 0 trostruki skalarni proizvod koji predstavlja zapreminu gde je V = E paralelopipeda koji za svoje stranice ima bazne vektore.

ˇ RECIPROCNA BAZA

39

~ 1, E ~ 2, E ~ 3 ) i (E ~ 1, E ~ 2, E ~ 3 ) oznaˇcavaju sistem reciproˇcnih baza. Svaki Neka (E ~ moˇze se prikazati u odnosu na bilo koju od ovih baza. Ako se izabere baza vektor A ~ 1, E ~ 2, E ~ 3 ) i prikaˇze A ~ u obliku (E ~ 3, ~ 2 + A3 E ~ 1 + A2 E ~ = A1 E A

(2.1)

~ u odnosu na bazne vektore (E ~ 1, E ~ 2, E ~ 3) tada se komponente (A , A , A ) vektora A ~ nazivaju kontravarijantne komponente vektora A. Ove komponente odreduju se iz jednaˇcina 1

~·E ~ 1 = A1 , A

2

3

~·E ~ 2 = A2 , A

~·E ~ 3 = A3 . A

~ 1, E ~ 2, E ~ 3 ) i prikaˇze A ~ u obliku Sliˇcno, ako se izabere reciproˇcna baza (E ~ = A1 E ~ 1 + A2 E ~ 2 + A3 E ~ 3, A

(2.2)

~ 1, E ~ 2, E ~ 3 ) nazivaju kovaritada se komponente (A1 , A2 , A3 ) u odnosu na bazu (E ~ jantne komponente vektora A. Ove komponente mogu se odrediti iz relacija ~·E ~ 1 = A1 , A

~·E ~ 2 = A2 , A

~·E ~ 3 = A3 . A

Kontravarijantne i kovarijantne komponente su razliˇciti naˇcini prikazivanja istog vektora u odnosu na skup reciproˇcnih baznih vektora. Izmedu ovih komponeneta postoji jednostavna relacija do koje dolazi uvodenjem oznake: ~i · E ~ j = gij = gji , E

i

~i · E ~ j = g ij = g ji E

(2.3) ij

gde se gij nazivaju metriˇcke komponente prostora, dok se g nazivaju konjugovane metriˇcke komponente prostora. Tada se moˇze pisati       ~3 · E ~ 1 = A1 ~2 · E ~ 1 + A3 E ~1 · E ~ 1 + A2 E ~·E ~ 1 = A1 E A       ~3 · E ~ 1 = A1 ~2 · E ~ 1 + A3 E ~·E ~ 1 = A1 E ~1 · E ~ 1 + A2 E A ili

A1 = A1 g11 + A2 g12 + A3 g13 .

(2.4)

~·E ~2 i A ~·E ~ 3 nalaze se rezultati Na sliˇcan naˇcin, iz skalarnih proizvoda A A2 = A1 g21 + A2 g22 + A3 g23

A3 = A1 g31 + A2 g32 + A3 g33 .

Ovi rezultati u indeksnoj notaciji mogu se izraziti kratko: Ai = gik Ak .

(2.5) ~1

~ ·E , A ~ ·E , A ~ · E moˇze se verifikovati da je Formiranjem skalarnih proizvoda A Ai = g ik Ak .

~2

~3

(2.6)

Jednaˇcine (2.5) i (2.6) su relacije koje postoje izmedu kontravarijantnih i kovarijantnih ~ Sliˇcno, ako za neku vrednost j vaˇzi E ~ j = αE ~ 1 +β E ~ 2 +γ E ~ 3, komponenata vektora A. j ij ~ ˇ ~ tada se moˇze pokazati da je E = g Ei , sto se ostavlja cˇ itaocu za veˇzbu.

40

TENZORI I TRANSFORMACIJE

2.2

TRANSFORMACIJE KOORDINATA

Neka je transformacija iz skupa koordinata (x, y, z) u (u, v, w) definisana skupom transformacinih jednaˇcina x = x(u, v, w) y = y(u, v, w)

(2.7)

z = z(u, v, w) Smatra se da su ove transformacije jednoznaˇcne, neprekidne i da poseduju inverznu transformaciju u = u(x, y, z) v = v(x, y, z) w = w(x, y, z).

(2.8)

Ove transformacione jednaˇcine definiˇsu skup koordinatnih povrˇsi i koordinatnih krivih. Koordinatne povrˇsi se definiˇsu jednaˇcinama u(x, y, z) = c1 v(x, y, z) = c2 w(x, y, z) = c3

(2.9)

gde su c1 , c2 , c3 konstante. Ove povrˇsi se presecaju na koordinatnim krivama ~r(u, c2 , c3 ),

~r(c1 , v, c3 ),

~r(c1 , c2 , w),

(2.10)

gde je ~r(u, v, w) = x(u, v, w)b e1 + y(u, v, w)b e2 + z(u, v, w)b e3 . Opˇsta situacija je ilustrovana na slici 2.1.. ~ 1, E ~ 2, E ~ 3 ): Skup vektora (E ~ 1 = grad u = ∇u, E

~ 2 = grad v = ∇v, E

~ 3 = grad w = ∇w E

(2.11)

uzetih u zajedniˇckoj preseˇcnoj taˇcki koordinatnih povrˇsi (c1 , c2 , c3 ) moˇze se izabrati za sistem baznih vektora normalnih na koordinatne povrˇsi. Sliˇcno, vektori ~ 1 = ∂~r , E ∂u

~ 2 = ∂~r , E ∂v

~ 3 = ∂~r E ∂w

(2.12)

~ 1, E ~ 2, E ~ 3 ) koji se takode moˇze uzeti u preseˇcnoj taˇcki (c1 , c2 , c3 ) formiraju sistem (E uzeti za bazu. Ta baza je skup tangentnih vektora na koordinatne krive. Normalna

TRANSFORMACIJE KOORDINATA

r r c1 , c2 , w

a

r ¶r ¶w

f

41

Ñw

a

f

u x, y, z = c1

a

f

v x, y, z = c2

Ñv r ¶r ¶v

r ¶r ¶u r r u, c2 , c3

a

Figure 2.1.

r r c1 , v, c3

a

f

Ñu

a

f

f

w x, y, z = c3

Koordinatne krive i koordinatne povrˇsi.

~ 1, E ~ 2, E ~ 3 ) i tangentna baza (E ~ 1, E ~ 2, E ~ 3 ) cˇ ine skup reciproˇcnih baza, sˇto c´ e baza (E sada biti dokazano. Vektor poloˇzaja ~r = xb e1 + yb e2 + zb e3 promenljive taˇcke moˇze se zapisati, nakon zamene x, y, z iz (2.7), kao ~r = ~r(u, v, w) = x(u, v, w)b e1 + y(u, v, w)b e2 + z(u, v, w)b e3 .

(2.13)

Mala promena redijus vektora ~r je d~r = dxb e1 + dyb e2 + dzb e3 =

∂~r ∂~r ∂~r du + dv + dw ∂u ∂v ∂w

(2.14)

gde su ∂y ∂z ∂x ∂~r b b b e1 + e2 + e3 = ∂u ∂u ∂u ∂u ∂y ∂z ∂x ∂~r b b b e1 + e2 + e3 = ∂v ∂v ∂v ∂v ∂~r ∂y ∂z ∂x b b b e1 + e2 + e3 . = ∂w ∂w ∂w ∂w

(2.15)

Ova promena, izraˇzena preko koordinata u, v, w, moˇze se shvatiti kao kretanje duˇz ∂~ r ∂~ r ∂~ r du, ∂v dv, i ∂w dw. dijagonale paralelopipeda koji ima vektorske stranice ∂u Diferenciranjem relacije u = u(x, y, z) date jednaˇcinom (2.8) nalazi se du =

∂u ∂u ∂u dx + dy + dz, ∂x ∂y ∂z

(2.16)

42

TENZORI I TRANSFORMACIJE

a jednaˇcina (2.14) omogu´cava da se ovaj diferencijal prikaˇze u obliku: du = grad u · d~r   ∂~r ∂~r ∂~r du = grad u · du + dv + dw (2.17) ∂u ∂v ∂w       ∂~r ∂~r ∂~r du + grad u · dv + grad u · dw. du = grad u · ∂u ∂v ∂v Uporedenjem odgovaraju´cih cˇ lanova u poslednjoj jednaˇcini nalazi se da je ~1 · E ~ 1 = 1, E

~1 · E ~ 2 = 0, E

~1 · E ~ 3 = 0. E

(2.18)

Sliˇcno, iz preostale dve jednaˇcine (2.8), koje definiˇsu v = v(x, y, z) i w = w(x, y, z), moˇze se pokazati da je       ∂~r ∂~r ∂~r du + grad v · dv + grad v · dw (2.19) dv = grad v · ∂u ∂v ∂w i dw =



∂~r grad w · ∂u





∂~r du + grad w · ∂v



  ∂~r dv + grad w · dw. (2.20) ∂w

Uporedenjem odgovaraju´cih cˇ lanova u jednaˇcinama (2.19) i (2.20) nalazi se ~2 · E ~ 1 = 0, E ~3 · E ~ 1 = 0, E

~2 · E ~ 2 = 1, E ~3 · E ~ 2 = 0, E

~2 · E ~3 = 0 E ~3 · E ~ 3 = 1. E

(2.21)

Jednaˇcine (2.18) i (2.21) pokazuju da su bazni vektori definisani jednaˇcinama (2.11) i (2.12) reciproˇcni. Uvodenjem oznaka (x1 , x2 , x3 ) = (u, v, w)

(y 1 , y 2 , y 3 ) = (x, y, z)

(2.22)

gde x-ovi oznaˇcavaju generalisane koordinate, a y-i oznaˇcavaju pravougle Dekartove koordinate, gornje jednaˇcine se mogu zapisati znatno kra´ce u indeksnoj notaciji. Na primer, ako je za i = 1, 2, 3, xi = xi (x, y, z) = xi (y 1 , y 2 , y 3 ),

i

y i = y i (u, v, w) = y i (x1 , x2 , x3 ), (2.23)

tada se reciproˇcni bazni vektori mogu zapisati sa ~ i = grad xi , E

i = 1, 2, 3

(2.24)

i ~ i = ∂~r , E ∂xi

i = 1, 2, 3.

(2.25)

SKALARI, VEKTORI I TENZORI

43

Da se pokaˇze da su ovi vektori baze reciproˇcni, treba samo zapaziti da je ~r = ~r(x1 , x2 , x3 ) i d~r =

∂~r dxm , ∂xm

(2.26)

te poslediˇcno ∂~r dxi = grad xi · d~r = grad xi · m dxm ∂x   i ~i · E ~ m dxm = δm dxm , = E

i = 1, 2, 3

(2.27)

Uporedenjem odgovaraju´cih cˇ lanova u poslednjoj jednaˇcini ustanovljava se da je ~i · E ~ m = δi , E m

i, m = 1, 2, 3

(2.28)

sˇto pokazuje da su bazni vektori reciproˇcni. 2.3

SKALARI, VEKTORI I TENZORI

Pre definisanja razliˇcitih tipova tenzora nuˇzno je naglasiti sˇta se podrazumeva pod transformacijom koordinata. Tenzori su veliˇcine koje se pokoravaju izvesnim zakonima transformacija. Skalari, vektori, matrice i matrice viˇseg reda mogu se shvatiti kao komponente tenzorskih veliˇcina. Te komponente nuˇzno je znati prikazati u razliˇcitim koordinatnim sistemima, a poznavanje transformacionih zakona nuˇzno je da bi se prikazali razliˇciti fiziˇcki zakoni u obliku koji je nezavisan od izabranog koordinatnog sistema. Transformacije koordinata tipa onih datih jednaˇcinama (2.7) i (2.8) mogu se uopˇstiti i na ve´ci broj dimenzija. Neka xi , i = 1, 2, ..., N oznaˇcavaju N promenljivih koje se mogu shvatiti da predstavljaju promenljivu taˇcku (x1 , x2 , ..., xN ) u N dimenzijskom prostoru VN . Neki drugi skup od N veliˇcina, promenljive sa crtom, x ¯i , i = 1 2 1, 2, ..., N , moˇze se upotrebiti da za predstavljanje promenljive taˇcke (¯ x ,x ¯ , ..., x ¯N ) ¯ u N dimenzijskom protoru VN . Kada su x-ovi povezani sa x ¯-ovima jednaˇcinama oblika xi = xi (¯ x1 , x ¯2 , ..., x ¯N ),

i = 1, 2, ..., N

(2.29)

¯i , i = 1, 2, ..., N . Kadagod kaˇze se da postoji transformacija izmedu koordinata xi i x su relacije (2.29) funkcionalno nezavisne, jednoznaˇcne i imaju parcijalne izvode takve da je jakobijan transformacije ∂x1 1 ∂x1 . . . ∂∂x  ∂ x¯1  1 2 ∂x ¯2 x ¯N x N x , x , ..., x .. . . . .. .. .. J = . =J (2.30) x ¯ x ¯1 , x ¯2 , ..., x ¯N N N ∂x ∂x ∂xN · · · ∂ x¯N ∂x ¯1 ∂x ¯2

44

TENZORI I TRANSFORMACIJE

razliˇcit od nule, postoji inverzna transformazija x ¯i = x ¯i (x1 , x2 , ..., xN ),

i = 1, 2, ..., N.

(2.31)

U cilju kratko´ce zapisa, transformacione jednaˇcine (2.29) i (2.31) obeleˇzavaju se ponekad sa xi = xi (¯ x),

i = 1, ..., N

i

x ¯i = x ¯i (x),

i = 1, ..., N.

(2.32)

Neka je potrebno izvrˇsiti uzastopne transformacije iz koordinata x u x ¯ a zatim iz x ¯ u koordinate x. Neka je, u cilju jednostavnosti, x ¯ = y i x = z i neka se transformacije obeleˇze sa T1 , T2 i T3 . Tada su transformacije T1 : T2 :

y i = y i (x1 , ..., xN ) i = 1, ..., N i

i

1

N

z = z (y , ..., y )

i = 1, ..., N

ili T1 x = y ili T2 y = z

Transformacija T3 dobijena zamenom T1 u T2 naziva se proizvod dve uzastopne transformacije i zapisuje se sa T3 :

z i = z i (y 1 (x1 , ..., xN ), ..., y N (x1 , ..., xN ))

i = 1, ..., N

ili T3 x = T2 T1 x = z. Proizvod transformacija obeleˇzava se sa T3 = T2 T1 . Jakobijan proizvoda transformacija jednak je proizvodu jakobijana transformacija: J3 = J2 J1 . 2.4

ˇ TRANSFORMACIJE CINE GRUPU

Grupa G je neprazni skup elemenata za zakonom kojim se kombinuju elementi. Kombinovani elementi se oznaˇcavaju proizvodom. Dakle, ako su a i b elementi u G tada bez obzira na to kako je definisan zakon kombinovanja elemenata, proizvod kombinacije se oznaˇcava sa ab. Skup G i zakon kombinovanja formiraju grupu ako je zadovoljeno slede´ce: (i) Za sve a, b ∈ G vaˇzi ab ∈ G. Ovo se naziva svojstvo zatvorenosti. (ii) Postoji element identiteta I takav da je za sve a ∈ G vaˇzi Ia = aI = a. (iii) Postoji inverzni element, tj. za sve a ∈ G postoji inverzni element a−1 takav da je aa−1 = a−1 a = I. (iv) U zakonu kombinovanja elemenata vaˇzi zakon asocijativnosti, te je a(bc) = (ab)c za sve a, b, c ∈ G. Na primer, skup elemenata G = {1, −1, i, −i}, gde je i2 = −1, skupa sa obiˇcnim mnoˇzenjem kao zakonom kombinovanja, formira grupu. To se vidi iz tablice mnoˇzenja.

DEKARTOVE KOORDINATE

× 1 −1 −i i

1 1 −1 −i i

−1 −1 1 i −i

i i −i 1 −1

45

−i −i i −1 1

Skup svih transformacija koordinata oblika datog jednaˇcinom (2.29), sa jakobijanom razliˇcitim od nule, formira grupu iz slede´cih razloga: (i) Rezultuju´ca transformacija (proizvod), nastala od dve uzastopne transformacije, pripada skupu transformacija. (zatvorenost) (ii) Transformacija identiteta postoji u specijalnom sluˇcaju kada su x i x ¯ iste koordinate. (iii) Inverzna transformacija postoji jer je jakobijan svake posebne transformacije razliˇcit od nule. (iv) Asocijativni zakon je zadovoljen jer transformacije zadovoljavaju svojstvo T3 (T2 T1 ) = (T3 T2 )T1 . Kada neka transformacija ima parametar, zakon kombinovanja se zapisuje kao proizvod simboliˇckih operatora. Na primer, ako se sa Tα obeleˇzi transformacija koordinata koja ima parametar α, inverzna transformacija se moˇze obeleˇziti sa Tα−1 i pisati Tα x = x ¯ ili x = Tα−1 x ¯. Ako se Tβ oznaˇcava istu transformaciju ali sa parametrom β, tada se tranzitivno svojstvo izraˇzava simboliˇcki sa Tα Tβ = Tγ gde proizvod Tα Tβ predstavlja rezultat sprovodenja dve uzastopne transformacije. Prva transformacija koordinata koristi date transformacione jednaˇcine i u tim jednaˇcinama upotrebljava α. Ovu transformaciju sledi druga koja koristi isti skup transformacionih jednaˇcina, ali ovoga puta vrednost parametra je β. Ovako opisan proizvod se upotrebljava da se pokaˇze da se rezultatu primene dve uzastopne transformacije dolazi do rezultata koji je ekvivalentan sprovodenju jedne jedine transformacije koordinata koja bi imala vrednost parametra γ. Najˇceˇsc´ e se izmedu vrednosti parametara α, β i γ moˇze ustanoviti neka veza. U takvoj simboliˇckoj notaciji, moˇze se uvesti transformacija identiteta, recimo oznakom Tθ . Ovde koriˇsc´ enje vrednosti parametra θ oznaˇcava da skup transformacionih jednaˇcina proizvodi transformaciju identiteta. Tada se inverzna transformacija moˇze izraziti kao nalaˇzenje takve vrednosti paramatra β da je Tα Tβ = Tθ . 2.5

DEKARTOVE KOORDINATE

ˇ Cesto je pogodno uvesti ortogonalan dekartov koordinatni sistem sa koordinatama y i , i = 1, 2, ..., N . Ovaj prostor se obeleˇzava sa EN i predstavlja N −dimenzijski euklidski prostor. Kadagod su generalisane nezavisne promenljive koordinate xi , i = 1, ..., N funkcije od y-a, a te jednaˇcine su funkcionalno nezavisne, postoje nezavisne transformacione jednaˇcine y i = y i (x1 , x2 , ..., xN ),

i = 1, 2, ..., N,

(2.33)

46

TENZORI I TRANSFORMACIJE

z z r x

q

y

Figure 2.2. Cilindarske koordinate.

sa jakobijanom razliˇcitim od nule. Sliˇcno, ako postoji neki drugi skup generalisanih koordinata, recimo sistem sa crtom x ¯i , i = 1, ..., N, gde su x ¯-ovi nezavisne funkcije od y-a, postoja´ce i neki drugi skup nezavisnih transformacionih jednaˇcina y i = y i (¯ x1 , x ¯2 , ..., x ¯N ),

i = 1, 2, ..., N,

(2.34)

sa jakobijanom razliˇcitim od nule. Transformacije u jednaˇcinama (2.33) i (2.34) impliciraju da postoje relacije oblika (2.29) izmedu x-ova i x ¯-ova sa inverznom tranformacijom oblika (2.31). Treba zapamtiti da se koncepti i ideje iz ovog odeljka mogu primeniti na prostor VN bilo koje konaˇcne dimezije. Dvodimenzijske povrˇsi (N = 2) i trodimenzijski prostori (N = 3) bi´ce od primarnog interesa u ovom kursu. U teoriji relativnosti, moraju se razmotriti prostori u kojima je N = 4. PRIMER 26. (cilindarske koordinate (r, θ, z)) Tranformacija x = x(r, θ, z) = r cos θ,

y = y(r, θ, z) = r sin θ,

z = z(r, θ, z) = z

iz pravouglih koordinata (x, y, z) u cilindarske koordinate (r, θ, z), je u skladu sa slikom 2.2.. Stavljanjem y 1 = x,

y 2 = y,

y3 = z

x1 = r,

x2 = θ,

x3 = z

gornje jednaˇcine postaju primer transformacionih jednaˇcina (2.7) sa u = r, v = θ, w = z kao generalisanim koordinatama. PRIMER 27. (sferne koordinate (ρ, θ, φ)) Transformacijom x = x(ρ, θ, φ) = ρ sin θ cos φ, y = y(ρ, θ, φ) = ρ sin θ sin φ, z = z(ρ, θ, φ) = ρ cos θ prelazi se iz pravouglih koordinata (x, y, z) u sferne koordinate (ρ, θ, φ) (vidi sliku 2.3.). Stavljanjem y 1 = x,

y 2 = y,

y3 = z

x1 = ρ,

x2 = θ,

x3 = φ

gornje jednaˇcine dobijaju oblik iz jednaˇcina (2.7) sa u = ρ, v = θ, w = φ kao generalisanim koordinatama. Da bi se razlikovali x-ovi u ovom primeru od x-ova u prethodnom primeru mogle bi se ovdaˇsnje koordinate obeleˇziti sa crtom.

47

SKALARNE FUNKCIJE I INVARIJANTNOST

z

qr x

f

Figure 2.3.

2.6

y

Sferne koordinate.

SKALARNE FUNKCIJE I INVARIJANTNOST

Sada se moˇze poˇceti sa definisanjem tenzorskih veliˇcina. Prva definicija je za skalarnu invarijantu ili tenzor nultog reda. Definicija apsolutnog skalarnog polja Neka postoji tranformacija koordinata tipa (2.29) sa jakobijanom J razliˇcitim od nule. Neka je skalarna funkcija f = f (x1 , x2 , ..., xN )

(2.35)

funkcija koordinata xi , i = 1, ..., N u prostoru VN . Kadagod postoji funkcija f = f (¯ x1 , x ¯2 , ..., x ¯N )

(2.36)

koja je funkcija koordinata x ¯i , i = 1, ..., N takva da je f¯ = J W f , tada se f naziva tenzor nultog reda i teˇzine W u prostoru VN . Kadagod je W = 0, skalar f se naziva komponenta apsolutnog skalarnog polja i poznat je pod nazivom apsolutni tenzor nultog reda. Drugim reˇcima, apsolutno skalarno polje je invarijantan objekat u prostoru VN u odnosu na grupu transformacija koordinata. Ovo polje ima jednu jedinu komponentu u svakom koordinatnom sistemu. U svaku skalarnu funkciju tipa definisanog jednaˇcinom (2.35), mogu se zameniti tranformacione jednaˇcine (2.29) i dobiti x1 , ..., x ¯N ). f = f (x1 , ..., xN ) = f (x1 (¯ x), ..., xN (¯ x)) = f (¯ 2.7

(2.37)

TRANSFORMACIJA VEKTORA, KONTRAVARIJANTNE KOMPONENTE

Neka je u prostoru VN data kriva C definisana skupom parametarskih jednaˇcina C:

xi = xi (t),

i = 1, ..., N

48

TENZORI I TRANSFORMACIJE

gde je t parametar. Vektor tangente na krivu C je  1  dx dx2 dxN T~ = , , , ..., dt dt dt ili u indeksnoj notaciji, koja obra´ca paˇznju na njegove komponente: dxi , i = 1, ..., N. dt Za transformaciju koordinata tipa definisanog jednaˇcinom (2.29) sa inverznom transformacijom definisanom jednaˇcinom (2.31), kriva C se u prostoru sa crtom prikazuje sa Ti =

x ¯i = x ¯i (x1 (t), x2 (t), ..., xN (t)) = x ¯i (t),

i = 1, ..., N,

gde je t nepromenjeno. Tangenta na krivu u sistemu koordinata sa crtom odredena je sa ∂x ¯i dxj d¯ xi = , dt ∂xj dt

i = 1, ..., N.

(2.38)

i

Ako T , i = 1, ..., N oznaˇcavaju komponente ovog vektora tangente u sistemu koordinata sa crtom, jednaˇcina (2.38) se moˇze zapisati u obliku ∂x ¯i j T , i, j = 1, ..., N. (2.39) ∂xj Ova jednaˇcina definiˇse zakon transformacije apsolutnog kontravarijantnog tenzora prvog reda. U sluˇcaju N = 3 matriˇcni oblik ove transformacije se prikazuje sa   1    ∂x ¯1 ∂x ¯1 ∂x ¯1 T T1 ∂x21 ∂x22 ∂x32   2   ∂ x¯ ∂x ¯  T2  (2.40)  T  =  ∂x1 ∂∂xx¯2 ∂x 3  3 3 ∂x ¯3 ∂x ¯3 ∂x ¯3 T T 1 2 3 i

T =

∂x

∂x

∂x

Opˇstija definicija je

Definicija kontravarijantnog tenzora Kadagod su N veliˇcina Ai u koordinatnon sistemu (x1 , ..., xN ) u relaciji sa N i veliˇcina A u kooordinatnom sistemu (¯ x1 , ..., x ¯N ) tako da je jakobijan J razliˇcit od nule, tada ako je zadovoljen zakon transformacije i

A = JW

∂x ¯i j A , ∂xj

takve veliˇcine se nazivaju komponente relativnog tenzora prvog reda i teˇzine W . Kada je W = 0 ove veliˇcine se nazivaju komponente apsolutnog tenzora prvog reda.

TRANSFORMACIJA VEKTORA, KONTRAVARIJANTNEKOMPONENTE

49

Oˇcigledno gornji zakon transformacije zadovoljava svojstva grupe.

PRIMER 28. (Tranzitivno svojstvo kontravarijantne transformacije) Pokazati da je uzastopno kontravarijantno transformisanje takode kontravarijantna transformacija. Reˇsenje: Posmatra se transformacija vektora iz sistema koordinata bez crte u sistem koordinata sa crtom. Vektor ili apsolutni tenzor prvog reda Ai = Ai (x), i = 1, ..., N se transformiˇse po jednaˇcini (2.39) te su i

A (¯ x) =

∂x ¯i j A (x). ∂xj

(2.41)

Naredna transformacija iz x ¯ → x koordinate proizveˇsc´ e komponente i
∂xi j A x = A (x). ∂x ¯j

(2.42)

Ovde je upotrebljena oznaka Aj (x) da se naglasi zavisnost komponenata Aj od x koordinata. Promenom indeksa i zamenom jednaˇcine (2.41) u (2.42) nalazi se i

i

A (x) =

¯j m ∂x ∂ x A (x). ∂x ¯j ∂xm

(2.43)

Iz cˇ injenice da je i

i

∂x ∂ x ¯j ∂x = , j m ∂x ¯ ∂x ∂xm jednaˇcina (2.43) se pojednostavljuje na i

∂x m A (x) = A (x) ∂xm i

(2.44)

i otud je ova transformacija takode kontravarijantna. Ovo se izraˇzava tranzitivoˇsc´ u u odnosu na grupu koordinatnih tranformacija. Zapaziti da je iz pravila posrednog diferenciranja ∂xm ∂ x ¯j ¯1 ¯2 ¯3 ∂xm ∂ x ∂xm ∂ x ∂xm ∂ x ∂xm = + + = = δnm . j n 1 n 2 n 3 n ∂x ¯ ∂x ∂x ¯ ∂x ∂x ¯ ∂x ∂x ¯ ∂x ∂xn Ne cˇ initi greˇsku pisanjem ¯2 ∂xm ∂xm ∂ x = 2 n ∂x ¯ ∂x ∂xn

ili

¯3 ∂xm ∂ x ∂xm = 3 n ∂x ¯ ∂x ∂xn

jer su ti izrazi nekorektni: u njima nema sabiranja, dok kod posrednog diferenciranja postoji sumacioni indeks.

50

TENZORI I TRANSFORMACIJE

2.8

TRANSFORMACIJA VEKTORA, KOVARIJANTNE KOMPONENTE

x) sˇto je skra´ceni zapis jednaˇcine Posmatra se skalarna invarijanta A(x) = A(¯ A(x1 , x2 , ..., xn ) = A(¯ x1 , x ¯2 , ..., x ¯n ) o transformaciji koordinata prema (2.29). Posrednim diferenciranjem ove invarijante nalazi se da komponente gradijenta moraju zadovoljavati ∂A ∂A ∂xj = . ∂x ¯i ∂xj ∂ x ¯i

(2.45)

Neka su Aj =

∂A ∂xj

i

Ai =

∂A , ∂x ¯i

tada se jednaˇcina (2.45) moˇze izraziti kao zakon transformacije Ai = Aj

∂xj . ∂x ¯i

(2.46)

Ovo je zakon transformacije apsolutnog kovarijantnog tenzora prvog reda. Opˇstija je definicija: Definicija kovarijantnog tenzora Kadagod su N veliˇcina Ai u koordinatnom sistemu (x1 , ..., xN ) u relaciji sa N x1 , ..., x ¯N ), tako da je jakobijan J razliˇcit veliˇcina Ai u koordinatnom sistemu (¯ od nule, tada ako je zadovoljen zakon tranformacije Ai = J W

∂xj Aj , ∂x ¯i

(2.47)

ovakve veliˇcine se nazivaju komponente relativnog kovarijantnog tenzora prvog reda sa teˇzinom W . Kada je W = 0, ove veliˇcine se nazivaju komponente apsolutnog kovarijantnog tenzora prvog reda. I ova tranformacija zadovoljava svojstva grupe. Apsolutni tenzori prvog reda nazivaju se vektori, a apsolutni tenzori nultog reda nazivaju se skalari.

PRIMER 29. (Tranzitivno svojstvo kovarijantne transformacije) Posmatra se sekvenca zakona tranformacije tipa definisanog jednaˇcinom (2.46) x→x ¯ x ¯→x

j

Ai (¯ x) = Aj (x) ∂x ∂x ¯i m ∂x Ak (x) = Am (¯ x) ¯ k ∂x

ˇ TENZORI VISEG REDA

51

Zato se moˇze izraziti transformacija komponenata pridruˇzena tranformaciji koordinata x → x te je Ak (x) =



∂xj Aj (x) m ∂x ¯



∂x ¯m k

∂x

= Aj (x)

∂xj k

∂x

,

sˇto pokazuje tranzitivno svojstvo kovarijantne transformacije.

2.9

ˇ TENZORI VISEG REDA

Pokazano je da se tenzori prvog reda pokoravaju izvesnim zakonima tranformacija. Tenzori viˇseg reda se definiˇsu na sliˇcan naˇcin i takode zadovoljavaju svojstva grupe. Smatra se da su date tranformacije tipa onih u jednaˇcinama (2.29) i (2.31) koje su jednoznaˇcne i neprekidne sa jakobijanom J razliˇcitim od nule. I dalje se smatra da veliˇcine xi i x ¯i , i = 1, ..., n predstavljaju koordinate u bilo koja dva koordinatna sistema. Slede´ci zakoni tranformacije definiˇsu tenzore drugog i tre´ceg reda. Definicija kontravarijantnog tenzora drugog reda Kadagod su N -na kvadrat veliˇcina Aij u koordinatnom sistemu (x1 , ..., xN ) mn u koordinatnom sistemu (¯ x1 , ..., x ¯N ) u relaciji sa N -na kvadrat veliˇcina A tako da je zadovoljen zakon transformacije A

mn

(¯ x) = Aij (x)J W

∂x ¯m ∂ x ¯n , ∂xi ∂xj

(2.48)

tada se takve veliˇcine nazivaju komponente relativnog kontravarijantnog tenzora drugog reda sa teˇzinom W . Kada je W = 0 ovakve veliˇcine se nazivaju komponente apsolutnog kontravarijantnog tenzora drugog reda. Definicija kovarijantnog tenzora drugog reda Kadagod su N -na kvadrat veliˇcina Aij u koordinatnom sistemu (x1 , ..., xN ) u relaciji sa N -na kvadrat veliˇcina Amn u koordinatnom sistemu (¯ x1 , ..., x ¯N ) tako da je zadovoljen zakon transformacije Amn (¯ x) = Aij (x)J W

∂xi ∂xj , ∂x ¯m ∂ x ¯n

(2.49)

tada se takve veliˇcine nazivaju komponente relativnog kovarijantnog tenzora drugog reda sa teˇzinom W . Kada je W = 0 ovakve veliˇcine se nazivaju komponente apsolutnog kovarijantnog tenzora drugog reda.

52

TENZORI I TRANSFORMACIJE

Definicija meˇsovitog tenzora drugog reda Kadagod su N -na kvadrat veliˇcina Aij u koordinatnom sistemu (x1 , ..., xN ) u m relaciji sa N -na kvadrat veliˇcina An u koordinatnom sistemu (¯ x1 , ..., x ¯N ) tako da je zadovoljen zakon trensformacije m

An (x) = Aij (x)J W

∂x ¯m ∂xj ∂xi ∂ x ¯n

(2.50)

tada se takve veliˇcine nazivaju komponente relativnog meˇsovitog tenzora drugog reda sa teˇzinom W . Kada je W = 0 ovakve veliˇcine se nazivaju komponente apsolutnog meˇsovitog tenzora drugog reda. On je kontravarijantan prvog reda i kovarijantan prvog reda. Tenzori viˇseg reda se definiˇsu na sliˇcan naˇcin. Na primer, ako se nade N -na kub veliˇcina Am np takvih da je i

Ajk (x) = A(x)γαβ J W

∂x ¯i ∂xα ∂xβ , ∂xγ ∂ x ¯j ∂ x ¯k

(2.51)

tada je to relativni meˇsoviti tenzor tre´ceg reda sa teˇzinom W . On je kontravarijantan prvog reda i kovarijantan drugog reda. ˇ OPSTA DEFINICIJA

2.10

U opˇstem sluˇcaju meˇsoviti tenzor (m + n)-tog reda ...im Tji11ji22...j n

(2.52)

je kontravarijantan m-tog reda i kovarijantan n-tog reda ako se pokorava zakonu transformacije h  x iW ¯i1 ∂ x ¯i2 ∂x ¯im ∂xb1 ∂xb2 ∂xbn i1 i2 ...im ...am ∂ x T j1 j2 ...jn = J Tba11ba22...b · · · · · · · n x ¯ ∂xa1 ∂xa2 ∂xam ∂ x ¯j1 ∂ x ¯j2 ∂x ¯jn (2.53) gde je ∂x ∂(x1 , x2 , ..., xN ) J = = x ¯ ∂x ¯ ∂(¯ x1 , x ¯2 , ..., x ¯N ) x

jakobijan transformacije. Kada je W = 0 tenzor se naziva apsolutan tenzor, a inaˇce se naziva relativan tenzor teˇzine W . Ovde su gornji indeksi upotrebljeni za oznaˇcavanje kontravarijantnih komponenta, a donji indeksi za oznaˇcavanje kovarijantne komponente. Tako, ako se imaju komponente tenzora u jednom koordinatnom sistemu, tada su komponente u bilo kom

DIJADE I POLIJADE

53

drugom koordinatnom sistemu odredene zakonom tranformacije iz jednaˇcine (2.53). U preostalom delu ovog teksta svi tenzori se smatraju apsolutnim tenzorima ako nije drugaˇcije naglaˇseno. 2.11

DIJADE I POLIJADE

Vektori se mogu zapisati i masnim slovima, na primer A = Ai Ei . Ovakvo oznaˇcavanje se moˇze uopˇstiti i na tenzorske veliˇcine, pa tako pisati i tenzori viˇseg reda. Na primer, tenzorske komponente Tij i Bijk mogu se prikazati preko vektora baze Ei , i = 1, ..., N pomo´cu notacije koja je sliˇcna onoj kojom se prikazuju vektori. Recimo, T = Tij Ei Ej B = Bijk Ei Ej Ek . Ovde T oznaˇcava tenzor sa komponentama Tij , a B tenzor sa komponentama Bijk . Veliˇcine Ei Ej nazivaju se jediniˇcne dijade, a Ei Ej Ek nazivaju se jediniˇcne trijade. Izmedu vektora baze nema znaka mnoˇzenja. Ovakvo obeleˇzavanje naziva se polijadna notacija. Dalje uopˇstavanje ove notacije je prikazivanje proizvoljnog tenzora pomo´cu vektora baze i reciproˇcne baze napisanih masnim slovima Na primer, meˇsoviti tenzor ima polijadnu reprezentaciju ij...k T = Tlm...n Ei Ej ...Ek El Em ...En .

Dijada se formira spoljaˇsnjim proizvodom dva vektora. Na primer, spoljaˇsnji proizvod vektora a = a1 E1 + a2 E2 + a3 E3

i

b = b1 E1 + b2 E2 + b3 E3

daje dijadu ab = a1 b1 E1 E1 + a1 b2 E1 E2 + a1 b3 E1 E3 + a2 b1 E2 E1 + a2 b2 E2 E2 + a2 b3 E2 E3 + a3 b1 E3 E1 + a3 b2 E3 E2 + a3 b3 E3 E3 . U opˇstem sluˇcaju dijada se prikazuje sa A = Aij Ei Ej

i, j = 1, ..., N

gde vaˇzi konvencija o sabiranju po ponovljenim indeksima. Koeficijenti Aij se nazivaju koeficijenti dijade. Kada se koeficijenti piˇsu u redovima i kolonama dobija se

54

TENZORI I TRANSFORMACIJE

N × N matrica. Svaki tenzor drugog reda moˇze se zapisati kao linearna kombinacija dijada. Dijade formiraju bazu za tenzore drugog reda. Kao sˇto to gornji primer ilustruje, devet dijada {E1 E1 , E1 E2 , ..., E3 E3 }, povezanih sa spoljaˇsnjim proizvodom trodimenzijske vektorske baze, cˇ ine bazu za tenzor drugog reda A = ab sa komponentama Aij = ai bj za i, j = 1, 2, 3. Sliˇcno, trijada ima oblik T = Tijk Ei Ej Ek

sabirnje po ponovljenim indeksima

gde su i, j, k u opsegu 1, 2, ..., N . Skup spoljaˇsnjih ili direktnih proizvoda {Ei Ej Ek }, za i, j, k = 1, ..., N konstituiˇse bazu za sve tenzore tre´ceg reda. Tenzorske komi ponente sa meˇsovitim indeksima kao Cjk pridruˇzene su trijadnim bazama relacijama oblika i C = Cjk Ei Ej Ek

gde su i, j, k u opsegu 1, 2, ..., N . Dijade se pridruˇzuju spoljaˇsnjem proizvodu dva vektora, dok se trijade, tetrade,... pridruˇzuju spoljaˇsnjim proizvodima viˇseg reda. Ovi spoljaˇsnji ili direktni proizvodi viˇseg reda nazivaju se polijade. Polijadna notacija je uopˇstenje vektorske notacije. Kako se polijadne komponente transformiˇsu izmedu koordinatnih sistema jeste predmet prouˇcavanja tenzorske analize. U Dekartovim koordinatama je Ei = Ei = b ei i dijadik sa komponentama zvanim ej ili ei b dijadama se zapisuje sa A = Aij b e3 e1 b e2 + A13 b e1 b e1 + A12 b e1 b A = A11 b e3 e2 b e2 + A23 b e2 b e1 + A22 b e2 b + A21 b e3 e3 b e2 + A33 b e3 b e1 + A32 b e3 b + A31 b

ej nazivaju jediniˇcne dijade. Zapaziti da dijadik ima devet kompogde se cˇ lanovi b ei b nenata u poredenju sa vektorom koji ima samo tri komponente. Konjugovani dijadik Ac se definiˇse transpozicijom jediniˇcnih vektora u A, cˇ ime se dobija e1 e3 b e1 + A13 b e2 b e1 + A12 b e1 b Ac = A11 b e2 e3 b e2 + A23 b e2 b e2 + A22 b e1 b + A21 b e3 e3 b e3 + A33 b e2 b e3 + A32 b e1 b + A31 b

Ako je dijadik jednak svom konjugatu A = Ac , tada je Aij = Aji i dijadik se naziva simetriˇcnim. Ako je dijadik jednak svom negativnom konjugatu A = −Ac , tada je Aij = −Aji i dijadik se naziva koso-simetriˇcnim. Specialni dijadik pod imenom identiˇcni dijadik ili idemfaktor definiˇse se sa e3 . e2 + b e3 b e1 + b e2 b J =b e1 b

~ ili mnoˇzenje J s desna Ovaj dijadik ima svojstvo da mnoˇzenje J s leva vektorom V ~ ~ vektrom V daje isti vektor V . Na primer,

DIJADE I POLIJADE

55

~ · J = (V1 b e3 )J e2 + V3 b e1 + V2 b V i

~ e3 = V e3 · b e3 b e2 + V3 b e2 · b e2 b e1 + V2 b e1 · b e1 b = V1 b

~ = J(V1 b e3 ) e2 + V3 b e1 + V2 b J ·V

~ e3 · b e3 = V e3 b e2 · b e2 + V3 b e2 b e1 · b e1 + V2 b e1 b = V1 b

Dijadna operacija koja se cˇ esto koristi u fizici i tehniˇckim naukama je dvosturki skalarni proizvod (prozivod sa dve taˇcke) A : B gde su i A i B dijadici. Ovde se oba dijadika razvijaju koriˇsc´ enjem distributivnog zakona mnoˇzenja, a zatim se svaki par en kombinuje prema pravilu ej :b em b jediniˇcnih dijada b ei b b en = (b ei · b em )(b ej · b en ). ej :b em b ei b

ej , tada se prozvod sa dve taˇcke A : B ei b ej i B = Bij b ei b Na primer, ako je A = Aij b izraˇcunava na slede´ci naˇcin. en ) ej :b em b en ) = Aij Bmn (b ei b em b ej ):(Bmn b ei b A : B = (Aij b = Aij Bmn (b ei · b em )(b ej · b en ) = Aij Bmn δim δjn = Amj Bmj

= A11 B11 + A12 B12 + A13 B13 + A21 B21 + A22 B22 + A23 B23 + A31 B31 + A32 B32 + A33 B33

U radu sa dijadama, trijadama i polijadama, postoji odreden red u naˇcinu prikazi~ = Bi b ~ = Ai b ei ei i B vanja komponenata vektora i polijada. Na primer, za vektore A spoljaˇsnjim proizvodom ~B ~ = Am Bn b en = φ em b A

nastaje dijadik φ sa komponentama Am Bn . Za poredenje, spoljaˇsnji proizvod ~A ~ = Bm An b en = ψ em b B

daje dijadik ψ sa komponentama Bm An . Dakle, ~B ~ = A1 B1 b e3 e1 b e2 + A1 B3 b e1 b e1 + A1 B2 b e1 b φ=A e3 e2 b e2 + A2 B3 b e2 b e1 + A2 B2 b e2 b + A2 B1 b e3 e3 b e2 + A3 B3 b e3 b e1 + A3 B2 b e3 b + A3 B1 b i

~A ~ = B1 A1 b e3 e1 b e2 + B1 A3 b e1 b e1 + B1 A2 b e1 b ψ=B e3 e2 b e2 + B2 A3 b e2 b e1 + B2 A2 b e2 b + B2 A1 b e3 e3 b e2 + B3 A3 b e3 b e1 + B3 A2 b e3 b + B3 A1 b

56

TENZORI I TRANSFORMACIJE

su razliˇciti dijadici. ~ definiˇse se posebno za mnoˇzenje s leva i Skalarni proizvod dijade sa vektorom C mnoˇzenje s desna ~ =A ~B ~ ·C ~ = A( ~ B ~ · C) ~ φ·C ~ ·φ=C ~ ·A ~B ~ = (C ~ · A) ~ B ~ C U opˇstem sluˇcaju ovi proizvodi nisu jednaki. 2.12

OPERACIJE SA TENZORIMA

Slede najvaˇznije tenzorske operacije koje se koriste za izvodenje spacijalnih jednaˇcina i dokaz razliˇcitih identiteta. 2.12.1

Sabiranje i oduzimanje

Tenzori istog tipa i teˇzine mogu se sabirati ili oduzimati. Na primer, kada se saberu dva meˇsovita tenzora tre´ceg reda dobija se opet meˇsoviti tenzor tre´ceg reda. Neka i su Aijk i Bjk dva meˇsovita tenzora tre´ceg reda. Njihov zbir se dobija sabiranjem odgovaraju´cih komponenata i i Cjk = Aijk + Bjk . i Zbir je opet meˇsoviti tenzor sˇto c´ e se odmah verifikovati. Po pretpostavci Aijk i Bjk su meˇsoviti tenzori tre´ceg reda i zato se moraju pokoravati transformacionim zakonima i

∂x ¯i ∂xn ∂xp ∂xm ∂ x ¯j ∂ x ¯k i n ¯ ∂x ∂xp m ∂x = Bnp . ∂xm ∂ x ¯j ∂ x ¯k

Ajk = Am np i

B jk i

i

i

Neka C jk = Ajk + B jk oznaˇcava zbir u transformisanim koordinatama, tada se sabiranjem gornjih tranformacionih jednaˇcina dobija   i
∂x ¯i ∂xn ∂xp ¯i ∂xn ∂xp i i m m ∂x C jk = Ajk + B jk = Am = C . np + Bnp np ∂xm ∂ x ¯j ∂ x ¯k ∂xm ∂ x ¯j ∂ x ¯k

Poslediˇcno, zbir se transformiˇse kao meˇsoviti tenzor tre´ceg reda. 2.12.2

ˇ Mnoˇzenje (spoljasnji proizvod)

Proizvod dva tenzora je opet tenzor. Red rezultuju´ceg tenzora je zbir redova tenzora koji uˇcestvuju u mnoˇzenju. Na primer, neka Aijk oznaˇcava meˇsoviti tenzor tre´ceg

OPERACIJE SA TENZORIMA

57

l oznaˇcava meˇsoviti tenzor drugog reda. Spoljaˇsnji proizvod ova dva reda i neka Bm tenzora je tenzor petog reda il l Cjkm = Aijk Bm ,

i, j, k, l, m = 1, 2, ..., N.

Ovde su svi indeksi slobodni indeksi jer i, j, k, l, m mogu primiti bilo koju od celoi l brojnih vrednosti 1, 2, ..., N . Neka Ajk i B m oznaˇcavaju komponente datih tenzora il

u sistemu koordinata sa crtom. Neka se C jkm definiˇse kao spoljaˇsnji proizvod ovih il l komponenata. Zapaziti da je Cjkm tenzor jer su po pretpostavci Aijk i Bm tenzori i zadovoljavaju zakone transformacije ∂x ¯α ∂xj ∂xk ¯δ ∂xm δ l ∂x , . = B B ε m ∂xi ∂ x ¯β ∂ x ¯γ ∂xl ∂ x ¯ε Spoljaˇsnji proizvod ovih komponenata dovodi do α

Aβγ = Aijk

αδ

α

δ

(2.54)

∂x ¯α ∂xj ∂xk ∂ x ¯δ ∂xm i β γ ∂x ∂ x ¯ ∂x ¯ ∂xl ∂ x ¯ε j k δ m α ¯ ∂x ∂x ¯ ∂x ∂x ∂ x il = Cjkm i β γ ∂x ∂ x ¯ ∂x ¯ ∂xl ∂ x ¯ε

l C βγε = Aβγ B ε = Aijk Bm

(2.55)

il sˇto pokazuje da se Cjkm transformiˇse kao meˇsoviti apsolutni tenzor petog reda. Drugi spoljaˇsnji proizvodi se analiziraju na sliˇcan naˇcin.

2.12.3

Kontrakcija

Operacija kontrakcije bilo kog meˇsovitig tenzora m-tog reda sprovodi se izjednaˇcavanjem nekog gornjeg indeksa sa nekim donjim indeksom i primenom konvencije o sabiranju. Kada se sprovede sabiranje po ponovljenim indeksima rezultuju´ca veliˇcina je opet tenzor ali (m − 2)-og reda. Na primer, neka je Aijk , i, j, k = 1, 2, ..., N meˇsoviti tenzor i neka se sprovede kontrakcija stavljanjem j jednakim i. Dobija se Aiik = A11k + A22k + · · · + AN N k = Ak

(2.56) i Aik

gde je k slobodni indeks. Da se pokaˇze da je Ak tenzor, neka = Ak oznaˇcava kontrakciju nad transformisanim komponentama od Aijk . Po pretpostavci Aijk je meˇsoviti tenzor, te njegove komponente moraju zadovoljavati zakon tranformacije ∂x ¯i ∂xn ∂xp . ∂xm ∂ x ¯j ∂ x ¯k Izvrˇsavanjem sada kontrakcije putem izjednaˇcavanja j sa i i sabiranjem po ponovljenim indeksima, nalazi se i

Ajk = Am np

i

∂xn ∂xp ∂x ¯i ∂xn ∂xp = Am np m i k ∂x ∂ x ¯ ∂x ¯ ∂xm ∂ x ¯k p p p ∂x ∂x n ∂x = Am = Annp k = Ap k . np δm ∂x ¯k ∂x ¯ ∂x ¯

Aik = Ak = Am np

(2.57)

58

TENZORI I TRANSFORMACIJE

Otud kontrakcija proizvodi tenzor dva reda niˇzeg od reda originalnog tenzora. Kontrakcije na drugim meˇsovitim tenzorima mogu se analizirati na sliˇcan naˇcin. Kontrakcijom po jednom gornjem i donjem indeksu mogu se konstruisati novi tenzori od starih tenzora. Taj proces se moˇze ponavljati sve dok postoji jedan gornji i donji indeks nad kojima se sprovodi kontrakcija. Svaki put sprovodenje kontrakcije dovodi do tenzora cˇ iji je red za dva niˇzi od reda originalnog tenzora. 2.12.4

ˇ Mnoˇzenje (unutrasnji proizvod)

Unutraˇsnji proizvod dva tenzora dobija se: (i) izraˇcunavanjem prvo spoljaˇsnjeg proizvoda datih tenzora i (ii) sprovodenjem kontrakcije po dva indeksa.

PRIMER 30. (unutraˇsnji proizvod) Neka Ai i Bj oznaˇcavaju komponente dvaju tenzora prvog reda (vektora). Spoljaˇsnji proizvod ovih tenzora je Cji = Ai Bj ,

i, j = 1, 2, ..., N.

Unutraˇsnji proizvod ovih vektora je skalar C = Ai Bi = A1 B1 + A2 B2 + · · · + AN BN . Zapaziti da se u nekim sitacijama unutraˇsnji proizvod izvodi koriˇsc´ enjem samo donjih indeksa. Na primer, gornji unutraˇsnji proizvod se nekada zapisuje kao C = Ai Bi = A1 B1 + A2 B2 + · · · + AN BN . Ovakvo oznaˇcavanje se diskusuje kasnije kod razmatranja dekartovih tenzora.

2.12.5

Zakon kvocijenta

Neka su Brqs i Cps dva proizvoljna apsolutna tenzora i neka je data veliˇcina A(ijk) za koju se smatra da bi mogla biti meˇsoviti tenzor tre´ceg reda Aijk . Ako se pokaˇze da je jednaˇcina Arqp Brqs = Cps zadovoljena, tada Arqp mora biti tenzor. Ovo je primer tzv. zakona kvocijenta. Ovakav rezultat se, oˇcigledno, moˇze uopˇstiti da vaˇzi za tenzore bilo kog reda. Da se dokaˇze gornja tvrdnja pokaza´ce se iz gornje jednaˇcine da je Aijk tenzor. Neka xi i x ¯i

59

OPERACIJE SA TENZORIMA

oznaˇcavaju sisteme koordinata koji su povezani trensformacijama oblika definisanim u jednaˇcini (2.29). Smatra se da u sistemu koordinata sa crtom vaˇzi r

qs

s

Aqp B r = C p

(2.58)

l gde su po pretpostavci Bkij i Cm proizvoljni apsolutni tenzori te moraju zadovoljavati tranformacione jednaˇcine

¯s ∂xk ∂x ¯q ∂ x i ∂x ∂xj ∂ x ¯r s m ¯ ∂x s l ∂x C p = Cm . ∂xl ∂ x ¯p qs

B r = Bkij

qs

s

Zamenom ovih B r i C p u jednaˇcinu (2.58) dobija se     ∂x ¯q ∂ x ¯s ∂xm ¯s ∂xk r l ∂x Aqp Bkij i = C m ∂x ∂xj ∂ x ¯r ∂xl ∂ x ¯p s ∂x ¯ ∂xm . = Arqm Brql l ∂x ∂ x ¯p Kako su sumacioni indeksi nemi indeksi i mogu se zameniti drugim slovima, zameni se l u j, q u i i r u k i napiˇse se gornja jednaˇcina kao   m ∂x ¯s ¯q ∂xk r ∂x k ∂x A Bkij = 0. − A qp im ∂xj ∂xi ∂ x ¯r ∂x ¯p n

cine dobija se Unutraˇsnjim mnoˇzenjem sa ∂x ∂x ¯s i pojednostavljivanjem ove jednaˇ   m ¯q ∂xk r ∂x k ∂x δjn Aqp i Bkij = 0 ili − A im ∂x ∂ x ¯r ∂x ¯p   m ¯q ∂xk r ∂x k ∂x Aqp i Bkin = 0. − A im ∂x ∂ x ¯r ∂x ¯p Kako je Bkin proizvoljan tenzor, izraz u zagradi mora biti jednak nuli i zato je r

Aqp

m ∂x ¯q ∂xk k ∂x − A = 0. im ∂xi ∂ x ¯r ∂x ¯p

Ova jednaˇcina se pojednostavljuje unutraˇsnjim mnoˇzenjem sa r

δjq δrl Aqp − Akim

∂xm ∂xi ∂ x ¯l =0 ∂x ¯p ∂ x ¯j ∂xk l

ili

Ajp = Akim

¯l ∂xm ∂xi ∂ x p j ∂x ¯ ∂x ¯ ∂xk

sˇto je zakon transformacije za meˇsoviti tenzor tre´ceg reda.

∂xi ∂ x ¯l ∂x ¯j ∂xk

i tako dobija

60

TENZORI I TRANSFORMACIJE

2.13

ZADACI

◮ 1. Razmotriti transformacione jednaˇcine koje opisuju rotaciju osa za ugao α.  1 x =x ¯1 cos α − x ¯2 sin α T : 2 1 x =x ¯ sin α + x ¯2 cos α Smatrati α parametrom i pokazati da ovaj skup tranformacija cˇ ini grupu nalaˇzenjem vrednosti α koja daje: (i) transformaciju identiteta, (ii) inverznu tranformaciju, i (iii) pokazati da je transformacija tranzitivna jer je transformacija sa α = θ1 za kojom sledi tranformacija sa α = θ2 ekvivalentna transformaciji u kojoj je α = θ1 + θ2 . ◮ 2. Pokazati da transformacija  1 x ¯ = αx1 T : x ¯2 = α1 x2 cˇ ini grupu sa α kao parametrom. Na´ci takvu vrednost α da: (i) postoji transformacija identiteta, (ii) postoji inverzna transformacija, (iii) je zadovoljeno svojstvo tranzitivnosti. ◮ 3. Pokazati da data transformacija cˇ ini grupu sa parametrom α: ( x1 x ¯1 = 1−αx 1 T : x2 x ¯2 = 1−αx 1 ◮ 4. Razmotriti Lorentz-ovu transformaciju iz teorije relativnosti koja ima za parameter brzinu V , c je brzina svetlosti a x4 = t je vreme.  1 x1 −V x4 x ¯ =q  2  1− Vc2    2 2  x ¯ =x TV : x ¯3 = x3   1  x4 − V x    x ¯4 = q c2 2

1− Vc2

Pokazati da ovaj skup transformacija cˇ ini grupu, ustanovivˇsi da: (i) V = 0 daje tranformaciju identiteta T0 . (ii) TV2 · TV1 = T0 zahteva da je V2 = −V1 . 2 (iii) TV2 · TV1 = TV3 zahteva da je V3 = V1 +V V1 V2 . 1+

c2

~ 1, E ~ 2, E ~ 3 ) proizvoljna nezavisna baza, (a) verifikovati da ◮ 5. Ako je (E ~2 × E ~ 3, ~1 = 1 E E V

~2 = 1 E ~3 × E ~ 1, E V

~3 = 1 E ~1 × E ~2 E V

ZADACI

61

z z r x Figure 2.4.

b

y

Cilindarske koordinate (r; β, z).

z

ar x Figure 2.5.

b

y

Sferne koordinate (ρ,α,β).

~ 1 · (E ~2 × E ~ 3 ); (b) Pokazati da je E ~j = predstavlja reciproˇcnu bazu, gde je V = E g ij vEi . ◮ 6. Za cilindarske koordinate (r, β, z) prikazane na slici 2.4. potrebno je: (a) Napisati tranformacione jednaˇcine za prelaz iz pravougaonih (x, y, z) u cilindarske (r, β, z) koordinate. Napisati i jednaˇcine za inverzne tranformacije. (b) Odrediti slede´ce bazne vektore u cilindarskim koordinatama i prikazati ih ~ 1, E ~ 2, E ~ 3 ; (ii) normalnu bazu u cilindarskim koordinatama: (i) tangentnu bazu E ~ 1, E ~ 2, E ~ 3 ; (iii) b E er , b eβ , b ez gde su b er , b eβ , b ez normalizovani vektori u pravcima tangentne baze. ~ = Ax b e3 moˇze se prikazati u bilo kojem od oblika: e2 + Az b e1 + Ay b (c) Vektor A ~ = A1 E ~ 1 + A2 E ~ 2 + A3 E ~3 A ~ = A1 E ~ 1 + A2 E ~ 2 + A3 E ~3 A ~ = Ar b ez eβ + Az b er + Aβ b A

u zavisnosti od izabrane vektorske baze. Preko komponenata Ax , Ay , Az : (i) izraziti kontravarijantne komponente A1 , A2 , A3 , (ii) izraziti kovarijantne komponente A1 , A2 , A3 , (iii) izraziti komponente Ar , Aβ , Az . Sve rezultate izraziti u cilindarskim koordinatama. (Komponente Ar , Aβ , Az se nazivaju fiziˇcke komponente i o njima c´ e biti reˇci kasnije.) ◮ 7. Za sferne koordinate (ρ,α,β) prikazane na slici 2.5. potrebno je: (a) Napisati tranformacione jednaˇcine za prelaz iz pravougaonih (x, y, z) u sferne (ρ, α, β) koordinate. Napisati i jednaˇcine za inverzne tranformacije.

62

TENZORI I TRANSFORMACIJE

(b) Odrediti slede´ce bazne vektore u sfernim koordinatama. (i) tangentnu bazu ~ 1, E ~ 2, E ~ 3 ; (ii) normalnu bazu E ~ 1, E ~ 2, E ~ 3 ; (iii) b E eρ , b eα , b eβ sˇto su normalizovani vektori u pravcima tengentne baze. Sve rezulatate izraziti u sfernim koordinatama. ~ = Ax b e3 moˇze se prikazati u bilo kojem od oblika: e2 + Az b e1 + Ay b (c) Vektor A ~ = A1 E ~ 1 + A2 E ~ 2 + A3 E ~3 A ~ = A1 E ~ 1 + A2 E ~ 2 + A3 E ~3 A ~ = Aρ b eβ eα + Aβ b eρ + Aα b A

u zavisnosti od izabrane vektorske baze. U koordinatama (ρ, α, β) i komponentama Ax , Ay , Az izraˇcunati: (i) kontravarijantne komponente A1 , A2 , A3 ; (ii) kovarijantne komponente A1 , A2 , A3 ; (iii) fiziˇcke komponente Aρ , Aα , Aβ . ◮ 8. Uraditi zadatke 6 i 7 i zatim staviti da (x1 , x2 , x3 ) = (r, β, z) oznaˇcava koordinate u cilindarskom sistemu, a (¯ x1 , x ¯2 , x ¯3 ) = (ρ, α, β) oznaˇcava koordinate u sfernom sistemu. (a) Napisati tranformacione jednaˇcine x → x ¯ iz cilindarskih u sferne koordinate. Na´ci i inverzne transformacije. (Uputstvo: Videti slike 2.4. i 2.5..) (b) Upotrebiti rezultat pod (a) i rezultate iz zadataka 6 i 7 za verifikaciju da je Ai = Aj

∂xj ∂x ¯i

za

i = 1, 2, 3.

(tj. zameniti Aj iz zadatka 6 da se dobije Ai dato u zadatku 7.) (c) Upotrebiti rezultat pod (a) i rezulatate iz zadataka 6 i 7 za verifikaciju da je i

A = Aj

∂x ¯i ∂xj

za

i = 1, 2, 3. i

(tj. zameniti Aj iz zadatka 6 da se dobije A dato u zadatku 7.) ◮ 9. Uzeti dva proizvoljna nekolinearna vektora u x, y ravni, recimo ~1 = 5b V e1 + b e2

i

~2 = b V e1 + 5b e2

~3 = b ~1 i na V ~2 . Za vektore V ~1 i V ~2 se moˇze i neka je V e3 jediniˇcni vektor upravan i na V smatrati da definiˇsu kosi koordinatni sistem, kao na slici 2.6. ~ 1, V ~ 2, V ~ 3 ). (a) Na´ci reciproˇcnu bazu (V (b) Neka je ~1 + β V ~2 + γ V ~3 ~r = xb e1 + yb e2 + zb e3 = αV pa pokazati da su α= β=

5 1 24 x − 24 y 1 5 − 24 x + 24 y

γ=z

ZADACI

63

y V2

V1

x Figure 2.6.

Kose koordinate.

(c) Pokazati da su x = 5α + β y = α + 5β z=γ (d) Ako je γ = γ0 neka konstanta, pokazati da su koordinatne linije opisane sa α = const. i β = const. i skicirati nekoliko takvih koordinatnih linija (vidi sliku 2.6.). (e) Na´ci metrike gij i konjugovane metrike g ij za prostor (α, β, γ). ◮ 10. Neka su transformacione jednaˇcine x = x(u, v, w) y = y(u, v, w) z = z(u, v, w) zamenjene u vektor poloˇzaja ~r = xb e1 + yb e2 + zb e3 . Neka su bazni vektori ~ 1, E ~ 2, E ~ 3) = (E



∂~r ∂~r ∂~r , , ∂u ∂v ∂w



sa reciproˇcnom bazom ~1 = 1 E ~2 × E ~ 3, E V

~2 = 1 E ~3 × E ~ 1, E V

~3 = 1 E ~1 × E ~ 2. E V

gde je ~ 1 · (E ~2 × E ~ 3 ). V =E ~ 1 · (E ~2 × E ~ 3 ). Pokazati da je v · V = 1 gde je v = E

64

TENZORI I TRANSFORMACIJE

◮ 11. Data je transformacija koordinata x = −u − 2v

y = −u − v

z=z

(a) Na´ci i skicirati nekoliko koordinatnih krivih. (b) Za vektor poloˇzaja ~r = ~r(u, v, z) definisani su bazni vektori ~ 1 = ∂~r , E ∂u

~ 2 = ∂~r , E ∂v

~ 3 = ∂~r . E ∂z

~ 1, E ~ 2, E ~ 3. Izraˇcunati ove vektore i zatim izraˇcunati reciproˇcnu bazu E i (c) Za bazni vektore pod (b) na´ci kontravarijantne komponente A vektora ~ = α1 b e3 e2 + α3 b e1 + α2 b A

gde su (α1 , α2 , α3 ) konstante. ~ datog pod (c). (d) Na´ci kovarijantne komponente Ai vektora A (e) Na´ci metriˇcki tenzor gij i konjugovani metriˇcki tenzor g ij . (f) Na osnovu rezultata pod (e), verifikovati da je gij g jk = δik . (g) Pomo´cu rezultata pod (c), (d) i (e) verifikovati da je Ai = gik Ak . (h) Pomo´cu rezultata pod (c), (d) i (e) verifikovati da je Ai = g ik Ak . ~ na jediniˇcne vektore u pravcima E ~ 1, E ~ 2, E ~ 3. (i) Na´ci projekciju vektora A 1 ~2 ~3 ~ ~ (j) Na´ci projekciju vektora A na jediniˇcne vektore u pravcima E , E , E . ei gde su y i = y i (x1 , x2 , x3 ), i = 1, 2, 3 dato je po definiciji ◮ 12. Za ~r = y i b i ∂y ~ m = ∂xmj b ~ j = ∂~rj = b cno E ∂x ∂xj ei . Iz ove relacije pokazati da je E ∂y ej i poslediˇ ∂y m ∂y m ∂xi ∂xj ij i ~j ~ ~ ~ gij = Ei · Ej = ∂xi ∂xj , i g = E · E = ∂ym ∂ym , i, j, m = 1, ..., 3. ◮ 13. Razmotriti skup svih transformacija koordinata oblika y i = aij xj + bi gde su aij i bi konstante, a detrminanta od aij je razliˇcita od nule. Pokazati da ovakav skup transformacija formira grupu. ◮ 14. Za αi , βi konstante i parametar t, jednaˇcine xi = αi + tβi , i = 1, 2, 3 predstavljaju parametarski pravu liniju. Na´ci parametarsku jednaˇcinu prave koja ˇ predstavlja vektor d~r ? prolazi kroz dve taˇcke (1, 2, 3) i (14, 7, −3). Sta dt ◮ 15. Povrˇs se moˇze predstaviti pomo´cu dva parametra u, v uvodenjem parametarskih jednaˇcina xi = xi (u, v),

i = 1, 2, 3,

a a2 > w2

h21 = 1 h22 =

u≥0

h23 =

u2 (v 2 −w2 ) (v 2 −a2 )(b2 −v 2 ) u2 (v 2 −w2 ) (w2 −a2 )(w2 −b2 )

Koordinatne krive (slika 3.17.) formiraju se presekom koordinatnih povrˇsi (slika 3.18.): x2 + y 2 + z 2 = u2 y2 z2 x2 v 2 + v 2 −a2 + v 2 −b2 = 0 2 2 y x z2 w2 + w2 −a2 + w2 −b2 = 0

0.5 v=

1.0

w=

w = 0.1

sfere konusi konusi

5

=

1.

u = 3.4

u = 3.0

v

5

1.

0.5

v=

w=

Figure 3.17.

w = 0.1

=

1.0

v

Konusne koordinatne krive u ravni z = 2. (a = 2, b = 4).

-2 x

-1 0

1 2 2

1

z

0

-1 -2 -1 0 y

1 2

Figure 3.18. Koordinatne povrˇsi u konusnom koordinatnom sistemu (a = 1.2, b = 4, u = 1.2, v = 3, w = 1.5).

ˇ TENZOR METRICKI

85

10. Izduˇ zene sferoidne koordinate (u, v, φ) x = a sinh u sin v cos φ y = a sinh u sin v sin φ z = a cosh u cos v

h21 = h22 h22 = a2 (sinh2 u + sin2 v) h23 = a2 sinh2 u sin2 v

u≥0 0≤v≤π 0 ≤ φ < 2π

Koordinatne krive (slika 3.19.) formiraju se presekom koordinatnih povrˇsi (slika 3.20.): y2 z2 x2 (a sinh u)2 + (a sinh u)2 + (a cosh u)2 = y2 z2 x2 (a cos v)2 − (a sin v)2 − (a sin v)2 = 1

1

izduˇzeni elipsoidi dvostrani hiperboloidi ravni

y = x tan φ

v=p/4

/12

f=p

f=0

f=p

u = 1.4

Figure 3.19.

Koordinatne krive izduˇzenog sferoida u ravni z = 2 (a = 2). -4 y 0 -2

2

-2

x 0 2 4

-4 4

2 z 0 -2 -4

Figure 3.20. Koordinatne povrˇsi u koordinatnom sistemu izduˇzenog sferoida (a = 2, u = 1.2, v = 0.5, φ = π3 ).

86

SPECIJALNI TENZORI

11. Spljoˇ stene sferoidne koordinate (ξ, η, φ) x = a cosh ξ cos η cos φ y = a cosh ξ cos η sin φ z = a sinh ξ sin η

h21 = h22 h22 = a2 (sinh2 ξ + sin2 η) h23 = a2 sinh2 ξ cos2 η

ξ≥0 ≤ η ≤ π2 0 ≤ φ ≤ 2π

− π2

Koordinatne krive (slika 3.21.) formiraju se presekom koordinatnih povrˇsi (slika 3.22.): y2 x2 z2 (a cosh ξ)2 + (a cosh ξ)2 + (a sinh ξ)2 y2 x2 z2 (a cos η)2 + (a sin η)2 − (a sin η)2 =

=1

spljoˇsteni elipsoidi

1

dvostrani hiperboloidi ravni

y = x tan φ

h

=

4 p/

/12

f=p

f=0

f=p

h = p/1

/12

h=p

2

h

=

4 p/

x = 1.0 x = 1.4

Figure 3.21.

Koordinatne krive spljoˇstenog sferoida u ravni z = 0 (a = 2). y -2

0

4

2

-4 4

2

z

0

-2

-4 -4 -2 0 x

2 4

Figure 3.22. Koordinatne povrˇsi u koordinatnom sistemu spljoˇstenog sferoida (a = 2, ξ = π 1.2, η = 0.5, φ = 12 ).

ˇ TENZOR METRICKI

87

12. Toroidne koordinate (u, v, φ) x= y= z=

a sinh v cos φ cosh v−cos u a sinh v sin φ cosh v−cos u a sin u cosh v−cos u

h21 = h22 a2 h22 = (cosh v−cos u)2

0 ≤ u < 2π −∞ < v < ∞

h23 =

0 ≤ φ < 2π

a2 sinh2 v (cosh v−cos u)2

Koordinatne krive (slika 3.23.) formiraju se presekom koordinatnih povrˇsi (slika 3.24.):
a2 u 2 x2 + y 2 + z − a cos sin u = sin2 u p 2 v a2 x2 + y 2 − a cosh + z 2 = sinh 2v sinh v y = x tan φ

sfere torus ravni.

/12

f=p

f=p

f=0

u = p/2

v = const.

Figure 3.23.

Koordinatne krive toroidnog koordinatnog sistema u ravni z = 0 (a = 1.5). -2 2 1 y

-1

x 0

1

2

0

-1 -2

2 1 z 0 -1 -2

Figure 3.24. 1.5, φ = π6 ).

Koordinatne povrˇsi u toroidnom koordinatnom sistemu (a = 1.5, u = 1.2, v =

88

SPECIJALNI TENZORI

PRIMER 34. Pokazati da je Kronecker-ovo delta δji meˇsoviti tenzor drugog reda. Reˇsenje: Neka se imaju transformacije koordinata xi = xi (¯ x), i = 1, ..., N oblika (2.29) sa inverznom transformacijom oblika (2.31). Neka δ¯ji i δji oznaˇcavaju Kronecker-ovo delta u sistemu koordinata sa crtom i bez crte, respektivno. Po definiciji Kronecker-ovo delta je definisano sa  0, ako je i 6= j i i ¯ . δj = δj = 1, ako je i = j Na osnovu pravila posrednog diferenciranja piˇse se ∂x ¯m ∂xi ∂x ¯m ∂xk i ∂x ¯m = = δ . ∂x ¯n ∂xi ∂ x ¯n ∂xi ∂ x ¯n k Po pretpostavci, x ¯i , i = 1, ..., N su nezavisne koordinate te je pojednostavljuje na

(3.14) ∂x ¯m ∂x ¯n

= δ¯nm i (3.14) se

∂x ¯m ∂xk δ¯nm = δki . ∂xi ∂ x ¯n Zato se Kronecker-ovo delta transformiˇse kao meˇsoviti tenzor drugog reda. 3.2

ˇ TENZOR KONJUGOVANI METRICKI

Neka g oznaˇcava determinantu matrice koja ze svoje elemente ima metriˇcki tenzor gij , i, j = 1, ..., N . Kod prouˇcavanja kofaktora elemenata matrice pokazano je da je cof(g1j )g1k + cof(g2j )g2k + ... + cof(gN j )gN k = gδji .

(3.15)

Ovo se moˇze upotrebiti za nalaˇzenje elemenata u inverznoj matrici pridruˇzenoj matrici cˇ ije su komponente gij . Elementi inverzne matrice su g ij =

1 cof(gij ) g

(3.16)

i nazivaju se konjugovane metriˇcke komponente. Ispitivanjem zbira g ij gik nalazi se: g ij gik = g 1j g1k + g 2j g2k + ... + g N j gN k 1 = [cof(g1j )g1k + cof(g2j )g2k + ... + cof(gN j )gN k ] g 1 h ji = gδk = δkj . g

ˇ TENZOR KONJUGOVANI METRICKI

89

Jednaˇcina g ij gik = δkj

(3.17)

je primer u kojem se moˇze upotrebiti zakon kvocijenta da se pokaˇze da je g ij kontravarijantni tenzor dugog reda. Zbog simetrije tenzora g ij i gij jednaˇcina (3.17) se moˇze prikazati i u drugaˇcijim oblicima.

PRIMER 35. Neka su Ai i Ai respektivno kovarijantne i kontravarijantne kompo~ Pokazati da su te komponente povezane jednaˇcinama nente vektora A. Ai = gij Aj k

jk

A = g Aj

(3.18) (3.19)

gde su gij i g ij metriˇcke i konjugovane metriˇcke komponente prostora. Reˇsenje: Jednaˇcina (3.18) se pomnoˇzi sa g im (unutraˇsnji proizvod) i iskoristi jednaˇcina (3.17) za pojednostavljenje rezultata. Tako se dolazi do jednaˇcine g im Ai = g im gij Aj = δjm Aj = Am . Promenom indeksa dolazi se do rezultata datog jednaˇcinom (3.19). Obrnuto, ako se poˇcne sa jednaˇcinom (3.19) i pomnoˇzi sa gkm (unuj Aj = Am sˇto je drugaˇciji traˇsnji proizvod) dobija se gkm Ak = g km g jk Aj = δm oblik jednaˇcine (3.18) sa promenjenim indeksima. Zapaziti posledicu jednaˇcina (3.18) i (3.19) u sluˇcaju ortogonalnog dekartovog koordinatnog sistema gde su     1 0 0 1 0 0 gij =  0 1 0  i g ij =  0 1 0  . 0 0 1 0 0 1 U ovom specijalnom sluˇcaju je

A1 = g11 A1 + g12 A2 + g13 A3 = A1 A2 = g21 A1 + g22 A2 + g23 A3 = A2 A3 = g31 A1 + g32 A2 + g33 A3 = A3 . Ove jednaˇcine govore da su u dekartovom koordinatnom sistemu kontravarijantne i kovarijantne komponente identiˇcki jednake.

PRIMER 36. Ranije je pokazano da se komponente kovarijantnog tenzora prvog reda Ai transformiˇsu u koordinatama sa crtom u Ai = Aj

∂xj . ∂x ¯i

(3.20)

90

SPECIJALNI TENZORI

Izraziti Aj preko Aj . (tj. na´ci inverznu transformaciju). ∂x ¯i Reˇsenje: Mnoˇzenjem jednaˇcine (3.20) sa ∂x snji proizvod) dobija se m (unutraˇ Ai

∂x ¯i ∂xj ∂ x ¯i = A . j ∂xm ∂x ¯i ∂xm j

i

(3.21) j

∂x ¯ ∂x j m j U ovom proizvodu je ∂x ∂x ¯i ∂xm = ∂xm = δm jer se smatra da su x i x nezavisne koordinate. Time se jednaˇcina (3.21) svodi na oblik

∂x ¯i j = Aj δm = Am (3.22) ∂xm sˇto je traˇzena inverzna transformacija. Ovaj rezultat se moˇze dobiti i na drugaˇciji naˇcin. Ispitivanjem transformacione jednaˇcine (3.20) moˇze se postaviti slede´ce pitanje: “Kada imamo dva koordinatna sistema, recimo sistem sa crtom i sistem bez crte, da li je bitno koji sistem nazivamo sistemom sa crtom?” Nakon malo razmiˇsljanja postaje oˇcigledno da je sasvim svejedno koji je sistem kako obeleˇzen. Zato se u jednaˇcini (3.20) mogu zameniti mesta j oznakama sa crtom i bez crte i dobiti rezultat Ai = Aj ∂∂xx¯ i sˇto je istog oblika kao jednaˇcina (3.22), samo je skup indeksa razliˇcit. Ai

3.3

ˇ PRIDRUZENI TENZORI

Pridruˇzeni tenzori se mogu konstruisati putem unutraˇsnjeg proizvoda poznatog tenzora sa bilo metriˇckim tenzorom bilo konjugovanim metriˇckim tenzorom. Definicija pridruˇzenog tenzora Svaki tenzor konstruisan mnoˇzenjem (unutraˇsnji proizvod) datog tenzora sa metriˇckim tenzorom ili konjugovanim metriˇckim tenzorom naziva se pridruˇzeni tenzor. Pridruˇzeni tenzori predstavljaju drugaˇciji naˇcin prikazivanja tenzora. Mnoˇzenje tenzora metriˇckim tenzorom ili konjugovanim metriˇckim tenzorom ima za posledicu spuˇstanje ili podizanje indeksa. Na primer, kovarijantne i kontravarijantne komponente vektora su samo drugaˇciji prikazi istog vektora. Ti drugaˇciji oblici zapisa su jedan drugome pridruˇzeni preko metriˇckog i konjugovanog metriˇckog tenzora: g ij Ai = Aj

gij Aj = Ai .

PRIMER 37. Evo nekoliko primera pridruˇzenih tenzora: Aj = g ij Ai mi Am Aijk .jk = g .n Ami.. = g mk g nj Aijk

Aj = gij Ai ijk Ai.k m = gmj A Amjk = gim Ai.jk

RIEMANN-OV PROSTOR VN

91

Ponekada se koriste taˇckice u indeksima da bi se prikazala lokacija indeksa koji je bio podignut ili spuˇsten. Ako je tenzor simetriˇcan, poloˇzaj indeksa nije vaˇzan i taˇckica nije potrebna. Na primer, za simetriˇcan tenzor Amn lako je pokazati da su An.m i A.n m jednaki i zato se moˇze bez zabune pisati Anm . Reˇceno vaˇzi i za tenzore viˇseg reda. Na primer, za kovarijantni tenzor cˇ etvrtog reda Tijkm moˇze se konstruisati kontravarijantni tenzor cˇ etvrtog reda T pqrs slede´com relacijom T pqrs = g pi g qj g rk g sm Tijkm . Ovaj tenzor cˇ etvrtog reda moˇze se prikazati i kao meˇsoviti tenzor. Na primer, meˇsoviti tenzori pridruˇzeni datom kovarijantnom tenzoru cˇ etvrtog reda: p T.jkm = g pi Tijkm ,

3.4

pq p T..km = g qj T.jkm .

RIEMANN-OV PROSTOR VN

Za rimanovski prostor VN se kaˇze da postoji ako je element kvadrata duˇzine luka oblika ds2 = gij dxi dxj

(3.23)

gde su metrike gij = gij (x1 , x2 , ..., xN ) neprekidne funkcije koordinata i nisu konstante. U specijalnom sluˇcaju gij = δij Riemann-ov prostor VN se svodi na euklidski prostor EN . Element kvadrata duˇzine luka definisan jednaˇcinom (3.23) naziva se rimanovska metrika i svaka geometrija proizaˇsla uz koriˇsc´ enja te metrike naziva se rimanovska geometrija. Prostor VN se naziva ravan ako je mogu´ce na´ci transformaciju koordinata gde je element kvadrata duˇzine luka ds2 = εi (dxi )2 gde je svako εi bilo +1 bilo −1. Prostor koji nije ravan naziva se zakrivljen. 3.5

GEOMETRIJA U VN

~ = Ai E ~i i B ~ = Bj E ~ j je Skalarni proizvod dva vektora A ~ ·B ~ = Ai B j E ~i · E ~ j = gij Ai B j = Aj B j = Ai Bi = g ij Aj Bi = A ~ B ~ cos θ A

(3.24)

Poslediˇcno, u N dimenzijskom rimanovskom prostoru VN unutraˇsnji proizvod dva ~iB ~ je definisan sa: vektora A gij Ai B j = Aj B j = Ai Bi = g ij Aj Bi = AB cos θ.

(3.25)

92

SPECIJALNI TENZORI

U ovoj definiciji A je magnituda vektora Ai , veliˇcina B je magnituda vektora B i , a θ je ugao izmedu vektora kada im se ishodiˇste poklapa. U specijalnom sluˇcaju kada je θ = 90◦ vaˇzi´ce gij Ai B j = 0 kao uslov koji se mora zadovoljiti da bi vektori Ai i B i bili uzajamno ortogonalni. Ako se razmotri i specijalni sluˇcaj jednaˇcine (3.25) kada je Ai = B i i θ = 0, tada iz nje sledi da je g in An Ai = Ai Ai = gin Ai An = (A)2 .

(3.26) i

Iz ove jednaˇcine se moˇze odrediti magnituda vektora A . Magnitude A i B mogu se napisati kao A = (gin Ai An )1/2 i B = (gpq B p B q )1/2 . Iz jednaˇcine (3.24) sledi da je cos θ =

gij Ai B j . m n (gmn A A )1/2 (gpq B p B q )1/2

(3.27)

Vaˇzna primena ovih koncepata javlja se u dinamici krutog tela. Zapaziti da ako je i cita od nule, tada vektori vektor Ai konstantne magnitude a magnituda od dA dt razliˇ i j ˇ Ai i dA moraju biti uzajamno ortogonalni zbog c injenice da je gij Ai dA dt dt = 0. Kao primer neka se posmatraju jediniˇcni vektori b e1 , b e2 i b e3 u rotiraju´cem sistemu Dekartovih osa. Koriste´ci konstante ci , i = 1, 6 nalazi se da je db e2 db e3 db e1 e3 e1 e2 (3.28) e2 + c2 b e3 + c4 b e1 + c6 b = c1 b = c3 b = c5 b dt dt dt jer izvod svakog b ei (za i fiksno) vektora konstantne magnitude mora leˇzati u ravni u kojoj su vektori b ej i b ek , (j 6= i, k 6= i i j 6= k), a svaki vektor u toj ravni mora biti upravan na b ei . Gornja definicija unutraˇsnjeg proizvoda u VN moˇze se upotrebiti za definisanje jediniˇcnih vektora u VN . Definicija jediniˇcnog vektora Kadagod je magnituda vektora Ai jednaka jedinici on se naziva jediniˇcni vektor. Tada je gij Ai Aj = 1.

(3.29)

PRIMER 38. (jediniˇcni vektori) U VN element kvadrata duˇzine luka je ds2 = i dxj cina tvrdi da je gij dxi dxj sˇto se moˇze izraziti u obliku 1 = gij dx ds ds . Ova jednaˇ dxi vektor ds , i = 1, ..., N jediniˇcni vektor i moˇze se primeniti u razmatranju kretanja cˇ estice duˇz krive u VN koja je opisana parametarskim jednaˇcinama xi = xi (t), za i ˇ i = 1, ..., N . Vektor V i = dx dt , i = 1, ..., N tada predstavlja vektor brzinure cestice. Posrednim diferenciranjem dobija se Vi =

dxi dxi ds dxi = =V , dt ds dt ds

(3.30)

GEOMETRIJA U VN

93

r

r r c1 , c2 , w

a

t(3)

f

a

f

u x, y, z = c1

a

f

v x, y, z = c2

q 23

q 13

r

t(2)

r

t(1)

q 12

r r u, c2 , c3

a

r r c1 , v, c3

a

f a

f

f

w x, y, z = c3 Figure 3.25.

Uglovi izmedu krivolinijskih koordinata. i

dx ˇ gde je V = ds cni vektor tangente na krivu. dt skalarna brzina cestice, a ds je jediniˇ Jednaˇcina (3.30) pokazuje da je brzina usmerena duˇz tangente na krivu i da ima magnitudu V , tj. da je  2 ds = (V )2 = gij V i V j . dt

PRIMER 39. (krivolinijske koordinate) Na´ci izraz za kosinus uglova izmedu koordinatnih krivih pridruˇzenih transformacionim jednaˇcinama x = x(u, v, w),

y = y(u, v, w),

z = z(u, v, w).

Reˇsenje: Neka y 1 = x, y 2 = y, y 3 = z i x1 = u, x2 = v, x3 = w oznaˇcavaju Dekartove i krivolinijske koordinate respektivno. U skladu sa slikom 3.25. presek povrˇsina v = c2 i w = c3 moˇze se interpretirati krivom ~r = ~r(u, c2 , c3 ) koja funkcija ∂~ r parametera u. Duˇz te krive je d~r = ∂u du i poslediˇcno ds2 = d~r · d~r =

∂~r ∂~r · dudu = g11 (dx1 )2 , ∂u ∂u

ili d~r d~r · = g11 1= ds ds



dx1 ds

2

. dx1 √1 cni ds = g11 jediniˇ 1 r r √ sa t(1) = g11 δ1 .

Ova jednaˇcina pokazuje da je vektor Tangentni vektor se moˇze predstaviti

vektor duˇz ove krive.

94

SPECIJALNI TENZORI

Kriva definisana presekom povrˇsina u = c1 i w = c3 ima jediniˇcni tangentni vektor tr(2) = √g122 δ2r . Sliˇcno, kriva definisana presekom povrˇsina u = c1 i v = c2 ima jediniˇcni tangentni vektor tr(3) = √g133 δ3r . Kosinus ugla θ12 izmedu jediniˇcnih vektora tr(1) i tr(2) , dobija se na osnovu jednaˇcine (3.25). Tako se nalazi g12 1 1 cos θ12 = gpq tp(1) tq(2) = gpq √ δ1p √ δ2q = √ √ . g22 g11 g11 g22 Za ugao θ13 izmedu pravaca ti(1) i ti(3) nalazi se cos θ13 = √

g13 √ , g11 g33

i konaˇcno, za ugao θ23 izmedu pravaca ti(2) i ti(3) nalazi se cos θ23 = √

g23 √ . g22 g33

Kada su θ12 = θ13 = θ23 = 90◦ , ove jednaˇcine zahtevaju da su g12 = g13 = g23 = 0 i krivolinijske koordinate koje cˇ ine krivolinijski koordinatni sistem su uzajamno ortogonalne. U ortogonalnom koordinatnom sistemu usvojeno je oznaˇcavanje g11 = (h1 )2 , 3.6

g22 = (h2 )2 ,

g33 = (h3 )2

i gij = 0, i 6= j.

EPSILON PERMUTACIONI SIMBOL

e−permutacionom simbolu pridruˇzuju se epsilon permutacioni simboli definisani sa εijk =

√ geijk

i

1 εijk = √ eijk g

(3.31)

gde je g determinanta metrika gij . Moˇze se pokazati da je eijk permutacioni simbol relativni tenzor teˇzine −1 dok je εijk permutacioni simbol apsolutni tenzor. Sliˇcno, eijk permutacioni simbol je relativni tenzor teˇzine +1 a odgovaraju´ci εijk permutacioni simbol je apsolute tenzor.

PRIMER 40. (ε permutacioni simbol) Pokazati da je eijk relativni tenzor teˇzine −1, a da je odgovaraju´ci εijk permutacioni simbol apsolutni tenzor. Reˇsenje: Neka se u jakobijanu ∂x1 ∂x1 ∂x1  x  ∂ x¯21 ∂ x¯22 ∂ x¯32 ∂x ∂x = ∂x J ∂x ¯31 ∂x ¯32 ∂x ¯3 ∂x x ¯ ∂x ∂x3 1 2 3 ∂x ¯

∂x ¯

∂x ¯

EPSILON PERMUTACIONI SIMBOL

95

napravi smena aij =

∂xi , ∂x ¯j

i, j = 1, 2, 3.

Na osnovu definicije determinante moˇze se pisati x eijk aim ajn akp = J emnp . x ¯

(3.32)

Po definiciji je e¯mnp = emnp u svim koordinatnim sistemima, te se jednaˇcina (3.32) moˇze izraziti u obliku  x  −1 ∂xi ∂xj ∂xk J eijk m n p = e¯mnp x ¯ ∂x ¯ ∂x ¯ ∂x ¯

(3.33)

sˇto pokazuje da se eijk transformiˇse kao relativni tenzor teˇzine −1. Ranije je pokazano da je metriˇcki tenzor gij kovarijantni tenzor drugog reda i da m ∂xn se transformiˇse po pravilu g¯ij = gmn ∂x ∂x ¯i ∂ x ¯j . Determinanata ovog izraza daje m 2  x  2 ∂x g¯ = |¯ gij | = |gmn | i = g J ∂x ¯ x ¯

(3.34)

gde je g determinanta od [gij ] , a g¯ je determinanta od [¯ gij ]. Ovaj rezultat pokazuje da je g skalarna invarijanta teˇzine +2. Kvadratni koren iz ovog rezultata daje √ √ x g¯ = gJ . (3.35) x ¯ √ Poslediˇcno, g je skalarna invarijanta teˇzine +1. Ako se sada pomnoˇze obe strane √ jednaˇcine (3.33) sa g¯ i iskoristi (3.35) dobija se relacija √

geijk

√ ∂xi ∂xj ∂xk = g¯e¯mnp . ∂x ¯m ∂ x ¯n ∂ x ¯p

(3.36)

√ Ova jednaˇcina pokazuje da se veliˇcina εijk = geijk transformiˇse kao apsolutni tenzor. Na sliˇcan naˇcin moˇze se poakzati da je eijk relativni tenzor teˇzine +1 i da je ijk ε = √1g eijk apsolutni tenzor, sˇto se ostavlja cˇ itaocu za veˇzbu.

U zadacima na kraju ovog poglavlja moˇze se na´ci i veˇzba kojom se generaliˇse e−δ identitet na tzv. epsilon identitet g ij εipt εjrs = gpr gts − gps gtr .

(3.37)

96

SPECIJALNI TENZORI

3.7

DEKARTOVI TENZORI

Ako se razmatra kretanje krutog sˇtapa u ravni, bez obzira koliko komplikovano to kretanje bilo, ono se moˇze opisati translacijom za kojom sledi rotacija. Na slici 3.26. je sˇtap AB prikazan u dva poloˇzaja, “pre” i “posle” obavljenog kretanja. Pomeranjem taˇcke B u B ′ obavlja se translacija, a zatim drˇze´ci B fiksnim obavlja se rotacija. Sliˇcna situacija je i u trodimenzijskom prostoru. Neka su data dva skupa dekartovih

A

A B

B

A

A

q B

Figure 3.26.

B Kretanje krutog sˇtapa.

osa, recimo koordinatni sistem sa crtom i bez crte kao na slici 3.27.. Neka se translira ishodiˇste 0 u ¯ 0 i zatim rotiraju (x, y, z) ose dok se poklope sa (¯ x, y¯, z¯) osama. Razmotri´ce se prvo rotacija osa kada se ishodiˇsta 0 i ¯0 poklapaju, jer se translatorno udaljenje moˇze prikazati vektorom bk , k = 1, 2, 3. Slika 3.28. ilustruje situaciju kada je ishodiˇste 0 ve´c translirano u ¯0. Tada se ose sa crtom mogu smatrati kao transformacija samo used rotacije.

z eˆ 3

z

r

eˆ 3

0

b

eˆ 1

Figure 3.27.

eˆ 2

y

eˆ 2

eˆ 1

0 x

y

x

Translacija za koj0m sledi rotacija osa.

Neka ~r = xb e1 + yb e2 + zb e3

(3.38)

oznaˇcava vektor poloˇzaja promenljive taˇcke P sa koordinatama (x, y, z) u odnosu na ishodiˇste 0 i jediniˇcne vektore b e1 , b e2 , b e3 . Ista taˇcka u odnosu na ishodiˇste ¯0 i

DEKARTOVI TENZORI

z

z

r

r

y

eˆ 3

eˆ 3

x

97

eˆ 2

eˆ 1 eˆ 1

eˆ 2

y

x Figure 3.28. Rotacija osa.

b b b jediniˇcne vektore ¯ e1 , ¯ e2 , ¯ e3 ima prikaz b b b b ~r = x ¯¯ e1 + b y¯¯ e2 + b z¯¯ e3 .

(3.39)

Transformacione jednaˇcine koje povezuju ose sa crtom i ose bez crte mogu se izvesti posmatranjem pojekcija vektora ~r na jedne i druge ose. Projekcije vektora ~r na x, y i z ose su: b b b ~r · b e1 = x = x ¯(¯ e1 · b e1 ) + y¯(¯ e2 · b e1 ) + z¯(¯ e3 · b e1 ) b b b ~r · b e2 = y = x ¯(¯ e1 · b e2 ) + y¯(¯ e2 · b e2 ) + z¯(¯ e3 · b e2 )

(3.40)

b b b ~r · b e3 = z = x ¯(¯ e1 · b e3 ) + y¯(¯ e2 · b e3 ) + z¯(¯ e3 · b e3 ).

Projekcije vektora ~r na x ¯, y¯, z¯ ose su:

b b b b ~r · ¯ e1 = x ¯ = x(b e1 · ¯ e1 ) + y(b e2 · ¯ e1 ) + z(b e3 · ¯ e1 ) b b b b ~r · ¯ e2 = y¯ = x(b e1 · ¯ e2 ) + y(b e2 · ¯ e2 ) + z(b e3 · ¯ e2 ) b b b b ~r · ¯ e3 = z¯ = x(b e1 · ¯ e3 ) + y(b e2 · ¯ e3 ) + z(b e3 · ¯ e3 ).

(3.41)

Ove jednaˇcine se mogu napisati u konciznijem obliku uvodenjem oznaka (y1 , y2 , y3 ) = (x, y, z) i (¯ y1 , y¯2 , y¯3 ) = (¯ x, y¯, z¯) i definisanjem ugla θij izmedu jediniˇcnih vektora b b ei i ¯ ej . Ako se prvo obeleˇze kosinusi pravca sa b ℓ11 = b e1 · ¯ e1 = cos θ11 b ℓ21 = b e2 · ¯ e1 = cos θ21

b ℓ31 = b e3 · ¯ e1 = cos θ31

b ℓ12 = b e1 · ¯ e2 = cos θ12 b ℓ22 = b e2 · ¯ e2 = cos θ22

b ℓ32 = b e3 · ¯ e2 = cos θ32

tada jednaˇcine (3.40) i (3.41) dobijaju oblik yi = ℓij y¯j

i

y¯i = ℓji yj .

b ℓ13 = b e1 · ¯ e3 = cos θ13 b ℓ23 = b e2 · ¯ e3 = cos θ23 (3.42) b ℓ33 = b e3 · ¯ e3 = cos θ33 (3.43)

98

SPECIJALNI TENZORI

Koriˇsc´ enjem indeksne notacije jediniˇcni vektori se mogu predstaviti sa: b ep ¯ er = ℓpr b

b ili b ep = ℓpr ¯ er

(3.44)

gde su ℓpr kosinusi pravaca. Jediniˇcni vektori su ortogonalni i u sistemu sa crtom i u sistemu bez crte, te su poslediˇcno njihovi skalarni proizvodi: b b ¯ er · ¯ ep = δrp

i b em · b en = δmn

(3.45)

gde je δij Kronecker-ovo delta. Zamenom jednaˇcine (3.44) u jednaˇcinu (3.45) nalazi se da kosinusi pravaca ℓij moraju zadovoljavati relacije: b b ep · b em = ℓpr ℓms δpm = ℓmr ℓms = δrs em = ℓpr ℓms b ep · ℓms b ¯ er · ¯ es = ℓpr b b b b b i b er · b es = ℓrm¯ em · ℓsn¯ en = ℓrm ℓsn¯ em · ¯ en = ℓrm ℓsn δmn = ℓrm ℓsm = δrs .

Jednakosti

ℓmr ℓms = δrs

i

ℓrm ℓsm = δrs ,

(3.46)

sa sumacionim indeksom m, su vaˇzne relacije kod rotacije osa jer ih moraju zadovoljavati kosinusi pravaca. Kombinovanjem rotacije i translacije dobija se yi = ℓij y¯j + bi . |{z} | {z }

(3.47)

y¯k = ℓik (yi − bi ).

(3.48)

rotacija

translacija

Mnoˇzenjem ove jednaˇcine sa ℓik i koriˇsc´ enjem relacija (3.46) nalazi se inverzna transformacija

Ove transformacije se nazivaju linearne ili afine transformacije. Neka iz zajedniˇckog ishodiˇsta polaze fiksne ose x ¯i i ose xi koje rotiraju u odnosu ~ = Ai b na x ¯i ose. Neka A ei oznaˇcava vektor fiksiran u xi osama tako da rotira zajedno ~ ~ ~ u odnosu na fiksne (f ) i sa njima, i neka se obeleˇze izvodi ddtA i ddtA vektora A f r i ~ ei i db b rotiraju´ce (r) ose. U odnosu na fiksne ose moˇze se pisati da je ddtA = dA dt ei +A dt . f

bei izvod vektora konstantne magnitude, te moraju postojati takve Zapaziti da je ddt konstante ωi , i = 1, ..., 6 da je

db e1 e3 e2 − ω2 b = ω3 b dt

db e2 e1 e3 − ω4 b = ω1 b dt

db e3 e2 e1 − ω6 b = ω5 b dt

(uporedi sa jednaˇcinama 3.28). Diferenciranjem skalarnog proizvoda b e1 · b e2 = 0 be2 + dbe1 b ˇ e = 0 s to implicira ω = ω . Sliˇ c no, iz skalarnih proizvoda nalazi se b e1 ddt 2 4 3 dt

99

DEKARTOVI TENZORI

b e1 · b e3 i b e2 · b e3 diferenciranjem se nalaze relacije ω5 = ω2 i ω6 = ω1 . Tada se izvod ~ u odnosu na fiksne ose moˇze prikazati sa A

~ dAi dA b ei + (ω2 A3 − ω3 A2 )b e1 + (ω3 A1 − ω1 A3 )b e2 + (ω1 A2 − ω2 A1 )b e3 = dt dt f ~ dA ~ ~ ×A = +ω dt r

~ ˇ ei naziva vektor ugaone brzine rotiraju´ceg sistema. Clan ~ ×A gde se ω ~ = ωi b ω ~ dA dAi pred-stavlja brzinu rotiraju´ceg sistema u odnosu na fiksiran sistem, a dt = dt b ei r predstavlja izvod u odnosu na rotiraju´ci sistem. Sada c´ e se ispitati kako se transformiˇsu tenzorske veliˇcine izloˇzene translaciji i rotaciji osa koriˇsc´ enjem specijalnih transformacionih jednaˇcina (3.47). Te jednaˇcine su specijalni zakoni transformacija za dekartove tenzore. Ispita´ce se zakoni transformacija za dekartove tenzore prvog i drugog reda jer se zakoni transformacija za tenzore viˇseg reda lako mogu intuitivno na´ci. Ranije je pokazano da u opstem sluˇcaju tenzorske veliˇcine prvog i drugog reda zadovoljavaju slede´ce zakone tranformacija: Ai = Aj

i

A = Aj

∂yj ∂ y¯i

(3.49)

∂ y¯i ∂yj

(3.50)

= Aij

∂ y¯m ∂ y¯n ∂yi ∂yj

(3.51)

Amn = Aij

∂yi ∂yj ∂ y¯m ∂ y¯n

(3.52)

A

mn

m

An = Aij

∂ y¯m ∂yj ∂yi ∂ y¯n

(3.53)

Za specijalan sluˇcaj Dekartovih tenzora smatra se da su yi i y¯i , i = 1, 2, 3 linearno nezavisni. Diferenciranjem jednaˇcina (3.47) i (3.48) nalazi se ∂yi ∂ y¯j = ℓij = ℓij δjk = ℓik , ∂ y¯k ∂ y¯k

i

∂ y¯k ∂yi = ℓik = ℓik δim = ℓmk . ∂ym ∂ym

100

SPECIJALNI TENZORI

Zamenom ovih izvoda u transformacione jednaˇcine (3.49) do (3.53) dolazi se do transformacionih jednaˇcina Ai = Aj ℓji i

A = Aj ℓji mn

A

= Aij ℓim ℓjn

Amn = Aij ℓim ℓjn m

An = Aij ℓim ℓjn . Ovo su zakoni transformacije pri prelasku iz jednog ortogonalnog sistema u drugi. Kosinusi pravaca ℓim u ovom sluˇcaju su konstantni i zadovoljavaju relacije date u (3.46). Zakoni transformacije za tenzore viˇseg reda su po prirodi sliˇcni ovima. U sistemu bez crte (y1 , y2 , y3 ) metriˇcki i konjugovani metriˇcki tenzor su: g¯ij = δij

i g ij = δ ij

gde je δij Kronecker-ovo delta. U koordinatnom sistemu sa crtom, koji je takode ortogonalan, vaˇzi g¯ij =

∂ym ∂ym . ∂ y¯i ∂ y¯i

Iz relacija ortogonalnosti (3.46) nalazi se g¯ij = ℓmi ℓmj = δij

i

g¯ij = δij .

Ispitivanjem pridruˇzenih tenzora Ai = g ij Aj Aij = g im g jn Amn Ain = g im Amn

Ai = gij Aj Amn = gmi gnj Aij Ain = gnj Aij

ustanovljava se da su kontravarijantne i kovarijantne komponente uzajamno identiˇcne. To takode vaˇzi i u sistemu koordinata sa crtom. Treba naglasiti da ove specijalne okolnosti dozvoljavaju prikaz kontrakcija koriˇsc´ enjem samo donjih indeksa. Takav tip ˇ kontrakcije nije dopuˇsten u opˇstem sluˇcaju kod tenzora. Citaocu se ostavlja za veˇzbu da proba kontrakciju na opˇstem tenzoru i ustanovi sˇta se deˇsava (takva kontrakcija ne proizvodi tenzor). U zadacima na kraju poglavlja razmotrene su ove specijalne situacije. 3.8

ˇ FIZICKE KOMPONENTE TENZORA

~ moˇze prikazati u mnoˇstvu oblika u zavisnosti od Pokazano je da se svaki vektor A izabranog koordinatnog sistema i baznih vektora. Neka se izaberu, na primer kao na slici 3.29., Dekartov koordinatni sistem i krivolinijski koordinatni sistem.

ˇ FIZICKE KOMPONENTE TENZORA

101

r r r c1 , c2 , w

a

E3

f

r E3

r E2

a

f

u x, y, z = c1

a

f

v x, y, z = c2

r E2

r E2

r E1 r r u, c2 , c3

a

Figure 3.29.

r r c1 , v, c3

a

f

f

r E1

a

f

w x, y, z = c3

Transformacija u krivolinijske koordinate.

~ se moˇze predstaviti sa U dekartovom koordinatnom sistemu vektor A ~ = Ax b e3 e2 + Az b e1 + Ay b A

gde su (b e1 , b e2 , b e3 ) vektori baze. Ako se posmatra transformacija koordinata u neki ~ se moˇze predstaviti svojim opˇstiji koordinatni sistem, recimo (x1 , x2 , x3 ), vektor A kontravarijantnim komponentama ~ = A1 E ~ 1 + A2 E ~ 2 + A3 E ~3 A

(3.54)

~ 1, E ~ 2, E ~ 3 ). Alternativno, isti vektor A ~ moˇze u odnosu na bazu tangentnih vektora (E se predstaviti u obliku ~ = A1 E ~ 1 + A2 E ~ 2 + A3 E ~3 A

(3.55)

~ 1, E ~ 2, E ~ 3 ). sa kovarijantnim komponentama u odnosu na gradijentne vektore baze (E Ove jednaˇcine su samo razliˇciti naˇcini predstavljanja jednog te istog vektora. U gornjim reprezentacijama vektori baze ne moraju biti ni ortogonalni ni jediniˇcni. U opˇstem sluˇcaju fiziˇcke dimenzije komponenata Ai i Aj nisu iste. ~ definisana je kao projekcija vektora A ~ na jediniˇcni Fiziˇcka komponenta vektora A ~ ~ 1 je vektor u zˇ eljenom pravcu. Na primer, fiziˇcka komponenta vektora A u pravcu E ~ ~ · E1 = A1 = projekcija A ~ na E ~ 1. A ~ ~ E E 1 1

(3.56)

102

SPECIJALNI TENZORI

~ u pravcu E ~ 1 je Sliˇcno, fiziˇcka komponenta vektora A 1 ~1 ~ · E = A = projekcija A ~ na E ~ 1. A ~ 1 ~ 1 E E

(3.57)

PRIMER 41. (fiziˇcke komponente) Neka su α, β i γ pozitivne konstante takve da je zadovoljena relacija proizvoda αγ = 1 i neka se posmatraju neortogonalni bazni vektori ~ 1 = αb E e1 ,

~ 2 = βb E e1 + γb e2 ,

~3 = b E e3

kao na slici 3.30..

r

eˆ 2 +g

eˆ 2

b eˆ 1

eˆr3 E3

eˆ 1

E2

r E1 = aeˆ 1

Figure 3.30.

Fiziˇcke komponente.

Lako se proverava da je reciproˇcna baza ~ 1 = γb E e1 − βb e2 ,

~ 2 = αb E e2 ,

~3 = b E e3 .

~ = Ax b e2 se predstavlja u kontravarijantnom vektorskom obliku e1 +Ay b Neki vektor A sa ~ = A1 E ~ 1 + A2 E ~2 A

ili u tenzorskom obliku

Ai , i = 1, 2.

Taj vektor ima kontravarijantne komponente ~·E ~ 1 = γAx − βAy A1 = A

i

~·E ~ 2 = αAy . A2 = A

Alternativno, isti vektor se moˇze prikazati kao kovarijantni vektor ~ = A1 E ~ 1 + A2 · E ~2 A

ili u tenzorskom obliku

Ai , i = 1, 2.

Kovarijantne komponente se nalaze iz relacija ~·E ~ 1 = αAx A1 = A

~·E ~ 2 = βAx + γAy . A2 = A

ˇ FIZICKE KOMPONETE ZA ORTOGONALNE KOORDINATE

103

~ u pravcima E ~1 i E ~ 2 su: Fiziˇcke komponente vektora A 1 ~1 − βAy ~ · E = A = γA px = A(1) A ~ 1 ~ 1 2 γ + β2 E E

2 ~2 ~ · E = A = αAy = Ay = A(2). A ~ 2 ~ 2 α E E

Treba zapaziti da bi se ovi isti rezultati mogli dobiti iz skalarnog proizvoda koriˇsc´ e~ njem bilo kog oblika vektora A. Na primer, moˇze se pisati

i

~1 ~1 ~1 ~2 · E ~ 1) (E ~ · E = A1 (E · E ) + A 2 A = A(1) ~ 1 ~ 1 E E

~1 ~2 ~2 · E ~ 2) ~2 (E ~ · E = A1 (E · E ) + A 2 = A(2). A ~ 2 ~ 2 E E

~ u pravcu jediniˇcnog vektora U opˇstem sluˇcaju, fiziˇcke komponente vektora A λi predstavljaju uopˇstenje skalarnog proizvoda u prostoru VN . Takav proizvod je invarijanta i moˇze se izraziti sa ~ na pravac jediniˇcnog vektora λi gij Ai λj = Ai λi = Ai λi = projekcija vektora A 3.9

ˇ FIZICKE KOMPONETE ZA ORTOGONALNE KOORDINATE

U ortogonalnim koordinatama element kvadrata duˇzine luka u prostoru V3 je ds2 = gij dxi dxj = (h1 )2 (dx1 )2 + (h2 )2 (dx2 )2 + (h3 )2 (dx3 )2 gde je (h1 )2 gij = 0 0

0 (h2 )2 0

0 0 (h3 )2

.

(3.58)

U ovom sluˇcaju krivolinijske koordinate su ortogonalne i h2(i) = g(i)(i)

ne sabirati po i, i gij = 0, i 6= j.

Ako se u ovom koordinatnom sistemu izabere proizvoljna taˇcka i u njoj jediniˇcni vektor λi , i = 1, 2, 3 u pravcu koordinate x1 , tada je λ1 =

dx1 , ds

λ2 = 0,

λ3 = 0.

104

SPECIJALNI TENZORI

Ovaj vektor je jediniˇcan jer je 1 = gij λi λj = g11 λ1 λ1 = h21 (λ1 )2 ili λ1 = h11 . Kako je ovaj krivolinijski koordinatni sistem ortogonalan, fiziˇcka komponenta vektora Ai u pravcu xi je projekcija vektora Ai na λi u V3 . Projekcija u x1 pravcu se odreduje iz A(1) = gij Ai λj = g11 A1 λ1 = h21 A1

1 = h1 A1 . h1

Sliˇcno, ako se izaberu jediniˇcni vektori µi i ν i , i = 1, 2, 3 u x2 i x3 pravcu, respektivno, nalazi se da su µ1 = 0, ν 1 = 0,

dx2 1 = , µ3 = 0 ds h2 1 dx3 = ν 2 = 0, ν 3 = ds h3 µ2 =

te su fiziˇcke komponente vektora Ai u tim pravcima A(2) = h2 A2

A(3) = h3 A3 .

i

Moˇze se zakljuˇciti da se fiziˇcke komponente kontavarijantnog tenzora prvog reda u ortogonalnom koordinatnom sistemu odreduju iz jednaˇcina A(i) = h(i) A(i) =

√ g(i)(i) A(i) ,

i = 1, 2 ili 3, ne sabirati po i,

sˇto je skra´cena oznaka za fiziˇcke komponente (h1 A1 , h2 A2 , h3 A3 ). U ortogonalnom koordinatnom sistemu nenulte konjugovane metriˇcke komponente su g (i)(i) =

1 g(i)(i)

,

i = 1, 2, ili 3 ne sabirati po i.

Ove komponente su nuˇzne za izraˇcunavanje fiziˇckih komponenata pridruˇzenih kovarijantnom tenzoru prvog reda. Na primer, u x1 pravcu, kovarijantne komponente su λ1 = g11 λ1 = h21

1 = h1 , h1

λ2 = 0,

λ3 = 0

i poslediˇcno projekcija u V3 sa moˇze prikazati sa gij Ai λj = gij Ai g jm λm = Aj g jm λm = A1 λ1 g 11 = A1 h1

1 A1 = = A(1). h21 h1

ˇ TENZORI VISEG REDA

105

Na sliˇcan naˇcin izraˇcunavaju se i preostale fiziˇcke komponente A(2) =

A2 h2

i

A(3) =

A3 h3

u pravcima x2 i x3 . Skra´cena oznaka ovih fiziˇckih komponenta je A(i) =

A(i) A(i) , =√ g(i)(i) h(i)

i = 1, 2 ili 3, ne sabirati po i.

Fiziˇcke komponente pridruˇzene kako kontravarijantnim, tako i kovarijantnim komponentama, su jednake u ortogonalnom koordinatnom sistemu. Da se to pokaˇze treba zapaziti da se sabiranjem Ai gij = Aj po i dobija A1 g1j + A2 g2j + A3 g3j = Aj . Kako su gij = 0 za i 6= j, ova jednaˇcina se svodi na A(i) g(i)(i) = A(i) ,

ne sabirati po i.

Drugaˇciji oblik ove jednaˇcine je A(i) √ A(i) = A(i) g(i)(i) = √ g(i)(i)

ne sabirati po i,

sˇto pokazuje da su fiziˇcke komponente pridruˇzene kontravarijantnim i kovarijantnim komponentama identiˇcne. ˇ ˇ OZNACAVANJE Cesto se fiziˇcke komponete oznaˇcavaju donjim indeksom koji ukazuje koordinatnu krivu duˇz koje je uzeta projekcija. Na primer, ako H i oznaˇcava kontravarijantne komponente tenzora prvog reda, tada se u razliˇcitim koordinatnim sistemima fiziˇcke komponente od H i predstavljaju prema slede´cem pregledu:

3.10

ortogonalne koordinate

koordinatni sistem

tenzorske komponente

fiziˇcke komponente

opˇste pravougaone cilindarske sferne opˇste

(x1 , x2 , x3 ) (x, y, z) (r, θ, z) (ρ, θ, φ) (u, v, w)

Hi Hi Hi Hi Hi

H(1), H(2), H(3) Hx , Hy , Hz Hr , Hθ , Hz Hρ , Hθ , Hφ Hu , Hv , Hw

ˇ TENZORI VISEG REDA

Fiziˇcke komponente tenzora viˇseg reda definisane su kao projekcije u VN na isti naˇcin kao kod tenzora prvog reda. Za neki tenzor n-tog reda Tij...k moˇze se izabrati

106

SPECIJALNI TENZORI

n jediniˇcnih vektora λi , µi , ..., ν i i formirati unutraˇsnji proizvod (projekcija) Tij...k λi µj ...ν k . Kod projektovanja tenzorskih komponenata na koordinatne krive postoji N izbora za svaki jediniˇcni vektor. To daje N n fiziˇckih komponenata. Gornji unutraˇsnji proizvod predstavlja fiziˇcku komponentu tenzora Tij...k duˇz pravca jediniˇcnih vektora λi , µi , ..., ν i . Izabrani jediniˇcni vektori mogu biti ali i ne moraju biti ortogonalni. Izraˇcunavanje fiziˇckih komponenata je znatno olakˇsano u sluˇcaju kada su svi izabrani jediniˇcni vektori medusobno ortogonalni. Preoznaˇcavai njem jediniˇcnih vektora u λi(m) , µi(n) , ..., ν(p) , gde (m), (n)...., (p) predstavlja jedan od N pravaca, fiziˇcke komponente opˇsteg tenzora n-tog reda se zapisuju sa k T (mn...p) = Tij...k λi(m) µj(n) ...ν(p)

PRIMER 42. (fiziˇcke komponente) Na´ci fiziˇcke komponente u ortogonalnom krivolinijskom koordinatnom sistemu V3 sa metrikom gij , i, j = 1, 2, 3, i to za: (i) tenzor drugog reda Aij , (ii) tenzor drugog reda Aij , (iii) tenzor drugog reda Aij . Reˇsenje: (a) Fiziˇcke komponente tenzora Amn , m, n = 1, 2, 3 duˇz pravaca dvaju jediniˇcnih vektora λi i µi definisane su unutraˇsnjim proizvodom u V3 i mogu se zapisati sa n A(ij) = Amn λm (i) µ(j)

i, j = 1, 2, 3,

gde indeksi (i) i (j) predstavljaju jedan od koordinatnih pravaca. Izostavljanjem indeksa (i) i (j), zapaˇza se da u ortogonalnom krivolinijskom koordinatnom sistemu postoje tri izbora za pravac jediniˇcnog vetora λi kao i tri izbora za pravac jediniˇcnog vektora µi . Ta tri izbora predstvaljaju pravce duˇz koordinatnih krivih x1 , x2 ili x3 koje proistiˇcu iz krivolinijskog koordinatnog sistema. To dovodi do ukupno devet mogu´cih fiziˇckih komponenata pridruˇzenih tenzoru Amn . Na primer, komponente jediniˇcnog vektora λi , i = 1, 2, 3 u x1 pravcu mogu se dobiti neposredno iz ispitivanja elementa kvadrata duˇzine luka ds2 = (h1 )2 (dx1 )2 + (h2 )2 (dx2 )2 + (h3 )2 (dx3 )2 . Stavljanjem dx2 = dx3 = 0, nalazi se dx1 1 = = λ1 , ds h1

λ2 = 0,

λ3 = 0.

To je vektor λi(1) , i = 1, 2, 3. Sliˇcno, ako se izabere jediniˇcni vektor λi , i = 1, 2, 3 u x2 pravcu, stavlja se dx1 = dx3 = 0 u element kvadrata duˇzine luka i nalaze komponente λ1 = 0,

λ2 =

dx2 1 = , ds h2

λ3 = 0.

ˇ TENZORI VISEG REDA

107

To je vektor λi(2) , i = 1, 2, 3. Konaˇcno, izborom λi , i = 1, 2, 3 u x3 pravcu, i stavljanjem dx1 = dx2 = 0 u element kvadrata duˇzine luka, odreduje se jediniˇcni vektor λ1 = 0,

λ2 = 0,

λ3 =

1 dx3 = . ds h3

Ovo je vektor λi(3) , i = 1, 2, 3. Sliˇcno se moˇze izabrati jediniˇcni vektor µi kao jedan od gornja tri pravca. Ispitivanjem svih devet kombinacija za izbor jediniˇcnih vektora, nalaze se sve fiziˇcke komponente u ortogonalnom koordinatnom sistemu: A(11) = A(21) = A(31) =

A11 h1 h1 A21 h2 h1 A31 h3 h1

A(12) = A(22) = A(32) =

A12 h1 h2 A22 h2 h2 A32 h3 h2

A(13) = A(23) = A(33) =

A13 h1 h3 A23 h2 h3 A33 h3 h3

Ovi rezultati se mogu zapisati u kompaktnijem obliku A(ij) =

A(i)(j) h(i) h(j)

nema sabiranja po i ili j.

(3.59)

(c) Za meˇsoviti tenzor je Aij = g im Amj = g i1 A1j + g i2 A2j + g i3 A3j .

(3.60)

Zbog cˇ injenice g ij = 0 za i 6= j, i fiziˇckih komponenta iz jednaˇcine (3.59), jednaˇcina (3.60) se svodi na (i)

A(j) = g (i)(i) A(i)(j) =

1 ·h(i) h(j) A(ij) h2(i)

bez sabiranja po i i j, i, j = 1, 2 ili 3.

Ovo se moˇze zapisati u obliku (i)

A(ij) = A(j)

h(i) h(j)

nema sabiranja po i ili j.

(3.61)

Otud se fiziˇcke komponente pridruˇzene meˇsovitom tenzoru Aij u ortogonalnom koordinatnom sitemu mogu izraziti sa A(11) = A11 A(21) = A21 hh12 A(31) = A31 hh13

A(12) = A12 hh12 A(22) = A22 A(32) = A32 hh32

A(13) = A13 hh13 A(23) = A23 hh23 A(33) = A33 .

(b) Za kontravarijantni tenzor moˇze se pisati Aij gjm = Aim = Ai1 g1m + Ai2 g2m + Ai3 g3m .

108

SPECIJALNI TENZORI

(i)

Ova jednaˇcina se moˇze svesti na oblik A(m) = A(i)(m) g(m)(m) bez sabiranja po m, pomo´cu cˇ injenice gij = 0 za i 6= j i fiziˇckih komponenata iz jednaˇcine (3.61). Izraˇzeno preko fiziˇckih komponenata: h(m) A(im) = A(i)(m) h2(m) h(i)

ili

A(im) = A(i)(m) h(i) h(m) ,

bez sabiranja po i, m = 1, 2, 3.

(3.62)

Na osnovu jednaˇcine (3.62) mogu se fiziˇcke komponente pridruˇzene kontravarijantnom tenzoru Aij u ortogonalnom koordinatnom sistemu zapisati kao: A(11) = A11 h1 h1 A(21) = A21 h2 h1 A(31) = A31 h3 h1 3.11

A(12) = A12 h1 h2 A(22) = A22 h2 h2 A(32) = A32 h3 h2

A(13) = A13 h1 h3 A(23) = A23 h2 h3 A(33) = A33 h3 h3 .

ˇ FIZICKE KOMPONENTE GENERALNO

Fiziˇcke komponente pridruˇzene tenzoru n-tog reda Tij...kl duˇz pravaca krivolinijskih koordinata u ortogonalnom krivolinijskom koordinatnom sistemu mogu se zapisati kao: T (ij...kl) =

T(i)(j)...(k)(l) h(i) h(j) ...h(k) h(l)

nema sabiranja.

Ove komponente mogu se odnositi na razliˇcite tenzore pridruˇzene tenzoru Tij...kl . Na primer, u ortogonalnom koordinatnom sistemu, fiziˇcke komponente pridruˇzene ij...m meˇsovitom tenzoru Tn...kl mogu se izraziti sa: (i)(j)...(m) h(i) h(j) ...h(m)

T (ij...mn...kl) = T(n)...(k)(l)

h(n) ...h(k) h(l)

nema sabiranja.

(3.63)

PRIMER 43. (fiziˇcke komponente) Neka xi = xi (t), i = 1, 2, 3 oznaˇcavaju vektor poloˇzaja cˇ estice koja se kre´ce u funkciji vremena t. Neka postoji transformacija koordinata x ¯i = x ¯i (x), za i = 1, 2, 3, u obliku datom jednaˇcinama (3.34). Poloˇzaj cˇ estice u odnosu na koordinatni sistem sa crtom moˇze se na´ci neposrednom zamenom. Generalisana brzina cˇ estice u sistemu bez crte je vektor sa komponentama vi =

dxi , dt

i = 1, 2, 3.

Komponente genaralisane brzine cˇ estice u sistemu sa crtom dobijaju se pravilom posrednog diferenciranja: vi =

d¯ xi ∂x ¯i dxj ∂x ¯i j = = v . j dt ∂x dt ∂xj

TENZORI I MULTILINEARNE FORME

109

Ova jednaˇcina implicira da su kontravarijantne veliˇcine 1

2

3

(v , v , v ) =



dx1 dx2 dx3 , , dt dt dt



tenzorske veliˇcine, a nazivaju se komponentama generalisane brzine. Koordinate x1 , x2 , x3 su generalisane koordinate. To znaˇci da se moˇze izabrati bilo koji skup od tri nezavisne promenljive za predstavljanje kretanja. Izabrane promenljive ne moraju imati iste dimenzije. Na primer, u cilindarskim koordinatama moˇze se staviti (x1 = r, x2 = θ, x3 = z), gde x1 i x3 imaju dimanziju duˇzine, a x2 ima dimanziju ugla (dakle bez dimenzije je). Generalisane brzine su v1 =

dr dx1 = , dt dt

v2 =

dx2 dθ = , dt dt

v3 =

dx3 dz = . dt dt

Ovde v 1 i v 3 imaju dimenziju [LT−1 ], dok v 2 ima dimenziju [T−1 ]. Fiziˇcke komponente generalisane brzine u cilindarskim koordinatama (h1 = 1, h2 = r, h3 = 1) su: vr = v(1) = v 1 h1 =

dr , dt

vθ = v(2) = v 2 h2 = r

dθ , dt

vz = v(3) = v 3 h3 =

dz . dt

Sada sve fiziˇcke komponente brzine imaju istu dimenziju [LT−1 ].

Dodatni primeri upotrebe fiziˇckih komponenta bi´ce dati kasnije, a za sada valja upamtiti da jednom izvedene tenzorske jednaˇcine vaˇze u svakom generalisanom koordinatnom sistemu. Od posebnog je interesa zapis fiziˇckih zakona koji treba da je invarijantan i nezavisan od koordinatnog sistema upotrebljenog da se ti zakoni predstave. U jednom izvedenoj tenzorskoj jednaˇcini moˇze se izabrati bilo koji tip generalisanh koordinata i izvrˇsiti dalji razvoj tenzorskih veliˇcina. Pre upotrebe svake razvijene tenzorske jednaˇcine moraju se zameniti sve tenzorske komponente njihovim fiziˇckim komponentama da bi jednaˇcine bile dimenzijski homogene. Upravo se takve razvijene jednaˇcine, izraˇzene preko fiziˇckih komponenta, koriste za reˇsavanje praktiˇcnih problema.

3.12

TENZORI I MULTILINEARNE FORME

Tenzori se mogu smatrati kao da su kreirani od multilinearnih formi definisanih u nekom vektorskom prostoru V . U vektorskom prostoru V definisa´ce se prvo linearna forma, zatim bilinearna forma i na kraju opˇsta multilinearna forma, da bi se pokazalo kako se tenzori kreiraju od tih formi.

110

SPECIJALNI TENZORI

Definicija linearne forme Neka V oznaˇcava vektorski prostor koji sadrˇzi vektore ~x, ~x1 , ~x2 , .... Linearna forma po ~x je skalarna funkcija ϕ(~x) jednog vektorskog argumenta ~x koja zadovoljava svojstva linearnosti: (i) (ii)

ϕ(~x1 + ~x2 ) = ϕ(~x1 ) + ϕ(~x2 ) ϕ(µ~x1 ) = µϕ(~x1 )

(3.64)

za bilo koje vektore ~x1 , ~x2 u V is sve realne brojeve µ. Primer linearne forme je skalarni proizvod ~ · ~x ϕ(~x) = A

(3.65)

~ konstantan vektor, a ~x je proizvoljan vektor iz vektorskog prostora V . gde je A Zapaziti da se linearna forma po ~x moˇze izraziti preko komponenata vektora ~x i baznih vektora (b e1 , b e2 , b e3 ) upotrebljenih za zapis ~x. Da se to pokaˇze, napiˇse se vektor ~x u komponentnom obliku e3 , e2 + x3 b e1 + x2 b ei = x1 b ~x = xi b

gde su xi , i = 1, 2, 3 komponente od ~x u odnosu na bazne vektore (b e1 , b e2 , b e3 ). Na osnovu svojstva linearnosti funkcije ϕ moˇze se pisati e3 ) e2 + x3 b e1 + x2 b ei ) = ϕ(x1 b ϕ(~x) = ϕ(xi b

e3 ) e2 ) + ϕ(x3 b e1 ) + ϕ(x2 b = ϕ(x1 b

= x1 ϕ(b e1 ) + x2 ϕ(b e2 ) + x3 ϕ(b e3 ) = xi ϕ(b ei )

Dakle, pisanjem ϕ(~x) = xi ϕ(b ei ) i definisanjem veliˇcine ϕ(b ei ) = ai kao tenzora, dobija se ϕ(~x) = xi ai . Zapaziti da se sa promenom vektorske baze iz (b e1 , b e2 , b e3 ) u ~ 1, E ~ 2, E ~ 3 ) moraju promeniti i komponente vektora ~x . Ako x (E ¯i oznaˇcavaju komponente vektora ~x u odnosu na novu bazu, bi´ce ~i ~x = x ¯i E

i

~ i) = x ~ i ). ϕ(~x) = ϕ(¯ xi E ¯i ϕ(E

~ i ) tako da je ϕ(~x) = x Linearna forma ϕ definiˇse novi tenzor a ¯i = ϕ(E ¯i a ¯i . Kadagod ~ 1, E ~ 2, E ~ 3 ), recimo, postoji odredena relacija izmedu baznih vektora (b e1 , b e2 , b e3 ) i (E j ~ i = ∂x b E ej , ∂x ¯i

¯i . Ta relacija je postoji i odredena relacija izmedu tenzora ai i a  j  ∂xj ∂xj ~ i ) = ϕ ∂x b a ¯i = ϕ(E = ϕ(b e ) = aj . e j j ∂x ¯i ∂x ¯i ∂x ¯i

TENZORI I MULTILINEARNE FORME

111

Ovo je zakon transformacije apsolutnog kovarijantnog tenzora prvog reda. Ova ideja se sada proˇsiruje na tenzore viˇseg reda. Definicija bilinearne forme Bilinearna forma po ~x i ~y je skalarna funkcija ϕ (~x, ~y ) dva vektorska argumenta koja zadovoljava svojstva linearnosti: (i) (ii) (iii) (iv)

ϕ(~x1 + ~x2 , ~y1 ) = ϕ(~x1 , ~y1 ) + ϕ(~x2 , ~y1 ) ϕ(~x1 , ~y1 + ~y2 ) = ϕ(~x1 , ~y1 ) + ϕ(~x1 , ~y2 ) ϕ(µ~x1 , ~y1 ) = µϕ(~x1 , ~y1 ) ϕ(~x1 , µ~y1 ) = µϕ(~x1 , ~y1 )

(3.66)

za proizvoljne vektore ~x1 , ~x2 , ~y1 , ~y2 u vektorskom prostoru V i za sve realne brojeve µ. Zapaziti u definiciji bilinearne forme da je skalarna funkcija ϕ linearna po oba svoja argumenta ~x i ~y . Primer bilinearne forme je skalarni proizvod (~x, ~y ) = ~x · ~y

(3.67)

gde oba vektora ~x i ~y pripadaju istom vektorskom prostoru V . Definicija bilinearne forme sugeriˇse kako se mogu definisati multilinearne forme. Definicija multilinearnih formi Multilinearna forma M -tog stepena ili M -ti stepen linearne forme po vektorskim argumentima ~x1 , ~x2 , ..., ~xM je skalarna funkcija ϕ(~x1 , ~x2 , ..., ~xM ) od M vektorskih argumenta koja zadovoljava svojstvo da je linerna po svakom svom argumentu, tj. ϕ mora zadovoljavati za svako j = 1, 2, ..., M svojstva: (i) (ii)

ϕ(~x1 , ..., ~xj1 + ~xj2 , ...~xM ) = ϕ(~x1 , ..., ~xj1 , ..., ~xM ) +ϕ(~x1 , ..., ~xj2 , ..., ~xM ) ϕ(~x1 , ..., µ~xj , ..., ~xM ) = µϕ(~x1 , ..., ~xj , ..., ~xM )

(3.68)

za sve proizvoljne vektore ~x1 ,..., ~xM iz vektorskog prostora V i sve realne brojeve µ.

112

SPECIJALNI TENZORI

Primer multilinearne forme tre´ceg stepena ili trilinearne forme je trostruki skalarni proizvod ϕ(~x, ~y , ~z) = ~x · (~y × ~z).

(3.69)

Zapaziti da su multilinearne forme nezavisne od izabranog koordinatnog sistema i zavise samo od vektorskih argumenata. U trodimenzijskom vektorskom prostoru biraju se bazni vektori (b e1 , b e2 , b e3 ) i svi vektori se se zapisuju u toj bazi. Na primer, tri vektora ~x, ~y , ~z zapisuju se u komponentnim oblicima ei , ~x = xi b

ej , ~y = y j b

ek ~z = z k b

(3.70)

gde se podrazumeva konvencija o sabiranju po ponovljenim indeksima i, j i k. Zamenom jednaˇcina (3.70) u jednaˇcinu (3.69) dobija se ek ) = xi y j z k ϕ(b ei , b ej , b ek ), ej , z k b ei , y j b ϕ(xi b

(3.71)

ϕ(b ei , b ej , b ek ) = eijk

(3.72)

jer je ϕ linearo po svojim argumentima. Definisanjem tenzorske veliˇcine

(vidi zadatak 15 u prvom poglavlju) moˇze se trilinearna forma data jednaˇcinom (3.69), sa vektorima iz jednaˇcina (3.70), zapisati kao ϕ(~x, ~y , ~z) = eijk xi y j z k ,

i, j, k = 1, 2, 3.

(3.73)

Koeficijent eijk trilinearne forme naziva se tenzor tre´ceg reda i lako je prepoznati da je to ve´c poznati permutacioni simbol. U multilinearnoj formi M -tog stepena ϕ(~x, ~y , ..., ~z), svih M argumenata se moˇze predstaviti u komponentnom obliku u odnosu na skup baznih vektora (b e1 , b e2 , b e3 ). Neka su te vektorske komponente xi , y i , z i , i = 1, 2, 3, te su ei , ~x = xi b

ej , ~y = y j b

ek . ~z = z k b

Zamena ovih vektora u multilinearnu formu M -tog stepena dovodi do ek ) = xi y j · · · z k ϕ(b ei , b ej , . . . , b ek ). ej , ..., z k b ei , y j b ϕ(xi b

(3.74)

aij...k = ϕ(b ei , b ej , . . . , b ek )

(3.75)

~ i, E ~ j , ..., E ~ k ). a ¯ij...k = ϕ(E

(3.76)

Poslediˇcno, multilinearna forma definiˇse skup koeficijenata

koje se nazivaju komponente tenzora M -tog reda. Tako se multilinearnom formom kreira tenzor sa M indeksa ako je ϕ M -tog stepena. ~ 1, E ~ 2, E ~ 3 ), multiZapaziti da prelaskom u drugi skup baznih vektora, recimo (E linearna forma definiˇse novi tenzor

113

DUALNI TENZORI

Ovaj novi tenzor je obeleˇzen sa crtom da bi se razlikovao of prethodnog tenzora. Kako postoji odredena relacija izmdu nove i stare vektorske baze, postoji i odredena relacija izmedu komponenata tenzora sa crtom i bez crte. Poznato je da se za zadati skup tranformacionih jednaˇcina y i = y i (x1 , x2 , x3 ),

i = 1, 2, 3,

(3.77)

iz pravouglih u krivolinijske koordinate, bazni vektori u novom sistemu mogu izraziti jednaˇcinama j ~ i = ∂y b ej , E ∂xi

i = 1, 2, 3.

(3.78)

Na primer, vidi jednaˇcine (3.11) sa y 1 = x, y 2 = y, y 3 = z, x1 = u, x2 = v, x3 = w. Zamenom jednaˇcina (3.78) u jednaˇcine (3.76) dobija se   α ∂y β ∂y γ ∂y b b b eα , j eβ , ..., k eγ . a ¯ij...k = ϕ ∂xi ∂x ∂x

Zbog linearnosti funkcije ϕ, ova jednaˇcina se moˇze napisati u obliku a ¯ij...k =

∂y α ∂y β ∂y γ ∂y α ∂y β ∂y γ · · · k ϕ(b eα , b eβ , ..., b eγ ) = · · · k aαβ...γ i j i j ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x

sˇto je poznati zakon transformacije za kovarijantni tenzor M -tog stepena. Izborom reciproˇcne vektorske baze moˇze se na´ci i transformacioni zakon za kontravarijantne tenzore. Gornji primeri ilustruju da se tenzori mogu smatrati veliˇcinama izvedivim iz multilinearnih formi definisanih u nekom vektorskom prostoru. 3.13

DUALNI TENZORI

e−permutacioni simbol se cˇ esto koristi da se od datih tenzora generiˇsu novi tenzori. Za koso-simetriˇcni tenzor Ti1 i2 ...im , definiˇse se tenzor 1 j1 j2 ...jn−m i1 i2 ...im Tbj1 j2 ...jn−m = Ti1 i2 ...im e m!

m≤n

(3.79)

kao dualni tenzor pridruˇzen tenzoru Ti1 i2 ...im . Zapaziti da e−permutacioni simbol ili alterniraju´ci tenzor ima teˇzinu +1 te da c´ e poslediˇcno dualni tenzor imati ve´cu teˇzinu od originalnog tenzora. e−permutacioni simbol ima svojstva ei1 i2 ...iN ei1 i2 ...iN = N ! N ej1 j2 ...jN = δji11 ij22...i e ...jN m ek1 k2 ...km i1 i2 ...iN −m ej1 j2 ...jm i1 i2 ...iN −m = (N − m)!δkj11jk22...j ...km j1 j2 ...jm δk1 k2 ...km Tj1 j2 ...jm = m!Tk1 k2 ...km . i1 i2 ...iN

(3.80)

114

SPECIJALNI TENZORI

Pomo´cu ovih svojstava moˇze se na´ci koso-simetriˇcni tenzor preko dualnog tenzora. Dobija se

Ti1 i2 ...im =

1 Tbj1 j2 ...jn−m . ei i ...i j j ...j (n − m)! 1 2 m 1 2 n−m

(3.81)

Na primer, ako je Aij , i, j = 1, 2, 3 koso-simetriˇcni tenzor, njemu se moˇze pridruˇziti dualni tenzor Vi =

1 ijk e Ajk , 2!

koji je tenzor prvog reda ili vektor. Zapaziti da Aij ima komponente   0 A12 A13  −A12 0 A23  −A13 −A23 0

(3.82)

~: te su poslediˇcno, komponente vektora V (V1 , V2 , V3 ) = (A23 , A31 , A12 ).

(3.83)

Zapaziti da komponente vektora imaju cikliˇcan red indeksa sˇto dolazi od cikliˇcnog svojstva e−permutacionog simbola. Neka se kao drugi primer posmatra koso-simetiˇcni tenzor cˇ etvrtog reda Aijkl , i, j, k, l = 1, ..., n. Ovom tenzoru se moˇze pridruˇziti bilo koja od slede´cih dualnih tenzorskih veliˇcina V = Vi = V ij = V ijk = V ijkl =

1 ijkl e Aijkl 4! 1 ijklm e Ajklm 4! 1 ijklmn e Aklmn 4! 1 ijklmnp e Almnp 4! 1 ijklmnpr e Amnpr 4!

(3.84)

O primeni dualnih tenzora videti drugo poglavlje drugog dela. 3.14

ZADACI a

◮ 1. (a) Iz zakona transformacije tenzora drugog reda g¯ij = gab ∂x ∂x ¯i preko g¯ij .

∂xb ∂x ¯j

na´ci gab

ZADACI

115

(b) Pokazati da ako je gij is simetriˇcno u jednom koordinatnom sistemu tada je simetrihno i u svim koordinatnim sistemima. (c) Neka su g¯ = det[¯ gij ] i g = det[gij ] pa pokazati da je g¯ = gJ 2 ( xx¯ ) i poslediˇcno √ √ √ x g¯ = gJ( x¯ ). Ovo pokazuje da je g skalarna invarijanta teˇzine 2, a g skalarna invarijanta teˇzine 1. m ∂y m ∂xi ∂xj ij ◮ 2. Za gij = ∂y ∂xi ∂xj pokazati da je g = ∂y m ∂y m . ◮ 3. Pokazati da u ortogonalnom krivolinijskom koordinatnom sistemu vaˇzi: (a) (b) (c)

g = det[gij ] = g11 g22 g33 gmn = g mn = 0 za m 6= n g N N = gN1N za N = 1, 2, 3 (ne sabirati po N )

i 2 ∂y 2 ◮ 4. Pokazati da je g = det[gij ] = ∂x j = J , gde je J jakobijan. ∂~r ∂~r , h3 = hw = ∂~r i ◮ 5. Definisati veliˇcine h1 = hu = ∂u , h2 = hv = ∂v ∂w konstruisati jediniˇcne vektore b eu =

1 ∂~r , h1 ∂u

b ev =

1 ∂~r , h2 ∂v

b ew =

1 ∂~r . h3 ∂w

(a) Usvojiti da je koordinatni sistem ortogonalan i pokazati da su  2  2  2 ∂x ∂y ∂z g11 = h21 = + + , ∂u ∂u ∂u  2  2  2 ∂x ∂y ∂z 2 g22 = h2 = + + , ∂v ∂v ∂v 2  2  2  ∂x ∂y ∂z g33 = h23 = + + . ∂w ∂w ∂w ew dw. ev dv + h3 b eu du + h2 b (b) Pokazati da se d~r moˇze izraziti u obliku d~r = h1 b (c) Pokazati da se zapremina elementarnog paralelepipeda cˇ ija je dijagonala d~r moˇze prikazati sa ∂(x, y, z) √ gdudvdw = Jdudvdw = dudvdw. ∂(u, v, w) A1 A2 A3 ~ ~ ~ = B1 B2 B3 . · (B × C) Uputstvo: A C1 C2 C3 ◮ 6. Za promenu d~r datu u zadatku 5 pokazati da elementarni paralelopiped sa dijagonalim d~r ima: p 2 dvdw na u = const. povrˇ (a) element povrˇsine dS1 = pg22 g33 − g23 si; 2 (b) element povrˇsine dS2 = p g33 g11 − g13 dudw na v = const. povrˇsi; 2 dudv na w = const. povrˇ (c) element povrˇsine dS3 = g11 g22 − g12 si; dτ =

116

SPECIJALNI TENZORI

(d) Na sˇta se svode gornji elementi povrˇsine u specijalnom q sluˇcaju kada su kriv ~ ~ ~ × B) ~ · (A ~ × B) ~ olinijske koordinate ortogonalne? Uputstvo: A × B = (A q ~ · A)( ~ B ~ · B) ~ − (A ~ · B)( ~ A ~ · B). ~ = (A ◮ 7. U dekartovim koordinatama data je afina transformacija. x ¯i = ℓij xj gde su x1 =

5x1 − 14x2 + 2x3 , 15

x2 = −

2x1 + x2 + 2x3 , 3

x3 =

10x1 + 2x2 − 11x3 15

(a) Pokazati da je transformacija ortogonalna. ~ 1 , x2 , x3 ) u sistemu bez crte ima komponente A1 = (x1 )2 , A2 = (b) Vektor A(x 2 (x2 ) , A3 = (x3 )2 . Na´ci komponente ovog vektora u sistemu koordinata sa crtom. ◮ 8. Izraˇcunati metriˇcki i konjugovani metriˇcki tenzor u cilindarskim koordinatama (r, θ, z). ◮ 9. Izraˇcunati metriˇcki i konjugovani metriˇcki tenzor u sfernim koordinatama (ρ, θ, φ). ◮ 10. Izraˇcunati metriˇcki i konjugovani metriˇcki tenzor u koordinatama paraboliˇcnog cilindra (ξ, η, z). ◮ 11. Izraˇcunati metriˇcke i konjugovane metriˇcke komponente u koordinatama (ξ, η, z) eliptiˇcnog cilindra. ◮ 12. Izraˇcunati metriˇcke i konjugovane metriˇcke komponente za kose cilindarske koordinate (r, φ, η), prikazane na slici 3.31., gde su x = r cos φ, y = r sin φ+η cos α, z = η sin α, a α je parameter 0 < α ≤ π2 . Zapaziti da se za α = π2 dobijaju cilindarske koordinate.

z

z

h r x

f Figure 3.31.

a

y x

y

Kose cilindarske koordinate.

◮ 13. Izraˇcunati metriˇcki i konjugovani metriˇcki tenzor pridruˇzen toroidnim povrˇsinskim koordinatama (ξ, η), prikazanim na slici 3.32., gde su x = (a + b cos ξ) cos η y = (a + b cos ξ) sin η z = b sin ξ

a>b>0 0 < ξ < 2π 0 < η < 2π

ZADACI

z

117

z

a b x

h

x

Figure 3.32.

y

y

x

Toroidne povrˇsinske koordinate.

◮ 14. Izraˇcunati metriˇcki i konjugovani metriˇcki tenzor pridruˇzen sfernim povrˇsinskim koordinatama (φ, θ), prikazanim na slici 3.33., gde su x = a sin θ cos φ y = a sin θ sin φ z = a cos θ

a > 0 konstanta 0 < φ < 2π 0 < η < π2

z

z q

f

y

y x

x

Figure 3.33. Sferne povrˇsinske koordinate.

◮ 15. Razmotriti gij , i, j = 1, 2. (a) Pokazati da je g 11 = g∆22 , g 12 = g 21 = −g∆12 , g 22 = g∆11 gde je ∆ = g11 g22 − g12 g21 . (b) Pomo´cu rezultata pod (a) verifikovati da je gij g ik = δjk , i, j, k = 1, 2. ◮ 16. Neka Ax , Ay , Az iznaˇcavaju konstantne komponente vektora u dekartovim koordinatama. Pomo´cu transformacionih zakona (2.41) i (2.46) na´ci kontravarijantne i kovarijantne komponente ovog vektora pri prelasku u (a) cilindarske koordinate (r, θ, z). (b) sferne koordinate (ρ, θ, φ) i (c) koordinate paraboliˇckog cilindra.

118

SPECIJALNI TENZORI

◮ 17. Ustanoviti kakva relacija postoji izmedu datih pridruˇzenih tenzora. (a) Apqk i Apq r. rs (b) Ap.mrs i Apq ..rs

(c) Ai.j. i A.s.p r.t. .l.m (d) Amnk i Aij ..k

◮ 18. Dat je tenzor cˇ etvrtog reda Cikmp = λδik δmp + µ(δim δkp + δip δkm ) + ν(δim δkp − δip δkm ) gde su λ, µ i ν skalari, a δij je Kronecker-ovo delta. Pokazati da pri ortogonalnoj transformaciji rotacije osa za x ¯i = ℓij xj , gde je ℓrs ℓis = ℓmr ℓmi = δri , komponente ovog tenzora ostaju nepromenjene. Svaki tenzor cˇ ije komponente ostaju nepromenjene u ortogonalnoj transformaciji naziva se izotropni tenzor. Drugaˇciji iskaz ovog zadatka bio bi “Pokazati da je Cikmp izotropan tenzor.” ◮ 19. Za kovarijantni tenzor tre´ceg reda Aijl i kontravarijantni tenzor cˇ etvrtog reda B pqmn pokazati da je Aikl B klmn meˇsoviti tenzor tre´ceg reda sa jednim kovarijantnim i dva kontravarijantna indeksa. ◮ 20. Neka je Tmnrs apsolutni tenzor. Pokazati da ako je Tijkl + Tijlk = 0 u koordinatnom sistemu xr , tada je T ijkl +T ijlk = 0 u bilo kom drugom koordinatnom sistemu x ¯r . gir gis git ◮ 21. Pokazati da je εijk εrst = gjr gjs gjt . Uputstvo: videti zadatak 38 u gkr gks gkt prvom poglavlju. ◮ 22. Utvrditi da li vaˇzi tenzorska jednaˇcina εmnp εmij + εmnj εmpi = εmni εmpj . Dokazati odgovor. ◮ 23. Dokazati epsilon identitet g ij εipt εjrs = gpr gts − gps gtr . Uputstvo: vidi zadatak 38 u prvom poglavlju. ◮ 24. Neka je Ars koso-simetriˇcan kontravarijantan tenzor i neka su cr = 12 εrmn Amn √ gde je εrmn = germn . Pokazati da su cr komponente kovarijantnog tenzora. Ispisati sve komponente. ◮ 25. Neka je Ars koso-simetriˇcni kovarijantan tenzor i neka su cr = 12 εrmn Amn gde je εrmn = √1g ermn . Pokazati da su cr komponente kontravarijantnog tenzora. Ispisati sve komponente. s s relativni gde je Brqs relativni tenzor teˇzine ω1 a Cpr ◮ 26. Neka je Apq Brqs = Cpr tenzor teˇzine ω2 . Dokazati da je Apq relativni tenzor teˇzine (ω2 − ω1 ). √ ◮ 27. Kada je Aij apsolutni tenzor dokazati da je gAij relativni tenzor teˇzine +1. ◮ 28. Kada je Aij apsolutni tenzor dokazati da je √1g Aij relativni tenzor teˇzine −1. ◮ 29. (a) Pokazati da je eijk relativni tenzor teˇzine +1. (b) Pokazati da je εijk = √1g eijk apsolutni tenzor. Uputstvo: Vidi primer 25. ◮ 30. Jednaˇcina povrˇsine moˇze se prikazati u obliku Φ(x1 , x2 , x3 ) = const. Pokazati da se jediniˇcni vektor normale na povrˇsinu moˇze dati sa ni =

∂Φ g ij ∂x j ∂Φ ∂Φ g mn ∂x m ∂xn


1/2 .

ZADACI

119

◮ 31. Neka je g¯ij = λgij gde je λ konstanta razliˇcita od nule. Na´ci i izraˇcunati g¯ij preko g ij . ◮ 32. Utvrditi da li je taˇcna slede´ca tenzorska jednaˇcina. Dokazati odgovor εrjk Ari + εirk Arj + εijr Ark = εijk Arr . Uputstvo: Vidi zadatak 21 u prvom poglavlju. ◮ 33. Pokazati da ako su Ci i C i pridruˇzeni tenzori i ako je C i = εijk Aj Bk , tada je Ci = εijk Aj B k . ◮ 34. Dokazati da su εijk i εijk pridruˇzeni tenzori. Uputstvo: Posmatrati determinantu od gij . ◮ 35. Pokazati da je εijk Ai Bj Ck = εijk Ai B j C k . ◮ 36. Neka je Tji , i, j = 1, 2, 3 meˇsoviti tenzor drugog reda. Pokazati da su slede´ce veliˇcine skalarne invarijante. (i) (ii) (iii)

I1 = Tii i Tim ] I2 = 21 [(Tji )2 − Tm i I3 = det[Tj ]

◮ 37. (a) Pretpostaviti da su Aij i B ij , i, j = 1, 2, 3 apsolutni kontravarijantni tenzori, i utvrditi da li je unutraˇsnji proizvod C ik = Aij B jk apsolutni tenzor? ∂x ¯j ∂ x ¯j (b) Pretpostaviti da je uslov ∂x snji n ∂xm = δnm zadovoljen i utvrditi da li je unutraˇ proizvod pod (a) tenzor? (c) Razmotriti samo transformacije koje su rotacija i translacija osa y¯i = ℓij yj + bi , ∂ y¯ ∂ y¯ gde su ℓij kosinusi pravca za rotaciju osa. Pokazati da je ∂ynj ∂ymj = δnm . ◮ 38. Utvrditi da li je dopuˇstena kontrakcija po indeksima i i j u dekartovom tenzoru Aijk . Drugim reˇcima, utvrditi da li je veliˇcina Ak = Aiik , (sabiranje po i) tenzor. Uputstvo: Vidi pod (c) u prethodnom zadatku. k j k . δn − δnj δm ◮ 39. Dokazati e − δ identitet eijk eimn = δm ◮ 40. Neka je dat vektor Vk , k = 1, 2, 3 i definisana matrica [aij ] cˇ iji elementi su aij = eijk Vk , gde eijk predstavlja e−permutacioni simbol. (a) Na´ci Vi preko amn mnoˇzenjem obeju strana date jednaˇcine sa eijl i zapaˇzanjem da e − δ identitet dopuˇsta da se rezultat pojednostavi. (b) Sabrati dati izraz po k i zatim pripisati slobodnim indeksima vrednosti (i, j = 1, 2, 3) pa uporediti rezultat sa onim pod (a). (c) Da li je aij simetriˇcno, koso-simetriˇcno, ili ni jeno ni drugo? ◮ 41. Moˇze se pokazati da jednaˇcina kontinuiteta u dinamici fluida u tenzorskom obliku glasi ∂ρ 1 ∂ √ ( gρV r ) + = 0, √ r g ∂x ∂t gde je ρ gustina mase fluida, t vreme, V r , za r = 1, 2, 3 su komponente brzine, a g = |gij | je determinanat metriˇckog tenzora. Primenom konvencije o sabiranju i

120

SPECIJALNI TENZORI

zamenom tenzorskih komponenata brzine njihovim fiziˇckim komponentama, napisati jednaˇcinu kontinuiteta u: (a) dekartovim koordinatama (x, y, z) sa fiziˇckim komponentama Vx , Vy , Vz . (b) cilindarskim koordinatama (r, θ, z) sa fiziˇckim komponentama Vr , Vθ , Vz . (c) Sfernim koordinatama (ρ, θ, φ) sa fiziˇckim komponentama Vρ , Vθ , Vφ . ◮ 42. Neka x1 , x2 , x3 oznaˇcavaju skup kosih koordinata u odnosu na dekartove ~ 1, E ~ 2, E ~ 3 jediniˇcni vektori u pravcima x1 , x2 i koordinate y 1 , y 2 , y 3 . Uzeti da su E 3 x osa respektivno. Ako ti vektori zadovoljavaju relacije ~1 · E ~1 = 1 E ~ ~2 = 1 E2 · E ~3 · E ~3 = 1 E

~1 · E ~ 2 = cos θ12 E ~ ~ 3 = cos θ13 E1 · E ~2 · E ~ 3 = cos θ23 , E

izraˇcunati metrike gij i konjugovane metrike g ij . ◮ 43. Neka je Aij , i, j = 1, 2, 3, 4 koso-simetriˇcni tenzor drugog reda   0 a b c  −a 0 d e   Aij =   −b −d 0 f  , −c −e −f 0

gde su a, b, c, d, e, f kompleksne konstante. Izraˇcunati komponente dualnog tenzora V ij =

1 ijkl e Akl . 2

◮ 44. U dekartovim koordinatama tenzor vrtloˇznosti u nekoj taˇcki fluidne sredine definisan je sa   1 ∂Vj ∂Vi ωij = − j 2 ∂xi ∂x gde su Vi komponente brzine fluida u taˇcki. Vektor vrtloˇznosti u nekoj taˇcki fluidne sredine u dekartovim koordinatama definisan je sa ω i = 21 eijk ωjk . Pokazati da su ova dva tenzora dualna. ◮ 45. Napisati relaciju izmedu svake od komponenata dulanih tenzora 1 Tˆij = eijkl Tkli , 2

i, j, k, l = 1, 2, 3, 4

i pokazati ako je ijkl parna permutacija od 1234, da je tada Tˆij = Tkl . ◮ 46. Razmotriti opˇstu afinu transformaciju x ¯i = aij xj gde su (x1 , x2 , x3 ) = (x, y, z) sa inverznom transformacijom xi = bij x ¯j . Odrediti (a) sliku ravni Ax + By + Cz + D = 0 u ovoj tranformaciji i (b) sliku konusnog preska drugog reda Ax2 + 2Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0.

ZADACI

121

◮ 47. Koriste´ci multilinearnu formu M -tog stepena izvesti zakon transformacije kontravarijantnog tenzora M -tog stepena . ∂g ij ∂gij . ◮ 48. Ako g oznaˇcava determinantu od gij pokazati da vaˇzi ∂x k = gg ∂xk ◮ 49. Pokazano je da kod rotacije xyz osa u odnosu na skup nepokretnih osa x ¯y¯z¯, ~ u odnosu na posmatraˇca u nepokretnim osama, dat sa izvod vektora A ~ ~ dA dA ~ ~ × A. = +ω dt dt f

r

Uvesti operatore

~= Df A



~ dA dt

~= Dr A

f ~ dA dt

= izvod u nepokretnom sistemu, i r

= izvod u rotiraju´cem sistemu.

~ = (Dr + ω ~ (a) Pokazati da je Df A ~ ×)A. ~ (b) Razmotriti specijalan sluˇcaj kada je vektor zaja ~r. Pokazati da A baˇs vektor poloˇ ~ predstavlja brzinu ~ +~ ~ = V ω × ~r, gde V Df ~r = (Dr + ω ~ ×)~r dovodi do V f f r ~ brzinu cˇ estice u odnosu na rotiraju´ci cˇ estice u odnosu na nepokretan sistem, a V r sistem koordinata. (c) Pokazati da je ~a|f = ~a|r + ω ~ × (~ ω × ~r) gde je ~a|f ubrzanje cˇ estice u odnosu na nepokretan sistem, a ~a|r ubrzanje cˇ estice u odnosu na rotiraju´ci sistem. ~ +ω (d) Pokazati u specijalnom sluˇcaju kada je ω ~ konstanta, da je ~a|f = 2~ ω×V ~× ~ brzina cˇ estice u odnosu na rotiraju´ci sistem. Clan ~ se naziva ˇ (~ ω × ~r) gde je V 2~ ω×V Coriolis-ovo ubrzanje, a cˇ lan ω ~ × (~ ω × ~r) se naziva centripetalno ubrzanje.

CHAPTER 4

IZVOD TENZORA

U ovom poglavlju izlaˇzu se neke dodatne tenzorske operacije. Istorijski posmatrano, jedan od osnovnih problema tenzorske analize bio je pokuˇsaj nalaˇzenja tenzorske ∂g veliˇcine koja je funkcija metriˇckog tenzora gij i nekih od njegovih izvoda ∂xij m, ∂ 2 gij ∂xm ∂xn ,

... . Reˇsenje tog problema je tenzor cˇ etvrtog reda poznat pod imenom Riemann-Christoffel-ov tenzor Rijkl koji c´ e se izvesti u ovom poglavlju. Za bolje razumevanje kako se do tog tenzora dolazi nuˇzno je prvo izvesti preliminarne relacije za Christoffel-ove simbole.

4.1

CHRISTOFFEL-OVI SIMBOLI

Poznato je da metriˇcki gij zadovoljava zakon transformacije

g¯αβ = gab

∂xa ∂xb . ∂x ¯α ∂ x ¯β

Tenzorski raˇcun i mehanika koninuuma, Prvo izdanje. By Branislav S. Baˇcli´c c ISBN x-xxx-xxxxx-x 2005 John Wiley & Sons, Inc.

123

124

IZVOD TENZORA

Ako se definiˇse veliˇcina (α, β, γ) =

∂¯ gαβ ∂gab ∂xc ∂xa ∂xb ∂ 2 xa ∂xb = + g ab ∂x ¯γ ∂xc ∂ x ¯γ ∂ x ¯a ∂ x ¯β ∂x ¯α ∂ x ¯γ ∂ x ¯β 2 b a ∂x ∂ x + gab α β γ ∂x ¯ ∂x ¯ ∂x ¯

i kombinuju cˇ lanovi 12 [(α, β, γ) + (β, γ, α) − (γ, α, β)] dobija se rezultat     1 ∂¯ 1 ∂gab gαβ ∂¯ gβγ ∂¯ gγα ∂gbc ∂gca ∂xa ∂xb ∂xc = + − + − 2 ∂x ¯γ ∂x ¯α ∂x ¯β 2 ∂xc ∂xa ∂xb ∂ x ¯a ∂ x ¯β ∂ x ¯γ + gab

∂xb ∂ 2 xa . ∂x ¯β ∂ x ¯α ∂ x ¯γ

(4.1)

Izraz koji se pojavljuje u uglastim zagradama u ovoj jednaˇcini naziva se Christoffel-ov simbol prve vrste i oznaˇcava sa   1 ∂gab ∂gbc ∂gca [ac, b] = [ca, b] = . (4.2) + − 2 ∂xc ∂xa ∂xb Jednaˇcina (4.1) definiˇse transformaciju Christoffel-ovog simbola prve vrste i moˇze se zapisati kao [αγ, β] = [ac, b]

∂xa ∂xb ∂xc ∂xb ∂ 2 xa + gab β α γ . a β γ ∂x ¯ ∂x ¯ ∂x ¯ ∂x ¯ ∂x ¯ ∂x ¯

(4.3)

Zapaziti da se Christoffel-ov simbol prve vrste [ac, b] ne transformiˇse kao tenzor. Medutim, on je simetriˇcan po indeksima a i c. U razmatranju koje predstoji nuˇzno je znati drugi izvod koji se pojavljuje u β jednaˇcini (4.3). Da se jednaˇcina (4.3) reˇsi po tom drugom izvodu, mnoˇzi se sa ∂∂xx¯ d g de i zatim pojednostavljuje na oblik ∂xa ∂xc ∂ 2 xe ∂x ¯β de de = −g [ac, d] + g . [αγ, β] ∂x ¯α ∂ x ¯γ ∂x ¯α ∂ x ¯γ ∂xd d

(4.4)

e

Ova jednaˇcina se pomo´cu transformacije g de = g¯λµ ∂∂xx¯λ ∂∂xx¯µ izraˇzava u obliku ∂ 2 xe ∂xe ∂xa ∂xc de βµ [αγ, β] = −g [ac, d] + g ¯ . ∂x ¯α ∂ x ¯γ ∂x ¯α ∂ x ¯γ ∂x ¯µ Christoffel-ov simbol druge vrste definiˇse se sa       1 iα ∂gkα i i ∂gjα ∂gjk iα = = g [jk, α] = g . + − jk kj 2 ∂xj ∂xk ∂xα

(4.5)

(4.6)

CHRISTOFFEL-OVI SIMBOLI

125

Christoffel-ov simbol druge vrste je simetriˇcan po indeksima j i k, a iz jednaˇcine (4.5) se vidi da zadovoljava zakon trensformacije 

  a  ∂ 2 xe e ∂x ∂xc µ ∂xe = + . µ α γ ¯ ¯ ∂x ¯ ∂x ¯α ∂ x ¯γ a c ∂x α γ ∂x

(4.7)

Zapaziti da se ni Christoffel-ov simbol druge vrste ne transformiˇse kao tenzorska veliˇcina. Relacija definisana jednaˇcinom (4.7) se moˇze upotrebiti za izraˇzavanje drugog izvoda transformacionih jednaˇcina preko Christoffel-ovih simbola druge vrste. Ponekad je pogodno oznaˇciti Christoffel-ove simbole indeksom koji ukazuje na  metriku iz koje su oni izraˇcunati. Tako se, alternativno, oznaka j ik zapisuje kao  i . j k g ¯

PRIMER 44. (Christoffel-ovi simboli) Izraziti Christoffel-ov simbol prve vrste preko Christoffel-ovog simbola druge vrste. Reˇsenje. Po definiciji je iz jednaˇcine (4.6)   i = g iα [jk, α]. jk Mnoˇzenjem ove jednaˇcine sa gβi nalazi se   i = δβα [jk, α] = [jk, β] gβi jk te je [jk, α] = gαi



i jk



= gα1



1 jk



+ · · · + gαN



 N . jk

PRIMER 45. (Christoffel-ovi simboli prve vrste) Izvesti formule za nalaˇzenje Christoffel-ovih simbola prve vrste u generalisanom ortogonalnom koordinatnom sistemu sa metriˇckim koeficijentima gij = 0 za

i 6= j

i g(i)(i) = h2(i) ,

i = 1, 2, 3

gde nema sabiranja po i. Reˇsenje. U ortogonalnom koordinatnom sistemu gde je gij = 0 za i 6= j posmatra se   ∂gbc ∂gab 1 ∂gac . (4.8) + − [ab, c] = 2 ∂xb ∂xa ∂xc

126

IZVOD TENZORA

Ovde treba izraˇcunati 33 = 27 veliˇcina. Razmotri´ce se slede´ca cˇ etiri sluˇcaja. Sluˇcaj I Neka je a = b = c = i, tada se jednaˇcina (4.8) pojednostavljuje na [ab, c] = [ii, i] =

1 ∂gii 2 ∂xi

(bez sabiranja po i).

(4.9)

Iz ove jednaˇcine izraˇcunavaju se slede´ci Christoffel-ovi simboli [11, 1],

[22, 2],

ili [33, 3].

Sluˇcaj II Za a = b = i 6= c, jednaˇcina (4.8) se pojednostavljuje na oblik [ab, c] = [ii, c] = −

1 ∂gii 2 ∂xc

(bez sabiranje po i

i i 6= c).

(4.10)

jer su gic = 0 za i 6= c. Po ovoj jednaˇcini mogu se izraˇcunati sˇest Christoffel-ovovih simbola [11, 2],

[11, 3],

[22, 1],

[22, 3],

[33, 1],

[33, 2].

Sluˇcaj III Za a = c = i 6= b, uz zapaˇzanje da su gib = 0 za i 6= b, moˇze se verifikovati da se jednaˇcina (4.8) pojednostavljuje na na oblik [ab, c] = [ib, i] = [bi, i] =

1 ∂gii 2 ∂xb

(bez sabiranja po i i

i 6= b).

(4.11)

Iz ove jednaˇcine mogu se izraˇcunati slede´cih dvanaest Christoffel-ovih simbola [12, 1] = [21, 1] [32, 3] = [23, 3] [13, 1] = [31, 1]

[31, 3] = [13, 3] [21, 2] = [12, 2] [23, 2] = [32, 2]

Sluˇcaj IV Za a 6= b 6= c jednaˇcina (4.8) se svodi na [ab, c] = 0,

(a 6= b 6= c).

Ovo vaˇzi za sˇest Christoffel-ovih simbola [12, 3] = [21, 3] = [23, 1] = [32, 1] = [31, 2] = [13, 2] = 0. Svih dvadest i sedam Christoffel-ovih simbola obuhva´ceno je sluˇcajevima I, II, III i IV. U praksi se navode samo oni Christoffel-ovi simboli koji nisu nule.

PRIMER 46. (Christoffel-ovi simboli prve vrste) Na´ci razliˇcite od nule Christoffelove simbole prve vrste u cilindarskim koordinatama. Reˇsenje. Na osnovu rezultata iz primera 45 nalazi se za x1 = r, x2 = θ, x3 = z i

CHRISTOFFEL-OVI SIMBOLI

g11 = 1,

g22 = (x1 )2 = r2 ,

127

g33 = 1

pa su Christoffel-ovi simboli prve vrste razliˇciti od nule u cilindarskim koordinatama: 1 ∂g22 = −x1 = −r 2 ∂x1 1 ∂g22 = x1 = r. [21, 2] = [12, 2] = 2 ∂x1

[22, 1] = −

PRIMER 47. (Christoffel-ovi simboli druge vrste) Na´ci formule za izraˇcunavanje Christoffel-ovih simbola druge vrste u generalisanom ortogonalnom koordinatnom sistemu sa metriˇckim koeficijentima gij = 0 za

i 6= j

i g(i)(i) = h2(i) ,

i = 1, 2, 3

gde se ne sabira po i. Reˇsenje. Po definiciji je   i = g im [jk, m] = g i1 [jk, 1] + g i2 [jk, 2] + g i3 [jk, 3] jk

(4.12)

Po pretpostavci koordinatni sistem je ortogonalan te su g ij = 0 za

i 6= j

i

g ii =

1 gii

i ne sabirati.

Jedini cˇ lan razliˇcit od nule u jednaˇcini (4.12) pojavljuje za m = i te je   [jk, i] i = g ii [jk, i] = bez sabiranja po i. jk gii Sada se mogu razmotriti cˇ etiri sluˇcaja kao u primeru 45. Sluˇcaj I Za j = k = i je   [ii, i] 1 ∂ 1 ∂gii i = = ln gii bez sabiranja po i. = i gii 2gii ∂x 2 ∂xi ii Sluˇcaj II Za k = j 6= i je   −1 ∂gjj [jj, i] i = = gii 2gii ∂xi jj

bez sabiranja po i ili j.

Sluˇcaj III Za i = j 6= k je     [jk, j] j j 1 ∂gjj 1 ∂ = = = = ln gjj jk kj gjj 2gjj ∂xk 2 ∂xk

(4.13)

(4.14)

(4.15)

bez sabiranja po i ili j.

128

IZVOD TENZORA

(4.16) Sluˇcaj IV Za i 6= j 6= k je   [jk, i] i = = 0, jk gii

i 6= j 6= k

bez sabiranja po i.

Ovi sluˇcajevi pokrivaju svih 27 cˇ lanova.

PRIMER 48. (Oznaˇcavanje) Iz gornje relacije u sluˇcaju cilindarskih koordinata mogu se na´ci Christoffel-ovi simboli razliˇciti od nule. 

 −1 ∂g22 1 = −x1 = −r = 2g11 ∂x1 22     1 1 2 1 ∂g22 2 = 1 = = = 1 2g22 ∂x x r 12 21

Napomena 1. Oznake gornjih Christoffel-ovih simbola se oslanjaju na pretpostavku da su x1 = r, x2 = θ i x3 = z. Medutim, u tenzorskom raˇcunu izbor koordinata moˇze biti proizvoljan. Moglo se na potpuno ravnopravan naˇcin staviti x1 = z, x2 = r i x3 = θ. U ovom drugom sluˇcaju menja se sistem brojanja u Christoffel-ovim simbolima. Da bi se izbegla zabuna koristi se alternativan naˇcin zapisa Christoffel-ovih simbola po kojem se umesto brojeva 1, 2 i 3 stavljaju oznake za koordinate. Na primer, u cilindarskim koordinatama piˇse se       r 1 θ θ i = −r. = = r θθ rθ θr Ako se definiˇsu x1 = r, x2 = θ, x3 = z, tada su razliˇciti od nule Christoffel-ovi simboli       1 2 2 1 = = i = −r. 12 21 r 22 Nasuprot ovome, definisanjem x1 = z, x2 = r, x3 = θ, dobijaju se Christoffel-ovi simboli razliˇciti od nule       2 1 3 3 i = −r. = = r 33 23 32 Napomena 2. U literaturi se sre´cu oznake Γa,bc za Christoffel-ove simbole prve vrte i Γdbc = g da Γa,bc za Christoffel-ove simbole druge vrste. Ova notacija se ne koristi u ovom tekstu jer sugeriˇse da su Christoffel-ovi simboli tenzori tre´ceg reda, sˇto je netaˇcno. Christoffel-ovi simboli prve i druge vrste nisu tenzori, sˇto se jasno vidi iz transformacionih jednaˇcina (4.3) i (4.7).

KOVARIJANTNO DIFERENCIRANJE

4.2

129

KOVARIJANTNO DIFERENCIRANJE

Neka Ai oznaˇcava kovarijantni tenzor prvog reda koji se pokorava zakonu transformacije i

∂x A¯α = Ai α . ∂x ¯

(4.17)

Diferenciranjem ove relacije po x ¯β nalazi se ∂ 2 xi ∂Ai ∂xj ∂xi ∂ A¯α = A + . (4.18) i ∂x ¯β ∂x ¯α ∂ x ¯β ∂xj ∂ x ¯α ∂ x ¯β Ako se upotrebi jednaˇcina (4.7) da se eliminiˇse cˇ lan sa drugim izvodom iz (4.18) dobija se " #  i   j ∂ A¯α ∂Ai ∂xj ∂xi i ∂x ∂xk σ ∂x + = A − . (4.19) i ∂x ¯β ¯σ ¯α ∂ x ¯β ∂xj ∂ x ¯β ∂ x ¯α j k ∂x α β ∂x Koriˇsc´ enjem jednaˇcine (4.17), sa α zamenjenim sa σ, jednaˇcina (4.19) se moˇze izraziti u obliku   j   i ∂x ∂xk ∂Aj ∂xj ∂xk σ ∂ A¯α ¯ − A − A (4.20) = σ i j k ∂x ∂x ¯β ∂xk ∂ x ¯α ∂ x ¯β ¯α ∂ x ¯β αβ ili alternativno "  #    σ ∂Aj ∂ A¯α i ∂xj ∂xk ¯ = − A − A . σ i αβ ∂x ¯β ∂xk jk ∂x ¯α ∂ x ¯β Veliˇcina Aj,k =

  i ∂Aj − A i jk ∂xk

(4.21)

(4.22)

se definiˇse kao kovarijantni izvod od Aj po xk . Jednaˇcina (4.21) pokazuje da kovarijantni izvod kovarijantnog tenzora dovodi do tenzora drugog reda koji zadovoljava zakon transformacije ∂xj ∂xk A¯α,β = Aj,k α β . ∂x ¯ ∂x ¯ Kovarijantni izvod se cˇ esto oznaˇcava i na slede´ce naˇcine Aj,k = Aj;k = Aj/k = ∇k Aj = Aj|k .

(4.23)

(4.24)

U specijalnom sluˇcaju kada su gij konstante, Christoffel-ovi simboli druge vrste su ∂A nula, i poslediˇcno kovarijantni izvod se svodi na Aj,k = ∂xkj . Odnosno, u posebnim okolnostima kada su Christoffel-ovi simboli druge vrste jednaki nuli, kovarijantni izvod se svodi na obiˇcni izvod.

130

4.3

IZVOD TENZORA

KOVARIJANTNI IZVOD KONTRAVARIJANTNOG TENZORA i

∂x ¯ Kontravarijantni tenzor Ai pokorava se zakonu transformacije A¯i = Aα ∂x α koji se moˇze izraziti u obliku i

∂x Ai = A¯α α ∂x ¯

(4.25)

uzajamnom zamenom veliˇcina sa crtom i bez crte. Zakon transformacije se piˇse u obliku jednaˇcine (4.25) da bi se iskoristila relacija za drugi izvod iz prethodno izvedene jednaˇcine (4.7). Diferenciranjem jednaˇcine (4.25) po xj dobija se ¯β ¯β ∂xi ∂ A¯α ∂ x ∂ 2 xi ∂ x ∂Ai = A¯α α β + . j j β ∂x ∂x ¯ ∂x ¯ ∂x ∂x ¯ ∂xj ∂ x ¯α

(4.26)

Promenom indeksa u jednaˇcini (4.26) i zamenom cˇ lana sa drugim izvodom, pomo´cu jednaˇcine (4.7), dobija se jednaˇcina "  m k# β  i  ∂x ¯ ∂ A¯α ∂ x ¯β ∂xi i ∂x ∂x σ ∂x ∂Ai α = A¯ − + . (4.27) j σ α β j β ∂x ¯ ¯ ∂x ¯ ∂x ∂x ¯ ∂xj ∂ x ¯α m k ∂x α β ∂x Primenjuju´ci relaciju (4.25), sa i zamenjenim u m, zajedno sa relacijom ∂x ¯β ∂xk = δjk , ∂xj ∂ x ¯β pojednostavljuje se jednaˇcina (4.27) na oblik  i   " ¯σ    # β ∂A ∂A i σ ¯ ∂xi m ¯α ∂ x = + A + . A ∂xj ∂x ¯β ∂xj ∂ x ¯σ mj αβ

(4.28)

Veliˇcina Ai,j

  i ∂Ai + Am = ∂xj mj

(4.29)

se definiˇse kao kovarijantni izvod kontravarijntnog tenzora Ai . Jednaˇcina (4.28) pokazuje da se kovarijantni izvod kontravarijantnog tenzora transformiˇse kao meˇsoviti tenzor drugog reda te je Ai,j = A¯σ,β

∂x ¯β ∂xi . ∂xj ∂ x ¯σ

(4.30)

Opet treba zapaziti da se kovarijantni izvod kontravarijantnog tenzora svodi se na i obiˇcni izvod u sluˇcaju kada su gij konstante, tj. tada vaˇzi Ai,j = ∂A ∂xj .

PRAVILA KOVARIJANTNOG DIFERENCIRANJA

131

Na sliˇcan naˇcin moˇze se izvesti kovarijantni izvod razliˇcitih tenzora drugog reda. Nalazi se da ti izvodi imaju oblike:     σ σ ∂Aij − A − A Aij,k = iσ σj jk ∂xk ik     ∂Aij i σ i σ i Aj,k = + Aj − Aσ (4.31) ∂xk σk jk     ∂Aij j i . Aij = + Aiσ + Aσj ,k k ∂x σk σk U opˇstem sluˇcaju, kovarijantni izvod meˇsovitig tenzora n-og reda Aij...k lm...p ima oblik Aij...k lm...p,q

     k j i ij...σ iσ...k = + · · · + Alm...p + Alm...p + σq σq ∂xq σq       σ σ σ ij...k ij...k ij...k . (4.32) − · · · − Alm...σ − Aσm...p − Alσ...p pq mq lq ∂Aij...k lm...p

Aσj...k lm...p



sˇto je tenzor n + 1-og reda. Ovde treba zapaziti znakove + kod kontravarijantnih indeksa i znakove − kod kovarijantnih indeksa. Zapaziti da kovarijantni izvod tenzora n-tog reda proizvodi tenzor n + 1-og reda, a indeksi ovih tenzora viˇseg reda mogu se podi´ci ili spustiti mnoˇzenjem sa metriˇckim ili konjugovanim metriˇckim tenzorom. Na primer, moˇze se pisati gim Ajk |m = Ajk |i 4.4

i

g im Ajk |m = Ajk |i

PRAVILA KOVARIJANTNOG DIFERENCIRANJA

Pravila kovarijantnog diferencirenja su ista kao i kod obiˇcnog diferenciranja, tj. (i) kovarijantni izvod zbira je zbir kovarijantnih izvoda; (ii) kovarijantno izvod proizvoda tenzora jednak je prvi puta kovarijantni izvod drugog plus drugi puta kovarijantni izvod prvog; (iii) viˇsi izvodi su definisani kao izvodi izvoda. Pri izraˇcunavanju viˇsih izvoda treba biti obazriv jer u opˇstem sluˇcaju Ai,jk 6= Ai,kj . PRIMER 49. (kovarijantno diferenciranje) Izraˇcunati drugi kovarijantni izvod Ai,jk . Reˇsenje. Kovarijantni izvod od Ai je   σ ∂Ai . − Aσ Ai,j = ∂xj ij

132

IZVOD TENZORA

Po definiciji drugi kovarijantni izvod je kovarijantni izvod kovarijantnog izvoda te je        m m σ ∂Ai ∂ . − Ai,m − Am,j − Aσ Ai,jk = (Ai,j ),k = jk ik ij ∂xk ∂xj Pojednostavljenjem ovog izraza dobija se     ∂ σ ∂Aσ σ ∂ 2 Ai − A − Ai,jk = σ j k k k ∂x ∂x ∂x i j ∂x i j           σ σ m m ∂Ai ∂Am − . − − A − A σ σ j m ∂x mj ∂x im ik jk Preuredenjem cˇ lanova drugi kovarijantni izvod moˇze se izraziti u obliku       ∂ 2 Ai ∂Am m ∂Ai m ∂Aσ σ Ai,jk = − − − ∂xj ∂xk ∂xk i j ∂xj i k ∂xm j k          ∂ σ σ m m σ − Aσ − − . ∂xk i j im jk ik mj 4.5

(4.33)

RIEMANN-CHRISTOFFEL-OV TENZOR

Lako je proveriti da se koriˇsc´ enjem jednaˇcine (4.33) dolazi do σ Ai,jk − Ai,kj = Aσ Rijk

gde se σ Rijk =

          ∂ σ σ m σ m σ ∂ − + − (4.34) ∂xj i k ∂xk i j ik mj ij mk

naziva Riemann-Christoffel-ov tenzor. Kovarijantni oblik ovog tenzora je i Rhjkl = gih Rjkl .

(4.35)

Ovaj kovarijantni oblik se moˇze izraziti (neka cˇ italac to pokaˇze) u jednom od slede´ca dva oblika     ∂ s s ∂ [nk, i] − [nj, i] + [ik, s] − [ij, s] Rinjk = ∂xj ∂xk nj nk ili Rijkl

1 = 2



∂ 2 gil ∂ 2 gjl ∂ 2 gik ∂ 2 gjk − − + ∂xj ∂xk ∂xi ∂xk ∂xj ∂xl ∂xi ∂xl

+ g αβ ([jk, β][il, α] − [jl, β][ik, α]).



ˇ FIZICKA INTERPRETACIJA KOVARIJANTNOG DIFERENCIRANJA

133

Iz ovih zapisa ustanovljava se da je Riemann-Christoffel-ov tenzor koso-simetriˇcan po prva svoja dva indeka i po poslednja svoja dva indeksa kao i da je simetriˇcan na medusobnu zamenu prvog i drugog para indeksa, te je Rjikl = −Rijkl

Rijlk = −Rijkl

Rklij = Rijkl .

U dvodimenzijskom prostoru treba razmotriti samo cˇ etiri komponente RiemannChristoffel-ovog tenzora. Te cˇ etiri componente su ili +R1212 ili −R1212 jer su one sve povezane sa R1212 = −R2112 = R2121 = −R1221 . U Dekartovom koordinatnom sistemu je Rhijk = 0. Riemann-Christoffel-ov tenzor nalazi poseban znaˇcaj u diferencijalnoj geometriji i relativnosti, dvema oblastima koje se razmatraju u narednom poglavlju gde se u zadacima mogu na´ci i dodatna svojstva ovog tenzora. 4.6

ˇ FIZICKA INTERPRETACIJA KOVARIJANTNOG DIFERENCIRANJA

U sistemu generalisanih koordinata (x1 , x2 , x3 ) mogu se konstruisati bazni vektori ~ 1, E ~ 2, E ~ 3 ). Ovi bazni vektori se menjaju sa poloˇzajem. Drugim reˇcima, svaki (E bazni vektor je funkcija koordinata na kojima je uzet. Ta zavisnost se moˇze naglasiti pisanjem ~i = E ~ i (x1 , x2 , x3 ) = ∂~r E ∂xi

i = 1, 2, 3.

Ovim baznim vektorima pridruˇzuju se vektori reciproˇcne baze ~i = E ~ i (x1 , x2 , x3 ), E

i = 1, 2, 3

~ moˇze se zapisati preko kontravarijantnih koji su takode funkcije od poloˇzaja. Vektor A komponenti ~ = A1 E ~ 1 + A2 E ~ 2 + A3 E ~ 3 = Aj E ~j A

(4.36)

ili preko kovarijantnih komponenti ~ = A1 E ~ 1 + A2 E ~ 2 + A3 E ~ 3 = Aj E ~ j. A ~ je Promena vektora A ~= dA

~ ∂A dxk ∂xk

(4.37)

134

IZVOD TENZORA

gde je iz jednaˇcine (4.36): ~j ~ ∂Aj ~ ∂E ∂A = Aj k + Ej k ∂x ∂x ∂xk

(4.38)

ili, alternativno, iz jednaˇcine (4.37): ~ ~j ∂A ∂E ∂Aj ~ j = Aj k + E . k ∂x ∂x ∂xk

(4.39)

Kovarijantni izvod kovarijantnih komponenata definiˇse se sa Ai,k =

~ ~j ∂A ~ i = ∂Ai + Aj ∂ E · E ~ i. · E ∂xk ∂xk ∂xk

(4.40)

Kovarijantni izvod kontravarijantnih komponenata definiˇse se sa Ai,k =

i ~j ~ ∂A ~ i = ∂A + Aj ∂ E · E ~ i. · E ∂xk ∂xk ∂xk

Uvodenjem oznaka   ~j m ~ ∂E = Em k ∂x jk

i

  ~j ∂E j ~ m. = − E ∂xk mk

(4.41)

(4.42)

bi´ce ~ ~ i · ∂ Ej = E ∂xk



     m ~ m i i i ~ Em · E = δ = . jk jk m jk

(4.43)

i       ~j j j j i ∂E m ~ m ~ ~ E · =− E · Ei = − δi = − . k ∂x mk mk ik

(4.44)

Tada jednaˇcine (4.40) i (4.41) postaju   ∂Ai j Ai,k = − Aj ∂xk ik   ∂Ai i Ai,k = + Aj , ∂xk jk sˇto je konzistentno sa definicijama iz jednaˇcina (4.22) i (4.29). Ovde prvi cˇ lan kovarijantnog izvoda predstavlja brzinu promene tenzorskog polja tokom kretanja duˇz koordinatne krive. Drugi cˇ lan u kovarijantnom izvodu predstavlja promenu vektora lokalne baze tokom kretanja duˇz koordinatnih krivih. To je fiziˇcka interpretacija koja se pridruˇzuje Christoffel-ovim simbolima druge vrste.

ˇ FIZICKA INTERPRETACIJA KOVARIJANTNOG DIFERENCIRANJA

135

Treba zapaziti da su izvodi baznih vektora u jednaˇcinama (4.40) i (4.41) povezani jer je ~i · E ~ j = δj E i i poslediˇcno

ili

~j ~ ∂ ~ ~j ~ i · ∂ E + ∂ Ei · E ~j = 0 ( E · E ) = E i ∂xk ∂xk ∂xk ~j ~ ~ i · ∂ E = −E ~ j · ∂ Ei E ∂xk ∂xk

Zato se jednaˇcina (4.40) moˇze zapisati u obliku

Ai,k =

~ ∂Ai ~ j · ∂ Ei . − Aj E k ∂x ∂xk

(4.45)

Pisanjem prve od jednaˇcina (4.42) u obliku ~j ∂E = ∂xk



 m ~ i = [jk, i]E ~i gim E jk

(4.46)

sledi poslediˇcno

i

      ~j ∂E i ~ ~m i m m m ~ ·E = Ei · E = δ = ∂xk jk jk i jk ~j ∂E ~ m = [jk, i]E ~i · E ~ m = [jk, i]δ i = [jk, m]. ·E m ∂xk

(4.47)

Ovi rezultati takode svode jednaˇcine (4.41) i (4.45) na ranije oblike kovarijantnih izvoda. ~ ~j E cnih Jednaˇcine (4.42) su zapisi vektora ∂∂xEki and ∂∂x k preko baznih vektora i reciproˇ baznih vektora prostora. Relacije za kovarijantni izvod time uzimaju u obzir kako se ti vektori menjaju sa poloˇzajem i time utiˇcu na promene u tenzorskom polju. Christoffel-ovi simboli u jednaˇcinama (4.47) su simetriˇcni po indeksima j i k jer je ~j ∂E ∂ = ∂xk ∂xk



∂~r ∂xj



∂ = ∂xj



∂~r ∂xk



=

~k ∂E . ∂xj

(4.48)

136

IZVOD TENZORA

Jednaˇcine (4.47) i (4.48) omogu´cavaju da se piˇse " # ~j ~j ~k ∂ E ∂ E 1 ∂ E ~m · ~m · ~m · [jk, m] = E E = +E ∂xk 2 ∂xk ∂xj " #   ~m ~m ∂ ~ ∂E ∂ ~ ∂E 1 ~ ~ ~ ~ − Ek · Em · Ej + Em · E k − E j · = 2 ∂xk ∂xj ∂xk ∂xj " #    ~k ~j 1 ∂ ∂ E ∂ ~ ∂ E ~j · ~k · ~j + ~m · E ~k − E = −E Em · E E 2 ∂xk ∂xj ∂xm ∂xm        1 ∂ ~ ~j + ∂ E ~m · E ~k − ∂ ~j · E ~k = Em · E E k j m 2 ∂x ∂x ∂x   1 ∂gmj ∂gmk ∂gjk = = [kj, m] + − 2 ∂xk ∂xj ∂xm sˇto se opet slaˇze sa ranijim rezultatom. ~ zapisan u obliku A ~ = Za kasnije potrebe ovde treba zapaziti da ako je vektor A j~ A Ej , koji ukljuˇcuje kontravarijantne komponente, tada se moˇze pisati ! ~ ~ ∂Aj ~ ∂A k j ∂ Ej ~ dxk dx = Ej + A dA = ∂xk ∂xk ∂xk  j    ∂A ~ i ~ j = Ej + A Ei dxk ∂xk jk    j  j ∂A m ~ j dxk = Aj dxk E ~j. + E (4.49) A = ,k ∂xk mk ~ zapisan u obliku A ~ = Aj E ~ j , koji ukljuˇcuje kovarijantne Sliˇcno, ako je vektor A komponente, vaˇzi ~ = Aj,k dxk E ~ j. dA

(4.50)

sˇto se ostavlja cˇ itaocu da pokaˇze. 4.7

RICCI-EVA TEOREMA

Ricci-eva teorema tvrdi da je kovarijantni izvod metriˇckog tenzora jednak nuli, tj. gik,l = 0. Dokaz.     ∂gik m m − gim − gmk gik,l = ∂xl kl il ∂gik − [kl, i] − [il, k] gik,l = ∂xl     ∂gik 1 ∂gik 1 ∂gik ∂gil ∂gkl ∂gkl ∂gil gik,l = − = 0. − + − + − ∂xl 2 ∂xl ∂xk ∂xi 2 ∂xl ∂xi ∂xk

137

ˆ PRAVO ILI APSOLUTNO DIFERENCIRANJE

Na osnovu Ricci-eve teoreme tokom kovarijantnog diferenciranja komponente metriˇckog tenzora mogu se smatrati konstantama. i PRIMER 50. (kovarijantno diferenciranje) Pokazati da je δj,k = 0. Reˇsenje.         ∂δji σ i i i i i σ δj,k = = − = 0. − δ + δ σ j jk jk jk σk ∂xk ij PRIMER 51. (kovarijantno diferenciranje) Pokazati da je g,k = 0. Reˇsenje. Kovarijantnim diferenciranjem vaˇze´ceg izraza gij g jk = δik nalazi se k (gij g jk ),l = δi,l =0

gij g,ljk + gij,l g jk = 0. Medutim, prema Ricci-evoj teoremi je gij,l = 0, te je gij g,ljk = 0. Ako se ovaj izraz pomnoˇzi sa g im dobija se g im gij g,ljk = δjm g,ljk = g,lmk = 0 sˇto pokazuje da je kovarijantni izvod konjugovanog metriˇckog tenzora takode jednak nuli.

PRIMER 52. (kovarijantno diferenciranje) Dopunski primeri kovarijantnog diferenciranja su: (i) (gil Al ),k = gil Al,k = Ai,k ; (ii) (gim gjn Aij ),k = gim gjn Aij ,k = Amn,k . 4.8

ˆ PRAVO ILI APSOLUTNO DIFERENCIRANJE

Prˆavi ili apsolutni izvod kovarijantnog vektora Ai uzet duˇz krive xi = xi (t), i = 1, ..., N, definiˇse se kao unutraˇsnji proizvod kovarijantnog izvoda sa vektorom tangente na krivu. Prˆavi izvod se zapisuje ovako δAi dxj = Ai,j δt dt   j  δAi α dx ∂Ai = − Aα ij δt ∂xj dt   j α dx dAi δAi = − Aα . δt dt i j dt

(4.51)

138

IZVOD TENZORA

Sliˇcno, prˆavi izvod kontravarijantnog tenzora Ai je   j δAi dAi dxj i i dx = A,j = + Ak . δt dt dt dt jk Kod diferenciranja zbira i proizvoda prˆavi ili apsolutni izvod koristi se na isti naˇcin kao i obiˇcno diferenciranje. Ako je koordinatni sistem Dekartov prˆavi izvod postaje obiˇcan izvod. Prˆavi izvod tenzora viˇseg reda definiˇse se na sliˇcan naˇcin, tj. kao unutraˇsnji proizvod kovarijantnog izvoda sa vektorom tangente na datu krivu. Na primer, δAij dxp klm = Aij klm,p δt dt je prˆavi izvod meˇsovitog tenzora petog reda Aij klm .

PRIMER 53. (generalisana brzina i ubrzanje) Neka t oznaˇcava vreme i neka xi = xi (t) za i = 1, ..., N , oznaˇcava vektor poloˇzaja materijalne taˇcke u generalisanim koordinatama (x1 , ..., xN ). Na osnovu transformacionih jednaˇcina (2.29), u koordinatnom sistemu sa crtom (¯ x1 , x ¯2 , ..., x ¯N ), vektor poloˇzaja iste materijalne taˇcke je x ¯i = x ¯i (x1 (t), x2 (t), ..., xN (t)) = x ¯i (t), Generalisana brzina je v i = jer je po definiciji v¯i =

dxi dt ,

i = 1, ..., N.

i = 1, ..., N . Veliˇcina v i se transformiˇse kao tenzor

∂x ¯i dxj ∂x ¯i j d¯ xi = = v . j dt ∂x dt ∂xj

(4.52)

Da bi se naˇsao izraz za generalisano ubrzanje, napiˇse se jednaˇcina (4.52) u obliku v j = v¯i

∂xj ∂x ¯i

(4.53)

i diferencira po vremenu: xk d¯ v i ∂xj dv j ∂ 2 xj d¯ = v¯i i k + dt ∂x ¯ ∂x ¯ dt dt ∂ x ¯i i

(4.54)

Izraz (4.54) pokazuje da se dv se kao tenzor. Iz jednaˇcine (4.7) sa dt ne transformiˇ promenjenim indeksima, sledi da se jednaˇcina (4.54) moˇze napisati u obliku "    a c# ∂xj d¯ vi xk j ∂x ∂x σ ∂xj dv j i d¯ + − = v¯ . dt dt ¯σ ¯i ∂ x ¯k ∂x ¯i dt a c ∂x i k ∂x

PARALELNA VEKTORSKA POLJA

139

Nakon preuredenja cˇ lanova nalazi se     a  c k ∂xj dxk σ ∂v j dxk ∂xj ∂¯ v i d¯ xk ∂x dx j ∂x i v¯i σ = v + + k i k i k ik ∂x dt ∂x ¯ ∂x ¯ dt ∂x ¯ ∂x ¯ dt ∂x ¯ dt ac ili 

"    k   # k σ dx j ∂¯ v ∂v j σ x ∂xj a i d¯ + v = + . v ¯ ∂xk dt ∂x ¯k dt ∂ x ¯σ ak ik δ¯ v σ ∂xj δv j = . δt δt ∂ x ¯σ

Ova jednaˇcina pokazuje da je prˆavi izvod brzine tenzorska veliˇcina. Ovaj izvod se naziva generalisano ubrzanje i oznaˇcava sa   j dv i δv i i i dx i = v,j = + vm vn f = δt dt dt mn   m n d2 xi i dx dx = + , i = 1, ..., N (4.55) 2 dt m n dt dt Dakle, ako je xi = xi (t), i = 1, ..., N generalisani vektor poloˇzaja, tada je v i = j dxi δv i i dx , i = 1, ..., N generalisana brzina, a f i = = v,j , i = 1, ..., N je dt δt dt generalisano ubrzanje. 4.9

PARALELNA VEKTORSKA POLJA

Neka y i = y i (t), i = 1, 2, 3 oznaˇcava prostornu krivu C u Dekartovom koordinatnom sistemu i neka Y i definiˇsu konstantan vektor u tom sistemu. Ako se u svakoj taˇcki ˇ se krive C konstruiˇse vektor Y i , dobija se polje paralelnih vektora duˇz krive C. Sta deˇsava sa krivom i poljem paralelnih vektora kada se obavi tranformacija u proizvoljni koordinatni sistem pomo´cu transformacionih jednaˇcina y i = y i (x1 , x2 , x3 ),

i = 1, 2, 3

sa inverznom transformacijom xi = xi (y 1 , y 2 , y 3 ),

i = 1, 2, 3 ?

Prostorna kriva C u novim koordinatama dobija se direktno iz transformacionih jednaˇcina i moˇze se pisati xi = xi (y 1 (t), y 2 (t), y 3 (t)) = xi (t),

i = 1, 2, 3.

140

IZVOD TENZORA

U novim koordinatama paralelni vektori Y i postaju X i gde je Y i = Xj

∂y i . ∂xj

(4.56)

Kako su komponente od Y i konstante, te su njihovi izvodi nule, pri diferenciranju jednaˇcine (4.56) po parametru t, nalazi se da polje paralelnih vektora X i mora zadovoljiti diferencijalnu jednaˇcinu dY i ∂ 2 y i dxm dX j ∂y i + Xj j m = = 0. j dt ∂x ∂x ∂x dt dt

(4.57)

Ako se u jednaˇcini (4.7) promene oznake i stavi da je Christoffel-ov simbol nula u Dekartovom koordinatnom sistemu, dobija se   i ∂ 2 yi α ∂y = , ∂xj ∂xm j m ∂xα te se poslediˇcno, jednaˇcina (4.57) moˇze svesti na oblik   δX j dX j dxm j = + Xk = 0. δt dt dt km

(4.58)

Jednaˇcina (4.58) je diferencijalna jednaˇcina koju paralelno polje vektora X i mora zadovoljiti duˇz proizvoljne krive xi (t). 4.10

ZADACI

◮ 1. Na´ci razliˇcite od nule Christoffel-ove simbole prve i druge vrste u cilindarskim koordinatama (x1 , x2 , x3 ) = (r, θ, z), gde su x = r cos θ, y = r sin θ, z = z. ◮ 2. Na´ci razliˇcite od nule Christoffel-ove simbole prve i druge vrste u sfernim koordinatama (x1 , x2 , x3 ) = (ρ, θ, φ), gde su x = ρ sin θ cos φ, y = ρ sin θ sin φ, z = ρ cos θ. ◮ 3. Na´ci razliˇcite od nule Christoffel-ove simbole prve i druge vrste u paraboliˇcnim koordinatama (x1 , x2 , x3 ) = (ξ, η, z), gde su x = ξη, y = 21 (ξ 2 − η 2 ), z = z. ◮ 4. Na´ci razliˇcite od nule Christoffel-ove simbole prve i druge vrste u paraboliˇcnim koordinatama (x1 , x2 , x3 ) = (ξ, η, φ), gde su x = ξη cos φ, y = ξη sin φ, z = 21 (ξ 2 − η 2 ). ◮ 5. Na´ci razliˇcite od nule Christoffel-ove simbole prve i druge vrste u koordinatama eliptiˇcnog cilindra (x1 , x2 , x3 ) = (ξ, η, z), gde su x = cosh ξ cos η, y = sinh ξ sin η, z = z. ◮ 6. Na´ci razliˇcite od nule Christoffel-ove simbole prve i druge vrste za kose cilindarske koordinate (x1 , x2 , x3 ) = (r, φ, η), gde su x = r cos φ, y = r sin φ + η cos α, z = η sin α za 0 < α < π2 i konstantno α.

ZADACI

141

Uputstvo: Videti sliku 3.31. i zadatak 12 u tre´cem poglavlju. ∂gik ◮ 7. Pokazati da je [ij, k] +ri[kj, i] = ∂xj . r ◮ 8. (a) Neka je s t = g [st, i] pa izraziti Christoffel-ov simbol prve vrste preko Christof-fel-ovog simboladruge vrste. (b) Iz relazije [st, i] = gni snt na´ci Christoffel-ov simbol druge vrste preko Christoffel-ovog simbola prve vrste. ◮ 9. (a) Napisati transformacioni zakon koji zadovoljava tenzor cˇ etvrte vrste εijk,m . (b) Pokazati da je εijk,m = 0 u svim koordinatnim sistema. √ (c) Pokazati da je ( g),k = 0. ◮ 10. Pokazati da je εijk ,m = 0. ◮ 11. Izraˇcunati drugi kovarijantni izvod Ai,kj . ~ i ∂φi . ◮ 12. Pokazati da je gradijent skalarnog polja φ(x1 , x2 , x3 ) vektor grad φ = E ∂x (a) Na´ci fiziˇcke komponente pridruˇzene kovarijantnim komponentama φ,i . Ai φ

dφ = (gmn Am A,in )1/2 . (b) Pokazati da je izvod φ u pravcu Ai jednak dA √ ◮ 13. (a) Pokazati da je g relativan skalar teˇzine +1. (b) Pomo´cu rezultata iz zadatka 9(c) i zadatka 43 pokazati da je   √ ∂ g m √ √ − g = 0. ( g),k = ∂xk km  √ 1 ∂g . (c) Pokazati da je kmm = ∂x∂ k ln( g) = 2g ∂xk  √ ◮ 14. Pomo´cu rezultata iz zadatka 9(b) pokazati da je kmm = ∂x∂ k ln( g) = ∂g 1 2g ∂xk . √ Uputstvo: Razviti kovarijantni izvod εrst,p i zatim zameniti εrst = gerst . Pojednostaviti unutraˇsnjim mnoˇzenjem sa e√rst g i pogledati zadatak 26 u prvom poglavlju. ◮ 15. Izraˇcunati kovarijantni izvod Ai,m i zatim izvrˇsiti kontrakciju po m i i da bi se √ i
∂ pokazalo da je Ai,i = √1g ∂x gA . i √ ij
 i pq 1 ∂ √ ◮ 16. Pokazati da je g ∂xj gg + p q g = 0. Uputstvo: vidi zadatak 14. ◮ 17. Dokazati da je kovarijantni izvod zbira jednak zbiru kovarijantnih izvoda. Uputstvo: uzeti Ci = Ai + Bi i napisati kovarijantni izvod za Ci,j . ◮ 18. Za Cji = Ai Bj dokazati da je kovarijantni izvod proizvoda jednak prvi cˇ lan puta kovarijantni izvod drugog cˇ lana plus drugi cˇ lan puta kovarijantni izvod prvog cˇ lana. α ∂xβ ¯k i ◮ 19. Diferencirati obe strane transformacionog zakona A¯ij = Aαβ ∂x ∂x ¯i ∂ x ¯j po x tako izvesti relaciju za Aij,k datu u (4.31). i ∂xj ◮ 20. Diferencirati obe strane transformacionog zakona Aij = A¯αβ ∂∂x po xk i x ¯α ∂ x ¯β ij tako izvesti relaciju za A,k datu u (4.31). i ◮ 21. Na´ci kovarijantne izvode od: (a) Aijk , (b) Aij k , (c) Ajk , (d) Aijk . i i ◮ 22. Na´ci prˆavi izvod duˇz krive x = x (t), i = 1, . . . , N za (a) Aijk , (b) Aij k , (c) Aijk , (d) Aijk . ~ i. ~ = Ai E ~ i pokazati da je dA ~ = Ai dxk E ◮ 23. (a) Za A ,k

142

IZVOD TENZORA

~ = Ai E ~ i pokazati da je dA ~ = Ai,k dxk E ~ i. (b) Za A ◮ 24. (Polje paralelnih vektora) Zamisliti vektorsko polje Ai = Ai (x1 , x2 , x3 ) koje je funkcija poloˇzaja. Usvojiti da je u svim taˇckama duˇz krive xi = xi (t), i = 1, 2, 3 vektorsko polje usmereno u istom pravcu, te je zato reˇc o paralelnom vektorskom polju ~ je konstanta, te dA ~ = ∂ A~k dxk = 0. ili tzv. homogenom vektorskom polju. Neka je A ∂x Pokazati da za paralelno vektorsko polje mora biti ispunjen uslov Ai,k = 0. σ σ ∂ ◮ 25. Pokazati da je ∂[ik,n] ∂xj = gnσ ∂xj i k + ([nj, σ] + [σj, n]) i k . ∂As r ◮ 26. Pokazati da je Ar,s − As,r = ∂A ∂xs − ∂xr . ◮ 27. Date su kontravarijantne vektorske komponente u cilindarskim koordinatama A1 = r, A2 = cos θ, A3 = z sin θ. (a) Na´ci fiziˇcke komponente Ar , Aθ , i Az . Arr Arθ Arz (b) Obeleˇziti fiziˇcke komponente od Ai,j , i, j = 1, 2, 3, sa Aθr Aθθ Aθz . Na´ci Azr Azθ Azz te fiziˇcke komponente. ◮ 28. Na´ci kovarijantni oblik kontravarijantnog tenzora C i = εijk Ak,j . Odgovor zapisati preko Ak,j . ◮ 29. Neka x oznaˇcava magnitudu vektora poloˇzaja xi u Dekartovim koordinatama. Pokazati da je (a) x,j = x1 xj , (b) x,ij = x1 δij − x13 xi xj , (c) x,ii = x2 . (d) Ako je δ 3x x U = x1 , x 6= 0, pokazati da je U,ij = − xij3 + xi5 j i U,ii = 0. ◮ 30. Razmotriti dvodimenzijski prostor sa elementomkvadrata duˇzine luka ds2 = g11 0 , gde su u1 i u2 povrˇsinske g11 (du1 )2 + g22 (du2 )2 i metrikom gij = 0 g22 koordinate. (a) Na´ci formule za izraˇcunavanje Christoffel-ovih simbola prve vrste. (b) Na´ci formule za izraˇcunavanje Christoffel-ovih simbola druge vrste. ◮ 31. Na´ci metriˇcki tenzor i Christoffel-ove simbole prve i druge vrste za dvodimenzijski prostor koji opisuje taˇcku na cilindru polupreˇcnika a. Neka u1 = θ i u2 = z oznaˇcavaju povrˇsinske koordinate gde su x = a cos θ = a cos u1 y = a sin θ = a sin u1 z = z = u2 ◮ 32. Na´ci metriˇcki tenzor i Christoffel-ove simbole prve i druge vrste za dvodimenzijski prostor koji opisuje taˇcku na sferi polupreˇcnika a. Neka u1 = θ i u2 = φ oznaˇcavaju povrˇsinske koordinate gde su x = a sin θ cos φ = a sin u1 cos u2 y = a sin θ sin φ = a sin u1 sin u2 z = a cos θ = a cos u1

ZADACI

143

◮ 33. Na´ci metriˇcki tenzor i Christoffel-ove simbole prve i druge vrste za dvodimenzijski prostor koji opisuje taˇcke na torusu sa parameterima a i b i povrˇsinskim koordinatama u1 = ξ, u2 = η prikazanim na slici 3.32.. Taˇcke na povrˇsini torusa date se preko povrˇsinskih koordinata jednaˇcinama x = (a + b cos ξ) cos η y = (a + b cos ξ) sin η z = b sin ξ ◮ 34. Pokazati da je eijk am bj ck ui,m +eijk ai bm ck uj,m +eijk ai bj cm uk,m = ur,r eijk ai bj ck . Uputstvo: vidi zadatak 32 u tre´cem poglavlju i zadatak 21 u prvom poglavlju. ◮ 35. Izraˇcunati drugi kovarijantni izvod Ai,jk .  √ ij
ij ∂ ◮ 36. Pokazati da je σ,j = √1g ∂x gσ + σ mn mi n . j ◮ 37. Na´ci kontravarijantne, kovarijantne i fiziˇcke komponente brzine i ubrzanja u (a) Dekartovim koordinatama i (b) cilindarskim koordinatama. ◮ 38. Na´ci kontravarijantne, kovarijantne i fiziˇcke komponente brzine i ubrzanja u sfernim koordinatama. ◮ 39. Pokazati da se u sfernim koordinatama (ρ, θ, φ) komponente ubrzanja mogu izraziti preko komponenata brzine kao fρ = v˙ ρ −

vθ2 + vφ2 , ρ

fθ = v˙ θ +

vφ2 vρ vθ − , ρ ρ tan θ

fφ = v˙ φ +

vρ vφ v θ vφ + . φ ρ tan θ

Uputstvo: izraˇcunati v˙ ρ , v˙ θ , v˙ φ . ◮ 40. Divergencija vektora Ai je Ai,i . Drugim reˇcima, vrˇsi se kontrakcija na kovarijantnom izvodu Ai,j da se dobije Ai,i . Izraˇcunati divergenciju u (a) Dekartovim koordinatama, (b) cilindarskim kordinatama i (c) sfernim koordinatama. ◮ 41. Ako je S skalarna invarijanta teˇzine jedan, a Aijk relativni tenzor teˇzine W , pokazati da je S −W Aijk apsolutni tenzor. ◮ 42. Neka Yˆ i , i = 1, 2, 3 oznaˇcavaju komponente polja paralelnih vektora duˇz krive C¯ definisane jednaˇcinama y¯i = y¯i (t), i = 1, 2, 3 u prostoru sa metriˇckim yi cni vektori takvi da u tenzorom g¯ij , i, j = 1, 2, 3. Usvojiti da su Yˆ i i d¯ dt jediniˇ yj i d¯ ¯ ˆ svakoj taˇcki krive C vaˇzi g¯ij Y dt = cos θ = const. (tj. polje paralelnih vektora cˇ ini ¯ Pokazati da ako se Yˆ i i y¯i (t) konstanan ugao θ sa tangentom u svakoj taˇcki krive C.). i i 1 2 3 podvrgnu transformaciji x = x (¯ y , y¯ , y¯ ), i = 1, 2, 3, tada transformisani vektor m ˇ c ini konstantan ugao θ sa tangentnim vektorom na transformisanu X m = Yˆ i ∂x j ∂ y¯ krivu C datu sa xi = xi (¯ y 1 (t), y¯ 2 (t), y¯3 (t)). ∂xi m ◮ 43. Neka je J jakobijan ∂x i pokazati da je j . Diferencirati J po x   p   α ∂x ¯ ∂J r =J −J . α p ∂xm ∂xm rm

144

IZVOD TENZORA

Uputstvo: vidi zadatak 27 u prvom poglavlju i relaciju (4.7). ◮ 44. Neka je φ relativni skalar teˇzine W tako da je φ¯ = J W φ. Diferencirati ovu relaciju po x ¯k i iskoristiti rezultat iz zadatka 42 da se dobije zakon transformacije "    m   #  ∂ φ¯ r ∂x α ¯ ∂φ W −W −W φ . φ =J k m ∂x ¯ ∂x ∂x ¯k mr αk Veliˇcina u uglastim zagradama naziva se kovarijantni izvod relativnog skalara teˇzine W . Kovarijantni izvod relativnog skalara teˇzine W definiˇse se sa   ∂φ r φ,k = −W φ ∂xk kr gde je uoˇcljiv cˇ lan sa teˇzinom W . Moˇze se pokazati da sliˇcni rezultati vaˇze za relativne tenzore teˇzine W . Na primer, kovarijantni izvod relativnih tenzora prvog i drugog reda teˇzine W imaju oblike     i r ∂T i m i + T − W Ti T,k = k ∂x km kr       ∂Tji i σ r i σ i Tj,k = + T − T − W Ti ∂xk kσ j jk σ kr j Kada je cˇ lan koji sadrˇzi teˇzinu nula ovi kovarijantni izvodi se svode na rezultate date u prethodnim definicijama. i i ◮ 45. Neka dx cavaju generalisanu brzinu i neka se definiˇse skalarna dt = v oznaˇ funkcija zvana kinetiˇcka energija T materijalne taˇcke mase m kao T = 21 mgij v i v j = 21 mgij x˙ i x˙ j . Pokazati da je prˆavi izvod T isto sˇto i obiˇcan izvod T . (tj. pokazati da je ◮ 46. Verifikovati relacije

δT δt

=

dT dt

.)

∂gij ∂g nm = −gmj gni k ∂x ∂xk in ∂gjm ∂g = −g mn g ij k ∂x ∂xk √ ijk
∂ gB ◮ 47. Da li je veliˇcina T jk = √1g ∂x tenzor ako je B ijk apsolutni tenzor? i Dokazati odgovor. Ako je odgovor ”ne”, objasniti ga i utvrditi da li se mogu staviti neki uslovi na B ijk da bi gornja veliˇcina postala tenzor? ◮ 48. e−permutacioni simbol se moˇze upotrebiti za definisanje razliˇcitih proizvoda vaktora. Za vektore oznaˇcene sa Ai , Bi , Ci , Di , i = 1, ..., N , razviti i verifikovati slede´ce proizvode:

ZADACI

(a) u dve dimenzije R = eij Ai Bj Ri = eij Aj

skalarna determinanta,

vektor (rotacija);

(b) u tri dimenzije S = eijk Ai Bj Ck

skalarna determinanta,

Si = eijk Bj Ck vektorski proizvod, Sij = eijk Ck koso-simetriˇcna matrica; (c) u cˇ etiri dimenzije T = eijkm Ai Bj Ck Dm skalarna determinanta, Ti = eijkm Bj Ck Dm cˇ etvorodimenzijski vektorski proizvod, Tij = eijkm Ck Dm koso-simetriˇcna matrica, Tijk = eijkm Dm koso-simetriˇcni tenzor; i sliˇcno u ve´cem broju dimenzija. ◮ 49. Razviti operator rotora za: (a) dve dimenzije B = eij Aj,i ; (b) tri dimenzije Bi = eijk Ak,j ; (c) cˇ etiri dimenzije Bij = eijkm Am,k .

145

CHAPTER 5

DIFERENCIJALNA GEOMETRIJA I TEORIJA RELATIVNOSTI

U ovom poglavlju ispituju se neka osnovna svojstva krivih i povrˇsi. U svakoj taˇcki prostorne krive moˇze se konstruisati pokretni koordinatni sistem koji se sastoji od tangentnog vektora, normalnog vektora i vektora binormale koji je upravan i na tangentni i na normalni vektor. Pra´cenjem promena ovih vektora duˇz prostorne krive dolazi se do pojmova krivine i torzije prostorne krive. Krivina je mera promene tangentnog vektora na krivu, a torzija je mera izvijanja krive izvan ravni. Ustanovljava se da prave linije imaju krivinu nula, a ravanske krive imaju torziju nula. Sliˇcno, svakoj glatkoj povrˇsi pridruˇzuje se dve povrˇsinske koordinatne krive i normalni povrˇsinski vektor kroz svaku taˇcku na povrˇsi. Povrˇsinske koordinatne krive imaju tangentne vektore koji zajedno sa normalnim povrˇsinskim vektorom cˇ ine skup baznih vektora. Pomo´cu ovih vektora definiˇsu se dvodimenzijska povrˇsinska metrika i jedan tenzor drugog reda tzv. tenzor krivine. Koordinatne krive imaju tangentne vektore koji zajedno sa povrˇsinskom normalom cˇ ine koordinatni sistem u svakoj taˇcki povrˇsi. Promena ovih povrˇsinskih vektora dovodi do pojmova dve razliˇcite krivine: normalne krivine i tangentne krivine (geodezijske krivine). Predmet diferencijalne geometrije su relacije koje povezuju ove krivine sa tenzorom krivine, RimanTenzorski raˇcun i mehanika koninuuma, Prvo izdanje. By Branislav S. Baˇcli´c c ISBN x-xxx-xxxxx-x 2005 John Wiley & Sons, Inc.

147

148

DIFERENCIJALNA GEOMETRIJA I TEORIJA RELATIVNOSTI

Kristofelovim tenzorom, kao i druge zanimljive relacije izmedu razliˇcitih povrˇsinskih vektora i krivina. U ovom poglavlju dat je kratak uvod u teoriju relativnosti gde se opet pojavljuje Riman-Kristofelov tenzor. Svojstva ovog vaˇznog tenzora razmatraju se zadacima na kraju poglavlja. 5.1

PROSTORNE KRIVE I KRIVINA

Za trodimenzijsku prostornu krivu xi = xi (s), i = 1, 2, 3, u Rimanovom prostoru Vn i sa metriˇckim tenzorom gij , i parametrom duˇzine luka s, vektor T i = dx ds je tangentni vektor na tu krivu u taˇcki P na krivoj. Vektor T i je jediniˇcni jer je gij T i T j = gij

dxi dxj = 1. ds ds

(5.1)

Apsolutnim diferenciranjem relacije (5.1) po duˇzini dobija se gij T i

δT i j δT j + gij T = 0, δs δs

(5.2)

sˇto implicira da je g ij T j

δT i = 0. δs

(5.3)

i

i Otud je vektor δT se jediniˇcni normalni δs upravan na tangentni vektor T . Ako se definiˇ δT i i vektor N na prostornu krivu u istom pravcu kao i vektor δs i napiˇse

Ni =

1 δT i κ δs

(5.4)

gde κ ima ulogu faktora razmere i naziva se krivina, te izabere tako da je gij N i N j = 1

sˇto implicira

gij

δT i δT j = κ2 . δs δs

(5.5)

Reciproˇcna vrednost krivine naziva se radijus krivine. Krivina meri brzinu promene tangentnog vektora na krivu sa promenom duˇzine luka. Apsolutnim diferenciranjem relacije gij T i N j = 0 po duˇzini luka s, nalazi se gij T i

δT i j δN j + gij N = 0. δs δs

(5.6)

Poslediˇcno, krivina se moˇze odrediti iz relacije gij T i

δN j δT i j = −gij N = −gij κN i N j = −κ δs δs

(5.7)

PROSTORNE KRIVE I KRIVINA

149

koja definiˇse znak krivine. Sliˇcno, apsolutnim diferenciranjem relacije (5.5) nalazi se da je gij N i

δN j = 0. δs

(5.8) j

cni normalu N i . Jednaˇcina Ova jednaˇcina pokazuje da je vektor δN δs upravan na jediniˇ i i (5.3) pokazuje da je T takode upravan na N i zato c´ e i svaka linearna kombinacija ovih vektora biti upravna na N i . Jediniˇcni vektor binormale definiˇse se izborom linearne kombinacije δN j + κT j δs te zatim razmerava na jediniˇcni vektor definisanjem   1 δN j + κT j Bj = τ δs

(5.9)

(5.10)

gde se skalar τ naziva torzija. Znak od τ bira se tako da vektori T i , N i i B i cˇ ine desni sistem sa εijk T i N j B k = 1, a magnituda od τ se bira tako da je B i jediniˇcni vektor koji zadovoljava gij B i B j = 1. i

(5.11) i

i

Trijada vektora T , N , B u taˇcki na krivoj formira tri ravni. Ravan koja sadrˇzi T i i B i naziva se rektifikaciona ravan. Ravan koja sadrˇzi N i i B i naziva se normalna ravan. Ravan koja sadrˇzi T i i N i naziva se oskulatorna ravan. Reciproˇcna vrednost torzije naziva se radijus torzije. Torzija meri brzinu promene oskulatorne ravni. Vektori T i , N i i B i formiraju desni ortogonalni sistem u taˇcki na prostornoj krivoj i zadovoljavaju relaciju B i = εijk Tj Nk .

(5.12) i

i

Pomo´cu jednaˇcine (5.10) moˇze se pokazati da je B upravno i na vektor T i na vektor N i jer je gij B i T j = 0 i

gij B i N j = 0.

Ostavlja se cˇ itaocu za veˇzbu da pokaˇze da vektor binormale B i zadovoljava relaciju δB i i δs = −τ N . Tri relacije δT i = κN i δs δN i = τ B i − κT i δs δB i = −τ N i δs su poznate Frenet-Serret-ove formule u diferencijalnoj geometriji.

(5.13)

150

5.2

DIFERENCIJALNA GEOMETRIJA I TEORIJA RELATIVNOSTI

ˇ I KRIVINA POVRSI

Ovde c´ e se prouˇciti povrˇsi u Dekartovom koordinatnom sistemu, a nakon toga c´ e se rezultati uopˇstiti na druge koordinatne sisteme. Povrˇs u trodimenzijskom euklidskom prostoru mogu se definisati na nekoliko razliˇcitih naˇcina: eksplicitno kao z = f (x, y), implicitno kao F (x, y, z) = 0 ili parametarski skupom parametarskih jednaˇcina oblika x = x(u, v),

y = y(u, v),

z = z(u, v),

koji sadrˇzi dva nezavisna parametra u, v koji se nazivaju povrˇsinske koordinate. Na primer, jednaˇcine x = a sin θ cos φ,

y = a sin θ sin φ,

z = a cos θ

su parametarske jednaˇcine koje definiˇsu sfernu povrˇs polupreˇcnika a sa parametrima u = θ i v = φ (videti sliku 3.33. u tre´cem poglavlju). Eliminisanjem parametara u, v moˇze se izvesti implicitni oblik zapisa povrˇsi, a reˇsavanjem po z dobija se eksplicitni oblik zapisa povrˇsi. Pomo´cu parametarskog zapisa moˇze se definisati vektor poloˇzaja taˇcke na povrˇsi. Vektor poloˇzaja se tada zapisuje preko parametara u, v kao ~r = ~r(u, v) = x(u, v)ˆ e1 + y(u, v)ˆ e2 + z(u, v)ˆ e3 .

(5.14)

Koordinate (u, v) se nazivaju krivolinijske koordinate taˇcke na povrˇsi. Smatra se da ∂~ r ∂~ r su funkcije x(u, v), y(u, v), z(u, v) realne i diferencijabilne tako da je ∂u × ∂v 6= 0. Krive ~r(u, c2 ) i ~r(c1 , v)

(5.15)

sa konstanama c1 i c2 definiˇsu dve povrˇsinske krive tzv. koordinatne krive, koje se seku na povrˇsinski koordinatama (c1 , c2 ). Familija krivih definisanih jednaˇcinama (5.15) sa ekvidistantnim vrednostima konstanti ci , ci + ∆ci , ci + 2∆ci , ... definiˇse ∂~ r ∂~ r i ∂v na povrˇsi uzeti na povrˇsinskim povrˇsinsku koordinatnu mreˇzu. Vektori ∂u koordinatama (c1 , c2 ) su tangentni vektori na koordinatne krive u toj taˇcki i vektori su prirodne baze za svaki vektor koji leˇzi na povrˇsi. Stavljanjem (x, y, z) = (y 1 , y 2 , y 3 ) i (u, v) = (u1 , u2 ) vektor poloˇzaja se moˇze zapisati preko konvencije o sabiranju u obliku ~r = ~r(u1 , u2 ) = y i (u1 , u2 )ˆ ei .

(5.16)

Tangentni vektori na koordinatne krive u taˇcki P mogu se tada prikazati kao vektori baze i ~ α = ∂~r = ∂y ˆ E ei , α α ∂u ∂u

α = 1, 2

(5.17)

ˇ I KRIVINA POVRSI

151

gde su parcijalni izvodi uzeti u taˇcki P gde se na povrˇsi seku koordinatne krive. Pomo´cu ovih vektora baze moˇze se konstruisati jediniˇcni vektor normale na povrˇs u ∂~ r taˇcki P putem izraˇcunavanjem vektorskog proizvoda tangentnih vektora ~ru = ∂u i ∂~ r ~rv = ∂v . Jediniˇcna normala je tada ~1 × E ~2 E ~r × ~rv = u n ˆ=n ˆ (u, v) = |~ru × ~rv | ~1 × E ~ 2 E

(5.18)

~ 1, E ~2 i n i takva je da vektori E ˆ cˇ ine desni koordinatni sistem. Ako se izvrˇsi transformacija iz jednog skupa krivolinijskih koordinata (u, v) u drugi skup (¯ u, v¯), preko transformacionih zakona u = u(¯ u, v¯),

v = v(¯ u, v¯),

jednaˇcina povrˇsi postaje ~r = ~r(¯ u, v¯) = x(u(¯ u, v¯), v(¯ u, v¯))ˆ e1 +y(u(¯ u, v¯), v(¯ u, v¯))ˆ e2 +z(u(¯ u, v¯), v(¯ u, v¯))ˆ e3 a tangentni vektori na nove koordinatne krive su ∂~r ∂~r ∂u ∂~r ∂v = + ∂u ¯ ∂u ∂ u ¯ ∂v ∂ u ¯

i

∂~r ∂~r ∂u ∂~r ∂v = + . ∂¯ v ∂u ∂¯ v ∂v ∂¯ v

U indeksnoj notaciji ovaj rezultat se moˇze zapisati kao ∂y i ∂y i ∂uβ = . α ∂u ¯ ∂uβ ∂ u ¯α sˇto je zakon transformacije dvaju sistema baznih vektora na povrˇsi. Kriva na povrˇsi se definiˇse relacijom f (u, v) = 0 medu krivolinijskim koordinatama. Alternativni naˇcin zapisa krive na povrˇsi je zadavanjem parametarskih relacija u = u(t) i v = v(t) u kojima je t parametar. Vektor ∂~r du ∂~r dv d~r = + dt ∂u dt ∂v dt je tangentan na krivu na povrˇsi. Element kvadrata duˇzine luka u povrˇsinskim koordinatama je ds2 = d~r · d~r =

∂~r ∂~r · duα duβ = aαβ duα duβ α ∂u ∂uβ

(5.19)

∂~ r ∂~ r gde aαβ = ∂u se povrˇsinsku metriku. Ovaj element duˇzine α · ∂uβ , α, β = 1, 2 definiˇ luka na povrˇsi piˇse se cˇ esto kao kvadratna forma

A = ds2 = E(du)2 +2F dudv+G(dv)2 =

1 EG − F 2 2 (Edu+F dv)2 + dv (5.20) E E

152

DIFERENCIJALNA GEOMETRIJA I TEORIJA RELATIVNOSTI

i naziva se prva osnovna forma povrˇsi. Zapaziti da je potrebno da veliˇcine E i EG − F 2 moraju biti pozitivni da bi ds2 bilo pozitivno definitno. Povrˇsinska metrika dvodimenzijske povrˇsi definisana je sa i ~ ·E ~ = ∂~r · ∂~r = ∂y ∂yi , aαβ = E ∂uα ∂uβ ∂uα ∂uβ

α, β = 1, 2

(5.21)

sa konjugovanim metriˇckim tenzorom aαβ definisanim tako da je aαβ aβγ = δγα . Povrˇs je u trodimenzijskom prostoru sa metrikom gij , a aαβ je dvodimenzijska povrˇsinska metrika. Veliˇcine E, F , G u jednaˇcini (5.20) su funkcije povrˇsinskih koordinata u, v i odredene su relacijama ∂y i ∂y i ∂~r ∂~r · = ∂u ∂u ∂u1 ∂u1 ∂y i ∂y i ∂~r ∂~r · = (5.22) F = a12 = ∂u ∂v ∂u1 ∂u2 ∂y i ∂yi ∂~r ∂~r · = G = a22 = ∂v ∂v ∂u2 ∂u2 Ovde je i na dalje usvojeno da su indeksi pisani grˇckim slovima primaju vrednosti 1 i 2, a indeksi pisani slovima latinice vrednosti 1,2,3. Neka se u nekoj taˇcki P na povrˇsi konstruiˇse jediniˇcni normalni vektor n ˆ i ravan koja sadrˇzi taj vektor. Zapaziti da postoji beskrajan broj ravni koje sadrˇze takvu jediniˇcnu povrˇsinsku normalu. Za poˇcetak bira se samo jedna od takvih ravni, a kasnije c´ e se razmotriti skup takvih ravni. Neka ~r = ~r(s) oznaˇcava vektor poloˇzaja koji definiˇse krivu C dobijenu presekom izabrane ravni i povrˇsi, gde je s duˇzina luka merena duˇz krive od neke fiksne taˇcke na krivoj. Treba na´ci krivinu takve preseˇcne krive. Vektor r Tˆ = d~ cki P, je jediniˇcni tangentni vektor na krivu C i leˇzi u tangentnoj ds , uzet u taˇ ravni na povrˇs u taˇcki P. Ovde je upotrebljeno obiˇcno diferenciranje umesto apsolutnog diferenciranja jer se posmatra Dekartov koordinatni sistem. Diferenciranjem relacije ˆ ˆ Tˆ · Tˆ = 1, po duˇzini luka s nalazi se Tˆ · ddsT = 0 sˇto implicira vektor ddsT upravan na tangentni vektor Tˆ. Kako je koordinatni sistem Dekartov, preseˇcna kriva C se moˇze ~ = dTˆ , uzet u taˇcki P, definiˇse kao vektor smatrati prostornom krivom, pa se vektor K ds ~ ˆ na krivine sa krivinom K = κ i radijusom krivine R = 1/κ. Jediniˇcna normala N E = a11 =

ˆ

prostornu krivu uzeta je u istom pravcu kao i ddsT tako da je krivina uvek pozitivna. ~ = κN ˆ = dTˆ . U skladu sa slikom 5.1. definiˇse se na povrˇsi Tada se moˇze pisati K ds jediniˇcni vektor surface u ˆ=n ˆ × Tˆ upravan i na povrˇsinski tangentni vektor Tˆ i na povrˇsinski normalni vektor n ˆ , tako da vektori T i , ui i ni formiraju desni sistem. ~1 i E ~ 2. Pravac od u ˆ u odnosu na Tˆ je u istom smislu kao i povrˇsinske tangente E dTˆ ˆ Zapaziti da je vektor ds upravan na tangentni vektor T i leˇzi u ravni koja sadrˇzi ~ moˇze zapisati u komponentnoj formi vektore n ˆiu ˆ. Zato se vekor krivine K ˆ ~ = dT = κ(n )ˆ ~n + K ~g K n + κ(g) u ˆ=K ds

(5.23)

NORMALNA KRIVINA

¶r® ¶u2

ni

153

Ni ¶r® ¶u1

ua

q C

u2 = const. P

Ti Presecna kriva ravni i površi u1 = const.

Figure 5.1.

Povrˇsinska kriva sa tangentnom ravni i normalnom ravni.

gde se κ(n) naziva normalna krivina, a κ(g) se naziva geodezijska krivina, a indekse ovde treba posmatati samo kao oznake. Ove krivine se mogu izraˇcunati na slede naˇcin. Iz uslova ortogonalnosti n ˆ · Tˆ = 0 dobija se diferenciranjem po duˇzini luka s dTˆ dˆ n rezultat n ˆ · ds + Tˆ ds = 0, te je poslediˇcno, normalna krivina odredena skalarnim proizvodom n d~r dˆ n ~ = κ(n) = −Tˆ dˆ n ˆ·K =− · . ds ds ds

(5.24)

Skalarnim proizvodom u ˆ i jednaˇcine (5.23) nalazi se geodezijska krivina kao trostruki skalarni proizvod: κ(g) = u ˆ· 5.3

dTˆ dTˆ = (ˆ n × Tˆ) · . ds ds

(5.25)

NORMALNA KRIVINA

Jednaˇcina (5.24) se moˇze izraziti kao kvadratna forma piˇsu´ci κ(n) ds2 = −d~r · dˆ n.

(5.26)

Jediniˇcna normala na povrˇs n ˆ i vektor poloˇzaja ~r su funkcije povrˇsinskih koordinata u, v, te su im diferencijali d~r =

∂~r ∂~r du + dv ∂u ∂v

i

dˆ n=

∂n ˆ ∂n ˆ du + dv. ∂u ∂v

(5.27)

154

DIFERENCIJALNA GEOMETRIJA I TEORIJA RELATIVNOSTI

Neka se definiˇse kvadratna forma     ∂~r ∂~r ∂n ˆ ∂n ˆ B = −d~r · dˆ n=− du + dv · du + dv ∂u ∂v ∂u ∂v B = e(du)2 + 2f dudv + g(dv)2 = bαβ duα duβ

(5.28)

gde su ˆ ∂~r ∂ n · , e=− ∂u ∂u

2f = −



ˆ ∂n ˆ ∂~r ∂~r ∂ n · + · ∂u ∂v ∂u ∂v



,

g=−

∂~r ∂ n ˆ · , (5.29) ∂v ∂v

a bαβ , α, β = 1, 2 se naziva tenzor krivine, dok je aαγ bαβ = bγβ pridruˇzeni tenzor krivine. Kvadaratna forma iz jednaˇcine (5.28) naziva se druga osnovna kvadratna forma povrˇsi. Koeficijenti ove kvadratne forme mogu se izraˇcunati na nekoliko alternativnih naˇcina. Jediniˇcna povrˇsinska normala je upravna na tangentne vektore koordinatnih krivih u taˇcki P te vaˇze relacije ortogonalnosti ∂~r ∂~r ·n ˆ=0 i ·n ˆ = 0. ∂u ∂v Diferenciranjem ovih jednaˇcina po u i v, nalazi se ∂ 2~r ∂~r ∂ n ˆ ·n ˆ=− · = b11 ∂u2 ∂u ∂u 2 ∂ ~r ∂~r ∂ n ˆ ∂n ˆ ∂~r f= ·n=− · =− · = b21 = b12 ∂u∂v ∂u ∂v ∂u ∂v ∂~r ∂ n ∂ 2~r ˆ ·n=− g= · = b22 ∂v 2 ∂v ∂v te se poslediˇcno tenzor krivine moˇze izraziti kao

(5.30)

e=

(5.31)

ˆ ∂~r ∂ n . (5.32) ∂uα ∂uβ Kvadratne forme iz jednaˇcina (5.20) i (5.28) omogu´cuju da se normalna krivina cine izrazi kao odnos kvadratnih formi. Normalna krivina u pravcu du dv je, iz jednaˇ (5.26), b=−

κ(n) =

e(du)2 + 2f dudv + g(dv)2 B . = A E(du)2 + 2F dudv + G(dv)2

(5.33) α

r ∂~ r du Ako se jediniˇcni tangentni vektor na krivu napiˇse u obliku Tˆ = d~ ds = ∂uα ds , a β ∂n ˆ du n izvod jediniˇcne povrˇsinske normale po duˇzini luka izrazi kao dˆ ds = ∂uβ ds , tada se normalna krivina moˇze izraziti u obliku   dˆ n ∂n ˆ duα duβ ∂~r κ(n) = −Tˆ · =− · ds ∂uα ∂uβ ds ds

=

bαβ duα duβ bαβ duα duβ = . ds2 aαβ duα duβ

(5.34)

NORMALNA KRIVINA

155

Zapaziti da je tenzor krivine simetriˇcni tenzor drugog reda. U prethodnom razmatranju uzeta je proizvoljna ravan koja sadrˇzi jediniˇcni normalni vektor. Sada c´ e se razmotriti sve takve ravni koje prolaze kroz jediniˇcnu povrˇsinsku normalu. Variranjem ravni koja sadrˇzi jediniˇcnu povrˇsinsku normalu n ˆu taˇcki P dobijaju se razliˇcite preseˇcne krive sa povrˇsi. Svaka od tih krivih ima svoju krivinu. Ispitivanjem svih takvih ravni mogu se na´ci najve´ca i najmanja normalna krivina provrˇsi. Jednaˇcina (5.33) se moˇze napisati u obliku κ(n) = gde je λ =

e + 2f λ + gλ2 E + 2F λ + Gλ2

dv du .

κ(n) =

(5.35)

Ova jednaˇcina se na osnovu teorije proporcija moˇze napisati i u obliku

f + gλ e + fλ (e + f λ) + λ(f + gλ) = = . (E + F λ) + λ(F + Gλ) F + Gλ E + Fλ

(5.36)

Poslediˇcno, krivina zadovoljava diferencijalne jednaˇcine (e − κE)du + (f − κF )dv = 0

i

(f − κF )du + (g − κG)dv = 0. (5.37) dκ

(n) = 0. Izraˇcunavanjem Najve´ca i najmanja krivina javljaju se u pravcima gde je dλ izvoda κ(n) po λ i izjednaˇcavanjem izvoda sa nulom dobija se kvadratna jednaˇcina po λ

(F g − Gf )λ2 + (Eg − Ge)λ + (Ef − F e) = 0,

(F g − Gf ) 6= 0.

Dva korena λ1 i λ2 ove jednaˇcine zadovoljavaju λ1 + λ2 = −

Eg − Ge F g − Gf

i

λ1 λ2 =

Ef − F e , F g − Gf

(5.38)

gde F g − Gf 6= 0. Krivine κ(1) , κ(2) koje odgovaraju korenima λ1 i λ2 nazivaju se glavne krivine u taˇcki P. Preko glavnih krivina κ(1) i κ(2) izraˇzavaju se: (1) glavni radijusi krivine Ri = 1/κi , i = 1, 2, i (2) srednja krivina H = 21 (κ(1) + κ(2) ) i totalna ili Gausova krivina K = κ(1) κ(2) povrˇsi. Zapaziti da koreni λ1 i λ2 odreduju na povrˇsi dva pravca ∂~r ∂~r d~r1 = + λ1 du ∂u ∂v

i

d~r2 ∂~r ∂~r = + λ2 . du ∂u ∂v

Ako su ovi pravci ortogonalni bi´ce ∂~r ∂~r ∂~r ∂~r d~r1 d~r2 · =( + λ1 ) · ( + λ2 ) = 0. du du ∂u ∂v ∂u ∂v Ovo zahteva da je Gλ1 λ2 + F (λ1 + λ2 ) + E = 0.

(5.39)

156

DIFERENCIJALNA GEOMETRIJA I TEORIJA RELATIVNOSTI

Ostavlja se cˇ itaocu za veˇzbu da pokaˇze da pravci odredeni glavnim krivinama moraju biti ortogonalni. U sluˇcaju kada je F g − Gf = 0 mora biti F = 0 i f = 0 jer su koordinatne krive ortogonalne i G mora biti pozitivno. U ovom specijalnom sluˇcaju joˇs ostaju dva pravca odredena diferencijalnim jednaˇcinama (5.37) za dv = 0 i du proizvoljno, kao i za du = 0 i proizvoljno dv. Iz diferencijalnih jednaˇcina (5.37) nalazi se da ovi pravci odgovaraju glavnim krivinama κ(1) =

e E

i

κ(2) =

g . G

α

Neka λα = du cava jediniˇcni vektor na povrˇsi koji zadovoljava aαβ λα λβ ds oznaˇ = 1. Tada se jednaˇcina (5.34) moˇze napisati u obliku κ(n) = bαβ λα λβ ili se moˇze pisati (bαβ − κ(n) aαβ )λα λβ = 0. Najve´ca ili najmanja normalna krivina bi´ce u pravcima λα gde je (bαβ − κ(n) aαβ )λα = 0, te κ(n) mora biti koren jednaˇcine bαβ − κ(n) aαβ = 0 ili 1 b −κ αγ γ a bαβ − κ(n) δβ = 1 2 (n) b1

b12 = κ2 − bαβ aαβ κ(n) + b = 0. 2 (n) b2 − κ(n) a (5.40)

Ovo je kvadratna jednaˇcina po κ(n) oblika κ2(n) − (κ(1) + κ(2) )κ(n) + κ(1) κ(2) = 0. Drugim reˇcima glavne krivine κ(1) i κ(2) su sopstvene vrednosti matrice sa elementima bγβ = aαγ bαβ . Zapaziti da se iz determinantne jednaˇcine po κ(n) moˇze direktno na´ c i totalna krivina ili Gausova krivina koja je invarijanta data sa K = κ(1) κ(2) = α bβ = |aαγ bγβ | = b/a. Srednja krivina je takode invarijanta koja se dobija iz

H = 21 (κ(1) + κ(2) ) = 21 aαβ bαβ , gde su a = a11 a22 − a12 a21 i b = b11 b22 − b12 b21 determinante formirane od povrˇsinskog metriˇckog tenzora i komponenata tenzora krivine.

5.4

ˇ JEDNACINE GAUSS-A, WEINGARTEN-A I CODAZZI-A

U svakoj taˇcki prostorne krive mogu se konstruisati jediniˇcna tangenta T~ , jediniˇcna ~ i jediniˇcna binormala B. ~ Izvodi ovih vektora po duˇzini luka mogu se normala N ~, B ~ [vidi na primer, takode prikazati kao linearne kombinacije baznih vektora T~ , N Frenet-Serret-ove formule u (5.13)]. Na sliˇcan naˇcin povrˇsinski vektori ~ru , ~rv , n ˆ formiraju bazu, a izvodi ovih baznih vektora po povrˇsinskim koordinatama u, v mogu se takode izraziti kao linearne kombinacije baznih vektora ~ru , ~rv , n ˆ . Na primer, izvodi

ˇ JEDNACINE GAUSS-A, WEINGARTEN-AI CODAZZI-A

157

~ruu , ~ruv , ~rvv mogu se izraziti kao linearne kombinacije od ~ru , ~rv , n ˆ: ~ruu = c1~ru + c2~rv + c3 n ˆ ~ruv = c4~ru + c5~rv + c6 n ˆ ~rvv = c7~ru + c8~rv + c9 n ˆ

(5.41)

gde konstante c1 , ..., c9 treba odrediti. Lako je pokazati (vidi zadatak 8 na kraju ovog poglavlja) da se ove jednaˇcine mogu napisati u indeksnoj notaciji kao   ∂ 2~r γ ∂~r = + bαβ n ˆ. (5.42) ∂uα ∂uβ α β ∂uγ Ove jednaˇcine su poznate pod nazivom Gauove jednaˇcine. Na sliˇcan naˇcin se izvodi vektora normale mogu prikazati kao linearne kombinacije povrˇsinskih baznih vektora: ∂n ˆ = c1~ru + c2~rv ∂u ∂n ˆ = c3~ru + c4~rv ∂v

ili

∂n ˆ ∂n ˆ ∂~r = c∗1 + c∗2 ∂u ∂u ∂v ∂n ˆ ∂n ˆ ∂~r = c∗3 + c∗4 ∂v ∂u ∂v

(5.43)

gde su c1 , ..., c4 i c∗1 , ..., c∗4 konstante. Ove jednaˇcine se nazivaju Weingartenove jednaˇcine. Lako se pokazuje (vidi zadatak 9 na kraju ovog poglavlja) da se Weingarten-ove jednaˇcine mogu zapisati u slede´cem indeksnom obliku ∂~r ∂n ˆ = −bβα β α ∂u ∂u

(5.44)

gde je bβα = aαγ bγα meˇsoviti oblik tenzora krivine drugog reda. Gausove jednaˇcine daju sistem parcijanih diferencijalnih jednaˇcina koje defiiniˇsu povrˇsinske koordinate xi kao funkcije krivolinijskih koordinata u i v. Jednaˇcine nisu nezavisne jer moraju biti zadovoljene neki uslovi kompatibilnosti. Naime, zahteva se da meˇsoviti parcijalni izvodi moraju zadovoljiti ∂ 3~r ∂uα ∂uβ ∂uδ

=

Kada se izraˇcuna ∂ 3~r = ∂uα ∂uβ ∂uδ

∂ 3~r ∂uα ∂uδ ∂uβ

.

  ∂ αγβ ∂~r ∂n ˆ ∂bαβ γ ∂ 2~r + + bαβ δ + n ˆ γ δ δ γ ∂u ∂u ∂u ∂uδ α β ∂u ∂u



i upotrebe jednaˇcine Gauss-a i Weingarten-a dobija se " ω  #   ∂ αβ ∂ 3~r γ ω ∂~r ω = + − bαβ bδ α β δ δ ∂u ∂u ∂u ∂u ∂uω αβ γδ    ∂bαβ γ n ˆ. + bγδ + ∂uδ αβ

158

DIFERENCIJALNA GEOMETRIJA I TEORIJA RELATIVNOSTI

Formiranjem razlike ∂ 3~r ∂ 3~r − =0 ∂uα ∂uβ ∂uδ ∂uα ∂uδ ∂uβ ∂~ r cavanjem nalazi se da koeficijenti uz nezavisne vektore n ˆ i ∂u ω moraju biti nule. Izjednaˇ koeficijenta uz n ˆ sa nulom dobijaju se Codazzi-eve jednaˇcine     ∂bαβ γ γ ∂bαδ bγδ − bγβ + − = 0. (5.45) δ αβ αδ ∂u ∂uβ

Ove jednaˇcine se sre´cu i pod imenom Mainardi-Codazzi-eve jednaˇcine. Izjednaˇcavanjem ∂~ r δ δ δ koeficijenta uz ∂u ω sa nulom nalazi se da je Rαγβ = bαβ bγ −bαγ bβ ili nakon zamene indeksa dobija kovarijantna forma δ aωδ Rαβγ = Rωαβγ = bωβ bαγ − bωγ bαβ ,

(5.46)

gde je δ Rαβγ

          ∂ δ δ ω δ ω δ ∂ − β + − (5.47) = ∂uγ α β ∂u α γ αβ ωγ αγ ωβ

meˇsoviti Riemann-ov tenzor krivine.

PRIMER 54 Pokazati da Gausova ili totalna krivina K = κ(1) κ(2) zavisi samo od metrike aαβ i iznosi K = R1212 /a gde je a = det[aαβ ]. Reˇsenje. Pomo´cu dvodimenzijskog alterniraju´c eg tenzora eαβ i svojstva determinanti moˇze se pisati eγδ K = eαβ bγα bδβ gde je K = bγβ = |aαγ bαβ |. Ako se to pomnoˇzi sa eγζ i izvrˇsi kontrakcija dobija se eγδ eγδ K = eγδ eαβ bγα bδβ = 2K

2K = eγδ eαβ (aγµ bαµ )(aδν bβν ) √ Medjutim, kako je eγδ aγµ aδν = aeµν bi´ce 2K = eαβ aeµν bαµ bβν . Pomo´cu aeµν = εµν dobija se 2K = εµν εαβ bαµ bµν , a zamenom indeksa 2K = εαβ εωα bωβ bαγ

i 2K = εγβ εωα bωγ bαβ .

Sabiranjem poslednja dva rezultata nalazi se 4K = εβγ εωγ (bωβ bαγ − bωγ bαβ ) = εβγ εωγ Rωαβγ . Kada se obe strane pomnoˇze sa εστ ελν dobija se 4Kεστ ελν = βγ ωα δλν Rωαβγ . Na osnovu zadataka 16 na kraju ovog poglavlja, Riemann-ov tenzor δστ krivine Rijkl je koso-simetriˇcan po (i, j), (k, l) i simetriˇcan je po parovima indeksa βγ ωα (ij), (kl). Poslediˇc√no, δστ √δλν Rωαβγ = 4Rλνστ i otud Rλνστ = Kεστ ελν te je specijalni sluˇcaj K ae12 ae12 = R1212 ili K = R1212 /a. Mnogo jednostavniji

GEODEZIJSKA KRIVINA

159

naˇcin da se dobije ovaj rezultat je da se posmatra K = b/a i zapazi iz jednaˇcine (5.46) da je R1212 = b11 b22 − b12 b21 = b.

Zapaziti da je na povrˇsi ds2 = aαβ duα duβ gde su aαβ povrˇsinske metrike. Kako α ∂uβ je aαβ tenzor i zadovoljava a ¯γδ = aαβ ∂u , deteminanta ovog izraza daje ∂u ¯γ ∂ u ¯δ α β ∂u ∂u a ¯ = |¯ aγδ | γ δ = aJ 2 ∂u ¯ ∂u ¯

gde je J jakobijan transformacije povrˇsinskih koordinata. Ovde tenzor krivine za povrˇsinu Rαβγδ ima samo jednu nezavisnu komponentu jer je R1212 = R2121 = −R1221 = −R2112 (vidi zadatke 20 i 21). Iz transformacionog zakona β γ δ α ¯ εηλµ = Rαβγδ ∂u ∂u ∂u ∂u R ε η λ µ ∂u ¯ ∂u ¯ ∂u ¯ ∂u ¯

¯ 1212 = R1212 J 2 i poslediˇcno sabiranjem po ponovljenim indeksima pokazuje se da je R ¯ 1212 R R1212 = =K a ¯ a sˇto pokazuje da je Gausova krivina skalarna invarijanta u V2 .

5.5

GEODEZIJSKA KRIVINA

~ neke krive C na povrˇsi je vektorski zbir normalne krivine κ(n) n Vektor krivine K ˆ i geodezijske krivine κ(g) u ˆ i leˇzi u ravni koja je upravna na tangentni vektor na povrˇsinsku krivu. Geodezijska krivina κ(g) se nalazi iz jednaˇcine (5.25) i moˇze se zapisati kao κ(g)

dT~ dT~ ~ =u = (ˆ n × T~ ) · = =u ˆ·K ˆ· ds ds

dT~ T~ × ds

!

·n ˆ.

Kada se u ovaj izraz zamene vektori du dv d~r = ~ru + ~rv T~ = ds ds ds ~ dT ~ = ~ruu (u′ )2 + 2~ruv u′ v ′ + ~rvv (v ′ )2 + ~ru u′′ + ~rv v ′′ , =K ds

160

DIFERENCIJALNA GEOMETRIJA I TEORIJA RELATIVNOSTI

d gde je ′ = ds , i iskoriste rezultati iz zadatka 10 na kraju ovog poglavlja, nalazi se geodezijska krivina u obliku        2 2 1 ′ 3 κ(g) = (u ) + 2 − (u′ )2 v ′ + 21 12 11     2 1 + −2 u′ (v ′ )2 22 12   p 1 ′ 3 ′ ′′ ′′ ′ EG − F 2 . (5.48) − (v ) + (u v − u v ) 22

Ova jednaˇcina pokazuje da je geodezijska krivina funkcija samo od povrˇsinskih metrika E, F , G i izvoda u′ , v ′ , u′′ , v ′′ . Kriva za koju je geodezijska krivina nula naziva se geodezijska kriva. Takve krive su cˇ esto, ali ne uvek, linije najkra´ceg rastojanja izmedu dve taˇcke na povrˇsi. Na primer, veliki krug na sferi koji prolazi kroz dve zadate taˇcke na sferi je geodezijska kriva. Ako se obriˇse onaj deo kruga koji predstavlja najkra´ce rastojanje izmedu dve taˇcke na krugu ostaje geodezijska kriva koja spaja dve taˇcke, ali ona tada nije najkra´ce duˇzine izmedu tih dvaju taˇcaka. Za ravanske krive sa u = x i v = y geodezijska krivina se svodi na k(g) = u′ v ′′ − u′′ v ′ =

dφ ds

gde je φ ugao izmedu tangente T~ na krivu i jediniˇcnog vektora ˆ e1 . Geodezijske krive na povrˇsi geodezijsku krivinu jednaku nuli. Kako je k(g) = 0 ~ na povrˇsinsku krivu u bilo kojoj taˇcki u duˇz geodezijske krive, to znaˇci je normala N istom pravcu kao i normala n ˆ na povrˇs. U tom sluˇcaju je ~ru · n ˆ = 0 i ~rv · n ˆ = 0 sˇto se svodi na dT~ · ~ru = 0 i ds jer vektori n ˆi

~ dT ds

dT~ · ~rv = 0. ds

(5.49)

imaju isti pravac. Kako se moˇze pisati

d~r ∂~r du ∂~r dv T~ = = + = ~ru u′ + ~rv v ′ ds ∂u ds ∂v ds dT~ = ~ruu (u′ )2 + 2~ruv u′ v ′ + ~rvv (v ′ )2 + ~ru u′′ + ~rv v ′′ ds jednaˇcine (5.49) postaju dT~ · ~ru = (~ruu · ~ru )(u′ )2 + 2(~ruv · ~ru )u′ v ′ + (~rvv · ~ru )(v ′ )2 + Eu′′ + F v ′′ = 0 ds dT~ · ~rv = (~ruu · ~rv )(u′ )2 + 2(~ruv · ~rv )u′ v ′ + (~rvv · ~rv )(v ′ )2 + F u′′ + Gv ′′ = 0. ds

TENZORSKI IZVODI

161

(5.50) Pomo´cu rezultata iz zadataka 4, 5 i 6 sa kraja ovog poglavlja moˇze se eliminisati v ′′ i jednaˇcina (5.50) i dobiti      2    2 d2 u 1 du dv 1 1 du dv + 2 = 0, + + ds2 ds ds 1 2 ds ds 11 22 a eliminisanjem u′′ iz jednaˇcina (5.50) dobija se jednaˇcina      2    2 2 du dv 2 du 2 dv d2 v +2 = 0. + + 2 ds ds ds 1 2 ds ds 11 22 U tenzorskom obliku, poslednje dve jednaˇcine mogu se zapisati kao   d2 u α α duβ duγ + = 0, α, β, γ = 1, 2 2 ds β γ a ds ds

(5.51)

gde su u = u1 i v = u2 . Jednaˇcine (5.51) su diferencijalne jednaˇcine koje definiˇsu geodezijsku krivu na povrˇsi. Vide´ce se da se isti tip jednaˇcina javlja u razmatranju najkra´ceg rastojanja izmedu dve taˇcke u generalisanom koordinatnom sistemu. Videti, na primer, zadatak 18 u drugom poglavlju drugog dela. 5.6

TENZORSKI IZVODI

Neka uα = uα (t) oznaˇcava parametarske jednaˇcine krive na povrˇsi definisanoj parametarskim jednaˇcinama xi = xi (u1 , u2 ). Povrˇsinska kriva se moˇze prikazati u prostornim koordinatama sa xi = xi (u1 (t), u2 (t)) = xi (t). Potrebno je podsetiti se da je za datu krivu C zadatu sa xi = xi (t), apsolutni izvod vektorskog polja Ai duˇz C defonisan kao unutraˇsnji proizvod kovarijantnog izvoda vektorskog polja sa tangentnim vektorom na krivu. Apsolutni izvod je " #   j j ∂Ai i δAi i dx k dx = A,j = + A δt dt ∂xj dt jk g ili   dAi i dxj δAi = + Ak δt dt dt jk g gde indeks g oznaˇcava da je Kristofelov simbol formiran od prostorne metrike gij . Ako je Aα povrˇsinski vektor definisan duˇz krive C, apsolutni izvod je  β  α   β δAα ∂A α α du γ du = A,β = + A δt dt ∂uβ dt βγ a

162

DIFERENCIJALNA GEOMETRIJA I TEORIJA RELATIVNOSTI

ili   δAα dAα α duβ = + Aγ δt dt dt βγ a gde indeks a oznaˇcava da je Kristofelov simbol formiran od povrˇsinske metrike aαβ . Sliˇcno su formule za apsolutni izvod kovarijantnog prostornog vektora Ai i kovarijantnog povrˇsinskog vektora Aα date sa   dAi k dxj δAi = − Ak δt dt dt ij g i   δAα dAα duβ γ = − . Aα δt dt dt αβ a Neka se posmatra meˇsoviti tenzor Tαi koji je kontravarijantan u odnosu na transformaciju prostornih koordinata xi i kovarijantan u odnosu na transformaciju povrˇsinskih koordinata uα . Tenzor Tαi je definisan nad povrˇsinskom krivom C koja se moˇze posmatarati i kao prostorna kriva. Neka je dalje definisana skalarna invarijanta Ψ = Ψ(t) = Tαi Ai B α gde je Ai paralelno vektorsko polje duˇz krive C kada se ona posmatra kao prostorna kriva, a B α je paralelno vektorsko polje duˇz krive C kada se ona posmatra kao povrˇsinska kriva. Podsetiti se da paralelna vektorska polja moraju zadovoljavati diferencijalne jednaˇcine   dAi dxj k δAi = − =0 Ak δt dt dt ij g

i

  δB α dB α α duβ = + = 0. Bγ δt dt dt βγ a (5.52)

Skalarna invarijanta Ψ je funkcija parametra t prostorne krive jer su i tenzorsko polje i paralelno vektorsko polje uzeti duˇz krive C. Diferenciranjem funkcije Ψ po parametru t dobija se dTαi dAi α dB α dΨ = Ai B α + Tαi B + Tαi Ai . dt dt dt dt

(5.53)

Medutim vektori Ai i B α su paralelna vektorska polja i moraju zadovoljavati relacije date jednaˇcinama (5.52). To implicira da se jednaˇcina (5.53) moˇze napisati u obliku # "     j β dΨ dTαi i dx γ du Ai B α . (5.54) = + − Tk Ti dt dt k j g α dt β α a γ dt Veliˇcina u uglastim zagradama jednaˇcine (5.54) definiˇse se kao apsolutni tenzorski izvod po parametru t duˇz krive C. Ovaj prˆavi tenzorski izvod moˇze se pisati u obliku

ˇ UOPSTENJA

    δTαi dTαi i dxj γ duβ = + − . Tαk Tγi dt dt dt dt kj g βα a

163

(5.55)

Prostorni zapis krive C povezan je sa povrˇsinskim zapisom krive C preko definicionih jednaˇcina, te se zato jednaˇcina (5.55) moˇze izraziti u obliku " #     j β ∂Tαi i γ δTαi k dx i du = + (5.56) Tα β − Tγ β dt du dt k j g ∂u βα a Veliˇcina u uglastim zagradama je meˇsoviti tenzor i definiˇse se kao tenzorski izvod od Tαi po povrˇsinskim koordinatama uβ . Tenzorski izvod meˇsovitog tenzora Tαi po povrˇsinskim koordinatama uβ zapisuje se sa     j ∂Tαi i γ i k dx Tα,β = + − T T i. ∂uβ k j g α ∂uβ βα a γ i...j U opˇstem sluˇcaju, za dati meˇsoviti tenzor Tα...β koji je kontravarijantan po transformacijama prostornih koordinata i kovarijantan po transformacijama povrˇsinskih koordinata, moˇze se definisati skalarno polje duˇz krive C kao i...j Ψ(t) = Tα...β Ai ...Aj B α ...B β

(5.57)

gde su Ai , ..., Aj i B α , ..., B β paralelna vektorska polja duˇz krive C. Apsolutni tenzorski izvod se tada izvodi diferenciranjem jednaˇcine (5.57) po parametru t. Tenzorski izvodi metriˇckih tenzora gij , aαβ kao i alterniraju´cih tenzora εijk , εαβ i njihovih pridruˇzenih tenzora su svi jednaki nuli. Zato se oni mogu smatrati konstantama tokom procesa tenzorskog diferenciranja. 5.7

ˇ UOPSTENJA

U Rimanovom prostor Vn sa metrikom gij i krivolinijskim koordinatama xi , i = 1, 2, 3, mogu se napisati jednaˇcine povrˇsi u parametarskom obliku xi = xi (u1 , u2 ) gde su uα , α = 1, 2 krivolinijske koordinate povrˇsi. Kako je dxi =

∂xi α du ∂uα

(5.58)

mala promena duα na povrˇsi rezultuje promenom dxi u prostornim koordinatama. Zato se element duˇzine luka na povrˇsi moˇze izraziti preko krivolinijskih koordinata povrˇsi. Taj isti element duˇzine luka moˇze se izraziti i preko krivolinijskih koordinata prostora. Dakle, kvadrat elementa duˇzine izraˇzen preko povrˇsinskih koordinata je ds2 = aαβ duα duβ

(5.59)

164

DIFERENCIJALNA GEOMETRIJA I TEORIJA RELATIVNOSTI

gde je aαβ metrika povrˇsi, a taj isti deli´c posmatran kao prostorni element je ds2 = gij dxi dxj .

(5.60)

Izjednaˇcavanjem jednaˇcina (5.59) i (5.60) nalazi se gij dxi dxj = gij

∂xi ∂xj α β du du = aαβ duα duβ . ∂uα ∂uβ

(5.61)

Jednaˇcina (5.61) pokazuje da je povrˇsinska metrika u relaciji sa prostornom metrikom ∂xi ∂xj caju Dekartovih koordinata ova i da se moˇze izraˇcunati iz aαβ = gij ∂u α ∂uβ . U sluˇ jednaˇcina se svodi na jednaˇcinu (5.21). U povrˇsinskim koordinatama definiˇse se kvadratna forma A = aαβ duα duβ kao prva osnovna kvadratna forma povrˇsi. Tan∂xi gentni vektori na koordinatne krive koje definiˇsu povrˇsi su ∂u α i mogu se posmatrati bilo kao kovarijantni povrˇsinski vektori, bilo kao kontravarijantni prostorni vektori. Takav vektor definˇse se sa xiα =

∂xi , ∂uα

i = 1, 2, 3,

α = 1, 2.

(5.62)

Svaki vektor koji je linearna kombinacija tangentnih vektora na koordinatne krive naziva se povrˇsinski vektor. Povrˇsinski vektor Aα moˇze se posmatrati i kao prostorni vektor Ai . Veza izmedu prostornog zapisa i povrˇsinskog zapisa je Ai = Aα xiα . Povrˇsinski zapis Aα , α = 1, 2 i prostorni zapis Ai , i = 1, 2, 3 definiˇsu isti pravac i magnitudu jer je gij Ai Aj = gij Aα xiα Aβ xjβ = gij xiα xjβ Aα Aβ = aαβ Aα Aβ . Neka se posmatraju dva povrˇsinska vektora Aα i B β i njihovi prostorni zapisi Ai i B i gde su Ai = Aα xiα

i

B i = B α xiα .

(5.63)

Ovi vektori su tangentni na povrˇs te se jediniˇcni normalni vektor na povrˇs moˇze definisati vektorskim proizvodom ni AB sin θ = εijk Aj B k

(5.64)

gde su A, B magnitude od Ai , B i a θ je ugao izmedu vektora kada se njihova ishodiˇsta poklapaju. Zamenom jednaˇcina (5.63) u jednaˇcinu (5.64) nalazi se ni AB sin θ = εijk Aα xjα B β xkβ .

(5.65)

Izraˇzeno preko povrˇsinske metrike je AB sin θ = εαβ Aα B β , te se jednaˇcina (5.65) moˇze prepisati u obliku (ni εαβ − εijk xjα xkβ )Aα B β = 0

(5.66)

ˇ UOPSTENJA

165

sˇto za proizvoljne povrˇsinske vektore implicira ni εαβ = εijk xjα xkβ

ili ni =

1 αβ ε εijk xjα xkβ . 2

(5.67)

Jednaˇcina (5.67) definiˇse jediniˇcni normalni vektor na povrˇs preko tangentnih vektora na koordinatne krive. Ovaj jediniˇcni normalni vektor je u vezi sa kovarijantnim izvodom povrˇsinskih tangenata sˇto c´ e se sada pokazati. Koriˇsc´ enjem rezultata iz jednaˇcine (5.50), tenzorski izvod jednaˇcine (5.59) po povrˇsinskim koordinatama, dovodi do     ∂ 2 xi i σ i p q xα,β = + x x − xi (5.68) ∂uα ∂uβ pq g α β αβ a σ gde indeksi na Kristofelovom simbolima oznaˇcavaju metriku iz koje su izraˇcunati. Tenzorski izvod jednaˇcine (5.57) daje rezultat gij xiα,γ xjβ + gij xiα xjβ,γ = aαβ,γ = 0,

(5.69)

a cikliˇcnom promenom indeksa α, β, γ u ovoj jednaˇcini pokazuje se da je gij xiα,β xjγ = 0.

(5.70)

Jednaˇcina (5.70) govori da je u protornim koordinatama vektor xiα,β upravan na povrˇsinski tangentni vektor xjγ i zato mora imati isti pravac kao jediniˇcna povrˇsinska normala ni . Zato mora postojati tenzor drugog reda bαβ takav da je bαβ ni = xiα,β .

(5.71)

Pomo´cu relacije gij ni nj = 1 moˇze se transformisati jednaˇcina (5.71) u oblik bαβ = gij nj xiα,β =

1 γδ ε εijk xiα,β xjγ xkδ . 2

(5.72)

Simetriˇcni tenzor drugog reda bαβ naziva se tenzor krivine, a kvadratna forma B = bαβ duα duβ

(5.73)

naziva se druga osnovna kvadratna forma povrˇsi. Moˇze se razmotriti i tenzorski izvod po povrˇsinskim koordinatama jediniˇcnog normalnog vektora na povrˇs   i ∂ni i n,α = + nj xkα . (5.74) ∂uα jk g Tenzorski izvod izraza gij ni nj = 1 po povrˇsinskim koordinatama dovodi do rezultata gij ni nj,α = 0 koji pokazuje da je vektor nj,α , upravan na ni i mora leˇzati u tangentnoj

166

DIFERENCIJALNA GEOMETRIJA I TEORIJA RELATIVNOSTI

ravni povrˇsi. Zato se on moˇze izraziti kao linearna kombinacija povrˇsinskih tangentnih vektora xiα i zapisati u obliku ni,α = ηαβ xiβ

(5.75)

gde se koeficijenti ηαβ mogu zapisati preko komponenata povrˇsinske metrike aαβ i komponenata bαβ na slede´ci naˇcin. Jediniˇcni vektor ni je upravan na povrˇsi te je gij ni xjα = 0.

(5.76)

Tenzorski izvod ove jednaˇcine po povrˇsinskim koordinatama daje gij niβ xjα + gij ni xjα,β = 0.

(5.77)

Kada se u jednaˇcinu (5.77) zamene relacije iz jednaˇcina (5.57), (5.71) i (5.75) pokazuje se da je bαβ = −aαγ ηβγ .

(5.78)

Reˇsavanjem jednaˇcine (5.78) po koeficijentima ηβγ nalazi se ηβγ = −aαγ bαβ ,

(5.79)

a zamena ovog rezultata u jednaˇcinu (5.75) dovodi do Weingarten-ove formule ni,α = −aγβ bγα xiβ .

(5.80)

Ova relacija izraˇzava izvod jediniˇcne normale preko povrˇsinske metrike, tenzora krivine i povrˇsinskih tangenti. Tre´ca osnovna kvadratna forma povrˇsi definiˇse se sa C = cαβ duα duβ

(5.81)

gde je cαβ definisano kao simetriˇcni povrˇsinski tenzor cαβ = gij ni,α nj,β .

(5.82)

Primenom Weingarten-ove formule na jednaˇcinu (5.81) moˇze se verifikovati da je cαβ = aγδ bαγ bβδ . 5.8

(5.83)

GEODEZIJSKE KOORDINATE

U Dekartovom koordinatnom sistemu metriˇcki tenzor gij je konstantan te su poslediˇcno Kristofelovi simboli nula u svim taˇckama prostora. To je, naravno, tako jer se

GEODEZIJSKE KOORDINATE

167

Kristofelovi simboli izraˇcunavaju preko izvoda metriˇckog tenzora koji je konstantan. Ako prostor VN nije Dekartov, Kristofelovi simboli se ne anuliraju u svim taˇckama prostora. Medutim, mogu´ce je na´ci koordinatni sistem gde c´ e svi Kristofelovi simboli biti nula u datoj taˇcki P prostora. Takve koordinate se nazivaju geodezijske koordinate taˇcke P. Neka se posmatra dvodimenzijska povrˇs sa povrˇsinskim koordinatama uα i povrˇsinskom metrikom aαβ . Ako se izvrˇsi transformacija u neki drugi dvodimenzijski koordinatni sistem, recimo u ¯α sa metrikom a ¯αβ , preko transformacionih jednaˇcina oblika uα = uα (¯ u1 , u ¯2 ),

α = 1, 2,

(5.84)

tada se iz transformacione jednaˇcine (4.7), nakon promene oznaka, moˇze napisati 

δ βγ





∂uα = ¯δ a ¯ ∂u

α δε



∂ 2 uα ∂uδ ∂uε + . ¯β ∂ u ¯γ ∂u ¯β ∂ u ¯γ a ∂u

(5.85)

Ovo je relacija izmedu Kristofelovih simbola u dva koordinatna sistema. Ako se  δ anulira u nekoj taˇcki P, tada se u toj istoj taˇcki jednaˇcina (5.85) svodi na β γ a ¯

  ∂ 2 uα α ∂uδ ∂uε = − ∂u ¯β ∂ u ¯γ ¯β ∂ u ¯γ δ ε a ∂u

(5.86)

gde su svi cˇ lanovi uzeti u taˇcki P. Obrnuto,ako je jednaˇcina (5.86) zadovoljena u taˇcki P, tada u toj taˇcki mora Kristofel symbol βδγ biti jednak nuli. a ¯ Neka se dalje posmatra slede´ca specijalna transformacija koordinata   1 α α α α u ¯β u ¯α (5.87) u = u0 + u ¯ − 2 βγ a gde su uα sinske koordinate taˇcke P. U novom koordinatnom sistemu taˇcka P 0 povrˇ je zadata sa u ¯α = 0. Diferenciranjem relacije (5.87) moˇze se proveriti da li ona zadovoljava jednaˇcinu (5.86). Izvodi su     1 α ∂uα 1 α β α u ¯ − u ¯γ |uα =0 (5.88) = δτ − ∂u ¯τ 2 βτ a 2 τ γ a i ∂ 2 uα =− ∂u ¯τ ∂ u ¯σ



α τ σ



(5.89)

a uα =0

i uzeti su u u ¯α = 0. Zakljuˇcuje se izvodi iz jednaˇcina (5.88) i (5.89) zadovoljavaju jednaˇcinu (5.86) lokalno u taˇcki P. Zato c´ e u toj naroˇcitoj taˇcki Kristofelovi simboli biti jednaki nuli, te se nove koordinate mogu nazvati geodezijskim koordinatama.

168

5.9

DIFERENCIJALNA GEOMETRIJA I TEORIJA RELATIVNOSTI

RIMAN-KRISTOFELOV TENZOR

Riman-Kristofelov tenzor je definisan jednaˇcinom (4.34), a mnoga njegova svojstva se obraduju u zadacima na kraju ovog poglavlja. Ovde se posebna paˇznja posve´cuje Riman-Kristofelovm tenzoru u dvodimenzijskom prostoru sa metrikom aαβ i koordinatama uα . Riman-Kristofelov tenzor ima oblik           ∂ ∂ δ δ τ δ τ δ δ R.αβγ = − γ + − (5.90) ∂uβ α γ ∂u α β αγ βτ αβ γτ gde su Kristofelovi simboli izraˇcunati iz povrˇsinske metrike. Gornji tenzor ima pridruˇzeni tenzor δ Rσαβγ = aσδ R.αβγ

(5.91)

koji je koso-simetriˇcan po indeksima (σ,α) i (β,γ) tako da je Rσαβγ = −Rασβγ

i

Rσαβγ = −Rσαγβ .

(5.92)

Pomo´cu dvodimenzijskog alterniraju´ceg tenzora definiˇse se konstanta K=

1 αβ γβ ε ε Rαβγδ 4

(5.93)

(vidi primer 54) koja je invarijanta povrˇsi i naziva se Gausova krivina ili totalna krivina. U zadacima na kraju ovog poglavlja pokazano je da se Riman-Kristofelov tenzor povrˇsine moˇze izraziti preko totalne krivine i alterniraju´ceg tenzora kao Rαβγδ = Kεαβ εγδ .

(5.94)

Da bi se izvela neka svojstva srednje krivine H i totalne krivine K, posmatra se drugi izvod tenzora xrα xrα,βγ =

      ∂xrα,β r δ δ r n r + x x − x − xr ∂uγ m n g α,β γ α γ a δ,β β γ a α,γ

(5.95)

koji zadovoljava relaciju δ xrα,βγ − xrα,γβ = R.αβγ xrδ .

(5.96)

Pomo´cu relacije (5.96) mogu se izvesti neke zanimljive veze izmedu tenzora aαβ , bαβ , cαβ , Rαβγδ , srednje krivine H i totalne krivine K. Tenzorski izvod jednaˇcine (5.71) moˇze se napisati u obliku xiα,βγ = bαβ,γ ni + bαβ ni,γ

(5.97)

RIMAN-KRISTOFELOV TENZOR

169

gde je bαβ,γ

    ∂bαβ σ σ = − bσβ − bασ . ∂uα αγ a βγ a

(5.98)

Pomo´cu Weingarten-ove formule, date jednaˇcinom (5.80), moˇze se jednaˇcina (5.97) izraziti u obliku xiα,βγ = bαβ,γ ni − bαβ aτ σ bτ γ xiσ .

(5.99)

a pomo´cu jednaˇcina (5.98) i (5.99) moˇze se ustanoviti da vaˇzi xrα,βγ − xrα,γβ = (bα,βγ − bαγ,β )nr − aτ δ (bαβ bτ γ − bαγ bτ β )xrδ .

(5.100)

Izjednaˇcavanjem rezultata iz jednaˇcina (5.96) i (5.100) dolazi se do relacije δ R.αβγ xrδ = (bα,βγ − bαγ,β )nr − aτ δ (bαβ bτ γ − bαγ bτ β )xrδ .

(5.101)

Mnoˇzenjem jednaˇcine (5.101) sa nr i koriˇsc´ enjem rezultata iz jednaˇcine (5.76) dobija se Codazzi-eva jednaˇcina bαβ,γ − bαγ,β = 0.

(5.102)

ze se izvesti Gausova Mnoˇzenjem jednaˇcine (5.101) sa grm xm σ i pojednostavljenjem moˇ jednaˇcina povrˇsine Rσαβγ = bαγ bσβ − bαβ bσγ ,

(5.103)

a pomo´cu ove jednaˇcin moˇze se zapisati jednaˇcina (5.94) kao Kεσα εβγ = bαγ bσβ − bαβ bσγ .

(5.104)

Drugaˇciji oblik jednaˇcine (5.104) dobija se pomo´cu jednaˇcine (5.83) i relacije aαβ = −aσγ εσα εβγ . Neka cˇ italac za veˇzbu pokaˇze da se tako dolazi do −Kaαβ = cαβ − aσγ bσγ bαβ .

(5.105)

Ako se srednja krivina definiˇse sa H=

1 σγ a bσγ , 2

(5.106)

tada se jednaˇcina (5.105) moˇze zapisati u obliku cαβ − 2Hbαβ + Kaαβ = 0.

(5.107)

Mnoˇzenjem jednaˇcine (5.107) sa duα duβ i sabiranjem nalazi se C − 2H B + K A = 0

(5.108)

170

DIFERENCIJALNA GEOMETRIJA I TEORIJA RELATIVNOSTI

o povezuje prvu, drugu i tre´cu osnovnu kvadratnu formu.

PRIMER 55. U dvodimenzijskom prostoru Riemann-Christoffel-ov tenzor ima samo jednu nezavisnu komponentu razliˇcitu od nule: R1212 (vidi zadatak 21 na kraju √ ovog √ poglavlja). Poslediˇcno, jednaˇcina (5.104) se moˇze napisati u obliku K ae12 ae12 = b22 b11 − b21 b12 i reˇsiti po Gausovoj krivini K. Tako se nalazi K=

5.10

b R1212 b22 b11 − b12 b21 = = . a11 a22 − a12 a21 a a

(5.109)

ˇ KRIVINA POVRSI

Kod povrˇsinske krive uα = uα (s), α = 1, 2 koja leˇzi na povrˇsi xi = xi (u1 , u2 ), i = 1, 2, 3, reˇc je o dvodimenzijskom prostoru unutar trodimenzijskog prostora. Tako, α α duβ ako je tα = du cni tangentni vektor na povrˇsinskoj krivoj vaˇzi aαβ du ds jediniˇ ds ds = aαβ tα tβ = 1. Ovaj isti vektor moˇze se prikazati i kao jediniˇcni tangentni vektor i cima vaˇzi´ce na prostornu krivu xi = xi (u1 (s), u2 (s)), tj. T i = dx ds . Dugim reˇ i dxj i j α i gij dx = g T T = 1. Povrˇ s inski vektor t i prostorni vektor T povezani su ij ds ds relacijom Ti =

∂xi duα = xiα tα . ∂uα ds

(5.110)

Povrˇsinski vektor tα je jediniˇcni tako da je aαβ tα tβ = 1. Ako se izvrˇsi prˆavo β diferenciranje ove jednaˇcine po parametru s, dobija se aαβ tα δtδs = 0, sˇto pokazuα je da je povrˇsinski vektor δtδs upravan na povrˇsinski vektor tα . Neka uα oznaˇcava jediniˇcni normalni vektor u ravni povrˇsi koji je ortogonalan na tangentni vektor tα . Pravac vektora uα bira se tako da je εαβ tα uβ = 1. Zato postoji skalar κ(g) takav da je δtα = κ(g) uα , δs

(5.111)

gde se skalar κ(g) naziva geodezijska krivina krive. Na sliˇcan naˇcin moˇze se pokazati α α α sinski vektor ortogonalan na tα . Neka je δu da je δu δs povrˇ δs = αt gde skalarnu α β konstantu α treba odrediti. Prˆavim diferenciranjem relacije aαβ t u = 0 i pojednostavljenjem nalazi se da je α = −κ(g) i zato δuα = −κ(g) tα . δs

(5.112)

Jednaˇcine (5.111) i (5.112) se nazivaju Frene-Seret-ove formule za krivu u odnosu na povrˇs.

171

ˇ KRIVINA POVRSI

Apsolutni izvod jednaˇcine (5.110) po parametru s dovodi do δT i δtα duβ α = xiα + xiα,β t . δs δs ds

(5.113)

Kada se kriva posmatra kao prostorna kriva koriste se Freneove formule (5.13), kada se posmatra kao povrˇsinska kriva koriste se Freneove formule (5.111) i (5.112). Na taj naˇcin se jednaˇcina (5.113) moˇze zapisati u obliku κN i = xiα κ(g) uα + xiα,β tβ tα .

(5.114)

Pomo´cu rezultata iz jednaˇcine (5.71) i jednaˇcine (5.114) dobija se κN i = κ(g) ui + bαβ ni tα tβ

(5.115)

gde je ui prostorni vektor ekvivalentan povrˇsinskom vektoru uα . Ako je θ ugao izmedu povrˇsinske normale ni i glavne normale N i , tada je cos θ = ni N i , te se mnoˇzenjem jednaˇcine (5.115) sa ni dobija κ cos θ = bαβ tα tβ .

(5.116)

Poslediˇcno, veliˇcina κ cos θ ostaje konstantna za sve krive na povrˇsi sa istim tangentnim vektorom tα . Ovaj rezltat je poznat pod nazivom Meusnier-ova teorema. Zapaziti da je κ cos θ = κ(n) normalna komponente krivine, a da je κ sin θ = κ(g) geodezijska komponenta krivine. Zato se jednaˇcina (5.116) zapisuje kao κ(n) = bαβ tα tβ

(5.117)

sˇto predstavlja normalnu krivinu povrˇsi u pravcu tα . Jednaˇcina (5.117) moˇze se napisati i u obliku κ(n) = bαβ

B duα duβ = ds ds A

(5.118)

sˇto je odnos kvadratnih formi. Pravci na povrˇsi za koje κ(n) ima maksimalnu ili minimalnu vrednost odreduju se iz jednaˇcine (5.118) koja se moˇze prepisati kao (bαβ − κ(n) aαβ )λα λβ = 0.

(5.119)

Pravac koji daje maksimum ili minimum vrednosti κ(n) mora tada zadovoljavati (bαβ − κ(n) aαβ )λβ = 0

(5.120)

tako da κ(n) mora biti koren jednaˇcine det(bαβ − κ(n) aαβ ) = 0.

(5.121)

172

DIFERENCIJALNA GEOMETRIJA I TEORIJA RELATIVNOSTI

Razvijeni oblik jednaˇcine (5.121) je κ2(n) − aαβ bαβ κ(n) +

b =0 a

(5.122)

gde su a = a11 a22 −a12 a21 i b = b11 b22 −b12 b21 . Pomo´cu definicije date u jednaˇcini (5.106) i rezultata datog jednaˇcinom (5.109), moˇze se jednaˇcina (5.122) zapisati u obliku κ2(n) − 2Hκ(n) + K = 0.

(5.123)

Koreni κ(1) i κ(2) jednaˇcine (5.123) tada zadovoljavaju relacije H=

1 (κ(1) + κ(2) ) 2

(5.124)

i K = κ(1) κ(2) .

(5.125)

Ovde je H srednja vrednost glavnih krivina, a K je Gausova ili totalna krivina koja proizvod glavnih krivina. Lako je proveriti da su H=

Eg − 2f F + eG 2(EG − F 2 )

i K=

eg − f 2 EG − F 2

invarijante dobijene iz povrˇsinske metrike i tenzora krivine. 5.11

TEORIJA RELATIVNOSTI

Isaac Newton i Albert Einstein imali su razliˇcit pogled na svet sˇto se tiˇce opisa gravitacije i kretanja planeta. Ovde se u kratkom uvodu u teoriju relativnosti uporeduju njutnovske jednaˇcine sa relativistiˇckim jednaˇcinama za opis planetarnog kretanja. Prvo se rezimiraju njutnovski sistemi. Njutn je posmatrao planetarno kretanje kao problem viˇse tela, no u cilju jednostavnosti ovde se posmatra problem samo dva tela, recimo Sunca i neke planete pod pretpostavkom da se kretanje odvija u ravni. Njutnov zakon gravitacije tvrdi da se dve mase m i M privlaˇce jedna ka drugoj silom intenziteta GmM ρ2 , gde je G konstanta, ρ rastojanje izmedu masa, m je masa planete a M masa Sunca. Ako se konstruiˇse x, y ravan u kojoj leˇze obe mase tako da je u ishodiˇstu lociran centar mase Sunca, tada jediniˇcni vektor ˆ eρ = cos φˆ e1 + sin φˆ e2 u ishodiˇstu koordinatnog sistema pokazuje u pravcu mase m. Vektor sile kojom masa M privlaˇci masu m dat je relacijom −GmM F~ = ˆ eρ . ρ2

(5.126)

TEORIJA RELATIVNOSTI

y

P

y

D

P

D

r f

r F

f F

173

x

x q

ea

q a

Figure 5.2.

q a

q

Paraboliˇcni i eliptiˇcni konusni preseci.

Jednaˇcina kretanja mase m u odnosu na masu M dobija se iz drugog Njutnovog zakona. Neka ρ ~ = ρˆ eρ oznaˇcava vektor poloˇzaja mase m u odnosu na ishodiˇste, pa se Njutnov drugi zakon moˇze zapisati u jednom od slede´cih oblika ~ −GmM d2 ρ ~ dV −GmM F~ = ˆ eρ = m 2 = m = ρ ~. 2 ρ dt dt ρ3

(5.127)

Na osnovu ovih jednaˇcina moˇze se pokazati da je kretanje mase m opisano konusnim presekom. Treba se podsetiti da je konusni presek definisan kao geometrijsko mesto taˇcaka P(x, y) takvo da mu je rastojanje od fiksne taˇcke (ili taˇcaka), zvane fokus (fokusi), proporcionalno rastojanju taˇcke P od fiksne prave, zvane direktrisa, koja ne prolazi kroz fokus. Konstanta proporcionalnosti naziva se ekscentricitet i obeleˇzava se sa ε. Za ε = 1 dobija se parabola, za 0 ≤ ε ≤ 1 dobija se elipsa, za ε > 1 dobija se hiperbola, a ako je ε = 0 konusni pesek je krug. FP = ε gde su U skadu sa slikom 5.2., konusni presek se definiˇse preko odnosa PD duˇzi FP = ρ i PD = 2q − ρ cos φ. Iz ekscentriciteta ε moˇze se na´ci radijus ρ i time dobiti zapis konusnog preaeka u polarnim koordinatama p (5.128) ρ= 1 + ε cos φ gde je p = 2qε i naziva se polu-parametar konusnog preseka (zapaziti da je ρ = p za φ = π2 ). Polarni ugao φ naziva se prˆava anomalija orbite. Opˇstiji oblik gornje jednaˇcine je ρ=

p 1 + ε cos(φ − φ0 )

ili u =

1 = A[1 + ε cos(φ − φ0 )], ρ

(5.129)

gde je φ0 proizvoljna poˇcetna anomalija. Kod orbita koristi se joˇs jedan parametar a, tzv. polu-glavne ose eliptiˇcne orbite. Parametri konusnog preseka q, p, ε, a

174

DIFERENCIJALNA GEOMETRIJA I TEORIJA RELATIVNOSTI

medusobno su povezani slede´cim relacijama p = q = a(1 − ε) ili 1+ε

p = a(1 − ε2 ).

(5.130)

Da se pokaˇze da jednaˇcina (5.127) dovodi do konusnog preseka za kretanje mase m u odnosu na masu M , pokaza´ce se da je jedan od oblika reˇsenja jednaˇcine (5.127) dat jednaˇcinom (5.128). Da se to verifikuje koristi´ce se slede´ci vektorski identiteti: ρ ~׈ eρ = 0  d~ ρ d2 ρ ~ d ρ ~× =ρ ~× 2 dt dt dt dˆ eρ ˆ eρ · =0 dt   dˆ eρ dˆ eρ ˆ eρ × ˆ eρ × =− . dt dt 

Iz jednaˇcine (5.127) nalazi se   d~ ρ d2 ρ ~ GM d ρ ~× =ρ ~× 2 =− 2 ρ ~׈ eρ = ~0 dt dt dt ρ

(5.131)

(5.132)

sˇto se moˇze integraliti: ρ ~×

d~ ρ ~ = h = const. dt

(5.133)

ρ ~ = ρ ~ = ρ cine kretanja mase m, te je ~h Veliˇcina H ~ × mV ~ × m d~ dt je moment koliˇ predstavlja moment koliˇcine kretanja po jedinici mase. Jednaˇcina (5.133) govori da je u problemu dva tela ~h konstantno. Kako je ~h konstantno, bi´ce   ~ d  ~ ~  dV d~ ρ GM V ×h = eρ × ρ ~× × ~h = − 2 ˆ dt dt ρ dt    GM dˆ eρ dρ =− 2 ˆ eρ × ρ ~ˆ eρ × ( ρ + ˆ eρ ρ dt dt   GM dˆ eρ dˆ eρ =− 2 ˆ ρ2 = GM eρ × ˆ eρ × ρ dt dt

i poslediˇcno integracija dovodi do ~ × ~h = GMˆ ~ V eρ + C ~ vektorska konstanta integracije. Formula za trostruki skalarni proizvod daje gde je C   d~ ρ ~ ~ ~ ~ ρ ~ · (V × h) = h · ρ ~× = h2 = GM ρ ~·ˆ eρ + ρ ~·C dt

TEORIJA RELATIVNOSTI

175

ili h2 = GM ρ + Cρ cos φ

(5.134)

~ iρ ~. Iz jednaˇcine (5.134) nalzi se gde je φ ugao izmedu vektora C ρ=

p 1 + ε cos φ

(5.135)

gde su p = h2 /GM and ε = C/GM . Ovaj rezultat je poznati prvi Kepler-ov zakon i implicira da za ε < 1 masa m opisuje eliptiˇcnu orbitu kada je Sunce u jednom fokusu. Jednaˇcina (5.129) moˇze se izvesti i na drugaˇciji naˇcin. Prikaza´ce se i taj alternativan naˇcin koji c´ e biti kasnije od koristi. Iz jednaˇcine (5.127) nalazi se   GM ρ d~ ~ d d~ ρ d~ ρ GM d d~ ρ d2 ρ = −2 3 ρ · 2 = · ~· =− 3 (~ ρ·ρ ~). (5.136) 2 dt dt dt dt dt ρ dt ρ dt Ovu jednaˇcinu korisno je transformisati u sferne koordinate ρ, θ, φ. U sfernim koordφ dθ 2 3 dinatama tenzorske komponente brzine su V 1 = dρ cke dt , V = dt , V = dt , a fiziˇ dρ dφ dθ komponente brzine su Vρ = dt , Vθ = ρ dt , Vφ = ρ sin θ dt , tako da se vektor brzine moˇze zapisati ρ dρ dθ dφ ~ = d~ V = ˆ eρ + ρ ˆ eθ + ρ sin φ ˆ eφ . dt dt dt dt

(5.137)

Zamenom jednaˇcine (5.137) u jednaˇcinu (5.136) dobija se "   2  2 # 2 GM d 2 dρ dθ dφ d =− 3 + ρ2 + ρ2 sin2 φ (ρ ) dt dt dt dt ρ dt =−

2GM dρ d = 2GM ρ2 dt dt

  1 ρ

sˇto se moˇze neposredno integraliti u 

dρ dt

2

2

+ρ



dθ dt

2

2

2

+ ρ sin φ



dφ dt

2

=

2GM −E ρ

(5.138)

gde je −E integraciona konstanta. Za specijalni sluˇcaj ravanske orbite treba staviti konstantan ugao θ = π2 , tako da se jednaˇcina (5.138) svodi na





dρ dt

dρ dφ dφ dt

2

2

+ ρ2 2

+ρ





dθ dt dθ dt

2 2

=2

GM −E ρ

=2

GM − E. ρ

(5.139)

176

DIFERENCIJALNA GEOMETRIJA I TEORIJA RELATIVNOSTI

Za specijalni sluˇcaj ravanskog kretanja vaˇzi i d~ ρ 2 dφ ρ ~ × dt = ρ dt = h,

sˇto se moˇze upotrebiti za eliminisanje 

dρ dt

2

Smenom ρ = 

du dφ

2

+ ρ2 = 1 u

dφ dt

(5.140)

iz jednaˇcine (5.139), te dobiti rezultat

2GM 3 E ρ − 2 ρ4 . 2 h h

(5.141)

jednaˇcina (5.141) postaje

+ u2 −

2GM E u+ 2 =0 2 h h

(5.142)

sˇto je oblik koje c´ e se upotrebiti kasnije. Zapaziti da se i u jednaˇcini (5.141) i u jednaˇcini (5.142) mogu razdvojiti promenljive i integracijom dobiti (5.129). Za uvod u teoriju relativnosti nuˇzno je podsetiti se joˇs jednog Njutnovog problema: relativnog kretanja dva inercijalna sistema. Neka je reˇc o dva inercijalna sistema, ¯ prikazna respektivno crvenim i zelenim osama na slici 5.3.. Sistem S¯ recimo S i S, se kre´ce u x pravcu brzinom v u odnosu na sistem S.

y–

y

V P

– 0

0

z

x – x

z–

Figure 5.3. Relativno kretanje dvaju inercijalnih sistema.

Ako su u trenutku t = 0 satovi jednako postavljeni u oba sistema, tada se u trenutku t taˇcka P(¯ x, y¯, z¯) u sistemu S¯ moˇze opisati transformacionim jednaˇcinama x=x ¯ + v t¯ y = y¯ z = z¯ t = t¯

ili

x ¯ = x − vt y¯ = y z¯ = z t¯ = t.

(5.143)

Ove transformacione jednaˇcine njutnovske relativnosti poznate su i pod imenom Galilejove transformacije.

TEORIJA RELATIVNOSTI

177

Do Ajnˇstajna principom relativnosti zahtevano je da brzine budu aditivne i da se pokoravaju Galilejovom pravilu sabiranja brzina VP/R = VP/Q + VQ/R .

(5.144)

Drugi reˇcima, brzina taˇcke P u odnosu na taˇcku R jednaka je brzini taˇcke P u odnosu na taˇcku Q plus brzina taˇcke Q u odnosu na taˇcku R. Na primer, osoba (P) koja se kre´ce na sever brzinom od 3 km/h u vozu (Q) koji se takode kre´ce na sever ali brzinom od 60 ˇ se deˇsava kada je km/h u odnosu na tlo (R) ima brzinu od 63 km/h u odnosu na tlo. Sta objekat P svetlost koja se kre´ce u vozu (Q) koji se kre´ce brzinom V u odnosu na tlo? Da li su brzine tada aditivne? Pitanje ovakvog tipa vodi ka cˇ uvenom Michelson-Morleyevom eksperimentu za koji se smatra da polaziˇste teorije relativnosti. Ajnˇstajnov odgovor na gornje pitanje bio je “NE” i zahtevao je da VP/R = VP/Q = c = brzina svetlosti bude univerzalna konstanta. Za razliku od njutnovskih jednaˇcina, Ajnˇstajn je posmatrao kretanje svetlosti od ¯ Ako se sistem S¯ kre´ce brzinom v u odnosu na sistem S ishodiˇsta 0 i ¯ 0 sistema S i S. ¯ tada c´ e se on i ako je u trenutku t = 0 poslat svetlosni signal iz sistema S u sistem S, prostirati sfernim talasnim frontom i leˇzati na sferi x2 + y 2 + z 2 = c2 t2

(5.145)

gde je c brzina svetlosti. Obrnuto, ako je svetlosni signal poslat iz sistema S¯ u trenutku t¯ = 0, on c´ e leˇzati na sfernom talasnom frontu x ¯2 + y¯2 + z¯2 = c2 t¯2 .

(5.146)

Zapaziti da njutnovske jednaˇcine (5.143) ne zadovoljavaju jednaˇcine (5.145) i (5.146). Ako je y = y¯ i z = z¯ tada prostorne promenljive (x, x ¯) i vremenske promenljive (t, t¯) moraju biti povezane. Ajnˇstajn je predloˇzio slede´ce transformacione jednaˇcine izmedu ovih promenljivih x ¯ = γ(x − vt) i

x = γ(¯ x + v t¯)

(5.147)

gde konstantu γ treba odrediti. Iz diferencijala jednaˇcina (5.147) d¯ x = γ(dx − vdt) i dx = γ(d¯ x + vdt¯)

(5.148)

mogu se dobiti odnosi d¯ x γ(dx − vdt) = ¯ γ(d¯ x + vdt) dx Kada je

d¯ x dt¯

2

γ =

= 

dx dt

ili

1 γ(1 +

v d¯ x ¯ dt

)

= γ(1 −

v dx dt

).

(5.149)

= c, brzina svetlosti, jednaˇcina (5.149) zahteva da je

v2 1− 2 c

−1

ili γ =



v2 1− 2 c

−1/2

.

(5.150)

178

DIFERENCIJALNA GEOMETRIJA I TEORIJA RELATIVNOSTI

Iz jednaˇcina (5.147) moˇze se eliminisati x ¯ i na´ci   v t¯ = γ t − 2 x . c

(5.151)

Tako se njutnovske jednaˇcine (5.143) mogu zameniti sa relativistiˇckim transformacionim jednaˇcinama x = γ(¯ x + v t¯) y = y¯ z = z¯
¯ t = γ t¯ + cv2 x

ili

x ¯ = γ(x − vt) y¯ = y z¯ = z
t¯ = γ t − cv2 x

(5.152)

gde je γ dato jednaˇcinom (5.150). Ove jednaˇcine su poznate pod imenom Lorentzova transformacija. Zapaziti da za v