Tema NR 13 - Limite de Functii [PDF]

Zitiervorschau

Tema nr. 13: Limite de funcţii Definiţi: Fie 𝐴 o submulţime nevidă a mulţimii R. Fie funcţia 𝑓: 𝐴 → 𝑅, 𝑥0 un punct de acumulare al mulţimii A şi 𝑙 ∈ 𝑅̅. Numărul l este limita funcţiei f în 𝑥0 dacă pentru orice vecinătate V a punctului l, există o vecinătate U a punctului 𝑥0 astfel încât ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝑈 − {𝑥0 }, să avem 𝑓(𝑥) ∈ 𝑉 Se notează: lim𝑥→𝑥0 𝑓(𝑥) = 𝑙 Observaţie: Limita funcţiei f în punctul 𝑥0 , dacă există, este unică. Limita funcţiei constante Fie 𝑓: 𝑅 → 𝑅, 𝑓(𝑥) = 𝑐, 𝑐 ∈ 𝑅 Atunci lim𝑥→𝑥0 𝑓(𝑥) = 𝑐, ∀𝑥 ∈ 𝑅̅ Limita funcţiei polinomiale Fie 𝑓: 𝑅 → 𝑅, 𝑓(𝑥)𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ … + 𝑎0 o funcţie polinomială de grad 𝑛 ∈ 𝑁, 𝑎𝑛 ≠ 0 Dacă 𝑥0 este un punct de acumulare finit, atunci limita se obţine înlocuind pe x cu 𝑥0 : lim𝑥→𝑥0 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0 ) Dacă 𝑥0 este un punct de acumulare infinit, atunci limita funcţiei polinomiale este aceeaşi cu limita termenului de grad maxim: lim 𝑓(𝑥) = lim 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 𝑥→∞

𝑥→∞

lim𝑥→−∞ 𝑓(𝑥) = lim𝑥→−∞ 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 Limita funcţiei raţionale 𝑃(𝑥)

Fie 𝑃(𝑥) 𝑠𝑖 𝑄(𝑥) doua funcţii polinomiale si funcția 𝑓: 𝑅 − {𝑥|𝑄(𝑥) = 0} → 𝑅, 𝑓(𝑥) = 𝑄(𝑥) Limita funcţiei raţionale într-un punct de acumulare finit 𝑥0 în care nu se anulează numitorul este egală cu valoarea ei în acel punct: lim𝑥→𝑥0 𝑓(𝑥) =

𝑃(𝑥0 ) 𝑄(𝑥0 )

, 𝑄(𝑥0 ) ≠ 0

Pentru a calcula limita funcţiei raţionale într-un punct de acumulare finit 𝑥0 în care se anulează numitorul, vom analiza următoarele situaţii: a) Dacă şi numărătorul P(x) se anulează în 𝑥0 , atunci simplificăm mai întâi fracţia prin 𝑥 − 𝑥0 b) Dacă numărătorul P(x) nu se anulează în 𝑥0 , atunci se calculează limitele laterale. Pentru a calcula limita funcţiei raţionale la ±∞ se compară gradul numărătorului cu gradul numitorului: 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎0 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 lim = lim = 𝑥→∞ 𝑏𝑚 𝑥 𝑚 + 𝑏𝑚−1 𝑥 𝑚−1 + ⋯ + 𝑏0 𝑥→∞ 𝑏𝑚 𝑥 𝑚

𝑎𝑛 ,𝑚 = 𝑛 𝑏𝑚 0, 𝑚 > 𝑛

𝑎𝑛 ∙ ∞, 𝑛 > 𝑚 {𝑏𝑚

Limita funcţiei radical Funcţia radical de ordin par 𝑛

Daca 𝑓: [0; ∞) → [0; ∞), 𝑓(𝑥) = √𝑥 , 𝑛 = 2𝑘 si 𝑥0 un punct de acumulare al [0; ∞), atunci: 𝑛

lim𝑥→𝑥0 √𝑥 = 𝑛√𝑥0

𝑛

lim𝑥→+∞ √𝑥 = +∞

Funcţia radical de ordin impar 𝑛 Daca 𝑓: 𝑅 → 𝑅, 𝑓(𝑥) = √𝑥 , 𝑛 = 2𝑘 + 1 si 𝑥0 ∈ 𝑅, atunci: 𝑛

lim𝑥→𝑥0 √𝑥 = 𝑛√𝑥0

𝑛

lim𝑥→+∞ √𝑥 = +∞

𝑛

lim𝑥→−∞ √𝑥 = −∞

Limita funcţiei exponenţiale Fie 𝑓: 𝑅 → (0; ∞), 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 , 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1 si 𝑥0 ∈ 𝑅 dacă 𝑎 > 1 atunci: lim𝑥→𝑥0 𝑎 𝑥 = 𝑎 𝑥0 lim𝑥→∞ 𝑎 𝑥 = +∞

lim𝑥→−∞ 𝑎 𝑥 = 0

dacă 0 < 𝑎 < 1 atunci: lim𝑥→𝑥0 𝑎 𝑥 = 𝑎 𝑥0

lim𝑥→−∞ 𝑎 𝑥 = +∞

lim𝑥→∞ 𝑎 𝑥 = 0

Limita funcţiei logaritmice Fie 𝑓: (0; ∞) → 𝑅, 𝑓(𝑥) = log 𝑎 𝑥, 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1 si 𝑥0 un punct de acumulare al (0; ∞) dacă 𝑎 > 1 atunci: lim𝑥→𝑥0 log 𝑎 𝑥 = log 𝑎 𝑥0 lim𝑥↘0 log 𝑎 𝑥 = −∞ lim𝑥→+∞ log 𝑎 𝑥 = +∞ Daca 0 < 𝑎 < 1 atunci: lim𝑥→𝑥0 log 𝑎 𝑥 = log 𝑎 𝑥0

lim𝑥↘0 log 𝑎 𝑥 = +∞

lim𝑥→+∞ log 𝑎 𝑥 = −∞

Limitele funcţiilor trigonometrice directe 1. Funcţia sinus: 𝑓: 𝑅 → [−1; 1], 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛𝑥 dacă𝑥0 ∈ 𝑅, atunci limita se obţine înlocuind pe x cu 𝑥0 : lim𝑥→𝑥0 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥0 dacă 𝑥0 = ±∞, atunci funcţia sinus nu are limită. 2. Funcţia cosinus: 𝑓: 𝑅 → [−1; 1], 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 dacă𝑥0 ∈ 𝑅, atunci limita se obţine înlocuind pe x cu 𝑥0 : lim𝑥→𝑥0 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥0 dacă 𝑥0 = ±∞, atunci funcţia cosinus nu are limită. 𝜋

3. Funcţia tangentă: 𝑓: 𝑅 − {(2𝑘 + 1) ∙ 2 |𝑘 ∈ 𝑍} → 𝑅, 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔𝑥 dacă 𝑥0 aparţine domeniului de definiţie, atunci limita se obţine înlocuind pe x cu 𝑥0 : lim𝑥→𝑥0 𝑡𝑔𝑥 = 𝑡𝑔𝑥0 daca 𝑥0 =

𝜋 2

, atunci:

lim𝑥↗𝜋 𝑡𝑔𝑥 = +∞ 2

lim𝑥↘𝜋 𝑡𝑔𝑥 = −∞ 2

4. Funcţia cotangentă: 𝑓: 𝑅 − {𝑘𝜋|𝑘 ∈ 𝑍} → 𝑅, 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑡𝑔𝑥 dacă aparţine domeniului de definiţie, atunci limita se obţine înlocuind pe x cu 𝑥0 : lim𝑥→𝑥0 𝑐𝑔𝑥 = 𝑐𝑡𝑔𝑥0 daca 𝑥0 = 0, atunci: lim𝑥↗0 𝑐𝑡𝑔 𝑥 = −∞

lim𝑥↘0 𝑐𝑡𝑔𝑥 = +∞

Limitele funcţiilor trigonometrice inverse 𝜋 𝜋

1. Funcţia arcsinus: 𝑓: [−1; 1] → [− 2 ; 2 ] , 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 limita funcţiei arcsinus în orice punct 𝑥0 al mulţimii de definiţie, se obţine înlocuind pe x cu 𝑥0 : lim𝑥→𝑥0 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥0 2. Funcţia arccosinus: 𝑓: [−1; 1] → [0; 𝜋], 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥 limita funcţiei arccosinus în orice punct 𝑥0 al mulţimii de definiţie, se obţine înlocuind pe x cu 𝑥0 : lim 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥0

𝑥→𝑥0

𝜋 𝜋

3. Funcţia arctangentă: 𝑓: 𝑅 → (− 2 ; 2 ) , 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 dacă 𝑥0 este un punct de acumulare finit, atunci limita se obţine înlocuind pe x cu 𝑥0 :

lim 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥0

𝑥→𝑥0

𝜋

daca 𝑥0 = ±∞, atunci: lim𝑥→−∞ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 = − 2

lim𝑥→+∞ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 =

𝜋 2

4. Funcţia arccotangentă: 𝑓: 𝑅 → (0; 𝜋), 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔𝑥 dacă 𝑥0 este un punct de acumulare finit, atunci limita se obţine înlocuind pe x cu 𝑥0 : lim 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔𝑥0

𝑥→𝑥0

daca 𝑥0 = ±∞, atunci: lim𝑥→−∞ 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔𝑥 = 𝜋

lim𝑥→+∞ 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔𝑥 = 0

Limite remarcabile 1 𝑛 lim (1 + ) = 𝑒 𝑛→∞ 𝑛 1

lim (1 + 𝑥)𝑥 = 𝑒

𝑥→0

𝑥𝑛 = 0 , 𝑛 > 0, 𝑎 > 1 𝑥→∞ 𝑎 𝑥 lim

log 𝑎 𝑥 = 0, 𝑛 > 0, 𝑎 > 1 𝑥→∞ 𝑥 𝑛 lim

𝑎𝑥 − 1 = ln 𝑎 𝑥→0 𝑥 lim

(1 + 𝑥)𝑟 − 1 = 𝑟, 𝑟 ∈ 𝑅 𝑥→0 𝑥 lim

𝑠𝑖𝑛𝑥 =1 𝑥→0 𝑥 𝑡𝑔𝑥 lim =1 𝑥→0 𝑥 lim

ln(1 + 𝑥) =1 𝑥→0 𝑥 lim

Operaţii cu limite de funcţii Limita sumei este egală cu suma limitelor, daca suma limitelor are sens Limita produsului este egală cu produsul limitelor, daca produsul limitelor are sens Limita raportului este egală cu raportul limitelor, daca raportul limitelor are sens Limita unei puteri se distribuie bazei şi exponentului Asimptote Asimptote orizontale Fie 𝑓: 𝐴 → 𝐵, o funcţie astfel încât +∞, −∞ sunt puncte de acumulare ale mulţimii A. Definiţii: Dreapta 𝑦 = 𝑎 este asimptotă orizontală spre +∞ pentru funcţia f dacă lim𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) = 𝑎. Dreapta 𝑦 = 𝑎 este asimptotă orizontală spre −∞ pentru funcţia f dacă lim𝑥→−∞ 𝑓(𝑥) = 𝑎. Asimptote oblice Fie 𝑓: 𝐴 → 𝐵, o funcţie astfel încât +∞, −∞ sunt puncte de acumulare ale mulţimii A si 𝑚 ∈ 𝑅 ∗ , 𝑛𝜖𝑅 Definiţii: Dreapta 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 este asimptotă oblică spre +∞ funcției f dacă lim𝑥→+∞ [𝑓(𝑥) − 𝑚𝑥 − 𝑛] = 0 (distanţa dintre dreaptă şi graficul funcţiei, măsurată pe verticală, tinde către zero când x tinde către ∞ ). Dreapta 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 este asimptotă oblică spre −∞ funcției f dacă lim𝑥→−∞[𝑓(𝑥) − 𝑚𝑥 − 𝑛] = 0 (distanţa dintre dreaptă şi graficul funcţiei, măsurată pe verticală, tinde către zero când x tinde către −∞ ). Teoremă.

Dreapta 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 este asimptotă oblică spre +∞ a funcţiei 𝑓: 𝐴 → 𝐵 dacă şi numai dacă există lim𝑥→+∞

𝑓(𝑥) 𝑥

= 𝑚 ∈ 𝑅 ∗ şi lim𝑥→+∞[𝑓(𝑥) − 𝑚𝑥] = 𝑛 ∈ 𝑅.

Dreapta 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 este asimptotă oblică spre −∞ a funcţiei 𝑓: 𝐴 → 𝐵 dacă şi numai dacă există lim𝑥→−∞

𝑓(𝑥) 𝑥

= 𝑚 ∈ 𝑅 ∗ şi lim𝑥→−∞[𝑓(𝑥) − 𝑚𝑥] = 𝑛 ∈ 𝑅.

Asimptote verticale Fie 𝑓: 𝐴 → 𝑅 şi a punct de acumulare finit pentru mulţimea A. Definiţii: Dreapta 𝑥 = 𝑎 este asimptotă verticală la stânga pentru funcţia f dacă lim𝑥↗𝑎 𝑓(𝑥) = +∞ sau lim𝑥↗𝑎 𝑓(𝑥) = −∞ Dreapta 𝑥 = 𝑎 este asimptotă verticală la dreapta pentru funcţia f dacă lim𝑥↘𝑎 𝑓(𝑥) = +∞ sau lim𝑥↘𝑎 𝑓(𝑥) = −∞ Dacă limitele laterale ale funcţiei f în a sunt infinite, atunci dreapta 𝑥 = 𝑎 este asimptotă verticală bilaterală.

Exerciții propuse 1. Calculați: 𝑎) lim (𝑥 2 − 4𝑥 + 5) 𝑥→2

𝑏) lim (−𝑥 3 + 2𝑥 2 − 𝑥 + 1) 𝑥→−2

𝑐) lim (2𝑥 4 + 3𝑥 3 − 4𝑥 + 5) 𝑥→−1

h) lim 𝑥→−1

2𝑥 + 4 𝑥−1

𝑥 3 − 2𝑥 2 + 3𝑥 − 2 𝑥→0 𝑥2 + 1

𝑖) lim

𝑥 2 − 2𝑥 + 2√2 𝑥 𝑥→√2

𝑑) lim (2𝑥 2 + 3𝑥 − 2)

𝑗) lim

𝑥2 + 2 𝑒) lim 2 𝑥→1 𝑥 − 3

𝑘) lim (3𝑥 − 2𝑥 )

1 𝑥→ 2

𝑓) lim

𝑥→−2 𝑥 2

𝑥−5 +𝑥+3

2

𝑥 − 2𝑥 + 3 𝑥→3 𝑥2 + 3

𝑔) lim

𝑥→2

1 𝑥 𝑙) lim ( ) 𝑥→∞ 3 3

𝑚) lim √𝑥 𝑥→−∞

3 𝑥 𝑛) lim ( ) 𝑥→−∞ 4 2. Calculați limitele laterale ale funcțiilor următoare in punctele 𝑥0 indicate: 1

a) 𝑓(𝑥) = 𝑥−2 , 𝑥0 = 2 𝑥−1

b) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 −4 , 𝑥0 = 2, 𝑥0 = −2 2𝑥−1

c) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 −9 , 𝑥0 = 3, 𝑥0 = −3 3𝑥+2

d) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 −8 , 𝑥0 = 2

𝑥+2

f) 𝑓(𝑥) = (𝑥+1)(𝑥−1)2 𝑥0 = 1, 𝑥0 = −1 1−𝑥

g)𝑓(𝑥) = 1−ln 𝑥 , 𝑥0 = 𝑒 h) 𝑓(𝑥) = 𝑒

1

− 3 𝑥 ,𝑥 0

=0

−3

i) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 −1 , 𝑥0 = 1, 𝑥0 = −1

1

e) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 −1 , 𝑥0 = 0 3. Care din funcțiile următoare au limita in punctele 𝑥0 indicate: a) 𝑓(𝑥) = {

𝑥 2 + 𝑥, 𝑥 ≤ 1 ,𝑥 = 1 2𝑥 − 1, 𝑥 > 1 0

𝑒 𝑥 − 1, 𝑥 ≤ 0 1 b) 𝑓(𝑥) = { ,𝑥 = 0 𝑥 − ln 𝑥 , 𝑥 > 0 0

𝑠𝑖𝑛𝑥 − 1, 𝑥 ≤ 0 d) 𝑓(𝑥) = { , 𝑥0 = 0 ln 𝑥, 𝑥 > 0

2

𝑥 −4 ,𝑥 < 2 ,𝑥 = 2 c) 𝑓(𝑥) = { 𝑒 0 2𝑥 − 3, 𝑥 ≥ 2

4. Aflați valorile parametrului real a, astfel incat funcțiile următoare sa aibă limita in punctele 𝑥0 indicate: 𝑒 𝑥 − 1, 𝑥 < 0 a) 𝑓: 𝑅 → 𝑅, 𝑓(𝑥) = { 2 ,𝑥 = 0 𝑎𝑥 − 2𝑥 + 𝑎 − 3, 𝑥 ≥ 0 0 2𝑥 2 + 𝑥 − 1, 𝑥 ≤ −1 b) 𝑓: 𝑅 → 𝑅, 𝑓(𝑥) = { , 𝑥0 = −1 2𝑎𝑥 − 6, 𝑥 > −1 3𝑥 − 1, 𝑥 ≤ 1 c) 𝑓: 𝑅 → 𝑅, 𝑓(𝑥) = { ,𝑥 = 1 2𝑎𝑥 + 3, 𝑥 > 1 0 −𝑎𝑥 2 + 𝑥 + 2, 𝑥 ≤ 2 d) 𝑓: 𝑅 → 𝑅, 𝑓(𝑥) = { , 𝑥0 = 2 5𝑥 − 4, 𝑥 > 2 0

5. Calculați următoarele limite(cazul 0 ): (𝑥 − 3)2 𝑎) lim 2 𝑥→3 𝑥 − 9

𝑥 2 + 2𝑥 − 8 ℎ) lim 3 𝑥→2 𝑥 − 𝑥 2 − 2𝑥

(𝑥 + 3)2 𝑥→−3 𝑥 2 − 9

𝑖) lim

𝑥−1 𝑥→1 𝑥 2 − 𝑥

𝑗) lim

𝑏) lim

𝑠𝑖𝑛2𝑥

𝑥→0 𝑠𝑖𝑛3𝑥

𝑡𝑔3𝑥 𝑥→0 𝑠𝑖𝑛4𝑥

𝑐) lim

(𝑥 + 1)2 − 4 (𝑥 + 3)2 − 16

𝑘) lim

(𝑥 + 3)3 − 27 𝑥→0 𝑥

𝑙) lim

64 + 𝑥 3 𝑥→−4 𝑥 2 − 16

𝑚) lim

d) lim 𝑥→1

5 − √𝑥 + 25 𝑥→0 3𝑥

𝑒) lim

𝑥→−2

𝑓) lim

√𝑥 + 3 − 1 𝑥+2 √𝑥 + 8 − 3

𝑥→1 √𝑥

+3−2

2

𝑥 − 5𝑥 + 6 𝑥→2 𝑥2 − 4

𝑔) lim

∞

6. Calculați următoarele limite(cazul ∞ ): 5𝑥 − 6 𝑥→∞ 3𝑥 + 7

𝑎) lim 𝑏) lim

3𝑥 − 2 +𝑥−1

𝑥→∞ 𝑥 2

2

𝑐) lim

𝑥→−∞

2𝑥 − 5𝑥 + 4 −3𝑥 + 1

𝑥 2 + 4𝑥 − 5 𝑥→−∞ −2𝑥 2 + 𝑥 − 1

𝑑) lim

√𝑥 2 − 2 𝑥→∞ 3𝑥

𝑒) lim

𝑓) lim

1 − 5𝑥

𝑥→∞ √25𝑥 2 3𝑥

−7

√𝑥 𝑥→∞ 1 + √𝑥

𝑔) lim

𝑒 2𝑥 − 1 𝑥→∞ 𝑒 2𝑥 + 1 7. Determinați domeniul de definiție si asimptotele funcțiilor următoare: 𝑎) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 2𝑥 𝑏) 𝑓(𝑥) =

𝑥−2 𝑥+1

𝑐) 𝑓(𝑥) =

8𝑥 2 − 2𝑥 + 1 4𝑥 2 + 2𝑥

𝑑) 𝑓(𝑥) =

ln(𝑥 2 + 𝑥 + 1) + 2 ln(𝑥 + 1)

ℎ) lim

𝑒) 𝑓(𝑥) =

2𝑥 2 − 𝑥 − 1 𝑥−1

𝑓) 𝑓(𝑥) =

𝑥−3 2𝑥 + 1

𝑔) 𝑓(𝑥) = ln(𝑥 2 + 𝑥 + 1) − ln(𝑥 2 + 𝑥) ℎ) 𝑓(𝑥) =

𝑥2 + 2 −𝑥+3 𝑥+3