Tema 7 Geom [PDF]

Zitiervorschau

Sa ne aducem aminte din clasa a VI-a 1 Fie unghiul xOy cu A ∈ (Ox, B ∈ (Oy astfel incat [OA] ¿ [OB] si fie C situat pe bisectoarea unghiului xOy astfel incat A, B si C sa fie necoliniare si AB ¿ OC = {D}. Demonstrati ca Δ BCD. a) ACO ¿ BCO b) [AD] ¿ [BD] c) Δ ACD ¿ 2 Fie a, b si c trei drepte concurente in O si punctele A, A’ ∈ a, B, B’ ∈ b, C, C’ ∈ c astfel incat [OA] ¿ [OA’] , [OB] ¿ [OB’] , [OC] ¿ [OC’] si A, B, C sa fie necoliniare. Demonstrati ca Δ ABC ¿ Δ A’B’C’. 3 Fie triunghiul ABC cu O mijlocul segmentului [BC] si D ∈ AO astfel incat [AO] ¿ [OD]. Δ DOC; Δ DCB; c) Δ ABD ¿ Δ DCA. Demonstrati ca: a) Δ AOB ¿ b) Δ ABC ¿ ¿ 4 Fie laturile unui unghi cu varful in A se iau punctele B, C, D si E astfel incat [AD] [AB], [AE] ¿ [AC]. Demonstrati ca [BE] ¿ [CD]. 5 Fie triunghiul isoscel ABC cu [AB] ¿ [AC] si triunghiurile exterioare Δ ABE si Δ ACD, Δ ACE; b) [EB] ¿ [DC]. m( BAD) = m( CAE) si [AD] ¿ [AE]. Demonstrati ca:a) Δ ADB ¿ ∈ ∈ 6 Se considera un unghi XOY, punctele A [OX, B [OY astfel incat [OA] ¿ [OB] si un ¿ punct M interior unghiului astfel incat [MA] [MB]. Stiind ca m( MOA) = 37030’ , calculati m( AOB) . 7 Fie triunghiul ABC si D ∈ (AC), E ∈ (BC) astfel incat [CD] ¿ [CE] si m( CDB) ¿ m( CEA). Demonstrati ca: a) [AC] ¿ [BC]; b) DAE ¿ EBD; c) [AD] ¿ [BE]. 8 In triunghiul isoscel ABC cu baza [BC],( B ¿ C ) se considera punctele D ∈ [AB], E ∈ [AC] astfel incat [DB] ¿ [CE]. Sa se demonstreze ca: Δ EFC, unde DC ¿ BE = {F}; a) [BE] ¿ [CD]; b) Δ DFB ¿ Δ EFA. c) [AF este bisectoarea BAC; d) Δ DFA ¿ ∈ ∈ ¿ 9 Fie triunghiul ABC si D (AB), E (AC) cu BE CD = {F}, [BF] ¿ [CF] si [DF] ¿ [EF]. ¿ ¿ Demonstrati ca: a) [BD] [CE]; b) [AB] [AC]; c) ABC ¿ ACB. 10 Pe laturile [AB] si [AC] ale triunghiului ABC se considera in afara triunghiurile echilaterale ABM si ACN. Sa se arate ca [BN] ¿ [CM]. 11, Măsurile unghiurilor unui triunghi sunt proporţionale cu 2, 3 şi 5. Calculaţi măsurile unghiurilor triunghiului şi precizaţi natura triunghiului. 12, În triunghiul dreptunghic ABC, m( A) = 900, AD ¿ BC, D ∈ (BC), m( DAC ) = 600 şi AB = 84 cm. Calculaţi lungimea segmentelor BD şi DC. 13 Măsurile unghiurilor A, B şi C ale triunghiului ABC sunt respectiv proporţionale cu numerele 6, 2 şi 4. M este mijlocul laturii BC, iar AB = 12 cm. Calculaţi perimetrul triunghiului ABM. 14 În triunghiul dreptunghic ABC, m( A) = 900, AD ¿ BC, D ∈ (BC), M mijlocul laturii [AB], m( AMD) = 1200 şi AC = 32 cm. Calculaţi lungimea înălţimii AD. 15, În triunghiul dreptunghic ABC, m( A) = 900, AD ¿ BC, D ∈ (BC), m( C) = 300 si AB = 108cm. Calculati lungimile segmentelor [BD] si [DC] .Daca M este mijlocul laturii AB, calculati perimetrul Δ BDM.

16, Aflaţi unghiurile unui triunghi isoscel ştiind că măsura unui unghi este egală cu 48 0. 17, Perimetrul unui triunghi MNP este 48 cm. Aflaţi laturile triunghiului dacă ele sunt direct proporţionale cu 6, 8 şi 10. 18, Fie triunghiul ABC isoscel, AB = AC. Se construiesc înălţimile BM şi CN. Demonstraţi că BM = CN. ^ ) = 300. Aflaţi AB. 19, Fie triunghiul ABC dreptunghic în A. a) Dacă BC = 52 cm şi m ( C ^ ) = 600. Aflaţi BC. b) Dacă AB = 64 cm şi m ( B c) Dacă AM mediană, AM = 44cm. Aflaţi BC. 20, Fie O mijlocul segmentului [AB] si C respectiv D doua puncte de o parte si de alta a dreptei Δ BOD. Demonstrati ca: a) Δ ABC ¿ Δ ABD; b) Δ AOC ¿ Δ AB astfel incat Δ BOC ¿ AOD. 21, Se considera un triunghi dreptunghic Δ ABC ( m( A) = 900 ), AC = 4 cm si AB = 3 cm si punctele M ∈ CA, N ∈ AB, astfel incat A ∈ (CM), B ∈ (AN), AM =3 cm si BN = 1 cm. Demonstrati ca: a) [BC] ¿ [MN]; b) MNA ¿ BCA; c) AMN ¿ ABC. 22, Se considera un triunghi isoscel Δ ABC cu [AB] ¿ [AC] si punctele D ∈ (AB) si E ∈ (AC), astfel incat [AD] ¿ [DB] si [AE] ¿ [EC]. Sa se arate ca [BE] ¿ [CD]. 23, In triunghiul ABC notam cu A’ simetricul lui A fata de latura BC si cu B’ simetricul lui B fata de latura AC. Daca triunghiul Δ A’B’C este isoscel cu [A’C] ¿ [B’C] stabiliti natura Δ ABC. 24, Fie triunghiul isoscel ABC ( [AB] ¿ [AC] ) si m( A) = 1200. Se construiesc inaltimile CE ¿ AB, E ∈ AB si BF ¿ AC, F ∈ AC si se noteaza BF ¿ CE = {M}. Sa se demonstreze ca: a) Δ MBC este echilateral; b) M, A si mijlocul laturii BC sunt coliniare. 25, In triunghiul isoscel ABC ( [AB] ¿ [AC] ), AD este bisectoarea unghiului BAC, D ∈ (BC). Fie M si N mijloacele laturilor [AB] si respectiv [AC]. Sa se arate ca: a) triunghiul DMN este isoscel; b) [AD este bisectoarea unghiului MDN si MN II BC.

26, In triunghiul dreptunghic ABC, m( A) = 900 se duce inaltimea AD, D ∈ (BC), care se prelungeste cu segmentul [DE] ¿ [AD]. a) stabiliti natura triunghiului EBC b) daca m( B) = 300 si AD = 8 cm, calculati perimetrul Δ EBC. 27, In triunghiul ABC se duc bisectoarele BD si CE, D ∈ (AC), E ∈ (AC). Acestea intersecteaza paralela dusa prin A la latura BC in punctele M respectiv N. Sa se stabileasca natura triunghiurilor: Δ ABM si 28, In triunghiul ABC se duce bisectoarea BD, D ∈

Δ ACN.

(AC), Prin D se construieste paralela la BC

care intersecteaza pe AB in E si paralela prin C la BD in F. Se cere:

Δ BDE; b) demonstrati ca [DF]

a) natura

[BC].

¿

29, In triunghiul ABC se duce bisectoarea AD, D ∈

(AC). Construim DM II AC, M ∈

(AB) si DN II AB, N ∈

(AC). Sa se demonstreze ca: [AM]

¿

30, In triunghiul ABC, AD

[AN]

¿

BC, D ∈

Sa se demonstreze ca: [AF]

¿

¿

[DM]

[DN].

¿

(BC).Se construieste DE II AC, E ∈

[DE] si [DF]

AB, M ∈

(AB) si DF II AB, F ∈

(AC).

[AE].

¿

A) = 900 si m(

31, In triunghiul dreptunghic ABC, m( BC. Se construieste OM

¿

C) = 300 se noteaza cu O mijlocul laturii

¿

(AB) si ON

AC, N ∈

(AC). Sa se arate ca M si N sunt

mijloacele laturilor AB si respectiv AC. 32, Pe laturile [AB] si [AC] ale triunghiului ABC se considera in afara triunghiurile echilaterale ABM si ACN. Sa se arate ca [BN]

[CM].

¿

¿

33, Pe laturile [AB] si [AC] ale triunghiului ABC se duc perpendicularele AN AM

¿

AC, [AM]

¿

[AB]. Sa se arate ca [BN]

34, In triunghiul isoscel ABC ( [AB]

¿

AB cu [AN]

¿

[AC] si

[CM]. ( cate cazuri exista ? )

¿

[AC] ), se stie ca m(

B) = 2 . m(

A).

a) Sa se calculeze masurile unghiurilor triunghiului ABC; ABC, D ∈

b) Daca BD este bisectoarea c) Daca DD’

¿

AB, D’ ∈

(AC), sa se stabileasca natura

(AB) si BM II DD’, M ∈

35, In triunghiul ABC, AD si CE sunt mediane, D ∈ cu segmentele [DM]

¿

¿

36, In triunghiul ABC se duc inaltimile BD aceste inaltimi cu segmentele [DM] a) [MC]

¿

¿

N. Sa se arate ca:

AC, D ∈

a) [CN]

¿

[CM] si MN

¿

AB, N ∈

Δ BDM.

(AB). Se prelungesc aceste mediane

[CE]. Sa se arate ca M,B si N sunt coliniare. (AC) si CE

[BD] si respectiv [NE] b)

38, In triunghiul dreptunghic ABC, m( ¿

¿

[NB]

37, In triunghiul ABC, mediana BM, M ∈

[BM]

AC, sa se stabileasca natura

(BC) si E ∈

[AD] si respectiv [NE]

Δ ABD si Δ BDC;

¿

¿

AB, E ∈

(AB). Se prelungesc

[CE]. Sa se arate ca :

Δ ANB

¿

Δ ACM.

(AC), intersecteaza paralela prin C la latura AB in punctul

[AB] A) = 900 si m(

b) [AN]

¿

[BC].

B) = 300. Fie M ∈

(BC) astfel incat

(AB). Daca MN = 6 cm, se cere sa se calculeze perimetrul Δ MAC.

*****