Tehnici de calcul în teoria sistemelor. Vol. 2: Sisteme optimale [PDF]

Zitiervorschau

Colectia AUTO MA TI CĂ

e

INFORMATICA

1. Sclulcilta, S., CoslakctN.,

Nicu[cscu CI. 2. Pctrovski .·1., Rozman, la. 3. Bru{man, S. "" 4. J{u:nc{ov, O. 5. Mogili[ellski, V. tl . •Ualov, V. 7. Gla:cnco, T. '-'

Automatiznrcn complcxoi At·{ionan•a l'lectric:i cu amplificatoare manncticc Jndieatonrc numerice Controlul automnt al nh•cJului de ~cparntie n dotH1 ml.'dii Cuplnje şi frine electromagnetice tm pullJeri Tt~Iemecnnica

Ami•IiHcntonre dt~ impulsuri cu scmicouductourc in urţiomlrile t•Iectrice 8. Stupcl, F. 'frmlnctonrc şi com•ertonre cl1~t~tromccnnice 9. Rai ţin, T. JJ • ..- llispozith·e de cnicnl analonic in nutomnticft 10. !5/candin, V. ~11., Ccrm{o11 1\. • .:11.' Autumatizuren circuitelor clectrh~c 11. .Ştcfiincscu, N. SeJsinc 12. Totolici, D. 0 Annlizn nutomnti't continuii 13. Bătrîna, 1. Dimo, 1'., Sipoş, 1. Aparute de mfssurnt şi măsur:iri numerice 14. Frănkcl, D., De Sabcilă, 1. TrmluctoruJ linii 15. Procoj:wJJici, E. Cuplnje cJN~tromnonetit:e cu frit~tiune şi cu din{i 16. Webcr, F. )tfasururea, comanda şi reninren in tehnh~u t~Iintali1iuH 17. Paladc, D. Aerul comprimat in sistemele :mtomutc 18, 19. Wcinricll, G. ş.a. Sisteme de reglarc unifh~atc pentru IH'ocesc rapide vol. I şi II 20. Cosfakc, N. 1 Alegerea sistemelor electronice numerice de prelucrare a informatiei 21. Codrcanu, C. şi T. Coloşi. Tcrmistonre şi \'nristoare 22, 23. Brana, C., Brana, V. Transmiterea informnt.iei numerice in missurfsri ţj nutomatlziirl, voi. I şi II 24. Popa, ~-11. Utilizuren eulculutonrelor in trnnsportul fcro\'illr 25. Sioicoviciu, O. Cintliriren automntfl in intlustric 26. Dancca, 1. "Dispozith·cie aritmetice ale cn)cuJatonrelor numeric~ 27, 28.Costaclw N. ş.n.FORTRAN (voi. I şi II) 29. Georgescu, 1. ~ Sisteme tic cchlpnmcntc ~i Jtrogramc pentru calculatoare 30. ~·lllramescu, .tl. c~ Echlpnmente pcrl[erlee nlc cuiculntonrelor numerice 31. ~11arinoiu, V., Paşcllinii, 1. Robinete de reglnre 32. Bejan, 1. Ampli[ientorul mnunetie jn sistemele nutmnate 33. 34. Epurc, M. ş.arCnlcuiatoarelc FELIX C-256, IRIS 50 şi JBM 360J30, 40 Funeţionnro şi depanare 35. HăngănuJ, .M. ş.an•rograme FORTRAN comentate in nutomatic;1 36. Gcoryescu, 1. ,7 Sisteme de opernrc pentru calenl:1toare numerice 37. Wilkes 1. Sisteme de calcul cu acces mnlliplu. 38, 39. Ionescu, V. şi L. Lupaş. 'fcbnici de caJcnl in teoria sist~ U. 6) -~ : T x x-_". Y este conl'inuli. Fie acnRl S 0 C T X X X Y, mulţ;itnea ţintă sa.u terminaU\ care în final va. fi descrisă ~i ea printr-o varietate netedă, momentan a.ceasta neinteresiml în moll expres.

10

că :E este adevărata implicaţ.ia :

Vom spune

constructiv Pejcritol' la S 0

1mtle ""este proiecţia lui T

)
'iţ.ii terminale finale S =X Atunci 1

F (t)

= (0 21 (1, T)

+0

02

(t, T) S (T)) (011 (t, T)

+

+O" (t, T) S (T))-' existiî, prin coutinuitrLte in jurnl lui T deoarece det (011 (t ,'l')

+0

12

(1, 'l') S

si va rămme diferit de zero int;r-o · Atunci

fo (t, m) este

soluţia

=

ecuaj.iei H- J

(T))It~T = vecinătate

1 a lui T.

2._11mll~ll> 2

eu

coniliţ.irt

Fie pentru această problemă (specială) conilij;ia iniţială a:("') = O cu "' arbitrar Îll vecinătatea precizată mai sus a lui 'l' Fie 1!

- n- 1 Atnnci

=

-n-I (t) BT (t) fr~ (t, x)

(t) BT (t)

P (t) m =

- Îf

= -

(1) m = le (t, m)

ecuaţia

X= (A (t)-B (t) n-'(t) BT (t)

p (t))

m

cu conclij;ia iniţ,ială x( •) = O are soluţia. i1leni:ic nulă care (trivbl) ( T, O)--+ ('1', O) ou comamb opi;imă. A O. Sint astfel satisfăcute condiţiile teoremei de ;mficienţă (consecinţă n. lemei lui Camtheoclory) aşa că A A x(t) = o, " (t) = O este t.raiectoritt şi conmncln. 011timală unică. a problemei (ele fttpt unicitatea. se jmlect\ pe '11 = = k(t, a:), n.clică în circuit închis). Indicele de performanţă n.rc vttloaren.

transferă

"=

'

'

J = 1 o (o, '" ( •))

=o

Să Jll'BRUinmenl că in veeinătaiiea iniţială se singubrizeftză în ' n.dică blemn. fiinil bine fornmhltă., lenm 1

:r,,(t)

= X

mnint,ittv problenm clet X(.-) = O. Proa.firmi't că

(t) p,

nu este identic nulă pc [•, '1'). AceasUt tmiect-oric 1meşte (•, O) cu ('1', O) în mod netrivial, sub acţhmen. comenzii '11,, (.) Să considerăm perechea (u,, (. ), '"'• ( · )) plftsată în problemD- specială. Aceastrt pereche a.re sens pentru problema specială im· imlicele de perfommnţ(t >tlproblemei speciale are valon.rea zem după cum imediat se poate calcub. Îmemnnă că (',t.(.) O, ,;(.) O) şi (u, ( _),:v, (.)) distincte şi considerate in problema specială, cauzează valoarea, zero n indieelui J- eare este RÎ valom•en, minhnă a acestui indice penlru initializn,re zei·o. Înseamnă că problen1'1 speciaLi nu are .'îoluţie unică eeea ce contraziee teorema generală de suficienţă. Cansecinţt.l. Prmctele cn.re HÎ!lgnJarizen.ză X (.) ni problemei (iniţiale) sint izolate. Intr-aclcviî.r da.cft punctele ar forum 1m in1;erval [t', t"] a.trmci se repetă. mtionmnentu1 de nud sus 1wntru t" consiclera1i ca, '1' dar peniii'U a avea coinciclenţa indicilor de perfor1n~tntă în r.ele clonă. problmne se h drept 8(t")=X'' (t")Y(t"), ca.re eyideni; este Himetrică, pentru pro blenn Hpeeia.!ă.

=

=

55

Va rezulta că în vecinihtate11 lui t" nu singularizează X(.) ceea ce contrazice

sînt ]Hmcte cr~re ipoteza iniţială. în concluzie se poate enunţa cea de a. dona teorem•t funda,menta.lă (prima fiind enunţată la ii.2.10). Tcoremi"t fundamentală (Il). Da.ci!, problema variaţi­ mmlă pătmtică este bine formnlat;ă pe orice interva.J [t, T] cu t < T în vecinătatea lui T, atunci se poate al + 21 2 + 21 + 1

Exemplul 2. Fie sistemul scalar

cu indicele ele

performanţă

" "'l1 - )' .'V"'/t"( J =1 2 o

Se cere să se determine extrennlnl acestui sistem Avem atlmci H(l,

;I:,

y, u)

=!

+ ym'n

,,;'n'

~

care este o flmcţ,ie regnlntă cu l{l, ""• y) = -11 H11miltonianul problemei este H

o

(l

.'t, 1,/, 'Il '

)

= -12

" ,, .

,, ., .

W"'lj"

.'!'"'//" -

1 ,, ,, = -2 "'" .lj"

Sistemul canonic (]evine llm -------· = H" - = dl y

cu

.,

m~-11

•

condiţiile terminale x(O) = 1, :r(l) = e Avem atunci elin împă.rţiren. celor două ecuaţii canoniee

ela:

'"

cly

11

59

eă

de unde se vecle Va rezulta

ft'Y - 01 , 0 1

-

constantă arbitrară.

dm ; w) 62

;;;.· O, fapt oferit ele majoritatea problemelor wactice ele conducere optiluală. Ţinînd cont ele condiţiile terminale finale m( T) -liber

(y(T), z) = (8m(T),z)

'v'zEX,

rezultă că

!f(T)

= 8'v(T)

Pammetrimrea solutiilor sistEmului este datfl, ai,unci de X(T) =1

1' = p =X (T) p

ele unde Y(T) = 8 .Aşa

dar familil1 ele extremale a problemei speciale este

variaţionale

m(t) = X(t)p

1/(t)=l"(l)p

nnde

ooluţb

(X(. ), T (.)) este iniţhtlimtă cu

X(T)

= 1

J'(T)

= 8

Rezultă soluţi>t formală

a

(6.3)

ecnaţiei

Ricca1>i

Il (1; T,8) = T(t)X- 1 (1) = (0 21 (t,T)

+

l%1'

+ O"(I,T) 8)(0

11

(1,1')

+0

12

(t,T)8)- 1

ceea ce implim1 că existenţa globaH\ a cu uedegenenuert lui

soluţiei

(6.4)

este echi-

·valentă

X(t) = 011 (1,T)

+ 0"(1,.1')8 63

6.2. Existen1a

glofJală

Acea 'ta este Teoremft.

Dacă

dată

a solu1:iei

ele

mmătoarea

8 :;;,- O, a.iunci X(.) nu are puncte .focale

pentm t :(; 1'. J\bi mult, a) B >0

= 11(.

;'I', 8) >0

b) 8;;, O şi (A(.),., VQ(.)), T- completconstnwtibil~> A T, ,o, t ~ t(T), (8 0 (t(T), 'I') >O)

= 11 (.;

Demo11slmţie. Să,

=/= O astfel ca

presu]nmem

X(t)p, =O

că există

/1 < 'I'

şi p1 =/=

(clet X (1 1 ) = O)

Atlmci elin

însea,mnă eă

(ii"(,)li~,, +

jju,,(.)l11,.,)

ele umle

1 =O [ft• TJ

=0

It,,(.)= -B- 11.)BT(.)y(.)l

1[1,.

T]

Atunci pe [t" 'I'] sistemul canonic eleviue

-'tr = eli

64

.fl(t)x cu x(T) = p,

'

O

şi

din ~{!)

= tl:(l, 'l')p,

rczultrt di

mlică

IT(t", O, O)

este

(6.8)

esenţ,ială.

GA. Mărginirea uniformă a solutiei

Fie următoarele clefiniţii : Definitia 1. Perechea (A(.), B(.)) este Jli(.) - 1tnifonn complet accesibilă unde _71f(.) > O, drtcă există /',. > O ast.fel inci1; oricare ar fi t avem 1

EIM(t-11, 1)

=

(t, cr)B(cr)ll[(cr)BT(cr)T(I,cr)dcr> O

\ ~

t- j,

(G.9)

69

Obsel'vaţh:

1.

Dacă

accesibilă

(A(.), B{. )) e'te .III(.) -uniform complet ea este şi .III(.) - uniform controlabilă. illtt"-

adevăr

&\M{t, f

+ ll.)

['+"'

= ),

= te şi pent111 cazul invll.riant in timp. Definiţia 3. PerecheO şi {.ti, B) este o pereche inv::~­ în timp complet accesibilă ::~tunci pereche::~ este M uniform pozitiv complet accesibilă. riantă

70

Teoremă. Dacă (A(.), B(.)) este Jl- 1 (.) - uniform complet accesibil(; atunci, pen1rn orice S ;;;, O avem

TI(t; T, 8) ,;;:; lil_;;:,(t, t

+ ~) + tlo(t, t + ~), t + ~
(.A-BR~'BTP, O) complet observabilă (după cum uşor se verifică algebrie). Aşa dar avem de-a face cu o ecuaţ,ie Liapunov (.A- BR-'BTP)"'P

în care

însă (.A -

Rezultă,

că

+ P(.A-

BR-'BTP) = -GTG


O ca unică soluţ,ie pozitiv

dei~f1;.-~devă.r

şi

două soluţii

definiţ_e. ~.

fie P1 P2 pozitiv Atunci pe baza_teoremei de mai sus A- BR-'BTP" şi A - BR-IBTP, sint hurwitziene. Avem

+ P,A- P,BR-lBTP, + Q =o A.TP2 + P,A- P,BR-lBTP, + Q =o ATP,

78

'1

de unde (A- BR- 1 BTJ5,)Tf),.+ !),(A- BR- 1 BTJ5,) =O Cll

/),. = J5,- J5, Avem

aşa

dar o

ecuaţie

FT!),.

de forma

+ f),.G =

cu F, G Jmrwitziene. Unica

!),. =

r

-H

soluţie

este

eFT1He"' dl

şi cum H =O=>!),.= J5,- J5, =O. Cu alte cuvinte unicul punct fi«, în conul deschis almatricilor pozitiv definite al aplicaţiei II (t, T,.) este P. Teorema 2. Dacă (A, B, VQ) este canonic atunei

(6.17)

pentru ecnaj;ia

dm -

dt

realizează

= Am

+ Bu(t)

m(O) = m

minimul (finit) al indicelui J =

~~oo (J!m(t)ll~ 2

care are valoarea

Jo

+ Jlu(t)!i),) clt

(6.18)

corespunzătoare

(6.19)

79

Dcmcmstraţic.

Fie TI (1; T,P). Atunci

li(t)

= -

BR~ 1 BT

TI (1; T, 'P) c1'(1)

este soluţ,ia optinml{L '' problemei Yariajionale (vezi capitolul anterior) speciale: r(O,a,,T,X;co) =

~

pătm1ice

llx(T)I];+

~

T

+ ~~ Jo[ ('d•t(l)l\11 +

llu(t)ll},)cll

1 !1 _.:_ oJT TI (O·, T.E' )m = - xT( T)E'•r( T) '

{) ~

clar IT (O; T, 'P) =

Făcînd

T

~>

F,

()

+

~

aşa că

w, ;t(T)-+ O, de unde

)'l')dl L Tv - - -l . )'"(ti·~( J- o o ,l,f. )ii'Q 'l ii·~( Uf.) n t--X X n n 1

~

o

~

J ro este tocmai valoarea minimă a lui J ",. Dacă prin absurd există J ro < J'" cauzat de a.Jtii comandă 11(. ), A

fie atunci

80

pentru care valoarea

J1

optimă

este

= x 1 IT(O; T,O);v

Atunci evident

J r?

,".,.IT (O; '!.', O).v

La limili\ cînd T -+ w [O,=] reznlt(L că

JT? "'TPm

adică

=

' 11(.) este considerată pe

Jro ~)J",? Joo

cecrt ce c.ste absmd. Teorema este complet demonstr,otă. St1 t,recen1 la, cazul general, variabil în tilnp. Unnă­ tom·ea teoremă în condiţii destul ele tari dă o imagine a comportării asimptotice n, soluţiei IT(.; T, S), S ?>O a eenaţ,iei genera,Je Ricca,tL T1•orcma 3. Dacă (A(.), B(. )) este R- 1 ( . ) - unijor1n paziJiD complet acccsibiltl, (A(.), VQ(.)), I -uniform pozitiv complet obscrvabUâ şi (1(.) > pi, p >O, atunci

1111 (t; T, 81 ) -IT(t; T, 8,)11 o 'J

se vede imediat ei\ A

11 -o

1) 2) Q ;;;, o 3) R >O (strict necesar pentru ca problema

să

fie

regnlată)

Se alege un pas de iterare Il > O. Se =

enlculenă

e[_f,-BR-~~n~0(T-c'l,T)=[Ou 9::!1

e"] 6::!~

care este permanent una şi aceeaşi matrice constantă. Atunci P(t- 6) = ( 821 + o" P (t)) ( 811 + 010 P UW', t = -kc'l, P(O) = S. Astfel formula de itemre este P 1,+1

= (801

+ 0" Pk) ( 0 + O" P,J11

1

,

P1

= 8y- O

6.6.2. llietocla ele rezolvare

e

eeuaţiei

algebrice Riccati

Această metodă a fost propusă de K.leinman [6.10] se bazează pe metoda generală Newton-Kantorovici ele rezolvare a ecuaţmor funcţionale in spaţii Banach. Deosebirea este de tip formal, dar în acelaşi timp detuon-

şi

st;rnrea

34

convergenţei

este

făcutft

în

condiţii

mai

uşoare

ţinincl

cont ele forma ecuaţiei algebrice Riccati. A.şa cum este cunoscut, cel puţin în cazul algebrei elementare, ecuaţia algebrică P(x) = O, in condiţii care se vor expune in c:lpitolul 9 admite o rădăcină (cel puţin) ca limită a şirului reenrsiv mk+ 1 = m,,- p- 1 (cc1J P(m1J k = 1, 2, ...

În cazul in speţă a ecuat,iei liniare

"'"+l

(6.31)

se vrt determina indirect ca soluţie (6.22)

cctl'e rtşa cum se va vedea conduce la o ecuaţie ele tip Liapunov. în consecinţă tehnica ele rezolvare se bazează pe apelarea succesivă a unei rutine (in cazul ele faţă Bingnlac) ele rezolvare a ecnaţiei Liapunov (in mod neinter,âtiv). Înainte de rt trece la algoritmul respectiv să demonstrăm unnătoa1·ea

·

Teort'mii. Fie

ATP +PA- PBR- 1 B 1'P+ Q =O ecnl!cJia Riccati, ur~de Q > O, (A, B, VQ) - canonic şi fie P unica soluţie pozitiv definită. Fie de asemenea K astfel încît (A - BK) este stabilă, iac· P* unica soluţie pozitiv definită a ecuaţiei Linpunov (A- BK)TP

Atunci

+ P("-1- BK) + K 'RE + Q =O 1

ecuaţia

(A - BK*)T P + P(A - BK*) + K~ RK*+ Q = O 1mde are o

unică soluţie

paziti,- definiti'> IT, nstfel incit (6.23)

85

iar A - BK* este stabilă. Aceasta revine în primul rînd la a

Demonstmţie.

arăta

că ecuaţia

cu

11 (t; T, O) are proprietatea

soluţia

Iim 11 (t; T, O)

există şi

este

că

finită.

T-+oo

Fie

aşadar

+ P*(A- BK) + KT RK + Q -P =(A- BK*)TP + P(A- BK*) + K~RK*+ Q O= (A- BK)T P*

de unde ~

-(P*-P)

=

T

(A-BK*) (P*-P)

1

T

(P*'-P) (A-BK*)-

-(A-BR-lBT p *)TP*-P*(A-BR- BTP*)-(A-BK)TP* + 1

+ P*(A!-JBK) + (K*- K)TR(K*- K)- 2 K~ RK* + + KT BTjP* + P*BK =(A;- BK*)T(P*- P) + + (P*- P) (A-BK*) + (K*-K)~R(K*-K)- AT p* + + P*BR- BTP*-P*A+P*BR- BTP*+ATP*-K''BP*+ + P*A- P*BK- 2P*BR- BTP* + KTBTP.+ P*BK 1

1

1

adic.ă

_......:....._

- (P*-P) =(A - BK*)T (P*- P)

+

+ (P.- P) (A- BK*) + (K*- K)TR(K*- K) Atunci T

= \ •O

86

etA-DK,)Tt

(K*-K)TR(K*- K) et-O

Adică altă

Pe de

P* parte

II (O; T, 0)=

> II (O;

1', O) V T

~: eO

deoarece (A, VQ)-complet observabil. Se vede că atunci II (O,.,O) este monoton-crescătoare şi nuiTginită. !n consecinţă lim (O, T, O)

=

II >O

T-+~

şi

evident

înseamnă că

(A -

avem

BK*)T II

+ II (A -

BK*) = - K~RK,- Q

cn (A, VQ) - complet observabilă, adică (A - BK*) stabilă.

1

!n definitiv II=

Ce!A-BK,tTO, adică există p-l

92

B) este complet

controlabilă

Atunci (A -

+ Po(A- BK )T =(A- BR- 1B 'P0 1)P +

BK,)P 0

-1- P 0(A 1

1

0

0

P 0 1 BB- 1BT) = AP0 -1- P 0 A. T -'JBB- 1 B'' _

-

= \"'(Ac-A'BB- 1 BTc-ATI -1-

e-~ 1 BB- 1 BTc--' 1 ' 1 A 1 ')dt-

·O

- 'JBB- 1 BT

=-

('~e--41 BR- 1 BTe--1 T1 dt-

J, dt

(e--' 0 BR- 1B 1'e-ATo

= -

+ BR- B 1

'JBB- 1 B 1' = 1')

Cu alte cuyinte (A - BK 0 ) P 0 -1- P 0(A - BK0 )T = -(c-A 0BR- 1BTe--ITo -1-1- BB-1BT) adică-

se obţine o ecuaţie Liapunov dua-lă, cu membrul drept semipozitiy definit. Rămîne de arătat că perechea (A - BK 0 , L) este complet controlabilă, unde

Să

presupunem prin absurd eli existl'o x =f= O astfel ca ,~r \' 0-rA-m;:0 JI ( 0 -.-lo BR-1 BT 0__.,r,

+

•O

+ BR-'BT)e-r-'-BKoJ'''dt x =o

sa.u eă Brc-r.-1-BKoJT! x=O, eeea ce înseamnă că (A -BK.,B) nu este com11let controlabiliidenţiază determinarea soluţiilor pentru cazuri simple ale ecuaţiilor Riccati diferenţirrlă, respecti> algebrică.

Exemplul 1. Fie sistemul scalar

X= -X+ u şi

indicele de

performrrnţă

+\T ( 2+

J =

x

-

11

2

)rltj

•O

Se cere să se calculeze soluţia ecuaţ,iei diferenţiale Riccati corespunzătoare problemei de optim formulate. Se >ede imediat că .A.

=

-1, B

=

1, Q = 1, R

=

1

Necunoscuta P a ecuaţiei Riccati se >a nota cu p care este o funcţie scalat·ă. Ecuaţia diferenţială matricială Rict din:rselor restrictii de rer~lizr~bilitr~te sr~u de identificare a, parametrilor ·sistemul ni considerat. A~a încît ana,liza ~i f::inte.za unor sistJmne 1iniare snlwpt-.inutle este nr~tumltt şi, totodată neccsr~ră din Jmnct de vedere practic. Pentru olJţinerea unei r~precieri a, perfornmnţ:elor sistemelor snboptimale se vor intmduce noţiuni speeifice acestora., cum este, de exemplu, gradul de suboptima· li tate. in acest mpitol se vor analiza < auxiliară. Tmcte comenzile sulJoptimale construite au un grad de snboptiJnalitate impus; grallul de snboptimalitate se determini'; prin metodele da.t.e in paragraful 7.~. Exemplele de caleul date verifiei't reznltrttele stabilite. de calcul ce permit

100

7.1. Formulm·ea problemei 1le cmuluccrc suhoJ>timală Jlroportională

În cele ce urmează ne Yom referi b sisteme liniare continue, cu stări măsurabile, a căror performanţă este evaluată printr-un indice de calitrtte pMratic. Formubrert problemei optimale liniar-pătratice considemte este urll1ătoarea, : Fie sistemul liniar camcterizat de .ic(t) = A(t)a•(t)

+ B(l)u(t)

(7.la)

m(/.o) = "'o şi

!f(l) = O(f),v(t) (7.lb) unde w(t) reprezintă un vector '//-dimensional, 11(!) un vector •·-dimensional, !f(t) un vector m-dimensional, iar A('), B(t) şi O(l) sînt matrice de fornm, nxn, nxr şi, respectiv, mxn, eu elemente continue pe intervalul [t," ti]. Se urmăreşte determinarert comenzii optimale n* (l) care minimizează indicele de performanţă pătratic J(u)=x''(ti)Ji'w(ti)

-1-

r

[!i''(t)Q(t)y(t)-1-u''(t)R(t)u(/)]dt (7.2)

'"

unile nmtricelc }I',Q(t) şi R(t) :;înt matrice simetrice, pozitiv !lefinit;e, de forma 11 X n, m x 11, şi, respectiv ,. x ,. ; matricele Q(t) şi R(t) sînt matrice cu elemente continue pe intervalul [t 0 , ti]. Se presupune că ti este fixat şi nu există restricţii asupra comenzii 11(1). După cum este ennoscut [7.1], [7.2], comamla optimală 11*(t) este dat.ă de relaţia ·11'1'

unile matricea pozitiv Riccati

unică,

K(l.)

(t) =

-R~ 1 (t)B''

(t)K(t)x (t)

(7.3)

simetrică Ii(t), de forma n x n, este soluţia definită a ecuaţ.iei matricea,le diferenţiale

+ ~F (t)J[(t) + K(l.) A(I.)-J[ (I)B(I) B- (1) B'' (t)Ii(l) -11

-1K (1,) =li'

O'' (1) Q(t.) O(t)

=

O (7.'1)

101

Yalof1rea.

minimă

a indicelui de

performanţă (7.~)

este: (7.G)

iar sistemul optimal in einmit; închis vn. fi descris ele

:v (t) =

[11(1)- B(t) R- 1 (t)B" (1) K(t)] x(t)

(7.fin)

şi

(7.6b)

y(t) = O(t)m(t)

Se consideră următoarea problemă optimnlă duală în raport cu problema optimală formulată mai sus. Fie sistemul liniar caracterizat de Â

+ (!T(I) 11{1)

A

1'1.

m (1) = - 11'(1) a•(t) A

(7.7a)

A

m(lo)=mo şi

Ît (1)

= B'' (1) ~(/)

(7./b)

A

A

nmle ;r(l) reprezint.it un vector n-dimensional, 11{1) un vector m-dimensional, y(i) un vector 1·-dimensional iar A(l), B(t) şi 0(1) sînt matrice de forma 11 >< 11, 11 X,. şi, respectiv, 1n x n, cu elen1en1!e continue IJC intervalul [1 0 , 11 ]. Se mmărcştc determinarea comenzii optimale ~*(t) care nlinimizează, fnncţ~ionala A

unde matricole P, (J(t) şi R(i) sînt matrice simetrice, IJozit.iv definite, de fonna 11 >~u, 'm>ia unică, pozit.iv definită a ecuaţ.iei matriceale diferentiale liniare : QT(t) 11Î(t)]- [ - A''(l)-

A

Y(l,) = p-1 1~inîncl

(7.19)

seama c:1 K(l) '( Y(l)*, A

(7.20)

V tE [1 0, 11]

(7 .21)

A

K(l) '( Y(t), rezultă

!,fiE [1 0, 11 ]

ert A

y-'(t) '( K(t) '( F(t),

\'tE [10, tf]

(7.22)

În cazul problemei invariante în timp cu timp final infinit, matricele constcant.e 11! şi 11Î trebuie să fie alese " Prin defini(.ie, dac;"t .A şi B sinl matrice simelrirc, nl.unci prin inegalitatea .A>.B (A>B) se în[elegc 1::i matricea .A-B cslc pozitiv dcfinilti (scmîdefinilă).

105

A

astfel încî1; mairi cele (A- B11I) şi, respectiv (-A 7' - QT J1I) să fie stabile; nmtricele cost constante Y şi V sînt elate ele ecuaţ,ii nmtrieertle liniare de tip Liapunov şi anume Y(A -BJli)-1-(A -BJJI)'T +O''QC şi, 1\

+ Jll"R111 =o

(7.23)

respectiv, A

A

A

A

1\

Y(- .1F- O''Jlf)-1-( -AT -QT Jlf)Y -1- BB- 1BT -1- Jll"Q- 1 J1I =0 (7 .24)

Deîini[ia l. Numim gratl llc snboptimalilaJc (imlicc tlc subo1Jiimalitatc) a comenzii proporţionale (7 .1.1) numo'irul rertl pozitiv p pentru care avem J (1lrJ ~ pJ(n*)

(7.25)

pentrn orice m" unele performanţele ,J(nL) şi J(n*) sînt date ele relaj;iilc (7,15) şi, respectiv, (7.5). Oomando1 proporţională (7.14) cu un grad ele snboptimalit.ate bine determinat p se numeşte comanclă suboptimalt! ( p - 81lbo11i'imală ). Ţinînd seama ele definiţia ele mai sus şi ele relaţiile (7.fi) şi (7.15), rezultă că indicele de suboptimalitai•e p satisface inegalitatea 111atriceaJă Y(t 0 ) ~ pKUol

(7.2G)

Reciproc, satisfacerea inegalităţii ( 7.2G) implieă îmleplinirea condiţiei ( 7,25), Ott o consecinţă imediată a definiţiei lreznltlt c[t indicele ele suboptimalitate este supmnnit[1r; [1Cest lncru este adevărat ehtorită faptului că, prin definiţia comenzii optimale, există inegalitai;ea (7 .20), Ddini(in 2. Numim gracl ilc Bllboptimalitatc minhn al comenzii proporţ.ionale (7.H) cel mai mic număr real pozitiv p pentru care avem (7.27)

pentru orice m" unele perfonmm(:ele J(11L) date de relaţiile (7.15) şi, rcspeetiY, (7.5). 106

şi

J(u*) sînt

Prin construcţia, unei comenzi suboptinmle proporţio­ nale pentru problenm optinmlt\ liniar-pt\tmtict\ (7.1), (7.2) se urmăreşte determinarea nnei comenzi suboptimale proporţionale (7.H) cn nn grad de snboptinmlitate minim impns. Este evident crl, obţinerea nnei comenzi snboptiInale cu un grad de suboptin1n,litate 1na.i 1nic sau egal cu gradul de snboptinmlitate impus implict\ antomat realiza.rea aeestui deziderat, deoarece

-p

tlcul efectuate [7 .11], s-a constfltat cii deviflţia relativă a gradului de suboptimalitate (ealeulat; prin utilizarea problemei duale) faj;:\ de gradul de whoptimfllitate minim scade ocht}> cu apropiercfl gradului de wbopt.imalitate de valoam:c 1 ; totod:ctă in toate exemplele efectuate deviaţia relativă n-a depăşit 10%. 7.3. l\Ietmle de determinare a eOIUNlzii suhoptimale proporţionale

Dacii in 1mragmful anterior s-au prezentnt metode de calcul al gmrlulni ilc suboptinmlitate pent;m o cmmmcl{, ]Jroporţională datlî, în continuare se vor analiza metode de constrne(ie a unor comenzi snboptinmle proport;ionale eu grad de snhoptimalitate impus. Se vor prezent~ algoritmi pentm r·onstrueţ.ia comenzilor suboptim~lc proporţionale bazate pe considern.rett unor subwlui;iijsupmsoluţ.ii ale ecnaţici nmtriccale diferenţiale (algebrice) Rieeati. Toate rezultatele ob(inute in eazul problemei optim~lc variabile in timp cu timp fixat, vezi pma.graful 7.3.1, se vor refommla pent,rn problcmO

şiF>O

Vom arittl1 că nmtricea L(l) t1stfel determinată este o subsoluţie l1 emmţiei nmtricellle rliferent.in,le Hiccati. Intrltdevăr, din rclaţb (7. 64) reznJt,ă că

L (t) + L

(t) A (!)

-1- A 1'

- .L (t) B (t) R-' (1) B'' (t) .L (1)

=-

[.L (1) -

+

L (t) C (t) Q (t) C (t) =

(t)

1 '

N (t)] B (!) R- 1 (!) B'' (t) [L (1) -N (1)] '(o

şi

L (!1 ) = F

(7.67)

119

deci matricen. L(t) satisfnce definij;in, 1111ei subsolnj;ii a ecunj;iei matrice:tle diferenţ.iale I{icca.tL Calculul efectiv :ti nuci subsoluj;ii a emmţiei matriceale diferenj;iale Hiccati se reduce la rezolvarea ecuaţ.iei matriceale diferenj;iale liniare cu condij;ie finală (7.64). Procedeul de obj.inem a unei subsoluţ.ii a ecuaţiei matriceale diferenţiale Hiccati derivă din metoda iterativ:\ ele rezolvare a emmţ.iei nmtriceale diferenj.iale mccati prin aplicarea metodei Newton-I{aphson. Pentru construcţ.ia unei suprasoluţii a ecuaţiei matriceale diferenj;iale Riccati, vom considem o matrice simetrică, de forma n x n.rbitmră, ll(t), cu elemente continue pe intervalul [1 01 t1] şi ma1;rieea. simetrică, de forma

·n,

A

n x n, L (t) care este j.iale liniare ;.,

L (t)

"+ L" (t) H" (t) + JJT

-1-

i

(tfJ

N (t) 0

1 '

solnţ.ia

ecun.j;iei nmtriceale cliferen-

" (1) L (1)

(t) Q (1)

-1- B (1) R- 1 (1) B'' (t) -1-

c (1) N (t)

=

o

(7.68)

= p-1

unde s-a notat

= - AT(t) - C1'(t) Q (t)

IÎ (1)

c (t)

(7 .GD)

Şi

în acest ca.z trebuie s(i, subliniem frbptul că matricen. L (t) este matrice:b cost ataşată comenzii proporţionale A

A

/IL

A

(t) = - Q (t)

c (t) N

A

(1) "'(1)

(7.70)

pentru problema optimală duală (7.7), (7.8). Din rezolvarea ecnaţie.i matricea!; difcrenj;îale liniare (7.68) se obj;ine matricea simetrictb L (t) care este pozitiv definită deoarece

N (t) C'' (t) Q (1) j,r (1) + 120

B (1) R- 1 (1) nr (t) ;;;:,

o şi ]J'- 1 >o

A

Totodată,

matricea L (t) este o suhsolnţ.ie a emmţiei nmtricealc diferenj;iale Riceati iluale deoarece relaFa (7.68) se poate pune sub fomm Â

A

;"

L (t) - A (t) L (/) - L (t) A ''(t)

+B

(t)R' 1 (t) B'r(t) -

- L (t) C''(t) Q (t) c (1) L (t) = - [L (t) -it (1)] CT(I) Q (t) C(t) [L (1)- ii (1)] J' se \'[1 determina indicele de snboptimalitrLte nJ comenzii proporţ.ionale (7.69) utilizînd rehLj;ia p = ).",.xfL1,,.,(t 0 )L"+ 1 (1 0 )]

= ). "","'[L~c+I(I 0 )L,,, 1 (t 0 )] (7.7J)

Dacii indicele de suhoptinmlitate astfel obţinut este mai mic decît indicele de suboptinmlitate impus atunci procesul itemtiv se opreşte, în caz contmr procesul item tiv

122

se continuil, pînă la obţinerea unei comenzi suboptinmle cu un indice de subopthnalitate nu1i 1nic sau egal cu indicele de suboptimalitate impus. În sfîrşit, se poate pmpune un alt procedeu iterativ pentru construcj;ia unei comenzi suboptimale proporţ,immle cu un grael de suboptimalitate impus, mwe sil, se bazeze pe constmcj;ia altemativă a unei subsoluj;ii a ecuaj;iei matriceale diferenj;iale Rieeati şi a unei suhsoluţii a ecuaţiei nmtriceale diferenţiale Ricc"M duale. În acest caz fiecare snbsoluţ;ie construită a ecuaţ!iei 1natriceale diferenţiale l~iccati serveşte drept condiţie iniţială în eonstrucţia unei sulnoluţ;ii a ecuaţiei matriceale eliferenţiale Riccati duale şi reciproc. IVIai precis, dacil, L"(t) este o suhsoluţie determinată a ecuaFei matriceale Riccati la

iteraţia

k, atunci

.

L~:(t)

se va cletern1ina elin

ecna,ţia

matricealil, liniară (7.68) în care N(t) = L,;'(l); iar dacă

L"(t) este o subsoluţie determinată a eetmj;iei matriceale diferenţ;iale Riccati duale la iteraj;ia k, atunci L"+ 1 (t) se Ya determina elin ecuaţ,ia matriceală liniară (7 .o,;) în care N(l) = i,;'(l). În acest caz calculul gradului de subopti-

nmlitn,te se va face utilizînd una elin rcla.j;iile fifl:U

P

=

.

\nnx[L,,(lu)L,,,+l(lu)]

=

.

următoare

),"'""[Lkil(lu)L,,(to)J

:

(7.75) (7.76)

acest; lucru clepinzîncl de faptul dacă a avut loc o trecere de la problema optim:tlii In, problema optinmlil, clualii sau, respectiv, treccrert a avut loc ele la, problema optimală duală la problenm optÎlll[tlă. Procesul iterativ se va încheia în momentul obţ.inerii unui grad de snboptilnalita.te 1nai 1nic sau ega.I eu grn,dul de suboptimalitMe impus. 7.3.2. Cazul- problem.ci optinwle iuvariaulc 1-·n tin1p cu timp final infinit În continuare se vor rLnaliza nunut.i 1noclifieările ee intervin in C3·Zlll problemei optimale Î!wm·iante in timp

cu timp final infinit faj;ă de J1roblema optimală variabilă in timp cu timp final fixat. Presupunem că sînt îndeplinite condij;iile enunţate în paragraful 7.1. De la început trebuie să menţionăm necesitatea îndeplinirii unei condiţ;ii suplimentare şi anume dacă comanda suboptimală proporj;ională este u,(t)

= - Jllx(t)

(7.77)

unele Jll este o matrice constm1tă, de forma ,. >c n, atunci matricea (A - BM) trebuie si\ fie stabiliL O condiţie similarr\ existi\ şi pentru comrtnda suboptimali\ duală ;;,(t) = ' unde jll este o rna.trice

ii.r (t)

conf·rtn.ntt~;

(7.78)

de fonnn. ·m x n,

şi

anume, trebuie ctti dn>tle. In >tcel>tşi timp >tYem L- 1 (-A'"- CTQCL- 1 ) +(-A''- C1'QCL-'JT L- 1 = = - BB- 1 B 1' - L- 1 CTQCL-' -L- 1 JJ 1'JJL- 1 ; : - W8 tt că (7.83) este o ecu>tjje nmtrice>tlă de tip Liapnnov şi deoarece L- 1 >O şi 8 1'8 >O rezultă c:1 matricea ÎI este st>tbilă. Observllfic: În reh>j.ie (7.10) se poat.e consitlcm JJ 1'1J> o, rhcă este îndeplinită condiţia suplimcntrm"L c:t

Silnilar, pentru IJroblmna duah'"'L a.ven1 Ul'nuttoarea IJl'Opoziţie:

PropoziJia 5. Dacă m>ttricea constantă., simetrică, de fornm n X n, pozitiv definită L este supmsoluj;ie a ecun.ţiei matriceale algebrice Hicct1H chmle, adică :

'

>ttunci mat.ricea L- 1 este o subsoluţie a ecmtj:iei matricet1le algebrice RiccMi şi, totodată, mt1tricca H este sţabilă, unde H = .A. - BB- 1 B''L-'

(7.85)

Demonstraj;ia propoziţiei G este simihtră cn demonpropozij;iei ·L l'ropozi!ia 6. Dacă m>ttrice>t constantă, simetrică, de forma n >< 11, pozitiv definit.i\ L este subsoluţie a ecuaj;iei 1natJriceale algebrice Hiccu.ti, adică stmţ.i>t

A''L -1- LA - LBR-'B''L

+ CTQC

= -

JJ 1'1J0

(7.87)

Demonstraţii• : Înmulţind la dreapta şi la stinga relaj;ia (7.86) cu matricea L- 1 şi schimbînd semnul se obţine

-

L- 1 ~F-

AL- 1 -f- BR-1BT- L-IQTQQL- 1 = (7.88)

deci nutricca L- 1 este l1lgebrice R leca ti rhulle.

snprasolnţia ecuaj;iei Totodată a•em

nmtriceale

= - L- 1 (A TL +LA + 20 7'QO)L-l = - 8"8 < o (7 .80) presupunînd concliţift (7.87) îndeplinită. Se obsetTă că (7.89) este o ecunţie llllttriceală liniară ele tip Liapunoy şi deoarece L- 1 >O şi BTB >O rezultă că nmtricca IÎ este stabili\. ObseTvatie: În relrcjirt (7.86) se poate comiclcm şi semnul

egal. Similar, propoziţie

pentru problema clual:l anm

următoarea

:

ProJ>oziţia

7. Dacă matricc:c constantă, simetrică, de forma 11 X n, pozitiv definită L este mbsolnjie l1 ecnaţiei n1atrieeale algebrice TiiccaH dnale, adică,

12G

A

atunci matricea. L- 1 este o snpmsolnţie n, ecuaţiei matrireale algebrice lUccati şi, totodfttii, nmtricea li, dată de relaj;ia (85), este stabilă,, in ca,zul indeplinirii condiţiei

-AL - LP' + 'JBB-I B >o 1

la

Demonstmj.i>t propoziţia G.

propoziţiei

'

(7.91)

7 coincide cu aceer1 folositi:\,

Obscrvnfie : În propoziţiile J -7 este suficient ca nmtriceit Q să fie pozitiv semidefinit.ă (şi nu pozitiv definit:1), dneit se lncreitză eu eenatht nul,tricea]ă, a,}gehrkă Hiceati şi eu eena1~hu n1a1Jricca.lă algebrieă, Riecn,ti dua,}fi., fă,rf't, a, enunţ" problema optinmlă dmtlă. Pentrn consirncţb unei subsoluj;ii a ec•nitjiei matriceale tulgebrice JI.iecn,i!i vmn consider:u o n1atricc eonf:d:u,nfiă., de form:1, r >< ·n., Jll0 astfel ca, n1atdccfb (7 .92) să fie stabilă; formularm1 problemei optimale asigură existenta nw,tricei .ili0 • Pentru 7~~ = 1, 2, . .. , considerăn1 1natrieea eonstantă,, de fornw, n X n, L 1,-;. 1 solutia ecua.ţiei n1atriceale liniare de tip J_jia.punov

(7.93)

unde (7 .94) şi

(7.95)

Ut.ilizinrl ucecaşi descompunere a reia.jiei (7.fJ3) ca în cazul problemei variabile în timp cu timp fi1ml fixat, vezi relat.ia (7.H7),sc }Joate arăta că, Ina,trieea LH 1 este o subsolnt·ie a ecmuţ;iei nutt.ricealc algebrice Riecn.ti şi, totodată, că nmtrieea. II1,+ 1 eKte stabilă. De fapt relajoh> (7.03) se poate deduce din metoda de rezol.-n,re itemtivft Newton-R..rt.phson a ecnat-iei mat.riceaJe algebrice Riecati. 127

De rtsemenea, se poate c1emonstm

că există

inegrtlibtert

[7.13]

Ii. < L,..",-I Ceale n:lg-ebrice Riccati constă în efer.tuarea Ul'lnătoarelor etape : ·(a) .Alegerea unei matrice constante, de forma ,. X n, jJ:[0 astfel ca matricea H 0 , dată de rclaţirt (7.82), să fie stabil:l. (b) Rezolvarea succesivă a ecuaj;iei mrttriceale liniare de tip !Jiapunov (7.93) pînă Iri itemj;ia 7.: prefixatii. Comanda proporj.ională bazat(< pe sulwoluţ.ia L,, este

(7.97) Pentru constrneţ.ia unei snprasoluţii a eeuaj;iei matriceale algebrice Riccati se va construi o subsoluţie a ecuaj;iei matriceale algebrice Riccati c1uale care satisface condiţia suplimentară dată de propozij;ia 7, vezi relaţia (7.91). Fie o matrice constanti't, de formrt m X 11, jJf0 rtstfel ca matricea 'I (7 .!JS) I'ro~..·1.7'- - C' 1' J'o să

fie stl1bil{t ; fonnnlarca problemei optimale chmle asignră existenj;a mrLtricei ii0 • Pentru le = O, 1, 2, ... , considerăm Inn.tricea constantă, de fornuo n X n 1 Lk+l solnţ,ia ecuaţiei matriceale liniare de tip Lirlpunov

unde • ·t'' Hj,=-I

C''' ':[A 'J.,,

(7.100)

şi

(7.101)

128

Ţinînd seama de propozij;i;t 7, rezult•1 eă matricea Lk+l este o supmsolnţic a ecmtj;iei matricealc algebrice Riccati dacru este satisfăcută condit;ia (7.102) Construcţ.ia efectivă a unei supmsoluţ;ii a ceuaj;iei matril~icc"'ti constă în efectum·ea următoarelor

ceale algebrice etape:

A

(a) Alegerea unei matrice constante, de forma mxn, JII 0 A astfel ca matricea II" datit de relaţia (7.98), să fie stabillc. (h) Determinarea unei nmtrice L 1;+u k =O, 1, :J, ... , care satisface condiţ;ia (7.102), prin rezolvarea eemtFei matriceale liniare de tip r~iapunov (7.fl9). Condiţ.i"' (7.102) este îndeplinită în cazul comenzii optimale duale, fapt ce justifică. aplicarea, procedeului itcratiY. A (c) C"'lculul nmtricei inverse L;;-;, pentru mrttricea determinată hl punctul (b ), ertre este supmsoluţie " ecuaţ.iei 1nat,ricea.lc a.lgebrice Uiccati. Comancl:t proporţională bazată pc suprawluţ;ia calculată este (7.103) 11 1, (1) = - B- 1 B'' L,~;, x (t) A

Plecîn(l de hL algorit1nii lH'Czenta,t,i nmi sus pentru conunor sobsoluj".ii şi suprasoluj;ii rtle eClmţiei matriceale algcbriec R,iecat,i se YfL rcalizfL construcţia, con1pleUi a unei comenzi su boptinmle proporţ;ionalc eu un gr"'d de suboptimalit"'te impus, dac(t se va sveeifica modul de oprire "'vrocesulni jj;erativ astfel încît comamh proporţio­ nală să aibă un grad ele snboptimfLlitate 1nai 111ic su.u egal cu _gradul ele "uboptimalitn.te impus. In principiu, toate procedeele itemtivc pentru construcţb comenzii suboptimale eu un grad de suboptimalitate impus, mcnj;ionate în c"'zul problemei optinmle varbbile în timp cu timp fimtl fixat;, se pot aplie>t direct şi in cazul problemei ovtinmlc inv>trirmte în timr' cu timp final infinit, cu observTtţ~ia cft In prilna Hcratic trebuie sit se strucţia

9-C. :!OU

129

aleagă. o conmmli't proporj,ională care stabilizează sistemul respectiv. Aşa. ine]t, in cele ce nrinează nu se vor n1ai repeta procedeele menţ,ionate în paragraiul 7 .3.1, ~i se va prezenta Jmnmi metoda propusă de IC!einman [7.12] pentru inipa.Iizm·ea procesului iterativ. Procedeul propus de Kleinnmn pentru determinarea unei matrice JI, astfel ca matricea (A - BJJI) să fie stabilă, se bazea,ză pe următoarea propoziţ.ie:

PrnJloZijia Il. Dacă se consideră perechea (A, B) complet controlalJilă, a.tnnci matricea Jlf dală de relaj;ia

JI = BT

w-

1

(t1 J

unde (7 .105)

conduce la o ma.trice (A - Blli) sta.bilă. Drn1onstra1ie : Considerărn expresia lnatricea.Iă

fl ., e- 3 T ' ) 1l infinit, adidi ,; (1)

=

optimală invariantă

în timp cu

Acc(t) -1- Eu (t)

:c(O) =

y(t)

=

;1'0

Cm(t)

şi

~~

J(u) =

[yT(t)Qy(t)

+ u' (t)Ru(t)] dt

.(]

Exemplul 1 : Fie

A=[ O -~J =J -l

(J

[1

n

=[o

,R

=[~ ()] 1

'

1

~)]

,O=[l

S-au obţ,inut rezultatele: (a) Subsoluţ,ia emmj~iei nmtrieen,le algebrice Iticco,ti, două iterajcii, este L _ [

iar conmnda

1,335G91G -0,3507J278

132

după

-0,35074278] 0,68299208

suboptinuolă es1~e

--R-IBTL•( )--[-0,3il07L.978 ''" (f ) ,r, t -

"

-:3]

1,33iJG9Hl

0,68:39920. 81 ( ) -0,35074278 '" t

care are graelul ele suboptimalitate p = 1,0037152. (b) Suprasoluţ.ia ecuaţiei matricerole algebrice Riccati, după 3 iteraţii, este

i - [

-0,38109613] 0,65668585

1,232608 -0,38109613

m· comanda suboptimroli\ este ,; (t)=- R-' BT Lx(t)= _ [ -0,38109613 0,65668585] x (t) ' 1,232608 -0,38109613

care are gradul ele suboptimalitate p = 1,005702. Exemplul 2 : Fie

A= [

~ ~ ~]

-1 -2

,B =

-3

o o

l1r~]

1

l

,0= ~

~l ,R =

1J

[1]

S-au obţ.iuut rezultatele : (a) Subsoluj;ia ecuaţ.iei matriceale algebrice Riccati, 6 iteraţii, este L

=

1,9509515 1,8921861 [ 0,43781331

1,8921961 5,0038385 1,3020153

0,43781321 ] 1,3020153 0,563,18902

iar comanda subop1;imaH\ este 11, (t) =

= - [0,43781321

-

R- 1 BT LiV (!) 1,3020153

=

0,563,18902]

X

(t)

care are gradul de suboptinmlitn,te p = 1,1039253.

după

(b) Snpr11soluj;ia ecuaţiei matriceale algebrice Riccati, dup[t 3 itemţii, este

i

=

1,424548 o,98oo7254 [ 0,15394026

0,9800725,( 3,2428147 0,73711393

0,15394026 ] 0,73711393 0,38086593

iar comanda suboptimalii este

~~. (t) -

-

= -

[0,15394026

R-r BT Lx(t) 0,73711393

=

0,38086593] x(t)

care 11rc gradul de suboptimalit11te p = 1,0225706. ExemJilul 3 : Fie 1 1

oo]

,a= [ o o 1 o o o o 1

Q=

"

[~

o

~]

1

o

,R = [1]

S-au obţinut rezultatele: (11) Snbsoluj;ia emmţiei algebrice Riccati, dnpii 10 este: 4,041948 7,7725265 L = 7,7725265 18,203200 [ 4,6062686 14,158180 0,7924504 2,7750370

i11r conmnda

snboptimală 11,

- [0,7924504

134

4,6062686 14,158180 15,483035 3,2752326

itemţii,

j

0,7924504 2,7750370 3,2752326 0,85783191 -

este

(t) = - R- 1 BT L.v(t) = -

2,775037

3,2752326

0,85783191} X (i)

care are gri~dul de suboptinmlitate p = 1,0017617. (b) Suprasoluţ;i[l ecuaţiei matriceale algebrice Riccai;i, după G itemţ;ii, este 3,6996355

i

=

7,0654102

,1,2017354 16,399361 12,685745 12,6857 45 13,798267 2,•1784191 2,8943124

7,0654102 4,20173/H -0,72572072

iar comanda

suboptimală A

11,

(t)

- [0,72572072

= -

este A

R- 1 B~ Lx(t)

2,1784191

0,72572072] 2,•1784191 2,8943124 0,7691568•1

= -

2,89•13124

0,76915684} x(t)

cttre are gradul de suboptimrtlitate p = 1,00.3105. 7.4.

lleto•lă

de determinare a comenzii

snboptirnale

]ll"oporţional-intll[lrale

1n acest pi~ragmf se va trata problema sintezei tmei comenzi suboptimale proporţional-integrale pentru problema optimillă liniar-po;tmtică invilriant[; în timp cn timp final infinit, cilre va conduce la o pcrformanţ.ă linboptimală cn un grad de suboptimalitilte impus. Fol"lnularea problemei suboptimille consideri~te este urmă­ toarea. Fie sistemul linim· descris de :i:(t) = Ax(t)

-1-

B11(t)

.v(t 0 ) = m0 (7.111) unde m(t) reprezintă un vector n-dimensional, 11(t) un vector 1·-dimensional, iar matricole constan1;e A şi B sînt de forma n X n şi, respectiv, n x r (1· ,;;:; n). Se urmă­ reşte să se determine o comandă suboptimală proporţional­ integrală de forma ·n,(t)

= G1m(t) -j-G 2 ( '

J,,

m(s) ds, Vt

>

t0

(7.112)

unde G1 şi G2 sînt matrice constante de forma ,. X n, astfel încît să fie minimizat "aproxim10tiv" indicele de

per:formanţ.ă

J =(ro [mT(t) Qm(t) -1- nT (t) Rn(t)]dt

J,,

(7.113)

135

Presupunem eă sînt îndeplinite următoarele condij;ii uzuale (a) Perechea (A, B) este complet controlabilă (b) J\fatricea constantă Q, de forma n x n, este simetrică pozii;iv semidefinită (c) l\fatricea eonstantă R, de forma 1' X 1·, este simetrică pozitiv definită (d) Perechea (H, A) est;e complet observabilă, unde nmtrieea Il satisface relaj;ia H 1'II

=

Q

Se urmăreşt;e determinarea unei comenzi suboptimale de forma (7.112) pentru care G2 =/=O; sistemul suboptiml11 obj;inut trebuie să fie stabil. În scopul rezolvării problemei suboptiml1le formulate mai sus se va considera următoarea problemă optimală a.uxilia.ră. Pentru sistemul (7.111) se va determina o comandă optimală care minimizează indicele de performanţă auxiliar (7.114)

unde Z este o matrice const;antă, simet;rică, de fornm x '1', pozitiv definită, iar condij;ii!e (a) - (d) sînt îndeplinite. Rezolvarea acestei probleme optimale auxiliare se va face urmind metoda propusă de :i\Ioore-Anderson [7.H].

1'

Notă1n

A

.

;1'(/)

=

[x(t)]. , 11(/) = H(t), A

Q= t3G

A=

,

A

11 ( t)

[oQ

o],

B,

[A

o (7.115)

A

A

A

A

A

A

unde elementele introduse x(t), 7tă ele (7.118), sistemul (7.116) devine

relaţii>

A

A

(7.124)

m(tu) = '"o

unele matricea 0, ele forma (n + T) x (n + r), este valoarea indicelui ele performanţă (7.117) este A

A

stabilă;

A

J* = xtTP1 indici ele pel"fornmn\'i"i cît 1nn.i f!lpropiaţ;i printr-o alegere convenn.biH1 n. nu1,tricei pondere Z, şi, silnuliia.n, clinmniea celor două cmnenzi

fiind cit nmi apropiată. h Relaţia ( 7.112) este eelil valent[L cu reia ţ,iile

'rinînd asi;fel

seamr~

'*) =

G1.r(t)

11(1 0)=

G,:t(/ 0 )

Din identificare:L

(7.132) (7.133)

rcla,ţb

de (7.111),

zi(t) = G1 Bn(t)

+ G,m(t) (7.132) se

+ (G A + G,).T(t)

relr.ţ;iilor

1

(7.123)

şi

(7.134)

z- 1 P,, G, + G, A = + z- 1 P 31 din identificu,rea

relaţ;iilor

(7.126)

şi

scrie

(7 .134) rezultă că

(7.135)

G,B = -

şi

por~te

(7.136) (7.133)

rezultă că,

(7.137) Hezolvarea "ideali\" a problemei subopi;imr.le constă în satisfacerea, simultană a ecuaţiilor matriceale (7.119), (7.135), (7.136), şi (7.137) pentru care avem necunoscutele P, z, G1 şi G,. Un bihmţ; general al numărului de ecuaţ;ii şi al numărului ele necunoscute conduce la egalii;a ten, ;ocestora, clar totuşi trebuie ţinut seama că matricole Z şi P sint nmtrice simetrice, pozitiv definite. Din nefericire rezolvarea, simultană '" emmţiilor (7 .119), (7 .135) - (7 .137) nu este posibilă, în cazul restricţiilor susamintii;e, a.şa încît se va propune rczolvttrea unor probleme suboptimn,le {'.are să urnlăren.scrt. satisf:ocorert nunu1i it trei din relaţ>iile (7.119), (7.135)-(7.137) şi îndepliniren, condiţ,iei ca matricele P şi Z să fie simetrice, pozitiv definite, în i;imp ce cea de n, prttm rob ţie este n,proxinmtiv îndeplinită. Pentru n,signru,rea stn,bilităţ,ii sistemului subopl;inml este suficient să se alertgă matricea Z simetriei\, pozitiv definii;ă, mn,i;ricea P s[L se detormîne elin ecun,ţ;ia (7.119), iar matricele G1 şi G, să se determine din rebţiile (7.135) şi (7.136). 14.0

Noîmlopliniren, robţiei (7.137) este consecinţn, n,legerii unei ·u(t 0 ) neoptinmlo şi are ca efect deteriomrea

condiţii

performanţ;ei obţ.inute.

În continum·e se ·vor analiz11 mimuoa mn,tricclor Z, P, a1 ohservn,ţ;iilo de nmi sm.

două variante IWntru deterşi

a"

luind in considerare

Farianla 1 (1) ecll:1ţ.iilo (7.1HJ), (7.136) şi (7.137) sint s;Ltisfăcute nmtricele P şi Z sint pozitiv definite. (2) ecuflţ.in, (7.13u) este fllH'oxinmtiv s»tisfăcutl. ~i care [trată că se poate renunţa b prcscl"ierea lui E, norma !ni L'im fiind măsurată indirect prin "

Întmcît L'im respectă restricţiile reznlti1

adică

'f'x

(m)

.fx

(m)

+ 'f'x

(m) ?~· (:c) ). =O

1n ipoteza nctczindi varietăţii de restricţii, rang cp" (m) = q adică [ 'i'x ( m) rp~ ( m)J- 1 există, se poate efectua determinarmt !ni 1. rezultînd (8.16) Variaţia

!ni E' (m, ),) este

31' (m, i.) =

E'~'

(m, i.) L'i;c

aclicăr

3F(m, ),)

=-

rt.IIE'x

(.T,

i.)ll'

(8.17)

cu alte euvinte daeit a > O, variaţ;ia este negf1tivă, iar " este suficient de mic (pentm valabilitatea primei aproximaţii) de deflecţie H 1 trelmie definită, în particular H 1 = I. Atunci

să

fie pozitiv

1) H, >O

2) t>x" i = 1, . . . , n, sînt' mutual conjugate, de ase111enenp1 , 'i = 1, . . . , n. 3) H,.+l = Q- 1 asigură convergentă pătmtică.

Proprietatea 1) 2)

st.abilit:atea procedmii, iar

B. Procedura Flelcher-Reeves sau metoda conjunati [8.11], [8.13], [8.13].

!Jradienţilor

Aceasta este o dezvoltare a ideii de eonjugtLre de llestenes şi Stiefel. Direcţiile 11, sint generate prin

mutuală,

propusă

(8.30)

190

umle ~; = (g,+" 1/i+,)

(8.31)

(g" g;)

iar p 1 = - g" a n1inin1nlni

~-1 alegimlu-se ca cea (daeă nu, a,rbitrar atît

mai buni\

:p1

cît

Atunci 1) (g"

cstimaţ,ie

şi .1~1 )

g;) =o, i =1= .i conjugaţi,

2) D.a\ sint 111utnal

de asenwnea JJi,

~,

=

= 1, . . . , n

3) (p" u)

=o,

i

_i~I,:r,, lh·1> _

~,r,)

(~;ci, ·ti>

(·{i, 1( Yi)

care e::-;tc hwrna.i fornnt1a (Y_(,HJ Qp1, Qp;) -' L'.a•;) (L'.w; ' 1 J t r 1 (Q1'n H; Qp 1 ) (L'.wJ, y,)

"""';>

Deci

ultima egalital;e fiind De asen1eni,

concliţ;ionată

c,,_1Yk-1 = c,,_,Q datorită

mutual

conjugării

~

,,.,,_1 = o

vectorilor

~x,.

Consecinţa 2. Termenul C, '{I

=

(1 -

y,)(y,) y, = " .II= () Il -

(y" y,)

şi

199

dn.t· (y" p,)

= ((J

C. "'" p,)

= k1 ([Jp 11 p 1)

o=

O 1 = 2,.,. ,n

dat.m·it(L n1nhw-l eonjug:Irii. At:uupi

:jc=J, .. ,,i folo::;ind tlezyolt-a.ren, recursiyă, de 1nai suR a lui Pi+I ipoteza, de indneţ-.ie. De asernenen,

şi

deoa-I'tt•e

Aşad.u .P1 _1_1 Jn·oieetează ortogonal orice vector, 11e snbspatiul orotog·mml subspatinlni generat ele y" ... , y., eeea ee corespunde dupfi~ mun s~a Yfiznt snbspatlnlui generat de Pi+J' · · · ,p"

Consecinta 3. Jlu+t = o, deoarece 1-\+ 1 }Jl'oieetcază. in {O} uriee. \'ettor couforn1 lenwi de 111ni sus. CoDsecint.elc 1 ~i 3 tWaJfi, crL

De fk;eineiwa a mr-lotlci.

I'n-t-I=

O cvitlcnjta.zli convcrucnfa plitl'aitclf..

ObseJ·na(il J)

Dacă-

nn{le T

200

P1

e~t.c

i:;;

1 1 O, ntnnei evideul

nesingnlan1.. SchilllbÎlul yaria.biia

;l'

in

gradientul IJ de.-ine f(:c) =

rp(~)

=fo

+ (c, T ~)

+2_

de unde ~

rezultîml

:i\Ietod"'

t = TT(a

+ IJ1'

i;) = 'F(e

= 'J'Ty

în fornm

diferenţa gmdienţilor

Y[L

+ IJ.r)

fi lleserist\ ile

eu

unele 11

l1;c,) (11,c, ,-~-----

spaţiul {p., . .. , p.} este nrtogmml subspaţiului {y1 , • . . ,y,_ 1 }, aşa cum a rezultat din fa,ptul ci\ 1'1 este lm proiector ortognnal. Să ilustrăm acerH.;tă

proprietn.te

L1:r1+1

= -

ki+l Tli+lfli+l

unde k,+ 1 este rbles astfel incit, in conilij,iile tmre .f să fie îndeplinită conclij;i" (!!.."' (g" g,)

şi observaţia c{; g, J. !/" de ttsemenca p 1 J. construcţia lui p,. Presupunem t1Clill1 el; p" ... ,p, curecţii mututtl conjugttte şi că

k, j :( -i

+ 1,

Pic atunci

de asemenett 1'k.l. g1, 1.:
P (y), se r;plieă un procedeu de înjumătăţ.ire "' lni k pînă eîml condiţ.ia, de descreştere "' lui P este îndeplinită.

iî. Se yerifică. drtcă P (x) ,o;; e" drtcă nu se reia, ciclul început cu punctul 1 etrtprt II, considerînd în locul lui y pe:;;. Proccdum de restabilire continuă pînă la satisfacerea criteriului P.

III. Etapa de stabilire a onHnului el2)

Cmuli{'iif(' opro.rimatirc t1e c.rtrcm

,8.fl.:3.

Se vor int:rnllnt't' .fuuc{ionalelc (]e eroare P .~i q em·e~pun­ restricţiilor respecti.- eom1ijiilor de optim prin :

z,l.tmwe

(8.53) .!

(1 ~" \ ; i.

-

.r

9;

J.':'

-!

r11

+ \ !.(-

·Il

+

1

11 ' •0

·Il

(f~- ?~

i,) dt

+

(f/;:

-l-

~ţ,

:-dl]:Z --l- !i

(i.

-1(8.51)

·•> ., , ........ J':

Pentm soluţia exactă evident P = O, Q = o, iar pentru orice soluţie aproximativă P >o, Q >O. Vor trebui determinate funcj;iile x (.) n (.),A(.) şi vectorii ,u.şi ..-astfelîncît

Q< unde •1

şi

E:!

u (t),

A

"

=

7i

L>x,

+ L>it (8.58)

s[\ conducă la anularea (cu precizia Verificarea restricţ;iilor în prima la ecuaţiile ~:;;

232

- tii, L>x - 'P .. L>u -

fixată) a indicelui P. aproximaţ;ie conduce

tii~ L>it

+(it- 'P) =o

Pentru cont1·olnl pa~ilor ele 1·estabilire se introduce factorul a- care conduce la ecuaţiile transformate :

L\.-;;,-

rp.L\.-w -

~ ..L\.:U

-

o/~L\.-;;

(L\.xJ. =

+ ; (~; -

rp)

=

o

o

(;~ + ~.L\.âi + ~~L\.;)1 = o Pas11l de 1·estabilire este dat criterinl pătml'ic minimizat.

Rezolvarea se face prin formalismul variaj;ional. Fie în acest scop funcţionala

J" =

~: l!'"dt + (G")1

unde l!' "

1

A-TA-

= - --a,u ! t u·11

2

+'-T(A-'ua;- m u•v -m u ! t -ATa:

11.

-A-

'

Tu

.Aplicîml ecuaj;iile lui Euler avem :

d

1

-l!'"--' --l!'"l!'"A --- O' ~ l!'"A· ' ;:in dt dt A• u o :Il

!mpreună

cu

condiţia

+ (G"-)

- O

An: 1 -

de transversalitate

(l!'"D.'?·

+ G"-)

- O

.6,:Cl-

233

Dezvoltînd se

obţine

şi

G

+ ~~fih =o

Introelucîml variabilele auxiliare A

se

obţine

!!.fii = -:::::• CI.

setul ele

1

=

u

~Te !!. B = -c:;;- • () = -..=CI.

(7.

ecuaţii

'P.l + i?.li + i?nc - (ii - i?) .

-

-p--

A - 'P, /,

B=

iJ im:preună

cu

=

rp~'):

):'P~'): elt - (~~fi),

condiţiile iniţiale şi

finale

CDo =o

şi

(~

+ ~•.A + ~r.iJh = o

G + 'P.:'fih

=

o

Tehnica de integra1·e se bazează pe integrarea "inapoi inainte" combinată cu metoda soluţiilor particulare Fie valorHe

234

din care

rezultă

imediat valorile fin:1,le

care permit integrarea "înapoi" a ecuaj;iei diferenţiale omogene în ); obţinîndu-se soluţiile );,(t) i = 1, q 1o Sînt astfel perfect determinate funcţiile o

+

jj,(t)

ip~);,(t),

=

c,

= ):

rp~);,(t)dt

-

integrează

ecuaţiile

acum de (q

o

cu

,

(~~),iL,

+ 1) ori "înainte", 1, = 'P.A., + 'P,iW! + 'P.c, - (:ii - 'PJ, i = 1, Se

o o

o o,

q

+1

condiţiile

obţinindu-se funeţiile

Se introduc

q+1 problemei sub forma

.J,(t), i = 1,

soluţ,ii!e

tJ+l

l(t)

= i=l :E 11lc ccnaj;iei P(x) =O (9.1.) umle P este o funcţie deriv>1bilă tle .-ariabila re>1lă ro, · 111 etocla

256

tarngentei

constă

în :

- alegerea unui punct arbitrar "'"' ele regnH1 in vcdnă­ tatca rădăcinii, în pren,labil lomlizlttă şi, liuin.riztuen, ecuaţiei în jurul ttcestui punct, P 1;,(m)

- rezolvarell

= P(x0 ) -1- P'(x0 )(x- "'o)

ecullţiei

(9. 2)

liubrizate (9.2) n.clieii, (9.3)

- iterarell relaţiei (9.3), adică rezolvarea ouccesivă de liniarizllte de tipul (9.2) : m".1•1 = x"- (P'(x"))- 1 P(w") (9.4) Se obţine rtstfel şirul (x")v;;: .. - :Y (D. c X, deschisă) şi presupunem că pentru fiecn,re mEf.!, P are o deriy:otă .P'(!C)E E [X -o- Y] c:ore este un opemtor liniar. Atunci opemj;ia .P' este definită pe [.! cu Ynlori în elasa opemtorilor [X~, Y] n,dică P' :D. ->- [X~· :Y] mu D.sx h ' .P' {m)E E[X -o· Y]

Vom d:o cîteva exemple de calcul :oi derivatei P'

260

Exemplul 1. Fie X = R" şi Y = ll"' şi P : X -+ Y Atunci intr-un sistem m·bitrar de coordonate P se reprezint!' prin matrieea

liniară.

a11 • •

A=

: [ ami·

Deon.reee P este liniar:1 pc spaţ>ii finit dimensimmlc, in orice punct x ea este deriva bilă (tare) rezultînd P'(a•) = P. Adică în orice punct xEX derivata lui P se rcprezinti1 prin 1uatricea .il. Exemplul 2. Fie acum P o opemj>ie nelinim·ă. definită pe Q cit' cu valori în Rm . .Aee_a.sta revine 1rt eonsiclern.ren, a m. funcţii de n variabile care explkitcazi1 y = P(x) prin y1 = cp1 (xl, .. . ,x")

Si1 presupunem

că

P este

dm1vabilă

slab în x 0 • Atunci

P'(x0 ) = U umle U este un operator li:rtim· reprezentabil l)l'intr-o 1natrice .il = [aii]I~i.:S:m l~i~u

aşadar

a 11

•••

a1

,.1

U(x) =

l

a.ml · · · a.mn

;

Dacă

x = c1 =(O, ... ,1, ... ,O), j = 1, ... , n, atunci

"li

1=

: . ,J

U(c1 )=

l, ... , n

[ amJ

26!

sau explicit U(e,) =Iim P( O există a,> O, exclusivit;r~te

dependent în

1-r 1 ~ adică

o

limită

de

a, =>

ca

E

iizTII

rfi o~

1 - V1- 2h h

·1

Atunci 1.

atît 2.

adică

272

=

Ecuaţia P(m) are o soluţie m* către care converg şirul original (MNKRO) cît şi şirul modificat (MNRM)

Soluţia

este

plasată

în sfem

închisă

11 m-

X0

11 ..;;: ,.•,

3. Yitezlt de convergenţ.iî, este dltti1 de - pentru MNKRO 1

0 't)"" 11 ....."'*-"'·~'11 l'---( 2n 1 :::::::::::

_,,"

·n -

., (11-01 ' '

h

•••

)

- pentru MNKRi\f

11 x*- x,.ll ,:;; ..:2. (1- VI- 2h )''+'(n

=O, 1, ... )

h

4. Daci1 pentru

< 2.avem r < ,., ~' 1-1-Vl2h ·~ 2 h -·---·

h

sau pentru .

1

h=--t}'~'/'1

2

atunci '"" este unica, soluţie în f.! 0 • Observaţ-ie. Inegalitatea dată ele condij;ilt 3. n, teoremei trebuie satisfăcutit în interiorul ::;ferei .0 0 de rază 'f, raza sfet.)i însi1 trebuie să sn,tisfn,ci1 condiţia 5. n, aceleiaşi teor·lPlG in cn,re h depinde de K stn,bilit prin condiţia 3., şi cn,re la rîndul lui sn,tisface condiţia 9 .. Pentru evitarea acestor complicaj;ii, din faptul cii 1


lincscu, C. ~egoi!ii - SISTEII-IE II'\FORJ\IATICE. ?dODELE PENTRU CONDUCERE Pis:lu, Gb., Mih:1escu C., Toma, A. -ELABORAREA ŞI BIPLEI\IENTAREA SISTEMELOR DE INFOR\IATICĂ Vasilescu P., Anastasiu D.- ÎNDRUl\lAR PENTRU PROIECTAREA SISTE:\IELOH INFORMATICE ,loncs, J. Ch. DESIGN INDUSTRIAL.

Seria INIŢIERE management)

(Automatică,

informatică,

electronicr1,

Vasiliu Em.- INIŢIERE ÎN RADIOELEC1RONICA CUANTICĂ Birlca Şl. - INIŢIERE ÎN CIBERNETICA SISTEMELOR INDUSTRIALE

Coleeţ.ia AUTOl\IATICl-INFOR!\IATICl Petrescu, A. 11-HCROPROGRAI\·tARE Ionescu, V. Lupaş, L. - TEHNICI DE CALCUL ÎN TEORIA SISTEMELOR (vol. I şi vol. Il) Liizăroiu, D., Şlaiher, S. - SERVOMOTOARE ELECTRICE CU INERŢIE REDUS.:-\ ÎN AUTOMATIZAIU ŞI PRELUCRAREA DATELOR

303

Seria AUTOlHATICĂ, 1\:IANAGEiUENT, CALCULATOARE*' Colective de

specialişti

sub coordonarea IPA, ICI idem idC\11 idcm

Ali!C 1 i (1/74) A:llC 18 (2/H) AMC 19 (:l/i·l) A:\[C 20 (.lji4)

Seria ELECTRONICĂ APLICATĂ Ban1a, A. - Al\IPLIFICATOARE OPERATIO~ALE Fcic1· I. ş.a.- DIODA ZENER. APLICATII Boldeu, Gh.- LOCALIZAREA TELECOMUNICATII Sinnrcich, I-I. şi Vasilcscu, A.--: LOR !N COD

Colecţia

RADIO

şi

DERAN.JAME:--ITELOR 'l'RANSMISIU~I

ÎN

CABLURILE

DE

CU l\IODULATIA. !:\!PULSURI-

TELEVIZIUNE

Kmizmcl', L. P. - 2222 EXPRESII DE ELECTROXICA CO:\IE:\TATE PENTRU RADIOAMATORI Sii.hleunu, A., Rosici, N. - 73 SCHEME PENTRU RADIOA:\IATORI G;lmulcscu, A.- CONSTRUCTII DE AMPLIFICATOARE TRANZISTORIZATE PEl'iTRU ANTENE 1\Iăciucă, C.- CONSTRUCTII DE RADIORECEPTOARE PENTRU AUTOVEHICULE 11-Ioldovcanu, C. şi Stoica, A.- STABILIZATOARE DE TEXSIL'NE

*) Seria Ai\IC se poale procma şi scriind la Editura telmicr1. Str. Ştirbei Vodă 37. l'eutru redacţiile automatică-informatică-electro­ nică-management. Abonamentul pentru aceste 4 \·olume - 60 lei, ce se trimet la Jlrimirea \'Olumelor.

304