Technische Strömungslehre - 13. Auflage - VOGEL [PDF]

Zitiervorschau

Willi Bohl Wolfgang Elmendorf Technische Strömungslehre

Kamprath-Reihe

Prof. Dipl.-Ing. Willi Bohl Prof. Dr.-Ing. Wolfgang Elmendorf

Technische Strömungslehre Stoffeigenschaften von Flüssigkeiten und Gasen, Hydrostatik, Aerostatik, Inkompressible Strömungen, Kompressible Strömungen, Strömungsmesstechnik 13., überarbeitete und erweiterte Auflage

Vogel Buchverlag

Prof. Dipl.-Ing. WILLI BOHL

Prof. Dr.-Ing. WOLFGANG ELMENDORF

Jahrgang 1936. Nach dem Abitur 1955 und anschließendem Industriepraktikum studierte er bis 1960 Maschinenbau an der Technischen Hochschule Karlsruhe (heute Universität) mit abschließendem Diplom. Einer zweijährigen Industrietätigkeit folgte die Dozentur an der Fachhochschule Heilbronn. Prof. Bohl betreute bis 1999 die Vorlesungen und Übungen für Strömungslehre und Strömungsmaschinen und war Leiter des Labors Strömungsmaschinen.

Jahrgang 1960. Nach dem Abitur 1979 und dem Wehrdienst studierte er bis 1986 Maschinenbau an der RWTH Aachen. Während der nachfolgenden wissenschaftlichen Tätigkeit am Institut für Strahlantriebe der RWTH beschäftigte sich Wolfgang Elmendorf insbesondere mit Transsonikund Überschallverdichtern. Nach der Promotion 1994 arbeitete er bei der Siemens AG KWU zunächst in der Verdichterentwicklung und übernahm später die Verantwortung für die Anlagenbewährung und Rotordynamik der Gasturbinen. Prof. Dr.-Ing. W. Elmendorf, seit 1999 Nachfolger von Prof. W. Bohl an der Fachhochschule Heilbronn, ist dort für Vorlesungen und Labore im Bereich Strömungstechnik/Strömungsmaschinen verantwortlich.

Von den Autoren sind folgende Vogel-Fachbücher erschienen: W. BOHL/W. ELMENDORF: Strömungsmaschinen 1 W. BOHL: Strömungsmaschinen 2 W. BOHL/W. ELMENDORF: Technische Strömungslehre

Weitere Informationen unter www.vogel-buchverlag.de ISBN-13: 978-3-8343-3029-1 ISBN-10-3-8343-3029-9 13. Auflage. 2005 Alle Rechte, auch der Übersetzung, vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf in irgendeiner Form (Druck, Fotokopie, Mikrofilm oder einem anderen Verfahren) ohne schriftliche Genehmigung des Verlages reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden. Hiervon sind die in §§ 53, 54 UrhG ausdrücklich genannten Ausnahmefälle nicht berührt. Printed in Germany Copyright 1971 by Vogel Industrie Medien GmbH & Co. KG, Würzburg Satzherstellung und digitale Bildbearbeitung: Fotosatz-Service Köhler GmbH, Würzburg

Vorwort

Nachdem in der 12. Auflage Kapitel 4 – inkompressible Strömungen – gründlich überarbeitet wurde, wurden für die 13. Auflage Kapitel 5 und 6 aktualisiert. Eine systematisch vertiefte Darstellung der kompressiblen Strömungen sowie Erweiterung und Stand der Technik der für die Praxis so bedeutsamen Strömungsmesstechnik stehen jetzt zur Verfügung. Die mehr als 40jährige Lehr- und Praxiserfahrung von Prof. Dipl.-Ing. Willi Bohl sowie die 20-jährige Erfahrung von Prof. Dr.-Ing. Wolfgang Elmendorf – beide haben sich intensiv mit strömungstechnischen Abläufen in Industrie und Forschung beschäftigt – sind Grundlage dieses Lehrbuches. Das gilt auch für entsprechende Erfahrungen aus der langjährigen Betreuung von Studien- und Diplomarbeiten, die meist über einen engen Industriekontakt im Labor für Strömungsmaschinen der Fachhochschule Heilbronn von den Autoren betreut wurden. In erster Linie dient das Lehrbuch Studierenden im Maschinen- und Anlagenbau sowie der Versorgungs- und Verfahrenstechnik. Wichtige Grundgleichungen wurden abgeleitet und Grenzen der Genauigkeit der Berechnungen erläutert. 46 durchgerechnete Beispiele zum jeweiligen Thema festigen das Gelernte. Zahlreiche Tabellen, Diagramme mit Stoffeigenschaften und empirische Beiwerte ermöglichen dem Ingenieur und Techniker in der täglichen Praxis, das Lehrbuch als Nachschlagewerk für Lösungen von strömungstechnischen Aufgaben zu nutzen. Besonders ausführlich ist das Thema Stoffströme in geschlossenen Rohrleitungen bearbeitet. Zur Bewältigung mathematischer und physikalischer Berechnungen genügen Kenntnisse der einfachen Mechanik, der Differential- und Integralrechnung. Da das Buch auch als Vorlesungsbegleitbuch an Hochschulen, Fachhochschulen und vergleichbaren Bildungseinrichtungen verwendet wird, wurden die abgeleiteten bzw. aus anderen Quellen übernommenen Gesetzmäßigkeiten und Gleichungen (von wenigen Ausnahmen abgesehen) als Größengleichungen geschrieben; sie gelten demnach unabhängig vom verwendeten Maßsystem. Die Bezeichnungen der physikalischen Größen und Werte entspricht weitestgehend den einschlägigen ISO- und DIN-Normen sowie VDI-Richtlinien. Wir bedanken uns beim Vogel Buchverlag für die fachmännische Beratung und Unterstützung sowie den gewohnt sorgfältigen Druck. Resonanz zum Thema und den vermittelten Lösungswegen ist uns stets willkommen: Prof. Dipl.-Ing. W. Bohl, Prof. Dr.-Ing. W. Elmendorf: [email protected]. bzw.: [email protected].

Heilbronn

Willi Bohl Wolfgang Elmendorf

Inhaltsverzeichnis

Vorwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Die wichtigsten Formelzeichen und Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Stoffeigenschaften von Flüssigkeiten und Gasen . . . . 1.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Dichte, spezifisches Volumen . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Dichte von Flüssigkeiten . . . . . . . . . . 1.2.3 Dichte von Gasen und Dämpfen . . . . . 1.2.4 Dichte von Luft . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Schallgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Viskosität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Viskosität Newton’scher Fluide . . . . . . 1.4.2.1 Dynamische Viskosität . . . . . . . . . . . 1.4.2.2 Kinematische Viskosität . . . . . . . . . . 1.4.2.3 Temperaturabhängigkeit der Viskosität . 1.4.2.4 Druckabhängigkeit der Viskosität . . . . 1.4.2.5 Arbeitsunterlagen und Gebrauchsformeln 1.4.3 Viskosität nicht Newton’scher Fluide . . 1.5 Thermische Stoffwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Spezifische Wärmekapazität . . . . . . . 1.5.3 Gaskonstante . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.4 Enthalpie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.5 Dampfdruck . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Oberflächenspannungen und Kapillarität . . . . . . 1.6.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.2 Oberflächenspannung . . . . . . . . . . . 1.6.3 Haftspannung . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.4 Grenzflächendruck (Kapillardruck) . . . 1.6.5 Kapillarität . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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17 17 17 17 18 19 19 20 22 22 22 22 23 24 26 26 30 31 31 31 34 35 35 36 36 36 37 40 41

Hydrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Ausbildung der freien Oberfläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Hydrostatischer Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Erzeugung des hydrostatischen Druckes . . . . . . . . 2.2.3.1 Kolbendruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3.2 Druckarbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3.3 Schweredruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3.4 Kommunizierende Gefäße . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Druckkräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Druckkräfte bei Wirkung des Kolbendruckes . . . . . . 2.3.1.1 Druckkräfte gegen ebene Wände . . . . . . . . . . . . . 2.3.1.2 Druckkräfte gegen gekrümmte Wände . . . . . . . . . 2.3.2 Druckkräfte bei Wirkung des Schweredruckes . . . . . 2.3.2.1 Druckkräfte gegen ebene Wände . . . . . . . . . . . . . 2.3.2.2 Druckkräfte gegen gekrümmte Wände . . . . . . . . . 2.3.2.3 Aufwärts gerichtete Vertikaldruckkraft (Aufdruckkraft)

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45 45 48 48 49 50 50 52 52 53 54 54 54 55 57 57 61 66

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Inhaltsverzeichnis 2.4

Auftrieb und Schwimmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Statischer Auftrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Thermischer Auftrieb . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Schwimmen und Schweben . . . . . . . . . . . . 2.4.4 Stabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.4.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.4.2 Stabilität von vollständig eingetauchten Körpern 2.4.4.3 Stabilität von teilweise eingetauchten Körpern . . . . . . . .

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Aerostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Zusammensetzung der Atmosphäre 3.3 Schichtung der Atmosphäre . . . . 3.4 Isotherme Schichtung . . . . . . . . 3.5 Isentrope Schichtung . . . . . . . . 3.6 Normatmosphäre . . . . . . . . . .

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Inkompressible Strömungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Grundgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Kontinuitätsgleichung (Durchflussgleichung) . . . . . . . . 4.3.2 Energiegleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2.1 Energiegleichung längs einer Stromlinie . . . . . . . . . . . . 4.3.2.2 Energiegleichung längs einer Stromröhre . . . . . . . . . . . 4.3.2.3 Verschiedene Druckbegriffe in einem strömenden Fluid . . . 4.3.2.4 Einige praktische Anwendungen der Energiegleichung . . . 4.3.3 Druckänderung senkrecht zur Strömungsrichtung . . . . . . 4.3.4 Impulssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.4.1 Allgemeine Ableitung und Darstellung . . . . . . . . . . . . 4.3.4.2 Anwendungen und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.5 Drallsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.5.1 Allgemeine Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.5.2 Spezielle Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.5.3 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Ähnlichkeitsgesetze und Modellregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Ähnlichkeitsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3 Reynolds-Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.4 Froude-Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Modellversuche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Strömungsformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.2 Laminare und turbulente Rohrströmung . . . . . . . . . . . 4.6.3 Umströmung von Kreiszylindern und Kugeln . . . . . . . . 4.6.4 Strömende und schießende Bewegung bei Strömungen mit freier Oberfläche unter Schwereeinfluss . . . . . . . . . . 4.6.5 Turbulenzgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7 Stoffströme in geschlossenen Rohrleitungen (Rohrhydraulik) . . . . . 4.7.1 Energiegleichung für reibungsbehaftete Strömungen . . . . 4.7.1.1 Stationäre Strömungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.1.2 Instationäre Strömungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.2 Druckabfall in Rohrleitungen mit kreisförmigem Querschnitt bei laminarer Strömung (Re < 2320) . . . . . . . . . . . . . . 4.7.3 Druckabfall in Rohrleitungen mit kreisförmigem Querschnitt bei turbulenter Strömung (Re > 2320) . . . . . . . . . . . . . 4.7.3.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Inhaltsverzeichnis 4.7.3.2 4.7.3.3 4.7.4

4.8

4.9

4.10

4.11

Geschwindigkeitsverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Druckabfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Druckabfall in Rohrleitungen mit kreisförmigem Querschnitt bei Strömung nicht Newton’scher Flüssigkeiten . . . . . . . . . . . . 4.7.4.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.4.2 Fließgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.4.3 Repräsentative Viskosität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.4.4 Druckverlust . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.5 Druckabfall in gewellten Rohren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.6 Rohre mit nicht kreisförmigen Querschnitten . . . . . . . . . . . . . . 4.7.6.1 Hydraulischer Durchmesser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.6.2 Bestimmung der Rohrreibungszahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.7 Strömungsverluste in Rohrleitungselementen . . . . . . . . . . . . . 4.7.7.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.7.2 Rohreinläufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.7.3 Rohrausläufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.7.4 Querschnittsänderungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.7.5 Richtungsänderungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.7.6 Rohrverzweigungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.7.7 Dehnungsausgleicher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.7.8 Absperr- und Regelorgane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.7.9 Drosselgeräte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.7.10 Filter und Siebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.7.11 Zusammengesetzte Widerstände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.8 Einlaufstrecke (Rohreinlauf) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.9 Spaltströmungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Strömung in offenen Gerinnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.2 Geschwindigkeitsverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.3 Fließformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.4 Hydraulisch optimale Profile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ausfluss aus Behältern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9.1 Ausfluss durch kleine Öffnungen bei konstantem Druckunterschied und konstanter Spiegelhöhe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9.2 Ausfluss ins Freie durch große Öffnungen unter dem Einfluss der Schwere bei konstanter Spiegelhöhe . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9.3 Ausfluss unter Gegendruck bei konstantem Niveauunterschied . . . 4.9.4 Ausfluss bei veränderlicher Spiegelhöhe . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9.4.1 Ausfluss aus kleinen Öffnungen unter dem Einfluss der Schwere . . 4.9.4.2 Instationärer Ausfluss unter Gegendruck . . . . . . . . . . . . . . . . Umströmung von Körpern (Außenströmung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10.1 Strömungsbilder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10.2 Kraftwirkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10.2.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10.2.2 Reibungswiderstand (Flächenwiderstand) . . . . . . . . . . . . . . . 4.10.2.3 Radscheibenreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10.2.4 Druckwiderstand (Formwiderstand) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10.2.5 Gesamtwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10.3 Luftkräfte an Fahrzeugen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10.3.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10.3.2 Luftwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10.3.3 Auftrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10.3.4 Seitenwindkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10.4 Schwebegeschwindigkeit von Kugeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tragflügel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.11.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.11.2 Kurze Einführung in die Geschichte der Tragflügeltheorie . . . . . .

9

. . . . . . . 155 . . . . . . . 161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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167 167 168 169 169 170 172 172 173 178 178 181 181 181 200 207 209 209 212 214 222 226 229 239 239 239 240 243 246

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252 254 254 254 258 260 260 268 268 270 272 277 277 285 285 285 286 287 288 290 290 290

10 4.11.3 4.11.4 4.11.5 4.11.6 4.11.7 5

6

Profilgeometrie . . . . . . . . . . . . . Kräfte am unendlich breiten Tragflügel Druckverteilung am Profil . . . . . . . Polardiagramm . . . . . . . . . . . . . Induzierter Widerstand . . . . . . . .

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292 294 295 297 302

Kompressible Strömungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Schallausbreitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Grundgleichungen der 1-dimensionalen Stromfadentheorie . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Kontinuitätsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Energiegleichung, Isentrope und Polytrope . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3 Thermodynamische Zustandsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.4 Impulssatz und Drallsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Flächen-Geschwindigkeits-Beziehung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Rohrströmungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.1 Druckabfall bei beliebigem Wärmeaustausch . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.2 Druckabfall bei isothermer Strömung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.3 Druckabfall bei adiabater Strömung (Fanno-Strömung) . . . . . . . . . 5.5.4 Druckabfall bei adiabater Drosselung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Ausströmvorgänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.1 Ausströmen aus Druckbehältern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.1.1 Ausströmgeschwindigkeit und Mach-Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.1.2 Austretender Massenstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.1.3 Kritischer Zustand für eine reibungsfreie Strömung . . . . . . . . . . . 5.6.1.4 Kritischer Zustand für eine reibungsbehaftete Strömung . . . . . . . . 5.6.2 Ausströmen mit Vorgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.3 Laval-Düse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.3.1 Verhältnisse im Auslegungspunkt für eine reibungsfreie Strömung . . 5.6.3.2 Verhältnisse im Auslegungspunkt für eine reibungsbehaftete Strömung 5.6.3.3 Strömungsverhältnisse bei nicht angepasstem Betrieb . . . . . . . . . . 5.6.3.4 Konstruktive Gestaltung von Laval-Düsen . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 Verdichtungsstöße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.1 Senkrechter Verdichtungsstoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.2 Schräger Verdichtungsstoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8 Prandtl-Meyer-Expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9 Verdichtungsströmungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10 Umströmung von Körpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10.1 Strömungsbilder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10.2 Druck- und Temperaturerhöhung im Staupunkt . . . . . . . . . . . . . 5.10.3 Widerstand von umströmten Körpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10.3.1 Widerstand der ebenen Platte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10.3.2 Widerstand räumlich ausgedehnter Körper . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10.4 Tragflügel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10.4.1 Tragflügel in reiner Unterschallströmung . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10.4.2 Tragflügel mit örtlichen Verdichtungsstößen . . . . . . . . . . . . . . . 5.10.4.3 Tragflügel in reiner Überschallströmung . . . . . . . . . . . . . . . . .

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305 305 305 308 308 309 314 314 314 315 316 319 320 322 325 325 325 328 330 333 338 339 340 342 343 346 346 347 348 350 352 355 355 356 358 358 358 359 360 360 361

Strömungsmesstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 Druckmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2 Druckentnahme und Anbringung von Druckmessgeräten 6.1.3 Flüssigkeitsdruckmessgeräte . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.4 Kolben-Druckmessgeräte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.5 Federelastische Manometer . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.6 Elektrische Druckmessgeräte . . . . . . . . . . . . . . . .

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Inhaltsverzeichnis

6.2

6.3 6.4 6.5

6.6

6.1.6.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.6.2 Widerstandsdruckmesser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.6.3 Kapazitive Druckaufnehmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.6.4 Induktive Druckaufnehmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.6.5 Piezoelektrische Druckaufnehmer . . . . . . . . . . . . . . . Geschwindigkeitsmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Rotierende Stromwegmesser . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Staurohre und Sonden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2.1 Druckbegriffe in strömenden Fluiden . . . . . . . . . . . . . 6.2.2.2 Totaldrucksonden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2.3 Statische Sonden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2.4 Staudrucksonden (Staurohre) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2.5 Strömungsrichtungssonden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3 Thermische Sonden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.4 Optische Messsonden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Füllstandsmessung (Niveaumessung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Volumenmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Durchflussmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.2 Netzmessungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.2.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.2.2 Anordnung und Anzahl der Messpunkte . . . . . . . . . . . 6.5.2.3 Referenzmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.2.4 Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.3 Wirkdruckverfahren mit Drosselgeräten . . . . . . . . . . . . 6.5.4 Durchflussmessung in offenen Gerinnen . . . . . . . . . . . 6.5.4.1 Messwehre (Überfallwehre) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.4.2 Venturi-Kanäle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.5 Schwebekörper-Durchflussmesser . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.6 Magnetisch-induktive Durchflussmesser . . . . . . . . . . . 6.5.7 Ultraschall-Durchflussmesser . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.8 Wirbelzähler-Durchflussmesser . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.9 Spezielle Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.9.1 Durchflussmessung aus dem Druckabfall in geraden Rohren 6.5.9.2 Durchflussmessung an Rohrkrümmern . . . . . . . . . . . . 6.5.9.3 Ellison-Annubar-Durchflussmesser . . . . . . . . . . . . . . 6.5.10 Pulsierende Strömungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Viskosimetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.1 Rotationsviskosimeter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.2 Fallkörperviskosimeter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.3 Kapillarviskosimeter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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372 372 373 373 374 374 374 377 377 379 379 380 382 385 387 389 391 394 394 394 394 395 396 397 399 411 411 413 414 415 416 418 419 419 420 421 422 424 424 426 427

Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429 Tabellenanhang

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445

Namensverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493 Stichwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495

12

Die wichtigsten Formelzeichen und Einheiten

Formelzeichen

empfohlene SI-Einheit

Bedeutungen

A a a a B B b C C C C CS c cA ca cD cF cM cm cp cS cv cw c wi D D d E e F Fr f f G g H H h h He I I I

m2 m/s2 m, mm m/s m (V · s)/m2 m N 1 F 1 1 m/s 1 1 1 1 1 1 J/(kg · K) 1 J/(kg · K) 1 1 m s– 1 m N/m2 m N 1 diverse s– 1 N m/s2 m N m J/kg; (N · m)/kg; m2/s2 1 m4 kg · m/s A; mA

Fläche, Querschnitt Beschleunigung, Verzögerung Durchmesser Schallgeschwindigkeit Breite magnetische Flussdichte Breite Fliehkraft Geschwindigkeitsbeiwert elektrische Kapazität Durchflusskoeffizient Schubbelastungsgrad Absolutgeschwindigkeit Auftriebsbeiwert Auftriebsbeiwert Formwiderstandsbeiwert Widerstandszahl Drehmomentenbeiwert Momentenbeiwert isobare spezifische Wärmekapazität Beiwert der Seitenwindkraft isochore spezifische Wärmekapazität Widerstandsbeiwert Beiwert des induzierten Widerstandes Durchmesser Geschwindigkeitsgefälle Durchmesser Elastizitätsmodul Abstand Kraft Froude-Zahl Faktor Frequenz Gewichtskraft Erdbeschleunigung Höhe, Fallhöhe, Förderhöhe Horizontalkraft Höhe, Überfallhöhe spezifische Enthalpie Hedstrom-Zahl Trägheitsmoment, Zentrifugalmoment Impuls elektrische Stromstärke

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Die wichtigsten Formelzeichen und Einheiten

Formelzeichen

empfohlene SI-Einheit

Bedeutungen

i J K K KG KCh KMS k k L l l M M Md Mi m m˙ m n n n n O P p R R Re Ri Rm RS r s s Sr T t t t U U u V V˙ v w x x y Z z

1 1; %; ‰ diverse 1 diverse m0.5/s m1/3/s m; mm diverse m m mm N·m 1 N·m kg/kmol kg kg/s 1 1 1 1 1 m2 W Pa; bar m N 1 J/(kg · K) J/(kmol · K) W m m J/(kg · K) 1 K m s °C m V; mV m/s m3 m3/s m3/kg m/s m 1 m 1 m

Ordnungsnummer Kanalgefälle Integrationskonstante Faktor, Kalibrierbeiwert Gerätekonstante Geschwindigkeitsbeiwert nach Bazin Geschwindigkeitsbeiwert nach Manning-Strickler Rauigkeit Faktor Länge Länge, Strecke Messausschlag Moment, Drehmoment Mach-Zahl Moment, Drehmoment molare Masse Masse Massenstrom Öffnungsverhältnis von Drosselgeräten Exponent für Geschwindigkeitsprofil Öffnungsverhältnis von Behältern Anzahl Polytropenexponent Oberfläche Leistung Druck Radius Kraftresultierende Reynolds-Zahl spezifische oder spezielle Gaskonstante molare oder allgemeine Gaskonstante Ohmscher Widerstand Radius Weg, Strecke, Länge, Abstand, Blechdicke spezifische Entropie Strouhal-Zahl absolute Temperatur Tiefe, Eintauchtiefe, Abstand, Teilung Zeit Temperatur in Grad Celsius Umfang elektrische Spannung Umfangsgeschwindigkeit Volumen Volumenstrom spezifisches Volumen Geschwindigkeit, Relativgeschwindigkeit Länge, Abstand, Koordinate Dampfgehalt Länge, Abstand, Koordinate Realgasfaktor Höhe, Koordinate

Die wichtigsten Formelzeichen und Einheiten

Formelzeichen

empfohlene SI-Einheit

Bedeutungen

a a a a b b b bp bT G g g d d e e e0 er z x h h k l l m n n r s s s t j j j Y y w

grd, Bogenmaß 1 1 m 1/2 grd, Bogenmaß 1 1 1/K 1/bar m2/s grd, Bogenmaß 1 m, mm grd, Bogenmaß 1 1 F/cm 1 1 1 Pa · s 1 1 1 1 1 m2/s 1 kg/m3 N/m grd, Bogenmaß grd N/m2 1 grd, Bogenmaß 1 1 1 s– 1

Winkel Energiestrombeiwert Durchflusszahl von Drosselgeräten Rauigkeitsbeiwert für Gerinne Winkel Geschwindigkeitsbeiwert Durchmesserverhältnis bei Drosselgeräten isobarer Wärmeausdehnungskoeffizient isothermer Kompressibilitätskoeffizient Zirkulation Gleitwinkel Impulsstrombeiwert Grenzschichtdicke Winkel Gleitzahl Expansionszahl bei Drosselgeräten Dielektrizitätskonstante des leeren Raumes Dielektrizitätskonstante des Fluids Widerstandszahl relativer Druckverlust dynamische Viskosität Wirkungsgrad Isentropenexponent Rohrreibungszahl Seitenverhältnis von Tragflügeln Ausflusszahl kinematische Viskosität Prandtl-Meyer-Funktion Dichte Oberflächenspannung Winkel Stoßwinkel Schubspannung relative Luftfeuchte Winkel Geschwindigkeitsbeiwert Ausflussfunktion Kontraktionszahl Winkelgeschwindigkeit

15

16

1

Stoffeigenschaften von Flüssigkeiten und Gasen

1.1

Einleitung

Das vorlíegende kurzgefasste Buch befasst sich hauptsächlich mit dem statischen und dynamischen Verhalten homogener Fluide. Unter einem Fluid wird dabei ein flüssiges oder gasförmiges Kontinuum verstanden. Flüssigkeiten sind in 1. Näherung, d.h. für viele praktische Betrachtungen und Rechnungen, dichtebeständig und haben ein festes Volumen bei beliebiger Form. Gase und Dämpfe können abhängig von Druck und Temperatur jedes Volumen bei beliebiger Form annehmen. Fluide haben im Gegensatz zu festen Körpern die gemeinsame Eigenschaft, dass sich ihre Teilchen durch Druck- und Schubkräfte leicht verschieben lassen. Flüssigkeiten kann man auch als tropfbare Fluide bezeichnen, Dämpfe und Gase liegen unterhalb der Siedelinie (Bild 1.1).

m r = 31 V

(Gl. 1.1)

Eine Stoffportion ist ein abgegrenzter Fluidbereich, der aus einem oder mehreren Stoffen bestehen kann. Die Dimension der Dichte ist gemäß Definitionsgleichung 1.1: Masse 033 Länge Üblicherweise wird als Einheit kg 53 m verwendet. Die Dichte eines Fluids ist von den Zustandsgrößen Druck und Temperatur abhängig.

erstellt von ciando

dr 5 = bT · dp – bp · dT r

Bild 1.1

Aggregatzustände von Wasser

1.2

Dichte, spezifisches Volumen

1.2.1

Definitionen

Nach DIN 1306 ist die Dichte r als Quotient aus Masse m und Volumen V einer Stoffportion definiert:

dr r bT bp dp dT

(Gl. 1.2)

Dichteänderung Dichte isothermer Kompressibilitätskoeffizient isobarer Wärmeausdehnungskoeffizient Druckänderung Temperaturänderung

Der Kehrwert der Dichte r, d.h., der Quotient aus Volumen V und Masse m einer Stoffportion, wird als spezifisches Volumen u bezeichnet. 1 V u = 21 = 31 r m

(Gl. 1.3)

18

Stoffeigenschaften von Flüssigkeiten und Gasen

Die Dimension des spezifischen Volumens ist Länge3 03 Masse

Tabelle 1.1 Isobarer Wärmeausdehnungskoeffizient bp einiger Flüssigkeiten, Bezugsdruck p0 = 1 bar, Bezugstemperatur t0 = 0 °C Flüssigkeit

b p in 1/K

Die dazu passende SI-Einheit lautet:

Wasser

m3 41 kg

Quecksilber Methanol Benzol Ethanol Tetrachlorkohlenstoff Glycerin

– 0,085 · 10 – 3 (0,207 · 10 – 3 bei 20 °C) 0,181 · 10 – 3 1,19 · 10 – 3 1,06 · 10 – 3 1,1 · 10 – 3 1,22 · 10 – 3 0,5 · 10 – 3

Die Angabe von Dichte oder spezifischem Volumen ist nur dann vollständig, wenn neben der genauen Stoffbezeichnung auch noch Temperatur und Druck, bei Gasen u. U. auch noch die Feuchte genannt sind. 1.2.2

Dichte von Flüssigkeiten

Die Temperaturabhängigkeit der Dichte von Flüssigkeiten kann durch den in Gleichung 1.2 eingeführten isobaren Wärmeausdehnungskoeffizient bp ausgedrückt werden: DV = V0 · bp · DT V = V0 + DV = V0 · (1 + bp · DT) m m r = 31 = 006 V V0 (1 + bp · DT) m 31 = r 0 V0 r0 r = 08 1 + b p · DT

Hooke’schen Gesetz einen linearen Zusammenhang zwischen Volumen- und Druckänderung an, erhält man folgende druckabhängige Dichteänderung: DV = bT · V0 · Dp V = V0 – DV = V0 – bT · V0 · Dp V = V0 (1 – bT · Dp) m m r = 31 = 005 V V0 (1 – bT · Dp) m 31 = r0 V0 r0 r = 07 1 – b T · Dp

(Gl. 1.4)

r r0

Dichte bei Temperatur T Dichte bei Bezugstemperatur T0 (meist 0 °C) b p isobarer Wärmeausdehnungskoeffizient DT Temperaturabweichung zur Bezugstemperatur T0

In Tafel 1 im Anhang des Buches ist der isobare Wärmeausdehnungskoeffizient bp für Wasser zusammengestellt. Tabelle 1.1 enthält Werte weiterer Flüssigkeiten. Flüssigkeiten besitzen wie feste Körper eine geringe Elastizität. Nimmt man nach dem

(Gl. 1.5)

r r0

Dichte beim Druck p Dichte beim Bezugsdruck p0 (meist 1 bar) b T isothermer Kompressibilitätskoeffizient Dp Druckerhöhung In Tafel 2 sind die isothermen Kompressibilitätskoeffizienten b T von Wasser und einigen organischen Flüssigkeiten angegeben. Wird eine Flüssigkeit sowohl einer Temperatur- als auch einer Druckänderung unterworfen, kann die Dichteänderung durch Zusammenfassen der Gleichungen 1.4 und 1.5 ausgedrückt werden. r0 r = 00004 (1 + bp · DT) · (1 – b T · Dp)

(Gl. 1.6)

Dichte, spezifisches Volumen

19

Die Messung der Dichte von Flüssigkeiten ist in [1.1] ausführlich beschrieben. In Tafel 3 sind die Dichtewerte wichtiger Flüssigkeiten in Form von Kurven, in Tafel 4 tabellarisch zusammengestellt. Tafel 5 enthält Dichte- und Dampfdruckwerte des Wassers.

p · V = Z · m · Ri · T

1.2.3

Für Luft, Sauerstoff, Stickstoff und Kohlendioxid sind die Realgasfaktoren Z in Tafel 6 zusammengestellt. Weitere Werte finden sich in [1.2 und 1.3]. Bei Dämpfen, z.B. Wasserdampf, entnimmt man die Dichte r oder das spezifische Volumen u aus einer Dampftafel (z.B. [1.4, 1.5, 1.6]) oder speziellen Diagrammen. In Tafel 7 ist der Realgasfaktor Z, in Tafel 8 das spezifische Volumen u von Wasserdampf dargestellt.

Dichte von Gasen und Dämpfen

Ausgehend von der thermischen Zustandsgleichung für das ideale Gas p · V = m · Ri · T erhält man folgende Beziehung für die Dichte r: m p 31 = 9 V Ri · T p r=9 Ri · T p Ri T

(Gl. 1.7)

Druck (Absolutdruck) individuelle Gaskonstante (siehe Abschnitt 1.5.3) thermodynamische Temperatur

Zahlenwerte für die individuelle Gaskonstante Ri finden sich in Tabelle 1.6. In vielen praktischen Berechnungen und Versuchen kann die Dichte von Gasen nach Gleichung 1.7 hinreichend genau bestimmt werden, wenn deren Zustand (Druck und Temperatur) weit außerhalb der Sättigungskurve (Siedelinie) liegt, d. h., wenn die Gase stark überhitzt sind. Bei hohen Drücken und niedrigen Temperaturen wird Gleichung 1.7 sehr ungenau. Das reale Gasverhalten wird durch Einführung eines Korrekturwertes, Realgasfaktor Z genannt, beschrieben:

Beispiel 1 Aufgabenstellung: Bei einem Versuch wurden folgende Luftdaten gemessen:

m p 31 = 06 V Z · Ri · T p r = 06 Z · Ri · T

1.2.4

(Gl. 1.8)

Dichte von Luft

Luft ist ein Gemisch aus Stickstoff, Sauerstoff, Kohlendioxid, Edelgasen und enthält normalerweise noch Wasserdampf. Abhängig von Druck und Temperatur kann die Luft nur eine bestimmte, maximale Wasserdampfmenge aufnehmen. Enthält Luft die maximal mögliche Wasserdampfmenge, spricht man von gesättigter Luft. Die Dichte rf von feuchter Luft kann aus folgender Beziehung bestimmt werden:

冢

冣

pd r f = r tr 1 – 0,377 · j · 4 p

(Gl. 1.9)

r f Dichte der feuchten Luft r tr Dichte der trockenen Luft, nach Gleichung 1.7 berechnet j relative Luftfeuchte pd Sättigungsdruck des Wassers nach Tafel 5 oder Tafel 9 p Luftdruck

Luftdruck p = 997 mbar Temperatur t = 19,3°C relative Luftfeuchte j = 78% Wie groß ist die Dichte r f der feuchten Luft?

20

Stoffeigenschaften von Flüssigkeiten und Gasen

Lösung: Zunächst wird die Dichte r tr der trockenen Luft berechnet: p r tr = 9 Ri · T

(Gl. 1.7)

Anschließend wird mit Gleichung 1.9 die Dichte rf der feuchten Luft bestimmt:

Aus Tafel 9 wird der Sättigungsdruck pd entnommen:

p = 997 mbar = 99 700 Pa Ri = 287 J/(kg · K) aus Tabelle 1.6

p d = 22,39 mbar = 2239 Pa

T = 19,3 + 273,15

冢

99 700 rtr = 00 287 · 292,45

rf = 1,180 kg/m3

rtr = 1,188 kg/m3

Schallgeschwindigkeit

dr 5 ≈ bT · dp r

Weil sich die Dichte von Fluiden druckabhängig ändert, breitet sich eine kleine Druckstörung dp in Form einer Longitudinalwelle im Fluid aus. Nach LAPLACE (s. Namensverzeichnis) beträgt die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer kleinen Druckstörung bei isentroper, d.h. reibungsfreier Kompression ohne Wärmetausch:

dp 1 5≈9 dr b T · r

dp f5 dr

6

a=

冣

2239 r f = 1,188 · 1 – 0,377 · 0,78 · 01 99 700

T = 292,45 K

1.3

冣

冢

pd r f = r tr· 1 – 0,377 · j · 5 p

(Gl. 1.10)

a Schallgeschwindigkeit dp Druckänderung dr Dichteänderung

dp 1 ≈ f9 f 51 b ·r dr 6

a=

T

Den Reziprokwert des isothermen Kompressibilitätskoeffizienten b T bezeichnet man als Elastizitätsmodul E. 1 E=5 bT Damit erhält die Gleichung zur Bestimmung der Schallgeschwindigkeit in Flüssigkeiten folgende endgültige Form: 1 E ≈ f4 f0 b ·r r 0

Aus dieser allgemeinen Beziehung lassen sich für Flüssigkeiten und Gase folgende Gleichungen zur Berechnung der Schallgeschwindigkeit ableiten: a) Flüssigkeiten Vernachlässigt man die bei der sehr kleinen isentropen Verdichtung dp der Flüssigkeit entstehende Temperaturzunahme dT, d. h., wird dT = 0 gesetzt, erhält man aus Gleichung 1.2 folgende Beziehung:

0

a≈

5 (Gl. 1.11)

T

a bT r E

Schallgeschwindigkeit isothermer Kompressibilitätskoeffizient Dichte Elastizitätsmodul

Diese Beziehung gilt nur für reine Flüssigkeiten ohne Einschluss von Gas- oder Dampfblasen! In 2-Phasen-Fluiden ist die Schallgeschwindigkeit wesentlich kleiner als die

Schallgeschwindigkeit Schallgeschwindigkeit in der reinen flüssigen Phase oder in der Dampfphase.

dp f5 dr

6

a=

b) Gase Die isentrope Verdichtung eines idealen Gases wird durch folgende Zustandsgleichung beschrieben:

p·k k·R ·T = d05 f8 r 9

a = d04 p·u·k=

dp p · k · rk – 1 = p · k · r – 1 5 =4 dr r k dp p·k 5 = 8 = p · u · k = Ri · T · k dr r

Beispiel 2 Aufgabenstellung: Wie groß ist die Schallgeschwindigkeit in reinem, absolut blasenfreiem Wasser von 20 °C bei einem Druck von 1 bar? Lösung: Aus Tafel 2 wird der isotherme Kompressibilitätskoeffizient bT von Wasser bei 20°C in einem Druckbereich von 1…100 bar zu

bT = 46,8 · 10 – 6 1/bar entnommen. Weil 1 bar = 105 Pa ist (Abschnitt 2.2.2), entspricht dies einem bT-Wert von:

i

(Gl. 1.12)

p · u k = konst mit k als Isentropenexponent (siehe Abschnitt 1.5.2). p = konst p · uk = 5 rk dp k–1 5 = konst · k · r dr

21

a p u k r Ri T

Schallgeschwindigkeit Druck spezifisches Volumen Isentropenexponent Dichte individuelle Gaskonstante Temperatur

Die Schallgeschwindigkeit a der atmosphärischen Luft kann abhängig von der Höhe z aus Tafel 29, die Schallgeschwindigkeit a von Wasserdampf aus Tafel 10 entnommen werden.

bT = 46,8 · 10 – 6 · 10 – 5 1/Pa Die Dichte r beträgt nach Tafel 5: r = 998,3 kg/m3 Damit lässt sich die Schallgeschwindigkeit a aus Gleichung 1.11 berechnen: a≈

1 f0 b ·r

a≈

f

0 T

00001 1 00001 –6 46,8 · 10 · 10 – 5 · 998,3

a ≈ 1463 m/s

Beispiel 3

Ri = 287 J/(kg · K)

Aufgabenstellung: Wie groß ist die Schallgeschwindigkeit in Luft von 20 °C bei einem Druck von 1 bar?

Damit kann die Schallgeschwindigkeit a nach Gleichung 1.12 bestimmt werden: k·R ·T a = d06

Lösung: Nach Abschnitt 1.5 betragen die thermischen Werte Ri und k von Luft: k = 1,4

a = d0604 1,4 · 287 · 293,15

i

a = 343,2 m/s

22

Stoffeigenschaften von Flüssigkeiten und Gasen

1.4

Viskosität

1.4.2

Viskosität Newton’scher Fluide

1.4.1

Einleitung

1.4.2.1

Dynamische Viskosität

Zur Bewegung eines festen Körpers durch ein Fluid (Außenströmung) oder eines Fluids durch einen Kanal (Innenströmung) muss eine Kraft aufgewandt werden, die den Reibungswiderstand überwindet. Dieser Widerstand kann auch als Formänderungswiderstand gedeutet werden. Verläuft diese Formänderung genügend langsam, tritt praktisch keine Widerstandskraft auf; die Strömung kann als reibungsfrei angesehen werden. Rasche Formänderungen, d. h. große Formänderungsgeschwindigkeiten, haben große Reibungskräfte zur Folge. Beim Strömen der Fluidelemente in Schichten verschieben sich diese unter der Wirkung kleiner tangentialer Reibungsspannungen gegeneinander. Die Größe dieser Reibungsspannungen hängt sowohl von der Formänderungsgeschwindigkeit als auch einer Stoffeigenschaft ab, die man als Viskosität bezeichnet. In der praktischen Strömungstechnik wendet man 2 Begriffe von Viskosität an: ❑ dynamische Viskosität h ❑ kinematische Viskosität n Je nach Fließverhalten spricht man von Newton’schen oder nicht Newton’schen Fluiden. Die Messung der Viskosität bezeichnet man als Viskosimetrie ([1.7 bis 1.9]), die Beschreibung des Fließverhaltens der Fluide als Rheologie [1.10].

Zwischen 2 parallelen Platten befindet sich ein homogenes Fluid konstanter Temperatur. Die Platten haben die gleiche Fläche A und gegeneinander den relativ kleinen Abstand y. An der oberen Platte greift die Kraft F an und bewegt sie mit der Geschwindigkeit w (Bild 1.2). Die untere Platte ruht (w = 0). Zwischen den Platten bildet sich ein lineares Geschwindigkeitsprofil aus. Nach NEWTON (s. Namensverzeichnis) verhält sich die Tangentialkraft F proportional zur Geschwindigkeit w und umgekehrt proportional zum Abstand y: w F~3 y Als Proportionalitätsfaktor wird die dynamische Viskosität h eingeführt und die Kraft F als Produkt aus tangentialer Schubspannung t und Fläche A ausgedrückt: w F=t·A=h·A·3 y w t=h·3 y Für den Quotienten w/y wird aus DIN 1342 [1.11] der Begriff Geschwindigkeitsgefälle D übernommen, so dass für die Schubspannung folgender einfacher Ausdruck entsteht:

t=h·D t Schubspannung h dynamische Viskosität D Geschwindigkeitsgefälle

F

w A y Bild 1.2

A

w=0

x 2

Zur Erklärung der Schubspannung in einer Fluidschicht zwischen 2 ebenen Platten

(Gl. 1.13)

Viskosität

wx1

x Bild 1.3 Zur Erklärung der Schubspannung zwischen 2 Fluidelementen

Die für die gesamte Strömung zwischen den parallelen Platten formulierte Aussage gilt auch für einen differentiell kleinen Bereich im Strömungsraum zwischen den Platten (Bild 1.3). DIN 1342 drückt deshalb das Geschwindigkeitsgefälle D als Grenzwert bzw. Differentialquotienten aus:

冢 冣

Dwx dwx D = lim 8 = 7 Dy Æ 0 Dy dy

(Gl. 1.14)

D Geschwindigkeitsgefälle Dwx = wx2 – wx1 Geschwindigkeitsdifferenz zwischen 2 Fluidteilchen Dy orthogonaler Abstand zwischen 2 Fluidteilchen

Bild 1.4 Viskosität und Schubspannung in einem Newton’schen Fluid

dyn. Viskosität h

Die als Proportionalitätsfaktor eingeführte dynamische Viskosität ist eine charakteristische Stoffeigenschaft eines Fluids und ist druckund temperaturabhängig. Weil die Schubspannung t wie alle Spannungen die Einheit N/m2 = Pa (Pascal) und m/s das Schergefälle D die Einheit 8 = s – 1 m

haben, ergibt sich aus Gleichung 1.13 die Einheit der dynamischen Viskosität: Pa · s (Pascalsekunde) Ältere Einheiten – z.B. Poise (P) und Zentipoise (cP) – sind seit dem 1.1.1978 nicht mehr zugelassen. Bei Newton’schen Fluiden ist die dynamische Viskosität h per Definition unabhängig vom Geschwindigkeitsgefälle D und damit die Schubspannung t direkt proportional zum Geschwindigkeitsgefälle D (Bild 1.4). 1.4.2.2

Kinematische Viskosität

Die kinematische Viskosität n wird nach MAX(s. Namensverzeichnis) als Quotient aus dynamischer Viskosität h und Dichte r definiert: WELL

h n=3 r

(Gl. 1.15)

n kinematische Viskosität h dynamische Viskosität r Dichte Durch Einsetzen der Einheiten für h und r ergibt sich die Einheit der kinematischen Viskosität n :

冦冧

h Pa · s N · s · m3 {n } = 3 = 023 = 07 m2 · kg r kg/m kg · m · s · m3 m2 = 004 =5 s s2 · m2 · kg

konstant

Geschwindigkeitsgefälle D

Schubspannung t

y

wx2 = wx1+ ∆wx ∆y

23

h = tana a Geschwindigkeitsgefälle D

24

Stoffeigenschaften von Flüssigkeiten und Gasen

Die kinematische Viskosität ␯ hat die Einheit: m2/s (Quadratmeter je Sekunde) Seit 1.1.1978, d. h. seit Einführung des SI-Einheitensystems, sind ältere Einheiten wie St (Stokes), cSt (Zentistokes), Englergrad, Sayboldgrad usw. nicht mehr im Gebrauch. Werden bei der Benutzung älterer Literatur Umrechnungsformeln, Tabellen oder Diagramme zur Umrechnung veralteter Einheiten in SI-Einheiten benötigt, können diese beispielsweise [1.9 oder 1.12] entnommen werden. 1.4.2.3

Temperaturabhängigkeit der Viskosität

a) Flüssigkeiten Die dynamische Viskosität von Flüssigkeiten nimmt wegen der Temperaturabhängigkeit der zwischenmolekularen Adhäsionskräfte, die zwischen den einzelnen Flüssigkeitsschichten wirken, mit zunehmender Temperatur ab, während die dynamische Viskosität von Gasen und Dämpfen wegen der Verstärkung des Impulsaustausches zwischen den Molekülen mit steigender Temperatur zunimmt (Bild 1.5). Zur Beschreibung der Temperaturabhängigkeit wurden zahlreiche Formeln und Verfahren vorgeschlagen, die jedoch keine allgemeingültigen für alle Flüssigkeiten, Gase und Dämpfe zutreffenden Angaben enthalten. Diese empirischen Beziehungen gelten deshalb nur innerhalb eines begrenzten Bereichs

und weisen mehr oder minder große Ungenauigkeiten auf. Nach H. VOGEL [1.13] kann für die Temperaturfunktion der dynamischen Viskosität von Newton’schen Flüssigkeiten folgende Beziehung angesetzt werden: b

6 h = k · et + q

(Gl. 1.16)

dynamische Viskosität bei der Temperatur t k für die jeweilige Flüssigkeit charakteristische Konstante mit der Dimension der dynamischen Viskosität e Basis des natürlichen Logarithmus t Temperatur b, q charakteristische konstante Beiwerte der Flüssigkeit mit der Dimension einer Temperatur

h

In [1.14] wird die empirische Gleichung von ANDRADE in modifizierter Form zur Abschätzung der Temperaturabhängigkeit der Viskosität Newton’scher Flüssigkeiten empfohlen: TA

TA

61 – 62 h = h0 · e T + TB TB + T0

(Gl. 1.17)

dynamische Viskosität bei der Temperatur T h0 dynamische Viskosität bei der Temperatur T0 = 273 K e Basis des natürlichen Logarithmus TA; TB charakteristische Beiwerte (Temperaturen) nach Tabelle 1.2

h

dynamische Viskosität

p = konst. e

mpf

e

Gas

Flü

Dä und

ss

igk

eit

c·r

en

Temperatur Bild 1.5

Der VDI-Wärmeatlas [1.15] enthält ein empirisches Verfahren, mit dem man die dynamische Viskosität von Flüssigkeiten direkt abschätzen kann:

Temperaturabhängigkeit der Viskosität

h ≈ 10 – 6 · A · r 1/3 e h A r

5 T

dynamische Viskosität in Pa · s Beiwert nach Tafel 11 Dichte in kg/m3

(Gl. 1.18)

Viskosität e c T

Basis des natürlichen Logarithmus Beiwert nach Tafel 11 Temperatur in K

h0

b) Gase Die Zunahme der dynamischen Viskosität von Gasen mit steigender Temperatur kann nach der in [1.14] empfohlenen empirischen Gleichung von SUTHERLAND abgeschätzt werden:

冢 冣

T0 + TS T h ≈ h0 · 02 · 4 T + TS T0

Tabelle 1.2

dynamische Viskosität bei der Temperatur T dynamische Viskosität bei der Temperatur T0 = 273 K (bei Wasserdampf: T0 = 373 K!) SUTHERLAND-Konstante mit der Dimension einer Temperatur nach Tabelle 1.3

h

Die Unsicherheiten der obigen Gleichung werden für die meisten Stoffe kleiner als ± 1% im Temperaturbereich 0…100 °C angegeben. Bei den mit * gekennzeichneten Flüssigkeiten können Fehler bis ± 5 % (im Extremfall auch bis 20 %) auftreten. In [1.16] werden für die Temperaturabhängigkeit der kinematischen Viskosität n von Flüssigkeiten die empirischen Formeln von VOGEL, UBBELOHDE-WALTHER und UMSTÄTTER vorgeschlagen. Die Darstellung der Funktionen h = f (t) bzw. n = f (t) ergibt auf doppellogarithmischem Papier in begrenzten Temperaturbereichen praktische Geraden [1.13].

3/2

(Gl. 1.19)

TS

In [1.17] wird das Temperaturverhalten der dynamischen Viskosität von Gasen bei niedrigen Drücken beschrieben. Dieses empirische Berechnungsverfahren basiert auf der dynamischen Viskosität im kritischen Punkt, auf stoffunabhängigen Konstanten und der auf die kritische Temperatur Tkr bezogenen Temperatur T:

冢

冣

q2 h ≈ H · hkr · q 2/3 · 012 1+q h H h kr q Tkr

1/4

(Gl. 1.20)

dynamische Viskosität bei der Temperatur T Konstante; H = 0,263 ± 0,008 kritische Viskosität (Tabelle 1.4) reduzierte Temperatur q = T/Tkr Temperatur des Gases im kritischen Punkt (Tabelle 1.4)

Beiwerte zur Temperaturabhängigkeit der dynamischen Viskosität h von Flüssigkeiten Wasser

Methanol

Quecksilber

h0

179,3 · 10 – 5

81,7 · 10 – 5

168,5 · 10 – 5

Pa · s

TA

506

1110

160

K

TB

– 150

– 20

– 96

K

Tabelle 1.3

25

Sutherland-Konstante TS

Wasserdampf

Luft

O2

N2

H2

He

CO2

h0

1,229

1,710

1,924

1,672

0,782

1,871

1,367

10 – 5 Pa · s

TS

890

122

125

117

– 10

86

242

K

26

Stoffeigenschaften von Flüssigkeiten und Gasen

Tabelle 1.4

Dynamische Viskosität hkr und Temperatur Tkr im kritischen Punkt von Gasen (nach [1.17])

Gas

chemische Formel

dynamische Viskosität h kr Pa · s

kritische Temperatur Tkr K

Wasserstoff Sauerstoff Stickstoff Luft Kohlendioxid Ammoniak Wasserdampf Schwefeldioxid Methan

H2 O2 N2 – CO2 NH3 H2O SO2 CH4

2,47 · 10 – 6 18,95 · 10 – 6 14,06 · 10 – 6 15,18 · 10 – 6 25,51 · 10 – 6 20,07 · 10 – 6 29,93 · 10 – 6 30,34 · 10 – 6 12,24 · 10 – 6

32,98 154,8 126,1 132,5 304,2 405,5 647,3 430,7 190,7

1.4.2.4

Druckabhängigkeit der Viskosität

Die Druckabhängigkeit der dynamischen Viskosität macht sich erst bei hohen Drücken bemerkbar. Fluide, deren dynamische Viskosität eine relativ große Temperaturabhängigkeit aufweist, besitzen im allgemeinen auch eine merkliche Druckabhängigkeit der Viskosität. Bei den meisten Flüssigkeiten steigt die dynamische Viskosität h annähernd exponentiell mit dem Druck, sodass man folgende Beziehung ansetzen kann [1.13]:

hp ≈ h0 · e a · p hp h0 e

(Gl. 1.21)

dynamische Viskosität beim Druck p und bei der Temperatur t dynamische Viskosität beim Druck p0 = 1 bar und der Temperatur t Basis des natürlichen Logarithmus Druckkoeffizient bei der Temperatur t

冢 冣

1 dh p a = 3 61 h t dp p Druck

t

Nach E. KUSS [1.13] liegen die Druckkoeffizienten von Schmierölen aus Kohlenwasserstoffen bei 25 °C zwischen a = 1,7 · 10 – 3 und 3,5 · 10 – 3 bar – 1. In Bild 1.6 ist die dynamische Viskosität h von Hydrauliköl abhängig von Druck und Temperatur nach Unterlagen der Fa. BP dargestellt. Weitere Angaben finden sich u. a. in [1.18]. Tafel 15 enthält die druck-

und temperaturabhängigen Werte der dynamischen Viskosität h von Luft nach [1.20]. 1.4.2.5

Arbeitsunterlagen und Gebrauchsformeln Weil bei der Lösung praxisnaher Aufgaben in Ausbildung und Beruf häufig konkrete Viskositätswerte benötigt werden und nicht immer Handbücher und Tabellenwerke zur Verfügung stehen, sind im Tafelanhang des Buches folgende Diagrame und Tabellen zusammengestellt: Tafel 12 Dynamische und kinematische Viskosität des Wassers in Tabellenform Tafel 13 Kinematische Viskosität des Wassers abhängig von der Temperatur Tafel 14 Dynamische und kinematische Viskosität der Luft in Tabellenform Tafel 15 Dynamische Viskosität der Luft Tafel 16 Kinematische Viskosität der Luft Tafel 17 Kinematische Viskosität von Flüssigkeiten Tafel 18 Kinematische Viskosität von Ölen Tafel 19 Dynamische Viskosität von Gasen Tafel 20 Kinematische Viskosität von Gasen Tafel 21 Dynamische Viskosität von Wasserdampf Weitere Angaben finden sich u.a. in [1.15 und 1.19]. Weil heute die meisten strömungstechnischen Berechnungen mit programmierbaren Taschenrechnern oder Personalcomputern durchgeführt werden, ist es in vielen Fällen sinnvoller, anstelle von Tabellen und Diagrammen Gebrauchsformeln anzugeben, um

Viskosität

Hy

Hy

dra

0,18

dra

ulik öl H

ulik öl H

-LP

0,20

-LP

49

16

0,22 Pa·s

27

40

ra ul ik öl H

°C

-L P

49

0,16

0,12

°C

0,10

60

dynamische Viskosität h

H

yd

0,14

0,08

-LP

0,06

k

uli

dra

Hy

0,04

P 49

l H-L

ulikö

Hydra

100

0,02

16

H öl

°C P 16

liköl H-L

Hydrau

0 0

100

200

300

400

500

Druck p Bild 1.6

600

700

800

900 1000 bar

Dynamische Viskosität von Hydraulikölen, abhängig von Druck und Temperatur, nach Fa. BP

die in einem Programmablauf benötigten Viskositätswerte numerisch bestimmen zu können, ohne das Programm zur Werteeingabe unterbrechen zu müssen. Für Wasser und Luft werden folgende Beziehungen angegeben und – soweit bekannt – auch die Quellen genannt:

b) Kinematische Viskosität n von Wasser nach [1.22]:

a) Dynamische Viskosität h von Wasser nach [1.21]:

c) Dynamische Viskosität h von Luft nach [1.21]:

1795 · 10– 6 h = 000062 in Pa · s 1 + 0,036 · t + 0,000185 · t (Gl. 1.22)

h = 17,07 (1 + 0,00286 · t – 0,0000015 · t 2) · 10 – 6 in Pa · s (Gl. 1.24)

Temperatur t in °C

1,78 · 10 – 6 n = 000072 in m2/s 1 + 0,0337 · t + 0,000221 · t (Gl. 1.23) Temperatur t in °C

Bezugsdruck p = 1 bar Temperatur t in °C

28

Stoffeigenschaften von Flüssigkeiten und Gasen

d) Dynamische Viskosität h von Luft nach [1.23]: T 3/2 h = 1,458 · 10 – 6 · 06 in Pa · s T + 110,4

(Gl. 1.25)

Bezugsdruck p = 1 bar Temperatur T in K e) Kinematische Viskosität n von Luft nach [1.24]: T 3/2 n = 42,6 · 10– 10 · 06 in m2/s 123,6 1+9 (Gl. 1.26) T Bezugsdruck p = 1 bar Temperatur T in K

Beispiel 4 Aufgabenstellung Wie groß sind Dichte r, dynamische Viskosität h und kinematische Viskosität n von Wasser bei einem Druck von 1 bar und einer Temperatur von t = 80 °C? Lösung: a) Die Dichte r wird aus Tafel 5 entnommen: r = 971,6 kg/m3 b) Die dynamische Viskosität h wird aus Gleichung 1.22 berechnet: 1795 · 10 – 6 h = 000022 1 + 0,036 t + 0,000185 t 1795 · 10 – 6 h = 000002 1 + 0,036 · 80 + 0,000185 · 80

h = 354,5 · 10 – 6 Pa · s Aus der Wasserdampftafel [1.5] wird Seite 15 entnommen:

h = 355 · 10 – 6 Pa · s bei 80 °C und 1 bar

f) Kinematische Viskosität (Quelle unbekannt):

n

von

Luft

418,45 T 5/2 n = 02 · 06 · 10 – 6 in m2/s p T + 110,4 (Gl. 1.27) Druck p in Pa Temperatur T in K In [1.23] wird eine auf POISEUILLE (s. Namensverzeichnis) zurückgehende Näherungsformel zur Abschätzung des Temperatureinflusses auf die dynamische Viskosität h von Flüssigkeiten empfohlen:

h0 h = 00001 in Pa · s 1 + 0,0337 t + 0,00022 t2 (Gl. 1.28) h 0 dynamische Viskosität in Pa · s bei 0°C t Temperatur in °C

c) Die kinematische Viskosität n berechnet sich aus der dynamischen Viskosität h und der Dichte r nach Gleichung 1.15:

h 355 · 10– 6 n = 3 , n = 07 r 971,6 n = 0,365 · 10– 6 m2/s Aus Tafel 13 wird abgelesen:

n = 0,36 · 10– 6 m2/s Nach Gleichung 1.23 errechnet sich die kinematische Viskosität n wie folgt: 1,78 · 10– 6 n = 000072 1 + 0,0337 · t + 0,000221 · t 1,78 · 10 – 6 n = 0000032 1 + 0,0337 · 80 + 0,000221 · 80

n = 0,348 · 10– 6 m2/s Die aus 3 verschiedenen Quellen stammenden Werte für n stimmen recht gut überein!

Viskosität

Beispiel 5 Aufgabenstellung: Wie groß sind die dynamische Viskosität h und die kinematische Viskosität n von Luft bei einem Absolutdruck von 10 bar und einer Temperatur von 100 °C? Lösung: a) Aus Tafel 14 werden folgende Werte entnommen:

29

gering ist (vgl. Tafel 15), trifft dieses Rechenergebnis auch für den Druck p = 10 bar relativ genau zu. d) Gleichung 1.25 liefert folgendes Ergebnis: T 3/2 h = 1,458 · 10 – 6 06 T + 110,4 3733/2 h = 1,458 · 10 – 6 00 373 + 110,4

dynamische Viskosität

h = 21,73 · 10– 6 Pa · s h = 21,7 · 10– 6 Pa · s kinematische Viskosität

n = 232,8 · 10– 8 m2/s = 2,33 · 10– 6 m2/s

h = 22 · 10– 6 Pa · s

b) Aus Tafel 16 kann für einen Druck p = 1000 mbar , 1 bar eine kinematische Viskosität –6

2

n = 23,15 · 10 m /s abgelesen werden. Weil das Produkt n · p konstant ist, kann die kinematische Viskosität n bei einem Druck von 10 bar berechnet werden:

n · p = 23,15 · 10– 6 · 1 = n · 10 = konst n = 2,315 · 10– 6 m2/s

e) Aus Tafel 19 wird eine dynamische Viskosität h von etwa

bei 10 bar

c) Nach Gleichung 1.24 ergibt sich folgende dynamische Viskosität h:

h = 17,07 (1 + 0,00286 · t – 0,0000015 · t2) · 10 – 6 h = 17,07 (1 + 0,00286 · 100 – 0,0000015 · 1002) · 10 – 6 h = 21,7 · 10–6 Pa · s Weil die Druckabhängigkeit der dynamischen Viskosität im unteren Druckbereich

abgelesen. Ein ähnliches Ergebnis liefert Tafel 15. f) Die kinematische Viskosität n kann aus den Gleichungen 1.26 und 1.27 näherungsweise berechnet werden: T 3/2 n = 42,6 · 10– 10 07 123,6 1+9 T

(Gl. 1.26)

3733/2 n = 42,6 · 10– 10 07 123,6 1+0 373

n = 23,05 · 10– 6 m2/s

bei p = 1 bar

n = 2,305 · 10– 6 m2/s

bei p = 10 bar

418,45 T 5/2 n = 02 · 06 · 10 – 6 p T + 110,4 418,45 3735/2 n = 025 · 09 · 10 – 6 10 · 10 373 + 110,4

n = 2,33 · 10– 6 m2/s

(Gl. 1.27)

30

Stoffeigenschaften von Flüssigkeiten und Gasen

g) Aus Tafel 20 wird entnommen:

n = 2,3 · 10– 6 m2/s

m2 n · p = 2,3 4 · Pa s

Auch die nach verschiedenen Quellen abgeschätzten Werte für die kinematische Viskosität n stellen recht gut übereinstimmende Ergebnisse dar.

n·p 2,3 n = 7 = 035 p 10 · 10

1.4.3

Viskosität nicht Newton’scher Fluide

Nicht Newton’sche Fluide sind Substanzen, deren Fließverhalten nicht durch den Newton’schen Schubspannungsansatz der Gleichung 1.13 beschrieben wird. Nach DIN 13 342 [1.25] werden 3 Klassen von nicht Newton’schen Flüssigkeiten unterschieden: ❑ nicht linear-reinviskose Flüssigkeiten, ❑ linear-viskoelastische Flüssigkeiten, ❑ nicht linear-viskoelastische Flüssigkeiten. In dieser Norm werden die Flüssigkeiten definiert und ihr Fließverhalten beschrieben. Im Vergleich zu den Newton’schen Substanzen treten folgende Fließanomalien auf: a) Plastische Stoffe sind Flüssigkeiten, die sich im Ruhezustand und bei kleinen Schubspannungen wie elastische Festkörper verhalten und erst bei größeren Schubspannungen, Fließgrenze genannt, zu fließen beginnen. Ist der Zusammenhang zwischen Schubspannung und Schergefälle linear, spricht man von einem Bingham-Körper.

b) Strukturviskose Flüssigkeiten weisen eine mit steigender Schubbeanspruchung abnehmende Viskosität auf. Mit zunehmendem Geschwindigkeitsgefälle orientieren sich die Partikel der Flüssigkeit in Fließrichtung, wodurch sie leichter, d.h. mit geringeren Reibungsverlusten, aneinander vorbeigleiten können. Dieses Phänomen ist nicht über dem ganzen Bereich des Geschwindigkeitsgefälles gleich stark ausgeprägt. Bei sehr kleinen Schergefällen verhalten sich strukturviskose Fluide wie Newton’sche Flüssigkeiten. Es schließt sich ein Bereich an, in dem die Viskosität in Abhängigkeit vom Geschwindigkeitsgefälle stark abnimmt. Bei hohen Geschwindigkeitsgefällen ändert sich die Viskosität dann kaum noch (Bild 1.7). Die meisten nicht Newton’schen Flüssigkeiten verhalten sich strukturviskos. c) Dilatante Stoffe besitzen eine mit dem Schergefälle steigende Viskosität. Dilatantes Fließverhalten erweist sich bei vielen Produktionsprozessen als ungünstig. Dilatante Stoffe kommen verhältnismäßig selten vor.

=f

2. Newton’scher Bereich

)

(D

1. Newton’scher Bereich

h′

log h′

h1′

h2′

Bild 1.7 Viskositätskurve einer strukturviskosen Flüssigkeit

log D

Thermische Stoffwerte

log h ′

Solzustand Scherzeit

Ruhezeit

D = konst

D=0

Scherzeit

Ruhezeit

D = konst

D=0

log h ′

Gelzustand

31

Zeit

Zeit Bild 1.8 Viskositäts-Zeit-Kurve einer thixotropen Flüssigkeit

Bild 1.9 Viskositäts-Zeit-Kurve einer rheopexen Flüssigkeit

d) Thixotrope Substanzen zeigen ein zeitabhängiges Fließverhalten. Bei reiner Thixotropie nimmt die Viskosität während der Scherzeit ab, um nach Wegfall der Scherbeanspruchung in der sog. Ruhezeit wieder auf den ursprünglichen Wert anzusteigen (Bild 1.8). Bei den meisten Stoffen ist die Ruhezeit wesentlich größer als die Scherzeit. Nimmt die Viskosität in der Ruhezeit nicht wieder zu, spricht man von irreversiblem Fließverhalten oder unechter Thixotropie (z.B. Jogurt).

1.5

Thermische Stoffwerte

1.5.1

Einleitung

e) Rheopexe Flüssigkeiten zeigen ein umgekehrtes Fließverhalten als thixotrope Flüssigkeiten, d. h., mit der Scherbeanspruchung nimmt die Viskosität bis zu ihrem Maximalwert zu, um dann während der anschließenden Ruhezeit auf den Ausgangswert zurückzugehen (Bild 1.9). Rheopexie tritt äußerst selten auf. In Tabelle 1.5 sind die Fließ- und Viskositätskurven der verschiedenen nicht Newton’schen Substanzen gegenübergestellt sowie einige Beispiele aufgezählt. Wissenschaftler arbeiten meist mit den Fließkurven d. h. der Abhängigkeit D = f (t). Praktiker mit den Viskositätskurven, d.h. der Funktion log h ¢ = f (log D), wobei h ¢ die scheinbare Viskosität (Viskositätsfunktion) ist. Weitere Einzelheiten finden sich in [1.1, 1.7 bis 1.10 und 1.25 bis 1.28].

Bei der Einführung der Stoffgrößen Dichte und Viskosität wurde bereits darauf hingewiesen, dass diese Stoffeigenschaften temperaturabhängig sind. Bei strömungstechnischen Berechnungen und Versuchen in der Aerostatik und bei kompressiblen Strömungen werden einige thermische Stoffwerte bzw. Zustandsgrößen benötigt, auf die an dieser Stelle bereits näher eingegangen wird. DIN 1235 «Thermodynamik» [1.29] wurde bei der Festlegung von Bezeichnungen, Formelzeichen und Einheiten weitgehend berücksichtigt. 1.5.2

Spezifische Wärmekapazität

Unter der spezifischen Wärmekapazität versteht man die Wärmemenge, die erforderlich ist, um eine Stoffmasse von 1 kg um 1°C zu erwärmen oder abzukühlen. Die spezifische Wärmekapazität von realen Fluiden ist sowohl temperatur- als auch druckabhängig. Bei idealen Flüssigkeiten und Gasen entfällt die Druckabhängigkeit. Man unterscheidet zwei besondere Begriffe der spezifischen Wärmekapazität: ❑ die isobare spezifische Wärmekapazität cp bei gleichbleibendem Druck,

dilatant

plastisch

Fließanomalie

strukturviskose (pseudoplastisch)

Fließ- und Viskositätskurven nicht Newton’scher Flüssigkeiten

scheinbare Viskosität h¢

scheinbare Viskositätskurve

wahre Fließkurve

Tabelle 1.5

Bi ng h a mKö nic rp er ht lin ie a rp las tis ch

rte

erte

Endw

gs we

fan

An

Endw

rte

we

erte

gs

fan

An

thixotrop

En

erte

te

rte

dw er

we ngs

ngsw

Anfa

a Anf

te er dw En

rheopex

32 Stoffeigenschaften von Flüssigkeiten und Gasen

Beispiele

Reibungsgleichung

n

1 D = 31 (d2t – d3 J )2 h¢

Gleichung von CASSON:

t–J D= 0 h¢

冣 n

D = a · t3 + c · t c>0

Gleichung von STEIGER/ORY:

冢 冣

t D= 5 h¢ n>1

Potenzgesetz von OSTWALD und DE WAELE:

Gleichung von HERSCHEL und BULKLEY:

冢

hochpolymere Stoffe Kautschuk Kunststoffe Suspensionen Majonäse Latex Klebstoffe Polyethylen Schmelzen

Dispersionen Schmierstoffe Kitt Formmasse Tomatenketschup Zahnpasta Creme Gallerte Emulsionen Harze Ton Talg trockener Sand Salben Schokolademasse Fette Zementschlamm geschlagenes Eiweiß

n

冢 冣

t D= 5 h¢ n 100 °C

29 molare Masse Mi

32

J/(kg K) 129,8 296,8 518,3 461,5 188,9 488,2 4 124 296,8 259,8 287 individuelle Gaskonstante Ri

1,27 1,4 1,32 1,33 1,3 1,31 1,41 1,4

10 075

14 199 1038,7

741,9 655

1,4 1,4 Isentropenexponent k

1369 930 1169 1120 627,6 1572

1301 1540 1492

CH4 H2O * CO2 NH3 H2 N2 O2

717

p · u = Ri · T

isochore spezifische Wärmekapazität cv

Zwischen der Gaskonstanten Ri und anderen Zustandsgrößen bzw. Stoffwerten bestehen folgende Zusammenhänge: Aus der allgemeinen Gasgleichung für das ideale Gas lässt sich ableiten:

1004

J 01 kg · K

isobare spezifische Wärmekapazität cp

die zugehörige SI-Einheit:

Luft

Energie (Arbeit) 0006 Masse · Temperatur

Stoff

Unter der individuellen oder spezifischen Gaskonstante Ri eines Gases oder Dampfes versteht man die Energie, die 1 kg des Stoffes je 1 °C Temperaturerhöhung bei konstant bleibendem Druck nach außen abgeben kann. Die Dimension der spezifischen Gaskonstante ist demnach:

Thermische Stoffwerte von Gasen bei 1 bar und 0 °C

Gaskonstante

Tabelle 1.6

1.5.3

CO

Bei idealen, nicht komprimierbaren Flüssigkeiten wird k = 1. In Tabelle 1.6 sind die spezifischen Wärmekapazitäten cp und cv sowie der Isentropenexponent k einiger wichtiger Gase aufgeführt, in Tafel 22 wurden die isobaren spezifischen Wärmekapazitäten cp verschiedener Gase in Abhängigkeit von der Temperatur dargestellt. Tafel 23 enthält die cp-Werte von Luft sowohl druck- als auch temperaturabhängig, Tafel 24 die cp-Werte von Wasserdampf. In Tafel 25 ist der Isentropenexponent k von Luft in Funktion von Temperatur und Druck aufgetragen, Tafel 26 zeigt den Isentropenexponenten k von Wasserdampf. Weitere Werte können in [1.4, 1.5, 1.6, 1.15, 1.20] nachgeschlagen werden.

816,5

(Gl. 1.29)

SO2

cp k=4 cv

2060,2

Für alle Substanzen ist c p > c v . Den Quotienten aus cp und cv nennt man bei idealen Gasen Isentropenexponent:

1740

J/(kg K)

❑ die isochore spezifische Wärmekapazität cv bei gleichbleibendem Volumen.

J/(kg K)

Stoffeigenschaften von Flüssigkeiten und Gasen

914,8

34

Thermische Stoffwerte

p·u p Ri = 9 = 9 T r·T

35

du = c v · dT (Definition) (Gl. 1.30)

Ri = cp – cv dh = cv · dT + cp · dT – cv · dT dh = cp · dT

Weiterhin gilt:

k –1 R i = cp – c v = (k – 1) · cv = 8 · cp k

(Gl. 1.31)

Die spezifische Enthalpie h eines idealen Gases bei der Temperatur T beträgt demnach: T

Neben der individuellen oder spezifischen Gaskonstante Ri ist noch die universelle oder molare Gaskonstante R definiert, die für alle Gase den gleichen konstanten Zahlenwert J R = 8314,2 96 kmol · K hat. Zwischen der universellen Gaskonstanten R und der individuellen Gaskonstanten R i besteht folgender Zusammenhang: R Ri = 5 Mi

(Gl. 1.32)

mit Mi als molarer Masse des Stoffes in kg/kmol. In Tabelle 1.6 sind für einige Gase die individuelle Gaskonstante Ri und die molare Masse zusammengestellt. 1.5.4

Enthalpie

Die spezifische Enthalpie h ist in der Thermodynamik des idealen Gases als Summe aus innerer Energie u und Verschiebearbeit p · u definiert: h=u+p·u Differenziert man diesen Ausdruck, erhält man eine Beziehung für die Enthalpieänderung in Abhängigkeit von der Temperaturänderung: dh = du + d(p · u) = du + d (R i · T)

h = h 0 + c p ∫ dT = h0 + cp (T – T0 )

(Gl. 1.33)

T0

Die Enthalpiewerte von Gasen und Dämpfen werden in Tabellenwerken (z.B. [1.4, 1.5, 1.6, 1.30, 1.31 und 1.32]) zusammengestellt oder in sog. Mollier-h-s-Diagrammen grafisch dargestelt ([1.4, 1.5, 1.6 und 1.33]). In Kapitel 5 wird der Aufbau und Gebrauch von Mollier-h-s-Diagrammen noch ausführlich erklärt. 1.5.5

Dampfdruck

Unter dem Dampfdruck (Sättigungsdruck) versteht man den Grenzdruck, bei dem ein Stoff gerade im Gleichgewicht zwischen der flüssigen und gasförmigen Phase steht. Die sog. Dampfdruckkurve (Siedekurve), die vom Tripelpunkt bis zum kritischen Punkt verläuft, trennt die Bereiche des flüssigen und gasförmigen Zustandes (Bild 1.1). Zu jedem Druck gehört eine bestimmte Sättigungstemperatur und umgekehrt. Die Kenntnis des Dampfdrucks ist besonders bei Betrachtung und Berechnung von Kavitationserscheinungen erforderlich. In den Tafeln 5 und 9 ist der Dampfdruck von Wasser angegeben, Tafel 27 enthält Dampfdruckkurven verschiedener Flüssigkeiten. Weitere Werte können u.a. in [1.34 bis 1.36] nachgeschlagen werden.

36

Stoffeigenschaften von Flüssigkeiten und Gasen

1.6

Oberflächenspannungen und Kapillarität

1.6.1

Einleitung

Bei der Beschreibung mancher Erscheinungen und Vorgänge der Physik, Chemie und Biologie sowie bei vielen Verfahren der chemischen und mechanischen Verfahrenstechnik – z.B. Benetzen, Trennen, Waschen, Schäumen, Entschäumen, Emulgieren, Dismulgieren, Zerstäuben, Flotation, Haften, Tropfen- und Blasenbildung – sind die physikalischen Zustände und Verhältnisse in den Grenzflächen von Fluiden bzw. an den Berührungsflächen von Festkörpern und Fluiden von großer Bedeutung. In diesem Buch werden nur die wichtigsten Begriffe der Oberflächenspannung (Grenzflächenspannung), Haftspannung und Kapillarität kurz eingeführt und dargestellt. Weitere Einzelheiten – insbesondere die wissenschaftlichen Grundlagen – können beispielsweise in [1.37 bis 1.42] nachgelesen werden. 1.6.2

Oberflächenspannung

Ein Flüssigkeitsteilchen im Innern einer ruhenden, homogenen Flüssigkeit wird von seinen benachbarten Teilchen mit gleichen Kohäsionskräften allseitig angezogen. Diese Anziehungskräfte halten sich gegenseitig das Gleichgewicht, d. h. zeigen nach außen keine Wirkung (Bild 1.10).

Ein Flüssigkeitspartikel an der Grenzfläche zu einer anderen Flüssigkeit, einem Gas oder Dampf erfährt unterschiedlich große Anziehungskräfte. Dies wird besonders deutlich an der Grenzfläche zwischen einer Flüssigkeit und einem Gas. Diese Grenzfläche wird auch freie Oberfläche genannt. Die an dieser Grenzfläche wirkenden, nach innen gerichteten Kohäsionskräfte versuchen die Oberfläche möglichst klein zu halten. Sie verspannen sie gewissermaßen wie eine dünne Haut oder Membrane – wie THOMAS YOUNG (s. Namensverzeichnis) schon 1805 festgestellt hat. Ohne Wirkung äußerer Kräfte wollen die Oberflächen von Flüssigkeiten einen minimalen Wert im Vergleich zum Volumen annehmen, was man beispielsweise gut bei der Tropfen- und Blasenbildung beobachten kann. Oberflächenspannungen sind sehr klein und nehmen mit steigender Temperatur ab. Weil die Schichtdicke der Oberfläche sehr dünn ist, genügen schon geringfügige Verunreinigungen, um die Oberflächenspannung merklich herabzusetzen. Die Oberflächenspannung s lässt sich einfach an einer verspannten Flüssigkeitshaut definieren bzw. herleiten (Bild 1.11). Durch die Kraft F wird der untere, bewegliche Schenkel um dh verschoben. F′

l

Luft oder Gas freie Oberfläche Flüssigkeit Wirkungsbereich

aut

itsh

Bügel

ke ssig

Flü

dh beweglicher Schenkel F

Bild 1.10 Zur Erklärung der Kohäsionskräfte in Flüssigkeiten

Bild 1.11 Versuch zur Bestimmung der Oberflächenspannung

Oberflächenspannungen und Kapillarität Die Oberflächenspannung ergibt sich durch Division der Zugkraft F durch die doppelte Bügellänge l: F s=7 2·l

(Gl. 1.34)

s Oberflächenspannung F Zugkraft l Bügellänge Die Kraft F muss sinnvollerweise auf die doppelte Bügellänge l bezogen werden, weil die Flüssigkeitshaut 2 Seiten, d. h. 2 Oberflächen hat. Man kann die Oberflächenspannung auch über die zur Vergrößerung der Oberfläche erforderliche Energie herleiten: dW = s · dO dW = F · dh dO = 2 · l · dh dW s =7 dO F · dh s = 04 2 · l · dh F s =7 2·l

Tabelle 1.7

37

Es ergibt sich also wiederum Gleichung 1.34, aus der man die Dimension der Oberflächenspannung Kraft 02 Länge ersieht. Als Einheit wird N/m empfohlen. Für praktische Übungen und Berechnungen sind in Tabelle 1.7 einige Werte zusammengestellt. Um den relativ großen Einfluss der Temperatur auf die Oberflächenspannung zu demonstrieren, sind in Bild 1.12 die Kurvenverläufe der Oberflächenspannung einiger wichtiger Flüssigkeiten angegeben. Weitere Tabellen mit detaillierten Angaben finden sich u.a. in [1.37, 1.43 und 1.44]. 1.6.3

Haftspannung

An den Berührungsstellen von Fluiden an festen Wänden entstehen Haftspannungen, an den Grenzflächen sich nicht mischender Flüssigkeiten entstehen Grenzflächenspannungen. So entstehen abhängig von der Größe dieser Spannungen verschiedene Formen der Benetzung fester Wände (Bild 1.13).

Oberflächenspannungen s12 von Flüssigkeiten

Flüssigkeit

Oberflächenspannung s 12 N/m

Temperatur t °C

Wasser Benzol Alkohol Ethylether Quecksilber Speiseöl Ammoniak Schwefelwasserstoff Tetrachlorkohlenstoff Methanol Glykol Toluol geschmolzenes Kochsalz geschmolzenes Natrium geschmolzenes Blei

0,073 0,028 0,023…0,025 0,016 0,47…0,49 0,025…0,030 0,042 0,034 0,028 0,023 0,048 0,029 0,114 0,427 0,442

20 20 20 20 20 20 – 29 – 83 22 22 22 22 800 100 350

Diese Angaben beziehen sich auf Grenzflächen der Flüssigkeit gegen Luft oder den eigenen Dampf; sie wurden größtenteils aus [1.37, 1.43 und 1.44] entnommen.

38

Stoffeigenschaften von Flüssigkeiten und Gasen

Oberflächenspannung von Wasser

Bild 1.12

t in °C

s12 in N/m

t in °C

s12 in N/m

0 10 20 30 40 50 60 70 80

0,0756 0,0742 0,0728 0,0712 0,0696 0,0679 0,0662 0,0644 0,0626

90 100 150 200 250 300 250 374

0,0607 0,0588 0,0487 0,0378 0,0262 0,0144 0,0038 0

Oberflächenspannungen verschiedener Flüssigkeiten, abhängig von der Temperatur (nach [1.37])

s13 s12 s13 B s23 a

a

feste Wand

B Dampf, Gas Grenzfl äche s12 s23 Flüssigkeit a)

b)

Bild 1.13 Benetzungsarten von Flüssigkeiten

Oberflächenspannungen und Kapillarität An den Grenzflächen herrschen folgende Oberflächenspannungen:

s13 = Oberflächenspannung Gas (Dampf) Æ Wand s23 = Oberflächenspannung Flüssigkeit Æ Wand s12 = Oberflächenspannung Flüssigkeit Æ Gas (Dampf) Die Flüssigkeitsoberfläche bildet mit der festen Wand den Benetzungswinkel (Randwinkel, Kontaktwinkel) a . Nach Bild 1.13 kann folgendes Spannungsgleichgewicht im Berührungspunkt B angesetzt werden:

s13 – s23 = s12 · cos a s13 – s23 cos a = 04 s12

(Gl. 1.35)

Für die Größe des Berührungswinkels a, d.h., die Oberflächenkontur in Wandnähe, kann man nach Gleichung 1.35 2 Bereiche unterscheiden:

s13 > s23: benetzende Wand (hydrophile Wand), z. B. Quarz (Glas), Silikate, Sulfate, Karbonate Benetzungswinkel a < 90° Flüssigkeit steigt in der Randzone an (Bild 1.13 a)

s13 < s23: nicht benetzende Wand (hydrophobe Wand), z.B. reine Metalle, Sulfide, Grafit Benetzungswinkel a > 90° Flüssigkeit sinkt in der Randzone (Bild 1.13 b) Das Hochziehen oder Herabdrücken einer Flüssigkeit an einer festen Begrenzungswand kann man aus dem Unterschied zwischen den Adhäsionskräften, die die Wand auf die Flüssigkeit ausübt, und den Kohäsionskräften, die zwischen den Flüssigkeitsteilchen wirken, erklären. Als Haftspannung bezeichnet man den Spannungsunterschied s13 – s23 . Wird die Haftspannung größer als die Oberflächenspannung s12 der Flüssigkeit, so wird die Wand vollständig benetzt, der Benetzungswinkel a wird 0. In Bild 1.14 sind Tropfenbildung bzw. Ausbreitung verschiedener Flüssigkeiten gegenübergestellt. Auch die Ausbildung eines schwimmenden Tropfens oder einer schwimmenden Gas- bzw. Dampfblase an der Grenze zweier Flüssigkeiten kann über die Oberflächenspannungen erklärt werden, die in den Grenzflächen wirken (Bild 1.15). Zur Berechnung von praktischen Beispielen sind in Tabelle 1.8 einige Angaben von Oberflächenspannungen zwischen Fluiden und festen Wänden sowie zwischen nicht

Quecksilbertropfen a

Petroleum breitet sich aus (a = 0°)

Wassertropfen a

Bild 1.14 Tropfenbildung von Flüssigkeiten

39

a ≈135 bis 138°

a ≈ 8°

saubere Glasplatte

Gas (Dampf)

s12

b

a

s13

g s23

Flüssigkeit Flüssigkeit b

Flüssigkeit Bild 1.15 Ausbildung schwebender Tropfen und Gasblasen

g

a s12

Gasblase

s 13

s23

Flüssigkeit

40

Stoffeigenschaften von Flüssigkeiten und Gasen

Tabelle 1.8

Oberflächenspannungen und Benetzungswinkel Oberflächenspannung s 12 N/m

Benetzungswinkel a Grad

Fluid

Festkörper

Wasser

Glas Grafit Kupfer

Quecksilber

Glas Stahl

Glycerin

Glas Platin

767 767

≈0 ≈0

Benzol

Glas Kohle

28 61

6 0

Luft

Glas

Wasser gegen Quecksilber Wasser gegen Benzol Wasser gegen Toluol Wasser gegen Quecksilber

≈8 86 ≈0

&0,073 0,005 70,073 0,35 0,43

135…140 154

0,9…0,1 0,39…0,43 0,034 0,036 0,38

bei 18 °C bei 25 °C bei 25 °C bei 25 °C

Die Zahlenwerte wurden hauptsächlich aus [1.37 und 1.43] entnommen.

mischbaren Flüssigkeiten aus den einschlägigen Tabellenwerken herausgezogen. 1.6.4

Grenzflächendruck (Kapillardruck)

An ebenen Grenzflächen treten keine senkrecht zur Oberfläche wirkenden Druckkräfte auf, weil alle Oberflächenspannungen in einer Ebene liegen und keine orthogonalen Komponenten besitzen. Bei gekrümmten Grenzflächen, z. B. an Gefäßrandzonen (Bild 1.13), oder bei Tropfen und Blasen (Bilder 1.14 und 1.15) tritt eine senkrecht zur gekrümmten Grenzfläche wirkende Normalkraft auf, die einen Grenzflächendruck zur Folge hat, der auch Krümmungsdruck oder Kapillardruck genannt wird. Betrachtet man ein mit den Radien R1 und R2 gekrümmtes Oberflächenelement dA (Bild 1.16), ergibt sich folgender Gleichgewichtsansatz zwischen dem Grenzflächendruck Dpk und der Oberflächenspannung s12 : dFn = Dpk · ds1 · ds2 = s12 · ds2 · J1 + s 12 · ds1 · J2

ds Krümmungswinkel J1 = 61 R1 ds2 Krümmungswinkel J2 = 6 R2 ds1 ds Dpk · ds1 · ds2 = s12 · ds2 · 6 + s12 · ds1 · 62 R1 R2

冢

冣

1 1 Dp k = s12 · 5 + 5 R1 R2

(Gl. 1.36)

Dpk Grenzflächendruck s12 Oberflächenspannung R1 ; R2 Krümmungsradien Diese Beziehung wurde bereits anfangs des 19. Jahrhunderts von LAPLACE, YOUNG und GAUSS (s. Namensverzeichnis) unabhängig voneinander angegeben. Aus dieser Gleichung erkennt man, dass ein kugelförmiger Tropfen mit dem Radius R durch den Grenzflächendruck 2 · s12 Dp k = 82 R zusammengedrückt wird [1.41].

(Gl. 1.37)

Oberflächenspannungen und Kapillarität

41

d a

r1 R

r

hm

r2

Kapillaraszension z. B. Wasser in einer Glasröhre

d Bild 1.16

Zur Ableitung des Kapillardruckes

Eine hauchdünne Seifenblase besitzt eine innere und eine äußere Oberfläche, so dass eine doppelte Oberflächenkraft auftritt, die sich mit der Druckkraft aus dem inneren Überdruck das Gleichgewicht halten muss:

hm

2 · s12 · 2 · p · R = Dp i · p · R 2 4 · s12 Dpi = 83 R

1.6.5

(Gl. 1.38)

Kapillarität

Taucht man ein enges Röhrchen in eine Flüssigkeit ein, kann man bei benetzenden Flüssigkeiten (z. B. Wasser gegenüber Glas) ein Hochsteigen der Flüssigkeit, bei nicht benetzenden Flüssigkeiten (z. B. Quecksilber gegenüber Glas) ein Absinken des Flüssigkeitsmeniskus im Röhrchen gegenüber der freien Oberfläche beobachten (Bild 1.17). Die mittlere Anhebung hm bzw. Absenkung hm lässt sich unter Verwendung des Ausdrucks für den Kapillardruck in Gleichung 1.36 herleiten. Der Meniskus der Flüssigkeitssäule erfährt bei einem Krümmungsradius R folgenden

Kapillardepression z. B. Quecksilber in einer Glasröhre Bild 1.17

Kapillarität in Rohren

Kapillardruck, der eine nach oben gerichtete Druckkraft Fp zur Folge hat:

冢

冣

1 1 Dpk = s12 · 3 + 3 R R

2 Dpk = s12 · 3 R r d R = 0 = 86 cos a 2 · cos a 4 · cos a Dpk = s12 86 d p 2 Fp = Dpk · 3 · d 4

Stoffeigenschaften von Flüssigkeiten und Gasen

Diese Druckkraft hält der Gleichgewichtskraft der hochgezogenen Flüssigkeitssäule vermindert um den statischen Auftrieb im Gas mit der Dichte r1 das Gleichgewicht. p G = (r2 – r1) · g · hm · d 2 · 3 4 G = Fp p (r 2 – r 1) · g · h m · d 2 · 3 = s12 · p · cos a · d 4 4 · s12 · cos a hm = 003 g (r2 – r1) · d

4 · s12 hm ≈ 04 r2 · g · d hm s12 r2 g d

+15 +10 +5 Tetrac h

(Gl. 1.40)

Steighöhe bzw. Depressionshöhe Oberflächenspannung Flüssigkeit Æ Gas Dichte der Flüssigkeit Erdbeschleunigung Innendurchmesser des Kapillarröhrchens

In Bild 1.18 sind die Steighöhen einiger Flüssigkeiten sowie die Depressionshöhe von Quecksilber abhängig vom lichten Rohrdurchmesser d, nach Näherungsgleichung 1.40 berechnet, dargestellt. Eine ähnliche Beziehung lässt sich auch für die Kapillaraszension und

Wasse r Toluol

lorko

0

hlen

–5

stoff

silber

Queck

–10 mm –15 0

1 2 3 4 5 6 7 lichter Rohrdurchmesser

8 mm 10

Bild 1.18 Kapillaraszension und Kapillardepression verschiedener Flüssigkeiten

s

Steighöhe bzw. Depressionshöhe Oberflächenspannung Flüssigkeit Æ Gas Benetzungswinkel Erdbeschleunigung Dichte der Flüssigkeit Dichte des Gases Innendurchmesser des Kapillarröhrchens

Nimmt man der Einfachheit halber an, dass der Meniskus die Form einer Halbkugel mit dem Radius d/2 hat, wird a = 0, d. h. cos a = 1 und vernachlässigt noch die Gasdichte r 1 gegenüber der viel größeren Flüssigkeitsdichte r2, erhält man folgende recht genau zutreffende Näherungsformel für die kapillare Aszensions- bzw. Depressionshöhe hm :

t = 20 °C

+20

l

R

hm s12 a g r2 r1 d

(Gl. 1.39)

Steighöhe

+30 mm +25

4 · cos a p Fp = s12 04 · 3 · d 2 d 4 Fp = s12 · p · cos a · d

Absenkung

42

hm

Bild 1.19

Kapillarität zwischen parallelen Platten

Kapillardepression zwischen 2 parallelen Wänden herleiten (Bild 1.19). Kapillardruck Dpk:

冢

冣

1 1 Dpk = s12 · 4 + 4 R1 R2 s R1 = R ≈ 3 2 1 R2 = ∞; 4 = 0 R2

s12 2 · s12 Dp k = 5 ≈ 0 R s

Oberflächenspannungen und Kapillarität Kapillardruckkraft Fp:

2 · s12 hm ≈ 03 r2 · g · s

Fp = Dpk · l · s 2 · s12 Fp = 0 · l · s s Fp = 2 · s12 · l Gewichtskraft G: G ≈ r2 · g · hm · l · s (Gasdichte r1 vernachlässigt) Gleichgewichtsansatz: Fp = G 2 · s12 · l ≈ r2 · g · hm · l · s

Die Kapillarsteighöhe hm zwischen 2 parallelen Platten im Abstand s ist nur halb so groß wie die Kapillarsteighöhe hm in einem Röhrchen mit dem Innendurchmesser d = s. 16 mm 14 Steighöhe hm

Lösung: Die Steighöhe hm wird nach der Näherungsgleichung 1.40 berechnet:

12

10 0

Bild 1.20

4 · s12 hm ª 03 r2 · g · d Die Oberflächenspannung s12 von Wasser gegen Luft wird aus Bild 1.12, die Dichte r2

(Gl. 1.41)

hm Steighöhe bzw. Depressionshöhe s12 Oberflächenspannung Flüssigkeit Æ Gas r2 Dichte der Flüssigkeit g Erdbeschleunigung s Abstand zwischen den Platten

Beispiel 6 Aufgabenstellung: In einem Kapillarröhrchen von 2 mm Innendurchmesser steigt Wasser hoch. Die Wassertemperatur t variiert im Bereich 10…90 °C. Wie groß ist die Steighöhe hm abhängig von der Wassertemperatur t?

43

20 40 60 Temperatur t

80 °C 100

Zu Beispiel 6

des Wassers aus Tafel 5 entnommen. Die Berechnung erfolgt tabellarisch:

Temperatur t °C

Oberflächenspannung s 12 N/m

Dichte r 2 kg/m3

Steighöhe hm m

10 20 30 40 50 60 70 80 90

0,0742 0,0728 0,0712 0,0696 0,0679 0,0662 0,0644 0,0626 0,0607

999,7 998,3 995,7 992,3 988 983,2 977,7 971,6 965,2

15,13 14,87 14,58 14,30 14,01 13,73 13,43 13,14 12,82

冧

· 10 – 3

Die Funktion hm = f (t) ist in Bild 1.20 dargestellt.

Interessante Informationen, zum Thema Kapillarität finden sich auch bei Schubert, H.: Kapillarität in porösen Feststoffsystemen. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1982. Das Fachbuch enthält zahlreiche Literaturhinweise. Messgeräte zur Messung von Grenzflächenspannungen sind in [6.3], Abschnitt 7.4 beschrieben.

44

2 2.1

Hydrostatik

Ausbildung der freien Oberfläche

Flüssigkeiten passen sich der Form der sie umschließenden Behälterwände an. Grenzflächen zwischen Flüssigkeiten bzw. zwischen Flüssigkeiten und Gasen werden als freie Oberflächen bezeichnet (Bild 1.10). Die sich im Gleichgewicht befindende freie Oberfläche steht in jedem ihrer Punkte normal zur angreifenden Kraft. Wirkt an den Flüssigkeitsteilchen nur die Schwerkraft, bildet sich als freie Oberfläche eine Kugelfläche aus. Bei Gefäßen mit kleinen Abmessungen kann die Kugelfläche mit genügender Genauigkeit auch als ebene Fläche angesehen werden. An großen Seen oder am Meer ist die Kugelform der freien Oberfläche deutlich zu sehen (Verschwinden eines Schiffes hinter dem Horizont bzw. Auftauchen eines Schiffes über der Kimm). An einem mit der Beschleunigung a gleichmäßig beschleunigten Behälter (Bild 2.1) wird

a

dm dFa,

b dR

dG = dm · g an. Entgegengesetzt zur Richtung der Beschleunigung a wirkt die Trägheitskraft dFa = dm · a die in folgende Komponenten zerlegt wird: horizontale Richtung:

dFa,h = dm · a · cos a

vertikale Richtung:

dFa,v = dm · a · sin a

Die resultierende Kraft dR, die auf der freien Oberfläche senkrecht steht, besteht aus folgenden Komponenten: horizontale Richtung: I) dR · sin b = dm · a · cos a vertikale Richtung: II) dR · cos b = dm · g + dm · a · sin a Dividiert man Gleichung I durch Gleichung II, erhält man folgenden Ausdruck für den Neigungswinkel b der freien Oberfläche zur Horizontalen (x-Richtung): dR · sin b dm · a · cos a = 0007 08 dR · cos b dm · g + dm · a · sin a

l

h

die Ausbildung einer ebenen freien Oberfläche betrachtet. In vertikaler Richtung greift am Masseteilchen dm die Schwerkraft (Gewichtskraft)

dG

dFa,v dFa, h

a · cos a tan b = 00 g + a · sin a

a

b a a g

(Gl. 2.1)

Neigungswinkel der freien Oberfläche Beschleunigung Richtungswinkel der Beschleunigung Erdbeschleunigung

Für den Sonderfall der horizontal wirkenden Beschleunigung a (Winkel a = 0) vereinfacht sich Gleichung 2.1:

a Bild 2.1 Flüssigkeit in einem gleichmäßig beschleunigten Gefäß

a tan b = 3 g

(Gl. 2.2)

46

Hydrostatik

Die Steighöhe h des Flüssigkeitsspiegels am äußeren Rand lässt sich aus folgender Beziehung bestimmen: h = l · tan b a · cos a h = l 00 g + a · sin a

(Gl. 2.3)

h Steighöhe l Behälterlänge a, g, a siehe Legende zu Gleichung 2.1 Auch die Form der freien Oberfläche einer Flüssigkeit in einem mit konstanter Winkelgeschwindigkeit w rotierenden Gefäß lässt sich durch Betrachtung der Wirkung von Schwerkraft und Fliehkraft ermitteln (Bild 2.2). An einem Masseteilchen dm der freien Oberfläche greifen folgende Kräfte an: in radialer Richtung die Fliehkraft dC: dC = dm · r · w2 in vertikaler Richtung die Schwerkraft (Gewichtskraft) dG: dG = dm · g Fliehkraft dC und Schwerkraft dG werden vektoriell zur Resultierenden dR addiert. Die Resultierende dR steht senkrecht zur freien Oberfläche und schließt mit der Ge-

wichtskraft dG den Winkel a ein, der gleichzeitig Neigungswinkel der Tangente an die Kontur der freien Oberfläche im Punkt dm (mit den Zylinderkoordinaten r und z) ist. Differenziert man die zunächst noch unbekannte Funktion z = f (r), erhält man folgenden Ausdruck für den Tangentenneigungswinkel a: dz tan a = 5 dr Aus dem Kräfteplan ergibt sich: dC dm · r · w 2 r · w 2 tan a = 6 = 08 = 0 dG dm · g g Das Gleichsetzen beider Ausdrücke für tan a führt zu folgender Differentialgleichung für die Funktion z = f (r): dz r · w 2 5=9 dr g Durch Trennung der Veränderlichen z und r sowie Integrieren bekommt man die Gleichung der Rotationskurve der freien Oberfläche: r · w2 dz = 9 dr g

w 冕 dz = 5 冕 r · dr g 2

w2 r2 z = 5 · 4 + konst g 2 Die Integrationskonstante erhält man durch Einsetzen der Koordinaten des Scheitelpunkts S: r = 0;

z = zmin 2

w 02 zmin = 5 · 4 + konst g 2 konst = zmin Damit lautet die Gleichung der Rotationskurve:

Bild 2.2

Flüssigkeit in einem rotierenden Gefäß

w2 · r2 z = 01 + zmin 2g

(Gl. 2.4)

Ausbildung der freien Oberfläche z w r g zmin

vertikale Koordinate Winkelgeschwindigkeit Radius Erdbeschleunigung vertikale Koordinate des Scheitelpunktes S

Gleichung 2.4 beschreibt die Kontur eines quadratischen Rotationsparaboloids. Interessant ist, dass die Form des Paraboloids unabhängig von der Art der Flüssigkeit ist, weil die Dichte nicht eingeht. Nur das im Ruhezustand zwischen dem Niveaupegel h und der sich bei der Rotation einstellenden Scheitelhöhe zmin befindliche Flüssigkeitsvolumen bildet den das Rotationsparaboloid umschließenden Flüssigkeitskörper. Dieses Volumen berechnet sich aus dem Gefäßradius r0 und dem Höhenunterschied h – zmin : V = r 20 · p (h – zmin) Das vom Rotationsparaboloid abgegrenzte Flüssigkeitsvolumen beträgt: V = r 20 · p (zmax – zmin) – VParaboloid Das Volumen eines quadratischen Paraboloids ist bekanntlich gleich dem halben Volumen des umschriebenen Kreiszylinders: r 20 · p (zmax – zmin ) VParaboloid = 000 2 Damit ergibt sich für das Volumen V: V = r 20 · p (zmax – zmin) r 20 · p (zmax – zmin) – 000 2 r 20 · p (zmax – zmin) V = 000 2 Durch Gleichsetzen beider Ausdrücke für V folgt: r 20 · p (zmax – zmin ) r 20 · p (h – zmin ) = 000 2 zmax + zmin h = 08 2

47

Die Steighöhe zmax am Gefäßrand erhält man aus Gleichung 2.4 durch Einsetzen von r = r0 :

w 2 · r 20 zmax = 02 + zmin 2g w 2 · r 20 02 + zmin + zmin 2g h = 0003 2 w 2 · r 20 zmin = h – 02 4g

(Gl. 2.5)

Für zmax ergibt sich ein ähnlicher Ausdruck:

w 2 · r 20 w 2 · r 20 zmax = 02 + h – 02 2g 4g w 2 · r 20 zmax = h + 02 4g zmin zmax r0 h w g

(Gl. 2.6)

Koordinate des Scheitelpunkts S Steighöhe am Rand (r = r0) Radius des Gefäßes Flüssigkeitspegel im Ruhezustand Winkelgeschwindigkeit Erdbeschleunigung

Vergleicht man die Gleichungen 2.5 und 2.6, erkennt man, dass die Flüssigkeit sich in der Gefäßachse um den gleichen Wert, nämlich w 2 · r 20/(4 g) absenkt, wie sie am Gefäßrand hochsteigt, jeweils bezogen auf den Ruhepegel h. Setzt man in Gleichung 2.4 für zmin den Ausdruck von Gleichung 2.5 ein, wird die Funktion z = f (r) durch die geometrischen Größen r0 und h sowie die Winkelgeschwindigkeit w ausgedrückt:

w2 z=h+5 4g

(2r2 – r 20 )

(Gl. 2.7)

Die Ausbildung der freien Oberfläche in Behältern, die nicht um ihre eigene Achse rotieren, sondern z.B. um eine versetzte vertikale Achse oder eine horizontale Achse, kann in der weiterführenden Literatur, z.B. in [2.1] nachgelesen werden.

48

Hydrostatik

Beispiel 7 Aufgabenstellung: Ein kreiszylindrisches Gefäß ist bis zu einer Höhe von 1 m mit einer Flüssigkeit gefüllt. Das Gefäß hat einen Durchmesser von 2 m und eine Höhe von 2 m (Bild 2.3). Wie groß muss die Winkelgeschwindigkeit w gemacht werden, wenn die Flüssigkeit gerade den oberen Gefäßrand erreichen soll?

Ø2m für w = 0

Lösung: Nach Gleichung 2.6 beträgt die maximale Steighöhe zmax am Gefäßrand:

w 2 · r 20 zmax = h + 01 4g h =1m r0 = 1 m

w 2 · r 20 01 = zmax – h 4g 4g w2 = 5 · (zmax – h) r 20 4 · 9,81 w 2 = 03 · (2 – 1) = 4 · 9,81 12

2m 1m

w = 6,26 s – 1 w

Bild 2.3

2.2

Hydrostatischer Druck

2.2.1

Grundbegriffe

Beispiel 7

dFn dA

Unter dem hydrostatischen Druck versteht man den Quotienten aus Normalkraft dFn und gedrückter Fläche dA (Bild 2.4): Druckkraft dFn p = 00 = lim 7 dA Æ e dA Fläche

(Gl. 2.8)

Im Innern einer ruhenden, reibungsfreien Flüssigkeit bzw. an den Begrenzungswänden eines Behälters werden nur Normalkräfte übertragen; Schub- und Zugkräfte treten nicht auf. Der hydrostatische Druck hat für jede durch einen Punkt der Flüssigkeit gelegte Bezugsfläche den gleichen Wert, d. h., er ist eine richtungsunabhängige (skalare) Größe, die nur vom Ort abhängt. Die Druckkraft ist dagegen ein Vektor, der normal zur gedrückten Fläche steht.

p n tio jekläche o r P er F d A d

Bild 2.4 Zur Definition des hydrostatischen Druckes

Die exakte wissenschaftliche Herleitung des hydrostatischen Druckes und Beschreibung des Kräftegleichgewichtes in ruhenden Flüssigkeiten kann u.a. in [2.2 bis 2.4] nachgelesen werden. Bei der Definition und bei der Messung des statischen Druckes in Behältern unterscheidet man folgende Druckbegriffe:

Hydrostatischer Druck Tabelle 2.1

49

Druckbegriffe

Absolutdruck p a

Überdruck p ü

Unterdruck p u

Der Absolutdruck p a ist der auf das absolute Vakuum bezogene Druck.

Der Überdruck p ü ist gleich dem Absolutdruck p a , vermindert um einen Bezugsdruck p0 (z. B. Atmosphärendruck)

Der Unterdruck p u ist gleich dem Bezugsdruck p0 , vermindert um den Absolutdruck p a

pü = pa – p0

pu = p0 – pa

Absolutdruck p a Überdruck

pü

Unterdruck

pu

Bezugsdruck

p0

N 1 Pa = 1 52 m Neben der Einheit Pa sind noch zahlreiche andere Druckeinheiten im Gebrauch, von denen ein Teil in Tabelle 2.2 zusammengestellt ist.

In Tabelle 2.1 und Bild 2.5 werden die verschiedenen Druckbegriffe dargestellt. Der Druck in einer Flüssigkeit kann auf folgende Arten erzeugt werden: ❑ durch äußere Kräfte, z. B. Kolbendruck, ❑ durch innere Kräfte, z. B. Schweredruck. Einheiten

Der Druck hat gemäß Definitionsgleichung 2.8 die Dimension

Druck p

2.2.2

Überdruckbereich pü pa

Bezugsdruck p0 pu

Kraft 032 Länge Die Basiseinheit des Druckes im SI-System ist das Pascal, abgekürzt Pa.

p0

p0

pa pa = 0 Bild 2.5

absolutes Vakuum

Druckbereiche

Unterdruckbereich

50

Hydrostatik

Tabelle 2.2

Druckeinheiten

neue Einheiten

alte Einheiten

angelsächsische Einheiten

Name

Kurzzeichen

Verknüpfung

Pascal

Pa

1 Pa = 1 N/m2

Megapascal

MPa

1 MPa = 106 Pa

Bar

bar

1 bar = 105 Pa

Millibar

mbar

1 mbar = 10– 3 bar = 100 Pa

Hektopascal

hPa

1 hPa = 100 Pa = 1 mbar

Kilopond durch Quadratmeter

kp/m2

1 kp/m2 = 9,80665 Pa

Millimeter Wassersäule

mm WS

1 mm WS = 9,80665 Pa

technische Atmosphäre

at

1 at = 98 066,5 Pa

physikalische Atmosphäre

atm

1 atm = 101 325 Pa

Torr (Millimeter Quecksilbersäule)

Torr (mm Hg)

1 Torr = 133,3224 Pa

pound per square foot

9 sq. ft.

lb.

pound per square inch

9 sq. in.

lb. 1 9 = 47,8802 Pa sq. ft.

lb.

lb. 1 9 = 6894,74 Pa sq. in.

(p.s.i.) inch watergauge

in. WG

2.2.3

Erzeugung des hydrostatischen Druckes

2.2.3.1

Kolbendruck

F Kolben Gefäß

ds

1 in. WG = 249,09 Pa

In einem durch einen reibungsfrei beweglichen Kolben verschlossenem Gefäß ist eine Newton’sche Flüssigkeit vollständig dicht eingeschlossen (Bild 2.6). Der Kolben wird durch die Kraft F auf die Flüssigkeit gedrückt, wodurch sie in einen homogenen Pressungszustand versetzt wird. Der hydrostatische Druck p beträgt:

Bild 2.6

Erzeugung des Kolbendruckes

F p=4 A

(Gl. 2.9)

Hydrostatischer Druck p hydrostatischer Druck F Kolbenkraft A Kolbenfläche

F2 A2 d 22 4 = 5 = 42 F1 A1 d 1

Nach dem bereits von PASCAL (s. Namensverzeichnis) angegebenen Druckfortpflanzungsgesetz verbreitet sich der hydrostatische Kolbendruck gleichmäßig nach allen Seiten durch den gesamten eingeschlossenen Flüssigkeitskörper fort und wirkt auch an jeder Stelle der Behälterwand. Eine bekannte Anwendung des Druckfortpflanzungsgesetzes ist die hydraulische Presse (Bild 2.7). Die auf den Pumpenkolben 햲 wirkende Kraft F1 ruft in der Flüssigkeit den Druck F1 p=4 A1 hervor, der sich im gesamten Druckgefäß gleichmäßig fortpflanzt und auf den Arbeitskolben 햳 die Nutzkraft F2 ausübt. F2 = p · A2 Zwischen den Kolbenkräften und den Kolbenflächen bzw. Kolbendurchmessern besteht folgender Zusammenhang:

F2 F1 A2 A1 d2 d1

51

(Gl. 2.10)

Nutzkraft am Kolben 2 Kraft am Kolben 1 Fläche des Kolbens 2 Fläche des Kolbens 1 Durchmesser des Kolbens 2 Durchmesser des Kolbens 1 Die Kolbenkräfte verhalten sich wie die Kolbenflächen bzw. Quadrate der Kolbendurchmesser.

Bezeichnet s1 den vom Pumpenkolben 햲 , s2 den vom Arbeitskolben 햳 zurückgelegten Hubweg, so ergibt sich über die Gleichheit des vom Pumpenkolben verdrängten und unter den Arbeitskolben eintretenden inkompressiblen Flüssigkeitsvolumens: A1 · s1 = A2 · s2 s2 A1 d 21 3 = 5 = 42 A2 d 2 s1

(Gl. 2.11)

s2 Weg des Kolbens 2 Weg des Kolbens 1 s1 A1 , A2 , d1 , d2 siehe Legende zu Gleichung 2.10

F2 F1 4=p=4 A2 A1

F2

F1

Kolben 2 (Arbeitskolben)

Kolben 1 (Pumpenkolben)

s1 s2 p

Bild 2.7 Hydraulische Presse (vereinfachtes Schema)

d1

d2

p

A2

A1

Druckgefäß

52

Hydrostatik

Die Kolbenhübe verhalten sich umgekehrt wie die Kolbenfläche bzw. Quadrate der Kolbendurchmesser. Nimmt man reibungsfreie, ideale Kraftübertragung an, kommt man über die Betrachtung der Kolbenarbeit zum gleichen Ergebnis: W1 = F1 · s1;

W2 = F2 · s2

Bei konstant bleibendem hydrostatischem Druck p ist die Druckarbeit W gleich dem Produkt aus dem Druck p und der Volumenänderung dV. Ändert sich der Druck p beim Pressvorgang von p1 auf p2 , ergibt sich folgender Ansatz: p2

W = Ú p · dV p1

dV = b T · V1 · dp

W1 = W2

p2

F1 · s1 = F2 · s2

W = b T · V1 · Ú p · dp

A2 F2 = F1 5 A1

p1

1 W = 3 · b T · V1 (p 22 – p 21 ) 2

A2 F1 · s1 = F1 · 5 · s2 A1 s2 A1 d 21 3 = 5 = 42 s1 A2 d 2

W bT

Die Aussagen der Gleichungen 2.10 und 2.11 gelten nur für ideale, reibungsfreie Kraftübertragung. Wirklich hydraulische Pressen und Hebevorrichtungen enthalten neben den Kolben und dem Druckgefäß noch Rohrleitungen, Ventile, Hähne, Dichtelemente usw., in denen bei Verschiebung der Flüssigkeit und der beweglichen Bauteile Reibungsverluste auftreten, die die wirkliche Kraft F2 gegenüber der idealen Kraft nach Gleichung 2.10 verringern. 2.2.3.2

Druckarbeit

Bei der Erzeugung des hydrostatischen Kolbendruckes in einem Druckzylinder (Bild 2.6) wird folgende Arbeit verrichtet, d.h. Energie umgewandelt:

V1 p1 p2

(Gl. 2.13)

Druckarbeit isothermer Kompressibilitätskoeffizient (Tafel 2) Volumen beim Druck p1 Anfangsdruck Enddruck

2.2.3.3

Schweredruck

An der freien Oberfläche einer in einem offenen Gefäß befindlichen Flüssigkeit herrscht der Druck p0 (Bild 2.8). Dieser Druck pflanzt sich nach dem Pascal’schen Druckfortpflanzungsgesetz gleichmässig durch die Flüssigkeit fort. Dem Kolbendruck p0 überlagert sich der von der Tiefe h abhängende Schweredruck p, dessen Größe sich aus folgender Gleichgewichtsbetrachtung ableiten lässt:

W = F · ds Erweitert man diesen Ausdruck mit der Kolbenfläche A, kann die Druckarbeit W auch durch die Volumenänderung dV ausgedrückt werden: F W = 3 · A · ds A A · ds = dV W = p · dV

(Gl. 2.12)

Bild 2.8

Zur Entstehung des Schweredruckes

53

Hydrostatischer Druck Im Schwerpunkt eines Flüssigkeitsprismas mit der Querschnittsfläche dA und der Höhe h greift folgende nach unten wirkende Gewichtskraft (Schwerkraft) dG an:

p0 p Flüssigkeit 1 r1

h1

p0

Trennschicht

dG = r · g · dV = r · g · h · dA Weil sich die Flüssigkeit in Ruhe befindet, wird die Gewichtskraft dG durch eine gleich große auf die untere Druckfläche dA wirkende vertikale Aufdruckkraft dF kompensiert. dF = p · dA

Flüssigkeit 2 r2

h2

p1

p2

pges.1 pges. 2

dG = dF Bild 2.9 Druckverteilung in Flüssigkeiten verschiedener Dichte

r · g · h · dA = p · dA p=r·g·h p r g h

(Gl. 2.14)

hydrostatischer Schweredruck Dichte der Flüssigkeit Erdbeschleunigung Flüssigkeitstiefe

keiten bildet sich eine horizontale Trennschicht (Grenzfläche) aus. Der Druck in der Grenzschicht ergibt sich aus dem Kolbendruck p0 , der an der Oberfläche wirkt, und dem Schweredruck p1 : pges1 = p0 + p1 = p0 + r1 · g · h1

Der Schweredruck wächst demnach linear mit der Flüssigkeitstiefe. In Punkten gleicher Tiefe h herrscht überall der gleiche hydrostatische Druck p. Die Druckverteilung ist unabhängig von der Form oder von der Größe des Gefäßes. Weil zusätzlich auf die Flüssigkeitsoberfläche der Druck p0 wirkt, beträgt der Gesamtdruck (Absolutdruck) in der Tiefe h: pges = p0 + p = p0 + r · g · h

(Gl. 2.15)

Gleichung 2.14 zeigt, dass man den Druck durch die Länge einer Flüssigkeitssäule ausdrücken kann. Messgeräte, denen dieses Messprinzip zugrunde liegt heißen Flüssigkeitsmanometer (vgl. Abschnitt 6.1.3). Füllt man zwei sich nicht mischende Flüssigkeiten unterschiedlicher Dichten r1 und r2 in einen Behälter (Bild 2.9), so setzt sich die leichtere Flüssigkeit über der schweren Flüssigkeit ab, und zwischen den Flüssig-

Der Druck am Gefäßboden vergrößert sich noch um den Schweredruckanteil p2: pges2 = p0 + p1 + p2 pges2 = p0 + r1 · g · h1 + r2 · g · h2 2.2.3.4

Kommunizierende Gefäße

Aus der Tatsache, dass der hydrostatische Druck in horizontalen Ebenen (d.h. in gleicher Flüssigkeitstiefe) überall gleich groß ist, lässt sich leicht die Niveaueinstellung in kommunizierenden Gefäßen (verbundenen Gefäßen) ableiten. Bild 2.10 stellt ein mit 2 ungleichen Schenkeln versehenes Gefäß dar, das mit einer homogenen Flüssigkeit mit der Dichte r gefüllt ist. Auf den Flüssigkeitsspiegel des linken Schenkels wirkt der Druck p 1 , rechts der Druck p2 . In der Tiefe I–I muss überall der gleiche Druck p1 vorhanden sein: pI = p1 + r · g · h1 , p2 + r · g · h2 p2 – p1 = r · g (h1 – h2) p2 – p1 = r · g · Dh

(Gl. 2.16)

54

Hydrostatik p1 p0 Dh= h1 – h2

p2

h1

r2

p0

h2

h2 Flüssigkeit 2

h1 Bild 2.10

Kommunizierende Gefäße

I

r1

I

Behälter Flüssigkeit 1

Skala

Gas, Dampf, Luft

Flüssigkeit Standglas Bild 2.11

Flüssigkeitsstandmessung

Die vom Druckunterschied p2 – p1 hervorgerufene Niveaudifferenz Dh ist unabhängig von der Größe und Form der beiden Gefäße. Für den Sonderfall, dass p1 = p2 wird, stellt sich in beiden Gefäßen der gleiche Spiegelstand ein, d. h., die Flüssigkeitsspiegel liegen in einer horizontalen Ebene. Praktische Anwendungen der kommunizierenden Gefäße stellen beispielsweise die Schlauchwaage zum Nivellieren oder Wasserstandsgläser an Behältern oder Kesseln zum Messen des Füllstandes dar (Bild 2.11). Auch die Gleichungen 6.2 und 6.3 zur Bestimmung eines Druckes aus einer gemessenen Höhe einer Flüssigkeitssäule sind aus der Betrachtung von kommunizierenden Röhren hergeleitet und stellen letztlich nur Abwandlungen von Gleichung 2.16 dar. Bringt man in ein U-Rohr zwei homogene Flüssigkeiten unterschiedlicher Dichten, so tritt die schwere Flüssigkeit in beide Schenkel

Bild 2.12

Dichtemessung mittels U-Rohr

ein, die leichte Flüssigkeit steht in einem Schenkel über der schweren Flüssigkeit (Bild 2.12). In der horizontalen Schnittebene I–I wirkt überall der gleiche Druck pI : pI = p0 + r1 · g · h1 = p0 + r2 · g · h2 Daraus ergibt sich eine einfache Beziehung zwischen den Dichten r1 und r2 sowie den Spiegelhöhen h1 und h2: r1 · g · h1 = r2 · g · h2 r1 h2 4=4 r2 h1

(Gl. 2.17)

Ist eine der beiden Dichten bekannt, lässt sich durch Messen der beiden Höhen h1 und h2 die andere Dichte bestimmen.

2.3

Druckkräfte

2.3.1

Druckkräfte bei Wirkung des Kolbendruckes

2.3.1.1

Druckkräfte gegen ebene Wände

Ein mit einem ebenen Deckel verschlossener Druckbehälter ist mit einer unter dem inneren Überdruck pi, ü stehenden Flüssigkeit vollständig gefüllt (Bild 2.13). Die auf die ebene Deckelfläche ausgeübte Druckkraft F steht senkrecht auf dem Deckel

Druckkräfte und berechnet sich als Produkt aus innerem Überdruck pi, ü und gedrückter Deckelfläche A: F = pi, ü · A

A

Deckel

(Gl. 2.18) Manometer

F Druckkraft p i, ü innerer Überdruck A Deckelfläche

F pi,ü

Bei der Berechnung von Druckbehältern wird zur gedrückten Deckelfläche A noch ein Teil der Dichtfläche zwischen Deckel und Behälterflansch hinzugerechnet. Nähere Einzelheiten hierzu sind den einschlägigen Berechnungsvorschriften – z. B. den TRB-Richtlinien [2.5], TRD-Richtlinien [2.6] oder der Fachliteratur [2.7 bis 2.9] – zu entnehmen. 2.3.1.2

55

Druckkräfte gegen gekrümmte Wände

Gefäß

pi,ü Bild 2.13

Druckkraft gegen ebene Wand

dA Deckel a

Ein mit einer Flüssigkeit vollständig gefüllter Behälter steht unter dem inneren Überdruck p i, ü . Der Behälter ist mit einem gewölbten Deckel verschlossen (Bild 2.14). Betrachtet man ein kleines Flächenelement dA der gewölbten Deckelfläche, so wirkt darauf folgende normal gerichtete Druckkraft ein:

dF F

d Fv

Manometer

a pi, ü Gefäß

dF = pi, ü · dA Die zur Behälterachse und zur gesuchten resultierenden Druckkraft F parallele Komponente von dF beträgt:

dAproj

dFv = dF · cos a = pi, ü · dA · cos a Der Ausdruck dA · cos a entspricht der in die Behälterachse fallenden Projektion der Fläche dA. dA · cos a = dAproj

Aproj

Bild 2.14

Druckkraft gegen gewölbte Wand

Die resultierende Kraft F ergibt sich als Summe aller Einzelkräfte: F = Ú pi, ü · dA · cos a = Ú pi, ü · dAproj F = pi, ü · Ú dAproj F = pi, ü · Aproj

(Gl. 2.19)

Die Druckkraft F auf eine gewölbte Fläche ist demnach gleich dem Produkt aus innerem Überdruck und in Kraftrichtung projizierter Fläche.

56

Hydrostatik

s ax

s ax

F ax F ax

di s ax Bild 2.16 Bild 2.15

Beispiel 8

Beispiel 8 Aufgabenstellung: In einem beidseitig verschlossenen Rohr befindet sich eine Flüssigkeit unter einem inneren Überdruck von 100 bar (Bild 2.15). Wie groß sind die axiale und die tangentiale Spannung in der 5 mm starken Rohrwand? Lösung: a) Berechnung der Axialspannung sax: Die axiale Kraft Fax (Bild 2.16) berechnet sich aus Gleichung 2.18: Fax = pi, ü · A p i, ü = 100 bar = 100 · 105 Pa p p A = d 2i · 3 = 0,052 · 3 4 4 A = 1,963 · 10 – 3 m2 Fax = 100 · 105 · 1,963 · 10 – 3 ,

Beispiel 8

b) Berechnung der Tangentialspannung s t : Die radiale Druckkraft Fr (Bild 2.17) wird mit Hilfe von Gleichung 2.19 bestimmt: Fr = pi, ü · Aproj Aproj = di · l Aproj = 0,05 · 0,5 = 0,025 m2 Fr = 100 · 105 · 0,025 Fr = 250000 N Daraus berechnet sich die Tangentialspannung st: Fr st = 0 AWand AWand = 2 · l · s AWand = 2 · 0,5 · 0,005 AWand = 0,005 m2 250000 st = 03 0,005 st = 50 · 106 N/m2

Fax = 19 635 N

Die axiale Spannung ergibt sich aus der axialen Längskraft Fax und dem Rohrquerschnitt ARohr :

st = 50 N/mm2

p ARohr = 3 · (d 2a – d 2i) 4 p ARohr = 3 · (0,062 – 0,052 ) 4

Fr

ARohr = 8,639 · 10– 4 m2 Fax sax = 8 ARohr 19 635 sax = 09 8,639 · 10 – 4 sax = 22,73 · 106 N/m2

sax = 22,73 N/mm2

s ax

st

st

st

st

Fr Bild 2.17

Beispiel 8

Druckkräfte 2.3.2

Druckkräfte bei Wirkung des Schweredruckes

2.3.2.1

Druckkräfte gegen ebene Wände

FB = r · g · h · AB FB r g h AB

a) Druckkraft auf Gefäßböden In Bild 2.18 ist ein offener Behälter dargestellt, der mit einer homogenen Flüssigkeit der Dichte r gefüllt ist. Nach Gleichung 2.14 beträgt der Überdruck am Boden des Gefäßes:

Die Bodendruckkraft FB ergibt sich aus dem Überdruck pB, ü und der Bodenfläche AB :

Wir nennen diese Erscheinung hydrostatisches Paradoxon. Überlagert sich in einem geschlossenen Behälter (Bild 2.20) dem Schweredruck noch ein innerer Überdruck pi, ü = pi – p0 , vergrößert sich der Druck und damit die Kraft auf die Bodenplatte:

es

fd

au

rl Ve erd

Üb s

ke

ruc

FB p0

Bodendruckkraft Dichte Erdbeschleunigung Füllstand Bodenfläche

Gefäße, die mit der gleichen Flüssigkeit gleich hoch gefüllt sind, haben bei gleicher Bodenfläche gleiche Bodendruckkräfte. Die Bodendruckkraft ist unabhängig von der Gefäßform (Bild 2.19).

FB = pB, ü · AB

h

(Gl. 2.20)

Aus dieser Beziehung erkennt man, dass die Bodendruckkraft FB nur von der Flüssigkeitsdichte r, der Füllstandshöhe h und der Bodenfläche AB abhängt.

pB, ü = r · g · h

p0

pB, ü

FB = (pi, ü + r · g · h) · AB

(Gl. 2.21)

b) Seitendruckkraft Ein offenes Gefäß ist durch eine unter dem Winkel a geneigte ebene Wand seitlich begrenzt. In dieser schrägen Wand liegt die beliebig geformte Fläche A, die in der seitlich herausgeklappten Ebene in wahrer Größe zu sehen ist. In der herausgeklappten Ebene ist

AB

Bild 2.18 Behälter

Bodendruckkraft in einem offenen

hB

Bild 2.19

57

F

F

F

F

F

AB

AB

AB

AB

AB

Zum hydrostatischen Paradoxon

58

Hydrostatik p0 , so dass bei der Berechnung der Druckkraft nur der Überdruck pü berücksichtigt werden muss. Die senkrecht auf das Flächenelement dA wirkende Druckkraft dF beträgt nach der allgemeinen Druckdefinition in Gleichung 2.8: dF = pü · dA = r · g · z · dA Die Gesamtdruckkraft F erhält man durch Summieren (Integrieren) aller Teilkräfte dF über die Fläche A F = Ú dF = r · g Ú z dA (A)

(A)

Die Tiefe z lässt sich durch die Koordinate w in der schrägen Seitenwand und den Cosinus des Neigungswinkels a ausdrücken: z = w · cos a Daraus folgt für die Druckkraft F: Bild 2.20 behälter

Bodendruckkraft in einem Druck-

F = r · g · cos a Ú w · dA (A)

Das Integral Ú w · dA stellt das statische Mo-

ein rechtwinkliges x-w-Koordinatensystem so eingetragen, dass die x-Achse die Spiegelschnittlinie bildet (Bild 2.21). Auf ein kleines Flächenelement dA der Fläche A mit den Koordinaten x und w wirkt der Druck

(A)

ment der Fläche A, bezogen auf die x-Achse, d.h. die Spiegelschnittlinie dar. Nach dem Momentensatz gilt: Ú w · dA = w S · A (A)

p = p0 + pü

wobei w S die w-Koordinate des Flächenschwerpunkts S ist. Für die Druckkraft F erhält man folgenden Ausdruck:

mit pü = r · g · z Normalerweise herrscht auf der Rückseite der Seitenwand ebenfalls der Umgebungsdruck

F = r · g · cos a · w S · A

p0 Spi

ege

z

lsch

dF

p0

F

pü =f(z)

ww S

x

dA

a

xD

xs

wD

S D

A Bild 2.21

Seitendruckkraft

w

nittl

e

inie x

Druckkräfte bzw. mit w S · cos a = z S : F = r · g · zS · A = pS · A

Die auf eine ebene Fläche A wirkende Seitendruckkraft F ergibt sich als Produkt aus Flächeninhalt A und Druck p S im Flächenschwerpunkt S.

(Gl. 2.22)

F r g zS

Seitendruckkraft Dichte Erdbeschleunigung vertikale Koordinate (Tiefe) des Schwerpunktes S A gedrückte Fläche pS hydrostatischer Druck (Schweredruck) im Schwerpunkt S

59

Weil der Schweredruck pü linear mit der Flüssigkeitstiefe z zunimmt, ergibt sich eine ungleichförmige Druckverteilung über der gedrückten Fläche A, d.h., die Kraft F greift nicht im Flächenschwerpunkt S, sondern im tiefer gelegenen Druckmittelpunkt D an. Die Koordinaten xD und wD des Druckmittelpunktes D ergeben sich aus folgenden Betrachtungen:

Koordinate wD

Koordinate xD

nach dem Momentensatz gilt: xD · F = Ú x · dF

wD · F = Ú w · dF F = r · g · cos a · wS · A

F = r · g · cos a · wS · A

dF = r · g · cos a · w · dA

dF = r · g · cos a · w · dA

wD · r · g · cos a · wS · A = Ú w · r · g · cos a · w · dA

xD · r · g · cos a · wS · A = Ú x · r · g · cos a · w · dA

wD · wS · A = Ú w2 · dA

xD · wS · A = Ú w · x · dA

2

Ú w · x · dA xD = 09 wS · A

Ú w · dA wD = 05 wS · A Das Integral Ú w 2 · dA stellt bekanntlich das Flächenträgheitsmoment Ix der Fläche A dar, bezogen auf die x-Achse (Spiegelschnittlinie). Ix wD = 0 wS · A

Das Integral Ú w · x · dA entspricht dem Zentrifugalmoment I wx der Fläche A, bezogen auf die w-x-Koordinatenachsen. Iwx xD = 0 wS · A

(Gl. 2.23)

wD Koordinate des Druckmittelpunkts D Ix Flächenträgheitsmoment der Fläche A, bezogen auf die x-Achse (Spiegelschnittlinie) wS Koordinate des Schwerpunkts S A Fläche Nach dem STEINER’schen Satz kann Ix auch durch die auf den Schwerpunkt S bezogenen Größen IS und wS ausgedrückt werden:

xD Iwx wS A

(Gl. 2.25)

Koordinate des Druckmittelpunkts D Zentrifugalmoment der Fläche A Koordinate des Schwerpunkts S Fläche

Legt man die w-Achse durch den Schwerpunkt S, und ist die Fläche A zur w-Achse symmetrisch, so wird das Zentrifugalmoment Iwx zu Null, d.h. x D = 0.

Ix = IS + A · w 2S IS + A · w 2S wD = 08 wS · A IS wD = 0 + wS wS · A

Der Druckmittelpunkt D liegt dann auf der w-Achse (Symmetrieachse) im Abstand e unterhalb des Schwerpunkts S.

60

Hydrostatik

Koordinate xD

Koordinate wD IS e = wD – wS = 0 A · wS

(Gl. 2.24)

e Abstand zwischen Schwerpunkt S und Druckmittelpunkt D IS Flächenträgheitsmoment, bezogen auf den Schwerpunkt S In Tabelle 2.3 sind die Berechnungsformeln für die Fläche A, Koordinate hS und das Trägheitsmoment IS einiger wichtiger Flächen zusammengestellt.

Beispiel 9 Aufgabenstellung: Auf eine dichtschließende, kreisrunde Drosselklappe von 1 m Durchmesser wirkt in geschlossenem Zustand auf der einen Seite der hydrostatische Druck des zur Höhe z aufgestauten Wassers (r = 1000 kg/m3), auf der anderen Seite der Luftdruck p0 (Bild 2.22). Wie groß ist das vom hydrostatischen Druck auf die Drosselklappe ausgeübte Drehmoment Mh , abhängig von der sich im Bereich z = 2...5 m ändernden Füllstandshöhe z?

Lösung: Weil der Luftdruck p0 sowohl auf den Wasserspiegel als auch auf die Klappenrückseite wirkt, braucht er bei der Druck-, Kraft- und Momentenbetrachtung nicht berücksichtigt zu werden. Die aus dem hydrostatischen Überdruck (Schweredruck) herrührende Druckkraft F lässt sich nach Gleichung 2.22 berechnen: F = r · g · zS · A r = 1000 kg/m3 g = 9,81 m/s2 zS = z – 0,5 m

(Bild 2.23)

p0 P Wasseroberfläche

zS

z

Pp00

e

90 °

Mh

Ø1 m

z

Bild 2.22

Beispiel 9

F Bild 2.23

Beispiel 9

S D Mh

Druckkräfte d 2 · p 12 · p A = 0 = 0 = 0,7854 m2 4 4 F = 1000 · 9,81 · 0,7854 (z – 0,5 m) F = 7704,76 (z – 0,5 m) N mit z = variable Stauhöhe in m Der Abstand e zwischen Flächenschwerpunkt S und Druckmittelpunkt D wird nach Gleichung 2.24 bzw. Tabelle 2.3 – Zeile 2 – bestimmt: IS e =0 A · wS d4 · p IS = 0 64 d2 · p A =0 4 wS = zS , weil Neigungswinkel a = 0°

2.3.2.2

Druckkräfte gegen gekrümmte Wände

Eine beliebig gekrümmte Fläche A liegt in einem kartesischen Koordinatensystem (Bild 2.24). Die x-y-Ebene fällt mit der freien Oberfläche zusammen, die z-Achse zeigt senkrecht nach unten.

Bild 2.24 Druckkräfte gegen gewölbte Wand

61

4 · d4 · p d2 e = 002 = 0 64 · d 2 · p · zS 16 · zS 1 e = 085 16(z – 0,5 m) Das auf die Drosselklappe ausgeübte hydraulische Drehmoment Mh ergibt sich als Produkt aus Druckkraft F und Hebelarm e: Mh = F · e 1 Mh = 7704,76 · (z – 0,5 m) · 085 16 (z – 0,5 m) Mh = 481,55 N · m Das Ergebnis zeigt, dass das auf die Drosselklappe ausgeübte hydraulische Moment Mh für den Füllstandsbereich z = 2...5 m konstant bleibt, d.h. unabhängig vom Füllstand ist!

Weil der Außendruck p0 sowohl auf die freie Oberfläche als auch auf die Rückseite der gedrückten Flächen A einwirkt, kann er aus der Kräftebetrachtung herausgenommen werden, d.h., es wird nur der Schweredruck berücksichtigt. In Richtung der 3 Koordinatenachsen treten folgende Druckkräfte auf:

62

Hydrostatik

Tabelle 2.3

Werte zur Bestimmung der Seitendruckkraft auf symmetrische Flächen

Nr. Flächenform

Fläche A

Koordinate h S

Trägheitsmoment IS

1

A=b·h

h hS = 3 2

b · h3 IS = 36 12

2

p A = d2 · 3 4

d hS = 3 2

d4 · p IS = 0 64

b+s A=9h 2

h (b + 2 s) hS = 06 3 (b + s)

h3 (b2 + 4 bs + s2) IS = 008 36 (b + s)

4

b·h A=8 2

1 hS = 3 · h 3

b · h3 IS = 9 36

5

d2 A=p·4 8

2·d hS = 8 3·p

IS = 0,0068 · d 4

6

A=p·a·b

hS = b

p IS = 3 · a · b 3 4

3

b

t hS h

wS

S e

D s

Druckkräfte

x-Achse

y-Achse

dFx = pü (z) · dAx

63

z-Achse

dFy = pü (z) · dAy

dFz = pü (z) · dAz

Der Überdruck pü (z) ist nur von der Tiefe abhängig pü(z) = r · g · z

pü (z) = r · g · z

dAx = Projektion der differentiell kleinen Fläche dA in x-Richtung auf die y-z-Ebene dFx = r · g · z · dAx

pü (z) = r · g · z

dAy = Projektion der differentiell kleinen Fläche dA in y-Richtung auf die x-z-Ebene dFy = r · g · z · dAy

dAz = Projektion der differentiell kleinen Fläche dA in z-Richtung auf die x-y-Ebene (Spiegelfläche) dFz = r · g · z · dAz

Die resultierenden Kräfte in Richtung der Koordinatenachse ergeben sich durch Integration der differentiell kleinen Teilkräfte dFx , dFy und dFz : Fx = Ú dFx

Fy = Ú dFy

Fx = r · g · Ú z · dAx

Fz = Ú dFz

Fy = r · g · Ú z · dAy Ú z · dAy = zSy · Ay

Der Ausdruck Ú z · dAx ist nach dem Momentensatz identisch mit zSx · Ax , wenn Ax die Projektion der Fläche A in x-Richtung auf die y-z-Ebene und zSx deren Schwerpunktkoordinate sind. Fx = r · g · z Sx · Ax

Ay = Projektion der Fläche A in y-Richtung auf die x-z-Ebene.

V = Flüssigkeitsvolumen oberhalb der gedrückten Fläche A

zSy = Schwerpunktkoordinate von Ay

Fy = r · g · z Sy · Ay

(Gl. 2.26)

(Gl. 2.27)

Die Druckkraftkomponenten Fx , Fy und Fz haben bei beliebig gekrümmten Flächen keinen gemeinsamen Angriffspunkt, d. h., neben der resultierenden Kraft F = d001 Fx2 + Fy2 + Fz2

Fz = r · g · Ú z · dAz Ú z · dAz = V

(Gl. 2.29)

entsteht grundsätzlich noch ein Moment M! Bei einfach gekrümmten Flächen können die beiden Komponenten zu einer resultierenden Kraft zusammengefasst werden; ein Moment tritt nicht auf.

Fz = r · g · V (Gl. 2.28)

Die Kräfte Fx und Fy sind horizontal gerichtet, die Kraft Fz ist identisch mit der Gewichtskraft des über der gedrückten Fläche stehenden Flüssigkeitsvolumens. Für die Lage der Druckmittelpunkte Dx in der y-z-Ebene und Dy in der x-z-Ebene gelten die Aussagen der Gleichungen 2.23 und 2.25; die Vertikalkraft Fz geht durch den Schwerpunkt des über der Fläche A stehenden Flüssigkeitsvolumens. In der folgenden Übersicht sind die Gleichungen zur Bestimmung der Druckmittelpunkte zusammengestellt:

Hydrostatik

x-Achse

z-Achse

y-Achse

Iy zDx = 02 (Gl. 2.30) zSx · Ax

Ix zDy = 02 (Gl. 2.32) zSy · Ay

Iyz yDx = 01 zSx · Ax

Ixz xDy = 02 (Gl. 2.33) zSy · Ay

(Gl. 2.31)

Bild 2.25

Die vertikale Druckkraft Fz geht durch den Schwerpunkt des über der gedrückten Fläche A ruhenden Flüssigkeitskörpers.

Bild 2.26

xS = 0,4244 ·r y M zDx = 3,33 m

r=

5m

x

dF 5m

Sy

x zSx = 2,5 m zDx = 3,33 m Sx Dx

Fx =1226,25 kN

Fres 3,4 kN

10 m

z

28

z

=2

xS = 2,12 m

Fz =1926,2 kN

64

Fx z

Fz

x

Bild 2.27 y

Beispiel 10

y

Druckkräfte

65

Beispiel 10 Aufgabenstellung: Ein offener Behälter wird gemäß Bild 2.27 durch eine kreisförmig gekrümmte Wand begrenzt. Der Behälter hat eine Breite von 10 m und ist mit Wasser gefüllt. Die Wassertiefe beträgt 5 m. a) Größe, Richtung und Angriffspunkt der horizontalen und vertikalen Druckkraft sind zu bestimmen. b) Lassen sich die Kräfte zu einer Resultierenden zusammenfassen? Lösung: Frage a) 1. Berechnung der Horizontalkraft Fx: Nach Gleichung 2.26 erhält man für die Horizontalkraft Fx: Fx = r · g · zSx · Ax

2. Berechnung der Vertikalkraft Fz: Das über dem gedrückten Kreiszylindermantelsegment ruhende Wasservolumen beträgt: 1 1 V = 3 · r2 · p · b = 3 · 52 · p · 10 4 4 V = 196,35 m3 Die Vertikalkraft Fz ergibt sich nach Gleichung 2.28: Fz = r · g · V = 1000 · 9,81 · 196 Fz = 1926189 N Fz = 1926,2 kN

r = 1000 kg/m3

Die Lage des Schwerpunkts Sy ergibt sich zu:

g = 9,81 m/s2

xS = 0,4244 · r = 0,4244 · 5

zSx = 2,5 m Ax = 5 · 10 = 50 m2

xS = 2,12 m

Fx = 1000 · 9,81 · 2,5 · 50 Fx = 1 226 250 N = 1226,25 kN Die Lage des Kraftangriffspunktes Dx ergibt sich aus Gleichung 2.30: Iy zDx = 01 zSx · Ax b · h3 10 · 53 1250 Iy = 8 = 0 = 8 3 3 3 zSx = 2,5 m

Frage b) Durch maßstäbliches Aufzeichnen des Lage- und Kräfteplanes (Bild 2.27) erkennt man, dass sich die Kräfte Fx und Fz zu einer gemeinsamen Resultierenden Fres zusammenfassen lassen: F2 + F2 F = d02 res

x

z

1226,252 + 1926,22 Fres = d0002 Fres = 2283,4 kN

Ax = 50 m2 1250 10 zDx = 08 = 4 = 3,33 m 3 · 2,5 · 50 3 zDx = 3,33 m

Fres geht durch den Kreismittelpunkt M. Dieses Ergebnis war zu erwarten, weil alle Teilkräfte dF jeweils senkrecht auf der kreisförmig gekrümmten Oberfläche stehen und damit auch die Resultierende aller Teilkräfte normal zur Oberfläche stehen, d.h. durch den Mittelpunkt M gehen muss.

66

Hydrostatik

2.3.2.3

Aufwärts gerichtete Vertikaldruckkraft (Aufdruckkraft)

G

∆h

Fv

dru ere

hw Sc

p v, ü

pv, ü = r · g · Dh Die vertikal nach oben wirkende Druckkraft Fv ergibt sich aus diesem Überdruck und der gedrückten Deckelfläche AD : Fv = pv, ü · AD = r · g · Dh · Ad

(Gl. 2.34)

Bild 2.28

AD

Aufdruckkraft

p0 V S

r red

we

Sch

Fv

uck

Der Ausdruck r · g · Dh · AD entspricht einer scheinbaren Gewichtskraft G, die eine Flüssigkeitssäule der Höhe Dh und der Grundfläche AD von oben auf den Deckel ausüben würde. Die gleiche Aussage gilt auch für geneigte oder gekrümmte Flächen, die von unten her vom Druck beaufschlagt werden (Bild 2.29). dFv = pv, ü · dA

dA

dFv = r · g · z · dA Fv = Ú dFv

p0

Fv = r · g · Ú z · dA

V

Ú z · dA , V

z

(Gl. 2.35)

dFv

uck

r red

we

V stellt das oberhalb der gedrückten Fläche liegende und bis zur Spiegelhöhe reichende Verdrängungsvolumen dar. Die Wirkungslinie der Vertikaldruckkraft Fv geht durch den Schwerpunkt S des gedachten Volumens V.

S

Sch

Fv = r · g · V

Bild 2.29

Deckel p0

p v, ü

ck

An einem offenen Behälter ist seitlich ein Rohrstück angesetzt, das mit einem Deckel verschlossen ist (Bild 2.28). Der Deckel liegt um die Höhe Dh tiefer als der Flüssigkeitsspiegel im Behälter. Auf die freie Oberfläche der Flüssigkeit im Behälter und die Oberseite des Deckels wirkt der Umgebungsdruck p0 . In der Tiefe Dh herrscht der Überdruck (Schweredruck) pv, ü , der sich nach Gleichung 2.14 durch die Höhe Dh ausdrücken lässt:

p0

Aufdruckkraft

Fv

67

Auftrieb und Schwimmen

2.4

Auftrieb und Schwimmen

Der Ausdruck (z2 – z1) dA ist identisch mit dem Volumen dV.

2.4.1

Statischer Auftrieb

dFA = r · g · dV

Taucht man einen Körper vollständig in eine homogene Flüssigkeit ein, so erfährt er infolge des allseitig wirkenden Schweredrucks eine senkrecht nach oben gerichtete Kraft, den statischen Auftrieb FA (Bild 2.30). Die Größe des statischen Auftriebs lässt sich aus der Bilanz der vertikalen Druckkräfte herleiten. Weil in horizontalen Ebenen die Drücke gleich sind, heben sich die horizontal wirkenden Druckkräfte gegenseitig auf und brauchen bei der folgenden Kräftebetrachtung nicht berücksichtigt zu werden. Ein aus dem Körper herausgeschnittenes kleines Prisma mit dem Volumen dV und der Querschnittsfläche dA erfährt folgende vertikale Kraftwirkungen durch den Schweredruck: auf die Oberseite: dFv1 = p ü1 · dA pü1 = r · g · z1 dFv1 = r · g · z1 · dA

Den Gesamtauftrieb FA erhält man durch Integration der Teilauftriebskräfte dFA über dem gesamten eingetauchten Körper. FA = Ú dFA = Ú r · g · dV = r · g Ú dV (V)

(V)

(V)

FA = r · g · V FA r g V

(Gl. 2.36)

statischer Auftrieb Dichte der Flüssigkeit Erdbeschleunigung verdrängtes Flüssigkeitsvolumen Der statische Auftrieb eines vollständig in eine Flüssigkeit eingetauchten Körpers ist gleich der Gewichtskraft des verdrängten Flüssigkeitsvolumens.

Der statische Auftrieb greift im Schwerpunkt SV des verdrängten Flüssigkeitsvolumens – im sog. Verdrängungsschwerpunkt – an. Durch den statischen Auftrieb FA erleidet der Körper scheinbar einen Gewichtsverlust DG (Prinzip von ARCHIMEDES, s. Namensverzeichnis).

auf die Unterseite: dFv2 = p ü2 · dA pü2 = r · g · z2 dFv2 = r · g · z2 · dA Die Auftriebskraft dFA ergibt sich als Differenz der beiden Vertikaldruckkräfte: dFA = dFv2 – dFv1 dFA = r · g(z2 – z1)dA

DG , FA Das scheinbare Gewicht Gsch entspricht der Differenz zwischen dem Gewicht des Körpers freie Oberfläche dFv1 z1 pü1

FA dFA

p uck

Sv

z2

edr wer Sch

z

ü

dV

dFv2 dA

)

Bild 2.30 Zur Erklärung des hydrostatischen Auftriebs

= f (z

pü2

68

Hydrostatik

FA rk r Gsch G Bild 2.31

G

G

Scheinbarer Gewichtsverlust durch Auftrieb

in Luft und dem Auftrieb (Bild 2.31):

rk Dichte des homogenen Körpers G Gewicht des Körpers in Luft Gsch scheinbares Gewicht des Körpers im vollständig eingetauchten Zustand r Dichte der Flüssigkeit

Gsch = G – DG = G – FA FA = G – Gsch = r · g · V G – Gsch V = 03 r·g

(Gl. 2.37)

V verdrängtes Flüssigkeitsvolumen G Gewicht des Körpers in Luft Gsch scheinbares Gewicht im vollständig eingetauchten Zustand r Dichte der Flüssigkeit g Erdbeschleunigung Durch Auswiegen eines Körpers in Luft und im vollständig eingetauchten Zustand lässt sich bei bekannter Dichte r der Flüssigkeit das Volumen des Körpers bestimmen. Das Gewicht eines homogenen Körpers in Luft lässt sich durch die Dichte rk des Körpers ausdrücken: G = rk · g · V G V=9 rk · g In Gleichung 2.37 eingesetzt, ergibt sich ein einfacher Ausdruck für die Dichte rk des Körpers: G G – Gsch 9 = 95 r·g rk · g G r k = 95 · r G – Gsch

(Gl. 2.38)

Das heißt, dass sich auch die Dichte rk eines homogenen Körpers durch vergleichendes Auswiegen in Luft und im vollständig eingetauchten Zustand messtechnisch ermitteln lässt. Taucht der Körper nur teilweise in die Flüssigkeit ein, erfährt der eingetauchte Teil einen statischen Auftrieb, der der Gewichtskraft des verdrängten Flüssigkeitsvolumens entspricht; am aus der Flüssigkeit herausragenden Teil greift eine Auftriebskraft an, die gleich dem verdrängten Luft- bzw. Gasgewicht ist. Weil die Dichte von Gasen sehr viel kleiner ist als die Dichte von Flüssigkeiten, kann der Gasauftrieb in den meisten praktischen Anwendungsfällen vernachlässigt werden, d.h., Gleichung 2.36 gilt hinreichend genau auch für teilweise eingetauchte Körper. Durch Vergleich der Gleichungen 2.35 und 2.36 erkennt man, dass die Aufdruckkraft identisch ist mit dem Auftrieb, den ein in eine Flüssigkeit hineinragendes Bauteil erfährt. 2.4.2

Thermischer Auftrieb

Treten in einer Flüssigkeit Temperaturunterschiede auf, ergibt sich eine ungleichmäßige Dichteverteilung, d.h., die Flüssigkeit ist nicht mehr homogen, und Flüssigkeitsteile mit kleinerer Dichte erfahren einen thermischen Auftrieb.

Auftrieb und Schwimmen An einem kleinen Flüssigkeitselement dV mit der Dichte r2 und der Temperatur t2 greifen folgende vertikalen Kräfte an: a) nach unten: Schwerkraft dG = r2 · g · dV b) nach oben: statischer Auftrieb dFA = r1 · g · dV Für den Fall, dass die Temperatur t2 des Flüssigkeitselements dV größer ist als die Temperatur t1 der umgebenden Flüssigkeit, wird die Dichte r2 kleiner als die Dichte r1 und damit die Schwerkraft dG kleiner als der statische Auftrieb dFA . Es entsteht eine nach oben wirkende Überschusskraft, die als thermische Auftriebskraft dFth bezeichnet wird. dFth = dFA – dG dFth = r1 · g · dV – r2 · g · dV dFth = (r1 – r2) · g · dV = Dr · g · dV Gemäß Abschnitt 1.2.2 kann die Dichteänderung Dr durch den isobaren Wärmeausdehnungskoeffizienten bp und die Temperaturdifferenz Dt = t2 – t1 ausgedrückt werden: Dr = r1 · bp · Dt = r1 · bp (t2 – t1) dFth = r1 · g · bp (t2 – t1) dV Für ein größeres Volumen V erhält man den thermischen Auftrieb Fth durch Summieren der differentiell kleinen Auftriebskräfte dFth :

2.4.3

Schwimmen und Schweben

Ist der Auftrieb FA , den ein Körper in einer Flüssigkeit erfährt, gleich seiner Gewichtskraft G, so schwimmt der Körper, wenn ein Teil seines Volumens aus der Flüssigkeit herausragt, und er schwebt, wenn er vollständig eingetaucht ist (Bild 2.33). Die Gleichgewichtsbedingung für Schwimmen oder Schweben lautet demnach: FA , G

(Gl. 2.40)

Sind Auftrieb und Gewichtskraft unterschiedlich, können 2 Zustände auftreten: ❑ FA < G der Körper sinkt, ❑ FA > G der Körper taucht auf. Sinken und Auftauchen sind jedoch keine stationären und statischen Zustände; der Körper bewegt sich mit einer Sink- bzw. Steiggeschwindigkeit und erfährt eine Beschleunigung sowie eine von der Geschwindigkeit abhängende Widerstandskraft. Derartige hydrodynamische Vorgänge werden in Kapitel 4 behandelt. Bei schwimmenden Körpern bezeichnet man die Flüssigkeitsoberfläche als Schwimmebene, die innerhalb des Körpers liegende Fläche (Schnittfläche) der Schwimmebene als Schwimmfläche oder Wasserlinienfläche. Im

Fth = Ú dFth = r1 · g · bp (t2 – t1) Ú dV (V)

(V)

Ú dV = V

d FA

(V)

Fth = r1 · g · bp (t2 – t1) V Fth r1 g bp t2 t1 V

(Gl. 2.39)

thermischer Auftrieb des Volumens V Dichte der umgebenden Flüssigkeit Erdbeschleunigung isobarer Wärmeausdehnungskoeffizient Temperatur der Flüssigkeit im Volumen V Temperatur der umgebenden Flüssigkeit Volumen der wärmeren Flüssigkeit

69

dV r1 t1

r2 t2

dG

Bild 2.32 Zur Erklärung des thermischen Auftriebs

70

Hydrostatik

Schwimmachse

Bild 2.33 Schwimmen und Schweben

Schwimmfläche

FA 0

FA

Schwimmebene

SK SV

e

FA

G G

SV

FA =G

SK G FA = G

Schwimmen eines Schiffes

Schweben eines U-Bootes

Gleichgewichtszustand liegen Körperschwerpunkt SK und Verdrängungsschwerpunkt SV auf einer gemeinsamen vertikalen Wirkungslinie von Auftrieb und Gewichtskraft. Diese gemeinsame Wirkungslinie wird als Schwimmachse bezeichnet.

differente Schwimmlagen treten bei Körpern mit homogener Massenverteilung auf, z.B. Kugel (allseitig indifferent) oder Kreiszylinder (indifferent bezogen auf die Längsachse). 2.4.4.2

2.4.4

Stabilität

2.4.4.1

Einleitung

Bezüglich der Stabilität der Schwimmlage schwimmender und schwebender Körper werden 3 Fälle unterschieden: ❑ Stabile Schwimmlage Der Schwimmkörper kehrt nach Wegfall einer z. B. durch Gewichtsverlagerung oder Windkräfte hervorgerufenen Auslenkung wieder in seine ursprüngliche stabile Lage zurück. ❑ Labile Schwimmlage Greift am Körper eine auslenkende Kraft an, wird er durch Kippen oder Kentern so lange gedreht, bis er in eine stabile Schwimmlage gelangt. ❑ Indifferente Schwimmlage Eine am Körper wirkende Kraft bzw. ein angreifendes Drehmoment dreht den Körper ständig in beliebige Schwimmlagen. In-

Stabilität von vollständig eingetauchten Körpern

Wird ein vollständig eingetauchter, in einer Flüssigkeit schwebender Körper durch eine Störkraft oder ein Störmoment aus seiner Gleichgewichtslage gedreht, so ist seine Schwebelage stabil, wenn das aus Auftrieb FA und Gewichtskraft G gebildete Kräftepaar M = G · a , FA · a den Körper in seine ursprüngliche Lage zurückdreht (Bild 2.34). Dies ist der Fall, wenn der Körperschwerpunkt SK unterhalb des Verdrängungsschwerpunkts SV liegt. In Bild 2.35 ist eine labile Schwebelage dargestellt. In der ausgedrehten Lage (rechte Bildhälfte) entsteht ein Drehmoment M = FA · a , G · a, das den Körper so lange weiterdreht, bis eine stabile Schwebelage wie in Bild 2.34 (linke Bildhälfte) entsteht. Die labile Gleichgewichtslage ist dadurch gekennzeichnet, dass der Körperschwerpunkt

71

Auftrieb und Schwimmen

FA

FA

FA

FA FA

M SV SK

SV

SK

SK SV

M

SK

SV a

a G Bild 2.34

Stabile Schwebelage

SK oberhalb des Verdrängungsschwerpunktes SV liegt. Bild 2.36 zeigt eine indifferente Schwebeund Schwimmlage. 2.4.4.3

G G

G

Stabilität von teilweise eingetauchten Körpern

Dreht man einen Schwimmkörper aus seiner Gleichgewichtslage, so verlagert sich der Verdrängungsschwerpunkt SV nach S¢V , weil sich die Form des verdrängten Flüssigkeitsvolumens (nicht dagegen seine Größe!) ändert (Bild 2.37). Die Schwimmlage ist stabil, wenn das Kräftepaar aus Auftrieb FA und Gewichtskraft G den Körper nach Wegfall der Störung wieder in seine Ursprungslage zurückdreht. Dies ist der Fall, wenn entweder der Körperschwerpunkt SK tiefer liegt als der Verdrängungsschwerpunkt SV (Gewichtsstabilität) oder die sog. metazentrische Höhe hm positiv ist (Formstabilität).

Bild 2.35

G

Labile Schwebelage

Die metazentrische Höhe hm entspricht dem Abstand zwischen Körperschwerpunkt SK und Metazentrum M, das sich als Schnittpunkt von Auftriebskraft FA und Schwimmachse in der gedrehten Lage einstellt. Die metazentrische Höhe hm lässt sich für kleine Auslenkungswinkel j unter 10° wie folgt abschätzen: Bei der in Bild 2.38 dargestellten rechtsdrehenden Auslenkung des symmetrischen Schwimmkörpers um den kleinen Winkel j taucht der Körper rechts tiefer ein, d.h., er erfährt eine Auftriebszunahme, während links ein gleich großes Körpervolumen auftaucht und damit einen Auftriebsverlust hervorruft. Betrachtet man ein kleines Volumenelement dV, so gehört dazu folgende Auftriebskraft: dFA = r · g · dV Das Volumenelement dV hat eine Grundfläche dA und eine Höhe z dV = z · dA FA

FA FA SV SV′ · SK

Bild 2.36 Indifferente Schwebe- und Schwimmlage

G

SK

G

G

72

Hydrostatik Bild 2.37 Stabilität beim Schwimmen

M hm

FA

f

f

dV

x dFG

dFA

0 e

SK

x dV

SV′

SV

z

b dA

Bild 2.38 Zur Ableitung der Schwimmstabilität

Die Höhe z kann durch den Abstand x und den Auslenkungswinkel ausgedrückt werden: ) z = x · tan j ª x · j (j klein!)

tion der Teilmomente dM über der Schwimmfläche: ) M = Ú dM = r · g · j Ú x2 · dA

Damit erhält man folgenden Ausdruck für die differentiell kleine Auftriebskraft dFA: ) dFA = r · g · x · j · dA

Das Integral Ú x2 · dA stellt das Flächenträgheitsmoment I0 der Schwimmfläche – bezogen auf die Drehachse 0 – dar. ) M = r · g · j · I0

Das von der Auftriebskraft dFA um die Drehachse 0 erzeugte Drehmoment dM beträgt: ) dM = x · dFA = r · g · j · x2 · dA Das gesamte auf den Schwimmkörper ausgeübte Drehmoment ergibt sich durch Integra-

Dieses Drehmoment ist identisch mit dem Versetzungsmoment, das durch die Verschiebung der Auftriebskraft FA vom Verdrängungsschwerpunkt SV in der Ruhelage zum Verdrängungsschwerpunkt S¢V in der ausge-

Auftrieb und Schwimmen lenkten Lage auftritt.

e

M = b · FA ) b · FA = r · g · j · I0 b = (hm + e) · sin j ) ª (hm + e) · j (j klein!) ) ) FA (hm + e) · j = r · g · j · I0 FA = r · g · V r · g · V · (hm + e) = r · g · I0 I0 hm + e = 4 V I0 hm = 4 – e V hm I0 V

(Gl. 2.41)

metazentrische Höhe Flächenträgheitsmoment der Schwimmfläche (des Wasserlinienrisses), bezogen auf die Drehachse 0 verdrängtes Flüssigkeitsvolumen

Abstand zwischen Körperschwerpunkt SK und Verdrängungsschwerpunkt SV in der Gleichgewichtslage

Wird hm negativ, liegt das Metazentrum M unterhalb des Körperschwerpunkts SK , d.h., die Schwimmlage wird labil. Für Schiffe gelten die in Tabelle 2.4 zusammengestellten Richtwerte für die metazentrische Höhe hm . Weiterführende Einzelheiten über die Stabilität von Schwimmkörpern finden sich u.a. in [2.10 und 2.11]. Tabelle 2.4

Metazentrische Höhen von Schiffen

Schiffsart

metazentrische Höhe h m

Frachtschiffe Passagierschiffe Segelschiffe Kriegsschiffe

0,6...0,9 m 0,45...0,6 m 0,9...1,5 m 0,75...1,3 m

Beispiel 11 8 cm

Aufgabenstellung: Ein Balken aus Balsaholz hat folgende Abmessungen: Höhe Breite Länge

Holz r Holz = 0,1 kg/dm3

10 cm 8 cm 50 cm

SK

10 cm

e

Die Dichte r sei 0,1 kg/dm3. Der Balken schwimmt in Wasser (Bild 2.39). a) Wie groß ist die Eintauchtiefe t? b) Schwimmt der Balken stabil?

SV Wasser

Bild 2.39

Beispiel 11

Lösung: Frage a) Die Gewichtskraft des Balkens ergibt sich aus seiner Dichte und seinen Abmessungen:

H = 10 cm = 0,1 m

G =g·r·V=g·r·B·H·L

G = 9,81 · 100 · 0,08 · 0,1 · 0,5

L = 50 cm = 0,5 m

G = 3,92 N

g = 9,81 m/s2 3

3

r = 0,1 kg/dm = 100 kg/m B = 8 cm = 0,08 m

73

Die Gewichtskraft G ist gleich dem Auftrieb F A .

t

74

Hydrostatik

Nach Gleichung 2.36 beträgt das verdrängte Wasservolumen: FA = r · g · V

Der Abstand zwischen Körperschwerpunkt SK und Verdrängungsschwerpunkt SV beträgt:

FA G 3,92 V = 7 = 7 = 70 r · g r · g 1000 · 9,81

H t e = 4 – 3 = 5 – 0,5 = 4,5 cm 2 2

V = 0,4 · 10– 3 m3 = 0,4 dm3

e = 0,45 dm

V =B·L·t

Damit erhält man die metazentrische Höhe hm:

V 0,4 0,4 t = 7 = 0 = 5 = 0,1 dm B · L 0,8 · 5 4 t = 1 cm Die Eintauchtiefe beträgt 1 cm. Frage b) Zur Beurteilung der Stabilität benötigen wir die metazentrische Höhe hm. Nach Gleichung 2.41 errechnet sich hm zu: I0 hm = 4 – e V L · B 3 5 · 0,83 I0 = 9 = 01 = 0,213 dm4 12 12 V = 0,4 dm3

0,213 hm = 0 – 0,45 0,4 hm = 0,533 – 0,45 = 0,083 dm hm = + 0,83 cm Da die metazentrische Höhe positiv ist, schwimmt der Balken stabil.

3 3.1

Aerostatik

Einleitung

In Behältern technischer Anlagen eingeschlossene Gase weisen normalerweise so geringe Schichthöhen auf, dass Druck-, Dichte- und Temperaturänderungen im Gas vernachlässigt werden können; d. h., Druck, Dichte und Temperatur des Gases werden innerhalb des Behälters als gleichbleibend betrachtet. Die auf Wände, Deckel und Böden von Gasbehältern ausgeübten Druckkräfte können gemäß Abschnitt 2.3.1 berechnet werden. Die Luftatmosphäre der Erde hat eine so große Ausdehnung, dass sich die Zustandsgrößen Druck und Temperatur infolge der Schwerkraftwirkung ändern und damit auch die Stoffeigenschaften Dichte, Viskosität und Schallgeschwindigkeit. Für Berechnungen und Versuche im Flugzeugbau, in der Raketen- und Satellitentechnik, in der Meteorologie und verwandten Gebieten ist die Kenntnis des Druck-, Dichteund Temperaturverlaufs innerhalb der Atmosphäre erforderlich. Weil die Atmosphäre an der Erdrotation teilnimmt, der Wirkung der Schwerkraft unterliegt und von der Wärmezufuhr durch die Sonneneinstrahlung beeinflusst wird, sind die Zustandsänderungen und die damit verbundenen Stoffgrößen sowohl von der Jahreszeit als auch von der geographischen Breite abhängig und lassen sich nicht durch einfache, allgemeingültige Beziehungen angeben.

3.2

Zusammensetzung der Atmosphäre

Die Erdatmosphäre besteht aus einem als Luft bezeichneten Gemisch verschiedener Gase und Dämpfe. Bis zu einer Höhe von etwa 11 km bleibt die Zusammensetzung der Luft nahezu gleich (Tabelle 3.1). Hinzu kommen geringste Spuren von Methan, Kohlenmonoxid, Schwefeldioxid, Ozon,

Tabelle 3.1 am Boden

Zusammensetzung der trockenen Luft

Gas

chemische Formel

Raumanteile in Volumenprozenten

Stickstoff Sauerstoff Argon Kohlendioxid Wasserstoff Neon Helium Krypton Sonstige

N2 O2 Ar CO2 H2 Ne He Kr

78,08 20,95 0,93 0,03 0,01 0,0018 0,005 0,0001 0,028

Stickstoffoxide, Kohlenwasserstoffe, Aerosole usw. Der Anteil an Wasserdampf schwankt stark und kann maximal 4 Volumenprozente betragen. Erst ab einer Höhe von ca. 110 km ändert sich merklich die Zusammensetzung der Luft, insbesondere zerfallen die Sauerstoff- und Stickstoffmoleküle in die atomare Form.

3.3

Schichtung der Atmosphäre

Die Beschreibung der atmosphärischen Schichtung kann nach der Temperaturverteilung, dem Grad der Ionisation oder der Gaszusammensetzung erfolgen. Nach dem Temperaturverlauf ergibt sich die in Tabelle 3.2 zusammengestellte Schichtung. Die für die meisten technischen Berechnungen ausreichende Schichtung bis 50 km Höhe ist in Bild 3.1 dargestellt. Die unterste Schicht, in der sich im Wesentlichen die Witterungsvorgänge wie Wolkenbildung, Niederschläge, Gewitter, Nebel usw. abspielen, wird als Troposphäre bezeichnet. Sie enthält etwa 3/4 der Masse der Atmosphäre. Die Troposphäre wird nach oben durch die Tropopause begrenzt. Die Höhenlage der Tropopause hängt von der geographischen

76

Aerostatik

50 Stratopause

km 45

In v

er s

ion

40

Stratosphäre

35

25

20

15

Isothermie

Tropopause Troposphäre

10

5

0 –60

–50

–40 –30 –20 Temperatur t

–10

+10 °C +20

0

Bild 3.1 Temperaturverteilung in der Atmosphäre

Sommer

8 km

11

,5

9,

5

km

6 km

–40…–50 °C

Frühling

–40…–60 °C ,5

Pol

5

9,

mittlere Breite 14 km

km

11

km

km

14 km

Äquator

18 km

18 km

mittlere Breite

km 5

9,

km

,5

5

Pol

–80…–90 °C

11 9,

6 km

5

, 11

8 km

Höhe z

30

km

km

Bild 3.2 Lage der Tropopause

Isotherme Schichtung Tabelle 3.2

77

Schichtung der Atmosphäre

Höhe z

Bezeichnung der Schicht

Temperatur

0…11 km

Troposphäre

Temperatur mit steigender Höhe von + 15 °C auf – 56,5 °C fallend

11…20 km

Stratosphäre

Temperatur – 56,5 °C konstant (Isothermie)

20…50 km

Temperatur mit steigender Höhe zunehmend von – 56,5 … 0 °C (Inversion)

50…60 km

Stratopause

Temperatur bei ca. 0 °C konstant (Isothermie)

60…80 km

Mesosphäre

Temperatur mit steigender Höhe fallend 0 … – 80 °C (3 °C… 4 °C pro km)

80…400 km

Thermosphäre (Ionosphäre)

Temperatur mit steigender Höhe zunehmend, auf über 1000 °C in 200 km Höhe

400 km

Exosphäre (Dissipationssphäre)

Breite und von der Jahreszeit ab, ebenso die darin herrschende Temperatur. In Bild 3.2 ist die Lage der Tropopause bezüglich der Erdkugel eingetragen. Über der Tropopause liegt die bis ca. 50 km reichende Stratosphäre, die durch die Stratopause begrenzt wird. Die Stratosphäre umfasst etwa 20 % der Atmosphärenmasse und erstreckt sich über einen Druckbereich von etwa 200 mbar bis 1 mbar. Bis ca. 20 km bleibt die Temperatur mit – 56.5 °C annähernd konstant, in großen Höhen steigt sie wieder an, um am oberen Rand ungefähr 0 °C zu erreichen. Weitere Einzelheiten über die Atmosphärenschichtung können [3.1, 3.2 und 3.5] entnommen werden. Um die für praktische Berechnungen erforderlichen Werte für Druck, Temperatur und Dichte in Abhängigkeit von der Höhe bestimmen zu können, werden in den folgenden Abschnitten 3 mathematische Modelle für die Schichtung der Atmosphäre beschrieben:

3.4

Isotherme Schichtung

Bei der isothermen Luftschichtung wird vorausgesetzt, dass sich die Lufttemperatur innerhalb der gesamten Atmosphäre nicht ändert, d.h. unabhängig von der Höhe z ist. Diese Annahme trifft für die Luftschichten der Troposphäre keinesfalls zu. Innerhalb der anschließenden Stratosphäre ist die Temperatur bis zu etwa 25 km Höhe mit ca. –56,5°C nahezu konstant. Für den isothermen Zustand gilt die Zustandsgleichung von BOYLE-MARIOTTE (s. Namensverzeichnis): 1 p · u = p · 3 = konst r Am Erdboden herrsche der Luftdruck p0 und die Luftdichte r 0 . p p0 3 = 4 = konst r r0

❑ isentrope Schichtung,

Betrachtet man die differentiell kleine Druckänderung dp in der Höhe z (Bild 3.3), so kann die Dichte r als konstant angesehen werden:

❑ Normatmosphäre (Standardatmosphäre).

dp = –r · g · dz

❑ isotherme Schichtung,

78

Aerostatik

z)

Temperatur T= konst.

p0 p0 z = – 9 · ln p + 9 · ln p0 r0 · g r0 · g

= f(

Höhe z

ck p

Dru

Damit folgt für die Funktion z = f (p):

dz

z

p0 z = 9 · (ln p0 – ln p) r0 · g

dp Boden p0

Bild 3.3

Isotherme Luftschichtung

Das Minuszeichen erklärt sich aus der Tatsache, dass mit zunehmender Höhe z der Druck p abnimmt. Aus der Gleichung von BOYLE-MARIOTTE ergibt sich die Dichte r zu: p r = 4 · r0 p0 Damit beträgt die Druckänderung dp: p dp = – 4 · r0 · g · dz p0

p0 p0 z = 9 · ln 4 p r0 · g

(Gl. 3.1)

Unter Zuhilfenahme der allgemeinen Gasgleichung p0 · u 0 = p0 /r 0 = Ri · T0 kann Gleichung 3.1 auch wie folgt geschrieben werden: Ri · T0 p0 Ri · T0 r0 z = 0 · ln 4 = 0 · ln 4 g p g r

(Gl. 3.2)

Die Abhängigkeit des Druckes p von der Höhe z ergibt sich durch Delogarithmieren der Gleichungen 3.1 bzw. 3.2: p0 r 0 · g ln 4 = 9 · z p p0 r0 · g

Durch Integration dieser Differentialgleichung findet man die Abhängigkeit des Druckes p von der Höhe z: 1 p0 dz = – 9 · 3 · dp r0 · g p p0

1

· 3 dp Údz = – 9 r ·g Ú p 0

p0 z = – 9 · ln p + K r0 · g Die Integrationskonstante K ergibt sich durch Einsetzen der Zustandswerte am Boden: z = 0;

p = p0

p0 0 = – 9 · ln p0 + K r0 · g p0 K = 9 · ln p0 r0 · g

·z p0 p0 6 4 =e p r0 · g

g

– – ·z ·z p0 R i · T0 p = p0 · e 6 = p0 · e 7

(Gl. 3.3)

Für die Dichte r folgt unter Verwendung der Beziehung p r = 4 · r0 p0 r0 · g

g

– – ·z ·z p0 R i · T0 r = r0 · e 6 = r0 · e 7

(Gl. 3.4)

Isentrope Schichtung

3.5

Isentrope Schichtung

Die Isentropengleichung für ideale Gase lautet: 1 p · u k = p 4k = konst r Mit dem Luftdruck p0 und der Dichte r 0 am Boden beträgt die Konstante:

–1 k –1 k –1 p0k k k k z = 8 · 8 · p06 – p6 r0 · g k – 1






Durch Erweitern des Ausdruckes mit p0/p0 ergibt sich folgende vereinfachte Schreibweise: –1 k –1 k –1 p0 k p0k k k z = 8 · 8 · 4 · p06 – p6 r 0 · g k – 1 p0











k –1 k –1 k –1 – p0 k k k k z = 8 · 8 · p0 6 · p0 6 – p6 r0 · g k – 1

1 p0 · 4k r0 1 1 p · 4k = p0 · 4 r r k0


 

p0 k p k k– 1 z=8·8· 1– 4 6 p0 r0 · g k – 1

p r k = 4 · r k0 p0




Die Abhängigkeit des Druckes p von der Schichthöhe z (Bild 3.4) erhält man durch Integration der folgenden, bereits bekannten Differentialgleichung dp = – r · g · dz




p –k1 dp = – r0 · 5 · g · dz p0 1 k 0

(Gl. 3.5)

Löst man Gleichung 3.5 nach p auf, erhält man die Abhängigkeit des Druckes p von der Höhe z:

p –k1 r = 5 · r0 p0

– 1 k

1 – – dz = – 8 · p · p · dp r0 · g

Ú

79




k –1 r0 · g k – 1 p 6 k =1–z·0·9 4 p0 k p0











k p r0 · g k – 1 6 k–1 4 = 1 – z · 9 · 81 p0 p0 k

r 0 · g k – 1 k k– 1 p = p0 · 1 – z · 9 · 81 6 k p0

–1 1 p0k –– dz = – 8 · p k · dp r0 · g

Ú

1 k 0

1 1–– – p p k z=–8·0+K 1 r0 · g 1–3 k

–1 k –1 p0k k k z = – 8 · 8 · p6 +K r0 · g k – 1 Die Integrationskonstante K erhält man durch Einsetzen der Werte am Boden: z = 0; p = p0 : –1 k –1 p0k k k K = 8 · 8 · p06 r0 · g k – 1

Bild 3.4

Isentrope Luftschichtung

(Gl. 3.6)

80

Aerostatik

Für die Abhängigkeit der Dichte r von der Höhe z folgt aus Gleichung 3.6 unter Verwendung der Beziehung rk p = p0 · 41k r0

dT 9,81 1,4 – 1 K 5 = – 8 · 01 ª – 0,01 4 dz 287 1,4 m d.h., die Temperaturabnahme beträgt ca. 1°C bei einer Höhenzunahme von 100 m. Dieser Temperaturgradient von –1°C je 100 m Höhenzunahme ist sehr ungenau! Die Normatmosphäre gibt den Temperaturgradienten für den Höhenbereich 0… 11 km mit –0,65 °C an (Abschnitt 3.6).

k rk r0 · g k – 1 6 p0 · 4k = p0 · 1 – z · 9 · 8 k – 1 r0 p0 k






k r0 · g k – 1 5 r k = r k0 · 1 – z · 9 · 8 k – 1 p0 k






1 r0 · g k – 1 6 r = r0 · 1 – z · 9 · 8 k – 1 k p0






(Gl. 3.7)

3.6

Aus der Beziehung p · 1/r = Ri · T ergibt sich die Temperaturabhängigkeit T = f (z): p 1 T=9=4 Ri · r Ri k r0 · g k – 1 6 p0 · 1 – z · 9 · 9 k – 1 p0 k · 000000 1 r0 · g k – 1 6 r0 · 1 – z · 9 · 9 k – 1 p0 k





 






p0 r0 · g k – 1 T = 01 · 1 – z · 9 · 9 p0 k Ri · r0

(Gl. 3.8)

Differenziert man Gleichung 3.8, so findet man die bemerkenswerte Tatsache, dass die Ableitung dT/dz konstant ist, d. h. der Temperaturgradient unabhängig von der jeweiligen Höhe z ist. r0 · g k – 1 dT p0 5=–0·9·9 dz Ri · r0 p0 k dT g k–1 5=–4·9 dz Ri k

Durch Einsetzen von g = 9,81 m/s2, Ri = 287 J/ (kg · K) und k = 1,4 folgt für die konstante rechte Seite der Gleichung 3.9:

(Gl. 3.9)

Normatmosphäre

Bei Berechnungen und Versuchen in der Flugtechnik, Raumfahrttechnik, Ballistik, Raketentechnik, Meteorologie usw. legt man üblicherweise Druck, Temperatur, Dichte, Schallgeschwindigkeit, Viskosität und andere Größen anhand von Tabellen, Gleichungen oder Diagrammen von Normatmosphären fest. Die Internationale Normatmosphäre der ICAO (International Civil Aviation Organization), die US-Standardatmosphäre und die Normatmosphäre nach DIN ISO 2533 (Dezember 1979) [3.3] legen folgende Werte am Boden (Meereshöhe) zugrunde: Luftdruck p0 , pn = 101325 Pa Lufttemperatur t0 , tn = 15°C Luftdichte r0 , rn = 1,225 kg/m3 Für den Temperaturgradienten wird bis zu einer Höhe z = 11 km dT/dz = – 0,0065 K/m angenommen; von z = 11…20 km bleibt T = 216,5 K konstant. Tafel 28 (aus [3.1]) enthält den Verlauf der Temperatur t und der relativen Größen p/pn , r/rn , a/an und n/nn in Abhängigkeit der Höhe z im Bereich z = 0 bis z = 13 km. In Tafel 29 (aus [3.4]) sind die Temperatur T, der Druck p und die Schallgeschwindigkeit a für den Höhenbereich z = 0…20 km nach der US-Standardatmosphäre tabelliert.

Normatmosphäre Die DIN-ISO 2533 enthält neben den Grundlagen und den Berechnungsformeln in mehreren Tabellen die Abhängigkeit folgender Größen von der Höhe z: Druck bzw. Druckverhältnis Dichte bzw. Dichteverhältnis Schallgeschwindigkeit dynamische Viskosität kinematische Viskosität

81

Wärmeleitfähigkeit Teilchendichte der Luft mittlere Teilchengeschwindigkeit der Luft mittlere freie Weglänge der Luftteilchen mittlere Stoßfrequenz der Luftteilchen sowie andere weniger wichtige Größen Der Höhenbereich erstreckt sich von z = – 2 km bis z = + 80 km.

Beispiel 12 Aufgabenstellung: Ein Ballon hat eine Masse von 500 kg und ein Volumen von 700 m3. Die Luftzustände am Boden betragen: Luftdruck p0 = 1013,25 mbar Luftdichte r0 = 1,225 kg/m3

p0 p0 z = 8 · ln 4 p r0 · g 101325 1013,25 z = 09 · ln 03 1,225 · 9,81 592 z = 8435 · ln 1,713 z = 4540 m

Wie hoch steigt der Ballon auf a) bei isothermer Schichtung? b) bei isentroper Schichtung? c) nach den Angaben der Normatmosphäre?

b) Steighöhe bei isentroper Luftschichtung: Der zur Dichte r = 0,715 kg/m3 gehörende Luftdruck ergibt sich aus der Isentropengleichung:

Lösung: Der Auftrieb des Ballons wird im Gleichgewichtszustand nach dem Aufsteigen gleich dem Ballongewicht. Nach Gleichung 2.36 ergibt sich die Luftdichte:

r p = p0 · 41 r0

FA = r · g · V

k




0,715 p = 1013,25 · 0 1,225



1,4

p = 476,5 mbar Aus Gleichung 3.5 folgt die zugehörige Höhe z

FA 500 · g r = 9 = 01 g · V g · 700


 

–1 p0 k p k5 k z = 9 · 8 · 1 – 41 r0 · g k – 1 p0

r = 0,715 kg/m3 a) Steighöhe bei isothermer Luftschichtung: Nach BOYLE-MARIOTTE beträgt der r = 0,715 kg/m3 gehörende Luftdruck:




101325 1,4 z = 09 · 02 1,225 · 9,81 1,4 – 1 zu

r 0,715 p = p0 · 4 = 1013,25 · 9 r0 1,225 p = 592 mbar Die zum Luftdruck p = 592 mbar korrespondierende Höhe z folgt aus Gleichung 3.1:

–1 476,5 1.4 7 · 1 – 95 1,4 1013,25




 

z = 29500 · (1 – 0,47 0,286 ) z = 29500 · (1 – 0,806) z = 5720 m

82

Aerostatik

c) Steighöhe nach der Normatmosphäre: Das Verhältnis der Dichte r = 0,715 kg/m3 zur Normdichte r n = 1,225 kg/m3 auf Meereshöhe beträgt: r 0,715 4 = 9 = 0,584 rn 1,225

z = 5,25 km Aus Tafel 29 werden dazu folgende Temperatur- und Druckwerte entnommen: T = 254,35 K T = 253,70 K – T = 254,03 K

p r=9 Ri · T 52 215 r = 00 287 · 254,03

Trägt man diesen Wert in Tafel 28 ein, erhält man folgende Höhe z:

z = 5,2 km z = 5,3 km z¯ = 5,25 km

Nach Gleichung 1.7 kann daraus die Dichte r in Höhe z = 5,25 km berechnet werden:

p = 0,52546 bar p = 0,51884 bar p¯ = 0,52215 bar

r = 0,716 kg/m3 Das heißt, dass die Höhe z = 5,25 km auch nach Tafel 29 (US-Standardatmosphäre) hinreichend genau zur vorgegebenen Dichte r = 0,715 kg/m3 bestimmt ist.

4 4.1

Inkompressible Strömungen

Einleitung

Der folgende Abschnitt befasst sich mit der Beschreibung und Berechnung inkompressibler Strömungen in durchströmten Rohrleitungen und Kanälen sowie an umströmten Körpern. Insbesondere werden die Strömungsfelder, d. h. Geschwindigkeits- und Druckverteilungen, im strömenden Fluid und die wechselseitigen Kraftwirkungen zwischen strömendem Fluid und durch- bzw. umströmtem Körper behandelt. Zunächst werden die Gesetzmäßigkeiten für ideale, reibungsfreie Strömungen beschrieben und anschließend die Korrekturen für die realen, reibungsbehafteten Strömungen angefügt. Streng genommen versteht man unter inkompressiblen Strömungen Fluidbewegungen bei unveränderlicher Dichte (r = konst). In der praktischen Strömungstechnik und im Strömungsmaschinenbau betrachtet man Strömungen mit relativ geringen Druck-, Geschwindigkeits- und Temperaturänderungen näherungsweise als inkompressibel, wenn die Dichteänderungen klein sind (im Vergleich zu anderen Werteänderungen bzw. zu Mess- und

Rechenunsicherheiten). So wird z.B. die Strömung durch Raumluftanlagen und Ventilatoren meist als inkompressibel angesehen und mit mittleren Dichtewerten gerechnet.

4.2

Grundbegriffe

Zur Beschreibung der Strömung in einem Punkt eines Strömungsfeldes wird neben der Angabe der Zustandsgrößen Druck, Temperatur und Dichte vor allem die Strömungsgeschwindigkeit benötigt. Die Strömungsgeschwindigkeit ist wie in der Punktmechanik (Kinematik) als Vektor definiert, zu dessen eindeutiger Bestimmung Richtung, Größe und Lage erforderlich sind. Im allgemeinen Fall der 3-dimensionalen Strömung (Raumströmung) ergibt sich folgende Darstellung der lokalen Geschwindigkeit eines Fluidteilchens dm (Bild 4.1):

z

Bild 4.1 Zur Erklärung der örtlichen Geschwindigkeit

84

Inkompressible Strömungen

Æ

ds Æ w=5 dt

(Gl. 4.1)

bzw. nach der EULER’schen Methode (s. Namensverzeichnis) durch die kartesischen Koordinaten x, y, z ausgedrückt: Æ

Æ

Æ

Æ

w = wx + wy + wz

(Gl. 4.2)

In kreiszylindrischen Rohrleitungen oder in axialenTurbomaschinen erweist es sich häufig als sinnvoll, mit einem Zylinderkoordinatensystem (Bild 4.2) zu arbeiten: Æ

Æ

Æ

Æ

w = w x + w r + wj

(Gl. 4.3)

→ w

In bestimmten Fällen kann es auch praktisch sein, Polar- oder Kugelkoordinaten einzuführen. r

Æ

Æ

Æ

w = wx + wy

(Gl. 4.4)

Stellt man Rohrströmungen durch Zylinderkoordinaten dar, treten bei Wegfall der 3. Dimension 2 Fälle auf: Æ

a) drehsymmetrische Strömung: wj = 0 (Bild 4.4a) Æ

Æ

Æ

w = wx + wr

(Gl. 4.5) Æ

b) schraubenförmige Strömung: wr = 0 (Bild 4.4b) Æ

Æ

Æ

w = wx + wj

(Gl. 4.6)

r

wf

→ → wr

f

Bei der 2-dimensionalen Strömung (ebene Strömung, Flächenströmung) entfällt eine Dimension und die Geschwindigkeitsdarstellung vereinfacht sich (Bild 4.3):

r

→ w x x

→wr

x

→ wx

Bild 4.2 Darstellung der Geschwindigkeit in einem Zylinderkoordinatensystem y

→ wy

→ w

dm

→w

x

x

0

bahn

Strom

→ wx

→ wx

f

f

x Bild 4.3 Geschwindigkeitsdarstellung in einer 2-dimensionalen Strömung

→w

→wϕ

x

Bild 4.4 2-dimensionale Strömung in einem Zylinderkoordinatensystem: a) drehsymmetrische Strömung, b) schraubenförmige Strömung

Grundbegriffe

85

Hodograph

Bild 4.5 Koaxiale Rohrströmung in 1-dimensionaler Darstellung r

wx = f(r) x

Am einfachsten zu beschreiben ist die 1-dimensionale Strömung (Linienströmung), wie sie bei vereinfachter Betrachtung bei Rohrströmungen, bei denen die Strömung hauptsächlich in Richtung der Rohrachse verläuft, angenommen werden kann (Bild 4.5). – Die mittlere Strömungsgeschwindigkeit w ergibt sich als Rechenwert aus den lokalen Geschwindigkeiten w: –=1 w 3 A

Ú w · dA

(Gl. 4.7)

A

– w A

mittlere Strömungsgeschwindigkeit Strömungsquerschnitt, senkrecht zur Rohrachse (Fließfläche) w lokale Strömungsgeschwindigkeit dA zur lokalen Strömungsgeschwindigkeit w normale Teilfläche Die Kurve durch die Endpunkte der Geschwindigkeitsvektoren eines Strömungsquerschnittes (Fließfläche) bezeichnet man als Hodographen, Kurvenzüge durch Punkte gleicher Strömungsgeschwindigkeiten als Isotachen (Bild 4.6). Multipliziert man die mittlere Geschwin– mit dem dazu senkrechten Strödigkeit w mungsquerschnitt A, erhält man den Volumenstrom V˙ : –·A V˙ = w

(Gl. 4.8)

Der Volumenstrom stellt also gewissermaßen den Inhalt eines «gedachten Körpers» aus Strömungsquerschnitt (Fließfläche) und Geschwindigkeitsvektoren dar!

A

Die Geschwindigkeit w ist eine Funktion des Weges und der Zeit: w = f (s, t) Die Beschleunigung a ist bekanntlich gleich der 1. Ableitung der Geschwindigkeit w nach der Zeit t: dw a=5 dt ∂w ∂w dw = 5 · ds + 5 · dt ∂s ∂t dw ∂w ds ∂w a = 51 = 51 · 5 + 51 dt ∂s dt ∂t ∂w ∂w a = w · 51 + 51 = a k + a l ∂s ∂t

(Gl. 4.9)

a = dw/dt totale oder substantielle Beschleunigung ak = w · ∂w/∂s konvektive Beschleunigung, die auf ein bestimmtes Fluidteilchen dm während seiner Ortsveränderung wirkt al = ∂w/∂t lokale Beschleunigung, die ein Fluidteilchen dm am jeweiligen Ort des Strömungsfeldes erfährt Beide Beschleunigungsarten lassen sich an folgenden einfachen Beispielen erläutern: In einer Rohrleitung mit konstantem Strömungsquerschnitt wird ein Schieber langsam geöffnet (Bild 4.7a). Aus Gründen der Kontinuität herrscht in beiden Querschnitten
und  in jedem Zeitpunkt die gleiche Strömungsgeschwindigkeit, d.h., ∂w/∂s ist gleich 0 und damit auch die konvektive Beschleuni-

86

Inkompressible Strömungen

w =1,4 w

1,2

1,0 +

0,8

w 0,6 w

w w=

öffnen

Bild 4.6

örtliche Geschwindigkeit V˙ A

mittlere Geschwindigkeit

Isotachen eines Geschwindigkeitsprofiles hinter einem 90°-Krümmer

Schieber

V˙ = f (t)

V˙ = konst.

w = f (t)

a)

1

2

2 b) 1

Bild 4.7

a) Instationäre und b) stationäre Strömung

Grundbegriffe

w = f (s, t) Æ instationäre Strömung w = f (s)

Æ stationäre Strömung

Typische instationäre Strömungen treten beispielsweise beim Füllen und Leeren von Behältern oder in den Druck- und Saugleitungen von oszillierenden Verdrängerpumpen auf. Der Zustand stationärer oder instationärer Strömung kann auch von der Wahl des Beobachterstandpunktes d.h. vom gewählten Koordinatensystem abhängen. Ein auf einem Schiff mitfahrender Beobachter sieht beispielsweise bei gleichbleibender Geschwindigkeit am Bug immer die gleiche Bugwellenform, die Strömung ist für ihn stationär. Ein an Land stehender Beobachter sieht die vorbeiziehende Bugwelle des Schiffes als vorübergehende Störung des Wasserwellenbildes, die in sein Blickfeld gelangt und wieder verschwindet. Zeichnet man in einem Strömungsgebiet an verschiedenen Punkten die Geschwindigkeitsvektoren ein, erhält man ein Strömungsfeld (Bild 4.8). Werden die Angriffspunkte der Geschwindigkeiten so durch Kurvenzüge verbunden, dass die Vektoren zu Kurventangenten werden, entstehen die sog. Stromlinien. Die aus kurzen Bahnelementen vieler Fluidteilchen bestehenden Stromlinien be-

→ w

→ w

→ w

→ w → w

→ w

w→

→ w

→ w

→ w → w → w

w→

→ w

→ w

→w

Bild 4.8

St

→w

ro m

lin

ie

w→

→w

w→

gung ak . Die Beschleunigung, die ein Fluidteilchen dm auf dem Weg von
nach  erfährt rührt allein daher, dass sich die Geschwindigkeit w in allen Querschnitten mit der Zeit t ändert, d. h., die Beschleunigung ist gleich der lokalen Beschleunigung al = ∂w/∂t. In Bild 4.7 b ist eine Düsenströmung dargestellt, bei der sich die lokale Geschwindigkeit bei konstantem Durchfluss nicht ändert. Die Beschleunigung, die auf ein Fluidteilchen dm auf dem Weg
nach  wirkt, rührt ausschließlich aus der Änderung der Geschwindigkeit von
nach  , d. h. der konvektiven Beschleunigung ak = w · ∂w/∂s her. Strömungen, in denen nur konvektive Beschleunigungen auftreten werden als stationäre Strömungen bezeichnet, Strömungen mit konvektiven und lokalen Beschleunigungen als instationäre Strömungen:

87

Strömungsbild (Strömungsfeld)

schreiben ein momentanes Bild des Strömungsfeldes und lassen sich durch Kurzzeitaufnahmen der Momentanbewegungen von Schwebeteilchen fotografisch darstellen [4.1 bis 4.4]. Stromlinien verlaufen knickfrei und können sich nicht schneiden, da in einem Punkt des Strömungsfeldes nicht 2 Geschwindigkeiten auftreten können. Stromlinienverdichtung bedeutet Geschwindigkeitszunahme (Beschleunigung), Stromlinienauflockerung dagegen Geschwindigkeitsabnahme (Verzögerung) (Bild 4.9). Stromlinien beginnen nicht und enden nicht im Strömungsraum, ausgenommen in Staupunkten umströmter Körper, in denen die Geschwindigkeiten zu 0 werden und die Stromlinien orthogonal auf die Körperoberfläche stoßen (Bild 4.9). Die der Körperkontur fol-

Bild 4.9

Umströmter Körper

88

Inkompressible Strömungen

gende Stromlinie teilt sich im vorderen Staupunkt (Verzweigungspunkt) SI , folgt allseits der Körperkontur und vereinigt sich am Körperende im hinteren Staupunkt SII (Vereinigungspunkt). Die Gesamtheit aller den Körper umschreibenden Stromlinien wird als Stromfläche bezeichnet. An der Stromfläche dürfen keine Normalkomponenten der Geschwindigkeiten auftreten. Verfolgt man den von einem Fluidteilchen zurückgelegten Weg im Strömungsfeld erhält man dessen Strombahn (Bild 4.1). Die Länge des zurückgelegten Weges bezeichnet man auch als Bahnlinie tn

Æ

Ú

Æ

Ú

Æ

s = ds = w · dt

(Gl. 4.10)

t0

Durch langbelichtete Fotoaufnahmen mit Schwebeteilchen bestreuter Flüssigkeitsströmungen lassen sich Strombahnen sichtbar machen. Als Streichlinien bezeichnet man Kurvenzüge aus allen Teilchen, die im Laufe der Zeit eine bestimmte Stelle des Strömungsraums durchströmen. So stellt z. B. die Rauchfahne eines Schornsteins ein Bündel von Streichlinien dar. Fasst man mehrere Stromlinien zu einem Stromlinienbündel zusammen, erhält man

eine Stromröhre (Bild 4.10). Der durch die Stromröhre strömende Volumenstrom V˙ ergibt sich aus Gleichung 4.8. Man kann sich die Stromröhre auch als Bündel sehr vieler Stromfäden mit infinitesimalen Querschnitten dA vorstellen. Längs des Stromfadens bewegt sich das Fluid nur 1-dimensional in Strömungsrichtung. Im Strömungsquerschnitt dA des Stromfadens sind Druck und Geschwindigkeit konstant. Nach der Stromfadentheorie behandelte Strömungen in Rohrleitungen und Gerinnen werden durch Strömungsgrößen beschrieben, die über dem Querschnitt gemittelt sind. Alle Fluidteilchen, die durch den Eintrittsquerschnitt der Stromröhre strömen, verbleiben auf ihrem gesamten Strömungsweg innerhalb des Mantels der Stromröhre, d.h., die Mantelfläche ist undurchlässig. Wenn die Fluidteilchen längs ihrer Strombahnen nur Längsbewegungen (Translationen) ausführen, spricht man von rotationsfreien oder wirbelfreien Strömungen (Bild 4.11a). Drehen sich die Teilchen zusätzlich noch um ihre eigene oder eine andere Achse, liegt eine wirbelbehaftete Strömung vor (Bild 4.11b).

t3 → w3 t2 → w2 → t1 w1

t6 → w6

dm dm

dm dm

dm

l

nte

Ma

t4 → w4

t5 → w5

a)

bahn

Strom

dm

en fad

om Str

→ w

dA

t3 → w3 t2 → w2

A

→ t1 w1

dm

w2

dmw 3

t5 → w5

t4 → w4

dm w4

dm w5

t6 → w6

dm w 6

bahn

Strom

w1 dm Querschnitt Bild 4.10

Stromröhre und Stromfaden

Bild 4.11 Vergleich zwischen a) wirbelfreier und b) wirbelbehafteter Strömung

b)

Grundgleichungen

Stromlinien

→ w

→ ws

ds

Zur Definition der Zirkulation

Überlagert man zur Translation und Rotation noch die Deformation eines Fluidteilchens, erhält man die allgemeinste Form seiner Bewegung im Strömungsraum. Die exakten mathematischen Beschreibungen dieser Bewegungen können in wissenschaftlich konzipierten Lehrbüchern, z. B. in [4.5] nachgelesen werden. Auf die verschiedenen Wirbelbewegungen der Strömungslehre wird im Verlaufe des Buches noch näher eingegangen. Bei der Beschreibung von Strömungsfeldern kann sich der Begriff Zirkulation als sinnvoll erweisen. Dabei ist die Zirkulation G als Linienintegral des Produktes Geschwindigkeit ¥ Weg längs einer geschlossenen Kurve im Strömungsfeld definiert (Bild 4.12):

G=

Æ

Æ

Ú w · ds



s

Grundgleichungen

4.3.1

Kontinuitätsgleichung (Durchflussgleichung)

Nach dem Massenerhaltungssatz bleibt bei inkompressibler, stationärer Strömung (r = konst) der durch eine Stromröhre (Bild 4.13) strömende Volumenstrom V˙ konstant. Nach Gleichung 4.8 kann der Volumenstrom V˙ durch den Strömungsquerschnitt A – und die mittlere Strömungsgeschwindigkeit w ausgedrückt werden: –=A ·w – =A ·w – = konst V˙ = A · w 1 1 2 2 (Gl. 4.12)

geschlossene Kurve

Bild 4.12

4.3

89

V˙ Volumenstrom A Strömungsquerschnitt – mittlere Strömungsgeschwindigkeit w Bei Gleichung 4.12 handelt es sich um eine einfache Bilanzgleichung in integraler Form. Die Differentialgleichungen für das Kontinuitätsgesetz des Kontrollraums, des Kontrollfadens und des Fluidelementes werden z.B. in [4.5] beschrieben. Wendet man das Kontinuitätsgesetz für stationäre, inkompressible Strömungen auf ein System verzweigter Stromröhren (Bild 4.14) an, erhält man aus der Bilanz der zu- und abströmenden Volumenströme die einfache Beziehung: Â V˙ i, zu = Â V˙ i, ab = V˙ ges

(Gl. 4.13)

(Gl. 4.11)

In wirbelfreien Strömungen wird die Zirkulation 0! An der Theorie interessierte Leser finden die Darstellung der Beschreibungsmöglichkeiten von Strömungsfeldern nach LAGRANGE (s. Namensverzeichnis) (massen- oder teilchenbehaftete Betrachtung) oder EULER (ortsfeste Betrachtung) sowie Beschreibungen der Potentialströmungen in der anspruchsvollen Fachliteratur, u. a. in [4.5, 4.6 und 4.7].

→ w2 → w

A2 → w1

A

A1 Bild 4.13

Zur Kontinuitätsgleichung

90

Inkompressible Strömungen

˙V 1 Z

z

n

bah

u

om Str

V˙ 1 ab

V˙2 Zu

dG · sin a dA

V˙ges

ds

dA → w

dm

a

dz p+

V˙

3Z

u

V˙2

Bild 4.14

4.3.2 4.3.2.1

V˙1Zu+V˙2Zu+V˙3Zu =V˙ges =V˙1ab+V˙2ab

ab

p

· ds

dG

Verzweigtes (Rohr-)System

Energiegleichung

x

Energiegleichung längs einer Stromlinie (Euler’sche Gleichung für 1-dimensionale Strömungen)

An einem längs einer Stromlinie bewegten kleinen Masseteilchen dm, das als starr betrachtet wird, herrscht folgendes Kräftegleichgewicht (Bild 4.15): ❑ Newton’sche Beschleunigungskraft dw dFN = dm · 6 dt («Kraft = Masse ¥ Beschleunigung») dw dFN = r · dA · ds 6 dt in Richtung der Geschwindigkeit w ❑ Gewichtskraft dG (Schwerkraft)

Bild 4.15 Zur Ableitung der Euler’schen Gleichung für 1-dimensionale Strömungen

Die Newton’sche Beschleunigungskraft hält den beiden äußeren Kräften dFp und dFS das Gleichgewicht. dw ∂p r · dA · ds · 5 = – 5 · ds · dA dt ∂s ∂z – r · g · dA · ds 5 ∂s Die Gleichung wird durch r dividiert, mit ∂s multipliziert und umgestellt: 1 dw g · ∂z + 3 · ∂p + ∂s · 6 = 0 r dt

(Gl. 4.14)

dG = g · dm = r · g · dA · ds in Strömungsrichtung wirkt nur die Komponente dFS (Hangabtrieb) ∂z dFS = – dG · sin a = – r · g · dA · ds 5 ∂s ❑ Druckkraft dFp Auf die untere Fläche dA wirke der Druck p, auf die obere Fläche dA der größere Druck p + ∂p/∂s · ds

冢

冣

∂p dFp = p · dA – p + 5 · ds · dA ∂s ∂p = – 5 · ds · dA ∂s

In Gleichung 4.9 wurde die Beschleunigung a = dw/dt bereits als Summe aus konvektiver und lokaler Beschleunigung abgeleitet: dw ∂w ∂w 6=w·6+6 dt ∂s ∂t Damit erhält man für den 3. Ausdruck in Gl. 4.14: dw ∂w ∂s · 6 = w · ∂w + 6 · ∂s dt ∂t

冢 冣

dw w2 ∂w oder: ∂s 6 = ∂ · 41 + 6 · ∂s dt 2 ∂t

91

Grundgleichungen

冢 冣

1 w2 g · dz + 3 · dp + d 41 = 0 r 2

(Gl. 4.16a)

bzw. (Gl. 4.16b)

(Gl. 4.18)

mit der Dimension «Länge» («Höhe»). Die SIEinheit der einzelnen Größen ist m. Diese Gleichung wurde von DANIEL BERNOULLI (s. Namensverzeichnis) in seinem 1738 in Straßburg erschienen Buch «Hydrodynamica» [4.9, 4.10] abgeleitet und zahlreiche praktische Anwendungen beschrieben. Die Bernoulli’sche Schreibweise der Energiegleichung lässt sich, da sie in der Dimension «Länge» formuliert ist, sehr anschaulich grafisch darstellen (Bild 4.16). →

1 g · dz + 3 · dp + w · dw = 0 r

p w2 z + 7 + 5 = konst2 r · g 2g

Die Beschreibung der Euler’schen Bewegungsgleichungen für mehrdimensionale Strömungen findet sich u. a. in [4.5].

A1

p1 → w 1

p

Stro

mrö

Mitt

4.3.2.2

Energiegleichung längs einer Stromröhre (Gleichung von BERNOULLI)

Betrachtet man die Strömung in einer Stromröhre mit «makroskopischen» Abmessungen und drückt den Energieverlauf längs der Stromröhre für die einzelnen Stromlinien durch den Energieverlauf längs der Mittelstromlinie aus, erhält man die Energiegleichung für die Stromröhre durch Integration der Euler’schen Differentialgleichungen. Begonnen wird mit der Integration von Gleichung 4.16 a für die stationäre Strömung:

Ú 冢 冣

1 w2 g · dz + 3 · dp + d 41 = konst r 2

Ú

Ú

→ w

A

z1

rom li

p2

nie

→ w 2

z A2

2 1

w /2g p1 r·g

Gesamthöhe 2 Geschwindig- w keitshöhe 2 g

w22 / 2 g

p r·g

Druckhöhe

p2 r·g

Orts

höh

z1

e

z z2

2

p w g · z + 3 + 5 = konst 1 r 2

hre

elst

→

Gleichung 4.15 stellt die bereits von L. EULER um 1755 angegebene Energiegleichung für eindimensionale, instationäre und inkompressible Strömungen dar [4.8]. Bei Vorliegen einer stationären Strömung entfällt die lokale Beschleunigung ∂w/∂t, d. h., die Geschwindigkeit ändert sich nur mit dem Ort. Dadurch vereinfacht sich Gl. 4.15 durch Wegfall des Ausdruckes ∂w/∂t · ∂s und der partiellen Differentiale:

In der Schreibweise von Gleichung 4.17 hat die Energiegleichung die Dimension «spezifische Energie» und die einzelnen Größen der Gleichung die SI-Einheit J/kg. Dividiert man Gleichung 4.17 durch die Erdbeschleunigung g, erhält man die klassische Form der Bernoulli-Gleichung:

→

冢 冣

1 w2 ∂w g · ∂z + 3 · ∂p + ∂ 41 + 6 · ∂s = 0 r 2 ∂t (Gl. 4.15)

(Gl. 4.17) Bild 4.16

Zur Bernoulli-Gleichung

z2

92

Inkompressible Strömungen

Die Gesamthöhe «konst2» setzt sich in jedem Punkt der Mittelstromlinie aus der Ortshöhe z, der Druckhöhe p/(r · g) und der Geschwindigkeitshöhe w2/(2g) zusammen. Multipliziert man Gleichung 4.17 mit der Dichte r, erhält man die 3., in der Praxis ebenfalls häufig angewandte Ausdrucksform der Energiegleichung: r r · g · z + p + 3 · w 2 = konst 3 2

(Gl. 4.19)

Die Dimension dieser Gleichung ist «Druck», die korrespondierende SI-Einheit Pa. Im 1. Glied von Gleichung 4.19 erkennt man den hydrostatischen Schweredruck (Gleichung 2.14). In Abschnitt 4.3.2.3 werden die verschiedenen Druckbegriffe noch genauer erläutert. Durch Integration von Gleichung 4.15 erhält man die Energiegleichung für reibungsfreie, inkompressible instationäre Strömungen durch eine Stromröhre:

Ú 冢 冣 Ú

∂w 1 w2 r · ∂z + 3 · ∂p + ∂ 41 + 411 · ∂s = konst r 2 ∂t

Ú

Ú

p w2 g·z+3 +4+ r 2

s

∂w

Ú ∂t5 · ds = konst

(Gl. 4.20)

0

Die ersten 3 Glieder haben die gleiche Bedeutung wie in Gleichung 4.17, der 4. Term drückt das zeitabhängige Verhalten der Strömung aus. Wendet man Gleichung 4.20 auf eine Stromröhre zwischen den Eintrittsquerschnitten A1 und A2 an (Bild 4.16), erhält man folgende, für viele praktische Berechnungen instationärer Rohrströmungen sinnvolle Formulierung: p1 w12 g · z1 + 31 + 4 + r 2

s1

∂w

· ds Ú5 ∂t 0

p2 w22 = g · z2 + 3 + 4 + r 2

s2

∂w

· ds Ú5 ∂t

0

p1 w12 g · z1 + 31 + 4 r 2 p2 w22 = g · z2 + 4 + 4 + r 2

s2

∂w

Ú 5∂t · ds

(Gl. 4.21)

s1

Beispiel 13 Aufgabenstellung: Durch das Saugrohr einer Wasserturbine strömen in der Sekunde 6 m3 Wasser. Der Luftdruck auf dem Unterwasser beträgt 1000 mbar. Wie groß ist der Unterdruck p1 u am Saugrohreintritt
(Bild 4.17)? Lösung: Zur Lösung werden die Energiegleichung und die Kontinuitätsgleichung benutzt. Zustand


Zustand 

Höhe z1 = 4 m + Dz Druck p1 = ?

Höhe z2 = 0 m Druck p2 = p¢2 + r · g · Dz p Querschnitt A2 = 3 · 1,42 = 1,539 m2 4 V˙ 6 Geschwindigkeit w2 = 4 = 01 A2 1,539

p Querschnitt A1 = 3 · 12 = 0,7854 m2 4 V˙ 6 Geschwindigkeit w1 = 4 = 01 A1 0,7854 w1 = 7,64 m/s

w2 = 3,9 m/s

Grundgleichungen Durch Anwendung der Energiegleichung in der Schreibweise der Gleichung 4.19 ergibt sich der Druck p1 zu: r r r · g · z1 + p1 + 3 · w12 = r · g · z2 + p2 + 3 · w 22 2 2 1000 · 9,81 (4 + Dz) + p1 + 500 · 7,642 = 0 + 105 + 1000 · 9,81 · Dz + 500 · 3,92 1000 · 9,81 · 4 + 1000 · 9,81 · Dz + p1 + 500 · 7,642 = 105 + 1000 · 9,81 · Dz + 500 · 3,92 p1 = 105 + 7605 – 29 185 – 39 240 p1 = 39 180 Pa = 391,8 mbar Den gesuchten Unterdruck erhält man durch Subtraktion von p1 vom Bezugsaußendruck p¢2 : p1u = p¢2 – p1

Bild 4.17

Beispiel 13

p1u = 1000 – 391,8 p1u = 608,2 mbar

Beispiel 14 Aufgabenstellung:

Rohr

Welcher Wasserstrom V˙ (r = 1000 kg/m3) fließt durch das in Bild 4.18 dargestellte Venturirohr (s. Namensverzeichnis), wenn zwischen freiem Rohr (80 mm∆) und Einschnürungsstelle (60 mm ∆) ein Druckunterschied von 500 Torr besteht? Die Reibungsverluste sollen vernachlässigt werden.

1

Venturieinsatz

Ø 80

V˙ =? 2 Ø 60

Der Druckunterschied p1 – p2 = 500 Torr ist gemäß Gleichung 6.2 definiert, d.h. berücksichtigt sowohl die Dichte der Manometer-Sperrflüssigkeit als auch die Dichte des durch das Venturirohr strömenden Wassers.

^ 500 Torr =

Sperrflüssigkeit Bild 4.18

Beispiel 14

93

94

Inkompressible Strömungen

Lösung: Man erhält den gesuchten Wasserstrom V˙ mit Hilfe der Energiegleichung 4.17 in Verbindung mit der Kontinuitätsgleichung 4.12: (Gl. 4.17): p1 w12 p2 w22 g · z1 + 3 + 4 = g · z2 + 3 + 4 r 2 r 2 z1 = z2 , da Strömung horizontal verläuft! (Gl. 4.12): A1 · w1 = A2 · w2 A1 d 21 w2 = w1 · 4 = w1 · 42 A2 d2 0,082 w2 = w1 · 92 = 1,778 · w1 0,06 In Gleichung 4.17 eingesetzt, ergibt sich für die Geschwindigkeit w1:

2 w22 – w12 = 3 (p1 – p2) r 2 · 66 661 1,7782 · w12 – w12 = 96 1000 (Anmerkung: 500 Torr entsprechen 66661 Pa) 2,16 w12 = 133,32 133,32 w12 = 93 = 61,7 2,16 w1 = 7,86 m/s p V˙ = A1 · w1 = 3 · 0,082 · 7,86 4 V˙ = 0,005027 · 7,86 V˙ = 0,0395 m3/s = 39,5 l/s

Beispiel 15 Aufgabenstellung: Aus einem offenen Behälter strömt kaltes Wasser (r = 1000 kg/m3) durch eine 100 m lange Rohrleitung mit einem Innendurchmesser von 100 mm ins Freie (Bild 4.19). Der Wasserspiegel im Behälter bleibt konstant bei 50 m über der Rohrmitte. Am Ende der Rohrleitung ist ein Schieber angebracht, der mit einer Schließzeit von

5 s kontinuierlich geschlossen wird, wodurch sich die Austrittsgeschwindigkeit w2 linear vom Maximalwert auf 0 verringert (vereinfachte Schließcharakteristik des Schiebers angenommen). Wie groß ist der am Ende des Schließvorgangs am Schieber auftretende Druck p2 , wenn die Reibung im Rohr vernachlässigt wird?

Bild 4.19

Beispiel 15

95

Grundgleichungen

p1 w12 g · z1 + 31 + 4 r 2 p2 w22 = g · z2 + 4 + 4 + r 2

s2

Ú

s1

∂w 5 · ds ∂t

m/s 40 Geschwindigkeit w2

Lösung: Da es sich um einen instationären Strömungsvorgang handelt, wird Gleichung 4.21 angewandt.

Die einzelnen Größen der Gleichung haben folgende Bedeutung bzw. Werte:

30 20 10 0 0

1

3

4

5

s

Zeit

z1

Höhe des Wasserspiegels im Behälter = 50 m p1 Luftdruck (offener Behälter) w1 = 0, da die Behälterquerschnittsfläche sehr groß ist im Vergleich zum Rohrquerschnitt z2 = 0 m p2 gesuchter Druck am Schieber w2 Strömungsgeschwindigkeit im Rohr w2 = d00 2g · (z1 – z2) (siehe Abschnitt 4.3.2.4) ∂w Geschwindigkeitsänderung ∂w , Dw , w2 – 0 ∂t , Dt , Schließzeit = 5 s ds , s2 – s1 = Rohrlänge = 100 m

2

Bild 4.20

Beispiel 15 – Schließvorgang

p2 – p1 w22 01 = g · (z1 – z2) – 4 – r 2

s2

∂w

· ds Ú6 ∂t

s1

p2 – p1 2g · (z1 – z2) 01 = g · (z1 – z2) – 00 – r 2 s2

p2 – p1 = – r

s2

∂w

· ds Ú6 ∂t

s1

∂w

· ds Ú6 ∂t

s1

Der lineare Schließvorgang, d. h., die Funktion w2 = f (t) ist in Bild 4.20 dargestellt, wobei sich die Strömungsgeschwindigkeit w2 am Beginn des Schließvorgangs wie folgt berechnet:

– 31,32 p2 – p1 = – 1000 03 100 5

2g · (z1 – z2) w2 = d00 009 w = d 2 · 9,81 · (50 – 0)

Der Differenzdruck p2 – p1 = 6,264 bar ist der Überdruck vor dem Schieber gegenüber dem Luftdruck hinter dem Schieber. Der Luftdruck über dem Wasserspiegel wurde dabei gleich dem Luftdruck am Rohrleitungsende gesetzt, d.h., die geringe Luftdruckänderung bei 50 m Höhenunterschied wurde nicht berücksichtigt.

2

w2 = 31,32 m/s Damit kann der maximale Druck p2 am Ende des Schließvorganges berechnet werden:

p2 – p1 = 6,264 · 105 Pa = 6,264 bar

Im Ruhezustand, d. h. nach Abklingen des Druckstoßes, beträgt der Druck vor dem Schieber (Gleichung 2.14): p2 – p1 = r · g · (z1 – z2) = 1000 · 9,81 · 50 = 490500 Pa p2 – p1 = 4,905 bar Der Druckunterschied Dp = 6,264 – 4,905 = 1,36 bar ist die Folge des Druckstoßes durch die Abbremsung der Rohrströmung von 31,32 m/s auf 0 m/s innerhalb der Schließzeit von 5 s.

96

Inkompressible Strömungen

4.3.2.3

Verschiedenen Druckbegriffe in einem strömenden Fluid

∞

w∞

Ausgehend von der Energiegleichung in der Schreibweise «Dimension Druck» (Gleichung 4.19), erhält man für eine dichtebeständige Strömung (r = konst) im Schwerefeld folgende Druckbegriffe: r r · g · z + p + 3 · w 2 = konst 2 r · g · z stellt den hydrostatischen Druck (Schweredruck) nach Gleichung 2.14 dar. r · g · z = phydrostat p entspricht dem Kolbendruck p + r · g · z wird als statischer Druck bezeichnet. r 2 wird als dynamischer Druck pdyn 3·w 2 bezeichnet. r 2 3 · w = pdyn 2 Längs einer Staustromlinie, die in einem Staupunkt endet (Bild 4.21), ergibt sich in einer horizontalen Ebene, d. h. bei gleichbleibendem hydrostatischem Druck phydrostat : r r p∞ + 3 · w 2∞ = pSI + 3 · w 2SI 2 2 Per Definition ist die Strömungsgeschwindigkeit wSI im Staupunkt gleich 0, der Druck p SI im Staupunkt wird zum Totaldruck pt :

n

nie Stromli

wSI sI

Staustromlinie Staupunkt

∞ p∞

Bild 4.21

Staupunktströmung

Eine andere Möglichkeit zur Messung des statischen Druckes besteht in der Verwendung einer statischen Sonde (Bild 4.23). Die Gleichungen zur Bestimmung des Druckes p als Absolut-, Über- oder Unterdruck sind die Gleichen wie in Tabelle 4.1 aufgeführt. Den Totaldruck pt misst man üblicherweise mit einem Hakenrohr, das nach dem französischen Physiker HENRI DE PITOT (s. Namensverzeichnis) auch als Pitot-Rohr bezeichnet wird (Bild 4.24). In der Schnittebene I–I muss Druckgleichgewicht herrschen: r p + 3 · w 2 + rFl · g · hFl = p0 + rM · g · hM 2 r pt = p + 3 · w2 = p0 + g · (rM · h M – rFl · h Fl ) 2 (Gl. 4.25)

r pt = pSI = p∞ + 3 · w 2∞ 2 bzw. ganz allgemein formuliert: r pt = p + 3 · w2 = pstat + pdyn 2

(Gl. 4.22)

Der statische Druck p kann an einer Wandbohrung oder mittels statischer Sonde gemessen werden. Je nachdem, ob der statische Druck größer oder kleiner ist als der Bezugsdruck p0 (Außendruck), unterscheidet man die in den Tabellen 4.1 und 4.2 dargestellten Zusammenhänge.

Bild 4.24 und Gleichung 4.25 beschreiben eine Strömung, bei der der Totaldruck pt größer ist als der Bezugsdruck p0 . In Anlehnung an die Bilder 4.22 b und 4.23 b sowie an Gleichung 4.24 kann leicht eine Formel für pt abgeleitet werden, wenn pt kleiner ist als der Bezugsdruck p0 . Durch Kombination von Wandbohrungen und Pitot-Rohr können für Innenströmungen (Rohrströmungen) und freie Außenströmungen Messanordnungen geschaffen werden, die eine direkte Messung des dynamischen

Grundgleichungen Tabelle 4.1

97

Messung des statischen Druckes an einer Wandbohrung

Überdruck

Unterdruck

r Fl

w p

Wandbohrung p0 (Außendruck) hFl hM I

I

Sperrflüssigkeit

rM Flüssigkeitsmanometer Bild 4.22 a Messung des statischen Druckes an einer Wandbohrung bei Überdruck (p > p0)

Bild 4.22 b Messung des statischen Druckes an einer Wandbohrung bei Unterdruck (p < p0)

In der Schnittebene I– I herrscht der gleiche Druck! p + rFl · g · hFl + rM · g · hM = p0

p + rFl · g · hFl = p0 + rM · g · hM p = p0 + g · (rM · hM – rFl · hFl)

(Gl. 4.23 a)

als Absolutdruck! pü = p – p0 = g · (rM · hM – rFl · hFl)

p = p0 – g · (rM · hM + rFl · hFl)

(Gl. 4.24 a)

als Absolutdruck! (Gl. 4.23 b)

pu = p0 – p = g · (rM · hM + rFl · hFl)

(Gl. 4.24 b)

als Überdruck!

als Unterdruck!

p , pstat statischer Absolutdruck p0 Bezugsdruck g Erdbeschleunigung = 9,81 m/s2 rM Dichte der Sperrflüssigkeit hM Messwert des Flüssigkeitsmanometers rFl Dichte des Fluids hFl senkrechter Abstand zwischen Wandbohrung und fluidseitigem Meniskus der Sperrflüssigkeit

Werden anstelle von Flüssigkeitsmanometern andere Druckmessgeräte verwendet, entfällt in den Gleichungen 4.23 und 4.24 jeweils der Term rM · hM . Handelt es sich beim Fluid um ein Gas, kann die Dichte rFl meistens gegenüber der Dichte rM der Sperrflüssigkeit vernachlässigt werden, d. h., die Gleichungen 4.23 und 4.24 vereinfachen sich durch den Wegfall des Produktes rFl · hFl .

98

Inkompressible Strömungen w

w

Bohrungen ⊥ zur Strömungsrichtung

Öffnung ⊥ zur Strömungsrichtung p

p

r Fl

p0

hFl

r Fl

hM I

I hFl rM

Bild 4.23 a

hM

Statische Sonde bei Überdruck (p > p0) I

I

w

rM p

Bild 4.24

In Tabelle 4.2 sind die beiden Geschwindigkeitsmessverfahren gegenübergestellt.

r Fl

p0

hFl

hM I

I

rM Bild 4.23 b

Totaldrucksonde (Pitot-Rohr)

Statische Sonde bei Unterdruck (p < p0 )

Druckes pdyn und damit der Strömungsgeschwindigkeit w ermöglichen. Die Kombination aus Pitot-Rohr und statischer Sonde wird nach ihrem Erfinder, dem bekannten Strömungsforscher LUDWIG PRANDTL (s. Namensverzeichnis) als Prandtl-Sonde oder PrandtlRohr bezeichnet (siehe auch Abschnitt 6.2.2.4).

Die oben dargestellten Strömungsverhältnisse an Wandbohrungen und Sonden sind idealisiert, d.h., Einflüsse der Bohrungs- und Sondengeometrie, der Reibung (Grenzschicht) und der Turbulenz sind nicht berücksichtigt.

Grundgleichungen Tabelle 4.2

99

Messung der Strömungsgeschwindigkeit Innenströmung

Außenströmung

Bild 4.26 Prandtl-Rohr mit angeschlossenen Manometern Bild 4.25 Messung des dynamischen Druckes in einem Rohr mittels Pitot-Rohr und Piezorohr Der statische Druck p , pstat wird an einer Wandbohrung senkrecht zur Strömungsrichtung gemessen, z. B. als Steighöhe in einem Piezorohr. Der Totaldruck pt wird an einem Pitot-Rohr gemessen, dessen Öffnung senkrecht zur Strömungsrichtung steht.

Der statische Druck p , pstat wird an den zur Strömungsrichtung senkrechten Bohrungen gemessen, der Totaldruck an der Eintrittsöffnung des zentralen Pitot-Rohres. Zwischen den Bohrungen der statischen Sonde und der Öffnung des PitotRohres wirkt der dynamische Druck pdyn .

Zwischen Strömungsgeschwindigkeit w und den Drücken besteht bei beiden Messanordnungen folgender Zusammenhang: p t = p stat + pdyn r pt = p + 3 · w2 2 2 · (p – p ) 2 · (p – p) 2·p = f 09 = f 58 f 003 r r r

606

w=

w pt pstat , p pdyn r

t

stat

08 t

Strömungsgeschwindigkeit Totaldruck statischer Druck dynamischer Druck Dichte des Fluids

03 dyn

(Gl. 4.26)

100

Inkompressible Strömungen

Beispiel 16 Aufgabenstellung: An einem in einem Lüftungskanal angebrachten Prandtl-Rohr werden folgende Werte gemessen: statischer Druck p , pstat = 1020 mbar

Lösung: Zunächst wird die Dichte r der Luft bestimmt: p r=9 Ri · T

(Gl. 1.7)

dynamischer Druck pdyn = 2,5 mbar

102000 r = 06 = 1,173 kg/m3 287 · 303

Außerdem an einem Thermometer in der Nähe des Prandtl-Rohres:

Aus Gleichung 4.26 ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit w:

Temperatur t = 30 °C Wie groß ist die Strömungsgeschwindigkeit w?

w=

f

w=

f

04 2 · pdyn 03 r 04 2 · 250 03 1,173

w = 20,65 m/s

4.3.2.4

Einige praktische Anwendungen der Energiegleichung

a) Konstanter, reibungsfreier Ausfluss aus Behältern durch kleine Öffnungen Aus einem Druckbehälter (Bild 4.27) strömt kontinuierlich ein Volumenstrom V˙ aus. Im Behälter herrscht ein Absolutdruck pi , außerhalb des Behälters ein absoluter Außendruck pa . Die Druckdifferenz pi – pa ist gleich dem Behälterüberdruck DpB . Durch Anwendung der Energiegleichung 4.17 erhält man folgenden Ausdruck für die Austrittsgeschwindigkeit wa : pi w12 pa w22 g · z1 + 3 + 4 = g · z2 + 4 + 4 r 2 r 2 z1 – z2 = h w2 , wa Da der Behälterquerschnitt A B i. Allg. viel größer ist als der Strahlquerschnitt AS , kann die Sinkgeschwindigkeit w1 im Behälter vernachlässigt, d. h. gleich 0 gesetzt werden. DpB wa2 pi – pa 4 = 01 + g · h = 7 + g · h 2 r r

Dp + g · h冣 f 2 · 冢7 r 800

wa =

B

(Gl. 4.27)

wa

Austrittsgeschwindigkeit (Strahlgeschwindigkeit) DpB Überdruck im Behälter DpB = pi – pa pi Druck im Behälter Absolutdrücke! pa Außendruck r Dichte der Flüssigkeit g Erdbeschleunigung = 9,81 m/s2 h Höhendifferenz zwischen Flüssigkeitsspiegel und Mitte Behälteröffnung

冧

Handelt es sich bei dem Behälter um einen offenen Behälter, sind Innendruck pi und Außendruck pa gleich groß und man erhält unter Vernachlässigung der geringen Luftdruckänderung zwischen Flüssigkeitsspiegel und Behälteröffnung die bekannte, bereits 1644 veröffentliche Ausflussformel von TORRICELLI (s. Namensverzeichnis): 95 wa = d 2 · g · h

(Gl. 4.28)

Grundgleichungen

101

Bild 4.27 Stationäres Ausströmen aus einem Behälter

Die von der Dichte r unabhängige Austrittsgeschwindigkeit wa entspricht der Fallgeschwindigkeit eines Körpers aus der Ruhe heraus, ohne Berücksichtigung des Luftwiderstandes und ist unabhängig von der Strömungsrichtung (Bild 4.28). Wird der Höhenunterschied h sehr klein in Bezug zum Behälterüberdruck DpB , kann das Glied g · h in Gleichung 4.27 vernachlässigt werden, und es verbleibt die einfache Ausflussformel von BUNSEN (s. Namensverzeichnis):

wa =

f

86 2 · DpB 75 r

(Gl. 4.29)

b) Hydrodynamisches Paradoxon Aus einem Rohr strömt Flüssigkeit zwischen 2 parallele Platten, von denen eine mit dem Rohr verbunden, die andere frei beweglich ist (Bild 4.29). Die Flüssigkeit strömt radial (sternförmig) mit der Geschwindigkeit wa horizontal ins Freie. Nach der Energiegleichung, Schreibweise 4.19, ergibt sich folgender Zusammenhang zwischen Drücken und Geschwindigkeiten: r r pi + 3 · wi2 = pa + 3 · wa2 2 2 Da die innenliegenden Querschnittsflächen (Zylindermäntel) 2 · p · r · s stets kleiner sind als die Austrittsfläche 2 · p · ra · s, ist die Strömungsgeschwindigkeit wi im Innern stets

102

Inkompressible Strömungen Bild 4.28 Gleicher Ausfluss bei verschieden angeordneten Ausflussöffnungen

Bild 4.29

größer als die Austrittsgeschwindigkeit wa , r d. h., der Ausdruck 3 (wa2 – wi2) ist stets negativ 2 und der Innendruck pi stets kleiner als der Außendruck pa . Am Rand der Platten wird wi = wa und damit pi = pa .

Hydrodynamisches Paradoxon

r pi = pa – 3 · (wi2 – wa2) 2

(Gl. 4.30)

Der Innendruck pi ist also kleiner als der Außendruck pa der auf die Unterseite der beweglichen unteren Platte (Gegenplatte) wirkt.

Grundgleichungen

103

Bild 4.30 Strahlpumpe (stark vereinfachtes Prinzip) Behälter für die Treibflüssigkeit

p0 = konst A0

r he Engstelle Ae pe h

we Treibstrom V˙T

Förderstrom V˙S wS

hS

AS AB

p0

wB

r

Aa

p0 wa

Die sich aus der Druckdifferenz pa – pi und der Plattenfläche ergebende Druckkraft F wirkt nach oben und saugt gewissermaßen die bewegte Platte an den radial nach allen Seiten ausfließenden Flüssigkeitsstrahl. Da dieses Phänomen auf den ersten Blick widersprüchlich erscheint, wird es als hydrodynamisches Paradoxon bezeichnet. c) Strahlpumpe In Bild 4.30 ist das stark vereinfachte Prinzip einer Flüssigkeitsstrahlpumpe (Wasserstrahlpumpe) dargestellt. Für die folgenden Betrachtungen einer reibungsfreien Strömung werden bestimmte Vereinfachungen vorgenommen, um zu einfachen Gleichungen zu kommen, die aber die wichtigsten physikalischen Zusammenhänge grundsätzlich richtig beschreiben. Durch Anwendung der Bernoulli-Gleichung (Gleichung 4.18) kann der Druck pe an der Engstelle durch die Gesamtfallhöhe h und die Fallhöhe he ausgedrückt werden. Bei der folgenden Ableitung wird der Förderstrom V˙ S mit 0 angenommen.

w02 p0 we2 pe 7 + 7 + he = 5 + 7 2·g r·g 2g r · g Mit der Kontinuitätsgleichung 4.12 können die Geschwindigkeiten we und w0 durch die Austrittsgeschwindigkeit wa ersetzt werden: Aa we = wa · 4 ; Ae

Aa w0 = wa · 5 A0

冢

冣

p0 – pe wa2 · A a2 1 1 01 = 04 · 42 – 42 – he r·g 2·g Ae A0 Da die Behälterquerschnittsfläche A0 i. Allg. viel größer ist als der engste Strömungsquerschnitt Ae , darf der Ausdruck 1/A 02 gleich 0 gesetzt werden (d.h. w0 = 0). Weiterhin ergibt für die Austrittsgeschwindigkeit wa nach der Gleichung von Torricelli (Gleichung 4.28): 94 wa = d 2 · g · h wa2 = 2 · g · h p0 – pe 2 · g · h A a2 01 = 012 · 52 – he r·g 2·g Ae

104

Inkompressible Strömungen

p0 – pe = r · g ·

冤冢 冣

冥

Aa 2 5 · h – he Ae

(Gl. 4.31)

p0 – pe Druckdifferenz an der Engstelle, bezogen auf den Außendruck p0 r Dichte der Flüssigkeit g Erdbeschleunigung = 9,81 m/s2 Aa Austrittsquerschnitt engster Querschnitt Ae h Gesamtfallhöhe Fallhöhe am engsten Querschnitt he Aus Gleichung 4.31 ersieht man, dass der Differenzdruck p0 – pe nur dann positiv wird, A 2 wenn he < 5a · h wird. Ae Löst man Gleichung 4.31 nach dem absoluten Druck pe an der Engstelle auf, erhält man folgende Beziehung:

冢 冣

pe = p0 – r · g ·

A ·h–h冥 冤冢5 A冣 s

(Gl. 4.32)

Der Druck pe muss stets größer sein als der Dampfdruck pd , da sonst Kavitation auftritt! Nimmt man an, dass die angesaugte Flüssigkeit die gleiche Dichte hat wie die treibende Flüssigkeit, kann man zur Abschätzung der Saughöhe hs eine einfache Beziehung herleiten. Da die Saugleitung i. Allg. überall den gleichen Strömungsquerschnitt As hat, herrscht überall die gleiche Sauggeschwindigkeit ws , und es besteht folgendes einfaches statisches Gleichgewicht: po – pe = r · g · hs

冤冢5A 冣 · h – h 冥 Aa

2

e

e

冢 冣

A 2 hs ⬉ h · 5a – he Ae

冢 冣

Aa 2 hs + he 5 ⭌ 01 Ae h Aa 5⭌ Ae

h +h f 02 h 66 s

e

(Gl. 4.34)

Auch für die Sauggeschwindigkeit ws und den Förderstrom V˙ S lässt sich für ideale Strömung folgende einfache Beziehung finden: p0 wB2 pe ws2 4 + 5 = 4 + 5 + g · hs r 2 r 2 Die Sinkgeschwindigkeit wB im Saugbehälter ist sehr klein und darf vernachlässigt werden.

2

a

e

r · g · hs = r · g ·

Aus Gleichung 4.33 kann durch Umstellung ein Ansatz für das zur Einhaltung der Saughöhe hs mindestens erforderliche Flächenverhältnis Ae/Ae hergeleitet werden:

(Gl. 4.33)

Das < -Zeichen in Gleichung 4.33 soll darauf hinweisen, dass es sich beim Wert der Saughöhe hs um einen oberen Grenzwert handelt, der nicht überschritten werden darf, da sonst an der engsten Stelle Ae Kavitation auftritt und die Förderung abbricht.

ws2 p0 – pe 5 = 01 – g · h s 2 r

ws =

f 冢

冣

66002 p0 – pe 2 · 01 – g · hs r

(Gl. 4.35)

Damit ergibt sich für den angesaugten Volumenstrom V˙ S : V˙ S = ws · As

(Gl. 4.36)

Je größer der Förderstrom V˙ S im Verhältnis zum Treibstrom V˙ T ist, desto ungenauer sind die obigen Gleichungen, da ab der Engstelle Treibstrom V˙ T und Förderstrom V˙ S zusammen strömen und damit die Austrittsgeschwindigkeit wa größer wird. Die reale Strömung durch eine Strahlpumpe ist mit großen Reibungs- und Mischungsverlusten behaftet, so dass die Wirkungsgrade dieser Pumpen höchstens 30% betragen, die üblichen Durchschnittswerte liegen nur bei etwa 20…25%.

Grundgleichungen

105

Nähere Einzelheiten über Flüssigkeitsstrahlpumpen können in [4.11 bis 4.13] nachgelesen werden.

Der nach außen gerichteten Fliehkraft dC wirkt eine gleich große Druckkraft dFp nach innen entgegen:

4.3.3

dFp = (p + dp) · ds · db – p · ds · db

Druckänderung senkrecht zur Strömungsrichtung

dFp = dp · ds · db

Die Energiegleichung sagt nur etwas über den Druckverlauf längs einer Stromröhre aus. Betrachtet man ein in einer horizontalen Ebene auf einer gekrümmten Bahn mit der Geschwindigkeit w strömendes Fluidteilchen (Bild 4.31), so ist leicht einzusehen, dass auf der Außenkontur des Teilchens ein Überdruck gegenüber der Innenkontur herrschen muss, um das Teilchen auf seiner gekrümmten Strombahn zu halten. Das Teilchen hat die Abmessungen dr in radialer Richtung, ds in Strömungsrichtung und db in der Strömungstiefe. Infolge der Zentrifugalbeschleunigung greift am Fluidteilchen folgende Fliehkraft an: dC = dm · r · w 2 dm = r · dr · ds · db

Die in Strömungsrichtung wirkenden Druckkräfte auf die beiden Seiten dr · db heben sich gegenseitig auf. Durch Gleichsetzen der beiden Ausdrücke für dC und dFp ergibt sich folgende Differentialgleichung für den Druckgradienten dp: w2 dr · ds · db 4 = dp · ds · db r dp w2 5=r·4 dr r

(Gl. 4.37)

Aus Gleichung 4.37 erkennt man, dass bei geraden Stromlinien (Parallelströmung) mit r = ∞ der statische Druck p über dem Querschnitt konstant ist, da dp 41 = 0 dr

w =r·w 2

w w2 = 5 r2

wird.

w2 dC = r · dr · ds · db · 5 r

Außenbegrenzung

dC p+ d p

dr

w

ien mlin

Stro

ds

p Inne

Bild 4.31 Druckänderung senkrecht zur Strömungsrichtung

r

nbeg

renz u

ng

106

Inkompressible Strömungen r wird zu R Dp w– 2 5≈r·5 R di – 2 ≈ R · Dp w 4 5 r di V˙ w– = 0 ≈ p d i2 · 3 4

Dp f 4rR · 5 d 03

p 91 V˙ ≈ 3 · d R · di3 · 4 Bild 4.32 Messung des Volumenstromes an einem Krümmer

Bei einem Rohrkrümmer wirkt dagegen außen ein größerer Druck als innen. Gleichung 4.37 gilt auch für die reibungsbehaftete Strömung, da der in Strömungsrichtung wirkende reibungsbedingte Druckabfall sich nicht auf die Druckbilanz in der Normalenrichtung auswirkt. Durch entsprechende Umformung kann man aus Gleichung 4.37 auch eine Beziehung zwischen dem Druckunterschied pa – p i an einem Krümmer und dem durchströmenden Volumenstrom V˙ herleiten (Bild 4.32): dp wird zu Dp = pa – pi dr wird zu di (Rohrinnendurchmesser) V˙ w wird zu w– = 0 p d i2 · 3 4

i

–p) f (p04 r

033 a

i

Den exakten Zusammenhang zwischen Volumenstrom V˙ und Differenzdruck (Wirkdruck) pa – pi erhält man nur durch Kalibrierung. p 91 V˙ = K · 3 · d R · di3 · 4 V˙ K R di r pa pi

(p – p ) f 04 r a

i

(Gl. 4.38)

Volumenstrom Kalibrierbeiwert mittlerer Krümmungsradius Rohrinnendurchmesser Dichte des Fluids Druck an der Krümmeraußenseite Druck an der Krümmerinnenseite

Nähere Einzelheiten über die Durchflussmessung an Krümmern finden sich u.a. in Abschnitt 6.5.9.2 sowie in [4.14 bis 4.18] und [6.96/6.97].

Beispiel 17 Aufgabenstellung: Durch einen 90°-Krümmer (Bild 4.33) fließen 78,5 l Wasser in der Sekunde. Als Geschwindigkeitsverteilung sei angenommen: w · r = w– · r = w · r = w · r m

a

a

i

i

(konst. Drall) Wie groß ist der Überdruck zwischen Außen- und Innenrohrwand?

Lösung: Die mittlere Strömungsgeschwindigkeit ergibt sich aus Volumenstrom und Rohrquerschnitt: V˙ 78,5 dm3/s w– = 3 = 00 = 100 dm/s A 0,785 dm2 w– = 10 m/s

Grundgleichungen

107

alle Maße in mm!

pa wa

ra =

20 0

w

Druckmessleitung

ri = 100 rm = Druckmessleitung

150

pi wm wi

Ø 100

Manometer pa – pi

Bild 4.33

Beispiel 17

冨

冨

0,2

Damit beträgt die Drallkonstante w · r = w– · r

1 pa – p i = 2250 – 3 r – 2 2

w · r = w– · rm = 10 · 0,15 = 1,5 m2/s

1 1 pa – p i = 2250 · – 012 + 012 2 · 0,2 2 · 0,1

m

Aus Gleichung 4.37 folgt nun der Druckanstieg zwischen ri und ra : 2

dp w 5 =5·r dr r

1,5 w =5 r 1,52 dp = 8 · dr · r r2 · r 1 dp = 1000 · 2,25 · 43 · dr r ra

Ú dp = 2250 · Ú r – 3 · dr

pi

冢

冣

pa – p i = 2250 · (–12,5 + 50) pa – p i = 84375 Pa

w2 dp = 5 · dr · r r

pa

0,1

ri

pa – p i = 844 mbar

Anmerkung: Diese Lösung stellt nur eine Näherungslösung dar, da die mittlere Geschwindigkeit w– nicht bei rm = 150 mm, sondern bei einem etwas kleineren Radius liegt. Als weitere Bedingung hätte die Beziehung ra

V˙ = 2 p Ú w · r · dr ri

hinzugezogen werden müssen.

108

Inkompressible Strömungen

4.3.4

Impulssatz

m →

→ w

4.3.4.1

Allgemeine Ableitung und Darstellung

Der Impulssatz stellt eine Bilanzgleichung für das Kräftegleichgewicht an durch- oder umströmten Körpern dar. Ausgehend von den 3 Newton’schen Grundaxiomen der allgemeinen Mechanik Trägheitsprinzip: Eine Masse verharrt im Zustand der Ruhe oder gleichförmigen Bewegung, wenn sie nicht durch äußere Kräfte gezwungen wird diesen Zustand zu ändern. Aktionsprinzip:

Die auf einen Körper wirkende Kraft ergibt sich als Produkt aus Masse und Beschleunigung (Verzögerung). Die Kraft wirkt in Richtung der Beschleunigung.

Reaktionsprinzip: Die Kraftwirkungen zweier Körper aufeinander sind gleich aber entgegengesetzt gerichtet («actio = reactio»). gelangt man zu einer vergleichsweise einfachen Ausdrucksform des Impulssatzes für strömende Kontinua. Für eine Einzelmasse m ist der Impuls (Bewegungsgröße) wie folgt definiert: Æ

Æ

I=m·w

Da die Masse eine skalare Größe ist, die Geschwindigkeit ein Vektor, ist auch der Impuls als Produkt aus beiden ein Vektor mit der gleichen Richtung wie die Geschwindigkeit (Bild 4.34).

Bild 4.34

Zur Erklärung des Impulses

Der Impulssatz für die Einzelmasse besagt, dass Gleichgewicht besteht zwischen der zeitlichen Änderung des Impulses und den an der Masse angreifenden äußeren Kräften. Æ

Æ

dI d(m · w ) Æ 5 = 88 = Â F dt dt

(Gl. 4.39)

Für strömende Kontinua, die aus unendlich vielen Massepunkten dm bestehen, wird der Impulssatz in integraler Schreibweise ausgedrückt: Æ

dI 4= dt

Æ

Ú

m

d (dm · w ) 80 = dt

Æ

Ú

V

d (r · dV · w ) Æ 805 = Â F dt (Gl. 4.40)

Die zeitliche Änderung des Impulses ist gleich der Resultierenden aller äußeren Kräfte, die von einer strömenden Fluidmasse auf ihre begrenzenden Wände ausgeübt wird.

In dieser Schreibweise gilt der Impulssatz ganz allgemein für inkompressible und kompressible Fluide, für reibungsfreie und reibungsbehaftete sowie für stationäre und instationäre Strömungen.

Grundgleichungen

109

d Æ Die Ableitung 4 des Produktes dm · w dt kann nach der Produktenregel wie folgt aufgeteilt werden: Æ

Ú

d (dm · w ) 80 dt

Ú

d (r · dV · w ) 805 = dt

m

=

Ú

m

Æ

bzw.

V

Ú

V

d (dm) Æ 02 w dt Æ d (dV) r · w · 02 dt

Dieser Term stellt den Impulsfluss durch die Oberfläche des Kontrollraumes dar. Es ist der stationäre oder konvektive Anteil des Impulsflusses. Bei stationären Strömungen entfällt das zweite Glied auf der rechten Seite der obigen Gleichung, da Æ

dw =0 6 dt

wird!

Um die Anwendung des Impulssatzes auf stationäre Strömungen zu zeigen, werden die Strömungs- und Kräfteverhältnisse an der in Bild 4.35 dargestellten Stromröhre betrachtet: An der Stelle
tritt die Masse m1 in die Stromröhre, d. h. in den Kontrollraum ein, an der Stelle  die Masse m2 aus. Die seitlichen Begrenzungen des Strömungsraums sind gemäß der Definition einer Stromröhre undurchlässig, d. h., an ihnen findet kein Impulsaustausch statt. Der durch die eintretende Masse m1 am Querschnitt
eingebrachte Impuls beträgt: Æ

Ú

dw dm · 6 dt

Ú

dw r · dV · 6 dt

m

Æ

+

V

Dieser Ausdruck entspricht der Änderung des Impulses im Kontrollraum. Es ist der instationäre oder lokale Anteil des Impulsflusses.

Für stationäre Strömungen wird nach dem Kontinuitätsprinzip die einströmende Masse m1 gleich der ausströmenden Masse m2, wobei die Masse bei inkompressiblen Fluiden durch das Produkt r · V ausgedrückt werden kann: m1 = m2 = m = r · V Durch Umwandlung von Gleichung 4.39 erhält man eine für praktische Anwendungen geeignetere Schreibweise des Impulssatzes: Æ

Æ

Æ dI1 dI2 6+6 =ÂF dt dt Æ

Æ

Æ d(m · w 1) d(– m · w 2) 60 + 09 = Â F dt dt Æ

Æ

dw 2 Æ dm Æ dw 1 dm Æ 6 · w1 + m · 7 – 6 · w2 – m · 7 = Â F dt dt dt dt

Æ

I1 = m1 · w 1 derjenige der am Querschnitt  austretenden Masse m2: Æ

Æ

+

Æ

I2 = – m2 · w 2 (Minuszeichen, da Masse m2 austritt! Rückstoßprinzip!)

Bei stationärer Strömung gibt es keine lokalen Beschleunigungen, d.h., die Ausdrücke dw1 7 dt

und

sind gleich 0.

dw2 7 dt

110

Inkompressible Strömungen

Bild 4.35 Zum Impulssatz

1

p1

Strömungsraumbegrenzung (Kontrollraum)

m1

→ w1

1

→

2

Lageplan

m2

dm/dt ist der durch die Stromröhre strömende Massenstrom m˙ . Es verbleibt so für den Impulssatz folgender einfacher Ausdruck: Æ

bzw.

Æ

p2 2

Æ

→ w2

m˙ · w 1 – m˙ · w 2 = Â F Æ Æ Æ ˙ r · V · w 1 – r · V˙ · w 2 = Â F Æ

Æ Æ r · V˙ (w 1 – w 2) = Â F

Æ

(Gl. 4.41)

Liegt die in Bild 4.35 dargestellte Stromröhre horizontal, können bei einer reibungsfreien Strömung nur noch Druckkräfte auf die beiden Öffnungen
und  wirken sowie Reaktionskräfte der Stromröhrenwandung auftreten. Der Kräfteplan liegt dann in einer Ebene (Bild 4.36).

Die Kraft R ¢ ist die Reaktionskraft, die die Stromröhrenwandung auf das strömende Fluid ausübt und die Strömung dadurch umlenkt. Nach dem Prinzip «actio = reactio» wirkt die Flüssigkeit mit einer gleich großen Æ entgegengesetzten Aktionskraft R auf die Stromröhrenwandung. Für einen beliebig gestalteten Strömungsraum mit n Öffnungen in der Umhüllung des Kontrollraums kann der Impulssatz wie folgt formuliert werden: n

Æ

Æ Â ri · V˙ i · w i = Â F

i=1

n i

n

(4.42)

Anzahl der Öffnungen des Kontrollraums Nummer der Öffnung Æ

 ri · Vi · w i Vektorsumme aller am Kontrolli=1 raum angreifenden Impulskräfte Æ Â F Vektorsumme aller am Kontrollraum angreifenden äußeren Kräfte, d.h. Druckkräfte, Gewichtskräfte, Reibungskräfte

Bild 4.36

Zum Impulssatz

111

Grundgleichungen → R

b

Bei Anwendung des Impulssatzes ist unbedingt zu beachten, dass die an den Eintrittsquerschnitten des Kontrollraums wirkenden Kräfte in Strömungsrichtung, die an den Austrittsquerschnitten auftretenden Kräfte gegen die Strömungsrichtung eingetragen werden!

p1 → w1 1

a

y p0

Bei der anschließenden Behandlung verschiedener Anwendungen und Beispiele wird geschickterweise in folgenden Schritten vorgegangen:

→ w2

Bild 4.37

Krümmerströmung

b r ·V˙ · → w1

→ R

p 1 · A1 a

y

r· → w2 V˙ ·

x

Bild 4.38

4.3.4.2

p2

· A2 p2

❑ Abgrenzung der Kontrollfläche im Strömungsraum ergibt den Lageplan. Die geometrischen Umrisse (Konturen) des durch- bzw. umströmten Körpers müssen bekannt sein. ❑ Ermittlung der durchströmten oder angeströmten Querschnitte, Geschwindigkeiten und Drücke. Die Fluiddichte muss ebenfalls bekannt sein. ❑ Berechnen der einzelnen Impulskräfte Æ r i · V˙ i · w i und äußeren Kräfte, meistens Druck- und Gewichtskräfte, sowie Eintragen aller Kräfte in den Lageplan. ❑ Aufzeichnen des Kräfteplanes bzw. Zerlegen der einzelnen Kräfte in Komponenten und algebraische Addition der Komponenten.

2

x

Lageplan zur Krümmerströmung

Anwendungen und Beispiele

a) Kraftwirkungen an einem horizontalen Krümmer Ein in einer horizontalen Ebene liegender Krümmer (Bild 4.37) wird reibungsfrei und inkompressibel durchströmt. Die Strömung wird um den Winkel a umgelenkt. Es soll die Aktionskraft R auf die Krümmerwand nach Größe und Richtung bestimmt werden. Der Einfachheit halber werden hinfort Kraft- und Geschwindigkeitsvektoren ohne Æ Zeichen geschrieben! Da der Krümmer in einer horizontalen Ebene liegt und reibungsfrei durchströmt wird, wirken in dieser Ebene nur Impuls- und Druckkräfte!

Die Kräfte werden qualitativ in den Lageplan in Bild 4.38 eingetragen. Nach der Kontinuitätsgleichung kann die Austrittsgeschwindigkeit w2 durch die Eintrittsgeschwindigkeit w1 ausgedrückt werden: A1 w2 = w1 · 4 A2 Der Volumenstrom V˙ wird durch das Produkt w1 · A1 ersetzt. Für die Impulskräfte kann damit geschrieben werden: Eintritt


r · V˙ · w1 = r · A1 · w12

A1 A12 Austritt  r · V˙ · w2 = r · V˙ · w1 4 = r · w12 5 A2 A2

112

Inkompressible Strömungen

Durch Anwendung der Energiegleichung kann bei der Berechnung der Druckkräfte der Druck p2 am Krümmeraustritt  durch den Druck p1 am Krümmereintritt
ausgedrückt werden:

A12 Rx = r · A1 · w12 + p1 · A1 – r · w12 · 5 A2

冢

冤 冢 冣 冥冣 · A · cos a

冦

冤 冢 冣

r A1 · cos a – p1 + 3 · w12 · 1 – 5 2 A2

r r p1 + 3 · w12 = p2 + 3 · w22 2 2

2

2

冥冧

A1 Rx = A1 p1 + r · w12 · 1 – 5 · cos a A2

r p2 = p1 + 3 · (w12 – w22 ) 2

冢

r A12 p2 = p1 + 3 · w12 – w12 · 52 2 A2

冦

冣

冤 冢 冣冥

r A1 p2 = p1 + 3 · w 12 · 1 – 5 2 A2

冤 冢 冣 冥冧 · A(Gl.· cos4.43)a

r A1 – p1 + 3 · w12 · 1 – 5 2 A2

冦

2

2

2

冢

A12 r Ry = r · w12 · 5 + A2 p1 + 3 · w12 A2 2

冤 冢 冣 冥冣冧 · sin a

A1 · 1– 5 A2

Bei den Drücken p1 und p2 handelt es sich um Überdrücke, bezogen auf den Außendruck p0 . Mit den Druckkräften p1 · A1 und p2 · A2 sind alle Kräfte bekannt, um den Kräfteplan (Bild 4.39) zu zeichnen und damit die Krümmerwandkraft R grafisch zu bestimmen. Zerlegt man die Kraft R in die beiden Komponenten Rx und Ry ergeben sich folgende Beziehungen:

冦

2

冢 冣 + 冢p + 32 · w

A1 Ry = r · w12 · 5 A2

2

r

2 1

1

冤 冢 冣 冥冣冧 · A · sin a

A1 · 1– 5 A2

2

2

(Gl. 4.44)

A2

r u u u w u u uu q

冢

1 · p

y

Æ

r ·w + 32

→ w

2 1

a

2

→ R

A

b 2

2

A1

r·

Æ 2 · 52 w 1 A3 24 14

r·

→ Ry

p·

p

a/

2

b

A

1

→ Ry

p →w

A 冥冣 4冣 冤 冢A

b

→ R

→ Rx

– · 1

x

A

Bild 4.39

a /2

a r · A ·→ w2 p1 · A1

Kräfteplan zur Krümmerströmung

2

→ r · A 1 · w12

→w ·

→ Rx

p·A

Bild 4.40 Kräfteplan zur Strömung durch einen Krümmer mit konstantem Strömungsquerschnitt

Grundgleichungen Die Resultierende Kraft R kann aus den Komponenten berechnet werden: 95 R = d R x2 + R y2

(Gl. 4.45)

Der Neigungswinkel b der Kraft R zur y-Achse bestimmt sich aus den Komponenten Rx und R y : Rx tan b = 5 Ry

(Gl. 4.46)

Beispiel 18

Ist der Eintrittsquerschnitt A1 gleich dem Austrittsquerschnitt A2 wird der Kräfteplan zu einem gleichschenkligen Dreieck (Bild 4.40) und die Kraft R errechnet sich aus folgender einfacher Beziehung:

a R 2 3 = (r · A · w + p · A) · sin 3 2 2 a R = 2 · A · (r · w2 + p) · sin 3 2

(Gl. 4.47)

FS /i

R

FS /i Liter V˙ = 300 s

DN

20

0

p = 4 bar (Überdruck) FS /i

FS /i

90

°

Aufgabenstellung: Durch einen 90°-Krümmer mit der Nennweite DN 200 (Bild 4.41) strömen 300 l kalten Wassers pro Sekunde. Der statische Überdruck p beträgt 4 bar. Die Aktionskraft R und die Schraubenkraft FS sind zu bestimmen.

113

a R = 2 · A · (r · w + p) · sin 3 2 2

a

=

Lösung: Die Aktionskraft R wird nach Gleichung 4.47 berechnet.

Bild 4.41

p 90° R = 2 · 0,22 · 3 · (1000 · 9,552 + 4 · 105) · sin 6 4 2

a FS = Rx = Ry = R · sin 3 2

Die Schraubenkräfte FS am Ein- und Austrittsflansch sind identisch mit den Kompo-

FS /i

FS /i

FS /i

i = Schraubenzahl

V˙ V˙ 0,3 w = 3 = 0 = 30 = 9,55 m/s A p p d 2 · 3 0,22 · 3 4 4

R = 21 823 N = 21,8 kN

FS /i

Rohrkrümmer (Beispiel 18)

nenten Rx und Ry der Aktionskraft R und betragen beim 90°-Krümmer:

90° FS = 21823 · sin 6 2 FS = 15 431 N = 15,4 kN

114

Inkompressible Strömungen

Bild 4.42 Zur Erklärung der Rückstoßkraft

a

b

b) Rückstoßkräfte beim Ausfluss aus Behältern In Bild 4.42 ist ein offener Behälter dargestellt, aus dem bei konstant bleibendem Niveau ein Freistrahl mit der Geschwindigkeit wa austritt. Es wird vorausgesetzt, dass der Behälterquerschnitt AB sehr groß ist gegenüber dem Strahlquerschnitt AS , d. h. , die Sinkgeschwindigkeit wB im Behälter darf 0 gesetzt, und die Strahlgeschwindigkeit kann nach der Formel von TORRICELLI (Gleichung 4.28) berechnet werden. 95 wa = d 2 · g · h An der Behälteraustrittsöffnung übt der austretende Freistrahl folgende Rückstoßkraft aus: FR = r · V˙ · wa Da es sich um einen Freistrahl handelt, treten keine Druckkräfte auf. Der Volumenstrom V˙ kann durch die Strahlgeschwindigkeit wa und den Strahlquerschnitt AS ausgedrückt werden: V˙ = wa · AS damit wird: FR = r · AS · wa2 = r · AS · 2 · g · h

(Gl. 4.48)

c

Bei verschlossener Düse würde auf die Behälteröffnung der hydrostatische Überdruck p = r · g · h und die zugehörige hydrostatische Kraft Fstat = r · AS · g · h wirken. Man erkennt, dass die Strahlreaktionskraft FR den doppelten Wert der statischen Druckkraft Fstat annimmt. Dieses Phänomen lässt sich aus dem Druckverlauf in der Nähe der Behälteröffnung erklären (Bild 4.42c). Die Rückstoßkraft lässt sich auch an einem auf einem Rohr aufgesetzten Düsenmundstück (Bild 4.43) zeigen. Da die Strömungsgeschwindigkeit wR im Rohr i.Allg. nicht gegenüber der Strahlgeschwindigkeit wa vernachlässigt werden kann, wird neben der Energiegleichung auch die Kontinuitätsgleichung für die Herleitung der Beziehung für die Austrittsgeschwindigkeit wa benötigt. pR wR2 pa wa2 4+5 =4+5 r 2 r 2 p p wR · d R2 · 3 = wa · d S2 · 3 4 4

冢 冣

dS wR = wa · 5 dR

2

Grundgleichungen

FS /i

FS /i

FS /i Kontrollfläche pa

pR 1

wR

dR

2

wa

pR, ü 2

1 dS

wa

wR dR

FS /i

冢 冣

dS wR2 = wa2 · 5 dR

f

Bild 4.44

Kräfte am Düsenmundstück

Für den Grenzfall dR Æ ∞ wird das Rohr zu einem Behälter mit unendlich großem Querschnitt. Setzt man für p R, ü = r · g · h, erhält man dann aus Gleichung 4.50 wieder Gleichung 4.48. Aus einer Kräftebetrachtung am Düsenmundstück (Bild 4.44) kann man sich die Schraubenkraft FS herleiten:

冤 冢 冣 冥 = 03 r

wa =

FS /i

4

wa2 wR2 pR – pa pR , ü 5 – 5 = 02 = 7 2 2 r r 4

dS

FS /i

Bild 4.43 Rückstoßkraft an einem Düsenmundstück

dS wa2 · 1 – 5 dR

115

2 · p R, ü

6020 2 · p R, ü 006 dS 4 r· 1– 5 dR

冤 冢 冣冥

(Gl. 4.49)

❑ Druckkraft aus Überdruck pR, ü: dR2 · p Fp = pR, ü · 0 4 ❑ Impulskraft am Eintritt:

wa pR, ü r dS dR

Strahlaustrittsgeschwindigkeit Überdruck am Rohrende Dichte des Fluids Strahldurchmesser Rohrinnendurchmesser

dR2 · p FI, 1 = r · V˙ · wR = r · 0 · wR2 4 ❑ Impulskraft am Austritt:

Die Rückstoßkraft FR des aus dem Düsenmundstück austretenden Freistrahl ergibt sich aus dem Impulssatz: FR = r · V˙ · wa d S2 · p FR = r · 0 · wa · wa 4 d ·p 2 · pR, ü FR = 0 · 00 4 dS 4 1– 5 dR

冤 冢 冣冥

冤 冢 冣冥

Damit beträgt die Gesamtkraft FS: dR2 · p dR2 · p d S2 · p FS = pR, ü 0 + r · 0 · wR2 – r · 0 · wa2 4 4 4 dR2 · p d S2 · p FS = 0 · (pR, ü + r · wR2) – r · 0 · wa2 4 4 (Gl. 4.51)

2 S

pR, ü · d S2 · p FR = 005 dS 4 2· 1– 5 dR

d S2 · p FI , 2 = – r · V˙ · wa = – r · 0 · wa2 4

(Gl. 4.50)

116

Inkompressible Strömungen

Beispiel 19

pR, ü = 4 bar

Lösung: a) Die Ausflussgeschwindigkeit wa berechnet sich aus Gleichung 4.49: wa =

wa =

wa =

f

006 2 · p R, ü 005 dS 4 r · 1– 5 dR

f

冤 冢 冣冥

0066 2 · 4 · 105 0055 50 4 103 · 1 – 7 200

冤 冢 冣冥

FS /i dS = 50 mm

FR FS /i

Bild 4.45

FS /i

Beispiel 19

2 · 105 · 25 · 10 – 4 · p 500 · p FR = 0004 = 03 0,9961 0,9961 FR = 1580 N c) Die Geschwindigkeit im Rohrquerschnitt beträgt: d 2S 50 2 wR = wa · 42 = 28,3 61 = 1,77 m/s 200 dR

冢 冣

Damit kann die Schraubenkraft FS aus Gleichung 4.51 berechnet werden:

f

dR · p dS2 · p FS = 0 · (pR, ü + r · w 2R) – r · 0 · w 2a 4 4

800 7 f0 2 = d 803 0,9961

0,22 · p FS = 02 · (4 · 105 + 1000 · 1,772) 4 0,052 · p – 1000 04 28,32 4

05 800 03 1 1 – 52 256

02

wa =

FS /i

DN 200

Aufgabenstellung: An eine Rohrleitung mit der Nennweite DN 200 (dR ≈ 200 mm) wird ein Düsenmundstück mit einem Öffnungsdurchmesser von dS = 50 mm angeschraubt (Bild 4.45). Der Überdruck in der Rohrleitung beträgt 4 bar. a) Wie groß ist die Ausflussgeschwindigkeit wa? b) Wie groß ist die Rückstoßkraft F, die auf die Rohrstütze ausgeübt wird? c) Wie groß ist die Schraubenkraft FS?

wa = 28,3 m/s

FS = 12665 – 1573 FS = 11092 N

b) Die Rückstoßkraft FR folgt aus Gleichung 4.50 pR, ü · d S2 · p FR = 005 dS 4 2· 1– 5 dR

冤 冢 冣冥

4 · 10 5 · 0,05 2 · p FR = 008 2 · 0,9961

FS = 11,09 kN Aus der Rechnung ist zu ersehen, dass die Schraubenkraft FS im wesentlichen aus der statischen Druckkraft pR, ü · d 2R · p/4 herrührt. Die dynamischen Kräfte (Impulskräfte) spielen in diesem vorliegenden Fall nur eine untergeordnete Rolle.

Grundgleichungen c) Strahlstoßkräfte Trifft ein aus einer Düse austretender Freistrahl nach Durchströmen einer freien Strecke auf eine feste Wand auf, so wird er umgelenkt und übt auf die Wand eine Impulskraft aus. Die Abströmung erfolgt parallel zur Wandrichtung im Austrittsbereich. Je nach Wandform und Anströmwinkel ergeben sich verschiedene Strömungsbilder und Kraftwirkungen. Die realen Strömungen und Kraftwirkungen von Freistrahlen werden in [4.19] ausführlich beschrieben. c1) Senkrechter Stoß auf eine ebene Wand Unter der Annahme, dass die Geschwindigkeit w sich nur in der Richtung, nämlich um 90°, und nicht nach dem Betrag ändert, sowie unter Vernachlässigung der Wirkungen von Reibung und Schwerkraft ergibt sich eine zur Strahlmittellinie drehsymmetrische Anströmung der Wand (Bild 4.46). Legt man die x-Richtung in die Strahlachse, so ergibt sich nur in dieser Richtung eine Kraftwirkung, da die in y-Richtung wirkenden Rückstoßkräfte Fy parallel zur Wand verlaufen und die Reibung vernachlässigt werden soll. Nach Gleichung 4.42 ergibt sich damit folgende Stoßkraft Fx des Freistrahls: Fx = r · V˙ · w = r · A · w 2

117

Bewegt sich die Platte mit der Geschwindigkeit u (Bild 4.47) in Strahlrichtung, so vermindert sich die Stoßkraft Fx . Fx = r · V˙ ¢ · (w – u) Dabei ist V˙ ¢ der auf der Platte auftreffende Volumenstrom. V˙ ¢ = A · (w – u)

冢 冣

u Fx = r · A · (w – u)2 = r · A · w 2 · 1 – 3 w

2

(Gl. 4.53) Der Ausdruck r · A · w 2 ist nach Gleichung 4.52 die Strahlkraft bei feststehender Platte (u = 0), die mit Fx, 0 bezeichnet wird. Fx, 0 = r · A · w2 Für das Verhältnis der Strahlkraft der bewegten und feststehenden Platte kann geschrieben werden:

冢 冣

Fx u 6= 1–3 w Fx, 0

2

(Gl. 4.54)

Die Leistung der bewegten Platte ergibt sich als Produkt aus Kraft und Geschwindigkeit:

(Gl. 4.52) P = Fx · u = r · A · (w – u)2 · u

(Gl. 4.55)

P = r · A · (w2 · u – 2 · w · u2 + u3) Fy

bewegte Wand u

feststehende Wand

y Düse

y

~A

Fx w

x

feststehende Düse x

~A w

Freistrahl

Bild 4.46 Senkrechter Stoß eines Flüssigkeitsstrahls

Fy

Bild 4.47 Senkrechter Stoß auf eine bewegte Wand

Fx

118

Inkompressible Strömungen

Die maximal mögliche Leistung Pmax erhält man durch Ableiten und Nullsetzen der Funktion P = f (u):

Fx, 0 Ptheor = 7 · (w – u) 2

dP 2 2 5 = r · A · (w – 4 · w · u + 3 · u ) = 0 du 3u2 – 4 · w · u + w 2 = 0

Fx · u 2 · Fx · u h = 003 = 001 Fx, 0 · (w – u) Fx, 0 7 · (w – u) 2

2

4 w u2 – 3 · w · u + 4 = 0 3 3 Diese quadratische Gleichung hat 2 Lösungen: u1 = w 1 u2 = 3 · w 3 Bei u1 = w ergibt sich die minimale Leistung P = 0, da auch Fx = 0 wird. Bei u2 = –13 w ergibt sich die maximale Leistung

冢

冣

2 1 1 Pmax = r · A · w – 3 · w · 3 · w 3 3

4 4 Pmax = 4 · r · A · w3 = 4 · Fx, 0 · w = 4 · r · A · u3 27 27 (Gl. 4.56) Die relative Leistung P/Pmax beträgt damit: P Fx · u 7 = 09 4 Pmax Fx, 0 · 4 · w 27

冢 冣

P 27 u 2 u 7=4· 1–3 ·3 w w Pmax 4

(Gl. 4.57)

Der Wirkungsgrad der Leistungsumsetzung ist als Quotient aus tatsächlicher und theoretischer Leistung definiert: P h =9 Ptheor kinetische Strahlenergie Ptheor = 00004 Zeit

Ptheor

w2 m·4 2 w2 w2 = 01 = m˙ · 4 = r · V˙ ¢ · 4 Zeit 2 2

r Ptheor = 3 · A · (w – u) · w2 2

冢 冣

u 2 2· 1–3 ·u w (w – u)2 · u h = 005 = 2 · 002 w–u (w – u) · w

冢 冣

(w – u) · u u u h = 2 · 00 =2·3· 1–3 w2 w w

冢冣

u u h = 2 · 3 – 2 · 31 w w

2

(Gl. 4.58)

Den maximalen Wirkungsgrad erhält man durch Ableitung von Gleichung 4.58 nach d( –wu ) und Nullsetzen der Ableitung. u dh 01 = 2 – 4 · 3 = 0 u w d 31 w u 2 1 3 =3=3 w 4 2

冢冣

d.h., der maximale Wirkungsgrad wird erreicht, wenn die Plattengeschwindigkeit u halb so groß ist wie die Strahlgeschwindigkeit w. Der relative Wirkungsgrad h/hmax beträgt damit:

冢 冣 冢 冣

u u 23 1–3 h w w 7 = 00 hmax 1 1 23 1–3 2 2

冢 冣

h u u 7=43 1–3 hmax w w

(Gl. 4.59)

In Bild 4.48 sind der Verlauf der relativen Strahlkraft Fx/Fx, 0 , der relativen Leistung P/Pmax und des relativen Wirkungsgrades

Grundgleichungen

119

h /h x ma

P/

0,5

Pm

h Fx P Fx, 0 ; Pmax ; h max

1,0

ax

Fx

/F

x,

0

0

0

0,5

1,0 u w

Bild 4.48

Relative Werte von Strahlkraft, Leistung und Wirkungsgrad einer bewegten ebenen Platte

h /hmax als Funktionen des Geschwindigkeitsverhältnisses –wu dargestellt. Man erkennt, dass im Bereich –wu = 0,33…0,5 sowohl günstige Wirkungsgrade als auch günstige Leistungen erzielt werden. Der obige Abschnitt über Strahlkräfte auf bewegte Platten stellt die Basistheorie für Gleichdruckturbinen dar.

c2) Für Strahlkräfte an geneigten, geknickten und gewölbten Wänden ergeben sich die in Tabelle 4.3 zusammengestellten Beziehungen. d) Strahlablenkung durch eine scharfe Schneide Ein horizontal ausfließender Freistrahl wird durch eine scharfe Schneide so angeschnitten, dass ein Teil des Strahls der Schneide folgt, ein Teil um den Winkel a abgelenkt wird (Bild 4.53).

V˙ 2 A2 1 + cos a = 5 = 50 (Gl. 4.61) 4 V˙ A 2

V˙ 1 A1 1 – cos a = 5 = 50 4 V˙ A 2

= r · A · w · sin a (Gl. 4.60)

2

F = r · V˙ · w · sin a

Strahlstoßkraft F:

Bild 4.49

Strahlstoßkräfte

geneigte Wand

Tabelle 4.3

~A

w

b = a/2

Winkel b:

= 2 · r · A · w · sin a/2

2

F = 2 · V˙ · r · w · sin a/2

Strahlstoßkraft F:

Düse

geknickte Wand

b

F

(Gl. 4.63)

(Gl. 4.62)

Bild 4.50

a

= A · r · w 2 (1 – cos a)

F = V˙ · r · w (1 – cos a)

Strahlstoßkraft F:

gewölbte Wand

(Gl. 4.64)

Bild 4.51

120 Inkompressible Strömungen

121

Grundgleichungen

Beispiel 20 Aufgabenstellung: Der Strahlablenker einer Freistrahlturbine lenkt einen Freistrahl um 45° um (Bild 4.52). Wie groß ist das Moment M am Strahlablenker bei folgenden Werten? F

V˙ = 2 m3/s w = 60 m/s r = 1000 kg/m3 e = 5 cm

Lösung: Die Stoßkraft ergibt sich aus der Gleichung 4.62: a F = 2 · V˙ · r · w · sin 3 2 45° F = 2 · 2 · 1000 · 60 · sin 6 2 F = 9,18 · 104 N

w

a = 45° M

Volumenstrom Geschwindigkeit Wasserdichte Exzentrizität

e

Das Moment M errechnet sich aus Stoßkraft F und Exzentrizität e: w

Bild 4.52 Strahlablenker einer Freistrahlturbine (Beispiel 20)

M = F · e = 9,18 · 104 · 0,05 M = 4,59 · 103 N · m

Den Zusammenhang zwischen den beiden Volumenströmen V˙ 1 und V˙ 2 sowie dem Winkel a erhält man durch Betrachtung des Gleichgewichts der Impulskräfte in y-Richtung:

Die auf die Schneide ausgeübte Kraft ergibt sich aus einer Gleichgewichtsbetrachtung für alle am Strahl angreifenden Kräfte (Bild 4.54):

V˙ 1 · r · w = V˙ 2 · r · w · sin a

 Fx = 0 V˙ · r · w = F + V˙ 2 · r · w · cos a F = V˙ · r · w – V˙ 2 · r · w · cos a

V˙ 1 sin a = 5 V˙ 2

(Gl. 4.65) F = r · w · (V˙ – V˙ 2 · cos a) V˙1 · w · r

w

V˙1

(Gl. 4.66)

Schneide

y

y x

Düse

x w

A A

a

V˙ · w · r

F

F′ a

V˙

V˙2

V˙2

a

w Bild 4.53

Zertrennung eines Strahles

Bild 4.54

Kräfte am zertrennten Strahl

·w

·r

122

Inkompressible Strömungen

Unter Zuhilfenahme der Beziehung V˙ = V˙ 1 + V˙ 2 lassen sich damit alle Werte berechnen.

f) Stetige und unstetige Querschnittserweiterungen An Querschnittserweiterungen wird die Strömung verlangsamt und kinetische Energie in Druckenergie umgewandelt. Dabei ist zwischen der stetigen Querschnittserweiterung (Diffusor oder «Bernoulli-Diffusor») mit einer gleichmäßigen Energieumsetzung und der unstetigen Querschnittserweiterung (BordaCarnot-Diffusor) mit einer besonders verlustbehafteten stoßartigen Energieumsetzung zu unterscheiden. In Tabelle 4.4 sind die geometrischen Konturen, die Geschwindigkeiten, Drücke und Kraftwirkungen der beiden Diffusorarten gegenübergestellt.

e) Kugel oder Kreiszylinder im schrägen Strahl Eine Kugel (Kreiszylinder) erfährt in einem die Oberseite umströmenden Freistrahl eine nach oben gerichtete Auftriebskraft Fy , die bei richtiger Abstimmung aller Größen in der Lage ist das Körpergewicht G zu kompensieren (Bild 4.55). Die in x-Richtung fallenden Komponenten der Geschwindigkeiten w1 und w2 müssen gleich groß ein, da sonst eine Kraft in x-Richtung wirken würde, die den Körper in diese Richtung bewegen würde, was aber nicht auftreten darf, da ja nur das Gewicht G durch eine Vertikalkraft in y-Richtung aufgehoben werden soll. Nach dem Impulssatz beträgt die Kraft Fy :

g) Vereinfachte Propellertheorie Ohne auf Flügelform, Profilform und Flügelzahl einzugehen, werden Schub und Leistung von axialen Propellern und Windrädern aufbauend auf den Theorien von W. J. M. RANKINE (s. Namensverzeichnis) und E. R. FROUDE (s. Namensverzeichnis) in Form einer stark vereinfachten Strahltheorie erklärt. Die Basisgleichungen für Schub, Leistung und Wirkungsgrad werden mit Hilfe des Impulssatzes, der Energiegleichung und der Kontinuitätsgleichung für reibungsfreie, ideale Strömung hergeleitet. Die Ableitungen sind für Propeller (Arbeitsmaschine) und Windrad (Kraftmaschine) in Tabelle 4.5 gegenübergestellt.

Fy = r · V˙ · (w2 y – w1y) Fy = r · V˙ · (w2 · sin a2 – w 1 · sin a 1 ) und nach Gleichsetzen mit G: G = – r · V˙ · (w2 · sin a2 – w1 · sin a1) und da w1 x = w2 x sein muss: w1 · cos a1 = w2 · cos a2 cos a1 w2 = w1 · 02 cos a2

冢

cos a1 G = – r · V˙ · w1 01 · sin a2 – w1 · sin a1 cos a2

冣

G = r · V˙ · w1 · (sin a1 – cos a1 · tan a2) (Gl. 4.67) Bei der realen Strömung um Kugel oder Zylinder bzw. bei der Strahlaby lenkung an einer Schneide ist der sog. Coanda-Effekt zu berücksichtigen [4.210]. x se

Dü

Fy a2

w2 x

w1

w1 y

a1

Kugel (Zylinder)

w1 x Bild 4.55 Schwebende Kugel (Zylinder) in schrägem Strahl

w2

G

w2 y

Grundgleichungen

123

124

Inkompressible Strömungen

Tabelle 4.4

Diffusoren «Bernoulli»-Diffusor Die Strömung übt auf die innere Diffusorwandung folgende Kraft aus: FStr = p2¢ · A2 – p1 · A1 – r · V˙ (w1 – w2) hierbei sind p2¢ und p1 absolute Drücke. Dieser Kraft wirkt eine am Außenmantel des Diffusors angreifende statische Druckkraft entgegen: p Fstat = p0 · 3 · (D 22 a – D 21 a ) 4

Bild 4.56

Bei nicht kreisförmigen Querschnitten müssen die entsprechenden Flächen eingesetzt werden! Die Gesamtkraft ergibt sich aus beiden Kräften:

«Bernoulli»-Diffusor

Der Druckrückgewinn beträgt bei idealer, reibungsfreier Strömung:

Fges = FStr – Fstat

p¢2 w22 p1 w12 4+5=4+5 r 2 r 2

Fges = p2¢ · A2 – p1 · A1 – r · V˙ · (w1 – w2) p – p0 3 · (D 22 a – D 21 a ) 4

r p¢2 – p1 = 3 · (w12 – w22) 2 A1 w2 = w1 · 5 A2

(Gl. 4.73)

1,0

冤 冢 冣冥 2

„Bernoulli“-Diffusor

(Gl. 4.68)

冢 冣

p¢2 – p1 A1 02 = 1 – 5 r A2 2 3 · w1 2

2

(Gl. 4.69)

Der Reibungsverlust im «Bernoulli»-Diffusor wird in Abschnitt 4.7.7.4 behandelt. Vergleicht man die relativen Druckverluste beider Diffusoren, erkennt man deutlich die bessere Druckumsetzung im «Bernoulli»-Diffusor (Bild 4.58).

w12

relativer Druckrückgewinn

oder relativiert in dimensionsloser Darstellung:

∆pverl = 2r (w1–w2)2

r 2

∆p

r A1 p¢2 – p1 = 3 · w12 · 1 – 4 2 A2

0,5

„Borda-Carnot“-Diffusor 0 0

0,5

1,0

Flächenverhältnis A1/A2

Bild 4.58 Vergleich Druckrückgewinn – «Bernoulli»-Diffusor und «Borda-Carnot»-Diffusor

Grundgleichungen Tabelle 4.4

125

Diffusoren Borda-Carnot-Stoßdiffusor

Unter Vernachlässigung der Wandreibung (wie beim «Bernoulli»-Diffusor) aber unter Einschluss des erheblichen Stoßverlustes erhält man durch Anwendung des Impulssatzes folgende Beziehung für den Druckrückgewinn im Stoßdiffusor:

Bild 4.57 «Borda-Carnot»-Stoßdiffusor (s. Namensverzeichnis) Kräfte

Eintrittsquerschnitt 햲

Austrittsquerschnitt 햳

Druckkräfte

p1 · A2

p2 · A2

Impulskräfte

r · V˙ · w1

r · V˙ · w2

p1 · A2 + r · V˙ · w1 – p2 · A2 – r · V˙ · w2 = 0

r Dpverl = 3 · (w12 – w22 – 2 · w2 · w1 + 2 · w22 ) 2

V˙ = A2 · w2 p1 · A2 + r · A2 · w2 · w1 – p2 · A2 – r · A2 · w22 = 0 p2 – p1 = r · w2 · (w1 – w2)

(Gl. 4.70)

r oder relativiert, d. h. auf den Staudruck 3 · w12 be2 zogen:

冢

冣

p2 – p1 w2 w2 01 = 2 · 41 · 1 – 41 r w w1 1 2 3 · w1 2

冢

r Dpverl = 3 · (w12 – 2 · w2 · w1 + w22 ) 2 r Dpverl = 3 · (w1 – w2 )2 2

(Gl. 4.72)

Dieser Druckverlust ist in Bild 4.58 als Funktion des Öffnungsverhältnisses A1/A2 dargestellt. Auf den erweiterten Teil des Stoßdiffusors wirkt folgende Strömungskraft: FStr = A2 · (p2 – p1) – r · V˙ · (w1 – w2)

冣

p2 – p1 A1 A1 01 = 2 · 41 · 1 – 41 r A A 2 2 2 3 · w1 2

Von außen wirkt die Druckkraft: (Gl. 4.71)

Der Druckverlust im Borda-Carnot-Stoßdiffusor ist als Differenz zwischen den Druckrückgewinnen beider Diffusorarten definiert. Dpverl = (p2¢ – p1) – (p2 – p1) r Dpverl = 3 · (w12 – w22) – r · w2 · (w1 – w2) 2

p Fstat = p0 · 3 · (D 22a – D 21a ) 4 Bei nicht kreisförmigen Querschnitten müssen die entsprechenden Flächen eingesetzt werden. Daraus folgt für die Gesamtkraft: Fges = A2 · (p2 – p1) – r · V˙ · (w1 – w2) p – p0 · 3 · (D 22 a – D 21 a ) 4

(Gl. 4.74)

126

Inkompressible Strömungen

Tabelle 4.5

Vereinfachte Strahltheorie Propeller (Schiffsschraube, Luftschraube) Begrenzung der vom Propeller erfassten Stromröhre w

Propellerstrahl

we

e

Propeller

FS

wS

wa

DS

1

Kontrollfläche

2

wS

we

+ – pe

Geschwindigkeitsverlauf wa längs des Propellerstrahles

∆p

p2

p1

Druckverlauf pa = pe längs des Propellerstrahles

Bild 4.59 Strömung durch einen Propeller (Schema)

Durch Anwendung des Impulssatzes auf den Propellerfreistrahl (keine Druckkräfte!) erhält man folgenden einfachen Ansatz für den Propellerschub:

DS2 · p V˙ = 01 · wS 4

FS = r · V˙a · wa – r · V˙e · we

und damit die Schubkraft FS

Da inkompressible Strömung vorausgesetzt wird, kann V˙a = V˙e = V· gesetzt werden. FS = r · V˙ · (wa – we ) = m· · (wa – we )

(Gl. 4.75)

Die Anströmgeschwindigkeit we entspricht der Fahrgeschwindigkeit des Schiffes bzw. der Fluggeschwindigkeit des Flugzeugs. Der Volumenstrom V˙ lässt sich aus der Strömungsgeschwindigkeit wS im Propellerkreis und dem Propelleraußendurchmesser berechnen:

DS2 · p FS = r · 01 · wS · (wa – we ) 4 Nun wird die Energiegleichung auf den saugseitigen, energiearmen Propellerstrahlabschnitt und den druckseitigen, energiereichen Propellerabschnitt angewandt: vor dem Propeller: p e we2 p1 wS2 4+4=4+4 r 2 r 2

(I)

Grundgleichungen Tabelle 4.5

127

Vereinfachte Strahltheorie Windrad

Bild 4.60 Strömung durch ein Windrad (Schema)

Aus dem Impulssatz ergibt sich für die auf das Windrad ausgeübte Impulskraft (Druckkräfte treten bei dieser Betrachtung eines Freistrahls nicht auf): FS = r · V˙ e · we – r · V˙ a · wa V˙ e = V˙ a = V˙ FS = r · V˙ · (we – wa) = m˙ · (we – wa)

(Gl. 4.76)

Die Anströmgeschwindigkeit we ist identisch mit der Windgeschwindigkeit! Mit der Strömungsgeschwindigkeit wS im Windrad und dem Außendurchmesser DS des Windrades kann der Volumenstrom V˙ bestimmt werden: DS2 · p V˙ = 01 · wS 4

Für den Schub FS ergibt sich damit ein neuer Ausdruck: DS2 · p FS = r · 01 · wS · (we – wa ) 4 Durch Anwendung der Energiegleichung auf den druckseitigen, energiereichen Strahlabschnitt und den saugseitigen, energiearmen Strahlabschnitt erhält man über mehrere Zwischenschritte einen anderen Ausdruck für den Schub FS . vor dem Windrad:

pe we2 p1 wS2 4+4=4+4 r 2 r 2

(I)

nach dem Windrad:

p2 wS2 pa wa2 4+4=4+4 r 2 r 2

(II)

pe = pa (Freistrahl!)

128

Inkompressible Strömungen

Tabelle 4.5

Fortsetzung Propeller (Schiffsschraube, Luftschraube)

nach dem Propeller: 2 S

fläche AS , erhält man den Schubbelastungsgrad CS als dimensionslose Größe:

2 a

pa w p2 w 4+4=4+4 r 2 r 2

(II)

Da im Propellerfreistrahl Eintrittsdruck pe und Austrittsdruck pa gleich groß sind, kann in Gleichung II pa durch pe ersetzt werden.

r 2 2 3 · (wa – we ) FS 2 CS = 09 – = 002 r r AS · 3 · we2 AS · 3 · we2 2 2

pe wa2 p2 wS2 4+4=4+4 r 2 r 2

wa2 – we2 CS = 03 we2

(IIa)

Durch Subtraktion der Gleichung I von Gleichung IIa erhält man den Druckunterschied Dp = p2 – p1 zwischen Propellerdruckseite und Propellersaugseite («Drucksprung»):

r FS = CS · AS · 3 · we2 2

r Dp = 3 · (wa2 – we2) 2 Der Schub FS kann durch das Produkt aus Propellerfläche AS und Druckunterschied Dp ausgedrückt werden: (Gl. 4.77)

Beide Beziehungen für den Schub werden gleichgesetzt: DS2 · p DS2 · p r r · 01 · wS · (wa – we) = 01 · 3 · (wa2 – we2 ) 4 4 2 1 wS · (wa – we) = 3 · (wa2 – we2 ) 2 1 wS · (wa – we) = 3 · (wa + we) · (wa – we) 2 wa + we wS = 03 2

(Gl. 4.81)

Bei bekanntem Schubbelastungsgrad CS errechnet sich der Schub FS zu:

wa2 we2 p2 – p1 Dp 4 – 4 = 01 = 5 2 2 r r

DS2 · p r FS = AS · Dp = 0 · 3 · (wa2 – we2) 4 2

冢 冣

wa 2 CS = 5 – 1 we

(Gl. 4.79)

Diese bereits von FROUDE (siehe Namensverzeichnis) 1878 angegebene Beziehung besagt, dass die unmittelbar im Propellerquerschnitt herrschende Strahlgeschwindigkeit wS gleich dem arithmetischen Mittel aus Anströmgeschwindigkeit we und Abströmgeschwindigkeit wa ist. Bezieht man den Schub FS auf den Staudruck der Anströmgeschwindigkeit we und die Propeller-

(Gl. 4.83)

Die auf das Schiff bzw. Flugzeug übertragene Nutzleistung ergibt sich aus dem mechanischen Grundgesetz Leistung = Kraft ¥ Geschwindigkeit r PNutz = we · FS = we · CS · AS · 3 · we2 2 r PNutz = CS · AS · 3 · we3 2

(Gl. 4.85)

D. h., die Nutzleistung wächst mit der 3. Potenz der Geschwindigkeit! Den Leistungsaufwand am Propeller erhält man aus Schub FS und axialer Strömungsgeschwindigkeit wS im Propellerkreis: PProp = wS · FS Damit kann, wie bei allen Arbeitsmaschinen, ein theoretischer Propellerwirkungsgrad eingeführt werden: PNutz we · FS we h th = 8 = 01 = 4 PProp wS · FS wS Ersetzt man die Geschwindigkeit wS durch den von FROUDE angegebenen Ausdruck von Gleichung 4.79 folgt: 2 we 2 we h th = 03 = 03 = 01 we + wa we + wa wa 1+4 03 2 we

Grundgleichungen Tabelle 4.5

129

Fortsetzung Windrad pe wa2 p2 wS2 4+4=4+4 r 2 r 2 2 e

(IIa)

r Dp = 3 · (we2 – wa2 ) 2 Aus Druckunterschied Dp und Strömungsquerschnitt AS des Windrades gewinnt man einen neuen Ausdruck für den Schub: DS2 · p r FS = AS · Dp = 0 · 3 · (we2 – wa2 ) 4 2

2

(Gl. 4.78)

Damit kann der Schub wie folgt bestimmt werden: r FS = CS · AS · 3 · we2 2

Durch Gleichsetzen der beiden Ausdrücke für den Schub FS bekommt man eine Aussage über die Strahlgeschwindigkeit wS : DS2 · p DS2 · p 1 2 2 0 · wS · (we – wa) = 0 · 3 · (we – wa ) 4 4 2 1 wS · (we – wa) = 3 · (we2 – wa2 ) 2 1 wS · (we – wa) = 3 · (we + wa) · (we – wa) 2 (Gl. 4.80)

(Gl. 4.84)

Die auf das Windrad übertragene Nutzleistung kann aus der Schubkraft und der mittleren Strahlgeschwindigkeit wS berechnet werden: PNutz = wS · FS

we + wa wS = 03 2

(Gl. 4.82)

2 a

p1 – p2 w – w Dp 02 = 03 = 5 r 2 r

(I) – (IIa)

冢 冣

wa CS = 1 – 5 we

(Gl. 4.86)

Die im Wind «ankommende» Leistung beträgt analog: r PWind = we · FS = we · CS · AS · 3 · we2 2 r PWind = CS · AS · 3 · we3 2

(Gl. 4.87)

Aus beiden Leistungsbegriffen kann analog zur Propellerströmung ein theoretischer Strömungswirkungsgrad des Windrades definiert werden: PNutz wS · FS wS h th = 9 = 01 = 5 PWind we · FS we

Auch bei der verzögerten Strömung durch Windräder gilt die von FROUDE für die beschleunigte Propellerströmung angegebene Beziehung, dass die axiale Strömungsgeschwindigkeit im Windradkreis gleich dem arithmetischen Mittel aus Anströmgeschwindigkeit we und Abströmgeschwindigkeit wa ist. Auch beim Windrad kann man den Schub durch den Schubbelastungsgrad dimensionslos ausdrücken: r 2 2 3 · (we – wa ) · AS FS 2 CS = 08 = 000 r r AS · 3 · we2 AS · 3 · we2 2 2

Der Term wa/we kann auch durch den Schubbelastungsgrad CS ausgedrückt werden:

we2 – wa2 CS = 03 we2

Damit erhält man endgültig für den theoretischen Wirkungsgrad h th des Windrades:

we + wa wa 03 1 + 5 2 we h th = 03 = 93 we 2

冢5w 冣 wa

2

= 1 – CS

e

wa 92 41 = d 1 – CS we

130

Inkompressible Strömungen

Tabelle 4.5

Fortsetzung

Der Quotient wa/we kann durch den Schubbelastungsgrad CS ersetzt werden:

1,0

10

冢5w 冣 = 1 + C

0,8

8

2

S

e

wa 92 41 = d 1 + CS we 2 2 hth = 02 = 09 wa 1 + d92 1 + CS 1+5 we

(Gl. 4.88)

Vergleicht man die beiden Gleichungen 4.81 und 4.88, erkennt man, dass mit zunehmender Abströmgeschwindigkeit wa bei gleichbleibender Anströmgeschwindigkeit we , d. h. bei zunehmender Beschleunigung des Strahls der Schubbelastungsgrad CS ansteigt, während der theoretische Wirkungsgrad h th sinkt (Bild 4.61). Der tatsächliche Propellerwirkungsgrad h ist wegen der Reibungsverluste, Drallverluste usw. deutlich niedriger als der theoretische Wirkungsgrad h th

theoretischer Wirkungsgrad h th

wa

h th 0,6

6

0,4

4 CS

0,2

2

0

Schubbelastungsgrad CS

Propeller (Schiffsschraube, Luftschraube)

0 1

1,5

2

2,5 w Geschwindigkeitsquotient a we

3

Bild 4.61 Theoretischer Wirkungsgrad h th und Schubbelastungsgrad CS eines Propellers

h = h th · h g

(Gl. 4.89)

hg wird als Gütegrad bezeichet und liegt bei guten Propellern bei ca. 0,85…0,9.

Beispiel 21 Aufgabenstellung: Ein Flusskahn hat eine Geschwindigkeit von 10 km/h. Der Propeller hat einen Durchmesser von 1 m. Wie groß ist der vom Propeller erfasste Wasserstrom V˙ bei einem Schub von 10 000 N? Lösung: Aus Gleichung 4.75 erhält man folgende Beziehung für den Volumenstrom V˙ : FS = r · V˙ · (wa – we) FS = 10 000 N r = 1000 kg/m3 we = 10 km/h , 2,78 m/s 10 000 = 1000 · V˙ · (wa – 2,78)

Als weitere Beziehung wird Gleichung 4.79 herangezogen: V˙ = wS · AS wa + we wa wS = 03 = 4 + 1,39 2 2 D2S · p AS = 01 = 0,785 m2 4 V˙ wa 4 + 1,39 = 0 2 0,785 2 · V˙ wa = 0 – 2,78 = 2,55 · V˙ – 2,78 0,785 Damit bleibt V˙ die einzige Unbekannte. 10 000 = 1000 · V˙ · (2,55 · V˙ – 2,78 – 2,78) 10 000 = 2550 · V˙ 2 – 5560 V˙ V˙ 2 – 2,18 · V˙ – 3,92 = 0

Grundgleichungen Tabelle 4.5

131

Fortsetzung Windrad 1,0

8 PNutz, max = 4 · r · we3 · AS 27

(Gl. 4.92)

2,18 f 冢71 + 3,92 2 冣

609 2

903 V˙ = 1,09 ± d 1,188 + 3,92 7 V˙ = 1,09 ± d 5,11 V˙ = 1,09 ± 2,26 V˙ = 3,35 m3/s Man gelangt zum gleichen Ergebnis, wenn man die Rechnung mittels Schubbelastungsgrad CS durchführt: FS 10 000 CS = 09 = 7001 r 0,785 · 500 · 7,73 AS · 3 · w 2e 2

0,8

0,6

0,6 CS

0,4

0,4

0,2

0,2

0

0 0

0,6 w Geschwindigkeitsquotient a we

(Gl. 4.91)

Der Gütegrad hg bewegt sich etwa in der gleichen Größenordnung wie bei der Schiffs- und Luftschraube. Nach [4.5] beträgt die theoretische maximale Nutzleistung des Windrades:

2,18 V˙ = 7 ± 2

0,8

Schubbelastungsgrad CS

(Gl. 4.90)

Durch Vergleich der Beziehungen in Gleichung 4.90 und in Gleichung 4.82 bemerkt man, dass bei steigender Verzögerung, d. h. kleinen Werten wa/we der Schubbelastungsgrad CS ansteigt, während der theoretische Wirkungsgrad h th abnimmt (Bild 4.62). Wie beim Schiffspropeller und bei der Luftschraube ist auch beim Windrad der tatsächliche Wirkungsgrad h kleiner als der theoretische Wirkungsgrad h th .

h = h th · h g

1,0 h th

theoretischer Wirkungsgrad h th

wa 1+5 we 1 + d92 1 – CS h th = 02 = 00 2 2

0,2

0,4

0,8

1,0

Bild 4.62 Theoretischer Wirkungsgrad h th und Schubbelastungsgrad CS eines Windrades

2 bei einer mittleren Strahlgeschwindigkeit wS = 3 · we 3 und damit bei einem theoretischen Wirkungsgrad h th = 2/3.

CS = 3,29

冢 冣

wa 2 CS = 5 – 1 we = 3,29 + 1 = 4,29 冢5 w 冣 wa

2

e

w 2a = 4,29 · w 2e = 4,29 · 2,782 w 2a = 33,15 wa = 5,76 m/s wa + we 5,76 + 2,78 8,54 wS = 94 = 90 = 7 2 2 2 wS = 4,27 m/s V˙ = wS · AS = 4,27 · 0,785 V˙ = 3,35 m3/s

132

Inkompressible Strömungen

Tabelle 4.6

Schubkräfte von Triebwerken

Luftstrahltriebwerk

Raketentriebwerk

Bild 4.63 Luftstrahltriebwerk (Schema) Raketenkörper FS

Bild 4.64

Gasstrom

Düse

wa ra

Raketentriebwerk (Schema)

m˙G

FS = m˙G · wa – m˙L · we Der aus der Triebwerksdüse austretende Gasmassenstrom m˙G setzt sich aus dem großen Luftmassenstrom m˙L und dem relativ kleinen Kraftstoffmassenstrom m˙B zusammen. m˙G = m˙L + m˙B FS = (m˙L + m˙B) · wa – m˙L · we

(Gl. 4.93)

Da m˙B viel kleiner ist als m˙L kann Gleichung 4.93 noch vereinfacht werden: FS ≈ m˙L · (wa – we)

FS = m˙G · wa

Aa

(Gl. 4.95)

Der Raketenschub hängt also im Gegensatz zum Schub des Luftstrahltriebwerkes nicht von der Fluggeschwindigkeit ab, sondern nur von der Impulskraft (Rückstoßkraft) des austretenden Gasstrahles. Mit

m˙G = ra · V˙ a

und

V˙ a = Aa · wa

erhält man einen anderen Ausdruck für Gleichung 4.95: FS = ra · Aa · wa2

(Gl. 4.94)

(Gl. 4.96)

Nähere Einzelheiten über Triebwerksschubkräfte können u. a. in [4.5 und 4.20] nachgelesen werden.

h) Schub von Luftstrahl- und Raketentriebwerken Die Größe des Schubes eines Luftstrahl- oder Raketentriebwerkes ergibt sich durch Summieren aller Druck- und Impulskräfte auf die Triebwerksquerschnittsflächen. Nimmt man vereinfachend an, dass beim Luftstrahltriebwerk Eintrittsdruck pe und Austrittsdruck pa gleich groß sind und definiert man den Schub des Raketentriebwerkes nach dem Rückstoßprinzip, erhält man die in Tabelle 4.6 zusammengestellten einfachen Beziehungen für die Schubkräfte von Triebwerken.

4.3.5

Drallsatz

4.3.5.1

Allgemeine Formulierung

In Anlehnung an die klassische Mechanik und den für translatorische Strömung formulierten Impulssatz lässt sich der Drallsatz in Form einer Impulsmomentengleichung ganz allgemein definieren. Das Teilimpulsmoment, das ein Massenelement dm erfährt, das sich mit der Umfangsgeschwindigkeit wu an einem Fahrstrahl r um den Drehpunkt 0 bewegt (Bild 4.65) beträgt: æÆ

Æ

Æ

Æ

Æ

dL = (r ¥ w u) · dm = (r ¥ w u) · r · dV

Grundgleichungen

133

Bei stationären Strömungen entfällt das Volumenintegral, d.h. der lokale Anteil auf der rechten Seite von Gleichung 4.98. 4.3.5.2

Bild 4.65

Zur Erklärung des Impulsmomentes

Die zeitliche Änderung des Teilimpulsmomentes ist gleich der Summe der äußeren Momente: æÆ

Æ dL d Æ Æ Â M = 5 = 4 · [r · (r ¥ w u) · dV] (Gl. 4.97) dt dt

In [4.5, 4.6 und 4.7] wird die allgemeingültige Schreibweise des Drallsatzes für einen beliebigen Kontrollraum abgeleitet. Æ

Æ

∂r · (r ¥ w u) Æ Æ Â M = 00 · dV + r · (r ¥ w u) · dV˙ ∂t V A (Gl. 4.98) Æ

Ú

Bild 4.66 Zur Ableitung des Drallsatzes

Ú

Spezielle Formulierung

Für die meisten praktischen Anwendungen des Drallsatzes, z.B. im Strömungsmaschinenbau wird eine einfachere, spezielle Herleitung und Darstellung des Drallsatzes gewählt. In Bild 4.66 ist ein rotationssymmetrisches Strömungssystem mit sehr vielen Stromröhren gleicher Kontur dargestellt. Durch die Stromröhre fließt nur ein kleiner Teil Dm˙ des Massenstromes m˙ . Die vom eintretenden Teilstrom Dm˙ 1 , Dm˙ æÆ hervorgerufene Impulskraft DF I1 beträgt in Anlehnung an den in Abschnitt 4.3.4 eingeführten Impulssatz: æÆ

dI 1 æÆ Æ DF I1 = 6 = Dm˙ · w 1 dt Die Impulskraft, die der aus dem System austretende Teilmassenstrom Dm˙ 2 , Dm˙ als Rückstoßkraft auf die äußere Peripherie des Strömungsraumes ausübt, ist proportional zur Æ Austrittsgeschwindigkeit w 2 : æÆ

dI 2 Æ DF I2 = 6 = –Dm˙ · w 2 dt æÆ

æÆ

æÆ

Die Impulskräfte DF I1 und DF I2 werden in ihre Meridian- und Umfangsanteile zerlegt: æÆ

æÆ

æÆ

Æ

Æ

DF I1 = DF Im1 + DF Iu1 = Dm˙ · w m1 + Dm˙ · w u1

134

Inkompressible Strömungen

æÆ

æÆ

æÆ

Æ

Æ

DF I2 = DF Im2 + DF Iu2 = – (Dm˙ · w m2 + Dm˙ · w u2) æÆ

Fasst man die Impulskräfte DF I für den gesamten Strömungsraum zusammen, erhält man folgende Kraftwirkungen:

Diese Schreibweise des Drallsatzes passt hinsichtlich der Vorzeichen zu Bild 4.66 in dem beide UmfangsgeschwindigkeiÆ Æ ten w u1 und w u2 die gleiche Drehrichtung haben!

a) für die Meridianrichtung 2p

Æ

4.3.5.3

æÆ

F Im1 = Ú DF Im1 = 0 0

da jeweils 2 einander diametral gegenüberlieæÆ gende DF Im1 sich gegenseitig aufheben. Das gleiche gilt für die meridianen Kräfte am Systemaustritt: 2p

Æ

æÆ

F Im2 = Ú DF Im2 = 0 0

b) für die Umfangsrichtung Die in Umfangsrichtung wirkenden Kräfte æÆ DF Iu haben ein Drehmoment zur Folge, das sich als vektorielle Summe der Teilmomente ergibt. 2p

Æ

2p

æÆ

Anwendungen

Der Einfachheit halber wird in den Anwendungen bei den Geschwindigkeiten die einfache Schreibweise anstelle der vektoriellen Schreibweise gewählt. a) Leiträder von Strömungsmaschinen Durch einen Kranz rotationssymmetrischer radialer Leitschaufeln wird eine Strömung von w1 auf w2 verzögert (Pumpenleitrad) bzw. von w1 auf w2 beschleunigt (Turbinenleitrad) (Bild 4.67). Beim radialen Pumpenleitrad strömt das Fluid von innen nach außen, beim radialen

Æ

M I1 = Ú DF Iu1 · r1 = Ú Dm˙ · w u1 · r1 0

Pumpenleitrad

0 2p

Æ

Æ Æ M I1 = w u1 · r1 · Ú Dm˙ = w u1 · r1 · m˙ 0

Entsprechendes gilt am Austritt des Systems:

2

2p

æÆ

1

Æ

r2

0 2p

Æ

r1

Æ M I2 = Ú DF Iu2 · r2 = Ú – Dm˙ · w u2 · r2 0

w2 wu

2p

Æ

l aufe w1 wu1

sch

Leit

2 0

Æ

M I2 = – w u2 · r2 · Ú Dm˙ = – w u2 · r2 · m˙ 0

Æ

Æ

r1

0 r1

w1

r2

wu 2

wu1

Die von der Strömung hervorgerufenen ImÆ Æ pulsmomente M I1 und M I2 müssen nach dem Satz von D’ALEMBERT (siehe Namensverzeichnis) mit den äußeren Momenten im Gleichgewicht sein:

ufel

ha eitsc

L

Æ

MI1 + MI2 + M = 0

2

w2 1

Æ

Æ Æ m˙ · w u1 · r1 – m˙ · w u2 · r2 + M = 0

Turbinenleitrad Æ

Æ

Æ

M = m˙ · (w u2 · r2 – w u1 · r1 )

(Gl. 4.99)

Bild 4.67 Radiale Leiträder von Strömungsmaschinen

Grundgleichungen

135

Bild 4.68 Sternförmige a) Zentripetalund b) Zentrifugalströmung

a) Zentripetalströmung

Turbinenleitrad von außen nach innen. Das auf den Leitschaufelkranz ausgeübte Drehmoment M folgt aus Gleichung 4.99: M = m˙ · (wu2 · r2 – wu1 · r1 ) = r · V˙ · (wu2 · r2 – wu1 · r1)

(Gl. 4.100)

Bei Pumpenleiträdern entsteht meistens ein negatives, d. h. der Geschwindigkeitsrichtung entgegengesetztes Moment (Reaktionsmoment), bei Turbinenleiträdern ein positives Moment (Aktionsmoment).

b) Zentrifugalströmung

gen, dass das Produkt aus Geschwindigkeit wu und Hebelarm r konstant bleibt (Bild 4.69) bezeichnet man als Potentialwirbel. Im Kern des Potentialwirbels (r = 0) wird die Geschwindigkeit theoretisch unendlich groß, was in einer realen, reibungsbehafteten Strömung natürlich nicht auftreten kann, weshalb man die Drehachse auch als singuläre Stelle definiert. Eine andere Bezeichnung für die Drehachse des Potentialwirbels ist Stabwirbel, womit ein unendlich langer, gerader Wirbelfaden gemeint ist.

b) Potentialwirbel Stellt man sich die Frage, wie eine rotationssymmetrische Strömung beschaffen sein muss, die auf die Stromröhrenwände keine Kräfte, d. h. auf das gesamte System kein Moment ausüben, ergeben sich 2 Lösungen: 1) Eine sternförmige, d. h. ohne Umfangskomponenten nach außen oder innen gerichtete Strömung (Bild 4.68). 2) Eine Strömung, bei der der Ausdruck in der Klammer von Gleichung 4.99 gleich 0 wird: wu2 · r2 – wu1 · r1 = 0 wu1 · r1 = wu2 · r2 = wu · r = konst 1 (Gl. 4.101) Eine solche rotationssymmetrische Strömung, deren Fluidteilchen sich auf kreisförmigen Stromlinien um ihren Drehpunkt 0 so bewe-

Bild 4.69

Potentialwirbel

136

Inkompressible Strömungen

G = 2 · p · wu · r

Drehachse

Als Zirkulation oder Zirkulationsvektor G des Potentialwirbels hat man folgendes Produkt eingeführt: (Gl. 4.102)

r r=∞ wu = 0

fre

∆z

ie

Ob

Da das Produkt wu · r im gesamten Wirbelgebiet konstant ist, ist auch die Zirkulation konstant! Aus Gleichung 4.101 folgt eine hyperbolische Geschwindigkeitsverteilung im Wirbelgebiet:

konst1 G wu = 01 = 03 r 2·p·r

(Gl. 4.103) Bild 4.70

Auf das Wirbelgebiet lässt sich auch die Energiegleichung, z. B. in der Schreibweise von Gleichung 4.17 anwenden:

Bewegt man sich in einer horizontalen Ebene (Bild 4.69), bleibt die Höhe z konstant, und es verbleibt eine Funktion des Druckes p von der vom Radius r abhängenden Umfangsgeschwindigkeit wu . p wu2 3 + 41 = konst 2 r 2

冢

冣 冣

konst 12 p = r · konst 2 – 02 2 · r2

冢

Freie Oberfläche des Potentialwirbels

wu2 g · (H – z) = 5 2 wu2 konst 12 G2 Dz = 5 = 022 = 005 2g 2 · g · r 2 · g · 4 · p2 · r 2

p wu2 g · z + 3 + 41 = konst 2 r 2

冢

䉮 p0

che erflä

z

wu · r = konst1

wu2 p = r · konst2 – 41 2

H

冣

G2 = r · konst 2 – 05 8 · p2 · r 2

(Gl. 4.104)

Betrachtet man einen räumlichen Potentialwirbel mit freier Oberfläche, so lässt sich die Rotationskontur Dz = f (r) aus der Energiegleichung herleiten (Bild 4.70): p0 0 2 p 0 wu2 g · z + 31 + 5 = g · H + 31 + 31 r 2 r 2

G2 Dz = 00 8 · p2 · g · r 2

(Gl. 4.105)

In der Natur zu beobachtende Erscheinungen, wie Windhosen, Wasserstrudel, Tornados u.a.m. sind im Prinzip solche Potentialwirbel [4.21]. c) Laufräder von Strömungsmaschinen In Bild 4.71a) ist ein radiales Pumpenlaufrad, in Bild 4.71b) ein radiales Turbinenlaufrad, jeweils im Halbschnitt dargestellt. Das Pumpenlaufrad wird von innen nach außen durchströmt (Zentrifugalrad), das Turbinenlaufrad von außen nach innen (Zentripetalrad). Die absolute Strömungsgeschwindigkeit c setzt sich aus der durch die Schaufelkontur vorgegebenen Relativgeschwindigkeit w und der Umfangsgeschwindigkeit u = r · w vektoriell zusammen. Die Absolutgeschwindigkeit c wird in eine Umfangskomponente cu und eine Meridiankomponente cm zerlegt.

137

Ähnlichkeitsgesetze und Modellregeln

Geschwindigkeitspläne: c 1 cu1

w1

cm1

Eintritt:

u2

a) radiales Pumpenlaufrad

c1

c2

u1

u1

w1 w2

r1

1

Austritt:

cu2

2

cm2

c2

r2

w2

u2

2 u1

u2

c2

r2

Eintritt:

r1

w1

c1

w2

u1

cm1

w

1

cu1

Austritt:

w

b) radiales Turbinenlaufrad

cm2 cu2

Bild 4.71

u2

2

1

c1

c2

Radiale Laufräder von Strömungsmaschinen

Die Geschwindigkeiten am Laufradeintritt und -austritt werden üblicherweise in besonderen Geschwindigkeitsplänen dargestellt. Das von der Strömung auf das Turbinenlaufrad ausgeübte hydraulische Drehmoment bzw. der von den Schaufeln des Pumpenlaufrades auf die Strömung übertragende Drall können nach Gleichung 4.99 bestimmt werden. Aus Drehmoment M und Winkelgeschwindigkeit w ergibt sich die theoretische Leistung des Laufrades, die für eine reibungsfreie, ideale Strömung gleich dem Produkt aus Mas-

senstrom und spezifischem Energieumsatz sein muss. Die Ableitung der im Strömungsmaschinenbau so wichtigen Strömungsmaschinenhauptgleichung, die von L. EULER (siehe Namensverzeichnis) bereits 1754 angegeben wurde, erfolgt in Tabelle 4.7. Weitere Einzelheiten über die Euler’sche Strömungsmaschinenhauptgleichung finden sich u.a. in [4.22], die großartige wissenschaftliche Leistung EULERS bei der Herleitung dieser wichtigen Beziehung wurde in [4.23] gewürdigt.

138

Inkompressible Strömungen

Tabelle 4.7

Ableitung der Euler’schen Strömungsmaschinenhauptgleichung

radiales Pumpenlaufrad (Bild 4.71 a)

radiales Turbinenlaufrad (Bild 4.71 b)

M = m˙ · (cu2 · r2 – cu1 · r1)

M = m˙ · (cu1 · r1 – cu2 · r2)

Die theoretische Laufradleistung ergibt sich aus Moment M und Winkelgeschwindigkeit w : Pth ∞ = M · w

Pth ∞ = M · w

Andererseits errechnet sich die Laufradleistung auch aus Massenstrom m˙ und der im Laufrad umgesetzten Energie, die als spezifische Stutzenarbeit Yth ∞ bezeichnet wird. Pth ∞ = m˙ · Yth ∞

Pth ∞ = m˙ · Yth ∞

Der Index «th» besagt, dass reibungsfreie Strömung angenommen wird, der Index «∞» steht für schaufelkongruente Strömung, d. h. die Gleichheit von Schaufelkanal und Stromfaden (Stromfadentheorie). Durch Gleichsetzen der beiden Ausdrücke für die theoretische Leistung kommt man schließlich zu der bekannten Euler’schen Strömungsmaschinenhauptgleichung. m˙ · Yth∞ = m˙ · (cu2 · r2 – cu1 · r1 ) · w Yth ∞ = cu2 · u2 – cu1 · u1

m˙ · Yth ∞ = m˙ · (cu1 · r1 – cu2 · r2 ) · w (Gl. 4.106 a)

Bei Pumpen herrscht im sog. Optimalpunkt (Punkt besten Wirkungsgrades) stoß- und drallfreie Zuströmung, d. h., cu1 wird 0 und Gleichung 4.106 a vereinfacht sich zu: Yth ∞ = cu2 · u2

4.4

Ähnlichkeitsgesetze und Modellregeln

4.4.1

Einleitung

(Gl. 4.107 a)

In der Fluidmechanik und im Strömungsmaschinenbau werden häufig die an einem Strömungssystem oder einer Maschine gewonnenen Erfahrungen, Ergebnisse und Betriebswerte auf andere Maschinen übertragen. Insbesondere interessieren die Übertragungsgesetze hinsichtlich der Geometrie des Strömungsraums, der Geschwindigkeitsund Druckfelder, der Kraftwirkungen und der Stoffgrößen, wie z. B. Dichte und Viskosität. Besonders wichtig sind Ähnlichkeitsgesetze für die Interpretation, systematische Ordnung und Übertragung von Versuchsergebnissen. 2 Strömungen dürfen als ähnlich bezeichnet werden, wenn sie geometrisch und physikalisch ähnlich sind.

Yth ∞ = cu1 · u1 – cu2 · u2

(Gl. 4.106b)

Bei Turbinen nimmt man im Optimalpunkt drallfreie Abströmung (cu2 = 0) an, wodurch sich Gleichung 4.106 b verkürzt:

Yth ∞ = cu1 · u1

(Gl. 4.107b)

Geometrische Ähnlichkeit ist für die Makrogeometrie, d.h. die Wandkonturen des Strömungsraumes, verhältnismäßig einfach zu erreichen, wogegen die Ähnlichkeit der Oberflächenbeschaffenheit (Struktur, Rauigkeit) nur sehr schwer (in vielen Fällen gar nicht) herzustellen ist. Physikalische Ähnlichkeit erfordert ähnliche Strömungsbilder, d.h. ähnlichen Stromlinienverlauf. Vollkommene physikalische Ähnlichkeit des Strömungsverlaufs ist wegen des Einflusses zu vieler Parameter praktisch nie zu erreichen. Erste auf Erfahrung und Beobachtung beruhende ähnlichkeitsmechanische Betrachtungen gehen auf LEONARDO DA VINCI und GALILEI (s. Namensverzeichnis) zurück. Eine theoretisch gut formulierte Vorstufe der Grundlagen unserer heutigen modernen Ähnlichkeitsmechanik für Strömungen wurde bereits 1873 von HELMHOLTZ (s. Namensverzeichnis) veröffentlicht [4.24].

Ähnlichkeitsgesetze und Modellregeln Tabelle 4.8

139

Zur Strömungsähnlichkeit Strömung 1 (z. B. Großausführung)

Strömung 2 (z. B. Modell) Windkanaldüse

L1 F1 r1

r1 geometrische Größen

wFmw1

physikalische Größen

w2 Bild 4.72 b

Längen L2 Flächen A2 ~ L 22 Volumina V2 ~ L 32 Rauigkeit k2 ~ L2 A1 L 21 = 2 ; 4 A2 4 L2

V1

L 31

2

2

= 3 ; 4 V 4 L

Geschwindigkeit w1 Beschleunigung a1 Masse m1 Zeit t1 Kraft F1 Dichte r1 dynamische Viskosität h1 kinematische Viskosität n1 Verknüpfungen:

L2 F2

Bild 4.72 a

Längen L1 Flächen A1 ~ L 21 Volumina V1 ~ L 31 Rauigkeit k1 ~ L1 Verknüpfungen:

r2

k1

L1

2

2

= 3 k 4 L Geschwindigkeit w2 Beschleunigung a2 Masse m2 Zeit t2 Kraft F2 Dichte r2 dynamische Viskosität h 2 kinematische Viskosität n 2

a1 w1/t1 w1 · t2 = = 3 a2 81 w2/t2 81 w2 · t1 da w1 = L1/t1 wird t1 = L1/w1 und analog t2 = L2/w2

und damit:

a1 w1 · L2/w2 w12 · L2 = = 2 3 a2 06 w2 · L1/w1 82 w2 · L1 m1 r1 · V1 r1 · L 31 = = 4 m2 82 r2 · V2 82 r2 · L 23

Mit Hilfe der Ähnlichkeitsmechanik kann praktisches Wissen, das z. B. in Versuchen gewonnen wurde, allgemein gültig formuliert werden oder für die Ingenieurwissenschaften praxisnahe Berechnungsverfahren entwickelt werden. 4.4.2

Ähnlichkeitsbedingungen

Ähnlichkeitsgesetze bzw. die sie beschreibenden dimensionslosen Kennzahlen lassen sich nach einer der folgenden 3 Methoden herleiten [4.5]:

1. Methode der gleichartigen Größen, 2. Methode der Differentialgleichungen, 3. Methode der Dimensionsanalyse. Theorie und Herleitung der Ähnlichkeitsgesetze sind in [4.25] ausführlich beschrieben. Die folgenden Betrachtungen sind aus Platzgründen und im Hinblick auf die praktische Anwendung stark vereinfacht und verkürzt. Weitere, gut fundierte Darstellungen der wissenschaftlichen Grundlagen der Ähn-

140

Inkompressible Strömungen

lichkeitsmechanik finden sich in [4.26 bis 4.28]. Wie schon in der Einleitung bemerkt, sind 2 Strömungsvorgänge ähnlich, wenn geometrische und physikalische Ähnlichkeit besteht (Tabelle 4.8). Für vollständige exakte Ähnlichkeitsbetrachtungen kommen zu den in Tabelle 4.8 aufgeführten physikalischen Größen noch weitere Werte wie Oberflächenspannung, Temperatur, Wärmekapazität, Wärmeleitfähigkeit u. a. hinzu. Für stationäre, inkompressible und isotherme Strömungen genügt es i. Allg. jedoch, die in Tabelle 4.8 aufgeführten Größen zu berücksichtigen. Vollkommene geometrische, strömungsmechanische und evtl. noch thermodynamische Ähnlichkeit zwischen 2 Strömungsvorgängen ist nicht zu erreichen, weshalb in der Praxis nur auf die Ähnlichkeit wesentlicher Größen geachtet wird [4.27]. Die Verknüpfung der geometrischen und physikalischen Größen der zu vergleichenden Strömungsvorgänge geschieht üblicherweise mittels dimensionsloser Kennzahlen. 4.4.3

Reynolds-Zahl

In den 80er und 90er Jahren des 19. Jahrhunderts beschäftigte sich der englische Mathematiker und Ingenieur OSBORNE REYNOLDS (s. Namensverzeichnis) an der Universität Manchester u. a. auch mit der Erforschung der laminaren und turbulenten Rohrströmung inkompressibler Fluide, wobei er auf Arbeiten bzw. Veröffentlichungen von HAGEN, HELMHOLTZ und STOKES (s. Namensverzeichnis) aufbauend, den Zusammenhang zwischen Strömungsgeschwindigkeit, kinematischer Viskosität und Rohrdurchmesser fand, der sowohl den Umschlagspunkt von laminarer in turbulente Strömung beschreibt als auch für die Berechnung des Druckverlustes maßgebend ist. Die Versuche und Betrachtungen von REYNOLDS können in [4.29 und 4.30] nachgelesen werden. REYNOLDS postulierte, dass 2 Rohrströmungen physikalisch ähnlich sind, wenn das Verhältnis aus Trägheitskräften und Reibungskräften (Scherreibungskräften) gleich bleibt.

Fr1 Fa1 5=5 Fr2 Fa2 Die Reibungskräfte lassen sich nach dem Newton’schen Schubspannungsaxiom (Gleichungen 1.13 und 1.14) wie folgt ansetzen: dwx Fr = A · t = A · h · D = A · h · 7 dy Diese Beziehung kann auch durch die Dimensionen der einzelnen Größen ausgedrückt werden: w w Fr ~ A · h · 3 ~ L2 · h · 3 ~ L · h · w L L Die Trägheitskraft Fa ergibt sich aus dem Newton’schen Grundgesetz der Mechanik Kraft = Masse ¥ Beschleunigung Fa = m · a oder in Dimensionen ausgedrückt: Fa = r · V · a ~ r · L3 · a damit können die Quotienten der einzelnen Kräfte wie folgt geschrieben werden: Fr1 L1 · h 1 · w1 = 5 Fr2 07 L2 · h 2 · w2 F a1 r1 · L13 · a1 5 = 07 F a2 r2 · L23 · a2 Setzt man für den Ausdruck a 1/a 2 nach Tabelle 4.8 a1 w12 · L2 = 01 3 2 a2 w 2 · L1 ein, folgt: Fa1 r1 · L 13 · w12 · L2 r1 · L 12 · w12 = 08 5 = 004 Fa2 r2 · L 23 · w22 · L1 r2 · L 22 · w22 Durch Gleichsetzen, Kürzen und Umformen ergibt sich folgende dimensionslose Verknüpfung der Größen: L1 · h 1 · w1 r1 · L 12 · w 12 07 = 08 L2 · h 2 · w2 r2 · L 22 · w 22 L1 · w 1 · r1 L2 · w2 · r2 07 = 07 h1 h2

Ähnlichkeitsgesetze und Modellregeln

Der Quotient h/r ist nach Gleichung 1.15 als kinematische Viskosität n definiert. L1 · w1 L2 · w2 01 = 01 n1 n2

(Gl. 4.108)

Gleichung 4.108 beschreibt das Reynold’sche Ähnlichkeitsgesetz. Der Ausdruck L · w/n stellt die dimensionslose Reynolds-Zahl Re dar. w·L Re = 9 n

Tabelle 4.9

(4.109)

141

Die Reynolds-Zahl Re ist definiert als Quotient aus dem Produkt Geschwindigkeit ¥ charakteristische Länge und kinematischer Viskosität. Zwei Strömungen verlaufen hinsichtlich ihrer Trägheits- und Reibungskräfte ähnlich, wenn ❑ die geometrischen Konturen der umströmten Körper ähnlich sind, ❑ die mit korrespondierenden Werten gebildeten Reynolds-Zahlen übereinstimmen. In Tabelle 4.9 sind die Definitionen der Reynolds-Zahlen einer typischen Innenströmung und einer typischen Außenströmung gegenübergestellt.

Definition der Reynolds-Zahl

Innenströmung (Rohrströmung)

Ød

Außenströmung (Plattenströmung)

w n l

Bild 4.73

–·d w Re = 71 n

w∞

(Gl. 4.110)

V˙ V˙ mit w– = 3 = 0 A p d2 · 3 4 kann Re durch den Volumenstrom V˙ ausgedrückt werden: 4 · V˙ · d Re = 04 p · d2 · n 4 · V˙ Re = 02 p·d·n

(Gl. 4.112)

w∞ · l Re = 9 n

n Bild 4.74

(Gl. 4.111)

142

Inkompressible Strömungen

Beispiel 22 Aufgabenstellung: Ein Automodell, das im Maßstab 1 : 5 verkleinert ist, soll in einem Windkanal untersucht werden. Wie groß muss die Anblasgeschwindigkeit des Modells gemacht werden, wenn eine der Großausführung entsprechende Fahrgeschwindigkeit von 150 km/h simuliert werden soll? Lösung: Die Reynolds-Zahlen von Modell und Großausführung müssen übereinstimmen! Re1 = Re2 Index 1 bezieht sich auf die Großausführung. Index 2 bezieht sich auf das Modell w1 · L1 w2 · L2 0=0 n1 n2

4.4.4

Froude-Zahl

WILLIAM FROUDE, ein britischer Mathematiker und Schiffsbauingenieur (siehe Namensverzeichnis), beschäftigte sich u. a. auch mit der experimentellen Ermittlung des Schiffswiderstandes durch Schleppversuche. Die Krönung seiner Arbeiten war die Inbetriebnahme eines 250 Fuß langen Schleppkanals für Modellschiffe (towing tank) in Torquay im Jahre 1872. Bei seinen Versuchen benutzte FROUDE die bereits von dem Franzosen FERDINAND REECH, Professor an der Marineingenieurschule in Paris, angegebene Beziehung für die Umrechnung der Geschwindigkeiten von Modell und Großausführung über die Quadratwurzel des Modellmaßstabes [4.31], d. h., die Froude-Zahl müsste eigentlich Reech-Zahl heißen! In [4.32] berichtet FROUDE über den Vergleich der Ergebnisse eines Modellversuches mit den Fahrversuchen der Großausführung. Weniger bekannt ist, dass sich FROUDE auch intensiv mit der Erforschung des Strömungswiderstandes ebener Platten beschäftigt hat [4.33].

Es darf angenommen werden, dass die kinematischen Viskositäten n1 und n2 gleich groß sind. w1 · L1 = w2 · L2 L1 w2 = w1 · 4 L2 5 w2 = 150 · 3 = 750 km/h 1 w2 = 750 km/h = 208 m/s Im Vorgriff auf Kapitel 5 muss man wissen, dass die Mach-Zahl M der Modellströmung einen Wert von 0,63 annimmt, d.h., es ist eine Korrektur der gemessenen Strömungsbeiwerte zur Berücksichtigung der Kompressibilität der Luft erforderlich.

Die Froude-Zahl wird definiert als Quotient aus Trägheitskraft Fa = m · a und Schwerkraft Fs = m · g: Fa1 Fa2 5=5 Fs1 Fs2 m1 · a1 m2 · a2 0=0 m1 · g m2 · g Nach Tabelle 4.8 können die Beschleunigungen a1 und a2 durch die zugehörigen Geschwindigkeiten und Längen ausgedrückt werden: a1 ~ w12 · L2 a2 ~ w22 · L1 w12 · L2 w22 · L1 01 = 01 g g w12 w22 w2 9=9=9 L1 · g L2 · g L · g

Strömungsformen Der Ausdruck w 2/(L · g) wird in der Literatur [4.5; 4.34] häufig als Froude-Zahl 1 bezeichnet. 2

w Fr1 = 8 L·g

(Gl. 4.113)

Meistens wird jedoch die Quadratwurzel aus der Froude-Zahl 1 als eigentliche Froude-Zahl gebraucht: w Fr1 = 0 Fr = Fr2 = d6 8 dL · g

(Gl. 4.114)

Im vorliegenden Buch wird nur diese Definition der Froude-Zahl ohne Kennzeichnung durch den Index 2 benützt.

143

In der Praxis wird die Froude-Zahl vor allem in folgenden Bereichen angewandt: – Bewegungen freier Flüssigkeitsoberflächen, – z.B. Wellenbewegungen, – Flüssigkeitsstrahlen, – Schiffswiderstand, – hydraulischer und pneumatischer Transport, – Staubabscheidung, – Tropfenbewegungen, – Sedimentation, – Rührwerke, – Zerstäubung, – Zentrifugen, – Filterströmungen.

Beispiel 23 Aufgabenstellung: Ein im Maßstab 1 : 20 reduziertes Schiffsmodell soll im Schleppkanal untersucht werden. Wie groß muss die Schleppgeschwindigkeit des Modells gewählt werden, wenn die Großausführung mit einer Geschwindigkeit von 30 km/h fahren soll und die Froude-Zahlen von Modell und Großausführung übereinstimmen sollen? Lösung:

Index 1 bezieht sich auf die Großausführung, Index 2 bezieht sich auf das Modell, w1 w2 = 02 02 L2 · g d9 L1 · g d9

f 4LL = 30 · f 4201 5

w2 = w1 ·

2

5

1

w2 = 6,7 km/h = 1,86 m/s

Fr1 = Fr2 Weitere wichtige Strömungskennzahlen finden sich u.a. in [4.25, 4.26 und 4.34].

4.5

Modellversuche

Moderne numerische Rechenverfahren gestatten heute in vielen Fällen eine hinreichend genaue Berechnung des Strömungsverhaltens durch- und umströmter Körper, so dass der Aufwand an meist teuren Versuchen auf vielen Gebieten der Strömungstechnik deutlich reduziert werden konnte. Trotzdem ist es vielfach noch nötig, Modellversuche bzw. Versuche an Originalausführungen durchzuführen, da numerische Be-

rechnungen noch zu ungenau sind bzw. für die Berechnungen erforderlichen Beiwerte erst noch experimentell bestimmt werden müssen. So sind z. B. in der Flugzeug-, Straßenfahrzeug- und Schienenfahrzeugentwicklung nach wie vor Windkanalversuche für die letzte Optimierung der geometrischen Formen erforderlich [4.35]. Ähnlich ist es auch im Wasserbau oder in der Gebäudeaerodynamik. Auch im Strömungsmaschinenbau hat das Versuchswesen nach wie vor einen hohen Stellenwert.

144

Inkompressible Strömungen

Nach [4.26, 4.27] kann man vollkommen ähnliche Modelle, bei denen Modell und Großausführung geometrisch und physikalisch ähnlich sind und halbähnliche Modelle, bei denen die physikalische Ähnlichkeit nur teilweise gegeben ist, unterscheiden. Weiterhin gibt es auch unähnliche Modelle, wie z. B. die Flachwasseranalogie, in der sich Flachwasserströmungen mit der Strömung kompressibler Fluide vergleichen lassen, oder den elektrischen Trog, in dem man Strömungsfelder durch elektrische Felder simuliert [4.26]. An den Modellen werden Geschwindigkeitsfelder, Druckfelder, Kräfte u. a. gemessen und mittels dimensionsloser Kennzahlen und anderer Strömungsbeiwerte auf die Großausführung übertragen, wobei die Fluide von Modellversuch und Strömung der Großausführung verschieden sein können. So werden z. B. Modelle von Wasserturbinen, Flüssigkeitspumpen und Armaturen statt mit Wasser auch mit Luft untersucht, was u.U. die Kosten der Versuche entscheidend reduziert. Bei der Übertragung von Modellergebnissen sind jedoch die Voraussetzungen der Modellnachbildung genau zu beachten. Vor der Überbewertung spezieller Modellergebnisse und deren Übertragung auf allgemeine Anwendungen muss gewarnt werden [4.27].

4.6

Strömungsformen

4.6.1

Einleitung

Bei Innen- und Außenströmungen treten abhängig von der Größe bestimmter Kennzahlen, z.B. der Reynolds-Zahl, typische Stromlinienbilder auf. Am bekanntesten sind wohl die Begriffe der laminaren und turbulenten Rohrströmung. Auch bei der Umströmung von gedrungenen sperrigen Körpern, z.B. Kugeln und Kreiszylindern können typische Strömungsformen abhängig von der Reynolds-Zahl beobachtet werden. Bei Strömungen mit freier Oberfläche in offenen Gerinnen kann man 2 typische Strömungsformen unterscheiden, die durch die Froude-Zahl charakterisiert sind. 4.6.2

Laminare und turbulente Rohrströmung

Je nach Größe der Reynolds-Zahl stellt sich bei der Rohrströmung laminarer oder turbulenter Strömungszustand ein. In Tabelle 4.10 sind die beiden Strömungsformen für kreiszylindrische Rohre gegenübergestellt.

Beispiel 24

– = 1,02 m/s w

Aufgabenstellung: Durch eine Schmierölleitung von 50 mm Innendurchmesser strömen in der Sekunde 2 l Schmieröl mit einer kinematischen Viskosität n = 20 · 10 –6 m2/s. Ist die Strömung laminar oder turbulent?

Damit berechnet sich die Reynolds-Zahl zu: – · d 1,02 · 0,05 w Re = 8 = 98 n 20 · 10 – 6

Lösung: Die mittlere Strömungsgeschwindigkeit beträgt: 2 2 – = V˙ = w 9 84 = 9 = 10,2 dm/s d 2 · p 0,52 · p 0,196 9 84 4 4

1,02 · 5 · 10 4 Re = 902 20 Re = 2550 Die Reynolds-Zahl liegt nur knapp über der kritischen Reynolds-Zahl Re krit = 2320. Die Strömung ist bereits turbulent.

Strömungsformen Tabelle 4.10

145

Vergleich von laminarer und turbulenter Rohrströmung

laminare Rohrströmung

turbulente Rohrströmung

Bei der laminaren Rohrströmung oder Schichtströmung bewegen sich die Fluidteilchen mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten auf zur Rohrachse parallelen Stromlinien, ohne sich zu vermischen. REYNOLDS hat in [4.29] einen einfachen Versuch beschrieben, bei dem ein in die Rohrachse eingeleiteter Farbstrahl seine Form behält und sich nicht mit der Grundströmung mischt.

Bei der turbulenten oder wirbelbehafteten Strömung treten neben der in Rohrachse gerichteten Transportströmung zusätzlich noch Querbewegungen auf, d. h., die Fluidpartikel führen nach Größe und Richtung Geschwindigkeitsschwankungen aus. Der Rohrreibungsverlust hängt i. Allg. auch von der Wandrauigkeit ab. Die Geschwindigkeitsverteilung ist wesentlich flacher, d. h., die Einhüllende der Geschwindigkeitsvektoren ist ein Rotationsparaboloid höherer Ordnung.

Farbe

Farbe

= konst

= konst Farbstrahl

Geschwindigkeitsverteilung

Geschwindigkeitsverteilung

Bild 4.75 a

Laminare Strömung

w wmax

Wie weiter unten gezeigt wird, hat die Geschwindigkeitsverteilung die Form eines quadratischen Paraboloids. Der Reibungsdruckverlust ist unabhängig von der Rauigkeit der Rohrwand. Die zeitlichen Schwankungen der Geschwindigkeit sind vernachlässigbar klein. Bei Rohren mit Kreisquerschnitt tritt laminare Strömung unterhalb der kritischen Reynolds-Zahl Rekrit = 2320 auf.

w wmax Bild 4.75 b

Turbulente Strömung

REYNOLDS beobachtete, dass oberhalb der kritischen Reynolds-Zahl Rekrit = 2320 ein in Rohrachse eingeleiteter Farbstrahl zerreißt und sich mit der Grundströmung vermischt. REYNOLDS hatte seinerzeit diese Grenzzahl mit seinen nicht sehr präzisen Versuchseinrichtungen immerhin schon zu 1800…2000 bestimmt!

146 4.6.3

Inkompressible Strömungen Umströmung von Kreiszylindern und Kugeln

Die Beschreibung der Umströmung von Kreiszylindern und Kugeln ist wesentlich komplizierter als die Darstellung der laminaren und turbulenten Rohrströmung, da mehrere stationäre und instationäre Strömungsformen abhängig von Reynolds-Zahl, Oberflächenrauigkeit und Turbulenzgrad (Erklärung des Turbulenzgrades siehe Abschnitt 4.6.5!) der ankommenden Strömung auftreten. So werden z. B. in [4.36] 8 verschiedene Strömungszustände hinter Kreiszylindern in Abhängigkeit von der Reynolds-Zahl beschrieben, in [4.37] werden 4 Strömungszustände mit Hilfe des Widerstandsbeiwertes in Funktion der Reynolds-Zahl definiert. Tabelle 4.11

Die Strömungsbilder von Kugel- und Zylinderströmung ähneln sich, obwohl der Zylinder 2-dimensional, die Kugel 3-dimensional überströmt wird. Die umströmten Körper werden an ihrer Oberfläche von einer dünnen Grenzschicht eingehüllt, die abhängig von Körperform, Oberflächenrauigkeit, Reynolds-Zahl und Turbulenzgrad von der Körperkontur ablöst und ein Totwassergebiet hinter dem Körper entstehen lässt. In Tabelle 4.11 sind die einzelnen Strömungszustände stark vereinfachend gegenübergestellt. Weitere Einzelheiten können u.a. aus [4.36 und 4.38] entnommen werden.

Strömungszustände an Kugeln und Kreiszylindern

Schleichende Umströmung

Unterkritische Umströmung

Überkritische Umströmung

Ablösepunkt

w∞

D

w∞

Ablösepunkt

w∞

Totwassergebiet

Totwassergebiet

Bild 4.76 a Schleichende Umströmung

Bild 4.76 b Unterkritische Umströmung

Bild 4.76 c Überkritische Umströmung

Bei der schleichenden Umströmung von Kugel oder Kreiszylinder schließt sich die Strömung hinter dem Körper wieder zusammen. Es treten keine oder sehr kleine ortsfeste Wirbelgebiete auf. Die Widerstandsbeiwerte sind relativ hoch. Die Reynolds-Zahlen für den Umschlag der Strömung sind vor allem vom Turbulenzgrad abhängig.

Die unterkritische Strömung müsste eigentlich in 2 Bereiche unterteilt werden, nämlich einen Bereich in dem der Widerstandsbeiwert nicht von der ReynoldsZahl abhängt d. h. bis zu Reynolds-Zahlen von etwa 2 · 10 5 und einen Bereich, in dem der Widerstandsbeiwert in Funktion der Reynolds-Zahl stark abfällt und ein Minimum erreicht. In [4.37] wird dieser Bereich als kritischer Bereich bezeichnet. Die Grenz-Reynolds-Zahl des kritischen Bereiches kann je nach Oberflächenrauigkeit und Turbu-

Nach [4.37] sollte der überkritische Bereich unterteilt werden. 1. in einen überkritischen Bereich mit laminarer und turbulenter Ablösung bis zu Reynolds-Zahlen von etwa 5 · 10 6 [4.39] und 2. einen transkritischen Bereich mit turbulenter Grenzschichtablösung und Reynolds-Zahlen über 5 · 10 6. Der Ablösepunkt liegt hinter dem Dickenmaximum des Körpers. Der Widerstandsbeiwert steigt wieder an.

Stoffströme in geschlossenen Rohrleitungen Tabelle 4.11

147

(Fortsetzung)

Schleichende Umströmung

Unterkritische Umströmung

Überkritische Umströmung

Nach [4.38] gilt:

lenzgrad bis Re = 106 reichen und liegt bei vergleichbaren Verhältnissen beim Kreiszylinder etwas höher als bei der Kugel. Die Grenzschicht ist laminar und löst in der Nähe des Durchmessers D ab. Im Strömungsschatten des Körpers entsteht ein großes Totwassergebiet.

Die Druckverteilung um die Kugel oder den Kreiszylinder sind bei den beiden Strömungszuständen verschieden.

w∞ · D Reu = 9 ≈ 5 n für wirbelfreie Umströmung und Reu ≈ 400 für wirbelbehaftete Strömung. Die wirbelfreie Umströmung wird auch als Hele-Shaw-Strömung bezeichnet [4.39]. Strömungen mit so kleinen ReZahlen kommen in der Natur z. B. beim Fallen von Pollen, Samenkörnern, Sand oder Staubteilchen vor, in der Verfahrenstechnik z. B. bei der Durchströmung von Filterbetten.

4.6.4

Strömende und schießende Bewegung bei Strömungen mit freier Oberfläche unter Schwereeinfluss

Bei Strömungen in offenen Gerinnen (Flüssen, Kanälen oder teilweise gefüllten Rohrleitungen) tritt je nach Größe der mit der Strömungsgeschwindigkeit und der Tiefe gebildeten Froude-Zahl strömender, langsamer Abfluss oder schießender, schneller Abfluss auf (Tabelle 4.12). 4.6.5

Turbulenzgrad

Strömungen werden als turbulent bezeichnet, wenn der Hauptbewegung 3-dimensionale, instationäre Schwankungen überlagert sind. I. Allg. sind diese Schwankungsbewegungen unregelmäßig, d. h. zeitlich stochastisch verteilt. Als Turbulenzgrad Tu wird folgender Ausdruck definiert [4.5]: 1 Tu = 4 · w–x

w¢ + w¢ + w¢ f 006 3

6002 2 2 2 x

y

z

(Gl. 4.115)

Tu Turbulenzgrad w–x zeitlicher Mittelwert der Geschwindigkeit in Hauptströmungsrichtung (Bild 4.78) w¢x Schwankung der Geschwindigkeit in x-Richtung w¢y Schwankung der Geschwindigkeit in y-Richtung w¢z Schwankung der Geschwindigkeit in z-Richtung Bei der Übertragung der Ergebnisse von Messungen und Beobachtungen von einem Modell auf eine Großausführung spielen die Turbulenzgrade von Modellströmung und Strömung der Großausführung eine wichtige Rolle, d.h., nur bei etwa gleichen Turbulenzgraden lassen sich korrespondierende Werte übertragen. Normale Windkanäle weisen Turbulenzgrade von ca. Tu = 0,01 auf. Bei isotroper Strömung, bei der nur 1-dimensionale Schwankungen in Strömungsrichtung auftreten, vereinfacht sich Gleichung 4.115: 1 72 Tu = 4 · d w¢x – wx

(Gl. 4.116)

148

Inkompressible Strömungen

Tabelle 4.12

Strömender und schießender Abfluss

strömender Abfluss

w

schießender Abfluss

w

t

Bild 4.77 a

Strömende Bewegung

Bild 4.77 b

Strömender Abfluss stellt sich ein, wenn die FroudeZahl

w Fr = 9 7 dg·t

Fr = 9 d7 g·t

> 1 wird, liegt schießender Abfluss vor. Störungen breiten sich nur stromabwärts aus.

Geschwindigkeit w

< 1 wird. Störungen in der Strömung breiten sich stromabwärts und stromaufwärts aus.

wx

Schießende Bewegung

Wenn die Froude-Zahl

w

dm

t

wx

wx

Zeit x Bild 4.78

4.7

Stoffströme in geschlossenen Rohrleitungen (Rohrhydraulik)

4.7.1

Energiegleichung für reibungsbehaftete Strömungen

4.7.1.1

Stationäre Strömungen

In Abschnitt 4.3.2.2 wurde die Energiegleichung für reibungsfreie, stationäre und inkompressible Strömungen abgeleitet (Gleichungen 4.17, 4.18 und 4.19).

Zur Erklärung des Turbulenzgrades

Bei der Strömung realer, viskoser Fluide treten längs der Stromröhre Dissipationsverluste infolge der Reibung in den Wandgrenzschichten, der Reibung zwischen unterschiedlich schnell strömenden Fluidteilchen und Wirbelbildung auf. Diese Dissipationsverluste fallen zum größten Teil in Form von Wärmeenergie und bei größeren Strömungsgeschwindigkeiten auch zu einem kleinen Teil als Schallenergie an. Zur Ableitung der um einen Dissipationsanteil erweiterten Energiegleichung wird die

Grundgleichungen Strömung in einer Stromröhre (Bild 4.79) betrachtet. Zwischen Anfang 1 und Ende 2 des Stromröhrenabschnittes wird von außen keine Energie zugeführt bzw. nach außen entzogen. Bekanntlich treten folgende 3 spezifische Energieformen auf: 1. Lageenergie

g·z

2. Druckenergie

p/r

w2 3. Geschwindigkeitsenergie 4 2 Die Lageenergie ist allein durch den Verlauf der Mittelstromlinie z = f (s) festgelegt und wird somit nicht durch die Dissipation beeinflusst. Gleiches gilt für den kinetischen Energieanteil w 2/2, da die Geschwindigkeit w an jeder Stelle der Stromröhre durch den Volumenstrom V˙ und den Strömungsquerschnitt A unabhängig von Reibung und Verwirbelung vorgegeben ist:

149

b) In der Dimension «Länge» bzw. «Höhe» (erweiterte Bernoulli-Gleichung) p1 w12 p2 w22 z1 + 7 + 5 = z2 + 7 + 5 + hv r · g 2g r · g 2g (Gl. 4.118) c) In der Dimension «Druck» r p1 + r · g · z1 + 3 · w 12 2 r = p2 + r · g · z2 + 3 · w22 + Dpv 2

(Gl. 4.119)

Man erkennt, dass die «Reibungsglieder» Dp v/r = g · hv , hv bzw. Dpv hinzugekommen sind. Die in Gleichung 4.118 formulierte erweiterte Bernoulli-Gleichung lässt sich wie Gleichung 4.18 in Bild 4.16 grafisch darstellen (Bild 4.79).

V˙ w = 3 = f (s) A Daraus folgt, dass sich Dissipationsverluste bei inkompressiblen Strömungen als Druckverluste äußern, d. h., der reale Druck p2 am Ende der Stromröhre ist um einen Druckabfall Dpv kleiner als der theoretische Druck p2 bei idealer, reibungsfreier Strömung. Die Energiegleichung in den Schreibweisen der Gleichungen 4.17, 4.18 und 4.19 wird wie folgt erweitert: a) In der Dimension «spezifische Energie» p1 w12 p2 w22 Dpv g · z1 + 4 + 5 = g · z2 + 4 + 5 + 6 r 2 r 2 r (Gl. 4.117)

Bild 4.79 Grafische Darstellung der erweiterten Bernoulli-Gleichung

150

Inkompressible Strömungen

Beispiel 25 z1 = 50 m

Aufgabenstellung:

z2 = 0 m p1

= konst

p1 = p2 (offener Behälter, austretender Freistrahl)

z1

w1 50 m Ø d = 100 mm w2

Bild 4.80

z2

p2

Beispiel 25

Aus dem in Bild 4.80 dargestellten offenen Behälter mit sehr großem Querschnitt strömen stündlich 600 m3 kaltes Wasser (r = 1000 kg/m3) aus. Wie groß ist der Reibungsverlust hv bzw. Dpv ? Lösung: Der Reibungsverlust hv wird mittels erweiterter Bernoulli-Gleichung 4.118 berechnet:

w1 = 0 m/s (großer Behälter) V˙ 600 w2 = 3 = 707 A p 3600 · 0,12 · 3 4 w2 = 21,22 m/s w22 hv = z1 – z2 – 7 2·g 21,222 hv = 50 – 0 – 02 2 · 9,81 hv = 27,05 m Der Reibungsverlust kann auch als Druckverlust ausgedrückt werden: Dpv = r · g · hv

p1 w12 p2 w22 z1 + 7 + 7 = z2 + 7 + 7 + hv r·g 2·g r·g 2·g

Dpv = 1000 · 9,81 · 27,05

Für die vorliegende Anlage nehmen die einzelnen Glieder der Gleichung folgende Werte an:

4.7.1.2

Instationäre Strömungen

Berücksichtigt man die Geschwindigkeitsverteilung über dem Strömungsquerschnitt (Bild 4.81) und die zeitliche Abhängigkeit der Geschwindigkeit, erhält man folgenden Ausdruck für die Energiegleichung der reibungsbehafteten instationären Strömung, in der Dimension «Druck» geschrieben:

Dpv = 265 342 Pa = 2,65 bar

Die orts- und zeitabhängigen Geschwindigkeitsausgleichswerte a und b berücksichtigen die u.a. von der Reynolds-Zahl und Wandrauigkeit abhängigen Geschwindigkeitsprofile im Rohrquerschnitt. 1 r

w=f(r,s,t)

r p1 + r · g · z1 + a1 · 3 · w12 2 r = p2 + r · g · z2 + a2 · 3 · w22 2 s2

+r·

s1

2 z2

∂w

· ds + Dp Ú b·6 ∂t

s z1

v

(Gl. 4.120)

0

Bild 4.81

0

Stromröhre

151

Stoffströme in geschlossenen Rohrleitungen Gleichung 4.120 wird beispielsweise bei der exakten Bestimmung der Förderarbeit von Pumpen mit gestörten Zu- und/oder Abströmbedingungen benützt. 4.7.2

a) Druckkraft auf die vordere Stirnwand Fp1 = p1 · r 2 · p

Druckabfall in Rohrleitungen mit kreisförmigem Querschnitt bei laminarer Strömung (Re < 2320)

b) Druckkraft auf die hintere Stirnwand Fp2 = p2 · r 2 · p c) resultierende Druckkraft Fp = Fp1 – Fp2 = r 2 · p · (p1 – p2 ) = r 2 · p · dp

Der Reibungsverlust der laminaren Strömung im kreisrunden Rohr lässt sich relativ einfach herleiten. Es wird vorausgesetzt, dass Temperatur t und statischer Druck p über dem Rohrquerschnitt konstant sind (isotherme Rohrströmung). Um den Schwereeinfluss nicht berücksichtigen zu müssen, wird eine waagerechte Rohrleitung betrachtet (Bild 4.82). Die Strömung verläuft in konzentrischen (koaxialen) Ringschichten bei teleskopartiger Parallelverschiebung der Schichten. Für ein zylinderförmiges Fluidelement mit dem Radius r und der Länge dl, das in einer Entfernung x vom Rohranfang strömt (x > lA ; siehe Abschnitt 4.7.8) wird für eine stationäre Strömung das Kräftegleichgewicht formuliert:

d) Die Reibungskraft Fr ergibt sich aus der Schubspannung t, die in der Zylindermantelfläche entgegen der Bewegungsrichtung wirkt und der Größe der Zylindermantelfläche: Fr = t · 2 · p · r · dl Nach dem Newton’schen Schubspannungsansatz (Gleichungen 1.13 und 1.14) besteht folgender Zusammenhang zwischen der dynamischen Viskosität des Fluids und dem Geschwindigkeitsgradienten im Rohr: dw t=–h·5 dr

Druckkraft = Reibungskraft

Der Geschwindigkeitsgradient dw/dr ist negativ, da mit zunehmendem Radius r die Geschwindigkeit w abnimmt (vgl. Bild 4.83). dw Fr = – 2 · p · r · dl · h · 5 dr

Druc

kver

lauf

p1 p2

Rohranfang

dp

1

Strömungsrichtung

r0

t

p1

t Ød t x l

Bild 4.82

2 t

Zum Kräftegleichgewicht der laminaren Rohrströmung

w p2

r

152

Inkompressible Strömungen t

Bild 4.83 Geschwindigkeits- und Schubspannungsverteilung bei laminarer Rohrströmung

Geschwindigkeitsverteilung wmax

d r

r

t=0

w (r)

Schubspannungsverteilung

r0

t max

w

Durch Gleichsetzen der Beziehungen für Druck- und Reibungskraft erhält man folgenden Ausdruck für den Geschwindigkeitsgradienten: dw r 2 · p · dp = – 2 · p · r · dl · h · 5 dr dw 1 dp 5=–8 · 5·r dr 2 · h dl

(Gl. 4.121)

Die Integration dieser einfachen Differentialgleichung liefert eine Beziehung für das Geschwindigkeitsprofil, d. h. die Funktion w = f (r): 1 dp dw = – 8 · 5 · r · dr 2 · h dl 1 dp w = – 8 · 5 · r · dr 2 · h dl

1 dp 2 8 · 5 · r0 4 · h dl sowohl die oben abgeleitete Integrationskonstante als auch die Geschwindigkeit wmax in der Rohrachse (r = 0) ist. 1 dp wmax = 8 · 5 · r02 = konst 4 · h dl Somit kann Gleichung 4.122 auch wie folgt ausgedrückt werden:

Ú

1 dp r 2 w = – 8 · 5 · 4 + konst 2 · h dl 2

冤 冢 冣冥

r w = wmax · 1 – 4 r0

Die Integrationskonstante ergibt sich aus der Randbedingung w = 0 für r = r0: 1 dp r 02 0 = – 8 · 5 · 4 + konst 2 · h dl 2 1 dp r02 konst = 8 · 5 · 4 2 · h dl 2 1 dp w = 8 · 5 · (r02 – r 2 ) 4 · h dl

Diese Gleichung wird als Stokes’sches Gesetz bezeichnet. Aus der mathematischen Form der Gleichung 4.122 ersieht man, dass die Geschwindigkeitsverteilung w = f (r) parabolisch ist, d.h. die Spitzen der Geschwindigkeitsvektoren auf einem quadratischen Paraboloid liegen (Bild 4.83). Weiterhin erkennt man, dass der Ausdruck

2

(Gl. 4.123)

Setzt man Gleichung 4.121 in den Newton’schen Schubspannungsansatz ein, erhält man folgende Verteilung der Schubspannung über dem Radius r:

冢

冣

dw 1 dp t=–h·5=–h· –8·5·r dr 2 · h dl (Gl. 4.122)

dp r t=5·3 dl 2

(Gl. 4.124)

Stoffströme in geschlossenen Rohrleitungen Die Schubspannung t ist in der Rohrmitte gleich 0 und nimmt linear zur Rohrwand hin zu (Bild 4.83). An der Rohrwand herrscht die dp r0 maximale Schubspannung tmax = 5 · 4 . dl 2 Den durch das Rohr strömenden Volumenstrom erhält man durch Integration der Geschwindigkeiten über dem Rohrquerschnitt: r0

–·A=w – · r 2 · p = 2 · p · w · r · dr V˙ = w 0

Ú

0

r0

冤 冢 冣 冥 · r · dr

– · r2 = 2 · w · 1 – r w 0 max 4 r0

Ú

0

r0

– · r2 = 2 · w · w 0 max

r3 2 0

冨

2 4 – · r2 = 2 · w · r – r w 0 max 3 82 2 4 · r0

冨

2 2 – · r 2 = 2 · w · r0 – r0 w 0 max 3 4 2 4

冨

r0 0

冨

4 2 – · r 2 = 2 · w · r0 = w · r0 w 0 max 4 max 4 4 2

– = wmax = 1 · dp · r 2 w 8 8 5 0 2 8 · h dl

(Gl. 4.125)

– gehörenden Radius ¯r erhält man aus Den zu w Gleichung 4.123: – w r 2 8 = 1 – 31 wmax r0

冢冣

– w 1 r¯ 8 = 3 = 1 – 31 wmax 2 r0

冢冣

2

1

1

r¯ =

f

Betrachtet man anstelle der differentiell kurzen Rohrstrecke dl die gesamte Rohrlänge l nach der Anlaufstrecke lA , so erhält man mit dem Druckverlust Dpv = p1 – p2 : p · r04 · Dpv p · r04 · (p1 – p2) V˙ = 80 = 005 8·h·l 8·h·l

(Gl. 4.127)

Hierbei ist p1 der statische Druck bei x = 0 und p2 der statische Druck bei x = l. Gleichung 4.127 besagt, dass bei laminarer Rohrströmung im kreiszylindrischen Rohr der Volumenstrom V˙ proportional zum Druckunterschied Dpv zwischen Rohranfang und Rohrende, zur 4. Potenz des Rohrradius r0 und umgekehrt proportional zur Rohrlänge l sowie zur dynamischen Viskosität h des Fluids ist (Bild 4.84). Dieses wichtige Strömungsgesetz geht auf den deutschen Wasserbauingenieur HAGEN und den französischen Arzt POISEUILLE zurück (siehe Namensverzeichnis), die es unabhängig voneinander formuliert haben, weshalb es auch als Hagen-Poiseuille’sche-Gleichung bezeichnet wird [4.40; 4.41]. Löst man Gleichung 4.127 nach dem Druckunterschied p1 – p2 = Dpv auf, erhält man den Zusammenhang zwischen Rohrgeometrie, Volumenstrom, Viskosität und Druckunterschied: 8 · l · h · V˙ p1 – p2 = 08 r04

冢冣

0

4 1 3 · r0 = 0,707 · r0 2

– · r 2 · p = p · dp · r 4 V˙ = w 0 7 5 0 8 · h dl

Der Radius r0 wird durch den Rohrinnendurchmesser d = 2 · r0 , die dynamische Viskosität h durch die kinematische Viskosität n ersetzt: d 4 d4 r04 = 3 = 5 2 16

2

冢31r 冣 = 1 – 32 = 32 r¯

Mit Hilfe von Gleichung 4.125 lässt sich der Volumenstrom V˙ bestimmen:

2

Ú 冢r – 4r 冣 · dr 0

153

h =r·n (Gl. 4.126)

128 · l · r · n · V˙ p1 – p2 = 600 p · d4

Inkompressible Strömungen

D pV; l; h = konst.

Druckabfall DpV = p1 – p2 a

Radius r0

b

Bild 4.84

D pV; l; r0= konst.

D pV; r0; h = konst. Volumenstrom V˙

Volumenstrom V˙

Volumenstrom V˙

r0; l; h = konst.

Volumenstrom V˙

154

dyn. Viskosität h

Rohrlänge l c

d

Verschiedene Abhängigkeiten des Volumenstroms der laminaren Rohrströmung

Der Volumenstrom V˙ wird durch die mittlere – und den Rohrquerschnitt Geschwindigkeit w p A = d 2 · 3 ausgedrückt: 4 – · d2 · p 128 · l · r · n · w p1 – p2 = 0000 4 p·d ·4 Durch Umformen, Kürzen und Erweitern ergibt sich: 64 · l · r n – p1 – p2 = 04 · 3 · w d·2 d l r –2 n p1 – p2 = 64 · 3 · 3 · w ·9 – d 2 d·w

n Der Ausdruck 8 – entspricht dem Reziprokd·w wert der Reynolds-Zahl Re. 64 l r – 2 Dpv = p1 – p2 = 5 · 3 · 3 · w Re d 2

(Gl. 4.128)

Ersetzt man den Druckabfall Dpv = p1 – p2 durch die Reibungsverlusthöhe hv , erhält man: Dpv p1 – p2 g · hv = 7 = 01 r r –2 64 l w hv = 5 · 3 · 8 Re d 2 · g

(Gl. 4.129)

Bei Betrachtung der Gleichungen 4.128 und 4.129 fällt auf, dass der Reibungsverlust der laminaren Rohrströmung nicht von der Wandrauigkeit abhängt, was auch durch Versuche bestätigt wird. Den Ausdruck 64/Re bezeichnet man üblicherweise als Rohrreibungszahl l. 64 l=5 Re

(Gl. 4.130)

Es wird nochmals darauf hingewiesen, dass diese Beziehung nur für laminare Strömung in kreiszylindrischen Rohren (Re < 2320) gilt!

Da die Reynolds-Zahl Re dimensionslos ist, ist auch die Rohrreibungszahl l dimensionslos. Laminare Rohrströmung tritt in der Praxis selten auf, nämlich nur beim Transport stark viskoser Flüssigkeiten in engen Rohren bei kleinen Geschwindigkeiten, so z.B. bei der Strömung von Schmierölen in Rohrleitungen und Lagern oder bei der Umwälzströmung in Warmwasserheizungen und im Wasserteil von Dampfkesseln mit Naturumlauf. Auch die Strömung von Kühlflüssigkeit in den Kühlkreisläufen von Verbrennungsmotoren weist bei niedrigen Temperaturen laminare Strömungsabschnitte auf.

Stoffströme in geschlossenen Rohrleitungen

155

Beispiel 26 Aufgabenstellung: Durch eine Rohrleitung von 50 mm Durchmesser und 1 km Länge fließen stündlich 10 m3 Heizöl mit einer kinematischen Zähigkeit von 40 · 10 – 6 m2/s und einer Dichte von 900 kg/m3. Wie groß ist der für den Transport erforderliche Druckunterschied?

Re = 1775

Lösung: Zunächst wird die mittlere Geschwindigkeit – berechnet: w

Damit lässt sich mit Gleichung 4.128 der Druckverlust bestimmen:

10 – = V˙ = w 56 5003 p 3600 · 19,6 · 10 – 4 2 d ·3 4 – = 1,42 m/s w Damit ergibt sich die Reynolds-Zahl Re: – · d 1,42 · 0,05 w Re = 8 = 566 n 40 · 10 – 6

4.7.3

Druckabfall in Rohrleitungen mit kreisförmigem Querschnitt bei turbulenter Strömung (Re > 2320)

4.7.3.1

Einleitung

Die meisten in der Praxis auftretenden Rohrströmungen sind turbulent. Turbulente Rohrströmungen sind Scherströmungen, bei denen sich benachbarte Strömungsschichten ständig vermischen, wodurch das Bild einer «unruhigen», wirbelbehafteten Strömung entsteht, die scheinbar rein stochastisch, d. h. ohne erkennbare Gesetzmäßigkeit, abläuft. Die Rechnung mit stationär gemittelten Geschwindigkeitswerten ohne Berücksichtigung der Schwankungen (Turbulenzen) in Längsund Querrichtung bleibt letztlich unbefriedigend, dem in der Praxis stehenden anwendungsorientierten Ingenieur bleibt aber keine andere Wahl, solange keine einfachen praxisorientierten Turbulenzmodelle vorliegen.

Da Re < 2320 ist, ist die Strömung laminar. Die Rohrreibungszahl folgt aus Gleichung 4.130 64 64 l=5=8 Re 1775

l = 0,036

l r –2 p1 – p2 = l · 3 · 3 · w d 2 1000 900 p1 – p2 = 0,036 · 8 · 7 · 1,422 0,05 2 p1 – p2 = 654 000 Pa p 1 – p2 = 6,54 bar

Bei der Ableitung von Geschwindigkeitsverteilung und Druckabfall der laminaren Rohrströmung genügte die Berücksichtigung der Newton’schen Schubspannungen, bei der turbulenten Rohrströmung muss zusätzlich noch die Beschaffenheit der Rohrwand, insbesondere die Rauigkeit beachtet werden. 4.7.3.2

Geschwindigkeitsverteilung

Die Kurve der Geschwindigkeitsverteilung in Abhängigkeit vom Rohrradius r (Bild 4.85) ist strenggenommen eine Kurve der zeitlichen Mittelwerte der Geschwindigkeit, während eine Messung der momentanen Geschwindigkeitswerte einen zickzackartigen Linienzug um die Mittelwertskurve ergeben würde. L. PRANDTL (s. Namensverzeichnis) hat diese Tatsache wie folgt beschrieben: . «Bezogen auf die Mittelwerte wird die turbulente Rohrströmung trotz ihrer Schwankungen zu einer in den Mittelwerten stationären Strömung.»

156

Inkompressible Strömungen

laminare Grenzschicht turbulente Strömung k dl momentane Geschwindigkeit

rm

r0

w Bild 4.85

r

r

wmax

d

d

dr

MittelwertsGeschwindigkeit

Geschwindigkeitsverteilung der turbulenten Rohrströmung

Auch bei der turbulenten Rohrströmung haftet die Flüssigkeit infolge ihrer Viskosität an der Rohrwand, d. h., die Geschwindigkeit w wird für r = r0 = d/2 zu 0. Innerhalb einer dünnen Grenzschicht baut sich die Geschwindigkeit nach der parabolischen Geschwindigkeitsverteilung der Laminarströmung auf. Die Grenzschichtdicke d l lässt sich nach folgenden Gleichungen abschätzen:

c) nach L. SCHILLER [4.44]: 8 dl = 9 · d Re · l

(Gl. 4.131c)

d) nach H. BRAUER [4.45]: d02 200/l d l = 04 · d Re

(Gl. 4.131d)

a) nach L. PRANDTL [4.42]: 62,7 d l = 01 ·d Re 0,875

(Gl. 4.131a)

b) nach O. KIRSCHMER [4.43]: 32,8 d l = 04 · d Re · d4 l

(Gl. 4.131b)

wobei l die weiter unten ausführlich behandelte Rohrreibungszahl ist.

Leider erhält man nach den 4 angeführten Formeln in vielen praktischen Anwendungsfällen sehr unterschiedliche Ergebnisse. Innerhalb des turbulenten Strömungsbereichs ist das Geschwindigkeitsprofil wesentlich flacher als das der laminaren Rohrströmung. Die Geschwindigkeitsverteilung hängt von der Reynolds-Zahl Re und von der Wandrauigkeit k ab. In Bild 4.86 a ist die Geschwindigkeitsverteilung im glatten Rohr nach [4.46], in Bild 4.86b im rauen Rohr nach [4.47] dargestellt. Je größer die Reynolds-Zahl und je glatter die

Stoffströme in geschlossenen Rohrleitungen

157

Bild 4.86 a Geschwindigkeitsverteilung im glatten Kreisrohr in Abhängigkeit von der Reynolds-Zahl nach [4.46]

Rohrwand, desto flacher ist die, die Geschwindigkeitsvektoren w einhüllende Kurve. Mit guter Näherung lässt sich die Hüllkurve durch die einfache mathematische Funktion

冢 冣

d –1 –r n 3 w 2 2 · r –1 = 0 = 1–7 n 8 wmax d d 3 2

冢

冣

(Gl. 4.132)

beschrieben, wobei der Exponent n von der Reynolds-Zahl und der Wandrauigkeit abhängt.

In [4.48] wird für glatte und raue Rohre folgende Näherungsformel zur Abschätzung von n angegeben: 1 n≈ 6 l d4

(Gl. 4.133)

wobei l die bereits in Gleichung 4.130 eingeführte und weiter unten noch ausführlich behandelte Rohrreibungszahl ist. In Bild 4.87 ist der Exponent 1/n in Funktion der Rohrreibungszahl l dargestellt, in Tabelle 4.13 wird n nach [4.49] für einige ReynoldsZahlen und Rauigkeitswerte angegeben.

158

Inkompressible Strömungen Bild 4.86 b Geschwindigkeitsverteilung im rauen Kreisrohr in Abhängigkeit von der relativen Rauigkeit nach [4.47]

In [4.50] ist ein universelles Geschwindigkeitsverteilungsgesetz, basierend auf Betrachtungen von TH. VON KÁRMÁN [4.51] hergeleitet und ausführlich beschrieben. Der durch das Rohr strömende Volumenstrom V˙ kann einerseits durch Integration des Geschwindigkeitsfeldes w = f (r), andererseits – bemittels der mittleren Geschwindigkeit w rechnet werden (Gl. 6.22): d/2

d/2

Ú

Ú

0

0

– · p · d2 V˙ = w · 2 · p · r · dr = 2 p w · r · dr = w 3 4 Durch Einsetzen von

冢

冣

2 · r –1 w = wmax · 1 – 8 n d nach Gleichung 4.132 erhält man folgende Beziehung zwischen der mittleren Geschwindig-

– und der maximalen Geschwindigkeit keit w wmax in der Rohrachse: 2 · n2 –=w · w max 008 = wmax · b (n + 1) · (2n + 1) (Gl. 4.134) Der Wert b kann für einige Werte von n aus Tabelle 4.13 abgelesen werden. Für grobe Überschlagsrechnungen und weniger genaue Messungen kann die mittlere – zu 80...88% der MaximalGeschwindigkeit w geschwindigkeit wmax angenommen werden. Man kann nachweisen, dass die mittlere – unabhängig Strömungsgeschwindigkeit w vom Exponenten n immer am gleichen Radius rm = 0,777 · r0 = 0,389 · d auftritt. Die kinetische Energie der Strömung im Rohrquerschnitt berechnet sich ohne Berück-

Stoffströme in geschlossenen Rohrleitungen

159

Bild 4.87 Zusammenhang zwischen Exponent 1/n und Rohrreibungszahl l nach [4.48]

Tabelle 4.13

Kennwerte der turbulenten Strömung im Kreisrohr hydraulisch glatt

hydraulisch rau

Re

k/d

4 · 103

104

105

106

3 · 10 – 2

1,2 · 10 – 2

4 · 10 – 3

Exponent n

6

6,5

7

8,6

4

5

6

Geschwindigkeitsbeiwert b

0,7912

0,8048

0,8167

0,8466

0,7111

0,7576

0,7912

Energiestrombeiwert a

1,077

1,066

1,058

1,04

1,156

1,106

1,077

Impulsstrombeiwert g

1,027

1,023

1,020

1,014

1,055

1,037

1,027

sichtigung des Geschwindigkeitsprofils aus dem Massenstrom m˙ und der mittleren Ge–. schwindigkeit w m˙ – 2 r – 2 = r · p · d2 · w –3 = 3 · V˙ · w E˙ *kin = 3 · w 3 3 2 2 2 4 – kann man nach Gleichung 4.134 setzen: Für w r p E˙ *kin = 3 · 3 · d 2 · w 3max · b 3 2 4 Da die Geschwindigkeit ungleichmäßig über dem Rohrquerschnitt verteilt ist, erhält man die «wahre» kinetische Energie durch Integration: d/2

E˙ kin =

dm˙

d/2

r

r

d/2

Ú 62 · w = Ú 32 · dV˙ · w · = 32 · Ú w · dA

0

2

0

2

3

0

mit dA = 2 · p · r · dr r E˙ kin = 3 · 2 · p · 2

d/2

Ú w · r · dr 3

0

Setzt man für die örtliche Geschwindigkeit w = f (r) den Ausdruck von Gleichung 4.132 ein, erhält man: d/2

E˙ kin = r · p · w 3max ·

Ú 冢1 – 8 d 冣 2·r

3/n

· dr

0

p · d2 1 E˙ kin = r · 9 · w 3max · 009 4 3 3 3+1 · 3+2 n n

冢

冣冢

冣

160

Inkompressible Strömungen

* , Bildet man das Verhältnis aus E˙ kin und E˙ kin ergibt sich folgender Korrekturwert a, der auch als Energiestrombeiwert bezeichnet wird: E˙ kin a=7 E˙ *kin p · d2 r · 9 · w 3max 4 a = 0000007 3 3 r p · d2 3 3 3 + 1 · 3 + 2 · 3 · 9 · w max · b n n 2 4

冢

冣冢

冣

冣冢

冣

[(n + 1) · (2n + 1)]3 a = 00002 3 3 4 · 3 +1 · 3 + 2 · n 6 n n

冢 冣冢

d/2

I˙ = r · Ú w2 · dA = r · Ú 2 · p · r · w2 · dr A

0 d/2

= 2 · r · p · Ú w2 · r · dr 0

Durch Verwendung von Gleichung 4.132 erhält man letztlich: d/2

p · d2 I˙ = 2 · r · 9 · w 2max · 4

2 a = 0007 3 3 3 3 +1 · 3 + 2 · b n n

冢

Der gemäß Geschwindigkeitsprofil integrierte exakte Wert lautet:

(Gl. 4.135)

冣

In Tabelle 4.13 sind einige Werte von a aufgeführt. · Definiert man den Impulsstrom I als Produkt aus Massenstrom m˙ und Geschwindigkeit w, kann ebenfalls wie beim Energiestrom E˙ kin ein einfacher Mittelwert formuliert werden: 2 2 –=r·p·d ·w – 2 = r · p · d · w2 · b 2 I˙* = m˙ · w max 8 9 4 4

0

冣

2/n

· r · dr

1 p · d2 I˙ = 2 · r · 9 · w 2max · 000 4 2 2 3 + 2 · 3 +1 n n

冢

冣冢 冣

Definiert man den Impulsstrombeiwert g als Quotienten aus I˙ und I˙ *, lässt sich folgender Zusammenhang zwischen g und dem Exponenten n herleiten: p · d2 2 · r · 8 · w 2max · (n + 1)2 · (2n +1)2 I˙ 4 g = 3 = 0000008 I˙ * 2 2 p · d2 2 4 3 + 2 · 3 +1 · r · 8 · w max · 4 · n n n 4

冢

冣冢 冣

(n + 1)2 · (2n + 1)2 g = 00002 2 2 2 · n4 · 3 + 2 · 3 + 1 n n

冢

p · d2 4 · n4 I˙* = r · 8 · w 2max · 000 4 (n + 1)2 · (2n + 1)2 Weitere Einzelheiten finden sich in [6.54].

Ú冢

2·r 1–7 d

(Gl. 4.136)

冣冢 冣

Tabelle 4.13 enthält einige Zahlenwerte für g.

Beispiel 27

Ø 500

Aufgabenstellung:

An 5 Messpunkten I...V werden folgende Strömungsgeschwindigkeiten gemessen: WI oder WII

I

II

WV WIII oder WIV

V IV

III

400

In einer Rohrleitung von 500 mm Innendurchmesser strömt kalte Luft von 20°C und 1000 mbar.

In der Rohrachse: wV = 28 m/s am Durchmesser 400 mm: wI 22,9

冨

w II 22,7

冨

w III 23,1

冨

w IV 22,8

冨

m/s

Der durch das Rohr strömende Volumenstrom V˙ ist abzuschätzen!

Stoffströme in geschlossenen Rohrleitungen Lösung: a) Die mittlere Geschwindigkeit am Durchmesser dM = 400 mm beträgt: wI + wII + wIII + wIV – w I...IV = 0004 4 22,9 + 22,7 + 23,1 + 22,8 – w I...IV = 00002 4 – w = 22,88 m/s I...IV b) Da auch die Strömungsgeschwindigkeit in der Rohrachse zu wV = 28 m/s gemessen wurde, kann aus Gleichung 4.132 der Exponent n des Geschwindigkeitsprofils bestimmt werden.

冢 冣 22,8 400 = 冢1 – 7冣 7 28 500

w I...IV 2·r = 1–7 9 wV d

1/n

1/n

2 · 7,97 2 – = 28 · w 00802 (7,97 + 1) · (2 · 7,97 + 1) – = 23,41 m/s w – gehörende Reynolds-Zahl d) Über die zu w kann die Richtigkeit des Exponenten n überprüft werden: –·d w Re = 9 n Die kinematische Viskosität n von 20°C kalter Luft beträgt nach Tafel 16:

n = 15,13 · 10 – 6 m2/s (bei p = 1000 mbar)

Re = 777 629 Nach Tabelle 4.13 liegt der Exponent n im richtigen Bereich.

0,81714 n = 0,2

e) Der gesuchte Volumenstrom V˙ berechnet – sich aus der mittleren Geschwindigkeit w und dem Rohrquerschnitt:

log 0,2 n = 702 log 0,81714

2 2 – · p · d = 23,41 · 0,5 · p V˙ = w 9 93 4 4

n = 7,97 c) Damit kann mit Hilfe von Gleichung – im 4.134 die mittlere Geschwindigkeit w Rohrquerschnitt berechnet werden:

Druckabfall

Der Druckabfall in turbulent durchströmten Kreisrohren (Re > 2320) ist erfahrungsgemäß proportional zur Rohrlänge l und zum Staudruck der mittleren Strömungsgeschwindig– sowie umgekehrt proportional zum keit w Rohrinnendurchmesser d. Der Druckabfall verläuft linear (Bild 4.88) l r –2 Dpv = l · 3 · 3 · w d 2

2 · n2 –=w · w max 008 (n + 1) · (2n + 1)

23,41 · 0,5 Re = 00 15,13 · 10 – 6

0,81714 = (1 – 0,8)1/n

4.7.3.3

161

(Gl. 4.137a)

V˙ = 4,6 m3/s

–2 l w hv = l · 3 · 8 d 2·g

(Gl. 4.137b)

Der Proportionalitätsbeiwert l ist die bereits in Abschnitt 4.7.2, Gleichung 4.130 eingeführte dimensionslose Rohrreibungszahl. Im Allgemeinen ist die Rohrreibungszahl l eine Funktion der Reynolds-Zahl Re und der relativen Rauigkeit d/k.

l = f (Re und d/k)

162

Inkompressible Strömungen

turbulente Strömung

k dl

aa)

hydraulisch glatt turbulente Strömung

Bild 4.88

Druckabfall im Kreisrohr

Im Gegensatz zur laminaren Rohrströmung lässt sich die Rohrreibungszahl der turbulenten Rohrströmung nicht theoretisch herleiten, sondern muss in Modellversuchen oder durch Messungen an Originalrohren ausreichender Länge experimentell ermittelt werden, wobei eine besondere Schwierigkeit darin besteht, die Wandrauigkeit präzise zu definieren. Je nach Kombination Reynolds-Zahl Re – relative Wandrauigkeit d/k ergeben sich, wie schon BLASIUS [4.52] und NIKURADSE [4.46; 4.47] festgestellt haben 3 verschiedene Bereiche für die Rohrreibungszahl l: a) Hydraulisch glatte Rohre Die Rohrreibungszahl l hängt allein von der Reynolds-Zahl Re ab, nicht dagegen von der Wandbeschaffenheit, da die laminare Wandgrenzschicht die Wandrauigkeiten vollständig einhüllt, d. h. quasi auffüllt (Bild 4.89 a). Hydraulisch glatte Rohrströmung liegt vor, wenn die Grenzschichtdicke dl viel größer ist als die Wandrauigkeit k oder in Zahlen ausgedrückt, wenn gilt: k Re · 3 < 65 d Andere Autoren geben an, dass die Wertekombination k l · 3 > 14 Re · d3 d sein muss, wenn hydraulisch glatte Rohrströmung herrschen soll, wobei dieser Grenzwert nur bis zu Reynolds-Zahlen von

dl

b)

k

Übergangsgebiet turbulente Strömung

dl

c)

k

hydraulisch rau

Bild 4.89 Definitionen der Strömungszustände an der Rohrwand

冢 冣

d d Re ≤ 28 · 3 · lg 5,6 3 k k gilt [4.56].

b) Rohre im Übergangsgebiet Einige Rauigkeitserhebungen dringen durch die laminare Wandgrenzschicht (Bild 4.89b) und beeinflussen das Widerstandsverhalten der Strömung, so dass die Rohrreibungszahl l sowohl von der Reynolds-Zahl Re als auch von der relativen Rauigkeit d/k abhängt:

l = f (Re und d/k) In [4.53] wird als einfacher Grenzwert für den Strömungszustand im Übergangsgebiet

d l > k/4 angegeben, wobei nach [4.56] das Übergangsgebiet zwischen den Grenzwerten

163

Stoffströme in geschlossenen Rohrleitungen k l · 3 ≤ 200 14 ≤ Re · d3 d liegt. Weiterhin findet man in der Fachliteratur die Bereichsangabe k 65 < Re · 3 < 1300 d In Bild 4.90 sowie in Tafel 30 ist das Übergangsgebiet in anschaulicher Form dargestellt. c) Hydraulisch raue Rohre Ragen die Unebenheiten k der Wand deutlich aus der laminaren Grenzschicht mit der Dicke d l heraus (Bild 4.89 c), verhält sich das Rohr hydraulisch rau, die Rohrreibungszahl l hängt nur noch von der relativen Rauigkeit d/k ab. k dl 0,03 0,06 0,1 0,15 0,3 0,60,91,21,82,43,0 6,0 2 2

+ 2 · lg

k d

4 1,14

1 1 3

0

-1 0 1

2

5

10

2

5

102 2

5

103 2

5

104

k d 1 2 3 4

hydraulisch glatt künstliche Rauigkeit nach NIKURADSE technische Rauigkeit nach COLEBROOK vollkommen rau Übergangsbereich glatt-rau

Bild 4.90 Die verschiedenen Rauigkeitsbereiche in Zusammenhang mit der Reynolds-Zahl nach [4.43]

1

1

{

Grenzschicht 2

Bild 4.91

{

Grenzschicht 2

3

a)

In [4.43] wird als Grenzwert für raues Verhalten k > 6 · d l , in [4.53] k > 4 · d l angegeben. k Andere Autoren geben Re 3 > 1300 an. d In [4.43] findet sich ein Diagramm, in dem die 3 Strömungsbereiche glatt – Übergang – rau nach NIKURADSE [4.47] und COLEBROOK [4.54] dargestellt sind (Bild 4.90). Der Zahlenwert der Rauigkeit k (z.B. nach Tafel 31) ist nicht allein durch die Größe der Rauigkeiten bestimmt, sondern auch durch deren Form und Verteilung. NIKURADSE [4.47] benutzte bei seinen zahlreichen Versuchen Sand gleichförmiger Körnung, die durch die Maschenweite von Sieben definiert war. Man spricht deshalb von Sandrauigkeit oder künstlicher Rauigkeit. COLEBROOK [4.54] und MOODY [4.55] untersuchten dagegen Rohre mit technischer, d.h. «statistisch gleichförmiger» Rauigkeit, wie sie in der Praxis vorkommen. In Bild 4.91 kann man die unterschiedlichen Reaktionen der Grenzschicht auf die beiden Rauigkeitsarten erkennen, wobei diese Darstellung stark vereinfacht ist. Die Grenzschicht 1 überdeckt bei beiden Rauigkeitsarten die Rauigkeitserhebungen k, d.h., die Rohre werden hydraulisch glatt durchströmt. Wird mit zunehmender Reynolds-Zahl Re die Grenzschicht dünner (Gleichung 4.131), so überdeckt die Grenzschicht 2 zwar noch alle Sandkörner, von der technischen Rauigkeit ragen aber schon einzelne Spitzen aus der Grenzschicht heraus (siehe auch Bild 4.89b), die Rohrströmung liegt im Übergangsgebiet. Geht die Grenzschichtdicke d l noch weiter zurück – Grenzschicht 3 –, so tauchen plötzlich alle Sandkörner aus der Grenzschicht auf, der Übergang von «glatt» auf «rau» erfolgt schlagartig.

3

kS Sandrauigkeit (NIKURADSE)

b)

k natürliche Rauigkeit (COLEBROOK)

Vergleich zwischen a) Sandrauigkeit und b) natürlicher Rauigkeit

l = 0,0032 + 0,221 · Re – 0,237

b) Formel von NIKURADSE für den Bereich 105 < Re < 5 · 106

l = 0,3164 · Re– 0,25

(Gl. 4.138b)

k l = 0,0055 + 0,15 · 3 d

冢冣

b) Formel von MOODY

1 d = 2 · lg 3 + 1,14 5 3 k dl

1/3

(Gl. 4.139 b)

(Gl. 4.139 a)

冥

冢

冣

1 Re = 1,8 · lg 007 5 l k d3 Re · 73 + 7 10 · d

b) Formel von ALTSCHOUL

1 2,51 k = – 2 · lg 73 + 3 0,269 5 3 3 Re d l d dl

冤

)

(Gl. 4.140b)

(Gl. 4.140a)

Formel für l: a) Formel von PRANDTL u. COLEBROOK

Formeln für l: a) Formel von NIKURADSE

Formeln für l: a) Formel von BLASIUS für den Bereich 2320 < Re 1300 d

k Abgrenzung: Re · 3 < 65 d

d/k = konst

Rohre im Übergangsgebiet

log Rohrreibungszahl l

Hydraulisch raue Rohre

log Rohrreibungszahl l

Hydraulisch glatte Rohre

Tabelle 4.14 Rohrreibungszahl l bei turbulenter Rohrströmung –·d w Re = 7 > 2320 n

log Rohrreibungszahl l

164 Inkompressible Strömungen

Stoffströme in geschlossenen Rohrleitungen

冢

冢

冣冣

8 1 + 96 Re · k/d l = 00832 d 2 · lg 3,71 · 3 k

(Gl. 4.140c)

Deshalb unterscheiden sich auch die beiden Kurvenzüge 2 (nach NIKURADSE) und 3 (nach COLEBROOK) in Bild 4.90 so deutlich im Übergangsgebiet (blauer Bereich), während k l · 3 ≈ 200 gleich sie ab dem Grenzwert Re · d3 d verlaufen, d.h. zusammenfallen. Die Rohrreibungszahl l kann entweder als Funktion von Reynolds-Zahl Re und relativer Rauigkeit d/k aus Tafel 30 entnommen oder mit Hilfe der in Tabelle 4.14 angegebenen empirischen Formeln berechnet werden. Neben der Berechnung des Druckabfalls nach Gleichung 4.137 sind in der Praxis noch folgende Verfahren geläufig: a) Rechenprogramme für PC und rechner, b) Diagramme, Nomogramme und die sich insbesondere in Handschenbüchern finden, c) Spezielle Rechenschieber oder scheiben, die allerdings immer eingesetzt werden.

冣冣 冢 冢

Tabellen, und TaRechenweniger

冢 冣

l r V˙ Dpv = l · 3 · 3 · 0 d 2 p d2 · 3 4

(Gl. 4.138d)

(Gl. 4.138c)

2

bis Re ≈ 2 · 106

0,396 l = 0,0054 + 9 Re 0,3

8 1 Dpv = l · 42 · r · l · 45 · V˙ 2 d p d) Formel von HERMANN:

1 = 2 · lg (Re · d3 l ) – 0,8 5 l d3

c) Formel von PRANDTL und v. KÁRMÁN für den Bereich Re > 106

Taschen-

Ersetzt man in Gleichung 4.137 die mittlere – durch den QuoStrömungsgeschwindigkeit w tienten aus Volumenstrom V˙ und Rohrquerp schnitt 3 · d 2, kann der Druckabfall Dpv als 4 Funktion von Rohrdurchmesser d und Volumenstrom V˙ dargestellt werden:

0,25 l = 00432 d lg 3,71 · 3 k

c) Formel von ECK

(Gl. 4.139c)

c) Formel von CITRINI

Rohre im Übergangsgebiet Hydraulisch raue Rohre Hydraulisch glatte Rohre

(Fortsetzung) Tabelle 4.14

165

(Gl. 4.141)

Bei der turbulenten Rohrströmung (Re > 2320) ist der Druckabfall Dpv proportional zur Rohrlänge l, umgekehrt proportional zur 5. Potenz des Rohrdurchmessers d und proportional zum Quadrat des Volumenstroms V˙ .

166

Inkompressible Strömungen

a)

b)

c)

Bild 4.95 Abhängigkeit des Druckabfalls der turbulenten Rohrströmung von verschiedenen Parametern; a) Rohrlänge, b) Rohrdurchmesser, c) Volumenstrom

n

ste

ko mt

us pl n e t t Minimum os ns sk ldie der Gesamkosten n itio ita st ap e v K

sa

Kosten

Ge

In

Energie

kosten

dwirt Rohrdurchmesser d Bild 4.96 Zur Erklärung des wirtschaftlichen Rohrdurchmessers

In Bild 4.95 sind diese Zusammenhänge grafisch dargestellt, wobei zu beachten ist, dass jeweils nur 1 Parameter variabel ist. Würde man die Abhängigkeit der Rohrreibungszahl l von der Reynolds-Zahl Re und von der rela-

tiven Rauigkeit d/k mit in Gleichung 4.141 einbeziehen, beispielsweise unter Nutzung der in Tabelle 4.14 angegebenen Gleichungen, ergäben sich je nach Strömungszustand glatt – Übergang – rau beim Rohrdurchmesser d und beim Volumenstrom V˙ etwas geänderte Exponenten. Die Investitionskosten für Rohrleitungen wachsen mit einem von Kapitaldienst, Lohnund Materialkosten usw. abhängenden Exponenten für den Rohrdurchmesser d, während die Energiekosten für den Stofftransport in der Rohrleitung gemäß Gleichung 4.141 etwa mit der 5. Potenz des Rohrdurchmessers d abnehmen. Vergleicht man beide Kostenarten, erhält man den wirtschaftlichen Rohrdurchmesser d wirt einer Rohrleitung (Bild 4.96). In Tafel 32 sind die aufgrund solcher Kostenoptimierungen abgeschätzten wirtschaft– für verschielichen Geschwindigkeiten w dene Fluide abhängig vom Rohrdurchmesser d dargestellt. In Beispiel 28 wird der Druckverlust in einer Rohrleitung mit 500 mm Innendurchmesser berechnet:

Stoffströme in geschlossenen Rohrleitungen

Beispiel 28 Aufgabenstellung: Durch eine horizontale Stahlrohrleitung von 2 km Länge und 500 mm ∆ strömen in der Stunde 1200 m3 Wasser von 15 °C. Wie groß ist der entstehende Druckverlust, wenn der Rauigkeitswert k mit 0,1 mm angenommen wird? Lösung: Die mittlere Strömungsgeschwindigkeit ergibt sich aus der Kontinuitätsgleichung: ˙ 1200 – =V = w 3 001 = 1,7 m/s A 3600 · 0,196 Damit lässt sich die Reynolds-Zahl Re berechnen: –·d w 1,7 · 0,5 Re = 9 = 08 n 1,13 · 10 – 6 Re = 7,5 · 105 Die Strömung ist turbulent. Zum Überprüfen des Strömungszustands im Rohr wird der Ausdruck Re · k/d bestimmt: –3

k 0,1 · 10 Re · 3 = 7,5 · 105 · 06 d 0,5 k Re · 3 = 150 d

4.7.4

Druckabfall in Rohrleitungen mit kreisförmigem Querschnitt bei Strömung nicht Newton’scher Flüssigkeiten

4.7.4.1

Einleitung

Für nicht Newton’sche Flüssigkeiten, deren Fließeigenschaften in Abschnitt 1.4.3 beschrieben sind, kann weder die Geschwindigkeitsverteilung noch der Druckabfall mit ähnlicher Genauigkeit und einfachen Ansätzen bestimmt werden wie bei Newton’schen Flüssigkeiten.

167

Nach Tabelle 4.14 liegt die Rohrströmung im Übergangsgebiet, da Re · k/d > 65 und 1 wahrer Viskositätsverlauf

Steigung:

wa

hr es

Fli

eß

ve rh

log D

alt en

Viskositätsfunktion nach Gl. (4.143)

1 m –1 log t

log D

Bild 4.97 Fließverhalten nicht Newton’scher Flüssigkeiten (nach [4.57])

169

Stoffströme in geschlossenen Rohrleitungen Tabelle 4.15

Fließexponent m und Fluidität f einiger handelsüblicher Thermoplastschmelzen

Polymertyp

Handelsname

Temperatur °C

Fließexponent m

Fluidität f Pa – m · s – 1

PC PA 12 PETP HDPE PMMA LDPE PP PS

Makrolon 2800 Vestamid L2101 Rynite 935 NC 10 Hostalen GM 5010 T2 Plexiglas 7 H Lupolen 1840 D Vestolen P 5200 Polystyrol 168 N

320 200 310 200 220 190 200 230

1,06 1,89 2,19 2,26 2,36 2,76 3,60 4,22

1,84 · 10– 3 6,55 · 10– 9 9,41 · 10– 9 1,79 · 10– 10 2,32 · 10– 11 2,00 · 10– 12 6,09 · 10– 16 7,64 · 10– 19

4.7.4.3

Repräsentative Viskosität

4.7.4.4

Zur Berechnung der dimensionslosen Kennzahlen und des Druckverlustes von Flüssigkeiten mit gekrümmten Fließkurven wird die Viskosität durch die sog. repräsentative Viskosität h r ersetzt, die so definiert ist, dass die Widerstandscharakteristik des nicht Newton’schen Fluids identisch ist mit der Charakteristik eines Newton’schen Fluids bei laminarer Strömung. Da die repräsentative Viskosität vom Schergefälle D abhängt, ist sie keine Stoffkonstante mehr. Die repräsentative Viskosität h r wird an der Stelle – w Dr = e R · 3 d

冢

mit Re krit = f (m) nach Bild 4.98 bzw. im Mittel Re krit ≈ 2300 kann für den hinter der Einlaufstrecke lA (siehe Abschnitt 4.7.8) liegenden Rohrabschnitt der Druckabfall Dpv mit Hilfe der Hagen-Poiseuille’schen Gleichung (Gleichung 4.127) berechnet werden: – 4 2 · (m + 3) w – Dpv 32 · h r · w = · · 6 = 07 3 07 3 l d2 d f d

冤

冣

Weitere interessante Informationen zur Rohrströmung nicht Newton’scher Flüssigkeiten finden sich in [4.59 bis 4.64]. 2800

V˙ =0 p d2 · 3 4 Re krit

2400

d = Rohrinnendurchmesser abgelesen oder nach folgender Gleichung berechnet:

hr = f

–

冥

1/m

(Gl. 4.148)

(Gl. 4.146)

1 4 6 e R = 8 · 01 m – 1 ≈ 6,64 im Mittel m+3 – w = mittlere Strömungsgeschwindigkeit

– 1 m

Druckverlust

Für hydrodynamisch voll ausgebildete laminare Rohrströmungen mit –·d r·w Re = 03 < Re krit hr

· Dr

1 –1 m

–

(Gl. 4.147)

2000

1600 1

2

3 m

4

5

6

Bild 4.98 Abhängigkeit der kritischen ReynoldsZahl vom Fließexponenten

170

Inkompressible Strömungen

4.7.5

Druckabfall in gewellten Rohren

Die Verwendung flexibler Rohrleitungen in Form von gewellten oder gewickelten Metalloder Kunststoffschläuchen hat in letzter Zeit sehr stark zugenommen. Der Druckabfall Dpv in geraden Well- oder Wickelrohren kann nach der bekannten Beziehung l r –2 Dpv = l · 3 · 3 · w d 2

(Gl. 4.137a)

berechnet werden, wobei die Rohrreibungszahl l ähnlich wie beim ungewellten Rohr von der Reynolds-Zahl Re und von der Wandgeometrie abhängt (Bild 4.99). Auch die Ausbildung und die Intensität der vielen kleinen Wirbel in den Ausbuchtungen der Wellrohre haben einen Einfluss auf Größe und Verlauf der Rohrreibungszahl l.

Bild 4.99

In [4.65] ist sowohl die Systematik der Geometrie als auch die Strömungsfelder der gewellten Rohre ausführlich beschrieben. Weiterhin begründet der Autor in [4.65 und 4.66], dass es physikalisch sinnvoll ist sowohl in Gleichung 4.137a als auch zur Bestimmung der Reynolds-Zahl den Innendurchmesser d des Wellrohres zu verwenden. l-Werte bzw. Re-Zahlen aus anderen Quellen, die sich auf den mittleren Durchmesser dm beziehen, können nach [4.65] wie folgt auf den Innendurchmesser d umgerechnet werden (Bild 4.100):

冢 冣

d ld = lm · 5 dm

5

dm Red = Rem · 5 d

Rohrreibungszahl eines Wellrohres nach Fa. Witzenmann GmbH, Pforzheim

(Gl. 4.149)

(Gl. 4.150)

Stoffströme in geschlossenen Rohrleitungen

h·b b

h

f冢 冣 冢 冣

dm d·a

Bild 4.100

d

Abmessungen eines Wellrohres

Die l-Werte von Wellrohren werden entweder aus Diagrammen der Hersteller (Bild 4.99), aus Handbüchern [4.67] oder Regelwerken [4.68] (Bild 4.101) entnommen oder anhand empirischer Formeln, die auf Versuchsergebnissen beruhen, abgeschätzt. In [4.65] ist für den Bereich 0,2 < h/a < 1,2 und 0,0455 < h/d < 1,0 sowie für Reynolds-

Bild 4.101

Zahlen in der Größenordnung Re ≈ 5 · 104 folgende Formel aus zahlreichen Versuchsergebnissen extrapoliert worden: 1 10 l≈3· 5

a

171

00 h 6 a 7 · 3 3 d h

(Gl. 4.151)

In Bild 42 von [4.65] sind weitere empirische Formeln aus anderen Untersuchungen zusammengestellt. Interessante Informationen finden sich auch in [4.72]. Für turbulente Strömungen wird in [4.67] folgende auf Versuchen beruhende empirische Gleichung zur Abschätzung der Rohrreibungszahl l empfohlen: 0,25 l ≈ 0002 91 2 d·a lg fp · 7 h·b

冤 冢 f 冣冥

Rohrreibungszahl l für flexible Luftleitungen nach [4.68]

(Gl. 4.152)

172

Inkompressible Strömungen

Mit dem empirischen Faktor fp wird die Profilform erfasst, er muss für jeden Schlauchtyp experimentell ermittelt werden. In [4.68] wird ein Diagramm angegeben, in dem die Rohrreibungszahl l als Funktion der Reynolds-Zahl Re und des Quotienten d/h dargestellt wird, wobei die Innendurchmesser d im Bereich 80…500 mm jeweils noch als zusätzliche Parameter mitberücksichtigt werden (Bild 4.101). Dieses Diagramm stellt eine Erweiterung des in Tafel 30 dargestellten allgemeinen Diagramms von COLEBROOK dar, das im Bereich Re > 40 000 und l = 0,03…0,04 spezielle Kurven für l von flexiblen Rohrleitungen enthält. Für gewellte Schläuche aus Gummi, Textilgewebe, Metall und Kunststoff sind in [4.69] zahlreiche Tabellen und Kurven für die Rohrreibungszahl l in Abhängigkeit von Reynolds-Zahl Re und Wandgeometrie angegeben. 4.7.6

Rohre mit nicht kreisförmigen Querschnitten

4.7.6.1

Hydraulischer Durchmesser

Der Druckverlust in geraden Rohren mit nicht kreisförmigem Querschnitt kann nach Gleichung 4.137 a berechnet werden, wenn man den Durchmesser d durch den hydraulischen Durchmesser dh ersetzt. l r –2 Dpv = l · 4 · 3 · w dh 2

(Gl. 4.153)

t·U·l 4·t·l p1 – p2 = 02 = p1 – p2 = 02 A dh 4·A dh = 8 U

(Gl. 4.154)

Gleichung 4.154 kann näherungsweise auch auf nur teilweise ausgefüllte Querschnitte angewandt werden, wobei A und U auf den Flüssigkeitsquerschnitt und nicht auf den Rohrquerschnitt bezogen sind (Bild 4.103). In [4.53] finden sich weitere Informationen über Strömungen in teilgefüllten Rohren.

benetzter Umfang U

Originalrohr p1

t

t

t

t

Dru

t

w

p2 Querschnitt A

cka

t

bfa

ll

Ersatzrohr p1

t

t

t

t

t

t

p2

dh

Bild 4.102 Zur Erklärung des hydraulischen Durchmessers

Der hydraulische Durchmesser dh lässt sich durch Vergleich der Wandreibung in einem Rohr mit beliebigem Querschnitt A und einem «gedachten Ersatzrohr» mit dem Durchmesser d h herleiten (Bild 4.102):

Luft

Rohr mit beliebigem Querschnitt A: Reibkraft t · U · l = Druckkraft A · (p1 – p2)

A

Rohr mit Kreisquerschnitt (Ersatzrohr): Reibkraft t · d h · p · l d h2 · p = Druckkraft 0 (p1 – p2) 4 Die Druckdifferenz p1 – p2 ist bei beiden Rohren gleich groß!

dh = 4 · A U · w= V A

Flüssigkeit

Bild 4.103

Teilgefüllte Rohrleitung

U

Stoffströme in geschlossenen Rohrleitungen 1,5

4.7.6.2 b

1,3 Beiwert f

Bestimmung der Rohrreibungszahl

a) Laminare Rohrströmungen Für laminare Rohrströmungen Re < Re Grenz hängt die Rohrreibungszahl l wie bei der laminaren Strömung im Rohr mit Kreisquerschnitt nur von der Reynolds-Zahl Re und nicht von der Wandrauigkeit k ab.

h

1,4

173

1,2 1,1

konst 64 l=0= j·5 Re Re

1,0 0,9 0,8 0

(Gl. 4.155)

0,890 0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Seitenverhältnis h/b Bild 4.104 Beiwert j von Rechteckquerschnitten nach [4.61]

Formeln zur Berechnung des hydraulischen Durchmessers, der von einigen Autoren auch als gleichwertiger Durchmesser bezeichnet wird, sind für die wichtigsten Querschnitte in Tabelle 4.16 zusammengestellt.

Die Konstante konst bzw. der Beiwert j hängen nur von der Querschnittsform ab und können aus Tabelle 4.16 entnommen werden. Die Grenz-Reynolds-Zahl ReGrenz für den Umschlag von laminarer in turbulente Strömung hängt ebenfalls von der Querschnittsform ab und liegt etwa im Bereich ReGrenz = 2300…4000.

Bild 4.105 Beiwert j von elliptischen Querschnitten nach [4.61]

174

Inkompressible Strömungen

Tabelle 4.16 Hydraulischer Durchmesser dh und Rohrreibungszahl l für laminare Strömungen in nicht kreisförmigen Querschnitten Form Rechteck

dh

l

2·b·h

64 a) l = j · 4 Re j nach Bild 4.104

01 b+h

h

oder j = 0,878 + 0,0566 · e + 0,758 · e2 – 0,193 · e3

b

b–h mit e = 8 b+h

nach [4.61]

b) nach LEA und TACHOS [4.71]:

冢 冣

h 3 56,9 + 39,1 · 1 – 21 b l = 0002 Re c) Sonderfall: Quadrat b = h nach BOUSSINESQ [4.71]: 56,9 l=7 Re Gleichschenkliges Dreieck

nach SMITH [4.61; 4.71]

d00 4 · a2 · b2 – a4

53,4 l=7 Re

002 a + 2b b

b

a

4·A*

Ellipse

64 a) l = j · 4 Re

7 U b

2·a·b ≈0 a+b

a

*

2 · d01 2·a·b ≈ 701 d01 a2 + b2

[4.70] (Autor)

j nach Bild 4.105

冢

冣

a–b b) j ≈ 1,12 – 0,12 · cos 2,9 · 71 a+b

p·a·b A = 01 4 U=f·a

–ba

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

f

2,032

2,101

2,193

2,3013

2,4221

2,5527

2,6912

2,8362

2,9862

[4.61]

175

Stoffströme in geschlossenen Rohrleitungen Tabelle 4.16

(Fortsetzung)

Form

dh

l 64 a) l = j · 4 Re

Kreisring konzentrisch

j nach Bild 4.106

冤

冥

64 (1 – q)2 b) l = 4 · 0012 Re 1–q 1 + q2 + 8 ln q nach [4.61] und [4.70]

r q = 3i ra

2 · (ra – ri ) exzentrisch

64 a) l = j · 4 Re

j nach Bild 4.106

冤

冥

64 (1 – q)2 1 b) l = 4 · 001 · 0052 2 Re 1 – q 3 e 1 + q2 + 8 1 + 21 · 9 ln q 2 ra – ri nach [4.61]

Bild 4.106 Beiwert j von Kreisringquerschnitten nach [4.103]

冢

冣

176

Inkompressible Strömungen Bild 4.108 aus [4.61] zeigt den geringen Streubereich für l abhängig vom Radienverhältnis ri/ra von Ringkanälen im ReynoldsZahl-Bereich bis 106. Für praktische Berechnungen wird deshalb empfohlen l mit Hilfe von Tafel 30 zu bestimmen:

b) Turbulente Rohrströmungen Bei turbulenten Rohrströmungen mit Reynolds-Zahlen über der Grenz-Reynolds-Zahl hängt die Rohrreibungszahl l von der mit dem hydraulischen Durchmesser d h und der – = V˙ /A mittleren Strömungsgeschwindigkeit w gebildeten Reynolds-Zahl Re und von der relativen Wandrauigkeit d h/k ab. Die Querschnittsform hat nur einen geringen Einfluss, wie schon SCHILLER in [4.44] beschrieben hat. In Bild 4.107 aus [4.44] sind die l-Werte von glatten Rohren verschiedener Querschnitte bis zu Reynolds-Zahlen von über 105 dargestellt.

– d dh dh · w h l = f Re; 4 = f 9 ; 4 n k k

冢

冣 冢

冣

(Gl. 4.156)

mit dh nach Gleichung 4.154 – = V˙ aus der Kontinuitätsgleichung. und w 3 A

20 16

Rohrreibungszahl 100 l

12 10 8

laminar laminar

6 5 4 3

turbulent

turbulent

2 1,6 1,2 4 5

7

103

2

3

4 5

7

104

2

3

4 5

7

105

2

3

Reynolds-Zahl Re Bild 4.107

Rohrreibungszahl l für glatte, gerade Rohre verschiedener Querschnitte nach [4.44]

Beispiel 29

Lösung:

Aufgabenstellung:

Die Fläche der Ellipse berechnet sich zu a b A=p·3·3 2 2 A = p · 0,25 · 0,5 = 0,392 m2 Der benetzte Umfang beträgt: U = f · a; f = 2,4221 nach Tabelle 4.16 U = 2,4221 · 1 = 2,4221 m

Durch ein elliptisches Abwasserrohr aus Beton (k = 0,5 mm) mit den in Bild 4.109 eingetragenen Abmessungen fließen stündlich 1000 m3 Wasser von 15 °C. Wie groß ist der je 1 km Rohrlänge entstehende Druckabfall Dpv ?

4

177

Stoffströme in geschlossenen Rohrleitungen

1,0 m

Damit sind alle Werte zur Bestimmung der dh Reynolds-Zahl Re, relativen Rauigkeit 4 k und Rohrreibungszahl l bekannt. – 0,65 · 0,71 dh · w Re = 9 = 09 = 4,1 · 105 n 1,12 · 10– 6 dh 647 4 = 6 = 1294 k 0,5 Bild 4.109

0,5 m

Beispiel 29

Aus Querschnittsfläche A und benetztem Umfang U berechnet sich der hydraulische Durchmesser dh nach Gleichung 4.154: 4 · A 4 · 0,392 dh = 8 = 05 = 0,647 m U 2,4221 nach der Gleichung in Tabelle 4.16 ergibt sich: 2 · a · b 2 · 1 · 0,5 dh ª 02 = 05 = 0,667 m a+b 1 + 0,5 Die mittlere Strömungsgeschwindigkeit ergibt sich aus Gleichung 4.8: ˙ 1000 – =V = w 3 00 A 3600 · 0,392 – = 0,71 m/s w

10–1 8

Rohrreibungszahl l

6 4

Aus Tafel 30 wird für Re = 4,1 · 105 und dh/k = 1294 eine Rohrreibungszahl l von

l ≈ 0,02 entnommen. Damit lässt sich der Druckabfall Dpv nach Gleichung 4.153 berechnen: l r –2 Dpv = l · 4 · 3 · w dh 2 1000 1000 Dpv = 0,02 · 9 · 8 · 0,712 0,647 2 Dpv = 7791 Pa Dpv = 78 mbar Je 1 km Rohrleitungslänge tritt ein Druckabfall von 78 mbar auf.

ri /ra 0,05 0,40 0,70 1,0 0,0

2

10–2 103

2

4

6

8 104

2

4

6

8 105

Reynolds-Zahl Re Bild 4.108

Rohrreibungszahl l für turbulente Strömung in Ringkanälen nach [4.61]

2

4

6

8 106

178

Inkompressible Strömungen

4.7.7

Strömungsverluste in Rohrleitungselementen

4.7.7.1

Grundlagen

Rohrleitungsanlagen bestehen nicht nur aus geraden Rohrstücken, sondern enthalten auch Rohrformstücke zur Querschnitts- und Richtungsänderung oder zur Verzweigung (Trennung, Vereinigung) sowie Armaturen wie Schieber, Ventile, Klappen, Hähne und Drosseleinrichtungen, wie z. B. Blenden, Siebe, Lochbleche usw. In diesen Rohrleitungselementen treten im Vergleich zu geraden Rohrstücken gleicher Baulänge erhebliche zusätzliche Reibungs-, Umlenk- und Ablösungsverluste auf. Nur in wenigen Fällen können die Druckverluste in diesen Rohreinbauten aufgrund theoretischer Ansätze berechnet werden, meistens schätzt man die Druckverluste mit Hilfe von experimentell gewonnenen Beiwerten ab.

r –2 Dpv = z · 3 · w 2

lgl r – 2 Dpv = l · 3 · 3 · w d 2

In Bild 4.110 ist der Druckverlauf längs einer geraden Rohrleitung mit einem Rohreinbauelement dargestellt. Der zwischen Eintritt 햲 und Austritt 햳 des Einbaustückes entstehende Druckverlust berechnet sich nach dem empirischen Ansatz: r –2 Dpv = z · 3 · w 2

(Gl. 4.157)

Dpv Druckabfall z Widerstandsbeiwert r –2 3 · w Staudruck an einer genau definierten 2 Stelle, z.B. am Eintritt 햲 oder Austritt 햳 Genau genommen, müsste man den Druckverlust Dpv aus dem zur Bauteillänge L proportionalen Rohrreibungsanteil und der

L r –2 l·3·3·w d 2

Bild 4.110 Druckabfall an Rohreinbauelementen und Definition der gleichwertigen Rohrlänge

Stoffströme in geschlossenen Rohrleitungen Summe der zusätzlichen Druckverluste zusammensetzen: L r –2 + Dpv, zus Dpv = l · 3 · 3 · w d 2 wobei Dpv, zus die Druckverluste durch Umlenkungen, Querschnittsänderungen, Verteilungen und Ablösung enthält und in den meisten Fällen viel größer ist als der Rohrreibungsanteil. In [4.42] werden praktische Hinweise zur vereinfachten Handhabung obiger Beziehung gegeben. Die Widerstandszahl z ist von der Art des Rohrleitungselementes, d. h. von der Makround Mikrogeometrie und in manchen Fällen auch von der Reynolds-Zahl abhängig.

Streng genommen müsste man in vielen Anwendungsfällen wie bei der Rohrströmung zwischen laminarer und turbulenter Durchströmung der Rohreinbauten unterscheiden, insbesondere bei starkem Einfluss der Reynolds-Zahl.

Die in den folgenden Abschnitten angegebenen z-Werte beziehen sich i. Allg. auf turbulente Durchströmung. – ist die mittlere Die Geschwindigkeit w Strömungsgeschwindigkeit vor oder hinter dem Rohrleitungselement, in Ausnahmefällen auch an anderen, speziell definierten Stellen.

Bei Angabe des Widerstandsbeiwertes z muss deshalb auch immer die zugehörige Bezugsgeschwindigkeit mit angegeben werden!

Um die für die einzelnen Rohreinbauteile zutreffenden Gleichungen zur Abschätzung des Druckabfalles Dpv und die zugehörigen zWerte in den folgenden Abschnitten rasch auffinden zu können, werden vorab in Tabelle 4.17 die notwendigen Hinweise gegeben. Ein früher häufig angewandtes Verfahren, den Druckverlust in einem Rohrelement

179

gleichzusetzen mit dem Druckverlust in einem geraden Rohrstück mit einer gleichwertigen Rohrlänge lgl (Bild 4.110), findet sich kaum noch in der Praxis. r –2 lgl r = l · 4 · 3 · w2 Dpv = z · 3 · w 2 d 2

z lgl = 3 · d l

(Gl. 4.158)

Im Gegensatz zu älteren Auflagen des Buches wird auf die Wiedergabe von Tabellen mit Angaben von lgl -Werten verzichtet. Als charakteristische Kenngröße für das Durchflussverhalten von Armaturen wird häufig der sog. kv-Wert angegeben. Dabei ist der kv-Wert als Volumenstrom V˙ kalten Wassers (5°C…30°C) definiert, der bei einer Druckdifferenz Dpv = 1 bar durch die Armatur strömt.

Im Gegensatz zum z-Wert ist demnach der kvWert nicht dimensionslos und hat die Einheit m3/h. – auf, erLöst man Gleichung 4.157 nach w hält man: – = w

2 · Dp f 01 z·r

66 v

– mit dem StrömungsMultipliziert man w p querschnitt d 2 · 3 ergibt sich der durch die 4 Armatur strömende Volumenstrom V˙ p V˙ = d 2 · 3 · 4

· Dp f 201 z·r 66 v

der bei einem Druckunterschied Dpv = 1 bar , 100000 Pa und einer Dichte r = 1000 kg/m3 identisch wird mit kv dividiert durch 3600: p d2 · 3 · 4

· 100000 k =8 f 2062 z · 1000 3600 667

v

180

Inkompressible Strömungen

Tabelle 4.17

Druckabfall in Rohreinbauelementen Gleichung für den Druckabfall

z -Wert

Rohreinläufe

4.157 4.160

Bild 4.111 Bild 4.112 Bild 4.113

Rohrausläufe

4.161

Tabelle 4.18

plötzliche Rohrerweiterung

4.72, 4.162 4.163, 4.164

Tabelle 4.19

4.171…4.177

Tabelle 4.21

plötzliche Rohrverengung

4.178

(Gl. 4.179) Bild 4.129

Düse

4.178

(Gl. 4.180) (Gl. 4.181) Bild 4.132

Krümmer

4.182

(Gl. 4.183 bis Gl. 4.185) Bilder 4.137 bis 4.149

Kniestücke

4.182

Bilder 4.147 und 4.148

Verzweigungen

4.157 4.186 4.187

Bilder 4.150 4.151 4.152 4.153

4.157

Tabelle 4.24

Absperr- und Regelarmaturen

4.157

Bild 4.155 Bild 4.156 Tabelle 4.25

Drosselgeräte

4.157

(Gl. 4.189) (Gl. 4.190) (Gl. 4.191) Bild 4.159

Filter und Siebe

4.157

Tabelle 4.26 Tabelle 4.27

kombinierte Rohreinbauten

4.200 4.201

Bild 4.165 (Beispiel)

Rohreinbauelement

Diffusor

Kompensatoren Dehnungsausgleicher

Skizze

Stoffströme in geschlossenen Rohrleitungen Daraus können die Umrechnungsformeln für z = f (kv) abgeleitet werden:

冢 冣

d2 z = 1,6 · 10 9 · 4 kv

冢 冣

d2 z = 16 · 4 kv

nen Einlaufströmung mit berücksichtigt werden. In [4.69 bzw. 4.74] sind die Widerstandsbeiwerte zahlreicher Einlaufformen angegeben.

2

d in m

(Gl. 4.159a)

2

d in cm [4.73]

(Gl. 4.159b)

4.7.7.3

Rohrausläufe

Die am Austritt von Druckrohrleitungen vorhandene Strömungsenergie geht bei Ausströmung ins Freie verloren. r –2 Dpv, a = za · 3 · w 2

冢 冣

1 d2 z=6· 4 625 kv

d in mm

(Gl. 4.159c)

Rohreinläufe

Beim Anschluss von Rohrleitungen an Behälterwände bzw. beim Ansaugen in offene Saugleitungen treten je nach Form des Einlaufs mehr oder minder große Druckverluste auf. Die z-Werte für die üblichen Rohreinläufe sind in Bild 4.111 dargestellt. Für die Einlaufströmung in Rohrbündel können die in Bild 4.112 angegebenen z-Werte zugrunde gelegt werden. Wird in der Nähe der Einlauföffnung eine Wand angeordnet (Bild 4.113), erhöht sich die Widerstandszahl z je nach Wandabstand erheblich.

z ges = z + z zus

(Gl. 4.161)

2

Achtung: kv ist der Durchflussvolumenstrom in m3/h!

4.7.7.2

181

(Gl. 4.160)

Der Verlustbeiwert z zus kann aus einer Kurve in Bild 4.113 entnommen werden [4.69; 4.74]. Der am Einlauf eintretende Druckverlust wird mittels Gleichung 4.157 berechnet, wobei die Schwierigkeit naturgemäß in der richtigen Abschätzung des z-Wertes liegt. Weiterhin sollte nach Möglichkeit die Besonderheit der in Abschnitt 4.7.8 beschriebe-

– ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit w p im Rohrquerschnitt 3 · d 2 : 4 ˙ V – = w 0 p 2 3·d 4 Die Widerstandsbeiwerte za hängen vor allem vom Geschwindigkeitsprofil am Austrittsquerschnitt ab und können für verschiedene geometrische Ausführungen des Rohrleitungsendes aus Tabelle 4.18 entnommen werden. 4.7.7.4

Querschnittsänderungen

a) Plötzliche, sprungartige Rohrerweiterung Der Druckverlust an einer unstetigen Querschnittserweiterung (Borda-Carnot-Diffusor) wurde bereits im Abschnitt 4.3.4.2 f mit Hilfe des Impulssatzes und der Bernoulli-Gleichung zu r Dpv = 3 · (w1 – w2)2 2

(Gl. 4.72)

hergeleitet. Um den Druckverlust in der Schreibweise der Gleichung 4.157 darstellen zu können, wird in Tabelle 4.19 durch Gleichsetzen der Gleichungen 4.72 und 4.157 ein Zusammenhang zwischen der Widerstandszahl z und den Durchmessern d1 und d2 hergestellt:

182

Inkompressible Strömungen Bild 4.111 Rohreinläufe

a Die in Tabelle 4.19 angegebenen Gleichungen gelten nur, wenn die Geschwindigkeiten w1 und w2 gleichmäßig über dem Querschnitt verteilt sind, d.h., wenn das Geschwindigkeitsprofil ein sog. Kolbenprofil ist (Bild 4.57). Herrscht dagegen das übliche laminare oder turbulente Geschwindigkeitsprofil im Eintritt 햲 und Austritt 햳 (Bild 4.114), erhöhen sich die Widerstandsbeiwerte z 1 und z 2 ähnlich wie es in Tabelle 4.18 für Rohraus-

trittsströmungen ins Freie (A2 = ∞) dargestellt wird. Nach [4.5] kann der Druckverlust Dpv nach folgender Beziehung berechnet werden: r –2–2·g ·w – ·w – Dpv = 3 [a1 · w 1 1 1 2 2 – 2 (Gl. 4.164) + (2 · g2 – a2) · w 2 ]

183

Stoffströme in geschlossenen Rohrleitungen

0,5

d/10 a)

a)

Ød 0,4

b)

0,3

Ød

z

0,1 0 ∞

d Bild 4.112

b)

0,2

t

2 t/d

1,35

1

Rohreinläufe nach [4.71]

2,4

2,0

a

z zus

Wand

1,6

Ød

w Ød

1,2 Ød

0,8

0,4

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

– und w – die mittleren Strömungswobei w 1 2 geschwindigkeiten am Eintritt 햲 bzw. Austritt 햳 sind und a1 und a2 die Energiestrombeiwerte nach Gleichung 4.135 sowie g1 und g2 die Impulsstrombeiwerte nach Gleichung 4.136 bedeuten. Gleichung 4.164 gilt nur für rotationssymmetrische Strömungen. Asymmetrische Strömungen können z.B. nach [4.69 und 4.74] behandelt werden. Die Berechnung des Druckverlustes nach Gleichung 4.162 ist nur richtig, wenn die Länge le des Zuströmrohres und die Länge la des Stoßdiffusors genügend groß sind [4.75] und das Fluid am Ende des Stoßdiffusors nicht ins Freie strömt, d.h. die Rohrleitung mit dem Querschnitt A2 weitergeführt wird. Angaben über le und la finden sich beispielsweise in [4.75 und 4.76]. Da diese Längen auch von der ReynoldsZahl und von der Strömungssymmetrie abhängen, lassen sich keine allgemeingültigen Werte angeben. Strömt das Fluid am Ende des Stoßdiffusors als Freistrahl aus, muss der Austrittsverlust nach Gl. 4.161 mit dem Verlustbeiwert za mitberücksichtigt werden. In Tabelle 4.20 sind die Verlustbeiwerte von Borda-Carnot-Diffusoren am Rohrleitungsende angegeben. Interessant ist auch die Aufteilung der stoßartigen Verzögerung auf mehrere Stufen (Bild 4.115), der sog. Regenscheit-Stufendiffusor [4.77], dessen Rückgewinn an statischem

a /d Bild 4.113

Rohreinläufe in Wandnähe nach [4.69]

1

A0

A1

w1

l1

Borda-Carnot-Diffusor

AZ

2 w0

Bild 4.114

Ai

Bild 4.115

wi

wZ

li

Regenscheit-Diffusor

lZ

184

Inkompressible Strömungen

Tabelle 4.18

Widerstandsbeiwerte von Rohrausläufen Widerstandsbeiwert z a

Geometrie und Geschwindigkeitsprofil

za = 1,0

Ød w

Kolbenprofil laminare Strömung Re < 2320 w = f (r)

za = 2 für 쎻 und 앮 Querschnitte

r

Ød

wmax

冢 冣

w

2·r

(STOKES)

(4.123)

turbulente Strömung Re > 2320 w = f(r)

für 쎻 und 앮 Querschnitte: (2n + 1)3 · (n + 1)3 za = 0005 4 · n4 · (2n + 3) · (n + 3)

r

Ød

wmax

für w

冢

2r

冣

Querschnitte:

(4.132)

Düse am Rohrende Ø da w

Ød

wa

冢 冣

d angenähert: za ≈ 4 da

4

weitere Einzelheiten siehe Abschnitt 4.7.7.4 d

za = (1 + a) · zRechn

Diffusor am Rohrende w

(Gl. 4.135)

(n + 1)3 za ≈ 06 n2 · (n + 3)

1/n

6= 1–4 w d max

Querschnitte

2

6=1– 6 w d max

za = 1,55 für

f /2 Ød

wa Ø da

lD/d 1

2

4

6

8

10

a

0,4

0,3

0,2

0,1

0

0,45

nach [4.69]

Werte zRechn ⱔj

lD/d lD 1,0 2,0 3,0 4,0 6,0

4°

8°

12°

16°

20°

24°

30°

0,79 0,65 0,53 0,44 0,28

0,62 0,43 0,31 0,26 0,18

0,50 0,33 0,24 0,21 0,18

0,41 0,29 0,23 0,22 0,24

0,38 0,30 0,27 0,27 0,32

0,38 0,35 0,35 0,36 0,42

0,40 0,44 0,48 0,51 0,56

Weitere Einzelheiten siehe Abschnitt 4.7.7.4 b

Stoffströme in geschlossenen Rohrleitungen Tabelle 4.19

Werte von Borda-Carnot-Diffusoren in Rohrleitungen

Bezug auf Eintrittsquerschnitt A1 r Dpv = z1 · 2 · w12 2

Bezug auf Austrittsquerschnitt A2 r Dpv = z2 · 2 · w22 2

(Gl. 4.162 a)

(Gl. 4.162b)

r r z1 · 2 · w12 = 2 · (w1 – w2)2 2 2

r r z2 · 2 · w22 = 2 · (w1 – w2)2 2 2

A1 w2 = 4 · w1 A2

A2 w1 = 4 · w2 A1

冢

冣 A = w · 冢1 – 4冣 A

A1 z1 · w12 = w1 – w1 · 4 A2

z1 · w12

185

1

2 1

冢

冣 A z · w = w · 冢4 – 1冣 A

2

2

冢 冣 d z = 冤1 – 冢4冣 冥 d 2

2

2 2

2

1

冢 冣 d z = 冤冢4冣 – 1冥 d

2

1

2 2

2

2

A1 z1 = 1 – 4 A2

2

A2 z2 · w22 = w2 · 4 – w2 A1

A2 z2 = 4 – 1 A1

(Gl. 4.163 a) 2

2

1

2

2

(Gl. 4.163b) 2

2

2

1

Tabelle 4.20 z-Werte von Borda-Carnot-Diffusoren am Rohrleitungsende Bezug auf den Eintritt A1

Bezug auf den Austritt A2

햲

햳 Freistrahl

w2mwa

w1

A1 r –2 Dp v, fa = z 1, fa · 3 · w 1 2

冢

冣 冢 冣

A1 2 A1 z 1, fa = 1 – 4 + 4 A2 A2

2

(Gl. 4.165 a)

la

A2 r –2 Dp v, fa = z 2, fa · 3 · w 2 2

冢

冣

2 A2 z 2, fa = 4 – 1 + 1 A1

(Gl. 4.165 b)

186

Inkompressible Strömungen

Druck wesentlich besser ist als der des einfachen Borda-Carnot-Diffusors und der an den Wirkungsgrad des stetig erweiterten Bernoulli-Diffusors nahezu heranreicht. Nach [4.78] kann der Druckverlustbeiwert zMSt von Mehrstufendiffusoren, bezogen auf die Eintrittsströmung, wie folgt abgeschätzt werden:

z0 zMSt = 4 z

(Gl. 4.166)

mit:

冢

冣

A0 z0 = 1 – 5 Az

2

(Gl. 4.167)

A 0 Eintrittsquerschnitt A z Austrittsquerschnitt z Anzahl der Stufen Für den optimalen Abstand zwischen den Stufen, d. h. die Stufenlänge li , wird in [4.78] empfohlen: li 04 ≥ 6 di – di – 1

a Bild 4.116

mit i = 1…z

(Gl. 4.168)

b) Allmähliche Rohrerweiterung (Diffusor) Diffusoren dienen zur Verzögerung von Strömungen, vorausgesetzt die Strömung löst sich nicht von den Wänden des in Strömungsrichtung stetig erweiterten Rohrstückes ab. Diffusoren werden entweder als Übergangsdiffusoren in einer Rohrleitung mit unterschiedlichen Querschnitten A1 < A2 eingebaut (Bild 4.116 a) oder als Enddiffusoren oder Austrittsdiffusoren am Ende einer Rohrleitung angebracht (Bild 4.116b). Bei Enddiffusoren strömt das Fluid in Form eines Freistrahls ins Freie, der Diffusoraustrittsdruck p2 wird gleich dem Umgebungsdruck p Um . Die geometrische Vielfalt der Querschnittsverläufe, der Wandkonturen und der Mittellinien ist sehr groß. In Bild 4.117 ist eine kleine Auswahl an Diffusorgeometrien zusammengestellt. Die im Strömungsmaschinenbau vorkommenden Diffusorformen werden nicht behandelt, Einzelheiten dazu finden sich z.B. in [4.79 und 4.95]. Diffusoren haben in der Strömungstechnik i.Allg. folgende Aufgaben zu erfüllen: ❑ Verkleinern der Strömungsgeschwindigkeit von w1 auf w2 , um die Druckverluste Dpv in der nachfolgenden Rohrleitung zu verringern (Übergangsdiffusor),

b Vergleich zwischen a) Übergangs- und b) Enddiffusor

Stoffströme in geschlossenen Rohrleitungen

Bild 4.117

Verschiedene Diffusorformen

187

188

Inkompressible Strömungen

❑ Vermindern des Austrittsverlustes Dp v, a (vgl. Gl. 4.161) am Ende einer Rohrleitung oder einer Maschine, ❑ Erhöhung des Volumenstroms in einem kurzen Leitungsstück durch einen nachgeschalteten Enddiffusor (Bild 4.118) V˙ mit Diffusor m = 009 ≈ V˙ ohne Diffusor

f冢

0004 1 + z Rohr 0003 A1 2 5 + z Rohr + z Diff A2

冣

Interessante Einzelheiten, auch technikgeschichtlicher Art finden sich z. B. in [4.76]. Wegen dieser Volumenstrom vergrößernden Wirkung werden Diffusoren auch als Saugrohre bezeichnet, z. B. am Austritt von Wasserturbinen. ❑ Geräusch- evtl. auch Verschleißreduzierung am Austritt von Rohrleitungen, Geräten oder Maschinen, z. B. an Ventilatoren. Bei der Auslegung und Berechnung von Diffusoren sind meistens folgende Werte bzw. Zustände zu bestimmen bzw. zu überprüfen: ❑ Druckumsetzung, d. h. Rückgewinn an statischem Druck,

❑ Druckverlust infolge Verzögerung, Reibung u.U. Umlenkung, ❑ Geschwindigkeitsfelder, ❑ Ablösegefahr, ❑ optimale Geometrie für vorgegebenen Einbauraum. Zur praktischen Durchführung der Berechnungen und Kontrollen werden folgende Begriffe und Kennzahlen eingeführt: Der Druckbeiwert Cp ist wie folgt definiert: p2 – p1 Cp = 01 r 2 3 · w1 2

(Gl. 4.169)

und hängt hauptsächlich von folgenden geometrischen und fluidmechanischen Größen ab: ❑ Diffusorerweiterungswinkel j , ❑ den geometrischen Verhältnissen l/r1 ; l/h 1 ; b1/h1 , ❑ Reynolds-Zahl Re1 , ❑ Grenzschichtdicke d l , 1 , ❑ Turbulenzgrad der eintretenden Strömung. Für reibungsfreie Strömung und gleichmäßige Geschwindigkeitsverteilung im Ein- und Austritt beträgt der ideale Druckbeiwert Cp, id :

冢 冣

A1 Cp, id = 1 – 41 A2

Bild 4.118 Vergleich der Ausströmvolumenströme aus Düse und Rohransatz mit Diffusor nach [4.76]

2

(Gl. 4.170)

Der reale Druckbeiwert Cp ist stets kleiner als der ideale Druckbeiwert Cp, id . Übergangsdiffusoren haben höhere CpWerte als Enddiffusoren, da sich die Geschwindigkeitsprofile im Endquerschnitt unterscheiden. In Bild 4.119 nach [4.80] sind die Cp-Werte von konischen Übergangs- und Enddiffusoren, abhängig von der relativen Länge l/r1 und vom Öffnungsverhältnis A2/A1 dargestellt.

Stoffströme in geschlossenen Rohrleitungen

189

f/2 5

r1

l

4 Cp = 0,4 3

Flächenverhältnis A2 /A1

Cp = 0,5

0,75 Cp = 0,7

2 1,8

Cp = 0,5

Cp = 0,6

1,6 Cp = 0,4 1,4

1,2 Cp = 0,3

1,1 0

0,2

0,4

0,6

1

Längenverhältnis

2

3

4

6

8 10

20

l r1

Bild 4.119 a Cp-Werte von Übergangsdiffusoren mit Kreisquerschnitt nach [4.80]

Der Widerstandsbeiwert ␨1 bezieht die Totaldruckdifferenz zwischen Diffusoreintritt 햲 und Diffusoraustritt 햳 auf den Staudruck der Anströmgeschwindigkeit w1: p t1 – p t2 Dp v z1 = 03 = 01 r –2 r –2 3 · w1 3 · w1 2 2

(Gl. 4.171)

Zwischen Widerstandsbeiwert z1 und Druckbeiwert Cp besteht folgender Zusammenhang: Übergangsdiffusor:

冢 冣

A1 2 z1 = 1 – 41 – Cp A2

(Gl. 4.172a)

Enddiffusor:

z1 = 1 – Cp

(Gl. 4.172b)

Durch Vergleich der beiden Gleichungen 4.172a und 4.172b stellt man fest, dass der Widerstandsbeiwert von Enddiffusoren bei gleichen Strömungsverhältnissen und gleichen Geometrien stets größer, d.h. schlechter ist als der Widerstandsbeiwert von Übergangsdiffusoren. Der Widerstandsbeiwert z1 setzt sich aus 3 Komponenten zusammen:

z1 = zE + zR + zU

(Gl. 4.173)

190

Inkompressible Strömungen

A2 r1 A1

4

l 3

Flächenverhältnis A2/A1

2

Cp = 0,7

Cp = 0,6

1,5 Cp = 0,5 2 Cp = 0,4

2 1,2 0,6

1

2

3

Längenverhältnis

4

5

6

7

8

9 10

l r1

Bild 4.119 b Cp-Werte von Enddiffusoren mit Kreisquerschnitt nach [4.80]

z E Beiwert für die Erweiterung z R Beiwert für die Wandreibungsverluste z U Beiwert für die Umlenkung bei gekrümmten Diffusoren Für überschlägige Berechnungen des Druckverlustes Dp v von konischen Übergangsdiffusoren kann z1 aus Bild 4.120 aus [4.71] entnommen werden.

Die Widerstandsbeiwerte von Enddiffusoren erhält man, indem man zu den Werten aus Bild 4.120 jeweils noch den Wert (A1/A2)2 addiert, um den Austrittsverlust Dpv, a mit zu berücksichtigen. Für konische Übergangsdiffusoren mit Kreis- und Rechteckquerschnitt sowie für Flachdiffusoren mit Rechteckquerschnitt werden in Tabelle 4.21 die Widerstandsbeiwerte zE und zR zusammengestellt [4.69 und 4.74].

Stoffströme in geschlossenen Rohrleitungen

A2 /A1 = 0,4 l = 0,02 Re > 10 5

2,5

0,2

a

3,5 3,0

2,0 1,5

0 0°

2°

4° 6° 8° 10° 12° f Erweiterungswinkel 2

14° 16°

Bild 4.120 Widerstandsbeiwerte z1 von Diffusoren mit Kreisquerschnitt nach [4.71]: a) Erweiterungswinkel, b) Flächenverhältnis

Aus den Formeln der Tabelle 4.21 ist ersichtlich, dass der den Erweiterungseffekt erfassende Widerstandsbeiwert zE mit steigendem Flankenwinkel j/2 zunimmt, während der die Reibung beschreibende Beiwert zR mit wachsendem Flankenwinkel j/2 fällt, d.h., für den Gesamtwert z1 = zE + zR muss es für jedes Flächenverhältnis A2/A1 abhängig von der Rohrreibungszahl l = f (Re1 und relativer Wandrauigkeit) einen optimalen Öffnungswinkel jopt geben (Bild 4.121), der nach [4.78]

Bild 4.121 Optimaler Öffnungswinkel jopt von Diffusoren mit Kreisquerschnitt nach [4.78]

Widerstandsbeiwert z1

Widerstandsbeiwert z1

0,4

b

0,60 0,56 0,52 0,48 0,44 0,40 0,36 0,32 0,28 0,24 0,20 0,16 0,12 0,08 0,04 0

191

f / 2 = 90° plötzliche Erweiterung

l = 0,02 Re > 10 5 16°

12° 10° 8° 6° 4°

1

2 3 Flächenverhältnis A2 /A1

4

für den Bereich 8° < j < 45° wie folgt abgeschätzt werden kann: + A /A f l · 1107 – A /A 607

tan jopt = 0,5 ·

1

2

1

2

(Gl. 4.174)

Eine ganz exakte Definition des Widerstandsbeiwertes, die die Geschwindigkeits- und Druckverteilung berücksichtigt, findet sich u.a. in [4.81]

192

Inkompressible Strömungen

Tabelle 4.21

Widerstandsbeiwerte von Übergangsdiffusoren (nach [4.69])

Geometrie

Widerstandsbeiwerte

z1 = zE + zR

Kreisdiffusor f/2

Bereich: 0 < j < 40°

f tan 3j2 · 冢1 – 4AA 冣

j zE = 3,2 · tan 3 · 2

A1

4

64

1

2

2

冤 冢 冣冥

l A1 zR = 30 · 1 – 4 j A2 8 · sin 21 2

A2

冢

2

冣

d1 l = f · Re1; 3 k

z1 = zE + zR

Rechteckdiffusor

Bereich: 0 < j < 25°

f/2

h1

A2

A1

h2

f tan 3j2 · 冢1 – 4AA 冣

j zE = 4,0 · tan 3 · 2

4

64

1

2

2

冤 冢 冣冥

l A1 zR = 50 · 1 – 4 j A2 16 · sin 21 2

b1

h1

h2

1

2

= 31 31 b b

b2

冢

2

冣

d h1 l = f · Re1; 5 k

z1 = zE + zR

Flachdiffusor (ebener Diffusor)

Bereich: 0 < j < 40° f/2

h1

A2

A1

h2

f tan 3j2 · 冢1 – 4AA 冣

j zE = 3,2 · tan 3 · 2

4

64

2

2

冦 冢

冣

冤 冢 冣 冥冧

l h1 A1 A1 zR = 30 · 3 · 1 – 4 + 0,5 · 1 – 4 j b A2 A2 4 · sin 21 2

b

b = b1 = b2

1

b

冢

冣

d h1 l = f · Re1 ; 5 k

2

Stoffströme in geschlossenen Rohrleitungen Bild 4.122 Vergleich der Wirkungsgrade hD von Übergangs- und Enddiffusoren nach [4.78]

193

1,0 Übergangsdiffusor f

Diffusorwirkungsgrad h D

0,8

0,6

0,4 f Enddiffusor 0,2

p2 – p1 hD = 995 , 1 – z1 r –2 –2 3 · (w 1 – w 2 ) 2

(Gl. 4.175)

Da der Widerstandsbeiwert z1 von Enddiffusoren größer ist als der Widerstandsbeiwert z1 von Übergangsdiffusoren, ergibt sich die in Bild 4.122 dargestellte Tatsache, dass die Wirkungsgrade von Enddiffusoren stets kleiner sind als die Wirkungsgrade von Übergangsdiffusoren, was in [4.81] ausführlich begründet ist. Bildet man folgenden dimensionslosen Kennwert aus dem in Gleichung 4.169 eingeführten Druckbeiwert Cp und dem Diffusorwirkungsgrad h D , kann man damit die «Qualität» eines Diffusors gut charakterisieren: r (p2 – p1 ) · 3 · (w12 – w22 ) 2 w2 Cp = =1– 5 5 h D 0008 r w 1 · w12 · (p2 – p1) 3 2 oder

冢 冣

Cp = 1 – (A1/A2 )2 5 hD

40 60 Öffnungswinkel f

80

100

120

Stellt man den Quotienten Cp/hD in einer Kurve als Funktion von A2/A1 dar (Bild 4.123), erkennt man, dass Flächenerweiterungen A2/A1 > 5 wenig Sinn machen, da bereits 96% des bei A2 = ∞ maximal erzielbaren Druckumsatzes erreicht sind.

1

Cp hD

Nach [4.78 und 4.81] wird folgender Begriff für den Diffusorwirkungsgrad eingeführt:

20

Quotient

0

A1

0,5

A2 2

((

Cp A1 = 1– hD A2

2

(Gl. 4.176)

0 1

2

3

4

5

6

7

8

A2 Flächenverhältnis A1 Bild 4.123 Quotient Cp/h D von Übergangsdiffusoren

9

10

194

Inkompressible Strömungen

Durch Einsetzen der beiden Versionen von Gleichung 4.172 in Gleichung 4.175 erhält man folgende Zusammenhänge zwischen Diffusorwirkungsgrad h D und Druckbeiwert Cp : Übergangsdiffusor: h D = 1 – z1 = 1 – 1 + (A1/A2)2 + Cp

h D = Cp + (A1/A2)2

(Gl. 4.177a)

Enddiffusor: h D = 1 – z1 = 1 – 1 + Cp

h D , Cp

(Gl. 4.177b)

Schon SPRENGER [4.76] hat festgestellt, dass der Diffusorwirkungsgrad sehr stark von der Grenzschichtdicke d l, 1 am Diffusoreintritt und bei gekrümmten Diffusoren vom Grad der Krümmung abhängt (Bild 4.124). Sollten für eine konkrete Diffusorausführung die obigen Kennwerte Cp , z 1 oder h D im Versuch bestimmt werden, dürfen die Drücke p1 und p2 nicht direkt am Diffusoreingang und Diffusorausgang gemessen werden,

sondern p1M ca. um l eM ≈ 6 · d h1 vor, und p 2M um laM ≈ 3 · d h2 hinter den Bezugsquerschnitten A1 und A2 (Bild 4.116). Je nach Öffnungswinkel j, relativer Diffusorlänge l/r1 bzw. l/h1 , Reynolds-Zahl Re1 , Turbulenzgrad und Grenzschichtdicke im Einströmquerschnitt A1 und weiterer geometrischer und fluidmechanischer Einflüsse unterscheidet man bei Diffusoren folgende Strömungszustände (Bild 4.125 nach [4.82]): a) Bei kleinen Öffnungswinkeln j liegt die Strömung, d.h. die Wandgrenzschicht stationär und stabil an. b) Mit größer werdenden Öffnungswinkeln j tritt pulsierende, instationäre Strömung auf, die zeitlich veränderliche abgelöste Wirbelfelder mit sich führt. c) Bei weiterer Vergrößerung des Öffnungswinkels j bildet sich eine stationäre Hauptströmung längs einer Wand aus, ein großer Teil des Diffusors ist mit einem voll ausgebildeten Ablösegebiet beaufschlagt. d) Bei noch größeren Öffnungswinkeln j strömt ein ungebremster Freistrahl (Kernstrahl) mit nahezu gleichbleibender Ge7,15 · d1

1,0

w1

Re = 2,5 · 105 Re = 5,2 · 105

Theorie

d1

1

d2

Diffusorwirkungsgrad h D

w ·d Re = 1 n 1 15°

0,8

(1) 2 (2)

30°

0,6

3 (3) d2 /d1 = 2,0 0

0,02

0,04

0,06

d1

0,4 d l,1

2· d l,1/ d1

Bild 4.124

Diffusorwirkungsgrad abhängig von Grenzschichtdicke und Diffusorkrümmung nach [4.76]

Stoffströme in geschlossenen Rohrleitungen

a) a

195

Ablösegebiet

cc)

f

b) b

d) d

w1

Bild 4.125

w2 ≈ w1

Mögliche Strömungszustände in Diffusoren nach [4.82]

schwindigkeit durch den Innenkern des Diffusors ohne die Wände zu berühren. Der Freistrahl ist allseits von einem großen ringförmigen Ablösegebiet eingehüllt. In Bild 4.126 (nach [4.82]) sind die Bereiche bzw. Grenzkurven der verschiedenen Strömungszustände eingetragen. Zusätzlich ist noch die Kurve für den maximalen Druckbeiwert Cp, max angegeben. Ähnliche Diagramme, die die Strömungszustände und die zugehörigen Grenzen beschreiben, finden sich z. B. auch in [4.83 bis 4.85]. In der Praxis stellen sich meistens folgende Optimierungsaufgaben: ❑ Bei gegebenem Längenverhältnis l/r1 bzw. l/h1 wird das Öffnungsverhältnis A2/A1 gesucht, damit der Druckrückgewinn, d.h. der Cp-Wert, ein Maximum wird. Diese Aufgabe ist leicht mittels Bild 4.126 zu lösen, indem man vom gegebenen Längenverhältnis den zu Cp, max gehörenden Öffnungswinkel j abliest und daraus zu A1 passend A2 berechnet oder umgekehrt.

❑ Ähnlich verfährt man, wenn zu gegebenem Längenverhältnis der maximale Wirkungsgrad h D, max durch die richtige Wahl des Öffnungsverhältnisses erreicht werden soll. ❑ Wenn das Öffnungsverhältnis A2/A1 gegeben ist, kann man aus Bild 4.119 das Längenverhältnis so bestimmen, dass der Druckrückgewinn, d.h. der Cp-Wert, ein Maximum wird. ❑ Durch Variieren des Längenverhältnisses für ein festes Öffnungsverhältnis kann man die minimalen Widerstandsbeiwerte z1 und damit die maximalen Diffusorwirkungsgrade h D, max finden. Besteht die Gefahr der Ablösung, können nach [4.80 oder 4.82] folgende Maßnahmen für Abhilfe sorgen: ❑ Anbringen von Leitblechen im Einströmbereich des Diffusors, ❑ gekrümmte Diffusorwände, insbesondere der glockenförmige Diffusor (Bild 4.117), ❑ Grenzschichtabsaugung, ❑ Anbringen von sog. Wirbelgeneratoren (Vortex Generators) [4.86].

196

Inkompressible Strömungen c 10 2 9 8 7 6

c d d

b

5

f

r1 (h1/2)

Strömung mit voll ausgebildeter Ablösung

4

l 3

a inst

f=

atio

Diffusoröffnungswinkel f in Grad

2

Ab

,m

ax

lös

egr enz

57,

3·

när eS tröm Cp un

–0

1

gm

it A

blö

,37

4

sun

e

10 1 9 8 7 6

( r l( g

b f = 37,4 ·

Stationäre Strömung ohne Ablösung

Linie max. Druckumsetzung

5

f = 34 ·

4

– 0,483

( ( l r1

( ( l r1

– 0,483

a

3

2

l >4 r1

1 2

3

4

5

6 7 8 9 101

2

3

4

5

6 7 8 9 102

l/h1 l/r1

Bild 4.126 Abhängigkeit des Strömungszustandes von Diffusoren mit geraden Wänden von den geometrischen Größen nach [4.82]

Für das weiterführende vertiefte Studium der Diffusorströmung wird zusätzlich noch die in [4.87 bis 4.95] aufgeführte Fachlektüre empfohlen. c) Plötzliche, sprungartige Rohrverengung (Stufendüse) Nach einer unstetigen Querschnittsverengung (Bild 4.127) schnürt sich die Strömung auf den Querschnitt A0 < A2 ein. Weiter stromaufwärts, nach einer Anlaufstrecke la legt sich die Strömung wieder an die Rohrwand an. Vor und nach dem Querschnittssprung befinden sich im Außenmantelbereich der Strömung große Wirbelgebiete, die auf große Energieverluste hinweisen.

Das Flächenverhältnis A0/A2 wird als Kontraktionszahl y (vgl. auch Abschnitt 4.9) bezeichnet. y kann für scharfkantigen, rotationssymmetrischen Übergang von Kreisrohren abhängig vom Querschnittsverhältnis A2/A1 aus Bild 4.128 entnommen werden. In [4.5] finden sich auch empirische Formeln bzw. theoretische Ansätze zur rechnerischen Bestimmung von y . Der Druckverlust Dpv ließe sich ähnlich wie bei der plötzlichen Rohrerweiterung (Borda-Carnot-Diffusor) mit Hilfe des Impulssatzes und der Energiegleichung theoretisch herleiten [4.96], aus Platzgründen wird jedoch auf diese Ableitung verzichtet und für die

Stoffströme in geschlossenen Rohrleitungen

197

Bild 4.127 Plötzliche Rohrverengung

Praxis geeignete Rechenverfahren mit empirischen Beiwerten angegeben. Der Druckverlust wird über den Staudruck im kleinen Rohrquerschnitt A2 abgeschätzt: r –2 Dpv = z2 · 3 · w 2 2

(Gl. 4.178)

Nach [4.5] kann z2 näherungsweise aus der Kontraktionszahl bestimmt werden:

冢 冣

1– y z 2 ≈ 1,5 · 9 y

2

(Gl. 4.179)

b/d1 > 0,5

1,0

s/d2 ≈ 0,3…0,05

0,05 0,8

0,1 0,2

A2

0,7

A1

0,3 0,4 0,5 0,6 0,8 1,0

0,6

0,5 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,5 1,0

Querschnittsverhältnis A2 /A1

Bild 4.128 Kontraktionszahlen von scharfkantigen, sprungartigen Rohrverengungen nach [4.5]

Verlustbeiwert z 2

Re2 > 104

0,9

Kontraktionszahl y

Eine weitere Quelle für z2 findet sich in Bild 4.129 nach [4.71], das auch die Verlustbeiwerte z2 für andere Konfusorformen enthält, die anschließend behandelt werden. Erfolgt der plötzliche Querschnittsübergang in Form einer sog. Borda-Mündung (Bild 4.130), so verringert sich die Durchflusszahl m für konzentrische Kreisrohre auf ca. 0,5 [4.5, 4.96], der zugehörige Verlustbeiwert z2 liegt je nach Kantenschärfe des Rohransatzes und der Rohrwanddicke s zwischen 0,6…1,5 [4.5]. z2 kann auch aus Bild 4.129 entnommen werden, das sich im Wesentlichen auf [4.69 bzw. 4.74] stützt. Für die Werte in Bild 4.129 sind ca. folgende Grenzwerte einzuhalten:

d) Allmähliche, kontinuierliche Rohrverengung (Konfusor, Düse) Wie beim Diffusor, unterscheidet man auch beim Konfusor zwischen dem in eine Rohrleitung unterschiedlicher Durchmesser d1 und d2 eingebauten Übergangskonfusor (Bild 4.131) und dem am Ende einer Rohrleitung mit dem Durchmesser d1 befestigten Austrittskonfusor (Austrittsdüse), aus dem das Fluid in Form eines Freistrahles austritt. Je nach Anordnung des Konfusors unterscheiden sich auch die Widerstandsbeiwerte z 2 : Für Übergangskonfusoren sind die z 2Werte in Bild 4.129 nach [4.71] zusammenge-

198

Inkompressible Strömungen

b = 180° (plötzliche Verengung) 0,25 s = 0,05 d2 s = 0,03 d2

}

Borda-Mündung

0,15

0,10

b

Widerstandsbeiwert z 2

0,20

b= 15° 0,05

30° 60° 90° 120°

0 0,25

0,5

0,75

Querschnittsverhältnis A 2 / A1 Bild 4.129

Widerstandsbeiwerte von Rohrverengungen nach [4.71]

1

Stoffströme in geschlossenen Rohrleitungen

199

stellt. Den Kurven liegen folgende empirischen Gleichungen zugrunde:

s Ø d1

z2 = zK + zR

Ø d2

wobei der Beschleunigungsbeiwert zK sehr klein ist und der Reibungsbeiwert zR nach folgender Näherungsgleichung abgeschätzt werden kann: l 1 – d03 A2 /A1 z R ≈ 60 · 506 · (1 + A2/A1) b 2 + d03 A2 /A1 4 · tan 3 2

b

Borda-Mündung

w1 Ø d1

a)

b

Bild 4.130

Ø d2

lK

w2

Bild 4.131 Konfusoren: a) Übergangskonfusor, b) Austrittskonfusor

Bild 4.132 Widerstandsbeiwerte z k von Konfusoren nach [4.68]

w2

In [4.68] wird zur Bestimmung des Beschleunigungswertes z K , abhängig vom Öffnungswinkel b und vom Flächenverhältnis A2/A1 ; das in Bild 4.132 angegebene Diagramm empfohlen, der Reibungsbeiwert z R kann wie folgt bestimmt werden:

z R ≈ 1,2 · l · l K/d2

Freistrahl

b)

(Gl. 4.180)

Die Reynolds-Zahl Re2 sollte dabei größer als 104 sein. Für schnelle Überschlagsrechnungen wird in [4.5] ein Wertebereich 0 < z 2 < 0,075 angegeben. Bei Konfusoren am Rohrende muss zu z2 noch der Zahlenwert 1 addiert werden, um

200

Inkompressible Strömungen

den Austrittsverlust r –2 3 · w2 2 zu berücksichtigen:

z 2, a = z 2 + 1

(Gl. 4.181)

Weicht das Geschwindigkeitsprofil am Konfusoraustritt wesentlich vom Kolbenprofil ab, erhöht sich der Zuschlag [4.69]. Die Widerstandsbeiwerte z2 von Konfusoren, bei denen sich neben der Größe des Strömungsquerschnittes auch noch die Querschnittsform ändert, z. B. rechteckiger Eintrittsquerschnitt – runder Austrittsquerschnitt, müssen in der Spezialliteratur, z.B. in [4.78] nachgeschlagen werden. 4.7.7.5

Richtungsänderungen

a) Einleitung Bei der Richtungsänderung in Rohrkrümmern (Bild 4.133) oder Kniestücken (Bild 4.134) entstehen neben Reibungsverlusten noch Ablöse-

Schnitt I–I

Ablösungsgebiete I

verluste (Verwirbelungsverluste) und Energieverluste infolge einer sich der Längsströmung überlagernden Sekundärströmung. Diese Sekundärströmung setzt sich mit der Längsströmung zu einer schraubenförmig verlaufenden komplizierten Strömung zusammen. Die Sekundärströmung entsteht durch die Fliehkraft, die zu einem Druckgefälle quer zur Strömungsrichtung führt (siehe auch Abschnitt 4.3.3). Die an der Krümmerwandung infolge Reibung gebremst strömenden Fluidteilchen unterliegen einem größeren statischen Druck als die in der Querschnittsmitte fließenden Teilchen. Auf diese Art entsteht ein energieverzehrender, sich der Längsbewegung überlagernder Doppelwirbel (Bild 4.133). Zwischen den Punkten A–B und C–D entstehen infolge der durch die Fliehkraftwirkung auftretenden Druckunterschiede große Ablösegebiete (Wirbelfelder), die um so ausgedehnter sind, je kleiner das Verhältnis R/d ist. Bei der Strömung durch Kniestücke entstehen noch größere Ablösegebiete als bei Krümmern, weshalb die Druckverluste in Knie-

B d C

A

R

außen

innen

D Sekundärströmung

I

Bild 4.133 Strömung durch einen Krümmer w

w

Ablösungsgebiete

w Bild 4.134 Strömung durch Kniestücke

Stoffströme in geschlossenen Rohrleitungen stücken bei vergleichbaren Strömungsverhältnissen und Umlenkungen stets höher sind als in Bögen. Da die Strömungszustände im Krümmeraustrittsquerschnitt 햳 auch die Strömungsverhältnisse in der nachfolgenden Auslaufstrecke beeinflussen, entsteht in dieser Auslaufstrecke mit der Länge la ein zusätzlicher Druckverlust, der zum Krümmerverlust zu addieren ist (Bild 4.135). Während die Einlauflänge l e , in der sich die Krümmerströmung im Eintritt 햲 bereits störend auswirkt, sehr kurz ist, nach Messungen etwa im Bereich le ≈ (2…4) · d, kann die Auslauflänge la Werte von la ≈ (50…70) · d erreichen. Auf diese auch für die Durchführung von Messungen wichtige Tatsache wird beispielsweise in [4.5, 4.61 und 4.80] hingewiesen.

r –2 Dpv = z K · 3 · w 2

(Gl. 4.182)

Die Widerstandszahl z K setzt sich aus einem Anteil z R für die Reibung und einem Anteil zU für die Umlenkung zusammen, der wiederum aus einem Anteil z Abl für die Ablösung und einem Anteil z Qu für die Querströmung (Doppelwirbel) besteht.

z K = z U + z R = z Abl + z Qu + z R

(Gl. 4.183)

Die Widerstandszahl zK und die Aufteilung in die Einzelkomponenten hängt hauptsächlich von folgenden geometrischen und fluidmechanischen Größen und Parametern ab und muss im Versuch ermittelt werden: relative Krümmung R/d bzw. R/d h

b) Druckverlust Der Druckabfall in Krümmern und Knie– 2 im stücken wird auf den Staudruck r/2 · w geraden Rohr vor dem Krümmer bezogen und berechnet sich in der üblichen Weise aus Staudruck und Widerstandszahl:

Umlenkwinkel q relative Wandrauigkeit k/d bzw. k/d h w·d w · dh Reynolds-Zahl Re = 9 bzw. 9 n n

gerade Rohrleitung Ød Dppvv D bezogenerDruckverlust Druckverlust 0 bezogener rr ·w w22 3 22 ·

le + lK + la lK

la

Ø

d

z K, 30°

le z K, 90°

lK

Ød

° 90

Bild 4.135

30°

le

le d

Druckverlust in Krümmern

la lK d

201

la d

bezogene Längen l d

la d

202

Inkompressible Strömungen querschnitt in den folgenden Diagrammen einige Beispiele aus der Praxis [4.71] wiedergegeben.

zR R

z-Werte

Ød

zK

gerade gerades Rohr zU z Ab Kniestück

zQu

0 Krümmungsverhältnis R bzw. R d dh

Bild 4.136 Zusammensetzung des z-Wertes von Krümmern

In Bild 4.136 nach [4.97] ist die Aufteilung von zK in die Einzelkomponenten gemäß Gleichung 4.183 abhängig von der relativen Krümmung R/d dargestellt. Um die verschiedenen Abhängigkeiten aufzuzeigen, werden für Krümmer mit Kreis-

Bild 4.137

❑ Bild 4.137: z K von Rohrbögen mit R/d = 4 und q = 90°, abhängig von Reynolds-Zahl und relativer Rauigkeit ❑ Bild 4.138: z K von Rohrbögen, hydraulisch glatt, Re ≈ 2 · 105 abhängig von relativer Krümmung R/d und Umlenkwinkel q ❑ Bild 4.139: z K von Rohrbögen, vollständig rau, Re > 2 · 105, abhängig von relativer Krümmung R/d und Umlenkwinkel q Für Krümmer mit Kreis- und Rechteckquerschnitt kann z K nach einem in [4.69] angegebenem empirischen Verfahren abgeschätzt werden:

zK = zU + zR

(Gl. 4.184a)

z U = K1 · K2 · K3

(Gl. 4.184b)

Widerstandsbeiwert zK von 90°-Krümmern mit R/d = 4 nach [4.71]

Stoffströme in geschlossenen Rohrleitungen Bild 4.138 Druckverlustbeiwerte zK von hydraulisch glatten Kreisbogenkrümmern mit verschiedenen Umlenkwinkeln q bei Re = 2 · 105, abhängig von R/d nach [4.71]

203

0,40 0,35 zK

q 90°

0,30

75°

0,25

60°

0,20

45°

0,15

30° 20°

0,10 0,05 0 0

Bild 4.139 Druckverlustbeiwerte zK von vollständig rauen Kreisbogenkrümmern (k/d = 0,001) mit verschiedenen Umlenkwinkeln q bei Re > 2 · 105, abhängig von R/d nach [4.71]

1

2

3

4

5

6

7 8 R /d

9

10

0,50 0,45

q 90°

0,40

75°

0,35 zK

60°

0,30 45°

0,25 0,20

30°

0,15 20°

0,10 0,05 0

0

1

Die Beiwerte K1, K2 und K3 werden wie folgt bestimmt:

❑ für den Bereich 0,5 < R/d < 1,5 bzw. 0,5 < R/dh < 1,5: K1 = f (Umlenkwinkel q) Æ Bild 4.140 K2 = f (relative Krümmung R/d bzw. R/dh) Æ Bild 4.141 K3 = f (Seitenverhältnis h/b) Æ Bild 4.142 2·h·b dh = 93 = hydraulischer Durchmesser h+b ❑ für den Bereich R/d bzw. R/dh > 1,5: K1 = f (Umlenkwinkel q ) Æ Bild 4.140 K2 = f (relative Krümmung R/d bzw. R/dh) Æ Bild 4.143 K3 = f (Seitenverhältnis h/b) Æ Bild 4.144 Der Beiwert z R des Reibungsanteils kann nach folgender Näherungsgleichung [4.69] geschätzt werden:

2

3

4

5

6

7 8 R /d

9

10

R z R = 0,0175 · l · 3 · q ° d

(Gl. 4.185a)

R z R = 0,0175 · l · 4 · q ° dh

(Gl. 4.185 b)

Wichtige Grundlageninformationen zu Druckverlusten in glatten Rohrbögen mit Kreisquerschnitt finden sich in [4.101]. Für sog. Faltenrohrkrümmer mit Umlenkwinkel q = 90°, einer relativen Krümmung R/d = 2,5 und Reynolds-Zahlen Re > 2 · 105 können die z K-Werte aus Bild 4.145 [4.69], abhängig vom Rohrdurchmesser d, entnommen werden. Für ␪ = 90°-Segmentkrümmer aus winkelig aneinander gefügten geraden Rohrseg-

204

Inkompressible Strömungen Bild 4.140 Beiwert K1 nach [4.69]

Beiwert K1

1,2 0,8 0,4

0

20

40

60 80 100 Krümmungswinkel q

120

140

160

180°

R

h b 1,2

1,3

1,0

0,6 0,4 0,2

0 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 Verhältnis R /d bzw. R/dh Bild 4.141

R < 1,5 dh und 0 < q ° ≤ 180°

Bereich 0,5 < Beiwert K3

Beiwert K2

1,2

R < 1,5 d und 0 < q ° ≤ 180°

Bereich 0,5
1,5 d und 0 < q ° ≤ 180°

Bereich 0,08

0,04

0

1

1

2

3 4 5 6 7 8 910 Verhältnis R /d bzw. R /dh

20

30 40 50

6

7

8

Stoffströme in geschlossenen Rohrleitungen 1,8

0,1 0,8

1,2 1,0 0,8 0,6

0,6 0,5

3-teilig Ød

0,4 4-teilig

0,3

R

Widerstandsbeiwert z K

1,4

R

R Bereich > 1,5 dh und 0 < q ° ≤ 180°

R

1,6

Beiwert K3

205

0,2

Ød

Ød

glatt

0,1

0,4

0,5

0,2 0

2

4 Verhältnis

Bild 4.144

6

8

h b

Beiwert K3 nach [4.69]

1,0 2,0 3,0 Verhältnis R/d

5,0

Bild 4.146 Widerstandsbeiwerte zK von 90°-Segmentkrümmern im Vergleich zu glatten 90°-Bögen nach [4.99]

Bild 4.145 z K-Wert von 90°-Faltenrohrkrümmern nach [4.69]

menten können die Widerstandsbeiwerte z K im Vergleich zum glatten Rohrbogen aus Bild 4.146 abgelesen werden [4.99]. Weitere Angaben zu Segmentkrümmern finden sich u. a. in [4.68, 4.69, 4.71, 4.78, 4.80, 4.99 und 4.100].

Die Widerstandszahlen z K von Kniestücken mit Kreisquerschnitt können abhängig vom Umlenkwinkel q nach Bild 4.147 und von Kniestücken mit Rechteckquerschnitt b · h ebenfalls abhängig vom Umlenkwinkel q aus Bild 4.148 bestimmt werden [4.71].

206

Inkompressible Strömungen

Das Strömungsverhalten von 90°-Krümmern mit rechteckigen Querschnitten ist sehr ausführlich in [4.102] beschrieben, die angegebenen Widerstandsbeiwerte beruhen auf zahlreichen Messreihen. In [4.103] ist ein Teil der Messergebnisse publiziert. In einem älteren Aufsatz [4.104] finden sich auf Messungen gestützte Angaben über die Strömungsverluste in 90°-Knien. Maßnahmen zur Verringerung der Druckverluste in Krümmern und Kniestücken, z.B. durch den Einsatz von Leitblechen und Leitschaufeln sind in [4.102, 4.104, 4.105 und 1,4

4.106] beschrieben. In Bild 4.149 aus [4.107] ist die deutliche Reduzierung der Widerstandszahl zK von Krümmern mit quadratischem Querschnitt durch die richtige Wahl einer innenliegenden Abrundung bzw. durch den Einbau von Schaufelgittern aufgezeigt. Ähnliche Angaben, die auch noch die Abhängigkeit der Widerstandszahl zK von der ReynoldsZahl berücksichtigen, finden sich in [4.102].

1,2

Verlustbeiwert z K

q

1,2

Widerstandszahl z K

1,0 d 0,8 0,6

a RK Abrundung außen

0,8

0,4

RK

vollständig rau

a mit Schaufelgitter Abrundung innen

hydraulisch glatt

0,4

0 0

0,2

0,4

0,8

1,2

Krümmerradius RK

0 0°

10°

20°

30°

40°

50°

60°

70°

80°

90°

Winkel q Bild 4.147 Widerstandszahl von Kniestücken mit Kreisquerschnitt nach [4.71]

Kanalbreite a Bild 4.149 Einfluss der Innen- und Außenabrundung auf den Widerstandsbeiwert von Krümmern mit quadratischem Querschnitt nach [4.107]

a /b 0,25

0,5

0,75

1,0

1,25

1,5 1,75 2,0 3,0

Beispiel

q

a

b

w b

2,2

2,0

1,8

1,6

1,4

1,2

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0° 10° 20° 30° 40° 50° 60° 70°80°90°

zK Bild 4.148

Widerstandszahl von Kniestücken mit Rechteckquerschnitt nach [4.71]

q

Stoffströme in geschlossenen Rohrleitungen 4.7.7.6

Rohrverzweigungen

a) Einleitung Bei Rohrverzweigungen unterscheidet man, auf die Strömungsrichtung bezogen, zwischen Strömungstrennung V˙ = V˙ d + V˙ a mit V˙ als dem Verzweigungsrohrstück zuströmenden Volumenstrom und Strömungsvereinigung V˙ = V˙ d + V˙ a mit V˙ als dem vom Vereinigungsrohrstück abströmenden Volumenstrom.

Tabelle 4.22

Ähnlich wie bei Stoßkräften von Freistrahlen an geneigten oder gekrümmten Wänden (Tabelle 4.3) oder bei der Strahlablenkung eines Freistrahles an einer Schneide (Abschnitt 4.3.4.2d) lassen sich die Strömungsverhältnisse, einschließlich Druckverluste mit Hilfe von Impulssatz, Energiegleichung und Kontinuitätsgleichung an Rohrverzweigungen exakt beschreiben ([4.5, 4.53, 4.71 und 4.81]). Ohne Ableitung werden die Energiegleichungen für Trennung und Vereinigung in Tabelle 4.22 angegeben [4.5]:

Energiegleichung von Rohrverzweigungen

Trennung . V

207

Vereinigung

pe

pd

Durchgang

. Vd

we

pd

wd

Ae

. Va

Abzweig

. Vd wd

Durchgang

pw

. V ww

Ad pa

pa .

Va a w

Zugangsrohr

Aa

wa Strömung im Abzweig:

Strömung im Zugangsrohr:

r –2 r –2 r –2 pe + ae · 2 · w e = pa + aa · 2 · wa + DpR , ea + z a · 2 · wa 2 2 2

r –2 r –2 r –2 pa + a a · 2 · w a = pw + a w · 2 · w w + DpR, aw + z a · 2 · w w 2 2 2

Strömung im Durchgang:

Strömung im Durchgang:

r –2 r –2 r –2 pe + ae · 2 · w e = pd + ad · 2 · wd + DpR , ed + z d · 2 · wd 2 2 2

r –2 r –2 r 2 pd + a d · 2 · w d = pw + a w · 2 · w w + Dp R , dw + z d · 2 · w w 2 2 2

dabei bedeuten die Beiwerte ae , aa und ad die Energiestrombeiwerte nach Gleichung 4.135, DpR , ea und DpR , ed sind die Wandreibungsdruckverluste bei ungestörter Strömung zwischen den Querschnitten Ae und Aa bzw. Ae und Ad . Die Beiwerte za und zd können beispielsweise aus Bild 4.150 entnommen werden.

a a , a d und a w sind Energiestrombeiwerte nach Gleichung 4.135. Dp R , aw und Dp R , dw sind die Wandreibungsdruckverluste zwischen Aa und A w bzw. A d und A w . Die Beiwerte z a und z d können aus Bild 4.150 entnommen werden.

208

Inkompressible Strömungen Trennung

. V

. Vd

d

Vereinigung

. Vd

d

f

. V

f

a

Va

V.

.

1,5

+1

f=

90°

za f = 60°

0,5

0

f = 45°

f=

=6

0°

60°

=

– 0,5

zd

° 45

f = 90°

zd

f

f

0

° 90 60° f=

° f = 90 5 4 f= °

+ 0,5

za

1,0

f=

–0,5

–1 0

a Bild 4.150

0,2

0,4 . . Va / V

0,6

0,8

1,0

0

0,2

b

0,4 . . Va / V

0,6

0,8

1,0

Widerstandszahlen von Abzweigstücken: a) Trennung, b) Vereinigung

b) Druckverluste Infolge Umlenkung, Ablösung und in geringem Maße auch Wandreibung treten in Rohrverzweigungen erhebliche Druckverluste auf, die im Wesentlichen von der Geometrie der Verzweigungsstücke und der Volumenstromaufteilung abhängen. Wegen der großen Formenvielfalt der in der Praxis üblichen Rohrverzweigungen ist es nicht möglich, alle aus Versuchen gewonnenen Widerstandsbeiwerte wiederzugeben, weshalb nur eine kleine Auswahl von z-Werten angegeben wird und in Tabelle 4.23 auf die zahlreiche Fachliteratur verwiesen wird. Die Bezugsgeschwindigkeit zur Berechnung des Druckverlustes nach Gleichung 4.157 ist üblicherweise die Strömungsgeschwindigkeit des noch nicht getrennten Volumenstromes V˙ bzw. des schon vereinigten Volumenstromes V˙ (siehe Bild 4.150) und berechnet sich nach der bekannten Beziehung: – = V˙ w 82 p d2 · 3 4

Die Widerstandsbeiwerte können aus Bild 4.150 entnommen werden. Bei der gleichmäßigen Trennung des Volumenstromes V˙ in 2 · V˙ /2 in T-Stücken tritt der Druckverlust r –2 Dpv = z T · 3 · w 2

(Gl. 4.186)

auf. In Bild 4.151 ist eine kleine Auswahl von z T -Werten zusammengestellt. In Hosenrohren mit geraden oder gekrümmten Abzweigen entsteht ein Druckverlust, der sich bei bekanntem Widerstandsbeiwert z H nach der Beziehung r –2 Dpv = z H · 3 · w 2

(Gl. 4.187)

abschätzen lässt. Die Bilder 4.152 und 4.153 enthalten Angaben über die z H-Werte. Andere geometrische

Stoffströme in geschlossenen Rohrleitungen Bild 4.151 Widerstandszahlen von T-Stücken

. V . V/2

. V . . V/2 V/2

. V . . V/2 V/2

. . V/2 V/2

. V/2

kugelförmig

kugelförmig mit nach innen abgerundetem Hals

abgerundet mit geradem Boden

z T = 1,3

z T = 2,5 … 5

z T = 0,9

z T = 0,7

. V

d f

. V

scharfkantig

. V w

209

10° 30° 45° 60° 90°

z H 0,1 0,3 0,7

w

1,0 1,4

R /d 0,5 0,75 1 zH

1,5 2,0

1,1 0,6 0,4 0,25 0,2

R f . V/2

. V/2

Bild 4.152

Widerstandszahlen von Hosenrohren

Tabelle 4.23 Literaturübersicht-Rohrverzweigungen Teilgebiet der Strömungstechnik

Literaturstellen

Allgemeine Strömungslehre, Grundlagen

[4.5, 4.53, 4.69, 4.71, 4.80, 4.81]

Wasserversorgung, Rohrhydraulik

[4.53, 4.100]

Heizungstechnik

[4.42]

Lüftungstechnik

[4.68, 4.78, 4.99]

Ladungswechsel in Verbrennungsmotoren

[4.110]

Ausführungen von Rohrverzweigungen sind in der in Tabelle 4.23 aufgeführten Literatur zu finden. 4.7.7.7

. V/2

. 2 V/

Dehnungsausgleicher

In Rohrleitungen größerer Ausdehnung werden Dehnungsausgleicher (Kompensatoren)

Bild 4.153

Widerstandszahlen von Hosenrohren

eingebaut, um konstruktiv oder thermisch bedingte Längenänderungen auszugleichen. Der Druckabfall in einem Dehnungsausgleicher berechnet sich nach der bekannten Gleichung 4.157: r –2 Dpv = z · 3 · w 2 Die mittlere Geschwindigkeit w bezieht sich üblicherweise auf den Rohrquerschnitt vor dem Kompensator. Widerstandszahlen z sind in Tabelle 4.24 zusammengestellt, bezüglich Literatur wird auf [4.65 bis 4.67 sowie auf 4.108 und 4.109] verwiesen. 4.7.7.8

Absperr- und Regelorgane

Zur Regelung bzw. Absperrung des Volumenstroms werden in Rohrleitungen Absperr- und Regelarmaturen der verschiedensten geometrischen Bauformen und mit unterschiedlichen Funktionen eingebaut.

210

Inkompressible Strömungen

Tabelle 4.24

Widerstandsbeiwerte von Kompensatoren

Kompensatortyp

z -Wert

Stopfbuchskompensator

z ª 0,2

nach [4.69]

Wellrohrkompensator ∆d

50

100

200

300

400

500

z

1,7

1,6

1,6

1,8

2,1

2,3

mm

nach [4.69] bei mehr Wellen erhöht sich z entsprechend um etwa 0,2 pro Welle

U-Bogen mit Krümmern a/d

0

2

5

10

z

0,33

0,21

0,21

0,21

∆d

50

100

200

300

400

500

z

2

2,1

2,3

2,5

2,7

2,9

scharfkantiger U-Bogen mm

nach [4.69]

Stoffströme in geschlossenen Rohrleitungen Tabelle 4.24

Fortsetzung

Kompensatortyp Lyrabogen

211

z -Wert Glattrohr R 0 /d = 6 r/d = 5

∆ d 50

100

200

300

400

1,7

1,8

2,0

2,2

2,4

z

500 mm 2,6 nach [4.69]

Faltenrohr R 0 /d = 6 r/d = 6

∆ d 80

100

200

300

400

2,0

2,2

2,5

2,8

3,1

z

500 mm 3,5 nach [4.69]

Wellrohr R 0 /d = 5 r/d = 3

∆ d 50

100

200

300

400

3,0

3,3

3,7

4,2

4,6

z

500 mm 5,0 nach [4.69]

Infolge starker Richtungs- und Querschnittsänderungen, verbunden mit Ablösungen und Verwirbelungen, unterliegt die Strömung großen Reibungs- und Verwirbelungsverlusten, wobei zwischen den Grundverlusten im voll geöffneten Zustand und den zusätzlichen Verlusten im angedrosselten Zustand unterschieden wird. Der Druckverlust wird mittels der bekannten Basisgleichung 4.157 abgeschätzt: r –2 Dpv = z · 3 · w 2 – wobei w meistens die mittlere Strömungsgeschwindigkeit im Eintrittsquerschnitt ist. Die Widerstandszahl z hängt i. Allg. wie bei anderen Rohreinbauten von folgenden Parametern ab: ❑ Makro- und Mikrogeometrie der Armatur, ❑ Reynolds-Zahl (nicht bei allen Ausführungen), ❑ Öffnungsgrad und wird auf dem Versuchsweg ermittelt. In [4.53] ist folgende allgemeingültige Beziehung angegeben, die die Abhängigkeit des z-Wertes von Ventilen, Schiebern und Klappen

von den oben genannten Parametern anschaulich beschreibt:

冢

冣

2 C A z = 5 + 0 – 1 + z0 y · As Re

(Gl. 4.188)

Der 1. Term C/Re beschreibt den Einfluss der Reynolds-Zahl, wobei C von der Geometrie der Armatur abhängt. 2 A Der zweite Ausdruck 0 – 1 berücky · AS sichtigt den Stoßverlust nach BORDA-CARNOT, wobei A der Querschnitt bei geöffneter Armatur, AS der freigegebene Strömungsquerschnitt und y die Kontraktionszahl des Strahles an der Einschnürungsstelle sind. Der letzte Term z0 ist die von der Bauform der Armatur abhängige Widerstandszahl bei voller Öffnung. Betrachtet man die in Bild 4.154 dargestellten Kurvenzüge z = f (Re, Öffnungsgrad) von Drosselklappen, erkennt man die Aussagequalität von Gleichung 4.188. Für Druckverlustberechnungen in der Berufspraxis empfiehlt sich die Beschaffung der z-Werte bei den Herstellern der Armaturen,

冢

冣

212

Inkompressible Strömungen

10 4 a

a = 0° offen,

z

0

a = 90° geschlossen

10 3 a / 90° = 0,8 laminar 10

Übergang

turbulent

2

0,6

10 0,4

0,2 1

offen

10

Bild 4.154

10 2 10 3 Reynolds-Zahl Re

10 4

10 5

Widerstandsbeiwert von Drosselklappen nach [4.53]

ggf. müssen Messungen durchgeführt werden. Für überschlägige Abschätzungen des Druckverlustes können folgende Quellen genutzt werden: ❑ Absperr- und Regelarmaturen in geöffnetem Zustand: Bild 4.155, ❑ Rückschlagklappen in geöffnetem Zustand: Bild 4.156, ❑ Regelarmaturen: Tabelle 4.25. Weitere Angaben finden sich u. a. in den Literaturstellen [4.53, 4.69, 4.71, 4.78, 4.100, 4.107 und 4.111]. Die Umrechnung des kv-Wertes von Regelarmaturen in äquivalente z-Werte wurde bereits in Abschnitt 4.7.7.1, Grundlagen behandelt.

4.7.7.9

Drosselgeräte

Drosselgeräte dienen zur Messung des Volumenstroms V˙ mittels Wirkdruck Dpwirk (siehe Abschnitt 6.5.3) an der Einschnürung einer Blende, einer Düse oder eines Venturirohres (Bild 4.157). Neben dem Wirkdruck entsteht auch ein «bleibender Druckverlust» Dpv , der durch Reibung und Verwirbelung hervorgerufen wird. Dieser Druckverlust lässt sich nach der bekannten Beziehung der Gleichung 4.157 schätzen. r –2 Dpv = z1 · 3 · w 1 2 Der Druckverlustbeiwert z1 muss, wie die Durchflusszahl a bzw. der Durchflusskoeffizient C, experimentell ermittelt werden.

213

Stoffströme in geschlossenen Rohrleitungen 10

Bild 4.155 Widerstandszahlen von Armaturen nach [4.103]

Widerstandszahl z

8

6

1

1

4

2

3

4

2

d

3 2

w

5

6

4

0 0

50

100

150

200

250 mm

300

Nennweite d 10

Bild 4.156 Widerstandszahlen von Rückschlagarmaturen nach [4.103]

2

1

4

3

Widerstandszahl z

8

6 w

2

4

d

3

5 6 4

2

5 6

0 0

50

100

150

200

250 mm

300

Nennweite d

Für Überschlagsrechnungen kann die in [4.71] angegebene Näherungsgleichung verwendet werden:

冢 冣 冢 冣

d 2 1– 4 D z 1 ≈ 064 d a2 · 4 D

(Gl. 4.189)

wobei a die von der Geometrie des Drosselgerätes und von der Reynolds-Zahl ReD abhängige Durchflusszahl ist, die den einschlägigen Normen, z.B. [4.112], entnommen werden kann. In [4.112] werden folgende Gebrauchsformeln zur Abschätzung des bleibenden Druckverlustes angegeben:

214

Inkompressible Strömungen

Tabelle 4.25

Widerstandszahlen von Regelarmaturen (nach [4.71])

Armatur Bild

z -Werte abhängig von der Stellung des Stellgliedes

Drosselklappe

Winkel j

10°

20°

30°

40°

50°

60°

70°

z-Wert

0,52

1,54

3,91

10,8

32,6

118

251

Winkel j

10°

20°

30°

40°

50°

z-Wert

0,31

1,84

6,15

20,7

95,3

h/d

0,125 0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

z-Wert

97,8

10,0

4,6

2,06

0,98

0,44

0,17

0,06

0

Kükenhahn

Plattenschieber

35

❑ für Blenden und Düsen: 1 – a · b2 Dpv ª 052 · Dpwirk 1+ a · b

a a=

(Gl. 4.190)

Durchflusszahl C 02 d0 1 – b4

C Durchflusskoeffizient b = d/D Durchmesserverhältnis ❑ für Venturi-Rohre (Bild 4.158): Der sog. relative Druckverlust x kann wie folgt abgeschätzt werden:

w1

d

D

Dpv¢¢ – Dpv¢ x = 00 Dpwirk

(Gl. 4.191)

Dpv¢¢ Druckabfall mit eingebautem Venturirohr Dpv¢ Druckabfall ohne Venturi-Rohr bei gleicher Rohrlänge zwischen den 1 und 쎻 2 (Bild 4.158) Messpunkten 쎻 Nach [4.112] liegt x im Bereich 0,05…0,2 und kann mit Hilfe von Bild 4.159 unter Berücksichtigung von Durchmesserverhältnis b, der Reynolds-Zahl ReD und Diffusorerweiterungswinkel j näher bestimmt werden. In der Fachliteratur, z.B. in [4.69, 4.80 und 4.103], finden sich Tabellen und Kurvenblätter, die Druckverlustbeiwerte z1 für verschiedene geometrische Formen von Drosselgeräten angeben. 4.7.7.10 Filter und Siebe

Druckverlauf: Wirkdruck

Bild 4.157

Druckabfall D pv

Druckverlauf an einem Drosselgerät

a) Saugkörbe mit Fußventil Am Anfang von Pumpensaugleitungen werden üblicherweise Saugkörbe mit Fußventil (Bild 4.160) angebracht. Der am Saugkorb entstehende Druckverlust berechnet sich aus der bekannten Gleichung 4.157:

Stoffströme in geschlossenen Rohrleitungen

215

>1 D

Strömungsrichtung Bild 4.158

Druckverlust des klassischen Venturi-Rohres nach [4.112]

r –2 Dpv = z · 3 · w 2 – wobei w die Austrittsgeschwindigkeit am Saugkorbflansch ist. Nach [4.111] betragen die Widerstandszahlen: Tabelle 4.26 z-Werte von Saugkörben Nennweite DN (in mm)

Geschw.

冦

– = 1 m/s w – = 2 m/s w – = 2,5 m/s w

50…80

100…350

4,1 3,0 2,8

3,0 2,25 2,25

Der Pumpenhersteller KSB gibt für die Saugkörbe seiner Bohrlochpumpen einen Wertebereich von z = 1,1…1,9 an. Auch für die Saugleitungen von Feuerlöschpumpen gelten besondere Richtlinien, in denen auch die z-Werte der Saugkörbe festgelegt sind. b) Siebe An einem in eine Rohrleitung eingebauten Sieb entsteht ein Druckverlust, der von der

Siebgeometrie, der Reynolds-Zahl Re1 und vom Staudruck der Anströmgeschwindigkeit abhängt. Der Druckverlust kann nach Gleichung 4.157 abgeschätzt werden: r –2 Dpv = zS · 3 · w 2 – ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit w im freien Rohrquerschnitt. In Tabelle 4.27 sind die Widerstandszahlen zS verschiedener Siebformen zusammengestellt. Weitere Literatur siehe [4.113, 4.114 und 4.125]. c) Lochbleche (Lochplatten) An einer in eine Rohrleitung eingebaute Lochplatte (Bild 4.161) tritt ein erheblicher Druckverlust Dpv auf: r –2 Dpv = z · 3 · w 2

(Gl. 4.157)

216

Inkompressible Strömungen

Tabelle 4.27

Widerstandszahlen z S von Sieben

Siebgeometrie

Widerstandszahl z S s/t z S = 952 · 0,8 (1 – s/t) nach [4.113 und 4.114]

s

2

2

2,5

3,1

mm

t

20

25

25

25

mm

zS

0,34

0,27

0,32

0,39

1–b zS = 71 · cw b2

冢 冣

s b= 1–2 t

2

2,0

cw

1,0

0

0

1000

2000

3000

4000

–·s w Re = 71 b·n –·s w für Re = 7 > 400: n

冢 冣

1 zS = 1,3 (1 – a¯ ) + 3 – 1 a¯

2

Ao freier Querschnitt im Sieb a¯ = 4 = 00001 A Rohrquerschnitt –·s w für Re = 7 < 400: n

z S* = z S · k Re

Metallsieb nach [4.69]

Re

50

100

150

200

300

400

kRe

1,44

1,24

1,13

1,08

1,03

1,01

z S von Sieben aus Textilfasern ist etwa um den Faktor 1,6 größer als z S von Metallsieben

Stoffströme in geschlossenen Rohrleitungen

217

c) Bild 4.159 Druckverlust des klassischen Venturirohres nach [4.112]: a) Einfluss vom Durchmesserverhältnis b und der relativen Rauheit k/D, b) Einfluss der Reynolds-Zahl ReD , c) Einfluss vom Diffusorwinkel j

Die Widerstandszahl z = zL/j 2 hängt im Wesentlichen von folgenden Parametern ab: – ·d w L L ❑ Reynolds-Zahl ReL = 03 n dL 2 ❑ Versperrungsgrad j=z· 4 d mit: z Anzahl der Löcher ❑ relative Plattendicke b/dL ❑ Geschwindigkeitsprofil der ankommenden Strömung

冢 冣

In [4.71] sind mehrere Diagramme angegeben, aus denen der auf die Lochströmung bezogene Verlustbeiwert zL in Abhängigkeit von obigen Parametern entnommen werden kann. In Bild 4.162 ist ein zusammenfassendes Kurvenblatt für zL für Reynolds-Zahlen ReL > 104 wiedergegeben. Weitere Angaben über den Strömungswiderstand von Lochblechen finden sich u.a. in [4.69, 4.80 und 4.103].

218

Inkompressible Strömungen d) Festkörperschüttungen Festkörperschüttungen sind Packungen aus einzelnen Partikeln, die von einem Fluid durchströmt werden. Festkörperschüttungen dienen in der Verfahrenstechnik hauptsächlich zur Erzeugung einer möglichst großen Oberfläche je Volumeneinheit und werden in der Praxis beispielsweise bei folgenden Vorgängen eingesetzt:

DN

w

❑ Trocknen oder Rösten von Schüttgütern, ❑ Filtriertechnik z.B. in der Wasseraufbereitung, ❑ Wärmeprozesse in Hoch-, Schacht- oder Drehrohröfen, ❑ Mischprozesse in Behältern, Silos und Bunkern, ❑ chemische Prozesse in Katalysatorfestbetten. Zur Berechnung des Druckverlustes in Festkörperschüttungen gibt es 2 Modellvorstellungen: Bild 4.160 Saugkorb mit Fußventil (Nach Fa. Bopp & Reuther)

1) Das ältere Modell, das die Hohlräume zwischen den Partikeln durch parallel- und in Reihe geschaltete Kapillarröhrchen mit dem

Ø dL w

a

Ød

b

Bild 4.161

a

a

wL

Lochblech in einem Rohr

dL

d

Stoffströme in geschlossenen Rohrleitungen 3

Verlustbeiwert z L

2

b/dL = 0,25 0,35 0,45 0,48 0,50 0,52 0,54 0,65 1,00 2,00

219

104 ≤ ReL ≤ 5 ·104

1

0

Bild 4.162

0

0,10

0,20 Versperrungsgrad f

0,30

0,40

0,50

Verlustbeiwert z L von Lochplatten nach [4.71]

hydraulischen Durchmesser dh ersetzt, der wie bekannt definiert ist: 4 ¥ durchströmter Querschnitt 4 · A dh = 000005 = 9 benetzter Umfang U Der Querschnitt A wird dabei als der auf die Packungslänge DL bezogenen Hohlraum VH festgelegt VH A=6 DL und der benetzte Umfang als die auf die Packungslänge DL bezogene Oberfläche AP der Partikel aufgefasst AP U=6 DL Aus dieser Grunddefinition VH dh = 4 · 6 AP erhält man über verschiedene Umformungen folgenden für die Anwendungspraxis geeigneten Ausdruck für den hydraulischen Durchmesser dh [4.61]:

2 e dh = 3 · 8 · d P 3 1–e

(Gl. 4.192)

hierin bedeuten: Hohlraumvolumen e = Porosität = 0005 Gesamtvolumen VH e = 04 VH + VP dP charakteristischer Partikeldurchmesser VP dP = 6 · 5 AP Oder als sog. Sauter-Durchmesser aus einer gemessenen Partikelgrößenverteilung berechnet [4.115]:

冤 冢

n Vi 1 dP = Â 5 · 5 V d Pi i=1

冣冥

–1

mit Vi/V als dem Volumen des i-ten Partikelgrößenintervalls Vi , bezogen auf das gesamte analysierte Partikelvolumen V und den mittleren Partikeldurchmesser des Intervalls d Pi .

220

Inkompressible Strömungen

In [4.61] sind Angaben über die Porosität zahlreicher Partikelformen und Packungsarten enthalten. Für kugelförmige Füllkörper ergeben sich nach [4.61] die in Tabelle 4.28 zusammengestellten Porositäten e :

– –2 Dpv w w e e 6 = k1 · 52 + k2 · r Fl · 5 DL dh dh Durch Einführen von dh nach Gleichung 4.192 – /e erhält man über mehrere Zwi– =w und w e schenschritte: – –2 Dpv (1 – e)2 w 1–e w · + k · r · · 2 Fl 4 8 6 6 = k1 · h · 01 DL e3 d P2 e3 dP

Tabelle 4.28 Porositäten e von Kugelschüttungen [4.61]

(Gl. 4.193)

Schüttungsgeometrie

Zahl der Berührungspunkte

e

kubisch primitiv orthorhombisch tetragonal (dichteste Packung) «statistisch gemischt»

6 8 12

0,477 0,395 0,259

Man kann Gleichung 4.193 auch in der für die Rohrreibung üblichen Darstellung formulieren: –2 1–e Dpv r·w 51 = l · 01 · 9 e3 DL dP

0,37

Andere Füllkörperformen erreichen nach [4.61] höhere Porositäten (Tabelle 4.29).

(Gl. 4.194)

wobei l von der Reynolds-Zahl und von der Makro- und Mikrogeometrie der Schüttung abhängt:

Tabelle 4.29 Porositäten e von verschiedenen Partikelschüttungen Partikelform

e

Kugel Raschigringe Berlsattelkörper Intaloxsattelkörper

0,33 … 0,42 0,52 … 0,80 0,55 … 0,75 0,65 … 0,80

Ød

Sieb

dP

∆L

uf

erla p-V

Der auf die Schichthöhe DL (Bild 4.163) bezogene Druckverlust Dpv hängt von folgenden Größen ab: – ❑ mittlere Strömungsgeschwindigkeit w e

❑ ❑ ❑ ❑ ❑

in den Poren, – bzw. Anströmgeschwindigkeit w hydraulischer Durchmesser d h Porosität e dynamische Viskosität h des Fluids Dichte r Fl des Fluids

w

Sieb

Wie bei der Rohrströmung kann man sich auch den Druckverlust in Schüttungen aus 2 Komponenten zusammengesetzt vorstellen: Viskositätsanteil – proportional h · we Trägheitsanteil – proportional rFl · we2

Bild 4.163

Füllkörpersäule

∆ pv

Stoffströme in geschlossenen Rohrleitungen

1–e l = k1 · 9 + k2 Re P

z · W1 = Dpv · A (Gl. 4.195)

Für Schüttungen aus Koks, Erz, gebrochenen Steinen usw. hat ERGUN [4.116] folgende Werte für k1 und k2 angegeben: k1 = 150 ;

221

k2 = 1,75

Die Partikelzahl z berechnet sich aus der Porosität e und dem mittleren Partikeldurchmesser dP : (1 – e ) · A · DL z = 004 p d P3 · 3 6

ReP ist wie folgt definiert: –·d –·d w rFl · w P P ReP = 9 = 07 n h

damit ergibt sich für W1:

Für Schüttungen aus Kugeln gleichen Durchmessers dP , dK hat BRAUER [4.61] folgenden Ausdruck für l vorgeschlagen:

Dividiert man die Widerstandskraft W1 durch – 2 w r Fl den Staudruck 41 · 4 und die Spantfläche e 2 p des Partikels d P2 · 3 , erhält man die dimen4 sionslose Euler-Zahl Eu

Dpv d P3 · p 1 W1 = 6 · 0 · 8 DL 6 1–e

160 3,1 l =6+7 Re Re 0,1 ReP mit Re = 8 1–e Für den Bereich kleiner Reynolds-Zahlen, in dem der Druckverlust viskositätsdominiert ist, wird in [4.115] empfohlen, die CARMANKOZENY-Gleichung anzuwenden: Dpv (1 – e)2 2 – · SV · h · w 6 = 4 · 01 e3 DL

(Gl. 4.196)

mit SV als volumenbezogener spezifischer Oberfläche, die von der Partikelform und der Partikelgrößenverteilung abhängt. Man kann Gleichung 4.196 auch als Weiterentwicklung der DARCY ’schen Gleichung (s. Namensverzeichnis) – Dpv h · w (Gl. 4.197) 6=8 DL B auffassen, wenn B als die für jede Schüttungsart experimentell zu bestimmende Durchlässigkeit ist. 2) Das neue Modell, das den Druckverlust auf die Umströmung der Partikel zurückführt. Dieses Strömungsmodell, das auf MOLERUS zurückgeht [4.117], setzt die Widerstandskraft aller Partikel z · W1 gleich der Druckkraft Dpv · A, wenn A der Querschnitt der Schüttung ist.

冢 冣

W1 Eu = 000 – r Fl w 2 d P2 · p 5· 4 ·0 2 e 4

冢 冣

4 Dpv dP e2 = 3 · 6 · 20 · – 2 9 3 DL rFl · w 1 – e Dpv oder nach 6 umgestellt: DL Dpv 3 –2 1 1 – e 6 = 3 · Eu · rFl · w · 4 · 8 DL 4 dP e2

(Gl. 4.198)

Die Euler-Zahl Eu ist eine Funktion der Reynolds-Zahl, der Porosität e und der Partikelform. In Bild 4.164 ist die Euler-Zahl Eu von rauen Kugeln abhängig von der ReynoldsZahl Re und der Porosität e dargestellt. Man erkennt, dass sich die Euler-Zahl ab Re ⭌ 104 praktisch nicht mehr ändert. Weitere Einzelheiten dazu, u.a. auch über die Euler-Zahl nichtkugelförmiger Partikel finden sich in [4.115]. Der Druckverlust in sog. Wirbelschichten, auch Fließbett (englisch: fluidized bed) unterliegt anderen Gesetzmäßigkeiten als der Druckverlust in einer Schüttung (Festbett), da

222

Inkompressible Strömungen

Euler-Zahl Eu

10 3

e = 0,36 0,38 0,40 0,42 0,44 0,46 0,48 0,50 0,52 0,54 0,56

10 2

10 1

10 0 10 0

10 1

10 2

10 3

10 4

10 5

10 6

Reynolds-Zahl Re Bild 4.164

Euler-Zahl von rauen Kugeln nach [4.115]

in Wirbelschichten so hohe Strömungsgeschwindigkeiten herrschen, dass die Partikel im Fluid suspendiert sind und den permanenten Berührungskontakt untereinander verloren haben. In diesem fluidisierten Zustand steht der Druckabfall Dpv des Fluids im Gleichgewicht mit der Gewichtskraft der Partikel und des Fluids. Mit guter Näherung kann also der einfache Ansatz Dpv 8≈1 G/A

(Gl. 4.199)

gebildet werden, solange das Verhältnis der Strömungsgeschwindigkeit w zur Geschwindigkeit w L im sog. Lockerungspunkt zwischen 1…50 liegt. In Gleichung 4.199 bedeuten G das Gesamtgewicht der Partikel und A den Gesamtquerschnitt des Wirbelschichtbettes.

Nähere Einzelheiten zum Druckabfall in Wirbelschichten finden sich in [4.118]. Weiterführende Literatur zum Thema Strömungen und Druckabfall in Festkörperschüttungen findet sich u.a. in [4.119 bis 4.122]. 4.7.7.11 Zusammengesetzte Widerstände Werden mehrere Rohreinbauelemente unmittelbar hintereinandergeschaltet, dürfen die z-Werte der einzelnen Rohrelemente nicht einfach addiert werden, da die Zu- und Abströmverhältnisse meist nicht mehr denen der Versuchsbedingungen auf einem Prüfstand entsprechen, unter denen die z-Werte ermittelt wurden. Für jede Kombination von Rohrformstücken müssen zur Ermittlung des Druckverlustes besondere Versuche durchgeführt werden. In Bild 4.165 aus [4.99] ist z.B. der Widerstands-

Stoffströme in geschlossenen Rohrleitungen

223

V˙ R1

R2

D pv1 Dpv

R3

p-V erla

D pv2

uf

D pv3 Bild 4.166 Reihenschaltung von Strömungswiderständen

Bild 4.165 Widerstandsbeiwert z1 eines Diffusors bei Störung des Geschwindigkeitsprofils am Diffusoreintritt nach [4.99]

Bei geraden Rohrstücken kann der Druckverlust Dp v, i durch die bekannte Beziehung

beiwert z1 von Diffusoren mit vorgeschaltetem 90°-Krümmer abhängig vom Krümmungsverhältnis R/d dargestellt. Erst bei größeren Krümmungsverhältnissen R/d > 2 macht sich die gestörte Zuströmung des Diffusors kaum noch bemerkbar, d. h., der Widerstandsbeiwert z1 des Diffusors mit vorgeschaltetem Krümmer nähert sich asymptotisch dem Widerstandsbeiwert z1 des Diffusors mit gerader, ungestörter Zuströmung z1 = 0,18. Weitere Literaturangaben über Widerstandsbeiwerte kombinierter Rohrelemente finden sich beispielsweise in [4.69, 4.71 und 4.80]. Trotz der beschriebenen Unzulänglichkeiten bei der «Addition» von Strömungswiderständen soll doch die «klassische» Reihenund Parallelschaltung von Strömungswiderständen formal dargestellt werden:

ausgedrückt werden, d.h., R i kann durch folgenden Term ersetzt werden:

a) Reihenschaltung (Hintereinanderschaltung) Bei Reihenschaltung von Strömungswiderständen (Bild 4.166) werden bei inkompressibler Strömung alle Widerstände R1…Rn vom gleichen Volumenstrom V˙ durchströmt. Der Druckabfall Dp v, i an einem einzelnen Widerstand R i ist bei turbulenter Durchströmung in guter Näherung proportional zum Quadrat des Volumenstroms V˙ : Dp v, i = Ri · V˙ 2

li r 1 Dp v ,i = li · 4 · 3 · 52 · V˙ 2 di 2 Ai

li r 1 Ri = li · 4 · 3 · 52 di 2 Ai Bei nicht kreisförmigem Rohrquerschnitt wird di durch den hydraulischen Durchmesser d h, i ersetzt. Bei Rohreinbauelementen wird der Strömungswiderstand Ri durch den z-Wert des Rohrelementes ausgedrückt: r 1 Dp v,i = zi · 3 · 52 · V˙ 2 2 Ai r 1 Ri = zi · 3 · 52 2 Ai Der Gesamtdruckverlust Dpv, ges ist die Summe der Einzeldruckverluste. Dpv, ges = Dp v,i +…+ Dp v,i +…+ Dp v, n Dpv, ges = Rges · V˙ 2 = (R1 +…+ Ri +…+ Rn) · V˙ 2

冢

冣

n r li 1 zi Dpv, ges = 3 · V˙ 2 · Â li · 3 · 52 + 52 i=1 2 di A i A i

(Gl. 4.200) b) Parallelschaltung Bei Parallelschaltung von Strömungswiderständen (Bild 4.167) verzweigt sich der Volu-

224

Inkompressible Strömungen . V1 R1 . V2

. V

. V

R3

p-

au

f

Bild 4.167 Parallelschaltung von Strömungswiderständen

7

v

Dpv = Dp v,1 = Dp v ,i = Dp v, n Dpv = Ri · V˙ i2 = Rges · V˙ 2

1

7

v

i

n

1 Rges = 8302 n 1 Â 7 5 i=1 d R

冢

i

冣

V˙ 2 Dpv = 8302 n 1 Â 7 5 i=1 d R

冢

mit

冦

i

(Gl. 4.201)

冣

li r 1 R i = l i · 3 · 3 · 52 di 2 A i

für gerade Rohrstücke

r 1 R i = z i · 3 · 52 2 Ai

für Rohreinbauelemente

Beispiel 30 Aufgabenstellung: Die Saugleitung einer Pumpenanlage besteht aus einem Saugkorb mit Fußventil, einem 6 m langen geraden Stahlrohr (k = 0,1 mm) und einem 90°-Krümmer (k ebenfalls 0,1 mm) mit einem Krümmungsverhältnis R/d = 800/200 = 4 (Bild 4.168). Die Rohrleitung und der Krümmer haben einen Innendurchmesser d = 200 mm, was auch der Nennweite des Saugkorbs entspricht. Die Pumpensaugstutzenmitte liegt 5 m über dem Wasserspiegel. Wie groß wird der Unterdruck DpE am Pumpensaugstutzen, bezogen auf den Umgebungsdruck p Um, wenn je Sekunde 60 l Wasser von 15°C durch die Saugleitung strömen? Lösung: Da bei der Strömung im Saugrohr sowohl Höhen-, Druck- und Geschwindigkeitsunterschiede als auch Reibungsverluste auftre-

7

v

n 1 1 1 1 1 =7 +…+ 7 +…+ 7 =Â 7 0 5 5 5 8 d Ri d R n i = 1 d5 Ri d Rges d R1

menstrom V˙ in die Teilvolumenströme V˙ 1…V˙ n , der Druckverlust Dpv ist an allen Widerständen gleich.

d. h.

v

ges

. V3

Ve rl

Dp Dp Dp f RDp 6 = f 6 +…+ f 6 +…+ f 6 R R R 7

wird

R2

Dpv

V˙ = V˙ 1 +…+ V˙ i +…+ V˙ n

Aus

Bild 4.168 Pumpensaugleitung (nicht maßstäblich) zu Beispiel 30

Stoffströme in geschlossenen Rohrleitungen ten, wird der gesuchte Unterdruck DpE mit Hilfe der erweiterten Bernoulli-Gleichung 4.119 berechnet. r p1 + r · g · z1 + 3 · w12 2 r = p2 + r · g · z2 + 3 · w22 + Dpv 2 Folgende Größen sind bzw. werden festgelegt: z1 = 0 m z2 = 5 m w1 = 0 m/s, da saugseitiger Behälterquerschnitt sehr groß Dp E = p1 – p2 mit p1 , pUm r Dp E = p1 – p2 = r · g · z2 + 3 · w22 + Dpv 2 r · g · z2 = 1000 · 9,81 · 5 = 49 050 Pa –3 ˙ – = V = 60 · 10 w2 = w 0 05 p p d 2 · 3 0,22 · 3 4 4 – = 1,91 m/s w =w 2

r 1000 2 2 3 · w2 = 8 · 1,91 = 1824 Pa 2 2 Der Druckverlust im Saugkorb beträgt nach Abschnitt 4.7.7.10 a): r –2 Dpv = z · 3 · w 2 wobei der z-Wert nach Tabelle 4.26 für – ≈ 2 m/s und DN 200 ca. z = 2,25 beträgt. w 1000 Dpv, 1 = 2,25 · 8 · 1,912 = 4104 Pa 2 Der Druckverlust im geraden, 6 m langen Rohrstück berechnet sich nach Gleichung 4.137 a: l r –2 Dpv = l · 3 · 3 · w d 2 wobei l als Funktion von Reynolds-Zahl Re und relativer Rauigkeit d/k aus Tafel 30 abgelesen wird.

225

– · d 1,91 · 0,2 w Re = 8 = 08 = 3,38 · 105 n 1,13 · 10 – 6 200 d/k = 7 = 2000 0,1 ergibt ein l = 0,018 in Tafel 30 6 1000 Dpv, 2 = 0,018 · 6 · 8 · 1,912 0,2 2 Dpv, 2 = 985 Pa Der Druckverlust im Krümmer kann mit Hilfe von Gleichung 4.182 abgeschätzt werden: r –2 Dpv = z K · 3 · w 2 wobei der Krümmerverlustbeiwert zK für R/d = 4; q = 90°; Re = 3,38 · 105 und k/d = 0,0005 aus Bild 4.137 zu zK = 0,3 abgelesen wird. 1000 Dpv, 3 = 0,3 · 8 · 1,912 2 Dpv, 3 = 547 Pa Obwohl es nicht genau ist, werden die 3 Druckverlustwerte addiert: Dpv = Dpv, 1 + Dpv, 2 + Dpv, 3 Dpv = 4104 + 985 + 547 Dpv = 5636 Pa Möchte man den Druckverlust des Saugrohres exakt bestimmen, müssten Versuche durchgeführt werden. Damit sind alle Werte gegeben bzw. berechnet, die zur Bestimmung des Differenzdruckes (Unterdruckes) DpE benötigt werden. r –2 + Dpv Dp E = r · g · z2 + 3 · w 2 Dp E = 49 050 + 1824 + 5636 Dp E = 56 510 Pa = 0,565 bar Dp E ist ein Unterdruck gegenüber dem Umgebungsdruck pUm = p1 .

226 4.7.8

Inkompressible Strömungen Bei laminarer Strömung beträgt n = 2, in Tabelle 4.13 sind einige Werte von n für turbulente Strömung zusammengestellt. Zur Ausbildung des vollen Geschwindigkeitsprofils ist eine bestimmte Rohrlänge – die sog. Einlaufstrecke lein – erforderlich (Bild 4.169). Nach L. PRANDTL wird die Einlaufstrecke lein als diejenige Rohrlänge definiert, nach der sich das Geschwindigkeitsprofil um weniger als 1% vom endgültigen Zustand nach Gleichung 4.132 unterscheidet [4.50]. Nach [4.5] kann die Einlaufstrecke lein von Rohren mit kreisförmigem Querschnitt nach folgender empirischer Beziehung abgeschätzt werden:

Einlaufstrecke (Rohreinlauf)

Die in den vorangehenden Abschnitten beschriebenen Berechnungsverfahren und Beiwerte zur Abschätzung des Druckverlustes in Rohrleitungen und Rohreinbauelementen gelten nur für Rohrabschnitte, in denen die Geschwindigkeitsprofile voll ausgebildet sind und sich stromabwärts nicht mehr ändern. Die am Beginn einer Rohrleitung gleichmäßig über dem Querschnitt verteilte Geschwindigkeit (Kolbenprofil) ändert sich stromabwärts in ein rotationssymmetrisches Geschwindigkeitsprofil, dessen Einhüllende durch Gleichung 4.132 beschrieben wird, 1/n

冢 冣

d 3–r w 2 8 = 81 wmax d 3 2

冢

冣

2·r = 1–7 d

lein ª a · Re b · d

1/n

Der Beiwert a und der Exponent b hängen von der Reynolds-Zahl, der Form des Rohreinlaufs (abgerundet, scharfkantig) und der Wandrauigkeit ab.

wobei der Exponent 1/n von der ReynoldsZahl und der Wandrauigkeit abhängt.

beschleunigte

vollausgebildete

Rohreinlaufströmung

Rohrströmung

Kolbenprofil Reibungsschicht reibungslose Kernströmung

voll ausgebildetes Geschwindigkeitsprofil w = f ( r )

r

d

mittlere Geschwindigkeit w = l ein

(Gl. 4.202)

l

. V p d2 4

Dr

uc

kv

erl

au

f p-Ve rlauf nach Gleic hung 4.13 7a

∆ pV, ges

∆ pV, zus

∆ pV, ein

x

Bild 4.169 Einlaufstrecke

Stoffströme in geschlossenen Rohrleitungen In [4.50] wird eine einfachere Gebrauchsformel zur überschlägigen Bestimmung von lein für laminare Strömung angegeben: lein = Ce · Re · d

(Gl. 4.203)

Für turbulente Strömung wird lein nur als Vielfaches des Rohrdurchmessers d ausgedrückt:

227

Insbesondere bei der Berechnung kurzer Rohrleitungen, wie sie z.B. in Wärmetauschern und Geräten eingebaut werden, ist die möglichst genaue Berechnung dieses zusätzlichen Druckverlustes besonders wichtig [4.123]. Nach [4.5, 4.50 und 4.56] kann dieser Druckverlust überschlägig mittels eines aus Versuchen gewonnenen Widerstandsbeiwertes z ¢ein bestimmt werden.

nach KIRSTEN: lein = (50…100) · d

(Gl. 4.204a)

nach NIKURADSE und BLASIUS: lein = (25…40) · d

(Gl. 4.204 b)

r –2 Dpv, zus ª z ¢ein · 3 · w 2

(Gl. 4.206)

Für den Beiwert z ¢ein finden sich in der zitierten Literatur folgende Angaben: laminare Strömung:

Zur Orientierung sind in Tabelle 4.30 einige Angaben für die Beiwerte a, b und Ce zusammengestellt. Für die Strömung nicht Newton’scher Fluide wird in [4.57] folgende Überschlagsformel zur Abschätzung der Einlauflänge lein angegeben: lein ª (0,59 + 0,056 · Re) · d

(Gl. 4.205)

Da im Einlaufbereich in Wandnähe größere Strömungsgeschwindigkeiten auftreten als im Bereich der voll ausgebildeten Rohrströmung, ergeben sich größere Wandschubspannungen, die einen zusätzlichen Reibungsverlust zur Folge haben. Tabelle 4.30

z ¢ein ª 1,12…1,45 häufig genannter Mittelwert: 1,16 turbulente Strömung:

z ¢ein ª 0,058…0,076 bei abgerundetem Einlauf z ¢ein ª 0,4 bei scharfkantigem Einlauf

冢 冣

2 1 z ¢ein ª 31 – 1 mit y als Kontraktionszahl y

Wesentlich genauere, theoretisch exakt begründete Berechnungsverfahren finden sich in [4.123 und 4.124]. Ein in [4.123] hergeleiteter allgemeiner Ansatz zur Berechnung des Gesamtdruckverlustes Dpv, ein im Rohreinlauf wird wie folgt zitiert:

Beiwerte für Rohreinlaufströmung

Strömungsart

a

b

Ce

laminare Strömung –·d w Re = 7 < 2320 n

0,029…0,061

1,0

SCHILLER : 0,029 BOUSSINESQ : 0,065 NIKURADSE : 0,06

turbulente Strömung

0,6

0,25 für hydraulisch glatte Strömung

w·d Re = 7 > 2320 n

228

Inkompressible Strömungen

冢

Dpv, ein x 1 01 = a · 3 · 01 1 d r –2 1–m Re 6 3·w 2

冢

m = 1/2 bei laminarer Strömung

冣

n

m = 1/5 bei turbulenter Strömung

(Gl. 4.207)

冢

x n = f 3 ; Re; m; …) d

冣

x a = f 3 ; Re; m nach Bild 4.170 d x = Abstand vom Rohreinlauf d = Rohrdurchmesser –·d w Re = 8 = Reynolds-Zahl n a)

nach Bild 4.170

In [4.123] ist auch ein Kurvenblatt mit Angaben über die variable Rohrreibungszahl l = f (x/d und Re) enthalten, mit dessen Hilfe man den Druckverlauf p = f (x) berechnen und auftragen kann. Desgleichen finden sich Hinweise zur Abschätzung des erhöhten Druckverlustes bei scharfkantigem Rohreinlauf.

1,4

70 64

1,2

60 laminare Strömung 1

1,0

50 40

n

0,6

30

a

0,5 0,4

20 13,84

0,2

10

0 10 –3

Beiwert a

Exponent n

0,8

2

4

6 8 10 –2

2 4 x 1 · d Re

6 8 10 –1

2

b)

4

1,0

1,0

0 6 8 100

Bild 4.170 a Beiwert a und Exponent n zu Gleichung 4.207: laminare Strömung

0,40

turbulente Strömung 0,38

0,96

0,370

Exponent n

a 0,34

0,88 n 0,84

0,316 0,8

0,80 –1 10

2

4 6 8 100

2 4 6 8 101 1 x ·46 d 71 d Re

2

4

Beiwert a

0,36

0,92

0,32 Bild 4.170 b Beiwert a und Exponent n 0,30 zu Gleichung 4.207: turbulente Strömung 6 8 102

Stoffströme in geschlossenen Rohrleitungen

Im Rahmen der Rohrströmung wird auch die Strömung durch einfache Kreisringspalte (Bild 4.171) und Rechteckspalte (Bild 4.172) behandelt. Bezüglich der geometrischen und fluidmechanischen Daten und Randbedingungen werden folgende Prämissen vorausgesetzt: ❑ die Strömung ist stationär, inkompressibel, drallfrei und isotherm, ❑ das Fluid hat Newton’sches Verhalten, ❑ der Spaltquerschnitt bleibt über die gesamte Spaltlänge konstant, ❑ die den Spalt begrenzenden Wände führen weder Dreh- noch Längsbewegungen aus. Um eine Vorstellung vom Einfluss und Gewicht der einzelnen geometrischen Parameter und fluidmechanischen Größen auf den Leckagevolumenstrom V˙ zu bekommen, wird für den konzentrischen Kreisringspalt (Bild 4.171) die zur Hagen-Poiseuille’schen Gleichung 4.127 analoge Durchflussgleichung für laminare Spaltströmung abgeleitet, wobei über die kritische Reynolds-Zahl Rekrit , bei der die laminare Strömung in turbulente Strömung umschlägt weiter unten berichtet wird.

Querschnitt

Längsschnitt Geschwindigkeitsverteilung

Fr = dm · p · l · t Ar Zur Überwindung dieses Reibungswiderstandes hält eine gleich große Druckkraft Fd der Reibkraft Fr das Gleichgewicht. Fd = dm · p · y · (p1 – p2) = dm · p · y · Dp Ad Fr = Fd dm · p · l · t = dm · p · y · Dp Nach dem Newton’schen Schubspannungsansatz (Gleichung 1.13) kann für die Wandschubspannung t gesetzt werden: dw t = – h · 51 dy In obigen Gleichgewichtsansatz eingesetzt, erhält man eine Differentialgleichung, die die Geschwindigkeitsverteilung im Spalt beschreibt: dw Dp – h · 51 = – 51 · y dy l Dp dw = – 51 · y · dy h·l Durch Integration und Ermittlung der Integrationskonstanten kann die Geschwindigkeitsverteilung als Gleichung der die

y s0

Die Reibkraft an einem Teilzylinder der radialen Ausdehnung y beträgt:

冦

Spaltströmungen

冦

4.7.9

w

r1 r2

p2

p1 2

1

dm

l s0 Re krit , wobei allerdings die Angabe der kritischen Reynolds-Zahl Re krit für den Strömungsumschlag wesentlich schwieriger ist als bei der klassischen Rohrströmung (Rekrit = 2320). Nach [4.126] hängt die kritische ReynoldsZahl vom Radienverhältnis d = r1/r2 und von der Exzentrizität e ab und liegt beim konzentrischen Spalt etwas über 2320, beim exzentrischen Spalt deutlich unter 2320 (Bild 4.176), wobei es einen relativ großen Hysteresebereich für Rekrit gibt. In [4.127] wird als «brauchbarer» Mittelwert für Rekrit = 2000 angegeben, was auch durch zahlreiche Versuche abgesichert wurde. TIEDT [4.126] unterscheidet 4 Bereiche für die Rohrreibungszahl l, wie bei der «klassischen» Rohrströmung: a) laminare Spaltströmung Re < Rekrit

l = f (Re; d; e) C l=5 Re

C = f (d; e)

für den konzentrischen Ringspalt (e = 0) gilt für die Konstante C: (1 – d)2 C = 64 · 0042 1–d 1 + d2 + 9 ln d

234

Inkompressible Strömungen

2600

e=0 2320

lg l

Symbole

2000

e = 0,0

Re krit, min

e = 0,6 laminar

Re krit, min

1600

e = 1,0

turbulent

l g Re

1200

800 0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

d = r1 / r2 Bild 4.176

Kritische Reynolds-Zahl Rekrit min von Kreisringspalten nach [4.126]

Für den Grenzfall d Æ 1,0 wird C = 96, was auch mit Tabelle 4.16 und Bild 4.106 übereinstimmt. Die Doppelabhängigkeit der Konstanten C vom Radienverhältnis d und von der Exzentrizität e kann aus Tafel 33 im Anhang des Buches entnommen werden. b) turbulente, hydraulisch glatte Spaltströmung Re > Rekrit

l = f (Re; d; e) In der Literatur, z. B. in [4.126 bis 4.128] findet man den Hinweis, l für konzentrische Ringspalte und Reynolds-Zahlen bis etwa

105 nach der Gleichung von BLASIUS (Gleichung 4.138a in Tabelle 4.14) zu bestimmen: 0,3164 l ª 93 4 6 d Re Zur Berücksichtigung der Krümmung der Spaltwände wird in [4.126] folgende Erweiterung der Gleichung von BLASIUS vorgeschlagen:

冤

冥

0,3164 2(1 – d) · ln d l ª 93 · 908 4 6 d Re 1 + 2 · ln d – d 2

1,25

Häufig wird empfohlen, l nach dem allgemeinen Ansatz von PRANDTL zu bestimmen:

Stoffströme in geschlossenen Rohrleitungen

1 l+B = A · lg Re · d3 5 l d3

(Gl. 4.214)

wobei für glatte Kreisring- und Rechteckspalte folgende Beiwerte genannt werden: A = 2,0

B = 0,97…1,0

In [4.127] wird folgender theoretischer Wert für den konzentrischen Kreisringspalt hergeleitet 1 = 0,9 · ln Re · d3 l – 1,1 5 l d3 und folgende empirische Gleichung aus Messergebnissen formuliert: 1 = (1,86…1,93) · (Re · d3 l ) 1/7 5 d3 l c) Turbulente Spaltströmung im Übergangsbereich

l = f (Re; d ; e ; k bzw. ks ) l kann praktisch nur auf dem Versuchsweg bestimmt werden. l kann nach der Gleichung von COLEBROOK abgeschätzt werden:

冢 冣

1 2 · s0 l+C ª A · lg 8 + B · lg Re · d3 5 3 k dl Die Beiwerte A, B und C müssen im Versuch bestimmt werden. Die natürliche Rauigkeit k kann auch durch die «künstliche» Rauigkeit ks ersetzt werden. d) Bei der vollausgebildeten hydraulisch rauen Spaltströmung entfällt die Abhängigkeit der Rohrreibungszahl l von der Reynolds-Zahl.

l = f (d ; e ; k bzw. ks)

冢 冣

1 2 · s0 ª A · lg 8 + B 5 3 k dl Für Rechteckspalte wird in [4.126] folgende empirische Formel angegeben:

冢 冣

1 2 · s0 = 2 · lg 8 + 0,97 5 3 k dl

235

Wie bei der Strömung im Kreisrohr kann l der Spaltströmung für verschiedene Spaltgeometrien (d; e), Rauigkeiten k und Reynolds-Zahlen nur auf dem Versuchswege zuverlässig bestimmt werden. So enthalten [4.126 und 4.127] zahlreiche Kurvenblätter, die l als Funktion der Reynoldszahl Re, der geometrischen Parameter d und e, sowie der Rauigkeit k bzw. ks darstellen. In Tafel 34 im Anhang des Buches ist exemplarisch l = f (Re) für d = 0,89 und 3 e-Werte nach Versuchen von TIEDT [4.126] wiedergegeben. 2) Eintrittsverlustbeiwert ␨ Ein In der Literatur findet man häufig den Vorschlag, zEin wie beim scharfkantigen Rohreinlauf zu 0,5 anzunehmen (Bild 4.111). STAMPA [4.127] hat durch Versuche nachgewiesen, dass zEin stark von der Reynoldszahl abhängt und i.Allg. unter dem Wert des scharfkantigen Rohreinlaufs liegt (Bild 4.177). «Brauchbare» Mittelwerte sind nach [4.127]: laminare Spaltströmung:

z Ein = 0,4…0,5

turbulente Spaltströmung: z Ein = 0,1…0,2 3) Austrittsverlustbeiwert ␨ A Vielfach wird in der Literatur empfohlen, in Anlehnung an die Strömung an Rohrausläufen (Tabelle 4.18) zA-Werte ≥ 1 anzunehmen, da man davon ausgeht, dass die gesamte kinetische Energie am Spaltende verloren geht. STAMPA [4.127] hat experimentell ermittelt, dass am Spaltende ein Teil des dynamischen – 2 in statischen Druck umgeDruckes r/2 · w wandelt wird, d.h. die Querschnittserweiterung wie ein Stoßdiffusor wirkt und der Druckverlustbeiwert zA dadurch kleiner wird als 1 (Bild 4.178). Als Mittelwert kann für z A der Bereich 0,6…0,8 angenommen werden. Bei der Strömung in exzentrischen Kreisringspalten ändern sich alle Größen abhängig von der Exzentrizität e = e/s0 , insbesondere: ❑ Volumenstrom V˙ bei gleichbleibendem Druckunterschied Dp ❑ Druckdifferenz Dp bei gleichbleibendem Volumenstrom V˙ ❑ Reibungsbeiwert ❑ kritische Reynolds-Zahl Re krit

236

Inkompressible Strömungen 0,6 0,5

Beiwert z Ein

0,4 0,3 0,2 0,1 0 500

10 3

2

3

4

5

6 7 8 9 10 4

2

6 7 8 9 10 4

2

Reynolds-Zahl Re Bild 4.177

Widerstandsbeiwert zEin von Kreisringspalten nach [4.127]

1,0 0,9 0,8 0,7

Beiwert z Ein A

0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 500

10 3

2

3

4

5

Reynolds-Zahl Re Bild 4.178

Widerstandsbeiwert zA von Kreisringspalten nach [4.127]

Stoffströme in geschlossenen Rohrleitungen

96 l = 96 3 1 + 3 · e2 2

(Gl. 4.215)

Für die Umrechnung der kritischen ReynoldsZahl Re krit gibt STAMPA [4.127] folgende Beziehung an:

Re krit, e = Re krit, e

=0

(1 + 0,25 · e 2) 7/3 · 0602 (1 + 1,5 · e 2) 4/3 (Gl. 4.216)

merkt aber kritisch an, dass diese Formel nicht bei allen Versuchen bestätigt wurde.

2,6 2,4 2,2

e

2,0 . . Vexz / Vkonz

Für die laminare Strömung kann die Funktion l · Re abhängig von e = e/s0 und d = r1/r2 aus Tafel 33 entnommen werden, aus Tafel 34 kann für den konstanten Wert d = 0,89 der starke Einfluss der Exzentrizität auf den Rohrreibungsbeiwert l im laminaren und turbulenten Bereich ersehen werden. Für den in der Praxis häufig vorkommenden Fall enger Spalte (d Æ1) und laminarer Strömung empfiehlt TIEDT [4.126] folgende einfache Gleichung für die Abschätzung der Rohrreibungszahl l:

1,8 1,6 1,4

in

Re

1,2

kle

laminare Strömung turbulente Strömung

roß

Re g

1,0

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 e = e /s0 Bild 4.179

Leckage in einem exzentrischen Spalt

Alle Autoren begründen ausführlich die Unsicherheiten der theoretischen Ableitung der Durchflussgleichung für exzentrische Spalte und empfehlen die Durchführung von Versuchen. Als Orientierung für die Zunahme des Volumenstroms in Funktion der Exzentrizität e bei gleichbleibender Druckdifferenz Dp kann Bild 4.179 dienen. Man erkennt, dass der Einfluss der Exzentrizität e auf die Zunahme des Volumenstroms bei laminarer Strömung viel größer ist als bei turbulenter Strömung. Weitere interessante Informationen über Spaltströmungen finden sich in [4.128 bis 4.131].

Beispiel 31 Aufgabenstellung: Ein konzentrischer Kreisringspalt mit den in Bild 4.180 eingetragenen Abmessungen dichtet einen mit Öl gefüllten Raum gegen Luft ab. Wie groß ist der austretende Leckageölstrom V˙ , wenn die kinematische Viskosität des Öls 30 · 10 –6 m2/s und die Öldichte r = 850 kg/m3 betragen? Lösung: Es wird angenommen, dass die Spaltströmung laminar verläuft. Mit dieser Annahme, die am Ende der Berechnung überprüft werden muss, lässt sich der Leckage-

237

Bild 4.180

zu Beispiel 31

238

Inkompressible Strömungen

ölstrom in einer ersten Näherung mittels Gleichung 4.210 abschätzen: Dp · s03 · p · dm V˙ = 005 12 · h · l 5 · 105 · (0,05 · 10 – 3)3 · p · 50 · 10 – 3 V˙ = 000007 12 · 30 · 10– 6 · 850 · 100 · 10– 3 V˙ = 3,21 · 10 – 7 m3/s = 3,21 · 10 – 4 l/s V˙ = 1,155 l/h Da der Wert d = r1/r2 , d1/d2 = 50/50,1 = 0,998 sehr nahe bei d = 1 liegt, erübrigt sich eine Korrektur mittels Gleichung 4.211 zur Berücksichtigung der Krümmung der Spaltwände! Als Nächstes wird die Reynolds-Zahl berechnet, um die Annahme laminarer Strömung überprüfen zu können. – 2 · s0 · w Re = 04 n ˙ ˙ – =V = V w 3 03 A d · p · s0 3,21 · 10 – 7 –= w 0003 0,05 · p · 0,05 · 10 – 3 – = 0,041 m/s w 2 · 0,05 · 10 – 3 · 0,041 Re = 0005 30 · 10 – 6 Re = 0,137

D. h., die Reynolds-Zahl liegt weit unter der kritischen Reynolds-Zahl von ca.Rekrit ª 2000, die Strömung ist laminar.

Um zu zeigen, dass die Verwendung von Gleichung 4.210 wegen der niedrigen Reynolds-Zahl hinreichend genau war, werden die Werte zEin und zA in Gleichung 4.213a l mit dem Term l · 8 verglichen, um zu 2 · s0 überprüfen, ob die Berechnung des Volumenstroms nach Gleichung 4.213a einen anderen Wert ergeben hätte als nach der angewandten Gleichung 4.210. Da zur Reynolds-Zahl Re = 0,137 keine Werte zEin und zA aus den Bildern 4.177 und 4.178 entnommen werden können, werden die am Rand der Diagramme ablesbaren Werte angenommen, die sicherlich zu groß sind:

zEin ª 0,3…0,4 zA ª 0,5…0,6 l Der Ausdruck l · 8 wird dagegen um ein 2 · s0 Vielfaches größer als die Summe aus z Ein und z A . 96 l = 5 für d = 0,998 ≈ 1,0 Re 96 l = 0 = 700 0,137 l 100 l · 8 = 700 · 02 = 700000 2 · 0,05 2 · s0 l d.h., l · 8 ist etwa 700000-mal größer als 2 · s0 zEin + zA , eine Berechnung des Volumenstroms nach Gleichung 4.213a erbringt das gleiche Ergebnis wie nach Gleichung 4.210, da die Strömung laminar ist und die Einund Austrittsverluste gegenüber den Reibungsverlusten im Spalt vernachlässigt werden können.

Strömung in offenen Gerinnen

4.8

Strömung in offenen Gerinnen

4.8.1

Einleitung

Gerinneströmungen in natürlichen Fließgewässern oder in künstlich angelegten Kanälen besitzen eine freie Oberfläche mit der Luft, d. h., nur ein Teil des Querschnittsumrisses bildet den benetzten Umfang U (Bild 4.183). Kanäle werden meistens mit regelmäßigem, über größere Längen konstant bleibendem Querschnitt A angelegt, natürliche Fließgewässer haben dagegen einen sehr unregelmäßigen, gegliederten Querschnittsverlauf, häufig mit Pflanzenbewuchs. Oft führen Flüsse noch Geschiebe aus Kies, Sand oder Felsbrocken mit sich, was die Berechnung der Strömung außerordentlich erschwert. Der vorliegende Abschnitt ist nur als kurze Einführung gedacht und beschränkt sich deshalb auf die Ableitung und Anwendung der einfachen Strömungsgesetze für Kanäle, die folgende Voraussetzungen erfüllen: ❑ Es liegt gleichförmiger, stationärer Abfluss (Normalabfluss) vor. ❑ Der prismatische Querschnitt A bleibt nach Größe und Form konstant. ❑ Der betrachtete Kanalabschnitt der Länge l liegt so weit nach den Zuflussstörungen in der Einlaufstrecke lein und so weit vor den Abflussstörungen in der Auslaufstrecke laus , dass die mittlere Strömungsgeschwin– und das Geschwindigkeitsprofil digkeit w über der Kanallänge l gleich bleiben. ❑ Die Rauigkeit und die Struktur der Kanalwände und der Kanalsohle bleiben gleich über die gesamte Kanallänge l. Das Gerinne enthält keine Einbauten und keinen Bewuchs. ❑ Das Sohlengefälle entspricht dem Spiegelgefälle, d. h., die Wassertiefe t bleibt konstant über der Kanallänge l. Die Kanalsohle ist eben. ❑ Der Luftdruck pL ist auf der gesamten freien Oberfläche gleich groß. ❑ Es findet kein Feststofftransport von Sand, Kies oder Gesteinsbrocken statt. Das Wasser enthält keine merklichen Anteile an

239

Schwebstoffen, Schlamm oder Lufteinschlüssen. ❑ Es wird turbulente Strömung vorausgesetzt. ❑ Die Froude-Zahl Fr ist kleiner als 1, d.h., es herrscht strömender Abfluss. ❑ An Kräften treten nur Reibungskräfte an den Kanalwänden und Trägheitskräfte infolge der Schwerkraft (Hangabtrieb) auf. 4.8.2

Geschwindigkeitsverteilung

Das Geschwindigkeitsfeld im offenen Gerinne ist im Gegensatz zum vollgefüllten Kreisrohrquerschnitt asymmetrisch (Bild 4.181). An den Wänden und der Sohle haftet das Wasser, die Strömungsgeschwindigkeit wird 0. Das Geschwindigkeitsprofil im Längsschnitt ist in guter Näherung eine logarithmische Kurve. Die Maximalgeschwindigkeit wmax liegt bei schmäleren Kanälen etwas unterhalb der freien Oberfläche in ungefähr 4/5 der Tiefe t. Bei breiten Kanälen mit b > 10 t liegt die Maximalgeschwindigkeit wmax in der freien Oberfläche [4.132]. Je kleiner das Verhältnis b/t und je rauer Sohle und Wände werden, desto stärker wirken sich die auftretenden Sekundärströmungen auf das Geschwindigkeitsfeld aus, was dann auch zur Verschiebung des Geschwinw0 t

freie Oberf läche wmax

w0, i

Sohle

w

a)

wi

b

wmax i

b)

i w

Bild 4.181 Geschwindigkeitsverteilung in einem offenen Kanal: a) Längsschnitt, b) Draufsicht

Inkompressible Strömungen

20,0 cm

75 cm/s

70 c

m/s

ohne Bewuchs

Bild 4.182

60 cm/s

30 cm/s

50 cm/s 40 cm/s

25 cm/s

5

/s cm

mit Bewuchs

18,0 cm

5,0 cm 3,0 cm

10 cm/s

18,0 cm

/s 20 cm 15 cm/s

240

Gegenüberstellung von Geschwindigkeitsverteilungen mit und ohne Bewuchs nach [4.133]

digkeitsmaximums unter die Oberfläche führt, da langsam strömende Wasserpartikel aus den Wandzonen an die freie Oberfläche gelangen und dort die Strömung abbremsen. In Bild 4.182 sind die Isotachen dargestellt, die an einem Modellkanal gemessen wurden, wobei in der linken Bildhälfte eine Kanalströmung ohne Bewuchs, auf der rechten Seite mit Bewuchs gezeigt wird [4.133], wodurch Punkt 4 in Abschnitt 4.8.1 anschaulich begründet wird. – Die mittlere Strömungsgeschwindigkeit w ergibt sich nach der Kontinuitätsgleichung aus Volumenstrom V˙ und Strömungsquerschnitt A: ˙ – = V = 1 · w · dA w 31 3 A A

Ú

(Gl. 4.217)

(A)

Nach [4.53] gilt für das Geschwindigkeitsprofil in einem Längsschnitt i: – = (0,75…0,93) · w w i o, i Für die mittlere Geschwindigkeit kann angenommen werden: – = (0,68…0,82) · w w o, max

Für den Energiestrombeiwert a werden in [4.134] folgende Grenzwerte angegeben: 1,03 ≤ a ≤ 1,15 4.8.3

Fließformeln

Zur Ableitung des mathematischen Zusammenhangs zwischen Sohlengefälle J, Querschnitt A, Querschnittsform, Wandrauigkeit k – , betrachtet und mittlerer Geschwindigkeit w man die Kanalströmung als Rohrströmung mit nicht kreisförmigem Querschnitt und berücksichtigt die Tatsache, dass nur ein Teil des Querschnittumfanges benetzter Umfang ist in der Definition des hydraulischen Durchmessers dh bzw. des hydraulischen Radius rh . Durch Anwendung der erweiterten Bernoulli-Gleichung (Gleichung 4.118) auf die in Bild 4.183 dargestellte Kanalströmung ergibt sich: w12 p2 w22 p1 z1 + 8 + 8 = z2 + 8 + 8 + hv r·g 2·g r·g 2·g w1 = w2, da A = konst p1 = p2 = pL = Luftdruck = konst

– = (0,9…1,0) · w 4o w

z1 – z2 = hv = Reibungsverlusthöhe

während in [4.5] für natürliche Fließgewässer folgende Grenzwerte genannt werden – w 0,7 < 91 < 0,8 wo, max

Die Energiestromwerte a1 und a2 werden jeweils 1 gesetzt! Die Höhendifferenz z1 – z2 dient zur Überwindung des Reibungsverlustes hv, der sich nach Gleichung 4.153 wie folgt ausdrücken lässt:

Strömung in offenen Gerinnen Bild 4.183 Kanalströmung

241

1 2

pL

w1 lein

pL

w2

a z1

A

l

U

laus

z2

Bezugsniveau

–2 Dpv l w hv = 8 = l · 4 · 8 = z1 – z2 r·g dh 2 · g

Zur Bestimmung des Reibungsbeiwertes l

Durch Einführung des Sohlengefälles J

schlägt NAUDASCHER [4.132] die Verwendung der von PRANDTL, von KÁRMÁN, COLEBROOK und WHITE für Strömungen im Kreisrohr abgeleiteten Formeln vor:

z1 – z2 J = sin a = 0 l ergibt sich folgendes einfaches Widerstandsgesetz, bzw. die Abflussgleichung: –2 z1 – z2 l w J=0=4·8 l dh 2 · g

(Bild 4.218a)

Dies ist die bekannte bereits von WEISBACH und DARCY (s. Namensverzeichnis) im 19. Jh. angegebene universelle Fließformel. Der hydraulische Durchmesser dh hat die gleiche Definition wie in Abschnitt 4.7.6.1 abgeleitete Gleichung 4.154: 4·A dh = 8 U

❑ Glatte Sohle und Wände 1 l ) + Bg = Ag · lg (Re · d3 5 l d3

(Gl. 4.219a)

❑ Raue Sohle und Wände 1 dh = Ar · lg 5 + Br 5 3 k dl

(Gl. 4.219b)

❑ Übergangsgebiet

冢

冣

1 k K CW (Gl. 4.219c) 5 = Br – Ar · lg 5 + 501 l dh 2 · Re · d3 l d3

In der Hydraulik der Gerinne ist es üblich, anstelle des hydraulischen Durchmessers dh , den hydraulischen Radius rh = A/U = dh/4 zu verwenden, wodurch die Fließformel sich etwas anders darstellt: –2 l w J=9·8 4 · rh 2 · g

l = f (Re; k/dh bzw. k/rh; Querschnittsform; Rauigkeitsstruktur)

(Gl. 4.218b)

Gleichung 4.219c weicht in der Schreibweise von Gleichung 4.140 ab! Die Beiwerte Ag ; Bg ; A r ; Br und K CW können für verschiedene Kanalformen aus Tabelle 4.32 nach [4.132] entnommen werden. In [4.133] wird folgende einfache Formel für den in der Praxis häufig vorkommenden Bereich der rauen Strömung empfohlen:

242

Inkompressible Strömungen

Tabelle 4.32

Beiwerte zur Bestimmung von l nach Gleichung 4.129

Beiwert

Kreisrohr

Ag Bg Ar Br K CW

2,0 – 0,8 2,0 1,14 18,7

冢

Breite Gerinne b p t

2,0 – 0,96 2,0 1,57 –

冣

1 ks/rh 5 = – 2 · lg 0 l 14,84 d3

(Gl. 4.220)

wobei als Fließformel Gleichung 4.218b zugrunde gelegt ist und ks die äquivalente Sandrauigkeit ist, die der natürlichen Rauigkeit k zugeordnet werden muss. In [4.53] wird eine ähnliche Erweiterung der Gleichung von COLEBROOK und WHITE angegeben:

冢

冣

1 Fg k/dh = – 2,0 · lg 03 +8 5 3 3 Re · d l Fr dl

(Gl. 4.221)

Die Formbeiwerte Fg und Fr sind für die wichtigsten Kanalformen in Tabelle 4.33 zusammengestellt: Tabelle 4.33

Formbeiwerte Fg und Fr zu Gl. 4.221

Gerinneform

Fg

Fr

Rechteck b = t Rechteck b = 2 · t Rechteck b Æ ∞ Halbkreis Trapez (Mittelwert) Kreisrohr

2,80 2,90 3,05 2,60 2,90 2,51

3,45 3,30 3,05 3,60 3,16 3,71

Weitere Fließformeln und Formeln für den Reibungsbeiwert l finden sich in [4.5, 4.53, 4.132 und 4.134 bis 4.139]. Hauptschwierigkeit

– – 2,20 1,81 –

2,26 – 0,67 2,26 2,05 –

der Anwendung der Gleichungen 4.218 bis 4.221 ist die Bestimmung der Rauigkeitswerte k bzw. k s . In Tabelle 4.34 sind einige Werte zusammengestellt. Neben der theoretisch genau herleitbaren Fließgleichung 4.218 von DARCY und WEISBACH finden sich in der Fachliteratur immer noch eine große Zahl empirischer Abflussformeln, die aufgrund von Beobachtungen und Messungen abgeleitet wurden. In [4.31, 4.137 und 4.138] ist die historische Entwicklung der verschiedenen empirischen Fließformeln von der 2. Hälfte des 18. Jh. (Gleichung von CHÉZY) bis ins 20. Jh. ausführlich beschrieben. Von den mehr als einem Dutzend in [4.137] aufgeführten empirischen Fließformeln soll beispielhaft nur die vergleichsweise «moderne» und aktuelle Gleichung von MANNING und STRICKLER (s. Namensverzeichnis) zitiert werden: –2 w J = 07 rh4/3 · K 2MS

(Gl. 4.222)

Im Vergleich zu Gleichung 4.218 b erkennt man, dass der hydraulische Radius rh nicht mit dem Exponenten 1, sondern mit dem Exponenten 4/3 in die Berechnung des Gefälles J eingeht. In Tabelle 4.34 finden sich auch Angaben über den Manning-Strickler-Beiwert KMS (Auszug nach [4.53]). Weitere detaillierte Angaben finden sich u.a. in [4.133, 4.136 und 4.53].

Strömung in offenen Gerinnen Tabelle 4.34

Rauigkeitswerte k und KMS

Beschaffenheit der Gerinnewand

k in mm

gehobeltes Holz fugenloser Zementglattstrich Asbestzement, glattes Stahlblech

90…100

1…2

70…80

3…6

50…70

30…90

35…40

Beton unverputzt, mit Fugen grobes Bruchsteinmauerwerk glattes, feinkörniges Erdmaterial Kies, fein bis grob Schotter Felsausbruch

200…1000

Soll bei gegebenem Volumenstrom V˙ und gegebenem Querschnitt A ein Kanal mit minimalem Gefälle J gebaut werden, so müssen nach Gleichung 4.218 und Gleichung 4.222 der hydraulische Radius rh , bzw. Durchmesser dh und der Beiwert KMS möglichst groß oder die Reibungszahl l möglichst klein werden. Der hydraulische Radius rh wird ein Maximum, wenn das Verhältnis A/U ein Maxi-

Hydraulisch optimale Profile

Profilform

optimale Abmessungen

Rechteckprofil

冢21冣 b t

t b

Fortsetzung nächste Seite

< 20

mum, bzw. bei gegebenem Querschnitt A der benetzte Umfang U ein Minimum wird. Drückt man für verschiedene Querschnittsprofile den benetzten Umfang U durch die Abmessungen des Kanalquerschnitts A aus und setzt die 1. Ableitung des Umfangs U nach der relevanten Abmessung gleich 0, erhält man die in Tabelle 4.35 zusammengestellten optimalen hydraulischen Profile. In [4.139] sind weitere optimierte genormte und nicht genormte Kanalquerschnitte beschrieben.

Hydraulisch optimale Profile

Tabelle 4.35

K MS in m1/3/s

0,1…0,3

Klinker gut geschalter Beton Asphaltauskleidung glattes Bruchsteinmauerwerk

4.8.4

243

=2 opt

244

Inkompressible Strömungen

Tabelle 4.35

Fortsetzung

Profilform

optimale Abmessungen

Trapezprofil

Winkel b gegeben: topt =

A f 0002 69 d 2 · 1 + cot b – cot b

6007 2

A bs, opt = 5 – topt · cot b topt Winkel b variabel:

bopt = 60° Halbkreisprofil

r rh = 2 2 günstigstes Kanalprofil überhaupt!

r

Dreiecksprofil

bopt = 45°

Beispiel 32 Aufgabenstellung: Durch einen rechteckigen Kanal mit hydraulisch optimalem Profil sollen je Sekunde 4 m3 kaltes Wasser mit einer Geschwin– = 2 m/s abfließen. digkeit w Wie groß muss das Gefälle J ausgeführt werden, wenn die Kanalsohle und -wände aus unverputztem Beton bestehen?

Damit lassen sich Kanalbreite b und Wassertiefe t des optimalen Profils bestimmen: b · t = A = 2 m2

冢3t 冣 b

= 2 nach Tabelle 4.35 opt

bopt = 2 · topt 2 · topt · topt = 2 m2

Lösung:

topt = 1 m

Die Querschnittsfläche A ergibt sich aus –: Volumenstrom V˙ und Geschwindigkeit w

bopt = 2 m

V˙ 4 A=4 = 2 m2 – =3 w 2

Der hydraulische Radius rh beträgt: A b·t 2 rh = 31 = 85 = 8 = 0,5 m U 2·t+b 2+2

Strömung in offenen Gerinnen a) Berechnung des Gefälles J nach Gleichung 4.218 b:

245

damit ergibt sich das Gefälle J: 0,0192…0,026 22 J = 005 · 02 4 · 0,5 2 · 9,81

–2 l w J=8 · 8 4 · rh 2 · g Der Reibungsbeiwert l wird für raue Wände alternativ nach Gleichung 4.219b und 4.220 abgeschätzt: nach Gleichung 4.219 b 1 dh = Ar lg 4 + Br 5 3 dl k

J = 1,96…2,65‰

b) Berechnung des Gefälles J nach der empirischen Fließgleichung von MANNING-STRICKLER (Gleichung 4.222): –2 w J = 025 4/3 2 rh · K MS

Ar = 2,0

22 J = 0207 0,5 4/3 · (50…70)2

Br = 1,57 dh = 4 · rh = 4 · 0,5 = 2 m k = 3…6 mm

J = 2,05…4,03‰

1 2000 = 2 · lg 8 + 1,57 5 3 3…6 dl 1 = 6,616…7,218 5 l d3

l = 0,0192…0,0228 nach Gleichung 4.220

冢

1 ks/rh = – 2 lg 55 5 3 dl 14,84 ks ª k

Das Ergebnis nach MANNING-STRICKLER weist eine größere Streubreite als das Ergebnis nach Gleichung 4.218 b auf (Bild 4.184), die unteren Werte sind etwa gleich groß. Aus Platzgründen wurde auf weitere Abschätzungen des Reibungsbeiwertes nach anderen Gleichungen verzichtet.

冣

冢 冣

3…6 8 1 500 = – 2 lg 5 55 d3 l 14,84 1 = 6,185…6,787 5 l d3

l = 0,0217…0,026

Bild 4.184 Vergleich der Ergebnisse von Beispiel 32

246

Inkompressible Strömungen

4.9

Ausfluss aus Behältern

im ausfließenden Strahl 햳 folgender Zusammenhang:

4.9.1

Ausfluss durch kleine Öffnungen bei konstantem Druckunterschied und konstanter Spiegelhöhe

p1 w12 p2 w22 z1 + 7 + 7 = z2 + 7 + 7 r·g 2·g r·g 2·g p1 Innendruck pi

In Erweiterung der bereits in Abschnitt 4.3.2.4 a) abgeleiteten Ausflussgleichung für reibungsfreie Strömung (Gleichung 4.27), die für offene Gefäße in die klassische Ausflussformel von TORRICELLI (Gleichung 4.28) übergeht, soll nun eine Ausflussgleichung entwickelt werden, die auch die Größe des Behälterquerschnitts, die Strahleinschnürung in der Austrittsöffnung und die Reibung berücksichtigt und somit den wirklichen Ausflussvorgang möglichst genau beschreibt. Nach der Bernoulli-Gleichung 4.18 besteht zwischen den Zuständen im Behälter 햲 und

p2 Außendruck pa z1 – z2 Höhendifferenz h

(Bild 4.185)

Zwischen den Geschwindigkeiten im Behälter w1 = w i und im reibungsfrei und kontraktionsfrei ausströmenden Strahl w2 = wa¢ besteht gemäß Kontinuitätsgleichung folgender Zusammenhang: w1 · AB = w2 · Aa A a2 w12 = w22 · 5 = w22 · n2 AB2

V˙ kontinuierlicher Zufluss x x

x x Gas w1

h

Flüssigkeit r

Manometer ∆ pB = pi – pa

pi pa

Freistrahl da

z1 w2 = wa Aa kontinuierlicher Ausfluss

z2

AB

Bild 4.185 Ausströmen aus einem Behälter

Ausfluss aus Behältern wenn n der Quotient Ausflussquerschnitt Aa n = 7000 = 4 Behälterquerschnitt AB ist. Damit erhält man folgenden Ausdruck für den reibungsfreien Ausfluss: pi n2 · w22 pa w22 z1 + 7 + 01 = z2 + 7 + 7 r·g 2·g r·g 2·g

wa¢ 2 DpB 2 7 · (1 – n ) = h + 7 2·g r·g

wa¢ =

f

冢

冣

die Abhängigkeit des Beiwertes j von der Reynolds-Zahl. Kompliziert und schwierig zu beschreiben ist das Ausströmen nicht Newton’scher Fluide. ❑ Von der Oberflächenspannung des Fluids, häufig als Abhängigkeit von der WeberZahl beschrieben. Es ist sehr schwierig den Beiwert j experimentell getrennt von der sog. Kontraktionszahl y zu ermitteln, sodass nicht viele Angaben dazu in der Fachliteratur zu finden sind. Die wenigen brauchbaren Werte sind in Tabelle 4.36 zusammen mit anderen Ausflussbeiwerten aufgeführt. Mit Hilfe der Kontinuitätsgleichung lässt sich der aus der Öffnung theoretisch ausströmende Volumenstrom V˙ th berechnen:

w22 pi – pa 2 7 · (1 – n ) = z1 – z2 + 01 2·g r·g

6004 DpB 2· g·h+7 r 008 2 1–n

247

(Gl. 4.233)

Werden n und DpB gleich 0 gesetzt, erhält man die Ausflussformel von TORRICELLI (Gleichung 4.28): w ¢ = d03 2·g·h a

Die wirkliche Ausflussgeschwindigkeit wa ist wegen der Reibungsverluste an der Behälteröffnung kleiner als die reibungsfreie Ausflussgeschwindigkeit wa¢ wa < wa¢

V˙ th = wa · Aa Der reale Volumenstrom V˙ ist in vielen Anwendungsfällen etwas kleiner als der theoretische Volumenstrom V˙ th , da sich der austretende Strahl an der Öffnung mehr oder minder stark einschnürt. Die Größe der Einschnürung wird durch die Kontraktionszahl y ausgedrückt (Bild 4.186): Strahlquerschnitt Ae y = 70005 Austrittsquerschnitt Aa

(Gl. 4.235)

Die Verringerung der Ausströmgeschwindigkeit infolge Reibung wird durch den Geschwindigkeitsbeiwert j ausgedrückt:

wa = j · wa¢= j ·

f

冢

冣

6004 DpB 2· g·h+7 r 008 2 1–n (Gl. 4.234)

Behälterwand

Der Geschwindigkeitsbeiwert j hängt von folgenden Größen und Parametern ab: ❑ Von der Makro- und Mikrogeometrie der Ausflussöffnung, insbesondere von Form, Kontur und Rauigkeit der Öffnung. ❑ Von der Viskosität des ausströmenden Fluids, üblicherweise ausgedrückt durch

~Ae

~Aa Bild 4.186 Strahleinschnürung an einer scharfkantigen Öffnung

248

Inkompressible Strömungen

Tabelle 4.36

Beiwerte verschiedener Ausflussöffnungen

Form der Ausflussöffnung

Geschwindigkeitsbeiwert j

Kontraktionszahl y

Ausflusszahl m

0,97

0,61…0,64

0,59…0,62

0,97…0,99

≈1

0,97…0,99

≈ 0,82

≈ 1,0

≈ 0,82

scharfkantig

gut abgerundete Düse

2

d ·p Ae ≈ 9 4 zylindrisches Ansatzrohr mit l/d ≈ 2…3

d

10°

20°

45°

90°

m 0,95 0,94 0,88 0,74

konisches Ansatzrohr mit l/da ≈ 3

j = 0,97 für kleines l j ≈ 0,95 für großes l

Die wichtigsten Einflussgrößen, von denen die Kontraktionszahl y abhängt, wurden bereits beim Geschwindigkeitsbeiwert j genannt, Geometrie, Viskosität und Oberflächenspannung.

d a2/d e2

0,1

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

y

0,83

0,84

0,87

0,9

0,94

1,0

Bereits BORDA (siehe Namensverzeichnis) fand 1766 [4.140] auf theoretischem Weg die Kontraktionszahl y für scharfkantige Öffnungen:

yth = 0,5

Ausfluss aus Behältern

249

Das Produkt aus Kontraktionszahl y und Geschwindigkeitsbeiwert j wird zur Ausflusszahl ␮ zusammengefasst:

= konst rlauf p-Ve

h

Fp

FI

Aa

Strahl isoliert

Ae

V˙ = m · Aa · wa¢

= m · Aa · Bild 4.187 Zur Ableitung der Borda’schen Ausflusszahl

Durch Gleichsetzen der Druckkraft Fp mit der Impulskraft FI (Bild 4.187) wird die historische Borda’sche Ableitung nachvollzogen: Fp = Dpü · Aa = r · g · h · Aa FI = r · wa¢ 2 · Ae wa¢ 2 = 2 · g · h (TORRICELLI) FI = r · 2 · g · h · Ae Fp = FI r · g · h · Aa = 2 · r · g · h · A e Ae 1 yth = 5 = 21 = 0,5 Aa 2 94 Da in Wirklichkeit wa < wa¢ , d 2 · g · h ist, wird für reelle Strömungen y größer als yth . Weitere interessante theoretische Ableitungen der Kontraktionszahl y für verschiedene geometrische Ausführungen der Ausflussöffnung finden sich in [4.141], wobei auch ältere Arbeiten z. B. von HELMHOLTZ und KIRCHHOFF berücksichtigt wurden. Aktuellere, ausführliche Informationen mit theoretischen Ableitungen und Beschreibungen von Versuchsergebnissen, die u.a. auch den Einfluss der Viskosität, der Oberflächenspannung und der Schwere, z. B. beim Unterschied vom Ausfluss aus Seiten- oder Bodenöffnungen finden sich in [4.142 und 4.143]. In Tabelle 4.36 sind einige y-Werte zusammengestellt. Der wirklich ausströmende Volumenstrom V˙ ergibt sich unter Berücksichtigung der Strahlkontraktion aus der Kontinuitätsgleichung: V˙ = y · Aa · wa = y · Aa · j · wa¢

f

冢

冣

6003 DpB 2· g·h+7 r 008 1 – n2

(Gl. 4.236)

Wie weiter oben zum Geschwindigkeitswert j angemerkt wurde, hängt auch die Ausflusszahl m von der Makro- und Mikrogeometrie der Öffnung sowie von der Viskosität und Oberflächenspannung des ausströmenden Fluids ab. Tabelle 4.36 berücksichtigt diese Abhängigkeiten gar nicht oder nur sehr unvollkommen. Deshalb wird für scharfkantige Blenden im Boden oder der Seitenwand eines Staugefäßes (Bild 4.188) die Abhängigkeit der Ausflusszahl m von Reynolds-Zahl und der die Oberflächenspannung s berücksichtigenden Weber-Zahl nach [4.144 und 4.142] wiedergegeben:

m = 1,1063 – 0,0665 · ln (We* · d5 Re ) + 0,0022 · [ln (We* · d5 Re )]2 (Gl. 4.237) d · d30 2·g·h Re = m · 001 = Reynolds-Zahl n

冢

冣 = spezielle Weber-Zahl

d We* = We · 1 + 3 h

n

2 · g · r · d · h r · wa¢ 2 · d We = 003 , 07 s s = allgemeine Weber-Zahl [4.34]

s = Oberflächenspannung nach Abschnitt 1.6 n = 1 Öffnung im Boden n = 3 Öffnung in der Seitenwand In [4.143] sind die Ausflusszahlen m von 4 geometrisch verschiedenen Öffnungsmundstücken in Abhängigkeit von der Ausflusshöhe h aufgeführt (Bild 4.189). Man erkennt, dass der m-Wert des scharfkantigen Mund-

250

Inkompressible Strömungen Bild 4.188 Staugefäß für Boden- und Seitenausströmung

h 0°

0°

≤6

≥6

h

Ød

Blende in der Seitenwand

Ød

125

d)

1,0

100 Ø

136,6 Ø

h

45 °

Blende im im Gefäßboden Gefäßboden Blende

d)

200

c) c) 100 Ø

125 Ø

0,9

200

a) 0,8

70 7° 50´

b) 100 Ø

119 Ø

Ausflusszahl m

50

b)

200

0,7 0

0,5

1,0

1,5

100 Ø

Ausflusszahlen m verschiedener Mundstücke nach [4.143]

stückes bei ca. 0,8 liegt, was gut mit dem Wert 0,82 in Tabelle 4.36 (Zeile 3) übereinstimmt. Die gut gerundete Ausflussöffnung d) hat dagegen einen m-Wert zwischen 0,96… 0,99, was etwa auch mit dem in Tabelle 4.36

2,0 a)

Fallhöhe h

Bild 4.189

m

200

(Zeile 2) angegebenem Wertebereich 0,97… 0,99 korrespondiert. Strömt das Fluid nicht durch eine einfache Öffnung oder ein kurzes Mundstück, sondern durch eine längere Rohrleitung aus (Bild 4.190),

251

Ausfluss aus Behältern Bild 4.190 Behälter mit angeschlossener Rohrleitung

h

–2 –2 l w w hv = Â l · 3 · 7 + Â z · 7 d 2·g 2·g

muss der Geschwindigkeitsbeiwert j durch die bekannten Werte der Rohrreibung ersetzt werden. Die theoretische Austrittsgeschwindigkeit wa¢ kann nach Gleichung 4.233 bestimmt werden: 6003 DpB 2· g·h+7 r wa¢ = 008 1 – n2

f

冢

nach Gl. 4.137 b und Gl. 4.157 – = w und bezieht die Beiwerte Setzt man für w a l · l/d und z auf den Austrittsquerschnitt Aa , kann hv durch

冣

Die infolge Rohrreibung verringerte reale Ausströmgeschwindigkeit wa < wa¢ kann auf 2 Arten definiert werden: 6003 DpB 2· g·h+7 r 1) wa = jers · wa¢ = jers 008 1 – n2

f

2) wa =

f

冢

wa = jers ·

冣

冢

冣

l wa2 hv = 7 · Â l · 3 + Â z 2·g d

冢

冣

DpB 2· g·h+7 j r l · Âl · 3 + Âz hv = 7 · 008 2·g 1 – n2 d

冣

600302 DpB 2 · g · h + 7 – g · hv r 00803 1 – n2

冢

冢

ausgedrückt werden:

冣

冢

f

6003 DpB 2· g·h+7 r 008 1 – n2

2 ers

冣

冤

冢

冢

冣冢

冣 冣冥

DpB DpB DpB l 2 · g · h + 7 – j 2ers · g · h + 7 · Â l · 3 + Â z 2 · g · h +7 r r r d j 2ers · 008 = 0000000003 1 – n2 1 – n2

252

Inkompressible Strömungen

冢

冣

l j 2ers = 1 – j 2ers · Â l · 3 + Â z d

jers =

4.9.2

f

6004 1 009 l 1 + Âl · 3 + Âz d

(Gl. 4.238)

Da bei längeren Rohrleitungen am Rohrleitungsende die Kontraktionszahl y = 1 gesetzt werden kann, ist der Geschwindigkeitsbeiwert jers identisch mit der Ausflusszahl m ers . Die Ausflussgleichung von Behältern mit angeschlossener Rohrleitung kann deshalb geschrieben werden:

V˙ =

f

6004 1 009 l 1 + Âl · 3 + Âz d

· Aa ·

f

冢

Beim Ausfluss aus einer im Verhältnis zur Fallhöhe z großen Öffnung (Bild 4.191) muss, falls die Öffnung nicht im horizontalen Boden des Gefäßes liegt, die Änderung des Druckes und damit der Ausströmgeschwindigkeit über der Höhe der Öffnung berücksichtigt werden. Liegt die Öffnung horizontal im Behälterboden, gelten die Gleichungen 4.234 und 4.236 für die Ausströmgeschwindigkeit wa bzw. den ausströmenden Volumenstrom V˙ , wobei für große, offene Behälter der Überdruck DpB und das Querschnittsverhältnis n = 0 gesetzt werden können. Für den ausströmenden Volumenstrom ergibt sich dann die einfache Formel V˙ = m · Aa · d30 2·g·h

冣

6003 DpB 2· g·h+7 r 008 1 – n2

Ausfluss ins Freie durch große Öffnungen unter dem Einfluss der Schwere bei konstanter Spiegelhöhe

(Gl. 4.239)

In [4.145 und 4.146] finden sich Nomogramme zur schnellen Ermittlung der Ausströmgeschwindigkeit und des Volumenstroms von großen offenen Behältern, d. h. für den Sonderfall DpB = 0 und n = 0.

(Gl. 4.240)

Für große Öffnungen, die in einer unter dem Winkel d geneigten ebenen Seitenwand liegen (Bild 4.191), wird folgende Ausflussgleichung abgeleitet: Die Ausflussgeschwindigkeit wa¢ in der Tiefe z beträgt für reibungsfreie Strömung: 2·g·z wa¢ = d30 wenn die Zuströmungsgeschwindigkeit wo im Behälter vernachlässigt wird.

Bild 4.191 Ausfluss aus einer großen Seitenöffnung

Ausfluss aus Behältern Der aus dem differentiell schmalen Streifen

z

2 d8 2·g ˙ ˙ V = m · V th = m · 0 · b · d3z · dz cos d z1 (Gl. 4.242)

dz dA = b · dy = b · 0 cos d

Ú

ausströmende theoretische Volumenstrom dV˙ th (keine Berücksichtigung von Reibung und Strahleinschürung) ergibt sich aus der Kontinuitätsgleichung,

Der Beiwert m hängt von der Geometrie der Öffnung und der Art des Ausflusses ab. In Tabelle 4.37 sind einige m-Werte für in der Praxis häufig vorkommende große Öffnungen zusammengestellt. Für den Sonderfall der rechteckigen Öffnung in einer senkrechten Seitenwand (Bild 4.192) vereinfacht sich die Ausflussgleichung.

dz 2·g·z·b·0 dV˙ th = wa¢ · dA = d30 cos d wobei b für beliebige Flächen A eine Funktion von z ist. Deshalb kann für den Gesamtvolumenstrom V˙ th keine einfache Gleichung angegeben werden, sondern eine, die ein Integral enthält, das für beliebige Flächen A numerisch oder grafisch gelöst werden muss. z2

Z

2 d8 2·g ˙ V = m · 0 · b · d3z · dz cos d

Ú

Z1

d30 2 · 9,81 2 V˙ = m 05 · b · 3 · z 3/2 1 3

z2

dz V˙ th = dV˙ th = d30 2·g·z·b·0 cos d

Ú

z1

Ú

z

Ú

冨

Z2

Z1

V˙ = 2,953 · m · b · (z23/2 – z13/2)

z1

2 d8 2·g ˙ Vth = 0 · b · d3z · dz cos d

(Gl. 4.243)

Da g = 9,81 m/s 2 in die Konstante 2,953 m0,5/s einbezogen wurde, stellt Gleichung 4.243 eine zugeschnittene Gleichung dar, in der die einzelnen Größen folgende Einheiten haben:

(Gl. 4.241)

z1

V˙ b z1 z2

Werden auch innere und äußere Reibungsverluste sowie die Strahlkontraktion berücksichtigt, erhält man den real ausströmenden Volumenstrom V˙ .

Tabelle 4.37

253

Volumenstrom in m3/s Öffnungsbreite in m Höhenkote der Öffnungsoberkante in m Höhenkote der Öffnungsunterkante in m

Ausflusszahlen großer Öffnungen

Grundablass

Seitenöffnung

Bodenöffnung

m = 0,6 … 0,62

scharfkantig: m = 0,62… 0,64 abgerundet: m = 0,7…0,8

b/B 0

m

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

0,61 0,61 0,62 0,63 0,65 0,68

seitlicher Spalt

B/a ∞

m

2

1

0,5

0,25

0,611 0,6 0,544 0,420 0,247

254

Inkompressible Strömungen

z1

b

z2 Dz

Bild 4.192 Rechteckige Seitenöffnung in vertikaler Wand

Bild 4.193

Der Beiwert m kann aus Tabelle 4.37 entnommen werden. Weitere Angaben zu m finden sich in [4.53, 4.136, 4.143 und 4.147]. Wird die obere Höhenkote z1 = 0 gesetzt, erhält man die Strömung über ein Überfallwehr, die in Abschnitt 6.5.4.1 behandelt wird.

Dp = r · g · h

4.9.3

und damit folgender Ausflussvolumenstrom:

Ausfluss unter Gegendruck bei konstantem Niveauunterschied

Bei der in Bild 4.193 dargestellten Ausflussströmung liegt die Ausflussöffnung Aa vollständig unter Wasser, d. h., der ins Unterwasser einströmende Strahl ist kein Freistrahl mehr wie beim Ausströmen in Luft. Der statische Überdruck im Oberwasser vor der Ausflussöffnung ist linear abhängig von der Tiefe z (Gleichung 2.14): p1 = r · g · z1 Gleiches gilt für den Überdruck im Unterwasser hinter der Öffnung: p2 = r · g · z2 Über der Öffnungshöhe zu – zo beträgt die Druckdifferenz zwischen Öffnungsein- und Öffnungsaustritt: Dp = p1 – p2 Dp = r · g · z1 – r · g · z2 = r · g · (z1 – z2) Die Höhendifferenz z1 – z2 ist für alle horizontalen Stromlinien in der Öffnung konstant. z1 – z2 = h = konst Die Druckdifferenz am Öffnungsquerschnitt unter Wasser ist also unabhängig von Größe, Form und Tiefenlage der Öffnung und hängt nur von der Spiegeldifferenz h ab.

Ausfluss unter Gegendruck

Aufgrund dieser Druckdifferenz entsteht die theoretische Ausflussgeschwindigkeit 2 · Dp = d30 2·g·h f0 r 66

wa¢ =

V˙ = m · Aa · d30 2·g·h

(Gl. 4.244)

Die Ausflusszahl m ist etwas kleiner als beim Ausfluss ins Freie. 4.9.4

Ausfluss bei veränderlicher Spiegelhöhe

4.9.4.1

Ausfluss aus kleinen Öffnungen unter dem Einfluss der Schwere

Der Abflussvorgang bei abnehmender Spiegelhöhe stellt eine instationäre Strömung dar, deren exakte mathematische Behandlung unter Berücksichtigung aller von Zeit und Ort abhängenden Größen und Parametern einen etwas größeren Aufwand erfordert, weshalb nur eine vereinfachte Ableitung durchgeführt wird, deren Ergebnis trotzdem recht genaue, praxisnahe Berechnungen der Ausflusszeiten ermöglicht. In einem Gefäß mit beliebiger Kontur (Bild 4.194) ist der horizontale Gefäßquerschnitt Az bei langsamem Ausströmen eben und eine Funktion der variablen Spiegelhöhe z: Az = f (z). Der Fall schneller Spiegelabsenkung mit Ausbildung eines Senkungstrichters mit Abflusswirbel wird nicht behandelt.

dz

↓

~ A1 ~ Az

t=0

↓

Ausfluss aus Behältern

t = ta

~ A2 dV z z2

↓

t = te wa

Bild 4.194 Ausfluss aus einem Gefäß mit veränderlicher Spiegelhöhe

Zur Berechnung der Ausflusszeit ta für eine bestimmte Spiegelabsenkung bzw. der Entleerungszeit te des gesamten Gefäßvolumens, muss die Funktion Az = f (z) bekannt sein. Eine weitere Prämisse für die Ableitung der Ausflussgleichung ist, dass die Ausflussöffnung Aa viel kleiner ist als der Gefäßquerschnitt Az .

Tabelle 4.38

Bei der momentanen Spiegelhöhe z beträgt die augenblickliche Ausflussgeschwindigkeit wa : 2·g·z w = j · d30 a

z1 ~ Aa

255

und das zugehörige Ausflussvolumen: dV 2·g·z dV˙ = 6 = m · Aa · d30 dt dV = m · A · d30 2 · g · z · dt a

Dieses differentiell kleine Fluidvolumen dV wird aus Gründen der Kontinuität gleichzeitig durch eine differentiell kleine Spiegelabsenkung dz «nachgeschoben». dV = – Az · dz Durch Gleichsetzen der beiden Ausdrücke für das Teilvolumen dV ergibt sich folgende Differentialgleichung: 2 · g · z · dt – Az · dz = m · Aa · d30 – Az · dz dt = 008 m · Aa · d30 2·g·z Während sich die Zeit t von t = 0 auf t = ta ändert, sinkt der Flüssigkeitsspiegel von z1 auf z2 .

Entleerungszeiten verschiedener Behälter

prismatisches Gefäß

waagerechter, kreiszylindrischer Behälter

Kugelbehälter

kegelförmiger Behälter

2 · AB · d4 z1 te = 00 m · Aa · d5 2g

4 · l · d 3/2 te = 0023 3 · m · Aa · d5 2g

16 · p · d 5/2 te = 0052 60 · m · Aa · d5 2g

d12 · p · d4 z1 te = 0043 10 · m · Aa · d5 2g

256

Inkompressible Strömungen

Durch Integration erhält man die Ausflusszeit ta : ta

1

z2

– Az

· 8 · dz Ú dt = 004 m · A · d8 2 · g Ú d3z a

0

z1

1 ta = 004 · m · A · d8 2·g a

z1

Az

· dz Ú6 d3z

(Gl. 4.245)

z2

Wird der Spiegel ganz abgesenkt (z2 = 0) ergibt sich die Entleerungszeit te : Tabelle 4.39

z1

1 Az te = 004 · 6 m · Aa · d8 2 · g 0 d3z

Ú

Falls die Funktion Az/d3z im Integral sich nicht analytisch integrieren lässt, muss dies numerisch oder grafisch erfolgen. Für einige häufig vorkommende Behälterformen sind die Entleerungszeiten te bei vollständiger Füllung der Behälter, ausgenommen das senkrechte prismatische Gefäß, in Tabelle 4.38 zusammengestellt. Die Zeit ta zum Absenken des Spiegels von z1 auf z2 bzw. die Entleerungszeit te (z2 = 0) von

Entleerungszeiten von Behältern mit angeschlossener Rohrleitung

Anlage

Formeln Behälter mit einfacher Ausfluss-Rohrleitung

2 · AB (d4 z1 – d4 z2) ta ≈ 009 m¢ · AR · d5 2g z1 2 · AB · d4 te ≈ 002 m¢ · AR · d5 2g

m¢ ≈

Behälter mit komplexer Ausfluss-Rohrleitung

(Gl. 4.246)

f

06 1 40 l 1+l·3 d

ta , te wie oben

m¢ ≈

f

060 1 004 li  li · 3 +  z i di

Ausfluss aus Behältern Behältern mit angeschlossenen Rohrleitungen können aus Tabelle 4.39 entnommen werden. Die beiden größten Fehler bzw. Ungenauigkeiten, die bei der Ableitung der Gleichungen 4.245 und 4.246 sowie allen Formeln in den Tabellen 4.38 und 4.39 begangen worden sind, werden kurz aufgeführt: a) Die Abhängigkeit der Ausflusszahl m von der Ausflussgeschwindigkeit wa und damit von der Fallhöhe z wurde vernachlässigt und m vor das Integral gezogen.

257

b) Der Einfluss der Schwere auf die Masse des Flüssigkeitsvolumens im Behälter, d.h. Beschleunigungs- bzw. Verzögerungskräfte auf die Flüssigkeitsmasse, die proportional zur Änderung der Absinkgeschwindigkeit des Fluids im Behälter sind, wurden nicht berücksichtigt. Beide Fehler machen sich umso gravierender bemerkbar, je kleiner der Behälterquerschnitt Az in Bezug zum Öffnungsquerschnitt Aa ist, d.h. insbesondere in der Endphase der Entleerungsströmung.

Beispiel 33 Aufgabenstellung:

Lösung:

Ein Wassertank mit kreiszylindrischem Querschnitt und vertikaler Achse hat einen Durchmesser von 2 m (Bild 4.195). Der Tank ist oben offen. Welche Ausflusszeit ta ist erforderlich, um den Wasserspiegel von 5 m auf 2 m abzusenken, wenn im Tankboden eine scharfkantige Öffnung (m = 0,6) freigegeben wird?

Die Berechnung der Ausflusszeit erfolgt mittels Gleichung 4.245:

Ø2 m

z1

Az 1 ta = 00 4 · 6 · dz m · Aa · d8 2 · g z d3z

Ú 2

m = 0,6 p Aa = 52 · 3 · 10 – 4 = 19,6 · 10 – 4 m2 4 5 d 2g = 4,43 m1/2/s Az = konst = p m2 z1 = 5 m z2 = 2 m

5

p ta = 0006 · 0,6 · 19,6 · 10 – 4 · 4,43 z1 = 5 m

ta = 0,603 · 103 · 2 · z1/2 z2 = 2 m

冨

ta = 1,206 · 103 · 0,83

Zu Beispiel 33

2

ta = 1,206 · 103 · (d35 – d32)

Ø 5 cm Bild 4.195

5

ta = 1000 s = 16,67 min

Úz

2

– 1/2

· dz

258

Inkompressible Strömungen

4.9.4.2

menstrom V˙ folgt aus Gleichung 4.244:

Instationärer Ausfluss unter Gegendruck

Die beiden in Bild 4.196 dargestellten prismatischen Behälter 햲 und 햳 sind durch die gemeinsame Öffnung Aa verbunden, die unterhalb beider Flüssigkeitsspiegel liegt. Zwischen beiden Gefäßen besteht bei Beginn der Ausströmung ein Spiegelunterschied h. Nach Freigeben der Öffnung Aa sinkt der Spiegel im Gefäß 햲 und steigt im Gefäß 햳 . Nach einer bestimmten Zeit tA haben sich die Spiegel ausgeglichen. Da der mathematische Aufwand zur Berechnung der Ausgleichszeit tA für beliebige Querschnitte A1 = f (z) und A2 = f (z) relativ groß wird, beschränkt sich aus Platzgründen die folgende Ableitung auf offene Behälter mit konstanten Querschnitten A1 und A2 . Aus Gründen der Kontinuität muss das im Gefäß 햲 absinkende Volumen gleich dem im gleichen Zeitintervall im Gefäß 햳 aufsteigenden Volumen sein: Dz1 · A1 = Dz2 · A2

2·g·z V˙ = m · Aa · d30 Andererseits lässt sich der momentan ausströmende Volumenstrom auch durch die augenblickliche Sinkgeschwindigkeit w1 im Gefäß 햲 ausdrücken: V˙ = w1 · A1 d · (Dz1 ) w1 = 04 dt A2 Dz1 = (h – z) · 03 A1 + A2 d · (Dz1) A2 dz 03 = – 03 · 5 = w1 dt A1 + A2 dt A2 dz V˙ = – 03 · 5 · A1 A1 + A2 dt Durch Gleichsetzen der beiden Ausdrücke für V˙ ergibt sich folgende einfache Differentialgleichung: A1 · A2 dz 2·g·z – 03 · 5 = m · Aa · d30 A1 + A2 dt

A1 Dz2 = Dz1 · 5 A2

A1 · A2 1 dz dt = – 03 · 002 ·5 2 · g d3z A1 + A2 m · Aa · d8

Die momentane Spiegeldifferenz z beträgt dann:

冢

冣

A1 z = h – Dz1 – Dz2 = h – Dz1 · 1 + 5 A2

Durch Integration erhält man die Ausgleichszeit tA:

A1 + A2 z = h – 03 · Dz1 A2 Der bei dieser Spiegeldifferenz z augenblicklich durch die Öffnung Aa ausströmende Volu-

1

D z1

h für t = 0

w1 D z2

Aa

Bild 4.196

h

Ú

Ú

0

A1 · A2 dt = – 0000 · z – 1/2 · dz m · Aa · d8 2 · g · (A1 + A2) 0 A1 · A2 tA = 0000 · 2 · d3z 8 m · Aa · d 2 · g · (A1 + A2)

冨

h 0

2

z

~ A1

tA

~ A2

Ausfluss unter Gegendruck

2 · A1 · A2 · d3h tA = 0000 m · Aa · d8 2 · g · (A1 + A2)

(Gl. 4.247)

Bei der Ableitung von Gleichung 4.247 wurde vorausgesetzt, dass die Spiegeldifferenz z als Funktion der Zeit stetig von z = h beim Beginn der Ausströmung (t = 0) auf z = 0 bei t = tA abnimmt, es also nicht zum «Überschwingen» der Spiegel kommt, was ja zu Rückströmun-

Ausfluss aus Behältern Bild 4.197 Ausgleichsströmung unter Gegendruck

b)

h

Höhe z

Höhe z

a)

259

Ausströmung von 1 nach 2

h

tA

tA

0 Zeit t

Zeit t Rückströmung von 1 nach 2

gen von Gefäß 햳 nach Gefäß 햲 führen würde. Dieser Zustand könnte sich einstellen, wenn die Öffnung Aa relativ groß zu den Behälterquerschnitten A1 und A2 ist und die Höhendifferenz h groß ist, sodass es zu großen Strömungsgeschwindigkeiten im Querschnitt Aa kommt. Der Spiegelausgleich erfolgt dann in Form einer gedämpften Schwingung. Die Ausgleichszeit tA kann dann nicht mehr nach Gleichung 4.247 berechnet werden.

Tabelle 4.40

In Bild 4.197 sind beide Arten der Ausgleichsströmung gegenübergestellt. Interessant sind die Sonderfälle, wenn ein kleines Gefäß aus einem sehr großen Gefäß gefüllt wird, sodass der Spiegel des großen Gefäßes praktisch nicht absinkt (A1 = •; Dz1 = 0) oder wenn ein sehr kleines Gefäß in ein sehr großes Becken entleert wird, dessen Spiegel praktisch nicht ansteigt (A2 = •; Dz2 = 0). In Tabelle 4.40 sind die Gleichungen zur Berechnung von tA gegenübergestellt.

Spiegelausgleich bei großem Oberwasser oder großem Unterwasser

Ausgleich bei großem Oberwasser

Ausgleich bei großem Unterwasser

2 · A2 · d3h tA = 0088 A2 m · Aa · d8 2·g· 1+4 A1 A1 Æ • 2 · A2 · d3h tA = 08 m · Aa · d5 2g

2 · A1 · d3h tA = 0088 A1 m · Aa · d8 2·g· 1+4 A2 A2 Æ • 2 · A1 · d3h tA = 08 m · Aa · d5 2g

冢

冣

冢

冣

260

Inkompressible Strömungen

4.10

Umströmung von Körpern (Außenströmung)

4.10.1

Strömungsbilder

Das makroskopische Strömungsbild eines umströmten Körpers hängt vor allem von der Körperform ab. Bei schlanken, plattenförmigen oder stromlinienförmigen Körpern, die parallel zur Körperachse angeströmt werden, schließen sich die Stromlinien wieder an der hinteren Körperkante zusammen, bei gedrungenen oder kantigen Körpern tritt hinter dem Körper ein mehr oder minder ausgedehntes Totwassergebiet auf. In Bild 4.198 sind die verschiedenen Körperumströmungen gegenübergestellt, Bild 4.199 zeigt im Detail die Umströmung eines Kreiszylinders. An der Vorderkante der Körper staut sich die Strömung im Staupunkt S auf, die Ge-

Umströmung von Körpern

A

en hm abne

er

d en hm k ne Druc u z

de rD ruck

d

kRücömung str

S

ns tan ter Druck

Bild 4.198

schwindigkeit wird 0. Vom Staupunkt ausgehend teilt sich die Mittelstromlinie und folgt der Körperkontur in Richtung Körperende. Unmittelbar an der mehr oder minder rauen Körperoberfläche haften die Partikel des viskosen Fluids. Der Geschwindigkeitsaufbau von 0 unmittelbar an der Körperoberfläche (Haftbedingung) auf den Wert der Außenströmung erfolgt in der dünnen Grenzschicht, die den Körper wie eine Haut einhüllt. Die Grenzschicht drängt die Stromlinien in unmittelbarer Körpernähe ab. Am Körperanfang, in der Nähe des Staupunktes S, strömt die noch sehr dünne Grenzschicht langsam, sodass laminare Strömung herrscht. Längs des Körpers wächst die Grenzschichtdicke, es treten Turbulenzen auf, und die Strömung schlägt in den turbulenten Zustand um. Bei parallel überströmten Platten

ko

cht chi Grenzs

Totwasser

g renzun b eg

S tr g m un omlin ien der Außenströ

Bild 4.199 Umströmung eines Kreiszylinders

261

Umströmung von Körpern und schlanken Körpern bedeckt die Grenzschicht den ganzen Körper. In Bild 4.200 ist die Grenzschichtausbildung an einer ebenen Platte, in Bild 4.201 das Geschwindigkeitsprofil mit allen Angaben zur

Berechnung der Geschwindigkeitsverteilung und der Grenzschichtdicke d dargestellt. Zur Beschreibung des Geschwindigkeitsprofils gibt es wie bei der Rohrreibung 2 Ansätze:

Bild 4.200 Ausbildung der Grenzschicht an einer ebenen Platte (Grenzschichtdicke unmaßstäblich vergrößert) a) 1,0

1,0

0,5

Zur Erklärung der Verdrängungsdicke am Beispiel der laminaren Grenzschicht

0,5 z /dl

z dl

z z bzw. dl dt

b)

Geschwindigkeitsprofil in der Grenzschicht

I

d v, l

II 0

0 0

0,5 w(z) w∞

1,0

0

0,5 w(z) w∞

1,0

Bild 4.201 a) Geschwindigkeitsprofil in der Grenzschicht, b) zur Erklärung der Verdrängungsdicke am Beispiel der laminaren Grenzschicht. I laminare Grenzschicht nach BLASIUS ; II turbulente Grenzschicht nach dem 1/7-Gesetz

262

Inkompressible Strömungen

Potenzansatz

冢冣

w(z) z 6= 3 d wd

1/n

(Gl. 4.248)

Legt man die Definition von PRANDTL zugrunde, beträgt wd = 0,99 · w∞

(Gl. 4.249)

Für den Exponenten 1/n wird für glatte Oberflächen 1/7 (BLASIUS) vorgeschlagen, für raue Oberflächen kann nach [4.148] 1/n bis zu 0,4 betragen. Logarithmischer Ansatz In [4.50] wird folgender Ansatz vorgeschlagen, der insbesondere in Wandnähe eine genauere Geschwindigkeitsverteilung als der Potenzansatz liefert: w(z) z · w* + 5,56 6 = 5,85 · ln 0 n w*

(Gl. 4.250)

Die Grenzschichtdicke d wächst mit der Lauflänge x bzw. y und die Geschwindigkeit w(z) nähert sich asymptotisch der Außengeschwindigkeit w∞ · Nach PRANDTL definiert man die Geschwindigkeit in der Außenhaut der Grenzschicht gemäß Gleichung 4.249 und erhält dazu folgende Grenzschichtdicken [4.50]: 1) Laminare Grenzschicht:

n·x f8 w

9

dl ª 5 ·

(Gl. 4.251a)

∞

Setzt man die örtliche Reynolds-Zahl Rex w∞ · x Rex = 0 n ein, ergibt sich folgende Schreibweise: 5 dl ª 8 ·x 6 d Rex

(Gl. 4.251 b)

2) Turbulente Grenzschicht: mit w* als Schubspannungsgeschwindigkeit 41 t0 w* = 3 r

f

t0 = Schubspannung an der Wand dw t0 = h · 6 (NEWTON ) dz Wand h dynamische Viskosität r Fluiddichte

冢 冣

dt ª 0,37 ·

·y fn8 w

5

94 (Gl. 4.252a)

∞

bzw. nach Einführung der örtlichen w∞ · y Reynolds-Zahl Rey = 0 n 0,37 dt ª 81 ·y 5 6 d Rey

(Gl. 4.252 b)

Bei der Grenzschichtdicke d unterscheidet man je nach physikalischer Bedeutung und praktischer Anwendung 3 Definitionen:

Grundsätzlich gilt d t > d l !

a) Die Dicke der laminaren oder turbulenten Grenzschicht, in der der Geschwindigkeitsgradient groß ist und in der Reibungskräfte und Trägheitskräfte von gleicher Größenordnung sind. Außerhalb der Grenzschicht können die Reibungskräfte gegenüber den Trägheitskräften vernachlässigt werden.

Im Gegensatz zur Strömung im kreiszylindrischen Rohr, lässt sich die kritische ReynoldsZahl Rekrit , bei der die Grenzschicht vom laminaren in den turbulenten Strömungszustand umschlägt nicht präzise angeben, da sie u.a. von der Oberflächenrauigkeit des Körpers und vom Turbulenzgrad der Anströmung abhängt. In [4.50] ist ein auf Messungen [4.149]

Umströmung von Körpern zurückgehendes Diagramm angegeben, das in vereinfachter Form in Bild 4.202 wiedergegeben ist. Nach dieser Quelle beträgt die kritische Reynolds-Zahl für die glatte, ebene Platte Rekrit = 3,2 · 105. In der Fachliteratur, 18

dl ·

∞

w f n7 ·x

8

nt ule

12 10

3 · 105 < Rekrit < 3 · 106 angegeben. In Bild 4.203 ist schematisch der veränderte Grenzschichtdickenverlauf und die zum Plattenkopf verschobene Lage des Umschlagpunktes der rauen Platte im Vergleich zur glatten Platte aufgezeigt.

∞

8 6

z.B. in [4.163], findet man den großen Streubereich

b) Eine weitere Definition der Grenzschichtdicke ist die sog. Verdrängungsdicke ␦v , die angibt, um welchen Betrag die Grenzschicht die Stromlinien nach außen abdrängt. Nach Bild 4.201 b) kann angesetzt werden:

14

tur b

bzw. d t ·

∞

w fn7 ·y

8

16

263

w∞ · dv = laminar

Ú (w

∞

– w) · dz

z=0 ∞

4

dv =

w · dz Ú 冢1 – 5 w 冣

z=0

∞

2

2

4

6

8

10

12 · 10 5

Nach einer auf BLASIUS [4.50] zurückgehenden Integration erhält man die Verdrängungsdicke der laminaren Grenzschicht:

Rekrit Rex bzw. Re y Bild 4.202 Grenzschichtdicken d1 und dt abhängig von der Lauflänge x bzw. y bei der längsangeströmten ebenen Platte nach [4.50]

d v, l ª 1,721 ·

f

9 n·x 1,721 ·x 8, 9 d6 Rex w∞

(Gl. 4.253)

Bild 4.203 Grenzschichtentwicklung a) an einer glatten und b) rauen Wand nach [4.148]

264

Inkompressible Strömungen

Die laminare Verdrängungsdicke dv, l beträgt etwa 1/3 der Grenzschichtdicke d l . Ausgehend von der gleichen Definitionsgleichung erhält man [4.50] für eine Geschwindigkeitsverteilung nach dem 1/7-Gesetz eine Verdrängungsdicke dv, t der turbulenten Grenzschicht, die nur noch 1/8 der turbulenten Grenzschichtdicke d t beträgt:

dv, t ª 0,0463 ·

n·y 0,0463 f 81 , 84 ·y d6 Re w 5

94

5

∞

y

(Gl. 4.254)

c) Will man den in der Grenzschicht infolge Reibung auftretenden Impulsverlust durch eine korrespondierende Impulsverlustdicke ausdrücken, erhält man folgende Beziehung: ∞

m˙ · w∞ = r · w · di = r · 2 ∞

Ú

z=0

w · (w∞ – w) · dz

und nach erfolgter Integration für die laminare Grenzschicht [4.50]:

n · x 0,664 f8 , 91 · x d6 Re w 9

d i, l ª 0,664 ·

∞

(Gl. 4.255)

x

Nach [4.50] kann die Impulsverlustdicke der turbulenten Grenzschicht mit 7/72 · dt angenommen werden:

d i, t ª 0,036 ·

f 5

Bis in die Nähe des größten Körperquerschnitts wird die Strömung beschleunigt, d.h., die Stromlinien verlaufen konvergent, die Grenzschicht liegt infolge des positiven Druckgradienten an der Körperoberfläche an. Verjüngt sich der Körper wieder, d.h., nehmen die Spantquerschnitte zum Körperende hin wieder ab, so wird die Strömung verzögert, d.h., die körpernahen Stromlinien werden divergent und der Druck in der Außenströmung und damit auch in der Grenzschicht nimmt zu. Ist die Krümmung der Körperkontur zum Körperende hin groß, wird die Strömung sehr stark verzögert, und die Grenzschicht löst im Ablösepunkt A ab, es entsteht ein wirbelgefülltes Totwassergebiet, in dem teilweise Rückströmung auftritt (Bilder 4.199 und 4.204). Im Ablösepunkt A wird der Geschwindigkeitsgradient an der Wand gleich 0:

冢6 ∂z 冣 ∂w

=0

Wand

woraus durch Integration der Grenzschichtdifferentialgleichungen die Lage von A bestimmt werden kann [4.50]. Die Ablösung kann vermieden werden, wenn die Verjüngung zum Körperende hin sehr schlank ausgeführt wird (Stromlinienkörper, Tragflügel). Bei der Umströmung scharfkantiger Körper (z.B. Gebäude) folgt die Strömung im Strömungsschatten des Körpers nicht der Körperkontur, sondern löst sich an den scharfen w∞

94 n·y 0,036 ·y 81 = 82 5 6 d Rey w∞

w∞

w∞

(Gl. 4.256)

Bei der Umströmung eines räumlich ausgedehnten Körpers, z. B. eines Kreiszylinders (Bild 4.199), bildet sich auf der Stirnseite (Vorderseite) ebenfalls eine Grenzschicht aus, die wie bei der ebenen Platte in der Nähe des Staupunktes S zunächst laminar ist und bei entsprechenden Strömungsbedingungen, z.B. Größe der Reynolds-Zahl, in turbulente Grenzschichtströmung umschlagen kann.

w

∞

Grenzschicht

A Körperkontur Ablösepunkt

冢 冣 ∂w 5 ∂z

>0 Wand

冢 冣 ∂w 5 ∂z

Rü

cks

=0 Wand

冢 冣 ∂w 5 ∂z

trö

mu

ng

40 bis in den transkritischen Bereich Re > 3 · 106 bilden sich nach verschiedenen Mechanismen Kármán’sche Wirbelstraßen aus, die sich in einem indifferenten Gleichgewicht befinden, wobei sich der Wert a/t (Bild 4.207), wie VON KÁRMÁN rechnerisch und experimentell nachgewiesen hat, auf ca. a/t = 0,281 einstellt. Die Wirbelablösefrequenzen von Wirbelstraßen können über die dimensionslose Strouhal-Zahl Sr [4.150] (siehe Namensverzeichnis) bestimmt werden:

265

Ablösung

f·L Sr = 8 w∞ Sr f w∞ L

(Gl. 4.257)

dimensionslose Strouhal-Zahl Wirbelablösefrequenz Anströmgeschwindigkeit charakteristische Abmessung

Nach der Frequenz aufgelöst ergibt sich: Sr · w∞ f = 02 L

(Gl. 4.258)

Verschiedene praktische Anwendungen der Strouhal-Zahl sind in [4.34] beschrieben. Die Strouhal-Zahl hängt von der Körperform, der Reynolds-Zahl und der Oberflächenrauigkeit ab. Da zusätzlich noch eine Abhängigkeit von der Gleichmäßigkeit und vom Turbulenzgrad der ankommenden Strömung besteht, streuen die in Versuchen gewonnenen Strouhal-Zahlen für die einzelnen Körperformen außerordentlich stark. In Tafel 35 ist die Strouhal-Zahl von glatten Kreiszylindern nach [4.148], in Tafel 36 die anderer Körperformen nach [4.151] dargestellt. Strouhal-Zahlen hoher Bauwerke in natürlicher Windströmung können in [4.152] nachgelesen werden. Strouhal-Zahlen weiterer Körper finden sich, abhängig von geometrischen Parametern in den Abbildungen Bild 4.208: Strouhal-Zahl eines Rechteckprofils, abhängig vom Seitenverhältnis l/b nach [4.151] und Bild 4.209: Strouhal-Zahlen von Prismen mit qua-

266

Inkompressible Strömungen

a) Re < 4

~ 80 … 2 · 10 5 e) Re =

~ 4…40 b) Re =

f) Re > 2 · 10 5 (Re = superkritisch)

c) Re = 55

g) Re > < Rekrit

d) Re = 71

h) Re > 3 · 10 6 (Re = transkritisch)

Bild 4.206

Strömungsnachlauf hinter einem Kreiszylinder nach [4.36]

a) Re < 4 keine Ablösung der Grenzschicht b) Re = 4…40 Bildung der stationären, symmetrischen Wirbel c) d) Re = 40…80 Bildung der Kármán’schen Wirbelstraße durch die stromabwärts auftretende Instabilität der vereinigten freien Scherschichten, e) Re = 80…2 · 105 Bildung der Kármán’schen Wirbelstraße direkt aus der abgelösten, einzelnen Scherschicht in diesem subkritischen Reynolds-Bereich f) Re = 2 · 105…3 · 106 superkritischer Reynolds-Bereich g) Re ⭴ Rekrit auch im superkritischen Reynolds-Bereich bilden sich Kármán’sche Wirbelstraßen aus h) Re > 3 · 106 transkritischer Reynolds-Zahl-Bereich. Die Grenzschicht wird abgelöst, nachdem sie bereits turbulent ist. Keine Bildung von Blasen mehr. Eine Kármán’sche Wirbelstraße wird wieder ermöglicht, jedoch mit sehr turbulenten Wirbeln.

Bild 4.207

Karman’sche Wirbelstraße hinter einem Kreiszylinder (Re > 80) nach [4.36]

Umströmung von Körpern dratischem Querschnitt, abhängig vom Anströmwinkel nach [4.151]. Für die schräg angeströmte ebene Platte wird in [4.153] folgende einfache Näherungsformel angegeben: 0,146 Sr = 0 sin a

In der gleichen Publikation wird für symmetrisch und schräg angeströmte Körper ein eindeutiger Zusammenhang zwischen der Strouhal-Zahl Sr und dem weiter unten behandelten Widerstandsbeiwert cw hergeleitet, der für symmetrisch angeströmte Körper durch folgende Näherungsgleichung beschrieben wird:

(Gl. 4.259)

0,405 Sr = 09 c w0,73 + 1,03

mit

a als Anstellwinkel

w∞ l

Sr

0,15 0,1 0,05 0 2

3

(Gl. 4.260)

In Bild 4.210 ist dieser Zusammenhang Sr = f (cW ) grafisch dargestellt. Über die Abhängigkeit der Strouhal-Zahl von der Oberflächenrauigkeit finden sich nicht sehr viele Literaturangaben. Um wenigstens die Größenordnung dieser Abhängigkeit aufzuzeigen, sind in Bild 4.211 (aus [4.37 und 4.154]) die Strouhal-Zahlen von Kreiszylindern, abhängig von Reynolds-Zahl und Oberflächenrauigkeit dargestellt. Bild 4.211 stellt eine Zusammenfassung vieler Einzelversuche dar, die in [4.154] ausführlich beschrieben sind. Ab-

b

0,2

1

267

4

b l Bild 4.208 Strouhal-Zahl eines Rechteckprofils bei senkrechter Anströmung nach [4.151]

w∞

a

a

FS /i

0,20 glatte Anströmung f·a Sr = w ∞

0,15

turbulente Anströmung

0,10

0,05

0 0

10

20

30

Anströmwinkel a Bild 4.209

Strouhal-Zahl eines quadratischen Profils bei Schräganströmung nach [4.151]

40

45°

268

Inkompressible Strömungen

w∞

4.10.2

Kraftwirkungen

w∞

4.10.2.1 Einleitung

0,26

0,22

g

An einem in einer viskosen Parallelströmung liegenden Körper (Bild 4.213) greifen in einem Punkt Ö der Oberfläche folgende Einzelkräfte an:

Sr

w∞

0,18 Gleichung 4.260 0,14 0,2

0,6

1,0 cw

1,4

1,8

2,2

Bild 4.210 Die Strouhal-Zahl als Funktion des Widerstandsbeiwertes nach [4.153]. ● Keilwinkel g = 180°, ■ Keilwinkel g = 90°; ▲ Kreiszylinder Re ª 1,2 · 104, ▲ Kreiszylinder Re ª 0,10 · 104, ◆ Kreiszylinder Re ª 2,9 · 104, ▼ Platte, a = 0° (nach [4.153])

schließend zeigt Bild 4.212 die Strouhal-Zahl von Kugeln in einem Reynolds-Zahl-Bereich 6 · 103 < Re < 3 · 105 nach [4.37] und [4.155].

a) Druckkraft dFw p = pö · dA bzw. deren Komponente in Strömungsrichtung: dFwp, x = pö · dA · sin j Der Druckverlauf pö über der gesamten Körperoberfläche kann aus dem nach «klassischen Verfahren» (Energiegleichung) oder numerischen Verfahren [4.35, 4.156, 4.157] berechneten Strömungsfeld bestimmt werden. Durch Bezug auf den Außendruck pa und die örtliche Geschwindigkeit wö kann der örtliche Druck pö auch dimensionslos dargestellt werden, was die Umrechnung von Versuchs-

Bild 4.211 Strouhal-Zahl von glatten und rauen Kreiszylindern nach [4.154]. –––– glatter Zylinder; –– ··· –– ks/d = 75 · 10 –5; –– –– –– ks/d = 300 · 10 – 5; –– · –– ks/d = 900 · 10 – 5; ········· ks/d = 3000 · 10 – 5

Umströmung von Körpern

269

n Bild 4.212

Strouhal-Zahl einer glatten Kugel nach [4.155]

w∞

z

d Fw

p

d Fw

f

R

wö pö

f

Ö

x

Bild 4.213 Zur Erklärung des Druckund Reibungswiderstandes eines umströmten Körpers

dA

pa

werten oder die Wertebestimmung geometrisch ähnlich vergrößerter oder verkleinerter Körper erleichtert und veranschaulicht. pö – pa cp, ö = 30 r 2 3 · wö 2

b) Reibungskraft dFwR = t0 · dA oder als Komponente in Strömungsrichtung ausgedrückt: dFwR , x = t0 · dA · cos j

(Gl. 4.261)

wobei t 0 die nach NEWTON definierte Wandschubspannung ist (Gleichung 1.13).

270

Inkompressible Strömungen

冢 冣

dwö t0 = 0 dz 0 cos j

w∞ w

Wand

Auch die örtliche Schubspannung, die aus den Grenzschichtgleichungen [4.50] berechnet werden kann, wird häufig dimensionslos definiert:

t0 cF, ö = 120 r 2 3 · wö 2

Ú dFwp, x + Ú dFwR, x

(A)

FW =

(A)

Ú pö · dA · sin j + Ú t 0 · dA · cos j (A)

Fw2 Fw1

(Gl. 4.262)

Die auf Körper in Strömungsrichtung ausgeübte Gesamtkraft ergibt sich durch Integration der differentiellen Druck- und Reibungskräfte: FW =

w w∞

(A)

(Gl. 4.263)

Weiter unten wird für praktische, vereinfachte Verfahren die «klassische» Abschätzung des Reibungswiderstandes FwR schlanker, plattenförmiger oder stromlinienförmiger Körper mit Hilfe von experimentell gewonnenen Widerstandsbeiwerten beschrieben. Nach den einfachen Vorstellungen der Relativbewegung der «klassischen» Mechanik müssten sich für die Bewegung gleicher Körper in einem ruhenden Fluid bzw. Überströmung ruhender Körper in einem bewegten Fluid gleich große Widerstandskräfte ergeben. Bereits vor mehr als 2 Jahrhunderten hat der französische Physiker und Militäringenieur DU BUAT [4.158] (siehe Namensverzeichnis) durch Versuche festgestellt, dass die Schleppkraft Fw1 eines durch Wasser gezogenen Körpers etwas kleiner ist als die Widerstandskraft Fw2 eines mit gleicher Geschwindigkeit angeströmten festgehaltenen Körpers (Bild 4.214). Man bezeichnet dieses Phänomen auch als Paradoxon von DU BUAT. Man kann sich den Unterschied zwischen beiden Widerstandskräften aus der unter-

Fluid in Ruhe Körper bewegt

Körper in Ruhe Fluid bewegt Fw1 < Fw2

Bild 4.214

Paradoxon von DU BUAT

schiedlichen Turbulenz und unterschiedlichen Grenzschichtausbildung erklären. Weitere Einzelheiten dazu können beispielsweise in [4.137] nachgelesen werden. 4.10.2.2 Reibungswiderstand (Flächenwiderstand) Wie in der Einleitung schon dargestellt wurde, ist der Reibungswiderstand die Summe aller in den Flächenelementen dA wirkenden Reibungskräfte dFwR = t0 · dA. Anstelle der Integration der differentiellen Teilreibungskräfte dFwR wird in der Praxis mit dem einfachen Ansatz r FwR = cF · 3 · w 2∞ · O 2

(Gl. 4.264)

gearbeitet, d.h. die Widerstandskraft FwR proportional zum Staudruck der Anströmgeschwindigkeit und der überströmten Körperoberfläche gesetzt. Die Widerstandszahl cF hängt vor allem vom Strömungszustand (laminar; turbulent), von der Reynolds-Zahl und von der Oberflächenrauigkeit ab, ähnlich wie bei der Rohrreibungszahl l. Zur Abschätzung des Reibungswiderstandes von ebenen Platten bzw. sehr schlanker, stromlinienförmiger Körper, die parallel ange-

Umströmung von Körpern strömt werden, werden die Widerstandsbeiwerte für verschiedene Grenzschichtzustände aus der einschlägigen Fachliteratur (z.B. nach [4.50]) zusammengestellt: a) laminare Grenzschicht w∞ · l Re = 0 < Rekrit = 3,2 · 105…106 n Die Widerstandszahl cF ist unabhängig von der Wandrauigkeit und kann nach BLASIUS [4.50] nach folgender einfacher Beziehung bestimmt werden: 1,328 cF = 0 d6 Re

(Gl. 4.265)

b) turbulente Grenzschicht – hydraulisch glatt Die Grenzschicht hüllt die Oberflächenerhebungen völlig ein, wenn man vom Plattenkopf absieht, d. h. d > k. Die Widerstandszahl hängt nur von der Reynolds-Zahl ab und kann nach PRANDTL für die reine turbulente Grenzschicht im Reynolds-Zahl-Bereich 5 · 105 < Re < 107 abgeschätzt werden:

Tabelle 4.41

271

Beiwert A

Rekrit

3 · 105

5 · 105

106

3 · 106

A

1050

1700

3300

8700

Der Beiwert A hängt von der kritischen w∞ · la Reynolds-Zahl Rekrit = 0 ab und kann aus n Tabelle 4.41 entnommen werden. c) turbulente Grenzschicht – hydraulisch rau Analog zur Rohrreibungszahl l hängt auch bei der hydraulisch rauen Plattenströmung die Widerstandszahl cF nur noch von der relativen Rauigkeit k/l und nicht mehr von der Reynolds-Zahl ab. Ausgehend von den Versuchen von NIKURADSE für raue Rohre [4.47] haben PRANDTL und SCHLICHTING [4.50] für den Rauigkeitsbereich l 102 < 3 < 10 6 k folgende Interpolationsformel abgeleitet:

0,0745 cF = 02 5 6 d Re

(Gl. 4.266)

Eine von PRANDTL und SCHLICHTING hergeleitete Beziehung [4.50] erweitert den Gültigkeitsbereich bis zu Reynolds-Zahlen von 10 9: 0,455 cF = 06 (lg Re) 2,58

(Gl. 4.267)

Für turbulente Grenzschichten mit laminarer Anlaufstrecke wird Gleichung 4.267 erweitert [4.50]: 0,455 A cF = 06 – 5 2,58 Re (lg Re)

(Gl. 4.268)

1 cF = 0006 l 2,5 1,89 + 1,62 · lg 3 k

冢

冣

(Gl. 4.269)

Liegen die Rauigkeiten k innerhalb der laminaren Unterschicht (Bild 4.200), bleibt die Strömung hydraulisch glatt, der Widerstandsbeiwert cF hängt nur von der Reynolds-Zahl ab (Gleichungen 4.266 bis 4.268). In [4.50] ist der Grenzwert für die maximal zulässige Rauigkeit, bei der gerade noch hydraulisch glatte Strömung herrscht, hergeleitet: 100 kzul = ≤ l · 6 Re

(Gl. 4.270)

272

Inkompressible Strömungen

d) turbulente Grenzschicht – Übergangsgebiet In einem ca. 1 Dekade umfassenden ReynoldsZahl-Bereich hängt für eine bestimmte relative Rauigkeit k/l der Widerstandsbeiwert cF sowohl von der Reynolds-Zahl als auch von der relativen Rauigkeit k/l ab (Übergangsgebiet). cF-Werte im Übergangsgebiet können abw∞ · l hängig von Re = 9 und k/l aus Bild n 4.215 entnommen werden. Eine Interpolationsgleichung für den cFWert von Platten analog zur Gleichung von PRANDTL-COLEBROOK (Gleichung 4.140 in Tabelle 4.14) für Rohre mit Kreisquerschnitt ist für Platten in der Praxis nicht gebräuchlich. Durch Vergleich von Bild 4.215 mit Tafel 30 erkennt man, dass bei der Rohrströmung die Doppelabhängigkeit l = f (Re, (d/k)) stärker ausgeprägt ist als bei der Plattenströmung cF = f (Re, (k/l)) woraus sich das Fehlen einer pra-

xisgerechten Interpolationsgleichung für c F wohl auch erklären lässt. 4.10.2.3 Radscheibenreibung Betrachtet man eine in einem ruhenden Fluid frei rotierende Scheibe mit dem Außenradius R (Bild 4.216) und vernachlässigbar kleiner Breite b O R, so erhält man für das durch die Radscheibenreibung entstehende Drehmoment M folgenden Ansatz: Das an dem schmalen Teilring mit der radialen Erstreckung dr entstehende Teilmoment dM ergibt sich für eine Scheibenseite aus Gleichung 4.264: dM = dFwR · r r dFwR = cF · 3 · w 2 · dO 2 w = Umfangsgeschwindigkeit am Radius R w =w·r

20 · 10 –3

k/ l = 10 –2

15 · 10 –3

5 2

10 · 10 –3 10 –3 5

vollkommen rau

Übergang

2 10 –4

5 · 10 –3

5 4 · 10 –3

2 10 –5

3 · 10 –3

5

ar in

lam

Widerstandszahl cF

7 · 10 –3

2 10 –6

hydraulisch glatt

5

2 · 10 –3

w∞

1,5 · 10 –3

l 1 · 10 –3 10 5

2

5

10 6

2

5

10 7

2

Reynolds-Zahl Re = Bild 4.215

Widerstandszahlen cF ebener Platten

5

w∞ · l gn

10 8

2

5

10 9

2

5

Umströmung von Körpern

冤 冢 冣冥

r dW M = cM · 3 · w 2 · R5 – 5 2 2

273

5

(Gl. 4.272)

Wie der Beiwert cF bei der Plattenreibung hängt auch der Drehmomentenbeiwert c M von der Reynolds-Zahl w · R R2 · w Re = 9 = 92 n n

(Gl. 4.273)

und der relativen Wandrauigkeit k/R ab. Nach [4.50] können für die verschiedenen Bereiche folgende cM-Werte angesetzt werden:

∆

Bild 4.216

a) laminare Grenzschicht Für Re-Zahlen unter 30 kann die Formel von MÜLLER zugrunde gelegt werden

Frei rotierende Scheibe

dO = 2 · p · r · dr r dM = cF · 3 · w 2 · r 2 · 2 · p · r · dr · r 2

21,3 cM = 8 Re

r dM = cF · 3 · w 2 · 2 · p · r 4 · dr 2 Durch Integration von dM zwischen r = 0 (der Wellendurchmesser dW wird als vernachlässigbar klein angesehen) und R für beide Scheibenseiten erhält man das Gesamtmoment M.

(Gl. 4.274)

Für größere Re-Zahlen bis ca. 2…3 · 105 wird die Formel von COCHRAN empfohlen 3,87 cM = 9 d6 Re

(Gl. 4.275)

r=R

M=2·

Ú

dM

b) turbulente Grenzschicht – hydraulisch glatt (Re > 2 · 106) Legt man für die Geschwindigkeitsverteilung in der Scheibengrenzschicht das 1/7-Gesetz von BLASIUS zugrunde, erhält man die von VON KÁRMÁN angegebene Beziehung:

r=0 r=R

r M = 2 · cF · 3 · w2 · 2 · p · Ú r 4 · dr 2 r=0 r R5 M = 2 · cF · 3 · w2 · 2 · p · 5 2 5 4·p Den Ausdruck 7 · c F bezeichnet man als 5 Drehmomentenbeiwert c M . r M = cM · 3 · w 2 · R 5 2

(Gl. 4.271)

Sollte der Wellendurchmesser d W nicht vernachlässigt werden können, wird Gleichung 4.271 wie folgt erweitert:

0,146 cM = 91 5 6 d Re

(Gl. 4.276)

c) turbulente Grenzschicht – hydraulisch rau (Re > 2 · 10 6) 0,69 cM = 006 R 2,5 1,12 + lg 3 k

冢

冣

(Gl. 4.277)

274

Inkompressible Strömungen In Wirklichkeit ist das Strömungsfeld um die rotierende Scheibe komplizierter als in Bild 4.216 vereinfacht dargestellt wurde, da die räumliche Geschwindigkeit neben der Umfangskomponente w = r · w auch noch eine Radialkomponente c und eine Axialkomponente v enthält (Bild 4.219). Durch Wirkung der Zentrifugalkomponente c wird ein bestimmter Volumenstrom V˙ nach außen gefördert

d) Übergangsgebiet (ca. 3 · 105 < Re < 1,5 · 10 6)

冢 冣

0,146 Rekrit 2 cM = 0 – 9 · (cM, turb – cM, lam ) 5 6 d Re Re (Gl. 4.278)

Die Gleichungen 4.274 bis 4.276 wurden in [4.159] experimentell überprüft und für zuverlässig befunden. In Bild 4.217 nach [4.160] ist der Drehmomentenbeiwert cM abhängig von ReynoldsZahl Re und relativer Rauigkeit k/R für verschiedene Grenzschichtzustände angegeben. In [4.159] und anderen Quellen ist das Widerstandsverhalten verschiedener Rotationskörper untersucht und mit dem Reibungsverhalten der rotierenden Scheibe verglichen worden. Bild 4.218 enthält den Drehmomentenbeiwert cM einer Auswahl von glatten Drehkörpern im Reynolds-Zahl-Bereich 10…107. In Tabelle 4.42 sind in Anlehnung an [4.50, 4.159 und 4.161] die Drehmomentenbeiwerte cM für Scheiben in Gehäusen sowie für Zylinder und Kugel zusammengestellt.

V˙ 4=2·p·R· 2

∞

Ú c · dz

z=0

woraus in [4.50] folgende Gleichungen abgeleitet wurden: laminare Grenzschicht

Re < 3 · 105

1 V˙ = 1,77 · p · w · R3 · 8 6 d Re turbulente Grenzschicht

(Gl. 4.279 a)

Re > 3 · 105

1 V˙ = 0,438 · w · R3 · 581 6 d Re

0,05

turbulent rau

0,04

(Gl. 4.279 b)

k/R=10 –2

0,03 0,025

lam

k / R= 10 –3

ina

0,02

r turbule

0,015

cM

nt glatt

0,01 0,009 0,008 0,007 0,006 0,005

Rekrit

Übergang

0,004 0,003 10 4

2

3

4

5 6 7 8 9 10 5

Re = Bild 4.217

k / R= 10 –4

1,5

2

3

4

5 6 7 8 9 10 6

w · R2 n

Drehmomentenbeiwert cM von frei rotierenden Scheiben nach [4.160]

1,5

2

3 · 10 6

275

Umströmung von Körpern 100 2·H

cM = r 2

Re =

· R5 · w2

R2 · w n

R

10

1 Verl. Ellipsoid 2 Kugel 3 Verkl. Ellipsoid 4 Scheibe 5 Zylinder

w Reibungsmomentenzahl cM

M

1,0

H = 1,5 R R = 6 cm H = 0,75 R 2 H/R = ∞

0,10

1 2 3 4

0,010

5 0,0010 10 0

10 1

10 2

10 3

10 4

10 5

10 6

10 7

Reynolds-Zahl Re

R

c

w

= w

w

v

R f

z

. V/2

w

In [4.50] sind auch Sonderfälle wie die seitlich parallel angeströmte Scheibe und Kugel beschrieben und Gleichungen zur Berechnung des Reibungsmomentes angegeben. Die zur Überwindung der Reibungsverluste rotierender Scheiben und Rotationskörper erforderliche Reibleistung, bei Turbomaschinen auch Radseitenreibung genannt, ergibt sich aus dem Ansatz

·w

Bild 4.218 cM-Werte von Rotationskörpern nach [4.159]

Pv = M · w r Pv = cM · 3 · w3 · R5 2

(Gl. 4.280)

In [4.162] sind praxisnahe Verfahren zur Abschätzung der Radseitenreibung in radialen Kreiselpumpen angegeben.

Bild 4.219 Geschwindigkeitsfeld an einer frei rotierenden Scheibe nach [4.50]

276

Inkompressible Strömungen

Tabelle 4.42

Drehmomentenbeiwerte verschiedener glatter Rotationskörper

Geometrie

laminare Grenzschicht

Scheibe in Gehäuse S

turbulente Grenzschicht

2·p 1 cM = 8 · 5 für Re < 10 4 s/R Re

0,0622 cM = 02 5 5 d Re

2,67 cM = 8 d5 Re

für Re > 3 · 105

S

R

d. h. 57 % weniger als nach Gleichung 4.276 für die frei rotierende Scheibe

für 104 < Re < 3 · 105

w

d. h. 30 % weniger als nach Gleichung 4.275 für die frei rotierende Scheibe! B cM bezogen auf die Breiteneinheit 31 = 1 R

Zylinder Zylinder B

R1 w

8·p cM = 8 Re

2·p cM = 00005 9 [–2,22 + 4,07 · lg (Re · d cM )]2

für Re < 102

für Re > 102

B cM bezogen auf die Breiteneinheit 31 = 1 R

Zylinder in Büchse (Außenzylinder steht) B s R1 w

R2

8·p 1 cM = 8 · 003 Re [1 – (R1/R2)2]

1 cM ~ 8 5 5 d Re

s 4 O 1; Ta < 41,3 R1

für Ta > 400

R1 · w · s Taylor-Zahl: Ta = 05 · n

d R4s

5 1

3/2

冢 冣

s oder Ta = Re · 5 R1

(Couette-Strömung) im Bereich 41,3 < Ta < 400 treten Taylor-Wirbel auf

Kugel R w

16 · p cM = 9 für Re < 10 Re

0,398 cM = 9 5 5 d Re

5,95 16,75 cM = 9 + 9 d5 Re Re

für Re > 2 · 105

10 < Re < 105

Umströmung von Körpern Tabelle 4.43

277

Widerstandsanteile umströmter Körper (nach [4.83])

Körper

4.10.2.4 Druckwiderstand (Formwiderstand) Der Druckwiderstand ist nach Gleichung 4.263 die Kraftkomponente, die sich als Vektorsumme aller differentiellen Druckkräfte dFwp in Strömungsrichtung ergibt. Bei reibungs- und ablösungsfrei umströmten Körpern würden sich die auf die Vorderseite wirkenden Druckkräfte gegen die auf die Rückseite wirkenden Druckkräfte aufheben, d. h., der Druckwiderstand wäre gleich 0. Bei schlanken platten- oder profilförmigen Körpern ist der Druckwiderstand gegenüber dem Reibungswiderstand vernachlässigbar klein, bei gedrungenen, insbesondere scharfkantigen Körpern verhalten sich die beiden Kräfte gerade umgekehrt (Tabelle 4.43). Bei vielen Körperformen ist das Verhältnis Reibungswiderstand FwR 0000003 Gesamtwiderstand Fw = FwR + FwD auch von der Reynolds-Zahl und von der Rauigkeit abhängig. In Bild 4.220 (nach [4.37]) sind die Quotienten FwR/Fw für glatte Kreiszylinder und glatte Kugeln dargestellt. Der Druckwiderstand FwD wird nicht auf die überströmte Oberfläche O, sondern auf den größten Spantquerschnitt, d.h. die in Strömungsrichtung projizierte Stirnfläche ASt (Bild 4.221) bezogen.

Druckwiderstand

Reibungswiderstand

0%

100 %

≈ 10 %

≈ 90 %

≈ 90 %

≈ 10 %

100 %

0%

r FwD = cD · 3 · w∞2 · ASt 2

(Gl. 4.281)

Da der Druckwiderstand immer zusammen mit dem Reibungswiderstand wirkt, ist eine exakte Messung von FwD bzw. cD im Windoder Wasserkanal über einfache globale Kraftmessungen gar nicht möglich, sondern nur durch eine Messung des Druckfeldes um den Körper. Deshalb finden sich auch nur wenige Angaben über den Druckwiderstandsbeiwert cD in der einschlägigen Fachliteratur. 4.10.2.5 Gesamtwiderstand Der Gesamtwiderstand eines umströmten Körpers setzt sich nach Gleichung 4.263 aus Druckwiderstand (Formwiderstand) und Reibungswiderstand (Flächenwiderstand) zusammen. Fw = FwD + FwR

(Gl. 4.282)

Bezieht man beide Kräfte auf die gleiche Bezugsfläche, nämlich die Spant- oder Stirnfläche (Schattenfläche) ASt , kann man die Gesamtwiderstandskraft nach folgender einfachen Gleichung schätzen:

Inkompressible Strömungen

FwR cF Verhältnis 7 ,5 Fw cw

278

Bild 4.220 Anteil des Reibungswiderstandes am Gesamtwiderstand bei glatten Kreiszylindern und glatten Kugeln nach [4.37] Bild 4.221 Stirnfläche (Spantquerschnitt) ASt

w∞ A St

r Fw = cw · 3 · w∞2 · ASt 2

(Gl. 4.283)

Der Widerstandsbeiwert cw hängt i. Allg. von der Körperform (rund, kantig, schlank, gedrungen usw.), der Oberflächenrauigkeit und der Reynolds-Zahl ab. Die experimentelle und theoretische Ermittlung des Widerstandsbeiwertes cw in Abhängigkeit der verschiedenen geometrischen und fluidmechanischen Parameter waren schon sehr früh wichtiger Bereich der Strömungsforschung [4.31, 4.138], so befassten sich beispielsweise schon früh G. G. STOKES (s. Namensverzeichnis) mit dem freien Fall von Kugeln in Flüssigkeiten [4.164] oder A. G. EIFFEL (s. Namensverzeichnis) mit der experimentellen Ermittlung der Wider-

standsbeiwerte von Körpern im freien Fall und in einem von ihm eigens entwickelten Windkanal, wodurch er schon mit seinen vergleichsweise einfachen Messmethoden den cw-Wert von glatten Kugeln zu cw = 0,176…0,44 bestimmt hat, wobei er auf die Abhängigkeit des cw-Wertes von der Form und Größe des Totwassergebietes hinter der Kugel hingewiesen hat (Paradoxon von EIFFEL) [diverse Publikationen in «Nouvelles Recherches Résistance de l’Air», Paris, 1914, 1919 und 1920]. Wenig später wurden bei der AVA-Göttingen Versuche über den Luftwiderstand gerundeter und kantiger Körper durchgeführt und in [4.165] publiziert. Interessenten an den wissenschaftlichen Grundlagen und an praktischen Berechnungsverfahren anhand gemessener Beiwerte wird das Grundlagenwerk [4.166] empfohlen.

Umströmung von Körpern In den folgenden beiden Abschnitten wird das Widerstandsverhalten von Kreiszylindern und Kugeln relativ ausführlich beschrieben, die Widerstandsbeiwerte anderer Körperformen können den Tafeln am Ende des Buches entnommen werden. a) Der Gesamtwiderstand des Kreiszylinders Der Widerstandsbeiwert cw des quer angeströmten glatten Kreiszylinders ist nur von der Reynolds-Zahl abhängig. Da die Ausbildung der Grenzschicht und des Totwassergebietes sehr stark von der Reynolds-Zahl abhängen (Bild 4.206), lässt sich keine einfache mathematische Funktion cw = f (Re) für einen größeren Reynolds-Zahl-Bereich angeben, zumal sich die Zusammensetzung von cw aus cF und cD ebenfalls stark mit der Reynolds-Zahl ändert (Bild 4.220). In [4.167] wird für den großen Bereich 10 –4 < Re < 2 · 105 folgende Approximationsgleichung angegeben:

Bild 4.222

279

6,8 1,96 +9 cw = 9 0,89 Re Re 0,5 1 + 0003 + 1,18 1 Re +8 00 (Gl. 4.284) 4 · 10 – 4 · Re 1100

Da die Versuchsbedingungen der verschiedenen Forscher oft nicht vergleichbar waren, beispielsweise die Reynolds-Zahl entweder über die Anströmgeschwindigkeit w∞ und/oder den Zylinderdurchmesser d [4.165] oder über die kinematische Viskosität n [4.37] variiert wurde, ebenso keine einheitliche Umrechnung des Effektes der sog. Kanalverengung existiert, weichen naturgemäß die Angaben der einzelnen Autoren, die im Verlaufe vieler Jahrzehnte ihre zahlreichen Versuche durchgeführt haben, zum Teil erheblich voneinander ab (Bild 4.222 aus [4.37]).

Widerstandsbeiwert des glatten querangeströmten Kreiszylinders nach [4.37]

280

Inkompressible Strömungen

Als Ergänzung ist in Tafel 37 auch die Kurve cw = f (Re) von quer angeströmten glatten Kreiszylindern eingetragen. Da die Grenzschicht am quer angeströmten Kreiszylinder relativ dünn ist, machen sich schon kleine Rauigkeiten im Reibungsverlust bemerkbar, der cw-Wert erreicht sein Maximum, wenn die Rauigkeitshöhe k bzw. ks gleich der Grenzschichtdicke d wird. Um die Größenordnung des Rauigkeitseinflusses abschätzen zu können, wurde in Bild 4.223 aus [4.37 und 4.168] der Verlauf einiger Kurven cw = f (Re und ks/d ) dargestellt. Weitere interessante Informationen zur Umströmung von Kreiszylindern finden sich u. a. in [4.169 bis 4.172]. b) Der Gesamtwiderstand der Kugel Bei der Umströmung von Kugeln entstehen ähnliche Strömungsbilder wie beim Kreiszylinder (Bilder 4.199 und 4.206), die Strömung ist allerdings 3-dimensional. Von Vorteil ist jedoch, dass es nur 1 makroskopischen Parameter gibt, nämlich den Kugeldurchmesser d. Die Gesamtwiderstandskraft kann nach Gleichung 4.283 berechnet werden. Der Widerstandsbeiwert cw hängt von der ReynoldsZahl, der Wandrauigkeit und der Gleichmäßigkeit sowie dem Turbulenzgrad der Zuströmung ab. Als erste Orientierung für den cw-Wert kann Tafel 38 dienen. Für glatte Kugeln kann

der Kurvenverlauf cw = f (Re) abschnittsweise durch folgende Gleichungen beschrieben werden: 1) Bereich Re < 1 – Gleichung von STOKES [4.164] 24 cw = 5 Re

(Gl. 4.285)

2) Bereich Re < 5 – Gleichung von OSEEN [4.50]

冢

冣

24 3 cw = 5 · 1 + 5 · Re Re 16

(Gl. 4.286)

3) Bereich Re < 80 – Gleichung von BRAUER et al. [4.173] 24 5,48 + 0,36 cw = 5 + 0 Re Re0,573

(Gl. 4.287)

4) Bereich Re < 6000 – Gleichung von ABRAHAM [4.161] 24 Re) 2 cw = 5 · (1 + 0,11 · d5 Re

(Gl. 4.288)

Bild 4.223 cW-Werte rauer Kreiszylinder nach [4.168]

Umströmung von Körpern 5) Bereich Re < 2 · 105 – Gleichung von WHITE [4.70] 24 6 + 0,4 cw = 5 + 04 Re 1 + d5 Re

(Gl. 4.289)

Da bei den Versuchen, deren Ergebnisse den obigen Gleichungen zugrunde liegen, die geometrischen und fluidmechanischen Versuchsbedingungen nicht ganz gleich waren, streuen in Wirklichkeit die cW-Werte, wenn man die Versuchswerte einzelner Autoren vergleicht (Bild 4.224 aus [4.37 und 4.174]). c) Die Widerstandszahl cw anderer Körperformen finden sich in Form einer Auswahl der wichtigsten Geometrien in den Tafeln 39 und 40 im Anhang des Buches. Wie weiter oben schon angemerkt, stellt [4.166] eine wahre Fundgrube für cw-Werte aller möglichen Körper- und Strömungsformen dar. Interessant sind auch die Informationen in [4.180] über den Strömungswiderstand von stumpfen Körpern.

281

d) In der Aerodynamik der Bauwerke spielt auch der Gesamtwiderstand von Profilen und Fachwerken, z.B. von Masten und Brücken, eine große Rolle. In [4.39, 4.151 und 4.176] sind detaillierte Angaben über das Widerstands- und Schwingungsverhalten von Fachwerken enthalten, teilweise gestützt auf Normen und Regelwerke. e) In der Praxis müssen häufig die Widerstandskräfte von benachbarten Körpern abgeschätzt werden, wie z.B. in Bild 4.226 an parallel- oder in Reihe geschalteten Kreiszylindern gezeigt ist. Da sich bei der Umströmung hintereinander geschalteter Körper die Druckverteilung um alle Körper ändert, erhöht sich in vielen Fällen der Widerstandsbeiwert des vorderen Körpers und erniedrigen sich die Widerstandsbeiwerte der im Windschatten des vorderen Körpers sich befindenden nachfolgenden Körper, was bei vielen geometrischen Formen und Anordnungen sogar zu negativen cwWerten führen kann (Bild 4.227).

Bild 4.224 Widerstandsbeiwert der glatten Kugel nach [4.37 und 4.174]. – – – – – WIESELSBERGER (1923); ––––– BACON und REID (1924); –– · –– MILLIKAN und KLEIN (1933); –––– MAXWORTHY (1969); –– –– ACHENBACH (1977); · · · · · BAILEY (1974); –– · · –– QUADFLIEG (1975)

282

Inkompressible Strömungen

Bild 4.225 Widerstandsbeiwerte rauer Kugeln nach [4.175] ––––– glatte Kugel zum Vergleich (nach [4.174]); ¥–¥–¥–¥ k s /d = 0,25 · 10 –3; 왓–왓–왓–왓 k s /d = 1,5 · 10 –3; 왌–왌–왌–왌 k s /d = 2,5 · 10 –3; 왕–왕–왕–왕 k s /d = 5 · 10 –3; 왏–왏–왏–왏 k s /d = 12,5 · 10 –3

Bild 4.226 Umströmung von parallel- oder hintereinandergeschalteten Kreiszylindern nach [4.39]: a) Parallelschaltung, b) Reihenschaltung

283

Umströmung von Körpern 1,2

Bild 4.227 Widerstandsbeiwerte hintereinandergeschalteter Kreiszylinder nach [4.166]

c w1

Re = 10 5

0,8

cw

c w1+2 0,4 c w2

d

1

0

w∞ 2

x – 0,4 0

1

2

3

4

5

6

7

8

x /d

Auch die Berechnung des Gesamtwiderstandes von Rohrreihen oder Rohrbündeln, z. B. in Wärmeaustauschern, gehört in diesen speziellen Bereich der Strömungstechnik. Auch in der Fahrzeugaerodynamik tritt die Problematik parallel- oder in Reihe ge-

Beispiel 34 Aufgabenstellung: Eine rechteckige, glatte Platte mit den Abmessungen 100 mm ¥ 200 mm und vernachlässigbarer Dicke wird von Wasser mit 20°C und einer Geschwindigkeit w∞ = 10 m/s über- bzw. angeströmt.

schalteter außen umströmter Körper auf, wie im nächsten Abschnitt kurz behandelt wird. Für die Berechnung der Rohrreihen und Rohrbündel wird auf folgende Literaturstellen [4.103 und 4.177 bis 4.179] verwiesen.

Lösung: Frage a) Die Reynolds-Zahl der längs überströmten Platte beträgt: l · w∞ 0,2 · 10 Re = 0 = 02 = 2 · 106 n 10– 6

Wie groß ist die auf die Platte ausgeübte Widerstandskraft

woraus sich nach Gleichung 4.266 für eine rein turbulente Grenzschicht folgender Reibungsbeiwert cF ergibt:

a) bei paralleler Überströmung in Längsrichtung?

0,0745 0,0745 cF = 01 = 04 = 4,09 · 10– 3 5 5 d Re 5d92 2 · 106

b) bei paralleler Überströmung in Querrichtung? c) bei senkrechter Anströmung?

Eine Kontrollrechnung mit Gleichung 4.267 liefert folgendes Ergebnis: 0,455 0,455 = 002 = 3,94 · 10 – 3 cF = 05 2,58 (lg Re) (lg 2 · 106)2,58

284

Inkompressible Strömungen

Beide Ergebnisse stimmen sehr gut, nämlich zu 96% überein. Nimmt man jedoch an, dass die Grenzschicht eine laminare Anlaufstrecke besitzt, ändert sich der cF-Wert entscheidend, wenn man ihn nach Gleichung 4.268 abschätzt:

Nach Kontrolle mittels Bild 4.215 wird cF = 4,6 · 10– 3 angenommen und FwR abgeschätzt:

0,455 A –5 cF = 06 2,58 (lg Re) Re

1000 FwR = 0,0046 · 62 · 102 · 0,1 · 0,2 2

Der Wert A wird zu A = 6000 aus Tabelle 4.41 interpoliert. 6000 cF = 3,94 · 10– 3 – 016 = 0,94 · 10 – 3 2 · 10 d. h. nur noch 1/4 des Wertes bei rein turbulenter Grenzschicht. Unter Benutzung von Bild 4.215 wird der Wert auf cF = 4 · 10– 3 festgelegt, da cF = 1 · 10– 3 praktisch laminarer Grenzschicht entsprechen würde, was sich auch aus Gleichung 4.265 rechnerisch ergeben würde. Damit kann mit Gleichung 4.264 die Reibungskraft FwR bestimmt werden: r FwR = cF · 3 · w∞2 · 0 2 1000 FwR = 0,004 · 8 · 102 · 2 · 0,1 · 0,2 2

r FwR = cF · 3 · w∞2 · 0 2

FwR = 9,2 N Die Reibungskraft FwR ist also bei Überströmung über die längere Seite kleiner als bei Überströmung über die kürzere Seite, obwohl die überströmte Oberfläche und die Strömungsgeschwindigkeit gleich groß sind! Frage c) Bei senkrechter Anströmung der Platte ergibt sich nach Gleichung 4.283 folgende Gesamtwiderstandskraft: r Fw = cw · 3 · w∞2 · ASt 2 cw = 1,15 nach Tafel 39 ASt = 0,1 · 0,2 = 0,02 m2

FwR = 8 N Frage b) Bei Querüberströmung ändert sich die Reynolds-Zahl und damit auch der Widerstandsbeiwert cF : b · w∞ 0,1 · 10 Re = 0 = 85 = 106 n 106 0,0745 0,0745 = 84 = 4,7 · 10 – 3 cF = 85 5 66 5 5 d Re d 10 oder 0,455 0,455 cF = 88 = 88 = 4,47 · 10 – 3 2,58 (lg Re) (lg 106)2,58

1000 Fw = 1,15 · 62 · 102 · 0,02 2 Fw = 1150 N Wie man sieht, ist die Gesamtwiderstandskraft Fw bei senkrecht angeströmter Platte, die nach Tabelle 4.43 als reiner Druck- oder Formwiderstand zu erklären ist, um 2 Zehnerpotenzen größer ist als der reine Reibungsverlust FwR bei wandparalleler Überströmung!

Umströmung von Körpern 4.10.3

Luftkräfte an Fahrzeugen

4.10.3.1 Einleitung Die bei der Fahrt von Straßen- oder Schienenfahrzeugen auftretenden Strömungsvorgänge lassen sich vereinfachend in die beiden großen Bereiche ❑ Fahrzeugumströmung (Außenaerodynamik) und ❑ Fahrzeugdurchströmung (Innenaerodynamik) einteilen, wobei beide Strömungsbereiche sich teilweise gegenseitig beeinflussen. Bei der Fahrzeugumströmung interessieren vor allem der Luftwiderstand wegen des Energieverbrauchs und die Fahrstabilität, z.B. durch den Einfluss von Seitenwind und dynamischen Auftriebskräften. Aber auch die Wirkung der Fahrzeugumströmung auf das Beschlagen der Scheiben durch Schmutz, Regen oder Schnee oder die Geräuschentwicklung haben einen hohen Stellenwert. Die Fahrzeugdurchströmung, die in diesem Buch nicht behandelt wird, ist vor allem für die Auslegung der Motorkühlung und die Klimatisierung der Fahrer- und Fahrgasträume von großer Bedeutung. Da es sich bei vorliegendem Abschnitt nur um eine kurzgefasste Einführung handelt, werden nur Luftkräfte, keine Momentenwirkungen behandelt.

Bild 4.228

Stirnfläche eines Fahrzeuges

285

4.10.3.2 Luftwiderstand Der entgegen der Fahrtrichtung wirkende Luftwiderstand von Fahrzeugen setzt sich aus dem Druckwiderstand, dem Reibungswiderstand und dem Innenwiderstand der Fahrzeugdurchströmung zusammen, wobei in den meisten Fällen der Druckwiderstand den größten Teil des Gesamtwiderstands ausmacht. Analog zum Gesamtwiderstand beliebiger Körper (Gleichung 4.283) wird der Luftwiderstand von Fahrzeugen bei ruhender Außenluft (Windstille) wie folgt definiert [4.181, 4.182]: r Fw = c w · 3 · wF2 · A St 2

(Gl. 4.290)

wobei wF die Fahrgeschwindigkeit und A St die Stirnfläche des Fahrzeugs sind (Bild 4.228). Der dimensionslose Widerstandsbeiwert cw hängt im Wesentlichen von der Körperform des Fahrzeugs ab, der Einfluss von ReynoldsZahl und Oberflächenrauigkeit ist i.Allg. gering [4.183]. Im Laufe der 100-jährigen Entwicklung von Pkw ist der cw-Wert auf weniger als 1/3 der Ausgangswerte gesenkt worden (Bild 4.229 aus [4.183]).

286

Inkompressible Strömungen

1,1

cw-Wert

0,9

0,6

0,3

0 1880 Bild 4.229

1900

1920

1940

1960

1980 Jahr 2000

Entwicklung des cW-Wertes von Pkw in den letzten 100 Jahren nach [4.183]

Die niedrigen cw-Werte moderner Pkw gelten für das Fahrzeug allein. Werden z.B. Skihalter auf dem Dach montiert, kann der cwWert bis zu 1/3 zunehmen, ebenso erhöht sich der cw-Wert um etwa 40 %, wenn ein Fahrrad auf dem Dach mitgeführt wird. Strömungsgünstig ausgelegte Dachkoffer vergrößern den cw-Wert weniger stark als Skihalter oder Fahrräder. Der Luftwiderstand eines Gespannes aus Pkw und Wohnwagen ist in der Größenordnung ca. 3-mal höher als der Luftwiderstand des Pkw allein, da sowohl die Stirnfläche ASt als auch der cw-Wert zunehmen [4.184]. Der cw-Wert wird nach wie vor überwiegend experimentell im Windkanal an Modellen oder Originalfahrzeugen ermittelt, es gibt aber vielversprechende Ansätze zur nummerischen Berechnung [4.35, 4.156, 4.183, 4.185], die in Zukunft immer mehr an Bedeutung gewinnen werden und manche teuren und aufwendigen Versuche überflüssig machen. Die zur Überwindung des Luftwiderstandes erforderliche Leistung ergibt sich auf folgendem Ansatz:

Pw = Fw · w F r Pw = cw · 3 · w F2 · ASt · w F 2 r Pw = cw · 3 · w F3 · A St 2

(Gl. 4.291)

Der durch den Luftwiderstand verursachte Anteil an der Antriebsleistung wächst demnach mit der 3. Potenz der Fahrgeschwindigkeit! Weiterführende Literatur zur Reduzierung des Luftwiderstandes findet sich u.a. in [4.188 und 4.189]. 4.10.3.3 Auftrieb Durch die Krümmung der Stromlinien an der Fahrzeugoberseite entsteht ähnlich wie bei Tragflügelprofilen (Abschnitt 4.11) eine Unterdruckzone, die zu einer senkrecht nach oben wirkenden Auftriebskraft führt (Bild 4.230). Hinzu kommt noch die Wirkung der Unterströmung des Fahrzeugbodens, die ebenfalls zur Auftriebserzeugung beiträgt.

Umströmung von Körpern

287

FA

FAv

FAh

wF

Fpv

Aerodynamische Auftriebs- und Aufpresskräfte an einem Fahrzeug

Die Größe des Auftriebs kann entweder aus der gemessenen oder berechneten Druckverteilung am Fahrzeug bestimmt oder mittels der oben definierten empirischen Beziehung mittels eines im Versuch gewonnenen Auftriebsbeiwertes abgeschätzt werden: r FA = cA · 3 · wF2 · A St 2

(Gl. 4.292)

Der Auftriebsbeiwert cA liegt bei den meisten Fahrzeugformen bei Geradeausfahrt in ruhender Luft etwas unterhalb des Widerstandsbeiwertes cw , steigt aber bei Seitenwindwirkung stärker mit dem Anströmwinkel a an als der cw-Wert (Tafel 41). Durch den Auftrieb vermindert sich die durch das Fahrzeuggewicht hervorgerufene, auf die Fahrbahn wirkende Aufpresskraft beträchtlich, was beim Fahren und Bremsen zu gefährlichen Situationen führen kann. Die Abnahme der Aufpresskraft (Achslast) ist nach Gleichung 4.292 umso größer, je größer die Fahrgeschwindigkeit wF und Auftriebsbeiwert cA sind (Bild 4.231). Durch Gestaltung der Front- und Heckpartie des Fahrzeugs oder durch Anbringen von

Front- und Heckspoilern lässt sich die Auftriebskraft sehr stark reduzieren (Bild 4.232). 4.10.3.4 Seitenwindkraft Tritt zusätzlich zur Fahrgeschwindigkeit wF noch Seitenwind auf, wird das Fahrzeug schräg, d.h. unsymmetrisch angeblasen, und es tritt eine zusätzliche dritte Kraftkomponente, die Seitenwindkraft, auf (Bild 4.233), die wie folgt abgeschätzt werden kann:

6500 N

Auftriebsbeiwert cA = 0

6000

5500 Achslast Fp

Bild 4.230

Fph

0,16 5000 0,32 4500

4000

0

10 20 30 40 Fahrgeschwindigkeit wF

50

60 m/s 70

Bild 4.231 Einfluss des Auftriebs FA auf die Achslast (Aufpresskraft) Fp nach [4.186]

288

Inkompressible Strömungen Bild 4.232 Einfluss eines Heckspoilers auf die Auftriebskraft an der Hinterachse eines Pkw nach [4.183]

r FS = cS · 3 · wF2 · A St 2

(Gl. 4.293)

Der Seitenkraftbeiwert cS hängt von der Fahrzeugform und in viel stärkerem Maße als die Beiwerte cw und cA vom Anströmwinkel a ab, wie aus Tafel 41 deutlich abzulesen ist. So steigt z. B. der cw-Wert bei einem Anströmwinkel a = 25° auf Werte von ca. 0,4 …0,42, der Auftriebsbeiwert cA auf Werte von ca. 0,6…0,8, der Seitenkraftwert cS erreicht dagegen Werte von fast 1 bei langgestreckter Fahrzeugform. Auch beim Überholen anderer Fahrzeuge, bei Fahrten in Tunnels oder Geländeeinschnitten sowie beim Überfahren von Brücken entstehen unsymmetrische, z.T. instationäre Anströmverhältnisse, die eine ähnliche Vergröße-

rung der Beiwerte cw , cA und cS wie bei Seitenwindeinwirkung zur Folge haben. Das Fahrverhalten unter diesen besonderen Strömungsbedingungen ist nicht einfach zu beschreiben oder zu berechnen. Interessenten, die ihre Kenntnisse auf diesem speziellen Gebiet der Fahrzeugaerodynamik vertiefen wollen, wird die Lektüre der einschlägigen Fachliteratur, z.B. [4.183, 4.186] empfohlen. 4.10.4

Schwebegeschwindigkeit von Kugeln

Fällt ein Körper in einem Fluid im freien Fall, nimmt die Geschwindigkeit so lange zu, bis die Summe aus Gesamtwiderstand Fw und statischem Auftrieb FA gleich der Gewichtskraft G wird. Nach Erreichen dieses Gleichgewichtszustandes bleibt die Fallgeschwindigkeit konstant.

Umströmung von Körpern Bild 4.233 Seitenwindkraft an einem Fahrzeug

289

FS Draufsicht auf Fahrzeug

wF a

Fw

wS s

w re

Fahrtrichtung

Wenn man den kleinen Unterschied des Paradoxons von DU BUAT (Bild 4.214) vernachlässigt, kann man den gleichen Zustand des frei fallenden Körpers auch dadurch herstellen, indem man den Körper in einer vertikal nach oben gerichteten Parallelströmung mit der Anströmgeschwindigkeit w∞ gerade in der Schwebe hält (Bild 4.234). Am einfachen Beispiel der Kugel, die nur einen geometrischen Parameter hat, nämlich den Durchmesser d,

wird eine Gleichung zur Abschätzung der Grenzgeschwindigkeit w∞ abgeleitet, die gerade ausreicht die Kugel im Gleichgewicht zu halten. An der Kugel greifen folgende Kräfte an: ❑ die Gewichtskraft G nach unten G = m · g = rk · V · g ❑ der statische Auftrieb FA, der nach oben wirkt, wird nach Gleichung 2.36 berechnet FA = r · g · V ❑ der dynamische Gesamtwiderstand Fw ergibt sich aus Gleichung 4.283 r Fw = cw · 3 · w∞2 · ASt 2 Das Kugelvolumen beträgt: p V = 3 · d3 6 und die Stirnfläche: p ASt = 3 · d 2 4 Aus dem Kräftegleichgewicht G = FA + Fw ergibt sich folgende Beziehung für die Anströmgeschwindigkeit w:

Bild 4.234 Kugel in aufwärts gerichteter Strömung

r p p p cw · 3 · w∞2 · 3 · d 2 = rk · 3 · d 3 · g – r · 3 · d 3 · g 2 4 6 6

290

Inkompressible Strömungen r r rk cw · 3 · w∞2 = 4 · d · g – 3 · d · g 8 6 6 8 g · d w∞2 = 3 · 81 · (rk – r) 6 cw · r

冢

冣

4 g · d rk =3·8· 4–1 3 cw r

f 343 · d · c4g · 冢4rr – 1冣 6007

w∞ =

k

(Gl. 4.294)

w

Da cw i.Allg. eine Funktion der Reynolds-Zahl w∞ · d Re = 0 und der relativen Rauigkeit k/d n ist, muss w∞ durch Iterationsrechnung unter Nutzung der Gleichungen 4.285 bis 4.289, der Bilder 4.224 oder 4.225 bzw. Tafel 38 bestimmt werden. Setzt man nach STOKES für kleine ReynoldsZahlen cw ≈ 24/Re (Gleichung 4.285) in Gleichung 4.294 ein, bekommt man einen sehr einfachen expliziten Ansatz zur Abschätzung von w∞:

冢

冣

4 g · w∞ · d rk w∞2 = 3 · d · 05 · 4 – 1 3 24 · n r

冢

冣

g d 2 rk w∞ = 4 · 4 · 4 – 1 r 18 n

(Gl. 4.295)

Dieser Beziehung liegt die Wirkungsweise der Kugelfall-Viskosimeter zugrunde (Abschnitt 6.6.2). Weitere Einzelheiten über die Schwebegeschwindigkeiten von Körpern beliebiger Form können beispielsweise in [4.187] nachgelesen werden.

4.11

Tragflügel

4.11.1

Einleitung

Tragflügel sind plattenförmige, ebene oder gekrümmte, meist stromlinienförmig verkleidete schlanke Körper, bei deren Umströmung in erster Linie dynamische Auftriebskräfte senkrecht zur Strömungsrichtung erzeugt werden sollen. Im Gegensatz zu den «nütz-

lichen» Auftriebskräften sollen die Widerstandskräfte in den meisten Anwendungsfällen möglichst klein sein. Die Kenntnis der Strömungs- und Kraftverhältnisse an Tragflügeln ist nicht nur für Flugzeugbauer von grundlegender Bedeutung, sondern interessiert auch den mit der Auslegung von Strömungsmaschinen-Beschaufelungen, Rührwerken, Stellklappen, Umlenkschaufeln und ähnlichen Aufgaben beschäftigten Ingenieur. Schon früh haben sich Erfinder und Strömungstechniker im Zusammenhang mit der Entwicklung von Flugapparaten mit der Wirkungsweise von Tragflügeln beschäftigt. Stellvertretend sei hier nur OTTO LILIENTHAL (s. Namensverzeichnis), einer der bekanntesten Flugpioniere, genannt [4.190, 4.191]. 4.11.2

Kurze Einführung in die Geschichte der Tragflügeltheorie

Überlagert man einer reibungslosen Parallelströmung um einen Kreiszylinder eine konzentrische Zirkulationsströmung um den Zylinder in Form eines Potentialwirbels (Bild 4.235), kombinieren sich die beiden Strömungen zu einer unsymmetrischen Strömung, die eine ungleichförmige Druckverteilung um den Zylinder und damit eine Querkraft FA hervorruft, die man auch als Auftriebskraft bezeichnen kann. Dieses Strömungsphänomen wurde zuerst von MAGNUS beschrieben, der es 1852 an einer sehr einfachen Versuchsvorrichtung (Bild 4.236) studierte, um die Abweichung der Flugbahnen von drallbehafteten Artilleriegeschossen bei unterschiedlichen Windstärken zu erklären [4.192]. MAGNUS (s. Namensverzeichnis) führte jedoch keine Geschwindigkeits-, Druck- und Kraftmessungen durch. Man bezeichnet das Auftreten der Auftriebskraft FA an einem angeblasenen rotierenden Zylinder auch als Magnus-Effekt. Der englische Physiker Lord RAYLEIGH (s. Namensverzeichnis) befasste sich etwas später mit dem verwandten Problem des Fluges rotierender Golf- und Tennisbälle im Wind [4.193], wobei er u.a. auch den Magnus-Effekt zur Erklärung heranzog.

Tragflügel w∞

291

und mit wu = u = r · w

G = 2 · p · w · r2 a) r

Zylinder in reibungsloser Parallelströmung

Nach dem Satz von KUTTA und JOUKOWSKY (s. Namensverzeichnis) kann der Auftrieb für reibungs- und ablösungsfreie Umströmung eines Tragflügels wie folgt berechnet werden [4.197, 4.198]: FA = r · w∞ · b · G

w

b)

wu · r = konst wu = r · w

Potentialwirbel Zylinder umgeben von einem Potenzialwirbel FA

w∞ c)

w

(Gl. 4.296)

wobei b die Breite des Tragflügels ist. Gleichung 4.296 lässt sich durch folgende einfache Überlegungen leicht herleiten: Der Druckunterschied zwischen Oberseite (Saugseite) und Unterseite (Druckseite) kann nach der Gleichung von BERNOULLI ausgedrückt werden (Bild 4.238). r pu – po = 3 · [(w∞ + Dw)2 – (w∞ – Dw)2 ] 2 pu – po = 2 · r · w∞ · Dw Daraus kann der Auftrieb bestimmt werden:

Potentialwirbel Zylinder in überlagerter Strömung aus Potenzialwirbel und Parallelströmung Parallelströmung und

FA = Ú (pu – po) · dA = 2 · r · w∞ · b Ú Dw · dl (A)

Bild 4.235

Zur Erklärung des Magnus-Effektes

Die Zirkulation G beträgt: 햳

Erst der französische Physikprofessor LAFAY führte 1910/11 auch genaue Strömungsfeld- und Kraftmessungen durch [4.194]. Der deutsche Schiffsbauingenieur A. FLETTNER hat erfolgreich den Magnus-Effekt zur Konstruktion seines Rotorschiffes genutzt [4.195; 4.196]. Auch beim Tragflügel kann man sich die Umströmung als Überlagerung von Parallelund Zirkulationsströmung vorstellen (Bild 4.237). Die Stärke des Zirkulationswirbels wird mit Zirkulation G bezeichnet und wie folgt mathematisch definiert:

G=

养 wÆu · ds

æÆ

Beim rotierenden Kreiszylinder beträgt damit die Zirkulation G :

G = 2 · p · r · wu

(A)

햲

햳

G = Ú Dw · dl – Ú Dw · dl = 2 · Ú Dw · dl 햲

햳

햲

Setzt man diesen Term in die obige Gleichung für den Auftrieb FA ein, erhält man die Gleichung von KUTTA/JOUKOWSKY : FA = r · w∞ · b · G Nach dem Impulssatz kann man den Auftrieb auch durch die quer zur Strömungsrichtung auftretende Impulsänderung ausdrücken: FA = m˙ · w^ = r · V˙ · w^

(Gl. 4.297)

wobei V˙ der vom Tragflügel erfasste Volumenstrom und w^ die Vertikalkomponente der Strömungsgeschwindigkeit w nach dem Tragflügel sind (Bild 4.237). Eine sehr gute Zusammenfassung der Tragflügeltheorie findet sich in [4.199 und 4.200].

292

Inkompressible Strömungen Bild 4.236 Die Versuchsanordnung von MAGNUS nach [4.195]

rotierender Kreiszylinder w∞

Druckverteilung am Zylinder Unterdruck – + Überdruck

r

w∞

w

+

– Unterdruck

Parallelströmung Bild 4.237

4.11.3

Zirkulationsströmung

zusammengesetzte Strömung

Zur Erklärung des Auftriebs an einem Tragflügel

Profilgeometrie

Die Kontur eines Tragflügelprofils wird entweder punktweise durch die Koordinaten der Ober-(Saug-)seite (Index o) und der Unter(Druck-)seite (Index u) in einem rechtwinkligen x-y-Koordinatensystem festgelegt (Bild 4.239) oder durch die Kontur einer Skelettlinie (Profilmittellinie) und einer überlagerten symmetrischen Dickenverteilung (Bild 4.240). Als Profilsehne bezeichnet man bei auf der Unterseite konkaven Profilen die Tangente an die Profilunterseite durch die Hinterkante

(Druckseitentangente) (Bild 4.239a). Bei beidseitigen konvexen oder symmetrischen Profilen ist die Profilsehne gleich der Verbindungslinie zwischen vorderem Nasenpunkt und Hinterkante (Bild 4.239b). Eine weitere Definition der Profilsehne ist die Verbindungsgerade zwischen der Hinterkante und dem Schnittpunkt der Skelettlinie mit der Profilnase (Bild 4.240). Bei Profilauslegungen und Berechnungen von Tragflügeln ist immer auf die verwendete Sehnendefinition zu achten!

Tragflügel

293

w∞ + Dw

po

f

y xd

– Dw

2

d

pu 1

x xf l Bild 4.240

Profilaufmessung

b

dA

dl

l Bild 4.238 Zur Ableitung der Formel von KUTTA/JOUKOWSKY

Bei der Festlegung der Profilgeometrie spielen folgende Parameter eine wichtige Rolle: l Profillänge = maximale Längenausdehnung des Profils d maximale Profildicke x d Dickenrücklage = Abstand der größten Profildicke d von der Profilnase f Profilwölbung (Pfeilhöhe) = größter Abstand der Skelettlinie von der Profilsehne x f Wölbungsrücklage = Abstand der größten Profilwölbung von der Profilnase

r Nasenradius = Radius des in die Profilnase einbeschriebenen Kreises Die Profilmittellinie (Skelettlinie) wird als Kreisbogen mit der Krümmung R ausgeführt oder aus Parabelsegmenten zusammengesetzt (z.B. bei NACA-Profilen: National Advisory Commitee for Aeronautics). Die Profilkennzeichnung, d.h. die Zuordnung der Profilgeometrie zur Bezeichnung («Namen») des Profils, wird leider sehr unterschiedlich gehandhabt, so sind zahlreiche Profile verschiedener Versuchsanstalten, z.B. von der AVA-Göttingen, nur nach Serien- oder Versuchsnummern gekennzeichnet. Nur die NACA-Profilsystematik gibt durch ihre Zahlen- und Buchstabenkombination die wichtigsten Profilparameter wie d, f, xf und die Form der Skelettlinie bekannt. Zum vertieften Studium der Profilgeometrie und der Profilsystematik wird neben [4.199 und 4.200] die in [4.201 bis 4.205] angegebene Literatur empfohlen. Weitere wichtige geometrische Parameter sind die Profilbreite b und die Flügelfläche AFl = l · b.

y

y

yo

yo

yu yu x r

r

x x

x Bild 4.239 Profilaufmessung

l a)

l b)

294

Inkompressible Strömungen

Den Schlankheitsgrad des Tragflügels drückt man durch das Seitenverhältnis ␭ = AF l /b2 aus, das sich für rechteckige Flügel (l = konst) zu l = l/b vereinfacht. Als Anstellwinkel ␣ bezeichnet man den Winkel zwischen Profilsehne und Anströmgeschwindigkeit w∞ . Da es 2 Definitionen für die Profilsehne gibt, gibt es auch 2 Anstellwinkeldefinitionen! 4.11.4

Kräfte am unendlich breiten Tragflügel (␭ = 0)

Um den weiter unten beschriebenen Einfluss der Flügelschlankheit des an beiden Enden offenen Tragflügels auf die Größe der wirkenden Strömungskräfte auszuschließen, wird der Flügel als unendlich breit angesehen, was man sich durch Einspannen des Profils zwischen 2 parallele feste Wände vorstellen kann (Bild 4.241). Die Umströmung des Tragflügels ist damit an jeder Stelle der Flügelbreite b gleich, d. h., der Auftrieb ist gleichmäßig über die Flügelbreite verteilt, da eine 1-dimensionale, ebene Strömung vorliegt. Am Tragflügel greifen die in Bild 4.242 eingetragenen Kräfte an: a) senkrecht zur Strömungsrichtung der Auftrieb FA r FA = ca · 3 · w∞2 · A Fl 2

c) die sich aus beiden Kräften zusammensetzende Resultierende FR 2 FR = d60 FA2 + F W

(Gl. 4.300)

In der Praxis ist es manchmal erforderlich, die Resultierende FR in Komponenten senkrecht und parallel zur Profilsehne zu zerlegen, z.B. bei der Berechnung der Festigkeit und Schwingungseigenschaften von Axialschaufeln in Strömungsmaschinen [4.206]:

gleichmäßig verteilter Auftrieb

l

b

w∞

Bild 4.241 Auftriebsverteilung an einem zwischen 2 Wänden eingespannten Tragflügel

(Gl. 4.298) FT FR

FA

ca dimensionsloser Auftriebsbeiwert r Fluiddichte w∞ Anströmgeschwindigkeit A Fl = b · l Flügelfläche

FN a

b) in Strömungsrichtung der Widerstand FW N

r FW = cw · 3 · w∞2 · A Fl 2

cw dimensionsloser Widerstandsbeiwert

s

D

a

w∞

(Gl. 4.299)

l

Bild 4.242

F′

FW

Kräfte am Tragflügel

Tragflügel

Andererseits ergibt sich das Moment M aus der Normalkraft FN und ihrem Abstand s vom Drehpunkt N (Nasenfußpunkt):

d) Normalkraft FN : FN = FA · cos a + FW · sin a

295

(Gl. 4.301)

M = FN · s e) Tangentialkraft FT : FT = FW · cos a – FA · sin a

Da der Anstellwinkel a i.Allg. sehr klein ist, kann mit guter Näherung FN ≈ FA gesetzt werden. r M ≈ FA · s = ca · 3 · w∞2 · A Fl · s 2

(Gl. 4.302)

Die dimensionslosen Beiwerte ca und cw hängen vor allem von der Profilform, von der Rauigkeit der Profiloberfläche, vom Anstellwinkel a und von der Reynolds-Zahl Re ab, was weiter unten noch ausführlich beschrieben wird. Die Lage des Kraftangriffspunktes D wird über das von den Strömungskräften auf den Tragflügel ausgeübte Drehmoment bestimmt. Das auf den Flügel wirkende Moment M ergibt sich einerseits aus der auf die Flügelhinterkante wirkende virtuelle Kraft F¢ (Bild 4.243):

Durch Gleichsetzen der beiden Ausdrücke für M ergibt sich eine einfache Beziehung für den Abstand s: r r ca · 3 · w∞2 · A Fl · s ≈ cm · 3 · w∞2 · A Fl · l 2 2 cm s≈ 4·l ca

(Gl. 4.303)

Der Momentenbeiwert cm ist ähnlich wie die Beiwerte ca und cw von der Profilgeometrie, vom Anstellwinkel a und der Reynolds-Zahl Re abhängig.

M = F¢ · l F¢ wird in Anlehnung an Gleichung 4.298 wie folgt definiert:

4.11.5

r F¢ = cm · 3 · w 2∞ · AFl 2

Druckverteilung am Profil

Infolge der unsymmetrischen Umströmung des Tragflügels sind die Strömungsgeschwindigkeiten auf der Profiloberseite größer als auf der Profilunterseite, was zu einem Unterdruckgebiet (Soggebiet) an der Oberseite (Saugseite) und zu einem Überdruckgebiet (Druckpolster) auf der Unterseite (Druckseite) führt.

daraus ergibt sich folgender Ausdruck für das Moment M: r M = cm · 3 · w 2∞ · AFl · l 2 cm wird als Momentenbeiwert bezeichnet.

M FN N

w

∞

N

b

s

M l

Bild 4.243 Momente an einem Tragflügel

296

Inkompressible Strömungen

Trägt man den jeweiligen Druckunterschied gegenüber dem Druck p∞ in der ungestörten Anströmung, bezogen auf den Staudruck r/2 · w∞2 über dem Tragflügel, erhält man etwa die in Bild 4.244 dargestellte dimensionslose Druckverteilung. Die Druckverteilung kann beispielsweise in Windkanalversuchen gemessen werden. örtlicher Druck p

Oberseite (S

p∞

augseite)

w∞

Unterseite (Druckseite)

+1 p – p∞ 0 Cp = r 2 –1 w∞ 2 –2

+ –

–3 Bild 4.244

l

a Überdruck auf der Unterseite (Druckseite)

Unterdruck (Sog) auf der Oberseite (Saugseite)

Druckverteilung am Tragflügel

+

Die auf der Saugseite entstehenden Unterdrücke haben ihr Maximum in der Nähe der Flügelnase und können bei großen Anstellwinkeln bis zum 2- oder 3fachen Wert des Staudruckes r/2 · w∞2 ansteigen. Die Druckverteilung hängt sehr stark vom Anstellwinkel a ab (Bild 4.245). In [4.199] sind zahlreiche gemessene Druckverteilungen gängiger Göttinger- und NACA-Profile angegeben. Der Auftrieb FA entsteht zum überwiegenden Teil, ca. zu 2/3 bis zu 3/4 , aus der Sogwirkung der Profiloberseite. Wird das Profil von Flüssigkeit umströmt (Wasserturbinen, Kreiselpumpen, Schiffsschrauben, Kufen von Tragflügelbooten), so kann dieser große Unterdruck zur gefürchteten Kavitation führen. Unter Kavitation versteht man dabei die Erscheinung, dass sich in den Unterdruckgebieten Dampfblasen bilden, die dann in stromabwärts liegenden Bereichen wieder schlagartig in Form einer Implosion zusammenfallen [4.22].

–

+ + – +

a = –10°

a)

a = 0°

b)

– –

+

c) Bild 4.245

+

+ a = +10°

d)

+ 15° > a krit

Druckverlauf um ein Flügelprofil bei verschiedenen Anstellwinkeln nach [4.207]

Tragflügel Tritt an einem Profil Kavitation auf, so löst sich die Strömung teilweise von der Profilwand ab, was zu einem erheblichen Wirkungsgradabfall führen kann, außerdem kann durch die hohen Spitzendrücke der Implosionsschläge das Gefüge des Schaufelwerkstoffes zerrüttet und Material herausgeschlagen werden. 4.11.6

Polardiagramm

In einem Polardiagramm sind für ein bestimmtes Profil mit einem gegebenen Seitenverhältnis l die dimensionslosen Beiwerte ca , cw und häufig auch cm in Abhängigkeit vom Anstellwinkel a dargestellt. Als eigentliche Polare bezeichnet man die Kurve ca = f (cw) oder die Funktion ca = f (a). Die Form der Polare hängt von der Makround Mikrogeometrie des Profils, vom Seitenverhältnis l und von der Reynolds-Zahl Re ab. In der Praxis sind 2 Darstellungsarten von Polardiagrammen in Gebrauch. a) Polardiagramm nach LILIENTHAL Nach einem bereits von OTTO LILIENTHAL [4.190, 4.191] angegebenen Verfahren wird der Auftriebsbeiwert ca sowohl als Funktion des Widerstandsbeiwertes cw (rote Kurve in Bild 4.246) als auch Funktion des Momentenbeiwertes cm (blaue Kurve in Bild 4.246) aufgetragen. Der zu den jeweiligen ca-, cw- und cm-Werten gehörende Anstellwinkel a ist punktweise angegeben. Mit zunehmendem Anstellwinkel a nimmt der Auftriebsbeiwert ca bis zu seinem Maximalwert ca max zu. Bei Überschreiten des zu ca max gehörenden Anstellwinkels fällt der Auftriebsbeiwert wieder ab. Die Strömung reißt auf der Profilsaugseite ab. In vielen Profiltabellenbüchern, z. B. in [4.199] wird ca max für die untersuchten Profile besonders angegeben. Bei kleineren Anstellwinkeln kann der Auftriebsbeiwert negativ werden, wobei beim größten negativen Auftriebsbeiwert ca min ebenfalls Ablösung auftritt, allerdings auf der Profildruckseite. Bei einem bestimmten Anstellwinkel, dem sog. Null-Anstellwinkel ␣ 0 wird der Auftriebsbeiwert ca gleich 0, da sich die Druckkräfte auf der Saugseite mit den

297

Druckkräften auf der Druckseite gegenseitig aufheben. Der Null-Anstellwinkel wird ebenfalls in den Profilhandbüchern angegeben. Das Polardiagramm wird üblicherweise im verzerrten Maßstab aufgezeichnet, wobei häufig der cw-Maßstab 10-mal und der cmMaßstab 2-mal größer als der ca-Maßstab ist. Den Winkel, den eine vom Nullpunkt zu einem beliebigen Polarenpunkt eingetragene Gerade mit der ca-Achse einschließt bezeichnet man als Gleitwinkel g, den zugehörigen Tangens als Gleitzahl e. cw tan g = e = 4 ca

(Gl. 4.304)

Je kleiner die ebenfalls vom Anstellwinkel a abhängende Gleitzahl e ist, desto geringer ist der Widerstand FW , bezogen auf den Auftrieb FA . So geht die Gleitzahl e direkt in den Wirkungsgrad axialer Turbomaschinenbeschaufelungen ein [4.205, 4.206]. Man kann sich den Gleitwinkel g sehr anschaulich als den Winkel vorstellen, mit dem der Tragflügel im Gleitflug gegen die Horizontale bei Windstille zu Boden gleiten würde

Bild 4.246

Polardiagramm nach LILIENTHAL

298

Inkompressible Strömungen

FR

g

In der Literatur finden sich viele theoretische und empirische Gleichungen zur Berechnung bzw. Abschätzung des Auftriebsbeiwertes ca , selten auch für den Widerstandsbeiwert cw bzw. die Gleitzahl e. So wird z.B. für das in Tafel 42 dargestellte Profil Gö 623 die empirische Gleichung

FA

Fw

a

g

Horizontale Bew

w∞ gsric htun

egun

ymax ca ≈ 4,0 · 7 + 0,092 · a ° l

g

(Gl. 4.305)

G

angegeben (Achtung: Anstellwinkel a in Grad einsetzen!). Für überschlägige Abschätzungen kann der theoretische Auftriebsbeiwert für unendliche Flügelbreite (l = 0) und reibungsfreie Umströmung von Profilen aus Tabelle 4.44 entnommen werden. Der reale Auftriebsbeiwert ca liegt je nach Profilform und Anstellwinkel ca. 5…20% unter dem theoretischen Wert ca, th .

Bild 4.247 Erklärung des Gleitwinkels g anhand der Kräfteverhältnisse beim Gleitflug nach [4.56]

(Bild 4.247). Dabei ist der Gleitwinkel gleichzeitig auch der Winkel zwischen Auftrieb FA und Resultierender FR . Die Polaren sind fast ausschließlich die Ergebnisse von Windkanalmessungen. So basieren z. B. die Tabellen und Kurvenblätter in [4.199] hauptsächlich auf Messungen der Göttinger Windkanäle, der NACA-Windkanäle und einiger britischer Windkanäle [4.201 und 4.203] enthalten auch Ergebnisse des Stuttgarter Windkanals. Tabelle 4.44

b) Aufgelöstes Polardiagramm Im aufgelösten Polardiagramm (Bild 4.248) werden Auftriebsbeiwert ca , Widerstandsbeiwert cw , Momentenbeiwert cm , manchmal auch die Gleitzahl e als Funktionen des An-

Theoretische Auftriebsbeiwerte (nach [4.56])

ebene Platte

Kreisbogenprofil

Tragflügel

l

l

w∞

a

w∞

d

l

f

b

a w∞

xd

a

ca, th = 2 · p · sin a R

f ca, th = (7,5…9,4) 3 + 0,094 · a° l xd Beiwert 7,5 für 4 = 0,3 l

2·b

xd Beiwert 9,4 für 4 = 0,5 l

冢

b ca, th = 2 · p · sin a + 3 2

冣

Tragflügel Bild 4.248 Aufgelöstes Polardiagramm

ca cw cm e

ca max

c

= a

f (a

)

cm =

f (a )

cw=

f (a

)

e=

–a a0

299

f (a )

cw min

+a

0

ca min

stellwinkels a dargestellt. Diese Darstellungsart hat den Vorteil, dass sich der Anstellwinkel a für jeden beliebigen Beiwert exakt ablesen lässt, während man beim Lilienthal’schen Polardiagramm zwischen den eingetragenen aPunkten interpolieren muss. Das aufgelöste Polardiagramm wird vor allem bei Schaufelgitterberechnungen im Strömungsmaschinenbau benutzt. Man erkennt in Bild 4.248, dass sich der Auftriebsbeiwert ca in einem weiten Bereich linear mit dem Anstellwinkel a ändert (vgl. auch Gleichung 4.305). In Tafel 42 im Anhang des Buches ist für Übungszwecke das Polardiagramm des Tragflügels Gö 623 in der Lilienthal’schen Form und in der nach dem Anstellwinkel a aufgelösten Form dargestellt. Zusätzlich sind die Koordinaten yo und yu der Profilkontur als Funktionen von x angegeben. c) Einfluss der Profilgeometrie auf die Polare Die Profilgeometrie, insbesondere die relative Wölbung f/l, die relative Profildicke d/l, die relative Dickenrücklage x d/l, die relative Wölbungsrücklage x f/l, der Nasenradius r und die Schärfe (Winkel) der Hinterkante haben einen entscheidenden Einfluss auf den qualitativen und quantitativen Verlauf der Polaren. In [4.199 und 4.207] sind die verschiedenen Einflüsse ausführlich beschrieben und in Diagrammen bzw. mathematischen Gleichungen anschaulich dargestellt.

Der große Einfluss des Dickenverhältnisses d/l symmetrischer Profile kann aus Bild 4.249 ersehen werden, Bild 4.250 zeigt den Einfluss des Wölbungsverhältnisses f/l bei konstantem Dickenverhältnis d/l = 0,12. Aus Bild 4.251 kann man die Bedeutung der relativen Dickenvorlage xd/l an einem symmetrischen NACA-Profil erkennen. Durch das Anbringen von Klappen an der Profilhinterkante oder Vorflügeln an der Profilnase können die Auftriebsbeiwerte ca erheblich gesteigert werden, allerdings auf Kosten der Widerstandsbeiwerte cw . Nur so ist es möglich Flugzeuge zu starten und zu landen. d) Einfluss der Oberflächenrauigkeit auf die Polare Der Verlauf der Polaren ändert sich mit der Oberflächenbeschaffenheit. Die Oberseite des Flügels, die ja bekanntlich den größten Teil des Auftriebs erzeugt, durch den im Unterdruckgebiet über der Profilwölbung wirkenden Sog, ist wesentlich empfindlicher gegen eine Vergrößerung der Rauigkeit als die als Druckseite wirkende Profilunterseite, wie es in Bild 4.252 rein qualitativ dargestellt ist. Wieviel der Auftriebsbeiwert ca im konkreten Einzelfall wirklich abnimmt und der cwWert zunimmt kann am Beispiel des NACAProfils NACA 0012 aus Bild 4.253 abgelesen werden. Besonders empfindlich gegen Aufrauung ist die Flügelnase, während sich eine Zu-

300

Inkompressible Strömungen

1,2

Dickenverhältnis d /l 0,15

1 1

1,0 2

l

0,8

3

ca

0,6

2

0,10

3

0,05

4

0,4

l=0 0,2

ebene Platte 4

0 0

0,02

0,04 cw

0,06

~0

0,08

Bild 4.249

Polare bei verschiedenen Dickenverhältnissen nach [4.207]

Bild 4.250

Polare bei verschiedenen Wölbungsverhältnissen nach [4.207]

nahme der Rauigkeit in der Flügelmitte oder am Flügelende weniger stark bemerkbar macht (Bild 4.254). Deshalb muss beim Bau von Flugzeugen und von Lauf- und Leiträdern von Strömungsmaschinen dafür Sorge getragen werden, dass die Oberflächenrauigkeit im Bereich der Profilnase möglichst klein

ist. Weiterhin ist dafür zu sorgen, dass die Oberfläche im Bereich der Profilnase besonders gut gegen Verschleiß, z.B. durch Kavitation oder Abrieb und gegen Anbackungen geschützt ist, z.B. durch besondere Oberflächenhärte oder einen Schutzauftrag. In diesem Zusammenhang muss auch auf die Gefahr der

Tragflügel + 1,5 1 2 3

+ 1,0

301

Lage der größten Dicke in % der Flügeltiefe xd /l NACA 0010 dmax

1

+ 0,5

30 %

xd l

ca

0

Re = 9 · 108 l=0

– 0,5

NACA 0010-34 2

– 1,0

40 %

NACA 0010-35 dmax

3

– 1,5 0 Bild 4.251

dmax

50 %

0,005 0,01 0,015 0,02 cw

Polare bei verschiedenen Dickenrücklagen nach [4.207]

1,6 glatter Flügel

glatt

raue Unter(Druck)seite

–5

1,2 k/

l=

–5

ite

0

)se

ig

eit

0,8

l=

u

ra

k/

ra

ca

ca

r(S

be

12

·1

g au

O ue

10 5·

s all

0,4 cw Bild 4.252 Einfluss der Flügelrauigkeit auf die Polarenform

Flügelvereisung an Tragflächen, Leitwerken, Luftschrauben, Triebwerkseinläufen usw. hingewiesen werden. An dieser Stelle soll aber auch erwähnt werden, dass bestimmte mikroskopische kleine Oberflächenstrukturen, wie sie z.B. in der Haut von Fischen vorkommen, dazu geeignet sind den Widerstandsbeiwert cw deutlich zu senken.

0 0

0,02 cw

0,04

Bild 4.253 Polare bei verschiedenen Rauigkeiten nach [4.199]

e) Einfluss der Reynolds-Zahl auf die Polare Die in den verschiedenen Abbildungen des Buches dargestellten Polaren gelten jeweils nur für bestimmte Reynolds-Zahlen. Ändert sich die Reynolds-Zahl, ändert sich auch der

302

Inkompressible Strömungen

qualitative und quantitative Verlauf der Polaren. Die Reynolds-Zahl eines Tragflügels ist wie folgt definiert: w∞ · l Re = 0 n

(Gl. 4.306)

Bei Profilen mit glatten Oberflächen ist der Einfluss der Reynolds-Zahl auf die Polarenform größer als bei Profilen mit rauer Oberfläche (Bild 4.255), mit steigender ReynoldsZahl nimmt der Auftriebsbeiwert ca von glatten Tragflügeln deutlich zu. Einfache, ebene oder gewölbte Platten zeigen eine relativ geringe Abhängigkeit der Polarenform von der Reynolds-Zahl, während die Polarenkurve von glatten Tragflügeln verhältnismäßig stark von der Reynolds-Zahl abhängt (Bild 4.256).

rau lmitte

glatter

Flügel

Flügelende rau

se

na gel

Flü

Flüge Na

se

ca

rau

4.11.7

Mitte

cw

ca

ca

ca

ca cw

cw Zunahme von Re

Induzierter Widerstand

Bei Tragflügeln mit endlicher Breite b, d.h. ohne seitliche Begrenzungswände, findet an den Flügelenden ein Druckausgleich zwischen dem Überdruckgebiet auf der Flügeldruckseite und dem Unterdruckgebiet auf der Flügelsaugseite statt, der zu einem Auftriebsverlust führt (Bild 4.258).

Ende

Bild 4.254 Einfluss der Flügelrauigkeit an verschiedenen Flügelstellen auf die Polarenform

cw

Interessant ist auch die sehr unterschiedliche Abhängigkeit der Gleitzahl e = cw /ca von der Reynolds-Zahl der verschiedenen Profilausführungen (Bild 4.257). Bei kleinen Reynolds-Zahlen ist die Gleitzahl von vollprofilierten Tragflächen größer als die Gleitzahl von einfachen, ebenen oder gewölbten Platten! Erst bei Reynolds-Zahlen über 60 · 103…100 · 103 liegen die Gleitzahlen von Platten über den Gleitzahlen von profilierten Tragflügeln. Diese Erkenntnis ist sehr wichtig bei der Auswahl von Profilen im Strömungsmaschinenbau. Bei niedrigen Reynolds-Zahlen, sei es infolge kleiner Drehzahlen oder infolge kleiner Abmessungen, lohnt es sich nicht, die Schaufelgitter mit profilierten Schaufeln auszustatten, da einfache Platten nicht nur kostengünstiger herzustellen sind, sondern auch bessere Wirkungsgrade haben. Wenn man trotzdem bei kleinen Strömungsmaschinen, z.B. bei kleinen Ventilatoren, profilierte Schaufeln antrifft, so hat dies meist akustische Gründe. Durch die Betrachtung von Bild 4.257 versteht man auch die Ausformung der Flügel von Insekten, kleinen Vögeln oder Saalflugzeugmodellen.

glatter Flügel rauer Flügel

cw

Bild 4.255 Einfluss der Reynolds-Zahl auf die Polare

Tragflügel Re g

roß

Re

l

Re k

itte

Re

ß

lein

n

klei

gekrümmte

ca

ca

m Re

gro

Platte Tragflügel cw

cw

Bild 4.256 Unterschiedlicher Einfluss der Reynolds-Zahl auf die Polaren von Tragflügel und gekrümmten Platten Tragflügel

303

Die Umströmung der Flügelenden quer zur Flügelbreite von der Druck- zur Saugseite erzeugt an beiden Flügelenden ein Randwirbelpaar, das einen zusätzlichen Abwind zur Folge hat. Die in diesem Abwind enthaltene kinetische Energie ist nach dem Impulssatz gleichbedeutend mit einem weiteren Energieverlust, der zu dem durch Form- und Reibungswiderstand verursachten Energieverlusten hinzukommt. Man bezeichnet diesen zusätzlichen Verlust als induzierten Widerstand Fwi . Die Größe des induzierten Widerstandes lässt sich wie die anderen am Tragflügel angreifenden Kräfte über den Staudruck der Anströmgeschwindigkeit und die Flügelfläche ausdrücken: r Fw = cwi · 3 · w∞2 · A Fl 2

(Gl. 4.307)

Für rechteckige, unverwundene Flügel (l = konst) mit elliptischer Auftriebsverteilung beträgt der Beiwert cwi nach PRANDTL [4.209]: e

ebe ne P latte

c 2a cwi = 5 · l p

gewö

(Gl. 4.308)

lbte P

latte

60… 80 · 10 3 Re Bild 4.257 Einfluss der Reynolds-Zahl auf die Gleitzahlen e von Tragflügeln und ebenen bzw. gekrümmten Platten

Für andere Flügelformen mit nichtelliptischer Auftriebsverteilung hängt der Beiwert cwi außer von c 2a und l noch von der Flügelform, Flügelpfeilung, von der Auftriebsverteilung, von der Flügelverwindung und von der Gleitzahl ab [4.207]. Anf

ahr

wirb

elliptische Auftriebsverteilung Auftriebsverlust

el

d

win

Ab

pf

lzo

Bild 4.258 Wirbel hinter einem Tragflügel mit endlicher Breite

nd

Ra

b w∞

be wir

l

304

Inkompressible Strömungen ln

im

o

m

cw

tz

l kl ein

u

cwi =

f (c

a)

l = konst

ca

roß

cwi

cwo

ca

lg

cwi Bild 4.259 Beiwert cwi des induzierten Widerstandes

cw Bild 4.260

Stellt man cwi als Funktion von ca mit dem Seitenverhältnis l als Parameter in einem Lilienthal’schen Polardiagramm dar, erhält man eine Schar Parabeln, die mit abnehmendem Seitenverhältnis l immer steiler verlaufen (Bild 4.259). Bei einem endlich breiten Tragflügel mit dem Seitenverhältnis l kommt zum induzierten Widerstand noch der Druck- und Reibungswiderstand hinzu, die zusammengefasst durch den Widerstandsbeiwert cwo berücksichtigt werden. Der für den Gesamtwiderstand nach Gleichung 4.299 maßgebende Gesamtwiderstandsbeiwert cw setzt sich demnach aus dem vom Seitenverhältnis unabhängigen Widerstandsbeiwert cwo für den Druck- und Reibungswiderstand und dem Widerstandsbeiwert cwi für den induzierten Widerstand zusammen. cw = cwo + cwi

(Gl. 4.309)

Aus der Polaren eines Flügels mit einem bestimmten Seitenverhältnis (Bild 4.260) erkennt man deutlich, wie der mit zunehmendem Auf-

Polare des endlich breiten Tragflügels

triebsbeiwert ca ebenfalls zunehmende Widerstandsbeiwert cw in erster Linie wegen des Beiwertes cwi so stark wächst, während der Beiwert cwo einen geringeren Einfluss hat, da er weniger stark von ca abhängt. Ändert sich l, bleibt cwo unverändert. Man kann dann leicht ein neues Polardiagramm zeichnen, indem man nach Gleichung 4.308 die neue Parabel cwi = f (ca2 ) einträgt und die unveränderten cwo-Werte übernimmt. Den durch den induzierten Widerstand auftretenden Auftriebsverlust kann man dadurch wieder ausgleichen, dass man durch Vergrößern des Anstellwinkels a den Auftriebsbeiwert ca gegenüber dem Auftriebsbeiwert ca des Flügels mit dem Seitenverhältnis l = 0 vergrößert. Die erforderliche Vergrößerung des Anstellwinkels a beträgt für rechteckige Flügel mit elliptischer Auftriebsverteilung: ca -Da = 4 · l p

(Gl. 4.310)

5 5.1

Kompressible Strömungen

Einleitung

Die in Kapitel 4 betrachteten inkompressiblen Strömungsvorgänge setzen eine konstante Dichte bzw. ein konstantes Volumen der Fluide voraus. Während diese Voraussetzung für Flüssigkeitsströmungen in weiten Bereichen korrekt ist, können bei Strömungen von Gasen und Dämpfen erhebliche Druck-, Geschwindigkeits- und Temperaturänderungen auftreten, die zu nicht vernachlässigbaren Dichteänderungen führen. Derartige Strömungen sind kompressibel. Die Berücksichtigung der Kompressibilität der Gase und Dämpfe ist im Wesentlichen in folgenden Fällen notwendig: ❑ Große Höhenänderungen unter Einfluss der Erdschwere Für meteorologische Betrachtungen und Berechnungen in der Luft- und Raumfahrttechnik ist die genaue Kenntnis der Zustandsgrößen in der Erdatmosphäre erforderlich (vgl. Kapitel 3). ❑ Hohe Beschleunigungen Große Beschleunigungen bewegter Wände oder im Gas befindlicher Körper (z.B. bei Absperr- und Regelarmaturen) führen zu entsprechenden Druck-, Temperatur- und Dichteänderungen. Gleiches gilt auch für schnelle Ausbreitungsvorgänge wie Stoßwellen, Explosionen und Detonationen. ❑ Veränderliche Arbeitsräume des Fluids Bewegte Systemgrenzen (z.B. bei Kolbenund Verdrängermaschinen) ergeben Änderungen des Volumens und somit der Dichte. ❑ Große Temperaturunterschiede Durch Wärmeübertragungsvorgänge (z.B. innere Wärmeleitung im Fluid, Durchströmung nicht adiabater Systeme) resultieren aus den Temperaturänderungen ebenfalls nicht vernachlässigbare Dichteänderungen. Hierzu zählen auch Strömungsvorgänge mit inneren Wärmequellen aufgrund von chemischen Reaktionen, insbesondere von

Verbrennungsvorgängen sowie Mehrphasenströmungen mit Verdampfung bzw. Kondensation. ❑ Hohe Geschwindigkeiten der Gasströmung Bei der Innenströmung (z.B. in Rohrleitungen, an Behälteröffnungen oder in der Beschaufelung von Strömungsmaschinen wie Gas- und Dampfturbinen oder Verdichtern) entstehen große Druckunterschiede, die zu entsprechenden Dichteänderungen führen. Kompressible Außenströmungen ergeben sich bei der Umströmung von Körpern mit hohen Anströmgeschwindigkeiten z.B. in der Ballistik und bei Luft- und Raumfahrtanwendungen. Diese Strömungsmechanik der hohen Geschwindigkeiten wird häufig auch als Gasdynamik bezeichnet.

5.2

Schallausbreitung

Druckwellen, die von kleinen Druckstörungen herrühren, werden als Schallwellen bezeichnet und breiten sich mit Schallgeschwindigkeit aus. Die Schallgeschwindigkeit wurde nach LAPLACE für ideale Gase unter der in sehr guter Näherung zutreffenden Annahme einer isentropen Zustandsänderung in Abschnitt 1.3 folgendermaßen abgeleitet:

k·p dp f6 = f8= dr r 8

a=

a p k r Ri T

9

d95 k · Ri · T

(Gl. 5.1)

Schallgeschwindigkeit Druck Isentropenexponent Dichte individuelle Gaskonstante Temperatur

Als dimensionslose Kenngröße zur Beschreibung des Kompressibilitätseinflusses dient die nach dem österreichischen Physiker ERNST

306

Kompressible Strömungen

MACH (siehe Namensverzeichnis) benannte Mach-Zahl M. Die Mach-Zahl ist definiert als das Verhältnis der Strömungsgeschwindigkeit zur Schallgeschwindigkeit. w M=3 a

(Gl. 5.2)

Die Mach-Zahl erlaubt eine Einteilung in verschiedene Geschwindigkeitsbereiche, in denen die Strömung durch unterschiedliche physikalische Gesetzmäßigkeiten beschrieben wird. ❑ M < 0,3 Inkompressible Unterschallströmung (subsonic, incompressible) Für niedrige Mach-Zahlen ist die näherungsweise Betrachtung einer Gasströmung als inkompressibel für technische Genauigkeiten zulässig (s. auch Bild 5.6). Die bereits in Kapitel 4 angewendeten hydrodynamischen Grundgleichungen bleiben gültig. ❑ 0,3 ≤ M < 1 Kompressible Unterschallströmung (subsonic, compressible) Die bisher angewandten Grundgleichungen zur Beschreibung der Strömungsvorgänge reichen wegen der auftretenden Dichteänderungen nicht mehr aus; zusätzliche thermodynamische Beziehungen sind zu berücksichtigen (s. Abschnitt 5.3). ❑ M ª 1 Schallnaher oder transsonischer Bereich (transonic) Die Beschreibung schallnaher Strömungen ist häufig sehr komplex, da Über- und Unterschallgebiete gleichzeitig auftreten. ❑ 1 < M < 5 Überschallströmung (supersonic) Gegenüber Unterschallströmungen kehrt sich die Beziehung Fläche/Geschwindigkeit um; neue Strömungsphänomene wie Verdichtungsstöße und Prandtl-Meyer-Expansionen treten im Strömungsfeld auf (s. Abschnitte 5.7 und 5.8). ❑ M ≥ 5 Hyperschallströmung (hypersonic) Die Gasmoleküle dissoziieren und ionisieren; das Gas kann nicht mehr als ideales Gas behandelt werden. Solche Hochgeschwindigkeitsströmungen treten z.B. bei Raketen und beim Wiedereintritt von Flugkörpern in die Erdatmosphäre auf. Hyperschallvorgänge werden in diesem Buch nicht näher betrachtet.

Für die Schallausbreitung treten abhängig von der Geschwindigkeit der Störquelle, von der die Druckwelle ausgeht, die in Bild 5.1 dargestellten 4 verschiedenen Fälle a) bis d) auf: a) Die Störquelle befindet sich in Ruhe. Die Wellenfronten breiten sich gleichmäßig auf konzentrischen Kugelflächen im Raum aus. b) Die Störquelle bewegt sich mit Unterschallgeschwindigkeit. Stromauf der Schallquelle erfolgt eine Verdichtung der Wellenfronten, stromab eine Verdünnung. Hierdurch ändert sich die Frequenz der auf einen stehenden Beobachter einwirkenden Schallfronten. Diese Frequenzverschiebung wird nach ihrem Entdecker CHRISTIAN JOHANN DOPPLER (siehe Namensverzeichnis) als Doppler-Effekt bezeichnet und wird z.B. bei der Laser-Doppler-Anemometrie zur Geschwindigkeitsbestimmung genutzt (s. Abschnitt 6.2.4) c) Die Störquelle bewegt sich exakt mit Schallgeschwindigkeit. Die Druckstörungen können sich nur stromab ausbreiten. Stromauf bildet sich eine ebene Wellenfront, die als Schallmauer bezeichnet wird. In der Schallmauer überlagern sich die einzelnen Wellenfronten, so dass hier eine erhöhte Schallintensität zu verzeichnen ist. Stromauf der Schallmauer in der «Zone der Stille» sind keine Druckstörungen wahrzunehmen. d) Die Störquelle bewegt sich mit Überschallgeschwindigkeit. Da die Informationsausbreitungsgeschwindigkeit (Schallgeschwindigkeit) kleiner als die Geschwindigkeit der Störquelle ist, breiten sich die Schallwellen ausschließlich in einem stromab liegenden Bereich aus. Der Kegel, der die Kugelfronten der Schallwellen tangiert, wird als Mach’scher Kegel bezeichnet. Außerhalb dieses Kegels in der «Zone der Stille» treten keine Druckstörungen auf. Den halben Öffnungswinkel des Kegels nennt man den Mach’schen Winkel. a·t a 1 sin a = 8 = 4 = 4 w·t w M 1 sin a = 5 M

(Gl. 5.3)

Schallausbreitung

Bild 5.1

307

Ausbreitung von Druckwellen bei verschiedenen Geschwindigkeiten der Störquelle

Beispiel 35 Aufgabenstellung: An dem (im Jahr 2004 außer Dienst gestellten) Überschallverkehrsflugzeug Concorde tritt im Reiseflug in einer Flughöhe von H = 18 km ein Mach’scher Winkel a = 30° auf (Bild 5.2).

a) Wie groß ist die Fluggeschwindigkeit? b) Die Concorde überfliegt einen am Boden stehenden Beobachter. Welchen Weg L legt sie zurück, bis dieser Beobachter das Triebwerksgeräusch wahrnimmt?

308

Kompressible Strömungen 1 1 M = 0 = 02 = 2 sin a sin 30° Damit beträgt die Fluggeschwindigkeit nach Gleichung 5.2 w = M · a = 2 · 295,04 m/s = 590,08 m/s w = 2124 km/h

Bild 5.2

Beispiel 35

Lösung: a) Die Schallgeschwindigkeit beträgt in einer Höhe von 18 km nach Normatmosphäre (Tafel 29) a = 295,04 m/s. Nach Gleichung 5.3 ergibt sich folgende Mach-Zahl:

5.3

Grundgleichungen der 1-dimensionalen Stromfadentheorie

Für die kompressible, 1-dimensionale, stationäre Stromfadentheorie wird vorausgesetzt, dass die Strömungsgrößen in einem betrachteten Querschnitt A der Stromröhre konstant sind bzw. durch einen geeigneten repräsentativen Mittelwert beschrieben werden können. Eine detaillierte Beschreibung der 2und 3-dimensionalen stationären und instationären Strömung findet man in der weiterführenden Fachliteratur [5.1 bis 5.3]. 5.3.1

b) Der Beobachter kann das Triebwerksgeräusch erst wahrnehmen, wenn der Mach’sche Kegel mit dem halben Öffnungswinkel a seine Position erreicht. Somit folgt H 18 km L = 0 = 02 tan a tan 30° L = 31,2 km

m˙ = r · V˙ = r · w · A = konst m˙ = r1 · w1 · A1 = r · w · A = r2 · w2 · A2 Der Term m˙ 4=r·w A

Kontinuitätsgleichung

Nach dem Massenerhaltungssatz bleibt für eine stationäre Strömung der durch eine Stromröhre (Bild 5.3) fließende Massenstrom m˙ konstant. Er wird durch das Produkt von Dichte r und Volumenstrom V˙ beschrieben. Somit lautet die Kontinuitätsgleichung in ihrer integralen Form für kompressible Strömungen:

(Gl. 5.4)

Bild 5.3

Zur Kontinuitätsgleichung

(Gl. 5.5)

Grundgleichungen der 1-dimensionalen Stromfadentheorie wird hierbei als Massenstromdichte bezeichnet. Um bei bekanntem Querschnittsverlauf A = A(l) und gegebenen Anfangswerten r1 und w1 die an einer anderen Stelle einer Stromröhre herrschende Dichte r und Geschwindigkeit w zu berechnen, reicht Gleichung 5.4 allein nicht aus. Es muss eine weitere Information über die Zustandsänderung der Dichte r zur Verfügung stehen. Wendet man die Kontinuitätsgleichung für die stationäre Strömung auf ein System verzweigter Stromröhren an (Bild 5.4), ergibt sich aus der Bilanz der zu- und abfließenden Massenströme die einfache Beziehung: Âm˙ i, zu = Âm˙ i, ab = m˙ges

5.3.2

(Gl. 5.6)

Energiegleichung, Isentrope und Polytrope

In einer kompressiblen Strömung von Gas oder Dampf treten folgende Energieformen auf: ❑ potentielle Energie der Lage m·g·z ❑ potentielle Energie des Druckes m V·p=m·v·p=4·p r w2 ❑ kinetische Energie m·4 2 ❑ innere Energie m·u Gegenüber einer inkompressiblen Strömung ist die innere Energie des Fluids als zusätzli-

che Energieform mit zu berücksichtigen. Im Weiteren wird vorausgesetzt, dass der Strömung keine Wärme zugeführt oder entnommen wird: Man spricht hierbei von einem adiabaten Strömungsprozess. Weiterhin soll keine mechanische Energie zugeführt werden. Unter diesen Voraussetzungen muss folglich längs der Stromröhre die Summe aller Energien konstant bleiben: m w2 m · g · z + 3 · p + m · 5 + m · u = konst r 2 Mit der für stationäre Strömungen konstanten Masse m ergibt sich für die spezifischen Energien p w2 g · z + 3 + 5 + u = konst r 2

Verzweigtes (Rohr-)System

(Gl. 5.7)

Setzt man die Definition der spezifischen Enthalpie (s. Abschnitt 1.5.4) p h=u+p·v=u+4 r

(Gl. 5.8)

in Gleichung 5.7 ein, ergibt sich der Energiesatz der kompressiblen Strömung: w2 g · z + h + 5 = konst 2

(Gl. 5.9)

Der Energiesatz in dieser Form entspricht dem 1. Hauptsatz der Thermodynamik für ein offenes System ohne Wärme- und Arbeitsaustausch. Bei den meisten Gas- und Dampfströmungen ist die potentielle Energie der Lage vernachlässigbar klein gegenüber der Enthalpie und der kinetischen Energie, so dass schließlich folgt: w2 ht = h + 5 = konst 2

Bild 5.4

309

(Gl. 5.10)

Die Energiegleichung in dieser Form besagt, dass die spezifische Totalenthalpie h t, häufig

310

Kompressible Strömungen

auch als Ruheenthalpie, Stagnationsenthalpie, Gesamtenthalpie oder Kesselenthalpie bezeichnet, längs einer Stromröhre konstant bleibt. Die Totalenthalpie berechnet sich aus der Summe der (statischen) Enthalpie und der kinetischen Energie. Gleichung 5.10 gilt ❑ nur für stationäre Strömungen, ❑ nur unter Vernachlässigung der Erdschwere, ❑ nur für Strömungen ohne Energiezufuhr, ❑ für inkompressible und kompressible Fluide, ❑ für reibungsbehaftete und reibungsfreie Zustandsänderungen, ❑ für reale und ideale Gase.

Bild 5.5 illustriert allgemein die möglichen Zustandsänderungen einer beschleunigten Strömung und einer verzögerten Strömung im Enthalpie-Entropie-Diagramm (h-sDiagramm). Die für eine isentrope Zustandsänderung gültigen Werte sind hierbei mit dem Index s gekennzeichnet. Die sich isentrop einstellende Austrittsgeschwindigkeit w2, s entspricht somit der in Abschnitt 4.9.1 für inkompressible Strömungen mit wa¢ bezeichneten reibungsfreien Austrittsgeschwindigkeit. ❑ Beschleunigte Strömung (Expansion, w2 > w1) Aus der Erhaltung der Totalenthalpie ht folgt grundsätzlich ein Abfall der statischen

Beschleunigung

Verzögerung

w2, s > w2 > w1 M2, s > M2 > M1

w2 < w2, s < w1 M2 < M2, s < M1

T2, s < T2 < T1

T2 > T2, s > T1

h2, s p2 r2 Dh

h2 p2 r2 Dh

< h2 < h1 < p1 < r1 < Dhs Dh h1 – h2 hExpansion = 6 = 03 Dhs h1 – h2, s

Bild 5.5

(Gl. 5.11)

> h2, s > h1 > p1 > r1 > Dhs Dhs h2, s – h1 hKompression = 6 = 03 Dh h2 – h1

(Gl. 5.12)

Darstellung beschleunigter und verzögerter Strömungen im h-s-Diagramm

Grundgleichungen der 1-dimensionalen Stromfadentheorie Enthalpie und somit eine Verringerung von Druck und Temperatur. Für eine reibungsfrei angenommene Zustandsänderung (1 Æ 2,s) ergibt sich aus der adiabaten Prozessführung ein isentroper Verlauf (s = konst). Die reale Zustandsänderung (1 Æ 2) ist immer mit Reibungsverlusten verbunden, so dass für die Adiabate nach dem 2. Hauptsatz der Thermodynamik ein Entropieanstieg zu verzeichnen ist (s2 > s1). Da die reale Enthalpiedifferenz Dh also immer kleiner als die isentrope Enthalpiedifferenz Dhs ist, ergibt sich für den reibungsbehafteten Fall eine geringere Endgeschwindigkeit w2 als für die Isentrope mit w2,s. Die Verluste der reibungsbehafteten Expansionsströmung äußern sich in der erhöhten Temperatur T2 gegenüber der isentropen Prozessführung mit der Endtemperatur T2,s. ❑ Verzögerte Strömung (Kompression, w2 < w1) Aus der Erhaltung der Totalenthalpie ht folgt hier ein Anstieg der statischen Enthalpie. Die Zustandsänderungen (1 Æ 2,s) und (1 Æ 2) führen somit zur Druck- und Temperaturerhöhung. Im Vergleich zwischen isentroper und polytroper Kompression ergibt sich auch hier für die reale Zustandsänderung eine niedrigere Endgeschwindigkeit und höhere Temperatur als für die Isentrope. Bei sehr hohen Verlusten ist aufgrund des damit verbundenen starken Entropieanstiegs der Sonderfall einer verzögerten Strömung mit Druckabfall möglich (1 Æ 3)! Dieser Fall ist in der Praxis allerdings kaum relevant. Der Wirkungsgrad h solcher adiabater Strömungsprozesse wird durch die isentrope Enthalpieänderung Dhs und die tatsächliche Enthalpieänderung Dh beschrieben. Nimmt man als weitere Voraussetzung ein ideales Gas mit konstanter spezifischer isobarer Wärmekapazität cp an, so kann von der Enthalpieänderung direkt auf die Temperaturänderung geschlossen werden: h1 – h2 = cp · (T1 – T2)

(Gl. 5.13)

311

Die spezifische isobare Wärmekapazität kann für das ideale Gas durch den Isentropenexponenten k und die individuelle Gaskonstante beschrieben werden.

k · Ri cp = 9 k–1

(Gl. 5.14)

Angewendet auf Gleichung 5.10 ergibt sich für die Totaltemperatur bzw. das Verhältnis von Totaltemperatur zu statischer Temperatur:

k – 1 w2 w2 Tt = T + 8 = T + 8 · 8 2 · cp 2 k · Ri Tt k–1 w2 k – 1 w2 4 = 1 + 8 · 86 = 1 + 8 · 5 T 2 k · Ri · T 2 a2 Tt k–1 2 4=1+8·M T 2

(Gl. 5.15)

Aus dieser Formulierung des Energieerhaltungssatzes geht hervor, dass das Verhältnis von Totaltemperatur zu statischer Temperatur eines idealen Gases nur von dem Isentropenexponenten k und der Mach-Zahl M abhängt. Die Totaltemperatur Tt ist anschaulich zu erklären als die Temperatur, die sich bei der Verzögerung einer Strömung bis auf die Geschwindigkeit 0, z.B. im Staupunkt eines Flugkörpers, einstellt. Diese Formulierung macht deutlich, dass bei hohen Mach-Zahlen z.B. beim Wiedereintritt von Flugkörpern in die Erdatmosphäre sehr hohe Staupunkttemperaturen auftreten können, die spezielle Schutzmaßnahmen wie Hitzeschilde erforderlich machen.

Für Strömungsprozesse idealer Gase ohne Energiezufuhr bleibt die Totaltemperatur in einer Stromröhre konstant.

312

Kompressible Strömungen

Beispiel 36 Aufgabenstellung: Welche Staupunkttemperatur ergibt sich für den in Beispiel 35 berechneten Flugzustand der Concorde (k = 1,4)? Lösung: Die Temperatur beträgt in der Flughöhe von 18 km nach Normatmosphäre (Tafel 29) T =

Zur näheren Beschreibung der in Bild 5.5 dargestellten Expansions- und Kompressionsströmung werden die aus der Thermodynamik bekannten Beziehungen für isentrope und polytrope Zustandsänderungen im Folgenden zusammengefasst: ❑ Isentrope p = konst p · vk = 4 rk

(Gl. 5.16)

v2, s r1 p1 2k1 = = 6 6 5 p2 v1 r2, s

(Gl. 5.17)

k–1 T2, s p2 6 k 6= 5 p1 T1

(Gl. 5.18)

















Tt = 390 K (ª 117°C)

n–1 T2 p2 6 n 5= 5 p1 T1




(Gl. 5.22)

mit dem Polytropenexponenten










p2 p2 ln 4 ln 4 p1 p1 n = 03 = 000 p2 T2 v1 ln 4 ln 4 – ln 4 v2 p1 T1

(Gl. 5.23)

Isentrope und Polytrope sind durch die in den Gleichungen 5.11 und 5.12 definierten Wirkungsgrade miteinander verknüpft: h2 = h1 – hExpansion · (h1 – h2, s) bzw.

mit dem Isentropenexponenten cp k=4 cv

216,65 K. Mit der Flugmachzahl M = 2 ergibt sich für die Totaltemperatur nach Gleichung 5.15 k–1 Tt = T · 1 + 9 · M 2 2 1,4 – 1 Tt = 216,65 · 1 + 93 · 22 2

1 h2 = h1 – 053 · (h1 – h2, s) hKompression und somit

(Gl. 5.19)






T2, s T2 h2 5 = 4 = 1 – hExpansion · 1 – 7 bzw. T1 T1 h1






T2 h2 1 T2, s 5 = 4 = 1 – 053 · 1 – 7 T1 h1 hKompression T1

❑ Polytrope p p · vn = 4n = konst r v2 r1 p1 2n1 5=5= 5 p2 v1 r2




(Gl. 5.20)

Mit den Gleichungen 5.18 und 5.22 folgt







T2 n–1 p2 ln 5 = 9 · ln 4 T1 n p1 (Gl. 5.21)




T2 n–1 ln 5 = 9 · ln T1 n

k T2, s 6 k–1 7 T1


 

Grundgleichungen der 1-dimensionalen Stromfadentheorie und damit für die Expansion








T2, s ln 1 – hExpansion · 1 – 6 n–1 T1 9 = 999092 k n T2, s 6 k–1 ln 7 (Gl. 5.24) T1


 

k–1 p2 5 k ln 1 – hExpansion · 1 – 5 n–1 p1 9 = 9990927 n p2 ln 5 p1 (Gl. 5.25)





   

bzw. für die Kompression





 



1 T2, s ln 1 – 042 · 1 – 6 n–1 hKompression T1 9 = 999094 k n T2, s 6 k–1 ln 7 (Gl. 5.26) T1 k–1 1 p2 5 k ln 1 – 043 · 1 – 5 n–1 hKompression p1 9 = 9990920 n p2 ln 5 p1 (Gl. 5.27)





 

 

Bild 5.6 Dichteänderung kompressibler Fluide

313

Die Anwendung der Gleichungen 5.17 und 5.18 auf den Energiesatz Gleichung 5.15 ergibt die für isentrope Strömungen häufig benötigten Zusammenhänge: k k pt Tt 6 k–1 k–1 k–1 2 6 = 1 + · M (Gl. 5.28) = 8 4 5 p T 2









1 1 rt Tt 6 k–1 k–1 k–1 6 = 1 + 8 · M2 (Gl. 5.29) 4= 5 r T 2









Diese Gleichungen beschreiben somit den Totalzustand, der sich bei einem isentropen Aufstau einer Strömung bis auf die Geschwindigkeit 0 ergibt. Die Totalgrößen pt und rt bleiben für isentrope Strömungen konstant. Für verlustbehaftete Zustandsänderungen ergibt sich ein Totaldruckverlust (pt1 > pt2, vgl. Bild 5.5). Mit Hilfe von Gleichung 5.29 kann die für kompressible Strömungen charakteristische Änderung der Dichte in Abhängigkeit der

314

Kompressible Strömungen

Mach-Zahl formuliert werden. Die in Bild 5.6 dargestellte dimensionslose Dichteänderung






–1 k–1

rt – r r k–1 2 5 92 = 1 – 5 = 1 – 1 + 8 · M rt rt 2 (Gl. 5.30) ist umso kleiner, je kleiner die Mach-Zahl ist. Im Rahmen der technischen Genauigkeit wird üblicherweise für M < 0,3 (entsprechend einer Dichteänderung von 4,4 %) die Kompressibilität vernachlässigt. Es sei noch einmal ausdrücklich darauf hingewiesen, dass die abgeleiteten Formulierungen des Energiesatzes in dieser Form nur für adiabat durchströmte Systeme gelten. Bei vorliegendem Realgasverhalten muss auf die Formulierung des Energiesatzes in Gleichung 5.10 zurückgegriffen werden. Die Energiegleichung in der Form der Gleichung 5.15 ist nur für ideale Gase gültig. Die in den Gleichungen 5.28 bis 5.30 angegebenen Beziehungen setzen darüber hinaus eine adiabate und reibungsfreie, also isentrope Strömung voraus. 5.3.3

5.3.4

Impulssatz und Drallsatz

Der in Abschnitt 4.3.4 hergeleitete Impulssatz enthält die Dichte als freie Zustandsvariable und ist damit uneingeschränkt auch für kompressible Strömungen anzuwenden. Die an einem abgegrenzten Strömungsbereich angreifenden äußeren Kräfte und die Impulskräfte müssen sich gegenseitig das Gleichgewicht halten. Ebenso hat auch der Drallsatz (Abschnitt 4.3.5) für kompressible Strömungen Gültigkeit.

5.4

Flächen-GeschwindigkeitsBeziehung

Aus der Kontinuitätsgleichung ergibt sich durch Differentiation d(r · w · A) = 0 w · A · dr + r · w · dA + r · A · dw = 0






dw dA dr 5=– 5+5 w A r

Thermodynamische Zustandsgleichung

Auf die Herleitung des 2. Hauptsatzes der Thermodynamik wird hier verzichtet und auf die weiterführende Fachliteratur verwiesen [5.3 bis 5.5]. Der für die Darstellung von Strömungsprozessen benötigte Zusammenhang zwischen den Zustandsgrößen Druck, Temperatur, Dichte und Entropie ergibt sich demnach für ein ideales Gas zu: T2 p2 s2 – s1 = cp · ln 5 – Ri · ln 4 p1 T1

(Gl. 5.31)

T2 r1 s2 – s1 = cv · ln 5 + Ri · ln 4 r2 T1

(Gl. 5.32)

Zur Beschreibung der Stoffdaten und Zustandsänderungen für reale Gase können das hs-Diagramm des Gases bzw. Tabellenwerte oder Datenbanken verwendet werden [5.6, 5.7].

(Gl. 5.33)

Für die inkompressible Strömung (dr = 0) veranschaulicht diese differentielle Form der Kontinuitätsgleichung den bekannten Zusammenhang, dass eine Querschnittserweiterung (dA > 0) zu einer Verringerung der Geschwindigkeit (dw < 0) führt. Die Querschnittsverengung (dA < 0) hingegen ergibt eine Erhöhung der Geschwindigkeit (dw > 0). Für kompressible Strömungen ist der Sachverhalt komplizierter, da gleichzeitig die Dichteänderung mit ins Spiel kommt. Führt man unter der Voraussetzung einer isentropen Strömung die Schallgeschwindigkeit a=

f

6 dp 5 dr

und die Euler’sche Bewegungsgleichung (s. Gleichung 4.16) dp g · dz + 5 + w · dw = 0 r

Rohrströmungen ein, so ergibt sich unter Vernachlässigung der Erdschwere dp = a2 · dr dp = – r · w · dw dr w 5 = – 42 · dw r a dr dw 2 5=–M ·6 r w

(Gl. 5.34)

Eingesetzt in Gleichung 5.33 folgt






dw dA dw 2 5=– 5–M ·6 w A w dw 1 dA ·6 5 = 02 w M2–1 A

(Gl. 5.35)

Diese Gleichung stellt die Flächen-Geschwindigkeits-Beziehung dar und erlaubt wichtige Fallunterscheidungen für verschiedene MachZahl-Bereiche (Bild 5.7). Bei Strömungen im Unterschallbereich nimmt mit zunehmendem Querschnitt (dA > 0) die Geschwindigkeit ab (dw < 0). Bei Strömungen im Überschallbereich ist es genau umgekehrt. Bei abnehmendem Querschnitt A wird die Strömung verzögert, bei zunehmendem Querschnitt beschleu-

Kanalform

Bild 5.7

315

nigt. Eine Erhöhung der Geschwindigkeit geht in allen Fällen gem. Gleichung 5.34 mit einer Herabsetzung der Dichte einher (Expansion). Für eine verzögerte Strömung hingegen ergibt sich grundsätzlich ein Anstieg der Dichte (Kompression). Der in der Flächen-Geschwindigkeits-Beziehung auftretende Faktor 1/(M 2 – 1) wird bei Annäherung an die Schallgrenze sehr groß. Kleine Flächenänderungen führen daher im transsonischen Bereich bei M ≈ 1 zu großen Geschwindigkeitsänderungen. Daher sind die Anforderungen an die Genauigkeit von Berechnungen und an Fertigungstoleranzen für transsonisch durchströmte Systeme besonders hoch. Gleichung 5.35 zeigt weiterhin, dass sich für M = 1 eine Singularität ergibt. In einer Stromröhre kann daher die Mach-Zahl 1 nur erreicht werden, wenn die Flächenänderung dA = 0 ist.

5.5

Rohrströmungen

Die in den folgenden Abschnitten abgeleiteten Gesetze und Formeln beschränken sich auf stationäre Strömungen in Rohren mit Kreisquerschnitt. Bei der Fortleitung von kompressiblen Fluiden in Rohrleitungen mit konstantem Querschnitt liegt im Unterschall eine Expansions-

Unterschallbereich

Überschallbereich

Expansion (Düse) w2 > w1 p2 < p1 T2 < T1 r2 < r1

Kompression (Diffusor) w2 < w1 p2 > p1 T2 > T1 r2 > r1

Kompression (Diffusor) w2 < w1 p2 > p1 T2 > T1 r2 > r1

Expansion (Düse) w2 > w1 p2 < p1 T2 < T1 r2 < r1

Unterschiedliches Verhalten von Unter- und Überschallströmung

316

Kompressible Strömungen Bild 5.8 Vergleich zwischen inkompressibler und kompressibler Rohrströmung (Unterschall)

strömung vor, da der Druck in Folge der Reibungsverluste in Strömungsrichtung abnimmt. Die Massenstromdichte (Gleichung 5.5) bleibt nach der Kontinuitätsgleichung konstant. Im allgemeinen Falle ändern sich damit längs der Rohrleitung Druck, Temperatur, Dichte und Geschwindigkeit. Da die Geschwindigkeit ansteigt, ergeben sich gegenüber inkompressibler Strömung verstärkte Druckverluste. Der Druck fällt daher nicht linear, sondern überproportional ab (Bild 5.8). Die Änderung der Lageenergie kann bei den meisten Luft-, Gas- und Dampfströmungen gegenüber der Druck- und Geschwindigkeitsenergie vernachlässigt werden. Der sich längs der Rohrleitung einstellende Druck- und Geschwindigkeitsverlauf hängt von der Art der Expansion und der Reibung ab. In der Praxis finden sich 2 typische Rohrleitungsarten, nämlich 1. blanke, nicht isolierte und 2. wärmeisolierte Rohrleitungen. In der folgenden Gegenüberstellung der beiden Rohrleitungsarten sind die jeweiligen Unterschiede aufgeführt (Tabelle 5.1). 5.5.1

Druckabfall bei beliebigem Wärmeaustausch

Da der Druck mit zunehmender Rohrlänge l abnimmt, wurde auf der rechten Seite des Ansatzes ein Minuszeichen vorgesehen. Nach der Gasgleichung für ideale Gase (Gleichung 1.7) lässt sich die Dichte r durch den Druck p und die Temperatur T ausdrücken: p r=9 Ri · T p p1 Ri = 9 = 0 r · T r1 · T1 T1 p r = r1 4 · 4 T p1 Aus der Kontinuitätsgleichung für kompressible Strömungen (Gleichung 5.4) ergibt sich für konstanten Rohrleitungsquerschnitt A = d 2 · p/4: – ·r=w – · r = konst w 1

1

– =w – · r1 = w – · r · T · p1 w 1 4 1 1 96 r r 1 · T1 · p – =w – · T · p1 w 1 91 T1 · p Durch Einsetzen von

Für ein Rohrelement von der Länge dl lässt sich der Druckabfall infolge Reibung nach Gleichung 4.137 a wie folgt ansetzen (Bild 5.10):

in die Druckabfallgleichung

dl r – 2 dp = – l · 4 · 3 · w d 2

dl r – 2 dp = – l · 4 · 3 · w d 2

T1 · p r = r1 · 91 T · p1

– =w – · T · p1 und w 1 91 T1 · p

Rohrströmungen Tabelle 5.1

317

Rohrleitungen

Nicht isolierte Rohrleitung

Isolierte Rohrleitung

Bild 5.9 a

Bild 5.9 b

Nicht isolierte Rohrleitung

Durch die Rohrwand findet ein Wärmeaustausch statt. Die Temperatur des Strömungsmediums Tinnen gleicht sich allmählich an die Außentemperatur Taußen an. Die Strömung kann mit guter Näherung als isotherm bezeichnet werden. Beispiel: unterirdisch verlegte Ferngasleitungen.

Isolierte Rohrleitung

Durch die Isolierung der Rohrleitung wird der Wärmeaustausch durch die Rohrwand und durch die Isolierschicht nahezu verhindert. Wärmeisolierte Rohrleitungen finden bei der Fortleitung heißer oder kalter Gase oder Dämpfe Anwendung, deren Temperatur Tinnen sich nicht an die Außentemperatur Taußen angleichen soll. Wäre der Wärmeaustausch gleich Null, so läge eine adiabate Rohrströmung vor. Beispiel: Ferndampfleitungen

Beide Rohrströmungsarten, isotherm und adiabat, sind Grenzfälle, da bei wirklichen Rohrströmungen immer ein gewisser Wärmeaustausch auftritt und auch die Temperatur nicht immer konstant bleibt.

erhält man folgende Differentialgleichung für den Druckabfall längs der Rohrleitung: – 2 · T 2 · p2 1 r1 T1 · p w 1 1 dp = – l · 3 · 4 · 9 · 405 · dl T 12 · p 2 d 2 T · p1 –2 · p T r1 · w 1 1 dp = – l · 404 · 3 · dl 2 · d · T1 p

Bild 5.10 Druck-, Geschwindigkeits- und Temperaturverlauf bei kompressibler Unterschall-Rohrströmung

(Gl. 5.36)

Um den Druckabfall p1 – p2 durch Integration von Gleichung 5.36 bestimmen zu können, müssen die Funktionen T = f (x) und p = f (x) bekannt sein. Da die Dichte r längs der Rohrleitung abnimmt (Expansionsströmung) nimmt der Volumenstrom V˙ und damit die Geschwindigkeit w zu. Die kinematische Zähigkeit n ändert sich ebenfalls, sodass auch die Reynolds-Zahl längs der Rohrleitung nicht konstant bleibt. Die Rohrreibungszahl l, die bekanntlich eine Funktion der Reynolds-Zahl und der relativen Wandrauigkeit d/k ist, ändert sich ebenfalls. Die Integration von Gleichung 5.36 ist deshalb analytisch nicht möglich. Um wenigstens eine

318

Kompressible Strömungen

näherungsweise Berechnung des Druckabfalls zu ermöglichen, werden folgende Vereinfachungen angenommen: 1. Die Rohrreibungszahl l ist konstant und be– · d/n rechnet sich als Funktion von Re1 = w 1 1 und d/k. 2. Die Temperatur T wird durch eine mittlere – T1 + T2 Temperatur T = 93 ersetzt. 2 3. Die Beschleunigungskräfte infolge der Geschwindigkeitszunahme werden vernachlässigt. Mit diesen Vereinfachungen lässt sich Gleichung 5.36 integrieren:

1 4 · p · dp p1

– 2 T– r1 · w 1 = – l · 48 · 4 · dl 2 · d T1

p 2 – 2 T– l 1 r1 · w 1 4 · p · dp = – l · 01 · 4 · dl 2 · d T1 p1

Ú

p

Ú

0

1

1 p2 4·4 p1 2



p

1

p

2

– 2 T– r1 · w 1 = l · 912 · 4 · l 2 · d T1

– 2 T– p 21 – p 22 l w 1 l · · r · = 3 1 41 · 4 93 d 2 T1 2 p1

(Gl. 5.37)

Beispiel 37 Aufgabenstellung:

30 000 V˙ = m˙ · u1 = 01 · 0,27 3600 3 ˙ V1 = 2,25 m /s

Durch eine Stahlrohrleitung (k = 0,3 mm) von 300 mm Innendurchmesser strömen stündlich 30 t Wasserdampf. Die Leitung hat eine Länge von 500 m. Der Eintrittsdruck des Dampfes beträgt p1 = 10 bar, die Eintrittstemperatur T1 = 600 K. Wie groß ist der Druckverlust längs der Dampfleitung, wenn die Temperatur am Rohrende T2 = 550 K beträgt?

– ergibt sich aus Die Geschwindigkeit w 1 dem Volumenstrom V˙ 1 und der Rohrquerschnittsfläche A:

Lösung:

Die kinematische Viskosität

Aus der Wasserdampftafel, einem MollierDiagramm bzw. aus Tafel 8 dieses Buches entnimmt man das spezifische Volumen des Wasserdampfes bzw. die Dichte für p1 = 10 bar und T1 = 600 K:

u = 0,27 m3/kg 1 1 r 1 = 4 = 7 = 3,7 kg/m3 u1 0,27 Die dynamische Viskosität des Wasserdampfes erhält man aus einer Wasserdampftafel oder aus Tafel 21 im Anhang:

˙ – = V1 = 2,25 = 31,8 m/s w 1 4 01 A 0,0707

h 1 21 · 10 – 6 n1 = 4 = 04 = 5,68 · 10– 6 m2/s 3,7 r1 – = 31,8 m/s erund die Geschwindigkeit w 1 geben folgende Reynolds-Zahl: – · d 31,8 · 0,3 w 1 Re1 = 0 = 05 · 10 6 n1 5,68 Re1 = 1,68 · 106 Mit d/k = 300/0,3 = 1000 ergibt sich damit aus Tafel 30 folgende Rohrreibungszahl l:

h1 = 2,1 · 10 – 5 Pa · s

l ª 0,02

Das Eintrittsvolumen V˙ 1 berechnet sich aus Massenstrom und spezifischem Volumen:

– T1 + T2 600 + 550 Mit T = 01 = 07 = 575 K lässt sich 2 2

Rohrströmungen

der Enddruck p2 aus Gleichung 5.37 berechnen: – 2 T– p 21 – p 22 l w 1 l · · r · = 3 1 5·4 02 2 · p1 d 2 T1 p 21 – p 22 500 31,82 575 02 = 0,02 · 6 · 3,7 · 8 · 7 2 · p1 0,3 2 600

Bleibt die Temperatur längs der Rohrleitung konstant, so vereinfacht sich Gleichung 5.37, – da das Temperaturglied T/T1 entfällt.

p 22 = 88 · 1010 p2 = 9,38 · 105 Pa = 9,38 bar

Zur Bestimmung des Druckabfalles Dp = p1 – p2 genügen demnach die Größen am Beginn – , n , Re , l = l und die der Rohrleitung r1 , w 1 1 1 1 Rohrabmessungen l und d.

(Gl. 5.38)

Beispiel 38 Aufgabenstellung: Wie groß ist der Druckabfall in der in Beispiel 37 berechneten Rohrleitung, wenn isotherme Strömung (T = 600 K = konst) vorausgesetzt wird? Lösung: Da sich die Anfangszustände nicht geändert haben, bleiben folgende Werte erhalten: r1 = 3,7 kg/m3 – = 31,8 m/s w 1 n1 = 5,68 · 10 – 6 m2/s Re1 = 1,68 · 106 l ª 0,02 Damit lässt sich der Druckverlust nach Gleichung 5.38 berechnen: –2 p 21 – p 22 l w 1 = l · 3 · r1 · 5 02 2p d 2 1

p 22 = p 21 – 0,12 · 1012

p1 – p2 = 10 – 9,38 = 0,62 bar

Druckabfall bei isothermer Strömung

–2 p 21 – p 22 l w 1 02 = l · 3 · r1 · 5 d 2 2 p1

p 21 – p 22 = 2 · 10 · 105 · 5,98 · 104

Der Druckabfall beträgt demnach:

p 21 – p 22 02 = 59 761 2 · p1

5.5.2

319

500 31,8 2 p 21 – p 22 = 0,02 · 6 · 3,7 · 54 02 2 · p1 0,3 2 p 21 – p 22 10 · 3,7 · 1011 02 = 003 = 62 360 0,6 2 · p1 p 21 – p 22 = 2 · 10 · 105 · 62 360 p 22 = (10 · 105)2 – 125 · 109 p 22 = 1012 – 0,125 · 1012 p 22 = 87,5 · 1010 p2 = 9,35 · 105 Pa = 9,35 bar Der Druckunterschied beträgt: p1 – p2 = 10 – 9,35 = 0,65 bar Man sieht, dass dieses Ergebnis nur unwesentlich vom Ergebnis von Beispiel 37, bei dem ein Temperaturabfall längs der Leitung angenommen war, abweicht.

320 5.5.3

Kompressible Strömungen Druckabfall bei adiabater Strömung (Fanno-Strömung)

Bei adiabater Rohrströmung tritt kein Wärmeaustausch durch die Rohrwand auf. Um den Rechenaufwand gering zu halten, wird folgendes Näherungsverfahren empfohlen: Zunächst wird nach Gleichung 5.38 der bei isothermer Rohrströmung auftretende Druckabfall bestimmt. Aus den beiden Drücken p1 und p2 und der Temperatur T1 am Rohranfang berechnet sich näherungsweise die Temperatur am Rohrende unter Annahme einer Isentropen: k–1 p2 6 k T2 ª T2, s = T1 · 5 p1




Mit dieser Temperatur berechnet sich dann die mittlere Temperatur:






T1 + T2 – T ª 03 2

(Gl. 5.40)

Den Druckabfall infolge von Reibung erhält man dann aus Gleichung 5.37. Das Rechenverfahren wird so lange iterativ wiederholt, bis das Ergebnis genau genug ist. Bei größeren Geschwindigkeiten und großen Rohrlängen wird das geschilderte Verfahren sehr ungenau.

(Gl. 5.39)

Beispiel 39

Re1 = 2,72 · 10 6

Aufgabenstellung: Durch eine Dampfleitung von 1 km Länge und 150 mm Nennweite strömen stündlich 30 t Dampf. Die Wandrauigkeit beträgt k = 0,05 mm.

mit

Die Anfangszustände betragen: Druck p1 = 50 bar = 50 · 105 N/m2 Temperatur T1 = 700 K spezifisches Volumen u1 = 0,061 m3/kg Dichte r1 = 16,4 kg/m3 dynamische Viskosität h1 = 26 · 10– 6 Pa · s

h 1 26 · 10– 6 kinematische Viskosität n1 = 4 = 50 16,4 r1 = 1,59 · 10– 6 m2/s Wie groß ist der Druckverlust bei adiabater Strömung? Lösung: Zunächst wird der Druckverlust für isotherme Strömung berechnet: m˙ · u 30 000 · 0,061 w1 = 01 = 005 A 0,01767 · 3600 w1 = 28,8 m/s w1 · d 28,8 · 0,15 Re1 = 0 = 08 · 10 6 n1 1,59



d 150 3 = 8 = 3000 k 0,05 Re1 = 2,72 · 106



wird l nach Tafel 30:

l ª 0,016 Der Druckabfall beträgt: p 21 – p 22 l w 21 = l · 3 · r1 · 5 02 2 p1 d 2 p 21 – p 22 1000 28,82 = 0,016 · 8 · 16,4 · 9 02 2 p1 0,15 2 p 21 – p 22 = 725 000 02 2 p1 p 21 – p 22 = 2 · 50 · 105 · 7,25 · 105 p 22 = p 21 – 7,25 · 1012 p 22 = 25 · 1012 – 7,25 · 1012 p 22 = 17,75 · 1012 p2 = 4,2 · 106 Pa = 42 bar Damit lässt sich in 1. Näherung die adiabate Endtemperatur T2 bestimmen: –1 p2 k5 k T2 ª T1 · 5 p1




Der Isentropenexponent von Heißdampf von 50 bar und 700 K beträgt k ≈ 1,28 (Tafel 26).

Rohrströmungen –1 42 1,28 8 T2 ª 700 · 5 1,28 50

p 21 – p 22 = 712 000 02 2 p1

T2 = 700 · 0,840,219

p 21 – p 22 = 2 · 50 · 105 · 7,12 · 105




T2 ª 674 K

p 22 = p21 – 7,12 · 1012

Die mittlere Temperatur beträgt:

p 22 = 25 · 1012 – 7,12 · 1012 p 22 = 17,88 · 1012

– T1 + T2 700 + 674 T ª 02 = 88 2 2 T ª 687 K

p2 = 42,3 bar

Damit lässt sich der Druckabfall nach Gleichung 5.37 berechnen: – 2 T– p 21 – p 22 l w 1 l · · r · · = 3 02 2p d 1 5 2 4 T 1

1

p 21 – p 22 1000 28,82 687 = 0,016 · 9 · 16,4 · 9 · 7 02 2 p1 0,15 2 700

Eine sehr anschauliche Beschreibung der kompressiblen adiabaten Rohrströmung liefern die nach GINO FANNO (s. Namensverzeichnis) benannten Fanno-Kurven im h-sDiagramm. Da für die betrachtete adiabate Rohrströmung sowohl die Totalenthalpie ht als auch die Massenstromdichte (r · w) konstant bleiben, ergibt sich aus der Kontinuitätsgleichung 5.4 und dem Energieerhaltungssatz Gleichung 5.10 r1 w2 = w1 · 4 r2 w12 w22 ht = h1 + 4 = h2 + 4 2 2 (r1 · w1)2 ht = h2 + 04 2 · r22

(Gl. 5.41)

Für einen gegebenen Eintrittzustand in das Rohr (r1, w1, h1) kann somit für jede in der Rohrleitung auftretende Dichte r2 die zugehörige Enthalpie h2 und die Geschwindigkeit w2 bestimmt werden. Für ein ideales Gas ergeben sich die Temperatur und der Druck gemäß w12 – w22 T2 = T1 + 03 2 · cp

321

Dp = 50 – 42,3 = 7,7 bar Man sieht, dass das Ergebnis gut mit der isotherm gerechneten Lösung übereinstimmt. Weitere Iterationen bringen keine höhere Genauigkeit, da bereits in der Annahme l ≈ 0,016 eine gewisse Unsicherheit steckt.

p2 = r2 · Ri · T2 Zur Ermittlung der Fanno-Kurven im h-s-Diagramm müssen die Entropieänderungen zwischen Zustand 1 und 2 nach Gleichung 5.31 oder 5.32 berechnet werden (ideales Gas): p2 T2 s2 – s1 = cp · ln 4 – Ri · ln 4 T1 p1 Auf diese Weise lässt sich zu einem statischen Eintrittszustand eine Schar von Fanno-Kurven konstruieren, die sich durch die Massenstromdichte unterscheiden (Bild 5.11). Eine Fanno-Kurve stellt also die Linie im h-s-Diagramm dar, auf der alle physikalisch möglichen Zustände der adiabaten reibungsbehafteten Rohrströmung eines idealen Gases für eine bestimmte Massenstromdichte liegen. Im Unterschall, ausgehend von dem Zustand 1, kann die Strömung bis zu dem Punkt maximaler Entropie beschleunigen. Hier wird die Schallgeschwindigkeit (M = 1) und ein der jeweiligen Massenstromdichte zugehöriger Druck ps erreicht. Eine weitere Steigerung der Geschwindigkeit ist nicht möglich, da sonst eine Verringerung der Entropie entsteht. Dies ist für ein adiabates System nach dem 2. Hauptsatz der Thermodynamik unmöglich.

322

Kompressible Strömungen

Bild 5.11

Fanno-Kurven für verschiedene Massenstromdichten (r · w)

Eine Unterschallrohrströmung kann durch Druckabfall maximal bis zur Schallgeschwindigkeit beschleunigt werden. Liegt der Eintrittszustand in das Rohr bereits im Überschall (rot gezeichneter Teil der Fanno-Kurve) ergibt sich aus der durch die Reibung erzwungenen Entropieerhöhung eine Verzögerung der Überschallströmung. Die Verzögerung kann bis M = 1 reichen; ein stetiger Übergang in den Unterschallzweig der Fanno-Kurve ist wegen des Widerspruchs zum 2. Hauptsatz nicht möglich. Wird einer Überschallrohrströmung ein Gegendruck aufgeprägt, der größer als der bei M = 1 auftretende Druck ps ist, entsteht in dem Rohr ein plötzlicher Drucksprung, der als senkrechter Verdichtungsstoß bezeichnet wird (s. Abschnitt 5.7.1). Der Verdichtungsstoß ist ebenfalls ein verlustbehafteter Strömungsvorgang und verursacht einen Entropieanstieg sowie einen Totaldruckverlust. In der Praxis wird der Druckabfall in Rohrleitungen, durch die die häufig vorkommenden Fluide Wasserdampf, Druckluft oder Erdgas strömen, mittels Rechenprogrammen oder Nomogrammen ermittelt. Tafel 43 im Anhang

stellt den Druckabfall in Wasserdampfleitungen in einem Diagramm dar. Ähnliche Diagramme für Druckluft oder Erdgas können der einschlägigen Literatur entnommen werden. 5.5.4

Druckabfall bei adiabater Drosselung

Unter der adiabaten Drosselung versteht man eine stationär verlaufende Expansion eines Gasoder Dampfstroms durch einen in einer Rohrleitung eingebauten Strömungswiderstand ohne Arbeits- oder Wärmezu- oder -abfuhr. Bei der Drosselstelle, die in Bild 5.12 als Blende dargestellt ist, kann es sich im Betrieb um ein Stellglied, wie z.B. Schieber, Ventil, Hahn, Drosselklappe, oder um eine Messstelle, wie z.B. Blende, Düse oder Venturirohr, handeln. Auch die Einlass- und Regelventile von Dampfturbinen stellen derartige Drosselstellen dar. Der an der Drosselstelle infolge von Reibung und Verwirbelung auftretende Druckverlust berechnet sich nach Abschnitt 4.7.7 mit r –2 Dpv = z · 3 · w 2

(Gl. 5.42)

Rohrströmungen

323

nahme vorliegt, bleibt die Totalenthalpie konstant (Gleichung 5.10): w22 w12 ht = h1 + 4 = h2 + 4 2 2 Nimmt man an, dass die Geschwindigkeiten vor und nach der Drosselstelle gleich groß sind bzw. dass der Ausdruck w22 – w12 04 2

Bild 5.12

Strömung durch eine Drosselstelle

gegenüber der Enthalpie vernachlässigbar klein ist, so ergibt sich für die Zustandsänderung der Drosselung: h1 = h2 = konst

– je nach Art der Drosselstelle und Dewobei w – oder w – finition von z die Geschwindigkeit w 1 2 sein kann. Die Widerstandszahlen der einzelnen Drosselstellen finden sich in Abschnitt 4.7.7. Der Reibungsverlust wird in Wärme umgewandelt, die jedoch aufgrund des adiabaten Systems nicht nach außen abgegeben wird. Stellt man den adiabaten Expansionsvorgang in einem p-u-Diagramm dar (Bild 5.13), so kann man die bei der Drosselung dissipierte Energie als Fläche darstellen. Würde anstelle des Drosselwiderstandes eine Kraftmaschine, z. B. eine Turbine, in die Rohrleitung eingebaut, so würde diese eine dem Druckgefälle entsprechende Nutzarbeit nach außen abgeben. Da für die adiabate Drosselung keine Arbeitsabgabe oder -auf-

Bild 5.13 Darstellung eines Drosselenergieverlustes im p-u-Diagramm

(Gl. 5.43)

Der Anfangszustand 1 und der Endzustand 2 liegen auf einer Linie konstanter Enthalpie, weshalb man diese Zustandsänderung als Isenthalpe bezeichnet. Dies bedeutet nicht, dass die Enthalpie während der gesamten Zustandsänderung konstant bleibt. Vielmehr ergibt sich abhängig von der Geometrie des Drosselquerschnitts eine mehr oder minder starke lokale Enthalpieabsenkung mit nachfolgendem Wiederanstieg (Bild 5.14). Entscheidend für die integrale Betrachtung des Drosselvorgangs und die Beschreibung als isenthalpe Zustandsänderung sind aber nur die Anfangs- und -endzustände 1 und 2.

Bild 5.14 Darstellung der Drosselung eines realen Gases oder Dampfes im Enthalpie-Entropie-Diagramm

324

Kompressible Strömungen

Die in Abschnitt 5.5.3 erläuterten Zusammenhänge für die Fanno-Kurven gelten auch für die adiabate Drosselung, da die Querschnitte 1 und 2 identisch sind. Physikalisch sind die durch Rohrreibung auftretenden Verluste natürlich nichts anderes als Drosselverluste, lediglich auf eine wesentlich größere Länge verteilt. Hieraus folgt, dass die Beschreibung des Drosselvorgangs als Isenthalpe nur in dem fast horizontal verlaufen-

den Teil der Fanno-Kurve zulässig ist, also für geringe Massenstromdichten und Druckänderungen. Bei idealen Gasen und Dämpfen gilt bekanntlich h1 – h2 = cp · (T1 – T2) so dass die isenthalpe Zustandsänderung für ideale Gase gleichzeitig isotherm verläuft.

Beispiel 40 Aufgabenstellung: Mit Hilfe einer Messblende nach Bild 5.12 wird in einer Druckluftleitung mit D = 100 mm Nennweite ein Massenstrom m˙ = 2 kg/s gemessen. Der Verlustbeiwert der Blende beträgt z1 = 50, der Zustand der Luft vor der Blende p1 = 10 bar, T1 = 300 K. Der Drosselvorgang ist adiabat. Luft ist als ideales Gas mit cp = 1020 J/ kgK und Ri = 287 J/ kgK anzusehen. Ist die Annahme einer isothermen Zustandsänderung gerechtfertigt? Lösung: Zunächst wird der Druck stromab der Blende ermittelt: p1 10 · 105 r1 = 0 = 06 = 11,61 kg/m3 Ri · T1 287 · 300 4 · m˙ 4·2 w1 = 972 = 0042 = 21,93 m/s r1 · p · D 11,61 · p · 0,1 r1 11,61 Dpv = z1 · 4 · w 12 = 50 · 0 · 21,932 2 2 = 139 580 Pa p2 = p1 – Dpv = 10 · 105 – 139 580 = 860 420 Pa Damit folgt für den Zustand 2 nach der Blende unter Annahme einer isothermen Zustandsänderung (T2 = T1):

860420 p2 r2 = 0 = 06 = 9,99 kg/m3 Ri · T2 287 · 300 4 · m˙ 4·2 w2 = 972 = 003 = 25,48 m/s r2 · p · D 9,99 · p · 0,12 Aus den unterschiedlichen Geschwindigkeiten resultiert nach dem Energiesatz: 21,932 – 25,482 w12 – w22 T2 = T1 + 95 = 300 + 0033 2 · cp 2 · 1020 T2 = 299,92 K Die Durchführung einer Iterationsschleife zur nochmaligen Bestimmung von r2, w2 und T2 ergibt wiederum 299,92 K, so dass die erforderliche Rechengenauigkeit bereits erreicht ist. Die Temperatur an der Drosselstelle sinkt nur um 0,08 K ab. Im Rahmen der technisch sinnvollen Genauigkeit ist also die Annahme einer isothermen bzw. isenthalpen Zustandsänderung durchaus gerechtfertigt. Obwohl der Druck um rd. 14% abnimmt und die Geschwindigkeit sich um ca. 16% erhöht, können Temperaturund Enthalpieänderung mit 0,02% vernachlässigt werden. Die größte Unsicherheit liegt in diesem Berechnungsbeispiel in der Abschätzung des Verlustbeiwertes z1.

Ausströmvorgänge Bei realen Gasen ist die spezifische Wärmekapazität cp nicht konstant, so dass sich für die Isenthalpe bei der Drosselung eine Temperaturänderung ergibt. Bei relativ kleinen Drücken und Temperaturen kühlt sich das Fluid durch die Drosselung ab (positiver Joule-Thomson-Effekt), bei großen Drücken und Temperaturen heizt sich das Gas hingegen bei der Drosselung auf (negativer JouleThomson-Effekt). Die Abkühlung bzw. Erwärmung bei Drosselung realer Gase und Dämpfe ermittelt man in der Praxis mit Hilfe eines h-s-Diagrammes (Mollier-Diagrammes), wie es in Bild 5.14 qualitativ dargestellt ist. Für quantitative Bestimmungen ist ein Ausschnitt des am häufigsten benötigten Mollier-h-s-Diagrammes für Wasserdampf in Tafel 44 des Anhangs dargestellt. Auch die Benutzung eines Druck-Enthalpie-Diagrammes erweist sich als geschickt, um die Abkühlungs- bzw. Aufheiztemperatur graphisch zu bestimmen.

5.6

Ausströmvorgänge

5.6.1

Ausströmen aus Druckbehältern

5.6.1.1

Ausströmgeschwindigkeit und Mach-Zahl

In einem Druckbehälter (Bild 5.15) befindet sich Gas oder Dampf unter dem Druck pt1 mit der Temperatur Tt1. Der so definierte Zustand

Bild 5.15

Ausströmen aus einem Druckbehälter

325

wird als Ruhezustand, Kesselzustand oder Totalzustand bezeichnet (vgl. Abschnitt 5.3.2), da die Geschwindigkeit in dem großen Kessel 0 beträgt. Durch eine im Verhältnis zum Behälterquerschnitt kleine Öffnung Aa soll das Fluid in einer stationären Expansionsströmung ins Freie strömen. Dabei wird ein Teil der Totalenthalpie ht1, die das Fluid im Behälter hat, in kinetische Energie des austretenden Strahls umgesetzt. Zunächst wird angenommen, dass der Ausströmvorgang adiabat und reibungsfrei, also isentrop verläuft. Nach der Energiegleichung 5.10 folgt somit w 2a, s ht1 = ha, s + 7 2 w 2a, s = ht1 – ha, s = Dhs 7 2 92 wa, s = d 2 · Dhs

(Gl. 5.44)

Man erkennt die formale Übereinstimmung dieser Gleichung mit der Ausflussformel von TORRICELLI (Gleichung 4.28), wobei allerdings Dhs keinen Höhenunterschied zwischen 2 Flüssigkeitsspiegeln, sondern die Enthalpiedifferenz zwischen dem Zustand im Behälter und dem Austrittszustand im Strahl ausdrückt. Diese Zustandsänderung lässt sich graphisch im h-s-Diagramm (Bild 5.16) darstellen.

Bild 5.16 Darstellung der Ausströmung aus einem Druckbehälter im h-s-Diagramm

326

Kompressible Strömungen

Die Darstellung im h-s-Diagramm (MollierDiagramm), bei der die isentrope Expansion die vertikale Verbindungslinie zwischen den Zustandspunkten t1 und a, s ist, hat den Vorteil, dass man die kinetische Energie w2a, s/2 direkt abgreifen kann. Für reale Gase und Dämpfe ist die Verwendung des h-s-Diagrammes nachdrücklich zu empfehlen, da alle Abweichungen vom idealen Gasverhalten so unmittelbar Berücksichtigung finden. Dies ist insbesondere wichtig beim Übergang in 2-Phasen-Gebiete, in denen gasförmige und flüssige Phase eines Fluids gleichzeitig existieren. Bild 5.17 zeigt schematisch eine Expansion in dieses sog. Nassdampfgebiet im Mollier-h-s-Diagramm für Wasserdampf. Die isentrope Expansion erfolgt bis zum Austrittsdruck pa, der Endzustand liegt unterhalb der Sattdampfkurve. Da bei der Verdampfung unter konstantem Druck die Temperatur konstant bleibt, verlaufen die Isobaren und Isothermen im Nassdampfge-

biet identisch. Die Linien x = konst beschreiben Zustände gleichen Dampfgehalts und werden als Isovaporen bezeichnet. Der Dampfgehalt x ist definiert als m≤ x = 022 m¢ + m≤

(Gl. 5.45)

wobei m¢ die Masse der siedenden Flüssigkeit und m≤ die Masse des gesättigten Dampfes bezeichnet. Eine rechnerische Beschreibung dieser Zustandsänderung mit Phasenwechsel ist sehr aufwendig, da sich die spezifische Wärmekapazität und der Isentropenexponent deutlich ändern und die Verdampfungsenthalpie berücksichtigt werden muss. Diese Effekte sind bei Verwendung des Mollier-h-s-Diagrammes, von dem für quantitative Berechnungen für Wasserdampf ein Ausschnitt in Tafel 44 wiedergegeben ist, automatisch mit berücksichtigt.

Bild 5.17 Darstellung der Wasserdampfausströmung aus einem Druckbehälter im h-s-Diagramm bei Expansion in das Nassdampfgebiet

Ausströmvorgänge Da in der Behälteröffnung Reibung, Ablösung und Verwirbelungen entstehen, verläuft der reale Entspannungsvorgang nicht isentrop, sondern mit Entropiezunahme. Die tatsächlich erreichte Geschwindigkeit wa ist kleiner als die theoretische Ausströmgeschwindigkeit wa ,s ; die tatsächliche Enthalpie ha liegt um den Verlustanteil Dhv über dem reibungsfreien Wert ha, s. Die real in der Behälteröffnung stattfindende polytrope Expansion führt für ein Gas im überhitzten Bereich (Bild 5.16) durch die Dissipationswärme zu einer höheren Austrittstemperatur. Im Beispiel von Bild 5.17 ergibt sich eine polytrope Expansion mit einem Endzustand auf der Sattdampflinie. Obwohl ein Verlustanteil Dhv auftritt, führt dieser hier nicht zu einer Temperaturerhöhung. Die Temperatur Ta ist identisch zu Ta, s, da im Nassdampfbereich Isobaren und Isothermen einander entsprechen. Die Dissipationswärme aufgrund der Reibungseffekte wird in diesem Fall für die Verdampfungsenthalphie benötigt und äußert sich in dem Anstieg des Dampfgehalts x. Zur Verdeutlichung sei angemerkt, dass die hier in Bild 5.16 mit Hilfe des h-s-Diagramms dargestellten Zusammenhänge grundsätzlich dem in Bild 5.5 dargestellten Verlauf einer beschleunigten Strömung entsprechen. Die Besonderheit liegt hier darin, dass die Startgeschwindigkeit 0 beträgt und somit im Zustand t1 statischer und Totalzustand einander entsprechen. Mit dem in Gleichung 5.11 angegebenen Wirkungsgrad Dh h1 – ha hExpansion = 6 = 04 Dhs h1 – ha, s folgt daher

327

Den Faktor j bezeichnet man wie beim Ausfluss aus Flüssigkeitsbehältern (Gleichung 4.234) als Geschwindigkeitsbeiwert. Die Größe des Geschwindigkeitsbeiwertes hängt von der Art der Behälteröffnung ab. Bei gut abgerundeten Düsen ist j nahe 1, bei scharfkantigen Rohranschlüssen deutlich niedriger. Die für inkompressible Strömungen in Abschnitt 4.9.1 genannten Geschwindigkeitsbeiwerte können in guter Näherung auch für Ausflussöffnungen bei kompressiblen Strömungen angesetzt werden. Wird die Behälteröffnung durch ein Absperrorgan mit der Widerstandszahl z (Gleichung 4.157) versehen, so besteht zwischen z und j folgende Beziehung: w 2a, s Dhv = z · 8 2 w 2a, s w 2a Dhv = Dhs – Dh = 8 – 6 2 2 w 2a, s Dhv = (1 – j2) · 8 2 w 2a, s w 2a, s (1 – j2) · 8 = z · 8 2 2 9 j = d1 – z

(Gl. 5.48)

Wird das Absperrorgan nur soweit geöffnet, dass z ≥ 1 wird, findet eine Drosselung statt. Um eine rechnerische Bestimmung der reibungsfreien Austrittsgeschwindigkeit wa, s zu ermöglichen, wird im Folgenden von einem idealen Gas ausgegangen. Somit kann bekanntlich die Enthalpiedifferenz durch die Temperaturdifferenz ersetzt werden: Dhs = cp · (Tt1 – Ta, s)

w 2a hExpansion = 62 = j2 w 2a, s

(Gl. 5.46)

und somit für die unter Berücksichtigung der Reibungseffekte auftretende Geschwindigkeit 92 92 w a = j · wa, s = j · d 2 · Dhs = d 2 · Dh (Gl. 5.47)

Mit der Isentropenbeziehung k–1 pa 6 k Ta, s = Tt1 · 5 pt1




ergibt sich für die theoretische Ausflussgeschwindigkeit wa, s: –1 pa k5 k Dhs = cp · Tt1 · 1 – 5 pt1


 

328

Kompressible Strömungen

w a, s =

f

630006 –1 pa k5 k 2 · cp · Tt1 · 1 – 5 pt1 (Gl. 5.49a)


 

Weitere Ausdrucksformen für die Austrittsgeschwindigkeit wa,s erhält man für ein ideales Gas mit

k cp = 53 · Ri k–1 k p 5 f 2 · k53 · R · T · 1 –
5  –1 p 63009026 k–1

w a, s =

a

i

k

t1

t1

(Gl. 5.49b)

und pt1 pt1 · vt1 = 5 = Ri · Tt1 rt1

w a, s =

f

63009026 –1 k pa k5 k 2 · 53 · pt1 · vt1 · 1 – 5 k–1 pt1 (Gl. 5.49c)


 

k p p 5 f 2 · k53 · 5 · 1 –
5  –1 r p

6300992 k–1

w a, s =

t1

a

t1

t1

k

(Gl. 5.49d)

Gleichung 5.49d bezeichnet man als Gleichung von SAINT-VENANT und WANTZEL [5.8] (siehe Namensverzeichnis). Bezieht man die reibungsfrei ermittelte Geschwindigkeit auf die lokale Schallgeschwindigkeit ergibt sich für die isentrope AustrittsMach-Zahl: wa, s wa, s Ma, s = 00 = 0000 8 –1 d96 k · Ri · Ta, s pa k5 k k · Ri · Tt1 · 5 pt1

f


 

Ma, s =

f

000006 –1 k pa k5 k 2 · 53 · Ri · Tt1 · 1 – 5 k–1 pt1 000004 k–1 pa 5 k k · Ri · Tt1 · 5 pt1


 


2 p 5 f 53 – 1 · 5 k – 1 
p 

63006 1– k

Ma , s =

a

k

(Gl. 5.50)

t1

Diese Gleichung entspricht der bereits in Gleichung 5.15 angegebenen Beziehung für die isentrope Strömung eines idealen Gases. Die isentrope Austritts-Mach-Zahl hängt also nur vom Druckverhältnis und dem Isentropenexponenten k ab und zeigt die in Bild 5.18 für verschiedene k-Werte dargestellten Verläufe. Im Vorgriff auf den Abschnitt 5.6.1.3 ist anzumerken, dass der rot gezeichnete Überschallast der dargestellten Kurven bei einer Kesselausströmung mit konstantem Rohrquerschnitt oder einer einfachen konvergenten Düse nicht erreicht werden kann. Zur Erzielung von Überschall-Mach-Zahlen ist vielmehr ein konvergent-divergenter Querschnittsverlauf in der Düse notwendig, wie er bei Laval-Düsen (Abschnitt 5.6.3) auftritt. 5.6.1.2

Austretender Massenstrom

Der aus der Behälteröffnung theoretisch austretende Massenstrom m˙th ergibt sich aus der Kontinuitätsgleichung (Gleichung 5.4): m˙th = ra, s · wa, s · Aa Mit der Isentropenbeziehung pa 2k1 ra, s = rt1 · 5 pt1




und der reibungsfreien Austrittsgeschwindigkeit nach SAINT-VENANT und WANTZEL

k p p 5 f 2 · k8 ·5· 1– 5  – 1 r 
p  60000 k –5 1

wa, s =

t1

a

t1

t1

k

Ausströmvorgänge · : ergibt sich für den theoretisch ausfließenden Massenstrom m th

k p p 5 ·5· 1– 5
 f 2 ·k7 – 1 r 
p  

· = A · r · pa m th a t1 5 pt1

60000 k – 22 1

1/k

·

· =A · m th a

f

· =A · m th a

k f 2 · k7 ·p –1

t1

a

t1

t1

k

60000 0035 –1 k pa 2/k pt1 pa k5 k 2 2 · 7 · r t1 · 5 ·5· 1– 5 k–1 pt1 r t1 pt1





 

60000 003 +1 pa 2/k pa k5 k · r · – t1 t1 5 5 pt1 pt1

· = A · d935 m 2 · r t1 · pt1 · th a



 

k p p 5 f k7 · 
5 –
5  –1 p p

6000 92 k+1 2/k

Bild 5.18 Verlauf der isentropen Ausströmmachzahl aus einem Druckbehälter

a

a

t1

t1

k

(Gl. 5.51)

329

330

Kompressible Strömungen

Wie man aus Gleichung 5.51 ersieht, hängt der theoretisch aus der Behälteröffnung austre· von folgenden Größen tende Massenstrom m th ab: 1. 2. 3. 4. 5.

von der Behälteröffnung vom Druck pt1 im Behälter von der Dichte rt1 des Mediums vom Isentropenexponenten k vom Druckverhältnis pa/pt1

Die 2., größere Wurzel in Gleichung 5.51 enthält nur Verknüpfungen zwischen dem Isentropenexponenten k und dem Druckverhältnis pa/p t1. Für diesen Wurzelausdruck wird deshalb eine besondere Funktion, die isentrope Ausflussfunktion Ys eingeführt:

k p 2 p 5 f k53 · 5 – 5 – 1 
p 
p   630096 k+1 2

Ys =

a

k

t1

a

k

(Gl. 5.52)

t1

Diese Ausflussfunktion Ys darf nicht mit der Kontraktionszahl y verwechselt werden!

Die Ausflussfunktion Ys ist für verschiedene Werte von k in Bild 5.19 dargestellt. Für den theoretisch austretenden Massenstrom ergibt sich damit der folgende einfache Ausdruck: · = A · Y · d972 m 2 · pt1 · rt1 th a s

(Gl. 5.53)

Für den tatsächlich austretenden Massen· sind folgende Einflüsse zu berückstrom m sichtigen: ❑ die Reibung durch den Geschwindigkeitsj = wa/wa, s beiwert ❑ die Strahleinschnürung durch die Kontraky = Ae/Aa (Gl. 4.235) tionszahl · m=r ·w ·A a

a

e

· =r ·j·w ·y·A =r ·m·w ·A m a a, s a a a, s a · = ra · m · m · m th 6 ra, s

Bild 5.19

Ausflussfunktion

· = ra · m · A · Y · d972 m 2 · pt1 · rt1 a s 6 ra, s

(Gl. 5.54)

Das Dichteverhältnis ra/ra, s liegt in der Regel nahe bei 1 (siehe hierzu Beispiel 41), sodass für die meisten Anwendungsfälle vereinfacht gilt: · =m·m · = m · A · Y · d972 m 2 · pt1 · rt1 th a s (Gl. 5.55) Geschwindigkeitsbeiwert j, Kontraktionszahl y und Ausflusszahl m können gemäß Abschnitt 4.9.1 bestimmt werden. 5.6.1.3

Kritischer Zustand für eine reibungsfreie Strömung

Stellt man Gleichung 5.53 graphisch dar (Bild 5.20), so erhält man analog zu Bild 5.19 eine · = f(p /p ). Es ist leicht parabolische Kurve m th a t1 einzusehen, dass von pa/pt1 = 1, d.h. wenn · = 0 ist, keine Druckdifferenz anliegt und m th bis zum Maximum der Kurve mit sinkendem · Druckverhältnis pa/pt1 der Massenstrom m th zunimmt.

Ausströmvorgänge

331

zu allen bisher betrachteten Ausströmvorgängen wird also bei Unterschreiten des kritischen Druckverhältnisses nicht der Umgebungsdruck an der Austrittsöffnung aufgeprägt, sondern der Strahldruck pa,s ist größer als der Umgebungsdruck pUm. Je nach Größe des Druckverhältnisses pa/pt1 unterscheidet man 2 Arten von Ausströmvorgängen: ❑ unterkritische Ausströmung pa/pt1 = pUm/pt1 > (pa,s/pt1)krit ❑ überkritische Ausströmung pUm/pt1 £ pa/pt1 = (pa,s/pt1)krit

Bild 5.20 Zusammenhang zwischen Druckverhältnis und ausströmendem Massenstrom

Bei weiterer Druckabsenkung über den dem Kurvenmaximum entsprechenden Wert (pa, s/pt1)krit hinaus, würde der Massenstrom wieder abnehmen, was doch sicherlich nicht zutreffen kann. Es wurde vielmehr durch Versuche festgestellt, dass nach Unterschreiten des Druckverhältnisses (pa, s/pt1)krit der ausströmende Massenstrom unabhängig von der Größe des Gegendruckes konstant bleibt. Dieses Phänomen wird als Sperren bezeichnet, da der Austrittsquerschnitt keine weitere Erhöhung des Massenstroms durch Absenken des Gegendruckes zulässt. Die Massenstromdichte r · w und die isentrope Ausflussfunktion Ys erreichen beim Sperren ihr Maximum. Das Druckverhältnis, bei dem der Austrittsquerschnitt Aa sperrt und sich bei gegebenen Behälterzuständen pt1 und rt1 der Massenstrom nicht mehr ändert, wird als kritisches Druckverhältnis (pa, s/pt1)krit bezeichnet. · nicht mehr Wenn sich der Massenstrom m th ändert, muss nach Gleichung 5.53 auch die Ausflussfunktion Ys konstant bleiben, d.h. der Druck pa, s im Strahl bleibt unabhängig vom Außendruck pUm konstant. Im Gegensatz

In Bild 5.21 sind beide Ausströmformen gegenübergestellt. Bei unterkritischer Ausströmung kommt es zu einem gerichteten Strahl. Diese Konfiguration wird häufig in sog. Freistrahlkanälen z.B. zur Kalibrierung von Geschwindigkeitssonden verwendet. Bei überkritischer Ausströmung hingegen kommt es aufgrund des lokalen Druckgradienten (pa > pUm) zu Quergeschwindigkeitskomponenten senkrecht zur Ausströmachse und damit zu einem Aufplatzen des Strahls mit Strahlschwingungen und instationären Strömungsverhältnissen. Das kritische Druckverhältnis stellt sich ein, wenn die Ausflussfunktion Ys ihr Maximum erreicht. Da in der Definition der Ausflussfunktion Ys in Gleichung 5.52 der Ausdruck k/(k – 1) konstant ist, genügt es für die Maximumsbetrachtung die 1. Ableitung des Ausdruckes +1 pa k5 k – 5 pt1



 pa 5 pt1

2/k

zu bilden und 0 zu setzen: +1 –1 2 pa, s –2 – 1 k + 1 pa k5 k –8 · 5 =0 · 52 k 3 k pt1 k pt1







Nach einigen Umformungen erhält man: k 2 5 = 9 k–1 k+1



 pa, s 6 pt1

krit

(Gl. 5.56)

Man bezeichnet das kritische Druckverhältnis auch als Laval-Druckverhältnis.

332

Kompressible Strömungen Bild 5.21 Unterschied zwischen unterkritischem und überkritischem Ausströmen

Setzt man das kritische Druckverhältnis nach Gleichung 5.56 in den Ausdruck für die Ausflussfunktion Ys nach Gleichung 5.52 ein, so erhält man die Beziehung für Ys max :

k 2 5· – 2 5· 5 fk8 –
81 · 
81  –1 k +1 k +1 60000 00 k 2 k k +4 1

Ys max =

k –1 k

k–1




k f8 k+1

(Gleichung

2 2 5·5 f k8 · 81 –1 –1 k+1 0000 3 k 1–k

(Ma, s)krit =

k–1

k

k

Durch Umformen vereinfacht sich der Ausdruck zu: 1 2 5 Ys max = 81 k – 1 · k +1

isentrope Austritts-Mach-Zahl 5.50) ein, so ergibt sich:

63

(Gl. 5.57)

Für Luft, Heißdampf und Nassdampf sind die Mittelwerte für k, (pa, s/pt1)krit und Ys max in Tabelle 5.2 zusammengestellt. Setzt man das kritische Druckverhältnis nach Gleichung 5.56 in den Ausdruck für die

(Ma, s)krit = 1

(Gl. 5.58)

Dies bedeutet, dass bei kritischer und überkritischer Ausströmung im Austrittquerschnitt genau Schallgeschwindigkeit erreicht wird. Höhere Mach-Zahlen sind beim Ausströmen aus Druckbehältern mit konstantem Rohrquerschnitt oder einer einfachen konvergenten Düse nicht zu erreichen (vgl. Bild 5.18). Dieses Phänomen des Sperrens ist auch bereits von der adiabaten Rohrströmung (Abschnitt 5.5.3) bekannt. Auch die Fanno-Kurven erlauben die Beschleunigung einer Unterschallströmung nur bis zur maximalen Mach-Zahl M = 1.

Ausströmvorgänge Tabelle 5.2

333

Kritische Werte einiger Dämpfe und Gase (isentrope Expansion)

Medium

k

(pa, s/pt1) krit (Ta, s/Tt1)krit

(r a,s/r t1)krit Y s, max

(w a, s)krit

Luft, 2-atomige Gase

1,4

0,528

0,833

0,634

0,484

1,08 · d92 p t1/r t1*

Heißdampf, 3-atomige Gase

1,3

0,546

0,870

0,628

0,473

1,06 · d92 p t1/r t1

Sattdampf **

1,135

0,577

0,937

0,616

0,45

1,03 · d92 p t1/r t1

* d92 p t1/r t1 = d92 R i · Tt1 ; ** Nassdampf: k = 1,035 + 0,1 · x, x = Dampfgehalt.

Für die kritische Austrittsgeschwindigkeit ergibt sich also

k f 2 ·k53 ·R ·T +1

6309

927 (w a , s)krit = as = d k · Ri · Ta, s =

i

t1

(Gl. 5.59)

Diese bei kritischer oder überkritischer Ausströmung maximal zu erreichende Austrittsgeschwindigkeit wird auch als Laval-Geschwindigkeit bezeichnet. Mit dem Energiesatz (Gleichungen 5.15 und 5.29) ergeben sich die korrespondierenden kritischen Dichte- und Temperaturverhältnisse durch Einsetzen der Mach-Zahl M = 1. =
1 + 9
7 T  2

k–1

Ta, s t1

krit


7 T  Ta, s t1

2 =8 k + 1 krit

krit

(Gl. 5.60)

–1 k–1 5 = 1 + 9 k –1 2



ra, s 7 rt1

–1



1 k –1

5 =
8
7 k+1 r  ra, s t1

2

(Gl. 5.61)

krit

Für verschiedene Gase und Dämpfe sind unter der Voraussetzung idealen Gasverhaltens die resultierenden kritischen Werte in Tabelle 5.2 zusammengestellt.

5.6.1.4

Kritischer Zustand für eine reibungsbehaftete Strömung

Für die Betrachtung realer kritischer Ausströmvorgänge sind die Einflüsse der Reibung und der Strahlkontraktion zu berücksichtigen. Während die Strahlkontraktion den effektiven Ausströmquerschnitt beeinflusst und somit nur bei der Massenstrombestimmung wichtig wird, verändern die Reibungseffekte den energetischen Zustand der Strömung und damit Druck, Temperatur und Geschwindigkeit. Für unterkritische Ausströmung wird am Austritt der Umgebungsdruck pUm aufgeprägt, d.h. Strahldruck pa und Umgebungsdruck pUm stimmen überein. Unabhängig von der Größe der auftretenden Druckverluste liegt also immer die gleiche Druckdifferenz zwischen Kessel und Austritt an. Bei überkritischen Ausströmvorgängen hingegen herrscht im Strahlaustritt der kritische Druck pkrit. Für isentrope Zustandsänderungen ist dieser alleine von dem Isentropenexponenten abhängig (Gleichung 5.56), für polytrope Zustandsänderungen jedoch vom Polytropenexponenten und somit von der Höhe der auftretenden Verluste. Mithin ändert sich bei verschieden starkem Reibungseinfluss die treibende Druckdifferenz zwischen Kessel und Austritt. Für einen reibungsbehafteten überkritischen Ausströmvorgang ist die Bestimmung der Zustandsgrößen im Austritt auf der Basis der im letzten Abschnitt hergeleiteten isentropen Beziehungen nicht korrekt. Für eine exakte Beschreibung der Verhältnisse sind viel-

334

Kompressible Strömungen

mehr die in den Gleichungen 5.20 bis 5.25 angegebenen Beziehungen der reibungsbehafteten Expansionsströmung heranzuziehen. Gleichwohl sind die Unterschiede zwischen isentroper und polytroper Betrachtung – zumindest bei guten Expansionswirkungsgraden – relativ gering (vgl. Beispiel 41 und Bild 5.23). Aus dem Wirkungsgrad

hExpansion = j2 kann mit Gleichung 5.24 bzw. 5.25 der Polytropenexponent n bestimmt werden. Für die bei der reibungsbehafteten Expansion im Austrittsquerschnitt herrschenden Strömungsgrößen ergibt sich analog zur Vorgehensweise der isentropen Betrachtung:

k p p 5 f 2 · k53 · 5 · 1 –
5  –1 r p

Der bei polytroper kritischer Expansion im Austritt herrschende Druck pa ist größer als der bei isentroper kritischer Expansion auftretende Druck pa, s . Somit folgt für die kritischen Größen der polytropen Zustandsänderung:


 f

1 2 n5 –1 Yp, max = 9 · n+1

6393 k n–1 8·9 k–1 n+1

(Gl. 5.67)

n–1 f9 6 n + 1 pt1 krit



 pa 5 pt1

k 2 5 k–1 = 9 k+1 (Gl. 5.66)



 krit

t1

t1

6300971 2 n+1

Yp =

002


5 T  Ta

t1

2 =8 n +1 krit

(Gl. 5.71)

1 2 n –1 5 = 9 n+1 krit

(Gl. 5.72)



 ra 5 rt1

Bei reibungsbehafteter Strömung ergibt sich also im kritischen Querschnitt am Austritt eine Mach-Zahl Ma < 1. Durch die Reibungseffekte wird die Strömung nicht bis auf Schallgeschwindigkeit beschleunigt (wa < a). Die bei reibungsbehafteter Strömung im Austrittsquerschnitt auftretenden Drücke und Temperaturen liegen höher als bei isentroper Ausströmung; die Dichte ist kleiner als im reibungsfreien Fall. Für den kritischen Massenstrom ergibt sich: · m = y · (r ) · (w ) · A krit

a krit

a krit

a

· =y·A ·Y d972 m 2 · pt1 · rt1 (Gl. 5.73) krit a p, max ·

Ausströmvorgänge

Beispiel 41

Mit der isentropen Ausflussfunktion Ys (Gleichung 5.52)

Aufgabenstellung: Es sollen verschiedene Ausströmvorgänge aus einem Druckluftbehälter (ideales Gas mit Ri = 287 J/(kg · K), k = 1,4) detailliert untersucht werden. Durch eine Austrittsöffnung von d = 50 mm Durchmesser tritt die Druckluft ins Freie, wobei der Umgebungsdruck pUm = 1 bar beträgt. Die Widerstandszahl der aus einem kurzen Rohrstück mit aufgesetzter Düse und einem geöffneten Schieber bestehenden Öffnung beträgt z = 0,3, die Kontraktionszahl y = 0,9. Die Temperatur im Behälter liegt bei Tt1 = 300 K. Der austretende Massenstrom sowie Druck, Temperatur, Geschwindigkeit und Mach-Zahl im Austrittsquerschnitt sind zu bestimmen a) für einen Behälterinnendruck von pt1 = 1,25 bar b) für einen Behälterinnendruck von pt1 = 6 bar

k p – p 5 f k53 · 5 –
5  – 1 
p  p 630097 k+1 2

Ys =

a

t1

Ys =

f

k

a

k

t1

630097 2 1,4 + 1 1,4 1,4 4 7 1,4 = 0,3964 92 · 0,8 – 0,8 1,4 – 1





ergibt sich für den Massenstrom (Gleichung 5.54), zunächst unter Vernachlässigung des Dichteverhältnisses: · = ra · m · A · Y · d972 m 2 · pt1 · rt1 a s 6 ra, s · = 1 · 0,753 · 1,9635 · 10–3 · 0,3964 m · d9997 2 · 125 000 · 1,4518 · = 0,353 kg/s m Isentrope Austrittsgeschwindigkeit nach SAINT-VENANT und WANTZEL (Gleichung 5.49b): 6300970 –1 k pa k5 k wa, s = 2 · 53 · Ri · Tt1 · 1 – 5 k–1 pt1

f

Lösung:


 

1,4 7 f 2 · 92 · 287 · 300 · 1 – 0,8  1,4 – 1

63009707 1,4 – 1

wa, s =

1,4

Die Verluste und der Kontraktionseinfluss werden beschrieben durch 9 6 j = d 1 – z = d 0,7 = 0,8367

wa, s = 192,94 m/s

hExpansion = j2 = 0,7

Tatsächliche Austrittsgeschwindigkeit:

m = y · j = 0,9 · 0,8367 = 0,7530

wa = j · wa, s = 0,8367 · 192,94

Die geometrische Austrittsfläche beträgt

335

wa = 161,43 m/s

p · d2 p · 0,052 Aa = 9 = 95 = 1,9635 · 10–3 m2 4 4

Mit dem Energiesatz (Gleichung 5.15) folgt

a) Das Druckverhältnis ist nach Tabelle 5.2 unterkritisch:

(k – 1) · wa2 (1,4 – 1) · 161,432 Ta = Tt1 – 018 = 300 – 000 2 · k · Ri 2 · 1,4 · 287

pUm pa 1 = = 7 = 0,8 > 0,528 6 pt1 5 pt1 1,25 pa = 100 000 Pa Die Dichte im Druckbehälter beträgt für das ideale Gas pt1 125 000 kg rt1 = 73 = 06 = 1,4518 53 Ri · Tt1 287 · 300 m

Ta = 287,03 K wa 161,43 Ma = 016 = 000 97 9793 dk · Ri · Ta d1,4 · 287 · 287,03 Ma = 0,475

336

Kompressible Strömungen

Abschließend wird das zunächst zu 1 gesetzte Dichteverhältnis betrachtet:

Die isentrope Ausflussfunktion nimmt ihren Maximalwert Ys, max an (Gleichung 5.57).

pa 100 000 kg ra = 73 = 064 = 1,2139 53 Ri · Ta 287 · 287,03 m

8 1 2 k k5 –1 · 8 = 0,4842 Ys, max = 9 k+1 k+1

1 pa –1 kg 3 ra, s = rt1 · 5 k = 1,4518 · 0,81,4 = 1,2379 53 m pt1




ra 1,2139 1 = 02 = 0,9806 = 93 6 1,0197 ra, s 1,2379 Der oben angegebene Massenstrom liegt also um rd. 2 % zu hoch. Für den korrekten, mit dem Dichteverhältnis korrigierten Wert ergibt sich: · = 0,9806 · 0,353 kg/s m korr

· m korr = 0,346 kg/s Da der Ausströmvorgang unterkritisch ist, führt die Berechnung mit Hilfe des Expansionswirkungsgrades und der Polytropenbeziehungen zum gleichen Ergebnis und wird hier nicht wiedergegeben.




f

Damit ergibt sich der Massenstrom (Gleichungen 5.53 und 5.54), zunächst wiederum unter Vernachlässigung des Dichteverhältnisses: · =A ·Y d972 m 2 · pt1 · rt1 th a s, max · · = 1,9635 · 10–3 · 0,4842 m th 0002 · d 2 · 600000 · 6,9686 · = 2,749 kg/s m th · = ra · m · m · = 1 · 0,753 · 2,749 m th 6 ra, s · = 2,070 kg/s m Berechnung der weiteren kritischen Größen im Austrittsquerschnitt (Gleichung 5.60): 2 2 Ta, s = Tt1 · 8 = 300 · 02 = 250 K k+1 1,4 + 1

b) Das Druckverhältnis ist überkritisch (Tabelle 5.2, Gleichung 5.56).

972 wa, s = as · d k · Ri · Ta, s = 316,94 m/s

pUm 1 = = 0,167 < 0,528 6 pt1 3 6

wa = j · wa, s = 0,8367 · 316,94 m/s

Zunächst wird die Berechnung auf der Basis der isentropen Ausflussfunktion vorgenommen. Diese Vorgehensweise ist, wie oben ausgeführt, nicht exakt. Zur Verdeutlichung der quantitativen Unterschiede wird sie dennoch zunächst dargestellt und anschließend mit den exakten Ergebnissen der polytropen Berechnung verglichen. k 2 5 = 9 k – 1 = 0,5283 k+1



pa, s 7 pt1

krit



pa, s = 0,5283 · 600 000 pa, s = 316 969 Pa pt1 600 000 kg rt1 = 731 = 06 = 6,9686 53 Ri · Tt1 287 · 300 m

wa = 265,17 m/s (k – 1) · w2a (1,4 – 1) · 265,172 Ta = Tt1 – 09 = 300 – 000 2 · k · Ri 2 · 1,4 · 287 Ta = 265 K wa 265,17 Ma = 016 = 006 97 9744 dk · Ri · Ta d 1,4 · 287 · 265 Ma = 0,813 Nun wird noch das zunächst vernachlässigte Dichteverhältnis zwischen reibungsbehafteter und reibungsfreier Expansion auf den Austrittsdruck pa, s betrachtet:

Ausströmvorgänge pa, s 316 969 kg ra = 731 = 06 = 4,1676 53 Ri · Ta 287 · 265 m 1 pa, s k21 ra, s = rt1 · 7 = 6,9686 · 0,5283 13,4 pt1




kg = 4,4177 53 m ra 4,1676 1 = = 0,9434 = 93 6 ra, s 02 4,4177 1,0600 Der oben angegebene Massenstrom liegt also um genau 6 % zu hoch. Für den korrekten, mit dem Dichteverhältnis korrigierten Wert, ergibt sich · m = 0,9434 · 2,070 kg/s korr

· m korr = 1,953 kg/s




 
  250 ln 1 – 0,7 ·
1 – 52 n–1 300 9 = 99903 = 0,1944 n 250 7 ln 
7  300 Ta, s ln 1 – hExpansion · 1 – 52 n–1 Tt1 9 = 9990921 k n Ta, s k5 –1 ln 7 Tt1

1,4 1,4 – 1

n = 1,2413 Kritisches Druckverhältnis für die Polytrope (Gleichung 5.66): n 2 5 = 9 n – 1 = 0,5566 > 0,5283 n+1



 krit

Damit ergibt sich der Massenstrom (Gleichung 5.73): · =y·A ·Y d972 m 2 · pt1 · rt1 a p, max · · = 0,9 · 1,9635 · 10–3 · 0,3829 m · d9707 2 · 600000 · 6,9686 · = 1,957 kg/s m Berechnung der weiteren kritischen Größen im Austrittsquerschnitt mit den Gleichungen 5.71, 5.69, 5.68 und 5.72: 2 2 Ta = Tt1 · 72 = 300 · 08 = 267,70 K n+1 1,2413 + 1 Ta = 267,70 K

Die genaue Berechnung nutzt die Polytropenbeziehungen (Gleichung 5.24):

pa 5 pt1

337

pa = 0,5566 · 600 000 pa = 333 937 Pa Die polytrope Ausflussfunktion nimmt ihren Maximalwert Yp, max an (Gleichung 5.67). 00 1 2 k n–1 n –1 5 Yp, max = 9 · 8 · 8 = 0,3829 k–1 n+1 n+1


 f

k p n–1 f 2 · 53 ·5·8 k–1 r n+1 63004 t1

wa =

t1

f

6300004 1,4 600000 1,2413 – 1 2 · 533 · 03 · 07 1,4 – 1 6,9686 1,2413 + 1

wa =

wa = 254,74 m/s n–1 1,2413 – 1 f9 = f 08 k–1 1,4 – 1 0

Ma =

00

Ma = 0,777 Zur Kontrolle: 1 2 n5 –1 ra = rt1 · 9 = 6,9686 n+1




1 2 92 1,2413 – 1 · 08 1,2413 + 1






ra = 4,3464 kg/m3 · =y·r ·w ·A m a

a

a

· = 0,9 · 4,3464 · 254,74 · 1,9635 · 10–3 m · = 1,957 kg/s q.e.d. m · = 1,957 kg/s wird also Der Massenstrom m auch durch die zunächst eingeschlagene Be-

338

Kompressible Strömungen

rechnung mit Hilfe der isentropen Ausflussfunktion sehr gut wiedergegeben, wenn die Dichtekorrektur durchgeführt wird. Die berechneten Drücke, Geschwindigkeiten und Mach-Zahlen weichen in diesem Beispiel durch den Unterschied zwischen isentrop und polytrop bestimmtem kritischen Druck allerdings doch schon um bis ca. 5 % voneinander ab. Diese Abweichungen werden zunehmend größer bei Anstieg der Verluste, also kleineren Werten für j bzw. hExpansion. Für genaue Berechnungen der Austrittszustände ist also die Berücksichtigung der polytropen Zustandsänderung unumgänglich. In Bild 5.22 ist der in diesem Beispiel berechnete überkritische Ausströmvorgang qualitativ in einem h-s-Diagramm dargestellt. Bild 5.22

In der Praxis ist bei überkritischen Ausströmvorgängen häufig nur der austretende Massenstrom von Interesse. Betrachtet man die vereinfachte Berechnung ohne Dichtekorrektur (Gleichung 5.55)

5.6.2

Beispiel 41

Ausströmen mit Vorgeschwindigkeit

Bei dem in Bild 5.24 gezeigten Ausströmen mit Vorgeschwindigkeit können die in den

· d972 m 2 · pt1 · rt1 Näherung = y · j · Aa · Ys, max · und setzt diesen Massenstrom ins Verhältnis zum exakten Wert (Gleichung 5.65) · =y·A ·Y d972 m 2 · pt1 · rt1 a p, max · so lässt sich ein Korrekturfaktor Km· definieren, der zur genauen Bestimmung des Massenstroms verwendet werden kann. · m Yp, max Km· = 05 = 06 · m Näherung j · Ys, max

(Gl. 5.74)

Der Verlauf dieses Korrekturfaktors in Abhängigkeit von j ist für verschiedene Werte des Isentropenexponenten k in Bild 5.23 gezeigt. Der Verlauf verdeutlicht, dass für gute Expansionswirkungsgrade, d. h. große j-Werte, der Korrekturfaktor nahe 1 ist. Bild 5.23 Korrekturfaktor Km· für die einfache Berechnung des kritischen Massenstroms

339

Ausströmvorgänge h1 – ha hExpansion = j2 = 03 h1 – ha, s

ergibt sich für die Austrittsgeschwindigkeit:

k p p 5 f w + 2 · k53 ·4· 1– 4 – 1 r 
p   6300909 n–1

wa =

2 1

1

a

1

1

n

(Gl. 5.80)

2 p 5 f 1 + 00 · 1 –
4  (k – 1) · M p 6300906 n–1

Bild 5.24

w a = w1·

Ausströmen aus einer Rohrdüse

a

2 1

n

1

(Gl. 5.81)

letzten Abschnitten hergeleiteten Beziehungen zur Bestimmung des Ausströmzustandes für die isentrope Zustandsänderung in gleicher Weise verwendet werden. Es müssen lediglich zunächst die Totalzustände der Strömung im Rohr berechnet werden (Gleichungen 5.2, 5.15, 5.28 und 5.29): w1 M1 = 08 952 d k · Ri · T1




(Gl. 5.75)

· =r ·w ·A =y·r ·w ·A m 1 1 1 a a a



k–1 Tt1 = T1 · 1 + 8 · M 21 2






(Gl. 5.76)

k k –1

5.6.3



(Gl. 5.78)

Die reibungsfreie Austrittsgeschwindigkeit wa, s ergibt sich mit dem Energiesatz unter Berücksichtigung der Vorgeschwindigkeit w1 zu:

k p p 5 f w + 2 · k53 · 4 · 1 –
4  –1 r p 6300909 k–1 2 1

(Gl. 5.83)

(Gl. 5.77)

1 k–1 5 rt1 = r1 · 1 + 8 · M 21 k – 1 2

w a, s =

(Gl. 5.82)

Somit gilt für den Austrittsquerschnitt · · m m Aa = 05 = 08 y · ra · wa m · ra · wa, s

k–1 5 pt1 = p1 · 1 + 8 · M 21 2




mit dem bekannten Polytropenexponenten n, der aus den Gleichungen 5.24 bzw. 5.25 zu bestimmen ist. Die weitere Bestimmung der Größen im Austritt erfolgt mit den Polytropenbeziehungen der Gleichungen 5.20 bis 5.22. Für den Massenstrom gilt mit der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung des Kontraktionseinflusses

1

a

1

1

k

(Gl. 5.79)

Für die reibungsbehaftete Zustandsänderung mit dem Expansionswirkungsgrad

Laval-Düse

In den Abschnitten 5.6.1.3 und 5.6.1.4 wurde abgeleitet, dass sich bei einer adiabaten Expansion in einer Behälteröffnung mit konvergenter Düse der Druck im Austrittsquerschnitt höchstens auf den kritischen Druck absenkt und die Ausströmgeschwindigkeit höchstens den Wert der Schallgeschwindigkeit annimmt. Soll die Expansion über den kritischen Druck hinaus weitergehen und die Mach-Zahl größer als 1 werden, so muss die Düse nicht als einfache, sondern als konvergent-divergente Düse (Bild 5.25) ausgeführt werden, wie sie zum 1. Mal 1878 von KÖRTING in einer Dampfstrahlpumpe und 1883 von DE LAVAL in

340

Kompressible Strömungen

▼

Bild 5.25

Laval-Düse

einer Dampfturbine eingesetzt wurde. Heute werden Laval-Düsen in der Regelstufe von Dampfturbinen, in Strahlapparaten, Strahltriebwerken, Raketentriebwerken und Überschallwindkanälen eingesetzt. 5.6.3.1

Verhältnisse im Auslegungspunkt für eine reibungsfreie Strömung

Für alle folgenden Betrachtungen wird eine adiabate Strömung vorausgesetzt, d. h., die Totalenthalpie bleibt konstant. Die zum Erreichen von Überschallgeschwindigkeit notwendige konvergent-divergente Düsengeometrie leitet sich aus der Flächen-Geschwindigkeits-Beziehung (Abschnitt 5.4) ab: dw 1 dA = 01 · 6 2 –1 6 A w M Im konvergenten Düsenteil wird zunächst die Unterschallströmung beschleunigt (M < 1, dw > 0, dA < 0).

Im Halsquerschnitt der Düse wird der kritische Strömungszustand erreicht (M = 1, dw = 0, dA = 0). Der Verlauf der Strömungsgrößen bis zu diesem engsten Querschnitt der Düse entspricht exakt den Verhältnissen in einer konvergenten Düse bei kritischer Ausströmung. Die kritischen Zustandsgrößen werden mit den Gleichungen 5.56 bis 5.61 beschrieben. Der theoretische Massenstrom ist bei gegebenem Totalzustand und kritischer Strömung durch den Halsquerschnitt der Düse Amin begrenzt. · =A ·Y d972 m 2 · pt1 · rt1 th min s, max ·

(Gl. 5.84)

Ausgehend von diesem kritischen Zustand wird im divergenten Düsenteil bei weiterer Druckabsenkung die Überschallströmung beschleunigt (M > 1, dw > 0, dA > 0). Für einen beliebigen Querschnitt Ax in der Düse gilt aus Kontinuitätsgründen · = A · Y · d972 m 2 · pt1 · rt1 th x x, s

(Gl. 5.85)

Ausströmvorgänge Somit ergibt sich für das Flächenverhältnis Ax Ax Ys, max 8 = 7 = 92 Yx, s Amin Akrit

(Gl. 5.86)

Mit den Gleichungen 5.52 und 5.57 folgt:


 f

63 1 2 5 k k–1 · 8 9 k+1 k+1 Ax 7 = 000002 6399993 +1 Akrit k px, s –k2 px, s k5 k 8· 6 – 7 k–1 pt1 pt1

f



 


 f f 

 

63 1 2 k5 k–1 –1 · 8 9 k+1 k+1 Ax 7 = 00002 639992 +1 2 Akrit px, s –k px, s k5 k 6 – 7 pt1 pt1

(Gl. 5.87)

Für ein bestimmtes Druckverhältnis (px,s/pt1) können die anderen Strömungsgrößen mit der Energiegleichung und der Isentropenbeziehung (Gleichungen 5.15, 5.29 und 5.50) bzw. der Ausflussgleichung von SAINT-VENANT und WANTZEL bestimmt werden:

Mx, s =

f

63009 –k 2 px, s 15 k –1 53 · 7 k–1 pt1














Tx, s k–1 2 7 = 1 + 7 · M x, s 2 Tt1



(Gl. 5.88)

–1

(Gl. 5.89)

–1 rx, s k–1 k5 –1 2 7 = 1 + 7 · M x, s 2 rt1

(Gl. 5.90)

k p p 5 f 2 · k53 · 5 · 1 –
7  –1 r p

6300995 k–1

wx, s =

t1

x, s

t1

t1

k

(Gl. 5.91) Bild 5.26 stellt die mit diesen Gleichungen beschriebenen Zusammenhänge für die isen-

341

trope Luftströmung (k = 1,4) in einer LavalDüse dar. Der Überschallbereich, der sich stromab des kritischen Querschnitts ergibt, ist jeweils durch die roten Kurven hervorgehoben. Temperatur, Dichte und Druck sinken bei der Überschallexpansion sehr stark ab. In Überschallwindkanälen kann es in Verbindung mit feuchter Luft hierdurch zu Kondensation und Vereisung kommen. Der parabolische Verlauf von Akrit/Ax bedeutet, dass zu einem Flächenverhältnis jeweils 2 mögliche Druck-, Dichte-, Temperaturverhältnisse und Mach-Zahlen existieren, nämlich die im konvergenten Düsenteil auftretende Unterschallund die im divergenten Düsenteil auftretende Überschalllösung. Die Mach-Zahl steigt für kleine Druckverhältnisse sehr stark an und geht theoretisch gegen ∞. Hierfür wäre allerdings eine ebenfalls unendlich große Fläche notwendig, so dass dieser Fall in der Realität nicht existiert. Durch Einsetzen von Gleichung 5.88 in Gleichung 5.87 ergibt sich eine Formulierung für den Flächenverlauf in der Laval-Düse abhängig von der Mach-Zahl und dem Isentropenexponenten, die direkt für die Geometrieauslegung einer Laval-Düse verwendet werden kann (Bild 5.27). k+1 Ax 1 2 k–1 27 ·(k–1) 2 1 + · M = · · x, s 8 7 8 8 Akrit Mx, s k + 1 2 (Gl. 5.92)








Um also eine vorgegebene Mach-Zahl am Austritt der Düse zu erzeugen, muss ein bestimmtes Flächenverhältnis durch die Geometrie der Düse realisiert sein. Diesem entspricht auch ein bestimmtes Druckverhältnis, das sich einstellt. Wenn der daraus resultierende Austrittsdruck aus der Laval-Düse genau dem Gegendruck hinter der Düse, bei Expansion ins Freie also dem Umgebungsdruck entspricht, spricht man von einem angepassten Betrieb oder vom Auslegungspunkt der Laval-Düse. Um z.B. für Anwendungen in Überschallwindkanälen unterschiedliche Mach-Zahlen zu erzeugen, sind folglich Düsen unterschiedlicher Geometrie notwendig. Tatsächlich werden Laval-Düsen häufig mit Verstellgeome-

342

Kompressible Strömungen Bild 5.26 Gasdynamische Größen der isentropen Strömung in der Laval-Düse

trien ausgeführt, um diesen Anforderungen zu genügen. Die maximal mögliche Austrittsgeschwindigkeit aus einer Laval-Düse ergibt sich nach Gleichung 5.49 bei Ausströmen ins Vakuum, d.h. wenn der Austrittsdruck pa = pUm = 0 wird. wa, max =

f

008 k 2 · 53 · Ri · Tt1 = k–1

f

010 k pt1 2·7·4 k – 1 rt1 (Gl. 5.93)

Bei diesem Ausströmvorgang würde die gesamte Totalenthalpie in kinetische Energie umgesetzt, folglich würde die Temperatur Ta, s dabei auf 0 K absinken. Auch hierfür wäre eine unendliche Austrittsfläche erforderlich,

so dass diese maximale Austrittsgeschwindigkeit real nicht erreicht wird. 5.6.3.2

Verhältnisse im Auslegungspunkt für eine reibungsbehaftete Strömung

Unter Berücksichtigung der Reibungs- und Kontraktionseffekte werden die Zustände in der Düse analog zu den Ausführungen in Abschnitt 5.6.1.4 mit den Gleichungen 5.62 bis 5.72 beschrieben. Bei Vorliegen eines h-s-Diagrammes kann die Ausströmgeschwindigkeit mit 92 92 wa = j · d 2 · Dhs = d 2 · Dh ermittelt werden.

(Gl. 5.94)

Ausströmvorgänge Die Mach-Zahl M = 1 stellt sich für die polytrope Zustandsänderung nicht genau im geometrisch engsten Querschnitt ein, sondern etwas weiter stromab im divergenten Teil der Düse. Laval-Düsen sind i. d. R. strömungsmechanisch optimierte Bauteile, die hohe Expansionswirkungsgrade und Geschwindigkeitsbeiwerte erreichen. Typische Werte für den Geschwindigkeitsbeiwert liegen bei 0,95…0,99, die Kontraktionszahl liegt nahe bei 1. Die Anwendung der häufig verwendeten Massenstromberechnung gemäß · =y·j·A ·Y d962 m 2 · pt1 · rt1 min s, max · 962 = m · Amin · Ys, max · d 2 · pt1 · rt1 (Gl. 5.95) wird daher i. d. R. nur zu geringen Fehlern führen. Grundsätzlich sei aber die Anwendung der in Gleichung 5.74 angegebenen Korrektur empfohlen.

Bild 5.27

Flächenverlauf in der Laval-Düse

5.6.3.3

343

Strömungsverhältnisse bei nicht angepasstem Betrieb

Entspricht der Gegendruck am Düsenaustritt nicht dem dem Flächenverhältnis der Düse zugeordneten Druck, ergibt sich in der LavalDüse bzw. im Austrittsstrahl eine gestörte Strömung. In Bild 5.28 sind die verschiedenen Strömungszustände, die sich bei unterschiedlichen Gegendrücken pa ergeben, gegenübergestellt. a) pt1 > pa ≥ pa2 In der gesamten Laval-Düse herrscht unterkritischer Betrieb, bei pa = pa2 wird im engsten Querschnitt der Düse gerade der kritische Zustand erreicht (M = 1). Der divergente Teil der Düse wirkt als Unterschalldiffusor. Die Laval-Düse arbeitet wie ein Venturi-Rohr. b) pa = pa3 Dies ist der angepasste Betrieb für die Überschalllösung, die Laval-Düse arbeitet in ihrem Auslegungspunkt. Die Beschleunigung der Strömung im konvergenten Teil der Düse erfolgt genauso wie für den Fall pa = pa2. Da im engsten Querschnitt der kritische Zustand herrscht, kann keine Störungsausbreitung stromauf in den konvergenten Teil der Düse erfolgen. Dies gilt auch für alle weiteren Betriebszustände. Im divergenten Teil der Laval-Düse beschleunigt die Überschallströmung kontinuierlich. c) pa4 ≤ pa ≤ pa2 Für diesen Druckbereich ist keine isentrope Strömung in der Düse möglich. Der kritische Zustand im engsten Querschnitt wird erreicht, die Strömung beschleunigt in den Überschall hinein. Der Gegendruck hinter der Düse ist nicht angepasst, daher findet eine diskontinuierliche Änderung der Strömungsgrößen über einen senkrechten Verdichtungsstoß hinweg statt. Im senkrechten Verdichtungsstoß wird die Strömung auf M < 1 verzögert, stromab des Stoßes ergibt sich eine weitere Unterschallverzögerung bis auf den Austrittsdruck pa. Der Verdichtungsstoß ist eine verlustbehaftete Zustandsänderung (Abschnitt 5.7.1) und kann innerhalb der Düse zu Grenzschichtablösungen und Strömungsinstabilitäten führen.

344

Kompressible Strömungen

Bild 5.28

Verschiedene Betriebszustände einer Laval-Düse

Ausströmvorgänge d) pa = pa4 Der senkrechte Verdichtungsstoß steht genau im Austrittsquerschnitt der LavalDüse. Druck- und Mach-Zahl-Verlauf innerhalb der Düse entsprechen dem Auslegungszustand, ebenso wie für die beiden nächsten Betriebspunkte. e) pa3 < pa < pa4 In der Abströmung stellen sich zunächst schräge Verdichtungsstöße im Strahl ein. Diese werden am Strahlrand als Expansionsfächer reflektiert. Der Querschnitt des Strahls ändert sich hierdurch, es kommt in der Regel zu Strahlschwingungen. Wegen der fehlenden Stromaufwirkung bleibt die

345

Strömung innerhalb der Düse hiervon unbeeinflusst. f) pa < pa3 Am Austritt der Laval-Düse entsteht ein Expansionsfächer, der zu einem Aufplatzen des Strahls führt. Am Strahlrand entstehen durch Reflexion Kompressionswellen. Der Austrittsstrahl schwingt. Wiederum erfolgt keine Rückwirkung auf die Strömungsverhältnisse in der Düse. Alle dargestellten Zustandsänderungen mit Ausnahme des Falls 3 verlaufen innerhalb der Düse isentrop. Somit bleibt der Totaldruck der Strömung innerhalb der Düse konstant.

Beispiel 42 Aufgabenstellung: An einem Druckbehälter, in dem sich Luft unter einem Druck pt1 = 6 bar und Tt1 = 300 K befindet (vgl. Beispiel 41), ist eine Laval-Düse angeschlossen, die im kleinsten Querschnitt einen Durchmesser von d = 50 mm aufweist. Die Laval-Düse arbeitet im angepassten Zustand, die Berechnung soll zunächst isentrop erfolgen. Der Außendruck beträgt pUm = 1 bar. a) Wie groß ist der austretende Luftmas· ? senstrom m th b) Welche Austritts-Mach-Zahl Ma, s und welche Austrittstemperatur Ta, s ergeben sich? c) Wie groß ist die Austrittsfläche Aa der Düse? · erd) Welcher tatsächliche Massenstrom m gibt sich für einen Geschwindigkeitsbeiwert j = 0,97 und eine Kontraktionszahl y = 0,99? Lösung: a) Für den theoretischen Massenstrom folgt der gleiche Wert wie in Beispiel 41, da der Totalzustand im Behälter und der kritische Querschnitt der Düse unverändert sind.

· = 2,749 kg/s m th b) Die Düse arbeitet angepasst. Somit ergibt sich das Druckverhältnis aus Umgebungsdruck und Behälterinnendruck: pa, s pUm 1 = = 6 pt1 3 6 pt1 7 Mit den Gleichungen 5.88 und 5.89 folgt für die isentrope Austritts-Mach-Zahl und Austrittstemperatur: 2 p 5 f k53 – 1 · 
7 –1 p 63009 1–k

Ma, s =

a, s

k

t1

Ma, s =

f

63000 – 1,4 2 1 17 1,4 –1 92 · 3 1,4 – 1 6






Ma, s = 1,828


 1,4 – 1 = 300 ·
1 + 01 · 1,828  2

k–1 Ta, s = Tt1 · 1 + 8 · M 2a, s 2 Ta, s

–1

Ta, s = 179,8 K = – 93,3°C

2

–1

346

Kompressible Strömungen

c) Mit Gleichung 5.92 ergibt sich für die Austrittsfläche:






k+1 2·(k–1)

 7

2 k–1 Akrit Aa = 8 · 8 · 1 + 8 · M 2a, s Ma, s k + 1 2 1,9635 · 103 Aa = 00 · 1,828 2 1,4 – 1 · 84 · 1 + 83 · 1,828 1,4 + 1 2






Km· = 0,98 · · · m Näherung = m · m th = y · j · m th · =K· ·m · · · m m Näherung = Km · y · j · m th

1,4 + 1 2·(1,4–1)

 9

Aa = 2,887 · 10–3 m2

5.6.3.4

d) Mit Verwendung des Korrekturfaktors nach Gleichung 5.74 ergibt sich für j = 0,95 aus Bild 5.23

· = 0,98 · 0,99 · 0,97 · 2,749 m · = 2,587 kg/s m

Konstruktive Gestaltung von Laval-Düsen

Je nach Verwendungszweck wird für die Kontur der Laval-Düse ein besonders geeigneter Querschnittsverlauf gewählt. Laval-Düsen in Strahlapparaten, Strahltriebwerken und kleinen Dampfturbinen werden meist kegelförmig mit Kreisquerschnitten ausgeführt, wobei der Erweiterungswinkel a (Bild 5.29) zur Gewährleistung einer ablösungsfreien Strömung unter 10° liegen sollte. Der Abrundungsradius r des konvergenten Düsenteils sollte möglichst groß gewählt werden, um den Geschwindigkeitsbeiwert j groß zu halten. Laval-Düsen in Raketenantrieben

Bild 5.30

und Überschall-Staustrahltriebwerken haben mit Rücksicht auf einen guten Wirkungsgrad oft eine glockenförmige Gestalt (Bild 5.30). Bei der Glockenform sind maximale Öffnungswinkel zwischen 36° und 86° unmittelbar hinter dem Düsenhals und 10º…40° am Austritt üblich [5.9, 5.10]. In den Leiträdern der Regelstufen von Dampfturbinen werden die Konturen der Laval-Düse durch die Druck- und Saugseiten von geeignet ausgebildeten Profilen gebildet (Bild 5.31). Der Erweiterungswinkel sollte nach Möglichkeit 10° nicht überschreiten. Kritisch arbeitende Laval-Düsen werden darüber hinaus als Massenstrombegrenzer für Mess- und Kalibriereinrichtungen verwendet.

5.7

Bild 5.29

Laval-Düse mit Kreisquerschnitt

Laval-Düse eines Raketenantriebes

Verdichtungsstöße

Bei der Betrachtung der adiabaten reibungsbehafteten Rohrströmung und bei der Diskussion der Strömungsverhältnisse in der Laval-

Verdichtungsstöße

347

Bild 5.31 Laval-Düse einer Dampfturbinenbeschaufelung

Düse bei nicht angepasstem Gegendruck wurde bereits auf das Auftreten von Verdichtungsstößen hingewiesen. Verdichtungsstöße treten ausschließlich in Überschallströmungen auf und verursachen schlagartige Änderungen von Geschwindigkeit, Druck, Mach-Zahl, Dichte, Temperatur und Entropie. Diese stoßartigen Zustandsänderungen erfolgen verlustbehaftet in einer hauchdünnen Stoßfront (Größenordnung 10–4 bis 10–3 mm). Lediglich die Totalenthalpie bleibt über einem Verdichtungsstoß konstant, da keine Energie zu- oder abgeführt wird. Die Beschreibung der Zustandsänderung über einem Verdichtungsstoß gelingt durch die Anwendung der Kontinuitätsgleichung, des Impulssatzes und der Energiegleichung in Verbindung mit der thermodynamischen Zustandsgleichung. Auf die theoretische Ableitung dieser Beziehungen wird hier verzichtet und auf die weitere Fachliteratur verwiesen [5.11 bis 5.13]. Je nach Lage der Stoßfront zur Strömungsrichtung unterscheidet man den senkrechten Verdichtungsstoß und den schrägen Verdichtungsstoß. 5.7.1

Bild 5.32

Senkrechter Verdichtungsstoß

mung 1 wird in eine Unterschallströmung 2 überführt. Durch diese Verzögerung steigen Druck, Temperatur, Dichte, Entropie und Schallgeschwindigkeit an. Mach-Zahl, Geschwindigkeit und Totaldruck verringern sich. Zwischen den Strömungszuständen vor und nach der Stoßfront gelten folgende, in Bild 5.33 dargestellte Zusammenhänge: r2 (k + 1) · M 21 4 = 006 r1 (k – 1) · M 21 + 2

(Gl. 5.96)

p2 2·k 2 4 = 1 + 8 · (M 1 – 1) k+1 p1

(Gl. 5.97)

Senkrechter Verdichtungsstoß

Bild 5.32 zeigt schematisch die Strömungsverhältnisse beim senkrechten Verdichtungsstoß. Die Strömungsrichtung bleibt über der Stoßfront unverändert. Die Überschallströ-

348

Kompressible Strömungen

T2 a22 2 · (k – 1) k · M 21 + 1 · 08 · (M 21 – 1) 4 = 42 = 1 + 06 (k + 1)2 M 21 T1 a 1 (Gl. 5.98)







1 pt1 2·k k–1 5 2 · 4 = 1 + 7 · (M 1 – 1) k+1 pt2 k (k + 1) · M 21 5 1–k 007 2 (k – 1) · M 1 + 2



s2 – s1 pt1 0 = ln 5 pt2 Ri

(Gl. 5.100)

f

(Gl. 5.101)

M2 =

005 k–1 1 + 53 · M 12 2 004 < 1 k–1 k · M 12 – 8 2






w2 1 2 5 = 8 · k – 1 + 52 M1 w1 k + 1

5.7.2

Bild 5.33 Zustandsänderungen über einem senkrechten Verdichtungsstoß

(Gl. 5.99)

(Gl. 5.102)

Schräger Verdichtungsstoß

Der schräge Verdichtungsstoß bildet sich in Überschallströmungen an Umlenkungen wie in Bild 5.34 durch eine einspringende Ecke mit dem Keilwinkel b aus. Die Stoßfront bildet zur Anströmrichtung den Stoßwinkel s. Dieser Stoßwinkel ist immer größer als der zur zugehörigen Anströmmachzahl M1 gehörende Mach’sche Winkel a1. Die Strömung wird im Stoß umgelenkt und verzögert. Druck, Temperatur, Dichte, Entropie und Schallgeschwindigkeit steigen an. Mach-Zahl, Geschwindigkeit und Totaldruck nehmen ab. Die normal (senkrecht) auf der Stoßfront stehende Geschwindigkeitskomponente w1n wird im Stoß auf w2n verzögert, hierfür gelten die o.g. Beziehungen des senkrechten Verdichtungsstoßes. Obwohl die Normalgeschwindigkeitskomponente nach dem Stoß also kleiner als die Schallgeschwindigkeit ist, bleibt die Strömung nach dem

Verdichtungsstöße

349

schrägen Stoß in der Praxis in den meisten Fällen im Überschall. Die Tangentialkomponente der Geschwindigkeit ändert sich im Verdichtungsstoß nicht (w1t = w2t). Der Zusammenhang zwischen dem Stoßwinkel s und dem Umlenkwinkel b wird für b > 0 beschrieben:






k+1 M 21 cot b = tan s · 8 · 007 –1 2 (M1 · sin s)2 – 1 (Gl. 5.103) Schräger Verdichtungsstoß an einem

Bild 5.35 Winkelbeziehungen beim schrägen Verdichtungsstoß mit starker und schwacher Lösung

➝

Bild 5.34 Halbkeil

Hiermit ergeben sich, wie in Bild 5.35 dargestellt, 2 mögliche Lösungen zu einem Keil-

350

Kompressible Strömungen

winkel b, die durch unterschiedliche Stoßwinkel s und unterschiedliche Stoßstärken gekennzeichnet sind. Die sog. starke Lösung ergibt sich für große Stoßwinkel und führt zu einer Unterschallströmung nach dem Stoß. Ist der Keilwinkel b > bmax, rückt der Verdichtungsstoß von der Keilspitze ab, und es entsteht ein Unterschallgebiet an der Keilspitze. Mit der schwachen Lösung ergibt sich mit Ausnahme eines kleinen Bereiches in der Nähe von bmax eine Überschallströmung nach dem Stoß. Dieser Bereich wird durch die eingezeichnete Linie M2 = 1 begrenzt. Der Fall der schwachen Lösung mit M2 > 1 tritt in der Praxis am häufigsten auf. Er ist in Bild 5.36 zusätzlich als s = f (M1) für verschiedene Keilwinkel b dargestellt. Mit bekanntem Stoßund Keilwinkel lassen sich die Zustandsänderungen über dem schrägen Verdichtungsstoß beschreiben: r2 (k + 1) · M 21 · sin2s 4 = 0007 r1 (k – 1) · M 21 · sin2s + 2

p2 2·k 2 2 4 = 1 + 8 · (M 1 · sin s – 1) k+1 p1

(Gl. 5.105)

T2 a 22 2 · (k – 1) k · M 21 · sin2s + 1 = 1 + · 9992 · 5=5 97 (k + 1)2 M 21 · sin2s T1 a 12 2 2 · (M 1 · sin s – 1) (Gl. 5.106)


 (k + 1) · M · sin s 5 ·
0008 (Gl. 5.107) (k – 1) · M · sin s + 2

1 pt1 2·k k5 –1 2 2 · 4 = 1 + 8 · (M 1 · sin s – 1) k+1 pt2 2 1

2 1

s2 – s1 pt1 0 = ln 5 pt2 Ri

2

k 1–k

2

(Gl. 5.108)

(Gl. 5.104)

k–1 1 + 53 · M 12 · sin2s 2 M22 · sin2 (s – b) = 0005 k–1 k · M 12 · sin2s – 8 2 (Gl. 5.109) Setzt man in diese Gleichungen b = 0 und den Stoßwinkel s = 90° ein, erhält man die bereits für senkrechte Verdichtungsstöße angegebenen Beziehungen.

5.8

Bild 5.36 Winkelbeziehungen beim schrägen Verdichtungsstoß (schwache Lösung)

Prandtl-Meyer-Expansion

Bei der Ausströmung der Laval-Düse wurde neben den Verdichtungsstößen auch bereits der Begriff des Expansionsfächers erwähnt. Folgt eine Überschallströmung einer abgeknickten Wand oder umströmt sie eine Ecke, so findet eine Expansionsströmung in Form eines Fächers statt (Bild 5.37). Für nicht zu große Umlenkwinkel b löst die Strömung nach der Umlenkung nicht ab. Im Gegensatz zum stark verlustbehafteten Verdichtungsstoß verläuft diese als Prandtl-

Prandtl-Meyer-Expansion

351

Bild 5.37 Prandtl-Meyer-Expansion an einer abgeknickten Wand

Meyer-Expansion bezeichnete Strömung bei Absenkung des statischen Drucks und Erhöhung der Geschwindigkeit und Mach-Zahl isentrop. Zur Beschreibung der Zustandsänderung wird die Prandtl-Meyer-Funktion n eingeführt:

k +1 k –1 f 53 · arctan f 53 (M – 1) k–1 k +1 9

n=

008 2

93 – arctan [d M2 – 1]

Verlauf der Prandtl-Meyer-Funktion

(Gl. 5.110)

Hiermit gilt für die Expansion mit dem Umlenkwinkel b:

n1 + b = n2

Bild 5.38

(Gl. 5.111)

Die Winkel sind im Bogenmaß einzuführen. Der Verlauf der Prandtl-Meyer-Funktion ist in Bild 5.38 dargestellt und erlaubt die einfache Bestimmung der Mach-Zahl M2 nach der Expansion. Zur detaillierten Berech-

Beispiel 43

nung der weiteren Strömungsgrößen kann auf die bekannten Isentropenbeziehungen und den Energiesatz (Gleichungen 5.15, 5.28 und 5.29) zurückgegriffen werden. Aus den Mach-Zahlen M1 und M2 lassen sich mit Gleichung 5.3




1 a = arcsin 4 M

die Mach’schen Winkel a1 und a2 bestimmen, die den Expansionsfächer begrenzen.

Wie groß sind Mach-Zahl, Druck und Temperatur nach der Umlenkung?

Aufgabenstellung: Betrachtet wird eine Expansionsströmung mit Luft nach Bild 5.37 mit M1 = 2, p1 = 1 bar und T1 = 300 K. Der Umlenkwinkel beträgt 12,74°.

Lösung: Der Wert der Prandtl-Meyer-Funktion der Zuströmung mit M1 = 2 nach Gleichung 5.110 beträgt

352

Kompressible Strömungen 1,4 + 1 1,4 – 1 f 01 · arctan f 01 (2 – 1) 1,4 – 1 1,4 + 1 02

n1 =

0394 2

83 – arctan [d 22 – 1 ]

12,74 · p b = 05 = 0,2224 180

540 Tt1 T2 = 007 = 0063 k–1 1,4 –1 1 + 8 · M 22 1 + 83 · 2,52 2 2




folgt für n2

n2 = n1 + b = 0,4604 + 0,2224 = 0,6828 Aus Bild 5.38 oder durch iterative Lösung der Gleichung 5.110 ergibt sich M2 = 2,5 Berechnung des Totalzustandes der Zuströmung:



k–1 Tt1 = T1 · 1 + 8 · M 21 2



1,4 – 1 = 300 · 1 + 83 · 22 2

5.9




Die Strömung verläuft adiabat, daher bleibt die Totaltemperatur konstant:

Mit b im Bogenmaß







Tt1 k– 1 540 1,41,4– 1 pt1 = p1 · 5 k5 = 105 · 7 7 T1 300 pt1 = 782445 Pa

n1 = 0,4604




Tt1 = 540 K

Verdichtungsströmungen

Die Verdichtung eines kompressiblen Fluids erfordert nach der Flächen-GeschwindigkeitsBeziehung (s. Abschnitt 5.4) für Unterschallströmungen einen Diffusor mit einer Querschnittserweiterung, für Überschallströmungen hingegen einen Diffusor mit Querschnittsverengung. Sowohl im Unterschalldiffusor als auch im Überschalldiffusor wird durch die Verzögerung der Strömung ein Druckaufbau erzielt, der mit einer Erhöhung der Temperatur einhergeht. In Bild 5.39 sind die Kanalverläufe sowie die Änderung der Zustandsgrößen im h-s-Diagramm (vgl. auch Bild 5.5) dargestellt. Bei verzögerten Strömungen in Diffusoren treten grundsätzlich größere Verluste als bei beschleunigten Strömungen in Düsen auf. Da-






T2 = 240 K Da die Prandtl-Meyer-Expansion isentrop verläuft, bleibt auch der Totaldruck konstant: pt1 p2 = 0076 k k–1 –1 1 + 8 · M 22 k5 2 782445 = 00071 1,4 1,4 – 1 1,4 – 1 1 + 83 · 2,52 7 2











p2 = 45795 Pa

her ist eine isentrope Beschreibung der Diffusorströmung für eine praxisnahe Betrachtung kaum geeignet. Zur Beschreibung der realen polytropen Zustandsänderung ist der Wirkungsgrad der Kompression (Gleichung 5.12), hier mit Bezug auf das Bauteil als hDiff bezeichnet, zu berücksichtigen. Dieser kann für ein ideales Gas auch über das Temperaturverhältnis beschrieben werden. Dhs ha, s – h1 Ta, s – T1 hKompression = hDiff = 6 = 03 = 04 Dh ha – h1 Ta – T1 (Gl. 5.112) –1 pa k5 k –1 5 Ta, s – T1 p1 Ta = T1 + 04 = T1 + 0029 hDiff hDiff

T1 ·






Verdichtungsströmungen w1 < a1

Bild 5.39

353

w1 > a1

Unterschall- und Überschalldiffusor

–1 pa k5 k – 1 + hDiff 5 p1 Ta = 040026 hDiff

T1 ·






lytropenexponent n ist für die Kompression mit der Gleichung 5.26 zu bestimmen: (Gl. 5.113)

Die Austrittsgeschwindigkeit folgt mit dem Energiesatz

–1 1 pa k5 k ln 1 – 6 · 1 – 4 n–1 hDiff p1 9 = 999092 n pa ln 4 p1





   

Die Austrittsgeschwindigkeit ergibt sich mit dem Energiesatz

w 21 w a2 h1 + 5 = ha + 5 2 2 w a2 w 12 w 12 = 5 + h1 – ha = 5 – cp · (Ta – T1) 5 2 2 2

f w – 2 · c · T · 
4pp 5 – 1 6300002 n–1

wa =

2 1

a

p

n

1

1

(Gl. 5.116) 92959 wa = d w 21 – 2 · cp · (Ta – T1)

(Gl. 5.114) und mit den Polytropenbeziehungen folgt

Mit der idealen Gasgleichung

(Gl. 5.117)

pa 2n1 ra = r1 · 4 p1

(Gl. 5.118)




pa ra = 0 Ri · Ta ergibt sich für den erforderlichen Austrittsquerschnitt des Diffusors · m Aa = 0 ra · wa

n–1 pa 5 n Ta = T1 · 4 p1

(Gl. 5.115)

Alternativ kann die Berechnung der Ausströmgrößen über die Polytropenbeziehungen (Gleichungen 5.21 und 5.22) erfolgen. Der Po-




Der Diffusorwirkungsgrad hängt von der Form und Rauigkeit des Diffusors ab. Als Anhaltspunkt für Unterschalldiffusoren sei auf den Abschnitt 4.7.7.4 verwiesen, in dem Diffusoren für inkompressible Strömungen beschrieben werden. Allerdings nimmt

354

Kompressible Strömungen

hDiff für steigende Mach-Zahlen ab (Bild 5.40). In [5.14] wird darauf hingewiesen, dass für höhere Eintrittsmachzahlen die Ablösegrenze (Linie a–a in Bild 4.126) um 5…10 % zu kleineren Öffnungswinkeln des Diffusors verschoben wird. Genaue Zahlenwerte müssen aus der Fachliteratur entnommen oder durch Versuche ermittelt werden. Für Überschalldiffusoren ist zu berücksichtigen, dass die Verdichtung höchstens bis zum kritischen Druckverhältnis k 2 5 = 8 k–1 k+1 krit



 pa, s 6 p1

(Gl. 5.119)

Bild 5.40

Diffusorwirkungsgrad

durchgeführt werden kann, da dann am Ende des Diffusors gerade Schallgeschwindigkeit erreicht wird.

Beispiel 44

Wie groß sind

Aufgabenstellung:

a) die Verdichtungstemperatur Ta am Diffusorende? b) der Verdichtungsenddruck pa? c) Eintrittsdurchmesser d1 und Austrittsdurchmesser da?

Durch den in Bild 5.41 dargestellten Unterschalldiffusor strömen je Sekunde 0,1 kg Luft. Die Geschwindigkeit soll von w1 = 200 m/s am Diffusoreintritt auf wa = 50 m/s am Diffusorende herabgesetzt werden. Der Diffusorwirkungsgrad soll zu h Diff = 0,85 angenommen werden. Die Eintrittstemperatur T1 beträgt 300 K, der Eintrittsdruck p1 = 1 bar.

Lösung: Frage a) Die Endtemperatur Ta ergibt sich aus Gleichung 5.114: 9006 wa = d w 21 – 2 · cp · (Ta – T1) w 2a = w 21 – 2 · cp (Ta – T1) w 21 – w 2a Ta – T1 = 04 2 · cp w 21 – w 2a Ta = T1 + 04 2 · cp 40 000 – 2500 Ta = 300 + 004 2 · 1004

Bild 5.41

Beispiel 44

37500 = 300 + 01 2008

Umströmung von Körpern

355

1,4 315,9 6 pa = 1 · 0 1,4 – 1 300




Ta = 300 + 18,7 Ta = 318,7 K



pa = 1 · 1,052 3,5

Frage b) Aus der in Gleichung 5.112 festgelegten Definition des Wirkungsgrades h Diff wird zunächst die isentrope Endtemperatur Ta, s bestimmt, aus der dann das Druckverhältnis pa/p1 berechnet wird. Dhs h Diff = 7 Dh Dh · h Diff = Dhs

pa = 1,194 bar Frage c) Die Berechnung des Ein- und Austrittsdurchmessers erfolgt über die Kontinuitätsgleichung: Eintrittsdurchmesser d1

Austrittsdurchmesser da

Ta, s = T1 + h Diff · (Ta – T1)

m˙ · Ri · T1 A1 = 70 p1 · w1

m˙ · Ri · Ta Aa = 70 pa · wa

Ta, s = 300 + 0,85 · 18,7 = 300 + 15,9

0,1 · 287 · 300 A1 = 004 105 · 200

0,1 · 287 · 318,7 Aa = 007 1,194 · 105 · 50

Ta, s = 315,9 K

A1 = 4,3 · 10– 4 m2

Aa = 15,3 · 10– 4 m2

A1 = 4,3 cm2

Aa = 15,3 cm2

cp · (Ta – T1 ) · h Diff = cp · (Ta, s – T1) (Ta – T1) · h Diff = Ta, s – T1

k pa Ta, s k5 –1 = 4 6 p1 T1




k Ta, s 5 pa = p1 · 6 k – 1 T1




5.10

Umströmung von Körpern

5.10.1

Strömungsbilder

Die Gestalt von Strömungsbildern kompressibel umströmter Körper hängt von der Körperform, der Anströmrichtung und der MachZahl ab. Wenn die Umströmung des Körpers im Unterschall verläuft, entstehen ähnliche Strömungsbilder, wie sie in Bild 4.198 für inkompressible Strömungen dargestellt wurden. Der Kompressibilitätseinfluss bewirkt allerdings, dass in den Überdruckzonen die Stromlinien infolge der Kompression näher aneinander rücken und sich in Unterdruckgebieten infolge der Expansion weiter auseinander ziehen (Bild 5.42).

d1 = 2,34 cm

da = 4,42 cm

Bild 5.42 Schematischer Stromlinienverlauf einer Profilumströmung

356

Kompressible Strömungen

Überschreitet jedoch trotz einer Unterschallanströmung die Geschwindigkeit an irgendeiner Stelle des umströmten Körpers aufgrund lokaler Beschleunigungen die dort herrschende Schallgeschwindigkeit, so entstehen Verdichtungsstöße, die das Strömungsbild wesentlich verändern. An Körpern, die mit Überschallgeschwindigkeit angeströmt werden, bilden sich je nach Körperform und Mach-Zahl verschiedene Stoßkonfigurationen aus. In Bild 5.43 ist die Umströmung verschiedener Körper im Überschallgebiet gegenübergestellt. Für Hyperschallströmungen, also MachZahlen > 5, ändern sich die dargestellten Strömungsbilder wesentlich [4.1]. 5.10.2

Druck- und Temperaturerhöhung im Staupunkt

Im Staupunkt wird die Strömung auf die Geschwindigkeit 0 abgebremst, so dass sich dort der Totalzustand der Strömung einstellt. Aus dem Energiesatz (Gleichung 5.15) folgt damit für die Staupunkttemperatur






k–1 Tt = T∞ · 1 + 8 · M ∞2 2

Platte

w∞

(Gl. 5.120)

spitzer Körper

w∞

Nimmt man zunächst einen isentropen Aufstau an, wie er für die Unterschallanströmung gegeben ist, folgt mit der Isentropenbeziehung für den isentropen Totaldruck der Zuströmung (Gleichung 5.28) k Tt 5 pt, s = pt, ∞ = p∞ · 5 k – 1 T∞ k k–1 5 = p∞ · 1 + 8 · M ∞2 k – 1 2







Für eine Überschallanströmung bildet sich vor dem angeströmten Körper ein Verdichtungsstoß (Bild 5.44), der auf der Staupunktstromlinie aus Symmetriegründen senkrecht zur Anströmrichtung verläuft. Hieraus resultiert ein Totaldruckverlust. Die Zustandsänderung verläuft polytrop. Der sich unter Berücksichtigung der Verluste ergebende Totaldruck im Staupunkt kann mit der in Abschnitt 5.7.1 angegebenen Stoßbeziehung (Gleichung 5.99, Bild 5.33) ermittelt werden: pt, ∞ pt = 000000011 k 1 2 ·k (k + 1) · M∞2 5 k5 –1 1–k 1+ 7 ·(M2∞ – 1) · 005 k +1 (k – 1) · M∞2 + 2 (Gl. 5.122)







stumpfer Körper

w∞

Bild 5.43

Von der Körperspitze gehen 2 schräge Stoßfronten aus, an denen die Stromlinien geknickt werden.

Die Verdichtungsstoßfront liegt vor dem Körper. Um den Staupunkt herum liegt ein kleines Gebiet, in dem Unterschallströmung herrscht.



Kugel

w∞ Unterschallgebiet

An der Vorderkante entsteht an der Oberseite eine Prandtl-Meyer-Expansion, an der Unterseite ein Verdichtungsstoß. An der Hinterkante treten umgekehrte Verhältnisse auf, die die ursprüngliche Strömungsrichtung wieder herstellen.



(Gl. 5.121)

Totwasser

Unterschallgebiet

Vor der Kugel entsteht ein kleines Unterschallgebiet, hinter der Kugel tritt ein Totwassernachstrom auf.

Aus Symmetriegründen beträgt der Stoßwinkel auf der Staupunktstromlinie s = 90°, d.h. senkrechter Stoß. Entlang der Stoßfront wird s kleiner (starke Lösung für schräge Verdichtungsstöße), um dann in die schwache Lösung überzugehen (vgl. Abschnitt 5.7.2).

Vergleich der Umströmung verschiedener Körper bei Überschallanströmung

Umströmung von Körpern

357

Bild 5.44 Verdichtung im Staupunkt eines stumpfen Körpers bei Überschallanströmung

Beispiel 45

pt = 42 325 Pa

Aufgabenstellung: Wie groß ist der dynamische Druck pdyn = (pt – p), der mit einem Prandtl-Rohr an der Nase des Überschallverkehrsflugzeuges Concorde im in den Beispielen 35 und 36 berechneten Flugzustand gemessen wird (M = 2, H = 18 km, T∞ = 216,65 K)? Lösung:

Zur Bestimmung des statischen Druckes nach dem Stoß wird Gleichung 5.97 herangezogen:







2 · 1,4 p = 7504 · 1 + 92 · (22 – 1) 1,4 + 1

Der Umgebungsdruck in der Flughöhe von 18 km beträgt nach Tafel 29 p∞ = 7504 Pa



2·k p = p∞ · 1 + 8 · (M ∞2 – 1) k+1

p = 33768 Pa pdyn = 42325 – 33768

Berechnung des Totalzustandes der Anströmung:

pdyn = 8557 Pa

k 1,4 k–1 1,4 – 1 17 ,4 – 1 5 pt, s = pt, ∞ = p∞ · 1 + 8 · M ∞2 k – 1 = 7504 · 1 + 02 · 22 2 2











pt, ∞ = 58 715 Pa Der Totaldruck nach dem senkrechten Stoß ergibt sich aus der Stoßbeziehung (Gleichung 5.99): pt, ∞ pt = 000000013 k 1 2 ·k (k + 1) · M∞2 15 k5 –1 –k 1 + 7 (M2∞ – 1) · 005 k +1 (k – 1) · M∞2 + 2









58 715 pt = 000000063 1,4 1 2 · 1,4 2 (1,4 + 1) · 22 17 17 ,4 – 1 – 1,4 1 + 0 (2 – 1) · 005 1,4 +1 (1,4 – 1) · 22 + 2











358

Kompressible Strömungen

In Abschnitt 6.2.2.1 wird in Gleichung 6.20 der für Überschallanströmung gültige Pitotdruck im Staupunkt eines Pitotrohres angegeben. Dieser Pitotdruck entspricht dem oben berechneten Totaldruck nach dem senkrechten Verdichtungsstoß. 5.10.3

Widerstand von umströmten Körpern

Der Widerstand, den ein in Schallnähe oder mit Überschallgeschwindigkeit angeströmter Körper erfährt, setzt sich aus dem Flächenwiderstand, dem Formwiderstand und aus Kräften, die von Verdichtungsstößen herrühren, zusammen. Die exakte Ermittlung des Gesamtwiderstandes eines von einer stark kompressiblen Strömung angeströmten Körpers ist mathematisch recht aufwendig und führt zu umfangreichen Integralformeln. Um den Widerstand wenigstens annähernd abschätzen zu können, werden für ebene Platten und einfache Körperformen die folgende Näherungsrechnungen empfohlen. 5.10.3.1 Widerstand der ebenen Platte Eine parallel überströmte ebene Platte erfährt, da ihre Stirnfläche vernachlässigbar klein ist, einen nahezu reinen Flächenwiderstand, der sich nach Gleichung 4.264 wie folgt berechnen lässt: r∞ FwR ª cF · 4 · w 2∞ · O 2

(Gl. 5.123)

In Abschnitt 4.10.2.2 wurde die Bestimmung von cF abhängig von der Reynolds-Zahl bzw. Rauigkeit für inkompressible Strömungen angegeben. Bei kompressiblen Strömungen kommt ein zusätzlicher Einfluss der MachZahl M∞ hinzu: cF kompr ª K · cF inkompr

(Gl. 5.124)

Bild 5.45

Korrekturfaktor K

Den Faktor K entnimmt man abhängig von der Mach-Zahl M∞ aus Bild 5.45. 5.10.3.2 Widerstand räumlich ausgedehnter Körper Der Gesamtwiderstand von räumlich ausgedehnten Körpern setzt sich vorwiegend aus dem Formwiderstand und dem mit dem Entstehen von Verdichtungs- und Verdünnungswellen zusammenhängenden Wellenwiderstand zusammen. Analog zu Gleichung 4.283 ergibt sich folgende Näherungsformel: r∞ Fw ª cw · 4 · w 2∞ · A St 2

(Gl. 5.125)

Umströmung von Körpern

Beispiel 46 Aufgabenstellung: Wie groß ist der Unterschied zwischen dem Widerstand einer Kugel und dem eines Geschosses mit gleicher Stirnfläche A St , wenn beide Körper sich mit einer Geschwindigkeit w∞ = 600 m/s bewegen und die Lufttemperatur T∞ = 288 K beträgt? Lösung: Zunächst wird die Mach-Zahl M∞ aus der Fluggeschwindigkeit w∞ und der Lufttemperatur T∞ berechnet: w∞ w∞ M∞ = 6 = 00 a d98 k · R i · T∞ 600 600 M∞ = 007 = 7 d905 1,4 · 287 · 288 340 M∞ = 1,765

Der Widerstandsbeiwert cw kann für Kreisplatten, axial angeströmte Kreiszylinder, Kugeln und geschossartige Körper abhängig von der Mach-Zahl M∞ aus Bild 5.46 entnommen werden.

359

Aus Bild 5.46 ergeben sich zu dieser MachZahl folgende Widerstandsbeiwerte cw : cw Kugel = 1,0 cw Geschoss ª 0,3 Damit beträgt das Verhältnis der beiden Widerstandskräfte: r∞ cw Kugel · 4 · w 2∞ · A St Fw Kugel 2 = 0009 50 Fw Geschoss r∞ cw Geschoss · 4 · w 2∞ · A St 2 cw Kugel 1 Fw Kugel 50 = 50 = 6 Fw Geschoss cw Geschoss 0,3 Fw Kugel = 3,33 50 Fw Geschoss Bei gleicher Stirnfläche, gleicher Fluggeschwindigkeit und gleichen Luftdaten ist der Widerstand einer Kugel mehr als 3-mal so groß als der Widerstand eines geschossartigen Körpers.

5.10.4

Tragflügel

Wird ein Tragflügel kompressibel umströmt, ändern sich seine Polarenform und die aerodynamischen Beiwerte ca , cw und cm . Mit zunehmender Mach-Zahl nimmt der Auftriebsbeiwert ca ab und der Widerstandsbeiwert cw zu, da zum bereits von der inkompressiblen Tragflügelströmung her bekannten Reibungswiderstand und induzierten Widerstand noch ein Wellenwiderstand hinzukommt, der in der Nähe der Schallgrenze besonders hoch ist. Man kann 3 typische Strömungsbereiche unterscheiden: ❑ Tragflügel mit reiner Unterschallströmung, ❑ Tragflügel, an denen örtlich Überschallgeschwindigkeit auftritt, ❑ Tragflügel in reiner Überschallströmung.

Bild 5.46 Widerstandsbeiwerte verschiedener Körper

360

Kompressible Strömungen

5.10.4.1 Tragflügel in reiner Unterschallströmung In Bild 5.47 ist dargestellt, wie sich die Polarenform mit zunehmender Mach-Zahl M∞ verändert. Nach einer von PRANDTL angegebenen Regel kann für schwach gewölbte, schlanke Profile mit kleinen Anstellwinkeln die Zunahme des Auftriebsbeiwertes ca abhängig von der Mach-Zahl M∞ wie folgt berechnet werden. ca inkompr ca kompr = 06 d95 1 – M2∞

(Gl. 5.126)

Die Abhängigkeit des Widerstandsbeiwertes cw in einer einfachen Formel anzugeben ist nicht möglich, da sich cw nicht nur mit der Mach-Zahl ändert, sondern auch das Dickenverhältnis und das Seitenverhältnis einen Einfluss ausüben. Aus Bild 5.47 ist jedoch deutlich zu erkennen, dass cw bei zunehmender Mach-Zahl stark ansteigt. 5.10.4.2 Tragflügel mit örtlichen Verdichtungsstößen

Bild 5.48 Tragflügel mit örtlich begrenztem Überschallgebiet

terschreitet die Geschwindigkeit wieder die Schallgeschwindigkeit, so entsteht ein Verdichtungsstoß, dessen Lage von der Profilform und von der Mach-Zahl abhängt. Man bezeichnet die Mach-Zahl, bei der sich ein Überschallgebiet mit Verdichtungsstoß gerade einstellt als kritische Mach-Zahl [5.15]. Überschreitet die Mach-Zahl den Wert der kritischen Mach-Zahl wesentlich, so kann auch auf der Profildruckseite ein Überschallgebiet mit nachfolgender Verdichtungsstoßfront auftreten. In Bild 5.49 ist qualitativ dargestellt, wie sich Auftriebsbeiwert ca und Widerstandsbei-

Liegt die Anströmgeschwindigkeit w∞ in der Nähe der Schallgeschwindigkeit, so kann auf der Saugseite des Profils, auf der die Geschwindigkeit gegenüber der Anströmgeschwindigkeit bekanntlich zunimmt, örtlich eine Überschallzone entstehen (Bild 5.48). Un-

Bild 5.47 Abhängigkeit der Polarenform von der Mach-Zahl

Bild 5.49 Abhängigkeit des Auftriebsbeiwertes ca und der Widerstandsbeiwertes cw von der MachZahl M∞

Umströmung von Körpern wert cw im transsonischen Bereich verhalten. Der von den Verdichtungsstößen herrührende Wellenwiderstand ist gerade im transsonischen Bereich besonders groß. 5.10.4.3 Tragflügel in reiner Überschallströmung In Bild 5.49 ist bereits angedeutet, wie sich Auftriebsbeiwert ca und Widerstandsbeiwert cw im Überschallbereich verhalten, und zwar nehmen beide Werte mit zunehmender MachZahl ab. Bei reiner Überschallströmung ist die Polarenform (Bild 5.50) parabelartig mit annähernder Symmetrie zur cw-Achse. Profile mit spitzer Profilnase (r Æ 0) weisen wesentlich geringere Widerstandsbeiwerte als Profile mit relativ dicker Profilnase auf (Bild 5.50 a).

Bild 5.50

361

Schlanke Profile mit kleinem d/l haben bei gleichen ca-Werten wesentlich kleinere Widerstandsbeiwerte als dicke Profile (Bild 5.50b). Im Überschallbereich werden deshalb sehr schlanke, vorn angeschärfte, «messerartige» Profilformen verwendet. Die ca-Werte gehen selten über 0,6…0,8 hinaus, d.h., sie sind etwa nur halb so groß wie die maximalen ca-Werte von inkompressibel angeströmten Tragflügeln. Die c w-Werte dagegen sind verhältnismäßig hoch und erreichen Werte von 0,2…0,3. Mit zunehmender Mach-Zahl wird die Polarenform ungünstiger, d.h. die c w-Werte nehmen zu (Bild 5.50c). Profile, die für den Überschallbereich geeignet sind, haben im Unterschallbereich wegen der spitzen Profilnase, der sehr schwachen Krümmung und der schlanken Form sehr ungünstige Profilbeiwerte im Vergleich zu typischen Unterschallprofilen.

Einfluss von Profilform, Profildicke und Mach-Zahl auf die Polarenform

6 6.1

Druckmessung

6.1.1

Einleitung

Strömungsmesstechnik

Die verschiedenen Druckbegriffe sind in den Abschnitten 2.2, 2.3 und 4.3 ausführlich definiert und beschrieben und werden der Vollständigkeit halber nochmals kurz tabellarisch in Tabelle 6.1 zusammengestellt. Ein besonderes Anwendungsgebiet ist die Messung des Absolutdruckes in der Luftatmosphäre (Kapitel 3) mittels Barometern, z. B. für die Wetteranalyse und -voraussage oder die Luftfahrt [6.1]. Die physikalischen Einheiten für den Druck sind in Tabelle 2.2 zusammengestellt. Druckmessungen werden in nahezu allen technischen Bereichen angewandt, so z.B. in Forschungs-, Entwicklungs- und Ausbildungslaboratorien, in Betrieben der Verfahrens-, Versorgungs- und Produktionstechnik, an Kraft- und Arbeitsmaschinen usw. Bei den Druckmessverfahren unterscheidet man unmittelbare (direkte) Verfahren (Fundamentalverfahren) und mittelbare (indirekte) Verfahren. Das unmittelbare Verfahren besteht in einem Kraftvergleich zwischen der vom Druck hervorgerufenen Druckkraft und einer gleich großen Gegenkraft, die durch die Gewichts-

Tabelle 6.1

kraft einer Flüssigkeitssäule oder eines Kolbens erzeugt wird. Bei den mittelbaren Verfahren werden sehr viele physikalische Wirkprinzipien genutzt, wie z.B. Verformung von Messgliedern der verschiedensten geometrischen Formen, Änderung des elektrischen Widerstandes, Piezoeffekt, Halbleitertechnik usw. [6.2, 6.3, 6.4]. Bei der Auswahl der Messverfahren und der zugehörigen Messgeräte muss u.a. auch berücksichtigt werden, ob es sich um zeitlich konstante oder zeitlich variable Drücke, evtl. mit hohen Pulsationsfrequenzen handelt. In Tabelle 6.2 ist eine kurze Übersicht der in der Strömungstechnik gebräuchlichsten Messverfahren zusammengestellt. 6.1.2

Druckentnahme und Anbringung von Druckmessgeräten

Für eine möglichst genaue, pulsationsarme Druckmessung ist eine sorgfältige geometrische Gestaltung der Druckmessstelle an einer Behälterwand bei Messung von Drücken in ruhenden Fluiden bzw. an einer Rohrleitungswand bei strömenden Fluiden besonders wichtig. Bei Druckmessungen an Behältern genügt meistens 1 Druckmessstelle, bei Messungen an Rohrleitungen oder an Ein- und Austritts-

Druckbegriffe

Druck in strömenden Fluiden in Innen- und Außenströmungen

statischer Druck («Wanddruck») dynamischer Druck (Staudruck) als Äquivalent zur Strömungsgeschwindigkeit Gesamtdruck (Totaldruck)

123

Hydrostatischer Druck in ruhenden Flüssigkeiten

Absolutdruck Überdruck Unterdruck Bezugsdruck Kolbendruck Schweredruck

Differenzdruck, Wirkdruck

364

Strömungsmesstechnik

Tabelle 6.2

Übersicht der Druckmessverfahren in der Strömungstechnik (eine Auswahl)

Messverfahren

Druckbereich –3

Messgeräte

Messfehler

Wegänderung von Flüssigkeitssäulen

10 mbar…400 bar

U-Rohr-Manometer Gefäßmanometer Mikromanometer Barometer

10–3…10%

Kompensation durch Kolbengewicht

1 mbar…105 bar

Kolbenmanometer

8 · 10–3…5%

Verformung von Rohrfedern, Membranfedern, Kapselfedern, Federbälgen

10–2 mbar…1,3 · 104 bar

Rohrfeder-, Membranfeder-, Kapselfeder-, Wellrohrfedermanometer Barometer

10–2…2%

piezoresistive Effekte

1 mbar…3,5 · 103 bar

piezoresistive Druckaufnehmer

2 · 10–2…8%

elektrische Kapazitätsänderung

10 mbar…102 bar

kapazitive Druckaufnehmer

bis 0,1%

induktive Messumformung

10–1 mbar…4 · 103 bar

induktive Druckaufnehmer

0,5…1%

stutzen von Kraft- und Arbeitsmaschinen, besonders bei größeren Messquerschnitten, sollten mehrere Druckentnahmestellen im Messquerschnitt angebracht werden. Hinweise für die Gestaltung der Wandanbohrungen, Ausführung und Verlegung der Messleitungen sowie Anbringung der Druckmessgeräte können den einschlägigen Regelwerken, z. B. [6.5 bis 6.9] oder den Betriebsanleitungen und Handbüchern der Gerätehersteller entnommen werden. Die Wandbohrung, an der Druck entnommen wird, sollte bündig, gratfrei sein und sollte keine Fase aufweisen (Bild 6.1). Der Bohrungsdurchmesser dB sollte nicht zu groß sein, in [6.7] werden dB = 1 bis 3 mm empfohlen. Bei stark verschmutzten Fluiden kann dB ausnahmsweise auch bis auf 6 mm vergrößert werden. Die Länge lB der Druckmessbohrung sollte nach [6.7] etwa das Doppelte des Durchmessers dB betragen, kann aber bei großen Behälter- oder Rohrwanddicken auch ohne Bedenken länger ausgeführt werden, erhält doch so die Bohrung eine bessere Drosselwirkung bei Druckschwankungen.

Bild 6.1

Druckmessbohrung

Geht die Druckmessbohrung direkt in die Druckmessleitung über, sollte deren Durchmesser mindestens doppelt so groß wie der Durchmesser dB ausgeführt werden: dM ≥ 2 · dB. Viele Richtlinien schlagen größere Bohrungsdurchmesser vor, bei sauberen Fluiden

Druckmessung

Bild 6.2 Zusammenführung mehrerer Druckentnahmestellen in einer gemeinsamen Ringleitung

dB = 6…9 mm, bei feuchten Gasen sogar bis 15 mm. Im Einzelfall sind ggf. eigene Vorversuche bezüglich des für eine bestimmte Messaufgabe optimalen Bohrungsdurchmessers dB durchzuführen. Wird der Druck an mehreren gleichmäßig über dem Umfang verteilten Wandbohrungen entnommen (Bild 6.2), werden diese durch

Bild 6.3 Beruhigungsstrecken vor und nach Druckentnahmestellen

365

eine Ringleitung verbunden, die ihrerseits an die Messleitung angeschlossen wird, die zum Druckmessgerät führt. In [6.7] wird empfohlen, den Durchmesser dR der Ringleitung mindestens 4-mal größer als den Durchmesser dB der Druckanbohrung auszuführen: dR ≥ 4 · dB. Bei Messungen an Rohrleitungen sollte der Druck an einem geraden Rohrstück in größerer Entfernung nach und vor einer Störungsstelle gemessen werden (Bild 6.3). Falls es die Platzverhältnisse zulassen, können die Faktoren A und B nach Angaben einschlägiger Richtlinien, z.B. [6.5] festgelegt werden. Bei der Festlegung der Druckentnahmestellen an den Saug- und Druckstutzen von Kraftund Arbeitsmaschinen (Bild 6.4) sind nur bei gut ausgeführten Prüfstandsanlagen im Labor ausreichende Beruhigungsstrecken vorhanden, während bei Betriebsanlagen oft zu kurze Beruhigungsstrecken ungenaue oder stark pulsierende Messungen zur Folge haben. Die Messleitung sollte bei Gasen und Dämpfen mindestens 4 mm, bei Flüssigkeiten mindestens 6 mm Innendurchmesser haben. Bei verschmutzten Fluiden muss der Durchmesser dM entsprechend vergrößert werden. Besondere Schutzvorrichtungen am Ende der Messleitung, z.B. Drosselventile, Rückschlagventile, Wassersackrohre, Trenngefäße, Kondensatgefäße und Schmutzfänger schützen das Messgerät vor Druckstößen, Korrosion, Übertemperatur usw. Die Messleitungen müssen dicht sein und leicht «entlüftet» werden können. Bei extrem

366

Strömungsmesstechnik g Dz

Erdbeschleunigung vertikaler Abstand zwischen Druckentnahmestelle und Druckmessgerät Vorz. + Druckmessgerät oberhalb der Druckentnahmestelle (Bild 6.5a) Vorz. – Druckmessgerät unterhalb der Druckentnahmestelle (Bild 6.5b) r Fl Dichte des Fluids r Luft Dichte der Umgebungsluft 6.1.3 Bild 6.4 Anordnung von Manometern an einer Pumpe (nach Fa. Sulzer)

kalten Fluiden müssen sie geheizt werden können bzw. bei heißen Fluiden gekühlt sein, damit das Druckmessgerät vor extremen Temperaturen geschützt ist. Wird das Druckmessgerät bezüglich der Druckentnahmebohrung am Behälter oder an der Rohrleitung höhenverschoben angeordnet (Bilder 6.4 und 6.5), muss dies bei der Bestimmung des wahren Druckes p aus dem am Messgerät angezeigten Druck pM durch eine Korrektur berücksichtigt werden: p = pM ± g · Dz (r Fl – r Luft) p pM

(Gl. 6.1)

tatsächlicher, wahrer Druck am Druckmessgerät angezeigter Druck

Flüssigkeits-Druckmessgeräte

Flüssigkeitsmanometer eignen sich in den bekannten Standardausführungen für die Messung relativ niedriger Drücke bzw. kleiner Differenzdrücke. Sie arbeiten sehr zuverlässig, sind einfach zu bedienen und werden sowohl als einfache Betriebsmessgeräte als auch als Präzisionsgeräte eingesetzt. Sie werden sowohl für die Differenzdruckmessung (Überdruck, Unterdruck) als auch für die Absolutdruckmessung (Barometer) verwendet. Das Messprinzip von Flüssigkeits-Druckmessgeräten besteht darin, die vom zu messenden Druck verursachte Druckkraft mit der Gewichtskraft einer Flüssigkeitssäule zu vergleichen, wobei im Gleichgewichtsfalle beide gleich groß sind. Der zu messende Druck kann unmittelbar oder mittelbar als Länge einer Flüssigkeitssäule abgelesen werden. Die Manometerflüssigkeit wird als Sperrflüssigkeit bezeichnet. Je nach Größe des

Bild 6.5 Anordnung von Manometern (nach [6.84])

Druckmessung Messbereiches und der gewünschten bzw. möglichen Gerätegröße wählt man Flüssigkeiten verschiedener Dichte, wie z. B. Wasser, Quecksilber, Alkohol, Öl, Tetrachlorkohlenstoff oder Tetrabromethan. Bei sehr genauen Messungen muss der Temperatureinfluss auf die Ausdehnung der Sperrflüssigkeit und des Geräts, insbesondere des Skalenmaßstabs, sowie die Wirkung der Oberflächenspannung und der Kapillarität (vgl. Abschnitt 1.6) berücksichtigt werden [6.3 und 6.4]. Der gerätemäßige Aufbau der Flüssigkeitsmanometer ist je nach Messprinzip, Messbereich und Anforderung an die Genauigkeit sehr verschieden. Das einfachste Flüssigkeits-Druckmessgerät ist ein gleichschenkliges U-Rohr-Manometer mit 2 Glasrohren gleichen Innendurchmessers (Messschenkel) und einer Ableseskala, wie es als Prinzip in Bild 6.6 dargestellt ist. Im Einzelfall können noch Absperrarmaturen, Schutzvorrichtungen, besondere Ablesevorrichtungen u. ä. m. hinzukommen. Der zu messende Unter-, Über- oder Differenzdruck ergibt sich aus dem vertikalen Ab-

z

Bild 6.6

Gleichschenkliges U-Rohr-Manometer

367

stand der beiden Menisken der Sperrflüssigkeit: (p1 – p2) · A = r Sp · g · h · A – r Fl · g · h · A p1 – p2 = (r Sp – r Fl) · g · h p1 – p2 r Sp r Fl g h

(Gl. 6.2)

Differenzdruck Dichte der Sperrflüssigkeit Dichte des Fluids Erdbeschleunigung gemessene Höhendifferenz

Bei Gasen und Dämpfen darf bei Betriebsmessungen die Dichte r Fl gegenüber der Dichte r Sp vernachlässigt werden. p1 – p2 ª r Sp · g · h

(Gl. 6.3)

Man erkennt, dass mit zunehmender Dichte rSp für eine vorgegebene Skalenlänge hmax der Messbereich p1 – p2 linear mit der Dichte rSp wächst. Zur Messung des Absolutdruckes wird ein Manometerschenkel luftdicht verschlossen und evakuiert (Tabelle 2.1). Nach diesem Prinzip arbeiten z.B. die von TORRICELLI und PASCAL entwickelten Flüssigkeitsbarometer mit Quecksilber bzw. Wasser als Sperrflüssigkeiten. Die Ablesegenauigkeit an einem U-RohrManometer kann durch Verwendung besonderer Ablesevorrichtungen mit Nonius oder Vergrößerung mittels Lupe verbessert werden. Das Ablesen der Menisken erfolgt zur Vermeidung des Parallaxenfehlers in waagrechter Blickrichtung über den Scheitel des Meniskus hinweg. Die Ablesegenauigkeit kann durch Anordnung einer Spiegelskala hinter den Manometerschenkeln noch erhöht werden. In [6.10] werden die in Tabelle 6.3 zusammengestellten üblichen Messbereiche und Messunsicherheiten für U-Rohr-Manometer angegeben. Weitere Angaben zu den Messunsicherheiten finden sich u.a. in [6.3, 6.4 und 6.7]. In [6.4] sind zahlreiche konstruktive Ausführungen von U-Rohr-Manometern und ihre Anwendung bzw. ihr Einsatz beschrieben.

368

Strömungsmesstechnik

Tabelle 6.3

Messbereiche und Messunsicherheiten von U-Rohr-Manometern

Sperrflüssigkeit

Messbereich

Messunsicherheit

Wasser

0 < D p < 0,2 · 105 Pa

1…2 mm ± 00021 ¥ 100% Ablesewert in mm

Quecksilber

0 < D p < 0,2 · 106 Pa

1…2 mm ± 00021 ¥ 100% Ablesewert in mm

Bei pulsierenden Drücken schwingt die Sperrflüssigkeit, die gleichzeitige Ablesung beider Menisken gestaltet sich recht schwierig. Soll das Ablesen beider Menisken bei nicht kalibrierten Glasrohren oder bei schwingender Sperrflüssigkeit vermieden werden, empfiehlt sich die Verwendung eines Gefäßmanometers (Bild 6.7), bei dem die Ablesung des nicht erweiterten Schenkels genügt. Die Druckdifferenz p1 – p2 ist proportional zur Schenkellänge h2: p1 – p2 = (r Sp – r Fl) · g · h = (r Sp – r Fl) · g · (h1 + h2) h1 · A1 = h2 · A2 A2 h1 = h2 · 5 A1

冢

冣

A2 p1 – p2 = (r Sp – r Fl) · g · 1 + 5 · h2 A1 14243 Gerätekonstante K G p1 – p2 = (r Sp – r Fl) · KG · h2

(Gl. 6.4)

Berücksichtigt man die Gerätekonstante KG, in die auch die Kapillarwirkung der Sperrflüssigkeit eingearbeitet werden kann, in einer Verzerrung der Ableseskala, so ist der Differenzdruck p1 – p2 direkt ablesbar. Ausgehend vom Prinzip des Gefäßmanometers wurden verschiedene Typen von Präzisionsmanometern höchster Messgenauigkeit entwickelt, wie das Steilrohrmanometer nach PRANDTL oder das Projektionsmanometer nach BETZ (Bild 6.8). Das Projektionsmanometer nach BETZ benutzt destilliertes Wasser als Sperrflüssigkeit. Der Messbereich reicht bis 80 mbar, die Mess-

Bild 6.7

Gefäßmanometer

genauigkeit beträgt nach Angaben der Hersteller 1‰ vom Skalenendwert, nach [6.10] 0,1…0,2 mbar 0006 · 100% . Ablesewert in mbar Ein an einer Schwimmglocke aufgehängter Glasstab mit eingeätzter Skala bewegt sich in dem mit Sperrflüssigkeit gefüllten zentralen Rohr analog zum anliegenden Differenzdruck p1 – p2 auf und nieder. Durch die Optik wird ein Ausschnitt der Skala stark vergrößert auf eine Mattscheibe projiziert, wo der Messwert an einer Strichmarke mit Nonius abgelesen werden kann.

Druckmessung

369

Bild 6.8 Betz-Präzisionsmanometer

Mit Quecksilber gefüllte Gefäßbarometer [6.1], z. B. Stationsbarometer nach DIN 8896, werden zur genauen Messung des Luftdruckes benutzt. Gefäßmanometer oder Gefäßbarometer eignen sich als Präzisionsgeräte auch zur Kalibrierung oder Eichung anderer Druckmessgeräte, die weniger genau arbeiten. Für weniger genaue Messungen in Labor und Betrieb werden anstelle der sehr teuren

und empfindlichen Präzisionsgeräte nach wie vor die wesentlich preiswerteren Schrägrohrmanometer (Bild 6.9) verwendet, vor allem auch, da sie ohne großen Aufwand transportiert werden können und sich zur Überprüfung elektronischer Druckmessgeräte der gleichen Genauigkeitsklasse eignen. Durch Schräglegen des engen Schenkels wird ein relativ großer Messausschlag l, auch bei kleinen Differenzdrücken p1 – p2 erreicht,

370

Strömungsmesstechnik Bild 6.9 Schrägrohrmanometer

wobei der Pegel der Sperrflüssigkeit im erweiterten Gefäß nur um den kleinen Betrag h1 absinkt. Zwischen Messausschlag l und Druckdifferenz p1 – p2 besteht bei gasförmigen Fluiden d. h. rSp >> rFl folgender formelmäßiger Zusammenhang:

Weitere, in der Praxis immer seltener verwendete Flüssigkeitsmanometer, wie z.B. Mehrflüssigkeitsmanometer, Schwimmermanometer, Ringwaagen, Tauchglocken- und Tauchsichelgeräte, sind u.a. in [6.3, 6.4 und 6.11] beschrieben.

p1 – p2 = r Sp · g · h = r Sp · g · (h1 + h2)

6.1.4

h2 A1 · h1 = A2 · l = A2 · 0 sin a

Das Messprinzip eines Kolbenmanometers beruht auf dem Druckfortpflanzungsgesetz von PASCAL (siehe Abschnitt 2.2.3.1), die Konstruktion der Geräte ist mit der hydraulischen Presse vergleichbar. Ein in einem Zylinder mit sehr engem Spiel geführter Kolben wird mit geeichten Gewichten gemäß dem am Zylinder anliegenden Druck p belastet (Bild 6.10). Um die Reibung gering zu halten, wird der Kolben meist in Rotation versetzt. Der zu messende Druck p ergibt sich aus Kolbenfläche, Kolbengewicht und Messgewicht:

A2 h2 h1 = 5 · 9 A1 sin a

冢

冣

A2 1 p1 – p2 = r Sp · g · h2 · 1 + 5 · 9 A1 sin a h2 = l · sin a

冢

冣

A2 p1 – p2 = r Sp · g · sin a + 5 · l A1 144424443 Gerätekonstante KG p1 – p2 = KG · l

Kolben-Druckmessgeräte

(Gl. 6.5)

In [6.10] wird für Schrägrohrmanometer ein Messbereich von 0…2000 Pa und eine Mess0,5 mm unsicherheit von 0003 · 100% Ablesewert in mm angegeben.

GKolben + GM p = 082 A Kolben

(Gl. 6.6)

Zur genauen Berechnung des Druckes p werden von den Geräteherstellern exakte Formeln angegeben, die auch den hydrostatischen Auf-

Druckmessung 6.1.5

Bild 6.10

Kolbenmanometer (Prinzip)

trieb des Kolbens, die Reibung, Kompressibilität und Temperatur der Sperrflüssigkeit, sowie die Stauchung des Kolbens und die Dehnung des Zylinders berücksichtigen. Kolbenmanometer sind sehr genaue Präzisionsgeräte, die für genaue Labormessungen oder als Eichnormale bzw. Kalibriergeräte eingesetzt werden. Nach [6.3, 6.4, 6.11 und 6.12] reichen die Messbereiche bis zu vielen 1000 bar und betragen die Messunsicherheiten ± 5 · 10–2 % bei Standardgeräten, ± 10–2 % bei Präzisionsgeräten. Bei einfachen, preiswerten Betriebsmessgeräten, bei denen der Kolben nicht durch Gewichtsstücke belastet wird, sondern gegen eine Feder drückt, ist die Messunsicherheit viel höher und liegt im Bereich von 1…5% vom Skalenendwert [6.11]. In [6.3, 6.4 und 6.12] ist der konstruktive Aufbau und die Wirkungsweise der einzelnen Geräte beschrieben und weiterführende Literatur angegeben.

371

Federelastische Manometer

Federelastische Manometer haben wegen des einfachen Aufbaus, der kleinen, robusten Bauweise und des sehr großen Einsatzbereiches (0,6 mbar…10 000 bar) eine große Verbreitung in der industriellen Messtechnik gefunden und sind nach wie vor sehr häufig eingesetzte preiswerte Betriebsinstrumente. Die Verwendung von Präzisionsgeräten im Laborbereich ist allerdings in letzter Zeit zurückgegangen. Federelastische Manometer eignen sich zur Messung von Überdrücken, Unterdrücken und Absolutdrücken. Die hauptsächlichen Nachteile dieser Manometerart sind die erforderliche Einzeleichung mittels Eichnormal, die begrenzte Genauigkeit, insbesondere auch der sog. Temperaturfehler sowie die eingeschränkte Überlastbarkeit, die aber durch den Einbau besonderer Über- oder Unterdruckschutzvorrichtungen gewährleistet werden kann. Das Messprinzip besteht darin, dass sich unter der Wirkung des zu messenden Druckes ein federelastisches Messglied verformt und diese Verformung (Wegänderung) über einen Übertragungsmechanismus in die Schwenkbewegung (Drehwinkel) eines Zeigers umgewandelt wird. Von den vielen in der Praxis gebräuchlichen und z.B. in [6.3 und 6.11] ausführlich beschriebenen Federausführungen werden hier aus Platzgründen nur die meist als BourdonFeder ausgeführte Rohrfeder im Rohrfedermanometer (Bild 6.11) und die meist gewellte Plattenfeder im Plattenfedermanometer (Bild 6.12) erwähnt. Die in [6.1] beschriebenen Dosenbarometer enthalten als Messglied eine Kapselfeder, die im Innenraum evakuiert ist, sodass damit der absolute Luftdruck gemessen werden kann. Dosenbarometer werden als Zeigerbarometer oder als Barografen, d.h. schreibende und registrierende Geräte ausgeführt. In [6.3] sind 25 Literaturstellen zitiert, in denen Wirkungsweise, Auslegung und Berechnung der verschiedenen federelastischen Messglieder ausführlich beschrieben werden.

372

Strömungsmesstechnik

Bild 6.11 Rohrfedermanometer (nach Fa. Alexander Wiegand, Klingenberg/Main)

6.1.6

Elektrische Druckmessgeräte

6.1.6.1

Einleitung

Zur Messung von sehr großen oder sehr kleinen Drücken, sowie von zeitlich mit hoher Frequenz oszillierenden Drücken eignen sich Druckmessgeräte mit einem auf einem elektrischen Effekt beruhenden Messprinzip besser als Flüssigkeitsmanometer oder federelastische Manometer, insbesondere auch, da sie kompakt und Platz sparend bauen und ein direktes elektrisches Ausgangssignal abgeben, das für Automatisierungsvorgänge oder EDVAuswertung geeignet ist. Die Anzeigegenauigkeit derartiger Geräte liegt meistens etwas niedriger als diejenige von Flüssigkeitsmanometern oder Präzisionsfedermanometern. Das Messprinzip der meisten elektrischen Druckmessgeräte beruht darauf, dass eine druckbedingte Form- oder Wegänderung eines elastischen Messgliedes, z.B. einer Membran oder eines Biegebalkens in eine elektrische Größe, z.B. eine Spannung umgewandelt, verstärkt und angezeigt bzw. weitergeleitet wird. Bei den meisten Geräten besteht dabei die Notwendigkeit der Versorgung mit elektrischer Hilfsenergie. Aus Platzgründen werden nur die wichtigsten und bekanntesten elektrischen Druckmessverfahren kurz beschrieben und im Übrigen für ein vertieftes Studium auf die angegebene Literatur und die Publikationen der Gerätehersteller verwiesen. 6.1.6.2

Widerstandsdruckmesser

Der Ohm’sche Widerstand eines prismatischen elektrischen Leiters beträgt: l R=r·3 A Bild 6.12 Plattenfedermanometer (nach Fa. Alexander Wiegand, Klingenberg/Main)

(Gl. 6.7a)

r spezifischer Widerstand l Länge A Querschnitt Der Messeffekt des Drucksensors ist die auf den Widerstand R bezogene Widerstands-

Druckmessung änderung dR infolge einer Verformung des Körpers: dR dr dl dA 6=6+5–6 R r l A

(Gl. 6.7b)

Der erste Term auf der rechten Gleichungsseite dr/r stellt die Änderung des spezifischen Widerstandes durch die Verformung dar und wird als piezoresistiver Effekt bezeichnet. Das 2. und 3. Glied von Gleichung 6.7 b beschreibt die Widerstandsänderung infolge der elastischen Längen- und Querschnittsänderung des Widerstandskörpers. Bei kleinen und mittleren Drücken kann die direkte Druckwirkung auf Widerstände gemäß Gleichung 6.7 b nicht mehr hinreichend genau gemessen werden, weshalb man dann für diese Druckbereiche zur Dehnmessstreifentechnik übergeht. In [6.2] ist sowohl die direkte Dehnmessstreifentechnik beschrieben, bei der Dehnmessstreifen in Brückenschaltung direkt auf eine Messmembran aufgeklebt oder aufgedampft werden, als auch die indirekte Messmethode, bei der der Druck über eine Membrane oder einen Federbalg in eine Stellkraft umgeformt wird, die mittels Dehnmessstreifen auf einem Formteil, z. B. Biegebalken, gemessen und in ein elektrisches Signal umgeformt wird. Die Dehnmessstreifentechnik ermöglicht den Bau kleiner Druckmessgeräte mit hoher Messgenauigkeit, großer Systemfestigkeit und zufriedenstellender Langzeitstabilität durch die moderne Dünnfilm- und Aufdampftechnik. In [6.4] ist eine Tabelle mit gängigen Dehnmessstreifen-Druckmessgeräten verschiedener Hersteller enthalten. 6.1.6.3

373

eo Dielektrizitätskonstante des leeren Raumes 1 –11 5 · 10 F/cm 36 er Dielektrizitätskonstante des Fluids zwischen den Platten A Plattenfläche d Abstand zwischen den Platten Bei den meisten kapazitiven Drucksensoren ändert sich in Abhängigkeit vom Druck der Plattenabstand d, seltener die Fläche A bei sog. Drehwinkelgebern. Die Druckmesszellen werden in 1-Kammer- und 2-Kammer-Ausführung hergestellt, so dass man für jedes Fluid und jede Druckart einen geeigneten Sensor auswählen kann. Genauere Beschreibungen finden sich u.a. in [6.2]. 6.1.6.4

Induktive Druckaufnehmer

Bei induktiven Druckaufnehmern wird die Auslenkung eines federelastischen Messgliedes, z.B. einer Membran, auf einen Weicheisenkern übertragen, dessen Position von einem Differentialtransformator oder einer Differentialdrossel erfasst und in Form einer elektrischen Spannung U angezeigt wird (Bild 6.13).

Kapazitive Druckaufnehmer

Die Kapazität C eines Plattenkondensators, der das Messglied einer Druckmesszelle bildet, beträgt bekanntlich A C = e0 · er · 4 d

(Gl. 6.8)

Bild 6.13 Schaltung eines Differentialtransformator-Druckgebers (nach [6.2] und [6.11])

374

Strömungsmesstechnik

Weitere Einzelheiten können u. a. in [6.2 bis 6.4 und 6.11] nachgelesen werden. 6.1.6.5

Piezoelektrische Druckaufnehmer

Piezoelektrische Druckaufnehmer nutzen als Messprinzip den 1880 von den französischen Physikern und Brüdern PAUL JACQUES (1855 – 1941) und PIERRE CURIE (1859 –1906) entdeckten und beschriebenen Piezoeffekt. Eine zum Druck p proportionale Kraft F = p · A wirkt auf einen piezoelektrischen Kristall, beispielsweise aus Quarz, Turmalin oder Bariumnitrat und erzeugt eine elektrische Aufladung der Kristalloberfläche (Bild 6.14). Die Spannung liegt je nach verwendetem Kristall und konstruktiver Bauweise des Sensors im Bereich von 10…500 mV/bar und muss deshalb normalerweise noch verstärkt werden. Dieser Sensor benötigt keine elektrische Hilfsenergie! Dieses Messverfahren eignet sich weniger zur Messung statischer Drücke, sondern vielmehr zur Messung rasch veränderlicher Drücke, wie sie z. B. im Brennraum von Kolbenverbrennungsmaschinen auftreten [6.17]. Weitere Literatur über elektrische Druckmessgeräte findet sich in [6.13 bis 6.16].

6.2

Geschwindigkeitsmessung

6.2.1

Rotierende Stromwegmesser

Rotierende Stromwegmesser messen die örtliche Strömungsgeschwindigkeit über die Drehzahl eines Schalenkreuzes oder eines axialen Flügelrades. Die bekanntesten Geräte sind das Schalenkreuzanemometer zur Messung der Windgeschwindigkeit in der Meteorologie [6.18], das Flügelradanemometer zur Messung der Strömungsgeschwindigkeit in Luft oder Gasen und die hydrometrischen Flügel zur Geschwindigkeitsmessung in Wasser. Aufbau und Funktion des hydrometrischen Flügels wurden zum ersten Mal vom deutschen Wasserbauingenieur REINHARD WOLTMAN (1757–1837) in seiner 1790 in Hamburg publizierten Schrift «Theorie und Gebrauch des hydrometrischen Flügels» beschrieben [4.31]. Der Zusammenhang zwischen Geometrie und Drehzahl des Flügelrades und der zu messenden Strömungsgeschwindigkeit lässt sich einfach herleiten (Bild 6.15): a) reibungsfreier Fall ohne Berücksichtigung der Fluiddichte u=p·D·n u = w · tan a p · D · n = w · tan a tan a n B ntheor = w · 9 p·D

(Gl. 6.9)

Eigentlich müsste anstatt des Außendurchmessers D ein «repräsentativer, mittlerer Durchmesser» eingesetzt werden. Die theoretische Drehzahl ntheor ist linear proportional zur Strömungsgeschwindigkeit w (Bild 6.16a). Bild 6.14 Piezoelektrische Druckmessung (nach Fa. Alexander Wiegand, Klingenberg/Main)

b) reibungsbehaftete Lagerung und reale Strömung Infolge mechanischer Lagerreibung und der reibungs- und ablösungsbehafteten realen Umströmung der Flügelblätter, sowie des Einflusses der Ummantelung bzw. des indu-

Geschwindigkeitsmessung

375

Bild 6.15 Flügelradanemometer

zierten Widerstandes der freien Flügelenden (vgl. Abschnitt 4.11.7) nicht ummantelter Flügel und der Dichte des Strömungsfluids liegt die tatsächlich gemessene Drehzahl nM unter der theoretischen Drehzahl ntheor nach Gleichung 6.9, insbesondere bei kleinen Strömungsgeschwindigkeiten. Hinzu kommt, dass rotierende Stromwegmesser eine bestimmte Anlaufgeschwindigkeit wan zur Überwindung der Ruhereibung in der Lagerung benötigen, um sich in Drehung zu versetzen. Diese Anlaufgeschwindigkeit wan ist übrigens ein bisschen größer als die Auslaufgeschwindigkeit waus , bei der das Flügelrad oder Schalenkreuz bei abnehmender Strömungsgeschwindigkeit wieder zum Stehen kommt. Diese Störungseinflüsse erfordern eine genaue Eichung der Geräte in einem Windkanal bzw. Wasserschleppkanal beim Gerätehersteller bzw. in speziell eingerichteten, meist auch zertifizierten Laboratorien. Da die Schmiermittel der Lagerung verharzen können oder andere Beschädigungen, z.B. durch Korrosion, Schlageinwirkung, Verschleiß durch Festkörper (z. B. Sand oder

Staub) auftreten können, müssen die Geräte in bestimmten Zeitabständen überprüft und evtl. nachgeeicht werden. Berücksichtigt man die geschilderten Einflüsse, kann Gleichung 6.9 wie folgt erweitert werden: u = K · (w – wan) · tan a = p · D · nM p·D w – wan = 95 · nM K · tana p·D w = 95 · nM + wan K · tana w D a K

nM

(Gl. 6.10)

zu messende reale Strömungsgeschwindigkeit Flügelradaußendurchmesser Neigungswinkel der Flügelblätter Beiwert zur Berücksichtigung von Lagerreibung, Viskosität und Dichte des Strömungsfluids, der Mittelung des Durchmessers, sowie der Geometrie des Strömungsfeldes um den Flügel (K < 1) gemessene reale Drehzahl

376

Strömungsmesstechnik ters abhängig von der Fluiddichte r, die in einem Intervall von 1:100 variiert, dargestellt. Nach [6.4] kann der Dichteeinfluss bei nicht zu großen Dichteunterschieden mit folgender Näherungsformel korrigiert werden: wB 5ª wE

f 5rr 6 E

(Gl. 6.11)

B

wB Strömungsgeschwindigkeit im Betrieb, d.h. bei konkreter Messung wE Strömungsgeschwindigkeit bei Eichung rB Dichte des Fluids bei der Messung rE Dichte des Fluids bei der Eichung

Bild 6.16 Drehzahlverhalten von rotierenden Stromwegmessern

wan Anlaufgeschwindigkeit wan 0,1…0,3 m/s bei den üblichen Flügelradanemometern für kalte Luft wan 0,03…0,06 m/s bei hydrometrischen Flügeln In Bild 6.16 a ist die reale Funktion nM = f(w), die das Ergebnis von Eichversuchen ist, mit eingetragen. n In der relativen Darstellung 4 = f (w) in w nM Bild 6.16 b erkennt man, dass der Wert 5 für w große Strömungsgeschwindigkeiten w >> wan praktisch konstant bleibt. Die beiden verschieden verlaufenden Kurvenzüge stehen für unterschiedliche Flügelgeometrien. In [6.19 und 6.20] sind beispielsweise die Eichkurven u = f (w) eines Flügelradanemome-

Übrigens zeigen Flügelradanemometer bzw. hydrometrische Flügel bei Rechts- und Linkslauf unterschiedliche Werte an, d.h., sie müssen immer richtig, d.h. nach Herstellerangaben angeordnet werden. Bei pulsierenden, böigen, schwallartigen oder hochturbulenten Strömungen zeigen rotierende Stromwegmesser zu hohe Werte an, sind also für genaue Messungen in instationären Strömungen nur mit großen Einschränkungen einsetzbar! Der durch Pulsation zusätzlich auftretende Messfehler kann nach [6.4] wie folgt geschätzt werden:

ePuls = 100

wmax – wmin 2 n 1 + A · B · 00 –1 3 w (Gl. 6.12)

冦冤

冢

冣冥 冧

ePuls zusätzlicher Messfehler in % A Beiwert zur Berücksichtigung der Pulsationsform (A = 0…0,25) B Frequenzgang des Messgerätes (B = 0…1) n ª 1 für Flügelräder wmax größte, gemessene Strömungsgeschwindigkeit wmin kleinste, gemessene Strömungsgeschwindigkeit 3 w mittlere, gemessene Strömungsgeschwindigkeit

Geschwindigkeitsmessung Rotierende Stromwegmesser weisen bei Schräganströmung einen deutlich größeren Messfehler auf, bei hydrometrischen Messflügeln in der Ausführung als sog. Komponentenflügel kann bei Schräganströmung bis zu 45° noch mit hinreichender Genauigkeit die axiale, d.h. in Achsrichtung fallende Geschwindigkeitskomponente gemessen werden. 6.2.2

Staurohre und Sonden

6.2.2.1

Druckbegriffe in strömenden Fluiden

Vor der Beschreibung der verschiedenen Ausführungen von Staurohren und Sonden werden in Anlehnung an Abschnitt 4.3.2.3 und Abschnitt 5.3.2 nochmals die Druckbegriffe in strömenden Fluiden kurz zusammengestellt: a) Inkompressible Strömungen (r = konst.)

377

Aus der Energiegleichung 4.19 r r · g · z + p + 3 · w2 = konst. 2 3 14243 12 statischer dynamischer Druck Druck lässt sich für eine horizontale Stromlinie, die im Staupunkt SI endet, folgender Zusammenhang zwischen Drücken und Geschwindigkeiten herstellen: r r p + 3 · w2 = pS + 3 · w 2St 2 2 wSt = 0 (im Staupunkt SI) I

pS B pt B pPitot I

bzw. allgemein formuliert: r pt = pPitot = p + 3 · w2 = p + pdyn 2

(Gl. 6.13)

Hieraus lässt sich die bekannte Beziehung für die Strömungsgeschwindigkeit w ableiten (Gleichung 4.26): r pdyn = 3 · w2 = pt – p 2

w=

f

03 2 · pdyn 02 = r

f

06 2 (pt – p) 05 r

(Gl. 6.14)

Hinweis: Der gemessene (angezeigte) Staudruck pdyn, an (= Pitotdruck ppitot – statischer Bild 6.17

Staupunktströmung

Bild 6.18 Einfluss der Reynolds-Zahl (Viskosität) auf den Pitot-Druck von Totaldrucksonden mit Kreisquerschnitt (nach [6.21])

378

Strömungsmesstechnik

Druck p) am Kopf einer Sonde weicht in einer realen, reibungsbehafteten viskosen Strömung r vom Staudruck pdyn = 3 · w2 (auch kineti2 scher Druck genannt) in der ungestörten Strömung vor der Sonde mehr oder minder stark ab, was bei kleinen Sonden und niedrigen Strömungsgeschwindigkeiten zu Messfehlern führt (Bild 6.18) [6.19, 6.21]. b) Kompressible Strömungen (r = f (p, T))

pdyn = pt – p =

k k–1 k–1 6 1 + 8 · M2 –1 ·p 2 (Gl. 6.16)

冤冢

冣

冥

Aus der Definition der Schallgeschwindigkeit in Gleichung 5.1 p·k f8 r

9

a=

p · k w2 a2 = 8 = 62 r M r kann der kinetische Druck 3 · w2 durch Er2 satz von p in Gleichung 6.16 eingeführt werden. pdyn = pt – p 2 = 02 k·M

Bild 6.19 Staupunktströmung bei Überschallströmung

In Gleichung 5.28 ist der Totaldruck in einer isentropen kompressiblen Strömung in Funktion des statischen Druckes und der MachZahl definiert:

冢

冣

(Gl. 6.15)

mit der in den Gleichungen 5.1 und 5.2 eingeführten Mach-Zahl M: w w M = 3 = 06 95 a d k · Ri · T Durch Erweitern erhält man aus Gleichung 6.15 folgenden Ausdruck für den Staudruck pdyn = pt – p:

冤冢

冣

冥

Aus dieser Beziehung erkennt man, dass sich der dynamische Druck pdyn = pt – p in einer kompressiblen Strömung vom kinetischen r Druck 3 · w2 unterscheidet, und zwar umso 2 mehr, je größer die Mach-Zahl M wird. Durch Umformung von Gleichung 6.17 erhält man die Formel zur Bestimmung der Strömungsgeschwindigkeit w aus dem gemessenen Druckunterschied pt – p:

w= k k–1 k–1 6 pt = 1 + 8 · M2 ·p 2

(Gl. 6.17) k k–1 r k – 1 5 1 + 8 · M2 – 1 · 3 · w2 2 2

f

009902 k · M2 · (pt – p) (Gl. 6.18) 00009 k k–1 k5 –1 r · 1 + 9 M2 –1 2

冤冢

冣

冥

Für Unterschallgeschwindigkeiten w < a bis etwa M = 0,8…0,9 kann die Strömungsgeschwindigkeit w mit der Näherungsgleichung von PRANDTL (Gleichung 6.19) hinreichend genau bestimmt werden:

wª

f

008 2 · (pt – p) 0205 r · (1 + 0,25 M2)

(Gl. 6.19)

Geschwindigkeitsmessung Bei Mach-Zahlen M > 1 tritt ein senkrechter Verdichtungsstoß auf. Der Pitotdruck pPitot im Staupunkt SI beträgt unter Berücksichtigung des Totaldruckverlustes im Stoß [6.19, 6.21]:

k +1 pPitot = 8 · M2 (Gl. 6.20) 2 1 2 2 (k + 1) · M k–1 5 · 0905 ·p 4 · k · M2 – 2 (k – 1)

冤

冥

Die Differenz zwischen Pitotdruck und statischem Druck wird als angezeigter dynamischer Druck pdyn, an bezeichnet. Der Quotient aus pdyn, an und dem kinetir sche Druck pkin = 3 · w2 ist größer als 1 und 2 eine Funktion der Mach-Zahl M und des Isentropenexponenten k (Bild 6.20). 6.2.2.2

Totaldrucksonden

Die einfachste geometrische Form einer Totaldrucksonde ist ein rechtwinklig gekrümmtes Rohr, dessen Öffnungsbohrung in Strömungsrichtung ausgerichtet wird (Bild 4.24). Dieses einfache Staurohr wurde, ähnlich wie in Bild 4.25 dargestellt, bereits 1732 von dem französischen Wasserbauingenieur HENRI DE PITOT (1695 – 1771) in seiner Schrift [6.22] beschrieben, weshalb die Totaldrucksonde auch als Pitot-Rohr bezeichnet wird (siehe auch [4.31, 4.96 und 4.137]).

Bild 6.20 Angezeigter dynamischer Druck in Funktion der Mach-Zahl (nach [6.21])

379

In [6.19, 6.21 und 6.23] sind die gebräuchlichsten Sonderkopfformen ❑ ❑ ❑ ❑

Halbkugelkopf nach PRANDTL Kegelstumpfkopf nach BRABEE Ellipsoidkopf nach NPL Zylinderkopf

dargestellt und beschrieben. Die Kopfform entscheidet ganz wesentlich über die Richtungsempfindlichkeit der Totaldrucksonde. Die Einflüsse der Wandnähe, d.h. des Geschwindigkeitsgradienten an der Wand, der Viskosität, des Turbulenzgrades sowie von Druckpulsationen auf die Messgenauigkeit von Totaldrucksonden sind u.a. in [6.19 und 6.21] beschrieben. Moderne Ausführungen von Totaldrucksonden werden direkt in der Bohrung mit einem Miniaturdruckaufnehmer bestückt, so dass der Totaldruck, auch mit Pulsationen, sehr genau gemessen, weitergeleitet und analysiert werden kann, wodurch der durch die Übertragung des Totaldruckes in einer Druckmessleitung zum Druckmessgerät eventuell zusätzlich auftretende Fehler vermieden wird [6.24, 6.25]. 6.2.2.3

Statische Sonden

Statische Sonden dienen zur Messung des statischen Druckes in strömenden Fluiden und werden in folgenden Ausführungen hergestellt und eingesetzt: a) Rohrsonden, deren Achse in Strömungsrichtung gehalten wird (Bild 4.23) und deren Messbohrungen seitlich an der Zylinderwand in einem bestimmten Abstand vom Sondenkopf angebracht sind. Die Richtungsempfindlichkeit der statischen Rohrsonde ist größer als die der Totaldrucksonde (Pitot-Rohr), weshalb der Winkelbereich nicht über Da = ±5° hinausgehen sollte. In [6.19 und 6.21] wird über den Einfluss von Geometrie, z.B. Größe, Form und Lage der Druckbohrungen, von Reynolds-Zahl und Mach-Zahl berichtet. b) Zylindersonden (Bild 6.21) bei denen die Druckbohrungen paarweise gegenüberlie-

380

Strömungsmesstechnik

Bild 6.21

Zylindersonde

gend am Zylindermantel angebracht sind. Diese Sonden sind neigungsempfindlich und stärkere Schräganströmungen über ±5° erhöhen deutlich den Messfehler [6.4, 6.19, 6.21]. In [6.4] wird empfohlen, den Bohrungsdurchmesser d ca. 0,1 · D, jedoch nicht größer als 3 mm, zu wählen. Für den Abstand a der Bohrungen vom Sondenboden wird a = 0,78 · D vorgeschlagen. c) Scheibensonden (Bild 6.22), die in 3-dimensionalen Strömungen größerer Ausdehnung, z. B. in Windkanälen oder großen Ventilator-Kammerprüfständen gelegentlich zur Messung des statischen Druckes eingesetzt werden [6.19, 6.21]. Scheibensonden sind relativ unabhängig von Änderungen der Reynolds-Zahl und des Turbulenzgrades, reagieren aber empfindlich gegen Änderungen des «Anstellwinkels» g gegen die Nullanströmungsrichtung, d. h. g sollte möglichst 0 sein. In [6.19 und 6.21] werden weitere statische Sonden, wie Kegelsonden, Düsensonden, Schleppsonden und Wandsonden beschrieben. Weiterhin finden sich Angaben über die Einflüsse des Sondeneinbaus, der Schräganströmung, der Reynolds-Zahl, der Mach-Zahl und des Turbulenzgrades auf den Messfehler.

Bild 6.22

6.2.2.4

Scheibensonde

Staudrucksonden (Staurohre)

Kombiniert man ein Pitot-Rohr und eine statische Rohrsonde nach Bild 4.26, erhält man eine Staudrucksonde, mit der der dynamische Druck pdyn = pt – p direkt gemessen und daraus die Strömungsgeschwindigkeit w aus Gleichung 6.14, 6.18 oder 6.19 bestimmt werden kann. Eine der bekanntesten Ausführungen von Staurohren ist die Sonde mit Halbkugelkopf, wie sie L. PRANDTL (1875–1953) vorgeschlagen hat. Gelegentlich werden auch Staurohre mit Kegelkopf oder Ellipsenkopf eingesetzt [6.19, 6.21]. Die Kopfform hat einen großen Einfluss auf die Messfehler, verursacht durch Änderungen in der Anströmrichtung, der Reynolds-Zahl und der Mach-Zahl. Aus dem Verlauf der Drücke und Strömungsgeschwindigkeiten im unmittelbaren Umfeld der Sonde [6.26] erkennt man, dass die Wahl der Kopfgeometrie, insbesondere die Größe, Zahl und Anordnung der Druckbohrungen, bzw. Druckschlitze, immer einen Kompromiss darstellt hinsichtlich Herstellung der Sonde und ausreichender Messgenauigkeit über einen möglichst großen Einsatzbereich hin.

Geschwindigkeitsmessung

381

Bild 6.23 Prandtl-Rohr mit angeschlossenen Manometern (nach Fa. Wilh. Lambrecht KG, Göttingen)

Je nachdem, ob die Staudrucksonde in einem freien Strömungsfeld (Bild 4.26) oder in einer Rohrströmung (Bild 6.23) eingesetzt wird, verursacht sie mehr oder minder größere Störungen des Strömungsfeldes, die auch zu entsprechenden Messfehlern führen.

Bild 6.24 Fehler bei Schräganströmung einer Stausonde (nach [6.4])

Besonders empfindlich reagieren Staurohre auf Schräganströmung, wie in Bild 6.24 für eine Prandtl-Stausonde demonstriert wird. Nach [6.21] ist der Reynolds-Zahl-Einfluss für Re > 300 und Mach-Zahl-Einfluss für M< 0,7

382

Strömungsmesstechnik

relativ gering und kann bei praktischen Messungen meist vernachlässigt werden. Bei einfachen Betriebsmessungen in Luftkanälen werden gelegentlich noch sog. Stauscheiben-Windmesser eingesetzt, bei denen das bei normalen Staurohren äußerlich angeordnete Differenzdruckmessgerät durch eine Stauklappe ersetzt wird, die ins Gerät integriert ist und deren Stellung die Strömungsgeschwindigkeit für eine bestimmte Fluiddichte direkt anzeigt. Liegt eine andere Fluiddichte vor, muss der angezeigte Wert entsprechend korrigiert werden. Bei kleinen Strömungsgeschwindigkeiten entstehen auch sehr kleine Differenzdrücke pdyn ~ w2, die nur sehr schwer genau gemessen werden können. Durch Verwendung sog. Staudruckmultiplikatoren, die meist die Form einer VenturiDüse (Bild 4.18) haben, kann eine Druckverstärkung bis zum 6-fachen des normalen Staur druckes 4 · w2 erreicht werden, die eine ge2 genauere Messung der Strömungsgeschwindigkeit über den vergrößerten Differenzdruck zwischen dem kleinen und großen Sondenquerschnitt ermöglicht. In [6.4] sind derartige Staudruckmultiplikatoren ausführlich beschrieben. 6.2.2.5

Strömungsrichtungssonden

Strömungsrichtungssonden dienen zur Messung von Strömungsgeschwindigkeiten in einem 3-dimensionalen oder ebenen Strömungsfeld und werden deshalb auch als Strömungsvektorsonden oder als Sonden für Mehrkomponentenmessungen bezeichnet. In [6.21, 6.19 und 6.3] werden die verschiedenen geometrischen und konstruktiven Ausführungen von Strömungsvektorsonden beschrieben und abgebildet: ❑ ❑ ❑ ❑ ❑ ❑

Fingersonden, Zylindersonden, Kugelsonden, Halbkugelsonden, Kegelsonden, Keilsonden;

oder nach der Anzahl der Druckbohrungen: ❑ ❑ ❑ ❑

2-Loch-Sonden, 3-Loch-Sonden, 4-Loch-Sonden, Mehrlochsonden.

2- und 3-Loch-Sonden dienen zur Vermessung ebener Strömungsfelder, 4- und Mehrlochsonden zur Vermessung räumlicher Strömungsfelder. Im Prinzip existieren bezüglich der Sondenpositionierung 2 Messverfahren: a) Bei feststehender Sonde wird die in einer Ebene liegende oder auch die räumliche Strömungsrichtung über die Druckdifferenzen an korrespondierenden Druckbohrungen anhand von Eichkurven bzw. mittels EDV-Programmen bestimmt. b) Eine kardanisch schwenkbare Sonde wird solange räumlich verstellt, bis alle korrespondierenden Differenzdrücke Dpi zu 0 werden (Nullabgleichsmethode). Aus der räumlichen Stellung der Sonde kann dann auf die räumliche Richtung des Strömungsgeschwindigkeitsvektors geschlossen werden. Auch Kombinationen aus beiden Messverfahren werden in der Praxis angewandt. Die Kalibrierung bzw. Nachprüfung der Sonden erfolgt hauptsächlich in speziellen Windkanälen abhängig von Reynolds- und MachZahl oder auch in speziellen Wasserkanälen [6.23]. Durch die endliche Distanz der Druckbohrungen, insbesondere bei größeren Sondenabmessungen, entstehen in Strömungsfeldern mit großen Geschwindigkeitsgradienten, z.B. in Randzonen an Wänden, größere Messfehler. Deshalb sollten Sondenköpfe so klein wie möglich ausgeführt werden, wobei dann allerdings die Herstellung und winkelgenaue Positionierung der dann ebenfalls sehr kleinen Druckbohrungen große Schwierigkeiten bereiten. Halbkugel- und Kegelkopfsonden lassen sich dabei leichter genau herstellen als Kugelkopfsonden. U.a. in [6.29 und 6.30] finden sich detaillierte Angaben und weitere Literaturstellen über die Kalibrierung von Vektorsonden, in

Geschwindigkeitsmessung

383

Bild 6.25 Diffusor- und Düsenwirkung in Wandnähe (nach [6.31])

[6.31] wird die Ermittlung von Korrekturfaktoren für den Wandeinfluss (Bild 6.25) beschrieben. Auch in der weiter unten aufgeführten Literatur [6.31 bis 6.36] finden sich Ausführungen zur Kalibrierung von Sonden und den Einfluss von Reynolds- und MachZahl bei den verschiedenen geometrischen Sondenformen. Von den zahlreichen in der Fachliteratur beschriebenen bzw. von verschiedenen Herstellern angebotenen Vektorsonden werden eine kleine Auswahl vorgestellt: a) Zylindersonden In [6.27] wird eine 6-Loch-Zylindersonde mit 2 Messebenen (Bild 6.26) einschließlich ihrer Kalibrierung beschrieben, die sich verhältnismäßig einfach in einer gut eingerichteten feinmechanischen Werkstatt herstellen lässt. Auch die Kalibrierung in einem Windkanal, in [6.27] wird ein Freistrahlkanal benutzt, ist vergleichsweise unkompliziert, da die Sonde nur um ihre Achse gedreht wird. Der Autor von [6.27] gibt an, dass im Bereich 103 < Re < 2 · 105 und M < 0,7 kein Einfluss der Reynolds-Zahl auf die Kalibrierwerte auftrat, sodass die Kalibrierkurven nur vom Drehwinkel und von der Mach-Zahl abhängig sind. In [6.27] sind weitere 6 relevante Literaturstellen zur Sondenmesstechnik aufgeführt. b) 3-Loch-Sonde Im Strömungsmaschinenlabor der Fachhochschule Heilbronn wird für einfache Messungen in annähernd ebenen Strömungsfeldern von Luftströmungen, z.B. in der Ventilatoren-

Bild 6.26

6-Loch-Zylindersonde (nach [6.27])

technik, die 3-Loch-Sonde der ehemaligen Aerodynamischen Versuchsanstalt Göttingen AVA (Bild 6.27) verwendet, die nach der Nullabgleichsmethode die Messung des Strömungswinkels a und des Totaldruckes pt ermöglicht. Daraus kann die Strömungsgeschwindigkeit w nach Betrag und Richtung über das Eichblatt (Bild 6.28) bestimmt werden. Eine Bestimmung der Strömungsrichtung bei feststehender, asymmetrisch angeströmter Sonde aus den gemessenen Drücken Dp und pt ist mess- und auswertetechnisch wesentlich

384

Strömungsmesstechnik a b

e

d

z c l a 0,6

b 2,4

c 25

d 5

e 4

l z 320 100 mm

Bild 6.27 3-Loch-Sonde (aerodynamische Versuchsanstalt Göttingen)

pt – p

Bild 6.28 Eichdiagramm einer 3-Loch-Sonde (Aerodynamische Versuchsanstalt Göttingen)

aufwendiger und auch bei kleinen Winkeln a etwas ungenauer als bei Anwendung der Nullabgleichsmethode. c) Kegelsonde nach CONRAD Die ebenfalls von der Aerodynamischen Versuchsanstalt Göttingen AVA hergestellte und kalibrierte Kegelsonde nach CONRAD [6.32] enthält 4 Bohrungen am Kegelmantel zur Bestimmung der Strömungsrichtung (a- und bBohrungen), eine zentrale Bohrung in der Mitte der Kegelspitze zur Messung des Totaldruckes pt und 4 zu einer gemeinsamen Druckmessleitung zusammengefassten Bohrungen am zylindrischen Sondenteil kurz vor einem Stauwulst zur Messung des statischen Druckes p (Bild 6.29). Mit dieser pneumatischen Vektorsonde lassen sich in einem Messpunkt eines räumlichen Strömungsfeldes sowohl die Richtung als auch der Betrag der Strömungsgeschwindigkeit durch einen kombinierten Messvorgang bestimmen. In [6.33 und 6.34] werden ähnlich aufgebaute 5-Loch-Sonden mit Halbkugelkopf beschrieben, die teilweise mit einer zusätzlichen NTCTemperaturmessstelle ausgerüstet sind. d) Kugelsonden Die in [6.23] ausführlich beschriebene Kugelsonde (Bild 6.30) eignet sich ebenso wie die Kegelsonde nach CONRAD zur 3-Komponenten-Messung, d.h. zur Bestimmung von Richtung und Betrag der örtlichen Strömungsgeschwindigkeit in einem räumlichen Strömungsfeld. Nach [6.23] ist im weiten Bereich 2 · 103 ≤ Re ≤ 1,5 · 105 kein Einfluss der Reynolds-Zahl festzustellen, d.h. bei der Messauswertung auch keine diesbezüglichen Korrekturen durchzuführen. In [6.23] werden auch Kalibriermessungen in einem Wasserkanal erwähnt und die zugehörige Literaturstelle zitiert. Mit Kegel- und Kugelsonden werden seit vielen Jahren im Strömungsmaschinenlabor der Fachhochschule Heilbronn zahlreiche Geschwindigkeitsfelder, insbesondere an und in Ventilatoren, an Wärmetauschern, Filteranlagen oder in Armaturen vermessen, ähnlich wie es auch in [6.37] ausführlich beschrieben ist.

Geschwindigkeitsmessung

385

Bild 6.29 4-Loch-Sonde nach CONRAD (Aerodynamische Versuchsanstalt Göttingen)

a 0,8

b

c d d1 d2 0,7 2,6 4 7 5,6 l = 470 z = 100

e 13 mm

Bild 6.30 Kugelsonden. a) Taylor’sche Richtstaukugel, b) Kugel nach VAN DER HEGGE-ZIJNEN, c) Schwanenhals-Kugelsonde (nach [6.19])

6.2.3

Thermische Sonden

Das Messprinzip des Sensors einer thermischen Sonde beruht auf dem Wärmeaustausch zwischen einem elektrisch beheizten Körper, meist einem dünnen Draht oder einem kleinen Metallfilm und dem umgebenden strö-

menden Fluid. Es besteht ein eindeutiger Zusammenhang zwischen der Heizleistung des Sensors und der zu messenden Strömungsgeschwindigkeit. In [6.23] wird die sog. King’sche Formel für den Zusammenhang zwischen elektrischer Heizleistung I2 · RS und der Strömungsge-

386

Strömungsmesstechnik 300°C werden Platin- oder Platin-Iridiumdrähte verwendet. b) Heißfilmsonden Der Sensor von Heißfilmsonden besteht aus einem auf einem Quarzsubstrat aufgedampften kleinen, dünnen Metallfilm. Das Quarzsubstrat kann dabei die Form eines dünnen Zylinders, eines Kegels, eines Keiles oder einer Kugel haben [6.23]. Der Metallfilm besteht üblicherweise aus Platin oder Nickel. Zur Messung der Heizleistung I2 · RS werden 2 elektrische Messverfahren angewandt:

Bild 6.31 Thermische Sonde (Prinzip) zu Gleichung 6.21

schwindigkeit w für inkompressible Strömungen bei hohen Reynolds-Zahlen hergeleitet (Bild 6.31): I2 · RS = (TS – TF) · (A + B · w0,5)

(Gl. 6.21)

I durch den Sensor fließender Strom RS Ohm’scher Widerstand des Sensors bei der Temperatur TS TS Temperatur des Sensors TF Temperatur des Fluids A Konstanten, die von den physikalischen Eigenschaften des Fluids abhängen. Bei kleinen Strömungsgeschwindigkeiten, B d.h. kleinen Reynolds-Zahlen hängen A und B auch von der Strömungsgeschwindigkeit w ab. w Strömungsgeschwindigkeit

冦

Vom konstruktiven Aufbau und den verwendeten Werkstoffen her unterscheidet man 2 Arten von thermischen Sonden: a) Hitzdrahtsonden Hitzdrahtsonden bestehen aus einem oder mehreren feinen Hitzdrähten, die zwischen in Keramik gebetteten Haltespitzen durch Schweißen oder Hartlöten aufgespannt sind (Bild 6.32). Die feinen Drähte mit wenigen mm Durchmesser und Längen von wenigen mm bestehen meist aus platinbeschichtetem Wolfram. Für hohe Arbeitstemperaturen TS über

a) Konstant-Strom-Anemometer (CCA) Beim Konstant-Strom-Anemometer wird der durch den Sensor fließende Heizstrom I konstant gehalten und die Änderung des Sensorwiderstandes RS über eine Brückenschaltung (Bild 6.32a) über die Spannung U gemessen. Der Abgleich der Brücke erfolgt im ruhenden Fluid (w = 0). b) Konstant-Temperatur-Anemometer (CTA) Beim Konstant-Temperatur-Anemometer wird zur Konstanthaltung der Sensortemperatur IS der Speisestrom I durch Vertrimmen eines Regelwiderstandes nachgeführt, sodass auch der Sensorwiderstand RS konstant bleibt (Bild 6.32b). Gemessen wird dann der Strom I im Produkt I2 · RS, der gemäß Gleichung 6.21 direkt mit der zu bestimmenden Strömungsgeschwindigkeit w korrespondiert. Die meisten handelsüblichen Seriengeräte arbeiten nach dem CTA-Prinzip. Die bei thermischen Sonden auftretenden Messunsicherheiten können verschiedene Ursachen haben: ❑ Die Richtungsempfindlichkeit des Sensors, d.h. Abweichungen in den Wärmeübertragungsverhältnissen durch Schräganströmung [6.23]; ❑ Einfluss der Mach-Zahl, vor allem bei hohen Mach-Zahlen; ❑ Einfluss der Reynolds-Zahl, vor allem bei kleinen Reynolds-Zahlen; ❑ Zeitverhalten (Trägheit) Hier unterscheiden sich CCA- und CTAVerfahren merklich. Geräte mit geringer Trägheit werden auch zur Turbulenzforschung eingesetzt, wobei Volt- und Amperemeter in der Brücken-

Geschwindigkeitsmessung

❑ ❑ ❑ ❑

387

schaltung (Bild 6.32) durch einen Oszillographen ersetzt bzw. ergänzt werden; Winddruck, Erschütterungen der Sondenhalterung, Staub, Feuchte.

Für einfache Betriebsmessungen in Anlagen und Geräten werden anstelle der empfindlichen und teuren Hitzdraht- oder Heißfilmsonden robustere und kostengünstigere Messfühler mit Thermoelementen oder Thermistoren verwendet, die die zu messende Strömungsgeschwindigkeit der Staupunktstemperatur nach Gleichung 5.15 zuordnen, aber wegen der Abhängigkeit des Sensors von der Fluidtemperatur TF weniger genaue Messungen erzielen. Bei Messungen in Flüssigkeiten können sich Gasausscheidungen am Sensor nachteilig auf die Messgenauigkeit auswirken. Eine ausführliche Beschreibung der Messtechnik mit thermischen Sonden findet sich in [6.23 und 6.36]. Detaillierte Angaben zur Signalinterpretation, Kalibrierung und Fehlerabschätzung von Hitzdrahtanemometern finden sich in [6.38]. In [6.33] werden Tripelhitzdrahtsonden zur Vermessung von instationären 3-D-Vektoren ausführlich beschrieben. Weitere interessante Informationen und praktische Hinweise finden sich in den Literaturstellen [6.39 bis 6.44]. 6.2.4

Optische Messsonden

Optische Geschwindigkeitsmessgeräte arbeiten nach verschiedenen physikalischen Prinzipien und werden i.A. wegen des großen apparativen Aufwandes und der verhältnismäßig komplizierten und aufwendigen Auswertung nur im Bereich hochwertiger Forschung und Entwicklung u.a. im Strömungsmaschinenbau, Schiffsbau, Fahrzeugbau, in der Verfahrenstechnik und in der Medizintechnik eingesetzt. Von den bekannten Verfahren [6.23]:

Bild 6.32

Hitzdrahtanemometer

❑ Markierung von Strömungen, ❑ Schlierenverfahren, ❑ holographische Interferometrie,

388

Strömungsmesstechnik

❑ optoelektronische Gitterabtastung, ❑ Particle Image Velocimetry (PIV), ❑ Laser-Doppler-Anemometer (LDA oder LDV), ❑ Laser-2-Fokus-Anemometer (L2F oder LTA) werden nur die beiden letztgenannten Geräte kurz beschrieben: Beide Laser-Anemometer arbeiten berührungsfrei und trägheitslos. Sie verfügen über große Messbereiche, die auch in den transsonischen und Überschallbereich hineinreichen. Mit beiden Gerätearten lassen sich 3-dimensionale stationäre und instationäre Strömungsfelder mit sehr hoher Genauigkeit vermessen. Ein weiterer Vorteil der Geräte ist, dass sie nicht kalibriert werden müssen, d. h. sich dadurch auch für die Vermessung von Kalibrierkanälen oder die Kalibrierung anderer Geschwindigkeitsmesssonden besonders gut eignen. Das Messprinzip der Laser-Doppler-Anemometer (LDA oder LDV) beruht auf der Messung der Frequenzverschiebung von Licht, das von einem mit der StrömungsgeÆ schwindigkeit w bewegten kleinen Partikel gestreut wird (Bild 6.33) nach dem DopplerEffekt. Diese Frequenzänderung gegenüber dem eingestrahlten Licht ist ein direktes Maß für Æ die Strömungsgeschwindigkeit w . Voraussetzung ist dabei allerdings, dass sich das Streuteilchen schlupffrei mit der Strömung mitbewegt. Sind nicht genügend «natürliche» Streuteilchen in der Strömung vorhanden, z. B. durch Verunreinigungen oder Staub, müssen künstlich ausreichend Streuteilchen zugeführt werden. Das LDA-Verfahren verfügt über eine hohe zeitliche Auflösung (Größenordnung: 104 Messwerte/s), eine hohe räumliche Auflösung (Messvolumen bis zu 10–4 mm3 herunter) sowie hohe Genauigkeiten (Fehler bis zu 0,1% vom Messwert). In der Praxis kommen 2 unterschiedliche LDA-Verfahren zur Anwendung:

Bild 6.33

(nach [6.23])

a) Referenzstrahlmethode, bei der 2 Lichtwellen nach Strahlteilung in einer Strahlkreuzung überlagert und im Messpunkt fokussiert werden, b) das am Häufigsten angewandte Verfahren der 2-Strahl-Methode, bei dem 2 gleiche Laserstrahlen am Messort (Streupartikel) fokussiert werden. Je nach konstruktivem Aufbau der LDAGeräte als 2-Komponenten- oder 3-Komponenten-Messsysteme kann die Strömungsgeschwindigkeit nach Betrag und Richtung in der Ebene bzw. im Raum, stationär oder instationär, gemessen werden. Das Messprinzip der Laser-2-Fokus-Anemometrie (L2F oder LTA) basiert auf dem 1968 von THOMPSON vorgestellten Lichtschrankenverfahren. Ein von der Strömung schlupffrei mitgeführtes Teilchen durchfliegt das winzige Messvolumen und erzeugt 2 aufeinander folgende Streuimpulse. Aus dem bekannten Abstand der beiden parallelen Laserstrahlen und der gemessenen Flugzeit des Streuteilchens zwischen den Strahlen kann dessen Geschwindigkeit, die der Strömungsgeschwindigkeit entspricht, ermittelt werden. In Bild 6.34 ist der schematische Aufbau eines L2F-Laser-Anemometers nach [6.34] dargestellt.

Füllstandsmessung (Niveaumessung)

Bild 6.34

Optischer Aufbau eines L2F-Messsystems (nach [6.34])

Die Theorie der verschiedenen Laser-Anemometrie-Verfahren ist in [6.23 und 6.36] sehr ausführlich beschrieben, weitere interessante Ausführungen finden sich in [6.45 bis 6.49].

6.3

389

Füllstandsmessung (Niveaumessung)

Die Füllstandsmessung wird bei der Messung der Höhe eines Flüssigkeitsspiegels in offenen und geschlossenen Behältern, Kanälen, Brunnenanlagen, an Schleusen, Wehren, Stauklappen usw. angewandt. Ein besonderes Messverfahren stellt die Niveaumessung von Trennschichten (siehe Bild 2.9) zwischen Flüssigkeiten unterschiedlicher Dichte dar, die sich nicht mischen. Die Füllstandsmessung erfüllt in der Betriebspraxis 3 Aufgaben: a) Kontinuierliche Füllstandsmessung zur laufenden Bestimmung von Behälterinhalten, Höhenunterschieden, Durchflüssen an Wehren (vgl. Abschnitt 6.5.4), zu Mess-, Regel- und Steuervorgängen, die z.B. einer optimierten Betriebsführung dienen.

Der Zusammenhang zwischen der jeweiligen Standhöhe und dem zugehörigen Behältervolumen muss dabei bekannt sein [6.4]. b) Grenzstanderfassung zur Vermeidung von Überfüllung oder Leerlaufen von Behältern, zum Schutz von Pumpenanlagen, Ansteuern von Sicherheitsarmaturen usw. c) Trennschichterfassung in der Verfahrenstechnik Die Füllstandsmessung ist letztlich eine Längenmessung und kann nach zahlreichen mechanischen oder pysikalischen Verfahren, die sich in 3 Gruppen einteilen lassen, durchgeführt werden: a) Unmittelbare Verfahren Standglas (Schauglas), Peilstab, Peilband, Schwimmermessgeräte, Tastplattengeräte. b) Mittelbare Verfahren über Druck- oder Kraftmessung Bodendruckmessung, Wägung, Auftriebskörper (Verdrängermessgeräte), Einperlung von Luft oder Gasen (Perlrohr).

390

Strömungsmesstechnik

Tabelle 6.4

Füllstandsmessung

Schau- und Standglas

Hydrostatische Methode

Niveaumessung mit Schwimmern oder Auftriebskörpern

Schauglas

Fernleitung

Behälter h

r

Geber Manometer p

Gegengewicht Empfänger Seil (Schreiber) Schwimmer

Bild 6.35

Bild 6.36

Bild 6.37

In dem am Behälter angebrachten Schauglas wird der Flüssigkeitsstand im Behälter angezeigt. Bei Temperaturunterschieden zwischen Behälter und Schauglas ergeben sich verschiedene Flüssigkeitshöhen in Behälter und Schauglas, die zu korrigieren sind.

Die Flüssigkeitshöhe h wird über den hydrostatischen Druck am Behälterboden gemessen. Die Stauhöhe h ergibt sich aus dem gemessenen Druck: p h = 71 r·g

Schwimmer oder Auftriebskörper folgen den Niveauschwankungen nahezu trägheitslos. Die jeweilige Stellung des Schwimmers wird meistens über ein Seil auf einen elektrischen Geber übertragen, der die Schwimmerbewegung in ein elektrisches Signal umwandelt und an ein Anzeigegerät, einen Schreiber oder Regler weiterleitet.

Bei geschlossenen Behältern werden Differenzdruckmanometer verwendet.

c) Mittelbare Verfahren über besondere physikalische Effekte kapazitive Standmessung, Laufzeitmessungen von Schall, Ultraschall, Radar, elektromagnetischen Wellen, Messung über die Leitfähigkeit der Flüssigkeit, radiometrische Standmessung. Von den aufgeführten Messverfahren sind nur wenige eichfähig [6.50]. Füllstandsmessgeräte müssen dann geeicht sein, wenn sie im geschäftlichen Verkehr ver-

wendet werden oder im amtlichen Verkehr für Messungen nach dem Zoll- oder Steuerrecht dienen. Einzelheiten dazu können der Eichordnung (E0) vom 15. Januar 1975 (BGBl. I, Nr. 6 vom 21. Januar 1975) entnommen werden. Aus Platzgründen werden einige ausgewählte, in der Praxis häufig angewandte Füllstandsmessverfahren in Tabelle 6.4 verkürzt und vereinfacht zusammengestellt. Neben der Standardliteratur in [6.2 bis 6.4] werden zur Vertiefung die Literaturstellen [6.50 bis 6.52] empfohlen.

Volumenmessung Tabelle 6.4

391

(Fortsetzung)

Auswägeverfahren

Kapazitative Flüssigkeitsstandmessung

Laufzeitmessung von Schall, Ultraschall, Radar usw.

Bild 6.38

Bild 6.39

Bild 6.40

Wenn keines der beschriebenen Standmessverfahren brauchbar ist, wird der Behälterinhalt durch Auswägen des gesamten Behälters auf einer Waage oder mittels Kraftmessdosen bestimmt.

Dieses Verfahren wird häufig bei hochviskosen Flüssigkeiten oder Flüssigkeiten mit hohem Feststoffanteil angewandt. Gemessen wird die Kapazitätsänderung eines Kondensators, der durch eine in die Flüssigkeit ragende Messsonde und die Behälterwand gebildet wird, wobei die Flüssigkeit als Dielektrikum dient. Der Kondensator kann als Plattenkondensator oder als Zylinderkondensator mit konzentrischer oder exzentrischer Sonde ausgeführt werden.

Diese berührungslose Methode der Laufzeitmessung von Schall, Ultraschall, Radar, z.B. nach dem Echolotverfahren in Bild 6.40, wird dann angewandt, wenn eine ständige Änderung der Dielektrizitätskonstante, der Leitfähigkeit o.ä. der Flüssigkeit den Einsatz entsprechender Verfahren nicht zulässt. Beim Echolotverfahren wird die Laufzeit Sender–Flüssigkeitsspiegel– Empfänger gemessen und daraus der Pegelstand bestimmt. Ähnlich funktionieren Verfahren mit getrenntem Sender und Empfänger.

Waage

6.4

Volumenmessung

Bei der Prozessführung in Produktions- und Energietechnik müssen ständig Stoffmengen, sei es in Volumeneinheiten, sei es in Masseeinheiten, gemessen werden. Allen bekannt ist beispielsweise das Messen von Treibstoffmengen an Tankstellen. Die zur Volumenmessung erforderlichen Messgeräte werden als Volumenzähler bezeichnet. Die bekanntesten Messverfahren und Geräte sind in Tabelle 6.5 zusammengestellt. Nähere Einzelheiten können u. a. in [6.2, 6.3, 6.4 und 6.53] nachgelesen werden. Am Beispiel des Ringkolbenzählers (Bild 6.41), der zu den unmittelbaren Volumen-

zählern gehört, sollen exemplarisch Wirkungsweise, Messgenauigkeit und Druckverlust kurz beschrieben werden. Die Flüssigkeit tritt durch die Bodenöffnung E in die linke Hälfte der Messkammer ein und verlässt sie auf der rechten Hälfte durch die Öffnung A im Messkammerdeckel. Während einer oszillierenden Bewegung des geschlitzten Drehkolbens K werden die Teilmenge V1 im äußeren Sichelraum und die Teilmenge V2 im inneren Sichelraum von der Eintrittsöffnung E zur Austrittsöffnung A gefördert, sodass sich das gesamte Messkammervolumen V als Summe der beiden Teilvolumina ergibt V = V1 + V2

Mittelbare Volumenmessung

Volumenzähler mit starren Messkammerwänden (Auslaufzähler)

Unmittelbare Volumenmessung

Volumenzähler mit Strömungsinhomogenitäten

Volumenzähler mit Messflügeln

Volumenzähler mit beweglichen Messkammerwänden (Verdrängerzähler)

Zählertyp

Übersicht über Volumenzähler

Messverfahren

Tabelle 6.5

Dralldurchflussmesser Wirbeldurchflussmesser Schwingkörperdurchflussmesser Fluidic-Zähler

wirbelerzeugende Einbauten oszillierende Einbauten oszillierende Strömung (Nutzung des Coanda-Effektes)

Flüssigkeiten und Gase

Flüssigkeiten

Gase

Turbinenradgaszähler Schraubenradgaszähler Flügelradzähler

Flüssigkeiten

Gase

Flüssigkeiten

Messgut (Fluid)

Woltman-Zähler Turbinenradzähler

drallerzeugende Einbauten

tangentiale Durchströmung

axiale Durchströmung

Drehkolbengaszähler trockene Gaszähler nasse Gaszähler

Ringkolbenzähler Ovelradzähler Treibschieberzähler Taumelscheibenzähler

Drehkolben

Trommelzähler

rotierendes Messgefäß 1-Kolben-Zähler Mehrkolbenzähler

Kippzähler

kippendes Messgefäß

Hubkolben

Messbehälter mit automatischer Umschaltung (Füllung/Leerung)

Ausführung

feststehende Messgefäße

Bauart

392 Strömungsmesstechnik

Volumenmessung

393

Bild 6.41 Ringkolbenzähler (nach Fa. Bopp & Reuther, Mannheim)

Bei dem beschriebenen Fördervorgang bewegt sich der Zapfen ZK des Messkolbens K um eine volle Umdrehung um den Zapfen ZG des feststehenden Gehäuses, sodass eine Füllung V genau proportional einer vollen Umdrehung wird. Der Eintrittsbereich wird durch den Gehäusesteg S vom Austrittsbereich getrennt. Ringkolbenzähler eignen sich nur für saubere Flüssigkeiten. Die Messgenauigkeit ist relativ hoch, Ringkolbenzähler erfüllen die entsprechenden Eichvorschriften.

Bild 6.42 Fehlerkurven eines Ringkolbenzählers (nach [6.4])

Bild 6.43 Druckverluste von Ringkolbenzählern (nach [6.4])

394

Strömungsmesstechnik

Die Fehlerkurven hängen von der Viskosität und vom Durchfluss ab (Bild 6.42), je höher die Viskosität ist, desto geringer ist der Einfluss des Durchflusses und umgekehrt. Die Druckverluste sind relativ hoch und müssen bei der Auslegung von Anlagen unbedingt berücksichtigt werden. Bei niedrigen Viskositäten erfüllen Ringkolbenzähler in etwa das quadratische Widerstandsgesetz (Gleichung 4.157), bei sehr hohen Viskositätswerten das lineare Widerstandsgesetz der laminaren Spaltströmung (Gleichung 4.210), wie aus den Kurvenzügen bzw. Geraden in Bild 6.43 deutlich zu erkennen ist. Die Auswahl von Volumenzählern für bestimmte Einsatzfälle und Flüssigkeiten erfolgt am besten anhand von Katalogen und Handbüchern der Gerätehersteller.

6.5

Durchflussmessung

6.5.1

Einleitung

Unter Durchflussmessung versteht man die messtechnische Bestimmung des momentan durch einen Messquerschnitt A einer geschlossenen Rohrleitung oder eines offenen Gerinnes strömenden Volumenstroms V˙ oder Massenstroms m˙ = r · V˙ . Die verschiedenen, in den nächsten Abschnitten beschriebenen Mess- und Auswerteverfahren werden in der Praxis sehr häufig angewandt, sei es bei Labor- oder Abnahmeversuchen in der Strömungstechnik, an Kraftund Arbeitsmaschinen, in der Verfahrenstechnik, Versorgungs- und Entsorgungstechnik u. a. Bereichen, oder auch bei laufenden Betriebsmessungen zur Steuerung, Regelung und Kontrolle von Kraftwerksprozessen, chemischen Produktionsverfahren usw. In der Literatur wird unterschieden zwischen den seltenen unmittelbaren Messverfahren, bei denen nur eine einzige Messgröße zur Bestimmung des Durchflusses ausreicht und den mittelbaren Messverfahren, bei denen eine oder mehrere Zusatzgrößen, häufig die Dichte zusätzlich zur eigentlichen Hauptmessgröße bekannt sein, bzw. gemessen werden müssen.

Es sei hier schon im Voraus auf die zahlreichen Literaturbezüge in den einzelnen Abschnitten hingewiesen. 6.5.2

Netzmessungen

6.5.2.1

Grundlagen

Netzmessungen sind Messverfahren zur Bestimmung des Volumenstromes V˙ bzw. in Ausnahmefällen auch des Massenstroms m˙ durch Abtasten der Geschwindigkeitsfelder in meist mittleren bis großen Strömungsquerschnitten A, bei denen die weiter unten aufgeführten, meist genaueren Verfahren, z.B. die Wirkdruckverfahren, nicht in Frage kommen, z.B. wegen der Größe des Messquerschnittes A oder weil sich die Einrichtung einer ständigen Messstelle nicht lohnt. Der ebene Messquerschnitt A soll möglichst senkrecht zu den parallel zu den Kanalwänden verlaufenden Stromlinien und eine genügend lange, gerade Rohr-(Kanal-) strecke gleichen Querschnitts im Ein- und Auslauf haben (vgl. Abschnitt 4.7.8), damit die Stromlinien gerade verlaufen und die Geschwindigkeitsverteilung möglichst gleichförmig ist. Da die Vermessung des Geschwindigkeitsfeldes relativ viel Zeit in Anspruch nimmt, muss über längere Zeit der Volumenstrom V˙ konstant gehalten werden, bzw. während der gesamten Messdauer die Strömungsgeschwindigkeit oder ein repräsentativer Wirkdruck an einer geeigneten Referenzmessstelle mitgemessen werden (Abschnitt 6.5.2.3). Ganz allgemein lassen sich Sinn und Zweck einer Netzmessung so beschreiben, dass man mit möglichst wenigen, «geschickt» über dem Messquerschnitt verteilten Messpunkten und einem exakten mathematischen Auswerteverfahren den Volumenstrom V˙ möglichst genau bestimmen will. In VDI/VDE 2640/Blatt 1 [6.54] sind die allgemeinen und mathematischen Grundlagen der Netzmessungen in beliebigen und regelmäßigen (z.B. Kreis- und Rechteckquerschnitt) Strömungsquerschnitten ausführlich beschrieben. Das ausführliche Regelwerk enthält auch einen umfangreichen Anhang mit

Durchflussmessung zahlreichen praktischen Hinweisen, außerdem viele kompetente Literaturhinweise. Bei der Festlegung der Messpunkteverteilung, der Messzeiten und der verwendeten Geschwindigkeitsmessgeräte müssen u.a. berücksichtigt werden: ❑ Form und Größe des Messquerschnittes, ❑ Zweck der Messung (Abnahme- oder Betriebsmessung, Gewährleistungsnachweis, Gutachten usw.), ❑ Ungleichförmigkeit und zeitliche Konstanz des Geschwindigkeitsfeldes, ❑ Zugänglichkeit des Messquerschnittes, ❑ Referenzmessstelle. Die Grundgleichung für den Durchfluss ergibt sich durch Kombination der Gleichungen 4.7 und 4.8: V˙ =

Ú w · dA = w– · A

(Gl. 6.22)

A

V˙

Volumenstrom

A

Messquerschnitt A = S dA

n i=1

w

örtliche Strömungsgeschwindigkeit im Messpunkt i dA Teilfläche um den Messpunkt i – mittlere Strömungsgeschwindigkeit w Analog ergibt sich durch Heranziehen von Gleichung 5.4 für den Massenstrom m˙ : m˙ =

Ú r · w · dA

(Gl. 6.23)

A

m˙ Massenstrom r örtliche Fluiddichte im Messpunkt i Die Lage der einzelnen Messpunkte im Messquerschnitt A lässt sich durch ❑ kartesische Koordinaten ❑ Polarkoordinaten beschreiben, wie es anhand von rechteckigen und kreisförmigen Strömungsquerschnitten in Tabelle 6.6 für den Volumenstrom V˙ beispielhaft dargestellt ist.

6.5.2.2

395

Anordnung und Anzahl der Messpunkte

Nachdem der Messquerschnitt A nach den vorgegebenen örtlichen Verhältnissen und in möglichst genauer Anwendung anerkannter genauer Regeln, z.B. [6.54 bis 6.58] ausgewählt, festgelegt und vermessen ist, wird die Anordnung und Anzahl der Messpunkte im Hinblick auf das gewählte Auswerteverfahren und die zu erwartende Ungleichförmigkeit des Geschwindigkeitsfeldes ebenfalls nach den verbindlichen Vorschriften der einschlägigen Regelwerke festgelegt. a) Nach dem sog. allgemeingültigen Trivialverfahren kann der Messquerschnitt in gleiche oder auch ungleiche Teilflächen dA unterteilt und die örtliche Strömungsgeschwindigkeit in den Schwerpunkten der Teilflächen gemessen werden. b) Nach dem Schwerelinienverfahren für Kreis-, Kreisring- und Rechteckquerschnitte wird der Messquerschnitt A in konzentrische, gleich große Teilflächen aufgeteilt. Die Messpunkte sind die Schnittpunkte der Messgeraden mit den Schwerelinien der Teilflächen, wie es in Bild 6.46 aus [6.59] am Beispiel eines Kreisquerschnittes mit 3 Messgeraden (= 6 Messradien) mit jeweils 8 bzw. 4 Messpunkten, d.h. insgesamt 24 Messpunkten dargestellt ist. Bei diesem Verfahren liegen die Messpunkte am Rand des Messquerschnittes dichter als in der Querschnittsmitte. In [6.56] ist das Schwerelinienverfahren ausführlich beschrieben und durch Anwendungsbeispiele ergänzt. c) Nach dem Log-Linear- oder dem LogTchebycheff-Verfahren [6.57, 6.59 bis 6.62] wird die Kontur des Geschwindigkeitsprofiles durch eine logarithmische Funktion beschrieben und die Messpunkte auf den Messgeraden bzw. Messradien so fest gelegt, dass das arithmetische Mittel der gemessenen Strömungsgeschwindigkeiten – = V˙ /A dem volumetrischen Mittelwert w möglichst nahe kommt. In [6.63] werden die verschiedenen Verfahren ausführlich miteinander verglichen.

396

Strömungsmesstechnik

Tabelle 6.6

Koordinatensysteme für die Integration des Geschwindigkeitsfeldes

Kartesische Koordinaten

Polarkoordinaten

Bild 6.44 Strömung in einem Kanal mit Rechteckquerschnitt (nach [6.54])

Bild 6.45 Strömung in einem Kanal mit Kreisquerschnitt (nach [6.54])

B

V˙ = Ú

H

R

Ú w · db · dH

(Gl. 6.24)

Randbedingungen

w = 0 bei b = 0 und b = B w = 0 bei h = 0 und h = H

Bei ungleichförmiger Geschwindigkeitsverteilung im Messquerschnitt müssen Anzahl und Anordnung der Messpunkte dem Ungleichförmigkeitsgrad U des Geschwindigkeitsprofiles angepasst werden. In [6.56] ist eine Tabelle mit der Mindestzahl der Teilflächen und Messpunkte abhängig vom Ungleichförmigkeitsgrad U angegeben, die etwas vereinfacht und verkürzt in Tabelle 6.7 wiedergegeben wird. In [6.56] sind die Ungleichförmigkeitsgrade für Kreis-, Kreisring- und Rechteckquerschnitte mit den zugehörigen Auswerteschemata genau definiert und erklärt. 6.5.2.3

2p

Ú w · r · dj · dr

(Gl. 6.25)

r=0 j=0

678

b=0 h=0

V˙ = Ú

Referenzmessung

Da bei den üblichen Messverfahren die Messpunkte zeitlich nacheinander abgetastet werden, muss damit gerechnet werden, dass

Randbedingung

w = 0 bei r = R

während der Messzeit Dt der Volumenstrom V˙ mehr oder minder stark schwankt. Deshalb muss gleichzeitig zu jeder Geschwindigkeitsmessung im jeweiligen Messpunkt an einer geeigneten benachbarten Stelle eine Referenzgeschwindigkeit oder ein Referenzwirkdruck (siehe auch Abschnitt 6.5.9) gemessen werden. Man geht dabei davon aus, dass der zu messende Volumenstrom V˙ und die Referenzgröße proportional sind: p V˙ ~ w bzw. V˙ ~ d5 0

0

Die Schwankungen des Volumenstromes V˙ während der Messzeit Dt für die vollständige Netzmessung aller z Messpunkte werden bei der Auswertung durch den Quotienten aus der lokalen Strömungsgeschwindigkeit w (ti) und der zeitgleich gemessenen Referenzgeschwindigkeit wo (ti) korrigiert.

Durchflussmessung

397

Der zeitliche Mittelwert des Volumenstro– · A im Messquerschnitt A während mes V˙ = w der Messdauer Dt ist aus den Mittelwerten der mit den zeitgleich gemessenen Referenzgeschwindigkeiten korrigierten lokalen Geschwindigkeiten und den zugehörigen Teilflächen dA zu bilden. Der sog. Referenzfaktor des Geschwindigkeitsfeldes ist der Quotient aus mittlerer Strö– = V˙/A und mittlerer mungsgeschwindigkeit w – (Bild 6.47). Referenzgeschwindigkeit w o Dt – w – = 1 w (t ) · dt Referenzfaktor: 5 mit w 0 0 i 4 w0 Dt

Ú

0

Detaillierte Angaben dazu finden sich u.a. in [6.54], Abschnitt 2.4. 6.5.2.4 Bild 6.46 Einteilung der Messpunkte in einem kreisförmigen Messquerschnitt (nach [6.59])

Auswertung

– finDie mittlere Strömungsgeschwindigkeit w det man entweder durch grafische oder numerische Integration der Geschwindigkeits-

– der Referenzgeschwindigkeit w während der Zeitspanne Bild 6.47 Bildung des zeitlichen Mittelwertes w o o (Messdauer) Dt (nach [6.54])

398

Strömungsmesstechnik

Tabelle 6.7

Mindestzahl der Teilflächen und Messpunkte bei Netzmessungen nach VDI/VDE 2640/Blatt 3

Geschwindigkeitsprofil

Querschnittsform

Anzahl der Teilkreisringe bzw. Rechteckrahmen

Gleichförmig

Kreis

3

4

12

U < 10%

Kreisring Di/Da = 0,4 Di/Da = 0,6 Di/Da = 0,8

4

4 6 8

16 24 32

Rechteck

3

6

36

stark gestört

Kreis

5

8

40

U > 20 %

Kreisring Di/Da = 0,4 Di/Da = 0,6 Di/Da = 0,8

5

8 12 24

40 60 120

5

10

100

Rechteck

Anzahl der Messradien bzw. Messgeraden

Anzahl der Messpunkte z

Für Ungleichförmigkeitsgrade zwischen 10 und 20 % können Zwischenwerte gewählt werden. Der Ungleichförmigkeitsgrad U ist dabei wie folgt definiert: – – w w i i –5 5 – – 1 wo max wo min U = 3 · 0081 (Gl. 6.26) – 2 w 5 – w o

冨

– w i – w o

冨

mittlere Strömungsgeschwindigkeit auf den einzelnen Messradien bzw. Messgeraden mittlere Referenzgeschwindigkeit (siehe Bild 6.47)

˙ – = V mittlere Strömungsgeschwindigkeit im Messquerschnitt A w 3 A In [6.56] sind die Ungleichförmigkeitsgrade für Kreis-, Kreisring- und Rechteckquerschnitte mit den zugehörigen Auswerteschemata genau definiert und erklärt.

felder, insbesondere beim sog. Trivialverfahren bzw. bei geometrisch komplizierten Messquerschnitten oder durch arithmetische Mittelwertbildung, wenn auf nach besonderen Verfahren, z. B. Schwerelinienverfahren, vorgegebenen Messpunkten gemessen wird, wie z. B. in Bild 6.46 dargestellt ist. In [6.54] sind die verschiedenen Verfahren zur Mittelwertbildung, auch unter Berücksichtung der Geschwindigkeitsverteilung in

der Randzone ausführlich beschrieben. Eine genaue Bestimmung des Volumenstromes V˙ erfasst rechnerisch auch den kleinen Teilvolumenstroms DV˙ R in der Randzone, d.h. zwischen den äußersten Messpunkten und der Wand (Randzonenkorrektur). Zur Auswertung gehört auch eine realistische Abschätzung der Messunsicherheiten. Folgende Effekte und Einflüsse bestimmen im Wesentlichen die Messunsicherheiten:

Durchflussmessung ❑ Verdrängungseffekt des Geschwindigkeitsmessgerätes und seiner Halterung im Messquerschnitt, ❑ Geschwindigkeitsgradient quer zur Strömungsrichtung, insbesondere in Wandnähe, ❑ im Zu- und Auslauf des Messquerschnittes gestörte Strömungen, z. B. durch Drall, Umlenkung, Verzögerungen, Beschleunigungen oder Pulsationen, ❑ Ungleichförmigkeitsgrad U der Geschwindigkeitsprofile. Beim Zusammentreffen vieler ungünstiger Faktoren liegt die Messunsicherheit im 2-stelligen Prozentbereich, bei gleichförmiger Zuund Abströmung zum Messquerschnitt und einem sehr kleinen Ungleichförmigkeitsgrad, sowie einer ausreichenden Anzahl von Messpunkten und einer zuverlässigen Referenzmessstelle kann die Messunsicherheit auf dem kleinen Wert von 2…3 % gehalten werden. Nähere Einzelheiten zur Abschätzung der Messunsicherheit finden sich in den Regelwerken, z. B. in [6.54 und 6.56]. Auf grob vereinfachte Messungen, wie das 1-Punkt-Verfahren, bei dem die mittlere – aus 1 einzigen Strömungsgeschwindigkeit w Messpunkt, z. B. in der Mitte des Messquerschnittes, durch 1 einzigen Messwert wM bestimmt wird, oder die Spiralenmethode, bei der in Kreisquerschnitten auf lediglich 5 Messpunkten, die auf einer Spirale im Messquerschnitt liegen, gemessen wird, wird nicht eingegangen. Auch die sog. Schlaufenmessung, bei der durch schleifenförmiges Abfahren des Messquerschnittes mit einem Flügelradanemometer ein mehr oder minder unsicherer Mittelwert gemessen wird, wird nicht beschrieben. Die genannten vereinfachten Verfahren sind bei ungleichförmigen Geschwindigkeitsfeldern noch viel ungenauer als die oben detailliert beschriebenen Netzmessungen und können deshalb nur als ganz grobe Orientierung dienen. Weitere Literatur über Netzmessungen findet sich in [6.66 bis 6.71].

6.5.3

399

Wirkdruckverfahren mit Drosselgeräten

Unter dem Wirkdruckverfahren mit genormten oder nicht genormten Drosselgeräten versteht man die messtechnische Bestimmung des Massen- oder Volumendurchflusses in einer Rohrleitung über die an einer Querschnittsverengung (Bild 6.48) gemessene Druckdifferenz Dp, den sog. Wirkdruck. Unter Benutzung der Energiegleichung für inkompressible, reibungsfreie und stationäre Rohrströmungen (Gleichung 4.17) und der Kontinuitätsgleichung (Gleichung 4.12) lässt sich der Zusammenhang zwischen theoretischem Volumen- bzw. Massenstrom und Wirkdruck herleiten: p2 w 22 p1 w 21 (Gl. 4.17): g · z1 + 4 + 5 = g · z2 + 4 + 5 r 2 r 2 z1 = z2 (horizontal verlaufende Rohrleitung) (Gl. 4.12):

w1 · AD = w2 · Ad p p AD = 3 · D2; Ad = 3 · d2 4 4

D w 1 p1 r1

w2 p2

d

Wirkdruck ∆ p = p1 – p2

∆ pv

p1 ∆p

Bild 6.48

p2

Druckverlauf

Durchflussmessung mittels Drosselgerät

400

Strömungsmesstechnik

Ad d2 d 2 5 = 42 = b mit b = 4 als sog. DurchmesserD AD D verhältnis [6.72] Ad w1 = w2 · 5 = w2 · b 2 AD

C p = 05 · e2 3 · d2 · 94 d (1 – b 4) 4

p1 w 22 p2 w 22 + 5 · b4 = 4 + 5 3 r 2 r 2 p1 > p2

2 (p1 – p2) 2 · Dp w22 (1 – b 4) = 07 = 9 r r

f

80 2 · Dp 07 r · (1 – b4)

p m˙ th = r · V˙ th = 3 d2 · 4

· Dp f 291 (Gl. 6.28a) r 92 2

V˙ Volumenstrom (in [6.72]: qv!) m˙ Massenstrom (in [6.72]: qm) C Durchflusskoeffizient = f

2 · Dp f r753 (1 – b )

(Gl. 6.27a)

2 · r · Dp f 753 1–b

(Gl. 6.27b)

p V˙ th = Ad · w2 = 3 d2 · 4

f

92 2 · Dp 91 r1

C p 99 m˙ = 05 · e1 3 · d2 · d 2 · Dp · r1 94 4 d (1 – b ) 4 (Gl. 6.28b) C p 99 = 05 · e2 3 · d2 · d 2 · Dp · r2 d94 4 (1 – b 4)

w1 < w2

w2 =

C p V˙ = 05 · e1 3 · d2 · 94 4 d (1 – b ) 4

863 4

863 4

Die reale Strömung durch das Drosselgerät ist jedoch reibungs- und ablösungsbehaftet sowie bei gasförmigen Fluiden auch kompressibel. Außerdem muss bei der Anwendung der Energiegleichung gemäß Abschnitt 4.7.3.2 auch der von der Form des Geschwindigkeitsprofiles im Rohrquerschnitt und von der Rohrwandrauigkeit abhängende Energiestromwert a (Tabelle 4.13) berücksichtigt werden. Den Einfluss von Einschnürung, Reibung, Ablösung und Rauigkeit erfasst man bei der Korrektur der Gleichung 6.27 durch den Durchflusskoeffizienten C. Die Kompressibilität des Fluids berücksichtigt man durch die Expansionszahl e und erhält in Anlehnung an [6.72] folgende korrigierte, erweiterte Durchflussgleichung für die reale Durchströmung von Drosselgeräten:

冢Geometrie des Drosselgerätes; Re

D

冣

w1 · D = 92 n

d b = 4 Durchmesserverhältnis D d Durchmesser der Drosselöffnung unter Betriebsbedingungen D innerer Rohrdurchmesser stromaufwärts unter Betriebsbedingungen e1 Expansionszahl stromaufwärts der Drosselstelle r1 Fluiddichte stromaufwärts der Drosselstelle 923 Dp e2 = e1 · 1 + 6 Expansionszahl p2 stromabwärts der Drosselstelle r2 Fluiddichte stromabwärts der Drosselstelle Dp = p1 – p2 gemessener Wirkdruck p1 absoluter statischer Druck stromaufwärts der Drosselstelle p2 absoluter statischer Druck stromabwärts der Drosselstelle

f

Neben der Messgröße Wirkdruck Dp tritt noch ein bleibender Druckverlust Dpv auf, der den Energieverlust des Drosselgerätes beschreibt und nach Abschnitt 4.7.7.9 abgeschätzt werden kann. Als Drosselgeräte kommen je nach

Durchflussmessung Anwendungsfall die in [6.72] genormten Geräte zum Einsatz: ❑ ❑ ❑ ❑

Normblende, Normdüse, Normventuridüse, klassisches Venturi-Rohr

oder z. B. die in [6.73] vorgeschlagenen Sonderausführungen von Blenden und Düsen oder besondere Einbauarten genormter Blenden und Düsen infrage. ❑ Segmentblenden, ❑ Viertelkreisdüsen, ❑ Blenden und Düsen am Anfang oder Ende einer Rohrleitung. Im folgenden Abschnitt werden die genannten Drosselgeräte und ihre besonderen Eigenschaften kurz beschrieben. Zur Lösung einer konkreten Aufgabe müssen unbedingt die entsprechenden Normen und Richtlinien zugrunde gelegt werden. a) Normblende Eine Normblende (Bild 6.49) besteht aus einer ebenen, glatten Scheibe mit kreisrunder, scharfkantiger Einlauföffnung und den zugehörigen Fassungsringen.

Bild 6.49 (nach [6.4])

401

Die Druckentnahmebohrungen für den Wirkdruck Dp können alternativ nach 3 Varianten angeordnet werden: Eckentnahme, unmittelbar vor und nach der Blendenscheibe, Flanschentnahme, im Abstand von 25,4 mm vor und nach der Blendenscheibe, D-D/2-Entnahme, im Abstand D vor der Blende und im Abstand D/2 nach der Blende. Die Lage der Druckentnahmebohrungen hat einen großen Einfluss auf den Wert des Durchflusskoeffizienten C (Bild 6.50). Der Rohrinnendurchmesser D liegt im Bereich von 50…1000 mm, das Durchmesserverhältnis b im Bereich von 0,2…0,75, wobei der Durchmesser d der Drosselöffnung stets ≥ 12,5 mm sein muss. Auch bezüglich der anderen Blendenabmessungen, wie Blendendicke E, Zylinderlänge e, Abschrägungswinkel j, Rauigkeit k und Kantenschärfe enthält [6.72] verbindliche Vorschriften. Bei Einhaltung aller geometrischen Vorgaben, einschließlich der benötigten störungsfreien Ein- und Auslaufrohrstrecken (Tabelle 1 in [6.72]) kann der Durchflusskoeffizient C abhängig vom Durchmesserverhältnis b, von D · w1 der Reynolds-Zahl ReD = 92 und von den n

402

Strömungsmesstechnik Die Unsicherheit der Expansionszahl e1 wird Dp mit 4 · 5 in % abgeschätzt. p1 Weitere Informationen über Unsicherheiten, insbesondere bei Abweichungen von der Norm, finden sich in [6.74, 6.75 und 6.77]. b) Normdüsen gibt es in 2 Ausführungen: ISA-1932-Düse für 50 mm ≤ D ≤ 500 mm und 0,3 ≤ b ≤ 0,8 Langradius-Düsen für 50 mm ≤ D ≤ 630 mm und 0,2 ≤ b ≤ 0,8

Bild 6.50 Durchflusskoeffizient C bei verschiedenen Wirkdruckentnahmen (nach [6.4])

Abständen der Druckentnahmebohrungen mittels der in [6.72] angegebenen Stolz-Gleichung berechnet oder auch näherungsweise aus Tabellen im Anhang von [6.72] abgelesen werden, wobei dann allerdings Interpolationen ungenau werden und Extrapolationen nicht zulässig sind. Die Reynolds-Zahl ReD darf bestimmte untere Grenzwerte nicht unterschreiten! Die Expansionszahl e1 kann für Druckverhältnisse p2/p1 ≥ 0,75 nach folgender Gleichung bestimmt werden: Dp e1 = 1 – (0,41 + 0,35 · b 4) 9 k · p1

(Gl. 6.29)

e1 Expansionszahl stromaufwärts der Drosselstelle d b 4 Durchmesserverhältnis D Dp Wirkdruck p1 Absolutdruck stromaufwärts der Drosselstelle k Isentropenexponent Als Unsicherheit für den Durchflusskoeffizienten C wird in [6.72] angegeben: 0,6 % für b ≤ 0,6

b % für 0,6 < b ≤ 0,75

Die Konturen (Düsenprofil) beider Düsenformen können aus der Norm [6.72] entnommen werden, eine grobe Orientierung findet sich in Bild 6.51 aus [6.4]. Die Norm enthält auch präzise Vorgaben für die relative Rauigkeit k/D. Durchflusskoeffizient C und Expansionszahl e1 werden nach den in [6.72] angegebenen, auf zahlreichen Versuchen basierenden empirischen Formeln genau berechnet oder anhand der Tabellen im Anhang abgeschätzt. So lautet z.B. die vergleichsweise einfache Formel für den Durchflusskoeffizienten C von Langradiusdüsen:

冢 冣

106 C = 0,9965 – 0,00653 · b 0,5 · 7 ReD

0,5

(Gl. 6.30)

Die Unsicherheiten für den Durchflusskoeffizienten C von Normdüsen sind größer als bei Normblenden und können Werte von 2% erreichen, während die Unsicherheiten für die Expansionszahl e1 von Normdüsen nur etwa die Hälfte der Werte von Normblenden betragen. Die Größenordnung der Durchflusskoeffizienten C von ISA-1932-Düsen kann aus Bild 6.52a [6.4] und von Langradiusdüsen aus Bild 6.52b [6.74] entnommen werden. Bei niedrigen Reynolds-Zahlen ReD < 104 kann es bei Normdüsen nach ISA-1932 zu Ablösungen des Fluidstrahles kommen, sodass in der Funktion C = f (b; ReD) ein Sprung in der Größenordnung von DC ª 0,03…0,05 entsteht. In Langradiusdüsen tritt dieser Ablösesprung bei C nicht auf, was aber durch wesentlich höhere Unsicherheiten erkauft wird.

Durchflussmessung

403

a)

Bild 6.51 Düsenformen. a) ISA-1932-Düse; b) Langradius-Düse (nach [6.4]) b)

c) Normventurirohre sind ebenfalls in 2 Varianten genormt (Kapitel 10 in [6.72]): Das klassische Venturi-Rohr besteht aus einem Einlaufzylinder A, einem Einlaufkonus B, einem zylindrischen Halsteil C und einem konischen Diffusor E (Bild 6.53).

Tabelle 6.8

Bild 6.52 Durchflusskoeffizienten von ISA-1932-Düsen und Langradius-Düsen

Durchflusskoeffizient C von klassischen Venturi-Rohren

Ausführung

Durchflusskoeffizient C

Unsicherheit

gussrauer Einlaufkonus

C = 0,984

0,7%

bearbeiteter Einlaufkonus

C = 0,995

1%

rauer, aus Stahlblech geschweißter Einlaufkonus

C = 0,985

1,5%

Die Bereiche für Rohrinnendurchmesser D, Durchmesserverhältnis und Reynolds-Zahl ReD können aus [6.72] entnommen werden. Anmerkung: Der Durchflusskoeffizient C ist unabhängig von der Reynolds-Zahl.

404

Strömungsmesstechnik

Bild 6.54

Bild 6.53

Klassisches Venturi-Rohr (nach [6.72])

Die Entnahmebohrungen für den Wirkdruck Dp = p1 – p2 werden im Einlaufzylinder A (p1) und im zylindrischen Halsteil C (p2) angebracht. Je nach Werkstoff und Herstellungsverfahren können nach [6.72] die in Tabelle 6.8 aufgeführten Durchflusskoeffizienten C angenommen werden.

Venturi-Düsen (nach [6.72])

Die Expansionszahlen e liegen in der gleichen Größenordnung wie bei Normdüsen. Die Norm-Venturi-Düse (Bild 6.54) enthält im Einlauf eine ISA-1932-Düse, einen gegenüber der Normdüse verlängerten Halsteil und einen Diffusor in wahlweiser langer oder kurzer Ausführung, dessen Gesamterweiterungswinkel j ≤ 30° sein muss. Für den Durchflusskoeffizienten C gibt die Norm [6.72] folgende, auf Versuchen beruhende, empirische Gleichung an: C = 0,9858 – 0,196 · b 4,5

(Gl. 6.31)

Als Unsicherheit wird der Wert 1,2 + 1,5 · b4 vorgeschlagen. Die Expansionszahl e wird wie bei der Normdüse bestimmt.

Durchflussmessung Neben den oben beschriebenen Normdrosselgeräten nach DIN EN ISO 5167-1 [6.72] werden für Sonderfälle auch Drosselgeräte mit nicht genormten Abmessungen oder Normdrosselgeräte in besonderen Einbausituationen eingesetzt. Von den verschiedenen Sonderausführungen werden folgende Messeinrichtungen kurz vorgestellt: ❑ Segmentblenden, ❑ Viertelkreisdüsen, ❑ Blenden und Düsen am Anfang oder Ende einer Rohrleitung,

Bild 6.55 Einbau von Segmentblenden a) bei gelegentlich mit Feststoffen beladenen Flüssigkeiten; b) bei gelegentlich schäumenden oder ausgasenden Flüssigkeiten (nach [6.73])

405

❑ Drosselgeräte in rechteckigen Rohrleitungen, ❑ Venturi-Düsen mit kritischer Durchströmung. d) Segmentblenden [6.4, 6.73] werden bei gelegentlich mit Feststoffen beladenen Flüssigkeiten oder gelegentlich schäumenden oder ausgasenden Flüssigkeiten eingesetzt. Je nach Lage der Segmentblende im Rohrquerschnitt (Bild 6.55) können Feststoffe (Bild 6.55a) oder Gasblasen (Bild 6.55b) den freien Querschnitt ungehindert passieren. Bei Feststofftransport ist auf den Verschleiß der Segmentblende, d.h. insbesondere auch

406

Strömungsmesstechnik

auf die evtl. Veränderung der Kantenschärfe zu achten, bei ausgasenden Flüssigkeiten bringt die Veränderung der Dichte r eine zusätzliche Unsicherheit in die Messung. In der Praxis werden gelegentlich auch verstellbare Segmentblenden [6.4, 6.78] mit variablem Öffnungsverhältnis eingesetzt. Nach [6.73] wird der durch eine Segmentblende strömende Massenstrom nach folgender Gleichung berechnet: m·C·e p 99 m˙ = 05 · 3 · D2 · d 2 · Dp · r1 (Gl. 6.32) d94 (1 – m2) 4 m˙ Massenstrom m Öffnungsverhältnis 2·h 2·h Ah 1 m = 5 = 3 arccos 1 – 8 – 2 1 – 8 AD p D D 001 2 h h · 4– 4 D D

冤

冢

冣 冢

冣

f 冢 冣冥

C Durchflusskoeffizient C = 0,6057 – 0,0822 · m2 – 0,55 · m8 für die in [6.73] angegebenen Bereiche von D, m und ReD e Expansionszahl Dp e = 1 – (0,41 + 0,35 · m2) 9 k · p1 D Rohrinnendurchmesser Dp Wirkdruck r1 Fluiddichte stromaufwärts der Segmentblende k Isentropenexponent p1 Absolutdruck stromaufwärts der Segmentblende VDI/VDE 2041 [6.73] enthält auch Hinweise und Angaben über die Unsicherheiten eC des Durchflusskoeffizienten C, die Unsicherheit ee der Expansionszahl e und die Gesamtunsicherheit des Durchflusses m˙ bzw. V˙ . In [6.4] wird die sog. exzentrische Blende als Alternative zur Segmentblende beschrieben. e) Viertelkreisdüsen (Bild 6.56) werden vor allem im Bereich kleiner Reynolds-Zahlen bis herunter zu ReD = 500 eingesetzt, da sich die Durchflusskoeffizienten C genormter Blenden

und Düsen im unteren ReD-Bereich stark ändern. Im Bereich von Re ª 2000 kann wegen des Umschlags laminar-turbulent (vgl. Abschnitt 4.6.2) ein Sprung in der Funktion C = f (Re) auftreten, insbesondere bei zu kurzen Einlauflängen [6.73]. Die Eignung von Viertelkreisdüsen im unteren ReD-Bereich wird allerdings mit höheren Unsicherheiten erkauft. Der Durchfluss kann nach Gleichung 6.28 berechnet werden. d Für einen vom Durchmesserverhältnis b = 4 D abhängigen Bereich ReD, min bis ReD, max kann der Durchflusskoeffizient C nach folgender, auf Versuchen basierenden empirischen Gleichung bestimmt werden [6.73]: C = 0,769 + 0,527 · b 4 + 0,423 · b 8 (Gl. 6.33) Die Expansionszahl e beträgt nach [6.79]: Dp e = 1 – (0,484 + 1,54 · b 4) · 9 k · p1

(Gl. 6.34)

für p2/p1 ≥ 0,85 f) Einen besonderen Anwendungsfall stellt der Einsatz von Normblenden und Normdüsen am Anfang oder am Ende einer Rohrleitung dar (Bild 6.57), zur Durchflussmessung an der Übergangsstelle einer Rohrleitung zu einem sehr großen Behälter. Rohrdurchmesser D’, Öffnungsdurchmesser d und Durchmesserverhältnis b können in den Grenzen von DIN EN ISO 5167-1 [6.72] gewählt werden, ebenso die Abmessungen der Drosselgeräte. Die Durchflussgleichung (Gleichung 6.28) vereinfacht sich für Drosselgeräte im Einlauf (Bild 6.57a), da der Term (1 – b 4)–1/2 gleich 1 gesetzt werden kann: p V˙ = C · e1 · 3 d2 · 4

f

86 2 · Dp 75 r1

(Gl. 6.35)

Durchflussmessung

407

a)

b)

Bild 6.57 Messung mit Drosselgeräten im Einlauf (a) oder Auslauf (b) von Rohrleitungen (nach [6.73]) Bild 6.56

Viertelkreisdüse (nach [6.73])

Der Durchflusskoeffizient C beträgt nach [6.73]: für Blenden: C = 0,6 für Düsen: C = 0,992 Die Expansionszahlen e finden sich in [6.73]. Bei Blenden und Düsen im Auslauf einer Rohrleitung (Bild 6.57 b) gilt die Durchflussgleichung 6.28, die Durchflusskoeffizienten C werden nach [6.72] bestimmt, ebenso die Expansionszahlen e. Besondere Formen für Einlaufdüsen und Messblenden im Einlauf von Ventilator- und Verdichterprüfständen finden sich in DIN 24 163 [6.7], ISO 5801 [6.8 und 6.97]. g) Drosselgeräte in rechteckigen Rohren werden hauptsächlich in der Heizungs- und Lüftungstechnik, in Kraftwerken und im Bergbau zur Messung großer Luft- oder Gasvolumenströme eingesetzt. Im Gegensatz zu Netzmessungen sind diese Wirkdruckverfah-

ren mit speziellen Drosselgeräten für Dauermessungen geeignet und meistens auch wesentlich genauer. Als Beispiel werden nach [6.4] rechteckige Venturi-Rohre mit Einschnürung in 1 oder 2 Ebenen (Bild 6.58) kurz beschrieben. b·h Das Öffnungsverhältnis m = 9 sollte in B·H folgenden Grenzen bleiben: 0,2 ≤ m ≤ 0,55 Däq · w1 Die Reynolds-Zahl Re = 94 sollte größer n als 200000 sein, wobei der äquivalente Durchmesser Däq abweichend vom hydraulischen Durchmesser in Abschnitt 4.7.6 wie folgt definiert ist: 87 4·B·H Däq = 04 p

f

Setzt man die Expansionszahl e, für kleine Strömungsgeschwindigkeiten, d.h. kleine

408

Strömungsmesstechnik

Bild 6.58 Venturi-Rohre mit rechteckigem Strömungsquerschnitt. a) Einschnürung in 2 Ebenen; b) Einschnürung in 1 Ebene (nach [6.4] und [6.97])

Mach-Zahlen e = l und fasst den Term C 06 d92 1 – b4 zur Durchflusszahl a zusammen, erhält man aus Gleichung 6.28 folgende vereinfachte Durchflussgleichung für inkompressible bzw. quasi-inkompressible Strömungen:

V˙ = a · b · h ·

f

86 2 · Dp 75 r

(Gl. 6.36)

Die Durchflusszahl a kann abhängig vom Verb·h hältnis 9 aus Bild 6.59 abgelesen werden. B·H

In [6.4] wird als Unsicherheitstoleranz der Durchflusszahl a ein Richtwert von ca. 2,5% angegeben. Sollten die Grenzen von m und Re nicht eingehalten werden können oder ungünstige Einbauverhältnisse, insbesondere zu kurze Einund Auslaufstrecken, vorhanden sein, empfiehlt sich die Bestimmung der Durchflusszahl a, über eine Kalibrierung mit einer möglichst genau durchgeführten Netzmessung. h) Ein besonderer Anwendungsfall ist die Durchflussmessung von Gasen mit VenturiDüsen bei kritischer Strömung [6.80]. Wird bei Gasströmungen eine Venturi-Düse pa pa bei überkritischer Strömung 5 ≤ 5 als pt1 krit pt1

冢 冣

Durchflussmessung

409

C Durchflusskoeffizient C = a – b · Red–n a Zahlenwerte siehe [6.80], b n Tabelle 2 Red-Bereich CR = C* · Zo1/2 Beiwert der kritischen Strömung von realen Gasen C* kritische Durchflussfunktion von realen Gasen (siehe Anhang von [6.80]) Anmerkung: Das Produkt C · CR ist verwandt 3 mit dem Ausdruck m · Ys, max · d 2 in Gleichung 5.95. Zo Realgasfaktor (siehe Abschnitt 1.2.3) pt1 absoluter Ruhedruck (Totaldruck) des Gases im Einlauf der Düse rt1 Dichte des Gases im Ruhezustand im Einlauf der Düse

冧

Bild 6.59 Durchflusszahl a von Venturirohren mit rechteckigen Strömungsquerschnitten (nach [6.4])

Laval-Düse (Bild 6.60) eingesetzt (siehe auch Abschnitt 5.6.3) kann der Massenstrom m˙ in Anlehnung an Gleichung 5.95 aus dem absoluten Eintrittsdruck pt1 und der Querschnittsfläche Amin des Halsteils berechnet werden [6.80]: m˙ = Amin · C · CR · d93 pt1 · rt1 m˙ Amin

(Gl. 6.37)

Massenstrom p = 3 d2 Querschnittsfläche des Halsteiles 4 der Venturi-Düse

Bild 6.60 Venturi-Düse bei kritischer Strömung (Laval-Düse) (nach [6.80])

i) Die in den Normen und Richtlinien genannten Werte für Durchflusskoeffizienten, Expansionszahlen, Messunsicherheiten usw. gelten nur für exakte geometrische Ähnlichkeit zwischen den im konkreten Anwendungsfall eingesetzten Drosselgeräten und den bei den Eichversuchen verwendeten Drosselgeräten. Außerdem müssen die geraden Ein- und Auslaufstrecken hinsichtlich Länge und Wandrauigkeit so beschaffen sein, dass die Geschwindigkeitsprofile (vgl. Abschnitt 4.7.3.2) im Zu- und Auslauf identisch sind mit den Geschwindigkeitsprofilen bei den Eichversuchen.

410

Strömungsmesstechnik

Findet infolge geänderter Wandrauigkeit, Einbau von Rohrleitungselementen (vgl. Abschnitt 4.7.7) zu kurz vor oder zu kurz nach dem Drosselgerät oder durch drallbehaftete Strömung eine Deformation des Geschwindigkeitsprofiles statt, ändern sich auch die Durchflussbeiwerte und die Messunsicherheiten der Drosselgeräte. In [6.4, 6.72, 6.74, 6.75, 6.81 und 6.82] sind ausführliche Angaben über die erforderlichen Ein- und Auslaufstrecken enthalten, die aber leider teilweise erheblich voneinander abweichen. Können die in den Normen und Richtlinien angegebenen i. Allg. sehr langen Ein- und Auslaufstrecken (z. B. nach Tabellen 1 und 2 in [6.72]) nicht eingehalten werden, können die dadurch entstehenden erhöhten Messunsicherheiten und Zusatztoleranzen wenigstens teilweise durch den Einbau von Gleichrichtern (siehe z. B. Bilder 1 bis 4 in [6.72]) vor den Drosselgeräten verringert werden. In Bild 6.61 sind z. B. die Einlauflängen A und die Auslauflängen B von Normdrossel-

geräten abhängig vom Durchmesserverhältnis b nach [6.72 und 6.74] dargestellt. Man erkennt deutlich, dass die Norm [6.72] wesentlich längere Einlauf- und Auslauflängen verlangt als die auf anderen Richtlinien beruhende Quelle [6.74]. Aus Bild 6.62 (nach [6.74]) kann der störende Einfluss drallbehafteter Zuströmung auf die Durchflussmessung mittels Drosselgeräten ersehen werden. So beträgt z.B bei der Blendenmessung mit einem Durchmesserverhältnis b = 0,32 und einem Drallwinkel j = 20° die Abweichung des Durchflusskoeffizienten C bereits 10%! Venturi-Rohre reagieren wesentlich geringer auf drallbehaftete Strömung. Die Wirkung eines Gleichrichters auf die Verkürzung der Einlauflänge beschreibt Bild 6.63 aus [6.74]. Durchflussmessungen nicht Newton’scher Fluide nach dem Wirkdruckverfahren sind nur sehr eingeschränkt möglich, wobei die in den Normen angegebenen Beiwerte und Grenzwerte nicht verwendet werden dürfen,

Bild 6.61 Mindesteinlauf- und -auslauflängen von Norm-Drosselgeräten nach verschiedenen Regelwerken (nach [6.72 und 6.74])

Durchflussmessung

411

sondern in speziellen Kalibrierversuchen ermittelt werden müssen. In [6.74] werden Hinweise für diese speziellen Anwendungen gegeben.

Bild 6.62 Einfluss des Dralles auf den Durchflusskoeffizienten C (nach [6.74])

6.5.4

Durchflussmessung in offenen Gerinnen

6.5.4.1

Messwehre (Überfallwehre)

Zur Messung relativ großer Volumenströme, die mit relativ kleinen Geschwindigkeiten und kleinen Froude-Zahlen (vgl. Abschnitt 4.6.4) durch offene Gerinne strömen, werden oft Überfallwehre eingesetzt. Je nach Größe des Volumenstroms V˙ bzw. seines Schwankungsbereiches DV˙ = V˙ max – V˙ min werden in der Wehrplatte unterschiedliche Ausschnitte vorgesehen (Bild 6.64). ❑ Rechteckwehre für große Volumenströme und einen Bereich V˙ min/V˙ max ≥ 0,5 ❑ Dreieckwehre für V˙ ª 0,2…100 l/s und V˙ min/V˙ max ≥ 0,01

Bild 6.63 Wirkung von Gleichrichtern auf die Einlauflängen von Drosselgeräten (nach [6.74])

412

Strömungsmesstechnik

a)

b)

c)

d)

Bild 6.64 Wehrformen. a) Rechteckwehr – volle Kanalbreite; b) Rechteckwehr mit Seitenkontraktion; c) Dreieckwehr; d) Trapezwehr

❑ Trapezwehre als Kombination bzw. Zwischenform zwischen Rechteck- und Dreieckwehr für mittlere Volumenströme. Beim «klassischen» Rechteckwehr (Bild 6.65) wird das Wasser durch eine quer zur Strömung liegende dünne und scharfkantige Platte von der Höhe s und der Kanalbreite B auf die Überfallhöhe h angestaut. Für eine einwandfreie Ausbildung der Überströmung der Wehrschneide in einem Strahl ist es zur Vermeidung des Coanda-Effektes erforderlich, den Raum unterhalb des überströmenden Strahles seitlich zu belüften, außerdem muss die Abflusshöhe hA hinter dem Wehr mindestens 0,1 m unterhalb der Wehrkante liegen. Die Kanalwände müssen exakt parallel verlaufen und das Geschwindigkeitsfeld im zum Wehr zuströmenden Wasser sollte möglichst gleichförmig sein.

Der Volumenstrom V˙ ist proportional zur Überfallhöhe h. Ausgehend von Gleichung 4.242 erhält man die bereits von GIOVANNI POLENI (1683 bis 1761) [4.31] abgeleitete Durchflussgleichung für nicht eingeschnürte Rechteckwehre: d6 2g V˙ = m 0 · cos d

z2

Ú b · d3z · dz

z1

d = 0°; cos d = 1 z1 = 0; z2 = h B = konstant = Kanalbreite h

V˙ = m · d6 2g · B · Ú d3z · dz 0

2 V˙ = m · d6 2g · B · 3 · z 3/2 3

冨

h

0

2 V˙ = 3 · d6 2 g · m · B · h 3/2 3

(Gl. 6.38)

Zur Bestimmung des Überfallbeiwertes m wurden bereits seit Mitte des 18. Jahrhunderts zahlreiche Versuche durchgeführt [4.31, 4.137] und daraus empirische Formeln für m abgeleitet, von denen die von THEODOR REHBOCK (1864 bis 1950) stammende Beziehung [4.31] wiedergegeben wird: 1 h m = 0,606 + 04 + 0,08 · 3 1000 · h s

Bild 6.65

Überfallwehr

(Gl. 6.39)

Anmerkung: die Überfallhöhe h ist in Metern (m) einzusetzen!

Durchflussmessung Weitere Formeln für m finden sich u.a. in [6.4, 6.23 und 6.83], sowie in den Abnahmeversuchsregeln für Wasserturbinen und Speicherpumpen [4.22]. Sollten die in den Normen vorgesehenen Maße nicht exakt eingehalten werden können oder ist das Geschwindigkeitsfeld im Bereich der Zuströmung ungleichförmig, empfiehlt sich eine Kalibrierung der Wehrmessung mittels einer sorgfältig durchgeführten Netzmessung [6.54, 6.64, 6.84]. 6.5.4.2

Venturi-Kanäle

Die Anwendung des Venturi-Prinzips zur Durchflussmessung in offenen Gerinnen vermeidet den hohen Gefälleverlust hv des Überfallwehres. Der Kanal (Bild 6.66) wird zunächst düsenförmig eingeschnürt, wodurch sich die Strömungsgeschwindigkeit nach dem Kontinuitätsprinzip von w1 auf w2 erhöht. Gleichzeitig sinkt der Wasserspiegel nach der Energiegleichung vom Wert h1 auf den Wert h2.

Bild 6.66 Venturi-Kanal

413

Die Spiegelabsenkung Dh = h1 – h2 entspricht dem Wirkdruck Dp an einem Venturirohr in einer geschlossenen Rohrleitung und dient direkt zur Durchflussbestimmung. Die Verengung des Kanals (in Bild 6.66 von b1 auf b2) wird so gewählt, dass die Geschwindigkeit w2 so groß wird, dass die damit gebilw2 dete Froude-Zahl Fr2 = 92 > 1 wird, d.h. d9 g·h 2

schießender Abfluss eintritt (vgl. Tabelle 4.12). Bei schießender Strömung besteht folgender Zusammenhang zwischen den Spiegelhöhen h1 und h2: 2 h2 = 3 · h1 3 Der bleibende Druckverlust hv liegt dann bei über 25% von h1, aber immer noch deutlich unter dem Wert hv des Überfallwehres. Am Beispiel des im Bild 6.66 dargestellten Venturi-Kanals mit rechteckigen Strömungsquerschnitten wird die Basisdurchflussgleichung abgeleitet:

414

Strömungsmesstechnik

Aus der Energiegleichung erhält man für verlustfreie Strömung: w 22 w 12 + g · h1 = 5 + g · h2 5 2 2 Die Kontinuitätsgleichung bringt die Spiegelhöhen und Kanalbreiten mit ins Spiel: V˙ th = w1 · b1 · h1 = w2 · b2 · h2 Die Strömungsgeschwindigkeit w2 an der Einschnürungsstelle ist identisch mit der sog. g · h2, wodurch Schwallgeschwindigkeit w2 = d9 sich die Beziehung für V˙ th vereinfacht: g · h2 = b2 · d3 g · h23/2 V˙ th = b2 · h2 · d9 2 und mit h2 = 3 h1 bzw. h23/2 = 0,544 · h13/2 3 ˙ V = 0,544 · b · d3 g · h 3/2 th

2

1

Berücksichtigt man die Zulaufgeschwindigkeit mit einem Beiwert C und den Einfluss von Einschnürung und Reibung mit einer Abflusszahl m [6.23, 6.4], erhält man die reelle Durchflussgleichung von Venturi-Kanälen mit Rechteckquerschnitten und schießender Strömung: V˙ = m · C · 0,544 · b2 · d3g · h 13/2

(Gl. 6.40)

Zur Bestimmung des Durchflusses ist also bei schießender Strömung nur die Messung der Pegelhöhe h1 notwendig. Angaben über die Durchflussbeiwerte m und C, auch anderer Kanalquerschnitte finden sich u. a. in [6.4, 6.83 und 6.85]. 6.5.5

Schwebekörper-Durchflussmesser

Mit Schwebekörper-Durchflussmessern lässt sich einfach, kostengünstig und mit zufriedenstellender Genauigkeit der Durchfluss von Flüssigkeiten und Gasen direkt messen. In einem senkrecht stehenden, sich nach oben erweiternden konischen Messrohr aus Glas, Metall oder Kunststoff bewegt sich ein konischer, kugelförmiger oder zylindrischer Schwebekörper spezieller Form frei oder an einer Gleitstange auf und ab (Bild 6.67).

Bild 6.67 (Prinzip)

Schwebekörper-Durchflussmessgerät

Bei Durchströmung des konischen Messrohres von unten nach oben stellt sich der Schwebekörper so ein, dass sich die an ihm angreifenden Kräfte Auftrieb FA, Gewichtskraft FG und Widerstandskraft Fw das Gleichgewicht halten. FA + Fw = FG Bei Änderung des Volumenstroms verschiebt sich der Schwebekörper so im Messrohr, dass sich erneut ein Kräftegleichgewicht einstellt. In Anlehnung an Abschnitt 4.10.4 kann man aus dem Kräftegleichgewicht die zum Gleichgewichtszustand gehörende Anströmgeschwindigkeit wan berechnen (ähnlich Gleichung 4.294) und daraus unter Einbeziehung des Strömungsquerschnitts den durchströmenden Volumenstrom V˙ bestimmen [6.2, 6.86].

f 5Fr · 冢1 – 4rr 冣 805

V˙ = a · Ds ·

G

s

(Gl. 6.41)

Durchflussmessung V˙ a

Ds FG r rs

Volumenstrom Durchflusszahl = f (Form des Schwebekörpers, Höhenlage z, Durchmesserverhältnis Dk/Ds, Dichte r und Viskosität h des durchströmenden Fluids) [6.86] Durchmesser des Schwebekörpers Gewichtskraft des Schwebekörpers Dichte des Fluids Dichte des Schwebekörpers

Per Kalibrierung kann man jeder Höhenlage z eindeutig einen Volumenstrom V˙ eines bestimmten Fluids zuordnen. Die Ablesung des Messwertes V˙ erfolgt in Höhe der Messkante des Schwebekörpers an der geeichten Skala des Messrohres. Dabei gelten die Skalen nur für die der Kalibrierung zugrunde gelegten Fluide, d. h. deren Dichten und Viskositäten. In [6.86] ist angegeben, wie man bei anderen Dichte- und/oder Viskositätswerten den Volumenstrom durch eine Korrekturrechnung anhand einer vorhandenen, kalibrierten Durchflussskala bestimmen kann. Ähnliche Umrechnungsverfahren sind in [6.2] beschrieben, bzw. finden sich in den Betriebsanleitungen der Hersteller. Auswahl- und Einbauempfehlungen für Schwebekörper-Durchflussmesser finden sich in [6.87], Angaben über die Genauigkeit in [6.88].

Bild 6.68 Prinzip der magnetisch-induktiven Durchflussmessung (nach [6.2])

6.5.6

415

Magnetisch-induktive Durchflussmesser (MID)

Magnetisch-induktive Durchflussmesser arbeiten nach dem vom britischen Physiker und Chemiker MICHAEL FARADAY (1791 bis 1867) entdeckten Induktionsprinzip. FARADAY selbst hat bereits 1832 vorgeschlagen, das Induktionsprinzip zur Messung der Strömungsgeschwindigkeit von elektrisch leitenden Flüssigkeiten in Rohrleitungen anzuwenden [6.23]. Bei Bewegung eines elektrischen Leiters, im vorliegenden Fall einer Flüssigkeit, senkrecht zu den Kraftlinien eines Magnetfeldes (Bild 6.68) wird im Leiter eine Spannung induziert. –·D UE = KG · B · w mit: KG Gerätekonstante, deren Größe u.a. von der Elektrodenanordnung abhängt B magnetische Flussdichte – mittlere Strömungsgeschwindigkeit w D Innendurchmesser des Rohres Über die Kontinuitätsgleichung – · D2 · p V˙ = w 3 4 kann die Durchflussgleichung des MID gewonnen werden: UE p V˙ = 06 · D2 · 3 KG · B · D 4

416

Strömungsmesstechnik

p · D 1 UE V˙ = 9 · 5 · 5 4 KG B

(Gl. 6.42)

Aus Gleichung 6.42 erkennt man, dass der gemessene Volumenstrom V˙ linear zum Rohrinnendurchmesser D und zur induzierten Spannung UE ist, sowie dass keine Abhängigkeit von den Stoffeigenschaften Dichte und Viskosität oder von den Zustandsgrößen Druck und Temperatur besteht. Das Gerät eignet sich für beide Durchströmrichtungen. Lediglich die elektrische Leitfähigkeit der Flüssigkeit darf einen Mindestwert nicht unterschreiten, wobei die Literaturangaben hierzu im Bereich von 1…5 mS/cm liegen. Das Gerät enthält keine beweglichen Teile und vorstehenden Einbauten und ist unempfindlich gegen Verunreinigungen in der Flüssigkeit. Es entsteht praktisch kein Druckverlust. Das Gerät eignet sich auch für leicht pulsierende Strömungen. Elektromagnetische Durchflussmesser werden für Nennweiten zwischen 2…2000 mm angeboten und sind heute weit verbreitet in der Wasserver- und der Abwasserentsorgung, in der Chemie- und Verfahrenstechnik, in der Nahrungsmittelindustrie, in der Papier- und Zellstoffindustrie, in der Kraftwerkstechnik und in Forschungs- und Entwicklungslabors. – kann im Die Strömungsgeschwindigkeit w Bereich von 10 mm/s…10 m/s, d. h. 1:1000 variieren. Die Messgenauigkeit ist sehr hoch, der maximale Fehler liegt bei ± 0,25…± 0,5 % vom Skalenendwert, bei einem Volumenstrombereich von 1 : 10. Weiterführende Literatur findet sich in [6.2, 6.4, 6.23, 6.53, 6.89, 6.90 und 6.91]. 6.5.7

Von den in [6.2, 6.23 und 6.53] ausführlich beschriebenen Messverfahren werden in Anlehnung an [6.92] nur die 3 in der Praxis am häufigsten genutzten Verfahren kurz aufgeführt. a) Laufzeitdifferenzverfahren 2 auf einer Rohrleitung angebrachte Sender/ Empfänger senden und empfangen gleichzeitig Ultraschallsignale (Bild 6.69). Die Laufzeit t1 des gegen den Fluidstrom laufenden Signals beträgt: L t1 = 002 – · cos j a0 – w Die Laufzeit t2 des mit dem Fluidstrom laufenden Signals ist kürzer: L t2 = 002 – · cos j a0 + w Aus den beiden Laufzeiten kann der Volumenstrom V˙ direkt bestimmt werden [6.2, 6.23, 6.92 und 6.93]: t1 – t2 V˙ = KG · 91 t1 · t2

(Gl. 6.43)

V˙ Volumenstrom KG Gerätekonstante = f (Länge des akustischen Pfades, Verhältnis zwischen radialem und axialem Sensorabstand, geometrische Form von Strömungsquerschnitt und Geschwindigkeitsfeld)

Ultraschall-Durchflussmesser (USD)

Ultraschall-Durchflussmesser nutzen nach verschiedenen berührungslosen Messverfahren die Veränderung eines akustischen Signals in einem strömenden Fluid (Flüssigkeit oder Gas).

Bild 6.69 Ultraschall-Durchflussmessung mittels Laufzeitdifferenzverfahren (nach [6.93])

Durchflussmessung

417

t1 Laufzeit stromaufwärts gerichtet t2 Laufzeit stromabwärts gerichtet Die Sensoren können fest eingebaut sein oder als sog. Clamp-On-Sensoren von außen auf die Rohrleitung montiert werden [6.93], ohne dass sie mit dem Fluid in Kontakt kommen. b) Doppler-Verfahren Das Doppler-Verfahren kann nur bei Fluiden angewandt werden, die Inhomogenitäten oder Verunreinigungen (Feststoffteilchen, Gasblasen) aufweisen, die die vom Sensor ausgehenden Ultraschallwellen reflektieren (Bild 6.70). Unter der Voraussetzung, dass die Partikelbzw. Blasengeschwindigkeit mit der Strömungsgeschwindigkeit übereinstimmt, d.h. kein Schlupf vorhanden ist, kann aus dem Unterschied zwischen ausgesandter Frequenz f1 und reflektierter Frequenz f2 unter Anwendung aufwendiger Auswerteverfahren der Volumenstrom V˙ bestimmt werden: V˙ = KG · ( f1 – f2)

(Gl. 6.44)

Bild 6.71 Ultraschall-Durchflussmessung nach dem Driftverfahren (nach [6.92])

wenn es das strömende Fluid durchläuft und um den Wert s ausgelenkt wird. Nach [6.92 und 6.2] kann die mittlere Strömungsgeschwindigkeit wm mit guter Näherung wie folgt abgeschätzt werden: s wm = ao · 4 d

V˙ Volumenstrom KG Gerätekonstante = f (Einfallswinkel/ Brechungswinkel, Position des reflektierenden Partikels, Strömungsquerschnitt) f1 ausgesandte Frequenz f2 reflektierte Frequenz

mit ao als Schallgeschwindigkeit im ruhenden Fluid. Man kann wm auch über die zusätzlich gemessene Signallaufzeit to bestimmen:

c) Driftverfahren Beim Driftverfahren (Bild 6.71) wird die Ablenkung eines Ultraschallsignals gemessen,

Für vollgefüllte Rohre mit Kreisquerschnitt ist damit der Volumenstrom V˙ bekannt:

Bild 6.70 Ultraschall-Durchflussmessung nach dem Doppler-Verfahren (nach [6.93])

s wm = 4 to

p V˙ = KG · wm · 3 · d 2 4

(Gl. 6.45)

Die Größe der Gerätekonstante KG, auch Geschwindigkeitskonstante genannt, kann nach [6.92] abgeschätzt werden oder durch Kalibrierung mittels eines anderen hochgenauen Durchflussmessers im Versuch bestimmt werden. Auch in [6.2], Abschnitt 6.3 finden sich nützliche Angaben zur Bestimmung des Volumenstroms aus einem gemessenen Geschwindigkeitsfeld.

418

Strömungsmesstechnik

Das Driftverfahren wird hauptsächlich bei Gasen angewandt [6.92]. 6.5.8

Wirbelzähler-Durchflussmesser

Das Messprinzip der Wirbelzähler-Durchflussmesser beruht auf der Messung der Frequenzen von sich an den Kanten spezieller Staukörper (Wirbelkörper) rhythmisch ablösenden Wirbeln Kármán’scher Wirbelstraßen (vgl. auch Abschnitt 4.10). Nähere Einzelheiten über die den Geräten zugrunde liegenden Theorien können u.a. in [4.36, 4.149 und 4.150] nachgelesen werden. Die Geometrie des Staukörpers wird aufgrund von Erfahrungen so gewählt, dass die Strouhal-Zahl f·L Sr = 7 w über einen möglichst großen Reynolds-ZahlBereich konstant bleibt (vgl. auch Bilder 4.208, 4.209, 4.211 und 4.212, sowie Tafeln 35 und 36). Gut geeignet sind deltaförmige Staukörper (Bild 6.72), bei denen die Strouhal-Zahl Sr im Bereich 103 < Re < 3 · 105 mit dem Wert

Sr ª 0,15 nahezu konstant bleibt [6.23, 6.93], wodurch Messgenauigkeiten von ca. 1% vom Messwert erreicht werden können [6.93]. Aus der Definitionsgleichung der StrouhalZahl Sr (Gleichung 4.257) kann die Strömungsgeschwindigkeit w entnommen werden und daraus der durch das Gerät strömende Volumenstrom V˙ berechnet werden: f·L w=7 Sr p V˙ = w 3 · d2 4 L p V˙ = f · 5 · 3 · d 2 Sr 4

(Gl. 6.46a)

oder mit Einführung des sog. K-Faktors [6.94]: Sr K = 05 p L · 3 · d2 4 f V˙ = 4 K

(Gl. 6.46b)

Bild 6.72 Wirbelzähler-Durchflussmesser (Prinzip) (nach [6.93])

Durchflussmessung V˙ Volumenstrom f gemessene Wirbelablösefrequenz Sr Strouhal-Zahl des Staukörpers (Wirbelkörpers) d Rohrinnendurchmesser

V˙ d l

Bei der Kalibrierung der Geräte beim Hersteller wird der K-Faktor unter Berücksichtigung der Ein- und Auslaufstrecken genau bestimmt [6.93, 6.94]. 6.5.9

Spezielle Verfahren

6.5.9.1

Durchflussmessung aus dem Druckabfall in geraden Rohren

In den Abschnitten 4.7.2 und 4.7.3 ist die Berechnung des Druckabfalls infolge Reibung in geraden Rohren mit gleichbleibendem, voll gefülltem Kreisquerschnitt ausführlich beschrieben. Der Druckabfall Dpv kann für laminare (Re < 2320) und turbulente (Re > 2320) Strömung nach Gleichung 4.137a bestimmt werden: l r –2 Messgröße DpV = p1 – p2 = l · 3 · 3 · w d 2 nach der mittleren Strömungsgeschwindig˙ – = V aufgelöst: keit aufgelöst w 82 p d2 · 3 4 8052 d 1 2 · Dp v –= w 93 · 3 · 3 r l l p – V˙ = d2 · 3 · w 4

f

p V˙ = d2 · 3 · 4

2 · Dp d 1 f 93 ·3·3 r l l 8052 v

Bild 6.73 Zur Erklärung des Druckabfalls in Gl. 6.47

(Gl. 6.47)

419

Volumenstrom Rohrinnendurchmesser Rohrlänge zwischen den Bild 6.73 Druckanbohrungen
und  Dpv Druckabfall zwischen
und  (Messgröße) r Fluiddichte l Rohrreibungszahl l = 64/Re bei laminarer Strömung (Re < 2320) –·d w Re = 8 Reynolds-Zahl n d l = f Re, 3 bei turbulenter Strömung k (Re > 2320), siehe Tabelle 4.14 oder Tafel 30 k Rauigkeit der Rohrinnenwand n kinematische Viskosität des Fluids

冧

冢

冣

Der Reibungsdruckverlust Dpv ist i.Allg. um Größenordnungen kleiner als der Wirkdruck Dp von Drosselgeräten (Abschnitt 6.5.3), weshalb die Genauigkeit des beschriebenen Messverfahrens sehr stark von der Genauigkeit des Druckmessgerätes und der exakten Bestimmung der Rohrreibungszahl l abhängt. Wichtig ist auch die Einhaltung genügend langer Ein- und Auslaufstrecken vor und nach der eigentlichen Messstrecke zur Gewährleistung eines voll ausgebildeten Geschwindigkeitsprofiles (vgl. Abschnitt 4.7.8) an den Druckentnahmestellen
und , damit die auf die Zeit bezogene kinetische Energie (Strör – 2 zwischen mungsleistung) Ekin = a · 4 · V˙ · w 2
und  konstant bleibt. Das beschriebene Messverfahren hat in der Praxis nur bei laminaren Strömungen (Kapillarströmungen) eine gewisse Bedeutung erlangt [6.4].

420

Strömungsmesstechnik

Die exakte Bestimmung der Rohrreibungszahl l bei turbulenten Strömungen, insbesondere bei hydraulisch rauer Strömung bei stark beschleunigten kompressiblen Strömungen ist nur mittels Kalibrierung möglich, eine Ermittlung nur nach Literaturangaben wäre viel zu ungenau. Aus diesem Grund wird das Verfahren bei turbulenter Strömung in der Praxis nur sehr selten angewandt, obwohl es einfach und kostengünstig ist. Die Ausführung der Druckbohrungen kann nach [6.4 bis 6.8] erfolgen (vgl. auch Bilder 6.1 und 6.2). 6.5.9.2

Durchflussmessung an Rohrkrümmern

In Abschnitt 4.3.3 wurde abgeleitet, dass sich in einer Krümmerströmung (Bilder 4.31/4.32) eine radiale Druckdifferenz dp w2 = 5 dr 4 r herausbildet (Gleichung 4.37). Weiterhin wurde eine Beziehung zwischen der Druckdifferenz pa – pi und dem durch den Krümmer (Bild 6.74) strömenden Volumenstrom V˙ hergeleitet (Gleichung 4.38):

p V˙ = K · 3 · d92 R · d 3i · 4 V˙ K R di r pa pi

f

84 pa – pi 74 r

(Gl. 6.48)

Volumenstrom Kalibrierbeiwert mittlerer Krümmungsradius Rohrinnendurchmesser Fluiddichte Druck an der Krümmeraußenseite Druck an der Krümmerinnenseite

Der Kalibrierbeiwert K wird am besten in Versuchen, z.B. Netzmessungen (Abschnitt 6.5.2) möglichst genau bestimmt, auch genaue Modellmessungen im Labor [6.95, 6.96] sind manchmal sinnvoll. In [6.97] finden sich Angaben über den Kalibrierbeiwert K in Abhängigkeit von der relativen Wandrauigkeit di/k und der Reynoldsw · di Zahl Re = 9 (Tabelle 6.9). n Die Literaturquelle [6.97] enthält auch detaillierte Hinweise für Anordnung und Ausführung der Druckentnahmebohrungen für pa und pi.

Bild 6.74 Durchflussmessung an einem Rohrkrümmer

Durchflussmessung Tabelle 6.9 R/di

1.0 1.5 4.0

421

Kalibrierbeiwert K (nach [6.97])

di / k

>1000 500 50 – 100 >1000 500 50 – 100 10 · d und Auslauf von mindestens laus > 5 · d [6.53].

Im Übrigen sind die Herstellerangaben genau zu beachten. Aus Platzgründen wurden nicht alle in der Praxis gängigen Durchflussmessgeräte bzw. -verfahren behandelt, so fehlen z.B. Massendurchflussmesser nach dem Coriolis-Prinzip, Klappendurchflussmesser oder Markier- und Impfverfahren. Informationen über diese Geräte bzw. Verfahren findet man in der häufig zitierten Fachliteratur, z.B. in [6.2, 6.4, 6.23, 6.53 oder 6.93]. 6.5.10

Pulsierende Strömungen

Die oben beschriebenen Durchflussmessverfahren gelten streng genommen nur für stationäre Strömungen, d.h. Strömungen, bei denen der durch das Messgerät strömende Volumenstrom zeitlich konstant ist, bzw. bei Netzmessungen sich das Geschwindigkeitsfeld während des Messvorgangs nicht ändert. Bei hochgenauen Messungen, z.B. bei Kalibrierungen, hat auch der Turbulenzgrad (Abschnitt 4.6.5), der die instationären Schwankungen von turbulenten Strömungen beschreibt einen gewissen Einfluss auf die Messgenauigkeit. Bei instationären Strömungen ändert sich der Durchfluss in einer Funktion über die Zeit. Pendelt der Durchfluss um einen zeitlich konstanten Mittelwert, spricht man von pulsierenden Strömungen. Typische pulsierende Strömungen finden sich z.B. in den Saug- und Druckleitungen

Durchflussmessung von Pumpen und Verdichtern, die nach dem Verdrängerprinzip arbeiten [6.98, 6.99] oder in den Ansaug- und Auspuffrohren von Kolbenverbrennungsmotoren. Inwieweit Geschwindigkeitsmessgeräte, die bei Netzmessungen verwendet werden, auf Pulsationen reagieren, muss am besten bei den Geräteherstellern nachgefragt werden. Ebenso erhält man Informationen über den Einfluss von Pulsationen auf die Messgenauigkeit der in den Abschnitten 6.5.5 bis 6.5.8 beschriebenen Durchflussmessgeräten am besten von den Geräteherstellern. Für die häufig angewandten Wirkdruckverfahren (Abschnitt 6.5.3) finden sich z.T. ausführliche Hinweise in der Fachliteratur, z. B. in [6.4]. In [6.100 und 6.101] wird nachgewiesen, dass der Einfluss der Pulsationen auf die Durchflusskoeffizienten C (Gleichung 6.28) relativ gering ist, wogegen erhebliche Messfehler durch Druckschwankungen in den Wirkdruckleitungen und den Druckmessgeräten auftreten, da sich sowohl die Wirkung von Dämpfungen schwer abschätzen lässt, als auch keine exakte Mittelwertbildung für den schwankenden Wirkdruck angegeben werden kann, zumal der genaue Verlauf der Funktion Dp = f (Zeit) meistens unbekannt ist [6.4]. Auch bei der mathematischen Auswertung, oft im Gerät integriert, tritt ein Fehler auf, da die Quadratwurzel aus dem mittleren Wirkdruck größer ist als der Mittelwert aus den einzelnen Wurzelwerten. Nur dann, wenn der physikalische Verlauf der Pulsationen im Drosselgerät auch am Wirkdruckmessgerät exakt angezeigt würde, könnte man aus der Funktion Dp = f (Zeit) eine genaue Mittelwertbildung für den Volumenstrom vornehmen. Am besten vermeidet man das Auftreten von Pulsationen durch Dämpfung in den Rohrleitungen, d. h. Herstellung einer stationären Strömung, beispielsweise durch ausreichend große Rohrleitungsvolumina, Pufferzonen, Einbau von Dämpfern, sowie durch Positionierung des Durchflussmessgerätes möglichst weit von der Störquelle (z.B. Verdrängermaschine) entfernt. In [6.4 und 6.97] sind Verfahren zur Fehlerabschätzung angegeben, von denen die in

423

[6.97] beschriebene vereinfachte Methode kurz wiedergegeben wird: V˙i fPuls = 5 = d020 1 + A · B · t2 V˙m

(Gl. 6.51)

fPuls Pulsationsfaktor V˙ i am Messgerät angezeigter Volumenstrom V˙ m wahrer Mittelwert des Volumenstroms A Faktor zur Berücksichtigung der Pulsationsform Dp = f (Zeit), A = 0…0,25 A = 0,125 für sinusförmige Schwankungen des Messsignals A = 0, 25 für rechteckförmige Messsignale B Faktor zur Berücksichtigung des Frequenzganges des Messgerätes B = 0…1; für gut gedämpfte Geräte wird B=1

冢

冣

1 Dpmax – Dpmin t ª 3 · 003 2 Dp

Bild 6.77

Pulsationsfaktor fPuls (nach [6.97])

424

Strömungsmesstechnik

In Bild 6.77 ist der Pulsationsfaktor fPuls für sinusförmige (schwarze Kurve) und rechteckige (rote Kurve) Messsignale in Abhängigkeit des die Wirkdruckschwankungen charakterisierenden Beiwertes t nach [6.97] wiedergegeben.

6.6

Viskosimetrie

In Abschnitt 1.4 wurde die Viskosität Newton’scher und nicht Newton’scher Fluide ausführlich definiert. Zur messtechnischen Bestimmung der z.B. in Tabelle 1.5 dargestellten Fließ- und Viskositätskurven dienen Viskosimeter (Rheometer) verschiedener Konstruktions- und Wirkprinzipien. 6.6.1

Rotationsviskosimeter

Rotationsviskosimeter bestehen aus einem um eine feste Achse rotierenden und einem feststehenden Teil. Neben diversen Sonderausführungen werden von den Geräteherstellern 3 «klassische» geometrische Systeme angeboten, die sich allerdings in der Gerätetechnologie, in der Messgenauigkeit und im Preis unterscheiden können: ❑ Koaxiale Zylinder ❑ Platte–Kegel ❑ Platte–Platte Je nach dem zugrunde liegenden Messprinzip werden 2 Konstruktionen unterschieden: a) Geräte, bei denen durch ein geregeltes Drehmoment T die Schubspannung t definiert vorgegeben wird und gemäß Gleichung 1.13 das zur dynamischen Viskosität h proportionale Geschwindigkeitsgefälle D gemessen wird. Diese Geräte werden als CS-Rheometer (Controlled Stress-Rheometer) bezeichnet. b) Geräte, bei denen ein definiertes Geschwindigkeitsgefälle D eingestellt und die Schubspannung t gemessen werden, woraus die dynamische Viskosität h bestimmt werden kann. Diese Geräte heißen CR-Rheometer (Controlled Rate-Rheometer).

CS-Rheometer werden bei kleinen Geschwindigkeitsgefällen D < 10° 1/s, CR-Rheometer bei größeren Geschwindigkeitsgefällen D > 10° 1/s eingesetzt (Bild 6.78). Teure Präzisionsgeräte lassen sich vom CS-Modus in den CRModus umschalten [6.102]. Je nachdem, welcher Geräteteil rotiert und welcher Geräteteil feststeht, unterscheidet man 2 Konstruktions- und damit Messprinzipien: a) Searle-Messsysteme, bei denen der äußere Zylinder bzw. die untere Platte feststeht und der innere Zylinder bzw. Kegel oder obere Platte rotieren. Searle-Messsysteme gibt es in CS- und CR-Ausführung. Mit diesen Geräten können auch sehr komplexe rheologische Stoffeigenschaften bestimmt werden. b) Couette-Messsysteme in CR-Ausführung, bei denen der innere Zylinder, der Kegel oder die obere Platte festgehalten werden und der äußere Zylinder bzw. die untere Platte rotieren. Das Drehmoment T wird dabei am festgehaltenen Teil gemessen. Der genaue Geräteaufbau, die Wirkungsweise und die Einsatzgebiete der verschiedenen Geräte sind u.a. in [6.102 und 6.103] beschrieben. In Tabelle 6.10 sind in Anlehnung an [6.103 und 6.104] die Zusammenhänge zwischen den Hauptparametern der Gerätegeometrie, dem Drehmoment T, der Drehzahl n bzw. der Winkelgeschwindigkeit w und der dynamischen Viskosität h verschiedener Typen von Rotationsviskosimetern gegenübergestellt.

Bild 6.78 Bereiche des Geschwindigkeitsgefälles D von CS- und CR-Rheometern (nach [6.102])

Schubspannung:

da a sehr klein (< 1°)

(Gl. 6.53)

R D=w·3 s

w w D=8ª3 tan a a

(Gl. 6.52)

(Gl. 1.13)

Fkorr Korrekturfaktor zur Berücksichtigung der Reibung auf der Stirnseite des Zylinders

Ra2 – R2i T h = 0003 · 4 · p · L · R 2i · Ra2 · Fkor 4 w

ti h=4 Di

T ti = 006 2 · p· L · R 2i · Fkorr

Die Schubspannung ti am Innenradius Ri beträgt:

w=2·p·n

2·s T h = 94 · 4 p·R w

t h=3 D (Gl. 6.54)

T h = KG · 4 w

(Gl. 6.55)

vereinfachen.

T Bezeichnet man die vor dem Quotienten 3 stehenden gerätespezifischen Ausdrücke als jeweilige w Gerätekonstante KGJ lassen sich die Gleichungen 6.52 bis 6.54 durch die gemeinsame Gleichung

3 T h = 04 · 2 · p · Rk3 4 w

t h=3 D

t = 053 · T 2 · p · Rk

3

2 t = 03 · T p·R

Geschwindigkeitsgefälle D:

Geschwindigkeitsgefälle D:

Geschwindigkeitsgefälle D am rotierenden Innenzylinder:

Schubspannung:

Bild 6.81

Bild 6.80

Bild 6.79

Ra2 Di = 2 · w · 03 Ra2 – Ri2

Platte–Platte

Platte–Kegel

Funktionsgleichungen von Rotationsviskosimetern

Koaxiale Zylinder

Tabelle 6.10

Viskosimetrie

425

426 6.6.2

Strömungsmesstechnik Fallkörperviskosimeter

Fällt ein Festkörper, z. B. eine Kugel mit der Dichte rK, im freien Fall durch eine Flüssigkeit mit der Dichte rFl < rK, so ist dieser Strömungszustand nach Zurücklegung einer gewissen Anlaufstrecke so , d. h. bei konstant bleibender Fallgeschwindigkeit w, vergleichbar mit dem Strömungszustand eines in einer aufwärts gerichteten Strömung schwebenden Körpers, wie es in Abschnitt 4.10.4 beschrieben ist. Die am Körper angreifenden 3 Kräfte (Bild 4.234) ❑ Gewichtskraft ❑ Auftriebskraft

G = V · rK · g FA = V · rFl · g (Gl. 2.36) rFl ❑ Widerstandskraft Fw = cw · 5 · w2 · ASt 2 (Gl. 4.283) halten sich das Gleichgewicht: G = FA + Fw Für einen kugelförmigen Fallkörper können gesetzt werden:

die endgültige Schreibweise der Funktionsgleichung von Fallkörperviskosimetern: g · d2 h = 9 (rK – rFl) · Dt 18 · s bzw. nach Einführung der Gerätekonstante g · d2 KG = 9 , die zusätzlich noch den Einfluss 18 · s des Verhältnisses Kugeldurchmesser/Fallrohrdurchmesser berücksichtigt [6.102]:

h = KG · (rK – rFl) · Dt h KG rK rFl Dt

(Gl. 6.56)

dynamische Viskosität Gerätekonstante Dichte der Kugel Dichte der Flüssigkeit Fallzeit längs der Fallstrecke s (Bild 6.82)

Das bekannteste Fallkörperviskosimeter ist das Kugelfall-Viskosimeter nach HÖPPLER, das in Bild 6.82 schematisch dargestellt ist [6.3, 6.102, 6.105].

p V = 3 · d3 6 p ASt = 3 · d2 4 für sehr kleine Fallgeschwindigkeiten gilt: 24 cW = 5 (Gl. 4.285) Re w · d w · d · rFl mit Re = 8 = 06 n h Damit erhält man folgenden Ausdruck für das Kräftegleichgewicht: p 3 p 3 3 · d · rK · g = 3 · d · rFl · g + 3 · h · p · d · w 6 6 Durch Kürzen und Umstellen ergibt sich letztendlich: g · d2 h = 92 (rK – rFl) 18 · w Ersetzt man die Geschwindigkeit w durch den Weg s Ausdruck w = 95 = 5 bekommt man Fallzeit Dt

Bild 6.82 Kugelfall-Viskosimeter nach HÖPPLER (Prinzip)

Viskosimetrie 6.6.3

Kapillarviskosimeter

Das Kapillarverfahren ist technikgeschichtlich das älteste Messverfahren zur Bestimmung der Viskosität und beruht auf der Anwendung der Hagen-Poiseuille’schen Gleichung 4.127, die bekanntlich den Druckabfall der laminaren Rohrströmung beschreibt. p · ro4 · (p1 – p2) V˙ = 006 8·h·l Gleichung 4.127 gibt den theoretisch ausströmenden Volumenstrom an, da die den Volumenstrom reduzierenden Einlaufverluste Dpv, 1 (Abschnitt 4.7.8, Bild 4.169, Gleichung 4.206) und Auslaufverluste Dpv, 2 (Abschnitt 4.7.7.3) nicht berücksichtigt werden. Der Volumenstrom V˙ wird durch den Quotienten DV/Dt ersetzt, wobei DV das während der Messzeit ausströmende Volumen ist. Außerdem wird gemäß Gleichung 2.14 der Druckunterschied p1 – p2 durch die mittlere Ausflusshöhe hm (Bild 6.83) ausgedrückt.

Ein- und Auslaufverluste werden nach [6.106] durch Einfügen eines Korrekturgliedes berücksichtigt und gleichzeitig die HagenPoiseuille’sche Gleichung nach der dynamischen Viskosität umgestellt: p · ro4 · (p1 – p2) · Dt r · DV h = 0003 – a · 09 8 · l · DV 8 · p · l · Dt Nach [6.106] erfasst der Beiwert a die Geometrie der Kapillare einschließlich der Form des Einlaufs und liegt in den Grenzen 0,5 ≤ a ≤ 1,12 p1 – p2 = r · g · hm Weiterhin wird die dynamische Viskosität h durch die kinematische Viskosität n = 3 err setzt, wodurch die Dichte r herausfällt und die gerätespezifischen Werte ro, hm, l, DV und a zu Gerätekonstanten zusammengefasst: p · ro4 · r · g · hm r · DV 1 n = 007 · Dt – a · 08 4 r · 8 · l · DV r · 8 · p · l Dt 14243 144244 3 KG, 1 KG, 2 KG, 2 n = KG, 1 · Dt – 8 Dt

Bild 6.83

Kapillarviskosimeter (Prinzip)

427

(Gl. 6.57)

Ausführliche Informationen über die verschiedenen geometrischen und funktionellen Varianten von Kapillarviskosimetern, wie z.B. Viskosimeter nach UBBELOHDE oder CANNONFENSKE, über verschiedene Ausführungen von Schmelzindex-Geräten, wie sie in der Kunststofftechnik angewandt werden oder die sehr ungenau arbeitenden Auslaufbecher nach ENGLER, SAYBOLD, REDWOOD, FORD oder DIN finden sich u.a. in [6.102, 1.7, 1.10, 1.12 und 1.13]. Neben den Hinweisen in den Gebrauchsanleitungen der Gerätehersteller können auch die einschlägigen Normen und Regelwerke hilfreich sein, z.B. [6.107]. In [6.3], Abschnitt 7.3 werden Kapillarviskosimeter zur fortlaufenden Viskositätsbestimmung, z.B. in Produktionsprozessen, sog. Permanent-Viskosimeter, beschrieben.

Literaturverzeichnis

I.

Spezielle Literatur zu den einzelnen Kapiteln

1.17 1.18

Literatur zu Kapitel 1 1.1

1.2 1.3

1.4 1.5

1.6

1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16

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1.19

1.20 1.21 1.22 1-23 1.24 1.25 1.26 1.27 1.28 1.29 1.30 1.31 1.32 1.33 1.34 1.35 1.36

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430 1.37 1.38 1.39 1.40 1.41 1.42 1.43 1.44 1.45 1.46

1.47 1.48 1.49 1.50

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2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11

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4.1 4.2 4.3 4.4

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4.27

4.28 4.29

4.30

4.31 4.32 4.33

4.34 4.35

4.36

4.37

4.38

4.39 4.40 4.41

431

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6.69 6.70 6.71

6.72

6.73 6.74 6.75 6.76

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440 6.86 6.87 6.88 6.89

6.90 6.91 6.92 6.93 6.94 6.95

6.96 6.97 6.98

6.99

6.100 6.101

6.102 6.103 6.104

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DIN-Normen und VDI-Richtlinien DIN 1301: Einheiten. DIN 1304: Allgemeine Formelzeichen. DIN 1306: Dichte. DIN 1314: Druck. DIN 1342: Viskosität newtonscher Flüssigkeiten. DIN 1345: Thermodynamik. DIN EN ISO 5167-1. Durchflussmessung von Fluiden mit Drosselgeräten, Teil 1: Blenden, Düsen und Venturirohre in voll durchströmten Leitungen mit Kreisquerschnitt. DIN 13 342: Nichtnewtonsche Flüssigkeiten – Begriffe, Stoffgesetze. DIN 18 017/Blatt 4: Rechnerischer Nachweis der ausreichenden Luftleistung. DIN 19 559: Durchflußmessung von Abwasser in offenen Gerinnen und Freispiegelleitungen, Venturi-Kanäle.

443

DIN 51 550: Bestimmung der Viskosität. DIN 51 562: Messung der kinematischen Viskosität mit dem Ubbelohde-Viskosimeter. DIN 53 015: Messung der Viskosität mit dem Kugelfall-Viskosimeter nach Höppler. DIN 53 018: Messung der dynamischen Viskosität newtonscher Flüssigkeiten mit Rotationsviskosimetern. VDI 2040: Berechnungsgrundlagen für die Durchflußmessung mit Drosselgeräten. VDI/VDE 2041: Durchflußmessung mit Drosselgeräten, Blenden und Düsen für besondere Anwendungen. VDI 2087: Luftkanäle. VDI/VDE 2640: Netzmessungen in Strömungsquerschnitten. VDI/VDE 2641: Magnetisch-induktive Durchflußmessung. VDE/VDI 3512/Blatt 1: Meßanordnungen Durchflußmessungen mit Drosselgeräten. VDE/VDI 3512/Blatt 3: Meßanordnungen für Druckmessungen. VDE/VDI 3513: Schwebekörper-Durchflußmesser – Berechnungsverfahren. ISO 5167: Measurement of fluid flow by means of orifice plates, nozzles and venturi tubes inserted in circular cross-section conduits running full. ISO 5221: Air distribution and air diffusion; Rules to methods of measuring air flow rate in an air handling duct. ISO 3966: Measurement of fluid flow in closed conduits: Velocity area method using Pitot static tubes.

Tabellenanhang

446

Tabellenanhang

Tabellenanhang

447

448

Tabellenanhang

) t = 120 °C

nach SIHI-HALBERG : Grundlagen für die Planung von Kreiselpumpenanlagen

1

Tafel 4 (Fortsetzung)

Tabellenanhang

449

450

Tabellenanhang

Tabellenanhang

Tafel 5 (Fortsetzung)

451

452

Tabellenanhang

aus VDI 2040 /Blatt 4

Tabellenanhang

453

454

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455

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Tafel 11

Konstanten A und c zur Berechnung der dynamischen Viskosität h von Flüssigkeiten nach Gleichung 1.18

Tabellenanhang

457

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Tabellenanhang

Tabellenanhang

aus SIHI-HALBERG: Grundlagen für die Planung von Kreiselpumpen

459

460

Tabellenanhang

Tafel 14 (Fortsetzung)

Tabellenanhang

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463

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Tabellenanhang

465

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Tabellenanhang

Tabellenanhang

20

H

2

He

m2/s · Pa

15

5

␯·p

10

m2/s·Pa

CH

, uft

4

4

,N 2 O2

L

3

4 C 2H

2

CO 2 1

0 –50

0

50

100

Temperatur t

150

°C

0 200

␯·p

5

467

468

Tabellenanhang

Tabellenanhang

469

470

Tabellenanhang

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471

472

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Tabellenanhang

473

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Tabellenanhang

Tabellenanhang

475

476

Tabellenanhang

Tabellenanhang

477

478

Tabellenanhang

Tabellenanhang

Tafel 32

Wirtschaftliche Geschwindigkeiten in Rohrleitungen

nach [4.103]

479

480

Tabellenanhang

Tafel 33

nach [4.126]

Reibungsbeiwerte l · Re für Kreisringspalte bei laminarer Strömung

nach [4.126]

Tafel 34

r1 Reibungsbeiwert l von Kreisringspalten für d = 31 = 0,89 r2

Tabellenanhang

481

Strouhal-Zahl Sr

0

0,04

0,08

0,12

0,16

0,20

0,24

0,28

0,32

0,36

0,40

0,44

0,48

Tafel 35

103

JAMES et. al.

RELF, SIMMONS

102

SCRUTON

NAUMANN, PFEIFFER [4.171]

104 Reynolds-Zahl Re

BRUST

WENDEROTH [4.152]

RUSCHEWEYH (Original)

DRESCHER

FUJINO

FRIMBERGER

JONES et. al.

ROSHKO

LEHNERT

Strouhal-Zahl von Kreiszylindern (nach [4.148])

105

106

107

108

482 Tabellenanhang

Tafel 36

Strouhal-Zahlen prismatischer Körper (nach [4.151])

Querschnittsform

w

B 3=1 d r 1 3=3 d 3 B 3=1 d r 1 3=3 w 3 B 3=1 d r 1 3=3 w 4 B 3=1 d r 1 3=3 w 4 B 3=2 d r 1 3=3 d 2 B 1 3=3 d 2 r 1 3=3 w 4

Strouhal-Zahl f·d Sr = 8 w∞

gültiger Reynolds-Zahl-Bereich

0,33

2 · 106 > Re > 4 · 105

0,2 Æ 0,35

7 · 105 > Re > 4 · 105

0,35

2 · 106 > Re > 7 · 105

0,2

8 · 105 > Re > 3 · 105

0,3

Re = 1 · 106

0,2

5 · 105 > Re > 3 · 105

0,65

1,6 · 106 > Re > 6 · 105

0,4

2,5 · 106 > Re > 3 · 105

0,2 Æ 0,35

6 · 105 > Re > 3 · 105

0,35

1 · 106 > Re > 6 · 105

0,12

5 · 105 > Re > 3 · 105

0,60

2 · 106 > Re > 1 · 106

0,2

7 · 105 > Re > 1 · 105

0,22 0,125

Re = 8 · 104 Re = 5 · 104

0,13 Æ 0,22

Re = 0,3 ÷ 1,4 · 105

0,14 Æ 0,19

Re = 0,8 · 105

Ellipse B 3=2 d Ellipse B 1 3=3 d 2

10–4 –1 10

10–3

10–2

10–1

1

10

102

1

10

102

Blasius (Platte, laminar)

Lamb (Zylinder Re < 1)

Re

103

L /D = ∞

L /D = 5

104

105

Prandtl (Platte, turbulent)

106

h

D

l

l

H

107

Tafel 37

cw

484 Tabellenanhang

cw-Werte prismatischer Körper (nach [4.161])

Tabellenanhang

Tafel 38

cw-Werte von Rotationskörpern (nach [4.161])

485

486

Tabellenanhang

Tafel 39

Widerstandsbeiwerte von umströmten Körpern

Tabellenanhang

Tafel 40

Widerstandsbeiwerte von umströmten Körpern

Körperform

Widerstandsbeiwert cw dreieckiges Prisma

für b Æ ∞ cw = 1,55

dreieckiges Prisma

für b Æ ∞ cw = 2,0

Doppel-Th Profil 3 = 2 b

cw = 2,04

Doppel-Th Profil 3 = 2 b

cw = 0,86

b

b

h b

h

b

Fallschirm cw = 1,2

d 5 3=3 l 9

Ellipsoid in Längsrichtung angeströmt

l · w∞ für Re = 0 > 10 5 n

Ellipsoid quer angeströmt

für Re > 5,5 · 105 : cw = 0,2 für Re < 4,5 · 105 : cw = 0,6

cw = 0,05 … 0,1

t · w∞ für Re = 0 > 10 5 n profilierte Strebe t 3 d

冦

20 : 0,094 10 : 0,083 5 : 0,06 3 : 0,1 2 : 0,2

487

Tabellenanhang

Aerodynamische Beiwerte von Pkw bei Seitenwindeinfluss (nach [4.183]) Luftwiderstandsbeiwert 0,5 0,4

cw-Wert

0,3 0,2 0,1 0 0

5

10 15 Anströmwinkel a

20

25

20

25

20

25

Auftriebsbeiwert 1 0,8 0,6 cA-Wert

Tafel 41

0,4 0,2 0 0

5

10 15 Anströmwinkel a Seitenkraftbeiwert

1 0,8 cS-Wert

488

0,6 0,4 0,2 0

0

5

10 15 Anströmwinkel a

Tabellenanhang

Tafel 42

Polaren des Tragflügels Gö 623

489

490

Tabellenanhang

Tafel 43

Druckverlust in Wasserdampfleitungen

Tabellenanhang

491

Namensverzeichnis ARCHIMEDES (ca. 285 v. Chr. – 212 v. Chr.), griechischer Mathematiker und Mechaniker BERNOULLI, DANIEL (1700 – 1792), schweizerischer Mathematiker, Physiker und Mediziner BOYLE, ROBERT (1627–1691), englischer Naturforscher BUNSEN, ROBERT WILHELM (1811 – 1899), deutscher Chemiker und Naturforscher CARNOT, LAZARE NICOLAS MARGUERITE (1753 – 1823), französischer Ingenieuroffizier und Politiker D’ALEMBERT, JEAN LE RONDE (1717 – 1783), französischer Philosoph und Mathematiker DA VINCI, LEONARDO (1452 – 1519), italienischer Maler, Architekt, Naturforscher und Ingenieur DARCY, HENRY-PHILIBENT-GASPARD (1803 – 1858) französischer Wasserbauingenieur DE BORDA, JEAN CHARLES (1733 – 1799), französischer Ingenieur und Physiker DE LAVAL, GUSTAV (1845 – 1913), schwedischer Ingenieur und Erfinder DE PITOT, HENRI (1695 – 1771), französischer Physiker DE SAINT-VENANT, JEAN CLAUDE BARRE (1797 – 1886), französischer Mathematiker DOPPLER, CHRISTIAN JOHANN (1803 – 1853), österreichischer Physiker und Mathematiker DU BUAT, PIERRE LOUIS GEORGES (1734 – 1809), französischer Physiker und Militäringenieur EIFFEL, ALEXANDRE GUSTAVE (1832 – 1923), französischer (Bau)Ingenieur und Aerodynamiker EULER, LEONHARD (1707 – 1783), schweizerischer Mathematiker und Physiker FANNO, GINO (1882 – 1962), Schweizer Maschinenbauingenieur FARADAY, MICHAEL (1791 – 1867), britischer Physiker und Chemiker FROUDE, WILLIAM (1810–1879), britischer Schiffsbauer GALILEI, GALILEO (1564 – 1642), italienischer Mathematiker, Physiker und Philosoph GAUSS, CARL FRIEDRICH (1777 – 1855), deutscher Mathematiker, Physiker und Astronom HAGEN, GOTTHILF HEINRICH LUDWIG (1797 – 1884), deutscher Wasserbauingenieur HELMHOLTZ, HERMANN VON (1821 – 1894), deutscher Physiker und Naturforscher JOUKOWSKY, NICOLAI ERGOROWICH (1847 – 1921), russischer Physiker und Strömungsforscher, Prof. f. Mechanik an der Polytechnischen Schule Moskau, später an der Universität Moskau KUTTA, WILHELM (1867 – 1944), deutscher Mathematiker LAGRANGE, JOSEPH LOUIS (1736 – 1813), französischer Mathematiker und Physiker italienischer Herkunft LAPLACE, PIERRE SIMON (1749 – 1827), französischer Mathematiker und Physiker

LILIENTHAL, OTTO (1848 – 1896), deutscher Ingenieur und Flugpionier MACH, ERNST (1838 – 1916), österreichischer Physiker MAGNUS, GUSTAV HEINRICH (1802 – 1870), deutscher Physiker und Chemiker; Professor an der Universität Berlin und Lehrer an der Artillerieschießschule Berlin MANNING, ROBERT (1816 – 1897), irischer Wasserbauingenieur MARIOTTE, EDME, SEIGNEUR DE CHAZEUIL (um 1620 – 1684), französischer Physiker MAXWELL, JAMES CLERK (1831 – 1879), britischer Physiker NEWTON, ISAAC (1643 – 1727), seit 1705 Sir, englischer Mathematiker, Physiker und Astronom PASCAL, BLAISE (1623 – 1662), französischer Mathematiker, Physiker und Religionsphilosoph POISEUILLE, JEAN-LOUIS MARIE (1799 – 1869), französischer Arzt und Physiologe POLENI, GIOVANNI (1683 – 1761), italienischer Physiker und Mathematiker PRANDTL, LUDWIG (1875 – 1953), deutscher Ingenieur und Strömungsforscher RANKINE, W. J. M. (1820 – 1872), britischer Ingenieur und Physiker RAYLEIGH, JOHN WILLIAM STRUTT LORD (1842 – 1919), englischer Physiker, Professor an der Universität Cambridge, Präsident der Royal Society, 1904 Nobelpreis für Physik REECH, FERDINAND (1805 – 1880), französischer Professor an der Marineingenieurschule in Paris REHBOCK, THEODOR (1864 – 1950), deutscher Wasserbauingenieur REYNOLDS, OSBORNE (1842 – 1912), britischer Physiker STOKES, GEORGE GABRIEL (1819 – 1903), britischer Mathematiker und Physiker STRICKLER, ALBERT (1887 – 1963), schweizerischer Wasserbauingenieur STROUHAL, CEˇNEˇK (1850 – 1923), tschechischer Physiker TORRICELLI, EVANGELISTA (1608 – 1647), italienischer Mathematiker und Physiker, Schüler Galileo Galileis VENTURI, GIOVANNI BATTISTA (1746 – 1822), italienischer Physiker WANTZEL, PIERRE-LAURENT (1814 – 1848), französischer Ingenieur und Mathematiker WEBER, HEINRICH (1842 – 1913), deutscher Mathematiker WEISBACH, JULIUS (1806 – 1871), deutscher Ingenieur, akademischer Lehrer an der Bergakademie in Freiberg/Sachsen YOUNG, THOMAS (1773 – 1829), britischer Physiker und Arzt

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Stichwortverzeichnis

z-Werte 179 3-Loch-Sonde 383 A Abfluss –, schießender 148, 413 –, strömender 148, 239 Abflussformeln, empirische 242 Abflussgleichung 241 Abflusswirbel 254 Ablösegebiet 194, 195, 200 Ablösegefahr 188 Ablösepunkt 264 Ablösung 179, 211, 264, 400 Absolutdruck 49 –messung 366 Absolutgeschwindigkeit 136 Absperrorgane 209 Achslast 287 Adhäsionskräfte 39 adiabate 317 Aerostatik 75 Aggregatzustände 17 Ähnlichkeit –, geometrische 138, 409 –, physikalische 138 Ähnlichkeitsbedingungen 139 Ähnlichkeitsgesetze 138, 139 Aktionskraft 110 Aktionsprinzip 108 Anlaufgeschwindigkeit 375 Anstellwinkel 294 Arbeitsmaschine 122 Atmosphäre –, Schichtung 75 Aufdruckkraft 66 Aufpresskraft 287 Auftauchen 69 Auftrieb 67, 286, 294, 414 –, statischer 67 –, thermischer 68 Auftriebsbeiwert 297, 359 Auftriebskraft 290 Auftriebskräfte, dynamische 290 Auftriebsverlust 302 Ausfluss –, aus Behältern 246 –, bei veränderlicher Spiegelhöhe 254 –formel – –, von BUNSEN 101

– –, von TORRICELLI 100, 246 –funktion, isentrope 330, 331 – –, polytrope 334 –gleichung 252 –, instationärer unter Gegendruck 258 –, reibungsfreier 100 –, unter Gegendruck 254 –, zahl 249, 330 –zeit 255 Auslaufbecher 427 Auslaufgeschwindigkeit 375 Auslauflängen 410 Auslaufrohrstrecken 401 Auslaufstrecke 201, 409, 421 Außenaerodynamik 285 Außenströmung 96, 99, 141, 260 Ausströmen –, mit Vorgeschwindigkeit 338 –, stationäres 101 Ausströmung –, überkritische 331 –, unterkritische 331, 333 Ausströmvorgänge 325 –, überkritische 333 Austrittsdiffusoren 186 Austrittsgeschwindigkeit 100 Austrittskonfusor 199 Austritts-Mach-Zahl, isentrope 328 Auswägeverfahren 391 B Bahnlinie 88 Barometer 363, 366 Bernoulli-Diffusor 122 Bernoulli-Gleichung 91 –, erweiterte 149, 240 Beruhigungsstrecken 365 Beschleunigung 310 –, konvektive 85 –, lokale 85 –, substantielle 85 –, totale 85 Betrieb, angepasster 341 Betriebszustände einer Laval-Düse 344 Betz-Präzisionsmanometer 369 Bezugsdruck 49 Bezugsgeschwindigkeit 179 Bilanzgleichung in integraler Form 89 Bingham-Körper 30 Blasenbildung 36 Blende 212

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Stichwortverzeichnis

Blende –, exzentrische 406 Bodendruckkraft 57 Borda’sche Ausflusszahl 249 Borda-Carnot-Diffusor 122, 181, 183 C Coanda-Effekt 122, 412 Controlled Rate-Rheometer 424 Controlled Stress-Rheometer 424 Couette-Messsysteme 424 CR-Rheometer 424 CS-Rheometer 424 D Dampfblasen 296 Dampfdruck 35 Dampfdruckkurve 35 Dampfgehalt 326 Deformation 89 Dehnmessstreifentechnik 373 Dehnungsausgleicher 209 Dichte 17, 83 Dichteänderung 314, 305 Dickenrücklage 293 Dickenverteilung 292 Differenzdruckmessung 366 Diffusorformen 186 Diffusorwirkungsgrad 193, 353 Dimensionsanalyse 139 Dissipationsverluste 148 Doppler-Effekt 306 Doppler-Verfahren 417 Dosenbarometer 371 Drall 137 Drallsatz 132, 314 Drehmoment 137 Drehmomentenbeiwert 273 Dreieckwehre 411 Driftverfahren 417 Drosselgeräte 212, 399 –, in rechteckigen Rohren 407 Drosselung, adiabate 322 Druck –, angezeigter dynamischer 379 –, dynamischer 96, 99, 357, 377 –, hydrostatischer 48, 96 –, kinetischer 378 –, statischer 97, 377 Druckabfall 178, 419 –, bei adiabater Strömung 320 –, bei isothermer Strömung 319 –, in gewellten Rohren 170 –, in Rohreinbauelementen 180 –, in Rohrleitungen 151, 155 Druckabhängigkeit der Viskosität 26

Druckänderung, senkrecht zur Strömungsrichtung 105 Druckarbeit 52 Druckaufnehmer –, induktiver 373 –, kapazitiver 373 –, piezoelektrischer 374 Druckbegriffe 49, 363, 377 Druckbeiwert 188 Druckeinheiten 50 Druckenergie 149 Druckentnahme 363 Druckfortpflanzungsgesetz 51, 370 Druckgradienten 105 Druckhöhe 91 Druckkraft 48, 75, 90, 110, 268 –, gegen ebene Wände 54, 57 –, gegen gekrümmte Wände 55, 61 Druckmessbohrung 364 Druckmessgeräte 97, 419 –, elektrische 372 Druckmessung 363 Druckmessverfahren 363, 364 Druckmittelpunkt 59 Druckpulsationen 379 Druckrückgewinn 124 Drucksprung 128 Druckverhältnis, kritisches 331, 354 Druckverlust 125, 149, 416 –, bleibender 413 Druckverteilung 295 Druckwellen 305 Druckwiderstand 277 Durchfluss, Grundgleichung 395 Durchflusskoeffizient 212, 400, 401, 423 Durchflussmesser, magnetisch-induktive (MID) 414 Durchflussmessung 394 –, an Krümmern 106 –, an Rohrkrümmern 420 –, in offenen Gerinnen 411 Durchflussverhalten von Armaturen 179 Durchflusszahl 197, 212 Durchlässigkeit 221 Durchmesser –, hydraulischer 172, 240, 241 Durchströmung –, laminare 179 –, turbulente 179 Düse 197, 212 E Effekt, piezoresistiver 373 Einlauflängen 410 Einlaufrohrstrecken 401 Einlaufstrecke 226, 409, 421 Einlaufströmung 181

Stichwortverzeichnis Einschnürung 400 Elastizitätsmodul 20 Ellison-Annubar-Durchflussmesser 421 Enddiffusoren 186 Energie – der Lage, potentielle 309 – des Druckes, potentielle 309 –, innere 309 –, kinetische 158, 309 Energieerhaltungssatz 321 Energiegleichung 90, 91, 96, 100, 112, 114, 122, 136, 148, 207, 309, 325, 347, 399, 414 Energiesatz 309 Energiestrom 183 –beiwert 159, 160, 240 Energiestromwert 400 Energieverlust 303 Enthalpie – spezifische 35, 309 Entleerungszeit 255 Entropie 314 Erdatmosphäre 75 EULER’sche Methode 84 EULER’sche Strömungsmaschinenhauptgleichung 137 Euler-Zahl 221 Expansion 310 Expansionsfächer 345 Expansionsströmung 315 Expansionszahl 400 F Fahrstabilität 285 Fahrzeugaerodynamik 283 Fahrzeugdurchströmung 285 Fahrzeugumströmung 285 Fallkörperviskosimeter 426 Faltenrohrkrümmer 203 Fanno-Kurven 321 Festkörperschüttungen 218 Feuchte 18 Filter 214 Flächen-Geschwindigkeits-Beziehung 314, 340 Flächenschwerpunkt 58 Flächenträgheitsmoment 59, 72 Flächenwiderstand 270, 358 Flachwasseranalogie 144 Fliehkraft 46, 105 Fließanomalien 30 Fließbett 221 Fließexponent 168 Fließformel 240 –, universelle 241 Fließgesetze 168 Fließgewässer 240 Fließgleichung 242 Fließgrenze 30

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Fließkurven 31 Flügel, hydrometrischer 374 Flügelfläche 293 Flügelradanemometer 374 Fluid 17 Fluidität 168 Flüssigkeit –, in einem gleichmäßig beschleunigten Gefäß 45 –, in einem rotierenden Gefäß 46 –, rheopexe 31 –, Schallgeschwindigkeit 20 –, strukturviskose 30 Flüssigkeitsbarometer 367 Flüssigkeits-Druckmessgeräte 366 Flüssigkeitsmanometer 53, 97 Flüssigkeitsstandmessung 54 –, kapazitive 391 Flüssigkeitsstrahlpumpe 103 Förderstrom 104 Formänderungswiderstand 22 Formstabilität 71 Formwiderstand 277, 358 Freistrahl 114, 117, 122, 183, 186, 194 Freistrahlkanäle 331 Freistrahlturbine 121 Frequenz 265 Frontspoiler 287 Froude-Zahl 142, 148, 239, 411, 413 Füllkörpersäule 220 Füllstand 54 Füllstandsmessung 389 Fußventil 214 G Gas, ideales 19, 311, 327 Gasdynamik 305 Gasgleichung 316 –, allgemeine 78 Gaskonstante –, individuelle 19, 34, 305 –, molare 35 –, spezifische 34 –, universelle 35 Gefäßbarometer 369 Gefäße, kommunizierende 53 Gefäßmanometer 368 Gerinneströmungen 239 Gesamthöhe 91 Gesamtwiderstand 277, 358 –, von Fachwerken 281 –, des Kreiszylinders 279 –, der Kugel 280 –, von Profilen 281 –, von Rohrbündeln 283 –, von Rohrreihen 283 Geschwindigkeitsbeiwert 159, 247, 327, 330 Geschwindigkeitsenergie 149

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Stichwortverzeichnis

Geschwindigkeitsfelder 394 Geschwindigkeitsgefälle 22, 424 Geschwindigkeitsgradient 151 Geschwindigkeitshöhe 91 Geschwindigkeitsmessung 374 Geschwindigkeitspläne 137 Geschwindigkeitsprofil 184, 261, 409 Geschwindigkeitsschwankungen 145 Geschwindigkeitsverteilung 145, 155, 239, 261, 394 Geschwindigkeitsverteilungsgesetz, universelles 158 Geschwindigkeitsausgleichswerte a und b 150 Gewicht, scheinbares 67 Gewichtskraft 45, 46, 90 Gewichtsstabilität 71 Gewichtsverlust 67 Gleichdruckturbinen 119 Gleichrichter 410 Gleichung von BERNOULLI 291 Gleitwinkel 297 Gleitzahl 297 Grenzfläche 36 –, von Fluiden 36 Grenzflächendruck 40 Grenzflächenspannung 36 Grenzschicht 98, 146, 156, 260, 279 –, laminare 261, 271 –, turbulente 261, 271 Grenzschichtablösung 146 Grenzschichtdicke 156, 162, 188, 261, 262 Grenzschichtentwicklung 263 Grundgleichung für den Durchfluss 395 H Haftspannung 36, 37, 39 Hagen-Poiseuille’sche Gleichung 153, 169, 231, 427 Hakenrohr 96 Hangabtrieb 90 Heckspoiler 287 Heißfilmsonden 386 Hele-Shaw-Strömung 147 Hitzdrahtsonden 386 Hodographen 85 Höhe, metazentrische 71, 73 Hooke’sches Gesetz 18 Hosenrohre 208 h-s-Diagramm 310, 326 hydraulisch –, glatt 162 –, rau 162 Hydrostatik 45 Hyperschallströmung 306 I Implosion 296 Impulskräfte 110 Impulsmomentengleichung 132

Impulssatz 108, 207, 291, 314, 347 Impulsstrom 183 –beiwert 159 Impulsverlustdicke 264 Induktionsprinzip 415 Innenaerodynamik 285 Innenströmung 96, 99, 141 Innenwiderstand 285 Integration –, grafische 397 –, numerische 397 Inversion 76 ISA-1932-Düse 402 Isenthalpe 323 Isentrope 309, 312 Isentropenexponent 34, 312 Isentropengleichung 79 Isobare 326 Isotachen 85, 240 isotherm 317, 324 Isotherme 326 Isothermie 76 Isovaporen 326 J Joule-Thomson-Effekt 325 K Kalibrierung 106 Kanäle 239 Kapillarität 36, 41 Kapillaraszension 41 Kapillardepression 41 Kapillardruck 40 Kapillarviskosimeter 427 Kármán’sche Wirbelstraße 265 Kavitation 104, 296 Kavitationserscheinungen 35 Kegelsonde nach CONRAD 384 Keilwinkel 348 Kennzahlen, dimensionslose 140 Kentern 70 Kippen 70 Kniestücke 200 Kohäsionskräfte 39 Kolbendruck 49, 50, 96 Kolben-Druckmessgeräte 370 Kolbenmanometer 370 Kolbenprofil 182, 2002, 226 Kompensatoren 209 Komponentenflügel 377 kompressibel 305 Kompressibilität 305, 314, 400 Kompressibilitätseinfluss 355 Kompressibilitätskoeffizient, isothermer 17, 18 Kompression 311, 352 –, isentrope 20

Stichwortverzeichnis Konfusor 197 Konfusoren am Rohrende 199 Konstant-Strom-Anemometer 386 Konstant-Temperatur-Anemometer 386 Kontinuitätsgleichung 89, 103, 111, 114, 122, 207, 308, 314, 321, 339, 347, 399, 414 Kontinuum 17 Kontraktionszahl 196, 247, 330 Koordinaten, kartesische 84 Körperschwerpunkt 70 Kraftangriffspunkt 295 Kraftmaschine 122 Kreisringspalt 229 Kreisringspalte, exzentrische 235 Kreiszylinder –, Gesamtwiderstand 279 –, im schrägen Strahl 122 –, Umströmung 146, 264 Krümmer 200 –, horizontaler 111 Kugel –, Gesamtwiderstand 280 –, im schrägen Strahl 122 –, Umströmung 146 Kugelfall-Viskosimeter nach HÖPPLER 426 Kugelkoordinaten 84 Kugelsonden 384 kv-Wert 179 L Lageenergie 149 Lageplan 111 Langradius-Düsen 402 Laser-2-Fokus-Anemometer 388 Laser-Doppler-Anemometer 388 Laufräder von Strömungsmaschinen 136 Laufzeitdifferenzverfahren 416 Laufzeitmessung von Schall, Ultraschall, Radar usw. 391 Laval-Druckverhältnis 331 Laval-Düse 328, 339, 409 –, Betriebszustände 344 Laval-Geschwindigkeit 333 Leckagevolumenstrom 229 Leistung 117, 128, 137, 286 Leitfähigkeit, elektrische 416 Leiträder von Strömungsmaschinen 134 Lochbleche 215 Lochplatten 215 Log-Linear-Verfahren 395 Log-Tchebycheff-Verfahren 395 Lösung –, schwache 350 –, starke 350 Luft 19 –, feuchte 19 –, gesättigte 19

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–, Zusammensetzung 75 Luftatmosphäre 75 Luftdruck 369 –, absoluter 371 Luftfeuchte, relative 19 Luftkräfte an Fahrzeugen 285 Luftschraube 126 Luftstrahltriebwerk 132 Luftwiderstand 285 M Mach’scher – Kegel 306 – Winkel 306 Mach-Zahl 306, 311, 315, 332 –, kritische 360 Magnus-Effekt 290 Makrogeometrie 179, 211, 220, 247, 249 Manometer 49 –, federelastischer 371 Masse 17 Massenerhaltungssatz 89, 308 Massenstrom 110, 308 Massenstrombegrenzer 346 Massenstromdichte 309, 331 Mehrstufendiffusoren 186 Messleitung 365 Messquerschnitt 394, 395 Messsonden, optische 387 Messunsicherheiten 398 Messwehre 411 Metazentrum 71 Methode, hydrostatische 390 Mikrogeometrie 179, 211, 220, 247, 249 Modellregeln 138 Modellversuche 143 Mollier-h-s-Diagramm 35, 325 Moment 63, 295 –, statisches 58 Momentenbeiwert 295, 297 N NACA-Profile 293 Nachlauf 265 Nasenradius 293 Nassdampfgebiet 326 Netzmessungen 394 Newton’sche Fluide 22 Newton’scher Schubspannungsansatz 151, 229 Newton’sches Schubspannungsaxiom 140 nicht Newton’sche – Flüssigkeiten 167 – Fluide 22, 227, 231, 410 – –, Viskosität 30 Niveaumessung 389 –, mit Schwimmern oder Auftriebskörpern 390

500

Stichwortverzeichnis

Normatmosphäre 77, 80 –, internationale 80 Normblende 401 Normdüsen 402 Normventurirohre 403 Nullabgleichsmethode 382 Nutzleistung 128 O Oberfläche, freie 36, 45 Oberflächenrauigkeit 270, 299 Oberflächenspannung 36, 247 Öffnungen, scharfkantige 248 Öffnungswinkel, optimaler 191 Optimalpunkt 138 Ortshöhe 91 P Paradoxon –, hydrodynamisches 101 –, hydrostatisches 57 – von DU BUAT 270, 289 – von EIFFEL 278 Parallelschaltung 223 Parallelströmung 289 Pfeilhöhe 293 Piezoeffekt 374 Piezorohr 99 Pitot-Druck 377 Pitot-Rohr 96, 379 Plattenfedermanometer 371 Polardiagramm –, aufgelöstes 298 –, nach LILIENTHAL 297 Polarenform 360 Polarkoordinaten 84 Polytrope 309, 312 Polytropenexponent 312, 334 Potentialströmungen 89 Potentialwirbel 135 Prandtl-Meyer –Expansion 350 –Funktion 351 Prandtl-Rohr 98 Prandtl-Sonde 98 Präzisionsmanometer 368 Presse, hydraulische 51, 370 Prinzip von ARCHIMEDES 67 Profilaufmessung 293 Profilbreite 293 Profildicke 293 Profile, hydraulisch optimale 243 Profilgeometrie 292, 299 Profillänge 293 Profilsehne 292 Profilwölbung 293 Projektionsmanometer nach BETZ 368

Propellerschub 126 Propellertheorie 122 Propellerwirkungsgrad 128 Pulsation 376, 423 Pumpenlaufrad 138 Pumpenleitrad 134 Q Querschnittsänderungen 181 Querschnittserweiterungen –, stetige 122 –, unstetige 122 R Radius, hydraulischer 240, 241 Radscheibenreibung 272 Radseitenreibung 275 Raketentriebwerk 132 Randwirbelpaar 303 Randzonenkorrektur 398 Rauigkeit 155, 400 –, technische 163 Raumströmung 83 Reaktionskräfte 110 Reaktionsprinzip 108 Realgasfaktor 19 Rechteckspalte 231 Rechteckwehre 411 Referenzfaktor 397 Referenzgeschwindigkeit 396 Referenzmessstelle 394 Referenzmessung 396 Referenzwirkdruck 396 Regelorgane 209 Regenscheit-Diffusor 183 Reibleistung 275 Reibung 246, 330, 400 Reibungskraft 140, 269 Reibungsverlust 124, 150 Reibungsverlusthöhe 154 Reibungswiderstand 270 Reihenschaltung 223 Relativgeschwindigkeit 136 Reynolds- und Mach-Zahl 382 Reynolds-Zahl 140, 188, 270, 301, 317 –, kritische 145, 262 Rheologie 22 Richtungsänderungen 200 Richtungsempfindlichkeit 379 Ringkolbenzähler 391 Ringspalt, konzentrischer 231 Rohrausläufe 181 Rohrbündel 181 Rohrdurchmesser, wirtschaftlicher 166 Rohre mit kreisförmigen Querschnitten 172 Rohreinlauf 181, 226

Stichwortverzeichnis Rohrerweiterung –, allmähliche 186 –, plötzliche, sprungartige 181 Rohrfedermanometer 371 Rohrhydraulik 148 Rohrkrümmer 200 Rohrlänge, gleichwertige 178 Rohrleitung, teilgefüllte 172 Rohrreibungszahl 154, 157, 161, 171, 173, 233, 271, 317 –, bei turbulenter Rohrströmung 164 Rohrsonden 379 Rohrströmung 85, 315 –, laminare 144, 151, 173, 427 –, turbulente 144, 176 Rohrverengung –, kontinuierliche 197 –, sprungartige 196 Rohrverzweigungen 207 Rotationsparaboloid 47 Rotationsviskosimeter 424 Rotorschiff 291 Rückstoßkraft 114, 132 Rückstoßprinzip 132 Rückströmung 264 S Sandrauigkeit 163 Sattdampfkurve 326 Sättigungsdruck 19, 35 Sättigungskurve 19 Satz von KUTTA und JOUKOWSKY 291 Saugkörbe 214 Saugleitung 224 Saugrohre 188 Schalenkreuzanemometer 374 Schallausbreitung 305 Schallenergie 148 Schallgeschwindigkeit 20, 80, 305, 321, 332, 334, 354, 417 –, in Flüssigkeiten 20 Schallgrenze 315 Schallintensität 306 Schallmauer 306 Schallwellen 305 Schattenfläche 277 Schau- und Standglas 390 Schaufelkanal 138 Scheibe, rotierende 272 Scheibensonden 380 Schichtströmung 145 Schichtung, isotherme 77, 79 Schiffsschraube 126 Schlauchwaage 54 Schräganströmung 377, 381 Schrägrohrmanometer 369 Schub 122

Schubbelastungsgrad 128 Schubkraft 126, 132 Schubkräfte von Triebwerken 132 Schubspannung 22 Schwallgeschwindigkeit 414 Schwebegeschwindigkeit von Kugeln 288 Schwebekörper-Durchflussmesser 414 Schweben 69 Schweredruck 49, 52, 96 Schwerelinienverfahren 395 Schwerkraft 45, 46, 90, 142 Schwimmachse 70 Schwimmebene 69 Schwimmen 67, 69 Schwimmfläche 69 Schwimmlage –, indifferente 70 –, labile 70 –, stabile 70 Searle-Messsysteme 424 Segmentblenden 405 Segmentkrümmer 203 Seifenblase 41 Seitendruckkraft 57 Seitenkraftbeiwert 288 Seitenverhältnis 294 Seitenwindkraft 287 Senkungstrichter 254 Siebe 214 Siedekurve 35 Siedelinie 17 Singularität 315 Sinken 69 Skelettlinie 293 Sonde –, statische 96, 379 –, thermische 385 Spaltströmung 229 –, laminare 229 –, turbulente 234 Spantfläche 277 Spantquerschnitt 277 Sperren 331 Sperrflüssigkeit 49, 93, 97, 366 Spiegelschnittlinie 58 Srömungstrennung 207 Stabilität 70 Stabwirbel 135 Standardatmosphäre 77 Standmessung, kapazitive 390 Stationsbarometer 369 Staudruck 178 Staudrucksonden 380 Staupunkt 88, 96, 260, 311, 356, 377 Staurohre 380 – und Sonden 377

501

502

Stichwortverzeichnis

Stauscheiben-Windmesser 382 Staustromlinie 96 Steilrohrmanometer nach PRANDTL 368 Stelle, singuläre 135 Stirnfläche 277 Stoffe –, dilatante 30 –, plastische 30 Stoffströme 148 Stoffwerte, thermische 31 Stokes’sches Gesetz 152 Stolz-Gleichung 402 Stoßwinkel 348 Strahlablenker 121 Strahlablenkung durch eine scharfe Schneide 119 Strahleinschnürung 246, 330 Strahlkontraktion 253 Strahlkraft 117 Strahlpumpe 103 Strahlstoßkräfte 117, 120 Strahlstoßkräfte 120 Strahltheorie 122 Stratopause 77 Stratosphäre 77 Streichlinien 88 Strombahn 88 Stromfaden 88, 138 Stromfadentheorie 88, 138, 308 Stromfläche 88 Stromlinie 87, 90, 377, 394 Stromlinienkörper 264 Stromröhre 88 Strömung –, 3-dimensionale 83 –, eindimensionale 91 –, ideale 83 –, in offenen Gerinnen 239 –, inkompressible 83, 91, 126, 377 –, instationäre 87, 91, 150, 194, 254, 308, 376 –, isotrope 147 –, kompressible 305, 378 –, kritische 408 –, laminare 151 –, pulsierende 194, 416, 422 –, reale 83 –, reibungsbehaftete 83 –, reibungsfreie 83 –, rotationsfreie 88 –, schallnahe 306 –, stationäre 87, 91, 109, 148, 308, 310 –, turbulente 155, 162 –, wirbelbehaftete 88 – wirbelfreie 88 Strömungsbilder 260, 355 Strömungsfeld 83, 87 Strömungsformen 144

–, instationäre 146 –, stationäre 146 Strömungsgeschwindigkeit 83, 374 –, mittlere 85 Strömungsmaschinen –, Laufräder 136 –, Leiträder 134 Strömungsmesstechnik 363 Strömungsprozess, adiabater 309 Strömungsrichtungssonden 382 Strömungsvektorsonden 382 Strömungsvereinigung 207 Strömungsverluste in Rohrleitungselementen 178 Strömungsvorgang, instationärer 95 Strömungswirkungsgrad 129 Strömungszustände an Kugeln und Kreiszylindern 146 Stromwegmesser, rotierende 374 Strouhal-Zahl 265, 418 Stufendüse 196 Stutzenarbeit, spezifische 138 Substanzen, Thixotrope 31 T Taylor-Wirbel 276 Taylor-Zahl 276 Temperaturabhängigkeit –, der Dichte 18 –, der Viskosität 24 Thermodynamik –, 1. Hauptsatz der 309 –, 2. Hauptsatz der 314 Tornados 136 Totaldruck 96 Totaldrucksonden 377, 379 Totaldruckverlust 356 Totalenthalpie 309 Totaltemperatur 311 Totalzustand 313, 325 Totwassergebiet 146, 260, 264 Tragflügel 290, 294, 359 Trägheitskraft 45, 140 Trägheitsprinzip 108 Trapezwehre 412 Treibstrom 104 Triebwerke 132 –, Schubkräfte 132 Tripelpunkt 35 Trivialverfahren 395 Tropfenbildung 36, 39 Tropopause 75 Troposphäre 75 T-Stücke 208 Turbinenlaufrad 138 Turbinenleitrad 134 Turbulenz 98, 260

Stichwortverzeichnis Turbulenzgrad 146, 147, 188, 262, 280, 379, 380, 422 U Überdruck 49, 112 Überfallwehr 254, 411 Übergangsdiffusoren 186 Übergangsgebiet 162 Übergangskonfusoren 197 Überschalldiffusor 352 Überschallexpansion 341 Überschallströmung 306 Ultraschall-Durchflussmesser 416 Umfangsgeschwindigkeit 136 Umströmung –, eines Kreiszylinders 264 –, schleichende 146 –, überkritische 146 –, unterkritische 146 –, von Körpern (Außenströmung) 260 Ungleichförmigkeit 395 Unsicherheit 402 Unsicherheiten 402 Unterdruck 49 Unterschalldiffusor 352 Unterschallströmung –, inkompressible 306 –, kompressible 306 U-Rohr-Manometer, gleichschenkliges 367 US-Standardatmosphäre 80 V Vakuum 49 Venturi-Kanäle 413 Venturi-Prinzip 413 Venturi-Rohr 93, 212, 343 –, klassisches 403 Verdichtungsstoß 346, 356 –, schräger 345, 347, 348 –, senkrechter 322, 343, 347 Verdichtungsströmungen 352 Verdrängungsdicke 263 Verdrängungsschwerpunkt 67, 70 Versetzungsmoment 72 Vertikaldruckkraft 66 Verwirbelungen 211 Verzögerung 310 Viertelkreisdüsen 406 Viskosimetrie 22, 424 Viskosität 2, 151, 156, 247, 379 –, Druckabhängigkeit 26 –, dynamische 22, 139, 424, 427 –, kinematische 22, 139 – nicht Newton’scher Fluide 30 –, repräsentative 169 –, scheinbare 31 –, Temperaturabhängigkeit 24

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– von Flüssigkeiten 24 – von Gasen 25 Viskositätskurven 32 Volumen 17 –, spezifisches 17 Volumenmessung 391 Volumenstrom 85 Volumenzähler 391 Vorgeschwindigkeit, Ausströmen mit 338 W Wand –, benetzende 39 –, hydrophile 39 –, hydrophobe 39 –, nicht benetzende 39 Wandbohrung 96 Wandgrenzschicht 162, 194 Wandrauigkeit 154, 162, 317, 409 Wandreibung 125 Wärmeausdehnungskoeffizient, isobarer 17, 18 Wärmekapazität –, isobare 311 –, isochore spezifische 34 –, spezifische 31, 32 Wärmekapazität, Wasserdampf 326 Wasserkanal 277, 382 Wasserlinienfläche 69 Wasserschleppkanal 375 Wasserstandsgläser 54 Wasserstrahlpumpe 103 Wasserstrudel 136 Weber-Zahl 247, 249 Wellenwiderstand 358, 359 Werte, kritische 333 Widerstand 294 –, der ebenen Platte 358 –, induzierter 302 –, von umströmten Körpern 358 –, zusammengesetzter 222 Widerstandsbeiwert 178, 179, 189, 278, 297, 359 Widerstandsdruckmesser 372 Widerstandskraft 414 Widerstandszahl 179 Windhosen 136 Windkanal 142, 277, 286, 375, 380, 382 Windrad 127 Wirbelablösefrequenzen 265 Wirbelfelder, abgelöste 194 Wirbelschichten 221 Wirbelzähler-Durchflussmesser 418 Wirkdruck 212, 399, 413 Wirkdruckverfahren 399 –, mit Drosselgeräten 399 Wirkungsgrad 104, 118, 130, 311 Wölbungsrücklage 293

504

Stichwortverzeichnis

Z Zentrifugalbeschleunigung 105 Zentrifugalmoment 59 Zentrifugalströmung 135 Zentripetalströmung 135 Zirkulation 89, 136, 291 Zirkulationsströmung 290 Zirkulationsvektor 136 Zustand

–, fluidisierter 222 –, kritischer 330, 333 Zustandsänderung 310 –, isentrope 305 Zustandsgleichung, thermodynamische 314, 347 Zustandsgrößen 83 Zylinderkoordinatensystem 84 Zylindersonden 379, 383