Technische Physik Bach 2017 TEXTneu [PDF]

Zitiervorschau

wUr^EHRMITTEL

E w a l d Bach H o r s t Herr t Volker Jungblut

Bibliothek des t e c h n i s c h e n Wissens

Ulrich Maier Bernd M a t t h e u s Falko W i e n e k e

Technische Physik

6 . , ü b e r a r b e i t e t e Auflage

V E R L A G E U R O P A - L E H R M I T T E L • Nourney, V o l l m e r G m b H & Co. KG Düsseiberger Str. 2 3 • 4 2 7 8 1 H a a n - G r u i t e n Europa-Nr.: 5 2 3 1 X

Technische Physik Gesamtband

Autoren: E w a l d Bach Volker J u n g b l u t Falko W i e n e k e Ulrich Maier Bernd M a t t h e u s

Oberstudienrat Dipl.-Ing., O b e r s t u d i e n d i r e k t o r Dipl.-Ing., S t u d i e n d i r e k t o r Dr. rer. nat., O b e r s t u d i e n r a t Dr.lng.

Uhingen/Fils Eppstein Essen Heilbronn/Neckar Essen

Lektorat: Falko W i e n e k e

Lektor und Autor bis zur 5. Auflage: H o r s t Herr t

Dipl.-Ing., Fachoberlehrer

Kelkheim/Taunus

Umschlaggestaltung: b r a u n w e r b e a g e n t u r , 4 2 4 7 7 R a d e v o r m w a l d ; Grafik u. S o u n d , 5 0 6 7 9 Köln

Bildbearbeitung: Z e i c h e n b ü r o des Verlages E u r o p a - L e h r m i t t e l , O s t f i l d e r n Design-Studio Wiegand, Hamburg

6. A u f l a g e 2 0 1 7 Druck 5 4 3 2 1 Alle D r u c k e d e r s e l b e n A u f l a g e sind parallel einsetzbar, da bis auf die B e h e b u n g v o n Druckfehlern u n t e r e i n a n d e r u n v e r ä n d e r t .

ISBN 9 7 8 - 3 - 8 0 8 5 - 5 2 3 6 - 0

Alle Rechte vorbehalten. Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der gesetzlich geregelten Fälle muss vom Verlag schriftlich genehmigt werden.

http://www.europa-lehrmittel.de © 207 7 by Verlag Europa-Lehrmittel, Nourney, Vollmer G m b H & Co. KG, 4 2 7 8 1 Haan-Gruiten Satz u n d D r u c k : T u t t e Druckerei & Verlagsservice G m b H , S a l z w e g

Vorwort Das letzte Geheimnis der Natur kann die Wissenschaft nicht lösen. Und zwar darum nicht, weil wir selbst ein Teil der Schöpfung, also der Natur sind und somit ein Teil des Geheimnisses, das wir lösen wollen. Max Planck

Das vorangestellte M o t t o von M a x Planck lässt die Genialität einzelner Naturwissenschaftler und Ingenieure erahnen: Die Grenzen menschlichen Geistes akzeptierend haben sie d e n n o c h stetig versucht, sich den Geheimnissen der Natur so w e i t als möglich anzunähern. Die Folgen dieses Bestrebens waren und sind große wissenschaftliche Erkenntnisse in den Naturwissenschaften. Aufgrund der Entwicklung speziell in der Physik ist den Ingenieurswissenschaften die Basis zugewachsen, die die gesamte moderne technische E n t w i c k l u n g erst ermöglicht hat. Das Lehrbuch Technische Physik verfolgt das Ziel, die Brücke z w i s c h e n den Gesetzen der Physik und den vielfältigen A n w e n d u n g s m ö g l i c h k e i t e n der Physik in der modernen Technik zu schlagen. Durch diese Verbindung sehen die Lernenden die Physik in einem neuen Zusamm e n h a n g , sie erkennen ihren Nutzen und w e r d e n befähigt, das physikalische Grundlagenwissen auf Problemstellungen der Technik eigenständig anzuwenden. Umfang, A u s w a h l und Darbietung des Lehrinhaltes dieses Buches orientieren sich an den Lehrplänen der Fachschule für Technik. Das Buch ist darüber hinaus an Fachoberschulen und Technischen Gymnasien einsetzbar. Den Studierenden an Fachhochschulen und Technischen Universitäten erleichtert es den Einstieg in die den Ingenieurwissenschaften zugrunde liegende Physik. Aufgrund der besonderen Struktur des Buches, der leicht verständlichen Darstellungen, der reichhaltigen Bebilderung, der Merksätze und der zahlreichen Muster-, Übungs- und Vertiefungsaufgaben kann das Buch s o w o h l den Unterricht begleitend als auch im S e l b s t s t u d i u m eingesetzt werden. Die Lektionen sind nach einem einheitlichen Schema aufgebaut, das auf der nächsten Seite beschrieben wird. Die 6. Auflage des Buches w u r d e im Vergleich zur 5. Auflage gründlich überarbeitet. In den Lektionen sich Meilensteine der Naturwissenschaften, die an die Wissenschaftler erinnern, die durch ihre Forschung w e s e n t l i c h zum Wissensstand der behandelten Themen der Physik beigetragen haben. Diese Meilensteine sollen von Lernenden als „Rastplätze" genutzt werden, sie w e r d e n dazu angeregt sich der Zeiträume und der zahlreichen genialen M e n s c h e n b e w u s s t zu werden, denen wir die moderne Physik verdanken. Alle im Buch genannten Wissenschaftler, Techniker und Forscher sind im A n h a n g (Seiten 6 0 7 - 6 1 4 ) alphabetisch mit den e n t s p r e c h e n d e n Seitenangaben aufgelistet. Im Gedenken an den verstorbenen A u t o r und Freund Horst Herr w ü n s c h e n w i r unseren Leserinnen und Lesern viel Freude beim Einstieg in die Technische Physik und bei der A n w e n d u n g der Gesetze der Physik auf die moderne Technik. Hinweise, die zur Verbesserung und W e i t e r e n t w i c k l u n g dieses Buches beitragen, nehmen w i r gerne unter der Verlagsadresse oder per E-Mail ([email protected]) entgegen. Herbst 2 0 1 7

Autoren und Verlag

!ur Arbeit mit diesem Buch So)) es unterrichtsbegleitend v e r w e n d e t w e r d e n , so finden die Lernenden hier die im Unt e r r i c h t erläuterten Erkenntnisse und Z u s a m m e n h ä n g e und die daraus resultierenden Formeln in den thematisch ausgerichteten Lektionen. W ä h r e n d die Ü b u n g s a u f g a b e n m i t d e m L ö s u n g s a n h a n g je nach K e n n t n i s s t a n d der häuslichen Nacharbeit dienen, w ä h l t der Dozent aus den V e r t i e f u n g s a u f g a b e n diejenigen aus, die seinen I n t e n t i o n e n e n t s p r e c h e n . Beim Selbststudium ist es m ö g l i c h , einige Lektionen, die nicht w e i t e r f ü h r e n d sind, auszulassen. Sinnvoll ist es, jede Lektion, deren Inhalt man sich aneignen w i l l , v o l l s t ä n d i g und in der g e g e b e n e n Reihenfolge durchzuarbeiten. Die Informationen (I) befinden sich n a t u r g e m ä ß am Beginn der L e k t i o n e n , nur in w e n i g e n Fällen sind sie innerhalb der Lektion aufgeteilt. Die Erläuterungen der p h y s i k a l i s c h - t e c h n i s c h e n Z u s a m m e n h ä n g e führen in der Regel zu einer oder mehreren Formeln. Die A n w e n d u n g dieser Formeln erfolgt exemplarisch in Musteraufgaben (M), die gegebenenfalls n o c h spezielle Kenntnisse v e r m i t t e l n . Die darauf folgenden Übungsaufgaben (Ü) dienen der W i e d e r h o l u n g und V e r t i e f u n g s o w i e der Überprüfung des Gelernten durch die Studierenden. Deshalb befinden sich am Schluss des Buches ausführliche Lösungsgänge. Diese . B u c h s e i t e n sind mit einem gelben Randdruck g e k e n n z e i c h n e t .

I

M ö c h t e n die Lernenden ihr W i s s e n w e i t e r vertiefen oder sich auf Prüfungen vorbereit e n , lösen sie z w e c k m ä ß i g die Vertiefungsaufgaben (V).

A m Schluss des Buches befinden sich die Ergebnisse dieser V e r t i e f u n g s a u f g a b e n . Diese B u c h s e i t e n sind m i t einem braunen Randdruck versehen. Der p ä d a g o g i s c h e Z w e c k dieses S c h e m a s I , M , Ü, V innerhalb jeder L e k t i o n b e s t e h t darin, dass die Lernenden in mehreren Stufen, d.h. mit einem z u n e h m e n d e n Grad der Selbständigkeit, z u m Lehrziel g e f ü h r t w e r d e n . Deshalb m u s s t e nach unserem p ä d a g o g i s c h e n Verständnis a u c h auf die L ö s u n g s g ä n g e der Vertiefungsaufgaben z w i n g e n d v e r z i c h t e t w e r d e n . Das Buch ist in die Abschnitte A , B, C, D, E, F, G unterteilt, u n d die Bezeichnung der Lektionen b e s t e h t aus einem B u c h s t a b e n und einer Zahl, und z w a r vor d e n Überschriften der L e k t i o n e n , z. B. H : L e k t i o n 3 im A b s c h n i t t D. Diese K e n n z e i c h n u n g e r m ö g l i c h t die Verkettung der physikalischen Sachverhalte durch ein besonderes Hinweissystem, z.B.: ( — • F 1 1 ) : Weitere Informationen im A b s c h n i t t F, Lektion 11. In das Buch ist also g e w i s s e r m a ß e n ein „Fahrplan durch die Physik" e i n g e b a u t . Dieser erm ö g l i c h t eine optimale L e h r b u c h n u t z u n g und lässt den Lernenden eher begreifen, dass die Physik - t r o t z ihrer vielen Teilgebiete und R i c h t u n g e n - eine „ z u s a m m e n h ä n g e n d e " W i s s e n s c h a f t ist, und w i r hoffen, dass der pädagogische W e r t seine A n e r k e n n u n g findet. Sommer 2017

Ewald Bach Volker J u n g b l u t Dr. Ulrich Maier Dr. Bernd M a t t h e u s Falko Wieneke

Inhaltsverzeichnis

MEILENSTEINE A u f den folgenden Seiten sind die Meilensteine der Naturwissenschaften aufgeführt: 2, 4, 8, 12, 18, 20, 24, 32, 36, 4 0 , 4 4 , 47, 4 9 , 56, 6 0 , 6 8 , 7 8 , 81, 85, 88, 94, 99, 112, 117, 121, 125, 130,136, 145, 150, 153, 156, 163, 168, 174, 181, 194, 2 0 3 , 2 0 8 , 216, 224^ 2 3 2 , 2 3 9 , 2 4 9 , 257, 261, 272, 2 7 6 , 2 9 4 , 314, 3 2 5 , 331, 3 3 8 , 3 4 0 , 361, 374, 3 9 3 , 403,' 416, 4 2 5 , 431, 4 4 2 , 4 5 2 , 461, 4 7 0 , 4 7 8 , 4 9 2 , 537, 5 4 6 , 5 5 3 , 5 8 5 , 6 0 6 , 628.

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Schnittpunkt = Überholpunkt f

ü

Ü 1

W e l c h e n Vorteil bietet die zeichnerische Darstellung von B e w e g u n g s v o r g ä n g e n in Diagrammen?

Ü 2

Die S t r ö m u n g s g e s c h w i n d i g k e i t einer Flüssigkeit durch eine Rohrleitung beträgt 1,5 m/s. Welche Zeit ist für das D u r c h s t r ö m e n einer 100 m langen Leitung erforderlich?

Ü 3

Die Entfernung v o n Hamburg nach N e w York beträgt in der Luftlinie 6 2 0 0 k m . In N e w York s t a r t e t ein Flugzeug 1 mit 9 0 0 k m / h nach Hamburg, und zur gleichen Zeit startet ein Flugzeug 2 in Hamburg mit 1100 k m / h nach New York. Berechnen Sie a) die Flugzeiten beider Flugzeuge bis zum jeweiligen Ziel, b) den Treffpunkt der Flugzeuge. c) Zeichnen Sie beide B e w e g u n g s v o r g ä n g e in jeweils einem s, f-Diagramm und einem v, tDiagramm.

Faktoren die das richtige Resultat beeinflussen: Wind, Druckdifferenzen, Start, Masse Flugzeuge, Corioliskraft

24

A

Mechanik der festen Körper

V 1

A u f einem Schrägaufzug m i t einem S t e i g u n g s w i n k e l a = 5 5 ° zur Horizontalen w i r d eine vertikale Höhendifferenz v o n h = 18 m ü b e r w u n d e n . W i e groß ist die G e s c h w i n d i g k e i t des Aufzuges in m/s - in Richtung der Schräge - w e n n der Vorgang der Förderung in t = 0 , 4 min abläuft?

V 2

Die S c h a l l g e s c h w i n d i g k e i t in der Luft ( — • E 4 ) beträgt bei einer b e s t i m m t e n L u f t t e m p e r a t u r 3 3 3 m/s. W e l c h e Entfernung hat ein G e w i t t e r , w e n n der Donner 6 s nach d e m Blitz erschallt?

V 3

A u f einem Förderband für Kohle liegen pro Meter Bandlänge 3 6 kg Kohle. W e l c h e B a n d g e s c h w i n digkeit in m / m i n ist erforderlich, w e n n in der Stunde eine Kohlenmasse v o n 1 0 0 t befördert w e r d e n soll?

V 4

Ein Laufkran hat eine B a h n g e s c h w i n d i g k e i t v o n v = 0 , 7 5 m/s. a) W i e groß ist die Fahrgeschwindigkeit in km/h? b) W e l c h e Zeit ist für das Durchfahren einer 9 0 m langen Werkhalle erforderlich? c) Z e i c h n e n Sie das v, f-Diagramm und das s, f-Diagramm.

MEILENSTEINE Zeit- bzw. Lebensraum

Akteur

Naturwissenschaftlich-technisches Ereignis

von 10 v.Chr. bis 5 4 n.Chr.

Kaiser Claudius

Er lässt einen beinahe 4 , 3 km langen Tunnel bauen, um darin Wasser v o m Fuciner See nach Rom fließen zu lassen. Primitive Baumaschinen, insbesondere Hebemaschinen, waren dabei im Einsatz.

von 5 v.Chr. bis 5 0 n.Chr.

Phylon von Alexandrien

Erfinder des Kardan- oder Kreuzgelenkes. Damit lassen sich Rotationskräfte übertragen.

von 4 0 bis 103

Sextus Julius Frontinus

Er baut Aquädukte und e n t w i c k e l t Techniken der Wasserversorgung.

von 7 6 8 bis 8 1 4

Karl der Große

Einführung des Längenmaßes „Königlicher Fuß" und der Gewichtseinheit „Karlspfund" (etwa 3 6 5 Gramm).

von 1 4 0 0 bis 1 4 6 8 In der Zeit vor Gutenberg w u r d e n Holzplatten mit eingeschnitzten Bildern und Schriften hergestellt, welche in der A r t eines Stempels benutzt w u r d e n . Ein großer Nachteil bestand darin, dass die Druckplatten nur einem Z w e c k dienten, sie waren nicht variabel. Gutenbergs Idee bestand darin, dass er jeden einzelnen Buchstaben bzw. jedes einzelne Bildelement auf kleinen Metallblöcken darstellte und diese in so genannten „ L e t t e r n " in Rahmen beliebig zusammenstellen konnte. Man konnte also mit diesen „Typen" sehr schnell Druckplatten erstellen.

Johannes Gutenberg (Johann Gensfleisch)

Erfinder der Buchdruckerkunst. Im Zuge der Renaissance und der Wiederentdeckung antiken Wissens w u r d e n im Laufe des 14. Jahrhunderts in Europa zahlreiche Universitäten gegründet. Prag (1348) Köln (1389) Wien (1365) Erfurt (1392) Heidelberg (1386) Leipzig (1409) Es folgten Marburg (1527), Königsberg (1544), Jena (1558), Gießen (1607), Straßburg (1621). Als Studienmaterial waren teure Abschriften der Manuskripte in Umlauf. Dies hatte zur Folge, dass man sich allerorts um mechanisch abgezogene billige Reproduktionen bemühte. Gleichzeitig war man in der Papierproduktion vorangekommen, und so verhält es sich mit Gutenbergs Erfindung w i e mit vielen anderen Erfindungen: Sie ist als Krönung der über ein halbes Jahrhundert währenden Bemühungen vieler Suchenden in mehreren Ländern anzusehen.

Fortsetzung Seite

Der Name Gutenberg, den er später annahm, war der Name seiner Mutter.

neue

A7

Ungleichförmige geradlinige Bewegung

Ungleichförmige geradlinige Bewegung

25

lliiiiÄf"""

Bereits in den Abschnitten 5.2 und 6 . 2 wurden die zeitlichen Kriterien von Bewegungen unterschieden, und zwar in gleichförmige und ungleichförmige Bewegungen.

7.1

Merkmale einer ungleichförmigen Bewegung

Die o . g . Abschnitte lassen folgende Definition zu: Bei ungleichförmigen Bewegungen ändert sich die Geschwindigkeit eines Körpers. Dabei gibt es zwei Möglichkeiten, nämlich: Geschwindigkeitszunahme pro Zeiteinheit — • Beschleunigung, Geschwindigkeitsabnahme pro Zeiteinheit — • Verzögerung.

7.1.1

Definition der Beschleunigung

Das Formelzeichen für die Beschleunigung ist a. Aus dem bereits Gesagten ergibt sich: Unter der Beschleunigung a (oder der Verzögerung -a) versteht man den Quotienten aus der Geschwindigkeitsänderung Ai/ und dem zugehörigen Zeitintervall At. Beschleunigung [a] = 3

=

At

El

[Av] [At]

=

m/s s

=

s

m •£

j Die abgeleitete Einheit der Beschleunigung ist Meter durch Sekunde im Quadrat.

7.2

Die ungleichmäßig beschleunigte geradlinige Bewegung

Die Geschwindigkeit ändert sich in gleichen Zeitintervallen unterschiedlich (—^A6.2). Analog zur mittleren Geschwindigkeit spricht man innerhalb der Zeitphase At von der mittleren Beschleunigung a m oder der Durchschnittsbeschleunigung. In einer M o t o r s p o r t z e i t s c h r i f t ist zu lesen, dass ein b e s t i m m t e r Pkw in der Zeit t = 9,1 s v o n 0 auf 100 km/h beschleunigt. W i e groß ist die mittlere Beschleunigung a m ? Av = 100 km

7.3

100 m

3,6 s

Av/ _ 27,78 m/s = 3,053 At 9,1 s

Die gleichmäßig beschleunigte geradlinige Bewegung

Es muss unterschieden werden, ob die Bewegung aus dem Ruhezustand heraus erfolgt oder ob bereits eine Anfangsgeschwindigkeit vorgelegen hat.

7.3.1

Beschleunigung aus dem Ruhezustand

Bei der gleichmäßig beschleunigten Bewegung liegt eine konstante Beschleunigung vor. Somit gilt gemäß Bild 1: Av,

Av>

AU Diese gleichmäßig beschleunigte Bewegung ist mit a = konst. im Beschleunigungs, ZeitDiagramm (Bild 1 nächste Seite), dem a, tDiagramm ebenfalls zu erkennen. Gemäß Bild 2 auf der nächsten Seite gilt als vereinbart:

26

A

Mechanik der festen Körper

= G e s c h w i n d i g k e i t zur Zeit t = 0 = G e s c h w i n d i g k e i t z u r Z e i t t = At = 0 = Zeit des Bewegungsbeginnes t = At = Z e i t d e s B e w e g u n g s e n d e s Somit ergibt sich: _ Av _ ^ ~ ^o = ^ t " 0 = ^ a a ~ At t - t0 t - 0 t Damit^gilt:

t

1

Beschleunigungslinie

I ElNco c

I

t in s

Endgeschwindigkeit v = a - t

B i l d 1 : a, f - D i a g r a m m

Bild 2 zeigt d e n g r o ß e n V o r t e i l der g r a p h i s c h e n D a r s t e l l u n g eines B e w e g u n g s v o r g a n g e s . Der W e g s (Dreieck) k a n n a u c h d u r c h ein flächengleiches Rechteck dargestellt werden. Somit gilt: m v* * 2 Dreieckfläche s = Yi Rechteckfläche V™ • t t 2 Mit v = a • t wird:

M 2

In der Zeit f = 5 s beschleunigt ein Körper mit a = 4 m / s 2 . Zeichnen Sie für diesen Bewegungsvorgang a) das s, f-Diagramm, b) das v, f-Diagramm, c) das a, f-Diagramm.

Lösung

a) Die für das s, f-Diagramm (Bild 3) erforderlichen W e r t e w e r d e n berechnet und in eine W e r t e t a b e l l e eingetragen: Zeit f in s Weg s = |

• f 2 in m

0

1

2

3

4

5

0

2

8

18

32

50

A u s der Gleichung in der Wertetabelle und Bild 3 ist ersichtlich: Die Weglinie im s,f-Diagramm einer g l e i c h m ä ß i g beschleunigten Beweg u n g ist eine Parabel. b) W e g e n der Linearität im v, f-Diag r a m m (Bild 1 auf der nächsten Seite) braucht nur der „ E n d p u n k t " i/ t berechnet zu w e r d e n . Es ist: vt = a • t = 4 m / s 2 • 5 s = 2 0 m / s c) Bild 2 auf der n ä c h s t e n Seite zeigt das a,f-Diagramm m i t a = 4 m / s 2 .

B i l d 3 : s, f - D i a g r a m m

A7

Ungleichförmige geradlinige Bewegung

27

Beschleunigungslinie

Bild 2: a, f-Diagramm

7.3.2

Gleichmäßige Beschleunigung bei vorhandener Anfangsgeschwindigkeit

Das im Bild 3 dargestellte v, f-Diagramm zeigt, w i e ein Körper mit der Anfangsgeschwindigkeit v0 in der Zeitspanne At auf die Endgeschwindigkeit vt gleichmäßig beschleunigt wird. Daraus folgt:

+

n

II < (

Vn v 0

Endgeschwindigkeit v = v

• V, 1 '

®

a - t

Geschwindigkeitszunahme Av — a - t

+ i/t =

°

o

*

t =

0

Weg s = vn-

to

«

t in s

•

Bild 3: v, f-Diagramm

Weg

5

At=t

B

o

t + %-

2

t2

•

A u c h hier ist es mit relativ einfachen geometrischen Überlegungen möglich, Gleichungen für den in der Zeitspanne At zurückgelegten Weg As zu ermitteln, und zwar aus der Trapezfläche des Bildes 3 (Gleichung 3) bzw. aus der Rechteckfläche und der Dreieckfläche, ebenfalls im Bild 3 (Gleichung 4).

M 3

Ermitteln Sie mit Hilfe der Rechteckfläche v t • t und der Dreieckfläche a/2 • t2 des Bildes 3 eine Gleichung für den in der Zeit t zurückgelegten Weg.

Lösung

s — AR

v - t

Ein Personenzug hat eine G e s c h w i n d i g k e i t v o n i/ 0 = 4 0 k m / h . Nun beschleunigt er gleichmäßig in der Zeit t = 2 0 s . Berechnen Sie die Endgeschwindigkeit des Zuges. Lösung

= v/0 + a • t = 4 0 ^ v,1 = 4 0 ^ + h

1 = 61,6

k

n™

2 1 , 6 ^ h

+ 0,3

^

20s

40 km

+

6

m

4 0 Jsm + h

6

. 3

6

km h

28

3

Mechanik der festen Körper

A

7.4

Verzögerte geradlinige Bewegungen

Analog der beschleunigten Bewegung unterscheidet man die ungleichmäßig verzögerte Bewegung von der gleichmäßig verzögerten Bewegung. Immer ist es dabei so, dass v0 > vt ist. Dabei kann 0 oder vt = 0 sein, entsprechend dem folgenden Schema: a verändert sich zeitlich a = konstant mgleichmäßig ungleichmäßig verzögert verzögert t

.v * 0 m »v=0

7.4.1

m

Die gleichmäßig verzögerte Bewegung

Die Verzögerung - auch als negative Beschleunigung bezeichnet - ist entsprechend der Beschleunigung ( — • Gleichung 1, Seite 25) definiert. Somit ist:

CQ II < r

s IT

Im Bild 1 ist eine solche gleichmäßig verzöger te Bewegung im v, f-Diagramm bei vt ^ 0 darcjesteMt^Dai^u^okjt^^^^^^^^^^^^^^^

At=t

t in s

•

Endgeschwindigkeit Bild 1: v, f-Diagramm Weg

Weg

Weg v 0 + vt t = ° • t

2

t

JL

s = vt • f +

• t2

0

Endet der Bewegungsablauf mit dem Stillstand, dann ist in die vorstehenden Gleichungen vt = 0 einzusetzen. M 5

Ein Personenzug verzögert gleichmäßig mit a = 0 , 6 m / s 2 v o n vQ = 110 k m / h auf bis zum Stillstand.

= 0, d. h.

a) W e l c h e Zeit ist dafür erforderlich? b) W e l c h e Strecke hat der Personenzug dabei zurückgelegt? c) Zeichnen Sie das s, f-Diagramm, das vf f-Diagramm und das a, f - D i a g r a m m . Lösung

110 m km 110 v Av/ * Af = Av _ o ~ 3,6 s a 2 a ~ 0,6 m/s 0,6 m/s2 Af 30,55 m b) s 5 0 , 9 2 s = 7 7 7 , 8 m oder \/ • f = _ s a ,o 0 , 6 m / s 2 ( 5 0 , 9 2 s) 2 = 7 7 7 , 8 m — 2 . fZ — . 2 c) K o n s t r u k t i o n mit Hilfe einer Wertetafel:

0,6 m/s2

50,92s

s

t in s • - v0 - f - f in m

0 - f

0

10

20

30

40

50

275 491 6 4 6 742 777

50,92 778

Da der Körper am A n f a n g große Wege zurücklegt, ergibt sich eine Parabel mit umgekehrter K r ü m m u n g w i e bei der gleichmäßigen Beschleunigung. Bremsbeginn bei f = Os, Bremsende bei f = 5 0 , 9 2 s (nebenstehendes Bild). Die beiden folgenden Bilder auf der nächsten Seite zeigen das a, f-Diagramm und das v, f-Diagramm.

In diesem Beispiel findet man die Lösung viel einfacher mit vm

A7

Ungleichförmige geradlinige Bewegung

29

E 7.5

Freier Fall und senkrechter Wurf nach oben

Beim freien Fall ( — • A I ) handelt es sich um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung. Die dabei infolge der Erdanziehung auftretende Beschleunigung heißt seit Galilei Erdbeschleunigung, nach DIN 1 3 0 4 Fallbeschleunigung. Formelzeichen: g. Der Weg entspricht dabei der Fallhöhe h, die Bewegungsgleichungen werden auch Fallgesetze genannt. Das folgende Schema bringt den allgemeinen Fall der gleichmäßig beschleunigten Bewegung mit dem speziellen Fall, dem freien Fall, in Zusammenhang: Gleichmäßig beschleunigte Bewegung

I

I

allgemein

Freier Fall

s, a, t

h, g, t

I

Weg

s -

f . *

s, h m

3, 9 m s2

t s

m s

I

Fallhöhe

mit

h = f • fi va • t

mit

9 •t

Da die Luftreibung ( — • B I O , B11) die Fallgeschwindigkeit beeinflusst, gelten die Fallgesetze exakt nur für einen Bewegungsablauf im Vakuum ( — • B 3 ) . Somit: Beim freien Fall im Vakuum wird der fallende Körper mit der Erdbeschleunigung beschleunigt. Bild 1 zeigt einen senkrechten Wurf nach oben. Dabei findet eine gleichmäßige Verzögerung von der Anfangsgeschwindigkeit v0 auf die Endgeschwindigkeit vt = 0 s t a t t . Somit kann festgestellt werden: Der senkrechte Wurf nach oben (bis zum höchsten Punkt, dem Kulminationspunkt) ist die dem freien Fall entgegen gerichtete Bewegung.

7.5.1

Die Fallbeschleunigung

Die Fallbeschleunigung ist eine IMaturvariable, die vom Stand ort auf der Erde abhängt. Nach dem Gravitationsgesetz ( — • A 2 5 ) nimmt sie bei größer werdendem A b s t a n d zum Erdm i t t e l p u n k t ab.

Bild 1: senkrechter Wurf

30

3

Mechanik der festen Körper

A

So ist am Nord- und am Südpol mit g » 9 , 8 3 m / s 2 und am Äquator mit g « 9,78 m / s 2 zu rechnen. Als ungefährer Mittelw e r t w u r d e die Normalfallbeschleunigung festgelegt.

Tabelle 1: Fallbeschleunigung in m / s 2 275 1,62 3,6 8,3 9,81 3,6 24,0 10,0 8,0 11,0 0,2 ?

Sonne Mond Merkur Venus Erde Mars Jupiter Saturn Uranus Neptun Pluto

= 9,80665 m/s2

Die Normalfallbeschleunigung beträgt

In der Technik wird meist mit g = 9,81 m / s 2 , in Überschlagsrechnungen oft auch mit g = 10,0 m / s 2 gerechnet. Bezogen auf die Erde spricht man auch von der Erdbeschleunigung, allgemein auch von der Gravitationsbeschleunigung. Tabelle 1 zeigt Werte der Gravitationsbeschleunigung an der Oberfläche einiger Himmelskörper. M 6

Beim freien Fall gelten die Gleichungen vx = g • t und h = gl2 • t2 (s. S c h e m a auf der Vorseite). a) Ermitteln Sie m i t Hilfe dieser beiden Fallgesetze eine weitere Gleichung für die Endges c h w i n d i g k e i t v t , j e d o c h in A b h ä n g i g k e i t v o n g und h, d. h. vt = f(g,h). b) Setzen Sie diese speziell für den freien Fall gefundene Gleichung in eine allgemeingültige Gleichung für die gleichmäßig beschleunigte geradlinige B e w e g u n g aus d e m Ruhezus t a n d , d . h . v0 = 0 um.

Lösung

Die Lösung erfolgt d e d u k t i v (—* • A1) a) Gleichung II:

2

h = ^ •t

-h-

Gleichung I: vx = g • t 2

t

h

in Gleichung I e i n g e s e t z t : 2 • h 9

vt = g • t =

yj2 • g • h. S o m i t :

= V2 g h Endgeschwindigkeit beim freien Fall (im Vakuum) b) Beim allgemeinen Fall einer gleichmäßig beschleunigten B e w e g u n g gilt a - g und s — h. S o m i t : Endgeschwindigkeit v = V2~

M 7

h

m/s

9 m/s2 a

s

m/s

m/s2

m

m

Bei der M o n t a g e einer Flussbrücke w e r d e n mit Hilfe einer Großramme Pfeiler in das Flussbett getrieben. Das S c h l a g g e w i c h t der Ramme w i r d in regelmäßiger Folge d u r c h das Zünden eines K r a f t s t o f f - L u f t - G e m i s c h e s angehoben. Die A b h e b e g e s c h w i n d i g k e i t ( A n f a n g s g e s c h w i n digkeit v0) beträgt 10 m/s. a) W e l c h e Höhe erreicht das S c h l a g g e w i c h t ? b) W i e groß ist die E n d g e s c h w i n d i g k e i t beim anschließenden freien Fall?

Lösung

a) Es handelt sich - physikalisch gesehen Verzögerung g = 9 , 8 1 m / s 2 vt = V 2 • a • s — • s = ^ * -

2

b) Vx = yj2

7.6

• 9

A

-

21 • 9,8

a

um einen s e n k r e c h t e n

Wurf

nach

oben.

und für den freien Fall = 5 , 0 9 7 m = 5,1 m

g • h = v 2 • 9,81 m / s 2

Weitere Formeln zur gleichmäßig beschleunigten (verzögerten) Bewegung

In der technischen Praxis wäre man überfordert, wollte man jede Berechnungsformel, e t w a w i e in Musteraufgabe M 6, selbst entwickeln. Der Techniker benutzt hierzu entsprechende Formelsammlungen, in denen die erforderlichen Formeln „gebrauchsfertig" wiedergegeben sind. Eine kleine A u s w a h l einiger wichtiger Formeln - bezüglich der gleichmäßig beschleunigten Bewegung - ist in den beiden folgenden Tabellen zusammengestellt. Dabei sind zu gegebenen Größen jeweils die gesuchten Größen aufgeführt, die mit den Angaben berechnet werden können.

A7

7.6.1

Ungleichförmige geradlinige Bewegung

31

Gleichmäßige Beschleunigung (v0 = 0) und gleichmäßige Verzögerung (vt

=

0)

Zu beachten: I n der folgenden Tabelle 1 ist v = vt bei Beschleunigung aus der Ruhe v = v0 bei Verzögerung zum Stillstand Tabelle 1: Formelauswahl gegebene Größen v, t

gesuchte Größen sS =

• - f

v, a

s =

s, t

a a

S

v, s

a

a, t

v = a •t

a, s

v = V2 • a • s

7.6.2

=

2

^

2 •a

"

^ 2^ f

T h s

= f -

f 2

Gleichmäßige Beschleunigung (v 0 ^ 0) und gleichmäßige Verzögerung (vt

*

0)

Tabelle 2: Formelauswahl gesuchte Größen

gegebene Größen V 0 ' Vf

t

,

_ A v .. v t - v 0 At ~ t °

-

s =

~

V

2 •3

° „Hrr

o d e r

V

°

a 0 r

- v, t

~

o d e r ^

2 •a

vx = v0 + a • t oder v0 - a • t S

'

*

a = f ' ( f

- i/ 0 ) oder f - ( i /

0

s =

-f)

,, V

t

=

v. 0 • t + f 2 -S _

t

• f

2

0

Ü 1

A u f einer schrägen Gleitbahn für die Beschickung eines Schmelzofens wird das Schmelzmaterial mit einer Beschleunigung a = 1,8 m / s 2 auf einer Strecke s = 2,6 m beschleunigt, a) Wie groß ist die Gleitzeit? b) Wie groß ist die Endgeschwindigkeit vt?

Ü 2

Ein und derselbe Zug w i r d einmal von 1 0 0 k m / h , das andere Mal von 5 0 km/h zum Stillstand abgebremst. Es ist a = 1,5 m / s 2 . Berechnen Sie jeweils den B r e m s w e g und vergleichen Sie.

Ü 3

Berechnen Sie die Fallhöhe, aus der ein A u t o abstürzen müsste, damit die Fallgeschwindigkeit genauso groß ist w i e die Fahrgeschwindigkeit von 100 k m / h . Ziehen Sie die Schlussfolgerung daraus.

Ü 4

V o m B e w e g u n g s v o r g a n g eines Körpers ist bekannt: v0 = 4 5 k m / h , a = 0 , 3 3 3 m / s 2 , s = 2 0 0 m. Für diesen Beschleunigungsvorgang sind vt und t g e s u c h t .

V 1

Ein W e r k s t ü c k fällt bei der M a s c h i n e n b e s c h i c k u n g aus der Ruhe 0 , 3 m frei herab. Berechnen Sie a) die Fallzeit, b) die Endgeschwindigkeit.

V 2

W i e groß ist die Fallhöhe bei einem freien Fall, w e n n der A u f s c h l a g eines Gegenstandes nach 8 s erfolgt? L u f t w i d e r s t a n d vernachlässigen!

V 3

Eine Straßenbahn w i r d von 2 0 k m / h mit a = 0 , 6 m / s 2 auf 4 0 k m / h beschleunigt. Welche Zeit ist für diesen Vorgang erforderlich?

V4

Z w i s c h e n zwei Straßenbahnhaltestellen liegt der W e g s = 1 2 0 0 m . Die Straßenbahn w i r d zunächst auf einer Strecke von 8 0 m von v0 = 0 auf = 4 0 k m / h beschleunigt. Dann erfolgt gleichförmige Fahrt, bis der Zug auf einer Strecke von 4 0 m gleichmäßig bis zum Stillstand abgebremst wird. Berechnen Sie:

32

A

Mechanik der festen Körper a) Anfahrzeit, b) Beschleunigung, c) Verzögerung, d) Bremszeit, e) die Zeit zur gleichförmigen Fahrt und zeichnen Sie f) das v,t- Diagramm, g) das a, f-Diagramm.

V 5

V 6

In einem V e r s u c h s t u r m (nebenstehendes Bild) w i r d v o n einer Rampe ein Versuchskörper mit einer A b w u r f g e s c h w i n d i g k e i t v0 nach oben g e w o r f e n . Die A b w u r f h ö h e beträgt ha = 3 5 m. Sofort nach dem A b w u r f w i r d die Rampe zurückgezogen, so dass der Körper nach Erreichen des obersten Punktes - diesen n e n n t man auch den Kulminationspunkt - frei über die Fallhöhe h0 fallen kann. Berechnen Sie bei einer gesamten Beweg u n g s z e i t , d . h . v o m A b w u r f bis zum A u f s c h l a g , von f - 4,5 s a) Fallzeit f 2 , b) Steigzeit f v c) A b w u r f g e s c h w i n d i g k e i t \/ 0 , d) Fallhöhe h0, e) A u f t r e f f g e s c h w i n d i g k e i t vv

Rampe

JL

ffl

V o m B e w e g u n g s v o r g a n g eines festen Körpers ist bekannt: v0 = 4 0 k m / h , v t = 1 6 0 k m / h , a = 2 , 9 m / s 2 . Berechnen Sie unter der V o r a u s s e t z u n g einer gleichmäßigen Beschleunigung a) B e s c h l e u n i g u n g s w e g s, b) Beschleunigungszeit f.

y/jy^c

MEILENSTEINE Zeit- bzw. Lebensraum

Akteur

Naturwissenschaftlich-technisches Ereignis

von 1 4 5 2 bis 1519 Er s t a m m t aus Vinci, einem kleinen Ort w e s t l i c h von Florenz. Dies erklärt den letzten Bestandteil seines Namens. Die Vielfältigkeit von Leonardo ist unübertroffen. Er betät i g t e sich als A r c h i t e k t , Maler, Bildhauer, Musiker, Mechaniker, Ingenieur, Erfinder, A n a t o m . Beinahe auf allen Wissensgebieten war er zu Hause, und er hat auch viele bleibende Spuren hinterlassen. Vor allem ist zu bemerken, dass er ein Pionier und seiner Zeit w e i t voraus war.

Leonardo da Vinci QiSHjJHVIB'' '

Leonardo hat sich auch sehr intensiv mit Fragen der Botanik und der Geologie sowie der Mathematik und Geometrie befasst. Seine kühnen Entwürfe und Konstruktionen haben dieses mathematische Wissen vorausgesetzt. Leonardo hat Maschinen gebaut, die heute noch Bew u n d e r u n g hervorrufen. Er konstruierte z. B. Flugmaschinen, Brücken und Zahnradgetriebe. Immer war sein Leitgedanke vorhanden, dem M e n s c h e n Nutzen zu verschaffen. Leonardo da Vinci war ein Mensch der Renaissance, einem Zeitraum, der durch große A u f b r u c h s t i m m u n g gekennzeichnet war. Das Interesse an klassischem Gedankengut war sehr groß, weshalb der Zeitraum 13. bis 15. Jahrhundert auch der Zeitraum der Wiedergeburt genannt wird.

a r V

/M^ffi

7

Mr''4. \

von 1473 bis 1 5 4 3 Der Arzt und Jurist studierte die Astronomie als Nebenfach und hat dieses Fachgebiet später nur als Hobby betrieben.

Nikolaus Kopernikus

von 1 4 8 0 bis 1 5 4 2

Peter Henlein

Der Schlossermeister schenuhr.

von 1 5 0 2 bis 1 5 8 5

Papst Gregor XIII

Reformation des Julianischen Kalenders und Einführung des genaueren Gregorianischen Kalenders.

F o r t s e t z u n g Seite

Er stellte die Theorie von den „Umläufen der Himmelskörper um die S o n n e " auf (heliozentrisches Weltbild). Seine Annahme, dass die Umlaufbahnen kreisförmig seien, wurde später von Kepler zur elliptischen Form korrigiert. erfindet

die

Ta-

A8

A8

Zusammensetzen von Geschwindigkeiten

33

Zusammensetzen von Geschwindigkeiten

Sitzt man meditierend in einem Sessel, dann neigt man nicht dazu, seinem Körper eine Bewegung zuzuordnen. Geht in die Überlegungen die Tatsache ein, dass sich die Erde um ihre eigene Achse dreht, sich außerdem einmal im Jahr auf ihrer Umlaufbahn um die Sonne b e w e g t , diese sich aber im sich bewegenden Milchstraßensystem befindet, dann wird einem klar: Keinem Punkt auf der Erde kann man den „Bewegungszustand Null" zuordnen. Allgemein gilt: Die Gesamtbewegung eines Körpers setzt sich aus der Summe von Einzelbewegungen zusammen. Diese Betrachtungsweise von Geschwindigkeiten ist in der Technik von größter Wichtigkeit und deshalb Gegenstand dieser Lektion 8.

8.1

Vektoren und Skalare

Physikalische Größen ( — ^ A 2 ) können in zwei Gruppen, nämlich in Vektoren und Skalare eingeteilt werden. Aus dem im Bild 1 abgebildeten Beispiel ist zu ersehen, dass es bei der Geschwindigkeit nicht nur auf ihren Betrag, sondern auch auf deren Richtung ank o m m t . Diesgilt a u c h f ü r d i e Kraft, die Beschleunigung, den elektrischen Strom und viele andere physikalische Größen, die man als Vektoren bezeichnet. Unter einem Vektor versteht man eine gerichtete physikalische Größe.

Bild 1: Vektor Geschwindigkeit

A u c h w a s Skalare sind, soll zunächst an Beispielen verdeutlicht werden. Es sind z. B. Temperatur, Wärmeenergie, Arbeit, Zeit und viele andere mehr. Unter einem Skalar versteht man eine ungerichtete physikalische Größe. Im Gegensatz zu einer skalaren Größe ist also bei einer vektoriellen Größe außer dem Zahlenw e r t und der Einheit noch die Richtung zur vollständigen Bestimmung erforderlich. Für Vektoren gelten teilweise andere Rechengesetze als dies bei Skalaren der Fall ist. Diese Rechengesetze werden innerhalb der Mathematik in der Vektorrechnung zusammengefasst. Ein Teil daraus ist die Vektoraddition, die im folgenden A b s c h n i t t zunächst an Beispielen erläutert werden soll:

8.2

Das Überlagerungsprinzip bei geradlinigen Bewegungen und Vektoraddition

Die bisherigen kinematischen Betrachtungen befassten sich mit Einzelbewegungen. In vielen technischen A n w e n d u n g e n sind jedoch Bewegungen aus mehreren Einzelbewegungen zusammengesetzt und man spricht dann von zusammengesetzten Bewegungen. Beispiel 1: Laufkran mit Laufkatze (Bild 2) Die Bewegung setzt sich aus den Einzelbewegungen in Richt u n g A D bzw. AC zur Gesamtbewegung in Richtung AB zusammen. Aus Bild 2 ist zu ersehen: V

V^ + V2

Dies ist auch der Fall, w e n n die Einzelgeschwindigkeiten nicht r e c h t w i n k l i g aufeinander stehen. Einen solchen Fall zeigt Beispiel 2: Flugzeug mit Seitenwind (Bild 3) Die tatsächliche Geschwindigkeit \^des Flugzeuges ist ebenfalls kleiner als die Summe aus Eigengeschwindigkeit und Seitenw i n d g e s c h w i n d i g k e i t . Es ist aber erkennbar:

Seitenwindgeschwindigkeit

in

/

\

/

\

"

Eigengeschwindigkeit

Bild 3 : Flugzeug

I

Mechanik der festen Körper

A

34

Durch die Überlagerung verschiedener Einzelbewegungen entsteht eine zusammengesetzte Bewegung. Diese heißt auch resultierende Bewegung.

Größe und Richtung dieser resultierenden Bewegung ergeben sich durch die bereits erwähnte Vektoraddition. Zeichnerisch erfolgt die Lösung mit Hilfe eines Geschwindigkeitsparallelogramms oder eines Geschwindigkeitsdreiecks, entsprechend der nachfolgenden Tabelle 1: Tabelle 1: Addition von Geschwindigkeitsvektoren Geschwindigkeitsparallelogramm

Beispiel

Mögliche Geschwindigkeitsdreiecke

1: Laufkran mit Laufkatze

2: Flugzeug mit Seitenwind

Beispiel 3: V o r w ä r t s b e w e g u n g auf einer fahrenden Rolltreppe. In diesem Beispiel sind die beiden Einzelgeschwindigkeiten gleichgericht e t . Man sagt auch, dass sie sich auf derselben „Wirkungslinie" befinden. Der Summenvektor ergibt sich in diesem speziellen Fall ebenfalls durch Aneinanderreihung der Einzelvektoren.

Bild 1: Rolltreppe

Vektoren auf derselben Wirkungslinie können durch eine arithmetische S u m m e zusammengefasst werden.

8.3

Das Überlagerungsprinzip bei kreisförmigen Bewegungen

Bild 2 zeigt die schematische Draufsicht der Rührelemente einer Mischanlage. A r m a dreht sich um 1, Arm b um 2, A r m c um 3, w o b e i Punkt 3 feststeht. Die Bewegung erfolgt mit variablen Drehzahlen bzw. Drehfrequenzen ( — • A 2 1 ) . In Abhängigkeit von den jeweils eingestellten Drehzahlen ergeben sich unterschiedliche Bewegungsbahnen des Punktes 1 (Bild 3). Die Einzelbewegungen sind also Kreisbewegungen, während man die vektorielle Addition derselben als Trochoide bezeichnet. A u c h die Zykloide (Musteraufgabe M 4) und die Evolvente, aus denen u. a. auch Zahnflanken bei Zahnrädern konstruiert werden, entstehen durch die Addition verschiedener kreisförmiger und geradliniger Bewegungen. n2 n3

= 1 Umdrehung/min = 0,925 U m d r e h u n g e n / m i n

©

cA

Bild 3: verschiedene Trochoiden

n2 = 2 U m d r e h u n g e n / m i n n3 = 0,925 U m d r e h u n g e n / m i n

ta

V' \

(

\

v j Kl /

d\J

J

Bild 2: Schema einer Mischanlage (Draufsicht) n2 = 2 U m d r e h u n g e n / m i n n3 = 0,925 U m d r e h u n g e n / m i n aber in e n t g e g e n g e s e t z t e r D r e h i c h t u n g

A8

Zusammensetzen von Geschwindigkeiten

V e r s c h i e d e n e B e w e g u n g e n k ö n n e n - u n a b h ä n g i g v o n der Form der B e w e g u n g s b a h n einer resultierenden B e w e g u n g z u s a m m e n g e s e t z t werden.

M 1 Lösung

35

zu

Zeichnen Sie eine horizontal von links nach rechts gerichtete Kraft F = 140 N bei einem Kräftemaßstab KM: 1 c m ± 2 0 N F

M 2

Ein Laufkran (Bild 2, Seite 33) hat eine Fahrgeschwindigkeit vK = v^ = 0 , 6 m/s. Die Laufkatze, die sich auf dem Laufkran und r e c h t w i n k l i g zu diesem b e w e g t , hat eine Fahrgeschwindigkeit v. 0 , 3 5 m/s. a) Ermitteln Sie zeichnerisch die resultierende Geschwindigkeit v bei GM: 1 cm ± 0 , 2 m / s . b) Berechnen Sie die Größe v o n v und die Richtung v o n v bezogen auf die Horizontale.

Lösung

a) Geschwindigkeitsparallelogramm:

Geschwindigkeitsdreieck:

G M : 1 c m = 0 , 2 m/s v = 0,7 m/s

b) v = y J W + ^ t = V ( 0 ' 6 ^ ) 2 + ( 0 , 3 5 ^ ) 2 tan a =

TT

0 , 3 5 m/s 0 , 6 0 m/s

0,58

= ^ 0 , 3 6 ^ + 0,1225 ^

= 0,695

3 0 ° 15'

M 3

Eine Rolltreppe (Bild 1, Seite 34) hat eine Fahrgeschwindigkeit vR = 0 , 9 m/s. Der Fahrer b e w e g t sich zusätzlich mit vf = 1,6 m/s. Wie groß ist die t a t s ä c h l i c h e Geschwindigkeit v des Fahrers?

Lösung

v = vR + v

M 4

Ein Rad mit dem Durchmesser 4 c m rollt einmal über diesen Durchmesser in die in dem nachfolgenden Bild angegebene Richtung. Die B e w e g u n g s b a h n des Punktes P nennt man eine Zykloide und in diesem Z u s a m m e n h a n g auch eine Rollkurve. Zeichnen Sie diese Rollkurve, w e n n das Rad (Kreis) einmal über die gerade (horizontale) Bahn abrollt.

Lösung

8.4

Führurigs- Relativ- und Absolutgeschwindigkeit

I m B e i s p i e l 2 , S e i t e 3 3 k a n n d e r L a u f k r a n a u c h als B e z u g s s y s t e m ( — • A 21) b e z e i c h n e t w e r d e n . D i e G e s c h w i n d i g k e i t d i e s e s S y s t e m s h e i ß t d a n n F ü h r u n g s g e s c h w i n d i g k e i t . Da s i c h d i e L a u f k a t z e n b e w e g u n g auf den Kran bezieht, n e n n t m a n deren G e s c h w i n d i g k e i t die Relativgeschwindigkeit. D i e r e s u l t i e r e n d e G e s c h w i n d i g k e i t , d i e m a n a u c h als A b s o l u t g e s c h w i n d i g k e i t b e z e i c h n e t , i s t die vektorielle S u m m e v o n Führungs- u n d R e l a t i v g e s c h w i n d i g k e i t .

36

A

Mechanik der festen Körper

Die vektorielle Summe von Führungs- und Relativgeschwindigkeit ergibt die Absolutgeschwindigkeit. Ü 1

Ein Flugzeug fliegt exakt über einem Meridian (Längengrad) v o m Ä q u a t o r in R i c h t u n g Nordpol. W i e sieht die B e w e g u n g s b a h n in e t w a bei Betrachtung v o m M o n d aus?

Ü 2

W e l c h e G e s c h w i n d i g k e i t ist in Musteraufgabe M 4 (Seite 35) als F ü h r u n g s g e s c h w i n d i g k e i t , als R e l a t i v g e s c h w i n d i g k e i t und als absolute G e s c h w i n d i g k e i t zu bezeichnen?

V 1

Ein Schiff fährt mit einer G e s c h w i n d i g k e i t v o n 18 kn (Knoten) nach Osten. Gleichzeitig erteilt ihm eine S t r ö m u n g eine G e s c h w i n d i g k e i t v o n 2,5 m/s nach S ü d o s t e n . Ermitteln Sie graphisch und rechnerisch die G e s c h w i n d i g k e i t des Schiffes über Grund. A n m e r k u n g : 1 Knoten = 1 Seemeile/h = 1 s m / h = 1 , 8 5 2 k m / h

V 2

Legen Sie in M u s t e r a u f g a b e M 4 (Seite 35) den Punkt P auf den halben Radius, d. h. r / 2 = 1 c m und zeichnen Sie dann die absolute B e w e g u n g s b a h n des Punktes P. W e n n Sie diese Aufgabe richtig lösen, dann ist das Ergebnis eine verkürzte Zykloide.

V 3

Schlagen Sie in einem t e c h n i s c h - n a t u r w i s s e n s c h a f t l i c h e n Lexikon (oder im Internet) die folg e n d e n Begriffe nach: a) Verlängerte (verschlungene) Zykloide, b) Kreisevolvente.

MEILENSTEINE Zeit- bzw. Lebensraum

Akteur

Naturwissenschaftlich-technisches Ereignis

von 1512 bis 1 5 9 4

Gerhard Mercator

Erste Landkarte mit Mercator-Projektion.

von 1 5 5 0 bis1617

John Napier

Veröffentlichung der ersten Logarithmentafel.

von 1 5 6 4 bis 1 6 4 2 Galilei s t a m m t e aus einer verarmten Patrizierfamilie, w u r d e in Pisa geboren und verstarb in einer kleinen Stadt in der Nähe von Florenz. Er hat sein Medizinstudium in Pisa nach vier Jahren abgebrochen und wandte sich danach dem Studium der M a t h e m a t i k zu. Von 1592 bis 1610 war er Professor in Padua und war Experte in den Fächern M a t h e m a t i k , Physik und Astronomie. Wie Leonardo da Vinci ist er als Universalgenie zu bezeichnen und die Wirkung auf seine Nachwelt ist w e g e n der Fülle seiner Erkenntnisse sehr umfassend.

Galileo Galilei

Das heliozentrische Weltbild des Kopernikus stand nach Meinung der Kirche nicht mit der Heiligen Schrift in Einklang. Galilei s t i m m t e dem nicht zu und w u r d e so zu einem Fall der Inquisition. Galilei gilt als der Vater der modernen mathematisch ausgerichteten Naturwissenschaften. Die gleichmäßig beschleunigte Bewegung war über vierzig Jahre Teil seiner Arbeit. Er ordnete diese Bewegungsart auch dem freien Fall im Vakuum zu. Galilei erkannte, dass die Tragfähigkeit eines Balkens von Form und Lage seiner Querschnittsfläche abhängt. Er entwickelte eine Elastizitätstheorie und war einer der ersten, der mit einem Fernrohr systematisch das Weltall beobachtete. Dabei hat er das Fernrohr entscheidend weiter e n t w i c k e l t . Luft wird von ihm ein Gewicht zugeordnet. Galilei veröffentlichte in mehreren Werken seine wissenschaftlichen Erkenntnisse.

von 1571 bis 1 6 3 0

Johannes Kepler

Formulierung der „Kepler'schen Gesetze", die die Himmelsmechanik erklären.

von 1 5 9 6 bis 1 6 5 0

Rene Descartes

Begründer der analytischen Geometrie und Erstellung genereller Regeln für die wissenschaftliche Arbeit.

Fortsetzung Seite

A9

A9

Freie Bewegungsbahnen

37

Freie Bewegungsbahnen

Im Kapitel A5 wurde der Begriff „Freiheitsgrad" erörtert. In diesem Sinn werden „geführte oder erzwungene Bewegungen", z. B. eine Prismenführung an einer Werkzeugmaschine und „freie Bewegungen", z. B. der Wurf eines Steines unterschieden.

9.1

Der Grundsatz der Unabhängigkeit

Bild 1 bezieht sich auf Beispiel 1, Seite 33: Laufkran mit Laufkatze. Es zeigt verschiedene Möglichkeiten der Überwindung des Ortsunterschiedes AB, also unterschiedliche Fahrsituationen. Unterscheiden Sie 1. Fahrsituation: A — • D —^ B, d. h. erst Katze, dann Kran 2. Fahrsituation: A — • C — • B, d . h . erst Kran, dann Katze 3. Fahrsituation: A — • B, d. h. Katze und Kran gleichzeitig Dieses Beispiel lässt ein wichtiges Prinzip der Mechanik erkennen, den Grundsatz der Unabhängigkeit. Dieser wurde von Galilei erkannt und zuerst formuliert. Er lautet wie folgt:

Bild 1: Verschiedene Wege

Der Grundsatz der Unabhängigkeit besagt, dass ein Körper - unabhängig davon, ob er mehrere Einzelbewegungen gleichzeitig oder zeitlich nacheinander ausführt - immer an denselben Ort gelangt. Die kürzeste Zeit zur Realisierung der Ortsveränderung eines Körpers ergibt sich, w e n n alle Einzelbewegungen gleichzeitig ablaufen. Mit dem Grundsatz der Unabhängigkeit lassen sich Bewegungsbahnen von Körpern nachvollziehen. Wie bereits gesagt, unterscheidet man dabei erzwungene Bewegungsbahnen von freien Bewegungsbahnen. Eine solche freie Bewegungsbahn ergibt sich z. B. beim schiefen Wurf.

9.2

Der schiefe Wurf

Wird ein Körper, z. B. ein Stein oder ein Geschoss unter einem b e s t i m m t e n Winkel a zur Waagerechten, dem Abwurfwinkel a abgeworfen oder abgeschossen (Bild 2), spricht man von einem schiefen Wurf oder einem schrägen Wurf. Dieser setzt sich aus zwei Einzelbewegungen zusammen, nämlich aus einer gleichförmigen geradlinigen Bewegung in A b w u r f r i c h t u n g mit der A b w u r f g e s c h w i n d i g k e i t v0 ( — • A ß ) und einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung in Richtung Erdmittelpunkt ( — • A 7 ) . Somit gilt: Die absolute Bewegung beim schiefen Wurf, d. h. der zurückgelegte Weg des Körpers, ergibt sich aus der vektoriellen Addition des Weges einer gleichförmigen Bewegung in A b w u r f r i c h t u n g und des Weges einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung (freier Fall). Dies zeigt Bild 3. Gemäß diesem Bild ( — • A ö , A7) ist Weg in Abwurfrichtung a

Weg in Richtung Erdmittelpunkt h = § • **

B

Dabei ist \/ 0 die A b w u r f g e schwindigkeit in m/s und t die Bewegungszeit in s. Es versteht sich von selbst, dass der beschriebene Sachverhalt entsprechend der Fallgesetze - exakt nur im Vakuum gegeben ist.

Bild 3: Zusammensetzung der Wege

38

3

A

Mechanik der festen Körper

M 1

Ein Körper w i r d unter d e m W i n k e l a = 3 0 ° gegen die Horizontale schräg nach oben geworfen. Die A b w u r f g e s c h w i n d i g k e i t beträgt v 0 = 4 0 m / s . Zeichnen Sie die W u r f b a h n m i t Hilfe des Grundsatzes der Unabhängigkeit und ohne B e r ü c k s i c h t i g u n g der L u f t r e i b u n g .

Lösung

Ohne W i r k u n g der Erdanziehung w ü r d e sich der Körper mit v 0 w e g e n . Es k o m m e n j e d o c h die s e n k r e c h t e n Fallwege h = ^ • t2 hinzu. M i t g ~ 10 m / s 2 ergibt sich: t in s 1 2 3 4 5

/» = |

• f 2 in m

Bahn i m s c h w e r e losen R a u m

0 20 45 80 125

Die dargestellte W u r f b a h n ist m a ß s t ä b l i c h gezeichnet und ist aus den beiden Einzelbewegungen (geradliniger W e g v o n jeweils 4 0 m und jeweiliger senkrechter Fallweg) z u s a m m e n g e s e t z t . Bei dieser W u r f b a h n handelt es sich um eine Parabel, die als Wurfparabel bezeichnet w i r d . M i t B e r ü c k s i c h t i g u n g der Luftreibung ( — • B I O , B11) ergibt sich daraus eine ballistische Kurve ( — • A 1 0 ) .

9.2.1

Zerlegen eines Vektors in seine Komponenten

B i l d 1 z e i g t , d a s s e i n V e k t o r v in b e l i e b i g e P a a r e v o n V e k t o r e n , z. B. v1 u n d v2 o d e r v / u n d v2' z e r l e g t w e r d e n k a n n . D i e s e P a a r e v o n V e k t o r e n w e r d e n als V e k t o r k o m p o n e n t e n b e z e i c h n e t . Es i s t z u e r k e n n e n : Ein V e k t o r i s t s t e t s d a n n e i n d e u t i g in s e i n e K o m p o n e n t e n zerlegbar, w e n n deren Richtungen bekannt sind.

r—;—

V\ 1

^

7

^

^ ^ // ^

V

2

B i l d 1: V e k t o r k o m p o n e n ten i^y

D i e s i s t z. B. in B i l d 2 d i e h o r i z o n t a l e u n d d i e v e r t i k a l e R i c h t u n g , u n d m a n b e z e i c h n e t d i e s e K o m p o n e n t e n d e m z u f o l g e als Horiz o n t a l k o m p o n e n t e b z w . als V e r t i k a l k o m p o n e n t e . Horizontalkomponente

V

v

= V

M 2

Lösung

• cos«

horizontal = vertikal =

Ermitteln Sie unter Berücksichtigung des A b s c h n i t t e s A 9.2.1 eine Gleic h u n g für die Berechnung der Wurfw e i t e x w (nebenstehendes Bild). Hierunter v e r s t e h t man die horizontale Entfernung z w i s c h e n A b w u r f - und A u f s c h l a g p u n k t , w o b e i beide Punkte auf gleicher geodätischer Höhe liegen. Des Weiteren ist die Frage zu b e a n t w o r t e n , unter w e l c h e m A b w u r f w i n k e l a die größte W u r f w e i t e erzielt wird.

Bild 2: V e k t o r z e r l e g u n g

waagerecht

Vertikalkomponente

senkrecht

vx, = v • s i n a

B

Kulminationspunkt 1

Die W u r f b a h n w i r d z w e c k m ä ß i g in ein Koordinatensystem (obenstehendes Bild) gezeichnet. Folgende Vektorzerlegungen sind zu erkennen:

A9

Freie Bewegungsbahnen

x- und /-Komponente der Abwurfgeschwindigkeit v0:

v0x

= vQ • cosa

v0y

x- und /-Komponente der Fallgeschwindigkeit vf:

vfx

= 0

vfy = - g • t

vfx

= 0, da der freie Fall ausschließlich in / - R i c h t u n g verläuft: vf

39

= v0 • sina

ist negativ, da entgegen

% Das Zusammensetzen der G e s c h w i n d i g k e i t s k o m p o n e n t e n in x- und / - R i c h t u n g ergibt:

^x = ^ox + ffx = ^o • c o s « + 0

Somit: Geschwindigkeit in x-Richtung

v = v 0 • cosa in m/s ^y = % + vfy = v0 • s\na - g • t

Somit: Geschwindigkeit in /-Richtung vy = v0 • sin a - g • t in m/s Berücksichtigt man, dass sich die A b s o l u t g e s c h w i n d i g k e i t aus der gleichförmigen A b w u r f g e s c h w i n d i g k e i t und der gleichmäßig beschleunigten Fallgeschwindigkeit zusammensetzt, erhält man Weg in x-Richtung

x = v0 • cos a • t

in m

Weg in /-Richtung

/ = v0 • sin a • t - ^ • t2

in m

Die Wurfzeit f w erhält man durch Nullsetzen der Gleichung, d. h. / = 0: / = v0 • sina • f w - | 2 • v0 • sina fw = g

S o m i t :

Wurfzeit

• fw2 = 0 in s

Setzt man die Wurfzeit tw in die Gleichung für x ein, ergibt sich mit 2 • s i n a • c o s a = sin 2a d i e

Wurfweite

xw =

v2 • sin 2a g

in m

Aus dieser Gleichung ist zu erkennen, dass die W u r f w e i t e x w dann ihren M a x i m a l w e r t hat, w e n n sin 2a den Maximalwert hat. Dies ist bei a = 4 5 ° , d. h. bei 2a = 9 0 ° der Fall, denn es gilt: sin 9 0 ° = 1.

9.3

Der waagerechte Wurf

Es handelt sich beim waagerechten Wurf um einen speziellen Fall des schrägen Wurfes, nämlich mit dem A b w u r f w i n k e l a = 0 ° . Hierauf geht die nachfolgende Musteraufgabe M 3 ein: M3

Ein Körper wird in 2 0 0 m Höhe mit v0 = 2 0 m/s horizontal a b g e w o r f e n . a) Ermitteln Sie die Gleichung für die W u r f b a h n , und zwar s y = f(sx). b) Berechnen Sie die horizontale Entfernung s x des A u f s c h l a g p u n k t e s von der A b w u r f stelle. c) Wie groß ist die Flugzeit t? d) Zeichnen Sie die W u r f b a h n .

Lösung

a) s x

S

x 1 t = — 9. t2 - GL. 2

~

T

b) Somit: s x =

0 10 20

2

)

S

x

-v 2

s x in m

80 100

s x in m 128

80 100 120 140

Probe:

d)

60

60

2 0 0 m • (20 m / s ) 2 • 2 = 128m 9,81 m / s 2 128m v 6,4s o ' * 2 0 m/s

=

40

40

9

M i t s., = 2 0 0 m w i r d

c

01020

9,81 m / s 2

T

10

20

(6,4s)2 = 2 0 0 m 40

80

100

128

s y in m 1,226 4 , 9 0 5 19,62 7 8 , 4 8 122,6 2 0 0

E 160 c ef* 180

1 200

1cm = 4 0 m

40

A

Mechanik der festen Körper

Ü 1

Unter w e l c h e m G e s i c h t s p u n k t w e r d e n mehrere Einzelgeschwindigkeiten zur A b s o l u t g e s c h w i n digkeit z u s a m m e n g e s e t z t ?

Ü 2

A u s w e l c h e n Einzelbewegungen setzen sich die folgenden A b s o l u t b e w e g u n g e n zusammen: a) senkrechter W u r f nach unten, b) waagerechter W u r f , c) schräger Wurf?

Ü 3

Ein R e t t u n g s h u b s c h r a u b e r fliegt mit v = 8 0 k m / h in horizontaler R i c h t u n g . Er hat eine Flughöhe v o n 4 5 m und soll einen Lebensmittelvorrat abwerfen. In w i e viel Meter horizontaler Entfernung s x m u s s der L e b e n s m i t t e l s a c k abgeworfen werden? L u f t w i d e r s t a n d vernachlässigen.

V 1

Der Kreuzschlitten eines Bohrwerkes w i r d in seiner L ä n g s r i c h t u n g m i t einer G e s c h w i n d i g k e i t vx = 1,8 m / m i n gefahren. In Querrichtung beträgt die G e s c h w i n d i g k e i t vy = 1,2 m / m i n . Ermitteln Sie zeichnerisch und rechnerisch die A b s o l u t g e s c h w i n d i g k e i t .

V 2

Beim schiefen W u r f nach oben gilt: vy = v0 • sin a - g • t. Ermitteln Sie m i t Hilfe dieser Gleic h u n g eine Gleichung für die Steigzeit f h , d. h. die Zeit bis zum Erreichen der m a x i m a l e n Höhe, d e m s o g e n a n n t e n Kulminationspunkt.

V 3

Ein Körper w i r d im Punkt 1 gemäß nebenstehender A b b i l d u n g mit v0 unter dem Winkel a schräg nach oben g e w o r f e n . Zur gleichen Zeit, in der dieser Körper den Punkt 1 verlässt, setzt sich im Punkt 2 ein zweiter Körper durch einen freien Fall in B e w e g u n g . Treffen sich die beiden Körper? (Begründung!)

V 4

M i t w e l c h e r H o r i z o n t a l g e s c h w i n d i g k e i t vx muss ein Körper horizontal a b g e w o r f e n w e r d e n , damit der A u f s c h l a g p u n k t s y = 10 m unter dem A b w u r f p u n k t und sx = 5 0 m w a a g e r e c h t entfernt liegt?

MEILENSTEINE Zeit- b z w . Lebensraum

Akteur

Naturwissenschaftlich-technisches Ereignis

v o n 1 6 0 2 bis 1 6 6 8

Otto von Guericke

Bürgermeister von von Luftpumpe und

v o n 1 6 0 8 bis 1 6 4 7

Evangelista Torricelli

S c h ü l e r v o n Galilei. E r f i n d u n g des Quecksilberbarometers zum M e s s e n des Luftdruckes.

von 1 6 2 0 bis 1 6 8 4

Edme Mariotte

Bekannt durch das Gasgesetz v o n Mariotte.

Blaise Pascal

M a t h e m a t i k e r und Erfinder einer Rechenmaschine. Begründer der Wahrscheinlichk e i t s r e c h n u n g . Das Pascal'sche Dreieck e r m ö g l i c h t die B e s t i m m u n g der Binominalkoeffizienten.

von 1 6 2 7 b i s 1 6 9 1

Robert Boyle

Bekannt durch das Gasgesetz v o n Mariotte.

von 1 6 2 9 bis 1 6 9 5

Christian

Patent auf eine Pendeluhr, des L i c h t s , e n t d e c k t e die Fernrohrverbesserung.

von 1 6 3 5 bis1703

Robert Hooke

von 1 6 2 3 bis 1 6 6 2 D a s P a s c a l (Pa) i s t heutige Sl-Einheit den Druck.

F o r t s e t z u n g Seite

die für

Huygens

Magdeburg, Erfinder Elektrisiermaschine.

Boyle-

Boyle-

Wellennatur Saturnringe,

Hooke'sches Gesetz: Die e l a s t i s c h e D e h n u n g ist der Kraft proportional.

wirkenden

Beschleunigende Wirkung der Kraft

A10

A10

41

Beschleunigende Wirkung der Kraft

Bei den Kraftwirkungen unterscheidet man die beschleunigende Wirkung auf einen Körper sowie deren verformende, u. U. zerstörende Wirkung auf einen Körper.

10.1

Das erste Newton'sche A x i o m

Bereits in der griechischen Mathematik hat man unter einem Axiom einen unmittelbar einleuchtenden Grundsatz verstanden. Es handelt sich also um ein Erfahrungsgesetz. Bezüglich der Wirkungen der Kräfte hat Sir Isaak Newton (s.Seite 44), der große englische Gelehrte, ein A x i o m e n s y s t e m - bestehend aus drei Axiomen - formuliert. Das erste Newton'sche Axiom wird auch Trägheitsgesetz oder Beharrungsgesetz genannt. Es lautet:

—

Bild 1: Ruhezustand

Bild 2: Massenträgheit I

Der Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen Bewegung wird von einem Körper solange beibehalten, wie keine Kraft auf ihn w i r k t .

\

Dies w i r d an einem mit Wasser gefüllten Gefäß (Bild 1) sehr deutlich. Erst w e n n es ruckartig bewegt wird (Bild 2), ist ersichtlich, w i e es sich der Bewegung widersetzt. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von derträgen Masse ( — • A 4 ) . Diese Massenträgheit wird auch in den Bildern 3, 4 und 5 deutlich. Würden nämlich nicht die Erdanziehungskraft (Bild 4) und der Luftwiderstand (Bild 5) wirksam, dann würde sich der schräg abgeworfene Körper geradlinig - entsprechend der Abw u r f r i c h t u n g a - weiterbewegen, so wie es das Bild 3 zeigt.

10.2

'

*

, v1 wird es so sein, dass die Masse A7?1 beim Stoß beschleunigt wird, während die Masse m 2 an Geschwindigkeit verliert. Infolge der Massenträgheit ( — • A I 0 ) ist: F, = a, = A?71

-F2 —m0

• A v 1 = — m2

A ^

Af • AV2

A^

Av, At

m

Damit

n

Av,

Dabei ist die Summe aller auf das Körpersystem wirkenden Kräfte Null, sodass der Impulserhaltungssatz (—•A14.1) angew e n d e t werden kann. Somit gilt:

Bild 1: Stoß Die Geschwindigkeitsänderungen beim S t o ß z w e i e r Massen sind entgegengesetzt gerichtet und verhalten sich umgekehrt proportional zu den Massen.

Beim Stoß ändert sich der Gesamtimpuls, d . h . die Summe aller Einzelimpulse in einem System bewegter Körper, nicht. Während des Stoßes, genauer: bei maximaler Verformung, ist die Geschwindigkeit v beider Massen gleich groß (Bild 3). Vorher, d. h. vor dem Stoß waren die Geschwindigkeiten ungleich (Bild 2). Somit gilt: Wegen der Impulserhaltung Gesamtimpuls vor dem Stoß ergibt sich aus 2 und 3: - H

Bild 2: vor dem Stoß

m.

•

m.

Bild 3: beim Stoß

Gesamtimpuls beim Stoß - 0

Damit erhält man Gleichung 4:

m

i

I

m-.

Geschwindigkeit beider Massen bei maximaler Verformung m, + m.,

Bild 4: unelastischer Stoß (Seite 59)

Hinweis: Die Bilder 3 und 4 sind identisch. Dies ist damit zu begründen, dass die plastische (unelastische) Verformung beim Stoß nach dem Stoß erhalten bleibt.

A14

14.2.1

Kurzzeitig wirkende Kräfte

59

Der unelastische Stoß

Man spricht von einem unelastischen oder plastischen Stoß ( — • A H ) , wenn sich mindestens einer der beiden Körper beim Stoß vollkommen plastisch, d . h . bleibend verformt hat (Bild 4, Seite 58). Dies bewirkt, dass sich beide Körper nach dem Stoß mit gleicher Geschwindigkeit weiterbewegen. Somit gilt: in m/s

Ein Körper mit der Masse m 1 = 10 kg b e w e g t sich mit = 10 m/s auf einen Körper mit der Masse m 2 = 1 0 0 k g , der sich in Ruhe befindet, zu. W i e groß ist die gemeinsame Endges c h w i n d i g k e i t v, w e n n sich die Masse my v o l l k o m m e n plastisch verhält? m. + m.}

10 kg • 10 m/s + 1 0 0 kg • 0 _ 100 kg m/s = 0,909 10kg + 100kg ~ 110kg

Der elastische Stoß

14.2.2

Beim elastischen Stoß unterscheidet man den ersten Teil des Stoßes vom zweiten Teil des Stoßes. Beim ersten Teil des Stoßes (Bilder 1 und 2) erfolgt die elastische Annäherung beider Massen, die im Bild 1 beginnt und im Bild 2 gerade beim Erreichen der gemeinsamen (kurzzeitigen) Geschwindigkeit ^abgeschlossen ist. Es ist also die

Bild 1: Elastisches

Bild 2: ... Zusammengehen

Erster und zweiter Stoßabschnitt

Geschwindigkeit beider Massen nach der ersten Stoßhälfte

m,

m2

Bild 3: Elastisches - B

Bild 4: ... Auseinandergehen

Die Bilder 3 und 4 lassen den zweiten Teil des Stoßes, nämlich das elastische Auseinandergehen der beiden Massen A771 und m2 mit unterschiedlichen Endgeschwindigkeiten i/ 1 e und v2e erkennen. Da nach Gleichung 1, Seite 58 (Ap = m • Av) die Impulsänderung proportional der Geschwindigkeitsänderung ist, und da der Gesamtimpuls sich nicht ändert, ist die Geschwindigkeitsänderung beider Körper im zweiten Stoßabschnitt die gleiche wie im ersten Stoßabs c h n i t t . In Verbindung mit den Bildern 1 bis 4 muss demzufolge sein: v l e - v = v - v1 und v2e - v = v - v2. Somit ergibt sich:

Dabei sind vu

v2 die Geschwindigkeiten der Massen

und m2 vor dem Stoß.

Ein Körper mit der Masse A7?1 = 6 kg b e w e g t sich mit v1 = 10 m/s zentrisch auf einen Körper mit der Masse m2 = 18 kg, der sich mit v2 = 2 m/s in die gleiche Richtung w i e der Körper mit der Masse A771 b e w e g t , zu. Berechnen Sie a) die G e s c h w i n d i g k e i t v beider Körper nach der ersten Hälfte des Stoßes, b) die Eigengeschwindigkeiten beider Körper am Ende eines v o l l k o m m e n elastischen Stoßes. m1 • v, + m2 • v2 _ 6 kg - 10 m/s + 18 kg • 2 m/s _ 9 6 kg m/s = 4 m m^+m2 6 k g + 18 kg 2 4 kg s = 2 • v - vy = 2 • 4 m/s - 10 m/s = 8 m/s - 10 m/s = - 2 m/s (rückwärts) = 2 • v - v, = 2 - 4 m/s - 2 m/s = 8 m/s - 2 m/s = 6 m/s

60

A

Mechanik der festen Körper

Ü 1

G e m ä ß n e b e n s t e h e n d e m Bild prallt ein Wasserstrahl s e n k r e c h t gegen eine Platte. Das Wasser w i r d dabei umg e l e n k t . Das sekündlich auf die Platte prallende Wasservolumen, d.h. der Volumenstrom ( — • B8), ist V = 0 , 3 m 3 / s , und die W a s s e r g e s c h w i n d i g k e i t beträgt v = 15 m/s. B e s t i m m e n Sie mit Hilfe des Antriebssatzes die Kraft F, mit der die Platte gehalten w e r d e n muss, bei einer Dichte des Wassers v o n g = 1 k g / d m 3 .

Ü 2

a) Stellen Sie eine Impulsbilanz für das System Boot/ M e n s c h (Bild) auf, und zwar für den Z u s t a n d der Ruhe und den Z u s t a n d , bei dem die Person mit v 1 geht. b) Ermitteln Sie eine Funktion für die G e s c h w i n d i g k e i t , und zwar v2 = m2), w o b e i zu Beginn Person und Boot in Ruhe w a r e n . c) W i e groß ist v2 bei = 2 m/s, m^ = 75 kg, m2 = 5 0 0 kg?

Ü 3

A u s einem Kanonenrohr mit der Länge 8 , 3 m fliegt ein Geschoss m i t der Masse m = 4 2 kg und der G e s c h w i n d i g k e i t v = 6 8 0 m/s. Berechnen Sie a) die Geschosslaufzeit bei konstanter Beschleunigung im Rohr, b) die w i r k e n d e Kraft auf das Geschoss im Rohr.

Ü 4

Der Bär eines Schmiedefallhammers hat die Masse a?71 = 1 8 0 0 kg und fällt 1,5 m frei herab. Die G e s a m t m a s s e v o n A m b o s s und des sich infolge der S c h m i e d e t e m p e r a t u r v o l l k o m m e n p l a s t i s c h verhaltenden S c h m i e d e s t ü c k e s ist m 2 = 2 0 0 0 0 k g . Berechnen Sie a) die E n d g e s c h w i n d i g k e i t des Bärs im freien Fall, b) die G e s c h w i n d i g k e i t v, mit der sich beide Massen nach dem A u f s c h l a g kurzzeitig in ihrer Federlagerung b e w e g e n . .

V 1

A n einem Verschiebebahnhof w i r d ein G ü t e r w a g e n m i t der Masse AT?1 = 1 2 0 0 0 kg und der G e s c h w i n d i g k e i t = 4 m/s gegen einen stillstehenden Wagen mit der Masse m 2 = 2 5 0 0 0 kg gestoßen. Dies ist s y m b o l i s c h im n e b e n s t e h e n d e n Bild dargestellt. B e s t i m m e n Sie die Ges c h w i n d i g k e i t e n beider Massen nach dem Stoß, w e n n d a v o n ausgegangen w i r d , dass der Stoß infolge der Elast i z i t ä t der Pufferfedern v o l l k o m m e n elastisch verläuft.

'

V 2

Ein A u t o m i t der Masse m 1 = 8 0 0 kg fährt frontal m i t einer G e s c h w i n d i g k e i t v = 8 0 k m / h gegen einen Brückenpfeiler. Es verhält sich dabei v o l l k o m m e n plastisch, w a s die t o t a l e Zers t ö r u n g des A u t o s zur Folge hat. Der Brückenpfeiler hat die Masse m 2 = 1 5 0 0 0 kg. W i e groß ist die h y p o t h e t i s c h e G e s c h w i n d i g k e i t vf mit der sich kurzzeitig beide M a s s e n bewegen?

V 3

Beim S c h m i e d e n eines W e r k s t ü c k e s w i r d ein 1 0 0 0 - g - H a m m e r v e r w e n d e t . Die Hammerges c h w i n d i g k e i t beim A u f t r e f f e n beträgt 5 m/s, und der S c h m i e d e w e g ( M a ß der W e r k s t o f f d e formation) beträgt 0 , 7 5 m m . Dies b e d e u t e t , dass der Hammer auf einem W e g v o n 0 , 7 5 m m v o l l k o m m e n abgebremst w i r d . Berechnen Sie mit Hilfe des A n t r i e b s s a t z e s die mittlere Hammerkraft.

V 4

Eine Rakete hat eine M a s s e m = 2 0 0 t . Bei einer A u s s t r ö m g e s c h w i n d i g k e i t der Gase von v = 2 7 0 m/s w e r d e n in der Sekunde Am = 3 0 0 kg Raketentreibstoff v e r b r a n n t . W i e groß ist die Raketenbeschleunigung a?

MEILENSTEINE Zeit- bzw. Lebensraum

Akteur

Naturwissenschaftlich-technisches Ereignis

von 1736 bis 1813 Sein großes Arbeitsgebiet war die Zahlen- und Reihentheorie

Joseph Louis Lagrange

Französischer Mathematiker und Astronom. Er war neben Leonhard Euler der größte Mathematiker seiner Zeit und wurde von Friedrich dem Großen an die Berliner Akademie berufen.

F o r t s e t z u n g Seite

A15

A15

Reibungskräfte

61

Reibungskräfte

Reibung verursacht mechanische Verluste, indem mechanische Energie in Wärmeenergie und Schwingungsenergie umgewandelt wird. Reibung beeinflusst damit den Wirkungsgrad ( — • A I 8 ) .

15-1

Äußere und innere Reibung

Bekanntlich unterscheidet man zwischen den festen Körpern und den Fluiden ( — • A 2 ) . Unabhängig von der Zustandsform der Körper ist feststellbar, dass Kräfte zwischen sich berührenden Körpern auftreten, sobald versucht wird, diese gegeneinander zu verschieben. Man bezeichnet diese Reaktionskräfte als Reibungskräfte. Entsprechend der Zustandsform der Körper w i r d z w i s c h e n zwei Gruppen (Reibungsarten) unterschieden: Äußere Reibung

Reibung zwischen den Außenflächen von festen Körpern

Innere Reibung

Fluidreibung, d . h . Reibung zwischen Fluidteilchen ( — • B I O )

Während die äußere Reibung als Teilgebiet der Mechanik der festen Körper verstanden wird, gilt die innere Reibung als Teilgebiet der Mechanik der Flüssigkeiten und Gase, d. h. der Fluidmechanik ( — • B 1 0 ) .

15.2

Haft- und Gleitreibung

Wie bereits erwähnt, treten zwischen den Berührungsflächen zweier gegeneinander bewegter fester Körper Reibungskräfte auf. Die Erfahrung zeigt: Reibungskräfte sind der Verschieberichtung bzw. der beabsichtigten Verschieberichtung immer entgegen gerichtet. Dies w i r d am Beispiel des Reitstockes (Bild 1), der auf einer Zugspindel Schaltwelle Drehmaschine verschoben werden soll, sehr deutlich. Bereits bei der beabsichtigten Verschiebung treten Reibungskräfte, Bild 1: Reitstock nämlich Haftreibungskräfte auf. Ist Bewegung eingetreten, heißen die Reibungskräfte Gleitreibungskräfte. Die Bezeichnung der Reibungskräfte kennzeichnet also immer auch den Bewegungszustand z w i s c h e n den Körpern. A u c h hier zeigt die Erfahrung: Haftreibungskräfte sind (bei einer bestimmten Körperpaarung bzw. Stoffpaarung) stets größer als die Gleitreibungskräfte. Nach DIN erhalten alle Größen der Haftreibung den „Index Null", während dieser Index Null bei der Gleitreibung entfällt. Der „Index R" steht für Reibung. Somit: Haftreibungskraft

— • F R 0 — • Reibungskraft im Ruhezustand

Gleitreibungskraft — • FR — • Reibungskraft bei Bewegung

15.3

Haftreibung und Gleitreibung sind strikt voneinander zu unterscheiden!

Das Reibungsgesetz nach Coulomb

Mit einer Versuchsanordnung gemäß Bild 2 lassen sich Haftreibungskraft F R i und Gleitreibungskraft FA ermitteln. Es ist F. -F bzw. FR = ^nn Die senkrechte Anpresskraft des Körpers auf seine Unterlage heißt Normalkraft FN ( — • A I S ) . Mit einer solchen Versuchsanordnung stellte der französische Ingenieur Charles Coulomb (s. S. 56) fest, dass zwischen dieser Normalkraft und der Reibungskraft eine direkte Proportionalität besteht. Seine Formulierung lautet somit: Die Reibungskraft ist der vom Körper auf seine Unterlage wirkenden Normalkraft direkt proportional.

Bild 2: Versuch von Coulomb

62

A

Mechanik der festen Körper

15.3.1

Die Reibungszahl und die Berechnung der Reibungskräfte

Die Reibungskraft hängt also von der Normalkraft ( — • A I S , A16) ab. A u c h andere Einflussgrößen, z. B. die Oberflächenrauheit oder die Werkstoffpaarung, sind für die Größe der Reibungskraft b e s t i m m e n d . Alle diese Einflussparameter - außer der Normalkraft - sind in einem Proportionalitätsfaktor zusammengefasst, der nach DIN 1 3 0 4 Reibungszahl oder Reibungskoeffizient heißt. Formelzeichen ist jd und man unterscheidet sinngemäß zur Reibungskraft: Haftreibungszahl

— • ju 0 — •

Gleitreibungszahl

— • //

Reibungszahl im Ruhezustand

— • Reibungskraft im Bewegungszustand

Nach DIN 1 3 0 4 ist für die Reibungszahl auch das Formelzeichen f zulässig. Mit diesen Proportionalitätsfaktoren ergibt sich nach Coulomb für die Haftreibungskraft Mo '

•

F

Gleitreibungskraft

in N

F

N

r = f

in N

• FN

Die Einflussparameter der Reibungszahl

X

gleiche Versuchskörper

Bild 1 zeigt jeweils den gleichen Versuchskörper (z. B. einen Ziegelstein oder einen Holzklotz), jedoch mit dem Unterschied, dass dieser Körper einmal mit einer größeren, das andere Mal mit einer kleinen Fläche seine Unterlage berührt. Jedes Mal w u r d e n jedoch die gleichen Reibungskräfte gemessen. Alle Versuche dieser A r t ergeben:

^

n

n

o

-

-TTTTT|

^

' / / / / / FR'

FR(

Bild 1: Reibungsversuch

Die Größe der Haftreibungskraft F R 0 bzw. der Gleitreibungskraft F R sind nur von F N und ju0 bzw. // abhängig. Haftreibungskraft und Gleitreibungskraft sind von der Größe der Reibungsfläche nahezu unabhängig. Unabhängig von dieser Tatsache gilt, dass die kleinere der Flächen den größten mechanischen Beanspruchungen und auch einer größeren thermischen Beanspruchung unterliegt. Variiert man den im Bild 1 gezeigten Versuch bei konstanter Normalkraft F N , dann könnte dies w i e folgt aussehen: a) Holzklotz auf Holzbrett b) Metallklotz auf Holzbrett c) Holzklotz auf gehobeltem Holz d) Holzklotz auf geschliffenem Holz

Erkenntnis 1

>

Die Reibungskraft ist von der Oberflächenbeschaffenheit der sich berührenden Körper abhängig.

Erkenntnis 2

Reibungszahlen können nur im Versuch (Durchschnittswerte auf:

Die Reibungskraft ist von der Werkstoffpaarung abhängig.

-A16) ermittelt werden. Tabelle 1 zeigt einige

Tabelle 1: Reibungszahlen Gleitreibungszahl //

Zustand

Haftreibungszahl ju 0

Gusseisen-Gusseisen

geschmiert

0,16

0,12

Stahl-Stahl

trocken

0,15

0,1

Stahl-Gusseisen

geschmiert

0,1

0,05

Stahl-Leder

trocken

0,6

0,3

Holz-Metall

geschmiert

0,1

0,06

Stahl-Eis

trocken

0,027

0,014

Werkstoff

A15

Reibungskräfte

63

Weitere wichtige Einflussgrößen der Reibungszahlen (Reibungskoeffizienten) sind z. B. noch Gleitgeschwindigkeit und Luftfeuchtigkeit. A u c h die Wahl des richtigen Schmierstoffes ist von entscheidender Bedeutung. M 1

Nebenstehendes Bild zeigt die Führung einer Werkzeugmaschine, die durch die Schrägkraft F = 3 7 2 8 N unter dem Winkel a = 2 2 ° belastet ist. Der Reibungskoeffizient beträgt // = 0,11. Berechnen Sie ohne Berücksichtigung der G e w i c h t s k r a f t FG des S c h l i t t e n s a) die Normalkräfte auf den beiden Flächen H und V, b) die Reibungskräfte an den beiden Flächen H und V, c) die gesamte Verschiebekraft des Schlittens.

Lösung

a) F N H = F • c o s « = 3 7 2 8 N • cos 2 2 ° = 3 7 2 8 N • 0 , 9 2 7 2 = 3 4 5 7 N ^nv = F • s i n a = 3 7 2 8 N • sin 2 2 ° = 3 7 2 8 N • 0 , 3 7 4 6 = 1 3 9 7 N f> ^RH = /u • F n h = 0,11 • 3 4 5 7 N = 3 8 0 , 3 N fi • F n v = 0,11 • 1397 N = 1 5 3 , 7 N c) F v = ~(FRH + F r v ) = - ( 3 8 0 , 3 N + 153,7 N) = - 5 3 4 N

Ü 1

Welche Verschiebekraft Fy w i r d b e n ö t i g t , um den im nebenstehenden Bild dargestellten Körper aus der Ruhelage zu bewegen? W e l c h e Kraft ist erforderlich, um eine gleichförmige B e w e g u n g aufrecht zu erhalten? Es ist ju0 = 0,1 und ju = 0 , 0 3 .

I F n = 200N

Ü 2

Z w e i Stahlplatten w e r d e n g e m ä ß Bild mit einer Schraube zusammengepresst. Die zu übertragende Kraft beträgt F = 12,5 kN, und ju0 z w i s c h e n den Platten w i r d mit 0 , 4 5 angesetzt. M i t welcher Kraft Fs muss die Schraube die beiden Platten zusammenpressen, w e n n eine fünffache Sicherheit gegen Verschieben gefordert ist?

V 1

W i e ist die Reibungskraft - bezogen auf die Richtung der B e w e g u n g eines festen Körpers auf seine Unterlage gerichtet?

V 2

W i e groß ist das erzeugte B r e m s m o m e n t bei der im nebenstehenden Bild dargestellten einfachen Backenbremse, w e n n F = 4 5 0 N ist und w e n n mit JU = 0 , 2 gerechnet w e r d e n kann?

V 3

Eine Kiste (nebenstehendes Bild) hat ein G e w i c h t von FG = 3 0 0 0 N. W i e groß muss die wirkende Kraft F s e i n , d a m i t die Kiste in horizontaler Richtung verschoben werden kann? Setzen Sie in Ihre Rechnung // = 0 , 2 ein.

V 4

Ein Körper mit einer G e w i c h t s k r a f t F G = 1 kN liegt auf einer schiefen Ebene, die unter dem Winkel a = 7 ° zur Waagerechten geneigt ist. Der Körper soll durch eine w a a g e r e c h t e Kraft F a) gleichförmig a u f w ä r t s gezogen, b) gleichförmig a b w ä r t s g e s c h o b e n , c) in der Ruhestellung gehalten werden. W i e groß muss in den drei Fällen die Kraft F s e i n , w e n n ju0 = 0,19 und /i = 0,16 betragen?

V 5

A n dem im Bild abgebildeten Körper greifen außer der G e w i c h t s k r a f t FG die beiden Kräfte F 1 = 4 0 0 N und F2 = 8 0 0 N an. a) B e s t i m m e n Sie FU und F R 0 . b) B e s t i m m e n Sie £>0 auf zwei verschiedenen Wegen. c) B e t i m m e n Sie g und FR.

11 600

7 / / ; / \ / ; / ; ? / / / F n = 1700 N f

^ 0 = 0,25 = 0,15

64

Mechanik der festen Körper

A

A16

Reibung auf der schiefen Ebene

Die schiefe Ebene ist bei vielen technischen Problemstellungen ein w i c h t i g e s Element. So stellt z. B. ein in die Zeichenebene abgewickelter Gewindegang eine schiefe Ebene dar. Hierauf wird deshalb im Fachgebiet „ M a s c h i n e n e l e m e n t e " bei der Gewindeberechnung zurückgegriffen.

16.1

Bestimmung der Reibungszahlen

Eine M e t h o d e zur Bestimmung der Reibungszahlen leitet sich bereits aus den Gleichungen 1, Seite 62 und 2, Seite 62 ( — • A ' l ö ) ab. Eine genauere Methode zeigt Bild 1. Mit einer in ihrem Neigungswinkel a beliebig verstellbaren schiefen Ebene kann das A b w ä r t s g l e i t e n des Prüfkörpers beeinflusst werden. Im Sinne des bisher über die Reibung Gesagten bezeichnet man den Neigungswinkel a, bei dem der Körper gerade die Haftreibung ü b e r w i n d e t , sich also in Bewegung setzt, als

Prüfkörper Skale

a = Neigungswinkel

Bild 1: verstellbare schiefe Ebene

Haftreibungswinkel g0 Verkleinert man nun den Winkel a so lange, bis der Körper mit gleichbleibender Geschwindigkeit abwärts gleitet, dann heißt dieser Winkel

Prüfkörper ^ ^ F h = F g - sin q»jSB

Gleitreibungswinkel g

(O

Dieser ist in Bild 2 dargestellt. Dieses Bild zeigt auch legung der G e w i c h t s k r a f t FG des Prüfkörpers in die triebskraft FH und in die Normalkraft FU ( — • A I S ) . trigonometrische Betrachtung kann natürlich auch Haftreibungswinkel g0 erfolgen. Es ergibt sich somit: Hangabtriebskraft F

U

=

F( G

"

sm

£

die ZerHangabDieselbe für den

Q\

\

Fn= FQ • COS Q

\j

Bild 2: Zerlegung von FG

Normalkraft

Ja

F

N

=

F

G

'

C

O

S

Q

0

Für den angenommenen Fall der A b w ä r t s b e w e g u n g mit konstanter Geschwindigkeit muss Kräftegleichgewicht zwischen der Hangabtriebskraft F H und der Gleitreibungskraft F R gegeben sein: Somit: ^H =

Fh

FG • sin Q = JLI • Fn = /# • FG • cos g. Nach // umgestellt ergibt sich: G "s m Q sin g sin g ju = F = tan g ist die • cos g cos g • Mit C Q S G

Von besonderer Wichtigkeit ist die Selbsthemmung zweier sich berührender Maschinenteile. Eine solche kann unbedingt erforderlich sein, in anderen Fällen - w e n n ein Gleiten unabdingbar vorausgesetzt wird - darf Selbsthemmung natürlich nicht auftreten.

A16

16.2

Reibung auf der schiefen Ebene

65

Selbsthemmung

Liegen zwei Körper, deren Berührungsflächen geneigt sind, aufeinander, ohne dass sie selbstt ä t i g gegeneinander verrutschen, dann sagt man, dass Selbsthemmung vorliegt. Bei der schiefen Ebene ist dies so lange der Fall, wie der Neigungswinkel a der schiefen Ebene kleiner ist als der Haftreibungswinkel g0. Aus dieser Überlegung ergibt sich die

Treten allerdings (unkontrollierbare) Einflüsse, wie z. B. Schwingungen oder Erschütterungen auf, die die Haftreibung aufheben und w o d u r c h der Körper durch die wirkende Hangabtriebskraft in Bewegung gerät, wird Gleichung 1 (sozusagen schlagartig) aufgehoben und es gilt dann die erweiterte Bedingung für die Selbsthemmung. M i t Sicherheit wird Gleiten nur dann ausgeschlossen, w e n n der Neigungswinkel a der schiefen Ebene kleiner als der Gleitreibungswinkel g ist. Die Frage der Selbsthemmung ist bei der Berührung von Bauteilen - z. B. bei Winden, Flaschenzügen, schiefen Ebenen, d. h. auch bei Gewindespindeln - sehr oft (auch aus Sicherheitsgründen) von entscheidender Wichtigkeit. M 2

Lösung

Ein W e r k s t ü c k aus Stahl liegt auf einer schiefen Ebene aus Gusseisen. Der Steigungswinkel der schiefen Ebene beträgt 1 0 ° 1 5 ' . Liegt auch im g e s c h m i e r t e n Z u s t a n d S e l b s t h e m m u n g vor? Aus der Tabelle

1 Seite 6 2 ergibt

sich für

diese W e r k s t o f f p a a r u n g

//0

=

0,1.

Also:

// 0 = t a n £ 0 = 0,1 — • g0 = 5 ° 4 3 ' < a, d.h. keine Selbsthemmung (Werkstück gleitet). Ü 1

Beim Stapellauf eines Schiffes hat die A b l a u f r u t s c h e ein Gefälle v o n 1 : 20, d . h . 1 m senkrechtes Gefälle auf einer w a a g e r e c h t e n Strecke von 2 0 m. Das G e w i c h t des Schiffes beträgt FG = 78 0 0 0 kN. Zu b e s t i m m e n ist die Reibungszahl ju, w e n n das Schiff mit konstanter Ges c h w i n d i g k e i t a b w ä r t s gleitet.

Ü 2

A n einer eigens für den Z w e c k von Containerverladungen konstruierten verstellbaren schiefen Ebene wird festgestellt, dass bei einem Neigungswinkel a = 1 5 , 5 ° ein Container mit d e m G e w i c h t FG = 1 5 0 0 N gleichförmig, d . h . mit konstanter G e s c h w i n d i g k e i t , abwärts gleitet. Es ist also a = g = 15,5°. a) W i e groß ist die Reibungszahl //? b) W i e groß muss eine Kraft F parallel zur schiefen Ebene sein, w e n n der Container bei einem Neigungswinkel a = 3 0 ° nach oben gezogen wird? c) W i e groß muss die Kraft F sein, w e n n sie parallel zur w a a g e r e c h t e n Grundfläche der schiefen Ebene am Körper w i r k t ?

V 1

Welche kleinste Kraft F3 ist in der A n o r d n u n g des Bildes nötig, damit bei Mo = 0 , 2 8 FG = 5 kN F, = 3 0 0 N F? = 5 0 0 N die Haftreibungskraft FR0 ü b e r w u n d e n wird?

Zwei weitere w i c h t i g e Gebiete der Reibung sollen nicht unerwähnt bleiben. Es sind dies die Seilreibung, w i e sie bei von Seilen, Treibriemen etc. umschlungenen Zylindern auftritt und die Rollreibung, z. B. bei Rädern auf der Straße oder bei Kugellagern. Die Zusammenhänge dieser und anderer Reibungsthemen sind dem physikalischen Fachgebiet „Technische Mechanik" zu entnehmen.

66

A

Mechanik der festen Körper

A17

Prinzip von d'Alembert

^ ^ ^ H H H H H H H H I

Im zweiten Newton'schen Axiom ( — • A 1 0 ) ist es so, dass die Massenträgheitskraft der Beschleunigungskraft das Gleichgewicht hält. Der französische Physiker Jean d'Alembert (s.S. 49) hat in dem nach ihm benannten Prinzip weitere auf den Körper wirkende Kräfte einbezogen.

17.1

Erweitertes dynamisches Grundgesetz

Das Grundgesetz der Dynamik ( — • A 1 0 ) , also das zweite N e w t o n ' s c h e A x i o m , besagt, dass der Beschleunigungskraft F (Aktionskraft) die Massenträgheitskraft m • a (Reaktionskraft) entgegen w i r k t . Beide Kräfte (Bild 1) sind gleich groß und sie erzeugen somit auf der gemeinsamen Wirkungslinie Kräftegleichgewicht. Somit ist

f

0 i i i i T r i mi r r x=r

4

i t t v i n m-a x=r

• H H M H H H i

Bild 1: dynamisches Grundgesetz

a

F - m •a = 0

In Wirklichkeit ist es aber so, dass auf einen -FR u I I m I I I Im-äJLL ü b e w e g t e n Körper - in bzw. entgegen seiner A^L-W ^J-J^A x=r Bewegungsrichtung - weitere, den Bewem w i ^ ^ MmwmmmmmmBrnm gungsablauf beeinflussende Kräfte wirken. Dies können z. B. sein: Luftwiderstand, HangBild 2: erweitertes dynamisches Grundabtriebskraft, vor allem aber auch - entspregesetz chend Bild 2 - die Reibungskräfte ( — • A l ö , A16). Das erweiterte dynamische Grundgesetz berücksichtigt neben der Beschleunigungskraft und der Massenträgheitskraft auch alle anderen an einem Körper angreifenden Kräfte, und zwar in und entgegen der Bewegungsrichtung. Bild 2 zeigt diese Betrachtungsweise unter Einbeziehung der Reibungskraft FR. Nach dem Wechselwirkungsgesetz ( — • A I O ) muss die Aktionskraft gleich der S u m m e der Reaktionskräfte sein, d. h. für den dargestellten Fall gilt: F' = m • a + FR

= 0

Die A n n a h m e dieses Kräftegleichgewichts wird - wie bereits gesagt - als das Prinzip von d'Alembert bezeichnet. Dieses lautet: Alle auf einen bewegten Körper wirkenden Kräfte in und entgegen der Bewegungsrichtung, einschließlich der Massenträgheitskraft, haben zusammengenommen den W e r t null.

17.1.1

Bewegung auf horizontaler Bahn

Da die Reibungsraft ( — ^ A 1 5 , A16) grundsätzlich der Bewegung entgegen gerichtet ist, ergeben sich die folgenden beiden Fälle: beschleunigte Masse

verzögerte Masse

v,a F

m p

-a

I \Fn

j^N ma

ma

FBr

m F

R

V/////////////-///7/////////////A Bild 3: Kräfte an der beschleunigten Masse Beschleunigungskraft F = Fd

+m

• a

Bild 4: Kräfte an der verzögerten Masse Bremskraft FBr

= m •a -

Fr

Prinzip von d'Alembert

A17

67

Bei der Erstellung der Kräftebilanz (Gleichung mit allen Aktions- und Reaktionskräften) ist darauf zu achten, dass die Summe aller beteiligten Kräfte null ist. Der Fahrwiderstand w i r d entsprechend der Reibungskraft ( — • A I 5 ) berechnet: FF = //F • FN. Dabei ist JLIf die Fahrwiderstandszahl. Diese berücksichtigt alle Reibungskräfte, nicht aber den Luftwiderstand ( — • B 1 1 ) . Berechnen Sie die A n t r i e b s k r a f t eines Kfz (Bild), bei /y f = 0 , 0 2 , w e n n dieses bei einer Masse m = 1 8 0 0 kg auf horizontaler Straße in 2 0 Sekunden von v0 = 0 auf v t = 198 km/h beschleunigt w i r d . h = m F = M F = M

a + FF a + juF a +juF m

g = m • (a + juF • g)

F = 1 8 0 0 kg

17.1.2

Av At

108 m 3,6 s 20 s

1800kg • 1,6962-4 =

1 5 in.

i

3 0 5 3kg

m

F

-

F

j, 'n

n

3 0 5 3 IM

Bewegung auf vertikaler Bahn

Bild 1 zeigt die schematisierte Darstellung eines Aufzuges. In einem solchen vertikalen Bewegungssystem ist zusätzlich die Gewichtskraft F G zu berücksichtigen. Nach d'Alembert ist: m-a

+ F

G

+ F

R -F

= 0

1

Somit gilt für die Seilzugkraft bei A u f w ä r t s b e w e g u n g : Seilzugkraft m • a + FN + FD

17.1.3

Bewegung auf der schiefen Ebene

Handelt es sich um die Bewegung auf einer schiefen Ebene, ist entsprechend dem Neigungswinkel a die Hangabtriebskraft F h mit in die Berechnung einzubeziehen ( — • A I S ) . Ebenso wie bei der Bewegung auf vertikaler Bahn muss auch hier zwischen Aufwärtsbewegung und Abwärtsbewegung unterschieden werden, denn die Massenträgheitskraft w i r k t der Beschleunigung entgegen. Wird z. B. auf der schiefen Ebene nach oben beschleunigt (Bild 2), wirken der Zugkraft Fdie K r ä f t e / ^ (Hangabtriebskraft), FH (Reibungskraft) und m • a (Beschleunigungskraft bzw. Massenträgheitskraft) entgegen. Somit besteht das folgende Kräft e g l e i c h g e w i c h t in Richtung der schiefen Ebene:

1

o—r m-a I

H

/A Bild 1: vertikales System

F = F u + Fd -l- m • a

Es gilt also für die erforderliche Zugkraft bei A u f w ä r t s b e w e g u n g : Erforderliche Zugkraft F = FG

• sin a + ju

• FG • cos a + m • a

Die Frage der Selbsthemmung ist bei Berührung von Bauteilen - z. B. bei Winden, Flaschenzügen, schiefen Ebenen, d. h. auch bei Gewindespindeln - sehr oft von entscheidender W i c h t i g keit. Mit einer Aussage über die Selbsthemmung muss immer die Frage einhergehen, ob sich die berührenden Körper gegeneinander in absoluter Ruhe befinden oder ob die Haftreibung durch S c h w i n g u n g e n oder sonstige (unkontrollierbare) Einflüsse aufgehoben werden kann.

68

A

Mechanik der festen Körper

M 2 über s = 1 , 0 m auf v = 9 0 m / m i n nach oben beschleunigt. Zu berechnen sind a) die Seilzugkraft F w ä h r e n d der Beschleunigung (ohne Reibung), b) die Seilzugkraft, w e n n mit a = 2 m / s 2 abgebremst w i r d . Lösung

a) F = m

a + FG

I90 ml2

2 9 4 3 0 kg m / s 2 l 60 s I vz = 3 0 0 0 kg; 2-1m 9,81 m / s 2 2 •s 3 0 0 0 kg 1,125 4 + 29 4 3 0 N = 3 3 7 5 N + 2 9 4 3 0 N = 3 2 8 0 5 N s2 b) Die M a s s e n t r ä g h e i t s k r a f t w i r k t also bei Verzögerung in F a h r t r i c h t u n g nach oben. Somit gilt: 23430N 2 9 4 3 0 N - 3 0 0 0 kg • 2 ^ F + m • a = Fr M 3

N e b e n s t e h e n d e A b b i l d u n g zeigt eine Masse, die auf einer schiefen Ebene a b w ä r t s durch eine Kraft F beschleunigt w i r d . E n t w i c k e l n Sie eine Gleichung zur Berechnung der Beschleunigung a, w e n n FG, F, A und F.I bekannt sind.

Lösung

m • a = F + FH — F R F + FH - FR F + FQ • sin a — JLI • FG • c T m m m m FC F M i t jjf = g erhält man: a = + g • (sin« - // • cosa)

(sin a — n • cos a)

Ü 1

W e l c h e S c h u b k r a f t ist erforderlich, um eine Rakete mit der Masse m = 2 8 0 kg mit der dreif a c h e n Erdbeschleunigung (ohne Berücksichtigung des L u f t w i d e r s t a n d e s ) senkrecht nach oben zu beschleunigen?

Ü 2

Ein festgefahrenes A u t o mit dem G e w i c h t FG = 1471 5 N w i r d v o n einem Schlepper auf waagerechter Strecke mit a = 0 , 5 m / s 2 abgeschleppt. W e l c h e Z u g k r a f t t r i t t im Abschleppseil auf, w e n n z w i s c h e n den Rädern des A u t o s und d e m Untergrund m i t einer F a h r w i d e r s t a n d zahl = 0 , 2 5 gerechnet w e r d e n muss?

MEILENSTEINE Zeit- bzw. Lebensraum

Akteur

von 1 7 3 6 bis 1819 James W a t t Abgebrochene Mechanikerlehre, dann Instrumentenmacher an der Universität Glasgow. Bei seinen Arbeiten zeigte sich W a t t sehr findig und er entwickelte auch neue Versuchsgeräte. O b w o h l er „ n u r " Handwerker war, scharten sich die wissenschaftlich ausgebildeten Mitarbeiter der Universität um ihn. Dabei war ihm auch seine freundliche A r t von Nutzen. Nach W a t t ist die Leistungseinheit mit W bezeichnet. In vielen Wortkombinationen ist der Name W a t t eingebunden z. B. Wattsekunde. Fortsetzung Seite 7

Naturwissenschaftlich-technisches Ereignis Weltbekannt w u r d e W a t t durch die Erfindung einer Dampfmaschine mit wesentlich größerem Wirkungsgrad als die bisher von Thomas N e w c o m e n und Denis Papin konstruierten Maschinen. Im Gegensatz zu diesen Konstruktionen gelang W a t t eine Ersparnis an Steinkohle von beinahe 6 5 % , der Wirkungsgrad betrug 3 % . Dieser Wert erscheint uns heute als sehr gering, er war aber e t w a zehn mal so groß wie der Wirkungsgrad der Maschinen seiner Konkurrenten. W a t t hat im Zusammenhang mit der E n t w i c k l u n g seiner Dampfmaschine das Schubkurbelgetriebe erfunden. Damit war es möglich, die Translationsbewegung des Kolbens in eine Rotationsbewegung umzuwandeln. Er führte die Pferdestärke PS als Leistungseinheit ein. Es gilt: 1 Kilowatt (kW) « 1,36 Pferdestärken (PS)

A18

A18

Arbeit und Energie

Arbeit und Energie

69

iiaiss

Energie ist gespeicherte Arbeitsfähigkeit, sie ist umwandelbar und grundsätzlich an einen Energieträger, etwa Wasser, Dampf, Wind, Gas, Strahlung oder elektrische Ladung gebunden.

18.1

Die mechanische Arbeit

Viele Tätigkeiten des täglichen Lebens, die mit A n s t r e n g u n g und damit verbundenen Ermüdungserscheinungen einhergehen, können im Sinne der Physik nicht als Arbeit bezeichnet werden. Dies gilt nicht nur für geistige Arbeit, sondern durchaus auch für Tätigkeiten, die mit Bild 1: Arbeit = Kraft • Weg dem A u f w a n d von körperlicher Kraft verbunden sind. Entsprechend Bild 1 gilt im Sinne der Physik: Arbeit wird stets dann verrichtet, w e n n eine Kraft längs eines zurückgelegten Weges wirkt. Als Wirkung der Kraft muss also ein zurückgelegter Weg feststellbar sein. Aus dieser Überlegung folgt die Definition der mechanischen Arbeit: Arbeit ist das Produkt aus der wirkenden Kraft F und dem zurückgelegten Weg s des bew e g t e n Körpers in Kraftrichtung. Nach DIN 1 3 0 4 wird als Formelzeichen der mechanischen Arbeit W (ersatzweise A) v e r w e n d e t , und w e g e n der Ansiedlung innerhalb der Mechanik spricht man von der mechanischen Arbeit, im Gegensatz etwa zur elektrischen Arbeit ( — • F 2 ) . Entsprechend der Definition für die mechanische Arbeit gilt: Mechanische Arbeit W

= F •

LI/1/] = [F] • [s]

= N • m =

Nm

Die abgeleitete Einheit der mechanischen Arbeit ist das Newtonmeter. Gemäß Einheitengesetz gilt jedoch das Folgende:

Die abgeleitete Sl-Einheit für die mechanische Arbeit ist das Joule (Einheitenzeichen: J). 1 J ist gleich der Arbeit, die verrichtet wird, w e n n der Angriffspunkt der Kraft F = 1 N in Richtung der Kraft und damit der Körper um den Weg s = 1 m verschoben wird. In aller Regel wird - wegen der guten Abgrenzung der physikalischen Fachgebiete - in der Mechanik für die Arbeit (und die Energie) die Einheit Nm v e r w e n d e t . In der Wärmelehre ( — • C2) w i r d hingegen für die Wärmeenergie das Joule (J) verwendet. Weiterhin ist für die elektrische Arbeit bzw. die elektrische Energie die Einheit Wattsekunde (Ws) üblich. Diese drei Einheiten sind gleichwertig (äquivalent): 1 J = 1 Nm = 1 Ws

Im F, s-Diagramm entspricht die Fläche unterhalb der Kraftlinie der verrichteten mechanischen Arbeit.

Kraftlinie

—•

Gleichung 1 (W = F • s) entspricht in ihrem Aufbau der Formel zur Berechnung einer Rechteckfläche (A = / • b). Vergleichbar mit dem v, f-Diagramm ( — • A6) ergibt sich hier bei konstanter Kraft eine Rechteckfläche als Abbildung der mechanischen Arbeit. Man nennt diese Abbildung das Kraft, Weg-Diagramm (F, s-Diagramm), und zwar in einem rechtwinkligen Koordinatensystem (Bild 2).

z

Zeichnerische Darstellung der mechanischen Arbeit

Kraft F

18.1.1

W

s

Weg s

Bild 2: Arbeit als Fläche

m •

70

Mechanik der festen Körper

A

Bei nicht über den Weg konstanter Kraft wird entsprechend Bild 1 verfahren. Die Gesamtarbeit ergibt sich dann aus der Summe der Einzelarbeiten. Somit gilt:

- ^ ^ K r a f t :linie

W,

w2

Gesamtarbeit 1/1/

ges

Bild 1: Gesamtarbeit

= 11/1/

18.1.2

Arbeitskomponente und arbeitslose Komponente der Kraft

Bild 2 zeigt, dass die wirkende Kraft durchaus nicht in W e g r i c h t u n g zu zeigen braucht. Ebenso w i e bereits beim Drehmoment wird die Schrägkraft zerlegt ( — • A I S ) , und zwar so, dass eine Kraftkomponente in Wegrichtung zeigt. Diese Komponente Fx heißt Arbeitskomponente. Die senkrecht dazu gerichtete Komponente Fy w i r d als arbeitslose Komponente bezeichnet.

•43

ir V77

Bild 2: Schrägkraft

Die A r b e i t s k o m p o n e n t e errechnet sich gemäß Bild 2 mit Hilfe der Kosinusfunktion. Mechanische Arbeit B

18.2

W = F • cos a • s

Energiearten und Energiespeicherung

Energie kann nach ihren A r t e n unterschieden werden, so z. B. in elektrische Energie ( — • F2), chemische Energie, Kernenergie ( — • G3), mechanische Energie ( — • A18, A 2 0 , A 2 1 , B9), Wärmeenergie ( — ^ 0 2 , C15, C16) u . a . Energie kann also in verschiedenen Formen auftreten und ist unter bestimmten Voraussetzungen umwandelbar. Dies heißt, dass z. B. aus mechanischer Energie elektrische Energie erzeugt werden kann. A m Beispiel eines Wasserkraftwerkes (Speicherkraftwerk) im Bild 3 ist dies zu erkennen, denn dort wird von der Turbine ein elektrischer Generator ( — • F1, F6) angetrieben. Unter Energie versteht man die gespeicherte Arbeitsfähigkeit, d. h. die Fähigkeit eines Systems Arbeit zu verrichten. Aus dieser Definition geht die Gleichwertigkeit (Äquivalenz) von Arbeit und Energie hervor, und sie bestätigt nochmals die Gleichwertigkeit verschiedener Energiearten, worauf in der folgenden Zusammenfassung und im Punkt 18.3 nochmals eingegangen wird. Energieart

Energieeinheit

Mechanische Energie

Nm oder J

Wärmeenergie

J bzw. kJ

Elektrische Energie

Ws bzw. kWh

1 kJ = 1 0 0 0 J = 1 0 0 0 Nm = 1 0 0 0 Ws 1 k W h = 3 6 0 0 0 0 0 Ws

A18

18.3

Arbeit und Energie

71

Die Gleichwertigkeit der mechanischen Arbeit und der mechanischen Energie

Ein Stausee, der gegenüber der Kraftwerksturbine (Bild 3, Seite 70) einen großen senkrechten A b s t a n d nach oben hat (geodätischer Höhenunterschied), beinhaltet - bei gleicher Wassermasse - mehr gespeicherte Arbeitsfähigkeit als ein gegenüber der Turbine tiefer gelagerter Stausee. A u f diesen Sachverhalt soll nun eingegangen werden.

18.3.1

Hubarbeit und potentielle Energie

Bild 1 zeigt eine Hubeinrichtung in Form einer festen Rolle. Die zum Heben der Last erforderliche mechanische Arbeit wird als Hubarbeit bezeichnet und ist im Sinne der Gleichung 1, Seite 69 berechenbar: Hubarbeit Wh

= F-h

-

Bei Vernachlässigung der Reibung ist: F = FG = m • g. Durch diesen Vorgang verändert die Masse ihre Lage, sie bewegt sich aus Position © in Position Durch Zufuhr der Hubarbeit hat sich somit die Energie der Masse - durch die „Hochlage des Körpers" - um einen bestimmten Betrag, der der Hubarbeit entspricht, vergrößert. Diesen Betrag der Energie bezeichnet man - auf eine bestimmte Bezugsebene bezogen - als Energie der Lage oder als potentielle Energie (Formelzeichen 1/1/ ). Somit gilt: Man bezeichnet die Energie einer Körpermasse infolge ihrer Hochlage (bezogen auf eine Bezugsebene) als Energie der Lage bzw. als potentielle Energie. Dies gilt z. B. auch für die Wassermasse im Bild 3, Seite 70 und mit l/\/h = W

w

potentielle Energie

folgt für die m

9

h

kg

m/s2

m

vv

W p o ,

= FG-h

=

pot

m g h

0

Nm = J

N

Bezogen auf die Ebene 0 (Bild 1) ist also die potentielle Energie in Höhe der Ebene d) um den Betrag der zugeführten Hubarbeit größer geworden. Somit gilt: Die zugeführte Hubarbeit Wh entspricht der Zunahme der potentiellen Energie Wpot gehobenen Körpers. •

des an-

Arbeit auf der schiefen Ebene und goldene Regel der Mechanik

Im Kapitel A13 wurde die Kraftübersetzung an der schiefen Ebene besprochen. Mit den dortigen Erkenntnissen kann in Verbindung mit Formel 1 und den Bezeichnungen des Bildes 2 auf das Folgende geschlossen werden:

m\V v ^^^^ /

Arbeit auf der schiefen Ebene W

= Fu-s

=

^1

1Fg

Fn

Im Bild 2 wird der senkrechte Höhenunterschied h = Hubhöhe ü b e r w u n d e n . Aus der Geometrie dieses Bildes ergibt sich

Bild 2: Schiefe Ebene

In Gleichung 3 eingesetzt: W

=

Fn

F

g

• h.

Somit gilt:

Arbeit auf der schiefen Ebene W

= F~ • h

1F

72

A

Mechanik der festen Körper

Setzt man die Gleichungen 3, Seite 71 und 4, Seite 71 gleich, dann ergibt sich Fh • s = FG • h und damit die Begründung, w a r u m die schiefe Ebene als einfache Maschine v e r w e n d e t werden kann. Es lässt sich nämlich mit einer relativ kleinen Kraft F H eine große Last FG heben, allerdings ist dazu ein großer W e g s erforderlich. Dies geht aus der umgestellten Gleichung Fh • s = FG • h hervor: c H

h

F

S

G

Die allgemeine Formulierung dieses Gesetzes erfolgt durch die Goldene Regel der Mechanik: Was an Kraft weniger aufgewendet wird, muss im gleichen Verhältnis mehr an Weg zurückgelegt werden. Allgemein kann festgehalten werden, dass die Hubarbeit unabhängig v o m zurückgelegten Weg ist. Es k o m m t einzig auf den senkrechten Höhenunterschied h bzw. Ah an. M 1

Ein M a n n dreht g e m ä ß n e b e n s t e h e n d e m Bild eine Kurbel mit dem Kurbelradius r = 0 , 5 m bei einer Handkraft F H = 2 5 0 N /' = 8 0 mal herum. a) W i e groß ist das auf die Kurbel übertragene Drehmoment? b) W e l c h e Arbeit hat der M a n n verrichtet? c) Zeichnen Sie das zugehörige F, s - D i a g r a m m .

Lösung

a) Bei der A n n a h m e , dass die Handkraft stets im W i n k e l 9 0 ° zum Kurbelradius angreift, ergibt sich M = Fh- r = 2 5 0 N - 0 , 5 m = 125 Nm b) W = F h • s = Fh • d • 7i • / = FH • 2 • r • n • / W = 2 5 0 N • 2 • 0 , 5 m • TT • 8 0

W = 62831 Nm = 62831 J = 250 N; s = 2 • r • n • i = 2 • 0 , 5 m • TT • 8 0 s = 251,33m

c) FH

M 2

Ein Arbeiter geht v o m 1. Stock in den 3. Stock eines Fabrikgebäudes. Er hat eine Körpermasse v o n 75 kg, und er t r ä g t eine Last von 2 5 0 N. Die Geschosshöhe b e t r ä g t 3 , 2 m. W i e groß ist die verrichtete Arbeit? = (/7?1 • g + FG2)

• /? = (75 kg • 9 , 8 1 ^

+ 250N) • 2 • 3,2m

W = 985,75N • 6,4m = 6309Nm M 3

N e b e n s t e h e n d e s Bild zeigt einen zweiseitigen u n g l e i c h a r m i g e n Hebel ( — • A 1 3 ) . M i t der Kraft F^ w i r d die Last F2 gehoben. Beweisen Sie die Goldene Regel der M e c h a n i k am Beispiel dieses Hebels.

Lösung

w^ = W , = F,

W0

18.3.2

= F~

Strahlensatz:

s9

Hebelgesetz:

F2

Kraft Fy

s 1

/,

L L = 'F 1 • /— • s1 •/ — = 1 F • s '9= 1W ' 'O '1

Dies w a r zu beweisen!

Beschleunigungsarbeit und kinetische Energie

Bild 1 zeigt die Beschleunigung einer Masse m von der Geschwindigkeit v0 = 0 auf v t . Dazu ist eine Beschleunigungskraft ( — • A 1 0 ) erforderlich. Es ist F = m • a.

vn=0 F.a TZ

jY

'////////$///%////

Bild 1: Beschleunigte Masse

^

F.J*

A18

Arbeit und Energie

73

Multipliziert man diese Kraft mit dem zurückgelegten Weg s, dann erhält man für die Beschleunigungsarbeit

1/1/

m

= m •a • s

Nm = J

kg

s

a

m/s

2

m

Bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung ( — ^ A 7 ) ist a -W=m-

2 •s

• s.

2 • s

. Somit ergibt sich:

Schließlich nach dem Kürzen von s:

Beschleunigungsarbeit

m

Nm = J

v

=

V

x

m/s

kg

Analog zur Hubarbeit bzw. der Zunahme an potentieller Energie gilt auch hier: Die zugeführte Beschleunigungsarbeit entspricht der Zunahme der Bewegungsenergie. Die im bewegten Körper gespeicherte Arbeitsfähigkeit wird als Bewegungsenergie bzw. als kinetische Energie bezeichnet. Aus dem beschriebenen Sachverhalt ergibt sich für die kinetische Energie wki„ = f

m

wki„ Nm = J

•

V

kg

m/s

I Die kinetische Energie eines bewegten Körpers (Bewegungsenergie) errechnet sich aus dem I Produkt der halben Körpermasse und dem Quadrat der Körpergeschwindigkeit. Ä n d e r t sich die Geschwindigkeit eines Körpers um Av = vt — vQI dann ergibt sich für die Änderung der kinetischen Energie AWkin =

f

©

vn=0

•

U m w a n d l u n g von potentieller Energie in kinetische Energie

Situation 0 im Bild 1 zeigt eine Masse m mit der Geschwindigkeit vQ = 0 in der Höhe h über Situation 0 . Situation 0 : 1/1/.-kin© = w0

und

1/1/ r r pot©

m

g • h

Situation © im Bild 1 zeigt die Masse am Ende der Fallhöhe h ( — • A7) und es ergibt sich die Endgeschwindigkeit der Masse, also die Fallgeschwindigkeit zu v t = yj2 • g h . Somit erhält man für die Situation

l/l/ p o t @ = 0 und

V

l/l/ k i n @ = ^ •

= f

• ( V 2 -g-hV

v

x=^2-g-h

©

Bild 1: Energieumwandlung = m • g • h = Wpi

A m Beispiel des freien Falls ( — ^ A 7 ) lässt sich also erkennen: Potentielle Energie lässt sich vollständig in eine äquivalente (gleichwertige) kinetische Energie umwandeln. Anschauliches Beispiel hierfür ist ein Fadenpendel (Schaukel). Die Bewegung des Fadenpendels ist durch ein fortwährendes Umwandeln von potentieller Energie in kinetische Energie und umgekehrt von kinetischer Energie in potentielle Energie gekennzeichnet. In den Umkehrpunkten hat die Pendelmasse nur potentielle Energie, beim Durchschwingen durch die tiefste Lage nur kinetische Energie.

74

A

M 4

Lösung

Mechanik der festen Körper W e l c h e Beschleunigungsarbeit muss verrichtet w e r d e n , d a m i t ein Pkw m = 1 0 5 0 kg in 8 s v o n 0 auf 1 0 0 k m / h beschleunigt w e r d e n kann? 100 m _ Av _ 3,6 s 3,472 W = m •a •s At 8s n ^ , . f 2 = M 7 | m ^ . ( g S s ) 2 s =

m i t der

Masse

111,1 m

W

= 1 0 5 0 k g • 3 , 4 7 2 m / s 2 • 111,1 m = 4 0 5 0 2 6 , 1 6 N m = 4 0 5 k N m

M 5

Ein Körper mit der Masse m = 5 0 kg fällt 6 , 0 m frei herab. Berechnen Sie die Endgeschwindigkeit v t und die dadurch vorhandene kinetische Energie des Körpers.

Lösung

v t = ^2

• g • h = ^ 2 • 9,81 ^

• 6 , 0 m = ^117,71 ^

(10,85 i ^ )

18.4

2

=

2943

= 10,85 m

2 9 4 3 Nm

Der Energieerhaltungssatz und Beispiele der Energieerhaltung

A m Beispiel der Umwandlung von potentieller Energie in kinetische Energie (Bild 1, Seite 73) w u r d e die Aussage gemacht, dass eine Energieform in eine andere Form von Energie umgew a n d e l t werden kann. Allerdings wurde dort stillschweigend eine verlustfreie Energieumwandlung vorausgesetzt. Diese A n n a h m e ist jedoch für technische Vorgänge unrealistisch, denn es entstehen immer irgendwelche „Verlustenergien", die dem Prozess dann nicht mehr zur Verfügung stehen (z.B. durch Reibung). Die S u m m e aller im Universum vorhandenen Energien bleibt erhalten (konstant). Energie kann weder aus Nichts g e w o n n e n werden noch geht sie verloren. Energie kann nur von einer Energieform in eine andere Energieform umgewandelt werden. Andererseits können einem technischen Vorgang auch weitere Energiebeträge von außen zufließen. Diese „Energieflüsse" beschreibt der Energieerhaltungssatz:

Einige Beispiele aus der Technik sollen diese w i c h t i g e Regel erläutern.

18.4.1

Energieerhaltung bei der Umwandlung von mechanischer Energie in Wärmeenergie und umgekehrt

Beim Betätigen einer Fahrrad-Luftpumpe ist feststellbar, dass sich diese e r w ä r m t . Beim Pumpen findet also eine U m w a n d l u n g von mechanischer Energie (Kraft • Weg) in Wärmeenergie statt. Außerdem w i r d dabei Druckenergie produziert, und die Summe der u n g e w o l l t erzeugten Wärmeenergie und der gewollten Druckenergie entspricht in guter Annäherung der über den Kolben zugeführten mechanischen Arbeit. Um diesen Vorgang wirklich verstehen zu können, ist es erforderlich, sich mit den entsprechenden Gesetzen der Thermodynamik ( — ^ 0 4 , C5, C15, C16) zu beschäftigen. A u c h der umgekehrte Vorgang, nämlich die U m w a n d l u n g von Wärmeenergie in mechanische Energie lässt sich vollständig nur mit Kenntnissen aus der Thermodynamik verstehen ( — • C4, C5, C15, C16, C17, C18). In der technischen Praxis wird eine solche Energieumwandlung mit den Wärmekraftmaschinen realisiert. Folgendes Schema zeigt dies am Beispiel einer Dampfkraftmaschine: Wärmeenergie durch die Verbrennung des Brennstroffes

—•

Druckenergie durch die Verdampfung des Wassers

—•

Mechanische Energie durch die Bewegung der Kolben

Es wird nochmals darauf hingewiesen, dass beim Betrieb von Maschinen und anderen technischen Anlagen unausweichlich Energieverluste auftreten. In Gleichung 1 wird dies pauschal erfasst. Eine dies berücksichtigende Größe ist der Wirkungsgrad ( — • A 2 0 ) .

Arbeit und Energie

A18

18.4.2

75

Energieerhaltung beim wirklichen Stoß

Lektion A 1 4 behandelt den verlustfreien Stoß, also einen Stoß, bei dem bei Stoßpartnern gleicher Masse eine 100%ige Übertragung der Energie von einem Stoßpartner auf den anderen s t a t t f i n d e t . Dies bedeutet, dass keine Energie aus dem Stoßvorgang abfließt. In diesem Fall bleibt die Gesamtenergie während des gesamten Stoßvorganges konstant. Bild 1 zeigt das entsprechende F, s-Diagramm für den vollkommen elastischen Stoß ( — • A 1 4 ) . Dabei ist zu sehen, dass die im ersten Stoßabschnitt verrichtete Formänderungsarbeit ( — • A 1 8 . 5 ) im zweiten Stoßabs c h n i t t wieder vollständig abgegeben wird. Dabei gilt: W,

=

CD C2 o

=

W, = W2

Verformungsweg s 1. Stoßabschnitt 2. Stoßabschnitt

Bild 1: verlustfreier Stoß

W2

In der technischen Realität, also beim wirklichen Stoß bzw. beim realen Stoß, wird ein Teil der im ersten Stoßabschnitt verrichteten Formänderungsarbeit durch Reibung im Werkstoff in Wärme AW umgewandelt, die durch Wärmestrahlung ( — • A 2 1 ) und durch Wärmeleitung ( — • A 2 1 ) aus dem Vorgang herausfließt. Dies zeigt das / ^ s - D i a g r a m m im Bild 2. Dabei ergibt sich die folgende Energiebilanz: W1

Xx

CO

W2 +

u.

yyyV

\ y ^ x x x x

>
p 2 ) , wirken auf den Kolben auch unterschiedlich große Druckkräfte ( — • B 4 ) . Mit Hilfe eines Indikators ist es möglich, ein F, s-Diagramm aufzuzeichnen, welches Indikatordiagramm ( — • C18) heißt. Im Bild 2 ist ein solches dargestellt. Es ist die zeichnerische Darstellung des themodynamischen Kreisprozesses ( — • C 1 7 , C18). Man erkennt daraus, dass die auf den Kolben wirkende Kraft in jeder Kolbenstellung unterschiedlich groß ist. Da es sich um ein F, s-Diagramm ( — • A I 6.2) handelt, gilt: Die Fläche innerhalb der Indikatorlinie entspricht der Kolbenarbeit WK eines Arbeitshubes.

18.5.2

Federspannarbeit als Formänderungsarbeit

Beim realen Stoß ( — • A I 8 . 4 ) wurde bereits der Begriff der Formänderungsarbeit e r w ä h n t . Sehr augenfällig wird diese bei der Verformung einer Feder ( — • A 1 1 ) . Mit Hilfe des Hooke'schen Gesetzes ( — • A H ) lassen sich Federkräfte berechnen und so ist es auch möglich, für jede Feder - oft auch im Versuch - ein / ^ s - D i a g r a m m zu ermitteln. Dieses wird in der technischen Praxis auch als Federkennlinie bezeichnet. Dabei können drei unterschiedliche Verhaltensweisen einer Feder - je nach Konstruktionsart - auftreten. Dieses spezielle Federverhalten wird im Bild 3 dargestellt:

Kolbenhub s

•

Bild 2: Indikatordiagramm

Bild 3: Verschiedene Federkennlinien Die beim Spannen einer Feder aufgewendete Arbeit heißt Federspannarbeit WF. Bezogen auf das / ^ s - D i a g r a m m gilt auch hier: Die Federspannarbeit ist eine Formänderungsarbeit und entspricht im F, s-Diagramm der Fläche unter der Federkennlinie.

A18

•

Arbeit und Energie

77

Berechnung der Federspannarbeit

Die Ermittlung der Federspannarbeit ist - entsprechend der bisherigen Informationen - identisch mit der Ermittlung der Fläche unter der Federkennlinie. Diese Fläche ist bei linearer Federkennlinie auch geometrisch einfach berechenbar. Dabei muss man unterscheiden zwischen einer Verformung aus ungespanntem Zustand (Bild 3, Seite 76), d. h. Fy = 0; und einer Verformung mit Vorspannung [F^ ^ 0). Legt man Bild 3, Seite 76 zugrunde, dann ergibt sich für die Maximale Federspannarbeit

bei maximalem Federweg (Formel 1) in Nm.

i/i/ W

bei beliebigem Federweg gilt Formel 2:

max

i max =

'

„

rr

Federspannarbeit Wf

f

=

Aus Lektion A11 ist der Begriff Federsteifigkeit c (Federkonstante) bekannt: c = F/s. Damit ist F = c • s. Für F wird c • s in Gleichung 2 eingesetzt. Man erhält dann Gleichung 3:

•s

Federspannarbeit (ohne Vorspannung) Wf

=

2

S

0

Liegt eine Feder mit Vorspannung (F, ^ 0) vor, dann ergibt sich ein F, s-Diagramm entsprechend Bild 1. Die Berechnung von Wf entspricht der Berechnung der abgebildeten (schraffierten) Trapezfläche unter der Federkennlinie. Dann ist: Federspannarbeit (mit Vorspannung)

w

F. + F0

f

=

• (s2 -

s

Es ist zwischen Federn ohne Vorspannung und Federn mit Vorspannung zu unterscheiden.

i>

=

c • s, + c

M i t (Sy + s2)

(s 2

= -§-•(«!+

• (s2 - s.,) = (s2 + s j

Federspannarbeit (mit Vorspannung) W,

f

• (sf -

s\)

• (s 2 -

S2) * (S2 ~

c

N/m

s1# s2 m

m

Eine Blattfeder w i r d gemäß n e b e n s t e h e n d e m Bild gebogen. M i t Hilfe eines D y n a m o m e t e r s ( — • A 4 , A10) w i r d die Federsteifigkeit c = 3 , 4 N/cm e r m i t t e l t und die maximale A u s l e n k u n g ist s m a x = 6 c m . Berechnen Sie a) die Federspannarbeit, b) die maximale Federspannkraft F m a x . c) Zeichnen Sie das / ^ s - D i a g r a m m .

Lösung

a) W vv

Wf b) Fmax

(6 c m ) 2 = — • s2 = — 3 4 2 2 cm = 61,2 Ncm = 0 , 6 1 2 Nm = c • s m a x = 3 , 4 N/cm • 6 , 0 c m = 20,4 N

c)

s in mm

Bild 1: Federkennlinie mit Vorspannung

S1).

M 7

f

As " s2

s\ ergibt sich schließlich für die

ST

wf Nm = J

/

wf «1

Führt man nun wieder die Federsteifigkeit c ein, dann ist F 1 = c • s 1 und F2 = c • s2. Dabei nennt man / r 1 auch Vorspannkraft der Feder, während F2 die Kraft bei maximaler Federdehnung ist. Ersetzt man F, und F2 in Gleichung 4, dann ergibt sich: wf

\ p - p 2 - max

78

A

U 1

Mechanik der festen Körper A u f einem H u b w a g e n (Bild) w i r d eine Last t r a n s p o r t i e r t . Es ist FH = 4 5 0 N, a = 3 0 ° , s = 1000m a) W i e groß ist die arbeitslose Komponente? b) W i e groß ist die verrichtete Arbeit? V////S

Ü 2

W e l c h e Energieeinheiten sind Ihnen bekannt?

Ü 3

Was v e r s t e h t man unter der Goldenen Regel der Mechanik?

Ü 4

Was v e r s t e h t man unter dem Energieerhaltungssatz?

Ü 5

Berechnen Sie die Endgeschwindigkeit des im Bild abgebildeten W a g e n s m i t der Masse m = 5 kg, und z w a r ohne B e r ü c k s i c h t i g u n g der Reibung bei v 0 = 0.

Ü 6

A u f w e l c h e m Grundgedanken beruht der L ö s u n g s w e g in Ü 5?

Ü 7

W i e groß ist die E n d g e s c h w i n d i g k e i t des Wagens in Ü 5 - ebenfalls ohne B e r ü c k s i c h t i g u n g der Reibung - w e n n über den g e s a m t e n W e g eine A n t r i e b s k r a f t v o n 1 0 0 N w i r k t ?

Ü 8

W e l c h e Energie in J und in k W h birgt ein Stausee mit einem W a s s e r i n h a l t v o n 8 0 0 0 0 m 3 bei einer m i t t l e r e n Höhendifferenz v o n 3 6 0 m zum K r a f t w e r k (Turbine)?

V 1

W e l c h e kinetische Energie besitzt ein Güterzug mit der Masse m = 5 0 0 0 0 0 kg, w e n n er eine G e s c h w i n d i g k e i t von v = 5 0 k m / h hat?

V 2

W e l c h e Formen an mechanischer Energie sind Ihnen bekannt? Nennen Sie praktische Beispiele (Lösung am besten in tabellarischer Form).

V 3

W e l c h e Energie besitzt eine zylindrische Schraubenfeder mit einer Federsteifigkeit (Federkonstante) v o n c = 6 0 0 N / m m , w e n n sie um 1 0 0 m m z u s a m m e n g e d r ü c k t ist?

12m

Weitere Übungs- und Vertiefungsaufgaben zur mechanischen Arbeit und zur mechanischen Energie finden Sie im Anschluss und in Verbindung zu den H a u p t a b s c h n i t t e n A19 (Mechanische Leistung) und A 2 0 (Reibungsarbeit und Wirkungsgrad). MEILENSTEINE Zeit- bzw. Lebensräum

Akteur

Naturwissenschaftlich-technisches Ereignis

von 1737 bis 1 7 9 8 Volta v e r w e r t e t e die Versuchsergebnisse von Galvani.

Luigi Galvani

Galvani war Mediziner. Er stellte ein Zucken von Froschschenkeln fest, w e n n diese sich mit Kupfer und Eisen berührten. O b w o h l er die Zusammenhänge nicht erkannte, schuf er die Grundlagen des Galvanischen Elements.

von 1 7 4 0 bis 1778

James Hargreaves

Mit der von ihm erfundenen Feinspinnmaschine war es möglich, Baumwollgarn automatisch herzustellen.

von 1 7 4 0 bis 1810

Joseph Michel Montgolfier

Er entwickelte mit seinem Bruder Jacques den ersten Heißluftballon. 1793 machten sie den ersten bemannten Flug.

von 1743 bis 1 8 2 3

Edmund Cartwright

Er schuf eine Webmaschine mit großer Prod u k t i v i t ä t und nannte diese Power Looms. Der Antrieb erfolgte mit Dampf.

Fortsetzung Seite 81

A19

Mechanische Leistung

79

verbunden. Dies ist z. B. bei sportlichen Leistungen oder bei der Leistung von Kraftfahrzeugen der Fall. Je kürzer die Zeit zur Verrichtung einer Arbeit ist, desto größer ist die Leistung.

19.1

Leistung als Funktion von Energie und Zeit

Die mechanische Leistung ist wie folgt definiert: Die mechanische Leistung ist gleich dem Quotienten aus der mechanischen Arbeit und der für die Verrichtung dieser mechanischen Arbeit erforderlichen Zeit. Nach DIN 1 3 0 4 wird für die mechanische Leistung das Formelzeichen P verwendet. Somit gilt: Mechanische Leistung

P

II 0.

Nm/s, J/s i Aus dem Energieäquivalent (—•A18.1) I N m = 1 J = 1 Ws ergibt sich, indem die Gleichung durch die Zeit t geteilt wird, die

Die Leistung 1 W a t t ist relativ klein und die Größenordnung von Leistungen vieler technischer Gerätschaften liegt oftmals viel höher. Meist wird deshalb mit Kilowatt gerechnet. Es ist 1 kW = 1 0 0 0 W. Tabelle 1 soll dazu dienen, eine Vorstellung über die Größenordnung von Leistungen bei deren Umsetzung zu erhalten: Tabelle 1: Leistungen technischer Geräte Mittlere Leistung in kW

Energieumsetzer

0,1 2,3 0,7 1,0 0,5 0,1 0,1 50 2 500 124000 500000

M e n s c h l i c h e Dauerleistung bei mehrstündiger Arbeit H ö c h s t l e i s t u n g des Menschen, z. B. beim Sport Pferd bei mehrstündiger Arbeit Elektrischer Heizofen Tauchsieder Glühlampe Kühlschrank* Pkw Elektrische Lokomotive Walchenseekraftwerk Großkraftwerk

* Kälteleistung bei 3 0 0 1 Inhalt und einer Temperaturdifferenz z w i s c h e n innen und außen von 2 0 °C. Die Leistungsaufnahme (Motorleistung) ist e t w a doppelt so groß.

Vor der Einführung der Sl-Einheiten wurde - insbesondere in der Maschinentechnik - mit der Leistungseinheit Pferdestärke gerechnet. Einheitenzeichen: PS. Bei Umbauten oder Ergänzungen alter Einheiten muss dem Techniker auch heute noch bekannt sein: 1 kW -

1,36 PS

1 PS « 0 , 7 3 6 kW

Der Zusammenhang von PS und kW wird nochmals in Übungsaufgabe Ü 1, Seite 8 0 aufgegriffen.

80

A

Mechanik der festen Körper

19.2

Leistung als Funktion von Kraft und Geschwindigkeit

S e t z t m a n G l e i c h u n g 1, S e i t e 6 9 W = F • s in d i e L e i s t u n g s g l e i c h u n g 1, S e i t e 7 9 e i n , s o e r h ä l t man: p

=

W

F_s

=

u n d

m j t

v

s

=

[P]

( _ ^

A 6

)

ergibt sich für die

N •^

= [F] • [v] Ws = W

=

Nm

Die m e c h a n i s c h e L e i s t u n g P i s t g l e i c h d e m P r o d u k t der w i r k e n d e n Kraft F u n d der momentanen Geschwind i g k e i t v.

A n m e r k u n g : S i n n g e m ä ß e n t s p r e c h e n d zur m e c h a n i s c h e n A r b e i t s p r i c h t m a n bei der m e c h a n i schen Leistung von Hubleistung P h , Beschleunigungsleistung Pa etc. M 1

Drücken Sie die Leistungseinheit W a t t durch Basiseinheiten des S l - S y s t e m s aus.

Lösung

l

= 1 f

w

b M 2 Losung

= 1 Ä b

Ph = 16685

Lösung

,

1

W

=

b

,

M 5 ! g-J

Ein A u f z u g mit der Kabinenmasse AT?1 = 1 3 0 0 kg befördert in t = 6 s eine Last FG2 = 23 kN u m 2 , 8 m senkrecht nach oben. Berechnen Sie die H u b l e i s t u n g Ph in k W und in PS. (m,-g + FG2)-s ( 1 3 0 0 kg • 9 , 8 1 m / s 2 + 23 0 0 0 N) • 2 , 8 m F . s Ph = — = = ^ f = 16 6 8 5 W

PH = 1 6 , 6 8 5 kW M 3

=

PH = 1 6 , 6 8 5 kW •

= 22,69PS

W e l c h e Kraft in N übt eine Zugmaschine bei einer Leistung von 175 k W und einer G e s c h w i n digkeit v o n 4 0 k m / h aus? P

=

F

- v

F = $=

1 7 5

Qg°^

m / s

= 15750N =

15,75kN

3^ 6 Ü 1

Früher w u r d e insbesondere das Pferd als Arbeitstier herangezogen, w a s die Leistungseinheit Pferdestärke begründet. Durch viele Versuche - neb e n s t e h e n d e s Bild zeigt einen solchen an einem B e r g w e r k s s c h a c h t - w u r d e der D u r c h s c h n i t t s w e r t 1 PS = 7 5 k p m / s als m ö g l i c h e Dauerleistung für ein Pferd e r m i t t e l t . W i e viele W a t t sind dies? Vergleichen Sie mit den angegebenen W e r t e n der Tabelle 1 auf der Vorseite. Zur Lösung beachten Sie bitte die Information zur alten Krafteinheit kp ( — • A 1 0 . 2 ) .

Ü 2

Bei einer Fahrgeschwindigkeit von 120 k m / h w i r k t auf einen Kfz-Rückspiegel, hervorgerufen d u r c h den L u f t w i d e r s t a n d , eine Kraft F = 5 0 N . W e l c h e Leistung w i r d für die Ü b e r w i n d u n g dieses L u f t w i d e r s t a n d e s benötigt?

V 1

Begründen Sie im Z u s a m m e n h a n g mit Übungsaufgabe Ü 2 die erreichbare H ö c h s t g e s c h w i n digkeit eines b e s t i m m t e n Fahrzeuges.

V2

Ein G ü t e r w a g e n mit der Masse m = 1 3 8 0 0 k g s t ö ß t mit einer G e s c h w i n d i g k e i t v o n v = 1,8 m/s m i t beiden Puffern gegen einen Prellbock. Jede Pufferfeder hat eine Federkonst a n t e c = 3 0 0 0 N / m m . Berechnen Sie a) den Federweg s in den Puffern b) die mittlere Bremsleistung P.

V 3

Eine Wasserturbine hat einen Durchsatz [ V o l u m e n s t r o m : siehe Mechanik der Flüssigkeiten und Gase ( — • B8)] v o n V = 0 , 3 m 3 / s . Der v o m Wasser durchlaufene H ö h e n u n t e r s c h i e d bet r ä g t h = 5,5 m. W e l c h e Leistung w i r d v o m Wasser auf die Turbine übertragen.

A19

Mechanische Leistung

81

Weitere Übungsaufgaben und Vertiefungsaufgaben zu den Themen mechanische Arbeit und mechanische Leistung befinden sich im Hauptkapitel A 2 0 (Reibungsarbeit und Wirkungsgrad)!

MEILENSTEINE Zeit- bzw. Lebensräum

Akteur

Naturwissenschaftlich-technisches Ereignis

von 1749 bis 1823

Edward Jenner

Er begründete die Impfung mit Pockenlymphe als Schutzmaßnahme gegen die Pocken.

von 1 7 5 2 bis 1 8 3 4

Joseph Jacquard

Erfinder des mit Lochkarten gesteuerten Webstuhls für komplizierte Stoffmuster.

von 1 7 5 3 bis 1809 Blanchard ist während einer Ballonfahrt an einem Schlaganfall verstorben.

Jean-Pierre Blanchard

Ballonfahrer Blanchard war ständiger Verbesserer allerlei Fluggeräts - insbesondere von Ballons.

von 1755 bis 1839

Gespard de Prony

Messung von Drehmomenten mit dem Bremsdynamometer (Prony'scher Zaum).

von 1 7 5 9 bis 1835

Karl Henschel

Bedeutender Fabrikant, Lokomotivbau.

von 1765 bis 1815

Robert Fulton

Erbauer des ersten U-Boots. Der Antrieb erfolgte über eine Handkurbel auf die Schiffsschraube.

von 1 7 6 6 bis 1 8 4 4

John Dalton

Partialdruck und Gesetz von Dalton. Gase und Gasmischungen.

von 1 7 7 0 bis 1831

Thomas Seebeck

Entdecker des thermoelektrischen Effekts.

von 1771 bis 1833 Dass Trevithick seine Lokomotive nicht zum Laufen brachte, lag am nicht ausreichenden Schienenunterbau.

Richard Trevithick

Konstrukteur der ersten funktionsfähigen Dampflokomotiven. Entwicklung von Dampfpumpen zur Entwässerung von Silberminen in Peru.

von 1771 bis 1831

Henry Maudslay

Erfinder der Gewindeschneide-Drehbank.

von 1773 bis 1829 Die Vielseitigkeit Youngs wird deutlich, w e n n man weiß, dass Young bedeutend an der Entzifferung der ägyptischen Hieroglyphen beteiligt war.

Thomas Young

Young war sehr vielseitig. Er war gelernter Augenarzt und Physiker. Ihm gelang die Bestimmung des Elastizitätsmoduls, w o m i t er an Robert Hooke (Gesetz über die elastische Verlängerung) anknüpfte. Seine Erkenntnisse in der Mathematik waren von großer Bedeutung. Entdeckung der Interferenz und Beugung beim Licht.

von 1774 bis 1 8 3 3

Friedrich König

Erfinder der Schnellpresse beim Buchdruck.

F o r t s e t z u n g Seite 85

82

A

A20

Mechanik der festen Körper

Reibungsarbeit und Wirkungsgrad

S o w o h l b e i d e r F l u i d r e i b u n g ( — • A 1 5 . 1 ) als a u c h b e i d e r R e i b u n g f e s t e r K ö r p e r e n t s t e h e n Energ i e v e r l u s t e . P a u s c h a l w e r d e n d i e s e als R e i b u n g s v e r l u s t e b e z e i c h n e t , u n d s i e w i r k e n s i c h a u f den W i r k u n g s g r a d - d e m Qualitätsmerkmal jeder technischen A n l a g e - aus.

20.1

Reibungsarbeit

Bild 1 zeigt die F o r t b e w e g u n g eines Körpers auf seiner Unterlage. Hierzu ist es e r f o r d e r l i c h , die Reibungskraft ( — • A I 5 ) zu ü b e r w i n d e n . Da a u ß e r d e m ein W e g z u r ü c k g e l e g t w i r d , ist für diesen V o r g a n g eine mechanische Arbeit ( — • A18) erforderlich. Es g i l t a l s o : W i r d ein fester Körper auf seiner Unterlage f o r t b e w e g t , d a n n ist zur Ü b e r w i n d u n g der R e i b u n g s a r b e i t ein A u f w a n d an mechanischer Arbeit erforderlich. Den Reibungskräften entsprechen jeweils Gleitreibungsarbeit

Reibungsarbeiten:

Rollreibungsarbeit

Fahrwiderstandsarbeit

WR = MR

WR =

•

• s

B e z o g e n a u f B i l d 1 i s t n o c h z u e r w ä h n e n , d a s s d i e R e i b u n g s k r a f t FR (gungskraft F genau entgegen wirkt.

• Fn • s - A 1 5 ) der F o r t b e w e -

M 1

Beim Verschieben eines Schrankes (Bild 1) ist mit einer Gleitreibungszahl // = 0 . 4 5 zu rechnen. W i e groß ist bei einem S c h r a n k g e w i c h t FG = 5 8 5 N und e i n e m V e r s c h i e b e w e g s = 3 , 7 5 m die verrichtete Verschiebearbeit WR?

Lösung

WR = ju • FN • s = JLI • FG • s = 0 , 4 5 • 5 8 5 N • 3 , 7 5 m = 9 8 7 , 2 N m

Ü1

Ein S c h i f f s h e b e w e r k g e m ä ß Bild bringt auf einem W a g e n m i t der Masse = 1 2 0 0 0 k g ein Schiff mit der Masse m2 = 3 5 0 0 0 kg bei einer Steigung von 15% (tan a = 0,15) auf die Höhe /) = 8 m . Die Fahrwiderstandsziffer beträgt / / F = 0 , 0 1 . Berechnen Sie a) die Hubarbeit l/l/ h , b) die Reibungsarbeit WRI c) die Gesamtarbeit W.

Ü 2

Ein A u t o rollt mit v 0 = 0 den hinunter. Es ist // F = 0 , 0 1 , und den. A u t o m a s s e : m = 6 0 0 kg. a) W e l c h e Endgeschwindigkeit b) W e l c h e n W e g legt das A u t o talen Strecke noch zurück?

Weg s = 5 0 m an einer 1 0 % i g e n Gefällstrecke ( t a n a = 0,1) der auftretende L u f t w i d e r s t a n d soll nicht b e r ü c k s i c h t i g t wererreicht das A u t o am Ende der Gefällstrecke? am Ende der Gefällstrecke auf einer a n s c h l i e ß e n d e n horizon-

V 1

Ein Schienenfahrzeug mit dem G e w i c h t FG = 2 1 0 kN w i r d auf einer 1 0 0 m langen Strecke v o n 0 auf 5 0 k m / h beschleunigt. Die Steigung beträgt 2 % ( t a n a = 0 , 0 2 ) und die Fahrwiderstandsziffer ju f = 0 , 0 3 . Berechnen Sie a) die Hubarbeit, b) die Reibungsarbeit, c) die Beschleunigungsarbeit, d) die Gesamtarbeit.

V 2

Der Bär (fallende Masse einer Ramme) fällt über eine Höhe h = 4 , 0 m frei herab. Die Masse des Bärs beträgt = 5 0 0 kg und z w i s c h e n dem Bären und seinen Führungsbahnen t r i t t eine Reibungskraft FR = 4 0 0 N auf. Berechnen Sie: a) Wpot des angehobenen Bärs, b) die Reibungsarbeit WR beim Fall, c) die A u f t r e f f g e s c h w i n d i g k e i t des Bärs.

A20

20.2

Reibungsarbeit und Wirkungsgrad

83

Energieumwandlung bei der Reibung

Beim Betrieb von Maschinen und anderen technischen Anlagen wird an sehr vielen Stellen - dort w o Reibung auftritt - mechanische Energie in Wärme und/oder Schwingungsenergie, die auch als Schallenergie hörbar sein kann, umgewandelt.

20.2.1

Umwandlung in Wärme- und Schwingungsenergie

Bei allen Reibungsvorgängen entsteht also erfahrungsgemäß Wärmeenergie ( — • C2), und oftmals geraten die an der Reibung beteiligten Körper in Schwingungen, so dass auch Schwingungsenergie • D1) entsteht. Diese entstehenden Energien sind oftmals ungewollt. Sie gehen dem gewollten physikalischen Vorgang verloren und werden deshalb als Verlustenergien bezeichnet. Bei der Reibung fester Körper wird mechanische Energie in Wärmeenergie, oftmals auch in Schwingungsenergie umgewandelt.

20.3

Der mechanische Wirkungsgrad

Bild 1 zeigt die schematische Darstellung eines Drehkranes. Die v o m Elektromotor erbrachte Arbeit heißt aufgewendete Arbeit Wa. Als Nutzen der technischen Anlage ist in diesem Beispiel die Hubarbeit anzusehen. Deshalb heißt sie die Nutzarbeit Wn Diese Nutzarbeit ist um den Betrag der Reibungsarbeit kleiner als die aufgewendete Arbeit Wa. Es gilt somit die folgende Energiebilanz W=Wn+

Wu

1/1/ >

W

Bild 1: A u f w a n d und Nutzen

Es ist leicht zu erkennen, dass die „Qualität einer Maschine" v o m prozentualen Anteil der Reibungsarbeit, bezogen auf die Nutzarbeit, abhängig ist. Diese Qualität wird bei Maschinen und anderen technischen Anlagen mit einer Kenngröße beschrieben, dem Wirkungsgrad. Unter dem mechanischen Wirkungsgrad ;/ versteht man das Verhältnis von Nutzarbeit Wn zur aufgewendeten Arbeit Wa. M i t Wa > Wn ergibt sich, dass dieses Verhältnis immer #/ < 1 ist. Somit gilt:

Da die Nutzenergie in der gleichen Zeit von der technischen Gerätschaft abgegeben wird w i e die aufgewendete Energie in diese hinein fließt, kann man auch schreiben:

E

A

84

Mechanik der festen Körper

20.3.1 3

Der Gesamtwirkungsgrad einer Maschinenanlage

Der Gesamtwirkungsgrad soll am Beispiel des Drehkrans (Bild 1, Seite 83) erläutert werden. Nimmt man einmal an, dass die Wirkungsgrade der einzelnen Anlagenteile w i e folgt gegeben sind, Elektromotor = 0 , 9 4 Seilrolle 1 rj 2 = 0 , 8 5 Seilrolle II rj 3 = 0 , 8 2 Seil rj A = 0 , 7 6 dann ist die folgende Darstellung des Gesamtwirkungsgrades (Bild 1) möglich: 100%

Elektromotor r/ 1 = 0,94

1 0 0 % 0,94 = 94%

Seilrolle I 7] 2=0,85

94%-0,85 = 79,9%

Seilrolle I I >73 = 0,82

79,9%-0,82 = 65,52%

Seil >74= 0-76

6 5 , 5 2 % 0,76 = 49,8%

Bild 1: Gesamtwirkungsgrad eines Drehkranes Der Gesamtwirkungsgrad errechnet sich aus dem Produkt aller Einzelwirkungsgrade. Gesamtwirkungsgrad Vges = K

' >h • •••

W=49,i W =100%

TR CD

"

| ^

|

I £ l ! 8 i = 1 0) | ffi ^ | CD f Bild 2: Energieflussbild co ^ T co ^ T COT

M i t Hilfe eines Energieflussbildes (Bild 2), welches nach dem Amerikaner H. R. Sankey auch Sankey-Diagramm genannt wird, kann der prozentuale Anteil des jeweils durch Reibung in Wärme- und Schwingungsenergie umgewandelten Energiebetrages dargestellt werden.

20.4

Die Reibungsleistung

M i t // = PJPa ist es möglich, bei gegebenem oder errechnetem Wirkungsgrad den Leistungsanteil zu ermitteln, der für die Überwindung der Reibung benötigt wird. Mit der Reibungsarbeit WR und der Zeit t bzw. mit der Reibungskraft Fn und der Verschiebegeschwindigkeit v ergibt sich für die Reibungsleistung

1

w7

Reibungsleistung

A20

Reibungsarbeit und Wirkungsgrad

85

M 4

W i e groß ist die R e i b u n g s l e i s t u n g eines Traktors m i t einer M a s s e m = 1 0 0 0 kg, der eine Last v o n FG = 3 kN bei / / F = 0 , 0 5 in der Zeit t = 6 , 8 m i n über eine Strecke s = 3 k m zieht?

Lösung

PR

=

PR

= 4709,5 W

(m

• g + Fg)

• JLIf • s

t t t ( 1 0 0 0 k g • 9 , 8 1 m / s 2 + 3 0 0 0 N) • 0 , 0 5 • 3 0 0 0 m 6,8 • 6 0 s 4 , 7 kW

(in A n s p r u c h g e n o m m e n e Leistung)

Ü 3

Eine W a s s e r p u m p e f ö r d e r t d u r c h eine R o h r l e i t u n g in der M i n u t e 2 , 5 m 3 Wasser in einen W a s serbehälter, der m i t e i n e m s e n k r e c h t e n H ö h e n u n t e r s c h i e d v o n 3 0 m über der Pumpe liegt. Der E l e k t r o m o t o r des P u m p e n a n t r i e b e s g i b t an die P u m p e eine L e i s t u n g v o n 2 2 k W ab. Ber e c h n e n Sie den G e s a m t w i r k u n g s g r a d v o n P u m p e u n d R o h r l e i t u n g .

Ü 4

Ein Lastzug m i t einer M a s s e v o n i n s g e s a m t 18 0 0 0 kg f ä h r t auf einer u m 12% a n s t e i g e n d e n Strecke ( t a n a = 0,12), w e l c h e eine Länge v o n 4 , 5 k m hat. Er b e n ö t i g t dafür 1 1 , 2 m i n . Ges u c h t ist bei juF = 0 , 0 1 5 a) H u b l e i s t u n g PH in k W

b) R e i b u n g s l e i s t u n g PR in k W

c) G e s a m t l e i s t u n g PGES in k W .

Ü 5

Ein Kfz m i t der M a s s e m = 1 4 0 0 kg f ä h r t m i t v = 6 5 k m / h an einer S t e i g u n g mit 1 2 , 5 % hinauf. W e l c h e M o t o r l e i s t u n g ist erforderlich, w e n n der W i r k u n g s g r a d z w i s c h e n M o t o r und den A n triebsrädern >7 = 0 , 9 b e t r ä g t u n d w e n n die F a h r w i d e r s t a n d s z a h l = 0 , 0 2 5 ist?

V 3

Eine M a s c h i n e ist aus i n s g e s a m t drei A g g r e g a t e n z u s a m m e n g e s e t z t . Die drei Einzelwirkungsgrade betragen = 0,7, i i 2 = 0 , 9 , r/ 3 = 0 , 6 5 . Berechnen Sie den G e s a m t w i r k u n g s g r a d in %.

V 4

A u f einer Drehbank w i r d ein Drehteil m i t einer S c h n i t t g e s c h w i n d i g k e i t v o n 3 8 m / m i n bearbeit e t . Bei einer w i r k e n d e n S c h n i t t k r a f t v o n 6 1 0 0 N g i b t der A n t r i e b s m o t o r eine Leistung v o n 5 k W an die D r e h m a s c h i n e ab. G e s u c h t ist a) die S c h n i t t l e i s t u n g , b) der W i r k u n g s g r a d der M a s c h i n e in % .

V 5

Ein V e r s c h i e b e a g g r e g a t erzeugt zur Ü b e r w i n d u n g der G l e i t r e i b u n g s k r a f t bei einem Leist u n g s a u f w a n d v o n 12 k W eine V e r s c h i e b e k r a f t v o n 5 k N . W i e g r o ß ist die V e r s c h i e b e g e s c h w i n d i g k e i t v?

V 6

Ein S t r a ß e n b a h n - Z u g w a g e n ( Z u g g e s a m t m a s s e m = 10 0 0 0 k g ) w i r d innerhalb v o n 1 0 s v o n 0 auf 3 6 k m / h b e s c h l e u n i g t . Die F a h r w i d e r s t a n d s k r a f t w i r d m i t FV = 0 , 1 4 N/kg, d . h . m i t 0 , 1 4 N pro kg Z u g m a s s e a n g e g e b e n . Der A n t r i e b s w i r k u n g s g r a d b e t r ä g t 0 , 7 6 . Berechnen Sie a) die aus d e m S t r o m n e t z a u f z u n e h m e n d e L e i s t u n g in der B e s c h l e u n i g u n g s p h a s e , b) die aus d e m Fahrt.

Stromnetz

aufzunehmende

Leistung

bei a n s c h l i e ß e n d e r

gleichförmiger

MEILENSTEINE Naturwissenschaftlich-technisches

Zeit- bzw. Lebensraum

Akteur

v o n 1 7 7 5 bis 1 8 3 6

Andre-Marie

v o n 1 7 7 6 bis 1 8 5 6

Amadeo

F o r t s e t z u n g Seite 8 8

Ampere

Avogadro

Ereignis

Der Physiker u n d M a t h e m a t i k e r b e s c h ä f t i g t e s i c h v i e l s e i t i g m i t P r o b l e m e n d e r P h y s i k . Er k o n s t r u i e r t e ein Gerät zu M e s s u n g des elektrischen Stroms (Amperemeter) und machte A u s s a g e n über das Verhalten von benachbarten stromdurchflossenen Leitern. G e s e t z v o n A v o g a d r o , A v o g a d r o k o n s t a n t e : Bei gleichem Druck und gleicher Temperatur haben gleiche G a s v o l u m i n a die gleiche A n z a h l von Teilchen.

86

A

Mechanik der festen Körper

digkeiten ( — • A8) w u r d e bereits zwischen Translationsbewegungen und Rotationsbewegungen unterschieden. Diese unterschiedlichen Bewegungszustände ergeben sich durch den Bezug auf verschiedene Bezugssysteme. Ein besonderes Bezugssystem nennt man auch Inertialsystem.

21.1

Rotationsbewegung

Bereits bei der Behandlung von freien Bewegungsbahnen w u r d e von einem Inertialsystem ausgegangen, ohne weitergehend darauf einzugehen. Dies soll an dieser Stelle geschehen: Unter einem Inertialsystem versteht man ein Bezugssystem, in dem keine Trägheitskräfte auftreten. In einem solchen System behält ein „kräftefreier Körper" seine Geschwindigkeit nach Betrag und Richtung bei. Ein Bezugssystem, das gegenüber dem Fixsternhimmel ruht oder sich ihm gegenüber gleichförmig geradlinig f o r t b e w e g t , ist ein Inertialsystem. Da sich alle Körper in unserem Sonnensystem - bezogen auf den Fixsternhimmel - bewegen, ist es nicht praktikabel, bei technischen Aufgabenstellungen den Bewegungsbezug zum Fixsternhimmel herzustellen, denn die Berechnungen w ü r d e n dadurch viel zu kompliziert. Deswegen kann bei relativ kurzzeitigen Versuchen die Erde als Bezugssystem herangezogen werden. Bei solchen Betrachtungen ist es durchaus auch üblich, noch kleinere Bezugssysteme, z. B. ein Gebäude, zu w ä h len. Ein solches System, das auch Laborsystem genannt wird, kann näherungsweise als ein Inertialsystem betrachtet werden, w e n n man die Eigenbewegung der Erde vernachlässigt. Es ist zu beachten, dass für Betrachtungen, die die Himmelsmechanik betreffen, größere Bezugssysteme, z. B. das Sonnensystem, erforderlich sind. Eine Translationsbewegung ist dann gegeben, w e n n ein starrer Körper bei der Bewegung seine geradlinige Bewegungsbahn ( — • A ö , A6) beibehält. Im Allgemeinen ist es bei der Rotationsbew e g u n g so, dass sich ein starrer Körper um eine Achse dreht (Bild 1). Diese Achse ist dann das Bezugssystem und heißt Rotationsachse. Von einer Rotationsbewegung spricht man, w e n n sich ein starrer Körper relativ zu einem Bezugssystem um eine feste Achse dreht.

21.2

Drehzahl und Umfangsgeschwindigkeit

In den folgenden Betrachtungen wird also immer von einer feststehenden Rotationsachse ausgegangen. Betrachtet man z. B. die rotierende Scheibe im Bild 2, dann sind die Bewegungsbahnen der einzelnen Massenpunkte (z. B. P 1 oder P 2 ) konzentrische Kreise, also Kreise mit dem gemeinsamen Drehmittelpunkt M. Die Geschwindigkeit dieser Punkte ist v o m Abstand zum Drehm i t t e l p u n k t abhängig, denn dieser Abstand (Radius r) ist für die Größe des zurückgelegten Weges bei einer Umdrehung maßgebend. Aus der Geometrie ist bekannt:

y \ m

/Vo' U \

M

p,

y)

\V

Bild 2: Rotierende Scheibe Kreisumfang lu

= n - d

El

Die Kreisbahngeschwindigkeit am Kreisumfang wird als Umfangsgeschwindigkeit v u bezeichnet.

A 21

Drehleistung

87

Es w u r d e bereits gesagt, dass die Kreisbahngeschwindigkeit vom Kreisdurchmesser abhängig ist. Weiter beeinflusst natürlich die Anzahl der Umdrehungen pro Zeiteinheit die Umfangsges c h w i n d i g k e i t . Nach DIN 1 3 0 4 ist der Bezugszeitraum - auf den die Anzahl der Umdrehungen N bezogen wird - die Sekunde, in vielen Fällen dient hierzu aber auch die Minute. Man unterscheidet deshalb wie folgt: Drehzahl (Umdrehungen pro Sekunde)

"

Drehzahl (Umdrehungen pro Minute)

n

[/]

AN = ~Ät

ln] = [t]

AN = Äf

1 [/] = —— [ " ] = [t] = min-1 min

Wird der Durchmesser in Meter angegeben und ist der Bezugszeitraum die Sekunde, so erhält man bei gleichförmiger Bewegung ( — • A6), d. h. bei konstanter Drehzahl bzw. bei konstanter Umdrehungsfrequenz mit der nebenstehenden Beziehung für v\ d

u

f m

1 s

Umfangsgeschwindigkeit vu = n - d • n

-

1

TI • d • n 1000 • 60

21.3

1 = ss - i s

_ s _ 71 • d • n t 1 Anmerkung zu Gleichung 2: Da bei vielen technischen Berechnungen der Durchmesser in mm angegeben wird und der Bezugszeitraum die Minute ist, ergibt sich bei

Umfangsgeschwindigkeit _

=

1 m = 1 0 0 0 mm und 1 min = 6 0 s

B

Berechnung der Drehleistung bei gleichförmiger Drehbewegung

Riemen scheibe

Jj

Fu

XO'

Als Beispiel dient eine Riemenscheibe (Bild 1), die über einen Flachriementrieb angetrieben wird. Dieser überträgt eine Umfangskraft Fu und somit auch ein Drehmoment ( — • A I S ) . Ist das Kraftmoment (Drehmoment) bekannt, dann lässt sich mit Hilfe des Durchmessers die Umfangskraft berechnen. Umfangskraft

Drehmoment F

M = Fu • ^ u 2

m

=

u

d

F

u'

21.3.1

Bild 1 : Riemenscheibe

Drehleistung

Drehleistung =

Z

p

M

V

u

Welle

-A19) P = F • v folgt für die Berechnung der Drehleis-

M i t Hilfe der Leistungsgleichung (tung:

P

Riemen

2-M

^

m

= w

M Nm

m

r m s

m

N

Berechnung der Drehleistung aus Drehmoment und Drehzahl

Koppelt man die Gleichungen 2, 4, 5 in der Reihenfolge 5, 4 und 2, dann ergibt sich Folgenc es * " P = F,, • v.. = —•

Drehleistung M •n 9550

• v,, =

J^

Die Zahlenwerte zusammengefasst und d herausgekürzt ergibt eine Zahlenwertgleichung für die Drehleistung:

• zrkk^r

1000 • 60

P

M

n

kW

Nm

min-1

A

88

Mechanik der festen Körper

Bei d i e s e r - v o m T e c h n i k e r h ä u f i g b e n u t z t e n - Z a h l e n w e r t g l e i c h u n g i s t d a r a u f z u a c h t e n , d a s s in d i e Z a h l 9 5 5 0 E i n h e i t e n ( g e m ä ß d e r G l e i c h u n g e n 5 , 4 , 2 , S e i t e 8 7 ) e i n g e r e c h n e t s i n d u n d dass d e m zufolge die Einheiten u n b e d i n g t e n t s p r e c h e n d d e m Einheitenraster hinter Gleichung 1 e i n z u s e t z e n s i n d ! A u s G l e i c h u n g 7, S e i t e 8 7 e r g i b t s i c h f ü r d a s Drehmoment M

M a n e r h ä l t d a s D r e h m o m e n t M in N m a u s d e m 9 5 5 0 f a c h e n W e r t des Q u o t i e n t e n aus L e i s t u n g P in k W u n d D r e h z a h l n in m i n - 1 .

M Nm

= 9550 • ^

kW

M 1

Die Planscheibe einer Karusselldrehmaschine hat einen Durchmesser v o n d = 5 m. Das zu bearbeitende W e r k s t ü c k hat einen Durchmesser v o n c/1 = 3,5 m. Die S c h n i t t k r a f t am Drehmeißel beträgt Fc = 1 0 6 0 N . Berechnen Sie bei n = 3 m i n - 1 a) die U m f a n g s g e s c h w i n d i g k e i t der Planscheibe in m / m i n , b) das aufzubringende D r e h m o m e n t , c) die Leistung am Drehmeißel, die als Schnittleistung bezeichnet w i r d .

• Losung

„i 7i • d • n 7i • 5 0 0 0 • 3 a) v u = = 1ÖÖ0~~ b) M

= F

• °

c)

P

. =

z

= 1060 N • —^ m z

• 1000*- 6 0 =

m

=

A4 -7,

'

i1 m min

= 1 8 5 5 Nm

1 0 6 0 N

•W

e

l

x

=

5 8 2

'

7 7

^

=

°.583kW

M 2

Eine Welle überträgt bei n = 105 m i n - 1 eine Leistung P = 6 4 kW. W i e groß ist das Drehmoment?

Lösung

M = 9550 • ^ = 9550 • ^ ^

Ü 1

Eine M ö g l i c h k e i t , im Versuch die Größe eines Drehmom e n t e s zu e r m i t t e l n , bietet u. a. ein Bremsdynamometer. Ein solches ist vereinfacht im nebenstehenden Bild abgebildet und heißt auch Prony'scher Zaum. Die Welle m i t d e m Durchmesser d w i r d mit einer K l e m m v o r r i c h t u n g , in der A r t einer Backenbremse, so w e i t abgebremst, dass bei einer b e s t i m m t e n Wellendrehzahl n das G e w i c h t FG, bei einer vorgegebenen Hebellänge /, M o m e n t e n g l e i c h g e w i c h t z w i s c h e n Welle und Hebel erzeugt.

Nm = 5 8 2 1 Nm

W

V

/

a) Ermitteln Sie eine Gleichung für die B e s t i m m u n g der W e l l e n l e i s t u n g in A b h ä n g i g k e i t von FG, / und n, d. h. P = f(FG, /, n) in kW. b) W i e groß ist die Leistung der Welle bei FG = 4 0 N, / = 75 c m und n = 2 5 0 m i n - 1 ? Ü 2

Ein Elektromotor dreht mit n = 1 4 6 0 m i n 1 , und das gemessene D r e h m o m e n t M = 2 0 Nm. Welche Leistung gibt der M o t o r ab?

V 1

A n der A r b e i t s s p i n d e l einer Fräsmaschine w i r d ein B r e m s d y n a m o m e t e r m i t F G = 7 3 5 N bei / = 2 , 2 m belastet. Die Drehzahl beträgt bei ausbalanciertem Hebel n = 9 0 m i n - 1 . Der A n t r i e b s m o t o r hat eine Leistung Pa = 2 2 kW. Berechnen Sie a) Pn, b)

V 2

Die abgegebene Leistung einer Welle beträgt P n = 6 kW. Berechnen Sie die Wellendrehzahl n, w e n n ein D r e h m o m e n t M = 4 0 Nm gemessen w i r d .

beträgt

MEILENSTEINE Zeit- bzw. Lebensräum

Akteur

Naturwissenschaftlich-technisches

v o n 1 7 7 7 bis 1 8 5 1

Hans Christian Oersted

Entdeckte den Z u s a m m e n h a n g zwischen E l e k t r i z i t ä t u n d M a g n e t i s m u s . Er s t e l l t e e r s t m a l s A l u m i n i u m her.

Fortsetzung Seite 9 4

Ereignis

A22

A22

Rotationskinematik

89

Rotationskinematik

Aus Hauptkapitel A5 ist bereits bekannt, dass Kinematik die Lehre von den geometrischen Bewegungsverhältnissen fester Körper und Mechanismen ist. Sie lässt die die Bewegung verursachenden Kräfte unberücksichtigt.

22.1

Die Bewegungszustände bei Rotation

Im speziellen Fall der Rotation spricht man von der Rotationskinematik, die - entsprechend der Translation ( — • A ö ) - unterteilt wird in die gleichförmige Drehbewegung und in die beschleunigte Drehbewegung.

22.1.1 •

Die gleichförmige Drehbewegung

Die Winkelgeschwindigkeit

Bezieht man den Drehwinkel cp (Bild 1) auf die für die Drehung benötigte Zeit, dann spricht man in der Physik von der Winkelgeschwindigkeit. Im Einheitengesetz heißt es:

n = konstant

1 Radiant ( — • A 4 ) pro Sekunde ist gleich der Winkelgeschwindigkeit eines gleichförmig rotierenden Körpers (konstante Drehzahl), der sich in der Zeit 1 s um den Winkel 1 rad dreht. Winkelgeschwindigkeit

Acp At

CO

Acp a7

D

rad/s

rad

s

Einheitskreis Drehachse

Bild 1: Drehwinkel und Zeit

Einheit der Winkelgeschwindigkeit: 1 Radiant pro Sekunde = 1 rad/s = 1/s = s

1

(—•A4)

1

Für eine Umdrehung ist t = co =

= ^j™

und cp = 2n rad (Vollkreis). Somit wird

= 2 • 71 • n. Damit ergibt sich für die n CO 1 s

sQ-1

- 1 - s"

n = Umdrehungsfrequenz

Rechnet man mit der Drehzahl n in m i n - 1 , dann ist Gleichung 2 auf der rechten Seite durch 6 0 zu teilen. Kürzt man noch die 2, dann ergibt sich in Form einer Zahlenwertgleichung für die Winkelgeschwindigkeit 30 •

n

CO

M

1/S =

S"

1

min-1

Drehzahl

Die Umfangsgeschwindigkeit als Funktion der Winkelgeschwindigkeit

Bei der gleichförmigen Drehbewegung berechnet sich die Umfangsgeschwindigkeit v = s/t ( — • A ö ) w i e folgt: Mit s = 2 • 7i • r (Vollkreis) und t = Mn (eine Umdrehung) und mit co = 2 • n • n ergibt sich 2 • TI • r = 2 • ti • a • /? = co - r. Es gilt also für die Mn CO r Umfangsgeschwindigkeit m/s

S"1

m

Die Umfangsgeschwindigkeit v u ist gleich dem Produkt von Winkelgeschwindigkeit co und Radius r des Drehkörpers.

90

Mechanik der festen Körper

A

Ein Rad m i t d e m Durchmesser d = 65 c m dreht mit n = 120 m i n 1 . Berechnen Sie a) die W i n k e l g e s c h w i n d i g k e i t co,

^ _ _

•

7t • 30

n _ n • 120 30

s_!

b) die U m f a n g s g e s c h w i n d i g k e i t v u . r-

= 12,57s i

b)uxv .. = co • r = o12,57 s - . 0 , 6 5 m

Die Drehleistung als Funktion der Winkelgeschwindigkeit

Es ist P = Fu • v u = ^jr • v u und mit vu = co • r wird P = ^

•

CO

M

P

Drehleistung P = M

• co • r. Somit gilt:

mm Nm/s = W Nm s - 1

co

Die Drehleistung Perrechnet sich aus dem Produkt von Drehmoment M und Winkelgeschwindigkeit co. Mit n in m i n - 1 ist co =

11

'

D a m i t

Drehleistung M

•

30

er

g ' b t sich:

p

M

n

W

Nm

min-1

Der Drehwinkel bei gleichförmiger Rotation

Aus Gleichung 1, Seite 89: co = ^ Drehwinkel

(p U

3 II

22.1.2

ergibt sich bei gleichförmiger Rotation: co = y . Damit gilt:

1

r a d

CO rad/s = s~

t 1

s

Die gleichmäßig verzögerte oder die gleichmäßig beschleunigte Drehbewegung

Wird bei einem Rotationskörper eine Drehzahländerung vorgen o m m e n , werden alle Punkte des Körpers - den Drehmittelpunkt ausgeschlossen - beschleunigt oder verzögert. Da die Umfangsgeschwindigkeit tangential gerichtet ist, spricht man in diesem Zusammenhang von der Tangentialbeschleunigung at eines Punktes des Drehkörpers (Bild 1).

t

L

i

;IM

j

Bild V. Tangentialbeschleunigung

A22

Rotationskinematik

91

Bei konstanter Tangentialbeschleunigung handelt es sich um eine gleichmäßig beschleunigte Drehbewegung bzw. um eine gleichmäßig verzögerte Drehbewegung.

Analogie zur Translation Tangentialbeschleunigung

t m / s 2 m/s

At

s

Bei Beschleunigung aus dem Ruhezustand ergibt sich somit für die Umfangsgeschwindigkeit = a-

m

in g"

t

Die Winkelbeschleunigung Unter der Winkelbeschleunigung a versteht man die Größe der Tangentialbeschleunigug am Radius 1 (Einheitskreis). A co Es ist a = At Bild 1:

r At

1

jr •

Winkelbeschleunigung

lal

ft

r

Av

•

/ Somit gilt entsprechend

Kl

[r] 1

=

mM rad

m

\

A

/^Z

j

v = konstant s

at = konst.

2

- ( ^ H

_ 2

2 7 4 N m

=

1096Nm

Die Drehenergie einer rotierenden Masse ist dem Quadrat des A b s t a n d e s der Masse zur ihrem D r e h m i t t e l p u n k t proportional.

24.2.2

Trägheitsmomente einiger technisch wichtiger Drehkörper

Die Gleichungen zur Berechnung der Trägheitsmomente für technisch reale Drehkörper liefert i . d . R . die Integralrechnung, obgleich für einfache Drehkörper auch elementare Herleitungen existieren. In der Praxis des Technikers finden sich die konkreten Formeln in Formelsammlungen bzw. in technischen Handbüchern. In Tabelle 1, Seite 102 sind die fünf wohl w i c h t i g s t e n Formeln zur Berechnung der entsprechenden Trägheitsmomente zusammengefasst:

102

A

Mechanik der festen Körper

Tabelle 1: Trägheitsmomente einfacher Drehkörper Formel zur B e r e c h n u n g von J

A b b i l d u n g des Körpers

Bezeichnung des Körpers Dünner Stab ( D r e h a c h s e a m Ende)

A Dünner Stab ( D r e h a c h s e in d e r M i t t e )

T,

Kreiszylinder (Drehachse = Zylinderachse) Hohlzylinder ( d i c k w a n d i g ) (Drehachse = Zylinderachse)

M 2

Lösung

3

-Tl

Hohlzylinder (dünnwandig)

R + r

J

=

j

= f

j

= ™ .

J

-HL 12

. 72 1

• /- 2

{/?2

+

r 2 )

J — m • r2

mittlerer Radius

Berechnen Sie die kinetische Energie (Drehenergie) des Schwungrades im neben gezeichneten Bild mit den Maßen D = 2 m, d = 1,8 m s o w i e dem Kranzquerschnitt AK = 150 c m 2 und dem Armquers c h n i t t AA = 5 0 c m 2 . Zur Vereinfachung der Rechnung wird dahingehend idealisiert, dass man die Nabe vernachlässigt und dafür die Arme bis zur Radmitte (Drehmittelpunkt) durchgehend angenommen werden. Der Werks t o f f ist Gusseisen mit der Dichte g = 7,4 kg/ d m 3 . Die Drehzahl ist 600min"1: Wrot = J • ^

co = ^

= ^

^

^

=

6 2 8 3 s

- i

J = JKranz + 4 ' ^Arm D e r Kranz ist als d ü n n w a n d i g anzusehen. Somit gilt: / - m r Z - A - l - r - T T - n - r i - r - D + d - 20dm + 18dm _ Kranz

~

^Kranz =

m

A

A

m

~

A

^ K

k " Q' ^

'

2

^Kranz = 5 9 7 , 9 6 kg m /

Arm

_

M

_2

^Arm = ^ •

a

-

~

A

.

A

m

7 1

A

6

m '

r

m

~

4

~

4

~

q

R

9

'

b

H d mm

" * = 1,5 d m 2 • 7 , 4 ^ 3 • (9,5 d m ) 3 • 2 • n = 5 9 7 9 6 , 2 kg • d m 2

2 R

. „ . R2 .

r ' ß

*

r

-

~ 2

D

18 dm —2—

a ' 6 • r 3 = ^ • 0,5 d m 2 • 7,4

=

Q 9 d m

• (9 d m ) 3 = 899,1 kg • d m 2 = 8 , 9 9 1 kg m 2

J = 5 9 7 , 9 6 kg m 2 + 4 • 8 , 9 9 1 kg m 2 = 5 9 7 , 9 6 kg m 2 + 3 5 , 9 6 4 kg m 2 = 6 3 3 , 9 2 4 kg m 2 Wrot = J Wrot

= 633,924kg m2 . i ^ ^ s ^ V

=

1 2 5 1

Diese Energie entspricht 1 251 2 4 2 Ws = ^ q q 1 . 2 6 0 0 Wrot

Ü 1

2 4 2 ^ ^

=

1251242Nm

= 1,25 M N m k W h

= 0 , 3 4 8 kWh

Für den Kreiszylinder (Kreisscheibe) gilt die Gleichung J = m / 2 • r2 . Beweisen Sie dies mit einer Nährungsrechnung, indem Sie die Kreisscheibe in drei Kreise v o n gleichem radialem A b s t a n d zerlegen und diese drei Teilmassen als Punktmassen annehmen.

A 24 V 1

24.2.3

Kinetische Energie rotierender Massen

103

Ein E l e k t r o m o t o r dreht m i t n = 7 0 0 m i n ~ 1 . A u f d e m T y p e n s c h i l d ist das T r ä g h e i t s m o m e n t m i t J = 17,5 k g m 2 a n g e g e b e n . W e l c h e e l e k t r i s c h e Energie in k W h m u s s d e m M o t o r bis z u m Erreichen dieser Drehzahl (bei V e r n a c h l ä s s i g u n g der Reibungsarbeit) z u g e f ü h r t werden?

Trägheitsmoment zusammengesetzter Körper

In Musteraufgabe M 2, Seite 102, wurde bereits das Trägheitsm o m e n t eines aus mehreren Einzelkörpern bestehenden Körpers berechnet, und zwar nach folgendem Grundsatz:

Drehachse

-

Xi)

(T)

s

Bild 1: konzentrische Anordnung

Diese Methode ist sehr einfach bei Körpern anwendbar, bei denen die Schwerachsen aller Einzelkörper mit der Drehachse des Gesamtkörpers identisch sind, wie z. B. in der A n o r d n u n g des Bildes 1. Ist dies nicht der Fall, d . h . , sind nicht alle Schwerachsen der Einzelkörper mit der Drehachse identisch (z. B. in der Anordnung des Bildes 2), dann führt dies immer zu einer Vergrößerung des Trägheitsmomentes. Man kann also sagen: Das kleinste Trägheitsmoment liegt dann vor, w e n n die Schwerachsen aller Einzelkörper mit der Drehachse übereinstimmen.

Bild 2: exzentrische Anordnung

Rechnerisch wird dieser Sachverhalt mit dem Verschiebungssatz von Steiner erfasst. •

Der Verschiebungssatz von Steiner

Bild 3 zeigt einen Drehkörper, dessen Schwerpunkt S den Abstand r zum Drehmittelpunkt D hat. Man nennt dies eine exzentrische Anordnung. Geht man von Gleichung 101-2 aus, mit deren Hilfe man das Trägheitsmoment einer Punktmasse (J = m • r2) berechnen kann, hat dies bei der gedachten Zerlegung einer Masse in viele Teilmassen (Massenpunkte) zur Folge: Das Trägheitsmoment eines realen Körpers errechnet sich aus der Summe der Trägheitsmomente aller Massenpunkte. Als allgemeine Definition ergibt sich somit (bezogen auf Bild 3) für das Trägheitsmoment J = X [m • r2)

g

in kg m 2

Auf den S c h w e r p u n k t S des Körpers (Bild 3) bezogen führt dies zu Js = X(Am - y2). Bezieht man sich jedoch auf den Drehpunkt D, ergibt die allgemeine Definition: JD

= H A / N • (y + r)2

= IAAT7 • [y2

+ 2 ry + r2)

= £ A m • y2 + S A m • 2ry

+ IAAT? • r2.

Da r konstant ist, kann diese Größe nach den Regeln der Mathematik vor das Summenzeichen geschrieben werden (ebenso natürlich dann auch r2). Damit wird: JD

= £AA77 • y2

+ 2 r • IL Am

| Null

• y + r2

• l A m

r2 • m da L A m • y (s. Bild) Null ist

104

A

Mechanik der festen Körper

Das zur Ableitung der gesuchten Gleichung verwendete Bild am Ende der Seite 103 zeigt, dass die Summe aller rechtsdrehenden M o m e n t e SAm - y ebenso groß ist w i e die Summe aller linksdrehenden M o m e n t e ZAm • y. Insgesamt ist also - wie behauptet - XAm • y = 0. Somit ergibt sich für den Fall, dass der Schwerpunkt einer rotierenden Masse nicht auf der Schwerachse liegt, für das J, Js

Trägheitsmoment J = Js + m • r2 Dabei ist

1 m

kg m

2

m

r

kg

m

J\ Js:

das auf die (tatsächliche) Rotationsachse bezogene Trägheitsmoment das Trägheitsmoment des Körpers, bezogen auf die eigene Schwerachse. Deshalb wird J s auch als Eigenträgheitsmoment bezeichnet. m : Gesamtmasse des Körpers r\ A b s t a n d der Schwerachse des Körpers von der Rotationsachse. Man nennt diesen A b s t a n d nach J. Steiner (1796 bis 1863) die Steiner'sche Verschiebung.

Gleichung 1 ist die mathematische Form Steiner'scher Satz). In Worten lautet dieser:

des Verschiebungssatzes

von

Steiner

(kurz:

Das auf die Drehachse bezogene Trägheitsmoment J errechnet sich aus dem Eigenträgheitsm o m e n t Js plus dem Produkt aus Körpermassem und dem Quadrat des A b s t a n d e s /-zwischen der Drehachse und der Schwerachse, d. h. r2. Dabei ist Voraussetzung, dass die Drehachse und die Schwerachse parallel verlaufen. Bei kompliziert geformten Körpern kann das Gesamtträgheitsmoment auch experimentell ermittelt werden. M 3

Für die nebenstehend abgebildete Scheibe mit Kurbelzapfen ist, bezogen auf die Drehachse x - x , das Gesamtt r ä g h e i t s m o m e n t J zu berechnen. W e r k s t o f f : Stahl mit Q = 7,85 kg/dm3.

Kurbelzapfen

-A m2-y -T

M a ß e : D = 1 0 0 m m , d = 2 0 m m , /1 = 2 0 m m , L = 30mm, r = 30mm. Lösung

J = JxS

S -

+ JxK

X

Drehachse Scheibe

Scheibe, K — Kurbelzapfen Somit:

j

2

lf)

+

l2l

-

Die A u f g a b e n d a t e n ergeben:

J =

1 , 2 3 3 kg

J = 0,00154kg m

24.2.4

= 1,233kg, m 2 = 0,074kg

10,1 m 12 , 0 , 0 7 4 kg 2

10,02 m l 2

+ 0 , 0 0 0 0 0 3 7 kg m

2

+ 0 , 0 7 4 kg • ( 0 , 0 3 m ) 2

+ 0 , 0 0 0 0 6 6 6 kg m 2 = 0 , 0 0 1 6 1 0 3 kg m 2

Reduzierte Masse

Bild 1 zeigt die in Musteraufgabe M 3 berechnete Scheibe in Vorderansicht, und zwar durch einen Riemen angetrieben. Das Massensystem besteht somit aus drei Teilmassen. Bei der Berechnung der Massenträgheitskraft ( — • A I O ) eines aus mehr als einer Teilmasse bestehenden Körpers, ist es von Vorteil, mit einer Ersatzmasse zu rechnen, die auch als reduzierte Masse A 7 7 r e d bezeichnet wird. Sie ersetzt also sozusagen alle Teilmassen und ist wie folgt definiert:

Riemen Scheibe

Bild 1: Riementrieb

Kinetische Energie rotierender Massen

A 24

105

Unter der reduzierten Masse mred eines Rotationskörpers versteht man eine in beliebigem A b s t a n d r' vom Drehmittelpunkt (z.B. am äußeren Umfang) angeordnete punktförmige Masse mit dem gleichem Trägheitsmoment wie es der Körper selbst hat. • (r') 2 . Somit ergibt sich für die

Dieser Definition entsprechend muss gelten: J = mred reduzierte Masse m

m

J

J

reö

kg m

kg

r' 2

m

red

(r1)2

Dabei ist

J\

Massenträgheitsmoment des Körpers

r'\

beliebiger Radius, der sich meist aus Zweckmäßigkeitsgründen (z.B. Bild 1, Seite 104) für eine bestimmte Stelle aus der Aufgabenstellung ergibt.

24.2.5

1m

Der Trägheitsradius

Eine weitere wichtige Rechengröße der Rotationsbewegung ist der Trägheitsradius, der nach DIN 1 3 0 4 mit dem Formelzeichen / bezeichnet wird: Unter dem Trägheitsradius / eines Körpers versteht man den A b s t a n d einer punktförmigen Masse m von der Drehachse, mit dem sich für die punktförmige Masse ein gleich großes Trägheitsmoment errechnen lässt, wie es der Körper selbst hat. Diese Definition soll am Beispiel einer zylindrischen Scheibe (Bild 1) erläutert werden. Es ist: Jj =- H2 . rr2 J = m • i2,

und laut Definition

d . h . allgemein:

Bild 1: Kreisscheibe

Somit ergibt sich im speziellen Fall für die Kreisscheibe: / - « ergibt sich für den Trägheitsradius einer Kreisscheibe

^

"

V

?

.

d.h...

in m V2

B

M 4

Für eine Kreisscheibe mit Kurbelzapfen - entsprechend Musteraufgabe M 3, Seite 1 0 4 - ist zu berechnen a) mred bezogen auf den Durchmesser D, b) Trägheitsradius /.

Lösung

a) ™ r e d =

J

J ^

J = ^

I2I

4

=

Probe: J = mred b) / =

• (r')2

=

4

J

=

4 • 0 , 0 0 1 6 1 0 3 kg m 2 ( Q J

m ) 2

= 0,64412kg

= 0 , 6 4 4 1 2 kg • ( 0 , 0 5 m ) 2 = 0 , 0 0 1 6 1 0 3 kg m 2

m = m , + m 2 = 1 , 2 3 3 kg + 0 , 0 7 4 kg = 1 , 3 0 7 kg

. = ^ 0 , 0 0 1 6 1 0 3 kg n g = V o , 0 0 1 2 3 2 0 5 8 m 2 = 0 , 0 3 5 1 m = 35,1 m m Probe: Für eine p u n k t f ö r m i g e Masse gilt J = m • r2 ± m • i2. Somit gilt: J = 1,307 kg • ( 0 , 0 3 5 1 m ) 2 = 0 , 0 0 1 6 1 0 2 kg m 2

106

A

24.3

Mechanik der festen Körper

Dynamisches Grundgesetz der Drehbewegung

Bild 1 zeigt eine Kreisscheibe (Kreiszylinder), die drehbeschleunigt wird, d . h . , dass sich die Winkelgeschwindigkeit von co0 auf cot, bzw. die Drehzahl von n0 auf nt vergrößert. Es ist also co0 < cot. Für diesen Vorgang ist am Umfang der Scheibe mit der Masse m eine für eine b e s t i m m t e Zeit t wirkende Kraft F erforderlich, bzw. muss ein Drehmoment M = F • r wirken. Wird nun die Scheibe durch eine Ersatzmasse mre6 im A b s t a n d r v o m D r e h m i t t e l p u n k t M ersetzt (Bild 2), dann ist für die Beschleunigung der Masse mred von coQ auf cot im A b s t a n d r die gleiche Kraft F erforderlich, wie für die Scheibe mit der Masse m im Bild 1. Dies ist dadurch zu begründen, dass das T r ä g h e i t s m o m e n t d e r S c h e i b e (Bild 1) und dasTrägheitsmoment der Ersatzmasse (Bild 2) gleich groß sind. Somit gilt ^Scheibe

Aco^^

F

J

"M x

m

Bild 1: Kreisscheibe

*Anred "

Da die Kraft F mit der Umfangsgeschwindigkeit v u gleichgerichtet ist, kann man für die Ersatzmasse m . innerhalb der Beschleunigungszeit den Impulssatz ( -A14) anwenden. Somit gilt: F t = m red " u t ""red "uO Dabei ist

Bild 2: reduzierte Masse v u 0 = Umfangsgeschwindigkeit vor der Beschleunigung v u t = Umfangsgeschwindigkeit nach der Beschleunigung

Multipliziert man noch beide Seiten der Gleichung mit dem Radius r, dann ergibt sich: F •r •t = mit M = F • r erhält man Da aber mred

mri

^uO-

M i t

r • co und

M • t = AT? ,

• r2 genauso groß ist wie das Trägheitsmoment J der Scheibe, ergibt sich: M • t = J • wx - J • (o0 = J • (cot - co0) = J • Aco

Setzt man nun noch Aco = a • t, dann erhält man M •t = J • a •t und damit eine Gesetzmäßigkeit der Rotation, die bezeichnet wird als M

Dynamisches Grundgesetz der Rotation .

M = J •a

J

Nm kg m

a 2

Ms2

A u c h hier w i r d auf die Analogie zwischen Translation und Rotation hingewiesen: Translationsgröße Kraft F Masse m Beschleunigung a Selbst ergänzen:

F = m •a

Einheit N kg m s2

Rotationsgröße

M = J •a

Drehmoment M Trägheitsmoment J Winkelbeschleunigung a

Einheit Nm kg m 2 1 s2

Kinetische Energie rotierender Massen

A24

107

Das für die Rotationsbeschleunigung erforderliche M o m e n t / ^ e r r e c h n e t sich aus dem Produkt des Trägheitsmomentes J des zu beschleunigenden Rotationskörpers und der Winkelbeschleunigung a. M 5

Das S c h w u n g r a d in Musteraufgabe M 2, Seite 102 soll in t = 8 s von n0 nt = 1 5 0 m i n - 1 beschleunigt werden. Berechnen Sie a) das erforderliche D r e h m o m e n t , b) die Drehleistung zu Beginn der Beschleunigung, c) die Drehleistung am Ende der Beschleunigung.

Lösung

a) M = J • a = J • A < 0

^

= ^3CT - ^ T

M = 633,924kgm

2

b) PQ = M • co0 = M • c) Px = M • cot = M •

24.4

= 1 0 0 m i n _ 1 auf

= M

'

• 5,236sOS

1 1 5 0

- "»> - i ö ' 1

=

4 1 4

-

1 0 0 , s

"'

5

"

'

2 3 6 s

"

1

9 N m

= 4 1 4 , 9 Nm • 7 1 = 4 1 4 , 9 Nm • 7 1 '

3

1

Q

QQ

1 5 0

s~ 1 = 4 3 4 4 , 8 W = 4 , 3 5 kW

s~ 1 = 6 5 1 7 , 2 W = 6 , 5 2 kW

Dreharbeit in Abhängigkeit von Drehmoment und Drehwinkel

Bezogen auf Bild 1 ergibt sich für die Dreharbeit ( — • A 1 8 ) W w

= F rot rot

' u

= F

s.

Fu,s

Mit s = 2 • TI • r • z:

2 •n •r •z

' u

M i t z = Anzahl der Umdrehungen und M = Fu • r q> = 2 • 7i • z erhält man schließlich für die Dreharbeit Wrot

sowie

in Nm

= M •

Bild 1: zur Herleitung der Dreharbeit

Die Dreharbeit (Rotationsarbeit) ist das Produkt von Drehm o m e n t und Drehwinkel.

1

M-Linie

Min Nrr

Da sich ein Produkt im rechtwinkligen Koordinatensystem als Rechteckfläche abbilden lässt, ergibt sich gemäß Gleichung 1 das im Bild 2 dargestellte Drehmoment, Drehwinkel-Diagramm (M, ^-Diagramm).

Wrot

cp in rad

Im M, ^ - D i a g r a m m entspricht die Fläche unter der M-Linie der Dreharbeit (Rotationsarbeit) W r n t .

Bild 2: M , ^ - D i a g r a m m

M 6

Beim Anziehen einer Schraube steigt das D r e h m o m e n t annähernd linear v o m M 1 = 4 0 Nm auf das D r e h m o m e n t M2 = 1 0 0 Nm bei einem Drehwinkel (p = 3 2 5 ° an. a) Zeichnen Sie das M, ^ - D i a g r a m m . b) Berechnen Sie die beim Anziehen a u f g e w e n d e t e Dreharbeit.

Lösung

a)

. 100

b) Aus n e b e n s t e h e n d e m Bild ergibt sich: Wrot =

(p in

w

=

W

=

1

2

2

"9

4 0 Nm + 100 Nm . 140 Nm

325°

3 2 5

7t

180°

o

180°

= 3 9 7 Nm

108

A

24.5

Mechanik der festen Körper

Drehimpuls und Drehstoß

Es soll nun nochmals auf die Gleichung M • t = J • cot - J • co0 (Seite 106) eingegangen werden. In Analogie zum Kraftstoß {F • t = m • Av) und zum Impuls (p = m • v) ( - * - A 1 4 ) sind in der Rotation - gemäß DIN 1 3 0 4 - die folgenden Bezeichnungen üblich: Drehstoß (Momentenstoß) H = M • At

n

Drehimpuls (Drall) L = J Dabei ist

0

H

M

At

Nms

Nm

s

L

J 2

(kg m ) / s kg m

CO

2

s-1

M : von außen auf den Drehkörper wirkendes Drehmoment At: Zeitspanne, während der das Drehmoment w i r k t J: Trägheitsmoment des Drehkörpers

Aus der Gleichung M • t = J • cot — J • co0 ist zu ersehen: Die Änderung des Drehimpulses eines Rotationskörpers ist gleich dem Drehstoß während der Wirkzeit des Momentes. A u c h hier ist die Analogie zwischen Translation und Rotation unverkennbar: Translationsgröße

Einheit kg m s Ns kg m s

Impuls p = m • v Kraftstoß 1 — F Masse m

At

Geschwindigkeit v

Rotationsgröße Drehimpuls L = J • co Drehstoß H = M- At Trägheitsmoment J Winkelgeschwindigkeit co

Selbst ergänzen:

24.5.1

Die Drehimpulserhaltung (Drallerhaltung)

Bild 1 zeigt das Schema eines senkrecht angeordneten Rotationssystems. In dieser Anordnung ist es möglich, mit Hilfe einer in senkrechter Richtung von außen verstellbaren Gleithülse die rotierende Masse in beliebigem A b s t a n d r von der Drehachse anzuordnen. Da die Masse m als konstant anzusehen ist, gilt nach dem bisher Gesagten: Das Trägheitsmoment eines Rotationssystems wird bei größer werdendem Radius (und konstanter Masse) größer. Da auf das Rotationssystem des Bildes 1 von außen kein Drehmoment w i r k t , ist M = 0

und damit auch

Ist aber der Drehstoß M • t = 0, ergibt sich M • t = J • wt- J • co0:

M • t = 0. (Momentenstoß) nach Gleichung

J0 - co0 - Jt • cot = 0

Bild 1: variables Rotationssystem

Einheit kg m 2 s Nms kg m 2 s-1

A24

Kinetische Energie rotierender Massen

109

S o m i t erhält m a n für die

D a r a u s f o l g t u n m i t t e l b a r , u n d m a n b e a c h t e bei dieser Ü b e r l e g u n g die V e r s u c h s a n o r d n u n g d e s B i l d e s 1, S e i t e 1 0 8 : V e r k l e i n e r t s i c h bei e i n e m r o t i e r e n d e n K ö r p e r d a s T r ä g h e i t s m o m e n t ( V e r ä n d e r u n g d e r K ö r perlage bezogen auf die Drehachse), d a n n v e r g r ö ß e r t sich, o h n e Energiezufuhr v o n a u ß e n , die W i n k e l g e s c h w i n d i g k e i t u n d d a m i t die Drehzahl. D i e s b e d e u t e t k o n k r e t a m B e i s p i e l d e s B i l d e s 1, S e i t e 1 0 8 : W i r d d i e G l e i t h ü l s e n a c h o b e n v e r s c h o b e n , d a n n verkleinert sich die Drehzahl. W i r d h i n g e g e n die G l e i t h ü l s e n a c h u n t e n v e r s c h o b e n , d a n n v e r g r ö ß e r t sich die Drehzahl, u n d z w a r o h n e Energiezufuhr v o n außen. Den g l e i c h e n E f f e k t e r z i e l e n z. B. E i s k u n s t l ä u f e r , d i e d u r c h d a s m ö g l i c h s t n a h e H e r a n z i e h e n ihrer G l i e d m a ß e n a n i h r e „ D r e h a c h s e " e i n e e n o r m e D r e h z a h l s t e i g e r u n g in d e r P i r o u e t t e e r z i e l e n . D i e s e r S a c h v e r halt kann auch von jedem auf einem Drehstuhl nachvollzogen w e r d e n . M 7

Ein Fliehkraftpendel gemäß Bild 1, Seite 108, dreht mit A71 = 5 0 0 m i n _ 1 und hat dabei ein M a s s e n t r ä g h e i t s m o m e n t von J 1 = 3 kg m 2 Nach Trennung v o n einem Antrieb wird mit einer Versteilvorrichtung der „ w i r k s a m e Radius" verkleinert. Dabei ändert sich das Massenträgh e i t s m o m e n t auf J2 = 0 , 8 kg m 2 . Wie groß ist die Drehzahl n2? Vergleichen Sie nochmals vor der Lösung dieser Aufgabe die Bilder 1 und 2 auf der Seite 100. TI

7i • / 7 1

Lösung

• co^ — J2 • co2 —•

•

^q

= J2 • 2

J, ^ ^ . , 3 kgm n „2 = A711 • ~ r = 5 0 0 min 1 • _ _ , ^ = J2 0 , 8 kg m 2

Ü 2

• n2

2Q

' n^

=

^2 '

n

2

. , 1875min"1

100 Ein S c h w u n g r a d gemäß n e b e n s t e h e n d e m Bild verrichtet an einer Exzenterpresse durch Energieabgabe mechanische Arbeit (Stanzkraft mal S t a n z w e g im Pressenwerkzeug). Die Schwungraddrehzahl verkleinert sich dabei v o n der Leerlaufdrehzahl nQ = 1 1 0 m i n - 1 auf die Drehzahl nv Umgekehrt w i r d die Drehzahl während der Energiezufuhr durch einen Elektromotor wieder von A?1 auf nQ vergrößert. Das S c h w u n g r a d besteht aus Gusseisen mit der Dichte g = 7,25 k g / d m 3 . Berechnen Sie a) das T r ä g h e i t s m o m e n t des S c h w u n g r a d e s . Bei der Berechnung der T r ä g h e i t s m o m e n t e der drei Hohlzylinder, aus denen sich das S c h w u n g r a d z u s a m m e n s e t z t , muss mit der Gleichung für dickw a n d i g e Hohlzylinder (Seite 102) gearbeitet w e r d e n , b) das Gesamtarbeitsvermögen Wrot des S c h w u n g r a d e s bei der Drehzahl n0, c) die Drehzahl nv w e n n das S c h w u n g r a d die Energie für die Nutzarbeit Wn = 1 2 0 0 Nm liefert, d) die Beschleunigungszeit, w e n n der Elektromotor das S c h w u n g r a d im Drehwinkel cp = 1,5 rad von /71 auf n0 beschleunigt, e) die W i n k e l b e s c h l e u n i g u n g a, f) die für die Beschleunigung erforderlich M o t o r l e i s t u n g P, g) die auf den S c h w u n g r a d d u r c h m e s s e r bezogene reduzierte Masse mred, h) den Trägheitsradius /, i) die Auslaufzeit des S c h w u n g r a d e s , w e n n es bei n0 v o m A n t r i e b getrennt w i r d und in Lagern mit dem Durchmesser D = 1 5 0 m m gelagert ist {ju = 0 , 0 5 ) .

110

A

Mechanik der festen Körper

V 2

Eine Kreisscheibe m i t der Dichte g = 7,8 k g / d m 3 (Stahlguss) hat einen Durchmesser von 5 0 0 m m und eine Dicke v o n 1 0 0 m m . Welche B e s c h l e u n i g u n g s l e i s t u n g ist erforderlich, w e n n die Scheibe aus d e m Z u s t a n d der Ruhe in t = 2 s auf die Drehzahl n = 3 0 0 m i n " 1 gebracht wird? W e l c h e s A r b e i t s v e r m ö g e n (Rotationsenergie) besitzt dann die Scheibe?

V 3

N e b e n s t e h e n d abgebildete Trommel m i t a n g e s e t z t e m Exzenterzapfen besteht aus Gusseisen und hat eine Dichte g = 7,3 k g / d m 3 . Berechnen Sie a) das T r ä g h e i t s m o m e n t der Trommel mit Zapfen, Drehb) die reduzierte Masse mre6 bezogen auf den Durchmesachse ser 4 0 0 m m , 50 c) die erforderliche Umfangskraft F u am Durchmesser 2 4 0 0 m m , w e n n dort mit a t = 5 m / s beschleunigt w e r d e n soll, d) das für diesen Fall erforderliche D r e h m o m e n t , e) den Trägheitsradius /".

24.5.2

500 600

Kreisel

Unter einem Kreisel wird jeder starre, sich drehende Körper verstanden. Besonders w i c h t i g sind die sich um eine Achse drehenden symmetrischen Körper. Die Symmetrieachse wird auch als Figurenachse bezeichnet. •

Kreiseldefinition im Sinne der Physik

Im Sinne der Physik ist der schon im A l t e r t u m bekannt gewesene Kinderkreisel (Tanzkreisel) kein Kreisel, da seine Spitze auf einer Fläche frei beweglich ist, also nicht in einem Punkt festgehalten wird. Unter einem Kreisel im Sinne der Physik versteht man einen in einem Punkt festgehaltenen, sonst frei beweglichen starren Körper, der um den festgehaltenen Punkt, das Rotationszentrum, Drehbewegungen ausführt. Da die Bewegungen des Kreisels sehr kompliziert sind, beschränkt man sich in der Technik üblicherweise auf symmetrische Kreisel. Unter der Voraussetzung, dass das Rotationszent r u m auf der Symmetrieachse liegt, sind alle rotationssymmetrischen Körper solche symmetrischen Kreisel. Bei ihnen liegt Rotationssymmetrie um die Figurenachse (Bild 1) vor. U n t e r s t ü t z t man solche Kreisel im Schwerpunkt S, dann kann die Schwerkraft ( — • A 4 , A10) kein Kippmoment (—^A13) auf ihn ausüben, er ist momentenfrei. Eingebürgert hat sich hierfür die Bezeichnung kräftefreier Kreisel. Er wird „aufgezogen", indem man ein rechtwinklig zur Figurenachse wirkendes Drehm o m e n t M eine gewisse Zeit t wirken lässt. Danach hat der Drehimpuls ( — • A24.1) entsprechend der Gleichungen hierfür (Seite 108) eine konstante Größe. •

Kreiselgesetze

Aus dem bereits Gesagten geht hervor, dass sich bei einem symmetrischen Kreisel die wirkenden Kippmomente gegenseitig aufheben. Der Kreisel ist kräftefrei und deshalb wird die Figurenachse auch als freie Achse bezeichnet. Eine freie Achse hat das Bestreben, ihre Lage bzw. Richtung beizubehalten. Der Drehimpuls (Drall) bleibt also nach Größe und Richtung konstant.

J

177

Bild 2: Änderung der Achsrichtung

A24

Kinetische Energie rotierender Massen

111

Bei einer beabsichtigten Änderung der Richtung der Achse eines rotierenden Kreisels (Bild 2, Seite 110), z.B. durch das Kräftepaar F 1 F2, treten merkwürdige Trägheitswirkungen auf. Die Achse dreht sich nämlich nicht - wie man vermuten könnte - im Drehsinn des Kräftepaares, sondern senkrecht dazu d. h. in Richtung AB des Bildes 2, Seite 110. Somit gilt:

Zweites Kreiselgesetz

Eine freie Achse setzt einer Änderung ihrer Richtung bzw. Lage (bei Rotation des Kreisels) einen Widerstand entgegen.

Dieser Widerstand w ä c h s t mit dem Trägheitsmoment und der Drehzahl (Umdrehungsfrequenz). W i r k t also auf die Figurenachse und rechtwinklig zu dieser ein M o m e n t M (Bild 1) - dies kann durch einen Schlag oder die Wirkung eines Gravitationsfeldes ( — • A25) geschehen - oder wird der Kreisel schief aufgezogen, dann fällt die Drehachse nicht mehr mit der Figurenachse zusammen. In diesem Fall ist die neue Drehachse keine freie Achse mehr. Sie bleibt dann nicht mehr raumfest, sondern beschreibt einen Kegelmantel. Die Achse w e i c h t dabei - entsprechend Bild 2, Seite 110 - rechtwinklig zum wirkenden Drehmoment aus. Somit gilt: Drittes Kreiselgesetz

Wirkt rechtwinklig zu einer freien Achse ein Drehmoment, so „beantw o r t e t " dies der rotierende Kreisel mit einer Ausweichbewegung, der Präzessionsbewegung oder Nutation.

Den dabei von der Rotationsachse umschriebenen Kegel nennt man Präzessionskegel (Bild 2) oder Nutationskegel. Eine solche Präzessionsbewegung, die auch kurz als Präzession bezeichnet wird, führt z. B. die Erdachse aus - hervorgerufen durch die Gravitationskraft ( — • A25) vor allem von Sonne und Mond, und zwar um den Pol der Ekliptik. Dabei w i r d der Präzessionskegel in e t w a 25 8 0 0 Jahren umfahren. Die Verlängerung der Erdachse auf der Nordseite trifft den Himmelsnordpol. Der dort befindliche Stern heißt Polarstern. Wegen der Präzession wechselt der Polarstern. Zur Zeit liegt der Polarstern im Sternbild Kleiner Bär und heißt Polaris. •

Kreiselanwendungen

Als Kreiselanwendungen sind zu nennen: Drall bei Geschossen, Räder des Fahrrades und des Motorrades, Kreiselkompass mit sehr großer Drehzahl, Stabilisierungskreisel bei Schiffen und Raketen u. a. Ü 3

Was versteht man unter einer freien Achse?

Ü 4

W a r u m werden Kreiselstabilisatoren bei Schiffen bzw. bei großen Raketen mit einem großen M a s s e n t r ä g h e i t s m o m e n t ausgeführt und w a r u m lässt man solche Kreisel mit einer großen Umdrehungsfrequenz (Drehzahl) drehen?

Ü 5

W i e reagiert ein sich drehender Kreisel, w e n n ein D r e h m o m e n t r e c h t w i n k l i g an seiner Drehachse angreift?

V 4

Sehen Sie in einem t e c h n i s c h - n a t u r w i s s e n s c h a f t l i c h e n Lexikon oder im Internet die Begriffe Ekliptik, Polarstern, Kreiselkompass und Klein'scher Kreisel nach.

V 5

Sehen Sie in einem t e c h n i s c h - n a t u r w i s s e n s c h a f t l i c h e n Lexikon oder im Internet nach, w a s man unter einem künstlichen Horizont versteht.

112 V 6

A

Mechanik der festen Körper In Geschütz- und Gewehrrohre w e r d e n im Lauf spiralförmige Züge (Nuten) eingezogen. Wie erklären Sie sich dies?

MEILENSTEINE Zeit- bzw. Lebensraum

Akteur

Naturwissenschaftlich-technisches Ereignis

von 1791 bis 1 8 2 0

Alexis Therese Petit

Französischer Physiker, der zusammen mit Pierre Dulong das Dulong-Petit-Gesetz formulierte.

von 1791 bis 1871

Charles Babbage

Babbage war Mathematikprofessor und entwickelte ein funktionierendes Modell einer Rechenmaschine.

von 1791 bis 1 8 7 2 W e l t w e i t ist das MorseAlphabet bekannt und genutzt. Anwendungen sind heute weitestgehend beschränkt auf den A m a t e u r f u n k und Notrufdienste.

Samuel Morse

Morse e n t w i c k e l t e den ersten brauchbaren Schreibtelegrafen, den Morseapparat. Er hat darauf ein Patent erhalten.

von 1791 bis 1 8 6 7

Michael Faraday

Er verflüssigte Luft, Kohlensäure und A m moniak. Weitere w i c h t i g e Arbeitsgebiete: Elektrisches Feld, elektromagnetische Induktion, Blitzschutz, Grundgesetze der Elektrolyse.

von 1 7 9 2 bis 1871

John Herschel

Englischer Astronom, der die Magellan'schen Wolken als Sterne identifizierte. Sehr vielseitiger Wissenschaftler, der sich auch sehr in der Technik des Photographierens und des dafür erforderlichen Materials verdient g e m a c h t hat.

von 1 7 9 6 bis 1 8 3 2 Carnot formulierte als erster den Satz, dass bei der Umwandlung von Wärmeenergie in mechanische Arbeit ein Temperaturgefälle erforderlich ist.

Sadi Carnot

Als Physiker beschäftigte sich Carnot insbesondere mit der T h e r m o d y n a m i k . Der nach ihm bezeichnete Kreisprozess spielt beim Bau von Brennkraftmaschinen und Kältemaschinen als Vergleichsprozess eine große Rolle.

von 1797 bis 1 8 7 8

Joseph Henry

US-amerikanischer Physiker. Haupt-Arbeitsgebiet war der Elektromagnetismus. Zu seinen Ehren wurde die Sl-Einheit der elektrischen Induktivität mit Henry (H) benannt.

von 1 8 0 0 bis 1 8 6 0

Charles Goodyear

Einführung des Vulkanisierungsverfahrens. Mit diesem Verfahren lässt sich Naturkautschuk härten.

von 1 8 0 0 bis 1 8 8 2

Friedrich Wöhler

Pionier der organischen Chemie. Befreundet mit Justus Liebig. Reduktionsmethode zur Gewinnung von A l u m i n i u m .

F o r t s e t z u n g Seite 117

A25

A25

Gravitation

113

Gravitation

Wörtlich aus dem Griechischen übersetzt heißt Gravitation soviel wie Massenanziehung. Diese ist mathematisch von Newton im Gravitationsgesetz definiert.

25.1

Himmelsmechanik

Ptolemäus setzte den Erdmittelpunkt mit dem Mittelpunkt des Weltalls gleich (geozentrische Weltsystem). Das von Nikolaus Kopernikus (s. S. 32) entwickelte heliozentrische Weltsystem, das die Sonne in den „ M i t t e l p u n k t " stellte, und die von Tyche de Brahe (1546 bis 1601) gelieferten Beobachtungsdaten befähigten Johannes Kepler (s. S. 36), empirische Gesetzmäßigkeiten über die Bewegungen der Himmelskörper (Himmelsmechanik) in unserem Planetensystem zu formulieren. Es sind dies die Kepler'schen Gesetze der Himmelsmechanik: 1. Kepler'sches Gesetz (entdeckt 1609) s. Bild 1

Planet

Die Planetenbahnen sind Ellipsen mit einem gemeinsamen Brennpunkt F v in dem die Sonne steht. Der der Sonne am nächsten kommende Ellipsenpunkt ist der Perihel, der entfernteste Punkt ist der Aphel.

Perihel (Sonnennähe)

Aphel (Sonnenferne)

Bild 1 : 1 . Kepler'sches Gesetz 2. Kepler'sches Gesetz (entdeckt 1609) s. Bild 2 Der Fahrstrahl Sonne ten gleiche Flächen. AA/At

Fahrstrahlen

Planet überstreicht in gleichen Zeia t

= konstant

l \

t ; Sonne

AA'

—

A

A\\ J Planet

^

Bild 2: 2. Kepler'sches Gesetz 3. Kepler'sches Gesetz (entdeckt 1619) s. Bild 3 Für alle Planeten gilt: Die Quadrate der Umlaufzeiten verhalten sich wie die 3. Potenzen ihrer mittleren Entfernungen von der Sonne. a 3 / 7 2 = konstant Der Quotient aus der 3. Potenz der mittleren Entfernung a und dem Quadrat der Umlaufzeit T ist also eine Konstante. Dies zeigt die folgende Tabelle in der Auswahl einiger Planeten.

Tabelle 1: Umlaufkonstante

a3/T2

Planet

Mittlere Entfernung a v o n der Sonne in km

Venus Erde Mars Jupiter Saturn

108,1 149,5 227,8 777,0 1430,0

• • • • •

106 106 106 106 106

Bild 3: 3. Kepler'sches Gesetz

Umlaufzeit T in Jahren

a 3 / ! 2 in k m 3 / a 2

0,6152 1,0 1,881 1 1,862 29,490

3,33 3,33 3,33 3,33 3,35

• • • • •

1024 1024 1024 1024 1024

114

A

M 1

Mechanik der festen Körper

Die große Bahnhalbachse des N e p t u n beträgt a = zeit um die Sonne?

- Neptun - • Erde Neptun

I neun« Losung

25.2

7_ J-p . Neptun iNeptun u/Erde 3 1 Erde Neptun = 1 6 4 , 3 2 Jahre

'

4 , 5 • 1 0 9 k m . W i e groß ist seine Umlauf-

1(1 J a h r ) 2 • (4,5 • 190 9 k m ) 3 ^ (0,15 • 1 0 k m )

Das Gravitationsgesetz

Die Massenanziehung wird allgemein als Gravitation bezeichnet (lat. gravis = schwer). Aus den Kepler'schen Gesetzen leitete Newton ( — • A I O ) eine Gleichung für die Gravitationskraft her. Diese Gleichung hat er als Wechselwirkung ( — • A I O ) z w i s c h e n allen materiellen Körpern verallgemeinert. Die auftretende Kraft F - bzw. die entsprechende Gegenkraft F - bezeichnete er als Gravitationskraft (Bild 1). Bestimmend für die Größe dieser Kraft ist die Größe beider Massen m1 und m2 sowie ihr gegenseitiger A b s t a n d r.

Bild 1: Gravitationskraft

Die Gravitationskraft ist proportional dem Produkt der beiden Massen und umgekehrt proportional zu ihrem gegenseitigen Abstand im Quadrat. Gravitationskraft F

m,

m0

•

2

r

n

Der Proportionalitätsfaktor ist eine Naturkonstante. Man nennt sie Gravitationskonstante und m i t ihrer Hilfe lässt sich die Gravitationskraft berechnen:

Die Gravitationskonstante wird in der Regel Torsionsdraht mit Hilfe eines v o m englischen Naturwissenschaftler Henry Cavendish (s. S. 56) vorgeschlagenen Versuchs ermittelt. O V. • j O rr>2 Er benutzte dazu eine Torsionswaage, deren ™ 2 Spiegel A dünner Torsionsdraht sich unter dem Einfluss Lichtstrahl von vier definierten Massen verdreht. Bild 2 zeigt diesen Versuch in Draufsicht. Mit Hilfe Bild 2: Torsionswaage eines Lichtstrahles wird die Verdrehung des Torsionsdrahtes gemessen, und die Größe dieser Verdrehung erlaubt Rückschlüsse auf die Gravitationskraft. Bei bekannten Massen m1 und m2 sowie bekanntem A b s t a n d r lässt sich dann - w e n n die Gravitationskraft F experimentell bestimmt wurde - die Gravitationskonstante G ausrechnen. Dazu wird Gleichung 3 nach G umgestellt.

r ^ I

/

o

Berechnen Sie die gegenseitige A n z i e h u n g s k r a f t v o n z w e i L o k o m o t i v e n m i t den Massen my = 1 8 5 t und m 2 = 2 4 0 t , w e n n diese mit einem A b s t a n d ihrer S c h w e r p u n k t e v o n 5 m auf einem Gleis stehen. F = G •

r2

= 6,673 • 1 0 - " ^ • 185 0 0 0 kg - 2 4 0 0 0 0 kg _ kg • s 2 (5 m ) 2

A25

25.2.1

Gravitation

115

Gravitationsfelder

Die Gravitation ist eine Kraft, die zwischen Massen mit einem bestimmten Abstand w i r k t . Geht man einmal davon aus, dass eine Masse eine feststehende Position einnimmt, dann wird die andere Masse in Richtung der ruhenden Masse beschleunigt. Als Beispiel sei - bei kleinem Zeitraum - ein auf die Erde fallender Körper angeführt. Ursache des Fallens ist dabei die „Fernw i r k u n g " der Erde auf die fallende Masse. Jeder Punkt des Raumes erhält also durch diese Fernwirkung einer Masse eine Eigenschaft, die er ohne diese Masse nicht hätte. Solche besonderen Eigenschaften in einem Raum werden in der Physik als Feld bezeichnet. Handelt es sich dabei um Kraftwirkungen, spricht man von einem Kraftfeld. Bei elektrischen oder magnetischen Eigenschaften wird ein solches Feld als elektrisches Feld ( — • F4) bzw. als magnetisches Feld Bild 1: Feldlinienbild einer ( — • F5) bezeichnet. Denkt man sich die Wirkrichtung des FelMasse des in jedem Punkt des Raumes eingezeichnet, dann ergeben sich hieraus Linien, auf denen man die Wirkrichtung ablesen kann. Solche Linien werden als Feldlinien bezeichnet. Bild 1 zeigt das Feldlinienbild einer einzelnen Masse. Wirken mehrere Massen aufeinander, dann w i r k t sich natürlich die Gravitation aller Einzelmassen auf das Feldlinienbild im Raum aus, und man spricht in jedem einzelnen Punkt von der resultierenden Wirkrichtung. Im Bild 2 ist ein solches Feldlinienbild zweier benachbarter Massen /??1 und m 2 dargestellt. Es versteht sich von selbst, dass das Feldlinienbild von mehr als zwei Massen recht kompliziert werden kann. Dies ist z. B. beim Zusammenwirken der Himmelskörper (Bild 3) der Fall. Bild 2: Feldlinienbild So gibt es in jedem Gravitationsfeld Punkte, in denen die rezweier Massen sultierende Gravitationskraft null ist. Ein solcher Punkt befindet sich z. B. bei e t w a einem Achtzigstel der Entfernung Erde - Mond (Strecke x, ca. 4 8 0 0 km, v o m M o n d entfernt). Dies zeigt Bild 3. Eine sich dort befindliche Masse würde weder in Richtung Erde noch in Richtung Mond beschleunigt. Dabei ist der Einfluss anderer Himmelskörper nicht berücksichtigt.

A

25.2.2

Wirkungen der Gravitation

Einige w i c h t i g e Wirkungen der Gravitation wurden bereits angesprochen, einige andere erscheinen als nicht so wichtig oder sind noch nicht vollständig erforscht. •

Planetenbewegung

Die N e w t o n ' s c h e Gravitationstheorie ist aus der recht genau entwickelten Himmelsmechanik ( — • A25.1) entstanden. Deshalb wurden die Kepler'schen Gesetze auch an den Anfang dieser Lektion gestellt. Umgekehrt kann man aber auch sagen:

Betrachtet man einmal diese Gravitation zwischen Erde und Mond (Bild 3), dann kann man - da sich der M o n d auf einer nahezu kreisförmigen Bahn um die Erde bewegt und die Umlaufdaten sehr genau bekannt sind - auch die Zentripetalbeschleunigung ( — ^ A 2 3 ) des Mondes in Richt u n g Erde ausrechnen. Nach Gleichung 1, Seite 9 6 ergibt sich - w e n n man dort für v = j einsetzt - für die

Dabei ist

r = Bahnradius in m,

T = Umlaufzeit in s,

G = Gravitationskonstante

116

#

A

Mechanik der festen Körper

M 3

Berechnen Sie die Zentripetalbeschleunigung des Mondes, die durch die Gravitationskraft der Erde verursacht wird, bei einer mittleren Entfernung E r d e - M o n d von r = 3 8 4 0 0 0 k m und einer Umlaufzeit von T = 27,3 d.

Lösung

az = , • ^

M 4

Aus Musteraufgabe M 3 sind für den Mond (bezogen auf die Erde) bekannt: r = 3 8 4 0 0 0 km, T = 27,3 d. Berechnen Sie aus diesen Daten die Masse der Erde m E .

Losung

mE =

4 . Q m

f

= 384 000 000 m •

. r3

=

J 2

6

,

6 7 3

( 2 7 > 3

. j

4

.^

= 0.0002725 f 2

e 0 0 8 ) 2

4 • ti 2 - ( 3 8 4 0 0 0 0 0 0 m ) 3 R • 1 0 " " m 3 / ( k g • s 2 ) • (27,3 • 2 4 • 3 6 0 0 s ) 2 "

n o 6 0 2

-n24|,„ ' 1 0

k g

Raumfahrt

Sollen Satelliten dauerhaft und ohne w e i t e r e n A n t r i e b die Erde umkreisen, dann muss dies bei einer U m l a u f b a h n geschehen, bei der nur noch ein vernachlässigbarer L u f t w i d e r s t a n d ( — • B3, B11) e x i s t i e r t . Dies ist e t w a ab 130 km Höhe über der Erdoberfläche der Fall. Der Satellit muss bei Bahnstabilität eine G e s c h w i n d i g k e i t um die Erde haben, bei der die Z e n t r i p e t a l k r a f t ( — • A 2 3 ) genauso groß ist w i e die Erdanziehungskraft. Um letztere zu berechnen, m u s s man beachten, dass die Erdanziehungskraft mit Hilfe der bei einer b e s t i m m t e n Höhe über der Erdoberfläche kleineren Erdbeschleunigung g berechnet w e r d e n muss. Es berechnet sich die

Gleiches w i e für Satelliten gilt natürlich auch für Raumschiffe, die es aber bis j e t z t n o c h nicht gibt. Da diese aber meist den Einflussbereich des Gravitationsfeldes der Erde verlassen sollen, m ü s s e n sie eine kinetische Energie haben, die m i n d e s t e n s so groß ist w i e die erforderliche A r b e i t zur Entfernung aus dem Gravitationsfeld. Vorher w i r d die erste kosmische Geschwindigkeit erreicht, nämlich die G e s c h w i n d i g k e i t , bei der die G e w i c h t s k r a f t ebenso groß ist w i e die Z e n t r i f u g a l k r a f t . Die erforderliche G e s c h w i n d i g k e i t zur Entfernung aus d e m Gravitationsfeld ist dann n o c h m a l s größer als die erste kosmische G e s c h w i n d i g k e i t und heißt zweite kosmische Geschwindigkeit oder Fluchtgeschwindigkeit. Erste kosmische Geschwindigkeit

Zweite kosmische Geschwindigkeit ff = V

2

"

• 'o

B

M 5

Wie groß ist die erste kosmische Geschwindigkeit (FG = Fz) bei einer Höhe über der Erdoberfläche h = 130 km bei einem mittleren Erdradius r n = 6 3 7 0 km?

Lösung

v u = yg0 "u =

• y-

V9'81 ^~

r = r0 + h = 6 3 7 0 km + 130 km = 6 5 0 0 km 2

"

(6

^nQnnnnm)2 6 500 000 m

= 7825,6 ^ s

= 7825,6 ^ s

• 3,6 ^ m

/

s

=

2 8

1 7 2

h

km

Ü 1

Was versteht man unter dem geozentrischen W e l t s y s t e m und was unter dem heliozentrischen Weltsystem?

Ü 2

Wie lautet das 1. Kepler'sche Gesetz, und wie lautet das 2. Kepler'sche Gesetz?

Ü 3

Bei einer Torsionswaage von Cavendish ist /771 = 2 0 g , m 2 = 2 0 t . Der A b s t a n d beider Massen ist r = 8 0 c m . Berechnen Sie die Gravitationskraft und vergleichen Sie bzw. kommentieren Sie das errechnete Ergebnis mit dem Ergebnis in Musteraufgabe M 2, Seite 114.

A25

Gravitation

117

LI 4

Die Umlaufzeit der Erde um die Sonne beträgt 3 6 5 d 6 h 9 min 9 , 5 4 s, und der A b s t a n d z w i schen Erde und Sonne ist r = 149,5 • 1 0 6 k m . Berechnen Sie a) die Zentripetalbeschleunigung der Erde, bezüglich der Sonne, b) die Sonnenmasse.

Ü 5

Definieren Sie die Bedingung für Schwerelosigkeit und informieren Sie sich in einem t e c h n i s c h - n a t u r w i s s e n s c h a f t l i c h e n Lexikon oder im Internet über diesen Begriff.

V 1

Nennen Sie die Grundlagen für die Entwicklung der von Kepler e n t w i c k e l t e n Planetengesetze.

V 2

Erläutern Sie das 3. Kepler'sche Gesetz a 3 / T * = konstant.

V 3

Welche Aussagen kann man über Feldlinien in einem Gravitationsfeld machen?

V 4

a) Was versteht man unter der ersten kosmischen Geschwindigkeit? b) Was versteht man unter der z w e i t e n kosmischen Geschwindigkeit? Berechnen Sie diese (auf die Erde bezogen).

V 5

Welches G e w i c h t hat eine Masse v o n m = 1 kg, w e n n sich diese in einer Höhe h = 5 0 0 0 km über der Erdoberfläche befindet?

V 6

Versuchen Sie eine Definition für den Begriff „ G r a v i t a t i o n s k o n s t a n t e " zu formulieren und berücksichtigen Sie dabei den Begriff „ N a t u r k o n s t a n t e " .

MEILENSTEINE Zeit- bzw. Lebensräum

Akteur

Naturwissenschaftlich-technisches Ereignis

von 1 8 0 1 bis 1874

Moritz Hermann Jakobi

Erbauer des ersten brauchbaren Elektromotors im Jahr 1835.

von 1 8 0 2 bis 1855

John Gorrie

Erfinder der ersten Kaltluftmaschine zur Raumkühlung. Seine Eismaschine wurde patentiert, er hat es aber nicht verstanden, das Patent wirtschaftlich zu nutzen.

von 1 8 0 2 bis 1870 Der Magnuseffekt stellt die physikalische Grundlage für den Flettner-Rotor dar.

Heinrich Gustav Magnus

Deutscher Physiker und Chemiker. Hauptarbeitsgebiete waren die Wärmewirkungen. A u c h durch den Magnus-Effekt bekannt geworden. Dieser beschreibt die Kraftwirkungen, die bei bewegten Körpern durch das Anströmen eines Fluids entstehen.

von 1 8 0 2 bis 1875

Charles Wheatstone

Vielseitiger englischer Physiker und Professor für Experimentalphysik. Brückenschaltung für die exakte Messung elektrischer Widerstände, die Wheatstone'sche Brücke.

von 1 8 0 3 bis 1 8 5 3 Der Dopplereffekt hat in der medizinischen Diagnostik eine große Bedeut u n g erlangt.

Christian Johann Doppler

Doppler entdeckte den Dopplereffekt, der auf einer Veränderung der Wellenlänge einer sich bewegenden Licht- oder Schallquelle beruht. So hat z. B. eine herannahende Schallquelle einen höheren Ton als eine sich wegbewegende Schallquelle.

von 1 8 0 3 bis 1887

Joseph W h i t w o r t h

Schrauben werden erstmals von genormt.

von 1 8 0 4 bis 1 8 8 6

John Deere

1837 gründete John Deere eine Grobschmiede. Er ist der Erfinder des Stahlpfluges. Heute ist die Firma John Deere w e l t w e i t e r Führer im Bau von Landmaschinen aller Art.

F o r t s e t z u n g Seite 121

Whitworth

118

B

Mechanik der Fluide

B

M e c h a n i k der Fluide

B1

Wirkungen der Molekularkräfte

Die physikalischen Eigenschaften der Flüssigkeiten und Gase werden durch die von den Molekularkräften (Kohäsions- und Adhäsionskräfte) ausgehenden W e c h s e l w i r k u n g e n zwischen den Teilchen b e s t i m m t . Zur Beschreibung und Erklärung ihres mechanischen Verhaltens kann man die Prinzipien und Gesetzmäßigkeiten der Mechanik der festen Körper anwenden.

1.1

Fluide und Fluidmechanik

Die Stoffe liegen in den Aggregatzuständen fest, flüssig und gasförmig vor. Flüssigkeiten und Gase fasst man unter dem Oberbegriff Fluide zusammen. Ein Gas, das noch Kontakt zu der Flüssigkeit bzw. dem Feststoff hat, aus dem es durch Verdampfen bzw. Sublimieren entstanden ist, bezeichnet man als Dampf ( — • C8). Trennt man den Dampf von der zugehörigen flüssigen bzw. festen Phase und erhöht die Temperatur, so nähert sich sein Verhalten immer mehr dem eines Gases an. Fluid Dampf

Flüssigkeit

Gas

Fluide haben keine feste Gestalt. Aufgrund der größeren zwischen den Teilchen wirkenden Kohäsionskräfte ( — • A 3 ) hat eine Flüssigkeitsmenge ein bestimmtes Volumen. Gasteilchen sind w e g e n der geringeren Zusammenhaltskräfte nicht an ein bestimmtes Volumen gebunden. Flüssigkeiten haben keine feste Gestalt. Sie nehmen die Form des Gefäßes an (Bild 1).

L

V

Gase und Dämpfe haben keine feste Gestalt. Sie verteilen sich in der Regel auf den ganzen ihnen zur Verfügung stehenden Raum (Bild 2). Aufgrund der geringen zwischen den Teilchen wirkenden Kohäsionskräfte können Fluide und Fluidgemische, z.B. feuchte Luft ( — • C5), keine Zugkräfte, sondern nur Druckkräfte übertragen.

J

y

Bild 1: Flüssigkeit

(

)

Bild 2: Gas, Dampf

Gegenstand der Fluidmechnik sind die Gesetzmäßigkeiten zur Beschreibung des Verhaltens der ruhenden und der bewegten Fluide. Die Teilgebiete sind in der nachfolgenden Übersicht dargestellt. Fluidmechanik Mechanik der Flüssigkeiten Hydromechanik Hydrostatik, Hydrodynamik

Mechanik der Gase Aeromechanik tik, Aerodynamik, le Aerostatik, Mechanik der Dämpfe

B1

Ü 1

Wirkungen der Molekularkräfte

119

Im Gegensatz zu den Fluiden können die sog. Tracks nur Zugkräfte und keine D r u c k k r ä f t e übertragen. Welchen A g g r e g a t z u s t a n d müssen demzufolge Tracks haben? Nennen Sie Bauteile, die man als Track bezeichnen kann.

Ü 2

Nennen Sie Beispiele, bei denen ein flüssiger Körper der Druckübertragung dient.

Ü 3

Nennen Sie Beispiele, bei denen ein gasförmiger Körper der Druckübertragung dient.

Ü 4

Was versteht man unter einem Fluidgemisch?

Ü 5

Erläutern Sie die Begriffe Hydrostatik und H y d r o d y n a m i k bzw. Aerostatik und A e r o d y n a m i k mit Hilfe des Internet oder eines t e c h n i s c h - n a t u r w i s s e n s c h a f t l i c h e n Lexikons.

1.2

Verhalten der Fluide als Folge der Molekularkräfte

Einige Eigenschaften von Flüssigkeiten lassen sich unmittelbar aus dem Zusammenwirken von Kohäsions- und Adhäasionskräften erklären.

1.2.1

Die Oberflächenspannung

Im Inneren einer Flüssigkeit heben sich die zwischen einem Flüssigkeitsteilchen M und den Nachbarteilchen wirkenden Kohäsionskräfte 1, 2, 3 und 4 gegenseitig auf (Bild 1). Infolge HF = 0 lassen sich alle Teilchen innerhalb der Flüssigkeit beinahe völlig ohne Widerstand verschieben. Bei einem Teilchen M an der Oberfläche der Flüssigkeit heben sich zwar die Kohäsionskräfte 1 und 2 gegenseitig auf. Da für die Kohäsionskraft 3 aber die Gegenkraft fehlt, ist EF ^ 0. Dadurch w i r k t auf M eine nach innen gerichtete Kraft. Dies ruft den Effekt hervor, dass sich die Flüssigkeitsoberfläche w i e eine dünne gespannte Gummihaut verhält. Man bezeichnet dieses Verhalten als die Oberflächenspannung der Flüssigkeit (Formelzeichen er). A u f die Oberflächenmoleküle von Flüssigkeiten wirken in die Flüssigkeit hinein gerichtete Kohäsionskräfte, die zu der Oberflächenspannung führen. Das Zeichen V kennzeichnet den Flüssigkeitsspiegel. Die Oberflächenspannung wird z. B. sichtbar, w e n n man ein Behältnis so w e i t mit einer benetzenden Flüssigkeit ( — • B1.2.2) füllt, dass diese (z. B. Wasser) in der Gefäßmitte höher steht als am Rand des Gefäßes (Bild 3). •

Oberflächenspannung als Funktion der Oberflächenenergie

i v

I

Bild 1: M innerhalb der Flüssigkeit

Bild 2: M an der Flüssigkeitsoberfläche

Bild 3: Oberflächenspannung

Die Oberflächenmoleküle haben, bezogen auf das Innere der Flüssigkeit, eine potentielle Energie ( — • A 1 8 ) . Diese Energie der Lage wird auch als Oberflächenenergie bezeichnet. Bringt man Moleküle aus dem Inneren der Flüssigkeit an deren Oberfläche werden: 1. die Oberfläche um AA vergrößert 2. die Oberflächenenergie um A W vergrößert Daraus ergibt sich als Definition der Oberflächenspannung: Unter der Oberflächenspannung versteht man das Verhältnis der Änderung der Oberflächenenergie Al/l/zur Änderung der Oberfläche AA.

120

B

Mechanik der Fluide

Oberflächenspannung a =

Al/l/

„1

G

Al/l/

AA

Tabelle 1: V e r s u c h s w e r t e

N

Nm

m2

Flüssigkeit bei 2 0 ° C

Oberflächens p a n n u n g in N/m

Quecksilber Wasser Alkohol Glyzerin Benzin

0,47 0,073 0,025 0,076 0,030

m

Die Oberflächenspannung ist vom Stoff und von der Temperatur abhängig. Tabelle 1 zeigt die Oberflächenspannung einiger Flüssigkeiten bei einer Temperatur von 2 0 ° C . •

Ermittlung der Oberflächenspannung

Bild 1 zeigt einen (im Schnitt dargestellten) Ring, der aus einer Flüssigkeit herausgezogen wird. Durch die anhaftende Flüssigkeit ist zum Hochheben die Hubarbeit Al/l/ = F • s, ( — • A I S ) erforderlich. Dabei vergrößert sich die Oberfläche um AA « 2 • 7i • d • s. Setzt man Al/l/und AA in die Gleichung 1 ein, so erhält man für die Oberflächenspannung

1.2.2

CT

F

d

N m

N

m

anhaftende Flüssigkeit

d = Ringdurchmesser F = Zugkraft (Gewicht des Rings ist kompensiert)

Bild 1: Ermittlung der Oberflächenspannung

Benetzende und nicht benetzende Flüssigkeiten

Wirken zwei unterschiedlich gerichtete Kräfte in einem Punkt, dann kann man sie mit einem Kräfteparallelogramm ( — • A ß , A12) zu einer Resultierenden zusammenfassen. Auf ein Masseteilchen (Flüssigkeitsmolekül) an der Flüssigkeitsoberfläche, das sich in unmittelbarer Nähe der Gefäßwand befindet, wirken zwei Einflussgrößen: 1. F A = Adhäsionskräfte zwischen dem Masseteilchen und den Gefäßwand molekülen. 2. FK = Kohäsionskräfte zwischen dem Masseteilchen und den Molekülen im Inneren der Flüssigkeit.

Randeinfluss

Bild 2: Nach oben gezogen kein Randeinfluss Randeinfluss

Je nach Flüssigkeit und Gefäßwerkstoff können diese Kräfte unterschiedlich groß sein. Die Bilder 2 und 3 zeigen zwei denkbare Fälle. Man erkennt hierbei: Flüssigkeitsoberflächen stellen sich stets senkrecht Resultierenden aller auf sie wirkenden Kräfte ein.

t

Tangente

zur

Bild 3: Nach unten gedrückt

Das Verhältnis FK/FA ist das Kriterium dafür, ob die Flüssigkeit am Gefäßrand nach oben „gezogen" oder nach unten „ g e d r ü c k t " wird. Flüssigkeiten, die nach oben "gezogen" werden, nennt man benetzende Flüssigkeiten (Bild 2). Flüssigkeiten, die nach unten " g e d r ü c k t " werden, heißen nicht benetzende Flüssigkeiten (Bild 3).

1.2.3

Kapillarität

Kapillaren sind sehr dünne Röhrchen, bei denen die Gefäßwände sehr dicht beieinander liegen. Benetzende Flüssigkeiten werden in Kapillaren angehoben (Kapillaraszension); nicht benetzende Flüssigkeiten dagegen abgesenkt (Kapillardepression).

Oberfläche

Oberfläche

konkav

konvex

X7

/

J. >7777777777777777777,

Bild 4: Benetzend

77777777777777777777, Bild 5: Nicht benetzend

B1

1.2.4

Oberflächenausbildung ruhender Flüssigkeiten

Bei den in Kapillaren entstehenden Flüssigkeitsoberflächen unterscheidet man nach ihrer Form den konkaven Meniskus (Bild 4, Seite 120), der sich bei benetzenden Flüssigkeiten, z. B. Wasser, ausbildet, und den bei nicht benetzenden Flüssigkeiten, z. B. Quecksilber, zu beobachtenden konvexen Meniskus Bild 5, Seite 120). Die Resultierende aller auf die Flüssigkeitsteilchen wirkenden Kräfte - vor allem die Schwerkraft ( — • A 4 , A7, A25) - ist in Richtung Erdmittelpunkt gerichtet. In den im Alltag als auch in der Technik vorkommenden Behältern verlaufen die auf die Teilchen in der Oberfläche wirkenden Kräfte praktisch parallel (Bild 1). Für die Form der Oberfläche ergibt sich daraus:

Wirkungen der Molekularkräfte

121

Flüssigkeitsspiegel /

Schwerkraft

Bild 1: Behälter

Schwerkraft

Der Flüssigkeitsspiegel V in Behältern ist angenähert eine horizontale Ebene. Je größer die Flüssigkeitsoberfläche ist, desto mehr macht sich bemerkbar, dass die auf die Flüssigkeitsmoleküle wirkenden Kräfte in Richtung Erdmittelpunkt zeigen und damit nicht parallel sind. Besonders augenfällig ist dies bei großen Seen oder den Weltmeeren (Bild 2). Ihre Oberflächen sind entsprechend der kugeligen Form der Erde gekrümmt.

Bild 2: Flüssigkeitsoberfläche großer Ausdehnung

Ü 6

Welche Kräfte w i r k e n z w i s c h e n den Oberflächenmolekülen zweier Körper und w e l c h e z w i schen den Molekülen bzw. A t o m e n eines Körpers?

Ü 7

W i e ist es zu erklären, dass Flüssigkeiten und Gase so gut verformbar sind?

Ü 8

Von welchen physikalischen Z u s t a n d s g r ö ß e n ist die Oberflächenspannung meiner Flüssigkeit abhängig?

Ü 9

Um w e l c h e Flüssigkeit könnte es sich handeln, w e n n gemäß Bild 1, Seite 120, der Durchmesser des eingetauchten Ringes d = 6 , 0 c m beträgt und eine für das Heben der Flüssigkeit (Gewicht des Ringes ist kompensiert) erforderliche Zugkraft F = 0 , 0 2 7 N gemessen wird?

Ü 10

Welche Eigenschaft müssen Schmelzlote haben?

Ü 11

Nebenstehendes Bild zeigt die Steighöhe eines Lotes in A b h ä n g i g k e i t v o n der Breite des Lötspaltes. Interpretieren Sie dieses Diagramm.

Ü 12

W i e stellt sich die Oberfläche einer Flüssigkeit ein, w e n n mehrere Kräfte auf die Oberflächenmoleküle wirken?

Ü 13

Der Meniskus in einer Kapillare sei weder konkav noch konvex. Welche Bedingung m ü s s t e dann erfüllt sein?

zu eng x noch zulässig

Spaltbreite

MEILENSTEINE Zeit- bzw. Lebensraum

Akteur

von 1 8 0 4 bis 1 8 5 4

A u g u s t Borsig

Bedeutender Fabrikant, Lokomotivbau.

von 1 8 0 6 bis 1881

Rudolf Christian Böttger

Zunächst Lehrer für Physik und Chemie. Anschließend Promotion und Hinwendung zur angewandten Chemie. Zu nennen wären z. B. das Galvanisieren und die Erfindung des Sicherheitszündholzes.

F o r t s e t z u n g Seite 125

Naturwissenschaftlich-technisches Ereignis

122

Mechanik der Fluide

B

Druck in Flüssigkeiten fn der Fluidmechanik wird - ebenso w i e in der Mechanik der festen Körper - zwischen statischen und dynamischen Vorgängen unterschieden. Eine wesentliche physikalische Größe der Hydrostatik, die sich mit dem Verhalten ruhender Flüssigkeiten beschäftigt, ist der Druck.

2.1

Pressdruck und hydrostatischer Druck

In der Hydrostatik wird zwischen dem Pressdruck und dem hydrostatischen Druck (Schweredruck) unterschieden.

2.1.1

Berechnung des Pressdruckes

Wirken auf ein Fluid, z. B. eine Flüssigkeit, äußere Kräfte, so steigt in diesem der Druck. Dies kann durch Pressung mit einem Kolben (Bild 1) geschehen. Infolge des Wechselwirkungsgesetzes ( — • A I O ) herrscht Kräftegleichgewicht zwischen der äußeren Kraft F' und der aus der Flüssigkeit auf den Kolben zurück wirkenden Reaktionskraft F.

i

Kolben

A

Die auf die Fläche A bezogene Kraft F (Quotient F/A) heißt Druck.

F= F

Bild 1: Pressdruck

Druck (Pressdruck) • i P

=

[ p ]

A

[F] Wl

N =

Formelzeichen: p

M 1

A u f einen Kolben mit dem Durchmesser d = 5 0 m m w i r k t eine Kraft F = 8 0 N. Berechnen Sie den e n t s t a n d e n e n Druck in N / m 2 . W e l c h e n Durchmesser hat ein Kolben, bei d e m der errechnete Druck mit einer Kraft F = 6 0 N erreicht w i r d

Lösung

p = — =

:

d2

=

4 • 80 N = 40 744 N • (0,05 m ) 2

4 •F

n • d2 60 N • m2 40 744 N

2.1.2

= 4 3 , 3 mm

Berechnung des hydrostatischen Drucks

Während man den durch einen Kolben erzeugten Druck als Pressdruck bezeichnet, nennt man den durch die Gewichtskraft (—•A10) entstehenden hydrostatischen Druck auch Schweredruck. Bild 2 symbolisiert die Druckzunahme - z. B. in Wasser - mit zunehmender Tiefe. In Bild 3 ist zu erkennen, w i e die Gewichtskraft FG der Flüssigkeit durch eine Kolbenkraft F kompensiert wird. Mit Gleichung 1 ergibt sich: \/ • Q

•

9

A •h •

Q

•g

und daraus für den hydrostatischen Druck:

B2

Hydrostatischer Druck (Schweredruck) h •g •g

E3

Druck in Flüssigkeiten

123

h = Höhe der Flüssigkeitssäule in m Q = Flüssigkeitsdichte in kg/m 3 g = Fallbeschleunigung in m/s 2

M i t den Größen der Gleichung 2, Seite 122 muss sich die gleiche Druckeinheit ergeben wie bei Gleichung 1, Seite 122. Dies wird durch die folgende Einheitenrechnung belegt: Einheit des hydrostatischen Drucks

lP] = [h]

•

[g]

[g] = m • ^m 3 * ~2 s2 =

kgm

1

N m2

Aus Bild 1 ist zu ersehen, dass in Behältern Press- und Schweredruck gleichzeitig wirken. In der technischen Praxis findet jedoch eine Berücksichtigung des Schweredruckes i . d . R . nur bei Behältern mit großen Flüssigkeitssäulen (Höhen) s t a t t . Dies ist z . B . bei Schwimmdachbehältern (Bild 1) oder in Rohrleitungssystemen, die große Höhenunterschiede bewältigen, der Fall. Dann gilt: Der Gesamtdruck ergibt sich aus der Summe von Pressdruck = Zp und hydrostatischem Druck (Schweredruck).

2.2

Druckeinheiten

Die Druckeinheit ist eine abgeleitete Einheit. In den Normen DIN 1314 „ D r u c k " und DIN 1301 „Einheiten" ist - wie nebenstehend festgelegt: • Diese Bezeichnung erfolgte zu Ehren des französischen Mathematikers und Physikers Blaise Pascal (s. S. 40). In der Technik gebräuchliche dezimale Teile bzw. dezimale Vielfache ( — • A 4 ) sind: 1 1 1 1

Bild 1: Schwimmdachbehälter

Mikropascal Hektopascal Kilopascal Megapascal

= = = =

1 1 1 1

[jPa hPa kPa MPa

= = = =

Die Sl-Einheit für den Druck ist das Pascal. Einheitenzeichen: Pa. 1 Pa = 1 N/m 2 In der Technik treten oft Drücke in der Größenordnung von 10 5 Pa auf, was etwa dem atmosphärischen Druck ( — • B S ) , dem uns umgebenden Luftdruck, entspricht. Deshalb w u r d e als gesetzliche Einheit das Bar eingeführt.

10 6 P a 1 0 2 Pa 1 0 3 Pa 106Pa

1 bar = 1 0 5 N / m 2 =

100000N/m2

„barys" = griech. schwer

M 2

A m Boden eines hohen Flüssigkeitsbehälters w i r d von einer Wassersäule (g = 1 0 0 0 k g / m 3 ) ein Schweredruck v o n 1 bar erzeugt. Berechnen Sie a) den Druck in Hektopascal b) die Höhe der w i r k e n d e n Flüssigkeitssäule in m. c) Welche Dichte g hat eine Flüssigkeit, mit der ein S c h w e r e d r u c k von 1 bar mit einer Flüssigkeitssäule v o n 0 , 7 5 m erreicht w i r d .

Lösung

a) p = 1 bar = 1 0 0 0 0 0 P a = lOOOhPa

.» u „ u p b) p = h • g • g —• h = -^-g N

P n

c) g = hg

2.2.1

1 0 0 0 0 0 N/m

3 ~ 1 0 0 0 k g / m • 9,81 m/s 2

100.000 • s i .Kj^jyjm 2 0 , 7 5 m • 9,81 m

13591 N • s r

13,6

= 10,19 m

1 0

3

^

Umrechnung alter Druckeinheiten in Pascal

In der Praxis des Technikers ist es noch für geraume Zeit n o t w e n d i g „alte Einheiten" zu verw e n d e n . Dies ist insbesondere dann der Fall, w e n n es bei Anlagenumbauten gilt, alte Berechnungsunterlagen heranzuziehen. Diesem Umstand trägt auch die aktuelle Normung Rechnung. So beinhaltet z. B. die Drucknorm DIN 1314 eine Umrechnungstabelle von alten Druckeinheiten auf Sl-Druckeinheiten. Ein Auszug ist auf der nächsten Seite wiedergegeben (Tabelle 1, Seite 124).

124

Mechanik der Fluide

B

Tabelle 1: Umrechnung von Druckeinheiten A l t e Druckangabe

Druck in Pa b z w . in bar

1

98066,5Pa = 0,980665bar

= 1 at = 1 0 m W S = 7 3 5 , 5 m m Hg = 0 , 9 8 1 bar cm2 1 atm = 1 , 0 3 3 = 10,33mWS = 760mmQS cm2 1 Torr = = 1 mmHg

Hier bedeuten:

101 3 2 5 Pa = 1,01325 bar 1 3 3 , 3 2 2 Pa = 1 , 3 3 3 2 2 m b a r (hPa)

m W S — • Meter Wassersäule m m QS bzw. m m H g — • Millimeter Quecksilbersäule a t m — • physikalische A t m o s p h ä r e at — • t e c h n i s c h e A t m o s p h ä r e

Die Druckbezeichnung 1 Torr = 1 mm Hg ist auf den italienischen Physiker Torricelli (s. S. 40) zurückzuführen. Dieser war Schüler von Galilei und erfand das Quecksilberbarometer ( — • B3). M 3

Rechnen Sie 1 bar m i t den A n g a b e n der Lektion A 1 0 (1 kp « 9,81 N) in die Druckeinheit k p / c m 2 um.

Lösung *

1 bar = 100 0 0 0 A = m2

2.3

0 0 ? ^ " ' „ , B 1 M " ? 9,81 N/kp • 10 0 0 0 c m 2 / m 2

Q

1.019

cm2

Kompressibilität

Wirken Druckkräfte auf einen Körper, hat dies immer eine Volumenverkleinerung zur Folge. Wird die Druckkraft wieder reduziert, nimmt das Volumen wieder seine ursprüngliche Größe ein. Bei einem festen Körper wird dabei eine Verformung im elastischen Bereich (—•A11) vorausgesetzt. Die Eigenschaft, dass das Volumen wieder seine ursprüngliche Größe einnimmt, heißt Volumenelastizität. Ein Maß hierfür ist die Kompressibilität. Unter Kompressibilität (Zusammendrückbarkeit) versteht man den Quotienten aus relativer Volumenänderung und absoluter Druckänderung. Tabelle 2 zeigt die Kompressibilität Stoffe bei 2 0 °C:

Kompressibilität AV V/ V AV Ap x

1 Ap

Tabelle 2 : Volumenelastizität

= ursprüngliches Volumen in m 3 = Volumenänderung bei Drucksteigerung in m 3 = Druckänderung in bar = Kompressibilität in b a r - 1

M 4

Lösung

2.4

einiger

Stoff Stahl Quecksilber Wasser Alkohol

Kompressibilität in b a r - 1 6 • 10"7 4 • 1 0~6 5 • 105 1 1 • 10 5

5 m 3 Wasser w e r d e n einer Drucksteigerung von Ap = 2 0 0 bar u n t e r w o r f e n . Um w i e viel % verkleinert sich das Volumen? x

= ^f

•

^ AV = H • V • Ap = 5 • 1 0 " 5 b a r 1 • 5 m 3 • 2 0 0 bar = 0 , 0 5 m 3 = 1 %

Die ideale Flüssigkeit

Bei den meisten technischen Rechnungen ist es ausreichend, w e n n man w e g e n der sehr geringen Kompressibilität von Flüssigkeiten diese als inkompressibel (nicht zusammendrückbar) annimmt. In vielen Fällen k o m m t man auch noch zu brauchbaren Ergebnissen, w e n n man die Flüssigkeitsreibung ( — • B I O ) vernachlässigt.

B2

Druck in Flüssigkeiten

125

Ideale Flüssigkeiten sind inkompressibel und fließen ohne innere Reibungsverluste.

U 1

A n der Kolbenstange eines Tauchkolbens mit dem Durchmesser d = 100 mm wird eine Kraft v o n F = 5 0 0 N gemessen. W i e groß ist der auf die Kolbenfläche wirkende Druck in Pa und in bar?

U 2

Bei dem in Bild 1, Seite 123 abgebildeten S c h w i m m d a c h b e h ä l t e r wird ein Pressdruck p 1 = 0 , 0 3 bar und ein S c h w e r e d r u c k p2 = 0,7 bar erzeugt. W i e groß ist der Gesamtdruck am Boden des Behälters bei dem atmosphärischen Druck p3 = 1 bar?

U 3

In einem oben offenen Gefäß ist eine Flüssigkeit mit der Dichte g = 0 , 8 7 k g / d m 3 eingefüllt. A m Gefäßboden stellt sich ein S c h w e r e d r u c k v o n 0 , 4 5 bar ein. Berechnen Sie die Höhe der Flüssigkeitssäule.

U 4

Führen Sie den Druck 1 bar auf die Basiseinheiten kg, m, und s zurück.

Ü 5

Füllen Sie die folgende Tabelle aus: bar 1 bar

at

atm

m WS

m m Hg

Pa

1 1

1 at U 6

W i e groß ist der S c h w e r e d r u c k in 1 0 0 0 0 m Wassertiefe {g = 1 0 0 0 kg/m 3 ) in bar und um w i e viel % w i r d das Wasser in dieser Tiefe z u s a m m e n g e d r ü c k t (Ausgangsvolumen V = 1 m 3 )?

V 1

M a c h e n Sie mit Hilfe der Gleichung p = h • g • g eine Aussage über die Drucksteigerung mit zunehmender Flüssigkeitstiefe.

V 2

A u f einer gleicharmigen Balkenwaage (oberes Bild) befindet sich auf der einen Seite ein Gefäß, w e l c h e s mit h = 0 , 5 m Wasser gefüllt ist. W i e hoch muss ein gleiches Gefäß auf der anderen Seite mit Quecksilber gefüllt werden, d a m i t sich die Waage im G l e i c h g e w i c h t befindet?

V 3

Rechnen Sie in MPa um: 1 at und 1 bar

V 4

Eine Flüssigkeitsleitung (unteres Bild) ü b e r w i n d e t einen Höhenunterschied von Ah = 17 m. Die Leitung ist mit Wasser gefüllt und an der tiefsten Stelle w i r d ein Druck von 8 bar gemessen. Wie groß ist der Druck p0 an der obersten Stelle der Rohrleitung (g = 1 kg/dm 3 )?

V 5

Der Pumpenkolben einer hydraulischen Presse hat eine Fläche v o n A = 2,5 c m 2 und es w i r k t auf ihn eine Kraft von F = 8 0 0 N. Welcher Druck w i r d in der Hydraulikflüssigkeit erzeugt?

V 6

Recherchieren Sie im Internet oder in einem t e c h n i s c h e n Lexikon den Begriff Hydraulikflüssigkeit.

MEILENSTEINE Zeit- b z w . Lebensraum

Akteur

Naturwissenschaftlich-technisches

v o n 1 8 0 8 bis 1 8 7 0

Johann Andreas Schubert

Bau der ersten d e u t s c h e n L o k o m o t i v e , der Saxonia. Organisator der D a m p f s c h i f f f a h r t auf d e r Elbe. E r b a u e r d e r G ö l t z s c h t a l b r ü c k e ( E i s e n bahnbrücke und größte Ziegelsteinbrücke der Welt: 5 7 4 m lang, 7 8 m hoch).

F o r t s e t z u n g Seite 130

Ereignis

126

B

B3

Mechanik der Fluide

Druck in Gasen

Die für die Beschreibung des Verhaltens von Gasen wesentlichen Zustandsgrößen sind der Druck, die Temperatur T und das Volumen V.

3.1

Gesetz von Boyle Mariotte

Beim Einwirken von äußeren Kräften auf Gase und Dämpfe, z. B. durch einen Kolben in einem Zylinder, kann deren Volumen stark verändert werden. Daraus ergibt sich: Im Gegensatz zu den Flüssigkeiten haben Gase eine große Kompressibilität. Bei der Volumenverkleinerung einer Gasmasse (Gasportion) treten im allgemeinen sowohl eine Druckerhöhung als auch eine Temperaturerhöhung auf. Hält man die Temperatur T durch eine langsame Versuchsdurchführung, bei der sich die Temperatur ausgleichen kann, konstant, so ergibt sich der in Bild 1 gezeigte Zusammenhang von Druck p und Volumen V. Danach nimmt bei einer Zustandsänderung bei konstanter Temperatur, die als isotherme Zustandsänderung bezeichnet w i r d , das Volumen V im gleichen Maße ab wie der Druck p z u n i m m t . Aus dieser umgekehrt propotionalen Abhängigkeit von Volumen V und Druck p ergibt sich: Bei konstant gehaltener Temperatur 7"führt die Verkleinerung des Volumens V einer Gasportion zu einer Erhöhung des Druckes p. Das Produkt aus Druck p und Volumen V ist konstant.

© ©

In Formelschreibweise erhält man: p 1 • Vy = p2 • V2 = p3 • \/ 3 = p 4 • VA = konst. Entdecker dieser Gesetzmäßigkeit sind der englische Physiker Robert Boyle ( — • S ^ O ) und der französische Physiker Edme Mariotte ( — • S. 4 0 ) , und zwar völlig unabhängig voneinander. Es w i r d d e s h a l b als Gesetz b e z e i c h n e t .

Bild 1: Volumen, Druck-Diagramm für Gase und Dämpfe

Boyle-Mariotte'sches

Boyle-Mariotte'sches Gesetz

P

p • V = konst.

•

Pa, bar d m 3 , m 3

p = absoluter Druck (—B3.2)

M 1

In einem mit einem Kolben verschlossenen Gefäß befinden sich m = 1 , 2 9 3 kg Luft. Das V o l u m e n beträgt V, = 1 m 3 und der absolute Druck ist p 1 = 1,013 bar. Berechnen Sie den Druck p 2 , w e n n das V o l u m e n auf V = 0,1 m 3 verkleinert w i r d und w e n n T = konst. ist.

Lösung

p1 •

3.2

1/

~

= 1,013 bar

1 m 3 = 10,13 bar

0,1 m 3

Der Schweredruck von Gasen

A u c h beim Druck in Gasen wird zwischen Pressdruck und Schweredruck (aerostatischer Druck) unterschieden. Anschaulichstes Beispiel für den Schweredruck von Gasen ist der Luftdruck. Der Luftdruck ist der Druck, den die Luft infolge ihrer Gewichtskraft auf eine Unterlage ausübt.

B3

Druck in Gasen

127

Ebenso w i e beim hydrostatischen Druck w i r k t sich beim Schweredruck von Gasen die Höhe der Gassäule, bei Luft die Höhe der Luftsäule, aus. Mit Hiffe der barometrischen Höhenformel lässt sich der Luftdruck in beliebiger Höhe - zumindest ungefähr - ermitteln ( — • B 3 . 2 . 2 ) .

3.2.1

Nachweis des Luftdruckes

— Vakuum

Torricelli führte den in Bild 1 dargestellten Versuch durch: Eine ca. 8 0 c m lange, an einer Seite verschlossene Glasröhre wird mit Quecksilber gefüllt und mit der Öffnung nach unten in ein mit Quecksilber gefülltes Gefäß g e s t e c k t . Dabei macht man die Feststellung, dass sich das Quecksilber in der Röhre bei e t w a h = 75 cm einstellt. Der auf den Quecksilberspiegel wirkende Luftdruck befindet sich also mit dem durch die Quecksilbersäule erzeugten Schweredruck im Gleichgewicht. Der z w a n g s w e i s e luftleere Raum wird als Torricelli'sches V a k u u m bezeichnet, und es gilt:

Quecksilber

-c

y

j.

--H Bild 1: Torricelli'sches Vakuum

Im leeren Raum (Vakuum) ist der Druck null. gefülltes " Wasserglas

Bild 2 zeigt einen einfachen Handversuch zum Nachweis des Luftdruckes: Füllt man ein Trinkglas völlig mit Wasser, legt ein Blatt Papier darüber und dreht dann schnell das Glas um, so fließt das Wasser nicht aus, und zwar w e g e n des von außen auf das Blatt Papier wirkenden Luftdruckes. Dieser wird auch als atmosphärischer Druck bezeichnet. In Abhängigkeit von der geographischen Höhenlage, aber auch von der Wetterlage (Hochdruckgebiet oder Tiefdruckgebiet), verändert sich (schwankt) der Luftdruck.

l l ^ c l

I

Papierblatt

Bild 2: Luftdrucknachweis durch Handversuch

Der A t m o s p h ä r e n d r u c k ändert sich zeitlich innerhalb eines b e s t i m m t e n Schwankungsbereiches (Bild 3).

3.2.2

V

Luftdruck T F r

Atmosphärendruck in Abhängigkeit von der Höhenlage

Es w u r d e bereits gesagt, dass der Luftdruck (nach DIN 1 3 0 4 : p a m b ) mit Hilfe der barometrischen Höhenformel näherungsweise berechnet werden kann: Barometrische Höhenformel amb

P

amh

p0 h'

P0 10"'"'

Druck in der Höhe h = Druck in Meereshöhe (ca. 1013 hPa) = 18400m

Formel 127-1 setzt konstante Temperatur voraus. Schon alleine aus diesem Grund kann sie nur zu einem Näherungsergebnis führen. Berechnen Sie mit Hilfe dieser Gleichung den ungefähren atmosphärischen Druck in 130 km Höhe.

>

3.2.3

=

P

°

IQ h/h'

=

1013 hPa Q130000m/18400m

=

1013 hPa 1 Q7'07

=

1013hPa = 11 75 • 1 0 6

n

n f t n n R f i h P a

UiWUUUODlira

Absoluter Druck und atmosphärische Druckdifferenz

Es w u r d e bereits gesagt, dass im V a k u u m der Druck null ist. In der DIN 1314 heißt es: Der absolute Druck p a b soder A b s o l u t d r u c k p a b s ist der Druck gegenüber dem Druck null im leeren Raum.

Pabs

Pe1

Pabsl

Ap 1 2 = Druckdifferenz Schwankungsbreite Pamb Pe2

Den Z u s a m m e n h a n g zeigt Bild 3. In diesem ist auch der Luftdruck p a m b eingezeichnet, und es ist auch die Schwankungsbreite zu erkennen. Zusammenfassend kann man sagen:

Pabs2

Bild 3: Luftdruck und Schwankungsbreite

128

Mechanik der Fluide

B

Die auf den Druck null bezogenen Drücke werden als absolute Drücke p a b s ,die auf den Atmosphärendruck bezogenen Drücke als Überdrücke p e bezeichnet. Indices im Bild 3, Seite 127: Die Differenz z w i s c h e n einem absoluten Druck p a b s und dem Atmosphärendruck p a m b ist die abs -> absolutus (lat. losgelöst, unabhängig) ambiens (lat. umgebend) atmosphärische Druckdifferenz p e , die auch amb e exedens (lat. überschreitend) Überdruck p e genannt wird. Aus Bild 3, Seite 127 ergibt sich auch die Berechnungsgleichung für den Aus Gleichung 1 ist zu ersehen:

M 3

In einem Gefäß s c h w a n k t der absolute Druck (tatsächlicher Druck) z w i s c h e n p a | und p a b s 2 = 0 , 3 6 bar. Berechnen Sie bei p a m b = 1,02 bar a) die Druckdifferenz A p 1 2 b) die beiden Überdrücke p e 1 und p e 2

Lösung

a) A p , b

= 3 , 8 bar

= 3 , 8 bar - 0 , 3 6 bar = 3 , 4 4 b a r 3 , 8 bar - 1,02 bar = 2 , 7 8 bar ) Pe 1 = Pab.1 " P« p = 0 , 3 6 bar - 1,02 bar = - 0 , 6 6 bar 2

= pabs1 p

Nach DIN 1314 soll das Wort Unterdruck nicht mehr zu der Benennung einer Größe, sondern nur noch als qualitative Bezeichnung v e r w e n d e t werden. Dennoch verfährt man in der Technik w i e folgt: p > p , p ist positiv (Überdruck), p < p , p ist negativ (Unterdruck). Den diesbezüglichen Zusammenhang zeigt Bild 1. Zu erwähnen ist noch, dass der Bereich der Drücke unterhalb des A t m o s p h ä rendruckes in der Technik als Vakuumbereich bezeichnet wird.

p e 1 = Überdruck p ü

r

Pabsl

In der V a k u u m t e c h n i k werden keine Überdrücke, sondern grundsätzlich der stets positive absolute Druck p a b s angegeben.

3.3

Pe2 = Unterdruck p u

~|Pabs2

Pamb

Bild 1: Unter- und Uberdruck

Der Normzustand eines Gases bzw. Dampfes

Wegen der großen Volumenveränderlichkeit bei Druckänderung und Temperaturänderung ( — • C3) ist es aus Gründen der Vergleichbarkeit sinnvoll, für Gase und Dämpfe einen Normzustand mit einem Bezugsdruck und einer Bezugstemperatur zu definieren. Es ist: p n = 101 3 2 5 Pa = 1,01325 bar sn = o°c ^ Normtemperatur Sn C3, C4) eine Rolle. Dieser Sachverhalt spielt insbesondere in der Wärmelehre ( ^

Normzustand

3.4

Normdruck p ^

n

Die Gasdichte bzw. Dampfdichte

Dichte (—*-A4) Q = m V

Q kg m3

B

m

\/

kg

m3

Da dieser Sachverhalt v o m Aggregatzustand unabhängig ist, kann er auch auf das BoyleMariotte'sche Gesetz angewendet werden: HL Vi

v2

2

P2

V, 1

P2

HL Q