Td2 SL [PDF]

Zitiervorschau

´ Ecole Nationale des Sciences Appliqu´ ees - F` es Math´ematiques pour l’Ing´enieur

Ann´ee Universitaire 2020-2021 Cycle Ing´enieur

S´ erie de TD N◦ 2 `me de Sturm-Liouville Le proble ´ Exercice 1. Ecrire sous la forme du probl`eme de Sturm-Liouville les ´equations suivantes 1. y 00 + 3y 0 + (2 + λ)y = 0; y(0) = 0 = y(1). 2. x2 y 00 + xy 0 + λy = 0; y(1) = 0 = y(e). 3. (1 − x2 )y 00 − xy 0 + λy = 0; x ∈] − 1, 1[. Exercice 2. D´eterminer les valeurs propres et les fonctions propres pour chacun des probl`emes de Sturm-Liouville suivants 1. y 00 + λy = 0 sur ]0, l[ avec y(0) = 0 et y 0 (l) = 0. 2. y 00 + λy = 0 sur ]0, l[ avec y 0 (0) = 0 = y 0 (l). 3. (xy 0 )0 + λx y = 0 sur ]1, e[ avec y(1) = 0 = y(e). 4. (e2x y 0 )0 + e2x (λ + 1)y = 0 sur ]0, π[ avec y(0) = 0 = y(π). Exercice 3. Soit l’´equation y 00 + 3y 0 + (λ − 5)y = 0;

y(0) = 0 = y(1)

(1)

´ 1. Ecrire (3) sous la forme du probl`eme de Sturm-Liouville. 2. D´eterminer les valeurs propres et les fonctions propres du probl`eme de Sturm-Liouville. ´ Exercice 4 (Equation d’Hermite). Soit l’´equation y 00 − 2xy 0 + λy = 0;

x ∈] − ∞, +∞[.

(2)

´ 1. Ecrire (4) sous la forme du probl`eme de Sturm-Liouville. Le probl`eme de Sturm-Liouville est-il r´egulier ou singulier ? 2. Sachant que les polynˆomes H0 (x) = 1;

H1 (x) = 2x;

H2 (x) = 4x2 − 2;

H3 (x) = 8x3 − 12x,

sont les fonctions propres du probl`eme de Sturm-Liouville, d´eterminer les valeurs propres correspondantes.

1

Solutions propos´ ees ´ Exercice 1. Ecrire sous la forme du probl`eme de Sturm-Liouville les ´equations suivantes 1. y 00 + 3y 0 + (2 + λ)y = 0; y(0) = 0 = y(1). 2. x2 y 00 + xy 0 + λy = 0; y(1) = 0 = y(e). 3. (1 − x2 )y 00 − xy 0 + λy = 0; x ∈] − 1, 1[. Solution 1.

1. r(x) = e

Rx 0

3dt

= e3x ; par suite r0 (x) = 3r(x).

ry 00 + r0 y 0 + (2 + λ)e3x y = 0 ⇒ (ry 0 )0 + (2e3x + λe3x )y = 0. 2.

1 λ x2 y 00 + xy 0 + λy = 0 ⇔ y 00 + y 0 + 2 y = 0. x x Z x 1 dt r(x) = e 1 t = eln x = x. λ λ ry 00 + r0 y 0 + y = 0 ⇒ (ry 0 )0 + y = 0. x x

3. ∀x ∈] − 1, 1[; y 00 −

x y0 1−x2

+

λ y 1−x2

1 r(x) = e 2 ry 00 − r

Z

= 0. On fixe a ∈] − 1, 1[ puis on calcul x

ln(1 − t2 )dt

r ln

=e

a

1−x2 1−a2

√ = c 1 − x2 .

√ λr λ x 0 y + y = 0 ⇒ ( 1 − x2 y 0 )0 + √ y = 0. 2 2 1−x 1−x 1 − x2

Exercice 2. D´eterminer les valeurs propres et les fonctions propres pour chacun des probl`emes de Sturm-Liouville suivants 1. y 00 + λy = 0 sur ]0, l[ avec y(0) = 0 et y 0 (l) = 0. 2. y 00 + λy = 0 sur ]0, l[ avec y 0 (0) = 0 = y 0 (l). 3. (xy 0 )0 + λx y = 0 sur ]1, e[ avec y(1) = 0 = y(e). 4. (e2x y 0 )0 + e2x (λ + 1)y = 0 sur ]0, π[ avec y(0) = 0 = y(π). Solution 2.

1.

[ λ < 0 : λ = −k 2 ⇒ y(x) = Aekx + Be−kx y 0 (x) = k(Aekx − Be−kx ) 

1 ∆ = kl e

 y(0) = 0 A+B =0 ⇒ 0 kl −kl y (l) = 0 Ae − Be =0 1 −kl − ekl = −(e−kl + ekl ) 6= 0 ⇒ A = B = 0 −kl = −e −e

Ainsi y = 0. Donc si λ < 0 alors λ n’est pas valeur propre du probl`eme [ λ = 0 : y 00 = 0 ⇒ y(x) = Ax + B ⇒ (CL) ⇒ y = 0 Donc λ = 0 n’est pas une valeur propre du probl`eme 2

[ λ > 0 : λ = k 2 y 00 + λy = 0 ⇒ y(x) = A cos kx + B sin kx. On a donc, y 0 = −Ak sin kx + Bk cos kx.   y(0) = 0 A = 0, ⇒ y 0 (l) = 0 B cos kl = 0. Ce syst`eme a des solutions non triviales si cos kl = 0 ⇔ kl =

π + nπ; n ∈ N. 2

Ainsi, les valeurs propres sont λn = (

(2n + 1)π 2 ) ;n ∈ N 2l

et les fonctions propres correspondantes sont  (2n + 1)π  yn (x) = B sin x ; 2l

n ∈ N; B 6= 0.

2. [ λ < 0 : λ = −k 2 ⇒ y 00 + λy = 0 ⇒ y(x) = Aekx + Be−kx . y 0 (x) = k(Aekx − Be−kx ).  y 0 (0) = 0 A−B =0 ⇒ y 0 (l) = 0 Aekl − Be−kl = 0 1 −1 kl −kl 6= 0 ⇒ A = B = 0. kl −kl = e − e e −e

 ∆ =

Ainsi y = 0 ⇒ λ < 0 n’est pas une valeur propre du probl`eme. [ λ = 0 : y 00 = 0 ⇒ y(x) = Ax + B, CL ⇒ A = 0 ⇒ y(x) = B 6= 0. Ainsi, λ = 0 est une valeur propre correspondant aux constantes non nulles. [ λ > 0 : λ = k 2 y 00 + λy = 0 ⇒ y(x) = A cos kx + B sin kx.  0  y (0) = 0 B=0 ⇒ y 0 (l) = 0 A sin kl = 0. sin kl = 0 ⇔ kl = nπ; n ∈ N∗ . Ainsi, les valeurs propres sont λn =

 nπ 2 l

; n = 0, 1, 2, 3, · · ·

et les fonctions propres correspondantes sont les constantes non nulles et les fonctions  nπ  yn (x) = A cos x ; n = 1, 2, 3, · · · ; A 6= 0. l 3. (xy 0 )0 + λx y = 0(∗) sur [1, e] ; y(1) = 0 = y(e). r(x) = x > 0, q(x) = 0, p(x) = x1 > 0 ⇒ (SL) est r´egulier. λ (∗) ⇔ xy 00 + y 0 + y = 0. x 3

[ Si λ = −k 2 < 0 : alors on cherche une solution de la forme y(x) = xr , que l’on repporte dans l’´equation pour avoir r2 = −λ. √ √ Donc, r = −λ ou r = λ. La solution g´en´erale s’´ecrit donc y(x) = Axk + Bx−k .   y(1) = 0 A+B =0 ⇒ k −k y(e) = 0 Ae − Be =0 1 1 k −k ∆ = k −k = −(e − e ) 6= 0 ⇒ A = B = 0 ⇒ y(x) = 0. e −e Donc, λ < 0 n’est pas une valeur propre du probl`eme. [ Si λ = 0 alors xy 00 + y 0 = 0 ⇒ la solution g´en´erale s’´ecrit y(x) = A + B ln x.   y(1) = 0 A=0 ⇒ ⇒ y(x) = 0. y(e) = 0 A+B =0 Donc λ = 0 n’est pas une valeur propre du probl`eme. [ Si λ > 0 alors en posant λ = k 2 , la solution g´en´erale de xy 00 + y 0 + λx y = 0 s’´ecrit : y(x) = A cos(k ln x) + B sin(k ln x).   y(1) = 0 A=0 ⇒ y(e) = 0 B sin k = 0 sin k = 0 ⇔ k = nπ; n ∈ N∗ . Donc, les vaeurs propres sont λn = (nπ)2 ; n = 1, 2, 3, · · · et les fonctions propres correspondantes sont n = 1, 2, 3, · · · ; avec B 6= 0.

yn (x) = B sin(nπ ln x);

Remarque La th´eorie de Sturm-Liouville a comme cons´equence Z e dx sin(nπ ln x) sin(mπ ln x) = 0 si m 6= n. x 1 4. (e2x y 0 )0 + e2x (λ + 1)y = 0(∗) sur [0, π]; y(0) = 0 = y(π) r(x) = e2x > 0, q(x) = e2x , p(x) = e2x > 0 ⇒ Le probl`eme (SL) est r´egulier. Ses valeurs propres sont r´eelles. (∗) ⇔ 2e2x y 0 + e2x y 00 + e2x (λ + 1)y = 0 ⇔ y 00 + 2y 0 + (λ + 1)y = 0. [ λ < 0 : λ = −k 2 alors la solution g´en´erale est y(x) = Ae(k−1)x + Be(−k−1)x . Les conditions aux limites permettent d’avoir   A+B =0 y(0) = 0 ⇒ ⇒ A + B = 0, (k−1)π (−k−1)π y(π) = 0 Ae + Be =0 car

1 (k−1)π 1(−k−1)x e e

= e(−k−1)x − e(k−1)x = −2e−π sinh(kπ) 6= 0.

Ainsi λ < 0 n’est pas une valeur propre du probl`eme (SL). 4

[ λ = 0 : y 00 + 2y 0 + y = 0 ⇒ y(x) = Ae−x + Bxe−x (Utiliser la m´ethode de la variation de la constante)   y(0) = 0 A=0 ⇒ ⇒ A = B = 0 ⇒ y(x) = 0. y(π) = 0 Ae−π + Bπe−π = 0 Ainsi λ = 0 n’est pas valeur propre du probl`eme (SL). [ λ > 0 : λ = k 2 ; k > 0 la solution g´en´erale s’´ecrit : y(x) = Ae−x cos kx + Be−x sin kx.   y(0) = 0 A=0 ⇒ y(π) = 0 Be−π sin kπ = 0. (A, B) 6= (0, 0) ⇒ sin kπ = 0; k ∈ N∗ . Donc, les valeurs propres sont λn = n2 ; n ∈ N∗ et les fonctions propres correspondantes sont yn (x) = Be−x sin nx; B 6= 0; n = 1, 2, 3, · · · . Remarque La th´eorie de Sturm-Liouville a comme cons´equence Z π e−x sin nxe−x sin mxe2x dx = 0 si m 6= n. 0

Exercice 3. Soit l’´equation y 00 + 3y 0 + (λ − 5)y = 0;

y(0) = 0 = y(1)

(3)

´ 1. Ecrire (3) sous la forme du probl`eme de Sturm-Liouville. 2. D´eterminer les valeurs propres et les fonctions propres du probl`eme de Sturm-Liouville. Solution 3.

1. r(x) = e

Rx 0

3dt

= e3x

e3x y 00 + 3e3x y 0 + (λ − 5)e3x y = 0 ⇔ (ry 0 )0 + (−5e3x + λe3x )y = 0 r(x) = e3x , q(x) = −5e3x , p(x) = e3x > 0 Le probl`eme (SL) est r´egulier ⇒ est r´egulier ⇒ les valeurs propres sont r´eelles. 2. (∗) ⇒ r2 + 3r + (λ − 5) = 0 dont les racines sont p p √ √ −3 + 9 − 4(λ − 5) −3 − 9 − 4(λ − 5) −3 + 29 − 4λ −3 − 29 − 4λ = et = 2 2 2 2 On distingue 3 cas : −3 2

— λ=

29 4

⇒ racine double :

— λ


29 4

⇒ 2 racines complexes distinctes. 5

[ λ=

29 4

3

3

: y(x) = Ae− 2 x + Bxe− 2 x   A=0 y(0) = 0 ⇒ ⇒ A = B = 0 ⇒ y(x) = 0 3 y(1) = 0 Be− 2 = 0 29 4

n’est pas valeur propre du probl`eme. √ : Posons ν = 29 − 4λ on a deux racines r´eelles :

Ainsi λ = [ λ < 29 4 − 3+ν Be 2 x



y(0) = 0 ⇒ y(1) = 0



∆ =

−3+ν −3−ν , 2 2

Ainsi y(x) = Ae

 A+B =0 A+B ⇒ −ν −3+ν 3+ν ν − Ae 2 + Be 2 Ae 2 + Be 2 = 0 1 1 6= 0 ⇒ A = B = 0 ⇒ y = 0 −ν ν e2 e 2

−3+ν x 2

+

=0 =0

29 4

n’est pas valeur propre du probl`eme. √ [ λ > 29 : Posons ν = 4λ − 29 on a deux racines complexes : −3+iν , −3−iν donc la solution 4 2 2 −3 −3 ν ν x x g´en´erale s’´ecrit y(x) = Ae 2 cos( 2 x) + Be 2 sin( 2 x)    A=0 y(0) = 0 A=0 ⇒ ⇒ −3 −3 y(1) = 0 B sin ν2 = 0 Ae 2 cos( ν2 ) + Be 2 sin( ν2 ) = 0 Donc λ