TD Thermodynamique Avan 2014 [PDF]

Zitiervorschau

‫جامعة الحسن األول‬

Université Hassan 1er Faculté des Sciences et Techniques de Settat

‫كلية العلوم والتقنيات سطات‬ ‫شعبة الفيزياء التطبيقية‬

Département de Physique

TRAVAUX DIRIGES DE THERMODYNAMIQUE

Travaux dirigés

Thermodynamique

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Ahmed ERRKIK

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Sommaire Sommaire ................................................................................................................................... 2 Enoncés des travaux dirigés de thermodynamique ............................................................... 3 TDI ............................................................................................................................................. 4 TDII ............................................................................................................................................ 5 TDIII........................................................................................................................................... 7 TDIV .......................................................................................................................................... 9 TDV .......................................................................................................................................... 11 Corrigés des travaux dirigés de thermodynamique ............................................................ 12

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Enoncés des travaux dirigés de Thermodynamique

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THERMODYNAMIQUE

TDI EXERCICE I 1) Donner, pour un gaz parfait : a) L’allure d’une transformation réversible isobare, en diagramme (V,T) ; b) L’allure d’une transformation réversible isochore, en diagramme (p,T) ; c) L’allure d’une transformation réversible isotherme, en diagramme (V,p) ; 2) Calculer les pentes de ces courbes. EXERCICE II Soit une différentielle :  RT

dp   

V2

(1 

2A  dV  V 

R  A   1  dT V  V 

1) dp est elle une différentielle totale exacte ? 2) p, V et T étant les coordonnées thermodynamiques d’un gaz réel, déterminer l’équation d’état du gaz sous la forme p(V,T). EXERCICE III La quantité de chaleur élémentaire échangée par une mole de gaz avec le milieu extérieur est donnée, en fonction des variables indépendantes de pression p et de température T, par l’équation : δQ  

RT dp  Cp,M(T)dT p

où Cp,M(T) représente la capacité calorifique molaire du gaz, fonction uniquement de la température. La quantité de chaleur échangée est-elle une fonction d’état ? EXERCICE IV L’équation d’état d’un gaz parfait est : pV=nRT 1) Montrer que l’on a des relations de la forme :  P   V    1     V  T  p  T

 P   V   T    1      V  T  T p  p  V

et 

2) On définit les coefficients thermoélastiques suivants : 

1  V    : Dilatation isobare V  T p

β

1  p    : compression isobare p  T  V

χT  

1  V    : compressibilité isotherme. V  p  T

a) Dans le cas général, trouver une relation entre  et p ; b) Calculer  pour un gaz parfait.

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TDII EXERCICE I Une masse d’air de 1Kg subit la transformation : Etat initial : (p1=105 Pa ; V1=0,9m3) Etat final : (p2=4,5.105 Pa ; V2=? m3) La transformation de l’état initial à l’état final est-elle que le produit pV=cte 1) Tracer la courbe représentative de la transformation dans le plan p(V) ; 2) Calculer le travail échangé lors de cette transformation. Est-il nécessaire d’apporter de l’énergie motrice pour réaliser cette transformation ? EXERCICE II On effectue de trois façons différentes, une compression qui amène du diazote de l’état1 à l’état2 : Etat 1l : (p1=p0=1 ; V1=3V0) Etat 2 : (p2=3p0 ; V2=V0=1l)  la première transformation réversible est isochore puis isobare ;  la seconde transformation réversible est isobare puis isochore ;  la troisième est elle que pV=cte. 1) Représenter dans le diagramme (p,V) les trois transformations ; 2) Calculer les travaux wi reçus dans les trois cas. EXERCICE III Un gaz parfait, dans les conditions p1,V1, et T1 subit une détente réversible isotherme. Sa compression finale est p2. Déterminer le travail w12 et la chaleur Q12 échangés avec l’extérieur. EXERCICE IV On fait passer un gaz parfait, de l’état 1 à l’état 2 par les 3 chemins A, B et C : Etat1 : (p1,V1,T1) Etat2 : (3p1,V2,T1) p Déterminer, pour chacun des trois chemins, w12 et Q12.

3p1

Etat2

C B

A Etat1

p1

V V2 Travaux dirigés

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EXERCICE IV Une certaine quantité de gaz parfait à l’état p0, V0 et T0 subit une détente quasi-statique isobare qui double son volume, puis une compression isotherme réversible jusqu’à V0 et enfin un refroidissement quasi-statique isochore le ramenant à l’état initial. 1) Représenter le cycle avec les coordonnées de Clapeyron ; T 2) Déterminer pmax et m ax ; T0

3) Déterminer Wcycle et Qcycle. EXERCICE VI Une mole de gaz parfait diatomique dans les conditions initiales p0, V0 et T0 subit une transformation adiabatique réversible AB. Etat A : p0 , V0 , T0  

Etat B :  p1 , V1  

V0  , T1  . 2 

1) Exprimer V0, p1 etT1 en fonction de p0, T0 et de la valeur de  

cp cv

;

2) En utilisant la relation de Mayer, exprimer cp et cv ; 3) exprimer le travail mécanique Wreçu par une mole de gaz ; 4) déterminer la variation d’énergie interne UBA ; 5) En utilisant la loi de joule, exprimer cette même variation d’énergie interne ; 6) Calculer V0, p1, T1, cp et cv ainsi que W. Données : p0=2atm et T0=300°K EXERCICE VIII Soit une mole de gaz subissant une compression quasi-statique et isotherme de (p0 , T0) à (2p0 , T0). Donner l’expression du travail reçu par le gaz selon qu’il s’agit : 1) D’un gaz parfait (on exprimera W en fonction de T0) ; 

2) D’un gaz de Vandeerwals : p  

a  V  b  RT (W sera exprimé en fonction des V2 

volumes initiaux Vi et final Vf).

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TDIII EXERCICE I : On chauffe de manière réversible 10 g de gaz parfait, de masse molaire M=40 g.mol-1, à pression constante p0=1 atm. La température du gaz passe de 10 °C à 20 °C. La capacité thermique massique à pression constante a pour valeur cp=0,7 J.g-1.K-1. 1) Calculer la variation d’énergie interne U du gaz, au cours de cette transformation. 2) Quelle serait la variation d’énergie U du gaz, si l’augmentation de température de 10 °C à 20 °C était réalisée par échauffement à volume constant. EXERCICE II : On considère deux isothermes d’une mole de gaz parfait correspondant aux températures T et T+dT. Cp,M et Cv,M sont les chaleurs molaires à p = Cte et V = Cte. En calculant et Q et W, exprimer sa variation d’énergie interne dU : 1) lorsque le gaz passe de manière réversible, de l’état A à l’état B 2) lorsque le gaz passe de manière réversible, de l’état A à l’état C 3) En déduire une relation entre Cp,M et Cv,M. EXERCICE III : On réalise la compression adiabatique réversible de n moles de gaz parfait. Le système passe de l’état (p0,T0) à l’état (p1=2p0,T1). 1) Exprimer T1 en fonction de T0 2) Donner l’expression de la variation d’énergie interne en fonction des variables du problème. On précisera la valeur numérique de la variation relative. 3) Etablir l’expression du travail de compression et vérifier que ce travail est égal à la variation d’énergie interne du système. 4) Les résultats précédents sont-ils valables pour un gaz parfait polyatomique ? EXERCICE IV : Un cylindre horizontal, clos, de volume invariable, est divisé en deux compartiments, par un piston mobile sans frottement. On considère la transformation comme réversible. Les parois du cylindre et le piston sont imperméables à la chaleur. À l’état initial les deux compartiments C1 et C2 contiennent un même volume V0 = 2L d’Hélium (dans l’état gazeux parfait), à la pression p0=1atm et à la température T0 = 273K. Le gaz du compartiment C1 reçoit, à l’aide d’une résistance chauffante, de la chaleur du milieu extérieur. Travaux dirigés

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Déterminer : 1) Les pressions, volumes et températures des compartiments C1 et C2 lorsque la pression du gaz contenu dans C1 devient p1=3p0. 2) La variation d’énergie interne du gaz dans C1 et C2 ainsi que l’énergie fournie par la résistance chauffante.(On donne :   Cp / Cv  5 / 3 ). P0 V0 T0

P0 V0 T0

P1 V1 T1

P2 V2 T2

C1

C2

C1

C2

EXERCICE V :

1) Une mole de gaz subit une compression isotherme réversible l'amenant de l'état (Vo, To) à l'état (Vo/2, To). Donner l'expression du travail reçu selon que l'on représente le comportement du gaz par les modèles : a) du gaz parfait 𝑎 b) du gaz de Van der Waals d'équation d'état : (𝑝 + 𝑉 2 ) (𝑉 − 𝑏) = 𝑅𝑇 2) Calculer le transfert thermique reçu par le gaz dans les deux cas. On donne pour le 𝑎 modèle de Van der Waals : 𝑈(𝑇, 𝑉) = 𝑈𝐺𝑃 (𝑇) − 𝑉 EXERCICE VI : Un gaz parfait diatomique, de coefficient  = 1,4 est contenu dans un cylindre fermé de volume initial Vi = 1,00 L, par un piston de section S = 100 cm². L'état initial correspond à une pression Pi = 1,00 bar et à une température Ti = 300 K. Les processus étudiés sont supposé adiabatiques. 1) Le gaz est comprimé graduellement jusqu'à une pression Pf = 10,0 bar. Calculer la température finale Tf et la hauteur finale hf du piston en considérant la transformation comme réversible. 2) Le gaz est comprimé par l'action d'un dispositif mécanique amenant brutalement le piston à sa position finale, telle que la pression du gaz vaille Pf. Pour ce, une force F = Pf.S est appliquer au piston durant tout son déplacement. Calculer la température finale T'f par un bilan énergétique. Le piston est considéré de masse négligeable. Comparer le travail reçu par le gaz dans les deux cas.

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TDIV Exercice I Calculer la variation d’énergie interne et la variation d’entropie pour chacune des transformations du cycle réversible d’une mole d’un gaz parfait dont on a tracé le graphe en coordonnées de Clapeyron : AB isochore de (PA,TA) à PB > PA ; BC isotherme; CA isobare. Les résultats seront donnés en fonction de TA, PA, PB et =Cp/CV supposé indépendant de la température. Exercice II n moles de gaz parfait ( supposé connu) subissent une transformation d’un état A à un état B. Exprimer la variation d’entropie de ce gaz parfait : 1) en variables T et V ; 2) en variables T et p ; 3) en variables p et V. Exercice III 1) Exprimer la variation élémentaire d’entropie dS de n moles de gaz parfait en fonction des variables thermodynamiques P et V. 2) Monter que la fonction d’état entropie de ce gaz s’écrit sous la forme : 𝑛𝑅 𝑆(𝑝, 𝑉) = 𝑙𝑛𝑝𝑉 𝛾 + 𝑐𝑡𝑒 𝛾−1 3) En déduire : a) l’équation de Laplace lorsque le gaz subit une transformation adiabatique réversible. b) la variation d’entropie d’une mole de gaz lorsqu’elle subit une transformation isotherme de p0=1atm, V0=22,4l à p1=5atm. On donne =4,1 Exercice IV Echange thermique de deux corps Deux corps solides de températures initiales T1 et T2 et de capacités thermiques C1 et C2 constantes effectuent un échange thermique complet, l’ensemble étant isolé. 1) Quelle est la température finale ? 2) Dans le cas C1 = C2, montrer que l’entropie finale est supérieure à l’entropie initiale. 3) Dans le cas général, comment montrez que : (𝐶1 + 𝐶2 )𝑙𝑛 (

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(𝐶1 𝑇1 + 𝐶2 𝑇2 ) ) > 𝐶1 𝑙𝑛(𝑇1 ) + 𝐶2 𝑙𝑛(𝑇2 ) 𝐶1 + 𝐶2

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Exercice V On envisage une détente de Joule Thomson subie par une mole de gaz parfait monoatomique (=1,33) de la pression pA=1,5bar à la pression pB=1bar. Calculer la variation d’entropie du gaz lors de la détente. Exercice VI Un cylindre parfaitement calorifugé, muni d’un piston mobile sans frottement, également calorifugé, contient un gaz parfait diatomique (=1,4). Initialement, la pression du gaz à l’intérieur du cylindre est p=0,5bar. La pression extérieure est pext=2p=1bar. 1) On amène le gaz de façon réversible à la pression p’=pext=2p=1bar. a) Calculer le volume V’ et la température T’ à l’état final ; b) Calculer la création d’entropie. 2) En partant du même état initial que précédemment. On abondonne le piston et on laisse l’équilibre s’établir. a) Calculer le volume V’’ et la température T’’ à l’état final ; b) Calculer la création d’entropie. Exercice VII Soit le cycle de la figure suivante où la transformation AB est isotherme et que la transformation BC est adiabatique. On suppose que pour une mole de gaz parfait S = Rln V + Cv ln T + S0. 1) Rétablir le nombre de mole n dans le cas général. 2) Déduire de l’expression de S le signe de SC−SB, SD−SC, SA−SD, SB−SA. Exercice VIII Un cylindre, parfaitement calorifugé, de volume total 10L est séparé entre deux compartiments (1) et (2) de même volume V=5L par une paroi escamotable. Initialement, les deux compartiments contiennent deux gaz parfaits monoatomiques différents (=1,33) à la même température T=298K. Le gaz contenu dans le compartiment (1) est à la pression p1=1bar, celui du compartiment (2) est à la pression p2=2bar. On supprime la paroi, les deux gaz se mélangent lorsque l’équilibre est établi, déterminer : 1) La température T’ et la pression p’ à l’état final ; 2) Les pressions partielles des deux gaz ; 3) La variation d’entropie du système entre l’état initial et l’état final ; 4) La création d’entropie. Exercice IX Deux récipients de même volume V=1L contiennent un même gaz parfait diatomique (=1,4) à la même température T=300K. Un des récipients est à la pression p1=1,1bar, l’autre à la pression p2=0,9bar. On ouvre un peu le robinet R entre les deux récipients et l’écoulement du gaz est très lent. 1) Déterminer à l’état final la température T’ et la pression p’ ; 2) Calculer la création d’entropie lors de ce mélange. Travaux dirigés

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TDV Exercice I Soit une machine utilisant comme fluide l’air assimilé à un gaz parfait diatomique. Cette machine fonctionne réversiblement selon le cycle de Stirling représenté sur la figure cicontre. Il est composé de deux isothermes 3-4 et 1-2 et de deux isochores 2-3 et 4-1. A l’état 1, la pression est p1=105 N.m-2 et la température est T’=300 K. A l’état 3, la pression est p3=4.105 N.m-2 et la température est T=600 K. 1) Calculer les quantités de chaleur Q12,

Q23, Q34 et Q41 échangées par une mole de gaz au cours d’un cycle. 2) Calculer les travaux W12 et W34 échangés par une mole de gaz au cours du cycle ainsi que le travail W total. 3) Déduire de ces résultats le rendement thermodynamique du cycle de Stirling. Comparer ce rendement à celui que l’on obtiendrait si la machine fonctionnait selon le cycle de Carnot entre les mêmes sources aux températures T et T’. Expliquer la différence. 4) Comparer Q23 et Q41. En déduire un procédé original permettant d’obtenir le rendement maximal du cycle de Carnot. Exercice II Soit une machine thermique utilisant comme fluide l’air assimilé à un gaz parfait diatomique de masse molaire M=29 g. Cette machine fonctionne selon le cycle de Joule composé de deux adiabatiques 1-2 et 3-4 et de deux isobares 2-3 et 4-1 au cours

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desquelles le gaz se met progressivement en équilibre de température avec la source chaude à température T3 ou la source froide à T1. A l’état 1, la pression est p1=105 N.m-2 et la température est T1=300 K. A l’état 3, la pression est p2=5.105 N.m-2et la température est T3=500 K. 1) Les évolutions 1-2 et 3-4 étant décrites de manière réversible, trouver une relation entre T1, T2, T3 et T4. Calculer T2 et T4. 2) Calculer pour une mole de gaz la quantité de chaleur Q23 échangée ainsi que la variation d’entropie au cours de l’évolution 2-3. 3) Calculer le travail W échangé par une mole au cours du cycle, en déduire le rendement de ce cycle. Comparer ce rendement à celui qu’on obtiendrait si la machine fonctionnait selon le cycle de Carnot entre les mêmes sources aux températures T1 et T3. Expliquer la différence.

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Corrigés des travaux dirigés de Thermodynamique

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Corrigé TD I EXERCICE I

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Corrigé TD II

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EX VII

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Corrigé TD III

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Corrigé TD IV

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