TD Série 3 [PDF]

Zitiervorschau

Exercices Corrigés sur les variables aléatoires continues Exercice 1 : Soit 𝑓 la fonction définie par : 0 , 𝑥 < −1 𝑜𝑢 𝑥 ≥ 1 , −1≤𝑥 1

𝑥𝛼

0

𝑠𝑖𝑛𝑜𝑛

𝛼>1

1- Montrer que que 𝑓 soit une densité de probabilité ?. 2- . Déterminer sa fonction de répartition. 3- Si 𝛼 = 4 1

(a) Déterminer la densité de la variable aléatoire 𝑌 = 𝑋 2 , sa moyenne et sa variance. (b) Déterminer la loi de la variable aléatoire 𝑍 = ln(𝑋), en déduire sa moyenne et sa variance. (c) Montrer que la loi de la variable aléatoire 𝑊 = 6 ln(𝑋) est une loi de Khi-deux ; déterminer son degrés de liberté. En déduire sa moyenne et sa variance. Solution : +∞

1- ∫1

𝑥 −𝛼+1

+∞

𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = (𝛼 − 1) [ −𝛼+1 ]

2- 𝐹(𝑥) =

1

𝑥 ∫1 𝑓(𝑡)𝑑𝑡

1

= (𝛼 − 1) 𝛼−1 = 1

𝑡 −𝛼+1

𝑥

= (𝛼 − 1) [ −𝛼+1 ] =

(𝛼−1)

1

1−𝛼

(𝑥 −𝛼+1 − 1)

1−𝛼 𝑠𝑖 𝑥 > 1 𝐹(𝑥) = {1 − 𝑥 0 𝑠𝑖𝑛𝑜𝑛

3- Si 𝛼 = 4 𝟏

a- La densité de 𝒀 = 𝑿𝟐 : 𝑓(𝑥) =

3 , 𝑥²

𝑥>1

1 1 1 −1 1 𝐹𝑌 (𝑦) = 𝑃(𝑌 ≤ 𝑦) = 𝑃 ( ≤ 𝑦)) = 𝑃 (𝑋 2 ≥ ) = 1 − 𝑃 (𝑋 2 ≤ ) = 1 − 𝑃 ( ≤𝑋≤ )= 𝑦 𝑦 𝑋² √𝑦 √𝑦 1

−1

= 1 − 𝐹𝑋 ( ) + 𝐹𝑋 ( ) √𝑦 √𝑦 Donc : K.ZERFAOUI

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𝑓𝑌 (𝑦) =

1 −3 1 𝑦 2 𝑓𝑋 ( ) + 0 , 2 √𝑦 3 1 = 𝑦2 2

0 24) = 0.09 ⟺ 𝑃 (𝑌 > 1 − (𝑌 ≤

24 ) = 0.09 ⟺ 𝜆

24 24 24 24 ) = 1 − 𝐹𝑌 ( ) = 1 − [1 − 𝑒 − 𝜆 ] = 𝑒 − 𝜆 𝜆 𝜆 24

𝑒 − 𝜆 = 0.09 ⟺−

12 = −2.4 ⟺ 𝜆 = 5 𝜆

b- 𝐸(𝑇) = 𝐸(𝜆𝑌) = 𝜆𝐸(𝑌) = 5.2 = 10 K.ZERFAOUI

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𝟐

𝟐

c- 𝑷(𝟎 < 𝑻 < 𝟐) = 𝑷(𝑻 < 𝟐) = 𝑷(𝝀𝒀 < 𝟐) = 𝑷 (𝒀 < 𝝀) = 𝑷 (𝒀 < 𝟓) 𝟐𝟏 𝟏 𝟐 = 𝑭𝒀 ( ) = 𝟏 − 𝒆−𝟓.𝟐 = 𝟏 − 𝒆−𝟓 𝟓

Exercice 6 : Un candidat passant un examen est ajourné si sa note est inférieure à 7, passe un oral si sa note est comprise entre 7 et 12, est admis si sa note est supérieure à 12. On suppose que les notes suivent une loi normale de paramètres 𝑚 𝑒𝑡 𝜎² inconnus. On souhaite admettre sans oral 15,87% des candidats et ajourner 6,68% des candidats. Calculer la probabilité pour qu’un candidat passe l’oral. Déterminer les valeurs de 𝑚 𝑒𝑡 𝜎. Calculer la probabilité qu’un candidat ait plus de 15. On considère 500 candidats choisis au hasard. Calculer la probabilité pour qu’aucun candidat n’ait une note supérieure à 15. 5- On considère un ensemble de 600 candidats choisis au hasard. Quelle est la probabilité que le nombre de candidats admis sans oral soit supérieur à 100 ? 1234-

Solution : On désigne par : 𝑿: 𝑵𝒐𝒕𝒆 𝒅𝒖 𝒄𝒂𝒏𝒅𝒊𝒅𝒂𝒕 𝑿 ↝ 𝑵(𝒎, 𝝈𝟐 ) (𝑿 < 𝟕) ⟹ 𝐀𝐣𝐨𝐮𝐫𝐧é (𝟕 ≤ 𝑿 ≤ 𝟏𝟐) ⟹ 𝐩𝐚𝐬𝐬𝐞 à 𝐥′𝐨𝐫𝐚𝐥 (𝑿 > 𝟏𝟐) ⟹ 𝐀𝐝𝐦𝐢𝐬 𝑷(𝑿 > 𝟏𝟐) = 𝟎. 𝟏𝟓𝟖𝟕

𝒆𝒕

𝑷(𝑿 < 𝟕) = 𝟎. 𝟎𝟔𝟔𝟖

1- 𝑃(𝐴𝑗𝑜𝑢𝑟𝑛é) + 𝑃(𝑂𝑟𝑎𝑙) + 𝑃(𝐴𝑑𝑚𝑖𝑠) = 1 ⟹ 𝑷(𝑶𝒓𝒂𝒍) = 𝟎. 𝟕𝟕𝟒𝟓 = 77.45%

7−𝑚

2- 𝑃(𝑋 < 7) = 0.0668 ⟹ Φ (

𝜎

𝟕−𝒎

) = 0.0668 ⟹ − (

𝝈

) = 1 − 0.0668 = 𝟎. 𝟗𝟑𝟑𝟐

𝑚−7 = 1.5 … … … … … … . (1)(𝑉𝑜𝑖 𝑙𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒) 𝜎 𝑃(𝑋 > 12) = 0.1587 ⟺ 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 12) = 0.1587 ⟺ 𝑃(𝑋 ≤ 12) = 0.8413 12 − 𝑚 ⟹ Φ𝑌 ( ) = 0.8413 ⟹ 𝜎 K.ZERFAOUI

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12 − 𝑚 = 1 … … … … … … . (2) 𝜎 𝑑𝑒 (1)𝑒𝑡 (2)𝑜𝑛 𝑎 : 𝜎 = 2 𝑒𝑡 𝑚 = 10 Donc : 𝑋 ↝ 𝑁(10, 4) 15−10

3- 𝑃(𝑋 > 15) == 1 − Φ𝑌 (

2

) = 1 − Φ𝑌 (2.5) = 1 − 0.99379 = 0.0062

4- 𝑌: 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎𝑡𝑠 𝑎𝑦𝑎𝑛𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝑛𝑜𝑡𝑒 𝑠𝑢𝑝é𝑟𝑖𝑒𝑢𝑟𝑒 à 15 𝑝𝑎𝑟𝑚𝑖 𝑙𝑒𝑠 500 𝑙 ′ é𝑣è𝑛𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝒔𝒖𝒄𝒄è𝒔 𝑒𝑠𝑡: 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡é 𝑞𝑢′ 𝑢𝑛 𝑐𝑎𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎𝑡 𝑎𝑖𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝑛𝑜𝑡𝑒 𝑠𝑢𝑝é𝑟𝑖𝑒𝑢𝑟𝑒 à 15 = 0.0062 ≤ 0.1 𝑝 = 0.062 𝑌 ↝ 𝐵(500, 0.062) 𝑂𝑛 𝑐ℎ𝑒𝑟𝑐ℎ𝑒 𝑃(𝑌 = 0) =? 0 𝑃(𝑌 = 0) = 𝐶500 0.0620 (1 − 0.062)500 = 0.044 Ou bien : On peut utiliser la loi de Poisson de paramètres 𝑛. 𝑝 = 500 × 0.0062 = 3.1 Puisque les conditions d’approximations sont vérifiées.

𝑩(𝒏, 𝒑) →

𝒏≥𝟑𝟎 𝑒𝑡 𝒑 ≤𝟎.𝟏 𝑒𝑡 𝒏𝒑≤𝟏𝟓

𝓟(𝒏. 𝒑)

6- 𝑍: 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎𝑡𝑠 𝑎𝑦𝑎𝑛𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝑛𝑜𝑡𝑒 admis sans oral parmi les 600 𝑃(𝑋 > 12) = 0.1587 𝑙 ′ é𝑣è𝑛𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝒔𝒖𝒄𝒄è𝒔 𝑒𝑠𝑡: 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡é 𝑞𝑢′ 𝑢𝑛 𝑐𝑎𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎𝑡 𝑠𝑜𝑖𝑡 𝑎𝑑𝑚𝑖𝑠 = 𝑃(𝑋 > 12) = 0.1587 𝑝 = 0.1587 𝑍 ↝ 𝐵(600, 0.1587) 𝑂𝑛 𝑐ℎ𝑒𝑟𝑐ℎ𝑒 𝑃(𝑍 > 100) =? 𝑩(𝟔𝟎𝟎, 𝟎. 𝟏𝟓𝟖𝟕) →

𝒏≥𝟑𝟎 𝒆𝒕 𝒏𝒑≥𝟓 𝒆𝒕 𝒏(𝟏−𝒑)≥𝟓

𝑵(𝟗𝟓. 𝟐𝟐, (𝟖. 𝟗𝟓)𝟐 = 𝒏𝒑𝒒)

100 − 95.22 𝑃(𝑍 > 100) = 1 − Φ ( ) = 1 − Φ(0.53) = 0.2981 8.95 K.ZERFAOUI

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Exercice 7 : Un livreur a promis de passer chez un client entre 10 h et 11h. On suppose que la probabilité de son passage est uniformément répartie. 1- Quelle est la probabilité qu’il arrive avant 10h10 min ? 2- Quelle est la probabilité qu’il arrive entre 10h20 et 10h 40 ? 3- Sachant que le client a attendu le livreur 15 min. quelle est la probabilité qu’il arrive dans les dix prochaines minutes ? Solution : 𝑋 ↝ 𝑈[10,11] [10,11] 𝑓(𝑥) = { 1 𝑠𝑖 𝑥 ∈ 0 𝑠𝑖𝑛𝑜𝑛 0 𝑠𝑖 𝑥 < 10 𝐹(𝑥) = {𝑥 − 10 𝑠𝑖 10 ≤ 𝑥 ≤ 11 1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 11

10.16

1- 𝑃(𝑋 < 10ℎ10𝑚𝑖𝑛) = 𝑃(𝑋 < 10.16) = 𝐹𝑋 (10.16) = ∫10

𝑑𝑥 = 0.16

2- 𝑃(10.33 < 𝑋 < 10.66) = 𝐹𝑋 (10.66) − 𝐹𝑋 (10.33) = 0.66 − 0.33 = 0.33 3- 𝑃(10ℎ15 < 𝑋 < 10ℎ25) = 𝑃(10.25 < 𝑋 < 10.41) = 0.41 − 0.25 = 0.16 Exercice 8 : Un fabricant d’ordinateurs portables souhaite vérifier que la période de garantie qu’il doit associer au disque dur correspond à un nombre pas trop important de retours de ce composant sous garantie. Des essais en laboratoire ont montré que la loi suivie par la durée de vie, en années, de ce composant est la loi exponentielle de moyenne 4=E(X). 1- Préciser la fonction de répartition de cette loi ainsi que son espérance E(X) et son écart-type 𝜎(𝑋). 2- Quelle est la probabilité qu’un disque dur fonctionne sans défaillance plus de 4 ans. 3- Quelle est la probabilité qu’un disque dur fonctionne sans défaillance 6 ans au moins, sachant qu’il a fonctionné déjà 5 ans ? 4- Quelle est la probabilité que la durée de vie appartienne à l’intervalle [𝐸(𝑋) − 𝜎, 𝐸(𝑋) + 𝜎] ? 5- Pendant combien de temps, 50% des disques durs fonctionnent-ils sans défaillance ? K.ZERFAOUI

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6- Donner la période de garantie optimum pour remplacer moins de 15% des disques durs sous garantie. 1

Solution : 𝑋 ↝ 𝐸𝑥𝑝 (4) , 𝐸(𝑋) = 4 𝑒𝑡 𝜎(𝑋) = 4 1

1- 𝐹(𝑥) = 1 − 𝑒 −4𝑥 , 𝑥 ≥ 0 2- 𝑃(𝑋 > 4) = 1 − 𝐹(4) = 𝑒 −1 6

3- 𝑃(𝑋 > 6⁄𝑋 > 5) =

𝑃(𝑋>6,𝑋>5) 𝑃(𝑋>5)

=

− 𝑒 4 5 − 𝑒 4

1

= 𝑒 −4

Oubien : 𝑃(6 ≤ 𝑋 ≤ 11) = 𝐹(11) − 𝐹(6) = 4- 𝑃(0 < 𝑋 < 8) = 𝐹(8) −F(0) = 1 − 𝑒 −2 𝑡

𝑡

5- 𝑷(𝑿 > 𝒕) = 𝟎.5⟺ 𝑒 −4 = 0.5 ⟺ − = 𝐿𝑛(0.5) ⟺ 𝑡 = 2.77 4

𝑥

𝑥

6- 𝑷(𝑿 < 𝒙) < 𝟎. 𝟏𝟓 ⟺ 1 − 𝑒 −4 < 0.15 ⟺ 𝑒 −4 > 0.85 ⟺ 𝑥 < 0.65 𝑎𝑛𝑛é𝑒 (8 𝑚𝑜𝑖𝑠) Exercice 9: Soit X une variable aléatoire absolument continue dont la densité de probabilité est donnée par : 𝑓𝑋 (𝑥) = 𝐶 𝑒𝑥𝑝 (

−(𝑥−5) 𝛼

), 𝑥 ≥ 5

avec 𝛼 est un réel strictement positif.

1- Déterminer la constante 𝐶. 2- Déterminer la fonction de répartition de 𝑋. 3- Soit la variable aléatoire 𝑌 donnée par : −2 𝑠𝑖 𝑥 < 8 𝑌={ 2 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 8 a- Quel est le type de la variable aléatoire 𝑌 ? b- Trouver la loi de cette variable aléatoire. c- Déduire sa fonction de répartition. Solution : −(𝑥 − 5) 𝑓𝑋 (𝑥) = 𝐶 𝑒𝑥𝑝 ( ), 𝑥 ≥ 5 𝛼 K.ZERFAOUI

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1

1- 𝐶 = 𝛼 −1

2- 𝐹𝑋 (𝑥) = 1 − 𝑒 𝛼

(𝑥−5)

, 𝑥≥5

a- 𝑌 est une variable aléatoire car 𝑌(Ω) = {−2 ,2}est finie et dénombrable. 3

b- 𝑃(𝑌 = −2) = 𝑃(𝑋 < 8) = 𝐹(8) = 1 − 𝑒 −𝛼 3

𝑃(𝑌 = 2) = 𝑃(𝑋 > 8) = 𝑒 −𝛼 0 c- 𝐹(𝑦) = {1 − 𝑒

3 − 𝛼

1

𝑠𝑖

𝑦 < −2

𝑠𝑖 𝑠𝑖

−2≤𝑦 30 𝑛𝑝 = 200 ∗ 0.2 = 40 > 15 𝑛𝑝(1 − 𝑝) = 200 ∗ 0.2 ∗ 0.8 = 32 > 5 Donc on peut approximer la loi binomiale par la loi Normale de paramètres K.ZERFAOUI

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𝑚 = 40 𝑒𝑡 𝜎² = 32 2- Avec Correction : 45.5−40

𝑃(𝑋 > 45) = 𝑃(𝑋 ≥ 46) = 𝑃(𝑌 ≥ 45.5) = 1 − Φ (

5.65

) = 1 − Φ(0.79) = 0.24.

𝑃(30 ≤ 𝑋 ≤ 50) = 𝑃(29.5 ≤ 𝑌 ≤ 50.5) = Φ(1.85) − Φ(−1.85) = 2Φ(1.85) − 1 = 0.935 Sans Correction :

𝑃(𝑋 > 45) = 1 − Φ (

45 − 40 ) = 1 − Φ(0.885) = 0.19 5.65

50 − 40 30 − 40 𝑃(30 ≤ 𝑋 ≤ 50) = Φ ( ) − Φ( ) = Φ(1.77) − Φ(−1.77) = 5.65 5.65 = 2Φ(1.77) − 1 = 0.923

3- 𝑌 ↝ 𝐵(100,0.02) →

approximée

Poisson(2)

𝑃(𝑌 > 5) = 1 − [𝑃(𝑋 = 0) + ⋯ … … . +𝑃(𝑋 = 5)]=0.015 𝑃(1 ≤ 𝑌 ≤ 4) = 𝑃(𝑌 = 1) + ⋯ 𝑃(𝑌 = 4) Exercice 11 : Soit 𝑋 une variable réelle aléatoire continue modélisée par la loi uniforme ; 𝑋 ↝ 𝑈[0,1]. 1-Rappeler la fonction de densité de la variable étudiée. 2-On pose : 𝑌 = −𝑎𝐿𝑛 𝑋 ;

(𝑎 > 0)

a- Déterminer la fonction de densité de la variable 𝑌, reconnaitre sa loi. b- En déduire son espérance et sa variance.

K.ZERFAOUI

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3-Calculer la fonction répartition de la variable 𝑌. 4-Calculer la probabilité suivante : 𝑃(𝑌 > 2𝑎). Solution : 1- 𝑋 ↝ 𝑈[0,1] 𝑓(𝑥) = { 1 0

𝑠𝑖 𝑥 ∈ [0,1] 𝑠𝑖𝑛𝑜𝑛

2- 𝑌 = −𝑎𝐿𝑛 𝑋

𝐹𝑌 (𝑦) = 𝑃(𝑌 ≤ 𝑦) = 𝑃(−𝑎𝐿𝑛 𝑋 ≤ 𝑦) = 𝑃 (𝐿𝑛 𝑋 ≥

𝐹𝑌 (𝑦) = 1 − 𝐹𝑋 (𝑒

−𝑦 𝑎 )

⟹ 𝑓𝑌 (𝑦) =

1 −𝑦 𝑒𝑎, 𝑎

−𝑦 −𝑦 ) = 𝑃 (𝑋 ≥ 𝑒 𝑎 ) 𝑎

1 𝑌 ↝ 𝐸𝑥𝑝 ( ) 𝑎

𝐸(𝑌) = 𝑎 𝑒𝑡 𝑉(𝑌) = 𝑎²

3- 𝐹(𝑦) = {

0

,

𝑦 2𝑎) = 1 − 𝑃(𝑌 ≤ 2𝑎) = 𝑒 −𝑎2𝑎. = 𝑒 −2

Exercice 12 : Une enquête a été menée auprès de ménages de 4 personnes en vue de connaitre leurs consommations de lait sur 1 mois. On suppose que sur l’ensemble des personnes interrogées, la consommation a une distribution de type « Normale » avec une moyenne de 20 litres et un écart- type de 5 litres. Dans le cadre d’une campagne publicitaire, on souhaite connaitre : 1- Le pourcentage des faibles consommateurs (moins de 10 litres par mois). K.ZERFAOUI

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2- Le pourcentage des grands consommateurs (plus de 30 litres par mois). 3- La consommation maximale de 50% des consommateurs 4- Au-dessus de quelle consommation se trouvent 33% des consommateurs. 𝐺(2) =

1 √2𝜋

𝑡=2

∫

𝑡2

𝑒 − 2 𝑑𝑡 = 0.9772 ; 𝐺(0.44) =

−∞

1

𝑡=0.44

∫

√2𝜋 −∞

𝑡2

− 𝑒 2

𝑑𝑡 = 0.67 ;

Solution : 𝑋: la consommation de lait en 1 mois 1- X↝ 𝑁(20 , 25 ) 10 − 20 𝑃(𝑋 < 10) = Φ ( ) = Φ(−2) = 1 − Φ(2) 5 30−20 2− 𝑃(𝑋 > 30) = 1 − Φ ( 5 ) = 1 − Φ(2) 𝑥0 −20

𝑥0 −20

5

5

3− 𝑃(𝑋 < 𝑥0 ) = 0.5 ⟹ Φ (

) = 0.5 ⟹

𝑥0 −20 ) 5

4-𝑃(𝑋 > 𝑥0 ) = 0.33 ⟹ 1 − Φ (

K.ZERFAOUI

= 0 ⟹ 𝑥0 = 20 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑒𝑠

𝑥0 −20 ) 5

= 0.33 ⟹ Φ (

= 0.67 ⟹ 𝑥0 = 22.20 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑒𝑠

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