TD Exercices [PDF]

Zitiervorschau

Université :A. MIRA, Béjaïa Faculté : Technologie Département : Génie Civil Niveau : Master 1(M&S) Module : Elasticité Enseigants : A. BOUROUBA Année universitaire :2014/2015

Série d’exercice N°2 : Contraintes

EXERCICE 1 L’état des contraintes en un point M d’un milieu continu est donné dans la base (0,  ,  ,  ) par :

1 2 0  = 2 1 0  () 0 0 −3 a) Déterminer le vecteur contraintes et ses composantes normale  et tangentielle  agissant sur : √

− Une facette de normale  = < 1 1  − Une facette perpendiculaire à l’axe  . b) Commenter le résultat.

0 > ;

EXERCICE 2 Considérons l'état plan de contraintes au point M représenté sur la figure ci-dessous. c) Déterminer les composantes normale et tangentielle du vecteur contraintes agissant sur une facette de normale  faisant 60° par rapport à l’axe X1 en utilisant : − Un calcul direct ; − Le vecteur contrainte ; − La matrice de rotation ; − La représentation par le cercle de Mohr d) A l'aide du cercle de Mohr, déduire : − Les contraintes principales agissant au point M. − La contrainte de cisaillement maximale 

Indication : les contraintes sont en MPa

EXERCICE 3 L’état des contraintes en un point M d’un milieu continu est donné dans la base (0,  ,  ,  ) par le tenseur :

0 3 0  = 3 0 0  () 0 0 −4 e) Calculer les contraintes principales et les directions principales normalisées du tenseur  ; f) Déduire la contrainte de cisaillement maximale  ; g) Montrer que le tenseur  est une superposition d’un cisaillement pur ( = 3 ) dans le plan (  ,  ) et d’une compression simple ("# = 4 ) dans l’axe  . Indication : $ > $$ > $$$ .

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Elasticité

(2014/2015)

EXERCICE 4 L’état de contraintes agissant dans un solide élastique soumis à des forces de volume est défini dans un repère orthonormé (0,  ,  ,  ) par le tenseur suivant : 6& & 0 6& =% 0 −6& 0 ' ()  6& 0 6& & a) Donner les expressions des forces de volume. b) Ecrire le tenseur de contraintes  au point (1,1,1). c) Montrer qu'au point , le tenseur  est une superposition de trois états de contrainte simples (purs) :

− état sphérique (hydrostatique) : ( = 6  − état uni axial : compression dans le sens  ("# = 12) − état cisaillement :  = 6  dans le plans ( ,  ) d) Au point , décomposer le tenseur  en un tenseur sphérique  ) et un tenseur déviateur  * .

A. BOUROUBA

Master 1 (M1: M&S)

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Université A. MIRA, Béjaïa Faculté des Sciences & Sciences de l’Ingénieur Département de Génie–Civil, 4ème Année. Module d’Elasticité

Année universitaire 2003-2004

1ERE EPREUVE DE MOYENNE DUREE (DUREE : 02H00)

EXERCICE 1 (4 pts) Soit en un point M deux plans A et B faisant un angle β entre eux. Les composantes normale et tangentielle du vecteur contrainte s’appliquant sur les plans A et B sont respectivement : σa = 10 KPa ; τa = 2 KPa

σb = 9 KPa ; τb = −3 KPa

et

10 KPa −3 KPa

2 KPa

9 KPa

β

A

Déterminer en utilisant le cercle de Mohr les contraintes principales et l’angle β.

B

EXERCICE 2 (5 pts) On note σ : Le tenseur des contraintes en un point, σ(s) et σ(d) : Les tenseurs sphérique et déviateur associés au tenseur σ ; et I (2d ) : Le deuxième invariant du tenseur déviateur σ(d). Montrer que I

(d) 2

∂ I (s) 2 = − [σ ij σ ji − σ ] et déduire l’expression de en fonction de σ et de σ(s). ∂ σ ij 1 2

1 3

2 kk

EXERCICE 3 (4 pts) Soient C un tenseur de constantes d’ordre deux et X = < x1, x2, x3 > un tenseur d’ordre un représentant les coordonnées d’un point dans l’espace E3 par rapport à un repère (o, e1, e2, e3).

Montrer que : ∇ ( cij xi xj ) = ( cki + cik ) xi ek = ( ckj + cjk ) xj ek . EXERCICE 4 (7 pts) L’état des contraintes en un point M d’un milieu continu est donné dans la base (o, X1, X2, X3) par : 0  σ =  2k k 

2k k 2k

k   2k  0 

k : constante réelle positive.

1) Calculer les contraintes principales du tenseur σ. Déduire la contrainte tangentielle maximale qui s’exerce au point M. 2) Vérifier les trois invariants I1, I2, et I3 du tenseur σ. 3) Montrer qu’une rotation de + 14 π par rapport à l’axe X2 suivie d’une autre rotation de − 14 π par rapport à l’axe X3 permet d’obtenir les directions principales du tenseur σ. 4) Déterminer les tenseurs sphérique σ(s) et déviateur σ(d) associés au tenseur σ. 5) Vérifier que σ(s) et σ(d) possèdent les mêmes directions principales que σ. Que peut-on déduire pour leurs contraintes principales. Rappels : I1 = σii = σI + σII + σIII ; I2 = ½(σii σjj − σij σji) = σIσII + σIIσIII + σIIIσI ; I3 = det(σij)= σIσIIσIII.

σ = σ ( s ) + σ ( d ) ; σ ij( s ) = 13 σ kk δ ij ; σ ij( d ) = σ ij − σ ij( s ) Bonne chance

A. Seghir

Université A. MIRA, Béjaïa Faculté des Sciences & Sciences de l’Ingénieur Département de Génie–Civil, 4ème Année. Module d’Elasticité

Année universitaire 2005-2006

1ERE EPREUVE DE MOYENNE DUREE (DUREE : 02H00)

EXERCICE 1

(4 pts)

La première et la quatrième équations de compatibilité des déformations s’écrivent, respectivement :

ε11, 22 + ε 22,11 − ε12, 21 − ε 21,12 = 0 ; ε11, 23 + ε 23,11 − ε12,13 − ε13,12 = 0 1) Donner l’expression des quatre autres équations 2) Pourquoi les six (06) équations sont suffisantes et quelle est leur importance en élasticité.

EXERCICE 2

(4 pts)

Montrer, en utilisant uniquement la notation indicielle, que la relation σ−ε pour un matériau homogène et isotrope reste inchangée lorsque on fait une rotation de repère. Rappel : σ = 2μ ε + λ e Ι ; λ et μ coefficients de Lamé

PROBLEME

(12 pts)

Le champ des contraintes dans un solide élastique isotrope sous l’action de forces de volume nulles est défini par le tenseur suivant dans un repère orthonormé (e1, e2, e3). ⎡a( x12 − 4) 4 x1 x 2 − 1 − 6 x1 x3 ⎤ ⎢ ⎥ σ( x1 , x 2 , x3 ) = ⎢4 x1 x 2 − 1 b( x 22 − 1) 0 ⎥ (MPa) ; ⎢− 6 x1 x3 0 c( x32 + 1)⎥⎦ ⎣

a, b et c des constantes réelles

1) Ecrire les équations d’équilibre statique et trouver les valeurs des constantes a, b et c. 2) Ecrire le tenseur des contraintes σM au point M(1,1,0) (en remplaçant a, b et c par leurs valeurs) 3) Calculer les composantes normale σn et tangentielle στ du vecteur contrainte agissant au point M sur le plan incliné de 45° par rapport aux plans (e1, e2) et (e1, e3). 4) Trouver au point M les contraintes et les directions principales de σM 5) Montrer que les directions principales de σM correspondent à une rotation dans le plan (e1, e2), calculer la valeur en degrés, de l’angle de rotation. ) 6) Décomposer σM en un tenseur sphérique σ (sM) et un tenseur déviateur σ (d M , commenter le résultat.

7) On considère maintenant l’état des contraintes σP au point P(2,1,0), a) Ecrire σP, et montrer qu’il s’agit d’une superposition de deux états de contraintes simples. b) Donner (sans faire de calculs) les contraintes et les directions principales de σP.

Bonne chance

A. Seghir

Université A. MIRA, Béjaïa Faculté des Sciences & Sciences de l’Ingénieur Département de Génie–Civil, 4ème Année. Module d'Elasticité

Année universitaire 2002-2003

2EME EPREUVE DE MOYENNE DUREE (Durée 02H00) Questions de cours (6 pts) 1) Pourquoi on introduit les lois de comportement en théorie d'élasticité. 2) Pourquoi cherche-t-on à vérifier les équations de compatibilité dans les problèmes d'élasticité. 3) Quelles sont les relations sur lesquelles on se base pour établir les équations générales d'élasticité linéaire isotrope. Expliquer. 4) Quelle est la différence entre les conditions aux limites de type Dirichlet et les conditions aux limites de type Newman et comment influent ces conditions sur le type de problème à résoudre. 5) Quelle est l'utilité de la fonction d'Airy en élasticité et dans quel cas elle est applicable. 6) En élastostatique plane, pourquoi on considère le cas des contraintes quasi-planes au lieu des contraintes planes. Exercice 1 (5 pts) Soit la fonction φ = a xy 4 + b x 3 y 2 ; a et b sont des constantes. a) Déterminer la relation entre a et b pour que φ soit une fonction d'Airy pour un état de contraintes plan avec des forces de volume nulles b) Considérons le point M(x=1, y=1), déterminer les valeurs de σ11 et σ22 si σ12 = 0.5 MPa. y

Exercice 2 (5 pts) Une plaque carrée de coté a = 80 cm et d'épaisseur constante h = 1cm est faite d'un acier isotrope de module de Young E = 200 000 MPa et de coefficient de Poisson ν = 0.29. Cette plaque est soumise à des états de contraintes uniforme. Si σz = σzx = σzy = 0 ; σx = 500MPa et εy = 0, déterminer la contrainte σy et les dimensions finales de la plaque.

x z

Exercice 3 (5 pts) y

Soit la plaque rectangulaire ci-contre de très +b faible épaisseur soumise à une traction sur les x faces x = ± a de distribution parabolique : +a −a q q y2 q(1 − 2 ) . −b b Montrer que la fonction d'Airy : 2 1 y2 φ = qy 2 (1 − 2 ) + A ( x 2 − a 2 )( y 2 − b 2 ) ; A Constante 2 6b donne un état de contrainte plan qui vérifie les conditions aux limite du problème dans le cas où les forces de volume sont nulles.

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Bon courage

A. Seghir

Formulaire Relations contraintes–de formations.

σ = 2μ ε + λ e Ι ε=

1+ ν ν σ− s Ι E E

E 1+ ν νE λ= (1 − 2ν)(1 + ν) 2μ =

e = Tr( ε) = ε11 + ε 22 + ε 33 = ε pp s = Tr ( σ) = σ11 + σ 22 + σ 33 = σ pp 1 (ui , j + u j ,i ) 2

Relation déformations–déplacement

ε ij =

Equation d'équilibre statique

σ ij , j + f i = 0

Equations de compatibilité (1) ⎧ε11, 22 + ε 22,11 − ε12, 21 − ε 21,12 = 0 ⎨ε ( 2) ⎩ 11, 23 + ε 23,11 − ε12,13 − ε13,12 = 0 ν ⎧ ⎪σ11, 22 + σ 22,11 − σ12, 21 − σ 21,12 − 1 + ν ( σ pp ,11 + σ pp , 22 ) = 0 ⎨ ν ⎪σ11, 23 + σ 23,11 − σ12,13 − σ13,12 − σ pp , 23 =0 1+ ν ⎩

(1) ( 2)

les équations (3) à (6) s'obtiennent avec rotation circulaire d'indices 1,2,3.

Fonction de contraintes d'Airy : φ( x, y ) ou φ( x1 , x 2 ) telle que ΔΔφ = 0 σ11 =

∂ 2φ − k1 x ; ∂y 2

σ11 =

∂ 2φ − k1 x1 ∂x 22

σ 22 =

∂ 2φ − k2 y ; ∂x 2

σ 22 =

∂ 2φ − k 2 x2 ∂x12

Les forces de volume : ⎧ k1 ⎫ ⎪ ⎪ f = ⎨k 2 ⎬ ⎪0 ⎪ ⎩ ⎭ avec k1et k2 constantes

∂ 2φ ∂ 2φ σ12 = − ; ∂y∂x ∂x1∂x 2 σ 33 = ν( σ11 + σ 22 ) = ν( Δφ − k1 x1 − k 2 x 2 ) σ12 = −

Contrainte – Déformation planes ⎧ σ x ⎫ ⎧ σ11 ⎫ ⎧ ε x ⎫ ⎧ ε11 ⎫ ⎡ d1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ σ = ⎨ σ y ⎬ = ⎨σ 22 ⎬ ; ε = ⎨ ε y ⎬ = ⎨ ε 22 ⎬ ; σ = D ε ; D = ⎢d 2 ⎢0 ⎪τ xy ⎪ ⎪⎩ σ12 ⎪⎭ ⎪ γ xy ⎪ ⎪⎩2ε12 ⎪⎭ ⎣ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

d1 d2

Déformations planes E (1 − ν) (1 + ν)(1 − 2ν) ν d1 (1 − ν)

d2 d1 0

0⎤ 0⎥ d 3 ⎥⎦

Contraintes planes E (1 − ν 2 ) ν d1

½ (d1+ d2)

d3

σ33

ν (σ11 + σ22)

0

ε33

0

−ν ( ε11 + ε 22 ) 1− ν

Université A. MIRA, Béjaïa Faculté des Sciences & Sciences de l’Ingénieur Département de Génie–Civil, 4ème Année. Module d’Elasticité

Année universitaire 2003-2004

2EME EPREUVE DE MOYENNE DUREE (DUREE : 02H00)

EXERCICE 1 (4 pts) Vérifier l’existence et calculer le champ de déplacement correspondant au champ de déformations donné par le tenseur :

 x12 + x 22 x  ε = 33  x 22 a 0 

x 22 x1 x 2 0

0  0 0

EXERCICE 2 (4 pts) Vérifier, en utilisant les équations de compatibilité et les équations d’équilibre statique, si le tenseur des contraintes suivant est une solution d’un problème statique d’élasticité isotrope sans force de volume :

 x 22 + ν( x12 − x 22 ) − 2νx1 x 2  0   2 2 2 σ =  − 2νx1 x2 x1 + ν( x 2 − x1 ) 0  2 2 0  ν + 0 ( ) x x 1 2  

EXERCICE 3 (12 pts) Dans un solide ABCD supposé plan rectangulaire de longueur l et de largeur h, le champ des déplacements dans le repère (X1, X2) est :

X2 D

C

h

u1 (x1, x2) = a1 + a2 x1 + a3 x2 + a4 x1 x2 u2 (x1, x2) = b1 + b2 x1 + b3 x2 + b4 x1 x2

avec a1 … b4 des paramètres.

l B

A

X1

1) Calculer les positions A′, B′, C′ et D′ après déplacement des points A, B, C et D et tracer le solide déformé 2) Calculer le tenseur des déformations ε et montrer que les équations de compatibilité sont vérifiées. 3) Déduire à partir de ε la condition sur les paramètres a1 … b4 qui donne un déplacement de corps rigide 4) Tracer et décrire le déplacement de corps rigide 5) On prenant les paramètres a1 … b4 tous positifs, calculer changement de section total ∆S après déformation, déduire la nouvelle section déformée du solide. 6) On supposant un état de contraintes plan et le solide élastique linéaire et isotrope de module d’élasticité E et de coefficient de Poisson ν, calculer les composantes du tenseur des contraintes σ 7) Trouver les forces de volume garantissant l’équilibre statique du solide.

Bonne chance

A. Seghir

Université A. MIRA, Béjaïa Faculté des Sciences & Sciences de l’Ingénieur Département de Génie–Civil, 4ème Année. Module d’Elasticité

Année universitaire 2003-2004

EPREUVE DE SYNTHESE (DUREE : 02H00)

La plaque est soumise à un état plan de contraintes tel que le champ de déplacements est donné en tout points par :

X2 C

D

X1

2a

EXERCICE 1 (12 pts) On considère dans le plan (X1, X2), une plaque plane en console de forme rectangulaire (l×2a) et d’épaisseur unitaire (b = 1).

A

B

b=1

l

 x23 3P  u1 = 3 ( 2 + ν) + ( L2 − x12 ) x 2  4a E  3 

3P  x13 2 L3  2 2 2 u2 = 3  + ( ν x2 − L ) x1 − 2a (1 + ν)( x1 − L) + 4a E  3 3 

où P une constante et E et ν sont le module d’élasticité et le coefficient de Poisson du matériau supposé élastique linéaire et isotrope. 1) Calculer le tenseur des déformations de la plaque 2) Calculer le tenseur des contraintes (état de contraintes planes) 3) Quels sont les points de la plaque dans lesquels : a) Le tenseur des contraintes admet X1 et X2 comme directions principales b) Le tenseur des contraintes est un tenseur de cisaillement pur 4) Calculer le champ des forces de volume 5) Calculer le chargement (résultante) appliqué le long des bords de la plaque (AB, AD et DC) 6) Interpréter la constante P et donner une conclusion. EXERCICE 2

(4 pts)

1) Montrer, en se basant sur la relation contraintes–déformations pour un matériau élastique linéaire isotrope, que le tenseur des contraintes et le tenseur des déformations possèdent les mêmes directions principales. 2) Déduire et vérifier l’expression liant les contraintes principales et les déformations principales EXERCICE 3

(4 pts)

1) Montrer que l’énergie potentielle de déformation par unité de volume (densité d’énergie) pour un matériau élastique linéaire et isotrope peut se mettre sous la forme :

We =

1 2

[λ [Trace(ε)]

2) Déduire l’expression : σ ij = Rappel : We = ½ Trace(σ ε)

2

+ 2µTrace( ε 2 )

]

∂We ∂ε ij Bonne chance

A. Seghir