TD - ESSEG-files D'attente [PDF]

Zitiervorschau

ESSEG-STATISTIQUE

Année Académique 2020-2021

Travaux Dirigés de files d’attente

Exercice I : On considère une file d’attente M/M/1 1. Expliquer brièvement le sens de cette notation de Kendall. 2. Le temps de service moyen est 6s, le nombre de requêtes moyen est λ par seconde, trouver les valeurs de λ pour que le système reste stable. 3. Dans la suite l’intensité de trafic dans la file est de 45%, énoncer le théorème de Little. En utilisant le théorème de Little, déterminer la valeur de λ.

Exercice II : On utilise une ligne à 512 kb/s en moyenne pour faire un transfert de fichier. Le fichier est transféré par blocs de 100 000 caractères de 8 bits. La ligne joue le rôle de serveur. 1. Quel est le temps moyen nécessaire pour transférer un bloc ? 2. La ligne délivre un trafic poissonnier avec une charge limité à 60% a) Quel est le taux d’arrivée en bloc/s ? b) Calculer le temps moyen d’attente d’un bloc dans la ligne, le temps de réponse ou de séjour de la ligne ainsi que le nombre moyen de blocs transitant dans la ligne en régime stationnaire. c) Vérifier les formules de Little.

Exercice III : Dans une cabine téléphonique, on a observé que les intervalles de temps (en heure) entre deux arrivées successives d’utilisateurs sont indépendants et distribués selon une loi exponentielle de paramètre 8. La durée (en heure) des différentes conversations forme également une suite de variables aléatoires indépendantes de distribution exponentielle de paramètre 12. Les utilisateurs attendent leur tour devant la cabine et s’en servent dans leur ordre d’arrivée.

a) De quel type de file d’attente s’agit-il ?

b) Quel est le taux d’occupation de la cabine ? c) Le système est-il stable ? (Justifier) d) Quelle est la longueur moyenne de la file d’attente devant la cabine ? e) Quelle est la proportion du temps où il y a au moins une personne qui attend devant la cabine ?

f) Quel est le temps moyen d’attente d’un utilisateur dans le système ?

Exercice IV: Un serveur de base de données reçoit en moyenne 100 requêtes par secondes, arrivant selon un processus de poisson de paramètre λ. Le temps de traitement d’une requête suit la loi exponentielle de paramètre μ. Quand le premier serveur est occupé, il y a un second serveur sur lequel les requêtes sont stockées, si le second serveur est occupé alors les requêtes sont stockées sur un disque de grande taille pour être traitées ultérieurement selon le principe « premier arrivé, premier servi ». 1. De quel type de file d’attente s’agit-il ? 2. Pour λ=1 et μ=2, vérifier si le système est stable. 3. Déterminer le nombre moyen de client présent dans le système. 4. Déterminer le nombre moyen de client en attente. 5. Déterminer le temps moyen de séjour ou réponse. 6. Déterminer le temps moyen d’attente.

Exercice V: On considère une file d’attente M/M/1/5 de taux λ = 2 et µ = 2. Calculer à l’équilibre 1. Le nombre moyen de clients dans le système. 2. Le nombre moyen de clients dans la file d’attente. 3. La proportion de client pouvant entrer dans le système 4. Le temps moyen de séjour d’un client dans le système. 5. Le temps moyen d’attente d’un client dans la file.

Exercice VI: Un cabinet comportant deux experts reçoit des clients qui arrivent selon un processus de poisson de paramètre λ=1/2. Le temps de consultation est aléatoire en suivant une loi exponentielle de paramètre μ=1/3. La salle d’attente commune aux deux experts comporte deux places. Quand un deux experts est libre les clients sont reçus sans attendre dans le bureau de celle-ci. Les clients qui arrivent lorsque les deux places de la salle d’attente sont occupées, sont refusés. 1. De quel type de file d’attente s’agit-il ? 2. Déterminer le nombre moyen de clients dans le système. 3. Déterminer le nombre moyen de clients dans la file d’attente. 4. Déterminer la proportion de client pouvant entrer dans le système 5. Déterminer le temps moyen de séjour d’un client dans le système. 6. Déterminer le temps moyen d’attente d’un client dans la file.

Problème 1 Envisageons un processus de file d’attente de serveur unique qui a deux catégories de clients, prioritaires et non prioritaires, formant un processus d’arrivée de poisson, indépendantes avec des taux 1/2 et 1/4 respectivement. Les temps de services sont indépendants et exponentiellement distribués avec les paramètres 1 et 2 respectivement. Dans cette étude la discipline du système est la suivante : 

Premier arrivé premier servi pour les clients non prioritaires



Le service des clients prioritaires n’est jamais interrompu



Si un client prioritaire arrive lors d’un service d’un client non prioritaire, le service de ce dernier est immédiatement arrêté en faveur du client prioritaire.



Le service interrompu du client est repris quand il n’y a pas de clients prioritaires actuels.

1. Déterminer le taux d’arrivée dans le système. 2. Quel est la probabilité pour qu’un client prioritaire reste dans le système. 3. Quel est la probabilité pour qu’un client non prioritaire reste dans le système. 4. Déterminer le temps moyen de service dans le système. 5. Déterminer l’intensité de trafic dans le système, a) Déterminer l’intensité de trafic dans le système pour les clients prioritaires, b) Déterminer l’intensité de trafic dans le système pour les clients non prioritaires.

Problème 2 Considérons le réseau de Jackson ci-dessous

a) Déterminer les équations de conservation du réseau. b) Déterminer les valeurs de p pour lesquelles le réseau est stable. c) Pour p=1/3 déterminer le nombre moyen de clients en attente devant chacune des files. d) Déterminer le nombre moyen de clients présents dans chacune des files et dans le réseau. e) En appliquant le théorème de Little, déterminer le temps moyen de séjour ou de réponse dans chacune des files et dans le système.