TD Automatique Automatisme [PDF]

Zitiervorschau

Table des transformées :

EXERCICES : Exercice n° 1 : Calcul direct de la transformée de Laplace d’un signal sinusoïdal On considère la fonction s(t) définie par : s(t) = 0 pour t < 0, s(t) = sin wt pour t >= 0. Déterminer l’expression de S( p) en utilisant directement la définition de la transformation de Laplace.

Exercice n° 2 :Calcul de la transformée de Laplace d’une impulsion réelle On considère une impulsion s(t) de largeur T et de hauteur A ( s(t) = 0 pour t < 0 et pour t > T, s(t) = A pour 0 < t < T. Calculer l’expression S( p) de la transformée de Laplace de ce signal.

figure

).

Figure : Impulsion réelle.

Exercice n° 3 : Calcul de la transformée de Laplace d’un signal quelconque Calculer la transformée de Laplace de la fonction définie par : f (t) = cos wt pour t > 0 et f (t) = 0 partout ailleurs.

Exercice n° 4 : Calcul d’une transformée de Laplace inverse Calculer la transformée de Laplace inverse de l’expression :

Exercice n° 5 :

Exercice n° 6 :Calcul de la réponse d’un système du second ordre à une rampe On considère un système régi par l’équation différentielle :

Calculer la réponse de ce système à une entrée en rampe e(t) = t.

Exercice n° 7 :Mise en équation d’un système électrique du second ordre On considère le montage électrique représenté sur la figure . On injecte dans ce système un signal d’entrée e(t) correspondant à un échelon de tension de 0 à 5 V. Déterminer l’équation différentielle qui lie e(t) à la tension de sortie s(t). En déduire la fonction de transfert du système.

Figure : Circuit électrique du second ordre.

Exercice n° 8 : 6.1 Stabilité d’un système du premier ordre On considère un système de fonction de transfert en boucle ouverte G( p) définie par : G( p) =

K avec K > 0 et T > 0 1 + Tp

Montrer que ce système, placé dans une boucle à retour unitaire, est stable en boucle fermée quelle que soit la valeur du gain statique K.

Exercice n° 9 : 6.3 Stabilité d’un système du troisième ordre On considère un système de fonction de transfert en boucle ouverte G( p) définie par : G( p) =

K avec K > 0 p (p + 1) (p + 2)

Déterminer à l’aide du critère de Routh les conditions de stabilité de ce système en boucle fermée lorsqu’il est placé dans une boucle d’asservissement à retour unitaire.

Figure 1.10 Circuit électrique du second ordre.

SOLUTIONS 1.1 Décomposons la fonction sinus en une combinaison d’exponentielles complexes : s(t) = sin vt =

e jvt − e− jvt 2j

Appliquons la définition de la transformée de Laplace :  S( p) =

+∞

s(t) e− pt dt =



0

+∞

sin vt e− pt dt =



0

S( p) =

1 2j

S( p) = S( p) =

1 2j



+∞



0

e jvt e− pt dt −

0 +∞

+∞

1 2j

e−( p− jv)t dt −

0



1 2j

+∞

e jvt − e− jvt − pt dt e 2j

e− jvt e− pt dt

0



+∞

e−( p+ jv)t dt

0

 +∞  +∞ 1 e−( p− jv)t 1 e−( p+ jv)t − 2j −( p − jv) 0 2j −( p + jv) 0

Si la partie réelle de p est positive (ce qui corrobore l’existence d’un seuil de convergence), on a :     1 1 1 1 S( p) = 0− − 0− 2j −( p − jv) 2j −( p + jv)   1 1 1 S( p) = − 2j ( p − jv) ( p + jv)   1 ( p + jv) − ( p − jv) S( p) = 2j ( p − jv)( p + jv)   1 v 2jv S( p) = = 2 2j p2 + v2 p + v2 Ce qui correspond bien au résultat recherché.

1.2 Nous pouvons remarquer (figure 1.11) que ce signal est la différence de deux signaux : s(t) = s1 (t) − s2 (t), avec s1 (t) : échelon de hauteur A débutant à l’instant 0, et s2 (t) : échelon de hauteur A débutant à l’instant T. Nous aurons donc (linéarité de la transformée de Laplace) : S( p) = S1 ( p) − S2 ( p) avec :

S1 ( p) =

A

p2 + v2 Ce qui correspond bien au résultat recherché.

1.2 Nous pouvons remarquer (figure 1.11) que ce signal est la différence de deux signaux : s(t) = s1 (t) − s2 (t), avec s1 (t) : échelon de hauteur A débutant à l’instant 0, et s2 (t) : échelon de hauteur A débutant à l’instant T. Nous aurons donc (linéarité de la transformée de Laplace) : S( p) = S1 ( p) − S2 ( p) avec : et : d’où :

S1 ( p) =

A p

A − pT e (théorème du retard) p  A 1 − e− pT S( p) = p

S2 ( p) =

Figure 1.11 Décomposition du signal.

1.3 Traçons, pour commencer, le signal s(t) (figure 1.12). Nous pouvons remarquer que ce signal est l’intégrale d’un signal x(t) que l’on peut représenter sur la figure 1.13.

Figure 1.13 Signal dérivé.

1.4 Linéarisons l’expression de la fonction f (t) = cos2 vt afin de pouvoir l’exprimer sous la forme d’une combinaison de fonctions simples que nous pourrons aisément repérer dans la table : f (t) = cos2 vt =

1 (cos 2vt + 1) 2

pour t > 0.

La fonction f (t) se décompose donc en une somme de deux signaux : f (t) = f1 (t) + f2 (t) cos 2vt avec f1 (t) = pour t > 0, 2 1 u(t) , u(t) étant l’échelon unitaire. et f2 (t) = pour t > 0, autrement dit : f2 (t) = 2 2 On a donc :

F( p) = F1 ( p) + F2 ( p)

On a de toute évidence :

F2 ( p) =

1 2p

Par ailleurs, à la lecture de la table, la fonction temporelle cos vt possède pour transformée de Laplace F2 ( p) =

On a donc : En conclusion :

p . p2 + v2

p 2( p2 + 4v2 )

F( p) = F1 ( p) + F2 ( p) =

1 p + 2p 2( p2 + 4v2 )

1.5 Factorisons tout d’abord le dénominateur de l’expression de F( p) : F( p) =

3 3 = p3 + 5 p2 + 6p p( p + 3)( p + 2)

La décomposition de cette fraction rationnelle nous donne : F( p) = Soit :

A B C A( p2 + 5p + 6) + B( p2 + 2p) + C( p2 + 3p) 3 = + + = p( p + 3)( p + 2) p p+3 p+2 p( p + 3)( p + 2) F( p) =

3 (A + B + C) p2 + (5A + 2B + 3C)p + 6A = p( p + 3)( p + 2) p( p + 3)( p + 2)

En identifiant, on tire immédiatement :

d’où :

⎧ ⎧ 1 ⎪ ⎪ A+B+C =0 A= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 ⎨ ⎨ 5A + 2B + 3C = 0 ⇒ B = 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩C = − 3 ⎩A = 2 2 F( p) =

1 1 3 + − 2p p + 3 2( p + 2)

Il suffit à présent de rechercher dans la table des transformées de Laplace les fonctions temporelles originales des trois termes simples qui constituent cette combinaison et d’écrire f (t) comme étant la même combinaison des trois fonctions temporelles originales :  1 f (t) =

2

+ e−3t −

3e−2t 2

1.6 Appliquons la transformée de Laplace aux deux membres de l’équation : p3 S( p) + 3 p2 S( p) + 3pS( p) + S( p) = 2pE( p) + E( p)   D’où : S( p) p3 + 3 p2 + 3p + 1 = [2p + 1] E( p) 2p + 1 S( p) = 3 E( p) p + 3 p2 + 3p + 1 Nous remarquons que le dénominateur se factorise (identité remarquable). Soit : G( p) =

D’où : G( p) =

2p + 1 S( p) = E( p) ( p + 1)3

 1 La fonction de transfert possède donc un seul zéro − et un pôle triple (−1). 2

p (p + 10)2

avec K > 0

Déterminer la valeur de K qui permet d’obtenir une pulsation de coupure à 0 dB égale à : vc0 = 20 rad/s Déterminer la valeur de la marge de phase pour cette valeur de K.

SOLUTIONS 6.1 La stabilité peut ici être facilement étudiée par le calcul de l’unique pôle de la fonction de transfert en boucle fermée. G( p) K On a : H( p) = = 1 + G( p) Tp + 1 + K L’unique pôle de cette fonction de transfert en boucle fermée est : K+1 T Ce pôle est négatif, de toute évidence. Par conséquent le système est stable quelle que soit la valeur du gain statique K. p1 = −

v2n

6.2partie La fonction en boucle ferméenégative. a ici pour La réelle de de cestransfert deux pôles est toujours Leexpression système est: donc stable en boucle fermée. G( p) proposé est toujours stable en boucle fermée. En conclusion, quels que soient les cas étudiés, le système H( p) =

6.3 Calculons la fonction de transfert en boucle fermée : On a :

H( p) =

G( p) K = 1 + G( p) p (p + 1) (p + 2) + K

Le dénominateur de la fonction de transfert a pour expression : D( p) = p (p + 1) (p + 2) + K = p3 + 3 p2 + 2p + K Établissons la table de Routh pour étudier la condition de stabilité : 1

2

3

K

6−K

0

K

0

Le système est stable en boucle fermée s’il n’y a aucun changement de signe dans la première colonne, donc si K < 6.

6.4 Calculons la fonction de transfert en boucle fermée : On a :

H( p) =

G( p)