TD 2 T Thérmique [PDF]

Zitiervorschau

ro. co m ari -p

TRANSFERT DE CHALEUR

ab k

Volume 2 :

ww

w.

al3

Travaux dirigés et exercices

ro. co m

ari -p

ab k

al3

w.

ww

TDEX-2.1

ro. co m

Travaux dirigés et exercices du chapitre 2

Pour ces deux exercices, l’approche est similaire à celle des notes de cours p 2.3 mais faites attention aux expressions du gradient (p 2.1) et ne simplifiez trop vite par r !

ari -p

EX-2.1 (S) Dérivation de l’équation thermique en coordonnées cylindriques

ab k

En utilisant le volume de contrôle ci-dessus ∆r ∆z r ∆φ et en supposant une génération de chaleur q′′′ (W/m3), faites le bilan de chaleur et retrouver l’équation de diffusion thermique en cylindrique.

w.

al3

EX-2.2(S) Dérivation de l’équation thermique en coordonnées spériques

ww

En utilisant le volume de contrôle ci-dessus ∆r r ∆ θ r sin θ ∆φ et en supposant une génération de chaleur q′′′ (W/m3), faites le bilan de chaleur et retrouver l’équation de diffusion thermique en sphérique

TDEX-2.2

ro. co m

Solutionnaire

2.1 Dérivation de l’équation thermique en coordonnées cylindriques T = Tr ,φ , z

1) Hypothèses :

∆r ∆z r ∆φ

2) Volume de contrôle 3) Bilan sur le volume de contrôle

Ce qui rentre – Ce qui sort + Ce qui est généré = Ce qui s’accumule

ari -p

a) IN/OUT dans la direction r (au travers des faces perpendiculaires à l’axe des r): ∆z r ∆φ qr" − ∆z r ∆φ qr" r +∆r

r

b) IN/OUT dans la direction z (au travers des faces perpendiculaires à l’axe des z): + ∆r r ∆φ q"z − ∆r r ∆φ q"z z

z +∆z

c) IN/OUT dans la direction φ (au travers des faces perpendiculaires à l’axe des φ ): + ∆r ∆z qφ" − ∆r ∆z qφ"

ab k

φ

φ +∆φ

d) Terme de génération (dans le volume): + ∆r ∆z r ∆φ q′′′ e) Terme d’accumulation (dans le volume) : ∆r ∆z r ∆φ ρ CP

al3

=

∂T ∂t

On divise par ∆r ∆z ∆φ et on fait tendre les incréments vers 0

w.

Terme a :

∆z r ∆φ qr" − ∆z r ∆φ qr" r

∆r ∆z ∆φ

ww

lim ∆r → 0

rqr" − rqr" r

∆r

r +∆r

=−

r +∆r

=

r qr" − r qr"

∂ ( rqr" ) ∂r

r

∆r

r +∆r

Terme b : ∆r r ∆φ q"z − ∆r r ∆φ q"z z

∆r ∆z ∆φ q"z − qz"

lim

z

∆z

∆z → 0

=−

z +∆z

z +∆z

φ +∆φ

∆φ

∆ →0

=−

∂ " ( qφ ) ∂φ

∆r ∆z r ∆φ ρ C P ∆ r ∆ z ∆φ

∆z

qφ" − qφ" φ

∆φ

z +∆z

=r

q"z − qz" z

∆z

z +∆z

φ +∆φ

ab k

Terme d : ∆r ∆z r ∆φ q′′′ + = r q′′′ ∆r ∆z ∆φ Terme e :

z

ari -p

φ

lim φ

r q"z − r q"z

∂ " ( qz ) ∂z

Terme c : ∆r ∆z qφ" − ∆r ∆z qφ" φ φ +∆φ + = ∆r ∆z ∆φ qφ" − qφ"

=

ro. co m

TDEX-2.3

∂T ∂t = r ρ C ∂T P ∂t

−

al3

L’équation s’écrit donc :

∂ ∂ ∂ " ∂T rqr" ) − r ( q"z ) − qφ ) + r q′′′ = r ρ CP ( ( ∂r ∂z ∂φ ∂t

w.

La densité de flux s’exprime par la loi de Fourrier en utilisant l’expression du gradient en coordonnées cylindriques : ∇ = δr

∂ ∂r

ww

qr" = − k

+δz

∂T ∂r

∂ ∂z

+ δφ

1 ∂ r ∂φ

q"z = − k

∂T ∂z

qφ" = − k

1 ∂T r ∂φ

−

∂ ∂T r −k ∂r ∂r

− r

∂ ∂T −k ∂z ∂z

−

∂ 1 ∂T −k ∂φ r ∂φ

+ r q′′′ = r ρ CP

− r

∂ ∂T −k ∂z ∂z

−

∂ 1 ∂T −k ∂φ r ∂φ

+ r q′′′

On divise par r:

−

∂ ∂T r −k ∂r ∂r

r

r +

∂ ∂T k ∂z ∂z r

(commentaire: dans la dérivée et on obtient finalement:

∂ 1 ∂T k ∂φ r ∂φ + r

ab k

al3 w.

∂T ∂t

r ρ CP r

∂T ∂t

∂T ∂t

∂ 1 , le terme ne varie pas avec φ ) ∂φ r

1 ∂ ∂T ∂ ∂T 1 ∂ ∂T ∂T kr + k + 2 k + q′′′ = ρ CP r ∂r ∂r ∂z ∂z r ∂φ ∂φ ∂t

ww

=

+ q′′′ = ρ CP

ari -p

∂ ∂T r k ∂r ∂r r

ro. co m

TDEX-2.4

T = Tr ,φ ,θ

1) Hypothèses :

TDEX-2.5

ro. co m

2.2 Dérivation de l’équation thermique en coordonnées spériques

∆r r ∆ θ r sin θ ∆φ

2) Volume de contrôle 3) Bilan sur le volume de contrôle

Ce qui rentre – Ce qui sort + Ce qui est généré = Ce qui s’accumule

ari -p

a) IN/OUT dans la direction r (au travers des faces perpendiculaires à l’axe des r): r ∆ θ r sin θ ∆φ qr" − r ∆ θ r sin θ ∆φ qr" r +∆r

r

b) IN/OUT dans la direction φ (au travers des faces perpendiculaires à l’axe des φ ): + ∆r r ∆ θ qφ" − ∆r r ∆ θ qφ" φ

φ +∆φ

c) IN/OUT dans la direction θ (au travers des faces perpendiculaires à l’axe des θ ): + ∆r r sin θ ∆φ qθ" − ∆r r sin θ ∆φ qθ" θ

θ +∆θ

ab k

d) Terme de génération (dans le volume): + ∆r r ∆ θ r sin θ ∆φ q′′′ e) Terme d’accumulation (dans le volume) : =

∆r r ∆ θ r sin θ ∆φ ρ CP

∂T ∂t

al3

On divise par ∆r ∆θ ∆φ et on fait tendre les incréments vers 0

Terme a :

w.

r ∆ θ r sin θ ∆φ qr" − r ∆ θ r sin θ ∆φ qr" r

∆r ∆ θ ∆φ

lim

r 2 qr" − r 2 qr"

ww

∆r → 0

Terme b :

r

∆r

r +∆r

=−

∂ 2 " ( r qr ) ∂r

r +∆r

= ( sin θ )

r 2 qr" − r 2 qr" r

∆r

r +∆r

∆r r ∆ θ qφ − ∆r r ∆ θ qφ

"

φ

φ +∆φ

∆r ∆ θ ∆φ qφ" − qφ" φ

lim φ

φ +∆φ

∆φ

∆ →0

=−

r qφ − r qφ "

=

θ

∆r ∆θ ∆φ

sin θ qθ" − sin θ qθ"

∆ →0

∆θ

φ +∆φ

∆φ

θ +∆θ

=−

θ +∆θ

=

== r

qφ − qφ "

φ

φ +∆φ

∆φ

r sin θ qθ" − r sin θ qθ"

∂ sin θ qθ" ) ( ∂θ

θ

∆θ

θ +∆θ

=r

sin θ qθ" − sin θ qθ"

ari -p

θ

φ

"

∂ " ( qφ ) ∂φ

Terme c : ∆r r sin θ ∆φ qθ" − ∆r r sin θ ∆φ qθ"

lim φ

"

ro. co m

TDEX-2.6 "

Terme d : ∆r r ∆ θ r sin θ ∆φ q′′′ + = r 2 sin θ q′′′ ∆r ∆ θ ∆φ

ab k

Terme e :

∆r r ∆ θ r sin θ ∆φ ρ CP ∆r ∆ θ ∆φ

∂T ∂t = r 2 sin θ ρ C ∂T P ∂t

L’équation s’écrit donc :

∂ 2 " ∂ " ∂ ∂T r qr ) − r qφ ) − r sin θ qθ" ) + r 2 sin θ q′′′ = r 2 sin θ ρ CP ( ( ( ∂r ∂φ ∂θ ∂t

al3

− sin θ

w.

La densité de flux s’exprime par la loi de Fourrier en utilisant l’expression du gradient en coordonnées sphériques: ∇ = δr

∂ ∂r

ww

qr" = − k

+ δθ

∂T ∂r

1 ∂ r ∂θ

+ δφ

qθ" = − k

1 ∂ r sin θ ∂φ 1 ∂T r ∂θ

qφ" = − k

1 ∂T r sin θ ∂φ

θ

∆θ

θ +∆θ

+

sin θ

+

∂ 2 ∂T r −k ∂r ∂r

− r

r 2 sin θ q′′′ =

∂ 1 ∂T −k ∂φ r sin θ ∂φ

r 2 sin θ ρ CP

∂ 2 ∂T r k ∂r ∂r

+ r

r 2 sin θ q′′′ =

∂T ∂t

1 ∂ ∂T k ∂φ r sin θ ∂φ

r 2 sin θ ρ CP

∂T ∂t

1 ∂ ∂T k 2 r sin θ ∂φ ∂φ 2

ww

w.

al3

ab k

+

− r

+ r

+

∂ ∂θ

( sin θ )( −k )

1 ∂ ∂T k sin θ ∂θ r ∂θ

ari -p

On divise par r 2 sin θ :

1 ∂ ∂T k r2 2 r ∂r ∂r

ro. co m

− sin θ

1 ∂ ∂T k sin θ r sin θ ∂θ ∂θ 2

TDEX-2.7 1 ∂T r ∂θ

+ q′′′ = ρ CP

∂T ∂t

ro. co m

ari -p

ab k

al3

w.

ww

om

TDEX-3.1 Travaux dirigés et exercices du chapitre 3: Conduction dans les solides en régime permanent Exercices Ex-3.1 Profils de température (à l=examen de 1997)

ari -pr o.c

Une paroi de conductivité k sépare un fluide chaud à la températures Ta d'un fluide froid à la température Tb. Sur chacune des faces, les coefficients de transfert de chaleur avec les fluides sont respectivement ha et hb. Pour un régime stationnaire, on étudie la variation de la température le long d'un axe perpendiculaire à la paroi. Pour chacune des trois situations suivantes A, B ou C, décrites ci-dessous, associer la figure qui lui correspond.

Cocher la case

A) la conductivité de la paroi est très élevée et dans ce cas, quel est le coefficient le plus élevé (ha ou hb) ?

1□

2□

B) les deux coefficients ha et hb sont très élevés

1□ 1□

2□ 2□

3□ 3□ 3□

ab k

C) les coefficients sont moyens mais ha > hb

□

Ex-3.2(S) Mur avec différentes conditions frontières (voir figure notes de cours p 3.1)

al3

Trouver l'expression du profil de température dans un mur d'épaisseur L, de conductivité k et dont la face à x=0, est soumise à un flux constant q"O alors que l'autre à x=L échange sa chaleur par convection (coefficient hF) avec un fluide à une température TF. (Refaire toute la démonstration: schéma, hypothèses, bilan, conditions frontières) Réponse:

,,

q 1 L T(x)= - 0 x + q 0,,[ + ] + T F k hF k

Ex-3.3 Epaisseur d'un isolant ( à l'examen de sept. 1989)

ww

w.

Vous souhaitez isoler la paroi intérieure d'un mur d'une maison. Ce mur en brique, d'épaisseur o LB=0.10 m, a une conductivité thermique kB=0.72 W/m/ C. En utilisant le concept de résistance thermique (on présentera une schéma du problème réel ainsi que le schéma correspondant des résistances thermiques), déterminez l'épaisseur de la couche d'isolant (laine de verre, kI =0.043 W/m/C) à installer pour limiter les 2 pertes thermiques à une valeur de 50 W/m dans les conditions suivantes d'utilisation: 0 - température intérieure de la pièce T1 = 20 C 0 - température extérieure de l'air T2 = -20 C 2 - coefficient de transfert de chaleur dans la pièce h1=10 W/m /C 2 - coefficient de transfert de chaleur à l'extérieur h2=100 W/m /C Quelles seraient les pertes thermiques sans isolation ? 2 Réponses: épaisseur d'isolant= 2.37 cm, q"=161 W/m

Travaux dirigés No 1

co

Ex-3.4(S) Conduction avec génération de chaleur (à l'examen final 1991)

m

TDEX-3.2

Réponse a): T(r)= -

ro.

Une sphère métallique de rayon R et de conductivité k est le siège d'une génération de chaleur uniforme q''' 3 (W/m ). Cette sphère échange avec l'environnement à la température TE et le coefficient de transfert de chaleur à la surface vaut h. a) Déterminer l'expression du profil de température dans la bille métallique. b) Sans utiliser l'expression du profil obtenue en a) et par un raisonnement indépendant, retrouver la température à la surface.

q′′′ 2 2 Rq′′′ ( r - R )+ +T E 6k 3h

0

ri-p

Ex-3.5 Pertes thermiques d'un tube isolé (à l'examen de sept. 1990)

Un fluide, à une température TF=150 C, s'écoule dans une tube d'acier (rayon intérieur r1=0.023 m, rayon exterieur r2=0.026 m) de conductivité thermique kA= 12 W/m/K. Le coefficient de transfert de chaleur, hF entre 2 le fluide et la paroi interne du tube est égal à 450 W/m /K. Ce tube est recouvert d'un isolant (rayon externe 0 r3=.050 m) de conductivité thermique kISO=0.05 W/m/K. L'air environnant est à la température TAIR=20 C, et le 2 coefficient d'échange à la surface de l'isolant vaut hAIR=5 W/m /K.

b) c)

Faites le schéma de ce problème et, en utilisant le concept de résistance thermique, faites le schéma de l'analogie électrique. Trouvez l'expression des pertes thermiques, par unité de longueur de tube, pour les conditions indiquées ci-dessus. L'augmentation de l'épaisseur d'isolation réduirait-elle les pertes thermiques ?.

ka

a)

.al 3a b

(PS: on négligera les résistances de contact)

Réponses:

Ex-3.6 Profil dans une résistance électrique (à l=examen de 1997) Une résistance électrique (épaisseur b, largeur W, hauteur L) est isolée parfaitement sur une de ses faces. Sur l'autre face, il y a échange par convection (avec un coefficient h) avec l'air environnant (à la température T4). En régime permanent, on suppose que la conductivité k de la résistance est constante et que la génération de chaleur par effet Joule est uniforme et ,,, 3 vaut q (W/m ).

b)

c)

Résistance

Déterminer l'expression du profil de température dans la résistance électrique (on négligera les effets électrique de bouts). Sans utiliser l'expression du profil obtenue en a), trouver la température sur la surface en contact avec l'air. A quelle profondeur dans la plaque électrique observe-t-on la température maximale ? Tracer sur la figure ci-dessus la forme du profil de température dans la plaque.

ww w

a)

b) pertes= 47.5 W/m c) oui, car (dq/dr3) < 0

Réponse a:

T(x)= -

q′′′ 2 1 b x +q′′′b( + )+ T ∞ 2k h 2k

om

TDEX-3.3 Travaux dirigés No 2 Conduction dans les ailettes Ex-3.7(S) Température de l'anse d'un chaudron

al3 ab ka ri-p ro. c

L'anse d'un chaudron est une tige métallique de 10 mm de rayon et de 0.5 m de longueur. Les deux parties inférieures de l'anse 0 sont soudées au chaudron qui est à une température de 90 C. Sachant que le coefficient de transfert de chaleur avec l'air 2 0 ambiant est de 35 W/(m .K) et que l'air est à 30 C, déterminer la température au milieu de l'anse si la tige est faite: a) en cuivre, k=385 W/(m.K) b) en acier, k=44 W/(m.K)

(on pourra négliger la courbure de l'anse et le gradient radial de température) 0

réponses: 66.9 et 35.1 C Travail complémentaire:

c) Avec Excel par exemple, étudier l'effet de h et de k sur la témperature au milieu de l=anse du chaudron (TC ). Tracer les 2 graphes TC vs h (h variant entre 1 et 100 W/m .K) et TC vs k (k variant de 10 à 400 W/m.K). Commentez.

Ex-3.8(S) Ailette circulaire (à l'examen de 1989)

Une ailette circulaire d'épaisseur W et de rayon exterieur R2 est installée sur un tube de rayon externe R1 dont la surface est à la température T1. L'air environnant est à la température T4 et le coefficient de convection à la surface de l'ailette est h. a)

Quelles sont les différentes conditions frontières possibles ?

w.

b)

Faites un bilan de chaleur sur un élement de volume approprié de l'ailette et obtenez l'équation différentielle que doit satisfaire la température de cette ailette. (remarque: on ne demande pas d'intégrer cette équation)

ww

c)

Si on appelle qC, les pertes de chaleur (en watts) au travers de cette ailette, donnez alors les expressions du rendement et de l'efficacité de l'ailette. Réponse a: 2 ∂ T 1 ∂T 2h + (T -T∞ )= 0 ∂ r 2 r ∂r kW

om

TDEX-3.4 Exercice

Ex-3.9(S) Profil de température dans une ailette fixée entre deux parois

Tp

al3 ab ka ri-p ro. c

Une ailette de largeur W, d'épaisseur t et de longueur L est fixée entre deux pièces métalliques dont les températures sont identiques et égales à TP. Les deux faces de l'ailette ne sont pas soumises aux mêmes conditions. La face supérieure de l'ailette est soumise à un courant d'air à une température TA et le coefficient d'échange vaut hA. La face inférieure quant à elle, est soumise à un autre courant d'air à la température TB et le coefficient d'échange vaut hB. Afin de déterminer le profil axial de température,

hA TA

(attention: on supposera que les extrémités latérales sont isolées et les régions A et B sont séparées; la convection ne se fait que sur les faces horizontales ).

a) b) c)

Faites un bilan de chaleur sur un volume approprié. Posez clairement vos hypothèses et obtenez l'équation différentielle que doit vérifier la température. Posez les conditions frontières.

Obtenez l'expression générale du profil de température ainsi que les relations que doivent vérifier les constantes d'intégration figurant dans cette expression

w.

Réponse a:

ww

hB Tb

2 d T - [T h A + h B - h ATA + h BT B ] = 0 2 kt kt dx 2 1 d 2U dT α β [ T ] = 0 -U = 0 ⇔ 2 α dx 2 dx h + hB +h h avec α = A , β = AT A BT B et U = α T - β kt kt

ri-p ro. co m

TDEX-3.5 Travaux dirigés No 3 Exemple d’examen No 1

GCH-18243 Examen partiel No 1 - 25 pts Aucun document sauf 1 feuille (recto-verso) 19 Septembre 2003, Durée 110 min I)

Profil dans un mur de béton ( 6 pts)

Un mur de béton (épaisseur b, largeur W, hauteur L, conductivité k ) sépare une pièce à la température TINT , de l’extérieur dont la température est T EXT . Les coefficients de transfert de chaleur sur les faces intérieure et extérieure de ce mur sont respectivement hINT et hEXT

a) Faites un bilan de chaleur sur un volume de contrôle pertinent et obtenez l’équation différentielle que doit vérifier la température dans le mur (on négligera les effets de bouts) (2 pts)

b) Intégrer cette équation, poser les conditions frontières et déterminer l'expression du profil de température dans le mur (4. pts) Réponse

II)

C2 = TINT +

k C1 ; hINT

C1 =

(TEXT − TINT )

 k k  +b+   hEXT   hINT

ab ka

T(x)= C1 x + C2 ;

Stockage d’air liquide dans un réservoir sphérique (6 pts)

al3

Un réservoir sphérique de rayon r1=1.5 m, contient de l’air liquide. Le réservoir est isolé par une épaisseur de 0.05 m d'un matériau isolant de conductivité k=0.05 W/(m.K). On peut supposer que la paroi externe du réservoir reste à température constante T1=80 K. A la surface de l'isolant, il y a échange par convection avec l'air ambiant à la température T∞=283 K et le coefficient de 2 convection h est égal à 18 W/(m .K).

ww w.

a) En utilisant, le concept des résistances thermiques, calculer la température T2, à la surface de l'isolant en contact avec l'air. (4.5 pts) (On négligera la résistance de contact paroi-isolant) (réponse 272.6K) b) Est-ce que l’épaisseur de l’isolant vous parait suffisante ? Commenter. (1.5 pt) On rappelle les expressions des résistances pour la sphère creuse:

Rconduction = sphèrecreuse

1 1 1  −  4π k  r1 r2 

Rconvection sur une sphère

=

1 4π h r22

Température d’un fil électrique ( 3 pts)

om

TDEX-3.6 III)

Réponse : 59.8

IV)

Quiz (2 pts)

ari -pr o.c

Un fil électrique de 1 mm de diamètre est dénudé sur une longueur de 1 m. Calculer la température de ce fil (température qu’on supposera uniforme), sachant que la puissance générée par o effet joule est de 1.5 watt/m, que la température de l’air est de 20 C et que le coefficient de transfert 2 de chaleur à la surface du fil avec l’air environnant vaut 12. W/m .C.

Cocher la bonne réponse:

•

Pour la construction d’une ailette, il est préférable d’utiliser un matériau qui à un faible conductivité. VRAI
FAUX


•

Dans une ailette, l’augmentation de la conductivité favorise la diminution du gradient de la température. VRAI
FAUX


•

Dans un bilan de chaleur associé à un problème de conduction, si il y a un terme de génération de chaleur alors le terme d’accumulation est non nul. VRAI
FAUX


•

À l’interface entre deux solides, plus la résistance de contact est faible, plus la différence entre les températures de ces deux surfaces est grande. VRAI
FAUX


Réponses : FVFF

Ailette en forme de cylindre creux (8 pts)

ab k

V)

al3

Une ailette, de longueur L, a la forme d'un cylindre creux. Sa base est fixée sur une paroi à la température Tp. La face intérieure du cylindre est refroidie par de l’air à la température T1 avec un coefficient de convection h1 alors que la face extérieure est refroidie avec un air à la température T2 avec un coefficient de convection h2. On supposera que le flux de chaleur axial à x=L sur l’extrémité de l’ailette est négligeable.

w.

a) Faites un bilan de chaleur sur un élément de volume approprié de l'ailette et obtenez l'équation différentielle que doit satisfaire la température de cette ailette. (4.5 pts) b) Quelles sont les conditions frontières ? (1 pt)

ww

c)Obtenez l’expression du profil de température. (2.5 pts)

Solutionnaire

m

TDEX-3.7 Ex-3.2

Mur avec différentes conditions frontières

ro. co

Trouver l'expression du profil de température dans un mur d'épaisseur L ( de surface A), de conductivité k et dont la face à x=0, est soumise à un flux constant q"O alors que l'autre à x=L échange sa chaleur par convection (coefficient hF) avec un fluide à une température TF. (Refaire toute la démonstration: schéma, hypothèses, bilan, conditions frontières) 1) Hypothèses : T=T(x)

k=Constante

régime permanent

2) Volume de contrôle

A ∆x

ri-p

3) Bilan sur le volume de contrôle

∂ =0 ∂t

Ce qui rentre – Ce qui sort + Ce qui est généré = Ce qui s’accumule Ce qui rentre – Ce qui sort =0

A q"x − Aqx" x

x +∆x

=0

ka

On divise par A∆x et on fait tendre ∆x vers 0

A q"x − Aqx" x

A∆x q"x − q"x

ab lim

x +∆x

x

=

x +∆x

∆x

∆x → 0

qx" − qx" x

x +∆x

∆x =−

=0

∂q"x =0 ∂x

al3

On intègre une première fois :

−

On utilise la loi de Fourier

qx" = − k

Et on intègre une deuxième fois :

C ∂T =− 1 ∂x k

w.

∂q"x = 0 ⇒ qx" = C1 ∂x ∂T = C1 ∂x

 C  ⇒ Tx =  − 1  x + C2  k 

(1)

ww

Les constantes d’intégration C1 et C2 sont obtenues en écrivant les conditions frontières CF1 :

CF2 :

à x = 0 ⇒ q"x

à x = L ⇒ q"x

x =0

x= L

= q0"

⇒ q"x

= hF (Tx = L − TF )

x=0

 ∂T  " =  −k  = C1 = q0 ∂x  x =0 

x=L

  C     ∂T  =  −k = C1 = q0" = hF   − 1  x + C2  − TF   ∂x  x = L   x= L   k  

-pr o.c o

q"x

m

TDEX-3.8

"   q  q0" = hF  − 0  L + C2 − TF   k  

 1 L ⇒ C2 = q0"  +  + TF  hF k 

Et en remplaçant C1 et C2 dans (1), on obtient l’expression de la variation de la température dans le mur :

 1 L q0" x + q0"  +  + TF k  hF k 

ww

w. al3

ab ka ri

Tx = −

Solutionnaire

m

TDEX-3.9 Ex-3.4

Conduction avec génération de chaleur

-pr o.c o

Une sphère métallique de rayon R et de conductivité k est le siège d'une génération de chaleur uniforme q''' 3 (W/m ). Cette sphère échange avec l'environnement à la température TE et le coefficient de transfert de chaleur à la surface vaut h. a) Déterminer l'expression du profil de température dans la bille métallique. 1) Hypothèses : T=T(r)

q′′′ = Constante régime permanent

k=Constante

∂ =0 ∂t

4π r 2 ∆r

2) Volume de contrôle 3) Bilan sur le volume de contrôle

Ce qui rentre – Ce qui sort + Ce qui est généré = Ce qui s’accumule

4π r 2 qr" − 4π r 2 qr" On divise par

r +∆r

4π ∆r et on fait tendre ∆r vers 0

4π r 2 qr" − 4π r 2 qr" r

r +∆r

ab k

4π ∆r

Par définition :

lim

r 2 qr" − r 2 qr"

∆r → 0

r

r +∆r

=−

al3

( r 2 qr" ) =

⇒

w.

 r  = q′′′ + C1  3

4π ∆r

=0

on obtient donc :

∂ 2 " ( r qr ) = r 2 q′′′ ∂r

r3 q′′′ + C1 3

On exprime alors la densité de flux par la loi de Fourrier

3

+

4π r 2 ∆r q′′′

∂ 2 " ( r qr ) ∂r

∆r ∂ − ( r 2 qr" ) + r 2 q′′′ = 0 ∂r

On intègre une première fois:

 ∂T r 2  −k ∂r 

+ 4π r 2 ∆r q′′′ = 0

ari

r

qr" = −k

∂T : ∂r

r3 q′′′ + C1 ∂T ∂T r3 ⇒ =− 3 ⇒ = − ∂r k r2 ∂r r2

q′′′ C q′′′ C − 12 = − r − 12 3k kr 3k kr

ww

et on intègre une deuxième fois pour obtenir la variation T(r): 2 C  q′′′  r Tr =  −  − 1 k  3k  2

 1  −  + C2  r

(1)

On utilise les conditions frontières (ou de symétrie) pour déterminer les constantes d’intégration C1 et C2

CF1:

CF2:

r=R

= −k

∂T ∂r

(2)

= h (Tr = R − TE ) r=R

et on remplace alors T par l’expression (2):

= −k

∂T ∂r

r=R

 q′′′  r 2  ∂  −  + C2   3k  2  = −k  ∂r

  q′′′  r 2    q′′′ 2r  q′′′ = − k − = R = h + C2  − TE    −     3 k 2  r=R 3 r=R   3k  2 

-pr

r =R

C1 = 0

à r=R, la chaleur qui arrive à la surface par conduction sort par convection :

qr"

qr"

o.c om

TDEX-3.10 ∂T à r=0 la température est finie, ou encore =0 ⇒ ∂r 2  q′′′  r T = −  + C2  3k  2

r=R

3a bk ari

2   q′′′  R 2  q′′′ q′′′  q′′′  R R = h−  + C2 − TE  ⇒ R+  + TE = C2 3  3k  2   3k  2  3h q′′′R q′′′R 2 ⇒ C2 = + + TE 3h 6k

En remplaçant C1 et C2 dans (1), l’expression de la variation de la température s’écrit alors :

q′′′R  q′′′  2 2 Tr =  − + TE  (r − R ) + 3h  6k 

(3)

b) Sans utiliser l'expression du profil obtenue en a) et par un raisonnement indépendant retrouver la température à la surface. Le bilan de chaleur sur la sphère en entier s’écrit :

Ein − Eout + E généré = Eaccumulé

ww w. al

Ein = 0

Eaccumulé = 0

Eout = 4π R 2 h (Tr = R − TE ) et

4 Egénéré = π R 3 q′′′ 3

4 ⇒ −4π R 2 h (Tr = R − TE ) + π R 3 q′′′ = 0 3 4  3  π R q′′′  3  = T + q′′′R Tr = R = TE +  2 ( 4π R h ) E 3h

Cette expression est identique à celle obtenue avec l’équation (3) lorsque r=R.

Ex-3.7

om

TDEX-3.11 Solutionnaire

Température de l'anse d'un chaudron

L'anse d'un chaudron est une tige métallique de 10 mm de rayon et de 0.5 m de longueur. Les deux 0 parties inférieures de l'anse sont soudées au chaudron qui est à une température de 90 C. Sachant que le 2 0 coefficient de transfert de chaleur avec l'air ambiant est de 35 W/(m .K) et que l'air est à 30 C, déterminer la température au milieu de l'anse si la tige est faite:

al3 ab ka ri-p ro. c

a) en cuivre, k=385 W/(m.K) b) en acier, k=44 W/(m.K)

(on pourra négliger la courbure de l'anse et le gradient radial de température) Hypothèses :

On néglige la courbure de l’anse et le problème à résoudre est celui de la variation dans une tige cylindrique de rayon R et de longueur L=0.5 m

Convection, h T∞

avec air à

∆x

x

o

x=L; T=Tp =90oC

x=0; T=Tp =90 C

T=T(x)

k=Constante

Volume de contrôle Bilan sur le volume de contrôle

Eg=0

régime permanent

∂ =0 ∂t

π R 2 ∆x

w.

Ce qui rentre(conduction) – Ce qui sort (conduction+convection à la surface de la tige)=0

ww

On divise par

π R 2 ∆x

π R 2 qx" x − π R 2 qx" et on fait tendre

∆x vers

x +∆x

− 2π R∆x h(Tx − T∞ ) = 0

πR q

" x x

2

− πR q

" x x +∆x 2

− 2π R∆x h(Tx − T∞ )

π R ∆x

q"x − qx" x

−

∆x q"x − qx"

∆x → 0

" x

2h (Tx − T∞ ) = 0 R ∂qx" =− ∂x

x

x +∆x

∆x

∂q 2 h − (Tx − T∞ ) = 0 ∂x R  ∂T ∂  −k x ∂T ∂x qx" = − k x ⇒ −  ∂x ∂x 2 ∂ Tx 2 h − (Tx − T∞ ) = 0 ∂x 2 kR −

=0

ari -pr o.c

lim

x +∆x

om

TDEX-3.12 2

  2h − (Tx − T∞ ) = 0 R (1)

Faisons le changement de variable suivant

∂θ ∂Tx ∂ 2θ ∂ 2T = ⇒ `2 = 2x ∂x ∂x ∂x ∂x 2h et posons m 2 = kR 2 ∂ Tx 2 h ∂ 2θ − ( T − T ) = 0 ⇔ − m2θ = 0 x ∞ ∂x 2 kR ∂x 2

ab k

θ = Tx − T∞ ⇒

(2)

L’équation différentielle (2) est une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients

al3

constants) dont le polynôme caractéristique (2) est donc :

r 2 − m 2 = 0 admet deux racines +m et –m La solution de

θ = (Tx − T∞ ) = C1e m x + C2e − m x

( S1)

Les constantes C1 et C2 sont obtenues en écrivant les conditions frontières :

à x = 0 Tx

x=0

= Tp

⇒ θ x =0 = (Tp − T∞ ) = θ p = C1e m 0 + C2 e − m 0

w.

⇒ C1 + C2 = θ p

ww

à x = L Tx

x=L

= Tp

(a) ⇒ θ x = L = (Tp − T∞ ) = θ p = C1e mL + C2 e − mL

⇒ C1emL + C2 e − mL = θ p

(b)

TDEX-3.13

w. al3 ab ka ri-p ro. co m

La résolution du système des deux équations a) et b) donne les expressions des constantes C1 et C2 :

C1 + C2 = θ p ⇒ C1 = θ p − C2

( S 2)

on remplace C1 dans b)

(θ

p

⇒

− C2 ) emL + C2 e− mL = θ p C2 =

θ p (1 − emL )

⇒ C2 (e − mL − e mL ) = θ p (1 − e mL )

( S 3)

(e − mL − emL )

Application numérique :

2

o

o

R=0.01 m, L=.05 m, h= 35 W/m .K T∞= 30 C; Tp= 90 C

o

C2= 53.638

C1= 6.361

au centre à z=L/2 T=66.9 C

k=44

C2= 58.890

C1= 0.109

au centre à z=L/2 T=35.1 C

ww

k=385

o

Ex-3.8

m

TDEX-3.14 Solutionnaire

Ailette circulaire

a)Hypothèses :

On néglige la variation de la température dans l’épaisseur (W) de l’ailette k=Constante

Eg=0

régime permanent

ri-p

T=T(r)

ro.

co

Une ailette circulaire d'épaisseur W et de rayon exterieur R2 est installée sur un tube de rayon externe R1 dont la surface est à la température T1. L'air environnant est à la température T4 et le coefficient de convection à la surface de l'ailette est h. a) Faites un bilan de chaleur sur un élement de volume approprié de l'ailette et obtenez l'équation différentielle que doit satisfaire la température de cette ailette. (remarque: on ne demande pas d'intégrer cette équation) b) Quelles sont les différentes conditions frontières possibles ? c) Si on appelle qC, les pertes de chaleur (en watts) au travers de cette ailette, donnez alors les expressions du rendement et de l'efficacité de l'ailette.

∂ =0 ∂t

2π r W ∆r

Volume de contrôle Bilan sur le volume de contrôle

ka

Ce qui rentre(conduction) – Ce qui sort (conduction+convection dessus et dessous)=0

2π r Wqr" − 2π rWqr" r

2π rWqr" − 2π rWqr" r

r qr" − rqr" r

lim ∆r → 0

ww w

−

− 2 [ 2π r ∆r h(Tr − T∞ ) ] = 0

∆r vers

.al 3a b

On divise par 2π W ∆r et on fait tendre

r +∆r

r +∆r

∆r

− 4π r ∆r h(Tr − T∞ )

2π W ∆r

−

∆r r qr" − r qr" r

r +∆r

2 hr (Tr − T∞ ) = 0 W r +∆r

∂rqr" =− ∂r

∂rqr" 2 hr − (Tr − T∞ ) = 0 ∂r W

=0

ri-p ro. co m

TDEX-3.15   ∂T ∂ ( r )  − k r ∂r ∂T ∂rq  qr" = − k r ⇒ − =−  ∂r ∂r ∂r " r

 ∂ 2Tr   ∂T kr  2  + k  r  ∂r  ∂r   ∂ 2Tr  2  ∂r

 1  ∂Tr +   r  ∂r

  

 ∂ 2T = k ( r )  2r  ∂r

  ∂ 2Tr  ∂Tr   ∂ ( r )  + k = kr    2    ∂r   ∂r    ∂r

 2 hr (Tr − T∞ ) = 0 −  W

 2h (Tr − T∞ ) = 0 −  kW

b) Conditions frontières : à r=R1 T=T1

à r=R2 une condition parmi les suivantes 1) densité de flux nulle

qr"

2) échange par convection :

= −k qr"

∂Tr ∂r

r = R2

=0

r = R2

= −k

∂Tr ∂r

= h(Tr = R2 − T∞ )

r = R2

Tr=R2 = T∞

ab ka

3) si R2 très grand

r = R2

c) 1) rendement = (perte réelle)/(perte si matériau infiniment conducteur) rendement = (perte réelle)/(perte si ailette à T uniforme = T1)

η=

qc 2 π ( R − R12 ) h (T1 − T∞ ) 2 2

ww w.

al3

2) efficacité= (perte réelle)/(perte sans ailette)

ε=

qc 2π R1Wh (T1 − T∞ )

  ∂Tr  +k   ∂r  

Ex-3.9

Profil de température dans une ailette fixée entre deux parois

Hypothèses : T=T(x)

ri-p ro. co m

TDEX-3.16 Solutionnaire

k=Constante

régime permanent

Volume de contrôle Bilan sur le volume de contrôle

∂ =0 ∂t

W t ∆x

Ce qui rentre(conduction) – Ce qui sort (conduction+convection dessus et dessous)=0

Wt q"x − Wtq"x

x +∆x

x

On divise par

− W ∆x hA (Tx − TA ) − W ∆x hB (Tx − TB ) = 0

Wt ∆x et on fait tendre ∆x vers Wt q"x − Wtq"x

x +∆x

x

− W ∆x hA (Tx − TA ) − W ∆x hB (Tx − TB ) Wt ∆x

q"x − q"x

x +∆x

−

hA h (Tx − TA ) − B (Tx − TB ) = 0 t t

ab ka

x

=0

lim

∆x q"x − qx" x

∆x → 0

∆x

x +∆x

=−

∂q"x ∂x

" x

∂q hA + hB (h T + h T ) − Tx + A A B B = 0 ∂x t t  ∂T  ∂  −k x  ∂T (h T + h T ) ∂x  hA + hB qx" = −k x ⇒ −  − Tx + A A B B = 0 ∂x ∂x t t 2 ∂ Tx  hA + hB (h T + h T )  − Tx − A A B B  = 0 (1) 2 ∂x kt  kt 

al3

−

ww w.

Faisons le changement de variable suivant

h + h  avec α =  A B  et  kt 

U = α Tx − β

∂T ∂U =α x ∂x ∂x

⇒

∂ 2Tx ∂ 2U α = ∂x`2 ∂x 2

⇒

 hATA + hBTB   ( S1) kt

β = 

∂ 2Tx 1 ∂ 2U = ∂x 2 α ∂x`2

TDEX-3.17 1 ∂ 2U −U = 0 α ∂x 2

(2) ⇔

om

L’équation (1) s’écrit donc :

∂ 2U − αU = 0 ∂x 2

L’équation différentielle (2) est une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients

r 2 − α = 0 admet deux racines

α et − α

al3 ab ka ri-p ro. c

constants) dont le polynôme caractéristique est donc :

U = C1e

αx

+ C2 e −

αx

. La solution de (2)

( S 2)

Les constantes C1 et C2 sont obtenues en écrivant les conditions frontières :

à x = 0 Tx

x=0

⇒ U x = 0 = (α Tp − β ) = C1e

= Tp

⇒ C1 + C2 = U p

à x = L Tx

⇒ C1e

αL

x=L

(a)

αL

+ C2 e −

=Up

α0

U p = (α Tp − β ) ( S 3)

⇒ U x = L = (α Tp − β ) = U p = C1e

= Tp

+ C2 e −

avec

α0

αL

+ C2 e −

αL

(b)

La résolution du système des deux équations a) et b) donne les expressions des constantes C1 et C2 :

C1 + C2 = U p ⇒

C1 = U p − C2 ( S 4)

on remplace C1 dans b)

(U

p

ww

w.

⇒

− C2 ) e C2 =

αL

+ C2 e −

U p (1 − e

(e

− αL

−e

αL

αL

)

αL

)

=Up

( S 5)

⇒ C2 ( e −

αL

−e

αL

) = U p (1 − e

αL

)

m

TDEX-3.18 Solutionnaire : Travaux dirigés No 3 I)

Profil dans un mur de béton ( 6 pts)

ro. co

Un mur de béton (épaisseur b, largeur W, hauteur L, conductivité k ) sépare une pièce à la température TINT , de l’extérieur dont la température est T EXT . Les coefficients de transfert de chaleur sur les faces intérieure et extérieure de ce mur sont respectivement hINT et hEXT

I.1 Faites un bilan de chaleur sur un volume de contrôle pertinent et obtenez l’équation différentielle que doit vérifier la température dans le mur (on négligera les effets de bouts) (2 pts)

T=T(x)

∂ =0 ∂t

al3 ab ka ri-p

1) Hypothèses : k=Constante

régime permanent

2) Volume de contrôle 3) Bilan sur le volume de contrôle

A ∆x

Ce qui rentre – Ce qui sort + Ce qui est généré = Ce qui s’accumule Ce qui rentre – Ce qui sort =0

A q"x − Aqx" x

On divise par

A∆x et on fait tendre ∆x vers 0 A q"x − Aqx" x

lim ∆x → 0

x +∆x

A∆x q"x − qx" x

=

x +∆x

∆x

x +∆x

=0

qx" − qx" x

x +∆x

∆x

=−

=0

∂q"x =0 ∂x

On intègre une première fois :

∂q"x − = 0 ⇒ q"x = C1′ ∂x

On utilise la loi de Fourier

q"x = − k

w.

Et on intègre une deuxième fois :

∂T C′ =− 1 ∂x k

∂T = C1′ ∂x

 C′  ⇒ Tx =  − 1  x + C2  k   

⇒ Tx = C1 x + C2

ww

Les constantes d’intégration C’1 et C2 sont obtenues en écrivant les conditions frontières CF1 :

à x = 0 ⇒ q"x

x=0

 ∂T  = hINT ( TINT − Tx =0 ) =  − k  ∂x  x = 0 

CF2 :

à x = b ⇒ q"x

x =b

 ∂T  =  −k  ∂x  x =b 

-pr o.c om

TDEX-3.19 = hEXT (Tx =b − TEXT )

 ∂T  à x = 0 = hINT (TINT − Tx = 0 ) = hINT (TINT − [ C1 0 + C2 ]) = hINT (TINT − C2 ) =  − k  = − kC1 ∂x  x =0  k hINT (TINT − C2 ) = − kC1 ⇒ C2 = TINT + C1 hINT à x = b ⇒ hEXT (Tx =b − TEXT ) = hEXT ([C1b + C2 ] − TEXT ) = − kC1

   k k k hEXT  C1b + TINT + C1 − TEXT  = − kC1 ⇒ C1  b + + hINT hINT hEXT    (TEXT − TINT ) C1 =  k k  + b +  hINT hEXT  

Stockage d’air liquide dans un réservoir sphérique (6 pts)

ab ka ri

II)

  = (TINT − TEXT ) 

Un réservoir sphérique de rayon r1=1.5 m, contient de l’air liquide. Le réservoir est isolé par une épaisseur de 0.05 m d'un matériau isolant de conductivité k=0.05 W/(m.K). On peut supposer que la paroi externe du réservoir reste à température constante T1=80 K. A la surface de l'isolant, il y a échange par convection avec l'air ambiant à la température T∞=283 K et le coefficient de convection h est égal à 18 2 W/(m .K).

Rconduction = sphèrecreuse

1 1 1  −  4π k  r1 r2 

Rconduction = 3.42 ×10 sphèrecreuse

sur une sphère

−2

Rconvection

∆T∞− 2 = Rconvection q

1 4π h r22

= 1.84 ×10−3

RTOTALE

= 3.606 ×10−2

sur une sphère

⇒ q=

∆T

RTOTALE

al3

∆T∞−1 = RTOTALE q

=

Rconvection

⇒

=

(T∞ − T1 ) = ( 283 − 80 ) RTOTALE

3.606 ×10−2

= 5629.5 W

(T∞ − T2 ) = 1.84 ×10−3 × 5629.5 = 10.35 = ( 283 − T2 )

T2 = 283 − 10.35 = 272.6 K

ww w.

À 272.6 K l’eau gèle, il y aura donc condensation de la vapeur d’eau sur la surface du réservoir puis congélation, le réservoir va devenir un gros glaçon : l’épaisseur est insuffisante !

III)

Température d’un fil électrique ( 3 pts)

Un fil électrique de 1 mm de diamètre est dénudé sur une longueur de 1 m. Calculer la température de ce fil (température qu’on supposera uniforme), sachant que la puissance générée par o effet joule est de 1.5 watt/m, que la température de l’air est de 20 C et que le coefficient de transfert 2 de chaleur à la surface du fil avec l’air environnant vaut 12. W/m .C.

Ein − Eout + Egénéré = Eaccumulé

mais

Eout = π DLh (Tr = R − Tair ) et

Egénéré = 1.5 W

π DLh (Tr = R − Tair ) = 1.5 ⇒ Tr = R = Tair +

IV)

ro. co m

TDEX-3.20

Bilan macroscopique sur le fil :

Ein = 0

Eaccumulé = 0

1.5 = 20 + 39.79 = 59.79o C π × 0.001× 1× 12

Cocher la bonne réponse:

Quiz (2 pts)

Pour la construction d’une ailette, il est préférable d’utiliser un matériau qui à un faible conductivité. VRAI
FAUX


•

Dans une ailette, l’augmentation de la conductivité favorise la diminution du gradient de la température. VRAI
FAUX


•

Dans un bilan de chaleur associé à un problème de conduction, si il y a un terme de génération de chaleur alors le terme d’accumulation est non nul. VRAI
FAUX


•

À l’interface entre deux solides, plus la résistance de contact est faible, plus la différence entre les températures de ces deux surfaces est grande. VRAI
FAUX


V) pts)

ari -p

•

Ailette en forme de cylindre creux (8

3a

bk

Une ailette, de longueur L, a la forme d'un cylindre creux. Sa base est fixée sur une paroi à la température Tp. La face intérieure du cylindre est refroidie par de l’air à la température T1 avec un coefficient de convection h1 alors que la face extérieure est refroidie avec un air à la température T2 avec un coefficient de convection h2.

w. al

On supposera que le flux de chaleur axial à x=L sur l’extrémité de l’ailette est négligeable. a) Faites un bilan de chaleur sur un élément de volume approprié de l'ailette et obtenez l'équation différentielle que doit satisfaire la température de cette ailette. (4.5 pts) b) Quelles sont les conditions frontières ? (1 pt) c)Obtenez l’expression du profil de température. (2.5 pts)

ww

T=T(x)

k=Constante

Volume de contrôle

Eg=0

régime permanent

π ( r2 2 − r12 ) ∆x = s ∆x

∂ =0 ∂t

TDEX-3.21

m

Bilan sur le volume de contrôle

s qx" − sqx" x

s qx" − sqx" x

− 2π r1∆x h1 (Tx − T1 ) − 2π r2 ∆x h2 (Tx − T2 ) = 0

s∆x et on fait tendre ∆x vers x +∆x

ro.

On divise par

x +∆x

co

Ce qui rentre(conduction) – Ce qui sort (conduction+convection à la surface de la tige)=0

− 2π r1∆x h1 (Tx − T1 ) − 2π r2 ∆x h2 (Tx − T2 ) s ∆x

qx" − qx"

=0

qx" − qx" 2π r1 h1 (Tx − T1 ) + 2π r2 h2 (Tx − T2 ) ∂q" x +∆x − =0 lim x =− x δ x →0 ∆x s ∆x ∂x  ∂T  ∂  −k x  " ∂Tx ∂qx ∂ 2Tx ∂ 2Tx 2π r1 h1 (Tx − T1 ) + 2π r2 h2 (Tx − T2 ) ∂x   " qx = −k ⇒− =− =k 2 ⇒ 2 − =0 ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ks x +∆x

ri-p

x

ka

 2π r h + 2π r2 h2   2π r1 h1T1 + 2π r2 h2T2  ∂ 2Tx − Tx  1 1  +  = 0 (1) 2 ∂x ks ks      2π r h + 2π r2 h2   2π r1 h1T1 + 2π r2 h2T2  2 posons U = Tx  1 1 −  = α Tx − β ks ks   
  
 α2 2

2

2

β

2

.al 3a b

∂T ∂T ∂U 1 ∂U = α 2 2x ⇒ 2x = 2 2 2 α ∂x ∂x ∂x ∂x 2 1 ∂U ∂ 2U (1) ⇔ − U = 0 ⇔ − α 2U = 0 (2) α 2 ∂x 2 ∂x 2

⇒

L’équation différentielle (2) est une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants) dont le polynôme caractéristique (2) est donc :

r 2 − α 2 = 0 admet deux racines +α et −α La solution de

U = α 2Tx − β = C1eα x + C2 e −α x

( S1)

Les constantes C1 et C2 sont obtenues en écrivant les conditions frontières:

à x = 0 Tx

x=0

= Tp

ww w

⇒ C1 + C2 = U p

⇒ U x = 0 = α 2Tx =0 − β = α 2Tp − β = U p = C1eα 0 + C2 e −α 0 (a)

à x = L le flux est négligeable qx" = − k

⇒

∂U ∂x

∂Tx ∂T ∂U =0⇒ x =0⇒ =0 ∂x ∂x ∂x

= α C1eα L − α C2 e −α L = 0 (b) x=L

on remplace C1 dans b)

α (U p − C2 ) eα L − α C2 e−α L = 0 C2 =

(e

αL

+e

−α L

)

⇒ C2 ( eα L + e−α L ) = U p eα L

avec U p = α 2Tp − β

ww

w. al3

ab ka ri

⇒

U p eα L

-pr o.c o

C1 + C2 = U p ⇒ C1 = U p − C2

TDEX-3.22

m

On résout le système de 2 équations a) et b) à 2 inconnues C1 et C2

ro. co m

TDEX-4.1 Travaux dirigés et exercices du chapitre 4 Conduction stationnaire en deux dimensions Exercices Ex-4.1 Convention des flux entrants

En utilisant la convention des flux entrants (page 4.6), retrouver par bilan les équations pour les 3 géométies ci-dessous (on appellera L la profondeur des pièces et on a )x=)y)

a) Convection dans un coin intérieur:

h∆x h∆x )T m,n = 0 T ∞ - 2(3+ k k

al3 ab ka ri-p

2( T m-1,n + T m,n+1 )+( T m+1,n + T m,n-1 )+ 2

b) Convection sur la surface:

(2T m-1,n + T m,n+1 + T m,n-1 )+ 2

h∆x h∆x + 2)T m,n = 0 T ∞ - 2( k k

c) Convection sur un coin extérieur:

h∆x h∆x +1)T m,n = 0 T ∞ - 2( k k

ww w.

( T m-1,n + T m,n-1 )+ 2

m

TDEX-4.2 Solutionnaire 4.1a :

.co

Autour du nœud Tm,n, le volume de contrôle pertinent est :

On identifie les 6 faces au travers des quelles il y aura un flux entrant dans ce volume et dont les expressions sont les suivantes :

 ∆x  (Tm,n −1 − Tm, n ) q1 =  L k ∆x  2  (Tm,n+1 − Tm,n ) q3 = ( ∆x L ) k ∆x  ∆x  q5 =  L  h (T∞ − Tm ,n )  2 

-pr o

3 ∆x ∆x L 4

bk

ari

q2 = ( ∆x L ) k

(T

m −1, n

− Tm ,n )

∆x

 ∆x  (Tm +1,n − Tm ,n ) q4 =  L k ∆x  2   ∆x  q6 =  L  h (T∞ − Tm ,n )  2 

6

Le bilan s’écrit :

∑q

i

=0

.al 3a

i =1

L L k (Tm ,n −1 − Tm ,n ) + L k (Tm −1,n − Tm ,n ) + L k (Tm ,n +1 − Tm ,n ) + k (Tm +1, n − Tm ,n ) 2 2  ∆x   ∆x  + L  h (T∞ − Tm ,n ) +  L  h (T∞ − Tm ,n ) = 0  2   2 

ww w

k (Tm ,n −1 − Tm ,n ) + 2 k (Tm −1, n − Tm ,n ) + 2 k (Tm ,n +1 − Tm ,n ) + k (Tm +1, n − Tm ,n ) + 2∆x h (T∞ − Tm, n ) = 0

⇒ 2 (Tm −1,n + Tm ,n +1 ) + (Tm ,n −1 + Tm +1, n ) +

2 ∆x h  ∆x h  T∞ − 2  + 3  Tm ,n = 0 k  k 

m

TDEX-4.3 Solutionnaire 4.1b :

1 ∆x ∆x L 2 On identifie les 4 faces au travers des quelles il y aura un flux entrant dans ce volume et dont les expressions sont les suivantes :

 ∆x  (Tm, n −1 − Tm ,n ) q2 =  L k ∆x  2  (Tm−1,n − Tm,n ) q3 = ( ∆x L ) k ∆x  ∆x  (Tm ,n +1 − Tm ,n ) q4 =  L k ∆x  2  4

Le bilan s’écrit :

ari

-pr o

q1 = ( ∆x L ) h (T∞ − Tm, n )

.co

Autour du nœud Tm,n, le volume de contrôle pertinent est :

∑q

i

=0

bk

i =1

(Tm−1,n − Tm,n ) +  ∆x L  k (Tm,n+1 − Tm,n ) = 0 ∆x  (Tm ,n −1 − Tm ,n ) L k + ( ∆x L ) k   ∆x ∆x ∆x  2   2  1 1 ∆x h (T∞ − Tm ,n ) + k (Tm ,n −1 − Tm ,n ) + k (Tm −1,n − Tm ,n ) + k (Tm ,n +1 − Tm ,n ) = 0 2 2 2∆x h (T∞ − Tm,n ) + (Tm,n−1 − Tm,n ) + 2 (Tm−1,n − Tm,n ) + (Tm,n+1 − Tm,n ) = 0 k ( 2Tm−1,n + Tm,n−1 + Tm,n+1 ) + 2∆kx h T∞ − 2  ∆xk h + 2  Tm,n = 0  

ww w

.al 3a

( ∆x L ) h (T∞ − Tm,n ) + 

ro. co m

TDEX-4.4 Solutionnaire 4.1c :

Autour du nœud Tm,n, le volume de contrôle pertinent est :

1 ∆x ∆x L 4 On identifie les 4 faces au travers des quelles il y aura un flux entrant dans ce volume et dont les expressions sont les suivantes :

al3 ab ka ri-p

 ∆x L  q1 =   h (T∞ − Tm ,n )  2   ∆x  (Tm, n −1 − Tm ,n ) q2 =  L k ∆x  2   ∆x L  (Tm −1,n − Tm ,n ) q3 =  k ∆x  2   ∆x L  q4 =   h (T∞ − Tm ,n )  2 

4

Le bilan s’écrit :

∑q

i

=0

i =1

ww w.

 ∆x L   ∆x  (Tm ,n −1 − Tm ,n )  ∆x L  (Tm −1, n − Tm ,n )  ∆x L  L k + +   h (T∞ − Tm ,n ) +  k  h (T∞ − Tm ,n ) ∆x ∆x  2   2   2   2  2∆xh (T∞ − Tm,n ) + (Tm,n−1 − Tm,n ) + (Tm−1,n − Tm,n ) = 0 k  + 1 Tm ,n = 0 (Tm,n−1 + Tm−1,n ) + 2∆kxh T∞ − 2  ∆xh  k 

m

TDEX-4.5 Ex-4.2 : Exemple de résolution d==un problème de conduction 2D par différences finies (exemple de résolution par la méthode de Gauss-Seidel avec Excel)

co

La chambre d=un four industriel comporte une colonne de brique de conductivité k=1 w/m.K et de section carré de 1 m de côté. Trois faces de cette colonne sont soumises à une température de 500 K alors que la dernière est soumise à la convection avec l=air environnant à la température de 300 K et le coefficient h vaut 10 2 W/m .K (on appellera H la hauteur de cette colonne)

ro.

En utilisant un maillage de 0.25 m, déterminer le profil de température dans la colonne. a) On remarque que le problème présente une symétrie et il suffit de le résoudre sur la moitié de la colonne. Ci-dessous, on définit donc 8 nœuds et le plan qui passe par les points 2-8 correspond au plan de symétrie.

ri-p

b) Les nœuds sur les 3 faces de la colonne sont à la température TS=500 K (et ne seront pas identifiés par un numéro, on utilisera TS). 2

h=10W/m .K K

5

.al 3a b

TS =500 K

8

7

6

5

ka

7

Tair = 300

TS =500 K

3

4

3

1

2

1

TS =500 K

ww w

Rappel :dans un bilan de chaleur, si une face délimitant le volume de contrôle correspond à un plan de symétrie alors le flux au travers de ce plan est nul.

c) Bilan sur les nœuds 1 à 8. Pour ce faire, on utilise un autre maillage décalé d’une demi-maille permettant de définir les volumes de contrôle pertinent autour de chaque nœud (voir pointillé cidessous)

m

TDEX-4.6 - Pour les nœuds 1-3-5, le volume est :

∆x ∆x H

co

- Pour les nœuds 2-4-6-7, le volume est :

∆x ∆x H 2 ∆x ∆x H 2 2

ri-p

Pour chaque nœud, on fait le bilan de chaleur en utilisant la convention des flux entrants.

ro.

- Pour le nœud 8, le volume est :

ka

Nous allons détailler le bilan uniquement pour un nœud, le no 4. Au travers des faces a,b,c il y a apport de chaleur par conduction alors qu’au travers de la face d le flux est nul puisque il s’agit d’un plan de symétrie.

.al 3a b

 ∆x  T2 − T4 qa =  Hk ∆x  2  T −T qb = ( ∆x H ) k 3 4 ∆x  ∆x  T6 − T4 qc =  Hk ∆x  2  qd = 0 qa + qb + qc = 0

ww w

T − T  ∆x  ∆x  T −T  T −T ⇒ H  k 2 4 + ( ∆x H ) k 3 4 +  H  k 6 4 =0 ∆x ∆x ∆x  2   2  T −T T2 − T4 + T3 − T4 + 6 4 = 0 ⇒ T2 − T4 + 2T3 − 2T4 + T6 − T4 = 0 2 2 pour le noeud 4 : T2 + 2 T3 + T6 − 4 T4 = 0

(faites par vous-même les bilans sur tous les autres nœuds)

T2 + T3 + 1000 − 4 T1 = 0

pour le noeud 3 :

T1 + T4 + T5 + 500 − 4 T3 = 0

pour le noeud 5 : pour le noeud 2 :

T3 + T6 + T7 + 500 − 4 T5 = 0 2T1 + T4 + 500 − 4 T2 = 0

pour le noeud 4 :

T2 + 2T3 + T6 − 4 T4 = 0

pour le noeud 6 : pour le noeud 7 :

T4 + 2T5 + T8 − 4 T6 = 0 2T5 + T8 + 2000 − 9 T7 = 0

pour le noeud 8 :

2T6 + 2T7 + 1500 − 9 T8 = 0

-pr o.c o

pour le noeud 1:

TDEX-4.7

m

Les équations pour les 8 nœuds sont donc les suivantes:

Ces équations nous permettent d=exprimer les températures en chaque nœud :

T2 + T3 + 1000 4 T + T + T + 500 T5 = 3 6 7 4

2T1 + T4 + 500 4 T + 2T5 + T8 T6 = 4 4

T2 =

T1 + T4 + T5 + 500 4 2T + T + 2000 T7 = 5 8 9 T3 =

ab ka ri

T1 =

T2 + 2T3 + T6 4 2T + 2T7 + 1500 T8 = 6 9

T4 =

d) Pour résoudre ce système avec la méthode de Gauss-Seidel, nous allons utiliser Excel et son outil Solveur (voir ci-dessous et récupérer la feuille Excel sur le site du cours). La procédure est la suivante :

- dans la colonne B, écrire le nom de chacun des noeuds (TC1, TC2 …TC8) - dans la colonne C, nous rentrons un estimé des températures des 8 nœuds (par exemple 450 K)

w. al3

- pour chaque cellule de C, nous définissons un nom de variable (TC1, TC2 …TC8) commandes Excel : se placer sur une cellule puis Insertion-Nom-Definir. ps par défaut le nom apparaissant dans la cellule à gauche est retenu. -dans la colonne C, pour chaque nœud écrire (sous forme litérale) l’équation correspondante.

ww

dans la colonne E nous calculons le carré de la différence entre la valeur estimée (colonne C) et la valeur calculée (colonne D). La somme de ces carrés est faite dans la cellule E17.

TDEX-4.8

m

Se placer sur la cellule E17 et choisir le Solveur dans la rubrique Outils.

ww

w. al3

ab ka ri

-pr o.c o

Si cette fonctionalité n’apparait pas choisir alors l’onglet Macros complémentaires et installer le Solveur

Se placer sur la cellule E17, choisir le Solveur et dans la fenêtre Paramètres du solveur indiquer au Solveur que les valeurs estimées des températures (C8C15) sont les cellules à faire varier afin de minimiser la somme de la cellule E17. Le Solveur va faire des itérations sur les valeurs des températures estimées jusqu’à avoir T estimée= Tcalculée. Cliquer Résoudre

TDEX-4.9

ab ka

ri-p ro. co m

Après optimisation, on trouve:

d) Sur le volume en pointillé faites un bilan macroscopique (pour 1 m de hauteur de colonne) et vérifier que la chaleur entrant par conduction est égale à celle sortant par convection: - échange par convection avec l=air: out qconvection = 1 ∆x h (T7 − Tair ) + 1

∆x h (T8 − Tair ) 2

al3

(réponse 191.3 W pour 1m)

ww w.

-apport d’énergie par conduction

in qconduction =k

(TS − T1 ) + k ∆x (TS − T1 ) + k ∆x (TS − T3 ) + k ∆x (TS − T5 ) + k ∆x  TS − T7  ∆x  TS − T2    + k ∆x   2  ∆x  ∆x ∆x ∆x ∆x 2  ∆x 

= k [5TS − 2T1 − T3 − T5 − 0.5T2 − 0.5T7 ]

(réponse :191.31 W / m)

ro. co m

ari -p

ab k

al3

w.

ww

ro. co m

TDEX- 5.1 Travaux dirigés et exercices du chapitre 5 Ex-5.1 (S) Conduction en transitoire

Une plaque métallique rectangulaire (largeur W, longueur L, épaisseur b) de conductivité k, est initialement à une température uniforme To. Soudain ses deux faces sont mises en contact avec deux fluides ayant des températures T1 et T2 et les coefficients de transfert de chaleur sur les faces sont respectivement h1 et h2. Quelle est l'expression de la température au centre de la plaque en fonction du temps? On supposera: (h1 b/k)