Taschenbuch für den Maschinenbau 9783540681915, 3540681914 [PDF]

Zitiervorschau

Dubbel
Taschenbuch fr den Maschinenbau

Zweiundzwanzigste, neubearbeitete und erweiterte Auflage Herausgegeben von

K.-H. Grote und J. Feldhusen

Mit mehr als 3000 Abbildungen und Tabellen

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Herausgeber Professor Dr.-Ing. Karl-Heinrich Grote Otto-von-Guericke-Universit
t Magdeburg Professor Dr.-Ing. J
rg Feldhusen Rheinisch-Westf
lische Technische Hochschule Aachen

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ISBN 978-3-540-49714-1 22. Aufl. Springer Berlin Heidelberg New York ISBN 978-3-540-22142-5 21. Aufl. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York Dieses Werk ist urheberrechtlich geschtzt. Die dadurch begrndeten Rechte, insbesondere die der bersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielf
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ltigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zul
ssig. Sie ist grunds
tzlich vergtungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Springer ist ein Unternehmen von Springer Science + Business Media springer.de  Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1929, 1935, 1940, 1941, 1943, 1953, 1961, 1970, 1974, 1981, 1983, 1986, 1987, 1990, 1995, 1997, 2001, 2005, 2007 Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, daß solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten w
ren und daher von jedermann benutzt werden drften. Sollte in diesem Werk direkt oder indirekt auf Gesetze, Vorschriften oder Richtlinien (z.B. DIN, VDI, VDE) Bezug genommen oder aus ihnen zitiert worden sein, so kann der Verlag keine Gew
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ndigkeit oder Aktualit
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ndigen Vorschriften oder Richtlinien in der jeweils gltigen Fassung hinzuzuziehen. Einbandgestaltung: eStudio Calamar S.L., F. Steinen-Broo, Girona, Spanien Herstellung: Claudia Rau, LE-TeX Jelonek, Schmidt & Vckler GbR, Leipzig Satz: CMS, Wrzburg Druck und Verarbeitung: Strtz GmbH, Wrzburg Anzeigen: Odette Thomßen Springer, Heidelberger Platz 3, 14197 Berlin Tel. 030/8 27 87-52 02, Fax 030/8 27 87-53 00, e-mail: [email protected] Gedruckt auf s
urefreiem Papier

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Mitarbeiter der 22. Auflage Anderl, R., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Darmstadt Berger, C., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Darmstadt Bohnet, M., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Braunschweig Brecher, C., Dr.-Ing., Prof., Rheinisch-Westf
lische Technische Hochschule Aachen Bruns, R., Dr.-Ing., Prof., Universit
t der Bundeswehr, Hamburg Burr, A., Dr.-Ing., Prof., Hochschule Heilbronn B
ttgenbach, S., Dr. rer. nat., Prof., Technische Universit
t Braunschweig Corves, B., Dr.-Ing., Prof., Rheinisch-Westf
lische Technische Hochschule Aachen Czichos, H., Dr.-Ing. Dr. h.c., Prof., Bundesanstalt fr Materialforschung und -prfung (BAM), Berlin Daum, W., Dr.-Ing., Prof., Bundesanstalt fr Materialforschung und -prfung (BAM), Berlin Denkena, B., Dr.-Ing., Prof., Leibniz Universit
t Hannover Deters, L., Dr.-Ing., Prof., Otto-von-Guericke-Universit
t Magdeburg Dietz, P., Dr.-Ing., Dr. h.c., Prof., Technische Universit
t Clausthal Dorn, L., Dr.-Ing. Dr. h.c., Prof., Technische Universit
t Berlin Feldhusen, J., Dr.-Ing., Prof., Rheinisch-Westf
lische Technische Hochschule Aachen Feldmann, D.G., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Hamburg-Harburg Fischer, C., Dipl.-Ing., Vattenfall, Berlin Gelbe, H., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Berlin Gevatter, H.-J. y, Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Berlin Gold, P.W., Dr.-Ing., Prof., Rheinisch-Westf
lische Technische Hochschule Aachen Goldhahn, H., Dr.-Ing. habil., Prof., Technische Universit
t Dresden Grabowski, H., Dr.-Ing., Dr. h.c., Prof. E.h., Prof., Universit
t Karlsruhe Grote, K.-H., Dr.-Ing., Prof., Otto-von-Guericke-Universit
t Magdeburg Gr
nhaupt, U., Dr.-Ing., Prof., Hochschule Karlsruhe Gugau, M., Dr.-Ing., Technische Universit
t Darmstadt G
nthner, W.A., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Mnchen Habig, K.-H., Dr.-Ing., Prof., Bundesanstalt fr Materialforschung und -prfung (BAM), Berlin Hainbach, C., Dr.-Ing., Institut fr K
lte-, Klima-, und Energietechnik (IKET) GmbH, Essen Harsch, G., Dipl.-Ing., Prof., Hochschule Heilbronn Hecht, M., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Berlin Hempel, D.C., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Braunschweig Herfurth, K., Dr.-Ing. habil., Prof., TU Chemnitz und Verein Deutscher Gießereifachleute (VDG) Hofmann, W., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Chemnitz Hhn, B.-R., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Mnchen Hlz, H., Dipl.-Ing., Prof., Technische Universit
t Berlin ten Hompel, M., Dr.-Ing., Prof., Universit
t Dortmund Kerle, H., Dr.-Ing., Technische Universit
t Braunschweig Kessler, F., Dr.-Ing., Prof., Montanuniversit
t Leoben Kiesewetter, L., Dr.-Ing., Prof., Brandenburgische Technische Universit
t Cottbus Krmer, E., Dipl.-Ing., ABB Kraftwerke AG, Baden/Schweiz Krause, F., Dr.-Ing., Prof., Otto-von-Guericke-Universit
t Magdeburg Kunze, G., Dr.-Ing., Prof. habil., Technische Universit
t Dresden Lackmann, J., Dr.-Ing., Prof., Technische Fachhochschule Berlin Lehr, H., Dr. rer. nat., Prof., Technische Universit
t Berlin L
dtke, K., Dipl.-Ing., MAN Turbo AG, Oberhausen/Berlin Mareske, A., Dr.-Ing., Vattenfall, Berlin

VI

Autoren

Majschak, J.-P., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Dresden Marquardt, H.-G., Dr.-Ing. habil., Prof., Technische Universit
t Dresden Mersmann, A., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Mnchen Mertens, H., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Berlin Mollenhauer, K., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Berlin M
rl, L., Dr.-Ing., Prof., Otto-von-Guericke-Universit
t Magdeburg Motz, H.D., Dr. rer. sec., Dipl.-Ing., Prof., Bergische Universit
t Wuppertal Nordmann, R., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Darmstadt Orloff, M., Dr. Dr. sc. techn., Prof., Modern TRIZ Academy Deutschland, Berlin Overmeyer, L., Dr.-Ing., Prof., Universit
t Hannover Pahl, G., Dr.-Ing. Dr. h.c. Dr.-Ing. E.h., Prof., Technische Universit
t Darmstadt Poll, G., Dr.-Ing., Prof., Universit
t Hannover Poppy, W., Dr.-Ing., Prof., Otto-von-Guericke-Universit
t Magdeburg Pritschow, G., Dr.-Ing. Dr. h.c. mult., Prof., Universit
t Stuttgart Pucher, H., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Berlin Rkczy, T., Dr.-Ing., Prof., Brandi-IGH Ingenieure GmbH, Kln Reinhardt, H., Dr.-Ing. habil., Prof., Fachhochschule Kln Ruge, P., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Dresden Schdlich, S., Dr.-Ing., Informationszentrum Hochschulgruppe Ruhr e.V., Essen Scholten, J., Dr.-Ing., Jun. Prof., Ruhr-Universit
t Bochum Schrmann, H., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Darmstadt Schwedes, J., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Braunschweig Seidel-Morgenstern, A., Dr.-Ing., Prof., Otto-von-Guericke-Universit
t Magdeburg Seiffert, U., Dr.-Ing., Prof., WiTech Engineering GmbH, Braunschweig Seliger, G., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Berlin Siegert, K., Dr.-Ing. Dr. h.c., Prof., Universit
t Stuttgart Siekmann, H.E., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Berlin Spur, G., Dr. h.c. mult. Dr.-Ing. Dr.-Ing. E.h., Prof., Technische Universit
t Berlin Stephan, K., Dr.-Ing., Dr.-Ing. E.h., Prof., Universit
t Stuttgart Stephan, P., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Darmstadt Stiebler, M., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Berlin Stoff, H., Dr. s. sc. techn. (EPFL), Prof., Ruhr-Universit
t Bochum Thamsen, P.U., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Berlin T
nshoff, H.K., Dr.-Ing. Dr.-Ing. E.h. mult., Prof., Leibniz Universit
t Hannover Tsch
ke, H., Dr.-Ing., Prof., Otto-von-Guericke-Universit
t Magdeburg Uhlmann, E., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Berlin Voit-Nitschmann, R., Dipl.-Ing., Prof., Universit
t Stuttgart Wagner, G., Dr.-Ing., Prof., Ruhr-Universit
t Bochum Weck, M., Dr.-Ing. Dr.-Ing. E.h., Dr.-Ing. E.h., Prof., Rheinisch-Westf
lische Technische Hochschule Aachen Wehking, K.-H., Dr.-Ing., Prof., Universit
t Stuttgart Westkmper, E., Dr.-Ing. Dr.-Ing. E.h. Dr. h.c. mult., Prof., Universit
t Stuttgart Wohlfahrt, H., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Braunschweig Ziegmann, G., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Clausthal-Zellerfeld Wegen der durch die Hochschulgesetzgebung der Bundesl
nder vorliegenden unterschiedlichen Regelungen zur Titelgebung werden die Professorentitel der Autoren undifferenziert angegeben. Die Mitarbeiter von zurckliegenden Auflagen des DUBBEL (ab der 14. Auflage) sind auf den Folgeseiten genannt. Damit werden diese Autoren gewrdigt und deren Beitr
ge, die fr die vorliegende und fr vorherige Auflagen kontinuierlich auch durch neue Autoren weiterentwickelt wurden. Da die kontinuierlich weiterhin erfolgenden Ehrungen der Mitarbeiter der bisherigen Auflagen den Herausgebern nicht umfassend bekannt sind bzw. angezeigt werden, wurden alle verliehenen Ehrentitel hier einheitlich weggelassen.

Mitarbeiter der 14. bis 21. Auflage Mitarbeiter

mitgearbeitet bei Auflage

Anderl, R., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Darmstadt Behr, B., Dipl.-Ing., Rheinisch-Westf
lische Technische Hochschule Aachen Beitz, W.,y Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Berlin 14 Berger, C., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Darmstadt Blaich, M., Dipl.-Ing., Stuttgart 14 Bohnet, M., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Braunschweig Bothe, A., Dr., Prof., Fachhochschule Gelsenkirchen Bttcher, C., Dipl.-Ing., Brandi Ingenieure GmbH bzw. IWS Ing. Consult, Kln 14 Bretthauer, K., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Clausthal 14 Brockmann, H.-J., Dr.-Ing., Prof., Technische Fachhochschule Berlin 14 Bruns, R., Dr.-Ing., Prof., Universit
t der Bundeswehr, Hamburg Burr, A., Dr.-Ing., Prof., Hochschule Heilbronn Busse, L., Dr.-Ing., ASEA Brown Boveri, Mannheim Czichos, H., Dr.-Ing., Prof., Bundesanstalt fr Materialforschung und -prfung (BAM), Berlin Daum, W., Dr.-Ing., Prof., Bundesanstalt fr Materialforschung und -prfung (BAM), Berlin Dannenmann, E., Dipl.-Ing., Universit
t Stuttgart 14 Denkena, B., Dr.-Ing., Prof., Leibniz Universit
t Hannover Deters, L., Dr.-Ing., Prof., Otto-von-Guericke-Universit
t, Magdeburg Dibelius, G., Dr.-Ing., Prof., Rheinisch-Westf
lische Technische Hochschule Aachen 14 Diehl, H., Dr.-Ing., Hochtemperatur-Reaktorbau GmbH, Mannheim 14 Dietz, P., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Clausthal Dorn, L., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Berlin 14 Dssler, W., Obering., Ratingen 14 Ebert, K.-A., Dr.-Ing., Hattersheim 14 Ehrlenspiel, K., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Mnchen 14 Engel, G., Dr.-Ing., Rheinisch-Westf
lische Technische Hochschule Aachen 14 Federn, K., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Berlin 14 Feldhusen, J., Dr.-Ing., Prof., Rheinisch-Westf
lische Technische Hochschule Aachen Feldmann, D.G., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Hamburg-Harburg Fiala, E., Dr. techn., Prof., Volkswagenwerk AG, Wolfsburg 14 Fischer, C., Dipl.-Ing., Vattenfall, Berlin Flemming, M., Dr.-Ing., Prof., ETH Zrich, Schweiz Fller, D., Dr.-Ing., Prof., Battelle-Institut e.V., Frankfurt a.M. 14 Gasˇparovic´, N., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Berlin 14 Gast, Th., Dr.-Ing. habil., Prof., Technische Universit
t Berlin 14 Geiger, M., Dr.-Ing., Prof., Universit
t Erlangen-Nrnberg 14 Geiger, R., Dr.-Ing., Preß- und Stanzwerk Eschen, Liechtenstein 14 Gelbe, H., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Berlin 14 Gevatter, H.-J.y, Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Berlin Gold, P.W., Dr.-Ing., Prof., Rheinisch-Westf
lische Technische Hochschule Aachen Goldhahn, H., Dr.-Ing. habil., Prof., Technische Universit
t Dresden Grabowski, H., Dr.-Ing., Prof., Universit
t Karlsruhe 14 Grote, K.-H., Dr.-Ing., Prof., Otto-von-Guericke-Universit
t Magdeburg Grnhaupt, U., Dr.-Ing., Prof., Hochschule Karlsruhe Gugau, M., Dr.-Ing., Technische Universit
t Darmstadt Gnthner, W.A., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Mnchen Habig, K.-H., Dr.-Ing., Prof., Bundesanstalt fr Materialforschung und -prfung (BAM), Berlin Hager, M., Dr.-Ing., Prof., Universit
t Hannover Hain, K., Dr.-Ing. E.h., Braunschweig 14 Hainbach, C., Dr.-Ing., Institut fr K
lte-, Klima- und Energietechnik (IKET) GmbH, Essen Harsch, G., Dipl.-Ing., Prof., Hochschule Heilbronn Hecht, M., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Berlin Hempel, D.C., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Braunschweig Herfurth, K., Dr.-Ing. habil., Prof., Technische Universit
t Chemnitz Hhn, B.-R., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Mnchen Hlz, H., Dipl.-Ing., Prof., Technische Universit
t Berlin Hner, K.E., Dr.-Ing., Prof., Technische Universit
t Berlin 14 J
ger, B., Dr.-Ing., Prof., Kraftwerk Union bzw. Siemens AG, Berlin 14 Jarecki, U., Dipl.-Ing., Prof., Technische Fachhochschule Berlin 14

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Mitarbeiter der 14. bis 21. Auflage

Mitarbeiter

mitgearbeitet bei Auflage

J
nemann, R., Dr.-Ing., Prof., Universitt Dortmund Kerle, H., Dr.-Ing., Technische Universitt Braunschweig Kiesewetter, L., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin Klapp, E., Dr.-Ing., Prof., Universitt Erlangen-N
rnberg Klepper, H., Dr.-Ing., ASEA Brown Boveri, Mannheim Kloos, K.H., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Darmstadt Koch, E., Dipl.-Ing., BBC, Mannheim Krmer, E., Dr. rer. nat., Prof., Technische Hochschule Darmstadt Krmer, E., Dipl.-Ing., Alstom Power, Baden/Schweiz Krause, F., Dr.-Ing., Prof., Otto-von-Guericke-Universitt Magdeburg K
ttner, K.-H.,y Dipl.-Ing., Prof., Technische Fachhochschule Berlin Lackmann, J., Dr.-Ing., Prof., Technische Fachhochschule Berlin Ladwig, J., Dipl.-Ing., Universitt Stuttgart Lambrecht, D., Dr.-Ing., Universitt Erlangen-N
rnberg Lange, K., Dr.-Ing., Prof., Universitt Stuttgart Lehr, H., Dr. rer. nat., Prof., Technische Universitt Berlin Lenz, H., Dipl.-Ing., Kln Lenz, W., Dr.-Ing., Daisendorf Liedtke, G., Ing., Borsig GmbH, Berlin L
dtke, K., Dipl.-Ing., MAN Turbo AG, Oberhausen/Berlin Mareske, A., Dr.-Ing., Vattenfall, Berlin Mauer, G., Dipl.-Ing., Rheinisch-Westflische Technische Hochschule Aachen Mersmann, A., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt M
nchen Mertens, H., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin Mollenhauer, K., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin Mrl, L., Dr.-Ing., Prof., Otto-von-Guericke-Universitt Magdeburg Motz, H.D., Dr., Prof., Bergische Universitt Wuppertal M
ller, H.W., Dr.-Ing., Prof., Technische Hochschule Darmstadt Nieth, F., Dr.-Ing., Technische Hochschule Darmstadt Nordmann, R., Dr.-Ing., Prof., Technische Hochschule Darmstadt Oehmen, H., Dr.-Ing., Prof., Universitt Hannover Opitz, W., Dr. techn., Graz Pahl, G., Dr.-Ing., Prof., Technische Hochschule Darmstadt Peeken, H., Dr.-Ing., Prof., Rheinisch-Westflische Technische Hochschule Aachen Poll, G., Dr.-Ing., Prof., Universitt Hannover Poppy, W., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin Poppy, W., Dr.-Ing., Prof., Otto-von-Guericke-Universitt Magdeburg Pritschow, G., Dr.-Ing., Dr. h.c. mult., Prof., Universitt Stuttgart Pucher, H., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin Rkczy, T., Dr.-Ing., Brandi-IGH Ingenieure GmbH, Kln Reinhardt, H., Dr.-Ing. habil., Prof., Fachhochschule Kln Reuter, W., Dipl.-Ing., Rheinisch-Westflische Technische Hochschule Aachen Rper, R.,y Dr.-Ing., Prof., Universitt Dortmund Ruge, J., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Braunschweig Ruge, P., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Dresden Rulla, P., Dipl.-Ing., Prof., Technische Fachhochschule Berlin Rumpel, G., Dr.-Ing., Prof., Technische Fachhochschule Berlin Schriefer, H., Dipl.-Ing., Rheinisch-Westflische Technische Hochschule Aachen Schulz, H.-J., Dr.-Ing., Prof., Technische Fachhochschule Berlin Schwedes, J., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Braunschweig Seidel-Morgenstern, A., Dr.-Ing., Prof., Otto-von-Guericke-Universitt, Magdeburg Seiffert, U., Dr.-Ing., Prof., WiTech Engineering GmbH, Braunschweig Seliger, G., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin Severin, D., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin Siegert, K., Dr.-Ing., Prof., Universitt Stuttgart Siekmann, H.E., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin Sondershausen, H.D., Dipl.-Ing., Prof., Technische Fachhochschule Berlin Speckhardt, H., Dr., Prof., Technische Universitt Darmstadt Spur, G., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin Stephan, K., Dr.-Ing., Prof., Universitt Stuttgart Stephan, P., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Darmstadt Stiebler, M., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin Stoff, H., Dr.s.sc. techn. Prof., Ruhr-Universitt, Bochum Stute, G., Dr.-Ing., Prof., Universitt Stuttgart Thamsen, P.U., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin Thomala, W., Dr.-Ing., Richard Bergner GmbH, Schwabach

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Mitarbeiter der 14. bis 21. Auflage

Mitarbeiter

mitgearbeitet bei Auflage

T
nshoff, H.K., Dr.-Ing., Prof., Leibniz Universitt Hannover Tsch
ke, H., Dr.-Ing., Prof., Otto-von-Guericke-Universitt Magdeburg Uhlmann, E., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin Victor, H., Dr.-Ing., Prof., Universitt Karlsruhe Vierling, A., Dr.-Ing., Prof., Universitt Hannover Voit-Nitschmann, R., Dipl.-Ing., Prof., Universitt Stuttgart Wagner, G., Dr.-Ing., Prof., Ruhr-Universitt Bochum Warnecke, H.-J., Dr.-Ing., Prof., Universitt Stuttgart Weber, R., Dr.-Ing., Prof., Universitt Hannover Weck, M., Dr.-Ing., Prof., Rheinisch-Westflische Technische Hochschule Aachen Weißbrod, G., Dipl.-Ing., Prof., Technische Fachhochschule Berlin Werle, T., Dipl.-Ing., Universitt Stuttgart Westkmper, E., Dr.-Ing., Prof., Universitt Stuttgart Wilhelm, H., Dr.-Ing., MTU Mnchen Winter, H.,y Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Mnchen Wohlfahrt, H., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Braunschweig Ziegmann, G., Dr.-Ing., Prof., Technische Universitt Clausthal-Zellerfeld Zuppke, B., Dipl.-Ing., Prof., Technische Universitt Berlin

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Vorwort zur 22. Auflage

Der DUBBEL ist seit 1914 f
r Generationen von Studenten und in der Praxis ttigen Ingenieuren das Standardwerk f
r die produkt- und fertigungsorientierten Fachgebiete des Maschinenbaus. Er dient gleichermaßen als Lehrbuch und Nachschlagewerk f
r alle Technischen Hochschulen und andere Technik orientierte Aus- und Weiterbildungsinstitute sowie als Arbeitsunterlage f
r die Praxis zur Lsung konkreter Ingenieuraufgaben. Diese Breite des Leserkreises spiegelt sich auch in den Erfahrungen der Herausgeber und Autoren wider, die ausgewogen aus einer Lehr- und Forschungsttigkeit oder verantwortlichen Industriettigkeit kommen. ber eine Million verkaufte Exemplare des DUBBEL sind Beweis der großen Bedeutung des Werkes f
r den Maschinenbau. Die Vielfalt des Maschinenbaus hinsichtlich Ingenieurttigkeiten und Fachgebieten, der enorme Erkenntniszuwachs sowie das Erf
llen der vielschichtigen Zielsetzung des Buches erforderten bei der Stoffzusammenstellung eine enge Zusammenarbeit zwischen Herausgebern und Autoren. Hierbei mussten die wesentlichen Grundlagen und die unbedingt erforderlichen, allgemein anwendbaren und gesicherten Aussagen der einzelnen Fachgebiete ausgewhlt werden. Trotz der im Hinblick auf die Umfangsbeschrnkung erforderlichen Konzentration auf das Wesentliche und Allgemeing
ltige werden auch neueste Forschungsergebnisse und Entwicklungen behandelt, ohne die eine umfassende Anwendung eines solchen Buches in Praxis und Lehre nicht mehr auskommt. Die Stoffauswahl wurde so getroffen, dass die Studierenden in der Lage sind, sich problemlos ein erforderliches Mindestwissen von der gesamten Breite des Maschinenbaus anzueignen. Die Ingenieure der Praxis erhalten dar
ber hinaus ein weitgehend vollstndiges Arbeitsmittel zur Lsung von Ingenieuraufgaben. Ihnen wird auch ein schneller Einblick vor allem in solche Fachgebiete gegeben, in denen sie kein Spezialist sind. So sind zum Beispiel die Ausf
hrungen
ber Fertigungstechnik nicht in erster Linie f
r den Betriebsingenieur gedacht, sondern beispielsweise f
r den Konstrukteur, der fertigungsorientiert gestalten muss; die Frdertechnik soll nicht nur den Konstrukteur f
r Hebezeuge ansprechen, sondern vor allem auch den Betriebsingenieur, der seine Frdermittel mitgestalten und auswhlen muss. Das Buch will allen Bereichen der Herstellung und Anwendung maschinenbaulicher Produkte (Anlagen, Maschinen, Apparate und Gerte) bei der Lsung ihrer Probleme helfen: Angefangen bei der Produktplanung, Forschung, Entwicklung, Konstruktion, Arbeitsvorbereitung, Normung, Materialwirtschaft, Fertigung, Montage und Qualittssicherung
ber den technischen Vertrieb bis zur Bedienung, berwachung, Instandsetzung und zum Recycling. Der DUBBEL wird laufend
berarbeitet und damit auf dem aktuellen Stand der Technik gehalten. Mit der 22. Auflage wurde der Generationswechsel bei den Autoren auf bewhrte Art fortgesetzt. Die neu hinzugekommenen ca. 20 Autoren haben in beispielhafter Kooperation die jeweiligen Kapitel mit den langjhrigen DUBBEL-Autoren bearbeitet, korrigiert und auch erweitert oder neu geschrieben, somit sind wir f
r weitere Auflagen des DUBBEL ger
stet. Die Gliederung der letzten Auflage wurde beibehalten. Beibehalten wurden auch die in einem Anhang am Ende jeden Hauptkapitels aufgef
hrten quantitativen Arbeitsunterlagen in Form von Tabellen, Diagrammen und Normenausz
gen (Stoff- und Richtwerte). Am Schluss des DUBBEL enthlt der Teil Z „Allgemeine Tabellen“ die wichtigsten physikalischen Konstanten, die Einheiten mit ihren Umrechnungsfaktoren, die Grundgrßen der Kern-, Licht-, Schall- und Umwelttechnik sowie Bezugsquellen f
r Technische Regelwerke und internationale Normen – mit Angaben der Web-Adressen. Unter der Web-Adresse www.dubbel.de ist das aus der 19. Auflage und der interaktiven CD-ROM bekannte, ausf
hrliche Mathematik Kapitel abrufbar. Die Literaturangaben sind als „allgemeine“ Literatur den Teilen vorangestellt und als „spezielle“ Literatur, geordnet nach den Kapiteln, am Schluss der Teile zusammengefasst. Die allgemeine Literatur bietet dem Leser eine Zusammenstellung von Grundlagen-, bersichts- und Standardwerken des jeweiligen Fachgebietes, whrend der spe-

XII

Vorwort zur 22. Auflage

zielle Literaturteil inhaltlich dieses Gebiet vervollst
ndigt. Die Literaturangaben werden jedoch zum Gebrauch dieses Arbeitsbuches, insbesondere zur Anwendung von Berechnungsverfahren, nicht direkt bentigt; sie sollen vielmehr den Studierenden eine umfassende Information ber den Erkenntnisstand des jeweiligen Fachgebietes geben. Die Benutzungsanleitung hilft, die zahlreichen Hinweise und Querverweise zwischen den einzelnen Teilen und Kapiteln zu nutzen sowie die Abkrzungen und die gew
hlte Buchstruktur einschließlich des Anhangs zu verstehen. Infolge der Uneinheitlichkeit nationaler und internationaler Normen sowie der Gewohnheiten einzelner Fachgebiete ließen sich in wenigen F
llen unterschiedliche Bezeichnungen fr gleiche Begriffe nicht vermeiden. Fr die 22. Auflage wurden die Autoren nicht verpflichtet, die neue Rechtschreibung bei der Erstellung ihres Beitrags anzuwenden – dies ist fr ein Taschenbuch des Maschinenbaus vertretbar – kommt es doch in erster Linie auf die verst
ndliche Beschreibung der technischen Zusammenh
nge an; Zug um Zug werden die Kapitel angepasst werden. Zwischen den Teilen und am Ende des Taschenbuches befinden sich „Informationen aus der Industrie“ mit technisch relevanten Anzeigen bekannter Firmen. Hier werden industrielle Ausfhrungsformen gezeigt und auf Bezugsquellen hingewiesen. Hinweise, Vorschl
ge und konstruktive Kritik unserer Leser wurden dankbar verwertet. Wir sind auch weiterhin sehr an Anregungen und Hinweisen interessiert. Die Herausgeber danken allen am Werk Beteiligten: den Autoren fr ihr Engagement und ihre Kompromissbereitschaft bei der Abfassung ihrer Beitr
ge unter den starken Restriktionen hinsichtlich Umfang und Abstimmung mit anderen Kapiteln, Frau B. Mnch vom Springer-Verlag und Frau Claudia Rau von der Fa. LE-TeX fr die engagierte und sachkundige Zusammenarbeit bei der redaktionellen Bearbeitung der schwierigen Textund Bildvorlagen sowie dem Springer-Verlag fr die Ausstattung des Buches, Frau Dr.Ing. G. Mller fr die vorbereitende, formelle Durchsicht der Beitr
ge, der Druckerei Strtz fr die Sorgfalt in den einzelnen Phasen der Herstellung. Abschließend sei auch den vorangegangenen Generationen von Herausgebern und Autoren gedankt – die im Mitarbeiterverzeichnis gewrdigt werden. Sie haben durch ihre gewissenhafte Arbeit die Anerkennung des DUBBEL begrndet, die mit der jetzt vorliegenden 22. Auflage weiter gefestigt und ausgebaut werden soll.

Magdeburg und Aachen im Sommer 2007

Karl-Heinrich Grote und Jrg Feldhusen

Inhaltsverzeichnis Hinweise zur Benutzung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XLIII Chronik des Taschenbuches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

XLV

A Mathematik 1

Mathematik f
r Ingenieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A 3

2

Ergnzungen zur Mathematik f
r Ingenieure . . . . . . . . . . . . . . . A 3

3

Numerische Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A 4

3.1 Numerisch-analytische L
sung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A 4 3.2 Standardaufgaben der linearen Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A 4 3.3 Interpolation, Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A 5 3.4 Rand- und Anfangswertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A 6

B Mechanik 1

Statik starrer Krper. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 1

1.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 1 1.2 Zusammensetzen und Zerlegen von Krften mit gemeinsamem Angriffspunkt . . . B 2 1.2.1 Ebene Krftegruppe B 2. – 1.2.2 Rumliche Krftegruppe B 3.

1.3 Zusammensetzen und Zerlegen von Krften mit verschiedenen Angriffspunkten . . B 3 1.3.1 Krfte in der Ebene B 3. – 1.3.2 Krfte im Raum B 3.

1.4 Gleichgewicht und Gleichgewichtsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . B 4 1.4.1 Krftesystem im Raum B 4. – 1.4.2 Krftesystem in der Ebene B 4. – 1.4.3 Prinzip der virtuellen Arbeiten B 5. – 1.4.4 Arten des Gleichgewichts B 5. – 1.4.5 Standsicherheit B 6.

1.5 Lagerungsarten, Freimachungsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 6 1.6 Auflagerreaktionen an K
rpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 6 1.6.1 K
rper in der Ebene B 6. – 1.6.2 K
rper im Raum B 7.

1.7 Systeme starrer K
rper. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 7 1.8 Fachwerke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 8 1.8.1 Ebene Fachwerke B 8. – 1.8.2 Rumliche Fachwerke B 9.

1.9 Seile und Ketten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 9 1.9.1 Seil unter Eigengewicht (Kettenlinie) B 10. – 1.9.2 Seil unter konstanter Streckenlast B 10. – 1.9.3 Seil mit Einzellast B 11.

1.10 Schwerpunkt (Massenmittelpunkt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B 11

1.11 Haftung und Reibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B 11

Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B 15

2.1 Bewegung eines Punkts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B 15

2

2.1.1 Allgemeines B 15. – 2.1.2 Ebene Bewegung B 17. – 2.1.3 Rumliche Bewegung B 19.

2.2 Bewegung starrer K
rper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B 19

2.2.1 Translation (Parallelverschiebung, Schiebung) B 19. – 2.2.2 Rotation (Drehbewegung, Drehung) B 19. – 2.2.3 Allgemeine Bewegung des starren K
rpers B 20.

Kinetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B 24

3.1 Energetische Grundbegriffe – Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad . . . . . . . .

B 24

3.2 Kinetik des Massenpunkts und des translatorisch bewegten K
rpers . . . . . .

B 25

3

3.2.1 Dynamisches Grundgesetz von Newton (2. Newtonsches Axiom) B 25. – 3.2.2 Arbeits- und Energiesatz B 26. – 3.2.3 Impulssatz B 26. – 3.2.4 Prinzip von dAlembert und gefhrte Bewegungen B 26. – 3.2.5 Impulsmomenten- (Flchen-) und Drehimpulssatz B 26.

3.3 Kinetik des Massenpunktsystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B 27

XIV

Inhaltsverzeichnis

3.3.1 Schwerpunktsatz B 27. – 3.3.2 Arbeits- und Energiesatz B 27. – 3.3.3 Impulssatz B 27. – 3.3.4 Prinzip von d
Alembert und gefhrte Bewegungen B 28. – 3.3.5 Impulsmomenten- und Drehimpulssatz B 28. – 3.3.6 Lagrangesche Gleichungen B 28. – 3.3.7 Prinzip von Hamilton B 29. – 3.3.8 Systeme mit vernderlicher Masse B 29.

3.4 Kinetik starrer Krper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 29 3.4.1 Rotation eines starren Krpers um eine feste Achse B 29. – 3.4.2 Allgemeines ber Massentrgheitsmomente (Bild 11) B 30. – 3.4.3 Allgemeine ebene Bewegung starrer Krper B 32. – 3.4.4 Allgemeine rumliche Bewegung B 33.

3.5 Kinetik der Relativbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 35 3.6 Stoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 35 3.6.1 Gerader zentraler Stoß B 35. – 3.6.2 Schiefer zentraler Stoß B 35. – 3.6.3 Exzentrischer Stoß B 36. – 3.6.4 Drehstoß B 36.

4

Schwingungslehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 36

4.1 Systeme mit einem Freiheitsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 36 4.1.1 Freie ungedmpfte Schwingungen B 36. – 4.1.2 Freie gedmpfte Schwingungen B 37. – 4.1.3 Ungedmpfte erzwungene Schwingungen B 38. – 4.1.4 Gedmpfte erzwungene Schwingungen B 39. – 4.1.5 Kritische Drehzahl und Biegeschwingung der einfach besetzten Welle B 39.

4.2 Systeme mit mehreren Freiheitsgraden (Koppelschwingungen) . . . . . . . . . . B 39 4.2.1 Freie Schwingungen mit zwei und mehr Freiheitsgraden B 40. – 4.2.2 Erzwungene Schwingungen mit zwei und mehr Freiheitsgraden B 40. – 4.2.3 Eigenfrequenzen ungedmpfter Systeme B 41. – 4.2.4 Schwingungen der Kontinua B 41.

4.3 Nichtlineare Schwingungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 43 4.3.1 Schwinger mit nichtlinearer Federkennlinie oder Rckstellkraft B 43. – 4.3.2 Schwingungen mit periodischen Koeffizienten (rheolineare Schwingungen) B 44.

5

Hydrostatik (Statik der Fl
ssigkeiten) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 44

6

Hydro- und Aerodynamik (Strmungslehre, Dynamik der Fluide). . . . . . . B 46

6.1 Eindimensionale Strmungen idealer Flssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . B 46 6.1.1 Anwendungen der Bernoullischen Gleichung fr den stationren Fall B 47. – 6.1.2 Anwendung der Bernoullischen Gleichung fr den instationren Fall B 47.

6.2 Eindimensionale Strmungen zher Newtonscher Flssigkeiten (Rohrhydraulik) . . B 48 6.2.1 Stationre laminare Strmung in Rohren mit Kreisquerschnitt B 48. – 6.2.2 Stationre turbulente Strmung in Rohren mit Kreisquerschnitt B 48. – 6.2.3 Strmung in Leitungen mit nicht vollkreisfrmigen Querschnitten B 49. – 6.2.4 Strmungsverluste durch spezielle Rohrleitungselemente und Einbauten B 49. – 6.2.5 Stationrer Ausfluss aus Behltern B 52. – 6.2.6 Stationre Strmung durch offene Gerinne B 53. – 6.2.7 Instationre Strmung zher Newtonscher Flssigkeiten B 53. – 6.2.8 Freier Strahl B 53.

6.3 Eindimensionale Strmung Nicht-Newtonscher Flssigkeiten . . . . . . . . . . B 53 6.4 Kraftwirkungen strmender inkompressibler Flssigkeiten . . . . . . . . . . . . B 54 6.4.1 Impulssatz B 54. – 6.4.2 Anwendungen B 54.

6.5 Mehrdimensionale Strmung idealer Flssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . B 55 6.5.1 Allgemeine Grundgleichungen B 55. – 6.5.2 Potentialstrmungen B 56.

6.6 Mehrdimensionale Strmung zher Flssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . B 57 6.6.1 Bewegungsgleichungen von Navier-Stokes B 57. – 6.6.2 Einige Lsungen fr kleine Reynoldssche Zahlen (laminare Strmung) B 58. – 6.6.3 Grenzschichttheorie B 58. – 6.6.4 Strmungswiderstand von Krpern B 59. – 6.6.5 Tragflgel und Schaufeln B 60. – 6.6.6 Schaufeln und Profile im Gitterverband B 61.

7

hnlichkeitsmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 63

7.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 63 7.2 hnlichkeitsgesetze (Modellgesetze) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 63 7.2.1 Statische hnlichkeit B 63. – 7.2.2 Dynamische hnlichkeit B 64. – 7.2.3 Thermische hnlichkeit B 64. – Analyse der Einheiten (Dimensionsanalyse) und P-Theorem B 65.

8

Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B 65

C

Festigkeitslehre

1

Allgemeine Grundlagen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C1

1.1 Spannungen und Verformungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C1

1.1.1 Spannungen C 1. – 1.1.2 Verformungen C 3. – 1.1.3 Formnderungsarbeit C 4.

1.2 Festigkeitsverhalten der Werkstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C4

1.3 Festigkeitshypothesen und Vergleichsspannungen. . . . . . . . . . . . . . . .

C5

1.3.1 Normalspannungshypothese C 5. – 1.3.2 Schubspannungshypothese C 6. –

IInhaltsverzeichnis

XV

1.3.3 Gestalt
nderungsenergiehypothese C 6. – 1.3.4 Erweiterte Schubspannungshypothese C 6. – 1.3.5 Anstrengungsverh
ltnis nach Bach C 6.

2.1 Zug- und Druckbeanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 7 2.1.1 St
be mit konstantem Querschnitt und konstanter L
ngskraft C 7. – 2.1.2 St
be mit ver
nderlicher L
ngskraft C 7. – 2.1.3 St
be mit ver
nderlichem Querschnitt C 7. – 2.1.4 St
be mit Kerben C 7. – 2.1.5 St
be unter Temperatureinfluss C 7.

2.2 Abscherbeanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 7 2.3 Fl
chenpressung und Lochleibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 8 2.3.1 Ebene Fl
chen C 8. – 2.3.2 Gewlbte Fl
chen C 8.

2.4 Biegebeanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 8 2.4.1 Schnittlasten: Normalkraft, Querkraft, Biegemoment C 8. – 2.4.2 Schnittlasten am geraden Tr
ger in der Ebene C 8. – 2.4.3 Schnittlasten an gekrmmten ebenen Tr
gern C 9. – 2.4.4 Schnittlasten an r
umlichen Tr
gern C 9. – 2.4.5 Biegespannungen in geraden Balken C 9. – 2.4.6 Schubspannungen und Schubmittelpunkt am geraden Tr
ger C 13. – 2.4.7 Biegespannungen in stark gekrmmten Tr
gern C 16. – 2.4.8 Durchbiegung von Tr
gern C 17. – 2.4.9 Form
nderungsarbeit bei Biegung und Energiemethoden zur Berechnung von Einzeldurchbiegungen C 22.

2.5 Torsionsbeanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C 24

2.5.1 St
be mit Kreisquerschnitt und konstantem Durchmesser C 24. – 2.5.2 St
be mit Kreisquerschnitt und ver
nderlichem Durchmesser C 25. – 2.5.3 Dnnwandige Hohlquerschnitte (Bredtsche Formeln) C 25. – 2.5.4 St
be mit beliebigem Querschnitt C 25. – 2.5.5 Wlbkrafttorsion C 28.

2.6 Zusammengesetzte Beanspruchung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C 28

2.6.1 Biegung und L
ngskraft C 28. – 2.6.2 Biegung und Schub C 28. – 2.6.3 Biegung und Torsion C 28. – 2.6.4 L
ngskraft und Torsion C 29. – 2.6.5 Schub und Torsion C 29. – 2.6.6 Biegung mit L
ngskraft sowie Schub und Torsion C 29.

2.7 Statisch unbestimmte Systeme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C 29

Elastizit
tstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C 30

3.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C 30

3

3.2 Rotationssymmetrischer Spannungszustand . . . . . . . . . . . . . . . .

C 31

3.3 Ebener Spannungszustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C 32

Beanspruchung bei Berhrung zweier Krper (Hertzsche Formeln). . . . .

C 33

4.1 Kugel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C 33

4.2 Zylinder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C 33

4.3 Beliebig gewlbte Fl
che. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C 33

Fl
chentragwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C 34

5.1 Platten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C 34

4

5

5.1.1 Rechteckplatten C 34. – 5.1.2 Kreisplatten C 34. – 5.1.3 Elliptische Platten C 35. – 5.1.4 Gleichseitige Dreieckplatte C 35. – 5.1.5 Temperaturspannungen in Platten C 35.

5.2 Scheiben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C 35

5.2.1 Kreisscheibe C 35. – 5.2.2 Ringfrmige Scheibe C 35. – 5.2.3 Unendlich ausgedehnte Scheibe mit Bohrung C 36. – 5.2.4 Keilfrmige Scheibe unter Einzelkr
ften C 36.

5.3 Schalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C 36

5.3.1 Biegeschlaffe Rotationsschalen und Membrantheorie fr Innendruck C 36. – 5.3.2 Biegesteife Schalen C 37.

Dynamische Beanspruchung umlaufender Bauteile durch Fliehkr
fte . . . .

C 38

6.1 Umlaufender Stab. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C 38

6

6.2 Umlaufender dnnwandiger Ring oder Hohlzylinder. . . . . . . . . . . . .

C 38

6.3 Umlaufende Scheiben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C 38

6.3.1 Vollscheibe konstanter Dicke C 38. – 6.3.2 Ringfrmige Scheibe konstanter Dicke C 38. – 6.3.3 Scheiben gleicher Festigkeit C 38. – 6.3.4 Scheiben ver
nderlicher Dicke C 39. – 6.3.5 Umlaufender dickwandiger Hohlzylinder C 39.

Stabilit
tsprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C 39

7.1 Knickung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C 39

7

7.1.1 Knicken im elastischen (Euler-)Bereich C 39. – 7.1.2 Knicken im unelastischen (Tetmajer-) Bereich C 40. – 7.1.3 N
herungsverfahren zur Knicklastberechnung C 40. – 7.1.4 St
be bei nderung des Querschnitts bzw. der L
ngskraft C 41. – 7.1.5 Knicken von Ringen, Rahmen und Stabsystemen C 41. – 7.1.6 Biegedrillknicken C 41.

7.2 Kippen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C 41

XVI

Inhaltsverzeichnis

7.2.1 Tr
ger mit Rechteckquerschnitt C 41. – 7.2.2 Tr
ger mit I-Querschnitt C 42.

7.3 Beulung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 42 7.3.1 Beulen von Platten C 42. – 7.3.2 Beulen von Schalen C 43. – 7.3.3 Beulspannungen im unelastischen (plastischen) Bereich C 44.

8

Finite Berechnungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 44

8.1 Finite Elemente Methode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 44 8.2 Randelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 47 8.3 Finite Differenzen Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 48 9

Plastizit
tstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 49

9.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 49 9.2 Anwendungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 50 9.2.1 Biegung des Rechteckbalkens C 50. – 9.2.2 R
umlicher und ebener Spannungszustand C 50.

10

Festigkeitsnachweis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 51

10.1 Berechnungs- und Bewertungskonzepte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 51 10.2 Nennspannungskonzepte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 52 10.3 Kerbgrundkonzepte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 53 11

Anhang C: Diagramme und Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 55

12

Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 59

D

Thermodynamik

1

Thermodynamik. Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D1

1.1 Systeme, Systemgrenzen, Umgebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D1

1.2 Beschreibung des Zustands eines Systems. Thermodynamische Prozesse . . . . .

D1

Temperaturen. Gleichgewichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D2

2.1 Thermisches Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D2

2

2.2 Nullter Hauptsatz und empirische Temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . .

D2

2.3 Temperaturskalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D2

2.3.1 Die Internationale Praktische Temperaturskala D 3.

Erster Hauptsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D4

3.1 Allgemeine Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D4

3.2 Die verschiedenen Energieformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D4

3

3.2.1 Arbeit D 4. – 3.2.2 Innere Energie und Systemenergie D 4. – 3.2.3 W
rme D 5.

3.3 Anwendung auf geschlossene Systeme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D5

3.4 Anwendung auf offene Systeme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D5

3.4.1 Station
re Prozesse D 5. – 3.4.2 Instation
re Prozesse D 6.

4

Zweiter Hauptsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D7

4.1 Das Prinzip der Irreversibilit
t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D7

4.2 Allgemeine Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D7

4.3 Spezielle Formulierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D8

4.3.1 Adiabate, geschlossene Systeme D 8. – 4.3.2 Systeme mit W
rmezufuhr D 8.

Exergie und Anergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D8

5.1 Exergie eines geschlossenen Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D8

5

5.2 Exergie eines offenen Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D9

5.3 Exergie einer W
rme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D9

5.4 Anergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D9

IInhaltsverzeichnis

XVII

5.5 Exergieverluste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D 9 Stoffthermodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D 10

6.1 Thermische Zustandsgr
ßen von Gasen und Dmpfen . . . . . . . . . . . .

D 10

6

6.1.1 Ideale Gase D 10. – 6.1.2 Gaskonstante und das Gesetz von Avogadro D 10. – 6.1.3 Reale Gase D 10. – 6.1.4 Dmpfe D 11.

6.2 Kalorische Zustandsgr
ßen von Gasen und Dmpfen . . . . . . . . . . . .

D 12

6.2.1 Ideale Gase D 12. – 6.2.2 Reale Gase und Dmpfe D 13.

6.3 Inkompressible Fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D 14

6.4 Feste Stoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D 14

6.4.1 Wrmedehnung D 14. – 6.4.2 Schmelz- und Sublimationsdruckkurve D 14. – 6.4.3 Kalorische Zustandsgr
ßen D 14.

Zustands
nderungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D 15

7.1 Zustandsnderungen ruhender Gase und Dmpfe . . . . . . . . . . . . . .

D 15

7.2 Zustandsnderungen str
mender Gase und Dmpfe . . . . . . . . . . . . .

D 16

7

7.2.1 Str
mung idealer Gase D 16. – 7.2.2 Dsen- und Diffusorstr
mung D 17.

Thermodynamische Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D 17

8.1 Energiewandlung mittels Kreisprozessen . . . . . . . . . . . . . . . . .

D 17

8

8.2 Carnot-Prozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D 17

8.3 Wrmekraftanlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D 18

8.3.1 Ackeret-Keller-Prozess D 18. – 8.3.2 Geschlossene Gasturbinenanlage D 19. – 8.3.3 Dampfkraftanlage D 20.

8.4 Verbrennungskraftanlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D 20

8.4.1 Offene Gasturbinenanlage D 20. – 8.4.2 Ottomotor D 21. – 8.4.3 Dieselmotor D 21. – 8.4.4 Brennstoffzellen D 22.

8.5 Klteanlagen und Wrmepumpen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D 22

8.5.1 Kompressionsklteanlage D 22. – 8.5.2 Kompressionswrmepumpe D 23.

8.6 Kraft-Wrme-Kopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D 23

Gemische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D 24

9.1 Gemische idealer Gase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D 24

9.2 Gas-Dampf-Gemische. Feuchte Luft . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D 24

9

9.2.1 Mollier-Diagramm der feuchten Luft D 25. – 9.2.2 Zustandsnderungen feuchter Luft D 26.

Verbrennung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D 27

10.1 Reaktionsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D 27

10.2 Heizwert und Brennwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D 27

10.3 Verbrennungstemperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D 28

10

W
rmebertragung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D 28

11.1 Stationre Wrmeleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D 28

11.2 Wrmebergang und Wrmedurchgang . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D 29

11.3 Nichtstationre Wrmeleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D 30

11

11.3.1 Der halbunendliche K
rper D 30. – 11.3.2 Zwei halbunendliche K
rper in thermischem Kontakt D 31. – 11.3.3 Temperaturausgleich in einfachen K
rpern D 31.

11.4 Wrmebergang durch Konvektion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D 32

11.4.1 Wrmebergang ohne Phasenumwandlung D 32. – 11.4.2 Wrmebergang beim Kondensieren und beim Sieden D 34.

11.5 Wrmebertragung durch Strahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D 35

11.5.1 Gesetz von Stefan-Boltzmann D 35. – 11.5.2 Kirchhoffsches Gesetz D 35. – 11.5.3 Wrmeaustausch durch Strahlung D 35. – 11.5.4 Gasstrahlung D 36.

12

Anhang D: Diagramme und Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D 36

13

Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D 36

XVIII

Inhaltsverzeichnis

E

Werkstofftechnik

1

Werkstoff- und Bauteileigenschaften. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

E2

1.1 Beanspruchungs- und Versagensarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

E2

1.1.1 Belastungs- und Beanspruchungsf
lle E 2. – 1.1.2 Versagen durch mechanische Beanspruchung E 3. – 1.1.3 Versagen durch komplexe Beanspruchungen E 4.

1.2 Grundlegende Konzepte fr den Festigkeitsnachweis . . . . . . . . . . . . . .

E6

1.2.1 Festigkeitshypothesen E 6. – 1.2.2 Nennspannungskonzept E 6. – 1.2.3 rtliches Konzept E 7. – 1.2.4 Plastisches Grenzlastkonzept E 7. – 1.2.5 Bruchmechanikkonzepte E 7.

1.3 Werkstoffkennwerte fr die Bauteildimensionierung . . . . . . . . . . . . . .

E9

1.3.1 Statische Festigkeit E 9. – 1.3.2 Schwingfestigkeit E 9. – 1.3.3 Bruchmechanische Werkstoffkennwerte bei statischer Beanspruchung E 10. – 1.3.4 Bruchmechanische Werkstoffkennwerte bei zyklischer Beanspruchung E 12.

1.4 Einflsse auf die Werkstoffeigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 13 1.4.1 Werkstoffphysikalische Grundlagen der Festigkeit und Z
higkeit metallischer Werkstoffe E 13. – 1.4.2 Metallurgische Einflsse E 13. – 1.4.3 Technologische Einflsse E 14. – 1.4.4 Oberfl
cheneinflsse E 14. – 1.4.5 Umgebungseinflsse E 15. – 1.4.6 Gestalteinfluss auf statische Festigkeitseigenschaften E 16. – 1.4.7 Gestalteinfluss auf Schwingfestigkeitseigenschaften E 16.

1.5 Festigkeitsnachweis von Bauteilen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 17 1.5.1 Festigkeitsnachweis bei statischer Beanspruchung E 17. – 1.5.2 Festigkeitsnachweis bei Schwingbeanspruchung mit konstanter Amplitude E 18. – 1.5.3 Festigkeitsnachweis bei Schwingbeanspruchung mit variabler Amplitude (Betriebsfestigkeitsnachweis) E 18. – 1.5.4 Bruchmechanischer Festigkeitsnachweis unter statischer Beanspruchung E 20. – 1.5.5 Bruchmechanischer Festigkeitsnachweis unter zyklischer Beanspruchung E 21. – 1.5.6 Festigkeitsnachweis unter Zeitstand- und Kriechermdungsbeanspruchung E 21.

2

Werkstoffpr
fung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 23

2.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 23 2.1.1 Probenentnahme E 23. – 2.1.2 Versuchsauswertung E 24.

2.2 Prfverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 24 2.2.1 Zugversuch E 24. – 2.2.2 Druckversuch E 25. – 2.2.3 Biegeversuch E 26. – 2.2.4 H
rteprfverfahren E 26. – 2.2.5 Kerbschlagbiegeversuch E 27. – 2.2.6 Bruchmechanische Prfungen E 27. – 2.2.7 Chemische und physikalische Analysemethoden E 28. – 2.2.8 Metallographische Untersuchungen E 29. – 2.2.9 Technologische Prfungen E 30. – 2.2.10 Zerstrungsfreie Werkstoffprfung E 30. – 2.2.11 Dauerversuche E 31.

3

Eigenschaften und Verwendung der Werkstoffe . . . . . . . . . . . . . . . E 32

3.1 Eisenwerkstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 32 3.1.1 Das Zustandsschaubild Eisen-Kohlenstoff E 32. – 3.1.2 Stahlerzeugung E 32. – 3.1.3 W
rmebehandlung E 34. – 3.1.4 St
hle E 38. – 3.1.5 Gusseisenwerkstoffe E 49.

3.2 Nichteisenmetalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 52 3.2.1 Kupfer und seine Legierungen E 52. – 3.2.2 Aluminium und seine Legierungen E 54. – 3.2.3 Magnesiumlegierungen E 55. – 3.2.4 Titanlegierungen E 56. – 3.2.5 Nickel und seine Legierungen E 57. – 3.2.6 Zink und seine Legierungen E 57. – 3.2.7 Blei E 58. – 3.2.8 Zinn E 58. – 3.2.9 berzge auf Metallen E 58.

3.3 Nichtmetallische anorganische Werkstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 59 3.3.1 Keramische Werkstoffe E 59. – 3.3.2 Glas E 61. – 3.3.3 Beton E 62. – 3.3.4 Holz E 63.

3.4 Werkstoffauswahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 66 4

Kunststoffe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 67

4.1 Einfhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 67 4.2 Aufbau und Verhalten von Kunststoffen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 68 4.3 Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 68 4.4 Wichtige Thermoplaste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 69 4.5 Fluorhaltige Kunststoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 71 4.6 Duroplaste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 71 4.7 Kunststoffsch
ume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 72 4.8 Elastomere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 72 4.9 Prfung von Kunststoffen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 73 4.9.1 Kennwertermittlung an Probekrpern E 73. – 4.9.2 Prfung von Fertigteilen E 76.

4.10 Verarbeiten von Kunststoffen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 76

IInhaltsverzeichnis

XIX

4.10.1 Urformen von Kunststoffen E 76. – 4.10.2 Umformen von Kunststoffen E 78. – 4.10.3 F
gen von Kunststoffen E 79.

4.11 Gestalten und Fertigungsgenauigkeit von Kunststoff-Formteilen . . . . . . . .

E 80

4.12 Nachbehandlungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

E 81

Tribologie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

E 82

5

5.1 Reibung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

E 82

5.2 Verschleiß. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

E 82

5.3 Systemanalyse von Reibungs- und Verschleißvorgngen . . . . . . . . . . .

E 83

5.3.1 Funktion von Tribosystemen E 84. – 5.3.2 Beanspruchungskollektiv E 84. – 5.3.3 Struktur tribologischer Systeme E 85. – 5.3.4 Tribologische Kenngrßen E 85. – 5.3.5 Checkliste zur Erfassung der wichtigsten tribologisch relevanten Grßen E 85.

5.4 Schmierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

E 85

5.5 Schmierstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

E 85

5.5.1 Schmierle E 86. – 5.5.2 Schmierfette E 88. – 5.5.3 Festschmierstoffe E 89.

5.6 Tribotechnische Werkstoffe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

E 89

Korrosion und Korrosionsschutz von Metallen . . . . . . . . . . . . . .

E 89

6.1 Einf
hrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

E 89

6.2 Mechanismen der Korrosion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

E 90

6.3 Korrosionserscheinungen („Korrosionsarten“) . . . . . . . . . . . . . . .

E 90

6.4 berlagerung von Korrosion und mechanischer Beanspruchung . . . . . . . .

E 93

6

6.4.1 Spannungsrisskorrosion E 93. – 6.4.2 Schwingungsrisskorrosion (Bild 13) E 94. – 6.4.3 Korrosionsverschleiß E 95. – 6.4.4 Reibkorrosion (Schwingverschleiß) E 95. – 6.4.5 Erosionskorrosion E 95. – 6.4.6 Kavitationskorrosion E 96. – 6.4.7 Wasserstoffinduzierte Rissbildung E 96.

6.5 Korrosionsschutz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

E 96

6.5.1 Allgemeines E 96. – 6.5.2 Werkstoffreinheit E 96. – 6.5.3 Legierungstechnische Maßnahmen E 97. – 6.5.4 Erzeugung von Diffusionsschichten E 97. – 6.5.5 Schutz durch metallische berz
ge E 97. – 6.5.6 Kathodischer Schutz E 97. – 6.5.7 Korrosionsschutz durch Inhibitoren E 97. – 6.5.8 Korrosionsschutzgerechte Konstruktion E 97. – 6.5.9 Korrosionsschutzgerechte Fertigung E 98.

6.6 Korrosionspr
fung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

E 98

6.6.1 Allgemeines E 98. – 6.6.2 Hinweise zu den einzelnen Gruppen von Pr
fverfahren E 98.

7

Anhang E: Diagramme und Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . .

E 99

8

Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 131

F

Grundlagen der Konstruktionstechnik

1

Grundlagen technischer Systeme und des methodischen Vorgehens . . . . . .

F1

1.1 Technische Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

F1

1.1.1 Energie-, Stoff- und Signalumsatz F 1. – 1.1.2 Funktionszusammenhang F 2. – 1.1.3 Wirkzusammenhang F 3. – 1.1.4 Bauzusammenhang F 3. – 1.1.5 Systemzusammenhang F 3. – 1.1.6 Generelle Zielsetzung und Bedingungen F 3.

1.2 Methodisches Vorgehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

F4

1.2.1 Allgemeine Arbeitsmethodik F 4. – 1.2.2 Allgemeiner Lsungsprozeß F 4. – 1.2.3 Abstrahieren zum Erkennen der Funktionen F 5. – 1.2.4 Suche nach Lsungsprinzipien F 5. – 1.2.5 Beurteilen von Lsungen F 7.

1.3 Konstruktionsprozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

F 11

1.3.1 Klren der Aufgabenstellung F 11. – 1.3.2 Konzipieren F 12. – 1.3.3 Entwerfen F 12. – 1.3.4 Ausarbeiten F 12. – 1.3.5 Effektive Organisationsformen F 13. – 1.3.6 Rapid Prototyping F 14. – 1.3.7 Konstruktionsarten F 15.

1.4 Gestaltung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

F 15

1.4.1 Grundregeln F 15. – 1.4.2 Gestaltungsprinzipien F 15. – 1.4.3 Gestaltungsrichtlinien F 18. – 1.4.4 FaserKunststoff-Verbunde F 21.

1.5 Baureihen- und Baukastenentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . .

F 25

1.5.1 hnlichkeitsbeziehungen F 25. – 1.5.2 Dezimalgeometrische Normzahlreihen F 26. – 1.5.3 Geometrisch hnliche Baureihe F 27. – 1.5.4 Halbhnliche Baureihen F 28. – 1.5.5 Anwenden von Exponentengleichungen F 28. – 1.5.6 Baukasten F 28.

1.6 Normen- und Zeichnungswesen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

F 29

XX

Inhaltsverzeichnis

1.6.1 Normenwerk F 29. – 1.6.2 Grundnormen F 30. – 1.6.3 Zeichnungen und St
cklisten F 34. – 1.6.4 Sachnummernsysteme F 35.

2

Anwendung f
r Maschinensysteme der Stoffverarbeitung . . . . . . . . . . F 37 2 Anwendung f
r Maschinensysteme der Stoffverarbeitung F 37.

2.1 Aufgabe und Einordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F 37 2.2 Struktur von Verarbeitungsmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F 38 2.2.1 Verarbeitungssystem F 38. – 2.2.2 Antriebs- und Steuerungssystem F 42. – 2.2.3 Raumsystem F 45.

2.3 Verarbeitungsanlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F 47 3

Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F 47

G Mechanische Konstruktionselemente 1

Bauteilverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G3

1.1 Schweißen 1 Bauteilverbindungen G 3.

1.1 Schweißen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G3

1.1.1 Schweißverfahren G 3. – 1.1.2 Schweißbarkeit der Werkstoffe G 3. – 1.1.3 Stoß- und Nahtarten G 10. – 1.1.4 Darstellung der Schweißnhte G 12. – 1.1.5 Festigkeit von Schweißverbindungen G 12. – 1.1.6 Thermisches Abtragen G 19.

1.2 Lten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 22 1.2.1 Vorgang G 22. – 1.2.2 Weichlten G 22. – 1.2.3 Hartlten und Schweißlten (Fugenlten) G 22. – 1.2.4 Hochtemperaturlten G 22.

1.3 Kleben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 24 1.3.1 Anwendung und Vorgang G 24. – 1.3.2 Klebstoffe G 24. – 1.3.3 Tragfhigkeit G 25.

1.4 Reibschlussverbindungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 26 1.4.1 Formen, Anwendungen G 26. – 1.4.2 Pressverbnde G 26. – 1.4.3 Klemmverbindungen G 29.

1.5 Formschlussverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 30 1.5.1 Formen, Anwendungen G 30. – 1.5.2 Stiftverbindungen G 30. – 1.5.3 Bolzenverbindungen G 31. – 1.5.4 Keilverbindungen G 32. – 1.5.5 Pass- und Scheibenfeder-Verbindungen G 32. – 1.5.6 Zahn- und Keilwellenverbindungen G 33. – 1.5.7 Polygonwellenverbindungen G 33. – 1.5.8 Vorgespannte Welle-NabeVerbindungen G 33. – 1.5.9 Axiale Sicherungselemente G 34. – 1.5.10 Nietverbindungen G 34.

1.6 Schraubenverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 35 1.6.1 Aufgaben G 35. – 1.6.2 Kenngrßen der Schraubenbewegung G 35. – 1.6.3 Gewindearten G 36. – 1.6.4 Schrauben- und Mutterarten G 37. – 1.6.5 Schrauben- und Mutternwerkstoffe G 38. – 1.6.6 Krfte und Verformungen beim Anziehen von Schraubenverbindungen G 38. – 1.6.7 berlagerung von Vorspannkraft und Betriebslast G 41. – 1.6.8 Auslegung und Dauerfestigkeitsberechnung von Schraubenverbindungen G 43. – 1.6.9 Sicherung von Schraubenverbindungen G 46.

2

Federnde Verbindungen (Federn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 47

2.1 Aufgaben, Eigenschaften, Kenngrßen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 47 2.1.1 Aufgaben G 47. – 2.1.2 Federkennlinie, Federsteifigkeit, Federnachgiebigkeit G 48. – 2.1.3 Arbeitsaufnahmefhigkeit, Nutzungsgrad, Dmpfungsvermgen, Dmpfungsfaktor G 48.

2.2 Metallfedern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 48 2.2.1 Zug/Druck-beanspruchte Zug- oder Druckfedern G 48. – 2.2.2 Einfache und geschichtete Blattfedern (gerade oder schwachgekr
mmte, biegebeanspruchte Federn) G 49. – 2.2.3 Spiralfedern (ebene gewundene, biegebeanspruchte Federn) und Schenkelfedern (biegebeanspruchte Schraubenfedern) G 50. – 2.2.4 Tellerfedern (scheibenfrmige, biegebeanspruchte Federn) G 51. – 2.2.5 Drehstabfedern (gerade, drehbeanspruchte Federn) G 52. – 2.2.6 Zylindrische Schraubendruckfedern und Schraubenzugfedern G 53.

2.3 Gummifedern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 55 2.3.1 Der Werkstoff „Gummi“ und seine Eigenschaften G 55. – 2.3.2 Gummifederelemente G 56.

2.4 Federn aus Faser-Kunststoff-Verbunden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 58 2.5 Gasfedern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 58 2.6 Industrie-Stoßdmpfer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 58 2.6.1 Anwendungsgebiete G 58. – 2.6.2 Funktionsweise des Industrie-Stoßdmpfers G 59. – 2.6.3 Aufbau eines Industrie-Stoßdmpfers (Bild 17) G 59. – 2.6.4 Berechnung und Auswahl (Bild 18) G 59.

3

Kupplungen und Bremsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 60

3.1 berblick, Aufgaben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 60 3.2 Drehstarre, nicht schaltbare Kupplungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 60 3.2.1 Starre Kupplungen G 60. – 3.2.2 Drehstarre Ausgleichskupplungen G 60.

IInhaltsverzeichnis 3.3 Elastische, nicht schaltbare Kupplungen. . . . . . . . . . . . . . . . . .

XXI G 62

3.3.1 Feder- und D
mpfungsverhalten G 62. – 3.3.2 Auslegungsgesichtspunkte, Schwingungsverhalten G 64. – 3.3.3 Bauarten G 65. – 3.3.4 Auswahlgesichtspunkte G 66.

3.4 Drehnachgiebige, nicht schaltbare Kupplungen . . . . . . . . . . . . . . .

G 66

3.5 Fremdgeschaltete Kupplungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G 66

3.5.1 Formschlssige Schaltkupplungen G 67. – 3.5.2 Kraft-(Reib-)schlssige Schaltkupplungen G 67. – 3.5.3 Der Schaltvorgang bei reibschlssigen Schaltkupplungen G 68. – 3.5.4 Auslegung einer reibschlssigen Schaltkupplung G 70. – 3.5.5 Auswahl einer Kupplungsgrße G 70. – 3.5.6 Allgemeine Auswahlkriterien G 70. – 3.5.7 Bremsen G 71.

3.6 Selbstt
tig schaltende Kupplungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G 72

3.6.1 Drehmomentgeschaltete Kupplungen G 72. – 3.6.2 Drehzahlgeschaltete Kupplungen G 72. – 3.6.3 Richtungsgeschaltete Kupplungen (Freil
ufe) G 73.

4

W
lzlager. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G 74

4.1 Kennzeichen und Eigenschaften der W
lzlager . . . . . . . . . . . . . . .

G 74

4.2 Bauarten der W
lzlager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G 74

4.2.1 Lager fr rotierende Bewegungen G 74. – 4.2.2 Linearw
lzlager G 78.

4.3 W
lzlagerk
fige . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G 78

4.4 W
lzlagerwerkstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G 78

4.5 Bezeichnungen fr W
lzlager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G 79

4.6 Konstruktive Ausfhrung von Lagerungen . . . . . . . . . . . . . . . . .

G 79

4.6.1 Fest-Loslager-Anordnung G 79. – 4.6.2 Schwimmende oder Sttz-Traglagerung und angestellte Lagerung G 80. – 4.6.3 Lagersitze, axiale und radiale Festlegung der Lagerringe G 81. – 4.6.4 Lagerluft G 81.

4.7 W
lzlagerschmierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G 81

4.7.1 Allgemeines G 81. – 4.7.2 Fettschmierung G 82. – 4.7.3 lschmierung G 83. 4.7.4 Feststoffschmierung G 84.

4.8 W
lzlagerdichtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G 84

4.9 Belastbarkeit und Lebensdauer der W
lzlager . . . . . . . . . . . . . . .

G 84

4.9.1 Grundlagen G 84. – 4.9.2 Statische bzw. dynamische Tragf
higkeit und Lebensdauerberechnung G 85.

4.10 Bewegungswiderstand und Referenzdrehzahlen der W
lzlager . . . . . . . .

G 88

Gleitlagerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G 89

5.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G 89

5

5.1.1 Aufgabe, Einteilung und Anwendungen G 89. – 5.1.2 Wirkungsweise G 89. – 5.1.3 Reibungszust
nde G 90.

5.2 Berechnung hydrodynamischer Gleitlager . . . . . . . . . . . . . . . . .

G 90

5.2.1 Station
r belastete Radialgleitlager G 90. – 5.2.2 Radialgleitlager im instation
ren Betrieb G 93. – 5.2.3 Station
r belastete Axialgleitlager G 93. – 5.2.4 Mehrgleitfl
chenlager G 96.

5.3 Hydrostatische Anfahrhilfen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G 97

5.4 Berechnung hydrostatischer Gleitlager . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G 97

5.4.1 Hydrostatische Radialgleitlager G 97. – 5.4.2 Hydrostatische Axialgleitlager G 98.

5.5 Dichtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G 99

5.6 Wartungsfreie Gleitlager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G 99

5.7 Konstruktive Gestaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 100 5.7.1 Konstruktion und Schmierspaltausbildung G 100. – G 100. – 5.7.2 Lagerschmierung G 100. – 5.7.3 Lagerkhlung G 101. – 5.7.4 Lagerwerkstoffe G 101. – G 101. – 5.7.5 Lagerbauformen G 102.

6

Zugmittelgetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 102

6.1 Bauarten, Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 102 6.2 Flachriemengetriebe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 103 6.2.1 Kr
fte am Flachriemengetriebe G 103. – 6.2.2 Beanspruchungen G 103. – 6.2.3 Geometrische Beziehungen G 104. – 6.2.4 Kinematik, Leistung, Wirkungsgrad G 104. – 6.2.5 Riemenlauf und Vorspannung G 105. – 6.2.6 Riemenwerkstoffe G 106. – 6.2.7 Entwurfsberechnung G 106.

6.3 Keilriemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 107 6.3.1 Anwendungen und Eigenschaften G 107. – 6.3.2 Typen und Bauarten von Keilriemen G 108. – 6.3.3 Entwurfsberechnung G 108.

6.4 Synchronriemen (Zahnriemen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 109 6.4.1 Aufbau, Eigenschaften, Anwendung G 109. – 6.4.2 Gestaltungshinweise G 109. – 6.4.3 Entwurfsberechnung G 109.

XXII

Inhaltsverzeichnis

6.5 Kettengetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G 109

6.5.1 Bauarten, Eigenschaften, Anwendung G 109. – 6.5.2 Gestaltungshinweise G 110. – 6.5.3 Entwurfsberechnung G 110.

Reibradgetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G 110

7.1 Wirkungsweise, Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G 110

7.2 Bauarten, Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G 111

7

7.2.1 Reibradgetriebe mit festem
bersetzungsverhltnis G 111. – 7.2.2 Wlzgetriebe mit stufenlos einstellbarer
bersetzung G 111.

7.3 Berechnungsgrundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G 114

7.3.1 Bohrbewegung G 114. – 7.3.2 Schlupf G 114. – 7.3.3
bertragbare Leistung und Wirkungsgrad G 115. – 7.3.4 Gebruchliche Werkstoffpaarungen G 116.

7.4 Hinweise fr Anwendung und Betrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G 116

Zahnradgetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G 117

8.1 Stirnrder – Verzahnungsgeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G 117

8

8.1.1 Verzahnungsgesetz G 117. – 8.1.2
bersetzung, Zhnezahlverhltnis, Momentenverhltnis G 118. – 8.1.3 Konstruktion von Eingriffslinie und Gegenflanke G 118. – 8.1.4 Flankenlinien und Formen der Verzahnung G 118. – 8.1.5 Allgemeine Verzahnungsgrßen G 118. – 8.1.6 Gleit- und Rollbewegung G 120. – 8.1.7 Evolventenverzahnung G 120. – 8.1.8 Sonstige Verzahnungen (außer Evolventen) und ungleichmßig bersetzende Zahnrder G 122.

8.2 Verzahnungsabweichungen und -toleranzen, Flankenspiel . . . . . . . . . . .

G 123

8.3 Schmierung und Khlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G 124

8.4 Werkstoffe und Wrmebehandlung –Verzahnungsherstellung . . . . . . . . .

G 126

8.5 Tragfhigkeit von Gerad- und Schrgstirnrdern . . . . . . . . . . . . . . .

G 126

8.5.1 Zahnschden und Abhilfen G 126. – 8.5.2 Pflichtenheft G 127. – 8.5.3 Anhaltswerte fr die Dimensionierung G 127. – 8.5.4 Nachrechnung der Tragfhigkeit G 127.

8.6 Kegelrder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G 134

8.6.1 Geradzahn-Kegelrder G 134. – 8.6.2 Kegelrder mit Schrg- oder Bogenverzahnung G 134. – 8.6.3 Zahnform G 134. – 8.6.4 Kegelrad-Geometrie G 134. – 8.6.5 Tragfhigkeit G 135. – 8.6.6 Lagerkrfte G 135. – 8.6.7 Hinweise zur Konstruktion von Kegelrdern G 135. – 8.6.8 Sondergetriebe G 135.

8.7 Stirnschraubrder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G 136

8.8 Schneckengetriebe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G 136

8.8.1 Zylinderschnecken-Geometrie G 136. – 8.8.2 Auslegung G 137. – 8.8.3 Zahnkrfte, Lagerkrfte G 138. – 8.8.4 Geschwindigkeiten, Beanspruchungskennwerte G 138. – 8.8.5 Reibungszahl, Wirkungsgrad G 138. – 8.8.6 Nachrechnung der Tragfhigkeit G 140. – 8.8.7 Gestaltung, Werkstoffe, Lagerung, Genauigkeit, Schmierung, Montage G 141.

8.9 Umlaufgetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G 142

8.9.1 Kinematische Grundlagen, Bezeichnungen G 142. – 8.9.2 Allgemeingltigkeit der Berechnungsgleichungen G 143. – 8.9.3 Vorzeichenregeln G 144. – 8.9.4 Drehmomente, Leistungen, Wirkungsgrade G 144. – 8.9.5 Selbsthemmung und Teilhemmung G 146. – 8.9.6 Konstruktive Hinweise G 146. – 8.9.7 Auslegung einfacher Planetengetriebe G 147. – 8.9.8 Zusammengesetzte Planetengetriebe G 148.

8.10 Gestaltung der Zahnradgetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G 150

8.10.1 Bauarten G 150. – 8.10.2 Anschluss an Motor und Arbeitsmaschine G 152. – 8.10.3 Gestalten und Bemaßen der Zahnrder G 152. – 8.10.4 Gestalten der Gehuse G 152. – 8.10.5 Lagerung G 153.

Getriebetechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G 154

9.1 Getriebesystematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G 154

9

9.1.1 Grundlagen G 154. – 9.1.2 Arten ebener Getriebe G 155.

9.2 Getriebeanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G 158

9.2.1 Kinematische Analyse ebener Getriebe G 158. – 9.2.2 Kinetostatische Analyse ebener Getriebe G 160. – 9.2.3 Kinematische Analyse rumlicher Getriebe G 161. – 9.2.4 Laufgte der Getriebe G 161.

9.3 Getriebesynthese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G 162

9.3.1 Viergelenkgetriebe G 162. – 9.3.2 Kurvengetriebe G 163.

9.4 Sondergetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G 164

10

Anhang G: Diagramme und Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G 165

11

Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G 182

IInhaltsverzeichnis

XXIII

H Fluidische Antriebe 1

Grundlagen der fluidischen Energie
bertragung . . . . . . . . . . . . . . H 1

1.1 Der Fließprozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H 1 1.1.1 Energie
bertragung durch Fl
ssigkeiten H 1. – 1.1.2 Energie
bertragung durch Gase H 3.

1.2 Hydraulikfl
ssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H 3 1.3 Systematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H 4 1.3.1 Aufbau und Funktion der Hydrogetriebe H 4. – 1.3.2 Ordnung der Fluidgetriebe H 4.

2

Bauelemente hydrostatischer Getriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . H 4

2.1 Verdrngermaschinen mit rotierender Welle . . . . . . . . . . . . . . . . . H 4 2.1.1 Zahnradpumpen und Zahnring-(Gerotor-)pumpen H 6. – 2.1.2 Fl
gelzellenpumpen H 7. – 2.1.3 Kolbenpumpen H 8. – 2.1.4 Andere Pumpenbauarten H 8. – 2.1.5 Hydromotoren in Umlaufverdrngerbauart H 10. – 2.1.6 Hydromotoren in Hubverdrnger-(Kolben-)bauart H 10.

2.2 Verdrngermaschinen mit translatorischem (Ein- und) Ausgang . . . . . . . .

H 10

2.3 Hydroventile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

H 10

2.3.1 Wegeventile H 10. – 2.3.2 Sperrventile H 12. – 2.3.3 Druckventile H 12. – 2.3.4 Stromventile H 13. – 2.3.5 Proportionalventile H 13.

2.4 Hydraulikzubehr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

H 14

Aufbau und Funktion der Hydrogetriebe . . . . . . . . . . . . . . . .

H 14

3.1 Hydrokreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

H 14

3

3.1.1 Offener Kreislauf (Bild 1 a) H 14. – 3.1.2 Geschlossener Kreislauf (Bild 1 b) H 14. – 3.1.3 Halboffener Kreislauf H 15.

3.2 Funktion der Hydrogetriebe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

H 15

3.2.1 Berechnung des stationren Betriebsverhaltens H 15. – 3.2.2 Dynamisches Betriebsverhalten H 15.

3.3 Steuerung der Getriebe
bersetzung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

H 15

3.3.1 Getriebe mit Verstelleinheiten H 15. – 3.3.2 Selbstttig arbeitende Regler und Verstellungen an Verstellmaschinen H 16. – 3.3.3 Stromteilgetriebe H 17.

Ausf
hrung und Auslegung von Hydrogetrieben . . . . . . . . . . . . .

H 17

4.1 Getriebeschaltung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

H 17

4.2 Auslegung von Hydrokreisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

H 18

4

Pneumatische Antriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

H 19

5.1 Bauelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

H 19

5.2 Schaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

H 20

6

Anhang H: Diagramme und Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . .

H 21

7

Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

H 23

5

I Mechatronische Systeme Mechatronik: Methodik und Komponenten . . . . . . . . . . . . . . . .

I1

1.1 Einf
hrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I1

1.2 Basisdisziplinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I1

1.3 Modellbildung und Entwurf. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I1

1.4 Komponenten mechatronischer Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I3

1

1.4.1 Sensoren I 3. – 1.4.2 Aktoren I 3. – 1.4.3 Prozeßdatenverarbeitung und Bussysteme I 4.

Elektronische Bauelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I6

2.1 Passive Komponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I6

2

2.1.1 Aufbau elektronischer Schaltungen I 6. – 2.1.2 Widerstnde I 6. – 2.1.3 Kapazitten I 7. – 2.1.4 Induktivitten I 7.

2.2 Dioden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I8

2.2.1 Diodenkennlinien und Daten I 8. – 2.2.2 Schottky-Dioden I 8. – 2.2.3 Kapazittsdioden I 8. – 2.2.4 Z-Dioden I 8. – 2.2.5 Leistungsdioden I 9.

2.3 Transistoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Bipolartransistoren I 9. – 2.3.2 Feldeffekttransistoren I 10. – 2.3.3 IGB-Transistoren I 11.

I9

XXIV

Inhaltsverzeichnis

2.4 Thyristoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I 11

2.4.1 Thyristorkennlinien und Daten I 12. – 2.4.2 Steuerung des Thyristors I 13. – 2.4.3 Triacs, Diacs I 13. – 2.4.4 Abschaltbare Thyristoren I 13.

2.5 Operationsverst
rker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I 13

2.6 Optoelektronische Komponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I 14

2.6.1 Optoelektronische Empf
nger I 15. – 2.6.2 Optoelektronische Sender I 15. – 2.6.3 Optokoppler I 16.

Aufbau mechatronischer Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I 16

3.1 Einfhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I 16

3.2 Beispiele mechatronischer Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I 16

Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I 18

3

4

K Komponenten des thermischen Apparatebaus Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

K1

1.1 Unterscheidungsmerkmale von w
rmebertragenden Apparaten . . . . . . . . .

K1

1.2 W
rme- und strmungstechnische Auslegung. . . . . . . . . . . . . . . . . .

K1

1

1.2.1 W
rmetechnische Auslegung von Rekuperatoren K 1. – 1.2.2 W
rmetechnische Auslegung von Regeneratoren K 3. – 1.2.3 Druckverlustberechnung K 3.

1.3 Stromfhrung und Betriebscharakteristik w
rmebertragender Apparate. . . . . .

K4

1.4 Wirkungsgrade, Exergieverluste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

K4

1.4.1 Wirkungsgrade K 4. – 1.4.2 Exergieverluste K 5.

Konstruktionselemente von Apparaten und Rohrleitungen . . . . . . . . . .

K5

2.1 Berechnungsgrundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

K5

2

2.2 Zylindrische M
ntel und Rohre unter innerem berdruck . . . . . . . . . . . .

K5

2.3 Zylindrische M
ntel unter
ußerem berdruck . . . . . . . . . . . . . . . . .

K6

2.4 Ebene Bden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

K7

2.5 Gewlbte Bden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

K9

2.6 Ausschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K 10 2.7 Flanschverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K 11 2.7.1 Schrauben K 11. – 2.7.2 Flansche K 13.

2.8 Rohrleitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K 15 2.8.1 Rohrdurchmesser K 15. – 2.8.2 Strmungsverluste K 15. – 2.8.3 Rohrarten, Normen, Werkstoffe K 15. – 2.8.4 Rohrverbindungen K 16. – 2.8.5 Dehnungsausgleicher K 17. – 2.8.6 Rohrhalterungen K 18.

2.9 Absperr- und Regelorgane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K 18 2.9.1 Allgemeines K 18. – 2.9.2 Ventile K 20. – 2.9.3 Schieber K 21. – 2.9.4 H
hne (Drehschieber) K 21. – 2.9.5 Klappen K 21.

2.10 Dichtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K 22 2.10.1 Berhrungsdichtungen an ruhenden Fl
chen K 22. – 2.10.2 Berhrungsdichtungen an gleitenden Fl
chen K 23.

3

Bauarten von W
rmebertragern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K 24

3.1 Rohrbndelapparate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K 24 3.2 Sonstige Bauarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K 25 4

Kondensation und Rckkhlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K 27

4.1 Grundbegriffe der Kondensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K 27 4.2 Oberfl
chenkondensatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K 28 4.2.1 W
rmetechnische Berechnung K 28. – 4.2.2 Kondensatoren in Dampfkraftanlagen K 28. – 4.2.3 Kondensatoren in der chemischen Industrie K 28. – 4.2.4 Konstruktive Gesichtspunkte K 28.

4.3 Einspritz-(Misch-)Kondensatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K 29 4.4 Luftgekhlte Kondensatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K 29 4.5 Hilfsmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K 30 4.5.1 Trockenluftpumpen K 30. – 4.5.2 Khlwasser- und Kondensatpumpen K 30.

IInhaltsverzeichnis 4.6 Indirekte Luftk
hlung und R
ckk
hlanlagen . . . . . . . . . . . . . . . .

XXV K 31

4.6.1 Bauarten K 31. – 4.6.2 Berechnung K 32.

5

Anhang K: Diagramme und Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . .

K 33

6

Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

K 35

L

Energietechnik und Wirtschaft

1

Grunds
tze der Energieversorgung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 1

1.1 Planung und Investitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 2 1.2 Elektrizittswirtschaft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 3 1.3 Gaswirtschaft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 5 1.4 Fernwrmewirtschaft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 6 2

Prim
renergien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 7

2.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 7 2.2 Feste Brennstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 7 2.3 Fl
ssige Brennstoffe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 9 2.4 Gasfrmige Brennstoffe oder Brenngase . . . . . . . . . . . . . . . . .

L 11

2.5 Kernbrennstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

L 13

2.6 Regenerative Energien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

L 15

Wandlung von Prim
renergie in Nutzenergie . . . . . . . . . . . . . .

L 17

3.1 Erzeugung elektrischer Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

L 17

3

3.1.1 Wrmekraftwerke L 17. – 3.1.2 Kernkraftwerke L 22. – 3.1.3 Kombi-Kraftwerke L 23. – 3.1.4 Motorkraftwerke L 25. – 3.1.5 Brennstoffzelle L 25.

3.2 Kraft-Wrme-Kopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

L 26

3.3 Wandlung regenerativer Energien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

L 28

3.3.1 Wasserkraftanlagen (s. L 2.6) L 28. – 3.3.2 Windkraftanlagen L 28. – 3.3.3 Anlagen zur Nutzung der Sonnenenergie L 29. – 3.3.4 Wrmepumpen L 31.

Verteilen und Speicherung von Nutzenergie . . . . . . . . . . . . . . .

L 31

4.1 Energietransport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

L 31

4

4.1.1 Mineralltransporte L 31. – 4.1.2 Erdgastransporte L 32. – 4.1.3 Elektrische Verbundnetze L 33. – 4.1.4 Fernwrmetransporte L 34.

4.2 Energiespeicherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

L 34

Feuerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

L 36

5.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

L 36

5

5.1.1 Verbrennungsvorgang L 36. – 5.1.2 Kennzahlen L 36. – 5.1.3 Druckzustnde L 37. – 5.1.4 Emissionen L 38.

5.2 Feuerungen f
r feste Brennstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

L 39

5.2.1 Rostfeuerungen L 39. – 5.2.2 Kohlenstaubfeuerung L 40. – 5.2.3 Wirbelschichtfeuerung L 43.

5.3 Feuerungen f
r fl
ssige Brennstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

L 44

5.3.1 Besondere Eigenschaften L 44. – 5.3.2 Brenner L 45. – 5.3.3 Gesamtanlage L 45.

5.4 Feuerungen f
r gasfrmige Brennstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . .

L 45

5.4.1 Verbrennung und Brennereinteilung L 45 – 5.4.2 Brennerbauarten L 46.

5.5 Allgemeines Feuerungszubehr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

L 46.

5.5.1 Geblse L 46. – 5.5.2 Schornstein L 46

5.6 Umweltschutztechnologien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

L 46

5.6.1 Rauchgasentstaubung L 46. – 5.6.2 Rauchgasentschwefelung L 47. – 5.6.3 Rauchgasentstickung L 49. – 5.6.4 Entsorgung der Kraftwerksnebenprodukte L 49.

Dampferzeuger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

L 50

6.1 Angaben zum System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

L 50

6

6.1.1 Bauarten L 50. – 6.1.2 Dampferzeugersysteme L 50. – 6.1.3 Dr
cke L 51. – 6.1.4 Temperaturen L 51. – 6.1.5 Leistung L 51. – 6.1.6 Sicherheit L 51.

XXVI

Inhaltsverzeichnis

6.2 Ausgef
hrte Dampferzeuger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 52 6.2.1 Großwasserraumkessel L 52. – 6.2.2 Naturumlaufkessel f
r fossile Brennstoffe L 52. – 6.2.3 Zwanglaufkessel f
r fossile Brennstoffe L 53. – 6.2.4 Dampferzeuger f
r Kernreaktoren [10] L 55.

6.3 Teile und Bauelemente von Dampferzeugern . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 55 6.3.1 Verdampfer L 55. – 6.3.2 berhitzer und Zwischen
berhitzer L 57. – 6.3.3 Speisewasservorwrmer (Eco) L 58. – 6.3.4 Luftvorwrmer (Luvo) L 58. – 6.3.5 Speisewasseraufbereitung L 59

6.4 Wrmetechnische Berechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 59 6.4.1 Energiebilanz und Wirkungsgrad L 59. – 6.4.2 Ermittlung der Heizflche L 60. – 6.4.3 Strmungswiderstnde L 60. – 6.4.4 Festigkeitsberechnung L 61.

7

Kernreaktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 61

7.1 Bauteile des Reaktors und Reaktorgebude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 61 7.2 Sicherheitstechnik von Kernreaktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 61 7.3 Funktionsbedingungen f
r Kernreaktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 62 7.4 Bauarten von Kernreaktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 63 7.4.1 Leichtwasserreaktoren (LWR) L 63. – 7.4.2 Weiterentwicklung der Leichtwasserreaktortechnik L 65. – 7.4.3 Schwerwasserreaktoren L 66. – 7.4.4 Gasgek
hlte thermische Reaktoren L 66. – 7.4.5 Schnelle Brutreaktoren (SNR) L 67. – 7.4.6 Kennwerte von Reaktortypen L 67.

7.5 Kernfusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 67 8

Anhang L: Diagramme und Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 69

9

Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 71

M Klimatechnik Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M1

1.1 Aufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M1

1.2 Meteorologische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M2

1

1.2.1 Lufttemperatur M 2. – 1.2.2 Luftfeuchte M 3. – 1.2.3 Wind M 3. – 1.2.4 Sonnenstrahlung M 3.

1.3 Hygienische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M3

1.3.1 Raumklima M 3. – 1.3.2 Lufterneuerung in Rumen M 4. – 1.3.3 Behagliches Raumklima in Aufenthalts- und Arbeitsrumen M 4. – 1.3.4 Ertrgliches Raumklima in Arbeitsrumen und Industriebetrieben M 6.

1.4 Kltetechnische Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M6

1.4.1 Allgemeines M 6. – 1.4.2 Kaltdampf-Kompressionsklteanlage M 8. – 1.4.3 Absorptionsklteanlage M 9. – 1.4.4 Verdunstungsk
hlverfahren M 10. – 1.4.5 Kltemittel, Kltemaschinenle und K
hlsolen M 10.

1.5 Heiztechnische Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M 15

1.6 Raumlufttechnische Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M 15

Berechnungs- und Bemessungsgrundlagen der Heiz- und Raumlufttechnik .

M 17

2.1 Wrmebedarf, Heizlast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M 17

2

2.1.1 Transmissionswrmeverluste M 17. – 2.1.2 L
ftungswrmeverluste M 17. – 2.1.3 Aufheizzuschlag M 18. – 2.1.4 Sonderflle M 18.

2.2 K
hllast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M 18

2.2.1 Innere K
hllast M 18. – 2.2.2 ußere K
hllast M 19.

2.3 Luftbedarf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M 20

2.3.1 Luftheizung M 20. – 2.3.2 L
ftung M 20. – 2.3.3 Luftk
hlung M 21. – 2.3.4 Klimaanlagen M 21.

2.4 Leitungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M 21

2.4.1 Rohrnetz f
r Warm- und Heißwasserleitungen M 22. – 2.4.2 Kanalnetz f
r raumlufttechnische Anlagen M 22. – 2.4.3 Luftf
hrung im Raum M 23.

Systeme und Bauteile der Heizungstechnik. . . . . . . . . . . . . . . . .

M 24

3.1 Einzelheizung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M 24

3

3.1.1 Einzelheizgerte f
r Wohnrume M 24. – 3.1.2 Einzelheizgerte f
r grßere Rume und Hallen M 24.

3.2 Zentralheizung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Systeme M 25. – 3.2.2 Raum-Heizkrper, -Heizflchen M 25. – 3.2.3 Rohrnetz M 27. – 3.2.4 Armaturen M 29. – 3.2.5 Umwlzpumpen M 29. – 3.2.6 Wrmeerzeugung M 30. – 3.2.7 Heizzentrale M 34. – 3.2.8 Regelung und Steuerung M 35. – 3.2.9 Wrmeverbrauchsermittlung M 35.

M 25

IInhaltsverzeichnis

XXVII

Systeme und Bauteile der Raumlufttechnik . . . . . . . . . . . . . . .

M 37

4.1 Einrichtungen zur freien L
ftung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M 37

4

4.1.1 Fensterl
ftung M 37. – 4.1.2 Schachtl
ftung M 37. – 4.1.3 Dachaufsatzl
ftung M 37. – 4.1.4 Freie L
ftung, verstrkt durch Ventilatoren M 38.

4.2 Raumlufttechnische Anlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M 38

4.2.1 Klassifizierung raumlufttechnischer Systeme M 38. – 4.2.2 Systeme von Klimaanlagen M 39. 4.2.3 Luftf
hrung und Luftdurchlsse M 46. – 4.2.4 Kanalnetz M 51. – 4.2.5 Luftverteilung M 52. – 4.2.6 L
ftungs- und Klimazentralen M 52. – 4.2.7 Ventilatoren M 53. – 4.2.8 Filter M 57. – 4.2.9 Lufterhitzer, -k
hler M 58. – 4.2.10 Luftbefeuchter M 59. – 4.2.11 Luftentfeuchter M 60. – 4.2.12 Schalldmpfer M 61. – 4.2.13 Nachbehandlungsgerte mit Luftfrderung M 61. – 4.2.14 Wrmer
ckgewinnung M 62. – 4.2.15 Schaltung und Regelung M 63.

Systeme und Bauteile der k
ltetechnischen Anlagen. . . . . . . . . . . .

M 63

5.1 Anwendungen und Bauarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M 63

5.2 Bauteile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M 63

5

5.2.1 Kltemittelverdichter M 63. – 5.2.2 Verdampfer M 66. – 5.2.3 Verfl
ssiger M 66. – 5.2.4 Kltemittelkreislufe M 66. – 5.2.5 Wasserkreislufe M 68.

5.3 Direktverdampfer-Anlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M 69

5.3.1 Verfl
ssigerstze, Splitgerte f
r Klimaanlagen M 69. – 5.3.2 Direktverdampfer-Anlagen f
r EDVKlimagerte M 70.

5.4 Kaltwasserstze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M 70

5.4.1 Kaltwassersatz mit Kolbenverdichter M 70. – 5.4.2 Kaltwassersatz mit Schraubenverdichter M 70. – 5.4.3 Kaltwassersatz mit Turboverdichter M 71. – 5.4.4 Absorptions- Kaltwassersatz M 71.

5.5 R
ckk
hlwerke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M 72

5.5.1 Bauarten und Zubehr M 72. – 5.5.2 R
ckk
hlsysteme M 73. – 5.5.3 K
hlwassertemperaturen im Jahresverlauf M 73. – 5.5.4 Wasserbehandlung M 74.

5.6 Kaltwasserverteilsysteme f
r RLT-Anlagen . . . . . . . . . . . . . . . .

M 74

5.7 Systeme f
r ganzjhrigen K
hlbetrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M 74

5.8 Speichersysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M 75

Systeme und Bauteile der W
rmepumpenanlagen . . . . . . . . . . . .

M 78

6.1 Anwendungen und Bauarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M 78

6.2 Bauteile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M 80

6.3 Kleinwrmepumpen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M 80

6

6.4 Kaltdampfkompressions-Wrmepumpen grßerer Leistung . . . . . . . . . .

M 81

6.5 Absorptionswrmepumpen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M 82

6.6 Wrmepumpensysteme nur f
r Heizbetrieb . . . . . . . . . . . . . . . .

M 82

6.7 Systeme f
r gleichzeitigen K
hl- und Heizbetrieb. . . . . . . . . . . . . .

M 83

Sonderklima- und Khlanlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M 84

7.1 Grubenk
hlanlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M 84

7.2 Fahrzeuganlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M 86

7.3 Klimapr
fschrnke und -kammern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M 87

7

Wirtschaftlichkeit und Energieverbrauch . . . . . . . . . . . . . . . .

M 88

8.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M 88

9

Anhang M: Diagramme und Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M 89

10

Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M 91

N

Grundlagen der Verfahrenstechnik

1

Einfhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 2

2

Mechanische Verfahrenstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 3

8

2.1 Einf
hrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 3

XXVIII

Inhaltsverzeichnis

2.2 Zerkleinern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

N3

2.2.1 Bruchphysik; Zerkleinerungstechnische Stoffeigenschaften N 3. – 2.2.2 Zerkleinerungsmaschinen N 4.

2.3 Agglomerieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

N5

2.3.1 Bindemechanismen, Agglomeratfestigkeit N 5. – 2.3.2 Agglomerationstechnik N 5.

2.4 Trennen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

N6

2.4.1 Abscheiden von Partikeln aus Gasen N 6. – 2.4.2 Abscheiden von Feststoffpartikeln aus Fl
ssigkeiten N 7. – 2.4.3 Klassieren in Gasen N 8.

2.5 Mischen von Feststoffen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

N8

2.6 Bunkern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

N9

2.6.1 Fließverhalten von Sch
ttg
tern N 9. – 2.6.2 Dimensionierung von Bunkern N 9.

3

Thermische Verfahrenstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 10

3.1 Absorbieren, Rektifizieren, Fl
ssig-fl
ssig-Extrahieren . . . . . . . . . . . . . N 10 3.1.1 Durchsatz N 10. – 3.1.2 Stofftrennung N 10.

3.2 Verdampfen und Kristallisieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 13 3.3 Adsorbieren, Trocknen, Fest-fl
ssig-Extrahieren . . . . . . . . . . . . . . . . N 14 3.4 Membrantrennverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 16 4

Chemische Verfahrenstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 18

4.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 18 4.2 Stchiometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 19 4.3 Chemische Thermodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 19 4.4 Kinetik chemischer Reaktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 20 4.5 Ideale isotherme Reaktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 21 4.6 Reale Reaktoren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 23 5

Mehrphasenstr
mungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 26

5.1 Einphasenstrmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 26 5.2 Widerstand fester und fluider Partikel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 26 5.3 Feststoff/Fluidstrmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 27 5.3.1 Pneumatische Frderung N 27. – 5.3.2 Hydraulische Frderung N 31. – 5.3.3 Wirbelschicht N 31.

5.4 Gas-/Fl
ssigkeitsstrmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 32 5.4.1 Strmungsform N 32. – 5.4.2 Druckverlust N 33. – 5.4.3 Filmstrmung N 33.

6

Bioverfahrenstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 34

6.1 Mikroorganismen mit technischer Bedeutung . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 34 6.1.1 Bakterien N 34. – 6.1.2 Pilze N 35. – 6.1.3 Hefen N 35. – 6.1.4 Algen N 36. – 6.1.5 Viren N 36. – 6.1.6 Pflanzliche und tierische Zellen (Gewebe) N 36.

6.2 Kultivierungsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 36 6.2.1 Wachstumsbedingungen N 36. – 6.2.2 Phnomenologie des Wachstums N 37. – 6.2.3 Ablauf technischer Fermentationen N 38.

6.3 Sterilisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 40 6.3.1 Hitzesterilisation N 40. – 6.3.2 Sterilfiltration N 42.

6.4 Bioreaktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 42 6.4.1 Oberflchenkultivierung N 42. – 6.4.2 Submerskultivierung N 42. – 6.4.3 Mess- und Regelungstechnik N 44. – 6.4.4 Schaumzerstrung N 45. – 6.4.5 Steriler Betrieb N 45.

6.5 Kinetik enzymatischer Reaktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 45 6.5.1 Katalytische Wirkung der Enzyme N 45. – 6.5.2 Michaelis-Menten-Kinetik N 46. – 6.5.3 Transformationen der Michaelis-Menten-Gleichung N 46. – 6.5.4 Einfluss von Temperatur, pH-Wert, Inhibitoren und Aktivatoren N 46.

6.6 Kinetik des mikrobiellen Wachstums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N 48 6.6.1 Substratlimitiertes Wachstum N 48. – 6.6.2 Wachstumshemmung N 49. – 6.6.3 Wachstum mit Transportlimitierung N 49. – 6.6.4 Wachstum in kontinuierlicher Kultivierung N 49. – 6.6.5 Fed-BatchKultivierung N 51. – 6.6.6 Zellerhaltung N 52.

IInhaltsverzeichnis

XXIX

O Maschinendynamik 1

Kurbeltrieb, Massenkr
fte und -momente, Schwungradberechnung. . . . . . O 1

1.1 Drehkraftdiagramm von Mehrzylindermaschinen . . . . . . . . . . . . . . . O 1 1.2 Massenkr
fte und Momente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O 3 1.2.1 Analytische Verfahren O 3. – 1.2.2 Ausgleich der Kr
fte und Momente O 8.

2

Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O 9

2.1 Problematik der Maschinenschwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . O 9 2.2 Einige Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O 9 2.2.1 Mechanisches Ersatzsystem O 9. – 2.2.2 Bewegungsgleichungen, Systemmatrizen O 9. – 2.2.3 Modale Parameter: Eigenfrequenzen, modale D
mpfungen, Eigenvektoren O 10. – 2.2.4 Modale Analyse O 11. – 2.2.5 Frequenzgangfunktionen mechanischer Systeme, Amplituden- und Phasengang O 11.

2.3 Grundaufgaben der Maschinendynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . .

O 12

2.3.1 Direktes Problem O 12. – 2.3.2 Eingangsproblem O 13. – 2.3.3 Identifikationsproblem O 13. – 2.3.4 Entwurfsproblem O 13. – 2.3.5 Verbesserung des Schwingungszustands einer Maschine O 13.

2.4 Darstellung von Schwingungen im Zeit- und Frequenzbereich . . . . . . . . .

O 14

2.4.1 Darstellung von Schwingungen im Zeitbereich O 14. – 2.4.2 Darstellung von Schwingungen im Frequenzbereich O 14.

2.5 Entstehung von Maschinenschwingungen, Erregerkr
fte FðtÞ . . . . . . . . .

O 15

2.5.1 Freie Schwingungen (Eigenschwingungen) O 15. – 2.5.2 Selbsterregte Schwingungen O 16. – 2.5.3 Parametererregte Schwingungen O 16. – 2.5.4 Erzwungene Schwingungen O 16.

2.6 Mechanische Ersatzsysteme, Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . .

O 19

2.6.1 Strukturfestlegung O 19. – 2.6.2 Parameterermittlung O 20. – 2.6.3 Beispiele fr mechanische Ersatzsysteme: Feder-Masse-D
mpfer-Modelle O 20. – 2.6.4 Beispiele fr mechanische Ersatzsysteme: Finite-Elemente-Modelle O 21.

2.7 Anwendungsbeispiele fr Maschinenschwingungen . . . . . . . . . . . . .

O 22

2.7.1 Drehschwinger mit zwei Drehmassen O 22. – 2.7.2 Torsionsschwingungen einer Turbogruppe O 23. – 2.7.3 Biegeschwingungen einer mehrstufigen Kreiselpumpe O 24.

Maschinenakustik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

O 27

3.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

O 27

3.2 Entstehung von Maschinenger
uschen . . . . . . . . . . . . . . . . . .

O 29

3.3 Absch
tzverfahren zur Bestimmung des Schallleistungspegels. . . . . . . . .

O 29

3.4 Mglichkeiten zur Verminderung von Maschinenger
uschen . . . . . . . . .

O 31

3

3.4.1 Verminderung des Kraftpegels (Maßnahmen an der Krafterregung) O 31. – 3.4.2 Verminderung von Krperschallmaß und Abstrahlmaß (Maßnahmen am Maschinengeh
use) O 31.

3.5 Maschinenakustische Berechnungen mit der Finite-Elemente-Methode/ BoundaryElemente-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

O 33

3.6 Maschinenakustische Berechnungen mit der Statistischen Energieanalyse (SEA) .

O 34

3.7 Messung des akustischen Verhaltens von Maschinen . . . . . . . . . . . .

O 35

4

Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

O 36

P

Kolbenmaschinen

1

Allgemeine Grundlagen der Kolbenmaschinen . . . . . . . . . . . . . . .

P2

1.1 Definition und Einteilung der Kolbenmaschinen . . . . . . . . . . . . . . .

P2

1.2 Vollkommene und reale Kolbenmaschine . . . . . . . . . . . . . . . . . .

P2

1.2.1 Die vollkommene Maschine P 2. – 1.2.2 Die reale Maschine P 3.

1.3 Hubkolbenmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

P4

1.3.1 Triebwerksbauarten P 4. – 1.3.2 Kinematik des Kurbeltriebs P 5. – 1.3.3 Kr
fte am Kurbeltrieb P 6.

1.4 Elemente der Kolbenmaschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

P8

1.4.1 Kurbeltrieb P 8. – 1.4.2 Abdichten des Arbeitsraumes P 10. – 1.4.3 Zylinderanordnung und -zahl P 11. – P 11. – 1.4.4 Lagerung und Schmierung P 12. – 1.4.5 Khlung P 12.

Verdr
ngerpumpen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

P 13

2.1 Bauarten und Anwendungsgebiete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

P 13

2

XXX

Inhaltsverzeichnis

2.2 Berechnungsgrundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 14 2.2.1 F
rderh
hen, Geschwindigkeiten und Drcke P 14. – P 14. – 2.2.2 F
rderleistung, Antriebsleistung, Gesamtwirkungsgrad P 15. – 2.2.3 Instationre Str
mung P 15. – 2.2.4 Kavitation P 15. – 2.2.5 Pulsationsdmpfung P 16. – P 16.

2.3 Verlustteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 17 2.3.1 Betriebsverhalten der verlustfreien Verdrngerpumpe P 17. – 2.3.2 Definition von Wirkungsgraden P 17. – 2.3.3 Volumetrische Verluste P 18. – 2.3.4 Mechanisch-hydraulische Verluste P 18. – 2.3.5 Nutzliefergrad und Gesamtwirkungsgrad P 18.

2.4 Auslegung und Hauptabmessungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 19 2.4.1 Oszillierende Verdrngerpumpen P 19. – 2.4.2 Rotierende Verdrngerpumpen P 20.

2.5 Baugruppen und konstruktive Gestaltung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 21 2.5.1 Baugruppen zur Ein- und Auslaßsteuerung P 21. 2.5.2 Verstellung und Regelung P 22. – 2.5.3 Verwendungsbedingte Gestaltung P 22.

3

Kompressoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 26

3.1 Bauarten und Anwendungsgebiete. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 26 3.2 Grundlagen und Vergleichsprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 26 3.2.1 Volumenstrom, Eintrittspunkt, Austrittspunkt P 26. – 3.2.2 Verdichtung idealer und realer Gase P 26. – 3.2.3 Vergleichsprozesse fr einstufige Verdichtung P 28. – 3.2.4 Definition von Wirkungsgraden P 29. – 3.2.5 Mehrstufige Verdichtung P 29. – 3.2.6 Verdichtung feuchter Gase P 30.

3.3 Arbeitszyklus, Liefergrade und Druckverluste . . . . . . . . . . . . . . . . . P 30 3.3.1 Arbeitszyklus P 30. – 3.3.2 Liefergrade P 31. – 3.3.3 Druckverluste P 32.

3.4 Auslegung und Hauptabmessungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 33 3.4.1 Hubkolbenverdichter P 33. – 3.4.2 Schraubenverdichter P 34. – 3.4.3 Rotationsverdichter P 35. – 3.4.4 Flssigkeitsringverdichter P 36. – 3.4.5 Roots-Geblse P 36.

3.5 Ein- und Auslaßsteuerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 37 3.5.1 Aufbau selbstttiger Ventile P 37. – 3.5.2 Ventileinbau P 37. – 3.5.3 Ventilauslegung P 38.

3.6 Regelung und Betriebsverhalten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 39 3.6.1 Regelung P 39. – 3.6.2 Betriebsverhalten P 41. – P 41.

3.7 Bauformen und Baugruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 42 3.7.1 Hubkolbenverdichter P 42. – 3.7.2 Membranverdichter P 43. – 3.7.3 Schraubenverdichter P 43. – 3.7.4 Rotationsverdichter P 43.

4

Verbrennungsmotoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 46

4.1 Einteilung und Verwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 46 4.2 Arbeitsverfahren und Arbeitsprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 46 4.2.1 Arbeitsverfahren P 46. – 4.2.2 Vergleichsprozesse P 47. – 4.2.3 Wirklicher Arbeitsprozeß P 48.

4.3 Ladungswechsel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 52 4.3.1 Kenngr
ßen des Ladungswechsels P 52. – 4.3.2 Steuerorgane fr den Ladungswechsel

4.4 Verbrennung im Motor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 60 4.4.1 Motoren-Kraftstoffe P 60. – 4.4.2 Gemischbildung und Verbrennung im Ottomotor P 60. 4.4.3 Gemischbildung und Verbrennung im Dieselmotor P 62. – 4.4.4 Hybride Verfahren fr Gemischbildung und Verbrennung P 63.

4.5 Verfahren zur Gemischbildung und Zndung bei Ottomotoren . . . . . . . . . . P 64 4.5.1 Anforderungen an Gemischbildung P 64. – 4.5.2 Vergaser P 64. – 4.5.3 Saugrohr-BenzinEinspritzung P 64. – 4.5.4 Direkte Benzin-Einspritzung P 65. – 4.5.5 Zndausrstung P 66.

4.6 Einrichtungen zur Gemischbildung und Zndung bei Dieselmotoren . . . . . . . P 67 4.6.1 Einspritzsysteme P 67. – 4.6.2 Einspritzdse P 69. – 4.6.3 Start- und Zndhilfen P 70. – P 70.

4.7 Betriebsverhalten und Kenngr
ßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 71 4.7.1 Leistung, Drehmoment und Verbrauch P 71. – 4.7.2 Kenngr
ßen P 72. – 4.7.3 Umweltverhalten P 72. – 4.7.4 Verbrennungsmotor als Antriebsaggregat P 76.

4.8 Konstruktion von Motoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 78 4.8.1 hnlichkeitsbeziehungen und Beanspruchung P 78. – 4.8.2 Motorbauarten P 79. – 4.8.3 Motorbauteile P 81. – 4.8.4 Ausgefhrte Motorkonstruktionen P 83.

5

Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 88

Q Fahrzeugtechnik Kraftfahrzeuge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Q2

1.1 Definition und allgemeine Anforderungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Q2

1

1.1.1 Definition Q 2. – 1.1.2 Allgemeine Anforderungen Q 2.

IInhaltsverzeichnis

XXXI

1.2 Fahrwiderstand und Antrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Q 3 1.2.1 Gesamtwiderstand Q 3. – 1.2.2 Zugkraftdiagramm Q 5. – 1.2.3 Kraftstoffverbrauch beeinflussende Maßnahmen Q 5. – 1.2.4 Dynamische Kr
fte Q 5.

1.3 Antriebsstrang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Q 5 1.3.1 Bauformen Q 5. – 1.3.2 Kennungswandler Q 6. – 1.3.3 Gelenkwellen Q 10. – 1.3.4 Antriebsschlupfregelung ASR Q 10. – 1.3.5 Alternative Antriebsformen Q 10.

1.4 Bremsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Q 11

1.4.1 Gesetzliche Anforderungen Q 11. – 1.4.2 Physikalische Grundlagen Q 12. – 1.4.3 Bremsregelung Q 13. – 1.4.4 Bremsenbauarten Q 13. – 1.4.5 Bremsanlagen fr Nkw Q 15. – 1.4.6 Dauer-Bremsanlagen Q 15.

1.5 Fahrwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Q 18

1.5.1 Reifen und Felgen Q 18. – 1.5.2 Radaufh
ngung und Radfhrung Q 23. – 1.5.3 Federn Q 25. – 1.5.4 D
mpfung Q 28. – 1.5.5 Geregelte Feder-/D
mpfersysteme im Fahrwerk Q 29. – 1.5.6 Lenkungen Q 30.

1.6 Querdynamik und Fahrverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Q 32

1.6.1 Offene und geschlossene Regelkreise Q 34. – 1.6.2 Bewertungskriterien Q 34. – 1.6.3 Simulationsmethoden Q 35.

1.7 Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Q 37

1.7.1 Fahrgastzelle Q 37. – 1.7.2 Innenraumgestaltung Q 38. – 1.7.3 Sicherheitsbestimmungen Q 38.

1.8 Schwingungen und Komfort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Q 40

1.8.1 Vertikaldynamik Q 40. – 1.8.2 Komfortbewertung Q 41. – 1.8.3 Innenger
usch Q 42.

1.9 Kraftr
der . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Q 43

1.9.1 Bauarten Q 43. – 1.9.2 Fahrdynamik Q 44.

1.10 Fahrzeugelektrik, -elektronik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Q 45

1.11 Automobil und Umwelt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Q 47

1.11.1 Fahrzeugabgase Q 47. – 1.11.2 Kraftstoffverbrauch Q 48. – 1.11.3 Materialeinsatz Q 48. – 1.11.4 Ger
usch Q 49. – 1.11.5 Fl
chenverbrauch Q 49.

1.12 Entwicklungsmethodik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Q 49

Schienenfahrzeuge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Q 50

2.1 Generelle Anforderungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Q 50

2

2.1.1 Fahrzeugbegrenzungsprofil Q 51. – 2.1.2 Fahrgastwechselzeiten Q 51. – 2.1.3 Lebenszykluskosten LCC Q 52.

2.2 Fahrwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Q 52

2.2.1 Grundbegriffe der Spurfhrungstechnik Q 52. – 2.2.2 Radbauarten Q 54. – 2.2.3 Radsatz Q 54. – 2.2.4 Rad-Schiene-Kontakt Q 54. – 2.2.5 Fahrwerkskonstruktionen Q 57. – 2.2.6 Neigetechnik Q 60.

2.3 Aufbau, Fahrzeugarten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Q 61

2.3.1 Rohbau Q 61. – 2.3.2 Klimaanlage Q 61. – 2.3.3 Tren Q 62. – 2.3.4 Fenster Q 63. – 2.3.5 Fhrerr
ume Q 65. – 2.3.6 Zug-Stoßeinrichtungen Q 65. – 2.3.7 Fahrzeugarten Q 67.

2.4 Antriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Q 68

2.4.1 Fahrwiderstand Q 68. – 2.4.2 Konstruktionen Q 69.

2.5 Elektrische/Elektronische Ausrstung/Diagnose . . . . . . . . . . . . . .

Q 70

2.5.1 Leistungselektrik Q 70. – 2.5.2 Diagnosetechnik Q 71.

2.6 Sicherheitstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Q 72

2.6.1 Aktive Sicherheitstechnik/Bremse, Bremsbauarten Q 72. – 2.6.2 Passive Sicherheit Q 76.

2.7 Entwicklungsmethodik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Q 78

2.7.1 Modelle Q 79. – Q 79. – 2.7.2 Fahrkomfort Q 81. – 2.7.3 Rad-Schiene-Kr
fte Q 81.

Luftfahrzeuge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Q 82

3.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Q 82

3

3.1.1 Luftverkehr Q 82. – 3.1.2 Anforderungen an den Luftverkehr und an Luftfahrzeuge Q 82. – 3.1.3 Einordnung und Konstruktionsgruppen von Luftfahrzeugen Q 83. – 3.1.4 Einordnung von Luftfahrzeugen nach Vorschriften Q 84.

3.2 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Q 85

3.2.1 Die internationale Standardatmosph
re (ISA) Q 86. – 3.2.2 Achsenkreuze Q 86. – 3.2.3 Winkel Q 86. – 3.2.4 Gewichte Q 86. – 3.2.5 Fluggeschwindigkeiten Q 88. – 3.2.6 Geometrische Beschreibung des Luftfahrzeuges Q 89. – 3.2.7 Kr
fte und Winkel im Flug Q 92. – 3.2.8 Flugsteuerung Q 93. – 3.2.9 Flugstabilit
ten Q 93.

3.3 Grundlagen der Flugphysik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Q 94

3.3.1 Einfhrung Q 94. – 3.3.2 Flugzeugpolare Q 96. – 3.3.3 Flugleistungen Q 96.

3.4 Zelle, Struktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Q 104 3.4.1 Konstruktionsphilosophien und -prinzipien Q 104. – 3.4.2 Lasten, Lastannahmen Q 106. – 3.4.3 Leichtbau Q 107. – 3.4.4 Werkstoffe und Bauweisen Q 108. – 3.4.5 Rumpf Q 110. – 3.4.6 Tragflgel Q 111. – 3.4.7 Wartung und Instandhaltung Q 114.

XXXII

Inhaltsverzeichnis

4

Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Q 115

R

Str
mungsmaschinen

1

Gemeinsame Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R1

1.1 Str
mungstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R1

1.1.1 Einleitung und Definitionen R 1. – 1.1.2 Wirkungsweise R 1. – 1.1.3 Str
mungsgesetze R 2. – 1.1.4 Absolute und relative Str
mung R 3. – 1.1.5 Schaufelanordnung fr Pumpen und Verdichter R 3. – 1.1.6 Schaufelanordnung fr Turbinen R 3. – 1.1.7 Schaufelgitter, Stufe, Maschine, Anlage R 4.

1.2 Thermodynamik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R4

1.2.1 Thermodynamische Gesetze R 4. – 1.2.2 Zustandsnderung R 4. 1.2.3 Totaler Wirkungsgrad R 5. – 1.2.4 Statischer Wirkungsgrad R 5. – 1.2.5 Polytroper und isentroper Wirkungsgrad R 5. – 1.2.6 Mechanische Verluste R 6.

1.3 Arbeitsfluid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R6

1.3.1 Allgemeiner Zusammenhang zwischen thermischen und kalorischen Zustandsgr
ßen R 6. – 1.3.2 Ideale Flssigkeit R 6. – 1.3.3 Ideales Gas R 7. – 1.3.4 Reales Fluid R 7. – 1.3.5 Kavitation bei Flssigkeiten R 8. – 1.3.6 Kondensation bei Dmpfen R 8.

1.4 Schaufelgitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R8

1.4.1 Anordnung der Schaufeln im Gitter R 8. – 1.4.2 Leit- und Laufgitter R 9. – 1.4.3 Einteilung nach Geschwindigkeits- und Drucknderung R 9. – 1.4.4 Reale Str
mung durch Gitter R 10. – 1.4.5 Gitterauslegung R 10. – 1.4.6 Profilverluste R 11. – 1.4.7 Verluste an den Schaufelenden R 12.

1.5 Stufen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 12 1.5.1 Zusammensetzen von Gittern zu Stufen R 12. – 1.5.2 Stufenkenngr
ßen R 13. – 1.5.3 Axiale Repetierstufe eines vielstufigen Verdichters R 14. – 1.5.4 Radiale Repetierstufe eines Verdichters R 14. – 1.5.5 Kenngr
ßen-Bereiche fr Verdichterstufen R 15. – 1.5.6 Axiale Repetierstufe einer Turbine R 15. – 1.5.7 Radiale Turbinenstufe R 16. – 1.5.8 Kenngr
ßen-Bereiche fr Turbinenstufen R 16.

1.6 Maschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 17 1.6.1 Beschaufelung, Ein- und Austrittsgehuse R 17. – 1.6.2 Maschinenkenngr
ßen R 17. – 1.6.3 Wahl der Bauweise R 18.

1.7 Betriebsverhalten und Regelm
glichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 18 1.7.1 Instabiler Betriebsbereich bei Verdichtern R 18. – 1.7.2 Anlagencharakteristik R 18. – 1.7.3 Zusammenarbeit von Maschine und Anlage R 18. – 1.7.4 Regelung von Verdichtern R 20. – 1.7.5 Regelung von Turbinen R 20.

1.8 Beanspruchung und Festigkeit der wichtigsten Bauteile . . . . . . . . . . . . . R 20 Rotierende Scheibe, rotierender Zylinder R 21. – Durchbiegung, kritische Drehzahlen von Rotoren R 22. – 1.8.3 Beanspruchung der Schaufeln durch Fliehkrfte R 22. – 1.8.4 Beanspruchung der Schaufeln durch stationre Str
mungskrfte R 23. – Schaufelschwingungen R 23. – 1.8.6 Gehuse R 24. – 1.8.7 Thermische Beanspruchung R 25.

2

Wasserturbinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 26

2.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 26 2.1.1 Kennzeichen R 26. – 2.1.2 Wasserkraftwerke R 26. – 2.1.3 Wirtschaftliches R 27.

2.2 Gleichdruckturbinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 27 2.2.1 Peltonturbinen R 27. – 2.2.2 Ossbergerturbinen R 28.

2.3 berdruckturbinen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 28 2.3.1 Francisturbinen R 28. – 2.3.2 Kaplanturbinen R 28. – 2.3.3 De´riazturbinen R 29.

2.4 Werkstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 29 2.5 Kennliniendarstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 29 2.6 Extreme Betriebsverhltnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 30 2.7 Laufwasser- und Speicherkraftwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 30 3

Kreiselpumpen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 32

3.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 32 3.2 Bauarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 32 3.2.1 Laufrad R 32. – 3.2.2 Gehuse R 34. – Fluid R 34. – Werkstoff R 34. – 3.2.5 Antrieb R 34.

3.3 Betriebsverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 34 3.3.1 Kavitation R 34. – 3.3.2 Kennlinien R 36. – 3.3.3 Anpassung der Kreiselpumpe an den Leistungsbedarf R 37. – 3.3.4 Achsschubausgleich R 38.

3.4 Ausgefhrte Pumpen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 39

IInhaltsverzeichnis

XXXIII

Propeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R 44

4.1 Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R 44

4.2 Schiffspropeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R 44

F
ttinger-Getriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R 45

4

5

5.1 Prinzip und Bauformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R 45

5.2 Auslegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R 47

5.3 F
ttinger-Kupplungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R 47

5.4 Bremsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R 48

5.5 F
ttinger-Wandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R 48

Dampfturbinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R 49

6.1 Benennungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R 49

6.2 Bauarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R 50

6

6.2.1 Kraftwerksturbinen R 50. – 6.2.2 Industrieturbinen R 53. – R 53. – 6.2.3 Kleinturbinen R 56.

6.3 Konstruktionselemente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R 56

6.3.1 Gehuse R 56. – R 56. – 6.3.2 Ventile und Klappen R 57. – 6.3.3 Beschaufelung R 57. – 6.3.4 Wellendichtungen R 58. – 6.3.5 Lufer-Dreheinrichtung R 58. – 6.3.6 Lager R 58.

6.4 Anfahren und Betrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R 59

6.5 Regelung, Sicherheits- und Schutzeinrichtungen . . . . . . . . . . . . . .

R 59

6.6 Berechnungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R 59

6.6.1 Allgemeines R 59. – 6.6.2 Auslegung von Industrieturbinen R 59.

Turboverdichter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R 60

7.1 Einteilung und Einsatzbereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R 60

7

7.1.1 Ventilatoren R 61. – 7.1.2 Axialverdichter R 61. – 7.1.3 Radialverdichter R 61.

7.2 Radiale Laufradbauarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R 62

7.2.1 Das geschlossene 2 D-Laufrad R 62. – 7.2.2 Das geschlossene 3 D-Laufrad R 62. – 7.2.3 Das offene Laufrad R 62. – 7.2.4 Laufradverwendung R 63. – 7.2.5 Laufradherstellung R 63. – 7.2.6 Laufradfestigkeit R 64.

7.3 Radiale Verdichterbauarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R 64

7.3.1 Einwellenverdichter R 64. – 7.3.2 Mehrwellen-Getriebeverdichter R 66.

7.4 Regelungsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R 66

7.4.1 Drehzahlregelung R 67. – 7.4.2 Saugdrosselregelung R 67. – 7.4.3 Eintrittsleitschaufelregelung R 68. – 7.4.4 Bypass-Regelung R 68. – R 68.

7.5 Beispiel einer Radialverdichterauslegung nach vereinfachtem Verfahren . . . .

R 69

7.5.1 Betriebsbedingungen (vorgegeben) R 69. – 7.5.2 Gasdaten R 69. – 7.5.3 Volumenstrom, Laufraddurchmesser, Drehzahl R 69. – 7.5.4 Endtemperatur, spezifische polytrope Arbeit R 70. – 7.5.5 Wirkungsgrad, Stufenzahl R 70. – 7.5.6 Leistung R 70.

Gasturbinen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R 71

8.1 Einteilung und Verwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R 71

8.2 Thermodynamische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R 72

8

8.2.1 Idealisierte Kreisprozesse R 72. – 8.2.2 Reale Gasturbinenprozesse R 72.

8.3 Baugruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R 74

8.3.1 Verdichter R 74. – 8.3.2 Turbine R 74. – 8.3.3 Brennkammer R 75. – 8.3.4 Wrmetauscher R 77.

8.4 Gasturbine im Kraftwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R 77

8.4.1 Allgemeines und Bauweise R 77. – 8.4.2 Gas- und Dampf-Anlagen R 78. – 8.4.3 LuftspeicherKraftwerk (Bild 15) R 79.

8.5 Gasturbine fr Verkehrsfahrzeuge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R 79

8.5.1 Luftfahrt R 79. – 8.5.2 Schifffahrt R 80. – 8.5.3 Straßenfahrzeuge R 80. – 8.5.4 Abgasturbolader (Bild 19) R 81.

8.6 Brennstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R 81

8.7 Beanspruchungen und Werkstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R 81

8.8 Betriebsverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R 82

8.8.1 hnlichkeitskennfelder R 82. – 8.8.2 Teillastbetrieb R 82.

XXXIV

Inhaltsverzeichnis

8.9 Abgasemission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 82 9

Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 83

S

Fertigungsverfahren

1


bersicht ber die Fertigungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S3

1.1 Definition und Kriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S3

1.2 Systematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S3

Urformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S4

2.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S4

2.2 Formgebung bei metallischen Werkstoffen durch Gießen . . . . . . . . . . . .

S5

2

2.2.1 Herstellung von Halbzeugen S 5. – 2.2.2 Herstellung von Formteilen (Gussteilen) S 7. – 2.2.3 CAD/ CAM-Einsatz S 14. – 2.2.4 Vorbereitende und nachbehandelnde Arbeitsvorg
nge S 14.

2.3 Formgebung bei Kunststoffen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S 16 2.3.1 Foliengießen S 16. – 2.3.2 Strangpressen (Extrudieren) S 16. – 2.3.3 Kalandrieren S 16. – 2.3.4 Schichtpressen S 16. – 2.3.5 Spritzgießverfahren S 17. – 2.3.6 Formpressen S 17. – 2.3.7 Spritzpressen S 17. – 2.3.8 Sch
umen S 17.

2.4 Formgebung bei metallischen und keramischen Werkstoffen durch Sintern (Pulvermetallurgie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S 17 2.4.1 Allgemeines S 17. – 2.4.2 Anwendung S 18. – 2.4.3 Technologie S 18.

3

Urformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S 21

3.1 Systematik und Einfhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S 21 3.2 Grundlagen der Umformtechnik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S 21 3.2.1 Fließspannung S 21. – 3.2.2 Form
nderungsgrßen S 21. – 3.2.3 Fließkriterien S 22. – 3.2.4 Fließkurve S 22. – 3.2.5 Anisotropie S 23. – 3.2.6 Form
nderungsvermgen S 23. – 3.2.7 Grenzform
nderungsdiagramm S 24.

3.3 Modellvorstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S 24 3.4 Spannungen und Kr
fte bei ausgew
hlten Verfahren der Umformtechnik . . . . . S 25 3.4.1 Stauchen zylindrischer Krper S 25. – 3.4.2 Stauchen rechteckiger Krper S 26. – 3.4.3 Drahtziehen S 26. – 3.4.4 Durchdrcken S 26. – 3.4.5 Tiefziehen S 27.

3.5 Technologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S 28 3.5.1 Streckziehen S 28. – 3.5.2 Tiefziehen S 28. – 3.5.3 Biegen S 30. – 3.5.4 Superplastisches Umformen von Blechen S 31. – 3.5.5 Stauchen S 32. – 3.5.6 Schmieden S 32. – 3.5.7 Strangpressen S 34.

4

Trennen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S 35

4.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S 35 4.2 Spanen mit geometrisch bestimmten Schneiden . . . . . . . . . . . . . . . . . S 35 4.2.1 Grundlagen S 35. – 4.2.2 Drehen S 37. – 4.2.3 Bohren S 40. – 4.2.4 Fr
sen S 42. – 4.2.5 Sonstige Verfahren: Hobeln und Stoßen, R
umen, S
gen S 46. – 4.2.6 Schneidstoffe S 47.

4.3 Spanen mit geometrisch unbestimmter Schneide . . . . . . . . . . . . . . . . S 49 4.3.1 Grundlagen S 49. – 4.3.2 Schleifen mit rotierendem Werkzeug S 51. – 4.3.3 Honen S 52. – 4.3.4 Sonstige Verfahren: L
ppen, Innendurchmesser-Trennschleifen S 53.

4.4 Abtragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S 54 4.4.1 Gliederung S 54. – 4.4.2 Thermisches Abtragen mit Funken (Funkenerosives Abtragen) S 55. – 4.4.3 Lasertrennen S 56. – 4.4.4 Elektrochemisches Abtragen S 58. – 4.4.5 Chemisches Abtragen S 58.

4.5 Scheren und Schneiden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S 58 4.5.1 Systematik S 58. – 4.5.2 Technologie S 60. – 4.5.3 Kr
fte und Arbeiten S 61. – 4.5.4 Werkstckeigenschaften S 61. – 4.5.5 Werkzeuge S 62. – 4.5.6 Sonderschneidverfahren S 63.

5

Sonderverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S 64

5.1 Gewindefertigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S 64 5.1.1 Gewindedrehen S 64. – 5.1.2 Gewindestrehlen S 65. – 5.1.3 Gewindeschneiden S 65. – 5.1.4 Gewindebohren S 65. – 5.1.5 Gewindefr
sen S 66. – 5.1.6 Gewindeschleifen S 66. – 5.1.7 Gewindeerodieren S 66. – 5.1.8 Gewindewalzen S 67. – 5.1.9 Gewindefurchen S 67. – 5.1.10 Gewindedrcken S 67.

5.2 Verzahnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S 68 5.2.1 Verzahnen von Stirnr
dern S 68. – 5.2.2 Verzahnen von Schnecken S 74. – 5.2.3 Verzahnen von Schneckenr
dern S 74. – 5.2.4 Verzahnen von Kegelr
dern S 75.

IInhaltsverzeichnis

XXXV

5.3 Fertigungsverfahren der Feinwerk- und Mikrotechnik . . . . . . . . . . . .

S 77

5.3.1 Einf
hrung S 77. – 5.3.2 Laserstrahlverfahren S 77. – 5.3.3 Elektronenstrahlverfahren S 79. – 5.3.4 Ultraschallverfahren S 80. – 5.3.5 Funkenerosion, Elysieren, Metalltzen S 81. – 5.3.6 Herstellen von Schichten S 81. – 5.3.7 Herstellen planarer Strukturen S 82. – 5.3.8 Verfahren der Mikrotechnik S 83.

5.4 Beschichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S 86

5.5 Rapid Prototyping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S 87

Montage und Demontage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S 90

6.1 Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S 90

6.2 Aufgaben der Montage und Demontage . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S 92

6.3 Durchf
hrung der Montage und Demontage . . . . . . . . . . . . . . . .

S 92

6

Fertigungs- und Fabrikbetrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S 95

7.1 Management der Produktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S 95

7.2 Qualittsmanagement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S 95

7

7.2.1 Aufgaben des Qualittsmanagements S 95. – 7.2.2 Qualittsmanagement-System S 96. – 7.2.3 Umfassendes Qualittsmanagement S 96. – 7.2.4 Werkzeuge und Methoden S 96. – 7.2.5 CAQ-Systeme S 97.

7.3 Organisation der Produktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S 97

7.3.1 Formen der Organisation S 98. – 7.3.2 Bereiche der Produktion S 98.

7.4 Arbeitsvorbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S 98

7.4.1 Arbeitsplanung S 98. – 7.4.2 Arbeitssteuerung S 100.

7.5 Fertigungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S 101

7.5.1 Das System „Fertigung“ S 101. – 7.5.2 Einteilung von Fertigungsystemen S 102. – 7.5.3 Automatisierung von Handhabungsfunktionen S 102. – 7.5.4 Transferstraßen und automatische Fertigungslinien S 103. – 7.5.5 Flexible Fertigungssysteme S 103. – 7.5.6 Wandlungsfhige Fertigungssysteme S 104.

7.6 Betriebliche Kostenrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S 105

7.6.1 Grundlagen der betrieblichen Kostenrechnung S 105. – 7.6.2 Kostenartenrechnung S 105. – 7.6.3 Kostenstellenrechnung und Betriebsabrechnungsbgen S 106. – 7.6.4 Maschinenstundensatzrechnung S 106. – 7.6.5 Kalkulation S 107. – 7.6.6 Prozesskostenrechnung/kalkulation S 107. – 7.6.7 Lebenslaufkostenrechung S 107.

7.7 Arbeitswissenschaftliche Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S 107

8

Anhang S: Diagramme und Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S 108

9

Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S 110

T

Fertigungsmittel

1

Elemente der Werkzeugmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 1

1.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 1 1.1.1 Funktionsgliederung T 1. – 1.1.2 Mechanisches Verhalten T 3.

1.2 Antriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 5 1.2.1 Motoren T 5. – 1.2.2 Getriebe T 11. – 1.2.3 Mechanische Vorschub-bertragungselemente T 16.

1.3 Gestelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

T 21

1.3.1 Anforderungen, Bauformen T 21. – 1.3.2 Werkstoffe f
r Gestellbauteile T 23. – 1.3.3 Gestaltung der Gestellbauteile T 24. – 1.3.4 Berechnung und Optimierung T 25.

1.4 F
hrungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

T 26

1.4.1 Linearf
hrungen T 27. – 1.4.2 Drehf
hrungen, Lagerungen T 32.

Steuerungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

T 34

2.1 Steuerungstechnische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

T 34

2

2.1.1 Zum Begriff Steuerung T 34. – 2.1.2 Informationsdarstellung T 34. – 2.1.3 Programmsteuerung und Funktionssteuerung T 34. – 2.1.4 Signaleingabe und -ausgabe T 35. – 2.1.5 Signalbildung T 35. – 2.1.6 Signalverarbeitung T 35. – 2.1.7 Steuerungsprogramme T 37. – 2.1.8 Aufbauorganisation von Steuerungen T 37. – 2.1.9 Aufbau von Steuerungssystemen T 38. – 2.1.10 Dezentralisierung durch den Einsatz industrieller Kommunikationssysteme T 38. – 2.1.11 Offene Steuerungssysteme T 40.

2.2 Steuerungsmittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

T 42

2.2.1 Mechanische Speicher und Steuerungen T 42. – 2.2.2 Fluidische Steuerungen T 42. – 2.2.3 Elektrische Steuerungen T 43.

2.3 Speicherprogrammierbare Steuerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Aufbau T 43. – 2.3.2 Arbeitsweise T 43. – 2.3.3 Programmierung T 44.

T 43

XXXVI

Inhaltsverzeichnis

2.4 Numerische Steuerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 45 2.4.1 Zum Begriff T 45. – 2.4.2 NC-Programmierung T 45. – 2.4.3 Datenschnittstellen T 46. – 2.4.4 Steuerdatenverarbeitung T 47. – 2.4.5 Numerische Grundfunktionen T 48. – 2.4.6 Lageeinstellung T 48.

2.5 Einrichtungen zur Positionsmessung bei NC-Maschinen . . . . . . . . . . . . . T 51 2.5.1 Arten der Positionswerterfassung T 51. – 2.5.2 Messort und Messwertabnahme T 51. – 2.5.3 Digitale Messwerterfassung T 51. – 2.5.4 Analoge Messwerterfassung T 52.

2.6 Einrichtungen zur Geschwindigkeitserfassung bei NC-Maschinen . . . . . . . . T 53 3

Maschinen zum Scheren und Schneiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 54

3.1 Maschinen zum Scheren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 54 3.2 Maschinen zum Schneiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 55 3.3 Blechbearbeitungszentren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 55 4

Werkzeugmaschinen zum Umformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 56

4.1 Kenngr
ßen von Pressmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 56 4.2 Weggebundene Pressmaschinen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 58 4.2.1 Bauarten T 59. – 4.2.2 Baugruppen T 59. – 4.2.3 Kinetik und Kinematik T 59. – 4.2.4 Anwendung, Ausfhrungsbeispiele T 60.

4.3 Kraftgebundene Pressmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 61 4.3.1 Bauarten T 62. – 4.3.2 Baugruppen T 62. – 4.3.3 Anwendung, Ausfhrungsbeispiele T 63.

4.4 Arbeitgebundene Pressmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 63 4.4.1 Hmmer T 64. – 4.4.2 Spindelpressen T 65.

4.5 Arbeitssicherheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 67 5

Spanende Werkzeugmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 68

5.1 Drehmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 68 5.1.1 Allgemeines T 68. – 5.1.2 Universaldrehmaschinen T 69. – 5.1.3 Frontdrehmaschinen T 71. – 5.1.4 Drehautomaten T 71. – 5.1.5 Großdrehmaschinen T 72. – 5.1.6 Sonderdrehmaschinen T 72. – 5.1.7 Flexible Drehbearbeitungszentren T 73.

5.2 Bohrmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 75 5.2.1 Allgemeines T 75. – 5.2.2 Tischbohrmaschinen T 77. – 5.2.3 Sulenbohrmaschinen T 77. – 5.2.4 Stnderbohrmaschinen T 77. – 5.2.5 Mehrspindelbohrmaschinen T 77. – 5.2.6 Schwenkbohrmaschinen T 77. – 5.2.7 Koordinatenbohrmaschinen T 77. – 5.2.8 Revolverbohrmaschinen T 79. – 5.2.9 Feinbohrmaschinen T 79. – 5.2.10 Tiefbohrmaschinen T 79. – 5.2.11 Sonderbohrmaschinen T 79.

5.3 Frsmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 79 5.3.1 Allgemeines T 79. – 5.3.2 Konsolfrsmaschinen T 79. – 5.3.3 Bettfrsmaschinen T 79. – 5.3.4 Nachformfrsmaschinen T 81. – 5.3.5 Rundfrsmaschinen T 81. – 5.3.6 UniversalWerkzeugfrsmaschinen T 81. – 5.3.7 Waagerecht-Bohr- und -Frsmaschinen T 81. – 5.3.8 Hochgeschwindigkeitsfrsmaschinen T 82. – 5.3.9 Frsmaschinen mit Parallelkinematiken T 82. – 5.3.10 Sonderfrsmaschinen T 82.

5.4 Bearbeitungszentren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 83 5.5 Hobel- und Stoßmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 84 5.5.1 Hobelmaschinen T 84. – 5.5.2 Stoßmaschinen T 85.

5.6 Rummaschinen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 85 5.7 Sge- und Feilmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 86 5.7.1 Allgemeines T 86. – 5.7.2 Kaltkreissgemaschinen T 87. – 5.7.3 Bandsge- und Bandfeilmaschinen T 87. – 5.7.4 Hubsge- und Hubfeilmaschinen T 88.

5.8 Schleifmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 88 5.8.1 Allgemeines T 88. – 5.8.2 Planschleifmaschinen T 88. – 5.8.3 Rundschleifmaschinen T 88. – 5.8.4 Schraubflchenschleifmaschinen T 89. – 5.8.5 Verzahnungsschleifmaschinen T 90. – 5.8.6 Profilschleifmaschinen T 90. – 5.8.7 Bandschleifmaschinen T 90. – 5.8.8 Entwicklungstendenzen T 90.

5.9 Honmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 91 5.9.1 Langhubhonmaschinen T 91. – 5.9.2 Kurzhubhonmaschinen T 92.

5.10 Lppmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 93 5.10.1 Allgemeines T 93. – 5.10.2 Einscheiben-Lppmaschinen T 93. – 5.10.3 ZweischeibenLppmaschinen T 93. – 5.10.4 Kugellppmaschinen T 94.

5.11 Mehrmaschinensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 94 6

Schweiß- und L
tmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 96

6.1 Lichtbogenschweißmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 96

IInhaltsverzeichnis

XXXVII

6.2 Widerstandsschweißmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

T 97

6.3 Laserstrahl-Schweiß- und L
teinrichtungen . . . . . . . . . . . . . . . .

T 98

6.4 L
teinrichtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

T 98

Industrieroboter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

T 98

7

7.1 Einteilung von Handhabungseinrichtungen . . . . . . . . . . . . . . . .

T 98

7.2 Komponenten des Roboters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

T 99

7.3 Kinematisches und dynamisches Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . T 100 7.3.1 Kinematisches Modell T 100. – 7.3.2 Dynamisches Modell T 100.

7.4 Genauigkeit, Kenngr
ßen, Kalibrierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 100 7.5 Steuerungssystem eines Industrieroboters . . . . . . . . . . . . . . . . . T 101 7.6 Programmierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 102 7.6.1 Programmierverfahren T 102. – 7.6.2 Offline-Programmiersysteme T 103.

7.7 Anwendungsgebiete und Auswahl von Industrierobotern . . . . . . . . . . . T 103 8

Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T 104

U

F
rdertechnik

1

Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U 2

1.1 Begriffsbestimmungen und bersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U 2 1.1.1 Einordnung der F
rdertechnik U 2. – 1.1.2 F
rdergter und F
rdermaschinen U 2. – 1.1.3 Kenngr
ßen des F
rdervorgangs U 3.

1.2 Antriebe der F
rdermaschinen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U 3 1.2.1 Hubwerke U 3. – 1.2.2 Fahrwerke U 3. – 1.2.3 Drehwerke U 5. – 1.2.4 Einzieh- und Wippwerke U 7. – 1.2.5 Kraftschlssige Antriebe U 8. – 1.2.6 Formschlssige Antriebe U 8. – 1.2.7 Antriebsmotoren und Steuerungen U 8.

1.3 Tragwerke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

U 10

1.3.1 Tragwerksgestaltung U 10. – 1.3.2 Grundlagen der Tragwerksberechnung U 11. – 1.3.3 Lasten und Lastkombinationen U 12. – 1.3.4 Zu fhrende Einzelnachweise U 13.

1.4 Charakteristische Maschinenelemente der F
rdertechnik . . . . . . . . . . .

U 15

1.4.1 Ketten und Kettentriebe U 15. – 1.4.2 Seile und Seiltriebe U 16. – 1.4.3 Faserseile U 23. – 1.4.4 Mechanische Elemente der Antriebe U 25. – 1.4.5 Laufrad und Schiene (Schienenfahrwerke) U 28.

Hebezeuge und Krane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

U 32

2.1 Tragmittel und Lastaufnahmemittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

U 32

2

2.1.1 Lasthaken U 32. – 2.1.2 Lastaufnahmemittel fr Stckgter U 32. – 2.1.3 Lastaufnahmemittel fr Schttgter U 33.

2.2 Hubwerksausfhrungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

U 34

2.2.1 Serienhebezeuge U 34. – 2.2.2 Einzelhebezeuge U 35.

2.3 Kranarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

U 35

2.3.1 Brcken- und Portalkrane U 36. – 2.3.2 Drehkrane U 39. – 2.3.3 Fahrzeugkrane U 41. – 2.3.4 Weitere Kranarten U 42.

Flurf
rderzeuge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

U 43

3.1 Baugruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

U 43

3

3.1.1 Fahrwerk U 43. – 3.1.2 Fahrantrieb U 44. – 3.1.3 Hubgerst U 44. – 3.1.4 Lastaufnahmevorrichtung U 44. – 3.1.5 Hubantrieb, Antrieb der Nebenfunktionen U 45.

3.2 Handbetriebene Flurf
rderzeuge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

U 45

3.2.1 Karren, Handwagen und Rollwagen U 45. – 3.2.2 Handgabelhubwagen U 45.

3.3 Motorisch betriebene Flurf
rderzeuge . . . . . . . . . . . . . . . . . .

U 45

3.3.1 Niederhubwagen U 45. – 3.3.2 Gabelhochhubwagen U 45. – 3.3.3 Spreizenstapler U 45. – 3.3.4 Gegengewichtstapler U 46. – 3.3.5 Schubstapler U 46. – 3.3.6 Mehrwegestapler U 46. – 3.3.7 Querstapler U 47. – 3.3.8 Schmalgangstapler U 47. – 3.3.9 Kommissionier-Flurf
rderzeuge U 48. – 3.3.10 Wagen U 48. – 3.3.11 Schlepper U 49. – 3.3.12 Portalstapler, Portalhubwagen U 49. – Fahrerlose Transportsysteme (FTS) U 49.

4

Weitere Unstetigf
rderer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

U 50

5

Aufzge und Schachtf
rderanlagen. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

U 50

XXXVIII

Inhaltsverzeichnis

5.1
bersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U 50 5.2 Aufzge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U 50 5.2.1 Hydraulikaufzge U 50. – 5.2.2 Seilaufzge U 51. – 5.2.3 Bemessung, Frderstrom, Steuerung U 51. – 5.2.4 Steuerungen U 52. – 5.2.5 Spezifische Sicherheitseinrichtungen U 53.

5.3 Schachtfrderanlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U 54 6

Stetigf
rderer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U 54

6.1 Berechnungsgrundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U 54 6.2 Stetigfrderer mit Zugmittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U 55 6.2.1 Grundlagen der Berechnung U 55. – 6.2.2 Gurtfrderer U 57. – 6.2.3 Becherwerke (Becherfrderer) U 66. – 6.2.4 Kreisfrderer U 68. – 6.2.5 Gliederbandfrderer U 69. – 6.2.6 Kratzerfrderer U 70. – 6.2.7 Trogkettenfrderer U 71.

6.3 Stetigfrderer ohne Zugmittel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U 72 6.3.1 Frderer mit Schnecken U 72. – 6.3.2 Schwingfrderer U 73. – 6.3.3 Rollen- und Kugelbahnen U 74.

6.4 Sorter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U 75 6.5 Weitere Stetigfrderer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U 77 6.5.1 Plattenbandfrderer U 77. – 6.5.2 Schubplattformfrderer U 77. – 6.5.3 Schuppenfrderer U 78. – 6.5.4 Umlauf-S-Frderer U 78. – 6.5.5 Rutschen und Fallrohre U 78.

6.6 Strmungsfrderer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U 78 6.6.1 Pneumatische Frderer U 79. – 6.6.2 Hydraulische Frderer U 80. – 6.6.3 Berechnungsgrundlagen U 80.

7

Lager- und Systemtechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U 80

7.1 Stckgut-Systemtechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U 80 7.1.1 Transporteinheiten (TE) und Transporthilfsmittel (THM) U 80. – 7.1.2 Funktion und Subsysteme U 81. – 7.1.3 Theoretische Behandlung von Materialflusssystemen U 83. – 7.1.4 Lagereinrichtung und Lagerbedienung U 85. – 7.1.5 Belegungs- und Bedienstrategien U 89. – 7.1.6 Lagerkennzahlen U 89. – 7.1.7 Kommissionierung U 90. – 7.1.8 Steuerung automatischer Lagersysteme U 92. – 7.1.9 Betrieb von Lagersystemen U 93.

7.2 Schttgut-Systemtechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U 94 7.2.1
bersicht U 94. – 7.2.2 Schttgutlager U 94.

8

Automatisierung in der Materialflusstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . U 95

8.1 Materialflusssteuerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U 95 8.2 Sensorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U 95 8.3 Aktuatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U 95 8.4 Identifikationssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U 95 8.4.1 Identifikation durch Personen und Gerte U 95. – 8.4.2 Optische Datenerfassung und -bertragung U 96. – 8.4.3 Elektronische Datenerfassung und -bertragung durch RFID U 99. – 8.4.4 Magnetische Datenbertragung U 101. – 8.4.5 Mechanische Datenbertragung U 101. – 8.4.6 Weiterverarbeitung der gewonnenen Daten U 101.

Baumaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

U 102

9.1 Einteilung und Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

U 102

9.2 Hochbaumaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

U 102

9

9.2.1 Turmdrehkrane U 102. – 9.2.2 Betonmischanlagen U 102. – 9.2.3 Transportbetonmischer U 103. – 9.2.4 Betonpumpen U 103. – 9.2.5 Verteilermasten U 106.

9.3 Erdbaumaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

U 106

9.3.1 Bagger U 106. – 9.3.2 Schaufellader U 107. – 9.3.3 Planiermaschinen U 108. – 9.3.4 Transportfahrzeuge U 108.

10

Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

V

Elektrotechnik

1

Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

V1

1.1 Grundgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

V2

1.1.1 Feldgrßen und -gleichungen V 2. – 1.1.2 Elektrostatisches Feld V 2. – 1.1.3 Stationres Strmungsfeld V 3. – 1.1.4 Stationres magnetisches Feld V 3. – 1.1.5 Quasistationres elektromagnetisches Feld V 3.

U 111

IInhaltsverzeichnis

XXXIX

1.2 Elektrische Stromkreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 3 1.2.1 Gleichstromkreise V 3. – 1.2.2 Kirchhoffsche S
tze V 4. – 1.2.3 Kapazit
ten V 5. – 1.2.4 Induktionsgesetz V 5. – 1.2.5 Induktivit
ten V 5. – 1.2.6 Magnetische Materialien V 6. – 1.2.7 Kraftwirkungen im elektromagnetischen Feld V 7.

1.3 Wechselstromtechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 8 1.3.1 Wechselstromgrßen V 8. – 1.3.2 Leistung V 9. – 1.3.3 Drehstrom V 9. – 1.3.4 Schwingkreise und Filter V 11.

1.4 Netzwerke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

V 12

1.4.1 Ausgleichsvorg
nge V 12. – 1.4.2 Netzwerkberechnung V 14.

1.5 Werkstoffe und Bauelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

V 14

1.5.1 Leiter, Halbleiter, Isolatoren V 14. – 1.5.2 Besondere Eigenschaften bei Leitern V 14. – 1.5.3 Stoffe im elektrischen Feld V 15. – 1.5.4 Stoffe im Magnetfeld V 16. – 1.5.5 Elektrolyte V 16.

Transformatoren und Wandler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

V 16

2.1 Einphasentransformatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

V 16

2

2.1.1 Wirkungsweise und Ersatzschaltbilder V 16. – 2.1.2 Spannungsinduktion V 17. – 2.1.3 Leerlauf und Kurzschluß V 17. – 2.1.4 Zeigerdiagramm V 17.

2.2 Meßwandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

V 18

2.2.1 Stromwandler V 18. – 2.2.2 Spannungswandler V 18.

2.3 Drehstromtransformatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

V 18

Elektrische Maschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

V 20

3.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

V 20

3

3.1.1 Maschinenarten V 20. – 3.1.2 Bauformen und Achshhen V 20. – 3.1.3 Schutzarten V 21. – 3.1.4 Elektromagnetische Ausnutzung V 21. – 3.1.5 Verluste und Wirkungsgrad V 22. – 3.1.6 Erw
rmung und Khlung V 22. – 3.1.7 Betriebsarten V 22. – 3.1.8 Schwingungen und Ger
usche V 24. – 3.1.9 Drehfelder in Drehstrommaschinen V 24.

3.2 Asynchronmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

V 25

3.2.1 Ausfhrungen V 25. – 3.2.2 Ersatzschaltbild und Kreisdiagramm V 25. – 3.2.3 Betriebskennlinien V 26. – 3.2.4 Einfluß der Stromverdr
ngung V 27. – 3.2.5 Einphasenmotoren V 27.

3.3 Synchronmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

V 27

3.3.1 Ausfhrungen V 27. – 3.3.2 Betriebsverhalten V 28. – 3.3.3 Kurzschlußverhalten V 28.

3.4 Gleichstrommaschinen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

V 29

3.4.1 Ausfhrungen V 29. – 3.4.2 Station
res Betriebsverhalten V 30. – 3.4.3 Instation
res Betriebsverhalten V 30.

3.5 Kleinmotoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

V 30

3.6 Linearmotoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

V 33

3.7 Torquemotoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

V 34

Leistungselektronik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

V 36

4.1 Grundlagen und Bauelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

V 36

4

4.1.1 Allgemeines V 36. – 4.1.2 Ausfhrungen von Halbleiterventilen V 36. – 4.1.3 Leistungsmerkmale der Ventile V 37. – 4.1.4 Einteilung der Stromrichter V 37.

4.2 Wechselstrom- und Drehstromsteller . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

V 38

4.3 Netzgefhrte Stromrichter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

V 38

4.3.1 Netzgefhrte Gleich- und Wechselrichter V 38. – 4.3.2 Steuerkennlinien V 39. – 4.3.3 Umkehrstromrichter V 40. – 4.3.4 Netzrckwirkungen V 40. – 4.3.5 Direktumrichter V 41.

4.4 Selbstgefhrte Stromrichter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

V 41

4.4.1 Gleichstromsteller V 41. – 4.4.2 Selbstgefhrte Wechselrichter und Umrichter V 42. – 4.4.3 Blindleistungskompensation V 44.

Elektrische Antriebstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

V 44

5.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

V 44

5

5.1.1 Aufgaben V 44. – 5.1.2 Station
rer Betrieb V 44. – 5.1.3 Anfahren V 45. – 5.1.4 Drehzahlverstellung V 45. – 5.1.5 Drehschwingungen V 46. – 5.1.6 Elektrische Bremsung V 46. – 5.1.7 Elektromagnetische Vertr
glichkeit V 47.

5.2 Gleichstromantriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

V 47

5.2.1 Gleichstromantriebe mit netzgefhrten Stromrichtern V 47. – 5.2.2 Regelung in der Antriebstechnik V 48. – 5.2.3 Drehzahlregelung V 48.

5.3 Drehstromantriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Antriebe mit Drehstromsteller V 50. – 5.3.2 Stromrichterkaskaden V 51. – 5.3.3 Stromrichtermotor V 51. – 5.3.4 Umrichterantriebe mit selbstgefhrtem Wechselrichter V 52. – 5.3.5 Regelung von Drehstromantrieben V 53.

V 50

XL 6

Inhaltsverzeichnis

Energieverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 55

6.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 55 6.2 Kabel und Leitungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 56 6.2.1 Leitungsnachbildung V 57. – 6.2.2 Kenngr
ßen der Leitungen V 57.

6.3 Schaltgerte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 57 6.3.1 Schaltanlagen V 57. – 6.3.2 Hochspannungsschaltgerte V 57. – 6.3.3 Niederspannungsschaltgerte V 58.

6.4 Schutzeinrichtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 58 6.4.1 Kurzschlußschutz V 58. – 6.4.2 Schutzschalter V 58. – 6.4.3 Thermischer berstromschutz V 58. – 6.4.4 Kurzschlußstr
me V 58. – 6.4.5 Selektiver Netzschutz V 60. – 6.4.6 Berhrungsschutz V 60.

6.5 Energiespeicherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 60 6.5.1 Speicherkraftwerke V 60. – 6.5.2 Batterien V 61. – 6.5.3 Andere Energiespeicher V 62.

6.6 Elektrische Energie aus erneuerbaren Quellen . . . . . . . . . . . . . . . . . V 62 6.6.1 Solarenergie V 62. – 6.6.2 Windenergie V 62.

7

Elektrow
rme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 65

7.1 Widerstandserwrmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 65 7.2 Lichtbogenerwrmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 65 7.2.1 Lichtbogenofen V 65. – 7.2.2 Lichtbogenschweißen V 66.

7.3 Induktive Erwrmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 66 7.3.1 Stromverdrngung, Eindringtiefe V 66. – V 66. – 7.3.2 Aufw
lbung und Bewegungen im Schmelzgut V 67. – 7.3.3 Oberflchenerwrmung V 67. – 7.3.4 Stromversorgung V 67.

7.4 Dielektrische Erwrmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 67 8

Anhang V: Diagramme und Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 69

9

Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 71

W Meßtechnik und Sensorik 1

Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

W1

1.1 Aufgabe der Meßtechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

W1

1.2 Strukturen der Meßtechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

W1

1.2.1 Meßkette W 1. – 1.2.2 Kenngr
ßen von Meßgliedern W 1. – 1.2.3 Meßabweichung von Meßgliedern W 2. – 1.2.4 Dynamische bertragungseigenschaften von Meßgliedern W 3.

1.3 Planung von Messungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

W4

1.4 Auswertung von Messungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

W4

Meßgrßen und Meßverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

W6

2.1 Einheitensystem und Gliederung der Meßgr
ßen der Technik . . . . . . . . . .

W6

2

2.1.1 Internationales Einheitensystem W 6. – 2.1.2 Gliederung der Meßgr
ßen W 6.

2.2 Sensoren und Aktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

W6

2.2.1 Meßgr
ßenumformung W 6. – 2.2.2 Zerst
rungsfreie Bauteil- und Maschinendiagnostik W 6.

2.3 Geometrische Meßgr
ßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

W7

2.3.1 Lngenmeßtechnik W 7. – 2.3.2 Gewinde- und Zahnradmeßtechnik W 9. – 2.3.3 Oberflchenmeßtechnik W 10. – 2.3.4 Mustererkennung und Bildverarbeitung W 11.

2.4 Kinematische und schwingungstechnische Meßgr
ßen. . . . . . . . . . . . .

W 11

2.4.1 Wegmeßtechnik W 12. – 2.4.2 Geschwindigkeits- und Drehzahlmeßtechnik W 12. – 2.4.3 Beschleunigungsmeßtechnik W 13.

2.5 Mechanische Beanspruchungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

W 14

2.5.1 Kraftmeßtechnik W 14. – 2.5.2 Dehnungsmeßtechnik W 14. – 2.5.3 Experimentelle Spannungsanalyse W 16. – 2.5.4 Druckmeßtechnik W 17.

2.6 Str
mungstechnische Meßgr
ßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

W 18

2.6.1 Flssigkeitsstand W 18. – 2.6.2 Volumen, Durchfluß, Str
mungsgeschwindigkeit W 18. – 2.6.3 Viskosimetrie W 19.

2.7 Thermische Meßgr
ßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

W 19

2.7.1 Temperaturmeßtechnik W 20. – 2.7.2 Kalorimetrie W 20.

2.8 Optische Meßgr
ßen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.1 Licht- und Farbmeßtechnik W 21. – 2.8.2 Refraktometrie W 22. – 2.8.3 Polarimetrie W 22.

W 21

IInhaltsverzeichnis 2.9 Umweltmeßgr
ßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

XLI W 22

2.9.1 Strahlungsmeßtechnik W 22. – 2.9.2 Akustische Meßtechnik W 23. – 2.9.3 Klimameßtechnik W 24.

2.10 Stoffmeßgr
ßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

W 24

2.10.1 Anorganisch-chemische Analytik W 24. – 2.10.2 Organisch-chemische Analytik W 25. – 2.10.3 Oberflchenanalytik W 25.

Meßsignalverarbeitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

W 26

3.1 Signalarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

W 26

3.2 Analoge elektrische Meßtechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

W 26

3

3.2.1 Strom-, Spannungs- und Widerstandsmeßtechnik W 26. – 3.2.2 Kompensatoren und Meßbrcken W 27. – 3.2.3 Meßverstrker W 28. – 3.2.4 Funktionsbausteine W 29.

3.3 Digitale elektrische Meßtechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

W 29

3.3.1 Digitale Meßsignaldarstellung W 29. – 3.3.2 Analog-Digital-Umsetzer W 30.

3.4 Rechneruntersttzte Meßsignalverarbeitung . . . . . . . . . . . . . . . .

W 30

Meßwertausgabe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

W 32

4.1 Meßwertanzeige . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

W 32

4

4.1.1 Meßwerke W 32. – 4.1.2 Digitalvoltmeter, Digitalmultimeter W 33. – 4.1.3 Oszilloskope W 33.

4.2 Meßwertregistrierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

W 33

4.2.1 Schreiber W 34. – 4.2.2 Drucker W 34. – 4.2.3 Meßwertspeicherung W 34.

4.3 Ergebnisdarstellung und Dokumentation . . . . . . . . . . . . . . . . .

W 34

5

Anhang W: Diagramme und Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . .

W 35

6

Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

W 37

X

Regelungstechnik

1

Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X 2

2

Lineare
bertragungsglieder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X 3

2.1 Statisches Verhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X 3 2.1.1 Lineare Kennlinie X 3. – 2.1.2 Nichtlinearitten X 3.

2.2 Dynamisches Verhalten linearer zeitinvarianter bertragungsglieder . . . . . . . X 4 2.2.1 Sprungantwort und bergangsfunktion X 4. – 2.2.2 Frequenzgang und Ortskurve X 4. – 2.2.3 Differentialgleichung und bertragungsfunktion X 5.

2.3 Lineare Grundglieder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X 6 2.3.1 P-Glied X 6. – 2.3.2 I-Glied X 6. – 2.3.3 D-Glied X 6. – 2.3.43 T t -Glied X 6. – 2.3.5 T1 -Glied X 6. – 2.3.6 T 2=n -Glied X 7.

2.4 Grundstrukturen des Wirkungsplans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X 7 2.4.1 Reihenstruktur X 7. – 2.4.2 Parallelstruktur X 7. – 2.4.3 Kreisstruktur X 7.

3

Regelstrecken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X 8

3.1 Struktur und Gr
ßen des Regelkreises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X 8 3.1.1 Funktionsbl
cke des Regelkreises X 8. – 3.1.2 Gr
ßen des Regelkreises X 9. – 3.1.3 Stell- und St
rverhalten der Strecke X 9.

3.2 Regelstrecken mit Ausgleich (P-Strecken). . . . . . . . . . . . . . . . . . X 9 3.2.1 P-Strecke 0. Ordnung (P–T0 ) X 9. – 3.2.2 P-Strecke 1. Ordnung (P – T1 ) X 10. – 3.2.3 P-Strecke 2. und h
herer Ordnung ðP
Tn Þ X 10. – 3.2.4 P-Strecke mit Totzeit ðP
Tt Þ X 10. – 3.2.5 Strecke mit Ausgleich i-ter Ordnung und Totzeit ðP
Ti
Tt Þ X 10.

3.3 Regelstrecken ohne Ausgleich (I-Strecken) . . . . . . . . . . . . . . . .

X 11

3.3.1 I-Strecke 0. Ordnung (I – T0 ) X 11. – 3.3.2 I-Strecke 1. Ordnung (I – T1 ) X 11. – 3.3.3 I-Strecke i-ter Ordnung und Totzeit ðI
Ti
Tt Þ X 11.

Regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

X 12

4.1 Arten linearer Regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

X 12

4

4.1.1 P-Anteil, P-Regler X 12. – 4.1.2 I-Anteil, I-Regler X 12. – 4.1.3 PI-Regler X 12. – 4.1.4 PD-Regler X 12. – 4.1.5 PID-Regler X 12.

4.2 Technische Ausfhrung der Regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

X 13

4.2.1 Verstrker mit Rckfhrung X 13. – 4.2.2 Rechnergesttzter Regler X 13. – 4.2.3 Entwicklungstendenzen X 14.

5

Linearer Regelkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

X 14

XLII

Inhaltsverzeichnis

5.1 F
hrungs- und Strungsverhalten des Regelkreises . . . . . . . . . . . . . . . X 14 5.1.1 F
hrungsverhalten des Regelkreises X 15. – 5.1.2 Strungsverhalten des Regelkreises X 15.

5.2 Stabilitt des Regelkreises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X 15 5.3 Optimierung von Regelkreisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X 17 5.3.1 G
te der Regelung X 17. – 5.3.2 Einstellregeln f
r Regelkreise X 17.

6

Spezielle Formen der Regelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X 18

6.1 Mehrschleifige Regelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X 18 6.1.1 Regelung mit Strgrßenaufschaltung X 18. – 6.1.2 Kaskadenregelung X 18.

6.2 Zweipunkt-Regelung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X 19 6.3 Adaptive Regelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X 19

Y

Elektronische Datenverarbeitung

1

Einf
hrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Y1

2

Informationstechnologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Y1

2.1 Grundlagen und Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Y1

2.1.1 Zahlendarstellungen und arithmetische Operationen Y 2. – 2.1.2 Datenstrukturen und Datentypen Y 3. – 2.1.3 Algorithmen Y 4. – 2.1.4 Numerische Berechnungsverfahren Y 4. – 2.1.5 Programmiermethoden Y 5. – 2.1.6 Programmiersprachen Y 7. – 2.1.7 Objektorientierte Programmierung Y 7. – 2.1.8 Softwareentwicklung Y 8.

2.2 Digitalrechnertechnologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Y8

2.2.1 Hardwarekomponenten Y 8. – 2.2.2 Hardwarearchitekturen Y 9. – 2.2.3 Rechnernetze Y 10. – 2.2.4 Client-/Serverarchitekturen Y 11. – 2.2.5 Betriebssysteme Y 11.

2.3 Internet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y 12 2.4 Integrationstechnologien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y 12 2.5 Sicherheit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y 13 3

Virtuelle Produktentstehung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y 13

3.1 Produktentstehungsprozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y 13 3.2 Basismethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y 14 3.2.1 Geometrische Modellierung Y 14. – 3.2.2 Featuretechnologie Y 17. – 3.2.3 Parametrik Y 18. – 3.2.4 Wissensbasierte Modellierung Y 19. – 3.2.5 Strukturmodellierung Y 19. – 3.2.6 Erstellung von Dokumenten Y 20.

3.3 Systeme der rechnerunterst
tzten Produktentstehung . . . . . . . . . . . . . . Y 21 3.4 Produktdatenmanagement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y 22 3.5 Plattform zum Kollaborativen Engineering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y 24 3.6 Schnittstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y 24 4

Anhang Y: Diagramme und Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y 25

5

Spezielle Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y 28

Z

Allgemeine Tabellen 1. Basiseinheiten des SI-Systems Z 1. – 2. Abgeleitete Einheiten des SI-Systems Z 1. – 3. Vorstze f
r Einheiten Z 1. – 4. Einheiten außerhalb des SI-Systems Z 1. – 5. berschlagswerte zur Umrechnung von m kp s- in das SI-System Z 2. – 7. Umrechnung der wichtigsten Einheiten des f p s- in das SI-System Z 2. – 6. Namen und Abk
rzungen englischer Einheiten Z 2. – 9. Große Zahlenwerte Z 2. – 8. Rmisches Zahlensystem Z 2. – 10. Raum und Zeit Z 3. – 11. Mechanik Z 3. – 12. Wrme Z 4. – 13. Elektrizitt Z 4. – 14. Magnetismus Z 4. – 15. Lichtstrahlung Z 5. – 16. Physikalische Konstanten Z 5. – 17. Grundbegriffe und Grundgrßen der Kernphysik Z 6. – 18. Grundgrßen der Lichttechnik Z 7. – 19. Die wichtigsten Grßen der Schalltechnik Z 8. – 20. Angenherte akustische Wirkungsgrade Z 8. – 23. Umrechnung von dB in Druckverhltnisse oder Verhltnisse von Druckquadraten Z 11. – Technische Regelwerke, die in den Textteilen und in den Anhngen auszugsweise als Hinweise enthalten sind, knnen entweder
ber die genannten Verlage oder direkt von den bearbeitenden Institutionen, Verbnden bzw. Vereinen bezogen werden. Z 12 – Die wichtigsten auslndischen Normen und ihre Bezugsquellen Z 13.

Deutsch-englische Fachausdr
cke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Autorenportrts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Inserentenverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Hinweise zur Benutzung

Gliederung. Das Werk umfaßt 25 Teile, die in Kapitel, Abschnitte und Unterabschnitte gegliedert sind. Die Teile sind durch Großbuchstaben gekennzeichnet und ihre Seiten werden, jeweils mit eins beginnend, getrennt durchgez
hlt. Bei den Untergliederungen bezeichnet die erste Ziffer das Kapitel, die zweite den Abschnitt und die dritte den Unterabschnitt. Sie stehen jeweils vor ihrer berschrift, die auch ins Englische bersetzt ist. Weitere Unterteilungen werden durch fette (unnumerierte) berschriften sowie fette und kursive Zeilenanf
nge (sog. Spitzmarken) vorgenommen. Sie sollen dem Leser das schnelle Auffinden spezieller Themen erleichtern. Kolumnentitel oder Seitenberschriften enthalten auf den linken Seiten (gerade Endziffern) die Namen der Teile und Kapitel, auf den rechten die Abschnitte. Kleindruck. Er wurde fr Bildunterschriften und Tabellenberschriften sowie fr Beispiele und l
ngere Bildbeschreibungen angewandt, um diese Teile besser vom brigen Text abzuheben und Druckraum zu sparen. Inhalts- und Sachverzeichnis sind zur Erleichterung der Benutzung des Werkes ausfhrlich gestaltet. Sie enthalten ebenfalls die Seitenbezeichnung nach Teilen. Kapitel. Es bildet die Grundeinheit, in der Gleichungen, Bilder und Tabellen jeweils wieder von 1 ab numeriert sind. Fett gesetzte Bild- und Tabellenbezeichnungen sollen ein schnelles Erkennen der Zuordnung von Bildern und Tabellen zum Text ermglichen. Anhang. Am Ende fast aller Teile befinden sich die Kapitel „Anhang: Diagramme und Tabellen“ und „Spezielle Literatur“. Sie enthalten die fr die praktische Zahlenrechnung notwendigen Kenn- und Stoffwerte sowie Sinnbilder und Normenauszge des betreffenden Fachgebietes und das im Text angezogene Schrifttum. Am Ende des Werkes liegt der Teil Z „Allgemeine Tabellen“. Er enth
lt die wichtigsten physikalischen Konstanten, die Umrechnungsfaktoren fr die Einheiten, das periodische System der Elemente sowie ein Verzeichnis von Bezugsquellen fr Technische Regelwerke und Normen. Außerdem sind die Grundgrßen von Gebieten, deren ausfhrliche Behandlung den Rahmen des Buches sprengen wrden, aufgefhrt. Hierzu z
hlen die Kern-, Licht-, Schall- und Umwelttechnik. Numerierung und Verweise. Die Numerierung der Bilder, Tabellen, Gleichungen und Literatur gilt fr das jeweilige Kapitel. Gleichungsnummern stehen in runden ( ), Literaturziffern in eckigen [ ] Klammern. Bei Verweisen auf ein anderes Kapitel stehen vor den Bezeichnungen zus
tzlich der Buchstabe des Teils und die Nummer des Kapitels, z.B. C 2 Tab. 1, G 1 Bild 6, Anh. X 5 Tab. 1, B 3 Gl. (22) bzw. B 1.7 bei Textabschnitten, fr die „Allgemeinen Tabellen“ am Buchende z. B. Z Tab. 3. Bilder. Hierzu gehren konstruktive und Funktionsdarstellungen, Diagramme, Flußbilder und Schaltpl
ne. Bildgruppen. Sie sind, soweit notwendig, in Teilbilder untergliedert, die zus
tzlich zur Bildnummer mit kleinen Buchstaben a, b, c usw. bezeichnet sind (z. B. U 2 Bild 2). Sind diese nicht in der Bildunterschrift erl
utert, so befinden sich die betreffenden Erl
uterungen im Text (z. B. B 6 Bild 12 a–e). Kompliziertere Bauteile oder Pl
ne enthalten Positionen, die entweder im Text (z. B. P 2 Bild 26) oder in der Unterschrift erl
utert sind (z. B. L 5 Bild 5). Sinnbilder fr Schaltpl
ne von Leitungen, Schaltern, Maschinen und ihren Teilen sowie fr Aggregate sind nach Mglichkeit den zugeordneten DIN-Normen oder den Richtlinien entnommen. In Einzelf
llen wurde von den Zeichnungsnormen abgewichen, um die bersicht der Bilder zu verbessern. Tabellen. Sie ermglichen es, Zahlenwerte mathematischer und physikalischer Funktionen schnell aufzufinden. In den Beispielen sollen sie den Rechnungsgang einpr
gsam erl
utern und die Ergebnisse bersichtlich darstellen. Aber auch Gleichungen, Sinnbilder und Diagramme sind zum besseren Vergleich bestimmter Verfahren tabellarisch zusammengefaßt.

XLIV

Hinweise zur Benutzung

Literatur. Spezielle Literatur. Sie ist auf das Sachgebiet eines Kapitels bezogen, eine Ziffer in ekkiger [ ] Klammer weist im Text auf das entsprechende Zitat hin. Diese Verzeichnisse, die h
ufig auch grundlegende Normen, Richtlinien und Sicherheitsbestimmungen enthalten, befinden sich am Ende der Teile nach Kapiteln geordnet. Allgemeine Literatur. Sie steht am Anfang des Teils in der Reihenfolge der Kapitel und enth
lt die betreffenden Grundlagenwerke. Sachverzeichnis. Nach wichtigen Einzelstichwrtern sind die Stichworte fr allgemeine, mehrere Kapitel umfassende Begriffe wie z. B. „Arbeit“, „Federn“ und „Steuerungen“ zusammengefaßt. Zur besseren bersicht ersetzt ein Querstrich nur ein Wort. In diesen Gruppen sind nur die wichtigsten Begriffe auch als Einzelstichwrter aufgefhrt. Dieses raumsparende Verfahren l
ßt natrlich immer einige berechtigte Wnsche der Leser offen, vermeidet aber ein zu langes und daher unbersichtliches Verzeichnis. Gleichungen. Sie sind der Vorteile wegen als Grßengleichungen geschrieben. Sind Zahlenwertgleichungen, wie z. B. bei empirischen Gesetzen oder bei sehr h
ufig vorkommenden Berechnungen erforderlich, so erhalten sie den Zusatz „Zgl.“ und die gesondert aufgefhrten Einheiten den Zusatz „in“. Fr einfachere Zahlenwertgleichungen werden gelegentlich auch zugeschnittene Grßengleichungen benutzt. Exponentialfunktionen sind meist in der Form „exp(x)“ geschrieben. Wo mglich, wurden aus Platzgrnden schr
ge statt waagerechte Bruchstriche verwendet. Formelzeichen. Sie wurden in der Regel nach DIN 1304 gew
hlt. Dies ließ sich aber nicht konsequent durchfhren, da die einzelnen Fachnormenausschsse unabh
ngig sind und eine laufende Anpassung an die internationale Normung erfolgt. Daher mußten in einzelnen Fachgebieten gleiche Grßen mit verschiedenen Buchstaben gekennzeichnet werden. Aus diesen Grnden, aber auch um l
stiges Umbl
ttern zu ersparen, wurden die in jeder Gleichung vorkommenden Grßen meist in ihrer unmittelbaren N
he erl
utert. Bei Verweisen werden innerhalb eines Kapitels die in den angezogenen Gleichungen erfolgten Erl
uterungen nicht wiederholt. Wurden Kompromisse bei Formelzeichen der einzelnen Normen notwendig, so ist dies an den betreffenden Stellen vermerkt. Zeichen, die sich auf die Zeiteinheit beziehen, tragen einen Punkt. Beispiel: B 6 Gl. (5). Variable sind kursiv, Vektoren und Matrizen fett kursiv und Einheiten steil gesetzt. Einheiten. In diesem Werk ist das Internationale bzw. das SI-Einheitensystem (Systme international) verbindlich. Eingefhrt ist es durch das „Gesetz ber Einheiten im Meßwesen“ vom 2. 7. 1969 mit seiner Ausfhrungsverordnung vom 26. 6. 1970. Außer seinen sechs Basiseinheiten m, kg, s, A, K und cd werden auch die abgeleiteten Einheiten N, Pa, J, W und Pa s benutzt. Unzweckm
ßige Zahlenwerte knnen dabei nach DIN 1301 durch Vors
tze fr dezimale Vielfache und Teile nach Z Tab. 3 ersetzt werden. Hierzu l
ßt auch die Ausfhrungsverordnung folgende Einheiten bzw. Namen zu: Masse Volumen Druck

1 t = 1000 kg 1 l = 10–3 m3 1 bar = 105 Pa

Zeit Temperaturdifferenz Winkel

1 h = 60 min = 3600 s 1
C = 1 K 1
= p rad/180

Fr die Einheit 1 rad = 1 m/m darf nach DIN 1301 bei Zahlenrechnungen auch 1 stehen. Da
ltere Urkunden, Vertr
ge und
lteres Schrifttum noch die frheren Einheitensysteme enthalten, sind ihre Umrechnungsfaktoren fr das internationale Maßsystem in Z Tab. 5 aufgefhrt. Druck. Nach DIN 1314 wird der Druck p meist in der Einheit bar angegeben und z
hlt vom Nullpunkt aus. Druckdifferenzen werden durch die Formelzeichen, nicht aber durch die Einheit gekennzeichnet. Dies gilt besonders fr die Manometerablesung bzw. atmosph
rischen Druckdifferenzen. DIN-Normen. Hier sind die bei Abschluß der Manuskripte gltigen Ausgaben maßgebend. Dies gilt auch fr die dort gegebenen Definitionen und fr die angezogenen Richtlinien.

IChronik des Taschenbuchs – Biographische Daten

Chronik des Taschenbuchs Der Plan eines Taschenbuchs f
r den Maschinenbau geht auf eine Anregung von Heinrich Dubbel, Dozent und spter Professor an der Berliner Beuth-Schule, der namhaftesten deutschen Ingenieurschule, im Jahre 1912 zur
ck. Die Diskussion mit Julius Springer, dem f
r die technische Literatur zustndigen Teilhaber der „Verlagsbuchhandlung Julius Springer“ (wie die Firma damals hieß), dem Dubbel bereits durch mehrere Fachverffentlichungen verbunden war, f
hrte rasch zu einem positiven Ergebnis. Dubbel
bernahm die Herausgeberschaft, stellte die – in ihren Grundz
gen bis heute unverndert gebliebene – Gliederung auf und gewann, soweit er die Bearbeitung nicht selbst durchf
hrte, geeignete Autoren, zum erheblichen Teil Kollegen aus der Beuth-Schule. Bereits Mitte 1914 konnte die 1. Auflage erscheinen. Zunchst war der Absatz unbefriedigend, da der 1. Weltkrieg ausbrach. Das besserte sich aber nach Kriegsende und schon im Jahre 1919 erschien die 2. Auflage, dicht gefolgt von weiteren in den Jahren 1920, 1924, 1929, 1934, 1939, 1941 und 1943. Am 1. 3. 1933 wurde das Taschenbuch als „Lehrbuch an den Preußischen Ingenieurschulen“ anerkannt. H. Dubbel bearbeitete sein Taschenbuch bis zur 9. Auflage im Jahre 1943 selbst. Die 10. Auflage, die Dubbel noch vorbereitete, deren Erscheinen er aber nicht mehr erlebte, war im wesentlichen ein Nachdruck der 9. Auflage. Nach dem Krieg ergab sich bei der Planung der 11. Auflage der Wunsch, das Taschenbuch gleichermaßen bei den Technischen Hochschulen und den Ingenieurschulen zu verankern. In diesem Sinn wurden gemeinsam Prof. Dr.-Ing. Fr. Sass, Ordinarius f
r Dieselmaschinen an der Technischen Universitt Berlin, und Baudirektor Dipl.-Ing. Charles Bouch, Direktor der Beuth-Schule, unter Mitwirkung des Oberingenieurs Dr.-Ing. Alois Leitner, als Herausgeber gewonnen. Durch Spezialwerke standen Sass und Bouch schon mit dem Springer-Verlag in Verbindung; Fr. Sass durch seine „Dieselmaschinen“, Ch. Bouch durch seine „Kolbenverdichter“. Das gesamte Taschenbuch wurde nach der bewhrten Disposition H. Dubbels neu bearbeitet und mehrere Fachgebiete neu eingef
hrt: hnlichkeitsmechanik, Gasdynamik, Gaserzeuger und Kltetechnik. So gelang es, den technischen Fortschritt zu ber
cksichtigen und eine breitere Absatzbasis f
r das Taschenbuch zu schaffen. In der 13. Auflage wurden im Vorgriff auf das Einheitengesetz das technische und das internationale Maßsystem nebeneinander benutzt. In dieser Auflage wurde Prof. Dr.-Ing. Egon Martyrer von der Technischen Universitt Hannover als Mitherausgeber herangezogen. Am 26. 2. 1968 verstarb Fr. Sass, am 5. 11. 1975 E. Martyrer, am 6. 2. 1978 Ch. Bouch. Die 14. Auflage wurde von den Herausgebern W. Beitz und K.-H. K
ttner und den Autoren vollstndig neubearbeitet und erschien 1981, also 67 Jahre nach der ersten. Auch hier wurde im Prinzip die Disposition und die Art der Auswahl der Autoren und Herausgeber beibehalten. Inzwischen haben aber besonders die Computertechnik, die Elektronik, die Regelung und die Statistik den Maschinenbau beeinflußt. So wurden

XLV

umfangreichere Berechnungs- und Steuerverfahren entwickelt, und es entstanden sogar neue Spezialgebiete. Eine Auswahl unter der erforderlichen Ber
cksichtigung des klassischen Maschinenbaus und bei der notwendigen Beschrnkung der Seitenzahl zu treffen, die der Kritik standhlt, ist eine außerordentlich schwierige Aufgabe. Der Umfang des unbedingt ntigen Stoffes f
hrte zu zweispaltiger Darstellung bei grßerem Satzspiegel. So ist wohl die unvernderte Bezeichnung „Taschenbuch“ in der Tradition und nicht im Format begr
ndet. Das Ansehen, dessen sich das Taschenbuch
berall erfreute, f
hrte im Lauf der Jahre auch zu verschiedenen bersetzungen in fremde Sprachen. Eine erste russische Ausgabe gab in den zwanziger Jahren der Springer-Verlag selbst heraus, eine weitere erschien unautorisiert. Nach dem 2. Weltkrieg wurden Lizenzen f
r griechische, italienische, jugoslawische, portugiesische, spanische und tschechische Ausgaben erteilt. Von der Neubearbeitung (14. Auflage) erschienen 1984 eine italienische, 1991 eine chinesische und 1994 eine englische bersetzung. Nach dem Tod von K.-H. K
ttner wurde K.-H. Grote f
r die 1997 erschienene 19. Auflage Mitherausgeber des DUBBEL. Wolfgang Beitz verstarb leider ganz pltzlich im November 1998. Im Jahr darauf erschien der DUBBEL als erstes interaktives, elektronisches Taschenbuch f
r den Maschinenbau in erster, 2002 in zweiter Version. Jrg Feldhusen ist ab der 21. Auflage Mitherausgeber des DUBBEL, der mit der 20. Auflage (2001) die Marke von 1 Millionen verkauften Exemplaren seit der Erstauflage
berschritt. Dieses beachtliche Gesamtergebnis wurde durch die gewissenhaft arbeitenden Autoren und Herausgeber, die sorgfltige Bearbeitung im Verlag und die exakte drucktechnische Herstellung mglich.

Biographische Daten
ber H. Dubbel Heinrich Dubbel, der Schpfer des Taschenbuches, wurde am 8. 4. 1873 als Sohn eines Ingenieurs in Aachen geboren. Dort studierte er an der Technischen Hochschule Maschinenbau und arbeitete in der vterlichen Fabrik als Konstrukteur, nachdem er in Ohio/USA Auslandserfahrungen gesammelt hatte. Vom Jahre 1899 ab lehrte er an den Maschinenbau-Schulen in Kln, Aachen und Essen. Im Jahre 1911 ging er an die Berliner Beuth-Schule, wo er nach f
nf Jahren den Titel Professor erhielt. 1934 trat er wegen politischer Differenzen mit den Behrden aus dem ffentlichen Dienst aus und widmete sich in den folgenden Jahren vorwiegend der Beratung des Springer-Verlages auf dem Gebiet des Maschinenbaus. Er starb am 24. 5. 1947 in Berlin. Dubbel hat sich in hohem Maße auf literarischem Gebiet bettigt. Seine Aufstze und B
cher, insbesondere
ber Dampfmaschinen und ihre Steuerungen, Dampfturbinen, l- und Gasmaschinen und Fabrikbetrieb genossen großes Ansehen. Durch das „Taschenbuch f
r den Maschinenbau“ wird sein Name noch bei mancher Ingenieurgeneration in wohlverdienter Erinnerung bleiben.

A

Mathematik

P. Ruge, Dresden

Allgemeine Literatur Umfassende Darstellungen Aumann, G.: H
here Mathematik I–III. Mannheim: Bibliogr. Inst. 1970–1971. – Baule, B.: Die Mathematik des Naturforschers und Ingenieurs, 2 Bde. Frankfurt: Deutsch 1979. – B
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here Mathematik fr Ingenieure, 5 Bde. Stuttgart: Teubner 1992–1997. – Dirschmidt, H. J.: Mathematische Grundlagen der Elektrotechnik. Braunschweig: Vieweg 1990. – Fetzer, A.; Frnkel, H.: Mathematik. Lehrbuch fr Fachhochschulen, Bd. 1: 4. Aufl. 1995; Bd. 2: 4. Aufl. 1995; Bd. 3: 2. Aufl. 1985. Dsseldorf: VDI. – Gnter, N. M.; Kusmin, R. O.: Aufgabensammlungen zur H
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here Mathematik. Rev. von L
sch, F. 4 Bde. Stuttgart: Hirzel 1990. – Meyberg, K.; Vachenauer, P.: H
here Mathematik, Bd. 1: 6. Aufl. 2003; Bd. 2: 4. Aufl. 2003. Berlin: Springer. – Papula, L.: Mathematik fr Ingenieure und Naturwissenschaftler, Bd. 1: 10. Aufl. 2001; Bd. 2: 10. Aufl. 2001; Bd. 3: 2. Aufl. 1997. Braunschweig: Vieweg. – Sauer, R.; Szabo, I.: Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs, Teile I–IV. Berlin: Springer 1967–1970. – Smirnow, W. I.: Lehrgang der h
heren Mathematik, 5 Teile. Berlin: Dt. Verlag der Wissenschaften 1990–1995. – Strubecker, K.: Einfhrung in die H
here Mathematik I–IV. Mnchen: Oldenbourg 1966–1984. – Trinkaus, H. L.: Probleme? H
here Mathematik (Aufgabensammlung). Berlin: Springer 1993. – W
rle, H.; Rumpf, H. J.: Ingenieurmathematik in Beispielen, Bd. I: 5. Aufl. 1994; Bde. II, 4. Aufl. 1992. III: 4. Aufl. 1994. Mnchen: Oldenbourg. Handbcher, Formelsammlungen Abramowitz, M.; Stegun, I. A.: Handbook of mathematical functions. New York: Dover 1971. – Bartsch, H.-J.: Taschenbuch mathematischer Formeln, 20. Aufl. Leipzig: Fachbuchverlag 2004. – Bosch, K.: Mathematik-Taschenbuch, 5. Aufl. Mnchen: Oldenbourg 1998. – Bronstein, I. N.; Semendjajew, K. A.: Taschenbuch der Mathematik, Harri Deutsch. Leipzig: Teubner 1996. – Erdelyi, A.; Magnus, W.; Oberhettinger, F.; Tricomi, F.: Higher transcendental functions, 3 Bde. New York: McGraw-Hill 1982–1985. – Gradstein, I. S..; Ryshik, I. W.: Summen-, Produkt- und Integraltafeln, 5. Aufl. Frankfurt: Deutsch 1981. – Gr
bner, W.; Hofreiter, N. (Hrsg.): Integraltafeln, 2 Teile. Wien: Springer 1973, 1975. – Jahnke, E.; Emde, F.; L
sch, F.: Tafeln h
herer Funktionen, 7. Aufl. Stuttgart: Teubner 1966. – Joos, G.; Richter, E.: H
here Mathematik, 13. Aufl. Frankfurt: Deutsch 1994. – Meyer zur Capellen, W.: Integraltafeln. Sammlungen unbestimmter Integrale elementarer Funktionen. Berlin: Springer 1950. – Netz, H.: Formeln der Mathematik, 7. Aufl. Mnchen: Hanser 1992. – Rde, L.; Westergren, B.; Vachenauer, P.: Springers mathematische Formeln. Taschenbuch fr Ingenieure, Naturwissenschaftler, Wirtschaftswissenschaftler, 3. Aufl., Berlin: Springer 2000. – Rottmann, K.: Mathematische Formelsammlung, 4. Aufl. Mannheim: BI-Wiss.-Verlag 1993. – Ruge, P.: Mathematik. In: H. Czichos, M. Hennecke (Hrsg.): HTTE – Die Grundlagen der Ingenieurwissenschaften, 32. Aufl. Berlin: Springer 2004. – Sneddon, I. N.: Spezielle Funktionen der mathematischen Physik. Mannheim: Bibliogr. Inst. 1963. Ergnzungen Alefeld, G.; Herzberger, J.: Einfhrung in die Intervallrechnung. Mannheim: Bibliogr. Inst. 1974. – B
hme, G.: Algebra – Anwendungsorientierte Mathematik, 7. Aufl. Berlin: Springer 1992, S. 362–411. – Burg, K.; Haf, H.; Wille, F.: H
here Mathematik fr Ingenieure, Bd. III: Gew
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A

A2

A

Mathematik

gart: Teubner 1977. – Rehbock, F.: Darstellende Geometrie. Berlin: Springer 1969. – Wunderlich, W.: Darstellende Geometrie, 2 Bde. Mannheim: Bibliogr. Inst. 1966, 1984. Funktionentheorie, Integraltransformation Ameling, W.: Laplace-Transformation, 3. Aufl. Braunschweig: Vieweg 1984. – Behnke, H.; Sommer, F.: Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Ver
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hmer, K.: Spline-Funktionen. Stuttgart: Teubner 1974. – Bunse, W.; Bunse-Gerstner, A: Numerische lineare Algebra. Stuttgart: Teubner 1985. – Collatz, L.: The numerical treatment of differential equations, 3. Ed. Berlin: Springer 1966. – Collatz, L.; Wetterling, W.: Optimierungsaufgaben, 2. Aufl. Berlin: Springer 1971. – Davis, P. J.; Rabinokwitz, P.: Method of numerical integration, 2. Aufl. New York: Academic Press 1984. – Deuflhard, P.; Hohmann, A.: Numerische Mathematik I. Eine algorithmische orientierte Einfhrung. Berlin: de Gruyter 1993. – Deuflhard, P.; Bornemann, F.: Numerische Mathematik II. Integration gewhnlicher Differentialgleichungen. Berlin: de Gruyter 1994. – Engeln-Mllges, G.; Schfer, W.; Trippler, G.: Kompaktkurs Ingenieurmathematik mit Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik, 3. Aufl. Leipzig: Fachbuchverlag 2004. – Engels, H.: Numerical quadrature and cubature. London: Academic Press 1980. – Fatunla, S. O.: Numerical method for initial value problems in ordinary differential equations. London: Academic Press 1988. – Forsythe, G. E.; Malcolm, M. A.; Moler, C. B.: Computer methods for mathematical computations. Englewood Cliffs: Prentice-Hall 1977. – Gear, C. W.: Numerical initial value problems in ordinary differential equations. Englewood Cliffs: Prentice-Hall 1971. – Golub, G. H.; Van Loan, Ch. F.: Matrix computations, 3. Ed. Baltimore: The Johns Hopkins University Press 1997. – Grigorieff, R. D.: Numerik gewhnlicher Differentialgleichungen, Bd. 1: Einschrittverfahren. Stuttgart: Teubner 1972. – Grigorieff, R. D.: Numerik gewhnlicher Differentialgleichungen, Bd. 2: Mehrschrittverfahren. Stuttgart: Teubner 1977. – Hackbusch, W.: Multi-grid methods and applications. Berlin: Springer 2003. – Hairer, E.; Nrsett, S. P.; Wanner, G.: Solving ordinary differential equations, I: Nonstiff problems. Berlin: Springer 2000. – Hairer, E.; Wanner, G.: Solving ordinary differential equations, II: Stiff and differential-algebraic problems. Berlin: Springer 1991. – Hmmerlin, G.; Hoffmann, K.-H.: Numerische Mathematik. Berlin: Springer 1994. – Isaacson, E.; Keller, H. B.: Analysis of numerical methods. New York: John Wiley 1994. – Jennings, A.: Matrix computation for engineers and scientists. New York: John Wiley 1977. – Jordan-Engeln, G.; Reutter, F.: Numerische Mathematik fr Ingenieure, 5. Aufl. Mannheim: Bibliogr. Inst. 1988. – Kielbasinski, A.; Schwetlick, H.: Numerische lineare Algebra. Thun/Frankfurt a. M.: Harri Deutsch 1988. – Maess, G.: Vorlesungen ber numerische Mathematik, I. Lineare Algebra. Basel: Birkh
user 1985. – Meis, Th.; Marcowith, U.: Numerische Behandlung partieller Differentialgleichungen. Berlin: Springer 1981. – Nrnberger, G.: Approximation by spline functions. Berlin: Springer 1989. – Ortega, J. M.; Rheinboldt, W. C.: Iterative solution of nonlinear equations in several variables. New York: Academic Press 1989. – Parlett, B. N.: The symmetric eigenvalue problem. Philadelphia: Soc. for Ind. a. Applied Mathematics 1998. – Piessens, R.; de Doncher-Kapenga, E.; berhuber, C. W.; Kahaner, D. K.: Quadpack. A subroutine package fr automatic integration. Berlin: Springer 1983. – Schwarz, H. R.: Methode der finiten Elemente, 3. Aufl. Stuttgart: Teubner 1991. – Schwarz, H. R.: Numerische Mathematik, 5. Aufl. Stuttgart: Teubner 2004. – Shampine, L. F.; Gordon, M. K.: Computer-Lsung gewhnlicher Differentialgleichungen. Das Anfangswertproblem. Braunschweig: Vieweg 1984. – Stiefel, E.: Einfhrung in die numerische Mathematik, 5. Aufl. Stuttgart: Teubner 1976. – Stoer, J.: Numerische Mathematik 1, 5. Aufl. Berlin: Springer 1989. – Stoer, J.; Bulirsch, R.: Numerische Mathematik 2, 3. Aufl. Berlin: Springer 1990. – Stroud, A. H.: Approximate calculation of multiple integrals. Englewood Cliffs: Prentice-Hall 1971. – Stroud, A. H.: Numerical quadrature and solution of ordinary differential equations. New York: Springer 1974. – Stroud, A. H.; Secrest, D.: Gaussian quadrature formulas. Englewood Cliffs: Prentice-Hall 1966. – T
rnig, W.; Gipser, M.; Kaspar, B.: Numerische Lsungen von partiellen Differentialgleichungen der Technik. Differenzenverfahren, finite Elemente und die Behandlung großer Gleichungssysteme, 2. Aufl. Stuttgart: Teubner 1991. – T
rnig, W.; Spellucci, P.: Numerische Mathematik fr Ingenieure und Physiker, Bd. 1: Numerische Methoden der Algebra, 2. Aufl. Berlin: Springer 1988. – T
rnig, W.; Spellucci, P.: Numerische Mathematik

I2

Ergnzungen zur Mathematik f
r Ingenieure

A3

f
r Ingenieure und Physiker, Bd. 2: Numerische Methoden der Analysis, 2. Aufl. Berlin: Springer 1990. – Varga, R. S.: Matrix iterative analysis, 3. Ed. Berlin: Springer 1999. – Wilkinson, J. H.: The algebraic eigenvalue problem. Oxford: Clarendon Press 1988. – Young, D. M.: Iterative solution of large linear systems. New York: Academic Press 1989. – Young, D. M.; Gregory, R. T.: A survey of numerical mathematics, Vols. I+II. Reading: Addison-Wesley 1973. – Zienkiewicz, O. C.: Methode der finiten Elemente, 2. Aufl. Leipzig: Fachbuchverlag 1987. – Zurm
hl, R.; Falk, S.: Matrizen und ihre Anwendungen, Teil 1: Grundlagen, 7. Aufl. Berlin: Springer 1997. – Zurm
hl, R.; Falk, S.: Matrizen und ihre Anwendungen, Teil 2: Numerische Methoden, 5. Aufl. Berlin: Springer 1986.

1 Mathematik f
r Ingenieure Die hauptschlichen Grundlagen der Ingenieurwissenschaften und damit auch die Mathematik im Maschinenbau liegen in dem Kompendium „HTTE – Die Grundlagen der Ingenieurwissenschaften“ aus gleichem Hause in einer relativ ausf
hrlichen Zusammenfassung vor. Eine wichtige Unterst
tzung stellt die WEB-SITE www.dubbel.de des Springer-Verlags dar. Deshalb sollen hier Hinweise zur Literatur und einige Anmerkungen zu neueren Entwicklungen und wesentlichen Aspekten ausreichen. Mathematik f
r Ingenieure, hufig auch Ingenieurmathematik genannt, ist keine Mathematik mit abgeminderten Qualittsanspr
chen, sondern eine Mathematik, von der man konkrete Lsungen f
r konkrete Probleme erwartet. Konkrete Lsungen sind hufig nur nherungsweise darstellbar; das ist kein grundstzlicher Mangel, falls gesicherte Abschtzungen
ber den Fehler mglich sind. Die rasante Entwicklung der Leistungsfhigkeit moderner Computer erffnet die Analyse immer komplexerer Problemfelder auch und gerade in den Ingenieurwissenschaften. Im interdisziplinren Spannungsfeld von Mathematik, Informatik, Ingenieur- und Naturwissenschaften entstanden neue Fachgebiete wie das Scientific Computing. Im Kern dieser Bem
hungen stehen zum einen die Entwicklung leistungsfhiger numerischer Algorithmen, zum anderen aber auch Aussagen
ber Genauigkeit, Konvergenz und numerische Stabilitt. Dies sind zutiefst mathematische Begriffe, die bis in die Funktionalanalysis f
hren. Aus diesen wenigen Aussagen wird die stetige Fortentwicklung auch der Ingenieurmathematik deutlich. So wie die Theorie und Anwendung der Integraltransformationen, der Tensoren und Matrizen in die Ingenieurwelt Eingang gefun-

2 Ergnzungen zur Mathematik f
r Ingenieure Klarere Definitionen alter mathematischer Begriffe, neue Ingenieuranwendungen auf der Basis der klassischen Analysis und die Einf
hrung verallgemeinerter Zahlendarstellungen ergnzen immer wieder die mathematischen Hilfsmittel des Ingenieurs. Beispiele gibt es hierf
r in der Beschreibung von Stoffgesetzen mit Gedchtnis
ber fraktionale Ableitungen, in der Zuschrfung des Dirac-Delta Formalismus
ber integral formulierte Distributionen oder in der bereichsweisen Einf
hrung von Wichtungs- oder Projektionsfunktionen in der Theorie der Wavelet-Integraltransformationen. Damit wird in der Signalanalyse eine Entwicklung nachgeholt, die in der Strukturanalyse schon seit langem durch den bergang von globalen Ritz-Anstzen zu lokalen FEM-Diskretisierungen gekennzeichnet ist.

den haben, wird auch die Funktionalanalysis allmhlich an Bedeutung gewinnen. Zugenommen hat auch die Verf
gbarkeit von Mathematik in Form von Softwarepaketen wie zum Beispiel Mathematica, Maple, Mathcad oder Matlab – um nur einige zu nennen. ber das klassische mathematische R
stzeug des Ingenieurs herrscht weitgehende bereinstimmung, wie ein Blick in die allgemeine Lehrbuchliteratur ausweist. Neben typischen Klassikern von Autoren wie Baule, Mangoldt/Knoop sowie Smirnow erfreuen sich in letzter Zeit insbesondere die Werke von Meyberg/Vachenauer sowie von Burg/Haf/Wille einer besonderen Nachfrage. Auch unter den Handb
chern und Formelsammlungen gibt es neben Bewhrtem solche Klassiker wie „den Bronstein“ von Bronstein/Semendjajew und „die H
tte“ mit ihrem Mathematikteil. Eine viel beachtete relativ neue Formelsammlung von Rde/Westergren enthlt tabellarische bersichten auch zu mehr abstrakten Objekten der Mathematik. Klassisches Nachschlagewerk f
r spezielle Funktionen ist das Handbuch von Abramowitz/Stegun. Wesentliche Bedeutung f
r die Anwendungen im Maschinenbau haben neben den elementaren Grundlagen die Matrizen und Tensoren, die Geometrie einschließlich der Projektion auf Ebenen, die Integraltransformationen, die Variationsrechnung einschließlich verallgemeinerter Optimierungsstrategien und schließlich alle numerischen Verfahren. Dazu gehren sowohl die Diskretisierung kontinuierlicher Probleme in Ort und Zeit in Verbindung mit effektiven Integrationsverfahren als auch die anschließende Lsung der algebraischen Gleichungen. Daneben gibt es das eigenstndige Fachgebiet der Statistik mit der weiterf
hrenden Wahrscheinlichkeitslehre. Zu allen Themenkreisen sind im Vorspann spezielle Literaturstellen aufgelistet.

Selbst in der Algebra gibt es neue f
r den Ingenieur interessante Entwicklungen; so die Einf
hrung der Intervallrechnung und die Weiterentwicklung zur Fuzzy-Algebra. In der Intervallarithmetik wird eine Zahl z nicht mehr nur durch einen einzigen diskreten Wert dargestellt, sondern durch ein Intervall mit einer unteren Schranke z und einer oberen Schranke
z. z ¼ ½z,
z
; z  z 
z:

ð1Þ

Auf dieser Menge werden Verkn
pfungen definiert; so zum Beispiel die Subtraktion u  u : u
; u ¼ ½u;
u
; u  u ¼ ½u 
u;
u  u
: u ¼ ½u;


ð2Þ

Die Bewertung der Zahlen z im Intervall ½z;
z
hinsichtlich ihrer Zugehrigkeit zum Intervall durch eine sogenannte Zugehrigkeitsfunktion m (memoryfunction) mit Werten zwischen 0 (mit Sicherheit keine Zugehrigkeit) und 1 (mit Sicherheit volle Zugehrigkeit) beschreibt den bergang von bewertungsneutralen Zahlenintervallen zu Fuzzy-Zahlen.

A

A4

Mathematik – 3 Numerische Methoden

A

Bild 1 a–c. Differenz u
u von Fuzzy-Zahlen

Eine Aussage wie: die Verschiebung u liegt
berwiegend zwischen 7,4 cm und 7,6 cm und fllt gelegentlich bis auf 7,0 cm ab oder steigt bis auf maximal 8,0 cm, lßt sich durch die Zugehrigkeitsfunktion in Bild 1 b darstellen. Eine weitere Aussage wie: die Verschiebung u betrgt unge-

fhr 3,0 cm und liegt garantiert nicht unter 2,5 cm oder
ber 3,5 cm, ist in Bild 1 a veranschaulicht. Die Differenz u
u folgt aus einfacher Anwendung der Regel in Gl. (2) angewandt auf jedes m-Niveau, wie in Bild 1 c f
r m ¼ 0; 5 eingetragen.

3 Numerische Methoden

http://math.nist.gov. Selbst eine so vermeintlich elementare Aufgabe wie die Lsung eines Gleichungssystems mit reeller symmetrischer Koeffizientenmatrix A bedarf klrender Hinweise. Das Verfahren der Wahl ist die vorweggezogene Cholesky-Zerlegung von A mit A ¼ CCT . Dabei ist C oberhalb der Hauptdiagonalen mit den Elementen Cjj von vorneherein nur mit Nullen belegt. DiesepElemente ffiffiffi Cjj ergeben sich typischerweise als Wurzeln C jj ¼ R, wobei der Radikand R negativ sein kann und damit Cjj imaginr – eine Eigenschaft, die dem reellen Problem nicht angemessen ist. Folgerichtig reagieren manche Softwarepakete mit einer Fehlermeldung und brechen ab. Konzipiert man hingegen die ! Zerlegung mit vorgegebenen Elementen Cjj ¼ 1 und einer zwischengeschalteten Diagonalmatrix D,

3.1 Numerisch-analytische L
sung Von allen Teildisziplinen der Mathematik hatte in den letzten 30 Jahren die numerische Mathematik mit ihrer Realisierung auf programmierbaren Rechnern den mit Abstand grßten Einfluß auf die Ingenieurwissenschaften. Universelle Lsungsstrategien wie die Finite-Element-Methode und hocheffektive Algorithmen erlauben die Behandlung von Problemen mit einigen Zehntausend Freiheitsgraden. Analytische Verfahren treten dabei fast ganz in den Hintergrund und doch haben sie eine wesentliche Funktion bei der Kontrolle von Nherungsergebnissen. So knnen die Biegeeigenfrequenzen f ½Hz eines beidseitig frei drehbar unverschieblich gelagerten Bernoullibalkens nach Bild 1 als analytische Funktion der Ordnungszahl k angegeben werden. sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi k2 p EI ; k ¼ 1, . . . , 1: ð1Þ f¼ 2 l3 rAl EI Biegesteifigkeit, l Balkenlnge, r Spezifische Masse pro Volumen, A Querschnittsflche.

3.2 Standardaufgaben der linearen Algebra Zwei Standardaufgaben beherrschen die lineare Algebra und damit die Diskretisierung von Ingenieurproblemen: Das Gleichungssystem und das nichtlineare Eigenwertproblem: Ax ¼ r; A, r gegeben; x gesucht: Ax ¼ lBx; A, B gegeben; l, x gesucht: Um das reichlich vorhandene Softwareangebot hinsichtlich seiner Leistungsfhigkeit und insbesondere Zuverlssigkeit zu beurteilen, eignen sich Testaufgaben, deren Lsungen mit Hilfe nicht numerischer Methoden vollkommen unabhngig dargestellt werden knnen. Quellen hierf
r sind die Grundlagen-HTTE im Mathematikteil und das Internet; so zum Beispiel die Website des National Institute of Standards:

Bild 1. Bernoullibalken

!

A ¼ CDCT , Cjj ¼ 1, D ¼ diagfd 1 ; . . . ; d n g,

ð2Þ

ist das Wurzelproblem beseitigt, wie folgendes Beispiel zeigt 2 3 2 3 2 3 1 2 3 1 0 0 1 0 0 4 4 5 4 5 A ¼ 2 3 5 , C ¼ 2 1 0 , D ¼ 0
1 0 5: 0 0 2 3 5 10 3 1 1 Die Lsung eines Gleichungssystems Ax ¼ r
ber die Invertierung der Matrix A mit x ¼ A
1 r ist absolut ungeeignet wegen des unntig hohen Rechenaufwands und der Zerstrung der gerade bei Ingenieurproblemen hufig vorhandenen Bandstruktur von A. Gleichungssysteme Ax ¼ r mit regulrer, aber unsymmetrischer Koeffizientenmatrix A 6¼ AT werden im Rahmen des Gaußschen Algorithmus durch die Produktzerlegung A ¼ LR in eine Linksdreiecksmatrix L und eine Rechtsdreiecksmatrix R gelst. Formal kann ein Gleichungssystem mit unsymmetrischem A durch Multiplikation von links mit AT in ein System mit symmetrischer Matrix AT A
berf
hrt werden. Ax ¼ r mit A 6¼ AT : ! ðAT AÞ x ¼ AT r:

ð3Þ

Damit erschließen sich zwar alle Methoden f
r symmetrische Matrizen – neben der Cholesky-Zerlegung gibt es das Vorgehen
ber die Minimierung zugeordneter quadratischer Formen –, doch ist bereits der Aufwand zur Ausf
hrung des Produktes AT A unsinnig hoch und zudem sind die Lsungseigenschaften der quasi „quadrierten“ Matrix ausgesprochen schlecht. Rein anschaulich wird dies offenbar bei der Berechnung des Schnittpunktes zweier Geraden
x þ 20 y ¼ 20 und
x þ 10 y ¼ 9 wie in Bild 2 skizziert. Das zugeordnete Gleichungssystem ist unsymmetrisch.

I3.3
Ax ¼ r:


1 20
1 10

Interpolation, Integration

A5





 x 20 x 2,0 ¼ ! ¼ : y 9 y 1,1

A

Das entsprechende System mit symmetrischer Matrix liefert dieselbe L
sung, AT Ax ¼ AT r:




 2
30 x
29 x 2,0 ¼ ! ¼ ,
30 500 y 490 y 1,1 doch stellt sich der L
sungspunkt als Schnittpunkt der beiden inneren Geraden jetzt als „schleifender Schnitt“ heraus, was auch der numerischen L
sungsdarstellung abtrglich ist. Die Berechnung der Eigenwerte l und Eigenvektoren x des algebraischen Eigenwertproblems Ax ¼ lBx

ð4Þ

ist ungleich aufwendiger als die L
sung eines Gleichungssystems, so daß hier nur auf die Literatur verwiesen werden kann. Notwendige Bedingung fr nichttriviale L
sungen x der Aufgabe (4) ist das Verschwinden der Koeffizientendeterminante ! 0: detðA
lBÞ ¼

ð5Þ

Gngige numerische Verfahren basieren entweder auf Vektoriterationsverfahren oder sukzessiven Umformungen von A und B zu Matrizen LAR, LBR einfacherer Struktur. Ax ¼ lBx: x ¼ Ry ! LAR y ¼ l LBR y:

ð6Þ

Die Eigenwerte l bleiben dabei unverndert. Der hufige Sonderfall symmetrischer Matrizen A ¼ AT , B ¼ BT fhrt nicht zwangslufig zu reellen Eigenwerten und vektoren, wie das folgende Beispiel zeigt.

 2 1 6 4 A¼ , B¼ : 1 0 4 1
 1 3i Ax ¼ lBx: ! l ¼ , x¼ : 10
1  i Bedingung fr reelle Eigenwerte bei symmetrischen Matrizen ist die Definitheit wenigstens einer der beteiligten Matrizen A oder B. Definitheit liegt dann vor, wenn die Elemente Djj der Matrix D der Cholesky-Zerlegung A ¼ CDCT alle gleiches Vorzeichen haben. Das ist in obigem Beispiel weder fr A noch fr B der Fall.


 1 0 2 0 1 1=2 A¼ : 1=2 1 0
1=2 0 1


 1 0 6 0 1 2=3 B¼ : 2=3 1 0
5=3 0 1 Viele Eigenwertl
ser fordern bei symmetrischem Paar A; B unabhngig von A eine positiv definite Matrix B. Leistet B dieses nicht, wohl aber die Matrix A, hilft ein Austausch der Matrizen mit einem Hilfseigenwert m: 1 Ax ¼ lBx ! Bx ¼ mAx; m ¼ : l

ð7Þ

Bei singulrer Matrix B ist diese Maßnahme ebenso hilfreich. Ist auch nur eine der beteiligten Matrizen unsymmetrisch, sind grundstzlich nur solche Eigenwertl
ser geeignet, die im Komplexen arbeiten. Neben dem in l linearen algebraischen Eigenwertproblem Ax ¼ lBx gibt es das in l nichtlineare Eigenwertproblem 2

p

PðlÞ x ¼ 0, PðlÞ ¼ A0 þ lA1 þ l A2 þ . . . þ l Ap

ð8Þ

Bild 2. Schleifender Schnitt der inneren Geraden

mit einer Polynommatrix P. Durch die Einfhrung zustzlicher Unbekannter x1 ¼ l x0 mit x0 ¼ x, x2 ¼ l x1 , .. . xp
1 ¼ l xp
2

ð9Þ

gelingt eine formale Darstellung als lineares Eigenwertproblem und damit die Nutzung von Standardsoftware, z. B. fr p ¼ 4: 32 3 32 3 2 2 x 1 0 0 0 x 0 1 0 0 6 0 0 1 0 76 x1 7 6 0 1 0 0 76 x1 7 76 7 ¼ l6 76 7:ð10Þ 6 4 0 0 0 1 54 x2 5 4 0 0 1 0 54 x2 5 0 0 0
A4 x3 x3 A0 A1 A2 A3 Ist P in Gl. (8) nicht wie dort algebraisch, sondern eine Matrix mit transzendenten Elementen wie Pij ¼ sin2 l, sind verallgemeinerte Taylor-Entwicklungen heranzuziehen, wie z. B. in Falk/Zurmhl beschrieben. Mehrgitterverfahren Im Rahmen der iterativen L
sung von Gleichungssystemen und Eigenwertproblemen ber zugeordnete quadratische Formen hat das Mehrgitterverfahren (Multigrid Method) eine gewisse Bedeutung erlangt. Dabei werden Diskretisierungen mit verschiedenen finiten Elementnetzen so miteinander verquickt, daß der Fehler auf dem groben Gitter berechnet wird, die entsprechende Verbesserung der aktuellen Nherung hingegen auf dem feinen Gitter stattfindet.

3.3 Interpolation, Integration Bei der Interpolation wird eine Menge von k ¼ 1 bis n diskreten Werten f k ðxk Þ an Sttzstellen xk auf einen kontinuierlichen Bereich abgebildet. Dadurch ist man in der Lage zu differenzieren, zu integrieren und beliebige Zwischenwerte f ð xÞ in der Zeit oder im Raum zu berechnen. Zur Interpolation nichtperiodischer Punktmengen eignen sich insbesondere Polynome. Daneben sind gebrochen rationale Funktionen fpq ðxÞ ¼

a0 þ a1 x þ . . . þ ap xp b0 þ b1 x þ . . . þ bq xq

ð11Þ

besonders geeignet, Polstellen und asymptotisches Verhalten wiederzugeben. 8 falls p < q q So gibt es fr die Exponentialfunktion f ðxÞ ¼ expðxÞ verschiedene sogenannte Pade´-Entwicklungen Pp q ðxÞ mit globalen Eigenschaften nach Gl. (12), die in Tab. 1 angegeben sind. Fr

A6

A

Mathematik – 3 Numerische Methoden

Tabelle 1. Pade´-Entwicklungen Pp q ðxÞ f
r expðxÞ

Simpson: I  26 ½1  0 þ 4  0 þ 1  0 ¼ 0: Gauß (n=2):  pffiffiffiffiffiffi  8 5 I 2 ½ 18  0,6ð0,6
1Þ
0,6 þ 2 þ 18 0  pffiffiffiffiffiffi  5 8  0,6ð0,6
1Þ þ 0,6 þ 2  ¼
15 : þ 18

Tabelle 2. St
tzstellen x1 bis xn der Gauß-Integration Zh n X f ðxÞ dx  2 h wk f ðxk Þ I¼

3.4 Rand- und Anfangswertprobleme

k¼1


h

Anfangswertprobleme in der Regel im Zeitbereich, z_ ðtÞ ¼ f ðz, tÞ, z0 ¼ zðt0 Þ,

periodische Punktmengen ist die globale Fourierinterpolation das klassische numerische Werkzeug. Die Interpolation dient nicht nur zur Verstetigung diskreter Punktmengen, sondern auch zur Abbildung komplizierter Integranden f ðxÞ auf einfach zu integrierende Ersatzfunktionen; vorzugsweise Polynome. Man spricht auch von „interpolatorischer Quadratur“. Alle numerischen Integrationsverfahren basieren auf einer linearen Entwicklung des Integranden in den Funktionswerten f k ¼ f ðxk Þ an gewissen St
tzstellen xk . Gibt man diese St
tzstellen vor, z. B. an den Stellen x1 ¼
h; x2 ¼ 0; x3 ¼ þh eines Integrationsintervalls ½
h, h, I¼

Zh

f ðxÞ dx,

ð13Þ


h

I¼

2h ð f1 þ 4 f2 þ f3 Þ 6

ð14Þ

begr
ndet; das ist die Simpson-Regel. Allgemein formuliert, gehen die Funktionswerte fk mit gewissen Wichtungsfaktoren wk in den Wert des Integrals ein: I¼

n X

ð15Þ

2 h wk fk :

k¼1

Der entscheidende Aufwand steckt in der Berechnung der n Funktionswerte f k ; bei n vorgegebenen St
tzstellen xk wird der Integrand durch ein Polynom ðn
1Þ. Grades interpoliert. Lsst man hingegen die n St
tzstellen zunchst frei, so lassen sie sich aus der Forderung bestimmen, daß ein Polynom ð2n
1Þ. Grades exakt integriert wird. Dieses Vorgehen geht auf Gauß zur
ck und kann als optimal bezeichnet werden. St
tzstellen sind in Tab. 2 aufgelistet. Ein einfaches Beispiel verdeutlicht die Qualitt der Gauß-Integration gegen
ber der Simpson-Formel mit jeweils n ¼ 2 St
tzstellen und h ¼ 1. Exakt: I¼

Z1
1

zeichnen sich durch vorgegebene Anfangswerte z0 im Anfangszeitpunkt t0 aus. Eine numerische Lsung im Zeitintervall tk  t  tk þ h mit Approximationen Zk f
r zk gelingt durch numerische Integration der rechten Seite f in Gl. (16). Z m X zkþ1
zk ¼ f ðz, tÞ dt: ! Zkþ1 ¼ Zk þ h wj fj ; j¼1 ð17Þ tk þh fj ¼ f ðtk þ tj h, Zj Þ, Zj ¼ Zðtk þ tj hÞ; 0  tj  1: Die St
tzstellen tj und die Wichtungsfaktoren wj werden f
r eine konkrete Entwicklungsstufe m so berechnet, dass der lokale Fehler im Zeitschritt h mglichst klein wird. Entwicklungen nach Gl. (17) nennt man pauschal Runge-Kutta-Verfahren. Im Zusammenhang mit linearisierten Anfangswertproblemen z_ ðtÞ ¼ SzðtÞ, z0 ¼ zðt0 Þ

x2 ðx2
1Þ ðx þ 2Þ dx ¼


8 : 15

ð18Þ

vorgegeben, definieren die Eigenwerte l des zugeordneten Eigenwertproblems ðS
l1Þ x ¼ 0 die Steifheit S. S¼

mit den Funktionswerten f1 ; f2 ; f3 , so wird dadurch eine quadratische Interpolation mit dem Integralwert

ð16Þ

jljmax : jljmin

ð19Þ

F
r große Werte von S spricht man von steifen Differentialgleichungen; hierf
r eignen sich nur implizite Runge-KuttaVerfahren. Bewhrt haben sich f
r lineare Probleme wie in Gl. (18) Pade´-Darstellungen Ppq der Exponentiallsung nach Gl. (11) mit Tab. 1. z_ ¼ S z ! zðtÞ ¼ expðS tÞ z0 z1 ¼ zðt ¼ hÞ ¼ expðS hÞ z0 :

ð20Þ

Bei gleichen Potenzen p ¼ q, z. B. p ¼ q ¼ 1, ist die Stabilitt der bertragungsgleichung     h h 1
S z1 ¼ 1 þ S z0 ð21Þ 2 2 a priori gesichert. Randwertprobleme in der Regel im Ortsbereich werden durch Vorgaben an allen Rndern des Problemfeldes charakterisiert. F
r Nherungslsungen eignen sich insbesondere lokale Anstze mit normierten Ansatzfunktionen; dies sind die FiniteElement-Methoden, kurz FEM. Im Rahmen des Konzepts gewichteter Residuen kann es durch die Wahl geeigneter Wichtungs- oder Projektionsfunktionen gelingen, die Integraldarstellung des Problems ausschließlich auf den Problemrand zu reduzieren: Dieses Vorgehen begr
ndet die Randelementmethode oder kurz BEM: Boundary Element Method.

B

Mechanik

B J. Lackmann, Berlin Allgemeine Literatur zu B 1 bis B 7 B
cher: Balke, H.: Einf
hrung in die Technische Mechanik. Berlin: Springer 2005. – Brandt, S.: Mechanik. Berlin: Springer 2005. – Gross; Hauge; Schnell; Schr
der: Technische Mechanik, Bde. 1 u. 2, 8. Aufl. Berlin: Springer 2005. – Gross; Hauger; Schnell; Schr
der: Technische Mechanik, Bd. 3, 8. Aufl. Berlin Springer 2004. – Gross; Hauger; Schnell; Wriggers: Technische Mechanik, Bd. 4, 5. Aufl. Berlin: Springer 2004. – Gummert, P.; Reckling, K.-A.: Mechanik, 3. Aufl. Braunschweig: Vieweg 1994. – Hutter, K.: Fluid- und Thermodynamik. Berlin: Springer 1994. – Szabo, I.: Einf
hrung in die Technische Mechanik, 8. Aufl. Berlin: Springer 1975, Nachdruck 2003. – Szabo, I.: Hhere Technische Mechanik, 6. Aufl. Berlin: Springer 2001. – Truckenbrodt, E.: Fluidmechanik, 4. Aufl. Berlin: Springer 1999. Normen und Richtlinien: DIN 1305 Masse, Gewicht, Gewichtskraft, Fallbeschleunigung, Begriffe. – DIN 1311 Schwingungslehre. – DIN 1342 Viskositt Newtonscher Fl
ssigkeiten. – DIN 5492 Formelzeichen der Strmungsmechanik. – DIN 5497 Mechanik; starre Krper; Formelzeichen.

wobei

1 Statik starrer K
rper

F ¼ jFj ¼

1.1 Allgemeines Statik ist die Lehre vom Gleichgewicht am starren Krper oder an Systemen von starren Krpern. Gleichgewicht herrscht, wenn sich ein Gebilde in Ruhe oder in gleichfrmiger geradliniger Bewegung befindet. Starre K
rper im Sinne der Statik sind Gebilde, deren Deformationen so klein sind, dass die Kraftangriffspunkte vernachlssigbar kleine Verschiebungen erfahren. Krfte sind linienfl
chtige, auf ihrer Wirkungslinie verschiebbare Vektoren (s. www.dubbel.de), die Bewegungsoder Formnderungen von Krpern bewirken. Ihre Bestimmungsst
cke sind Grße, Richtung und Lage (Bild 1 a). F ¼ Fx þ Fy þ Fz ¼ Fx ex þ Fy ey þ Fz ez ¼ ðF cos aÞex þ ðF cos bÞey þ ðF cos gÞez ;

ð1Þ

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Fx2 þ Fy2 þ Fz2 :

ð2Þ

F
r die Richtungskosinusse der Kraft gilt cos a ¼ Fx =F, cos b ¼ Fy =F, cos g ¼ Fz =F sowie cos2 a þ cos2 b þ cos2 g ¼ 1. Es gibt eingeprgte Krfte und Reaktionskrfte sowie ußere und innere Krfte. ußere Krfte sind alle von außen auf einen freigemachten Krper (s. B 1.5) einwirkende Krfte (Belastungen und Auflagerkrfte). Innere Krfte sind alle im Inneren eines Systems auftretende Schnitt- und Verbindungskrfte. Momente oder Krftepaare bestehen aus zwei gleich großen, entgegengesetzt gerichteten Krften mit parallelen Wirkungslinien (Bild 1 b) oder einem Vektor, der auf ihrer Wirkungsebene senkrecht steht. Dabei bilden r, F, M eine Rechtsschraube (Rechtssystem). Krftepaare sind in ihrer Wirkungsebene und senkrecht zu dieser beliebig verschiebbar, d. h. der Momentenvektor ist ein freier Vektor, festgelegt durch das Vektorprodukt M ¼ r
F ¼ M x þ M y þ M z ¼ Mx e x þ My e y þ Mz e z ¼ ðM cos aÞe þ ðM cos bÞe þ ðM cos gÞe : x

M ¼ jMj ¼ jrj  jFj  sin j ¼ Fh ¼

y

ð3Þ

z

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Mx2 þ My2 þ Mz2 :

ð4Þ

M heißt Grße oder Betrag des Moments und bedeutet anschaulich den Flcheninhalt des von r und F gebildeten Parallelogramms. Dabei ist h der senkrecht zu F stehende Hebelarm. F
r die Richtungskosinusse gilt (Bild 1 c) cos a ¼ Mx =M, cos b ¼ My =M, cos g ¼ Mz =M:

Bild 1 a–c. Vektordarstellung. a Kraft; b Krftepaar; c Moment

Moment einer Kraft bezglich eines Punktes (Versetzungsmoment). Die Wirkung einer Einzelkraft mit beliebigem Angriffspunkt bez
glich eines Punkts O wird mit dem Hinzuf
gen eines Nullvektors, d. h. zweier gleich großer, entgegengesetzt gerichteter Krfte F und F im Punkt O (Bild 2 a) deutlich. Es ergibt sich eine Einzelkraft F im Punkt O und ein Krftepaar bzw. Moment M (Versetzungsmoment), dessen Vektor auf der von r und F gebildeten Ebene senkrecht steht. Sind r und F in Komponenten x, y, z bzw. Fx , Fy , Fz gegeben (Bild 2 b), so gilt

B2

Mechanik – 1 Statik starrer Krper

B

Bild 4 a, b. Zusammensetzen mehrerer Krfte in der Ebene. a Lageplan; b Krftepolygon Bild 2 a – c. Kraft und Moment. a und b Kraftversetzung; c Moment in der Ebene

Die rechnerische Lsung lautet FR ¼

n X i¼1



ex

M ¼ r
F¼
x

Fx

ey y Fy


ez


z

Fz


Fi ¼

n X

Fix ex þ

i¼1

n X

Fiy ey

ð6Þ

i¼1

¼ FRx ex þ FRy ey

ð5Þ

mit Fix ¼ Fi cos ai ; Fiy ¼ Fi sin ai . Grße und Richtung der Resultierenden: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 2 þ FRy ð7Þ ; tan aR ¼ FRy =FRx : FR ¼ FRx

F
r die Komponenten, den Betrag des Momentenvektors und die Richtungskosinusse gilt

Zerlegen einer Kraft ist in der Ebene eindeutig nur nach zwei Richtungen mglich, nach drei und mehr Richtungen ist die Lsung vieldeutig (statisch unbestimmt). Graphische Lsung s. Bild 5 a, b.

¼ ðFz y  Fy zÞex þ ðFx z  Fz xÞey þ ðFy x  Fx yÞez ¼ Mx ex þ My ey þ Mz ez :

Mx M

¼ Fz y  Fy z; My ¼ Fx z  Fz x;qM z ¼ Fy x  Fx y; ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi ¼ jMj ¼ jrj  jFj  sin j ¼ Fh ¼

Mx2 þ My2 þ Mz2 ;

cos a ¼ Mx =M; cos b ¼ My =M; cos g ¼ Mz =M: Liegt der Kraftvektor in der x, y-Ebene, d. h., sind z und Fz gleich null, so folgt (Bild 2 c) M ¼ M z ¼ ðFy x  Fx yÞez ; M ¼ jMj ¼ Mz ¼ Fy x  Fx y ¼ Fr sin j ¼ Fh:

1.2 Zusammensetzen und Zerlegen von Kr
ften mit gemeinsamem Angriffspunkt 1.2.1 Ebene Kr
ftegruppe Zusammensetzen von Kr
ften zu einer Resultierenden. Krfte werden geometrisch (vektoriell) addiert, und zwar zwei Krfte mit dem Krfteparallelogramm oder Krftedreieck (Bild 3), mehrere Krfte mit dem Krftepolygon oder Krafteck (Bild 4, Krftemaßstab 1 cm =k N). Bild 5 a – c. Zerlegen einer Kraft in der Ebene. a In zwei Richtungen (eindeutig); b in drei Richtungen (vieldeutig); c rechnerisch

Rechnerische Lsung (Bild 5 c): F ¼ F1 þ F2 bzw. in Komponenten F cos a ¼ F1 cos a1 þ F2 cos a2 ; F sin a ¼ F1 sin a1 þ F2 sin a2 ; d. h. F2 ¼ ðF sin a  F1 sin a1 Þ= sin a2 und somit F cos a ¼ F1 cos a1 þ cos a2 ðF sin a  F1 sin a1 Þ= sin a2 : F cos a sin a2  F sin a cos a2 ¼ F1 cos a1 sin a2  F1 sin a1 cos a2 ; Bild 3 a, b. Zusammensetzen zweier Krfte in der Ebene. a Mit Krfteparallelogramm; b mit Krftedreieck

also F1 ¼ F sinða2  aÞ= sinða2  a1 Þ F2 ¼ F sinða1  aÞ= sinða1  a2 Þ:

und

entsprechend

I1.3

Mit ei ¼ cos ai ex þ cos bi ey þ cos gi ez wird      F cos a cos a2 cos a3   cos a1 cos a2 cos a3      F1 ¼  F cos b cos b2 cos b3  :  cos b1 cos b2 cos b3 :ð11Þ  F cos g cos g cos g   cos g cos g cos g  2 3 1 2 3

1.2.2 R
umliche Kr
ftegruppe Zusammensetzen von Kr
ften zu einer Resultierenden. Die rechnerische L
sung lautet FR ¼

n X i¼1

Fi ¼

n X i¼1

Fix ex þ

n X i¼1

B3

Zusammensetzen und Zerlegen von Krften mit verschiedenen Angriffspunkten

Fiy ey þ

n X

Fiz ez

i¼1

ð8Þ

Entsprechend F2 und F3 .

¼ FRx ex þ FRy ey þ FRz ez ; mit Fix ¼ Fi cos ai , Fiy ¼ Fi cos bi , Fiz ¼ Fi cos gi . Gr
ße und Richtung der Resultierenden: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 þ F2 þ F2 ; ¼ FRx FR Ry Rz ð9Þ cos aR ¼ FRx =FR ; cos bR ¼ FRy =FR ; cos gR ¼ FRz =FR : Zerlegen einer Kraft ist im Raum eindeutig nur nach drei Richtungen m
glich; nach vier und mehr Richtungen ist die L
sung vieldeutig (statisch unbestimmt). Die rechnerische L
sung lautet F1 þ F2 þ F3 ¼ F; F1x þ F2x þF3x ¼ Fx ; F1y þ F2y þ F3y ¼ Fy ; F1z þ F2z þ F3z ¼ Fz . Gemß Bild 6 gilt fr die Richtungskosinusse der drei gegebenen Richtungen qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi cos ai ¼ xi = x2i þ y2i þ z2i ; cos bi ¼ yi = x2i þ y2i þ z2i ; qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi cos gi ¼ zi = x2i þ y2i þ z2i : Damit folgt

1.3 Zusammensetzen und Zerlegen von Kr
ften mit verschiedenen Angriffspunkten 1.3.1 Kr
fte in der Ebene Zusammensetzen mehrerer Kr
fte zu einer Resultierenden. Rechnerisches Verfahren: Bezglich des Nullpunkts ergibt die ebene Krftegruppe eine resultierende Kraft und ein resultierendes (Versetzungs-)Moment (Bild 7 a) FR ¼

n X

Fi ; M R ¼

i¼1

FRy ¼

n X

n X

M i bzw: FRx ¼

i¼1

Fiy ; MR

i¼1

n X

Fix ;

i¼1

n n X X ¼ ðFiy xi  Fix yi Þ ¼ Fi hi : i¼1

i¼1

Fr einen beliebigen Punkt ist die Wirkung der Krftegruppe gleich der ihrer Resultierenden. Wird die Resultierende parallel aus dem Nullpunkt soweit verschoben, dass MR null wird, so folgt fr ihre Lage aus MR ¼ FR hR usw. (Bild 7 b) hR ¼ MR =FR bzw: xR ¼ MR =FRy bzw: yR ¼ MR =FRx :

F1 cos a1 þ F2 cos a2 þ F3 cos a3 ¼ F cos a; F1 cos b1 þ F2 cos b2 þ F3 cos b3 ¼ F cos b; F1 cos g1 þ F2 cos g2 þ F3 cos g3 ¼ F cos g: Diese drei linearen Gleichungen fr die drei unbekannten Krfte F1 , F2 und F3 haben nur dann eine eindeutige L
sung, wenn ihre Systemdeterminante nicht null wird (s. www.dubbel.de), d. h., wenn die drei Richtungsvektoren nicht in einer Ebene liegen. Gemß Bild 6 gilt F1 e1 þ F2 e2 þ F3 e3 ¼ F und nach Multiplikation mit e2
e3 F1 e1 ðe2
e3 Þ þ F2 e2 ðe2
e3 Þ þ F3 e3 ðe2
e3 Þ ¼ Fðe2
e3 Þ:

Bild 7 a, b. Resultierende von Krften in der Ebene

Da der Vektor ðe2
e3 Þ sowohl auf e2 als auch auf e3 senkrecht steht, werden die Skalarprodukte null, und es folgt F1 e1 ðe2
e3 Þ ¼ Fðe2
e3 Þ bzw: F1 ¼ Fe2 e3 =ðe1 e2 e3 Þ; F2 ¼ e1 Fe3 =ðe1 e2 e3 Þ; F3 ¼ e1 e2 F=ðe1 e2 e3 Þ:

ð10Þ

Fe2 e3 ; e1 e2 e3 usw. sind Spatprodukte, d. h. Skalare, deren Gr
ße der Rauminhalt des von drei Vektoren gebildeten Spats festlegt. Die L
sung ist eindeutig, wenn das Spatprodukt e1 e2 e3 6¼ 0 ist, d. h., die drei Vektoren drfen nicht in einer Ebene liegen (s. www.dubbel.de).

Zerlegen einer Kraft. Die Zerlegung einer Kraft ist in der Ebene eindeutig m
glich nach drei gegebenen Richtungen, die sich nicht in einem Punkt schneiden und von denen h
chstens zwei parallel sein drfen. Die rechnerische L
sung folgt aus der Bedingung, dass Kraftund Momentenwirkung der Einzelkrfte Fi und der Kraft F bezglich des Nullpunktes gleich sein mssen (Bild 8): n n X X Fi ¼ F; ðri
Fi Þ ¼ r
F; d: h: i¼1

i¼1

F1 cos a1 þ F2 cos a2 þ F3 cos a3 ¼ F cos a; F1 sin a1 þ F2 sin a2 þ F3 sin a3 ¼ F sin a; F1 ðx1 sin a1  y1 cos a1 Þ þ F2 ðx2 sin a2  y2 cos a2 Þ þ F3 ðx3 sin a3  y3 cos a3 Þ ¼ Fðx sin a  y cos aÞ oder an Stelle der letzten Gleichung F1 h1 þ F2 h2 þ F3 h3 ¼ Fh, wobei entgegen dem Uhrzeigersinn drehende Momente positiv sind. Das sind drei Gleichungen fr die drei Unbekannten F1 , F2 , F3 . 1.3.2 Kr
fte im Raum

Bild 6. Rechnerische Zerlegung einer Kraft im Raum

Kr
ftezusammenfassung (Reduktion). Eine rumliche Krftegruppe, bestehend aus den Krften Fi ¼ ðFix ; Fiy ; Fiz Þ; deren Angriffspunkte durch die Radiusvektoren ri ¼ ðxi ; yi ; zi Þ gegeben sind, kann bezglich eines beliebigen Punkts zu einer resultierenden Kraft FR und zu einem resul-

B

B4

Mechanik – 1 Statik starrer K
rper

B Bild 8. Zerlegen einer Kraft in der Ebene

Bild 10. Kraftschraube (Dyname)

tierenden Moment M R zusammengefasst (reduziert) werden. Die rechnerische L
sung (Bild 9) lautet, bezogen auf den Nullpunkt

Aus diesen sechs linearen Gleichungen erhlt man eine eindeutige L
sung, wenn die Nennerdeterminante ungleich null ist (s. www.dubbel.de).

FR ¼

n X

Fi ;

i¼1

MR ¼


n n

ex X X
xi ðri
Fi Þ ¼
i¼1 i¼1
Fix

ey yi Fiy


ez

zi

: Fiz


Kraftschraube oder Dyname. Eine weitere Vereinfachung des reduzierten Krftesystems ist insofern m
glich, als es eine Achse mit bestimmter Lage gibt, auf der Kraftvektor und Momentvektor parallel zueinander liegen (Bild 10). Diese Achse heißt Zentralachse. Sie ergibt sich durch Zerlegen von M R in der durch M R und FR gebildeten Ebene E in die Komponenten MF ¼ MR cos j (parallel zu FR ) und MS ¼ MR sin j (senkrecht zu FR ). Hierbei folgt j aus dem Skalarprodukt M R  FR ¼ MR FR cos j, d. h. cos j ¼ M R  FR =ðMR FR Þ: Anschließend wird MS durch Versetzen von FR senkrecht zur Ebene E um den Betrag a ¼ MS =FR zu null gemacht. Der dazu geh
rige Vektor ist a ¼ ðFR
M R Þ=FR2 , da sein Betrag jaj ¼ a ¼ FR MR sin j=FR2 ¼ MS =FR ist. Die Vektorgleichung der Zentralachse, in deren Richtung FR und M F wirken, lautet dann mit t als Parameter rðtÞ ¼ a þ FR  t: Kraftzerlegung im Raum. Eine Kraft lsst sich im Raum nach sechs gegebenen Richtungen eindeutig zerlegen. Sind die Richtungen durch ihre Richtungskosinusse gegeben und heißen die Krfte F1 . . . F6 , so gilt 6 X

Fi cos ai ¼ F cos a;

i¼1 6 X

6 X

Fi cos bi ¼ F cos b;

i¼1

Fi cos gi ¼ F cos g;

i¼1 6 X

Fi ðyi cos gi  zi cos bi Þ ¼ Fðy cos g  z cos bÞ;

i¼1 6 X

Fi ðzi cos ai  xi cos gi Þ ¼ Fðz cos a  x cos gÞ;

i¼1 6 X

1.4 Gleichgewicht und Gleichgewichtsbedingungen Ein K
rper ist im Gleichgewicht, wenn er sich in Ruhe oder in gleichf
rmiger geradliniger Bewegung befindet. Da dann alle Beschleunigungen null sind, folgt aus den Grundgesetzen der Dynamik, dass am K
rper keine resultierende Kraft und kein resultierendes Moment auftreten.

1.4.1 Kr
ftesystem im Raum Die Gleichgewichtsbedingungen lauten X X FR ¼ Fi ¼ 0 und M R ¼ Mi ¼ 0 bzw. in Komponenten X X X Fiy ¼ 0; Fiz ¼ 0; Fix ¼ 0; X X X Mix ¼ 0; Miy ¼ 0; Miz ¼ 0:

ð12Þ

ð13Þ

Jede der drei Gleichgewichtsbedingungen fr die Krfte kann durch eine weitere fr die Momente um eine beliebige andere Achse, die nicht durch den Ursprung O gehen darf, ersetzt werden. Aus den sechs Gleichgewichtsbedingungen lassen sich sechs unbekannte Gr
ßen (Krfte oder Momente) berechnen. Sind mehr als sechs Unbekannte vorhanden, nennt man das Problem statisch unbestimmt. Seine L
sung ist nur unter Heranziehung der Verformungen m
glich (s. C 2.7). Liegen Krfte mit gemeinsamem Angriffspunkt vor, so sind die Momentenbedingungen von Gl. (13) bezglich des Schnittpunkts (und damit auch fr alle anderen Punkte, da M R ein freier Vektor ist) identisch erfllt. Dann gelten nur die Krftegleichgewichtsbedingungen von Gl. (13), aus denen drei unbekannte Krfte ermittelt werden k
nnen.

Fi ðxi cos bi  yi cos ai Þ ¼ Fðx cos b  y cos aÞ:

i¼1

1.4.2 Kr
ftesystem in der Ebene Das Gleichungssystem (13) reduziert sich auf drei Gleichgewichtsbedingungen: X X X Fix ¼ 0; Fiy ¼ 0; Miz ¼ 0: ð14Þ

Bild 9. Rumliche Krftereduktion.

Die beiden Krftegleichgewichtsbedingungen k
nnen durch zwei weitere Momentenbedingungen ersetzt werden. Die drei Bezugspunkte fr die drei Momentengleichungen drfen nicht auf einer Geraden liegen. Aus den drei Gleichgewichtsbedingungen der Ebene lassen sich drei unbekannte Gr
ßen (Krfte oder Momente) ermitteln. Sind mehr Unbekannte vorhanden, so ist das ebene Problem statisch unbestimmt.

I1.4 F
r Kr
fte mit gemeinsamem Angriffspunkt in der Ebene ist die Momentenbedingung in Gl. (14) identisch erf
llt, es bleiben nur die beiden Krftebedingungen X X Fiy ¼ 0: ð15Þ Fix ¼ 0; 1.4.3 Prinzip der virtuellen Arbeiten Das Prinzip tritt an die Stelle der Gleichgewichtsbedingungen und lautet: Erteilt man einem starren Krper eine mit seinen geometrischen Bindungen vertrgliche kleine (virtuelle) Verr
ckung, und ist der Krper im Gleichgewicht (Bild 11), so ist die virtuelle Gesamtarbeit aller eingeprgten ußeren Krfte und Momente – durch (e) hochgestellt gekennzeichnet – gleich null: X ðeÞ X ðeÞ dW ðeÞ ¼ Fi dri þ M i dji ¼ 0 ð16Þ

Gleichgewicht und Gleichgewichtsbedingungen

B5

Aus dW ðeÞ ¼ 0 folgt wegen der Beliebigkeit von j und y FG b
FQ a ¼ 0 und
FG c þ FQ l ¼ 0 und damit FQ ¼ FG b=a und l ¼ c FG =FQ ¼ ca=b: Ferner wird d2 W ðeÞ ¼ cos y dy2 ðFG b
FQ aÞ þ cos j dj2 ð
FG c þ FQ lÞ: Hieraus folgt mit den ermittelten L
sungswerten d2 W ðeÞ ¼ 0; d. h., es liegt indifferentes Gleichgewicht vor.

bzw. in Komponenten X ðeÞ ðeÞ ðeÞ dW ðeÞ ¼ ðFix dxi þ Fiy dyi þ Fiz dzi Þ X ðeÞ ðeÞ ðeÞ þ ðMix djix þ Miy djiy þ Miz djiz Þ ¼ 0; ri ¼ ðxi ; yi ; zi Þ Ortsvektoren zu den Kraftangriffspunkten; dri ¼ ðdxi ; dyi ; dzi Þ Variationen (mathematisch ausgedr
ckt Vektordifferentiale) der Ortsvektoren, die sich durch Bildung der ersten Ableitung ergeben; dji Drehwinkeldifferentiale der Verdrehungen ji .

Bild 11. Prinzip virtueller Verr
ckungen

In nat
rlichen Koordinaten nimmt das Prinzip die Form X ðeÞ X ðeÞ dW ðeÞ ¼ Fis dsi þ Mij dji ¼ 0 ð17Þ

Bild 12. Zeichenmaschine

Man unterscheidet stabiles, labiles und indifferentes Gleichgewicht (s. Bild 13). Stabiles Gleichgewicht herrscht, wenn ein Krper bei einer mit seinen geometrischen Bindungen vertrglichen Verschiebung in seine Ausgangslage zur
ckzukehren trachtet, labiles Gleichgewicht, wenn er sie zu verlassen sucht, und indifferentes Gleichgewicht, wenn jede benachbarte Lage eine neue Gleichgewichtslage ist. Wird entsprechend B 1.4.3 die kleine Verschiebung als virtuelle aufgefasst, so gilt nach dem Prinzip der virtuellen Arbeiten f
r die Gleichgewichtslage dW ðeÞ ¼ 0. Bewegt man den Krper gemß Bild 13 a aus einer Lage 1 in eine Lage 2
ber die Gleichgewichtslage 0 hinweg, so ist im Bereich 1 bis 0 die Arbeit dW ðeÞ ¼ Fs ds > 0; d. h. positiv, im Bereich 0 bis 2 dW ðeÞ < 0; d. h. negativ. Aus der Funktion dW ðeÞ ¼ f ðsÞ geht hervor, dass die Steigung von dW ðeÞ negativ ist, d. h. d2 W ðeÞ < 0, wenn stabiles Gleichgewicht. Allgemein gilt f
r das Gleichgewicht: stabil d2 W ðeÞ < 0; labil d2 W ðeÞ > 0; indifferent d2 W ðeÞ ¼ 0:

ðeÞ

an, wobei Fis die in die Richtung der Verschiebung zeigenðeÞ

den Kraftkomponenten und Mij die um die Drehachse wirksamen Komponenten der Momente sind. Das Prinzip dient unter anderem in der Statik zur Untersuchung des Gleichgewichts an verschieblichen Systemen und zur Berechnung des Einflusses von Wanderlasten auf Schnitt- und Auflagerkrfte (Einflusslinien). 1.4.4 Arten des Gleichgewichts Beispiel: Bei einer Zeichenmaschine sind Gegengewicht FQ und sein Hebelarm l so zu bestimmen, dass sich die Zeichenmaschine vom Eigengewicht FG in jeder Lage im Gleichgewicht befindet (Bild 12). – Das System hat zwei verschiedene Freiheitsgrade j und y. rG ¼ ð
c sin j þ b sin y; b cos y
c cos jÞ; rQ ¼ ðl sin j
a sin y;
a cos y þ l cos jÞ; drG ¼ ð
c cos j dj þ b cos y dy;
b sin y dy þ c sin j djÞ; drQ ¼ ðl cos j dj
a cos y dy; a sin y dy
l sin j djÞ: Mit FG ¼ ð0;
FG Þ und FQ ¼ ð0;
FQ Þ wird X ðeÞ dW ðeÞ ¼ Fi dri ¼
FG ð
b sin y dy þ c sin j djÞ
FQ ða sin y dy
l sin j djÞ ¼ sin y dyðFG b
FQ aÞ þ sin j djð
FG c þ FQ lÞ:

Bild 13 a – c. Gleichgewichtsarten. a Stabil; b labil; c indifferent

B

B6

B

Mechanik – 1 Statik starrer Krper

Handelt es sich um Probleme, bei denen nur Gewichtskr
fte eine Rolle spielen, dann gilt mit dem Potential U ¼ FG z bzw. dU ¼ FG dz dW ðeÞ ¼ FðeÞ dr ¼ ð0; 0;
FG Þðdx; dy; dzÞ ¼
FG dz ¼
dU 2

und d W ¼
d2 U; d. h., bei stabilem Gleichgewicht ist d2 U > 0 und somit die potentielle Energie U ein Minimum, bei labilem Gleichgewicht d2 U < 0 und die potentielle Energie ein Maximum. ðeÞ

1.4.5 Standsicherheit Bei Krpern, deren Auflagerungen nur Druckkr
fte aufnehmen knnen, besteht die Gefahr des Umkippens. Es wird verhindert, wenn um die mglichen Kippkanten A oder B (Bild 14) die Summe der Standmomente grßer ist als die Summe der Kippmomente, d. h., wenn die Resultierende des Kr
ftesystems innerhalb der Kippkanten die Standfl
che schneidet. Standsicherheit ist das Verh
ltnis der Summe aller Standmomente zur X Summe X aller Kippmomente bezglich eiMK . Fr S  1 herrscht Standner Kippkante: S ¼ MS = sicherheit und Gleichgewicht.

1.5 Lagerungsarten, Freimachungsprinzip Krper werden durch sog. Lager abgesttzt. Die Sttzkr
fte wirken als Reaktionskr
fte zu den
ußeren eingepr
gten Kr
ften auf den Krper. Je nach Bauart der Lager knnen im r
umlichen Fall maximal drei Kr
fte und maximal drei Momente bertragen werden. Die Reaktionskr
fte und -momente werden durch das sogenannte „Freimachen“ eines Krpers zu
ußeren Kr
ften. Ein Krper wird freigemacht, indem man ihn mittels eines geschlossenen Schnitts durch alle Lager von seiner Umgebung trennt und die Lagerkr
fte als
ußere Kr
fte am Krper anbringt (Bild 15, Freimachungsprinzip). Auf die Lager wirken dann nach „actio = reactio“ (3. Newtonsches Axiom) gleich große, entgegengesetzt gerichtete Kr
fte. Je nach Bauart und Anzahl der Reaktionsgrßen eines Lagers unterscheidet man ein- bis sechswertige Lager (Bild 16).

Bild 14. Standsicherheit

Bild 16. Lagerungsarten

1.6 Auflagerreaktionen an K
rpern 1.6.1 K
rper in der Ebene In der Ebene hat ein Krper drei Freiheitsgrade hinsichtlich seiner Bewegungsmglichkeiten (Verschiebung in x- und yRichtung, Drehung um die z-Achse). Er bentigt daher eine insgesamt 3wertige Lagerung fr eine stabile und statisch bestimmte Festhaltung. Diese kann aus einer festen Einspannung oder aus einem Fest- und einem Loslager oder aus drei Loslagern (Gleitlagern) bestehen (im letzten Fall drfen sich die drei Wirkungslinien der Reaktionskr
fte nicht in einem Punkt schneiden). Ist die Lagerung n-wertig (n > 3), so ist das System (n
3)fach statisch unbestimmt gelagert. Ist die Lagerung weniger als 3wertig, so ist das System statisch unterbestimmt, d. h. instabil und beweglich. Die Berechnung der Auflagerreaktionen erfolgt durch Freimachen und Ansetzen der Gleichgewichtsbedingungen. Beispiel: Welle (Bild 17 a). Gesucht werden die Auflagerkr
fte in A und B infolge der gegebenen Kr
fte F1 und F2 . Rechnerische L
sung: An der freigemachten Welle (Bild 17 b) gilt X MiA ¼ 0 ¼
F1 a þ FB l
F2 ðl þ cÞ also FB ¼ ½F1 a þ F2 ðl þ cÞ=l;

Bild 15 a, b. Freimachungsprinzip. a Gesttzter Krper mit geschlossener Schnittlinie; b freigemachter Krper

Bild 17 a, b. Welle. a System; b Freimachung

I1.7 X

Systeme starrer Krper

B7

MiB ¼ 0 ¼
FAy l þ F1 b
F2 c, also FAy ¼ ðF1 b
F2 cÞ=l;

X

X Die Gleichgewichtsbedingung Fiy ¼ 0 muss ebenfalls erf
llt sein und kann als Kontrollgleichung benutzt werden. X Fiy ¼ FAy
F1 þ FB
F2 ¼ ðF1 b
F2 cÞ=l
F1 þ ½F1 a þ F2 ðl þ cÞ=l
F2 ¼ F1 ða þ b
lÞ=l þ F2 ð
c þ l þ c
lÞ=l ¼ 0: Beispiel: Abgewinkelter Tr
ger (Bild 18 a). Fr den durch zwei Einzelkr
fte F1 und F2 und die konstante Streckenlast q belasteten abgewinkelten Tr
ger ist die Auflagerkraft im Festlager A und die Kraft im Pendelstab bei B zu bestimmen. Rechnerische L
sung: Mit der Resultierenden der Streckenlast Fq ¼ qc wird (Bild 18 b) X MiA ¼ 0 ¼
F1 sin a1 a
qcða þ b þ c=2Þ
F2 e þ FS cos aS l þ FS sin aS h und daraus FS ¼ ½F1 sin a1 a þ qcða þ b þ c=2Þ þ F2 e=ðl cos aS þ h sin aS Þ: Aus X X

Fix ¼ 0 ¼ FAx þ F1 cos a1 þ F2
FS sin aS und Fiy ¼ 0 ¼ FAy
F1 sin a1
qc þ FS cos aS

folgen FAx ¼
F1 cos a1
F2 þ FS sin aS und FAy ¼ F1 sin a1 þ qc
FS cos aS ; wobei der vorstehend errechnete Wert f
r FS einzusetzen ist. Beispiel: Wagen auf schiefer Ebene (Bild 19 a, b). Der durch die Gewichtskraft FG und die Anh
ngerzugkraft FZ belastete Wagen wird von einer Seilwinde auf der schiefen Ebene im Gleichgewicht gehalten. Zu bestimmen sind die Zugkraft im Halteseil sowie die Sttzkr
fte an den R
dern, wobei Reibkr
fte außer acht gelassen werden sollen. Rechnerische L
sung: Am freigemachten Wagen (Bild 19 b) ergeben die Gleichgewichtsbedingungen X Fix ¼ 0 ¼
FZ
FG sin a þ FS cos a; also X

FS ¼ FG tan a þ FZ = cos a; MiA ¼ 0 ¼ FZ h=4 þ FG ðh=2Þ sin a
FG b cos a þ 2Fn2 b
FS ðh=2Þ cos a
FS ða þ 2bÞ sin a;

X

B

Fix ¼ 0 ¼ FAx :

MiB ¼ 0 ¼ FZ h=4
2Fn1 b þ FG ðh=2Þ sin a þ FG b cos a
FS ðh=2Þ cos a
FS a sin a:

Hieraus folgen Fn2 ¼
FZ h=ð8bÞ
FG ½ðh=2Þ sin a
b cos a=ð2bÞ þ FS ½ðh=2Þ cos a þ ða þ 2bÞ sin a=ð2bÞ und Fn1 ¼ FZ h=ð8bÞ þ FG ½ðh=2Þ sin a þ b cos a=ð2bÞ
FS ½ðh=2Þ cos a þ a sin a=ð2bÞ;

Bild 18 a, b. Abgewinkelter Tr
ger. a System; b Freimachung

Bild 19 a, b. Wagen auf schiefer Ebene. a System; b Freimachung

wobei der errechnete Wert von FS einzusetzen ist. Die Bedingung X Fiy ¼ 0 ¼ Fn1 þ Fn2
FG cos a
FS sin a kann dann als Kontrollgleichung benutzt werden.

1.6.2 K
rper im Raum Im Raum hat ein Krper sechs Freiheitsgrade (drei Verschiebungen und drei Drehungen). Er bentigt daher fr eine stabile Festhaltung eine insgesamt 6wertige Lagerung. Ist die Lagerung n-wertig (n > 6), so ist das System (n
6)fach statisch unbestimmt gelagert. Ist n < 6, so ist es statisch unterbestimmt, also beweglich und instabil. Beispiel: Welle mit Schr
gverzahnung (Bild 20). Die Auflagerkr
fte der Welle sind Xzu berechnen. – Die Welle kann sich um die x-Achse drehen, d. h. Mix ¼ 0 entf
llt. Die restlichen fnf Gleichgewichtsbedingungen lauten: X Fix ¼ 0 ergibt FAx ¼ F1x
F2x ; X M ¼ 0 ergibt FAy ¼
ðF1x r1 þ F1y b þ F2x r2 þ F2y cÞ=l; X iBz M ¼ 0 ergibt FAz ¼ ðF1z b
F2z cÞ=l; X iBy M ¼ 0 ergibt FBy ¼ ½F1x r1
F1y a þ F2x r2 þ F2y ðl þ cÞ=l; X iAz MiAy ¼ 0 ergibt FBz ¼ ½F1z a þ F2z ðl þ cÞ=l: X X Fiz ¼ 0 knnen als Kontrollen Die Bedingungen Fiy ¼ 0 und verwendet werden.

1.7 Systeme starrer K
rper Sie bestehen aus mehreren Krpern, die durch Verbindungselemente, d. h. Gelenke a oder Fhrungen b oder auch durch gelenkig angeschlossene Fhrungen c, miteinander verbunden sind (Bild 21). Ein Gelenk bertr
gt Kr
fte in zwei Richtungen, aber kein Moment; eine Fhrung bertr
gt eine Kraft quer zur Fhrung und ein Moment, aber keine Kraft parallel zur Fhrung; eine gelenkige Fhrung bertr
gt eine Kraft quer zur Fhrung, aber keine Kraft parallel zur Fhrung und kein Moment. Man spricht daher von zweiwertigen oder einwertigen Verbindungselementen. Ist i die Summe der Wertigkeiten der Auflager und j die Summe der Wertigkeiten der Verbindungselemente, so muss bei einem System aus k Krpern mit 3k Gleichgewichtsbedingungen in der Ebene die Bedingung i þ j ¼ 3 k erfllt sein, wenn ein stabiles System statisch bestimmt sein soll. Ist i þ j > 3 k, so ist das System statisch unbestimmt, d. h., wenn i þ j ¼ 3 k þ n, ist es n-fach statisch unbestimmt. Ist

Bild 20. Welle mit Schr
gverzahnung

B8

Mechanik – 1 Statik starrer Krper

B Bild 23 a – c. Fachwerk. a Statisch bestimmt; b statisch unterbestimmt; c statisch unbestimmt

Bild 21. System aus starren Krpern

i þ j < 3 k, so ist das System statisch unterbestimmt und auf jeden Fall labil. F
r das stabile System nach Bild 21 ist i þ j ¼ 7 þ 5 ¼ 12 und 3 k ¼ 3
4 ¼ 12, d. h., das System ist statisch bestimmt. Bei statisch bestimmten Systemen werden die Auflagerreaktionen und Reaktionen in den Verbindungselementen ermittelt, indem die Gleichgewichtsbedingungen f
r die freigemachten Einzelkrper erf
llt werden. Beispiel: Dreigelenkrahmen oder Dreigelenkbogen (Bild 22 a). Rechnerische L
sung: Nach Freimachen der beiden Einzelkrper (Bild 22 b) Gleichgewichtsbedingungen f
r Krper I: X ð18 aÞ Fix ¼ 0 ergibt FAx ¼ FCx  F1x ; X ð18 bÞ Fiy ¼ 0 ergibt FAy ¼ F1y þ F2  FCy ; X ð18 cÞ MiA ¼ 0 ¼ FCx H þ FCy a  F1x y1  F1y x1  F2 x2 ; und f
r Krper II: X Fix ¼ 0 ergibt FBx ¼ FCx  F3x ; X Fiy ¼ 0 ergibt FBy ¼ FCy þ F3y ; X MiB ¼ 0 ¼ FCx h þ FCy b þ F3x ½y3  ðH  hÞ þ F3y ðl  x3 Þ:

ð18 dÞ ð18 eÞ ð18 fÞ

Aus den Gln. (18c und f) ergeben sich die Gelenkkrfte FCx und FCy , eingesetzt in die Gln. (18a, b, d und e) dann dieX Auflagerkrfte FAx ; FAy ; FBx ; FBy . Zur Kontrolle verwendet man MiC ¼ 0 am Gesamtsystem.

1.8 Fachwerke 1.8.1 Ebene Fachwerke Fachwerke bestehen aus Stben, die in den Knotenpunkten als gelenkig miteinander verbunden angesehen werden. Die Gelenke werden als reibungsfrei angenommen, d. h., es werden nur Krfte in Stabrichtung
bertragen. Die in Wirklichkeit in den Knotenpunkten vorhandenen Reibungsmomente und biegesteifen Anschl
sse f
hren zu Nebenspannungen, die in der Regel vernachlssigbar sind. Die ußeren Krfte greifen in den Knotenpunkten an oder werden nach dem Hebelgesetz am Stab auf diese verteilt. Hat ein Fachwerk n Knoten und s Stbe und ist es ußerlich statisch bestimmt mit drei Auflagerkrften gelagert, so gilt, da es f
r jeden Knoten zwei Gleichgewichtsbedingungen gibt, f
r ein statisch bestimmtes und stabiles Fachwerk (Bild 23 a) 2n ¼ s þ 3, s ¼ 2n  3, d. h., aus den 2n  3 Gleichgewichtsbedingungen sind s unbekannte Stabkrfte berechenbar. Ein Fachwerk mit s < 2n  3 Stben ist statisch unterbestimmt und kinematisch instabil (Bild 23 b), ein Fachwerk mit

Bild 22 a, b. Dreigelenkrahmen. a System; b Freimachung

Bild 24 a – d. Fachwerke. a bis d zum 1. bis 4. Bildungsgesetz

s > 2n  3 Stben ist innerlich statisch unbestimmt (Bild 23 c). F
r die Bildung statisch bestimmter und stabiler Fachwerke gelten folgende Bildungsgesetze: – Ausgehend von einem stabilen Grunddreieck werden nacheinander neue Knotenpunkte mit zwei Stben angeschlossen Bilder 23 a, 24 a. – Aus zwei statisch bestimmten Fachwerken wird ein neues gebildet durch drei Verbindungsstbe, deren Wirkungslinien keinen gemeinsamen Schnittpunkt haben (Bild 24 b). Dabei knnen zwei Stbe durch einen den beiden Fachwerken gemeinsamen Knoten ersetzt werden (Bild 24 b, rechts). – Durch Stabvertauschung kann jedes nach diesen Regeln gebildete Fachwerk in ein anderes statisch bestimmtes und stabiles umgebildet werden, wenn der Tauschstab zwischen zwei Punkte eingebaut wird, die sich nach seiner Entfernung gegeneinander bewegen knnten (Bild 24 c). – Aus mehreren stabilen Fachwerken knnen nach den Regeln der Starrkrpersysteme gemß B 1.7 neue stabile Fachwerksysteme gebildet werden (Bild 24 d). Ermittlung der Stabkr
fte Knotenschnittverfahren. Allgemein ergeben sich die s Stabkrfte und die drei Auflagerkrfte f
r ein statisch bestimmtes Fachwerk nach X Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen X Fiy ¼ 0 an allen durch Rundschnitt freiFix ¼ 0 und gemachten n Knoten. Man erhlt 2n lineare Gleichungen. Ist die Nennerdeterminante des Gleichungssystems ungleich null, so ist das Fachwerk stabil, ist sie gleich null, so ist es instabil (verschieblich) [1]. Hufig gibt es (z. B. nachdem man vorher die Auflagerkrfte aus den Gleichgewichtsbedingungen am Gesamtsystem ermittelt) einen Ausgangsknoten mit nur zwei unbekannten Stabkrften, dem sich weitere

I1.9

Seile und Ketten

B9

Knoten mit nur jeweils zwei Unbekannten anschließen, so dass sie nacheinander aus den Gleichgewichtsbedingungen berechnet werden k
nnen, ohne ein Gleichungssystem l
sen zu mssen.

F
r Knoten A gilt: X Fix ¼ 0 ergibt FAx ¼ FS4 þ FS5 cos b ¼ 60;00 kN; X Fiy ¼ 0 ergibt FAy ¼ FS5 sin b þ FS7 ¼ 30;00 kN:

Rittersches Schnittverfahren. Ein analytisches Verfahren, bei dem durch Schnitt dreier Stbe ein ganzer Fachwerkteil freigemacht wird und nach Ansatz der drei Gleichgewichtsbedingungen fr diesen Teil die drei unbekannten Stabkrfte berechnet werden (s. Beispiel).

Diese Auflagerkrfte folgen auch aus den Gleichgewichtsbedingungen am (ungeschnittenen) Gesamtsystem. Ritterscher Schnitt. Die Stabkrfte FS4 ; FS5 und FS6 werden durch einen Ritterschen Schnitt (Bild 25 c) ermittelt. X

MiD ¼ 0 ergibt FS4 ¼ ðF2 a þ F1 hÞ=h ¼ þ 15;00 kN;

Stabvertauschungsverfahren nach Henneberg. Kompliziert aufgebaute Fachwerke lassen sich durch Stabvertauschung auf einfache zurckfhren. Die Stabkraft im Ersatzstab infolge ußerer Last und die Kraft im Vertauschungsstab muss insgesamt null sein; daraus ergibt sich die Kraft im Vertauschungsstab. Die Methode ist auch gut geeignet zur Feststellung der Stabilitt eines Fachwerks, da im Fall der Labilitt die Kraft im Vertauschungsstab gegen unendlich geht.

Einflusslinie fr Stabkraft FS6 . Untersucht wird der Einfluss einer vertikalen Wanderlast Fy (in beliebiger Stellung x auf dem Obergurt) auf die Stabkraft FS6 (Bild 25 d). Aus X MiA ¼ 0 ¼ Fy ða þ b  xÞ þ FS6 h

Einflusslinien infolge von Wanderlasten

folgt mit Fy ¼ 1

Die Berechnung einer Stabkraft FSi als Funktion von x infolge einer Wanderlast F ¼ 1 liefert die Einflussfunktion h(x); ihre graphische Darstellung heißt Einflusslinie. Die Auswertung fr mehrere Einzellasten Fj liefert die Stabkraft X FSi ¼ Fj hðxj Þ (s. Beispiel).

also eine Gerade (Bild 25 e). Ihre Auswertung fr Xdie gegebenen Lasten liefert, da F1 keinen Einfluss auf FS6 hat (s. MiA ¼ 0),

Beispiel: Fachwerkausleger (Bild 25 a). Gegeben: F1 ¼ 5 kN, F2 ¼ 10 kN, F3 ¼ 20 kN, a ¼ 2 m, b ¼ 3 m, h ¼ 2 m, a ¼ 45
, b ¼ 33;69
. Gesucht: Stabkrfte.

1.8.2 R
umliche Fachwerke

Knotenschnittverfahren. Die unbekannten Stabkrfte FSi werden als Zugkrfte positiv angesetzt (Bild 25 b). Fr Knoten E gilt: X Fiy ¼ 0 ergibt FS2 ¼ F2 = sin a ¼ 14;14 kN; also Druck; X Fix ¼ 0 ergibt FS1 ¼ F1  FS2 cos a ¼ þ15;00 kN; also Zug: F
r Knoten C gilt: X Fix ¼ 0 ergibt FS4 ¼ FS1 ¼ þ 15;00 kN ðZugÞ; X Fiy ¼ 0 ergibt FS3 ¼ F3 ¼  20;00 kN ðDruckÞ: F
r Knoten D gilt: X Fiy ¼ 0 ergibt FS5 ¼  ðFS2 sin a þ FS3 Þ= sin b X

¼ þ 54;08 kN ðZugÞ; Fix ¼ 0 ergibt FS6 ¼ FS2 cos a  FS5 cos b ¼  55;00 kN ðDruckÞ:

F
r Knoten B gilt: X Fiy ¼ 0 ergibt FS7 ¼ 0; X Fix ¼ 0 ergibt FB ¼ FS6 ¼ 55;00 kN:

X X

MiA ¼ 0 ergibt FS6 ¼ ½F2 ða þ bÞ þ F3 b=h ¼  55;00 kN; Fiy ¼ 0 ergibt FS5 ¼ ðF2 þ F3 Þ= sin b ¼ þ 54;08 kN:

hðxÞ ¼ 1  ða þ b  xÞ=h ¼  5=2 þ x=ð2 mÞ

FS6 ¼ F2 hðx ¼ 0Þ þ F3 hðx ¼ aÞ ¼ 10 kNð 5=2Þ þ 20 kNð 3=2Þ ¼  55 kN:

Da im Raum pro Knoten drei Gleichgewichtsbedingungen bestehen und sechs Lagerkrfte zur stabilen, statisch bestimmten Lagerung des Gesamtfachwerks erforderlich sind, gilt das Abzhlkriterium 3n ¼ s þ 6 bzw. s ¼ 3n  6. Im brigen gelten den ebenen Fachwerken analoge Methoden fr die Stabkraftberechnung usw. [2].

1.9 Seile und Ketten Seile und Ketten werden als biegeweich angesehen, d. h., sie k
nnen nur Zugkrfte bertragen. Vernachlssigt man die Lngsdehnungen der einzelnen Elemente (Theorie 1. Ordnung), so folgt fr das ebene Problem infolge vertikaler Streckenlast aus den Gleichgewichtsbedingungen am Seilelement (Bild 26 a) bei X X gegebener Belastung q(s): Fiy ¼ 0, d. h. FV ¼ qðsÞ ds; also Fix ¼ 0, d. h. dFH ¼ 0, FH ¼ const und dFV =ds ¼ qðsÞ. Gemß Bild 26 a gilt ferner tan j ¼ y0 ¼ FV =FH ; d: h: FV ¼ FH y0 bzw. FV0 ¼ dFV =dx ¼ FH y00 .

Bild 25 a – e. Fachwerkausleger. a System; b Knotenschnitte; c Ritterscher Schnitt; d Wanderlast; e Einflusslinie

B

B 10

Mechanik – 1 Statik starrer Krper

yðx1 ¼ 0Þ ¼ 0 ¼ y0 þ a coshðx0 =aÞ; yðx ¼ x2 Þ ¼ y2 ¼ y0 þ a cosh½ðx2  x0 Þ=a
; Zx2 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi L ¼ 1 þ sinh2 ½ðx  x0 Þ=a
dx

B

x¼0

¼ a sinh½ðx2  x0 Þ=a
þ a sinhðx0 =aÞ: Hieraus ergeben sich y0 ¼ a coshðx0 =aÞ; x0 ¼ x2 =2  a artanhðy2 =LÞ und qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sinhðx2 =2aÞ ¼ L2  y22 =ð2aÞ: Aus der letzten (transzendenten) Gleichung kann a, anschließend knnen x0 und y0 berechnet werden. Der maximale Durchhang f gegenber der Sehne folgt an der Stelle xm ¼ x0 þ a arsinhðy2 =x2 Þ zu f ¼ y2 xm =x2  yðxm Þ. Fr die Kr
fte gilt FH ¼ aq ¼ const; FV ðxÞ ¼ FH y0 ðxÞ; qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi FS ðxÞ ¼ FH2 þ FV2 ðxÞ:

ð22Þ

Die grßte Seilkraft tritt an der Stelle auf, wo y0 zum Maximum wird, d. h. in einem der Befestigungspunkte.

Bild 26 a – c. Seil. a Element; b Seil unter Eigengewicht; c Seil unter Einzellast

Mit ds ¼

1.9.2 Seil unter konstanter Streckenlast

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 þ y 0 2 dx wird hieraus

dFV =ds ¼ ðdFV =dxÞðdx=dsÞ ¼ FH y00 =

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 þ y 0 2 ¼ qðsÞ:

Folglich ist pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi y00 ¼ ½qðsÞ=FH
1 þ y 0 2 ;

ð19Þ

bei gegebener Belastung q(x): gem
ß Bild 26 a gilt qðsÞ ds ¼ qðxÞ dx, d. h. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qðsÞ ¼ qðxÞ dx=ds ¼ qðxÞ cos j ¼ qðxÞ= 1 þ y 0 2 und damit nach Gl. (19) y00 ¼ qðxÞ=FH :

ð20Þ

Die Lsungen dieser Differentialgleichungen ergeben die Seilkurve y(x). Die dabei auftretenden zwei Integrationskonstanten sowie der unbekannte (konstante) Horizontalzug FH folgen aus den Randbedingungen yðx ¼ x1 Þ ¼ y1 und aus der gegebenen Seill
nge yðx ¼ Z x2 Þ ¼ yZ2 psowie ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi L ¼ ds ¼ 1 þ y02 dx.

1.9.1 Seil unter Eigengewicht (Kettenlinie) Fr ein Seil konstanten Querschnitts folgt mit qðsÞ ¼ const ¼ q aus Gl. (19) mit a ¼ FH =q nach Trennung der Variablen und Integration arsinh y0 ¼ ðx  x0 Þ=a bzw. y0 ¼ sinh½ðx  x0 Þ=a
und somit die Kettenlinie yðxÞ ¼ y0 þ a cosh½ðx  x0 Þ=a
:

Beispiel: Kettenlinie. Befestigungspunkte P1 (0; 0) und P2 (300 m;  50 m). Seill
nge L ¼ 340 m, Belastung qðsÞ ¼ 30 N=m. – Aus der transzendenten Gleichung ergibt sich nach iterativer Rechnung a ¼ 179; 2 m und damit x0 ¼ 176; 5 m und y0 ¼  273;4 m, womit nach Gl. (21) die Kettenlinie bestimmt ist. Der maximale Durchhang gegenber der Sehne tritt an der Stelle xm ¼ 146; 8 m auf und hat die Grße f ¼ 67; 3 m. Der Horizontalzug betr
gt FH ¼ aq ¼ 5;375 kN ¼ const : Die grßte Seilkraft tritt im Punkt P1 auf: FV ðx ¼ 0Þ ¼ FH  jy0 ðx ¼ 0Þj ¼ 6;192 kN und somit FS; max ¼ FS ðx ¼ 0Þ ¼ 8;20 kN.

ð21Þ

Der Extremwert von y(x) folgt aus y0 ¼ 0 an der Stelle x ¼ x0 zu ymin ¼ y0 þ a. Die unbekannten Konstanten x0 ; y0 und a ¼ FH =q ergeben sich aus den drei Bedingungen (Bild 26 b)

Hierunter fallen neben Seilen mit angeh
ngter konstanter Streckenlast qðxÞ ¼ const auch solche mit flachem Durchhang unter Eigengewicht, da bei qðsÞ ¼ q0 ¼ const wegen pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qðsÞ 1 þ y02 ¼ q0 = cos j ¼ qðxÞ mit cos j  cos a ¼ const auch qðxÞ ¼ const ¼ q wird. Zweimalige Integration der Gl. (20) liefert yðxÞ ¼ ðq=FH Þx2 =2 þ C1 x þ C2 ; Randbedingungen mit gegebenem Durchhang f in der Mitte: yðx1 ¼ 0Þ ¼ 0, yðx ¼ x2 Þ ¼ y2 , yðx ¼ x2 =2Þ ¼ y2 =2  f . Hieraus C2 ¼ 0, C1 ¼ ðy2  4f Þ=x2 , FH ¼ qx22 =ð8f Þ und damit yðxÞ ¼ ðy2 =x2 Þx  ð4f =x22 Þðx2 x  x2 Þ ¼ ðy2 =x2 Þx  f ðxÞ, wobei f(x) der Durchhang gegenber der Sehne ist (Bild 26 b). Ferpffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ner gilt FV ðxÞ ¼ FH y0 ðxÞ und FS ðxÞ ¼ FH2 þ FV2 ðxÞ; FS; max an der Stelle der maximalen Steigung. Zx2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 þ y02 dx mit Die L
nge L des Seils folgt aus L ¼ a ¼ FH =q zu x¼0 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi L ¼ ða=2Þ½ðC1 þ x2 =aÞ 1 þ ðC1 þ x2 =aÞ2 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ lnðC1 þ x2 =a þ 1 þ ðC1 þ x2 =aÞ2 Þ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  C1 1 þ C12  lnðC1 þ 1 þ C12 Þ
: Fr Seile mit flachem Durchhang gilt mit der Sehnenl
nge pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi l ¼ x22 þ y22 die N
herungsformel L  l½1 þ 8x22 f 2 =ð3l4 Þ
:

ð23Þ

Beispiel: Seil mit flachem Durchhang. Das Beispiel aus B 1.9.1 werde n
herungsweise als flach durchh
ngendes Seil berechnet. Gegeben: P1 (0; 0), P2 (300 m; – 50 m), f ¼ 67; 3 m, q0 ¼ 30 N=m. – Aus tan a ¼  50=300 folgt a ¼  9;46° und cos a ¼ 0;9864, so dass q  q0 = cos a ¼ 30;41 N=m wird. Es folgen C1 ¼  1;064 und FH ¼ 5;083 kN. Somit ist die Seillinie

I1.11 Haftung und Reibung yðxÞ ¼
0;1667  x
0;003 m
1 ð300 m  x
x2 Þ ¼
1;064  x þ 0;003 m
1  x2 : An der Stelle x ¼ 0 wird y0max ¼ jy0 ð0Þj ¼ 1;064, also FV; max ¼ FH y0max ¼ 5;408 kN und somit FS; max ¼ 7;42 kN. Die N
herungsformel Gl. (23) fr die Seill
nge liefert dann mit l ¼ 304; 1 m den Wert L  342; 7m. Die Ergebnise zeigen, dass die N
herungslsung von den exakten Werten (B 1.9.1) nicht erheblich abweicht, obwohl der „flache“ Durchhang hier nur in geringem Maße zutrifft.

1.9.3 Seil mit Einzellast Betrachtet wird nur das Seil mit flachen Durchh
ngen gegenber den Sehnen (Bild 26 c, links). Sind x2 , y2 , x3 , y3 gegeben, so gelten mit FHI ¼ FHII ¼ FH die Beziehungen q1

¼ q0 = cos aI ; qII ¼ q0 = cos aII ;

fI

¼ qI x22 =ð8FH Þ; fII ¼ qII
x22 =ð8FH Þ;

yðxÞ ¼ ðy2 =x2 Þx
ðqI =2FH Þðx2 x
x2 Þ;
yð
xÞ ¼ ð
y2 =
x2 Þ
x
ðqII =2FH Þð
x2
x

x2 Þ; y0 ðxÞ ¼ ðy2 =x2 Þ
ðqI =2FH Þðx2
2xÞ;
y0 ð
xÞ ¼ ð
y2 =
x2 Þ
ðqII =2FH Þð
x2
2
xÞ: X Aus der Gleichgewichtsbedingung Fiy ¼ 0 ¼ FVl þ F
FVr am Knoten P2 (Bild 26 c, rechts) folgt mit FV ¼ FH  jy0 j unter Beachtung, dass
y0 negativ ist und somit jy0 j ¼
y0 ; FH y2 =x2 þ qI x2 =2 þ F þ FH
y2 =
x2 þ qII
x2 =2 ¼ 0; d: h: FH ¼ ½
qI x2
qII
x2
2F=½2ðy2 =x2 þ
y2 =
x2 Þ: Hiermit knnen fI und fII , wie angegeben, FV ðxÞ und FS ðxÞ nach Gl. (22) sowie LI und LII nach Gl. (23) berechnet werden.

1.10 Schwerpunkt (Massenmittelpunkt) An einem Krper der Masse m wirken an den Massenelementen dm die Gewichtskr
fte dFG ¼ dmg, die alle zueinander parallel Z sind. Den Angriffspunkt ihrer Resultierenden FG ¼

dFG nennt man den Schwerpunkt (Bild 27 a). Seine

Lage ist festgelegt durch die Bedingung, dass das Moment der Resultierenden gleich dem der Einzelkr
fte sein muss,

B 11

d. h. Z rS  FG ¼ r  dFG bzw: mit dFG ¼ dFG e
 Z rS FG
r dFG  e ¼ 0; d: h:
Z  rS ¼ r dFG =FG bzw: in Komponenten Z Z xS ¼ ð1=FG Þ x dFG ; yS ¼ ð1=FG Þ y dFG ; Z zS ¼ ð1=FG Þ z dFG :

B ð24Þ

Analog gilt bei konstanter Fallbeschleunigung g fr den Massenmittelpunkt, bei konstanter Dichte r fr den Volumenschwerpunkt sowie fr den Fl
chen- und Linienschwerpunkt in vektorieller Form Z Z rS ¼ ð1=mÞ r dm; rS ¼ ð1=VÞ r dV; Z rS ¼ ð1=AÞ r dA und ð25Þ Z rS ¼ ð1=sÞ r ds: Bestehen die Gebilde aus endlich vielen Teilen mit bekannten Teilschwerpunkten, so gilt in Komponenten z. B. fr den Fl
chenschwerpunkt X xS ¼ ð1=AÞ xi Ai ; X yi Ai ; yS ¼ ð1=AÞ ð26Þ X zS ¼ ð1=AÞ zi Ai : Z X Die Grßen x dA bzw. xi Ai usw. bezeichnet man als statische Momente. Sind sie null, so folgt auch xS ¼ 0 usw., d. h., das statische Moment bezglich einer Achse durch den Schwerpunkt (Schwerlinie) ist stets gleich null. Alle Symmetrieachsen erfllen diese Bedingung, d. h., sie sind stets Schwerlinien. Die durch Integration ermittelten Schwerpunkte von homogenen Krpern sowie von Fl
chen und Linien sind in den Tab. 1–3 angegeben. Beispiel: Schwerpunkt eines Tr
gerquerschnitts. Fr den zusammengesetzten Tr
gerquerschnitt ist der Fl
chenschwerpunkt zu ermitteln (Bild 27 b). – Der Schwerpunkt liegt auf der Symmetrieachse. Ermittlung von yS tabellarisch, wobei die Bohrung als negative Fl
che angesetzt wird.

1.11 Haftung und Reibung

Bild 27 a, b. Schwerpunkt eines Krpers (a) und eines Tr
gerquerschnitts (b)

Haftung. Bleibt ein Krper unter Einwirkung einer resultierenden Kraft F, die ihn gegen eine Unterlage presst, in Ruhe, so liegt Haftung vor (Bild 28). Die Verteilung der Fl
chenpressung zwischen Krper und Unterlage ist meist unbekannt und wird durch die Reaktionskraft Fn ersetzt. Aus Gleichgewichtsgrnden ist Fn ¼ Fs ¼ F cos a und Fr ¼ Ft ¼ F sin a,

B 12

Mechanik – 1 Statik starrer K
rper

Tabelle 1. Schwerpunkte von homogenen K
rpern

B

Werkstoffen, deren Oberflchenbeschaffenheit, von einer Fremdschicht (Schmierschicht), von Temperatur und Feuchtigkeit, von der Flchenpressung und von der Gr
ße der Normalkraft; m0 schwankt daher zwischen bestimmten Grenzen und ist gegebenenfalls experimentell zu bestimmen [3]. Anhaltswerte fr m0 s. Tab. 4. Gleitreibung (Reibung der Bewegung). Wird die Haftung berwunden, und setzt sich der K
rper in Bewegung, so gilt fr die Reibkraft das Coulombsche Gleitreibungsgesetz (Bild 29) Bild 28. Haftung

Fr =Fn ¼ const ¼ tan r ¼ m bzw: Fr ¼ mFn :

d. h. Fr ¼ Fn tan a. Der K
rper bleibt so lange in Ruhe, bis die Reaktionskraft Fr den Grenzwert Fr0 ¼ Fn tan r0 ¼ Fn m0 erreicht, d. h. solange F – rumlich betrachtet – innerhalb des sogenannten Reibungskegels mit dem ffnungswinkel 2r0 liegt. Fr die Reaktionskraft Fr gilt die Ungleichung Fr % Fn tan r0 ¼ Fn m0 :

ð27Þ

Die Haftzahl m0 hngt ab von den aneinander gepressten

ð28Þ

Die Gleitreibungskraft ist eine eingeprgte Kraft, die dem Geschwindigkeits- bzw. Verschiebungsvektor entgegengesetzt gerichtet ist. Der Gleitreibungskoeffizient m (bzw. Gleitreibungswinkel r) hngt neben den unter Haftung beschriebenen Einflssen vornehmlich von den Schmierungsverhltnissen (Trockenreibung, Mischreibung, Flssigkeitsreibung; s. E 5.1) ab, zum Teil aber auch von der Gleitgeschwindigkeit [4, 5]. Anhaltswerte fr m s. Tab. 4.

I1.11 Haftung und Reibung

B 13

Tabelle 2. Schwerpunkte von Fl
chen

B

Tabelle 3. Schwerpunkte von Linien

B 14

Mechanik – 1 Statik starrer K
rper

Fr r1 ¼ r2 ¼ r3 ¼ r gilt F ¼ FQ tanða  2rÞ; Selbsthemmung fr a  2 r, Wirkungsgrad h ¼ tan a= tanða þ 2rÞ. Bei Selbsthemmung wird h ¼ tan 2r= tan 4r ¼ 0;5
0;5 tan2 2r < 0;5.

Tabelle 4. Haft- und Gleitreibungswerte.

B

Schraube (Bewegungsschraube). Rechteckgewinde (flachgngige Schraube, Bild 31 a). Gesucht ist das Drehmoment M zum gleichf
rmigen Heben und Senken der Last. Z X Fiz ¼ 0 ¼ dF cosða þ rÞ
FQ ; F ¼ FQ = cosða þ rÞ; Z X Miz ¼ 0 ¼ M
dF sinða þ rÞrm ; M ¼ FQ rm tanða þ rÞ Wirkungsgrad beim Heben h ¼ M0 =M ¼ tan a= tanða þ rÞ; M0 erforderliches Moment ohne Reibung. Beim Senken tritt
r an Stelle von r; M ¼ FQ rm tanða
rÞ. Selbsthemmung fr M % 0, d. h. tanða
rÞ % 0; also a % r. Dann ist zum Senken der Last ein negatives Moment erforderlich. Fr a ¼ r folgt h ¼ tan r= tan 2r ¼ 0;5
0;5 tan2 r < 0;5.

Anwendungen zur Haftung und Gleitreibung Reibung am Keil. Gesucht wird die Kraft F, die zum Heben und Senken einer Last mit konstanter Geschwindigkeit erforderlich ist. Die L
sung folgt am einfachsten aus dem Sinussatz am Krafteck, z. B. fr das Heben der Last nach Bild 30 F2 sinð90
þ r3 Þ F sinða þ r1 þ r2 Þ ; ; ¼ ¼ FQ sin½90

ða þ r2 þ r3 Þ F2 sinð90

r1 Þ hieraus tanða þ r2 Þ þ tan r1 : Entsprechend 1
tanða þ r2 Þ tan r3 tanða
r2 Þ
tan r1 F ¼ FQ 1 þ tanða
r2 Þ tan r3

F ¼ FQ

ð29Þ

fr das Senken der Last. Wird F  0, so tritt Selbsthemmung auf; dann ist tanða
r2 Þ % tan r1 bzw: a % r1 þ r2 : Der Keil muss dann herausgezogen bzw. von der anderen Seite hinausgedrckt werden. Der Wirkungsgrad des Keilgetriebes beim Heben der Last ist h ¼ F0 =F; hierbei ist F0 ¼ FQ  tan a die erforderliche Kraft ohne Reibung.

Trapez- und Dreieckgewinde (scharfgngige Schraube) (Bild 31 b). Es gelten dieselben Gleichungen wie fr Rechteckgewinde, wenn anstelle von m ¼ tan r die Reibzahl m0 ¼ tan r0 ¼ m= cosðb=2Þ, d. h. anstelle von r der Reibwinkel r0 ¼ arctan½m= cosðb=2Þ eingesetzt wird. Beweis gemß Bild 31 b, da anstelle von dFn die Kraft dFn0 ¼ dFn = cosðb=2Þ und anstelle von dFr ¼ m dFn die Kraft dFr0 ¼ m dFn0 ¼ ½m= cosðb=2ÞdFn ¼ m0 dFn tritt. Hierbei ist b der Flankenwinkel des Gewindes. Bemerkung: Fr Befestigungsschrauben ist Selbsthemmung, d. h. a % r00 , erforderlich. Seilreibung (Haftung zwischen Seil und Seilrolle) (Bild 32). Gleitreibung tritt auf bei relativer Bewegung zwischen Seil und Scheibe (Bandbremse, Schiffspoller bei laufendem Seil). Bei Haftung zwischen Seil und Scheibe (Riementrieb, Bandbremse als Haltebremse, Schiffspoller bei ruhendem Seil) tritt Gleichgewicht in Normal- und Tangentialrichtung am Seilelement auf. Damit ergibt sich dFn ¼ FS dj, dFS ¼ dFr ; mit dFr ¼ m 0 dFn folgt dFS ¼ m0 FS dj. Nach Integration ber den Umschlingungswinkel a folgt die Eulersche Seilreibungsformel: FS2 ¼ FS1 em0 a bzw. FS2 =FS1 ¼ em0 a . Die Haftkraft ergibt sich aus Fr ¼ FS2
FS1 und das Haftmoment aus Mr ¼ Fr r. Bei nicht vernachlssigbarer Geschwindigkeit des Seiles (z. B. beim Riementrieb) treten Fliehkrfte qF ¼ mu2 =r (m: Masse pro Lngeneinheit des Seiles) am Seil auf. Dann ist FS durch FS
mu2 zu ersetzen. Beim Schiffspoller (Bild 32 c) mit a=2p und m0 ¼ 0,1 ergibt sich ein Verhltnis FS2 =FS1  1,87. Rollwiderstand Rollt ein zylindrischer o.. K
rper auf einer Unterlage (Bild 36 a), so ergibt sich wegen der Verformung der Unterlage und des K
rpers eine schrg gerichtete Resultierende,

Bild 29. Gleitreibung

Bild 30. Reibung am Keil

Bild 31 a, b. Reibung an a flachgngiger und b scharfgngiger Schraube

I2.1

Bewegung eines Punkts

B 15

B

Bild 32 a – c. Seilreibung. a Krfte; b Element; c Schiffspoller

deren Horizontalkomponente die Widerstandskraft Fw ist. Ihr muss bei gleichf
rmiger Bewegung die Antriebskraft Fa das Gleichgewicht halten. Mit Fn ¼ FQ und f
r, d. h. tan a  sin a ¼ f =r, folgt Fw ¼ FQ f =r ¼ FQ mr und als sog. Moment der rollenden Reibung Mw ¼ Fw r ¼ mr FQ r ¼ FQ f , wobei mr ¼ f =r der Koeffizient der Rollreibung ist. Der Hebelarm f der Rollreibung ist empirisch zu ermitteln. Fr Stahlrder auf Schienen ist f  0;05 cm, fr Wlzlager f  0;0005 . . . 0;001 cm. Als Fahrwiderstand (Bild 33 b) bezeichnet man die Summe aus Rollwiderstand und Lagerreibungswiderstand, Fw; ges ¼ ðFQ þ FG Þf =r þ FQ mz r1 =r (FG Gewichtskraft des Rads, mz Zapfenreibungszahl s. Q 2.1.1). Widerstand an Seilrollen Infolge Biegesteifigkeit der Seile erfolgt an der Auflaufstelle ein „Abheben“ um a2 (s. Bild 33 c) und an der Ablaufstelle ein „Anschmiegen“ um a1 . Unter gleichzeitiger Bercksichtigung der Lagerreibung folgt bei gleichmßiger Geschwindigkeit fr die Feste Rolle (Bild 33 c): Beim Heben X MA ¼ 0 ¼ Fðr  a1 Þ  FQ ðr þ a2 Þ  ðF þ FQ Þrz ; d: h: F

¼ FQ ðr þ a2 þ rz Þ=ðr  a1  rz Þ ¼ FQ =h:

h ist der Wirkungsgrad der festen Rolle beim Heben ðh  0;95Þ. Beim Senken ist h durch 1/h zu ersetzen. (rz Radius der Zapfenreibung.)

Bild 33 a – e. Widerstnde. a Rollwiderstand; b Fahrwiderstand; c feste und d lose Seilrolle; e Flaschenzug

Lose Rolle (Bild 33 d): Beim Heben X MA ¼ 0 ¼ Fð2r þ a2  a1 Þ  FQ ðr þ a2 þ rz Þ; d: h: ¼ ðFQ =2Þðr þ a2 þ rz Þ=ðr þ a2 =2  a1 =2Þ ¼ ðFQ =2Þ=h:

F

h = Nutzarbeit/zugefhrte Arbeit = ðFQ s=2Þ=ðFsÞ. Nherungsweise wird ebenfalls h  0;95 gesetzt. Beim Senken ist h durch 1/h zu ersetzen. Rollenzug (Bild 33 e): Mit den Ergebnissen fr die feste und die lose Rolle ist F1 ¼ hF; F2 ¼ hF1 ¼ h2 F usw. Gleichgewicht fr die freigemachte untere Flasche fhrt zu X Fy ¼ 0 ¼ F1 þ F2 þ F3 þ F4  FQ ; d: h: Fðh þ h2 þ h3 þ h4 Þ ¼ FQ : Mit 1 þ h þ h2 þ h3 ¼ ð1  h4 Þ=ð1  hÞ folgt F ¼ FQ =½hð1  h4 Þ=ð1  hÞ: Bei n tragenden Seilstrngen werden die Kraft und der Gesamtwirkungsgrad fr das Heben F

¼ FQ =½hð1  hn Þ=ð1  hÞ und

hges ¼ Wn =Wz ¼ ðFQ s=nÞ=ðFsÞ ¼ hð1  hn Þ=½ð1  hÞn: Beim Senken ist h wieder durch 1/h zu ersetzen.

2 Kinematik Die Kinematik ist die Lehre von der geometrischen und analytischen Beschreibung der Bewegungszustnde von Punkten und K
rpern. Sie bercksichtigt nicht die Krfte und Momente als Ursachen der Bewegung.

2.1 Bewegung eines Punkts

Geschwindigkeit. Der Geschwindigkeitsvektor ergibt sich durch Ableitung des Ortsvektors nach der Zeit: uðtÞ ¼ dr=dt ¼ r_ ðtÞ ¼ x_ ðtÞex þ y_ ðtÞey þ z_ ðtÞez ¼ ð_xðtÞ; y_ ðtÞ; z_ ðtÞÞ ¼ ðux ; uy ; uz Þ:

2.1.1 Allgemeines Bahnkurve. Ein Punkt bewegt sich in Abhngigkeit von der Zeit im Raum lngs einer Bahnkurve. Die Ortskoordinate des Punkts ist durch den Ortsvektor (Bild 1 a) rðtÞ ¼ xðtÞex þ yðtÞey þ zðtÞez ¼ ðxðtÞ; yðtÞ; zðtÞÞ

festgelegt. Ein Punkt hat im Raum drei Freiheitsgrade, bei gefhrter Bewegung lngs einer Flche zwei und lngs einer Linie einen Freiheitsgrad.

ð1Þ

ð2Þ

Der Geschwindigkeitsvektor tangiert stets die Bahnkurve, da in natrlichen Koordinaten t, n, b (begleitendes Dreibein, wobei t die Tangentenrichtung in der sog. Schmiegungsebene, n die Normalenrichtung in der Schmiegungsebene und b die Bi-

B 16

Mechanik – 2 Kinematik

B Bild 2. Gleichfrmige Bewegung, Bewegungsdiagramme

Gleichmßig beschleunigte (und verz
gerte) Bewegung (Bild 3) liegt vor, wenn Bild 1. Punktbewegung. a Bahnkurve, Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektor; b Differentiation des Tangenteneinheitsvektors

drðtÞ dr ds ¼ ¼ et u dt ds dt

uðtÞ ¼ at0 t þ C1 und sðtÞ ¼ at0 t2 =2 þ C1 t þ C2 : Hieraus folgen mit den Anfangsbedingungen uðt ¼ t1 Þ ¼ u1 und sðt ¼ t1 Þ ¼ s1 die Konstanten

normalenrichtung senkrecht zu t und n ist; s. Bild 1 a) uðtÞ ¼

at ðtÞ ¼ u_ ðtÞ ¼ €sðtÞ ¼ at0 ¼ const; d: h:

ð3Þ

gilt (et Tangenteneinheitsvektor). Der Betrag der Geschwindigkeit ist qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi juj ¼ u ¼ ds=dt ¼ s_ ¼ u2x þ u2y þ u2z ¼ x_ 2 þ y_ 2 þ z_ 2 : ð4Þ

C1 ¼ u1  at0 t1 und C2 ¼ s1  u1 t1 þ at0 t12 =2 und somit at ðtÞ ¼ at0 ¼ const; uðtÞ ¼ at0 ðt  t1 Þ þ u1 ; sðtÞ ¼ at0 ðt  t1 Þ2 =2 þ u1 ðt  t1 Þ þ s1 : Nach Elimination von ðt  t1 Þ ergeben sich die Beziehungen

Beschleunigung. Der Beschleunigungsvektor ergibt sich durch Ableitung des Geschwindigkeitsvektors nach der Zeit: du d2 r ¼ €rðtÞ ¼ €xðtÞex þ €yðtÞey þ €zðtÞez ¼ dt dt2 ¼ ð€xðtÞ;€yðtÞ;€zðtÞÞ ¼ ðax ; ay ; az Þ

aðtÞ ¼

ð5Þ

d du det ðuet Þ ¼ et þ u
: dt dt dt

Die mittlere Geschwindigkeit ergibt sich zu

det det ds dj en 1 ¼ u ¼ en u (s. Bild 1 b) folgt Mit ¼ dt ds dt ds R aðtÞ ¼ u_ et þ ðu2 =RÞen ¼ at þ an ;

F
r den Sonderfall t1 ¼ 0, u1 ¼ 0, s1 ¼ 0 folgen uðtÞ ¼ at0 t; sðtÞ ¼ at0 t2 =2; t ¼ u=at0 ; pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi at0 ¼ u2 =ð2sÞ; u ¼ 2at0 s; s ¼ u2 =ð2at0 Þ:

bzw. in nat
rlichen Koordinaten aðtÞ ¼

t  t1 ¼ ðu  u1 Þ=at0 ; at0 ¼ ðu2  u21 Þ=½2ðs  s1 Þ; qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi u ¼ u21 þ 2at0 ðs  s1 Þ; s ¼ ðu2  u21 Þ=ð2at0 Þ þ s1 :

um ¼ ð6Þ

Zt2

uðtÞdt=ðt2  t1 Þ

t1

¼ ðs2  s1 Þ=ðt2  t1 Þ ¼ ðu1 þ u2 Þ=2: d. h., der Beschleunigungsvektor liegt stets in der Schmiegungsebene (Bild 1 a). Seine Komponenten in Tangentialund Normalenrichtung heißen Tangential- und Normalbeschleunigung at ¼ du=dt ¼ u_ ðtÞ ¼ €sðtÞ

ð7Þ

und an ¼ u2 =R;

In allen Gleichungen kann at positiv oder negativ sein: Positives at bedeutet Beschleunigung bei Bewegung eines Punkts in positiver s-Richtung, aber Verzgerung bei Bewegung in negativer s-Richtung; negatives at bedeutet Verzgerung bei Bewegung in positiver s-Richtung, aber Beschleunigung bei Bewegung in negativer s-Richtung. Ist s(t) gegeben, so erhlt man durch Differentiation uðtÞ und at ðtÞ.

ð8Þ

wobei R der Kr
mmungsradius der Bahnkurve ist. Die Normalbeschleunigung ist stets zum Kr
mmungsmittelpunkt M gerichtet, also immer eine Zentripetalbeschleunigung. F
r die Grße des (resultierenden) Beschleunigungsvektors gilt qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a ¼ jaj ¼ a2x þ a2y þ a2z ¼ a2t þ a2n : ð9Þ

Ungleichmßig beschleunigte (und verz
gerte) Bewegung liegt vor, wenn at ðtÞ ¼ f1 ðtÞ ist (Bild 3 b). Integration f
hrt zu Z Z uðtÞ ¼ at ðtÞdt ¼ f1 ðtÞdt ¼ f2 ðtÞ þ C1 und Z Z sðtÞ ¼ uðtÞdt ¼ ½f2 ðtÞ þ C1 dt ¼ f3 ðtÞ þ C1 t þ C2 :

Gleichf
rmige Bewegung liegt vor, wenn uðtÞ ¼ s_ ðtÞ ¼ u0 ¼ const ist. Durch Integration folgt Z sðtÞ ¼ s_ ðtÞ dt ¼ u0 t þ C1

Die Konstanten werden aus den Anfangsbedingungen uðt ¼ t1 Þ ¼ u1 und sðt ¼ t1 Þ ¼ s1 oder quivalenten Bedingungen ermittelt. Aus u_ ðtÞ ¼ at ðtÞ folgt, dass dort, wo uðtÞ einen Extremwert annimmt (wo u_ ¼ 0 wird), im at ; t-Diagramm die Funktion at ðtÞ durch Null geht. Analog folgt aus s_ ðtÞ ¼ uðtÞ, dass s(t) dort ein Extremum hat, wo uðtÞ im u; t-Diagramm durch Null geht. Die mittlere Geschwindigkeit ergibt sich zu um ¼ ðs2  s1 Þ=ðt2  t1 Þ. Entsprechend der anschaulichen Deutung des Integrals als Flcheninhalt lassen sich bei gegebenem at ðtÞ die Grßen uðtÞ und s(t) auch mit den Methoden der graphischen oder numerischen Integration (s. www.dubbel.de) bestimmen.

bzw. mit der Anfangsbedingung sðt ¼ t1 Þ ¼ s1 hieraus C1 ¼ s1  u0 t1 und somit sðtÞ ¼ u0 ðt  t1 Þ þ s1 : Graphische Darstellungen von uðtÞ und s(t) liefern das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm und das Weg-Zeit-Diagramm (Bild 2). Aus s(t) folgt umgekehrt durch Differentiation uðtÞ.

I2.1

Bewegung eines Punkts

B 17

B

Bild 3 a, b. Bewegungsdiagramme. a gleichmßig beschleunigte, b ungleichmßig beschleunigte Bewegung

2.1.2 Ebene Bewegung Bahnkurve (Weg), Geschwindigkeit, Beschleunigung. Es gelten die Formeln von B 2.1.1, reduziert auf die beiden Komponenten x und y (Bild 4 a): rðtÞ ¼ xðtÞex þ yðtÞey ¼ ðxðtÞ; yðtÞÞ; uðtÞ ¼ x_ ðtÞex þ y_ ðtÞey ¼ ð_xðtÞ; y_ ðtÞÞ ¼ ðux ; uy Þ; aðtÞ ¼ €xðtÞex þ €yðtÞey ¼ ð€xðtÞ; €yðtÞÞ ¼ ðax ; ay Þ bzw. in nat
rlichen Koordinaten t und n:

gemß dem Weg-Zeit-Gesetz sðtÞ ¼ At2 . – Nach den Gln. (4), (7) und (8) ergeben sich uðtÞ ¼ s_ ðtÞ ¼ 2At; at ðtÞ ¼ u_ ðtÞ ¼ €sðtÞ ¼ 2A und an ðtÞ ¼ u2 =R ¼ 4A2 t2 =r pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi und somit aðtÞ ¼ a2t þ a2n ¼ 2A 1 þ 4A2 t4 =r 2 . F
r die Kreisbahn pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ergibt sich mit y0 ¼
x= r 2
x2 die Bogenlnge zu sðxÞ ¼

Z r pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Z r pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 þ y02 dx ¼ r 2 =ðr 2
x2 Þdx ¼ r arccosðx=rÞ; x¼x

aðtÞ ¼ u_ ðtÞet þ ðu2 =RÞen ¼ ð_uðtÞ; u2 =RÞ ¼ ðat ; an Þ:

x

woraus mit

Ist die Bahnkurve mit y(x) und die Lage des Punkts mit s(t) gegeben, so ergibt sich ein Zusammenhang Z pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi zwischen t und x
ber die Bogenlnge sðxÞ ¼ 1 þ y0 2 dx aus sðxÞ ¼ sðtÞ. Hieraus ist t(x) bzw. x(t) nur in einfachen Fllen explizit berechenbar (s. nchstes Beispiel). Beispiel: Bewegung auf einer Bahnkurve y(x) (Bild 4 b). Untersucht pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi wird die Bewegung eines Punkts auf der Kreisbahn yðxÞ ¼ r 2
x2

sðxÞ ¼ sðtÞ ¼ At2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi tðxÞ ¼ r arccosðx=rÞ=A bzw: xðtÞ ¼ r cosðAt2 =rÞ folgt. Damit wird pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Ar arccosðx=rÞ; at ðxÞ ¼ 2A; qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi an ðxÞ ¼ 4A arccosðx=rÞ; aðxÞ ¼ 2A 1 þ 4½arccosðx=rÞ2 : sðxÞ ¼ r arccosðx=rÞ; uðxÞ ¼ 2

Lsung dieser Aufgabe in Parameterdarstellung: xðtÞ ¼ r cosðAt2 =rÞ; yðtÞ ¼

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi r 2
x2 ¼ r sinðAt2 =rÞ;

2

ux ðtÞ ¼ x_ ðtÞ ¼
2At sinðAt =rÞ; uy ðtÞ ¼ y_ ðtÞ ¼ 2At cosðAt2 =rÞ; somit ist uðtÞ ¼

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi u2x þ u2y ¼ 2At sin2 ðAt2 =rÞ þ cos2 ðAt2 =rÞ ¼ 2At;

ax ðtÞ ¼ u_ x ðtÞ ¼ €xðtÞ ¼
2A½sinðAt2 =rÞ þ ð2t2 A=rÞ cosðAt2 =rÞ; Bild 4 a, b. Ebene Bewegung. a Allgemein; b Kreis

ay ðtÞ ¼ u_ y ðtÞ ¼ €yðtÞ ¼ 2A½cosðAt2 =rÞ
ð2t2 A=rÞ sinðAt2 =rÞ;

B 18

Mechanik – 2 Kinematik

B

Bild 5. Schiefer Wurf, Wurfbahn woraus aðtÞ ¼

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a2x þ a2y ¼ 2A 1 þ ð2t2 A=rÞ2 folgt:

Beispiel: Der schiefe Wurf (Bild 5). Ungleichm
ßig beschleunigte Bewegung. Abwurfgeschwindigkeit u1 unter Abwurfwinkel b. – Unter Vernachl
ssigung des Luftwiderstands ist die Schwerkraft die einzige wirkende Kraft. Deshalb wird ax ðtÞ ¼ 0 und ay ðtÞ ¼
g ¼ const. Integration liefert ux ðtÞ ¼ C1 ; xðtÞ ¼ C1 t þ C2

Bild 6 a – c. Polarkoordinaten. a Geschwindigkeiten; b Beschleunigungen; c Differentiation der Einheitsvektoren

Die Ableitung des Geschwindigkeitsvektors ergibt die Beschleunigung (Bild 6 b): _ ¼ €rðtÞ ¼ r_ e_ r þ €r er þ jr _ e_ j þ ðj_ _rþj € rÞej aðtÞ ¼ uðtÞ

sowie

_ j ¼ ar þ aj ¼ ð€r
j_ 2 rÞer þ ð€ jr þ 2_rjÞe

2

uy ðtÞ ¼
gt þ C3 ; yðtÞ ¼
gt =2 þ C3 t þ C4 :

_ r gem
ß Bild 6 c. mit e_ j ¼ dej =dt ¼
1  dj  er =dt ¼
je € ¼ w_ die nderung der Winkelgeschwindigkeit Hierbei ist j des Radiusvektors r mit der Zeit, genannt Winkelbeschleunigung a. Ebene Bewegung in kartesischen Koordinaten (Bild 6 a, b):

Anfangsbedingungen xð0Þ ¼ 0; yð0Þ ¼ 0; ux ð0Þ ¼ u1 cos b; uy ð0Þ ¼ u1 sin b ergeben C2 ¼ 0, C4 ¼ 0, C1 ¼ u1 cos b, C3 ¼ u1 sin b und somit xðtÞ ¼ u1 t cos b; yðtÞ ¼ u1 t sin b
gt2 =2

rðtÞ ¼ r cos jex þ r sin jey ¼ xðtÞex þ yðtÞey ;

(Bahnkurve in Parameterdarstellung).

ð13Þ

uðtÞ ¼ r_ ðtÞ ¼ ð_r cos j
r j_ sin jÞex þ ð_r sin j þ r j_ cos jÞey ð14Þ ¼ ux e x þ uy e y ;

Elimination von t ergibt Bahnkurve y ¼ f ðxÞ: yðxÞ ¼ x tan b
x2 g=ð2v21 cos2 bÞ ðWurfparabelÞ:

aðtÞ ¼ u_ ðtÞ ¼ ð€r cos j
2_r j_ sin j
r j_ 2 cos j
r€ j sin jÞex þ ð€r sin j þ 2_rj_ cos j
rj_ 2 sin j þ r€ j cos jÞey ð15Þ

Geschwindigkeit ux ðtÞ ¼ x_ ðtÞ ¼ u1 cos b; uy ðtÞ ¼ y_ ðtÞ ¼ u1 sin b
gt; qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi uðtÞ ¼ ðu1 cos bÞ2 þ ðu1 sin b
gtÞ2 :

¼ ax ex þ ay ey : Zusammenhang zwischen Komponenten in r, j- und x, yRichtung (Bild 6 b):

Beschleunigung ax ðtÞ ¼ €xðtÞ ¼ 0; ay ðtÞ ¼ €yðtÞ ¼
g; pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi aðtÞ ¼ 0 þ g2 ¼ g ¼ const : Aus uy =ux ¼ tan jðtÞ erh
lt man die Steigung der Bahnkurve und damit die natrlichen Komponenten der Beschleunigung (s. Bild 5):

ur ¼ ux cos j þ uy sin j; uj ¼
ux sin j þ uy cos j; ux ¼ ur cos j
uj sin j; uy ¼ ur sin j þ uj cos j: Analoge Gleichungen gelten fr die Beschleunigung a. Resultierende Geschwindigkeit und Beschleunigung: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi u ¼ u2r þ u2j ¼ u2x þ u2y ; a ¼ a2r þ a2j ¼ a2x þ a2y :

an ðtÞ ¼ g cos jðtÞ und at ðtÞ ¼
g sin jðtÞ 6¼ const ! Steigzeit und Wurfhhe aus uy ðt2 Þ ¼ 0: t2 ¼ u1 sin b=g; yðt2 Þ ¼ u21 sin2 b=ð2gÞ:

Der Beschleunigungsvektor a l
sst sich auch in die natrlichen Komponenten at und an zerlegen, da die Richtung t durch den Geschwindigkeitsvektor und die Richtung n als Senkrechte dazu gegeben sind (Bild 6 b).

Wurfdauer und Wurfweite aus yðt3 Þ ¼ 0: t3 ¼ 2u1 sin b=g ¼ 2t2 ; xðt3 Þ ¼ u21 sin 2b=g: Wegen sinð180°
2bÞ ¼ sin 2b ergibt sich dieselbe Wurfweite fr die Abwurfwinkel b und ð90°
bÞ. Die grßte Wurfweite bei gegebenem u1 wird mit dem Abwurfwinkel b ¼ 45° erzielt.

Ebene Bewegung in Polarkoordinaten. Bahn und Lage eines Punkts werden durch r(t) und j(t) festgelegt. Mit den begleitenden Einheitsvektoren er und ej (Bild 6 a) gilt rðtÞ ¼ rðtÞer :

ð12Þ

ð10Þ

Ebene Kreisbewegung (Bild 4 b). Aus der Darstellung in Polarkoordinaten folgen mit r ¼ const, also mit r_ ¼ €r ¼ 0 und, da jetzt die ej - und er -Richtung mit der et - und der negativen en -Richtung zusammenfallen, _ t ¼ wret und uðtÞ ¼ jre aðtÞ ¼
j_ 2 rer þ r€ jej ¼ w2 ren þ raet :

ð16Þ

u

¼ wr;

ð17Þ

at

_ ¼ ar; € r ¼ wr ¼j

ð18Þ

Hieraus folgt durch Ableitung der Geschwindigkeitsvektor _ j ¼ ur þ uj ; uðtÞ ¼ r_ ðtÞ ¼ r_ ðtÞer þ rðtÞ_er ¼ r_ er þ jre

ð11Þ

_ j ist. Hierda gem
ß Bild 6 c e_ r ¼ der =dt ¼ 1  dj  ej =dt ¼ je bei ist j_ ¼ dj=dt die Drehgeschwindigkeit des Radiusvektors r, genannt Winkelgeschwindigkeit w.

an ¼ j_ 2 r ¼ w2 r; qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a ¼ jaj ¼ a2t þ a2n ¼ r a2 þ w4 :

ð19Þ ð20Þ

I2.2

Bewegung starrer K
rper

B 19

woraus wieder qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi u ¼ juj ¼ u2x þ u2y þ u2z ¼ r0 j_ 1 þ h2 =ð2pr0 Þ2 und qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi € 2 ½1 þ h2 =ð2pr0 Þ2  a ¼ jaj ¼ a2x þ a2y þ a2z ¼ r0 j_ 4 þ j folgen.

2.2 Bewegung starrer Krper 2.2.1 Translation (Parallelverschiebung, Schiebung)

Bild 7 a, b. Massenpunkt auf Schraubenlinie

Alle Punkte beschreiben kongruente Bahnen (Bild 8 a), d. h., der K
rper fhrt keinerlei Drehung aus. Die Gesetze und Gleichungen der Punktbewegung nach B 2.1 gelten auch fr die Translation, da die Bewegung eines K
rperpunkts zur Beschreibung ausreicht.

2.1.3 R
umliche Bewegung

2.2.2 Rotation (Drehbewegung, Drehung)

Es gelten die Gleichungen von B 2.1.1. Als Anwendung wird die Bewegung auf einer zylindrischen Schraubenlinie behandelt (Bild 7 a; s. hierzu auch Beispiel in B 3.2.4). L
sung in Zylinderkoordinaten: r0 ðtÞ; jðtÞ; zðtÞ. Mit r0 ðtÞ ¼ r0 ¼ const, einer beliebigen Funktion j(t) sowie zðtÞ ¼ jðtÞh=2p wird rðtÞ ¼ r0 er þ zðtÞez . Hieraus folgt analog Gl. (11) bzw. (12) mit r_ 0 ¼ 0, €r0 ¼ 0

Unter Rotation versteht man die Drehung eines starren K
rpers um eine raumfeste Achse (Bild 8 b).

_ 0 ej þ z_ ez ¼ jr _ 0 ej þ ðjh=2pÞe _ uðtÞ ¼ ur þ uj þ uz ¼ jr z

Vektorielle Darstellung. Wird der Winkelgeschwindigkeit der Vektor w ¼ we zugeordnet, d. h., dreht sich die Ebene OPO0 mit w, so beschreiben der Punkt P und somit alle Punkte Kreisbahnen. Der Vektor der Umfangsgeschwindigkeit u ergibt sich aus dem Vektorprodukt u ¼ r_ P ¼ we  rP mit juj ¼ u ¼ wrP sin b ¼ wr;

ð21Þ

bzw. €r0 ej þ €zez aðtÞ ¼ ar þ aj þ az ¼
j_ 2 r0 er þ j € r0 ej þ ð€ ¼
j_ 2 r0 er þ j jh=2pÞez : Fr die Gr
ßen von Geschwindigkeit, Weg und Beschleunigung ergibt sich mit dem Steigungswinkel b ¼ arctan½h=ð2pr0 Þ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi uðtÞ ¼ juj ¼ u2r þ u2j þ u2z ¼ r0 j_ 1 þ h2 =ð2pr0 Þ2 _ cos b; sðtÞ ¼ r0 j= cos b; ¼ r0 j= qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi € 2 ½1 þ h2 =ð2pr0 Þ2  aðtÞ ¼ jaj ¼ a2r þ a2j þ a2z ¼ r0 j_ 4 þ j qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ r0 j_ 4 þ ð€ j= cos bÞ2 : Natrliche Komponenten der Beschleunigung: Fr die Komponente senkrecht zur Steigung der Schraubenlinie (Bild 7 b) gilt

u ist ein im Sinne einer Rechtsschraube auf e und rP senkrecht stehender Vektor. Mit rP ¼ r0 þ r folgt u ¼ we  ðr0 þ rÞ ¼ we  r0 þ we  r: Da e und r0 zueinander parallel sind, gilt e  r0 ¼ 0; d. h. u ¼ we  r mit juj ¼ u ¼ wr sin 90
¼ wr: Damit ist u ¼ wret : In kartesischen Koordinaten ist    ex ey ez      u ¼ we  rP ¼ w  rP ¼  wx wy wz     x y z 

ð22Þ

ð23Þ

¼ ðwy z
wz yÞex þ ðwz x
wx zÞey þ ðwx y
wy xÞez ¼ ux e x þ uy e y þ uz e z :

jr0 sin b þ ð€ jh=2pÞ cos b
aj sin b þ az cos b ¼
€ € r0 tan b cos b ¼ 0: ¼
€ jr0 sin b þ j In dieser Richtung liegt demnach die Binormale eb , in der es gemß B 2.1.1 keine Beschleunigung gibt. Also muss en ¼
er und damit an ¼ ar ¼ r0 j_ 2 sein. Ferner wird (s. Bild 7 b) € r0 cos b þ j € r0 tan b sin b at ¼ aj cos b þ az sin b ¼ j qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi € = cos b ¼ r0 j € 1 þ h2 =ð2pr0 Þ2 : ¼ r0 j L
sung in kartesischen Koordinaten: rðtÞ ¼ xðtÞex þ yðtÞey þ zðtÞez ¼ r0 cos jex þ r0 sin jey þ ðjh=2pÞez : Analog den Gln. (14) und (15) gilt uðtÞ ¼ ux ex þ uy ey þ uz ez _ ¼
r0 j_ sin jex þ r0 j_ cos jey þ ðjh=2pÞe z; € sin jÞex aðtÞ ¼ ax ex þ ay ey þ az ez ¼
ðr0 j_ 2 cos j þ r0 j € cos j
r0 j_ 2 sin jÞey þ ð€ þ ðr0 j jh=2pÞez ;

Bild 8 a – c. Bewegung starrer K
rper. a Translation; b Rotation im Raum; c Rotation in der Ebene

B

B 20

Mechanik – 2 Kinematik

Beschleunigung von Punkt P:

B

_
rP Þ a ¼ u_ ¼ €rP ¼ ðwe
r_ P Þ þ ðwe _
rP Þ: ¼ ðwe
uÞ þ ðwe

ð24 aÞ

Mit w_ ¼ a (Winkelbeschleunigung) ist in nat
rlichen Koordinaten a ¼ wuer þ arP sin bet ¼ w2 rer þ aret ¼ an er þ at et :

ð24 bÞ

In kartesischen Koordinaten ergibt sich aus Gl. (23) durch Differentiation

þ w2z Þy þ ðwy wz  ax Þzey þ ½ðwx wz  ay Þx þ ðwy wz þ ax Þy  ðw2x þ w2y Þzez

ð25aÞ

bzw. bei alleiniger Drehung um die z-Achse a ¼ ðw2z x  az yÞex þ ðaz x  w2z yÞey :

rP ðtÞ ¼ r0 ðtÞ þ r1 ðtÞ;

ð27Þ

uðtÞ ¼ r_ P ðtÞ ¼ r_ 0 þ r_ 1 ¼ r_ 0 þ wðtÞe
r1 ¼ u0 ðtÞ þ wrej ¼ u0 ðtÞ þ u1 ðtÞ:

ð28Þ

Hierbei ist u0 der aus der Translation herr
hrende, u1 der aus der Rotation herr
hrende Anteil (Eulersche Geschwindigkeitsformel). Aus Gl. (28) folgt nach Multiplikation mit dt drP ¼ dr0 þ dje
r1 ¼ dr0 þ r djej :

a ¼½ðw2y þ w2z Þx þ ðwx wy  az Þy þ ðwx wz þ ay Þzex þ ½ðwx wy þ az Þx  ðw2x

schreibung, d. h. die Kenntnis des Ortsvektors r0 ðtÞ. F
r die Rotation gen
gt die Beschreibung der Drehung durch den Winkelgeschwindigkeitsvektor w um den krperfesten Punkt (s. B 2.2.2), d. h., w ist ein freier Vektor. Es gelten (Bild 9 a)

ð25 bÞ

Da bei Rotation alle Punkte Kreisbahnen in Ebenen senkrecht zur Drehachse beschreiben, gen
gt die Ebene Darstellung (Bild 8 c). Hierbei geht die Drehachse senkrecht zur Zeichenebene durch den Punkt O. Es gilt _ ¼ rwðtÞ; sðtÞ ¼ rjðtÞ; uðtÞ ¼ r jðtÞ _ ¼ raðtÞ; an ðtÞ ¼ r j_ 2 ðtÞ ¼ rw2 ðtÞ; at ðtÞ ¼ r€ jðtÞ ¼ r wðtÞ

ð26Þ

d. h., alle Grßen nehmen linear mit r zu, so dass zur Beschreibung der Drehbewegung (Rotation) eines starren Krpers der Drehwinkel j(t), die Winkelgeschwindigkeit _ ¼j _ und die Winkelbeschleunigung aðtÞ ¼ wðtÞ € ðtÞ wðtÞ ¼ jðtÞ ausreichen. In den Anwendungen wird hufig mit der Drehzahl n gerechnet; dann ist w ¼ 2pn und u ¼ 2prn. F
r die Umlaufzeit bei w ¼ const gilt T ¼ 2p=w. F
r die gleichfrmige und ungleichfrmige Rotation gelten die Gesetze der Punktbewegung und die zugehrigen Diagramme gemß B 2.1.1, wenn dort at durch a, u durch w und s durch j ersetzt wird. 2.2.3 Allgemeine Bewegung des starren K
rpers Rumliche Bewegung. Ein Krper hat im Raum sechs Freiheitsgrade: drei der Translation (Verschiebung in x-, y- und zRichtung) und drei der Rotation (Drehung um die x-, y- und z-Achse). Die beliebige Bewegung jedes Krperpunkts lsst sich daher aus Translation und Rotation zusammensetzen (zusammengesetzte Bewegung). F
r die Translation gen
gt die Kenntnis der Bahnkurve eines einzigen krperfesten Punkts, z. B. des Schwerpunkts (s. B 2.2.1) zur ausreichenden Be-

Bild 9 a, b. Rumliche Bewegung. a Geschwindigkeiten; b Beschleunigungen

ð29Þ

Diese Gleichung (Eulersche Formel) besagt, dass eine sehr kleine Lagenderung eines Punkts sich aus einer Verschiebung dr0 und aus einer mit dem Betrag ds ¼ r dj (entstehend aus Drehung um die w-Achse) zusammensetzen lsst. F
r die Beschleunigung des Punkts P des Krpers folgt aus Gl. (28) 9 _ ¼ €rP ðtÞ aðtÞ ¼ uðtÞ > > > > _ þ w_eÞ
r1 ¼ €r0 ðtÞ þ wðtÞe
r_ 1 þ ðwe > > _
r1 þ w_e
r1 = ¼ a0 ðtÞ þ we
ðwe
r1 Þ þ we ð30Þ _ j þ w_e
r1 ¼ a0 ðtÞ þ we
wrej þ wre > > > > ¼ a0  w2 rer þ arej þ w_e
r1 > > ; ¼ a0 þ aPA;n þ aPA;t þ ðw_e
r1 Þ; d. h., die Gesamtbeschleunigung setzt sich zusammen aus dem Translationsanteil a0 , dem Normalbeschleunigungsanteil aPA;n bei Drehung um O, dem Tangentialbeschleunigungsanteil aPA;t bei Drehung um O und dem Anteil aus der Richtungsnderung der Drehachse (Bild 9 b). Drehung um einen Punkt (sphrische Bewegung). In diesem Fall hat der Krper nur drei Rotationsfreiheitsgrade, d. h., in den Gln. (27) bis (30) entfallen r0 ; u0 und a0 , wenn man den Punkt O in Bild 9 als Bezugspunkt whlt. Der Winkelgeschwindigkeitsvektor ist jetzt ein linienfl
chtiger Vektor, d. h. nur in seiner Wirkungslinie verschiebbar. Die augenblickliche Drehachse (Momentanachse OM) beschreibt bei der Bewegung des Krpers bez
glich eines raumfesten Koordinatensystems den Rastpolkegel (Spurkegel) und bez
glich des krperfesten Koordinatensystems den Gangpolkegel (Rollkegel), der auf dem Rastpolkegel abrollt. F
r die Winkelgeschwindigkeit bez
glich der Momentanachse gilt w ¼ w1 þ w2 (Bild 10). Ebene Bewegung. Ein Krper hat bei der ebenen Bewegung drei Freiheitsgrade: zwei der Translation (Verschiebung in xund y-Richtung) und einen der Rotation (Drehung um die zAchse senkrecht zur Zeichenebene). Wie bei der rumlichen

I2.2

Bewegung starrer Krper

B 21

B

Bild 10. Sph
rische Bewegung

Bewegung erh
lt man die beliebige ebene Bewegung durch berlagerung von Translation und Rotation. Da bei der ebenen Bewegung der Vektor e stets senkrecht zur Zeichenebene steht und seine Richtung nicht
ndert, folgt aus den Gln. (27) bis (30) mit e_ ¼ 0 und den Bezeichnungen gem
ß Bild 11 rB ðtÞ ¼ rA ðtÞ þ rAB ðtÞ,

ð31Þ

uB ¼ r_ B ¼ r_ A þ wez
rAB ¼ uA þ wrAB et ¼ uA þ uBA ,

ð32Þ

aB ¼ €rB ¼ aA  w2 rAB er þ arAB et ¼ aA þ aBA, n þ aBA, t :

ð33Þ

Die Gln. (32) und (33) sind der Eulersche Geschwindigkeitssatz und der Eulersche Beschleunigungssatz. Danach ergibt sich die Geschwindigkeit der Punkte einer eben bewegten Scheibe gem
ß Gl. (32), wenn man die Geschwindigkeit eines Punkts A und die Winkelgeschwindigkeit w der Scheibe kennt, und die Beschleunigung gem
ß Gl. (33), wenn die Beschleunigung eines Punkts A sowie die Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung a der Scheibe bekannt sind. Die Vektoren uB und aB werden h
ufig graphisch bestimmt, da die rechnerische Lsung kompliziert ist. Beispiel: Kurbeltrieb (Bild 12). Der Kolben A des Kurbeltriebs (l ¼ 500 mm; r ¼ 100 mm) hat in der skizzierten Lage ðj ¼ 35°Þ die Geschwindigkeit uA ¼ 1;2 m=s und die Beschleunigung aA ¼ 20 m=s2 . Fr diese Stellung sind zu ermitteln: der Geschwindigkeitsund Beschleunigungsvektor des Kurbelzapfens B, die Winkelgeschwindigkeiten und -beschleunigungen von Kurbel K und Schubstange S sowie der Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektor eines beliebigen Punkts C der Schubstange. – Geschwindigkeiten (Bild 12 a): Von den Vektoren der Gl. (32) sind uA nach Grße und Richtung, uB und uBA der Richtung nach ðuB ? r, uBA ? lÞ bekannt. Aus dem Geschwindigkeits-Eck folgen uB ¼ 1;4 m=s; uBA ¼ 1;2 m=s und hieraus wK ¼ uB =r ¼ 14 s1 ; wS ¼ uBA =l ¼ 2;4 s1 . Die Geschwindigkeit des Punkts C wird dann gem
ß Gl. (32) zu uC ¼ uA þ uCA , wobei uCA ¼ wS  AC ¼ uBA  AC=l ist und sich geo-

Bild 12 a, b. Kurbeltrieb. a Geschwindigkeiten; b Beschleunigungen

metrisch aus dem Strahlensatz ergibt. Beschleunigungen (Bild 12 b): Der Eulersche Beschleunigungssatz Gl. (33) nimmt, da sich B auf einer Kreisbahn bewegt, die Form aB; n þ aB; t ¼ aA þ aBA; n þ aBA; t an. Davon sind bekannt aB; n nach Grße ðaB; n ¼ rw2K ¼ 19;6 m=s2 Þ und Richtung (in Richtung von r), von aB; t die Richtung ð? rÞ; aA nach Grße und Richtung (aA ¼ 20 m=s2 gegeben), aBA; n nach Grße ðaBA; n ¼ lw2S ¼ 2;88 m=s2 Þ und Richtung (in Richtung von l), von aBA; t die Richtung ( ? l). Aus dem Beschleunigungs-Eck erh
lt man aB; t ¼ 5;3 m=s2 , aBA; t ¼ 6;5 m=s2 und damit aK ¼ aB; t =r ¼ 53 s2 , aS ¼ aBA; t =l ¼ 13 s2 . Die Beschleunigung des Punkts C ist aC ¼ aA þ aCA; n þ aCA; t , wobei aCA; n ¼ w2S  AC und aCA; t ¼ aS  AC jeweils linear mit AC wachsen, so dass auch aCA ¼ aCA; n þ aCA; t linear mit AC zunimmt und parallel zum Vektor aBA sein muss. Nach dem Strahlensatz erh
lt man aCA , und die geometrische Zusammensetzung mit aA ergibt aC .

Momentanzentrum. Es gibt stets einen Punkt, um den die ebene Bewegung momentan als reine Drehung aufgefasst werden kann (Momentanzentrum oder Geschwindigkeitspol), d. h. einen Punkt, der momentan in Ruhe ist. Man erh
lt ihn als Schnittpunkt der Normalen zweier Geschwindigkeitsrichtungen (Bild 13 a). Ist neben den zwei Geschwindigkeitsrichtungen die Grße einer Geschwindigkeit gegeben (z. B. uA ), so ist die momentane Winkelgeschwindigkeit w ¼ uA =rMA , ferner uB ¼ wrMB ¼ uA rMB =rMA und uC ¼ wrMC ¼ uA rMC =rMA usw. Graphisch erh
lt man die Grße der Geschwindigkeiten mit der Methode der „gedrehten“ Geschwindigkeiten, d. h., man dreht uA um 90° in Richtung rMA und zieht die Parallele zur Strecke AB. Die auf den Radien rMB und rMC abgeschnittenen Strecken BB0 und CC0 liefern die Grßen der Geschwindigkeiten uB und uC (Strahlensatz). Als Anwendung werden die Geschwindigkeiten des Beispiels Kurbeltrieb untersucht: Aus Bild 13 b erh
lt man bei gegebenen Richtungen von uA und uB das Momentanzentrum M zu rMA ¼ 495 mm, damit wS ¼ uA =rMA ¼ ð1;2 m=sÞ=0;495 m ¼ 2;42 s1 und mit rMB ¼ 580 mm dann uB ¼ wS rMB ¼ 1;40 m=s. Die graphische Konstruktion mittels der gedrehten Geschwindigkeiten liefert dieselben Ergebnisse.

Bild 11 a, b. Allgemeine ebene Bewegung. a Geschwindigkeiten; b Beschleunigungen

Das Momentanzentrum beschreibt bei der Bewegung bezglich eines raumfesten Koordinatensystems die Rastpolkurve (Spurkurve, Polhodie) und bezglich eines krperfesten Koordinatensystems die Gangpolkurve (Rollkurve, Herpolho-

B 22

Mechanik – 2 Kinematik

B

Bild 15 a, b. Relativbewegung. a Geschwindigkeiten; b Beschleunigungen

Bild 13 a – c. Momentanzentrum. a „Gedrehte“ Geschwindigkeiten; b Kurbeltrieb; c Polkurven

die). Bei der Bewegung rollt die Gangpolkurve auf der Rastpolkurve ab. Bild 13 c zeigt einen abrutschenden Stab. Im raumfesten Koordinatensystem lautet die Gleichung der Rastpolkurve (R) x2 þ y2 ¼ l2 und im k
rperfesten x, h-System die der Gangpolkurve (G) x2 þ h2 ¼ ðl=2Þ2 , d. h., die beiden Polbahnen sind Kreise. Beschleunigungspol. Es ist der Punkt P, der momentan keine Beschleunigung hat. Dann gilt fr andere Punkte A und B (Bild 14) aA ¼ aAP; t þ aAP; n mit aAP; t ¼ arPA und aAP; n ¼ w2 rPA sowie aAP; t =aAP; n ¼ a=w2 ¼ tan b, ferner aB ¼ aBP; t þaBP; n mit aBP; t ¼ arPB und aBP; n ¼ w2 rPB sowie aBP; t =aBP; n ¼ a=w2 ¼ tan b. Der Beschleunigungspol ist also der Schnittpunkt zweier Radien, die unter dem Winkel b zu zwei gegebenen Beschleunigungsvektoren stehen. Relativbewegung. Bewegt sich ein Punkt P mit der Relativgeschwindigkeit ur bzw. Relativbeschleunigung ar auf gegebener Bahn relativ zu einem K
rper, dessen rumliche Bewegung durch Translation des k
rperfesten Punkts O und die Rotation um diesen Punkt (s. rumliche Bewegung, Bild 9) festgelegt ist, so unterscheidet sich das Problem von dem der K
rperbewegung dadurch, dass jetzt der Vektor r1 ðtÞ nicht nur infolge Fahrzeugdrehung seine Richtung, sondern zustzlich infolge Relativbewegung seine Richtung und Gr
ße ndert. Entsprechend der Darstellung fr die rumliche K
rperbewegung gemß den Gln. (27) bis (30) gilt hier (Bild 15 a) rP ðtÞ ¼ r0 ðtÞ þ r1 ðtÞ;

ð34Þ

uðtÞ ¼ r_ P ðtÞ ¼ r_ 0 ðtÞ þ r_ 1 ðtÞ ¼ r_ 0 ðtÞ þ wðtÞe
r1 þ dr r1 =dt ¼ uF þ ur :

ð35Þ

Fhrungs- oder Fahrzeuggeschwindigkeit. Gleichung (35) enthlt die Regel: Die Ableitung r_ 1 einen Vektors im k
rperfesten System nach der Zeit enthlt den Anteil we
r1 von der Drehung des Systems und die sogenannte relative Ableitung im System selbst. Entsprechend ergibt sich fr die Beschleunigung (Bild 15 b) d d ðwe
r1 Þ þ ur dt dt _ þ w_eÞ
r1  þ we
r_ 1 þ u_ r : ¼ €r0 þ ½ðwe

_ ¼ u_ F þ u_ r ¼ €r0 þ aðtÞ ¼ uðtÞ

Mit r_ 1 aus Gl. (35) und u_ r ¼ we
ur þ dr ur =dt ¼ we
ur þ dr2 r1 =dt2 ¼ we
ur þ ar folgt _ þ w_eÞ
r1  þ we
ðwe
r1 Þ aðtÞ ¼€r0 þ ½ðwe þ dr2 r1 =dt2 þ 2we
ur ¼ aF þ ar þ aC :

ð36Þ

Die ersten drei Glieder dieser Gleichung stimmen mit denen der rumlichen Bewegung des starren K
rpers gemß Gl. (30) berein, stellen also die Fhrungs- oder Fahrzeugbeschleunigung aF dar. Das vierte Glied ist die Relativbeschleunigung ar , und das letzte Glied ist die sogenannte Coriolisbeschleunigung aC , die sich infolge Relativbewegung zustzlich ergibt. Sie wird zu null, wenn w=0 ist (d. h., wenn das Fahrzeug eine reine Translation ausfhrt) oder e und ur parallel zueinander sind (Relativgeschwindigkeit in Richtung der momentanen Drehachse) oder wenn ur ¼ 0 ist. Sie hat die Gr
ße aC ¼ 2wur sin b, wobei b der Winkel zwischen w und ur ist, und sie steht im Sinne einer Rechtsschraube senkrecht zu den Vektoren e und ur . Bei der ebenen Bewegung (Bewegung eines Punkts auf einer ebenen Scheibe) stehen die Vektoren e und ur senkrecht zueinander, d. h., sin b ¼ 1 und somit aC ¼ 2wur . Im brigen gelten auch hier u ¼ uF þ ur und a ¼ aF þ ar þ aC ;

ð37Þ

wobei dann alle Vektoren in der Scheibenebene liegen.

Hierbei ist dr r1 =dt ¼ ur die Relativgeschwindigkeit des Punkts gegenber dem Fahrzeug und r_ 0 þ we
r1 ¼ uF die

Beispiel: Bewegung im rotierenden Rohr (Bild 16). In einem Rohr, das sich nach dem (beliebig) vorgegebenen j(t)-Gesetz dreht, bewegt sich relativ ein Massenpunkt nach dem ebenfalls gegebenen WegZeit-Gesetz sr ðtÞ nach außen. Fr einen beliebigen Zeitpunkt t sind Absolutgeschwindigkeit und -beschleunigung des Massenpunkts zu ermitteln. – Aus sr ðtÞ erhlt man fr Relativgeschwindigkeit und -beschleunigung ur ðtÞ ¼ s_ r und ar ðtÞ ¼ €sr , whrend die Fhrungsbewe-

Bild 14. Beschleunigungspol

Bild 16. Bewegung im rotierenden Rohr

I2.2

Bewegung starrer Krper

B 23

B

Bild 17. Umlaufgetriebe

gung mit uF ðtÞ ¼ sr ðtÞwðtÞ sowie aFt ðtÞ ¼ sr ðtÞaðtÞ, aFn ðtÞ ¼ € beschrieben wird. Die Coriolissr ðtÞw2 ðtÞ mit wðtÞ ¼ j_ und aðtÞ ¼ j beschleunigung wird dann aC ¼ 2wðtÞur ðtÞ mit der Richtung senkrecht ur . Absolutgeschwindigkeit und -beschleunigung werden gem
ß Gl. (37) durch geometrische Zusammensetzung erhalten (Bild 16). Beispiel: Umlaufgetriebe (Bild 17). Die mit der Winkelgeschwindigkeit w1 rotierende Kurbel fhrt das Planetenrad, das sich mit w2;1 gegenber der Kurbel dreht, auf dem feststehenden Sonnenrad. – Nach Gl. (37) wird uP ¼ uF þ ur mit der Grße uP ¼ w1 ðl þ rÞ þ w2;1 r und entsprechend uP0 ¼ w1 ðl
rÞ
w2;1 r. Da das Sonnenrad feststeht, ist uP0 ¼ 0, woraus

Bild 18 a, b. Rotation zweier Scheiben. a Geschwindigkeiten; b Beschleunigungen

w2;1 ¼ w1 ðl
rÞ=r und uP ¼ w1 ðl þ rÞ þ w1 ðl
rÞ ¼ 2w1 l folgen. Die Bewegung des Planetenrads l
sst sich deuten als eine Drehung mit w2 ¼ w1 þ w2;1 ¼ w1 l=r um sein Momentanzentrum P0 (Berhrungspunkt von Planeten- mit Sonnenrad), woraus ebenfalls uP ¼ w2 2r ¼ 2w1 l folgt. Hieraus ergibt sich allgemein, dass die Resultierende zweier Winkelgeschwindigkeiten w1 und w2 um parallele Achsen im Abstand L so wie bei zwei Kr
ften (Hebelgesetz) gefunden wird, n
mlich zu wres ¼ w1 þ w2 im Abstand l1 ¼ Lw2 =ðw1 þ w2 Þ von der Achse von w1 . Beispiel: Rotation zweier Scheiben um parallele Achsen (Bild 18). Ein um das feste Lager B rotierender Stab hat die Winkelgeschwindigkeit w1 und die Winkelbeschleunigung a1 . In seinem Punkt O ist eine Scheibe gelagert, die sich im selben Moment ihm gegenber mit w2;1 > w1 und a2;1 dreht. Gesucht sind die momentanen Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektoren eines beliebigen Punkts P. – Fr Punkt A ist nach Gl. (37) uA ¼ uA; F þ uA; r mit uA; r ¼ w2;1  OA und uA; F ¼ w1  BA ¼ w1  BO þ w1  OA ¼ u0 þ w1  OA; so dass uA ¼ uA; F
uA; r ¼ u0
ðw2;1
w1 Þ  OA wird. Mit w2;1
w1 ¼ w2 sowie u0 =w2 ¼ l2 ¼ OM wird uA ¼ w2 ðOM
OAÞ ¼ w2 MA; d. h. eine reine Drehgeschwindigkeit um das Momentanzentrum M (Bild 18 a). Da u0 ¼ r0 w1 und somit l2 ¼ r0 w1 =ðw2;1
w1 Þ gilt, ist das eine Best
tigung des Satzes ber die Zusammensetzung von Winkelgeschwindigkeiten fr parallele Achsen, wobei im Fall gegenl
ufiger Drehungen fr wres die Differenz der beiden Winkelgeschwindigkeiten anzusetzen ist und ihre Achse außerhalb der beiden gegebenen Achsen liegt. Sind beide Winkelgeschwindigkeiten entgegengesetzt gleich groß, wird wres ¼ 0, die Scheibe fhrt eine reine Translation (hier mit u0 ) aus. Fr den beliebigen Punkt P gilt nach Gl. (37) uP ¼ uP; F þ uP; r , wobei gem
ß Gl. (35)

Beispiel: Drehung um zwei einander schneidende Achsen (Bild 19). Eine abgewinkelte Achse rotiert mit w1 und fhrt ein Kegelrad, das sich mit w2;1 relativ zu dieser Achse dreht und auf einem festen Kegel abrollt. Nach Gl. (35) ist dann uP ¼ uF þ ur ¼ ðu0 þ w1  r1 Þ þ w2;1  r1 ¼ ðw1  r0 þ w1  r1 Þ þ w2;1  r1 mit dem Betrag uP ¼ w1 r0 sin b þ w1 r1 sinð90°
bÞ þ w2;1 r1 ¼ w1 r0 sin b þ w1 r1 cos b þ w2;1 r1 und entsprechend uP0 ¼ w1 r0 sin b
w1 r1 cos b
w2;1 r1 : Aus uP0 ¼ 0 folgt mit cot g ¼ r0 =r1 der Zusammenhang zwischen den Winkelgeschwindigkeiten (Zwanglauf) w2;1 ¼ w1 ðcot g sin b
cos bÞ ¼ w1 sinðb
gÞ= sin g: Das bedeutet, dass man die Winkelgeschwindigkeiten w1 und w2;1 zu einer Resultierenden w2 gem
ß w2 ¼ w1 þ w2;1 zusammensetzen darf (Bild 19), denn der Sinussatz fr das Vektoreneck liefert das vorstehende Ergebnis. Die Bewegung des Kegelrads kann also als reine Drehung mit w2 um die Berhrungslinie als Momentanachse beschrieben werden. Zwei Winkelgeschwindigkeiten w1 und w2 um zwei einander schneidende Achsen ergeben allgemein eine Resultierende wres ¼ w1 þ w2 . Beispiel: Umlaufende Kurbelschleife (Bild 20). Die Kurbel (r ¼ 150 mm) dreht sich mit wK ¼ 4 s
1 ¼ const. Fr die Stellung

uP; F ¼ r_ 0 þ w1  r1 ¼ u0 þ w1  r1 bzw. auch uP; F ¼ w  ðr0 þ r1 Þ ¼ w  rP und uP;r ¼ dr r1 =dt ¼ w2;1  r1 sind. Dieses Ergebnis ergibt sich auch aus der reinen Drehung um M zu juP j ¼ w2  MP, wobei uP ? MP ist (Bild 18 a). Die Beschleunigung von Punkt P folgt aus Gln. (37) bzw. (36) aP ¼ aP; F þ aP; r þ aP; C . Dabei ist aP; F ¼ aP; Fn þ aP; Ft mit aP; Fn ¼ w21 rP und aP; Ft ¼ a1 rP ; aP; r ¼ aP; rn þ aP; rt mit aP; rn ¼ w22;1 r1 und aP; rt ¼ a2;1 r1 sowie aP; C ¼ 2w1  uP; r mit dem Betrag aP; C ¼ 2w1 vP; r ¼ 2w1 w2;1 r1 . Die geometrische Zusammensetzung liefert dann aP (Bild 18 b).

Bild 19. Kegelrad

B 24

B

Mechanik – 3 Kinetik

j ¼ 75
sind Winkelgeschwindigkeit wS und -beschleunigung aS der Schleife zu ermitteln. – Der Kulissenstein P f
hrt gegen
ber der Schleife eine Relativbewegung aus. Seine Absolutbewegung ist durch die Kurbelbewegung gegeben: u ¼ wK r ¼ 0;60 m=s, a ¼ an ¼ w2K r ¼ 2;40 m=s2 , da wegen wK ¼ const, also aK ¼ 0, at ¼ aK r ¼ 0 ist. Da die Relativbewegung geradlinig ist, haben Relativgeschwindigkeit ur und -beschleunigung ar die Richtung der Relativbahn, also die der Schleife. Gemß Gl. (37) u ¼ uF þ ur folgt mit bekanntem Vektor u und den bekannten Richtungen von uF ( ? Schleife) und ur (// Schleife) aus dem Geschwindigkeits-Eck (Bild 20) ur ¼ 0;29 m=s und uF ¼ 0;52 m=s. Mit lðj ¼ 75
Þ
460 mm wird die Winkelgeschwindigkeit der Schleife wS ¼ uF =l ¼ 1;13 s1 und somit aFn ¼ lw2S ¼ 0;59 m=s2 (Richtung k Schleife). Die Coriolisbeschleunigung aC ¼ 2wS ur ¼ 0;66 m=s2 steht senkrecht auf der Schleife, so dass bei bekanntem Vektor a und den bekannten Richtungen von aFt ( ? Schleife) und ar (k Schleife) gemß Gl. (37) a ¼ aFn þ aFt þ ar þ aC aus dem Beschleunigungs-Eck (Bild 20) ar ¼ 1;45 m=s2 und aFt ¼ 0;50 m=s2 zu erhalten ist, woraus dann aS ¼ aFt =l ¼ 1;09 s2 folgt.

3 Kinetik

Bild 20. Umlaufende Kurbelschleife

so folgt

Die Kinetik untersucht die Bewegung von Massenpunkten, Massenpunktsystemen, Krpern und Krpersystemen als Folge der auf sie wirkenden Krfte und Momente unter Ber
cksichtigung der Gesetze der Kinematik.

W ¼

Arbeit. Das Arbeitsdifferential ist definiert als Skalarprodukt aus Kraftvektor und Vektor des Wegelements (Bild 1 a). dW ¼ Fdr ¼ Fds cos b ¼ Ft ds. Demnach verrichtet nur die Tangentialkomponente einer Kraft Arbeit. Die Gesamtarbeit ergibt sich mit dW ¼ Fx dx þ Fy dy þ Fz dz zu

W¼

Zs2 s1

FðsÞdr ¼

Zs2

Ft ðsÞds ¼

s1

ZðP2 Þ

 ¶U ¶U ¶U dx þ dy þ dz ¶x ¶y ¶z

ðP1 Þ

¼

3.1 Energetische Grundbegriffe – Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad

ZðP2 Þ


ZðP2 Þ

ð2Þ dU ¼ U1  U2 :

ðP1 Þ

Die Arbeit ist dann vom Integrationsweg unabhngig und gleich der Differenz der Potentiale zwischen Anfangspunkt P1 und Endpunkt P2 . Krfte mit Potential sind Schwerkrfte und Federkrfte (elastische Formnderungskrfte). Spezielle Arbeiten (Bild 2 a–d) a) Schwerkraft. Potential (potentielle Energie) U ¼ FG z, Arbeit WG ¼ U1  U2 ¼ FG ðz1  z2 Þ:

ðFx dx þ Fy dy þ Fz dzÞ: ð1Þ

ðP1 Þ

ð3Þ

b) Federkraft. Potential (potentielle Federenergie) U ¼ bzw. cs2 =2, Federkraft Fc ¼  gradU ¼  ¶U ¶s e ¼ cse

Sie ist gleich dem Inhalt des Tangentialkraft-Weg-Diagramms (Bild 1 b). F
r F ¼ F0 ¼ const folgt W ¼ F0 ðs2  s1 Þ. Haben Krfte ein Potential, d. h., ist F ¼  grad U ¼ 

¶U ¶U ¶U ex  ey  ez ; ¶x ¶y ¶z

Bild 1. a Arbeit einer Kraft; b Tangentialkraft-Weg-Diagramm

Bild 2 a – d. Arbeiten. a Schwerkraft; b Federkraft; c Reibungskraft; d Drehmoment

I3.2

Kinetik des Massenpunkts und des translatorisch bewegten Krpers

jFc j ¼ F ¼ cs (c Federrate), Arbeit Wc ¼

Zs2

cs ds ¼ cðs22
s21 Þ=2:

ð4Þ

s1

c) Reibungskraft. Kein Potential, da Reibungsarbeit in Form von W
rme verlorengeht. Arbeit Wr ¼

Zs2

Fr ðsÞ dr ¼

s1

¼


Zs2

ð5Þ

Fr ðsÞ ds:

Fr Fr ¼ const ¼ Fr0 wird Wr ¼
Fr0 ðs2
s1 Þ. d) Drehmoment. Arbeit WM ¼

Zj2

MðjÞdj ¼

j1

MðjÞ cos g dj j1

Zj2

¼

ð6Þ

Mt ðjÞdj;

j1

d. h., nur die zur Drehachse parallele Momentkomponente Mt verrichtet Arbeit. Fr M ¼ const ¼ M0 gilt WM ¼ M0 cos gðj2
j1 Þ ¼ Mt0 ðj2
j1 Þ: Gesamtarbeit. Wirken an einem Krper Kr
fte und Momente, so gilt Zs2 X Zj2 X ð Fi dri Þ þ ð M i dji Þ

W¼

j1

s1

Zs2 X Zj2 X ¼ ð Fi cos bi dsi Þ þ ð Mi cos gi dji Þ

ð7Þ

j1

s1

Zs2 X Zj2 X ð Fti dsi Þ þ ð Mti dji Þ

¼

Sind mehrere Teile am Prozess beteiligt, so gilt h ¼ h1 h2 h3 . . .

3.2 Kinetik des Massenpunkts und des translatorisch bewegten K
rpers 3.2.1 Dynamisches Grundgesetz von Newton (2. Newtonsches Axiom)

s1

Zj2

hm mittlerer Wirkungsgrad (Arbeit ist mit der Zeit ver
nderlich). Augenblicklicher Wirkungsgrad
dWn dWn dWz ¼ Pn =Pz ¼ Pn =ðPn þ Pv Þ: ¼ ð11Þ h¼ dWz dt dt

Fr ðsÞ cos 180°ds

s1

Zs2

B 25

Wirken auf einen freigemachten Massenpunkt (Massenelement, translatorisch bewegten Krper) eine Anzahl
ußerer Kr
fte, so ist die resultierende Kraft FR gleich der zeitlichen nderung des Impulsvektors p ¼ mu bzw., wenn die Masse m konstant ist, gleich dem Produkt aus Masse m und Beschleunigungsvektor a (Bild 3 a): X d ðaÞ ðaÞ ð12Þ Fi ¼ ðmuÞ; FRes ¼ FR ¼ dt X ðaÞ ð13Þ FR ¼ Fi ¼ ma ¼ m du=dt: Die Komponenten in natrlichen bzw. kartesischen Koordinaten (Bild 3 b, c) sind X X 9 ðaÞ ðaÞ FRt ¼ Fit ¼ mat , FRn ¼ Fin ¼ man bzw: > > = X X ðaÞ ðaÞ ð14Þ FRx ¼ Fix ¼ max , FRy ¼ Fiy ¼ may , > X > ; ðaÞ FRz ¼ Fiz ¼ maz : Bei der Lsung von Aufgaben mit dem Newtonschen Grundgesetz muss der Massenpunkt bzw. translatorisch bewegte Krper freigemacht werden, d. h., alle eingepr
gten Kr
fte und alle Reaktionskr
fte sind als
ußere Kr
fte anzubringen. Beispiel: Massenpunkt auf schiefer Ebene (Bild 3 d). Die Masse m ¼ 2;5 kg wird aus der Ruhelage 1 von der Kraft F1 ¼ 50 N

j1

s1

const = Fi0 und MiX = const= Mi0 bzw. fr Fi = X Arbeit W ¼ ½Fi0 ðsi2
si1 Þ þ ½Mi0 ðji2
ji1 Þ. Leistung ist Arbeit pro Zeiteinheit. X X M i wi PðtÞ ¼ dW=dt ¼ Fi ui þ X X ¼ Fti ui þ Mti wi X ¼ ðFxi uxi þ Fyi uyi þ Fzi uzi Þ X þ ðMxi wxi þ Myi wyi þ Mzi wzi Þ:

ð8Þ

Also ist fr eine Kraft P ¼ Ft u und fr ein Moment P ¼ Mw. Integration ber die Zeit ergibt die Arbeit W¼

Zt2 t1

dW ¼

Zt2

PðtÞ dt ¼ Pm ðt2
t1 Þ:

t1

Mittlere Leistung: Pm ¼

Zt2

PðtÞ dt=ðt2
t1 Þ ¼ W=ðt2
t1 Þ:

ð9Þ

t1

Wirkungsgrad ist das Verh
ltnis von Nutzarbeit zu zugefhrter Arbeit, wobei letztere aus Nutz- und Verlustarbeit besteht: hm ¼ Wn =Wz ¼ Wn =ðWn þ Wv Þ

ð10Þ

Bild 3 a – d. Dynamisches Grundgesetz. a Vektoriell; b in natrlichen Koordinaten; c in kartesischen Koordinaten; d Massenpunkt auf schiefer Ebene

B

B 26

B

Mechanik – 3 Kinetik

ðg ¼ 15
Þ die schiefe Ebene ðb ¼ 25
Þ hinaufbewegt (Gleitreibungszahl m ¼ 0;3Þ. Zu bestimmen sind Beschleunigung, Zeit und Geschwindigkeit beim Erreichen der Lage 2 ðs2 ¼ 4 mÞ. – Da die Bewegung geradlinig ist, muss an ¼ 0 sein. Nach Gl. (14) gilt X ðaÞ Fin ¼ 0; also FRn ¼ Fn ¼ m g cos b þ F1 sinðb þ gÞ ¼ 54;37 N sowie ðaÞ

mat ¼ FRt ¼

X

Bild 4. Zum Prinzip von dAlembert Fit ¼ F1 cosðb þ gÞ
FG sin b
Fr ;

woraus mit Fr ¼ mFn ¼ 16;31 N at ¼ 4;65 m=s2 folgen.

dann

mat ¼ 11;63 N

und

somit keine Arbeit verrichten, gilt

Mit den Gesetzen der gleichm
ßig beschleunigten Bewegung aus der Ruhelage (s. B 2.1.1) ergeben sich pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi t2 ¼ 2s2 =at ¼ 1;31 s und u2 ¼ 2at s2 ¼ 6;10 m=s:

bzw. in kartesischen Koordinaten

3.2.2 Arbeits- und Energiesatz Aus Gl. (13) folgt nach Multiplikation mit dr und Integration der Arbeitssatz W1; 2 ¼

Zðr2 Þ

FR dr ¼

ðr1 Þ

¼

Zðr2 Þ m

du dr ¼ dt

ðr 1 Þ

Zu2 mu du u1

ð15Þ

m 2 m 2 u
u ¼ E2
E1 ; 2 2 2 1

d. h., die Arbeit ist gleich der Differenz der kinetischen Energien. Haben alle am Vorgang beteiligten Kr
fte ein Potential, verl
uft der Vorgang also ohne Energieverluste, so gilt W1; 2 ¼ U1
U2 (s. B 3.1), und aus Gl. (15) folgt der Energiesatz U1 þ E1 ¼ U2 þ E2 ¼ const:

ð16Þ

Beispiel: Massenpunkt auf schiefer Ebene (Bild 3 d). Fr das Beispiel in B 3.2.1 ist die Geschwindigkeit u2 nach dem Arbeitssatz zu ermitteln. – Mit u1 ¼ 0, d. h. E1 ¼ 0, wird mu22 =2 ¼ W1; 2 ¼ F1 cosðb þ gÞs2
Fr s2
FG h ¼ 46;51 Nm:

dW ¼ ðFe þ Fr
maÞdr ¼ 0

dW ¼ðFex þ Frx
max Þdx þ ðFey þ Fry
may Þdy þ ðFez þ Frz
maz Þdz ¼ 0

ð19Þ

ð20Þ

bzw. in natrlichen Koordinaten dW ¼ ðFet
Fr
mat Þds ¼ 0

ð21Þ

(entsprechend in Zylinderkoordinaten usw.; s. folgendes Beispiel). Die Gln. (19) bis (21) stellen das dAlembertsche Prinzip in der Lagrangeschen Fassung dar. Das Prinzip eignet sich besonders fr Aufgaben ohne Reibung, da es die Berechnung der Zwangskr
fte erspart. Beispiel: Massenpunkt auf Schraubenlinie (s. B 2 Bild 7). Die Masse m bewege sich reibungsfrei infolge ihrer Gewichtskraft eine zylindrische Schraubenlinie hinunter, die durch Zylinderkoordinaten r0 ðtÞ ¼ r0 ¼ const; jðtÞ und zðtÞ ¼ ðh=2pÞjðtÞ beschrieben ist (s. B 2.1.3). – Aus rðtÞ ¼ r0 er þ 0  ej þ zðtÞez folgt dr ¼ r0 dj ej þ dzez : € r0 ej þ j € ðh=2pÞez Mit Fe ¼ FG ¼
mgez sowie aðtÞ ¼
j_ 2 r0 er þ j gem
ß B 2.1.3 wird nach Gl. (19) € dj
m€ jðh=2pÞdz ¼ 0 dW ¼ ðFe
maÞdr ¼
mg dz
mr02 j und mit dz ¼ ðh=2pÞdj

Somit ist pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi u2 ¼ 2  46;51 Nm=2;5 kg ¼ 6;10 m=s:

€ þ h2 =ð2pÞ2  j € ¼ 0; m dj½gh=2p þ r02 j gh=ð2pr02 Þ ¼ const ¼
A folgt. Die Integration er1 þ h2 =ð2pr0 Þ2 _ ¼
At þ C1 und jðtÞ ¼
At2 =2 þ C1 t þ C2 , wobei die Integibt jðtÞ grationskonstanten aus Anfangsbedingungen zu ermitteln sind. Die Gln. in B 2.1.3 liefern dann mit b ¼ arctan½h=ð2pr0 Þ die Bewegungsgesetze des Massenpunkts: €¼
woraus j

3.2.3 Impulssatz Aus Gl. (13) folgt nach Multiplikation mit dt und Integration fr konstante Masse m p1;2 ¼

Zt2 t1

FR dt ¼

Zu2

sðtÞ ¼ r0 ð
At2 =2 þ C1 t þ C2 Þ= cos b; uðtÞ ¼ r0 ð
At þ C1 Þ= cos b;

m du ¼ mu2
mu1 ¼ p2
p1 :

ð17Þ

u1

also eine gleichm
ßig beschleunigte (rckl
ufige) Bewegung.

Das Zeitintegral der Kraft, der sog. Antrieb, ist also gleich der Differenz der Impulse. 3.2.4 Prinzip von d
Alembert und gefhrte Bewegungen Aus dem Newtonschen Grundgesetz folgt fr den Massenpunkt FR
ma ¼ 0, d. h.,
ußere Kr
fte und Tr
gheitskraft (negative Massenbeschleunigung, dAlembertsche Hilfskraft) bilden einen „Gleichgewichtszustand“. Im Fall der gefhrten Bewegung setzt sich die Resultierende FR aus den eingepr
gten Kr
ften Fe , den Zwangskr
ften Fz und den Reibungskr
ften Fr zusammen: Fe þ Fz þ Fr
ma ¼ 0:

an ðtÞ ¼ r0 ð
At þ C1 Þ2 ; at ðtÞ ¼
r0 A= cos b ¼ const;

ð18Þ

Wird auf dieses „Gleichgewichtssystem“ das Prinzip der virtuellen Arbeiten (s. B 1.4.3) angewendet, so folgt (Bild 4) dW ¼ ðFe þ Fz þ Fr
maÞdr ¼ 0: Hierbei ist dr eine mit der Fhrung geometrisch vertr
gliche Verrckung tangential zur Bahn. Da die Fhrungskr
fte Fz normal zur Bahn stehen und

3.2.5 Impulsmomenten- (Flchen-) und Drehimpulssatz Nach vektorieller Multiplikation mit einem Radiusvektor r folgt aus Gl. (13) r  FR ¼ M R ¼ r  ma: Wegen u  mu ¼ 0 gilt MR ¼

d dD ðr  muÞ ¼ dt dt

ð22Þ

Impulsmomentensatz: Die zeitliche nderung des Impulsmoments D ¼ r  mu (auch Drehimpuls oder Drall genannt) ist gleich dem resultierenden Moment. Nun ist r  mu ¼ mðr  dr=dtÞ und r  dr ¼ 2dA ein Vektor, dessen Betrag gleich ist dem doppelten Fl
cheninhalt der vom Vektor r berstrichenen Fl
che (Bild 5). Damit nimmt Gl. (22) die Form an   d dA d2 A MR ¼ ð23Þ 2m ¼ 2m 2 dt dt dt

I3.3

B 27

Kinetik des Massenpunktsystems

3.3.1 Schwerpunktsatz Das Newtonsche Grundgesetz fr freigemachte Massenpunkte und die Summation ber den gesamten Verband liefert n X

ðaÞ

FRi þ

i¼1

Fl
chensatz: Das resultierende Moment ist gleich dem Produkt aus doppelter Masse und der Ableitung der Fl
chengeschwindigkeit dA=dt. Ist FR eine Zentralkraft, d. h. stets in Richtung von r gerichtet, so wird M R ¼ r
FR ¼ 0 und damit nach Gl. (23) dA=dt ¼ const, d. h., die Fl
chengeschwindigkeit ist konstant, der Radiusvektor berstreicht in gleichen Zeiten gleiche Fl
chen (2. Keplersches Gesetz). Aus Gl. (22) folgt M R dt ¼

t1

Zt2 t1

dðr
muÞ ¼

Zt2

dD ¼ D2  D1

ð24Þ

t1

Drehimpulssatz: Das Zeitintegral ber das Moment ist gleich der Differenz der Drehimpulse. Ist M R ¼ 0, so gilt D1 ¼ D2 ¼ const:

n X

Ein Massenpunktsystem ist ein aufgrund innerer Kr
fte (z. B. Massenanziehung, Federkr
fte, Stabkr
fte) zusammengehaltener Verband von n Massenpunkten (Bild 6 a). Fr die inneren Kr
fte gilt das 3. Newtonsche Axiom von actio ¼ reactio, ðiÞ

ð25Þ

mi ai :

i¼1

X

ðiÞ

Fik ¼ 0 und nach B 1 Gl. (25)

ðaÞ

FRi ¼ maS

ð26Þ

i¼1

Schwerpunktsatz: Der Massenmittelpunkt (Schwerpunkt) eines Massenpunktsystems bewegt sich so, als ob die Gesamtmasse in ihm vereinigt w
re und alle
ußeren Kr
fte an ihm angreifen wrden.

3.3.2 Arbeits- und Energiesatz Aus Gl. (25) folgt nach Multiplikation mit dri (differentiell kleiner Verschiebungsvektor des i-ten Massenpunkts) und nach Integration zwischen zwei Zeitpunkten 1 und 2 ð2Þ

XZ

3.3 Kinetik des Massenpunktsystems

ðiÞ

ðiÞ

Fik ¼

i; k¼1

ð2Þ

ðaÞ

FRi dri þ

ð1Þ

d. h. Fik ¼ Fki .

n X

Da fr die inneren Kr
fte X €rS m ¼ mi€ri ist, folgt

Bild 5. Impulsmomentensatz (Fl
chensatz)

Zt2

n X

ðaÞ

ðiÞ

W1;2 þ W1;2 ¼

XZ

X

ð2Þ

ðiÞ

Fik dri ¼

XZ

ð1Þ

ð1Þ

mi ui dui bzw: ð27Þ

ðmi =2Þðu2i2  u2i1 Þ

Arbeitssatz: Die Arbeit der
ußeren und inneren Kr
fte am Massenpunktsystem (wobei die der Zwangskr
fte wieder null ist) ist gleich der Differenz der kinetischen Energien. Die inneren Kr
fte verrichten bei starren Verbindungen der Massenpunkte keine Arbeit. Haben alle beteiligten Kr
fte ein Potential, so gilt der Energiesatz Gl. (16). Beispiel: Punktmassen auf schiefen Ebenen (Bild 6 b). Die beiden ber ein nichtdehnbares Seil verbundenen Massen werden aus der Ruhelage von der Kraft F die schiefen Ebenen entlang gezogen. Gesucht sind ihre Geschwindigkeiten nach Zurcklegen einer Strecke s1 . – Nach dem Freimachen ergeben sich die Normaldruckkr
fte (Zwangskr
fte) zu Fn2 ¼ FG2 cos b2 und Fn1 ¼ FG1 cos b1  F sin b1 , wobei als Voraussetzung des Nichtabhebens F % FG1 cot b1 sein muss. Damit sind die Reibungskr
fte Fr2 ¼ m2 Fn2 und Fr1 ¼ m1 Fn1 : Der Arbeitssatz Gl. (27) liefert F cos b1 s1 þ FG1 h1  Fr1 s1  FS s1 þ FS s2  FG2 h2  Fr2 s2 ¼ m1 u21 =2 þ m2 u22 =2; und mit s2 ¼ s1 ; u2 ¼ u1 (nichtdehnbares h1 ¼ s1 sin b1 und h2 ¼ s2 sin b2 ist dann

Seil!)

sowie mit

u21 ¼2s1 ½F cos b1 þ FG1 sin b1  m1 ðFG1 cos b1  F sin b1 Þ  FG2 sin b2  m2 FG2 cos b2 =ðm1 þ m2 Þ:

3.3.3 Impulssatz Aus Gl. (25) folgt nach Multiplikation mit dt und Integration XZ

t2

t

¼

1 X

XZ

XZ

t2

ðaÞ

FRi dt þ

XZ

t2

ðiÞ

Fik dt ¼

t1

mi

dui dt dt

t1

mi ðui2  ui1 Þ ¼ p2  p1 :

t2

Da

t1

Bild 6 a, b. Massenpunktsystem. a Allgemein; b zwei Massen

ðiÞ

Fik dt ¼ 0 und nach B 1 Gl. (25) muS ¼

ergibt sich

X

mi ui ist,

B

B 28

Mechanik – 3 Kinetik

XZ

t2

p2
p1 ¼

B

ðaÞ

FRi dt ¼

X

mi ðui2
ui1 Þ ¼ mðuS2
uS1 Þ ð28Þ

t1

Impulssatz: Das Zeitintegral
ber die ußeren Krfte des Systems ist gleich der Differenz aller Impulse bzw. gleich der Differenz der Schwerpunktimpulse. – Sind keine ußeren Krfte vorhanden, so folgt aus Gl. (28) X X mi ui2 ¼ const bzw: mi ui1 ¼ ð29Þ muS1 ¼ muS2 ¼ const; d. h., der Gesamtimpuls bleibt erhalten. Beispiel: Massenpunktsystem und Impulssatz (Bild 7). Eine Feder (Federrate c), die um den Betrag s1 vorgespannt war, schleudert die Massen m1 und m2 auseinander. Zu ermitteln sind deren Geschwindigkeiten. – Unter Vernachlssigung von Reibungskrften whrend des Entspannungsvorgangs der Feder wirken am System keine ußeren Krfte in Bewegungsrichtung, so dass mit u11 ¼ 0 und u21 ¼ 0 aus Gl. (29) m1 u12
m2 u22 ¼ 0; also m1 u12 ¼ m2 u22 ; folgt. Hiermit liefert der Energiesatz, Gl. (16), cs21 =2 ¼ þm1 u212 =2 þ m2 u222 =2 dann qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi u12 ¼ cs21 =ðm1 þ m21 =m2 Þ und u22 ¼ cs21 =ðm2 þ m22 =m1 Þ:

3.3.4 Prinzip von d
Alembert und gefhrte Bewegungen X ðaÞ X X ðiÞ Aus Gl. (25) folgt FRi þ ð
mi ai Þ ¼
Fik : WeX ðiÞ gen Fik ¼ 0 sind die verlorenen Krfte, das ist die Gesamtheit der ußeren Krfte zuz
glich der Trgheitskrfte (negative Massenbeschleunigungen), am Massenpunktsystem im Gleichgewicht: X X ðaÞ mi ai Þ ¼ 0: ð30Þ FRi þ ð
Das Prinzip eignet sich in dieser Fassung besonders zur Berechnung der Schnittlasten dynamisch beanspruchter Systeme, wobei man die Schnittlasten als ußere Krfte einf
hrt. Im Fall gef
hrter Bewegungen setzt sich die Resultierende der ußeren Krfte an den einzelnen Massenpunkten aus den ðeÞ

eingeprgten Krften Fi ; den F
hrungs- oder Zwangskrften ðzÞ

ðrÞ

Fi und den Reibungskrften Fi zusammen. F
r starre Systeme erhlt man mit dem Gleichgewichtsprinzip der virtuellen Arbeiten (s. B 1.4.3), indem man jedem Massenpunkt eine mit den geometrischen Bindungen vertrgliche Verr
ckung dri erteilt, dann aus Gl. (30) X ðeÞ ðzÞ ðrÞ ½FRi þ FRi þ FRi þ ð
mi ai Þdri ¼ 0: Da die Zwangskrfte bei Verr
ckungen keine Arbeit verrichten, folgt das dAlembertsche Prinzip in Lagrangescher Fassung: X ðeÞ ðrÞ ð31Þ ½FRi þ FRi þ ð
mi ai Þdri ¼ 0: In kartesischen bzw. nat
rlichen Koordinaten lautet Gl. (31) entsprechend den Gln. (20) und (21) f
r den Massenpunkt. Dieses Prinzip ist besonders zur Berechnung des Beschleunigungszustands von gef
hrten Bewegungen ohne Reibung geeignet, da es die Berechnung der Zwangskrfte erspart. Beispiel: Physikalisches Pendel (Bild 8). – F
r das aus zwei punktfrmigen Massen m1 und m2 an „masselosen“ Stangen (gegeben r1 ; r2 ; h und somit b ¼ arc sinðh=r2 ÞÞ bestehende Pendel wird die

Bild 7. Zum Impuls- und Energiesatz

Bild 8. Physikalisches Pendel

Schwingungsdifferentialgleichung aufgestellt. Bei fehlenden Reibungskrften nimmt das dAlembertsche Prinzip in Lagrangescher Fassung in nat
rlichen Koordinaten analog Gl. (21) die Form X ðeÞ dW ¼ ðFti
mi ati Þdsi ¼ 0 an; damit wird dW ¼ð
FG1 sin j
m1 at1 Þds1 þ ð
FG2 sinðb þ jÞ
m2 at2 Þds2 ¼ 0: € , at2 ¼ r2 j € erh
lt man Mit ds1 ¼ r1 dj, ds2 ¼ r2 dj sowie at1 ¼ r1 j €Þ þ m2 ðgr2 sinðb þ jÞ þ r22 j €Þdj ¼ 0; woraus die ½m1 ðgr1 sin j þ r12 j nichtlineare Differentialgleichung dieser Pendelschwingung folgt: € ðm1 r12 þ m2 r22 Þ þ m1 gr1 sin j þ m2 gr2 sinðj þ bÞ ¼ 0: Fr kleine j Auslenkungen j nimmt sie wegen sin j  j und sinðj þ bÞ  €ðm1 r12 þ m2 r22 Þ þ jðm1 gr1 þ j cos b þ sin b die Form j m2 gr2 cos bÞ ¼
m2 gr2 sin b an, deren Lsung in B 4 beschrieben wird.

3.3.5 Impulsmomenten- und Drehimpulssatz ðaÞ

ðiÞ

Aus dem Newtonschen Grundgesetz FRi þ Fik ¼ mi ai folgt nach vektorieller Multiplikation mit einem Radiusvektor ri und Summation
ber das gesamte Massenpunktsystem X X X ðaÞ ðiÞ ðri  Fik Þ ¼ ðri  mi ai Þ: ðri  FRi Þ þ Hieraus folgt analog der Ableitung von Gl. (22) X dX dD ðaÞ ðaÞ ðri  FRi Þ ¼ MR ¼ ðri  mi ui Þ ¼ dt dt

ð32Þ

Impulsmomenten- oder Drallsatz: X Die zeitliche nderung des Dralls (Drehimpulses) D ¼ ðri  mi ui Þ ist gleich dem resultierenden Moment der ußeren Krfte am Massenpunktsystem. Gleichung (32) gilt bez
glich eines raumfesten Punkts oder bez
glich des beliebig bewegten Schwerpunkts. Aus ihr folgt nach Integration
ber die Zeit der Drehimpulssatz analog Gl. (24).

3.3.6 Lagrangesche Gleichungen Sie liefern durch Differentiationsprozesse
ber die kinetische Energie die Bewegungsgleichungen des Systems. Ein System mit n Massenpunkten kann zwar 3n Freiheitsgrade haben, jedoch bestehen hufig zwischen einigen Koordinaten aufgrund mechanischer Bindungen Abhngigkeiten, wodurch die Zahl der Freiheitsgrade auf m (im Grenzfall bis auf m =1) reduziert wird. Handelt es sich um holonome Systeme, bei denen die Beziehungen zwischen den Koordinaten in endlicher Form und nicht in Differentialform darstellbar sind, dann gel-

I3.4 ten die Lagrangeschen Gleichungen (2. Art):
 d ¶E ¶E ¼ Qk ðk ¼ 1; 2; . . . ; mÞ:
dt ¶q_ k ¶qk

ð33Þ

Hierbei ist E die gesamte kinetische Energie des Systems, qk sind die generalisierten Koordinaten der m Freiheitsgrade, Qk die generalisierten Kr
fte. Ist qk eine L
nge, so ist das zugehrige Qk eine Kraft; ist qk ein Winkel, so ist das dazu gehrige Qk ein Moment. Die Lagrangesche Kraft Qk erh
lt man aus X ðaÞ X ðaÞ Qk dqk ¼ Fi dsi bzw: Qk ¼ ð Fi dsi Þ=dqk ; ð34Þ wobei dsi Verschiebungen des Systems infolge alleiniger nderung (Variation) der Koordinate qk sind ðdqi ¼ 0; i 6¼ kÞ: ¶U Haben die beteiligten Kr
fte ein Potential, so gilt Qk ¼
¶qk ¶U und ¼ 0: Damit folgt aus Gl. (33) ¶q_ k
 d ¶E ¶E ¶U ¼
bzw:
dt ¶q_ k ¶qk ¶qk
 ð35Þ d ¶L ¶L ¼ 0;
dt ¶q_ k ¶qk wobei L ¼ E
U ¼ Lðq1 . . . qm ; q_ 1 . . . q_ m Þ die Lagrangesche Funktion ist. Beispiel: Schwinger mit einem Freiheitsgrad (Bild 9). Die Schwingung wird fr kleine Auslenkungen j, d. h. fr x ¼ l1 j und y ¼ l2 j; und unter Vernachl
ssigung der Stangen- und Federmassen untersucht. – Es gilt E ¼ m1 x_ 2 =2 þ m2 y_ 2 =2 ¼ m1 l21 j_ 2 =2 þ m2 l22 j_ 2 =2; also
 ¶E ¶E d ¶E _ d. h. ¼ ðm1 l21 þ m2 l22 Þ€ j: ¼ 0 und ¼ ðm1 l21 þ m2 l22 Þj; ¶j ¶j_ dt ¶j_ Ferner ist U ¼ m1 gðl1 þ l2 Þ þ m2 gl2 ð1
cos jÞ þ cðl2 jÞ2 =2; d. h. ¶U ¶U ¼ m2 gl2 sin j þ cl22 j: Mit sin j  j wird ¼ ðm2 gl2 þ cl22 Þj: Aus ¶j ¶j Gl. (35) folgt dann mit qk ¼ j € ðm1 l21 þ m2 l22 Þ þ jðm2 gl2 þ cl22 Þ ¼ 0 (L
sung s. B 4). j

3.3.7 Prinzip von Hamilton W
hrend die Lagrangeschen Gleichungen ein Differentialprinzip darstellen, handelt es sich hier um ein Integralprinzip (aus dem sich auch die Lagrangeschen Gleichungen herleiten lassen). Es lautet Zt2

ðdW ðeÞ þ dEÞ dt ¼ 0:

Haben die eingepr
gten Kr
fte ein Potential, ist also dW ðeÞ ¼
dU ein totales Differential, so wird daraus ðdE
dUÞ dt ¼ d

t1

Zt2 t1

ðE
UÞ dt ¼ d

d. h., die Variation des Zeitintegrals ber die Lagrangesche Funktion wird null, das Zeitintegral nimmt einen Extremwert an.

B 3.3.8 Systeme mit ver
nderlicher Masse Grundgleichung des Raketenantriebs: Infolge des ausgestoße_ nen Massenstroms mðtÞ mit der Relativgeschwindigkeit ur ðtÞ (Relativbewegung) ist die Raketenmasse m(t) ver
nderlich. Aus dem dynamischen Grundgesetz, Gl. (12), folgt dann d ðaÞ _ _ FR ¼ ½mðtÞuðtÞ ¼ mðtÞuðtÞ þ mðtÞuðtÞ: dt _ Nun ist mðtÞuðtÞ _ ¼
mðtÞu r ðtÞ (die Masse nimmt ab) und ðaÞ ðaÞ _ somit FR ¼ mðtÞaðtÞ
mðtÞu r ðtÞ bzw. mðtÞaðtÞ ¼ FR þ ðaÞ _ mðtÞu r ðtÞ: Wirken keine
ußeren Kr
fte ðFR ¼ 0Þ; so gilt

_ mðtÞaðtÞ ¼ mðtÞu r ðtÞ ¼ FS ðtÞ;

ð36Þ

d. h., a ist parallel zu ur ; und FS ðtÞ ist der Schub der Rakete. Ist ferner m_ ¼ m_ 0 ¼ const; ur ¼ ur0 ¼ const und ur parallel zu u, so wird die Bahn eine Gerade. Dann gilt mðtÞat ðtÞ ¼ m_ 0 ur0 ¼ FS0 : Die verlorene Masse bis zur Zeit t ist mðtÞ ¼ m_ 0 t und somit mðtÞ ¼ m0
m_ 0 t: Mit at ¼ du=dt wird dann m_ ur0 m_ 0 ur0 du ¼ : ¼ 0 dt m0
m_ 0 t m0 ½1
ðm_ 0 =m0 Þt Die Integration mit den Anfangsbedingungen uðt ¼ 0Þ ¼ 0 und sðt ¼ 0Þ ¼ 0 liefert
 m_ uðtÞ ¼
ur0 ln 1
0 t und m0 

  m_ m_ m_ m0 ur0 sðtÞ ¼ 1
0 t ln 1
0 t þ 0 t : m_ 0 m0 m0 m0

3.4 Kinetik starrer Krper Ein starrer Krper ist ein kontinuierliches Massenpunktsystem mit unendlich vielen starr miteinander verbundenen Massenelementen. Die kinematischen Grundlagen sind in B 2.2 beschrieben. Ein starrer Krper kann eine Translation, eine Rotation oder eine allgemeine ebene bzw. r
umliche Bewegung ausfhren.

Zt2 t1

Ldt ¼ 0;

Entsprechend Gl. (26) fr das Massenpunktsystem gilt hier bei Integration ber den ganzen Krper der Schwerpunktsatz X ðaÞ ðaÞ ðeÞ ðzÞ FR ¼ FR þ FR ¼ Fi ¼ maS ð37Þ bzw. in Komponenten (bei Drehung um die z-Achse, Bild 10 a) 9 X ðeÞ ðeÞ ðzÞ Fix þ FAx þ FBx ¼ maSx , > FRx þFRx ¼ > > = X ðeÞ ðeÞ ðzÞ ð38 a
cÞ Fiy þ FAy þ FBy ¼ maSy , FRy þFRy ¼ > > X ðeÞ > ðeÞ ðzÞ ; F þF ¼0 F þF ¼ Rz

Rz

aSx ¼
w2z xS

Bild 9. Schwinger

B 29

3.4.1 Rotation eines starren Krpers um eine feste Achse

t1

Zt2

Kinetik starrer Krper

iz

Az

mit
az yS und aSy ¼ az xS
w2z yS [s. B 2, Gl. (25 b)]. Diese Gleichungen gelten sowohl fr ein raumfestes als auch fr ein mitdrehendes (krperfestes) System mit Nullpunkt auf der Drehachse. Ferner gilt analog dem Massenpunktsystem der Drallsatz Z d dD ðaÞ ðeÞ ðzÞ ðr  uÞdm ¼ : ð39Þ MR ¼ MR þ MR ¼ dt dt

B 30

Mechanik – 3 Kinetik

ber, w
hrend das dynamische Grundgesetz f
r die Drehbewegung nach Gl. (42 c) lautet X ðeÞ ðeÞ Mi ¼ Ja ð45Þ MR ¼ Z J ¼ r 2 dm; wobei r der Abstand senkrecht zur Drehachse

B

ist. Arbeits- und Drehimpulssatz. Aus Gl. (45) folgen W1;2 ¼

Zj2

ðeÞ

MR dj ¼

j1

¼J

Zj2 J

dw dj dt

j1

Zw2

ð46Þ

J w dw ¼ ðw22
w21 Þ; 2

w1

Bild 10 a, b. Kinetische Lagerdrcke. a Allgemein; b Welle mit schiefsitzender Scheibe

D2
D1 ¼

Aus Gl. (39) wird hiermit

"Z Z
ex ey ez

d

d
ðeÞ ðzÞ y z
dm ¼ MR þ MR ¼
wz xz dmex
x
dt
dt
ux uy 0
# Z Z þ
wz yz dmey þ wz ðx2 þ y2 Þ dmez d ð41Þ ½
wz Jxz ex
wz Jyz ey þ wz Jz ez ; dt Z Z Jxz ¼ xz dm, Jyz ¼ yz dm Deviations- oder ZentrifugalZ Z momente, Jz ¼ ðx2 þ y2 Þ dm ¼ rz2 dm axiales Massentr
g¼

heitsmoment. In Komponenten 9 X ðeÞ ðeÞ ðzÞ > MRx þ MRx ¼ Mix þ FAy l1
FBy l2 > > > 2 > > ¼
dðw J Þ=dt ¼
J a þ w J , z xz xz z yz = z X ðeÞ ðzÞ ðeÞ ð42 a
cÞ MRy þ MRy ¼ Miy þ FBx l2
FAx l1 > > 2 > ¼
dðw J Þ=dt ¼
J a
w J , > z yz yz z xz z > X ðeÞ > ðeÞ M ¼ M ¼ dðw J Þ=dt ¼ J a : ; Rz

z z

iz

z z

Diese Gleichungen gelten sowohl fr ein raumfestes als auch fr ein mitdrehendes Koordinatensystem x, y, z mit Nullpunkt auf der Drehachse. Im ersten Fall sind Jxz und Jyz zeitlich ver
nderlich, im zweiten Fall konstant. Die Gln. (38 a–c) und (42 a, b) liefern die unbekannten fnf Auflagerreaktionen, wobei az und wz aus Gl. (42 c) folgen. Dabei ergeben die einðeÞ

ðeÞ

ðeÞ

gepr
gten Kr
fte Fi und Momente Mix und Miy die rein statischen Auflagerreaktionen, w
hrend die kinetischen AuflaðeÞ

ðeÞ

ðeÞ

gerreaktionen sich mit Fi ¼ 0, Mix ¼ Miy ¼ 0 aus ðkÞ

ðkÞ

ðkÞ

ðkÞ

ðkÞ

FAx þ FBx ¼ maSx ; FAy þ FBy ¼ maSy ; FAz ¼ 0; ðkÞ FAy l1 ðkÞ

ðkÞ
FBy l2 ðkÞ

¼
Jxz az þ w2z Jyz ;

FBx l2
FAx l1 ¼
Jyz az
w2z Jxz

ð43Þ ð44Þ

berechnen lassen. Nach diesen Gleichungen verschwinden sie, wenn aS ¼ 0 wird, also die Drehachse durch den Schwerpunkt geht und wenn sie eine Haupttr
gheitsachse ist, d. h., die Zentrifugalmomente Jxz und Jyz null werden. Die Drehachse heißt dann freie Achse. Fr sie gehen die Gln. (38 a–c) sowie (42 a, b) in die bekannten Gleichgewichtsbedingungen

¼J

ðeÞ

MR dt ¼

t1

Gem
ß B 2.2 Gl. (23) gilt in kartesischen Koordinaten (bei Drehung um die z-Achse, d. h. mit wx ¼ wy ¼ 0Þ ux ¼ ðwy z
wz yÞ ¼
wz y; uy ¼ ðwz x
wx zÞ ¼ wz x; ð40Þ uz ¼ ðwx y
wy xÞ ¼ 0:

Zt2

Zt2 J

dw dt dt

t1

Zw2

ð47Þ

dw ¼ Jðw2
w1 Þ:

w1

Beispiel: Welle mit schiefsitzender Scheibe (Bild 10 b). Auf einer mit wz ¼ const ¼ w0 rotierenden Welle ist eine vollzylindrische Scheibe (Radius r, Dicke h, Masse m) unter dem Winkel y geneigt aufgekeilt. Zu ermitteln sind die Auflagerkr
fte. – Als einzige eingepr
gte Kraft erzeugt die zentrische Gewichtskraft FG ¼ m g keine Momente, so dass die Gln. (38 a–c) und (42 a, b) mit aSx ¼ aSy ¼ 0 und (wegen wz ¼ constÞ az ¼ 0 FAx þ FBx ¼ 0; FAy þ FBy ¼ 0,
FG þ FAz ¼ 0, FAy l1
FBy l2 ¼ w20 Jyz , FBx l2
FAx l1 ¼
w20 Jxz ergeben. Mit den Richtungswinkeln der x-Achse gegenber den Hauptachsen x, h, z (s. B 3.4.2) a1 ¼ 0, b1 ¼ 90°, g1 ¼ 90°; mit denen der yAchse a2 ¼ 90°, b2 ¼ y; g2 ¼ 90° þ y und denen der z-Achse a3 ¼ 90°, b3 ¼ 90°
y, g3 ¼ y erh
lt man gem
ß Gl. (52) Jyz ¼
J1 cos a2 cos a3
J2 cos b2 cos b3
J3 cos g2 cos g3 ¼
J2 cos y sin y þ J3 sin y cos y und entsprechend Jxz ¼ 0: Nach Tab. 1 ist J2 ¼ Jh ¼ mð3r 2 þ h2 Þ=12; J3 ¼ Jz ¼ mr 2 =2 und somit Jyz ¼ ½mð3r 2
h2 Þ=24 sin 2y; so dass sich die Auflagerkr
fte FAx ¼ FBx ¼ 0; FAz ¼ FG ; FAy ¼
FBy ¼ fw20 mð3r 2
h2 Þ=½24ðl1 þ l2 Þg sin 2y ergeben.

3.4.2 Allgemeines
ber Massentrgheitsmomente (Bild 11) Axiale Tr
gheitsmomente: Z Z 9 Jx ¼ ðy2 þ z2 Þdm ¼ rx2 dm; > > > > > Z Z = 2 2 2 Jy ¼ ðx þ z Þdm ¼ ry dm; > > Z Z > > > Jz ¼ ðx2 þ y2 Þdm ¼ rz2 dm: ;

ð48Þ

Polares Tr
gheitsmoment sowie Deviations- oder Zentrifugalmomente: Z Z Jp ¼ r 2 dm ¼ ðx2 þ y2 þ z2 Þ dm ¼ ðJx þ Jy þ Jz Þ=2; Z Z Z ð49Þ Jxy ¼ xy dm; Jxz ¼ xz dm; Jyz ¼ yz dm: Die Tr
gheitsmomente lassen sich mit Jx ¼ Jxx , Jy ¼ Jyy und Jz ¼ Jzz zum Tr
gheitstensor, einem symmetrischen Tensor 2. Stufe, zusammenfassen. In Matrixschreibweise gilt 0 1 Jxx
Jxy
Jxz Jyy
Jyz A: J ¼ @
Jyx
Jzx
Jzy Jzz

I3.4

Kinetik starrer Krper

B 31

Tabelle 1. Massentr
gheitsmomente homogener Krper

B

Bild 11. Massentr
gheitsmomente

Hauptachsen. Wird Jxh ¼ Jxz ¼ Jhz ¼ 0, so liegen Haupttr
gheitsachsen x, h, z vor. Die zugehrigen axialen Haupttr
gheitsmomente J1 , J2 , J3 verhalten sich so, dass eins das absolute Maximum und ein anderes das absolute Minimum aller Tr
gheitsmomente des Krpers ist. Hat ein Krper eine Symmetrieebene, so ist jede dazu senkrechte Achse eine Hauptachse. Allgemein erh
lt man die Haupttr
gheitsmomente als Extremalwerte der Gl. (50) mit der Nebenbedingung h ¼ cos2 a þ cos2 b þ cos2 g
1 ¼ 0. Mit den Abkrzungen cos a ¼ l, cos b ¼ m, cos g ¼ u folgen mit J ¼ Jx l2 þ Jy m2 þ Jz u2
2Jxy lm
2Jyz mu
2Jxz lu und f ¼ J
ch aus df =dl ¼ 0 usw. drei homogene lineare Gleichungen fr l, m, u, die nur dann eine nichttriviale Lsung haben, wenn ihre Koeffizientendeterminante null wird. Daraus erh
lt man die kubische Gleichung fr c mit den Lsungen c1 ¼ J1 , c2 ¼ J2 und c3 ¼ J3 .

B 32

B

Mechanik – 3 Kinetik

Tr
gheitsellipsoid. Tr
gt man in Richtung der Achsen x, y, z pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi pffiffiffiffi die Grßen 1= Jx , 1= Jy , 1= Jz ab, so liegen die Endpunkte auf dem Tr
gheitsellipsoid mit den Hauptachsen pffiffiffiffiffi 1= J1 usw. und der Gleichung J1 x2 þ J2 h2 þ J3 z2 ¼ 1: Liegt hierbei der Koordinatenanfangspunkt im Schwerpunkt, spricht man vom Zentralellipsoid; die zugehrigen Hauptachsen sind dann freie Achsen. Tr
gheitsmomente bezglich gedrehter Achsen. Fr eine unter den Winkeln a, b, g gegen x, y, z geneigte Achse
x folgt mit e
x ¼ ðcos a; cos b; cos g) aus J
x ¼ e
x JeT
x (s. www.dubbel.de) sowie mit Jxy ¼ Jyx usw. J
x ¼Jx cos2 a þ Jy cos2 b þ Jz cos2 g
2Jxy cos a cos b
2Jyz cos b cos g

ð50Þ


2Jxz cos a cos g: Sind dagegen a1 , b1 , g1 die Richtungswinkel der x-Achse gegenber den Hauptachsen x, h, z, so gilt fr das axiale Tr
gheitsmoment Jx ¼ J1 cos2 a1 þ J2 cos2 b1 þ J3 cos2 g1 ;

ð51Þ

Jy ; Jz entsprechend mit den Richtungswinkeln a2 , b2 , g2 bzw. a3 , b3 , g3 der y- bzw. z-Achse gegenber den Hauptachsen. Die zugehrigen Deviationsmomente sind (fr Jxz und Jyz entsprechend) Jxy ¼
J1 cos a1 cos a2
J2 cos b1 cos b2
J3 cos g1 cos g2 :

ð52Þ

Satz von Steiner. Fr parallele Achsen gilt Jx ¼ J
x þ ðy2S þ z2S Þm, Jy ¼ J
y þ ðz2S þ x2S Þm, Jz ¼ J
z þ ðx2S þ y2S Þm, Jxy ¼ J
x
y þ xS yS m, Jxz ¼ J
x
z þ xS zS m, Jyz ¼ J
y
z þ yS zS m;

ð53Þ


x,
y,
z sind zu x, y, z parallele Achsen durch den Schwerpunkt. Tr
gheitsradius. Wird die Gesamtmasse in Entfernung i von der Drehachse (bei gegebenem J und m) vereinigt, so gilt pffiffiffiffiffiffiffiffiffi J ¼ i2 m bzw. i ¼ J=m. Reduzierte Masse. Denkt man sich die Masse mred in beliebiger Entfernung d von der Drehachse angebracht (bei gegebenem J), so gilt J ¼ d2 mred bzw. mred ¼ J=d 2 . Berechnung der Massentr
gheitsmomente. Fr Einzelkrper mittels dreifacher Integrale Z Z Z Z rðy2 þ z2 Þ dx dy dz: Jx ¼ rx2 dm ¼

ðaÞ

Z d ðaÞ Mi ¼ ðr  uÞdm dt    ey ez  Z ex d  dD  ¼ y z dm ¼ : x  dt  dt  x_  y_ 0

MR ¼

X

(Der Momentensatz gilt bezglich eines raumfesten Punkts oder des beliebig bewegten Schwerpunkts.) In kartesischen Koordinaten 9 X ðaÞ X ðaÞ ðaÞ ðaÞ FRx ¼ Fix ¼ maSx ; FRy ¼ Fiy ¼ maSy ; > > > X > > ðaÞ ðaÞ > > Fiz ¼ 0; FRz ¼ > > Z > 2 Z 2 > d Jyz > d d ðaÞ MRx ¼
z_y dm ¼
2 zy dm ¼
2 ; = dt dt dt ð56Þ Z Z > > d d2 d2 Jxz > ðaÞ > z_x dm ¼ 2 zx dm ¼ 2 ; MRy ¼ > > > dtZ dt dt > > > d > ðaÞ > MRz ¼ ðx_y
x_ yÞ dm ; dt bzw. mit Gl. (40) und wz ¼ w Z Z d d d ðaÞ MRz ¼ wðx2 þ y2 Þ dm ¼ wrz2 dm ¼ ðwJz Þ: dt dt dt ðaÞ

ðaÞ

MRx und MRy sind die zur Erzwingung der ebenen Bewegung ntigen
ußeren Momente, wenn z keine Haupttr
gheitsachse ist. Ist z eine Haupttr
gheitsachse (Jyz ¼ Jxz ¼ 0), so folgen d ðaÞ ðaÞ ðaÞ MRx ¼ 0, MRy ¼ 0, MRz ¼ ðwJz Þ bzw. bezglich des krdt perfesten Schwerpunkts mit JS ¼ const X ðaÞ ðaÞ MRS ¼ MiS ¼ JS a: ð57Þ Arbeitssatz:   Z Z m 2 JS ðaÞ ðaÞ uS2 þ w22 W1;2 ¼ FR dr þ M RS dj ¼ 2 2   m 2 JS
uS1 þ w21 ¼ E2
E1 2 2

Jx ¼

Zra Z2p

þh=2 Z

rr 2 ðr dj dr dzÞ

r¼0 j¼0 z¼
h=2

¼ rðra4 =4Þ2ph ¼ mra2 =2: Fr zusammengesetzte Krper gilt mit dem Satz von Steiner X Jx ¼ ½Jxi þ ðy2Si þ z2Si Þmi  usw. (s. C 2.4.5 Fl
chenmomente 2. Ordnung). 3.4.3 Allgemeine ebene Bewegung starrer Krper Ebene Bewegung bedeutet z ¼ const bzw. uz ¼ wx ¼ wy ¼ 0 und az ¼ ax ¼ ay ¼ 0. Wie beim Massenpunktsystem gelten Schwerpunktsatz und Drallsatz (Momentensatz) X ðaÞ ðaÞ FR ¼ Fi ¼ maS ; ð54Þ

ð58Þ

Haben die
ußeren Kr
fte und Momente ein Potential, so gilt der Energiesatz U1 þ E1 ¼ U2 þ E2 ¼ const : Impuls- und Drehimpulssatz: p2
p1 ¼

Zt2

ðaÞ

FR dt ¼ mðuS2
uS1 Þ

ð59Þ

t1

D2
D1 ¼ Je nach Krperform verwendet man auch Zylinder- oder Kugelkoordinaten. Zum Beispiel wird fr den vollen Kreiszylinder (s. Tab. 1)

ð55Þ

Zt2

ðaÞ

M RS dt ¼ JS ðw2
w1 Þ

ð60Þ

t1

DAlembertsches Prinzip. Die verlorenen Kr
fte, d. h. die Summe aus eingepr
gten Kr
ften und Tr
gheitskr
ften, halten sich am Gesamtkrper das Gleichgewicht. Mit dem Gleichgewichtsprinzip der virtuellen Verrckungen gilt dann in Lagrangescher Fassung ðeÞ

ðeÞ

ðFR
maS Þ drS þ ðM RS
JS aÞ dj ¼ 0:

ð61Þ

Beispiel: Rollbewegung auf schiefer Ebene (Bild 12). Aus der Ruhelage soll ein zylindrischer Krper (r; m; JS ) von der Kraft F die schiefe Ebene (Neigungswinkel b) hinaufgerollt werden ohne zu gleiten. Zu ermitteln sind seine Schwerpunktbeschleunigung sowie Zeit und Geschwindigkeit bei Erreichen der Lage 2 nach Zurcklegen des Wegs s2 . – Da der Schwerpunkt eine geradlinige Bewegung ausfhrt, f
llt sein Beschleunigungsvektor in die Bewegungsrichtung. Schwerpunktsatz, Gl. (54), und Momentensatz, Gl. (57), liefern (Bild 12 a) maS ¼ F cos b
FG sin b
Fr und JS a ¼ Fr r, woraus mit a ¼ aS =r wegen des reinen Rollens aS ¼ ðF cos b
FG sin bÞ=ðm þ JS =r 2 Þ

I3.4 folgt. Mit den Gesetzen der gleichm
ßig beschleunigten Bewegung pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi aus der Ruhelage (s. B 2.1.1) ergeben sich uS2 ¼ 2aS s2 und t2 ¼ uS2 =aS . Der Arbeitssatz, Gl. (58), ðF cos b
FG sin bÞs2 ¼ mu2S2 =2 þ JS w22 =2 liefert mit w2 ¼ uS2 =r wiederum pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi uS2 ¼ 2ðF cos b
FG sin bÞs2 =ðm þ JS =r 2 Þ: Impulssatz und Drehimpulssatz, Gln. (59) und (60), ðF cos b
FG sin b
Fr Þt2 ¼ muS2 und Fr rt2 ¼ JS w2

Kinetik starrer Krper

B 33

Mit dz ¼ ra dj; ds ¼ ri dj und dy ¼ ds=r3 ¼ djri =r3 bzw.

B

€ ¼ ra a2 ; a3S ¼ €s ¼ ri j € ¼ ri a2 und a1 ¼ €z ¼ ra j € ¼ €s=r3 ¼ a2 ri =r3 a3 ¼ y wird dj½ðFG1
Fr1 Þra
m1 ra2 a2
J2 a2
FG3 ri sin b
m3 ri2 a2
J3S ðri =r3 Þ2 a2  ¼ 0: Die Winkelbeschleunigung der Seilscheibe ist also

ergeben ebenfalls t2 ¼ uS2 ðm þ JS =r 2 Þ=ðF cos b
FG sin bÞ ¼ uS2 =aS : Das d’Alembertsche Prinzip in der Lagrangeschen Fassung nach Gl. (61) fhrt zu (Bild 12 b)

a2 ¼ ½ðFG1
Fr1 Þra
FG3 ri sin b=½m1 ra2 þ J2 þ m3 ri2 þ J3S ðri =r3 Þ2 ; womit auch a1 ¼ ra a2 , a3S ¼ ri a2 und a3 ¼ a2 ri =r3 bestimmt sind.

ðF cos b
FG sin b
maS Þ ds þ ð0
JS aÞdj ¼ 0;

3.4.4 Allgemeine rumliche Bewegung

mit a ¼ aS =r, dj ¼ ds=r folgt 2

ds½F cos b
FG sin b
maS
JS aS =r  ¼ 0; also wieder 2

aS ¼ ðF cos b
FG sin bÞ=ðm þ JS =r Þ:

Ebene Starrk
rpersysteme. Die Bewegung l
sst sich auf verschiedene Weise berechnen: – Freimachen jedes Einzelkrpers und Ansatz von Schwerpunktsatz, Gl. (54), und Momentensatz, Gl. (57), wenn z Haupttr
gheitsachse ist, – Anwenden des dAlembertschen Prinzips, Gl. (61), auf das aus n Krpern bestehende System X ðeÞ X ðeÞ ðM Ri
JiS ai Þ dji ¼ 0; ð62Þ ðFRi
mi aiS Þ driS þ – Anwenden der Lagrangeschen Bewegungsgleichungen Gln. (33)–(35).

Bewegungsgleichungen sind mit dem Schwerpunktsatz und dem Drall- oder Momentensatz gegeben: X ðaÞ ðaÞ FR ¼ Fi ¼ maS ð63Þ ðaÞ

MR ¼

X

ðaÞ

Mi ¼

x

¼

ð64Þ

y

z

d ½ðwx Jx
wy Jxy
wz Jxz Þex dt þðwy Jy
wx Jxy
wz Jyz Þey

ð65Þ

þðwz Jz
wx Jxz
wy Jyz Þez :

ðaÞ

Bild 13. Starrkrpersystem

ðr  uÞ dm

Diese Gleichung bezieht sich auf ein raumfestes Koordinatensystem x, y, z (Bild 14), dessen Koordinatenanfangspunkt auch im Schwerpunkt liegen kann, d. h., die Grßen Jx , Jxy usw. sind zeitabh
ngig, da sich die Lage des Krpers
ndert. Wird nach Euler ein krperfestes, mitbewegtes Koordinatensystem x, h, z eingefhrt (der Einfachheit halber in Richtung der Haupttr
gheitsachsen des Krpers) und der Winkelgeschwindigkeitsvektor in diesem Koordinatensystem in seine Komponenten w ¼ w1 e1 þ w2 e2 þ w3 e3 zerlegt, so nimmt Gl. (65) die Form MR ¼

Bild 12 a, b. Rollbewegung auf schiefer Ebene

Z

(Erl
uterungen s. Gln. (26) und (32)). Der Momentensatz gilt bezglich eines raumfesten Punkts oder des beliebig bewegten Schwerpunkts. In kartesischen Koordinaten mit u gem
ß B 2 Gl.(23) wird   ey ez  Z  ex  d   ðaÞ y z  dm MR ¼ x  dt  u u u 

Beispiel: Beschleunigungen eines Starrkrpersystems (Bild 13). Das System bewege sich in den angedeuteten Richtungen, wobei in der Fhrung von m1 die Reibkraft Fr1 wirkt und die Walze eine reine Rollbewegung ausfhrt. – Das dAlembertsche Prinzip in der Lagrangeschen Fassung, Gl. (62), liefert ðFG1
Fr1
m1 a1 Þ dz
J2 a2 dj
ðFG3 sin b þ m3 a3S Þ ds
J3S a3 dy ¼ 0:

dD d ¼ dt dt

d ½w1 J1 e1 þ w2 J2 e2 þ w3 J3 e3  dt

ð66Þ

an, wobei jetzt J1 , J2 , J3 konstant und w1 J1 usw. die Komponenten des Drallvektors D im bewegten Koordinatensystem sind. Mit der Regel fr die Ableitung eines Vektors im be-

Bild 14. Allgemeine r
umliche Bewegung

B 34

B

Mechanik – 3 Kinetik

wegten Koordinatensystem (s. B 2 Gl. (35)) wird dD=dt ¼ dr D=dt þ w
D, wobei dr D=dt die Ableitung des Vektors D relativ zum mitbewegten Koordinatensystem ist. Aus Gl. (66) folgt in Komponenten 9 ðaÞ MRx ¼ ½w_ 1 J1 þ w2 w3 ðJ3  J2 Þ; > > > = ðaÞ ð67Þ MRh ¼ ½w_ 2 J2 þ w1 w3 ðJ1  J3 Þ; > > > ; ðaÞ MRz ¼ ½w_ 3 J3 þ w1 w2 ðJ2  J1 Þ: Das sind die Eulerschen Bewegungsgleichungen eines K
rpers im Raum bezglich der Hauptachsen mit einem raumfesten Punkt oder dem beliebig bewegten Schwerpunkt als Ursprung. Aus den drei gekoppelten Differentialgleichungen ergeben sich jedoch nur die Winkelgeschwindigkeiten w1 ðtÞ, w2 ðtÞ, w3 ðtÞ bezglich des mitbewegten Koordinatensystems, nicht aber die Lage des K
rpers gegenber den raumfesten Richtungen x, y, z. Hierzu ist die Einfhrung der Eulerschen Winkel j, y, J erforderlich [1]. Die Lage des Schwerpunkts eines im Raum frei bewegten K
rpers ist aus dem Schwerpunktsatz, Gl. (63), wie fr einen Massenpunkt (s. B 3.2) berechenbar. Zt2 Drehimpulssatz :

ðaÞ

M R dt ¼

t1

Zt2

dD ¼ D2  D1

t1

ðaÞ

Fr M R ¼ 0 wird D2 ¼ D1 , d. h., ohne Einwirkung ußerer Momente behlt der Drallvektor seine Richtung im Raum bei. Energiesatz: Haben die einwirkenden Krfte ein Potential, so gilt U1 þ E1 ¼ U2 þ E2 ¼ const : Kinetische Energie E ¼ mu2S =2 þ ðJ1 w21 þ J2 w22 þ J3 w23 Þ=2

d. h. jeweils Drehung um eine Haupttrgheitsachse (Bewegung stabil, falls Drehung um die Achse des gr
ßten oder kleinsten Trgheitsmoments). Fr den symmetrischen Kreisel folgen mit J1 ¼ J2 die Gleichungen, s. [2, 3], € 1 þ l2 w1 ¼ 0 und w € 2 þ l 2 w2 ¼ 0 w3 ¼ const; w mit den L
sungen w1 ¼ c sinðlt  aÞ und w2 ¼ c cosðlt  aÞ; wobei l ¼ ðJ3 =J1  1Þw3 . Mit w21 þ w22 ¼ c2 ¼ const folgt, dass der Winkelgeschwindigkeitsvektor w ¼ w1 ex þ w2 eh þ w3 ez (die momentane Drehachse) einen Kreiskegel im k
rperfesten System, den Gangpolkegel, beschreibt, der auf dem Rastpolkegel, dessen Achse der feste Drallvektor ist, abrollt (Bild 15 a). Die Figurenachse z beschreibt dabei den Przessionskegel (regulre Przession). Schwerer Kreisel. Hier sei speziell der schnell umlaufende symmetrische Kreisel unter Eigengewicht betrachtet (Bild 15 b). Beim schnellen Kreisel ist D  w3 J3 ez , d. h., Drallvektor und Figurenachse fallen nherungsweise zusamðaÞ

men. Aus dem Drallsatz folgt dD ¼ M R dt ¼ ðr
FG Þ dt, d. h., der Kreisel trachtet, seine Figurenachse parallel und gleichsinnig zu dem auf ihn wirkenden Moment einzustellen (Satz von Poinsot). Nach Bild 15 b gilt M ¼ FG r sin J, dD ¼ D sin J  dj. Aus dD ¼ Mdt folgt wP ¼ dj=dt ¼ FG r=D  FG r=ðJ3 w3 Þ. wP ist die Winkelgeschwindigkeit der Przession des Kreisels. Wegen wP fllt der Drallvektor nicht genau in die Figurenachse, daher berlagert sich der Przession noch die Nutation [2, 3].

w1 ¼ const; w2 ¼ w3 ¼ 0 oder w2 ¼ const; w1 ¼ w3 ¼ 0 oder

Gefhrter Kreisel. Er ist ein umlaufender, in der Regel rotationssymmetrischer K
rper, dem Fhrungskrfte eine nderung des Drallvektors aufzwingen, wodurch das Moment der Kreiselwirkung und damit verbunden zum Teil erhebliche Auflagerkrfte entstehen (Kollergang, Schwenken von Radstzen und Schiffswellen usw.). Fr ein Fahrzeug in der Kurve liefert die Kreiselwirkung der Rder ein zustzliches Kippmoment. Umgekehrt finden gefhrte Kreisel als Stabilisierungselemente fr Schiffe, Einschienenbahnen usw. Verwendung. Beim horizontal schwimmend angeordneten Kreiselkompass wird die Drallachse durch die Erddrehung in NordSd-Richtung gezwungen. Fr den in (Bild 15 c) dargestellten und mit wF gefhrten Rotationsk
rper gilt


ex eh ez


dD ðaÞ
M ¼ 0 wF

¼ wF w1 J1 eh ¼ wF
D ¼
0 dt
w1 J 1 0 wF J 3


w3 ¼ const; w1 ¼ w2 ¼ 0;

bzw. M ðaÞ ¼ FA l ¼ wF w1 J1 , d. h. FA ¼ wF w1 J1 =l. Das Mo-

Kreiselbewegung (Bild 15). Hierunter versteht man die Drehung eines starren K
rpers um einen festen Punkt. Es gelten die Eulerschen Bewegungsgleichungen, Gl. (67). Kr
ftefreier Kreisel. Sind alle Momente der ußeren Krfte null, d. h. Lagerung im Schwerpunkt (Bild 15 a), und wirken sonst keine Krfte und Momente, so ist die Bewegung krftefrei; der Drallvektor behlt seine Richtung und Gr
ße im Raum bei. Dabei ergeben sich die m
glichen Bewegungsformen des Kreisels aus J1 w_ 1 ¼ ðJ2  J3 Þw2 w3 ; J2 w_ 2 ¼ ðJ3  J1 Þw1 w3 ; J3 w_ 3 ¼ ðJ1  J2 Þw1 w2 ; also entweder

Bild 15 a–c. Kreisel. a Krftefreier; b schwerer; c gefhrter

ðkÞ

ðkÞ

I3.6

Stoß

B 35

ðkÞ

ment der Kreiselwirkung erzeugt in den Lagern die zu FA entgegengesetzten Auflagerdr
cke.

B

3.5 Kinetik der Relativbewegung Bei einer gef
hrten Relativbewegung gilt f
r die Beschleunigung nach B 2.2 Gl. (36) und damit f
r das Newtonsche Grundgesetz ðaÞ

FR ¼ maF þ mar þ maC :

ð68Þ

F
r einen auf dem Fahrzeug befindlichen Beobachter ist nur die Relativbeschleunigung wahrnehmbar ðaÞ mar ¼ FR

ðaÞ
maF
maC ¼ FR

þ FF þ FC ;

ð69Þ

d. h., den ußeren Krften sind die F
hrungskraft und die Corioliskraft hinzuzuf
gen. Beispiel: Bewegung in rotierendem Rohr (Bild 16). In einem Rohr, das um eine vertikale Achse mit aF ðtÞ und wF ðtÞ rotiert, wird mittels eines Fadens die Masse m mit der Relativbeschleunigung ar ðtÞ und der Relativgeschwindigkeit ur ðtÞ reibungsfrei nach innen gezogen. F
r eine beliebige Lage r(t) sind die Fadenkraft sowie die Normalkraft zwischen Masse und Rohr zu bestimmen. – Mit aF ¼ aFn þ aFt ðaFn ¼ rw2F ; aFt ¼ raF Þ und aC ¼ 2wF ur erhlt man an der freigemachten Masse nach Gl. (68) FS ¼ mðar þ aFn Þ ¼ mðar þ rw2F Þ und Fn ¼ mðaC
aFt Þ ¼ mð2wF ur
raF Þ:

Beim Stoß zweier Krper gegeneinander werden in kurzer Zeit relativ große Krfte wirksam, denen gegen
ber andere Krfte wie Gewichtskraft und Reibung vernachlssigbar sind. Die Normale der Ber
hrungsflchen heißt Stoßnormale. Geht sie durch die Schwerpunkte beider Krper, so nennt man den Stoß zentrisch, sonst exzentrisch. Liegen die Geschwindigkeiten in Richtung der Stoßnormalen, so ist es ein gerader, sonst ein schiefer Stoß. ber die whrend des Stoßes in der Ber
hrungsflche
bertragene Kraft und die Stoßdauer liegen nur wenige Ergebnisse vor [4, 5]. Der Stoßvorgang wird unterteilt in die Kompressionsperiode K, whrend der die Stoßkraft zunimmt, bis beide Krper die gemeinsame Geschwindigkeit u erreicht haben, und in die Restitutionsperiode R, in der die Stoßkraft abnimmt und die Krper ihre unterschiedlichen Endgeschwindigkeiten c1 und c2 erreichen (Bild 17). Stoßimpulse oder Kraftstße in der Kompressionsperiode und in der Restitutionsperiode ergeben sich zu: Zt2

FK ðtÞdt; pR ¼

t1

Zt3

FR ðtÞdt

ð70Þ

t2

pK und pR werden mittels der Newtonschen Stoßhypothese zueinander in Beziehung gesetzt: pR ¼ kpK ;

3.6.1 Gerader zentraler Stoß Mit u1 und u2 als Geschwindigkeiten beider Krper vor dem Stoß (Bild 17), u und c1 bzw. c2 wie erlutert, folgt aus den Gln. (70) und (71) u ¼ ðm1 u1 þ m2 u2 Þ=ðm1 þ m2 Þ; c1 ¼ ½m1 u1 þ m2 u2
km2 ðu1
u2 Þ=ðm1 þ m2 Þ; c2 ¼ ½m1 u1 þ m2 u2 þ km1 ðu1
u2 Þ=ðm1 þ m2 Þ; k ¼ pR =pK ¼ ðc2
c1 Þ=ðu1
u2 Þ: Energieverlust beim Stoß m1 m2 DE ¼ ðu1
u2 Þ2 ð1
k2 Þ: 2ðm1 þ m2 Þ Sonderflle:

3.6 Stoß

pK ¼

Bild 17. Kraftverlauf beim Stoß

ð71Þ

wobei k % 1 die Stoßziffer ist. Vollelastischer Stoß: k ¼ 1, teilelastischer Stoß: k < 1, unelastischer oder plastischer Stoß: k ¼ 0. Mittlere Stoßkraft Fm ¼ ðpK þ pR Þ=Dt.

m1 ¼ m2 , k ¼ 1 : m1 ¼ m2 , k ¼ 0 : m2 ! 1, u2 ¼ 0, k ¼ 1 : m2 ! 1, u2 ¼ 0, k ¼ 0 :

u ¼ ðu1 þ u2 Þ=2, c1 ¼ u2 , c2 ¼ u1 ; u ¼ c1 ¼ c2 ¼ ðu1 þ u2 Þ=2; u ¼ 0, c1 ¼
u1 , c2 ¼ 0; u ¼ 0, c1 ¼ 0, c2 ¼ 0:

Ermittlung der Stoßziffer: Bei freiem Fall gegen unendlich pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi große Masse m2 gilt k ¼ ðc2
c1 Þ=ðu1
u2 Þ ¼ h2 =h1 ; h1 Fallhhe vor dem Stoß, h2 Steighhe nach dem Stoß. k abhngig von Auftreffgeschwindigkeit, bei u  2;8 m=s f
r Elfenbein k ¼ 8=9, Stahl k ¼ 5=9, Glas k ¼ 15=16, Holz k ¼ 1=2. Stoßkraft und Stoßdauer. F
r den rein elastischen Stoß zweier Kugeln mit den Radien r1 und r2 hat Hertz [4] max F ¼ k1 u6=5 abgeleitet, wobei u die relative Geschwindig2=5

keit und k1 ¼ ½1;25  m1 m2 =ðm1 þ m2 Þ3=5 c1 ist, mit pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi c1 ¼ ð16=3Þ=½ 1=r1 þ 1=r2 ðJ1 þ J2 Þ; J ¼ ð2=GÞð1
uÞ; G Schubmodul, u Querdehnzahl. Ferner f
r die Stoßdauer   pffiffiffi 5 m1 m2 2=5 T ¼ k2 = 5 u mit k2 ¼ 2;943 . 4c1 m1 þ m2 3.6.2 Schiefer zentraler Stoß Mit den Bezeichnungen nach Bild 18 a gelten die Gleichungen u1 sin a ¼ c1 sin a0 ; u2 sin b ¼ c2 sin b0 ; c1 cos a0 ¼ u1 cos a
½ðu1 cos a
u2 cos bÞð1 þ kÞ=ð1 þ m1 =m2 Þ; c2 cos b0 ¼ u2 cos b
½ðu2 cos b
u1 cos aÞð1 þ kÞ=ð1 þ m2 =m1 Þ; aus denen man a0 , b0 , c1 und c2 erhlt. Beispiel: Stoß einer Kugel gegen eine Wand (Bild 18 b). – Mit u2 ¼ c2 ¼ 0 und m2 ! 1 folgt aus den vorstehenden Gleichungen c1 cos a0 ¼
ku1 cos a;
tan a0 ¼ tan a00 ¼ ðtan aÞ=k sowie pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi c1 ¼
ku1 cos a= cos a0 ¼
u1 cos a k2 þ tan2 a:

Bild 16. Relativbewegung

F
r k ¼ 1 wird a0 ¼ p
a bzw. a00 ¼ a und c1 ¼ u1 , d. h. Einfallswinkel gleich Ausfallswinkel (Reflexionsgesetz) bei gleichbleibender Geschwindigkeit.

B 36

Mechanik – 4 Schwingungslehre

3.6.3 Exzentrischer Stoß St
ßt eine Masse m1 gegen einen pendelnd aufgehngten K
rper (Bild 18 c) mit dem Trgheitsmoment J0 um den Drehpunkt 0, so gelten alle Formeln fr den geraden zentralen Stoß, wenn dort m2 durch die reduzierte Masse m2red ¼ J0 =l2 ersetzt wird. Ferner gelten die kinematischen Beziehungen u2 ¼ w2 l usw. Fr den Kraftstoß auf den Aufhngepunkt gilt (wenn w2 ¼ 0)

B

p0 ¼ ð1 þ kÞm1 u1 ðJ0
m2 lrS Þ=ðJ0 þ m1 l2 Þ: Dieser Impuls wird null fr l ¼ lr ¼ J0 =ðm2 rS Þ bzw: rS ¼ rSr ¼ JS =ðm2 bÞ: lr oder rSr geben die Lage des Stoßmittelpunkts an, der beim Stoß kraftfrei bleibt bzw. um den sich (Momentanzentrum) ein freier angestoßener K
rper dreht. lr ist gleichzeitig die reduzierte Pendellnge bei Ersatz durch ein mathematisches Fadenpendel. 3.6.4 Drehstoß Bild 18 a–d. Stoß. a Schiefer zentraler Stoß; b Reflexionsgesetz; c exzentrischer Stoß; d Drehstoß

4 Schwingungslehre 4.1 Systeme mit einem Freiheitsgrad Beispiele hierfr sind das Feder-Masse-System, das physikalische Pendel, ein durch Bindungen auf einen Freiheitsgrad reduziertes Starrk
rpersystem (Bild 1). Zunchst werden nur lineare Systeme untersucht; bei ihnen sind die Differentialgleichungen selbst und die Koeffizienten linear. Voraussetzung dafr ist eine lineare Federkennlinie Fc ¼ cs (Bild 2 b). 4.1.1 Freie unged
mpfte Schwingungen Feder-Masse-System (Bild 1 a). Aus dem dynamischen Grundgesetz folgt mit der Auslenkung
s aus der Nulllage und der Federrate c die Differentialgleichung
s bzw:
€s þ w21
s ¼ g mit w21 ¼ c=m: FG
c
s ¼ m€

Fr zwei rotierende zusammenstoßende K
rper (Bild 18 d) setzt man m1 ¼ J1 =l21 , m2 ¼ J2 =l22 , u1 ¼ w1 l1 , u2 ¼ w2 l2 usw. und fhrt damit das Problem auf den geraden zentralen Stoß zurck. Dann gelten die Formeln in B 3.6.1.

Sie ergibt sich auch aus dem Energiesatz U þ E ¼ const d dh c m i ðU þ EÞ ¼ mgðh

sÞ þ
s2 þ
s_ 2 ¼ 0; bzw: aus dt dt 2 2
s ¼ 0, also d. h.
mg
s_ þ c
s
s_ þ m
s_ € €
s þ ðc=mÞ
s ¼ g:

ð1Þ

Die L
sung ist
sðtÞ ¼ C1 cos w1 t þ C2 sin w1 t þ mg=c. Die partikulre L
sung mg=c entspricht der statischen Auslenkung
sst ¼ FG =c; die Schwingung findet also um die statische Ruhelage statt: sðtÞ ¼
sðtÞ

sst ðtÞ ¼ C1 cos w1 t þ C2 sin w1 t ¼ A sinðw1 t þ bÞ:

ð2Þ

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Dabei ist die Amplitude der Schwingung A ¼ C12 þ C22 und die Phasenverschiebung b ¼ arctanðC1 =C2 Þ. C1 und C2 bzw. A und b sind aus den Anfangsbedingungen zu bestimmen;

Bild 1 a–h. Schwinger mit einem Freiheitsgrad. a Feder-Masse-System; b physikalisches Pendel; c Starrk
rpersystem; d schwingende Wassersule; e einseitig eingespannter, f gelenkig gelagerter und g beidseitig eingespannter Balken mit Einzelmasse; h Drehschwinger

I4.1 z. B. sðt ¼ 0Þ ¼ s1 und s_ ðt ¼ 0Þ ¼ 0 liefern C2 ¼ 0 und C1 ¼ s1 bzw. A ¼ s1 und b ¼ p=2. Die Schwingung ist eine harmonische Bewegung mit der Eigen- bzw. Kreisfrequenz (Anzahl der Schwingungen in 2p Sepffiffiffiffiffiffiffiffi kunden) w1 ¼ c=m ðmit c ¼ Federrate, m ¼ EinzelmasseÞ bzw. der Hertzschen Frequenz u1 ¼ w1 =2p und der Schwingungsdauer T ¼ 1=u1 ¼ 2p=w1 (Bild 2 c). Gr
ßtwerte: Geschwindigkeit u ¼ Aw1 , Beschleunigung a ¼ Aw21 , Federkraft Fc ¼ cA. Fr die Eigenkreisfrequenz gilt mit der statischen Auslenkung pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
sst ¼ FG =c, d. h. c ¼ mg=
sst , auch w1 ¼ g=
sst mit Fg ¼ Gewichtskraft, g ¼ ErdbeschleunigungÞ. Bestimmung der Federrate. Jedes elastische System stellt eine Feder dar. Die Federrate ist c=F/f, wenn f die Auslenkung der Masse infolge der Kraft F ist. Fr die Federn nach Bild 1 e–g ist c ¼ F=ðFl3 =3EIy Þ ¼ 3EIy =l3 , c ¼ 48EIy =l3 und c ¼ 192EIy =l3 (mit c=Federrate, l=Balkenlnge, Iy ¼ Flchenmoment 2. Ordnung, E=Elastizittsmodul). Schaltungen von Federn. Parallelschaltung (Bild 3 a, b): X ci ; ð3Þ c ¼ c1 þ c2 þ c3 þ . . . ¼ Reihen- oder Hintereinanderschaltung (Bild 3 c): X 1=ci : 1=c ¼ 1=c1 þ 1=c2 þ . . . ¼

ð1=2Þ

2

2

u_ dm ¼ ð1=2Þ_s

Zl

2

B 37

Pendelschwingung. Fr das physikalische Pendel (Bild 1 b) liefert das dynamische Grundgesetz der Drehbewegung bezglich des Nullpunkts

B

€ ¼
FG rS sin j bzw: j € þ ðmgrS =J0 Þ sin j ¼ 0: J0 j € þ w21 j ¼ 0 j

mit Fr kleine Ausschlge ist sin j  j, d. h. w21 ¼ g=lr und lr ¼ J0 =ðmrS Þ (lr reduzierte Pendellnge). Fr das mathematische Fadenpendel mit der Masse m am Ende wird rS ¼ l, J0 ¼ ml2 und w21 ¼ g=l. Drehschwingung. Fr die Scheibe gemß Bild 1 h liefert B 3 € ¼
Mt ¼
ðGIt =lÞj bzw. j € þ w21 j ¼ 0 mit Gl. (45) JS j pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi w1 ¼ GIt =ðlJS Þ. Hierbei ist It das Torsionsflchenmoment des Torsionsstabs. Die Drehtrgheit der Torsionsfeder wird mit einem Zuschlag von JF =3 zu JS der Scheibe bercksichtigt. Starrkrpersysteme (z. B. Bild 1 c). E þ U ¼ m_s2 =2 þ JS j_ 2 =2 þ cs2 =2 þ mgðh
sÞ ¼ const; _ j þ cs_s
mg_s ¼ 0: dðE þ UÞ=dt ¼ m_s€s þ JS j€ € ¼ €s=r Hieraus ergibt sich mit j ¼ s=r, j_ ¼ s_ =r und j €s þ w21 s ¼ mg=ðm þ JS =r2 Þ;

ð4Þ

Ber
cksichtigung der Federmasse. Unter der Annahme, dass die Verschiebungen denen bei statischer Auslenkung gleich sind, d. h. uðxÞ ¼ ðs=lÞx (Bild 2 a), folgt mit dm ¼ ðmF =lÞdx durch Gleichsetzen der kinetischen Energien Z

Systeme mit einem Freiheitsgrad

3

ðx =l ÞmF dx

wobei w21 ¼ c=ðm þ JS =r 2 Þ ist. Weitere L
sung wie beim Feder-Masse-System.

4.1.2 Freie gedmpfte Schwingungen Dmpfung durch konstante Reibungskraft (Coulombsche Reibkraft). Fr das Feder-Masse-System gilt €s þ w21 s ¼ Fr =m:

x¼0

¼ ð_s2 =2ÞðmF =3Þ ¼ kmF s_ 2 =2 also k ¼ 1=3; d. h., ein Drittel der Federmasse ist der schwingenden Masse m zuzuschlagen. Fr die Federn nach Bild 1 e und f ist k ¼ 33=140 und k ¼ 17=35.

(Minus bei Hingang und Plus bei Rckgang.) Die L
sung fr den ersten Rckgang mit den Anfangsbedingungen sðt0 ¼ 0Þ ¼ s0 ; s_ ðt0 ¼ 0Þ ¼ 0 lautet sðtÞ ¼ ðs0
Fr =cÞ cos w1 t þ Fr =c. Erste Umkehr fr w1 t1 ¼ p an der Stelle s1 ¼
ðs0
2Fr =cÞ, entsprechend folgen s2 ¼ þðs0
4Fr =cÞ und jsn j ¼ s0
n  2Fr =c. Die Schwingung bleibt erhalten, solange cjsn j ^ Fr ist, d. h. fr n % ðcs0
Fr Þ=ð2Fr Þ. Die Schwingungsamplituden nehmen linear mit der Zeit ab, also An
An
1 ¼ 2Fr =c ¼ const; die Amplituden bilden eine arithmetische Reihe. Geschwindigkeitsproportionale Dmpfung. In Schwingungsdmpfern (Gas- oder Flssigkeitsdmpfern) tritt eine Reibungskraft Fr ¼ kv ¼ k_s auf. Fr das Feder-Masse-System gilt (Bild 4 a) €s þ ðk=mÞ_s þ ðc=mÞs ¼ 0 bzw: €s þ 2d_s þ w21 s ¼ 0

ð5Þ

k Dmpfungskonstante, d ¼ k=ð2mÞ Abklingkonstante. L
sung fr schwache D
mpfung , also fr l2 ¼ w21
d2 > 0 : sðtÞ ¼ Ae
dt sinðlt þ bÞ, d. h. eine Schwingung mit gemß e
dt abklingender Amplitude und der Eigenkreisfrequenz des qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi gedmpften Systems l ¼ w21
d2 (Bild 4 b). Die EigenBild 2 a–c. Harmonische Schwingung. a Schwinger; b Federkennlinie; c Weg-Zeit-Funktion

kreisfrequenz wird mit zunehmender Dmpfung kleiner, die Schwingungsdauer T ¼ 2p=l entsprechend gr
ßer. Nullstellen von s(t) bei t ¼ ðnp
bÞ=l, Extremwerte bei tn ¼ ½arctanðl=dÞ þ np
b=l, Berhrungspunkte bei tn0 ¼ ½ð2n þ 1Þp=2
b=l, tn0
tn ¼ const ¼ ½arctanðd=lÞ=l: Verhltnis der Amplituden jsn
1 j=jsn j ¼ const ¼ edp=l ¼ edT=2 ¼ q:

Bild 3 a–c. Federn. a, b Parallelschaltung; c Reihenschaltung

Logarithmisches Dekrement J ¼ lnq ¼ dT=2 liefert d=2J/T bzw. k=2md aus Messung der Schwingungsdauer.

B 38

Mechanik – 4 Schwingungslehre

B

Bild 5 a–e. Erzwungene Schwingung. a Kinematische und b dynamische Erregung; c Schwebung; d Resonanzverhalten; e Einschwingvorgang

Bild 4 a–d. Gedmpfte freie Schwingung. a Schwinger; b schwache und c starke Dmpfung; d Verhltnis Eigenkreisfrequenz gedmpft zu ungedmpft

Bei starker D
mpfung, also l2 ¼ d2
w21 ^ 0, stellt sich eine aperiodische Bewegung ein mit den L
sungen sðtÞ ¼ e
dt ðC1 elt þ C2 e
lt Þ f
r l2 > 0 und

Gemß den jeweiligen Anfangsbedingungen ðs0 ; u0 Þ ergeben sich unterschiedliche Bewegungsablufe (Bild 4 c). 4.1.3 Unged
mpfte erzwungene Schwingungen Erzwungene Schwingungen haben ihre Ursache in kinematischer Fremderregung (z. B. Bewegung des Aufhngepunkts) oder dynamischer Fremderregung (Unwuchtkrfte an der Masse). Bei kinematischer Erregung (z. B. nach Bild 5 a) gilt ð6Þ

bei dynamischer Erregung (z. B. nach Bild 5 b) ðm þ 2m1 Þ€s þ cs ¼ 2m1 ew2 sin wt; d: h: €s þ w21 s ¼ w2 R sin wt;

ð7Þ

w21

¼ c=ðm þ 2m1 Þ; R ¼ 2m1 e=ðm þ 2m1 Þ. Die beiden mit Gleichungen unterscheiden sich nur durch den Faktor auf der rechten Seite. Fr beliebige periodische Erregungen f(t) gilt €s þ w21 s ¼ f ðtÞ;

ZT mit den Fourierkoeffizienten aj ¼ ð2=TÞ f ðtÞ cos jwt dt, ZT 0 bj ¼ ð2=TÞ f ðtÞ sin jwt dt: Ist sj ðtÞ eine L
sung der Differen0

sðtÞ ¼ e
dt ðC1 þ C2 tÞ f
r l2 ¼ 0:

m€s þ cðs
r sin wtÞ ¼ 0; d: h: €s þ w21 s ¼ w21 r sin wt;

wobei f(t) durch eine Fourierreihe (harmonische Entwicklung) darstellbar ist (s. www.dubbel.de): X ð9Þ f ðtÞ ¼ ðaj cos jwt þ bj sin jwtÞ; w ¼ 2p=T;

ð8Þ

tialgleichung €sj þ w21 sj ¼ aj cos jwt þ bj sin jwt, so ist die GeX samtl
sung sðtÞ ¼ sj ðtÞ. Die Untersuchung des Grundfalls €s þ w21 s ¼ b sin wt zeigt, dass sich die L
sung aus einem homogenen und einem partikulren Anteil zusammensetzt (s. www.dubbel.de), sðtÞ ¼ sh ðtÞ þ sp ðtÞ ¼ A sinðw1 t þ bÞ þ ½b=ðw21
w2 Þ sin wt: Fr die Anfangsbedingungen sðt ¼ 0Þ ¼ 0 und s_ ðt ¼ 0Þ ¼ 0 ergibt sich sðtÞ ¼ ½b=ðw21
w2 Þ½sin wt
ðw=w1 Þ sin w1 t; d. h. die berlagerung der harmonischen Eigenschwingung mit der harmonischen Erregerschwingung. Fr w  w1 stellt der Verlauf von s(t) eine Schwebung (Bild 5 c) dar. Diese L
sung versagt im Resonanzfall w ¼ w1 . Sie lautet dann sðtÞ ¼ A sinðwt þ bÞ
ðb=wÞt cos wt bzw. fr sðt ¼ 0Þ ¼ 0 und s_ ðt ¼ 0Þ ¼ 0 sðtÞ ¼ ðb=w2 Þðsin wt
wt cos wtÞ; d. h., die Ausschlge gehen im Resonanzfall mit der Zeit gegen unendlich (Bild 5 d). Wirkt die Erregerfunktion gemß Gl. (9), so tritt auch Resonanz ein fr w1 ¼ 2w; 3w . . .

I4.2

Systeme mit mehreren Freiheitsgraden (Koppelschwingungen)

4.1.4 Ged
mpfte erzwungene Schwingungen Bei geschwindigkeitsproportionaler D
mpfung und harmonischer Erregung (s. B 4.1.3) gilt €s þ 2d_s þ w21 s ¼ b sin wt bzw: sðtÞ ¼ Ae
dt sinðlt þ bÞ þ C sinðwt
yÞ:

ð10Þ

Der erste Teil, die ged
mpfte Eigenschwingung, klingt mit der Zeit ab (Einschwingvorgang). Danach hat die erzwungene Schwingung dieselbe Frequenz wie die Erregung (Bild 5 e). Faktor C und Phasenverschiebung y im zweiten Teil (erregte Schwingung bzw. partikul
re Lsung) ergeben sich nach Einsetzen in die Differentialgleichung und Koeffizientenvergleich zu qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi C ¼ b= ðw21
w2 Þ2 þ 4d2 w2 und ð11Þ y ¼ arctan½2dw=ðw21
w2 Þ: Mit b ¼ w21 r bei kinematischer und b ¼ w2 R bei dynamischer Erregung ergeben sich die Vergrßerungsfaktoren (Bild 6 a, b) qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Vk ¼ 1= ð1
w2 =w21 Þ2 þ ð2dw=w21 Þ2 und

B 39

Verformung infolge der Fliehkr
fte, so folgt aus dem Gleichgewicht zwischen elastischer Rckstell- und Fliehkraft cw1 ¼ m1 w2 ðe þ w1 Þ; w1 ¼ e

ðw=w1 Þ2 1
ðw=w1 Þ2

:

ð12Þ

Fr w ¼ w1 folgt w1 ! 1, also Resonanz (Bild 7 b). Dagegen stellt sich fr w=w1 ! 1 der Wert w1 ¼
e ein, d. h., die Welle zentriert sich oberhalb w1 selbst, der Schwerpunkt liegt fr w ! 1 genau auf der Verbindungslinie der Auflager. Fr e ¼ 0 folgt aus Gl. (12) w1 ðc
m1 w2 Þ ¼ 0, d. h. w1 6¼ 0 fr pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi w ¼ c=m1 ¼ w1 , also kritische Drehzahl n ¼ w=ð2pÞ ¼ w1 =ð2pÞ ¼ u1 . Fr andere Lagerungsarten ist ein entsprechendes c einzusetzen (s. B 4.1.1). Die D
mpfung ist in der Regel fr umlaufende Wellen sehr gering und hat kaum Einfluss auf die kritische Drehzahl.

4.2 Systeme mit mehreren Freiheitsgraden (Koppelschwingungen) In Bild 8 a–c sind zwei Zwei-Massensysteme mit zwei Freiheitsgraden dargestellt, die elastisch usw. verbunden bzw. ge-

Vd ¼ Vk ðw=w1 Þ2 : Aus dVk =dw ¼ 0 folgt fr die Resonanzstellen w bei kinemaqffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi tischer Erregung w=w1 ¼ 1
2d2 =w21 bzw. bei dynamiqffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi scher Erregung w=w1 ¼ 1= 1
2d2 =w21 . Die Resonanzpunkte liegen also bei kinematischer Erregung im unterkritischen, bei dynamischer Erregung im berkritischen Bereich (Bild 6 a, b). Die Resonanzamplitude ist C ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 2 ðb=2dÞ= w1
d . Fr den Phasenwinkel y nach Gl. (11) gilt fr beide Erregungsarten Bild 6 c. Fr w < w1 ist y < p=2, fr w > w1 ist y > p=2. Ohne Reibung ðd ¼ 0Þ sind fr w < w1 Erregung und Ausschlag in Phase, fr w > w1 sind sie entgegengesetzt gerichtet. 4.1.5 Kritische Drehzahl und Biegeschwingung der einfach besetzten Welle Kritische Drehzahl und (Hertzsche) Biegeeigenfrequenz sind identisch (wenn die Kreiselwirkung bei nicht in der Mitte der Sttzweite sitzender Scheibe (Bild 7 a) und die Federungseigenschaft der Lager vernachl
ssigt wird [1, 2]). Fr die Biepffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi geeigenfrequenz gilt w1 ¼ c=m1 (bei Vernachl
ssigung der Wellenmasse) mit c ¼ 3EIy l=ða2 b2 Þ (s. B 4.1.1 und C 2 Tab. 5 a). Ist e die Exzentrizit
t der Scheibe und w1 die elastische

Bild 7 a, b. Kritische Drehzahl. a Einfach besetzte Welle; b Resonanzbild

Bild 6 a–c. Ged
mpfte erzwungene Schwingung. a Vergrßerungsfaktor bei kinematischer und b dynamischer Erregung; c Phasenwinkel y

B

B 40

Mechanik – 4 Schwingungslehre

tionsgesetz, und die Gesamtlsung lautet s1 ¼ A1 sinðw1 t þ b1 Þ þ A2 sinðw2 t þ b2 Þ; s2 ¼ B1 sinðw1 t þ b1 Þ þ B2 sinðw2 t þ b2 Þ:

B

ð16 a, bÞ

Nach Gl. (15 a) gilt A1 =B1 ¼ c2 ðc
m1 w21 Þ ¼ 1=k1 bzw. A2 =B2 ¼ c2 =ðc
m1 w22 Þ ¼ 1=k2 und damit aus Gl. (16 b) s2 ¼ k1 A1 sinðw1 t þ b1 Þ þ k2 A2 sinðw2 t þ b2 Þ:

ð16 cÞ

Die Gln. (16 a und c) enthalten vier Konstanten A1 , A2 , b1 , b2 zur Anpassung an die vier Anfangsbedingungen. Der Schwingungsvorgang ist nur dann periodisch, wenn w1 und w2 in einem rationalen Verh
ltnis zueinander stehen. Wenn w1  w2 ist, treten Schwebungen auf. Bei mehr als zwei Freiheitsgraden ist fr jeden ein Ansatz gem
ß Gl. (14) zu machen. Aus der gleich Null gesetzten Koeffizientendeterminante ergibt sich eine charakteristische Gleichung n-ten Grads, aus der die n Eigenkreisfrequenzen folgen. Fr die ged
mpfte Schwingung lauten die Differentialgleichungen bei zwei Freiheitsgraden fr das System nach Bild 8 a m1€s1 þ k1 s_ 1 þ ðc1 þ c2 Þs1
c2 s2 ¼ 0; m2€s2 þ k2 s_ 2 þ c2 s2
c2 s1 ¼ 0:
kt und s2 ¼ Be
kt ergibt sich wieder Mit dem Ansatz s1 ¼ Ae eine Gleichung vierten Grads mit paarweise konjugiert komplexen Wurzeln k1 ¼
r1 þ iw1 usw. und damit die endgltige Lsung s1 ðtÞ ¼ e
r1 t A1 sinðw1 t þ b1 Þ þ e
r2 t A2 sinðw2 t þ b2 Þ; s2 ðtÞ ¼ e
r1 t B1 sinðw1 t þ b1 Þ þ e
r2 t B2 sinðw2 t þ b2 Þ:

Bild 8 a–c. Koppelschwingungen. a Grundsystem, b analoges System; c Resonanzkurven bei zwei Freiheitsgraden

Zwischen A1 und B1 bzw. A2 und B2 besteht wieder ein linearer Zusammenhang analog zur unged
mpften Schwingung. 4.2.2 Erzwungene Schwingungen mit zwei und mehr Freiheitsgraden

koppelt sind. Ein System mit n Freiheitsgraden hat n Eigenfrequenzen. Die Herleitung der n gekoppelten Differentialgleichungen erfolgt bei mehreren Freiheitsgraden zweckm
ßig mit Hilfe der Lagrangeschen Gleichungen (s. B 3.3.6).

Fr ein unged
mpftes System nach Bild 8 a gilt

s1 ¼ C1 sinðwt
y1 Þ; s2 ¼ C2 sinðwt
y2 Þ

m1€s1 ¼
c1 s1 þ c2 ðs2
s1 Þ; m2€s2 ¼
c2 ðs2
s1 Þ bzw: m1€s1 þ ðc1 þ c2 Þs1
c2 s2 ¼ 0; m2€s2 þ c2 s2
c2 s1 ¼ 0; ð13Þ s1 ; s2 Auslenkungen aus der statischen Ruhelage. Der Lsungsansatz (s. B 4.1.1) ð14Þ

liefert mit c ¼ c1 þ c2 Aðm1 w2
cÞ þ Bc2 ¼ 0 und Ac2 þ Bðm2 w2
c2 Þ ¼ 0:

m1€s1 þ ðc1 þ c2 Þs1
c2 s2 ¼ b1 sin wt; m2€s2 þ c2 s2
c2 s1 ¼ 0:

ð17Þ

Da der homogene Lsungsanteil infolge der stets vorhandenen schwachen D
mpfung w
hrend des Einschwingvorgangs abklingt, gengt die Betrachtung der partikul
ren Lsung. Hierfr folgen mit dem Ansatz

4.2.1 Freie Schwingungen mit zwei und mehr Freiheitsgraden

s1 ¼ A sinðwt þ bÞ und s2 ¼ B sinðwt þ bÞ

Fr ein unged
mpftes System nach Bild 8 a mit kinematischer oder dynamischer Erregung b1 sin wt der Masse m1 gilt

ð15 a, bÞ

Dieses lineare homogene Gleichungssystem fr A und B hat nur dann von null verschiedene Lsungen, wenn die Nennerdeterminante verschwindet (s. www.dubbel.de), d. h. m1 m2 w4
ðm1 c2 þ m2 cÞw2 þ ðcc2
c22 Þ ¼ 0 wird. Die beiden Lsungen w1 und w2 dieser charakteristischen Gleichung sind die Eigenkreisfrequenzen des Systems. Da die Differentialgleichungen linear sind, gilt das Superposi-

ð18Þ

durch Einsetzen in Gl. (17) und Koeffizientenvergleich y1 ¼ 0, y2 ¼ 0 sowie mit c1 þ c2 ¼ c C1 ðm1 w2
cÞ þ C2 c2 ¼
b1 ; C1 c2 þ C2 ðm2 w2
c2 Þ ¼ 0:

ð19Þ

Hieraus C1 ¼ Z1 =N und C2 ¼ Z2 =N, wobei die Nennerdeterminante N ¼ m1 m2 w4
ðm1 c2 þ m2 cÞw2 þ ðcc2
c22 Þ mit der in der charakteristischen Gleichung in B 4.2.1 bereinstimmt. Resonanz tritt auf, wenn N ¼ 0 wird, d. h. fr Eigenkreisfrequenzen w1 und w2 des freien Schwingers. Die Z
hlerdeterminanten sind Z1 ¼ b1 ðc2
m2 w2 Þ, Z2 ¼ b1 c2 . Fr kinematische Erregung ðb1 ¼ w21 rÞ sind in Bild 8 c die Amplituden C1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi und C2 als Funktion von w dargestellt. Fr w ¼ c2 =m2 wird C1 ¼ 0 und C2 relativ klein, d. h., die Masse m1 ist in Ruhe (Masse m2 wirkt als Schwingungstilger). Bei n Massen treten Resonanzen bei den n Eigenfrequenzen auf. Dabei mssen die Ausschl
ge nicht immer gegen unendlich gehen, einige knnen auch endlich bleiben (Scheinresonanz [1]).

I4.2

Systeme mit mehreren Freiheitsgraden (Koppelschwingungen)

F
r die ged
mpfte erzwungene Schwingung nimmt z. B. die Gl. (17) die Form m1€s1 þ k_s1 þ cs1
c2 s2 ¼ b1 sin wt; m2€s2 þ k2 s_ 2 þ c2 s2
c2 s1 ¼ 0

ð20Þ

an ðc ¼ c1 þ c2 Þ. Ohne den Einschwingvorgang, d. h. den homogenen Lsungsteil, und mit dem erzwungenen (partikulren) Teil der Lsung nach Gl. (18) folgen nach Einsetzen in Gl. (20) und Koeffizientenvergleich die Werte f
r die Amplituden C1 , C2 und die Phasenwinkel y1 , y2 . Resonanz ist vorhanden, wenn C1
C2 ¼ Extr:, d. h. w1 und w2 folgen aus dðC1
C2 Þ=dt ¼ 0. Bei einem System von n Massen wird der Rechenaufwand sehr groß. Daher begn
gt man sich bei schwacher Dmpfung mit der Ermittlung der Eigenfrequenzen f
r das ungedmpfte System. 4.2.3 Eigenfrequenzen unged
mpfter Systeme Biegeschwingungen und kritische Drehzahlen mehrfach besetzter Wellen. Hertzsche Frequenzen der Biegeeigenschwingungen und kritische Drehzahlen (ohne Kreiselwirkung) sind identisch. Mit si ¼ wi sin wt folgt unter Ber
cksichtigung der Trgheitskrfte
mi€si ¼ mi w2 wi sin wt f
r die Biegeschwingung (Bild 8 b) s1 ¼
a11 m1€s1
a12 m2€s2 ; s2 ¼
a21 m1€s1
a22 m2€s2

ð21Þ

bzw. w1 ¼ a11 m1 w2 w1 þ a12 m2 w2 w2 ; w2 ¼ a21 m1 w2 w1 þ a22 m2 w2 w2 :

ð22Þ

Gleichung (22) entsteht auch f
r die umlaufende Welle mit den Zentrifugalkrften mi w2 wi : Die aik sind Einflusszahlen; sie sind gleich der Durchbiegung wi infolge einer Kraft Fk ¼ 1. Ihre Berechnung erfolgt zweckmßig mit dem Prinzip der virtuellen Verr
ckungen f
r elastische Krper aus Z aik ¼

Mi Mk dx=EIy oder nach dem Mohrschen Verfahren

oder anderen Methoden (Tabellenwerte, Integration usw.; s. C 2.4.8). Es gilt aik ¼ aki (Satz von Maxwell). Aus Gl. (22) folgt 2

w1 ða11 m1
1=w Þ þ w2 a12 m2 ¼ 0; w1 a21 m1 þ w2 ða22 m2
1=w2 Þ ¼ 0:

ð23Þ

Sie haben nur nichttriviale Lsungen, wenn die Determinante null wird, d. h. (mit 1=w2 ¼ W), wenn W2
ðm1 a11 þ m2 a22 ÞW þ ða11 a22
a12 a21 Þm1 m2 ¼ 0 ist. Hieraus folgen zwei Lsungen W1;2 bzw. w1;2 f
r die Eigenkreisfrequenzen. F
r das Verhltnis der Amplituden ergibt sich aus Gl. (23) w2 =w1 ¼ ð1=w2
a11 m1 Þ=ða12 m2 Þ. F
r die n-fach besetzte Welle erhlt man analog n Eigenfrequenzen aus einer Gleichung n-ten Grades. N
herungswerte mit dem Rayleighschen Quotienten. Aus
max folgt der Rayleighsche Quotient Umax ¼ Emax ¼ w2 E
max : R ¼ w2 ¼ Umax =E Z Umax ¼ ð1=2Þ Mb2 ðxÞ dx=ðEIy Þ; Z X
max ¼ ð1=2Þ w2 ðxÞ dm þ ð1=2Þ E mi w2i :

B 41

und Biegemomentenlinie infolge Eigengewichts) ergeben sich gute Nherungen f
r R1 bzw. w1 (erste Eigenkreisfrequenz). Der Nherungswert ist stets grßer als der wirkliche Wert. Durch X einen Ritzschen Ansatz mehrerer Funktionen wðxÞ ¼ ck uk ðxÞ folgen aus Z
max ¼ ð1=2Þ ½EIy w002 ðxÞ I ¼Umax
w2 E X mi w2i ¼ Extr:;
w2 w2 ðxÞrAdx
ð1=2Þw2 d. h. ¶I=¶cj ¼ 0 ðj ¼ 1; 2; . . . ; nÞ; n homogene lineare Gleichungen und durch Nullsetzen der Determinante eine Gleichung n-ten Grades f
r die n Eigenkreisfrequenzen als Nherung. Mglich ist auch, die Eigenfunktion f
r jeden hheren Eigenwert f
r sich zu schtzen, ihn aus Gl. (24) direkt zu ermitteln und gegebenenfalls schrittweise zu verbessern [1–3]. Drehschwingungen der mehrfach besetzten Welle. Verf
gbar sind hnliche Verfahren wie bei Biegeschwingungen (s. O 2.7). 4.2.4 Schwingungen der Kontinua Ein massebehaftetes Kontinuum hat unendlich viele Eigenkreisfrequenzen. Als Bewegungsgleichungen erhlt man aus den dynamischen Grundgesetzen partielle Differentialgleichungen. Die Befriedigung der Randbedingungen liefert transzendente Eigenwertgleichungen. F
r Nherungslsungen geht man vom Rayleighschen Quotienten und vom Ritzschen Verfahren (B 4.2.3) aus. Biegeschwingungen von St
ben. Die Differentialgleichung
 ¶2 w ¶2 ¶2 w bzw. f
r freie lautet rA 2 ¼
pðx; tÞ
2 EIy 2 ¶x ¶t ¶x Schwingung und konstanten Querschnitt ¶2 w=¶t2 ¼
c2 ¶4 w=¶x4 ; c2 ¼ EIy =ðrAÞ:

ð25Þ

Der Produktansatz von Bernoulli (s. www.dubbel.de) wðx; tÞ ¼ XðxÞTðtÞ eingesetzt in Gl. (25) liefert € ¼
c2 X ð4Þ =X ¼
w2 ; X T€ ¼
c2 X ð4Þ T bzw: T=T d. h. T€ þ w2 T ¼ 0 und X ð4Þ
ðw2 =c2 ÞX ¼ 0. Mit l4 ¼ ðw2 =c2 Þl4 lautet die Lsung wðx; tÞ ¼A sinðwt þ bÞ½C1 cosðlx=lÞ þ C2 sinðlx=lÞ þ C3 coshðlx=lÞ þ C4 sinhðlx=lÞ:

ð26Þ

F
r den Stab nach Bild 9 a lauten die Randbedingungen Xð0Þ ¼ 0, X 0 ð0Þ ¼ 0, X 00 ðlÞ ¼ 0, X 000 ðlÞ ¼ 0. Damit folgt aus Gl. (26) die Eigenwertgleichung cosh l cos l ¼
1 mit den Eigenwerten l1 ¼ 1;875; l2 ¼ 4;694; l3 ¼ 7;855 usw. F
r die Stbe nach Bild 9 b–d ergeben sich die ersten drei Eigenwerte zu l1 ¼ p; 3;927; 4;730; l2 ¼ 2p; 7;069; 7;853; l3 ¼ 3p; 10;210; 10;996.

ð24Þ

w(x) und Mb ðxÞ ¼ EIy w00 ðxÞ sind Biegelinie und Biegemomentenlinie bei Schwingung. F
r die wirkliche Biegelinie (Eigenfunktion) wird R zum Minimum. F
r eine die Randbedingungen befriedigende Vergleichsfunktion (z. B. Biegelinie

Bild 9 a–d. Biegeschwingung von Stben. a Einseitig eingespannt; b gelenkig gelagert; c gelenkig gelagert und eingespannt; d beidseitig eingespannt

B

B 42

B

Mechanik – 4 Schwingungslehre

F
r Stbe mit zustzlichen Einzelmassen ist die Lsung Gl. (26) f
r jeden Abschnitt anzusetzen. Nach Erf
llen der bergangsbedingungen usw. erhlt man die Frequenzgleichung. Da der Aufwand groß ist, wird die Nherung mit dem Rayleighschen Quotienten und dem Ritzschen Verfahren (s. B 4.2.3 und folgendes Beispiel) verwendet.

Lsung und Eigenwerte wie bei Lngsschwingungen. Bei zustzlich mit Drehmassen besetzten Stben gelten entsprechende Bemerkungen wie bei Biegeschwingungen. Der Rayleigh
max mit sche Quotient ist R ¼ w2 ¼ Umax =E Z Z
¼ ð1=2Þ ðJ=lÞf 2 ðxÞ dx: Umax ¼ ð1=2Þ GIt f 02 ðxÞ dx; E Schwingungen von Saiten (straff gespannte Seile). Hier gilt ¶2 w=¶t2 ¼ c2 ¶2 w=¶x2 ; c2 ¼ S=m

(S Spannkraft, m Masse pro Lngeneinheit). Lsung von Gl. (30) s. Gl. (28). Eigenfrequenzen wk ¼ kpc=l ðk ¼ 1; 2; . . .Þ, l
max Saitenlnge. Rayleighscher Quotient R ¼ wZ2 ¼ Umax =E Z

Unter Ausnutzung der Symmetrie folgt: 
2 Zl=2
max ¼ 1 2 r A 2½ f ð xÞ
2 d x þ 1 mk f x ¼ l E 2 2 2

mit Umax ¼ ð1=2ÞS

Zl=2

    F l3 x 2 x3 3 4 (s. C 2.4.8 Tab. 5 b 48 E Iy l l       2 x x 3 Belastungsfall 6) ) f ð xÞ ¼ 3 4 l l Damit ergibt sich: rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi vffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi E Iy Umax u 192 w1 ¼
 ¼u mit ms ¼ Masse des StaEmax t l3 13 ms þ mk 35 bes. W
rde man die Masse des Stabes ms konzentriert zustzlich an der Stelle l=2 anbringen und den Stab selbst als Feder ausf
hren, ergibt sich rffiffiffiffi rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi E Iy c 192 w1 ¼  ¼ . l3 ðms þ mk Þ m Ansatz: wð xÞ ¼

L
ngsschwingungen von St
ben. Die Differentialgleichung   ¶2 u ¶ ¶u EA lautet rA 2 ¼ bzw. f
r A ¼ const ¶t ¶x ¶x ð27Þ

mit der Lsung uðx; tÞ ¼ A sinðwt þ bÞ½C1 cosðwx=cÞ þ C2 sinðwx=cÞ
: ð28Þ Nach Erf
llen der Randbedingungen ergeben sich folgende Eigenkreisfrequenzen: Stab an einem Ende fest, am anderen frei: wk ¼ ðk  1=2Þpc=l ðk ¼ 1; 2; . . .Þ; Stab an beiden Enden fest : wk ¼ kpc=l ðk ¼ 1; 2; . . .Þ; Stab an beiden Enden frei : wk ¼ kpc=l ðk ¼ 1; 2; . . .Þ: Bei zustzlich mit Einzelmassen besetztem Stab gelten die f
r Biegeschwingungen gemachten Bemerkungen entsprechend. Der Rayleighsche Quotient ist
max mit R ¼ w2 ¼ Umax =E Z Z
¼ ð1=2Þ rAf 2 ðxÞ dx; Umax ¼ ð1=2Þ EAf 02 ðxÞ dx; E wenn f(x) eine die Randbedingungen erf
llende Vergleichsfunktion ist (s. auch B 4.2.3). Torsionsschwingungen von St
ben. Hier gilt   ¶2 j ¶ ¶j J 2 ¼ GIt ¶t ¶x ¶x bzw. f
r It ¼ const ¶2 j=¶t2 ¼ c2 ¶2 j=¶x2 ; c2 ¼ ðGIt Þ=ðJ=lÞ:

f 2 ðxÞdx. f(x)

Schwingungen von Membranen. F
r die Rechteckmembran gilt

2

½ f 00 ð xÞ
d x

0

¶2 u=¶t2 ¼ c2 ¶2 u=¶x2 ; c2 ¼ ðEAÞ=ðr AÞ ¼ E=r;


max ¼ ð1=2Þm f 02 ðxÞ dx; E

ist eine die Randbedingungen befriedigende Vergleichsfunktion (s. auch B 4.2.3).

0

1 Umax ¼ 2 E Iy 2

ð30Þ

ð29Þ

Sð¶2 w=¶x2 þ ¶2 w=¶y2 Þ ¼ m ¶2 w=¶t2

ð31Þ

(S Spannkraft je Lngeneinheit, m Masse je Flcheneinheit) mit der Lsung wðx; y; tÞ ¼ A sinðwt þ bÞ½C1 cos lx þ C2 sin lx
 ½D1 cos ky þ D2 sin ky
:

ð32Þ

Mit a und b als Seitenlngen gilt f
r Eigenwerte lj ¼ jp=a, kk ¼ kp=b ðj; k ¼ 1; 2; . . .Þ. Eigenkreisfrequenzen: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi wjk ¼ p ðS=mÞ½j2 =a2 þ k2 =b2
ðj; k ¼ 1;2; . . .Þ:
max mit Rayleighscher Quotient: R ¼ w2 ¼ Umax =E ZZ "
2
2 # ¶f ¶f þ Umax ¼ ðS=2Þ dx dy; ¶x ¶y ZZ
max ¼ ðm=2Þ f 2 ðx; yÞdx dy: E f(x, y) ist eine die Randbedingungen erf
llende Vergleichsfunktion (s. auch B 4.2.3). F
r die Kreismembran gilt in Polarkoordinaten mit c2 ¼ S=m
2  ¶2 w ¶ w 1 ¶w 1 ¶2 w ¼ c2 þ þ 2 2 ð33Þ 2 2 ¶t ¶r r ¶r r ¶j mit der Lsung wðr; j; tÞ ¼ A sinðwt þ bÞðC cos nj þ D sin njÞ  Jn ðwr=cÞ ðn ¼ 0; 1; 2; . . .Þ: ð34Þ Jn ðwr=cÞ sind Besselsche Funktionen erster Art [4]. (F
r rotationssymmetrische Schwingungen ist n ¼ 0.) Eigenwerte wnj ¼ ðc=aÞxnj (a Radius der Membran, xnj Nullstellen der Besselschen Funktionen): x01 ¼ 2;405; x02 ¼ 5;520; x11 ¼ 3;832; x12 ¼ 7;016; x21 ¼ 5;135 usw.
max . Rayleighscher Quotient: R ¼ w2 ¼ Umax =E F
r rotationssymmetrische Schwingungen ist Z
2 df Umax ¼ ðS=2Þ 2pr dr und dr Z
max ¼ ðm=2Þ f 2 ðrÞ2pr dr: E Biegeschwingungen von Platten. Die Differentialgleichung lautet mit der Plattensteifigkeit N ¼ Eh3 =½12ð1  u2 Þ
f
r die Rechteckplatte
 ¶2 w N N ¶4 w ¶4 w ¶4 w ¼  DDw ¼  þ2 2 2 þ 4 : ð35Þ 2 4 ¶t rh rh ¶x ¶x ¶y ¶y

I4.3 Mit a und b als Seitenl
ngen gilt fr die gelenkig gelagerte Platte wðx; y; tÞ ¼ A sinðwt þ bÞ sinðjpx=aÞ sinðkpy=bÞ: ð36Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 2 2 2 2 Eigenwerte: wjk ¼ ðj =a þ k =b Þp N=ðrhÞ ðj; k ¼ 1; 2; . . .Þ.
max mit Rayleighscher Quotient: R ¼ w2 ¼ Umax =E 2 ZZ " 2 2 ¶ f ¶ f Umax ¼ ðN=2Þ þ ¶x2 ¶y2  2 2 !# ¶2 f ¶2 f ¶ f
2ð1
uÞ
dx dy und 2 2 ¶x ¶y ¶x ¶y ZZ
max ¼ ðrh=2Þ f 2 ðx,yÞ dx dy: E f(x, y) ist eine die Randbedingungen befriedigende Vergleichsfunktion (s. B 4.2.3). Fr die Kreisplatte ist bei rotationssymmetrischer Schwingung w ¼ wðr; tÞ ¼ f ðrÞ sinðwt þ bÞ und somit nach Gl. (35) ðw2 rh=NÞf ðrÞ ¼ l4 f ðrÞ ¼ DDf ðrÞ, d. h. DDf
l4 f ¼ 0 bzw. ðD þ l2 ÞðD
l2 Þ½f  ¼ 0. Hieraus folgen die Differentialgleichungen Df þ l2 f ¼ 0 und Df
l2 f ¼ 0 bzw:

ð37Þ

d2 f =dr 2 þ ð1=rÞ df =dr þ l2 f ¼ 0 und

B 43

Fr die eingespannte Kreisplatte folgt aus Gl. (38) die Eigenwertgleichung J0 ðlaÞI1 ðlaÞ þ I0 ðlaÞJ1 ðlaÞ ¼ 0 mit den Lsungen l1 a ¼ 3;190; l2 a ¼ 6;306; l3 a ¼ 9;425. Hieraus pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi w ¼ l2 N=ðrhÞ.
max . Fr rotationsRayleighscher Quotient R ¼ w2 ¼ Umax =E symmetrische Schwingung ist 2 Z " 2 d f 1 df þ Umax ¼ ðN=2Þ 2 dr r dr  1 df d2 f
2ð1
uÞ 2pr dr und r dr dr 2 Z
max ¼ ðrh=2Þ f 2 ðrÞ2pr dr: E

4.3 Nichtlineare Schwingungen Schwingungsprobleme dieser Art fhren auf nichtlineare Differentialgleichungen. Nichtlineare Schwingungen entstehen z. B. durch nichtlineare Federkennlinien oder Rckstellkr
fte (physikalisches Pendel mit großen Ausschl
gen) oder durch nicht nur vom Ausschlag, sondern auch von der Zeit abh
ngige Rckstellkr
fte (z. B. Pendel mit bewegtem Aufh
ngepunkt). 4.3.1 Schwinger mit nichtlinearer Federkennlinie oder R
ckstellkraft

d2 f =dr 2 þ ð1=rÞ df =dr
l2 f ¼ 0: Superponierte Lsungen der Besselschen Differentialgln. (37) sind f ðrÞ ¼ C1 J0 ðlrÞ þ C2 N0 ðlrÞ þ C3 I0 ðlrÞ þ C4 K0 ðlrÞ

Nichtlineare Schwingungen

ð38Þ

(N0 Neumannsche Funktion, I0 und K0 modifizierte Besselsche Funktionen [8]). Fr die gelenkig gelagerte Platte mit Radius a folgt aus Gl. (38) die Eigenwertgleichung     I1 ðlaÞ J1 ðlaÞ J0 ðlaÞ I0 ðlaÞ
þ I0 ðlaÞ J0 ðlaÞ
¼ 0 ð39Þ la la mit den Lsungen l1 a ¼ 2;108; l2 a ¼ 5;42; l3 a ¼ 8;59. Hiepffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi raus w ¼ l2 N=ðrhÞ.

Es gilt m€s ¼ FðsÞ (Bild 10 a), n
herungsweise FðsÞ ¼
csð1 þ es2 Þ (e > 0 berlineare, e < 0 unterlineare Kennlinie). Freie ungedmpfte Schwingungen. Die Differentialgleichung lautet €s þ w21 sð1 þ es2 Þ ¼ 0 bzw: €s þ w21 s þ w21 es3 ¼ 0:

ð40Þ

s_ €s þ w21 s_ s þ w21 e_ss3

Multiplikation mit s_ liefert ¼ 0 und hieraus nach Integration mit den Anfangsbedingungen sðt ¼ 0Þ ¼ s0 , s_ ðt ¼ 0Þ ¼ u0 und Trennen der Variablen s_ 2 þ w21 ðs2 þ e s4 =2Þ ¼ u20 þ w21 ðs20 þ e s40 =2Þ ¼ C2 ;

Bild 10 a–c. Nichtlineare Schwingungen. a Federkennlinien; b Resonanzdiagramme; c Struttsche Karte (schraffierte Lsungsgebiete sind stabil)

ð41Þ

B

B 44

tðsÞ ¼

B

Mechanik – 5 Hydrostatik (Statik der Flssigkeiten)

Zs

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ds= C2
w21 s2
w21 es4 =2:

ð42Þ

s0

Das Integral ergibt nach Umformung [5, 6] ein elliptisches Integral 1. Gattung [7]. Schwingungsdauer und Frequenz werden abh
ngig vom Grßtausschlag. Fr kleine Ausschl
ge ergibt sich durch schrittweise N
herung [1] fr die Frequenz pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi w ¼ w21 ð1 þ 0;75eA2 Þ; A Amplitude des Schwingungsausschlags. Das physikalische Pendel l
sst sich mit der reduzierten Pendell
nge l ¼ J0 =ðmrS Þ (s. B 3.6.3) auf ein mathematisches mit € þ ðg=lÞ sin j ¼ 0 zurckfhren. Die Lsung fhrt wieder auf j ein elliptisches Integral 1. Gattung mit der Schwingungsdauer pffiffiffiffiffiffiffi T ¼ l=gFðp=2; kÞ fr das hin- und herschwingende Pendel ðk2 ¼ w21 l=ð4gÞ < 1Þ. Fr kleinere Ausschl
ge ergibt sich die pffiffiffiffiffiffiffi N
herungslsung [1] T ¼ 2p l=gð1 þ A2 =16Þ. Erzwungene Schwingungen. Die Differentialgleichung lautet €s þ 2d_s þ w21 ð1 þ es2 Þs ¼ a0 cosðwt þ bÞ

ð43Þ

fr geschwindigkeitsproportionale D
mpfung und periodische Erregerkraft. Mit s ¼ A cos wt folgt aus Gl. (43) nach Koeffizientenvergleich ½ðw21
w2 þ 0;75w21 eA2 Þ2 þ 4d2 w2 A2 ¼ a20 :

ð44Þ

5 Hydrostatik (Statik der Fl
ssigkeiten) Flssigkeiten und Gase unterscheiden sich im wesentlichen durch ihre geringe bzw. starke Kompressibilit
t. Sie haben viele gemeinsame Eigenschaften und werden einheitlich als Fluide bezeichnet. Sie sind leicht verschieblich und nehmen jede
ußere Form ohne wesentlichen Widerstand an; meist knnen sie als homogenes Kontinuum angesehen werden. Druck. p ¼ dF=dA ist in ruhenden Flssigkeiten richtungsunabh
ngig, d. h. eine skalare Ortsfunktion, da aus dem Newtonschen Schubspannungsansatz txy ¼ hð¶ux =¶y þ ¶uy =¶xÞ fr ux ¼ uy ¼ 0 sich txy ¼ 0 und entsprechend txz ¼ tyz ¼ 0 ergibt. Damit folgt aus den Gleichgewichtsbedingungen px ¼ py ¼ pz ¼ pðx; y; zÞ. An den Begrenzungsfl
chen steht p wegen t ¼ 0 senkrecht zur Fl
che. Dichte. r ¼ dm=dV. Flssigkeiten sind geringfgig kompressibel; es gilt dV=V ¼ dp=E bzw. r ¼ r0 =ð1
Dp=EÞ. Elastizit
tsmodul E bei 0 C: fr Wasser 2;1  105 N=cm2 , fr Benzol 1;2  105 N=cm2 , fr Quecksilber 2;9  106 N=cm2 (dagegen fr Stahl 2;1  107 N=cm2 ). Fr die meisten Probleme knnen Flssigkeiten als inkompressibel angesehen werden. Gase sind kompressibel, d. h., die Dichte
ndert sich gem
ß r ¼ p=ðRTÞ (s. D 6.1.1). Kapillaritt und Oberflchenspannung. Flssigkeiten steigen oder sinken in Kapillaren als Folge der Molekularkr
fte zwischen Flssigkeit und Wand bzw. zwischen Flssigkeit und Luft. Molekularkr
fte erzeugen Oberfl
chenspannungen s (z. B. bei 20 C fr Wasser gegen Luft 0,073 N/m, fr Alkohol gegen Luft 0,025 N/m und fr Quecksilber gegen Luft 0,47 N/m). Die kapillare Steighhe betr
gt h ¼ 4s=ðdr gÞ ðd

Bild 10 b zeigt Amplituden als Funktion der Erregerfrequenz w (Resonanzkurven) fr e > 0 und e < 0. In bestimmten Bereichen gibt es mehrdeutige Lsungen. Der mittlere gestrichelte Ast ist nicht stabil und wird nicht durchlaufen. Je nachdem, ob w grßer oder kleiner wird, tritt in den Punkten P, Q, R, S ein Sprung in der Amplitude (Kippung) ein [5]. 4.3.2 Schwingungen mit periodischen Koeffizienten (rheolineare Schwingungen) Hier ist die Rckstellkraft nicht nur vom Ausschlag abh
ngig, sondern auch von einem ver
nderlichen Koeffizienten c ¼ cðtÞ (z. B. Pendel mit bewegter Aufh
ngung, Lokomotivstangenschwingung [1]). Fr die unged
mpfte Schwingung gilt m€s þ ½c
f ðtÞs ¼ 0 bzw. €s þ ½l þ gFðtÞs=0. Diese Gleichung heißt Hillsche Differentialgleichung, wenn F(t) periodisch ist [8]. Eine Sonderform dieser Gleichung ist die Mathieusche Differentialgleichung [1, 5, 8] €s þ ðl
2h cos 2tÞs ¼ 0:

ð45Þ

(Sie gilt z. B. fr Pendelschwingungen mit periodisch bewegtem Aufh
ngepunkt oder fr Biegeschwingungen eines Stabs unter pulsierender Axiallast.) Lsungen mit Mathieuschen Funktionen usw. s. [8]. s(t) zeigt als Funktion von l und h Gebiete stabilen und instabilen Verhaltens, d. h., ob Ausschl
ge kleiner oder grßer werden. Stabile und instabile Gebiete wurden von Strutt ermittelt und in der nach ihm benannten Struttschen Karte dargestellt (Bild 10 c).

Kapillarendurchmesser). Bei nicht benetzenden Flssigkeiten (z. B. Quecksilber) sinkt der Spiegel in der Kapillare. Druckverteilung in der Fl
ssigkeit. Wegen des Gleichgewichts fr ein Element (Bild 1 a) gilt p dA þ r g dA dz
ðp þ dpÞ dA ¼ 0; d: h: dp=dz ¼ r g bzw. nach Integration p ¼ pðx; y; zÞ ¼ r gz þ C: Mit pðz ¼ 0Þ ¼ p0 folgt p ¼ pðzÞ ¼ p0 þ r g z;

ð1Þ

d. h., der Druck h
ngt linear von der Tiefe z ab und ist von x und y unabh
ngig. Fr r g ¼ 0, d. h. ohne Bercksichtigung des Gewichts, folgt aus Gl. (1) pðx; y; zÞ ¼ p0 , d. h., der Pressdruck p0 pflanzt sich nach allen Orten hin gleich groß fort (Gesetz von Pascal). Druck auf ebene Wnde. Fr einen Beh
lter mit berdruck p
(Bild 1 b) berechnet man zun
chst die Ersatzspiegelhhe h
¼ p
=ðr gÞ. Von ihr werden die Koordinaten z und h gez
hlt ðz ¼ h sin bÞ. Die resultierende Druckkraft Z F ¼ r gz dA ¼ r gAzS ð2Þ greift im Druckmittelpunkt M an. Die Lage des Druckmittelpunkts ist gegeben durch e
y ¼ Ix =ðAhS Þ; ex ¼ I
x
y =ðAhS Þ;

ð3Þ

Ix axiales Fl
chenmoment 2. Ordnung, Ixy zentrifugales oder gemischtes Fl
chenmoment 2. Ordnung,
x und
y Achsen durch den Fl
chenschwerpunkt. Fr symmetrische Fl
chen ist Ix

y ¼ 0. Fr F
lle nach Bild 1 c gilt mit b ¼ 90
– Wand: I
x ¼ bh3 =12; F ¼ r gbh2 =2; e
y ¼ h=6; – Rechteckklappe:

I5

Hydrostatik (Statik der Flssigkeiten)

B 45

B

Bild 1 a–c. Hydrostatischer Druck. a Verteilung; b auf geneigte und c auf vertikale W
nde

I
x ¼ bh3 =12; F ¼ r gbhzS ; e
y ¼ h2 =ð12zS Þ; – Kreisklappe: I
x ¼ pd 4 =64; F ¼ r gzS pd2 =4; e
y ¼ d 2 =ð16zS Þ: Beispiel: Beh
lter mit Ablassklappe. Gegeben: p
¼ 0; 5 bar; H ¼ 2 m, b ¼ 60
. Zu berechnen ist die Grße und Lage der resultierenden Druckkraft auf eine kreisfrmige Klappe vom Durchmesser d = 500 mm. – Mit h
¼ p
=ðr gÞ ¼ ð0;5
105 N=m2 Þ=ð1 000 kg=m3
9;81 m=s2 Þ ¼ 5;097 m wird zS ¼ H þ h
¼ 7;097 m, nach Gl. (2) F ¼ r gðpd2 =4ÞzS ¼ 13;67 kN und gemß Gl. (3) ey ¼ ðpd4 =64Þ=½ðpd 2 =4ÞzS = sin b ¼ 1;9 mm.

Druck auf gekr
mmte Wnde (Bild 2 a). Die Kraftkomponenten sind Z Z Fx ¼ r g z dAx ¼ r gzSx Ax ; Fy ¼ r g z dAy ¼ r gzSy Ay ; Z Z ð4Þ Fz ¼ r g z dAz ¼ r g dV ¼ r gV: Hierbei sind Ax und Ay die Projektionsfl
chen der gekrmmten Fl
che auf die y , z- bzw. x, z-Ebene. Fz ist die Gewichtskraft, die im Volumenschwerpunkt angreift. Die drei Kr
fte gehen bei beliebigen Fl
chen nicht durch einen Punkt. Bei

Kugel- oder Zylinderfl
chen gengt die Projektion auf die y, z-Ebene. Fx und Fz liegen dann in einer Ebene und haben die pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Resultierende FR ¼ Fx2 þ Fz2 (Bild 2 b). Gem
ß Gl. (4) ist die horizontale Druckkraft auf eine gekrmmte Fl
che in beliebiger Richtung so groß wie auf eine senkrecht zur Kraftrichtung stehende projizierte ebene Fl
che. Der Angriffspunkt der Druckkr
fte ergibt sich gem
ß Gl. (3) zu ex und ey , wenn
x und
y die Achsen durch den Schwerpunkt der jeweiligen Projektionsfl
che sind. Bei Kugel- und Kreiszylinderfl
chen geht die Resultierende FR stets durch den Krmmungsmittelpunkt. Auftrieb (Bild 3 a). Fr einen ganz (oder teilweise) eingetauchten Krper wirkt auf ein oben liegendes Fl
chenelement die Kraft dF ¼ po dAx ex þ po dAy ey þ po dAz ez . Da sich die Komponenten dFx und dFy am geschlossenen Krper das Gleichgewicht halten, d. h. Fx ¼ 0 und Fy ¼ 0 ist, bleibt nur eine Kraft in z-Richtung: Z Z FA ¼ Fz ¼ dFz ¼ ðpu  po ÞdAz Z ð5Þ ¼ r gðzu  zo ÞdAz ¼ r gV: Diese Auftriebskraft ist gleich dem Gewicht der verdr
ngten Flssigkeit. Sie greift im Volumenschwerpunkt der verdr
ngten Flssigkeit an (und nicht im Krperschwerpunkt; bei homogenen Krpern fallen beide Schwerpunkte zusammen). Stabilitt schwimmender Krper (Bild 3 b). Ein eingetauchter Krper schwimmt, wenn FG ¼ FA ist. Er schwimmt stabil,

Bild 2a, b. Druck auf gekrmmte W
nde. a Allgemein; b Zylinderund Kugelfl
chen

Bild 3. a Auftrieb; b Schwimmstabilit
t

B 46

Mechanik – 6 Hydro- und Aerodynamik (Strmungslehre, Dynamik der Fluide)

wenn das Metazentrum M
ber dem Krperschwerpunkt SK liegt, labil, wenn es darunter liegt, und indifferent, wenn beide zusammenfallen. F
r die metazentrische Hhe gilt

B

hM ¼ ðIx =VÞ
e: Hierbei ist Ix das Flchenmoment 2. Ordnung der Schwimm-

flche (Wasserlinienquerschnitt) um die Lngsachse, V das verdrngte Volumen und e der Abstand zwischen Krperund Volumenschwerpunkt. Bei schwebenden Krpern (UBoot) ist Ix ¼ 0 und hM ¼
e. Wird e negativ, d. h., liegt der Krperschwerpunkt unter dem Volumenschwerpunkt, so folgt hM > 0, und der schwebende Krper schwimmt stabil.

6 Hydro- und Aerodynamik (Str
mungslehre, Dynamik der Fluide) Aufgabe der Strmungslehre ist die Untersuchung der Grßen Geschwindigkeit, Druck und Dichte eines Fluids als Funktion der Ortskoordinaten x, y, z bzw. bei eindimensionalen Problemen (z. B. Rohrstrmungen) als Funktion der Bogenlnge s. Bei vielen Strmungsvorgngen ist die Kompression auch bei gasfrmigen Fluiden vernachlssigbar (z. B., wenn Krper von Luft normaler Temperatur und weniger als 0,5facher Schallgeschwindigkeit umstrmt werden). Dann gelten auch daf
r die Gesetze inkompressibler Medien (Strmungen mit nderung des Volumens s. D 7.2). Ideale und nichtideale Flssigkeit. Eine ideale Fl
ssigkeit ist inkompressibel und reibungsfrei, d. h., es treten keine Schubspannungen auf ðtxy ¼ 0Þ. Der Druck an einem Element ist nach allen Richtungen gleich groß (s. B 5). Bei nichtidealer oder zher Fl
ssigkeit treten vom Geschwindigkeitsgeflle abhngige Schubspannungen auf, und die Dr
cke px , py , pz sind unterschiedlich. Hngen die Schubspannungen linear vom Geschwindigkeitsgeflle senkrecht zur Strmungsrichtung ab (Bild 1), gilt also t ¼ hðdu=dzÞ, so liegt eine Newtonsche Fl
ssigkeit vor (z. B. Wasser, Luft und l). Hierbei ist h die absolute oder dynamische Zhigkeit. Nicht-Newtonsche Fl
ssigkeiten mit nichtlinearem Fließgesetz sind z. B. Suspensionen, Pasten und thixotrope Fl
ssigkeiten. Stationre und nichtstationre Str
mung. Bei stationrer Strmung hngen die Grßen Geschwindigkeit u, Druck p und Dichte r nur von den Ortskoordinaten ab, d. h., es ist u ¼ u(x, y, z) usw. Bei instationrer Strmung ndert sich die Strmung an einem Ort auch mit der Zeit, d. h., es ist u ¼ u(x, y, z, t) usw.

Bild 2. Stromrhre und Stromfaden

geschlossenen Kurve umschlungen wird, heißt Stromrhre (Bild 2). Teile der Stromrhre mit Querschnitt dA,
ber die p und u als konstant anzusehen sind, bilden einen Stromfaden. Bei Rohrstrmungen idealer Fl
ssigkeiten sind p und u
ber den Gesamtquerschnitt A nherungsweise konstant, d. h., der gesamte Rohrinhalt bildet einen Stromfaden.

6.1 Eindimensionale Str
mungen idealer Flssigkeiten Eulersche Gleichung fr den Stromfaden. F
r ein Element dm lngs der in Bild 3 a skizzierten Stromlinie lautet die Eulersche Bewegungsgleichung (in Tangentialrichtung) du ¶u ¶u ds ¶z 1 ¶p ds ¼
g
bzw:mit ¼u at ¼ ¼ þ dt ¶t ¶s dt ¶s r ¶s dt  2  ð1Þ ¶ u p ¶u þ þ gz þ ¼ 0: ¶s 2 r ¶t Im Fall stationrer Strmung ist ¶u=¶t ¼ 0.

Stromlinie, Stromr
hre, Stromfaden. Die Stromlinie ist die Linie, die in einem bestimmten Augenblick an jeder Stelle von den Geschwindigkeitsvektoren tangiert wird (Bild 2); es gilt ux : uy : uz ¼ dx : dy : dz. Bei stationren Strmungen ist die Stromlinie eine ortsfeste Raumkurve; sie ist außerdem mit der Bahnkurve des einzelnen Teilchens identisch. Bei instationren Strmungen ndern die Stromlinien ihre Lage im Raum mit der Zeit; sie sind nicht mit den Bahnkurven der Teilchen identisch. Ein B
ndel von Stromlinien, das von einer

Bild 1. Schubspannung in einer Fl
ssigkeit

Bild 3 a, b. Stromfaden. a Element; b Bernoullische Hhen

I6.1

an ¼

2

u 1 ¶p ¶z ¶p u ¶z ¼

g oder ¼
r
r g r r r ¶n ¶n ¶n ¶n

bzw. bei Vernachlssigung des Eigengewichts ¶p=¶n ¼
ru2 =r. Der Druck nimmt also von der konkaven zur konvexen Seite des Stromfadens zu. Bernoullische Gleichung f
r den Stromfaden. Aus Gl. (1) lngs des Stromfadens folgt f
r die instationre Strmung Z ¶u ds ¼ const ð2 aÞ r u2 =2 þ p þ r gz þ r ¶t bzw. r u21 =2 þ p1 þ r gz1 ¼ r u22 =2 þ p2 þ r gz2 þ r F
r den stationren Fall (¶u=¶t ¼ 0) gilt

Zs2

¶u ds: ð2 bÞ ¶t

s1

ru21 =2 þ p1 þ r gz1 ¼ ru22 =2 þ p2 þ r gz2 ¼ const :

ð3Þ

Danach bleibt die Gesamtenergie, bestehend aus kinetischer, Druck- und potentieller Energie, f
r die Masseneinheit lngs des Stromfadens bzw. der Stromlinie erhalten. Aus Gl. (3) ergibt sich nach Division durch r g u21 =ð2gÞ þ p1 =ðr gÞ þ z1 ¼ u22 =ð2gÞ þ p2 =ðr gÞ þ z2 ¼ const ¼ H;

B 47

Hieraus folgt mit u2 ¼ 0 p2 ¼ p1 þ ru21 =2. In einem Staupunkt setzt sich der Druck zusammen aus dem statischen Druck pst ¼ p1 und dem (dynamischen) Staudruck pdyn ¼ ru21 =2.

F
r die Normalenrichtung gilt 2

Eindimensionale Strmungen idealer Fl
ssigkeiten

ð4Þ

Beispiel: Staudruck bei Wind gegen eine Wand. – Bei der Windgeschwindigkeit u ¼ 100 km=h ¼ 27;8 m=s ergibt sich mit rLuft ¼ 1;2 kg=m3 der Staudruck pdyn ¼ ru2 =2 ¼ 464 N=m2 .

Pitotrohr. Zur Messung der Strmungsgeschwindigkeit in offenen Gerinnen eignet sich das Pitotrohr (Bild 4 b). F
r Punkt 1 gilt gemß B 5 Gl. (1) p1 ¼ pL þ rgz1 . F
r die Stromlinie 1–2 gilt p1 þ ru21 =2 ¼ p2 , also p2 ¼ pL þ r gz1 þ ru21 =2. Der hydrostatische Druck im Pitotrohr ist p2 ¼ pL þ r gðz1 þ hÞ pffiffiffiffiffiffiffiffi und so ist ru21 =2 ¼ r gh oder u1 ¼ 2gh. Die Steighhe h ist ein Maß f
r die Strmungsgeschwindigkeit. F
r die Messung der Luftgeschwindigkeit ist die Anordnung auf Bild 4 c geeignet. Ist rM die Dichte der Manometerfl
ssigkeit, so gilt f
r pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Punkt 2 pdyn ¼ ru21 =2 ¼ rM gh, also u1 ¼ 2ðrM =rÞgh. Venturirohr. Es dient zur Messung der Strmungsgeschwindigkeit in Rohrleitungen (Bild 5). Die Bernoullische Gl. (7) zwischen den Stellen 1 und 2 lautet ru21 =2 þ p1 ¼ ru22 =2 þ p2 und die Kontinuittsgleichung u1 A1 ¼ u2 A2 . Hieraus ergibt sich Dp ¼ p2
p1 ¼ ðru21 =2Þ½ðA1 =A2 Þ2
1

d. h., die gesamte Energiehhe H, bestehend aus Geschwindigkeits-, Druck- und Ortshhe, bleibt konstant (Bernoullische Gleichung; Bild 3 b).

bzw. mit Dp ¼ ðrM
rÞgh qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi u1 ¼ 2ghðrM =r
1Þ=½ðA1 =A2 Þ2
1:

Kontinuittsgleichung. F
r einen Stromfaden muss die durch jeden Querschnitt strmende Masse pro Zeiteinheit (Massenstrom) konstant sein:

In Wirklichkeit ist zwischen den Stellen 1 und 2 noch der Druckverlust infolge Reibung zu ber
cksichtigen (s. B 6.2 ff.).

dm_ ¼ ru dA ¼ r1 u1 dA1 ¼ r2 u2 dA2 ¼ const :

ð5Þ

Bei inkompressiblen Medien ðr ¼ constÞ muss der Volumenstrom konstant sein: dV_ ¼ u dA ¼ u1 dA1 ¼ u2 dA2 ¼ const :

ð6Þ

Bei Stromrhren mit
ber dem Querschnitt A konstanter mittlerer Geschwindigkeit u folgt aus Gln. (5) und (6) m_ ¼ ruA ¼ const bzw: V_ ¼ uA ¼ const :

6.1.2 Anwendung der Bernoullischen Gleichung f
r den instationren Fall Untersucht wird der Ausfluss aus einem Behlter bei abnehmender Spiegelhhe unter Vernachlssigung der Reibung (Bild 6). Lsung: Aus den Gln. (2) und (6) folgt vffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1, u 0 Zs2 u 1 ¶u A u ds ½ðA1 =A2 Þ2
1: u1 ¼ t2g@z
g ¶t s1

6.1.1 Anwendungen der Bernoullischen Gleichung f
r den stationren Fall Staudruck. Beim Auftreffen einer Strmung auf ein festes Hindernis entsteht der Staudruck (Bild 4 a). Die Bernoullische Gl. (3) hat ohne Hhenglied die Form ru21 =2 þ p1 ¼ ru22 =2 þ p2 :

ð7Þ

Bild 5. Venturirohr

Bild 4 a–c. Staudruck. a Staupunkt; b Pitotrohr f
r Fl
ssigkeiten und c Gase

Bild 6. Instationrer Ausfluss

B

B 48

B

Mechanik – 6 Hydro- und Aerodynamik (Strmungslehre, Dynamik der Fluide)

Mit u1 ¼
dz=dt; A1 =A2 ¼ a und Vernachl
ssigung des Integrals (klein im Vergleich zu z) folgt aus Gl. (2 b) pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi u1 ¼
dz=dt ¼ 2gz=ða2
1Þ und hieraus nach Integration pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 t ¼
2ða
1Þz=g þ C. Fr zðt ¼ 0Þ ¼ H wird pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi C ¼ 2ða2
1ÞH=g und somit pffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi t ¼ ð1
z=H Þ 2ða2
1ÞH=g oder pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi z ¼ Hf1
t g=½2Hða2
1Þg2 : Hieraus folgen fr z=0 die Ausflusszeit T¼

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2ða2
1ÞH=g;

die Geschwindigkeit u1 ¼
dz=dt ¼ f1
t

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi g=½2Hða2
1Þg 2gH=ða2
1Þ

und die Ausflussgeschwindigkeit u2 ¼ u1 A1 =A2 . Die Geschwindigkeiten nehmen linear mit der Zeit ab.

6.2 Eindimensionale Str
mungen zher Newtonscher Flssigkeiten (Rohrhydraulik) Bei laminarer Str
mung bewegen sich die Teilchen in parallelen Bahnen (Schichten), bei turbulenter Str
mung berlagern sich der Hauptstrmung zus
tzliche Geschwindigkeitskomponenten in x-, y- und z-Richtung (Wirbelbewegung). bergang von laminarer zu turbulenter Strmung tritt ein, wenn die Reynoldssche Zahl Re ¼ ud=v den kritischen Wert erreicht (z. B. Rek ¼ 2 320 fr Rohre mit Kreisquerschnitt). Bei laminarer Str
mung gilt fr die Schubspannung zwischen den Teilchen der Newtonsche Ansatz t ¼ hðdu=dzÞ

ð8Þ

(Bild 1). Hierbei ist h die dynamische Zhigkeit oder Viskositt. Sie ist temperaturabh
ngig, bei Gasen auch druckabh
ngig (was jedoch vernachl
ssigbar ist, solange nicht grßere Dichte
nderungen auftreten). Bei turbulenter Str
mung gilt nach Prandtl und v. Ka´rma´n [1, 11, 12] angen
hert der Schubspannungsansatz t ¼ h du=dz þ rl2 ðdu=dzÞ2 . l ist dabei die freie Wegl
nge eines Teilchens. Infolge der Schubspannungen treten Druckverluste (Energieverluste) l
ngs des Stromfadens auf. Kinematische Zhigkeit. Sie ist v ¼ h=r. Fr Wasser von 20  C ist h ¼ 10
3 Ns=m2 und v ¼ 10
6 m2 =s (weitere Werte s. Anh. D 10 Tab. 2 und Anh. E 5 Bild 1 und 2). Bernoullische Gleichung mit Verlustglied. Findet zwischen zwei Punkten 1 und 2 keine Energiezufuhr oder -abfuhr statt (z. B. durch Pumpe oder Turbine), so lautet die Bernoullische Gleichung

Druckverlust und Verlusth
he (Bild 16). Zwischen zwei Stellen 1 und 2 sei der Rohrdurchmesser d konstant. Dann gilt X zru2 =2 bzw: DpV ¼ ðll=dÞru2 =2 þ X ð11 a, bÞ zu2 =ð2gÞ; hV ¼ ðll=dÞu2 =ð2gÞ þ l Rohrreibungszahl, z Widerstandsbeiwerte fr Einbauten. Fr kompressible Fluide, die sich infolge Druckabnahme von 1 nach 2 ausdehnen, folgt aus der Kontinuit
tsgleichung (5) sowie aus dem Ansatz dp ¼
ðl=dÞ dx ru2 =2 fr den isothermen Fall, p1 =r1 ¼ p=r ¼ const, p21
p22 ¼ lu21 r1 p1 l=d, d. h. fr den Druckverlust aufgrund von Rohrreibung qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi DpV ¼ p1
p2 ¼ p1 ½1
1
lu21 r1 l=ðp1 dÞ: ð12Þ Bei geringen Druckverlusten ist die Expansion vernachl
ssigbar, und man kann Gl. (11 a) auch fr kompressible Fluide verwenden. Der dabei auftretende Fehler ist f  0;5  DpV =p1 [6, 13]. 6.2.1 Stationre laminare Str
mung in Rohren mit Kreisquerschnitt X Gem
ß Bild 7 a folgt aus Fix ¼ 0 ¼ ðp1
p2 Þpr2
t  2prl mit t ¼
h du=dr und der Haftungsbedingung uðr ¼ d=2Þ ¼ 0 nach Integration uðrÞ ¼ DpV ðd 2 =4
r 2 Þ=ð4hlÞ: Die Geschwindigkeitsverteilung ist also parabolisch (Gesetz von Stokes). Fr die Schubspannungen ergibt sich tðrÞ ¼
h du=dr ¼ DpV r=ð2lÞ; sie nehmen also linear nach außen zu. Fr den Volumenstrom gilt V_ ¼

Zd=2

uðrÞ2pr dr ¼ DpV pd 4 =ð128hlÞ

r¼0

(Formel von Hagen-Poiseuille) und damit fr die mittlere Ge_ ¼ schwindigkeit und den Druckverlust um ¼ u ¼ V=A DpV d 2 =ð32hlÞ und DpV ¼ um 32hl=d 2 . Der Druckverlust und somit auch die Schubspannungen nehmen also linear mit der Geschwindigkeit zu. Mit der Reynoldsschen Zahl Re ¼ ud=v und hV ¼ ergibt sich DpV ¼ ð64=ReÞðl=dÞðru2 =2Þ ð64=ReÞðl=dÞðu2 =2gÞ. Demnach ist nach Gl. (11 a, b) die Rohrreibungszahl l ¼ 64=Re, d. h. bei laminarer Strmung unabh
ngig von der Rauigkeit der Rohrwand. 6.2.2 Stationre turbulente Str
mung in Rohren mit Kreisquerschnitt Bei Re > 2 320 erfolgt bergang in turbulente Strmung. Die Rohrreibungszahl l h
ngt von der Rohrrauigkeit k (Wanderhebungen in mm, s. Tab. 1) und von Re ab. Das Geschwindigkeitsprofil ist wesentlich flacher (Bild 7 b) als bei laminarer Strmung. Es besteht im Randbereich aus einer laminaren

ru21 =2 þ p1 þ r gz1 ¼ ru22 =2 þ p2 þ r gz2 þ DpV þ r

Zs2

¶u ds: ¶t

ð9Þ

s1

Fr den station
ren Fall ist ¶u=¶ t ¼ 0, und das letzte Glied entf
llt. Hierbei ist DpV der Druckverlust zwischen den Stellen 1 und 2 infolge von Rohrreibung, Einbauwiderst
nden usw. Dividiert man Gl. (9) durch r g, so ergibt sich u21 =ð2gÞ þ p1 =ðr gÞ þ z1 ¼ u22 =ð2gÞ þ p2 =ðr gÞ þ z2 þ hV : ð10Þ Darin bedeuten die einzelnen Glieder Energiehhen und hV ¼ DpV =ðr gÞ die Verlusthhe.

Bild 7 a, b. Rohrstrmung. a Laminar; b turbulent

I6.2

Eindimensionale Strmungen z
her Newtonscher Flssigkeiten (Rohrhydraulik)

Tabelle 1. Anhaltswerte fr Wandrauigkeiten [2]

B 49

Nikuradse l ¼ 1=½2 lgð3;71d=kÞ2 fr den oberhalb der Grenzkurve liegenden Bereich (Bild 8). Die Grenzkurve ist mittels l ¼ ½ð200d=kÞ=Re2 festgelegt. Rohre im
bergangsgebiet liegen vor, wenn 65d=k < Re < 1300 d=k, d. h. in dem auf Bild 8 unter der Grenzkurve liegenden Bereich. Die Rohrreibungszahl l ist von Re und d/k abh
ngig. Als gute N
herung gilt ,   2;51 0;27 2 pffiffiffi þ l¼1 2 lg Re l d=k (Formel von Colebrook). Sie bezieht sich auf Rohre mit technischer Rauigkeit. Fr Rohre mit aufgeklebten Sandkrnern gleicher Krnung wurden von Nikuradse die in Bild 8 gestrichelt eingetragenen Kurven gemessen. Diagramm von Colebrook-Nikuradse. Die vorstehenden Formeln sind graphisch in Bild 8 dargestellt, so dass l als Funktion von Re und d/k abgelesen und bei Bedarf nachgerechnet bzw. verbessert werden kann (weitere Verfeinerungen s. [1, 3]). Ist l bekannt, berechnet man den Druckverlust bzw. die Verlusthhe nach Gl. (11) bzw. (12) und anschließend den zu untersuchenden Rohrleitungsabschnitt mit der Bernoullischen Gleichung mit Verlustglied gem
ß Gl. (9) oder (10). Beispiel: Durch ein Stahlrohr (gebraucht, k ¼ 0;15 mm) vom Durchmesser d ¼ 150 mm und der L
nge l ¼ 1 400 m werden V_ ¼ 400 m3 =h Pressluft gefrdert. Druck und Dichte im Kessel: p1 ¼ 6 bar; r1 ¼ 6;75 kg=m3 . Zu ermitteln ist der Druckverlust am Ende der Leitung. – Mit der Frdergeschwindigkeit 2 _ _ =4Þ ¼ 6;29 m=s und u ¼ V=A ¼ V=ðpd

u ¼ h=r ¼ ð2  10
5 Ns=m2 Þ=ð6;75 kg=m3 Þ ¼ 2;963  10
6 m2 =s wird Re ¼ ud=v ¼ 318 427: Mit d=k ¼ 150=0;15 ¼ 1 000 ergibt sich aus Bild 8 bzw. der Formel von Colebrook l ¼ 0;0205: Aus Gl. (12) folgt fr den Druckverlust am Ende der Leitung h pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffii DpV ¼ p1 1
1
lu2 r1 l=ðp1 dÞ ¼ 0;261 bar:

Grenzschicht der Dicke d ¼ 34;2d=ð0;5ReÞ0;875 (nach Prandtl). Die Geschwindigkeitsverteilung h
ngt ebenfalls von Re und k ab; sie ist nach Nikuradse mittels uðrÞ ¼ umax ð1
2r=dÞn darstellbar (z. B. n =1/7 fr Re ¼ 105 ). Exponent n nimmt mit der Rohrrauigkeit zu. Das Verh
ltnis u=umax ¼ 2=½ð1 þ nÞ  ð2 þ nÞ ist im Mittel etwa 0,84. Ermittlung der Rohrreibungszahl Hydraulisch glatte Rohre liegen vor, wenn die Grenzschichtdicke grßer als die Wanderhebung ist, d. h. fr d=k ^ 1 bzw. Re < 65d=k. Formel von Blasius (gltig fr 2 320 < Re < 105 Þ: pffiffiffiffiffiffi l ¼ 0;3164= 4 Re:

Bei Vernachl
ssigung der Expansion infolge der Druckabnahme ergibt Gl. (11 a) DpV ¼ ðll=dÞru2 =2 ¼ 25 550 N=m2 ¼ 0;256 bar; d. h. einen Fehler f ¼ ð0;261
0;256Þ=0;261 ¼ 1;92%, der auch mit der Absch
tzformel f ¼ 0;5  DpV =p1 ¼ 2;13% gut bereinstimmt. Die Dichte
nderung der Pressluft hat also kaum Einfluss.

6.2.3 Str
mung in Leitungen mit nicht vollkreisf
rmigen Querschnitten Nach Einfhren des hydraulischen Durchmessers dh ¼ 4A=U (A Querschnittsfl
che, U benetzter Umfang) wird wie in B 6.2.1 und B 6.2.2 gerechnet. Allerdings ist bei laminarer Strmung l ¼ j  64=Re zu setzen [5]. Fr Kreisring- und Rechteckquerschnitt gilt

Formel von Nikuradse (gltig fr 105 < Re < 108 Þ: l ¼ 0;0032 þ 0;221=Re0;237 : Formel von Prandtl und v. Ka´rma´n (gltig fr den gesamten turbulenten Bereich, aber wegen impliziter Form umst
ndpffiffiffi lich): l ¼ 1=½2 lgðRe l=2;51Þ2 . An ihrer Stelle kann die N
herungsformel l ¼ 0;309=½lgðRe=7Þ2 verwendet werden. Hydraulisch raue Rohre liegen vor, wenn die Wanderhebungen grßer als die Grenzschichtdicke sind, d. h. fr d/k1 300 d/k. Die Rohrreibungszahl l ist nur abh
ngig von der relativen Rauigkeit d/k, und es gilt die Formel von

6.2.4 Str
mungsverluste durch spezielle Rohrleitungselemente und Einbauten Zus
tzlich zu den Wandreibungsverlusten der Rohrleitungselemente gilt fr den Druckverlust bzw. die Verlusthhe DpV ¼ zru2 =2 bzw: hV ¼ zu2 =ð2gÞ:

B

B 50

Mechanik – 6 Hydro- und Aerodynamik (Strmungslehre, Dynamik der Fluide)

B

Bild 8. Rohrreibungszahl l nach Colebrook und (gestrichelt) nach Nikuradse

h) Etagenkr
mmer: z ¼ 4 z90° i) Kr
mmer mit Rechteckquerschnitt: F
r h=b < 1 ist pffiffiffiffiffiffiffiffi z ¼ z0 h=b; f
r h=b > 1 ist z ¼ z0 h=b: z0 wie f
r Kr
mmer mit Kreisquerschnitt, wenn f
r d der Wert dh ¼ 2bh=ðb þ hÞ eingesetzt wird. Kniest
cke [5] (d Abknickwinkel): mit Kreisquerschnitt

mit Rechteckquerschnitt:

Rohrverzweigungen und -vereinigungen [6] V_ Gesamtstrom, V_ a ab- bzw. zufließender Strom, zd Widerstand im Hauptrohr, za Widerstand im Abzweigrohr. Minuszeichen bedeutet Druckgewinn. Bild 9 a–i. Kr
mmer

Widerstandsbeiwerte z f
r Kr
mmer (Bild 9) [5] a) Kreiskr
mmer: j ¼ 90°

b) Segmentkr
mmer:

d) e) f) g)

j 6¼ 90° : z ¼ k z90°

c) Graugusskr
mmer 90°

Faltrohrkr
mmer: z ¼ 0;4 Kr
mmer mit Umlenkschaufeln: z ¼ 0;15 . . . 0;20 [1] Doppelkr
mmer: z ¼ 2 z90° Raumkr
mmer: z ¼ 3 z90°

Bild 10 a–d. Rohrverzweigungen und -vereinigungen

I6.2

Eindimensionale Strmungen z
her Newtonscher Flssigkeiten (Rohrhydraulik)

Dehnungsausgleicher (Bild 11) [5] a) Wellrohrkompensator: z ¼ 0;20 pro Welle (kann bei Einbau eines Leitrohrs fast zu Null gemacht werden). b) U-Bogen:

c) Lyrabogen: Glattrohrbogen z ¼ 0;7; Faltrohrbogen z ¼ 1;4.

B 51

a) Unstetige Erweiterung. Der Verlustbeiwert l
sst sich aus der Bernoullischen Gleichung und dem Impulssatz (s. B 6.4) herleiten: z ¼ ðA2 =A1
1Þ2 : b) Stetige Erweiterung (Diffusor). Der Verlustbeiwert fr durchschnittlich raue Rohre kann dem Diagramm Bild 13 b entnommen werden [5]. c) Unstetige Verengung. Aus der Bernoullischen Gleichung und dem Impulssatz folgt z ¼ ðA2 =A0
1Þ2 . Da der eingeschnrte Querschnitt A0 unbekannt ist, entnimmt man z dem Diagramm Bild 13 c fr das Verh
ltnis A2 =A1 bei scharfkantigem Anschluss [5]. d) Stetige Verengung (Konfusor, Dse). Die Energieverluste aus Reibung sind gering. Im Mittel z ¼ 0;05. Absperr- und Regelorgane

Bild 11 a–c. Dehnungsausgleicher

Rohreinl
ufe (Bild 12 a–e) a) scharfkantig z ¼ 0;5; gebrochen z ¼ 0;25: b) und c) scharfkantig z ¼ 3;0; gebrochen z ¼ 0;6 . . . 1;0: d) je nach Wandrauigkeit z ¼ 0;01 . . . 0;05: e)

Schieber, offen, ohne Leitrohr: z ¼ 0;2 . . . 0;3; mit Leitrohr: z  0;1: Schieber bei verschiedenen ffnungsverh
ltnissen s. [5]. Ventile: Die Widerstandsbeiwerte schwanken je nach Ventilbauart zwischen z ¼ 0;6 (Freiflussventil) und z ¼ 4;8 (DINVentil). Die Angaben in der Literatur sind unterschiedlich [1, 2, 4–6]. Bei teilweise geffneten Ventilen sind die Widerstandsbeiwerte grßer. Rckschlagklappen, Drosselklappen, H
hne: Der Widerstandsbeiwert von Rckschlagklappen betr
gt nach [5] z ¼ 0;8 bei NW 200 und z ¼ 1;4 bei NW 50. Bei Drosselklappen treten Werte von z ¼ 0;5 in fast voll geffnetem Zustand (j ¼ 10°) und von z ¼ 4;0 bei j ¼ 30° auf. Bei H
hnen ist z ¼ 0;3 ðj ¼ 10°Þ und z ¼ 5;5 ðj ¼ 30°Þ [5]. Drosselger
te dienen zur Messung von Geschwindigkeit und Volumenstrom und sind als Normblende, Normdse und Normventuridse genormt (DIN 1952). Widerstandsziffern s. [2].

Bild 12 a–e. Rohreinl
ufe

Rundstabgitter, Siebe und Saugkrbe [5]

Querschnitts
nderung von A1 auf A2 (Bild 13)

Rundstabgitter gem
ß Bild 14 a: z ¼

0,8s=t ð1
s=tÞ2

Siebe gem
ß Bild 14 b:

Bild 14. a Rundstabgitter; b Sieb

Saugkrbe: fr handelsbliche Saugkrbe mit Fußventil am Anfang einer Rohrleitung z ¼ 4 . . . 5: Festkrperschttungen [5]. Fr die Durchstrmung der Schttung gem
ß Bild 15 gilt z ¼ lF lk =dk : Bis zu Rek ¼ udk =u ¼ 10 (u mittlere Geschwindigkeit im leeren Rohr) liegt laminare Strmung vor, und es ist lF ¼ 2 000=Rek : Fr Rek > 10 (turbulente Strmung) h
ngt lF nur noch von d=dk ab:

Bild 13 a–d. Querschnitts
nderungen

B

B 52

Mechanik – 6 Hydro- und Aerodynamik (Str
mungslehre, Dynamik der Fluide)

B Bild 15. Festk
rperschttung Beispiel: Rohrleitung mit speziellen Widerstnden (Bild 16). Durch eine Rohrleitung sollen V_ ¼ 8 l=s Wasser gef
rdert werden. Zu ermitteln ist der erforderliche Druck p0 im Druckbehlter. Gegeben: h1 ¼ 7 m; h2 ¼ 5 m; l1 ¼ 35 m; l2 ¼ 25 m; l3 ¼ 13 m; l4 ¼ 25 m; d1 ¼ d6 ¼ 80 mm; d2 ¼ 60 mm; Wandrauigkeit k ¼ 0;04 mm (neues, lngsgeschweißtes Stahlrohr). Widerstandsbeiwerte: Rohreinlauf z1 ¼ 0;5; Konfusor z2 ¼ 0;05; Kniestcke ðd ¼ 22;5
Þ z3 ¼ z4 ¼ 0;11; Diffusor z5 ¼ 0;3: Kinematische Zhigkeit bei 20
C: u ¼ 10
6 m2 =s. Luftdruck: pL ¼ 1 bar:– Aus der Kontinuittsgleichung (6) folgt fr 2 _ 1 ¼ V=ðpd _ die Str
mungsgeschwindigkeiten u1 ¼ u6 ¼ V=A 1 =4Þ ¼ 2 _ 2 ¼ V=ðpd _ 1;59 m=s und u2 ¼ V=A 2 =4Þ ¼ 2;83 m=s: Mit den Reynoldsschen Zahlen Re1 ¼ u1 d1 =v ¼ 127 200; Re2 ¼ u2 d2 =v ¼ 169 800 und den relativen Rauigkeiten d1 =k ¼ 2 000, d2 =k ¼ 1 500 folgen aus der Formel bzw. dem Diagramm von Colebrook (Bild 8) die Rohrreibungszahlen l1 ¼ 0;0197 und l2 ¼ 0;0200: Hiermit ergeben sich nach Gl. (11 b) die Verlusth
hen

Schreibweise pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð13Þ u ¼ j 2gh þ 2ðp1
p2 Þ=r pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi blich, wobei j ¼ 1=ð1 þ zÞ die Geschwindigkeitsziffer ist. Fr den Volumenstrom V_ ist noch die Strahleinschnrung zu bercksichtigen. Mit der Kontraktionszahl a ¼ Ae =Aa ergibt sich pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi V_ ¼ ajAa 2gh þ 2ðp1
p2 Þ=r ð14Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ mAa 2gh þ 2ðp1
p2 Þ=r: m ¼ aj ist die Ausflusszahl. Fr j, a und m gelten folgende Werte (Bild 18): a) scharfkantige Mndung: j ¼ 0;97; a ¼ 0;61 . . . 0;64; m ¼ 0;59 . . . 0;62; b) abgerundete Mndung: j ¼ 0;97 . . . 0;99; a ¼ 1; m ¼ 0;97 . . . 0;99; c) zylindrisches Ansatzrohr: l=d ¼ 2 . . . 3: j ¼ 0;82; a ¼ 1; m ¼ 0;82; d) konisches Ansatzrohr: j ¼ 0;95 . . . 0;97;

hV1 ¼ z1 u21 =ð2 gÞ ¼ 0;06 m; hV2 ¼ hV1 þ ðl1 l1 =d1 Þu21 =ð2 gÞ þ z2 u22 =ð2 gÞ ¼ ð0;06 þ 1;11 þ 0;02Þ m ¼ 1;19 m; hV3 ¼ hV2 þ ðl2 l2 =d2 Þu22 =ð2 gÞ þ z3 u22 =ð2 gÞ ¼ ð1;19 þ 3;40 þ 0;04Þ m ¼ 4;63 m; hV4 ¼ hV3 þ ðl2 l3 =d2 Þu22 =ð2 gÞ þ z4 u22 =ð2 gÞ

Die Gln. (13) und (14) gelten fr kleine Ausflussquerschnitte, bei denen u ber den Querschnitt konstant ist. Bei großen ffnungen ist fr einen Stromfaden in der Tiefe z (ohne berZz2 pffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffi druck) u ¼ 2gz; der Volumenstrom ist V_ ¼ m bðzÞ 2gz dz;

¼ ð4;63 þ 1;77 þ 0;04Þ m ¼ 6;44 m;

z1

hV5 ¼ hV4 þ ðl2 l4 =d2 Þu22 =ð2 gÞ ¼ ð6;44 þ 3;40Þ m ¼ 9;84 m; hV6 ¼ hV5 þ z5 u26 =ð2 gÞ ¼ ð9;84 þ 0;04Þ m ¼ 9;88 m: Die Bernoullische Gl. (10) zwischen den Punkten 0 und 6 ergibt dann mit u0  0 (wegen A0  A6 Þ p0 =ðr gÞ þ h1 ¼ u26 =ð2 gÞ þ pL =ðr gÞ þ h2 þ hV6 ; also p0 ¼ pL þ ru26 =2 þ r gðh2 þ hV6
h1 Þ ¼ pL þ 1 264N=m2 þ77 303N=m2 ¼ 1;786 bar: Mit den Geschwindigkeitsh
hen

Bild 17. Ausfluss der Behlter

u21 =ð2 gÞ ¼ u26 =ð2 gÞ ¼ 0;13 m; u22 =ð2 gÞ ¼ 0;41 m und den Druckh
hen p0 =ðr gÞ ¼ 18;21 m; pL =ðr gÞ ¼ 10;19 m lassen sich dann die Bernoullischen H
hen zeichnen (Bild 16).

6.2.5 Station
rer Ausfluss aus Beh
ltern Aus der Bernoullischen Gl. (10) zwischen den Punkten 1 und 2 (Bild 17) folgt mit Gl. (11 b) fr die Ausflussgeschwindigpffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi keit u ¼ ½2gh þ 2ðp1
p2 Þ=r=ð1 þ zÞ. Bei Behltern ist die

Bild 16. Rohrleitung

Bild 18a–d. Mndungsformen

I6.3

Eindimensionale Strmung Nicht-Newtonscher Fl
ssigkeiten

B 53

pffiffiffiffiffi 3=2 3=2 z. B. f
r eine Rechteckffnung V_ ¼ 2mb 2gðz2
z1 Þ=3: Die Ausflussziffer liegt bei m ¼ 0;60 f
r scharfkantige und bei m ¼ 0;75 f
r abgerundete ffnungen.

d. h., f
r ux =um ¼ 0;5 und m ¼ 0;3 ergibt sich da ¼ 10°. Der Volumenstrom ist V_ ¼ 2mV_ 0 x=d [1, 3].

6.2.6 Station
re Strmung durch offene Gerinne

6.3 Eindimensionale Strmung Nicht-Newtonscher Flssigkeiten

Bei stationrer Strmung sind Spiegel- und Sohlengeflle parallel. Aus der Bernoullischen Gl. (10) folgt z1
z2 ¼ hV bzw: ðz1
z2 Þ=l ¼ sin a ¼ ðl=dh Þu2 =ð2gÞ:

ð15Þ

Ist hierbei dh der hydraulische Durchmesser gemß B 6.2.3, so gelten die Formeln der Rohrstrmung gemß B 6.2.1 bis B 6.2.4 u ist die mittlere Geschwindigkeit, d. h., es gilt V_ ¼ uA _ bzw. u ¼ V=A: Sind V_ bzw. u bekannt, so folgt aus Gl. (15) das erforderliche Geflle bzw. bei bekanntem Geflle die Strmungsgeschwindigkeit u (Anhaltswerte f
r k s. Tab. 1). 6.2.7 Instation
re Strmung z
her Newtonscher Flssigkeiten Die f
r diesen Fall g
ltigen Gleichungen sind mit der Bernoullischen Gleichung in Form von Gl. (9) unter Beachtung von Gl. (11 a) und der Kontinuittsgleichung in Form von Gl. (5) oder (6) gegeben. 6.2.8 Freier Strahl Strmt ein Strahl mit konstantem Geschwindigkeitsprofil aus einer ffnung in ein umgebendes, ruhendes Fluid gleicher Art aus (Bild 19), so werden an den Rndern Teilchen der Umgebung aufgrund der Reibung mitgerissen. Mit der Strahllnge nimmt also der Volumenstrom zu und die Geschwindigkeit ab. Dabei tritt eine Strahlausbreitung ein. Der Druck im Inneren des Strahls ist gleich dem Umgebungsdruck, d. h., der Impuls ist in jedem Strahlquerschnitt konstant: Zþ1 I¼ ru2 dA ¼ const:
1

Der kegelfrmige Strahlkern, in dem u ¼ const ist, lst sich lngs des Wegs x0 auf. Danach sind die Geschwindigkeitsprofile zueinander affin. Ergebnisse f
r den runden Strahl [1]: Kernlnge x0 ¼ d=m mit m ¼ 0;1 f
r laminaren und m ¼ 0;3 f
r vollstndig turbulenten Strahl ð0;1 < m < 0;3Þ. MittengeEnergieabnahme E¼ schwindigkeit um ¼ u0 x0 =x: 0;667E0 x0 =x (E0 kinetische Energie am Austritt). Strahlausbreitung pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ra ¼ m 0;5 ln2  x ¼ 0;5887mx; wobei am Ausbreitungsrand ux ¼ 0;5um ist. Strahlausbreitungswinkel pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi da ¼ arctan½0;707m lnðum =ux Þ;

Bild 19. Freier Strahl

Bei Nicht-Newtonschen Fl
ssigkeiten ist kein linearer Zusammenhang zwischen der Schubspannung t und der Schergeschwindigkeit du=dz gemß Gl. (8) gegeben [9]. F
r diese rheologischen Stoffe unterscheidet man folgende Fließgesetze (Bild 20): Dilatante Flssigkeiten. Die Zhigkeit nimmt mit steigender Schergeschwindigkeit g_ zu (z. B. Anstrichfarben, Glasurmassen). g_ ¼ du=dz ¼ ktm , m < 1 (Formel von Ostwald-de Waele [7]). k ist der Fluidittsfaktor und m der Fließbeiwert. Dilatante Fl
ssigkeiten lassen sich auch mit der Formel von Prandtl-Eyring erfassen: g_ ¼ du=dz ¼ c sinhðt=aÞ; wobei c und a stoffabhngige Konstanten sind. Strukturviskose Flssigkeiten. Die Zhigkeit nimmt mit wachsender Schergeschwindigkeit ab (z. B. Silikone, Spinnlsungen, Staufferfett). Es gelten die vorstehenden Gesetze, aber mit m > 1 sowie entsprechenden Konstanten c und a. Bingham-Medium. Das Material beginnt erst bei berschreiten der Fließgrenze tF zu fließen. Unterhalb von tF verhlt es sich wie ein elastischer Krper, dar
ber wie eine Newtonsche Fl
ssigkeit (z. B. Zahnpasta, Abwasserschlamm, krnige Suspensionen). g_ ¼ du=dz ¼ kðt
tF Þ (Gesetz von Bingham). Elastoviskose Stoffe (Maxwell-Medium). Sie haben sowohl die Eigenschaften zher Fl
ssigkeiten als auch elastischer Krper (z. B. Teig, Polyethylen-Harze). Die Schubspannung ist zeitabhngig, also auch dann noch vorhanden, wenn g_ bereits Null ist. g_ ¼ du=dz ¼ ðt=hÞ þ ð1=GÞðdt=dtÞ (Gesetz von Maxwell). Thixotrope und rheopexe Flssigkeiten. Auch hier sind die Schubspannungen zeitabhngig, außerdem verndert sich das Fließverhalten mit der mechanischen Beanspruchung. Bei thixotropen Fl
ssigkeiten steigt das Fließvermgen mit der Dauer (z. B. beim R
hren oder Streichen), bei rheopexen Fl
ssigkeiten verringert es sich mit der Grße der mechanischen Beanspruchung (z. B. Gipsbrei). Fließgesetze sind bisher nicht bekannt. Berechnung von Rohrstrmungen F
r dilatante und strukturviskose Fl
ssigkeiten lsst sich der Druckabfall gemß Gl. (11 a) nach Metzner [7] wie f
r Newtonsche Fl
ssigkeiten mit der verallgemeinerten Reynoldsschen Zahl berechnen: Re ¼ uð2m
1Þ=m d 1=m r=h; h ¼ 8ð1
mÞ=m ð1=km Þ½ð3 þ mÞ=41=m :

Bild 20. Fließkurven. a Dilatante, b Newtonsche und c strukturviskose Fl
ssigkeit, d Bingham-Medium

B

B 54

B

Mechanik – 6 Hydro- und Aerodynamik (Strmungslehre, Dynamik der Fluide)

Im laminaren Bereich ðRe
< 2 300Þ gilt l ¼ 64=Re
, im turbulenten Bereich ðRe
> 3 000Þ l ¼ 0;0056 þ 0;5=ðRe
Þ0;32 : F
r Bingham-Medien ergibt sich der Druckabfall aus Gl. (11 a) mit der Rohrreibungszahl [7]   64 32 He 4 096 1 He 4 l¼ þ  ; 3 2 Re 3 Re 3 l Re2 wobei der Einfluss der Fließgrenze in der Hedstrmzahl He zum Ausdruck kommt: He ¼ tF rd 2 =h2 ¼ tF d 2 =ðru2 Þ.

6.4 Kraftwirkungen str
mender inkompressibler Flssigkeiten 6.4.1 Impulssatz Aus dem Newtonschen Grundgesetz folgt f
r das Massenelement dm ¼ rA ds der Stromrhre aus Bild 21 a dF ¼

d dðdmÞ du ðdmuÞ ¼ u þ dm : dt dt dt

F
r inkompressible Fl
ssigkeiten ist dðdmÞ=dt ¼ 0; und mit u ¼ uðs; tÞ gilt f
r die instationre Strmung   ¶u ¶u ds dF ¼ dm þ ¶t ¶s dt bzw. f
r die stationre Strmung mit ¶u=¶t ¼ 0 dF ¼ dm

¶u _ u ¼ rAu du ¼ rVdu: ¶s

Bild 21 a–d. Kraftwirkung einer strmenden Fl
ssigkeit

Bild 22 a–f. Anwendungen zur Kraftwirkung

F
r den gesamten Kontrollraum zwischen 1 und 2 folgt nach Integration _ 2  u1 Þ: F1;2 ¼ rVðu

ð16Þ

Hierbei ist F1;2 die auf die im Kontrollraum eingeschlossene Fl
ssigkeit wirksame Kraft. Sie setzt sich zusammen aus den Anteilen gemß Bild 21 b, wobei die Resultierende des Luftdrucks Null ist. Mit FW1;2 als Resultierender des berdrucks p€u ðsÞ gilt F1;2 ¼ FW1;2 þ FG1;2 þ p1€u A1 e1  p2€u A2 e2 : Daraus folgt f
r die von der Fl
ssigkeit auf die „Wand“ ausge
bte Kraft mit Gl. (16) _ 1 e1  rVu _ 2 e2 Þ FW1;2 ¼ FG1;2 þ ðp1€u A1 e1  p2€u A2 e2 Þ þ ðrVu ð17Þ ¼ FG1;2 þ ðFp1 þ Fp2 Þ þ ðFv1 þ Fv2 Þ ¼ FG1;2 þ Fp1;2 þ Fv1;2 : Die Wandkraft setzt sich aus Gewichtsanteil FG1;2 ; Druckanteil Fp1;2 und Geschwindigkeitsanteil Fv1;2 zusammen (Bild 21 c und d).

6.4.2 Anwendungen (Bild 22) a) Strahlstoßkraft gegen W
nde. Unter Vernachlssigung des Eigengewichts und unter Beachtung, dass im Innern des Strahls der Druck
berall gleich dem Luftdruck ist (also p€u ¼ 0; s. B 6.2.8), folgt aus Gl. (17) f
r die x-Richtung und den Kontrollraum 1-2-3 _ 1 e1  rV_ 2 u2 e2  rV_ 3 u3 e3 Þex ¼ rVu _ 1 cos b: FWx ¼ ðrVu

I6.5 F
r die y-Richtung folgt aus Gl. (17) _ 1 e1
rV_ 2 u2 e2
rV_ 3 u3 e3 Þey ; FWy ¼ 0 ¼ ðrVu _ 1 sin b
V_ 2 u2 þ V_ 3 u3 ¼ 0: Mit u1 ¼ u2 ¼ u3 aus der d. h. Vu Bernoullischen Gleichung und V_ ¼ V_ 2 þ V_ 3 aus der Kontinuittsgleichung ergibt sich V_ 2 =V_ 3 ¼ ð1 þ sin bÞ=ð1
sin bÞ: F
r b ¼ 0 (Stoß gegen senkrechte Wand) gilt _ 1 ¼ rA1 u21 und V_ 2 =V_ 3 ¼ 1: FWx ¼ rVu Bewegt sich die senkrechte Wand mit der Geschwindigkeit u in x-Richtung, so wird _ 1
uÞ ¼ rA1 u1 ðu1
uÞ: FWx ¼ rVðu F
r die gewlbte Platte lsst sich entsprechend _ 1 ð1 þ cos bÞ ableiten. Bewegt sich die gewlbte FWx ¼ rVu Platte mit der Geschwindigkeit u (Freistrahlturbine), so gilt _ 1
uÞð1 þ cos bÞ: FWx ¼ rVðu b) Kraft auf Rohrkr
mmer. Aus Gl. (17) folgt bei Vernachlssigung des Eigengewichts und mit A1 ¼ A2 ¼ A bzw. u1 ¼ u2 ¼ u bzw. p1
¼ p2
¼ p
_ _ FW1;2 ¼ ðp
A þ rVuÞe 1
ðp
A þ rVuÞe2 und _ cosðb=2Þ: jFW1;2 j ¼ FW1;2 ¼ Fx ¼ 2ðp
A þ rVuÞ Als Reaktionskrfte wirken Zugkrfte in den Flanschverschraubungen. c) Kraft auf D
se. Mit p2
¼ 0 sowie u2 ¼ u1 A1 =A2 ¼ u1 a und p1
¼ rðu22
u21 Þ=2 folgt aus Gl. (17) FW1;2 ¼ ðr=2Þu21 A1 ða
1Þ2 ex : Als Reaktionskrfte wirken Zugkrfte in der Flanschverschraubung. d) Kraft bei pltzlicher Rohrerweiterung. Nach Carnot wird die Wandkraft dadurch festgelegt, dass der Druck p
ber den Querschnitt 1 konstant gleich p1 (wie im engeren Querschnitt) gesetzt wird: FW ¼
p1 ðA2
A1 Þex : Dann gilt f
r den Kontrollbereich 1-2 entsprechend Gl. (17) FW1;2 ¼
p1 ðA2
A1 Þex ¼ ðp1 A1 þ ru21 A1
p2 A2
ru22 A2 Þ ex : Mit u1 ¼ u2 A2 =A1 ¼ u2 a folgt hieraus p1 ¼
ru22 a þ p2 þ ru22 . Aus Gl. (9) ergibt sich f
r den stationren Fall mit z1 ¼ z2 und DpV ¼ zru2 =2 f
r den Verlustbeiwert z ¼ ða
1Þ2 (Borda-Carnotsche Gleichung). e) Raketenschubkraft. Mit den Relativgeschwindigkeiten ur1 ¼ 0 und ur2 ¼ ur folgt aus Gl. (17) f
r die Schubkraft _
ur2 Þ ¼
rVu _ r ex ¼
rA2 u2r ex : FW ¼ rVð0 f) Propellerschubkraft. Bei Drehung eines Propellers oder einer Schraube wird das Fluid angesaugt und beschleunigt. Die Stromrhre wird so gewhlt, dass u1 A1 ¼ u3 A3 ¼ u5 A5 wird. u1 ist die Fahrzeuggeschwindigkeit und damit die Zustrmgeschwindigkeit des Fluids. Aus dem Impulssatz (17) ergibt sich die Schubkraft _ 5
u1 Þ ¼ rA3 u3 ðu5
u1 Þ: FS ¼ rVðu Aus der Bernoullischen Gleichung f
r die Bereiche 1-2 und 4-5 folgt mit p1 ¼ p5 (Freistrahl) der Druckunterschied p4
p2 ¼ rðu25
u21 Þ=2 und damit FS ¼ rA3 ðu25
u21 Þ=2: Gleichsetzen der Ausdr
cke f
r FS f
hrt zu u3 ¼ ðu1 þ u5 Þ=2 und damit zu FS ¼ cS ru21 A3 =2; wobei cS ¼ ðu5 =u1 Þ2
1 der Schubbelastungsgrad ist. Ist die zugef
hrte Leistung Pz ¼ FS u3 und die Nutzleistung Pn ¼ FS u1 ; so ist der theoreti-

Mehrdimensionale Strmung idealer Fl
ssigkeiten

B 55

sche Wirkungsgrad des Propellers h ¼ Pn =Pz ¼ u1 =u3 : Ferner gilt mit k ¼ 2Pz =ðru31 A3 Þ die Gleichung k ¼ 4ð1
hÞ=h3 sopffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi wie h ¼ 2=ð1 þ 1 þ cS Þ: Hieraus ergeben sich bei gegebenem Pz und u1 die Grßen k, h, FS usw.

6.5 Mehrdimensionale Str
mung idealer Flssigkeiten 6.5.1 Allgemeine Grundgleichungen Eulersche Bewegungsgleichungen. Sie folgen aus dem Newtonschen Grundgesetz in x-Richtung (analog f
r y- und zRichtung) mit der auf das Element bezogenen Massenkraft F ¼ ðX; Y; ZÞ zu dux ¶ux ¶ux ¶ux ¶ux 1 ¶p ¼ þ ux þ uy þ uz ¼X
: dt ¶t ¶x ¶y ¶z r ¶x

ð18Þ

Die Geschwindigkeitsnderung ¶ux =¶t mit der Zeit an einem festen Ort heißt lokal, diejenige ðux ¶ux =¶x þ uy ¶ux =¶y þ uz ¶ux =¶zÞ zu einer bestimmten Zeit bei Ortsnderung konvektiv. Vektoriell gilt du ¶u F
1 ¼ þ ðurÞu ¼ grad p; dt ¶t r

ð19Þ

wobei mit dem Nablaoperator r und rot u ¼ r  u (s. www.dubbel.de) ðurÞu ¼ grad u2 =2
u  rot u ist. Dabei ist ð1=2Þ rot u ¼ w die Winkelgeschwindigkeit, mit der einzelne Fl
ssigkeitsteilchen rotieren (wirbeln). Ist eine Strmung rotorfrei, d. h. rot u ¼ 0, so liegt eine Potentialstrmung vor. Linien, die von rot u tangiert werden, heißen Wirbellinien, mehrere dieser Linien bilden die Wirbelrhre. Zirkulation einer Str
mung. Sie ist das Linienintegral
ber das Skalarprodukt u dr lngs einer geschlossenen Kurve: I I u dr ¼ ðux dx þ uy dy þ uz dzÞ: G¼ ðCÞ

ðCÞ

Diese Gleichung lsst sich mit dem Satz von Stokes auch I ZZ G¼ u dr ¼ rot u da ð20Þ ðCÞ

ðAÞ

schreiben, wobei A eine
ber C aufgespannte Flche ist. Bei Potentialstrmungen ist rot u ¼ 0, d. h. G ¼ 0. Helmholtzsche Wirbelstze. Wird Gl. (20) auf Wirbelrhren umschließende Kurven angewendet, so folgt I I u dr ¼ G2 ¼ u dr ¼ const : G1 ¼ ðC 1 Þ

ðC2 Þ

1. Helmholtzscher Satz: Die Zirkulation hat f
r jede eine Wirbelrhre umschließende Kurve denselben Wert, d. h., Wirbelrhren knnen im Innern eines Fl
ssigkeitsbereichs weder beginnen noch enden (sie bilden also entweder geschlossene Rhren – sogenannte Ringwirbel – oder gehen bis ans Ende des Fl
ssigkeitsbereichs). F
r F ¼
grad U und barotrope Fl
ssigkeit r ¼ r(p) folgt aus den Gln. (19) und (20) I ZZ dG du du ¼ dr ¼ rot da ¼ 0: dt dt dt 2. Helmholtzscher Satz: Die Zirkulation hat einen zeitlich unvernderlichen Wert, wenn die Massenkrfte ein Potential haben und das Fluid barotrop ist (d. h., z. B. Potentialstrmungen bleiben stets Potentialstrmungen; s. www.dubbel.de).

B

B 56

Mechanik – 6 Hydro- und Aerodynamik (Str
mungslehre, Dynamik der Fluide)

Kontinuit
tsgleichung. Die in ein Element dx dy dz einstr
mende Masse muss gleich der lokalen Dichtenderung zuzglich der ausstr
menden Masse sein:

B

¶r ¶ðrux Þ ¶ðruy Þ ¶ðruz Þ þ þ þ ¼0 ¶y ¶t ¶x ¶z

¶2 F ¶2 F ¶2 Y ¶2 Y þ ¼ 0 und þ ¼ 0: ¶x2 ¶y2 ¶x2 ¶y2

¶r ¶r þ rðruÞ ¼ þ divðruÞ ¼ 0: ¶t ¶t Fr inkompressible Flssigkeiten ðr ¼ constÞ folgt

f 0 ðzÞ ¼ ð21Þ

Die Gln. (19) und (21) bilden vier gekoppelte partielle Differentialgleichungen zur Berechnung der vier Unbekannten ux , uy , uz und p einer Str
mung. L
sungen lassen sich i. Allg. nur fr Potentialstr
mungen angeben, d. h., wenn rot u ¼ 0 ist.

Die Eulerschen Gleichungen lassen sich integrieren, wenn der Vektor u ein Geschwindigkeitspotential F(x, y, z) hat, d. h., wenn ¶F ¶F ¶F ex þ ey þ ez ¶x ¶y ¶z

ist und F ebenfalls ein Potential hat, also F ¼
grad U ¼


¶U ¶U ¶U ex
ey
ez ¶x ¶y ¶z

ist. Somit folgt fr die Potentialstr
mung rot u ¼ rot grad F ¼ r  rF ¼ 0 und aus Gl. (19) nach Integration
 ¶F u2 p grad þ þ þ U ¼ 0 und 2 r ¶t ¶F u2 p þ þ þ U ¼ CðtÞ 2 r ¶t bzw. fr die stationre Str
mung u2 =2 þ p=r þ U ¼ C ¼ const:

ð22Þ

Das ist die verallgemeinerte Bernoullische Gleichung fr die Potentialstr
mung, die fr das gesamte Str
mungsfeld dieselbe Konstante C hat. Aus der Kontinuittsgleichung (21) folgt div u ¼ div grad F ¼ rrF ¼ DF ¼

¶2 F ¶2 F ¶2 F þ þ ¼0 ¶x2 ¶y2 ¶z2

ð23Þ

(Laplacesche Potentialgleichung). Die Gln. (22) und (23) dienen zur Berechnung von p und u. Letztere hat unendlich viele L
sungen; daher werden bekannte L
sungen untersucht und als Str
mungen interpretiert. Zum Beispiel ist pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Fðx; y; zÞ ¼ C=r ¼ C= x2 þ y2 þ z2 eine L
sung. Hieraus erpffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi hlt man ux ¼ ¶F=¶x ¼
Cx= r3 , uy ¼ ¶F=¶y ¼
Cy= r3 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi und uz ¼ ¶F=¶z ¼
Cz= r 3 sowie u ¼ u2x þ u2y þ u2z ¼ C=r. Es handelt sich um eine radial zum Mittelpunkt gerichtete Str
mung, also eine Senke (bzw. Quelle, wenn man C durch – C ersetzt).

dw ¶F ¶Y u d: h: ¼ þ i ¼ ux
i u y ¼
dz ¶x ¶x

u ¼ f 0 ðzÞ ¼ ¶F=¶x
i ¶Y=¶x ¼ ux þ i uy :

V_ ¼

Zð2Þ

un ds ¼

ð1Þ

Zð2Þ

¶F ds ¼ ¶n

ð1Þ

¶Y ds ¼ Y2
Y1 ; ¶s

ð1Þ

iC iC iCðx
iyÞ y x ¼C 2 þ iC 2 ¼ ¼ 2 z x þ iy x þ y2 x þ y2 x þ y2 Cy Cx ¼ 2 þ i 2 ¼ ux
i u y ; r r

f 0 ðzÞ ¼

d. h., ux ist im ersten Quadranten positiv und uy negativ. Die Str
mung luft also im Uhrzeigersinn um. qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi u ¼ juj ¼ u2x þ u2y ¼ C2 ðx2 þ y2 Þ=r4 ¼ C=r: Trotz des vorhandenen Potentials existiert eine Zirkulation I I G ¼ udr ¼ u ds cos b ¼
ðC=rÞ2pr ¼
2pC: c) Dipolstr
mung m mx
my w¼ ¼ 2 þi 2 ¼ F þ iY: z x þ y2 x þ y2 ergibt x2 þ y2 ¼ cx bzw. F ¼ mx=ðx2 þ y2 Þ ¼ const ðx
c=2Þ2 þ y2 ¼ ðc=2Þ2 ; die Potentiallinien sind also Kreise

ð24Þ

ð25Þ

Zð2Þ

b) Wirbellinienstr
mung (Potentialwirbel). C sei reell. w ¼ iC log z ¼
C arctanðy=xÞ þ iðC=2Þ lnðx2 þ y2 Þ ¼ F þ iY bzw. F ¼
C arctanðy=xÞ ¼ const ergibt y ¼ cx; die Potentiallinien sind also Geraden. Y ¼ ð1=2ÞC lnðx2 þ y2 Þ ¼ const liefert x2 þ y2 ¼ c; die Stromlinien sind also Kreise.

gengen als analytische Funktionen den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen ¶F=¶x ¼ ¶Y=¶y und ¶F=¶y ¼
¶Y=¶x

ð27 bÞ

er ist also gleich der Differenz der Stromlinienwerte. Die Geschwindigkeit ist umgekehrt proportional dem Abstand der Stromlinien. Einige Beispiele fr komplexe Geschwindigkeitspontentiale zeigt Bild 24: a) Parallelstr
mung. Aus dem Geschwindigkeitspontential w ¼ u0 z ¼ u0 x þ i u0 y ¼ F þ iY folgen die Potentiallinien zu F ¼ u0 x ¼ const, d. h. x ¼ const; die Potentiallinien sind also Geraden parallel zur y-Achse. Die Stromlinien sind wegen Y ¼ u0 y ¼ const, d. h. y ¼ const, Geraden parallel zur x-Achse. Ferner gilt ux ¼ ¶F=¶x ¼ u0 und uy ¼ ¶F=¶y ¼ 0.

Ebene Potentialstrmung. Hier bilden alle analytischen (komplexen) Funktionen L
sungen, denn w ¼ f ðzÞ ¼ f ðx þ iyÞ ¼ Fðx; yÞ þ iYðx; yÞ

ð27 aÞ

Der Querstrich oben bedeutet den konjugiert komplexen Wert. w ¼ f ðzÞ wird komplexes Geschwindigkeitspotential genannt. Wenn s und n Koordinaten tangential und senkrecht zur Potentiallinie F sind (Bild 23), ist der Volumenstrom

6.5.2 Potentialstrmungen

u ¼ gradF ¼

ð26Þ

Fðx; yÞ ¼ const sind die Potentiallinien, auf denen der Geschwindigkeitsvektor senkrecht steht, und Yðx; yÞ ¼ const die Stromlinien, die vom Geschwindigkeitsvektor tangiert werden, d. h., beide Kurvenscharen stehen senkrecht zueinander. Aus den Gln. (24) und (25) folgt

bzw. in vektorieller Form

¶ux ¶uy ¶uz þ þ ¼ div u ¼ 0: ¶x ¶y ¶z

und somit auch den Potentialgleichungen

Bild 23. Potential- und Stromlinien

I6.6

Mehrdimensionale Strmung zher Flssigkeiten

B 57

B

Bild 24a–e. Potentialstrmungen

mit Mittelpunkt auf der x-Achse. Y ¼
my=ðx2 þ y2 Þ ¼ const ergibt x2 þ y2 ¼ cy bzw. x2 þ ðy
c=2Þ2 ¼ ðc=2Þ2 ; die Stromlinien sind also Kreise mit Mittelpunkt auf der y-Achse. Alle Kreise gehen durch den Nullpunkt. Der Betrag der Geschwindigkeit u ¼ jw0 ðzÞj ¼ m=z2 ¼ m=ðx2 þ y2 Þ ¼ m=r 2 nimmt nach außen mit 1=r 2 ab. d) Parallelanstr
mung eines Kreiszylinders. Bei
berlagerung der Parallel- und Dipolstrmung ergibt sich fr den Zylinder mit Radius a w ¼ f ðzÞ ¼ u0 ðz þ a2 =zÞ. Fr z ! 1 ergibt sich die Parallelstrmung. Weiter gilt     u0 a2 x u0 a2 y F þ iY ¼ u0 x þ 2 þ i u0 y
2 : 2 2 x þy x þy Fr Y ¼ 0 wird u0 y½1
a2 =ðx2 þ y2 Þ ¼ 0, d. h., y ¼ 0 (x-Achse) und x2 þ y2 ¼ a2 (Berandung des Zylinders) bilden eine Stromlinie. Die Geschwindigkeit der Strmung folgt aus f 0 ðzÞ ¼ u0 ð1
a2 =z2 Þ ¼ ux
i uy zu u ¼ jf 0 ðzÞj ¼ ju0 ð1
a2 =z2 Þj: Fr z ¼ a wird u ¼ 0 (Staupunkte) und fr z ¼  ia wird u ¼ 2u0 (Scheitelpunkte); die Geschwindigkeit ist also zur Vertikalachse symmetrisch. Dann folgt aus Gl. (22) auch eine zur Vertikalachse symmetrische Druckverteilung, d. h., die auf den Krper bei Umstrmung durch eine ideale Flssigkeit in Strmungsrichtung wirkende Kraft ist gleich Null (dAlembertsches hydrodynamisches Paradoxon). Strmungskrfte entstehen nur durch die Reibung der Flssigkeiten. e) Unsymmetrische Umstr
mung eines Kreiszylinders.
berlagert man der Umstrmung gemß d) den Potentialwirbel gemß b), so erhlt man w ¼ f ðzÞ ¼ u0 ðz þ a2 =zÞ þ iC log z;   a2 C þ lnðx2 þ y2 Þ; Y ¼ u0 y 1
2 x þ y2 2   a2
C arctanðy=xÞ: F ¼ u0 x 1 þ 2 x þ y2 Die Stromfunkion Y ist symmetrisch zur y-Achse, nicht aber zur x-Achse, d. h., durch Integration des Drucks lngs des Umrisses ergibt sich eine Kraft in y-Richtung. Diese „Auftriebskraft“ lsst sich berechnen zu FA ¼ ru0 G ¼ ru0 2pC (Satz von Kutta-Joukowski); sie ist nur abhngig von der Anstrmgeschwindigkeit und der Zirkulation, nicht aber von der Kontur des Zylinders.

Konforme Abbildung des Kreises. Mit der Methode der konformen Abbildung kann man den Kreis auf beliebige andere, einfach zusammenhngende Konturen abbilden und umgekehrt und damit, da die beliebige Strmung um den Kreis bekannt ist, die Strmung um diese Konturen ermitteln [3].

6.6 Mehrdimensionale Str
mung zher Flssigkeiten 6.6.1 Bewegungsgleichungen von Navier-Stokes Bei rumlicher Strmung Newtonscher Flssigkeiten gelten fr die infolge Reibung auftretenden Zusatzspannungen als Verallgemeinerung des Newtonschen Schubspannungsansatzes die Gleichungen (mit der zustzlichen Zhigkeitskonstante h [3]) ¶uy ¶ux þ hdiv u, sy ¼ 2h þ hdiv u, ¶x ¶y ¶uz sz ¼ 2h þ hdiv u; ¶z

ð28 aÞ

  ¶ux ¶uy þ txy ¼ h ; ¶y ¶x     ¶ux ¶uz ¶uy ¶uz þ þ txz ¼ h ; tyz ¼ h : ¶z ¶x ¶z ¶y

ð28 bÞ

sx ¼ 2h

Das Newtonsche Grundgesetz fr ein Flssigkeitselement lautet fr die x-Richtung dux ¶ux ¶ux ¶ux ¶ux ¼ þ ux þ uy þ uz dt ¶t ¶x ¶y ¶z   1 ¶p 1 ¶sx ¶txy ¶txz þ þ þ ¼X
: ¶y ¶z r ¶x r ¶x

ð29Þ

Aus den Gln. (28) und (29) folgen fr inkompressible Flssigkeiten ðdiv u ¼ 0Þ die Bewegungsgleichungen von NavierStokes (fr die y- und z-Richtung gelten analoge Gleichungen):   dux 1 ¶p h ¶2 ux ¶2 ux ¶2 ux ¼X
þ þ 2 þ 2 2 dt ¶y ¶z r ¶x r ¶x ð30Þ 1 ¶p h ¼X
þ D ux r ¶x r bzw. in vektorieller Form du ¶u F
1 h ¼ þ ðurÞu ¼ grad p þ D u: dt ¶t r r

ð31Þ

B 58

B

Mechanik – 6 Hydro- und Aerodynamik (Strmungslehre, Dynamik der Fluide)

Dabei ist p der mittlere Druck, denn aus div u ¼ 0 folgt sx þ sy þ sz ¼ 0, d. h., die Summe der Zusatzspannungen sx , sy , sz zum mittleren Druck p ist Null. Die Gln. (28) bis (31) gelten f
r laminare Strmung; f
r den turbulenten Fall ist als weiteres Glied die Turbulenzkraft einzuf
hren [3]. Lsungen der Navier-Stokesschen Gleichungen liegen nur f
r wenige Spezialflle (s. B 6.6.2) f
r kleine Reynoldssche Zahlen vor. Bei großen Reynoldsschen Zahlen, also kleinen Zhigkeiten, werden viele Probleme mit der „Grenzschichttheorie“ gelst, deren Ursprung auf Prandtl zur
ckgeht. Dabei wird die stets am Krper der Haftbedingung unterworfene, strmende zhe Fl
ssigkeit nur in einer d
nnen Grenzschicht als reibungsbehaftet, sonst aber als ideal angesehen. 6.6.2 Einige L
sungen fr kleine Reynoldssche Zahlen (laminare Str
mung) Bild 25 a–c [10] a) Couette-Str
mung. Um einen ruhenden Kern dreht sich ein ußerer Zylinder gleichfrmig, angetrieben durch ein ußeres Drehmoment M. Die Navier-Stokessche Gl. (31) nimmt in hier zweckmßigen Polarkoordinaten in r- und j-Richtung (mit ur ¼ 0, uj ¼ uðrÞ, p=p(r) aus Symmetriegr
nden und
 u2 1 ¶p h d2 u 1 du u F ¼ 0) die Form
¼
und þ
¼ r r ¶r r dr 2 r dr r 2   hd 1d ðruÞ ¼ 0 an. r dr r dr Hieraus ergibt sich nach Integration u ¼ C1 r=2 þ C2 =r. Die Konstanten C1 und C2 erhlt man aus uðri Þ ¼ 0 und uðra Þ ¼ wra zu C2 ¼
C1 ri2 =2 und C1 ¼ 2wra2 =ðra2
ri2 Þ; da
 wr 2 r2 mit ist u ¼ 2 a 2 r
i . r ra
ri F
r die Schubspannungen gilt Gl. (28) analog in Polarkoordinaten:

 1 ¶ur ¶uj uj du u 2hwr 2 r 2 þ

t¼h ¼h ¼ 2 a2 i2 ; r r ¶j ¶r dr r ra
ri r tðr ¼ ra Þ ¼ 2hwri2 =ðra2
ri2 Þ: F
r das am Zylinder erforderliche ußere Moment M ¼ t  2pra lra folgt M ¼ 4phwlra2 ri2 =ðra2
ri2 Þ. Durch Messung von M lsst sich hieraus die Viskositt h bestimmen (Couette-Viskosimeter). b) Schmiermittelreibung. Bewegt sich eine schwach gekr
mmte (oder ebene) Platte bei kleinem Zwischenraum par-

allel zu einer anderen, so entsteht ein Strmungsdruck, der eine Ber
hrung der beiden Flchen und deren Reibung aufeinander verhindert. Mit uy  0, ¶uy =¶y  0, ux ¼ u folgt aus der Kontinuittsgleichung (21) ¶u=¶x ¼
¶uy =¶y ¼ 0, d. h. ¶2 u=¶x2 ¼ 0. Wegen ¶ux =¶t ¼ 0 ergibt sich aus Gln. (29) und (30) 1 ¶p y2 þ C1 y þ C2 . ¶p=¶x ¼ h ¶2 u=¶y2 mit der Lsung uðyÞ ¼ h ¶x 2 Mit C1 und C2 aus der Bedingung, dass die Fl
ssigkeit an den Platten haftet, ergibt sich  1 ¶p y y uðyÞ ¼ ðy
hÞ þ u0 1
: h ¶x 2 h Z ¶p 6h Aus V_ ¼ u dy ¼ const folgt ¼ u0 ðh
h0 Þ mit ¶p/ ¶x h3 ¶x ¼ 0 f
r h ¼ h0 . F
r die Schubspannung bei y ¼ 0 gilt t ¼ hu0 ð3h0
4hÞ=h2 . c) Stokessche Widerstandsformel fr die Kugel. Bei kleiner Reynoldsscher Zahl (Re % 1), d. h. schleichender Strmung, werde eine Kugel umstrmt. Die Widerstandskraft ergibt sich nach Stokes zu FW ¼ 3ph du0 :

ð32Þ

Diese Formel wurde von Oseen unter Ber
cksichtigung der Beschleunigungsanteile verbessert zu FW ¼ 3ph du0 ½1 þ ð3=8ÞRe: Beispiel: Viskosittsbestimmung. – Fllt eine Kugel mit u ¼ const durch eine zhe Fl
ssigkeit, so gilt FG
FW
FA ¼ 0, d. h. rK gpd3 =6
3ph du
rF gpd 3 =6 ¼ 0 und hieraus h ¼ gd 2 ðrK
rF Þ=ð18uÞ:

6.6.3 Grenzschichttheorie Umstrmt ein Stoff kleiner Zhigkeit (Luft, Wasser) einen Krper, so bildet sich aufgrund des Haftens des Fluids an der Krperoberflche eine Grenzschicht von der Dicke d(x), in der ein starkes Geschwindigkeitsgeflle und somit große Schubspannungen vorhanden sind. Außerhalb dieser Schicht ist das Geschwindigkeitsgeflle klein, somit sind bei kleinem h die Schubspannungen vernachlssigbar, d. h. die Fl
ssigkeit als ideal anzusehen. In der Regel ist der Anfangsbereich der Grenzschicht laminar und geht dann im Umschlagpunkt in turbulente Strmung mit erhhten Schubspannungen
ber. Nherungsweise liegt der Umschlagpunkt an der Stelle des Druckminimums der Außenstrmung [8]. Aus der NavierStokesschen Gl. (31) folgt f
r den ebenen Fall, bei stationrer Strmung und ohne Massenkrfte mit der Kontinuittsgleichung (21) und den Vereinfachungen uy  ux ; ¶uy =¶x  ¶uy =¶y; ¶ux =¶x  ¶ux =¶y; ¶p/¶y  0 rux

¶ux dp ¶2 ux ¼
þh 2 : ¶x ¶y dx

ð33Þ

Bei einem schwach gekr
mmten Profil (Bild 26) folgt f
r die Wand y ¼ 0 mit ux ¼ 0 (Haftung) aus Gl. (33)
2  dp ¶ ux : ð34Þ ¼h ¶y2 y¼0 dx

Bild 25a–c. Strmungen zher Fl
ssigkeiten

Ist dp=dx < 0 (Anfangsbereich Bild 26), so folgt aus Gl. (34) ¶2 ux =¶y2 < 0; das Geschwindigkeitsprofil ist also konvex. F
r dp=dx ¼ 0 wird ¶2 ux =¶y2 ¼ 0; das Geschwindigkeitsprofil hat also keine Kr
mmung. F
r dp=dx > 0 wird ¶2 ux =¶y2 > 0; das Profil ist also konkav gekr
mmt, und es wird eine Stelle erreicht, wo ¶ux =¶y ¼ 0 ist. Anschließend wird ux negativ, d. h., es setzt eine r
cklufige Strmung ein, die in Einzelwirbel
bergeht. Wegen der Wirbel entsteht hinter dem Krper ein Unterdruck, der zusammen mit den Schubspannungen

I6.6

Mehrdimensionale Strmung z
her Flssigkeiten

B 59

Druckwiderstand (Formwiderstand). Er ergibt sich durch Integration ber die Druckkomponenten in Strmungsrichtung vor und hinter dem Krper. Man fasst ihn zusammen zu

B

Fd ¼ cd ðru20 =2ÞAp (Ap Projektionsfl
che des Krpers, auch Schattenfl
che genannt). cd ist durch Messung der Druckverteilung bestimmbar. In der Regel fhren die Messungen jedoch sofort zum Gesamtwiderstand.

Bild 26. Grenzschicht

Gesamtwiderstand. Er setzt sich aus Reibungs- und Druckwiderstand zusammen: FW ¼ cw ðru20 =2ÞAp :

l
ngs der Grenzschicht den Gesamtstrmungswiderstand des Krpers ergibt [3, 8, 10]. 6.6.4 Str
mungswiderstand von K
rpern Der aus den Schubspannungen l
ngs der Grenzschicht entstehende Widerstand wird Reibungswiderstand, der infolge des durch Strmungsablsung und Wirbelbildung hinter dem Krper verursachten Unterdrucks entstehende Widerstand wird Druckwiderstand genannt. Beide zusammen ergeben den Gesamtwiderstand. W
hrend der Reibungswiderstand mit Hilfe der Grenzschichttheorie weitgehend berechenbar ist, muss der theoretisch schwierig erfassbare Druckwiderstand im wesentlichen experimentell bestimmt werden. Je nach Krperform berwiegt der Reibungs- oder der Druckwiderstand. Fr die Krper auf Bild 27 betr
gt deren Verh
ltnis a) 100 : 0, b) 90 : 10, c) 10 : 90 bzw. d) 0 : 100 in Prozent.

ð35Þ

Fr Krper mit rascher Strahlablsung (praktisch reiner Druckwiderstand) h
ngt cw nur von der Krperform, fr alle anderen Krper von der Reynoldsschen Zahl ab. Fr einige Krper knnen die Widerstandszahlen cw Tab. 2 entnommen werden. Winddruck auf Bauwerke. Die maßgebenden Windgeschwindigkeiten sowie Beiwerte cw sind DIN 1055 Blatt 4 zu entnehmen. Luftwiderstand von Kraftfahrzeugen. Der Widerstand wird aus Gl. (35) berechnet, wobei die Widerstandszahlen cw Tabellen zu entnehmen sind (s. Q 1.2.1). Schwebegeschwindigkeit von Teilchen. Wird ein fallendes Teilchen von unten nach oben mit Luft der Geschwindigkeit u angeblasen, so tritt Schweben ein (Bild 28), wenn FG ¼ FA þ FW , d. h. rK Vg ¼ rVg þ cw ðrF u2 =2ÞAp und hieraus pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi u ¼ 4dðrK  rF Þg=ð3cw rF Þ ist.

Reibungswiderstand. Bei sehr schlanken und stromlinienfrmigen Krpern umhllt die Grenzschicht den ganzen Krper, d. h., es gibt keine Wirbel und keinen Druckwiderstand, sondern nur einen Reibungswiderstand. Fr ¼ cr ðru20 =2ÞA0 (A0 Oberfl
che des umstrmten Krpers). Fr den Reibungsbeiwert cr gelten
hnliche Abh
ngigkeiten wie bei durchstrmten Rohren. Zugrunde gelegt werden die Ergebnisse fr die umstrmte dnne Platte der L
nge l (Bild 27 a): Der bergang von laminarer zu turbulenter Strmung tritt bei Rek ¼ 5
105 ein. Hierbei ist Re ¼ u0 l=v. Der Umschlagpunkt von laminarer in turbulente Strmung auf der Platte liegt also bei xu ¼ vRek =u0 . Die Dicke der laminaren Grenzschicht bepffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi tr
gt d ¼ 5
vx=u0 , die der turbulenten Grenzschicht ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p pffiffiffiffiffiffi 5 4 d ¼ 0;37 vx =u0 . Reibungsbeiwerte cr ¼ 1;327= Re fr laffiffiffiffiffiffi p 5 minare Strmung, cr ¼ 0;074= Re fr turbulente Strmungglatte Platte, cr ¼ 0;418=½2 þ lgðl=kÞ2;53 fr turbulente Strmung-raue Platte (k ¼ 0;001 mm fr polierte Oberfl
che, k ¼ 0;05 mm fr gegossene Oberfl
che). Fr k % 100 l=Re ist die Platte als hydraulisch glatt anzusehen Diagramm s. [3].

Bild 28. Schwebezustand

Reibungswiderstand an rotierenden Scheiben. Bewegt sich eine rotierende dnne Scheibe mit der Winkelgeschwindigkeit w in einer Flssigkeit, so bildet sich eine Grenzschicht aus, deren Teilchen an der Oberfl
che der Scheibe haften. Die an beiden Seiten auftretenden Reibungskr
fte erzeugen ein der Bewegung entgegengesetzt wirkendes Drehmoment (Bild 29): M¼2

Z

r dFr ¼ 2

Z rcF

ru2 dA ¼ 2

Zd=2 0

¼

Bild 27a–d. Strmungswiderst
nde

rcF rw2 r2 2pr dr

  5   4pcF rw2 d rw2 d 5 ¼ cM : 5 2 2 2 2

Bild 29. Radscheibenreibung

B 60

Mechanik – 6 Hydro- und Aerodynamik (Strmungslehre, Dynamik der Fluide)

Tabelle 2. Widerstandszahlen cw angestrmter Krper

B

F
r den Drehmomentenbeiwert cM gilt in Abhngigkeit von der Reynoldsschen Zahl Re ¼ wd2 =ð4vÞ nach [1] bei: ausgedehnten ruhenden Fl
ssigkeiten pffiffiffiffiffiffi f
r Re < 5
105 ðlaminare StrmungÞ cM ¼ 5;2= Re; pffiffiffiffiffiffiffi 5 f
r Re > 5
10 ðturbulente StrmungÞ cM ¼ 0;168= 5 Re; Fl
ssigkeiten in Gehusen (hier ist s der Abstand zwischen Scheibe und Gehusewand) f
r Re < 3
104 f
r 3
104 < Re < 6
105 f
r Re > 6
105

cM ¼ 2pd=ðsReÞ; pffiffiffiffiffiffi cM ¼ 3;78= Re; pffiffiffiffiffiffi cM ¼ 0;0714= 5 Re:

arctanðFW =FA Þ folgen die Krfte normal und tangential zur Sehne (Bild 30 c): Fn ¼ FR cosðb  aÞ; Ft ¼ FR sinðb  aÞ: Die Lage des Angriffspunkts der Resultierenden auf der Sehne (Druckpunkt D) wird durch die Entfernung s vom Anfangspunkt der Sehne bzw. durch den Momentenbeiwert cm festgelegt: Fn s ¼ Fn0 l ¼ cm ðru20 =2ÞAl (Fn0 ist eine gedachte, an der Hinterkante wirksame Kraft). Mit Fn  FA ¼ ca ðru20 =2ÞA ergibt sich s ¼ ðcm =ca Þl. Auftrieb. Allein maßgebend f
r den Auftrieb ist nach dem Satz von Kutta-Joukowski (s. B 6.5.2) die Zirkulation G: FA ¼ ru0 G ¼ ru0 2pC ¼ ca ðru20 =2ÞA:

6.6.5 Tragfl
gel und Schaufeln Ein unter dem Anstellwinkel a mit u0 angestrmter Tragfl
gel erfhrt eine Auftriebskraft FA senkrecht zur Anstrmrichtung und eine Widerstandskraft FW parallel zur Strmungsrichtung (Bild 30 a, b): FA ¼ ca ðru20 =2ÞA; FW ¼ cw ðru20 =2ÞA:

ð36 a, bÞ

Hierbei ist ca der Auftriebsbeiwert und A die senkrecht auf die Sehne l projizierte Fl
gelflche. Angestrebt wird eine mglichst g
nstige Gleitzahl e ¼ cw =ca . pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 Aus der Resultierenden FR ¼ FA2 þ FW sowie b ¼

ð37Þ

Die Konstante C wird so bestimmt, dass die Strmung an der Hinterkante glatt abfließt (Kuttasche Abflussbedingung; die Hinterkante wird nicht umstrmt). Infolge der Zirkulation wird die Strmung auf der Oberseite (Saugseite) schneller und auf der Unterseite (Druckseite) langsamer, d. h., entsprechend der Bernoullischen Gleichung ru2 =2 þ p ¼ const wird der Druck oben kleiner und unten grßer. Unterdruck Dp1 und berdruck Dp2 sind in Bild 30 d lngs des Profilumfangs aufgetragen. Der Auftrieb lsst sich
ber die Zirkulation nach Gl. (37) oder durch Integration
ber den Druck Dp mit demselben Ergebnis ermitteln. Die Berechnung
ber die Zirkulation kann f
r einen unendlich langen Tragfl
gel auf zweierlei Art geschehen: entweder durch konforme Abbildung des Pro-

I6.6

Mehrdimensionale Strmung zher Fl
ssigkeiten

B 61

B

Bild 30 a – f. Tragfl
gel. a Gewlbtes Profil; b Tropfenprofil; c Kraftzerlegung; d Druckverteilung; e und f d
nnwandige Profile

fils auf einen Kreis, da f
r ihn die Potentialstrmung mit Zirkulation bekannt ist (s. B 6.5.2), oder nach der Singularittenmethode (Nherungsverfahren), wobei das umstrmte Profil durch eine Reihe von Wirbeln, Quellen, Senken und Dipolen angenhert wird [3]. Mit diesen Methoden ergibt sich f
r ein Kreisbogenprofil der Wlbung f (Bild 30 e) der Auftriebsbeiwert ca ¼ 2p sinða þ b=2Þ
2pða þ 2f =lÞ und f
r ein beliebig gekr
mmtes Profil mit den Endwinkeln y und j (Bild 30 f) ca ¼ 2p sinða þ y=8 þ 3j=8Þ. Das Ergebnis f
r das Kreisbogenprofil kann als gute Nherung f
r alle Profile verwendet werden, wenn der Anstellwinkel nicht zu groß ist. Der Auftrieb wchst also linear mit dem Anstellwinkel und der relativen Wlbung f/l. F
r a0 ¼ 2f =l wird der Auftrieb Null. Bei Tragfl
geln endlicher Lnge erzwingt der Druckunterschied zwischen Unter- und Oberseite eine Strmung zu den Fl
gelenden hin, da dort der Druckunterschied Null sein muss (Bild 31), d. h., es liegt eine rumliche Strmung vor, die nicht mehr mit den Methoden der ebenen Potentialtheorie erfassbar ist. Dabei nimmt der Auftrieb (und damit die Zirkulation) von der Mitte zu den Enden hin stetig auf Null ab und zwar angenhert ellipsenfrmig. Am Fl
gelende entsteht dabei dauernd eine Zirkulation, die in Form freier Wirbel abschwimmt und aufgrund ihres Energieverbrauchs den „induzierten Widerstand“ hervorruft. Widerstandskraft. Der Gesamtwiderstand nach Gl. (36 b) setzt sich aus dem Reibungs- und Druckwiderstand (s. B 6.6.4) sowie dem induzierten Widerstand infolge Wirbelbildung an den Fl
gelenden zusammen: FW ¼ FWo þ FWi , cw ¼ cwo þ cwi . F
r den Beiwert des induzierten Widerstands gilt bei elliptischer Auftriebsverteilung nach Prandtl cwi ¼ lc2a =p;

ð38Þ

2

wobei l ¼ A=b das sogenannte Seitenverhltnis und b die Spannweite des Fl
gels ist. Der induzierte Widerstand nimmt also quadratisch mit dem Auftrieb bzw. linear mit dem Seitenverhltnis zu. Der Profilwiderstandsbeiwert cwo ist unabhngig von l und ndert sich nur geringf
gig mit ca bzw. a. Polardiagramm. Die errechneten oder gemessenen Werte ca , cw und cm werden im Polardiagramm aufgetragen, in Bild 32 a z. B. f
r das Gttinger Profil 593 mit l ¼ 1 : 5. Hierbei bilden die Koeffizienten cw und cm die Abszisse und der

Bild 31. Querstrmung am Tragfl
gel

Koeffizient ca die Ordinate. Die zu den einzelnen Werten gehrenden Anstellwinkel a sind ebenfalls eingetragen. Strichpunktiert ist die Parabel des induzierten Widerstands nach Gl. (38) dargestellt. Die Gerade g zu einem Punkt der cw -Kurve hat die Steigung tang ¼ cw =ca ¼ e. Der Winkel g kann als Gleitwinkel eines antriebslosen Flugzeugs (Bild 32 b) gedeutet werden. Bild 32 c zeigt f
r dasselbe Profil die Werte ca und cw als Funktion des Anstellwinkels a. Bis etwa 13 nimmt der Auftrieb linear mit dem Anstellwinkel zu, er erreicht bei 15 seinen Hhepunkt und nimmt dann wieder ab. Die Ursache f
r diese Abnahme ist im Abreißen der Strmung auf der Oberseite des Profils zu finden, das einer Verkleinerung des Anstellwinkels gleichzusetzen ist. Der Widerstandskoeffizient cw ist f
r den Anstellwinkel a ¼  4
minimal; er nimmt nach beiden Seiten quadratisch zu. Allgemeine Ergebnisse. Vergleicht man geometrisch hnliche Profile, so gelten f
r ca , cw und a ca2 ¼ ca1 ¼ ca ; cw2 ¼ cw1 þ ðc2a =pÞðA2 =b22  A1 =b21 Þ; a2 ¼ a1 þ ðca =pÞðA2 =b22  A1 =b21 Þ:

ð39Þ

Der Auftrieb, aber auch der Profilwiderstand, nehmen bei gleichem Skelett mit wachsender Profildicke zu. Bei gleicher Dicke wird der Auftrieb mit zunehmender Wlbung grßer. Unterhalb Re ¼ ul=u ¼ 60 000 . . . 80 000 (unterkritischer Bereich) sind Profile wesentlich ung
nstiger als Schaufeln. Der Auftrieb nimmt bis maximal ca ¼ 0;3 . . . 0;4 ab, je nach Dicke der Profile, whrend der Widerstand stark zunimmt. Im
berkritischen Bereich wird der Auftrieb mit Re bei mßig gewlbten Profilen grßer, bei stark gewlbten Profilen kleiner. Klappen am hinteren Ende und Vorfl
gel vergrßern den Auftrieb erheblich, ebenso Absaugen der Luft oder Ausblasen von Gasstrahlen am Fl
gelende. Bei großen Re-Zahlen ist der laminare Reibungswiderstand wesentlich kleiner als der turbulente. Bei geeigneter Formgebung wird der Umschlagpunkt mglichst weit ans Ende des Profils verlegt (Laminarfl
gel), z. B. indem die dickste Stelle des Profils nach hinten verschoben und die Grenzschicht abgesaugt wird. Hierdurch lsst sich der cw -Wert um 50% und mehr vermindern. 6.6.6 Schaufeln und Profile im Gitterverband Im Gitterverband (Bild 33 a–c) spielen die Reibungsverluste eine entscheidende Rolle. Bei zu enger Schaufelteilung wird die Flchenreibung zu groß, und bei zu weiter Teilung treten Ablsungsverluste auf. In beiden Fllen wird der Wirkungsgrad verschlechtert. Die g
nstigste Schaufelteilung wird nach den Ergebnissen von Zweifel [1] ermittelt. Nachfolgend werden Gitter ohne Reibungsverluste betrachtet:

B 62

Mechanik – 6 Hydro- und Aerodynamik (Strmungslehre, Dynamik der Fluide)

B

Bild 32 a – c. Tragflgel-Theorie. a Polardiagramm; b Gleitwinkel; c Auftriebs- und Widerstandsbeiwert

Bild 33 a–c. Schaufelgitter

a) ruhendes Gitter mit unendlicher Schaufelzahl. Aus der Kontinuit
tsgleichung folgt um ¼ u1 cos a1 ¼ u2 cos a2 ¼ const, und aus dem Impulssatz und der Bernoullischen Gleichung folgen Fy ¼ btrum ðu1u
u2u Þ; Fx ¼ btrðu21u
u22u Þ=2

ð40Þ

(b Gittertiefe senkrecht zur Zeichenebene). Ferner gilt qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
u þ u . 1u 2u tan a1 ¼ Fx =Fy ¼ um ; FA ¼ Fx2 þ Fy2 : ð41Þ 2 b) bewegtes Gitter mit unendlicher Schaufelzahl. Bewegt sich das Gitter mit der Geschwindigkeit u, so gelten die Gln. (40) und (41), wenn man dort die Absolutgeschwindigkeiten u durch die Relativgeschwindigkeiten w ersetzt. Die Kraft Fy erbringt die Leistung P ¼ Fy u ¼ btrwm uðw1u
w2u Þ: c) Gitter mit endlicher Schaufelzahl. Die Ablenkung von a1 nach a2 ist nur mglich, wenn die Schaufelenden aufgewin-

kelt oder so ausgebildet werden, dass a1 < a01 und a2 > a02 . Die Gln. (40) und (41) gelten fr die ausgeglichene Strmung, d. h. fr die Ersatzgitterbreite a0 . Die auf eine Schaufel wirkende Kraft FA steht auf a1 senkrecht und kann nach der Profiltheorie aus qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi FA ¼ ca ðru21 =2Þbl und u1 ¼ u2m þ ½ðu1u þ u2u Þ=22 berechnet werden. Entsprechend gilt fr die Widerstandskraft FW ¼ cw ðru21 =2Þbl. Fr das bewegte Gitter, welches Arbeit aufnimmt (Turbine) oder Arbeit abgibt (Pumpe), gilt mit Dp ¼ ðp2 þ ru22 =2Þ
ðp1 þ ru21 =2Þ ca ¼ 2t Dp=ðuw1 rlÞ. Fr die optimale Schaufelteilung sind die Untersuchungen von Zweifel [1] maßgebend: Mit FA ¼ yA ðrw22 =2Þl und yA ¼ ð2 sin2 a2 = sin a1 Þðcot a2
cot a1 Þt=l ergibt sich die gnstigste Schaufelteilung und ein optimaler Wirkungsgrad fr 0;9 < yA < 1;0. Fr Fy gilt entsprechend Fy ¼ yT ðrw22 =2Þa mit yT ¼ 2 sin2 a2 ðcot a2
cot a1 Þt=a. Fr optimale Schaufelteilung gilt 0;9 < yT < 1;0.

I7.2

7
hnlichkeitsmechanik 7.1 Allgemeines Die
hnlichkeitsmechanik hat die Aufgabe, Gesetze aufzustellen, nach denen am (in der Regel verkleinerten) Modell gewonnene Versuchsergebnise auf die wirkliche Ausfhrung (Hauptausfhrung) bertragen werden knnen. Modellversuche sind erforderlich, wenn eine exakte mathematisch-physikalische Lsung eines technischen Problems nicht mglich ist, oder wenn es gilt, theoretische Grundlagen und Arbeitshypothesen in Versuchen zu besttigen. Die Modellgesetze der
hnlichkeitsmechanik bilden somit die Grundlage fr das umfangreiche Versuchswesen in der Statik, Festigkeitslehre, Schwingungslehre, Strmungslehre, dem Schiffs- und Schiffsmaschinenbau, Flugzeugbau, Wasser- und Wasserturbinenbau, fr wrmetechnische Probleme usw. Physikalische
hnlichkeit [1]. Voraussetzung ist die geometrisch hnliche, d. h. winkeltreue (formtreue) Ausfhrung des Modells (Winkel haben keine Einheit, daher ist ihr bertragungsmaßstab stets gleich 1). Vollkommene mechanische
hnlichkeit liegt vor, wenn alle am physikalischen Prozess beteiligten Grßen wie Wege, Zeiten, Krfte, Spannungen, Geschwindigkeiten, Drcke, Arbeiten usw. entsprechend den physikalischen Gesetzen hnlich bertragen werden. Dies ist jedoch im Allgemeinen nicht mglich, da zur bertragung nur die SI-Basiseinheiten m, kg, s und K bzw. deren Maßstabsfaktoren zur Verfgung stehen, ergnzt durch Stoffparameter wie Dichte r, Elastizittsmodul E usw. Daraus folgt, dass nur eine beschrnkte Anzahl physikalischer Grundgleichungen hnlich bertragbar ist, d. h., nur unvollkommene
hnlichkeit ist in der Regel realisierbar. Maßstabsfaktoren. Fr die Grundgrßen Lnge l, Zeit t, Kraft F und Temperatur T besteht zwischen der wirklichen Ausfhrung (H) und dem Modell (M) geometrische, zeitliche, dynamische oder thermische
hnlichkeit, wenn lM =lH ¼ lV ; tM =tH ¼ tV ; FM =FH ¼ FV oder TM =TH ¼ TV fr alle Punkte des Systems eingehalten wird (lV ; tV ; FV und TV sind Verhltniszahlen, die sog. Maßstabsfaktoren). Einheiten. Hat eine physikalische Grße B ¼ F n1 ln2 tn3 T n4 die Einheit Nn1 mn2 sn3 Kn4 , so folgt der bertragungsmaßstab BV ¼ BM =BH direkt aus der Einheit zu BV ¼ FVn1 lnV2 tVn3 TVn4 . Zum Beispiel ergibt sich das bertragungsgesetz fr die mechanische Arbeit W direkt aus der Einheit Nm zu WM =WH ¼ FV lV anstelle der umstndlicheren Form WM =WH ¼ ðFM lM Þ=ðFH lH Þ ¼ FV lV . Kennzahlen. Die an einem Vorgang maßgeblich beteiligten, mit Einheiten behafteten Einflussgrßen lassen sich in Form von Potenzprodukten zu Kennzahlen zusammenfassen, die keine Einheit haben (z. B. Froudesche Kennzahl, Reynoldssche Kennzahl). Dadurch wird die Zahl der Vernderlichen reduziert, und jede maßgebliche, einen Vorgang bestimmende Gleichung bzw. Differentialgleichung lsst sich in eine Funktion der einheitenlosen Kennzahlen umformen. Dabei gilt nach [1]: Das Verhltnis zweier Grßen beliebiger Art lsst sich ersetzen durch das Verhltnis beliebiger anderer Grßen, sofern die neuen Grßen auf dieselben Einheiten fhren wie die ersten. Erweiterte
hnlichkeit. Hufig lsst sich strenge
hnlichkeit wegen der großen Zahl der Einflussgrßen nicht erzielen. Man beschrnkt sich dann (auch aus Ersparnisgrnden) auf die
hnlichkeit der bei einem Vorgang dominierenden Grßen und verfgt ber die restlichen frei.


hnlichkeitsgesetze (Modellgesetze)

B 63

7.2
hnlichkeitsgesetze (Modellgesetze) 7.2.1 Statische
hnlichkeit Maßstabsfaktor fr Gewichtskrfte. Fr Gewichtskrfte FM ¼ rM VM gM am Modell und FH ¼ rH VH gH an der Hauptausfhrung (V Volumen, g Erdbeschleunigung) folgt das bertragungsgesetz FM =FH ¼ rM VM gM =ðrH VH gH Þ; d:h: FV1

¼ ðrM =rH Þl3V

ð1Þ

(da auf der Erde gM ¼ gH ist). Bei freier Wahl von rM ; rH und lV legt diese Gleichung also den Krftemaßstab fest. Beispiel: Von der wirklichen Ausfhrung einer Stahlkonstruktion (rH ¼ 7 850 kg=m3 ) soll ein Modell aus Aluminium (rM ¼ 2 700 kg=m3 ) im Maßstab lV ¼ lM =lH ¼ 1 : 10 hergestellt werden, welches die Eigengewichtskrfte mechanisch hnlich wiedergibt. In welchem Verhltnis stehen dann die Eigengewichtskrfte bzw. mssen sonstige eingeprgte Krfte stehen? In welchem Verhltnis werden die Spannungen und (Hookeschen) Formnderungen bertragen (EH ¼ 210 kN=mm2 , EM ¼ 70 kN=mm2 )? – Nach Gl. (1) wird FV1 ¼ ð2;70=7;85Þ=103 ¼ 1=2 907 ¼ FM =FH , d. h., die Krfte am Modell sind 2 907mal kleiner. Fr die Spannungen folgt sM =sH ¼ FV =l2V ¼ 100=2 907 ¼ 1=29 ¼ sV . Fr die Formnderungen ergibt sich aus Dl ¼ ls=E das Verhltnis DlM =DlH ¼ DlV ¼ lV sV EH =EM ¼ ð1=10Þð1=29Þ210=70 ¼ 1=96;7:

Maßstabsfaktor fr gleiche Dehnungen (fr sog. elastische Krfte). Sollen die elastischen (Hookeschen) Dehnungen am Modell und an der Hauptausfhrung gleich sein, folgt fr die Krfte aus der Bedingung eM

¼ FM =ðEM AM Þ ¼ eH ¼ FH =ðEH AH Þ

FM =FH ¼ EM AM =ðEH AH Þ; d: h: FV2 ¼ ðEM =EH Þl2V :

ð2Þ

Hookesches Modellgesetz: Zwei Krper sind bezglich der elastischen Dehnungen mechanisch hnlich, wenn die Hookeschen Kennzahlen Ho bereinstimmen: Ho ¼ FM =ðEM l2M Þ ¼ FH =ðEH l2H Þ:

ð3Þ

Beispiel: Von einem Knickstab aus Stahl wird ein maßstabgetreues Modell im Verhltnis lV ¼ 1 : 8 aus Aluminium hergestellt (EH ¼ 210 kN=mm2 , EM ¼ 70 kN=mm2 ) und am Modell eine Knickkraft von 1;2 kN gemessen. Wie groß ist die Knickkraft FK der wirklichen Ausfhrung, und in welchem Verhltnis stehen die Spannungen sowie Deformationen zueinander? – FV ¼ ð70=210Þ=64 ¼ 1=192; FK ¼ 192
1;2 kN ¼ 230;4 kN; sV ¼ sM =sH ¼ FV =l2V ¼ 1=3;0; DlM =DlH ¼ lV sV EH =EM ¼ 1=8;0.

Gleichzeitige Bercksichtigung von Gewichts- und elastischen Krften. Sollen gleichzeitig Gewichtskrfte und elastische Dehnungen mechanisch hnlich bertragen werden, so mssen die Krftemaßstbe nach Gl. (1) und Gl. (2) gleich sein. Aus FV1 ¼ FV2 folgt ðrM =rH Þl3V ¼ ðEM =EH Þl2V ; d: h: ¼ ðEM =EH ÞðrH =rM Þ: lV

ð4Þ

Der Lngenmaßstab ist nicht mehr frei whlbar; er hngt nur noch von den Stoffparametern ab. Beispiel: Fr das erste Beispiel in B 7.2.1 wird fr mechanische
hnlichkeit von Gewichtskrften und Dehnungen der Maßstabsfaktor gesucht. – lV ¼ ð70=210Þð7 850=2 700Þ ¼ 1 : 1;03, d. h., eine gleichzeitige Bercksichtigung von Gewichtskrften und Dehnungen ist nur an der wirklichen Ausfhrung mglich. Deshalb beschrnkt man sich auf die erweiterte
hnlichkeit, indem fr den Maßstab 1 : 10 die
hnlichkeit der elastischen Krfte erfllt wird. Dann ergibt sich nach Gl. (2) FV ¼ ð70=210Þ=100 ¼ 1=300 ¼ FM =FH , whrend die Gewichtskrfte wie im ersten Beispiel im Verhltnis 1/2 907 bertragen werden. Die Differenz der Gewichtskrfte [(1/300)–(1/2 907)]
FGH lsst sich als ußere Zusatzlast am Modell anbringen.

B

B 64

Mechanik – 7 hnlichkeitsmechanik

7.2.2 Dynamische
hnlichkeit

B


hnlichkeitsgesetz von Newton-Bertrand. Beschleunigte Bewegungsvorg
nge gengen dem Newtonschen Grundgesetz F ¼ ma. Daraus folgt fr den Kr
ftemaßstab bei mechanischer hnlichkeit der Tr
gheitskr
fte an Modell und Hauptausfhrung mit aV ¼ lV =tV2 FM =FH ¼ rM VM aM =ðrH VH aH Þ; d: h: FV3

¼ ðrM =rH Þðl4V =tV2 Þ:

FM =½rM ðlM =tM Þ2 l2M
¼ FH =½rH ðlH =tH Þ2 l2H


tV ¼ ðrM =rH ÞðhH =hM Þl2V ¼ ðuH =uM Þl2V ;

ð11Þ

ð6Þ

Newtonsches hnlichkeitsgesetz: Zwei Vorg
nge sind bezglich der Tr
gheitskr
fte
hnlich, wenn die Newtonschen Kennzahlen Ne bereinstimmen. Beispiel: Fr einen auf horizontaler Bahn bewegten Wagen aus Stahl (rH ¼ 7 850 kg=m3 , VH ¼ 1 m3 , FH ¼ 10 kN) soll ein Modell aus Holz ðrM ¼ 600 kg=m3 Þ im Maßstab 1 : 20 hergestellt werden. Welche Kr
fte mssen am Modell angreifen, wenn der Zeitmaßstab tV ¼ tM =tH ¼ 1 : 100 sein soll? In welchem Verh
ltnis werden Geschwindigkeiten und Beschleunigungen bersetzt? – FM ¼ FH FV3 ¼ 47;8 N; FV3 ¼ ð600=7 850Þð1002 =204 Þ ¼ 1=209;3; 2 2 uM =uH ¼ lV =tV ¼ 100=20 ¼ 5; aM =aH ¼ lV =tV ¼ 100 =20 ¼ 500.


hnlichkeitsgesetz von Cauchy. Sind bei einem Bewegungsvorgang Tr
gheitskr
fte und elastische Kr
fte maßgeblich beteiligt, so folgt aus FV3 ¼ FV2 nach den Gln. (5) und (2) pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð7Þ tV ¼ lV ðEH =EM ÞðrM =rH Þ; d. h., nur der L
ngenmaßstab (oder der Zeitmaßstab) ist noch frei w
hlbar. Mit tV ¼ tM =tH und lV ¼ lM =lH folgt daraus pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi uM =uH ¼ ðEM =EH ÞðrH =rM Þ bzw. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Ca ¼ uM = EM =rM ¼ uH = EH =rH : ð8Þ Cauchys hnlichkeitsgesetz: Zwei Vorg
nge, die berwiegend unter Einfluss von Tr
gheits- und elastischen Kr
ften stehen, sind mechanisch
hnlich, wenn ihre Cauchyschen Kennzahlen Ca bereinstimmen.
hnlichkeitsgesetz von Froude. Sind bei einem Bewegungsvorgang Tr
gheitskr
fte und Gewichtskr
fte berwiegend beteiligt, so folgt aus FV1 ¼ FV3 nach den Gln. (1) und (5) pffiffiffiffiffi tV ¼ lV ; ð9Þ d. h., nur der L
ngenmaßstab (oder der Zeitmaßstab) ist noch 2 frei w
hlbar. Daraus folgt tM =tH2 ¼ lM =lH bzw. 2 l2M =ðlM tM Þ ¼ l2H =ðlH tH2 Þ und somit ð10Þ

Froudesches Modellgesetz: Zwei Vorg
nge sind hinsichtlich der Tr
gheitskr
fte und der Gewichtskr
fte mechanisch
hnlich, wenn die Froudeschen Kennzahlen Fr bereinstimmen. Beispiel: Von einem physikalischen Pendel aus Stahl (rH ¼ 7 850 kg=m3 ) soll ein Modell aus Holz (rM ¼ 600 kg=m3 ) im Maßstab 1 : 4 hergestellt werden. Wie groß ist der bertragungsmaßstab tV , wie verhalten sich Kr
fte, Spannungen, Frequenzen, Gepffiffiffiffiffiffiffiffi schwindigkeiten und Beschleunigungen zueinander? – tV ¼ 1=4 ¼ 1=2; FV ¼ FM =FH ¼ ð600=7 850Þ=64 ¼ 1=837; sM =sH ¼ FV =l2V ¼ 1=52; wM =wH ¼ tH =tM ¼ 1=tV ¼ 2;0; uM =uH ¼ lV =tV ¼ 2=4 ¼ 1=2; aM =aH ¼ lV =tV2 ¼ 4=4 ¼ 1;0:

ð12Þ

h absolute, u ¼ h=r kinematische Z
higkeit. Nur der L
ngenmaßstab ist noch frei w
hlbar und im Rahmen der zur Verfgung stehenden Medien der Stoffparameter uM . Aus Gl. (12) folgt tM =tH ¼ ðuH =uM Þl2M =l2H , d. h. Re ¼ uM lM =uM ¼ uH lH =uH :

und mit lM =tM ¼ uM und lH =tH ¼ uH

Fr ¼ u2M =ðlM gM Þ ¼ u2H =ðlH gH Þ:

FM hM duM =dzM AM h l2 ¼   ; d: h: FV4 ¼ M  V FH hH duH =dzH AH hH tV und damit aus FV4 ¼ FV3 nach den Gln. (11) und (5)

ð5Þ

Bei alleiniger Wirkung der Tr
gheitskr
fte sowie freier Wahl von rM ; rH ; lV und tV legt Gl. (5) den Kr
ftemaßstab fest. Daraus folgt

Ne ¼ FM =ðrM u2M l2M Þ ¼ FH =ðrH u2H l2H Þ:


hnlichkeitsgesetz von Reynolds. Sind bei einem Bewegungsvorgang Tr
gheitskr
fte und Reibungskr
fte Newtonscher Flssigkeiten berwiegend beteiligt, so folgt fr letztere mit F ¼ hðdu=dzÞA nach B 6.2 Gl. (8) der Kr
ftemaßstab

ð13Þ

Reynoldssches hnlichkeitsgesetz: Zwei Strmungen z
her Newtonscher Flssigkeiten sind unter berwiegendem Einfluss der Tr
gheits- und Reibungskr
fte mechanisch
hnlich, wenn die Reynoldsschen Zahlen Re bereinstimmen. Beispiel: Der Strmungswiderstand eines Einbauteils in einer lleitung soll im Modellversuch im Maßstab 1 : 10 mittels Messung des Druckabfalls bestimmt werden, wobei Wasser als Modellmedium vorgesehen ist. Wie verhalten sich die Strmungsgeschwindigkeiten und die Kr
fte bzw. der Druckabfall (uM ¼ 106 m2 =s; uH ¼ 1;1  104 m2 =s; hM ¼ 103 Ns=m2 ; hH ¼ 101 Ns=m2 Þ? – lV ¼ lM =lH ¼ 1=10; uV ¼ uM =uH ¼ ðuM =uH Þ=lV ¼ ð106 =1;1  104 Þ= ð1=10Þ ¼ 1=11 ; FV ¼ FM =FH ¼ ðhM =hH Þl2V =tV ¼ ðhM =hH ÞuV lV ¼ ð103 =101 Þð1=11Þð1=10Þ ¼ 1=11 000; DpM =DpH ¼ ðFM =FH Þ=l2V ¼ 100=11000 ¼ 1=110.


hnlichkeitsgesetz von Weber. Sind an einem Vorgang neben den Tr
gheitskr
ften die Oberfl
chenspannungen s, d. h. die Oberfl
chenkr
fte Fs ¼ sl, berwiegend beteiligt (wobei s als Materialkonstante aufzufassen ist), so folgt als bertragungsmaßstab fr die Oberfl
chenkr
fte FsM =FsH ¼ sM lM =ðsH lH Þ; d: h: FV5 ¼ ðsM =sH ÞlV

ð14Þ

und damit aus FV5 ¼ FV3 gem
ß den Gln. (14) und (5) 2 ðrM =sM Þl3M =tM ¼ ðrH =sH Þl3H =tH2 bzw:

We ¼ rM u2M lM =sM ¼ rH u2H lH =sH :

ð15Þ

Webersches hnlichkeitsgesetz: Vorg
nge unter berwiegendem Einfluss von Tr
gheits- und Oberfl
chenkr
ften sind mechanisch
hnlich, wenn die Weberschen Kennzahlen We bereinstimmen. Weitere
hnlichkeitsgesetze fr Strmungsprobleme. Eulersche Kennzahl: Bei Strmungsproblemen, bei denen die Reibung vernachl
ssigt werden kann, d. h. bei denen Druckund Tr
gheitskr
fte berwiegen (z. B. bei der Messung des Staudrucks Dp), liegt mechanische hnlichkeit vor, wenn die Eulerschen Kennzahlen Eu gleich sind: Eu ¼ DpM =ðrM u2M Þ ¼ DpH =ðrH u2H Þ:

ð16Þ

Machsche Kennzahl: Bei gasfrmigen Fluiden, deren Strmungsgeschwindigkeit nahe der Schallgeschwindigkeit c liegt, herrscht mechanische hnlichkeit, wenn die Machschen Kennzahlen Ma gleich sind: Ma ¼ uM =cM ¼ uH =cH :

ð17Þ

7.2.3 Thermische
hnlichkeit
hnlichkeitsgesetz von Fourier. Fr den instation
ren W
rmeleitungsvorgang gilt die Fouriersche Differentialgleichung  2  ¶T ¶ T ¶2 T ¶2 T þ þ ¼b ; ð18Þ ¶t ¶x2 ¶y2 ¶z2

I8 b ¼ lðcrÞ Temperaturleitf
higkeit, l W
rmeleitf
higkeit, c spezifische W
rmekapazit
t, r Dichte. Nach der Regel ber die Einheiten folgt TV =tV ¼ ðbM =bH ÞðTV =l2V Þ bzw: tV ¼ ðbH =bM Þl2V

ð19Þ

und hieraus Fo ¼ tM bM =l2M ¼ tH bH =l2H :

ð20Þ

Fouriersches hnlichkeitsgesetz: Zwei W
rmeleitungsvorg
nge sind
hnlich, wenn die Fourierschen Kennzahlen Fo bereinstimmen (s. D 10.4). Beispiel: Fr ein Modell im Maßstab 1: 10 folgt bei gleichem Material ðbM ¼ bH Þ : tM ¼ ðlM =lH Þ2 tH ¼ ð1=100ÞtH , d. h., die Temperaturverteilung im Modell ist bei 1/100 der Zeit in der Hauptausfhrung erreicht.


hnlichkeitsgesetz von Pe´clet. Sollen zwei Strmungsvorg
nge hinsichtlich der W
rmeleitung thermisch bereinstimmen, so mssen die Pe´cletschen Kennzahlen Pe gleich sein: Pe ¼ uM lM =bM ¼ uH lH =bH :

ð21Þ


hnlichkeitsgesetz von Prandtl. Sollen zwei Strmungsvorg
nge hinsichtlich der W
rmeleitung und W
rmekonvektion bereinstimmen, so mssen die Reynoldsschen und die Pe´cletschen Kennzahlen bereinstimmen. Daraus ergibt sich eine Gleichheit der Prandtlschen Kennzahlen Pr: Pr ¼ Pe=Re ¼ uM =bM ¼ uH =bH :

ð22Þ


hnlichkeitsgesetz von Nußelt. Fr den W
rmebergang zwischen zwei Stoffen besteht hnlichkeit, wenn die Nußeltschen Kennzahlen Nu bereinstimmen: Nu ¼ aM lM =lM ¼ aH lH =lH ;

ð23Þ

a W
rmebergangskoeffizient, l W
rmeleitf
higkeit. 7.2.4 Analyse der Einheiten (Dimensionsanalyse) und P-Theorem Sind die mit Einheiten behafteten Einflussgrßen eines Vorgangs bekannt, so lassen sich aus ihnen Potenzprodukte in Form einheitenloser Kennzahlen bilden. Die zur Darstellung eines Problems erforderlichen Kennzahlen bilden einen vollst
ndigen Satz. Jede physikalisch richtige Grßengleichung l
sst sich als Funktion der Kennzahlen eines vollst
ndigen Satzes darstellen (P-Theorem von Buckingham). Zum Beispiel kann man die Bernoullische Gleichung fr die reibungsfreie Strmung ru2 =2 þ p þ rgz ¼ const bzw. 1=2þ

8 Spezielle Literatur zu B 1 Statik starrer Krper [1] F
ppl, A.: Vorlesungen ber technische Mechanik, Bd. I, 14. Aufl., Bd. II, 10. Aufl. Mnchen, Berlin: R. Oldenbourg 1948, 1949. – [2] Schlink, W.: Technische Statik, 4. u. 5. Aufl. Berlin: Springer 1948. – [3] Drescher, H.: Die Mechanik der Reibung zwischen festen Krpern. VDI-Z. 101 (1959) 697– 707. – [4] Krause, H.; Poll, G.: Mechanik der Festkrperreibung. Dsseldorf: VDI 1980. – [5] Kragelski, Doby
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Spezielle Literatur

B 65

p=ðru2 Þ þ gz=u2 ¼ const auch schreiben als 1=2 þ Euþ 1=Fr ¼ const, d. h., die Eulersche und die Froudesche Kennzahl bilden fr die reibungsfreie und temperaturunabh
ngige Strmung einen vollst
ndigen Satz. Die fnf Einflussgrßen r, u, p, g, z lassen sich also durch zwei einheitenlose Kennzahlen ersetzen, die zur vollst
ndigen Beschreibung des Problems ausreichen. Eine Methode zur Ermittlung des vollst
ndigen Satzes von Kennzahlen eines Problems – auch in F
llen, wo die physikalischen Grundgleichungen nicht bekannt sind – ist die Analyse der Einheiten unter Zugrundelegung des BuckinghamTheorems [2]. Es besagt: Gilt fr n einheitenbehaftete Einflussgrßen xi die Beziehung f ðx1 ; x2 ; . . . ; xn Þ ¼ 0, so l
sst sie sich stets in der Form f
ðP1 ; P2 ; . . . ; Pm Þ ¼ 0 schreiben, wobei Pj die m einheitenlosen Kennzahlen sind und m ¼ n  q ist. Hierbei ist q die Anzahl der beteiligten Basiseinheiten. Fr m, kg, s wird q ¼ 3 bei mechanischen, und fr m, kg, s, K gilt q ¼ 4 bei thermischen Problemen. Mit einem Produktansatz P ¼ xa1 xb2 xc3 xd4 . . .

ð24Þ

und nach Einsetzen der Einheiten fr xi muss die Summe der Exponenten der Basiseinheiten m, kg, s und K jeweils null werden, da wegen der linken Seite auch die rechte einheitenlos sein muss. Zum Beispiel sind an der vorstehend zitierten reibungsfreien Strmung die Grßen r, u, z, g, p beteiligt. Dann gilt P ¼ ðkg=m3 Þa ðm=sÞb ðmÞc ðm=s2 Þd ðkg=m s2 Þe :

ð25Þ

Fr die Exponenten von kg, m, s folgt dann a þ e ¼ 0;  3a þ b þ c þ d  e ¼ 0;  b  2d  2e ¼ 0:

ð26Þ

Zwei Exponenten knnen frei gew
hlt werden. Zum Beispiel sollen p und g Leitgrßen, d und e frei w
hlbar sein. Dann folgt aus Gl. (26) a ¼ e, b ¼ 2d  2e und c ¼ d und somit P ¼ ra ub zc gd pe ¼ re u2d2e zd gd pe ¼ ðzg=u2 Þd ðp=ru2 Þe bzw. mit d ¼ 1d und e ¼ 1 P ¼ ð1=FrÞEu; d: h: P1 ¼ Fr; P2 ¼ Eu:

ð27Þ

Also ist das Problem der reibungsfreien Strmung mit m ¼ n  q ¼ 5  3 ¼ 2 Kennzahlen beschreibbar, n
mlich mit der Froudeschen und der Eulerschen Kennzahl. Ein funktionaler Zusammenhang in Form der Bernoullischen Gleichung l
sst sich mit diesem Verfahren natrlich nicht herleiten (weitere Ausfhrungen s. [1–5]).

1978. – [2] Klein, I.; Sommerfeld, A.: Theorie des Kreisels (4 Bde.). Leipzig: Teubner 1897–1910. – [3] Grammel, R.: Der Kreisel (2 Bde.), 2. Aufl. Berlin: Springer 1950. – [4] Hertz, H.: ber die Berhrung fester elastischer Krper. J. f. reine u. angew. Math. 92 (1881). – [5] Berger, F.: Das Gesetz des Kraftverlaufs beim Stoß. Braunschweig: Vieweg 1924. zu B 4 Schwingungslehre [1] S
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B

B 66

B

Mechanik – 8 Spezielle Literatur

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sch: Tafeln h
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C

Festigkeitslehre

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cher: Balke, H.: Einf
hrung in die Technische Mechanik. Berlin: Springer 2005. – Brandt, S.: Mechanik. Berlin: Springer 2005. – Gross; Hauger; Schnell; Schr
der: Technische Mechanik, Bde. 1 u. 2, 8. Aufl. Berlin: Springer 2005. – Gross; Hauger; Schnell; Schr
der: Technische Mechanik, Bd. 3, 8. Aufl. Berlin: Springer 2004. – Gross; Hauger; Schnell; Wriggers: Technische Mechanik, Bd. 4, 5. Aufl. Berlin: Springer 2004. – Gummert, P.; Reckling, K.- A.: Mechanik, 3. Aufl. Braunschweig: Vieweg 1994. – Holzmann; Meyer; Schumpich: Technische Mechanik 1, 10. Aufl. Stuttgart: Teubner 2004. – Holzmann; Meyer; Schumpich: Technische Mechanik 2, 8. Aufl. Stuttgart: Teubner 2000. – Holzmann, Meyer, Schumpich: Technische Mechanik 3, 8. Aufl. Stuttgart: Teubner 2002. – Issler; Ruoß; Hfele: Festigkeitslehre, 2. Aufl. Berlin: Springer 1997. – Szabo, I.: Einf
hrung in die Technische Mechanik, 8. Aufl. Berlin: Springer 1975, Nachdruck 2003. – Szabo, I.: Hhere Technische Mechanik, 6. Aufl. Berlin: Springer 2001.

1 Allgemeine Grundlagen Die Festigkeitslehre soll Spannungen und Verformungen in einem Bauteil ermitteln und nachweisen, dass sie mit ausreichender Sicherheit gegen Versagen des Bauteils aufgenommen werden. Ein Versagen kann in unzulssig großen Verformungen oder Dehnungen, im Auftreten eines Bruchs oder im Instabilwerden (z. B. Knicken oder Beulen) des Bauteils bestehen. Die hierf
r maßgebenden Werkstoffkennwerte sind abhngig vom Spannungszustand (ein-, zwei- oder dreiachsig), von den Spannungsarten (Zug-, Druck-, Schubspannungen), vom Belastungszustand (statisch oder dynamisch), von der Betriebstemperatur sowie von der Grße und der Oberflchenbeschaffenheit des Bauteils.

1.1 Spannungen und Verformungen Bild 1 a–c. Spannungen. a, b Definition; c Tensor

1.1.1 Spannungen Den ußeren Krften und Momenten an einem Krper (sowie den Trgheitskrften bzw. den negativen Massenbeschleunigungen bei beschleunigter Bewegung) halten im Innern eines Krpers entsprechende Reaktionskrfte das Gleichgewicht. Bei homogen angenommener Massenverteilung des Krpers treten die inneren Reaktionskrfte flchenhaft verteilt auf. Durch jeden Punkt eines Krpers lassen sich unter unendlich vielen Richtungen elementare ebene Schnittflchen dA legen, deren Richtung durch den Normalenvektor n gekennzeichnet wird (Bild 1 a). Der Spannungsvektor s ¼ dF=dA lsst sich in eine Normalspannung s ¼ dFn =dA und in eine Tangentialoder Schubspannung t ¼ dFt =dA zerlegen. In kartesischen Koordinaten (Bild 1 b) ergeben sich eine Normalspannung sz ¼ dFn =dA und zwei Schubspannungen tzx ¼ dFtx =dA bzw. tzy ¼ dFty =dA. Die Beschreibung des vollstndigen Spannungszustands in einem Punkt erfordert drei Ebenen bzw. ein quaderfrmiges Element (Bild 1 c) mit drei Spannungsvektoren bzw. dem Spannungstensor 0 1 sx txy txz sx ¼ sx ex þ txy ey þ txz ez , B C sy tyz A: ð1Þ sy ¼ tyx ex þ sy ey þ tyz ez , S ¼ @ tyx sz ¼ tzx ex þ tzy ey þ sz ez ;

tzx

tzy

sz

Aus den Momentengleichgewichtsbedingungen um die Koordinatenachsen f
r das Element nach Bild 1 c folgt txy ¼ tyx , txz ¼ tzx , tyz ¼ tzy (Satz von der Gleichheit der zugeordneten Schubspannungen), d. h., zur vollstndigen Beschreibung des

Bild 2 a–d. Einachsiger Spannungszustand. a Spannungen am Element; b Mohrscher Spannungskreis; c, d Trajektorien der Hauptnormal- und Hauptschubspannungen

Spannungszustands in einem Punkt sind drei Normalspannungen und drei Schubspannungen erforderlich. Der einachsige Spannungszustand. Er liegt vor, wenn am quaderfrmigen Element (Bild 2 a) eine Normalspannung angreift, z. B. sx ¼ dF=dA, sy ¼ sz ¼ 0, txy ¼ txz ¼ tyz ¼ 0. F
r ein unter dem Winkel j liegendes Flchenelement folgen die zugehrigen Spannungen s und t aus den Gleichgewichtsbedingungen in n- und t-Richtung zu s ¼ ðsx =2Þ
ð1 þ cos 2 jÞ und t ¼  ðsx =2Þ sin 2 j. Hieraus folgt ðs  sx =2Þ2 þ t2 ¼

C

C2

C

Festigkeitslehre – 1 Allgemeine Grundlagen

ðsx =2Þ2 , die Gleichung des Mohrschen Spannungskreises (Bild 2 b). F
r 2j ¼ 90° bzw. j ¼ 45° ergibt sich die grßte Schubspannung zu t ¼
sx =2, die zugehrige Normalspannung ebenfalls zu s ¼ sx =2. Die grßte und kleinste Normalspannung (hier s1 ¼ sx und s2 ¼ 0) und die grßte Schubspannung (hier t1 ¼
sx =2) werden Hauptnormal- und Hauptschubspannung genannt. Linien, die
berall von den Hauptnormal- bzw. Hauptschubspannungen tangiert werden, heißen Hauptnormalspannungs- bzw. Hauptschubspannungstrajektorien (Bild 2 c, d). Der zweiachsige (ebene) Spannungszustand. Treten lediglich in einer Ebene (z. B. der x, y-Ebene) Spannungen auf, so liegt ein ebener Spannungszustand vor (Bild 3 a). F
r die in der unter dem Winkel j geneigten Schnittflche liegenden Spannungen s und t folgen aus den Gleichgewichtsbedingungen in n- und t-Richtung mit txy ¼ tyx 9 > s ¼ sx cos2 j þ sy sin2 j þ 2 txy sin j cos j > > > 1 1 ¼ 2ðsx þ sy Þ þ 2ðsx
sy Þ cos 2 j þ txy sin 2 j, = ð2Þ 2 2 t ¼ ðsy
sx Þ sin j cos j þ txy ðcos j
sin jÞ > > > > ; ¼
12ðsx
sy Þ sin 2 j þ txy cos 2 j: Hieraus folgt nach Quadrieren und Addieren die Gleichung des Mohrschen Spannungskreises (Bild 3 b) mit dem Radius r: 9
 sx þ sy 2 2 sx
sy 2 2 > > s
þt ¼ þtxy , > = 2 2 ð3Þ ffi rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi s
s 2 > > x y > ; r¼ þt2xy : 2 Der Kreismittelpunkt liegt an der Stelle ðsx þ sy Þ=2: Die Hauptnormalspannungen ergeben sich mit t ¼ 0 aus Gl. (2) unter den Winkeln j01 und j02 ¼ j01 þ 90°, die aus tan 2 j0 ¼ 2 txy =ðsx
sy Þ

ð4Þ

folgen, zu s1,2 ¼ ðsx þ sy Þ=2 

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ½ðsx
sy Þ=22 þ t2xy :

ð5Þ

Die grßten Schubspannungen folgen gemß Gl. (2) aus dt=dj ¼ 0 unter den Winkeln j11 und j12 ¼ j11 þ 90°, die sich aus tan 2 j1 ¼ ðsy
sx Þ=ð2 txy Þ

ð6Þ

ergeben, wobei j11 ¼ j01 þ 45° und j12 ¼ j02 þ 45° ist (Bild 3 c). Die Grße dieser Hauptschubspannungen entspricht dem Radius des Mohrschen Spannungskreises, d. h. qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi t1,2 ¼  ½ðsx
sy Þ=22 þ t2xy : ð7Þ Die zugehrigen Normalspannungen sind f
r beide Winkel gleich groß, nmlich sM ¼ ðsx þ sy Þ=2: Die Richtung der Hauptnormalspannungstrajektorien folgt

aus Gl. (4) 2 tan j0 2y0 2 txy ¼ ¼ 1
tan2 j0 1
y 0 2 sx
sy sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
 sy
sx sy
sx 2 y10 ,2 ¼  þ1, 2 txy 2 txy

tan 2 j0 ¼

zu

die Richtung der dazu um 45 gedrehten Hauptschubspannungstrajektorien aus Gl. (6) sy
sx 2 tan j1 2y 0 ¼ ¼ 1
tan2 j1 1
y 0 2 2 txy sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2 ffi 2 txy 2 txy y30 ,4 ¼  þ1: sx
sy sx
sy

tan 2 j1 ¼

zu

Der dreiachsige (r
umliche) Spannungszustand. Treten in drei senkrecht zueinander liegenden Ebenen Spannungen auf, so besteht ein rumlicher Spannungszustand (Bild 1 c). Er wird von den sechs Spannungskomponenten sx ; sy ; sz ; txy ¼ tyx ; txz ¼ tzx und tyz ¼ tzy bestimmt. F
r eine beliebige Tetraederschnittflche, deren Stellung mit dem Normalenvektor n ¼ cos a ex þ cos b ey þ cos g ez ¼ nx ex þ ny ey þ nz ez festgelegt ist (Bild 4), ergibt sich der Spannungsvektor s ¼ sx ex þ sy ey þ sz ez bzw. seine Komponenten aus den Gleichgewichtsbedingungen in x-, y-, z-Richtung zu sx ¼ nx sx þ ny tyx þ nz tzx , sy ¼ nx txy þ ny sy þ nz tzy , s ¼

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi s2x þ s2y þ s2z :

ð8Þ

sz ¼ nx txz þ ny tyz þ nz sz ; Die zur Tetraederschnittflche senkrecht stehende Normalspannung ist s ¼ sn ¼ sx nx þ sy ny þ sz nz ¼ n2x sx þ n2y sy þ n2z sz þ 2ðnx ny txy þ nx nz txz þ ny nz tyz Þ: F
r die resultierende Schubspannung (Bild 4) gilt t ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi s2
s2 . Die Hauptnormalspannungen treten in den drei zueinander senkrecht stehenden Flchen auf, in denen t zu Null wird. Der Spannungstensor hat dann die Form 0 1 s1 0 0 B C S ¼ @0 s2 0 A, 0 0 s3 und f
r die Spannungsvektoren gilt si ¼ ni si ði ¼ 1; 2; 3Þ, d. h. six ¼ nix si , siy ¼ niy si , siz ¼ niz si :

ð9Þ

Die Gln. (8) und (9) gleichgesetzt ergibt ðsx
si Þ nix þ tyx niy

þ tzx niz

¼ 0,

txy nix

þ ðsy
si Þ niy þ tzy niz

¼ 0,

txz nix

þ tyz niy

þ ðsz
si Þ niz ¼ 0:

Bild 3 a–c. Ebener Spannungszustand. a Spannungen am Element; b Mohrscher Spannungskreis; c Hauptspannungen

ð10Þ

I1.1 Dieses lineare homogene Gleichungssystem f
r die Komponenten nix ; niy und niz der Hauptnormalenvektoren hat nur dann eine nichttriviale Lsung, wenn die Koeffizientendeterminante null wird. Daraus folgt eine kubische Gleichung f
r si der Form s3i
J1 s2i þ J2 si
J3 ¼ 0

ð11Þ

mit J1 ¼ sx þ sy þ sz ,

Spannungen und Verformungen

C3

großer Bedeutung. Sie gehren zu den acht Schnittebenen, deren Normalen mit den drei Hauptachsen gleiche Winkel bilden und ein regulres Oktaeder darstellen (Bild 6). Ihre Grße ist [4] s0 ¼ ðs1 þ s2 þ s3 Þ=3 ¼ ðsx þ sy þ sz Þ=3, qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi t0 ¼ ð1=3Þ ðs1
s2 Þ2 þ ðs2
s3 Þ2 þ ðs1
s3 Þ2 , qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ 13 ðsx
sy Þ2 þ ðsy
sz Þ2 þ ðsz
sx Þ2 þ 6ðt2xy þt2yz þt2xz Þ:

J2 ¼ sx sy þ sx sz þ sy sz
t2xy
t2xz
t2yz , J3 ¼ sx sy sz
sx t2yz
sy t2zx
sz t2xy þ 2 txy tyz tzx : J1 , J2 , J3 sind Invariante des Spannungstensors, da sie f
r alle Bezugssysteme denselben Wert annehmen, d. h., f
r die Hauptrichtungen gilt J1 ¼ s1 þ s2 þ s3 , J2 ¼ s1 s2 þ s1 s3 þ s2 s3 , J3 ¼ s1 s2 s3 . Sind aus Gl. (11) die si ði ¼ 1; 2; 3Þ ermittelt, so folgen aus Gl. (10) nach Einsetzen der si ði ¼ 1; 2; 3Þ jeweils drei lineare Gleichungen f
r die Komponenten nix ; niy ; niz einer Hauptnormalenrichtung. Da jeweils zwei der drei Gleichungen linear voneinander abhngig sind, muss die stets g
ltige Beziehung n2ix þ n2iy þ n2iz ¼ 1 mitbenutzt werden. Sind hieraus die Hauptnormalenvektoren ni ði ¼ 1; 2; 3Þ bestimmt, so sind Grße und Richtung der Hauptnormalspannungen bekannt. F
r das Spannungshauptachsensystem x, h, z (Richtungen i=1, 2, 3; Bild 5 a) ergibt sich mit s3 ¼ 0 ein ebener Spannungszustand mit den Hauptspannungen s1 und s2 und der Gleichung f
r den Mohrschen Spannungskreis analog Gl. (3)

s
s 2 s1 þ s2  1 2 : s
þ t2 ¼ 2 2 Entsprechende Kreise ergeben sich f
r s2 ¼ 0 bzw. s1 ¼ 0 (Bild 5 b). Die Komponenten s und t des Spannungsvektors s f
r ein durch n ¼ ðcos a; cos b; cos gÞ gegebenes beliebiges Flchenelement (Bild 5 a) folgen aus den Mohrschen Kreisen (Bild 5 b), indem von s1 der Winkel a und von s3 der Winkel g abgetragen wird und durch die Schnittpunkte A und B auf dem Hauptkreis zu den Nebenkreisen konzentrische Kreise eingezeichnet werden. Der Schnittpunkt C liefert die zugehrige Grße von s und t [1–5]. Die Spannungen f
r beliebige Normalenwinkel liegen stets in dem in Bild 5 b schraffierten Bereich. Die grßte Hauptschubspannung betrgt t2 ¼ ðs1
s3 Þ=2. Sie liegt in der x, zEbene in einem Flchenelement, dessen Normale unter 45 zur x- und z-Achse steht (Bild 5 c). Entsprechend sind t1 ¼ ðs2
s3 Þ=2 und t3 ¼ ðs1
s2 Þ=2. Die Ebenen der Hauptschubspannungen stehen nicht aufeinander senkrecht, sondern bilden die Seitenflchen eines regulren Dodekaeders [4]. F
r die Beurteilung komplizierter rumlicher Spannungszustnde sind die Oktaederschub- und -normalspannung von

Bild 4. Rumlicher Spannungszustand

1.1.2 Verformungen Jeder Krper erfhrt unter Einwirkung ußerer Krfte und Momente Verformungen. Der Eckpunkt P eines quaderfrmigen Elements mit den Kantenlngen dx; dy; dz (auf Bild 7 ist nur die x, y-Ebene dargestellt) erfhrt eine Verschiebung f ¼ uex þ uey þ wez mit den Komponenten u, u, w. Gleichzeitig wird das Element gedehnt, d. h., die Kantenlngen vergrßern (oder verkleinern) sich auf dx0 , dy0 , dz0 , und es wird zu einem Parallelepiped verformt, wobei die Gleitwinkel g1 , g2 usw. auftreten. Bei kleinen Verformungen (Bild 7) gilt f
r Dehnungen e und Gleitungen g ¶u dx dx0
dx ¶x ¶u ¶u ¶w ex ¼ ¼ ¼ , ey ¼ , ez ¼ , dx ¶x ¶y ¶z dx

gxy ¼ g1 þ g2 ¼

gxz ¼

ð12Þ

¶u ¶u dy dx ¶u ¶u ¶y ¶x þ ¼ þ , ¶u ¶u ¶x ¶y dx þ dx dy þ dy ¶x ¶y

¶w ¶u ¶w ¶u þ , gyz ¼ þ ¶x ¶z ¶y ¶z

ð13Þ

Mit     ¶u ¶u ¶w ¶u þ þ 2, exz ¼ 2, ¶x ¶y ¶x ¶z   ¶w ¶u þ eyz ¼ 2 ¶y ¶z

exy ¼

lsst sich der Verzerrungszustand mit dem Verzerrungstensor 0 1 exy exz ex B C ey eyz A V ¼ @ eyx ezx ezy ez beschreiben, f
r den hnliche Eigenschaften und Berechnungsmethoden gelten wie f
r den Spannungstensor, Gl. (8). F
r die Hauptdehnungen e1 , e2 , e3 ergibt sich aus ðex
ei Þ nix þ exy niy

þ exz niz

¼ 0,

exy nix

þ ðey
ei Þniy þ eyz niz

¼ 0,

exz nix

þ eyz niy

ð14Þ

þ ðez
ei Þ niz ¼ 0

Bild 5 a–c. Rumlicher Spannungszustand. a Spannungshauptachsen; b Mohrsche Spannungskreise; c Hauptschubspannung

C

C4

Festigkeitslehre – 1 Allgemeine Grundlagen

1.1.3 Form
nderungsarbeit An einem Volumenelement dx dy dz mit den Dehnungen ¶u ex ¼ usw. verrichtet z. B. die Spannung sx die Arbeit ¶x
 Zex Z ¶u dW ¼ sx dy dz d dx ¼ sx dex dV: ¶x

C

0

Als Folge aller Normal- und Schubspannungen entsteht also nach Integration ber den ganzen Krper die Form
nderungsarbeit 2 Z Zex Zey Zez Zgxy 4 sx dex þ sy dey þ sz dez þ txy dgxy W¼

Bild 6. Oktaederspannungen

0

ðVÞ

þ

Zgxz

0

txz dgxz þ

0

Zgyz

0

0

3 tyz dgyz 5dV:

0

Fr die Hauptachsen 1, 2, 3 ist 2 3 Z Ze1 Ze2 Ze3 4 s1 de1 þ s2 de2 þ s3 de3 5dV: W¼ ðVÞ

Bild 7. Verzerrungszustand

durch Nullsetzen der Koeffizientendeterminante die charakteristische Gleichung 3. Grades e3i
J4 e2i þ J5 ei
J6 ¼ 0,

ð15Þ

wobei J4 ¼ ex þ ey þ ez , J5 ¼ ex ey þ ey ez þ ez ex
e2xy
e2yz
e2zx und J6 ¼ ex ey ez
ex e2yz
ey e2zx
ez e2xy þ 2 exy eyz ezx wieder Invarianten sind. Hat man die ei aus Gl. (15) berechnet, so erh
lt man aus Gl. (14) (von denen wieder zwei linear abh
ngig sind) mit n2ix þ n2iy þ n2iz ¼ 1 die Komponenten nix , niy , niz (i ¼ 1; 2; 3) der drei Hauptdehnungsrichtungen, d. h. der Richtungen, fr die es nur Dehnungen, aber keine Gleitungen gibt, und fr die der Verformungstensor die Form 0 1 e1 0 0 B C V ¼ @0 0 A e2 0 0 e3 annimmt. Die Invarianten lauten J 4 ¼ e1 þ e2 þ e3 ; J 5 ¼ e1 e2 þ e2 e3 þ e1 e3 ; J 6 ¼ e1 e2 e3 : Fr den r
umlichen und ebenen Fall lassen sich wie bei den Spannungen (Mohrsche) Verzerrungskreise fr die Dehnungen und Gleitungen als Funktion der Winkel a, b, g entwickeln. Fr homogenes isotropes Material, das im Folgenden stets vorausgesetzt wird, fallen Hauptspannungs- und Hauptdehnungsrichtungen zusammen, d. h., Spannungs- und Verformungstensor sind koaxial. Unter Volumendehnung versteht man e¼ ¼

dV 0
dV dx0 dy0 dz0
1 ¼ dx dy dz dV ð1 þ ex Þ dxð1 þ ey Þ dyð1 þ ez Þ dz
1 dx dy dz

bzw. bei Vernachl
ssigung der kleinen Grßen hherer Ordnung e ¼ ex þ ey þ ez :

ð16Þ

0

0

ð18Þ

0

Im Fall Hookeschen Materials, d. h. bei Proportionalit
t zwischen Spannungen s bzw. t und Dehnungen e bzw. Gleitungen g, gilt Z W ¼ ð1=2Þ ðsx ex þ sy ey þ sz ez ð19Þ ðVÞ þ txy gxy þ txz gxz þ tyz gyz Þ dV bzw. W ¼ ð1=2Þ

Z

ðs1 e1 þ s2 e2 þ s3 e3 Þ dV:

ð20Þ

ðVÞ

1.2 Festigkeitsverhalten der Werkstoffe Erl
uterungen zu den Werkstoffkenngrßen wie Proportionalit
tsgrenze, Streck- oder Fließgrenze und Bruchgrenze, die der Spannungs-Dehnungs-Linie eines Werkstoffs entnehmbar sind, s. E 2.2. Hookesches Gesetz. Fr die Normalspannungen gilt im Proportionalit
tsbereich der Spannungs-Dehnungs-Linie fr einen einaxial gezogenen Stab (Bild 8 a) das Gesetz s ¼ Ee:

ð21Þ

Hierbei ist s ¼ F=A0 die Spannung, e ¼ Dl=l0 die Dehnung (Dl Verl
ngerung des Stabs) und E der Elastizit
tsmodul. Bei Verl
ngerung erf
hrt der Stab eine Verringerung des Durchmessers um Dd ¼ d
d0 . Dann ist eq ¼ Dd=d0 die Querdehnung. Zwischen der L
ngs- und Querdehnung besteht die Beziehung eq ¼
ve, wobei u die Querdehnungs- bzw. Poissonzahl nach (DIN 1304) ist ðuStahl ¼ 0;30Þ. In der neueren Literatur wird der Reziprokwert m ¼ 1=v als Poissonsche Zahl bezeichnet. Fr die Schubspannungen lautet das
quivalente Hookesche Gesetz (Bild 8 b) t ¼ Gg,

¼ ex þ ey þ ez þ ex ey þ ex ez þ ey ez þ ex ey ez

ð17Þ

ð22Þ

wobei g ¼ du=dy die Gleitung und G der Gleit-(Schub-)modul ist. Es besteht die Beziehung G ¼ E=½2ð1 þ vÞ. Werte fr E, G und v (s. Anh. E 3), erweiterte Hookesche Gesetze fr beliebige Spannungszust
nde s. C 3.

I1.3

Bild 8 a, b. Hookesches Gesetz. a fr Dehnung; b fr Gleitung

Sicherheit und zul
ssige Spannung bei ruhender Beanspruchung. Versagt eine Konstruktion aufgrund unzul
ssig großer Verformungen (bei Werkstoffen mit Streckgrenze), Bruch (bei sprdem Material) oder Instabilwerden (infolge Knickung, Kippung, Beulung) und tritt das Versagen bei einer Spannung s ¼ K (K Werkstoffkennwert) ein, so ergibt sich die vorhandene Sicherheit bzw. die zul
ssige Spannung aus S¼

K K , szul ¼ : svorh S

ð23Þ

Gleichm
ßige Spannungsverteilung. Sind die Spannungen gleichm
ßig ber den Querschnitt verteilt (Bild 9 a), so ist bei z
hen Werkstoffen K ¼ Re und bei sprden K ¼ Rm bzw. sdB zu setzen. Als Sicherheit gegen Verformen wird SF ¼ 1;2 . . . 2;0 gegen Bruch SB ¼ 2;0 . . . 4;0 und gegen Instabilit
t SK ¼ 1;5 . . . 4;0 angenommen. Ungleichm
ßige Spannungsverteilung. Bei spr
den Werkstoffen und ungleichm
ßig ber den Querschnitt verteilten Spannungen (Bild 9 b) ist im Fall von Biegung in Gl. (23) (Biegebruchfestigkeit) zu setzen ðsbB
K ¼ sbB 1;6 . . . 2;0Rm Þ. Im Fall der Torsionsbeanspruchung gilt tzul ¼ K=S mit K ¼ 1;0 . . . 1;1Rm . Bei zusammengesetzten Beanspruchungen ist K aus den Formeln fr Vergleichsspannungen (s. C 1.3) zu ermitteln. Bei zhen Werkstoffen kann im Fall von Biegung in Gl. (23) K ¼ Re gesetzt werden; man sieht also in erster N
herung die Verformungen bereits als unzul
ssig an, wenn die Faser mit der grßten Spannung zu fließen beginnt. Da jedoch alle anderen Fasern noch im elastischen Bereich liegen, wird die Außenfaser aufgrund der Sttzwirkung der Innenfasern am ausgepr
gten Fließen gehindert, d. h., es treten noch keine unzul
ssig großen Verformungen auf. Man l
sst daher zur besseren Ausnutzung des Querschnitts eine weitere Ausbreitung der Fließspannungen ber den Querschnitt zu, bis die Randfaser eine bleibende Dehnung von 0,2% erreicht hat (Bild 9 c; Formdehngrenzenverfahren [6–10]). Erst bei Ausdehnung der Fließspannungen ber den gesamten Querschnitt setzen wirklich unzul
ssig große Verformungen ein (Bild 9 d). Zum Beispiel betr
gt das gerade noch elastisch aufnehmbare Biegemoment nach Bild 9 b bei Rechteckquerschnitt Mb1 ¼ sF bh2 =6, w
hrend das Tragmoment im vollplastischen Zustand nach Bild 9 b Mb3 ¼ sF bh2 =4 ist, d. h. Mb3 ¼ 1;5  Mb1 . In Wirklichkeit ist das bertragbare Moment bis zum Bruch infolge des Verfestigungsbereichs noch grßer

Bild 9 a–d. Spannungsverteilung. a gleichm
ßig; b ungleichm
ßig; c teilplastisch; d vollplastisch

Festigkeitshypothesen und Vergleichsspannungen

C5

– allerdings bei unzul
ssig großen Verformungen. Das Verh
ltnis von nvpl ¼ Mb3 =Mb1 wird vollplastische Sttzziffer genannt und ist Grundlage des Traglastverfahrens im Stahlbau. Nach dem Formdehngrenzenverfahren kann man in Gl. (23) den Wert K ¼ K 0,2 setzen. Dabei ist der Formdehngrenzwert K ¼ K 0,2 eine fiktive Ersatzspannung nach der Elastizit
tstheorie, die (z. B. im Fall von Biegung) dasselbe Tragmoment liefert wie die wirklichen Spannungen bei einer bleibenden Dehnung der Randfaser von 0,2%. Hierbei wird das Ebenbleiben der Querschnitte auch im plastischen Bereich vorausgesetzt. Fr den Rechteckquerschnitt folgt z. B. bei einer ideal-elastischplastischen Spannungs-Dehnungs-Linie nach Bild 10 a mit sF ¼ 210 N=mm2 , d. h. eel ¼ 210=210 000 ¼ 0;1%, bei epl ¼ 0;2% eine Gesamtdehnung e ¼ eel þ epl ¼ 0;3%. Damit liegt die Dehnung der Fasern unterhalb der Hhe h/6 im elastischen, darber im plastischen Bereich (Bild 10 b), womit sich die Spannungsverteilung nach Bild 10 c ergibt. Das Tragmoment ist bh 2 bh 2 h þ sF h M b, el ¼ K 0,2 bh2 =6; Mb, pl ¼ Mb2 ¼ sF 3 3 12 9 2 2 13 bh bh ¼ sF ¼ 1,44  sF : 6 9 6   Aus Mb; pl ¼ M b, el folgt K 0,2 ¼ 1;44  sF . Die Formdehngrenzspannung K 0,2 ist von der Hhe der Fließgrenze und von der Form der Spannungs-Dehnungs-Linie abh
ngig. Das Dehngrenzenverh
ltnis d0;2 ¼ K 0,2 =sF bzw. d0;2 ¼ K 0,2 =Rp 0;2 , auch Sttzziffer n0;2 [5] genannt, ist dagegen weitgehend von der Grße der Streck- bzw. Fließgrenze unabh
ngig und nur noch von der Form der Spannungs-Dehnungs-Linie abh
ngig. In Tab. 1 sind die Sttzziffern d0;2 fr verschiedene Querschnitte und fr zwei typische Spannungs-Dehnungs-Linien angegeben (nach [9]). Fr den Festigkeitswert K in Gl. (23) gilt dann K ¼ K 0,2 ¼ d0;2 sF ¼ d0;2 Rp 0;2 . Sicherheit und zul
ssige Spannung bei dynamischer Beanspruchung s. E 1.6.5.

1.3 Festigkeitshypothesen und Vergleichsspannungen Bei mehrachsigen Spannungszust
nden ist die Zurckfhrung auf eine einachsige Vergleichsspannung sv erforderlich, da Werkstoffkennwerte fr mehrachsige Zust
nde i. Allg. nicht vorliegen. Die folgenden Festigkeitshypothesen bercksichtigen die Art der Ursache des Versagens infolge unterschiedlichen Werkstoffverhaltens. 1.3.1 Normalspannungshypothese Sie ist anzuwenden, wenn mit einem Trennbruch senkrecht zur Hauptzugspannung zu rechnen ist, d. h. bei sprden Werkstoffen (z. B. Grauguss, aber auch bei Schweißn
hten), oder wenn der Spannungszustand die Verformungsmglichkeit des Werkstoffs einschr
nkt (z. B. bei dreiachsigem Zug oder stoß-

Bild 10 a–c. Formdehngrenze. a Idealisiertes Spannungs-DehnungsDiagramm; b Dehnungen; c Spannungen

C

C6

Festigkeitslehre – 1 Allgemeine Grundlagen

Tabelle 1. Dehngrenzenverhltnisse d0;2

C

chen Arbeiten beim mehrachsigen und einachsigen Spannungszustand und liefert daraus die Vergleichsspannung sv . Sie gilt f
r verformbare Werkstoffe, die bei Auftreten plastischer Deformation versagen, aber auch bei schwingender Beanspruchung mit Versagen durch Dauerbruch. F
r den dreiachsigen (rumlichen) Spannungszustand gilt pffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sv ¼ ð1= 2Þ ðs1
s2 Þ2 þ ðs2
s3 Þ2 þ ðs3
s1 Þ2 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ s2x þ s2y þ s2z
ðsx sy þ sy sz þ sx sz Þ þ 3ðt2xy þ t2yz þ t2xz Þ (Bestimmung von s1 ; s2 ; s3 gemß C 1.1.1) und f
r den zweiachsigen (ebenen) Spannungszustand qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sv ¼ s21 þ s22
s1 s2 ¼ s2x þ s2y
sx sy þ 3t2 : Erwhnt sei, dass die Hypothese auch durch Gleichsetzen der Oktaederschubspannungen (s. C 1.1.1) herleitbar ist. 1.3.4 Erweiterte Schubspannungshypothese Sie geht nach Mohr von verschiedenen gemessenen Grenzspannungszustnden aus. Die Einh
llende der zugehrigen Mohrschen Spannungskreise ist dann die Grenzfestigkeitskurve t ¼ f ðsÞ und stellt eine umfassende Werkstoffcharakteristik dar. Da meist nicht gen
gend Werkstoffkennwerte (besonders f
r rumliche Spannungszustnde) vorliegen, ersetzt man die Einh
llende durch drei Geraden (Bild 11).

Bild 11. Grenzfestigkeit nach Mohr

artiger Beanspruchung). F
r den dreiachsigen (rumlichen) Spannungszustand gilt sv ¼ s1 (Bestimmung von s1 nach C 1.1.1) und f
r den zweiachsigen (ebenen) Spannungszustand (s. C 1.1.1) qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sv ¼ s1 ¼ 0,5½sx þ sy þ ðsx
sy Þ2 þ 4t2 : 1.3.2 Schubspannungshypothese F
hrt Gleitbruch zum Versagen (z. B. bei statischer Zug- und Druckbeanspruchung verformbarer Werkstoffe und bei Druckbeanspruchung sprder Werkstoffe), so knnen nach Mohr daf
r die Hauptschubspannungen als maßgebend angesehen werden. Die Vergleichsspannung sv ist dann f
r den dreiachsigen (rumlichen) Spannungszustand sv ¼ 2tmax ¼ s3
s1 (wobei s1 > s2 > s3 , s. Bild 5 b; Bestimmung von s1 und s3 nach C 1.1.1). F
r den zweiachsigen (ebenen) Spannungszustand gilt qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sv ¼ 2tmax ¼ ðsx
sy Þ2 þ 4t2 : 1.3.3 Gestalt
nderungsenergiehypothese Die GE-Hypothese, auch v. Mises-Hypothese genannt, vergleicht die zur Gestaltnderung (nicht Volumennderung!) aufgrund von Gleitungen zu Beginn des Fließens erforderli-

1.3.5 Anstrengungsverh
ltnis nach Bach Da s und t hufig verschiedenen Belastungsfllen (s. E 1.1) unterliegen, wird t auf den Belastungsfall von s umgerechnet. Dazu wird t durch a0 t ersetzt. Das Anstrengungsverhltnis ist a0 ¼ sGrenz =ðjtGrenz Þ. Der Faktor j ergibt sich f
r die jeweilige Festigkeitshypothese, wenn s ¼ 0 gesetzt wird, d. h. aus sv ¼ t zu j ¼ 1 f
r die Normalspannungshypothese; 2tffiffiffiffiffi zu j ¼ 2 f
r die Schubspannungshypothese; sv ¼ p sv ¼ 3t zu j ¼ 1; 73 f
r die GE-Hypothese F
r den wichtigen Beanspruchungsfall der gleichzeitigen Biegung und Torsion eines Stabs folgt f
r das Anstrengungsverhltnis aus den Grenzspannungen des Werkstoffs Stahl angenhert – bei Biegung wechselnd, Torsion ruhend a0  0,7, – bei Biegung wechselnd, Torsion wechselnd a0 ¼ 1,0, – bei Biegung ruhend, Torsion wechselnd a0  1,5, whrend die Vergleichsspannungen die Form qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 9 sv ¼ 0,5½sb þ s2b þ 4ða0 tt Þ2  ðNormalspannungs-> > > > > > > hypotheseÞ, > > = qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 2 sv ¼ sb þ 4ða0 tt Þ ðSchubspannungs- > ð24Þ > > > > hypotheseÞ, > > qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi > > ; 2 2 sv ¼ sb þ 3ða0 tt Þ ðGE-HypotheseÞ annehmen.

I2.2

2 Beanspruchung stabf
rmiger Bauteile 2.1 Zug- und Druckbeanspruchung 2.1.1 Stbe mit konstantem Querschnitt und konstanter Lngskraft Im Bereich konstanter L
ngs- oder Normalkraft FN ¼ F gilt fr Spannung, Dehnung und Verschiebung (Bild 1 a) s ¼ FN =A; e ¼ du=dx ¼ Dl=l ¼ s=E; u(x)=(s/E)x uðlÞ ¼ Dl ¼ el ¼ ðs=EÞl. Das Hookesche Gesetz wird hier und im Folgenden immer als gltig vorausgesetzt. Nach C 1.1.3 ist die Form
nderungsarbeit Z W ¼ ð1=2Þ se dV ¼ s2 Al=ð2EÞ ¼ FN2 l=ð2EAÞ: Diese Gleichungen gelten fr Zug- und Druckkr
fte. Bei Druckkr
ften ist der Nachweis gegen Knicken zus
tzlich erforderlich (s. C 7). 2.1.2 Stbe mit vernderlicher Lngskraft Ver
nderliche L
ngskraft FN tritt z. B. infolge Eigengewicht (Dichte r) auf (Bild 1 a). Fr Querschnitt A ¼ const folgt FN ðxÞ ¼ rgV ¼ rgAðl
xÞ, sðxÞ ¼ rgðl
xÞ, Z Z Z
 1 uðxÞ ¼ du ¼ eðxÞdx ¼ rgðl
xÞdx E rg ðlx
x2 =2Þ þ C; ¼ E C ¼ 0 aus u(x = 0), d. h. Dl ¼ uðlÞ ¼ rgl2 =ð2EÞ; Form
nderungsarbeit W¼

1 2

Z

se dV ¼

1 2

Zl

s2 F2 l A dx ¼ G : E 6 EA

x¼0

2.1.3 Stbe mit vernderlichem Querschnitt Die L
ngskraft FN ¼ F sei konstant (Bild 1 b). Z Z F sðxÞ ¼ F=AðxÞ, uðxÞ ¼ eðxÞdx ¼ dx; EAðxÞ Z Zl 1 1 F2 W¼ dx: se dV ¼ EAðxÞ 2 2

Abscherbeanspruchung

2.1.5 Stbe unter Temperatureinfluss Das Hookesche Gesetz Z nimmt die Form eðxÞ ¼ sðxÞ=E þ at Dt an. Hieraus uðxÞ ¼

eðxÞdx bzw. fr s ¼ const: uðlÞ ¼ Dl ¼

ðs=E þ at DtÞl; at Temperaturausdehnungskoeffizient: (Stahl 1;2  10
5 ; Gusseisen 1;05  10
5 , Aluminium 2;4  10
5 , Kupfer 1;65  10
5 K
1 Þ. Wird die L
ngsausdehnung behindert (z. B. bei Einspannung zwischen starren W
nden, Festhalten durch den Unterbau einer unendlich langen Eisenbahnschiene), so ergibt sich aus u(l)=0 die zugehrige Spannung. Ist A ¼ const und damit auch s ¼ const l
ngs des Stabs, so folgt aus Dl ¼ 0 die W
rmespannung s ¼
Eat Dt: Zum Beispiel wird die Fließgrenze fr S 235 mit sF ¼ 240 N=mm2 , E ¼ 2;1  105 N=mm2 und at ¼ 1;2  10
5 K
1 erreicht bei Dt ¼ sF =ðEat Þ ¼ 95;2 K:

2.2 Abscherbeanspruchung Scherbeanspruchung entsteht aufgrund zweier gleich großer, wenig gegeneinander versetzter Kr
fte in Bolzen, Stiften, Schrauben, Nieten, Schweißn
hten usw. (Bild 2 a–d). Dabei sind im Fall von Presspassungen bei Niet-, Stift- und sonstigen Verbindungen die im Niet, Stift usw. auftretenden Biegemomente vernachl
ssigbar klein, da das umgebende Material die Krmmung der Verbindungselemente verhindert. Es stellt sich ein schwer berechenbarer r
umlicher Spannungszustand ein. Bei Bolzen oder Schrauben, die mit Spiel eingebaut werden, ist ein zus
tzlicher Nachweis auf Biegung erforderlich. Der Nachweis auf Abscheren erfolgt unter Annahme einer gleichm
ßigen Verteilung der Schubspannungen (die bei Erreichen des vollplastischen Zustands bei z
hen Werkstoffen auch vorhanden ist; Bild 2 e): ta ¼ F=ðnmAÞ n ¼ 1; 2 ; 3 . . . ein-, zwei- oder mehrschnittige Verbindung, m ¼ 1; 2; 3 . . . Anzahl der Niete, Schrauben usw. Die zul
ssige Scherspannung ist im Maschinenbau fr z
he Werkstoffe pffiffiffi ta; zul ¼ sS = 3S mit S  1;5 bei statischer, S  2;0 bei schwellender und wechselnder Beanspruchung.

x¼0

2.1.4 Stbe mit Kerben Hier gelten zun
chst die prinzipiellen Ausfhrungen ber Gestaltfestigkeit und Kerbwirkung (s. E 1.5). Nennspannung sn ¼ F=An , max. Spannung smax ¼ ak sn (Werte ak s. VDI 2226, Bilder 7 bis 12). Bei dynamischer Belastung ist die wirksame Spannung smax; wirks: ¼ bk sn . (Werte bk oder Berechnung mit bezogenem Spannungsgef
lle s. E 1.5.2).

Bild 1 a, b. Stab mit a konstantem Querschnitt; b ver
nderlichem Querschnitt

C7

Bild 2 a–e. Abscherbeanspruchungen

C

C8

Festigkeitslehre – 2 Beanspruchung stabfrmiger Bauteile

2.3 Fl
chenpressung und Lochleibung Zwei gegeneinander gedr
ckte und einander flchenhaft ber
hrende Teile stehen unter Flchenpressung (punktfrmige Ber
hrung s. C 4).

C

2.3.1 Ebene Fl
chen Die Verteilung der Pressung hngt von der Steifigkeit der einander ber
hrenden Krper ab. Nherungsweise wird mit dem Mittelwert (Bild 3 a) sp ¼ Fn =A bzw: sp ¼ Fn =Aproj gerechnet. Aproj ist die auf die Senkrechte zur Kraftrichtung projizierte Flche. So gilt f
r den Keil nach Bild 3 a sp1 ¼ F1 =A1 ¼ F1 =ðA= sin aÞ und wegen F1 =Fn ¼ sin b= sinða þ bÞ somit sp1 ¼ Fn sin a sin b=½A sinða þ bÞ
¼ Fn =½Aðcot a þ cot bÞ
¼ Fn =ðA1proj þ A2proj Þ ¼ Fn =Aproj ; entsprechend gilt auch sp2 ¼ F2 =A2 ¼ Fn =Aproj : Die zulssige Flchenpressung ist stark vom Belastungsfall (statisch, schwellend, wechselnd) abhngig. Maßgebend ist die Festigkeit des schwcheren Teils. Anhaltswerte f
r sp; zul : f
r zhe Werkstoffe sp; zul  sdF =1;2 bei ruhender und sp; zul  sdF =2;0 bei schwellender Beanspruchung, f
r sprde Werkstoffe sp; zul  sdB =2;0 bei ruhender und sp; zul  sdB =3;0 bei schwellender Beanspruchung. Im brigen ist sp; zul von Betriebsbedingungen wie Gleitgeschwindigkeit und Temperatur abhngig (s. G 1.5.2). 2.3.2 Gewlbte Fl
chen Wellenzapfen. Die
ber den Umfang vernderliche Pressung wird rechnerisch ersetzt durch die mittlere Pressung auf die Projektionsflche (Bild 3 b): sp ¼ F=Aproj ¼ F=ðdlÞ sp; zul je nach Betriebsbedingungen (z. B. 2 bis 30 N=mm2 f
r große Diesel- bzw. kleine Otto-Motoren, vgl. G 5). Bolzen, Stifte, Niete, Schrauben. Flchenpressung wird bei Nieten und Schrauben auch als Lochleibung bezeichnet. Es gilt (Bild 2 b, c, e), wiederum bezogen auf die Projektionsflche, sp ¼ s1 ¼ F=A ¼ F=ðdsÞ F auf die bertragungsflche A entfallender Kraftanteil,

Bild 3 a, b. Flchenpressung. a Ebene Flchen; b Wellenzapfen

s Dicke des Materials. Im Maschinenbau sp; zul wie bei ebenen Flchen.

2.4 Biegebeanspruchung 2.4.1 Schnittlasten: Normalkraft, Querkraft, Biegemoment Stabfrmige Krper, wie Balken oder Trger mit gerader, gekr
mmter oder abgewinkelter Achse, die von Auflagerreaktionen im Gleichgewicht gehalten werden (s. B 1.6), tragen die ußere Belastungen (Einzelkrfte, Streckenlasten, Einzelmomente) durch innere Normal- und Schubspannungen zu den Auflagern hin ab (in Bild 4 a, b f
r den ebenen Fall). Die Resultierenden dieser Spannungen ergeben in der Ebene die drei Schnittlasten Mb , FQ , FN ; d. h. ein Biegemoment, dessen Momentenvektor in y-Richtung gerichtet ist, eine Querkraft senkrecht und eine Normal- oder Lngskraft tangential zur Balkenachse. Querkrfte und Biegemomente sind positiv, wenn am linken Schnittufer ihre Vektoren entgegengesetzt zu den positiven Koordinatenrichtungen y und z gerichtet sind; Normalkraft (und Torsionsmoment), wenn ihre Vektoren in positiver Koordinatenrichtung x gerichtet sind. Nach dem Newtonsches Axiom von „actio ¼ reactio“ sind die positiven Schnittlasten am rechten Schnittufer entgegengesetzt zu denen am linken Schnittufer anzusetzen (Bild 4 b). In der Ebene werden die drei Schnittlasten aus den drei Gleichgewichtsbedingungen am freigemachten Teiltrger berechnet: X X X Fiz ¼ 0, Mi ¼ 0: ð1Þ Fix ¼ 0, X In der Regel wird hierbei Mi ¼ 0 bez
glich der Schnittstelle gebildet, damit die Unbekannten FQ und FN nicht in diese Gleichung eingehen. Im Raum stehen sechs Gleichgewichtsbedingungen f
r sechs Schnittlasten zur Verf
gung (s. C 2.4.4). Voraussetzung f
r die einfache Berechnung ist die statische Bestimmtheit der Systeme (s. B 1.7). 2.4.2 Schnittlasten am geraden Tr
ger in der Ebene Beispiel: F
r die Kettenradwelle (Bild X 5 a) ist die Querkraft- und Momentenlinie zu ermitteln. – Aus MiB ¼ 0 folgt zunchst FAz ¼ X 17 250 N und aus MiA ¼ 0 die Auflagerkraft FB ¼ 27 750 N. Ein X Schnitt im Bereich II (Bild 5 b) liefert aus Fiz ¼ 0 ¼ FAz  F1  FQ die Querkraft FQ ¼ 12 750 N. Durch entsprechende Schnitte folgt im Bereich I der Wert FQ ¼ 17 250 N und im Bereich III der Wert FQ ¼ 27 750 N: Querkraftlinie FQ ðxÞ („Treppenkurve“) s. Bild 5 c. Biegemomente an denXStellen 1 und 2 erhlt man durch Schnitt in diesen Stellen aus Mi1 ¼ 0 ¼ FAz  0;5 m þ Mb1 zu X Mb1 ¼ 8 625 Nm und aus Mi2 ¼ 0 ¼ FAz  0;85 m þ F1  0;35 m þ Mb2 zu Mb2 ¼ 4 162;5 Nm: Die geradlinigen Verbindungen dieser Werte untereinander und mit den Nullstellen an den Auflagern ergeben die Biegemomentenlinie Mb ðxÞ (Bild 5 d).

Bild 4 a, b. Schnittlasten

I2.4

Biegebeanspruchung

C9

wobei FQI ðx ¼ aÞ und MbI ðx ¼ aÞ aus der Berechnung des Abschnitts I bekannt sind. Sind die Streckenlasten konstante oder linear steigende Geraden (Bild 6 b), so gilt z. B. fr Abschnitt II q2
q1 q2
q1 x2 x, FQII ðxÞ ¼ FAz
q1 x
, ða þ bÞ ða þ bÞ 2 x2 q2
q1 x3 : MbII ðxÞ ¼ FAz ðx
aÞ
q1
2 ða þ bÞ 6

qðxÞ ¼ q1 þ

Bei linear zunehmender bzw. konstanter Streckenlast sind die Biegemomentenlinien Parabeln 3. bzw. 2. Grades. 2.4.3 Schnittlasten an gekrmmten ebenen Tr
gern Gekrmmte ebene Tr
ger. Beim geschlitzten Kreisringtr
ger (Kolbenring) unter konstanter Radialbelastung q (Bild 7 a) liefert ein Schnitt unter dem Winkel j im mitlaufenden Koordinatensystem x, y, z gem
ß Bild 7 b.

Bild 5 a–d. Kettenradwelle, Schnittlasten

X

Fix ¼ 0 ¼

Zj

qr sinðj
yÞdy þ FN ðjÞ,

0

X

FN ðjÞ ¼
qrð1
cos jÞ; Zj Fiz ¼ 0 ¼
qr cosðj
yÞdy
FQ ðjÞ, 0

FQ ðjÞ ¼
qr sin j; X

Mi ¼ 0 ¼

Zj

qr 2 sinðj
yÞdy þ Mb ðjÞ,

0

Mb ðjÞ ¼
qr 2 ð1
cos jÞ: Graphische Darstellung der Schnittlasten s. Bild 7 c. Bild 6 a, b. Tr
ger mit Streckenlasten. a beliebig; b linear

2.4.4 Schnittlasten an r
umlichen Tr
gern Tr
ger mit Streckenlasten (Bild 6). Wie beim Tr
ger mit Einzellasten ist – abgesehen vom Einfeldtr
ger mit durchgehender Streckenlast – die Einteilung in Abschnitte erforderlich. Legt man in jedem Abschnitt einen Schnitt, so folgt z. B. fr Abschnitt II (Bild 6 a) aus X

Fiz ¼ 0 ¼


Zx

qðxÞdx þ FAz
FQII ðxÞ

0

2.4.5 Biegespannungen in geraden Balken ð2Þ

FQII ðxÞ ¼ FAz
f ðxÞ und hieraus wegen Mb0 ðxÞ ¼ FQ ðxÞ Z Z MbII ðxÞ ¼ FQII ðxÞdx ¼ FAz x
f ðxÞdx þ C:

Bei statischer Bestimmtheit stehen im Raum sechs Gleichgewichtsbedingungen zur Verfgung. Daraus ergeben sich die sechs Schnittlasten FN , FQy , FQz , Mby , Mbz , Mt :

Einfache Biegung. Hierunter versteht man die Wirkung aller Lasten parallel zu einer Querschnittsachse, die gleichzeitig

ð3Þ

Die Konstante C folgt aus MbII ðx ¼ aÞ ¼ MbA ; wobei MbA aus Berechnung des Abschnitts I bekannt ist. Das Biegemoment ist gleich dem Inhalt der Querkraftfl
che zuzglich dem Anfangswert MbA : Aus Gl. (2) folgt durch Differentiation und anschließende Integration dFQ =dx ¼ FQ0 ðxÞ ¼ Mb00 ðxÞ ¼
qðxÞ, Z FQ ðxÞ ¼ Mb0 ðxÞ ¼
qðxÞdx ¼ f ðxÞ þ C1 , Z Mb ðxÞ ¼ FQ ðxÞdx ¼ gðxÞ þ C1 x þ C2 :

ð4Þ

Gleichung (4) erlaubt anstelle der Gln. (2) und (3) die Querkraft FQ ðxÞ und das Biegemoment Mb ðxÞ zu berechnen. Die Konstanten C1 und C2 folgen aus FQII ðx ¼ aÞ ¼ FQI ðx ¼ aÞ þ FAz und MbII ðx ¼ aÞ ¼ MbI ðx ¼ aÞ,

Bild 7 a–c. Kolbenring, Schnittlasten

C

C 10

C

Festigkeitslehre – 2 Beanspruchung stabf
rmiger Bauteile

Hauptachse – s. Gl. (15) – ist. Handelt es sich um die z-Achse, so gibt es infolge der Lasten in z-Richtung nur Biegemomente Mby (Bild 8 a). Unter den Voraussetzungen, dass die Lastebene durch den Schubmittelpunkt M geht (s. C 2.4.6), das Hookesche Gesetz s ¼ Ee gilt und die Querschnitte eben bleiben, d. h. die Verw
lbungen der Querschnitte infolge der Schubspannungen vernachlssigbar klein sind (Bernoullische Hypothese), folgt s ¼ Ee ¼ mz

ð5Þ

und damit aus den Gleichgewichtsbedingungen Z Z Z X Fix ¼ 0 ¼ s dA ¼ mz dA, z dA ¼ 0, d. h., die Spannungsnulllinie geht durch den Schwerpunkt, und Z Z Z X Miz ¼ 0 ¼ sy dA ¼ myz dA, yz dA ¼ Iyz ¼ 0, d. h., das biaxiale Flchenmoment Iyz muss Null, bzw. y und z mssen Hauptachsen sein. Ferner gilt Z Z Mby ¼ Mb ¼
sz dA ¼
mz2 dA Z ¼
m z2 dA ¼
mIy ; Iy axiales Flchenmoment 2. Grades. Mit m ¼
Mb =Iy folgt aus Gl. (5) s ¼
ðMb =Iy Þz:

ð6Þ

Die Biegespannungen nehmen also linear mit dem Abstand von der Nulllinie zu. Die Extremalspannungen ergeben sich fr z ¼ e1 und z ¼
e2 (Bild 8 b) zu s1 ¼
Mb =Wy1 und s2 ¼ þMb =Wy2 :

ð7Þ

Wy1 ¼ Wb1 ¼ Iy =e1 und Wy2 ¼ Wb2 ¼ Iy =e2

ð8Þ

sind die (axialen) Widerstandsmomente gegen Biegung (s. Tab. 1). Die absolut gr
ßte Biegespannung folgt fr Wy min zu smax ¼ jMb j=Wy min :

ð9Þ

Bei zur y-Achse symmetrischen Querschnitten ist e1 ¼ e2 und Wy1 ¼ Wy2 ¼ Wy : Fl
chenmomente 2. Grades. In der allgemeinen Balkenbiegungstheorie werden folgende Flchenmomente 2. Grades ben
tigt (Bild 9 a): Z Z Z Iy ¼ z2 dA, Iz ¼ y2 dA; Iyz ¼ yz dA; Z Z ð10Þ Ip ¼ r 2 dA ¼ ðy2 þ z2 ÞdA ¼ Iy þ Iz : Die axialen Flchenmomente Iy , Iz und das polare Flchenmoment Ip sind stets positiv, das biaxiale Flchenmoment (Zentrifugalmoment) Iyz kann positiv, negativ oder Null sein.

Bild 9 a–c. Flchenmomente fr a parallele Achsen; b gedrehte Achsen; c Rechteckquerschnitt

Tr
gheitsradien: qffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffi iy ¼ Iy =A, iz ¼ Iz =A, ip ¼ Ip =A:

ð11Þ

S
tze von Steiner: Fr zueinander parallele Achsensysteme y, z und y; z (Bild 9 a) gilt Z Z Iy ¼ z2 dA ¼ ðz þ aÞ2 dA Z Z Z ð12Þ ¼ z2 dA þ 2a z dA þ a2 dA ¼ Iz þ 2aSy þ a2 A: Wenn die Achsen y und z durch den Schwerpunkt gehen, wird das statische Moment Sy (und ebenso Sz ) zu Null, und es folgen (fr die anderen Flchenmomente analog) die Steinerschen Stze Iy ¼ Iy þ a2 A,

Iz ¼ Iz þ b2 A,

ð13Þ

Iyz ¼ Iyz þ abA, Ip ¼ Ip þ c2 A:

Fr a ¼ b ¼ c ¼ 0 gehen die Achsen y und z durch den Schwerpunkt, und die axialen und polaren Flchenmomente 2. Grades werden zu einem Minimum. Diese Gleichungen dienen zur Berechnung der Flchenmomente zusammengesetzter Querschnitte mit bekannten Einzelflchenmomenten. Drehung des Koordinatensystems. Fr ein gedrehtes Koordinatensystem h, z (Bild 9 b) gilt h ¼ y cos j þ z sin j, z ¼ z cos j
y sin j, Z Ih ¼ z2 dA ¼ ðIy þ Iz Þ=2 þ½ðIy
Iz Þ=2 cos 2 j
Iyz sin 2 j, Z Iz ¼ h2 dA ¼ ðIy þ Iz Þ=2

9 > > > > > > > > > > > > > > =

> > > > > > > >
½ðIy
Iz Þ=2 cos 2 j þ Iyz sin 2 j, > > Z > > > ; Ihz ¼ hzdA ¼ ½ðIy
Iz Þ=2 sin 2 j þ Iyz cos 2 j: >

ð14Þ

Diese Gleichungen lassen sich in Form des Mohrschen Trgheitskreises graphisch darstellen [1]. Hieraus folgen ferner die von j unabhngigen invarianten Beziehungen 2 2 Ih þ Iz ¼ Iy þ Iz , Ih Iz
Ihz ¼ Iy Iz
Iyz :

Bild 8 a, b. Biegespannungen

Hauptachsen und Hauptfl
chenmomente 2. Grades. Achsen, fr die das biaxiale Moment Ihz zu Null wird, heißen Hauptachsen 1 und 2. Ihr Stellungswinkel j0 ergibt sich fr Ihz ¼ 0

I2.4

Biegebeanspruchung

C 11

Tabelle 1. Axiale Fl
chenmomente 2. Grades und Widerstandsmomente

C

C 12

Festigkeitslehre – 2 Beanspruchung stabfrmiger Bauteile

gem
ß Gl. (14) aus

zs ¼ð

tan 2 j0 ¼ 2 Iyz =ðIz
Iy Þ:

C

ð15Þ

X

zi Ai Þ=A ¼ ð4 230  222,3 þ 3 340  100


7,5  30  70Þ mm3 =7 345 mm2 ¼ 171,4 mm:

Die zugehrigen Hauptfl
chenmomente I1 und I2 folgen mit j0 aus Gl. (14) oder direkt aus qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 : I1,2 ¼ ð1=2Þ½Iy þ Iz  ðIy
Iz Þ2 þ 4 Iyz ð16Þ

Damit ergeben sich die Abst
nde ai zu

I1 und I2 sind das grßte und kleinste Fl
chenmoment 2. Grades eines Querschnitts. Jede Symmetrieachse eines Querschnitts und alle zu ihr senkrechten Achsen sind stets Hauptachsen. Bei Drehung eines Hauptachsensystems um den Winkel b gilt nach Gl. (14) 9 Ih ¼ ðI1 þ I2 Þ=2 þ ½ðI1
I2 Þ=2 cos 2b, > = Iz ¼ ðI1 þ I2 Þ=2
½ðI1
I2 Þ=2 cos 2b, ð17Þ > ; Ihz ¼ ½ðI1
I2 Þ=2 sin 2b:

Nach den Profiltabellen (s. Anh. C 2 Tab. 7 und Anh. C 2 Tab. 1) ist

Ist fr einen Querschnitt I1 ¼ I2 , so folgt aus Gl. (17) Ihz ¼ 0 unabh
ngig von b, d. h., s
mtliche Achsen durch den Bezugspunkt sind Hauptachsen, wobei Ih ¼ Iz ¼ I1 ¼ I2 ¼ const : Die nderung von Ih und Iz gem
ß Gl. (17) l
sst sich graphisch durch die Tr
gheitsellipse darstellen [1]. Berechnung der Fl
chenmomente Fr einfache Fl
chen, deren Berandung mathematisch erfassbar ist, erfolgt die Berechnung durch Integration. Zum Beispiel gilt fr den Rechteckquerschnitt nach Bild 9 c

Iy ¼

þh=2 Z

þh=2

a1 ¼ ð222,3
171,4Þ mm ¼ 50,9 mm, a2 ¼ ð100
171,4Þ mm ¼
71,4 mm, a3 ¼ ð70
171,4Þ mm ¼
101,4 mm:

Iy1 ¼ 248  104 mm4 und Iy2 ¼ 2 140  104 mm4 , womit aus Gl. (18) folgt Iy ¼ ½248  104 þ 50,92  4 230 þ 2 140  104 þ 71,42  3 340
7,5  303 =12
101,42  ð7,5  30Þ mm4 ¼ 4 954  104 mm4 : 2. Beispiel: Fr den Winkelquerschnitt nach Bild 10 c sind Iy , Iz , Iyz , I1 , I2 , j0 , i1 , i2 zu berechnen. – Aufteilung in zwei Fl
chen A1 ¼ 10  100 mm2 ¼ 1 000 mm2 und A2 ¼ 50  20 mm2 ¼ 1 000 mm2 mit a1 ¼ 30 mm, b1 ¼
10 mm, a2 ¼
30 mm, b2 ¼ 10 mm ergibt nach Gl. (20) mit Iy ¼ bh3 =12 nach Tab. 1 fr den Rechteckquerschnitt Iy ¼ ð10  1003 =12 þ 302  1 000 þ 50  203 =12 þ 302  1 000Þ mm4 ¼ 266,7  104 mm4 , Iz ¼ ð100  103 =12 þ 102  1 000 þ 20  503 =12 þ 102  1 000Þ mm4 ¼ 41,7  104 mm4 : Fr die Einzelrechtecke ist Iyz ¼ 0, da fr sie y und z Hauptachsen sind. Damit ist nach Gl. (18) X ai bi Ai ¼ ½30  ð
10Þ  1 000 þ ð
30Þ  10  1 000 mm4 Iyz ¼

bz2 dz ¼ ½bz3 =3
h=2 ¼ bh3 =12:

z¼
h=2

Tabelle 1 enth
lt die Fl
chenmomente 2. Grades wichtiger Querschnitte (s. Anh. C 2 Tab. 1 bis 7). Fr zusammengesetzte Querschnitte (Bild 10) folgt mit den Steinerschen S
tzen nach Gl. (10) X X Iy ¼ ðIyi þ a2i Ai Þ, Iz ¼ ðIzi þ b2i Ai Þ, X ð18Þ Iyz ¼ ðIyz, i þ ai bi Ai Þ: Hohlr
ume in Fl
chen (z. B. Fl
che A4 in Bild 10 a) sind durch negatives I und negatives A zu bercksichtigen. 1. Beispiel: Fr den Querschnitt nach Bild 10 b, bestehend aus Profilen U 240 und I 200 (mit Bohrung d ¼ 30 mm) berechne man die Schwerpunkthhe zs und das Fl
chenmoment 2. Grades Iy : – Aus Profiltabellen entnimmt man die Fl
chen A1 ¼ 4 230 mm2 und A2 ¼ 3 340 mm2 , sowie das Maß e1 ¼ 22;3 mm. Dann ergibt sich fr die Schwerpunkthhe gem
ß B 1.10

Bild 10 a–c. Zusammengesetzte Querschnitte

¼
60  104 mm4 : Hauptfl
chenmomente nach Gl. (16) I1,2 ¼ 0,5  ½ð266,7 þ 41,7Þ  104 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  ð266,7
41,7Þ2  108 þ 4  602  108  mm4 ¼ ð154,2  104  127,5  104 Þ mm4 ; I1

¼ 281,7  104 mm4 ; I2 ¼ 26,7  104 mm4 :

Stellungswinkel der Hauptachsen nach Gl. (15) j0 ¼ 0,5  arctan


2  60  104 mm4 ¼ 14,04°: ð41,7
266,7Þ  104 mm4

Tr
gheitsradien nach Gl. (11) pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi i1 ¼ 281,7  104 =2 000 mm ¼ 37,5 mm; pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi i2 ¼ 26,7  104 =2 000 mm ¼ 11,6 mm:

Schiefe Biegung. Liegt die Lastebene nicht parallel zu einer Hauptachse, bzw. wirken Lasten in Richtung beider Hauptachsen (Bild 11 a, b), so spricht man von schiefer Biegung.

I2.4

Biegebeanspruchung

C 13

Aus der Belastung je Lastebene ergeben sich Biegemomente, deren zugeordnete Vektoren im Sinne einer Rechtsschraube senkrecht zur Lastebene stehen. Sie sind positiv, wenn sie am linken Schnittufer entgegengesetzt zur positiven Koordinatenrichtung gerichtet sind (Bild 11 c, d). Bei nichtsymmetrischen Querschnitten ist die Ermittlung der Biegemomentenvektoren in Richtung der Hauptachsen h, z erforderlich. Sind Mby und Mbz bekannt, so gilt (Bild 12) Mbh ¼ Mby cos j0 þ Mbz sin j0 , Mbz ¼
Mby sin j0 þ Mbz cos j0 :

ð19Þ

Unter Voraussetzung linearen Hookeschen Materialgesetzes s ¼ Ee und Ebenbleiben der Querschnitte gilt f
r die Spannungen der Ansatz einer linearen Verteilung s ¼ ah þ bz und damit f
r die Biegemomente Z Z Mbh ¼
sz dA ¼
ðahz þ bz2 ÞdA ¼
bIh , Z Z Mbz ¼ þ sh dA ¼ þ ðah2 þ bhzÞdA ¼ aIz

Bild 13 a, b. Spannungen bei a schiefer Biegung; b doppelter Biegung

Die maximale Spannung ergibt sich in jedem Punkt P, der den grßten Abstand von der Nulllinie hat (Bild 13 a). y und z sind dabei mit den Hauptachsen h und z identisch. Doppelte Biegung liegt vor f
r den Sonderfall des kreisfrmigen Querschnitts. Da beim Kreis jede Achse Hauptachse ist, qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 þ M 2 stets in Richtung einer Hauptachse fllt Mb; res ¼ Mby bz (Bild 13 b). F
r die Spannungen und ihre Nulllinie gilt dann

und somit f
r die Spannungen s ¼
ðMbh =Ih Þz þ ðMbz =Iz Þh:

C

ð20Þ

F
r die Spannungs-Nulllinie (neutrale Faser) bzw. ihre Steigung folgt aus s ¼ 0

s ¼
ðMb, res =Ih Þz, tan a ¼ Mbz =Mby :

ð22Þ

Die extremalen Biegespannungen ergeben sich f
r z= R zu sextr ¼ Mb, res =Wh mit Wh ¼ Ih =R:

ð23Þ

z ¼ ðMbz =Mbh ÞðIh =IzÞh bzw: tan a ¼ ðMbz =Mbh ÞðIh =IzÞ:

ð21Þ

Tr
ger mit gleicher Biegebeanspruchung. Mit dem Ziel, Gewicht zu sparen, erhalten Trger eine Form, bei der an jeder Stelle in den Randfasern die zulssige Biegebeanspruchung vorhanden ist. Tabelle 2 zeigt einige Belastungsflle. Beispiel: F
r die Seilrollenachse nach Bild 14 mit F ¼ 7 500 N, l ¼ 300 mm und d ¼ 50 mm berechne man Mby , Mbz , Mb; res , a und sextr : – Die Momente ergeben sich zu Mby ¼ Mbz ¼ Fl=4 ¼ 562;5 Nm: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Also wird Mb; res ¼ 562;52 þ 562;52 Nm ¼ 795;4 Nm, a¼ arctanð562;5=562;5Þ ¼ 45
und mit Wh ¼ pd 3 =32 ¼ 12 272 mm3 dann 2 2 sextr ¼ ð795 400=12 272Þ N=mm ¼ 64;8 N=mm .

Bild 11 a–d. Schiefe Biegung

Bild 14. Welle mit doppelter Biegung

2.4.6 Schubspannungen und Schubmittelpunkt am geraden Tr
ger Schubspannungen. Bei Querkraftbiegung eines Trgers treten in jedem Querschnitt Schubspannungen auf. Ihre Resultierende ist die Querkraft FQ (Bild 15). Die Schubspannungen verlaufen am Rand tangential zur Berandung, da wegen txn ¼ tnx (Satz von den zugeordneten Schubspannungen) bei schubbelastungsfreier Oberflche tnx ¼ txn ¼ 0 gilt. Unter der Annahme, dass alle Schubspannungen einer Hhe z durch denselben Punkt P gehen und die Komponenten txz
ber die Breite b(z) konstant sind (Bild 15), folgt aus der Gleichgewichtsbedingung f
r ein Trgerelement der Lnge dx wegen tzx ¼ txz (Bild 15) Ze1 X Fix ¼ 0 ¼ txz bðzÞdx þ ð¶s=¶xÞdx dA Bild 12. Momentenvektoren in Hauptachsenrichtungen

z

C 14

Festigkeitslehre – 2 Beanspruchung stabfrmiger Bauteile

Tabelle 2. Trger gleicher Biegebeanspruchung

C

und mit s ¼
ðMb =Iy Þz nach Gl. (6) sowie dMb =dx ¼ FQ , wenn Iy ¼ const ist, txz ¼

FQ Iy bðzÞ

Ze1

z dA ¼

FQ Sy ðzÞ mit Iy bðzÞ

z¼z

Sy ðzÞ ¼

Ze1 z

z dA ¼

ð24Þ

Ze1 zbðzÞdz: z

Sy ist hierbei das statische Moment des
ber der Hhe z liegenden Querschnittsteils in bezug auf die y-Achse. Die grßte Schubspannung am Rand (Bild 15) ist dann jeweils txr ¼ txz = cos y. In Wirklichkeit sind allerdings die Schubspannungen txz
ber die Breite b infolge der Querdehnung usw. nicht konstant [1, 2]. Im Folgenden werden die Schubspannungsverteilungen f
r verschiedene Querschnitte ermittelt.

Bild 15. Schubspannungen bei Querkraftbiegung

Bild 16. Spannungen am Trgerelement

Bild 17 a, b. Schubspannungsverteilung bei a Rechteckquerschnitt; b Kreisquerschnitt

I2.4

Biegebeanspruchung

C 15

Rechteckquerschnitt (Bild 17 a). "

 # b h2 bh2 z 2
z2 ¼ 1
; 8 2 4 h=2 z "
 # 3 FQ z 2 3 FQ 1
, txz ¼ , max t ¼ txz ðz ¼ 0Þ ¼ 2 bh h=2 2 bh

Sy ðzÞ ¼

Zh=2

zb dz ¼

C

txz ðz ¼ h=2Þ ¼ 0: Die Schubspannungen verteilen sich parabolisch
ber die Hhe, die maximale Schubspannung ist max t ¼ 1;5  FQ =A ¼ 1;5  tm ; d. h. 50% grßer als bei gleichfrmiger Verteilung. Eine genauere Theorie ergibt eine Zunahme der Schubspannungen am Rand und eine Abnahme in der Mitte. Die maximale Randschubspannung f
r z=0 folgt aus max txz ðz ¼ 0Þ ¼ 3FQ mit f gemß f 2A

Bild 18. Schubspannungen in d
nnwandigen Profilen

ßenordnungen. F
r Schnitt 4
4 gilt Sy4 ¼ ðb1 =2
yÞ t1 ðb2 þ t1 Þ=2, txy4 ¼ FQ Sy4 =ðIy t1 Þ: txy erreicht sein Maximum f
r y ¼ 0: max Sy4 ¼ b1 t1 ðb2 þ t1 Þ=4 ¼ A1 ðb2 þ t1 Þ=4 ¼ Sy1 =2, max txy ¼ FQ Sy1 =ð2Iy t1 Þ ¼ txz2 ðt2 =t1 Þ=2  txz2 =2:

Kreisquerschnitt (Bild 17 b). Mit Sy ðzÞ ¼

Zr

zbðzÞdz, bðzÞ ¼

z

2r cos j, z ¼ r sin j, dz ¼ r cos j dj folgen Sy ðzÞ ¼

Zp=2

p=2

2r 3 sin j cos2 j dj ¼ ½
23r 3 cos3 jy

y

¼ 23r 3 cos3 y, txz

txr

FQ 2 4FQ cos2 y  r 3 cos3 y ¼ ðp r 4 =4Þ  2r cos y 3 3 p r2  z2  4 FQ ¼ 1
, 3 p r2 r rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi z2ffi 4FQ 4FQ ¼ txz = cos y ¼ cos y ¼ 1
: 3 p r2 3 p r2 r ¼

txz verluft nach einer Parabel
ber die Hhe, txr nach einer Ellipse lngs des Rands (Bild 17 b). F
r z ¼ 0 folgt max txz ¼

4 FQ 4 FQ 4 ¼ tm : ¼ 3 p r2 3 A 3

Kreisringquerschnitt. Mit Innen- bzw. Außenradius ri und ra gilt max txz ¼ txz ðz ¼ 0Þ ¼ k

FQ A

mit
 2 4 ri þ ri ra þ ra2 k¼ : 3 ri2 þ ra2 F
r d
nnwandige Querschnitte wird mit ri  ra  r der Wert k ¼ 2;0: I-Querschnitt, [-Querschnitt und
hnliche dnnwandige Profile (Bild 18). Mit A1 ¼ b1 t1 , A2 ¼ b2 t2 und A ¼ 2A1 þ A2 wird Iy ¼ 2b1 t13 =12 þ 2A1 ðb2 =2 þ t1 =2Þ2 þ t2 b32 =12:

Beim [-Profil wird entsprechend max txy ¼ txz2 ðt2 =t1 Þ  txz2 , wenn t2  t1 ist. In der Praxis gen
gt meist der Nachweis der maximalen Schubspannungen im Steg nach der Nherungsformel max txz ¼ FQ =ASteg : Schubspannungen in Verbindungsmitteln bei zusammengesetzten Tr
gern. Sollen Profile mittels Gurtplatten oder anderen Profilen verstrkt werden, so sind sie durch Schweißnhte oder Niete bzw. Schrauben miteinander zu verbinden (Bild 19). F
r den Schubfluss T 0 ðxÞ je Lngeneinheit gilt nach Gl. (26): T 0 ðxÞ ¼ tðxÞbðz1 Þ ¼ FQ Sy ðz1 Þ=Iy :

Bild 19. Zusammengesetzte Profile

Hierbei ist Sy ðz1 Þ das statische Moment des
ber der Trennflche liegenden Querschnittsteils bez
glich der Schwerachse des Gesamtquerschnitts und Iy das axiale Flchenmoment 2. Grades des Gesamtquerschnitts. Die Scherspannungen betragen in den Schweißnhten der Dicke a bzw. in Nieten oder Schrauben mit der Teilung e und der Scherflche A. ta ¼ T 0 =ð2aÞ bzw: ta ¼ T 0 e=ð2AÞ:

Schubmittelpunkt. Voraussetzung f
r eine drillungsfreie Querkraftbiegung ist, dass die Lastebene durch den Angriffspunkt der Resultierenden der Schubspannung, d. h. durch den Schubmittelpunkt M, geht (z. B. f
r Belastung in Richtung der Hauptachse z durch den Punkt im Abstand yM gemß Bild 20). Berechnung der Koordinaten yM und zM des Schubmittelpunkts: Da das Moment der Schubflusskrfte gleich dem der Querkraft FQz um den Schwerpunkt sein muss, gilt

Sy1 ¼ A1 ðb2 þ t1 Þ=2, txz1 ¼ FQ Sy1 =ðIy b1 Þ; Sy2 ¼ A1 ðb2 þ t1 Þ=2 ¼ Sy1 ,

FQz yM ¼

txz2 ¼ FQ Sy1 =ðIy t2 Þ ¼ txz1 ðb1 =t2 Þ;

Zl

T 0 ðsÞhðsÞds

0

Sy3 ¼ Sy1 þ A2 b2 =8, txz3 ¼ FQ Sy3 =ðIy t2 Þ ¼ max txz : Verlauf der Schubspannungen txz s. Bild 18. Whrend txz in den Flanschen sehr klein ist, erreicht txy dort beachtliche Gr-

ð25Þ

¼

Zl 0

½T 0 ðsÞz cos j ds þ T 0 ðsÞy sin j ds,

C 16

Festigkeitslehre – 2 Beanspruchung stabfrmiger Bauteile

Der Querschnitt ist zur y-Achse symmetrisch, d. h., f
r die untere Hlfte ergeben sich analoge Werte. Somit wird 2 11 cm 11Z,5 cm Z 2 yM ¼ 4 34,5 cm2  s1  11,5 cm  ds1 þ ð379,5 cm3 Iy 0 0 3

C

þ 23 cm2  s2
1 cm  s22 Þ  3,214 cm  ds2 5 ¼

2  41 289 cm5 ¼ 7,57 cm: 10 909 cm4

2.4.7 Biegespannungen in stark gekr
mmten Trgern Bild 20. Schubmittelpunkt

T 0 ðsÞ ¼ FQz Sy ðsÞ=Iy , Sy ðsÞ ¼

Zs

z dA ¼

0

yM

¼

1 Iy

Zl

Sy ðsÞ hðsÞ ds ¼

1 Iy

0

Zl

Zs zt ds, 0

Sy ðsÞðy sin j þ z cos jÞds:

0

Hierbei ist Sy ðsÞ das statische Moment des
ber der Schnittstelle s liegenden Querschnittsteils. Entsprechend ergibt sich bei Kraftwirkung in Richtung der Hauptachse y zM

¼


1 Iz

Zl

Sz ðsÞ hðsÞ ds

0

¼


Sz ðsÞ ¼

1 Iz

Zs 0

Zl

Sz ðsÞðy sin j þ z cos jÞ ds,

0

y dA ¼

Zs y t ds: 0

Hat ein Querschnitt eine Symmetrieachse, so liegt der Schubmittelpunkt auf dieser Achse, hat er zwei Symmetrieachsen, so fllt der Schubmittelpunkt in den Symmetriepunkt, d. h. in den Schwerpunkt. Bei aus zwei Rechtecken zusammengesetzten Querschnitten liegt er im Schnittpunkt der Mittellinien der Rechtecke (Bild 21).

Whrend f
r schwach gekr
mmte Stbe, d. h. f
r R > d, die Formeln der Biegespannungen des geraden Stabs (Gln. (6) bis (9)) gelten, ist f
r stark gekr
mmte Stbe, d. h. f
r R  d, die unterschiedliche Lnge der Außen- und Innenfasern zu ber
cksichtigen. Dies f
hrt zu einer hyperbolischen Spannungsverteilung f
r s; die Spannungen werden gegen
ber der linearen Spannungsverteilung außen kleiner und innen grßer. Bei Einwirkung einer Normalkraft FN und eines Biegemoments Mb gilt (Bild 22) unter der Voraussetzung des Ebenbleibens der Querschnitte
 Dds1 Dds
zDdj Ddj z ¼ ¼ e0 þ e0
: eðzÞ ¼ ðR
zÞdj dj R
z ds1 Hierbei ist e0 ¼ Dds=ds ¼ Dds=ðR djÞ die Dehnung in der Schwerachse. Weiter gilt 
  Ddj z sðzÞ ¼ EeðzÞ ¼ E e0 þ e0
, ð22Þ dj R
z d. h., Dehnungen und Biegespannungen verteilen sich nach einem hyperbolischen Gesetz (Bild 22). e0 und Ddj=dj folgen aus
Z Z Ddj z FN ¼ sðzÞdA ¼ e0 EA þ E e0
dA, ð27Þ dj R
z
Mb ¼

Z


Z Ddj z2 dA: sðzÞz dA ¼ E e0
R
z dj

Z

z dA ¼ kA und R
z  Z
Z Z z2 Rz z dA ¼
z dA ¼ R dA ¼ RkA R
z R
z R
z

Mit

folgt aus Gl. (28) bzw. (27) Ddj Mb bzw: ¼
ERkA dj
 FN Ddj FN Mb e0 ¼
e0
þ k¼ EA EA ERA dj e0


Bild 21. Schubmittelpunkt d
nnwandiger Querschnitte

Beispiel: [-Profil nach Bild 21. – Lage des Schwerpunkts folgt zu e ¼ 4;214 cm und damit Iy ¼ 10 909 cm4 . F
r den oberen Flansch gilt Sy ðs1 Þ ¼ 3 cm  11;5 cm  s1 ¼ 34;5 cm2  s1 ; Sy ðs1 ¼ 11 cmÞ ¼ 379;5 cm3 ; f
r den Steg bis zur Mitte gilt Sy ðs2 Þ ¼ 379,5 cm3 þ 2 cm  s2 ð11,5 cm
s2 =2Þ ¼ 379,5 cm3 þ 23 cm2  s2
1 cm  s22 ; Sy ðs2 ¼ 11,5 cmÞ ¼ 511,75 cm3 :

ð28Þ

Bild 22. Biegung des stark gekr
mmten Trgers

I2.4 und damit aus Gl. (26)
 FN Mb 1 z þ 1
sðzÞ ¼ : A RA k R
z

Biegebeanspruchung

C 17

ð29Þ

Die Spannungen in den Randfasern folgen hieraus f
r z ¼ ei und z ¼
ea . Die Spannungsnulllinie folgt aus sðzÞ ¼ 0 zu z0 ¼

F
r Mb ¼
FN R wird z0 ¼ 0, d. h., die neutrale Faser liegt in der Schwerachse, wenn die Einzelkraft F ¼ FN im Kr
mmungsmittelpunkt wirkt. F
r reine Biegung ðFN ¼ 0Þ folgt z0 ¼ kR=ð1 þ kÞ < R, und f
r reine Normalkraft ðMb ¼ 0Þ ist z0 ¼ R, d. h., die Nulllinie liegt im Kr
mmungsmittelpunkt. Formbeiwert k f
r verschiedene Querschnitte: Rechteck: Mit y ¼ e=R ¼ h=ð2RÞ gilt k ¼
1 þ

w 00 ðxÞ

Dreieck (gleichschenklig): Mit y ¼ ei =R ¼ h=ð3RÞ gilt 
  2 0;33 1þ 2y 0;67 þ
1 : k ¼
1 þ ln 3y y 1
y

ð30Þ

Die Formziffer aki ¼ si =sn ist von Querschnittsform und Kr
mmung abhngig (Tab. 3). Da die Formziffer von der Querschnittsform nur wenig abhngt, sind diese Werte auch f
r andere Querschnittsformen quivalent zu verwenden. 2.4.8 Durchbiegung von Tr
gern Elastische Linie des geraden Tr
gers. Unter der Annahme des Ebenbleibens der Querschnitte (Vernachlssigung der Schubspannung) gilt gemß Bild 23 ds1
ds ðr
zÞ da
r da z ¼ ¼
ds r da r

und hieraus mit dem Hookeschen Gesetz e ¼ s=E sowie der Gl. (6) ð31Þ

d. h., die Kr
mmung ist proportional dem Biegemoment Mb ðxÞ und umgekehrt proportional zur Biegesteifigkeit EIy ðxÞ. Mit der Kr
mmungsformel einer Kurve, 00

02

3=2

k ¼ da=ds ¼  w ðxÞ=ð1 þ w ðxÞÞ

¼


Mb ðxÞ : EIy ðxÞ

w 00 ðxÞ ¼
Mb ðxÞ=ðEIy ðxÞÞ:

Die Maximalspannung aus dem Biegemoment tritt stets an der Innenseite des gekr
mmten Stabs auf. Der Vergleich mit der Nennspannung sn ¼ Mb =Wyi bei geradliniger Spannungsverteilung liefert

1 Mb ðxÞ k¼ ¼ ; r EIy ðxÞ

ð1 þ w 0 2 ðxÞÞ3=2

F
r kleine Durchbiegungen, d. h. w02 ðxÞ  1, folgt hieraus die linearisierte Differentialgleichung der technischen Balkenbiegungslehre

k  y2 =4 þ y4 =8 þ 5y6 =64:

si ¼ max sb ¼ aki sn :

Bild 23. Durchbiegung eines geraden Trgers

(s. www.dubbel.de), folgt aus Gl. (31) die Differentialgleichung der Biegelinie der Balkenachse (Eulersche Elastika)

1 1 þ y y2 y4 y6 ln  þ þ : 5 7 2y 1
y 3

Kreis, Ellipse: Mit y ¼ e=R (e Halbachse in Kr
mmungsebene) gilt

e¼

C

FN R þ Mb kR : ¼ Mb FN R þ Mb 1 þ kþ kR R 1 þ FN R=Mb

ð32Þ

F
r den Sonderfall konstanten axialen Flchenmoments 2. Grades, Iy ðxÞ ¼ I0 , folgt dann durch Integration Z 1 w 0 ðxÞ  aðxÞ ¼
Mb ðxÞ dx EI0 ð33 aÞ 1 ¼
f ðxÞ þ C1 , EI0  Z  1
f ðxÞ þ C1 dx EI0 1 ¼
gðxÞ þ C1 x þ C2 : EI0

wðxÞ ¼

ð33 bÞ

Die Konstanten C1 und C2 werden aus den Randbedingungen bestimmt (Bild 24 a, b): f
r den beidseitig gelenkig gelagerten Trger wðx ¼ 0Þ ¼ 0 und wðx ¼ lÞ ¼ 0, sowie f
r den einseitig eingespannten Trger wðx ¼ 0Þ ¼ 0 und w 0 ðx ¼ 0Þ ¼ 0 (bzw. wðx ¼ lÞ ¼ 0 und w 0 ðx ¼ lÞ ¼ 0 bei rechtsseitiger Einspannung). Nach dieser Methode wurden die Standardflle (Tab. 4) berechnet. Erweiterte Differentialgleichung. Es gilt dMb =dx ¼ FQ ðxÞ und dFQ =dx ¼
qðxÞ. Damit folgt aus Gl. (32) d dMb ¼
FQ ðxÞ, ½EIy ðxÞw 00 ðxÞ ¼
dx dx 2 d2 d M dFQ b ¼ qðxÞ: ½EIy ðxÞw 00 ðxÞ ¼ ¼
dx2 dx2 dx F
r Iy ¼ I0 ¼ const wird EI0 w 0000 ðxÞ ¼ qðxÞ:

Tabelle 3. Formziffern aki

Bild 24 a, b. Randbedingungen

ð34Þ

C 18

Festigkeitslehre – 2 Beanspruchung stabf
rmiger Bauteile

Tabelle 4 a. Biegelinien von statisch bestimmten Trgern mit konstantem Querschnitt

C

I2.4

Biegebeanspruchung

C 19

Tabelle 4a. (Fortsetzung)

C

Durch viermalige Integration ergibt sich hieraus Z EI0 w 000 ðxÞ ¼
FQ ðxÞ ¼ qðxÞ dx ¼ f1 ðxÞ þ C1 , Z EI0 w 00 ðxÞ ¼
Mb ðxÞ ¼
FQ ðxÞ dx ¼ f2 ðxÞ þ C1 x þ C2 , Z Mb ðxÞ dx

EI0 w 0 ðxÞ  EI0 aðxÞ ¼


¼ f3 ðxÞ þ C1 x2 =2 þ C2 x þ C3 , EI0 wðxÞ ¼ f4 ðxÞ þ C1 x3 =6 þ C2 x2 =2 þ C3 x þ C4 :

9 > > > > > > > > > > > > > > = > > > > > > > > > > > > > > ;

X a¼ ai ¼ a1 þ a2 þ a3 þ . . ., wobei der Index i jeweils einem in Tab. 4 niedergelegten Fall entspricht.

ð35Þ

Beispiel: Tr
ger mit Kragarm (Bild 25). Gegeben sei I1 ¼ 30 cm4 , I2 ¼ 12 cm4 , E ¼ 2;1  105 N=mm2 , l ¼ 600 mm, a ¼ 300 mm und F ¼ 2 kN, gesucht die Durchbiegung des Kragarms. – Nach Bild 25 b gilt f1 ¼ a tan aB1  a aB1 ¼ Ml=ð3EI1 Þ gem
ß Tab. 4 a, Fall 3 d. Die

C1 . . . C4 werden aus den Randbedingungen gem
ß Bild 24 a, b bestimmt. Greift am freien Ende des Tr
gers nach Bild 24 b ein Moment M bzw. eine Kraft F an, so lautet die entsprechende Randbedingung EI0 w 00 ðx ¼ lÞ ¼ M bzw: EI0 w 000 ðx ¼ lÞ ¼ F: Superpositionsmethode. Durch geeignete berlagerung der in Tab. 4 niedergelegten Ergebnisse erh
lt man fr Tr
ger mit mehreren Einzellasten sowie XMomenten und Streckenlasten die Verformungen aus w ¼ wi ¼ w1 þ w2 þ w3 þ . . . bzw.

Bild 25 a–c. Superpositionsmethode

C 20

Festigkeitslehre – 2 Beanspruchung stabf
rmiger Bauteile

Tabelle 4 b. Biegemomente und Biegelinien von statisch unbestimmten Trgern mit konstantem Querschnitt

C

I2.4

Biegebeanspruchung

C 21

Tabelle 4b. (Fortsetzung)

C

Durchbiegung f2 infolge Kragarmkr
mmung (Bild 25 c) folgt aus Tab. 4 a, Fall 6, zu f2 ¼ Fa3 =ð3EI2 Þ. Somit ist f ¼ f1 þ f2 ¼ Fa2 l=ð3EI1 Þ þ Fa3 =ð3EI2 Þ ¼ ð0;057 þ 0;071Þ cm ¼ 0;128 cm.

Durchbiegung bei schiefer Biegung. Sind Mbh ðxÞ und Mbz ðxÞ die Biegemomente um die Hauptachsen h und z (s. C 2.4.5), so ergeben sich die Durchbiegungen uðxÞ und w(x) in Richtung h und z nach einem der angegebenen Verfahren. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Die resultierende Verschiebung folgt aus f ðxÞ ¼ u2 þ w2 und stellt eine Raumkurve dar. f(x) steht an jeder Stelle senkrecht zur entsprechenden neutralen Faser [1]. Einfluss der Schubverformungen auf die Biegelinie. Infolge der Querkrfte FQ ergeben sich die
ber die Hhe eines Trgers vernderlichen Schubspannungen t nach Gl. (24). Aus dem Hookeschen Gesetz (s. C 1 Gl. (22)) und Bild 26 a folgt f
r die Gleitungen g ¼ g1 þ g2 ¼ t=G. Sie sind ebenfalls
ber die Hhe vernderlich, d. h., die Querschnitte verwlben sich. Als Nherung dient eine gemittelte Schubspannung t ¼ aFQ =A, f
r die der Faktor a aus der Gleichheit der Formnderungsarbeiten am wirklichen und am gemittelten Span-

nungszustand folgt: Z 1 1 FQ dwS ¼ t2 dV, also 2 2G  Z  FQ Sy 2 1 1 FQ g dx ¼ dA dx, d: h: 2 2G Iy b  2 2 Z  FQ t 1 1 FQ Sy 2 a¼ dA FQ ¼ 2G Iy b 2 2 AG G Z  2 Sy und somit a ¼ A dA. Iy b F
r einen Rechteckquerschnitt ergibt sich a=1, 2, f
r einen Kreisquerschnitt a ¼ 10=9
1;1. F
r die Grße der Schubdurchsenkung gilt dann (Bild 26 b) dwS =dx ¼ g ¼ t=G ¼ a FQ =ðGAÞ bzw: Z a a wS ðxÞ ¼ FQ ðxÞ dx ¼ Mb ðxÞ þ C: GA GA Zum Beispiel gilt f
r einen einseitig (rechts) eingespannten Stab mit einer Einzelkraft am (linken) freien Ende

C 22

Festigkeitslehre – 2 Beanspruchung stabfrmiger Bauteile

C Bild 28 a, b. Satz von Castigliano. a Allgemein; b Viertelkreistrger Bild 26 a, b. Schubdurchsenkung

Mb ðxÞ ¼
Fx und damit wS ðxÞ ¼
ða=GAÞFx þ C. Aus wS ðx ¼ lÞ ¼ 0 folgt C=(a/GA)Fl und somit wS ðxÞ ¼ ða=GAÞ  Fðl
xÞ bzw. wS ðx ¼ 0Þ ¼ ða=GAÞFl. Der entsprechende Wert aus Biegung ist wðx ¼ 0Þ ¼ Fl3 =ð3EIy Þ. F
r einen Rechteckquerschnitt ergibt sich wS =w ¼ ð0;3  E=GÞ ðh=lÞ2 . Nun ist 0;3  E=G  1 und somit wS =w  ðh=lÞ2 . F
r h/l=1/5 wird wS  0;04  w, d. h., die Schubverformungen f
r niedrige Trger sind gegen
ber den Biegeverformungen vernachlssigbar. Durchbiegung schwach gekr
mmter Trger. Entsprechend dem Ergebnis beim geraden Trger, s. Gl. (31), wird hier die nderung der Kr
mmung (Bild 27 a) 1 1 Mb :
¼
EIy r R Hieraus folgt f
r die Radialverschiebung w eines urspr
nglich kreisfrmigen Trgers [3, 4] die Differentialgleichung d2 w R2 þw ¼ Mb ðjÞ: EIy d j2

ð36Þ

Die Tangentialverschiebung u folgt zu Z uðjÞ ¼ wðjÞdj: Beispiel: F
r den Viertelkreistrger (Bild 28 b) berechne man die Verschiebungen des Kraftangriffspunkts. – Mit Mb ðjÞ ¼
FR cos j erhlt man die Differentialgleichung

2.4.9 Formnderungsarbeit bei Biegung und Energiemethoden zur Berechnung von Einzeldurchbiegungen Formnderungsarbeit.

wðjÞ ¼ C1 sin j þ C2 cos j
ðFR3 =2EIy Þ j sin j:

Z

Mb dj ¼

1 2

Z

Mb2 ds: EIy

wF ¼

¶W ¶W ; aM ¼ : ¶F ¶M

Beispiel: F
r den Viertelkreistrger nach Bild 28 b ist die Horizontalverschiebung u des Kraftangriffspunkts zu berechnen. – Mit der Hilfs in Horizontalrichtung (Bild 28 b) gilt f
r das Biegemoment kraft F  Mb ðjÞ ¼
FR cos j
FRð1
sin jÞ sowie f
r die Formnderungsarbeit und die Verschiebung W¼

1 2 EIy

Zp=2

 ½
FR cos j
FRð1
sin jÞ2 R dj,

0

¶W 1 u ¼  ¼
EIy ¶F

Zp=2

 ½
FR cos j
FRð1
sin jÞð1
sin jÞ R2 dj

uðjÞ ¼ ðFR3 =2EIy Þ

 ¼0 bzw. mit F u¼þ

Mit u(0)=0 wird dann Z

1 EIy

Zp=2

FR cos jð1
sin jÞ R2 dj

0

j sin j dj ¼ ðFR3 =2EIy Þðsin j
j cos jÞ

und uðp=2Þ ¼ FR3 =ð2EIy Þ:

Bild 27 a, b. Mohrsches Verfahren, rechnerisch

ð38Þ

Die Ableitung der Formnderungsarbeit nach einer Einzelkraft gibt die Verschiebung in Richtung der Einzelkraft, die Ableitung nach einem Moment ergibt den Drehwinkel an der Stelle des Angriffspunkts. (Sind Verschiebungen an Stellen oder in Richtungen gesucht, an denen keine Einzelkraft wirkt,  angebracht und nach Durchf
hrung so wird eine Hilfskraft F der Rechnung wieder gleich Null gesetzt; entsprechend bei Drehwinkel und Momenten.)

0

Aus den Randbedingungen w(0)=0 und w 0 ð0Þ ¼ 0 folgen C1 ¼ C2 ¼ 0 und damit wðjÞ ¼ ðFR3 =2EIy Þj sin j mit wðp=2Þ ¼ pFR3 =ð4EIy Þ.

ð37Þ

Satz von Castigliano. F
r Systeme aus Hookeschem Material gilt (Bild 28 a)

w 00 ðjÞ þ wðjÞ ¼
ðFR3 =EIy Þ cos j mit der L
sung

1 2

Wb ¼

¼


p=2 FR3 1 FR3 sin j
sin2 j ¼ : 2 EIy 2 EIy 0

Bild 29. Abgesetzte Welle und Biegemomentverlauf

I2.4

C 23

Biegebeanspruchung

Beispiel: abgesetzte Welle (Bild 29). Gesucht ist die Durchbiegung an der Stelle der Krafteinleitung. Gegeben: F ¼ 2000 N, ESt ¼ 2; 1
105 N=mm2 , ‘ ¼ 100 mm, D1 ¼ 20 mm, D2 ¼ 30 mm , D3 ¼ 40 mm. Die Form
nderungsarbeit lautet nach Gl. (37): W¼

1 2

Z5‘

C

Mb2 dx: EIy

0

Bercksichtigt man die Symmetrieachse, folgt:

 1 5 5 4W ; Wges ¼ 2W ¼ F w x ¼ ‘ ) w x ¼ ‘ ¼ 2 2 2 F 0 Z‘ Z‘ 1 1 1 Wges ¼2 @ ð1Þ2 dx þ ð2Þ2 dx 2E Iy1 Iy2 0 0 1 1=2 ‘ Z 1 C 2 þ ð3Þ dxA: Iy3

Bild 30 a, b. Prinzip der virtuellen Arbeiten

Tr
ger mit EIy ¼ const nur fr das Produkt M b Mb zu bilden und fr die wichtigsten Grundf
lle in Tab. 5 zusammengestellt.

0

Beispiel: Kragtr
ger mit Streckenlast (Bild 31). Gesucht sind die Durchbiegung und der Neigungswinkel am freien Ende. – Fr die Durchbiegung folgt nach Tab. 5, Spalte 8, Zeile b mit i ¼ q l2 =2 und k= l

Die Auswertung der Integrale mit Tab. 5 ergibt: 
 1 1 1 lik Wges ¼ E Iy1 3
 1 ‘ þ ð2i1 k1 þ i1 k2 þ i2 k1 þ 2i2 k2 Þ Iy2 6
 1 ‘ þ ð2i1 k1 þ i1 k2 þ i2 k1 þ 2i2 k2 Þ : Iy3 6

1f ¼

Zl M b Mb

dx 1 1 q l4 ¼  lik ¼ EIy EIy 4 8 EIy

0

und f
r den Neigungswinkel nach Zeile a mit i ¼ ql2 =2 und k ¼ 1 1a ¼

Es folgt mit:

Zl M b Mb

dx 1 1 q l3 ¼  lik ¼ EIy EIy 3 6 EIy

0

1 1 ð1Þ: ‘ ¼ ‘; i ¼ F‘ ¼ k; ð2Þ: ‘ ¼ ‘; i1 ¼ k1 ¼ F‘; k2 ¼ i2 ; 2 2 ‘ 5 ð3Þ: ‘ ¼ ; i1 ¼ k1 ¼ F‘; i2 k2 ¼ F‘: 2 4

 5 1 F‘3 1 7 61 1 w x¼ ‘ ¼ þ þ  0;578 mm: 2 6 E Iy1 Iy2 8 Iy3
 5 125 F‘3 Wenn Iy1 ¼ Iy2 ¼ Iy3 ¼ Iy ; ist w x ¼ ‘ ¼ (ent2 48 EIy spricht Lastfall 1 in Tab. 4 a). Prinzip der virtuellen Arbeiten. Wird einem elastischen System eine beliebige (virtuelle), d. h. mit den geometrischen Gegebenheiten vertr
gliche Verrckung erteilt, so ist im Gleichgewichtsfall die Summe aus
ußerer und innerer virtueller Arbeit gleich Null: dW ðaÞ þ dW ðiÞ ¼ 0: W
hlt man als
ußere Kraft lediglich eine virtuelle Hilfskraft F ¼ 1 und als Verrckung die wirklichen Verschiebungen (Prinzip der virtuellen Kr
fte) (Bild 30 a), so folgt aus dW ðaÞ ¼  dW ðiÞZ Fw

¼ 1w ¼

M b dj ¼

Z

M b Mb ds: EIy

ð39Þ

Hieraus folgt die Verschiebung w in Richtung der Hilfskraft F ¼ 1: Dabei sind M b die Biegemomente infolge dieser Hilfskraft und Mb die Biegemomente infolge der wirklichen Belastung. Werden als
ußere Last ein virtuelles Hilfsmoment M ¼ 1 und als Verrckung wiederum die wirklichen Verschiebungen gew
hlt, so gilt (Bild 30 b) Z Z
¼ 1  a ¼ M b dj ¼ M b Mb ds: ð40Þ Ma EIy Hieraus folgt der Drehwinkel an der Angriffsstelle des Hilfsmoments. Die Integrale in den Gln. (39) und (40) sind fr

(vgl. Tab. 4 a, Fall 8).

Prinzip der virtuellen Verr
ckungen fr schubstarre Biegebalken. Das Prinzip der virtuellen Verrckungen ist
quivalent einer Gleichgewichtsaussage. Dazu wird die Biegedifferentialgleichung des Balkens mit einer virtuellen Verschiebung dw multipliziert und ber die Balkenl
nge integriert.  ‘ Z Z‘ Z‘  00 M ¼ p  dw dx )  M 00 dw dx ¼ p dw dx;  0

0

0

‘ Z ‘ Z‘  ½M 0 dw  Mdw0   Mdw00 dx ¼ p dw dx: 0

0

0

Dabei mssen die virtuellen Verrckungen dw geometrisch vertr
glich sein, d. h. den Verformungsaussagen db ¼  dw0 , dk ¼  dw00 gengen. Beachtet man weiter, dass auch die wirklichen Zustandsgrßen statisch vertr
glich sein mssen M 0 ¼ Q, dann kann geschrieben werden: dWa ¼

Z‘

‘ Z‘  p dw dx þ ½Q dw þ Mdb ¼ dWi ¼ Mdw dx:

0

0

0

In Worten: Wenn die virtuellen Verrckungen dw geometrisch vertr
glich sind, oder mit anderen Worten, die verfor-

Bild 31. Verformungen eines Kragtr
gers

C 24

Festigkeitslehre – 2 Beanspruchung stabfrmiger Bauteile Z

Tabelle 5. Werte f
r

MMds

C

mungsgeometrischen Aussagen erf
llen, besagt die vorstehende Gleichung, dass die Arbeit der wirklichen ußeren Krfte (einschließlich der Randkrfte und Momente) an den virtuellen Verr
ckungen gleich der Arbeit der wirklichen Momente an den virtuellen Kr
mmungen ist. Mit dem Prinzip der virtuellen Verr
ckungen lassen sich Zwangskrfte Fz (Federkrfte, Auflagereaktionen) infolge bekannter Verformungszustnde berechnen. Dazu wird eine virtuelle Verr
ckung dw ¼ 1 an der gew
nschten Stelle aufgebracht. Die Z

entstehende ußere Arbeit ist dann dWa ¼ Fz 1 þ

p dw dx

und damit die gesuchte Zwangskraft Fz und die Arbeit der ußeren Lasten. Wenn man in der zugehrigen inneren Arbeit Z dWi ¼

Mdk dx das Elastizittsgesetz M ¼ EIc einsetzt, er-

gibt sich aus der Forderung, ußere gleich innere Arbeit, der Z Z Zusammenhang: Fz ¼ EIk dk dx
p dw dx: Wenn die gesuchte Grße ein Moment ist, muss an der betreffenden Stelle analog zu dw ¼ 1 ein Winkel dj ¼ 1 aufgezwungen werden. Es ergibt sich dann das Zwangsmoment plus die ußere Arbeit der Lasten. Beispiel: F
r den in Bild 32 skizzierten Balken ist die Auflagerkraft Az zu berechnen. Es gilt dWA ¼ dWi :

2.5 Torsionsbeanspruchung 2.5.1 St
be mit Kreisquerschnitt und konstantem Durchmesser Bei der Torsion von Stben mit Kreisquerschnitt tritt keine Verwlbung ein, d. h., die Querschnitte bleiben eben. Ferner bleiben die Radien der Kreisquerschnitte geradlinig, d. h., die Querschnitte verdrehen sich als starres Ganzes. Geradlinige Mantellinien auf der Oberflche werden zu Schraubenlinien, die aber wegen der kleinen Verformungen (Bild 33) als geradlinig aufgefasst werden knnen. Mit g l ¼ j r und dem Hookeschen Gesetz g ¼ t=G ergibt sich t ¼ ðGj=lÞr;

ð41Þ

d. h., die Torsionsspannungen t nehmen linear mit dem Radius r zu (Bild 33). Das Moment aller Torsionsspannungen um den Kreismittelpunkt muss gleich dem Torsionsmoment sein: Mt ¼

Zd=2

t r dA ¼ ðGj=lÞ

0

Ip ¼

Zd=2 0

Zd=2

r 2 dA ¼ ðGj=lÞIp ;

ð42Þ

0

r2 dA ¼

Zd=2

r 2 2p r dr ¼ p d 4 =32:

ð43Þ

0

Ip ist das polare Flchenmoment 2. Grades des Kreisquerschnitts. Aus den Gln. (42) und (41) folgt f
r die Torsionsspannungen und mit dem polaren Widerstandsmoment Wp ¼ Ip =ðd=2Þ ¼ p d 3 =16 des Kreisquerschnitts tðrÞ ¼ ðMt =Ip Þr bzw: tmax ¼ ðMt =Ip Þðd=2Þ ¼ Mt =Wp :

ð44Þ

F
r den Verdrehungswinkel und die Drillung (Verdrehung pro Lngeneinheit) gilt nach Gl. (42) j¼

Bild 32. Biegebalken, Kr
mmungsverlauf infolge F und dw

Mt l j Mt und J ¼ ¼ : GIp l GIp

Bild 33. Torsion eines Stabs mit Kreisquerschnitt

ð45Þ

I2.5 Die Form
nderungsarbeit ist 1 1 Mt2 l W ¼ Mt j ¼ : 2 2 GIp

ð46Þ

md ðxÞ dx;

Z dj Mt ðxÞ 1 , jðxÞ ¼ Mt ðxÞ dx, JðxÞ ¼ ¼ dx GIp GIp Z Z 1 1 W¼ Mt ðxÞ dj ¼ Mt2 ðxÞ dx: 2 2 GIp Die Gleichungen gelten auch fr kreisfrmige Hohlquerschnitte mit Ip ¼ pðda4
di4 Þ=32 und Wp ¼ Ip =ðda =2Þ (s. Tab. 6). Beispiel: Fr die Welle nach Bild 35 a mit G ¼ 81 kN=mm2 ; tzul ¼ 12 N=mm2 und Drehzahl n ¼ 1000 1=min sind gesucht: a) das eingeleitete bzw. die abgegebenen Drehmomente, b) die Torsionsmomentenlinie, c) die je Abschnitt erforderlichen Durchmesser, d) Drillung und Drehwinkel je Abschnitt sowie Gesamtdrehwinkel. – a) Das eingeleitete Drehmoment Md1 ergibt sich mit der
bertragenen Leistung P1 ¼ 4;4 kW aus P ¼ Md w mit w ¼ 2p n ¼ 2p  16;67 1=s ¼ 104;7 1=s zu Md1 ¼ P1 =w ¼ ð4 400 Nm=sÞ=ð104;7 1=sÞ ¼ 42;0 Nm, die abgenommenen Drehmomente zu Md2 ¼ ð1 470 WÞ=ð104;7 1=sÞ ¼ 14;0 Nm und Md3 ¼ ð2 930 WÞ=ð104;7 1=sÞ ¼ 28;0 Nm: b) Die Torsionsmomente werden damit Mt1;2 ¼ Md1 ¼ 42;0 Nm bzw. Mt2;3 ¼ Md1
Md2 ¼ Md3 ¼ 28;0 Nm (Bild 35 b). c) Die Durchmesser folgen aus Wp; erf ¼ p d3 =16 ¼ Mt =tzul zu d1 ¼ p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 16Mt1;2 =ðptzu1 Þ ¼ 26;1 mm (gewhlt 27 mm) und d2 ¼ 22;8 mm (gewhlt 23 mm). d) Drillung J1;2 ¼ Mt1;2 =ðGIp1 Þ ¼ Mt1;2 =ðGpd14 =32Þ ¼ 0;99  10
5 1=mm; Verdrehwinkel j1;2 ¼ J1;2 l1;2 ¼ 0;00495 = 0;284
; entsprechend J2;3 ¼ 1;26  10
5 1=mm, j2;3 ¼ 1;26  10
5  250 ¼ 0;00315= 0;180
: Der Gesamtdrehwinkel (Bild 35 c) ist dann j1;3 ¼ j1;2 þ j2;3 ¼ 0;284
þ 0;180
¼ 0;464
:

2.5.2 St
be mit Kreisquerschnitt und ver
nderlichem Durchmesser Mit Ip ðxÞ ¼ pd4 ðxÞ=32 gilt fr die Drillung und den Drehwinkel n
herungsweise Z Mt ðxÞ Mt ðxÞ JðxÞ ¼ ; jðxÞ ¼ dx: GIp ðxÞ GIp ðxÞ Die Spannungen werden wieder aus tðrÞ ¼ ðMt =Ip Þr bzw. tmax ¼ Mt =Wp berechnet. Bei abgesetzten Wellen treten Spannungsspitzen (Kerbspannungen) auf, die mit der Formzahl ak gem
ß t ¼ ak Mt =Wp bercksichtigt werden (s. C 2.1.4).

Bild 35 a–c. Torsion einer Welle

C 25

2.5.3 Dnnwandige Hohlquerschnitte (Bredtsche Formeln)

Wirken am StabZ kontinuierlich verteilte Drehmomente md ðxÞ; so gilt Mt ðxÞ ¼

Torsionsbeanspruchung

Unter der Annahme, dass die Torsionsspannung t ber die Wanddicke t konstant ist, ergibt sich aus dem Gleichgewicht ¶ am Element in x-Richtung
t t dx þ t t dx þ ðt t dxÞds ¼ 0; ¶s also t t ¼ T ¼ const, d. h., der Schubfluss T ist l
ngs des Umfangs konstant (Bild 34). Der Zusammenhang zwischen Torsionsspannung und Torsionsmoment folgt aus Mt ¼ I I t t h ds ¼ t t h ds ¼ t t  2Am und liefert t ¼ Mt =ð2Am tÞ ð1: Bredtsche FormelÞ: Am ist hierbei die von der Mittellinie eingeschlossene Fl
che des Hohlquerschnitts. Fr den Verdrehungswinkel gilt j¼

Mt l 4A2 mit It ¼ I m : ds GIt t ðsÞ

It ist das Torsionsfl
chenmoment (2. Bredtsche Formel). Bei der Verdrehung bleibt der Querschnitt nicht eben, sondern es tritt eine Verwlbung in x-Richtung (L
ngsrichtung) auf. Die Bredtschen Formeln gelten nur fr unbehinderte Verwlbung, bei der die Drehachse mit dem Schubmittelpunkt (s. C 2.4.6) zusammenf
llt. Bei behinderter Verwlbung treten zus
tzlich Normalspannungen s und damit ver
nderte Schubspannungen und Drehwinkel auf (s. C 2.5.5). 2.5.4 St
be mit beliebigem Querschnitt Hier treten bei Verdrehung grunds
tzlich Verwlbungen des Querschnitts auf. Im Fall unbehinderter Verwlbung gilt die Theorie von de Saint-Ve´nant [4]. Die Lsung des Problems wird auf eine Verwlbungsfunktion y(y, z) oder eine Spannungsfunktion Y(y, z) zurckgefhrt, wobei y(y, z) die Potentialgleichung Dy ¼ 0 bzw. Y(y, z) die Poissonsche Gleichung DY ¼ 1 befriedigen muss. Exakte Lsungen liegen nur fr wenige Querschnitte (z. B. Ellipse, Dreieck, Rechteck) vor. Fr Verdrehungswinkel und maximale Schubspannung gilt j¼

Mt l Mt ; tmax ¼ : Wt GIt

ð47Þ

Hierbei ist It das Torsionsfl
chenmoment. Es ist  Z  Z ¶y ¶y It ¼ y2 þ z2 þ y
z dA ¼
4 Yðy; zÞ dA; ¶z ¶y d. h., It ist proportional dem Volumen des ber dem Querschnitt aufgewlbten Spannungshgels. Wt ist das Torsionswiderstandsmoment. Es gilt     ¶Y Wt ¼ I t 2 ; ¶n max

Bild 34. Torsion eines Stabs mit dnnwandigem Hohlquerschnitt

C

C 26

Festigkeitslehre – 2 Beanspruchung stabf
rmiger Bauteile

Tabelle 6. Torsionsflchenmomente It und -widerstandsmomente Wt

C

I2.5

Torsionsbeanspruchung

C 27

Tabelle 6. (Fortsetzung)

C

wobei ð¶Y=¶nÞmax das gr
ßte vorhandene Geflle des Spannungshgels ist. Senkrecht auf der dazugeh
rigen Schnittebene durch den Spannungshgel steht dann die entsprechende Schubspannung (Bild 36 a). Ergebnisse fr It und Wt s. Tab. 6. Die Abschtzung der Lage der gr
ßten Schubspannungen bzw. die experimentelle Ermittlung der Schubspannungen erlauben folgende Gleichnisse:

Prandtlsches Seifenhautgleichnis. Da die Differentialgleichungen fr die Spannungsfunktion und eine unter berdruck stehende Seifenhaut quivalent sind und auch die Randbedingungen mit Y ¼ 0 bzw. w ¼ 0 bereinstimmen, entspricht das Geflle der ber einem Querschnitt gespannten Seifenhaut bzw. die Dichte der H
henlinien der Gr
ße der Schubspannungen, deren zugeordnete Richtung senkrecht zum Geflle steht (Bild 36 b).

Bild 36 a–c. Beliebiger Querschnitt. a Torsionsfunktion; b Seifenhautgleichnis; c Str
mungsgleichnis

C 28

C

Festigkeitslehre – 2 Beanspruchung stabf
rmiger Bauteile

Str
mungsgleichnis. Aufgrund der Analogien der Differentialgleichungen entspricht der Stromlinienverlauf einer Potentialstr
mung konstanter Zirkulation in einem Gefß gleichen Querschnitts wie dem des tordierten Stabs der Richtung der resultierenden Schubspannung. Die Dichte der Stromlinien ist dabei ein Maß fr die Gr
ße der Schubspannungen (Bild 36 c). 2.5.5 W
lbkrafttorsion Ist bei Stben nach C 2.5.3 und C 2.5.4 die Verw
lbung in irgendeinem Querschnitt (z. B. durch Einspannung) behindert, so treten in Lngsrichtung Normalspannungen sx und damit verbunden zustzlich Schubspannungen txy und txz auf. Der Drehwinkel wird kleiner als bei w
lbunbehinderter Torsion. Fr dnnwandige offene bzw. einfach und mehrfach geschlossene Querschnitte ist das Problem weitgehend gel
st [5]. Bemerkt sei, dass u. a. die Querschnitte nach Bild 37, d. h. alle Kreistangentenpolygone konstanter Wanddicke und alle sternf
rmigen Querschnitte, w
lbfrei sind, also eben bleiben, sodass keine W
lbkrafttorsion auftritt. Fr Vollquerschnitte liegen nur fr wenige Flle Nherungsl
sungen vor [4], die Wirkung der W
lbbehinderung kann hier jedoch meist vernachlssigt werden.

2.6 Zusammengesetzte Beanspruchung 2.6.1 Biegung und Lngskraft In Bild 38 a ist ein abgewinkelter Trger dargestellt, dessen vertikaler Teil durch Lngs-(Normal-)krfte und Biegemomente beansprucht wird, wie der Verlauf der Schnittlasten nach Bild 38 b–d zeigt. Bei Biegung um eine Querschnittshauptachse gilt fr die Normalspannung bzw. fr die extremalen Spannungen in den Randfasern (Bild 38 a) s

¼ sN þ sM ¼ FN =A
Mb z=Iy bzw:

s1;2 ¼ FN =A  Mb =Wy1;2 :

ð48Þ

Die Lage der Nulllinie folgt aus dieser Gleichung mit s ¼ 0 zu z0 ¼ FN Iy =ðMb AÞ: Im Fall schiefer Biegung, d. h. Belastung in beiden Hauptachsenebenen, gilt mit Gl. (20) fr Spannung und Nullinie

Bild 37. W
lbfreie Querschnitte

9 FN Mby Mbz >
zþ y> A Iy Iz = : Mby Iz FN Iz > > ; y¼ z
Mbz Iy Mbz A

s¼

ð49Þ

Die extremalen Spannungen treten in den senkrecht zur Nullinie an weitest entfernt liegenden Punkten mit den Koordinaten ðy1 ; z1 Þ und ðy2 ; z2 Þ auf, diese werden am einfachsten graphisch-rechnerisch ermittelt. Kern eines Querschnitts. Sollen die Spannungen im Querschnitt einerlei Vorzeichens, d. h. im Grenzfall am Rand null sein, so muss die Kraft F (Bild 38 a) im Fall einfacher Biegung mit Lngskraft und Mb ¼ Fa gemß Gl. (48) in einer Entfernung a1;2 % Iy =ðA  e1;2 Þ ¼ Wy =A angreifen. Bei schiefer Biegung mit Lngskraft muss sie innerhalb des Kerns (Bild 39) liegen. Bestimmung des Kerns [6]. 2.6.2 Biegung und Schub Biegung und Schub treten in der Regel in den meisten Querschnitten von Trgern, Wellen, Achsen usw. gleichzeitig auf (ebener Spannungszustand). Da die Biegenormalspannungen s am Rand extremal, dort aber die Schubspannungen t null sind (Bild 40 a), muss die Vergleichsspannung sV in verschiedenen H
hen nach einer der Formeln gemß C 1.3 ermittelt werden. s und t ergeben sich aus den Gln. (6) und (24). Zum Beispiel sei fr einen I-Querschnitt sV am oberen Rand, am bergang zwischen Flansch und Steg sowie in der Mitte zu berechnen: Nach der GE-Hypothese (s. C 1.3.3) ergibt sich pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dann sV ¼ sRand bzw. sV ¼ s2
þ 3t2
bzw. sV ¼ 1;73 tMitte ; und es muss max sV % szul sein. Meist ist die genaue Ermittlung von sV jedoch entbehrlich, und es werden Normal- und Schubspannungen getrennt ermittelt und mit szul bzw. tzul verglichen. Bei langen Trgern ðl ^ 4 . . . 5hÞ sind nur noch die Normalspannungen, bei kurzen Trgern (l  h) nur noch die Schubspannungen maßgebend. 2.6.3 Biegung und Torsion Bei gleichzeitiger Wirkung von Biegenormalspannungen s und Torsionsspannungen t (Bild 40 b) liegt ein ebener Spannungszustand vor. Die Extremalwerte von s und t treten in der Randfaser auf. Sie werden nach den Gln. (7) und (44) bzw. (47) berechnet. Man ermittelt damit die Vergleichsspannung sV nach einer der Hypothesen gemß C 1.3. Beispiel: Die Welle nach Bild 35 a bzw. zugeh
rigem Beispiel habe im Bereich 1 . . . 2 ein gr
ßtes Biegemoment Mb ¼ 75 Nm zu bertragen. Man berechne sV . – Mit s ¼ Mb =Wy und t ¼ Mt =Wp sowie Wy ¼ p d3 =32 und Wp ¼ 2Wy ¼ p d3 =16 folgt aus C 1 Gl. (24) fr sV nach der GE-Hypothese qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sV ¼ Mb2 þ 0;75 a20 Mt2 =Wy ¼ MV =Wy : ð50Þ Bei wechselnder Belastung f
r Biegung und schwellender f
r Torsion ist a0  0;85: F
r d ¼ 27 mm wird Wy ¼ p d 3 =32 ¼ 1 932 mm3 und pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sV ¼ 75 0002 þ 0;75  0;852  42 0002 Nmm=1 932 mm3 ¼ 42 N=mm2 :

Bild 38 a–d. Biegung und Lngskraft

Bild 39. Kern des Querschnitts

I2.7

Statisch unbestimmte Systeme

C 29

drei bzw. im Raum durch mehr als sechs Auflagerreaktionen abgesttzt werden. Ein n-fach abgesttztes System ist in der Ebene m ¼ ðn
3Þ-fach, im Raum m ¼ ðn
6Þ-fach
ußerlich statisch unbestimmt. Ein geschlossener Rahmen ist als ebenes System (Bild 41 a) 3fach innerlich, als r
umliches System (Bild 41 b) 6fach innerlich statisch unbestimmt. Die wichtigste Methode zur Berechnung statisch unbestimmter Systeme ist das Kraftgr
ßenverfahren. Das System wird durch Entfernen von Auflagerreaktionen (Kr
ften oder Momenten) oder durch Schnittfhrung z. B. nach Bild 42 auf ein statisch bestimmtes Grundsystem zurckgefhrt (zu jedem unbestimmten System gibt es mehrere mgliche Grundsysteme, von denen eines auszuw
hlen ist). Die entfernten Grßen bezeichnet man als statisch Unbestimmte X1 ; X2 . . . Xm : Der Lsung liegt folgendes Superpositionsverfahren zugrunde: 1. Berechnung der Verformungsdifferenzen d10 ; d20 ; d30 . . . zwischen beiden Schnittufern am Grundsystem in Richtung von X1 ; X2 ; X3 . . . durch die
ußere Belastung (0). (Die Verformungen sind in Richtung der statisch unbestimmten Grßen positiv.) 2. Berechnung der Verformungsdifferenzen dik ði; k ¼ 1; 2; 3 . . .Þ am Grundsystem, wobei i die Richtung von X1 ; X2 ; X3 . . . und k ¼ 1; 2; 3 . . . die Belastung X1 ¼ 1, X2 ¼ 1, X3 ¼ 1 . . . kennzeichnet. 3. Am wirklichen System mssen die Verformungsdifferenzen null sein, d. h., bei z. B. drei Unbekannten gilt 9 X1 d11 þ X2 d12 þ X3 d13 þ d10 ¼ 0; = X1 d21 þ X2 d22 þ X3 d23 þ d20 ¼ 0; ð51Þ ; X1 d31 þ X2 d32 þ X3 d33 þ d30 ¼ 0: Bild 40 a–d. Zusammengesetzte Beanspruchung. a Biegung und Schub; b Biegung und Torsion; c L
ngskraft und Torsion; d Schub und Torsion

2.6.4 L
ngskraft und Torsion Diese z. B. bei Dehnschrauben und Spindeln vorkommende Beanspruchung durch s und t entspricht einem ebenen Spannungszustand (Bild 40 c). Die Extremalspannungen treten in der Randfaser auf, und dort wird die Vergleichsspannung sV nach einer der Hypothesen gem
ß C 1.3 berechnet. 2.6.5 Schub und Torsion Diese z. B. am kurzen Wellenzapfen auftretende Beanspruchung (Bild 40 d) liefert lediglich eine resultierende maximale Schubspannung mit tQ nach Gl. (24) und tt nach den Gln. (44) bzw. (47): im Punkt A im Punkt B im Punkt C

tres ¼ tt , tres ¼ tQ
tt , tres ¼ tQ þ tt :

Aus diesem linearen Gleichungssystem berechnet man die drei Unbekannten X1 ; X2 ; X3 (beim m-fach unbestimmten System die Unbekannten X1 ; . . . ; Xm ). 4. Nach berlagerung der
ußeren Lasten und der statisch Unbestimmten am Grundsystem berechnet man die endgltigen Auflagerreaktionen, Biegemomente usw. Zu bemerken ist noch, dass stets dik ¼ dki gilt, wenn i 6¼ k (Satz von Maxwell), wodurch die Anzahl der zu berechnenden dik erheblich reduziert wird. Die Verformungsgrßen werden nach einem der in C 2.4.8 und C 2.4.9 angegebenen Verfahren berechnet. In einfachen, anschaulichen F
llen verwendet man die Ergebnisse nach Tab. 4 a, bei komplizierten, unanschaulichen F
llen die Methoden nach C 2.4.9. Letztere haben den Vorteil, dass sie automatisch auch die richtigen Vorzeichen der dik -Glieder liefern. Beispiel: Berechnung der beiden statisch Unbestimmten am beidseitig eingespannten Tr
ger (Bild 43 a). – Als statisch bestimmtes Grundsystem wird der einseitig eingespannte Tr
ger gew
hlt (Bild 43 b). Die Ermittlung der Verformungsgrßen dik soll auf zwei Wegen, n
mlich anschaulich nach Tab. 4 a und allgemein mit dem Prinzip der virtuellen Arbeiten nach C 2.4.9 erfolgen. Nach Tab. 4 a

Die Umrechnung z. B. nach der GE-Hypothese auf sV ergibt sV ¼ 1;73  a0 tres : 2.6.6 Biegung mit L
ngskraft sowie Schub und Torsion In diesem Fall ergibt sich fr die Punkte A, B, C nach Bild 40 d sA ¼ sN þ sM , tA ¼ tt ; sB ¼ sN , tB ¼ tQ
tt ; sC ¼ sN , tC ¼ tQ þ tt : Dabei bilden sA , tA usw. jeweils einen ebenen Spannungszustand und sind nach C 1.3 zur Vergleichsspannung sV zusammenzufassen.

2.7 Statisch unbestimmte Systeme Man unterscheidet
ußerlich und innerlich statisch unbestimmte Systeme, wobei ein System auch gleichzeitig
ußerlich und innerlich unbestimmt sein kann. ußerlich statisch unbestimmt sind Systeme, die in der Ebene durch mehr als

Bild 41. Geschlossener Rahmen. a eben; b r
umlich

C

C 30

Festigkeitslehre – 3 Elastizittstheorie

C Bild 42. Kraftgrßenmethode

Bild 43 a–e. Beidseitig eingespannter Trger wird (Bild 43 c–e) d10 ¼ f10 ¼
ql4 =ð8 EIy Þ,

d20 ¼ a20 ¼
q l3 =ð6 EIy Þ,

d11 ¼ f11 ¼ l3 =ð3 EIy Þ,

d21 ¼ a21 ¼ l2 =ð2 EIy Þ ¼ d12 ,

d22 ¼ a22 ¼ l=ðEIy Þ: Mit dem Prinzip der virtuellen Kr
fte gem
ß den Gln. (39) und (40) sowie Tab. 5 folgen Z d10 ¼ M1 M0 dx=ðEIy Þ ¼ lik=ð4 EIy Þ ¼
ql4 =ð8 EIy Þ, d20 ¼ d11 ¼

Z Z

M2 M0 dx=ðEIy Þ ¼ lik=ð3 EIy Þ ¼
ql3 =ð6 EIy Þ,

d22 ¼

X1 ¼ ð
d10 d22 þ d20 d12 Þ=ðd11 d22
d212 Þ ¼ q l=2, X2 ¼ ð
d11 d20 þ d21 d10 Þ=ðd11 d22
d212 Þ ¼
q l2 =12: Anschließend werden am Grundsystem infolge
ußerer Last sowie infolge X1 und X2 die endgltigen Auflagerreaktionen zu FA ¼ ql
X1 ¼ ql=2 ¼ FB ; MEA ¼
ql2 =2 þ X1 l þ X2 ¼
ql2 =12 ¼ MEB und das maximale Feldmoment zu MF ¼ Mb ðl=2Þ ¼ ql2 =24 berechnet.

Die Ergebnisse f
r einfache statisch unbestimmte Trger sind in Tab. 4 b zusammengefasst.

M1 M1 dx=ðEIy Þ ¼ lik=ð3 EIy Þ ¼ l3 =ð3 EIy Þ,

d21 ¼ d12 ¼ Z

Beide Verfahren ergeben also die gleichen Verformungen. Aus den zwei linearen Gleichungen, entsprechend Gl. (51), folgen

Z

M1 M2 dx=ðEIy Þ ¼ lik=ð2 EIy Þ ¼ l2 =ð2 EIy Þ,

M2 M2 dx=ðEIy Þ ¼ lik=ðEIy Þ ¼ l=ðEIy Þ:

3 Elastizit
tstheorie 3.1 Allgemeines 9 ex ¼ ½sx
vðsy þ sz Þ=E; ey ¼ ½sy
vðsx þ sz Þ=E; > = ez ¼ ½sz
vðsx þ sy Þ=E; ð2Þ > ; gxy ¼ txy =G; gxz ¼ txz =G; gyz ¼ tyz =G:

Aufgabe der Elastizittstheorie ist es, den Spannungs- und Verformungszustand eines Krpers unter Beachtung der gegebenen Randbedingungen zu berechnen, d. h. die Grßen sx ; sy ; sz ; txy ; txz ; tyz ; ex ; ey ; ez ; gxy ; gxz ; gyz ; u; u; w zu ermitteln. F
r diese 15 Unbekannten stehen zunchst die Gleichungen C 1 Gl. (12) und C 1 Gl. (13) zur Verf
gung. Hinzu kommen drei Gleichgewichtsbedingungen (Bild 1) mit den Volumenkrften X , Y, Z. 9 ¶sx ¶tyx tzx > þ þ þ X ¼ 0; > > > ¶x ¶y ¶z > > = ¶txy ¶sy ¶tzy ð1Þ þ þ þ Y ¼ 0; > ¶x ¶y ¶z > > > > ¶txz ¶tyz ¶sz > þ þ þ Z ¼ 0; ; ¶x ¶u ¶z

Damit stehen 15 Gleichungen f
r 15 Unbekannte zur Verf
gung. Eliminiert man aus ihnen alle Spannungen, so erhlt man drei partielle Differentialgleichungen f
r die unbekannten Verschiebungen:
 9 1 ¶e > G Du þ þ X ¼ 0, > > > 1
2v ¶x > > >
 = 1 ¶e ð3Þ G Du þ þ Y ¼ 0, > 1
2v ¶y > >
 > > 1 ¶e > ; G Dw þ þZ ¼0 > 1
2v ¶z

sowie f
r isotrope Krper die sechs verallgemeinerten Hookeschen Gesetze

mit Du ¼ ¶2 u=¶x2 þ ¶2 u=¶y2 þ ¶2 u=¶z2 usw. und e ¼ ex þ ey þ ez ¼ ¶u=¶x þ ¶u=¶y þ ¶w=¶z.

I3.2

Rotationssymmetrischer Spannungszustand

C 31

Die Hookeschen Gesetze haben die Form er ¼ ¶u=¶r ¼ ½sr
vðst þ sz Þ=E, et ¼ u=r ¼ ½st
vðsr þ sz Þ=E, ez ¼ ¶w=¶z ¼ ½sz
vðsr þ st Þ=E, grz ¼ ¶u=¶z þ ¶w=¶r ¼ t=G ¼ 2ð1 þ vÞ t=E:

9 > > > = > > > ;

ð6Þ

Ihre Aufl
sung nach den Spannungen liefert
 u 9 ¶u v v > > sr ¼ 2G þ e , st ¼ 2G þ e ,> ¶r 1
2 v r 1
2v =

 ð7Þ > ¶w v ¶u ¶w > > þ e , t ¼G þ sz ¼ 2G , ; ¶z 1
2 v ¶z ¶r

Bild 1. Gleichgewicht am Element

wobei Die Navierschen Gln. (3) eignen sich zur L
sung von Problemen, bei denen als Randbedingungen Verschiebungen vorgegeben sind. Eliminiert man aus den zitierten 15 Gleichungen alle Verschiebungen und deren Ableitungen, so bleiben sechs Gleichungen fr die unbekannten Spannungen:
 1 ¶2 s ¶X v ¶X ¶Y ¶Z þ2 þ þ þ Dsx þ ¼ 0 ð4 aÞ 2 1 þ v ¶x ¶x 1
v ¶x ¶y ¶z (entsprechend fr die y- und z-Richtung) und Dtxy þ

1 ¶2 s ¶X ¶Y þ þ ¼0 1 þ v ¶x ¶y ¶y ¶x

ð4 bÞ

(entsprechend fr die y- und z-Richtung). Hierbei ist s ¼ sx þ sy þ sz . Die Beltramischen Gln. (4) eignen sich zur L
sung von Problemen, bei denen als Randbedingungen Spannungen vorgegeben sind. Bei gemischten Randbedingungen sind beide Gleichungssysteme zu benutzen. L
sungen der Differentialgleichungen (3) und (4) liegen im Wesentlichen fr rotationssymmetrische und ebene Probleme vor.

3.2 Rotationssymmetrischer Spannungszustand Setzt man Symmetrie zur z-Achse voraus, so treten lediglich die Spannungen sr ; st ; sz ; trz ¼ tzr ¼ t auf (Bild 2). Die Gleichgewichtsbedingungen in r- und z-Richtung lauten 9 ¶ ¶ > ðrsr Þ þ ðr tÞ
st þ rR ¼ 0, > = ¶r ¶z ð5Þ ¶ ¶ > > ; ðr tÞ þ ðrsz Þ þ rZ ¼ 0: ¶r ¶z

e ¼ er þ et þ ez ¼

¶u u ¶w þ þ : ¶r r ¶z

ð8Þ

Wird die Lovesche Verschiebungsfunktion F eingefhrt, so muss sie der Bipotentialgleichung
2 
2  ¶ ¶2 1 ¶ ¶ F ¶2 F 1 ¶F þ þ þ 2þ ¼ DDF ¼ 0 ð9Þ ¶z2 ¶r 2 r ¶r ¶z2 ¶r r ¶r gengen. L
sungen der Bipotentialgleichung sind z. B. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi F ¼ r2 ; ln r; r 2 ln r; z, z2 und r 2 þ z2 sowie Linearkombinationen hiervon [1], [3]. Die Verschiebungen und Spannungen folgen dann aus 9 1 ¶2 F > > > , u ¼
> > 1
2v ¶r ¶z > > > > 2 > > 2ð1
vÞ 1 ¶ F > > w ¼ , DF
> 2 > 1
2v 1
2v ¶z > > >
 > 2 > > 2 Gv ¶ 1¶ F > > , sr ¼ DF
= 1
2 v ¶z v ¶r 2 ð10Þ
 2 2ð2
vÞ G ¶ 1 ¶ F > > > > sz ¼ , DF
> 1
2 v ¶z 2
v ¶z2 > > >
 > > > 2 Gv ¶ 1 1 ¶F > > st ¼ DF
, > > > 1
2 v ¶z v r ¶r > >
 > > 2ð1
vÞ G ¶ 1 ¶2 F > > DF
:> t ¼ ; 2 1
2 v ¶r 1
v ¶z Beispiel: Einzelkraft auf Halbraum (Formeln von Boussinesq) Bild 3. – Die Randbedingungen lauten sz ðz ¼ 0; r 6¼ 0Þ ¼ 0; tðz ¼ 0; r 6¼ 0Þ ¼ 0: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Mit dem Ansatz F ¼ C1 R þ C2 z lnðz þ RÞ, wobei R ¼ r 2 þ z2 ist, folgt aus den Gln. (10) 
  2v z 3 z3 sz ¼
2G C1
þ C2 ðC1 þ C2 Þ 5 und 1
2v R3 1
2v R 
  2v r 3 r z2 t ¼
2G C1
þ C2 ðC1 þ C2 Þ 5 : R 1
2v R3 1
2v W
hrend die erste Randbedingung automatisch befriedigt ist, folgt 1
2v 3G z3 . C1 und damit sz ¼
C1 aus der zweiten C2 ¼ 2v vð1
2 vÞR5

Bild 2. Rotationssymmetrischer Spannungszustand

Bild 3. Einzelkraft auf Halbraum

C

C 32

Festigkeitslehre – 3 Elastizittstheorie

Aus F ¼


Z1

sz 2 p r dr ergibt sich dann C1 ¼ F vð1
2 vÞ=ð2 p GÞ

r¼0

C

und damit aus den Gln. (10) 9
 F rz r > > >
ð1
2 vÞ , u ¼ > > 4 p G R3 Rðz þ RÞ > > >
 > > F 1 z2 > > > w ¼ 2ð1
vÞ þ 3 , = 4pG R R
 3 2 > 3F z F 1 zr > , sr ¼ sz ¼
ð1
2vÞ
3 5 ,> > > 2 p R5 2p Rðz þ RÞ R > > >
 > > F z 1 3F r z2 > > > st ¼ : ð1
2 vÞ 3
, t¼
; 2p R Rðz þ RÞ 2 p R5

ð11Þ

Wegen sz =t ¼ z=r lassen sich sz und t zum Spannungsvektor pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sR ¼ s2z þ t2 ¼ 3Fz2 =ð2pR4 Þ zusammenfassen, der stets in Richtung R zeigt. F
r sr ergeben sich gemß sr ¼ 0 Nullstellen aus sin2 b cos bð1 þ cos bÞ ¼ ð1
2vÞ=3 im Fall v ¼ 0;3 zu b1 ¼ 15;4
und b2 ¼ 83
. Zwischen den durch 2b1 ¼ 30;8
und 2b2 ¼ 166
bestimmten Kreiskegeln wird sr negativ (Druckspannung), außerhalb ist sie positiv (Zugspannung). Aus st ¼ 0 folgt cos2 b þ cos b ¼ 1, d. h. b ¼ 52
, f
r b < 52
wird st positiv (Zugspannung), f
r b > 52
negativ (Druckspannung).

3.3 Ebener Spannungszustand

ð12Þ

Die Hookeschen Gesetze haben die Form ex ¼ ðsx
vsy Þ=E; ey ¼ ðsy
vsx Þ=E; gxy ¼ txy =G;

und f
r die Spannungen (mit X ¼ Y ¼ 0) sr ¼

  1 ¶F 1 ¶2 F ¶2 F ¶ 1 ¶F ; st ¼ 2 ; trt ¼
þ : r ¶r r 2 ¶j2 ¶r ¶r r ¶j

Die Randbedingungen lauten st ðr, j ¼ 0Þ ¼ 0, st ðr, j ¼ pÞ ¼ 0, trt ðr, j ¼ 0Þ ¼ 0, trt ðr, j ¼ pÞ ¼ 0:

DDF ¼ 0; sr ¼
Cð2=rÞ sin j; st ¼ 0; trt ¼ 0: Die Lsung erf
llt die Randbedingungen. Mit der Scheibendicke h folgt die Konstante C aus der Gleichgewichtsbedingung Zp X Fiy ¼ 0 ¼ sr sin j  hr dj þ F0 ¼ 0 zu C ¼ F0 =ðphÞ. Wegen 0

ð13Þ

und f
r die Formnderungen gilt ¶u ¶u ¶u ¶u ¼ ex ; ¼ ey ; þ ¼ gxy : ¶x ¶y ¶y ¶x

Beispiel: Halbebene unter Einzelkraft. – Zur Lsung werden Polarkoordinaten verwendet (Bild 4 a). Dann gilt f
r die Airysche Spannungsfunktion  2  2  ¶ 1 ¶ 1 ¶2 ¶ F 1 ¶F 1 ¶2 F DDF ¼ þ þ ¼0 þ þ ¶r 2 r ¶r r 2 ¶j2 ¶r 2 r ¶r r 2 ¶j2

Mit dem Ansatz Fðr; jÞ ¼ Crj cos j folgt

Er liegt vor, wenn sz ¼ 0; Z ¼ 0, txz ¼ tyz ¼ 0, d. h., wenn Spannungen nur in der x, y-Ebene auftreten. Die Gleichgewichtsbedingungen lauten f
r konstante Volumenkrfte ¶sx ¶tyx ¶sy ¶txy þ þ X0 ¼ 0; þ þ Y0 ¼ 0: ¶x ¶y ¶y ¶x

d. h., die Airysche Spannungsfunktion muss der Bipotentialgleichung gen
gen. Die Bipotentialgleichung hat unendlich viele Lsungen, z. B. F ¼ x, x2 ; x3 ; y, y2 ; y3 ; xy, x2 y; x3 y; xy2 ; xy3 ; cos lx  cosh y; x cos lx  cosh ly usw., ferner biharmonische Polynome [2] sowie die Real- und Imaginrteile von analytischen Funktionen f ðzÞ ¼ f ðx  iyÞ usw. [1]. Mit dem Ansatz geeigneter Linearkombinationen dieser Lsungen versucht man die gegebenen Randbedingungen zu befriedigen und damit das ebene Problem zu lsen.

ð14Þ

trt ¼ 0 sind die sr und st Hauptnormalspannungen, d. h., die zugehrigen Trajektorien sind Geraden durch den Nullpunkt bzw. die dazu senkrechten Kreise um den Nullpunkt (Bild 4 b). Die Hauptschubspannungstrajektorien liegen dazu unter 45 (s. C 1.1.1). Der Verlauf der Spannungen sr ergibt sich f
r r ¼ R ¼ const zu sr ¼
2F0 =ðp hRÞ  sin j bzw. f
r j ¼ p=2 zu sr ¼
½2F0 =ðp hÞ=r (Bild 4 c).

Dies sind acht Gleichungen f
r acht Unbekannte. Aus Gl. (14) folgt die Kompatibilittsbedingung ¶2 ex ¶2 ey ¶2 gxy ; þ 2 ¼ ¶y2 ¶x ¶x ¶y und durch Einsetzen von Gln. (13) in (15) ergibt sich   1 ¶2 s x ¶2 sy ¶2 sy ¶2 s x 1 ¶2 txy :
v 2 þ 2
v 2 ¼ ¶y ¶x ¶x E ¶y2 G ¶x ¶y

ð15Þ

ð16Þ

Werden nun die Gleichgewichtsbedingungen (12) durch Einf
hrung der Airyschen Spannungsfunktion F ¼ Fðx; yÞ derart befriedigt, dass sx ¼

¶2 F ¶2 F ¶2 F ; sy ¼ 2 ; txy ¼
X0 y
Y0 x ¶y2 ¶x ¶x ¶y

ð17Þ

ist, so folgt aus Gl. (16) f
r F(x, y) ¶4 F ¶4 F ¶4 F þ 2 2 2 þ 4 ¼ DDF ¼ 0; ¶x4 ¶x ¶y ¶y

ð18Þ

Bild 4 a–c. Halbebene unter Einzelkraft

I4.3

4 Beanspruchung bei Ber
hrung zweier Krper (Hertzsche Formeln) Ber
hren zwei Krper einander punkt- oder linienfrmig, so ergeben sich unter Einfluss von Druckkrften Verformungen und Spannungen nach der Theorie von Hertz [1, 2]. Ausgangspunkt f
r die Lsungen von Hertz sind die Boussinesqschen Formeln C 3 Gl. (11). Vorausgesetzt wird dabei homogenes, isotropes Material und G
ltigkeit des Hookeschen Gesetzes, ferner alleinige Wirkung von Normalspannungen in der Ber
hrungsflche. Außerdem muss die Deformation, d. h. das Maß w0 der Annherung (auch Abplattung genannt), beider Krper (Bild 1 a) im Verhltnis zu den Krperabmessungen klein sein. Bei unterschiedlichem Material der ber
hrenden Krper gilt E ¼ 2E1 E2 =ðE1 þ E2 Þ. F
r die Querkontraktionszahl wird einheitlich v ¼ 0;3 angesetzt.

4.1 Kugel Gegen Kugel (Bild 1 b). Mit 1=r ¼ 1=r1 þ 1=r2 gilt sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 3 1,5  FE2 max sz ¼ s0 ¼
, p r 2 ð1
v2 Þ2 sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 3 2,25  ð1
v2 Þ F 2 : w0 ¼ E2 r

Beliebig gewlbte Flche

C 33

4.2 Zylinder Gegen Zylinder (Bild 1 b). Die Projektion der Druckflche ist ein Rechteck von der Breite 2 a und der Zylinderlnge l. Die Druckspannungen verteilen sich
ber die Breite 2 a halbkreisfrmig. Mit 1=r ¼ 1=r1 þ 1=r2 gilt sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi FE 8 F rð1
v2 Þ : max sz ¼ s0 ¼
, a¼ 2 p r lð1
v2 Þ pEl Hierbei wird vorausgesetzt, dass sich q ¼ F=l als Linienlast gleichfrmig
ber die Lnge verteilt. Die Abplattung wurde von Hertz nicht berechnet, da die begrenzte Lnge des Zylinders die Problemlsung erschwert. Die Spannungen sx und sy an einem Element der Druckflche (x in Lngsrichtung, y in Querrichtung) sind in Zylindermitte sx ¼ 2 v sz ¼ 0;6  s0 ; sy ¼ sz ¼ s0 . Der Spannungsverlauf in z-Richtung [3] liefert die grßte Schubspannung in der Tiefe z ¼ 0;78  a zu max t ¼ 0;30  s0 . Am mittleren Volumenelement der Ber
hrungsflche ist in der Mitte des Zylinders max t ¼ 0;5ðs1
s3 Þ ¼ 0;5ðs0
0;6  s0 Þ ¼ 0;2  s0 und am Zylinderende max t ¼ 0;5  s0 . Dabei liegt max t in Flchenelementen schrg zur Oberflche, da voraussetzungsgemß in den Oberflchenelementen selbst und damit nach dem Satz von den zugeordneten Schubspannungen auch in Flchenelementen senkrecht dazu t ¼ 0 ist, d. h. die Oberflchenspannungen Hauptspannungen sind.

Die Druckspannung verteilt sich halbkugelfrmig
ber der Druckflche. Die Projektion der Druckflche ist ein Kreis pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi vom Radius a ¼ 3 1;5  ð1
v2 Þ Fr=E. Die Spannungen sr und st am mittleren Volumenelement der Druckflche sind in der Mitte sr ¼ st ¼ s0 ð1 þ 2vÞ=2 ¼ 0;8  s0 und am Rand sr ¼
st ¼ 0;133  s0 . Umschließt die grßere Kugel (als Hohlkugel) die kleinere, so ist r2 negativ einzusetzen.

Gegen Ebene. Mit r2 ! 1 gelten die entsprechenden Ergebnisse.

Gegen Ebene. Mit r2 ! 1, d. h. r ¼ r1 , gelten diese Ergebnisse ebenfalls. Der Spannungsverlauf in z-Richtung [3] liefert die grßte Schubspannung f
r z ¼ 0;47a zu max t ¼ 0;31  s0 und die zugehrigen Werte sz ¼ 0;8  s0 ; sr ¼ st ¼ 0;18  s0 . Wie Fppl [3] gezeigt hat, entwickeln sich Fließlinien von der Stelle der max t aus. Man begn
gt sich jedoch
blicherweise mit dem Nachweis von max sz ¼ s0 .

Gegen Ebene (Bild 1 c). Sind die Hauptkr
mmungsradien im Ber
hrungspunkt r und r 0 , so bildet sich als Projektion der Druckflche eine Ellipse mit den Halbachsen a und b in Richtung der Hauptkr
mmungsebenen aus. Die Druckspannungen verteilen sich nach einem Ellipsoid. Es gilt

4.3 Beliebig gewlbte Flche

max sz ¼ s0 ¼ 1,5  F=ðp a bÞ, qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 a ¼ 3 x3 ð1
v2 Þ F=½Eð1=r þ 1=r 0 Þ, ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p b ¼ 3 3 h3 ð1
v2 Þ F=½Eð1=r þ 1=r 0 Þ, w0

¼ 1,5  yð1
v2 Þ F=E a:

Die Werte x, h, y sind abhngig von dem Hilfswinkel J ¼ arccos½ð1=r 0
1=rÞ=ð1=r 0 þ 1=rÞ; s. Tab. 1. Gegen beliebig gewlbte Flche (Bild 1 d). Gegeben: Hauptkr
mmungsradien r1 und r10 ;r2 und r20 ferner Winkel j zwischen den Ebenen von r1 und r2 [4]. Zur
ckf
hrung auf den vorstehenden Fall unter Voraussetzung von r1 > r10 und r2 > r2 0 durch Einf
hrung von 1=r 0 þ 1=r ¼ 1=r 01 þ 1=r1 þ 1=r 02 þ 1=r2 ;

ð1Þ

1 1
r0 srffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi        ð2Þ 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1
þ 0
þ2 0

¼ cos 2j: 0 0 r 1 r1 r 2 r2 r 1 r1 r 2 r2 Projektion der Druckflche ist wiederum Ellipse mit den Halbachsen a und b. Achse a liegt zwischen den Ebenen von r1 und r2 . Winkel j0 aus Bild 1 a–d. Hertzsche Formeln

ð1=r 0 þ 1=rÞ sin 2j0 ¼ ð1=r 01
1=r1 Þ sin 2j:

C

C 34

Festigkeitslehre – 5 Flchentragwerke

Umschließt ein gr
ßerer K
rper (Hohlprofil) den kleineren, so sind entsprechende Radien negativ einzufhren. Wert nach Gl. (2) darf dabei nicht gr
ßer werden als Wert nach Gl. (1).

Tabelle 1. z, h und y in Abhngigkeit von J

C Tabelle 1. Faktoren c1 – c5 in Abhngigkeit von a=b:

5 Fl
chentragwerke 5.1 Platten Unter der Voraussetzung, dass die Plattendicke h klein zur Flchenabmessung und die Durchbiegung w ebenfalls klein ist, ergibt sich mit der Flchenbelastung p(x, y) und der Plattensteifigkeit N ¼ Eh3 =½12ð1
v2 Þ fr die Durchbiegungen w(x, y) die Bipotentialgleichung DDw ¼

¶4 w ¶4 w ¶4 w pðx, yÞ þ2 2 2 þ 4 ¼ : dx4 ¶x ¶y ¶y N

ð1Þ

Die Biegemomente Mx und My sowie das Torsionsmoment Mxy folgen aus Mx ¼
Nð¶2 w=¶x2 þ v ¶2 w=¶y2 Þ, My ¼
Nð¶2 w=¶y2 þ v ¶2 w=¶x2 Þ, Mxy ¼
ð1
vÞ N ¶2 w=ð¶x ¶yÞ:

Ringsum gelenkig gelagerter Rand [1–3]. Die maximalen Spannungen und Durchbiegungen treten in Plattenmitte auf: sx ¼ c1 p b2 =h2 , sy ¼ c2 p b2 =h2 , f ¼ c3 p b4 =Eh3 :

ð2Þ

Die Extremalspannungen an Plattenober- oder -unterseite ergeben sich aus sx ¼ Mx =W; sy ¼ My =W; t ¼ Mxy =W;

ð3Þ

2

wobei das Widerstandsmoment W ¼ h =6 ist. Bei rotationssymmetrisch belasteten Kreisplatten wird w ¼ wðrÞ, und Gl. (1) geht in die gew
hnliche Eulersche Differentialgleichung 2 1 1 pðrÞ w ðrÞ þ w 000 ðrÞ
2 w 00 ðrÞ þ 3 w 0 ðrÞ ¼ r r r N 0000

ber. Ferner gilt    v  1 Mr ¼
N w 00 þ w 0 , Mt ¼
N v w 00 þ w 0 , r r sr ¼ Mr =W, st ¼ Mt =W mit W ¼ h2 =6:

ð4Þ

ð5Þ ð6Þ

ð7Þ

In den Ecken ergeben sich abhebende Einzelkrfte F ¼ c4 p b2 , die zu verankern sind (Beiwerte ci s. Tab. 1). Ringsum eingespannter Rand. Neben den Spannungen und Durchbiegungen in Plattenmitte nach Gl. (7) treten maximale Biegespannungen in der Mitte des langen Rands auf (ci -Werte s. Tab 1): sy ¼ c5 p b2 =h2 , zugeh
rig sx ¼ 0,3 sy : Abhebende Auflagerkrfte in den Ecken in Form von Einzelkrften treten nicht auf. Ausfhrliche Darstellung aller Schnittlasten und Auflagerreaktionen in [4, 7]. Gleichm
ßig belastete, unendlich ausgedehnte Platte auf Einzelsttzen (Bild 2). Mit der Sttzkraft F ¼ 4a2 p sowie 2b  h ergibt sich fr Spannungen und Durchbiegungen sxA ¼ syA ¼ 0,861  p a2 =h2 , sxB ¼ syB ¼
0,62  F½lnða=bÞ
0,12=h2 , fA ¼ 0,092  p a4 =N, fC ¼ 0,069  p a4 =N:

Torsionsmomente treten wegen der Rotationssymmetrie nicht auf. Im Folgenden sind die wichtigsten Ergebnisse fr verschiedene Plattentypen zusammengestellt (Querdehnungszahl v ¼ 0;3). 5.1.1 Rechteckplatten Gleichm
ßig belastete Platte (Bild 1) Bild 2. Platte auf Einzelsttzen

5.1.2 Kreisplatten Gleichm
ßig belastete Platte Gelenkig gelagerter Rand (Bild 3 a). Die maximalen Spannungen und Durchbiegungen treten in Plattenmitte auf: sr ¼ st ¼ 1;24  p R2 =h2 , f ¼ 0;696  p R4 =ðE h3 Þ. Eingespannter Rand. In der Mitte Bild 1. Rechteckplatte

sr ¼ st ¼ 0,488  p R2 =h2 , f ¼ 0,171  p R4 =ðE h3 Þ;

I5.2

Scheiben

C 35

C Bild 4. Dreieckplatte Bild 3 a, b. Flchenlast (a) und Einzellast (b)

5.1.5 Temperaturspannungen in Platten am Rand sr ¼ 0,75
p R2 =h2 , st ¼ v sr ¼ 0,225
p R2 =h2 : Platte mit Einzellast (Bild 3 b) F
r eine Kraft F ¼ pb2 p in der Mitte, die gleichmßig auf einer Kreisflche vom Radius b verteilt ist, gilt bei gelenkig gelagertem Rand: Maximale Spannungen und Durchbiegung treten in der Mitte auf sr ¼ st ¼ 1;95ðb=RÞ2 ½0;77  0;135ðb=RÞ2  lnðb=RÞpR2 =h2 ; f ¼ 0;682ðb=RÞ2 ½2;54  ðb=RÞ2 ð1;52  lnðb=RÞÞpR4 =ðEh3 Þ; eingespanntem Rand: In der Mitte sr ¼ st ¼ 1;95ðb=RÞ2 ½0;25ðb=RÞ2  lnðb=RÞpR2 =h2 ; f ¼ 0;682ðb=RÞ2 ½1  ðb=RÞ2
ð0;75  lnðb=RÞÞpR4 =ðEh3 Þ;

Bei einer Temperaturdifferenz Dt zwischen Ober- und Unterseite ergeben sich bei Platten mit allseits freien Rndern keine Spannungen, bei allseits gelenkig gelagerten Platten nach der Plattentheorie [6]. Bei allseits eingespannten Platten wird sx ¼ sy ¼ at Dt E=½2ð1  vÞ ¼ sr ¼ st :

5.2 Scheiben Hierbei handelt es sich um ebene Flchentragwerke, die in ihrer Ebene belastet sind. Zur theoretischen Ermittlung der Spannungen mit der Airyschen Spannungsfunktion s. C 3.3. Im Folgenden werden f
r einige technisch wichtige Flle die Spannungen angegeben. Die Dicke der Scheiben sei h. 5.2.1 Kreisscheibe

am Rand sr ¼  0,75ðb=RÞ2 ½2  ðb=RÞ2  p R2 =h2 , st ¼ v sr : Weitere ausf
hrliche Ergebnisse f
r Kreis- und Kreisringplatten unter verschiedenen Belastungen in [5]. 5.1.3 Elliptische Platten Gleichm
ßig mit p belastet Halbachsen a > b (a in x-, b in y-Richtung). Gelenkig gelagerter Rand. Maximale Biegespannung in der Mitte sy  ð3,24  2 b=aÞ p b2 =h2 . Eingespannter Rand. Mit c1 ¼ 8=½3 þ 2ðb=aÞ2 þ 3ðb=aÞ4  gilt in der Mitte sx ¼ 3c1 p b2 ½ðb=aÞ2 þ 0,3=ð8 h2 Þ, sy ¼ 3c1 p b2 ½1 þ 0,3ðb=aÞ2 =ð8 h2 Þ, f ¼ 0,171
c1 p b4 =ðE h3 Þ; am Ende der kleinen Achse min s ¼ sy ¼  0;75
c1 p b2 =h2 ; sx ¼ v sy ; am Ende der großen Achse

Radiale gleichm
ßige Streckenlast q (Bild 5). sr ¼ st ¼ q=h; trt ¼ 0: Gleichm
ßige Erw
rmung Dt. Bei einer Scheibe mit verschieblichem Rand ergeben sich nur Radialverschiebungen uðrÞ ¼ at Dt r, aber keine Spannungen. Bei unverschieblichem Rand (u ¼ 0) gilt sr ¼ st ¼ E at Dt=ð1  vÞ; trt ¼ 0: 5.2.2 Ringfrmige Scheibe Radiale Streckenlast innen und außen (Bild 6 a).  2    qi r 2 ra qa r 2 r2 sr ¼  2 i 2  1  2 a 2 1  i2 , 2 r hðra  ri Þ r hðra  ri Þ    2  qi r 2 ra qa ra2 ri2 , 1 þ st ¼ þ 2 i 2 þ 1  2 2 2 2 r hðra  ri Þ r hðra  ri Þ trt ¼ 0: Gleichm
ßige Erw
rmung Dt Bei einer Scheibe mit verschieblichen Rndern ergeben sich nur Radialverschiebungen uðrÞ ¼ at Dt r, aber keine Spannungen. Bei unverschieblichem

sx ¼  0,75
c1 p b4 =ða2 h2 Þ, sy ¼ v sx :

5.1.4 Gleichseitige Dreieckplatte Gleichm
ßig mit p belastet Ringsum gelenkig gelagert (Bild 4). F
r den Plattenschwerpunkt S gilt mit der Plattensteifigkeit N ¼ Eh3 =½12ð1  v2 Þ sx ¼ sy ¼ 0,145
p a2 =h2 , f ¼ 0,00103
p a4 =N: Die Maximalspannung tritt bei x ¼ 0;129a und y ¼ 0 auf und ist sy ¼ 0;155
p a2 =h2 .

Bild 5. Kreisscheibe

C 36

Festigkeitslehre – 5 Fl
chentragwerke

C Bild 6 a, b. Kreisringscheibe

blasen, Luftballons, dnne Metallfolien usw.), d. h. biegeschlaffe Schalen, nur auf diese Weise Belastungen aufnehmen knnen (Bild 9 a, b). Dnnwandige Metallkonstruktionen gengen in der Regel in weiten Bereichen dem Membranspannungszustand. Bei gewissen Schalenformen, an Strstellen (z. B. bergang von der Wand zum Boden) und in allen dickwandigen Schalen treten zus
tzlich Biegemomente und Querkr
fte auf, d. h. Biegenormal- und Querkraftschubspannungen (wie bei Platten), die zu bercksichtigen sind. Dann handelt es sich um biegesteife Schalen und den Biegespannungszustand. Dieser, d. h. die Strung des Membranspannungszustands, klingt in der Regel sehr rasch mit der Entfernung von der Strstelle ab.


ußeren Rand ( u=0) gilt
 ra2 r2 1
i2 , r ð1
vÞ ra2 þ ð1 þ vÞ ri2
 ra2 r2 st ¼
E at Dt 1 þ i2 , trt ¼ 0: 2 2 r ð1
vÞ ra þ ð1 þ vÞ ri

sr ¼
E at Dt

Ringf
rmige Schublast (Bild 6 b). Sind ti und ta ¼ ti ri2 =ra2 die einwirkenden Schubspannungen, so gilt trt ¼ ti ri2 =r2 ; sr ¼ st ¼ 0: 5.2.3 Unendlich ausgedehnte Scheibe mit Bohrung (Bild 7)

5.3.1 Biegeschlaffe Rotationsschalen und Membrantheorie fr Innendruck Die Gleichgewichtsbedingungen am Element (Bild 9 a) in Richtung der Normalen und am Schalenabschnitt (Bild 9 b) in Vertikalrichtung liefern sj =R1 þ sJ =R2 ¼ p=h, sJ ¼ F=ð2 p R1 h sin2 JÞ: Hierbei ist sJ die Spannung in Meridianrichtung, sj die in Breitenkreisrichtung und h die Schalendicke. F ist die resultierende
ußere Kraft in Vertikalrichtung, d. h. F¼

ZJ

pðJÞ R2 ðJÞ  2 p R1 ðJÞ  sin J cos J dJ:

J¼0

Bei konstantem Innendruck ist F gleich der Kraft auf die Projektionsfl
che, d. h. F ¼ p p r2 ¼ p pðR1 sin JÞ2 . Kreiszylinderschale unter konstantem Innendruck. sj ¼ p r=h ¼ p d=ð2 hÞ; sJ ¼ sx ¼ 0: Bild 7. Scheibe mit Bohrung

Kugelschale unter konstantem Innendruck. sj ¼ sJ ¼ p r=ð2 hÞ ¼ p d=ð4 hÞ:

Infolge Innendrucks p ¼ q=h entstehen die Spannungen sr ¼
p ri2 =r 2 ; st ¼ þp ri2 =r 2 ; trt ¼ 0: 5.2.4 Keilf
rmige Scheibe unter Einzelkrften (Bild 8)

Zylinderschale mit Halbkugelb
den unter konstantem Innendruck (Bild 10). Im Zylinder sj ¼ p r=h ¼ p d=ð2 hÞ, sx ¼ p r=ð2 hÞ ¼ p d=ð4 hÞ, in der Kugelschale sj ¼ sJ ¼ p r=ð2 hÞ ¼ p d=ð4 hÞ:

Bild 8. Keilfrmige Scheibe

Fr die Spannungen gilt 2 F1 cos j 2 F2 sin j sr ¼
þ , r hð2 b þ sin 2 bÞ r hð2 b
sin 2 bÞ st ¼ 0, trt ¼ 0:

Bild 9 a, b. Membranspannungszustand

5.3 Schalen Hierbei handelt es sich um r
umlich gekrmmte Bauteile, welche die Belastungen im Wesentlichen durch Normalspannungen sx und sy sowie Schubspannungen txy (bzw. bei Rotationsschalen durch sj und sJ sowie tjJ ), die alle in der Schalenfl
che liegen, abtragen. Diese Lastabtragung wird Membranspannungszustand genannt, da Membranen (Seifen-

Bild 10. Geschlossene Zylinderschale

I5.3 5.3.2 Biegesteife Schalen Elliptischer Hohlzylinder unter Innendruck (Bild 11).
berlagert man den Membranspannungen die Biegespannungen, so ergibt sich fr die Punkte A und B sA ¼ p a=h þ c1 p a2 =h2 , sB ¼ p b=h þ c2 p a2 =h2

Schalen

C 37

Gewlbter Boden unter Innendruck (Bild 14). Fr die Spannungen in der kugeligen Wlbung gilt (wie bei der Kugelschale) sj ¼ sJ ¼ p rB =ð2hÞ. Fr die (maximalen) Meridianspannungen in der Krempe gilt sJ ¼ c1 p rZ =ð2 hÞ ¼ c1 p dZ =ð4 hÞ;

(s. Tab. 2).

s. Tab. 3.

Umschn
rter Hohlzylinder (Bild 12). Infolge Schneidenlast q entstehen Umfangsspannungen  x p qr qr sj ðxÞ ¼
pffiffiffi e
x=L sin þ , sj ðx ¼ 0Þ ¼
L 4 2Lh 2Lh sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi r 2 h2 4 mit L ¼ und Biegespannungen in x-Richtung 3ð1
v2 Þ  x p 3 q L
x=L ¼ pffiffiffi e cos þ , sx ðxÞ L 4 2 h2

Dickwandiger Kreiszylinder unter Innen- und Außendruck (Bild 15). Es liegt ein rumlicher Spannungszustand vor mit den Spannungen (im mittleren Zylinderbereich)

sx ðx ¼ 0Þ ¼ max sx ¼ 1,5 q L=h2 : Rohrbogen unter Innendruck (Bild 13). In Lngsrichtung des Bogens ergeben sich die Spannungen sx ¼ p r=ð2hÞ ¼ p d=ð4 hÞ, d. h. dieselben Spannungen wie beim abgeschlossenen geraden Rohr. In Umfangsrichtung gilt sj ¼

pd R=d þ 0;25 sin j  : 2h R=d þ 0;5 sin j

ri2 r2
pa 2 a 2 , ra2
ri2 ra
ri  2    r2 r r2 r2 sj ¼ pi 2 i 2 a2 þ 1
pa 2 a 2 1 þ i2 , r ra
ri r ra
ri  2    ri2 ra ra2 r2 sr ¼
pi 2
1
pa 2 1
i2 : 2 2 2 r ra
ri r ra
ri sx ¼ pi

Bei alleinigem Innen- oder Außendruck tritt die grßte Spannung an der Innenseite als sj ðr ¼ ri Þ auf. Die Biegeeinspannung des Zylinders in den Boden ist hierbei nicht bercksichtigt.

Fr Bogenober- und Bogenunterseite (j ¼ 0 bzw. 180) folgt sj ð0Þ ¼ pd=ð2hÞ, d. h. Spannung wie beim kreiszylindrischen Rohr. Fr Bogenaußen- bzw. Bogeninnenseite ist p d R=dþ0,25 sj ð90
Þ ¼ bzw:  2 h R=dþ0,50 p d R=d
0,25 sj ð
90
Þ ¼ ,  2 h R=d
0,50

Dickwandige Hohlkugel unter Innen- und Außendruck. Es liegt ein rumlicher Spannungszustand vor mit den Spannungen     r3 r3 r3 r3 sj ¼ sJ ¼ pi 3 i 3 1 þ a 3
pa 3 a 3 1 þ i 3 , 2r 2r ra
ri ra
ri  3    ri3 ra ra3 ri3 sr ¼
pi 3
1
pa 3 1
3 : r ra
ri3 r 3 ra
ri3

d. h., sj ð90
Þ ist kleiner, sj ð
90
Þ grßer als sj ð0Þ.

Die Maximalspannung ergibt sich aus sj ðr ¼ ri Þ.

Tabelle 3. Faktor c1 in Abhngigkeit von hB =rz .

Bild 11. Elliptischer Hohlzylinder

Bild 12. Umschnrter Hohlzylinder Bild 14. Gewlbter Boden

Bild 13. Rohrbogen Tabelle 2. Faktoren c1 und c2 in Abhngigkeit von a=b:

Bild 15. Dickwandiger Kreiszylinder

C

C 38

Festigkeitslehre – 6 Dynamische Beanspruchung umlaufender Bauteile durch Fliehkrfte

6 Dynamische Beanspruchung umlaufender Bauteile durch Fliehkr
fte

C

Spannungen und Verformungen mit der Winkelgeschwindigkeit w umlaufender Bauteile lassen sich nach den Regeln der Statik und Festigkeitslehre ermitteln, wenn man im Sinne des d
Alembertschen Prinzips die Fliehkrfte (Trgheitskrfte, negative Massenbeschleunigungen) w2 r dm ¼ w2 rr dA dr (r Dichte) als ußere Krfte an den Massenelementen ansetzt. Im Folgenden werden lediglich die Ergebnisse fr die Spannungen (bei Scheiben fr die Querdehnungszahl v ¼ 0;3) und fr Radialverschiebungen angegeben.

Bild 1. Umlaufender Stab

Bild 2. Umlaufender Ring

Bild 3. Umlaufende Vollscheibe

Bild 4. Umlaufende Ringscheibe

6.1 Umlaufender Stab (Bild 1) Mit dem Stabquerschnitt A und dem Elastizittsmodul E gelten sr ðrÞ

¼ r w2 ðl2
r 2 Þ=2 þ m1 w2 l1 =A,

max sr ¼ sr ðr ¼ 0Þ ¼ r w2 l2 =2 þ m1 w2 l1 =A, ¼ r w2 ð3 l2 r
r 3 Þ=ð6 EÞ þ m1 w2 l1 r=ðA EÞ,

uðrÞ

uðr ¼ lÞ ¼ r w2 l3 =ð3 EÞ þ m1 w2 l1 l=ðA EÞ:

Fr beliebige si und sa wird

6.2 Umlaufender dnnwandiger Ring oder Hohlzylinder (Bild 2)

sr ðrÞ ¼ A1 þ A2 =r 2
c1 r w2 r 2 , st ðrÞ ¼ A1
A2 =r 2
c2 r w2 r 2 ,

st ¼ r w2 R2 ; u ¼ r w2 R3 =E:

wobei A1 ¼ ðsa ra2
si ri2 Þ=ðra2
ri2 Þ þ c1 r w2 ðra2 þ ri2 Þ, A2 ¼
ðsa
si Þ ra2 ri2 =ðra2
ri2 Þ
c1 r w2 ra2 ri2 ;

6.3 Umlaufende Scheiben

Verschiebungen u(r) sowie c1 und c2 wie vorher. Bei Scheiben mit Kranz und Nabe sind si und sa statisch unbestimmte Grßen, die aus den Bedingungen gleicher Verschiebung an den Stellen r ¼ ri und r ¼ ra bestimmt werden knnen [1].

6.3.1 Vollscheibe konstanter Dicke (Bild 3) sr ðrÞ

¼ c1 r w2 R2 ð1
r 2 =R2 Þ,

max sr ¼ sr ðr ¼ 0Þ ¼ c1 r w2 R2 , st ðrÞ

¼ c1 r w2 R2 ð1
c3 r 2 =R2 Þ, 6.3.3 Scheiben gleicher Festigkeit (Bild 5)

max st ¼ st ðr ¼ 0Þ ¼ c1 r w2 R2 , ¼ r½st ðrÞ
vsr ðrÞ=E,

uðrÞ

uðr ¼ RÞ ¼ r w2 R3 ð1
vÞ=ð4EÞ; wobei c1 ¼

3þv 1 þ 3v und c3 ¼ . 8 3þv

6.3.2 Ringfrmige Scheibe konstanter Dicke (Bild 4 ) Fr si ¼ sa ¼ 0 ist sr ðrÞ

¼ c1 r w2 ra2 ð1 þ ri2 =ra2
ri2 =r2
r 2 =ra2 Þ,

Bild 5. Scheibe gleicher Festigkeit

sr ðr ¼ ri Þ¼ sr ðr ¼ ra Þ ¼ 0, st ðrÞ

¼ c1 r w2 ra2 ð1 þ ri2 =ra2 þ ri2 =r2
c3 r 2 =ra2 Þ,

max st

¼ st ðr ¼ ri Þ ¼ 2  c1 r w2 ra2 ð1 þ c4 ri2 =ra2 Þ:

Fr ri ! 0; d. h. bei sehr kleiner Bohrung, wird max st ¼ 0;825rw2 R2 doppelt so groß wie bei der Vollscheibe! uðrÞ ¼ r½st ðrÞ
vsr ðrÞ=E, ui

¼ uðr ¼ ri Þ ¼ r w2 ri ½2 c1 ra2 þ ðc1
c2 Þ ri2 =E,

ua

¼ uðr ¼ ra Þ ¼ r w2 ra ½2 c1 ri2 þ ðc1
c2 Þ ra2 =E,

wobei c1 ¼ ð3 þ vÞ=8, c2 ¼ ð1 þ 3vÞ=8, c3 ¼ c4 ¼

1
v . 3þv

1 þ 3v und 3þv

Aus den Differentialgleichungen der rotierenden Scheiben [1] folgt fr den Fall, dass sr ¼ st ¼ s berall gleich ist, die 2

Scheibendicke hðrÞ ¼ h0 e
rðwrÞ =ð2sÞ (de Lavalsche Scheibe gleicher Festigkeit, ohne Mittelbohrung). h0 ist die Scheibendicke bei r ¼ 0. Die Profilkurve hat einen Wendepunkt fr pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi r ¼ s=ðrw2 Þ. Die radiale Verschiebung ist uðrÞ ¼ ð1
vÞsr=E; uðr ¼ ra Þ ¼ ð1
vÞsra =E: Die Scheibendicke hðr ¼ ra Þ ¼ ha ergibt sich aus dem Einfluss der Schaufeln (Gesamtmasse mS ) und des Kranzes (Querschnitt AK ), an dem die Schaufeln befestigt sind, zu [1]     w2 1 mS rS ra ha ¼ þ rrK2 AK
AK v þ ð1
vÞ 2p s rK ra und damit wird h0 ¼ ha erðwra Þ

2

=ð2sÞ

.

I7.1

Knickung

C 39

nungszustand):

6.3.4 Scheiben ver
nderlicher Dicke F
r Scheiben mit hyperbolischen oder konischen Profilen findet man Lsungen in [1]. Dort sind auch Nherungsverfahren f
r beliebige Profile dargestellt. 6.3.5 Umlaufender dickwandiger Hohlzylinder Neben den Spannungen sr und st in Radial- und Tangentialrichtung treten zustzlich infolge der behinderten Querdehnung Spannungen sx in Lngsrichtung auf (rumlicher Span-


 3
2v r 2 r2 r 2 1 þ i2
i2
2 , ra r ra 8ð1
vÞ
 3
2v r 2 r2 ð1 þ 2 vÞ r 2 1 þ i2 þ i2
st ðrÞ ¼ r w2 ra2 , ra r ð3
2 vÞ ra2 8ð1
vÞ
 2 2 2v r r sx ðrÞ ¼ r w2 ra2 1 þ i2
2 2 : ra ra 8ð1
vÞ sr ðrÞ ¼ r w2 ra2

C

7 Stabilit
tsprobleme 7.1 Knickung Schlanke Stbe oder Stabsysteme gehen unter Druckbeanspruchung bei Erreichen der kritischen Spannung oder Last aus der nicht ausgebogenen (instabilen) Gleichgewichtslage in eine benachbarte gebogene (stabile) Lage
ber. Weicht der Stab in Richtung einer Symmetrieachse aus, so liegt (Biege-) knicken vor, andernfalls handelt es sich um Biegedrillknicken (s. C 7.1.6). Bild 2. Die vier Eulerschen Knickflle

7.1.1 Knicken im elastischen (Euler-)Bereich Betrachtet man die verformte Gleichgewichtslage des Stabs nach Bild 1, so lautet die Differentialgleichung f
r Knickung um die Querschnittshauptachse y (mit Iy als kleinerem Flchenmoment 2. Grades) im Fall kleiner Auslenkungen EIy w00 ðxÞ ¼
Mb ðxÞ ¼
FwðxÞ bzw: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi w00 ðxÞ þ a2 wðxÞ ¼ 0 mit a ¼ F=ðEIy Þ

ð1Þ

und der Lsung wðxÞ ¼ C1 sin ax þ C2 cos ax:

ð3Þ

Die kleinste (Eulersche) Knicklast ergibt sich f
r n ¼ 1 zu FK ¼ p2 EIy =l2 : F
r andere Lagerungsflle ergeben sich entsprechende Eigenwerte, die sich jedoch alle mit der reduzierten oder wirksamen Knicklnge lK (Bild 2) auf die Form aK ¼ np=lK zur
ckf
hren lassen. Dann gilt allgemein f
r die Eulersche Knicklast FK ¼ p2 EIy =l2K :

ð4Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffi Mit dem Trgheitsradius iy ¼ Iy =A und der Schlankheit l ¼ lK =iy folgt als Knickspannung sK ¼ FK =A ¼ p2 E=l2 :

Der bergang aus dem elastischen in den unelastischen (plastischen) Bereich findet statt bei der Grenzschlankheit pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi l0 ¼ p2 E=sP : ð6Þ Zum Beispiel wird f
r S 235 mit

ð2Þ

Aus den Randbedingungen wðx ¼ 0Þ ¼ 0 und wðx ¼ lÞ ¼ 0 folgen C2 ¼ 0 und sin al ¼ 0 (Eigenwertgleichung) mit den Eigenwerten aK ¼ np=‘; n ¼ 1; 2; 3; . . . : Somit ist nach den Gln. (1) und (2) FK ¼ a2K EIy ¼ n2 p2 EIy =l2 ; wðxÞ ¼ C1 sinðnpx=lÞ:

Diese Gleichungen gelten nur im linearen, elastischen Werkstoffbereich, also solange pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sK ¼ p2 E=l2 % sP bzw: l ^ p2 E=sP ist:

Re  240 N=mm2 ; sP  0;8Re  192 N=mm2 und E ¼ 2;1  105 N=mm2 die Grenzschlankheit l0  104. Weitere Grenzschlankheiten s. Tab. 1. Knicksicherheit SK ¼ FK =Fvorh bzw: SK ¼ sK =svorh :

ð7Þ

Im allgemeinen Maschinenbau ist im elastischen Bereich SK  5 . . . 10, im unelastischen Bereich SK  3 . . . 8. Ausbiegung beim Knicken. Die Lsung der linearisierten Differentialgleichung (1) liefert zwar die Form der Biegelinie, Gl. (3), aber nicht die Grße der Auslenkung (Biegepfeil). Setzt man in Gl. (1) an Stelle von w00 den wirklichen Ausdruck f
r die Kr
mmung ein, so erhlt man eine nichtlineare Differentialgleichung. Ihre Nherungslsung liefert als

ð5Þ

Die Funktion sK ðlÞ stellt die Euler-Hyperbel dar (Linie 1 auf Bild 3).

Bild 1. Knickung eines Stabs

Bild 3. Knickspannungsdiagramm f
r S 235. 1 Euler-Hyperbel, 2 Tetmajer-Gerade, 3 Engesser-v. Ka´rma´n-Kurve, 4 v. Ka´rma´n-Geraden, 5 Traglast-Kurve nach Jger

C 40

Festigkeitslehre – 7 Stabilittsprobleme

also l ¼ lK =iy ¼ 91 < l0 , d. h. Knickung im unelastischen Bereich. Nach Tetmajer, Gl. (9), wird f
r diese Schlankheit gemß Tab. 1

Tabelle 1. Werte a und b nach Tetmajer

sK ¼ ð310
1;14  91Þ N=mm2 ¼ 206 N=mm2 und mit svorh ¼ F=A ¼ 300  103 N=ðp  882 =4Þ mm2 ¼ 49;3 N=mm2

C

die Knicksicherheit SK ¼ sK =svorh ¼ 206=49;3 ¼ 4;2 < 5: F
r d ¼ 95 mm wird l ¼ lK =iy ¼ 84 und sK ¼ a
bl ¼ 214 N=mm2 , und mit svorh ¼ F=ðpd 2 =4Þ ¼ 42;3 N=mm2 ist dann SK ¼ sK =svorh ¼ 5;06  5:

Biegepfeil den Wert [1] qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi f ¼ 8ðFl2
p2 EIy Þ=ðp2 FÞ;

7.1.3 N
herungsverfahren zur Knicklastberechnung

d. h. f ðF ¼ FK Þ ¼ 0 und f ðF ¼ 1;01  FK Þ  0;09l; 1%
berschreitung der Knicklast liefert also bereits 9% der Stablnge als Auslenkung! 7.1.2 Knicken im unelastischen (Tetmajer-)Bereich

W ðaÞ ¼ FK u ¼ W ¼

Der Einfluss der Form (Krmmung) der Spannungs-Dehnungs-Linie in diesem Bereich wird nach der Theorie von Engesser und v. Ka´rma´n mit der Einfhrung des Knickmoduls TK < E bercksichtigt: pffiffiffiffi pffiffiffiffi sK ¼ p2 TK =l2 ; TK ¼ 4TE=ð T þ EÞ2 ð8Þ T ¼ TðsÞ ¼ ds=de ist der Tangentenmodul und entspricht dem Anstieg der Spannungs-Dehnungs-Linie. TK gilt fr Rechteckquerschnitt, kann aber mit geringem Fehler auch fr andere Querschnitte verwendet werden. Vorzugehen ist in der Weise, dass T fr verschiedene s aus der Spannungs-Dehnungs-Linie bestimmt und damit TK ðsÞ und lðsK Þ ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p2 TK =sK gemß Gl. (8) berechnet werden. Die Umkehrfunktion sK ðlÞ ist dann die Knickspannungslinie 3 nach Engesser-v. Ka´rma´n auf Bild 3. Th. v. Ka´rma´n ersetzte die Linie durch zwei tangierende Geraden, von denen die Horizontale durch die Streckgrenze geht (Linie 4 auf Bild 3). Shanley [2] hat gezeigt, dass bereits erste Auslenkungen fr den Wert sK ¼ p2 T=l2 (1. Engesser-Formel) bei weiterer Laststeigerung mglich sind. Dieser Wert stellt somit die unterste, der Wert nach Gl. (8) die oberste Grenze der Knickspannungen im unelastischen Bereich dar. Praktische Berechnung nach Tetmajer: Aufgrund von Versuchen erfasste Tetmajer die Knickspannungen durch eine Gerade, die auch heute noch im Maschinenbau Verwendung findet (Linie 2 auf Bild 3): sK ¼ a
bl:

Energiemethode: Da im Fall des Ausknickens der Stab eine stabile benachbarte Gleichgewichtslage annimmt, muss die ußere Arbeit gleich der Formnderungsarbeit sein (Bild 4 a). Mit C 2 Gl. (37) und C 2 Gl. (32) folgen

ð9Þ

Die Werte a, b fr verschiedene Werkstoffe sind Tab. 1 zu entnehmen. Beispiel: Dimensionierung einer Schubstange. Man bestimme den erforderlichen Durchmesser einer Schubstange aus St 37 der Lnge l ¼ 2 000 mm a) fr die Druckkraft F ¼ 96 kN bei einer Knicksicherheit SK ¼ 8; b) fr F ¼ 300 kN bei SK ¼ 5. – Ist die Schubstange beidseitig gelenkig angeschlossen, so liegt der 2. Euler-Fall vor, d. h. lK ¼ l ¼ 2 000 mm. Bei Annahme elastischer Knickung folgt aus den Gln. (4) und (7) im Fall a)

1 2

Zl

Mb2

dx 1 ¼ EIy 2

0

u¼

Zl

Zl

EIy w 002 dx und

0

Z l pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Zl 1 ðds
dxÞ ¼ ð 1 þ w 02
1Þdx  w 02 dx: 2

0

0

ð10Þ

0

Somit wird der Rayleighsche Quotient Zl 2W FK ¼ ¼ 2u

EIy ðxÞ w 002 ðxÞ dx

0

Zl

:

ð11Þ

w 02 ðxÞ dx

0

Mit der exakten Biegelinie w(x) folgt aus dieser Gleichung die exakte Knickkraft fr den elastischen Bereich. Bei Stben mit vernderlichem Querschnitt ergibt der Vergleich mit der Knickkraft FK ¼ p2 EIy0 =l2K des entsprechenden Eulerfalls eines Stabs mit konstantem Querschnitt das Ersatzflchenmoment Iy0 ¼ FK l2K =ðp2 EÞ: Dieses gilt dann nherungsweise auch fr den Knicknachweis im unelastischen Bereich. In Wirklichkeit ist die exakte Biegelinie (Eigenfunktion) des Knickvorgangs unbekannt. In Gl. (11) wird daher nach Ritz eine die Randbedingungen befriedigende Vergleichsfunktion w(x) eingesetzt. Fr FK ergibt sich ein Nherungswert, der stets grßer ist als die exakte Knicklast, da fr die exakte Eigenfunktion die Formnderungsarbeit zum Minimum, fr die Vergleichsfunktion also stets etwas zu groß wird. Als Vergleichsfunktionen kommen u. a. die Biegelinien des zugehrigen Trgers bei beliebiger Belastung in Betracht. Weitere und verbesserte Nherungsverfahren s. [1–5]. Beispiel: Vergleichsberechnung der Knicklast fr einen Stab konstanten Querschnitts und Lagerung nach Eulerfall 2 mit der Energieme-

erf Iy ¼ FSK l2K =ðp2 EÞ ¼ 96  103 N  8  2 0002 mm2 =ðp2  2,1  105 N=mm2 Þ ¼ 148,2  104 mm4 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi und mit Iy ¼ pd 4 =64 dann erf d ¼ 4 64  148;2  104 mm4 =p ¼ 74 mm. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Mit iy ¼ Iy =A ¼ d=4 ¼ 18;5 mm wird die Schlankheit l ¼ lK =iy ¼ 2 000 mm=18;5 mm ¼ 108 > 104 ¼ l0 ; so dass die Annahme von elastischer Knickung berechtigt war. Im Fall b) wird unter dieser Annahme erf Iy ¼ FSK l2K =ðp2 EÞ ¼ 289;5  104 mm4 und erf d ¼ 88 mm;

Bild 4 a–c. Knickung. a Energiemethode; b Kreisringtrger; c Rahmen

I7.2

Kippen

C 41

thode. – Als Vergleichsfunktion wird die Biegelinie unter Einzellast gem
ß C 2, Tab. 4 a, Fall 1, gew
hlt: wðxÞ ¼ c1 ð3l2 x
4x3 Þ fr 0  x  l=2. Mit w0 ðxÞ ¼ c1 ð3l2
12x2 Þ und w00 ðxÞ ¼
24c1 x folgt nach Integration gem
ß Gl. (11) 2W ¼ c21  48EIy l3 , 2v ¼ c21 l5  4;8 und daraus FK ¼ 10;0EIy =l2 : Dieser Wert ist um 1,3% grßer als das exakte Ergebnis p2 EIy =l2 :

7.1.4 St
be bei nderung des Querschnitts bzw. der L
ngskraft

C Bild 5. Biegedrillknicken

Ihre Berechnung kann nach C 7.1.3 vorgenommen werden. In DIN 4114 Blatt 2 sind in Tafel 4 die Ersatzfl
chenmomente Im fr I-Querschnitte, in Tafel 5 die Ersatzknickl
ngen fr linear und parabolisch ver
nderliche L
ngskraft angegeben. Weitere F
lle s. [4]. 7.1.5 Knicken von Ringen, Rahmen und Stabsystemen Geschlossener Kreisringtr
ger unter Außenbelastung q ¼ const (Bild 4 b). Fr Knicken in der Belastungsebene gilt [4], wenn die Last stets senkrecht zur Stabachse steht, qK ¼ 3EIy =R3 , und, wenn die Last ihre ursprngliche Richtung beibeh
lt, qK ¼ 4EIy =R3 . Ausknicken senkrecht zur Tr
gerebene erfolgt fr qK ¼ 9EIz GIt =½R3 ð4GIt þ EIz Þ: Geschlossener Rahmen (Bild 4 c). Fr das Ausknicken in der Rahmenebene ergibt sich die kritische Last FK ¼ a2 EI1 aus der Eigenwertgleichung [4] fr a: al1 l1 ða2 l22 I12
36I22 Þ
¼ 0: tanðal1 Þ 12l2 I1 I2

stand der Flanschmitten). Fr Vollquerschnitte ist CM  0. Nur fr kleine Knickl
ngen l kann FKt maßgebend werden. Fr I-Normalprofile ist stets Iz , d. h. Knicken in y-Richtung, und nicht Drillknicken maßgebend. Einfach symmetrische Querschnitte (Bild 5). Ist z die Symmetrieachse, so treten hier die zweite und dritte der Gln. (12) in gekoppelter Form auf [2, 5], d. h., Biegedrillknicken ist mglich. Fr Knicken um die y-Achse (in z-Richtung) gilt die normale Eulersche Knicklast FKy ¼ p2 EIy =l2 . Die beiden anderen kritischen Lasten folgen fr Gabellagerung an den Enden aus 2 3 sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

2ffi 1 1 1 1 1 1 2 4 zM 5 ¼ 4 þ 
þ ; FK 2 FKz FKt FKz FKt FKz FKt iM FKt nach Gl. (13), FKz ¼ p2 EIz =l2 ; iM polarer Tr
gheitsradius bezglich Schubmittelpunkt, zM Abstand des Schubmittelpunkts vom Schwerpunkt.

Weitere Ergebnisse, auch fr Stabsysteme, s. [2 , 4].

7.2 Kippen 7.1.6 Biegedrillknicken Neben dem reinen Biegeknicken kann beim Stab unter Belastung von L
ngskraft (und Torsionsmoment) eine r
umlich gekrmmte und tordierte Gleichgewichtslage, das Biegedrillknicken, eintreten. Auch alleiniges Drillknicken (ohne Ausbiegungen) infolge L
ngskraft ist mglich. St
be mit Kreisquerschnitt (Wellen) Dem Problem zugeordnete Differentialgleichungen s. [3]. Biegedrillknicken infolge Torsionsmoments tritt ein fr MtK1 ¼ 2pEIy =l: Es ist nur von Bedeutung fr sehr schlanke Wellen und Dr
hte. Wirken L
ngskraft F und Torsionsmoment Mt gemeinsam, so gilt fr den beidseitig gelenkig gelagerten Stab sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
 p2 EIy M2 Fl2 FK ¼ 2 1
2t ; MtK ¼ MtK1 1
2 : l p EIy MtK1 St
be mit beliebigem Querschnitt unter L
ngskraft

Schmale hohe Tr
ger nehmen bei Erreichen der kritischen Last eine durch Biegung und Verdrehung gekennzeichnete benachbarte Gleichgewichtslage ein (Bild 6 a). Die zugehrige Differentialgleichung lautet fr doppeltsymmetrische Querschnitte ECM j0000
GIt j00
ðMy2 =EIz
My00 zF Þj ¼ 0;

ð14Þ

j Torsionswinkel, zF Hhenlage des Kraftangriffspunkts ber dem Schubmittelpunkt (hier Schwerpunkt), CM Wlbwiderstand. Die nichtlineare Differentialgleichung ist i. Allg. nicht geschlossen lsbar. N
herungslsungen s. [1, 4, 5] . Fr Vollquerschnitte ist CM  0: 7.2.1 Tr
ger mit Rechteckquerschnitt a) Gabellagerung und Angriff zweier gleich großer Momente MK an den Enden (Bild 6 b). Hier geht Gl. (14) ber in MK2 jðxÞ ¼ 0: Mit der die Randbedingungen befriej00 ðxÞ þ EIz GIt

Doppelt symmetrische Querschnitte. Schubmittelpunkt und Schwerpunkt fallen zusammen, und es gelten die drei Differentialgleichungen  EIy w0000 þFw00 ¼ 0; EIz u0000 þ Fu00 ¼ 0; ð12Þ ECM j0000 þðFi2p
GIt Þj00 ¼ 0: Die ersten beiden liefern die bekannten Eulerschen Knicklasten; die dritte besagt, dass reines Drillknicken (ohne Durchbiegungen) mglich ist und liefert fr beidseitig gelenkige Lagerung aus jðxÞ ¼ C sinðpx=lÞ; d. h. bei j ¼ 0 an den Enden, die Knicklast FKt ¼ ðGIt þ p2 ECM =l2 Þ=i2p :

ð13Þ

CM ist der Wlbwiderstand infolge behinderter Verwlbung [2], z. B. fr einen IPB-Querschnitt ist CM ¼ Iz h2 =4 (h Ab-

Bild 6 a, b. Kippung eines Tr
gers. a Eingespannt; b mit Gabellagerung

C 42

C

Festigkeitslehre – 7 Stabilittsprobleme

digenden L
sung jðxÞ ¼ C sinðpx=lÞ folgt fr das kritische Kippmoment pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi MK ¼ ðp=lÞ EIz GIt ¼ ðp=lÞK:

folgt durch Einsetzen in die Differentialgleichung (15)  2 2  2 m n2 m2 p2 N b n2 a m þ : p2 N 2 þ 2 ¼ hsx 2 bzw: sx ¼ 2 a b a b h a mb

Bei Bercksichtigung der Verformungen des Grundzustands pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi [4] ergibt sich genauer K ¼ EIz GIt ðIy
Iz Þ=Iy :

Hieraus folgen die (minimalen) kritischen Beulspannungen:   p2 N b a 2 F
r a < b; m ¼ n ¼ 1 : sxK ¼ 2 : þ b h a b

b) Gabellagerung und Einzelkraft FK in Tr
germitte (Lastangriffspunkt in H
he zF ) rffiffiffiffiffiffiffi  16;93 3;48 EIz FK ¼ 2 K 1
zF  : GIt l l

F
r a ¼ b; m ¼ n ¼ 1 : sxK ¼

4p2 N : b2 h

c) Kragtr
ger mit Einzelkraft FK am Ende (Lastangriffspunkt in H
he zF ) gemß Bild 6 a rffiffiffiffiffiffiffi  4;013 zF EIz FK ¼ 2 K 1
: l GIt l

Fr a > b: Bei ganzzahligem Seitenverhltnis a/b teilt sich die Platte durch Knotenlinien in einzelne Quadrate, und es gilt wiederum sxK ¼ 4p2 N=ðb2 hÞ: Dieser Wert wird auch fr nicht ganzzahlige Seitenverhltnisse verwendet, da die wahren Werte nur geringfgig darber liegen.

7.2.2 Tr
ger mit I-Querschnitt

b) Allseits gelenkig gelagerte Platte unter L
ngsspannungen sx und sy . Mit dem Ansatz wie unter a) folgt

Zu bercksichtigen ist der W
lbwiderstand CM  Iz h2 =4: Mit   EIz h 2 der Abkrzung c ¼ gilt fr die in C 7.2.1 angefhrGIt 2l ten Flle analog (h Abstand der Flanschmitten) pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a) MK ¼ ðp=lÞKb1 ; b1 ¼ 1 þ p2 c: b) Bei Lastangriff in Schwerpunkth
he ðzF ¼ 0Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi FK ¼ ð16;93=l2 ÞKb1 ; b1 ¼ 1 þ 10;2c; bei Lastangriff am oberen oder unteren Flansch qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi FK ¼ ð16;93=l2 ÞKb1 ð 1 þ 3;24c=b21  1;80 c=b21 Þ: c) Bei Lastangriff in Schwerpunkth
he ðzF ¼ 0Þ  pffiffiffi 1 þ 1;61 c 2 FK ¼ ð4;013=l2 ÞKb1 ; b1 ¼ pffiffiffi : 1 þ 0;32 c

7.3 Beulung Platten und Schalen gehen bei Erreichen der kritischen Belastung in eine benachbarte (ausgebeulte) stabile Gleichgewichtslage ber. 7.3.1 Beulen von Platten Rechteckplatten (Bild 7 a–c). Mit der Plattendicke h und der Plattensteifigkeit N ¼ Eh3 =½12ð1
v2 Þ lautet unter Voraussetzung der Gltigkeit des Hookeschen Gesetzes die Differentialgleichung des Problems   ¶2 w ¶2 w ¶2 w NDDw þ h sx 2 þ sy 2 þ t ¼ 0: ð15Þ ¶x ¶y ¶x ¶y

sx ¼

p2 N ðm2 b2 =a2 þ n2 Þ2 : b2 h m2 b2 =a2 þ n2 sy =sx

Die (ganzzahligen) Werte m und n sind bei gegebenem Seitenverhltnis b/a und Spannungsverhltnis sy =sx so zu whlen, dass sx zum Minimum sxK wird. Fr den Sonderfall allseitig gleichen Drucks sx ¼ sy ¼ s folgt   p2 N b2 s¼ 2 m2 2 þ n2 a b h mit dem Minimum fr m ¼ n ¼ 1   p2 N b2 sK ¼ 2 þ1 : b h a2 c) Allseitig gelenkig gelagerte Platte unter Schubspannungen. Eine exakte L
sung liegt nicht vor. Mit einem 5gliedrigen Ritz-Ansatz erhlt man ber die Energiemethode, d. h. aus P ¼ W
W ðaÞ ¼ Min; die Nherungsformeln (s. [4, 6]):   p2 N b2 Fr a  b: tK ¼ 2 4;00 þ 5;34 2 ; a b h   p2 N b2 Fr a  b: tK ¼ 2 5;34 þ 4;00 2 : a b h d) Unendlich langer, gelenkig gelagerter Plattenstreifen un8bp2 N 8pN ¼ ter Einzellasten (Bild 8). FK ¼ . p b2 b Weitere Ergebnisse fr Rechteckplatten s. [4].

a) Allseits gelenkig gelagerte Platte unter L
ngsspannungen sx . Mit dem die Randbedingungen befriedigenden Produktansatz wðx; yÞ ¼ cmn sinðmpx=aÞ sinðnpy=bÞ

Bild 7 a–c. Beulung einer Rechteckplatte

Bild 8. Beulen des Plattenstreifens

I7.3

Beulung

C 43

Kreisplatten (Bild 9 a–c)

7.3.2 Beulen von Schalen

a) Kreisplatte mit konstantem Radialdruck s. Dieses Problem l
sst sich relativ einfach exakt lsen [1]. Fr den Scheibenspannungszustand gilt nach C 5.2.1 sr ¼ st ¼ s und trt ¼ 0: Damit nimmt die Differentialgleichung (15) die Form

Kugelschale unter konstantem Außendruck p. Die komplizierten Differentialgleichungen findet man u. a. in [7] und [8]. Der kleinste kritische Beuldruck (nach dieser Theorie als Verzweigungsproblem) ergibt sich zu

NDDw þ hsDw ¼ 0 bzw: DðD þ a2 Þw ¼ 0; a2 ¼ hs=N an. Sie wird erfllt, wenn ðD þ a2 Þw ¼ 0 und Dw ¼ 0 bzw. wegen D ¼ d2 =dr2 þ ð1=rÞd=dr, wenn d2 w 1 dw d2 w 1 dw þ þ þ a2 w ¼ 0 und ¼ 0: dr 2 r dr dr 2 r dr Die Lsung dieser Gleichungen lautet wðrÞ ¼ C1 J0 ðarÞ þ C2 N0 ðarÞ þ C3 þ C4 ln r (J0 und N0 sind die Besselsche und die Neumannsche Funktion nullter Ordnung). Die Erfllung der Randbedingungen wðRÞ ¼ 0 und Mr ðRÞ ¼ 0 (fr die gelenkig gelagerte Platte) bzw. wðRÞ ¼ 0 und w0 ðRÞ ¼ 0 (fr die eingespannte Platte) sowie der Zusatzbedingungen w0 ð0Þ ¼ 0 und endliches wð0Þ fhren auf die Eigenwertgleichungen aRJ0 ðaRÞ
ð1
vÞJ1 ðaRÞ ¼ 0 ðgelenkig gelagerte PlatteÞ und J1 ðaRÞ ¼ 0 ðeingespannte PlatteÞ: Hieraus ergeben sich die Beulspannungen sK ¼ 4;20N=ðR2 hÞ ðgelenkig gelagerte Platte; v ¼ 0;3Þ und sK ¼ 14;67N=ðR2 hÞ ðeingespannte PlatteÞ: b) Kreisringplatte mit konstantem Radialdruck. Die mathematische Lsung ist komplizierter als unter a) (s. [3]). Es ergeben sich bei freiem Innenrand sK ¼ c1 N=ðra2 hÞ sK ¼ c2 N=ðra2 hÞ

ðgelenkig gelagerte PlatteÞ und ðeingespannte PlatteÞ

(Tab. 2). c) Kreisringplatte mit Schubbeanspruchungen. Sind ta und ti ¼ ta ra2 =ri2 die einwirkenden Schubspannungen, so gilt fr eingespannte R
nder taK ¼ c3 N=ðra2 hÞ: Fr v ¼ 0;3 und ri =ra ¼ 0,1; 0,2; 0,3; 0,4 ist c3  17,8; 37,0; 61,0; 109,0. Weitere Ergebnisse fr Kreis- und Kreisringplatten s. [4]. Tabelle 2. Beiwerte c1 und c2 fr v ¼ 0;3

Bild 9 a–c. Beulung von Kreis- und Kreisringplatte

pK ¼

R2

2Eh2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi : 3ð1
v2 Þ

Schalen knnen jedoch auch durchschlagen, d. h. bei endlich großen Form
nderungen benachbarte stabile Gleichgewichtslagen annehmen. Nach [9] gilt dann pK ¼ 0;365Eh2 =R2 ; d. h. diese Beullast ist nur rund ein Drittel der des Verzweigungsproblems! Kreiszylinderschalen (Bild 10 a–c) a) Unter konstantem radialen Außendruck p. Fr die unendlich lange Schale ergibt sich pK ¼ 0;25Eh3 =½R3 ð1
v2 Þ: Ergebnisse fr kurze Schalen s. [4]. b) Unter axialer L
ngsspannung s. Herleitung der exakten Differentialgleichungen s. [8] und [9]. N
herungsweise gilt fr die kleinste kritische L
ngsspannung [9] pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sK ¼ Eh=½R 3ð1
v2 Þ; wenn sich eine gengende Anzahl von Biegewellen in L
ngspffiffiffiffiffiffi richtung einstellen kann. Dies ist der Fall, wenn l ^ 1;73 hR (fr Stoffe mit v ¼ 0;3). Bei geringeren L
ngen ist die Schale als am Umfang gelagerter Schalenstreifen auffassbar (Lsung s. unten). Außerdem ist bei Zylinderschalen auch das Durchschlagproblem zu beachten, das zu kleineren Beulspannungen fhrt. Nach [9] gilt hierfr die N
herungsformel sK ¼

0;605 þ 0;000369R=h Eh  : 1 þ 0;00622R=h R

Ausknicken der Schale als Ganzes, d. h. wie ein Stab großer L
nge, tritt ein fr sK ¼ p2 ER2 =ð2l2 Þ: c) Unter Torsionsschubspannungen t. Nach [9] gilt fr die  3=2 Eh2 l Beulspannung tK ¼ 0;747 2 pffiffiffiffiffiffi : Dieser Wert ist zur l Rh Bercksichtigung von Vorbeulen mit dem Faktor 0,7 zu multiplizieren. Zylindrische Schalenstreifen (Bild 11 a, b) a) Unter L
ngsspannung s bei gelenkig gelagerten L
ngsr
ndern. pffiffiffiffiffiffi F
r b= Rh % 3;456: sK ¼

p2 Eh2 Eb2 þ ; 3ð1
v2 Þb2 4p2 R2 pffiffiffiffiffiffi 2E h f
r b= Rh ^ 3;456: sK ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi : 12ð1
v2 Þ R

Bild 10 a–c. Beulung der Kreiszylinderschale

C

C 44

Festigkeitslehre – 8 Finite Berechnungsverfahren

7.3.3 Beulspannungen im unelastischen (plastischen) Bereich

C Bild 11 a, b. Beulung des Schalenstreifens

Die unter C 7.3.1 und C 7.3.2 angegebenen Formeln liefern Beulspannungen unter der Voraussetzung elastischen Materialverhaltens. Sie k
nnen nherungsweise auch fr den unelastischen Bereich zugrunde gelegt werden, wenn man sie im selben Verhltnis mindert, wie es sich fr Knickspannungen von Stben aus der Eulerkurve und der Engesser-v. Ka´rma´nkurve (nherungsweise Tetmajer-Gerade) ergibt. Fr S 235 s. hierzu DIN 4114 Blatt 1, Tafel 7.

b) Unter Schubspannung t bei gelenkig gelagerten L
ngsr
ndern. Die kritischen Schubspannungen ergeben sich aus
2 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi h 4 b4 E 1 þ 0;0146 2 2 : tK ¼ 4;82 R h b

8 Finite Berechnungsverfahren Die Theorien zur Formulierung physikalischer Sachverhalte fhren in der Regel auf mehrdimensionale Randwert- bzw. Anfangswertaufgaben, die durch ein System von Differentialgleichungen bzw. Integralgleichungen beschrieben werden [10]. Finite Berechnungsverfahren sind Verfahren, mit denen diese Differential- bzw. Integralgleichungen numerisch gel
st werden k
nnen. Zum Einsatz kommen drei finite Berechnungsverfahren: Finite Element Methode (FEM), Finite Differenzen Methode (FDM), Boundary Element Methode (BEM).

8.1 Finite Elemente Methode Die Finite Elemente Methode ist ein Gebietsverfahren. Die zu untersuchende Struktur (Bauteil) wird in finite Elemente zerlegt (z. B. Kolben in Bild 1). Ein Stab, Balken wird in 1DElemente, eine Scheibe, Platte oder Schale in 2D-Elemente, ein Volumen in 3D-Elemente unterteilt (Bild 2). Fr das einzelne Element wird der mechanische Sachverhalt formuliert, ber die Knoten wird die Kopplung zu den angrenzenden Elementen durchgefhrt. Pro Element baut sich somit eine Gleichungszeile des Gleichungssystems auf, welches je nach Problemstellung den Rand- bzw. Anfangsbedingungen anzupassen ist. Bei der Verschiebungsmethode werden die Knotenverschiebungen, bei der Kraftgrßenmethode die Spannungen als Unbekannte eingefhrt. Fr jedes Element ergibt sich infolge der Einheitsverschiebungen seiner Knoten unter Beachtung des maßgeblichen Materialgesetzes (z. B. Hookesches Gesetz) die Steifigkeitsmatrix (verallgemeinerter Federkennwert), mit der aus den Gleichgewichtsbedingungen fr alle Knoten das GleiBild 2 a–g. Standardelemente. a 3D-; b Schalen-; c Scheiben-; d Platten-; e Axialsymmetrisches; f Stab-; g Balkenelement [16]; (Freiheits

grade: Translation


c ; Rotation


c
c )

chungssystem fr die unbekannten Verschiebungen folgt [1– 4]. Verschiebungen sind in erster Nherung linear fr die Elementrnder und das Elementinnere. Fr die Einheitsverschiebung u1 ¼ 1 ist dann die Verschiebungsfunktion (Bild 3) Bild 1 a, b. Kolben. a CAD-Modell; b FE-Netz

f1 ðx, yÞ ¼

1 ½xðy3
y2 Þ þ yðx2
x3 Þ þ x3 y2
x2 y3 , ð1Þ 2A

I8.1

Finite Elemente Methode

C 45

Hierbei ist mit der Querdehnungszahl v 0 1 1 u 0 E @ A: u 1 0 E¼ 1
v2 0 0 ð1
vÞ=2

ð7Þ

Knotenkr
fte ergeben sich als Funktion der Verschiebungen uk ber das Gleichgewichtsprinzip der virtuellen Arbeiten (s. C 2.4.9) in Matrizenschreibweise [1 bis 7] ZZ sdeT h dx dy: ð8Þ FduTk ¼ ðAÞ

Bild 3. Ebenes Dreieckelement mit Verschiebungszustand u1 ¼ 1

A Fl
cheninhalt des Elements (s. www.dubbel.de). Dieselbe Funktion entsteht fr u1 ¼ 1. Entsprechende Funktionen f2 ðx; yÞ und f3 ðx; yÞ folgen fr u2 ¼ 1 und u2 ¼ 1 bzw. u3 ¼ 1 und u3 ¼ 1 : 1 f2 ðx; yÞ ¼ ½xðy1
y3 Þ þ yðx3
x1 Þ þ x1 y3
x3 y1 ; 2A 1 f3 ðx; yÞ ¼ ½xðy2
y1 Þ þ yðx1
x2 Þ þ x2 y1
x1 y2 : 2A

ðAÞ

bzw., da uk und duk unabh
ngig von x und y sind und ebenso E; g und gT elementweise konstant sind, ergibt sich F ¼ EggT hAuk ¼ k uk :

Fr die Gesamtverschiebung im Elementinnern (und auf dem Rand) infolge der Einheitsverschiebungen gilt dann ) uðx, yÞ ¼ f1 ðx, yÞ u1 þ f2 ðx, yÞ u2 þ f3 ðx, yÞ u3 , ð2Þ uðx, yÞ ¼ f1 u1 þ f2 u2 þ f3 u3 : u und u bilden den Verschiebungsvektor u. In Matrizenschreibweise 0 1 u1 B C

B u2 C C u f f2 f3 0 0 0 B B u3 C ¼ 1 ð3Þ C u f2 f3 B 0 0 0 f1 B u1 C @ u2 A u3 bzw. in abgekrzter Form uðx; yÞ ¼ f uk ðk ¼ 1; 2; 3Þ:

Hierbei ist F ¼ Fk ¼ fFkx ; Fky g der Vektor der Knotenkr
fte eines Elements, T die transponierte Matrix und h die Elementdicke. Mit den Gln. (5) und (6) folgt dann ZZ Eguk gT duTk h dx dy FduTk ¼

ð4Þ

Dehnungen und Gleitungen. Aus Gl. (2) folgt fr die elementweise konstanten Dehnungen und Gleitungen ex ; ey ; gxy ðs: C 1 Gln: ð12; 13ÞÞ ¶u 1 ¼ ½ðy3
y2 Þ u1 þ ðy1
y3 Þ u2 þ ðy2
y1 Þ u3  ¶x 2 A ¼ g1 u1 þ g2 u2 þ g3 u3 , ¶u 1 ey ¼ ¼ ½ðx2
x3 Þ u1 þ ðx3
x1 Þ u2 þ ðx1
x2 Þ u3  ¶y 2 A ¼ g4 u1 þ g5 u2 þ g6 u3 , ¶u ¶u gxy ¼ þ ¼ g4 u1 þ g5 u2 þ g6 u3 þ g1 u1 þ g2 u2 þ g3 u3 ¶y ¶x

ex ¼

A ist der Fl
cheninhalt des Elements. Mit k ist die Steifigkeitsmatrix des Elements gefunden. Hieran schließt sich das Zusammensetzen der Elemente zur Gesamtstruktur unter Herstellung des Gleichgewichts an jedem Knoten. Dies geschieht entweder nach der direkten Methode durch berlagern der Elementsteifigkeitsmatrizen, die einen Knoten betreffen, oder mathematisch durch Transformation ber eine Boolesche Matrix [5]. Mit FðaÞ als Vektor der
ußeren Kr
fte folgt FðaÞ ¼ Ku;

ð10Þ

eine Matrizengleichung fr n vorhandene Knotenpunkte mit 2 n Verschiebungen, wobei K die Systemsteifigkeitsmatrix ist. Unter Bercksichtigung von m vorhandenen Verschiebungsrandbedingungen stellt Gl. (10) ein System von 2 n – m linearen Gleichungen fr die Verschiebungen der Knoten dar. Sind diese berechnet, so folgen aus Gl. (7) die zugehrigen Spannungen in den Knotenpunkten. Fr die Durchfhrung der umfangreichen Berechnungen stehen fr viele Computer Programmsysteme zur Verfgung. Einige einfhrende Beispiele s. [3, 4, 7] , theoretische Weiterentwicklungen der FEM s. [5, 6]. Anwendungen 1. Balkenelemente (Bild 4): Gesucht: Maximale Durchbiegung an der Stelle x ¼ 0. Gegeben: F ¼ 100 N; ‘ ¼ 120 mm; B ¼ 10 mm; H ¼ 20 mm: Mit E ¼ 2;1  105 wðx ¼ 0Þ ¼

bzw. in Matrizenschreibweise (s. www.dubbel.de) 0 1 u1 0 1 0 1B u2 l C C ex g1 g2 g3 0 0 0 B B C @ ey A ¼ 1 @ 0 0 0 g4 g5 g6 AB u3 C, B u1 C 2A B gxy g4 g5 g6 g1 g2 g3 @ C u2 A u3

N BH 3  6 666;7 mm4 und ; Iy ¼ 12 mm2

F‘3  0; 0412 mm 3EIy

(s. C 2.4.8 Tab. 4 a, Fall 6).

in abgekrzter Form e ¼ g uk :

ð5Þ

Spannungen. Mit einem Materialgesetz (Abh
ngigkeit zwischen Dehnungen und Spannungen), z. B. dem Hookeschen Gesetz (s. C 3 Gl. (13)), gilt in Matrizenform und mit Gl. (5) s ¼ Ee ¼ Eg uk :

ð6Þ

ð9Þ

Bild 4. Biegebalken und FE-Struktur

C

C 46

C

Festigkeitslehre – 8 Finite Berechnungsverfahren

Die Finite-Element-Rechnung ergibt bei 5 Elementen mit linearer Approximation: wðx ¼ 0Þ
0; 0411 mm. Die bei der FE-Rechnung ermittelten Reaktionskr
fte (Momente) werden zur Berechnung der maximalen Spannung an der Einspannstelle herangezogen. 2. Scheibenelemente: Scheibe mit Loch unter einachsiger Zugbelastung (Bild 5 a). Gegeben: l ¼ 100 mm; d ¼ 20 mm, Scheibendicke h ¼ 1 mm, Zugbeanspruchung s ¼ 80 N=mm2 . Durch Ausnutzen der Symmetrieeigenschaften ergibt sich die in (Bild 5 b) dargestellte Struktur. Diese wurde mit 40 Scheibenelementen (quadratischer Ansatz) aufgebaut (Bild 5 c). Die FE-Berechnung lieferte den Deformations- und Spannungszustand der Scheibe. Die grßte Verschiebung ergibt sich am Rand x ¼ l=2 zu ux
0;021 mm. Die aus den Verschiebungen berechneten Spannungen aller Elemente haben ihren Grßtwert in dem Knotenpunkt 38 mit sx ¼ 240;7 N=mm2 , w
hrend in dem Knoten 28 die Spannung sx ¼ 77;2 N=mm2 ist. Mit der Nennspannung sn ¼ s  l=ðl  dÞ ¼ 100 N=mm2 folgt somit nach der FEM die Formzahl ak ¼ sx =sn ¼ 240;7=100 ¼ 2;41, w
hrend sich aus dem herkmmlichen Formzahl-Diagramm nach Wellinger-Dietmann [8] fr d=l ¼ 20=100 ¼ 0;2 der Wert ak ¼ 2;53 ergibt. Die Verl
ngerung des Stabs nach dem Hookeschen Gesetz betr
gt Dl ¼ l  s / E ¼ 100 mm  80 N=mm2 / ð2;1  105 N=mm2 Þ ¼ 0; 038 mm, wobei der Unterschied zum FEM-Ergebnis den Einfluss der Bohrung wiedergibt. Rechnet man n
herungsweise l
ngs der Bohrung mit dem Nennquerschnitt, so ergibt sich u ¼ ðl  dÞ  s=E þ d  sn =E ¼ 0; 04 mm. Diese N
herung liefert gegenber dem sicherlich genaueren FEM-Resultat nur noch eine Abweichung von 4,8%. 3. Plattenelemente: Eingespannte Deckplatte mit Einf
llffnung (Kreisringplatte) (Bild 6 a). Gegeben: d1 ¼ 2400 mm; d2 ¼ 600 mm; h ¼ 10 mm, Fl
chenlast p ¼ 5 kN=m2 . Nach Aufteilung der Struktur in 216 Plattenelemente mit 240 Knoten (Bild 6 b) lieferte das Rechnerprogramm aus 1 296 Gleichungen die Verschiebungen (Durchbiegungen) aller Knotenpunkte und daraus die Spannungen an allen Elementen. Danach ergibt sich am freien Innenrand (Knoten 1) die maximale Durchbiegung zu f ¼ 8; 02 mm sowie die grßte Tangentialspannung zu st ¼ 40; 7 N=mm2 und an der Einspannung (Knoten 10) die grßte Radialspannung sr ¼ 54; 2 N=mm2 . Die Plattentheorie (s. C 5 [5]) liefert fr die Durchbiegung des Innenrands denselben Wert 8,02 mm und fr die Spannungen am freien Rand st ¼ 40;9 N=mm2 sowie am eingespannten Rand sr ¼ 51;1 N=mm2 , so dass fr letztere die Abweichung des FEM-Ergebnisses von dem der Plattentheorie 6,1% betr
gt. 4. Axial- und 3D-Elemente: Dickwandiges Rohr unter Innenund Außendruck (Bild 7 a). Gegeben: Innendurchmesser di ¼ 40 mm, Außendurchmesser da ¼ 120 mm, Innendruck pi ¼ 6 bar, Außendruck pa ¼ 1 bar, gew
hlte Breite b ¼ 20 mm. Zu berechnen sind die Tangential- bzw. Radialspan-

Bild 5 a–c. Scheibe mit Loch. a Struktur und Belastung; b Viertelscheibe; c FE-Struktur

Bild 6 a, b. Kreisringplatte. a Aufbau und Belastung; b FE-Struktur

Bild 7 a–c. Dickwandiges Rohr („unendlich lang“). a Bauteil mit Belastung; b Struktur (Axialsymmetrische Elemente); c Struktur (3D Elemente)

Tabelle 1. Vergleich der Tangential- und Radialspannung, analytisch und numerisch

nungen st , sr . Da es sich um einen rotationssymmetrischen Spannungszustand handelt, ist st ¼ st ðrÞ, sr ¼ sr ðrÞ. Die analytische Rechnung (Formeln s. C 5.3.2) ergibt am Innenrand st ¼ 0;525 N=mm2 und sr ¼ 0;6 N=mm2 , am Außenrand st ¼ 0;025 N=mm2 und sr ¼ 0;1 N=mm2 . Die numerischen Ergebnisse, gerechnet mit quadratischen Elementen, sind in Tab. 1 dem analytischen Ergebnis gegenbergestellt. Weitere Beispiele und Berechnungen zur Rohrleitungsstatik in [9].

I8.2 8.2 Randelemente Die Randelementmethode (REM) bzw. Boundary-ElementMethod (BEM) ist eine Integralgleichungsmethode, die in ihrem Ursprung auf die Tatsache zur
ckgeht, dass man die Lsung einer Differentialgleichung auf eine Integralgleichung
ber die Greensche Funktion und die Belastungsfunktion zur
ckf
hren kann. Die Greensche Funktion (Einflussfunktion) ist eine die Randbedingungen und die Differentialgleichung befriedigende Funktion infolge einer Einzellast F ¼ 1. Tr
ger: F
r den bekannten Fall der Balkenbiegung (s. C 2.4.8) lautet die Differentialgleichung f
r die Durchbiegungen w0000 ðxÞ ¼
qðxÞ=EIy : Im Falle eines an den Enden gelenkig gelagerten Trgers mit den Randbedingungen wðx ¼ 0Þ ¼ w00 ðx ¼ 0Þ ¼ wðx ¼ lÞ ¼ w00 ðx ¼ lÞ ¼ 0 (Bild 8 a) gilt die Lsung f
r die Durchbiegungen in Integralgleichungsform: wðxÞ ¼

Zl 0

G0 ðx; xÞq  ðxÞdx ¼

Zl

h0 ðx; xÞq ðxÞdx

ð11Þ

0

mit qðxÞ ¼ qðxÞ=EIy , wobei G(x, x) die Greensche Funktion (Einflussfunktion) f
r die Durchbiegung an der Stelle x infolge einer Wanderlast F ¼ 1 an der Stelle x ist (Bild 8 b). An Stelle des griechischen Buchstaben x wird in der modernen Literatur f
r die Laufvariable y verwendet, so auch nachfolgend. Da f
r F ¼ 1 die Dgl. w0000 ðxÞ ¼ 0 gilt, folgt durch viermalige Integration f
r die Greensche Funktion eine Parabel 3. Grades, die aber auch die Randbedingungen erf
llen muss. Eine solche Funktion ist bereits nach C 2 Tab. 4 a, Fall 2 bekannt, wenn man dort a ¼ x, b ¼ ðl
xÞ und x ¼ y, sowie F ¼ 1 setzt. Sie lautet G0 ðx, yÞ ¼ h0 ðx, yÞ ¼
xðl
xÞð2 l
xÞ y
ðl
xÞ y3 f
r 0 % y % x, ð12Þ 1 6 EIy l xðl2
x2 Þðl
yÞ þ xðl
yÞ3 f
r x % y % l: Einsetzen der Einflussfunktion (12) in Gl. (11) liefert die Biegelinie w(x) f
r jede Lastfunktion q(x). Ferner erhlt man aus der Greenschen Funktion (12) durch einmalige Differentiation nach der Aufpunktkoordinate x die Einflusslinie f
r die Biegewinkel ha ðx; yÞ ¼ ¶h0 =¶x, durch zweimalige Differentiation nach x die Einflusslinie f
r die Biegemomente hM ðx; yÞ ¼ EIy ¶2 h0 =¶x2 und durch dreimalige Differentiation nach x die Einflusslinie f
r die Querkrfte hQ ðx; yÞ ¼
EIy ¶2 h0 =¶x2 . Andererseits erhlt man f
r festen Lastort y ¼ x durch Ableitung nach der Laufvariablen y aus Gl. (12) nach der ersten Ableitung die Neigungswinkellinie a( y, x), nach der zweiten Ableitung die Biegemomentenlinie Mb ðyÞ ¼
EIy ¶2 h0 =¶y2 und nach der dritten Ableitung nach y die Querkraftlinie FQ ðyÞ: Zusammenfassung: Kennt man f
r Differentialgleichungsprobleme die Greensche Funktion, d. h. eine die Randbedingungen befriedigende Lsung infolge einer Wanderlast F ¼ 1, die

Randelemente

C 47

auch die Differentialgleichung erf
llt, so ist nach Gl. (11) die Lsung des Problems f
r jede beliebige Lastfunktion gegeben. Scheiben, Platten und Schalen. Hier sind nur in den seltensten Fllen die Greenschen Funktionen, d. h. die Lsung z. B. f
r eine Platte mit einer Einzellast an beliebiger Stelle ðy1 ; y2 Þ f
r jeden Ort ðx1 ; x2 Þ, welche die Randbedingungen erf
llt, bekannt. Dagegen sind stets sogenannte Grund- oder Fundamentallsungen f
r wðx1 ; x2 ; y1 ; y2 Þ infolge einer Einzelkraft F ¼ 1 in ðy1 ; y2 Þ f
r Scheiben, Platten und Schalen bekannt [11], die als Lsung f
r eine unendlich ausgedehnte Scheibe, Platte oder Schale angesehen werden knnen. Hier setzt zur Lsung des wirklichen Randwertproblems die Randelementmethode REM bzw. Boundary Element Method BEM wie folgt ein: Man denkt sich z. B. die wirkliche Platte aus dem unendlichen Gebiet W herausgeschnitten, bringt einmal die wirkliche Belastung qðy1 ; y2 Þ und das andere Mal die Ein^ 1 ; x2 Þ ¼ 1 sowie jeweils alle Randschnittgrßen zelkraft Fðx und Randverformungen auf (Bild 9 a, b) und verwendet den Satz von Betti: F
r 2 Gleichgewichtszustnde eines Systems ^ MÞ ^ mit den zugehrigen Verformungen (w, (F, M) und (F; ^ Þ gilt f
r die Arbeiten: a) und ð^ w; a X X X X ^ þ ^ ¼ ^þ Fw M=a Fw M^ a; d:h: W1; 2 ¼ W2; 1 : Wendet man den Satz von Betti f
r die Platten nach Bild 9 a, b an, so folgt: Z X ^n w þ M ^ n an Þ ds þ ^ e we ¼ W1,2 ¼ 1  wðx1 ,x2 Þ þ ðV F W2 , 1 ¼

Z

ZG ð13 aÞ X ^ n Þ ds þ ^ þ Mn a ^e p^ w dW þ ðVn w Fe w

W

G

und damit folgt f
r die gesuchte Durchbiegung (Einflussfunktion): Z Z X ^ na ^ n Þ ds þ wðx1 , x2 Þ ¼ p^ w dW þ ðVn w ^ þM Fe w ^e W




Z

G

^n w þ M ^ n an Þ ds
ðV

X

ð13 bÞ ^ e we F

G

bzw. wðx1 , x2 Þ ¼

Z

p^ w dW þ WRand 2; 1
WRand 1; 2 :

ð13 cÞ

W

Hierbei bedeutet das Integral
ber W ein Gebietsintegral und die Integrale
ber G sind Randintegrale. Dabei ist n die Richtung der Normalen am Rand und Vn bzw. Mn die Kirchhoffsche Randscherkraft (Ersatzquerkraft) und das Biegemoment in einer zu n senkrechten Randflche. Unendlich ausgedehnte Platte. Da die Gebietslsung infolge ^ ¼ 1 im Punkt ðx1 ; x2 Þ f
r die Durchbiegung F wðx1 ; x2 ; y1 ; y2 Þ bekannt ist und nach [11, 12] lautet (sog. Grund- oder Fundamentallsung): 1 ð14Þ  r 2 ln r, 8pN qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi wobei r ¼ ðy1
x1 Þ2 þ ðy2
x2 Þ2 den Abstand des Lastpunktes ðx1 ; x2 Þ z. B. von einem Randpunkt ðy1 ; y2 Þ bedeutet und N ¼ Eh3 =12ð1
v2 Þ die sog. Plattensteifigkeit ist (s. C 5.1), sind durch entsprechende Differentiationen auch alle Neigungswinkel, Biegemomente und Querkrfte, d. h. auch alle in Gl. (13) mit einem „Dach“ versehenen Randgrßen be^ 0 n und V ^0 n . ^0 n ; M ^ 0; a kannt, wie w w ^ 0 ðrÞ ¼ ^ g0 ðrÞ ¼

Bild 8 a, b. Einfeldtrger: a mit Streckenlast; b mit Wanderlast

Wirkliche Platte. Unbekannt sind hier von den 4 Randfunktionen w, an ; Mn ; Vn jeweils 2, whrend 2 durch die Randbedin-

C

C 48

Festigkeitslehre – 8 Finite Berechnungsverfahren

C Bild 10 a, b Allseits gelenkig gelagerte Stahlplatte a mit konst. Fl
chenlast; b Randelemente mit 8 Knoten

L
sung: Die R
nder werden in m ¼ 8 Randelemente mit m ¼ 8 Knoten unterteilt und die Berechnung mit einem BEM-Programm durchgefhrt. Als Ergebnis erh
lt man fr die Plattenmitte M (Bild 10 b) die Durchbiegung w ¼ 2;19 mm und die Biegemomente mx1 ¼ mx2 ¼ 0;48 kNm/m und aus Letzterem die Biegespannungen s ¼ 28;8 N/mm2 . Zum Vergleich werden die Formeln nach C 5.1.1 herangezogen: w ¼ f ¼ c3 pb4 =Eh3 und s ¼ c1 pb2 =h2 , woraus mit den Koeffizienten c3 ¼ 0;71 und c1 ¼ 1;15 nach C 5 Tab. 1 die Werte w ¼ 2;11 mm und s ¼ 28;8 N/mm2 folgen, d. h. das Ergebnis nach REM weicht fr w um 3,8% und fr s um 0% von den Tafelwerten ab und stellt somit bei der groben Randeinteilung ein sehr gutes Ergebnis dar. Bild 9 a–c. Rechteckplatte: a unter Fl
chenlast; b unter der Hilfskraft ^ ¼ 1; c Randelemente mit Dachfunktion F

gungen der Platte vorgegeben sind. Z. B. sind im Falle einer allseits gelenkig gelagerten Platte die Werte an und Vn unbekannt, w
hrend w ¼ 0 und Mn ¼ 0 l
ngs des Randes vorgegeben sind. Die unbekannten Funktionen an und Vn werden nun nach der Randelementmethode numerisch fr m diskrete Randknoten, die durch m Randelemente verbunden sind, ermittelt, in dem man in jedem Knoten selbst, d. h. m-mal die Einzelkraft Fi ¼ 1 anbringt und m-mal den Satz von Betti anschreibt entsprechend Gl. (13 b) und dadurch m lineare Gleichungen fr die 2m Unbekannten ani und Vni bekommt ði ¼ 1 . . . mÞ. Weitere m Gleichungen erh
lt man dadurch, dass man in je^ ¼ 1 anbringt, zu dem die dem Knoten ein Randmoment M Grundlsung gehrt: ^ g1 ðrÞ ¼

¶ 1 ¶r ^ g0 ðrÞ ¼ rð1 þ 2 ln rÞ : ¶r 8pN ¶n

ð15Þ

^ 1n ; V ^1n bekannt ^ 1n ; M ^ 1; a womit wiederum die Randgrßen w sind, und dass man auch dafr m-mal den Satz von Betti anschreibt. Um ber den Rand numerisch integrieren zu knnen, werden die Unbekannten ani und Vni mit Elementfunktionen ani ðsÞ ¼ ani jðsÞ bzw. Vni ðsÞ ¼ Vni yðsÞ verknpft, wofr in der Regel lineare „Dachfunktionen“ nach Bild 9 c ausreichen (fr Platten mit freien Elementr
ndern sind fr wi Hermitesche Polynome erforderlich, s. [12, 13, 14]). Sind alle Integrationen durchgefhrt, hat man 2 m Gleichungen fr die 2 m Unbekannten. Nach Lsung (unter Zusatzbetrachtungen fr die Eckkr
fte) und Einsetzen in Gl. (13 b) erh
lt man die Durchbiegungen wðx1 ; x2 Þ fr beliebige Punkte ðx1 ; x2 Þ und durch Differentiation die Neigungswinkel und Schnittlasten. Einzelheiten der Durchfhrung s. [12, 13, 14]. Beispiel: Fr eine gelenkig gelagerte quadratische Stahlplatte von 10 mm Dicke ðE ¼ 2;1
108 kN/m2 ) mit konstanter Fl
chenlast p ¼ 10 kN=m2 und den Kantenl
ngen 2a ¼ 2b ¼ 1;0 m sollen die Durchbiegung und die Biegemomente bzw. Biegespannungen in Plattenmitte nach der REM (BEM) ermittelt werden (Bild 10 a).

8.3 Finite Differenzen Methode Die FD-Methode ist wie die FE-Methode ein Gebietsverfahren. Die finiten Gleichungen werden fr einen Zentralpunkt aufgestellt. Um den mechanischen Bezug zum Problem zu gew
hrleisten, werden die finiten Ausdrcke mit dem Prinzip der virtuellen Arbeit aufgebaut. Dieses Vorgehen wird fr einen Biegebalken mit dem Prinzip der virtuellen Verrckungen (s. C 2.4.9) gezeigt. Dazu wird die Gleichgewichtsaussage des Biegebalkens M 00 ¼ p mit einer virtuellen Verrckung dw ¼Z 1 multipliziert Z und zweimal partiell integriert. Das ergibt:

Mdw00 dx þ

p dw dx ¼ 0:

In diesem Fall arbeiten die Momente wie
ußere Kr
fte an der virtuellen Verrckung dw. Die
ußere Arbeit ist: Z M þ p dw dx ¼ 0 s: a: Bild 11: dWa ¼ 1 -2 1 h Das Integral wird berechnet unter der Annahme, dass p(x) parabolisch verl
uft (Bild 12). Mit C 2 Tab. 5 ergibt sich: Z Z Z p dw dx ¼ ð1Þð5Þ dx þ ð2Þð5Þ dxþ Z

ð3Þð6Þ dx þ

Z

ð4Þð6Þ dx ¼ 1 10 1

Bild 11. Eigenkraftgruppe

1 ph 12

I9.1

Allgemeines

C 49

Die gesamte Arbeit lautet: dWa ¼ 1 -2 1 M þ 1 10 1

h2 p¼0 12

Man kommt zum gleichen Ergebnis, wenn der Ausdruck Z Mdw00 dx als innere Arbeit gedeutet wird. An Stelle der Gelenke sind konzentrierte Kr
mmungen (im Sinne einer DiracFunktion) aufzugeben.

C Bild 12. v. V. dw ¼ 1

Beispiel: Biegebalken mit Streckenlast (Bild 13). Gesucht sind die Schnittlastmomente in den Punkten 1 und 2. Die Gleichung f
r den Innenpunkt lautet: 1 -2 1 M þ 1 10 1

h2 p ¼ 0: 12

Es entsteht ein Gleichungsystem mit 2 Unbekannten i ¼ 1 : M0
2 M1 þ M2 þ ðp0 þ 10 p1 þ p2 Þ

h2 ¼0 12

i ¼ 2 : M1
2 M2 þ M3 þ ðp1 þ 10 p2 þ p3 Þ

h2 ¼0 12

Es ist : M0 ¼ M3 ¼ 0; p0 ¼ p1 ¼ p2 ¼ p3 ¼ p

9 Plastizit
tstheorie 9.1 Allgemeines Wird bei der Beanspruchung eines Werkstoffs die Elastizittsgrenze
berschritten und treten nach Entlastung bleibende Dehnungen eb (Bild 1 a) auf, so handelt es sich um Beanspruchungen im plastischen (unelastischen) Bereich. Bei erneuter Belastung verhlt sich der Werkstoff elastisch, die Spannungs-Dehnungs-Linie besteht aus der zur Hookeschen Geraden OP Parallelen AP1 , d. h., als Folge der Kaltreckung wird die Streckgrenze erhht. Weitere Belastung bis zur Spannung sP2 erhht die Streckgrenze auf diesen Wert. Damit verbunden ist eine Versprdung des Materials, also eine Verringerung der Dehnbarkeit bis zum Eintreten des Bruchs. Unterwirft man einen Versuchsstab anschließend einer Druckbeanspruchung, so ergibt sich im Druckbereich eine erhebliche Herabsetzung der Fließgrenze, d. h., die Kr
mmung der Spannungs-Dehnungs-Linie setzt sehr fr
h ein, und bei anschließender Wiederbelastung bildet sich die HysteresisSchleife (Bild 1 b). Ihr Flcheninhalt stellt die bei einem Zyklus verlorengehende Formnderungsarbeit dar. Wird er mehrmals durchlaufen, so wird jedes Mal diese Arbeit verbraucht. Derartige dynamische Vorgnge f
hren hufig zum

Bild 13. virtuelle Verr
ckung dw ¼ 1

Lsung: M1 ¼ M2 ¼ ph2 . Das Verfahren zum Aufstellen der finiten Gleichungen lsst sich problemlos auf Scheiben, Platten und Schalen
bertragen [15].

baldigen Bruch des Bauteils (Bauschinger-Effekt) und gehren zur Zeitfestigkeit. Die Plastizittstheorie behandelt vorwiegend das Verhalten unter statischer Belastung. Nur sie ist im Folgenden zugrunde gelegt. Unterschieden wird: ideal-elastisch-plastisches Material (unlegierte Konstruktionssthle), Kurve 1 auf Bild 1 a, hierf
r gilt s ¼ Ee f
r
eF % e % eF , s ¼ sF f
r e ^ eF ; elastisch verfestigendes Material (verg
tete Sthle), Kurve 2 auf Bild 1 a, hierf
r gilt s ¼ Ee f
r
eF % e % eF , s ¼ Ajejk f
r e ^ eF oder nherungsweise bei Ersatz der Kurve 2 durch eine Gerade 3 mit dem Verfestigungsmodul E2 ¼ tan a2 s ¼ sF þ E2 ðe
eF Þ: Weitere Materialgesetze s. [2, 3], f
r Kunststoffe [4]. Bei Entlastung des Werkstoffs gilt stets das lineare (Hookesche) Gesetz s ¼ Eðe
eb Þ ¼ sP1
EðeP1
eÞ: Weitere Informationen siehe [6–8] Kriechen. Oberhalb der Kristallerholungstemperatur, bei der die Verfestigung infolge Kaltverformung aufgehoben wird (f
r Stahl bei TK ^ 400 C), tritt unter konstanter Last eine mit der Zeit zunehmende Verformung, das Kriechen, ein (bei Kunststoffen schon bei normalen Temperaturen). Als Festigkeitswerte sind dann die Zeitstandfestigkeit Rm=t=T und die Zeitdehngrenze RP1=t=T , die zum Bruch bzw. zur Dehnung von 1% nach t ¼ 100 000 h bei der Temperatur T f
hren, zu ermitteln (s. E 1.6.4).

Bild 1. a Spannungs-Dehnungs-Linien im plastischen Bereich; b Hysteresis-Schleife bei Beanspruchung im plastischen Bereich

Relaxation. Wird bei Stahl unter hohen Temperaturen ðT ^ 400 KÞ die Dehnung konstant gehalten, so werden vorhandene Zwangsspannungen mit der Zeit (durch Kriechen) abgebaut (bei Kunststoffen schon bei normalen Temperaturen).

C 50

Festigkeitslehre – 9 Plastizit
tstheorie

Umformtechnik. Hierbei handelt es sich um die Vorg
nge bei der spanlosen Formgebung (Walzen, Pressen, Schmieden). Die plastischen Verformungen sind hier so groß, dass die elastischen in der Theorie [3] nicht bercksichtigt werden (s. S 3).

C

Viskoelastizit
tstheorie. Sie befasst sich mit dem elastischplastischen Verhalten der Kunststoffe unter besonderer Beachtung der Zeitabh
ngigkeit von Deformationen und Spannungen (Kriechen und Relaxation). Grundlagen sind die Materialgesetze von Maxwell und Kelvin [4]. Bild 2 a–c. Biegespannungen im plastischen Bereich. a Teilplastischer Querschnitt; b Spannungsberlagerung bei Entlastung; c Restspannungen nach Entlastung

9.2 Anwendungen 9.2.1 Biegung des Rechteckbalkens Unter der Annahme ideal-plastischen Materials (die Ergebnisse fr verfestigendes Material weichen im plastischen Anfangsdehnungsbereich nur unwesentlich ab) gilt nach Bild 2 a bei Voraussetzung, dass die Querschnitte auch im plastischen Bereich eben bleiben (Bernoullische Hypothese), mit der Hhe h und der Breite b des Balkens

MbF ¼ 2

Zh=2

sðzÞ zb dz mit sðzÞ ¼ sF z=a

0

fr 0
z
a und sðzÞ ¼ sF fr a
z
h=2, d. h. MbF ¼ 2

Za 0

sF ðz2 =aÞ b dz þ 2

Zh=2 sF zb dz a

¼ 2sF ba2 =3 þ sF b½ðh=2Þ2  a2  ¼ sF ðbh2 =6Þð3=2  2 a2 =h2 Þ ¼ sF Wb ½1,5  ð2 a2 =h2 Þ ¼ MbE npl : MbE ist das Tragmoment des Rechteckquerschnitts bei Verlassen des elastischen Bereichs, npl die Sttzziffer, die angibt, in welchem Verh
ltnis sich das Tragmoment als Funktion des plastischen Ausdehnungsbereichs vergrßert. Fr a ¼ 0 (vollplastischer Querschnitt) wird npl ¼ 1; 5, d. h., die Tragf
higkeit ist um 50% grßer als beim Verlassen des elastischen Bereichs. Fr die Dehnung gilt eðzÞ ¼ ðeF =aÞz ¼ ðsF zÞ=ðEaÞ; emax ¼ sF h=ð2EaÞ; d. h., fr a ¼ 0 (vollplastischer Querschnitt) wird emax unendlich, die volle Ausschpfung der Tragf
higkeit setzt also sehr große Deformationen voraus (an der Stelle des grßten Moments bildet sich ein sog. plastisches Gelenk). Deshalb wird in der Praxis die Dehnung ep auf 0,2% begrenzt. Fr S 235 mit sF ¼ 240 N=mm2 und E ¼ 2; 1  105 N=mm2 wird eF ¼ sF =E ¼ 0; 114%, also emax ¼ ep þ eF ¼ 0; 314% und damit a ¼ sF h=ð2emax EÞ ¼ 0; 182h. Hiermit folgt fr die Sttzziffer npl ¼ 1; 5  2ða=hÞ2 ¼ 1; 43. Fr diesen Fall, also fr ep ¼ 0; 2%, wird npl sF ¼ K 0;2 , also gleich dem Formdehngrenzwert nach C 1.2. Ergebnisse fr verschiedene andere Querschnitte und Grundbeanspruchungsarten s. [1, 2]. Restspannung. Wird das am Querschnitt wirkende Moment MbF entfernt, so ist dies gleichwertig mit dem Aufbringen eines entgegengesetzt wirkenden Moments MbF (Bild 2 b). Da der Werkstoff bei Entlastung der Hookeschen Geraden AP1 (Bild 1 a) folgt, entstehen Spannungen se ðzÞ ¼ MbF z=Iy mit linearer Verteilung und dem Maximalwert se; max ¼ MbF =Wb . Die berlagerung mit den Spannungen s(z) nach Bild 2 a ergibt die Restspannungen sr ðzÞ ¼ sðzÞ  se ðzÞ nach Bild 2 c, die bei ungleichfrmigen Spannungszust
nden nach jeder Dehnung ber die Fließgrenze hinaus und anschließender Entlastung brig bleiben.

9.2.2 R
umlicher und ebener Spannungszustand Fließbedingungen. Fr ideal-elastisch-plastisches Material gilt nach Tresca ½ðs1  s2 Þ2  s2F  ½ðs2  s3 Þ2  s2F  ½ðs3  s1 Þ2  s2F  ¼ 0: Hiernach setzt Fließen ein, wenn die grßte Hauptspannungsdifferenz den Wert sF erreicht. Sind s1 und s3 die grßte und kleinste Hauptspannung, so folgt s1  s3 ¼ 2tmax ¼ sF . Wird sv ¼ sF als einachsige Vergleichsspannung angesehen, so ist das Tresca-Gesetz identisch mit der Schubspannungshypothese (s. C 1.3.2). Fr v. Mises setzt man ðs1  s2 Þ2 þ ðs2  s3 Þ2 þ ðs3  s1 Þ2 ¼ 2 s2F : Hiernach setzt Fließen ein fr pffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sV ¼ ð1= 2Þ ðs1  s2 Þ2 þ ðs2  s3 Þ2 þ ðs3  s1 Þ2 ¼ sF : Dieses Gesetz ist identisch mit der Gestaltungs
nderungsenergiehypothese (s. C 1.3.3). Spannungs-Deformations-Gesetze Gesetz von Prandtl-Reuß. Es hat die infinite (differentielle) Form dV D ¼ dV D; e þ dV D; p ¼ ðdSD þ SD dlÞ=ð2GÞ bzw. nach Einfhrung der Verzerrungsgeschwindigkeiten _ V_ D ¼ ðS_ D þ SD  lÞ=ð2GÞ: Hierbei ist V D der sog. Deviator des Verzerrungstensors V (s. C 1.1.2), d. h., es gilt V D ¼ V  e  I, wobei e ¼ ðex þ ey þ ez Þ=3 und I den Einheitskugeltensor darstellt. Der Verzerrungsdeviator gibt die Gestalt
nderung bei gleichbleibendem Volumen wieder. SD ist der Deviator des Spannungstensors [5]. G ist der Schubmodul und dl bzw. l_ ist ein skalarer Proportionalit
tsfaktor, der sich durch Gleichsetzung der Gestalt
nderungsenergien des r
umlichen und des einachsigen Ver3 dsv gleichszustandes zu dl ¼ ergibt, wobei 2 Tp ðsv Þ sv Tp ¼ dsv =devp der plastische Tangentenmodul (Anstieg der sv  evp -Linie) ist. Gesetz von Hencky. Dieses hat die finite Form   1 1 þ V D ¼ V D; e þ V D; p ¼ SD : 2G 2Gp Gp ist der variable Plastizit
tsmodul, der sich durch Anwendung des Gesetzes auf den einachsigen Vergleichszustand aus 1 sv 1 sv  zu Gp ðevp Þ ¼ , d. h. aus der entsprechenden evp ¼ 2Gp 3 3 evp Spannungs-Dehnungs-Linie ergibt.

I10.1 Berechnungs- und Bewertungskonzepte Geschlossenes dickwandiges Rohr unter Innendruck. Es wird der Spannungszustand im Rohr bei Beginn der Plastifizierung an der Innenfaser (d. h. Rohr gerade noch im elastischen Bereich), bei Plastifizierung bis zur Wandmitte und bei voller Plastifizierung der Wand untersucht. Voll elastischer Zustand. Aus C 3 Gl: ð5Þ folgt mit trz ¼ tzr ¼ t ¼ 0 und R ¼ 0 die Gleichgewichtsbedingung d dsr þ sr
st ¼ 0: ðr sr Þ
st ¼ r dr dr Hieraus ergeben sich die Spannungen zu 9
2  r2 r > > sr ¼
p  2 i 2 a2
1 , > = ra
ri r
2  2 > ri ra > þ 1 , sz ¼ p  ri2 =ðra2
ri2 Þ: > st ¼ p  2 ; ra
ri2 r 2

ð1Þ

Plastifizierung am Innenrand des Zylinders, d. h. f
r rp ¼ ri , folgt aus Gl. (7) der zugehrige Innendruck zu
 sF r2 p1 ¼ pffiffiffi 1
i2 : ra 3 F
r die volle Plastifizierung folgt mit rp ¼ ra der Innendruck zu 2sF ra p2 ¼ pffiffiffi ln : ri 3 Damit folgt als Steigerung der Tragfhigkeit vom elastischen zum vollplastischen Zustand f
r ein Rohr mit ra =ri ¼ 2

ð2Þ

Teilweise plastischer Zustand. F
r ideal elastisch-plastisches Material folgt aus der v. Mises-Fließbedingung mit s1 ¼ sr ; s2 ¼ st ; s3 ¼ sz ¼ 0;5ðsr þ st Þ die Fließbedingung pffiffiffi st
sr ¼ 2sF = 3:

C 51

p2 =p1 ¼ 2 ln 2=0;75 ¼ 1;85: In Bild 3 ist der Verlauf der Spannungen f
r ein Rohr mit ra =ri ¼ 2;0 und gerade noch elastischem Spannungszustand (d. h. rp ¼ ri , p ¼ p1 ¼ 0;43 sF ) bzw. mit halber Plastifizierung ðrp ¼ 1;5 ri , p ¼ 0;72 sF Þ bzw. mit voller Plastifizierung ðrp ¼ ra , p ¼ p2 ¼ 0;80 sF Þ dargestellt. Man erkennt die starken Spannungsumlagerungen zwischen dem elastischen und plastischen Zustand f
r st und sz , dagegen nur geringe f
r sr .

ð3Þ

F
r einen bis zum Radius rp plastifizierten Zylinder lauten die Spannungsformeln f
r den elastischen Bereich ðr ^ rp Þ gemß Gln. (2)
 sF rp2 r 2 sr ¼
pffiffiffi 2 a2
1 , 3 ra r ð4Þ
 sF rp2 ra2 sF rp2 st ¼ pffiffiffi 2 2 þ 1 , sz ¼ pffiffiffi 2 : 3 ra r 3 ra F
r den plastischen Bereich ðr % rp Þ folgt aus Gl. (1) mit Gl. (3) die Gleichgewichtsbedingung r

dsr 2 sF
pffiffiffi ¼ 0 dr 3

ð5Þ

und hieraus die Spannungen ! rp2 rp sF sr ¼
pffiffiffi 1
2 þ 2 ln , ra r 3

ð6 aÞ

! ! rp2 rp rp sF sF rp2 st ¼ pffiffiffi 1 þ 2
2 ln , sz ¼ pffiffiffi 2
2 ln : ð6 bÞ ra r r 3 3 ra F
r den Innendruck folgt mit sr ðri Þ ¼
p aus Gl. (6 a, b) ! rp2 rp sF p ¼ pffiffiffi 1
2 þ 2 ln : ð7Þ ra ri 3 Hieraus kann der Plastifizierungsradius rp als Funktion des Innendrucks ermittelt werden und umgekehrt. Bei Beginn der

10 Festigkeitsnachweis H. Mertens, Berlin Der Festigkeitsnachweis hat im Rahmen des Produktentstehungsprozesses die Aufgabe, alle mglichen Versagensarten eines Bauteils whrend der Produktlebensdauer auszuschließen. Grundstzlich kann dieser Nachweis durch umfassende Bauteilversuche mit anwendungsspezifischen Belastungen an fertigen Bauteilen auf statistischer Grundlage erbracht werden. Der zeitliche und finanzielle Aufwand f
r solche be-

Bild 3. Spannungen im Rohr mit ra =ri ¼ 2;0

triebsnahen Versuche ist nicht unerheblich, andererseits aus Gr
nden der Produkthaftung nicht immer zu vermeiden. Zur Verringerung des Aufwandes knnen rechnerische Festigkeitsnachweise dienen, wenn die zugehrigen Berechnungen und Bewertungen alle relevanten Einflussgrßen in angemessener Weise ber
cksichtigen und Unsicherheiten durch problemangepasste Sicherheitsabstnde ausgeglichen werden.

10.1 Berechnungs- und Bewertungskonzepte Grundlegend f
r jeden aussagefhigen Festigkeitsnachweis sind Kenntnisse bzw. begr
ndete Annahmen
ber die wh-

C

C 52

C

Festigkeitslehre – 10 Festigkeitsnachweis

rend der Produktlebensdauer auftretenden Bauteilbelastungen, wobei neben den planm
ßig zu erwartenden Betriebsbelastungen auch solche aus denkbaren Sonderereignissen zu beachten sind. Auch die auf das jeweilige Bauteil einwirkenden, eventuell zeitlich ver
nderlichen Umgebungseinfl
sse (Temperatur, Korrosionsmedien, energiereiche Strahlen), die zum Bauteilversagen beitragen knnen, sind fr eine Bewertung unerl
ßlich. Das Bauteil selbst wird vor allem durch seine Gestalt (Bauteilgeometrie) und die verwendeten Werkstoffe gekennzeichnet. In bestimmten F
llen sind aber auch die Oberfl
chenstruktur (Rauhigkeit, Verfestigungen und Eigenspannungen aus dem Fertigungsprozeß, siehe E 1.4) und Fertigmaßtoleranzen (Imperfektionen bei Stabilit
tsproblemen, C 7) versagensrelevant. Mit diesen Informationen l
sst sich ein Festigkeitsnachweis nach Bild 1 aufbauen, wenn zur Bewertung geeignete, miteinander verknpfbare Wissensbasen zum Verhalten
hnlicher Bauteile mit vergleichbaren Belastungsarten und Umwelteinflssen vorliegen. Durch die Wissensbasen werden das anzuwendende Berechnungsmodell und das zugehrige Bewertungsmodell festgelegt. Der Festigkeitsnachweis vergleicht die rechnerischen mit den zulssigen Bauteilbeanspruchungen. Auf gleiche Weise lassen sich auch Bauteilverzerrungen (Dehnungen, Gleitungen) bewerten. Durch wissensbasierte Berechnungs- und Bewertungsmodelle soll eine ausreichend genaue Beurteilung der in einem Maschinen- oder Anlagenteil ablaufenden sch
digenden Vorg
nge unter Beachtung der Wechselwirkungen mit der Umgebung ermglicht werden. Werden mit dem Berechnungsmodell zur Kennzeichnung der Beanspruchungen Nennspannungen ermittelt und mit dem Festigkeitsnachweis bewertet, so spricht man von einem Festigkeitsnachweis nach dem Nennspannungskonzept; werden Kerbgrundspannungen und/oder Kerbgrundverzerrungen beurteilt, so wird der Nachweis nach einem Kerbgrundkonzept gefhrt [1]. Darber hinaus werden zunehmend Bruchmechanikkonzepte angewendet, wenn Bauteilung
nzen (z. B. ausgeschmiedete kleine Lunker) in die Bewertung einzubeziehen sind [2].

10.2 Nennspannungskonzepte Berechnungsmodelle zur Nennspannungsbestimmung beruhen meist auf stark vereinfachenden Annahmen zur Spannungsermittlung, wobei Spannungskonzentrationen an Bauteilkerben, Fgestellen und Einspannungen bewußt nicht beachtet werden. Deshalb mssen die Einflsse dieser jedoch schadensrelevanten Spannungskonzentrationen in den zul
ssigen Nennspannungen bercksichtigt werden. Die Berechnungen werden damit einfach, die Bewertungssicherheit h
ngt von den zum Vergleich verfgbaren Versuchsergebnissen ab. Zur Berechnung werden vorwiegend Stab- und Balkenmodelle nach C 2 oder Fl
chentragwerke nach C 5 benutzt; auch die blichen Stabilit
tsberechnungen nach C 7 sind hier einzuordnen. Charakteristische Rechenvorschriften haben die Schreibweise szn ¼ F=An oder sbn ¼ Mb =Wb oder ttn ¼ Mt =Wt ð1Þ mit der Zugnennspannung szn (neuerdings auch Sz ), der Biegenennspannung sbn (auch Sb ), der Torsionsnennspannung ttn (auch Tt ), dem Nennquerschnitt An , dem Biegewiderstandsmoment Wb sowie dem Torsionswiderstandsmoment Wt (siehe C 2.1.4, C 2.4.5, C 2.5.4). Die Bewertung erfolgt bei einachsiger Belastung beispielsweise mit den Festigkeitsbedingungen szn
szn; zul oder sbn
sbn; zul oder ttn
ttn; zul

ð2Þ

und den zul
ssigen Werten der Zugnennspannung szn; zul ; der Biegenennspannung sbn; zul oder Torsionsnennspannungen ttn; zul aus Versuchen an weitgehend
hnlichen Bauteilen sowie Belastungen und Sicherheitszuschl
gen aus Betriebserfahrungen. Bei mehrachsiger Belastung kommen zweckm
ßigerweise Interaktionsformeln zur Anwendung; beispielsweise beim Festigkeitsnachweis von Wellen und Achsen nach DIN 743

 szn sbn 2 ttn 2 þ þ
1: ð3Þ szn; zul sbn; zul ttn; zul Alternativ hierzu bewertet man Vergleichsnennspannungen mit sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
2
 szn; zul szn; zul 2 2 szn þ sbn þ ttn
szn; zul :ð4Þ svn ¼ sbn; zul ttn; zul Gl. (4) entspricht formal der Schubspannungshypothese nach C 1.3.2 fr ðszn; zul =ttn; zul Þ2 ¼ 4 oder der v. MISES-Hypothese nach C 1.3.3, wenn lediglich Zugspannungen sx und Schubspannungen t wirken. Die „Ellipsengleichung“ (3) kann im Einzelfall von den tats
chlichen Versuchsergebnissen abweichen. Zur Anpassung verwendet man dann beispielsweise statt Gl. (4) Interaktionsformeln mit den Exponenten s, t und Kombinationsfaktoren ks , kt      szn  ttn t sbn s 
1: ks  þ þkt   szn; zul sbn; zul ttn; zul 

Bild 1. Konzept eines Festigkeitsnachweises

ð5Þ

Die „Geradengleichung“ mit ks ¼ kt ¼ s ¼ t ¼ 1 wurde teilweise bei Reibkorrosionsproblemen [3, 4] und bei starken Frequenzunterschieden zwischen Normal- und Schubspannungen [5–7] beobachtet. Sofern weitere mehrachsige Nennspannungen in einer Bauteilzone berechnet werden knnen, wie beispielsweise in Schweißn
hten, sind die Interaktionsformeln oder Vergleichsnennspannungs-Formeln zu erweitern; siehe hierzu G 1.1.5; allerdings kann dann die formale hnlichkeit zu den Festigkeitshypothesen nach C 1.3 nicht mehr in vollem Umfang gewahrt werden!

I10.3 Kerbgrundkonzepte Anwendungsnormen und -richtlinien. Da Nennspannungskonzepte im Grunde Versuchsumrechnungskonzepte sind, m
ssen bei ihrer Anwendung die bei der Versuchsauswertung und Dokumentation angewandten Strategien dem Anwender in praxistauglicher Form vermittelt werden. Ein anschauliches Beispiel bietet die Berechnung von Schweißnhten f
r die verschiedenen Anwendungsgebiete mit den zugehrigen Normen und Vorschriften nach Anh. G 1 Tab. 2. Einen Einblick in die Struktur dieser Nennspannungskonzepte bringt G 1.1.5. Aus den Belastungen werden statische und dynamische Nennbeanspruchungen in den kritischen Bauteilquerschnitten berechnet. F
r den Maschinenbau ist dabei die Beschreibung der dynamischen Beanspruchungen durch Beanspruchungsgruppen B 1 bis B 6 nach der DIN 15 018, die durch Spannungs-(Lastspiel-)bereiche N 1 bis N 4 und Spannungskollektive S0 bis S3 bestimmt sind, sehr hilfreich. Die Angabe der zulssigen Spannungen erfolgt dann hinreichend genau in Abhngigkeit von diesen Beanspruchungsgruppen durch Bezug auf charakteristische Naht- und Anordnungsformen (Kerbflle) K 1 bis K 4; berblick in G 1.1.5 mit Tab. 4 bis 6 und Bildern 22 und 23. Dieser Erm
dungsfestigkeitsnachweis – auch Betriebsfestigkeitsnachweis genannt – schließt mit dem Spannungskollektiv S 3 (mit konstanter Beanspruchungsamplitude) und dem Spannungsspielbereich N 4 (mit
ber 2
106 Lastwechseln) den Dauerfestigkeitsnachweis mit ein. Die Ber
cksichtigung von Mittel-(Nenn-)Spannungen erfolgt mit dem Dauerfestigkeitsschaubild (Smith-Diagramm) nach Bild 23. Der Nachweis f
r vorwiegend statische Beanspruchungen (bis 104 Schwingspiele) – der statische Festigkeitsnachweis – wird getrennt gef
hrt. Hinweise zu Anwendungsnormen und Richtlinien weiterer Bauteilverbindungen siehe G 1. Die FKM-Richtlinie zum Festigkeitsnachweis f
r Maschinenbauteile, in die umfangreiches Wissen aus fr
heren TGL-Standards eingeflossen ist [8], wurde inzwischen auf Bauteile aus Al-Legierungen erweitert [9]. Auch die Dimensionierung von Zahnradgetrieben nach G 8 erfolgt teilweise nach einem Nennspannungskonzept. Kerbwirkungszahl. Die vielfltigen Einfl
sse auf die Bauteilfestigkeit erschweren eine einfache bertragbarkeit der zulssigen bzw. ertragbaren Beanspruchungen von Pr
fkrpern auf andersartig gestaltete, gefertigte und belastete Bauteile. Eine erfolgreiche bertragung von Versuchsergebnissen auf Bauteile kann nur erwartet werden, wenn die dominanten Schdigungsmechanismen, die zum Versagen des Pr
fkrpers f
hrten, in vergleichbarer Weise auch bei dem zu beurteilenden Bauteilverhalten wirksam werden. Die sicherste bertragbarkeit wird dann erreicht, wenn Pr
fkrper und Bauteil derselben Bauteilgruppe angehren; deshalb knnen beispielsweise errechnete Beanspruchungen in Zahnrdern mit Versuchen an Standard-Referenz-Pr
frdern unter Standard-Pr
fbedingungen mit hoher Aussagesicherheit beurteilt werden. Weichen Pr
fkrper und Bauteil strker voneinander ab oder sind die Belastungs- oder Umgebungseinwirkungen nicht gleichartig, dann werden die rechnerischen Vorhersagen strker von dem spteren realen Bauteilverhalten abweichen. Die in der Praxis hufig verwendeten Kerbwirkungszahlen bk (auch Kf ), die das Verhltnis von ertragbaren Nennbeanspruchungen an glatten, ungekerbten Werkstoffproben (beispielsweise der Dauerfestigkeit sD ) zu ertragbaren Nennspannungen an gekerbten Proben (beispielsweise der Bauteildauerfestigkeit sDk ) angeben, bk ¼ sD =sDk ;

ð6Þ

knnen folglich nur dann zur sicheren bertragung von Versuchsergebnissen genutzt werden, wenn ein ausreichend genaues Umrechnungsverfahren f
r Kerbwirkungszahlen auf der Grundlage der wirksamen Schdigungsmechanismen vorliegt. Einen Ansatz f
r solche Umrechnungsverfahren bieten bei Bauteilen mit krftefreien Oberflchen die Kerbgrundkon-

C 53

zepte, bei reib- und kraftschl
ssigen Bauteilverbindungen m
ssen auch tribologische Kenngrßen in die Bewertung einfließen (siehe E 5).

10.3 Kerbgrundkonzepte Kerbgrundkonzepte f
r Bauteile mit krftefreien Oberflchen erfordern die Kenntnis der Beanspruchungen (Spannungen, Dehnungen, Gleitungen) im Bereich der anrißgefhrdeten Bauteilstellen. Diese Beanspruchungen knnen grundstzlich bei Kenntnis der statischen und zyklischen Werkstoffgesetze nach E 1 (z. B. Bild 22) mit nichtlinearen Berechnungen nach der Methode der Finiten Elemente (FEM) entsprechend C 8 einschließlich einer geeigneten Plastizittstheorie nach C 9 berechnet werden. Da die Rechenzeiten f
r solche Berechnungen mit derzeitigen Rechnern immens hoch sind, wird man sich im allgemeinen auf lineare FEM-Berechnungen beschrnken und den Einfluss der Nichtlinearitten durch erfahrungsgest
tzte Konzepte f
r Mikro- und Makrost
tzwirkung ber
cksichtigen. Werden die durch Spannungsumlagerungen bedingten St
tzwirkungen nicht in die Beurteilung einbezogen, erhlt man bei sonst gleichen Annahmen Aussagen mit erhhter Sicherheit; das zugehrige Konzept wird als elastisches Kerbgrundkonzept bezeichnet. Die Grundlagen dieses Konzepts mit rtlichen, elastischen Spannungen bilden die Bausteine f
r die gngigen erweiterten Konzepte mit St
tzwirkung. Elastische Formzahl (Spannungsformzahl). Durch das Verhltnis der errechneten, hchsten elastischen Kerbgrundspan^ bzw. ^t zu einer einfach zu ermittelnden Nennspannung s nung sn bzw. tn , werden elastische Formzahlen ak definiert, die f
r die praktische Berechnung wegen ihrer Nhe zur Kerbwirkungszahl bk (nach Gl. (6)) ußerst n
tzlich sind. Oft gilt ^ =sn bzw: ak ¼ ^t=tn ak ¼ s

ð7Þ

mit einer Nennspannung, die auf den engsten Bauteilquerschnitt bezogen wird; beispielsweise Anh. E 1 Tab. 4. Abweichend hierzu kann bei durchbohrten Stben auch die Definiti^ =tn o. . notwendig werden, wenn die schadensreleon ak ¼ s vante Zugspannung am Bohrungsrand durch eine Torsionsnennbelastung hervorgerufen wird! Vereinzelt werden auch Vergleichsspannungen nach der MISES-Hypothese auf Nennspannungen bezogen, die Formzahlen sollten dann mit einem Index gekennzeichnet werden (akv statt ak ). Mikrost
tzwirkung. Das Verhltnis nc der Formzahl ak zur Kerbwirkungszahl bk bei Dauerfestigkeit wird neben dem Werkstoff vor allem vom Kerbradius r beeinflusst. In E 1 Bild 34, wird dieser Zusammenhang verdeutlicht. Bei kleineren Kerbradien, die stets zu einer Formzahlerhhung f
hren, ist danach die St
tzwirkung grßer als bei grßeren Radien. In der Praxis des Maschinenbaus sind alternativ verschiedene Umrechnungsverfahren zur Bestimmung der relevanten St
tzzahlen ns ¼ aks =bks bzw: nt ¼ akt =bkt

ð8Þ

bei Normalspannungen bzw. Schubspannungen
blich. Grundlage dieser Verfahren ist meist das Spannungsgeflle G in Richtung der Oberflchennormalen n ðGs ¼ d s=d n bzw. Gt ¼ d t=d n) an der hchstbeanspruchten Stelle der betrachteten Bauteilkerbe (s. E 1 Bild 32). Die St
tzwirkung bei Dauerfestigkeit wird dann
ber das auf die Spannungs^ a bzw. ^ta bezogene Spannungsgeflle Gs ¼ amplituden s Gs =^ sa bzw. Gt ¼ Gt =^ta unter Beachtung einer Mikrost
tzlnge rs bzw. rt berechnet. Hufig werden die St
tzzahlen nach qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð9Þ ns ¼ 1 þ
rs
Gs bzw: nt ¼ 1 þ
rt
Gt

C

C 54

Festigkeitslehre – 10 Festigkeitsnachweis

bestimmt. In erster N
herung gilt bei Zug-Druck und Biegung Gs ¼ 2=r und bei Schub Gt ¼ 1=r mit dem Kerbradius r sowie bei Wellenst
hlen sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 55 N=mm G ns
nt ¼ 1 þ Rp 0;2 ½mm1  2

C

ð10Þ

mit der Dehngrenze Rp 0;2 [3]. Genauere Sch
tzformeln siehe FKM-Richtlinie [9] oder DIN 743. Die Berechnung der Sttzzahlen aus ns und nt ermglicht rckwirkend die Vorhersage der zu erwartenden Kerbwirkungszahlen und damit nach Gl. (8) und dann nach Gl. (6) die Berechnung der dauernd ertragbaren Nennspannungsamplituden in Bauteilen mit kr
ftefreien Oberfl
chen bei Kenntnis der Werkstoff-Dauerfestigkeiten – zun
chst fr den Fall reiner Wechselbeanspruchungen. Unter Beachtung der erforderlichen Sicherheiten folgen die zul
ssigen Nennspannungsamplituden, die in Gl. (3) oder Gl. (4) bentigt werden. Treten zus
tzlich zu den Wechselbeanspruchungen Mittelspannungen auf oder sollen Zeitfestigkeitsberechnungen durchgefhrt werden, so ist es ntzlich, neben der mindestens erreichbaren Mikrosttzwirkung auch die ber grßere Bauteilbereiche wirkende Makrosttzwirkung durch plastische Umlagerung der Spannungen und Dehnungen zu bercksichtigen.

svm ¼

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ðszm þ sbm Þ2 þ 3 t2m

entsprechend der v. MISES-Hypothese, wobei keinesfalls alle Reserven – besonders bei Druckspannungen – genutzt werden. Verbesserte Gleichungen fr synchrone und auch phasenverschobene Beanspruchungen siehe [5–7]. Dort knnen auch Zeitfestigkeitsberechnungen fr nahezu beliebige Beanspruchungsverl
ufe gefunden werden. Realit
tsnahe Zeitfestigkeitsberechnungen mit hoher Aussagegte erfordern auch fr Spannungsamplituden die Anwendung von Makrosttzzahlen ma : Hinweis: Bei mehrachsiger Zugbelastung, beispielsweise nach Bild 2, knnen an den Kerbstellen einachsige Beanspruchungsverh
ltnisse entstehen. Dieses ist bei der Aufstellung von Interaktionsformeln fr solche Anwendungsf
lle zu beachten. Die formale bertragung von Vergleichsspannungshypothesen als Leitidee zur Formulierung von Interaktionsformeln – wie in der FKM-Richtlinie [9] – kann bei nicht sachgerechter Vorgehensweise zu Fehlinterpretationen fhren. Im vorliegenden Beispiel w
re die an die Interaktionsformel der DIN 15 018 anknpfende Formel fr die Nennspannungsamplituden        sya 2  sxa   sya  sxa 2 þ   s  s s s xa; zul

Makrost
tzwirkung. Der Einfluss der Mittelspannungen (Mittelspannungsempfindlichkeit s. E 1 Bild 21) wird in der Werkstofftechnik durch Dauerfestigkeitsschaubilder nach Smith oder Haigh nach E 1 Bild 20 oder Anh. E 1 Bilder 1 und 2, dokumentiert, die sich oft auf Probendurchmesser 7,5 mm beziehen. Fr die praktische Anwendung bentigt man dann Grßeneinflussfaktoren zur Umrechnung der ertragbaren Beanspruchungen auf andere Durchmesser. Grßeneinflussfaktoren sind im Wesentlichen von der durchmesserabh
ngigen Werkstoffzugfestigkeit Rm und/oder der Dehngrenze Rp 0;2 abh
ngig. Umrechnungsverfahren siehe u. a. FKM-Richtlinie [9] oder DIN 743. Die tats
chlichen wirksamen Zug-Mittelspannungen sind vor allem bei fließf
higen Bauteilen erheblich niedriger als die mit linearen FEM-Berechnungen oder elastischen Formzahlen ak errechenbaren Zug-Mittelspannungen, da sich durch Fließen und zyklisches Kriechen die hchstbeanspruchten Stellen des gef
hrdeten Bauteilbereichs zu Lasten der Nachbarbezirke entlasten. Dieser Sachverhalt erkl
rt, warum bei verformungsf
higen Werkstoffen und bei Vermeidung von extremer Mehrachsigkeit des Spannungszustands h
ufig lediglich die Nenn-Mittelspannungen bercksichtigt werden; vergleiche hierzu Schweißnahtberechnungen nach DIN 15 018 u.
. Die Makrosttzwirkung l
sst sich formal mit der Makrosttzzahl m in den Festigkeitsnachweis einbeziehen. Bei einachsiger Beanspruchung gilt fr die wirksame Mittelspannung ^ m =ðns  mÞ bzw: tm ¼ ^tm =ðnt  mÞ: sm ¼ s

ð12Þ

ya; zul

xa; zul

  tta 2 þ  1; 0 tta; zul

ya; zul

ð13Þ

nicht sachgerecht. Notwendig ist wegen der vorliegenden Einachsigkeit der Kerbgrundbeanspruchungen und der Phasenverschiebung der zeitlich ver
nderlichen Nennspannungen – getrennt fr die Außenkerben und die Bohrung – je eine Interaktionsformel entsprechend     kx sxa þ ky sya   1; 0 ð14Þ  sxa; zul sya; zul  mit von der Phasenverschiebung der Nennspannungen abh
ngigen Kombinationsfaktoren kx und ky (
hnlich Gl. (5)). Deshalb ist bei Bauteilen mit mehreren nichtsynchronen Belastungsgruppen der Einsatz von Interaktionsformeln mglichst experimentell abzusichern oder – sofern realisierbar – ein abgesichertes Kerbgrundkonzept anzuwenden.

ð11Þ

^ m ¼ aks  smn und verformungsf
higem BauteilquerBei s schnitt kann die Makrosttzzahl m ¼ aks =ns betragen, sodass sm ¼ smn folgt; analoges gilt fr Schubspannungen. Da Eigenspannungen wie Mittelspannungen wirken und sofern „Nenneigenspannungen“ der Wert Null zugewiesen werden kann, beispielsweise in statisch bestimmten Bauteilen, relaxieren Eigenspannung bei Vermeidung von Spannungsversprdung im Kerbgrund tendenziell gegen Null. Ist die Verformbarkeit des Werkstoffs eingeschr
nkt, dann gelten diese einfachen Regeln nicht. Methoden zur Berechnung der Makrosttzzahl [6, 9]. Bei mehrachsiger Beanspruchung und Verformungsf
higkeit gilt fr Wellen und Achsen (DIN 743) als Vergleichs-Nennmittelspannung

Bild 2. Knotenblech mit Bohrung sowie zeitlich ver
nderlichen Nennbeanspruchungen

I11 Anhang C: Diagramme und Tabellen

C 55

11 Anhang C: Diagramme und Tabellen Anh. C 2 Tabelle 1. Warmgewalzte I-Tr
ger, schmale I-Tr
ger, I-Reihe nach DIN 1025 Blatt 1 (Auszug)

C

Anh. C 2 Tabelle 2. Warmgewalzte I-Tr
ger, breite I-Tr
ger, IPB-Reihe nach DIN 1025 Blatt 2 (Auszug)

C 56

Festigkeitslehre – 11 Anhang C: Diagramme und Tabellen

Anh. C 2 Tabelle 3. Warmgewalzter rundkantiger, hochstegiger T-Stahl nach DIN 1024 (Auszug)

C

Anh. C 2 Tabelle 4. Warmgewalzter gleichschenkliger rundkantiger Winkelstahl nach DIN 1028 (Auszug)

I11 Anhang C: Diagramme und Tabellen

C 57

Anh. C 2 Tabelle 5. Warmgewalzter rundkantiger Z-Stahl nach DIN 1027 (Auszug)

C

C 58

Festigkeitslehre – 11 Anhang C: Diagramme und Tabellen

Anh. C 2 Tabelle 6. Warmgewalzter ungleichschenkliger rundkantiger Winkelstahl nach DIN 1029 (Auszug)

C

I12 Spezielle Literatur

C 59

Anh. C 2 Tabelle 7. Warmgewalzter rundkantiger U-Stahl nach DIN 1026 (Auszug)

C

12 Spezielle Literatur zu C 1 Allgemeine Grundlagen [1] Leipholz, H.: Einf
hrung in die Elastizittstheorie. Karlsruhe: Braun 1968. – [2] Biezeno, C.; Grammel, R.: Technische Dynamik, 2. Aufl. Berlin: Springer 1971. – [3] M
ller, W.: Theorie der elastischen Verformung. Leipzig: Akad. Verlagsgesell. Geest u. Portig 1959. – [4] Neuber, H.: Technische Mechanik, Teil II. Berlin: Springer 1971. – [5] Betten, J.: Elastizitts- und Plastizittstheorie, 2. Aufl. Braunschweig: Vieweg 1986. – [6] Siebel, E.: Neue Wege der Festigkeitsrechnung. VDI – Z. 90 (1948) 135–139. – [7] Siebel, E.; R
hl, K.: Formdehngrenzen f
r die Festigkeitsberechnung. Die Technik 3 (1948) 218–223. – [8] Siebel, E.; Schwaigerer, S.: Das Rechnen mit Formdehngrenzen. VDI-Z: 90 (1948) 335–341. – [9] Schwaigerer, S.: Werkstoffkennwert und Sicherheit bei der Festigkeitsberechnung. Konstruktion 3 (1951) 233–239. – [10] Wellinger, K.; Dietmann, H.: Festigkeitsberechnung, 3. Aufl. Stuttgart: Krner 1976. zu C 2 Beanspruchung stabfrmiger Bauteile [1] Szabo´, I.: Einf
hrung in die Technische Mechanik, 8. Aufl. Berlin: Springer 1975, Nachdruck 2003. – [2] Weber,

C.: Biegung und Schub in geraden Balken. Z. angew. Math. u. Mech. 4 (1924) 334–348. – [3] Schultz-Grunow, F.: Einf
hrung in die Festigkeitslehre. D
sseldorf: Werner 1949. – [4] Szabo´, I.: Hhere Technische Mechanik, 6. Aufl. Berlin: Springer 2001. – [5] Neuber, H.: Technische Mechanik, Teil II. Berlin: Springer 1971. – [6] Leipholz, H.: Festigkeitslehre f
r den Konstrukteur. Berlin: Springer 1969. – [7] Young, W. C.; Budynas, R. G.: Roark's Formulas for Stress and Strain, 7th ed. Singapore: McGraw-Hill 2002. zu C 3 Elastizittstheorie [1] Szabo´, I.: Hhere Technische Mechanik, 6. Aufl. Berlin: Springer 2001. – [2] Girkmann, K.: Flchentragwerke, 3. Aufl. Wien: Springer 1954. – [3] Timoshenko, S.; Goodier, J. N.: Theory of Elasticity, 3rd ed. Singapore: McGraw-Hill 1987. zu C 4 Beanspruchung bei Ber
hrung zweier Krper (Hertzsche Formeln) [1] Hertz, H.: ber die Ber
hrung fester elastischer Krper. Ges. Werke, Bd. I. Leipzig: Barth 1895. – [2] Szabo´, I.: Hhere Technische Mechanik, 5. Aufl. Berlin: Springer 1977. – [3] Fppl, L.: Der Spannungszustand und die Anstrengung der

C 60

Festigkeitslehre – 12 Spezielle Literatur

Werkstoffe bei der Ber
hrung zweier Krper. Forsch. Ing.Wes. 7 (1936) 209–221. – [4] Timoshenko, S.; Goodier, J. N.: Theory of elasticity, 3rd ed. Singapore: McGraw-Hill 1987.

C

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r vierseitig und dreiseitig gelagerte Rechteckplatten. Betonkal. 1984, Bd. I. Berlin: Ernst 1990. – [5] Beyer, K.: Die Statik im Stahlbetonbau. Berlin: Springer 1948. – [6] Worch, G.: Elastische Platten. Betonkal 1960, Bdd. II. Berlin: Ernst 1960. – [7] Timoshenko, S.; Woinowsky-Krieger, S.: Theory of plates and shells, 2nd ed. Kogakusha: McGraw-Hill 1990. zu C 6 Dynamische Beanspruchung umlaufender Bauteile durch Fliehkrfte [1] Biezeno, C.; Grammel, R.: Technische Dynamik, 3. Aufl. Berlin: Springer 1995. zu C 7 Stabilittsprobleme [1] Szabo´, I.: Hhere Technische Mechanik, 6. Aufl. Berlin: Springer 2001. – [2] Kollbrunner, C. F.; Meister, M.: Knicken, Biegedrillknicken, Kippen, 2. Aufl. Berlin: Springer 1961. – [3] Biezeno, C.; Grammel, R.: Technische Dynamik, 3. Aufl. Berlin: Springer 1990. – [4] Pfl
ger, A.: Stabilittsprobleme der Elastostatik. Berlin: Springer 1950. – [5] B
rgermeister, G.; Steup, H.: Stabilittstheorie. Berlin: Akademie-Verlag 1963. – [6] Timoshenko, S.: Theory of elastic stability. New York: McGraw-Hill 1961. – [7] Wolmir, A. S.: Biegsame Platten und Schalen. Berlin: VEB Verlag f. Bauwesen 1962. – [8] Fl
gge, W.: Statik und Dynamik der Schalen, 3. Aufl. Berlin 1981. – [9] Schapitz, E.: Festigkeitslehre f
r den Leichtbau, 2. Aufl. D
sseldorf: VDI-Verlag 1963. zu C 8 Methode der Finiten Elemente (FEM), der Randelemente (BEM) und der Finiten Differenzen (FDM) [1] Zienkiewicz, O. C.: Methoden der finiten Elemente, 2. Aufl. M
nchen: Hanser 1975. – [2] Gallagher, R. H.: FiniteElement-Analysis. Berlin: Springer 1976. – [3] Schwarz, H. R.: Methode der finiten Elemente, 3. Aufl. Stuttgart: Teubner 1991. – [4] Link, M.: Finite Elemente in der Statik und Dynamik, 3. Aufl. Stuttgart: Teubner 2002. – [5] Argyris, J.; Mlejnek, H.-P.: Die Methode der finiten Elemente. Bd. I–III. Braunschweig: Vieweg 1986–1988. – [6] Bathe, K.-J.: FiniteElement-Methoden, 2. Aufl. Berlin: Springer 2002. – [7] Oldenburg, W.: Die Finite-Elemente-Methode auf dem PC. Braunschweig: Vieweg 1989. – [8] Wellinger, K.; Dietmann, H.: Festigkeitsberechnung, Grundlagen und technische Anwendung. 3. Aufl. Stuttgart: Krner 1976. – [9] Hampel, H.: Rohrleitungsstatik, Grundlagen, Gebrauchsformeln, Beispiele. Berlin: Springer 1972. – [10] Collatz, L.: Numerische Behandlung von Differentialgleichungen, 2. Aufl. Berlin: Springer 1955. – [11] Girkmann, K.: Flchentragwerke, 6. Aufl. Nachdruck der 5. Aufl. Wien: Springer 1963. – [12] Hartmann, F.: Methode der Randelemente. Berlin: Springer 1987. – [13] Brebbia, C. A.; Telles, J. C. F.; Wrobel, L. C.: Boundary Element Techniques, Berlin: Springer 1987. – [14]

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ller, G.; Rehfeld, J.; Katheder, W.: FEM f
r Praktiker, 2. Aufl. Grafenau: expert verlag 1995. zu C 9 Plastizittstheorie [1] Wellinger, K.; Dietmann, H.: Festigkeitsberechnung. Grundlagen und technische Anwendung, 3. Aufl. Stuttgart: Krner 1976. – [2] Reckling, K. A.: Plastizittstheorie und ihre Anwendung auf Festigkeitsprobleme. Berlin: Springer 1967. – [3] Lippmann, H.; Mahrenholtz, O.: Plastomechanik der Umformung metallischer Werkstoffe. Berlin: Springer 1967. – [4] Schreyer, G.: Konstruieren mit Kunststoffen. M
nchen: Hanser 1972. – [5] Szabo´, I.: Hhere Technische Mechanik. Korrigierter Nachdruck der 5. Aufl. Berlin: Springer 1977. – [6] Ismar, H.; Mahrenholtz, O.: Technische Plastomechanik, Braunschweig: Vieweg 1998. – [7] Kreißig, R.; Drey, K.-D., Naumann, J.: Methoden der Plastizitt. M
nchen: Hanser 1980. – [8] Lippmann, H.: Mechanik des plastischen Fließens. Berlin: Springer 1981. Zu C 10 Festigkeitsnachweis [1] Mertens, H.: Kerbgrund- und Nennspannungskonzept zur Dauerfestigkeitsberechnung – Weiterentwicklung des Konzepts der Richtlinie VDI 2226. In VDI-Berichte 661: Dauerfestigkeit und Zeitfestigkeit – Zeitgemße Berechnungskonzepte. Tagung Bad Soden, 1988. D
sseldorf: VDI-Verlag, 1988. – [2] FKM-Richtlinie: Bruchmechanischer Festigkeitsnachweis f
r Maschinenbauteile. 1. Ausgabe, Forschungskuratorium Maschinenbau e. V., Frankfurt am Main: VDMAVerlag 2001. – Normen: DIN 743: Tragfhigkeitsberechnung von Wellen und Achsen. – DIN 15018, Teil 1 – 3: Krane, Stahltragwerke, Berechnung und Ausf
hrung. – [3] Gerber, H. W.: Statisch
berbestimmte Flanschverbindungen mit Reib- und Formschlusselementen unter Torsions-, Biege- und Querkraftbelastung. Forschungsheft 356 der Forschungsvereinigung Antriebstechnik e. V., Frankfurt 1992. – [4] Paysan, G.: Ein Wirkzonenkonzept zur Simulation des Verschleißund Tragverhaltens reibkorrosionsgefhrdeter Maschinenelemente. Dissertation TU-Berlin, 2000. – [5] Hahn, M.: Festigkeitsberechnung und Lebensdauerabschtzung f
r Bauteile unter mehrachsig schwingender Beanspruchung. Dissertation TU Berlin 1995. Berlin: Wissenschaft und Technik Verlag Dr. J
rgen Groß, 1995. – [6] Mertens, H.; Hahn, M.: Vergleichsspannungshypothese und Schwingfestigkeit bei zweiachsiger Beanspruchung ohne und mit Phasenverschiebung. Konstruktion 45 (1993) 192–202. – [7] Mertens, H.; Hahn, M.: Vorhersage von Bauteilwhlerlinien f
r Nennspannungskonzepte. Konstruktion 49 (1997) 31–37. – [8] FKM-Richtlinie: Rechnerischer Festigkeitsnachweis f
r Maschinenbauteile. 3., vollstndig
berarbeitete und erweiterte Ausgabe. Forschungskuratorium Maschinenbau e.V., Frankfurt 1998. – [9] FKMRichtlinie: Rechnerischer Festigkeitsnachweis f
r Maschinenbauteile aus Stahl, Eisenguss- und Aluminiumwerkstoffen. 4., erweiterte Ausgabe, Forschungskuratorium Maschinenbau e. V., Frankfurt am Main: VDMA-Verlag 2002.

D

Thermodynamik

K. Stephan, Stuttgart, und P. Stephan, Darmstadt Allgemeine Literatur zu D 1 bis D 10 B
cher: Baehr, H. D.: Mollier-i, x-Diagramm f
r feuchte Luft in den Einheiten des Internationalen Einheitensystems. Berlin: Springer 1961. – Baehr, H. D.: Thermodynamik. Grundlagen und technische Anwendungen. 12. Aufl. Berlin: Springer 2005. – Baehr, H. D.; Stephan, K.: Wrme- und Stoff
bertragung, 5. Aufl. Berlin: Springer 2006. – Bosˇnjakovic´, F.; Knoche, K. F.: Technische Thermodynamik, Teil 1, 8. Aufl. 1998; Teil 2, 6. Aufl. 1997. Darmstadt: Steinkopff. – Brandt, F.: Brennstoffe und Verbrennungsrechnung. Fachverband Dampfkessel-Behlter- und Rohrleitungsbau. Fachbuchreihe, Bd. 1, 3. Aufl. Essen: Vulkan 1999. – Brandt, F.: Wrme
bertragung in Dampferzeugern und Wrmetauschern. Fachverband Dampfkessel-Behlter- und Rohrleitungsbau. Fachbuchreihe, Bd. 2, 2. Aufl. Essen: Vulkan 1995. – Cammerer, J. S.: Der Wrme- und Klteschutz in der Industrie. 5. Aufl. Berlin: Springer 1995. – Cerbe, G.; Hoffmann, H.-J.: Einf
hrung in die Thermodynamik, 15. Aufl. M
nchen: Hanser 2002. – Hausen, H.: Wrme
bertragung im Gegenstrom, Gleichstrom und Kreuzstrom, 2. Aufl. Berlin: Springer 1976. – Langeheinecke, K. (Hrsg).; Jany, P.; Sapper, E.: Thermodynamik f
r Ingenieure, 3. Aufl. Braunschweig: Vieweg 2001. – Lucas, K.: Thermodynamik, 5. Aufl. Berlin: Springer 2005. – Merker, G. P.; Baumgarten, C.: Fluid- und Wrmetransport, Strmungslehre. Stuttgart: Teubner 2000. – Stephan, K.: Wrme
bergang beim Kondensieren und beim Sieden. Berlin: Springer 1988. – Stephan, K.; Mayinger, F.: Thermodynamik, Bd. 2: Mehrstoffsysteme und chemische Reaktionen, 14. Aufl. Berlin: Springer 1999. – Stephan, P.; Schaber, K.; Stephan, K.; Mayinger, F.: Thermodynamik, Bd. 1: Einstoffsysteme. 16. Aufl. Berlin: Springer 2005 – Wagner, W.; Kruse, A.: Properties of water and steam. Zustandsgrßen von Wasser und Wasserdampf. Berlin: Springer 1998.

1 Thermodynamik. Grundbegriffe Die Thermodynamik ist als Teilgebiet der Physik eine allgemeine Energielehre. Sie befasst sich mit den verschiedenen Erscheinungsformen der Energie und deren Umwandlung ineinander. Sie stellt die allgemeinen Gesetze bereit, die jeder Energieumwandlung zugrunde liegen.

1.1 Systeme, Systemgrenzen, Umgebung Unter einem thermodynamischen System, kurz auch System genannt, versteht man dasjenige materielle Gebilde oder Gebiet, das Gegenstand der thermodynamischen Untersuchung sein soll. Beispiele f
r Systeme sind eine Gasmenge, eine Fl
ssigkeit und ihr Dampf, ein Gemisch mehrerer Fl
ssigkeiten, ein Kristall oder eine energietechnische Anlage. Das System wird durch eine materielle oder gedachte Systemgrenze von seiner Umwelt, der sog. Umgebung getrennt. Eine Systemgrenze darf sich whrend des zu untersuchenden Vorgangs verschieben, beispielsweise wenn sich eine Gasmenge ausdehnt, und sie darf außerdem f
r Energie und Materie durchlssig sein. Energie kann
ber eine Systemgrenze mit einer ein- oder austretenden Materie sowie in Form von Wrme (D 3.2.3) und Arbeit (D 3.2.1) transportiert werden. Das System mit seiner Systemgrenze dient bei der Betrachtung und Berechnung von Energieumwandlungsprozessen als Bilanzraum mit seiner Bilanzgrenze. Stellt man z. B. eine Energiebilanz (D 3 Erster Hauptsatz) f
r das System auf, so werden die
ber die Systemgrenze ein- und austretenden Energien und die Energienderungen und Eigenschaften im System in Form einer Bilanzgleichung miteinander verkn
pft. Ein System heißt geschlossen, wenn die Systemgrenze f
r Materie undurchlssig und offen, wenn sie f
r Materie durchlssig ist. Whrend die Masse eines geschlossenen Systems unvernderlich ist, ndert sich die Masse eines offenen Systems, wenn die whrend einer bestimmten Zeit in das System einstrmende Masse von der ausstrmenden verschieden ist. Sind einstrmende und ausstrmende Masse gleich, so bleibt auch die Masse des offenen Systems konstant. Beispiele f
r ge-

schlossene Systeme sind feste Krper oder Massenelemente in der Mechanik, Beispiele f
r offene Systeme sind Turbinen, Strahltriebwerke, strmende Fluide (Gase oder Fl
ssigkeiten) in Kanlen. Ist ein System gegen
ber seiner Umgebung vollkommen thermisch isoliert, kann also keine Wrme
ber die Systemgrenze transportiert werden, so spricht man von einem adiabaten System. Abgeschlossen nennt man ein System, das von allen Einwirkungen seiner Umgebung isoliert ist, sodass weder Energie in Form von Wrme oder Arbeit noch Materie mit der Umgebung ausgetauscht werden. Die Unterscheidung zwischen geschlossenem und offenem System entspricht der Unterscheidung zwischen Lagrangeschem und Eulerschem Bezugssystem in der Strmungsmechanik. Im Lagrangeschen Bezugssystem, das dem geschlossenen System entspricht, untersucht man die Bewegung eines Fluids, indem man dieses in kleine Elemente von unvernderlicher Masse zerlegt und deren Bewegungsgleichung ableitet. Im Eulerschen Bezugssystem, das dem offenen System entspricht, denkt man sich im Raum ein festes Volumenelement aufgespannt und untersucht die Strmung des Fluids durch das Volumenelement hindurch. Beide Arten der Beschreibung sind einander quivalent, und es ist oft nur eine Frage der Zweckmßigkeit, ob man ein geschlossenes oder offenes System der Betrachtung zugrunde legt.

1.2 Beschreibung des Zustands eines Systems. Thermodynamische Prozesse Ein System wird durch bestimmte physikalische Grßen charakterisiert, die man messen kann, beispielsweise Druck, Temperatur, Dichte, elektrische Leitfhigkeit, Brechungsindex und andere. Der Zustand eines Systems ist dadurch bestimmt, dass alle diese physikalischen Grßen, die sog. Zustandsgr
ßen, feste Werte annehmen. Den bergang eines Systems von einem Zustand in einen anderen nennt man Zustandsnderung. Beispiel: Ein Ballon ist mit Gas gef
llt. Thermodynamisches System sei das Gas. Die Masse des Gases ist, wie die Messung zeigt, durch Volumen, Druck und Temperatur bestimmt. Zustandsgrßen des Sys-

D

D2

D

Thermodynamik – 2 Temperaturen. Gleichgewichte

tems sind also Volumen, Druck und Temperatur, und der Zustand des Systems (Gases) ist durch ein festes Wertetripel von Volumen, Druck und Temperatur gekennzeichnet. Den
bergang zu einem anderen festen Wertetripel, beispielsweise wenn eine gewisse Gasmasse ausstrmt, nennt man Zustandsnderung.

Beispiel: Das Volumen, die Energie oder die Masse selbst.

Den mathematischen Zusammenhang zwischen Zustandsgrßen nennt man Zustandsgleichung.

Beispiel: Extensive Zustandsgrße sei das Volumen eines Gases, spezifische Zustandsgrße ist dann das spezifische Volumen u=V/m, wenn m die Masse des Gases ist. SI-Einheit des spez. Volumens ist m3 =kg.

Beispiel: Das Volumen des Gases in einem Ballon erweist sich als eine Funktion von Druck und Temperatur. Der mathematische Zusammenhang zwischen diesen Zustandsgrßen ist eine solche Zustandsgleichung.

Zustandsgr
ßen unterteilt man in drei Klassen: Intensive Zustandsgrßen sind unabhngig von der Grße des Systems und behalten somit bei einer Teilung des Systems in Untersysteme ihre Werte bei. Beispiel: Unterteilt man einen mit Gas von einheitlicher Temperatur gefllten Raum in kleinere Rume, so bleibt die Temperatur unverndert. Sie ist eine intensive Zustandsgrße.

Zustandsgrßen, die proportional zur Masse des Systems sind, heißen extensive Zustandsgrßen.

2 Temperaturen. Gleichgewichte 2.1 Thermisches Gleichgewicht Hufig sprechen wir von „heißen“ oder „kalten“ Krpern, ohne solche Zustnde zunchst genau durch eine Zustandsgrße zu quantifizieren. Bringt man nun ein solches geschlossenes heißes System A mit einem geschlossenen kalten System B in Kontakt, so wird ber die Kontaktflche Energie in Form von Wrme transportiert. Dabei ndern sich die Zustandsgrßen beider Systeme mit der Zeit bis sich nach hinreichend langer Zeit neue feste Werte einstellen und der Energietransport zum Stillstand kommt. In diesem Endzustand herrscht thermisches Gleichgewicht zwischen den Systemen. Die Geschwindigkeit, mit der die Systeme diesen Gleichgewichtszustand erreichen, hngt von der Art des Kontakts der Systeme sowie ihrer thermischen Eigenschaften ab. Sind die Systeme z. B. nur durch eine dnne Metallwand voneinander getrennt, so wird sich das Gleichgewicht schneller einstellen, als wenn sie durch eine dicke Wand aus Polystyrolschaum getrennt sind. Eine Trennwand, die lediglich jeden Stoffaustausch und auch jede mechanische, magnetische oder elektrische Wechselwirkung verhindert, den Transport von Wrme jedoch zulsst, nennt man diatherm. Eine diatherme Wand ist „thermisch“ leitend. Eine thermisch vollkommen isolierende Wand, nennt man adiabat.

2.2 Nullter Hauptsatz und empirische Temperatur Herrscht thermisches Gleichgewicht zwischen den Systemen A und C und den Systemen B und C, dann befinden sich erfahrungsgemß auch die Systeme A und B im thermischen Gleichgewicht, wenn man sie ber eine diatherme Wand miteinander in Kontakt bringt. Diesen Erfahrungssatz bezeichnet man als „nullten Hauptsatz der Thermodynamik“. Er lautet: Zwei Systeme im thermischen Gleichgewicht mit einem dritten befinden sich auch untereinander im thermischen Gleichgewicht.

Dividiert man eine extensive Zustandsgrße X durch die Masse m des Systems, so erhlt man eine spezifische Zustandsgrße x ¼ X=m.

Zustandsnderungen kommen durch Wechselwirkungen mit der Umgebung des Systems zustande, beispielsweise dadurch, dass Energie ber die Systemgrenze zu- oder abgefhrt wird. Zur Beschreibung einer Zustandsnderung gengt es, allein den zeitlichen Verlauf der Zustandsgrßen anzugeben. Die Beschreibung eines Prozesses erfordert zustzlich Angaben ber Grße und Art der Wechselwirkungen mit der Umgebung. Unter einem Prozess versteht man somit die durch bestimmte ußere Einwirkungen hervorgerufenen Zustandsnderungen. Der Begriff Prozess ist also weiter gefasst als der Begriff Zustandsnderung. So kann z. B. ein und dieselbe Zustandsnderung durch verschiedene Prozesse hervorgerufen werden.

Um festzustellen, ob sich zwei Systeme A und B im thermischen Gleichgewicht befinden, bringt man sie nacheinander in Kontakt mit einem System C, dessen Masse klein sei im Vergleich zu derjenigen der Systeme A und B, damit Zustandsnderungen in den Systemen A und B whrend der Gleichgewichtseinstellung vernachlssigbar sind. Bringt man C erst mit A in Kontakt, so ndern sich bestimmte Zustandsgrßen von C, beispielsweise sein elektrischer Widerstand. Diese Zustandsgrßen bleiben beim anschließenden Kontakt zwischen B und C unverndert, wenn zuvor thermisches Gleichgewicht zwischen A und B herrschte. Mit C kann man so prfen, ob zwischen A und B thermisches Gleichgewicht herrscht. Den Zustandsgrßen von C nach Einstellung des Gleichgewichts kann man beliebige feste Zahlen zuordnen. Diese nennt man empirische Temperaturen, das Messgert selbst ist ein Thermometer.

2.3 Temperaturskalen Zur Konstruktion und Definition der empirischen Temperaturskalen dient das Gasthermometer (Bild 1), mit dem man den Druck p misst, der vom Gasvolumen V ausgebt wird. Das Gasthermometer wird nun mit Systemen in Kontakt gebracht, deren thermischer Zustand konstant ist, z. B. ein Gemisch aus Eis und Wasser bei festgelegtem Druck. Nach hinreichend langer Zeit wird das Gasthermometer im thermischen Gleichgewicht mit dem in Kontakt befindlichen System sein. Das Gasvolumen V wird dabei durch Verndern der Hhe Dz der Quecksilbersule konstant gehalten. Der durch die Quecksilbersule und die Umgebung ausgebte Druck p wird gemessen und das Produkt pV gebildet. Messungen bei verschiedenen hinreichend geringen Drcken ergeben durch Extrapolation einen Grenzwert lim pV ¼ A. Diesem aus den p!0

Messungen ermittelten Wert A ordnet man eine empirische Temperatur zu durch den linearen Ansatz T ¼ const
A:

ð1Þ

Nach Festlegung der Konstanten „const“ braucht man nur jeweils den Wert A aus den Messungen zu ermitteln und kann dann aus Gl. (1) die empirische Temperatur T berechnen. Dem zur Festlegung der empirischen Temperaturskala ben-

I2.3

Bild 1. Gasthermometer mit Gasvolumen V im Kolben bis zur Quecksilbersule

tigten „Fixpunkt“ hat die 10. Generalkonferenz f
r Maße und Gewichte in Paris 1954 den Tripelpunkt des Wassers mit der Temperatur Ttr ¼ 273,16 Kelvin (abgek
rzt 273,16 K) zugeordnet. Am Tripelpunkt des Wassers stehen Dampf, fl
ssiges Wasser und Eis miteinander im Gleichgewicht bei einem Druck von (611; 657
0; 010) Pa. Die so eingef
hrte Temperaturskala bezeichnet man als Kelvin-Skala. Sie ist identisch mit der thermodynamischen Temperaturskala. Es ist T ¼ Ttr A=Atr ;

ð1 aÞ

wenn Atr der mit einem Gasthermometer am Tripelpunkt des Wassers gemessene Wert der Grße A ist. Auf der Celsius-Skala, deren Temperatur t man in C angibt, wurde der Eispunkt des Wassers beim Druck von 0,101325 MPa mit t0 ¼ 0 °C und der Siedepunkt beim gleichen Druck mit tl ¼ 100 °C festgelegt. In absoluten Temperaturen entspricht dies recht genau T0 ¼ 273; 15 K bzw. Tl ¼ 373; 15 K. Die Temperatur Ttr ¼ 273; 16 K am Tripelpunkt des Wassers liegt um rund 0,01 K hher als die Temperatur am Eispunkt. Die Umrechnung der Temperaturen erfolgt entsprechend der Zahlenwertgleichung T ¼ t þ 273; 15

ð2Þ

mit t in C und T in K. Im Angelschsischen ist noch die Fahrenheit-Skala
blich mit der Temperatur am Eispunkt des Wassers bei 32 F und der am Siedepunkt bei 212 F (Druck jeweils 0,101325 MPa). Zur Umrechnung einer in F angegebenen Temperatur tF in die Celsius-Temperatur t in C gilt t ¼ 59 ðtF  32Þ:

ð3Þ

Die vom absoluten Nullpunkt in F gezhlte Skala bezeichnet man als Rankine-Skala (R). Es ist TR ¼ 95 T;

ð4Þ

TR in R, T in K. Der Eispunkt des Wassers liegt bei 491,67 R. 2.3.1 Die Internationale Praktische Temperaturskala Da die genaue Messung von Temperaturen mit Hilfe des Gasthermometers schwierig und zeitraubend ist, hat man die Internationale Praktische Temperaturskala durch Gesetz eingef
hrt. Sie wird vom internationalen Komitee f
r Maß und

Temperaturskalen

D3

Gewicht so festgelegt, dass die Temperatur in ihr mglichst genau die thermodynamische Temperatur bestimmter Stoffe annhert. Die Internationale Praktische Temperaturskala ist durch die Schmelz- und Siedepunkte dieser Stoffe festgelegt, die so genau wie mglich mit Hilfe des Gasthermometers in den wissenschaftlichen Staatsinstituten der verschiedenen Lnder bestimmt wurden. Zwischen diesen Festpunkten wird durch Widerstandsthermometer, Thermoelemente und Strahlungsmessgerte interpoliert, wobei bestimmte Vorschriften f
r die Beziehungen zwischen den unmittelbar gemessenen Grßen und der Temperatur gegeben werden. Die wesentlichen, in allen Staaten gleichen Bestimmungen
ber die Internationale Temperaturskala lauten: 1. In der Internationalen Temperaturskala von 1948 werden die Temperaturen mit „
C“ oder „
C (Int. 1948)“ bezeichnet und durch das Formelzeichen t dargestellt. 2. Die Skala beruht einerseits auf einer Anzahl fester und stets wieder herstellbarer Gleichgewichtstemperaturen (Fixpunkte), denen bestimmte Zahlenwerte zugeordnet werden, andererseits auf genau festgelegten Formeln, die die Beziehungen zwischen der Temperatur und den Anzeigen von Messinstrumenten, die bei diesen Fixpunkten kalibriert werden, herstellen. 3. Die Fixpunkte und die ihnen zugeordneten Zahlenwerte sind in Tabellen (s. Anh. D 2 Tab. 1) zusammengestellt. Mit Ausnahme der Tripelpunkte entsprechen die zugeordneten Temperaturen Gleichgewichtszustnden bei dem Druck der physikalischen Normalatmosphre, d. h. per definitionem bei 0,101325 MPa. 4. Zwischen den Fixpunkttemperaturen wird mit Hilfe von Formeln interpoliert, die ebenfalls durch internationale Vereinbarungen festgelegt sind. Dadurch werden Anzeigen der sog. Normalgerte, mit denen die Temperaturen zu messen sind, Zahlenwerte der Internationalen Praktischen Temperatur zugeordnet.

Zur Erleichterung von Temperaturmessungen hat man eine Reihe weiterer thermometrischer Festpunkte von leicht gen
gend rein herstellbaren Stoffen so genau wie mglich an die gesetzliche Temperaturskala angeschlossen. Die wichtigsten sind im Anh. D 2 Tab. 2 zusammengestellt. Als Normalgert wird zwischen dem Tripelpunkt von 13,8033 K (=–259,3467 C) des Gleichgewichtswasserstoffs und dem Erstarrungspunkt des Silbers bei 1 234,93 K (=961,78 C) das Platinwiderstandsthermometer verwendet. Zwischen dem Erstarrungspunkt des Silbers und dem Erstarrungspunkt des Goldes von 1 337,33 K (=1 064,18 C) benutzt man als Normalgert ein Platinrhodium (10% Rhodium)/Platin-Thermopaar. Oberhalb des Erstarrungspunkts von Gold wird die Internationale Praktische Temperatur durch das Plancksche Strahlungsgesetz h i 2 exp lðtAucþT 1 Jt 0Þ h i ð5Þ ¼ JAu exp c2 1 lðtþT0 Þ

definiert; Jt und JAu bedeuten die Strahlungsenergien, die ein schwarzer Krper bei der Wellenlnge l je Flche, Zeit und Wellenlngenintervall bei der Temperatur t und beim Goldpunkt tAu aussendet; c2 ist der als 0,014388 Meterkelvin festgesetzte Wert der Konstante c2 ; T0 ¼ 273; 15 K ist der Zahlenwert der Temperatur des Eisschmelzpunkts; l ist der Zahlenwert einer Wellenlnge des sichtbaren Spektralgebiets in m. Praktische Temperaturmessung s. W 2.7 und [1].

D

D4

Thermodynamik – 3 Erster Hauptsatz

3 Erster Hauptsatz Wv 12 ¼ 

3.1 Allgemeine Formulierung

D

ð1Þ

Eine grundlegende Formulierung des ersten Hauptsatzes lautet: Jedes System besitzt eine extensive Zustandsgr
ße Energie. Sie ist in einem abgeschlossenen System konstant.

3.2 Die verschiedenen Energieformen Um den ersten Hauptsatz mathematisch formulieren zu k
nnen, muss man zwischen den verschiedenen Energieformen unterscheiden und diese definieren.

3.2.1 Arbeit In der Thermodynamik bernimmt man den Begriff der Arbeit aus der Mechanik und definiert: Greift an einem System eine Kraft an, so ist die an dem System verrichtete Arbeit gleich dem Produkt aus der Kraft und der Verschiebung des Angriffspunkts der Kraft. Es ist die lngs eines Wegs z zwischen den Punkten 1 und 2 von der Kraft F verrichtete Arbeit W12 ¼

Z2

F
dz:

ð2Þ

1

Unter mechanischer Arbeit Wm12 versteht man die Arbeit der Krfte, die ein geschlossenes System der Masse m von der Geschwindigkeit w1 auf w2 beschleunigen und es im Schwerefeld gegen die Fallbeschleunigung g von der H
he z1 auf z2 anheben. Das heißt, die kinetische Energie m w2 =2 und die potentielle Energie des Systems mgz werden verndert. Es gilt
2  w w2 Wm12 ¼ m 2  1 þ mgðz2  z1 Þ: ð3Þ 2 2 Gleichung (3) ist bekannt als der Energiesatz der Mechanik. Volumenarbeit ist die Arbeit, die man verrichten muss, um das Volumen eines Systems zu ndern. In einem System vom Volumen V, das den vernderlichen Druck p besitzt, verschiebt sich dabei ein Element dA der Oberflche um die Strecke dz. Die verrichtete Arbeit ist Z dWv ¼ p dA
dz ¼ pdV; ð4Þ A

und es ist

p dV:

ð5Þ

1

Der erste Hauptsatz ist ein Erfahrungssatz. Er kann nicht bewiesen werden und gilt nur deshalb, weil alle Schlussfolgerungen, die man aus ihm zieht, mit der Erfahrung in Einklang stehen. Er besagt allgemein, dass Energie nicht verloren geht und nicht aus dem Nichts entsteht. Energie ist also eine Erhaltungsgr
ße. Das bedeutet, dass die Energie eines Systems E nur durch Austausch von Energie mit der Umgebung gendert werden kann, wobei man vereinbart, dass eine dem System zugefhrte Energie positiv, eine abgefhrte negativ ist. Der Austausch von Energie mit der Umgebung kann prinzipiell auf drei Arten erfolgen: durch Transport von Wrme Q, von Arbeit W oder von Masse ber die Systemgrenze, wobei die an Massetransport gebundene Energie Em sei. In differentieller Schreibweise lautet die allgemeine Formulierung des ersten Hauptsatzes somit d E ¼ d Q þ d W þ d Em :

Z2

Das Minuszeichen kommt dadurch zustande, dass eine zugefhrte Arbeit vereinbarungsgemß positiv ist und zu einer Volumenverkleinerung fhrt. Gleichung (5) gilt nur, wenn der Druck p im Inneren des Systems in jedem Augenblick der Zustandsnderung eine eindeutige Funktion des Volumens und gleich dem von der Umgebung ausgebten Druck ist. Ein kleiner ber- oder Unterdruck der Umgebung bewirkt dann entweder eine Volumenabnahme oder -zunahme des Systems. Man bezeichnet solche Zustandsnderungen, bei denen ein beliebig kleines „bergewicht“ gengt, um sie in der einen oder anderen Richtung ablaufen zu lassen, als reversibel. Gleichung (5) ist daher die Volumenarbeit bei reversibler Zustandsnderung. In wirklichen Prozessen bedarf es zur berwindung der Reibung im Inneren des Systems eines endlichen berdrucks der Umgebung. Solche Zustandsnderungen sind irreversibel. Die zugefhrte Arbeit ist um den dissipierten Anteil ðWdiss Þ12 gr
ßer. Die Volumenarbeit bei irreversibler Zustandsnderung ist Wv 12 ¼ 

Z2

p dV þ ðWdiss Þ12 :

ð6Þ

1

Die stets positive Dissipationsarbeit erh
ht die Energie des Systems und bewirkt einen anderen Zustandsverlauf p(V) als im reversiblen Fall. Voraussetzung fr die Berechnung des Integrals in Gl. (6) ist, dass p eine eindeutige Funktion von V ist. Die Gl. (6) gilt also beispielsweise nicht mehr in einem Systembereich, durch den eine Schallwelle luft. Allgemein lsst sich Arbeit als Produkt aus einer generalisierten Kraft Fk und einer generalisierten Verschiebung dXk herleiten. Hinzuzufgen ist bei wirklichen Prozessen die dissipierte Arbeit X dW ¼ Fk dXk þ dWdiss : ð7Þ Man erkennt: In irreversiblen Prozessen, Wdiss > 0, ist mehr Arbeit aufzuwenden, oder es wird weniger Arbeit gewonnen als in reversiblen, Wdiss ¼ 0: In Tab. 1 sind verschiedene Formen der Arbeit aufgefhrt. Unter technischer Arbeit versteht man die von einer Maschine – Verdichter, Turbine, Strahltriebwerk u. a. – an einem Stoffstrom verrichtete Arbeit. Erfhrt eine Masse m lngs eines Wegs dz durch eine Maschine eine Druckerh
hung dp, so ist die technische Arbeit dWt ¼ m u dp þ dWdiss : Werden außerdem kinetische und potentielle Energie des Stoffstroms gendert, so wird noch eine mechanische Arbeit verrichtet. Die lngs des Wegs 1–2 verrichtete technische Arbeit ist Wt12 ¼

Z2

Vdp þ ðWdiss Þ12 þ Wm12 ;

ð8Þ

1

mit Wm12 nach Gl. (3).

3.2.2 Innere Energie und Systemenergie Außer der kinetischen und potentiellen Energie besitzt jedes System noch in seinem Inneren gespeicherte Energie in Form von Translations-, Rotations- und Schwingungsenergie der Elementarteilchen. Man nennt diese die innere Energie U des Systems. Sie ist eine extensive Zustandsgr
ße. Die gesamte Systemenergie E eines Systems der Masse m besteht aus inne-

I3.4

Anwendung auf offene Systeme

D5

Tabelle 1. Verschiedene Formen der Arbeit. Einheiten im Internationalen Einheitensystem sind in Klammern angegeben

D

rer Energie, kinetischer Energie Ekin und potentieller Energie Epot E ¼ U þ Ekin þ Epot :

ð9Þ

3.2.3 W
rme Die innere Energie eines Systems kann man
ndern, indem man an ihm Arbeit verrichtet oder Materie zu- oder abfhrt. Man kann sie aber auch
ndern, indem man das System mit seiner Umgebung, die eine andere Temperatur aufweist, in Kontakt bringt. Als Folge wird Energie ber die Systemgrenze transportiert, um dem thermischen Gleichgewicht zwischen System und Umgebung zuzustreben. Diese Energie nennt man W
rme. W
rme l
sst sich demnach allgemein als diejenige Energie definieren, die ein System mit seiner Umgebung austauscht und die nicht als Arbeit oder mit Materie die Systemgrenze berschreitet. Man schreibt hierfr Q12 , wenn das System durch W
rme vom Zustand 1 in den Zustand 2 berfhrt wird. Vereinbarungsgem
ß ist eine zugefhrte W
rme positiv, eine abgefhrte negativ .

3.3 Anwendung auf geschlossene Systeme Fr ein geschlossenes System folgt aus der allgemeinen Formulierung des ersten Hauptsatzes nach Gl. (1)

3.4 Anwendung auf offene Systeme 3.4.1 Station
re Prozesse In der Technik wird meistens von einem stetig durch eine Maschine fließenden Stoffstrom Arbeit verrichtet. Ist die zeitlich verrichtete Arbeit konstant, so bezeichnet man den Prozess als station
ren Fließprozess. Ein typisches Beispiel zeigt Bild 1: Ein Stoffstrom eines Fluids (Gas oder Flssigkeit) vom Druck p1 und der Temperatur T1 strme mit der Geschwindigkeit w1 in das System s ein. In einer Maschine wird Arbeit verrichtet, die als technische Arbeit Wt12 an der Welle zugefhrt wird. Das Fluid durchstrmt einen W
rmebertrager, in dem mit der Umgebung eine W
rme Q12 ausgetauscht wird, und verl
sst dann das System s bei einem Druck p2 , der Temperatur T2 und der Geschwindigkeit w2 . Verfolgt man den Weg einer konstanten Masse Dm durch das System s, so wrde ein mitbewegter Beobachter die Masse Dm als geschlossenes System ansehen. Dies entspricht der Lagrangeschen Betrachtungsweise in der Strmungslehre. Entsprechend gilt hierfr der erste Hauptsatz, Gl. (10) fr geschlossene Systeme. Die an Dm verrichtete Arbeit setzt sich zusammen aus Dm p1 u1 , um Dm aus der Umgebung ber die Systemgrenze zu schieben, aus der technischen Arbeit Wt12 und der Arbeit – Dm p2 u2 , um Dm ber die Systemgrenze wieder in die Umgebung zu bringen. Es ist somit die am geschlossenen System verrichtete Arbeit W12 ¼ Wt12 þ Dmðp1 u1
p2 u2 Þ:

d E ¼ d Q þ d W: Die einem geschlossenen System w
hrend einer Zustands
nderung von 1 nach 2 zugefhrte W
rme Q12 und Arbeit W12 bewirken eine nderung der Energie E des Systems um E2
E1 ¼ Q12 þ W12 :

ð10Þ

W12 umfasst alle am System verrichteten Arbeiten. Wird keine mechanische Arbeit verrichtet, so wird nur die innere Energie ge
ndert, nach Gl. (9) ist dann E ¼ U. Setzt man weiter voraus, dass am System nur Volumenarbeit verrichtet wird, so lautet Gl. (10) U2
U1 ¼ Q12


Z2 1

p dV þ ðWdiss Þ12 :

ð11Þ Bild 1. Arbeit am offenen System

ð12Þ

D6

Thermodynamik – 3 Erster Hauptsatz

Sonderf
lle hiervon sind: a) Adiabate Zustandsnderungen, wie sie in Verdichtern, Turbinen und Triebwerken nherungsweise auftreten 0 ¼ Wt12 þ H1
H2 :

ð17Þ

b) Die Drosselung einer Strmung in einer adiabaten Rohrleitung durch eingebaute Hindernisse, Bild 2. Diese bewirken eine Druckabsenkung. Es ist

D

H1 ¼ H2 Bild 2. Adiabate Drosselung

Den Term Dmðp1 u1
p2 u2 Þ nennt man Verschiebearbeit. Um sie unterscheidet sich die technische Arbeit Wt12 von der Arbeit am geschlossenen System. Der erste Hauptsatz f
r das geschlossene System, Gl. (10) lautet damit E2
E1 ¼ Q12 þ Wt12 þ Dmðp1 u1
p2 u2 Þ

ð13Þ

mit E nach Gl. (9). Man definiert die Zustandsgrße Enthalpie H durch H ¼ U þ pV bzw: h ¼ u þ pu und kann damit Gl. (13) schreiben   w2 0 ¼ Q12 þ Wt12 þ D m h1 þ 1 þ gz1 2   w2
D m h2 þ 2 þ gz2 : 2

ð14Þ

ð15Þ

In dieser Form verwendet man den ersten Hauptsatz f
r stationre Fließprozesse offener Systeme. Man erkennt aus Gl. (15), dass die Summe der
ber die Systemgrenze s (Bild 1) transportierten Energien gleich null ist, da es sich um einen stationren Prozess handelt. Diese Energien sind die Wrme Q12 , die technische Arbeit W12 sowie die mit dem   w2 Massenelement Dm zugef
hrte Energie Dm h1 þ 21 þ gz1   w2 und die mit ihm abgef
hrte Energie Dm h2 þ 22 þ gz2 : In differenzieller Form kann man Gl. (15) wie folgt schreiben   w2 0 ¼ dQ þ dWt þ dm h1 þ 1 þ gz1 2   w2
dm h2 þ 2 þ gz2 : 2 Diese Form folgt aus der allgemeinen Formulierung des ersten Hautpsatzes Gl. (1) mit d E ¼ 0 und den Definitionen f
r technische Arbeit (Gl. (12)) und Enthalpie (Gl. (14)):

3.4.2 Instation
re Prozesse Ist im System nach Bild 1 die whrend einer bestimmten Zeit zugef
hrte Materie Dm1 von der whrend der gleichen Zeit abgef
hrten Materie Dm2 verschieden, so wird Materie im Inneren des Systems gespeichert, was zu einer zeitlichen nderung von dessen innerer Energie und u. U. auch der kinetischen und potentiellen Energie f
hrt. Die Energie des Systems ndert sich whrend einer Zustandsnderung 1–2 um E2
E1 , sodass an Stelle von Gl. (15) folgende Form des ersten Hauptsatzes tritt   w2 E2
E1 ¼ Q12 þ Wt12 þ Dm1 h1 þ 1 þ gz1 2 ð19Þ   w22
Dm2 h2 þ þ gz2 : 2 Sind die Fluidzustnde 1 beim Einstrmen und 2 beim Ausstrmen zeitlich vernderlich, so geht man zweckmßigerweise zur differentiellen Schreibweise
ber:   w2 dE ¼ dQ þ dWt þ dm1 h1 þ 1 þ gz1 2 ð20Þ   w2
dm2 h2 þ 2 þ gz2 , 2 die der allgemeinen Formulierung des ersten Hauptsatzes nach Gl. (1) d E ¼ d Q þ d W þ d Em entspricht. Um das F
llen oder Entleeren von Behltern zu untersuchen, kann man meistens die nderungen von kinetischer und potentieller Energie vernachlssigen, außerdem wird oft keine technische Arbeit verrichtet, sodass sich Gl. (20) verk
rzt zu dU ¼ dQ þ h1 dm1
h2 dm2

O ¼ d Q þ d W þ d Em : Betrachtet man einen kontinuierlich ablaufenden Prozess, so whlt man anstatt Gl. (15) besser folgende Form der Bilanzgleichung     w2 w2 0 ¼ Q_ þ P þ m_ h1 þ 1 þ gz1
m_ h2 þ 2 þ gz2 ; 2 2 wobei Q_ ¼ dQ=dt der Wrmestrom, P ¼ dWt =dt die technische Leistung und m_ der Massenstrom sind. Hufig sind nderungen von kinetischer und potentieller Energie vernachlssigbar. Dann vereinfacht sich Gl. (15) zu 0 ¼ Q12 þ Wt12 þ H1
H2 :

ð18Þ

vor und nach der Drosselstelle. Bei der Drosselung bleibt die Enthalpie konstant. Man beachte, dass die nderung der kinetischen und der potentiellen Energie vernachlssigt wurde.

ð16Þ

ð21Þ

mit der (zeitlich vernderlichen) inneren Energie U=um des im Behlter eingeschlossenen Stoffs. Vereinbarungsgemß ist hierin dm1 die dem System zugef
hrte, dm2 die abgef
hrte Stoffmenge; wird nur Materie zugef
hrt, so ist dm2 ¼ 0, wird nur Materie abgef
hrt, so ist dm1 ¼ 0. Untersucht man einen kontinuierlich ablaufenden Prozess, so whlt man anstatt Gl. (19) besser folgende Form der Bilanzgleichung   w2 dE=dt ¼Q_ þ P þ m_ 1 h1 þ 1 þ gz1 2 ð22Þ
m_ 2 ðh2 þ w22 Þ2 þ gz2 :

I4.2

4 Zweiter Hauptsatz 4.1 Das Prinzip der Irreversibilit
t Bringt man zwei Systeme A und B miteinander in Kontakt, so laufen Austauschvorg
nge ab, und es stellt sich nach hinreichend langer Zeit ein neuer Gleichgewichtszustand ein. Als Beispiel sei ein System A mit einem System B verschiedener Temperatur in Kontakt gebracht. Im Endzustand besitzen die Systeme gleiche Temperatur. Es hat sich thermisches Gleichgewicht eingestellt. Bis zum Erreichen des Gleichgewichts werden in kontinuierlicher Folge Nichtgleichgewichtszust
nde durchlaufen. Unsere Erfahrung lehrt uns, dass dieser Prozess nicht von selbst, d. h. ohne Austausch mit der Umgebung, in umgekehrter Richtung abl
uft. Solche Prozesse nennt man irreversibel oder nicht umkehrbar. Austauschprozesse, bei denen Nichtgleichgewichtszust
nde durchlaufen werden, sind grunds
tzlich irreversibel. Ein Prozess aus einer kontinuierlichen Folge von Gleichgewichtszust
nden ist hingegen reversibel oder umkehrbar. Beispielhaft sei die reibungsfreie adiabate Kompression eines Gases genannt. Dem System Gas kann man Volumenarbeit zufhren, indem man eine Kraft, z.B. durch einen berdruck der Umgebung, auf die Systemgrenze ausbt. Wird diese Kraft sehr langsam erhht, so wird das Volumen des Gases ab- und seine Temperatur zunehmen, wobei sich das Gas zu jeder Zeit in einem Gleichgewichtszustand befindet. Reduziert man die Kraft langsam wieder auf null, so gelangt das Gas wieder in seinen Ausgangszustand. Dieser Vorgang ist also reversibel oder umkehrbar. Reversible Prozesse sind idealisierte Grenzf
lle der wirklichen Prozesse und kommen in der Natur nicht vor. Alle nat
rlichen Prozesse sind irreversibel, weil es einer endlichen „Kraft“ bedarf, um einen Prozess auszulsen, beispielsweise einer endlichen Kraft, um einen Krper bei Reibung zu verschieben oder einer endlichen Temperaturdifferenz, um ihm W
rme zuzufhren. Sie laufen, bedingt durch die endliche Kraft, in einer bestimmten Richtung ab. Diese Erfahrungstatsache fhrt zu folgenden Formulierungen des zweiten Hauptsatzes: – Alle natrlichen Prozesse sind irreversibel. – Alle Prozesse mit Reibung sind irreversibel. – W
rme kann nie von selbst von einem Krper niederer auf einen Krper hherer Temperatur bergehen. „Von selbst“ bedeutet hierbei, dass man den genannten Vorgang nicht ausfhren kann, ohne dass nderungen in der Natur zurckbleiben. Neben den oben genannten gibt es noch viele fr andere spezielle Prozesse gltige Formulierungen.

Allgemeine Formulierung

D7

ße zwischen System und Umgebung ausgetauscht wird. Damit wird lediglich die Existenz einer solchen Zustandsgrße postuliert, deren Einfhrung allein dadurch gerechtfertigt ist, dass alle Aussagen, die man mit dieser Grße gewinnt, mit der Erfahrung in Einklang stehen. Man nennt die neue extensive Zustandsgrße Entropie und bezeichnet sie mit S. Somit ist U ¼ U ðV; S; . . .Þ. Wenn nur Volumenarbeit verrichtet und W
rme zugefhrt wird, ist U ¼ U ðV; SÞ: Durch Differenziation folgt hieraus die Gibbssche Fundamentalgleichung dU ¼ TdS
p dV

ð1Þ

mit der thermodynamischen Temperatur T ¼ ð¶U=¶SÞ V

ð2Þ

und dem Druck p ¼
ð¶U=¶VÞ S :

ð3Þ

Eine der Gl. (1)
quivalente Beziehung ergibt sich, wenn man U eliminiert und durch die Enthalpie H ¼ U þ pV ersetzt dH ¼ TdS þ Vdp:

ð4Þ

Man kann zeigen, dass die thermodynamische Temperatur identisch ist mit der mit dem Gasthermometer (s. D 2.3) gemessenen Temperatur. Das Studium der Eigenschaften der Entropie ergibt, dass in einem abgeschlossenen System, das sich zun
chst im inneren Ungleichgewicht befindet (beispielsweise durch eine inhomogene Temperaturverteilung) und dann dem Gleichgewichtszustand zustrebt, die Entropie stets zunimmt. Im Grenzfall des Gleichgewichts wird ein Maximum der Entropie erreicht. Die Entropiezunahme im Innern bezeichnen wir als dSi . Fr den betrachteten Fall des abgeschlossenen Systems gilt dann dS ¼ dSi ; mit dSi > 0. In einem nicht abgeschlossenen System
ndert sich die Systementropie auch durch W
rmeaustausch mit der Umgebung um dSQ und mit Materieaustausch mit der Umgebung um dSm . Die Systementropie
ndert sich jedoch nicht durch den Austausch von Arbeit mit der Umgebung. Es gilt also allgemein dS ¼ dSQ þ dSm þ dSi :

ð5Þ

Betrachtet man die zeitliche nderung der Systementropie S_ ¼ dS=dt S_ ¼ S_ Q þ S_ m þ S_ i ;

4.2 Allgemeine Formulierung Die mathematische Formulierung des zweiten Hauptsatzes gelingt mit dem Begriff der Entropie als weiterer Zustandsgrße eines Systems. Dass es zweckm
ßig ist, eine solche Zustandsgrße einzufhren, kann man sich am Beispiel der W
rmebertragung zwischen einem System und seiner Umgebung verst
ndlich machen. Nach dem ersten Hauptsatz kann ein System mit seiner Umgebung Arbeit und W
rme austauschen. Die Zufuhr von Arbeit bewirkt eine nderung der inneren Energie dadurch, dass beispielsweise das Volumen des Systems auf Kosten des Volumens der Umgebung ge
ndert wird. Somit ist U ¼ U ðV; . . .Þ. Das Volumen ist eine Austauschvariable: Es ist eine extensive Zustandsgrße, die zwischen System und Umgebung „ausgetauscht“ wird. Auch die W
rmezufuhr zwischen einem System und seiner Umgebung kann man sich so vorstellen, dass eine extensive Zustandsgr-

wobei S_ i die zeitliche Entropieerzeugung durch irreversible Vorg
nge im Innern ist. S_ Q þ S_ m bezeichnet man als Entropiestrmung. Man fasst diese ber die Systemgrenze ausgetauschten Grßen auch zusammen zu S_ a ¼ S_ Q þ S_ m :

ð7Þ

Die zeitliche nderung der Systemtropie S setzt sich also aus Entropiestrmung S_ a und Entropieerzeugung S_ i zusammen, S_ ¼ S_ a þ S_ i :

ð8Þ

Fr die Entropieerzeugung gilt: S_ i ¼ 0 f
r reversible Prozesse; S_ i > 0 f
r irreversible Prozesse; S_ i < 0 nicht mglich:

ð9Þ

D

D8

Thermodynamik – 5 Exergie und Anergie

4.3 Spezielle Formulierungen 4.3.1 Adiabate, geschlossene Systeme

D

F
r adiabate Systeme ist S_ Q ¼ 0, f
r geschlossene Systeme ist S_ m ¼ 0, und daher folgt S_ ¼ S_ i . Es gilt also: In adiabaten, geschlossenen Systemen kann die Entropie niemals abnehmen, sie kann nur zunehmen bei irreversiblen oder konstant bleiben bei reversiblen Prozessen. Setzt sich ein adiabates, geschlossenes System aus a Untersystemen zusammen, so gilt f
r die Summe der Entropienderungen DSðaÞ der Untersysteme X DSðaÞ
0: ð10Þ

Diese Aussage gilt nicht nur f
r adiabate Systeme, sondern ganz allgemein, da die Entropieerzeugung definitionsgemß der Anteil der Entropienderung ist, der auftritt, wenn das System adiabat und geschlossen ist, also S_ a ¼ 0 gilt.

4.3.2 Systeme mit W
rmezufuhr F
r geschlossene Systeme mit Wrmezufuhr kann man Gl. (1) schreiben dU ¼ T dSQ þ T dSi  p dV ¼ T dSQ þ dWdiss  p dV: ð12Þ Ein Vergleich mit dem ersten Hauptsatz, D 3 Gl. (11), ergibt

a

In einem adiabaten, geschlossenen System ist nach Gl. (1) mit dS ¼ dSi dU ¼ TdSi  p dV: Andererseits folgt aus dem ersten Hauptsatz nach D 3 Gl. (11) dU ¼ dWdiss  p dV

dQ ¼ T dSQ :

Wrme ist demnach Energie, die mit Entropie
ber die Systemgrenze strmt, whrend Arbeit ohne Entropieaustausch
bertragen wird. Addiert man in Gl. (13) auf der rechten Seite den stets positiven Term Td Si , so folgt die Clausiussche Ungleichung

und daher dWdiss ¼ TdSi ¼ dY

ð11Þ

ð13Þ

dQ  TdS oder DS


Z2

dQ : T

ð14Þ

1

oder

Man nennt Y12 die whrend einer Zustandsnderung 1–2 dissipierte Energie. Es gilt: Die dissipierte Energie ist stets positiv.

In irreversiblen Prozessen ist die Entropienderung grßer als das Integral
ber alle dQ=T, nur bei reversiblen gilt das Gleichheitszeichen. F
r offene Systeme mit Wrmezufuhr hat man in Gl. (12) dSQ durch dSa ¼ dSQ þ dSm zu ersetzen.

5 Exergie und Anergie

5.1 Exergie eines geschlossenen Systems

ðWdiss Þ12 ¼ TðSi Þ12 ¼ Y12 :

Nach dem ersten Hauptsatz bleibt die Energie in einem abgeschlossenen System konstant. Da man jedes nicht abgeschlossene System durch Hinzunahme der Umgebung in ein abgeschlossenes verwandeln kann, ist es stets mglich, ein System zu bilden, in dem whrend eines thermodynamischen Prozesses die Energie konstant bleibt. Ein Energieverlust ist daher nicht mglich. In einem thermodynamischen Prozeß wird lediglich Energie umgewandelt. Wie viel von der in einem System gespeicherten Energie umgewandelt wird, hngt vom Zustand der Umgebung ab. Befindet sich diese im Gleichgewicht mit dem System, so wird keine Energie umgewandelt, je strker die Abweichung vom Gleichgewicht ist, desto mehr Energie des Systems kann umgewandelt werden. Viele thermodynamische Prozesse laufen in der irdischen Atmosphre ab, die somit die Umgebung der meisten thermodynamischen Systeme darstellt. Die irdische Atmosphre kann man im Vergleich zu den sehr viel kleineren thermodynamischen Systemen als ein unendlich großes System ansehen, dessen intensive Zustandsgrßen Druck, Temperatur und Zusammensetzung sich whrend eines Prozesses nicht ndern, wenn man die tglich und jahreszeitlich bedingten Schwankungen der intensiven Zustandsgrßen außer Acht lsst. In vielen technischen Prozessen wird Arbeit gewonnen, indem man ein System von gegebenem Anfangszustand mit der Umgebung ins Gleichgewicht bringt. Das Maximum an Arbeit wird dann gewonnen, wenn alle Zustandsnderungen reversibel sind. Man bezeichnet die bei Einstellung des Gleichgewichts mit der Umgebung maximal gewinnbare Arbeit als Exergie Wex .

Um die Exergie eines geschlossenen Systems, das sich im Zustand 1 befindet, zu berechnen, betrachtet man einen Prozess, bei dem das System reversibel mit seiner Umgebung ins thermische und mechanische Gleichgewicht gebracht wird. Gleichgewicht liegt vor, wenn die Temperatur des Systems im Endzustand 2 gleich der Temperatur in der Umgebung, T2 ¼ Tu , und der Druck des Systems im Zustand 2 gleich dem Druck der Umgebung, p2 ¼ pu , sind. Unter Vernachlssigung der kinetischen und potentiellen Energie des Systems gilt nach dem ersten Hauptsatz, D3 Gl. (10), U2  U1 ¼ Q12 þ W12 :

ð1Þ

Damit der Prozess reversibel verluft, muss das System zunchst reversibel adiabat auf Umgebungstemperatur gebracht und dann Wrme reversibel bei der konstanten Temperatur Tu
bertragen werden. F
r den Wrmetransport folgt aus dem zweiten Hauptsatz, D4 Gl. (13), Q12 ¼ Tu ðS2  S1 Þ:

ð2Þ

Die Arbeit W12 , die am System verrichtet wird, setzt sich zusammen aus der maximalen Arbeit, die man nutzbar machen kann und der Volumenarbeit pu ðV2  V1 Þ, die zur berwindung des Druckes der Umgebung aufgewendet werden muss. Die maximal nutzbare Arbeit ist die Exergie Wex . Es folgt W12 ¼ Wex  pu ðV2  V1 Þ:

ð3Þ

Setzt man Gl. (3) und (2) in Gl. (1) ein, so ergibt sich U2  U1 ¼ Tu ðS2  S1 Þ þ Wex  pu ðV2  V1 Þ:

ð4Þ

I5.5 Im Zustand 2 ist das System im Gleichgewicht mit der Umgebung, gekennzeichnet durch den Index u. Die Exergie des geschlossenen Systems ist somit
Wex ¼ U1
Uu
Tu ðS1
Su Þ þ pu ðV1
Vu Þ:

ð5Þ

Hat das System starre W
nde, so ist V1 ¼ Vu und der letzte Term entf
llt. Ist das System bereits im Ausgangszustand im Gleichgewicht mit der Umgebung, Zustand 1=Zustand u, so kann nach Gl. (5) keine Arbeit gewonnen werden. Es gilt also: Die innere Energie der Umgebung kann nicht in Exergie umgewandelt werden. Die gewaltigen in der uns umgebenden Atmosph
re gespeicherten Energien knnen somit nicht zum Antrieb von Fahrzeugen gentzt werden.

5.2 Exergie eines offenen Systems Die maximale technische Arbeit oder die Exergie eines Stoffstroms erh
lt man dadurch, daß der Stoffstrom auf reversiblem Weg durch Verrichten von Arbeit und durch W
rmezuoder -abfuhr mit der Umgebung ins Gleichgewicht gebracht wird. Aus dem ersten Hauptsatz fr station
re Prozesse offener Systeme, unter Vernachl
ssigung der nderung von kinetischer und potentieller Energie, D 3 Gl. (16), folgt dann
Wex ¼ H1
Hu
Tu ðS1
Su Þ:

ð6Þ

Von der Enthalpie H1 wird somit nur der um Hu þ Tu ðS1
Su Þ verminderte Anteil in technische Arbeit umgewandelt. Wird einem Stoffstrom W
rme aus der Umgebung zugefhrt, so ist Tu ðS1
Su Þ negativ und die Exergie um den Anteil dieser zugefhrten W
rme grßer als die nderung der Enthalpie.

Exergieverluste

ergibt sich die Exergie der den Maschinen und Apparaten zugefhrten W
rmen
Wex ¼

 Z2
Tu dQ 1
T

ð7Þ

1

oder in differenzieller Schreibweise
 Tu dQ:
dWex ¼ 1
T

Einer Maschine soll W
rme Q12 aus einem Energiespeicher der Temperatur T zugefhrt und in Arbeit W12 verwandelt werden, Bild 1. Die nicht in Arbeit umwandelbare W
rme ðQu Þ12 wird an die Umgebung abgefhrt. Das Maximum an Arbeit gewinnt man, wenn alle Zustands
nderungen reversibel ablaufen. Dieses Maximum an Arbeit ist gleich der Exergie der W
rme. Alle Zustands
nderungen sind reversibel, wenn Z2 1

dQ þ T

Z2

dQu ¼0 Tu

1

mit dQ þ dQu þ dWex ¼ 0 nach dem ersten Hauptsatz. Daraus

ð8Þ

In einem reversiblen Prozess ist nur der mit dem sog. CarnotFaktor 1
ðTu =TÞ multiplizierte Anteil der zugefhrten W
rme dQ in Arbeit umwandelbar. Der Anteil dQu ¼
Tu ðdQ=TÞ wird wieder an die Umgebung abgegeben und kann nicht als Arbeit gewonnen werden. Man erkennt außerdem: W
rme, die bei Umgebungstemperatur zur Verfgung steht, kann nicht in Exergie umgewandelt werden.

5.4 Anergie Als Anergie B bezeichnet man diejenige Energie, die sich nicht in Exergie Wex umwandeln l
sst. Jede Energie setzt sich aus Exergie Wex und Anergie B zusammen, d. h. E ¼ Wex þ B:

ð9Þ

Somit gilt fr – ein geschlossenes System nach Gl. (5) mit E ¼ U1 B ¼ Uu þ Tu ðS1
Su Þ
pu ðV1
Vu Þ;

ð10Þ

– ein offenes System nach Gl. (6) mit E ¼ H1 B ¼ Hu þ Tu ðS1
Su Þ;

5.3 Exergie einer W
rme

D9

ð11Þ

– eine W
rme nach Gl. (8) mit dE ¼ dQ B¼

Z2

Tu dQ: T

ð12Þ

1

5.5 Exergieverluste Die in einem Prozess dissipierte Energie ist nicht vollst
ndig verloren. Sie erhht die Entropie und damit wegen U(S,V) auch die innere Energie eines Systems. Die dissipierte Energie kann man sich auch in einem reversiblen Ersatzprozess als W
rme vorstellen, die von außen zugefhrt wird (dY ¼ dQ) und die gleiche Entropieerhhung bewirkt wie in dem irreversiblen Prozess. Da man die zugefhrte W
rme dQ, Gl. (8), zum Teil in Arbeit umwandeln kann, ist auch der Anteil
 Tu
dWex ¼ 1
dY ð13Þ T der dissipierten Energie dY als Arbeit (Exergie) gewinnbar. Der restliche Anteil Tu dY=T der zugefhrten Dissipationsenergie muss als W
rme an die Umgebung abgefhrt werden und ist nicht in Arbeit umwandelbar. Man bezeichnet ihn als Exergieverlust: Dieser ist gleich der Anergie der Dissipationsenergie und nach Gl. (12) gegeben durch ðWVerlust Þ12 ¼

Z2 1

Bild 1. Zur Umwandlung von W
rme in Arbeit

Tu dY ¼ T

Z2 Tu dSi :

ð14Þ

1

Fr einen geschlossenen, adiabaten Prozess ist wegen dSi ¼ dS

D

D 10

Thermodynamik – 6 Stoffthermodynamik

ðWVerlust Þ12 ¼

Z2

Tu dS ¼ Tu ðS2
S1 Þ:

ð15Þ

1

F
r die Exergie gilt im Gegensatz zur Energie kein Erhal-

tungssatz. Die einem System zugef
hrten Exergien sind gleich den abgef
hrten und den Exergieverlusten. Verluste durch Nichtumkehrbarkeiten wirken sich thermodynamisch um so ung
nstiger aus je tiefer die Temperatur T ist, bei der ein Prozess abluft, vgl. Gl. (14).

D 6 Stoffthermodynamik Um mit den allgemeinen f
r beliebige Stoffe g
ltigen Hauptstzen der Thermodynamik umgehen und um Exergien und Anergien berechnen zu knnen, muss man Zahlenwerte f
r die Zustandsgrßen U, H, S, p, V, T ermitteln. Hiervon bezeichnet man die Grßen U, H, S als kalorische und p, V, T als thermische Zustandsgrßen. Die Zusammenhnge zwischen ihnen sind stoffspezifisch. Gleichungen, die Zusammenhnge zwischen Zustandsgrßen angeben, bezeichnet man als Zustandsgleichungen.

Daraus folgt nach Einf
hren der Molmasse in die thermische Zustandsgleichung des idealen Gases, Gl. (2), dass pV=nT ¼ MR eine f
r alle Gase feste Grße ist MR ¼ R:

Man nennt R die universelle Gaskonstante. Sie ist eine Naturkonstante. Es ist R ¼ 8; 314472  1; 5  10
5 kJ=kmolK: Die thermische Zustandsgleichung des idealen Gases lautet mit ihr pV ¼ n RT:

6.1 Thermische Zustandsgr
ßen von Gasen und Dmpfen Eine thermische Zustandsgleichung reiner Stoffe ist von der Form Fðp; u; TÞ ¼ 0

ð1Þ

oder p ¼ pðu; TÞ; u ¼ uðp; TÞ und T ¼ Tðp; uÞ. F
r technische Berechnungen bevorzugt man Zustandsgleichungen der Form u ¼ uðp; TÞ, da Druck und Temperatur meistens als unabhngige Variablen vorgegeben sind.

ð4Þ

ð5Þ

Beispiel: In einer Stahlflasche von V1 ¼ 200 l Inhalt befindet sich Wasserstoff von p1 ¼ 120 bar und t1 ¼ 10 C. Welchen Raum nimmt der Wasserstoff bei p2 ¼ 1 bar und t2 =0 C ein, wenn man die geringen Abweichungen des Wasserstoffs vom Verhalten des idealen Gases vernachlssigt? Nach Gl. (5) ist p1 V1 ¼ n RT1 ; p2 V2 ¼ n RT2 und somit V2 ¼

p1 T2 120 bar  273; 15 K V1 ¼ 0; 2 m3 ¼ 23; 15 m3 : p2 T1 1 bar  283; 15 K

6.1.3 Reale Gase 6.1.1 Ideale Gase Von besonders einfacher Art ist die thermische Zustandsgleichung idealer Gase pV ¼ mRT oder pu ¼ RT;

ð2Þ

mit: p absoluter Druck, V Volumen, u spezifisches Volumen, R individuelle Gaskonstante, T thermodynamische Temperatur. Gase verhalten sich nur dann nherungsweise ideal, wenn ihr Druck hinreichend klein ist, p ! 0. 6.1.2 Gaskonstante und das Gesetz von Avogadro Als Einheit der Stoffmenge definiert man das Mol mit dem Einheitensymbol mol. Die Zahl der Teilchen (Molek
le, Atome, Elementarteilchen) eines Stoffs nennt man dann 1 Mol, wenn dieser Stoff aus ebenso vielen unter sich gleichen Teilchen besteht wie in genau 12 g reinen atomaren Kohlenstoffs des Nuklids 12 C enthalten sind. Man bezeichnet die in einem Mol enthaltene Anzahl von unter sich gleichen Teilchen als Avogadro-Konstante (in der deutschsprachigen Literatur oftmals als Loschmidt-Zahl). Sie ist eine universelle Naturkonstante und hat den Zahlenwert NA ¼ ð6; 02214199  4; 7  10
7 Þ 1026 =kmol: Die Masse eines Mols, also von NA unter sich gleichen Teilchen, ist eine stoffspezifische Grße und wird Molmasse genannt (Werte s. Anh. D 6 Tab. 1): M ¼ m=n

ð3Þ

(SI-Einheit kg/kmol, m Masse in kg, n Molmenge in kmol). Nach Avogadro (1831) gilt: Ideale Gase enthalten bei gleichem Druck und gleicher Temperatur in gleichen Rumen gleich viel Molek
le.

Die thermische Zustandsgleichung des idealen Gases gilt f
r wirkliche Gase und Dmpfe nur als Grenzgesetz bei unendlich kleinen Dr
cken. Die Abweichung des Verhaltens des gasfrmigen Wassers von der Zustandsgleichung der idealen Gase zeigt Bild 1, in dem pu/RT
ber t f
r verschiedene Dr
cke dargestellt ist. Der Realgasfaktor Z=pu/RT ist f
r ideale Gase gleich eins, weicht aber f
r reale Gase hiervon ab. Bei Luft zwischen 0 und 200 C und f
r Wasserstoff von –15 bis 200 C erreichen die Abweichungen in Z bei Dr
cken von 20 bar etwa 1% vom Wert eins. Bei atmosphrischen Dr
cken sind bei fast allen Gasen die Abweichungen vom Gesetz des idealen Gases zu vernachlssigen. Zur Beschreibung des Zustandsverhaltens realer Gase haben sich verschiedene Arten von Zustandsgleichungen bewhrt. Eine davon besteht darin, dass man den Realgasfaktor Z in Form einer Reihe darstellt und additiv an den Wert 1 f
r das ideale Gas Korrekturglieder anf
gt Z¼

pu BðTÞ CðTÞ DðTÞ ¼ 1þ þ 2 þ 3 : RT u u u

ð6Þ

Man nennt B den zweiten, C den dritten und D den vierten Virialkoeffizienten. Eine Zusammenstellung von zweiten Virialkoeffizienten vieler Gase findet man in Tabellenwerken [2, 3]. Die Virialgleichung mit zwei oder drei Virialkoeffizienten ist nur im Bereich mßiger Dr
cke g
ltig. Zur Beschreibung des Zustandsverhaltens dichter Gase stellt die Zustandsgleichung von Benedict-Webb-Rubin [4] einen ausgewogenen Kompromiss zwischen rechnerischem Aufwand und erzielbarer Genauigkeit dar. Sie lautet BðTÞ CðTÞ þ 2 u u
g aa c
g þ 5 þ 3 2 1 þ 2 exp
2 ; u RT u RT u u

Z ¼1þ

ð7Þ

I6.1

Thermische Zustandsgrßen von Gasen und D
mpfen

D 11

dargestellt wird, Bild 2. Sie beginnt am Tripelpunkt und endet am kritischen Punkt K eines Stoffs. Darunter versteht man den Zustandspunkt pk ; Tk oberhalb dessen Dampf und Flssigkeit nicht mehr durch eine deutlich wahrnehmbare Grenze getrennt sind, sondern kontinuierlich ineinander bergehen (s. Anh. D 6 Tab. 1). Der kritische Punkt ist ebenso wie der Tripelpunkt, an dem Dampf, Flssigkeit und feste Phase eines Stoffs miteinander im Gleichgewicht stehen, ein fr jeden Stoff charakteristischer Punkt. Den Dampfdruck vieler Stoffe kann man vom Tripelpunkt bis zum Siedepunkt bei Atmosph
rendruck durch die Antoine-Gleichung darstellen ln p ¼ A
B=ðC þ TÞ;

Bild 1. Realgasfaktor von Wasserdampf

mit BðTÞ ¼ B0


A0 C0 a
und CðTÞ ¼ b
: RT RT 3 RT

Die Gleichung enth
lt die acht Konstanten A0 ; B0 ; C0 ; a; b; c, a, g, die fr viele Stoffe vertafelt sind [4]. Hochgenaue Zustandsgleichungen bentigt man fr die in W
rmekraft- und K
lteanlagen verwendeten Arbeitsstoffe Wasser [5], Luft [6] und die K
ltemittel [7]. Die Gleichungen fr diese Stoffe sind aufwendiger, enthalten mehr Konstanten und sind nur mit einer elektronischen Rechenanlage auszuwerten. 6.1.4 D
mpfe D
mpfe sind Gase in der N
he ihrer Verflssigung. Man nennt einen Dampf ges
ttigt, wenn schon eine beliebig kleine Temperatursenkung ihn verflssigt, er heißt berhitzt, wenn es dazu einer endlichen Temperatursenkung bedarf. Fhrt man einer Flssigkeit bei konstantem Druck W
rme zu, so beginnt sich von einer bestimmten Temperatur an Dampf von gleicher Temperatur zu bilden. Dampf und Flssigkeit befinden sich im Gleichgewicht. Man nennt diesen Zustand S
ttigungszustand; er ist durch zueinander gehrende Werte von S
ttigungstemperatur und S
ttigungsdruck gekennzeichnet, deren Abh
ngigkeit voneinander durch die Dampfdruckkurve

Bild 2. Dampfdruckkurven einiger Stoffe

ð8Þ

in der die Grßen A, B, C stoffabh
ngige Konstanten sind (s. Anh. D 6 Tab. 2 ). Verdichtet man berhitzten Dampf bei konstanter Temperatur durch Verkleinern des Volumens, so nimmt der Druck
hnlich wie bei einem idealen Gas nahezu nach einer Hyperbel zu, s. z. B. die Isotherme 300 C in Bild 3. Die Kondensation beginnt, sobald der S
ttigungsdruck erreicht ist, und das Volumen verkleinert sich ohne Steigen des Drucks so lange, bis aller Dampf verflssigt ist. Bei weiterer Volumenverkleinerung steigt der Druck stark an. Die Kurvenschar von Bild 3 ist als graphische Darstellung einer Zustandsgleichung fr viele Stoffe charakteristisch. Verbindet man die spezifischen Volumina der Flssigkeit bei S
ttigungstemperaturen vor der Verdampfung und des ges
ttigten Dampfes, u0 und u00 , so erh
lt man zwei Kurven a und b , die linke und die rechte Grenzkurve genannt, die sich im kritischen Punkt K treffen. Ist x der Dampfgehalt, definiert als Masse des ges
ttigten Dampfes m00 bezogen auf die Gesamtmasse von ges
ttigtem Dampf m00 und siedender Flssigkeit m0 ; u0 das spezifische Volumen von siedender Flssigkeit und u00 das von Sattdampf, so gilt fr Nassdampf u ¼ x u00 þ ð1
xÞ u0 :

ð9Þ

Linien x=const zeigt Bild 3. Beispiel: In einem Kessel von 2 m3 =kg Inhalt befinden sich 1 000 kg Wasser und Dampf von 121 bar im S
ttigungszustand. Welches spez. Volumen hat der Dampf? Aus der Dampftafel (Anh. D 6 Tab. 5) findet man durch Interpolieren bei 121 bar das spez. Volumen des Dampfes u00 ¼ 0; 01410 m3 =kg, das der Flssigkeit u0 =0,001530 m3 . Das mittlere spez. Volumen u=V/m ist u ¼ 2m3 /1 000 kg= 0,002 m3 =kg: Mit Gl. (9) folgt

D

D 12

Thermodynamik – 6 Stoffthermodynamik

D

Bild 3. p, u-Diagramm des Wassers

ð10Þ

du=dT ¼ cv die spez. W
rmekapazit
t bei konstantem Volumen und dh=dT ¼ cp

ð11Þ

die spez. W
rmekapazit
t bei konstantem Druck. Die Ableitung von h
u ¼ RT ergibt cp
cv ¼ R:

ð12Þ

Die Differenz der molaren W
rmekapazit
ten oder Molw
r
v ¼ Mcv ist gleich der universellen Gaskon
p ¼ Mcp ; C men C stanten
p
C
v ¼ R: C Das Verh
ltnis k ¼ cp =cv spielt bei reversiblen adiabaten Zustands
nderungen eine wichtige Rolle und wird daher Adiabatenexponent oder Isentropenexponent genannt. Fr einatomige Gase ist recht genau k=1,66, fr zweiatomige k=1,40 und fr dreiatomige k=1,30. Die mittlere spezifische W
rmekapazit
t ist der integrale Mittelwert definiert durch

Bild 4. Zustandsfl
che des Wassers in perspektivischer Darstellung

½cp tt21 ¼

1 t2
t1

Zt2

cp dt; ½cv tt21 ¼

t1

1 t2
t1

Zt2 cv dt:

ð13Þ

t1

Aus Gln. (10) und (11) folgen fr die nderungen von innerer Energie und Enthalpie 0

00

0

x ¼ ðu
u Þ=ðu
u Þ ¼ ð0; 002
0; 001530Þ=ð0; 01410
0; 001530Þ ¼ 0; 03739 ¼ m00 =m; also m00 ¼ 1 000  0; 03739 kg ¼ 37; 39 kg : m0 ¼ 1 000
37; 39 kg ¼ 962; 61 kg

Man kann die Zustandsgleichung auch als eine Fl
che im Raum mit den Koordinaten p, u, t darstellen, Bild 4. Die Projektion der Grenzkurve in die p, T-Ebene ergibt die Dampfdruckkurve, die Projektion der Fl
che in die p, u-Ebene liefert die Darstellung nach Bild 3.

6.2 Kalorische Zustandsgr
ßen von Gasen und Dmpfen 6.2.1 Ideale Gase Die innere Energie idealer Gase h
ngt nur von der Temperatur ab, u=u(T), infolgedessen ist auch die Enthalpie h=u+pu=u+RT eine reine Temperaturfunktion h=h(T). Die Ableitungen von u und h nach der Temperatur nennt man spezifische W
rmekapazit
ten. Sie steigen mit der Temperatur (s. Anh. D 6 Tab. 3 mit Werten fr Luft). Es ist

u2
u1 ¼ ½cv tt21 ðt2
t1 Þ ¼ ½cv t02 t2
½cv t01 t1

ð14Þ

und h2
h1 ¼ ½cp tt21 ðt2
t1 Þ ¼ ½cp t02 t2
½cp t01 t1 : ½cv t0

ð15Þ

½cp t0

und ermittelt man aus den im Zahlenwerte von Anh. D 6 Tab. 4 angegebenen mittleren Molw
rmen. Die spezifische Entropie ergibt sich aus D 4 Gl. (1) unter Beachtung von Gl. (10) und Gl. (2) ds ¼

du þ p du dT du ¼ cv þ R T T u

durch Integration mit cv =const zu s2
s1 ¼ cv ln

T2 u2 þ R ln : T1 u1

ð16Þ

Einen
quivalenten Ausdruck erh
lt man durch Integration von D 4 Gl. (4) mit cp =const s2
s1 ¼ cp ln

T2 p2
R ln : T1 p1

ð17Þ

I6.2

Kalorische Zustandsgr
ßen von Gasen und Dmpfen

D 13

D

Bild 5. t, s-Diagramm des Wassers mit Kurven p=const (ausgezogen), u=const (gestrichelt) und Kurven gleicher Enthalpie (strichpunktiert)

Bild 6. h, s-Diagramm des Wassers mit Kurven p=const (ausgezogen), t=const (gestrichelt) und x=const (strichpunktiert). Der fr die Zwecke der Dampftechnik interessante Bereich ist durch die schraffierte Umrandung abgegrenzt

6.2.2 Reale Gase und D
mpfe

h ¼ ð1
xÞh0 þ xh00 ¼ h0 þ xr:

Die kalorischen Zustandsgr
ßen realer Gase und Dmpfe werden i. Allg. aus Messungen bestimmt, k
nnen aber bis auf einen Anfangswert auch aus der thermischen Zustandsgleichung abgeleitet werden. Sie werden in Tabellen oder Diagrammen in folgender Weise dargestellt u=u(u, T), h=h(p, T), s=s(p, T), cv ¼ cv ðu; TÞ, cp ¼ cp ðp; TÞ. Hufig erfordert die Auswertung von Zustandsgleichungen einen Computer. Fr D
mpfe gilt: Die Enthalpie h00 des gesttigten Dampfes unterscheidet sich von der Enthalpie h0 der Flssigkeit im Sttigungszustand bei p, T=const um die Verdampfungsenthalpie r ¼ h00
h0 ;

ð18Þ

die mit steigender Temperatur abnimmt und am kritischen Punkt, wo h00 ¼ h0 ist, zu null wird. Die Enthalpie von Nassdampf ist

ð19Þ

Entsprechend ist die innere Energie u ¼ ð1
xÞu0 þ xu00 ¼ u0 þ xðu00
u0 Þ

ð20Þ

und die Entropie s ¼ ð1
xÞs0 þ xs00 ¼ s0 þ xr=T;

ð21Þ 00

da Verdampfungsenthalpie und Verdampfungsentropie s
s0 zusammenhngen durch r ¼ Tðs00
s0 Þ:

ð22Þ

Nach Clausius-Clapeyron ist die Verdampfungsenthalpie mit der Steigung dp=dT der Dampfdruckkurve p(T) verknpft durch r ¼ Tðu00
u0 Þ

dp ; dT

ð23Þ

D 14

D

Thermodynamik – 6 Stoffthermodynamik

wenn T die Siedetemperatur beim Druck p ist. Man kann diese Beziehung verwenden, um aus zwei der drei Gr
ßen r; u00
u0 und dp=dT die dritte zu berechnen. Wenn nicht hufig Zustandsgr
ßen zu berechnen sind oder keine leistungsfhigen Rechner zu Verfgung stehen, verwendet man fr praktische Rechnungen Dampftafeln, in denen die Ergebnisse theoretischer und experimenteller Untersuchungen der Zustandsgr
ßen zusammengefasst sind. Fr die in der Technik wichtigen Arbeitsstoffe findet man Dampftafeln in Anh. D 6 Tab. 5 bis 9. Zur Ermittlung von Anhaltswerten und zur Darstellung von Zustandsnderungen sind Diagramme vorteilhaft, z. B. ein t, s-Diagramm wie Bild 5. Am hufigsten verwendet man in der Praxis Mollier-Diagramme. Das sind solche Diagramme, welche die Enthalpie als eine der Koordinaten enthalten, Bild 6. Die spezifische Wrmekapazitt cp ¼ ð¶h=¶TÞp eines Dampfes hngt außer von der Temperatur in erheblichem Maße vom Druck ab, ebenso hngt cv ¼ ð¶u=¶TÞv außer von der Temperatur noch vom spez. Volumen ab. Bei Annherung an die Grenzkurve wchst cp des berhitzten Dampfes mit abnehmender Temperatur stark an und wird im kritischen Punkt sogar unendlich. Bei Dmpfen ist cp
cv keine konstante Gr
ße mehr wie bei idealen Gasen.

Bild 7. p, T-Diagramm mit den drei Grenzkurven der Phasen. (Die Steigung der Schmelzdruckkurve von Wasser ist negativ, gestrichelte Kurve.)

Entsprechend ist die Flchendehnung A ¼ A0 ½1 þ gA ðt
t0 Þ und die Lngendehnung l ¼ l0 ½1 þ gL ðt
t0 Þ:

6.3 Inkompressible Fluide Ein inkompressibles Fluid ist ein Fluid, dessen spez. Volumen u weder von der Temperatur noch vom Druck abhngt. Die thermische Zustandsgleichung lautet u ¼ const. Flssigkeiten und Feststoffe k
nnen im Allgemeinen in guter Nherung als inkompressibel betrachtet werden. Die spez. Wrmekapazitten cp und cv unterscheiden sich bei inkompressiblen Fluiden nicht voneinander, cp ¼ cv ¼ c. Daher gelten die kalorischen Zustandsgleichungen du ¼ c dT

ð24Þ

und dh ¼ c dT þ u dp

ð25Þ

sowie ds ¼ c

dT : T

ð26Þ

Es ist gA ¼ ð2=3Þgv und gL ¼ ð1=3Þgv . Mittelwerte fr gL im Temperaturintervall zwischen 0 C und t C findet man fr einige Feststoffe aus den Werten im Anh. D 6 Tab. 10, indem man die dort angegebene Lngennderung ðl
l0 Þ=l0 noch durch das Temperaturintervall ðt
0Þ C dividiert. 6.4.2 Schmelz- und Sublimationsdruckkurve Innerhalb gewisser Grenzen gibt es zu jedem Druck einer Flssigkeit eine Temperatur, bei der sie mit ihrem Feststoff im Gleichgewicht steht. Dieser Zusammenhang p(T) wird durch die Schmelzdruckkurve (Bild 7) festgelegt, whrend die Sublimationsdruckkurve das Gleichgewicht zwischen Gas und Feststoff wiedergibt. In Bild 7 ist außerdem noch die Dampfdruckkurve eingezeichnet. Alle drei Kurven treffen sich im Tripelpunkt, in dem die feste, die flssige und die gasf
rmige Phase eines Stoffs miteinander im Gleichgewicht stehen. Der Tripelpunkt des Wassers liegt definitionsgemß bei 273,16 K, der Druck betrgt am Tripelpunkt 611,657 Pa.

6.4 Feste Stoffe

6.4.3 Kalorische Zustandsgrßen

6.4.1 W
rmedehnung

Beim Gefrieren einer Flssigkeit wird die Schmelzenthalpie DhE (E=Erstarren) abgefhrt (Anh. D 6 Tab. 11). Dabei erfhrt die Flssigkeit eine Entropieabnahme DsE ¼ DhE =TE , wenn TE die Schmelz- oder Erstarrungstemperatur ist. Nach der Dulong-Petitschen Regel hat oberhalb der Umgebungstemperatur die molare Wrmekapazitt geteilt durch die Anzahl der Atome im Molekl ungefhr den Wert 25,9 kJ/ (kmol K). Bei Annherung an den absoluten Nullpunkt gilt diese grobe Regel nicht mehr. Dort ist die molare Wrmekapazitt bei konstantem Volumen fr alle festen Stoffe

In der Zustandsgleichung V=V(p, T) fester Stoffe ist der Einfluss des Drucks auf das Volumen ebenso wie bei Flssigkeiten meistens vernachlssigbar gering. Fast alle Feststoffe dehnen sich wie die Flssigkeiten mit zunehmender Temperatur aus und schrumpfen bei Temperaturabnahme, ausgenommen Wasser, das bei 4 C seine gr
ßte Dichte hat und sich sowohl bei h
heren als auch bei geringeren Temperaturen als 4 C ausdehnt. Entwickelt man die Zustandsgleichung in eine Taylorreihe nach der Temperatur und bricht nach dem linearen Glied ab, so erhlt man die Volumendehnung mit dem kubischen Volumendehnungskoeffizienten gv (SI-Einheit 1/K) V ¼ V0 ½1 þ gv ðt
t0 Þ:

 ¼ aðT=QÞ3 ; f
r T=Q < 0,1, C worin a=472,5 J/(mol K) und (Anh. D 6 Tab. 12).

die Debye-Temperatur ist

I7.1

Zustands
nderungen ruhender Gase und D
mpfe

D 15

7 Zustands
nderungen von Gasen und D
mpfen 7.1 Zustands
nderungen ruhender Gase und D
mpfe Das geschlossene thermodynamische System habe die Masse Dm, die als Ganzes nicht bewegt wird. Man unterscheidet folgende Zustands
nderungen als idealisierte Grenzf
lle der wirklichen Zustands
nderungen. Zustands
nderungen bei konstantem Volumen oder isochore Zustands
nderungen. Hierbei bleibt das Gasvolumen unver
ndert; z. B. wenn sich ein Gasvolumen in einem Beh
lter mit starren W
nden befindet. Es wird keine Arbeit verrichtet. Die zugefhrte W
rme dient zur nderung der inneren Energie. Zustands
nderungen bei konstantem Druck oder isobare Zustands
nderungen. Um den Druck konstant zu halten, muss ein Gas bei W
rmezufuhr sein Volumen ausreichend vergrßern. Die zugefhrte W
rme bewirkt bei reversibler Zustands
nderung eine Erhhung der Enthalpie. Zustands
nderungen bei konstanter Temperatur oder isotherme Zustands
nderungen. Damit bei der Expansion eines Gases die Temperatur konstant bleibt, muss man W
rme zufhren, bei der Kompression W
rme abfhren (von einigen wenigen Ausnahmen abgesehen). Im Fall des idealen Gases ist UðTÞ ¼ const, und daher nach dem ersten Hauptsatz ðdQ þ dW ¼ 0Þ die zugefhrte W
rme gleich der abgegebenen Arbeit. Die Isotherme des idealen Gases ðpV ¼ mRT ¼ constÞ stellt sich im p, V-Diagramm als Hyperbel dar. Adiabate Zustands
nderungen sind gekennzeichnet durch w
rmedichten Abschluss des Systems von seiner Umgebung. Sie werden n
herungsweise in Verdichtern und Entspannungsmaschinen verwirklicht, weil dort Verdichtung und Entspannung der Gase so rasch ablaufen, dass w
hrend einer Zustands
nderung wenig W
rme mit der Umgebung ausgetauscht wird. Nach dem zweiten Hauptsatz (s. D 4.3.1) wird die gesamte Entropie
nderung durch Irreversibilit
ten im Inneren des Systems bewirkt, S_ ¼ S_ i . Eine reversible Adiabate verl
uft bei konstanter Entropie S_ ¼ 0. Man nennt eine solche Zustands
nderung isentrop. Eine reversible Adiabate ist daher gleichzeitig Isentrope. Die Isentrope braucht aber keine Adiabate zu sein (da S_ ¼ S_ Q þ S_ i ¼ 0 nicht auch S_ Q ¼ 0 zur Folge hat). In Bild 1 sind die verschiedenen Zustands
nderungen im p, V- und T, S-Diagramm dargestellt und die wichtigsten Zusammenh
nge fr Zustandsgrßen idealer Gase angegeben.

D

Bild 1. Zustands
nderungen idealer Gase. Der Zusatz (rev) zeigt an, dass die Zustands
nderung reversibel sein soll

Polytrope Zustands
nderungen. W
hrend die isotherme Zustands
nderung vollkommenen W
rmeaustausch voraussetzt, ist bei der adiabaten Zustands
nderung jeder W
rmeaustausch mit der Umgebung unterbunden. In Wirklichkeit l
sst sich beides nicht vllig erreichen. Man fhrt daher eine polytrope Zustands
nderung ein durch die Gleichung Bild 2. Polytropen mit verschiedenen Exponenten

pV n ¼ const;

ð1Þ

wobei n in praktischen F
llen meist zwischen 1 und k liegt. Isochore, Isobare, Isotherme und reversible Adiabate sind Sonderf
lle der Polytrope mit folgenden Exponenten (Bild 2): Isochore: n= 1 , Isobare: n=0, Isotherme: n=1, reversible Adiabate: n=k. Es gilt weiter

und Wt12 ¼ nW12 :

ð3Þ

Die ausgetauschte W
rme ist Q12 ¼ mcv ðn
kÞðT2
T1 Þ=ðn
1Þ:

ð4Þ m3n

u2 =u1 ¼ ðp1 =p2 Þ1=n ¼ ðT1 =T2 Þ1=ðn
1Þ ; W12 ¼ mRðT2
T1 Þ=ðn
1Þ ¼ ðp2 V2
p1 V1 Þ=ðn
1Þ ¼ p1 V1 ½ðp2 =p1 Þðn
1Þ=n
1=ðn
1Þ

ð2Þ

Beispiel: Eine Druckluftanlage soll stndlich 1000 Druckluft von 15 bar liefern (Anmerkung: 1 m3n =1 Normkubikmeter ist das Gasvolumen umgerechnet auf 0 C und 1,01325 bar), die bei einem Druck von p1 ¼ 1 bar und einer Temperatur von t1 ¼ 20  C angesaugt wird. Fr Luft ist k=1,4. Welche Leistung ist erforderlich, wenn die Verdichtung polytrop mit n=1,3 erfolgt? Welcher W
rmestrom muss dabei abgefhrt werden?

D 16

Thermodynamik – 7 Zustandsnderungen von Gasen und Dmpfen

Der angesaugte Luftvolumenstrom betr
gt nach Aufgabenstellung 1000 m3 bei 0 C und 1,01325 bar, 3

3

p0 T1 _ 1; 01325
293; 15 m m V_ 1 ¼ ¼ 1087; 44 : V0 ¼ 1000 p1 T0 h h 1
273; 15

D

Bei polytroper Zustands
nderung ist nach Gln. (3) und (2) 2 3
n1 _ n _ t ¼ n p1 V1 4 p2 P¼W 15 n1 p1 1,3
105 ¼

Bild 3. Ausstr
men aus einem Druckbehlter

N m3 1087,44 1,31 h ½15 1,3  1 ¼ 113,6 kW: m2 1,3  1

Bei reversibel adiabater Zustandsnderung ist nach Gl. (2) Te =T0 ¼ ðpe =p0 Þðk1Þ=k , außerdem gilt T0 ¼ p0 u0 =R nach D 6 Gl. (2) und cp =R ¼ k=ðk  1Þ nach D 6 Gl. (12). Die Austrittsgeschwindigkeit ist somit sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 
ðk1Þ=k  k pe : ð8Þ we ¼ 2 p 0 v0 1  p0 k1

Nach Gln. (4) und (3) ist Q12 Q_ nk ¼ ¼ cv Wt12 P nR oder da R ¼ cp  cv und k ¼ cp =cv : Q_ 1 n  k : ¼ P n k1 Somit ist Q_ ¼

Der ausstr
mende Mengenstrom m_ ¼ Ae we =ue folgt unter Beachtung von p0 uk0 ¼ pe uke zu pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi m_ ¼ AY 2p0 =u0 ð9Þ

1 1,3  1,4
113,6 kW ¼ 21,85 kW: 1,3 1,4  1

7.2 Zustands
nderungen strmender Gase und D
mpfe

mit der Ausflussfunktion ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi s

ðkþ1Þ=k k p 2=k p :  Y¼ k1 p0 p0

Zur Kennzeichnung der Str
mung einer Fluidmasse Dm braucht man neben den thermodynamischen Zustandsgr
ßen noch Gr
ße und Richtung der Geschwindigkeit an jeder Stelle des Felds. Wir beschrnken uns hier auf stationre Str
mungen in Kanlen, deren Querschnitt konstant, erweitert oder verjngt sein kann. Neben dem ersten und dem zweiten Hauptsatz gilt zustzlich der Satz von der Erhaltung der Masse

Sie ist eine Funktion des Adiabatenexponenten k und des Druckverhltnisses p=p0 (Bild 4) und besitzt ein Maximum Ymax , das man aus dY=dðp=p0 Þ ¼ 0 erhlt. Das Maximum liegt bei einem bestimmten Druckverhltnis, das man LavalDruckverh
ltnis nennt
k=ðk1Þ pS 2 ¼ : ð11Þ p0 kþ1

m_ ¼ Awr ¼ const:

ð5Þ

In einer Str
mung, die keine Arbeit an die Umgebung abgibt, Wt12 ¼ 0, geht der erste Hauptsatz D 3 Gl. (15) ber in
2  w w2 Dmðh2  h1 Þ þ Dm 2  1 þ Dmgðz2  z1 Þ ¼ Q12 ; ð6Þ 2 2 gleichgltig, ob es sich um reversible oder irreversible Str
mungsvorgnge handelt. Lsst man die meist vernachlssigbare Hubarbeit weg, so gilt fr eine adiabate Str
mung h2  h1 þ

w22 w21  ¼ 0: 2 2

Bei diesem Druckverhltnis ist
1=ðk1Þ rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 k Ymax ¼ : kþ1 kþ1

ð12Þ

Zum Druckverhltnis pS =p0 geh
rt nach Gl. (8) mit pe =p0 ¼ pS =p0 eine Geschwindigkeit we ¼ wS . Es ist rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi k wS ¼ 2 ð13Þ p0 v0 ¼ kpS uS ¼ kRTS : kþ1

ð7Þ

Eine Zunahme der kinetischen Energie ist gleich der Abnahme der Enthalpie des Fluids. In einer adiabaten Drossel und unter der Voraussetzung A; r ¼ const folgt aus Gl. (5) w ¼ const und somit aus Gl. (7) fr die adiabate Drossel h1 ¼ h2 ¼ const. Der Druckabbau in einer adiabaten Drossel ist mit einer Entropiezunahme verbunden, der Vorgang ist irreversibel. Nach D 4 Gl. (4) wird bei der reversibel adiabaten Str
mung die Enthalpienderung durch eine Drucknderung hervorgerufen, dh ¼ u dp. 7.2.1 Strmung idealer Gase Anwendung von Gl. (7) auf ein ideales Gas, das aus einem Behlter ausstr
mt (Bild 3), in dem das Gas den konstanten Zustand p0 ; u0 ; T0 hat und w0 ¼ 0 ist, ergibt wegen he  h0 ¼ cp ðTe  T0 Þ und w0 ¼ 0 :
 w2e Te ¼ cp ðT0  Te Þ ¼ cp T0 1  : 2 T0

ð10Þ

Bild 4. Ausflussfunktion Y

I8.2

Carnot-Prozess

D 17

Diese ist gleich der Schallgeschwindigkeit im Zustand pS ; uS : Allgemein ist die Schallgeschwindigkeit diejenige Geschwindigkeit, mit der sich Druck und Dichteschwankungen fortpflanzen, und bei reversibler adiabater Zustands
nderung gegeben durch qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi wS ¼ ð¶p=¶rÞS ; pffiffiffiffiffiffiffiffiffi woraus fr ideale Gase wS ¼ kRT folgt. Die Schallgeschwindigkeit ist eine Zustandsgrße. Beispiel: Ein Dampfkessel erzeugt stndlich 10 t Sattdampf von p0 ¼ 15 bar. Den Dampf kann man als ideales Gas (k=1,3) behandeln; wie groß muss der freie Querschnitt des Sicherheitsventils mindestens sein? Das Sicherheitsventil muss den ganzen Massenstrom des erzeugten Dampfes abf
hren knnen. Da beim Ausstrmen m_ in jedem Querschnitt konstant ist, ist nach Gl. (9) auch AY ¼ const: Da sich die Strmung einschn
rt, A also abnimmt, nimmt Y zu. Es kann hchstens den Wert Ymax erreichen. Dann ist der Gegendruck kleiner oder gleich dem Lavaldruck. Im vorliegenden Fall ist der Gegendruck der Atmosph
re von p ¼ 1 bar kleiner als der Lavaldruck, den man nach Gl. (11) zu 8,186 bar errechnet. Damit ergibt sich der notwendige Querschnitt aus Gl. (9), wenn man dort Y ¼ Ymax ¼ 0; 472 nach Gl. (12) einsetzt. 1 Man erhlt mit m_ ¼ 10
103 3 600 kg=s ¼ 2; 7778 kg=s und u0 ¼ u00 ¼ 0; 1317 m3 =kg (nach Anh. D 6 Tab. 5 bei p0 ¼ 15 bar) aus 2 Gl. (9) A=12,33 cm . Wegen der Strahleinschnrung, deren Grße von der Formgebung des Ventils abh
ngt, muss man hierauf noch einen Zuschlag machen.

7.2.2 D
sen- und Diffusorstrmung Nach Bild 4 gehrt bei vorgegebenem Adiabatenexponenten k zu einem bestimmten Druckverh
ltnis p=p0 ein bestimmter Wert der Ausflussfunktion Y. Da der Massenstrom m_ in jedem Querschnitt konstant ist, gilt nach Gl. (9) auch AY ¼ const: Jedem Druckverh
ltnis kann man somit einen bestimmten Querschnitt A zuordnen, Bild 5. Es sind zwei F
lle zu unterscheiden: a) Der Druck sinkt in Strmungsrichtung. Die Kurven Y, A, w werden in Bild 5 von rechts nach links durchlaufen. Der Querschnitt A nimmt zun
chst ab, dann wieder zu. Die Geschwindigkeit steigt von Unterschall auf berschall. Die kinetische Energie der Strmung nimmt zu. Man bezeichnet einen solchen Apparat als Dse. In einer Dse, die nur im Un-

8 Thermodynamische Prozesse 8.1 Energiewandlung mittels Kreisprozessen Ein Prozess, der ein System wieder in seinen Ausgangszustand zurckbringt, heißt Kreisprozess. Nachdem er durchlaufen ist, nehmen alle Zustandsgrßen des Systems wie Druck, Temperatur, Volumen, innere Energie und Enthalpie die Werte an, die sie im Ausgangszustand hatten. Nach dem ersten Hauptsatz, D 3 Gl. (10), ist nach Durchlaufen des Prozesses die Energie des Systems wieder gleich der Energie im Ausgangszustand und daher X

Qik þ

X

Wik ¼ 0:

ð1Þ

X X Qik . Die gesamte verrichtete Arbeit ist W ¼  Wik ¼ Maschinen, in denen ein Fluid einen Kreisprozess durchl
uft, dienen der Umwandlung von W
rme in Arbeit oder umgekehrt der Umwandlung von Arbeit in W
rme. Nach dem

D Bild 5. Dsen- und Diffusorstrmung

terschallbereich arbeitet, nimmt der Querschnitt stets ab, im berschallbereich nimmt er stetig zu. In einer in Richtung der Strmung verjngten Dse kann der Druck im Austrittsquerschnitt nicht unter den Lavaldruck sinken, auch wenn man den Druck im Außenraum beliebig klein macht. Dies folgt aus AY ¼ const: Da A in Strmungsrichtung abnimmt, kann Y nur zunehmen. Es kann hchstens den Wert Ymax erreichen, wozu das Lavaldruckverh
ltnis gehrt. Senkt man den Druck am Austrittsquerschnitt einer Dse unter den zum Austrittsquerschnitt gehrenden Wert des Drucks, so expandiert der Strahl nach Verlassen der Dse. Erhht man den Gegendruck ber den richtigen Wert, so l
uft die Druckerhhung stromaufw
rts falls das Gas mit Unterschallgeschwindigkeit ausstrmt. Strmt das Gas mit Schallgeschwindigkeit oder in einer erweiterten Dse mit berschallgeschwindigkeit aus, so entsteht an der Mndung der Dse ein Verdichtungsstoß, in dem der Druck auf den Wert der Umgebung springt. b) Der Druck nimmt in Strmungsrichtung zu. Die Kurven Y, A, w werden in Bild 4 von links nach rechts durchlaufen. Der Querschnitt nimmt ebenfalls zun
chst ab, dann wieder zu. Die Geschwindigkeit sinkt von berschall auf Unterschall. Die kinetische Energie nimmt ab und der Druck zu. Man bezeichnet einen solchen Apparat als Diffusor. In einem Diffusor, der nur im Unterschallbereich arbeitet, nimmt der Querschnitt stetig zu, im berschallbereich nimmt er stetig ab.

zweiten Hauptsatz kann die zugefhrte W
rme nicht vollst
ndig in Arbeit verwandelt werden. Ist die zugefhrte W
rme grßer als die abgegebene, so arbeitet der Prozess als W
rmekraftanlage oder W
rmekraftmaschine, deren Zweck darin besteht, Arbeit zu liefern. Ist die abgefhrte W
rme grßer als die zugefhrte, so muss man Arbeit zufhren. Mit einem derartigen Prozess kann man einem Stoff bei tiefer Temperatur W
rme entziehen und sie bei hherer Temperatur, z. B. der Umgebungstemperatur, zusammen mit der zugefhrten Arbeit wieder abgeben. Ein solcher Prozess arbeitet als K
lteprozess. In einem W
rmepumpenprozess wird die W
rme der Umgebung entzogen und zusammen mit der zugefhrten Arbeit bei hherer Temperatur abgegeben.

8.2 Carnot-Prozess In der historischen Entwicklung, wenn auch nicht fr die Praxis, hat der 1824 von Carnot eingefhrte Kreisprozess eine

D 18

Thermodynamik – 8 Thermodynamische Prozesse

D Bild 1. Schaltschema einer nach dem Carnot-Prozess arbeitenden W
rmekraftmaschine

per der niedrigen Temperatur T0 die W
rme Q0 entzogen und bei hherer Temperatur T die W
rme Q abgegeben. Ein solcher linksl
ufig ausgefhrter Carnotprozess kann zum Zweck haben, einem zu khlenden Gut die W
rme Q0 bei der tiefen Temperatur T0 zu entziehen, also als K
ltemaschine zu arbeiten, und die W
rme jQj ¼ Wt þ Q0 bei hherer Temperatur T wieder an die Umgebung abzugeben. Besteht der Zweck des Prozesses darin, die W
rme |Q| bei der hheren Temperatur T zu Heizzwecken abzugeben, so arbeitet der Prozess als W
rmepumpe. Die W
rme Q0 wird dann von der Umgebung bei der niederen Temperatur T0 aufgenommen. Carnotprozesse haben keine praktische Bedeutung erlangt, weil ihre Leistung bezogen auf das Bauvolumen sehr gering ist. Als idealer, weil reversibler, Prozess wird der Carnot-Prozess jedoch h
ufig zu Vergleichszwecken fr die Beurteilung anderer Kreisprozesse herangezogen.

8.3 W
rmekraftanlagen In W
rmekraftanlagen wird dem Arbeitsstoff von einem heißen Medium Energie als W
rme zugefhrt. Der Arbeitsstoff durchl
uft einen Kreisprozess, der, wie im Folgenden dargestellt wird, auf unterschiedliche Weise gestaltet sein kann. 8.3.1 Ackeret-Keller-Prozess

Bild 2. Carnot-Prozess der W
rmekraftmaschine im p, V- und im T, S-Diagramm

Der Ackeret-Keller-Prozess besteht aus folgenden Zustands
nderungen, die im p, u- und T, s-Diagramm dargestellt sind; Bild 3: 1–2: Isotherme Kompression bei der Temperatur T0 vom Druck p0 auf den Druck p. 2–3: Isobare W
rmezufuhr beim Druck p. 3–4: Isotherme Expansion bei der Temperatur T vom Druck p auf den Druck p0 . 4–1: Isobare W
rmeabfuhr beim Druck p0 . Der Prozess geht auf einen Vorschlag des schwedischen Ingenieurs J. Ericson (1803–1899) zurck und wird daher auch als Ericson-Prozess bezeichnet. Er wurde jedoch zuerst von Ackeret und Keller 1941 als Vergleichsprozess fr Gasturbinenanlagen verwendet. Die zur isobaren Erw
rmung 2–3 des verdichteten Arbeitsstoffs erforderliche W
rme wird durch isobare Abkhlung 4– 1 des entspannten Arbeitsstoffs bereitgestellt, Q23 ¼ jQ41 j.

entscheidende Rolle gespielt, Bild 1 und 2. Er besteht aus folgenden Zustands
nderungen (hier rechtsl
ufiger Prozess fr eine W
rmekraftmaschine): 1–2: Isotherme Expansion bei der Temperatur T unter Zufuhr der W
rme Q. 2–3: Reversibel adiabate Expansion vom Druck p2 auf den Druck p3 . 3–4: Isotherme Kompression bei der Temperatur T0 unter Abfuhr der W
rme jQ0 j. 4–1: Reversibel adiabate Kompression vom Druck p4 auf den Druck p1 . Die zugefhrte W
rme ist Q ¼ m RT ln V2 =V1 ¼ TðS2
S1 Þ

ð2Þ

und die abgefhrte W
rme jQ0 j ¼ m RT0 ln V3 =V4 ¼ T0 ðS3
S4 Þ ¼ T0 ðS2
S1 Þ:

ð3Þ

Die verrichtete technische Arbeit ist
Wt ¼ Q
jQ0 j und der thermische Wirkungsgrad h ¼ jWt j=Q ¼ 1
ðT0 =TÞ:

ð4Þ

Bei umgekehrter Reihenfolge 4–3–2–1 der Zustands
nderungen wird unter Zufuhr von technischer Arbeit Wt einem Kr-

Bild 3. Ackeret-Keller-Prozess im p, u- und im T, s-Diagramm

I8.3

Wrmekraftanlagen

D 19

Der thermische Wirkungsgrad stimmt mit dem des CarnotProzesses
berein, denn es ist
Wt ¼ Q34
jQ21 j

ð5Þ

und h¼ 1


jQ21 j T0 ¼ 1
: T Q34

ð6Þ

Die technische Realisierung des Prozesses ist jedoch schwierig, weil isotherme Verdichtung und Entspannung kaum zu verwirklichen sind, da man diese nur durch mehrstufige adiabate Verdichtung mit Zwischenk
hlung annhern kann. Der Ackeret-Keller-Prozess dient vor allem als Vergleichsprozess f
r den Gasturbinenprozess mit mehrstufiger Verdichtung und Entspannung.

D

Bild 4. Gasturbinenprozess mit geschlossenem Kreislauf. a Generator, b Turbine, c Verdichter, d K
hler, e Wrme
bertrager, f Gaserhitzer

8.3.2 Geschlossene Gasturbinenanlage In einer geschlossenen Gasturbinenanlage (Bild 4) wird ein Gas im Verdichter komprimiert, im Wrme
bertrager und Gaserhitzer auf eine hohe Temperatur erwrmt, dann in einer Turbine unter Verrichtung von Arbeit entspannt und im Wrme
bertrager und dem sich anschließenden K
hler wieder auf die Anfangstemperatur gek
hlt, worauf das Gas erneut vom Verdichter angesaugt wird. Als Arbeitsstoffe kommen Luft, aber auch andere Gase wie Helium oder Stickstoff infrage. Die geschlossene Gasturbinenanlage ist gut regelbar, und eine Verschmutzung der Turbinenschaufeln kann durch Verwendung geeigneter Gase vermieden werden. Von Nachteil sind die im Vergleich zu offenen Anlagen hheren Energiekosten, da ein K
hler bentigt wird und f
r den Erhitzer hochwertige Sthle erforderlich sind. Bild 5 zeigt den Prozess im p, u- und T, s-Diagramm. Der aus zwei Isobaren und zwei Isentropen bestehende reversible Kreisprozess wird Joule-Prozess genannt (Zustandspunkte 1, 2, 3, 4). Der zugef
hrte Wrmestrom ist Q_ ¼ mc _ p ðT3
T2 Þ;

ð7Þ

der abgef
hrte _ p ðT4
T1 Þ: jQ_ 0 j ¼ mc

ð8Þ

Die verrichtete Leistung betrgt
 T4
T1 _ t ¼ Q_
jQ_ 0 j ¼ mc _ p ðT3
T2 Þ 1

P ¼
mw T3
T2 und der thermische Wirkungsgrad
 jPj T4
T1 h¼ ¼ 1
: _Q T3
T2

ð9Þ Bild 5. Gasturbinenprozess im p, u- und T, s-Diagramm. Das p, u-Diagramm zeigt nur den reversiblen Prozess (Joule-Prozess) 1, 2, 3, 4

ð10Þ

Wegen der Isentropengleichung
ðk
1Þ=k
ðk
1Þ p0 T1 T4 T4
T1 T1 p0 k ¼ ¼ ist ¼ ¼ ð11Þ p T2 T3 T3
T2 T2 p ist der thermische Wirkungsgrad
ðk
1Þ=k jPj p0 h¼ ¼1
p Q_

ð12Þ

nur vom Druckverhltnis p=p0 oder dem Temperaturverhltnis T2 =T1 der Verdichtung abhngig. Die Verdichterleistung wchst rascher mit dem Druckverhltnis als die Turbinenleistung, sodass die gewonnene Nutzleistung nach Gl. (9) unter Beachtung von Gl. (11) 0 10 1  k
1  k
1 p k CB p0 k C BT3
P ¼ mc _ p T1 @
ð13Þ A @1
A T1 p p0

bei einem bestimmten Druckverhltnis f
r vorgegebene Werte der hchsten Temperatur T3 und der niedrigsten Temperatur T1 ein Maximum erreicht. Dieses optimale Druckverhltnis folgt durch Differentiation aus Gl. (13) zu
ðk
1Þ=k pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p ¼ ðT3 =T1 Þ; ð14Þ p0 opt was wegen Gl. (11) gleichbedeutend mit T4 ¼ T2 ist. Unter Ber
cksichtigung des Wirkungsgrads hT f
r die Turbine, hV des Verdichters und des mechanischen Wirkungsgrads hm f
r die Energie
bertragung zwischen Turbine und Verdichter ergibt sich das optimale Druckverhltnis zu
ðk
1Þ=k pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p ¼ hm hT hV ðT3 =T1 Þ: ð15Þ p0 opt Mehr als die Hlfte der Turbinenleistung einer Gasturbinenanlage wird zum Antrieb des Verdichters bentigt. Die insge-

D 20

Thermodynamik – 8 Thermodynamische Prozesse

zwei Isobaren und zwei Isentropen, wird Clausius-RankineProzess genannt. Der wirkliche Kreisprozess folgt den Zustands
nderungen 01230 in Bild 7. Die W
rmeaufnahme im Dampferzeuger ist _ 2
h1 Þ; Q_ zu ¼ mðh

ð16Þ

die Leistung der adiabaten Turbine _ t23 j ¼ mðh _ 2
h3 Þ ¼ mh _ T ðh2
h03 Þ jPT j ¼ jmw

D

ð17Þ

mit dem isentropen Turbinenwirkungsgrad hT . Der im Kondensator abgefhrte W
rmestrom ist Bild 6. Dampfkraftanlage. a Kessel, b berhitzer, c Turbine, d Kondensator, e Speisewasserpumpe

_ 3
h0 Þ:
Q_ ab ¼ mðh

ð18Þ

Die Nutzleistung des Kreisprozesses ist _ t ¼
PT
PP ;
P ¼
mw

ð19Þ

mit der Pumpenleistung _ 1
h0 Þ ¼ m_ PP ¼ mðh

1 ðh10
h0 Þ; hV

ð20Þ

worin hV der Wirkungsgrad der Speisewasserpumpe ist. Die Nutzleistung unterscheidet sich nur geringfgig von der Leistung der Turbine. Der thermische Wirkungsgrad ist h¼


_ t ðh2
h3 Þ
ðh1
h0 Þ mw ¼ : h2
h1 Q_ zu

ð21Þ

Thermische Wirkungsgrade erreichen bei einem Gegendruck p0 ¼ 0; 05 bar, einem Frischdampfdruck von 150 bar und einer Dampftemperatur von 500 C Werte von h  0,42. Deutlich grßere thermische Wirkungsgrade von derzeit bis zu h  0; 58 erreicht man in kombinierten Gas-Dampfkraftwerken, so genannten GuD-Kraftwerken (s. R 6.2.1). In ihnen wird das Verbrennungsgas zuerst in einer Gasturbine unter Arbeitsleistung entspannt und anschließend zur Dampferzeugung einem Dampfkraftwerk zugefhrt.

8.4 Verbrennungskraftanlagen

Bild 7. Zustands
nderung des Wassers beim Kreisprozess der einfachen Dampfkraftanlage im T, s- und im h, s-Diagramm

In der Verbrennungskraftanlage dient das Brenngas als Arbeitsstoff. Er durchl
uft keinen in sich geschlossenen Prozess, sondern wird als Abgas an die Umgebung abgefhrt, nachdem er in einer Turbine oder einem Kolbenmotor Arbeit verrichtet hat. Zu den Verbrennungskraftanlagen gehren die offenen Gasturbinenanlagen und die Verbrennungsmotoren (Ottound Dieselmotor) sowie Brennstoffzellen. Zur Kennzeichnung der Effektivit
t der Energieumwandlung dient der energetische Gesamtwirkungsgrad h ¼
P=ðm_ B Dhu Þ:

samt installierte Leistung ist daher das Vier- bis Sechsfache der Nutzleistung. 8.3.3 Dampfkraftanlage Dampfkraftanlagen werden mit einem Arbeitsstoff – meistens Wasser – betrieben, der w
hrend des Prozesses verdampft und wieder kondensiert wird. Mit ihnen wird der weitaus grßte Teil der elektrischen Energie unserer Stromnetze erzeugt. Der Arbeitsprozess in seiner einfachsten Form (Bild 6) ist folgender: Im Kessel a wird der Arbeitsstoff bei hohem Druck isobar bis zum Siedepunkt erw
rmt, verdampft und anschließend im berhitzer b noch berhitzt. Der Dampf wird dann in der Turbine c unter Verrichtung von Arbeit adiabat entspannt und im Kondensator d unter W
rmeabgabe verflssigt. Die Flssigkeit wird von der Speisewasserpumpe e auf Kesseldruck gebracht und wieder in den Kessel gefrdert. Der reversible Kreisprozess 010 230 0 (Bild 7), bestehend aus

P ist die Nutzleistung der Anlage, m_ B der Massenstrom des zugefhrten Brennstoffs, Dhu dessen Heizwert (s. D 9). Der exergetische Gesamtwirkungsgrad z ¼
P=ðm_ B ðwex ÞB Þ gibt an, welcher Teil des mit dem Brennstoff zugefhrten Exergiestroms in Nutzleistung umgewandelt wird. wex ist i. Allg. nur wenig grßer als der Heizwert (s. D 9), sodass sich h und z zahlenm
ßig kaum unterscheiden. Fr Großmotoren (Diesel) ist der Gesamtwirkungsgrad etwa 42%, fr Kraftfahrzeugmotoren etwa 25% und fr offene Gasturbinen 20 bis 30%. 8.4.1 Offene Gasturbinenanlage In der offenen Gasturbinenanlage (s. R 8) wird die angesaugte Luft in einem Verdichter auf hohen Druck gebracht, vorgew
rmt und in einer Brennkammer durch Verbrennen des eingespritzten Brennstoffs erhitzt. Die Brenngase werden in einer Turbine unter Arbeitsleistung entspannt, geben in einem W
rmebertrager einen Teil ihrer Restw
rme zur Luftvorw
rmung ab und treten ins Freie aus. Verdichter und Tur-

I8.4

Verbrennungskraftanlagen

D 21

und der thermische Wirkungsgrad  ðk
1Þ=k jWt j T4
T1 T1 p1 ¼1
¼ 1
¼ 1
T3
T2 T2 p2 Q 1 ¼ 1
k
1 : e

h¼

ð25Þ

Das Verdichtungsverh
ltnis e ¼ V1 =V2 ¼ ðVK þ Vh Þ=VK gibt den Grad der Verdichtung bei der adiabaten Kompression des Gemisches an. Der thermische Wirkungsgrad h
ngt also außer vom Adiabatenexponenten k nur vom Druckverh
ltnis p2 =p1 bzw. dem Verdichtungsverh
ltnis e und nicht von der Grße der W
rmezufuhr ab. Je hher man verdichtet, desto besser ist die W
rme ausgenutzt. Das Verdichtungsverh
ltnis wird durch die Selbstzndungstemperaturen des BrennstoffLuftgemisches begrenzt. 8.4.3 Dieselmotor

Bild 8. Theoretischer Prozess des Ottomotors im p, V- und T, S-Diagramm

Die Beschr
nkung auf moderate Verdichtungsverh
ltnisse und Drcke entf
llt beim Dieselmotor (s. P 4.2), in dem die Verbrennungsluft durch hohe Verdichtung ber die Selbstzndungstemperatur des Brennstoffs erhitzt, und dieser in die heiße Luft eingespritzt wird. Den vereinfachten Prozess des Dieselmotors zeigt Bild 9. Er besteht aus adiabater Verdichtung 1 2 der Verbrennungsluft, isobarer Verbrennung 2 30 nach Einspritzen des Brennstoffs in die heiße, verdichtete Verbrennungsluft, adiabater Entspannung 30 4 und Auspuffen 4 1, das durch eine Isochore mit W
rmeabfuhr jQ0 j in Bild 9 ersetzt ist. Die zugefhrte W
rme ist Q023 ¼ Q ¼ mcp ðT30
T2 Þ;

ð26Þ

die l
ngs der Isochore 4 1 abgefhrt gedachte Auspuffw
rme ist bine sind auf einer Welle angeordnet. In einem an die Welle angeschlossenen Generator wird die Nutzarbeit in elektrische Energie verwandelt (s. R 8 Bild 1 a). Der zugrunde liegende Kreisprozess kann analog zu dem geschlossenen Prozess (s. D 8.3.2) beschrieben werden.

jQ41 j ¼ jQ0 j ¼ mcv ðT4
T1 Þ;

ð27Þ

8.4.2 Ottomotor Im Ottomotor (s. P 4.2) befindet sich der Zylinder am Ende des Saughubs im Zustandspunkt 1 (Bild 8); er ist mit dem brennbaren Gemisch von Umgebungstemperatur und Atmosph
rendruck gefllt. Das Gemisch wird l
ngs der Adiabaten 1 2 vom Anfangsvolumen Vk þ Vh auf das Kompressionsvolumen Vk verdichtet. Vh ist das Hubvolumen. Am oberen Totpunkt 2 erfolgt durch elektrische Zndung die Verbrennung, wodurch der Druck von Punkt 2 auf Punkt 3 ansteigt. Dieser Vorgang l
uft so schnell ab, dass er als isochor angenommen werden kann. Im Bild 8 ist dabei vereinfachend angenommen, dass das Gas unver
ndert bleibt und dass die bei der Verbrennung freiwerdende W
rme Q23 ¼ Q von außen zugefhrt ist. Beim Zurckgehen des Kolbens expandiert das Gas l
ngs der Adiabaten 3 4 400 40 . Der in 4 beginnende Auspuff ist durch Entzug einer W
rme jQ0 j bei konstantem Volumen ersetzt, wobei der Druck von Punkt 4 nach Punkt 1 sinkt. In Punkt 1 mssen die Verbrennungsgase durch neues Gemisch ersetzt werden, wozu beim 4-Takt-Ottomotor ein nicht dargestellter Doppelhub erforderlich ist. Die zugefhrte W
rme ist Q ¼ Q23 ¼ mcv ðT3
T2 Þ;

ð22Þ

die abgefhrte jQ0 j ¼ jQ41 j ¼ mcv ðT4
T1 Þ;

ð23Þ

die verrichtete Arbeit jWt j ¼ Q
jQ0 j

ð24Þ

Bild 9. Theoretischer Prozess des Dieselmotors im p, V- und im T, SDiagramm

D

D 22

Thermodynamik – 8 Thermodynamische Prozesse

die verrichtete Arbeit jWt j ¼ Q
jQ0 j und der thermische Wirkungsgrad h¼

D

jWt j 1 T4
T1 1 ¼ 1
¼ 1
Q k T30
T2 k

T4 T3 T1 T3 T2
T2 : T30
1 T2

ð28Þ

Mit dem Verdichtungsverh
ltnis e ¼ V1 =V2 ¼ ðVk þ Vh Þ=Vk und dem Einspritzverh
ltnis j ¼ ðVk þ Ve Þ=Vk folgt fr den thermischen Wirkungsgrad h¼ 1


1 jk
1 : kek
1 j
1

ð29Þ

Der thermische Wirkungsgrad des Dieselprozesses h
ngt außer vom Adiabatenexponenten k nur vom Verdichtungsverh
ltnis e und vom Einspritzverh
ltnis j ab, das sich mit steigender Belastung vergrßert. 8.4.4 Brennstoffzellen In der Brennstoffzelle reagiert Wasserstoff mit Sauerstoff elektrochemisch zu Wasser: 1 H2 þ O2 ! H2 O: 2 Bei dieser so genannten kalten Verbrennung wird die chemische Bindungsenergie direkt in elektrische Energie umgewandelt. Bild 10 zeigt beispielhaft eine Brennstoffzelle mit protonenleitendem Elektrolyten. Wasserstoff H2 wird an der Anodenseite zugefhrt. Mit Hilfe eines Katalysators spaltet er sich dort in zwei Protonen (Hþ ) und zwei Elektronen (e
). Die Elektronen wandern ber eine Last, z. B. einen Motor, zur Kathode. Die Protonen wandern durch den Elektrolyten zur Kathode, wo sie untersttzt durch einen Katalysator mit dem zugefhrten Sauerstoff O2 und den Elektronen zu Wasser H2 O reagieren. Zwischen Anode und Kathode besteht eine Spannung U, und es fließt ein elektrischer Strom I ¼ F n_ El mit n_ El ¼ 2 n_ H2 . F ist die Faraday Konstante F ¼ 96 485; 3 As=mol, n_ El der Stoffmengenstrom der Elektronen (SI-Einheit mol/s) und n_ H2 der Stoffmengenstrom des zugefhrten Wasserstoffs (SI-Einheit mol/s). Verluste durch Energiedissipation in der Zelle fhren dazu, dass die wirkliche Klemmenspannung geringer ist als die reversible Klemmenspannung. Die elektrische Leistung P der Brennstoffzelle errechnet sich aus Q_ þ P ¼ n_ H2  DHHR2

mit n_ H2 dem Mengenstrom des zugefhrten Wasserstoffs und DHHR2 seiner molaren Reaktionsenthalpie (SI-Einheit J/mol). Sie ist gleich dem negativen molaren Heizwert D Hmu ¼ MH2 D hu , s. D 10.2. In Analogie zu anderen Verbrennungskraftanlagen ist der Wirkungsgrad der Brennstoffzelle definiert zu hBZ ¼


P : n_ H2  DHmu

ð31Þ

Er betr
gt i. Allg. etwa 50 %.

8.5 K
lteanlagen und W
rmepumpen 8.5.1 Kompressionsk
lteanlage In K
ltemaschinen (s. M 5) verwendet man ebenso wie in den W
rmekraftanlagen Gase oder D
mpfe als Arbeitsstoffe. Man bezeichnet sie als K
ltemittel. Zweck einer K
ltemaschine ist es, einem Khlgut W
rme zu entziehen. Dazu muss eine Arbeit verrichtet werden, die in Form von W
rme zusammen mit der dem Khlgut entzogenen W
rme an die Umgebung abgegeben wird. Zur K
lteerzeugung bei Temperaturen bis etwa
100 C dienen vorwiegend Kompressionsk
ltemaschinen. Das Schaltbild einer Kompressionsk
ltemaschine zeigt Bild 11. Der Verdichter a, der fr kleine Leistungen meist als Kolben-, fr große Leistungen als Turboverdichter ausgebildet ist, saugt Dampf aus dem Verdampfer b beim Druck p0 und der zugehrigen S
ttigungstemperatur T0 an und verdichtet ihn l
ngs der Adiabaten 1 2 (Bild 12) auf den Druck p. Der Dampf wird dann im Kondensator c beim Druck p verflssigt. Das flssige K
ltemittel wird im Drosselventil d entspannt und gelangt dann wieder in den Verdampfer, wo ihm W
rme zugefhrt wird. Die K
ltemaschine entzieht dem Khlgut eine W
rme Q0 , die dem Verdampfer b zugefhrt wird. Im Kondensator c gibt sie die W
rme jQj ¼ Q0 þ Wt an die Umgebung ab. Da Wasser bei 0 C gefriert und Wasserdampf ein unbequem großes spezifisches Volumen hat, verwendet man als K
ltemittel andere Fluide wie Ammoniak NH3 , Kohlendioxid CO2 , Propan C3 H8 , Butan C4 H10 , Tetrafluorethan C2 H2 F4 , Difluormonochlormethan CHF2 Cl. Dampftafeln von K
ltemitteln enth
lt Anh. D 6 Tab. 7 bis 9. Mit m_ als dem Massenstrom des umlaufenden K
ltemittels ist die K
lteleistung _ 0 ¼ mðh _ 1
h4 Þ ¼ mðh _ 00 ðp0 Þ
h0 ðpÞÞ; Q_ 0 ¼ mq

ð32Þ

weil h4 ¼ h3 ¼ h0 ðpÞ ist. Die Antriebsleistung des Verdichters

ð30Þ

Bild 10. Schema einer Brennstoffzelle mit protonenleitenden Elektrolyten

Bild 11. Schaltbild einer Kaltdampfmaschine. a Verdichter, b Verdampfer, c Kondensator, d Drosselventil

I8.6

Kraft-Wrme-Kopplung

D 23

niedrig halten, beispielsweise durch eine Fußbodenheizung, bei der t/29 C ist. Die Wrmepumpe wird außerdem bei zu tiefen Umgebungstemperaturen unwirtschaftlich. Sinkt die Leistungszahl eWP unter Werte von rund 2,3, so spart man im Vergleich mit der konventionellen Heizung keine Primrenergie mehr ein, denn Wirkungsgrade der Umwandlung von Primrenergie PPr im Kraftwerk in elektrische Energie P zum Antrieb der Wrmepumpe hel ¼ P=PPr liegen in Deutschland im Mittel bei 0,4. Damit ist die Heiz_ zahl z ¼ jQj=P Pr mit 0,92 etwa gleich dem Wirkungsgrad einer konventionellen Heizung. Heutige elektrisch angetriebene Wrmepumpen erreichen im Jahresmittel selten Heizzahlen von 2,3, es sei denn man schaltet die Wrmepumpe bei zu tiefen Außentemperaturen unter rund 3 C ab und heizt dann konventionell. Motorgetriebene Wrmepumpen mit Abwrmenutzung nutzen ebenso wie Sorptionswrmepumpen die Primrenergie besser als elektrisch angetriebene Wrmepumpen.

8.6 Kraft-W
rme-Kopplung

Bild 12. Kreisprozess des Kltemittels einer Kaltdampfmaschine im T, s- und im Mollier-p, h-Diagramm

ist _ t12 ¼ mðh _ 2
h1 Þ ¼ m_ PV ¼ mw

1 ðh20
h00 ðp0 ÞÞ; hV

ð33Þ

worin hV sein isentroper Wirkungsgrad ist. Der vom Kondensator abgef
hrte Wrmestrom ist _ ¼ mjqj _ 2
h0 ðpÞÞ: jQj _ ¼ mðh _ 2
h3 Þ ¼ mðh

ð34Þ

Die Leistungszahl einer Kltemaschine ist definiert als das Verhltnis von Klteleistung Q_ 0 zur Leistungsaufnahme P des Verdichters eKM ¼

Q_ 0 q0 h00 ðp0 Þ
h0 ðpÞ : ¼ ¼ hV PV wt12 h20
h00 ðp0 Þ

ð35Þ

Sie hngt außer vom isentropen Verdichtungswirkungsgrad nur noch von den beiden Dr
cken p und p0 ab.

Die gleichzeitige Erzeugung von Heizwrme und elektrischer Energie in Heizkraftwerken bezeichnet man als Kraft-Wrme-Kopplung (s. L 3.2). Dabei wird die ohnehin in großer Menge anfallende Kraftwerksabwrme zu Heizzwecken genutzt. Da die zur Heizung bentigte Wrme
berwiegend und zwar zu mehr als 90% aus Anergie besteht, wird weniger Primrenergie, die ja
berwiegend aus Exergie besteht, als bei konventioneller Heizung in Heizwrme umgewandelt. Man f
hrt aus der Dampfturbine Niederdruckdampf ab, der neben Anergie noch soviel Exergie enthlt, dass die Heizenergie und die Exergieverluste in der Wrmeverteilung – in der Regel ein Fernheiznetz – gedeckt werden knnen. Gegen
ber dem reinen Kraftwerksbetrieb b
ßt man durch die Dampfentnahme zwar Arbeit ein, der Primrenergieumsatz zur gleichzeitigen Erzeugung von Arbeit und Heizwrme ist aber geringer als zur getrennten Gewinnung der Arbeit im Kraftwerk und der Heizwrme im konventionellen Heizsystem. Eine vereinfachte Schaltung zeigt Bild 13. Je nach Art der Schal_ tung sind Heizzahlen z ¼ jQj=P Pr bis rund 2,2 erreichbar [8], wobei PPr der nur auf die Heizung entfallende Anteil der Primrenergie ist. Die Heizzahlen liegen deutlich
ber denen der meisten Wrmepumpen-Heizsysteme.

8.5.2 Kompressionsw
rmepumpe Sie arbeitet nach dem gleichen Prozess wie die in Bild 11 und Bild 12 dargestellte Kompressionsklteanlage (s. M 6). Ihr Zweck besteht darin, einem Krper Wrme zuzuf
hren. Dazu wird der Umgebung Wrme Q0 (Anergie) entzogen und zusammen mit der verrichteten Arbeit Wt (Exergie) als Wrme dem zu erwrmenden Krper zugef
hrt jQj ¼ Q0 þ Wt . Die Leistungszahl einer Wrmepumpe ist definiert als Verhltnis _ zur der von der Wrmepumpe abgegebenen Heizleistung jQj Leistungsaufnahme P des Verdichters eWP ¼

_ jQj jqj h2
h0 ðpÞ : ¼ ¼ hV P wt h20
h00 ðp0 Þ

ð36Þ

Wie das T, s-Diagramm (Bild 12) zeigt, wird die Flche wt bei hoher Umgebungstemperatur T0 und bei niedriger Heiztemperatur T  kleiner. Es wird weniger Antriebsleistung f
r den Verdichter bentigt. Die Leistungszahl wchst. Um Wrmepumpen zur Beheizung von Wohnrumen wirtschaftlich betreiben zu knnen, muss man die Heiztemperatur

Bild 13. Schema der Kraft-Wrme-Kopplung im Entnahme-Gegendruck-Betrieb. a Dampferzeuger, b berhitzer, c Drossel, d Turbine, G Generator, e Kondensator (Wrmeerzeuger), f Wrmeverbraucher, g Pumpe, h Speicher

D

D 24

Thermodynamik – 9 Gemische

9 Gemische 9.1 Gemische idealer Gase Ein Gemisch von idealen Gasen, die miteinander nicht chemisch reagieren, verh
lt sich ebenfalls wie ein ideales Gas. Es gilt die thermische Zustandsgleichung

D

pV ¼ n RT:

ð1Þ

Jedes einzelne Gas, Komponente genannt, verteilt sich auf den gesamten Raum V so, als ob andere Gase nicht vorhanden w
ren. Fr jede Komponente i gilt daher pi V ¼ ni RT;

ð2Þ

wobei pi der von jedem einzelnen Gas ausgebte Druck ist, den man als PartialdruckX bezeichnet. XSummiert man ber X alle Einzelgase, so folgt pi V ¼ ni RT oder V pi ¼ X RT ni . Der Vergleich mit Gl. (1) zeigt, dass X p¼ pi ð3Þ gilt: Der Gesamtdruck p des Gasgemisches ist gleich der Summe der Partialdrcke der Einzelgase, wenn diese bei der Temperatur T das Volumen V des Gemisches einnehmen (Gesetz von Dalton). Die thermische Zustandsgleichung Gl. (1) eines idealen Gasgemisches kann man auch schreiben pV ¼ m RT; mit der Gaskonstante R des Gemisches X R¼ Ri mi =m:

ð4Þ

ð5Þ

Spezifische, auf die Masse in kg bezogene kalorische Zustandsgrßen eines Gemisches vom Druck p und der Temperatur T ergeben sich durch Addition der kalorischen Zustandsgrßen bei gleichen Werten p, T der Einzelgase entsprechend ihrer Massenanteile. Es ist 1X 1X cv ¼ mi cvi ; cp ¼ mi cpi ; m m 1X 1X u¼ mi ui ; h ¼ mi hi : m m

ð6Þ

Eine Ausnahme bildet die Entropie, da bei der Mischung von Einzelgasen vom Zustand p, T zu einem Gemisch vom gleichen Zustand, eine Entropiezunahme auftritt. Es ist s¼

X 1
X ni  mi Ri ln ; mi si
n m

ð7Þ

und n die des Gemiwenn ni die Molmengen der Einzelgase X sches sind. Es sind ni ¼ mi =Mi und n ¼ ni , mit der Masse mi und der Molmasse Mi der Einzelgase. Mischungen realer Gase und Flssigkeiten weichen besonders bei hheren Drcken von vorstehenden Beziehungen ab.

9.2 Gas-Dampf-Gemische. Feuchte Luft Mischungen von Gasen und leicht kondensierenden D
mpfen kommen in Physik und Technik h
ufig vor. Die atmosph
rische Luft besteht im wesentlichen aus trockener Luft und Wasserdampf. Trocknungs- und Klimatisierungsvorg
nge werden durch die Anwendung der Gesetze der Dampf-Luftgemische bestimmt, ebenso die Bildung der BrennstoffdampfLuftgemische im Verbrennungsmotor. Im Folgenden beschr
nken wir uns auf die Betrachtung atmosph
rischer Luft. Trockene Luft besteht aus 78,04 Mol-% Stickstoff, 21,00 Mol-% Sauerstoff, 0,93 Mol-% Argon und 0,03 Mol-% Kohlendioxid. Die atmosph
rische Luft kann

man als Zweistoffgemisch betrachten, bestehend aus trockener Luft und Wasser, das in dampffrmiger, flssiger oder fester Form vorliegen kann. Man bezeichnet das Gemisch auch als feuchte Luft. Die trockene Luft betrachtet man als einheitlichen Stoff. Da der Gesamtdruck bei Zustands
nderungen fast immer in der N
he des Atmosph
rendrucks liegt, kann man die feuchte Luft aus trockener Luft und Wasserdampf als ein Gemisch idealer Gase ansehen. Es ist dann fr die trockene Luft bzw. fr den Wasserdampf pL V ¼ mL RL T bzw: pD V ¼ mD RD T:

ð8Þ

Mit p ¼ pL þ pD folgt aus den vorstehenden Gleichungen die Wasserdampfmasse, die 1 kg trockener Luft beigemischt ist. xD ¼

mD RL pD : ¼ mL RD ðp
pD Þ

ð9Þ

Man bezeichnet die Grße xD ¼ mD =mL als Wasserdampfbeladung der feuchten Luft, im Folgenden kurz Dampfbeladung genannt und nicht zu verwechseln mit dem Dampfgehalt von Gemischen aus dampffrmigen und flssigen Wasser. Ist Wasser in der Luft nicht nur in Form von Dampf, sondern auch in flssiger oder fester Form vorhanden, so ist die Wasserbeladung x von der Dampfbeladung xD zu unterscheiden. Die Wasserbeladung ist definiert zu x¼

mW mD þ mFl þ mE ¼ ¼ xD þ xFl þ xE , mL mL

ð10Þ

wobei mD die Dampfmasse, mFl die Flssigkeitsmasse und mE die Eismasse in der trockenen Luftmasse mL bedeuten. xD , xFl und xE sind die Dampf-, Flssigkeits- und Eisbeladung. Die Wasserbeladung x kann zwischen 0 (trockene Luft) und 1 (reines Wasser) liegen. Ist feuchte Luft der Temperatur T mit Wasserdampf ges
ttigt, so wird der Partialdruck des Wasserdampfes gleich dem S
ttigungsdruck pD ¼ pDS bei der Temperatur T und die Dampfbeladung wird xS ¼

RL pDS : RD ðp
pDS Þ

ð11Þ

Beispiel: Man berechne die Dampfbeladung xS von ges
ttigter feuchter Luft bei einer Temperatur von 20 C und einem Gesamtdruck von 1 000 mbar. Es ist RL ¼ 0; 2872 kJ/kg K, RD ¼ 0; 4615 kJ/kg K. Aus der Wasserdampftafel Anh. D 6 Tab. 5 findet man den Dampfdruck pDS (20 C)=23,39 mbar. Damit wird xS ¼

0; 2872  23; 39 g  103 ¼ 14; 905 g=kg: 0; 4615ð1 000
23; 39Þ kg

Weitere Werte xS in Anh. D 9 Tab. 1.

Feuchtegrad, relative Feuchte. Als relatives Maß fr die Dampfbeladung definiert man den Feuchtegrad y ¼ xD =xS . In der Meteorologie wird dagegen meistens mit der relativen Feuchte j ¼ pD ðtÞ=pDS ðtÞ gerechnet. Beide Werte weichen in der N
he der S
ttigung nur wenig voneinander ab, denn es ist xD pD ðp
pDS Þ ðp
pDS Þ oder y ¼ j : ¼ xS pDS ðp
pD Þ ðp
pD Þ Bei S
ttigung ist y=j=1. Erhht man den Druck oder senkt man die Temperatur ges
ttigter feuchter Luft, so kondensiert der berschssige Wasserdampf. Der kondensierte Dampf f
llt als Nebel oder Niederschlag (Regen) aus; bei Temperaturen unter 0 C bilden sich Eiskristalle (Schnee). Die Wasserbeladung ist in diesem Fall grßer als die Dampfbeladung x > xD ¼ xS . Die relative Luftfeuchte kann mit direkt anzeigenden Ger
ten (z. B. Haarhygrometern) oder mit Hilfe des Aspirationspsychrometers nach Assmann bestimmt werden (s. W 2.9).

I9.2 Enthalpie feuchter Luft. Da bei Zustands
nderungen feuchter Luft die beteiligte Luftmenge dieselbe bleibt und sich nur die zugemischte Wassermenge durch Tauen oder Verdunsten
ndert, bezieht man alle Zustandsgrßen auf 1 kg trockene Luft. Diese enth
lt dann x ¼ mW =mL kg Wasser wovon xD ¼ mD =mL dampffrmig sind. Fr die Enthalpie h1þx des unges
ttigten (x ¼ xD < xS ) Gemisches aus 1 kg trockener Luft und x kg Dampf gilt h1þx ¼ cpL t þ xD ðcpD t þ rÞ:

ð12Þ

Es sind cpL ¼ 1; 005 kJ/kg K die isobare spez. W
rmekapazit
t der Luft, cpD ¼ 1; 86 kJ/kg K die des Wasserdampfes und r=2 500,5 kJ/kg die Verdampfungsenthalpie des Wassers bei 0 C. In dem interessierenden Temperaturbereich von –60 bis +100 C kann man konstante Werte cp annehmen. Bei S
ttigung wird xD ¼ xS und h1þx ¼ ðh1þx ÞS . Ist die Wasserbeladung x grßer als die S
ttigungsbeladung xS so f
llt bei Temperaturen t > 0
C der Wasseranteil x
xS ¼ xFl in Form von Nebel oder auch als Bodenkrper in dem Gemisch aus, und es wird h1þx ¼ ðh1þx ÞS þ ðx
xS ÞcW t:

ð13Þ

Bei Temperaturen t < 0
C f
llt der Wasseranteil x
xS ¼ xE als Schnee oder Eis aus, und es ist h1þx ¼ ðh1þx ÞS
ðx
xS ÞðDhE
cE tÞ:

ð14Þ

Es ist cW =4,19 kJ/kg K die spez. W
rmekapazit
t des Wassers, cE =2,04 kJ/kg K die des Eises und DhE =333,5 kJ/kg die Schmelzenthalpie des Eises. In Anh. D 9 Tab. 1 sind die S
ttigungsdrcke, die Dampfbeladungen und die Enthalpien ges
ttigter feuchter Luft bei Temperaturen zwischen –20 und +100 C fr einen Gesamtdruck von 1 000 mbar angegeben. Bei t ¼ 0
C kann Wasser gleichzeitig in allen drei Aggregatszust
nden vorliegen. Fr die Enthalpie h1þx des Gemisches gilt dann h1þx ¼ xS  r
xE  DhE :

Bild 1 a, b. h1þx , x-Diagramm der feuchten Luft nach Mollier

ð15Þ

Gas-Dampf-Gemische. Feuchte Luft

D 25

9.2.1 Mollier-Diagramm der feuchten Luft Fr die graphische Darstellung von Zustands
nderungen feuchter Luft hat Mollier ein h1þx , x-Diagramm angegeben, Bild 1 a. Darin ist die Enthalpie h1þx von (1+x) kg feuchter Luft in einem schiefwinkligen Koordinatensystem ber der Wasserbeladung aufgetragen. Die Achse h=0, entsprechend feuchter Luft von 0 C ist schr
g nach unten rechts gelegt, derart, dass die 0 C Isotherme der feuchten unges
ttigten Luft waagrecht verl
uft. Bild 1 b zeigt die Konstruktion der Isothermen nach Gl. (12) und Gl. (13). Die Linien x=const sind senkrechte, die Linien h=const zur Achse h1þx ¼ 0 parallele Geraden. In Bild 1 a ist die Grenzkurve j=1 fr den Gesamtdruck 1 000 mbar eingezeichnet. Sie trennt das Gebiet der unges
ttigten Gemische (oben) von dem Nebelgebiet (unten), in dem die Feuchtigkeit teils als Dampf, teils in flssiger (Nebel, Niederschlag) oder fester Form (Eisnebel, Schnee) im Gemisch enthalten ist. Isothermen im unges
ttigten Gebiet nach Gl. (12) sind nach rechts schwach ansteigende Geraden, die an der Grenzkurve nach unten abknicken und im Nebelgebiet den Geraden konstanter Enthalpie nahezu parallel verlaufen entsprechend Gl. (13). Fr einen Punkt im Nebelgebiet mit der Temperatur t und der Wasserbeladung x findet man den dampffrmigen Anteil, indem man die Isotherme t bis zum Schnitt mit der Grenzkurve j ¼ 1 verfolgt. Der im Schnittpunkt abgelesene Anteil xS ist als Dampf und damit der Anteil x
xS als Flssigkeit und/oder Eis im Gemisch enthalten. Die schr
gen, strahlenartigen Geradenstcke Dh1þx =Dx legen zusammen mit dem Nullpunkt die Richtung fest, in der man sich von einem beliebigen Diagrammpunkt aus bewegt, wenn man dem Gemisch Wasser oder Wasserdampf zusetzt, dessen Enthalpie in kJ/kg gleich den Zahlen an den Randstrahlen ist. Um die Richtung der Zustands
nderung zu finden, hat man durch den Zustandspunkt der feuchten Luft eine Parallele zur Geraden zu zeichnen, die durch den Nullpunkt (h=0, x=0) und den Randstrahl festgelegt ist.

D

D 26

Thermodynamik – 9 Gemische

9.2.2 Zustands
nderungen feuchter Luft

D

Erw
rmung oder Abkhlung. Wird ein gegebenes Gemisch erw
rmt, so bewegt man sich auf einer Senkrechten nach oben (1–2 in Bild 2 a), wird es abgekhlt, so bewegt man sich auf einer Senkrechten nach unten (2–1). Solange sich die Zust
nde 1 und 2 im unges
ttigten Gebiet befinden, ist die senkrechte Entfernung zweier Zustandspunkte gemessen im Enthalpiemaßstab gleich der ausgetauschten W
rme bezogen auf 1 kg trockene Luft: Q12 ¼ mL ðcpL þ cpD xÞðt2
t1 Þ;

ð16Þ

mit cpL ¼ 1; 005 kJ/kg K und cpD ¼ 1; 852 kJ/kg K. Bei Abkhlung feuchter Luft unter den Taupunkt des Wassers (1–2 in Bild 2 b) f
llt ein Niederschlag aus. Die abgefhrte W
rme ist Q12 ¼ mL ððh1þx Þ2
ðh1þx Þ1 Þ;

ð17Þ

worin ðh1þx Þ1 durch Gl. (12) und ðh1þx Þ2 durch Gl. (13) gegeben ist. Es f
llt eine Wassermenge mW ¼ mL ðx1
x3 Þ

ð18Þ

aus.

der Umgebung keine W
rme ausgetauscht wird, so liegt der Zustand m (Punkt 3 in Bild 2 c) nach der Mischung auf der Verbindungsgeraden 1–2. Den Punkt m erh
lt man durch Unterteilen der Geraden 1–2 im Verh
ltnis der Trockenluftmengen mL2 =mL1 . Es ist xm ¼ ðmL1 x1 þ mL2 x2 Þ=ðmL1 þ mL2 Þ:

ð19Þ

Mischen von ges
ttigten Luftmengen verschiedener Temperaturen liefert stets Nebel unter Ausscheiden der Wassermenge xm
xS , wobei xS der S
ttigungsgehalt auf der Nebelisotherme durch den Mischungspunkt ist. Beispiel: 1 000 kg feuchte Luft von t1 =30 C und j1 ¼ 0; 6 werden mit 1 500 kg ges
ttigter feuchter Luft von t2 =10 C bei 1 000 mbar gemischt. Wie groß ist die Temperatur nach der Mischung? Wie im vorigen Beispiel schon berechnet, ist x1 ¼ 16; 25 g/kg. Aus Anh. D 9 Tab. 1 entnimmt man bei t2 ¼ 10C die Wasserbeladung x2s =7,7377 g/kg. Die Trockenluftmengen sind mL1 ¼ 1 000=ð1 þ x1 Þ kg ¼ 1 000=ð1 þ 16; 25  10
3 Þ kg=984,01 kg und mL2 ¼ 1 500= ð1 þ x2s Þ kg ¼ 1 500=ð1 þ 7; 7377  10
3 Þ kg=1 488,5 kg. Damit wird xm ¼ ð984; 01  16; 25 þ 1 488; 5  7; 7377Þ=ð984; 01 þ 1 488; 5Þ g=kg ¼ 11; 12 g=kg: Die Enthalpie berechnet man nach Gl. (12). Es ist

Beispiel: 1 000 kg feuchte Luft von t1 ¼ 30C, j1 =0,6 und p=1 000 mbar werden auf 15 C abgekhlt. Wie viel Kondensat entsteht? Die Dampfbeladung x1 erh
lt man aus Gl. (9) mit pD ¼ j1 pDS . Nach Anh. D 9 Tab. 1 ist pDS (30 C)=42,46 mbar. Damit wird x1 ¼

RL ðj1 pDS Þ 0; 2872  0; 6  42; 46 ¼ RD ðp
j1 pDS Þ 0; 4615ð1 000
0; 6  42; 46Þ

¼ 16; 25  10
3 kg=kg ¼ 16; 25 g=kg: Die 1 000 kg feuchte Luft bestehen aus 1000=ð1 þ x1 Þ ¼ 1000=1; 01625 kg ¼ 984; 01 kg trockener Luft und 1000
984; 01 ¼ 15; 99 kg Wasserdampf. Die Wasserbeladung im Punkt 3, x3 ¼ xS , folgt aus Anh. D 9 Tab. 1 bei t3 ¼ 15C zu x3 ¼ 10; 79 g/kg. Damit wird mFl ¼ 984; 01  ð16; 25
10; 80Þ  10
3 kg=5,36 kg.

Mischung zweier Luftmengen. Mischt man zwei Luftmengen vom Zustand 1 und 2 (Bild 2 c) und sorgt dafr, dass mit

ðh1þx Þ1 ¼ ð1; 005  30 þ 16; 25  10
3  ð1; 86  30 þ 2 500; 5ÞÞ kJ=kg ¼ 71; 69 kJ=kg; ðh1þx Þ2 ¼ ð1; 005  10 þ 7; 7377  10
3  ð1; 86  10 þ 2 500; 5ÞÞ kJ=kg ¼ 29; 54 kJ=kg: Die Enthalpie des Gemisches ist ðh1þx Þm ¼ ðmL1 ðh1þx Þ1 þ mL2 ðh1þx Þ2 Þ=ðmL1 þ mL2 Þ ¼ ð984; 01  71; 69 þ 1 488; 5  29; 54Þ= ð984; 01 þ 1 488; 5Þ kJ=kg ¼ 46; 31 kJ=kg: Andererseits ist nach Gl. (12) ðh1þx Þm ¼ ð1; 005 tm þ 11; 12  10
3 ð1; 86 tm þ 2 500; 5ÞÞ kJ=kg: Daraus folgt tm =18
C.

Zusatz von Wasser oder Wasserdampf. Mischt man Luft mit mW kg Wasser oder Wasserdampf, so betr
gt der Wassergehalt nach der Mischung xm ¼ ðmL1 x1 þ mW Þ=mL1 . Die Enthalpie ist ðh1þx Þm ¼ ðmL1 ðh1þx Þ1 þ mW hW Þ=mL1 :

ð20Þ

Im Mollier-Diagramm fr feuchte Luft (Bild 2 d) liegt der Endzustand nach der Mischung auf derjenigen Geraden durch den Anfangszustand 1 der feuchten Luft, die parallel zu der durch den Koordinatenursprung gehenden Geraden mit der Steigung hW verl
uft, wobei hW ¼ Dh1þx =Dx durch die Geradenstcke des Randmaßstabs gegeben ist.

Bild 2 a–d. Zustands
nderungen feuchter Luft. a Erw
rmung und Abkhlung; b Abkhlung unter den Taupunkt; c Mischung; d Zusatz von Wasser oder Wasserdampf

Khlgrenztemperatur. Streicht unges
ttigte feuchte Luft vom Zustand t1 ; x1 ber eine Wasser- oder Eisoberfl
che, so verdunstet bzw. sublimiert Wasser und wird von der Luft aufgenommen, wodurch deren Wassergehalt zunimmt. Hierbei sinkt die Temperatur des Wassers bzw. des Eises und erreicht nach hinreichend langer Zeit einen station
ren Endwert, den man Khlgrenztemperatur nennt. Man findet die Khlgrenztemperatur tg mit Hilfe des Mollier-Diagramms, indem man diejenige Nebelisotherme tg sucht, deren Verl
ngerung durch den Zustandspunkt 1 geht.

I10.2 Heizwert und Brennwert

10 Verbrennung W
rme in technischen Prozessen wird heute noch grßtenteils durch Verbrennung gewonnen. Verbrennung ist die chemische Reaktion eines Stoffs, i. Allg. Kohlenstoff, Wasserstoff und Kohlenwasserstoffe, mit Sauerstoff, die stark exotherm, also unter W
rmefreisetzung abl
uft. Die Brennstoffe knnen fest, flssig oder gasfrmig sein, und als Sauerstofftr
ger dient meistens die atmosph
rische Luft. Zur Einleitung der Verbrennung muss der Brennstoff erst auf Zndtemperatur gebracht werden, die von der Art des Brennstoffs abh
ngt. Hauptbestandteil aller technisch wichtigen Brennstoffe sind Kohlenstoff C und Wasserstoff H, daneben ist h
ufig auch noch Sauerstoff O und, mit Ausnahme von Erdgas, noch eine gewisse Menge Schwefel S vorhanden, aus dem bei Verbrennung das unerwnschte Schwefeldioxid SO2 entsteht.

D 27

In den Rauchgasen treten außer den Verbrennungsprodukten CO2 , H2 O, SO2 noch der Wassergehalt w/18 (SI-Einheit kmol je kg Brennstoff) und die zugefhrte Verbrennungsluft l abzglich der verbrauchten Sauerstoffmenge omin auf. Hierbei wird angenommen, dass die zugefhrte Verbrennungsluft trocken oder deren Wasserdampfgehalt vernachl
ssigbar gering ist. Es entstehen folgende auf 1 kg Brennstoff bezogene Abgasmengen c h w s ; nH2 O ¼ þ ; nSO2 ¼ 12 2 18 32 ¼ ðl
1Þ omin ; nN2 ¼ 0; 79  l:

nCO2 ¼ nO2

Die Summe ergibt die gesamte Rauchgasmenge nR ¼

c h w s þ þ þ þ ðl
1Þ omin þ 0; 79  l kmol=kg: 12 2 18 32

Dies l
sst sich mit den Gln. (1) und (3) vereinfachen zu 1 nR ¼ l þ 12 ð3h þ 38 o þ 23 wÞ kmol=kg:

10.1 Reaktionsgleichungen Die in den Brennstoffen vorkommenden Elemente H, C und S werden bei vollst
ndiger Verbrennung zu CO2 , H2 O und SO2 verbrannt. Aus den Reaktionsgleichungen erh
lt man den Sauerstoffbedarf und die Stoffmenge im Rauchgas. Es gilt fr die Verbrennung von Kohlenstoff C C þ O2 ¼ CO2 1 kmol C þ 1 kmol O2 ¼ 1 kmol CO2 12 kg C þ 32 kg O2 ¼ 44 kg CO2 : Daraus folgen der Mindestsauerstoffbedarf, den man zur vollst
ndigen Verbrennung bentigt, zu omin ¼ ð1=12Þ kmol=kg C oder
min ¼ 1 kmol=kmol C: O

ð4Þ

Beispiel: In einer Feuerung werden stndlich 500 kg Kohle von der Zusammensetzung c=0,78, h=0,05, o=0,08, s=0,01, w=0,02 und einem Aschegehalt a=0,06 mit einem Luftberschuss l=1,4 vollkommen verbrannt. Wie viel Luft muss der Feuerung zugefhrt werden, wie viel Rauchgas entsteht und wie ist seine Zusammensetzung? Der Mindestsauerstoffbedarf ist nach Gl. (1) omin ¼ 0; 78=12 þ 0; 05=4 þ 0; 01=32
0; 08=32 kmol=kg ¼ 0; 0753 kmol=kg: Der Mindestluftbedarf ist lmin ¼ omin =0; 21 ¼ 0; 3586 kmol=kg; die zuzuf
hrende Luftmenge l ¼ llmin ¼ 1; 4  0; 3586 ¼ 0; 502 kmol=kg; also 0,502 kmol/kg  500 kg/h = 251 kmol/h. Das ergibt mit der Molmasse M=28,953 kg/kmol der Luft einen Luftbedarf von 0,502  28,953 kg/ kg=14,54 kg/kg, also 14,54 kg/kg  500 kg/h=7 270 kg/h. Die 1 Rauchgasmenge ist nach Gl. (4) nR ¼ 0; 502 þ 12 ð3  0; 05 þ 38  0; 08 þ 2 also 0,518 kmol/kg  500 kg/ 3  0; 02Þ kmol=kg ¼ 0; 518 kmol=kg; h=259 kmol/h mit 0,065 kmol CO2 /kg, 0,0261 kmol H2 O/kg, 0,0003 kmol SO2 /kg, 0,3966 kmol N2 /kg und 0,0301 kmol O2 /kg.

Der Mindestluftbedarf ergibt sich aus dem Sauerstoffanteil von 21 Mol-% in der Luft zu

10.2 Heizwert und Brennwert

lmin ¼ ðomin =0; 21Þ kmol Luft=kg C oder
min =0; 21Þ kmol Luft=kmol C
min ¼ ðO L und die CO2 -Menge im Rauchgas zu (1/12) kmol/kg C. Entsprechend gelten die folgenden Reaktionsgleichungen fr die Verbrennung von Wasserstoff H2 und Schwefel S: H2 1 kmol H2 2 kg H2 S 1 kmol S 32 kg S

þ 12 O2 þ 12 kmol O2 þ 16 kg O2 þ O2 þ 1 kmol O2 þ 32 kg O2

¼ H2 O ¼ 1 kmol H2 O ¼ 18 kg H2 O ¼ SO2 ¼ 1 kmol SO2 ¼ 64 kg SO2 :

Bezeichnen c, h, s, o die Kohlenstoff-, Wasserstoff-, Schwefel- und Sauerstoffgehalte in kg je kg Brennstoff, so ist der Mindestsauerstoffbedarf entsprechend der obigen Rechnung   c h s o omin ¼ þ þ
kmol=kg: ð1Þ 12 4 32 32

ð2Þ

worin s eine Kennzahl des Brennstoffs ist ðO2 -Bedarf in kmol bezogen auf die kmol C im Brennstoff). Der tats
chliche Luftbedarf (bezogen auf 1 kg Brennstoff) ist l ¼ llmin ¼ ðlomin =0; 21Þ kmol Luft=kg; l ist die Luftberschusszahl.

Dh0 ¼ Dhu þ ð8; 937 h þ wÞ r: Da das Wasser technische Feuerungen meistens als Dampf verl
sst, kann h
ufig nur der Heizwert nutzbar gemacht werden. Der Heizwert von Heizlen l
ßt sich erfahrungsgem
ß [9] gut wiedergeben durch die Zahlenwertgleichung Dhu ¼ 54; 04
13; 29 r
29; 31s MJ=kg;

Man schreibt abkrzend 1 cs kmol=kg; omin ¼ 12

Heizwert ist die bei der Verbrennung frei werdende W
rme, wenn die Verbrennungsgase bis auf die Temperatur abgekhlt werden, mit der Brennstoff und Luft zugefhrt werden. Das Wasser ist in den Rauchgasen als Gas enthalten. Wird der Wasserdampf kondensiert, so bezeichnet man die frei werdende W
rme als Brennwert. Nach DIN 51 900 gelten Heiz- und Brennwertangaben fr die Verbrennung bei Atmosph
rendruck, wenn die beteiligten Stoffe vor und nach der Verbrennung eine Temperatur von 25 C haben. Heiz- und Brennwert (s. Anh. D 10 Tab. 1 bis 4) sind unabh
ngig von dem Luftberschuss und nur eine Eigenschaft des Brennstoffs. Der Brennwert Dh0 ist um die Verdampfungsenthalpie r des im Rauchgas enthaltenen Wassers grßer als der Heizwert Dhu ,

ð3Þ

ð5Þ

in der r die Dichte des Heizls in kg/dm bei 15 C und s der Schwefelgehalt in kg/kg sind. Heizwerte fester Brennstoffe: s. Anh. L 2 Tab. 2 bis 4. 3

Beispiel: Wie groß ist der Heizwert eines leichten Heizls der Dichte r ¼ 0; 86 kg=dm3 , dessen Schwefelgehalt s ¼ 0; 8 Gew.-% betr
gt? Nach Gl. (5) ist Dhu ¼ 54; 04
13; 29  0; 86
29; 31  0; 8  10
2 ¼ 42; 38 MJ=kg:

D

D 28

Thermodynamik – 11 W
rmebertragung

10.3 Verbrennungstemperatur

D

Die theoretische Verbrennungstemperatur ist die Temperatur des Rauchgases bei vollkommener isobar-adiabater Verbrennung, wenn keine Dissoziation auftritt. Die bei der Verbrennung frei werdende W
rme dient der Erhhung der inneren Energie und damit der Temperatur der Gase sowie zur Verrichtung der Verschiebearbeit. Die theoretische Verbrennungstemperatur berechnet sich aus der Bedingung, dass die Enthalpie aller dem Brennraum zugefhrten Stoffe gleich der Enthalpie des abgefhrten Rauchgases sein muss.   B
tL Dhu þ ½cB
t25
C  ðtB  25
CÞ þ l CpL 25
C  ðtL  25
CÞ ð6Þ  t
pR ¼ nR C  ðt  25
CÞ: 25
C

Es bedeuten tB die Temperatur des Brennstoffs, tL die der Luft, und t die theoretische Verbrennungstemperatur, ½c
t25B
C ist die mittlere spez. W
rmekapazit
t des Brennstoffs,


pL
tL ½C 25
C die mittlere molare W
rmekapazit
t der Luft und
pR
t ½C 25
C die des Rauchgases. Diese setzt sich aus den mittleren molaren W
rmekapazit
ten der einzelnen Bestandteile zusammen:   c
h w

pR
t ½CpCO2
t25
C þ þ nR ½C ½CpH2 O
t25
C 25
C ¼ 12 2 18 ð7Þ s
t t t

þ ½C pSO2
25
C þ ðl  1Þomin ½CpO2
25
C þ 0; 79  l½CpN2
25
C 32 Die theoretische Verbrennungstemperatur muss man iterativ aus Gln. (6) und (7) ermitteln. Die wirkliche Verbrennungstemperatur ist auch bei vollkommener Verbrennung des Brennstoffs niedriger als die theoretische wegen der W
rmeabgabe an die Umgebung, haupts
chlich durch Strahlung, dem ber 1 500 C beginnenden Zerfall der Molekle und der ab 2 000 C merklichen Dissoziation. Die Dissoziationsw
rme wird bei Unterschreiten der Dissoziationstemperatur wieder frei.

11 W
rmebertragung

In Analogie zum Ohmschen Gesetz nennt man RW ¼ d=ðlAÞ einen Wrmeleitwiderstand (SI-Einheit K/W).

Bestehen zwischen verschiedenen, nicht voneinander isolierten Krpern oder innerhalb verschiedener Bereiche eines Krpers Temperaturunterschiede, so fließt W
rme so lange von der h
heren zur tieferen Temperatur, bis sich die verschiedenen Temperaturen angeglichen haben. Man bezeichnet diesen Vorgang als W
rmebertragung. Es sind drei F
lle der W
rmebertragung zu unterscheiden: – Die W
rmebertragung durch Leitung in festen oder in unbewegten flssigen und gasfrmigen Krpern. Dabei wird kinetische Energie von einem Molekl oder von Elementarteilchen auf seine Nachbarn bertragen. – Die W
rmebertragung durch Mitfhrung oder Konvektion in bewegten flssigen oder gasfrmigen Krpern. – Die W
rmebertragung durch Strahlung, die sich ohne materiellen Tr
ger mit Hilfe der elektromagnetischen Wellen vollzieht. In der Technik wirken oft alle drei Arten der W
rmebertragung zusammen.

Fouriersches Gesetz. Betrachtet man statt der Wand der endlichen Dicke d eine aus ihr senkrecht zum W
rmestrom herausgeschnittene Scheibe der Dicke dx, so erh
lt man das Fouriersche Gesetz in der Form

11.1 Station
re W
rmeleitung Station
re W
rmeleitung durch eine ebene Wand. Werden die beiden Oberfl
chen einer ebenen Wand der Dicke d auf verschiedenen Temperaturen T1 und T2 gehalten, so strmt durch die Fl
che A in der Zeit t nach dem Fourierschen Gesetz die W
rme Q ¼ lA

T1  T2 t: d

Darin ist l ein Stoffwert (SI-Einheit W/(Km)), den man Wrmeleitfhigkeit nennt (s. Anh. D 11 Tab. 1). Man bezeichnet Q=t ¼ Q_ als Wrmestrom (SI-Einheit W) und Q=ðtAÞ ¼ q_ (SI-Einheit W/m2 ) als Wrmestromdichte. Es ist T1  T2 T1  T2 Q_ ¼ lA und q_ ¼ l : d d

ð1Þ

hnlich wie bei der Elektrizit
tsleitung ein Strom I nur fließt, wenn man eine Spannung U anlegt, um den Widerstand R zu berwinden (I= U/R), fließt ein W
rmestrom Q_ nur dann, wenn eine Temperaturdifferenz DT ¼ T1  T2 vorhanden ist: lA Q_ ¼ DT: d

dT dT und q_ ¼ l ; Q_ ¼ lA dx dx

ð2Þ

wobei das negative Vorzeichen ausdrckt, dass die W
rme in Richtung abnehmender Temperatur strmt. Q_ ist hierbei der W
rmestrom in Richtung der x-Achse, Entsprechendes gilt fr q. _ Der W
rmestrom in Richtung der drei Koordinaten x, y, z ist ein Vektor   ¶T ¶T ¶T q_ ¼ l ex þ ey þ ez ð3Þ ¶x ¶y ¶z mit den Einheitsvektoren ex ; ey ; ez . Gl. (3) ist zugleich die allgemeine Form des Fourierschen Gesetzes. Es gilt in dieser Form fr isotrope Krper, d. h. solche, deren W
rmeleitf
higkeit in Richtung der drei Koordinatenachsen gleich groß ist. Station
re W
rmeleitung durch eine Rohrwand. Nach dem Fourierschen Gesetz wird durch eine Zylinderfl
che vom Radius r und der L
nge l ein W
rmestrom Q_ ¼ l2prlðdT=drÞ bertragen. Bei station
rer W
rmeleitung ist der W
rmestrom fr alle Radien gleich, Q_ ¼ const; sodass man die Ver
nderlichen T und r trennen und von der inneren Oberfl
che bei r ¼ ri des Zylinders mit der Temperatur Ti bis zu einer beliebigen Stelle r mit der Temperatur T integrieren kann. Man erh
lt als Temperaturverlauf in einer Rohrschale der Dicke r  ri : Ti  T ¼

r Q_ ln : l2pl ri

Mit der Temperatur Ta der
ußeren Oberfl
che vom Radius ra erh
lt man den W
rmestrom in einem Rohr der Dicke ra  ri und der L
nge l: Ti  Ta : Q_ ¼ l2pl ln ra =ri

ð4Þ

Um formale bereinstimmung mit Gl. (1) zu erreichen, kann man auch Ti  Ta Q_ ¼ lAm d

ð5Þ

I11.2 W
rmebergang und W
rmedurchgang Aa
Ai schreiben, wenn Aa ¼ ln ðAa =Ai Þ 2pra l die
ußere und Ai ¼ 2pri l die innere Oberfl
che des Rohrs ist. Am ist das logarithmische Mittel zwischen
ußerer und innerer Rohroberfl
che. Der „W
rmeleitwiderstand“ des Rohrs RW ¼ d=ðlAm Þ(SIEinheit K/W) muss durch eine Temperaturdifferenz berwunden werden, damit ein W
rmestrom fließen kann.

mit d ¼ ra
ri und Am ¼

In Anlehnung an das Ohmsche Gesetz I=(1/R)U nennt man 1/(/ A)=RW den W
rmebergangswiderstand (SI-Einheit K/W). Er muss durch die Temperaturdifferenz DT ¼ Tf
T0 berwunden werden, damit der W
rmestrom Q_ fließen kann. In Bild 1 sind vom W
rmestrom drei hintereinanderliegende Einzelwiderst
nde zu berwinden. Diese summieren sich zum Gesamtwiderstand. W
rmedurchgang durch ebene W
nde. Der durch eine ebene Wand (Bild 1) durchtretende W
rmestrom ist Q_ ¼ kAðTi
Ta Þ

11.2 W
rmebergang und W
rmedurchgang Geht von einem Fluid W
rme an eine Wand ber, wird darin fortgeleitet und auf der anderen Seite an ein zweites Fluid bertragen, so spricht man von W
rmedurchgang. Dabei sind zwei W
rmeberg
nge und ein W
rmeleitvorgang hintereinander geschaltet. Die Temperatur f
llt in einer Schicht unmittelbar an der Wand steil ab (Bild 1), w
hrend sich die Temperaturen in einiger Entfernung von der Wand nur wenig unterscheiden. Man kann vereinfachend annehmen, dass an der Wand eine dnne ruhende Fluidgrenzschicht von der Filmdicke di bzw. da haftet, w
hrend das Fluid außerhalb Temperaturunterschiede ausgleicht. In dem dnnen Fluidfilm wird W
rme durch Leitung bertragen, und es gilt nach Fourier fr den an die linke Wandseite bertragenen W
rmestrom Ti
T1 Q_ ¼ lA ; di worin l die W
rmeleitf
higkeit des Fluids ist. Die Filmdicke di h
ngt von vielen Grßen ab, wie Geschwindigkeit des Fluids entlang der Wand, Form und Oberfl
chenbeschaffenheit der Wand. Es hat sich als zweckm
ßig erwiesen, statt mit der Filmdicke di mit dem Quotienten l=di ¼ a zu rechnen. Man kommt zu dem Newtonschen Ansatz fr den W
rmebergang eines Fluids an einer festen Oberfl
che Q_ ¼ aAðTf
T0 Þ;

D 29

ð6Þ

ð7Þ

mit dem gesamten W
rmewiderstand 1/(kA), der sich additiv aus den Einzelwiderst
nden zusammensetzt: 1 1 d 1 þ þ : ¼ kA ai A lA aa A

ð8Þ

Die durch Gl. (7) definierte Grße k nennt man den W
rmedurchgangskoeffizienten (SI-Einheit W/(m2 K)). Besteht die Wand aus mehreren homogenen Schichten (Bild 2) mit den Dicken d1 ; d2 ; . . . und den W
rmeleitf
higkeiten l1 ; l2 ; . . . ; so gilt ebenfalls Gl. (7), jedoch ist jetzt der gesamte W
rmewiderstand X dj 1 1 1 þ þ : ð9Þ ¼ l j A aa A kA ai A Beispiel: Die Wand eines Khlhauses besteht aus einer 5 cm dicken inneren Betonschicht ðl ¼ 1 W=ðKmÞÞ, einer 10 cm dicken Korksteinisolierung ðl ¼ 0; 04 W=ðKmÞÞ und einer 50 cm dicken
ußeren Ziegelmauer ðl ¼ 0; 75 W=ðKmÞÞ. Der W
rmebergangskoeffizient auf der Innenseite ist ai ¼ 7 W=ðm2 KÞ, der auf der Außenseite aa ¼ 20 W=ðm2 KÞ. Wie viel W
rme strmt durch 1 m2 Wand bei einer Innentemperatur von
5 C und einer Außentemperatur von 25 C? Nach Gl. (9) ist der W
rmedurchgangswiderstand
 1 1 0; 05 0; 1 0; 5 1 K ¼ þ þ þ þ kA 7  1 1  1 0; 04  1 0; 75  1 20  1 W ¼ 3; 41 K=W:

in dem allgemein Tf die Fluidtemperatur und T0 die Oberfl
chentemperatur bedeuten. Die Grße a nennt man W
rmebergangskoeffizient (SI-Einheit W/(m2 K)). Grßenordnungen von W
rmebergangskoeffizienten gibt Tab. 1. Grundlagen zur Berechnung von a findet man in D 11.4.

Der W
rmestrom ist Q_ ¼

1 _ ¼ 8; 8 W. ð
5
25ÞW; jQj 3; 41

W
rmedurchgang durch Rohre. Es gilt wiederum die Gl. (7) fr den W
rmedurchgang durch ein Rohr. Der W
rmewiderstand setzt sich additiv aus den Einzelwiderst
nden zu1 1 d 1 sammen þ þ . ¼ kA ai Ai lAm aa Aa Es ist blich, den W
rmedurchgangskoeffizienten k auf die meist leicht zu ermittelnde
ußere Rohroberfl
che A ¼ Aa zu beziehen, sodass der gesamte W
rmewiderstand gegeben ist durch 1 1 d 1 ¼ þ þ kAa ai Ai lAm aa Aa

Bild 1. W
rmedurchgang durch eine ebene Wand

ð10Þ

mit Am ¼ ðAa
Ai Þ=lnðAa =Ai Þ: Besteht das Rohr aus mehreren homogenen Einzelrohren mit der Dicke d1 ; d2 ; . . . und den W
rmeleitf
higkeiten

Tabelle 1. W
rmebergangskoeffizienten a in W/(m2 K)

Bild 2. W
rmedurchgang durch eine ebene, mehrschichtige Wand

D

D 30

Thermodynamik – 11 W
rmebertragung

l1 ; l2 ; . . ., so gilt wieder Gl. (7), jedoch ist jetzt der gesamte W
rmewiderstand X dj 1 1 1 ¼ þ þ ; lj Amj aa Aa kAa ai Ai

D

ð11Þ

wobei die Summe ber alle Einzelrohre zu bilden ist und Amj die mittlere logarithmische Fl
che des Einzelrohrs j Amj ¼ ðAaj
Aij Þ= lnðAaj =Aij Þ ist.

11.3 Nichtstation
re W
rmeleitung Bei nichtstation
rer W
rmeleitung
ndern sich die Temperaturen zeitabh
ngig. In einer ebenen Wand mit fest vorgegebenen Oberfl
chentemperaturen ist der Temperaturverlauf nicht mehr geradlinig, da die in eine Scheibe einstrmende W
rme von der ausstrmenden verschieden ist. Der Unterschied zwischen ein- und austretendem W
rmestrom erhht (oder erniedrigt) die innere Energie in der Scheibe und damit deren Temperatur als Funktion der Zeit. Fr ebene W
nde mit einem W
rmestrom in Richtung der x-Achse gilt die Fouriersche W
rmeleitgleichung ¶T ¶2 T ¼a 2 : ¶t ¶x

ð12Þ

11.3.1 Der halbunendliche Krper Die Temperatur
nderungen sollen sich in einer im Vergleich zur Grße des Krpers dnnen Randzone abspielen. Man nennt einen solchen Krper halbunendlich. Betrachtet wird eine halbunendliche ebene Wand (Bild 3) der konstanten Anfangstemperatur T0 . Die Oberfl
chentemperatur der Wand werde zur Zeit t=0 auf Tðx ¼ 0Þ ¼ Tu abgesenkt und bleibe anschließend konstant. Man erh
lt fr verschiedene Zeiten t1 ; t2 ; . . . Temperaturprofile. Sie sind gegeben durch
 T
Tu x ¼ f pffiffiffiffiffi ð15Þ T0
Tu 2 at pffiffiffiffiffi mit der Gaußschen Fehlerfunktion f ðx=ð2 atÞÞ, Bild 4. Die W
rmestromdichte an der Oberfl
che erh
lt man durch Differentiation q_ ¼
lð¶T=¶xÞx¼0 zu b q_ ¼ pffiffiffiffiffi ðTu
T0 Þ pt

ð16Þ

pffiffiffiffiffiffiffi mit dem W
rmeeindringkoeffizienten b ¼ lrc (SI-Einheit 1 Ws2 =ðm2 K)) (Tab. 2), der ein Maß fr die Grße des W
rmestroms ist, der zu einer bestimmten Zeit in den Krper eingedrungen ist, wenn die Oberfl
chentemperatur pltzlich um einen bestimmten Betrag Tu
T0 gegenber der Anfangstemperatur T0 erhht wurde. Tabelle 2. W
rmeeindringkoeffizienten b ¼

pffiffiffiffiffiffiffi 1 lrc in Ws2 =ðm2 K)

Bei mehrdimensionaler W
rmeleitung ist
2  ¶T ¶ T ¶2 T ¶2 T þ 2þ 2 : ¼a 2 ¶t ¶x ¶y ¶z

ð13Þ

Beide Gleichungen setzen in dieser Form konstante W
rmeleitf
higkeit l voraus (Isotropie). Die Grße a=l/(rc) ist die Temperaturleitf
higkeit (SI-Einheit m2 /s), Zahlenwerte Anh. D 11 Tab. 2. Zur Lsung der Fourierschen W
rmeleitgleichung ist es zweckm
ßig, wie bei anderen Problemen der W
rmebertragung dimensionslose Grßen einfhren, weil sich dadurch die Zahl der Variablen verringern l
sst. Um das Grunds
tzliche zu zeigen, wird Gl. (12) betrachtet. Gesetzt wird Q ¼ ðT
Tc Þ=ðT0
Tc Þ, worin Tc eine charakteristische konstante Temperatur, T0 eine Bezugstemperatur ist. Zum Beispiel kann Tc bei der Abkhlung einer Platte von anf
nglich konstanter Temperatur T0 in einer kalten Umgebung die Umgebungstemperatur Tc ¼ Tu bedeuten. Alle L
ngen bezieht man auf eine charakteristische L
nge X, z. B. die halbe Plattendicke. Es ist weiter zweckm
ßig, durch Fo ¼ at=X 2 eine dimensionslose Zeit einzufhren, die man die Fourier-Zahl nennt. Lsungen der W
rmeleitgleichung sind dann von der Form

Beispiel: Bei einem pltzlichen Wetterwechsel f
llt die Temperatur an der Erdoberfl
che von +5 auf
5 C. Wie tief sinkt die Temperatur in 1 m Tiefe nach 20 Tagen? Die Temperaturleitf
higkeit des Erd-

Bild 3. Halbunendlicher Krper

Q ¼ f ðx=X; FoÞ: In vielen Problemen wird die durch Leitung an die Oberfl
che eines Krpers gelangende W
rme durch Konvektion an das umgebende Fluid der Temperatur Tu abgegeben. Es gilt dann die Energiebilanz an der Oberfl
che (Index w=Wand)
l



 ¶T 1 ¶Q aX ¼ aðTw
Tu Þ oder ¼
¶x w Qw ¶z w l

mit z=x/X, Q ¼ ðT
Tu Þ=ðT0
Tu Þ und Qw ¼ ðTw
Tu Þ= ðT0
Tu Þ. Die Lsung ist auch eine Funktion der dimensionslosen Grße aX/l: Man nennt aX/l die Biot-Zahl Bi, in ihr ist l die als konstant vorausgesetzte W
rmeleitf
higkeit des Krpers und a der W
rmebergangskoeffizient an das umgebende Fluid. Lsungen der Gl. (12) sind von der Form Q ¼ f ðx=X; Fo; BiÞ:

ð14Þ

Bild 4. Temperaturverlauf in einem halbunendlichen Krper

I11.3 Nichtstation
re W
rmeleitung

D 31

reichs betr
gt a ¼ 6; 94
107 m2 =s: Nach Gl. (15) ist ! T  ð5Þ 1 ¼ f ð0; 456Þ: ¼f 1 5  ð5Þ 2ð6; 94
107
20
24
3 600Þ2 In Bild 4 liest man ab f (0,456)=0,48. Damit wird T ¼ 0; 2  C:

Endlicher W
rmebergang an der Oberfl
che. Wird an der Oberfl
che des Krpers nach Bild 3 W
rme durch Konvektion an die Umgebung bertragen, sodass an der Oberfl
che q_ ¼ lð¶T=¶xÞ ¼ aðTw  Tu Þ gilt, wobei Tu die Umgebungstemperatur und Tw ¼ Tðx ¼ 0Þ die zeitlich ver
nderliche Wandtemperatur ist, so gilt Gl. (15) nicht mehr, sondern es ist b q_ ¼ pffiffiffiffiffi ðTu  T0 Þ FðzÞ pt

D Bild 5. Kontakttemperatur Tm zwischen zwei halbunendlichen Krpern

ð17Þ

1 1
3 1
3 . . . ð2 n  3Þ FðzÞ ¼ 1  2 þ 2 4  . . . þ ð1Þn1 , 2 z 2n1 z2n2 pffiffiffiffiffi 2 z worin z ¼ a at=l ist.

mit

11.3.2 Zwei halbunendliche Krper in thermischem Kontakt Zwei halbunendliche Krper verschiedener, aber anf
nglich konstanter Temperatur T1 und T2 mit den thermischen Eigenschaften l1 ; a1 und l2 ; a2 werden zur Zeit t=0 pltzlich in Kontakt gebracht, Bild 5. Nach sehr kurzer Zeit stellt sich zu beiden Seiten der Kontaktfl
che eine Temperatur Tm ein, die konstant bleibt. Es ist

Bild 6. Abkhlung einer ebenen Platte

Tm  T1 b2 ¼ : T2  T1 b1 þ b2 Die Kontakttemperatur Tm liegt n
her bei der Temperatur des Krpers mit dem grßeren W
rmeeindringkoeffizienten b. Durch Messen von Tm kann man einen der Werte b ermitteln, wenn der andere bekannt ist.

11.3.3 Temperaturausgleich in einfachen Krpern Ein einfacher Krper, worunter man eine Platte, einen Zylinder oder eine Kugel versteht, befinde sich zur Zeit t=0 auf einer einheitlichen Temperatur T0 und werde anschließend fr t>0 durch W
rmebertragung an ein den Krper umgebendes Fluid von der Temperatur Tu gem
ß der Randbedingung lð¶T=¶nÞw ¼ aðTw  Tu Þ abgekhlt oder erw
rmt (n sei die Koordinate normal zur Oberfl
che des Krpers). Ebene Platte. Es gelten die Bezeichnungen in Bild 6, in das auch ein Temperaturprofil eingezeichnet ist. Das Temperaturprofil wird durch eine unendliche Reihe beschrieben, kann aber fr at=X 2 ^ 0; 24 (a=l/(r c) ist die Temperaturleitf
higkeit) mit einem Fehler in der Temperatur

Tabelle 3. Konstanten C und d in Gl. (18)

Tabelle 4. Konstanten C und d in Gl. (19)

unter 1% angen
hert werden durch  x  T  Tu at  ¼ C exp d2 2 cos d : T0  Tu X X

ð18Þ

Die Konstanten C und d h
ngen gem
ß Tab. 3 von der BiotZahl Bi=aX/l ab. Die Oberfl
chentemperatur der Wand Tw erh
lt man aus Gl. (18), indem man x=X setzt. Der W
rmestrom folgt aus Q_ ¼ lAð¶T=¶xÞx¼X : Zylinder. Anstelle der Ortskoordinate x in Bild 6 tritt die radiale Koordinate r. Der Radius des Zylinders ist R. Das Temperaturprofil wird wieder durch eine unendliche Reihe beschrieben, die sich fr at=R2  0; 21 mit einem Fehler unter 1% ann
hern l
sst durch  at   r  T  Tu ¼ C exp d 2 I0 d : ð19Þ T0  Tu R R I0 ist eine Besselfunktion nullter Ordnung, deren Werte man in Tabellenwerken findet, z. B. [10]. Die Konstanten C und d h
ngen gem
ß Tab. 4 von der Biot-Zahl ab.

D 32

Thermodynamik – 11 W
rmebertragung

Die Oberfl
chentemperatur der Wand ergibt sich aus Gl. (19), wenn man r = R setzt und der W
rmestrom aus Q_ ¼
lAð¶T=¶rÞr¼R . Dabei tritt die Ableitung der Besselfunktion I00 ¼
I1 auf. Die Besselfunktion erster Ordnung I1 ist ebenfalls vertafelt [10].

D

Kugel. Die Abkhlung oder Erw
rmung einer Kugel vom Radius R wird ebenfalls durch eine unendliche Reihe beschrieben. Sie l
sst sich fr at=R2  0; 18 mit einem Fehler unter 2% ann
hern durch  at  sinðdr=RÞ T
Tu ¼ C exp
d 2 : ð20Þ T0
Tu R dr=R Die Konstanten C und d h
ngen gem
ß Tab. 5 von der BiotZahl ab.

11.4 W
rmebergang durch Konvektion Bei der W
rmebertragung in strmenden Fluiden tritt zur (molekularen) W
rmeleitung noch der Energietransport durch Konvektion hinzu. Jedes Volumenelement des Fluids ist Tr
ger von innerer Energie, die es durch Strmung weitertransportiert und im vorliegenden Fall des W
rmebergangs durch Konvektion als W
rme an einen festen Krper bertr
gt. Dimensionslose Kenngrßen. Grundlagen fr die Darstellung von Vorg
ngen des konvektiven bergangs bildet die hnlichkeitsmechanik (s. B 7). Sie erlaubt es, die Zahl der Einflussgrssen deutlich zu mindern, und man kann W
rmebergangsgesetze allgemein fr geometrisch
hnliche Krper und die verschiedensten Stoffe einheitlich formulieren. Es sind folgende dimensionslose Kennzahlen von Bedeutung: Nußelt-Zahl Reynolds-Zahl Prandtl-Zahl Pclet-Zahl Grashof-Zahl Stanton-Zahl geometrische Kenngrßen

Nu ¼ al=l Re ¼ wl=u Pr ¼ u=a Pe ¼ wl=a ¼ Re Pr Gr ¼ l3 gbDT=u2 St ¼ a=ðrwcp Þ ¼ Nu=ðRe PrÞ ln =l; n ¼ 1; 2; . . .

Es bedeuten: l W
rmeleitf
higkeit des Fluids, l eine charakteristische Abmessung des Strmungsraums l1 ; l2 ; . . . ; u die kinematische Viskosit
t des Fluids, r seine Dichte, a ¼ l=ðrcp Þ seine Temperaturleitf
higkeit, cp die spez. W
rmekapazit
t des Fluids bei konstantem Druck, g die Fallbeschleunigung, DT ¼ Tw
Tf die Differenz zwischen Wandtemperatur Tw eines gekhlten oder erw
rmten Krpers und Tf der mittleren Temperatur des an ihm entlang strmenden Fluids, b der thermische Ausdehnungskoeffizient bei Wandtemperatur, mit b ¼ 1=Tw bei idealen Gasen. Die Prandtl-Zahl ist ein Stoffwert (s. Anh. D 11 Tab. 2). Man unterscheidet erzwungene und freie Konvektion. Bei der erzwungenen Konvektion wird die Strmung des Fluids durch
ußere Kr
fte hervorgerufen, z. B. durch eine Druckerhhung in einer Pumpe. Bei der freien Konvektion wird die Strmung des Fluids durch Dichteunterschiede in einem Schwerefeld hervorgerufen, die im Allgemeinen durch Temperaturunterschiede, seltener durch Druckunterschiede, entstehen. Bei Gemischen wer-

Tabelle 5. Konstanten C und d in Gl. (20)

den Dichteunterschiede auch durch Konzentrationsunterschiede hervorgerufen. Der W
rmebergang bei erzwungener Konvektion wird durch Gleichungen der Form Nu ¼ f1 ðRe; Pr; ln =lÞ

ð21Þ

und der bei freier Konvektion durch Nu ¼ f2 ðGr; Pr; ln =lÞ

ð22Þ

beschrieben. Den gesuchten W
rmebergangskoeffizienten erh
lt man aus der Nußelt-Zahl zu a ¼ Nul=l. Die Funktionen f1 und f2 kann man nur in seltenen F
llen theoretisch ermitteln, sie mssen i. Allg. durch Experimente bestimmt werden und h
ngen von der Form der Heiz- und Khlfl
che (eben oder gewlbt; glatt, rau oder berippt), der Strmungsfhrung und, in wenn auch meistens geringem Umfang, von der Richtung des W
rmestroms (Erw
rmung oder Khlung des strmenden Fluids) ab.

11.4.1 W
rmebergang ohne Phasenumwandlung Erzwungene Konvektion L
ngsangestrmte ebene Platte bei Laminarstrmung. Fr die mittlere Nußelt-Zahl einer Platte der L
nge l gilt nach Pohlhausen Nu ¼ 0; 664 Re1=2 Pr 1=3

ð23Þ 5

mit Nu=al/l, Re ¼ wl=u < 10 und 0,6  Pr  2 000. Die Stoffwerte sind bei mittlerer Fluidtemperatur Tm ¼ ðTw þ T1 Þ=2 einzusetzen. Tw ist die Wandtemperatur, T1 die Temperatur in großer Entfernung von der Wand. L
ngsangestrmte ebene Platte bei turbulenter Strmung. Etwa von Re ¼ 5  105 an wird die Grenzschicht turbulent. Die mittlere Nußelt-Zahl einer Platte der L
nge l ist Nu ¼

0; 037 Re0;8 Pr 1 þ 2; 443 Re
0;1 ðPr 2=3
1Þ

ð24Þ

mit Nu=al/l, Re ¼ wl=u, 5  105 < Re < 107 und 0,6  Pr  2 000. Die Stoffwerte sind bei mittlerer Fluidtemperatur Tm ¼ ðTw þ T1 Þ=2 zu bilden. Tw ist die Wandtemperatur, T1 die Temperatur in großer Entfernung von der Wand. W
rmebergang bei der Strmung durch Rohre (Allgemeines). Unterhalb einer Reynolds-Zahl Re=2 300 (Re ¼ wd=u; w ist die mittlere Geschwindigkeit in einem Querschnitt, d der Rohrdurchmesser) ist die Strmung stets laminar, oberhalb von Re ¼ 104 ist sie turbulent. Im Bereich 2 300< Re 1  sin
sin j > > cos 8 9 > > > 2 2 2 > > > = < < sx = s
pffiffiffiffiffiffi pa 1 j j 3 sy ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffi
cos 1 þ sin
sin j > > : ; 2 p r 2 2 2 > > txy > > > > > > j j 3 > > ; : cos sin
sin j 2 2 2 tyz ¼ tzx ¼ 0:

Bild 10. Stadien des Bruchvorganges

E

E8

Werkstofftechnik – 1 Werkstoff- und Bauteileigenschaften

Beim Vorliegen eines ebenen Dehnungszustandes gilt:
 sz ¼ u sx þ sy :

E

Die Spannung s1 ist die durch
ußere Belastung hervorgerufene Spannung im ungerissenen Bauteil, r und j sind die Koordinaten im Polarkoordinatensystem mit Ursprung an der Rissspitze. Bild 11 zeigt den Verlauf der Spannung sy vor der Rissspitze. Fr endliche Bauteilabmessungen
ndert sich die prinzipielle Abh
ngigkeit der Spannungs- und Verformungskomponenten von den Koordinaten r und j nicht. Der Spannungsintensit
tsfaktor K (stress intensity factor) wird als Beanspruchungskenngrße eingefhrt. Es gilt pffiffiffiffiffi KI sij ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffi fij ðjÞ mit KI ¼ s1
pa
Y: 2pr In der Geometriefunktion Y finden Rissform und -art sowie die Bauteilgeometrie Bercksichtigung. Ausgew
hlte Lsungen fr Spannungsintensit
tsfaktoren fr verschiedene Struktur- und Rissmodelle sowie Beanspruchungen finden sich in den Kompendien [14, 18–23]. Zwei einfache Beispiele seien im Folgenden genannt. Unendliche Scheibe mit Innenriss unter Zugbeanspruchung

pffiffiffiffiffiffi K ¼ s pa Halbunendliche Scheibe mit Außenriss unter Zugbeanspruchung

Elastisch plastische Bruchmechanik (EPBM) Treten vor der Rissspitze ausgedehnte Fließbereiche auf und ist somit die plastische Zone vor der Rissspitze nicht mehr klein im Verh
ltnis zur Rissl
nge und den Bauteil- oder Probenabmessungen, kann der Beanspruchungszustand im rissspitzennahen Bereich nicht mehr ausreichend durch das elastische Beanspruchungsfeld außerhalb der plastischen Zone beschrieben werden. Der Bruch erfolgt duktil. Die linear elastische Bruchmechanik ist nicht mehr anwendbar. Es knnen jedoch wiederum Parameter bei der Beschreibung des Beanspruchungsfeldes vor der Rissspitze abgespalten werden, die die Abh
ngigkeit der Beanspruchungskomponenten von den Koordinaten r und j nicht berhren und die somit zur Charakterisierung des Beanspruchungszustandes geeignet sind. Im Wesentlichen werden die Rissffnungsverschiebung d (CODCrack Opening Displacement) und das J-Integral verwendet. Das COD-Konzept geht davon aus, dass Risswachstum dann einsetzt, wenn die plastischen Verformungen an der Rissspitze einen kritischen Wert erreichen. Die Aufweitung an der Rissspitze wird dabei als Rissffnungsverschiebung d bezeichnet. Das COD-Konzept wird vor allem bei der Werkstoffauswahl und Qualit
tsberwachung sowie bei der Fehlerbewertung von Schweißn
hten an Baust
hlen angewandt. Die Ermittlung der Rissffnungsverschiebung von Fehlern in Bauteilen ist sehr schwierig und oft nur mit aufw
ndigen Finite-Elemente Rechnungen mglich. Aus dem Dugdale-Rissmodell [24] ergibt sich bei ebenem Spannungszustand   8 Rp 0;2 a p s
ln sec : d¼ pE 2 Rp 0;2  ps2 a Fr s Rp0;2 < 0,6 gilt die N
herung d ¼ und im GlERp0;2 tigkeitsbereich der LEBM bei Annahme eines ebenen Spannungszustandes d¼

4 KI2 : p E
Rp 0;2

Aus einer Energiebetrachtung am wachsenden Makroriss in Rissrichtung folgt die Definition des J-Integrals Z J ¼ ðWdy  Ti ¶ui =¶x dsÞ; pffiffiffiffiffiffi K ¼ 1; 12 s p a: Das LEBM-Konzept hat breite Anwendung bei der Beurteilung von Werkstoffen mit Fehlern, bei der Auslegung und bei der Lebensdauerabsch
tzung von Bauteilen sowie bei der Schadensbeurteilung gefunden (Druckbeh
lter, Flugzeugbauteile, Maschinenbauteile, chemische Apparatebauteile).

dessen Wert auch bei nichtlinearem Materialgesetz vom Integrationsweg um die Rissspitze unabh
ngig ist. Hierbei ist W die spezifische Form
nderungsarbeit, ui der Verschiebungsvektor, Ti der Spannungsvektor und ds das Weginkrement auf dem Integrationsweg um die Rissspitze. Das J-Integral kann auch aus J¼

1 dU B da

ermittelt werden, wobei B die Probendicke und dU die nderung der potentiellen Energie bei Risswachstum um da sind. Einige N
herungslsungen sind in [13] angegeben. Da dieses Verfahren zur Fehlerbewertung noch relativ aufw
ndig ist, findet es derzeit nur bei speziellen Sicherheitsnachweisen Anwendung. Im Gltigkeitsbereich der LEBM lassen sich J und K wie folgt ineinander umrechnen: J¼ Bild 11. Spannungszustand an der Rissspitze bei einer einachsig belasteten unendlichen Scheibe unter Annahme eines linear elastischen Materialgesetzes.

KI2 : E0

mit E0 ¼ E bei Annahme eines ebenen Spannungszustandes (ESZ) bzw. E0 ¼ E=ð1  u2 Þ bei Annahme eines ebenen Dehnungszustandes (EDZ).

I1.3 1.3 Werkstoffkennwerte f
r die Bauteildimensionierung F
r die Bauteildimensionierung bzw. den Festigkeitsnachweis m
ssen geeignete Beanspruchbarkeitswerte zur Verf
gung gestellt werden, die den jeweils vorliegenden Werkstoffzustand charakterisieren. Zeit- und temperaturabhngige Vernderungen der Werkstoffeigenschaften sind zu ber
cksichtigen. Die Ermittlung von Werkstoffkennwerten erfolgt i. d. R. mit Standardpr
fmethoden (E 2). Einige Kennwerte sind in Anh. E 1 angegeben. 1.3.1 Statische Festigkeit Die Ermittlung der statischen Festigkeitswerte erfolgt im Zugversuch (E 2.2.1). Wichtige Werkstoffkennwerte zur Berechnung von Spannungen und Verformungen im linear-elastischen Bereich sind der Elastizit
tsmodul E und die Querkontraktionszahl u. Der E-Modul, der definitionsgemß als eine unmittelbare Vergleichsgrße f
r die Steifigkeit eines Bauteils aufgefasst werden kann, zeigt gemß Anh. E 1 Tab. 1 eine Werkstoff- und Temperaturabhngigkeit, die bei Verbundkonstruktionen aus verschiedenen Werkstoffen sowie beim Festigkeitsnachweis unter erhhten Temperaturen beachtet werden muss. Bei bestimmten Legierungen mit ausgeprgter Anisotropie ist auch die Richtungsabhngigkeit des E-Moduls zu ber
cksichtigen. F
r Festigkeitsberechnungen bei Raumtemperatur und hheren Temperaturen werden Werkstoffkennwerte bentigt, die unter Ber
cksichtigung der jeweiligen Beanspruchungsart auf die Versagensflle des Fließens und des Bruchs bezogen werden. Anh. E 1 Tab. 2 zeigt eine bersicht
ber die gebruchlichen Werkstoff-Festigkeitswerte unter verschiedenen Grundbelastungen. Im Unterschied zur einachsigen, homogenen Zugbelastung tritt bei Biegebelastung je nach Probendicke eine 20- bis 30%ige Steigerung der Fließlastgrenze ein, wenn auf die gleiche plastische Randdehnung bezogen wird. Dieser Effekt wird als St
tzwirkung bezeichnet und f
hrt auf eine Biegefließgrenze sb 0,2 bzw. sbF . Die Verdrehfließgrenze tF kann unter Verwendung der Gestaltnderungsenergiehypothese aus der Streckgrenze Re abgeschtzt werden: sv ¼ Re ¼

qffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi 3s21 ¼ s1 3 ¼ tF 3; tF ¼ 0; 577Re :

1.3.2 Schwingfestigkeit Zur Untersuchung zyklisch beanspruchter Werkstoffe dienen kraftgesteuerte bzw. spannungskontrollierte Versuche oder weggesteuerte bzw. dehnungskontrollierte Versuche. Die Er-

Bild 12. Prinzipdarstellung von Whler- bzw. Coffin-Manson-Diagramm

Werkstoffkennwerte f
r die Bauteildimensionierung

E9

gebnisse werden als Whlerlinien dargestellt, Bild 12. Es werden die unterschiedlich ausgeprgten Bereiche der Kurzzeitfestigkeit, der Zeitfestigkeit und Dauerfestigkeit oder die Bereiche niederzyklischer Erm
dung (LCF – Low Cycle Fatigue) und hochzyklischer Erm
dung (HCF – High Cycle Fatigue) unterschieden. In neueren Untersuchungen bei sehr hohen Schwingspielzahlen ðN
107 Þ [25] wird ein so genannter VHCF- (Very High Cycle Fatigue) oder UHCF- (Ultra High Cycle Fatigue) Bereich eingef
hrt. Spannungskontrollierte Schwingbeanspruchung (kraftgesteuert) Im Zeitfestigkeitsbereich ðN  ND ) kann die Whlerlinie bei doppeltlogarithmischer Auftragung nherungsweise durch eine Gerade abgebildet werden: N ¼ NG ðsa =ND Þk , wobei k die Steigung darstellt. Oberhalb bestimmter Grenzschwingspielzahlen (NG 2 bis 20  106 ) zeigen Eisenlegierungen bei Raumtemperaturen hufig einen deutlich ausgeprgten Dauerfestigkeitsbereich. Eine Beanspruchung in Hhe der Dauerfestigkeit sD wird theoretisch unendlich oft ertragen. Je nach Mittelspannung sm wird z. B. zwischen Wechselfestigkeit sW ðsm ¼ 0Þ und Schwellfestigkeit sSch ðsm ¼ sa ;Þ unterschieden: In Abhngigkeit von der Beanspruchungsart weisen metallische Werkstoffe eine unterschiedliche Mittelspannungsempfindlichkeit M¼

saðR¼1Þ  saðR¼0Þ smðR¼0Þ

auf [26], die in den Dauerfestigkeitsschaubildern nach Smith und nach Haigh abgelesen werden kann, Bild 13. Die zulssige Oberspannung sO wird durch die Fließgrenze Rp 0;2 begrenzt. In Bild 14 sind Zahlenwerte f
r die Mittelspannungsempfindlichkeit M f
r verschiedene Werkstoffe zusammengestellt [27]. Anh. E 1 Tab. 3 enthlt eine Zusammenstellung statischer und zyklischer Festigkeitskennwerte von Maschinenbauwerkstoffen nach [28]. Werte f
r Aluminiumwerkstoffe sind in [28] angegeben. Die Werte lassen sich
ber Faktoren oder St
tzzahlen ineinander umrechnen [28]. Dauerfestigkeitsschaubilder (Smith-Diagramme) f
r verschiedene Verg
tungssthle sind in Anh. E 1 Bild 1 und in Anh. E 1 Bild 2 dargestellt. Die Dauerfestigkeitswerte der einzelnen Sthle werden vor allem von ihrer Festigkeit und weniger von ihrer Legierungszusammensetzung bestimmt. Dehnungskontrollierte Schwingbeanspruchung (weggesteuert) Sowohl im Zeitfestigkeitsbereich zwischen 10 und 104 Schwingspielen als auch insbesondere bei hheren Tempera-

E

E 10

Werkstofftechnik – 1 Werkstoff- und Bauteileigenschaften

E Bild 13 a, b. Dauerfestigkeitsschaubilder nach Smith (a) und Haigh (b) sowie Darstellung der Mittelspannungsempfindlichkeit (schraffierter Bereich)

Bild 14. Mittelspannungsempfindlichkeit M fr Aluminium-, Magnesium-, Titan- und Stahlwerkstoffe nach Schtz/Haibach [27] und Sonsino

turen ist der linear-elastische Spannungs-Dehnungsverlauf bei zyklischer Belastung nicht mehr gegeben, so dass unter elastisch-plastischer Wechselverformung geschlossene Spannungs-Dehnungs-Hysteresen entstehen. Unter dehnungskontrollierten Beanspruchungen k
nnen Werkstoffe verfestigen oder entfestigen, was eine Zunahme oder Abnahme der Spannungsamplitude sa zur Folge hat. Je nach Werkstoffzustand und Temperatur stabilisiert sich das Materialverhalten jedoch nach etwa 10 bis 20% der Anrissschwingspielzahl, so dass bis zum Makroanriss dehnwechselbeanspruchter Proben annhernd stabilisierte Hysteresisschleifen entstehen. Bild 15 zeigt die nderung des elastisch-plastischen Dehnungsanteils eines Werkstoffs mit Entfestigung in Abhngigkeit von der Schwingspielzahl. Der spontane Abfall des Spannungsausschlags whrend der Zugphase ist auf Makrorissbildung zurckzufhren. Als Anrissschwingspielzahl NA wird blicherweise der Schnittpunkt zwischen dem tatschlichen Verlauf des Spannungsausschlags und einem um 5% erniedrigten Spannungswert der stabilisierten Kurve definiert. Die ermittelte zyklische s
e-Kurve wird hufig mit der sa sa 1=n0 Ramberg-Osgood-Beziehung ea ¼ þ 0 beschrieben, E k wobei k0 der zyklische Verfestigungskoeffizient und n0 der zyklische Verfestigungsexponent sind. Dehnungsw
hlerlinien

k
nnen nach Manson, Coffin, Morrow fr N  ND mit s0 ea ¼ ea, e þ ea, pl ¼ f ð2 NÞb þ e0f ð2 NÞC beschrieben werden, E wobei s0f , e0f , b und C Anpassparameter sind. Eine umfangreiche Werkstoffdatensammlung findet sich in [29]. Die Werkstoffkennwerte werden im
rtlichen Konzept zur Vorhersage der Ausrisslebensdauer verwendet [12, 30, 31] (vgl. E 1.2.3, E 1.5.3).

1.3.3 Bruchmechanische Werkstoffkennwerte bei statischer Beanspruchung Bruchmechanische Kenngr
ßen zur Charakterisierung des Werkstoffwiderstandes bei statischer Beanspruchung werden als Risszhigkeit bezeichnet [17] und beschreiben Rissinitiierung (Beginn der Risserweiterung), stabile Risserweiterung und Bruch. Sie werden im Maß des Spannungsintensittsfaktors K, der Rissspitzenaufweitung d oder des J-Integrals angegeben und sind mit Einschrnkungen ineinander umrechenbar. Die Kennwerte werden in speziellen Bruchmechanik-Versuchen (E 2.2.6) ermittelt. Bei spr
dem Werkstoffverhalten ist die Bruchzhigkeit KIc (Sonderfall der Risszhigkeit) die maßgebende Werkstoff-

I1.3

Werkstoffkennwerte f
r die Bauteildimensionierung

E 11

E Bild 15. Elastisch-plastische Wechseldehnung und zyklische s-e-Kurve eines Werkstoffs mit Entfestigung

kenngrße. Der Rissinitiierung folgt unmittelbar die Rissinstabilitt. Die Bruchzhigkeit KIc ist der kritische Wert des Spannungsintensittsfaktors im f
r praktische Belange wichtigsten Rissffnungsmode I (ebener Zug senkrecht zum Riss) bei Vorliegen eines ebenen Dehnungszustandes (Plain Strain, EDZ). F
r andere Rissffnungsmodi werden analog die Bruchzhigkeitskenngrßen KIIc und KIIIc definiert. Die angegebenen Kenngrßen sind weitgehend grßenunabhngig. Weitere kritische Werte Kc oder KQ knnen angegeben werden. Sie charakterisieren ebenfalls den Widerstand gegen
ber Rissinitiierung (Bruch), sind jedoch von Bauteil- oder Probendicke abhngig und gelten somit nur f
r den jeweiligen Einzelfall. Bei z
h-sprdem Werkstoffverhalten erfolgt instabile Risserweiterung, d. h. Bruch, nach einer plastischen Verformung und begrenzter stabiler Risserweiterung. Risszhigkeitskenngrßen, die den Widerstand gegen
ber Bruch charakterisieren, sind dc , Jc , du und Ju , wobei nur die Werte dc bzw. Jc von der Bauteil- oder Probendicke unabhngig sind. Bei z
hem Werkstoffverhalten folgt nach der Rissinitiierung eine stabile Risserweiterung. Zhbruch ist nur bei zunehmender Beanspruchung mglich, wenn bei einer inkrementellen Risserweiterung da die nderung des Rissantriebs grßer als die nderung des Werkstoffbruchwiderstandes ist. Der Bereich stabiler Risserweiterung liefert eine Sicherheitsreserve, die bei sprdem Werkstoffverhalten nicht vorhanden ist. Die Rissinitiierung, d. h. der bergang von einem ruhenden zu einem wachsenden Riss, wird durch die Kenngrßen der werkstoffphysikalisch wahren Initiierungsrisszhigkeit di und Ji charakterisiert Bild 16. Diese Werte sind quantitativ auf das Bauteil
bertragbare, aber unter Umstnden sehr konservative, Werkstoffkennwerte. Der technisch relevante Beginn stabiler Risserweiterung wird durch die Kenngrßen der technischen Initiierungsrisszhigkeit d0;2 , J0;2 , d0;2BL oder J0;2BL beschrieben, die bei Da ¼ 0; 2 bzw. aus dem Schnittpunkt mit der 0,2-Parallelen zu einer Rissabstumpfungsgeraden ermittelt werden, Bild 16. Sie werden als von der Probengeometrie unabhngige und quantitativ auf das Bauteil
bertragbare Werkstoffkennwerte betrachtet. Der Bereich stabiler Risserweiterung wird durch die Risswiderstandskurven (Crack Growth Resistance Curves, R-Kurven) dðDaÞ oder JðDaÞ beschrieben, Bild 16. Die analytische Beschreibung kann mit dðoder JÞ ¼ A þ CðDaÞD erfolgen, wobei f
r die Konstanten A; C
0 und 0  D  1 gilt. Andere Anstze wie z. B. dðoder JÞ ¼ AðDa þ BÞC

Bild 16. Risswiderstandskurve dðDaÞ bzw. JðDaÞ mit Kenngrßen der Initiierungsrisszhigkeit und dmax , Damax – G
ltigkeitsgrenzen nach Pr
fstandard [17]

sind mglich, wobei die Konstanten A, B und C jeweils vom verwendeten Parameter (d oder J) abhngen und in beiden Gleichungen andere Werte annehmen. Versagen tritt nach Erreichen einer geometrie- und werkstoffabhngigen Maximallast oder nach stabiler Risserweiterung bei vollstndigem Durchriss des Bauteils auf. Die Angabe eines Werkstoffkennwertes ist nicht mglich. Die Risszhigkeitskennwerte hngen allgemein von verschiedenen Einflussfaktoren ab. Werkstoffeinfluss Die Risszhigkeit nimmt mit zunehmender Qualitt (Reinheit, Homogenitt) zu. Sie ist i. Allg. orientierungsabhngig. Inhomogene Werkstoffzustnde sind im Vergleich zu homogenen Werkstoffzustnden bei gleicher Temperatur eher sprdbruchgefhrdet. Mit zunehmender Festigkeit eines Werkstoffes nimmt dessen Risszhigkeit in der Regel ab. Insbesondere bei großen und dickwandigen Bauteilen kann die Risszhigkeit von außen nach innen abnehmen. Temperatureinfluss Die Risszhigkeit ist temperaturabhngig. Sie nimmt in der Regel mit steigender Temperatur zu. F
r ferritische, martensitische und bainitische Sthle (kubisch-raumzentrierte Gitterstruktur) lsst sich der Risszhigkeits-Temperatur-Verlauf in die Bereiche Tieflage (sprdes Werkstoffverhalten), bergangsbereich (zh-sprdes Werkstoffverhalten) und Hochlage (zhes Werkstoffverhalten) einteilen, Bild 17. Der Risszhig-

E 12

Werkstofftechnik – 1 Werkstoff- und Bauteileigenschaften

stabilen Rissfortschritt. Der Beginn instabilen Rissfortschritts wird mit bruchmechanischen Kenngrßen fr statische Beanspruchung beschrieben. Die Kennwerte werden in speziellen Bruchmechanik-Versuchen (E 2.2.6) ermittelt. Bild 18 zeigt das prinzipielle Fortschrittsverhalten eines Makrorisses in Abh
ngigkeit der Schwingbreite des Spannungspffiffiffiffiffiffi intensit
tsfaktors DKðDK ¼ Kmax
Kmin ¼ Ds  p a  YÞ im Rahmen der LEBM, welches sich in drei Bereiche einteilen l
sst.

E Bild 17. Rissz
higkeits-Temperatur-Verhalten und mgliche Einflussgrßen fr ferritische, martensitische und bainitische St
hle

keits-Temperatur-Verlauf verschiebt sich in Abh
ngigkeit von der Probengrße, der Belastungsgeschwindigkeit, bei Neutronenbestrahlung und bei Alterungsprozessen. Die Temperaturabh
ngigkeit der Rissz
higkeit KJc wird mit einer mittleren Rissz
higkeits-bergangskurve (Pf =50%), der MasterKurve, mit pffiffiffiffi KJc ¼ 30 þ 70 exp½0; 019 ðT
T0 Þ in MPa m fr eine bestimmte Probengrße (Probendicke 25 mm) beschrieben. Dabei wird KJc durch eine elastisch-plastische Auswertung als Kennwert fr das Einsetzen von Sprdbruch ermittelt. Die Lage der Master-Kurve wird durch die Refepffiffiffiffi renztemperatur T0 , bei der KJc ¼ 100 MPa m ist, charakterisiert. Aufgrund der großen Streuung der Rissz
higkeit im bergangsbereich, bei jeweils einer Temperatur, ist eine statistische Betrachtung notwendig. Ergebnis ist die Angabe eines Rissz
higkeitswertes mit einer bestimmten Versagenswahrscheinlichkeit Pf . Die sich bei einer Versagenswahrscheinlichkeit von 5% (bei 25 mm Probendicke) ergebende Rissz
higkeits-Temperatur-Kurve gilt als untere Grenzkurve (lower bound). Fr austenitische St
hle und Aluminiumlegierungen (kubisch-fl
chenzentrierte Gitterstruktur) sowie fr Magnesiumlegierungen (hexagonale Gitterstruktur) steigt die Rissz
higkeit mehr oder weniger deutlich mit der Temperatur an. Ein bergangsverhalten wie in Bild 17 wird nicht beobachtet. Austenitische St
hle weisen in der Regel auch bei tiefen Temperaturen gute Z
higkeitseigenschaften und eine hohe Sprdbruchsicherheit auf. Einfluss der Belastungsbedingungen Die Rissz
higkeit nimmt im Bereich der Tieflage und im bergangsgebiet mit steigender Belastungsgeschwindigkeit ab, im Bereich der Hochlage dagegen zu. Die bergangstemperatur verschiebt sich zu hheren Werten, Bild 17. Ist im Betrieb mit hohen Belastungsgeschwindigkeiten zu rechnen (stoßartige Belastungen), so ist die dynamische Bruchz
higkeit KId die maßgebende Kenngrße. Es gilt KId < KIc . Bruchmechanische Kennwerte sind nicht Gegenstand der Werkstoffnorm. Datensammlungen liegen u. a. in [17, 32] vor, einige Kennwerte sind im Anh. E 1 in den Tabellen Anh. E 1 Tab. 4 bis Anh. E 1 Tab. 7 und in Anh. E 1 Bild 6 angegeben.

Bild 18. Makrorissfortschritt bei zyklischer Beanspruchung

Im Bereich I n
hert sich die Kurve einem Schwellenwert DKth , unterhalb dem kein Rissfortschritt messbar ist. Dieser Wert charakterisiert die Dauerfestigkeit eines Bauteils mit Makroriss. Der Schwellenwert DKth ist u. a. abh
ngig vom Spannungsintensit
tsverh
ltnis RK ¼ Kmin =Kmax , der Temperatur, der Mikrostruktur des Werkstoffes und dem Umgebungsmedium. In der Regel wird der Schwellenwert bei einer Rissfortschrittsrate von ca. 10
7 mm/Lastzyklus gemessen. Der Bereich II kann, bei konstantem RK -Wert, empirisch mit der Rissfortschrittsgleichung nach Paris/Erdogan [28] da ¼ C  ðDKÞm dN mit DKth < DK < DKc beschrieben werden, wobei die Konstanten C und m korrelieren und insbesondere von Werkstoff, RK -Wert und den Umgebungsbedingungen abh
ngen. Instabiler Rissfortschritt, d. h. Bruch, tritt bei einem Wert DKC im Bereich III auf, der bestimmt wird durch das Erreichen eines kritischen Spannungsintensit
tsfaktors Kmax ¼ Kc in einem Lastzyklus bzw. bei DKc ¼ ð1
RK Þ Kmax : Eine Annahme Kmax ¼ KIc ist mglich. Weitere Ans
tze zur Rissfortschrittsbeschreibung liegen z. B. mit einer bilinearen Beschreibung, der Rissfortschrittsgleichung nach Forman [33], Erdogan/Ratwani [34], Forman/ Mettu (NASGRO-Gleichung) [35] und nach dem Luftfahrttechnischen Handbuch [36] vor. Schwellenwert und Rissfortschrittsrate h
ngen allgemein von verschiedenen Einflussfaktoren ab. Werkstoffeinfluss

1.3.4 Bruchmechanische Werkstoffkennwerte bei zyklischer Beanspruchung Bruchmechanische Kenngrßen fr zyklische Beanspruchung beschreiben die Nichtausbreitungsf
higkeit von Rissen und

Fr feinkrnige Werkstoffe wird i. Allg. ein kleinerer Schwellenwert DKth ermittelt. Je kleiner der Elastizit
tsmodul, desto kleiner ist in der Regel der Schwellenwert DKth . Mit steigendem Elastizit
tsmodul nimmt die Rissfortschrittsrate ab.

I1.4 Durch verschiedene Wrmebehandlungen eines Werkstoffes werden die Bereiche I (DKth ) und III (DKc ) des Rissfortschritts wesentlich beeinflusst, Bereich II verndert sich kaum. Temperatureinfluss Mit steigender Temperatur nehmen der Schwellenwert DKth und die Rissfortschrittsrate zu. Bei hohen Temperaturen knnen Korrosions-, Oxidations- und Diffusionsvorgnge aktiviert werden. Umgebungseinfluss Unter der Wirkung korrosiver Medien wird der Erm
dungsrissfortschritt ung
nstig beeinflusst. Die Wirkung der Korrosion hngt ab von der Art des Umgebungsmediums, der mechanischen Beanspruchung (Beanspruchungshhe und -zyklenform, Haltezeiten, Mehrachsigkeit) und der Temperatur. Mit zunehmendem Korrosionseinfluss nimmt der Schwellenwert DKth ab und die Rissfortschrittsrate zu, Bild 18. Bei hheren Frequenzen ist der Korrosionseinfluss geringer. Vakuumbedingungen wirken sich g
nstig auf den Erm
dungsrissfortschritt aus. Die Rissfortschrittsrate ist geringer als in Luft und der Schwellenwert grßer.

Einfl
sse auf die Werkstoffeigenschaften

E 13

1.4.1 Werkstoffphysikalische Grundlagen der Festigkeit und Zhigkeit metallischer Werkstoffe Die Zhigkeitseigenschaften reiner Metalle hngen von der Zahl der Gleitsysteme (Gleitrichtungen, Gleitebenen) ihres Kristallgitters ab, wobei gemß Bild 19 insbesondere kubische Gitter (z. B. g-Fe, a-Fe) im Unterschied zu hexagonalen Gittern (z. B. Ti, Zn) wesentlich mehr Gleitmglichkeiten und somit bessere Zhigkeitseigenschaften besitzen. Homogene Gef
gezustnde (Einlagerungs- oder Substitutionsmischkristalle) weisen ebenfalls bessere Zhigkeitseigenschaften auf als heterogene Gef
gezustnde. Die Festigkeitseigenschaften metallischer Werkstoffe hngen in erster Linie von den mikrostrukturellen Voraussetzungen einer Legierung zur Behinderung einer Versetzungsbewegung (Fließbeginn) ab. Grundmechanismen zur Festigkeitssteigerung sind in Bild 20 angegeben. Whrend f
r die statischen Festigkeitseigenschaften der Werkstoff- und Gef
gezustand des gesamten Querschnitts maßgebend ist, ist f
r die Schwingfestigkeit in erster Linie der Werkstoffzustand der Oberflche und des randnahen Bereichs von Bedeutung. 1.4.2 Metallurgische Einfl
sse

Einfluss der Belastungsbedingungen Der Schwellenwert DKth ist abhngig vom Spannungsintensittsverhltnis RK , Bild 18. Mit zunehmendem RK -Wert nimmt zunchst der Schwellenwert DKth ab, bleibt dann aber konstant. Hohe Belastungsgeschwindigkeiten knnen zu Temperaturerhhungen im Bauteil f
hren, die eine nderung des Bruchmechanismus bewirken knnen, Bild 17. Die Reihenfolge der Belastungszyklen beeinflusst den Rissfortschritt. Beim bergang von einer hohen auf eine niedrige Belastung und nach Zug
berlasten kann es durch Druckeigenspannungen im Rissspitzenbereich, Rissabstumpfungen und Rissschließeffekte zu einer Rissfortschrittsverzgerung kommen. Beim bergang von einer niedrigen auf eine hohe Belastung und nach Druck
berlasten tritt eine Rissfortschrittsbeschleunigung auf. Dieses Verhalten kann im Rahmen der LEBM durch geeignete Berechnungsmodelle ber
cksichtigt werden [17]. Bruchmechanische Kennwerte sind nicht Gegenstand der Werkstoffnorm. Datensammlungen liegen u. a. in [17, 32, 37] vor, einige Kennwerte sind in den Tabellen Anh. E 1 Tab. 8 und Anh. E 1 Tab. 9 und in den Bildern Anh. E 1 Bild 3 bis Anh. E 1 Bild 5 sowie in Anh. E 1 Bild 7 angegeben. Empfehlungen aus Regelwerken sind ebenfalls im Anhang E 1 angegeben.

Bei der Stahlherstellung verbleiben unterschiedliche Mengenanteile an oxidischen, sulfidischen und silikatischen Einschl
ssen im Werkstoff, deren Grße, Form und Verteilung die Festigkeits- und Zhigkeitseigenschaften nachhaltig beeinflussen. Je nach Schmelzpunkt bzw. Erweichungspunkt der Einschl
sse knnen bei der Warmumformung die nichtmetallischen Einschl
sse ihre urspr
ngliche Erstarrungsform verndern und je nach Umformgrad einen ausgeprgten Richtungscharakter annehmen (s. S 3). Die mikrogeometrische Gestalt der Einschl
sse und ihre Lage zur ußeren Beanspruchungsrichtung hat eine innere Kerbwirkung mit unterschiedlichen Spannungs
berhhungen zur Folge. Die Hhe der Spannungsspitze hngt nicht nur von der Geometrie des Einschlusses und seiner Lage in Bezug auf das Lastspannungssystem, sondern auch von der Fließgrenze des Werkstoffs ab. Die Beurteilung der Grße, Art und Verteilung der nichtmetallischen Einschl
sse wird in DIN 50 602 beschrieben. Neben den Spannungs
berhhungen durch Lastspannungen knnen sich noch Eigenspannungseinfl
sse
berlagern, die z. B. auf unterschiedliche Wrmeausdehnungskoeffizienten der Einschl
sse im Vergleich zum Grundwerkstoff zur
ckzuf
hren sind. Durch nichtmetallische Einschl
sse werden wegen innerer Kerbwirkung die Schwingfestigkeitseigenschaften ver-

1.4 Einfl
sse auf die Werkstoffeigenschaften Die Festigkeits- und Zhigkeitseigenschaften eines Werkstoffs werden von einer Vielzahl von Faktoren beeinflusst, die bei der Werkstoffauswahl f
r statisch oder zyklisch beanspruchte Bauteile zu ber
cksichtigen sind. Im Folgenden werden metallurgische, technologische, Oberflchen- und Umgebungseinfl
sse und ihre Auswirkungen erlutert. Bei der Festigkeitsberechnung ist zu beachten, dass an Bauteilen oft konstruktive Kerben (z. B. an Querschnitts
bergngen, Querbohrungen, Schrumpfsitzen, Schraubenverbindungen, Schweißverbindungen) auftreten, die zu inhomogenen mehrachsigen Spannungszustnden f
hren. Die Festigkeitshypothesen gelten jedoch nur f
r homogene mehrachsige Spannungszustnde. Stimmen Bauteil- und Probengrße, an welcher der einachsige Werkstoffkennwert ermittelt wurde, nicht
berein, so ist eine bertragung der Kennwerte nicht mglich. Nachfolgend wird gezeigt, wie diese Einfl
sse ber
cksichtigt werden knnen.

Bild 19. Einfluss des Gittertyps auf die Gleitmglichkeiten und das Formnderungsvermgen reiner Metalle

E

E 14

Werkstofftechnik – 1 Werkstoff- und Bauteileigenschaften

E

Bild 20. Grundmechanismen zur Steigerung der Festigkeit metallischer Werkstoffe

schlechtert. Verg
tungssthle hherer Reinheit, wie sie z. B. durch Vergießen im Vakuum oder durch Elektroschlackeumschmelzen erzeugt werden, knnen um bis zu 30 bis 40% bessere Schwingfestigkeiten erreichen [38]. Auch durch legierungstechnische Maßnahmen knnen die negativen Auswirkungen nichtmetallischer Einschl
sse gemildert werden. So werden beispielsweise durch Calcium- und Cer-Zustze die sulfidischen Einschl
sse feiner verteilt und globular ausgebildet, wodurch die innere Kerbwirkung abnimmt. Inhomogenitt des Gef
ges, wie sie verstrkt bei Gusswerkstoffen und in Schweißnhten auftritt, hat negative Auswirkungen auf statische Festigkeitseigenschaften, Schwingfestigkeitseigenschaften und Korrosionsverhalten. Zu derartigen Inhomogenitten zhlen Entmischungen und Seigerungen, die durch Diffusions- oder Normalgl
hen gemindert werden knnen. Ausscheidungen knnen insbesondere bei hochlegierten Sthlen zu stark erhhter Korrosionsanflligkeit f
hren. 1.4.3 Technologische Einfl
sse Kaltumformung Durch die mit einer Kaltumformung verbundene Steigerung der Versetzungsdichte wird eine Kaltverfestigung bewirkt, die hufig auch mit einer Schwingfestigkeitssteigerung verbunden ist. Das Ausmaß der Schwingfestigkeitserhhung hngt davon ab, ob eine homogene oder partielle Kaltumformung durchgef
hrt wurde und ob der Richtungssinn der Umformung mit der Bauteil-Beanspruchungsrichtung
bereinstimmt. Partielle Kaltumformungen sind stets mit der Erzeugung von Eigenspannungszustnden verbunden. Mechanische Oberflchen-Verfestigungsverfahren, wie Kugelstrahlen und Festwalzen, nutzen die Kombination aus Kaltverfestigung und Eigenspannungswirkung gezielt zur Schwingfestigkeitssteigerung [39]. Wrmebehandlung Durch eine Verg
tungsbehandlung knnen sowohl die statischen Festigkeits- und Zhigkeitseigenschaften als auch die Schwingfestigkeitseigenschaften von Sthlen in weiten Gren-

zen beeinflusst werden. Whrend zum Erzielen hoher statischer Festigkeitswerte eine große Tiefenwirkung der Verg
tungsbehandlung bis hin zur Durchverg
tung angestrebt wird, spielen f
r die Schwingfestigkeitseigenschaften von Bauteilen mit inhomogener Spannungsverteilung vor allem die Festigkeitseigenschaften des Randbereichs eine maßgebende Rolle. Bei der Martensithrtung von Bauteilen aus C-Sthlen mit unterschiedlichem Querschnitt stellen sich bei gleichem Werkstoff und gleichem Abschreckmedium mit zunehmendem Durchmesser eine abnehmende Randhrte und eine geringere Einhrtungstiefe ein, die auf probengrßenabhngige unterschiedliche Abk
hlungsgeschwindigkeiten zur
ckzuf
hren sind. Das unterschiedliche Verhltnis von Oberflche zu Probenvolumen ist auch f
r eine unterschiedliche Eigenspannungsausbildung (Wrme- und Umwandlungseigenspannungen) verantwortlich. Die Legierungselemente Mn, Cr, Cr+Mo, Cr+Ni+Mo, Cr+V steigern in der angegebenen Reihenfolge die Durchhrtbarkeit im Unterschied zu C-Sthlen und gewhrleisten somit auch hhere Schwingfestigkeitssteigerungen bei grßeren Abmessungen. Im Unterschied zu einer konventionellen Verg
tungsbehandlung knnen durch Umwandlungen in der Bainit-Stufe (Zwischenstufenverg
tung) bessere Zhigkeits- und Schwingfestigkeitseigenschaften erreicht werden. 1.4.4 Oberflcheneinfl
sse Die mechanischen Eigenschaften eines Bauteils bei statischen und zyklischen Beanspruchungen werden durch die Oberflcheneigenschaften, d. h. die Oberflchenfeingestalt, die Randfestigkeit und die Randeigenspannungen unterschiedlich beeinflusst. Die Oberflcheneigenschaften spielen bei statischer Beanspruchung nur eine untergeordnete Rolle, da die Tiefenwirkung der durch Trennen oder Kaltumformung hergestellten Oberflchen im Vergleich zum Gesamtquerschnitt gering ist. Bei Schwingungsbeanspruchungen kommt den Eigenschaften des randnahen Bereichs eine große Bedeutung zu, da die Risseinleitungsphase
berwiegend von den Oberflcheneigenschaften abhngt.

I1.4 Entscheidend f
r den Einfluss der Oberflche auf die Verminderung der Schwingfestigkeit sind vor allem Eigenspannungen und Verfestigung als Folge der Fertigung [40]. Der Einfluss der Rauheit wird traditionell mit dem Rauheitsfaktor: KF ¼

sD;Rz sD;Rz
1mm

Bild 21 ber
cksichtigt [29]. Dabei ist Rz die gemittelte Rautiefe. Bei verschiedenen mechanischen oder thermochemischen Oberflchen-Verfestigungsverfahren (z. B. Kugelstrahlen, Nitrieren) wird neben einer Steigerung der Randfestigkeit zugleich der Randeigenspannungszustand verndert. Treten Druckeigenspannungen auf, so wird bei berlagerung mit Lastspannungen die Mittelspannung zu kleineren Werten hin verschoben. Druckeigenspannungen knnen dar
ber hinaus auch die Rissfortschrittslebensdauer steigern, wie am Beispiel des Oberflchen-Verfestigungsverfahrens Festwalzen mehrfach experimentell belegt [41] und in Bild 22 f
r gekerbte Proben verdeutlicht ist. Bei einstufiger Beanspruchung oberhalb der Dauerfestigkeit des nichtverfestigten Werkstoffzustandes, aber unterhalb der anrissbehafteten Bruchdauerfestigkeit des festgewalzten, eigenspannungsbehafteten Zustandes, bleiben die sich unter der zyklischen Beanspruchung bildenden Anrisse stehen (Rissstopp-Phnomen). Bei Belastungen, die vollstndig oder teilweise (variable Amplituden) oberhalb der

Bild 21. Rauheitsfaktor Kf f
r Walzstahl

Einfl
sse auf die Werkstoffeigenschaften

E 15

Bruchdauerfestigkeit liegen, erfolgt
ber die Verzgerung des Rissfortschritts durch Druckeigenspannungen eine Verlngerung der Lebensdauer. Demgegen
ber gibt es aber auch eine Reihe von Oberflcheneinfl
ssen, die zu einer Beeintrchtigung der Schwingfestigkeitseigenschaften f
hren knnen (z. B. Risse in Hartchrom
berz
gen [42] oder Randabkohlung [43]). 1.4.5 Umgebungseinfl
sse Werkstoffkennwerte hngen in entscheidendem Maße von der Umgebungstemperatur, dem Umgebungsmedium sowie der Strahlungsbelastung ab. Der Temperatureinfluss ist in erster Linie auf vernderte Gleitmechanismen in den Gitterstrukturen homogener und heterogener Legierungen zur
ckzuf
hren und wirkt sich auf den Gesamtquerschnitt von Proben und Bauteilen aus. Im Unterschied hierzu werden unter dem Einfluss korrosiver Medien Grenzflchenreaktionen an Oberflchen ausgelst, die zu makroskopischem und mikroskopischem Werkstoffabtrag f
hren, Passivschichten beschdigen oder partielle Versprdungserscheinungen durch Eindiffusion von Wasserstoff bewirken. Derartige Schdigungsmechanismen beg
nstigen bei
berlagerten statischen oder zyklischen Beanspruchungen die Rissbildung und vermindern somit die Festigkeits- und Zhigkeitskennwerte. Eine ausf
hrliche Darstellung der Zusammenhnge findet sich in E 6. Temperatureinfluss Im Temperaturbereich von Raumtemperatur bis zu hheren Temperaturen nehmen in der Grundtendenz die statischen und zyklischen Festigkeitskennwerte metallischer Werkstoffe ab, bei gleichzeitiger Zunahme der Zhigkeitskennwerte. Bei hheren Temperaturen ist zu ber
cksichtigen, dass neben der Zeitstandfestigkeit auch die Schwingfestigkeitswerte infolge zeit- und temperaturabhngiger Gef
gevernderungen zeitabhngig abfallen. Ein Dauerfestigkeitswert existiert bei hheren Temperaturen nicht. Wegen der ausgeprgten Frequenzund damit Zeitabhngigkeit der Versuchsergebnisse wird der Spannungsausschlag sa hufig nicht
ber der Bruchlastspielzahl NB sondern
ber der Bruchzeit tB ¼ NB =f aufgetragen (fFrequenz) [44]. Die zeitabhngige Verformung unter mechanischer Belastung wird als Kriechen bezeichnet. Kriecheffekte besitzen eine hohe Bedeutung in Hochtemperaturanlagen, z. B. thermischen Kraftwerken, E 1.1.3, E 1.6.4 und E 2.2.11. Konstante Verformung mit zeitabhngiger Abnahme der Spannung wird als Relaxation bezeichnet, E 1.6.4 und E 2.2.11. Mit abnehmenden Temperaturen steigen die Festigkeits- und Schwingfestigkeitskennwerte metallischer Werkstoffe i. Allg. an, unter gleichzeitiger Einbuße der Zhigkeitseigenschaften bis hin zur Tieftemperatur-Versprdung. Einfluss energiereicher Strahlen

Bild 22. Steigerung der Rissfortschrittslebensdauer durch Druckeigenspannungen

Bei der Bestrahlung metallischer Werkstoffe mit Neutronen, Ionen oder Elektronen kommt es zu vielfltigen Wechselwirkungen mit den Gitteratomen des bestrahlten Werkstoffs, die zu einer Vernderung der mechanischen, physikalischen und chemischen Werkstoffeigenschaften f
hren knnen. Von besonderer Bedeutung f
r die Werkstoffauswahl im Reaktorbau sind je nach Betriebstemperatur und Neutronenfluenz mgliche Strahlenschdigungen, die in Bestrahlungsverfestigung infolge Gleitblockierungen, bestrahlungsinduziertes Kriechen bei hheren Temperaturen, in Hochtemperaturversprdung sowie in strahlungsinduziertes Schwellen infolge Porenbildung unterteilt werden knnen [45]. Die Beherrschung des letztgenannten Effekts der Porenbildung, der auf der Agglomeration von Leerstellen beruht, spielt f
r die Auslegung der Brennelemente in schnellen Brutreaktoren sowie heliumgek
hlten Hochtemperaturreaktoren eine entscheidende Rolle.

E

E 16

Werkstofftechnik – 1 Werkstoff- und Bauteileigenschaften

1.4.6 Gestalteinfluss auf statische Festigkeitseigenschaften Kerbeinfluss

E

Im Unterschied zu der bei Zugst
ben vorliegenden einachsigen, homogenen Spannungsverteilung wird das Festigkeitsverhalten von Bauteilen je nach konstruktiver Gestaltung durch mehrachsige Kerbspannungszust
nde mit ausgepr
gten Spannungsspitzen an der Bauteiloberfl
che beeinflusst. Unter Bercksichtigung linear elastischen Materialverhaltens knnen gem
ß Bild 23 die fr Zug, Biegung oder Torsion sich einstellenden Spannungsspitzen im Kerbgrund durch die Formzahl ak definiert werden (z. B. ak Zug ¼ s1 max =snz ). Die Formzahl ak (engl. Kt ) h
ngt von Kerbgeometrie und Beanspruchungsart ab. Fr gleiche Kerbgeometrien ergeben sich je nach Beanspruchungsart unterschiedliche ak -Werte in der Reihenfolge ak Zug > ak Biegung > ak Torsion . Aus rechnerischen Ans
tzen (z. B. Finite-Element-Methode) sowie aus zahlreichen experimentellen Untersuchungen sind fr verschiedene Kerbf
lle der Konstruktionspraxis die Formzahlen ak bekannt. Mit der in Anh. E 1 Tab. 10 angegebenen Gleichung und den zugehrigen Faktoren und Exponenten, die nach der Finite-Element-Methode ermittelt wurden, knnen Formzahlen an gekerbten sowie an abgesetzten Flachund Rundst
ben fr verschiedene Beanspruchungsf
lle errechnet werden [46]. Wrde unter Verwendung eines duktilen Werkstoffs bei zgiger Beanspruchung ein Kerbstab nur bis zur Randfließgrenze Re =ak belastet, so erg
be sich eine nur unvollst
ndige Werkstoffausnutzung. Die Belastung kann betr
chtlich ber den Fließbeginn im Kerbgrund gesteigert werden, wobei ohne wesentliche Steigerung der Randfließspannung die plastische Zone eine grßere Tiefenwirkung erreicht, bis sich im vollplastischen Zustand die Grenztragf
higkeit einstellt. Dies gilt zun
chst fr ideal elastisch-plastischen Werkstoff ohne Verfestigung, Bild 24. Als geeignete Kenngrße einer gesteigerten Tragf
higkeit erweist sich der Quotient aus der Laststeigerung nach Beginn des Fließens Fpl und der Belastungsgrenze bei Fließbeginn FF der auch als Sttzziffer npl bezeichnet wird: npl ¼ Fpl =FF > 1: Fr sprde Stoffzust
nde gelten diese berlegungen keineswegs. In diesem Fall ergibt sich keine Fließ-, sondern eine Bruchbedingung zu Rmk ¼ s1n ¼ s1max =ak . Als geeignetes Kriterium zur Beurteilung des z
hen oder sprden Bauteilverhaltens unter Kerbspannungszust
nden erweist sich die bezogene Kerbzugfestigkeit gk ¼ Rmk =Rm als Funktion von ak . Duktile Werkstoffe zeigen mit grßer werdender Formzahl bezogene Kerbzugfestigkeitswerte Rmk =Rm > 1 w
hrend sprde Stoffzust
nde bezogene Kerbzugfestigkeitswerte Rmk =Rm < 1 ergeben.

Bild 24. Sttzwirkung in Kerbst
ben bei teilplastischer Verformung

Gr
ßeneinfluss Zur bertragung der an Proben ermittelten Werkstoffkennwerte auf Bauteile muss der Grßeneinfluss bercksichtigt werden. Unter der Annahme elastomechanischer hnlichkeit wurde an geometrisch
hnlich gekerbten Probest
ben nachgewiesen, dass Fließgrenze und Fließkurve von Kerbst
ben verschiedener Durchmesser fr geringe plastische Verformungen einen vernachl
ssigbaren geometrischen Grßeneinfluss aufweisen [47]. Dagegen wurde in Kerbzugversuchen im Durchmesserbereich von 6 bis 180 mm nachgewiesen, dass Kerbproben aus C60 ðak ¼ 3; 85Þ unterhalb 80 mm Außendurchmesser ein Kerbzugfestigkeitsverh
ltnis > 1, oberhalb 80 mm Außendurchmesser ein Kerbzugfestigkeitsverh
ltnis < 1 aufweisen. Dies deutet darauf hin, dass Kerbzugfestigkeitseigenschaften einen eindeutigen Grßeneinfluss zeigen, und somit auch bei quasistatischer Beanspruchung ein bergang vom z
hen zum sprden Bauteilverhalten bei bestimmten Grenzdurchmessern erfolgen kann. 1.4.7 Gestalteinfluss auf Schwingfestigkeitseigenschaften Kerbeinfluss

Bild 23. Formzahl – Definition fr Zug-, Biege- und Torsionsbeanspruchung

Unter der Annahme linear-elastischen Verhaltens im Dauerfestigkeitsbereich kann erwartet werden, dass bei Kerbst
ben und somit auch bei gekerbten Bauteilen die Wechselspannungsamplitude im Kerbgrund um den ak -fachen Wert der Nennspannung erhht wird und somit die Dauerfestigkeit sDk gekerbter Proben oder Bauteile auf den elastizit
tstheoretischen Kleinstwert der Nennspannung sDk ¼ sD =ak abgesenkt werden kann. In vielen Untersuchungen wurde nachgewiesen,

I1.5 dass die Verminderung der Dauerfestigkeit gekerbter Proben jedoch kleiner ist [48]. Je nach Kerbsch
rfe und Grße des Kerbgrunddurchmessers werden infolge Sttzwirkung erheblich hhere Schwingfestigkeitswerte erzielt. Dieses Verhalten wird mit der Kerbwirkungszahl bk ¼ sD =sD; k ; bk
ak erfasst: Die Kerbwirkungszahl bk kann nicht nur experimentell, sondern auch nach verschiedenen Verfahren rechnerisch bestimmt werden [49]. H
ufig angewendet wird die Beziehung ak nc ¼ , wobei sich ein Wert fr die Sttzzahl nc ber das bk 1 Ds bezogene Spannungsgef
lle c ¼ gem
ß Bild 25 ersmax Dd mitteln l
sst (s. C 10.3). Gr
ßeneinfluss Um die aus Einstufenversuchen ermittelten Schwingfestigkeitseigenschaften glatter und gekerbter Proben auf einstufenbeanspruchte Bauteile bertragen zu knnen, mssen alle maßgebenden Grßeneinflussparameter bekannt sein, die in folgende Einzelmechanismen unterteilt werden knnen [48]: Technologischer Grßeneinfluss, geometrischer Grßeneinfluss, statistischer Grßeneinfluss [50] sowie oberfl
chentechnischer Grßeneinfluss (vgl. Bild 26).

Festigkeitsnachweis von Bauteilen

E 17

Die FKM-Richtlinie f
r den rechnerischen Festigkeitsnachweis [30] enth
lt den statischen Festigkeitsnachweis und den Ermdungsfestigkeitsnachweis unter Anwendung der klassischen Methoden der Festigkeitslehre. Die Richtlinie wurde auf der Grundlage ehemaliger TGL-Standards [51–55], der frheren Richtlinie VDI 2226 [49] und weiterer Quellen erarbeitet und auf den neuen Erkenntnisstand weiterentwickelt. Werden an Bauteilen w
hrend Herstellung oder Betrieb jedoch Fehler, wie z. B. Risse, durch zerstrungsfreie Prfverfahren entdeckt oder muss mit deren Auftreten in einem Inspektionszeitraum gerechnet werden, so verlangt dies eine Anwendung bruchmechanischer Methoden und somit der FKM-Richtlinie f
r den bruchmechanischen Festigkeitsnachweis [17]. Im Folgenden sollen nur einige Schwerpunkte aus diesen Nachweisen n
her erl
utert werden.

1.5.1 Festigkeitsnachweis bei statischer Beanspruchung Bei einachsiger oder mehrachsiger homogener Belastung wird die Festigkeitsberechnung jeweils fr den hchstbeanspruchten Querschnitt durchgefhrt. Der Nachweis kann sowohl mit Nennspannungen als auch mit rtlichen Spannungen gefhrt werden.

1.5 Festigkeitsnachweis von Bauteilen Jeder Festigkeitsnachweis besteht aus einem Vergleich der Beanspruchung eines Bauteils und seiner Beanspruchbarkeit unter Bercksichtigung von Sicherheitsfaktoren. Konstrukteure und Berechnungsingenieure im Maschinenbau und in verwandten Bereichen der Industrie nutzen dazu u. a. zwei in den letzten Jahren entstandene Dokumente.

Bild 25. Sttzzahl nc fr unterschiedliche Werkstoffgruppen [49]

Bild 26. Entstehungsursachen und Mechanismen des Grßeneinflusses

E

E 18

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Werkstofftechnik – 1 Werkstoff- und Bauteileigenschaften

Werkstofffestigkeitskennwerte sind Zugfestigkeit und Fließgrenze (Streckgrenze bzw. 0,2 Dehngrenze) unter Beachtung des technologischen Gr
ßeneinflusses, der Anisotropie, der Beanspruchungsart (Zug, Druck, Schub) und der Temperatur [30]. Konstruktionskennwerte sind vor allem die plastischen Sttzzahlen, mit denen eine erfahrungsgemß zulssige Teilplastifizierung des Bauteils bercksichtigt wird und die mit anderen Gr
ßen auf einen Konstruktionsfaktor fhren. Die ertragbaren Nennwerte der statischen Bauteilfestigkeit ergeben sich aus der Zugfestigkeit, dividiert durch den jeweiligen Konstruktionsfaktor. Grundwert der Sicherheitsfaktoren ist ein praxisblicher Wert 2,0 gegenber der Zugfestigkeit, bzw. bei Werkstoffen mit einem Verhltnis von Zugfestigkeit zu Fließgrenze kleiner als 0,75 der Wert 1,5 gegenber der Fließgrenze. Der Nachweis wird mittels des Auslastungsgrades durchgefhrt, der h
chstens den Wert 1 annehmen darf. Der Auslastungsgrad fr eine bestimmte Spannungskomponente bzw. Spannungsart ist gleich dem Spannungswert dividiert durch den zulssigen Wert der statischen Bauteilfestigkeit. Der zulssige Wert ist gleich dem ertragbaren Wert der statischen Bauteilfestigkeit dividiert durch den Sicherheitsfaktor. Bei mehreren Spannungskomponenten wird ein Gesamtauslastungsgrad ermittelt, der die Duktilitt des Werkstoffes bercksichtigt. Die Bauteiltragfhigkeit kann zustzlich durch mehrachsige Eigenspannungszustnde beeinflusst werden. Je nach Tiefenwirkung der Eigenspannungsquelle bewirken mehrachsige Zugeigenspannungen eine Anhebung der Bauteilfließgrenze, wobei mit zunehmender teilplastischer Verformung der Eigenspannungszustand wieder abgebaut wird. Im Grenzfall k
nnen dreiachsige hydrostatische Zugeigenspannungszustnde eine Trennbruchgefahr ausl
sen, die unter Anwendung der Normalspannungshypothese wie folgt abgeschtzt werden kann: s1 max ¼ s1 Last þ s1 Eigensp: . Die Superposition von Last- und Eigenspannungen setzt voraus, dass der dreiachsige Eigenspannungszustand nach Gr
ße und Richtung des Hauptachsensystems bekannt ist. Einen Sonderfall des Versagens bei statischer Bauteilbelastung stellt die m
gliche Instabilitt infolge Knickung dar, die in [30] jedoch nicht bercksichtigt wird (s. C 7).

spruchungsfrequenzen ber 100 Hz k
nnen durch weitere Multiplikatoren rechnerisch bercksichtigt werden. Aus der Bauteil-Wechselfestigkeit unter Einstufen-Schwingbelastung folgt die Bauteil-Dauerfestigkeit fr eine gegebene Mittelspannung ber die Mittelspannungsempfindlichkeit M nach Bild 14. 1.5.3 Festigkeitsnachweis bei Schwingbeanspruchung mit variabler Amplitude (Betriebsfestigkeitsnachweis) Bauteile unterliegen unter Betriebsbedingungen meist regellosen Belastungsverlufen mit statistisch verteilten Schwingamplituden bei konstanten oder variablen Mittellasten, so dass die aus Einstufenversuchen gewonnenen Bauteil-Schwingfestigkeitseigenschaften nur begrenzt fr die Dimensionierung herangezogen werden k
nnen. In zahlreichen Anwendungsfllen des Maschinen- und Stahlbaus sowie insbesondere im Leichtbau mssen Schwingbeanspruchungen zugelassen werden, deren Spannungsausschlag bis ber den zweifachen Betrag der Dauerschwingfestigkeit hinausgeht, wodurch Teilschdigungen durch Wechselverformungen (Spannungs-Dehnungs-Hysteresen) im Zeitfestigkeitsgebiet entstehen k
nnen. Zur quantitativen Beurteilung der Teilschdigungen (Schadensakkumulation) sind Klassierverfahren erforderlich, die unregelmßige Belastungsablufe auf eine Folge von Schwingspielen bestimmter Gr
ße und Hufigkeit zurckfhren. Unter Anwendung verschiedener ein- und mehrparametriger Klassierverfahren, z. B. des Rainflow-Klassierverfahrens, k
nnen Hufigkeitsverteilungen sowie die Summenhufigkeit der Betriebslasten bzw. der Nennspannungen aufgestellt werden. Durch eine derartige Kollektivbildung gehen allerdings Informationen realer Beanspruchungs-Zeit-Verlufe teilweise verloren, weshalb in der Praxis fr den experimentellen oder rechnerischen Lebensdauernachweis (
rtliches Konzept) auch vielfach reale Lastfolgen verwendet werden. In Bild 27 sind drei unterschiedliche Spannungs-Zeit-Verlufe sowie die zugeh
rigen Spannungskollektive dargestellt. Zur eindeutigen Kennzeichnung eines Beanspruchungskollektivs sind die Summenhufigkeit H, die Kollektivform nach

1.5.2 Festigkeitsnachweis bei Schwingbeanspruchung mit konstanter Amplitude Analog zum Festigkeitsnachweis bei statischer Beanspruchung kann der Nachweis hier sowohl mit Nennspannungen als auch mit
rtlichen Spannungen gefhrt werden [30]. Die Bauteileigenschaften unter Schwingbeanspruchung werden durch werkstoffliche, fertigungstechnische und konstruktive Faktoren beeinflusst. Durch Anwendung mechanischer (Kugelstrahlen, Festwalzen), thermischer (Induktionshrten) und thermochemischer Randschichtverfestigungsverfahren (Einsatzhrten, Nitrieren) kann dabei eine wirkungsvolle Steigerung der Schwingfestigkeit erreicht werden. Ausgehend z. B. von der Wechselfestigkeit des Werkstoffes sW lsst sich die Bauteil-Wechselfestigkeit sWK nach folgen1 . dem Ansatz abschtzen: sWK ¼ sW
Kd
bk þ K1F  1 Dabei bercksichtigt der technologische Gr
ßenfaktor Kd die Unterschiede in den Abmessungen von Probe und Bauteil. Durch eine additive Verknpfung von Kerbwirkungszahl bk und Rauheitsfaktor KF wird eine geringere Rauheitsempfindlichkeit des gekerbten Bauteils im Vergleich mit dem nichtgekerbten Bauteil in Rechnung gestellt. Die Wirkungen von Randschichtverfestigungsverfahren, Temperaturen unter – 40 C oder ber 100 C, sowie Bean-

Bild 27 a–c. Einfluss verschiedener Spannungs-Zeit-Funktionen auf das Spannungskollektiv. a konstante Amplitude und Mittelspannung; b vernderliche Amplitude und konstante Mittelspannung; c vernderliche Amplitude und vernderliche Mittelspannung

I1.5 einem bestimmten statistischen Verteilungsgesetz, die Gr
ßt u bzw. die gr
ßte o ; s werte der Ober- und Unterspannungen s  a sowie die zugeh
rige Mittelspannung Spannungsamplitude s  m erforderlich. s Fr Spannungs-Zeit-Funktionen k
nnen – ausgehend vom stationren Zufallsprozess mit Normalverteilung (Bild 28) – die oberhalb der Normalverteilung liegenden Mischkollektive durch Normalkollektive zu einem bestimmten Lastbereich angenhert werden. Die Kollektivbeiwerte p stellen das Verhltnis von minimaler und maximaler Amplitude im Kollektiv dar und liegen gemß Bild 28 in den Grenzen 0
p
1. Die Lebensdauervorhersage von Bauteilen unter zufallsbedingten Last-Zeit-Funktionen kann durch Anwendung rechnerischer Verfahren sowie durch versuchstechnische Verfahren in Form von Programmversuchen oder Randomversuchen erfolgen. Rechnerische Lebensdauerabsch
tzung (Nennspannungskonzept) Sie kann bei bekanntem Belastungskollektiv und experimentell oder synthetisch bestimmter Bauteil-W
hlerkurve im Zeit- und Dauerfestigkeitsgebiet unter Anwendung einer geeigneten Schadensakkumulationshypothese durchgefhrt werden. Die von Palmgren und Miner aufgestellte Hypothese geht von einem linearen Schdigungszuwachs mit der Anzahl ni der Schwingspiele aus, wobei je Lastspiel eine Teilschdigung von 1=Ni auftritt, wenn Ni die Bruchlastspielzahl fr den jeweiligen Spannungsausschlag sai ist. Wird das Belas-

Festigkeitsnachweis von Bauteilen

E 19

tungskollektiv gemß Bild 29 durch eine mehrstufige Belastung ersetzt, so summieren sich die einzelnen Schdigungsanteile ni =Ni bei m Laststufen zu folgender Schadenssumme: S¼

m X n1 n2 n3 ni þ þ þ ::: ¼ ¼ 1: N1 N2 N3 Ni i¼1

Nach der Hypothese tritt Ermdungsbruch ein, wenn die Schadenssumme S ¼ 1 ist. Das Belastungskollektiv kann in eine Anzahl von Teilfolgen zerlegt werden, deren Schadenssumme je Stufe und Teilfolge Si ¼ hi =Ni betrgt, wobei hi die Zahl der Schwingspiele (Teilschdigungen) je Laststufe einer Teilfolge angibt. Die Schadenssumme bei Bruch ergibt sich mit Z = Anzahl der Teilfolgen zu S¼

X ni X hi ¼Z ðbei Z ¼ 1 wird ni ¼ hi Þ: Ni Ni

Wie eine umfassende Auswertung sowie Lebensdauernachrechnungen von Betriebsfestigkeitsversuchen zeigen, treten systematische Abweichungen von der theoretischen Schadenssumme S = 1 und beachtliche Streuspannen auf [56]. So wird zum Beispiel fr Berechnungen nach [30] fr Stahl eine Schadenssumme S ¼ 0; 3 empfohlen. Verschiedene Modifikationen der sogenannten Miner-Regel, wie z. B. die Verlngerung der Zeitfestigkeitsgeraden mit halbem Neigungswinkel zur Bercksichtigung von Schdigungsanteilen unterhalb der Dauerfestigkeit (s. Bild 29), wurden mit dem Ziel einer verbesserten Lebensdauervorhersage entwickelt [27]. Rechnerische Lebensdauerabsch
tzung (rtliches Konzept)

Bild 28. p-Wert-Kollektive und Aufteilungsm
glichkeit fr Blockprogramm-Versuche

Bei Lebensdauervorhersage nach dem
rtlichen Konzept erfolgt die Schadensakkumulation in gleicher Weise wie zuvor dargestellt, wobei jedoch die einzelnen Schwingspiele nicht durch Spannungen sondern durch einen Schdigungsparameter charakterisiert werden. Im Bild 30 sind die fr die Berechnung der Anrisslebensdauer notwendigen Daten- und Berechnungsmodule fr den Fall einer einachsigen Beanspruchung und eines homogenen und eigenspannungsfreien Werkstoffzustandes dargestellt. Eingabedaten auf der Seite der Beanspruchbarkeit sind die in Schwingversuchen an homogen beanspruchten Proben ermittelte zyklische Fließkurve und die Dehnungsw
hlerlinie (E 1.3.2). Auf der Seite der Beanspruchung sind die Bauteilgeometrie einschließlich der Lastkonfiguration sowie der Last-Zeit-Ver-

Bild 29. Berechnung der Schadenssumme nach Palmgren-Miner (8-Stufen-Versuch)

E

E 20

Werkstofftechnik – 1 Werkstoff- und Bauteileigenschaften

E

Bild 30. Daten- und Berechnungsmodule f
r eine Lebensdauervorhersage nach dem rtlichen Konzept [12]

lauf einzugeben. In einem ersten Rechenschritt wird
ber elastisch-plastische Nherungsgleichungen (Kerbbeanspruchungsbeziehungen) die Bauteilfließkurve (Last-DehnungsBeziehung) bestimmt. F
r teilplastische Beanspruchung wird hierbei vielfach die von Neuber [57] abgeleitete Beziehung s2 s
e ¼ a2k n genutzt. E Aus der Bauteilfließkurve und der Lastfolge kann schließlich unter Ber
cksichtigung des Masing- und Memoryverhaltens des Werkstoffs der Spannungs-Dehnungspfad als Folge geschlossener Hysteresisschleifen an der versagenskritischen Stelle berechnet werden. Die Berechnung des Schdigungsbeitrages der einzelnen Hysteresisschleifen aus der Dehnungswhlerlinie des Werkstoffs erfolgt
ber einen Schdigungsparameter. Am gebruchlichsten ist hier der Ansatz von pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Smith, Watson und Topper [58] PSWT ¼ ðsa þ sm Þea
E. Die einzelnen Teilschdigungen akkumulieren sich letztlich zur Gesamtschdigung, f
r die die Schadenssumme =1 mit dem Anrissversagen des Bauteils gleichgesetzt wird. Das hier aufgezeigte Berechnungskonzept hat zahlreiche Modifikationen erfahren, so in der Ber
cksichtigung inhomogener Werkstoffzustnde (z. B. Randschichtverfestigung) und der Erweiterung f
r mehrachsige Beanspruchungszustnde [59]. Durch die Einbeziehung bruchmechanischer Anstze schließlich wurde auch die Berechnung der Bruchlebensdauer mglich [60]. Experimentelle Lebensdauerbestimmung Hierzu knnen sowohl Programmversuche als auch Randomversuche angewandt werden. In der Vergangenheit wurden vielfach Programmversuche durchgef
hrt, bei denen das Amplitudenkollektiv in acht Stufen unterteilt wurde und Teilfolgen mit jeweils 0; 5
106 Lastspielen zusammengestellt wurden [61]. Um eine praxisgerechte Mischung hoher und niedriger Spannungsamplituden zu erreichen, wurden in jeder Teil-

folge die Spannungswerte zuerst ansteigend, dann fallend durchlaufen. Die Ergebnisse eines Programmversuchs lassen sich hnlich der Whlerkurve als Lebensdauer- oder Gaßnerlinie darstellen. Heute dominieren Randomversuche, bei denen eine weitgehende Nachahmung der tatschlichen Beanspruchungs-ZeitFunktion angestrebt wird. F
r zahlreiche Anwendungsflle (z. B. Fahrzeuge, Flugzeuge, Walzger
ste) existieren standardisierte Lastfolgen, die die jeweils baugruppenspezifischen stochastischen und deterministischen Beanspruchungsvorgnge abbilden. In experimentellen Vergleichsuntersuchungen zwischen Programm- und Randomversuchen wurde nachgewiesen, dass Randomversuche mit wirklichkeitsnahen Beanspruchungsablufen eine k
rzere Bauteil-Lebensdauer ergeben als verschiedene Blockprogrammversuche [62]. 1.5.4 Bruchmechanischer Festigkeitsnachweis unter statischer Beanspruchung Erreicht oder
berschreitet der Beanspruchungsparameter im rissbehafteten Bauteil bei statischer Beanspruchung einen kritischen Wert (Werkstoffbruchwiderstand), kommt es zu einer Rissinitiierung, die beim zhen Werkstoffverhalten stabile Risserweiterung und beim sprden Werkstoffverhalten instabiles Versagen einleitet. Der kritische Wert des Beanspruchungsparameters wird als Risszhigkeit Kmat bezeichnet, E 1.3.3. Bei sprdem Werkstoffverhalten tritt Versagen ein, wenn gilt KIBauteil ¼ Kmat ¼ KIc . Der Bruch kann durch Erreichen einer kritischen Risslnge oder einer kritischen Beanspruchung ausgelst werden. Bei zhem Werkstoffverhalten in der Hochlage ist der Werkstoffbruchwiderstand eine Funktion der Risserweiterung. Der Rissantrieb wird dann durch einen elastisch-plastischen Beanspruchungsparameter beschrieben und ist mit einer Risswiderstandskurve des Werkstoffs zu vergleichen, Bild 16.

I1.5 Die Bewertung von Bauteilen mit Fehlern unter statischer Beanspruchung kann mit Hilfe von Rissantriebs- (Crack Driving Force, CDF) oder Versagensbewertungs- (Failure Assessment, FA) Diagrammen gef
hrt werden. Das Versagens-Bewertungsdiagramm FAD (Failure Assessment Diagram), Bild 31, enthlt eine durch die Parameter Kr und Lr definierte Grenzkurve Kr ¼ f ðLr Þ f
r die Bewertung des belasteten Bauteils mit Fehler. Die Grenzkurve grenzt den „sicheren“ Bereich ein, in dem kein Versagen des Bauteils mit Riss mglich ist. Kr ist dabei der auf die Risszhigkeit Kmat bezogene linearelastische Spannungsintensittsfaktor K Kr ¼ K=Kmat und der Plastifizierungsgrad Lr die auf die plastische Grenzlast Fe des Bauteils mit Riss bezogene Belastung F Lr ¼ F=Fe : F
r gegebene Geometrie- und Beanspruchungsbedingungen des Bauteils mit Riss sowie f
r relevante Werkstoffkennwerte werden die Koordinaten [Kr , Lr ] eines Zustandspunktes (wenn die Rissinitiierung als der Grenzzustand betrachtet wird) bzw. einer Reihe von Zustandspunkten (f
r das Versagen nach stabiler, duktiler Risserweiterung) berechnet und mit der Grenzkurve verglichen. Das FAD-Verfahren enthlt als Grenzflle den Sprdbruchnachweis, wenn der Zustandspunkt auf der y-Achse liegt, und den Nachweis von plastischem Kollaps, wenn der Zustandspunkt auf der x-Achse liegt. In [14] und [17] werden verschiedene Grenzkurven in Abhngigkeit der zur Verf
gung stehenden Eingabedaten, dem Auswertungsaufwand und der gew
nschten Konservativitt der Ergebnisse angegeben. Besitzt der untersuchte Werkstoff beispielsweise eine ausgeprgte Streckgrenze (Rel , ReH ) so kann folgende Grenzkurve verwendet werden:  
1 L2 2 f ðLr Þ ¼ 1 þ r f
r Lr < 1 2 N
1

f
r 1  Lr < Lmax f ðLr Þ ¼ f ð1ÞLr2N r   1 1
2 f
r Lr ¼ 1 f ð1Þ ¼ l þ 2l   EDe Rel mit l ¼ 1 þ ; De ¼ 0:0375 1
; 1000 Rel      Rel 1 R þ R el m ¼ und Lmax : N ¼ 0:3 1
r Rm Rel 2

Bild 31. Versagensbewertungs-Diagramm (FAD), prinzipiell

Festigkeitsnachweis von Bauteilen

E 21

Die Bewertung ergibt nicht nur eine qualitative Aussage „sicher“/„unsicher“, sondern auch eine Quantifizierung dieser Aussage durch Reservefaktoren. Weiterhin ist es notwendig, die Empfindlichkeit des Ergebnisses zur anzunehmenden Variation einzelner Eingabedaten in Sensitivittsanalysen zu pr
fen und die Eingabedaten f
r die Berechnung von zulssigen Bedingungen, wenn erforderlich, mit geeigneten partiellen Sicherheitsfaktoren zu modifizieren. Alternativ knnen partielle Sicherheitsfaktoren auf der Basis einer zulssigen Versagenswahrscheinlichkeit festgelegt werden. 1.5.5 Bruchmechanischer Festigkeitsnachweis unter zyklischer Beanspruchung In vielen praxistypischen Fllen sind die Bedingungen zur Anwendung der linear-elastischen Bruchmechanik erf
llt und der dort auftretende Zusammenhang zwischen Rissfortschrittsrate und Schwingbreite des Spannungsintensittsfaktors, Bild 18, kann zur Bewertung herangezogen werden. Da die Messergebnisse der Rissfortschrittsrate streuen, sind f
r eine konservative Berechnung die obere Grenze des Streubandes, f
r eine realistische Berechnung, z. B. bei der Analyse von Schadensfllen, mittlere Werte zu verwenden. Bruchmechanische Dauerfestigkeit, d. h. keine Rissausbreitung, liegt vor bei DK < DKth : Diese Bedingung ist bei einer hohen geforderten Anzahl von Lastzyklen anzuwenden. Ist diese Bedingung nicht erf
llt, muss eine Berechnung des Rissfortschritts, i. d. R. durch numerische Integration der Rissfortschrittsrate, erfolgen. Dabei ist eine Auflsung nach der Lastzyklenzahl oder nach der End- bzw. Anfangsrissgrße mglich. Berechnungen der Rissausbreitung knnen f
r konstante oder variable Beanspruchung durchgef
hrt werden. Eigenspannungen sind zu ber
cksichtigen. Beanspruchungsnderungen knnen zu Reihenfolgeeffekten (Verzgerung bzw. Beschleunigung des Rissfortschritts nach Belastungsabsenkung bzw. -zunahme) f
hren, wobei bei stochastischen Beanspruchungen die Verzgerungen
berwiegen. 1.5.6 Festigkeitsnachweis unter Zeitstandund Kriecherm
dungsbeanspruchung Zeitstandbeanspruchung Zur Auslegung von Bauteilen [4] unter statischer Beanspruchung, wie sie idealisiert bei konstanten Betriebsbedingungen auftritt, werden gemß E 1.1.3, Bild 6, im Bereich erhhter Temperatur zeitunabh
ngige Festigkeitskennwerte und im Bereich hoher Temperatur zeitabh
ngige Festigkeitskennwerte, z. B. Zeitstandfestigkeit Ru=t=T oder Zeitdehngrenze Rpe=t=T herangezogen. Im Bereich hoher Temperatur werden langzeitige Festigkeitskennwerte bentigt, die bis zu den lngsten Betriebszeiten abgesichert sein sollen, z. B. bei Kraftwerken bis zu 200 000 h. Wegen der Streuung dieser Festigkeitskennwerte wird oft von der Streubanduntergrenze ausgegangen. Eine konventionelle Auslegung oder Nachrechnung ist dann mglich, wenn von einer idealisierten Geometrie und Belastung ausgegangen werden kann und die errechneten Spannungen direkt mit Festigkeitskennwerten verglichen werden knnen. Bei Bauteilen mit komplexer Gestalt und Belastung kann durch rtliche Spannungskonzentrationen eine Kriechbeschleunigung auftreten, was die Einleitung und das Wachstum von Rissen beg
nstigt. Zur Berechnung der Spannungsumverteilung in derartigen Bauteilen mit der inelastischen Finit-Element-Methode sind Werkstoffmodelle und Kriechgleichungen verf
gbar. Zeitstandfestigkeitskennwerte [63] werden in der Regel logarithmisch dargestellt (Beispiel Bild 32). Bei einer Extrapola-

E

E 22

E

Werkstofftechnik – 1 Werkstoff- und Bauteileigenschaften

tion ist Vorsicht geboten (DIN EN 10 291), zu Extrapolationsverfahren siehe E 2.2.11. Regelwerke, die Kennwerte f
r Zeitstandfestigkeit und Zeitdehngrenzen enthalten, sind nach Werkstoffgruppen geordnet, z. B.: – warmfeste Sthle f
r Rohre und Bleche (DIN EN 10 216), – Sthle f
r grßere Schmiedest
cke f
r Bauteile von Turbinen und Generatoren (SEW 555), – warmfeste und hochwarmfeste Werkstoffe f
r Schrauben und Muttern (DIN EN 10 269), – warmfester ferritischer Stahlguss (DIN EN 10 213), – hochwarmfeste austenitische Sthle f
r Bleche und Schmiedest
cke (DIN EN 10 222). Im Unterschied zu den Dimensionierungsanstzen bei Raumtemperatur und erhhter Temperatur sind f
r die Festigkeitsberechnung von Bauteilen im Bereich hoher Temperatur zeitund temperaturabhngige Werkstoffkennwerte erforderlich. Mit Sicherheitsbeiwerten SF gegen unzulssige plastische Verformung und SB gegen Zeitstandbruch ergeben sich zulssige Spannungen szul ¼ Rpe=t=T =SF und szul ¼ Rm=t=T =SB von denen der kleinere Wert heranzuziehen ist. Der Beiwert SB wird oft grßer gewhlt als der Beiwert SF . Hinweise sind z. B. f
r Dampfkessel in TRD301 [64] enthalten. Bild 33 zeigt ein Beispiel f
r eine konventionelle Auslegung mit dem Sicherheitsbeiwert SF ¼ 1; 5 gegen unzulssige plastische Verformung und dem Sicherheitsbeiwert SB ¼ 2 gegen Bruch. Bei einer konservativen Auslegung gegen eine Streubanduntergrenze wird in der Regel ein Abschlag von 20% in Spannungsrichtung gegen eine mittlere Zeitstandfestigkeit gewhlt. Im Bereich der bergangstemperatur (Bild 6 in

E 1.1.3) kann zustzlich eine Absicherung gegen die Warmstreckgrenze mit szul ¼ Rp 0;2=T =SF notwendig sein. Zeitlich ver
nderliche Beanspruchung Neben der statischen Beanspruchung knnen die Bauteile zustzlich zeitlich vernderlichen Beanspruchungen unterliegen. Eine Auslegung gegen zyklische Zeitstandbeanspruchung kann durch die modifizierte Lebensdaueranteilregel [65] erfolgen, bei der Beanspruchungsintervalle D ti bei quasi-konstanter Spannung und Temperatur auf die zugehrige Bruchzeit tui bezogen und zu einer relativen Zeitstandlebensdauer Lt akkumuliert werden. Die Bruchzeit unter vernderlicher Zeitstandbeanspruchung errechnet sich damit zu X X D ti f
r D ti =tui ¼ Lt : tui ¼ i

i

Beim Erwrmen und Abk
hlen von Bauteilen kann durch behinderte Wrmedehnungen eine Erm
dungsbeanspruchung auftreten. Eine Auslegung gegen Erm
dungsanriss kann durch die Miner-Regel erfolgen, bei der Wechselzahlen Nj unter konstanter Beanspruchungsschwingbreite auf die zugehrige Anrisswechselzahl NAj bezogen und zu einer relativen Erm
dungslebensdauer LA akkumuliert werden. Die Anrisswechselzahl errechnet sich zu X X NA ¼ Nj f
r Nj =NAj ¼ LA : j

j

Bei
berlagerter Kriechbeanspruchung im Bereich hoher Temperatur kann die Miner-Regel additiv mit der modifizierten Lebensdaueranteilregel kombiniert werden zu einer relativen Kriecherm
dungslebensdauer L ¼ Lt þ LA . Die Werte Lt , LA und L knnen unter 1 liegen [4]. Die Miner-Regel wird beispielsweise f
r die Nachrechnung von Bauteilen im Dampfkesselbau nach TRD301 [64] genutzt, die einer Wechselbeanspruchung durch schwellenden Innendruck bzw. durch kombinierte Innendruck- und Temperaturnderungen unterliegen. F
r Bauteile, die im Kriecherm
dungsbereich beansprucht werden, wird nach TRD508 [66] die Kombination der Miner-Regel und der Lebensdaueranteilregel herangezogen. Kriech- und Kriechermdungsrissbeanspruchung

Bild 32. Zeitbruchkurven des Stahles 10CrMo910

Bild 33. Konventionelle Auslegung mit zeitabhngigen Festigkeitskennwerten f
r idealisierte Bedingungen [4]

Neben Ungnzen und Rissen, die durch die Betriebsbeanspruchung entstehen knnen, enthalten Bauteile oft Ungnzen und Werkstofffehler, die durch die Herstellung und Verarbeitung eingebracht worden sind. Zur Absicherung der Bauteile muss eine auf die Mglichkeiten der zerstrungsfreien Pr
fung abgestimmte Anfangsfehlergrße innerhalb der vorgesehenen Betriebs- oder Inspektionszeit unterhalb einer um einen Sicherheitsfaktor verminderten kritischen Fehlergrße f
r spontanes Versagen bleiben [1]. Einen wichtigen Beitrag zur Beurteilung der Fehler liefert hier die Kriechbruchmechanik, bei der an Proben mit k
nstlicher Rissstartfront bei Betriebstemperatur unter statischer (Kriech-) bzw. schwellender (Kriecherm
dungs-)Belastung die Dauer tA zur Einleitung eines Kriechrisses und die Kriechrissgeschwindigkeit da/dt gemessen werden. Diese Ergebnisse knnen im Falle einer sich nur rtlich vor der Rissspitze bildenden plastischen Zone durch eine linearelastisch errechnete Spannungsintensitt KI beschrieben werden. Bei großen plastischen Dehnungen im weiteren Umfeld der Rissspitze, d. h. im Kriechbereich ist der Parameter C* zutreffender [7]. Zu seiner Bestimmung sind im allgemeinen Fall Finit-Element-Berechnungen erforderlich. Beim komplizierten Vorgang des Kriechrisswachstums knnen dabei Streuungen relativ groß sein. Generell legen sie die Anwendung von Untergrenzen f
r die Risseinleitungsdauer sowie Obergrenzen f
r die Risswachstumsgeschwindigkeit bei der kriechbruchmechanischen Beurteilung von Fehlern in Bauteilen nahe. Auf diesem Wege wird beispielsweise eine Absicherung mg-

I2.1 lich, dass innerhalb eines definierten Zeitintervalls kein Wachstum eines Risses bis zu einer f
r spontanes Versagen kritischen Grße erfolgt. Zur Abschtzung der Kriechrisseinleitungsdauer f
r technischen Anriss in Bauteilen wurde aber auch ein relativ einfaches, auf ein Zweikriteriendiagramm gest
tztes Verfahren mit
berwiegend elastischen Parametern, aber auch zeitabhngigen Grßen, entwickelt [7]. Es beruht auf einem Diagramm (Bild 34), in dem die Nennspannung snpl im Ligament auf die Zeitstandfestigkeit Ru=t=T bezogen als Nennspannungsfaktor Rs
ber einem Rissspitzenparameter RK ¼ KI id =KIA aufgetragen wird. Dieser bezieht die Spannungsintensitt an der Rissspitze KI id auf einen entsprechenden Wert KIA f
r Kriechrisseinleitung ermittelt aus Kriechrissexperimenten an CT25-Proben. Mit Hilfe der im Zweikriteriendiagramm angegebenen Bereiche: – Ligamentschdigung (Rs =RK
2), – Rissspitzenschdigung (Rs =RK  0; 5), – Mischschdigung und der Grenzlinie „Anriss/kein Anriss“ lassen sich Risseinleitung und Versagensart f
r eine vorliegende Geometrie und Belastung abschtzen. Weiterentwicklungen dieses Zweikriteriendiagramms betreffen das Kriecherm
dungsrissverhalten [4, 7].

2 Werkstoffpr
fung C. Berger und K. H. Kloos, Darmstadt Die Werkstoffpr
fung dient der Ermittlung von Eigenschaften und Kennwerten unter mechanischen, thermischen oder chemischen Beanspruchungsbedingungen an Proben und Bauteilen. Ihr Anwendungsbereich umfasst die Werkstoff- und Verfahrensentwicklung, die Bereitstellung von Kennwerten f
r Berechnung und Konstruktion, die Fertigung von der Eingangspr
fung bis zur Abnahmepr
fung, das fertige Produkt whrend seiner Lebensdauer sowie die Aufklrung von Schadensfllen.

Grundlagen

E 23

E

Bild 34. Zweikriteriendiagramm f
r Kriechrisseinleitung

werden vornehmlich im Rahmen der Qualittssicherung in der Produktion als Eingangs-, Fertigungs- und Abnahmepr
fung angewendet. Je nach Sicherheitsanforderungen erfolgt die Pr
fung als Stichprobenpr
fung oder als 100%-Pr
fung. Bei Bauteilen mit hohen sicherheitstechnischen Anforderungen (z. B. Luftfahrt, Reaktortechnik) erfolgen auch nach der Inbetriebnahme regelmßige Pr
fungen im Rahmen von Inspektionen oder kontinuierliche Pr
fungen im Betrieb durch Sensor
berwachung an potentiellen Versagensorten. Bei den zerstrenden Pr
fverfahren wird zwischen mechanischen, technologischen und chemischen Pr
fverfahren unterschieden. Mit ihnen werden charakteristische Beanspruchungen nachgeahmt, wobei die am Bauteil im Betrieb auftretenden Beanspruchungsbedingungen vielfach idealisiert werden.

2.1 Grundlagen

2.1.1 Probenentnahme

Die Pr
fverfahren werden in zerst
rungsfreie und zerst
rende Pr
fverfahren unterteilt. Die zerstrungsfreien Pr
fverfahren

Aufgrund von Erstarrung und Verformung knnen Sthle eine ausgeprgte Anisotropie in den Eigenschaften besitzen, so

Bild 1. Festlegung von Pr
fvolumina

E 24

E

Werkstofftechnik – 2 Werkstoffpr
fung

dass die Lage der Proben im Bauteil in Lngs-, Quer- und Dickenrichtung anzugeben ist. In Großbauteilen knnen durch die Erstarrungsbedingungen grßere Unterschiede zwischen den Kern- und Randfestigkeits- und Zhigkeitseigenschaften auftreten. Bild 1 zeigt dies am Beispiel einer Welle. Bei hohen Drehzahlen treten die hchsten Beanspruchungen im Bereich der Wellenmitte auf, wo auch die ung
nstigsten Werkstoffeigenschaften zu erwarten sind. (Ursache daf
r knnen die infolge der chemischen Zusammensetzung bedingte mangelnde Durchverg
tbarkeit und/oder Wrmebehandlung aber auch Lunker und Seigerungen sein.) Durch Versuchsbauteile bzw. vergleichende Untersuchungen ist sicherzustellen, dass die in den hochbeanspruchten Bereichen geforderten Werkstoffeigenschaften, d. h. insbesondere Festigkeit und Zhigkeit, erreicht werden. Besondere Anforderungen an die Probenentnahme sind bei der G
tesicherung gegossener Bauteile zu stellen. Die mechanischen Eigenschaften angegossener Proben knnen nur dann mit den Werkstoffeigenschaften des Gussteiles
bereinstimmen, wenn die Abk
hlbedingungen in beiden Fllen gleich sind. Dies gilt insbesondere f
r Eisengraphit-Werkstoffe, deren mechanische Eigenschaften in starkem Maße von Graphitform und -verteilung abhngen. 2.1.2 Versuchsauswertung Bei der Bestimmung von Werkstoffeigenschaften ist neben dem Kennwert auch der Streubereich von Bedeutung, der durch Unterschiede in der chemischen Zusammensetzung der Proben sowie durch fertigungs- und pr
ftechnische Einfl
sse bedingt ist. Bei der Festlegung von Sicherheitszahlen f
r die Festigkeitsberechnung ist es hufig erforderlich, Werkstoffkennwerte einzusetzen, die nach statistischen Grundstzen bestimmt wurden. Auswertungsverfahren f
r statische Werkstoffkennwerte Die Mehrzahl der statischen Werkstoffkennwerte wird durch Mittelwertbildung (50% berlebenswahrscheinlichkeit) bestimmt. Zustzlich kann ein Minimalwert angegeben werden, der von keiner Probe unterschritten wird. Die in [1] bzw. im Anh. E 1 Tab. 3 angegebenen Werte gelten f
r eine berlebenswahrscheinlichkeit von 97,5%. Zur Kennzeichnung des Streubereichs haben sich die Varianz bzw. die daraus abgeleiteten Grßen Standardabweichung und Variationskoeffizient erwiesen. Auswertungsverfahren f
r Schwingfestigkeitskennwerte Infolge der großen Zahl von Schwingfestigkeits-Einflussfaktoren sollten alle maßgeblichen Dauerfestigkeitskennwerte mit der Angabe einer bestimmten berlebens- oder Bruchwahrscheinlichkeit gekoppelt werden, wozu eine grßere Probenzahl erforderlich ist. Bei nur wenigen Proben pro Lasthorizont und geringer Probenzahl pro Whlerkurve ist eine Verbesserung des Auswerteverfahrens dadurch mglich, dass aufgrund des beobachteten Verteilungsbilds der Versuchswerte zutreffende Verteilungsgesetze mit gen
gender Genauigkeit formuliert werden knnen. Die bekanntesten Verteilungsgesetze sind die Normalverteilung nach Gauß, die Extremverteilung nach Gumbel (die sog. Weibull-Verteilung stellt hierin einen Sonderfall pffiffiffi dar) sowie die arcsin p-Transformation. Um eine ausreichende Aussagewahrscheinlichkeit zu erhalten, sind je Lasthorizont mindestens zehn Proben erforderlich. Unter der Voraussetzung einer Normalverteilung werden derzeit zwei Auswerteverfahren zur Bestimmung der Dauerfestigkeit angewandt [2]. Treppenstufenverfahren. Hier wird eine grßere Probenzahl (15 bis 20) nacheinander auf mehreren Laststufen gepr
ft,

wobei die Beanspruchungshhe davon abhngt, ob die vorher untersuchte Probe zu Bruch ging oder die Grenzlastspielzahl erreicht hat. Im Falle eines Bruchs wird die Last um einen Stufensprung erniedrigt, ansonsten erhht. Die Auswertung der anfallenden Versuchsergebnisse geschieht rechnerisch nach einem kleinen Schema und liefert Mittelwert und Standardabweichung der ertragbaren Spannung samt den zugehrigen Vertrauensgrenzen [2]. Abgrenzungsverfahren. Hier wird ebenfalls zunchst eine Probe in Hhe der erwarteten Dauerfestigkeit beansprucht. Bricht die Probe, so wird die Laststufe so lange erniedrigt, bis der erste Durchlufer auftritt. Beginnt die Versuchsreihe mit einem Durchlufer, wird die Last so lange gesteigert, bis der erste Bruch eintritt. Auf dem Lasthorizont des ersten Durchlufers oder Bruchs werden anschließend mindestens acht Proben gepr
ft. Mit der Anzahl der Br
che r und der Gesamtzahl der Proben n kann man den zweiten Lasthorizont sa2 berechnen. Auf diesem wird nach Mglichkeit die gleiche Probenzahl gepr
ft wie auf dem ersten. Die Bruchwahrscheinlichkeitswerte 3r
1 r  100% oder PB ¼  100% werden f
r beide PB ¼ 3n þ 1 nþ1 Lasthorizonte errechnet und in einem Wahrscheinlichkeitsnetz (z. B. Normalverteilung oder Extremwertverteilung) auf dem gewhlten Lasthorizont eingetragen. Die durch beide Punkte gelegte Gerade erlaubt die Bestimmung der Lasthorizonte f
r Bruchwahrscheinlichkeitswerte von 10, 50 und 90%. Normen: DIN 1319: Grundlagen DIN 50 100: Dauerschwingversuch.

der

Meßtechnik.

–

2.2 Pr
fverfahren Innerhalb der Gruppe mechanischer Pr
fverfahren nehmen die Festigkeits- und Zhigkeitspr
fungen sowie Erm
dungsversuche eine zentrale Stellung ein. Die Mehrzahl der Festigkeitspr
fungen kann aus verschiedenen Grundlastfllen wie folgt zusammengesetzt werden: statische Kurzzeitpr
fverfahren: Zugversuch, Druckversuch, Biegeversuch, Verdrehversuch; statische Langzeitpr
fverfahren: Zeitstandversuch (Kriechversuch), Entspannungsversuch (Relaxationsversuch); dynamische Kurzzeitpr
fverfahren: (instrumentierter) Kerbschlagbiegeversuch, Schlagzerreißversuch; zyklische bzw. Erm
dungs-Langzeitpr
fverfahren: Dauerschwingversuch, Dehnungswechselversuch, Einstufen-, Mehrstufen- und Nachfahrversuch. 2.2.1 Zugversuch Zweck. Er dient zur Ermittlung mechanischer Werkstoffeigenschaften unter homogenen, einachsigen Zugspannungen. Probengeometrie. Die Kennwerte werden an Proben mit kreisfrmigem, quadratischem oder rechteckigem Querschnitt ermittelt. Um die Bruchdehnungswerte vergleichen zu knnen, m
ssen bestimmte Messlngenverhltnisse eingehalten werden. Im Allgemeinen werden Proportionalstbe angewandt, bei denen die Messlnge L 0 ¼ 5 d0 (kurzer Proportionalstab: pffiffiffiffiffi L 0 ¼ 5; 65  S0 Þ oder L 0 ¼ 10 d0 (langer Proportionalstab: pffiffiffiffiffi L 0 ¼ 11,3  S0 Þ festgelegt wird. Kennwerte Festigkeit. Bei stetigem bergang vom elastischen in den plastischen Bereich wird die 0,2%-Dehngrenze Rp 0;2 bestimmt. Bei unstetigem bergang wird die Streckgrenze Re bestimmt, die in untere und obere Streckgrenze unterteilt werden kann (Bild 2).

I2.2

Pr
fverfahren

E 25

Normen (Auswahl): DIN EN ISO 527: Kunststoffe, Bestimmung der Zugeigenschaften. – DIN EN 895: Zerstrende Pr
fung von Schweißverbindungen an metallischen Werkstoffen, Querzugversuch. – DIN EN 1561: Gießereiwesen – Gusseisen mit Lamellengraphit, Zugversuch. – DIN EN 1562: Temperguss, Zugversuch. – DIN EN 10 002: Zugversuch. – DIN 50 125: Zugproben. – DIN 52 188: Pr
fung von Holz, Zugversuch. – DIN 53 504: Pr
fung von Elastomeren, Zugversuch. 2.2.2 Druckversuch Bild 2 a, b. Festigkeits- und Verformungskennwerte im Zugversuch. a Mit ausgeprgter Streckgrenze; b mit Dehngrenze

Fmax ist die Spannung, die sich aus S0 der auf den Anfangsquerschnitt S0 bezogenen Hchstkraft ergibt.

Die Zugfestigkeit Rm ¼

Verformung. Die Bruchdehnung A ist die auf die Anfangsmesslnge L 0 bezogene bleibende Lngennderung nach dem Bruch der Probe: A¼

Lu
L0  100% : L0

Die Bruchdehnung setzt sich aus Gleichmaßdehnung und Einschn
rdehnung zusammen; sie hngt vom Werkstoff und der Lnge der Bezugsstrecke L 0 ab. Da die Einschn
rdehnung bei einer Messlnge L 0 ¼ 5d0 im Vergleich zur Gleichmaßdehnung prozentual strker ins Gewicht fllt, sind die A5 Werte grßer als die A10 -Werte. Die Brucheinschn
rung Z ergibt sich aus der Differenz zwischen Anfangsflche und Bruchflche, bezogen auf die Anfangsflche. Z¼

S0
Su  100% : S0

Die Brucheinschn
rung stellt ein unmittelbares Vergleichsmaß f
r das Kaltumformvermgen eines Werkstoffs dar. E-Modul. Nach dem Hookeschen Gesetz lßt sich der E-Modul im elastischen Bereich des Spannungs-Dehnungsschaubilds wie folgt bestimmen: E ¼ s=ee ¼ ðF=S0 Þ=ðDL=L 0 Þ: Bei Werkstoffen mit nichtlinearem Spannungs-Dehnungsverlauf (z. B. Eisen-Graphit-Werkstoffe) kann der Tangentenmodul als Steigungsmaß der s-e-Kurve im Punkt s=0 angege d s ben werden: E0 ¼ : de Sonderpr
fverfahren

Zweck. Er dient zur Ermittlung mechanischer Werkstoffeigenschaften unter homogenen, einachsigen Druckspannungen und wird an metallischen und mineralischen Werkstoffen, Beton und sonstigen Baustoffen angewandt. Weiterhin kann der Druckversuch zur Bestimmung der Fließkurve duktiler Werkstoffe herangezogen werden. Probengeometrie. Die Pr
fung wird an runden oder prismatischen Krpern zwischen zwei planparallelen Platten durchgef
hrt. Im Normalfall ist die Probenlnge gleich der Probendicke. Bei der Anwendung der Feindehnungsmessung ist eine grßere Probenlnge erforderlich, jedoch nicht grßer als die 2,5- bis 3fache Probendicke (Knickgefahr). Kennwerte Spr
de Werkstoffe. Die Druckfestigkeit ist die auf den Anfangsquerschnitt bezogene Hchstlast, bei der der Bruch eintritt: sdB ¼ FB =S0 : Bei geometrisch hnlichen Proben ist deren Druckfestigkeit vergleichbar. Bei gleichem Pr
fdurchmesser nimmt die Druckfestigkeit mit der Probenhhe ab infolge unterschiedlicher St
tzwirkung der „Druckkegel“. Duktile Werkstoffe. Der Beginn des plastischen Fließens wird durch die Quetschgrenze sdF charakterisiert, deren Wert der Fließgrenze des Zugversuchs entspricht. Infolge Reibung an den Krafteinleitungsflchen entsteht in der Mitte der Proben eine Ausbauchung. Totaler Probenbruch tritt nicht ein, es entstehen lediglich Trennrisse infolge Querzugspannungen (Bild 3). Sonderpr
fverfahren. Zur Bestimmung der Fließspannung kf (fr
here Bezeichnung: Formnderungsfestigkeit) wird der Zylinder-Stauchversuch angewandt. Um eine einachsige Druckformnderung sicherzustellen, muss die Reibung klein gehalten werden. Die kf -Werte ermglichen die Berechnung des ideellen Kraft- und Arbeitsbedarfs bei Warm- und Kaltumformvorgngen. Normen: DIN 1048: Pr
fverfahren f
r Beton. – DIN EN 1926: Pr
fverfahren von Naturstein, Bestimmung der Druckfestigkeit. – DIN 50 106: Pr
fung metallischer Werkstoffe, Druckversuch. – DIN 52 185: Pr
fung von Holz, Bestimmung

Warmzugversuch. Er dient zur Ermittlung mechanischer Werkstoffeigenschaften bei erhhten Temperaturen. Bestimmt werden Warmdehngrenze, Warmzugfestigkeit, Bruchdehnung und Brucheinschn
rung. Warmdehngrenze und Warmzugfestigkeit hngen außer von der Temperatur auch von der Versuchszeit ab. Zur Reproduzierbarkeit der Kennwerte ist es erforderlich, Grenzwerte f
r die Spannungszunahme- und Dehngeschwindigkeit einzuhalten. Schlagversuch. Er dient zur Ermittlung der Sprdbruchanflligkeit glatter oder gekerbter Zugproben bei Schlaggeschwindigkeiten zwischen 5 und 15 m/s, in Ausnahmefllen bis zu 100 m/s (Hochgeschwindigkeitsumformung). Zur Ermittlung der Schlagzhigkeit wird die Brucheinschn
rung der Probe bestimmt. Die Bestimmung der Schlagzugfestigkeit oder Schlagdehngrenze setzt eine dynamische Kraft- und Verformungsmessung voraus.

Bild 3. Spannungs-Dehnungs-Schaubild eines duktilen Stahls und eines Eisen-Graphit-Werkstoffs im Druckversuch

E

E 26

Werkstofftechnik – 2 Werkstoffpr
fung

der Druckfestigkeit parallel zur Faser. – DIN 51 223: Druckpr
fmaschinen. 2.2.3 Biegeversuch

E

Zweck. Er dient zur Ermittlung mechanischer Werkstoffeigenschaften an Stahl, Gusswerkstoffen, Holz, Beton und Bauelementen unter inhomogenen, einachsigen Biegespannungen. Bei duktilen Werkstoffen wird er zur Bestimmung der Biege-Fließgrenze und des grßtmglichen Biegewinkels, bei sprden Werkstoffen zur Bestimmung der Biegefestigkeit angewendet. Probengeometrie. Die Pr
fung wird an Probenkrpern oder Bauteilen durchgef
hrt. Die Probe wird an beiden Enden gelagert und durch eine Einzelkraft in der Mitte belastet. Kennwerte Spr
de Werkstoffe. Die Biegefestigkeit sbB kann aus dem grßten Biegemoment Mb max und dem Widerstandsmoment des Probenkrpers berechnet werden. Sie wird vorzugsweise an Werkzeugsthlen, Schnellarbeitssthlen, Hartmetallen und oxidkeramischen Stoffen als Werkstoffkennwert ermittelt. Die Biegefestigkeit von Eisen-Graphit-Werkstoffen mit nichtlinearer Spannungs-Dehnungs-Charakteristik wird nach der gleichen Beziehung berechnet, wobei je nach Probenquerschnitt die Biegefestigkeit grßer ist als die Zugfestigkeit. Duktile Werkstoffe. Der Beginn des plastischen Fließens wird durch die Biegefließgrenze sbF bestimmt (Bild 4).

Bild 4. Spannungs-Dehnungs-Schaubild eines sprden und duktilen Stahls im Biegeversuch

Sonderpr
fverfahren. Kerbschlag-Biegeversuch, s. E 2.2.5. Technologische Pr
fungen, s. E 2.2.9. Normen (Auswahl): DIN 1048: Pr
fverfahren f
r Beton. – DIN 52 186: Pr
fung von Holz, Biegeversuch. – DIN EN ISO 178: Kunststoffe, Bestimmung der Biegeeigenschaften. – DIN 51 230: Dynstat-Gert zur Bestimmung von Biegefestigkeit und Schlagzhigkeit an kleinen Proben. 2.2.4 Hrtepr
fverfahren Zweck. Sie knnen unter Ber
cksichtigung einiger Einschrnkungen als zerstrungsfreie Pr
fverfahren bezeichnet werden. Die verfahrensabhngigen Hrtewerte stellen ein direktes Vergleichsmaß f
r den abrasiven Verschleißwiderstand eines Werkstoffs dar. Bei einzelnen Verfahren bestehen angenherte Beziehungen zwischen den Hrtewerten und der Zugfestigkeit. Dar
ber hinaus sind die Makro- und Mikrohrtepr
fverfahren zur tendenziellen Bewertung der Zhigkeitseigenschaften in kleinen Volumenbereichen geeignet. Verfahrensarten. Die statischen Hrtepr
fverfahren knnen als Eindringverfahren bezeichnet werden, bei denen der Eindringwiderstand definierter Krper (Kugel, Pyramide, Kegel) in eine Werkstoffoberflche bestimmt wird. Je nach Pr
fverfahren wird der Eindringwiderstand entweder als Verhltnis der Pr
fkraft zur Oberflche des Eindrucks (Brinellhrte, Vickershrte) oder als bleibende Eindringtiefe eines Eindringkrpers bestimmt (Rockwellhrte).

Kennwerte Hrteprfung nach Brinell. Die Brinellhrte wird aus dem Quotienten von Pr
fkraft F in N und Oberflche des bleibenden Kugeleindrucks (Stahlkugel oder Hartmetallkugel) errechnet. Sie ergibt sich aus HBS oder HBW ¼

0,102
2 F 0,102
2 F pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ A p D ðD  D2  d 2 Þ

mit Kugeldurchmesser D und mittlerem Durchmesser des Eindrucks d mm. Das Kurzzeichen f
r die Brinell-Hrte setzt sich zusammen aus dem Hrtewert HBS bei Verwendung einer Stahlkugel bzw. HBW bei Verwendung einer Hartmetallkugel, dem Kugeldurchmesser in mm, dem mit 0,102 multiplizierten Zahlenwert der Pr
fkraft F in N und der Einwirkdauer der Pr
fkraft in s, falls diese von der vorgegebenen Dauer abweicht. Beispiel: 350 HBS 5/750/30 (ohne Dimensionsangabe) = Brinellhrte 350, bestimmt mit einer Stahlkugel von 5 mm Durchmesser, einer Pr
fkraft von 7,355 kN und einer Einwirkzeit von 30 s. Die Brinellhrtepr
fung kann nur f
r weichere Werkstoffe bis 450 HB angewendet werden. Hrteprfung nach Vickers. Die Vickershrte wird aus dem Quotienten von Pr
fkraft F in N und Oberflche des bleibenden Pyramideneindrucks errechnet. Sie ergibt sich aus: HV ¼ 0,102 F=A ¼ 0,190
F=d2 mit Diagonalenlnge des Eindrucks d. Gebruchliche Lasten sind 98 und 294 N. Infolge der geometrischen hnlichkeit der Eindr
cke ist das Vickersverfahren oberhalb 100 N lastunabhngig. Das Kurzzeichen der Vickershrte setzt sich zusammen aus dem Hrtewert HV, dem mit 0,102 multiplizierten Zahlenwert der Pr
fkraft F in N und der Einwirkzeit der Pr
fkraft, z. B. 640 HV 30/10. Die Anwendung von Pr
flasten zwischen 2 und 50 N (Kleinlastbereich) ermglicht die Hrtemessung an d
nnen Schichten; durch Pr
flasten unter 2 N ist die Hrtemessung an einzelnen Gef
gebestandteilen mglich (Mikrohrtepr
fung). Hrteprfung nach Rockwell. Bei diesem Verfahren wird der Eindringkrper (Diamantkegel oder Stahlkugel) in zwei Laststufen in die Probe gedr
ckt und die bleibende Eindringtiefe h gemessen. Die Rockwellhrte ergibt sich aus der Differenz zwischen einem Festwert N und der Eindringtiefe h, bezogen auf eine Hrteeinheit S. Sie ergibt sich aus Rockwellh
rte ¼ N  h=S: Die Werte f
r N (100 oder 130) und S (0,001 oder 0,002) sind f
r verschiedene Rockwell-Pr
fverfahren festgelegt. Die Verfahren unterscheiden sich in der Art des Eindringkrpers, der Pr
fkraft und in ihrem Anwendungsbereich. Die beiden wichtigsten sind das Rockwell-B-Verfahren (Eindringkrper Stahlkugel; HRB ¼ 130  h=0; 002Þ und das Rockwell-C-Verfahren (Eindringkrper Diamantkegel; HRC ¼ 100  h=0; 002Þ. Beispiel: 60 HRC = Rockwellhrte 60, gemessen in der Skala C (Diamantkegel, 1,471 kN Pr
fgesamtkraft, Anwendungsbereich 20 bis 70 HRC).

Eine direkte Umrechnungsmglichkeit der Rockwellhrte in Vickershrte oder Brinellhrte besteht nicht. Durch Hrtevergleichstabellen knnen die einzelnen Hrtewerte nach allen drei Pr
fverfahren angegeben werden. Sonderpr
fverfahren Dynamische Hrteprfverfahren (Fallhrtepr
fung, R
cksprunghrtepr
fung). – Hrteprfung bei h
heren Temperaturen (Warmhrtepr
fung).

I2.2 Normen (Auswahl): DIN EN ISO 6506: Metallische Werkstoffe, Hrtepr
fung nach Brinell. – DIN EN ISO 6507: Metallische Werkstoffe, Hrtepr
fung nach Vickers. – DIN EN ISO 6508: Metallische Werkstoffe, Hrtepr
fung nach Rockwell. 2.2.5 Kerbschlagbiegeversuch Zweck. Er dient zur Beurteilung der Zhigkeitseigenschaften metallischer Werkstoffe unter besonderen Pr
fbedingungen. Durch hohe Beanspruchungsgeschwindigkeit und mehrachsige Zugspannungszustnde kann der bergang vom Zhbruch zum Sprdbruch bei bestimmten Temperaturen ermittelt werden, wobei die Hhe der Kerbschlagarbeit und die Lage der bergangstemperatur als Vergleichsmaß f
r die Werkstoffzhigkeit gelten. Durch den instrumentierten Kerbschlagbiegeversuch, bei dem ein zur Schlagkraftmessung mit Dehnungsmessstreifen versehenes Pendelschlagwerk benutzt wird, kann der Aussagegehalt der Pr
fung erhht werden. Whrend des Schlagvorganges wird die Kraft an der Schlagfinne
ber der Zeit oder
ber den Pendelweg aufgezeichnet. Dadurch kann nicht nur die f
r die Rissbildung ntige Energie bestimmt, sondern auch weitere Bruchkriterien (Bruchkraft, Bruchverformung, Brucharbeit, Rissstoppverhalten) ermittelt werden. Probengeometrie. Die Kennwerte werden
berwiegend an Proben mit quadratischem Pr
fquerschnitt (10
10
55) ermittelt, die auf der Zugseite Kerben mit definierter U- oder V-Geometrie aufweisen. Das hnlichkeitsprinzip gilt nicht; daher ist bei allen Kerbschlagversuchen die Angabe der Probengeometrie unbedingt erforderlich.

Pr
fverfahren

E 27

Der bergang vom zhen zum sprden Verhalten in der Tieflage (100% Sprdbruch) wird durch bergangstemperaturen gekennzeichnet (z. B. bei 50% Zhbruchanteil = FATT (Fracture Appearance Transition Temperature), T27 J = Temperatur bei KV ¼ 27 J). Beim Vergleich von Sthlen mit verschiedenen bergangstemperaturen erweist sich der Werkstoff mit der hchsten bergangstemperatur als der sprdbruchgefhrdetste. Beim instrumentierten Kerbschlagbiegeversuch ergibt sich die Schlagarbeit durch die Bestimmung der Flche unter der Kraft-Weg-Kurve. Aus dem Verlauf der Kraft-Weg-Kurve kann insbesondere eine Aussage
ber das Rissstoppverhalten bei der entsprechenden Pr
ftemperatur gewonnen werden. Instabiles Risswachstum zeigt sich durch einen pltzlichen Lastabfall. Ein Lastabfall auf Null bedeutet, dass der Riss nicht aufgefangen wird. Normen (Auswahl): DIN EN ISO 179: Kunststoffe – Bestimmung der Charpy-Schlageigenschaften. – DIN EN 875: Zerstrende Pr
fung von Schweißverbindungen an metallischen Werkstoffen, Kerbschlagbiegeversuch. – DIN EN 10 045: Kerbschlagbiegeversuch nach Charpy; Pr
fverfahren. – DIN 50 115: Kerbschlagbiegeversuch; Besondere Probenform und Auswerteverfahren. 2.2.6 Bruchmechanische Pr
fungen Zweck. Sie dienen zur Ermittlung bruchmechanischer Kennwerte, die bei quasistatischer Beanspruchung die Rissinitiierung (Beginn der Risserweiterung), stabile Risserweiterung und Bruch bei zyklischer Beanspruchung die Nichtausbreitungsfhigkeit und den stabilen Rissfortschritt von Makrorissen beschreiben. Die Kennwertermittlung erfolgt lediglich f
r den Rissffnungsmode I.

Kennwerte. Beim Kerbschlagbiegeversuch wird in einem Pendelschlagwerk mit einer Schlaggeschwindigkeit von 5 m/s die zum Durchbruch oder Durchziehen der Proben durch die Widerlager verbrauchte Schlagarbeit KV ¼ G ðh1  h2 Þ in der Dimension (Nm) oder Joule (J) an die Probenform hinzugef
gt, z. B. bei Verwendung einer V-Kerbe KVðÞ ¼ 80 J: Mit zunehmender Temperatur steigt bei Sthlen mit krz-Gitter die Kerbschlagarbeit an und die Grße des Zhbruchbereiches auf der Bruchflche der Probe nimmt zu; der kristalline Fleck im mittleren Bereich der Bruchflche nimmt ab. Bei 100% Zhbruch erreicht die Kerbschlagarbeit die Hochlage. Die Kerbschlagarbeit ist von vielen Einflussgrßen abhngig Bild 5 und kann insbesondere durch hhere Werkstoffreinheit (geringe Gehalte an S, P, Si, Al, Sn, Sb, As), gute Homogenitt (geringe Seigerungen) und besonderen Wrmebehandlungsverfahren (Feinkorn, feine Gef
gestruktur) verbessert werden.

Statische Belastung. Ausgehend von einer spanend erzeugten Makrokerbe als Rissstarter an der Zugseite der Probe wird in Zug-Schwellversuchen zunchst ein Erm
dungsanriss definierter Form und Lnge erzeugt. Die hierf
r erforderlichen Pr
fkrfte sind festgelegt, um an der Rissspitze nur geringe plastische Wechselverformungen auszulsen (Kmax  0; 6 KQ ). Die Risslnge kann aus Nachgiebigkeits- oder Potentialmessungen bestimmt werden. Es werden Kraft-Rissaufweitungs-Kurven bei kontinuierlicher Belastung ermittelt, Bild 6, aus denen die Kennwerte bestimmt werden.

Bild 5. Kerbschlagarbeits-Temperatur-Verhalten und Einflussgrßen.

Bild 6. Biege- und Kompaktzugprobe sowie Kraft-RissaufweitungsDiagramm im Bruchmechanikversuch

Probengeometrie. Die Pr
fung erfolgt mit genormten Biegeproben (SE(B)), Kompaktzug(C(T))-Proben oder RundKompaktzug-(DC(T))-Proben, Bild 6. Versuchsf
hrung und Kennwerte

E

E 28

Werkstofftechnik – 2 Werkstoffpr
fung

F
r die Ermittlung der Bruchz
higkeit KIc bei sprdem Werkstoffverhalten wird die G
ltigkeit der linear elastischen Bruchmechanik (LEBM) gefordert. Die Bedingung des Kleinbereichsfließens ist nur erf
llt, wenn bestimmte Abmessungen f
r die Probendicke B und die Anfangsrisslnge a eingehalten werden: (KIc -Bruchzhigkeit in N=mm3=2 und Rp 0;2 in N=mm2 )  B; a
2,5

E

KIc Rp 0;2

2 :

Eine Abschtzung der Bruchzhigkeit vor dem Versuch ist daher zur Ermittlung der Probengrße notwendig. Bei z
hem Werkstoffverhalten sind Rissinitiierung und stabile Risserweiterung voneinander abzugrenzen. Ein- oder Mehrprobenverfahren sind mglich. Bei der Einprobenmethode wird eine einzige Versuchsprobe verwendet. Die Rissverlngerung kann bei zunehmender Belastung mit der elektrischen Potentialmethode gemessen werden. Eine andere Mglichkeit ist das Teilentlastungsverfahren, bei dem whrend des Versuchs die Probe wiederholt teilentlastet (max. 0,1–0,2 F) und danach wieder belastet wird. Whrend des Ent- und Belastens wird aus der Steigung der Ent- bzw. Belastungsgeraden die Nachgiebigkeit (Compliance) der Probe und dar
ber die Risslnge bestimmt. Beim Mehrprobenverfahren werden mehrere Proben mit nahezu identischer Anfangsrisslnge unterschiedlich hoch belastet. Dabei kommt es zu verschiedenen Risserweiterungen. Der Betrag der stabilen Risserweiterung Da kann nach Markieren der Rissfront und anschließendem Aufbrechen der Probe auf der Bruchflche ausgemessen werden. Die Rissinitiierung, d. h. der bergang von einem ruhenden zu einem wachsenden Riss, wird durch die werkstoffphysikalisch wahren Rissinitiierungswerte di und Ji charakterisiert. Sie werden aus der sich an der Rissspitze bildenden Stretchzonenbreite auf der Bruchflche rasterelektronenmikroskopisch bestimmt. Der Beginn stabiler Risserweiterung, d. h. Rissvergrßerung, wird durch die technischen Rissinitierungswerte d0:2 ; J0:2 ; d0:2 BL oder J0:2 BL beschrieben. Sowohl bei der Mehr- als auch der Einprobenmethode knnen die Werte f
r J bzw. d f
r eine bestimmte Risserweiterung Da ermittelt werden. Mit diesen Wertepaaren J  Da bzw. d  Da werden JR - bzw. dR -Risswiderstandskurven konstruiert. Die analytische Beschreibung kann mit dðoder JÞ ¼ A þ CðDaÞD erfolgen, wobei f
r die Konstanten A; C
0 und 0  D  1 gilt. Andere Potenzanstze sind mglich. In die Auswertung der JR - bzw. dR -Kurven werden nur Punkte einbezogen, die in einem bestimmten G
ltigkeitsbereich liegen. Versagen tritt nach Erreichen einer geometrie- und werkstoffabhngigen Maximallast oder nach stabilem Risswachstum bei vollstndigem Durchriss des Bauteils auf. Die Angabe eines Werkstoffkennwertes ist nicht mglich.

Dieser Wert kennzeichnet die Nichtausbreitungsfhigkeit von Rissen. Sonderpr
fverfahren. Mit Bruchmechanik-Proben knnen KISCC -Werte f
r rissbehaftete Proben in Spannungsrisskorrosion auslsenden Medien ermittelt werden, bei denen unter dem Einfluss eines Elektrolyten stabiles Risswachstum einsetzt [3]. Die Ermittlung des Kriechrisswachstumsverhalten erfolgt i. Allg. ebenfalls mit diesen Bruchmechanikproben bei hohen Temperaturen. Die Rissverlngerung wird
ber Potentialverfahren oder Kerbaufweitungsmessung ermittelt. Normen (Auswahl): ISO 12 135: Metallische Werkstoffe, Vereinheitlichtes Pr
fverfahren zur Bestimmung der quasistatischen Bruchzhigkeit. – ISO 12 737: Metallische Werkstoffe – Bestimmung der Bruchzhigkeit im Fall des ebenen Dehnungszustandes. – ASTM E 647: Standard Test Method for Measurement of Fatigue Crack Growth Rates. – ASTM E 1820: Standard Test Method for Measurement of Fracture Toughness. – ASTM E 1921: Standard Test Method for Determination of Reference Temperature To for Ferritic Steels in the Transition Range. 2.2.7 Chemische und physikalische Analysemethoden Zweck. Zur Identifizierung metallischer Werkstoffe wird deren Zusammensetzung qualitativ oder quantitativ mit chemischen und physikalischen Analysemethoden ermittelt. Bei der Analyse von metallischen sowie nichtmetallischen Legierungs- und Begleitelementen gewinnen Verfahren zur Bestimmung von Gasgehalten zunehmend an Bedeutung. Neben der Ermittlung des Legierungsaufbaus des Grundwerkstoffs ist zur Beurteilung von Korrosions- oder Verschleißvorgngen die Identifizierung von Oberflchenschichten, die durch Wechselwirkung mit der Atmosphre, korrosiven Medien oder Schmierstoffen gebildet worden sind, erforderlich. Probenentnahme. Die Probengrße f
r chemische Analysen ist hinsichtlich der Menge so zu whlen, dass die Elemente entsprechend ihrer durchschnittlichen Konzentration enthalten sind. Je nach der Einwaage bzw. dem analytisch erfassten Probenvolumen spricht man von makro-, halbmikro- und mikroanalytischen Verfahren. Unter Spurenanalyse versteht man die Bestimmung sehr kleiner Gehalte ( rd. 2%) eine teilweise Graphitbildung erfolgt, der reale Werkstoffzustand also zwischen dem des stabilen und des metastabilen Systems liegt. Bei Temperaturen oberhalb der Liquiduslinie ACD des metastabilen Systems (Bild 1) liegt eine Eisen-Kohlenstofflsung in schmelzfl
ssigem Zustand vor. Diese Lsung erstarrt nicht wie reine Metalle bei einer bestimmten Temperatur, sondern in einem Temperaturbereich, der zwischen der Liquiduslinie ACD und der Soliduslinie AECF liegt. Mit abnehmender Temperatur nimmt in diesem Bereich der Anteil der ausgeschiedenen Kristalle in der Schmelze zu, bis bei Erreichen der Soliduslinie die Schmelze vollstndig erstarrt ist. Feste Erstarrungspunkte treten nur in den Ber
hrungspunkten von Liquidus- und Soliduslinie (A und C) auf. In Punkt A (1 563 C) liegt der Schmelzpunkt des reinen Eisens (C = 0%), in Punkt C wird mit 1 147  C der niedrigste Schmelzpunkt des Systems Eisen-Kohlenstoff bei C = 4,3% erreicht. Das hier bei der Erstarrung entstehende Gef
ge ist ein Eutektikum, das mit Ledeburit bezeichnet wird. Im
bereutektischen Bereich (C > 4.3%) scheiden sich aus der Schmelze reine Eisencarbidkristalle Fe3 C (Primrzementit), im untereutektischen Bereich (C < 4,3%) als feste Lsung g-Mischkristalle (Austenit: kubisch flchenzentrierte Eisenkristalle mit hohem Lsungsvermgen f
r Kohlenstoff) aus. Ledeburit besteht aus einem geordneten Gemenge aus beiden Phasen. Im Zustandsfeld IESG liegt ein Gef
ge vor, das ausschließlich aus Austenit besteht. Bei einem C-Gehalt von 0,86% wandelt sich der Austenit bei Unterschreiten der Umwandlungstemperatur im Punkt S (723 C) in das Eutektoid Perlit um, das aus einem feinen Gemenge aus Ferrit (a-Mischkristalle) und Zementit besteht. Bei C > 0,86% (
bereutektoide Sthle) scheidet sich entlang der Linie SE Sekundrzementit aus, bei C < 0,86% (untereutektoide Sthle) lngs der Linie GOS Ferrit. Das Lsungsvermgen des Ferrits f
r Kohlenstoff ist sehr beschrnkt (0,02% bei 723 C, rd. 10 5 % bei Raumtemperatur), wie der schmale Bereich GPQ erkennen lsst. Die Linie GOSE wird als obere Umwandlungslinie bezeichnet, die auf ihr ablesbaren Umwandlungstemperaturen als A3 -Punkte. Bei Unter-

schreiten der unteren Umwandlungslinie PSK (A1 -Punkt) verfallen die restlichen g-Mischkristalle der Zweiphasengebiete unterhalb der Linien GOS und SE in Perlit, so dass untereutektoider Stahl bei Raumtemperatur nach langsamer Abk
hlung aus Ferrit und Perlit,
bereutektoider Stahl aus Perlit und Sekundrzementit besteht. Oberhalb des A2 -Punkts (769 C) verliert Stahl seine magnetischen Eigenschaften. Die Umwandlungspunkte A1 , A2 und A3 knnen bei Erwrmung oder Abk
hlung je nach der Geschwindigkeit der Temperaturnderung zu hheren oder niedrigeren Temperaturen verschoben werden. Beim Erwrmen wird statt A die Bezeichnung Ac , bei Abk
hlung die Bezeichnung Ar verwendet.

3.1.2 Stahlerzeugung Stahl-Erschmelzungsverfahren Weltweit werden heute zwei wesentliche Verfahrenslinien zur Stahlerzeugung eingesetzt: 1. Roheisenerzeugung durch Reduktion von Erz mit Kohlenstoff im Hochofen und Weiterverarbeitung zu Rohstahl im Sauerstoffblaskonverter. Das Roheisen enthlt zuviel Kohlenstoff und zu große Anteile von schdlichen Begleitelementen wie Schwefel, Phosphor und Silicium. Es wird in fl
ssiger Form zum Konverter transportiert, wobei durch Zugabe von Calcium oder Magnesium der Schwefel gebunden wird. Auch die Gehalte an Phosphor und Silicium lassen sich bereits hier verringern. Im Sauerstoffblaskonverter wird Sauerstoff auf die Schmelze aufgeblasen, der den darin enthaltenen Kohlenstoff zu CO-Gas oxidiert, das aus der Schmelze entweicht und dabei eine R
hrwirkung erzeugt. Die Oxide der anderen Begleitelemente steigen in die Schlacke auf, die in fl
ssiger Form die Schmelze bedeckt, und werden in dieser gelst. Zur intensiveren Bewegung der Schmelze (Steigung der Reaktionsgeschwindigkeit) wird Inertgas (Argon oder Stickstoff) am Boden des Konverters eingeblasen. Bei der Oxidation entsteht Wrme, die das Bad fl
ssig hlt oder sogar erwrmt. Im letzteren Fall kann durch Zugabe von Schrott die Temperatur gehalten werden. Wird ein hherer Schrottzusatz aus wirtschaftlichen Gr
nden gew
nscht, muss ggf. zustzlich beheizt werden. Der Einsatz rechnergest
tzter Prozesskontrolle und moderner Analyseverfahren ermglicht die Herstellung sehr reinen Rohstahls in gleichbleibend hoher Qualitt. 2. Einschmelzen von Stahlschrott zu Rohstahl im ElektroLichtbogenofen. Im Hochleistungs-Lichtbogenofen knnen rd. 100 t/h Schrott eingeschmolzen werden. Leistungssteigernd wirken sich hier z. B. Rechnereinsatz zur Prozesssteuerung sowie zustzliches Einblasen von Sauerstoff, Brennstoffen und Gas durch den Boden (Verbesserung der Durchmischung) aus. Die wesentlichen Maßnahmen der Sekundrmetallurgie sind Vermeiden des Schlackenmitlaufens, Mischen und Homogenisieren in der gesp
lten Pfanne, Desoxidation, Legieren und Mikrolegieren im ppm-Bereich in der Pfanne, Aufheizen in Pfannenfen, Vakuumbehandlung und Gießstrahlabschirmung. Sonderverfahren Zur Verbesserung der Stahleigenschaften (insbesondere des Reinheitsgrads) werden zunehmend Vakuum- und Umschmelzverfahren eingesetzt. Vakuum-Vergießen. Durch dieses Verfahren wird ein erneuter Luftzutritt in den fl
ssigen Stahl zwischen Gießpfanne und Kokille verhindert. Der Stahl wird unter Vakuum erschmolzen und abgegossen. Elektroschlackeumschmelzverfahren (ESU). Ein zuvor konventionell hergestellter Stahlblock wird als selbstverzehrende Elektrode in einem Schlackebad abgeschmolzen. Bei diesem Umschmelzen reagieren die entstehenden Stahltrpfchen intensiv mit der Schlacke.

I3.1

Eisenwerkstoffe

E 33

E

Bild 1. Metastabiles Zustandsschaubild Eisen-Kohlenstoff

Kernzonenumschmelzverfahren. F
r die Herstellung mglichst fehlerfreier Rohlinge f
r große Schmiedest
cke wird die Kernzone eines im Blockguss erzeugten Blocks durch Lochen entfernt und der hohle Block nach dem ESU-Verfahren umgeschmolzen. Vergießen des Stahls Das Vergießen kann auf zwei verschiedenen Wegen erfolgen (Urformtechnik): 1. Vergießen zu Vorformen (Blockguss oder Strangguss). Bereits 1987 wurden bei der Stahlerzeugung rd. 89% des Stahls als Strangguss hergestellt. Blockgießen wird im Wesentlichen nur noch zur Herstellung großer Schmiedest
cke angewandt. 2. Vergießen zu fertigen Formst
cken (s. S 2). Plastische Formgebung Man unterscheidet bei der Umformung von Metallen zwischen Warm-, Halbwarm- und Kaltumformung. Die Tempera-

turgrenze zwischen Kalt- und Warmumformung ist durch die Rekristallisationstemperatur gegeben und betrgt etwa die Hlfte der absoluten Schmelztemperatur (s. S 3.2). Tendenzen Verk
rzung der Prozesskette bzw. Annherung der Strangquerschnitte an endabmessungsnahe Halbzeugprodukte. Anwendung von Gießmaschinen zur Anpassung an variable Querschnittsformen (z. B. Herstellung von D
nnbrammen, die in Kaltwalzger
sten weiterverarbeitet werden knnen). Pulvermetallurgie Als Ausgangsbasis f
r die Herstellung von Werkstoffen und Bauteilen dienen hier pulverfrmige Stoffe, die rein oder gemischt (mechanisches Legieren) verarbeitet werden. Zur Herstellung von Metallpulvern existiert eine weite Palette von Verfahren, die von Direktreduktion
ber Wasserverd
sung, Vakuum-Inertgaszerstubung bis zum Elektronenstrahlschmelzen mit Rotationszerstubung reicht. Nach dem Mi-

E 34

E

Werkstofftechnik – 3 Eigenschaften und Verwendung der Werkstoffe

schen wird die Pulvermasse, der meist noch thermisch zersetzbares Gleitmittel zugesetzt wird, durch Pressen oder Spritzgießen geformt. Das Sintern der Formteile erfolgt dicht unterhalb der Schmelztemperatur (Festphasensintern) oder bei der Schmelztemperatur der niedrigstschmelzenden Komponente (Fl
ssigphasensintern) und bewirkt ein Zusammenwachsen der Pulverteilchen im Sinne einer Reduktion der freien Oberflche. Falls erforderlich, knnen die Teile anschließend nochmals gepresst und gesintert werden (Zweifachsintern) oder in Form geschmiedet werden (Kalibrieren, Pulverschmieden). Eine besonders aufwendige Nachbehandlung stellt das Heiß-Isostatische Pressen (HIP, „hippen“) dar, bei dem die Teile in eine dicht anliegende, gasdichte Kapsel eingeschlossen und unter ußerem isostatischem Gasdruck zur weitgehenden Beseitigung der Mikroporositt nachgesintert werden. Die Anwendung der Pulvermetallurgie bietet Vorteile bei der – wirtschaftlichen Fertigung endkonturnaher oder einbaufertiger Bauteile hoher Formkomplexitt und kleinerer Abmessungen bei hohen St
ckzahlen. – Erzeugung von Zusammensetzungen, die schmelzmetallurgisch nicht oder nur schwierig herstellbar sind (hochschmelzende Metalle, dispersionsgehrtete Werkstoffe), – Fertigung porser Bauteile (Filter, selbstschmierende Gleitlager), – Herstellung großer Teile mit hoher Homogenitt und Isotropie sowie geringen Gehalten an Verunreinigungen (Ausgangsmaterial f
r große Schmiedeteile, z. B. Scheiben f
r Gasturbinen). Festigkeits- und Zhigkeitseigenschaften pulvermetallurgisch erzeugter Werkstoffe knnen durchaus diejenigen konventioneller Guss- oder Knetwerkstoffe erreichen und
bertreffen. 3.1.3 W
rmebehandlung Ziel einer Wrmebehandlung ist es, einem Werkstoff f
r Anwendung oder Weiterverarbeitung erw
nschte Eigenschaften zu verleihen. Dabei wird der Werkstoff bestimmten Temperatur-Zeit-Folgen und gegebenenfalls zustzlichen thermomechanischen oder thermochemischen Behandlungen ausgesetzt. F
r zahlreiche Sthle ist das temperaturabhngige Auftreten von a- und g-Mischkristallen (Ferrit und Austenit) (Bild 1) mit einem unterschiedlichen Lsungsvermgen f
r Kohlenstoff die Grundlage f
r ihre in weiten Grenzen vernderbaren Eigenschaften. Die Kinetik der Umwandlung des Austenits in andere Phasen geht aus dem isothermen Zeit-Temperatur-Umwandlungsschaubild (ZTU-Schaubild) hervor. Bild 2 zeigt am Beispiel des Stahls Ck 45 Beginn und Ende der Umwandlung nach rascher Abk
hlung des Austenits auf eine bestimmte Temperatur bei anschließendem isothermem Halten. Oberhalb der MS Linie setzt die Umwandlung mit einer zeitlichen Verzgerung ein, die ein Minimum bei rd. 550 C aufweist. Letzteres beruht darauf, dass mit zunehmender Unterk
hlung des Austenits einerseits dessen Umwandlungsbestreben wchst, andererseits die Abnahme der Diffusionsgeschwindigkeit die Platzwechselvorgnge der Atome bei der Neubildung des Kristallgitters behindert. Whrend bei Temperaturen oberhalb dieser „Nase“ die Fernit-Perlit-Umwandlung erfolgt, erhlt man im Bereich unterhalb der Nase das Gef
ge Bainit, das aus nadeligen Ferritkristallen mit eingelagerten Carbiden besteht. Bei rascher Unterk
hlung auf Temperaturen unterhalb der MS -Linie erfolgt ohne zeitliche Verzgerung ein diffusionsloses Umklappen des Austenit-Gitters in das Gitter des Martensits, wobei der Anteil des gebildeten Martensits mit abnehmender Haltetemperatur ansteigt. Der Verlauf der Umwandlungslinie im ZTU-Schaubild wird durch die Hhe der Austenitisierungstemperatur und die chemische Zusammensetzung des Stahls bestimmt.

Bild 2. Isothermes Zeit-Temperatur-Umwandlungsschaubild f
r den Stahl Ck 45. A Austenit, F Ferrit, P Perlit, B Bainit, M Martensit

Die f
r isotherme Umwandlung erluterten Vorgnge spielen sich in hnlicher Weise auch bei kontinuierlicher Abk
hlung von der Austenitisierungstemperatur ab, die bei zahlreichen technischen Wrmebehandlungsverfahren auftritt. Bei langsamer Abk
hlung entsteht im Falle des Stahls Ck 45 ein ferritisch-perlitisches Gef
ge, wie aus dem Eisen-Kohlenstoff-Schaubild zu ersehen ist. Mit zunehmender Abk
hlungsgeschwindigkeit wachsen die Anteile von Bainit und Martensit im Gef
ge bis bei berschreiten einer oberen kritischen Abk
hlungsgeschwindigkeit nur noch Martensit gebildet wird.

H
rten Die Martensitbildung bewirkt eine erhebliche Hrtesteigerung des Stahls. Daher bezeichnet man die Wrmebehandlung, die in mehr oder weniger großen Bereichen des Querschnitts eines Werkst
cks nach Austenitisieren und Abk
hlen zur Martensitbildung f
hrt, mit H
rten und die Temperatur, von der das Werkst
ck abgek
hlt wird, als H
rtetemperatur. Die Hrtetemperatur liegt f
r untereutektoide Sthle oberhalb der Linie GOS des Fe-C-Schaubilds im Gebiet reiner g-Mischkristalle, f
r
bereutektoide Sthle jedoch oberhalb der Linie SK im Bereich der g-Mischkristalle und des Sekundrzementits. Eine Auflsung des naturharten Sekundrzementits ist nicht notwendig, sofern er feinverteilt und nicht netzfrmig als Korngrenzenzementit vorliegt. Die hohe Hrte des Martensits beruht auf der gegen
ber dem g-Gitter geringen Lsungsfhigkeit des a-Gitters des Eisens f
r Kohlenstoffatome. Die bei Hrtetemperatur gelsten C-Atome knnen bei schneller Abk
hlung nicht aus dem sich umwandelnden g-Mischkristall ausdiffundieren und f
hren, da sie zwangsgelst bleiben, zu einer Verspannung des entstehenden Martensitkristalls, die sich in hoher Hrte ußert. Die Verspannung wchst mit der Anzahl der zwangsgelsten C-Atome; daher nimmt die Aufhrtbarkeit eines Stahls mit dem C-Gehalt zu. Allerdings wird eine deutliche Hrtesteigerung nur erreicht, wenn der C-Gehalt mindestens 0,3% betrgt. Um auch im Inneren eines Werkst
cks eine zur Martensitbildung ausreichende hohe Abk
hlungsgeschwindigkeit zu erhalten, muss eine mglichst schnelle Wrmeabfuhr erfolgen. Dies wird durch Abschreckmittel wie l, Wasser, Eiswasser oder Salzlsungen erreicht, doch ist oberhalb bestimmter Querschnitte keine Durchhrtung mehr mglich. Gegen
ber unlegierten Sthlen ist bei legierten Sthlen die kritische Abk
hlungsgeschwindigkeit infolge der Behinderung der Kohlenstoffdiffusion durch die im Mischkristall eingelagerten Atome der Legierungselemente vermindert. Daher sind bei legierten Sthlen grßere Querschnitte durchhrtbar oder mildere Abschreckmittel verwendbar, z. B. Luft statt l oder l statt Wasser. Hohe Temperaturunterschiede zwischen Kern und Rand eines Werkst
cks f
hren zu hohen Wrmeeigenspannungen, die zusammen mit den Umwandlungseigen-

I3.1 spannungen aufgrund der Volumenvergr
ßerung bei der Martensitbildung Verzug und Hrterisse bewirken k
nnen. Die Gefahr von Verzug und Hrterissen beim Abschrecken kann z. B. durch Warmbadhrten vermindert werden, wobei zunchst ein Temperaturausgleich im Werkstck bei Temperaturen knapp oberhalb der MS -Temperatur herbeigefhrt wird, bevor die Martensitbildung bei Abkhlung auf Raumtemperatur einsetzt. Die wichtigsten Legierungstelemente zur Erh
hung der Durchhrtbarkeit von Sthlen sind Mn, Cr, Mo und Ni mit Gehalten von rd. 1 bis 3%. Die Prfung des Durchhrteverhaltens eines Werkstoffs kann mit dem Stirnabschreckversuch nach DIN 50 191 vorgenommen werden. Anlassen und Verg
ten Das beim Hrten entstehende Martensitgefge ist sehr spr
de. Daher wird ein Werkstck in der Regel nach dem Hrten angelassen, d. h. auf Temperaturen zwischen Raumtemperatur und Ac1 erwrmt. Im unteren Anlasstemperaturbereich (bis rd. 300 C) wird durch Diffusion der Kohlenstoffatome die hohe Verspannung des Martensits gemildert; die Spr
digkeit wird verringert, ohne dass die Hrte sich wesentlich ndert. Es erfolgt die Ausscheidung des verglichen mit Zementit kohlenstoffreicheren e-Carbids; der im Hrtungsgefge noch verbliebene Restaustenit zerfllt. Bei Anlasstemperaturen ber 300 C nimmt die Zhigkeit (Bruchdehnung, Brucheinschnrung, Kerbschlagzhigkeit) sehr stark zu, whrend Festigkeit und Hrte abnehmen (Bild 3). Diese Vernderungen beruhen auf dem Zerfall des Martensits zu Ferrit und der Bildung von feinverteiltem Zementit aus dem bei niedrigerer Temperatur gebildeten e-Carbid. Im Bereich von Anlasstemperaturen zwischen 450 C und Ac1 erhlt man ein feink
rniges Gefge guter Zhigkeit und hoher Festigkeit, wie es fr Konstruktionsteile erwnscht ist. Den Vorgang des Hrtens und Anlassens in diesem Temperaturbereich nennt man Verg
ten. Die Vergtungsfestigkeit hngt entsprechend der Durchhrtbarkeit von der chemischen Zusammensetzung des Stahls und dem Querschnitt des Werkstcks ab. Legierte Sthle mit vor allem Mo, W und V als Legierungselemente zeigen bei Anlasstemperaturen zwischen rd. 450 und 600 C eine deutliche Hrte- und Festigkeitssteigerung infolge Aushrtung (Sekundrhrtung). Dabei bilden sich aus den nach dem Austenitisieren (L
sungsglhen) und raschen Abkhlen entstandenen bersttigten Mischkristallen infolge Entmischung fein verteilte Ausscheidungen (meist Sondercarbide oder intermetallische Phasen), die gleitblockierend wirken. Dieser Vorgang wird bei Werkzeugsthlen, warmfesten und martensitaushrtenden Sthlen zur Festigkeitsteigerung ausgenutzt.

Bild 3. Vergtungsschaubild fr den Werkstoff 42 CrMo 4

Eisenwerkstoffe

E 35

Gl
hbehandlungen Unter Gl
hen versteht man eine Behandlung eines Werkstcks bei einer bestimmten Temperatur mit einer bestimmten Haltedauer und nachfolgendem Abkhlen, um bestimmte Werkstoffeigenschaften zu erreichen. Normalgl
hen. Es erfolgt bei einer Temperatur wenig oberhalb Ac3 (bei bereutektoiden Sthlen oberhalb Ac1 ) mit anschließendem Abkhlen in ruhender Atmosphre. Diese Glhbehandlung wird angewandt, um die grobk
rnige Struktur in Stahlgussteilen und teilweise im Schweißnahtbereich (Widmannstttensches Gefge) zu beseitigen. Auch die Wirkung einer vorangegangenen Wrmebehandlung oder Kaltumformung wird durch Normalglhen aufgehoben. Wird die Austenitisierungstemperatur zu hoch gewhlt, tritt ein Wachstum der g-Mischkristalle ein, das auch nach der Umwandlung zu grobk
rnigem Gefge fhrt (Feinkornbausthle neigen weniger zur Kornvergr
berung). Ebenso verursacht eine zu langsame Abkhlung ein grobes Ferritkorn. Grobkorngl
hen. Bei spanender Bearbeitung weicher Sthle kann ein grobk
rniges Gefge erwnscht sein, das einen kurzbrchigen Scherspan ergibt. Man erhlt dieses Gefge durch Glhen weit oberhalb Ac3 . Die durch Kornwachstum erhaltenen groben g-Mischkristalle wandeln sich bei langsamer Abkhlung in ein ebenfalls grobk
rniges Ferrit-Perlit-Gefge um. Diffusionsgl
hen. Es dient zur Beseitigung von Seigerungszonen in Bl
cken und Strngen sowie innerhalb der Kristallite (Kristallseigerung). Die Glhbehandlung erfolgt dicht unter der Solidustemperatur mit langzeitigem Halten auf dieser Temperatur, um einen Konzentrationsausgleich durch Diffusion zu erreichen. Wird keine Warmumformung nach dem Diffusionsglhen vorgenommen, muß zur Beseitigung des groben Korns normalgeglht werden. Weichgl
hen. Um C-Sthle in ihrem Formnderungsverm
gen zu verbessern, wird bei Temperaturen im Bereich um Ac1 weichgeglht. Bei diesen Temperaturen formen sich die im streifigen Perlit vorliegenden Zementitlamellen zu kugeliger Form um (sphroidisierendes Gl
hen). Danach wird langsam abgekhlt, um einen m
glichst spannungsarmen Zustand zu erzielen. Die Einformung der Zementitlamellen und bei bereutektoiden Sthlen auch des Zementitnetzwerks wird erleichtert durch mehrmaliges kurzzeitiges berschreiten von Ac1 (Pendelgl
hen). Die kugelige Form des Zementits kann auch dadurch erreicht werden, dass austenitisiert und geregelt abgekhlt wird. Spannungsarmgl
hen. In Werkstcken k
nnen durch ungleichmßige Erwrmung oder Abkhlung, durch Gefgeumwandlung oder Kaltverformung Eigenspannungen auftreten, die sich den Lastspannungen berlagern. Zum Abbau dieser Eigenspannungen, z. B. nach dem Richten, Schweißen, oder zum Abbau von Eigenspannungen in Gussteilen wird ein Spannungsarmglhen durchgefhrt. Die Glhtemperatur liegt meist unter 650 C, bei vergteten Sthlen jedoch unterhalb der Anlaßtemperatur, um die Vergtungsfestigkeit des Werkstcks nicht herabzusetzen. Beim Glhen werden die inneren Spannungen im Werkstck durch plastische Verformung auf das Maß der Warmstreckgrenze reduziert. Rekristallisationsgl
hen. Das Ausmaß einer Kaltumformung wird begrenzt durch die Zunahme der Verfestigung und die Abnahme der Verformungsfhigkeit eines Werkstoffs mit dem Umformgrad. Durch Rekristallisationsglhen im Anschluss an eine Kaltumformung wird eine Neubildung des Gefges bei Temperaturen oberhalb der Rekristallisationstemperatur erreicht mit mechanischen Eigenschaften, wie sie etwa vor der Verformung vorlagen, so dass im Wechsel mit einem Rekristallisationsglhen beliebig viele Umformgnge

E

E 36

E

Werkstofftechnik – 3 Eigenschaften und Verwendung der Werkstoffe

vorgenommen werden k
nnen. Die Gefahr einer Grobkornbildung im rekristallisierten Gefge besteht bei niedrigen Verformungsgraden, vor allem bei Sthlen geringen C-Gehalts (< 0,2%), bei hoher Glhtemperatur und langer Glhdauer. Die Rekristallisationstemperatur der Sthle nimmt mit dem Umformgrad ab, da die im Gitter gespeicherte Umformenergie die Kornneubildung begnstigt. Das Rekristallisationsglhen wird angewendet bei kaltgewalzten Bndern und Feinblechen, kaltgezogenem Draht und Tiefziehteilen. Zum Schutz gegen Verzunderung glht man unter Luftabschluss in geschlosssenen Behltern (Blankgl
hen). L
sungsglhen. Es dient dem L
sen ausgeschiedener Bestandteile in Mischkristallen. Austenitische und ferritische Sthle, die keine g-a-Umwandlung erfahren, werden zur Erzielung eines homogenen Gefges bei rd. 950 bis 1 150 C l
sungsgeglht und anschließend abgeschreckt, um die Bildung verspr
dender intermetallischer Phasen bei langsamer Abkhlung zu vermeiden. Bei umwandelnden Sthlen, die neben der Martensithrtung eine Ausscheidungshrtung erhalten (legierte Werkzeugsthle, warmfeste und martensitaushrtende Sthle), ist mit dem Austenitisieren gleichzeitig eine L
sungsglhen verbunden, das nach dem Abschrecken zu einer bersttigten L
sung fhrt, deren Entmischung durch die Bildung von Ausscheidungen whrend des Auslagerns erfolgt. Mit der L
sungsglhtemperatur und der Dauer des L
sungsglhens steigt die Menge der gel
sten Bestandteile an. Damit wird die Ausscheidungsfhigkeit des Gefges beim Auslagern erh
ht, so dass auch die erreichbare Festigkeit ansteigt. Randschichthrten Fr viele Werkstcke, fr die eine harte und verschleißarme Oberflche notwendig ist, ist eine auf die Randschichten beschrnkte Hrtung ausreichend. Man unterscheidet bei den Randschichthrteverfahren Flammhrten, Induktionshrten und Laseroberflchenhrten. Flammhrten. Bei diesem Verfahren wird eine Werkstckoberflche mittels einer Gas-Sauerstoff-Flamme auf Austenitisierungstemperatur erwrmt und anschließend mit Wasser abgeschreckt (Wasserbrause), bevor die Erwrmung in das Werkstckinnere vorgedrungen ist. Dabei tritt nur im austenitisierten Randbereich eine Martensithrtung auf. Die Tiefe der gehrteten Randschicht wird bestimmt von der Flammtemperatur, der Anwrmzeit und der Wrmeleitfhigkeit des Stahls. Induktionshrten. Bei diesem Verfahren wird die Randschicht in einer Hochfrequenzspule durch induzierte Str
me erhitzt und nach Erreichen der Austenitisierungstemperatur mit einer Wasserbrause oder in einem Bad abgeschreckt. Mit zunehmender Frequenz wird infolge des Skin-Effekts die Tiefe der erwrmten Randschicht geringer, so dass Einhrtetiefen von nur wenigen Zehntel-Millimetern zu erreichen sind. Fr beide Hrteverfahren k
nnen Vergtungssthle mit 0,35 bis 0,55% C verwendet werden. Bei niedrigeren C-Gehalten ist die Aufhrtung zu gering, bei h
heren C-Gehalten steigen Verzugs- und Hrterissgefahr, zumal h
here Austenitisierungstemperaturen zu whlen sind als bei normalem Hrten. Nach dem Randschichthrten wird i. Allg. bei 150 bis 180 C angelassen. Laseroberflchenhrten. Durch kontinuierlich strahlende CO2 -Laser k
nnen einzelne Funktionsflchen von Bauteilen einer gezielten Randschichthrtung unterzogen werden. Das Laserhrten geh
rt zur Gruppe der Kurzzeithrteverfahren. Das Hrten erfolgt durch Selbstabschreckung und kann auf dnne Randschichten beschrnkt werden. Bei richtiger Wahl der Bestrahlungsparameter ist neben einer Oberflchenhrtung auch eine Dauerfestigkeitssteigerung m
glich [1]. Wie

beim Induktionshrten k
nnen fr dieses Verfahren Vergtungssthle mit 0,35 bis 0,55% C oder Werkzeugsthle verwendet werden. Thermochemische Behandlungen Thermochemische Behandlungen sind Wrmebehandlungen, bei denen die chemische Zusammensetzung eines Werkstoffs durch Ein- oder Ausdiffundieren eines oder mehrerer Elemente absichtlich gendert wird. Meist sollen der Randschicht eines Werkstcks bestimmte Eigenschaften wie Zunderbestndigkeit, Korrosionsbestndigkeit oder erh
hter Verschleißwiderstand verliehen werden. Da hierbei die Werkstcke lngerzeitig einer hohen Temperatur ausgesetzt sind, ist auf die Vernderung der Kerneigenschaften zu achten. Gegenber galvanischen Oberflchenbehandlungsverfahren besteht der Vorteil der Diffusionsverfahren in einer gleichmßigen Schichtdichte ber die Werkstckoberflche, auch an Kanten, in Rillen und Bohrungen. Einsatzhrten. Eine hohe Randschichthrte bei Teilen aus Sthlen mit C-Gehalten von rd. 0,1 bis 0,25 % kann durch Hrten nach den thermochemischen Behandlungen Aufkohlen oder Carbonitrieren erreicht werden. Beim Aufkohlen wird die Randschicht des Werkstcks durch Glhen bei 850 bis 950 C (oberhalb der GOS-Linie) in kohlenstoffabgebenden Mitteln mit Kohlenstoff angereichert. Nach Art des Aufkohlungsmittels wird zwischen Pulver-, Gas-, Salzbad- und Pastenaufkohlung unterschieden. Der C-Gehalt der Randschicht nach dem Aufkohlen soll nicht h
her sein als rd. 0,8 bis 0,9%, um eine zu starke Zementitbildung zu vermeiden, die die Eigenschaften der Randschicht verschlechtern kann. Nach dem Aufkohlen ist die Randschicht eines Werkstcks hrtbar. Wegen des h
heren C-Gehalts besitzt das Gefge der Randschicht eine niedrigere Umwandlungstemperatur als das des Kerns. Stellt man die Hrtetemperatur auf den C-Gehalt der Randschicht ein, wandelt der Kern nicht vollstndig um, so dass bei Sthlen, die zum Kornwachstum neigen, ein infolge der langen Aufkohlungsdauer grobk
rniges Gefge im Kern zurckbleibt (Einfachhrtung). Eine Kernrckfeinung wird bei der Doppelhrtung erreicht. Hierbei wird zunchst von einer dem C-Gehalt des Kerns entsprechenden hohen Temperatur abgekhlt, wobei eine Umkristallisation des Kerns erfolgt; anschließend wird die Randschicht gehrtet. Damit erhlt man eine hohe Oberflchenhrte bei gleichzeitig h
chster Zhigkeit des Kerns. Durch das mehrmalige Erwrmen und Abkhlen wird allerdings die Gefahr des Verzugs des Werkstcks vergr
ßert. Ihr kann durch Abschrecken im Warmbad begegnet werden. Das H
rten der aufgekohlten Randschicht kann auch unmittelbar von Aufkohlungstemperatur erfolgen (Direkthrten), wobei gegebenenfalls das Werkstck zuvor auf eine dem C-Gehalt der Randschicht entsprechende Hrtetemperatur abgekhlt wird. Dieses Verfahren wird vorzugsweise bei Massenteilen oder bei Sthlen mit geringer Neigung zum Kornwachstum (Feinkornsthlen) angewendet. Hherlegierte Einsatzst
hle, wie z. B. der Werkstoff 20 NiCrMo 6 3 wurden speziell fr die Direkth
rtung entwickelt, um verbesserte Festigkeits- und Z
higkeitseigenschaften zu erzielen. Beim Carbonitrieren wird die Randschicht eines Werkstcks gleichzeitig mit Kohlenstoff und Stickstoff angereichert. Diese Behandlung erfolgt z. B. in speziellen Cyansalzbdern bei 800 bis 830 C. Nach dem Carbonitrieren erfolgt meistens ein Abschrecken, um die durch Nitridbildung erreichte Hrte durch eine Martensitumwandlung weiter zu erh
hen. Nach dem Einsatzh
rten wird bei Temperaturen von 150 bis 250 C angelassen.

Nitrieren. Es erfolgt eine Diffusionssttigung der Randschicht eines Werkstcks mit Stickstoff, um Hrte, Verschleißwiderstand, Dauerfestigkeit oder Korrosionsbestndigkeit zu erh
hen. Im Vergleich zum Einsatzhrten ist mit der

I3.1 Nitrierung bei Anwesenheit sondernitridbildender Elemente eine h
here Randhrte erzielbar; der Hrteabfall ins Innere des Werkstcks ist wegen der geringen Diffusionstiefe jedoch steiler. Die Randschicht besteht nach dem Nitrieren aus einer ußeren Nitridschicht (Verbindungsschicht) und einer anschließenden Schicht aus stickstoffangereicherten Mischkristallen und ausgeschiedenen Nitriden (Diffusionsschicht). Man unterscheidet zwischen Gasnitrieren im Ammoniakgasstrom bei 500 bis 550 C, Salzbadnitrieren in Cyansalzbdern bei 520 bis 580 C und Plasmanitrieren bei 450 bis 550 C. Das Gasnitrieren erfordert lange Nitrierzeiten (z. B. 100 h fr eine Nitriertiefe von rd. 0,6 mm). Durch zustzliche Maßnahmen wie Sauerstoffzugabe oder Ionisation des Stickstoffs durch Glimmentladung (Plasmanitrieren) k
nnen die Nitrierzeiten verkrzt werden. Eine weitere Verkrzung der Nitrierzeiten wird durch Salzbadnitrieren erreicht, doch fhren die verwendeten Cyansalzbder immer auch zu einer Aufkohlung der Randschicht, die aber bei den hier verwendeten niedrigen Badtemperaturen gering ist. Die niedrigen Badtemperaturen und die langsame Abkhlung (kein Abschrecken) fhren zu sehr geringem Verzug der Werkstcke (Meßwerkzeuge). Beim Nitrocarburieren enthlt das Behandlungsmittel außer Stickstoff auch kohlenstoffabgebende Bestandteile. Es kann im Pulver, Salzbad, Gas oder Plasma nitrocarburiert werden. Die Gasnitrocarburierverfahren, die mit dem Sammelbegriff Kurzzeitgasnitrieren bezeichnet werden, ben
tigen gegenber dem blichen Gasnitrieren erheblich krzere Behandlungsdauern. Diese liegen bei Prozesstemperaturen von 570 bis 590 C in der Gr
ßenordnung des Salzbadnitrierens. Legierungselemente, die eine besonders hohe Affinit
t zu Stickstoff aufweisen, wie Chrom, Molybd
n, Aluminium, Titan oder Vanadin ergeben besonders harte Randschichten mit hohem Verschleißwiderstand gegen Gleitreibung (Nitrierst
hle). Bei vergteten St
hlen niedriger Anlassbest
ndigkeit ist darauf zu achen, dass die langzeitige Nitrierbehandlung keine Festigkeitsabnahme im Kern verursacht. Durch Legierungselemente wie Chrom und Molybd
n wird die Anlassbest
ndigkeit erhht, so dass mit niedriglegierten CrMo-St
hlen neben hoher Randschichth
rte auch hohe Kernfestigkeit erzielt werden kann.

Aluminieren. Hierunter wird allgemein die Herstellung von Al-berzgen verstanden. Unter den Diffusionsverfahren haben sich das Kalorisieren und das Alitieren bewhrt. Beim Kalorisieren werden die Werkstcke (meist kleinere Teile) in einer rotierenden Reaktionstrommel bei 450 C in Al-Pulver mit bestimmten Zustzen geglht. Danach erfolgt ein kurzzeitiges Glhen bei 700 bis 800 C außerhalb der Trommel zur Verstrkung der Diffusion. Es entsteht eine spr
de, festhaftende Fe-Al-Legierungsschicht (Al > 10%) unter einer harten Schicht von Al2 O3 , die eine gute Zunderbestndigkeit aufweist.

Eine weniger spr
de Schutzschicht mit besserer Verformbarkeit bei gleicher Zunderbestndigkeit wird durch das Alitieren erzeugt. Hierbei wird die Glhung in einem Pulver aus einer Fe-Al-Legierung bei 800 bis 1 200 C vorgenommen. Beide Verfahren sind auch bei anderen metallischen Werkstoffen als Stahl anwendbar, z. B. Kalorisieren bei Kupfer und Messing. Alitieren bei Nickellegierungen fr Gasturbinenschaufeln. Silicieren. Eine zwar spr
de, aber sehr zunderbestndige Oberflche wird bei kohlenstoffarmem Stahl durch Behandlung mit heißem SiCl4 -Dampf erzielt. Der Si-Gehalt der Schicht betrgt bis zu 20%. Sherardisieren. Dieses Verfahren wird hnlich dem Kalorisieren durchgefhrt. Nach dem Beizen oder Sandstrahlen werden die Werkstcke bei 370 bis 400 C in mit bestimmten Zustzen versehenem Zinkstaub geglht. Neben erh
htem Korrosionsschutz wird ein guter Haftgrund fr Anstriche erreicht. Borieren. Durch Borieren werden harte und verschleißarme Randschichten erzeugt. Es kann in Pulver (950 bis 1 050 C), Gas und Salzbdern (550 C) boriert werden.

Eisenwerkstoffe

E 37

Chromieren (Inchromieren). Das Verfahren wird bei rd. 1 000 bis 1 200 C mit chromabgebenden Stoffen in der Gasphase oder in der Schmelze durchgefhrt. Die Randschicht des Werkstcks reichert sich dabei bis auf 35% Cr an. Sie wird damit zunderbestndig bis zu Temperaturen ber 800 C. Wegen der Korrosionsbestndigkeit der Schicht kann mit dieser Behandlung der Einsatz korrosionsbestndigen Vollmaterials umgangen werden. Sonderverfahren der W
rmebehandlung Isothermisches Umwandeln in der Bainitstufe. Bei diesem frher als Zwischenstufenvergten bezeichneten Verfahren wird ein Werkstck nach dem Austenitisieren rasch auf eine Temperatur abgekhlt, bei der sich whrend des Haltens auf dieser Temperatur die Bainitumwandlung vollzieht. Die fr einen bestimmten Werkstoff geeignete Temperatur ist aus dem isothermen ZTU-Schaubild zu ersehen. Beste Festigkeits- und Zhigkeitseigenschaften ergeben sich bei Umwandlung im unteren Temperaturbereich der Bainitstufe. Neben den guten mechanischen Eigenschaften bietet das Verfahren wirtschaftliche Vorteile gegenber dem Vergten, da ein zweimaliges Aufheizen entfllt. Vor allem Kleinteile aus Bausthlen werden nach diesem Verfahren behandelt. Patentieren. Hierunter versteht man eine Wrmebehandlung von Draht und Band, bei der nach dem Austenitisieren schnell auf eine Temperatur oberhalb MS abgekhlt wird, um ein fr das nachfolgende Kaltumformen gnstiges Gefge zu erzielen. blicherweise wird bei der Drahtherstellung im Warmbad abgekhlt bei Temperaturen, die zu einem dichtstreifigen Perlit fhren, da dieses Gefge sich besonders zum Ziehen eignet. Martensitaush
rtung. In kohlenstoffarmen Fe-Ni-Legierungen mit mehr als 6 bis 7% Nickel erfolgt die Umwandlung des g-Mischkristalls auch bei langsamer Abkhlung aus dem Austenitgebiet (820 bis 850 C) nicht mehr durch Diffusion in Ferrit, sondern durch diffusionslose Schiebung in Nickelmartensit, einem mit Nickel (statt Kohlenstoff) bersttigten, metastabilen Mischkristall. Legierungselemente wie Ti, Nb, Al und vor allem Mo fhren beim anschließenden Warmauslagern unterhalb der Reaustenitisierungstemperatur (450 bis 500 C) durch Ausscheiden feinverteilter intermetallischer Phasen und die Einstellung von gleitbehindernden Ordnungsphasen zu einer erheblichen Steigerung der Festigkeit bei gleichzeitig guter Zhigkeit. Thermomechanische Behandlungen Thermomechanische Behandlungen sind eine Verbindung von Umformvorgngen mit Wrmebehandlungen, um bestimmte Werkstoffeigenschaften zu erzielen. Austenitformh
rten. Hierbei wird ein Stahl nach dem Abkhlen von Austenitisierungstemperatur vor oder whrend der Austenitumwandlung umgeformt. Damit k
nnen Festigkeitssteigerungen bei gleichzeitig verbesserter Zhigkeit infolge eines verfeinerten Bainit- und Martensitgefges erzielt werden. Temperaturgeregelte Warmumformung. Durch geregelte Temperaturfhrung in den letzten, mit ausreichendem Umformgrad vorgenommenen Schritten einer Warmumformung und beim anschließenden Abkhlen wird ein Gefge angestrebt, wie es beim Normalglhen entsteht. Warm-Kalt-Verfestigen. Eine Umformung bei erh
hter Temperatur unterhalb der Rekristallisationsschwelle fhrt bei gegenber Raumtemperatur verminderten Umformkrften zur Festigkeitssteigerung. Dieses Verfahren eignet sich besonders fr austenitische Werkstoffe.

E

E 38

Werkstofftechnik – 3 Eigenschaften und Verwendung der Werkstoffe

3.1.4 St
hle in Zusammenarbeit mit W. Rohde, Krefeld Einteilung von St
hlen nach DIN EN 10 020

E

DIN EN 10 020 definiert St
hle als Werkstoffe, deren Massenanteil an Eisen grßer ist als der jedes anderen Elements und deren Gehalt an Kohlenstoff i. Allg. kleiner ist als 2%. bersteigt der Kohlenstoffanteil diesen Grenzwert, spricht man von Gusseisen (s. E 3.1.5). Darber hinaus teilt DIN EN 10 020 die St
hle in unlegierte St
hle, legierte St
hle und nichtrostende St
hle ein. Die Grenze zwischen unlegierten und legierten St
hlen geht aus Anh. E 3 Tab. 1 hervor. Ein Stahl gilt als legiert, wenn der spezifizierte Mindestwert nur eines Elementes die angegebenen Grenzwerte berschreitet. Falls fr ein Element nur der zul
ssige Hchstwert spezifiziert ist, darf dieser das 1,3fache des Grenzwertes nach Anh. E 3 Tab. 1 betragen. Von dieser so genannten 70%-Regel ist Mangan ausgenommen. Die nichtrostenden St
hle werden als St
hle mit mindestens 10,5% Cr und hchstens 1,2% C definiert. Zu ihnen gehren nicht nur korrosionsbest
ndige, sondern auch hitzebest
ndige und warmfeste Stahlsorten. Sie sind im Grunde ein Sonderfall der legierten St
hle. Zus
tzlich unterscheidet DIN EN 10 020 bei den unlegierten und legierten St
hlen zwischen Qualit
ts- und Edelst
hlen. Die Edelst
hle zeichnen sich insbesondere durch geringere Anteile nichtmetallischer Einschlsse und meist auch durch engere Vorgaben fr die chemische Zusammensetzung aus. Sie sind deshalb geeignet, hhere Qualit
tsansprche zu erfllen. So z. B. sind Edelst
hle zum Vergten und Oberfl
chenh
rten besser geeignet als Qualit
tsst
hle, deren Eigenschaften st
rker streuen. DIN EN 10 020 hat erhebliche Bedeutung fr den Stahlhandel, insbesondere fr die Zollnomenklatur. Fr die technische Anwendung der St
hle ist die Bedeutung dieser Norm gering. Systematische Bezeichnung von St
hlen nach DIN EN 10 027 St
hle werden gem
ß DIN EN 10 027–1 entweder mit Kurznamen oder gem
ß DIN EN 10 027-2 mit Werkstoffnummern eindeutig gekennzeichnet. Kurzname und Werkstoffnummer sind austauschbar. Die Kurznamen bestehen aus Symbolen in Form von Buchstaben und Zahlen. Ausgangspunkt fr den systematischen Aufbau der Kurznamen ist die Einteilung der Stahlsorten in die 15 Gruppen gem
ß Anh. E 3 Tab. 2. Bei den Gruppen 1 bis 11 geben die Kurznamen Hinweise auf das Hauptanwendungsgebiet und auf die fr die Hauptanwendung wichtigste mechanische oder physikalische Eigenschaft. Bei den Gruppen 12 bis 15 kennzeichnen die Kurznamen die chemische Zusammensetzung. Jeder Gruppe sind ein oder zwei Buchstaben als Hauptsymbol zugeordnet. Dieses Symbol steht i. Allg. an der ersten Stelle des Kurznamens. Ausnahmen sind die Stahlgusssorten, die an erster Stelle den Buchstaben G fhren. Auch bei pulvermetallurgisch hergestellten Werkzeugst
hlen der Gruppe 14 ist es zul
ssig, dem ersten Hauptsymbol X ein anderes Symbol, n
mlich die Buchstabenkombination PM, voranzustellen. Auf das fr die Gruppe kennzeichnende erste Hauptsymbol folgen weitere Symbole, die Informationen ber wichtige Merkmale zur eindeutigen Beschreibung individueller Stahlsorten enthalten (s. Anh. E 3 Tab. 2.). Die Vielfalt der hierfr notwendigen Kennbuchstaben und -zahlen wird in DIN EN 10 027-1 festgelegt. Die verwendeten Zeichen knnen in jeder der 15 Gruppen eine andere Bedeutung haben. Der Schlssel zum richtigen Verst
ndnis eines Kurznamens liegt immer in dem Symbol an der ersten Stelle, gegebenenfalls hinter G oder PM.

Unterschiedliche Zust
nde oder Ausfhrungsformen der gleichen Stahlsorte knnen, falls erforderlich, durch Anh
ngen von Zusatzsymbolen mit einem Pluszeichen an den Kurznamen bzw. an die Werkstoffnummer bezeichnet werden. Beispiele sind in DIN EN 10 027-1 enthalten Alternativ zum Kurznamen knnen die Werkstoffnummern nach DIN EN 10 027-2 verwendet werden. Im Allgemeinen bestehen die Werkstoffnummern aus fnf Ziffern mit einem Punkt zwischen der ersten und der zweiten Ziffer. Die erste Ziffer ist fr St
hle und Stahlguss immer eine 1, z. B. 1.1301 fr die Stahlsorte 19MnVS6 nach DIN EN 10 267. Ein vollst
ndiges Verzeichnis der fr St
hle und Stahlguss in deutschen und europ
ischen Normen festgelegten Werkstoffnummern ist in der Stahl-Eisen-Liste enthalten. Legierungselemente Im Eisen lsliche Legierungselemente wirken sich auf die Grße des Austenit(g)-Gebiets im Eisen-Kohlenstoffschaubild aus. Dies
ußert sich in Verschiebungen der Umwandlungstemperaturen. Dadurch
ndert sich das Verhalten der St
hle bei der Abkhlung von der Warmumformtemperatur oder bei der W
rmebehandlung. Je nach Art und Menge des gelsten Legierungselementes knnen die Werte der kritischen Abkhlgeschwindigkeit sehr verschieden sein. Manche Legierungselemente haben zu den unvermeidbaren Begleitelementen des Eisens, z. B. Kohlenstoff, Stickstoff, Sauerstoff, Schwefel, eine hhere Affinit
t als Eisen. Sie bilden bei unterschiedlichen Temperaturen mit den Begleitelementen Verbindungen, die in unterschiedlicher Menge, Form und Verteilung im Stahl auftreten knnen. Einige Legierungselemente knnen sowohl im Eisen gelst sein, wie auch stabile Verbindungen mit den Begleitelementen bilden. Die Vielfalt der mglichen Reaktionen, deren Ablauf bis zu einem gewissen Grad durch den Herstellungsprozess der St
hle gesteuert werden kann, erkl
rt den vielf
ltigen Einfluss der Legierungselemente auf die mechanischen und technologischen Eigenschaften der St
hle. Bei der nachfolgenden Erl
uterung einiger wichtiger Stahlgruppen werden auch die fr die jeweilige Stahlgruppe kennzeichnenden Wirkungen der Legierungselemente angesprochen. Walz- und Schmiedest
hle Baust
hle (s. Anh. E 3 Tab 4) Baust
hle mssen schweißgeeignet sein und sind nicht fr eine W
rmehandlung bei der Weiterverarbeitung bestimmt. Am weitesten verbreitet sind unlegierte Baust
hle, h
ufig als allgemeine Baust
hle bezeichnet, mit Nennwerten der Streckgrenze bis 355 MPa, demn
chst bis 450 MPa, fr den Stahlhochbau, Tiefbau, Brckenbau, Wasserbau, Beh
lterbau oder Fahrzeug- und Maschinenbau. Ihre chemische Zusammensetzung wird im Wesentlichen nur hinsichtlich der Gehalte an C, Si, Mn, P, S und N spezifiziert. Fr vollberuhigte Stahlsorten wird ein ausreichender Gehalt an Stickstoff abbindenden Elementen verlangt, z. B. mindestens 0,020% Al, wobei jedoch Al auch durch andere starke Nitridbildner wie Ti oder Nb ersetzt werden darf. Der bliche Richtwert ist ein Verh
ltnis Mindestwert des Al-Gehaltes zu Stickstoff von 2 :1, wenn keine anderen Nitridbildner vorhanden sind. Die Bewertung der Schweißeignung anhand der IIW-Formel (International Institute for Welding) fr das Kohlenstoff
quivalent CEV ¼ C þ

Mn Cr þ Mo þ V Ni þ Cu þ þ in % 6 5 15

und die Festlegung von Hchstwerten des Kohlenstoff
quivalents bedeuten eine wirksame Einschr
nkung der zul
ssigen Gehalte an nicht ausdrcklich spezifizierten Begleitelementen. Niedrigere Werte des Kohlenstoff
quivalents gelten als Merkmal besserer Schweißeignung. Kupfergehalte von 0,25 bis 0,40% sind gelegentlich zur Verbesserung der Wetter-

I3.1

Eisenwerkstoffe

E 39

festigkeit erw
nscht, knnen jedoch die Schweißeignung und die Warmumformbarkeit (Neigung zu Ltbruch) beeintrchtigen. Falls die unlegierten Bausthle zum Feuerverzinken geeignet sein sollen, ist eine Einschrnkung des Siliciumgehaltes erforderlich. Maßgebend f
r die Auswahl der Stahlsorten sind in erster Linie die Mindestwerte der Streckgrenze und der Zugfestigkeit, in vielen Fllen aber auch die nach G
tegruppen gestaffelten Mindestwerte der Kerbschlagarbeit. F
r die unlegierten Bausthle sind G
tegruppen nach (Anh. E 3 Tab. 3) genormt. Regeln f
r die Auswahl der G
tegruppe sind enthalten z. B. f
r den Stahlbau in der Richtlinie des Deutschen Ausschusses f
r Stahlbau DASt 009 oder f
r den Tankbau in DIN EN 14 015. Falls bei geschweißten Bauteilen nennenswerte Beanspruchungen in Dickenrichtung erwartet werden, knnen als vorbeugende Maßnahme gegen das Auftreten von Kaltrissen so genannte Z-G
ten verwendet werden, f
r die Mindestwerte der Brucheinschn
rung von Zugproben senkrecht zur Walzoberflche festgelegt sind. Hohe Werte der Brucheinschn
rung solcher Proben knnen nur bei niedrigen Schwefelgehalten erreicht werden. Im Allgemeinen werden die Erzeugnisse aus unlegierten Bausthlen im Walzzustand oder im normalgegl
hten Zustand oder im normalisierend gewalzten Zustand geliefert. Nur bei Erzeugnissen im normalgegl
hten oder normalisierend gewalzten Zustand darf erwartet werden, dass die spezifizierten Mindestwerte der Festigkeit und Zhigkeit auch nach sachgemßem Warmumformen oder erneutem Normalgl
hen whrend der Weiterverarbeitung eingehalten werden. Normalisierend gewalzte Erzeugnisse zeichnen sich durch eine Oberflchenbeschaffenheit aus, die gleichmßiger ist als bei ofengegl
hten Erzeugnissen und f
r die Wirtschaftlichkeit der Weiterverarbeitung entscheidend sein kann.

nisch eingestellte Gef
ge kann jedoch bei Einwirkung hoher Temperaturen geschdigt werden und lsst sich durch eine Wrmebehandlung nicht wiederherstellen. Erzeugnisse im thermomechanisch gewalzten Zustand sind deshalb nicht f
r eine Warmumformung vorgesehen und bed
rfen auch bei vorsichtigem Flammrichten einer strengen Temperatur
berwachung. Hochfeste schweißgeeignete Feinkornbausthle mit angehobenen Gehalten an Cr, Mo, Ni und V, werden im wasserverg
teten Zustand mit Mindestwerten der Streckgrenze bis rund 1000 MPa geliefert. Sie ermglichen u. a. die wirtschaftliche Ausf
hrung von Stahlbauwerken und Fahrzeugen in Leichtbauweise. Ein bevorzugtes Anwendungsgebiet der Sorten mit besonders hohen Mindestwerten der Streckgrenze ist der Mobilkranbau. Zur Bewertung der Schweißeignung der hochfesten Feinkornbausthle anhand des Kohlenstoffquivalents liefert die CET-Formel

Hochfeste schweißgeeignete Feinkornbaust
hle erreichen Mindestwerte der Streckgrenze bis rund 1000 MPa. Sie erweitern die Anwendungsgebiete der unlegierten Bausthle zu hheren Beanspruchungen und zu tieferen Temperaturen. In den Lieferzustnden normalgegl
ht oder normalisierend gewalzt oder thermomechanisch gewalzt weisen die hochfesten schweißgeeigneten Feinkornbausthle standardmßig Mindestwerte der Streckgrenze im Bereich zwischen 275 und 460 MPa auf. In Abhngigkeit von der G
tegruppe eignen sie sich f
r den Einsatz bei Temperaturen bis etwa –50 C. Sie unterscheiden sich von den unlegierten Bausthlen durch kleine Anteile von Nb, Ti oder V, die bei Temperaturen der Warmumformung fein verteilte, stabile Nitride und Carbonitride bilden. Im Verlauf der Abk
hlung von Warmumformtemperatur f
hren diese Ausscheidungen bei Unterschreitung der Umwandlungstemperatur zu einem besonders feinkrnigen Gef
ge. Die Feinkornbildung erlaubt, trotz Verringerung des Kohlenstoffgehaltes die Werte der Streckgrenze zu steigern und das Zhigkeitsverhalten zu verbessern, ohne die Schweißeignung zu beeintrchtigen. Kleine Anteile an Legierungselementen, z. B. Cr, Mo und Ni, tragen zur Erhhung der Streckgrenze bei. Der Ausdruck normalisierend gewalzt bedeutet, dass das Erzeugnis durch Warmumformung und anschließende kontrollierte Abk
hlung in einen Zustand gebracht wurde, der hinsichtlich des Gef
ges und der mechanisch-technologischen Eigenschaften des Erzeugnisses dem Zustand eines im Ofen normalgegl
hten Erzeugnisses gleichwertig ist. Thermomechanisches Walzen besteht darin, dass die durch Ausscheidungen verursachte Feinkornbildung durch geeignete Maßnahmen whrend der Umformung verstrkt wird, so dass ein Gef
ge mit noch kleineren Krnern entsteht. Dadurch wird es mglich, Sthle zu erzeugen, die bei gleicher Streckgrenze wie ein normalgegl
hter Stahl weniger Kohlenstoff enthalten und deshalb hinsichtlich ihrer Schweißeignung noch g
nstigere Eigenschaften aufweisen. Das thermomecha-

Die wetterfesten Bausthle enthalten
blicherweise 0,2 bis 0,6% Cu und 0,35 bis 0,85% Cr. Zur Vermeidung von Ltbruch d
rfen bis zu 0,7% Ni zulegiert werden. Cu und Cr bilden unter atmosphrischer Korrosion Deckschichten, die den normalen Rostvorgang stark hemmen, so dass die Sthle u. U. auch ohne Schutzanstriche der Witterung ausgesetzt werden d
rfen. Versuche, aus der chemischen Zusammensetzung Kennzahlen f
r die Witterungsbestndigkeit zu errechnen, sind von umstrittenem Wert, da klimatische Unterschiede, die Zusammensetzung der Luft, z. B. in K
stennhe oder in einer Industriegegend, und andere Einflussgrßen die Entstehung und Schutzwirkung der Deckschichten erheblich beeinflussen. Die wetterfesten Bausthle werden f
r tragende Konstruktionen eingesetzt. Sie d
rfen nicht mit den im Bauwesen aus architektonischen Gr
nden oft verwendeten nichtrostenden Sthlen f
r Verkleidungsbleche oder andere Bauteile mit untergeordneter mechanischer Beanspruchung verwechselt werden. Bei der Verarbeitung und Anwendung der wetterfesten Bausthle empfiehlt sich, die Richtlinie des Deutschen Ausschusses f
r Stahlbau DASt 007 zu beachten. Die Bewehrungssthle f
r den Stahlbeton-(Betonsthle) und Spannbetonbau (Spannsthle) zhlen nicht zu den Bausthlen im
blichen Sinn, sind f
r das Bauwesen aber ebenfalls unverzichtbar.

CET ¼ C þ

Mn þ Mo Cr þ Cu Ni þ þ in % 10 20 40

nach Stahl-Eisen-Werkstoffblatt 088 Vergleichszahlen, die den Einfluss der Legierungselemente zutreffender beschreiben als die IIW-Formel. Spezielle wasserverg
tete Feinkornbausthle mit Kohlenstoffgehalten bis 0,38% erreichen Hrtewerte bis 630 HB und werden f
r Bauteile verwendet, bei denen es auf einen hohen Widerstand gegen Verschleiß ankommt, z. B. Muldenkipper, Steinbrechanlagen, Betonmischer. Bis zu einer Hrte von rund 500 HB sind auch diese Sthle kaltumformbar, wobei jedoch der hohe Kraftbedarf und die von der Streckgrenze abhngige R
ckfederung zu beachten sind. Zum Schweißen bei Vorwrmtemperaturen bis rund 200 C eignet sich das MAGVerfahren.

Betonst
hle werden standardmßig mit Nennwerten der Streckgrenze von 420 oder 500 MPa und Nennwerten der Bruchdehnung von 10 oder 8% in der Form von Stben oder als Drhte zur Herstellung von Betonstahlmatten geliefert. Nennwerte sind die aus statistischen Auswertungen abgeleiteten Werte des 5%-Quantils, die also von 5% der Einzelwerte unterschritten werden d
rfen. Die Sthle m
ssen schweißgeeignet und kaltumformbar sein. Sie sind unlegiert mit nur geringen Anteilen von Nb und/oder V zur Einstellung eines feinkrnigen Gef
ges. Die geforderten Werte der Streckgrenze werden durch geregelte Temperaturf
hrung aus der Walz-

E

E 40

Werkstofftechnik – 3 Eigenschaften und Verwendung der Werkstoffe

hitze und/oder Kaltverfestigung erreicht. Die Haftung im Verbund mit dem Beton wird durch ausreichende Profilierung der St
be und Dr
hte sichergestellt.

E

Spannst
hle mssen geeignet sein, in Spannbetonbauteile Druckvorspannungen einzubringen, die langzeitig erhalten bleiben. Fr diese St
hle wird deshalb eine hohe Relaxationsfestigkeit verlangt, die wiederum sehr hohe Werte der Elastizit
tsgrenze, ermittelt als Werte der 0,01%-Dehngrenze, voraussetzt. Charakteristische Werte der im Mittel um rund 20% hheren Werte der 0,2%-Dehngrenze der blichen Spannstahlsorten liegen im Bereich zwischen 835 und 1570 MPa bei Werten der Zugfestigkeit zwischen 1030 und 1770 MPa und Nennwerten der Bruchdehnung von 6 und 7%. Die blichen Erzeugnisformen sind glatte oder gerippte St
be oder Dr
hte. Fr die verwendeten St
hle sind hohe Kohlenstoffgehalte kennzeichnend. Unlegierte St
hle fr kaltgezogene Dr
hte im Abmessungsbereich 5 bis 12 mm enthalten rund 0,8% C. St
hle fr vergtete Dr
hte bis 16 mm Durchmesser enthalten rund 0,5% C und 0,4% Cr. Fr Stabstahl im Abmessungsbereich 15 bis 36 mm Durchmesser, dessen Festigkeitswerte an der unteren Grenze des obengenannten Bereiches liegen, werden St
hle mit rund 0,7% C und 1,5% Mn eingesetzt, denen noch rund 0,3% V zulegiert wird, wenn Mindestwerte der Streckgrenze ber 1000 MPa erreicht werden sollen. Die St
be werden im warmgewalzten, gereckten und angelassenen Zustand geliefert. Zur Verbesserung des Widerstandes gegen Spannungsrisskorrosion haben sich bei vergteten Dr
hten Zus
tze von Si bis fast 2% bew
hrt. Sowohl fr Betonst
hle wie fr Spannst
hle gelten Forderungen an die Dauerschwingfestigkeit. Bei gerippten St
ben aus Spannst
hlen mit den genannten hohen Werten der 0,2%-Dehngrenze mssen die Querschnittsberg
nge der Rippen so beschaffen sein, dass kritische Spannungskonzentrationen vermieden werden. Anh. E 3 Tab. 4 zeigt eine Auswahl an Normen fr Baustahlformen und deren Verwendung. St
hle zum Kaltumformen (s. Anh. E 3 Tab. 5) In großer Vielfalt werden Fertigteile durch Kaltumformen von Flacherzeugnissen hergestellt, z. B. Geh
use, Beh
lter, Kmpelteile, Kraftfahrzeugteile, Profile, geschweißte Rohre und Hohlprofile. Hierfr stehen warm- oder kaltgewalzte Flacherzeugnisse einer großen Zahl von St
hlen zur Verfgung. Allen gemeinsam ist die besondere Eignung zur Kaltumformung, u. a. gekennzeichnet durch hohe Werte des Verfestigungsexponenten n fr die Zunahme der Streckgrenzenwerte in Abh
ngigkeit vom Umformgrad und der senkrechten Anisotropie r fr das Verh
ltnis von Breiten- zu Dickenform
nderung. Vorteilhaft fr die Kaltumformbarkeit ist auch ein niedriges Verh
ltnis der Werte von Streckgrenze und Zugfestigkeit. Maßgebend fr die Eignung zum Kaltumformen ist der Gefgezustand der St
hle. Die weiche Ferritphase l
sst sich gut umformen, w
hrend zunehmende Anteile des harten Perlits das Umformverhalten verschlechtern. Wichtig ist immer ein hoher oxidischer Reinheitsgrad. Von den Werkstoffeigenschaften sowie von der Wanddicke der Fertigteile und den Forderungen an die Oberfl
chenbeschaffenheit h
ngt es ab, ob zur Herstellung der Fertigteile warm- oder kaltgewalzte Flacherzeugnisse in Betracht kommen. Hohe Forderungen an die Oberfl
chenqualit
t der Fertigteile, z. B. festgelegte enge Spannen der Mittenrauheit Ra , knnen nur mit kaltgewalzten Flacherzeugnissen erfllt werden. Unter den zum Kaltumformen bestimmten St
hlen spielen die unlegierten weichen Stahlsorten eine besondere Rolle. Sie weisen bei niedrigen Gehalten an Kohlenstoff und Mangan ein gleichm
ßiges perlitarmes Gefge auf. Der fr die Kaltumformbarkeit ungnstige Perlitanteil kann bei gleichem Kohlenstoffgehalt noch weiter vermindert werden, wenn der Kohlenstoff durch Carbidbildner, z. B. Ti oder Nb, gebunden

wird (IF-St
hle: „interstitial free“ – frei von N und C auf Zwischengitterpl
tzen). Die unlegierten weichen Stahlsorten haben im Ausgangszustand niedrige Werte der Streckgrenze. Zu ihrer Umformung ist ein verh
ltnism
ßig geringer Kraftbedarf erforderlich. Mit zunehmendem Umformgrad steigen die Werte der Streckgrenze an. Durch Kaltwalzen mit Dickenabnahmen zwischen 55 und 75% knnen Festigkeitszunahmen von 500 MPa erreicht werden. Insbesondere beim Tiefziehen weicher St
hle knnen als Folge der Ldersdehnung im Bereich der Streckgrenze strende Fließfiguren auftreten. Durch Nachwalzen mit bis zu 2% Dickenabnahme lassen sich diese Erscheinungen bei kaltgewalzten Flacherzeugnissen unterdrcken. Bei einigen Stahlsorten ist die Wirkung des Nachwalzens jedoch nur von beschr
nkter Dauer. Kaltgewalzte Flacherzeugnisse dieser Stahlsorten sollten nicht beliebig lange gelagert, sondern mglichst schnell verarbeitet werden. Ein Sonderfall der weichen St
hle sind die kaltgewalzten Flacherzeugnisse zum Emaillieren. Durch Einschr
nkungen der chemischen Zusammensetzung der Stahlsorten wird dafr gesorgt, dass die beim Einbrennen der Emailschichten an der Stahloberfl
che ablaufenden Reaktionen zu einer guten Haftung der berzge fhren. Außer unberuhigten St
hlen sind auch vakuumentkohlte St
hle geeignet, die mit Aluminium beruhigt und mit Titan mikrolegiert sind. Falls vom Fertigteil hhere Festigkeitswerte verlangt werden, als mit einem unlegierten weichen Stahl unter den vom Bauteil abh
ngigen Umformbedingungen erreichbar sind, besteht die Mglichkeit, St
hle hherer Festigkeit zu verwenden, u. a. solche, bei denen die Mischkristallverfestigung, z. B. durch Si und Mn oder auch P, st
rker zur Festigkeitssteigerung beitr
gt. Phosphorlegierte St
hle (P-St
hle) mit bis zu 0,1% P erreichen Streckgrenzenwerte bis 340 MPa. Das fr die Umformung gnstigste Gefge wird durch spezielle Maßnahmen bei der Stahlherstellung eingestellt. Der fr die Umformung erforderliche Kraftbedarf ist dennoch erheblich grßer als bei den weichen St
hlen. Eine andere Mglichkeit besteht darin, perlitarme mikrolegierte St
hle mit weniger als 0,1% C einzusetzen, bei denen unter Verzicht auf Mischkristallverfestigung die Wirkungen von Kornfeinung und Ausscheidungsh
rtung, z. B. durch Ausscheidung von Nitriden und Carbonitriden, zur Steigerung der Festigkeit genutzt werden, so dass sich Mindestwerte der Streckgrenze von mehr als 500 MPa erreichen lassen. Die Eignung zum Kaltumformen bleibt wegen des niedrigen Perlitanteils erhalten, das Verh
ltnis von Streckgrenze zu Zugfestigkeit steigt jedoch auf Werte weit ber 0,7 (Bild 4). Bei den Bake-Hardening-St
hlen (BH-St
hle) kann die Wirkung der Ausscheidungsverfestigung durch eine knstliche Alterung im Bereich um 180 C verst
rkt werden. Von dieser Mglichkeit wird z. B. beim Einbrennlackieren Gebrauch gemacht. Besonders hohe Forderungen an Kaltumformbarkeit und Festigkeit werden an Karosseriebleche gestellt. Einerseits sind die daraus herzustellenden Teile meist recht kompliziert geformt, andererseits sollen sie mglichst dnn, aber doch noch ausreichend steif sein. In diesem Anwendungsbereich werden perlitfreie Multiphasenst
hle eingesetzt, zu deren Herstellung besondere Maßnahmen bei der Legierung sowie beim Walzen und Glhen notwendig sind. Kennzeichnende Vertreter dieser Stahlgruppe werden als kontinuierlich schmelztauchveredeltes und elektrolytisch veredeltes Band und Blech angeboten. Die Dualphasenst
hle (DP-St
hle) bestehen im Wesentlichen aus Ferrit mit bis etwa 20% inselartig eingelagertem Martensit, der bei schneller Abkhlung aus dem Teilaustenitgebiet (a þ g) entsteht. Die ferritische Grundmasse sorgt fr gute Umformbarkeit; der Martensit erhht die Festigkeit. Bei noch verh
ltnism
ßig niedrigen Werten des Streckgrenzenverh
ltnisses im Bereich um 0,6 sind Werte der Zugfestigkeit weit

I3.1

Eisenwerkstoffe

E 41

F
r eine Wrmebehandlung bestimmte Sthle

Bild 4. Streckgrenze und Zugfestigkeit verschiedener Arten von Sthlen zum Kaltumformen, nach [1]


ber 600 MPa erreichbar. Bei den ferritisch-bainitischen TRIP-St
hlen (transformation induced plasticity) werden Restaustenitanteile whrend der Umformung in festigkeitssteigernden Martensit umgewandelt. Infolge der Zunahme der Zugfestigkeit whrend des Umformens erhht sich der zulssige Umformgrad. Die Werte der Bruchdehnung dieser Sthle sind im Vergleich zu Dualphasensthlen gleicher Festigkeit etwas hher (Bild 5). Die Complexphasenst
hle (CP-Sthle), die ein sehr feines Mischgef
ge harter und weicher Bestandteile aufweisen, erreichen Zugfestigkeitswerte
ber 800 MPa. Die PM-St
hle (partiell martensitisch) mit deutlich mehr als 20% Martensit zeichnen sich durch noch hhere Werte der Zugfestigkeit bei allerdings niedrigeren Werten der Bruchdehnung aus. Gegenwrtig werden Martensitphasenst
hle mit Zugfestigkeitswerten bis ca. 1400 MPa entwickelt. In Anh. E 3 Tab. 5 ist eine Liste von Normen f
r Sthle zum Kaltumformen aufgef
hrt.

Bild 5. Bruchdehnung und Zugfestigkeit verschiedener Arten von Sthlen zum Kaltumformen, nach [1]

Verg
tungssthle. Verg
tungssthle sind unlegierte und legierte Sthle, die aufgrund ihrer chemischen Zusammensetzung, besonders ihres Kohlenstoffgehaltes, zum Hrten geeignet sind und deren Gebrauchseigenschaften durch Verg
tung, d. h. durch eine geeignete Kombination von Hrten und Anlassen, den jeweiligen Erfordernissen in weiten Grenzen angepasst werden knnen. Sie werden in allen Bereichen des Maschinenbaus f
r kleine und große Bauteile unterschiedlichster Art eingesetzt. Je nach Verwendungszweck werden hohe Festigkeit bei statischer, dynamischer, schwingender oder schlagartiger Beanspruchung, gutes Zhigkeitsverhalten vor allem im Hinblick auf Kerbunempfindlichkeit oder hohe Hrte als Grundlage eines erhhten Verschleißwiderstandes gefordert. Fast immer ist eine gute Zerspanbarkeit wichtig. Gelegentlich wird die Eignung zum Schweißen verlangt. Zweckmßige Kombinationen der Wrmebehandlungsparameter Hrtetemperatur, Abk
hlgeschwindigkeit, Anlasstemperatur und Anlassdauer ermglichen, die Vielfalt der geforderten Eigenschaftsprofile im Rahmen der Prozessgenauigkeit nahezu stufenlos einzustellen, wobei zu beachten ist, dass sich Festigkeit bzw. Hrte und Zhigkeit gegenlufig verhalten (vgl. auch Bild 5), wenn nicht auch die Korngrße verndert wird. Bei gegebener Festigkeit wird das beste Zhigkeitsverhalten erreicht, wenn durch ein Normalgl
hen vor dem Verg
ten ein gleichmßig feinkrniges Gef
ge eingestellt wird und beim Hrten die Umwandlung vollstndig in der Martensitstufe abluft. Einen wesentlichen Einfluss hat auch die Kombination der Legierungselemente. Mitunter kommt der vorteilhafte Einfluss bestimmter Legierungszustze erst unter Betriebsbeanspruchung zur Geltung. Niedrige Anteile an nichtmetallischen Einschl
ssen kommen sowohl dem Zhigkeitsverhalten allgemein wie auch besonders der Schwingfestigkeit zugute. Zum besseren Verstndnis des Zusammenwirkens der Vielzahl der Einflussgrßen muss auf das Fachschrifttum verwiesen werden. F
r die Auswahl des f
r einen bestimmten Anwendungsfall am besten geeigneten Verg
tungsstahles ist neben der Hrtbarkeit, die im Stirnabschreckversuch bewertet wird, oft die Betriebserfahrung entscheidend. Aus wirtschaftlichen Gr
nden haben die unlegierten Verg
tungssthle weite Verbreitung gefunden. Nickel-Chrom-Molybdn-Sthle haben sich bei hchsten Forderungen gut bewhrt. Gute Zerspanbarkeit kann durch spezifizierte Schwefelgehalte von rund 0,03% unter Verlust an Zhigkeit und Schwingfestigkeit erreicht werden. Schweißeignung ist gegeben bei niedrigen Kohlenstoffgehalten und Anwendung von Schweißverfahren mit niedrigem Wrmeeinbringen. F
r das Kalt-Massivumformen werden Verg
tungssthle im weichgegl
hten Zustand mit niedriger Ausgangsfestigkeit bevorzugt. Die Verg
tung wird erst nach dem Umformen vorgenommen. Eine besondere Rolle spielt hier die Gruppe der borlegierten Verg
tungssthle mit verbesserter Hrtbarkeit. Die martensitaush
rtenden St
hle, z. B. X2NiCoMo18-8-5, sind hochfeste Verg
tungssthle mit ungefhr 18% Ni und extrem niedrigen Gehalten an C, Si und Mn. Sie erhalten ihre hohe Festigkeit durch berlagerung der Verfestigungsmechanismen Martensitbildung und Mischkristallhrtung mit einer Ausscheidungshrtung. Im lsungsgegl
hten Anlieferungszustand besitzen die martensitaushrtenden Sthle ein Gef
ge aus nahezu kohlenstofffreiem Nickelmartensit (Zugfestigkeit etwa 1 000 MPa). Wegen des niedrigen Kohlenstoffgehaltes knnen sie in diesem Zustand auch geschweißt werden. Durch Warmauslagern bei knapp 500 C lassen sie sich durch Ausscheiden intermetallischer Verbindungen wie Ni3 (Ti, Al) und Fe2 Mo aus dem Martensit auf Werte der Zugfestigkeit um 2 200 MPa bei ausreichender Zhigkeit aushrten. Die Sthle

E

E 42

Werkstofftechnik – 3 Eigenschaften und Verwendung der Werkstoffe

sind empfindlich gegen
ber Wasserstoffversprdung und Spannungsrisskorrosion.

E

St
hle fr das Randschichth
rten sind Verg
tungssthle, die sich zur Herstellung von Bauteilen mit harter Randschicht und zhem Kern eignen. Solche Bauteile zeichnen sich durch einen hohen Verschleißwiderstand an der Oberflche und eine verbesserte Dauerfestigkeit aus. Der Kohlenstoffgehalt muss der gew
nschten Hrte und Einhrtetiefe angepasst sein. Der Legierungsgehalt bestimmt die Unempfindlichkeit gegen Kornvergrberung durch berhitzen, die notwendige Abk
hlungsgeschwindigkeit von der Hrtetemperatur und die Hhe der zulssigen Entspannungstemperatur zum Abbau von Spannungsspitzen. Die wichtigsten Verfahren der Randschichthrtung sind in E 3.1.3 beschrieben. Nitrierst
hle, z. B. 34CrAlNi7-10, enthalten in erster Linie starke Nitridbildner wie Chrom, Aluminium und Vanadium. Weitere Legierungselemente dienen der Steigerung von Festigkeit und Zhigkeit des Kernbereichs unterhalb der verhltnismßig d
nnen Nitrierschicht. Die wichtigsten Nitrierverfahren sind in E 3.1.3 beschrieben. Einsatzst
hle, z. B. C15E, 16MnCr5, sind Qualitts- oder Edelsthle mit einem verhltnismßig niedrigen Kohlenstoffgehalt. Sie werden im Bereich der Randzone aufgekohlt, gegebenenfalls gleichzeitig aufgestickt (carbonitriert) und anschließend gehrtet. Die Sthle haben nach dem Hrten in der Randschicht hohe Hrte und guten Verschleißwiderstand, whrend im Kernbereich vor allem bei den mit Cr, Mo und Ni legierten Sorten eine hohe Zhigkeit erhalten bleibt. Insbesondere die Molybdn-Chrom-Sthle eignen sich zum Direkthrten. Einzelheiten der Verfahren der Einsatzhrtung werden in E 3.1.3 beschrieben. Automatenst
hle. Automatensthle sind durch gute Zerspanbarkeit (kurzbrechende Spne mit geringem Volumen) bei hoher Schnittgeschwindigkeit und geringem Werkzeugverschleiß sowie durch eine hohe Qualitt der bearbeiteten Oberflchen gekennzeichnet. Sie erhalten diese Eigenschaften im Wesentlichen durch erhhte Schwefelgehalte bis zu 0,4%, die zu einem vermehrten Anteil sulfidischer Einschl
sse f
hren. Gegebenenfalls wird zustzlich oder alternativ zum Schwefel 0,15 bis 0,3% Blei zugegeben, das im Gef
ge der Sthle als fein verteilte metallische Phase auftritt. Erhhte Phosphorgehalte tragen zur Verbesserung der Zerspanbarkeit bei, indem sie die f
r den Zerspanungsvorgang nachteilige Zhigkeit der ferritischen Grundmasse der Sthle mindern. Wenn die Sulfide in der Form lang gestreckter Zeilen vorliegen, wird das Z-

higkeitsverhalten bei Beanspruchungen senkrecht zu den Sulfidzeilen stark beeintrchtigt. Eine begrenzt wirksame Abhilfe ist mglich durch eine Beeinflussung der Sulfidform oder durch Ersatz des Schwefels, z. B. durch Blei. Wenn große Bauteilserien in automatisierten Arbeitsablufen spanabhebend bearbeitet werden, leisten Automatensthle einen wesentlichen Beitrag zur Wirtschaftlichkeit der Fertigung. Mit Ausnahme der nichtrostenden Sorten sind Automatensthle
berwiegend unlegiert. Unterschieden wird zwischen – Automatensthlen, die nicht f
r eine Wrmebehandlung bestimmt sind und zur Verbesserung der Festigkeitseigenschaften bis zu 1,5% Mn enthalten (z. B. 11SMnPb30), – Automaten-Einsatzsthlen (z. B. 10SPb20) und – Automaten-Verg
tungssthlen (z. B. 35S20, 46SPb20). Die Sthle werden als Stabstahl in den Zustnden unbehandelt, d. h. warmgewalzt, oder normalgegl
ht geliefert und sind
blicherweise geschlt oder kaltgezogen. Nichtrostende St
hle. Nichtrostende Sthle zeichnen sich durch besondere Bestndigkeit gegen
ber chemisch angreifenden Stoffen aus. Der kennzeichnende Korrosionswiderstand setzt einen Massenanteil an Chrom voraus, der nach der Definition in DIN EN 10 020 den Wert 10,5% nicht unterschreiten darf. In Abhngigkeit von den weiteren Legierungselementen werden die nichtrostenden Sthle nach ihren wesentlichen Gef
gebestandteilen eingeteilt in ferritische, martensitische, ausscheidungshrtende martensitische, austenitische und ferritisch-austenitische Sthle. Die Gef
gezusammensetzung schweißgeeigneter nichtrostender Sthle mit nicht mehr als rund 0,25% C kann mit Hilfe von Bild 6 und den zustzlich genannten Gleichungen f
r die Errechnung der quivalentgehalte an Chrom und Nickel aus der chemischen Zusammensetzung abgeschtzt werden. Das Bild wurde f
r die Abschtzung der Gef
gezusammensetzung von Schweißgut entwickelt und gilt deshalb nur f
r den Zustand nach Abk
hlung von hoher Temperatur. In dem vorliegenden Bild gilt f
r die quivalentgehalte: Cr
q ¼ Cr þ 1; 4
Mo þ 0; 5
Nb þ 1; 5
Si þ 2
Ti ðin %Þ und Ni
q ¼ Ni þ 30
C þ 0; 5
Mn þ 30
N ðin %Þ: Das Korrosionsverhalten der verschiedenen Arten nichtrostender Sthle lsst sich nach heutigem Wissensstand nur auf der Grundlage von Erfahrungen zuverlssig beurteilen. Scheinbar geringf
gige Unterschiede zwischen den angreifenden Medien knnen das Korrosionsverhalten der Sthle er-

Bild 6. Gef
geschaubild der schweißgeeigneten nichtrostenden Sthle (C  0; 25 %) nach Schaeffler f
r Abk
hlung von sehr hohen Temperaturen, nach [2]

I3.1 heblich beeinflussen. H
ufig ist auch die gleichzeitig wirksame mechanische Beanspruchung von entscheidender Bedeutung. Laborversuche unter definierten Bedingungen liefern wertvolle Hinweise und ermglichen qualitative Vergleiche. Ferritische und martensitische St
hle mit rund 13% Cr haben sich gut bew
hrt unter verh
ltnism
ßig milden Korrosionsbeanspruchungen, z. B. unter atmosph
rischen Bedingungen. Mit steigendem Chromgehalt wird die Korrosionsbest
ndigkeit besser. Ferritische Chromst
hle mit fast 30% Cr und nur sehr niedrigen Kohlenstoffgehalten von rund 0,01% C, auch Superferrite bezeichnet, finden Anwendung in besonders aggressiven Medien bei angehobenen Temperaturen. Austenitische Cr-Ni-St
hle sind vielseitig einsetzbar auch bei st
rkerer Korrosionsbeanspruchung. Unabh
ngig von der Gefgezusammensetzung wird der Korrosionswiderstand nichtrostender St
hle geschw
cht, wenn der Grundmasse bei Erw
rmung auf hhere Temperaturen durch Ausscheidung chromreicher Carbide so viel Chrom entzogen wird, dass der in Lsung verbleibende Anteil des Chroms unter den fr eine wirksame Passivierung (vgl. E 6.2) erforderlichen Schwellenwert abf
llt. Werden die chromreichen Carbide bevorzugt auf den Korngrenzen ausgeschieden und kann sich in der Grundmasse mangels ausreichend hoher Diffusionsgeschwindigkeit nicht schnell genug ein Ausgleich der Konzentration des Chroms einstellen, werden die St
hle anf
llig gegen interkristalline Korrosion (s. E 6.3). Besonders gef
hrdet sind die W
rmeeinflusszonen der Schweißn
hte. Wirksame Gegenmaßnahmen bestehen in der Verwendung von Stahlsorten mit weniger als ungef
hr 0,03% C oder in der Verwendung sogenannter stabilisierter Stahlsorten, bei denen der Kohlenstoff durch starke Carbidbildner gebunden ist. Als Carbidbildner kommen i. Allg. Ti oder Nb in Betracht. Ferritische nichtrostende St
hle sind durch niedrige Kohlenstoffgehalte bis hchstens 0,08% gekennzeichnet und enthalten zwischen 12 und 30% Cr. Mit zunehmendem Chromgehalt neigen sie bei Temperaturen zwischen rund 500 C und 900 C zur Ausscheidung der Sigmaphase, die eine deutliche Minderung der Z
higkeit bewirkt. Zufriedenstellende Z
higkeitswerte sind durch Glhen bei Temperaturen oberhalb des Ausscheidungsbereiches der Sigmaphase mit anschließender rascher Abkhlung an Luft erreichbar. Sie werden deshalb in Erzeugnisdicken nur bis rund 25 mm geliefert. Bei Erw
rmung ber 950 C neigen sie zu Grobkornbildung mit entsprechender Minderung der Z
higkeit. Zur Begrenzung dieses Effektes beim Schweißen muss das W
rmeeinbringen mglichst klein gehalten werden. Stabilisierte St
hle sind weniger anf
llig. Die martensitischen nichtrostenden St
hle enthalten i. Allg. 0,08 bis 1% C. Sie werden wie Vergtungsst
hle w
rmebehandelt. Anlasstemperaturen im Bereich zwischen 400 und 600 C mssen jedoch vermieden werden, da in diesem Temperaturbereich Carbide mit besonders hohem Anteil an Chrom entstehen. Die dadurch verursachte Chromverarmung des Mischkristalls mindert den Korrosionswiderstand. Die nicht schweißgeeigneten Sorten mit mehr als rund 0,25% C werden verwendet, wenn es auf hohe Werte der Festigkeit und vor allem der H
rte ankommt. Sie werden bei Temperaturen im Bereich zwischen 200 C und 350 C angelassen und weisen in diesem Zustand die optimale Korrosionsbest
ndigkeit auf. Ein vorangehendes Abkhlen auf tiefe Temperaturen, z. B. in Eiswasser, kann zur Umwandlung von Restaustenit in Martensit und hheren Werten der H
rte nach dem Anlassen fhren. Nickelmartensitische St
hle haben einen besonders niedrigen Kohlenstoffgehalt von hchstens 0,06%, jedoch 3,5 bis 6% Ni (z. B. X4CrNi13-4 oder X4CrNiMo16-5). Beim Anlassen zwischen 500 und 600 C bildet sich ein weichmartensitisches Gefge mit hoher Festigkeit und Z
higkeit. Auf Grund des guten Z
higkeitsverhaltens haben sich diese Stahlsorten bei

Eisenwerkstoffe

E 43

wechselnden mechanischen Beanspruchungen gut bew
hrt. Sie sind schweißgeeignet und eignen sich zur Herstellung auch sehr dickwandiger Bauteile. Nickelmartensitische nichtrostende St
hle lassen sich bei 400 C bis 600 C durch intermetallische Phasen aush
rten (z. B. X8CrNiMoAl15-7-2). Standardm
ßig genutzt wird die Aush
rtung mit Aluminium und Kupfer. Nach einer mehrstufigen W
rmebehandlung knnen Mindestwerte der 0,2%Dehngrenze bis rund 1200 MPa bei Mindestwerten der Bruchdehnung von rund 10% erreicht werden. Den mengenm
ßig grßten Anteil am Verbrauch nichtrostender St
hle haben die austenitischen Chrom-Nickel- und Chrom-Nickel-Molybd
n-St
hle, deren chemische Zusammensetzung den jeweils erwarteten Korrosionsbedingungen in weiten Grenzen angepasst werden kann. Sie sind im lsungsgeglhten und abgeschreckten Zustand bis zu großen Erzeugnisdicken lieferbar. Mehr als 2% Mo tragen wesentlich zur Verbesserung der Korrosionsbest
ndigkeit, insbesondere des Widerstandes gegen selektive Korrosionsarten, bei. Die festigkeitssteigernde Wirkung des Molybd
ns hat demgegenber nur geringe Bedeutung. Kennzeichnende Mindestwerte der 0,2%-Dehngrenze der nichtrostenden austenitischen St
hle liegen im Bereich knapp ber 200 MPa, bei kaltgewalztem Band in Dicken bis 6 mm 20 MPa hher. Bis rund 5% Mo sind die St
hle gut schweißgeeignet. Zur Vermeidung der beim Schweißen entstehenden Warmrisse im Schweißgut sind geringe Deltaferritgehalte vorteilhaft, die sich allerdings in manchen Medien ungnstig auf die Korrosionsbest
ndigkeit auswirken. Wenn zur Unterdrckung der Anf
lligkeit gegen interkristalline Korrosion der Kohlenstoffgehalt abgesenkt wird, muss durch hhere Nickelgehalte eine ausreichende Stabilit
t des austenitischen Gefges sichergestellt werden. Alternativ kann der Kohlenstoff durch Stickstoff ersetzt werden. Stickstoff bewirkt nicht nur eine Verringerung der Deltaferritgehalte und eine grßere Stabilit
t des austenitischen Gefges. Er steigert auch die Werte der 0,2%-Dehngrenze im Mittel um rund 50 MPa. Nichtrostende ferritisch-austenitische St
hle (z. B. X2CrNiMoN22-5-3) sind durch ein Gefge gekennzeichnet, das aus ann
hernd gleichen Anteilen von Ferrit und Austenit besteht. Sie haben ungef
hr doppelt so hohe Werte der 0,2%-Dehngrenze wie die ferritischen und austenitischen nichtrostenden Stahlsorten. Im lsungsgeglhten und abgeschreckten Zustand weisen sie gute Z
higkeitseigenschaften auf. Ein Zusatz von Stickstoff verzgert die Mechanismen, die zur Ausscheidung der Sigmaphase fhren, und ermglicht dadurch die Erzeugung auch dickerer Querschnitte. Molybd
n, insbesondere in Verbindung mit hheren Chromgehalten, erhht die Best
ndigkeit gegen Lochkorrosion und andere selektive Korrosionsarten. Unter Bedingungen der Spannungsrisskorrosion in chloridhaltigen Medien, z. B. in Meerwasser, oder organischen S
uren haben sich die ferritisch-austenitischen St
hle bew
hrt. Außerdem besitzen sie eine gute Verschleißbest
ndigkeit bei korrosivem Angriff. Die hohe Lslichkeit des Kohlenstoffs im austenitischen Gefgeanteil verhindert bei schneller Abkhlung die Ausscheidung von Chromkarbiden an den Korngrenzen. Die Anf
lligkeit fr interkristalline Korrosion ist deshalb gering. Mit Rcksicht auf andere Ausscheidungsvorg
nge muss beim Schweißen dennoch auf ein mglichst geringes W
rmeeinbringen geachtet werden. Nichtrostende St
hle sind i. Allg. schwer zerspanbar. Der fr Automatenst
hle kennzeichnende hohe Schwefelgehalt von 0,15 bis 0,35% verschlechtert jedoch den Korrosionswiderstand. In den maßgeblichen Normen fr nichtrostende St
hle wird deshalb fr spanend zu bearbeitende Erzeugnisse aus einer großen Zahl nichtrostender St
hle ein kontrollierter Schwefelgehalt von 0,015 bis 0,030% empfohlen und zugelassen.

E

E 44

E

Werkstofftechnik – 3 Eigenschaften und Verwendung der Werkstoffe

Kaltz
he St
hle. Als kaltz
h werden St
hle bezeichnet, die zur Herstellung von Bauteilen fr Betriebstemperaturen im Bereich zwischen 0 C und etwa –270 C geeignet sind. Das Hauptanwendungsgebiet ist die K
ltetechnik zur Herstellung und Lagerung sowie fr den Transport flssiger Gase. In den meisten F
llen sind die Bauteile einer Beanspruchung durch Innendruck ausgesetzt. Die in Betracht kommenden St
hle mssen deshalb als Druckbeh
lterst
hle qualifiziert sein oder, soweit der Tankbau betroffen ist, zur Verwendung im Tankbau zugelassen sein. Neben zufrieden stellenden Festigkeitskennwerten und guter Schweißeignung wird von den kaltz
hen St
hlen vor allem ein gutes Z
higkeitsverhalten auch noch bei der tiefsten Betriebstemperatur verlangt. Da bei schlagartiger Beanspruchung mit Spannungsspitzen oberhalb der Streckgrenze die Gefahr des Versagens durch verformungsarme Brche besonders groß ist, wird blicherweise die Kerbschlagarbeit als Merkmal des Z
higkeitsverhaltens gew
hlt. Im Allgemeinen wird verlangt, dass die Kerbschlagarbeit bei der tiefsten Betriebstemperatur des Bauteils den Wert 27 J nicht unterschreitet. Gelegentlich werden in den einschl
gigen Regelwerken fr die Bauausfhrung in Abh
ngigkeit vom Risikopotenzial hhere Forderungen gestellt. Maßgebendes Kriterium fr die Stahlauswahl ist die tiefste zul
ssige Anwendungstemperatur, die sich fr die einzelnen St
hle aus der Abh
ngigkeit der Mindestwerte der Kerbschlagarbeit von der Prftemperatur ergibt. Bild 7 veranschaulicht die Reichweite der Anwendungstemperaturbereiche in der K
ltetechnik auf der Grundlage des Mindestwertes der Kerbschlagarbeit 27 J. Der Anwendungsbereich der ferritischen St
hle reicht bis –196 C. Bei noch tieferen Temperaturen werden nur noch austenitische St
hle eingesetzt. Die kaltz
hen ferritischen St
hle zeichnen sich durch besonders niedrige Hchstgehalte an Phosphor und Schwefel aus, sind berwiegend mit Nickel legiert und enthalten geringe Anteile von Carbildnern zur Frderung der Ausbildung eines gleichm
ßig feinkrnigen Gefges. Bei den normalgeglhten St
hlen dominiert die Wirkung von Reinheitsgrad und Feinkrnigkeit. Bei den vergtbaren St
hlen frdern Nickelgehalte von rund 1,5% bis 9% die Bildung von Fe-Ni-Mischkristallen, die den Steilabfall des Z
higkeitsverhaltens mildern und zu tieferen Temperaturen verschieben.

Bei St
hlen mit austenitischem Gefge wird i. Allg. bis rund –200 C keine wesentliche nderung des Z
higkeitsverhaltens beobachtet. Fr –196 C ist in den einschl
gigen Normen der gleiche Mindestwert der Kerbschlagarbeit festgelegt wie fr Raumtemperatur. Wird der Mindestwert von 60 J bei –196 C an ISO-V-Querproben nachgewiesen, wird erwartet, dass der im Hinblick auf die Bauteilsicherheit fr erforderlich gehaltene Mindestwert von 27 J auch bei noch tieferen Temperaturen bis zu Siedetemperatur des flssigen Heliums nicht unterschritten wird. Alle kaltz
hen Stahlsorten sind gut schweißgeeignet. Kritisch kann die Wahl des Schweißzusatzes sein, da das Schweißgut hinsichtlich Streckgrenze bzw. 0,2%-Dehngrenze und Kerbschlagarbeit den gleichen Forderungen unterliegt wie der Grundwerkstoff. St
hle und Legierungen fr den Einsatz bei erhhten und hohen Temperaturen Warmfeste und hochwarmfeste St
hle und Legierungen. Warmfeste und hochwarmfeste St
hle und Legierungen werden fr Bauteile gebraucht, die gleichzeitig hohen mechanischen und thermischen Beanspruchungen standhalten mssen. Sie werden vor allem in der Energietechnik und fr Reaktoren der chemischen Industrie eingesetzt. Kesselrohre, W
rmetauscher, Turbinenschaufeln in Dampf- und Gasturbinen sowie Turbinenwellen und Schrauben sind Beispiele fr die Vielfalt der Bauteile, die in sehr unterschiedlichen Wanddicken vorkommen. Ebenso vielf
ltig sind die Forderungen, die an solche St
hle gestellt werden. An erster Stelle der Forderungen stehen hohe Werte der Warmfestigkeit. In dem in E 1 Bild 6 definierten Bereich der erhhten Temperaturen sind die im Warmzugversuch ermittelten Kennwerte Rm oder Rp 0;2 maßgebend. Im Kriechbereich, d. h. im Bereich „hoher“ Temperaturen, sind die im Zeitstandversuch ermittelten Festigkeitskennwerte entscheidend, z. B. die 100 000-h-Zeitstandfestigkeit. Bei den Schraubenst
hlen steht der Widerstand gegen Relaxation im Vordergrund. Fast immer besteht bei warmgehenden Anlagen ein erhhtes Sicherheitsrisiko. Deshalb mssen sich die St
hle im gesamten durchfahrenen Temperaturbereich von Raumtemperatur bis zur hchsten Betriebstemperatur ausreichend z
h verhalten, damit unvorhergesehene, rtlich auftretende Spannungsspitzen durch Span-

Bild 7. Anwendungsbereiche einiger kaltz
her Stahlsorten in der K
ltetechnik bei einem fr die Bauteilsicherheit geforderten Mindestwert der Kerbschlagarbeit (ISO-V Querproben) von 27 J bei der niedrigsten Bauteiltemperatur

I3.1 nungsumlagerung abgebaut werden k
nnen. Um bei Temperaturwechseln thermisch bedingte Zusatzspannungen vor allem in dickwandigen Komponenten niedrig zu halten, werden niedrige Werte des Wrmeausdehnungskoeffizienten und hohe Werte der Wrmeleitfhigkeit verlangt. Sthle fr den Behlter- und Kesselbau mssen schweißgeeignet sein. In vielen Fllen ist ausreichender Widerstand gegen Verzunderung und Korrosion notwendig, sofern nicht andere Schutzmaßnahmen m
glich sind. Ferritische warmfeste St
hle. Unlegierte warmfeste Sthle, auch solche mit Mangangehalten bis 1,5%, haben so niedrige Werte der Zeitstandfestigkeit, dass sich ihre Verwendung nur in dem Temperaturbereich lohnt, in dem die Mindestwerte der 0,2%-Dehngrenze als Berechnungskennwert benutzt werden, also nur bis rund 400 C. Sie haben dennoch breite Anwendung gefunden fr einfache Dampfkessel, z. B. zur Heißdampfversorgung von Gewerbebetrieben. Hinsichtlich Verarbeitbarkeit, Zhigkeit und Schweißeignung bieten sie gegenber anderen warmfesten Sthlen erhebliche Vorteile. Fr h
here mechanische Beanspruchungen im gleichen Temperaturbereich stehen spezielle warmfeste Feinkornbausthle zur Verfgung, die berwiegend mit Mo und Ni legiert sind. Besonders bekannt geworden ist der Stahl 15NiCuMoNb5-6-4, der auf Grund seiner hohen Streckgrenzenwerte bis rund 400 C auch fr bestimmte Komponenten von Hochleistungsdampfkesseln eingesetzt wird. Der Nickelgehalt verleiht diesem Stahl eine gute Zhigkeit, whrend Cu, Mo und Nb zur Aushrtung beitragen. Um h
here Werte der Zeitstandfestigkeit zu erreichen, werden legierungstechnische Maßnahmen zur Mischkristallverfestigung und Aushrtung angewendet. Die strkste Wirkung hat Molybdn schon in Gehalten bis 0,5%. Chrom fr sich allein bewirkt wenig, verstrkt jedoch die Wirkung des Molybdns. Die Legierungszusammensetzung und eine dem Ausscheidungsverhalten angepasste Wrmebehandlung sind entscheidend fr Art, Menge und Verteilung der entstehenden Carbide. Gnstig sind die kohlenstoffreicheren Carbide, whrend die kohlenstoffrmeren Carbide bei langzeitiger thermischer Beanspruchung zur Koagulation neigen und dadurch ihre festigkeitssteigernde Wirkung verlieren. Vorteilhaft ist die Verbesserung der Zunderbestndigkeit durch Chrom. Oberhalb rund 550 C k
nnen chromarme Sthle aufgrund der schnell zunehmenden Verzunderungsgeschwindigkeit in oxidierender Atmosphre nicht mehr verwendet werden. Niob

Eisenwerkstoffe

E 45

und Vanadium fhren zur Ausscheidung fein verteilter, thermisch besonders stabiler Carbide und k
nnen die Zeitstandfestigkeit erheblich steigern. Sie werden jedoch nur in Verbindung mit anderen Legierungselementen verwendet, da sonst schon bei berschreiten sehr niedriger Grenzgehalte mit einer empfindlichen Abnahme des Zhigkeitsverhaltens insbesondere der Wrmeeinflusszone von Schweißnhten gerechnet werden muss. Molybdnsthle (16Mo3) und CrMoSthle (13CrMo4-5 oder 10CrMo9-10) haben sich vor allem im Kesselbau bewhrt. Vanadiumlegierte CrMoV-Sthle mit 1% Cr werden bevorzugt fr Schmiedestcke (30CrMoNiV511) und Schrauben (21CrMoV4-7) des Turbinenbaus eingesetzt, bei denen die Schweißeignung von untergeordneter Bedeutung ist. Der Nickelgehalt der Schmiedesthle f
rdert die Durchhrtbarkeit und Zhigkeit. Erh
hte Nickelgehalte bis rund 4%, z. B. fr Rotorwellen sehr großer Durchmesser (26NiCrMoV14-5), setzen jedoch die Zeitstandfestigkeit deutlich herab. Die h
chsten Werte der Zeitstandfestigkeit ferritischer Sthle im Bereich um 600 C werden mit martensitischen ChromMolybdn-Vanadin-Sthlen erreicht. Langjhrig bewhrt haben sich Sthle vom Typ X20CrMoV12-1 sowohl fr Kesselrohre wie auch fr schwere Schmiedestcke. Moderne martensitische Sthle vom Typ X10CrMoVNb9-1, gelegentlich auch mit Wolfram und weiteren Elementen legiert, erreichen bei 600 C Werte der 100 000-h-Zeitstandfestigkeit von rund 100 MPa (Bild 8). Aufgrund der niedrigeren Gehalte an Kohlenstoff und Chrom wird ihre Schweißeignung gnstiger beurteilt. Je nach Legierungsgehalt und Wrmebehandlungsdurchmesser werden Erzeugnisse aus warmfesten ferritischen Sthlen im normalgeglhten, normalgeglhten und angelassenen, im luftvergteten oder im flssigkeitsvergteten Zustand geliefert. Austenitische warmfeste St
hle. Bei Temperaturen oberhalb rund 570 C beginnt der Anwendungsbereich der austenitischen Sthle. Entscheidend fr die hohe Zeitstandfestigkeit dieser Sthle ist der Kriechwiderstand des austenitischen Gefges. Anders als bei den nichtrostenden austenitischen Sthlen, bei denen das wichtigste Ziel ein hoher Korrosionswiderstand ist, muss die chemische Zusammensetzung der warmfesten austenitischen Sthle vorrangig darauf ausgerichtet sein, dem austenitischen Gefge eine hohe thermische Stabilitt zu geben. Kennzeichnend fr die warmfesten Sorten, z. B.

Bild 8. Vergleich einiger hochwarmfester ferritischer und austenitischer Sthle anhand der Werte der 0,2%-Dehngrenze und der 100 000-h-Zeitstandfestigkeit nach Angaben in DIN EN-Normen

E

E 46

E

Werkstofftechnik – 3 Eigenschaften und Verwendung der Werkstoffe

X8CrNiNb16-13, sind die im Vergleich zu den
quivalenten nichtrostenden Sorten, z. B. X6CrNiNb18-10, hheren Gehalte an Kohlenstoff und Nickel sowie der niedrigere Chromgehalt. Durch diese Maßnahme wird ein Verlust an Z
higkeit infolge der Bildung von Sigmaphase im Laufe der Betriebsdauer bei hohen Temperaturen verzgert und eingeschr
nkt. Zur Verbesserung der Best
ndigkeit gegen interkristalline Korrosion kann ein Teil des Kohlenstoffs durch Stickstoff ersetzt werden. Ebenso wie bei den ferritischen St
hlen wird auch bei den austenitischen St
hlen die Aush
rtung zur Steigerung der Zeitstandfestigkeit genutzt. Die zur Aush
rtung fhrenden Reaktionen sind jedoch von anderer Art. Bei den warmfesten austenitischen St
hlen wird die Aush
rtung bewirkt durch die Ausscheidung intermetallischer Phasen, an denen Molybd
n und Wolfram beteiligt sind, sowie durch die Ausscheidung thermisch stabiler Niobcarbide oder Niob-Vanadium-Carbonitride. Borzus
tze tragen zur Verfestigung bei, indem sie die Bildung von Ausscheidungen im Bereich der Korngrenzen behindern und der Neigung zur Zeitstandkerbempfindlichkeit entgegenwirken. Bei sehr hohen Gehalten an Nickel, z. B. X8NiCrAlTi32-21, sowie bei Nickellegierungen wird bei ausreichenden Gehalten an Titan und Aluminium eine auch noch bei hohen Temperaturen wirksame Aush
rtung durch die g0 -Phase Ni3 (Al,Ti) erreicht. Cobalt erhht die Rekristallisationstemperatur und das Lsungsvermgen des Austenits fr Kohlenstoff bei Lsungsglhtemperatur. Der hhere Kohlenstoffgehalt des lsungsgeglhten Austenits kobalthaltiger St
hle verst
rkt die Langzeitwirkung der Carbidausscheidung bei Betriebstemperatur und fhrt zu hohen Werten der Zeitstandfestigkeit bis rund 800 C, z. B. X40CrNiCoNb17-13 fr Gasturbinenscheiben und X12CrNiCo21-20 fr hochbeanspruchte Auslassventile von Verbrennungskraftmaschinen. Die warmfesten austenitischen St
hle werden blicherweise im lsungsgeglhten und abgeschreckten Zustand verwendet. Nur bei wenigen Sorten wird die Aush
rtung vor der Inbetriebnahme herbeigefhrt. Eine besondere Maßnahme ist das Warmkaltumformen unterhalb der Rekristallisationstemperatur, das bei einigen Stahlsorten, z. B. X8CrNiMoB1616+HC, sehr wirkungsvoll zur Steigerung der Zeitstandfestigkeit bis rund 700 C genutzt wird. Nickel- und Kobaltlegierungen. Bei Temperaturen von 700 C und mehr werden hochwarmfeste Nickel- oder Kobaltlegierungen eingesetzt. Nickellegierungen mit Kohlenstoffgehalten sy sein oder sy ¼ sM > sB . Im Druckversuch DIN EN ISO 604 werden Kennwerte unter einachsiger, quasistatischer Druckbeanspruchung ermittelt. Probekrper sind so zu whlen, dass keine Knickung auftritt. Kennwerte (Festigkeiten in MPa, Verformungen in %): sðcÞy sðcÞM sðcÞB sðxÞ ecy ecM ecB

Druckfließspannung Druckfestigkeit Druckspannung bei Bruch Druckspannung bei x% Stauchung Fließstauchung Stauchung bei Druckfestigkeit nominelle Stauchung bei Bruch

E

E 74

Werkstofftechnik – 4 Kunststoffe

Anmerkung: In DIN EN ISO 604 ist bei den Festigkeitskennwerten kein Index „c“ vorgesehen, im Gegensatz zu den Dehnungskennwerten; um Verwechslungen mit Kennwerten aus dem Zugversuch zu vermeiden, wird hier das Index „c“ in Klammern gesetzt.

Im Biegeversuch DIN EN ISO 178 werden die Kennwerte bei Dreipunktbiegebeanspruchung ermittelt. Kennwerte (Festigkeiten in MPa, Verformungen in %):

E

sfM sfB sfc efM efB sc

Biegefestigkeit Biegespannung beim Bruch Biegespannung bei konventioneller Durchbiegung sc Biegedehnung bei Biegefestigkeit Biegedehnung beim Bruch konventionelle Durchbiegung sc ¼ 1; 5
h ðentspricht 3; 5% RandfaserdehnungÞ

Die Ermittlung des Elastizit
tsmoduls E erfolgt im Zug-, Druck- oder Biegeversuch. Da aber bei Kunststoffen mit wenigen Ausnahmen i. Allg. keine eindeutige Hookesche Gerade vorliegt, wird nach DIN EN ISO 527, DIN EN ISO 604 und DIN EN ISO 178 ein Sekantenmodul f
r die Dehnungen e1 ¼ 0;05% und e2 ¼ 0;25% ermittelt. Die Bestimmung des Elastizit
tsmoduls Et erfolgt im Zugversuch nach DIN EN ISO 527, Ec im Druckversuch nach DIN EN ISO 604 und Ef im Biegeversuch nach DIN EN ISO 178. Der Elastizittsmodul wird als Sekantenmodul ermittelt; entsprechend Bild 2 gilt dann f
r den Zugversuch: Et ¼ ðs2  s1 Þ=ðe2  e1 Þ: Die Hrte von Kunststoffen wird im Kugeldruckversuch DIN EN ISO 2039-1 oder bei weichgemachten Kunststoffen und Elastomeren nach Shore A oder D in DIN EN ISO 868 (ISO 7619) bestimmt, der internationale Gummihrtegrad IRHD nach ISO 48. Die Rockwellh
rte an Kunststoffen wird nach DIN EN ISO 2039-2 bestimmt. Kennwerte: Kugeldruckhrte H in N/mm2 nach 30 s Pr
fzeit, Shore A- oder Shore D-Hrte nach 3 s Pr
fzeit; Rockwell-

hrte 15 s nach Wegnahme der Pr
flast je nach Hrteskala (R, L, M oder E). In Schlag- bzw. Kerbschlagbiegeversuchen DIN EN ISO 179-1, DIN EN ISO 180 oder im Schlagzugversuch DIN EN ISO 8256 erhlt man, vor allem durch Pr
fung bei unterschiedlichen Temperaturen, eine Aussage
ber das Zh-/ Sprd-Verhalten bzw.
ber Zh-Sprd-bergnge. Die Kerbform (einfache V-Kerbe, Doppel-V-Kerbe) sowie die Art der Beanspruchung (beidseitige Auflage bei Charpyversuchen, bzw. einseitige Einspannung bei Izod-Versuchen) beeinflussen die Kennwerte sehr stark. Bei Charpy-Schlagversuchen nach DIN EN ISO 179 wird noch unterschieden zwischen schmalseitigem Schlag (Index „e“: edgewise) und breitseitigem Schlag (Index „f“: flatwise); es gibt außerdem 3 Kerbformen A (Kerbradius rN ¼ 0;25 mmÞ, B ðrN ¼ 1 mmÞ oder C ðrN ¼ 0;1 mmÞ und damit unterschiedlicher Kerbschrfe, aber gleichem Flankenwinkel von 45; Kerbtiefe 2 mm. DIN EN ISO 179–2 beschreibt die instrumentierte Schlagzhigkeitspr
fung. Kennwerte in kJ/m2: acU acN aiU aiN

Charpy-Schlagz
higkeit ungekerbt DIN EN ISO 179-1 Charpy-Schlagz
higkeit gekerbt DIN EN ISO 179-1 Izod-Schlagz
higkeit ungekerbt DIN EN ISO 180 Izod-Schlagz
higkeit gekerbt DIN EN ISO 180

Anmerkung: „N“ entspricht der Kerbform A, B oder C

Brechen Probekrper in Schlagbiegeversuchen auch mit schrfster Kerbe nicht, dann werden Schlagzugversuche nach DIN EN ISO 8256 durchgef
hrt. Im Zeitschwingversuch werden in Anlehnung an die metallischen Werkstoffe nach (DIN 50 100) Kennwerte bei dynamischer Beanspruchung ermittelt. Aus Whlerkurven f
r unterschiedliche Beanspruchungsverhltnisse (s. E 2.2) erhlt man ein Zeitschwingfestigkeits-Schaubild nach Smith. Da Kunststoffe i. Allg. keine Dauerschwingfestigkeit aufweisen, wird meistens die Zeitschwingfestigkeit f
r 107 Lastwechsel ermittelt. Außerdem darf wegen der Erwrmung die Pr
ffrequenz hchstens 10 Hz betragen. Kennwerte (in MPa): sWð107 Þ sSchð107 Þ

Zeitwechselfestigkeit fr 107 Lastwechsel, Zeitschwellfestigkeit fr 107 Lastwechsel:

Im Zeitstandversuch DIN EN ISO 899 als Retardationsversuch werden bei konstanter Belastung Zeitdehnlinien e=f(t) aufgenommen. Daraus ermittelt man das Zeitstandschaubild s=f(t) und erhlt dann isochrone Spannungs-Dehnungs-Diagramme s=f(e). Aus dem isochronen Spannungs-DehnungsDiagramm (Bild 3) werden die Kennwerte ermittelt (in MPa): et se, t

sB; t

Etc ðtÞ

Bild 2. Zugspannungs-Dehnungs-Diagramme. 1 sprde Kunststoffe, z. B. PS, SAN, Duroplaste (sM ¼ sB ), 2 zhe Kunststoffe, z. B. PC, ABS (sM > sy oder sM ¼ sy ), 3 verstreckbare Kunststoffe, z. B. PA, PE, PP (sM ¼ sy > sB ), 4 weichgemachte Kunststoffe, z. B. PVC-P (sM ¼ sB ; sy nicht vorhanden), 5 dehnbarer Kunststoff mit eB > 50%; Bestimmung von s50

Kriechdehnung Kriechdehnspannung ðz: B: bedeutet s2=1000 die Spannung s, die nach 1000 h zu einer Dehnung e ¼ 2% fhrtÞ Zeitstandfestigkeit ðz: B: bedeutet sB=10 000 die Spannung s; die nach t ¼ 10 000 h zum Bruch fhrtÞ Kriechmodul

Die Kriechmoduln sind abhngig von der Spannung, der Zeit, und selbstverstndlich der Temperatur. Heute werden die Kriechmoduln meist f
r Spannungen ermittelt, die zu Dehnungen e  0,5% f
hren. Elektrische Eigenschaften Elektrische Spannungs- und Widerstandswerte werden hauptschlich nach IEC 60 093, IEC 60 167 und IEC 60 243 ermittelt:

I4.9

Pr
fung von Kunststoffen

E 75

E

Bild 3 a–c. Versuchsergebnisse aus Zeitstandversuchen. a Kriechkurven e=f(t), Parameter Spannung s; b Zeitstandschaubild s=f(t), Parameter Dehnung e; c isochrone Spannungs-Dehnungs-Diagramme s=f(e), Parameter Zeit t, 1 Kurzzeitversuch

UD EB R r s

Durchschlagspannung in V Durchschlagfestigkeit in kV=mm Widerstandswerte in W ðDurchgangs-, Oberfl
chenwiderstandÞ spezifischer Durchgangswiderstand in W
m spezifischer Oberfl
chenwiderstand in W:

Dielektrische Eigenschaftswerte werden nach IEC 60 250 und IEC 60 377 ermittelt: relative Dielektrizit
tszahl er tan d dieleketrischer Verlustfaktor: Kriechwegbildung bzw. Kriechstromfestigkeit werden nach IEC 60 112 und IEC 60 587 ermittelt: CTI PTI

Vergleichszahl der Kriechwegbildung Prfzahl der Kriechwegbildung:

Thermische Eigenschaften Kunststoffe als organische Werkstoffe sind sehr stark temperaturabhngig. Außerdem haben sie geringere Wrmeleitfhigkeit l und gr
ßere thermische Lngenausdehnungskoeffizienten a. Als Kennwerte, die aber keine Aussage
ber die tatschlichen Temperaturbeanspruchbarkeit machen und i. Allg. nur als Vergleichswerte dienen, werden ermittelt: Tf Wrmeformbestndigkeitstemperatur nach DIN EN ISO 75, VST/A(B) Vicat-Erweichungstemperatur nach DIN EN ISO 306, Verfahren A (B). In Tabellenwerken werden oft Gebrauchstemperaturbereiche angegeben, die aber meist nur f
r geringe Belastungen gelten. Eine weitere Charakterisierungsmglichkeit von Kunststoffen bietet die Aufnahme von Schubmodul-Temperatur-Kurven aus dem Torsionsschwingungsversuch DIN EN ISO 6721, ISO 537. Chemische Eigenschaften Die chemische Bestndigkeit der Kunststoffe hngt von ihrem Aufbau ab. Duroplaste sind wegen der chemischen Vernetzung weitgehend bestndig gegen chemischen Angriff. Bei Thermoplasten sollte f
r jeden Kunststoff gepr
ft werden, ob er gegen
ber den wirkenden Chemikalien bestndig ist. Die Rohstoffhersteller liefern Tabellen, in denen das Verhalten

der Kunststoffe gegen Chemikalien auch bei unterschiedlichen Temperaturen enthalten ist. Eine Besonderheit bei Kunststoffen ist die Spannungsrissbildung bei gleichzeitigem Einwirken von Eigen-, Montageoder Betriebsspannungen und chemischen Agenzien. Es zeigen sich dabei mehr oder weniger gut erkennbare Risse, die sich
ber ausgeprgte Rissbildung bis zum totalen Bruch weiterentwickeln knnen. Spannungsrissuntersuchungen knnen im Kugeleindruckverfahren (DIN EN ISO 4600), Biegestreifenverfahren (DIN EN ISO 4599) oder Zeitstandzugversuch (DIN EN ISO 6252) erfolgen. Verarbeitungstechnische Eigenschaften Zur Beurteilung des Fließverhaltens von Thermoplasten wird die Schmelze-Massefließrate (Schmelzindex) MFR (g/ 10 min) oder die Schmelze-Volumenfließrate (Volumenfließindex) MVR (cm3 /10 min) nach DIN EN ISO 1133 bestimmt. Außerdem ist die Viskosittszahl VN (oder VZ bzw. J) f
r die Lsungen thermoplastischer Kunststoffe (z. B. nach DIN EN ISO 307 f
r Polyamide) eine verarbeitungstechnische Kenngrße. Schdigungen der Kunststoffe beim Verarbeiten zeigen sich in der nderung dieser Eigenschaften. Bei duroplastischen Formmassen gibt die Becherschließzeit nach DIN 53 465 Aussagen
ber das Fließverhalten und DIN 53 764
ber das Fließ-Hrtungsverhalten; DIN EN ISO 12 114 und DIN EN ISO 12 115 f
r faserverstrkte Formmassen. Beim Entwurf von Kunststoff-Formteilen und den notwendigen Werkzeugen ist das Schwindungsverhalten der Kunststoffe von Bedeutung. Die Schwindung wirkt sich auf die Abmessungen und Toleranzen der Formteile aus. Die Verarbeitungsschwindung SM (frher: VS) ist fertigungsbedingt und wird nach DIN EN ISO 294-4 ermittelt; sie hngt vom Kunststoff (amorph, teilkristallin, gef
llt) ab und von den Verarbeitungsparametern (Drucke, Temperaturen), sowie der Gestalt der Formteile. Durch Nachkristallisationen bei teilkristallinen Kunststoffen, den Abbau innerer Spannungen und Nachhrtungseffekte bei Duroplasten tritt im Laufe der Zeit eine Nachschwindung SP auf, die hauptschlich werkstoff-, verarbeitungs- und umweltbedingt ist. Bei hheren Temperaturen kann die Nachschwindung beschleunigt, d. h. vorweggenom-

E 76

Werkstofftechnik – 4 Kunststoffe

men werden. Die Gesamtschwindung ST setzt sich aus der Verarbeitungsschwindung SM und der Nachschwindung SP zusammen, sie ist richtungsabh
ngig. Als Materialeingangprfungen fr Kunststoffrohstoffe spielen weiterhin Sch
ttdichte DIN EN ISO 60, Stopfdichte DIN EN ISO 61 sowie Rieselfhigkeit DIN EN ISO 6186 eine Rolle, außerdem der Feuchtegehalt und die Fl
chte (DIN EN ISO 960, DIN 53 713, DIN 53 715). Sonstige Pr
fungen

E

Bei Kunststoffen als organischen Kunststoffen ist das Brandverhalten von großer Bedeutung. Es gibt eine Vielzahl von Prfverfahren; die wichtigsten sind nachstehend aufgefhrt. Das Brandverhalten fester elektrotechnischer Isolierstoffe wird nach DIN EN 60 707 und DIN EN 60 695 ermittelt; es handelt sich um Prfverfahren zur Ermittlung der Entflammbarkeit und der Brandgefahr bei unterschiedlichen Anordnungen von Probestab und Zndquelle (Verfahren BH, FH oder FV). Sehr große Bedeutung haben die Brennbarkeitspr
fungen nach UL-Vorschrift 94. Die Kunststoffe werden dabei in Klassen eingeteilt, z. B. bei vertikaler Probenanordnung in Klasse 94 V-0 bis 94 V-2. In DIN EN 60 695-11-10 wird ebenfalls das Brandverhalten bestimmt. Die Farbbeurteilung nach unterschiedlichen Verfahren ist wichtig z. B. fr die Farbabmusterung und um mit Hilfe von bestimmten Lichtquellen A, C, D65 eine objektive Farbbeurteilung zu ermglichen. Es gibt RAL-Farbkarten; das gebr
uchlichste Farbbeschreibungssystem ist das CIE-Lab-System. In Bewitterungsversuchen (DIN 53 386, 53 508, 53 509, DIN EN ISO 4892, DIN EN ISO 846, 877) werden Abbauvorg
nge bei Kunststoffen durch Witterungseinflsse wie Sonnenstrahlung, Temperaturen, Niederschl
gen und Luftsauerstoff oder durch knstliches Bewittern untersucht. Solche Einflsse knnen zu einer starken (negativen) Beeinflussung der Gebrauchseigenschaften von Kunststoff-Formteilen fhren (z. B. Versprden). 4.9.2 Pr
fung von Fertigteilen Knnen aus Kunststoff-Fertigteilen entsprechende Probekrper entnommen werden, so sind Prfungen nach den in E 4.9.1 aufgefhrten Verfahren mglich. Man spricht dann von der Pr
fung des Formstoffs im Formteil. Die Prfergebnisse sind allerdings i. Allg. nur bedingt mit den an genormten Probekrpern ermittelten Kennwerten zu vergleichen. Interessanter ist es, das Fertigteil als komplettes Formteil zu prfen (DIN 53 760). Zerstrungsfreie Pr
fverfahren sind: Sichtkontrolle, Prfung des Formteilgewichts, Maßprfungen, spannungsoptische Untersuchungen (nur an durchsichtigen Formteilen). Zerstrende Pr
fungen sind: Warmlagerungsversuche (DIN 53 497, 53 498), Beurteilung des Spannungsrissverhaltens DIN EN ISO 4599, DIN EN ISO 4600, lichtmikroskopische Gefgeuntersuchungen an Dnnschnitten oder Dnnschliffen bei teilkristallinen Kunststoffen, Ermittlung von Fllstofforientierungen durch Auflichtbetrachtung von Schliffen, Best
ndigkeitsprfungen, Stoß- und Fallversuche DIN EN ISO 6603 oder aktive Fallversuche. Thermische Analysenverfahren (DSC, TGA, TMA) ermglichen Angaben ber richtigen Kunststoff und seine einwandfreie Verarbeitung; ebenso die IR-Spektroskopie und die GelPermeations-Chromatographie (GPC). Mit DSC, TGA und ermittelt man auch Glasbergangstemperaturen Tg , Kristallitschmelztemperaturen Tm , Glhrckstand, Schmelzw
rme und thermischen Abbau. Bei den zerstrenden Prfungen sind hchstens Stichprobenpr
fungen mglich, die dann nach den Regeln der Statistik ausgewertet werden.

Durch Gebrauchspr
fungen der gesamten Formteile bzw. Aggregate wird das Verhalten unter Betriebsbedingungen ermittelt. Zur Zeitraffung knnen einzelne Prfparameter gezielt erhht werden, wobei allerdings zu beachten ist, dass die Versagensart bei der beschleunigten Prfung der im praktischen Einsatz entspricht. Die entsprechenden Prfverfahren mit den Bedingungen sind zu vereinbaren. Heute wird angestrebt, die Fertigung so zu berwachen und zu regeln (Prozessberwachung), dass keine Prfungen der Fertigteile mehr notwendig sind, wenn die vorgeschriebenen Prozessparameter eingehalten werden (s. E 4.10).

4.10 Verarbeiten von Kunststoffen Die wichtigsten Verarbeitungsverfahren fr Kunststoffe und ihre Modifikationen werden nachstehend kurz beschrieben; weitere Informationen mit schematischen Skizzen s. a. S 2.3, Formgebung von Kunststoffen. Gegenber metallischen Werkstoffen werden Kunststoffe bei niedrigeren Temperaturen und damit energiesparender verarbeitet. Die Kunststoffe haben sich in allen Bereichen in den letzten Jahrzehnten durchgesetzt durch die Integrationsmglichkeiten verschiedener Funktionen (Multifunktionsteile wie Schnappverbindungen, Federelemente, Sandwichelemente) und das bei gleichzeitig geringerem Gewicht und ggf. elektrischer Isolation und gnstigen Rohstoffpreisen sowie vielf
ltigen Ver- und Bearbeitungsmglichkeiten. So knnen z. B. Formteile mit hoher Wirtschaftlichkeit bei deutlich geringeren Arbeitsschritten und hohem Rationalisierungseffekt hergestellt werden. Nahezu alle Verarbeitungsverfahren lassen sich sehr gut automatisieren und Formteile knnen in hohen Stckzahlen in reproduzierbarer Qualit
t gefertigt werden. Ein besonderer Vorteil liegt bei den Kunststoffen darin, dass sie in ihren Eigenschaften gezielt fr ein bestimmtes Anwendungsgebiet eingestellt werden knnen (Kunststoffe sind Werkstoffe nach Maß). Außer von der Charakteristik des einzelnen Kunststoffs h
ngt das Eigenschaftsbild u. a. noch wesentlich von den Verarbeitungsbedingungen ab. Deshalb kommt der Optimierung, Reproduzierung und Konstanz der Prozessparameter besondere Bedeutung zu (Qualit
tsmanagement). Fr technische Kunststoffe gibt es heute einen vernnftigen Werkstoff-Kreislauf (Recyclingtechniken). Im Wesentlichen lassen sich die Verarbeitungsverfahren von Kunststoffen in Urformen und Umformen einteilen. 4.10.1 Urformen von Kunststoffen Unter Urformen versteht man die direkte Formgebung von Fertigteilen und Halbzeugen aus dem Rohstoff, der z. B. als Formmasse (Granulat, Pulver, Schnitzel u. .) oder als flssiges Vorprodukt vorliegen kann (s. S 2.3). Spritzgießen. Das Spritzgießverfahren ist eine taktweise Fertigung, bei der Formteile berwiegend aus Formmassen (s. E 4.1) hergestellt werden. Die Formmassen werden im Plastifizierzylinder aufgeschmolzen und homogenisiert. Die Schmelze wird in der Regel durch die Vorw
rtsbewegung der Schnecke unter hohem Druck in das Formnest einer geteilten Stahlform eingespritzt (s. S 2.3.5 Bild 25). Thermoplastische Kunststoffe erstarren im Formnest durch Abkhlung. Duroplaste und Elastomere werden dagegen formstabil durch exotherme Vernetzungsreaktionen im Formnest. Sowohl komplizierte Kleinstteile (Federelemente, Zahnr
der) als auch großfl
chige Formteile (z. B. Stoßf
nger fr Pkw) lassen sich in hohen Stckzahlen in einem Arbeitsgang ohne bzw. mit geringer Nacharbeit wirtschaftlich herstellen. Besonders hervorzuheben ist die Mglichkeit, mehrere Funk-

I4.10 Verarbeiten von Kunststoffen tionen in einem Formteil integrieren zu k
nnen (Multifunktionalitt, z. B. Schnappverbindungen und Filmscharniere, Einlegeteile, Insert- bzw. Outserttechnik, Inmouldlabeling). Modernste Bearbeitungstechnik erm
glicht die Herstellung von funktionalen Oberflchen (Nanostrukturen, -technik); durch Abformung von Mottenaugenstrukturen lassen sich bei amorphen Kunststoffen Antireflexoberflchen und hohe Lichtdurchlssigkeit erreichen (Beamerlinsen, Solarzellenabdeckungen, Handydisplays); spezielle Variothermtechnik im Werkzeug notwendig. Die mechanischen Eigenschaften und die Fertigungsgenauigkeit spritzgegossener Formteile sind nicht nur vom jeweilig gewhlten Kunststoff und dessen Chargenkonstanz abhngig, sondern auch von der Formteilgestalt, Auslegung und Herstellungsqualitt des Werkzeugs sowie vom Verarbeitungsprozess. Die einzelnen Phasen beim Spritzgießen lassen sich anschaulich anhand des angussnahen Druckverlaufs im Formnest synchron mit dem Hydraulikdruckverlauf darstellen, Bild 4. Duroplastische Formmassen verarbeitet man meist auf den gleichen Spritzgießmaschinen wie thermoplastische Formmassen; angepasst werden mssen die Plastifiziereinheit und das Spritzgießwerkzeug. Eine nennenswerte Vernetzung der Formmasse im Zylinder ist zu vermeiden, um die Fließfhigkeit zu erhalten. Durch die verhltnismßig niedrige Viskositt der Schmelze beim Einspritzvorgang weisen duroplastische und elastomere Formteile meist h
here Gratbildung auf, die durch Nacharbeit beseitigt werden muss. In der Spritzgießverfahrenstechnik gibt es eine Vielzahl Sonderverfahren zur Herstellung spezieller Formteile. Die wichtigsten sind: Gasinjektionstechnik (GIT) und Wasserinjektionstechnik (WIT) zur Herstellung von Formteilen mit großen Querschnittsunterschieden, die im Innern Hohlrume enthalten (Griffe, Konsolen, Pedale). Beim Mehrkomponentenspritzgießen k
nnen z. B. Thermoplaste mit thermoplastisch verarbeitbaren Elastomeren TPE in speziellen Werkzeugen verarbeitet werden (Hart-Weich-Kombinationen wie Dichtelemente, Ventile, „griffige“ Schaltelemente, Haptikeffekt). Bei der Hinterspritztechnik werden z. B. textile Oberflchen auf Spritzgussteile beim Spritzgießen aufgebracht (Trverkleidungen im Automobilbau). Das Spritzpr
gen erm
glicht die Herstellung optischer Formteile (Linsen, CD) mit sehr prziser Oberflche. Formteile mit sonst nicht entformbaren, komplexen Innenkonturen werden mit Hilfe der Schmelzkerntechnik hergestellt.

E 77

Pressen und Spritzpressen. Bedeutung besitzt das Pressen (s. S 2.3.6 und S 2.3.7) bei Duroplasten und Elastomeren sowie bei der Herstellung von Schichtpressstoffen. Die Pressmasse (BMC, PMC) wird bei diesem Verfahren unter Druckund Wrmeeinwirkung plastisch und dabei der Werkzeughohlraum ausgefllt. Duroplastische pulverf
rmige Pressmassen werden meist tablettiert und mittels Hochfrequenz vorgewrmt. Demnach legt man die Tablette in das beheizte Werkzeug und fllt den Werkzeughohlraum durch den Pressdruck. Eventuell auftretende Gase entweichen durch eine WerkzeugEntlftungsbewegung. Nach weitgehender Vernetzung der Formmasse lsst sich das nun stabile heiße Formteil entnehmen. Whrend beim Formpressen die Formmasse direkt in den Hohlraum des Werkzeugs zwischen Stempel und Gesenk eingegeben wird, wird beim Spritzpressen die Masse zunchst in einem Fllraum erwrmt. Nach dem plastischen Erweichen presst man die Masse durch Spritzkanle in die Hohlrume der zuvor geschlossenen Form. Das Spritzpressen eignet sich besonders fr Mehrfachwerkzeuge. Beim Pressen von glasfaserverst
rkten Gießharzen werden die beiden Komponenten Glasfaserverstrkung und Harz/ Hrter-Gemisch als Prepregs (vorgetrnkte Glasfaserprodukte) oder einzeln in die Pressform gebracht. Fr großflchige Teile, z. B. Karosserieteile im Fahrzeugbau werden Polyester-Harzmatten (sog. UP-SMC-Prepregs) verwendet (SMC: Sheet Moulding Compound). Die Herstellung der Großteile erfolgt auf Unterdruck-Kurzhubpressen mit hydrostatisch gelagerter Aufspannplatte. Diese Pressen erm
glichen eine hohe Positioniergenauigkeit der Werkzeugteile. Glasmattenverst
rkte Thermoplaste (GMT) werden z. B. fr Untermotorraum-Steinschlagabdeckungen oder fr Saalbestuhlungen mit genarbter Oberflche eingesetzt. Als Matrix wird hufig Polypropylen mit ca. 30 Gew.-% Glasfaseranteil eingesetzt. Der Vorteil gegenber SMC ist eine h
here Schlagzhigkeit auch bei tieferen Temperaturen bei mittlerem E-Modul. Kalandrieren. Unter Kalandrieren wird in der Kunststoffund Kautschukverarbeitung das Ausformen bei der Verarbeitungstemperatur hochviskoser Mischungszubereitungen im Spalt zwischen zwei oder mehreren Walzen zur endlosen Bahn verstanden (s. S 2.3.3 Bild 24). Besondere Bedeutung hat das Kalandrieren bei der Herstellung von Folien und Platten aus Hart- und Weich-PVC (PVC-U, PVC-P). In der Kautschukverarbeitung werden Dachbelagsfolien, Bauisolierfo-

Bild 4. Synchrone Aufzeichnung von Werkzeuginnendruck (angussnah) und Hydraulikdruck, Nw Maß fr Nachdruckwirkung

E

E 78

Werkstofftechnik – 4 Kunststoffe

lien, Fußbodenbel
ge, Profile, Triebriemen, Transportb
nder und die Belegung von Reifencord nach dem Kalandrierverfahren hergestellt.

E

Extrudieren und Blasformen. Beim Extrudieren wird unter st
ndiger Rotation der Schnecke z. B. granulat- oder pulverfrmige Formmasse aus dem Flltrichter eingezogen und plastifiziert (s. S 2.3.2 Bild 23). Durch den aufgebauten Frderdruck drckt man die hochviskose Masse durch ein formgebendes Werkzeug. Vor dem Erstarren der Strangmasse wird noch kalibriert. Rohre, Profile, Schl
uche, B
nder, Tafeln, Folien und Drahtummantelungen lassen sich nach dem Extrusionsverfahren kontinuierlich herstellen. Zu einer Extrusionsstraße gehren im Wesentlichen Plastifizieranlage (Extruder), Profilwerkzeug, Kalibrierwerkzeug, Khlvorrichtung, Abzug und Stapelvorrichtung. Mit speziellen Reckprozessen nach dem Extrudieren knnen insbesondere hochfeste Fasern, Folien und B
nder hergestellt werden. Extrudierte Profile werden h
ufig in einer mit dem Extruder zusammengefassten zweiten Anlage weiterverarbeitet. Dazu gehrt insbesondere das Blasformen. Beim Extrusionsblasformen wird ein extrudierter Schlauch von einem Blaswerkzeug abgequetscht und mittels eines Blasdorns aufgeblasen, Bild 5. Diese Formteile weisen eine sichtbare Quetschnaht im Bodenbereich auf. Flaschen, Kanister, Heizltanks sind Beispiele, die nach diesem Verfahren produziert werden. Weitere h
ufig angewendete Verfahrenstechniken sind das Spritz- und Streckblasen zur Herstellung von Verpackungsteilen und PET-Flaschen. Herstellen von faserverst
rkten Formteilen. Glasfasern, Kohlenstoff-Fasern und auch synthetische Fasern, wie z. B. Aramid- und Polyethylenfasern, werden meist in eine duroplastische Matrix (Polyester-, Epoxid- oder Phenolharz) eingebettet. Neben Endlosfasern (Rovings) verwendet man auch fl
chige Halbzeuge wie Gewebe, Matten und Gelege. Beim Handlaminieren werden Matten bzw. Gewebe in eine Form, z. B. aus Holz, eingelegt. Die Tr
nkung der Fasermatten wird mit einem Pinsel vorgenommen und anschließend die Matte mit einer Laminierrolle verdichtet. Eine glatte Oberfl
che erreicht man durch Aufbringen einer unverst
rkten, gefllten Reinharzschicht (Gelcoat). Das Verfahren eignet sich zur Herstellung von Großteilen und Einzelstcken. Fr kleine bis mittlere Serien eignet sich das auch als automatisiertes Handlaminieren angesehene Faserspritzverfahren. Mit einer Faserspritzpistole werden Harz, H
rter, Beschleuniger und Kurzfasern mittels Druckluft auf die Form aufgebracht. Aus zugefhrten Endlosfasern lassen sich mit einem rotierenden Schneidwerk kontinuierlich Kurzfasern erzeugen. Anwendung finden hier ausschließlich Polyesterharze. Typische Bauteile sind Badewannen, Schwimmb
der, Beh
lter und Dachelemente. Hohlkrper aus faserverst
rkten Kunststoffen werden in einem weitgehend automatisierten Wickelverfahren hergestellt.

Dabei werden die Verst
rkungsfasern ber einen Kern gewickelt. Im Tr
nkbad werden die von der Schlichte verklebten Rovings aufgef
chert, mit Harz benetzt und in einer sog. Walkstrecke gut durchtr
nkt. Um Bauteile maximaler Festigkeit bei minimalem Eigengewicht herzustellen, mssen die Fasern mglichst exakt in der sp
teren Hauptbelastungsrichtung liegen und der Kern mglichst gleichm
ßig bedeckt werden. Der Roving wird auf der sog. geod
tischen Linie abgelegt (krzeste Verbindung zwischen zwei Punkten auf einer gekrmmten Oberfl
che). Sch
umverfahren. Im plastischen oder thermisch erweichten Zustand knnen Polymerwerkstoffe gesch
umt werden. Der Sch
umvorgang wird durch chemisch abgespaltene Gase, verdampfende Flssigkeiten oder Gaszusatz (chemische bzw. physikalische Treibmittel) unter Druck bewirkt (s. S 2.3.8). Prinzipiell lassen sich alle Kunststoffe versch
umen. Wichtige Kunststoffe sind expandierbares Polystyrol PS-E (z. B. Styropor) fr Verpackungs- und Isolationszwecke und Polyurethansch
ume als Hart- und Weichsch
ume fr leichte und steife Konstruktionen und Polsterzwecke. Gesch
umtes Polypropylen PP-E wird ebenfalls in der Verpackungstechnik eingesetzt. Der E-Modul gesch
umter Erzeugnisse nimmt ann
hernd proportional mit dem Feststoffgehalt ab, die Steifigkeit eines Werkstcks aber mit der dritten Potenz der Wanddicke zu; Bauteile mit poriger Struktur sind daher mehrfach steifer als massive Teile gleichen Gewichts. Sogenannte Struktur- oder Integralsch
ume besitzen eine inhomogene Dichteverteilung derart, dass der Schaumstoffkern kontinuierlich in eine dichte Außenhaut bergeht. In Bild 6 sind einige Anwendungsgebiete fr Sch
ume mit unterschiedlichen Raumgewichten aufgefhrt. Beim Thermoplastschaumguss (TSG) wird eine Formmasse mit geringen Mengen chemischer Treibmittel (z. B. Azodicarbonamid) im Spritzgussverfahren verarbeitet. Die mit Gas beladene Thermoplastschmelze sch
umt im nicht vollst
ndig gefllten Formnest auf. Die Außenhaut ist dabei weitgehend kompakt. Anwendung findet dieses TSG-Verfahren z. B. bei der Imitation von Holz in der Mbelindustrie. Weitere Verfahren sind das TSE-Extrusions- und TSB-Hohlkrperblasverfahren, MuCell-Verfahren nach Trexel. Reaktionsschaumguss (RSG) auch als RIM (Reaction-Injection-Moulding) bezeichnet wird nach folgenden Verfahrensschritten hergestellt: Dosieren der Reaktionspartner, Mischen, Einspritzen in die Werkzeugkavit
t, Reaktion in der Kavit
t unter Bildung des gesch
umten Formteils, Formteilentnahme. Ausgangsstoffe fr die Polyurethan-Schaumstoffe (PUR) sind Diisocyanate und Polyhydroxylverbindungen (Polyole). Verst
rkte PUR-Strukturschaumstoff-Erzeugnisse werden im RRIM-(Reinforced Reaction-Injection-Moulding-)Verfahren gefertigt. Auch SMC-Harzmatten und BMC-Formmassen lassen sich durch mikroverkapselte physikalische Treibmittel aufsch
umen.

4.10.2 Umformen von Kunststoffen Unter Umformen versteht man die spanlose Formgebung von thermoplastischen Halbzeugen in Form von Folien, Platten und Rohren.

Bild 5. Extrusionsblasen (schematisch). 1 Extruder, 2 Trennmesser, 3 Werkzeug, 4 Luftzufuhr (Blasdorn)

Warmformen (Thermoformen) von Thermoplasten. Zum Warmformen wird thermoplastisches Halbzeug rasch und gleichm
ßig auf die Temperatur optimalen thermoelastischen Verhaltens aufgeheizt und mittels Vakuum, Druckluft bzw. mechanischer Kr
fte umgeformt und durch Abkhlung fixiert. Abgesehen von dem handwerklichen Warmformverfahren (Biegen, Ziehformen) arbeitet man meist mit automatisierten Thermoformmaschinen. Das Erw
rmen des in einem

I4.10 Verarbeiten von Kunststoffen

E 79

E

Bild 7 a, b. Vakuumformen. a Negativverfahren (Einsaugen in die Formhhlung), 1 Saugkan
le, 2 Vakuum; b Positivverfahren (mit Vakuum und mechanischem Vorstrecken)

Bild 6. Anwendungsgebiete fr Sch
ume mit unterschiedlichen Raumgewichten

Spannrahmen fest fixierten Halbzeugs erfolgt in der Regel mit Infrarot-Fl
chenstrahlern (Keramik- oder Quarzstrahler). Beim Warmformen unterscheidet man grunds
tzlich zwischen Negativ- und Positivverfahren, Bild 7. Bei der Negativformung wird das erw
rmte Halbzeug in den konkaven Formhohlraum gesaugt oder gedrckt, beim Positivformen auf ein Konvex-Modell (Positiv-Formkern) gesaugt. Die am Werkzeug anliegende Seite wird glatter und maßgenauer. Die Spanne der so hergestellten Teile reicht von Verpakkungsbeh
ltern bis hin zu Großformteilen wie Badewannen. Aus Tafeln werden meist großfl
chige Teile, wie z. B. Fassadenelemente, Sanit
rzellen, Container, Khlger
tegeh
use, wirtschaftlich warmgeformt. Außerdem ist dieses Verfahren bedeutend fr Automobilteile. Fr meist kleine und leichtgewichtige Teile wird die hautenge Skinverpackungsart eingesetzt. Hierbei wird das zu verpackende Gut auf heißsiegelf
higem Karton der erw
rmten Folie zugefhrt und diese mit Vakuum hauteng dem Gut angeformt. Bei der Blister-Packung wird das Packgut in durchsichtige vorgeformte Schalen gelegt und mit einer Kartongegenlage durch Heißsiegeln verbunden. Vorzugsweise werden die amorphen Thermoplaste PVC, PS, ABS, SB, SAN, PMMA, PC und die teilkristallinen Werkstoffe PP und PE aber auch Verbundfolien eingesetzt. 4.10.3 F
gen von Kunststoffen Schweißen. Werkstcke aus gleichen oder
hnlichen thermoplastischen Kunststoffen werden dadurch verschweißt, dass man im Schweißbereich die Kunststoffe auf die Temperatur des viskosen Fließens erw
rmt, zusammendrckt und die Verbindung unter Druck erkalten l
sst (DIN 1910-3, DIN 16 9601). Eine einwandfreie Verbindung setzt meist artgleiche Kunststoffe voraus, da eine vergleichbare Viskosit
t der Schweißpartner erforderlich ist. Warmgasschweißen W. Grund- und Zusatzwerkstoff werden durch Warmgas in den plastischen Zustand berfhrt und unter Druck verschweißt, Bild 8 a. Anwendung findet dieses Verfahren bei der Musterfertigung, Einzelstckfertigung und bei großen Teilen. Apparatebauteile aus PE, PP und PVC sind oftmals mit einer V-, X- oder Kehl-Naht gefgt.

Heizelementschweißen H. Man erw
rmt die Stoßfl
chen durch Andrcken an beschichtete metallische Heizelemente. Danach werden die plastifizierten Stoßfl
chen zusammengepresst, Bild 8 b. Dieses Verfahren eignet sich besonders fr Polyolefine (PE, PP). Temperaturempfindliche Werkstoffe wie z. B. PVC und POM sind wegen der langen Erw
rmzeit bei relativ hohen Temperaturen weniger geeignet. Reibschweißen FR. Bei rotationssymmetrischen Teilen (bis ca. 100 mm Durchmesser) wird einer der Partner in Drehung versetzt und durch die Relativbewegung unter Druck ein Aufschmelzen an den Schweißfl
chen erreicht. Nach pltzlichem Abbremsen erkalten die Schweißfl
chen unter Beibehaltung eines Schweißdrucks, Bild 8 c. In schallgekapselten Maschinen zusammengespannte Fgeteile (bis ca. 500 mm Durchmesser, 60 bis 80 cm2 Schweißfl
che) werden beim Vibrationsschweißen durch elektromagnetisch erregte Schwinger mit 100 oder 240 Hz Frequenz um einige Winkelgrade angular oder linear gegeneinander gerieben, Bild 8 d. Eingesetzt wird diese Schweißtechnik u. a. bei Kraftstofftanks, Autostoßf
ngern und Geh
usen. Ultraschallschweißen US. Ein piezoelektrischer oder magnetostriktiver Schwingungswandler setzt die hochfrequente Wechselspannung (20 bis 50 kHz) in mechanische Schwingungen um. Durch die Sonotrode wird die Amplitude dem Werkstck angepaßt und leitet die Schwingung ein, Bild 8 e. Das US-Verfahren kann vollautomatisiert in Taktstraßen eingebaut werden und eignet sich wegen der kurzen Schweißzeiten besonders fr Massenartikel in der Kfz-, Elektro- und Verpackungsindustrie (amorphe Kunststoffe bis ca. 350 mm, teilkristalline Kunststoffe bis ca. 150 mm Durchmesser). Metallteile (Inserts) lassen sich durch Ultraschall in vorgespritzte Bohrungen nachtr
glich kostengnstig einsetzen. Hochfrequenzschweißen HF. Polare Kunststoffe, wie z. B. PVC, CA, mit hohen dielektrischen Verlusten lassen sich durch ein elektrisches Hochfrequenzfeld schnell erw
rmen. Die bliche Schweißfrequenz ist 27 MHz, Bild 8 f. Hauptanwendungsgebiete sind fl
chige Formschweißungen von Weich-PVC-Folien, Hllen, Bucheinb
nde, Konfektionsartikel, Regenbekleidung, Sitzgarnituren, Trverkleidungen. Laserschweißen als neues Verfahren mit hoher Schweißgeschwindigkeit und berhrungsloser Energiezufuhr fr Spezialverbindungen und Mikroformteilschweißungen. Kleben. Durch Kleben lassen sich auch unterschiedliche Materialien (artfremde) verbinden (z. B. Glas/Kunststoff, Keramik/Metall). Manchmal ist es das einzig mgliche Verfahren der Verbindungstechnik (s. G 1.3).

E 80

Werkstofftechnik – 4 Kunststoffe

chen. Formteilverzug kann oftmals durch verschiedene Versteifungsgeometrien minimiert werden, Bild 9. Toleranzen und zulssige Abweichungen f
r Maße sind in DIN 16 901 f
r Spritzguss-, Spritzpress- und Pressteile angegeben. Form-, Lage- und Profilabweichungen sind nicht enthalten. F
r die Festlegung von Toleranzen unterscheidet man nach werkzeuggebundenen Maßen (Maß nur in einer Werkzeughlfte) und nicht werkzeuggebundenen Maßen (z. B. in Werkzeugffnungsrichtung bzw. beweglichen Schiebern). Die werkzeuggebundenen Maße sind enger tolerierbar. In DIN 16 901 werden die verschiedenen Kunststoffe nach ihrem Schwindungsverhalten in Toleranzgruppen eingeteilt, Tab. 1. Es ist zu unterscheiden nach Maßen mit Allgemeintoleranzen (Maße ohne Toleranzangaben) und Maßen mit direkt eingetragenen Toleranzen (Maße mit Toleranzangaben). Es gilt Reihe 1 f
r normalen Spritzguss, Reihe 2 f
r Przisi-

E

Bild 8 a–f. Schweißverfahren f
r Thermoplaste. a Warmgasschweißen, 1 Zusatzstab, 2 Warmgas; b Heizelementschweißen, 1 Heizelement; c Reibschweißen, 1 Druckgeber, 2 Mitnehmer, 3 rotierendes Teil, 4 stehendes Teil; d Vibrationsschweißen; e Ultraschallschweißen, 1 Sonotrode, 2 Amboss; f Hochfrequenzschweißen

Beim Kleben von Kunststoffen wie von Metallen m
ssen eine klebgerechte F
geteilgestaltung, eine Vorbehandlung der F
geteiloberflchen, eine Auswahl der Klebstoffe und eine geeignete Auftragungstechnik erfolgen. Von besonderer Bedeutung bei Kunststoffen ist die Vorbehandlung der F
geteiloberflchen. Jede Vorbehandlung dient dazu, die Oberflche so zu aktivieren, dass sie benetzbar und somit auch klebbar wird. Es werden verschiedene mechanische (schleifen, strahlen), chemische (entfetten, beizen) und physikalische (Bestrahlung, Wrmebehandlung) Verfahren vorgeschlagen. Eine Reinigung bzw. Entfettung der Oberflche kann mit Lsemitteln oder Sp
lmitteln im Dampf-, Tauch- oder Ultraschall-Bad erfolgen. Bei bestimmten Kunststoffen (z. B. PP) hat sich das Vorbehandlungsverfahren „Koronaentladung“ in der Fertigung bewhrt. Hierbei wird ein Luftstrom zwischen zwei Elektroden (Spannung 7 kV) durchgeblasen und trifft als Strahl ionisierter Molek
le auf die Kunststoffoberflche. Eine chemische Verankerung wird durch Haftvermittler erreicht (Silan-Haftvermittler).

4.11 Gestalten und Fertigungsgenauigkeit von Kunststoff-Formteilen Werkstoff- und fertigungsgerechtes Konstruieren von Formteilen ist unabdingbare Voraussetzung f
r qualitativ hochwertige funktionssichere Bauteile (s. VDI-Richtlinien 2001 und 2006). Gestaltungsrichtlinien. Einfallstellen und Lunker (Vakuolen) im Formteil entstehen durch Massenanh
ufungen am Bauteil, die außerdem zur ungleichmßigen Abk
hlung f
hren und die Verzugsneigung erhhen (Ursache: Schwindungsdifferenzen). Zur Verringerung der Kerbwirkung sind Ausrundungsradien vorzusehen. Anschnittgeometrie und Anschnittlage haben Einfluss auf die Vorzugsorientierungen von Makromolek
len und faserartigen Zusatzstoffen und auf die Lage von Bindenhten, Zusammenflusslinien und Lufteinschl
ssen im Formteil. Eine konstruktiv ung
nstig ausgelegte Werkzeugtemperierung kann zu unterschiedlichen Abk
hlungsgradienten im Bauteil f
hren und durch die auftretenden Schwindungsdifferenzen erheblichen Verzug am Teil verursa-

Bild 9 a–c. Versteifung von Formteilen. a Rippen- und Sickenkonstruktion, x  0;5 f
r amorphe Thermoplaste, x  0;35 f
r PA unverstrkt, x  0;25 f
r PA-GF30; b Durchbiegung und Werkstoffeinsatz verschiedener Profilformen, 1 Werkstoffeinsatz, 2 Durchbiegung; c verschiedene Randgestaltung zur Erhhung der Eigensteifigkeit großflchiger Formteile

I4.12 Nachbehandlungen onsspritzguss. In Tab. 2 sind die zugeh
rigen Toleranzbreiten angegeben. Werkzeugtoleranzen, d. h. Toleranzen fr die Herstellung des Werkzeugs sind DIN 16 749 zu entnehmen; sie betragen max. 1/3 der Formteiltoleranzen. Aushebeschr
gen und Nachbearbeitungsmglichkeiten sind zu beachten, ebenso die Verarbeitungsschwindung des verwendeten Kunststoffs.

E 81

Tempern. Zum Abbau von Eigenspannungen und zur Nachkristallisation bei teilkristallinen Kunststoffen werden die Formteile nach dem Spritzgießen in Wrmeschrnken oder Temperierflssigkeiten (Paraffin- oder Silicon
le) bei kunststoffspezifischen Temperaturen getempert. Bei Polyamidenbetrgt die Tempertemperatur ca. 150 C, bei POM-Formteilen liegt sie etwas niedriger. Die Temperzeit betrgt bis zu 24 Stunden.

Meist sind Formteile nach der Formgebung ohne weitere Bearbeitung einsatzfhig. Aus technischen oder dekorativen Grnden kann aber eine Nachbehandlung notwendig werden.

Oberfl
chenbehandlungen. Zur gezielten Vernderung der Oberflchen oder Oberflchenstruktur oder aus werbetechnischen Grnden kann nachfolgend noch Lackieren, Bedrucken, Heißpr
gen, Laserbeschriften, Galvanisieren, Bedampfen und Beflocken durchgefhrt werden.

Konditionieren. Formteile aus Polyamiden nehmen je nach Aufbau mehr oder weniger Feuchtigkeit auf und verndern damit insbesondere die mechanischen Eigenschaften (z. B. Schlagzhigkeit). Nach dem Spritzgießen werden deshalb viele Formteile aus Polyamiden in Wasser, Dampf oder Konditionierzellen auf einen bestimmten Feuchtegehalt eingestellt. Bei unverstrktem Polyamid strebt man einen Feuchtegehalt von 1,5% bis 3% an, bei verstrkten bis 1,5%.

Spangebende Bearbeitung. Kunststoffe k
nnen nach den fr Metalle bekannten Verfahren (s. S 4) spanend nachbearbeitet werden, jedoch sind besondere Werkzeuggeometrien und andere Schnittgeschwindigkeiten zu beachten. Bei Duroplasten und PTFE ist die spanende Bearbeitung die einzige M
glichkeit einer Formnderung nach der Herstellung. Bei Thermoplasten sind Rckfederungseffekte und Aufschmelzvorgnge zu beachten.

4.12 Nachbehandlungen

Tabelle 1. Zuordnung von Kunststoff-Formmassen zu Toleranzgruppen (DIN 16 901)

Tabelle 2. Toleranzbreiten fr Maße an Kunststoff-Formteilen (DIN 16 901)

E

E 82

Werkstofftechnik – 5 Tribologie Tabelle 1. Reibungszahlen bei unterschiedlichen Reibungsarten und -zust
nden

5 Tribologie K.-H. Habig, Berlin

E

Tribologie ist die Wissenschaft und Technik von aufeinander einwirkenden Oberfl
chen in Relativbewegung (DIN 50 323, Teil 1). Diese Definition ist aus der englischen Originalfassung abgeleitet: Tribology – science and technology of interacting surfaces in relative motion and the practices related thereto [1]. Die Tribologie umfasst die Teilgebiete Reibung, Verschleiß und Schmierung. Sie steht in enger Beziehung zu den Werkstoffen der beteiligten Krper, deshalb ihre Behandlung in Teil E. delt es sich bei der Grenzschicht um einen vom Schmierstoff stammenden molekularen Film, so nennt man dies auch Grenzreibung.

5.1 Reibung Reibung ist eine Wechselwirkung zwischen sich berhrenden Stoffbereichen von Krpern. Sie wirkt einer Relativbewegung entgegen. Bei
ußerer Reibung sind die sich berhrenden Stoffbereiche verschiedenen Krpern, bei innerer Reibung ein und demselben Krper zugehrig. Die Reibung tritt als Reibungskraft oder Reibungsenergie in Erscheinung. Das Verh
ltnis der Reibungskraft Ff zur wirkenden Normalkraft Fn wird als Reibungszahl f bezeichnet (s. G 4.5 und G 5.2). In Abh
ngigkeit von der Bewegungsart der Reibpartner unterscheidet man zwischen verschiedenen Reibungsarten (Bild 1) (s. B 1.11): Gleitreibung. Bewegungsreibung zwischen Krpern, deren Geschwindigkeiten in der Berhrungsfl
che nach Betrag und/ oder Richtung verschieden sind. Rollreibung. Idealisierte Bewegungsreibung zwischen sich punkt- oder linienfrmig berhrenden Krpern, deren Geschwindigkeiten in der Berhrungsfl
che nach Betrag und Richtung gleich sind und bei der mindestens ein Krper eine Drehbewegung um eine momentane, in der Berhrungsfl
che liegende Drehachse vollfhrt. W
lzreibung. Rollreibung, (Schlupf) berlagert ist.

der

eine

Gleitkomponente

Bohrreibung. Reibung zwischen sich punktfrmig (idealisiert) berhrenden Krpern, deren Geschwindigkeiten in der Berhrungsfl
che nach Betrag und/oder Richtung verschieden sind und bei der mindestens ein Krper eine Drehbewegung um eine senkrecht im Zentrum der Berhrungsfl
che stehende Achse ausfhrt. In Abh
ngigkeit vom Aggregatzustand der beteiligten Stoffbereiche treten unterschiedliche Reibungszust
nde auf: Festkrperreibung. Reibung zwischen Stoffbereichen mit Festkrpereigenschaften in unmittelbarem Kontakt. Anmerkung: Findet die Reibung zwischen festen Grenzschichten mit modifizierten Eigenschaften, z. B. Reaktionsschichten statt, so nennt man dies Grenzschichtreibung. Han-

Bild 1 a–c. Bewegungsarten zwischen Reibpartnern. a Gleiten; b rollen, w
lzen; c bohren. Fn Normalkraft, u Gleitgeschwindigkeit, w Winkelgeschwindigkeit

Flssigkeitsreibung. Reibung im Stoffbereich mit Flssigkeitseigenschaften (innere Reibung). Dieser Reibungszustand ist auch fr eine die Festkrper vollst
ndig trennende flssige Schmierstoffschicht zutreffend. Gasreibung. Reibung im Stoffbereich mit Gaseigenschaften (innere Reibung). Dieser Reibungszustand ist auch fr eine die Festkrper vollst
ndig trennende gasfrmige Schmierstoffschicht zutreffend. Mischreibung. Jede Mischform der Reibungszust
nde, prim
r der Festkrper- und Flssigkeitsreibung. In Tab. 1 sind Bereiche von Reibungszahlen bei unterschiedlichen Reibungsarten und -zust
nden wiedergegeben. Generell ist aber anzumerken, dass die Reibungszahl kein konstanter Kennwert eines Werkstoffs oder einer Werkstoffpaarung ist, sondern von den Beanspruchungsbedingungen und den Eigenschaften aller am Reibungsvorgang beteiligten stofflichen Elemente abh
ngt. Welchen Einfluss Fl
chenpressung, Gleitgeschwindigkeit und Temperatur bei Festkrpergleitreibung haben knnen, ist in Bild 2 am Beispiel der Festkrperreibung der Gleitpaarung PTFE/Stahl ersichtlich [2].

5.2 Verschleiß Reicht die Schmierfilmdicke nicht aus, um zwei Gleit- oder W
lzpartner vollst
ndig voneinander zu trennen, so tritt Verschleiß auf. Tribosysteme, die von vornherein ohne Schmierung betrieben werden wie z. B. Trockengleitlager, Reibungsbremsen, Transportanlagen fr mineralische Stoffe u. a. unterliegen einem allm
hlichen Verschleiß. Im GfT1)-Arbeitsblatt 7 ist der Verschleiß definiert: „Verschleiß ist der fortschreitende Materialverlust aus der Oberfl
che eines festen Krpers, hervorgerufen durch mechanische Ursachen, d. h. Kontakt und Relativbewegung eines festen, flssigen oder gasfrmigen Gegenkrpers.“ Es folgen drei Hinweise: – Die Beanspruchung eines festen Krpers durch Kontakt und Relativbewegung eines festen, flssigen oder gasfrmigen Gegenkrpers wird auch als tribologische Beanspruchung bezeichnet. – Verschleiß
ußert sich im Auftreten von losgelsten kleinen Teilchen (Verschleißpartikel) sowie in Stoff- und Form
nderungen der tribologisch beanspruchten Oberfl
chenschicht. – In der Technik ist Verschleiß normalerweise unerwnscht, d. h. wertmindernd. In Ausnahmef
llen, wie z. B. bei Einlaufvorg
ngen, knnen Verschleißvorg
nge jedoch auch

1)

Gesellschaft f
r Tribologie e.V., Aachen.

I5.3

Systemanalyse von Reibungs- und Verschleißvorg
ngen

E 83

Verschleißerscheinungsformen. Die sich durch Verschleiß ergebenden Ver
nderungen der Oberfl
chenschicht eines Krpers sowie Art und Form der anfallenden Verschleißpartikel. Verschleiß-Messgr
ßen. Die Verschleiß-Messgrßen kennzeichnen direkt oder indirekt die nderung der Gestalt oder Masse eines Krpers durch Verschleiß. Verschleiß wird letztlich durch das Wirken der Verschleißmechanismen hervorgerufen. Vier Verschleißmechanismen werden als besonders wichtig angesehen [3] (s. E 1.2.3): Adhsion. Bildung und Trennung von atomaren Bindungen (Mikroverschweißungen) zwischen Grund- und Gegenkrper. Tribochemische Reaktion. Chemische Reaktion von Grundund/oder Gegenkrper mit Bestandteilen des Schmierstoffs oder Umgebungsmediums infolge einer reibbedingten, chemischen Aktivierung der beanspruchten Oberfl
chenbereiche. Abrasion. Ritzung und Mikrozerspanung des Grundkrpers durch harte Rauheitshgel des Gegenkrpers oder durch harte Partikel des Zwischenstoffs. Oberflchenzerrttung. Rissbildung, Risswachstum und Abtrennung von Partikeln infolge wechselnder Beanspruchungen in den Oberfl
chenbereichen von Grund- und Gegenkrper. Bild 2. Reibungszahl f einer PTFE-Stahl-Gleitpaarung. p Fl
chenpressung, u Gleitgeschwindigkeit, Stahl: Rz ¼ 0;03 mm, Umgebungsmedium: synth. Luft, 1 Ta ¼ 23
C, 2 Ta ¼ 70
C

technisch erwnscht sein. Bearbeitungsvorg
nge als wertbildende, technologische Vorg
nge gelten in Bezug auf das herzustellende Werkstck nicht als Verschleiß, obwohl im Grenzfl
chenbereich zwischen Werkzeug und Werkstck tribologische Prozesse wie beim Verschleiß ablaufen. In dem GFT-Arbeitsblatt 7 sind außerdem folgende, fr den Verschleiß wichtige Grundbegriffe enthalten: Verschleißarten. Unterscheidung der Verschleißvorg
nge nach Art der tribologischen Beanspruchung und der beteiligten Stoffe. Verschleißmechanismen. Beim Verschleißvorgang ablaufende physikalische und chemische Prozesse.

Bild 3. Schematische Darstellung eines tribologischen Systems

Die Verschleißmechanismen knnen einzeln, nacheinander oder sich berlagernd auftreten. Tab. 2 zeigt eine Zuordnung der Verschleißmechanismen zu den unterschiedlichen Verschleißarten.

5.3 Systemanalyse von Reibungsund Verschleißvorg
ngen Reibung und Verschleiß h
ngen von einer Flle von Einflussgrßen ab, die sich am besten mit der Methodik der Systemanalyse ordnen lassen (Bild 3) [4]. Danach sind Reibung und Verschleiß als Verlustgrßen eines Tribosystems anzusehen, in dem bestimmte Eingangsgrßen, die fr das Beanspruchungskollektiv maßgebend sind, ber die Struktur des Tribosystems in Nutzgrßen transformiert werden. Durch die Transformation wird die Funktion des Tribosystems realisiert.

E

E 84

Werkstofftechnik – 5 Tribologie

Tabelle 2. Verschleißarten und Verschleißmechanismen nach DIN 50 320

E

5.3.1 Funktion von Tribosystemen Tribosysteme werden zur Verwirklichung unterschiedlicher Funktionen eingesetzt. Ein Lager hat z. B. Kr
fte aufzunehmen und dabei eine Bewegung zu ermglichen. Mit Reibungsbremsen sollen dagegen Bewegungen gehemmt werden. Getriebe dienen zur bertragung von Drehmomenten oder zur Ver
nderung von Drehzahlen; mit Steuergetrieben knnen Informationen weitergegeben werden. Zu den mglichen Funktionen gehren auch die Gewinnung, der Transport und die Verarbeitung von Rohstoffen. Die Angabe ber die Funktion von Tribosystemen ist deshalb ntzlich, weil sie schon gewisse Vorstellungen ber die Art der Bauteile und die verwendeten Werkstoffe vermittelt. Besteht die Funktion eines

Tribosystems z. B. darin, einen elektrischen Stromkreis zu ffnen und zu schließen, so werden dazu h
ufig Schaltkontakte bentigt, die aus besonderen Kontaktwerkstoffen hergestellt werden. 5.3.2 Beanspruchungskollektiv Die wichtigsten Grßen des Beanspruchungskollektivs knnen Bild 3 entnommen werden. Bei den Bewegungsarten kann man analog zu den Reibungsarten zwischen „Gleiten, Rollen, W
lzen, Bohren“ unterscheiden. Es kommen aber noch andere Arten der Bewegung, wie „Stoßen, Prallen oder Strmen“ hinzu. Der Bewegungsablauf kann kontinuierlich, intermittierend, oszillierend oder rever-

I5.5

Schmierstoffe

E 85

sierend sein. Aus der Normalkraft l
sst sich bei Kenntnis der Abmessungen der Bauteile, der Elastizit
tsmoduln der verwendeten Werkstoffe und des Reibungskoeffizienten die Werkstoffanstrengung ermitteln. Als Geschwindigkeit ist einerseits die Relativgeschwindigkeit zwischen Grund- und Gegenkrper von Bedeutung; fr die W
rmeabfuhr interessiert andererseits, ob Grund- und Gegenkrper oder nur ein Krper bewegt sind. Neben der Beanspruchungsdauer (oder Beanspruchungsweg) sind auch die Stillstandszeiten zu beachten, in denen sich die Eigenschaften der Oberfl
chenbereiche z. B. durch Korrosion ver
ndern knnen.

E

5.3.3 Struktur tribologischer Systeme Innerhalb der Struktur von Tribosystemen knnen i. Allg. vier Bauteile oder Stoffe unterschieden werden, die als Elemente bezeichnet werden (Bild 3). Grund- und Gegenkrper sind in jedem Tribosystem vorhanden, w
hrend der Zwischenstoff oder das Umgebungsmedium u. U. entf
llt. Zur Reibungs- und Verschleißminderung wird als Zwischenstoff in zahlreichen praktischen Anwendungen ein Schmierstoff verwendet. Der Zwischenstoff kann aber auch aus harten Partikeln bestehen, z. B. aus Erz, das in einer Kugelmhle zermahlen wird. Fr den Verschleißschutz ist h
ufig eine Unterscheidung zwischen offenen und geschlossenen Tribosystemen sinnvoll. Bei offenen Tribosystemen wird z. B. die Oberfl
che eines Werkzeugs durch fortlaufend neue Oberfl
chenbereiche des zu bearbeitenden Werkstcks beansprucht. Seine Funktion h
ngt in erster Linie vom Verschleiß des als Grundkrper dienenden Werkzeugs ab, w
hrend durch den Gegenkrper die Beanspruchung erzeugt wird, ohne dass sein Verschleiß interessiert. Bei geschlossenen Tribosystemen, z. B. einer Nocken-StßelPaarung, kommen dagegen die Oberfl
chenbereiche beider Partner wiederholt zum Eingriff. Die Funktionsf
higkeit h
ngt vom Verschleiß des Nockens und des Stßels ab. – Die Elemente sind durch ihre Eigenschaften zu charakterisieren, wobei man zwischen Stoff- und Formeigenschaften sowie zwischen Volumen- und Oberfl
cheneigenschaften unterscheiden muss. Reibung und Verschleiß sind letztlich durch die Wechselwirkungen zwischen den Elementen bedingt, die durch den Reibungszustand (vgl. E 5.1) und die Verschleißmechanismen (vgl. E 5.2) gekennzeichnet sind.

5.3.4 Tribologische Kenngr
ßen Die tribologischen Kenngrßen dienen zur quantitativen und qualitativen Kennzeichnung von Reibungs- und Verschleißvorg
ngen. Die Reibung wird durch die Reibungskraft FR bzw. die Reibungszahl f charakterisiert. Die Reibungskraft FR h
ngt von den Grßen des Beanspruchungskollektivs B und der Systemstruktur S ab. Es gilt daher FR ¼ f ðB; SÞ: Eine
hnliche Beziehung kann man fr den Verschleißbetrag W aufstellen W ¼ f ðB; SÞ: Stellt man den Verschleißbetrag ber der Beanspruchungsdauer dar, so ergeben sich h
ufig zwei unterschiedliche Kurvenverl
ufe, Bild 4. In der Einlaufphase kann ein erhhter Einlaufverschleiß auftreten, der allm
hlich abklingt und in einen lang andauernden Beharrungszustand mit einem konstanten Anstieg des Verschleißbetrags (konstante Verschleißrate) bergeht, ehe ein progressiver Anstieg den Ausfall ankndigt, Bild 4 a.

Bild 4 a, b. Verschleißbetrag in Abh
ngigkeit von der Beanspruchungsdauer

Ist prim
r die Oberfl
chenzerrttung als Verschleißmechanismus wirksam, so tritt ein messbarer Verschleiß h
ufig erst nach einer Inkubationsperiode auf, in der mikrostrukturelle Ver
nderungen, Rissbildung und Risswachstum erfolgen, ehe Verschleißpartikel abgetrennt werden, Bild 4 b. Da der Verschleiß immer eine Folge des Wirkens der Verschleißmechanismen ist, sollte neben der Angabe des Verschleißbetrags oder der Verschleißrate auch die Verschleißerscheinungsform in Form von licht- oder rasterelektronenmikroskopischen Aufnahmen dargestellt werden, aus denen man die Konstellation der Verschleißmechanismen entnehmen kann. Nur so ist es mglich, die Ergebnisse einer Verschleißprfung fr andere,
hnliche F
lle nutzbar zu machen. 5.3.5 Checkliste zur Erfassung der wichtigsten tribologisch relevanten Gr
ßen Es wurde gezeigt, dass Reibung und Verschleiß von einer Flle von Einflussgrßen abh
ngen. Zur reproduzierbaren Durchfhrung von Reibungs- und Verschleißuntersuchungen in Betrieb und Labor ist es zweckm
ßig, die wichtigsten Grßen tabellarisch zu erfassen. Hierzu kann (Tab. 3) als Anleitung dienen.

5.4 Schmierung Die wichtigste Maßnahme zur Einschr
nkung von Reibung und Verschleiß besteht in der Schmierung, wobei eine vollst
ndige Trennung von Grund- und Gegenkrper anzustreben ist. Dies gelingt z. B. bei Gleitlagern durch eine hydrodynamische Schmierung (G 5), die sich bei einer richtigen Kombination von lviskosit
t, Geschwindigkeit, Pressung und konstruktiver Gestaltung erreichen l
sst. Bei W
lzlagern, Zahnradgetrieben und anderen kontraformen Kontakten, ist in vielen F
llen eine Trennung von Grund- und Gegenkrper durch einen elastohydrodynamischen Schmierfilm mglich, der durch die exponentielle Zunahme der Schmierstoffviskosit
t mit steigendem Druck und einer elastischen Deformation der Kontaktpartner an der laustrittsseite erzeugt wird. Zur Berechnung sei auf die einschl
gige Literatur [3, 5–9], verwiesen.

5.5 Schmierstoffe Schmierstoffe dienen zur Reibungs- und Verschleißminderung in tribologischen Systemen. Sie werden in unterschiedli-

E 86

Werkstofftechnik – 5 Tribologie

Tabelle 3. Checkliste zur Erfassung der fr Reibung und Verschleiß wichtigen Grßen

chen Aggregatzust
nden als Schmierle, Schmierfette oder Festschmierstoffe eingesetzt. Gelegentlich werden auch Wasser oder flssige Metalle als Schmierstoffe verwendet, wobei die Betriebsbedingungen h
ufig die Bildung eines die Kontaktpartner trennenden, hydrodynamisch erzeugten Films zulassen. 5.5.1 Schmier
le

E

Schmierle knnen nach ihrer Herkunft unterteilt werden in Mineral
le, tierische und pflanzliche le, synthetische le, sonstige. Mineral
le, die aus Erdl und teilweise aus Kohle gewonnen werden knnen, besitzen die grßte Bedeutung. Sie bestehen aus Paraffinen, Naphtenen oder Aromaten. Tierische und pflanzliche le wie Rizinusl, Fischl, Olivenl u. a. werden fr spezielle Anwendungen, z. B. in der Feinwerktechnik, verwendet. Synthetische le gewinnen fr die Schmierung bei hohen Temperaturen und zur Reibungsminderung an Bedeutung. Hier sind besonders zu nennen: Polyetherle (Polyalkylenglycole, Perfluorpolyalkylether, Polyphenylether), Carbons
ureester, Esterle, Phosphors
ureester, Siliconle, Halogenkohlenwasserstoffe. Damit die Schmierle ihre komplexen Aufgaben erfllen knnen, mssen sie eine Reihe physikalischer und chemischer Eigenschaften besitzen [10, 11]. Eigenschaften von Schmier
len Viskositt. Fr die Erzielung eines hydrodynamischen oder elastohydrodynamischen Schmierungszustands ist die Viskosit
t von entscheidender Bedeutung; sie ist ein Maß fr die innere Reibung des Schmierls. Entsprechend B 6.2 gilt fr die – dynamische Viskositt h ¼ t=ðdu=dzÞ ¼ t=D; – kinematische Viskositt u ¼ h=r: Hierin sind t Schubspannung, die bei Scherung einer laminaren Strmung entsteht, D ¼ du=dz Scher- bzw. Geschwindigkeitsgef
lle, r Dichte des ls. Einheit der dynamischen Viskosit
t h : 1 Pa
s (= 10 Poise) und Einheit der kinematischen Viskosit
t u : m2 =s (= 104 Stokes). Die Viskosit
t ist keine reine Stoffkonstante, sondern i. Allg. von verschiedenen Parametern wie z. B. dem Geschwindigkeits- bzw. Schergef
lle D, der Zeit t, der Temperatur T und dem Druck p abh
ngig. Besteht keine Abh
ngigkeit der Viskosit
t vom Schergef
lle, so spricht man von Newtonschen Flssigkeiten bzw. Newtonschen Schmier
len. Hierzu gehren reine Mineralle sowie synthetische le vergleichbarer Molekularmassen. Schmierle, deren Viskosit
t vom Schergef
lle abh
ngt, bezeichnet man als Nichtnewtonsche le. Nimmt die Viskosit
t mit steigendem Schergef
lle ab, so handelt es sich um strukturviskose le. Der Zusatz von Additiven zu Newtonschen Grundlen kann Strukturviskosit
t hervorrufen, z. B. der Zusatz von Polymeren zu Motoren- oder Industrielen zur Verbesserung des sog. Viskosit
tsindexes. Ist die Viskosit
t von der Zeit t abh
ngig, so ist zu unterscheiden zwischen: Thixotropie. Abnahme der Viskosit
t infolge andauernder Scherbeanspruchung und Wiederzunahme nach Aufhren der Beanspruchung. Rheopexie. Zunahme der Viskosit
t infolge andauernder Scherung und Wiederabnahme nach Aufhren der Beanspruchung.

I5.5 Die Viskosit
t von Schmierlen nimmt mit steigender Temperatur ab, so dass bei jeder Viskosit
tsmessung die Temperatur angegeben werden muss: Die Temperaturabh
ngigkeit der Viskosit
t kann durch verschiedene N
herungsformeln angegeben werden. Fr Schmierle wird h
ufig die Transformation nach Ubbelohde-Walther benutzt: lglgðu þ CÞ ¼ K
m lgT: Hierbei bedeuten u die kinematische Viskosit
t, C eine Konstante (fr Mineralle: 0,6 bis 0,9), K eine Konstante, m die Steigung der Geraden bei einer Darstellung in entsprechend skalierten Viskosit
ts-Temperaturbl
ttern und T die absolute Temperatur in K, Anh. E 5 Bild 1, Bild 2. Zur Beschreibung der Druckabh
ngigkeit der Viskosit
t wird h
ufig die folgende Beziehung benutzt: hp ¼ h0  expða  pÞ; wobei h0 die Viskosit
t bei 1 bar, a den sog. Viskosit
tsdruckkoeffizienten und p den Druck darstellen. Die Viskosit
t nimmt demnach sehr stark (exponentiell) mit steigendem Druck zu, Anh. E 5 Tab. 1. Dichte. Sie wird fr die Umrechnung der dynamischen in die kinematische Viskosit
t bentigt. Verschiedene Methoden zu ihrer Bestimmung sind in DIN 51 757 angegeben. Die Dichte ist temperatur- und druckabh
ngig (s. B 5). Viskosit
tsindex. Er ist nach DIN ISO 2909 eine Maßzahl zur Charakterisierung der Temperaturabh
ngigkeit der Viskosit
t. Er wurde 1928 mit einer Skala zwischen 0 und 100 eingefhrt, wobei das l mit der damals bekannten st
rksten Temperaturabh
ngigkeit der Viskosit
t einen Viskosit
tsindex VI = 0 und das l mit der geringsten Viskosit
ts-Temperaturabh
ngigkeit den Viskosit
tsindex 100 hatte. Infolge verbesserter Raffinationsverfahren und der Entwicklung von synthetischen len wird der Viskosit
tsindex von 100 heute deutlich berschritten. Scherstabilit
t. Durch den Zusatz von llslichen Polymeren kann die Viskosit
t von Schmierlen erhht bzw. ihr Viskosit
tsindex verbessert werden. Infolge von Scherprozessen knnen die Polymermolekle zerstrt werden, wodurch ein Viskosit
tsabfall eintritt. Um den durch Scherung bedingten irreversiblen Viskosit
tsabfall zu prfen, werden Beanspruchungen im Zahnradverspannungsprfstand, in Laborprfst
nden mit Hochdruckhydraulik, in Hochdruck-Diesel-Einspritzaggregaten nach DIN 51 382 u. a. vorgenommen. Cloud- und Pour-Point. Die Fließf
higkeit von Schmierlen nimmt mit sinkender Temperatur ab. Der Cloud-Point gibt die Temperatur an, bei der sich ein l unter festgelegten Prfbedingungen nach ISO 3015 zu trben beginnt. Der Pour-Point stellt die Temperatur dar, bei der das l gerade noch fließt (ISO 3016). Neutralisationsvermgen. Schmierle knnen alkalische und saure Bestandteile enthalten. Saure Komponenten in Frischlen knnen von der Raffination oder von Schmierstoffadditiven stammen. Sie knnen auch w
hrend des Betriebs durch Oxidation des Schmierls gebildet werden. Alkalisch wirkende Zus
tze werden insbesondere Motorlen zugegeben, um saure Verbindungen zu neutralisieren, die durch Verbrennungsvorg
nge im Motor entstehen. Neutralisationszahl NZ. Menge an Kaliumhydroxid in mg, die notwendig ist, um die in 1 g l vorhandenen S
uren zu neutralisieren. Dazu wird nach DIN 51 558, Teil 1 eine 0,1 M-KOH-Lsung langsam zu einer Lsung des ls gegeben (Titration), bis der Umschlag des Indikators p-Naphtholbenzoin die Neutralisation anzeigt.

Schmierstoffe

E 87

Gesamtbasenzahl, Total base number TBN. S
uremenge, die notwendig ist, um die basischen Anteile des ls zu neutralisieren. Sie wird angegeben in der
quivalenten Menge Kaliumhydroxid, die der S
uremenge von 1 g l entspricht. Die Bestimmung der TBN erfolgt nach ISO 3771 durch elektrometrische Titration. Flammpunkt. Der Flammpunkt ist die niedrigste Temperatur, bei der sich aus der zu prfenden lprobe unter festgelegten Bedingungen D
mpfe in solcher Menge entwickeln, dass sie mit der ber dem Flssigkeitsspiegel liegenden Luft ein entflammbares Gemisch bilden. Liegt der Flammpunkt ber 79 C, so kann zu seiner Bestimmung die in DIN ISO 2592 genormte Methode nach Cleveland angewandt werden, bei der das l in einem offenen Tiegel erhitzt wird. le mit niedrigeren Flammpunkten werden im geschlossenen Tiegel nach Abel-Pensky (DIN 51 755, Flammpunkt 5 bis 65 C) untersucht. Der Flammpunkt ist fr das Schmierungsverhalten ohne Bedeutung. W
rmekapazit
t cp und W
rmeleitf
higkeit l . Diese sind fr die Berechnung des W
rmehaushalts und -transports von Bedeutung. Beide Grßen sind temperaturabh
ngig, Anh. E 5 Bild 3 und Bild 4. Luft im Schmierl. Schmierle knnen teilweise betr
chtliche Mengen Luft lsen. Die Lslichkeit ist schwach temperatur- und stark druckabh
ngig. Das gelste Luftvolumen kann nach dem Henry-Daltonschen Gesetz ermittelt werden VLuft ¼ K  V
l  p2 =p1 : Der Bunsenkoeffizient K liegt fr Mineralle zwischen 0,07 und 0,09, fr Silikonle zwischen 0,15 und 0,25. Neben gelster Luft knnen Schmierle im Betrieb auch Luft in Form einer fein verteilten zweiten Phase enthalten, wofr die Bezeichnung Aeroemulsion, Luftemulsion oder Kugelschaum verwendet wird. Im Gegensatz zu gelster Luft verschlechtern Aeroemulsionen das tribologische Verhalten, da Viskosit
t und W
rmeleitf
higkeit vermindert und Oxidationsprozesse sowie Kavitationserscheinungen verst
rkt werden. Außerdem kann der ltransport beeintr
chtigt werden. Besonders nachteilig wirkt sich ein stabiler Oberfl
chenschaum aus, der durch Wandern der Aeroemulsion an die Oberfl
che entstehen kann. Die Bestimmung des Luftabscheidevermgens (Aeroemulsion) kann nach DIN 51 381 erfolgen. Wasser im Schmierl. Schmierle sollten grunds
tzlich wasserfrei sein, da Wasser die lalterung und die Korrosion der Werkstoffe beschleunigt sowie die Schmierfilmbildung beeintr
chtigt. Die Bestimmung des Wassergehalts kann nach DIN ISO 3733 oder DIN 51 777 erfolgen. Feste Fremdstoffe im Schmierl. Feste Fremdstoffe haben je nach ihrer H
rte, Grße und Menge eine negative Wirkung, weil sie lbohrungen und Filter verstopfen knnen und Verschleiß durch Abrasion hervorrufen. Metallische Fremdpartikel beschleunigen h
ufig die loxidation. Die Bestimmung des Gehalts an Fremdstoffen erfolgt i. allg. mit einem Zentrifugierverfahren nach DIN 51 365 oder einem Membranfilterverfahren. Schmierstoffadditive. Diese sind Zusatzstoffe, die das Gebrauchsverhalten von Schmierlen verbessern. Sie knnen von ihrer Funktion her in zwei Gruppen eingeteilt werden (Tab. 4): Zus
tze, die die tribologisch relevanten Eigenschaften der Schmierstoffe verbessern, wie das Viskosit
ts-Temperatur-Verhalten oder das Reibungs- und Verschleißverhalten unter Grenz- oder Mischreibungsbedingungen und Zus
tze, die andere wichtige Gebrauchseigenschaften beeinflussen, wie z. B. Oxidationsinhibitoren, Detergentien, Schaumverhtungsmittel u. a.

E

E 88

Werkstofftechnik – 5 Tribologie

Tabelle 4. Zusammenstellung wichtiger Schmierstoffadditive

E

Additive k
nnen sich in ihrer Wirkung gegenseitig untersttzen und synergetisch wirken oder sich beeintrchtigen und somit antagonistisch wirken. Moderne Additive weisen hufig mehrere Funktionen auf, wodurch die Gefahr ihrer gegenseitigen St
rung vermindert wird.

legt, fr die le 20 bis 50 nur die Viskosittswerte bei 100 C. Durch Kombination der Klassen 5 W bis 20 W mit den Klassen 20 bis 50 k
nnen sog. Mehrbereichs
le gebildet werden, die infolge ihres verbesserten Viskositts-Temperaturverhaltens mehrere Viskosittsklassen berdecken und damit einen Winter- und Sommerbetrieb erm
glichen.

Einteilung der Schmier
le Nach ihrer Anwendung k
nnen die Schmier
le folgendermaßen unterteilt werden: – Maschinenschmier
le, – Zylinder
le, – Turbinen
le (s. R 8.5.3), – Motoren
le, – Getriebe
le (s. G 8.3), – Kompressoren
le, – Umlauf
le, – Hydraulik
le (s. H 1.2), – Metallbearbeitungs
le, Khlschmierstoffe (s. S 4.3.1), – Textil- und Textilmaschinen
le. Ausfhrliche Angaben zu den len sind in den DIN-Taschenbchern 20, 32, 57, 58, 192 und 228 enthalten. Die gr
ßte Gruppe der Schmier
le stellen die Motoren
le dar, die nach ihrer Viskositt klassifiziert werden. Die Klassifizierung wurde von der Society of Automative Engineers (SAE) in Zusammenarbeit mit der Society for Testing and Materials (ASTM) erstellt und von der DIN 51 511 bernommen, Anh. E 5 Tab. 2. Fr die SAE-Viskosittsklassen 5 W bis 20 W sind die Viskosittswerte bei 18 und 100 C festge-

5.5.2 Schmierfette Schmierfette sind feste oder halbflssige Produkte einer Dispersion aus einem eindickenden Stoff und einem flssigen Schmierstoff. In der Schmierungstechnik erfllen sie vor allem folgende Aufgaben. – Abgabe einer hinreichenden Menge von flssigem Schmierstoff durch langsame Separation, um Reibung und Verschleiß ber weite Temperaturbereiche und lange Zeitrume zu verhindern, – Abdichtung gegen Wasser und Fremdpartikel. Die meisten Schmierfette bestehen aus einer Seife (Alkalioder Erdalkaliseife) mit 4 bis 20 Massenprozent, dem Schmier
l mit 75 bis 95 Massenprozent und Additiven mit 0 bis 5 Massenprozent. Konsistenzklassen. Nach ihrer Verformbarkeit (Walkpenetration) werden die Schmierfette in unterschiedliche NLGIKonsistenzklassen eingeteilt (NLGI: National Lubrication Grease Institute), Anh. E 5 Tab. 3 nach DIN 51 818. Die Konsistenz wird nach ISO 2137 durch das Eindringen (Penetration) eines Standardkonus in eine Schmierfettprobe

I6.1 unter definierten Pr
fbedingungen ermittelt, indem die Eindringtiefe nach einer bestimmten Eindringdauer gemessen wird. Fließverhalten. Das Fließverhalten von Schmierfetten kann durch die Konsistenzklassen nur unzureichend beschrieben werden. Bei den Schmierfetten handelt es sich um Stoffe mit nichtnewtonschem Fließverhalten, das von der Temperatur, dem Schergeflle, der Scherzeit und der Vorgeschichte abhngt. Im Allgemeinen nimmt die Viskositt von Schmierfetten mit steigendem Schergeflle und zunehmender Scherzeit ab. Anwendungen. Schmierfette werden im Temperaturbereich von 70 bis ca. 350 C zur Schmierung von Maschinenelementen wie Wlz- und Gleitlagern, Gleitbahnen, Getrieben u. a. eingesetzt, wobei sie gleichzeitig zum Abdichten dienen.

5.5.3 Festschmierstoffe Festschmierstoffe liegen in festem Aggregatzustand vor. Sie werden zur Schmierung unter extremen Bedingungen wie z. B. bei sehr hohen oder sehr tiefen Temperaturen, in aggressiven Medien, im Vakuum u. a. bentigt. Festschmierstoffe bestehen aus folgenden Gruppen von Stoffen: – Verbindungen mit Schichtgitterstruktur. Dazu gehren: Graphit, Molybdndisulfid, Dichalcogenide, Metallhalogenide, Graphitfluorid, hexagonales Bornitrid, – oxidische und fluoridische Verbindungen der bergangsund Erdalkalimetalle. Dazu gehren: Bleioxid, Molybdnoxid, Wolframoxid, Zinkoxid, Cadmiumoxid, Kupferoxid, Titandioxid u. a., Calciumfluorid, Bariumfluorid, Strontiumfluorid, Lithiumfluorid, Natriumfluorid, – weiche Metalle, wie Blei, Indium, Silber u. a., – Polymere, insbesondere Polytetrafluorethylen (PTFE). Besondere Bedeutung kommt den Festschmierstoffen zu, die vollstndig oder teilweise aus Graphit oder Molybdndisulfid bestehen. Bei der Anwendung von Graphit ist darauf zu achten, dass es nur dann eine niedrige Reibung aufweist, wenn in seinem Gitter Wassermolek
le gelst sind, die die Scherfes-

6 Korrosion und Korrosionsschutz von Metallen H. Speckhardt und M.Gugau, Darmstadt

6.1 Einf
hrung Korrosion begrenzt die Funktionst
chtigkeit und die Betriebssicherheit von Bauteilen, Gerten und Anlagen. Sie schrnkt die Verf
gbarkeit und die Lebensdauer ein und fordert zum Teil kostspielige Maßnahmen des Korrosionsschutzes, der Wartung und der berwachung. Gleichzeitig muss beachtet werden, dass durch korrosive Wechselwirkung mit Behltern oder Rohrwandungen dort gelagerte oder transportierte Produkte verunreinigt werden knnen. Eine absolute Korrosionsbestndigkeit existiert nicht. Bei allen quantitativen Angaben
ber das Korrosionsverhalten eines Werkstoffes muss stets das System Werkstoff/Medium/Betriebsbedingungen (Beanspruchung) ber
cksichtigt werden. Neben Metallen knnen auch andere Werkstoffgruppen wie Polymere, Keramik oder Beton Korrosion erfahren. In DIN EN ISO 8044 werden die in der Korrosions- und Korrosionsschutztechnik
blichen Begriffe definiert. Hiernach

Einf
hrung

E 89

tigkeit der hexagonalen Basisflchen herabsetzen. Im Vakuum ist Graphit daher als Festschmierstoff nicht geeignet, Bild 5. Dagegen besitzt Molybdndisulfid im Vakuum besonders niedrige Reibungszahlen, whrend es in feuchter Luft hhere Reibungszahlen hat und vor allem bei hheren Temperaturen zersetzt wird [11]. Bei der Anwendung von PTFE ist darauf zu achten, dass die Reibungszahl mit steigender Gleitgeschwindigkeit stark zunimmt, Bild 2.

E 5.6 Tribotechnische Werkstoffe In der Tribologie werden alle Werkstoffgruppen eingesetzt: metallische, keramische und polymere Werkstoffe, Verbundwerkstoffe und Oberflchenschutzschichten. Eine einigermaßen umfassende Darstellung w
rde den Rahmen dieses Kapitels bei weitem sprengen. Daher sei hier auf das TribologieHandbuch Reibung und Verschleiß [3] verwiesen.

Bild 5. Reibungszahl von 1 Graphit und 2 Molybdndisulfid [12]

versteht man unter Korrosion die „Reaktion eines metallischen Werkstoffs mit seiner Umgebung, die eine messbare Vernderung des Werkstoffs bewirkt und zu einer Beeintrchtigung der Funktion eines metallischen Bauteils oder eines ganzen Systems f
hren kann“. Durch Korrosion entstehen jhrlich in allen Industrienationen Kosten, die auf etwa 3,5% des Bruttosozialproduktes geschtzt werden. Die volkswirtschaftliche Belastung in Deutschland beluft sich demnach auf etwa 15 Mrd. Euro/ Jahr. Man geht davon aus, dass durch bessere Nutzung vorhandener Kenntnisse und Techniken etwa 25% dieses Betrages, also etwa 4 Mrd. Euro jhrlich, eingespart werden knnten. Hierbei sind vor allem die beanspruchungsgerechte Auswahl von Werkstoff und Oberflchenbehandlung bzw. anderer Korrosionsschutzmaßnahmen sowie die Pflege und Wartung korrosionsgefhrdeter Anlagen und die Festlegung evtl. erforderlicher Revisionsintervalle von Bedeutung. Zur Beschreibung von Korrosionsschden werden die durch Korrosion bewirkte Beeintrchtigung der Funktion, das Erscheinungsbild des Schadens (flchig, muldenfrmig, lochfraßartig) und unter Umstnden auch der festzustellende Masseverlust angegeben. Bei Stahl entspricht z. B. eine Masseverlustrate von 1 g/m2 h einer Abtragsrate von etwa 1 mm/a. Dies gilt jedoch nur dann, wenn gleichmßig verlaufende

E 90

Werkstofftechnik – 6 Korrosion und Korrosionsschutz von Metallen

fl
chige Korrosion vorliegt. Im Falle von z. B. lochfraßartiger Korrosion oder Korrosion in Spalten ist die Angabe eines auf die Gesamtfl
che bezogenen Masseverlustes irrefhrend.

6.2 Mechanismen der Korrosion

E

Bei Metallen unterscheidet man im wesentlichen drei große Gruppen von Korrosionsreaktionen, die je nach dem vorliegenden System Werkstoff/Medium/Betriebsbedingungen (Beanspruchung) verschieden ablaufen. Die Korrosionsreaktionen sind (Bild 1): 1. Chemische Reaktionen beim Zusammentreffen von Metall mit reaktionsf
higen Gasen (Luftsauerstoff, Chlorgas, Schwefelwasserstoff, Schwefeldioxid, Bestandteile heißer Verbrennungsgase), was je nach System zur Oxidation oder zum Zundern, Sulfidieren, „Chlorbrand“ von Titan durch exotherme Reaktion mit trockenem Chlorgas fhrt. 2. Chemisch-metallphysikalische Reaktionen zwischen spezifischen metallischen Werkstoffen und Wasserstoffgas bei der sogenannten Druckwasserstoffsch
digung von St
hlen mit Korngrenzzementit und Perlit sowie bei der sogenannten Wasserstoffkrankheit von sauerstoffhaltigem Kupfer durch Reduktion und Rissbildung. 3. Elektrochemische Reaktionen beim Zusammentreffen von Metallen mit elektrolytisch leitenden Medien (z. B. w
ssrige Lsungen und Salzschmelzen). Das elektrochemische Korrosionselement besteht aus einer „anodischen“ und einer „kathodischen“ Fl
che, die elektronenleitend miteinander verbunden sind und von demselben Elektrolyten benetzt sein mssen. Es kann ein Korrosionsstrom fließen, der im Metall als Elektronenstrom und im Medium als entgegengerichteter Ionenstrom auftritt. Als „Anode“ kann ein unedler Werkstoffbereich in der Gesamtfl
che oder bei einer Werkstoffpaarung (z. B. Schrauben-, Niet- oder Schweißverbindungen) wirken. Kathoden sind vergleichsweise edlere Werkstoffbereiche oder Werkstoffe. Der Mechanismus, bei dem positiv geladene Metallionen in Lsung gehen, dadurch entsprechend viele Elektronen im Metall im berschuss freigesetzt werden und deshalb ihrerseits

Bild 1. Beispiele der wichtigsten Korrosionsreaktionen

an der Metalloberfl
che positiv geladene Ionen aus der Elektrolytlsung entladen knnen, l
uft in der Technik wie auch in der Natur am h
ufigsten ab. Die elektrochemischen Korrosionsreaktionen lassen sich in zwei Gruppen einteilen (Bild 2). Wasserstoffkorrosionstyp. In sauren Medien, in denen Wasserstoffionen im berschuß vorliegen, l
uft der Wasserstoffkorrosionstyp ab. Das Metall geht anodisch in Lsung (die Oxidationsreaktion Ox gibt beim bertritt von Metallionen in die Lsung Elektronen aus dem Elektronengas des Metalles frei); an edleren Oberfl
chenbereichen l
uft gleichzeitig eine Reduktionsreaktion Red ab, bei welcher der Elektronenberschuss im Metall zur Entladung von Wasserstoffionen aus der Lsung fhrt. Es knnen hierbei auch Metallionen aus der Lsung rckentladen werden (vgl. Entzinkung von Messing). Sauerstoffkorrosionstyp. In neutralen, sauerstoffhaltigen Medien l
uft die Korrosion nach dem Sauerstoffkorrosionstyp ab. Hierbei ist die anodische Teilreaktion (Metallauflsung/ Oxidation) die Gleiche wie zuvor. Als kathodische Teilreaktion erfolgt jedoch eine Elektronenaufnahme durch in der Lsung vorhandenen Sauerstoff. So genannte amphotere Metalle wie Zink und Aluminium korrodieren auch in nahezu neutralen und in alkalischen Lsungen nach dem Wasserstoffkorrosionstyp.

6.3 Korrosionserscheinungen („Korrosionsarten“) Je nach vorliegendem System Werkstoff/Medium/Einbau- und Betriebsbedingungen fhrt die elektrochemische Korrosion von Metallen zu einem charakteristischen Schadensbild, wobei stets die erw
hnten Oxidations- und Reduktionsmechanismen erhalten bleiben. Bei der fl
chigen Korrosion (uniform corrosion) wird die gesamte Werkstoffoberfl
che relativ gleichm
ßig korrodiert, wobei sich st
ndig anodische und kathodische Teilbereiche abwechseln. Un- und niedriglegierte St
hle erleiden in neutralen W
ssern und feuchter Atmosph
re, im Gegensatz zu pas-

Bild 2 a, b. Darstellung elektrochemischer Korrosionsreaktionen. a Wasserstoffkorrosionstyp; b Sauerstoffkorrosionstyp (Korrosion von Eisen in belftetem Wasser von pH 7)

I6.3 Tabelle 1. Korrosionsraten von niedriglegiertem Stahl in Meeresn
he

sivierbaren Werkstoffen (z. B. Nickel, austenitische ChromNickel-St
hle, ferritische Chromst
hle mit mehr als 13 Prozent Chrom in der Matrix gelst) berwiegend Fl
chenabtrag, da sie in diesen Medien keine schtzenden Passivschichten ausbilden knnen. In der Regel erfolgt die Korrosion nach dem Sauerstoffkorrosionstyp; es entstehen schwerlsliche Eisenhydroxide, welche unter Sauerstoffaufnahme in Eisenoxidhydrate (Rost) bergehen. Hierdurch wird der Korrosionsumsatz verringert, da der Transport des Angriffsmittels durch die gebildete Rostschicht gehemmt wird. Unter feuchten und salzhaltigen Rost- und/oder Schmutzbel
gen wird aber die lokale Ausbildung von Korrosionsmulden begnstigt. Die bei un- und niedriglegierten St
hlen durch gleichm
ßigen Fl
chenabtrag eintretenden Dicken
nderungen liegen – je nach Aggressivit
t der vorherrschenden Bewitterungszust
nde und der Stahlzusammensetzung – zwischen etwa 0,01 und 0,1 mm/Jahr. Durch die Bildung von Rostbel
gen nimmt die Korrosionsgeschwindigkeit in der Regel mit zunehmender Beanspruchungsdauer ab. In Meerwasser besitzen un- und niedriglegierte St
hle (ungeschtzt) keine ausreichende Korrosionsbest
ndigkeit. Tabelle 1 zeigt die Ergebnisse einer mehrj
hrigen Studie (Martini, 1981) an Spundw
nden in Meerwasser. In stark bewegtem Wasser (Spritzwasser, Niedrigwasser) ist die Korrosionsgeschwindigkeit aufgrund der hheren Sauerstoffzufuhr etwa um den Faktor 3 hher als in der Dauertauchzone (mit zunehmender Tiefe nimmt der Gehalt an gelstem Sauerstoff ab). Unberuhigt vergossene St
hle knnen aufgrund ungleichm
ßiger Verteilung der Elemente Phosphor, Schwefel, Kohlenstoff und Mangan erhebliche Seigerungen aufweisen. Treten Seigerungen bis zur Werkstoffoberfl
che vor, dann knnen diese bevorzugt herausgelst werden (dies ist vor allem beim Beizen der Fall), woraus die sogenannte Seigerungskorrosion (segregation corrosion) resultiert. Bei austenitischen Blechwerkstoffen fhrt der selektive Angriff auf die Seigerungszeilen an den Schnittkanten zu einer parallel der Verformungsrichtung schichtfrmig verlaufenden Sch
digung, die eine transkristalline Aufbl
tterung zur Folge haben kann. Insbesondere hochsiliziumhaltige, austenitische St
hle (z. B. X1 CrNiSi 18 154) neigen zu ausgepr
gten Seigerungen. Auch bei hochfesten, schweißbaren, ausscheidungsgeh
rteten Aluminiumlegierungen (vornehmlich an gewalzten AlZnMg-Legierungen) tritt entlang der Seigerungszeilen bzw. der beim Walzen eingeformten Ausscheidungszeilen ein transkristalliner Angriff auf. Dieser wird durch Einwirkung chloridhaltiger und/oder saurer W
sser hervorgerufen. Lochkorrosion (pitting corrosion) tritt besonders dann auf, wenn eine Metalloberfl
che partiell verunreinigt ist (z. B. Schlamm in Rohrleitungen oder W
rmetauschern) und deshalb die bedeckte Teilfl
che zwangsl
ufig als Anode fungiert, w
hrend sich die gut benetzbare Umgebung kathodisch einstellt. Unter der Bedeckung erfolgt deshalb ein rasches Vordringen der Korrosion in die Tiefe des Werkstoffs mit dem Ergebnis eines frhzeitigen Wanddurchbruchs. Besonders

Korrosionserscheinungen („Korrosionsarten“)

E 91

aber bei so genannten rost- und s
urebest
ndigen hherlegierten Chrom- und Chrom-Nickel-St
hlen besteht Lochkorrosionsgefahr in halogenidhaltigen (besonders Chlorid und Bromid) w
ßrigen Lsungen. Halogenidionen sind in der Lage, die Passivschichten derartiger St
hle (Passivschichtdicke etwa 1–10 nm) zu „durchschlagen“ und auf diese Weise lokale aktiv korrodierende anodische Zentren zu bilden. Da die Passivschichten elektronenleitend sind, fungiert die ungestrte Umgebung als Kathode: ein rasches Vordringen der Korrosion in den Werkstoff hinein ist die Folge. Die Lochkorrosionsgefahr derartiger St
hle erhht sich mit zunehmender Verunreinigung z. B. durch Mangansulfid, das im oberfl
chennahen Bereich die Ausbildung einer geschlossenen Passivschicht strt. Hier kann der Halogenidionendurchschlag leichter erfolgen (Bild 3, links). Ein besonderes Kennzeichen der Lochkorrosion nichtrostender St
hle ist das Vorhandensein eines sogenannten Lochkorrosionspotentials, bei dessen berschreitung die Lochkeimbildung beginnt. Dieses Potential liegt innerhalb des Passivbereichs des Werkstoffes und wird durch die Halogenionenkonzentration, die Elektrolyttemperatur (Bild 4), den pHWert des Mediums (Bild 5), dessen Strmungsgeschwindigkeit und die Zusammensetzung des Stahles bestimmt. Insbesondere durch steigende Molybd
n- und Chromgehalte ist bis etwa 60 C eine Verbesserung der Lochkorrosionsbest
ndigkeit zu erzielen (Bild 6). Auch bei der interkristallinen Korrosion (intergranular corrosion), bei welcher der Stoffumsatz entlang den Korngrenzen vordringt (Bild 3, rechts), sind elektrochemische Korrosionselemente wirksam. Diese Korrosionsart hat bei un- und niedriglegierten St
hlen praktisch keine Bedeutung und ist kennzeichnend fr passive Werkstoffe. Sie wurde frher als „Kornzerfall“ bezeichnet, da der Werkstoff in seine einzelnen Krner zu zerfallen scheint. Ursache ist die Bildung von Chromkarbiden des Typs Cr23C6 und Cr23C7 im Temperaturbereich zwischen 450 C und etwa 850 C. Das nunmehr an

Bild 3. Entstehung von Lochkorrosion und interkristalliner Korrosion bei rost- und s
urebest
ndigen St
hlen

Bild 4. Abh
ngigkeit des Lochkorrosionspotentials von der Temperatur (nach Wendler-Kalsch, 1998)

E

E 92

Werkstofftechnik – 6 Korrosion und Korrosionsschutz von Metallen

E Bild 5. Abhngigkeit des Lochkorrosionspotentials vom pH-Wert des Elektrolyten (nach Wendler-Kalsch, 1998)

Bild 6. Abhngigkeit des Lochkorrosionspotentials vom Gehalt an Molybdn und Chrom im Stahl (Wirksumme). Die Daten dienen dem Werkstoffvergleich; hhere Wirksummen bedeuten Verbesserung der Lochkorrosionsbestndigkeit (nach Wendler-Kalsch, 1998)

Kohlenstoff gebundene Chrom steht nicht mehr f
r die Bildung einer Passivschicht zur Verf
gung. Da es sich vorzugsweise im Korngrenzbereich ausscheidet, geht der Werkstoff dort beschleunigt anodisch in Lsung. Interkristalline Korrosion tritt besonders bei Schweißkonstruktionen aus rost- und surebestndigen Sthlen im Bereich der Wrmeeinflußzone auf. Hierbei unterscheiden sich ferritische und austenitische Sthle hinsichtlich der Gefhrdung durch die Art der Wrmeeinbringung. Die Anflligkeit f
r interkristalline Korrosion wird durch Kornzerfallsschaubilder (Gl
htemperatur-Gl
hdauer-Diagramme, Bild 7) beschrieben. Hierin wird verdeutlicht, dass austenitische Sthle (geringe Diffusionsgeschwindigkeit von Chrom im kfz-Gitter, geringe Ausscheidungsgeschwindigkeit f
r chromreiche Carbide) aufgrund der Verschiebung des Gefhrdungsgebietes zu hheren Haltezeiten insbesondere durch das Spannungsarmgl
hen geschweißter Konstruktionen gefhrdet sind. Bei ferritischen Chromsthlen ist die Geschwindigkeit der Ausscheidung chromreicher Carbide im krz-Gitter sehr hoch und kann durch eine rasche Abk
hlung nicht verhindert werden. Andererseits erfolgt durch die hohe Diffusionsgeschwindigkeit des Chroms im ferritischen Gitter die Nachdiffusion aus der unverarmten Matrix an die chromverarmten Kornrandzonen bereits nach kurzen Haltezeiten oberhalb von 600 C. Die durch das Schweißen hervorgerufene Sensibilisierung des Gef
ges kann somit nicht unterbunden werden, kann aber durch eine kurze Anlassbehandlung beseitigt werden. Bild 8 gibt

Bild 7. Kornzerfallsdiagramme f
r sensibilisierte ferritische und austenitische Sthle (nach Bumel, 1975)

Bild 8. Interkristalline Korrosion an einem Wgezellenkrper (Werkstoff-Nr. 1.4122)

den Ausschnitt eines durch interkristalline Korrosion geschdigten Verg
tungsgef
ges des Werkstoffes 1.4122 wieder. Eine f
r Kupfer-Zink-Werkstoffe (Messing) charakteristische Korrosionsart ist die sogenannte Entzinkung (dezincation). Hierbei wird der Kupfer-Zink-Mischkristall anodisch aufgelst. Die nun in Lsung befindlichen Kupferionen lassen sich leichter reduzieren als die unedleren Zinkionen, so dass der im Metall entstehende Elektronen
berschuss zur R
ckabscheidung des Kupfers aus der Lsung f
hrt. Es entsteht eine unzusammenhngende und schwammige rtlichbraune Kupferbelegung auf der ansonsten hellergelben Messingoberflche; der Werkstoff ist irreversibel geschdigt. Vor allem schwachsaure wie auch ammoniumhaltige Reinigungslsungen f
hren zu diesem Schaden. Besonders anfllig ist dabei das zinkreichere b-Messing, das selbst in Leitungswasser (Armaturen) angelst werden kann. Geringe Zustze von Zinn oder Arsen sollen die Entzinkungsgefahr abschwchen. Bei Gusseisen kennt man die Erscheinung der sogenannten Graphitierung oder Spongiose (graphitic corrosion), die besonders dort auftritt, wo die in der Regel korrosionsbestndigere Gusshaut verletzt ist. Der Graphit wirkt als lokale Kathode, die umgebende Eisenmatrix geht anodisch in Lsung. Graphit und, so vorhanden, Phosphideutektikum halten das Werkstoffvolumen zusammen. Es tritt kaum eine erkennbare Maß- oder Geometrievernderung auf, aber das Werkstoffinnere ist zerstrt und nicht mehr mechanisch belastbar: ußerlich ist der Schaden kaum zu bemerken.

I6.4


berlagerung von Korrosion und mechanischer Beanspruchung

Von besonderer Bedeutung, weil im wesentlichen konstruktiv verursacht, ist die sogenannte Spaltkorrosion (crevice corrosion). Sie ist darauf zurckzufhren, dass in engen Spalten der Austausch von Inhaltsstoffen einer Elektrolytlsung gehemmt ist und es dort zur Aufkonzentration von korrosionsfrdernden Substanzen kommen kann, so dass dieser Bereich schließlich als Anode fungiert und der besser umsplte Bereich außerhalb des Spaltes als Kathode. So kann bei passivschichtbildenden Metallen durch die Verarmung an Sauerstoff im Spalt ein Belftungselement gebildet werden, bei dem die anodische Metallauflsung ausschließlich im Spalt stattfindet. Grße und Geschwindigkeit der Verarmung hngen von der Spaltgeometrie ab (Bild 9). Da in chloridhaltigen Wssern im Spalt zudem durch die
berfhrung von Chlorid-Anionen in den Spalt zur Kompensation der durch die Metallionen gebildeten Raumladungen die Gefahr der Hydrolyse (MeCl2 + 2 H2O ! Me(OH)2 + 2 HCl) mit Bildung freier Sure besteht, ergibt sich eine ausgeprgte Neigung austenitischer Chrom-Nickel-Sthle zur Spaltkorrosion. Hierbei ist bei Spalten unter 1 mm Breite lokal mit Korrosionsgeschwindigkeiten ber 0,5 mm/Jahr zu rechnen. Spaltkorrosion tritt auch dann ein, wenn einer der spaltbildenden Werkstoffe nichtmetallisch ist. Deshalb sind mit Dichtungen versehene Flanschverbindungen spaltkorrosionsgefhrdet, insbesondere wenn das Dichtungsmaterial saugende Eigenschaften besitzt (Anreicherung von Korrosions- und Hydrolyseprodukten).

E 93

6.4
berlagerung von Korrosion und mechanischer Beanspruchung Das Werkstoffverhalten bei korrosiver und gleichzeitig wirkender mechanischer Beanspruchung unterscheidet sich grundstzlich von demjenigen bei Korrosion im eigen- u