Taller 3 Interpolación Polinomial [PDF]

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UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA FACULTAD DE INGENIERÍA ANÁLISIS NUMÉRICO TALLER 4: INTERPOLACIÓN POLINOMIAL Doc: Mg. Alvaro Espinosa Pérez Valor: 70 Puntos

Nota. Es importante realizar las gráficas de la función y del polinomio interpolador, así como los nodos de interpolación. 𝑙𝑛 𝑥

1.

Dada la función 𝑓(𝑥) =

2.

Demuestre gráficamente que la función 𝑔(𝑥 ) = (𝑒 2 + 𝑒 − 2 ) 𝑠𝑒𝑛 (𝑥) + 2 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) interpola a la función

3. 4. 5.

𝑥

halla su polinomio de Taylor de orden 2 en torno a x 0 = 1 y aproxima 𝑓(1,25). 𝜋

𝜋

𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 + 𝑒 −𝑥 en los puntos (0, 2) y (𝜋/2; 𝑒 𝜋/2 + 𝑒 −𝜋/2 ). Sea 𝑓 (𝑥 ) = √(𝑥 − 𝑥 2 ) y 𝑃2 (𝑥)el polinomio interpolante en 𝑥0 = 0 𝑦 𝑥1 = 𝑥2 = 1. Calcule el valor más grande de 𝑥1 para el 𝑓(0.5) – 𝑃2 (𝑥) = −0.25. Verifique directamente que si 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 son puntos distintos, entonces: 𝑓 [𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ] = 𝑓 [𝑥3 , 𝑥2 , 𝑥1 ] = 𝑓 [𝑥2 , 𝑥3 𝑥1 ] Compara tu respuesta con el método anterior y obtén alguna Considere la función de Bessel 1 𝜋 𝐽0 (𝑥) = 𝜋 ∫0 𝑐𝑜𝑠(𝑥 𝑠𝑒𝑛) 𝑑𝑞. Tenemos la siguiente información, x J0(x) 0 3.59 0.2 3.11 0.4 3.08

6.

a. Obtener la forma de Lagrange del polinomio interpolante. b. Interpolar J0(0.25). Calcule el error. 1 Para la función: 𝑓(𝑥) = 1+25𝑥 2. Muestre explícitamente el polinomio de interpolación de Newton considerando 1 1 3

7. 8.

9.

las siguientes listas de valores de 𝑥: [0, 4 , 2 , 4 , 1]. Dada la función 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑒 𝑥 , determina los cuatro nodos de Chebyshev en [1,5], el polinomio interpolador en dichos nodos y un valor aproximado de 𝑓(0.5) mediante el polinomio de Lagrange. Realiza los cálculos con 4 decimales. INTERPOLACIÓN DE HERMITE: a. Construyamos el polinomio de Hermite que concuerde con 𝑓 y 𝑓′ en los puntos 𝑥0 = −1, 𝑥 1 = 2, si 𝑓 (−1) = −11; 𝑓′(−1) = 14; 𝑓(2) = 4; 𝑓′(2) = 5. Calcule el error. 2 b. Consideremos la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 𝑒 −𝑥 . Usando el polinomio de Hermite que interpola 𝑓(𝑥) en los puntos 𝑥0 = −2, 𝑥1 = −1, 𝑥2 = 0 𝑦 𝑥3 = 1. Halle el valor de 𝑓 (0,5). Calcule el error. c. Use el polinomio de Hermite que concuerda con los datos listados en la tabla para encontrar una aproximación de 𝑓(1.5).

INTERPOLACIÓN POR SPLINES CÚBICOS: a. Interpolar los siguientes datos de la tabla utilizando splines cúbicos. 𝒙 𝒚

−1 −1

1 1

2 5

4 −2

b.

Interpolar por splines cúbicos la función 𝑓(𝑥) = 1/(𝑥 2 + 1) en el intervalo 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 tomando los seis puntos de abscisas 𝑥𝑘 = 𝑘/5, 𝑘 = 0, 1, 2, 3, 4, 5. 10. La viscosidad 𝜇 de un fluido depende de la temperatura T del fluido de acuerdo con la relación representada en la siguiente tabla: 11. 𝑻(𝑪°) 𝜇(𝑵. 𝒔𝒆𝒈/𝒎𝟐 )

5 0.08

20 0.015

30 0.006

50 0.006

55 0.0055

Use un método de interpolación para encontrar un estimativo para la viscosidad a 𝑇 = 25 𝑪° 𝑦 𝑇 = 40 𝑪°.