149 75 291KB
Polish Pages 37 Year 2008
Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Piotr Achinger Nr albumu: 235886
Tableaux Younga i ich zastosowania w teorii reprezentacji Praca licencjacka na kierunku MATEMATYKA
Praca wykonana pod kierunkiem dr Agnieszki Bojanowskiej–Jackowskiej Instytut Matematyki
Wrzesień 2008
Oświadczenie kierującego pracą Potwierdzam, że niniejsza praca została przygotowana pod moim kierunkiem i kwalifikuje się do przedstawienia jej w postępowaniu o nadanie tytułu zawodowego.
Data
Podpis kierującego pracą
Oświadczenie autora (autorów) pracy Świadom odpowiedzialności prawnej oświadczam, że niniejsza praca dyplomowa została napisana przeze mnie samodzielnie i nie zawiera treści uzyskanych w sposób niezgodny z obowiązującymi przepisami. Oświadczam również, że przedstawiona praca nie była wcześniej przedmiotem procedur związanych z uzyskaniem tytułu zawodowego w wyższej uczelni. Oświadczam ponadto, że niniejsza wersja pracy jest identyczna z załączoną wersją elektroniczną.
Data
Podpis autora (autorów) pracy
Streszczenie W niniejszej pracy wprowadzone zostają podstawowe pojęcia i twierdzenia teorii tableaux Younga oraz ich wybrane zastosowania: dla teorii funkcji symetrycznych (wielomiany Schura), teorii reprezentacji grup skończonych (wzór Frobeniusa) oraz teorii reprezentacji grup Liego (funktory Schura, konstrukcja Weyla).
Słowa kluczowe diagram Younga, diagram Ferrersa, tableau Younga, wielomiany Schura, wzór Frobeniusa, funktory Schura, konstrukcja Weyla
Dziedzina pracy (kody wg programu Socrates-Erasmus) 11.1 Matematyka
Klasyfikacja tematyczna 20 Group theory and generalisations 20C Representation theory of groups 20C30 Representations of finite symmetric groups 05 Combinatorics 05E Algebraic combinatorics 05E05 Symmetric functions 05E10 Tableaux, representations of the symmetric group
Tytuł pracy w języku angielskim Young Tableaux and their applications in Representation Theory
Spis treści Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Teoria tableaux Younga . . . . . . . 1.1. Operacje na tableaux . . . . . . . . 1.2. Fundamentalny fakt teorii tableaux 1.3. Wnioski. Pierścień tableaux . . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
7 8 10 12
2. Funkcje symetryczne i wielomiany Schura . . . . . . . 2.1. Funkcje symetryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Ważne przykłady baz Λ, indeksowanych podziałami λ 2.3. Wielomiany Schura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Algebraiczna postać wielomianów Schura. . . . . . . . Q 2.5. Rozwinięcia iloczynu (1 − xi yj )−1 . . . . . . . . . . . 2.6. Λ jako przestrzeń z iloczynem skalarnym . . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
15 15 15 16 17 19 20
3. Reprezentacje grup symetrycznych i wzór Frobeniusa 3.1. Charakter Mλ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Pierścień reprezentacji grup symetrycznych . . . . . . . 3.3. Pierścień reprezentacji a pierścień funkcji symetrycznych 3.4. Charakter Sλ — wzór Frobeniusa. . . . . . . . . . . . . 3.5. Wnioski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
23 24 25 26 27 27
4. Funktory Schura i konstrukcja Weyla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. Funktory Schura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Charaktery funktorów Schura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29 29 30
A. Reprezentacje nieprzywiedlne grup symetrycznych . . . . . . . . . . . . . .
33
Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
3
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
5
Wprowadzenie Niniejsza praca ma na celu ukazanie zastosowań kombinatorycznych obiektów zwanych tableaux Younga w teorii funkcji symetrycznych i teorii reprezentacji. Pierwsza część wprowadza pojęcie diagramu oraz tableaux Younga oraz ich podstawowe własności. Głównym jej wynikiem jest zdefiniowanie operacji łącznego mnożenia tableaux, a co za tym idzie pierścienia formalnych sum tableaux. W drugiej części pracy badamy własności wielomianów Schura sλ , zdefiniowanych przy pomocy homomorfizmu z pierścienia tableaux w pierścień wielomianów, które okazują się być wielomianami symetrycznymi. W szczególności udowodnione zostaje przedstawienie ich jako ilorazów pewnych wyznaczników wielomianowych. Definiujemy pierścień funkcji symetrycznych i znajdujemy jego podstawowe bazy (jedną z nich stanowią wielomiany Schura), badamy zależności pomiędzy tymi bazami i wprowadzamy iloczyn skalarny tak, aby wielomiany Schura stanowiły bazę ortonormalną. Dodatek A (logicznie stanowiący trzecią część) stanowi zbiór faktów dotyczących reprezentacji grup symetrycznych Sn . Podane zostają (bez dowodu) metody kontrukcji nieprzywiedlnych reprezentacji Sλ odpowiadających poszczególnym klasom sprzężoności λ w Sn . Przedostatnia część to wyprowadzenie wzoru Frobeniusa na charakter reprezentacji Sλ : definiujemy pierścień reprezentacji grup symetrycznych i dowodzimy jego izometrycznego izomorfizmu z pierścieniem funkcji symetrycznych. Izomorfizm ten przeprowadza sλ , stanowiące ortonormalną bazę funkcji symetrycznych, na Sλ . Na końcu podajemy kilka wniosków płynących ze wzoru Frobeniusa. W ostatniej części pokazuję zastosowanie teorii tableaux Younga w teorii reprezentacji grup macierzy. Zdefiniowane zostają funktory Schura i pokazana zostaje konstrukcja Weyla nieprzywiedlnych reprezentacji grupy GLn .
5
Rozdział 1
Teoria tableaux Younga Przez diagram Younga (lub diagram Ferrersa) rozumiemy graficzną ilustrację podziału liczby całkowitej n > 0 na sumę liczb całkowitych nieujemnych, z dokładnością do kolejności. Np. dla podziału 12 = 1 + 3 + 5 + 3 otrzymujemy diagram
Mówiąc ściślej, dla podziału n = λ1 + . . . + λk , λ1 λ2 . . . λk 0, w i-tym wierszu diagramu rysujemy λi kwadratów. Nierówności pomiędzy podziałami. Mając dane podziały λ = (λ1 , λ2 , . . .) oraz µ = (µ1 , µ2 , . . .) (liczby w nawiasach piszemy w kolejności nierosnącej), definiujemy relacje porządkujące: (1) (2) (3)
µ ¬ λ – porządek leksykograficzny, µ λ, jeśli µ1 + . . . + µi ¬ λ1 + . . . + λi dla i = 1, 2, . . . – porządek dominacji, µ ⊂ λ, jeśli µi ¬ λi dla i = 1, 2, . . . – porządek zawierania,
i zauważamy, że µ ⊂ λ ⇒ µ λ ⇒ µ ¬ λ, zaś porządek leksykograficzny jest porządkiem liniowym. Definicja 1. Przez tableau Younga (l. mn. tableaux) rozumiemy diagram Younga ze wpisanymi liczbami całkowitymi dodatnimi we wszystkie jego pola tak, aby czytane od lewej do prawej w każdym wierszu tworzyły one ciąg niemalejący, zaś czytane z góry na dół w każdej kolumnie tworzyły ciąg rosnący. Przykład 1.1. Oto przykład tableau na powyższym diagramie: 1 1 2 3 4 2 4 4 4 6 6 8 Definicja 2. Jeżeli λ = (λ1 , . . . , λk ) jest podziałem, mówimy, że tableau T jest typu (lub kształtu) λ (ozn. T : λ), jeśli po usunięciu zeń liczb otrzymujemy diagram Younga odpowiadający λ. 7
1.1. Operacje na tableaux Na tableau możemy patrzeć jak na „strukturę danych” przechowującą mulitzbiór liczb całkowitych dodatnich. Poniżej zdefiniujemy podstawowe operacje dla takiej struktury: dodawanie elementu do zbioru, usuwanie elementu ze zbioru, sumę rozłączną zbiorów. Dodawanie (Row Bumping). Mając tableau T oraz liczbę całkowitą dodatnią x, konstruujemy nowe tableau T 0 według następującego algorytmu: Listing 1.1: algorytm „Row Bumping” Schensteda 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
i := 1 while ( i−ty wiersz T jest niepusty ) and ( ostatnia liczba w i−tym wierszu T ) > x do begin j := ( numer pierwszego pola w i−tym wierszu U zawierajacego liczbe > x ) { zamiana } x : = : ( liczba w j−tym polu i−tego wiersza T ) i := i + 1 end dopisz x na koniec i−tego wiersza T wynik := T Pisząc obrazowo, staramy się dopisać x na koniec pierwszego wiersza T . Jeżeli się to nie uda (gdyż x jest mniejszy od ostatniej liczby w tym wierszu), wkładamy x na ostatnie miejsce na którym możemy go umieścić, a znajdującą się tam liczbę y wyjmujemy i próbujemy z nią tych samych operacji na następnym wierszu. Oto wynik dodania liczby 2 do powyższego tableau: 1 1 2 2 4 2 3 4 4 4 6 6 8 Warto zaznaczyć, że ten algorytm jest w pewnym sensie odwracalny, tj. znając końcową wartość i (czyli pole dodane do diagramu) możemy odwrócić kolejne kroki, otrzymując z powrotem T oraz x. Ta obserwacja przyda nam się później. Wynik dodania liczby x do tableau T oznaczamy przez T ← x Usuwanie (Sliding). Mając tableau T , wybieramy któreś z jego pól do usunięcia. Chcąc załatać powstałą lukę, wsuwamy na jej miejsce mniejszą z dwóch liczb, stojących bezpośrednio poniżej oraz po prawej od dziury. Jeżeli poniżej oraz po prawej nie ma żadnych pól, algorytm 8
się kończy. Jeżeli jest tylko jedno pole (np. jest poniżej, a nie ma po prawej), wybieramy to pole do przesunięcia. Jeżeli są oba i wpisano w nie równe liczby, musimy wybrać tę poniżej, inaczej dostalibyśmy dwie równe liczby w jednej kolumnie. Oto ilustracja procedury usuwania liczby 2 z powyższego tableau: 1 1 2 2 4 3 4 4 4 6 6 8
1 1 2 2 4 3 4 4 4 6 6 8
1 1 2 2 4 3 4 4 4 6 6 8
1 1 2 2 4 3 4 4 4 6 6 8
Łączenie 1. Mając dwa tableaux U i T , przez T ◦ U oznaczamy ich złączenie otrzymane w następujący sposób: (1) czytamy po kolei wiersze U od ostatniego, każdy wiersz czytamy od lewej do prawej, (2) w wyniku tego otrzymujemy ciąg x1 , x2 , x3 , ..., x|U| , (3) kolejno wstawiamy liczby z tego ciągu do T algorytmem bumping, (4) to, co otrzymamy w wyniku, oznaczamy przez T ◦ U.
Przykład 2.1. W wyniku pomnożenia naszego pierwszego przykładu tableau przez tableau 1 2 3 otrzymamy 1 2 4 6 8
1 1 2 3 2 3 4 4 4 6
Rektyfikacja. Przez skośny (skew) diagram Younga λ/µ, dla µ ⊂ λ (co oznacza, że µi ¬ λi ) rozumiemy diagram λ z usuniętymi polami diagramu µ. Oto przykład λ/µ dla λ = (5, 3, 3, 1) oraz µ = (2, 1, 1, 1): ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ gdzie ∗ oznacza usunięte pola. Rozszerzamy definicję tableau na skośne diagramy. Mówimy, że tableau (zwykłe) U jest rektyfikacją skośnego tableau T , jeśli po wykonywaniu algorytmu sliding dla pustych pól w T (w dowolnej kolejności, za każdym razem biorąc puste pole, które nie ma pustego pola poniżej i po prawej) otrzymamy tableau U. Jest to forma „normalizacji” skośnego tableau do zwykłego tableau. Czy jest ona jednoznaczna? Okazuje się, że tak – dowód tego faktu znajduje się w kolejnym podrozdziale. 9
Przykładowo, kolejnymi krokami rektyfikacji tableau skośnego 1 2 1 3 mogą być 1 2 1 3
1
1
1 2 3
1 2 3
1 1 2 3
1 1 2 3
1 1 2 3 .
Łączenie 2. Mając dwa tableaux T i U, rysujemy je obok siebie tak, aby prawy górny róg T zetknął się z lewym dolnym rogiem U. Otrzymujemy skośne tableau, którego rektyfikację oznaczamy przez T ∗ U. Przykładowo, powyżej policzyliśmy złączenie dla tableaux 1 3
1 2
oraz
natomiast skośne tableau dla tableaux z przykładu Łączenia 1 wygląda następująco: 1 2 3 1 1 2 3 4 2 4 4 4 6 6 8 i po rektyfikacji dostaniemy 1 2 4 6 8
1 1 2 3 2 3 4 4 4 6
1.2. Fundamentalny fakt teorii tableaux Prawdziwy jest następujący Fundamentalny Fakt. T ◦ U = T ∗ U, niezależnie od sposobu rektyfikacji. Dowód tego faktu, pochodzący od Donalda Knutha, znajdzie Czytelnik w rozdziałach 1 i 2 w książce [Ful]. Schemat tego dowodu można opisać następująco. Danemu tableau T przypisujemy pewS i ne słowo w(T ) ∈ N∗ , gdzie N∗ = ∞ i=0 N to półgrupa wolna z jedynką o zbiorze wolnych generatorów N. W N∗ wprowadzamy kongruencję ≡K równoważności słów w sensie Knutha, spełniającą warunek w(T ← x) ≡K w(T ) · x. Następnie dowodzimy dwóch faktów. Pierwszy z nich to zgodność algorytmu sliding z relacją ≡K : wykonywane przesunięcia nie zmieniają klasy równoważności w(T ) (gdzie T jest dziurawym tableau). Drugi fakt stwierdza, że dla dowolnego słowa w ∈ N∗ istnieje dokładnie jedno tableau T = T (w) takie, że w ≡K w(T ). W końcu wnioskujemy, że w(U ◦ V) ≡K w(U) · w(V) ≡K w(U ∗ V), co na mocy drugiej obserwacji daje U ◦ V = U ∗ V. 10
Definicja 3. Słowem tableau T nazywamy ciąg wpisanych weń liczb powstały z przeczytania kolejno wierszy T od dołu do góry. Przykład 3.1. Słowem tableau 1 1 2 3 4 2 4 4 4 6 6 8 jest 8 4 6 6 2 4 4 1 1 2 3 4. Definicja 4. Relacja ≡K równoważności słów w sensie Knutha to najmniejsza kongruencja rozszerzająca relacje yzx ≡ yxz
dla x < y ¬ z,
xzy ≡ zxy
dla x ¬ y < z,
Obserwacja. w(T ← x) ≡K w(T ) · x. Dowód (szkic). Należy dokonać analizy poszczególnych kroków algorytmu Schensteda. Pierwsza relacja powyżej odpowiada za „przepychanie” x przez pierwszy wiersz aż do pierwszej liczby nie większej niż x, druga zaś pozwala liczbę wybitą przez x (tutaj: z) przesuwać dalej w lewo na początek wiersza. Fakt 4.1. Jeżeli T jest tableau z wyrzuconą pewną liczbą pól, zaś R jego rektyfikacją, wówczas w(T ) ≡K w(R). Dowód (szkic). Analogicznie jak powyżej, dokonuje się analizy poszczególnych ruchów algorytmu sliding. Poziome ruchy są bardziej lokalne jeśli chodzi o ich wpływ na słowo tableau i dowód ich zgodności z ≡K jest łatwiejszy, zaś poradzenie sobie z ruchami w pionie wymaga odrobiny sprytu. Fakt 4.2. Dla dowolnego słowa w ∈ N∗ istnieje dokładnie jedno tableau T = T (w) takie, że w ≡K w(T ). Zanim przejdziemy do dowodu, potrzebna będzie nam Definicja 5. Dla w ∈ N∗ , k = 1, 2, . . . oznaczmy przez L(w, k) maksymalną łączną długość k rozłącznych niemalejących podciągów w. Dowód faktu 2. polega na dwóch obserwacjach 1. jeśli w ≡K v to L(w, ∗) = L(v, ∗), 2. jeśli w = w(T ), T : λ, λ = (λ1 , λ2 , . . .), wówczas L(w, k) = λ1 + λ2 + . . . + λk . 11
Pierwszej obserwacji dowodzi się oczywiście dla w, v różniących się jedną z zamian w definicji ≡K . Bierze się optymalne ciągi dla w i dla nich konstruuje się równie dobre ciągi dla v oraz na odwrót. Dowód drugiej obserwacji wynika z faktu, że jeżeli podciąg słowa tableau T jest niemalejący, to w każdej kolumnie T jest co najwyżej jeden wyraz tego ciągu. Na koniec pozostaje nam udowodnić, że dla w ∈ N∗ istnieje jakiekolwiek tableau T spełniające w ≡K w(T ). Oczywiście kształt λ tego tableau musi spełniać λk = L(w, k) − L(w, k − 1). Dowód istnienia odpowiedniego tableau przebiega przez indukcję względem na długość słowa.
1.3. Wnioski. Pierścień tableaux W niniejszym paragrafie ukazane zostaną bardzo ważne wnioski z równoważności obu sposobów mnożenia tableaux. Pozwolą one na stworzenie bardziej algebraicznego podejścia do teorii tableaux. Wniosek 5.1. Wynik rektyfikacji nie zależy od sposobu wybierania narożnych pól. Dowód. Niezależnie od kolejności, wynik będzie identyczny z wynikiem Łączenia 1. Wniosek 5.2. Mnożenie (oznaczane TU := T ◦ U = T ∗ U) jest łączne. Dowód. Istotnie, operacja tworzenia niezrektyfikowanego tableau dla T ∗ U opisana powyżej jest łączna, a rektyfikacja, jako niezależna od kolejności usuwania, zachowuje tę łączność. To prowadzi do zdefiniowania pierścienia tableaux R w następujący sposób: X R={ aT · T : aT ∈ Q, aT 6= 0 dla skonczenie wielu T }, T −tableau
tj. R jest przestrzenią liniową nad Q rozpiętą przez wszystkie tableaux, z mnożeniem określonym na bazie poprzez mnożenie tableaux zdefiniowane uprzednio. Potrzebny nam będzie jeszcze jeden fakt dotyczący algorytmu bumping: Lemat („Bumping lemma”). Do danego tableau T wstawiamy kolejno liczby x oraz x 0 , gdzie x ¬ x 0 , i rozważamy dwa dodane pola P i P 0 . Wówczas P jest na lewo od P 0 oraz nie wyżej niż P 0 . Dowód (szkic). Jeżeli x trafia na koniec pierwszego wiersza T , to x 0 również, co dowodzi tezy. Przypuśćmy, że x zostaje zamienione z pewną liczbą y z pierwszego wiersza. Jeżeli x 0 trafia na koniec pierwszego wiersza T , to P 0 jest wyżej niż P oraz na prawo od P. Jeśli x 0 zostaje zamienione z pewną liczbą y 0 z pierwszego wiersza, stosujemy indukcyjnie te same argumenty dla T bez pierwszego wiersza oraz x = y, x 0 = y 0 . Wniosek 5.3. Dla danego tableau T : µ oraz liczby p istnieje bijekcja pomiedzy zbiorem rozwiązań UV = T takich, że V jest typu (p) (czyli ma kształt diagramu o jednym wierszu długości p) a zbiorem podziałów λ takich, że λ ⊂ µ oraz µ/λ ma p komórek, z czego żadne dwie nie leżą w jednej kolumnie. 12
Dowód. Mając T = UV, V : (p), wiemy, że V zawiera niemalejący ciąg liczb x1 ¬ x2 ¬ . . . ¬ xp , oraz że T powstaje z wstawienia do U kolejnych liczb tego ciągu. Z lematu wiemy, że dodane pola ułożą się tak, że żadne dwa nie będą w jednej kolumnie, oraz że ich kolejność będzie odpowiadała kolejności liczb xi . Algorytm wstawiania jest odwracalny, możemy zatem mając wybranych w T p pól, z których żadne dwa nie leżą w jednej kolumnie, po kolei wyjmować je od lewej do prawej, otrzymując z powrotem V : (p) oraz rozkład UV = T . Ustalmy n oraz zdefiniujmy dla dowolnego podziału λ elementy Sλ ∈ R następującym wzorem: X T, Sλ := T :λ
gdzie T przebiega wszystkie tableaux typu λ, ale nie zawierające liczb większych niż n.
Wniosek 5.4 (Wzór Pieriego). W R zachodzi dla dowolnych p, λ następująca tożsamość, zwana wzorem Pieriego: X Sλ · S(p) = Sµ , µ
gdzie suma obejmuje wszystkie podziały µ takie, że λ ⊂ µ oraz µ/λ ma p pól, z czego żadne dwa nie są w jednej kolumnie. Definicja 6. Przez zawartość danego tableau T rozumiemy ciąg µi = liczba wystapien i w T . Mając podział λ oraz ciąg µ, definiujemy Kλµ = #(tableaux T : λ o zawartosci µ). Przez wielokrotne zastosowanie wzoru Pieriego, otrzymujemy: Wniosek 6.1. W R zachodzi dla dowolnych µi następująca tożsamość: X S(µ1 ) · S(µ2 ) · . . . · S(µk ) = Kλµ · Sλ . λ
Zauważmy, że jeżeli uporządkujemy podziały leksykograficznie, to dla µ > λ będzie Kλµ = 0, oraz Kλλ = 1. To świadczy o tym że „macierz” Kλµ jest górnotrójkątna z jedynkami na przekątnej, zatem jest odwracalna nad Z. Później skorzystamy z tej obserwacji.
13
Rozdział 2
Funkcje symetryczne i wielomiany Schura Niech Rn = Q[x1 , x2 , . . . , xn ]. Grupa permutacji Sn działa na Rn w naturalny sposób, tj. σ·xi = xσ(i) . Wielomianem symetrycznym n zmiennych nazywamy punkt stały tego działania. Oznaczmy przez Λn = RSnn zbiór tych punktów stałych.
2.1. Funkcje symetryczne Naszym zadaniem chwilowo będzie pozbycie się niewygodnego ograniczenia, jakim jest liczba zmiennych. Niech ρk : Λk+1 → Λk , ρ(w)(x1 , . . . , xk ) := w(x1 , . . . , xk , 0). Mamy zatem nieskończony ciąg: Λ0 ← Λ1 ← Λ2 ← . . . Oznaczmy przez Λ granicę odwrotną tego ciągu (tj. taki pierścień wraz z odwzorowaniami pi : Λ → Λi , że pi = ρi ◦ pi+1 oraz dla dowolnego Λ 0 wraz z odwzorowaniami pi0 : Λ 0 → Λi 0 takimi, że pi0 = ρi ◦ pi+1 istnieje dokładnie jedno odwzorowanie φ : Λ 0 → Λ takie, że 0 pi · φ = pi ). Elementy tego pierścienia nazywamy funkcjami symetrycznymi. Czytelnik nie zaznajomiony z teorią kategorii może utożsamiać funkcję symetryczną ω z ciągiem wielomianów ωi ∈ Λi takich, że ρi (ωi+1 ) = ωi . Funkcja symetryczna jest uogólnieniem wielomianu symetrycznego na dowolną liczbę zmiennych.
2.2. Ważne przykłady baz Λ, indeksowanych podziałami λ (1) Elementarne wielomiany symetryczne eλ . Są to wielomiany pojawiające się we wzorach Viete’a. Definiujemy je wpierw dla λ = (n): en (x1 , . . . , xk ) =
X
xi1 xi2 . . . xin ,
i1 n3 ...
n1 l1
X
a(n2 ,...,nk ) (x(α) ) =
n2 l2 >n3 ...
X
a(n2 ,...,nk ) (x(α) ) =
n2 l2 >n3 ...
! 1 (−1)α xn α a(n2 ,...,nk ) (x(α) )
α
=
X
X
a(n1 ,n2 ,...,nk ) (x),
n1 l1 n2 l2 >n3 ...
a biorąc pod uwagę, że dla n2 l1 składniki a(n1 ,n2 ,...,nk ) oraz a(n2 ,n1 ,...,nk ) występują po prawej stronie i się redukują, możemy dodać do tej sumy warunek l1 > n2 , co pozwala na złączenie obu sum i zakończenie dowodu. 18
2.5. Rozwinięcia iloczynu
Q
(1 − xi yj )−1 .
Rozwiniemy teraz wspomniany iloczyn na trzy sposoby, co skłoni nas do wprowadzenia szczególnego iloczynu skalarnego na Λ. (1) Wychodzimy od tożsamości Cauchy’ego: "
1 det xi + yj
Y
#k
(xi + yj ) = aδ (x1 , . . . , xk ) · aδ (y1 , . . . , yk ).
i,j=1 i,j
Aby ją udowodnić, zauważamy, że obie strony są jednorodnymi wielomianami zmiennych x1 , . . . , xk , y1 , . . . , yk stopnia n2 − n. Lewa strona z kolei jest antysymetryczna ze względu na x-y oraz na y-ki, wobec czego jest podzielna przez wyznaczniki Vandermonde’a aδ (x), aδ (y). Tożsamość zachodzi zatem z dokładnością do pomnożenia którejś ze stron przez stałą, którą wyznaczamy eksperymentalnie, porównując współczynniki przy xδ yδ , równe po obu stronach. Przekształcając tę równość, łatwo otrzymamy następującą jej postać: Y
"
#
1 1 1 = det . 1 − x i yj aδ (x)aδ (y) 1 − x i yj
Wyznacznik po prawej stronie po rozpisaniu daje nam: Y X X 1 i det xi i yσ(i) , = (−1)σ 1 − x i yj σ ,..., "
#
1
k
(rozwijamy każdy wyraz macierzy w szereg geometryczny, σ odpowiada wybranemu wyrazowi wyznacznika, zaś i mówi, który wyraz szeregu bierzemy w i-tym wierszu) X
=
1 ,...,k
=
X
det[xi i yj i ] =
x · det[yj i ] =
1 ,...,k
XX λ
λ
xσ(λ) det[yj σ(i) ] =
σ
XX X X ( (−1)σ xσ(λ) )aλ (y) = aλ (x)aλ (y) = aλ+δ (x)aλ+δ (y). λ
σ
λ
λ
Przejście od sumy po wszystkich i 0 do sumy po wszystkich podziałach λ o co najwyżej k składnikach oraz po permutacjach σ bierze się z posortowania ciągu epsilonów (tak, aby = σ(λ)). Ostatnia równość bierze się stąd, że jeżeli λ zawiera dwa równe składniki, to aλ = 0, a jeśli nie zawiera, to λ = λ 0 + δ dla unikalnego λ 0 . Udowodniliśmy zatem, na mocy tożsamości sλ = aλ+δ /aδ , rozwinięcie Y
X 1 = sλ (x)sλ (y). 1 − xi yj λ
(2) Z drugiej strony, mamy: Y i,j
Y X 1 = hn (x)yn , j 1 − x i yj n !
j
19
co po wymnożeniu i zgrupowaniu wyrazów o takich samych wykładnikach przy y z dokładnością do permutacji daje nam X hλ (x)mλ (y). = λ
(3) Z jeszcze innej strony, mamy następującą tożsamość X
hn (x)tn =
Y
n
i
= exp
Y X X (xi t)r 1 = = exp(− log(1 − xi t)) = exp 1 − xi t r r
i
X pr (x)tr r
r
=
=
Y
pr (x)tr Y X (pr (x)tr )mr = = r mr !rmr r m
exp
r
r
X λ
1 λ1
!1λ1 λ
2
!2λ2
. . . λk !kλk
pλ (x)t|λ| .
Niech z(λ) = λ1 !1λ1 λ2 !2λ2 . . . λk !kλk . Zwróćmy uwagę, że moc klasy sprzężoności permutacji o rozkładzie na cykle λ (to znaczy mającej cykle długości λ1 , λ2 , . . .), czyli po prostu liczba permutacji o takim rozkładzie w Sn , jest równa n!/z(λ) (prosta kombinatoryka). Wobec powyższego otrzymaliśmy wzór X 1 pλ . hn = z(λ) |λ|=n
Weżmy teraz
k2
zmiennych zij = xi yj . Zauważmy, że mamy pn (z) =
X
X
X
n xn i yj =
xn i
i,j
i
= pn (x)pn (y), yn j
j
skąd wynika, że pλ (z) = pλ (x)pλ (y). Mamy zatem dla t = 1: Y i,j
Y X X 1 X 1 1 1 = = pλ (z) = pλ (x)pλ (y). hn (z)tn = 1 − txi yj 1 − tzij z(λ) z(λ) n i,j
λ
λ
Wypiszmy teraz te wzory obok siebie: Y i,j
X X X 1 1 = sλ (x)sλ (y) = hλ (x)mλ (y) = pλ (x)pλ (y). 1 − xi yj z(λ) λ
λ
λ
2.6. Λ jako przestrzeń z iloczynem skalarnym Wprowadźmy iloczyn skalarny na Λ tak, aby hsλ , sµ i = [λ = µ] (gdzie [φ] = 1 gdy φ, 0 w p.p.), czyli tak, aby wielomiany Schura tworzyły bazę ortonormalną. Z powyższych wzorów P P wynika, że jeśli rozpiszemy hλ (x) = µ Aλµ sµ (x) oraz mλ (y) = µ Bλµ sµ (y), to macierze Aλµ oraz Bµλ będą do siebie odwrotne: X XX hλ (x)mλ (y) = Aλµ Bλν sµ (x)sν (y) λ
λ
X X
=
µ,ν
µ,ν
Aλµ Bλν sµ (x)sν (y) =
X µ,ν
λ
20
[µ = ν]sµ (x)sν (y).
P Zatem z liniowej niezależności sµ (x)sν (y) (baza iloczynu tensorowego) mamy λ Aλµ Bλν = [ν = µ]. Macierze A i B są więc macierzami przekształceń wzajemnie sprzężonych, czyli hλ oraz mλ stanowią bazy dualne, wobec czego hhλ , mµ i = [λ = µ]. Tak samo robimy dla pλ (x), pλ (y) i otrzymujemy w rezultacie 1 [λ = µ]. z(λ)
hpλ , pµ i =
Zdefiniujmy liczby χλµ oraz ξλµ jako współczynniki w rozwinięciach pµ w bazach odpowiednio s oraz m przy sλ oraz mλ , tj. X X ξλµ mλ . χλµ sλ = pµ = λ
λ
Wobec powyższych rozważań na temat baz dualnych i ortogonalnych, otrzymujemy równoważne wzory X 1 X 1 sλ = χλµ pµ ; hλ = ξλµ pµ . z(µ) z(λ) µ µ Współczynniki χλµ okażą się ważne w dalszych rozważaniach dotyczących charakterów reprezentacji, dlatego pokusimy się o ładniejsze ich wyrażenie: pµ (x1 , . . . , xk ) =
X
χλµ sλ (x1 , . . . , xk ) =
X
λ
χλµ
aλ+δ (x1 , . . . , xk ) , aδ (x1 , . . . , xk )
Q co po pomnożeniu obu stron przez aδ (x1 , . . . , xk ) = (xi − xj ) i wymnożeniu wyznacznika po prawej da nam Y X X (xi − xj )pµ = χλµ (−1)σ xσ(λ+δ) . i