Systemes Non Linéaires - Méthode Du Premier Harmonique [PDF]

Zitiervorschau

Systèmes non linéaires Méthode du premier harmonique par

Daniel VIAULT Ingénieur ESE (École supérieure d’électricité), Chef du Service Automatique de l’ESE

et

Patrick BOUCHER Ingénieur ESE, Chef de Travaux au Service Automatique de l’ESE

1. 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

Hypothèses fondamentales de la méthode du premier harmonique.......................................................................... Rappel concernant la linéarité .................................................................... Principe de la méthode ............................................................................... Définition du gain complexe équivalent.................................................... Principales caractéristiques non linéaires ................................................. Remarque concernant la réduction des schémas-blocs...........................

2. 2.1 2.2 2.3 2.4

Exemples de calculs de gains complexes équivalents .................. Saturation..................................................................................................... Seuil .............................................................................................................. Relais avec hystérésis ................................................................................. Jeu sans inertie aval....................................................................................

— — — — —

8 8 10 11 12

3.

Systèmes asservis non linéaires en régime libre : étude de la stabilité................................................................................. Discussion de la stabilité des auto-oscillations......................................... Exemples d’applications ............................................................................. 3.2.1 Saturation............................................................................................ 3.2.2 Seuil ..................................................................................................... 3.2.3 Plus ou moins à hystérésis ................................................................ 3.2.4 Jeu sans inertie aval........................................................................... 3.2.5 Contre-exemple .................................................................................. Compensation.............................................................................................. 3.3.1 Correcteurs linéaires .......................................................................... 3.3.2 Correcteurs non linéaires...................................................................

— — — — — — — — — — —

13 13 14 14 14 15 15 15 15 15 17

Conclusion .................................................................................................

—

19

Références bibliographiques .........................................................................

—

19

3.1 3.2

3.3

R 7 190

1 - 1983

4.

R 7 190 - 2 — 2 — 2 — 3 — 3 — 4

n automatique comme, par exemple, en mécanique, en génie électrique ou en électronique, les problèmes d’analyse et de synthèse ont d’abord été posés en se plaçant dans l’hypothèse de linéarité. Des théories et des méthodes ont ainsi été développées qui ont permis de faire des progrès notables dans les domaines des asservissements et des régulations. Néanmoins, très rapidement, l’ingénieur s’est rendu compte que cette approche ne permettait pas d’étudier le comportement de bon nombre de systèmes réels. On a donc assisté, à partir des années cinquante, à de nombreuses études et recherches dans le domaine des systèmes non linéaires. Dans une première étape, les non-linéarités ont été regardées essentiellement comme des imperfections, mais très vite les ingénieurs ont pris conscience des avantages qu’ils pouvaient tirer des non-linéarités pour la conception de systèmes plus performants. Parmi ces avantages, et à titre d’exemple, on peut

E

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citer la commande par plus ou moins qui permet, si elle est judicieusement conçue, par application du principe bang-bang, d’obtenir des réponses en temps minimal. Alors que les principes de proportionnalité et de superposition conduisent, pour les systèmes linéaires, à des formulations et à des méthodes d’analyse et de synthèse très générales, il en va tout autrement pour les systèmes non linéaires. En effet, par définition même, sous la dénomination systèmes non linéaires, se regroupent des systèmes de natures très variées, qui nécessitent des approches elles-mêmes très différentes. Une conséquence du caractère éminemment négatif de cette définition est qu’une théorie unifiée est impossible en automatique non linéaire : l’ingénieur a actuellement à sa disposition un ensemble de méthodes très différentes les unes des autres. La méthode la plus simple consiste à linéariser le système non linéaire, et en particulier à réaliser cette linéarisation dans le domaine fréquentiel. D’autres méthodes de linéarisation existent, mais elles ne seront pas présentées dans cet article ; parmi celles-ci, citons l’étude des points singuliers du système du deuxième ordre et la première méthode de Ljapunov. Cette linéarisation harmonique est le plus souvent dénommée approximation du premier harmonique ou encore describing function dans la littérature anglo-saxonne. Nota : Le lecteur trouvera un tableau des non-linéarités avec leur gain complexe équivalent (tableau 1), et les courbes des gains complexes équivalents et des lieux critiques (figures 7, 8, 9,10, 11, 25, 26, 27 et 28).

1. Hypothèses fondamentales de la méthode du premier harmonique 1.1 Rappel concernant la linéarité Au sens de l’ingénieur, un système est dit linéaire s’il est régi par des équations différentielles linéaires à coefficients constants, c’est-à-dire si sa fonction de transfert est une fraction rationnelle en p (on note p la variable de Laplace).

Figure 1 – Système linéaire

La fonction de transfert exp (– τp ) du retard pur, pour laquelle la plupart des outils utilisés en automatique linéaire s’appliquent, est généralement annexée à cette définition de la linéarité. Cela implique la validité à tout instant du principe de superposition, lequel peut s’énoncer ainsi (figure 1) : — si la réponse d’un système linéaire à une entrée x (t ) est y (t ), sa réponse à l’entrée k x (t ), k étant une constante, est k y (t ) (proportionnalité des effets aux causes) ; — si y1 (t ) et y2 (t ) sont les réponses respectivement aux entrées x1 (t ) et x2 (t ), la réponse à l’entrée x1 (t ) + x2 (t ) est y1 (t ) + y2 (t ) (additivité). On appelle système non linéaire un système ne pouvant pas être représenté par une équation différentielle linéaire à coefficients constants, c’est-à-dire pour lequel le théorème de superposition ne s’applique pas.

1.2 Principe de la méthode Soit x = X sin ωt l’entrée d’un système dont la sortie est y (t ) (figure 2).

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Figure 2 – Entrée sinusoïdale appliquée à un système non linéaire

La mise en évidence d’une non-linéarité interne au système peut être faite de plusieurs façons : — tout d’abord, on peut observer une certaine distorsion de y (t ) qui est périodique mais non sinusoïdal pur, et l’on peut noter que cette distorsion varie lorsque l’amplitude X varie ; — par ailleurs, si les résultats d’une étude expérimentale faite à l’aide d’un transféromètre (analyseur de fonction de transfert) sensible au fondamental (encore appelé premier harmonique) font apparaître un réseau de lieux de Nyquist lorsque l’amplitude X varie, cela prouve l’existence d’une non-linéarité interne (figure 3). ■ Hypothèse no 1 Nous admettons, dans ce qui suit, que ce qui concerne le temps et la fréquence (comportement dynamique) et ce qui concerne l’amplitude (comportement statique) peuvent être séparés. Cette

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hypothèse est connue sous le nom d’hypothèse de séparabilité. Cela signifie que le système de la figure 2 peut être décomposé en deux blocs, dont le premier, traditionnellement représenté par deux rectangles, représente la non-linéarité séparable et le second une fonction de transfert linéaire (figure 4). La caractéristique s (x ) de la non-linéarité séparable est donc indépendante de la façon dont elle est décrite : la caractéristique statique et la caractéristique dynamique sont alors confondues. Cette définition suggère ainsi un essai expérimental qui peut être fait pour vérifier si l’hypothèse de séparabilité est satisfaite : si la caractéristique reste identique à elle-même lorsqu’elle est décrite à des fréquences variables (correspondant au domaine d’utilisation du système), la représentation de la figure 4 peut être adoptée. ■ Hypothèse no 2 Faisons l’hypothèse que la fonction de transfert linéaire qui suit la non-linéarité séparable de la figure 4 soit un filtre passe-bas suffisamment efficace pour que l’on puisse négliger dans y (t ) les harmoniques d’ordre supérieur à 1. Cette efficacité du filtre reste assez qualitative : sur certains exemples, quelques pourcent de distorsion pourront remettre en cause la méthode, alors que, dans d’autres cas, celle-ci pourra continuer à être valablement appliquée avec un filtrage médiocre. Figure 3 – Lieux de Nyquist

1.3 Définition du gain complexe équivalent Les deux hypothèses précédentes (§ 1.2) étant vérifiées, lorsque le signal d’entrée est un signal sinusoïdal : x (t ) = X sin ωt p a r c o n v e n t i o n , o n d é fi n i t u n e f o n c t i o n s i n u s o ï d a l e w = W1 sin (ωt + ϕ) équivalente à la sortie s (t ). Si l’on se place dans le cas d’une non-linéarité symétrique, les premiers termes de la décomposition en série de Fourier s’écrivent : s (t ) = P sin ωt + Q cos ωt = W1 sin (ωt + ϕ) 2 P = ----T

avec



T

0

s ( t ) sin ω t d t

ωT = 2π 2 Q = ----T



T

0

s ( t ) cos ω t d t

Nous appellerons gain complexe équivalent le nombre complexe : P + jQ N ( X ) = -----------------X que l’on peut noter :

Figure 4 – Décomposition d’une non-linéarité séparable

Dans la pratique, selon les exemples et les plans dans lesquels on décide de travailler, on représente ce gain complexe équivalent sous forme cartésienne : P + jQ N ( X ) = ------------------X ou en notation polaire N exp (jϕ), avec

W1 P2+ Q2 N ( X ) = -------------------------- = --------X X Q ϕ ( X ) = arc tan ----P

Il est important de noter que la boîte noire non linéaire introduit un gain et un déphasage fonction de l’amplitude X.

1.4 Principales caractéristiques non linéaires

N (X ) = NP (X ) + jNQ (X ) P N P ( X ) = ------ (gain en phase) X Q NQ ( X ) = ------ (gain en quadrature) X

La figure 5 représente les caractéristiques non linéaires de base, qui peuvent s’associer de différentes façons en donnant toutes les combinaisons possibles. On trouvera un tableau complet des non-linéarités avec leur gain complexe équivalent (tableau 1).

Il s’agit donc d’une sorte de généralisation de la notion de fonction de transfert.

Les non-linéarités de la figure 5 sont symétriques, mais une composante continue peut les rendre dissymétriques.

avec et

Une non-linéarité est dite sans hystérésis ou encore sans mémoire si à une entrée x (t ) correspond une sortie et une seule s (t ).

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Figure 5 – Caractéristiques entrée-sortie s (x )

Si la caractéristique présente une hystérésis, la valeur de la sortie dépend du sens de variation de l’entrée.

1.5 Remarque concernant la réduction des schémas-blocs La réduction des schémas-blocs des systèmes linéaires repose sur le principe de superposition : on peut déplacer les capteurs et les comparateurs à condition de satisfaire les règles connues, on peut également réduire les boucles fermées partielles. Si un système possède des non-linéarités, la réduction des schémas-blocs doit faire l’objet de la plus grande attention. Dans les zones du schéma-bloc où le filtrage est suffisamment efficace pour que l’hypothèse de linéarisation soit satisfaite, on peut déplacer capteurs et comparateurs comme dans le cas des systèmes linéaires. Ainsi, pour le système représenté sur la figure 6, il ne faut pas essayer de réduire la boucle interne, mais il

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Figure 6 – Exemple de réduction d’un schéma-bloc

est possible de réduire le schéma-bloc en déplaçant la prise de point (capteur) vers la droite et le comparateur vers la gauche, pour se ramener à deux chaînes de retour en parallèle. (0)

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SYSTÈMES NON LINÉAIRES

Tableau 1 – Gains complexes équivalents les plus usuels NP (X ) et NQ (X )

Non-linéarité

 

Xm N P = Kf -------X NQ = 0

Saturation



NP = K 1 – f

∆  --------2X  

NQ = 0

Seuil

∆     --------2X  

Xm N P = K f -------–f X NQ = 0

Seuil et saturation

 

Xm N P = ( K 1 – K 2 ) f -------- + K 2 X NQ = 0

Changement de gain

Xm ∆ N P = – K 1 f ---------- + ( K 1 – K 2 ) f -------- + K 2 X 2X

 

 

NQ = 0

Changement de gain avec seuil Notations : • NP et NQ composantes en phase et en quadrature du gain complexe équivalent ; • X amplitude de la sinusoïde d’entrée ; • f (γ) fonction saturation, f étant définie par :

f (γ ) = –1 2 f ( γ ) = ----- ( arc sin γ + γ π f (γ ) = 1

pour γ < – 1 1–γ2 )

pour γ < 1 pour γ > 1

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Tableau 1 – Gains complexes équivalents les plus usuels (suite) NP (X ) et NQ (X )

Non-linéarité

4M N P = ---------πX NQ = 0

Relais idéal

4M N P = --------- + K πX NQ = 0

∆ pour X  ----2

NP = NQ = 0

∆ pour X  ----2

4M N P = ---------πX

∆ 1 – ----------2X





2

NQ = 0 Relais à seuil ∆ h pour X < ----- + ----2 2

NP = NQ = 0

∆ h pour X > --- + ----2 2

2M N P = ---------πX



∆+h 1 – ------------2X





2

+

∆–h 1 – --------------2X

2Mh N Q = – ------------2πX Relais à seuil et hystérésis Notations : • NP et NQ composantes en phase et en quadrature du gain complexe équivalent ; • X amplitude de la sinusoïde d’entrée ; • f (γ) fonction saturation, f étant définie par :

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f (γ ) = –1 2 f ( γ ) = ----- ( arc sin γ + γ π f (γ ) = 1

pour γ < – 1 1–γ2 )

pour γ < 1 pour γ > 1

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 2

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SYSTÈMES NON LINÉAIRES

Tableau 1 – Gains complexes équivalents les plus usuels (suite) NP (X ) et NQ (X )

Non-linéarité ∆ pour X < ----2

NP = NQ = 0

∆ pour X > ----2

4M N P = ---------πX

∆ 1 – ----------2X





2



+K 1–f

∆

 -------2X  

NQ = 0

4M N P = --------- + K 1 πX

pour 0 < X < X 1

NQ = 0

pour X n < X < X n + 1

4M N P = --------- + πX

n

∑ ( Ki – Ki + 1 ) f i=1

 -----X  + K Xi

n

NQ = 0

Non-linéarité générale ∆ pour X < ----2

NP = NQ = 0

2n – 1 2n + 1 pour ----------------∆ < X < ----------------- ∆ 2 2

4M N P = --------πX

n

∑ i=1



2i – 1 ∆ 1 – -------------- ---2 X



2

NQ = 0

Quantification Notations : • NP et NQ composantes en phase et en quadrature du gain complexe équivalent ; • X amplitude de la sinusoïde d’entrée ; • f (γ) fonction saturation, f étant définie par :

f (γ ) = –1 2 f ( γ ) = ----- ( arc sin γ + γ π f (γ ) = 1

pour γ < – 1 1–γ2 )

pour γ < 1 pour γ > 1

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Tableau 1 – Gains complexes équivalents les plus usuels (suite) NP (X ) et NQ (X )

Non-linéarité



2α 1 N P = --- 1 – f 1 – -----X 2



pour X > α



 

1 4α 2α N Q = – ---- ------- – ------π X X

pour X < α



2

NP = NQ = 0

Jeu sans inertie aval Notations : • NP et NQ composantes en phase et en quadrature du gain complexe équivalent ; • X amplitude de la sinusoïde d’entrée ; • f (γ) fonction saturation, f étant définie par :

f (γ ) = –1 2 f ( γ ) = ----- ( arc sin γ + γ π f (γ ) = 1

pour γ < – 1 1–γ2 )

pour γ < 1 pour γ > 1

2. Exemples de calculs de gains complexes équivalents À titre d’exemples, quelques gains complexes équivalents de non-linéarités usuelles sont calculés. On trouvera, sous forme directement utilisable (formules mathématiques, courbes), les résultats non démontrés concernant la plupart des non-linéarités rencontrées dans la pratique (tableau 1, figures 7, 8, 9, 10 et 11).

2.1 Saturation Soit Xm le niveau de saturation d’une caractéristique non linéaire, de gain unitaire dans sa partie linéaire – Xm  x  Xm. La caractéristique est représentée sur la figure 12.

Figure 7 – Gain complexe équivalent d’une saturation

■ Calcul de N (X ) Appliquons x = X sin ωt à l’entrée, on a alors :

Le calcul de Q conduit à Q = 0, ce qui était prévisible compte tenu de la quadrature entre s (t ) et cos ωt . P peut se décomposer ainsi :

s (t ) = X sin ωt pour 0  t  t1

4ω P = ------π

et s ( t ) = X sin ω t 1 = X m π pour t 1 < t < ------ – t 1 (figure 13). ω Les conditions de symétrie permettent la réduction de l’intervalle d’intégration à π/2ω :

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4ω P = ------π



π ------2ω

4ω Q = ------π



π ------2ω

0

0

s ( t ) sin ωt dt



t1

0

X sin 2 ωt dt +



π -------2ω

t1

X sin ωt 1 ⋅ sin ωt dt

ce qui conduit à :



sin 2ωt 1 2X P = ----------- ω t 1 + -------------------------π 2



Xm 1 avec t 1 = ------ arc sin -------- . ω X

s ( t ) cos ωt dt

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SYSTÈMES NON LINÉAIRES

Figure 8 – Gain complexe équivalent d’une saturation avec seuil

Figure 9 – Gain complexe équivalent d’un plus ou moins avec seuil et hystérésis

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Figure 10 – Module et phase du gain complexe équivalent d’un jeu sans inertie aval

Figure 11 – Module du gain complexe équivalent d’un jeu sans inertie aval avec saturation

2.2 Seuil

N (X ) s’écrit : N (X ) = 1



pour X  X m

Xm Xm 2 N ( X ) = ------ arc sin -------+ -------π X X

2



Xm 1 – ----------- pour X > X m X2

La figure 7 montre la courbe représentative du gain complexe équivalent.

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La figure 14 représente la caractéristique d’un seuil normalisé (pente égale à 1). ∆ Pour x  ------ : s = 0; 2 ∆ ∆ pour x > ------ : s = x – ------ ; 2 2 ∆ ∆ pour x < – ------ : s = x + ------. 2 2

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SYSTÈMES NON LINÉAIRES

Figure 12 – Saturation

Figure 14 – Seuil

Figure 13 – Signal de sortie de la saturation Figure 15 – Signal de sortie du seuil

La figure 15 donne la forme du signal de sortie quand le signal d’entrée est x = X sin ωt. Pour les mêmes raisons de symétrie que dans l’exemple précédent (saturation), le coefficient Q est nul et P s’écrit : 4ω P = --------π soit



π ------2ω

t1

∆

 X sin ωt – ----2-  sin ωt

2 ∆ ∆ P = X 1 – ----- arc sin ----------- + ---------π 2X 2X





L’amplitude du premier harmonique de la sortie, qui est un signal carré oscillant entre + M et – M , s’écrit : 4M P 2 + Q 2 = --------π

dt

∆ 2 1 –  ----------  2X



On trouvera dans la figure 8, le tracé de la courbe représentative P du gain complexe équivalent N ( X ) = ------- . X

On remarquera que cette amplitude est indépendante de h , c’est-à-dire que tous les relais délivrant ± M auront un gain complexe de même module : 4M N ( X ) = ----------πX En ce qui concerne le déphasage, on voit qu’il correspond à un retard de la sortie sur l’entrée. La figure 17 permet de calculer ce déphasage ϕ (X ) : h X sin ϕ = – ----2

2.3 Relais avec hystérésis La caractéristique d’un élément par plus ou moins avec hystérésis est représentée sur la figure 16. Lorsque l’entrée x = X sin ωt est appliquée, pour que le signal de sortie soit périodique, il est nécessaire que X soit supérieur à h /2. Si X est inférieur à h /2, le relais reste dans sa position initiale en + M ou – M. La figure 17 représente la sortie du relais lorsque X > h /2 .

h c’est-à-dire ϕ ( X ) = – arc sin ----------- . 2X On a donc : 4M N P ( X ) = -----------πX et





h 1 – ----------2X

 2

4M h 2Mh N Q ( X ) = – ----------- ----------- = – ------------πX 2X πX 2

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Figure 18 – Schématisation d’un jeu d’engrenages Figure 16 – Relais à hystérésis

Figure 19 – Caractéristiques d’un jeu sans inertie aval

Figure 17 – Signaux d’entrée et de sortie du relais à hystérésis

D’une façon plus générale, les réseaux de courbes relatives à | N (X )| et à ϕ (X ) d’un relais à seuil et hystérésis sont donnés en figures 9a et b.

2.4 Jeu sans inertie aval Le jeu est une non-linéarité fréquemment rencontrée dans les transmissions mécaniques (engrenages par exemple). La figure 18 schématise la nature physique d’une telle nonlinéarité. Soit θe la position angulaire de l’arbre d’entrée de cet organe non linéaire et θs la position angulaire de l’arbre récepteur en sortie.

Figure 20 – Signal de sortie d’un jeu sans inertie aval

En l’absence d’inertie aval, la sortie reste constante lorsque le contact est rompu entre l’arbre moteur et l’arbre récepteur. Nous avons donc affaire à une non-linéarité séparable. Il en serait tout autrement s’il existait une inertie aval, la relation sortie-entrée étant alors fonction de la variation temporelle θe (t ), l’hypothèse de séparabilité ne serait pas satisfaite et la méthode du premier harmonique deviendrait inapplicable. La figure 19 représente la caractéristique du jeu sans inertie aval, 2α étant l’amplitude totale du jeu. Les droites BC et DA correspondent au mouvement dans un sens et dans l’autre, lorsqu’il y a contact entre l’arbre moteur et l’arbre récepteur. Les portions

AB et CD correspondent à un changement de sens de rotation de l’arbre moteur, la sortie restant constante θs = θs 0.

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Partie DA : θ s ( t ) = θ e ( t ) – α Partie AB : θ s ( t ) = θ s0 Partie BC : θ s ( t ) = θ e ( t ) + α Partie CD : θ s ( t ) = – θs0 Lorsque l’arbre moteur est animé d’un mouvement sinusoïdal θe = θmax sin ωt , la sortie définie par les quatre équations précédentes est représentée sur la figure 20.

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Le gain complexe équivalent du jeu a pour module et pour argument : 1 N ( X ) = --------- ( 1 + cos 2a ) 2 + ( π + 2a + sin 2a ) 2 2π 1 + cos 2a ϕ = arc tg -------------------------------------------π + 2a + sin 2a





2α avec a = arc sin 1 – --------------- . θ max

SYSTÈMES NON LINÉAIRES

3.1 Discussion de la stabilité des auto-oscillations Énoncé du critère de Loeb (sans démonstration) : L’oscillation est stable si l’intersection de L (jω) et de – 1/N (X ) est telle que, en parcourant le lieu de Nyquist L (jω) dans le sens des fréquences croissantes, on laisse à gauche la direction des X croissants sur le lieu critique (figure 23).

Les courbes représentatives de ces fonctions sont données en figure 10. On trouvera, par ailleurs, en figure 11 les courbes du jeu sans inertie aval avec saturation.

3. Systèmes asservis non linéaires en régime libre : étude de la stabilité

Dans cet énoncé, il est nécessaire de remplacer « gauche » par « droite » si l’étude de la stabilité est faite dans le plan de Black. Sans faire explicitement appel au critère de Loeb, il est possible de discuter la nature du point d’intersection par un raisonnement physique simple. Soit Xc et ωc les paramètres de l’intersection ; supposons les système bouclé amené au régime x = Xc sin ωc t sous l’effet d’une action extérieure qui est supprimée lorsque ce fonctionnement sinusoïdal est établi.

Considérons le système bouclé de la figure 21, où N (X ) est le gain complexe équivalent d’une non-linéarité séparable et L ( p ) la fonction de transfert d’un filtre passe-bas. Étudions la stabilité en régime libre (ou autonome), c’est-à-dire à entrée nulle. Soit x l’entrée de la non-linéarité. La condition nécessaire d’auto-oscillation dans cette boucle est l’annulation du dénominateur de la fonction de transfert en boucle fermée. L’équation caractéristique :

Figure 21 – Système non linéaire bouclé à retour unitaire

1 + N ( X ) L ( jω ) = 0 fournira donc l’amplitude X et la pulsation ω des auto-oscillations, si elles existent. Cette équation caractéristique peut encore s’écrire : 1 L ( j ω ) = – -----------------N (X ) Sous cette forme, la condition nécessaire d’auto-oscillation se résout aisément dans les plans de Nyquist ou de Black. Il suffit en effet de chercher les points d’intersection des deux courbes représentant respectivement les variations de L (j ω) en fonction de ω et les variations de – 1/N (X ) en fonction de X . La courbe représentative de – 1/N (X ) est appelée lieu critique (figure 22) ; il s’agit d’une généralisation de la notion de point critique déjà introduite pour l’étude de la stabilité des systèmes linéaires (cf. article Systèmes et signaux déterministes. Transformées et abaques [R 7 010] dans la présente rubrique Automatique). Dans ce qui suit, nous donnons des interprétations graphiques de la résolution de 1 + N (X ) L (jω) = 0, équation dont les racines peuvent évidemment être calculées numériquement par des méthodes de programmation non linéaire.

Figure 22 – Discussion de la stabilité dans le plan de Nyquist

Remarque : L (jω) = – 1/N (X ) est une condition nécessaire d’auto-oscillation, mais non suffisante : il reste à savoir si les régimes d’auto-oscillation déterminés par la méthode précédente sont stables ou instables, c’est-à-dire s’ils ont ou non une existence physique.

Figure 23 – Critère de Loeb dans le plan de Nyquist

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SYSTÈMES NON LINÉAIRES ______________________________________________________________________________________________________________

Prenons le cas de fonctionnement représenté sur la figure 24. Si l’amplitude est soumise à une variation ∆Xc > 0, le nouveau point critique se trouve en : Xc = Xc + ∆Xc Vis-à-vis de ce point critique, le système est stable (critère de Nyquist), il y a donc diminution des amplitudes, et l’on tend à revenir au point initial. Si l’amplitude est soumise à une variation négative ∆Xc < 0, le nouveau point critique est en : Xc 2 = Xc + ∆ Xc Vis-à-vis de ce point critique, le système est instable (critère de Nyquist), il y a donc augmentation des amplitudes et, de ce fait, on tend à revenir au point initial. On peut donc conclure à la stabilité des auto-oscillations. Un raisonnement analogue dans le cas de la figure 23b conduirait à l’instabilité des auto-oscillations.

Figure 24 – Variation du point critique dans le plan de Nyquist

Nota : la discussion de la stabilité peut aussi s’effectuer, en particulier pour les non-linéarités sans mémoire, par application du critère de Routh dans lequel N (X ) intervient alors dans les coefficients du tableau ; il est en général nécessaire de connaître les valeurs maximale et minimale du gain complexe N (X ).

Les figures 25, 26, 27 et 28 donnent la représentation, dans le plan de Nyquist ou de Black-Nichols, des lieux critiques de non-linéarités à mémoire.

3.2 Exemples d’applications 3.2.1 Saturation La figure 29 représente, dans les plans de Nyquist et de Black, les courbes représentatives de la fonction de transfert L (jω) et du 1 lieu critique – ---------------- . N (X ) Dans le cas de la saturation, N (X) est réel, le lieu critique – 1/N (X ) est donc tout ou partie de l’axe réel négatif dans le plan de Nyquist, et tout ou partie de l’axe l’abscisse – π dans le plan de Black-Nichols. Le point critique reste en – 1 tant que la saturation n’est pas atteinte (0  X  Xm) ; le point critique se déplace comme il est indiqué sur la figure 29 lorsque l’amplitude X croît. Le raisonnement du paragraphe 3.1 permet de conclure à la stabilité du point (ωc , Xc ) : des oscillations x = Xc sin ωc t prendront effectivement naissance dans la boucle.

3.2.2 Seuil 1 La figure 30 représente les courbes L (jω) et – ----------------- . Il faut N (X ) remarquer que ces courbes ont même allure que celles du paragraphe précédent relatives à la saturation, mais que le lieu critique est parcouru dans le sens opposé. En effet, pour le seuil, c’est quand X tend vers l’infini que le lieu critique tend vers le point critique (– 1) des systèmes linéaires. L’application du critère de Loeb ou du raisonnement physique du paragraphe 3.1 montre que le régime théorique d’auto-oscillation x = Xc sin ωc t n’a aucune existence réelle. Cet exemple permet de mettre en évidence une propriété importante des systèmes non linéaires : la stabilité n’est pas une propriété intrinsèque des systèmes non linéaires, leur comportement ne dépend pas uniquement d’eux-mêmes, il dépend également de l’amplitude des signaux mis en jeu.

R 7 190 − 14

1 N

Figure 25 – Lieu critique – ------ du jeu sans inertie aval dans le plan de Black-Nichols

En effet, pour des excitations donnant naissance à des signaux correspondant à des points critiques situés à gauche du point Xc , le système revient à son point d’équilibre. On appelle stabilité asymptotique ce point de stabilité. Par contre, pour des signaux correspondant à des points critiques situés à droite de Xc , le système est divergent.

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SYSTÈMES NON LINÉAIRES

3.2.4 Jeu sans inertie aval 1 Le lieu critique – ---------------- est représenté sur la figure 33 dans le N (X ) plan de Black. Soit une partie linéaire L (jω) dont la courbe est représentée en I : le système est alors stable (pas d’intersection). La courbe II par contre donne deux régimes possibles d’auto-oscillations, (ω1, X1) et (ω2, X 2 ). L’application du critère de Loeb permet de conclure à la stabilité des auto-oscillations x = X1 sin ω1t . Toutefois, ce régime n’est atteint que si, au sens du premier harmonique, des signaux d’amplitude supérieure à X2 ont pris naissance dans la boucle. En effet, pour des amplitudes faibles X < X2, le système a un comportement asymptotiquement stable caractérisé par une décroissance de X dont la position d’arrêt est à l’intérieur de la fourchette du jeu.

3.2.5 Contre-exemple Soit un système linéaire du premier ordre commandé par un relais à hystérésis (figure 34).

3.2.3 Plus ou moins à hystérésis

1 Le tracé du lieu critique – ----------------- ainsi que celui de L (jω) (figure 35) N(X ) sembleraient montrer que le système bouclé n’oscille jamais quel que soit le gain K . Or, un raisonnement physique simple montre que, pour KM < h /2, le système reste bloqué dans une des positions – M h ou + M et que, pour KM > ------ , le système est le siège d’auto-oscil2 lations entretenues. Sur cet exemple, la méthode de l’approximation du premier harmonique est donc mise gravement en défaut. Cela tient, d’une part, au fort taux d’harmoniques contenu dans le signal carré, d’autre part, à la faiblesse du filtrage passe-bas par la constante de temps.

1 Les résultats du paragraphe 2.3 permettent le calcul de – -----------------N(X ) du relais à hystérésis :

3.3 Compensation

1 N

Figure 26 – Lieu critique – ------ du jeu sans inertie aval avec saturation dans le plan de Black-Nichols

h X > ------ ; 2

4M N = ----------πX h ϕ = – arc sin ----------2X

et

1 1 – ------- = ------ exp ( – j ϕ ) N N 1 πX Re – ------------------ = – ----------- cos ϕ N(X ) 4M 1 πX lm – ------------------- = ----------- sin ϕ N(X ) 4M 1 – πh lm – ------------------ = --------------N (X ) 8M







soit







Le lieu critique est donc une demi-droite dans le plan de Nyquist (figure 31). La graduation du lieu peut s’effectuer en tenant compte du fait que le rayon vecteur OA relatif à une amplitude X a pour module : 1 πX ------- = ρ = -----------N 4M Remarque : le lieu critique du relais sans hystérésis peut être considéré comme un cas particulier (h = 0) du cas précédent et se réduit au demi-axe réel négatif du plan de Nyquist.

Plaçons-nous dans le cas où, pour satisfaire aux spécifications portant sur la précision, la rapidité et l’allure de la réponse temporelle, on est conduit à une valeur du gain telle qu’une non-linéarité du type imperfection engendre des auto-oscillations. Il est donc nécessaire de corriger ce système non linéaire. Deux familles de correcteurs s’offrent à l’ingénieur, les correcteurs linéaires et les correcteurs non linéaires.

3.3.1 Correcteurs linéaires Les principes fondamentaux des correcteurs linéaires présentés dans l’article Principes généraux de correction [R 7 405] sont tout à fait transposables dans le cas de non-linéarités. L’approche la plus simple consiste, dans le domaine fréquentiel, à faire subir des déformations aux courbes représentatives de L (jω), de telle façon que l’équation 1 + N (X ) L (jω) = 0 n’ait plus de solution. À titre d’exemple, reprenons le cas d’un asservissement possédant une non-linéarité du type jeu sans inertie aval. Sans compensation, le système oscille à la pulsation ω0 et à l’amplitude X0. Un correcteur à avance de phase permet de déformer la courbe L (jω) comme il est indiqué figure 36, de telle sorte que tout danger d’auto-oscillations soit écarté, quelles que soient les amplitudes mises en jeu.

L’application du critère de Loeb à la discussion du comportement du système de la figure 32 conduit à la conclusion que x = Xc sin ωc t est un régime auto-oscillatoire stable.

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R 7 190 − 15

SYSTÈMES NON LINÉAIRES ______________________________________________________________________________________________________________

Figure 27 – Lieu critique d’un relais à hystérésis et seuil dans le plan de Nyquist en fonction de h/ 

Figure 28 – Lieu critique d’un relais à hystérésis et seuil dans le plan de Black-Nichols en fonction de h/ 

R 7 190 − 16

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SYSTÈMES NON LINÉAIRES

La figure 37 permet l’étude d’un système à non-linéarité sans mémoire qui est le siège d’auto-oscillations d’amplitude X0 et de pulsation ω0. Il apparaît nettement qu’un réseau à avance de phase tend à diminuer l’amplitude ( X0’ < X0) et à augmenter la pulsation ( ω′0 > ω 0 ) des auto-oscillations. L’avance de phase maximale a été choisie en ω0.

3.3.2 Correcteurs non linéaires Une non-linéarité étant, dans le cadre de l’approximation du premier harmonique, une boîte noire introduisant un gain et un déphasage fonction de l’amplitude, il est intéressant dans certains cas de concevoir des correcteurs ayant eux-mêmes des caractéristiques fréquentielles fonction de l’amplitude. Le but recherché est donc de faire plus ou moins agir des correcteurs classiques (avance de phase, retard de phase par exemple) en fonction de leur amplitude d’entrée. À titre d’exemples, la figure 38 présente trois correcteurs non linéaires, dont le comportement est fonction de l’amplitude d’entrée.

Figure 30 – Seuil : étude de stabilité

Figure 31 – Lieu critique d’un relais à hystérésis

Figure 29 – Saturation : étude de stabilité

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R 7 190 − 17

SYSTÈMES NON LINÉAIRES ______________________________________________________________________________________________________________

Figure 35 – Plan de Nyquist. Lieu critique d’un relais à hystérésis et lieu de Nyquist d’un système du premier ordre

Figure 32 – Relais à hystérésis : étude de stabilité dans le plan de Nyquist

Figure 36 – Jeu sans inertie aval. Configurations avec et sans correcteur linéaire sur L (j  ) dans le plan de Black-Nichols Figure 33 – Jeu sans inertie aval : étude de stabilité dans le plan de Black-Nichols

Figure 34 – Système du premier ordre commandé par relais à hystérésis

Figure 37 – Plan de Black-Nichols. Modification de l’amplitude et de la pulsation des auto-oscillations par l’introduction d’un correcteur à avance de phase

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SYSTÈMES NON LINÉAIRES

Figure 38 – Correcteurs non linéaires

4. Conclusion La méthode de l’approximation du premier harmonique présente pour l’ingénieur un intérêt considérable pour l’étude des systèmes bouclés possédant une non-linéarité. Elle permet, d’une part, au niveau d’un projet, d’évaluer les imperfections admissibles donc de spécifier des composants, d’autre part, de comprendre le comportement donc de corriger un système existant.

Néanmoins, cela reste une méthode approximative dont il est difficile en général d’évaluer l’erreur commise. Il a même été montré que, dans certains cas, cette méthode pouvait conduire à des conclusions qualitativement erronées (contre-exemple, § 3.2). Nous conseillons toutefois de l’appliquer systématiquement dans une première étape quand cela s’avère possible, quitte à en comparer et critiquer les résultats avec ceux d’autres méthodes. Parmi les autres méthodes, citons la simulation numérique, la méthode de Cypkin pour les asservissements à relais et des méthodes topologiques. On trouvera en particulier en [3] une présentation exhaustive des méthodes de l’automatique non linéaire.

Références bibliographiques [1]

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WILLEMS (J.L.). – Stability theory of dynamical systems. Nelson (1970). GIBSON (J.E.). – Nonlinear automatic control. McGraw-Hill (1963). NASLIN (P.). – Les régimes variables dans les systèmes linéaires et non linéaires. Dunod (1962). SILJAK (D.). – Nonlinear systems. Éditions. J. Wiley (1969). MIRA (C.). – Systèmes asservis non linéaires. Hermès, collection « Traité des Nouvelles Technologies », 424 p. (1990).

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