Svingning av konstruksjoner [2 ed.] 8251911397 [PDF]

Zitiervorschau

Pål G. Bergan

Per Kr. Larsen

Egil Mollestad

SVINGNING AV KONSTRUKSJONER

2. utgave

Nasjonalbiblioteket Depotbiblioteket

TAPIR FORLAG

© TAPIR FORLAG, 1993 ISBN 82-519-1139-7 Det må ikke kopieres fra denne boka ut over det som er tillatt etter bestemmelsene i "Lov om opphavsrett til åndsverk", "Lov om rett til fotografi" og "Avtale mellom staten og rettighetshavernes organisasjoner om kopiering av opphavsrettslig beskyttet verk i undervisningsvirksomhet". Brudd på bestemmelsene vil bli anmeldt. Første utgave 1981 Andre utgave 1986 Opptrykk 1993

Trykk: Tapir Bind: Sandnes Bokbinderi A/S

FORORD Svingning av konstruksjoner er et fagområde som blir stadig mer aktuelt for ingeniører. Dette skyldes blant annet utviklingen av slankere konstruksjons­ typer og høyere utnyttelse av materialene, som igjen fører til mer svingningsømfindtlige konstruksjoner. Videre har dette også en sammenheng med en økende forståelse av den dynamiske oppførsels betydning for konstruksjonens funksjon, levetid og sikkerhet. Hovedårsaken til den voksende interessen for svingning må imidlertid her i Norge søkes i den stadig økende aktivitet på kontinentalsokkelen, hvor de dynamiske laster fra bølger og strøm i sammen­ heng med konstruksjonens respons er avgjørende for valg av konstruksjons­ type og dimensjoner. Denne boken er ment å gi det teoretiske fundament for konstruktører og ana­ lytikere som skal arbeide med dynamiske konstruksjonsproblemer. Hoved­ vekten er lagt på det dynamiske system med bare en frihetsgrad. Videre er klassiske metoder basert på differensialligning i tid og rom behandlet. Dette gir bakgrunnen for anvendte beregningsmetoder basert på matrise- og element­ formuleringer, som idag vinner en stadig mer dominerende plass innen den dynamiske analyse av større konstruksjoner. Framstillingen er i hovedsak basert på en deterministisk modellering av last og respons, men en kort inn­ føring i stokastisk svingningsanalyse er også gitt plass i boken. De ulike problemstillinger er illustrert ved en rekke enkle beregningseksempler. Boken er først og fremst tenkt som en lærebok i faget ”Svingning av konstruk­ sjoner” som undervises på Bygningsingeniøravdelingen ved NTH. Den følger samme oppsett og notasjon som de tidligere utgitte lærebøkene ”Matrisestatikk og ”Knekning av søyler og rammer”. Disse bøkene, som danner en serie, er ment å utgjøre en grunnstamme for den videregående statikkundervisningen ved NTH. Forøvrig gjøres det oppmerksom på at boken "Dynamisk analyse av konstruksjoner” av Ivar Langen og Ragnar Sigbjbmsson (Tapir, 1979), utfyller denne boken når det gjelder mer avanserte emner, dette gjelder spesielt stokas­ tisk analyse.

Forfatterne ønsker å takke Jon Aas for assistanse ved datamaskinstyrt uttegning av en del diagrammer. Magne Nygård har vært behjelpelig ved korrekturles­ ningen. Manuskriptet er maskinskrevet av Toril Jørgensen, Brit Mauring og Sidsel Holter-Sørensen. Guri Berge har utført illustrasjonene. Trondheim, juni 1981

forfatterne

FORORD TIL 2. UTGAVE

Denne utgaven av "Svingning av konstruksjoner” tilsvarer førsteutgaven, bort­ sett fra oppretting av trykkfeil og noen små modifikasjoner av teksten.

Trondheim, november 1985

forfatterne

INNHOLD 1.

INNLEDNING ................................................................... 1.1 Generell bakgrunn........................................................................... 1.2 Karakterisering av det dynamiske problem....... .......................... 1.3 Prinsippet for formulering av dynamiske likevektsligninger.....

1 3 5 6

2.

SYSTEMER MED EN FRIHETSGRAD................................................. 2.1 Dynamisk likevekt .......................................................................... 2.2 Fri svingning .................................................................................... 2.2.1 Udempet system (c = 0) .................................................... 2.2.2 Dempet system (c 4= 0) ....................................................... 2.2.3 Måling av dempning ........................................................... 2.3 Tvungen svingning ved enkel harmonisk last ............................... 2.3.1 Udempet system (c = 0) .................................................... 2.3.2 Dempet system (c 4= 0) ...................................................... 2.4 Generell periodisk last ................................................................... 2.4.1 Tilpassing av vilkårlig periodisk last ................................ 2.4.2 Responsberegning på eksponensiell form ........................ 2.5 Impulslaster ........................ 2.5.1 Dynamisk respons for impuls ........................................... 2.5.2 Forenklet beregning for kort impuls ............................... 2.6 Duhamelintegralet...........................................................................

11 13 17 17 19 24 26 26 29 38 38 42 44 44 48 52

3.

LØSNING AV DIFFERENSIALLIGNINGEN FOR KONTINUERLIGE SYSTEMER .................................................... 57 3.1 Aksialsvingninger i staver ............................................................... 3.2 Torsjonssvingninger i staver ........................................................... 3.3 Svingende streng ............................................................................ 3.4 Svingning av bjelker ........................................................................ 3.4.1 Etablering av differensialligningen .................................. 3.4.2 Løsning av differensialligningen for fri svingning........... 3.4.3 Løsning av bjelke-og rammesystemer ............................. 3.4.4 Aksialkraftens innflytelse på bøyesvingninger ................ 3.4.5 Innflytelse av skjærdeformasjon og rotasjonstreghet .... 3.4.6 Innvirkningav viskøs dempning ........................................ 3.5 Svingning av plater ........................................................................

59 64 65 68 68 70 74 77 80 83 84

4.

DYNAMISKE PRINSIPPER..................................................................... 89 4.1 Potensiell energi og virtuelt arbeid ............................................... 91 4.2 Hamiltons prinsipp ........................................................................ 94 4.3 Lagranges ligninger ........................................................................ 100

— VIII —

5.

ENERGIMETODER....................................... 5.1 Rayleighs metode ............................................................................. 5.2 Rayleigh-Ritz metode...................................................................... 5.3 Elementmetoden.............................................................................. 5.3.1 Dynamiske ligninger for et element.................................. 5.3.2 Dynamiskeligninger for et elementsystem ....................... 5.3.3 Stavelementer ..................................................................... 5.3.4 Bjelkeelementer .................................................................. 5.3.5 Elementer for plane rammer ............................................. 5.3.6 Elementer for romlige rammer .......................................... 5.3.7 Konsentrerte masser og stivheter...................................... 5.4 Konsentrert massematrise ............................................................... 5.5 Aksialbelastede systemer ................................................................ 5.6 Overslagsmetoder og valg av beregningsmodell ............................ 5.7 Virkningen av konsentrerte tilleggsmasser ..................................

107 109 116 122 122 125 127 130 135 138 141 142 146 149 156

6.

EGENVERDIER, FUNDAMENTEKSITASJON OG DEMPNING ..... 6.1 Ortogonalitetsegenskaper for svingeformene ................................ 6.2 Beregning av egenverdier ................................................................ 6.2.1 Generelt om egenverdiproblemet i svingning .................. 6.2.2 Metoder basert på similaritetstransformasjoner .............. 6.2.3 Invers vektoriterasjon ........................................................ 6.2.4 Simultan vektoriterasjon .................................................... 6.3 Modal superposisjon......................................................................... 6.3.1 Udempet system ................................................................. 6.3.2 Dempet system ................................................................... 6.3.3 Diskusjon av modal superposisjon .................................... 6.4 Reduksjon av størrelsen på det dynamiskeproblemet ................. 6.4.1 Statisk kondensering .......................................................... 6.4.2 Rayleigh-Ritz kondensering .............................................. 6.4.3 Mester-slave metoden ......................................................... 6.5 Superelementteknikk ....................................................................... 6.6 Modal syntese ................................................................................... 6.7 Eksitasjon fra fundament ................................................................ 6.8 Dempning .......................................................................................... 6.8.1 Energidissipasjon ved dempning ....................................... 6.8.2 Viskøs dempning................................................................. 6.8.3 Hysteresedempning ........................................................... 6.8.4 Ytre dempning .................................................................... 6.9 Representasjon av dempning .......................................................... 6.9.1 Rayleigh-dempning ............................................................. 6.9.2 Wilsons metode for ortogonal dempningsmatrise ..........

161 163 166 166 168 169 170 171 171 174 175 177 177 180 181 183 185 187 192 192 194 197 200 201 201 203

-IX-

7.

NUMERISK INTEGRASJON AV EKSITERTE SYSTEMER ............. 7.1 Innledende betraktninger ............................................................... 7.2 Numerisk integrasjon av Duhamelintegralet ................................ 7.3 Differansemetoder............................................................................ 7.3.1 Den sentrale differansemetode ......................................... 7.3.2 Houbolts metode ............................................................... 7.4 Metoder basert på numerisk integrasjon ....................................... 7.4.1 Konstant initiell aksellerasjon .......................................... 7.4.2 Konstant gjennomsnittsaksellerasjon ............................... 7.4.3 Lineær aksellerasjon .......................................................... 7.4.4 Newmarks £-metoder ...................................................... 7.4.5 Generaliserte Newmarkmetoder ....................................... 7.4.6 Runge-Kutta-metoder ........................................................ 7.5 Integrasjon av systemer med mange frihetsgrader........................ 7.6 Vurdering av integrasjonsmetodene ............................................... 7.6.1 Oversikt over kriterier ........................................................ 7.6.2 Stabilitet .............................................................................. 7.6.3 Nøyaktighet ........................................................................ 7.6.4 Andre forhold .....................................................................

205 207 209 210 210 212 213 213 215 216 217 219 222 223 226 226 226 229 233

8.

STOKASTISK ANALYSE........................................................................ 8.1 Fouriertransformasjon .................................................................... 8.2 Løsning i frekvensplanet ................................................................. 8.2.1 Sammenhengen mellom H(uj) og h(t) ............................. 8.3 Stokastiske prosesser....................................................................... 8.3.1 Sannsynlighetsteoretiske definisjoner.............................. 8.3.2 Stasjonære og ergodiske prosesser .................................... 8.3.3 Autokorrelasjon og spektraltetthet.................................. 8.4 Responsberegning for lineære systemer ....................................... 8.4.1 Respons forventningsverdi ................................................ 8.4.2 Responsens autokorrelasjon og autospektrum................ 8.5 Responsstatistikk.............................................................................. 8.5.1 Terskelkrysningsfrekvens .................................................. 8.5.2 Fordeling av responstopper for smalbåndsprosesser ......

235 237 240 241 242 242 244 247 254 254 255 264 265 267

9.

LITTERATUR

269

INNLEDNING

-3-

1.1

Generell bakgrunn Utviklingen i retning av bruk av mer høyfaste materialer,

høyere utnyttelse av materialfasthetene og stadig dristigere

utforming har ført til at dagens bygningskonstruksjoner er mer

følsomme overfor dynamiske belastninger enn eldre byggverk.

Det

kan derfor være påkrevet for nåtidens konstruktør å ta hensyn til den dynamiske oppførsel ved planlegging, utforming og beregning

av en konstruksjon.

Det er imidlertid utbyggingen av faste kon­

struksjoner i Nordsjøen som her i landet de siste årene har ført til sterkt øket interesse for problemene vedrørende dynamisk respons av konstruksjoner.

Typiske konstruksjoner med potensielle dynamiske problemer

er: Kabel- og hengekonstruksjoner (vind, bølger) Brokonstruksjoner, kaier (trafikklast, vind, støt)

Kraftstasjoner, dammer (eksplosjon, støt)

Master, tårn, skorsteiner

(vind)

Marine konstruksjoner (strøm, bølger, vind) Industribygg (roterende masser, støt) Husbygg

(bevegelige laster, vind)

Maskiner, skip, biler, fly (bevegelige laster, ytre faktorer)

I en rekke strøk av verden er jordskjelvseksitasjon den dimen-

sjonerende belastning for svært mange bygningskonstruksjoner. Her i landet har vi vært forskånet for større jordskjelv, men

Oljedirektoratet foreskriver i dag at alle konstruksjoner på

sokkelen skal dimensjoneres også for denne belastning.

For an­

legg hvor konsekvensene av sammenbrudd er store (kjernekraftverk,

petrokjemisk industri) vil man i fremtiden også matte vurdere jordskj elvsbelastninger. Den dynamiske respons kan gjøre en konstruksjon uakseptabel av følgende årsaker:

-4-

1) Funksjonelle krav er overskredet.

Det vanligste

problem her er at akselerasjoner (og hastigheter) overskrider menneskers eller maskiners toleranse­

grenser .

2) Dynamiske effekter kan føre til høy belastning med mekaniske skader eller sammenbrudd som følge.

3) Utmatning av materialet på grunn av lastvekslinger. Variasjoner i spenningsnivået kan medføre materialutmatning og brudd samt vekst av sprekker, med den

følge at konstruksjonen kan bryte sammen. Hovedvekten vil i denne boken bli lagt på generelle metoder for beregning av responsen for systemer med en eller flere frihets­

h be.£cutn£ng (belastningsforløpet

grader, og med

forutsatt kjent).

Oppmerksomheten fokuseres primært på metoder

for løsning av systemets differensialligninger i t-idAp-banzi, idet

dette danner grunnlaget for en forståelse av dynamiske systemers oppførsel.

Men boken vil også behandle metoder for løsning av

k. b0,-ba.^tn^ng (nøyaktig lastforløp

systemer utsatt for éto

ukjent, men visse statistiske egenskaper ved lasten er kjent).

Ved stokastisk analyse benyttes løsning i

en-6p£ane.t, eller

simulering i tidsplanet. Selv om det idag er en voksende erkjennelse av at de fleste dynamiske belastninger har en ikkedeterministisk karakter, blir

løsninger i tidsplanet som oftest foretrukket.

Dette skyldes

primært regnetekniske og økonomiske forhold, idet stokastiske beregningsmetoder

blir

i

regelen

tidskrevende og dyre for

konstruksjoner med et stort antall frihetsgrader.

Videre har man

pr. idag ikke tilgjengelige generelle stokastiske metoder for

ikkelineære problemer, og slike problemer vil derfor for eksempel

måtte løses ved Monte Carlo simulering i tidsplanet.

-5-

1.2

Karakterisering av det dynamiske problem Det som karakteriserer de dynamiske problem er deres tids-

avhengighet, det vil si tiden kommer inn som en ny dimensjon i løsningen.

Dette medfører ofte at det dynamiske egenverdiproblem

må løses, eller at en dynamisk forstørrelsesfaktor må tas med, eller

endog at den totale responsen av konstruksjonen må

finnes ved integrasjon langs tidsaksen (initialverdiproblem).

De faktorer som er avgjørende for den dynamiske oppførselen av en konstruksjon er: 1) Systemets stivhetsegenskaper

2) Størrelse og fordeling av masse 3) Dempning i systemet (energidissipasjon)

4) Lastintensitet og fordeling som funksjon av tid Beregning av en konstruksjons stivhet er kjent fra statikken. De metodene som benyttes for å finne den elastiske oppførsel i statiske tilfeller kan selvsagt også benyttes for dynamiske pro­

blemer, forskjellen er bare at belastningene vil inneholde treghetskrefter som er fordelt over konstruksjonen.

Ved kompliserte

konstruksjoner vil det være nødvendig å foreta en romlig diskretisering av systemet, slik

stivheten ved en elementinndeling karak­

teriseres ved en stivhetsmatrise

/!/, /2/.

Treghetskreftene

er entydig bestemt ved Newtons 2. lov, det vil si kreftene er proporsjonale med masse og akselerasjon.

Ved diskretiserte

systemer uttrykkes treghetskreftene ved hjelp av en massematrise.

Beregningen av denne matrisen er på mange måter lik utviklingen av stivhetsmatrisen.

I visse tilfeller er det aktuelt å erstatte

fordelt masse med konsentrert masse i beregningen. Dempning vil alltid finne sted for virkelige konstruksjoner, og er med på å redusere svigningene.

Systemts dempning skyldes

energidissipasjon (energitap) i materialet (plastiske deforma­

sjoner i stål, oppsprekning i betong), friksjon i forbindelsen

mellom konstruksjonselementer, og ytre effekter så som energidissipasjon til omgivelsene (eksempelvis energitap ved bølgeforplantning fra byggverk til jorden det står på).

Denne dissi-

-6-

pasjonen er det vanskelig å bestemme på forhånd, og dempningen blir derfor som regel bestemt på basis av erfaringer eller målinger fra tidligere konstruksjoner av samme type.

Det antas som oftest

at dempningen er viskøs(Newtonsk), dvs. den kan uttrykkes ved krefter som er gitt ved forskyvningshastighet multiplisert med

en dempningsfaktor c.

Selv om dempningen ofte ikke er viskøs,

kan det integrerte energitapet beskrives på en akseptabel måte ved fornuftig valg av dempningskoeffisienter. En karakterisering av forskjellige typer belastninger er angitt i figur 1.1.

Beregning av konstruksjoner med regulær

periodisk belastning er vanligvis relativt enkel, det er da til­

strekkelig å betrakte

stasjonærsvinget Ustanden.

Responsbereg-

ning for korte impulsbelastninger kan også være forholdsvis enkel,

idet det i regelen er tilstrekkelig å analysere en fri svingetilstand.

Ved vindlast eller jordskjelv kan både deterministiske

løsninger ved integrasjon i tid og stokastiske analysemetoder

bli aktuelle.

Når det gjelder bølgebelastninger kan de i visse

tilfeller ha et regulært, periodisk preg, men som oftest vil bølgelastene variere i intensitet og retning på en irregulær Både deterministisk formulering og stokastisk analyse er

måte.

derfor aktuelle løsningsmetoder.

1.3 Prinsippet for formulering av dynamiske likevektsligninger Prinsipielt kan en dynamisk beregning deles inn i tre faser:

1) Identifikasjon av en representativ beregningsmodell, for eksempel ved hjelp av en romlig diskretisering.

2) Etablering av de dynamiske likevektsligninger (ligninger for fri svingning og differensialligninger

i tid og rom) 3) Løsning av likevektsligningene under hensyn til rand-

og initialbetingelser.

-7-

Periodisk

Enkel, harmonisk last, f.eks. fra roterende del

P(t) i

Generelt periodisk (flerharmonisk) f.eks. maskin, propell

Impulslast, eksplosjonslast

Vindlast

Jordskjelv (a = grunnakselerasjon) g

FIGUR 1.1

Forskjellige typer belastning

- 8-

Newtons 2. lov er grunnlaget for den dynamiske likevekts-

ligning: En partikkel med masse m utsatt for en kraft F vil få en

akselerasjon u i kraftens retning gitt ved sammenhengen

(1.1)

F - mil

En "prikk" angir en gangs derivasjon med hensyn på tid, slik at u = 7^2-(u) dtz

(1.2)

(1.1) danner grunnlaget for Sl-systemets definisjon av enheten for kraft

1 (N) - 1 (kg)»l (m/s2)

(1.3)

hvor altså kraften er gitt i Newton, massen i kg og akselerasjonen

i m/s2.

Selv om Newtons lov er grunnligningen, er det aktuelt å omskrive den i mer hensiktsmessige former så som: D’Alembert's prinsipp (direkte anvendelse av Newtons

2 . lov) Virtuelt arbeid (integrert form av D’Alemberts prin­ sipp )

Hamiltons prinsipp (skalarprinsipp basert på energi-

potens ial) D'Alembert ’s prinsipp *er en direkte anvendelse av

Newtons 2. lov og kan formuleres som:

Til enhver akselerasjon u av en massepartikkel m svarer en

motsatt rettet treghetskraft F^ med størrelse mu. Poenget med dette prinsippet er at en tenker seg treghets-

leddet erstattet med en kraft F. der i F. = -mil i D’Alembert:

"Traité de Dynamique", 1743

(1.4)

-9-

Når akselerasjonsleddet er kjent, kan det dynamiske problemet omsettes til et kvasi-statisk problem ved å ta med tilleggs-

kreftene F^.

For en massepartikkel fås likevektsligningen fra

(1.4) og (1.1)

F + F. = 0 i

(1.5)

Deformasjoner, momenter og skjærkrefter i en bjelke kan

beregnes på "statisk" måte når treghetskreftene f. er kjent, se figur 1.2.

deformert

r treghetskrefter

ytre kraft

FIGUR 1.2

Konsentrert kraft P(t) og fordelte

treghetskrefter

f.(x ,t) på bjelken

Ved romlige problem lar d'Alembert’s ligning (1.5) seg lett skrive på vektorform, figur 1.3

F + F. = 0 i

der

(1.6)

r.. u

F^ = -mii = —pdVu - -pdV v

(1.7)

w p

er en massetetthet (masse/volumenhet) og u, v og w er de tre

romlige forskyvningskomponentene.

Med utgangspunkt i d’Alembert’s prinsipp kan prinsippet om virtuelt arbeid (virtuelle forskyvninger) etableres j6eTodV = /6uTFdV + /6uTTdS - /6uTpUdV V V S V o

(1.8)

- 10-

FIGUR 1.3

Akselerasjon og treghetskraft for massepartikkel

Dette er det samme prinsippet som utledet i

avsnitt

6.2

i /!/,

bare med den forskjell at volumkreftene F og overflatekreftene T nå er funksjon av tiden, og at treghetskreftene fra (1.7) er tatt med som en tenkt tilleggskraft.

6 betegner at den påfølgende

størrelsen er virtuell, o og e er henholdsvis spennings- og

tøyningsvektorer. Det kan også være aktuelt å ta med dempningseffekter i (lo 8) som en ekvivalent indre kraft.

SYSTEMER MED EN FRIHETSGRAD

- 13-

2.1

Dynamisk likevekt Enkle systemer som kan defineres ved én forskyvningsfrihets-

grad, vil nå bli behandlet.

Det kan synes som om slike systemer

er bare av akademisk interesse, men det viser seg at mange

praktiske problemer lar seg godt beskrive med én frihetsgrad. Dessuten danner teorien for systemer med en frihetsgrad også

grunnlaget for analysemetoder for mer kompliserte systemer med

mange frihetsgrader.

Videre er slike enkle systemer vel egnet

til å gi en fysisk forståelse av svingningsproblemet .

u(t)

FIGUR 2.1

System med en frihetsgrad

Figur 2.1 viser et stilisert system der en kloss med masse m ruller friksjonsfritt på et plant underlag.

Klossen er fast­

holdt med en fjær med fjærstivhet k og er også forbundet til en viskøs (Newtonsk) demper med

c.

Likevekts-

ligningen for legemet kan skrives som F. + F, + F + P(t) = 0 i d s

(2.1)

hvor treghetskraften F^, dempningskraften F^ og fjærkraften

Fg er gitt ved F. = -mil

(2.2a)

i

F, = -cu d

(2.2b)

F

(2.2c)

s

= -ku

- 14-

eller mu(t) + cu(t) + ku(t) = P(t)

(2.3)

som er en annenordens differensialligning med konstante koeffi­ sienter. I figur 2.1 er den udeformerte konfigurasjon hvor u = 0

valgt som referansetilstanden.

I tilfeller der det virker en

konstant ytre kraft på systemet, for eksempel en tyngdekraft som

gir deformasjoner, kan det være aktuelt å benytte den statisk

Deretter

deformerte tilstand som

behandles tidsavhengige laster og forskyvninger i forhold til denne. Eksempelvis ville systemet i figur 2.1 få en statisk deformasjon u _ - mg/k hvis det ble snudd 90° slik at tyngde­

kraften virket i deformasjonsretningen . rasjon).

(g er tyngdens aksele­

Dette statiske deformasjonstilfellet kan en så super-

ponere til de dynamiske, tidsavhengige deformasjonene.

De virtuelle forskyvningers prinsipp er svært nyttig ved

oppstilling av de dynamiske likevektsligningene.

Selv om prin­

sippet er ekvivalent med å stille opp likevektsligningene

direkte, viser det seg at den enkle systematikken i prinsippet

gjør at det er lettere å få med seg alle bidrag på en korrekt

måte. Eksempel

Det dynamiske systemet i figuren kan beskrives med én fri­ hetsgrad da den vertikale bjelken AC er uendelig stiv og defor­ masjonen av den masseløse bjelken AB er entydig gitt ved rota­

sjonen i A.

Horisontalforskyvningen u i punkt C er her valgt

for å definere deformasjonstilstanden, selv om rotasjonsvinkelen 6 eller forskyvningen i et annet punkt også like gjerne kunne

vært brukt.

Det deformerte systemet med treghets-, dempnings-

og elastiske krefter er vist til høyre i figuren.

Merk at

m

er masse pr. lengdeenhet for AC og at c$ gir dempningsmoment som

funksjon av vinkelhastigheten i A.

- 15-

FIGUR 2.2

Eksempelproblem med en frihetsgrad

Vi bruker nå d’Alemberts prinsipp og virtuelle forskyv­ ninger for å stille opp den dynamiske likevektsligningen, noe

som er vist i tabellform under.

V irtuell forskyvning

Virtuelt arbeid

F. = -Mu i x., f . = -m-jrU 1 £

6u

-Mu6u £ n J-m(y) 2u

E O

CD

N>P

i

3

1

0o

C

•

1

O

c o il,

i

o co il —

ii

ii

•n

&

।

a3

3

1

— |co — 1

r —g-kuou

2

f

2

* |o

CO CQ O1| c o— ! • = > ?

3

q yY(t) ^o£

H

ii

w

P(t )

3

a-

i

S

|co M aj

Ai i

cn

Ytre krefter

cm

ii

Pm

Elastiske krefter

।

Dempningskrefter

Ch

Xx

t6u

1

Treghetskrefter

Krefter på systemet

n EI c -‘,SiTuSu

6u

P(t)6u £ T fq (£)2Y(t)Sudx=|q £Y(t)6u J ^o £ 3 o o

- 16-

Bemerk at hastighet og akselerasjon varierer over konstruk­ sjonen med samme fordeling som forskyvningen. Prinsippet om virtuelt arbeid krever nå at dettoiafe vZæat-betd tatt om dzn dzoameÆte ttkzv zkté kon^tgaaaé j onzn ékat vxaz Ztk 0.

Ved å summere de forskjellige bidragene fås

den dynamiske likevektsligningen på formen u * m

+ c u *

+ k u *

= P (t) *

(2.4)

hvor de generaliserte størrelsene (merket med stjerne) er = M + im£

* m

o

P(t) + |q mt) 3 o

(t) * P

Dette systemet har derved fått en ligning på nøyaktig samme form som (2.3).

Hvis 6 hadde vært valgt som fri variabel

i stedet for u måtte de generaliserte størrelsene divideres med £.

Eksempel

u(x,t)=ø(x)Y(t)

FIGUR 2.3

Forenklet beregning av TV-tårn

Overslagsberegninger for den dominerende svingeformen for kompliserte systemer kan også utføres som om del hadde bare én

frihetsgrad.

Dette kan gjøres ved at det antas et deformasjons-

- 17-

bilde, slik som cf) (x) for TV-masten i figur 2.3.

Generaliserte

konstanter for den dynamiske likevektsligningen kan lett finnes ved hjelp av virtuelt arbeid.

For eksempel vil den generaliserte

stivheten framkomme fra det indre virtuelle arbeidet definert i (1.8).

Nærmere beskrivelse av slike metoder (kalt Rayleigh-

Ritz metoder) vil bli gitt i kapittel 5.

2.2

Fri svingning

2.2.1 Udempet system (c = 0) Fri svingning betyr at svingningen skjer uten ytre kraftpå-

virkning, det vil si (2.5)

P(t) = 0

Det tilsvarer også at man tar for seg bare

homog en£ø4 nZng e.n av

ligning (2.3)

mti + ku = 0

(2.6)

Denne kan omskrives som u + oj2u = 0

(2.7)

der w er vZnkeZ^Æekv zné en definert ved

(2.8)

Det er velkjent at de harmoniske funksjonene tilfredsstiller (2.6), og løsningen kan derfor gis som u(t) = A sinæt + B coswt

Integrasjonskonstantene A og B bestemmes ut ifra initial­ betingelsene ved t - 0

u(0) = u

o

u ( 0 ) - u0

(2.9)

- 18-

som ved innsetting i uttrykket for u og u gir

FIGUR 2.4

Udempet, fri svingning

Den harmoniske svingningen fra (2.10) er illustrert i figur 2.4. Det framgår fra ligningen at u innehar samme verdi når argumentet til de trigonometriske funksjonene øker med 2ir , hvilket gir ut­

trykket for systemets pe/iZode T T

2 TT W

Videre defineres systemets

1 _ w T " 2tt

(2.11)

f (s

eller Hz) ved

(2.12)

Man har derved tre størrelser som beskriver den periodiske opp­ førsel av systemet:

- 19-

Vinkelfrekvens

w = /k/m

Periode

T =

Frekvens

f = 2tt

(rad/s)

2tt

(s)

w w

(s

, Hz)

På engelsk blir de tilsvarende størrelser betegnet som "angular (circular) frequency", "period"

og

"frequency".

Det framgår av figur 2.9 at det er tilstrekkelig å uttrykke

svingebevegelsen med én harmonisk funksjon.

Med utgangspunkt

i relasjonen

cos(æt-Ø) = coswt

cosø + sinwt sinø

kan (2.9) og (2.10) skrives som

u(t) = R cos(ojt-Ø)

(2.13)

hvor amptdtadzn R og ^aé eufFifetZcn. 0 lett bestemmes fra initial­ betingelsene ved t = 0

R = (A2+B2)2 = (u2 + u2/w2)2 o o

(2.14a)

u 0 = arctg(A/B) = arctg(——)

(2.14b)

UJU 0

Amplituden R angir maksimalverdi av u for (wt-Ø) lik et multi­

plum av

it

.

Om ønskelig kunne selvsagt (2.13) uttrykkes ved

sinus istedenfor cosinus. Svingebevegelsen kan uttrykkes i det komplekse plan ved et såkalt Aagand-dåagaam , der u(t) er realdelen av vektoren R som

roterer med vinkelfrekvens w (vinkelen er æt-Ø).

2.2.2 Dempet system

(c | 0)

I det dempede tilfellet blir homogenligningen

(2

• mu + cu + ku - 0 Det finnes to løsninger for

0

i < -tt , tt ] , fortegnet på u0

bestemmer hvilken som er korrekt.

-20-

FIGUR 2.5

Argand-diagram av fri, udempet svingning

som kan løses på vanlig måte /3/ ved å anta

CeSt

(2.16)

Ved innsetting av (2.16) i (2.15) fås den karakteristiske

ligning for ikke-trivielle løsninger s2 + —s + w2 = 0 m som har røttene

s =

uj(——S—

+ /(tj^-)2 - 1) 2mæ 2mæ

(2.17)

Vi vil nå skille mellom tre forskjellige typer løsning som (2.17) kan gi, avhengig av verdien på dempningsfaktoren c.

a. Kritisk dempning For

c = c. = 2moj kr

(2.18)

blir uttrykket under rottegnet 0 og røttene er sammenfallende

-21 -

c _ 2m

si " s2

2muj 2m "

W

Løsningen av differensialligningen er dermed gitt på formen

u(t) = (C1 + C2t)e'æt

(2.19)

Ved tilpassing av initialbetingelsene fås u(t) - (u0(l+wt) + uot)e

(2.20)

definert ved (2.18) kalles kfidtlb k de.mpndng, og

Størrelsen

er en karakteristisk størrelse for systemet som avhenger av k og

m.

Når den virkelige dempningen er lik den kritiske, blir det

ingen svingning, men bare en asymptotisk tilnærmelse mot den

statiske likevektskonfigurasjonen slik det framgår av (2.19). I praksis vil konstruksjoner aldri ha så stor dempning, men er nyttig som referansestørrelse

fot1 den aktuelle dempning.

Man innfører derfor begrepet de.mpndng4> ^ondoddet £, som er defi­ nert ved r =

c. kr

(2.21)

2mw

Dempningsforholdet £ er den mest benyttede størrelse for an­

givelse av dempningen i et system, og er ofte gitt i prosent (av kritisk dempning) for å kunne skille det fra andre mål på dempningen.

£ - 1

eller 100% betyr altså at konstruksjonen har

full kritisk dempning.

b. Overkritisk dempning

Når 5 > 1

blir argumentet i rotuttrykket

og begge røttene blir reelle og negative.

i (2.17) positivt

Dette gir

wt „ -ætx) u(tx) = e -?wt,^ (Ce +Ce 1 2io

(2.22a)

io = co/?2 -1

(2.22b)

-22-

som uttrykker en sterkt dempet bevegelse uten svingning mot 0.

Dette tilfellet med overkritisk dempning er ikke særlig aktuelt i praksis, men er avbildet sammen med kritisk dempning i

figur 2.6.

FIGUR 2.6

Typiske forskyvningsforløp for kritisk og overkritisk dempning

c. Underkritisk dempning Når dempningsforholdet £ < 1

underkritisk.

sier vi at dempningen er

Dette er det vanligste tilfellet, og røttene i

(2.17) kan skrives s = w( —5 + v^?2-1) = ~

Her er

i

den imaginære enhet.

størrelsen dcmpd

+ iu),/l— 52

(2.23)

Det er nå nyttig å innføre gitt ved

(2-24)

æd = wÆ? Ved innsetting av røttene i (2.16) fås løsningen

u(t) = e’?æt (C1elædt + C2e"1C°dt)

(2.25a)

Asinw^t + Bcosw^t)

(2.25b)

=

Transformasjonen fra komplekse eksponentielle til harmoniske funksjoner er vist i /3/.

Integrasjonskonstantene kan finnes

eksplisitt når initialbetingelsene er kjent.

(2.25b) kan også

- 23-

skrives på en form som tilsvarer (2.13)

u(t) - e

cos(tø,t-e) d

(2.26)

Det framgår av (2.25) og (2.26) at svingninger foregår med en

som skyldes dempningen i

modifisert vinkelfrekvens (2.2 *4)

systemet.

Denne endringen i vinkelfrekvensen er imidlertid

uhyre liten i de fleste praktiske tilfeller, £ - 0.05 gir eksem­

pelvis

= 0.9987æ.

Forskjellen mellom de to vinkelfrekvensene

er derfor ofte knapt målbar.

For stålkonstruksjoner ligger om­

rådet for 5 vanligvis mellom 0.002 og 0.05, mens grensene for betongkonstruksjoner kan ligge

litt høyere på grunn av større

indre dempning og oppsprekning.

Figur 2.7 viser et dempet svingningsforløp som definert ved

(2.25) og (2.26).

T

d

Den dempede pe-tZoden Td for svingningen er

= — co , d

(2.27)

Denne perioden er imidlertid svært lik T fra (2.11) siden co^

ikke er særlig påvirket av normal grad av dempning.

- 24-

2.2.3 Måling av dempning

Forholdet mellom amplitudeverdien ved tidene t^ og t^+nT^ er gitt ved (2.26)

u. u(t.) e ^wti Rcos(æ ,t•-0) i _ _____ i _ ____ _______ ______ d r__________ u• u( t. +nT ,) ” -£æ( t-: +nTa) D 7 7Z , ™ 7 7T i+n i d e1 u Rcos(æ , (t.+nT ,)-0) di d

= e?ænTd

(2.28)

Denne ligningen danner grunnlaget for å finne størrelsen på

dempningen i en konstruksjon når svingeforløpet er registrert. Et mål på dempningen er å sammenligne amplitudene ved intervall T^.

Det Zoer definert som

u. A = ln(——) ui + l

(2.29)

Sammenhengen mellom denne størrelsen og dempningsforholdet £ fås ved å sette n = 1 i (2.28)

A =

d

= 2ir

/Te

(2.30)

-

Siden E, vanligvis er et lite tall, kan denne relasjonen tilnærmes med

A - 2tt5

(2.31)

I NS 1020 er også størrelsen de.mpn^cngé ko 6 =

^6-ée.n-te.n 6 innført (2.32)

Det synes unødvendig at så mange dempningsmål benyttes, og det

kan lett føre til misforståelser. nok

Dempningsforholdet £ er

den størrelsen som ligger best til rette for beregninger. Ved gjennomføringen av praktiske svingningsmålinger vil

o svingeforløpet vanligvis bli registrert ved oscilloskop eller Pa

papirbånd.

Variasjonen i amplitude vil normalt ikke være så

sterk som i figur 2.7, og unøyaktighet i registrering og avlesning

- 25 -

samt uregelemessigheter i svingetilstanden gjør at direkte bruk av (2.29) for å finne dempningen blir for unøyaktig.

I stedet

for å sammenligne to påfølgende amplituder, kan amplituden etter n hele perioder sammenlignes. Ved å sammenholde (2.28) og (2.29) ses at u. In(1 ) = n(?wTd) = nA (2.33) i+n Relasjon (2.31) gir derved dempningsforholdet

Eksempel

Ved et svingeforsøk viste utskriften av svingebevegelsen at svingningen hadde stabilisert seg etter de tre første perio­ dene og forløp deretter som en jevnt dempet svingning.

måling på diagrammet var

u3 = 32.5 mm og

henhold til (2.33) gir dette 1

32

5

A = y In(yy^y) = 0.0926 og fra (2.31) C - 0.0147

(1.47%)

u

Ved

- 17.0 mm.

I

-26-

Tvungen svingning ved enkel harmonisk last

2.3 2.3.1

Udempet system (c - 0) Med utgangspunkt i den dynamiske likevektsligningen (2.3)

vil vi nå studere systemets respons for en gitt kraftinput P som funksjon av tiden.

Det mest generelle tilfellet er å anta

at lasten er harmonisk P (t) = P. s i nco t 0 P

(2.35)

hvor PQ

er lastens maksimale intensitet og co^ dens vinkelfre­

kvens .

Lastens periode er derved gitt ved

T

P

- 2tt co

(2.36)

P

Når det ses bort fra dempning blir likevektsligningen

mil + ku

P. sinco t o D

(2.37)

Løsningen på denne differensialligningen er sammensatt av en homogendel u^

og en par ti ku lærdel u^

u(t) = u, (t)+u(t) h p

(2.38)

Homogenløsningen for P(t) = 0 er tidligere funnet og gitt i (2.9).

Konstantene i denne løsningen benyttes som tidligere

til å tilpasse initialbetingelsene, men nå må også u^ tas hensyn

til.

I henhold til (2.37) er det naturlig å anta partikulær-

løsningen på formen u

P

= C sinco t P

Innsatt i (2.37) gir dette

(-mco2+k) Csinw t = P sincot p P 0 P eller løst for C

(2.39)

-27-

p

P°

P°

k'æpm

k

_

P°

1

1

k 1-$2

der frekvens forholdet B fo'r den påtrykte last er definert som æ B = -£ w

(2.40)

Po Som man ser, er C gitt som produktet av den statiske respons —

og en faktor som forstørrer eller reduserer denne avhengig av frekvensforholdet B-

Den fullstendige løsning blir derved

po 1 u(t) = Ui +u = (Asinæt+Bcosæt) + — ---- sinw t (2.41) h P k 1-B2 P Uttrykket i parantescn

representerer effekten av initialbe­

tingelsene og blir vanligvis betegnet som den (ikke vedvarende) av løsningen.

de.£

Navnet innebærer at denne del­

en av responsen vil dempes ut i et dempet system, mens dette ikke er tilfelle i vårt ideelt udempete system (c=0).

I prak­

sis vil imidlertid alle systemer ha noe dempning, så navnet er i realiteten akseptabelt.

Det siste leddet er den stasjo­

nære (vedvarende) løsningen som skyldes den påtrykte kraft.

Initialbetingelsene u(0) = uQ

og

u(0) = uQ

benyttes nå til å bestemme integrasjonskonstantene A og B og totalløsningen blir p u(t) = (— w

_

k

Pq 1 ~—)sinu)t + u coswt + — ---- sinto t 1-B2 k 1-32 (2.42)

Dersom systemet initielt var i ro, uQ

= uQ

= 0, blir

responsen u(t) - u .—-—(sinrn t - Bsincot) Stl-B2 P

hvor

u

st

= P /k u

(2.43)

er den statiske forskyvningen for maksimal-

-28-

intensiteten Po . Som nevnt tidligere, vil homogendelen alltid dempes ned,

den skalerte maksimalforskyvningen for stasjonærsvingetilstan-

den er derfor gitt ved D =

u (t)-. , --- aks I

=

3 |—L_|

(2.44)

1 _ o2

D kalles

dynamisk forstprrelsesfaktor og indikerer at den vek­

slende karakter av kraften medfører at maksimalforskyvningene

blir større enn for en tilsvarende rent statisk kraft.

Men

dette navnet kan også være litt misvisende siden D blir mindre enn 1 når lastvekslingene blir raske nok (6>/2).

Dette skyldes

at systemet er for tregt til å "svare" på den varierende lasten. Den kan være hensiktsmessig å definere respons forholdet

r som r(t) =

(2.45)

u st.

Når systemet starter fra ro, gir (2.43) (sinftiot - gsincot) r = ------ 1 -----

Det framgår at D->°° når B~>1.

cx (2.46)

For å finne hvordan det går med

responsforholdet i (2.46) er det nødvendig med en grensebe-

traktning ved 1'Hospitals prinsipp som gir lim r = jjsinwt - jwtcoscot 6+1

(2.47)

Det første leddet gir her en rent harmonisk svingning, mens det andre leddet, som er proporsjonalt med wt, vokser uten begrens­

ning når t vokser.

Dette viktige fenomenet blir betegnet som

resonans og har som kjennetegn at utsvingene vokser ubegrenset,

se figur 2.8. Rent fysikalsk opptrer resonans når den påtrykte ytre

kraft har samme frekvens som systemets egenfrekvens.

Ved

resonans "pumper" den harmoniske lasten energi kontinuerlig

- 29 -

inn i systemet.

Da det ikke dissiperes energi, må denne kon­

verteres til en stadig økende vekselsvis potensiell og kine­ tisk energi, som resulterer i en svingeamplitude som øker

proporsjonalt med tiden.

Etter et visst antall lastcykler vil

systemet derfor gå til sammenbrudd.

2.3.2

Dempet system (c^O)

Vi betrakter nå det generelle tilfellet med dempning mil + cu + ku = Pn sinoj t 0 P

(2.48)

Homogenløsningen uttrykt ved den dempede vinkelfrekvensen er tidligere angitt i (2.25).

Når det derimot gjelder partiku-

lærløsningen, framgår det av (2.48) at den må være en harmonisk funksjon med lastens vinkelfrekvens co u

P

= C,sinæ t + Ccosco t 1 P 2 P

P (2.49)

Ved innsetting i (2.48) og ordning av leddene fås følgende be­ tingelse - mco2C.

- m(jj2C

-pi cco pC 2 + kC.i +p cw C, + kC2 2 pi

- P.0 = 0

-30-

som ved løsning for integrasjonskonstantene gir

C.

PQ 1-B2 = —------------------ (2.50a) k (1-B2)2 + (2?B)2

k

(1-B2)2 + (2?g)2

Partikulærløsningen blir derved

u

P 1 = — --------------- [(1-B2)sinæ t - 2£Bcosoj t] P k (1-B2)2+(2^B)2 P P

(2.51)

På grunn av eksponentialleddet i (2.25) vil homogendelen (transientleddet) dø ut, og partikulærløsningen (stasjonærdelen) Igjen kan den harmoniske responsen omskrives og

vil dominere.

representeres ved en eneste harmonisk funksjon u hvor

P

- Rsin(æ t P

- 0)

(2.52)

, p„ 1 R = ( C2 + C2 ) 2 =---------------------- v k [(1-B2)2 + (2£B)2]2

(2.53a)

C, 2£B 0 = arctg(-—) = arctg(---- ) CT 1-B2

(2.53b)

Denne svingningen kan selvsagt også framstilles i et Arganddiagram.

Det anbefales at leseren prøver dette selv, forøvrig

er dette vist i /U/. Analogt med det udempede tilfellet kan vi finne den dyna­ miske forstørrelsesfaktor u

, maks

ust

1

(2.5U)

[(1-B2)2 + (2CB)2]2

Figur 2.9 viser D som funksjon av dempningsforholdet E, og frekvens forholdet B, og det tilsvarende diagram for fasevin-

Det er her å merke seg at fasekelen 0 er gitt i figur 2.10. vinkelen ligger i området 0 til 180°, det vil si systemets

-31 -

respons ligger alltid etter den påtrykte lastens fase.

I dia

grammet for D er også kritisk og overkritisk dempede systemer

angitt. Fra figur 2.9 ses det at den maksimale respons for lett dempede systemer vokser drastisk når den påtrykte frekvens går For lastfrekvenser æp>æ (g>l) vil responsen avta sterkt med økende verdi av 6, og for 6>1.41vilden dynamiske Rent fysikalsk betyr respons være mindre enn den statiske.

mot w (g->l).

dette at systemet ikke rekker å reagere på den raskt vekslende

ytre lasten. Ved derivasjon av (2.54) framkommer det at D har sin maksi­

male verdi for /1-2 52‘ ,

3 maks v

(2.55)

Denne kritiske verdien tilsvarer resonans mellom ytre last og det dynamiske systemet.

frekvensen lik to.

Ved svakt dempede systemer er resonans-

Den dynamiske forstørrelsesfaktoren som til­

svarer resonansfrekvensen er D maks

= ___ 1 2^/1-^2

(2.56)

For vanlige systemer med liten dempning fås den enkle overslags-

formelen D

3 - — maks

Ved for eksempel 2% av kritisk dempning fås Dmaks ~ 25!

(2.57)

Dette

betyr at selv små vekslende laster kan føre til store forstyr­ relser og skader hvis lastfrekvensen ligger nær resonansfre­

kvensen.

Diagrammet i figur 2.9 er svært nyttig i praksis.

Hvis en forstørrelsesfaktor større enn 3 ikke kan tolereres

for en konstruksjon, framgår det at lastfrekvensen ikke må ligge nærmere enn ca. ±20% fra egenfrekvensen av konstruksjonen. I forbindelse med analyse av konstruksjonens oppførsel

for forskjellige lastfrekvenser (frekvensanalyse) er det hen­ siktsmessig å skrive stasjonærsvingningen på formen

Frekvensforholdet

-32-

q

jo3XhJS3SI3JJ01SJ[OJ

^stuibuåq

180

Frekvensforholdet

-33-

- 34-

u(t) =

1IH (co p )|P 1 o sin(co p t-0)

(2.58)

Ved sammenligning med (2.52) og (2.53) ses det at |h(co )| = 1/k P /(1-82)2 + (2£g)2

(2.59)

H(cOp) kalles frekvensrespons funksj onen eller mekanisk overfør-

ingsfunksjon (transfer function).

Den forteller hvordan sys­

temet reagerer på en gitt harmonisk lastinput.

En prinsipp­

skisse for dette samt et typisk diagram for den mekaniske over-

føringsfunksjonen er gitt i figur 2.11.

FIGUR 2,11

Illustrasjon av mekanisk overføringsfunksjon

Det skal anmerkes at H(w ) er en kompleks funksjon og at

(2.59) representerer absoluttverdien av denne.

Nærmere disku­

sjon av frekvensresponsfunksjonen vil bli gitt senere. Dersom systemet opprinnelig var i ro (u0=uo=O) er total­ løsningen for 6=1 gitt ved

u = —— — [ e Tk 2r

sinco ,t + cosm ,t) - cosco t] d d P co , d

For lett dempede systemer er

(2.60)

og dersom man videre negli­

sjerer leddet Csinm^t i forhold til leddet cosw^t, kan respons-

forholdet ved resonans (w

= w) skrives som

-35 -

r(t) =

= -y(e ?wt-Dcoswt

(2.61)

Ust

Figur 2.12 viser r(t) som en funksjon av t.

Det framgår at

responsen gradvis bygges opp mot en amplitude

når t blir

stor. Dette diagrammet kan sammenlignes med figur 2.8 for u-

FIGUR 2.12

Oppstartingsfasen for et dempet system

Eksempel

Som eksempel på en harmonisk last på et dempet system tar vi for oss en stilisert modell av en maskin med masse M

som har en roterende del med masse m, se figur 2.13.

Masse-

senteret for den roterende delen ligger med avstand e i for­ hold til rotasjonsaksen, og rotasjonen skjer med vinkelfre­ kvens w0 .

Opplagerbetingelsene gjør at maskinen bare kan

bevege seg i vertikal retning. Likevektsligningen i vertikal retning er F.m + F+ F, + F + FR 1M im d s X

-36-

FIGUR 2.13

Maskin med roterende del

Fr er vertikalkomponenten av sentrifugalkraften i rotoren som

er lik Fn = meco2sincon t R o 0

Innsetting i likevektsligningen gir

- Mu - mu - cu - ku + mew2sinæot = 0 eller (M+m)u + cu + ku - mecoo2 sincoQt

Denne ligningen har nøyaktig samme form som (2.48).

Den tran-

siente delen vil bli dempet ut, og vi er bare interessert i stasjonær løsningen som tidligere er funnet i (2.52) og (2.53).

Vi får dermed

Up(t) = Rsin(coot-0)

For systemet gjelder Z ZT d

/k M+m

Ved å innføre frekvensforholdet g - coq/(jo

med

meco02

r

c 2(M+m)co og å erstatte Po

fås maksimalamplituden fra (2.53a)

- 37 -

me ________ g2_________ M+m [(1-g2)2 + (2£g)2P

Fasevinkelen er som tidligere gitt ved (2.53b).

For å finne

reaksjonskraften på underlaget må både fjærkraft og dempningsFjærkraften F s er lik ku, mens dempningskraften F._ = cu ligger 90 i fase før F . Den maksimale kraf­ kraft betraktes.

ten fås ved å addere de to vektorielt

F

maks

= /F2 + F2 s maks d maks

= / (kR)2 + ( cRw 0 ) 2

= R/k2+(cw0)2 = Rk/l+(2£g)2 Det framgår av utrykket for R at amplituden vokser kraftig når

frekvensforholdet går mot 1 og det oppstår resonans.

Ved opp­

starting av maskinen kan det hende at det er nødvendig å passere

For å unngå sterk rysting er det en

en slik resonansfrekvens.

fordel at oppstartingen går så raskt som mulig og slik at det

kritiske frekvensområdet passeres hurtig.

Amplituden kan

også reduseres ved at det innføres mye dempning i systemet fordi R iriciK , s er omvendt proporsjonal med 2£. Det er imidlertid viktig å legge merke til at stor dempning fører til større Dette ses ved å sette

reaksjonskraft ved høye frekvensforhold. uttrykket for R inn i F

F

, maks

mecoo2

, maks

1 + (2£g)2

1 2

(l-g2)2 + (2£g)2

Den første faktoren meco2 representerer karakteristisk egenskap ved maskinen som det ofte er lite å gjøre med.

Dempningen og

fjærkonstanten for opplagringen kommer inn gjennom 5 og 6.

Alternative utforminger av opplagerbetingelsene vurderes der­

for ved å regne ut parantesuttrykket.

Denne funksjonen er også

vist for et par dempningsforhold i figur 2„14.

For eksempel,

ved g = 3 gir £ = 0.3 nesten dobbelt så stor kraft som £=0.1.

Lav

dempning og lav fjærkonstant gir god isolering av det dynamiske

systemet fra omgivelsene ved høye frekvensforhold.

Men dette

må ses i relasjon til ulempene ved resonans under oppstarting.

-38-

Det ideelle ville være å ha en demper som bare ble koblet inn

2.4

Generell periodisk last Tilpassing av vilkårlig periodisk last

2.4.1

I en rekke praktiske tilfeller vil konstruksjonen bli

eksitert av periodiske belastninger som ikke kan beskrives av en enkel harmonisk funksjon.

Slike belastninger kan skyldes

mekanisk produksjonsutstyr, eller for eksempel propellkrefter i skip.

Figur 2.15 viser et typisk eksempel på en slik belast­

ning.

FlGUR 2.15

Generell periodisk last

-39-

Det er kjent at en vilkårlig periodisk funksjon under meget

generelle matematiske betingelser kan utvikles i en Fourier-

rekke.

oo P(t) = a

+

o

, n=l

(a cosco t + b sinco t) n n n n

(2.62)

hvor

2 TT w n - n TT? T— - nco p P

Basert på ortogonalitetsegenskapene finnes koeffisientene ved

a0

T = A ;P P(t)dt

(2.63a)

P 0 T a = 77^- fP P(t)cosoo tdt n T ' n P 0

(2.63b)

T JP P(t)sinæntdt

(2.63c)

bR =

P 0

Belastningen er dermed uttrykt som en sum av harmoniske

komponenter, og for et lineært system kan den totale respons bestemmes ved superposisjon av responsen av hvert individuelt ledd.

For et udempet system (£=0) hvor den transiente komponent neglisjeres,gir (2.41)

A ------ (a cosco t + b sinco t) , n n n n n = l k 1-B^

u( t)

(2.64)

Her representerer aQ/k den statiske respons, mens frekvensfor-

holdet £>n er gitt ved

n— = nB co

Bn = — co

(2.64) kan også skrives som n u(t) - A

hvor

o

+

, n= 1

(A cosco t + B sinco t) n n n n

(2.65)

-40a A

A

B

o

o

k

1 n

1

a

1-g2 n 1 1 b

n

n

lH(æn) |a.

n

IH(æ )Ib 1 n 1

Dette viser at Fourierkomponentene for responsen finnes ved å multiplisere lastens Fourierkoeffisienter med frekvensresponsfunksjonen |H(æn)|.

Eksempel h P(t)

Tp/2

Rektangulær periodisk last

FIGUR 2. 16

For den viste periodiske belastning er Fourierkoeffisientene gitt ved

a

b

2 2 7P - — f n T P „ 1T = — fP TO

P cosæ tdt - 0 o n 2Po — Po sinæ tdt = { n7T n 0

for

n=oddetall

for

n=partall

Dette gir

o 2 2 P (t) - P ( i+—sinuj t + y-sin3æ t + -r—sin5w t + . . . ) o 2 Ti p 3tt p 5tt p

-41 -

eksiteres

Dersom en konstruksjon med egenfrekvens æ = uj^/3 -

av denne belastning blir responsen P

, . o ((4i x+— 1 —32 . .1 . _ t. u(t) = — ^smoj t + ^— 32 — sm3æ , z ir 15 p 3tt 7 p K

-

1 32 • c . 1 32 . „ + , Sin5w t - Tj— yrSinVw t + . . ) 5ir 9 p 7tt 33 p

-r— -77-

Ofte kan det være hensiktsmessig å framstille Fourier-

koeffisientene for belastning og respons som funksjon av

frekvensen i form av stolpediagrammer.

For det foregående

eksempel gir dette følgende diagrammer, fig.2.17

a

a) Frekvensdiagram for belastning

b) Frekvensdiagram for respons

FIGUR 2.17

Frekvensdiagram for belastning og respons

Diagrammene viser at bidraget til belastningen fra de høyere harmoniske ledd er beskjedent, og at leddene aQ og bx

dominerer.

For responsen gir imidlertid også komponentene

B3 og B5 bidrag, hvilket skyldes at den mekaniske overføringsfunksjonen har forsterket disse komponentene mer.

Da energien

-42-

i et elastisk system er proporsjonalt med kvadratet av forskyv­

ningen, kan frekvensdiagrammet benyttes til å bestemme frekvensfordelingen av energien i systemet. 2.4.2

Responsberegning på eksponensiell form

Av hensyn til den senere utledning av den stokastiske be­

regning av konstruksjoners respons, skal Fourierrekken også gis på eksponensiell form.

Med utgangspunkt i Eulers ligninger has

, , iæt , -iætx + e ) cosæt = 5 (e 1 sinwt = Ti

z iæt -iætx (e ' e ’

eller

e1Cd^

= coswt + isinæt

e

= coswt - isinæt

Innsatt i (2.62) gir dette p(t) = aQ+ l J[(an-ibn)elænt + (an+ibn)e 1Wn ] n=l

Definerer

c -n = 5 2 (a n + ib n ) Belastningen kan dermed skrives som CO , , r iw i P(t) = ) cne n n= -°°

hvor c

=

n

(2.66)

T / P P(t)e iwntdt Tp 0

(2.67)

Legg merke til at summasjonen utføres over både positive og negative verdier av n.

Fourierkoeffisientene

kompleks konjugerte størrelser ( | c + n |

=

og c_^ er

|c_n|), slik at de

imaginære bidrag til P(t) vil kansellere hverandre.

-43 -

(2.66) uttrykker lasten på eksponensiell form, og det er

naturlig også å skrive responsen pa samme form. En harmonisk enhetseksitasjon P(t) =

e1“nt

(2.68)

vil, dersom transientdelen neglisjeres, gi en respons u(t) = H(æn) e1Wnt

(2.69)

Innsatt i (2.3) gir dette o x z \ ico t ico "t (~to2m + iw c + k)H(w ) e n - e n n n n eller

1 11 H ( æ ) =-------------- - ----- —----- ;----0Jnm + iænC + k k d-$n + 1^^^n

(2.70)

H(w ) er den komplekse frekvensresponsfunksjon som er både frekvens- og dempningsavhengig . Modulen (absoluttverdien) av

H(w ) er tidligere gitt i (2.59).

Ved hjelp av superposisjon

kan nå (2.69) og (2.70) benyttes til å uttrykke responsen for

en vilkårlig harmonisk last Z

X

co V

TT /

\

u(t) = u) H(u) n )c n e n= -°°

ICO

"t

n

co C - £ I _______ £______ e1 nt n=-»k (l-$2) + i256n

(2.71)

I en mer generell frekvensanalyse blir i prinsippet summetegnene erstattet med integraler over frekvensspekteret.

-44-

2.5

Impulslaster

2.5.1 Dynamisk respons for impuls I en rekke praktiske tilfeller er varigheten av den på­

trykte last av samme størrelsesorden eller mindre enn systemets naturlige periode.

Denne typen belastninger blir vanligvis

betegnet impuls eller støtlaster og forekommer i praksis ved

eksplosjoner, slag osv.

Ved responsberegningen for slike tilfeller er det hen­

siktsmessig å dele opp tidshistorikken i to faser.

Fase 1

omfatter den tiden lasten virker og hvor systemet er utsatt for en tvungen svingning, mens fase 2 er den etterfølgende

tiden der systemet svinger fritt, se figur 2.18.

fase 2 er bestemt ved initialbetingelsene u(tj) og

eksisterer ved slutten (t=tT) av

fase 1-

Responsen i u(t ) som

I figur 2.18 er

last- og responshistorien representert ved henholdsvis heltrukne og stiplete linjer.

FIGUR 2.18

Respons ved impulslast

-45 -

Ved denne typen belastninger er man primært interessert i

den maksimale respons u , som vanligvis opptrer i løpet av den maK s første svingningscyklusen. For lett dempede systemer vil effekten av dempningen gjøre seg gjeldende først etter flere

cykler, se avsnitt 2.3.2.

Det er derfor akseptabelt å negli­

sjere dempningen i den delen av beregningen der umaks ^^nnes' Maksimalforskyvningen vil inntreffe enten i fase 1 eller i

fase 2 og bestemmes fra ekstremalbetingelsen

dt

= 0

(2.72)

Beregningsgangen for en impulsanalyse vil nå bli demonstrert

for et tilfelle der lasten i fase 1 er gitt ved en enkel sinusbølge (t1 = Tp/2)

P(t) = P.sinw t 0 P

(2.73a)

“p = F’T7

(2-73b)

y

For t 0.

Ved å derivere (3.29) og sette inn i (3.28) fås

3 2M —2 y + mv = 'iq (x’ , t) 3x

(3.30)

Momentet kan på vanlig måte uttrykkes ved krumningen

3 2v

M = EI (x)-g^y

hvor EI(x) er bjelkens bøyestivhet.

(3.31)

Innsatt i (3.30) fås

differensialligningen for bjelken r)

\7

(El(x)y-y-) + mv = q(x,t) dX

(3.32)

som forenkles for konstant stivhet 3 4 v +, -m v.. - —q(x,t ---- ---) 3x4 EI EI

(3.33)

Bortsett fra treghetsleddet er dette det samme som den statiske

differensialligningen for en bjelke.

I virkeligheten kunne vi

gjerne tatt direkte utgangspunkt i den statiske ligningen og inn­

ført -mv

som en ekvivalent statisk tilleggskraft etter d'Alemberts

prinsipp.

Det er egentlig oversett et bidrag ved oppstilling av momentlikevekten som førte til (3.29), nemlig treghetsmomentet som oppstår ved rotasjon av tverrsnittet referanseaksen.

om

et punkt på

Dette bidraget vil normalt være lite, men kan

være av betydning for svært høye bjelker.

Utledning av treg­

hetskreftene under rotasjon vil bli vist i avsnitt 3.4.5.

-70-

3.4.2 Løsning av differensialligningen for fri svingning

Ved fri svingning bortfaller lastleddet, og følgende ligning

må løses

G+

(x) (J) (x)dx = 0 j'm,xx n ,xx

min 1

(3.44)

Xz

Det skal videre bemerkes at det for den fritt opplagte bjelken

var svært enkelt å sette opp og å løse betingelsesligningene. I mange andre tilfeller vil det framkomme en transcendent

betingelsesligning som bare kan løses grafisk eller ved iterasjon.

skrives

For en bjelke med konstant tverrsnitt kan egenfrekvensen

-74-

Vinkelfrekvensene

er angitt for en rekke forskjellige

grensebetingelser i Tabell 3.1.

Det er lett å oppdage sammen­

hengen mellom en del av de oppgitte verdiene ved å betrakte symmetriske og antisymmetriske svingeformer.

3.4.3

Løsning av bjelke- og rammesystemer

FIGUR 3.7

Kontinuerlig bjelke

Differensialligningen kan også benyttes til å analysere mer kompliserte konstruksjoner, så som rammer og kontinuerlige bjelker.

Kontinuitetsbetingelsene over opplageret i eksemplet

i figur 3.7 er

vi ( £ ) = 0 v2(0) = 0 vi xk’ = * v- x(0) M (£ ) = M (0) 11 2 I tillegg til disse fire betingelsene kommer to ganger to

betingelser for bjelkeendene.

Dette gir ialt atte betingelser

for de to sett av C-konstanter i forbindelse med (3.43).

Dertil

kommer de to bjelkenes a-faktorer, men disse henger sammen ved

at svingningen i de to feltene må skje med samme vinkelfrekvens,

slik at

I den siste fasen av løsningen vil det derfor være nødvendig å erstatte a med æ.

-75-

Egenverdi con

Til­ felle

1----- > x

1

n-1,

Grensebetingelser M(0)

-Q(0)=0

M(£)

=Q(£)=0

M(0)

=Q(0)=0

22.37

0

61.67

n>3___________

n=3,

n=2,

(^—tt) 2 (tilnærmet)

K------------

L22______ K

2

।----------- >

3

£

J— > X

4

X

K------

6

£

1----------- >

£

v(£)

=M(£)=0

(tilnærmet)

0

15.42

49.97

(~pp~-tt) 2 (tilnærmet)

(n-l)2ir2 (eksakt)

;

v, (0)=Q(0)=0 2.468 22.20

61.69

(-^—tt) 2

'

v(£)

0

=M(£)=0

(eksakt)

v(0)=v,x(0)-0 3.516 22.03

61.70

M(£)=Q(£)=0

-------- >1

2

( 2

i

tt)2

(tilnærmet)

;

v(0)=M(0)=0

'

v(£)=M(£)=0

104.2

K

v(0)=v, (0)=0 15 .42 49.97 X v(£)=M(£)=0

g v(0)=v,x(0)-0 5.593 30.23

74.63

9.872 39.48

88.83

(nir)2

f/

\

K-------

i—> x X k?——

£

£

£

----- >X 10

'I

=Q(0)=0

(pp^Tr)2

39.48

X

7

9

30.23

9.872

>

------->1

M(0)

v, (0)=Q(0)=0 x . . . v, (£)=Q(£)=0 x

izD______

——f

----- -fa

( 4

^)2

(tilnærmet)

v(0)=v, (0)=0 22.37 61.67

120.9

( ?

tt)

2

(tilnærmet)

v(£)=v>x(£)=0

-

TABELL 3.1

/4n+l x 2 ---- tt) (tilnærmet)

v,x(£)=Q(£)=0

------- >

k

£

(eksakt)

/ EI 1

Egenfrekvenser for en del bjelker

-76-

I stedet for å foreta en systematisk eliminasjon av kon­ stanten kan betingelsesligningene skrives på formen A(co)C = 0

(3.47)

der C er en vektor som inneholder alle C-konstantene og A er den tilhørende frekvensavhengige koeffisientmatrisen.

Ikke-

trivielle løsninger er mulige for

det(A(co)) = O

(3.48)

Egenfrekvensene framkommer som røftene i utviklingen av Det finnes mange rutiner for automatisk søkning

determinanten.

Ligning (3.47) gir deretter det tilhørende

av røftene i (3.48).

sett av C-konstanter som bestemmer svingeformen. Det er mulig å omskrive (3.43) slik at C-konstantene løses ut og endekreftene for et bjelkeelement uttrykkes direkte ved

endeforskyvningene, derved oppstår det en frekvensavhengig stivhetsmatrise

S - k (co) v

(3.49)

De funksjonene som inngår i k (co)

er beskrevet i /4/ og / 9 /.

Eksempelvis er det første i stivhetsmatrisen gitt ved

,

, .

(«)

EI, «xqsinaz coshai + cosa£ sinha£ =

---------- x . eosat coshat------------

Fordelen med formen (3.49) er at oppbyggingen av systemstivhets-

matrisen i store trekk kan skje som i statiske tilfeller

(translasjonsmasser kompliserer riktignok systematikken).

Ulempen er derimot at de såkalte Kolouseks funksjoner som inngår i k(co), kan få en nevner som blir 0.

Egenverdiene kan

da framkomme ved at determinanten av systemstivhetsmatrisen går

mot uendelig.

Disse såkalte antifrekvensene vanskeliggjør

den numeriske løsning i stor grad.

-77-

3.U.U

Aksialkraftens innflytelse på bøyesvingninger

FIGUR 3.8

Likevekt av bjelkeelement med aksialkraft

Aksialkrefter kan ha en ganske markert innflytelse på tverrsvingninger av bjelker.

Figur 3.8 angir kreftene som

virker på den deformerte konfigurasjonen av et bjelkeelement. Aksialkraften P regnes positiv i trykk og antas å være konstant

langs lengden av bjelken. Likevektsligningen i

tverretningen

blir som tidligere

i (3.28), mens momentlikevekt om B nå gir

Kombinasjon av (3.28),

(3.31) og (3.50) gir for konstant bøye

stivhet

+

liv EI 3x2

_m_„ = q(x_,t2 EIV EI

(3.51)

Denne ligningen tilsvarer (3.33) bortsett fra at det nå er

kommet med et tilleggsledd som skyldes aksialkraften P.

Hvis

en ser bort fra treghetsleddet, er (3.51) den samme ligningen som ved bjelkeknekning , se /10/, avsnitt 3.1.1.

- 78-

Det ses nå bort fra tverrlasten q(x,t) og det innføres k2

P EI

(3.52)

a

m 2 EIæ

(3.39)

Det foretas videre en separasjon av variable som i (3.35),

hvilket gir de to differensialligningene Y + æ2Y =0

(3.37)

, + k2 (f>, - a11 ø = 0 ’ xxxx ’xx

(3.53)

Løsningen antas på formen

0, slik at

for n stor nok

(5.20)

li

er energinormen (uttrykker systemets elastiske

energi). I den videre diskusjon tas det igjen utgangspunkt i det

endimensjonale bjelkeproblem, og alternative anvendelser av

(5.19) vil bli diskutert.

Bjelkens tøyningsenergi er

-117-

U = i/eKx) £

(x,t)dx = i/EI(x) . £ 15

v2,

(x)ø. J 5

(x)dxY.Y. 1 J

T = JK. .Y.Y. = JYXKY (5.21) 13 i J Tverrf or sky vningen kan skrives som V(x)Y der linjevektoren | tilsvarer $ i (5.19). Den generaliserte stivhétsmåtrise K er gitt ved

K = /EI(x)(J)T

(5.22a)

dx

4> , XX

XX

og de enkelte ledd

(5.22b)

K. . = /ET (x) . (f). dx 1J £ Y1,XXY],XX

Merk, i bjelkeproblemet er det bare en forskyvningskomponent , nemlig v.

Tilsvarende finnes den kinetiske energi

E, = j/m(x)v2 (x,t )dx = s/m( x) 4> . ( x) (j>. ( x) dxY . Y . k £ £ 1 3 1 J

= 1M..Y.Y. = 1Y MY 13 i 3

(5.23)

med generalisert massematrise M

(5.24a)

M=/m(x)(j>(x)(x)dx SL med leddene

M.. - fm( x) (j). (x) (j) . (x) dx 13 i 1 3

(5.24b)

Lagrangefunksjonen i ligning (4.19) blir dermed •T

•

T

L = E. - U = 1(M..Y.Y. - K..Y.Y.) = i(Y MY - Y KY) k il i 1 13 i 3 (5.25)

- 118 -

For å tilfredsstille stasjonærbetingelsen i Hamiltons prinsipp (4.19), må vi ha

6 f Ldt = lpSY^MY + Y1M6Y - 6YXKY - Y K6Y)dt

io

o -f-

f(A(SYT)MY - 6YTKY)dt

= t

dt

0 rn

= |6Y:MY|

t, 1

to

-

t. 1

rn

f 6Y1(MY + KY)dt = 0

to

Dette gir svingeligningen

(5.26)

KY + MY = 0

Et alternativ til denne utledningen er å ta utgangspunkt i komponentformen som også er gitt i (5.26).

Det anbefales at

leseren selv ved hjelp av delvis integrasjon viser at komponent­ formen, i samsvar med (5.26), gir K..Y. + M..Y. = 0 13 3 13 3

i = l,2,-'-n

(5.27)

Bemerk at ligningene (5.26) og (5.27) gjelder generelt for fri svingning ved Rayleigh-Ritz metode og ikke bare for bjelker.

Legg også merke til at dimensjonen til matrisene er bestemt ut fra antallet valgte generaliserte forskyvningsfunksjoner. Arbeidet med å etablere de dynamiske likevektstigningene er

altså en kvadratisk funksjon av n. For en fri, udempet harmonisk svingning er

Y = Yosinwt

(5.28)

som ved innsetting i (5.26) gir (K - æ2M)Y0 = 0

(5.29)

Dette er et sett tineære egenvevditigntngev som har n løsninger i form av egenpar

co|,Yq^.

-119-

Bidrag fra eksternt festede diskrete stivheter k

og dis-

krete masser M^ lar seg lett inkorporere i (5.30), ved at K og M modiferes ved innaddering av de diskrete bidrag K = K +

M 7 k (x ) un m m m m= 1

(5.30)

M +

N T I M ø (x ) 4> (x ) n n n n=l

(5.31)

M

Disse ligningene tilsvarer (5.16) og (5.17) for Rayleighs metode.

Eksempel

FIGUR 5.3

Fritt opplagt bjelke

Kinematiske randbetingelser

v,

(0,t)

= 0

->

Ty

(0) = 0

0 Ty

v ( £ , t) - 0

->

ø (£)

= 0

Mekaniske randbetingelser

Q(0,t) = 0

(0) = 0

AÅA

M(£ ,t) = 0

+

ø, (£) Y ’ xx

= 0

Her behøver formfunksjonene kun å tilfredsstille de kine­ matiske randbetingelser, og vi forsøker

v(x,t) = ø (x)Y + ø (x)Y = (l-(y)2 )Y + (l-(j) )Y 1 1 Z Z X/1 Å/

- 120-

Dette gir

_ _6_

. - _ 2 $ i ,xx i,2

£ 3 X

2 , XX

og ved (5.22) og (5.24) fås

3

£ T

6j]dx

K 0

6_

AA

r

mj (J>^(f)dx o

M

x2

x3

->

L(l-^)(l~)]dx

7 12 9 14

Egenverdiligningen (5.29) gir nå

8 15 w2m£ 7 _12

EI £3

Yi

y2.

Det innføres a

co2

mi ~ET

Determinanten må nå være lik 0 for at ikke-trivielle løsninger skal oppnås

I (4

8 > 15 a)

det

(6

-n“’

En utvikling av determinanten gir

a2 - 764.30a + 4652.31 = 0 der røftene er “i

= 6.136 3

a2 = 758.16

/ EI W1 =2.477/

/EI tø2 = 27.535/^

- 121 -

De eksakte verdier finnes i Tabell 3.1, og er

co

/ ET 1 2.468/ mÅ1*

co, = 2 2.2 0 3/^PP 2 mt4

Her er feilen i coJ mindre enn 0,5%, mens co2 er ca. 24% for

høy.

Dette er helt typisk for Rayleigh-Ritz metode, og som

generell regel kan sies at det må benyttes dobbelt så mange

formfunksjoner som ønskede egenfrekvenser.

Videre må det sørges

for at de valgte formfunksjoner inneholder de fundamentale

svingeformer.

Dette er illustrert i Figur 5.4, hvor den

symmetriske rammen har en usymmetrisk første svingeform, mens

Dersom man i dette tilfellet

annen svingeform er symmetrisk.

kun antar symmetriske formfunksjoner, vil beregningen helt gå

glipp av den laveste egenverdien.

FIGUR 5.4

Symmetriske og usymmetriske svingeformer for symmetrisk ramme

For to- og tredimensjonale legemer blir anvendelsen av

Rayleigh-Ritz metode helt analog med hva som er gjort for

bjelken, bortsett fra at uttrykkene for generalisert stivhet og masse blir mer kompliserte.

For tynne plater tas utgangs­

punkt i uttrykket for tøyningsenergien i (5.12), som gir

K..

= /D(x,y) [(V2 . ) (V2ø . ) + 2(l-v)(ø. ø. -

. (x,y) • (x,y)dA A 1 3

(5.33)

Svingeligningen for platen blir som i (5.29). Som for de statiske problemer ligger hovedproblemet ved

bruken av Rayleigh-Ritz metode i a bestemme fornuftige form funksjoner ø.(x,y).

Den enkleste metoden er å benytte en

elementformulering, hvor 4>^(x,y) kun antas over subområder av konstruksjonen.

5.3

Dette blir behandlet i neste avsnitt.

Elementmetoden

5.3.1 Dynamiske ligninger for et element

Rayleigh-Ritz metoden er som tidligere presisert, avhengig av at man antar fornuftige formfunksjoner ø^(x,y,z) over hele konstruksjonen. Disse funksjonene skal tilfredsstille de kine

matiske randbetingelser langs rendene , hvilket kan by på pro blemer for konstruksjoner med komplisert geometri.

Det kan

derfor være vanskelig å etablere funksjoner som gir akseptabel

nøyaktighet i frekvenser og svingeformer. Disse vanskelighetene omgås i elementmetoden ved at kon­

struksjonen deles opp i en rekke subområder (elementer), slik at formfunksjonene kun gjelder for enkle subområder.

Dersom

funksjonene cj)^(x,y,z) tilfredsstiller visse kontinuitetskrav

mot naboelementene, vil løsningen konvergere mot eksakt løsning når antall elementer økes.

Denne konvergensen er analog med

at Rayleigh-Ritz metoden konvergerer når antall uavhengige formfunks j oner

(x ,y ,z ) øker. I begge metoder fås konvergens

i energi, men ikke punktvis konvergens. Figur 5.5 viser en oversikt over forskjellige element-

typer og tilhørende frihetsgrader.

I en forskyvningsformulering av elementmetoden antas forskyvningsfunksjonene over ett element som

- 123 -

FIGUR 5.5

Typiske elementer for en-, to- og tre-dimensjonale legemer U(x,y,z ,t)

v

(5.34)

(x,y,z)q(t)

w hvor N

er en matrise av formfunksjoner og q er en vektor av

generaliserte koordinater. til N

q

Ved hjelp av knutepunktsverdiene

kan (5.34) omformes til formen

(5.35)

u(x,y,z,t) = N(x,y,z)v(t)

hvor N(x,y,z)

er

en matrise av interpolasjonspolynomer og

v(t) de tidsavhengige knutepunktsforskyvningene.

I mange til­

feller settes N opp direkte uten å gå veien om generaliserte forskyvningsfunksj oner. Tøynings-forskyvningsrelasjonene er gitt ved e = Au = ANv = Bv hvor A er den differensialoperator som er problemavhengig

(bjelke, skive, plate).

For lineært elastiske materialer

(5.36)

- 124 -

er materialloven gitt ved Hookes lov

o = Ce = CBv

(5.37)

Vi tar nå utgangspunkt i ligningen for virtuelt arbeid (4.10) for å utlede elementrelasjonene

pEtodV - /Su^FdV + /6u"TdS - fpéu lidV V V Sa V

(4.10)

Siden N ikke er avhengig av tiden has li = N v

(5.38)

Ved å sette dette samt (5.35), (5.36) og (5.37) inn i arbeids

ligningen fås rp

rp

TT

T r

T

T ,

T

T~

6v /B CBdVv + 6v JpN NdVv =

(6.89b)

K =

(6.89c)

$TK$

IT = $TR

(6.89d)

I disse transformasjonene vil det lønne seg å utnytte at $ er oppdelt i undermatriser.

Hvis alle egensvingeformene til superelementet tas med i (6.83), innføres det ingen tilnærmelser.

å redusere ligningssystemets størrelse.

Poenget er imidlertid p velges derfor så

liten som mulig under hensyn til den nøyaktigheten man ønsker,

p = 0 tilsvarer mester-slave teknikk for superelementer.

I

metoden for modal syntese benyttes et utvalg av superelementets egensvingef ormer som generaliserte fr ihetsgrader .

Dette med­

fører at en kan bruke grovere inndeling for superelementene enn ved vanlig mester-slave metode.

En superelementmodell fra

statisk analyse vil i mange tilfeller kunne benyttes direkte. Antall interne egensvingeformer som bør tas med for et superelement vil avhenge av den aktuelle konstruksjonen, og av an­ tall og plassering av eksterne frihetsgrader.

6.7

Eksitasjon fra fundament

rg

b) Jordskjelv

a) Vegtrafikk

FIGUR 6.3

Eksempler på fundamenteksitasjon

Det finnes en rekke tilfeller hvor konstruksjoner eksiteres av "kjente" forskyvninger, hastigheter eller aksellera-

sjoner i fundamentene.

Typiske eksempler på dette er trafikk-

- 188 -

induserte vibrasjoner i bygninger, samt jordskjelveksitasjon.

Jordskjelv har i de senere år blitt et stadig mere aktuelt be-

lastningstilfelle for faste konstruksjoner på kontinental­ sokkelen i Nordsjøen. I en diskretisert beregningsmodell kan forskyvnings-

vektoren r spaltes i

(6.90)

representerer forskyvningene i de eksiterte fundamentg punkter og r de øvrige forskyvningene. Systemets likevektshvor r

ligning kan dermed ordnes i henhold til dette

(6.91)

er de ytre laster assosiert med frihetsgradene r1? mens R_ er krefter assosiert med r . For lineære konstruksjoner kan g responsen fra ytre laster superponeres med responsen fra fundamenteksitasjonen .

For enkelhets skyld settes derfor de ytre

lastene lik null.

Forskyvningsvektoren kan spaltes i en kvasistatisk

og en

dynamisk del

(6.92)

De kvasistatiske forskyvningene utenfor fundamentet r s , indu­ seres av fundamentforskyvningene r når disse betraktes som g statiske Betegnelsen "kvasi" benyttes fordi både r g og r s egentlig varierer i tid uten å medføre tidsavhengige effekter.

er den del av de totale forskyvningene som skyldes treghets-

krefter og dempning.

Vi skal senere finne en sammenheng mel­

lom dem.

Innføres (6.92) i matriseligningen (6.91) kan første

-189-

linje skrives som

M rH + Cnn rt + K r> = -Mr- M..r -C r - C r - Kr - K r

(6.93)

Andre linje i (6.91) beskriver likevekten i fundamentpunktene

hvor forskyvningen er foreskrevet.

Denne ligningen kan derfor

sløyfes med mindre en er spesielt interessert i å finne reak­

sjonskraften i grunnen.

rg er definert som den "statiske" for-

skyvningsvektor på grunn av fundamentforskyvningen og finnes

dermed fra K„r + K r us 12 g

= 0

(6.94)

eller

r S = - K1* 12 rg 11

= Hrg

(6.95)

Når alle deler av fundamentene beveges like mye angir H en ren

statisk translasjon. r

s

r

s

Derivasjon gir (6.96a)

Hr g Hr

(6.96b)

Innsetting av (6.95) i (6.93) gir Mllrd+

Rl(t)

(6.97)

- M 11‘rS - M !2 ’rg - C us r - C.,r 12 g

(6.98)

cllrd+

Kllrd=

hvor * R/t)

Som ventet inneholder den ekvivalente ytre last intet bi­

drag fra forskyvningene r

og r . (6.97) kan nå løses ved hjelp s g av de vanlige metodene for tvungen respons beregning (modal

superposisjon eller direkte integrasjon). For de aller fleste * praktiske anvendelser kan leddene i R (t) som skyldes demp­ ningen neglisjeres fordi de statiske forskyvningen tilsvarer en stivlegemebevegeIse

-190-

Cnrs

C 12 rg

(C

ii

H + C

12) rg ~ 0

(6.99)

hvilket gir * RL «

Massematrisen

M

r ii s

M

r 12 g

(M

ii

H + M )r 12 g

(6.100)

representerer massekoblingen mellom frihets-

og r . For konsentrert massematrise blir M = 0. 12 g Den dynamiske likevektsligningen får da formen gradene r

M ii rd. + C ii rHd + K ii rd.

M Hr n g

Ved vanlige jordskjelvmålinger

(6.101) er det først og fremst

r

som registreres, og r og r kan oppnås ved numerisk integrao •• o o sjon av r g

Eksempel Ved jordskjelveksitasjon av konstruksjoner med liten ut­

strekning i bølgeforplantningens utbredelsesretning som i

Figur 6.4, vil alle fundamentpunktene bli utsatt for samme

fundamentaksellerasjon r g

r2V—*ri

FIGUR 6.4

Konstruksjon utsatt for fundamenteksitasjon

- 191 -

I det "statiske" tilfellet vil konstruksjonen bli utsatt for

en stivlegemebevegelse som ikke gir spenninger.

Videre er det

Det innebærer vanlig å neglisjere rotasjonskomponentene i r . g at fundamenteksitasjonen gjennom H kun gir bidrag til horison-

talfrihetsgradene i modellen i Figur 6.4

ht

[1 0 1 o]

Eksempel

Fritt opplagt bjelke hvor høyre opplagerpunkt

FIGUR 6.5

eksiteres i vertikal retning

For den fritt opplagte bjelken i Figur 6.5 eksiteres et av opplagerpunktene i vertikal retning.

Transformasjonsmatrisen

H kan for dette tilfellet settes opp direkte

s

Hr g

hvor

1

1 3

_ 1 2

2 3

_ 1 £

_ 1 2

H representerer en stivlegemebevegelse.

- 192-

Dempning

6.8

6.8.1 Energidissipasjon ved dempning Begrepet dempning har tidligere vært definert ut fra et

systems svingekarakteristikk, hvor både kritisk dempning og

dempningsforholdet har vært diskutert.

Vi skal nå se litt

nærmere på de fysikalske årsakene til dempningen, og vise hvor­ dan denne kan beskrives ved en matematisk modell.

Dempningen kan inndeles i to hovedgrupper, indre dempning i konstruksjonen og dempning ved energitap til omgivelsene. Dempningen inndeles også i henhold til fysikalsk årsak i viskøs

dempning, hysterese-dempning og friksjonsdempning.

Den siste

typen betegnes også Coulombdempning.

Hittil har dempningen stort sett vært antatt som viskøs dempning, dvs dempningskraften er satt proposjonal med hastig­

heten.

Dempningens størrelse har vært karakterisert ved

dempningsfaktoren c, dempningsforholdet

€ =

(2.21)

kr

eller logaritmisk dekrement

u. A = ln(——) = Ui + 1

d

* = 2 rr /— c2.

(2.30)

Alle disse størrelsene er nærmere forklart i Avsnitt 2.2.

Det er imidlertid hensiktsmessig å innføre et mere generelt mål for dempningen, nemlig energidisszpasjonen (energitapet) pr

svingecykel.

Energidissipasjonen er definert ved

wd =

(7.15)

- 212-

(7.13) kan dermed brukes uten omskriving for å finne uL .

En alternativ fremgangsmåte er å beregne akselerasjonen ti0 fra (7.12) og så finne Uj fra

(7.16)

ui = u0 + uoh + jiioh2

Metoden er betinget stabil, slik at stabilitet sikres

bare dersom tidsskriftet h velges tilstrekkelig liten h < hkr =

hvor T er perioden.

(7.17)

= 0.318T

Dette kravet betyr altså at man må avpasse

valget av skrittlengde til perioden av den differensialligningen som skal løses.

Detxer i regelen ønskelig å benytte noe kortere

tidsinkrement enn det (7.17) krever av hensyn til lastbeskrivelsen og ønsket nøyaktighet.

Et typisk tilfelle hvor last-

historien er avgjørende er jordskjelveksitasjon hvor lasthistorien har et meget uregelmessig forløp.

Den sentrale

differensemetode er eksplisitt for systemer med én frihetsgrad, og for større systemer dersom dempnings- og massematrisene er diagonale .

7.3.2

Houbolts metode I Houbolts metode /20/ legges et tredjegradspolynom gjennom

forskyvningsverdiene for t^_2 ,

t^ og

+

Dette gir

følgende operatorer i tidspunktet u. _ = -^-(-2u. o + 9u. ,-18u.+llu. ,) i+l bh 1-2 i-l i i+l

(7.18)

u. , - tÅ-(-u. 0+4u. ,-5u.+2u. ,) i+l h2 1-2 i-l i i+l

(7.19)

Innsetting i likevektsligningen for t =

medfører

- 213 -

2 11 (—j-m+^-r-c + k) u . _ hz 6h i+l

p • .i +

i+l

5 hz

3 h

i

4 hz

3 2h

~(irrm+^Vc)u-

11 hz 3h

i + (l“Tm+oi;c)u .

i-l

i-2

(7.20)

Houbolts metode er basert på likevektsligningen i t^+1Stivheten k forekommer i koeffisienten for u£ + -|_? og for ep system med flere frihetsgrader må det lineære ligningssystemet løses for ui+1-

Dette betyr at metoden er implisitt.

En god

egenskap ved metoden er at den er ubetinget stabil, og tids-

inkrementet h kan velges kun ut fra hensynet til ønsket nøy­

aktighet.

Den har imidlertid kunstig numerisk dempning,

slik

at amplituden blir redusert ved integrasjon av udempet fri

svingning. Metoden blir ofte karakterisert som en fjerde ordens metode, idet feilen i (7.19) er proporsjonal med h1* . Metoden er mye brukt i flyindustrien. I likhet med differansemetodene er det påkrevet med spesi­

elle tiltak ved oppstarting siden u_^ og u_9 ikke eksisterer.

Aller enklest er det å bruke differansemetoden til å finne

Uj og u2 og deretter benytte Houbolts metode.

7.4 7.4.1

Metoder basert på numerisk integrasjon Konstant initiell aksellerasjon

Definisjonsmessig er hastighet og aksellerasjon gitt ved (7.21)

du = udt

(7.22)

du = udt

Dersom forløpet av aksellerasjonen over tidsskriftet h antas, kan (7.21) og (7.22) integreres direkte u(t)

t _ _ = u. + f ti (T ) df 1 o

u(t)

= u. + fu(T)dT i
4 er vist at enhver pehfodZi fe last p(t) kan

utvikles i en Fourier-rekke.

For en generell lastvariasjon er

dette ikke mulig med mindre man benytter et kunstgrep.

Den

vilkårlige lasten p(t) i Figur 8.1 kan gjøres periodisk om man Disse gjentar funksjonen p(t) med periode langs tidsaksen.

tilføyde (ikke virkelige) tidsfunksjoner er i figuren represen­

tert ved en stiplet linje, og den nye fiktive lastfunksjonen betegnes ved p(t).

FIGUR 8.1

Modifisert lasthistorie

Det er innlysende at responsen på grunn av denne modifi­ serte lasthistorie p(t) er forskjellig fra den vi søker.

som man imidlertid lar

-*

Der­

vil imidlertid bidraget fra de

"ekstra" lastfunksjonene bli eliminert. Ved bruk av (2.66) og (2.67) kan lasten uttrykkes ved +co p p(t) = E (-^f n= -oo p -T / 2 P

-ico p(x)e

t

n dt)«e

Videre har vi

co og

= n

= nco

= n*Aco

(Aæ - w )

ico t (8.1)

- 238 -

,1 _ W p _ aAæ T 2tt ' 2ir P

Når man lar T co

n

-♦ = lim 7p f x.(tMt 1 T^o* 1 o 1 1

a2 = < (x.(t)-m)2> = lim 1 T-*=o

T

f (x.(T)-m)2dT 0 1

(8.24)

langs hvilken som helst av tddé 4 ettene x^(t) /25/,/31/. Symbolet betegner her at operasjonen foretas langs tidsserien.

Rent praktisk er det av stor betydning at alle statistiske operasjoner kan skje langs en tidsserie, idet dette reduserer det nødvendige registreringsarbeid betydelig.

I svært mange

tilfeller er det til og med ugjennomførlig å registrere flere

- 247 -

tidsserier, slik at vi må nøye oss med en enkelt.

Et typisk

slikt eksempel er registrering av akselerasjonen under et jord­

skjelv, hvor varigheten og mangelen på instrumenter vanligvis

er en begrensning.

I alle videre utledninger forutsettes der­

for at vi har med ergodiske, stasjonære prosesser å gjøre.

Autokorrelasjon og spektraltetthet

8.3.3

Forventningsverdien og variansen er ikke tilstrekkelig til å beskrive en stokastisk prosess, idet vi også trenger in­ formasjon om hvordan prosessen endrer seg med tiden.

Denne in­

formasjonen er inneholdt i

R^-(t),

clllZo

ko

j o n(tn

j o yia

Figur 8.6. 1

Rv(t) = E[X(t )-X(t +t)] x L i i

N

= lim w E bHoo \ = 1

x.(t )•x±(t +t) 1 i 1 i (8.25)

For stasjonære prosesser er R^ kun avhengig av tidsforsinkelsen t,

og ikke av tiden t .

For den ergodiske prosess kan auto-

korrelasjonen enklest bestemmes ved operasjon langs tidsaksen

av en av tidsseriene i ensemblet 1 T R (t) = < x • (t) • x • (t + t ) > = lim rp fx . (t) *X. (t + T )dt X 1 1 T^oo 0 (8.26)

(ingen sum over i)

For

= 0 blir

t

R (0) = eTx2] X

og når

t-*°°

blir x^(t) og x^(t+T) ukorrelert, dvs at

Rv (t-x») = m2

(8.27)

- 248 -

FIGUR 8.6

Beregning av autokorrelasjonsfunksjonen i ensembelretning

For stasjonære prosesser har man også

Ry(t) = E Fx( t) • x( t+ t

= E Tx( s-t ) • x( s )j

= Ry(-t) (8.28)

Figur 8.7 viser tidsserien og Ry(t) for tre typiske pro-

sesser.

Her representerer a) en

(white-noise) pro­

sess hvor alle frekvenser er likt representert, mens b) og c)

representerer henholdsvis en -imab.båndpA.O-6 e.-6-å og en bste.dbåndp/io Det er tidligere vist hvordan responsanalysen er utført i

frekvensplanet for både periodisk og ikke-periodisk last.

Det

er naturlig å vurdere om hvorvidt denne metoden også kan anvend

es når lasten p(t) er en stokastisk prosess.

Det er imidlertid

ikke mulig å Fouriertransformere p(t) direkte, idet konvergens-

kravet +oo J | p (t) | dt < °°

(8.4)

- 249 -

HVIT STØY

SMALBÅNDSPROSESS

Eksempler på autokorrelasjonsfunksjonen for typiske stokastiske prosesser

FIGUR 8.7

ikke er oppfylt for en stasjonær prosess, idet prosessen jo

har en uendelig lang varighet. I stedet skal vi Fouriertransformere autokorrelasjonen

R (t). Hensikten med Fouriertransformasjonen er å bestemme freX kvensinnholdet i prosessen, og denne informasjonen er også inne­ holdt i Rv(t). Dersom x(t) er justert slik at m = E[x(t)j = 0 X og x(t) ikke har noen harmoniske komponenter, er + oo

f | R^( t ) | dr < °° — OO og Rv(t) kan transformeres. X

Spe.foXt.af teXe.n

(au.to-A

pefoXt.e.X,

efoXx pekXt.eX)

er definert ved Fouriertransformasjonsparet + oo

Sv(æ) = J RY(T)e imdT X 2 TT J A

(8.29)

- 250 -

+ co

Rv(t) - J SY(æ)elæTdæ X x — oo

(8.30)

Ved kombinasjon av (8.27) og (8.30) for

t

= 0, fås

+co

L

(8.31)

= Rv(0) = f SY(æ)dæ X X — oo

eTx2!

-*

Dette viser at den midlere kvadratiske verdi av prosessen er

lik arealet under spektret SY(co) og at SY(w) gir frekvensfordelingen av bidragene til Var(X).

[(benevning x)2/frekvensenhetl ,

Sx(æ) har benevningen og dersom X(t) er en reell

størrelse, vil spekteret SY(co) være en like funksjon i

X

(8.32)

= SY(-oo)

Sv(æ)

X

uj

A

Relasjonene (8.29) og (8.30) mellom R^(t) og Sx(co) beteg­

nes vanligvis som Wiener-Kintsche relasjonene, og dannet i mange år grunnlaget for beregningen av spektret.

I dag bereg­

nes imidlertid SY(co) direkte fra tidsserien x(t) uten å gå vei-

en om Ry(t). X

Dette gjøres ved å betrakte en modifisert tids-

serie ' x( t )

-T < t < + T

(8.33)

x( t ) t < -T

.0

og t > + T

hvor 2T er lengden av tidssserien x(t).

x(t) tilfredsstiller

dermed (8.4) og kan Fouriertransformeres / x(t)«e 1Wtdt

X(w) = ZTT

(8.34)

J

-T

Det kan nå vises at /3/ S (co) = lim E[jX(co)|2] Å T-k» 1

(8.35)

Detaljer vedrørende beregningen av SY(co) og hvordan FFT benyttes z\ X ved bestemmelsen av X(co) er gitt i /2 5/.

-251 -

Figur 8.7 viser tidsserien og autospektret for henholds­ vis en Ama.Zbån.d-t> p/toA

og en bstizdbåndA ptioA

.

Smalbåndspro-

sessen er karakterisert ved at energien er fordelt over et smalt frekvensområde, og bidragene fra dette området interfererer med hverandre og resulterer i et fenomen som betegnes 0 og w -» °°, Figur 8.7 b, dvs at energien er jevnt for1 2 delt over hele frekvensområdet. Denne prosessen kalles en

når æ

" hv

(white-noise) .

tø y"-p^o

For denne prosessen blir

< x2(t) > = oo, og prosessen er derfor kun av teoretisk interesse. I praksis betegnes imidlertid en prosess som hvit-støy dersom

Sv(co) er konstant innen det frekvensområdet som har praktisk betydning.

S (æ)

HVIT STØY

to

2 tt to o

FIGUR 8.7

SMALBÅNDSPROSESS

Tidsserier og spektraltettheter for typiske stokastiske prosesser

- 252 -

For bølge- eller vindeksiterte svingninger danner bølge-

og vindspektret utgangspunktet for responsberegningene.

disse beregninger benyttes glattede passet målte miljødata.

For

tg nA pzdz&ia. som er til­

Denne tilpasningen er ikke entydig, og

man har derfor en rekke designspektra som representerer samme

stokastiske prosess.

Figur 8.8 viser for eksempel tre ulike

bølgespektra som representerer samme sjøtilstand, men har for­ skjellig frekvens fordeling av bølgeenergien.

FIGUR 8.8

Bølgespektra for en sjøtilstand med signifikant bølgehøyde H^-^ = 15,0 m

I utledningene her er benyttet sirkulær frekvens æ, men det er også mulig å benytte frekvensen f (Hz) som enhet. Videre

er det vanlig å erstatte det tosidige spektret Sv(æ) (-oo